Ziua Fibonacci – 23 noiembrie

De asta n-am ştiut (evident venită tot de la americani): am găsit pe BING că această zi ar fi sărbătorită ca ziua Fibonacci, desigur datorită sistemului de scriere american al datelor din calendar, întâi luna şi doar apoi ziua, deci 11/23, care prezintă segvenţa primelor patru numere din şirul lui Fibonacci.

Deşi mari învăţaţi din India au amintit în scrierile lor de acest şir cu mult înainte, în societatea noastră noi îl ştim ca Şirul Lui Fibonacci, deoarece acesta apare în renumita problemă cu iepuraşi, ce a fost inclusă în a doua ediţie a cărţii Liber Abaci (prima în 1202, unde apărea deja scrierea arabă a numerelor, a doua în 1204). Apropos: se pare că şi numărul unic de urgenţă în Uniunea European, vine tot de la Fibonacci, ca propunere din partea Italiei (112).

Discuţii pe baza unui interviu (2) – O concluzie cel puţin unilaterală

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are la ora actuală ca invitat în fiecare duminică pe dl. Lorand Balint. În prezenta a doua postare inspirată din respectivele emisiuni, mi-am propus să reiau alte câteva gânduri din acel prim episod difuzat duminică, în 11 sept. 2022 (îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu), gânduri cu care m-am confruntat lucrând la prima parte, la cea despre câte feluri de profesori există.

În prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească, deşi dintr-o parte a celor spuse în acel prim episod parca se înţelege altceva. Astfel, despre situaţia de la acel moment din învăţământ (septembrie 2022, în plină dezbatere – una foarte dură – între societate şi Ministrul Educaţiei, pe diverse teme, printre care şi introducerea dreptului Colegiilor Naţionale de a-şi organiza propriile examene separate de admitere), în acel moment Lorand Balint spunea:

LB: Partea bună este că există dezbatere, că în România se încearcă o schimbare sau măcar se discută despre o schimbare, pentru că realitatea în care trăim este că pe întreaga planetă au loc discuţii similare la o scară mai mică sau mai mare. Toată lumea trăieşte într-o nouă realitate. Lumea a devenit mult mai fluidă. Schimbările sunt la ordinea zilei. Un an nu mai seamănă cu anul următor şi nu vorbim despre efectele pandemiei sau a unei crize punctuale, ci este vorba de o realitate deja de zeci de ani de zile, iar sistemele de învăţământ din toată lumea sunt construite pentru o realitate trecută. Şi atunci, ceea ce trăim noi în România, dezbaterile şi conversaţiile sunt la ordinea zilei şi în alte ţări ale lumii. Asta este partea foarte bună, că dezbatem, că discutăm (…) şi este unul din beneficiile apartenenţei la lumea occidentală (faptul că putem să vorbim, faptul că putem să dezbatem, faptul că putem să ne contrazicem, să avem păreri diferite, …).

Într-adevăr, este foarte bine că există dezbatere şi este foarte bine că am ajuns ca societatea să aibă un cuvânt hotărâtor de spus în marile decizii ale guvernanţilor. Am văzut până la urmă cum s-au decis lucrurile, ajungându-se la demisia d-lui Sorin Cîmpeanu.

Legat de ideea existenţei unei noi realităţi cu care se confruntă sistemele de învăţământ, şi cu această idee sunt într-u totul de acord. Aş da aici şi un exemplu, unul deosebit de îndepărtat, atât temporal cât şi preocupaţional, care să ajute la înţelegerea magnitudinii acestor gânduri. Într-un “top” al celor mai tari şi influente jucării sau jocuri ale anilor ’80, difuzat de posturile National Geographic (desigur centrat pe SUA), pe locul 1 este Cubul Rubik. În prezentarea făcută apar două idei deosebit de interesante. În primul rând că firma cu care se discuta pentru producere nu a dorit la început să intre în această afacere pentru că “De ce ai produce o jucărie pe care nu o poţi rezolva???”. Cu alte cuvinte, se considera ca minimă, chiar neglijabilă, forţa copiilor de a rezolva o situaţie ce părea de nerezolvat pentru adulţii aflaţi în posturile de decizie. Realitatea este însă că tinerii, copiii chiar, au alte moduri de a ataca o situaţie nouă, moduri încă neînţelese pe deplin de lumea adultă, moduri cu care ei pot rezolva în mod neaşteptat probleme cu care se confruntă, cu o singură condiţie: să vrea. Deci problema se reduce la a găsi subiecţii care să vrea, pentru că putere au destulă (există în acest sens şi multe alte exemple; aş amini doar că pasul decisiv în descifrarea scrierilor maiaşe a fost făcut de copilul unui cercetător care lucra la acest subiect). Or, sistemul de învăţământ oficial pleacă întotdeauna de la premisa că elevii trebuie învăţaţi de către adulţi cum se face ceva nou. De obicei nu este inclusă în politica educaţională ideea că un copil ar putea găsi singur o soluţie. Aici unii – mai ales pe la noi – s-au obişnuit să scurtcircuiteze brutal sistemul natural al minţii copilului, instituind modelul de a parcurge lecţiile înainte, fie de către un membru al familiei, fie de către profesorul particular, încercând să dea astfel impresia unui copil care gândeşte. Revenind la cuburile Rubik, la ora actuală nu mai se mai poate manifesta această creativitate, pentru că orice copil atras de jucăria respectivă are posibilitatea să caute direct pe youtube, manifestându-şi şi modelându-şi forţa minţii înspre a prelua ceva gata făcut, nu înspre a genera ceva nou.

Este evident că sistemul de excelenţă în matematică practicat în şcolile româneşti este oricum foarte asemănător cu ce am scris anterior: pentru a avea o eficienţă bună în atingerea nivelului ridicat, elevii primesc de-a gata diferite şmecherii, fără ca ei de fapt să le descopere singuri. A lăsa copiii să descopere singuri reprezintă un proces de învăţare foarte lent şi total nesigur; dimpotrivă, a-i arăta o şmecherie, a-i arăta cum se face este mult mai eficient. Copilul ajunge să ştie multe într-un timp relativ scurt, dar el dezvoltă doar abilităţi de stocare şi de manevrare a celor primite. Aceşti elevi sigur nu dezvoltă abilităţi de a genera singuri elemente noi (măcar noi pentru ei, chiar dacă acestea nu sunt noi pentru alţii).

