Trei probleme de geometrie în spaţiu (de “plictiseală” la vreme de pandemie)

În contextul modificării programei de EN şi a de la sine înţelesei căutări de material de lucru în materia rămasă pentru examen, am căutat “în arhivă” (prin amintiri sau prin cutii) diverse probleme care mi-au reţinut atenţia la vremea lor, probleme care se încadrează sau măcar se apropie de materia actuală pentru examen din geometria clasei a 8-a, implicând şi aplicaţii algebrice remarcabile. Astfel, s-au strâns trei probleme cu grad mare de fascinaţie. Înainte de a le prezenta precizez că toate cele trei probleme din acest material pot fi prezentate şi în paralelipiped dreptunghic.

1) Problema cu MN = 1. Eu “duc” această problemă cu mine de aproape 25 de ani (ce mult îmi place expresia “de un sfert de secol”!), adaptată însă la forma geometriei plane, şi asta din motive pe care le veţi înţelege uşor, anume că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de o neaşteptată, fascinantă şi nemaiîntâlnită situaţie legată de materia clasei a 7-a (teorema catetei) şi un factor comun atipic. Iată, pentru început, problema originală de clasa a 8-a:

Fie ABCD un dreptunghi în care AB=3 şi BC=2. Pe planul dreptunghiului se ridică, în punctul D o perpendiculară pe care se ia un punct P. Se consideră de asemenea M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe dreapta PB, despre care se ştie că MN = 1. Să se calculeze lungimea segmentului (PB).

(problema este preluată cu schimbări minore de redactare din Supliment editat de revista Tribuna Învăţământului, Admiterea în liceu şi şcoala profesională, volumul II 1995, pag 22, la Variante de subiecte posibile, Testul I, autorii pentru partea de matematică au fost prof. Ghiciu N. şi Ghiciu G.). Precizez că această problemă nu are unităţi de măsură nici în original.

După cum spuneam mai sus, ţinând cont de faptul că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de materia clasei a 7-a, eu am adaptat problema la geometria plană. În forma aleasă de mine am integrat şi acea teoremă care cumva s-a pierdut din materia din şcolile româneşti, anume teorema care susţine că un triunghi înscris într-un semicerc este dreptunghic (eu prezint această teoremă la clasă sub titlul de Cercul lui Thales, după autorul ei, aşa cum este aceasta denumită în spaţiul de cultură german, inclusiv în Ungaria vecină; nu mi-am propus aici o nouă analiză a acestei “pierderi pe drum” a unei teoreme, fie ea şi de fapt se pare prima teoremă demonstrată de un om). Iată varianta de care vorbesc, publicată printre altele şi în culegerea scrisă în urmă cu cca. 20 ani (Grigorovici C.Titus, Grigorovici Mariana, De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, Humanitas Educaţional, 2006, pag.53, problema 55)

În cercul de diametru [BD] se înscrie patrulaterul ABCD cu şi AB=3 şi BC=2. Fie M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe diagonala [BD]. Calculaţi diametrul cercului ştiind că MN = 1.

2) Problema cu cele trei unghiuri de bază (30o, 45o, 60o) în spaţiu. La această problemă vă prezint de fapt o reconstituire a unei probleme întâlnită în urmă cu mulţi ani (să tot fie către 20 de ani), pe care am neglijat să o notez şi am pierdut-o efectiv, păstrând în amintire doar ideea că există o astfel de situaţie. Într-o primă încercare de postare am constatat o greşeală greu de corectat. Iată în continuare o variantă refăcută (într-o a doua încercre) a acestei probleme:

Fie ABC un triunghi dreptunghic în unghiul B cu AB = a şi AC = 3a, în care notăm cu M şi N mijloacele catetelor [BC] respectiv [AB]. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AP, de lungime AP=a. Determinaţi măsurile următoarelor unghiuri: a) unghiul dintre dreptele PC şi MN; b) unghiul dintre dreapta PM şi planul (ABC); c) unghiul diedru dintre planele (PBC) şi (ABC).

Precizez că cele trei unghiuri au ca măsuri cele trei valori uzuale în trigonometria gimnazială – 30o, 45o, 60o –  în asta constând “frumuseţea” acestei probleme. Sigur că sunt conştient de faptul că unghiul diedru nu este în programa specială de EN 2020, dar problema ca întreg este frumoasă şi merită dată elevilor, atât acum, cât şi pe viitor. Pentru a nu creea disonanţă cu prima, nu am pus unităţi de măsură nici la această a doua problemă.

