Congresul mondial al profesorilor de matematic─â Waldorf

Zilele acestea are loc ├«n Elve┼úia, la Dornach l├óng─â Basel, primul congres mondial al profesorilor de matematic─â din ┼čcolile Waldorf (5-9 oct. 2015).

Manifestarea, de o magnitudine nemai├«nt├ólnit─â, este cu totul dedicat─â artei pred─ârii matematicii la toate v├órstele ┼čcolare (primar, gimnaziu ┼či liceu).

Pute┼úi studia temele propuse spre dezbatere ├«n plen, c├ót ┼či pe grupe de lucru, la adresa http://www.paedagogik-goetheanum.ch sau acces├ónd direct http://www.mas.goetheanum.org/Welt-Mathematiklehrertagung.7762.0.html?&L=1.

C├ót e metruÔÇÖ p─âtrat?

Dup─â campania de publicitate la tabl─â de acoperi┼č sper c─â toat─â lumea a ├«n┼úeles c├ót e metruÔÇÖ p─âtrat: un metru lungime pe un metru l─â┼úime!:)

Cu ocazia aceasta mi-am adus aminte de-o poz─â de la o lec┼úie de-a V-a din prim─âvar─â. Uni ├«┼či fac selfie simplu, al┼úii selfie cu vreo vedet─â; eu mi-am f─âcut un selfie cu mp!:))

IMG_0910 IMG_0912

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe
Introducerea opera╚Ťiei de putere la numerele naturale

Una din ├«ntreb─ârile esen┼úiale, dar despre care mai nimeni nu-┼či face multe g├ónduri, este urm─âtoarea: unde este trecerea de la aritmetic─â la algebr─â?

├Än eseul prezentat m-am preocupat de ├«ntrebarea: ce este g├óndirea aritmetic─â ┼či ce este g├óndirea algebric─â, ┼či cum se diferen┼úiaz─â una de cealalt─â?

Am studiat aceast─â ├«ntrebare pe dou─â plane: ├«nt├ói la nivelul teoretic din punct de vedere al dezvolt─ârii copiilor, apoi la un nivel concret, cu sus┼úinere mai mult psihologic─â, pe baza exemplului introducerii opera┼úiei de putere ┼či a propriet─â┼úilor opera┼úiilor cu puteri.

Eseul de fa┼ú─â sublineaz─â – printre r├ónduri – motivul pentru care preocuparea mea de baz─â o reprezint─â actualmente predarea matematicii ├«n ciclul gimnazial: este perioada ├«n care pe r├ónd elevii trec de la stadiului opera┼úional concret la stadiu opera┼úional formal; primii fac aceast─â trecere u┼čor odat─â cu trecerea ├«n clasa a V-a, dar mul┼úi elevi o fac de-abia ├«n anii urm─âtori, la trecerea ├«n clasa a VI-a sau chiar ├«n a VII-a. Din p─âcate ├«ns─â acest aspect a fost neglijat puternic din anii ÔÇś80 ├«ncoace.

Am ├«ncheiat aceast─â expunere de g├ónduri cu o scurt─â fi┼č─â de lucru pentru ├«nsu┼čirea ┼či stabilizarea opera┼úiei de putere nou ├«nv─â┼úate prin exerci┼úii de ordinea opera┼úiilor numerelor naturale (prezentat─â din motive practice ├«n dou─â exemplare). Spor la lucru!

Gândirea aritmetică VS Gândirea algebrică.pdf

Conferin╚Ť─â Dr. H. Paschen

Vara asta, la terminarea anului ┼čcolar, pe 10 iunie 2015, la Facultatea de Psihologie ┼či ┼×tiin┼úe ale Educa┼úiei din cadrul Universit─â┼úii Babe┼č-Bolyai din Cluj, am avut bucuria s─â-l audiez pe dl. Prof. univ. dr. habil. Harm Paschen de la Universitatea Bielefeld din Germania, cu o prezentare despre:

Importan┼úa pedagogic─â a conceptelor de cunoa┼čtere non-discursive: empatia, intui┼úia, spiritualitatea, tactul (Die P├Ądagogische Bedeutung der Konzepte von non-diskursiven Erkenntnis: Empathie, Intuition, Spiritualit├Ąt, Takt).

