Profesorul Hollinger ca inspira┼úie pentru o nou─â lec┼úie (2) ÔÇô Frac┼úiunile

Anul 1981 marca ultima apari┼úie editorial─â pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. ├Än prefa┼úa acestei c─âr┼úi exist─â un paragraf fascinant, din care putem ├«n┼úelege ┼či citi printre r├ónduri foarte multe aspecte importante. ├Än postarea precedent─â am prezentat acest paragraf pentru a putea in┼úelege g├óndurile profesorului Hollinger ├«n integralitatea lor, a┼ča cum a considerat d├ónsul a le exprima ├«n contextul finalului de perioad─â metodico-didactic─â a anilor ’60 -’70.

Reiau ├«nc─â o dat─â anumite pasaje din acel citat, l─ârgind ├«ns─â pasajul ┼či complet├óndu-l cu anumite cuvinte cheie pentru a accentua anumite aspecte. Astfel, g├óndurile ┼či preocuparea d├ónsului erau ├«ndreptate ├«n special c─âtre elevul mijlociu (!) care trebuie s─â ├«┼či ├«nsu┼čeasc─â cel pu┼úin un minim de cuno┼čtin┼úe ┼či s─â fie capabil s─â le aplice (…). Ideea de lucru a fost de a propune elevilor numeroase exerci┼úii simple, chiar foarte simple ├«n compara┼úie cu cele uzuale (la vremea respectiv─â).Iat─â cum ne explic─â d├ónsul: Prin aceasta elevul se obi┼čnuie┼čte treptat cu diferitele situa┼úii noi (…) Astfel de exerci┼úii nu prea exist─â ├«n c─âr┼úile pe care le cunosc; le-am compus. Pentru a da muncii elevului un ritm mai viu, am dat de cele mai multe ori ┼či figura, ca elevul s─â poat─â trece imediat la rezolvare; ele s├«nt g├óndite ca un fel de exerci┼úii orale. (…) Aceste probleme se g─âsesc la ├«nceputul fiec─ârui paragraf. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactic─â ┼či Pedagogic─â, 1982; din Prefa┼ú─â, pag. 3-4).

Culegerea respectiv─â este una de geometrie; profesorul Hollinger se pl├ónge c─â la geometrie saltul de la introducerea noilor no┼úiuni la aplica┼úii este prea mare ├«n compara┼úie cu situa┼úia de la aritmetic─â sau algebr─â. P─ârerea mea este c─â ├«n anii ’80 (deci contemporan, dar ┼či dup─â culegerea respectiv─â) acest decalaj a fost rezolvat, dar nu ├«n sens pozitiv, ci ├«n sens negativ: la ora actual─â nici la aritmetic─â, nici la algebr─â intrarea ├«ntr-o tem─â nou─â nu mai este de obicei accesibil─â. La ora actual─â toate domeniile de studiu matematic preuniversitar sunt extrem de abstracte, cu trepte de intrare mult prea ├«nalte pentru elevul mijlociu, puse de la ├«nceput ÔÇô aparent ÔÇô ca o piedic─â insurmontabil─â pentru majoritatea elevilor.

Eu studiez din anii ’90 aceast─â culegere, iar pasajul respectiv ├«mi sun─â de fiecare dat─â proasp─ât ┼či logic: noi trebuie s─â venim ├«n ├«nt├ómpinarea elevilor obi┼čnui┼úi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea ├«n┼úelegerii matematicii. Mai ales atunci c├ónd mare parte din preocup─ârile organizatorilor ├«nv─â┼ú─âm├óntului matematic ÔÇô oficiali sau neoficiali ÔÇô sunt ├«ndreptate cu predilec┼úie c─âtre elevii de v├órf ┼či activit─â┼úile matematice ale acestora (a┼ča-zisa excelen┼ú─â), mai ales atunci consider c─â este de datoria mea s─â m─â str─âduiesc mai mult ┼či s─â vin ┼či mai hot─âr├ót ├«n ├«nt├ómpinarea elevului obi┼čnuit cu lec┼úiile mele.

