Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe
Introducerea operației de putere la numerele naturale

Una din întrebările esenţiale, dar despre care mai nimeni nu-şi face multe gânduri, este următoarea: unde este trecerea de la aritmetică la algebră?

În eseul prezentat m-am preocupat de întrebarea: ce este gândirea aritmetică şi ce este gândirea algebrică, şi cum se diferenţiază una de cealaltă?

Am studiat această întrebare pe două plane: întâi la nivelul teoretic din punct de vedere al dezvoltării copiilor, apoi la un nivel concret, cu susţinere mai mult psihologică, pe baza exemplului introducerii operaţiei de putere şi a proprietăţilor operaţiilor cu puteri.

Eseul de faţă sublinează – printre rânduri – motivul pentru care preocuparea mea de bază o reprezintă actualmente predarea matematicii în ciclul gimnazial: este perioada în care pe rând elevii trec de la stadiului operaţional concret la stadiu operaţional formal; primii fac această trecere uşor odată cu trecerea în clasa a V-a, dar mulţi elevi o fac de-abia în anii următori, la trecerea în clasa a VI-a sau chiar în a VII-a. Din păcate însă acest aspect a fost neglijat puternic din anii ‘80 încoace.

Am încheiat această expunere de gânduri cu o scurtă fişă de lucru pentru însuşirea şi stabilizarea operaţiei de putere nou învăţate prin exerciţii de ordinea operaţiilor numerelor naturale (prezentată din motive practice în două exemplare). Spor la lucru!

Gândirea aritmetică VS Gândirea algebrică.pdf

Conferință Dr. H. Paschen

Vara asta, la terminarea anului şcolar, pe 10 iunie 2015, la Facultatea de Psihologie şi Ştiinţe ale Educaţiei din cadrul Universităţii Babeş-Bolyai din Cluj, am avut bucuria să-l audiez pe dl. Prof. univ. dr. habil. Harm Paschen de la Universitatea Bielefeld din Germania, cu o prezentare despre:

Importanţa pedagogică a conceptelor de cunoaştere non-discursive: empatia, intuiţia, spiritualitatea, tactul (Die Pädagogische Bedeutung der Konzepte von non-diskursiven Erkenntnis: Empathie, Intuition, Spiritualität, Takt).

Daţi-mi voie să vă prezint câteva idei din această conferinţă deosebit de interesantă.

  • încă din 1942 Susanne Langer vorbea despre faptul că muzica, arta în general, este o ştiinţă despre sentimente şi emoţii;
  • empatia nu este încă inclusă în pedagogie ca ştiinţă; eşti admis la facultate pe baza testării disciplinei respective, fără a fi verificat dacă ai tactul necesar pentru a acţiona pe viitor în faţa elevilor; un studiu în Germania arată că undeva între 35% şi 50% dintre profesori nu au empatia necesară exercitării acestei meserii;
  • tactul este direct înrudit cu empatia şi reprezintă calitatea modului în care interacţionezi cu ceilalţi (Herbarth, 1930?); empatia şi tactul merg mână în mână, determinând calitatea actului pedagogic;
  • prin “flow” se înţelege fenomenul in care oamenii ajung să fie ca uniţi cu un lucru (de ex. felul in care ne unim cu calculatorul şi nu ne mai putem desprinde de acesta); există o predare în care să apară “flow”, o predare care să-i capteze cu totul pe elevi?
  • prin “val” se înţelege procesul prin care pedagogul nu este cel care face ceva, ci cel care are “un val” şi îi ia şi pe elevi “cu valul”; nici această metodă nu este una discursivă;
  • intuiţia reprezintă experienţă încă neconştientizată; pedagogii au de-a face cu creiere, lucrul cel mai complicat din univers;
  • spiritualitatea (în general aceasta nu trebuie confundată cu spiritualitatea credinţei): în dezvoltaria matematicii aceasta a devenit tot mai spirituală, cu cât s-a desprins mai mult de slujirea lumii exterioare;
  • alte exemple de prezentări non-discursive: imaginile, muzica;