Elevilor mai răsăriţi le putem preciza şi faptul că PABC este un tetraedru neregulat cu toate feţele triunghiuri dreptunghice. Acest corp nu este în materia oficială , dar poate fi inclus drept aplicaţie a teoremei celor trei perpendiculare. Pe lângă demonstrarea  faptului că toate feţele sunt dreptunghice, elevilor la putem cere şi calculul ariei totale a acestui corp.

3) “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune pe un tetraedru tridreptunghic. Este vorba de următoarea proprietate remarcabilă, de-a dreptul surprinzătoare:

Fie un tetraedru tridreptunghic, adică un tetraedru cu trei feţe triunghiuri dreptunghice, având toate trei unghiul drept în acelaşi vârf (evident că a patra faţă nu este triunghi dreptunghic). Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei feţe dreptunghice şi cu D aria celei de-a patra feţe (cea nedreptunghică). Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

Se înţelege acum de ce am botezat-o “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune: aria la pătrat fiind de fapt o mărime având unitate de lungime la puterea a 4-a. Revenind la tetraedrul tridreptunghic, putem înlocui această exprimare cu una mai uzuală în ultima vreme, ceva de genul: fie triunghiul MNP dreptunghic în P; pe planul acestuia ridicăm perpendiculara PR etc.

Eu am aflat despre această proprietate de la colegul Kjell Sammuelson din Suedia, dar am găsit ulterior problema într-una dintre lucrările lui George Pólya (Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag.50-53). Revenind la problemă, dacă notăm cele trei dimensiuni perpendiculare, de pildă cu x, y, z, atunci este evident că ariile A, B şi C se calculează uşor, dar pentru aria D se preconizează o muncă mai hotărâtă. Astfel, avem de ales între un parcurs obişnuit, incluzând şi teorema celor trei perpendiculare, sau un calcul algebric masiv pe baza formulei lui Heron. Sigur, această scurtă indicaţie nu exclude existenţa unor alte rezolvări, poate mai accesibile sau mai frumoase.

Rezolvarea prin formula lui Heron se potriveşte însă “ca o mănuşă” actualei situaţii în care lecţia cu expresii liniare (polinomiale sau cum le-o mai fi zicând, pentru că în programa de examen nu sunt denumite nicicum; în programa oficială sunt numite operaţii cu numere reale reprezentate prin litere), această lecţie a ajuns ciudat “în faţă”, după eliminarea funcţiilor şi a fracţiilor algebrice (pardon, a rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere). Desigur că cei care au avut curajul să aleagă această cale trebuie să se mobilizeze intens, dar spre final vor vedea că a meritat efortul (rezolvarea are zone de calcul algebric alambicat, ce s-ar potrivi la liceu, dar cum actualmente nu avem geometrie sintetică în liceu, asta ar fi ultima  ocazie clară).

Tot legat de această rezolvare, este evident că problema poate fi dată elevilor şi într-un format mai “domestic”, respectiv cu dimensiuni clare ale figurii (dificultatea problemei păstrându-se). De pildă, putem alege următoarea variantă (din nou tot fără unităţi de măsură, pentru conformitate cu prima problemă):

Fie triunghiul MNP dreptunghic în P, cu PM= şi PN=. Pe planul acestui triunghi ridicăm perpendiculara PR=. Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei triunghiuri dreptunghice MNP, MPR şi NPR, iar cu D aria triunghiului MNR. Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

4) Nu vă speriaţi, nu am greşit, rămân doar la trei probleme, dar am de data asta şi o întrebare de lansat şi aş vrea să profit de ocazie, dacă tot veni vorba de recuperarea de probleme pierdute. Aşadar, tot din categoria problemelor pierdute în negura anilor am şi o situaţie pe care nu reuşesc să o reconstitui (ca să recunosc, nici nu m-am preocupat tare mult să-i vin de hac). Este vorba de problema “tripletelor” pitagoreice în spaţiu, adică a unor situaţii cu numere întregi atât pentru laturile unui paralelipipedul dreptunghic cât şi pentru diagonala acestuia. Cu alte cuvinte, mă interesează cvadruple de numere naturale pentru care a2 + b2 + c2 = d2. Am avut în anii ’90 un astfel de exemplu, dar nu l-am notat clar undeva şi l-am pierdut. Desigur că mă refer la un exemplu care să nu fie intermediat de cazuri de triplete pitagoreice plane, cum ar fi 32 + 42 = 52, iar apoi 52 + 122 = 132, de unde 32 + 42 + 122 = 132. În exemplul pierdut (cu dimensiuni întregi) toate diagonalele feţelor paralelipipedului erau numere iraţionale, dar diagonala interioară era număr întreg.