Daţi-mi voie să vă prezint câteva idei din această conferinţă deosebit de interesantă.

  • ├«nc─â din 1942 Susanne Langer vorbea despre faptul c─â muzica, arta ├«n general, este o ┼čtiin┼ú─â despre sentimente ┼či emo┼úii;
  • empatia nu este ├«nc─â inclus─â ├«n pedagogie ca ┼čtiin┼ú─â; e┼čti admis la facultate pe baza test─ârii disciplinei respective, f─âr─â a fi verificat dac─â ai tactul necesar pentru a ac┼úiona pe viitor ├«n fa┼úa elevilor; un studiu ├«n Germania arat─â c─â undeva ├«ntre 35% ┼či 50% dintre profesori nu au empatia necesar─â exercit─ârii acestei meserii;
  • tactul este direct ├«nrudit cu empatia ┼či reprezint─â calitatea modului ├«n care interac┼úionezi cu ceilal┼úi (Herbarth, 1930?); empatia ┼či tactul merg m├ón─â ├«n m├ón─â, determin├ónd calitatea actului pedagogic;
  • prin ÔÇťflowÔÇŁ se ├«n┼úelege fenomenul in care oamenii ajung s─â fie ca uni┼úi cu un lucru (de ex. felul in care ne unim cu calculatorul ┼či nu ne mai putem desprinde de acesta); exist─â o predare ├«n care s─â apar─â ÔÇťflowÔÇŁ, o predare care s─â-i capteze cu totul pe elevi?
  • prin ÔÇťvalÔÇŁ se ├«n┼úelege procesul prin care pedagogul nu este cel care face ceva, ci cel care are ÔÇťun valÔÇŁ ┼či ├«i ia ┼či pe elevi ÔÇťcu valulÔÇŁ; nici aceast─â metod─â nu este una discursiv─â;
  • intui┼úia reprezint─â experien┼ú─â ├«nc─â necon┼čtientizat─â; pedagogii au de-a face cu creiere, lucrul cel mai complicat din univers;
  • spiritualitatea (├«n general aceasta nu trebuie confundat─â cu spiritualitatea credin┼úei): ├«n dezvoltaria matematicii aceasta a devenit tot mai spiritual─â, cu c├ót s-a desprins mai mult de slujirea lumii exterioare;
  • alte exemple de prezent─âri non-discursive: imaginile, muzica;

Acestea au fost c├óteva idei pe care am apucat s─â le notez din aceast─â conferin┼ú─â. Au fost ┼či multe exemple pres─ârate ├«n diferite momente. La ÔÇťvalÔÇŁ de pild─â a fost un exemplu cu ni┼čte elevi din internat care c─âutau noaptea, sub p─âtur─â, cu lanterna, solu┼úia problemei profesorului de mate la o problem─â foarte palpitant pus─â

C. Titus Grigorovici

╚śirul lui Fibonacci ├«n gimnaziu

Suntem obi┼čnui┼úi cu prezen┼úa ┼čirului lui Fibonacci ├«n liceu ┼či idea introducerii cuno┼čtin┼úelor despre acesta ├«n gimnaziu pare surprinz─âtoare. S─â analiz─âm un pic subiectul ┼či ve┼úi vedea c─â lucrurile sunt chiar accesibile.

├Än clasa a V-a le-am dat elevilor c├óteva numere, s─â zicem p├ón─â la 8, ┼či le-am cerut s─â-l g─âseasc─â pe urm─âtorul, f─âr─â a le da vreun indiciu despre cum este construit ┼čirul.

