Month: March 2019

În precedentele postări despre figura cu pătratele construite în exteriorul triunghiului dreptunghic ne-am concentrat asupra ideii de arie a acestora, scoţând în evidenţă descompunerea acestor pătrate în pătrăţele, adică în unităţi de bază. La acestea relaţia din teoremă se evidenţiază adunând conţinuturile celor două pătrate ale catetelor pentru a obţine pătratul ipotenuzei. În acest sens reamintesc traducerea ad-literam a cuvântului german pentru arie: Flächeninhalt = conţinutul suprafeţei.

Despre acest subiect am mai vorbit şi cu alte ocazii, de pildă în postarea din toamna lui 2018 http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-un-simbol-denaturat/ . Desigur că în exterior, pe laturile triunghiului dreptunghic se pot desena orice poligoane, cu condiţia să fie toate trei asemenea între ele (trei dreptunghiuri asemenea, trei triunghiuri echilaterale, trei pentagoane regulate etc.). Aceste construcţii ar fi însă potrivite, doar ca nişte curiozităţi, de prezentat mult după învăţarea teoremei lui Pitagora.

Mai am o poză găsită pe net în care însumarea pătratelor catetelor apare nu doar la nivel numeric, ci şi la nivel geometric al suprafeţelor (figura are o mică greşeală: îi lipseşte o linie în pătratul din stânga, dar sper că se înţelege).

Această imagine sugerează o nouă direcţie de gândire în tema noastră de studiu, anume că dacă unui pătrat (celui roz, cu 16 = 4² unităţi) îi putem adăuga o lărgire cu un rând în ambele direcţii, iar această lărgire (care este reprezentată de un număr impar) este totodată pătrat perfect, atunci obţinem un triplet de numere care respectă Teorema lui Pitagora. Se înţelege? Cam îmbârligat, ştiu. Haideţi să o luăm cătinel.

Suma primelor numere impare este studiată în mod algebric în clasa a X-a, fiind cunoscută în forma: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n², demonstrată fiind prin inducţie matematică. Există şi situaţii când suma primelor numere impare este inclusă în exerciţii din zona de excelenţă şi olimpiadă la clasele mici gimnaziale, dar subiectul nu este oficial inclus în materie, fiind considerat inaccesibil pentru majoritatea elevilor. Există însă o formă ceva mai accesibilă de a ajunge în zona acestui subiect. Haideţi să o vedem.

Pentru a înţelege ce urmează trebuie însă să schimbăm puţin forma de a privi numerele pătrate. Până acum le-am reprezentat sub forma unor figuri geometrice, anume nişte pătrate împreună interiorul acestora împărţit în pătrăţele ca unităţi de arie. Totuşi în postarea precedentă am avut două imagini care făceau aluzie la o altă abordare.

În primul rând a fost imaginea cu piesele tip “LEGO”, imagine cu pătrate al căror conţinut erau acei “bumbi” specifici, ca nişte buline, aproximante ale unor puncte. Bulinele respective erau ordonate “în pătrat” de trei ori trei ş.a.m.d. Apoi, în imaginea următoare a avut loc o distanţare şi mai puternică faţă de figura pătratului împărţită în pătrăţele. Astfel, în figura cu roşiile aranjate în “formă de pătrat”, figura geometrică numită pătrat a ajuns doar orientativă. “Pătratele” din această imagine nu mai sunt de mult pătrate în sensul geometric, dar totuşi rolul acestora în Teorema lui Pitagora este clar şi evident. Aici roşiile acelea micuţe joacă rolul de buline sau punctuleţe în reprezentarea numerelor pătrate.