├Än continuarea primului aliniat din prefa┼úa acestei culegeri Hollinger ne spune c─â el s-a preocupat de fapt ├«n a genera, a compune, a pozi┼úiona ni┼čte trepte suplimentare mai mici la ├«nceputul fiec─ârei teme (lec┼úie, capitol), sub forma unor exerci┼úii ce pot fi rezolvate oral, ├«nso┼úite de figuri menite de a ajuta vizualizarea fenomenului nou de c─âtre mintea ┼či imagina┼úia ├«nc─â nepornit─â, ne├«nc─âlzit─â, neexperimentat─â a elevului novice ├«n acea tem─â de studiu. Ace┼čti pa┼či trebuie f─âcu┼úi la ├«nceputul fiec─ârei teme noi, pentru a asigura, a garanta accesibilitatea acesteia pentru to┼úi elevii (la ├«nceputul fiec─ârui capitol, dar ┼či oriunde apare ceva cu adev─ârat nou). D├ónsul a f─âcut acestea la geometrie, pentru c─â ├«n anii ’60 -’70 acolo a sim┼úit nevoia de a┼ča ceva. Actualmente aceast─â nevoie este la fel de prezent─â ┼či la algebra gimnazial─â, chiar ┼či la primele lec┼úii de aritmetic─â din clasa a 5-a.

*

├Än prima postare pe aceast─â tem─â am vorbit despre introducerea unei trepte suplimentare preg─âtitoare ├«n sensul efectu─ârii ├«mp─âr┼úirii ├«n cap, necesar─â apoi la descompunerea numerelor ├«n factori primi. ├Äncheiam aceast─â prim─â postare cu ideea c─â mai am ┼či alte exemple. A┼č dori s─â v─â prezint ├«n acest sens gestul de inserare a no┼úiunii de frac┼úiune ├«naintea studiului despre frac┼úii ordinare, a┼ča cum ├«l ├«n┼úeleg eu acum, dup─â c├ó┼úiva ani de preocupare ├«n acest sens.

Elevii fac cuno┼čtin┼ú─â cu frac┼úiile (cele ordinare) ├«n timpul petrecut cu d-na ├«nv─â┼ú─âtoare. La reluarea acestora ├«n clasa a 5-a este oricum binevenit─â o recapitulare. Nici nu iau ├«n discu┼úie posibilitatea ca ├«nv─â┼ú─âtoarea unui elev s─â nu fi lucrat foarte bine frac┼úiile pentru c─â nu se pricepe (acest subiect oricum nu m─â prive┼čte ├«n mod direct). La fel, nu iau ├«n discu┼úie situa┼úii de tipul c─â ├«n clasa a 4-a au fost ├«n anul trecut cazuri de predare online exact la frac┼úii, iar copilul pur ┼či simplu n-a prins ideea. A┼č porni ├«ns─â discu┼úia de la faptul c─â poate avem o clas─â cu copii provenind de la mai multe ├«nv─â┼ú─âtoare, iar ace┼čtia ar trebui adu┼či la un acela┼č├« nivel de cuno┼čtin┼úe de baz─â. Totodat─â pot s─â iau in calcul ┼či ideea unui copil care s-a mai maturizat ├«ntre timp ┼či, poate acum, la o a doua trecere, cu r─âbdare, dar ┼či cu mai mult profesionalism matematic, elevul reu┼če┼čte s─â le ├«n┼úeleag─â mai bine. Da, ┼či neap─ârat trebuie pornit─â discu┼úia de la faptul c─â vorbim despre majoritatea elevilor, nu despre v├órfuri, adic─â despre “elevul mijlociu”, cum spunea Hollinger

Traduc aceast─â afirma┼úie: cu alte cuvinte, este de datoria mea s─â-i luminez pe majoritatea elevilor (blocul principal din Clopitul lui Gauss), s─â-i fac s─â plece acas─â cu lucrurile ├«n┼úelese; nici nu vreau s─â evoc acele ÔÇô din p─âcate mu-u-u-ulte ÔÇô cazuri c├ónd lectia este at├ót de abstract predat─â, ├«nc├ót elevul are nevoie acas─â de o nou─â predare, de explica┼úii individuale care s─â-l scoat─â “din cea┼ú─â”. Dac─â se mai pricepe un p─ârinte, ├«nc─â treaba mai merge cumva; din p─âcate, ┬á├«n ultim─â instan┼ú─â de fapt este nevoie tot mai des de ore particulare pentru a putea duce matematica de la clas─â (asta ├«nt├ómpl├óndu-se tot mai des chiar din clasa a 5-a). Apropos: apogeul acestui fenomen deplorabil se atinge atunci c├ónd apare la o ┼čcoal─â particular─â unde p─ârin┼úii pl─âtesc oricum bani grei, iar apoi to┼úi elevii au nevoie de ore private pentru a face fa┼ú─â matematicii de la ┼čcoal─â! (A se ├«n┼úelege ad-literam! ┼×i da, avem la Cluj ┼či a┼ča ceva! Desigur c─â ┼či copiii sunt tot mai sensibili, dar acesta este alt subiect, la care ├«mi propun s─â vin c├ót de repede)