1 ┬á┬á┬á┬á┬á1┬á┬á┬á┬á┬á 2┬á┬á┬á┬á┬á 3┬á┬á┬á┬á┬á 5┬á┬á┬á┬á┬á 8┬á┬á┬á┬á┬á ÔÇŽ

Dacă nu apare numărul următor corect din câteva încercări, îl scriu eu pe următorul:

1┬á┬á┬á┬á┬á 1┬á┬á┬á┬á┬á 2┬á┬á┬á┬á┬á 3┬á┬á┬á┬á┬á 5┬á┬á┬á┬á┬á 8┬á┬á┬á┬á┬á 13┬á┬á┬á ÔÇŽ

Apoi le cer din nou s─â continue ei. P├ón─â la urm─â tot se prinde vreun elev din clas─â despre ce-i vorba ┼či care-i ┼čmecheria. Pasul urm─âtor este s─â le cer s─â completeze ┼čirul p├ón─â la al dou─âzecelea termen ┼či s─â studieze ce se ├«nt├ómpl─â (apar c├óteva mici surprize).

Un alt exerci┼úiu, eventual ca tem─â, este construirea de ┼čiruri de tip Fibonacci. Pentru acestea alegem dou─â numere ini┼úiale oarecare, de pild─â 4 ┼či 5, din care construim mai departe urm─âtorii termeni dup─â regula din ┼čirul lui Fibonacci (fiecare termen ca sum─â al celor doi preceden┼úi).

P├ón─â aici nimic special, p├ón─â de cur├ónd, c├ónd am luat la r─âsfoit o carte de Feng Shui (The complete idiotÔÇÖs guide Feng Shui, de Elizabeth Moran, Joseph Yu, Val Biktashev, ap─ârut─â la Ed. Curtea Veche), ┼či am g─âsit referiri la ┼čirul lui Fibonacci (pare-se adunate din Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, de Trudi Hammel Garland, ap─ârut─â la Dale Seymour Publications, 1987).

┼×i iat─â ce proprietate am g─âsit aici:

Suma oric─âror zece numere succesive din ┼čirul lui Fibonacci este un num─âr divizibil cu 11, iar rezultatul ├«mp─âr┼úirii acestei sume la 11 este tot un num─âr din ┼čirul lui Fibonacci, mai exact al patrulea de la coad─â din seria celor zece alese.

De exemplu: 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 = 979, iar 979 : 11 = 89.

Acesta este deja un exerciţiu de fluidizare a calculului mult mai interesant pentru clasele mici (ca temă, fiecare elev are de verificat trei exemple până ora viitoare).

La elevii mai mari însă, putem trece de la faza de verificare a câtorva cazuri, la faza de demonstrare a generalităţii acestei proprietăţi. Deci, să încercăm o demonstraţie!

Nici n-am apucat s─â caut o demonstra┼úie ├«ntr-o carte sau pe vreun site, c─â mi-a trecut prin minte o demonstra┼úie (├«n timp ce conduceam prin ora┼č!). C├ónd am ajuns la destina┼úie, mai ├«nt├ói am verificat demonstra┼úia pe un bon de benzin─â, ┼či SURPRIZ─é!, a func┼úionat.

V─â propun s─â c─âuta┼úi ┼či voi aceast─â demonstra┼úie, plec├ónd de la idea c─â proprietatea prezentat─â ÔÇô de divizibilitate la 11 ÔÇô ar putea fi valabil─â pentru orice ┼čir de tip Fibonacci. Deci, plec─âm de la dou─â numere oarecare ┼či mai construim ├«nc─â opt numere de tip Fibonacci, apoi facem suma lor ┼či ÔÇŽ gata, v-am spus destul!

  1. V─â propun s─â hot─âr├ó┼úi apoi din ce clas─â se poate da ca tem─â de lucru aceast─â demonstra┼úie. Eu zic c─â ├«n clasa a VII-a (a ┼čaptea!) merge deja lejer.

C.Titus Grigorovici

14 aug. 2015

Arta pred─ârii matematicii

Prin art─â ├«n┼úelegem nu doar marea art─â reprezentat─â de marile nume, cum ar fi Grigorescu sau Celibidache. Prin art─â ├«n┼úelegem ┼či mica art─â reprezentat─â de anonimii ÔÇô muzician sau olar ÔÇô care ne ├«nc├ónt─â la col┼úul str─âzii sau ├«n bazare; m─â g├óndesc la croitorul care a cusut o rochie superb─â sau la fierarul care a f─âcut elemente frumoase pentru o poart─â, sau la sticlarul care a conceput o sticl─â frumoas─â din care ne vom ├«nc├ónta cu un vin deosebit; me┼čte┼čugarii cei mul┼úi, l─âutarii sau artizanii populari ├«n ceramica de la Horezu sau ├«n por┼úile maramure┼čene, lista put├ónd continua la nesf├ór┼čit. Ace┼čti me┼čte┼čugari reprezint─â baza piramidei ├«n v├órful c─âreia au ajuns Porumbescu sau Br├óncu┼či. Mica art─â poate fi denumit─â ┼či arta de zi cu zi. Cu marea art─â te ├«nt├ólne┼čti rar, dar cu mica art─â te ├«nt├ólne┼čti des.