Reprezentarea numerelor prin punctuleţe a apărut în Grecia Antică, învăţaţii din acea vreme folosind pietricele (sau orice altceva, obiecte cât de cât punctiforme, cum ar fi sâmburi) pentru a reprezenta vizual anumite proprietăţi ale numerelor (numerele prime, numerele pătrate sau numerele triunghiulare). Astfel. în diferite lucrări numerele pătrate sau numerele triunghiulare (la fel ca şi altele de inspiraţie geometrică) sunt denumite numere figurate. Faptul că suma primelor n numere impare este egală cu pătratul lui n, de exemplu 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6², poate fi reprezentată prin punctuleţe foarte clar astfel:

Vedeţi în această imagine cum, în afară de 1, orice număr poate fi reprezentat în forma unui “echer de tâmplar” isoscel (nişte L-uri isoscele, numite în antichitate gnomon), însumarea acestora generând o formă de “pătrat”. Astfel, fiecare nou echer, reprezentând un nou număr impar, măreşte pătratul deja existent la următorul număr pătrat. De pildă, dacă la suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7² adunăm următorul număr impar, adică 15, obţinem (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15 = 7² + 15 = 64 = 8².

Cu ce ne ajută asta la Teorema lui Pitagora? Păi, aşa-numitul triunghi egiptean, adică suma divină 4² + 3² = 5² se obţine ca 4² + 9 = 5² din următoarea figură:

Asta se întâmplă datorită faptului că 9 este primul număr impar pătrat diferit de 1. Ne punem, pe bună dreptate, întrebarea dacă şi când ne mai întâlnim cu o astfel de situaţie. Păi, desigur la adăugarea gnomonului (a “echerului”) numărului 25, care este următorul număr impar totodată şi pătrat. În acest caz suma numerelor impare până la 23, adică primele 12 impare dă 12² = 144, la care dacă adăugăm 25, obţinem 13² = 169. Avem în acest caz tripletul pitagoreic 12² + 5² = 13². Astfel putem găsi şi alte triplete care îndeplinesc ciudata însumare din Teorema lui Pitagora, următorul fiind de pildă în dreptul numărului impar pătrat 49 (găsirea acestuia elevii o pot primi ca temă opţională).

Se bănuieşte că Pitagora ştia de aceste lucruri, cunoscute de pe vremea civilizaţiei babiloniene. Desigur că Pitagora cunoştea şi obţinerea unor astfel de triplete prin amplificarea celor deja găsite, cum ar fi (6, 8, 10) sau (9, 12, 15) prin amplificare din cel egiptean.. Pe lângă aceste metode există şi alte căi de a găsi triplete pitagoreice, astfel că se găsesc cu totul 11 triplete cu pătratele de cel mult trei cifre (adică până la 1000). Acestea sunt următoarele: (3, 4, 5) şi amplificările sale (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15; 20; 25); (18, 24, 30); apoi avem (5, 12, 13) şi amplificarea (10, 24, 26); în final încă trei triplete (7, 24, 25); (8, 15, 17); (20, 21, 29) ale căror amplificări depăşesc însă la pătrat limita de 1000.

Aici v-am arătat calea “babiloneană”de a găsi astfel de triplete, prin figurarea numerelor pătrate, dar şi lista completă până la un anumit nivel de mărime, pentru a le putea folosi în exemple de calcul. Totuşi, eu nu cred că ar trebui să le arătăm elevilor această listă completă. Ei vor trebui să înveţe algoritmul de calcul şi aplicarea acestuia, nu să înveţe pe de rost o serie de rezultate. Astfel, eu la clasă mă concentrez cu elevii mai mult asupra proceselor accesibile de deducere a astfel de triplete şi mai puţin asupra găsirii cât mai multora şi a memorării acestora. Titus şi babiloniile sale

P.S. Vrem – nu vrem, oricum ajungem aici şi la subiectul numit “rădăcina pătrată”: în finalul clasei a VI-a va trebui să le predăm elevilor aplicarea teoremei lui Pitagora dar, prin programă nu avem de studiat până la acel moment finalul calculului, care se face prin rădăcina pătrată (eu am tot căutat-o, dar nu e trecută nici în a V-a, nici în a VI-a). Aşadar, cum să predăm Pitagora fără radicali? Zice nevastă-mea s-o facem ca Pitagora, că nici el n-avea radicalii!!! Logic, nu? Dacă m-ambiţionez, o fac şi aşa, dar nu cred că are sens, pentru că oricum imediat după vacanţa de vară trebuie să le explic cum vine treaba cu rădăcina pătrată. Aşadar, undeva, înainte de lecţia despre Pitagora ar trebui introdusă rădăcina pătrată. Dar cum şi unde?