Spor la lucru! Cu mulţumiri anticipate pentru ultima întrebare, CTG

P.S. Am precizat că prima problemă, cea cu MN = 1, este dintr-o variantă de subiecte posibile publicată în 1995 pentru examenul din finalul clasei a 8-a din 1996, într-un supliment al revistei Tribuna învăţământului (un fel de ziar ce se găsea de cumpărat la vremea respectivă la chioşcuri; ţin minte că erau tipărite pe o hârtie de aşa de proastă calitate, încât mă duceam la început, după ce le cumpăram, şi îmi comandam o copie xeroxată care ţinea mult mai bine la folosinţa zilnică). Problema respectivă este ultima din această variantă propusă, fiind problema de geometrie în spaţiu, valorând 1,5p din totalul notei. Mă gândeam că poate există doritori care ar fi curioşi să afle şi problema din geometria plană propusă de autori în acel test (problema premergătoare, tot de 1,5p, acestea două fiind singurele elemente de geometrie din acea variantă de test). Iată această problemă:

Pe latura [BC] a triunghiului ABC se consideră punctele D şi E astfel încât (BD) ≡ (DE) ≡ (EC). Dacă M şi N sunt intersecţiile medianelor (BB’) cu (AD), respectiv (CC’) cu (AE), să se demonstreze că MN || BC şi MN = BC/4.

O problemă despre formatul A4

Următoarea problemă am descoperit-o încercând să-i explic unui elev anumite detalii de fineţe legate du unghiul diedru:

Luăm o coală de format A4 şi îi notăm colţurile cu A, B, C, D astfel încât latura [AB] să reprezinte lungimea dreptunghiului ABCD. Pliem apoi coala de-a lungul diagonalei [BD], astfel încât triunghiul BCD să rămână pe planul mesei, iar triunghiul ABD să se ridice până când punctul A ajunge deasupra laturii [DC], adică până când proiecţia ortogonală a punctului A pe planul (BCD) să aparţină lungimii [DC]. Determinaţi în această situaţie măsura “unghiului diedru” format de planele (ABD) şi (BCD).

C.T.Grigorovici, 9 ian. 2020

*

Înainte de a ataca această problemă este recomandat să studiaţi şi să vă încălziţi cu următoarele trei probleme de geometrie plană, rezultatele cărora (din câte văd eu) trebuind utilizate la problema principală. Este evident că întreg pachetul poate fi folosit minunat în pregătirea pentru olimpiadă.

1) Dacă împăturim o coală A4 în două” obţinem o coală A5. Două coli A4 alăturate, cu lungimea comună, formează o coală A3. Una din condiţiile de “funcţionare” a sistemului de formate A (A3, A4, A5 etc.) este cerinţa ca dreptunghiurile respective să fie asemenea. În această condiţie demonstraţi că raportul lungimii faţă de lăţime este obligatoriu egal cu . La această problemă căutaţi două demonstraţii: una pe bază de tehnică de calcul algebric, iar cealaltă pe bază de elemente curate de geometrie, prin împăturirea succesivă a unei coli de hârtie, fără a scrie nimic (demonstraţie indiană de tipul: se vede!).

2) Considerăm cubul ABCDA’B’C’D’. Găsiţi legătura dintre secţiunea diagonală ACC’A’ şi problema precedentă, iar apoi demonstraţi că , O fiind centrul bazei ABCD.

3) Fie paralelogramul ABCD în care alegem punctele M şi N mijloacele laturilor [CD] respectiv [AB]. Demonstraţi că segmentele [AM] şi [CN] împart diagonala [BD] în trei segmente congruente. Şi invers, adică diagonala [BD] taie “medianele” [AM] şi [CN] în segmente în raportul 1:2.

