Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru vindecarea predării matematicii (3)

La începutul acestui an şcolar am pornit un document pentru un articol (documentul arată 22 sept. 2021). Gestul, impulsul de preocupare pentru subiectul gândit au fost depăşite ca importanţă de alte gânduri şi articole, dar a ajuns să se materializeze în două postări interesante pornind de la prefaţa unei culegeri: http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-2-fractiunile/ (martie-aprilie 2022). Apoi a venit peste noi un articol deosebit de important, ce “s-a cerut în faţă”, aşa încât analiza respectivului text – prefaţa lui Hollinger – a rămas neterminată. Pentru decenţa situaţiei, pentru valoarea textului, dar şi din respect faţă de ideea de lucru dus la un bun sfârşit, doresc prin prezenta postare să finalizez analiza respectivă.

În continuarea articolelor despre inspiraţia găsită în prefaţa ultimei lucrări semnată de Profesorul A. Hollinger (Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982), am decis să mă concentrez asupra analizei celor găsite acolo, aspecte ce capătă astfel o sonoritate de adevărat testament metodico-didactic despre felul cum ar trebui noi să predăm matematica în şcolile româneşti de masă. În acest sens mi-am permis să modific puţin titlul acestei a treia părţi (devreme ce oricum am întrerupt şirul datorită demonstraţiilor teoremei lui Pitagora).

Culegerea respectivă a fost una de geometrie, dar aspectele din această prefaţă pot fi studiate evident şi prin prisma aritmeticii sau a algebrei. Rândurile sale sunt redactate în trecut, cu adresare către problemele şi problematica orelor de geometrie, dar de fapt aspectele cuprinse în această prefaţă aduc argumente în favoarea perioadei metodico-didactice a anilor ’60 -’70 în general (deci şi aritmetico-algebrice). La momentul respectiv (~1980-81) Profesorul Hollinger cunoştea desigur încotro urma să se îndrepte politica metodico-didactică a matematicii şcolare începând din anii ’80, linia păstrăndu-se cu mare mândrie şi în anii ’90 (nimeni nu a luat-o spre analiză după eliminarea dictatorului ce o impusese).

Eu predau din 1990 şi destul de repede am început să studiez această culegere. Prefaţa respectivă îmi sună de fiecare dată proaspătă şi logică, mai ales începutul acesteia: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. În precedentele două părţi am studiat primul aliniat al acestei prefaţe (cca. 1 pag.), venind totodată cu ideea de cum pot acele rânduri să ne inspire la generarea de noi lecţii prin care să venim în întâmpinarea nevoilor elevilor. Prefaţa respectivă este însă mai lungă (are peste 3 pag.); merită să aruncăm o privire şi pe restul gândurilor exprimate acolo. Aşadar, să continuăm lectura acestor rânduri, cu următorul aliniat. Iată ce ne spune Profesorul Hollinger:

  1. O altă idee a fost de a compune perechi sau chiar grupuri de probleme asemănătoare. La prima vedere ele par a fi repetiţii, poate chiar inutile. Ele sunt puse intenţionat, cu scopul următor: una din ele se rezolvă în clasă şi cealaltă sau celelalte se dau ca temă pentru acasă. Am motive să cred că elevul mijlociu va putea să-şi facă singur aceste teme, fără ajutorul părinţilor sau al meditatorilor. În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii în loc să înveţe soluţii, ei au succese iar succesul încurajează. În general, am căutat – şi sper că am reuşit în mare măsură – să propun probleme mai uşoare decât cele care se găsesc în lucrările similare.

În al doilea aliniat al citatului apare ideea de a confrunta elevul cu situaţii asemănătoare, similare, pentru ca acesta să poată face transferul unui aspect nou învăţat. Profesorul Hollinger susţine această idee prin faptul că una din probleme este prezentată la clasă, iar cealaltă/ celelalte sunt date apoi ca temă, elevul putând asfel să-şi facă mai uşor tema, fiind confruntat acasă cu aspecte deja cunoscute. Pe lângă acest fapt care este “la mintea cocoşului”, eu aş mai evidenţia unul: chiar şi ora următoare merită a elevul să fie confruntat cu aspecte deja cunoscute, cel puţin la începutul acestei a doua ore. Această metodă acţionează încurajator, elevul vede că ştie şi automat matematica îi devine atractivă: el recunoaşte situaţia, iar aceasta i se înfăţişează ca “un vechi prieten”.