Cum? Cel mai simplu ar fi de a introduce rădăcina pătrată doar din numerele pătrate, drept operaţie “de probă” a ridicării la pătrat a numerelor naturale. Unde? Cel mai bun loc în materie cred că ar fi fost în capitolul despre numere naturale din semestrul I al clasei a V-a, în continuarea lecţiei despre numere pătrate. Cei care au fost prevăzători, poate chiar au făcut-o acolo, sau o vor face la următoarele clase de a V-a. Dacă însă nu a fost studiată încă rădăcina pătrată, atunci cred că cel mai bine ar fi să o introducem chiar înainte de Teorema lui Pitagora, în ora precedentă. Ca rădăcină doar din numerele pătrate ajunge chiar şi jumătate dintr-o oră. Sunt suficiente doar câteva exerciţii de “extragere” pe baza tablei numerelor pătrate. Pentru asta trebuie însă prezentată tabla numerelor pătrate până la 30² (vezi în acest scop primele exerciţii de pe fişa publicată în postarea http://pentagonia.ro/radacina-patrata-faza-aritmetica-prin-predare-intuitiva/).

De când am pornit acest blog am scris de câteva ori despre figura geometrică cu trei pătrate construite pe laturile unui triunghi dreptunghic şi despre faptul că aceasta prezintă într-o formă deosebit de intuitivă Teorema lui Pitagora. De pildă, în luna mai 2018, în postarea despre cum mi-am pus faianţa în baie, am arătat cum am încercat să evoc în propria-mi casă amintirea din copilărie despre figura geometrică cu cele trei pătrate, figură ce era zugrăvită pe un perete al holului de intrare în apartamentul unde am locuit până în clasa a VI-a, acasă în Oraşul Victoria. Foarte interesant, cât de pregătit eram eu de pe atunci pentru Teorema lui Pitagora în clasa a VI-a.

Reluarea temei cu ajutorul ciocolăţilor pătrate Ritter Sport nu reprezintă în acest sens o simplă fixaţie, o ciudăţenie personală, ci răspunde unei necesităţi de moment în sensul sprijinirii profesorilor ce vor avea de predat în finalul clasei a VI-a Teorema lui Pitagora începând de anul acesta. Acolo este stabilită prin programă, explicându-ni-se că trebuie să o predăm fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (din nou citatele sunt preluate înclinat din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16). Trebuie (!) să facem acest lucru pentru a ne asigura că le-o predăm elevilor NOI, PROFESORII DE MATEMATICĂ, cea mai importantă teoremă din gimnaziu, probabil chiar cea mai renumită din toate timpurile, astfel încât să nu apuce să le-o arate elevilor colegii profesori de fizică, doar pentru că lor le-o trebuie în toamna clasei a VII-a.

OK, foarte bine aşa, dar care-i diferenţa? Că le-o arată ei superficial sau le-o arătăm noi superficial înaintea lor, tot superficial se numeşte. Am arătat în prima parte cum putem însă aduce această teoremă într-o formă de minimă “demonstrare”, o formă de justificare intuitivă, scoţând-o astfel din starea de HOCUS-POCUS de neînţeles spre care ne direcţionează noua programă.

După cum am mai spus, sunt foarte mulţi cei care nu cunosc figura cu triunghiul dreptunghic şi pătratele construite în exterior pe laturile sale, care nu o asociază cu Teorema lui Pitagora. Se întâmplă asta pentru că respectiva figură a fost exilată din manuale începând cu reforma din 1980, demonstrarea teoremei făcându-se doar pe baza teoremei catetei obţinută prin asemănarea triunghiurilor, respectiv datorită faptului că în textul teoremei s-a pus accentul doar pe aspectul de putere a doua a lungimii unei laturi, eliminându-se din discuţie ideea de arie a unui pătrat. Interesant este aici următorul aspect: dacă, în justificările cu pătratele construite pe laturile triunghiului, legătura dintre unghiul drept şi relaţia între cele trei pătrate este destul de evidentă pentru “ochiul începător” al elevilor, în demonstraţiile care folosesc doar lungimile laturilor, adică numerele la puterea a doua, legătura dintre cele două părţi ale Teoremei lui Pitagora se pierde pentru cei mai mulţi elevi.