În al doilea rând (evenind la reportajul despre cubul Rubik) odată ajuns pe piaţă, după ce generase acea totală preocupare în lumea copiilor şi a tinerilor, preocupare de-a dreptul obsesivă, copiii “se jucau” tot timpul cu acest cub, găsind rezolvări şi în scurt timp ajungând desigur să concureze între ei, care îl face mai repede. S-a ajuns astfel şi la concursuri şi la consemnarea primelor recorduri. Şi – Atenţie! – totul se întâmpla fără prezenţa internetului; cu alte cuvinte, în primul rând putem fi siguri că soluţiile au apărut de undeva, dintr-o minte, posibil de fapt din mai multe minţi separate de distanţe uriaşe, iar apoi de la aceştia rezolvările se învăţau “prin viu grai”, transmise de la unul la altul (eu de pildă aşa am ajuns să rezolv partea finală, ultimul strat al cubului, preluând nişte scheme de la alţi elevi, prin ’83-’84).

Mie mi-a atras atenţia faptul – nespus în emisiune – că totul se întâmpla “underground”, adică oarecum neoficial, neinclus în procesul oficial de învăţământ. Adică, elevii învăţau matematică brută, grea, gândită iniţal de către profesorul Ernö Rubik pentru studenţi, şi o făceu singuri, fără ghidajul profesorilor. Să ne imaginăm deci profesorii cu materiile lor învechite pe de-o parte, la ore, iar pe de altă parte elevii învăţând ceva nou, intrigant, dar fascinant, venit din exteriorul şcolii, lucrând cu înverşunare în pauze, în ore sub bancă, înainte sau după ore, fiecare singur sau cu prietenii, lucrând la ceva neinclus în sistemul şcolar oficial, dar având clar efecte pozitive asupra propriei dezvoltări intelectuale (vedere şi orientare în spaţiu, educarea voinţei pentru căutarea soluţiei etc.), în ultimă instanţă asupra propriei educaţii. Pentru prima dată elevii se educau singuri, total pe lângă sistemul oficial de educaţie, iar sistemul putea doar să privească uluit la fenomenul respectiv. Desigur că au fost probabil şi minţi deschise printre profesori, care în mod spontan să fi pornit şi ei pe acest drum, atât ca rezolvitori individuali, cât şi ca profesori, încercând unele prime includeri a cubului Rubik în cadrul orelor de matematică, dar îmi permit să cred că aceştia au fost doar câţiva, fenomenul neputând fi ridicat la nivelul de masă, aşa cum avea loc în rândul elevilor (nici chiar într-o ţară ce se pretinde deschisă la nou cum sunt SUA).

Revenind pe plaiuri mioritice, nici până acum sistemul nostru şcolar nu are o strategie de a integra în vre-un fel această jucărie în cadrul preocupărilor oficiale. Oare, o astfel de includere ar trebui să vină de sus sau să fie făcută la nivel local, opţional, individual, punctual în diferite lecţii deja existente? Păi, veţi spune, de vreme ce nu este la examen, de ce să o facem? Dar – voi răspunde – oare noi doar pentru examene lucrăm? Asta este însă o altă dezbatere. Vorbind despre “ce ar fi de făcut” la nivel naţional, adică într-o ţară cu un sistem centralizat de stat, Lorand Balint dădea următorul exemplu:

LB: Mă refer acum … la ceea ce au făcut englezii în ultimii zece ani, când şi-au dat seama că realitatea s-a schimbat, că trebuie să-şi adapteze şi sistemul de educaţie de stat. Ei aveau două scenarii, unul care să le vină de la guvern, de sus, să zică “aşa faceţi!” – şi istoric aşa s-au întâmplat lucrurile – doar că şi-au dat seama că nu prea ştiu exact “cum să facă”; sunt atâtea de multe variabile, atâta de multe realităţi. Atunci decizia lor a fost să meargă pe scenariul 2 în care au dat o mare autonomie şcolilor din sistemul de stat, să se comporte aproape la fel ca şi şcolile din sistemul privat, să poată să ia decizii local, să poată să-şi asume lucruri care diferă de restul şcolilor din sistemul de stat, urmând ca după o perioadă să măsoare, să observe care sunt lucrurile care au funcţionat mai bine şi care au funcţionat mai prost, şi să tragă învăţăturile de la toate, să lase şcolile să inoveze, să caute soluţii şi apoi să le extrapoleze la nivelul sistemului.

Imediat în urma acestui exemplu, fără să ne fi prezentat clasificarea profesorilor (de care noi am discutat deja în prima parte), Lorand Balint trage următoarea concluzie:

În România, dacă este să ne uităm, dacă e să avem inovaţie, dacă este să avem transformări, cel mai probabil colegiile naţionale sunt principalul candidat. Ele sunt cele mai îndreptăţite să caute soluţii şi să inoveze (…).

Ulterior, spre finalul discuţiei, adică după prezentarea celor cinci categorii de profesori, Lorand Balint ajunge să justifice părerea exprimată mai devreme, anume că colegiile naţionale ar fi principalele puncte de unde ar apărea o evoluţie:

LB: …. La colegiile naţionale ponderea profesorilor din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea” este mult mai mare decât în restul instituţiilor şi atunci din această perspectivă este mai probabil ca de la ei să vină inovaţia şi să schimbe lucrurile. (…) Creşte probabilitatea ca (în câţiva ani) să apară un model care să poată fi replicat …. .

Un prim răspuns la această afirmaţie ar fi pe o lungime de undă a pamfletelor: Aşa, am înţeles, deci de la Colegiile Naţionale este de aşteptat să apară o soluţie pentru marea masă de elevi analfabeţi funcţionali din mediul rural! Da, bine.

Pe o lungime de undă apropiată, aşputea începe discuţia acestor citate cu o concluzie finală (din punctul meu de vedere): modelul nu ar apărea în câţiva ani, modelul deja există (!), anume la diferite facultăţi (unde, desigur că nu te pui cu autonomia universitară!) Practic, Lorand Balint sugerează aici instituirea discriminantă a unei autonomii preuniversitare, însă doar la nivelul Colegiilor Naţionale.

Să vedem câteva aspecte ale funcţionării autonomiei la nivel universitar, astfel încât să ne putem închipui cum ar funcţiona la nivel preuniversitar. De pildă, dacă doreşti să intri la o anume facultate (la care admiterea are loc pe baza unor examene concrete), atunci cel mai sigur este să iei meditaţii de la profesori din acea facultate, altfel rişti cel puţin ca să intri la “taxă”. Oricum, pentru anumite facultăţi există desigur şi culegerile aferente, pe care trebuie să le cumperi şi după care trebuie să lucrezi, pentru că acestea îţi dau “lungimea de undă” a subiectelor ce le vei primi la examenul de admitere. Iar modalitatea orelor online desigur că nu putea fi ratată în urma extinderii modelului din pandemie. Vă daţi seama ce oportunităţi financiare suplimentare ar apărea pentru cadrele didactice din diferitele colegii, dacă s-ar permite examene separate la acestea? Totul se reduce până la urmă la bani şi la forţa financiară a familiilor care “pun ochii” pe o anumită instituţie pentru nivelul următor de educaţie. Nu că acum n-ar exista fenomenul meditaţiilor în masă, dar o admitere separată la diferitele colegii ar fi ridicat fenomenul la un cu totul alt nivel. Am prezentat pentru început gândurile din acest aliniat, doar aşa ca să înţelegem cum ne situăm faţă de cele susţinute în respectiva emisiune. Pentru că de fapt, despre asta a fost vorba în primul rând în respectiva schimbare faţă de care toată lumea era indignată prin vară, atunci când dl. Cîmpeanu venise cu această propunere, pe care dorea să o impună cu orice preţ.