Predarea frac┼úiilor ordinare trebuie s─â porneasc─â neap─ârat de la multe exemple de vizualizare a diferitelor cantit─â┼úi reprezentate prin frac┼úii. Cele mai bune par a fi cele ├«n form─â de cerc (m─âr, lipie, pizza etc.), dar este bine ca elevii s─â primeasc─â ┼či alte exemple: ca p─âtrat (ce merge ├«mp─âr┼úit clar ├«n 2, 4, 8 p─âr┼úi egale), ca dreptunghi (similar cu p─âtratul), ca dreptunghi similar cu o p├óine dreptunghiular─â feliat─â, eventual chiar ca dreptunghi ├«mp─âr┼úit ┼či pe lungime ┼či pe l─â┼úime (duc├ónd spre ideea de arie a dreptunghiului; de exemplu un dreptunghi de 2 pe 5 p─âtr─â┼úele pentru zecimi). La fiecare dintre acestea vom colora o parte dintre buc─â┼úele, eviden┼úiind astfel o frac┼úie dintr-un ├«ntreg. Toate no┼úiunile ini┼úale (frac┼úii subunitare, supraunitare, echivalente, compararea lor etc.) pot fi apoi deduse, explicate, justificate ┼či ├«n┼úelese prin reprezentarea ├«n imagini ce se deseneaz─â foarte u┼čor. Toate regulile se deduc ├«n urma unei analize ini┼úiale pe unul-dou─â exemple desenate, vizualizate, reprezentate grafic a┼čadar.

Un exemplu deosebit de bun ├«n acest sens (nu vreau s─â spun c─â singurul) ├«l reprezint─â Manualul pentru clasa a V-a de Matematic─â din 2002 (?) de la Editura Sigma, cu o echip─â de autori condus─â probabil de D-na Mihaela Singer. ├Äntreaga parte despre frac┼úii ordinare este ├«n┼úesat─â de reprezent─âri grafice ale frac┼úiilor alese ca exemple, eviden┼úiindu-se astfel vizual fenomenele studiate ├«n fiecare moment (nu cunosc situa┼úia actual─â a implic─ârii acestei edituri la nivelul clasei a 5-a, a┼ča ├«nc├ót m─â opresc aici cu acest comentariu).

Cam acesta ar fi nivelul la care s-ar putea g├óndi profesorul de matematic─â ├«n sensul str─âdaniei de a explica lec┼úia de matematic─â ├«n mod c├ót mai accesibil ┼či clar elevilor, de a veni cu nivelul ├«nceputului lec┼úiei c├ót mai jos spre nivelul real al multor elevi, pentru a avea garan┼úia c─â ├«i ia pe c├ót mai mul┼úi ├«n noua tem─â. Fa┼ú─â de acest nivel de str─âdanie, “zeii matematicii” mi-au ├«ndrumat g├óndurile ┼či ideile spre un pas suplimentar, pe care cu timpul am ajuns s─â-l ├«n┼úeleg ca fiind de f─âcut ├«naintea lec┼úiei de introducere a frac┼úiilor ordinare. ├Äncerc s─â detaliez situa┼úia cunoscut─â de c─âtre toat─â lumea, pentru a prezenta apoi pasul despre care doresc s─â v─â vorbesc.

Oricum ai aborda no┼úiunea de frac┼úie, trebuie de fapt s─â le aduci elevilor ├«n con┼čtien┼ú─â clar─â rolul celor dou─â numere implicate de obicei ├«n scrierea unei frac┼úii ÔÇô numitorul ┼či num─âr─âtorul ÔÇô pentru ca ace┼čtia s─â ├«n┼úeleag─â ce face fiecare din cele dou─â numere (nici nu amintesc aici ├«nc─â despre al treilea num─âr, anume despre scoaterea ├«ntregilor din frac┼úie). Fie c─â le d─â exemple, fie c─â le d─â o defini┼úie seac─â pe baz─â de litere, profesorul ar trebui s─â le explice ce face fiecare dintre ele. Din p─âcate tot mai des ├«nt├ólnesc situa┼úii ├«n care se pare c─â nici m─âcar at├ót nu se str─âduiesc unii colegi.