Aţi putut vedea cum folosesc eu acest aspect în a doua parte a eseului precedent (postarea despre fracţiuni din 21.04.2022, în această serie), anume cum am făcut părţi similare de reprezentare grafică, atât la începutul lecţiei despre fracţiuni, cât şi apoi în ora următoare la începutul studiului despre fracţii (în varianta cu parcurgerea în două ore consecutive).

În altă ordine de idei, desigur că au fost doi-trei elevi care mi-au atras atenţia de la început că ei le cunosc deja aceste reprezentări din clasa a 4-a; le-am răspuns că sunt conştient de asta, dar totodată şi de faptul că probabil sunt colegi care încă nu le-au pătruns cum trebuie şi că face întotdeauna bine şi o mică recapitulare. Ce nu le-am spus elevilor nici măcar ulterior, a fost că astfel în diferite momente chiar şi cel mai slab elev din clasă înţelegea tot ce facem, iar asta se întâmpla pentru că la început am “luat-o încet”, adică reluând anumite informaţii.

Un alt aspect interesant, ce se poate citi printre rânduri în prefaţa lui Hollinger, este faptul că tema la matematică trebuie să conţină exerciţii de tipul celor predate la clasă. Din păcate, întâlnesc din când în când şi situaţii în care profesorii de matematică nu respectă deloc acest principiu elementar. În legătură cu acesta mai apare încă un alt aspect: cel puţin o parte din temă trebuie să fie la un nivel accesibil “elevului mijlociu”. Hollinger face referire la faptul că problemele sale sunt mai uşoare decât cele ce se găsesc în lucrări similare. Chiar şi acum, când mă gândesc la problemele de geometrie din culegerile lui Grigore Gheba, mă ia durerea de cap la cum le receptam atunci, în copilărie: la vremea respectivă îmi dădeau senzaţa că sunt prost; în memoria mea s-au păstrat cu o imagine de probleme monstruase (poate n-or fi fost toate aşa, dar aşa mi-au rămas mie în amintire). Pentru elevul de rând, culegerile lui Gheba erau bune prin partea de aritmetică şi algebră; dimpotrivă, geometria lui Gheba acţiona înfricoşător (în culegerile Gheba din familia noastră se vede foarte clar cum acestea sunt “muncite”, rufoase doar în prima parte, cea cu exerciţii de aritmetică şi algebră, dar puţin muncite în restul culegerii, cea mai mare parte, cea care conţinea acele probleme de geometrie; din colegerea mea a lucrat ulterior şi fratele meu; din culegerea soţiei au fost cu totul trei fraţi care au lucrat).

În al doilea aliniat din prefaţa amintită, Hollinger atinge şi una dintre problemele cele mai grave ale învăţământului matematic românesc, anume că la noi elevii au nevoie de ajutor pentru a-şi face temele de casă, în ultimă instanţă pentru a învăţa şi a înţelege matematica. Dacă cei din generaţia părinţilor noştri în anii ’60 intrau la facultatea de matematică fără ore suplimentare, la sfârşitul anilor ’70 “se cereau” deja meditaţiile pentru admitere la facultate, dar nimeni încă nu se gândea să dea meditaţii pentru admiterea la liceu (deşi se pare că prin luna Mai 1981, în final de a 8-a fiind, eu i-am dat câteva ore de matematică de recuperare unei colege care vroia să intre la clasele de liceu pedagogic în germană la Sibiu; am uitat complet, dar ea mi-a amintit de curând că pe baza orelor mele a intrat unde şi-a dorit), la ora actuală la clasele sau şcolile cu pretenţie meditaţiile la matematică încep de obicei din clasa a 5-a, în multe cazuri chiar din ciclul primar.

Revenind la aspecte de o fineţe mai profundă din acel al doilea aliniat (uimitor cât de multe lucruri a reuşit Hollinger să ne transmită în doar câteva rânduri!), reiau următoarele idei: În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii (adică să gândească o situaţie) în loc să înveţe soluţii (adică pe de rost), ei au succese iar succesul încurajează. Dintr-o frază avem aici două idei magnifice. În primul rând faptul că există două feluri de a învăţa matematica, gândită şi înţeleasă pe de-o parte, respectiv învăţată mot-a-mot, adică pe de rost ca soluţie întreagă. Din păcate, mulţi consideră că această a doua variantă înseamnă matematica: să înveţi soluţiile pe din afară. Mulţi părinţi care aşa au învăţat matematica îşi îndrumă copiii pe aceeaşi cale; mai groaznic este că există şi colegi profesori care fac asta, chiar şi la clasele cu matematică mai serioasă din liceele de top. N-aş dori să mă lansez aici într-o discuţie “in extenso” despre această temă, dar este evident că şi Hollinger consideră prima variantă ca fiind cea dominant bună.