Permiteţi-mi să trec însă la lucruri mai serioase, anume la analiza punctului de vedere al lui Lorand Balint, anume că plecând de la premisa că la Colegiile Naţionale este desigur o “densitate” mai mare din categoriile dezirabile de profesori, atunci desigur că de acolo ar fi de aşteptat să apară şi idei novatoare bune pentru reformarea învăţământului românesc. Eu sunt doar parţial de acord cu aceasta concluzie.

Totul pleacă de la faptul că linia ghidantă a Colegiilor Naţionale este una orientată mai tot timpul spre excelenţă, spre performanţă în cele două direcţii arhicunoscute: concursurile şcolare, respectiv examenele de final de ciclu şi admiterea la formele şcolare ulterioare. Or, aceste rezultate se obţin exclusiv pe baza elevilor de vârf, cu grijă selectaţi dinainte, dar şi pe baza unei presiuni dure a materiei (cu accent pe cantitatea mare, dar şi pe nivelul ridicat, chiar foarte ridicat), presiune exercitată prin intermediul notelor, presiune ce are de obicei ca urmare faptul că cei mai mulţi elevi au nevoie de meditaţii particulare la materiile pentru care se doreşte performanţa. Or, cum cei mai mulţi profesori de la aceste instituţii lucrează în acest stil, căutând cu înverşunare nivelul foarte inalt (să ne limităm aici doar la matematică, unde cunoaştem bine tabloul), este de aşteptat ca modelele ce ar reieşi dintr-o astfel de căutare novatoare în cadrul Colegiilor Naţionale – sugerată de Lorand Balint – să fie una potrivită doar acestui segment al societăţii, anume elevilor de vârf, respectiv familiilor cu forţă financiară pentru meditaţii.

Cu mare probabilitate putem spune că modelele reformatoare ce ar reieşi din aceste instituţii de învăţământ ar fi potrivite doar şcolilor sau claselor “de elită”, croite după acelaşi model. Nu trebuie să fi “mare filozof” în cunoaşterea învăţământului românesc ca să îţi dai seama că aceste modele nu ar fi aplicabile în clasele sau în şcolile cu elevi “mai de rând”, din oraşe sau din mediul rural, aceştia rămânând din nou “pe de lângă”.

Ce-i de făcut? Păi frâiele unei posibile reforme sunt încă tot “în mâinile” Ministerului. Dar Ministerul, ca instituţie (chiar dacă erau cu totul alţi oameni atunci, pe vremuri), Ministerul ne-a adus în această situaţie în care toate forţele creative ale profesorimii sunt îndreptate doar către elevii cei mai buni ai societăţii, cel mult înspre copiii familiilor celor mai potente financiar. Mă refer aici desigur la continuarea şi la exacerbarea în anii ’90 şi mai departe a politicilor lui Ceauşescu spre excelenţă. După părerea mea, ca urmare tot Ministerul – chiar dacă cel de acum – trebuie să descâlcească această situaţie, are datoria să o facă (deşi se cam codeşte).

Mudificând puţin puctul din care privim subiectul nostru, nu se poate ca acum Ministerul să pretindă că lasă frâiele în mâinile celor mai bine poziţionaţi (cu cei mai mulţi “profesori dezirabili”), de vreme ce aceştia sunt setaţi tot pe vechile obiceiuri şi direcţii. Ministerul este cel care trebuie să reseteze cumva mai întâi tot sistemul pe nişte coordonate mai sănătoase pentru întreaga societate, nu doar pe nişte lungimi de undă favorabile numai elitelor, şi doar apoi, după ce sa dovedit că resetarea a avut loc în mod real, doar apoi Ministerul poate lăsa frâiele din mână.

Iar acest proces de lăsare a frâielor din mână trebuie făcut cinstit, accesibil pentru toată lumea, astfel încât şi dascălii implicaţi în şcolirea celorlalte categorii de elevi să aibă posibilitatea să “renoveze” zona lor de activitate. De pildă, ca să dăm doar un singur exemplu, sunt atâtea persoane (fizice sau juridice) care se implică intens în recuperarea păturilor de elevi oropsiţi de soartă, în prevenirea apariţiei analfabetismului sau a analfabetismului funcţional. De ce aceştia ar fi excluşi (pentru că este evident că profesorii din Colegiile Naţionale nu se întâlnesc cu astfel de situaţii, deci nici nu intră în raza lor de preocupare)?

Conştient fiind că această resetare nu ar putea de fapt avea loc, pentru că societatea este în mare parte calcifiată, osificată în modele vechi, unilaterale, greşite pentru mare parte a elevilor, putem să ne gândim şi la o altă abordare (nu am inventat-o eu, ci am aflat-o de la alţii). De pildă în Norvegia profesorii şi şcolile sunt obligate să treacă la un sistem de predare “prin descoperire”. Adică profesorii nu mai au voie să predea prin “prelegere”, prin prezentare a itemilor.

O formă mai simplistă de căutare a soluţiilor, similară cu cea britanică prezentată de Lorand Balint a avut loc în jurul lui 1980 în Suedia, deci soluţii există, doar să se dorească găsirea lor, doar că interpretarea acestor modele să se facă cinstit, nu deformator, ca în cazul de faţă.

Vreau să spun că Ministerul ar trebui să genereze un cadru de referinţă a învăţământului mai sănătos, în conformitate cu pretenţiile şi cu cerinţele unui învăţământ modern echitabil pentru toţi cetăţenii săi, un model similar cu cele folosite la nivel mondial, şi doar apoi să dea libertatea profesorilor şi şcolilor să caute soluţii în acest cadru. Deşi, şi aici am masive rezerve despre ce modele ar găsi unii sau alţii (văd destule exemple negative în jurul meu).

Atâta vreme cât suntem ancoraţi în obiceiurile şi în formele trecutului, atâta vreme cât inclusiv profesorii de la care s-ar aştepta acţiuni reformatoare pozitive sunt selectaţi tot pe baza criteriilor trecutului, sigur nu se vor putea găsi forme noi de şcoală şi de şcolire care să fie eliberate de tarele trecutului. Revenind la emisiunea analizată, spre final mai are loc o bucăţică de “discuţie discutabilă”:

CS: E important să ai o elită consolidată sau o masă mare de elevi absolvenţi în România care ştiu să lucreze la nivel mediu?