S-a mers astfel în ultimii aproape 40 de ani doar pe abordarea aritmetică, eliminându-se cu totul forma geometrică, formă care aducea o foarte vizibilă reprezentare grafică a fenomenului numeric pe care se bazează Teorema lui Pitagora. Oare ce se întâmplă în alte părţi legat de aspectele discutate? În plimbările mele pe internet am găsit diferite poze care aduc în discuţie situaţia cu pătratul ipotenuzei care este cât suma pătratelor catetelor, exemplificată pe cazul triunghiului de laturi (3, 4, 5). Iată două mai interesante dintre acestea, poze care arată cât de cunoscută este de fapt imaginea respectivă:

La ce sunt bune toate acestea – veţi întreba – de vreme ce autorii noii programe nu au acordat nici măcar o minimă atenţie ideii de “demonstraţie” a teoremei. Noi de ce să ne stresăm când ei tocmai au deschis cutia Pandorei, spunând lejer că se poate “fără demonstraţie” la cea mai mare teoremă din toate timpurile?! (conform programei, a doua trecere pe la Teorema lui Pitagora, de data asta cu demonstraţie, se face de abia peste un an, undeva în finalul clasei a VII-a).

Se vede aşadar – pentru orice matematician responsabil – că discuţia despre prezentarea Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a este una importantă, mai ales prin prisma justificării accesibile a acesteia pe baza însumării ariei pătratelor catetelor pentru a obţine echivalarea ariei pătratului ipotenuzei. Până acum am discutat despre prezentarea unor situaţii sub formă concretă (cine mai găseşte şi altele în afară de ciocolată, “LEGO” sau roşii?) sau de imagini aduse ca poze ori prezentate digital, imagini care ar trebui desigur să se concretizeze şi ca figuri geometrice pe tablă (profesorul de mate trebuie să fie conştient de importanţa unui astfel de demers). Cu alte cuvinte, am discutat doar despre ce ar trebui să facă profesorul în faţa clasei pentru a prezenta această teoremă cât mai just.

Cred că ar fi cazul să ne îndreptăm atenţia şi asupra felului despre cum ajung aceste desene în caietele elevilor? (aspecte despre care desigur că programa cea nouă nu ne vorbeşte). Nu trebuie făcute multe desene. Cum am precizat în finalul postării despre folosirea ciocolatei, este vorba de puţine figuri geometrice, dar acestea ar trebui să fie cât de cât coerent şi corect realizate în caiete. Indiferent de câtă experienţă are o clasă în realizarea figurilor geometrice (din câte văd în jurul meu, nu prea se lucrează în acest sens), sunt şanse mari ca mulţi elevi să nu reuşească acest desen, pentru că este vorba de construirea unuia sau a două pătrate poziţionate oblic faţă de aliniamentul şi liniatura caietului de matematică. Şi atunci ce facem?

Eu cred că există două direcţii de acţiune. Prima ar fi ca elevii să decupeze pătratele (anterior colorate) de pe o altă coală de hârtie (tot cu pătrăţele) şi să le lipească corect asamblate în caietul de clasă la locul potrivit în cadrul lecţiei. Aceasta ar fi varianta uşoară, pentru că nu implică construcţii geometrice foarte abile. Dar pentru asta trebuie să fim dispuşi la transformarea unui sfert de oră de matematică într-o parte manufacturieră, pentru care elevii trebuie să aibă la ei lipici şi foarfecă. Desigur, le-o putem da şi ca temă, dar în acest caz eu nu garantez pentru ce se va găsi în unele caiete.