În al doilea rând, dânsul atinge aici un aspect psihologic de o importanţă deosebită, faptul că dacă le permitem elevilor să aibă reuşite în procesul de învăţare a matematicii, atunci aceasta se va reflecta desigur benefic asupra dorinţei lor de a învăţa în continuare, de a merge pe acest drum al gândirii matematice, în loc să se mulţumească în a învăţa soluţii pe de rost (cum, din păcate, este cazul la ora actuală la mulţi copii). Ne putem uita aici la modul aproape penibil cum americanii îşi laudă învăţăceii la primii paşi, în orice domeniu, dar profesorul Hollinger ne-a spus-o de atunci că ar fi bine ca măcar într-un mod decent să-i lăsăm să aibă succese facile, pentru că asta îi încurajează să meargă mai departe pe drumul deloc uşor al matematicii. Ce-am făcut noi însă ca breaslă în acest sens?

Vă las pe dvs., stimaţi cititori, să vă gândiţi la felul cum introducem o temă nouă şi câtă răbdare avem în primii paşi şi în primele aplicaţii, atât la clasă cât şi la teme, astfel încât elevul mijlociu să ajungă să aibă şi să acumuleze succese în învăţarea matematicii, ţinând cont că acesta înţelege şi “prinde” lucrurile, noile cunoştinţe, mai greu, mai încet decât elevii de vârf. Gândiţi-vă dvs. la exemple care ne scot în evidenţă impulsul de-a dreptul malefic (am pute spune) al unor colegi, de a le îngreuna cât mai mult elevilor accesul în lecţiile de matematică. Faptul că profesorimea a trăit şi a lucrat, nu ani, ci decenii la rând în paradigma “tot ce contează mai mult sunt rezultatele în domeniul excelenţei”, acest fapt a dus pe durată la consecinţa că elevul mediu “e prost” (de vreme ce el nu pricepe dintr-o predare mai rapidă), chiar că el nu contează în economia orei de matematică, că la acesta nu funcţionează decât frica, duritatea şi oricum, neapărat orele suplimentare particulare (că el prinde mai greu şi are nevoie de explicaţii individuale). Ce spuneţi de nivelul abrutizant de greu al felului cum unii colegi găsesc de cuvinţă să bombardeze elevii cu subiecte deosebit de grele în numele unei “strădanii spre excelenţă” prost înţeleasă (de multe ori subiectele la lucrările scrise conţinând DOAR probleme deosebit de grele)? Emană din astfel de exemple o răutate viscerală, ce mă duce cu gândul la răutatea manifestată în “acţiunea specială” reprezentată de trezirea din hibernare a Marelui Urs de la răsărit asupra vecinilor noştri.

Alteori acest sistem este practicat din motive mult mai pământene: mai ales în localităţile mici, câte un profesor practică această linie şi se trezeşte să “ţină ştacheta sus” doar pentru a avea clienţi la meditaţii private, urcându-se pe “un piedestal” local, construindu-şi astfel o. Faptul că autorităţile locale nu vânează astfel de situaţii – în care unii colegi îşi construiesc o aură de “profesor bun” – asta ne arată de fapt cât este de îmbibată societatea românească cu impulsuri fanariote.

Acestea au fost comentariile la aspectele ce pot fi găsite în al doilea aliniat al prefaţei culegerii respective. După câte idei am putut extrage din acest scurt text (7 rânduri pe setarea de A4 scris cu 12, respectiv 10 rânduri pe setarea mai îngustă din culegere), acest aliniat este fără îndoială unul dintre cele mai dense şi valoroase texte de analiză a şcolii româneşti posibil de făcut. Primele două aliniate, luate împreună, ar putea reprezenta liniştit materialul pentru un curs de studiu a felului cum ar trebui predată matematica în mod just în şcoli (despre felul cum a ajuns să fie predată matematica actualmente în şcoli, în realitatea de zi cu zi, singurul adjectiv cinstit ar fi că modul actual de predare este injust!).