LB: Mie-mi place “şi-ul” (şi o să mai apară în discuţiile noastre); eu mă feresc de “sau”. Eu cred că poţi să ai şi o elită şi o masă mare de elevi care să fie oameni foarte bine educaţi, cu un viitor foarte bun. Dar este loc de “şi”, adică şi de o elită şi România are nevoie de o elită, de oameni educaţi, de oameni care să împingă lucrurile, de oameni care să fie pasionaţi, să aibă un mediu în care să se dezvolte.

Deci, d-lui Lorand Balint îi place “şi-ul”, dar iată ce ne transmite dânsul de fapt în ultima frază a emisiunii: ne spune că trebuie să ne preocupăm atât de elită (şi GATA!).

Simţiţi că ceva este greşit la fraza de mai sus? Poate corect ar fi fost să scriu: trebuie să ne preocupăm atât de elită, cât şi de ceilalţi (alegeţi dvs. eventual o altă formă de frază care să vi se potrivească, dar să aibă şi sens). Dar, din păcate, în argumentaţia din fraza finală a lui Lorand Balint lipseşte cu desăvârşire referirea la marea masă a absolvenţilor care să ştie să lucreze onorabil la un nivel mediu (apare doar în penultima frază). Poate că dânsul a vrut să o zică, poate că a subânţeles-o, poate s-a luat cu vorba, vrând să spună cât mai multe (vorbeşte foarte repede şi foarte mult), dar de spus n-a spus-o în final; nici măcar un cuvinţel! Chiar dacă susţine că este un adept al lui “şi” în loc de “sau”, se pare că Lorand Balint cam înclină spre zona elitelor (la fel ca mai toate persoanele ajunse în poziţii decizionale în ultimii 30-40 de ani în România).

Îmi pare rău, dar în urma acestei ultime pledoarii din finalul emisiunii respective, din partea mea dl. Lorand Balint primeşte doar un foarte apăsat semn cu pumnul strâns şi cu degetul mare în jos! Pentru mine persoanele care nu se gândesc şi la marea masă a elevilor, la corpul principal din “Clopotul lui Gauss”, pentru mine aceştia sigur nu contează în a emite păreri despre cum ar trebui să arate viitorul şcolii româneşti. Este absolut natural să ne procupăm de elite (să dăm Cezarului ce-i a Cezarului), o merită din plin, dar suntem obligaţi să ne preocupăm cel puţin la fel de mult şi de ceilalţi. Iar, ţinând cont că principalul curent de preocupare a fost în ultimii 30-40 de ani doar înspre elite, înseamnă că ar fi vremea să lăsăm ceva timp şi preocupării pentru restul populaţiei şcolare.

De fiecare dată când se naşte o discuţie despre ce ar trebui să facem cu restul populaţiei şcolare (de pildă pe baza procentelor răvăşitoare de analfabetism funcţional dovedite de Studiul PISA), repede sare cineva în sus “dar elitele noastre?”. Cu elitele trebuie să se lucreze mai departe conform nevoilor lor (iar despre acestea nu-mi fac griji, sigur preocuparea va continua pe lina deja cunoscută, şi este ok aşa), dar marea discuţie este despre ceilalţi, despre cei ce nu pot face parte din rândul elitelor. Despre aceştia discuţia trebuie lăsată să aibă loc, trebuie lăsată să se dezvolte, ca apoi să ajungă să se genereze soluţii, iar pentru asta trebuie încurajată şi mai ales statutată la nivel naţional oficial.

Ca o părere personală, din păcate se pare că procesul de “a lăsa frâiele din mâini” din partea Ministerului a cam pornit, fără să fie clar anunţat şi nici bine organizat. Iar mişcarea respectivă cu intenţia de a da Colegiilor Naţionale dreptul să-şi organizeze propriile examene de admitere făcea parte din acest proces, ca un fel de start furat (cum ar fi la Formula 1 înaintea unui restart, dacă nu s-ar anunţa decât unii şoferi că Safetycar-ul se va retrage). CTG

P.S. După cum am scris, în prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească. Da, pe mine dânsul m-a făcut să gândesc, dar sigur nu în direcţia în care şi-a dorit-o. Dar, lăsaţi-mă pe mine la o parte. Să încercăm să ne imaginăm cum ar ajunge să gândească marea masă a elevilor acestei ţări într-un viitor organizat după modelul previzionat conform acestui interviu? Păi, simplu: la fel cum gândesc şi marea masă a actualilor adulţi (foştii elevi de ieri), deoarece condiţiile de formare ar fi identice. Exact la fel, atât cu bune, cât şi cu rele, dar sigur cu nimic în plus, cu nimic mai presus.

P.P.S. Mai recent, într-o emisiune din 13 noiembrie, Lorand Balint se arăta mult mai raţional. Astfel, în emisiunea în care discutau fenomenul doritorilor de carnet de conducere auto, care sunt însă analfabeţi, dânsul spunea ceva de genul: trebuie să înţelegem realitatea în care trăim şi să ne-o asumăm, sugerând găsirea unor soluţii Out of the box. Într-adevăr, cu aşa ceva sunt într-u totul de acord. Dar, oare când va începe şi în organizarea învăţământului românesc, în particular a învăţământului matematic, un proces de găsire a unor soluţii Out of the box? Haideţi să luăm această recomandare şi să o aplicăm şi asupra situaţiei matematicii şcolare din România. Cât mai mulţi dintre noi! (cu scuzele de rigoare pentru critica efervescentă, dar şi cu mulţumirile corespunzătoare pentru gândurile exprimate de dl. Lorand Balint în emisiunile respective)

Discuţii pe baza unui interviu (1) – Tu, ce fel de profesor eşti? (o clasificare interesantă a profesorilor)

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are invitat pe dl. Lorand Balint. Acesta este un om care crede cu putere în puterea educaţiei, ca să-l citez pe Cătălin Striblea din prezentarea făcută la început. Seria Out of the box a pornit cu câteva discuţii despre educaţie, după care s-a distanţat de acest subiect (în episodul al doilea au vorbit despre motivele din cauza cărora elevii îşi scot scutire la Educaţie fizică).

În prezenta primă postare redactată cu mare întârziere faţă de difuzarea respectivei emisiuni, mi-am propus să reiau câteva gânduri din primul episod, gânduri la care tot cuget de atunci (episodul a fost difuzat duminică, în 11 sept. 2022; îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu).

CS: Ştiu că tu ai un tip de studiu făcut prin munca ta, despre profesorii din România, că sunt mai multe categorii de profesori. Poţi să ne spui despre asta?

LB: În momentul în care am avut de făcut o serie de proiecte despre profesorii din România am petrecut foarte mult timp să-i înţelegem, pentru că nu există acest lucru “Profesorul român”. Avem profesori diferiţi şi tipologii diferite şi sunt implicări diferite. Am identificat cinci tipologii diferite de profesori.