O a doua direcţie de reprezentare ar fi desenarea figurii geometrice cu instrumente pe caiet. În acest moment apare ideea de a alege între cele două posibile variante de poziţionare a triunghiului dreptunghic: cu ipotenuza drept bază (aşa cum am prezentat-o în imaginile cu ciocolata sau cu faianţa) sau cu o catetă drept bază (aşa cum apare în pozele cu piesele “LEGO” sau cu roşiile cherry). În varianta cu ipotenuza ca bază vom avea de construit două pătrate înclinate pe laturile oblice, pe când în varianta cu o catetă ca bază (să alegem cateta cea mare) vom avea de construit doar un pătrat pe o latură oblică (cel de pe ipotenuză). Este evident că a doua variantă este preferabilă din acest punct de vedere.

Un aspect mai trebuie evidenţiat aici, anume că la triunghiul (3, 4, 5) figura cu pătrăţele este destul de mică, dar poate fi uşor dublată prin trecerea la altă unitate de măsură, anume la cm². Dimpotrivă, la triunghiurile (6, 8, 10) sau (5, 12, 13) figurile în pătrăţele sunt clar preferabile pentru a încăpea pe pagina de caiet. Dacă vrem să le punem pe toate trei triunghiurile alăturat, pentru a exemplifica (bio)diversitatea acestora, atunci vom alege desigur pătrăţelul caietului de matematică drept unitate de măsură.

Dacă încercăm să analizăm şi mai profund aceste două variante de realizare a figurii – poziţionând ipotenuza sau o catetă drept bază – atunci ajungem să descoperim aspecte de-a dreptul surprinzătoare.

Construcţia figurii cu o catetă drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LUL în varianta sa CC (catetă-catetă cu unghiul drept între acestea). Putem să ne imaginăm aici de pildă cateta de 4 ca bază şi cateta de 3 ca înălţime, pătratele acestora fiind desenate cu laturile orizontale sau verticale exact pe liniile de pe caietul de matematică. În acest caz lungimea ipotenuzei de 5 apare ca “probă” a construcţiei.

Dimpotrivă, construcţia figurii cu ipotenuza drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LLL: latura de 5 ca bază şi laturile de 3 şi 4 ca laturi oblice construite cu compasul. În acest caz verificarea corectitudinii situaţiei se face cu un echer care va verifica unghiul drept.

Cu alte cuvinte, mai elevat spus, adică într-un limbaj mai potrivit clasei a VII-a, în cazul construcţiei triunghiului dreptunghic cu laturile de (3, 4, 5), varianta de construcţie cu cateta ca bază corespunde Teoremei directe a lui Pitagora; dimpotrivă, varianta de construcţie cu ipotenuza ca bază şi catetele oblice, dar de lungimi date, corespunde mai degrabă Teoremei reciproce a lui Pitagora.

În final îmi permit să vă aduc şi o mică imagine din pedagogia alternativă Waldorf, care sărbătoreşte anul acesta 100 de ani de la înfiinţarea primei astfel de şcoli la Stuttgart în Germania (septembrie 1919). Rudolf Steiner, întemeietorul acestei şcoli, a cuprins pentru clasa a V-a şi o materie numită Desen geometric cu mâna liberă, în care elevii trebuiau să parcurgă în formă de desen principalele figuri geometrice, ajungând până la Teorema lui Pitagora, cel puţin în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. De-a lungul anilor, dascălii Waldorf au încercat să găsească căi de parcurgere a acestei materii. Pe caietul de matematică putem foarte uşor desena o astfel de figură pentru că laturile oblice sunt în acest caz diagonale ale pătrăţelelor, fiind înclinate la 45^o faţă de liniatură. După ce construim figura, împărţim pătratele de pe catete cu câte o diagonală, iar pătratul ipotenuzei cu ambele diagonale, relaţia din Teorema lui Pitagora devenind astfel evidentă.

În acest sens vă prezint şi o imagine cu o dublă caricatură din 1886, din Foaia volantă de München, cu Pitagora înainte şi după descoperirea renumitei teoremei denumită după el, în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. Nu cred că Steiner a avut aşa ceva în gând atunci când a spus cele de mai sus, dar această caricatură ne oferă măcar o oarecare imagine a spiritului acelor vremuri în legătură cu subiectul nostru. CTG

P.S. “Ameninţarea” cu cutia Pandorei legată de lipsa unei demonstraţii a fost desigur o exagerare, mai degrabă o “figură de stil” menită să dea un aer de opoziţie. Realitatea este că în matematica gimnazială există multe puncte unde nu prea le explicăm elevilor de unde vin lucrurile învăţate.