Acestea au fost câteva idei pe care am apucat să le notez din această conferinţă. Au fost şi multe exemple presărate în diferite momente. La “val” de pildă a fost un exemplu cu nişte elevi din internat care căutau noaptea, sub pătură, cu lanterna, soluţia problemei profesorului de mate la o problemă foarte palpitant pusă

C. Titus Grigorovici

Șirul lui Fibonacci în gimnaziu

Suntem obişnuiţi cu prezenţa şirului lui Fibonacci în liceu şi idea introducerii cunoştinţelor despre acesta în gimnaziu pare surprinzătoare. Să analizăm un pic subiectul şi veţi vedea că lucrurile sunt chiar accesibile.

În clasa a V-a le-am dat elevilor câteva numere, să zicem până la 8, şi le-am cerut să-l găsească pe următorul, fără a le da vreun indiciu despre cum este construit şirul.

1      1      2      3      5      8      …

Dacă nu apare numărul următor corect din câteva încercări, îl scriu eu pe următorul:

1      1      2      3      5      8      13    …

Apoi le cer din nou să continue ei. Până la urmă tot se prinde vreun elev din clasă despre ce-i vorba şi care-i şmecheria. Pasul următor este să le cer să completeze şirul până la al douăzecelea termen şi să studieze ce se întâmplă (apar câteva mici surprize).

Un alt exerciţiu, eventual ca temă, este construirea de şiruri de tip Fibonacci. Pentru acestea alegem două numere iniţiale oarecare, de pildă 4 şi 5, din care construim mai departe următorii termeni după regula din şirul lui Fibonacci (fiecare termen ca sumă al celor doi precedenţi).

Până aici nimic special, până de curând, când am luat la răsfoit o carte de Feng Shui (The complete idiot’s guide Feng Shui, de Elizabeth Moran, Joseph Yu, Val Biktashev, apărută la Ed. Curtea Veche), şi am găsit referiri la şirul lui Fibonacci (pare-se adunate din Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, de Trudi Hammel Garland, apărută la Dale Seymour Publications, 1987).

Şi iată ce proprietate am găsit aici:

Suma oricăror zece numere succesive din şirul lui Fibonacci este un număr divizibil cu 11, iar rezultatul împărţirii acestei sume la 11 este tot un număr din şirul lui Fibonacci, mai exact al patrulea de la coadă din seria celor zece alese.

De exemplu: 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 = 979, iar 979 : 11 = 89.

Acesta este deja un exerciţiu de fluidizare a calculului mult mai interesant pentru clasele mici (ca temă, fiecare elev are de verificat trei exemple până ora viitoare).

La elevii mai mari însă, putem trece de la faza de verificare a câtorva cazuri, la faza de demonstrare a generalităţii acestei proprietăţi. Deci, să încercăm o demonstraţie!

Nici n-am apucat să caut o demonstraţie într-o carte sau pe vreun site, că mi-a trecut prin minte o demonstraţie (în timp ce conduceam prin oraş!). Când am ajuns la destinaţie, mai întâi am verificat demonstraţia pe un bon de benzină, şi SURPRIZĂ!, a funcţionat.

Vă propun să căutaţi şi voi această demonstraţie, plecând de la idea că proprietatea prezentată – de divizibilitate la 11 – ar putea fi valabilă pentru orice şir de tip Fibonacci. Deci, plecăm de la două numere oarecare şi mai construim încă opt numere de tip Fibonacci, apoi facem suma lor şi … gata, v-am spus destul!

  1. Vă propun să hotărâţi apoi din ce clasă se poate da ca temă de lucru această demonstraţie. Eu zic că în clasa a VII-a (a şaptea!) merge deja lejer.

C.Titus Grigorovici

14 aug. 2015