1) Prima categorie sunt profesorii blazaţi, sunt cei care au ieşit deja la pensie, chiar dacă au 25 de ani, 30 de ani sau 60 de ani, vârsta este mai puţin importantă; pentru ei totul e greşit, orice s-ar face bifează şi se duc, eventual intră la oră; trece ora, au rezolvat-o, vine salariul, îşi văd mai departe ….. . Ăsta este un segment care de multe ori blochează iniţiativele, pentru că “nimic nu-i bun, nimic nu se poate face, totul e greşit, sistemul e greşit, oamenii sunt greşiţi, copiii sunt greşiţi”; totul e greşit pentru ei.

2) Al doilea segment sunt profesorii de şcoală veche. Sunt oameni foarte faini, foarte implicaţi în educaţie, care cred în educaţie, dar care sunt ancoraţi într-o lume un pic depăşită, adică au metodele care le aveau în trecut. Principala lor plângere este că elevul din ziua de azi nu mai este “cum era odată” şi atunci au dificultăţi în a se înţelege cu ei, deşi sunt implicaţi, deşi sunt profesori din pasiune.

3) Al treilea segment – profesorii “tip-top” le-am zis noi, sunt cei care sunt şi implicaţi şi fac lucrurile, caută pe internet, interacţionează cu copiii, încearcă să-i înţeleagă, încearcă să-şi dea seama care sunt metodele noi de predare şi de interacţiune.

4) Al patrulea segment ar fi segmentul profesorilor “băi, dac-aş avea!”: “dac-aş avea şi eu 15 copii la sala de clasa în loc de 30, dacă aş avea şi io un proiector şi-un lap-top şi internet care să funcţioneze permanent, dac-aş avea nişte resurse, aş faaace. Practic sunt oameni care poate, la un moment dat au fost “tip-top”, au avut energia, dar după aia a venit o inspecţie, a venit poate reacţii de la nişte părinţi care n-au fost încântaţi că au încercat lucruri un pic diferite, şi au început să fie mai “dac-aş avea, dac-ar fi, dacă …”.

5) Ultimul segment (şi cel mai mare segment) sunt profesorii: “dacă mi se spune, asta voi face”. Acesta este cea mai mare parte, da! Sunt cadrele didactica care sunt cadre didactice pentru că acolo i-a adus viaţa. Adică nu sunt neapărat implicate, neapărat să-şi dorească să fie profesori, dar sunt acolo. Iar ei respectă: dacă programa zice, dacă vine inspectorul şi zice “asta trebuie să faceţi”, ei o să facă ceea ce li se spune, disciplinat; inspecţia a ieşit bine, şamd .

Deci să le recapitulăm: (1) profesorul blazat, (2) profesorul de şcoală veche, (3) profesorul “tip-top”, (4) profesorul “dac-aş avea” şi (5) profesorul “băi, dacă mi se spune fac”.

Mie mi-a plăcut foarte mult această idee, a clasificării atitudinii şi comportamentului profesional al breslei noastre. M-am gândit foarte mult de la acea emisiune la faptul că – uite – şi altcineva a observat că ne comportăm diferit în viaţa de zi cu zi în şcoală. Chiar şi categoriile depistate îmi plac ca idee. Pe unele le-am observat şi eu, pe altele poate creierul meu a refuzat “să le vadă”; dacă Lorand Balint şi colegii săi au lucrat cu grupuri mai mari de dascăli, atunci însă nu le-au mai putut ocoli cu privirea.

Pe de altă parte, într-o şcoală alternativă deosebit de complexă cum este sistemul Waldorf, eu am avut ocazia să mai observ şi alte “patern-uri” (modele) comportamentale, care ţin de felul cum se oamenii comportă puşi brusc şi nepregătiţi suficient într-o comunitate construită liber şi neierarhic. Unele se regăsesc şi la Lorand Balint, altele apar în plus în aceste condiţii noi.

Da, iar acum vine marea întrebare: dvs., stimaţi cititori, din care categorie faceţi parte? Se poate să alegeţi o categorie clară, sau se prea poate să fiţi un mix între două categorii de mai sus, poate o categorie dominantă şi una secundară. Dacă ar fi să mă încadrez forţat în categoriile mai sus prezentate, eu personal m-aş vedea ca un mix între categoriile 2 şi 3, undeva între profesorul de şcoală veche şi profesorul tip-top; cel puţin în parte, pentru că mă văd totuşi şi având diferenţe majore faţă de descrierile tipologice făcute în respectiva emisiune (poate ar mai trebui să studiez pe tema acestora).

Revenind la categoriile de mai sus, nu mă pot abţine să nu observ relativa dezordine în care acestea ne-au fost prezentate, atât felul în care ne-a fost prezentată fiecare individual (eu m-am străduit să redau discursul cât mai fidel), cât şi ordinea acestora. Legat de ordine, singurul lucru la care mă duce mintea ar fi că acestea ne-ar fi fost prezentate în ordine crescătoare (dată fiind precizarea că ultima categorie este cea mai consistentă numeric).

Tot în această emisiune Lorand Balint aduce în discuţie ideea că o parte dintre profesori ar putea fi folosită ca bază reformatoare a învăţământului, adică într-o reformă “de jos în sus”, în pofida existenţei celorlalţi care acţionează oarecum ca o piatră de moară legată de “gâtul învăţământului românesc” (comparaţia îmi aparţine). Astfel dânsul evidenţiază ca aducătoare de speranţă reformatoare profesorii din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea”. O astfel de ordonare, pornind de la cei mai demni de încredere la cei mai indezirabili ar fi mai interesantă pentru un studiu despre ce-i de făcut cu şcoala românească. Desigur că aici ar fi importantă şi proporţia în care a fost regăsită fiecare categorie în studiile efectuate.

Adăugând acestei structuri o a treia axă, anume o axă a dezirabilităţii – care categorie ar fi mai de dorit – putem simţi în ordonarea lui Lorand Balint o structură asemănătoare cu Clopotul lui Gauss, cu probabil cea mai deschisă spre acţiuni novatoare în centru şi cele mai retrograde la extreme (retrograde din punct de vedere a implicării în starea calitativă a învăţământui).

Revenind la “poziţionarea” mea în sistemul acestor cinci categorii, eu văd şi o altă nuanţă, anume că categoria “tip-top” sunt de multe ori persoane ce se aruncă cu mare avânt în metode noi, fără ca neapărat să şi aibă certitudinea solidităţii acestor acţiuni, lăudându-se însă masiv cât sunt ei de novatori. De astfel de tendinţe eu mă distanţez. Ţin minte exemplele ce le primeam în mass-media prin aprilie-mai 2020 despre profesorii care aveau deja pusă la punct o formă de predare online cu elevii la diferite licee din ţară (chiar dinaintea pandemiei), profesori care ne erau prezentaţi drept exemple de bună practică. Realitatea ulterioară a arătat însă că acest model de predare, extins la scară generală şi pe durată, s-a dovedit extrem de dăunător la anumite vârste şi peste un anumit prag de folosire. Am dat acest exemplu ca să înţelegem că “nu tot ce zboară se şi mănâncă”.