Orice meserie ├«┼či are arti┼čtii s─âi, cei care o practic─â at├ót de bine ├«nc├ót rezultatul muncii lor s─â devin─â o ├«nc├óntare. Chiar ┼či predarea matematicii poate fi practicat─â ca o art─â, f─âcut─â s─â ├«nc├ónte, iar beneficiarul acestei ├«nc├ónt─âri va fi elevul. Predarea la ora de matematic─â trebuie s─â aduc─â bucurie elevilor: c├ót mai des ┼či c├ót mai multor elevi!

Se nasc aici dou─â mari ├«ntreb─âri: De ce s─â facem astfel?, ┼či Cum s─â facem astfel?. ├Än cazul ambelor ├«ntreb─âri se pot da multe r─âspunsuri ┼či oricine poate s─â-┼či dea drumul imagina┼úiei.

La prima ├«ntrebare a┼č ├«ncerca un r─âspuns cu implica┼úii na┼úionale. Cu c├ót lec┼úia de matematic─â este mai atractiv─â pentru c├ót mai mul┼úi elevi, cu at├ót mai eficient─â va fi aceast─â materie ├«n formarea g├óndirii ordonate, logice. Cu c├ót mai mult─â matematic─â ajunge la sufletul copiilor, cu at├ót mai clar matematica ├«┼či poate ├«ndeplini rolul s─âu formator de baz─â, anume formarea capacit─â┼úii de a lua decizii corecte, lipsite de subiectivitate. Matematica este una dintre cele mai obiective discipline de studiu ├«n ┼čcoal─â, ┼či ea este probabil principalul formator de obiectivitate ├«n mintea elevilor. Or, la poporul nostru, ┼či latin ┼či balcanic totodat─â, deci plin de subiectivit─â┼úi ├«n toate cele, este foarte important ca matematica s─â ajung─â c├ót mai des ┼či la c├ót mai mul┼úi elevi ├«n suflet, pentru a mai echilibra balan┼úa dintre obiectivitate ┼či subiectivitate.

Este un fenomen uimitor aici: aduc├ónd mai mult sentiment pozitiv (adic─â ceva subiectiv) ├«n ora de matematic─â, elevii se apropie mai mult de aceast─â disciplin─â ┼či dob├óndesc ├«n final capacitatea unor decizii mai obiective. Dimpotriv─â, predarea mult prea riguroas─â, de inspira┼úie a prelegerilor universitare, deci foarte obiectiv─â, este accesibil─â foarte pu┼úinor elevi, restul nebeneficiind de caracterul formator al matematicii ┼či tr─âind mai tot timpul paralel cu aceasta. Care este rezultatul a zeci de ani de astfel de predare, mult prea seac─â, a matematicii? ├Än jurul nostru, la toate nivelele, putem observa genera┼úii ├«ntregi de adul┼úi la care singurul mod de decizie este cel subiectiv; genera┼úii ├«ntregi care nu pot lua ┼či nu pot accepta decizii obiective; genera┼úii care nu reu┼česc s─â discearn─â datele obiective ale unei situa┼úii, de p─ârerile ┼či impresiile lor subiective. C├ót de s─ân─âtoas─â este o astfel de politic─â ┼čcolar─â matematic─â, trebuie al┼úii s─â decid─â; eu doar observ.