Ca o divaga┼úie ├«nalt filozofic─â despre didactica introducerii noilor numere, observ aici din p─âcate c─â modelul impus la introducerea / predarea numerelor complexe, ├«n programa din manualele de liceu ap─ârute la sf├ór┼čitul anilor ’70, spre deosebire de forma precedent─â, acest model s-a generalizat ├«n mod bolnav p├ón─â la nivelul clasei a 5-a. S─â detaliez pu┼úin: cum era modelul precedent, valabil p├ón─â ├«n 1978? Numerele complexe se construiau de la notarea r─âd─âcinii p─âtrate din num─ârul ÔÇô1, notat─â pentru comoditate cu “i” (de unde i2┬á=┬áÔÇô1), din care apoi se deduceau toate propriet─â┼úile acestuia (puterile lui i) ┼č├« toate propriet─â┼úile de operare cu numerele complexe z┬á=┬áa┬á+┬ábi (├«n principal adunarea ┼č├« ├«nmul┼úirea etc.). Prin manualele din 1978 numerele numerele complexe se introduc axiomatic, sub forma stupid─â a unor perechi ordonate ale c─âror opera┼úii respect─â renumitele propriet─â┼úi pentru sum─â ┼či produs, propriet─â┼úi ce apar ├«n fa┼úa elevului ├«n mod total artificial, f─âr─â nici cea mai mic─â logic─â pentru mintea elevului. ├Än mod similar, dup─â 40 de ani, la ora actual─â exist─â deja profesori care nici nu se mai g├óndesc s─â le explice elevilor de a 5-a ├«n mod clar ce face numitorul ┼či ce face num─âr─âtorul (scuze c─â nu intru ├«n explicarea acestor afirma┼úii; am f─âcut-o cu alte ocazii).

Da, exist─â profesori care le spun cum se numesc, iar apoi trec direct la lec┼úii noi, f─âr─â a se g├óndi c─â elevii trebuie s─â ┼či ├«n┼úeleag─â despre ce este vorba. Cred c─â totu┼či majoritatea au impulsul de a le explica, doar c─â o fac numai oral, pe fug─â, iar din aceste explica┼úii nu r─âm├óne nimic scris, nu apare nimic ├«n lec┼úia din caiet, aceste explica┼úii pierz├óndu-se ├«n general datorit─â nivelului slab de aten┼úie al elevilor, datorit─â faptului c─â unii vin la ora de matematic─â doar ca s─â copieze de pe tabl─â, mul┼úi fiind r─âma┼či ├«n urm─â ├«n momentul respectiv, cu scrisul de pe tabl─â al titlului, cu ascu┼úitul creionului etc.

P─ârerea mea este c─â lec┼úiile de matematic─â ar trebui s─â con┼úin─â componente clare ├«n sensul ├«n┼úelegerii ┼či con┼čtientiz─ârii de c─âtre elev a rolului fiec─ârui num─âr din componen┼úa unei frac┼úii. Primul pas ├«n ├«n┼úelegerea fenomenului de frac┼úie este con┼čtientizarea de c─âtre profesor a ordinii logice a apari┼úiei celor dou─â numere ├«n procesul de na┼čtere a unei frac┼úii. Deci, care din cele dou─â numere apare primul? Este evident c─â numitorul, acesta reprezent├ónd num─ârul p─âr┼úilor egale ├«n care se ├«mparte ├«ntregul. De-abia apoi apare num─âr─âtorul, acesta spun├óndu-ne c├óte astfel de p─âr┼úi vor fi luate pentru a forma frac┼úia respectiv─â. Din p─âcate ├«ns─â, chiar scrierea ┼či citirea frac┼úiilor este pe dos: se spune mai ├«nt├ói c├óte p─ârticele sunt ┼či doar apoi ce fel de p─ârticele sunt (dou─â treimi; trei cincimi; cinci p─âtrimi etc., a┼ča fiind structurat─â exprimarea ├«n limbile uzuale). Or, pentru a evita o ├«nv─â┼úare automat─â, pentru a genera o ├«n┼úelegere clar─â ┼či o g├óndire s─ân─âtoas─â, noi trebuie s─â ne str─âduim ca elevii s─â ├«nteleag─â cu adev─ârat “mesajul”, rolul fiec─âruia din cele dou─â numere componente ale unei frac┼úii.