Am şi un exemplu opus. Doar pentru că pedagogia Waldorf este relativ nouă în sistemul românesc de învăţământ, mulţi aveau tendinţa să spună despre mine şi colegii mei că “folosim metode noi”. Poate erau “noi” pentru ei, inclusiv pentru ei inspectorii, doar că eu regăseam multe metode preluate din sistemul Waldorf din vest şi în manualele sau în culegerile româneşti din anii ’60-’70. A fost o vreme când mă străduiam să le explic că eu nu folosesc metode “noi” ci că folosesc metode “săntoase”, dar după câţiva ani m-am săturat şi m-am retras din astfel de discuţii (din păcate însă, în România încă nu a avut loc o dezbatere reală despre ce ar însemna – de pildă la matematică – o predare sănătoasă).

Închei cu un exemplu despre prima categorie, respectiv despre ultima, adică despre cele două oarecum cele mai retrograde din punct de vedere al ideii de auto-reformare a activităţii noastre (aşadar, două categorii într-un exemplu). Despre auto-reformare vom vorbi mai multe în a doua parte a acestei discuţii.

Fiind oarecum rupt de detaliile din programa gimnazială (dinainte de 2017), în urmă cu câţiva ani am întrebat un coleg de la o altă şcoală dacă se face în clasa a 6-a reducerea termenilor opuşi într-o sumă de numere. Răspunsul a fost că nu se fac, pentru că nu sunt în manuale, în programă etc., că se fac doar în clasa a 7-a. Pe mine m-a mirat mult, pentru că acest pas matematic mi se pare unul de bun simţ, accesibil gândirii copilului din acel moment, uşor de înţeles şi aducător de multă bucurie în viaţa matematică a elevilor (este aşa o bucurie mare în clasă atunci când elevii văd cum o astfel de sumă de multe numere pozitive şi negative se “auto-anulează” măcar parţial, scurtându-se fără nici cel mai mic efort calculaţionar). Făcându-se doar în clasa a 7-a la calcule cu litere sau cu numere iraţionale există clar pericolul ca elevii să priceapă că doar acolo se pot face reduceri de termeni opuşi. Ţin minte cum m-a şocat starea de completă platitudine ce se simţea din acel răspuns. Înţeleg acum că ce am simţit atunci a fost un mix (năucitor pentru mine) între profesorul “blazat” şi profesorul “dacă mi se spune fac”. Apropos de starea de “deja pensionat” mental, despre care vorbea Lorand Balint la început, menţionez că acest coleg acum chiar se pensionează de-adevăratelea. CTG

P.S. Am redactat acest articol cu trei săptămâni în urmă şi de atunci observ aproape involuntar atât diferiţi colegi, care în ce categorie s-ar integra prin atitudinea sa, cât şi pe mine cum manifest în diferite situaţii una sau alta dintre apucăturile celor câteva categorii ale lui Lorand Balint. Nu ştiu dacă aceasta ar fi cea mai bună clasificare, dar ideea acestei clasificări se poate dovedi deosebit de bună în studierea fenomenului învăţământului, mai ales în vederea luării deciziilor realist cele mai potrivite pentru viitor (desigur cu conexiune înspre toate categoriile implicate în procesul şcolar, atât cele implicate direct, despre care am vorbit deja în vacanţă, cât şi despre cele de care încă n-am apucat, dar de-abia aştept să o fac, cu toate calităţile fiecăreia, dar mai ales şi cu toate tarele, deficienţele şi lipsurile fiecăreia).

Mile pătrate contra kilometri pătraţi (o scurtă vizită la castelele din Scoţia)

De curând am urmărit pe postul National Geographic o emisiune numită Europa văzută de sus, anume episodul ce prezenta Scoţia. Într-un moment, naraţiunea ajungând la clanurile locale şi la renumitele lor castele, vocea care prezenta a spus (citat orientativ în traducere personală): se estimează că în Scoţia la fiecare 100 de mile pătrate este un castel.

Traducătorii acestor emisiuni au, printre altele, sarcina de a prezenta telespectatorului român traducerea în unităţi de măsură folosite oficial în ţara noastră, aşa încât pe ecrane a apărut o traducere de genul: se estimează că în Scoţia la fiecare 160 de kilometri pătraţi este un castel (din nou, citatul este aproximativ, din memorie, dar pentru prezentul articol ne interesează doar partea matematică). Mie personal, în momentul acela mi-a ieşit pe gură un “sunet” indescifrabil, undeva între uimire, râs şi renumitul UAU!.

Pentru cei care nu urmăresc astfel de emisiuni, sau poate nu dau atenţie unor astfel de detalii, daţi-mi voie să explic puţin. De obicei datele din aceste emisiuni sunt oricum orientative, aşa încât milele se traduc (se convertesc) la 1,6 km. Pe de altă parte, este evident că la ora actuală se apelează la traducători profesionişti; profesionişti în engleză, desigur, dar nu şi în matematică. În acest context ne putem imagina foarte bine cum au funcţionat conexiunile neuronale ale respectivei echipe de traducători (mă gândesc că nu este doar unul, ci că traducătorul principal o fi având cu cine se sfătui). Sau poate traducătorul a fost prea sigur pe el şi s-a gândit că-i simplu, aplicând un fel de regula de trei simplă.

În acest context putem fi chiar îngăduitori: probabil că lecţia despre pătrate perfecte nu pare de o importanţă aşa de mare, astfel încât se uită destul de uşor. Putem privi lucrurile şi altfel: am întâlnit destule cazuri când mi-a fost dat să văd o predare extrem de superficială a noţiunilor de bază, doar pentru că la începutul acestor lecţii nu se pot face aplicaţii destul de dificile (aşa, ca pentru cei cu pretenţii de excelenţă). Inclusiv, am văzut situaţie când profesorul a vorbit despre numere cuburi (inclusiv aplicaţii voioase), dar a omis să prezinte înainte numerele pătratele (deşi le amintise în titlu!!!). O altă sursă posibilă a scăpării respective ar fi “ruperea” între prezentarea aritmetică a fenomenului numărului pătrat de prezentarea geometrică a noţiunii de arie a pătratului. Cei mai mulţi profesori nu se obosesc să le prezinte elevilor (la apariţia denumirilor respective, la oparaţia de putere, în toamna clasei a 5-a) de ce acelor numere le spune “pătrate” (la fel şi la numerele “cuburi”).