Celelalte aliniate ale acestei prefaţe sunt mult mai sărace în nestemate metodico-didactice, dar merită să aruncăm şi peste acestea o privire, chiar şi doar din simplul impuls de a epuiza acest valoros text, pe care – cum am mai spus – eu îl văd ca pe un adevărat testament metodico-didactic al marelui metodist, Profesorul Abraham Hollinger. Aşadar, să continuăm cu unele din următoarele aliniate, din care voi cita doar parţial pasajele ce mă interesează pentru a le analiza. Iată ce ne spune în mai departe Dl. Profesor:

  1. Bineînţeles, nu m-am limitat la aceste probleme relativ uşoare. În lucrare se găsesc foarte multe probleme cunoscute, tradiţionale. La multe din ele m-am abătut de la forma uzuală: în loc de “să se demonstreze că …” am pus o întrebare sau am cerut să se compare două unghiuri sau două segmente. (…) prin aceasta, problemele devin ceva mai grele – elevul şiret va găsi uşor răspunsul – dar se stimulează mai mult gândirea elevilor. (…) În unele cazuri în care este vorba, în fond, de faptul că o anumită mărime este constantă, am cerut când este maximă sau minimă. (…)

Am întâlnit o idee similară şi la d-na Birte Vestergaard care spunea astfel: elevul “nematematician” se simte agresat de cerinţe de tipul “demonstrează că …”; mult mai paşnice sunt cerinţe de tipul “ce observi în situaţia …; poţi să explici de ce se întâmplă asta?”. Studiind problema în ultimul an, am observat că nu merge de fiecare dată, dar mă străduiesc în sensul de a găsi exprimări mai puţin agresive pentru cerinţele problemelor date. Hollinger nu da clar această nuanţă, ci exprimă gândurile mai mult în sensul unei cerinţe orientative, undeva “în zona” rezultatului gândit, dar lăsând elevului spaţiu pentru a descoperii el finalul parcursului demonstrativ. Practic, profesorul Hollinger ne sugerează ca măcar uneori să fim “mai vagi” în cerinţe, să-i lăsăm şi elevului paşi de descoperire. Aici gândurile se ating cu cele din titlul lucrării Descoperirea în matematică a lui George Pólya, întreaga respectivă carte fiind de fapt despre descoperirea rezolvării unei probleme.

De exemplu, în sensul celor spuse de Hollinger, eu de mulţi ani am modificat cerinţa unei probleme cunoscute: În triunghiul ABC oarecare (scalen, clar înclinat într-o parte) trasăm mediana AM. Care din vârfurile B şi C este mai apropiat de dreapta AM? Un alt exemplu deosebit de intrigant a apărut de curând în testul 5 de antrenament din 2022 (subiectul III, problema 5), unde se poate cere compararea segmentelor EF şi FD (chiar şi pe un desen construit superexact EF pare mai scurt, dar la calculul lungimii cele două se dovedesc congruente). Te poţi aştepta ca elevul să măsoare cu liniarul, dar şi aşa rezultatul dat de măsurătoare va părea că nu-i corect faţă de ce se vede cu ochiul liber.

Desigur că aţi putut observa cum am sărit elegant peste faptul că Hollinger precizează clar şi importanţa problemelor grele, pe care dânsul le numeşte probleme cunoscute, tradiţionale. Aici nu este nevoie să insist; profesorii din România sunt setaţi “de la natură” să dea elevilor cât mai multe probleme grele. Totuşi, eu văd şi aici o nuanţă ce ar trebui precizată.

Prin anii ’90 socrul meu a venit cu următoarea idee: ar trebui găsită o colecţie bine selectată de – să zicem – 100 de probleme de geometrie, pe care dacă elevul le-ar face serios, acesta să poată face apoi orice altă problemă. Eu personal am fugit multă vreme după acest deziderat, având uneori, după un sfert de secol de strădanii, impresia unei “Fata Morgana”. Alteori simt clar că reuşesc totuşi paşi clari în acest sens. La ora actuală m-am stabilizat pe poziţia că subiectul nu este deloc stabil; întrevăd însă posibilitatea unei ultime încercări în acest sens, undeva în viitor.

Trecând însă de această preocupare, este totuşi de remarcat faptul că sunt multe probleme edificatoare la orice nivel, iar faptul că mulţi profesori nu au preocupare în acest sens, nu le parcurg defel, dar au pretenţia ca elevii să le ştie, acest aspect este dureros. Eu personal o astfel de categorie de probleme aş aştepta să fie incluse în manualele de geometrie. Desigur că situaţia poate fi extrapolată şi la algebră. Dar, să continuăm cu analiza textului nostru:

  1. Spre deosebire de alte lucrări similare, am introdus multe probleme de maxim şi minim. Experienţa arată că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. (…) Ca grad de dificultate problemele de maxim şi minim sunt foarte diferite: dacă unele din ele sînt uşoare (exemple: (…), altele sînt deosebit de grele (exemple: (…). Deosebit de interesantă îmi pare problema (…).