Despre cea de-a doua ├«ntrebare, Cum?, revenind la arta pred─ârii matematicii ┼či la profesorul de la clas─â, acesta trebuie s─â fie pe deplin con┼čtient de menirea sa, at├ót pentru viitorul elevului, c├ót ┼či pentru viitorul na┼úiunii. Deci, ce educ─âm? Educ─âm elevi buni, sau educ─âm oameni preg─âti┼úi s─ân─âtos pentru via┼ú─â? Eu ├«nclin spre cea de-a doua variant─â (care ├«n mod ciudat o include ┼či pe prima).

Dar cum se face asta? Nu cred că se pot da reţete clare. Putem încerca doar să dăm cât mai multe exemple de bună practică (cât de abuzată este această expresie, oricum foarte subiectivă!), exemple care pe noi ne-au ajutat să trezim lumina în ochii elevilor la ora de matematică, după cum exclama un elev în urmă cu ceva ani, în astfel de momente: MINUNE DUMNEZEIASCĂ!

Prof. C.Titus Grigorovici, aug.2015

De ce Pentagonia?

Pentru c─â Pentagonia este un t─âr├óm de vis ├«n care to┼úi oamenii iubesc matematica, admir├óndu-i zilnic minun─â┼úiile nesf├ór┼čite.

Aici au tr─âit ┼či au g├óndit Pitagora sau Thales, dar ┼či Leonardo da Vinci, Carl Friedrich Gauss sau J├ínos B├│lyai. To┼úi ace┼čtia, dar ┼či mul┼úi al┼úii r─âma┼či anonimi, au cunoscut imensa satisfac┼úie ce te cuprinde atunci c├ónd reu┼če┼čti s─â rezolvi o problem─â considerat─â de nerezolvat, pe care ai ├«nvins-o cu puterea min┼úii tale; sau bucuria ne┼ú─ârmuit─â din momentul ├«n care ai descoperit un col┼úi┼čor de matematic─â nec─âlcat p├ón─â atunci de nimeni.

Cei mai mul┼úi profesori de matematic─â au fost ├«n Pentagonia ┼či povestesc cu drag despre frumuse┼úile ├«nt├ólnite acolo. Chiar ┼či unii elevi au ajuns s─â cunoasc─â aceast─â lume minunat─â.

Revista de fa┼ú─â ├«┼či propune s─â-i ajute pe profesori ├«n predarea matematicii, astfel ├«nc├ót num─ârul elevilor ce ajung s─â iubeasc─â matematica s─â fie c├ót mai mare cu putin┼ú─â. Pot fi tratate subiecte total necunoscute, dar ┼či subiecte demult uitate, pove┼čti matematice, dar ┼či teme de actualitate pentru preg─âtirea examenelor, culegeri de probleme pe o anumit─â tem─â sau probleme izolate cu un farmec deosebit, rezolv─âri seci de calcul, dar ┼či rezolv─âri inedite (de exemplu cu ajutorul foarfecii ┼či al h├órtiei ├«mp─âturite), probleme diferite care se rezolv─â cu aceea┼či metod─â, dar ┼či mai multe metode de rezolvare pentru o aceea┼či problem─â; ├«n fine, c├ót mai multe din minun─â┼úiile ce pot fi ├«nt├ólnite ├«n Pentagonia.

C.Titus Grigorovici

Cluj-Napoca, dec.1997

PS

Caietele Pentagonia ├«┼či propun s─â ofere o matematic─â atractiv─â ┼či accesibil─â c├ót mai multor elevi, s─â prezinte ├«ntr-un mod liber ┼či elemente din matematic─â neincluse ├«n programa ┼čcolar─â, iar pentru preg─âtirea ├«n vederea examenelor ┼čcolare s─â ofere profesorilor ┼či elevilor seturi de probleme pe diferite teme de interes, dar ┼či probleme recapitulative ├«ncep├ónd chiar din clasa a VII-a.

Pentagonia se dore┼čte o publica┼úie despre frumuse┼úea matematicii, despre bucuria ce tr─âie┼čte ├«n matematic─â, ├«n ┼čcoal─â aceste sentimente fiind constant neglijate, alungate uneori de o matematic─â mult prea riguroas─â, alteori de o ordine a lec┼úiilor contrar─â normalului.

Editorialul ┼či coperta IV

Caietul PENTAGONIA No.1, ian.1998