Desigur că ne putem gândi şi la fenomenul hiperspecializării din sistemul nostru şcolar, sistem ce duce la cunoscuta întrebare “da’ de ce trebuie să mai avem matematică la uman?”. Da, şi desigur, pornind pe această linie putem ajunge la cunoscuta dezbatere despre ce se face la orele de matematică. Aici, în şcolile noastre profesorii pendulează de obicei între cele două linii arhicunoscute: (1) “pentru examen”; (2) “pentru olimpiadă”. Uneori se mai ia în considerare şi o a treia linie: (3) “vă trebuie aproape la orice facultate” (ca justificare la clasele liceale de orientare socio-umană), sau chiar o a patra linie de justificare: (4) “pentru a te descurca în viaţă”. Rar de tot mi-a fost dat să aud – aproape defel! – faptul că matematica ne-ar folosi: (5) “pentru formarea gândirii”. Oricum, această ultimă direcţie este sabotată atât de către programele în vigoare (adică de către “autorităţile matematice”), cât şi de către felul de predare (adică de către profesorii obişnuiţi), dar şi de către felul de a învăţa superficial, pe de rost, pentru test sau “pentru că mă ascultă” (vină împărţită în mod egal, atât de către elevi, cât şi de către părinţii care-i direcţionează pe copii acasă în clasele primare sau gimnaziale, cât şi de unii profesori, care – chiar şî în liceu – le sugerează elevilor învăţatul pe de rost).

Este interesant faptul că în ultima săptămână am întrebat de câteva ori diferiţi elevi şi de fiecare dată am primit răspunsul de 160 km2, fapt care ne arată că aşa merg neuronii în mod general în această situaţie. Oricum, după această vizită scurtă la castelele din Scoţia, rămânem cu o problemă deosebit de frumoasă prin profunzimea ei. Iată o variantă posibilă:

Ştiind că o milă se aproximează la 1,6 km, atunci 100 de mile pătrate se aproximează orientativ la: (A) 60 km2; (B) 160 km2; (C) 260 km2; (D) 360 km2. Titus MacMiles

P.S. Desigur că răspunsul (C) reprezintă cea mai bună aproximare a lui 256 = 162 (din cele patru variante oferite). Dacă luăm conversia prin adaos, mult mai exactă, că 1 milă = 1,61 km, atunci obţinem pentru 100 mile pătrate valoarea de 259 km2, foarte aproape de 260 km2 (pe Metric Conversions am găsit că 1 mi = 1.609344 km).

P.P.S. Pentru cine este tentat să creadă că situaţia mai sus prezentată reprezintă un caz izolat, iată şi o altă situaţie: tot pe National Geographic, într-o emisiune despre Construcţii gigantice (la care am pornit televizorul pe la mijlocul emisiunii) era prezentată situaţia ridicării parcului de distracţii cu ocazia Oktoberfest din München (Bavaria, Germania), emisiune în care ne era prezentată – printre altele – ridicarea şi pregătirea cortului de la fabrica de bere locală Hofbräu.  La un moment dat prezentatorul ne spunea că constructorii trebuie să poziţioneze mesele pentru cei 10000 de clienţi (?) with centimeter precizion (deci cu precizie centimetrică). Doar că traducerea apărută pe ecran a fost că mesele respective trebuie aranjate cu precizie milimetrică. Uau! De ce n-au tradus cu precizie micronică (?), ca să corespundă imaginii noastre despre obsesia nemţească pentru exactitate; parcă-i şi vedeam pe bavarezii ăia ciudaţi aranjând mesele cu şublerul, dacă nu la micrometru, dar măcar la zecime de milimetru. Multe s-ar putea spune şi despre această traducere, despre tentaţia unora de a exagera sau despre libertatea traducătorilor de a aranja textul cât mai potrivit, dar prefer chiar să mă opresc aici.

Omagiu lui Grigore Gheba (2)

Introducerea operaţiilor cu fracţii algebrice

În vara anului 2000 am publicat o mică culegere sub denumirea P3NT4GON1A (mică dar foarte înghesuită). Multe lucruri bune am inclus acolo, dar şi multe de valoare discutabilă. Dintre cele de valuare bună, majoritatea le-am mai reluat în diferite forme, desigur la fiecare transformate cât mai bine. O singură temă a rămas nereluată, pentru că s-a dovedit din start suficient de bună şi în plus încăpea foarte bine copiată pe o pagină A4, aşa cum era acolo, schimbările necesare fiind minore, aşa încât le puteam face direct în clasă. Este vorba de o colecţie de exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii algebrice, inspirată în mare parte de exerciţiile din vechiile culegeri ale profesorului Grigore Gheba din anii ’60-’70.

Atât eu cât şi soţia mea avem acasă câte un exemplar al culegerii Gheba, cel original al familiei, din care am lucrat atât noi, cât şi fraţii noştri. Ambele exemplare (al soţiei pe română, al meu pe germană) prezintă o stare deosebit de “rufoasă” în prima parte, cea care conţine exerciţiile acelea cu fracţii supraetajate (operaţii cu numere raţionale), dar şi în zona de operaţii cu fracţii algebrice. După zona respectivă, ce include şi alte teme valoroase, cum ar fi expresiile polinomiale sau sistemele de ecuaţii, urmează zona cu probleme diverse, atât pe bază algebrică, cât şi apoi de geometrie. În ambele culegeri zona cu probleme de text nu mai este nici pe departe atât de folosită, rufoasă cum am spus, arătând clar că nu a fost nici pe departe la fel de folosită ca începutul.

Despre partea cu operaţii cu fracţii am publicat o reluare prezentată în postarea cu acelaşi titlu pe care o puteţi găsi la adresa http://pentagonia.ro/omagiu-lui-grigore-gheba-1/ postată în iunie 2016. Fişa de lucru respectivă are 4 pagini şi încape deci pe două coli A4 faţă-verso.

De atunci îmi doream să fac şi o a doua fişă, cuprinzând operaţiile cu fracţii algebrice (aşa le spunea Gheba, iar eu sunt perfect de acord cu respectiva denumire, mult mai bună decât actuala). În lockdown-ul din 2020 i-a venit vremea, dar cumva nu a ajuns la publicare (oare pentru că nici măcar n-au fost incluse în materia de EN?). Acum vremea este în sfârşit pregătiră pentru apariţia acestei fişe. De data asta fişa conţine o singură pagină A4, cuprinzând doar introducerea în acest domeniu. În culegerea din 2000 materialul era de două ori mai lung, dar realitatea următorilor 20 de ani mi-a arătat că doar această parte merită cu adevărat. Partea asta am parcurs-o din 2000 cu fiecare generaţie, chiar şi cu clasa a 8-a din anul şcolar 2020-2021. Nici un alt material de lucru nu s-a dovedit atât de vrednic în viaţa mea de profesor, încât să pot spune că l-am parcurs atâta vreme cu toţi elevii.