Legat de acest aliniat doresc să exprim doar două scurte idei. Prima ar fi că ar trebui să ne concentrăm mai mult asupra reacţiei elevilor la matematica noastră: Hollinger ne vorbeşte despre faptul că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. Mai exact: experienţa arată că …, adică cineva a fost atent de-a lungul timpului la reacţiile elevilor şi a observat că …. .

Un al doilea gând este că putem găsi şi în zona temelor “exclusiviste” atât probleme grele, cât şi probleme uşoare. Putem traduce afirmând că şi temele acestea pot oferi probleme cu un grad bun de accesibilitate elevilor de nivel mediu. Hollinger vorbeşte de probleme de minim sau maxim, dar pe mine ideea respectivă mă duce gândul acum la problemele de colinearitate şi concurenţă. Să analizăm puţin istoricul prezenţei acestora în matematica de după 1990, ca o scurtă paranteză.

La începutul anilor ’90 concurenţa şi colinearitatea era la mare preţ şi nivel înalt de olimpiadă (prietenii Menelaos & Co. dădeau fiori tuturor în afară de cei “aleşi de soartă”). Apoi, brusc au fost scoase din materie şi au ajuns în uitare, chiar proscrise am putea spune. De pildă, în 2005 când am scris culegerea de geometrie de-abia am îndrăznit să pun două exemple de colinearitate supersimple. Desigur că nici la examene, nici măcar în materialele de pregătire, n-ai mai văzut aşa ceva timp de un sfert de secol. Lucrurile au rămas astfel până când la testele de antrenament din 2020 (în timpul primului lockdown) au început să apară cerinţe de colinearitate în subiecte, însă doar în forme elementare (o aliniere de 180o). Concurenţa din testul 5 de antrenament EN 2022 de zilele astea (subiectul III, problema 4) ridică însă din nou ştacheta. Părerea mea este că e OK aşa, atâta vreme cât fenomenul rămâne în parametrii controlabili. Copiii de nivel mediu merită să aibă contact şi cu teme exclusiviste, cu condiţia ca aplicaţiile acestora să fie păstrate la un nivel elementar. Să revenim însă la prefaţa lui Hollinger:

  1. Socot că un mod util de a folosi aceste exerciţii la Cercul de matematică este următorul. Profesorul indică unui elev un grup de probleme apropiate pe care să le studieze singur din carte şi apoi să le expună în faţa colegilor. Exemple: a) Probleme de concurenţă sau colinearitate bazate pe simetria paralelogramului: (…) b) Cîteva probleme de minim rezolvate pe baza simetriei: (…); sau cîteva probleme de maxim: (…). c) Cîteva demonstraţii ale teoremei lui Pitagora: (…).

Aici doresc doar să observ similaritatea sfaturilor cu cele întâlnite şi la profesori din stăinătate, de pildă exemplul d-nei Marisha Plotnik din America despre care am vorbit în analiza despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora, dar şi la Birte Vestergaard din Norvegia. Trebuie însă să fim conştienţi că acest tip de activitate este mare consumator de timp. Hollinger vorbea despre Cercul de matematică; aşa da, pentru cine face aşa ceva, dar la orele regulate, la cât suntem noi de fugăriţi prin materie nu prea pot vedea cum să facem aşa ceva în mod regulat. Doar dacă este vorba de clasă cu copii buni şi de încredere. La o clasă cu copii de toate nivelele n-aş îndrăzni să generalizez o astfel de metodă. Dar, încă o dată, Hollinger vorbea despre cercul de matematică.

Cu aceste gânduri chiar am încheiat studiul meu. Există desigur posibilitatea ca la o analiză mai atentă să se găsească şi alte idei valoroase de scos în evidenţă din această prefaţă; eu nu vin aici cu pretenţia unei analize exhaustive. Sper însă să fi reuşit – prin analiza mea totuşi extinsă – să vă fi trezit curiozitatea pentru această culegere, dar şi pentru ideile exprimate acolo, chiar să vă fi dat de gândit asupra felului în care funcţionează (sau nu) matematica şcolară actualmente. Gândul că măcar unul dintre onoraţii cititori va prelua idei exprimate în această serie de postări, acest gând îmi dă speranţe. CTG

Fracţiile algebrice şi “experimentele” pe diferite generaţii (Programa de examen şi urmările acesteia)

La începutul anului 2022 reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant; au făcut-o alţii probabil mult mai bine decât aş face-o eu. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă (pentru cine s-ar face că nu ştie), precizez deci că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a, luată ca atare, este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau la clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere (adică la televiziune), numărul variantei ce se va da; deci numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Haideţi să vedem însă care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca. 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum.