Strădania de a reprezenta grafic cât mai multe fracţii la început este cu totul în acest sens. Dimpotrivă, este evident că un profesor care minimalizează rolul acestei etape, uneori până al neparcurgerea ei, îi împinge pe elevi spre neînţelegerea matematicii.

Cele spuse aici despre “ordinea” logic─â ├«n care apar cele dou─â numere ÔÇô mai ├«nt├ói numitorul ┼či doar apoi num─âr─âtorul -, aceast─â ordine se reg─âse┼čte chiar ┼či ├«n ordinea apari┼úiei ┼či dezvolt─ârii no┼úiunii de frac┼úie de-a lungul istoriei (cel pu┼úin a istoriei matematicii, a┼ča cum este aceasta cunoscut─â din izvoarele existente).

Primul care a apărut este numitorul; mai exact primele apărute în acest sens sunt fracţiunile: jumătatea, treimea, sfertul, cincimea etc. Nu câte cincimi, ci doar noţiunea de cincime (fracţiile de tipul 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc., care mai sunt numite în mod prea-preţios fracţii alicote). Acestea au fost găsite pentru prima dată în papirusul Rhind, aflat în custodia British Museum la Londra.

├Äntr-un proces de c├ó┼úiva ani, ├«n mintea mea s-a generat ideea introducerii frac┼úiunilor ca prim─â lec┼úie a acestui capitol. Introduc├ónd pentru ├«nceput doar frac┼úiunile (1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc.) ┼či folosindu-le timp de cel pu┼úin o or─â, elevul are timp s─â se obi┼čnuiasc─â cu rolul numitorului, care este cel mai abstract dintre cele dou─â numere (un 3 la num─âr─âtor chiar reprezint─â faptul c─â sunt 3 buc─â┼úi, pe c├ónd un 3 la numitor ├«mi spune c─â este vorba despre treimi, cu implica┼úii ciudate pe viitor: de pild─â treimea este mai mare dec├ót cincimea, de┼či 3-ul este mai mic dec├ót 5-ul).

Pentru a face cu adev─ârat acest pas, profesorul trebuie s─â evite simpla explica┼úie; la aceasta vor reac┼úiona doar elevii cu o g├óndire mai ra┼úional─â. Majoritatea elevilor vor ├«n┼úelege ├«ns─â doar dac─â vor ┼či face cu adev─ârat pa┼či de frac┼úionalizare a unui ├«ntreg, iar asta se poate face concret doar prin desenele despre care am vorbit la ├«nceput (acestea av├ónd ┼či avantajul c─â r─âm├ón ├«n caiet, fiind vizualizabile ┼či ulterior). Mul┼úi colegi profesori vor vedea un astfel de demers ca pierdere de vreme, dar eu consider c─â este un timp investit cu rost ├«n ├«n┼úelegerea fenomenului de c─âtre majoritatea elevilor, iar cu timpul acesta se va transforma ├«n timp c├ó┼čtigat pentru g├óndirea copiilor.

Odat─â introduse noile no┼úiuni, cunoscute de fapt par┼úial din clasa a 4-a (treimea, sfertul, ┼česimea, ┼čeptimea, optimea, zecimea etc.), ar fi bine s─â facem ceva cu acestea, dar ├«nc─â nu ├«n sensul frac┼úiilor, adic─â al multiplic─ârii frac┼úiunilor. Vorbeam de “zeii matematicii” ┼či iat─â ce solu┼úie am g─âsit eu ├«n acest sens. ├Än reportajul┬á The Story of Maths realizat ┼či prezentat de c─âtre profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford ┼či produs de canalul BBC FOUR, acesta ne prezint─â cum ar fi efectuat vechii egipteni ├«mp─âr┼úirea a 9 lipii la 10 oameni. Este un procedeu inedit pentru noi, care ne arat─â cum func┼úiona g├óndirea vechilor egipteni ├«n sensul frac┼úionalit─â┼úii (cel pu┼úin ├«ncearc─â acest lucru). Un al doilea punct de inspira┼úie l-au reprezentat articolele profesorului Ernst Bindel din anii ’60 (autor cunoscut ├«n matematica ┼čcolilor Waldorf), dar am g─âsit referiri despre acestea ┼či la Florica T. C├ómpan.