Fişa conţine trei seturi de exerciţii: seturile 2 şi 3 sunt în mare parte inspirate din culegerile lui Grigore Gheba, dar cu unele modificări. Primul set de exerciţii conţine o mică colecţie de intrare în această temă, colecţie adunată în anii ’90 şi în primii ani după 2000 (Gheba nu avea exerciţii atât de uşoare). Am păstrat de la dânsul prezentarea în paralel, în partea dreaptă, a răspunsurilor, stil ce le aduce mare bucurie elevilor, atunci când îşi recunosc dintr-o privire răspunsul obţinut.

La vremea redactării acelei culegeri în 2000 nu ştiam prea multe despre felul cum se poate prelua dintr-o altă lucrare o anumită parte. În respectiva lucrare am pus culegerea lui Grigore Gheba la bibliografie, dar oricum îmi era frică, aşa că – pe post de ultimă măsură de precauţie – am schimbat toate exerciţiile preluate în sensul că le modificam perechea de litere folosită (de exemplu din a şi b în x şi y). La vremea pornirii acestui blog m-am interesat despre cum se preia, aşa încât acum îmi pare cel mult hazlie schimbarea de litere din 2000, dar atunci aşa am considerat. Acum, la prezenta fişa, am hotărât să le las respectivele exerciţii în forma publicate de noi în 2000 (aşa încât nu are rost să le căutaţi “ad-literam” la Gheba). Oricum, chiar dacă materialul acestei fişe de lucru nu este preluat integral şi ad-literam din culegerile profesorului Grigore Gheba, fişa este cu totul dedicată memoriei sale, fiind ca un fel de “reluare remixată” după un material vechi şi pe care cei mai mulţi elevi nu mai au ocazia să-l parcurgă la ora actuală.

Merită să vă povestesc puţin despre cum folosesc eu acest material de lucru. Fişa se poate parcurge într-o oră, cel mult în două la clase mai slabe (prima oră ex. 1 şi 2, iar a doua oră  verificarea şi ex. 3 – încape şi în jumătate de oră; trebuie văzut cum merge de la o clasă la alta). Eu le dau fişa la începutul orei elevilor, scriem titlu pe tablă, iar apoi începem munca la tablă, direct cu elevi. Nu le explic nimic. Primul set de exerciţii porneşte de aşa de jos, încât un elev mediu spre bun îl poate aborda din prima (depinde ce înţelege fiecare prin elev mediu spre bun; eu m-am referit la situaţia unei clase obişnuite).

La clasă parcurgem din această fişă la fiecare set câte două-trei, cel mult patru exerciţii, urmând ca restul să rămână de efectuat acastă, ca temă. Din primul set, cel de încălzire, eu fac de obicei cu elevii exerciţiile b), f) şi g). Dintre cele rămase, doar exerciţiul c) mai aduce ceva nou.

Al doilea exerciţiu aduce o folosire mult mai activă a formulei (a + b) (a – b) = a2 – b2,  cunoscută şi ca produsul sumei cu diferenţa. Din acest al doilea set, parcurgem de obicei exerciţiile a), e) şi g).

Aparent, exerciţiile din al treilea set nu aduc nimic nou faţă de cele din setul 2); eu chiar obişnuiesc să-i întreb pe elevi “de ce acestea apar într-un set nou de exerciţii?”. În unele clase se prinde cineva de noutate, în alte clase pur şi simplu nu observă nimeni modificarea. Din astfel de situaţii eu pot să stabilesc cât este de “tare” clasa respectivă. Deci, în al treilea set apare doar nevoia înmulţirii sau a amplificării cu un “minus”, eventual a unui factor comun un “minus”.

Pornind de la exerciţiile profesorului Gheba, acest set completează încă o deficienţă a formelor actuale de predare, anume dorinţa de respectare a formei expresiilor cu o singură nedeterminată (de obicei x), adică de prezentare a acestei lecţii în forma E(x) = … . Din dualitatea formulelor de calcul prescurtat pe cei doi termeni (daţi de obicei cu a şi b sau cu x şi y) reiese însă importanţa prezentării calculelor cu fracţii algebrice şi în forma cu două litere (sau chiar cu trei, la situaţiile “triunghiulare”). De fapt, în fişa de faţă am oferit exerciţii în ambele variante, atât cu două litere, cât şi cu o singură literă (rolul partenerului acesteia fiind preluat de un număr).

Odată parcursă această fişă, elevii au prins mişcarea, astfel încât orice noutate are în ce se integra. De pildă, pe vremea lui Gheba aceste exerciţii nu conţineau descompuneri de tipul x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3), dar elevii reuşesc să integreze această nouă mişcare foarte uşor odată înţelese exerciţiile de pe fişă noastră. Prin aceasta eu am reuşit să respect un principiu pedagogic de multe ori încălcat în lecţiile actuale, anume să păstrez lecţia într-un număr restrâns de itemi noi, astfel încât elevii să nu fie năuciţi de prea multe aspecte noi simultane. După acest set “sky is limit”.

La republicarea acestui material după 22 de ani (dar cu 2 ani prea târziu) merită discutate şi o altă serie de aspecte, anume care este poziţionarea actualilor elevi de liceu faţă de tema fracţiilor. Liceele din România sunt la ora actuală pline de elevi care nu au habar despre aceste fracţii şi cum se calculează cu ele. Cei din clasa a 9-a şi a 10-a sigur, pentru că nu-mi pot imagină prea multe situaţii în care profesorii să fi parcurs totuşi lecţia, deşi aceasta nu era inclusă în materia de examen. Cât despre cei din clasa a 11-a, aceştia probabil le-au făcut în toamna lui 2019, dar sigur nu le-au mai recapitulat singuri acasă în lockdown, de pe testele de antrenament din primăvara lui 2020.

Mulţi profesori din licee se plâng de acest aspect, sesizând pe bună dreptate deficienţele ce se văd aproape zinic legate de faptul că elevii nu ştiu lucra cu fracţii. Ca urmare, fişa de faţă poate fi foarte bine folosită şi ca bază pentru o introducere sau o recapitulare rapidă a acestora şi la clasele de liceu. Pentru aceştia “lungimea de undă” a fişei este atât de simplă, încât poate fi dată şi pur şi simplu ca temă. Ceva mai controlat totuşi (deci, pentru cei care pun suflet şi nu vor doar să “se spele pe mâini”, pasând recuperarea fracţiilor “acasă”), aceasta poate fi desigur folosită şi într-o oră de clasă “altfel”, ca fişă pe grupe, în stilul fişelor de lucru prin descoperire (stilul d-nei Birte Vestergaard, despre care am tot scris). Oricând şi oricum aţi face-o, vă doresc spor la lucru! CTG

Omagiu-Gheba-2-Fractii-algebrice-1.pdf