Unii s-au apucat de învăţat cinstit şi cum trebuie. Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru cele 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu partea de răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare sau demonstraţie. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100 de copiuţe, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru a-ţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Ca o paranteză fiind spus, faptul că prin această mişcare nu s-a rezolvat problema furtului la examene, ci doar s-a mutat la un alt nivel şi la o cu totul altă scară, acest fapt avea să fie recunoscut în următorii ani, astfel încât peste 5 ani aveau să se introducă camerele şi înregistrările pentru supravegherea examenelor. Nici acest mod de oprire a copiatului nu a funcţionat din prima, următorii ani aducând un proces de adaptare şi creştere a performanţei de supraveghere. La ora actuală, din punct de vedere a furtului la examene, lucrurile sunt cât de cât sub control. Dar să revenim la momentul celor 100 de variante.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvara lui 2007. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. În acest timp un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev, cât şi situaţia în faţa căreia eram puşi noi, profesorii de acest fel de raţionament.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a putut, pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze (numai Tudor Chirilă a copiat şi la mate şi la sport!).

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine (pentru şcoală). Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată astfel încât materia pentru teza unică era masiv redusă faţă de ce ar fi fost normal. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Pentru că, desigur, urmarea ar fi putut fi prevăzută de către orice minte raţională, chiar din toamnă, de la “negocierea” materiei pentru prima teză a anului.  Doi ani la rând capitolul despre cerc de la sfârşitul clasei a 7-a, dar şi corpurile rotunde din finalul clasei a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Şi ce se întâmpla în aceste condiţii? Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?), desigur nici lecţiile despre corpuri rotunde.

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era elevă, însă poate că perioada să coincidă cu vestitele ei meditaţii la matematică despre care s-a lăudat că le dădea. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii deosebit de importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi “s-a uitat în altă parte”.

În altă ordine de idei (ca o paranteză fie spus), înţelegeţi aici de ce am spus de curând că eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie), în contextul schimbărilor pentru anul şcolar 2022-2023.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel; tocmai fusesem numit director, iar situaţia respectivă mă speria extrem). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec de peste Prut, nedifuzabil la radio).

În noile condiţii, care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea pandemică a programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba (aplicându-se acelaşi principiu ca la Lb. Română, materia D-nei Ministru din acel moment). În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice (de ce a fost exclusă această temă de parcurs în noiembrie?).

D-na Ministru a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, subiect cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe această temă. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (2021-2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că şi fracţiile algebrice sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru aceste în felul cum am făcut-o pentru ariile şi volumele corpurilor. Însă cu elevii mei le-am parcurs scurt, prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, în acest sens ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă. Unii profesori doar se vor mira “tâmp” de aceste generaţii care “sunt mult mai slabe ca înainte de pandemie”, negândind că de fapt este vina sistemului (autorităţile care au pierdut subiectul pe drum + profesorii care n-au avut conştienţa că trebuie să acţioneze ca o plasă de siguranţă pentru sistemul de cunoştinţe şi de gândire a elevilor).

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, pentru a fi incluse în materia de examen măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru respectivul demers, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022.

În concluzie, despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului în şcoli. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. De pildă, nimeni nu pune în discuţie chinuirea elevilor prin forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bézout), ca actualmente polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC. Pentru mine aceste gânduri poartă o durere adâncă. Rămâne de văzut dacă se poate gândi un sistem de programă care să prevină pe viitor posibilitatea apariţiilor de astfel de situaţii (acest subiect însă cu altă ocazie). CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Şi în contextul copiatului la examene avem experienţe interesante. La BAC de pildă, întrebat fiind fiiul nostru de ce s-a înscris la proba de psihologie, pentru că “noi suntem fiinţe raţionale”, nu suntem buni la tocit, răsunsul său a fost elocvent: lasă Mamă, că am calculat şi oricum voi fi în faţa sau în spatele Mariei, şi ea le ştie bine (adică ea are capacitatea de tocit; am schimbat desigur numele colegei). Da, şi aşa a fost. Apoi, anul următor s-au introdus camerele de supraveghere.