Merit─â s─â z─âbovesc pu┼úin la aceast─â problem─â ÔÇô ├«mp─âr┼úirea a 9 lipii la 10 oameni ÔÇô , mai ales c─â eu fac la ora respectiv─â un adev─ârat spectacol. Concret, pentru a vizualiza c├ót mai clar frac┼úiunile ┼či felul ├«n care acestea compun solu┼úia problemei, eu m─â duc la ora de matematic─â dotat cu toate cele necesare: un pachet cu suficiente lipii, un ┼čtergar, dou─â funduri de lemn mari ┼či foarfeca din buc─ât─ârie. Dup─â ce am desenat la ├«nceputul orei frac┼úiunile (eu pe tabl─â ┼či elevii ├«n caiete), facem un moment organizatoric. ├Ämi aranjez o banc─â central ├«n fa┼úa clasei, astfel ├«nc├ót elevii s─â poat─â veni ├«n semicerc ├«n jurul meu, pe cel mult dou─â r├ónduri, a┼ča ├«nc├ót s─â vad─â fiecare de aproape ce voi face ├«n continuare.

Dup─â ce ├«mi aranjez cele necesare ├«ncep: cum ar fi f─âcut vechii egipteni? P─âi ├«mp─âr┼úeau ├«n primul r├ónd c├óteva lipii ├«n jum─ât─â┼úi. Aici ├«ncep s─â tai lipii ├«n jum─ât─â┼úi cu foarfeca. C├óte lipii trebuie s─â tai? ├«ntreb eu ├«n timp ce tai, iar r─âspunsul vine imediat: cinci lipii. A┼ča, deci acum am aici un teanc cu zece jum─ât─â┼úi de lipie. Ce fac ├«n continuare?P─âi iau urm─âtoarele frac┼úiuni la r├ónd, adic─â treimile … M─â opresc aici cu redarea dialogului, miz├ónd pe faptul c─â v─â ve┼úi putea ├«nchipui ┼či dvs. restul pe baza pozelor tablei. Dup─â ce rezolv problema fizic, pe mas─â, t─âind frac┼úiuni de lipie, elevii merg la locuri ┼či relu─âm tot procesul ├«n scris, eu pe tabl─â iar elevii ├«n caiete.

Accentuez aici faptul c─â fac acest proces de dou─â ori: o dat─â fizic, t─âind lipii ├«n fa┼úa elevilor, iar a doua oar─â desen├ónd cele ├«nt├ómplate pe tabl─â. Astfel am convingerea c─â am f─âcut tot ce se putea omene┼čte posibil ┼či ├«ntr-un mod c├ót mai interesant, astfel ├«nc├ót elevii s─â ├«n┼úeleag─â ┼či s─â li se fixeze care este rostul numitorului, ce anume face acesta (num─âr─âtorul urm├ónd s─â apar─â ulterior, adic─â cel mai devreme ora urm─âtoare, deci ├«ntr-o alt─â zi).

Spre deosebire de al┼úi ani, iarna asta am avut o ├«nt├ómplare inedit─â. La ├«nceputul dialogului evocat, la prima ├«ntrebare, p├ón─â acum eu ├«ntrebam: cum ar fi f─âcut vechii egipteni? ┼či tot eu trebuia s─â ┼či r─âspund: P─âi ├«mp─âr┼úeau ├«n primul r├ónd c├óteva lipii ├«n jum─ât─â┼úi. Anul acesta ├«ns─â, m-am trezit cu r─âspunsul potrivit de la un prichindel. Este vorba de un b─âie┼úel din p─ârin┼úi sirieni. Am r─âmas masc─â: el nu ┼čtia problema, dar cumva creierul s─âu a func┼úionat exact a┼ča cum ├«mi povestise Marcus du Sautoy c─â ar fi f─âcut vechii egipteni. Fabulos!

├Än imaginile cu tabl─â ata┼čate g─âsi┼úi lec┼úia despre frac┼úiuni, a┼ča cum am f─âcut-o eu anul acesta la una din clase. ├Än acea or─â am reprezentat pe l├óng─â frac┼úiuni ┼či c├óteva frac┼úii (la clasa paralel─â le-am prezentat cu totul separat).