Jocul din copilărie “de-a hoţii şi vardiştii” se numeşte în matematica pură “de-a axiomele şi teoremele”. Însă în matematica şcolară mai apar şi alţi factori decisivi, ca doi arbitri pe care i-am putea denumi accesibilitate şi intuitivitate. Aceştia interferează în procesul de stabilire a materiei de predat, eliminând din jocul pur “de-a axiomele şi teoremele” diferite pasaje, ca fiind prea “violente”, adică inaccesibile minţii elevilor. Haideţi să trecem în revistă câteva astfel de momente, în care demonstrarea paşilor parcurşi este “împinsă sub preş”, omisă sau doar mimată.

Dintre cele mimate îmi vin acum în minte două momente. Primul ar fi Teorema lui Thales, care este oarecum pregătită prin Teorema paralelelor echidistante. Aceasta însă poate duce la justificarea primeia doar în cazul unui raport raţional; situaţia iraţionalităţii rămâne “în aer”, fiind preluată însă în mod inconştient de intuiţia elevilor (aşa se întâmplă şi pentru numere iraţionale). Un alt caz, chiar mai enervant, îl reprezintă teorema care afirmă că tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Aceasta nu primeşte o demonstraţie, dar elevii sunt plictisiţi de către toţi profesorii şi de către toate manualele cu câteva teoreme premergătoare pe drumul unei demonstraţii: arce cuprinse între coarde paralele etc. Acestea, la rândul lor, nu au mai deloc aplicaţii (în mod similar cu teorema paralelelor echidistante), dar toată lumea le face.

Dintre cele prezentate fără demonstraţie mă gândesc la următoarele. Primul exemplu ar fi metoda triunghiurilor congruente: dintre cele trei cazuri, unul era considerat axiomă iar celelalte erau demonstrate din acesta. Când am început noi să predăm şi trebuia să ne dăm definitivatul era încă la modă acest subiect: care este axioma şi cum era demonstraţia aia prin reducere la absurd? Un alt exemplu în acest sens, faţă de care nimeni nu face “mare caz” este formula pentru volumul piramidelor: de ce este acolo supra 3? Dacă la aria triunghiului se poate uşor explica de ce este supra 2, la volum lucrurile stau mult mai greu. Cât despre formulele sferei în acest context, am vorbit cu altă ocazie. Mai dau încă un exemplu, din aritmetico-algebră: de unde vine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate? De ce se face în acest mod?

Analizând însă toate aceste exemple, vedem că ele au fost eliminate din predare sau nici măcar nu au fost introduse, deoarece demonstraţia respectivă a fost considerată (din start sau ulterior) mult prea dificilă pentru mintea gimnazială a elevilor. Vedem deci că nu este nimic neobişnuit în a li se da elevilor o teoremă fără justificare. Consider însă că Teorema lui Pitagora poate fi justificată într-un mod intuitiv accesibil prin ariile pătratelor celor trei laturi ale triunghiului dreptunghic, aşa că prezentarea acestei teoreme fără nici măcar o minimă justificare poate fi liniştit considerată drept o gafă de predare.

Îmi permit aici şi o scurtă observaţie nematematică de final: cu scuzele de rigoare vreau să precizez că sunt conştient că folosesc un limbaj care pentru răgăţeni ar putea suna în anumite momente a regionalism, de pildă în cazul pluralului cuvântului ciocolată (ciocolăţi în loc de ciocolate). Prefer varianta ardelenească din două motive: în primul rând consider că dă textului o culoare specifică Clujului, oraş unde îmi desfăşor activitatea; în al doilea rând, folosind exprimările uzuale din această zonă, îmi permit să stau în “zona de confort” din punct de vedere lingvistic, fapt care mă ajută să mă concentrez mai bine asupra subiectelor propuse. Sper că cititorii pot trece peste aceste impedimente, reuşind la rândul lor să se concentreze asupra gândurilor exprimate în aceste eseuri.