Ata┼čez ├«n continuare ┼či lec┼úia a doua (de la clasa paralel─â, unde frac┼úiile au ap─ârut doar ├«n urm─âtoarea or─â) pe baza c─âreia se vede cum am realizat transferul reprezent─ârii grafice a frac┼úiilor, astfel ├«nc├ót fiecare elev s─â ├«n┼úeleag─â cu adev─ârat no┼úiunea de frac┼úie, ce anume reprezint─â fiecare dintre cele dou─â numere ce formeaz─â o frac┼úie. Se vede cum eu dau explica┼úia teoretic─â ├«n mod rezumativ, la finalul lec┼úiei, nu la ├«nceput, a┼ča cum se obi┼čnuie┼čte actualmente (copilul cunoa┼čte frac┼úiile intuitiv, iar apoi sintetiz─âm no┼úiunea).


Pentru cei care dori┼úi s─â aprofunda┼úi no┼úiunea de frac┼úii alicote (se pare c─â a┼ča s-ar numi ele oficial, de┼či eu le-am spus frac┼úiuni, c─âut├ónd o denumire mai accesibil─â elevilor), ata┼čez ┼či un articol la care am lucrat intens prin 2013-2014, dar ├«nc─â nepublicat. Nu pot sus┼úine c─â actualmente mai sunt ├«ntr-u totul de acord cu toate elementele din acel eseu, dar pentru eficien┼úa fa┼ú─â de curiozitatea unora dintre dvs. merit─â s─â ├«l prezint chiar ┼či a┼ča cum a r─âmas ├«n calculatorul meu, ├«n varianta scurt─â a muncii ├«ntreprins─â ├«n acei ani (cu scuzele de rigoare am ┼či o amintire vag─â c─â ar exista o gre┼čeal─â la unul din exemple). Sunt sigur c─â cei care se vor entuziasma de subiect, vor putea g─âsi ┼či alte aspecte necuprinse ├«n acest eseu. CTG

Fractiile-la-egipteni-VAR.SCURTA.pdf

Teorema lui Pitagora ÔÇô despre demonstrarea acesteia pe edupedu.ro

Dragi cititori si iubitori de pentagonia.ro, azi este o zi mare: au ├«nceput ┼či al┼úii s─â atrag─â aten┼úia asupra unuia dintre marile baiuri din predarea matematicii ├«n ┼čcolile rom├óne┼čti. Dac─â ├«nc─â nu l-a┼úi citit, f─âce┼úi-v─â m─âcar acum timp pentru urm─âtorul articol: https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/

Eu m-am preocupat ├«n c├óteva r├ónduri de acest subiect, de pild─â ├«n seria din prim─âvara lui 2019 (iat─â direct adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , apoi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ ┼či http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/┬á ├«n final). Dup─â multele str─âdanii ├«n acest sens, ├«n urma c─ârora aveam uneori impresia c─â vorbesc de unul singur, acum pot doar s─â le mul┼úumesc colegilor de la edupedu.ro. Apropos, elevii care mi-au ar─âtat prima dat─â filmule┼úul acela de pe youtube c├ónd erau ├«n clasa a 7-a, acum sunt ├«n anul doi de facultate. Da, copiii sunt uneori mai treji dec├ót noi, profesorii. Titus pitagoreanul

P.S. Nu v─â am─âgi┼úi, acesta nu este nici pe departe singurul bai mare ├«n predarea rom├óneasc─â. De pild─â ├«n continuare mul┼úi profesori nu folosesc teorema lui Pitagora ├«n semestrul I din clasa a 7-a, de┼či ea este acum cunoscut─â de c─âtre elevi, pentru c─â “pe creierele” acestor colegi respectiva teorem─â apare doar ├«n semestrul al II-lea. Dar dac─â tot s-a ivit ocazia v─â mai spun unul: azi (!) am vizitat expozi┼úia despre geniul lui Leonardo da Vinci de la Casa de cultur─â a studen┼úilor din Cluj. ├Äntr-una din fi┼čele expuse cu imagini din noti┼úele acestuia ce v─âd eu? Dou─â-trei desene cu Cercul lui Thales, acea prim─â teorem─â de geometrie dat─â de un om, aia care spune c─â un triunghi ├«nscris ├«ntr-un semicerc este automat dreptunghic, ┼či care din programa ┼či din manualele noastre lipse┼čte de zeci de ani, dar care ├«ncepe s─â primeasc─â tot mai des aplica┼úii ├«n culegerile preg─âtitoare pentru examenul de EN8 (b─ânuiesc c─â privit─â ca reciproc─â a medianei pe ipotenuz─â, sau ca un caz particular la unghiul ├«nscris ├«n cerc).