*

La începutul anilor ’90 exista încă o adevărată isterie când venea vorba despre denumirea unghiului diedru. Cerinţa oficială de denumire – absolut corectă, de altfel – era următoarea: determinaţi măsura unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (ABD) şi (BCD). Să analizăm puţin fondul acestei exprimări. Unghiul reprezintă o figură geometrică plană (2D, cum s-ar spune acum), pe când diedrul reprezintă figura geometrică corespunzătoare în spaţiu (3D, în exprimarea modernă). Măsura deschiderii unui unghi plan este lămurită din clasa a 6-a. Pentru deschiderea unui diedru (3D) nu există o teorie nouă, ci măsura acestei deschideri se determină prin transferul pe un unghi plan (2D), un unghi între două semidrepte.

O singură “hibă” are întreaga teorie: esprimarea respectivă este mult prea lungă pentru a fi folosită în viaţa de zi cu zi. Toată lumea spunea de fapt: determinaţi măsura unghiului diedru format de planele (ABD) şi (BCD), dar această prescurtare prezenta celui care o folosea o vulnerabilitate clară în faţa unei alte persoane de a fi criticat pentru că nu s-a exprimat corect. Iar pedanţi “ultra-ortodoxi”, vânători de greşeli de exprimare, dispuşi imediat a te critica, din aceştia nu duceam lipsă.

Din fericire, lucrurile s-au mai calmat, aşa încât prin anul 2000 nimeni nu se mai obosea să folosească exprimarea riguroasă, toţi acceptând deja “unghiul diedru”. Eu prezint la clasă aceste observaţii la fiecare clasă a 8-a, mai ales pentru înţelegerea fenomenului de către elevii buni.

Există în general două categorii de probleme cu unghi diedru. În primul rând sunt cele în care se cere unghiul diedru între un plan “înclinat” şi un plan “orizontal” în figura respectivă, de pildă între o faţă laterală şi planul bazei la o piramidă. Astfel de probleme intră “în materia de examen” pentru note mari la EN. Pe lângă acestea există apoi şi probleme în care se cere unghiul diedru între două plane “înclinate”. Este de aşteptat ca astfel de cerinţe să nu se dea la EN, dar la olimpiade pot veni liniştit.

Există şi o altă clasificare posibilă. La problemele din prima categorie, mai ales la cele din corpurile regulate studiate, unghiul diedru căutat ne apare format de două triunghiuri isiscele, astfel încât perpendicularele din cele două plane să meargă pe dreapta comună în acelaşi punct (într-o piramidă patrulateră regulată VABCD, Apotema piramidei VM şi apotema bazei OM nimeresc amândouă în milocul muchiei bazei). O problemă în care cele două perpendiculare duse natural în figura respectivă nu nimeresc în acelaşi punct pe dreapta de intersecţie a celor două plane, o astfel de problemă creşte automat dificultatea situaţiei. O astfel de problemă este cea din această postare.

Iar dacă tot am ajuns la elevii buni, în altă ordine de idei, cândva în primăvara clasei a 8-a îmi propun să lămuresc – măcar pe scurt – şi existenţa piesei lipsă din alt “tablou”. Anume, că noi vorbim de diedru şi de tetraedru, dar nu vorbim de hexaedru, de octaedre, dar mai ales nu vorbin de triedru. Oare ce este acela un triedru? Eu am un astfel de obiect şi îl duc elevilor, doar aşa pentru cultură generală, cu precizarea că aşa ceva nu este în materia şcolară, deci nici pentru examen. CTG

Boris Kordemsky şi gicitoarea săptămânii în revista SPIEGEL

În ediţia on-line a revistei germane Der Spiegel (se citeşte Şpiigăl) a fost publicată următoarea provocare: Nouă cifre, câteva semne de plus şi rezultatul 99.

Postarea respectivă este de duminică 06.10.2019, iar autorii rubricii respective se numesc Holger Dambeck şi Michael Niestedt. Unul dintre ei scrie următoarele: în căutarea unor problemuţe sau ghicitori palpitante dau deseori peste cărţi foarte vechi. Problema următoare provine din cartea lui Boris Kordemsky, apărută în 1959 la Moscova. Un cititor amabil mi-a trimis cartea publicată în fosta RDG … (notă: Republica Democratică a Germaniei, fosta Germanie de est, pe germană DDR – Deutsche Demokratische Republik). Problema este prezentată în carte scurt, într-o singură frază:

Câte semne de plus trebuie puse între cifrele 123456789, astfel încât să se obţină suma 99? O scurtă explicaţie: dacă punem plusuri între toate cifrele atunci suma obţinută este prea mică (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 < 99). Dacă între 8 şi 9 nu se pune plus, atunci suma este prea mare (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 89 > 99).
Articolul se găsește la adresa https://www.spiegel.de/karriere/kann-diese-rechnung-aufgehen-1-2-3-4-5-6-7-8-9-99-raetsel-der-woche-a-1289695.html

*

Primul lucru ce l-am făcut la vederea acestui articol a fost să caut în ediţia în limba română a acestei cărţi (tot din 1959), dar n-am găsit problema (poate este, dar eu n-am văzut-o; vezi B. A. Kordemski, Matematică distractivă, Ed. Tineretului, 1959). Oricum, despre această carte ştiu că există în diferite limbi traduceri cu mici variaţiuni legate de problemele conţinute. De pildă, în traducerea de la Editura Paralela 45 (Boris A. Kordemsky, 359 de probleme de matematică recreativă – Puzzle-uri celebre, Paralela 45, 2015) se găseşte la pagina 41 problema cu pisici care nu apare în exemplarul meu din 1959. Care problemă cu pisici? Păi, să v-o prezint într-o variantă prescurtată şi personalizată: Câte pisici are Iulia, ştiind că numărul lor este egal cu trei sferturi din numărul lor şi încă trei sferturi de pisică? E clar că Iulia iubeste pisicile şi, staţi liniştiţi, nu trebuie să tăiaţi nici măcar o pisicuţă în bucăţi pentru rezolvarea acestei probleme. Revenind la culegerea tradusă la Paralela 45, problema cu pisicile nu este singura problemă ce nu apare în varianta românească din 1959. Nu am cunoştinţă să existe şi alte traduceri vechi din anii comunişti în română.
Dacă tot am deschis subiectul cărţii lui Boris Kordemsky, îmi permit să mai amintesc două aspecte despre aceasta: în primul rând trebuie precizat că este vorba despre probabil cea mai bună şi mai cunoscută carte de matematică distractivă din lume. Am informaţii că inclusiv regretatul Profesor Solomon Marcus s-a exprimat în favoarea republicării acestei cărţi, considerând-o una dintre cărţile de bază. Martin Gardiner, omologul şi prietenul american al lui Kordemsky, a preluat deseori probleme de la acesta, şi chiar s-a implicat (în anii războiului rece) în editarea cărţii lui Kordemsky în America. Aceste informaţii sunt preluate din prefaţa ediţiei de la Paralela 45, care este tradusă în română via engleza americănească. De aici apare al doilea aspect: pe lângă multele probleme noi, ce nu apar în varianta românească din 1959, în tirajul din care am achiziţionat şi eu un exemplar al acestei culegeri din 2015 de la Paralela 45 există din păcate şi greşeli de traducere. Iar acestea nu sunt puţine. Eu am verificat de la pagina 39 la pagina 41 şi am găsit un număr de opt probleme greşite, denaturate sau prezentate într-o situaţie neclară (de la 76; 77A, B, C, …, K; 78 şi până la 83 sunt în total 18 probleme). Nu am verificat restul cărţii – nu este de datoria mea să fac aşa ceva – dar oricum nu am cum recomanda această carte în gura mare, atâta vreme cât am găsit astfel de pasaje şi nu există o certitudine că acestea au fost remediate. Nu am informaţii dacă editura s-ar fi ocupat de corectură sau nu, dar eu mi-am făcut datoria şi i-am anunţat atunci, în primăvara lui 2016 despre aceste greşeli în cascadă; încă nu am primit nici un răspuns în acest sens (totul a pornit de la problema 81 cu Pasagerul adormit, care nu se poate face cu datele oferite, lipsindu-i o parte de text). CTG

Pisica, masa şi canarul

Când pisica Pusi stă sub masă, iar canarul Cico stă pe masă, diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 60 cm. Dacă pisica Pusi se suie pe masă atunci canarul Cico zboară jos şi se plimbă sub masă pe podea. În acest caz diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 90 cm. Ce înălţime are masa?

*

De curând am primit un e-mail de la site-ul mquest.ro cu adresa unui filmuleţ conţinând o problemă şi diferite rezolvări pentru aceasta. Deşi cunosc foarte multe probleme vechi, caracterizate printr-un farmec special inconfundabil, recunosc că nu cunoşteam această problemă (impregnată cu acelaşi farmec special). Textul de mai sus reprezintă o încercare personală de a vă prezenta problema respectivă într-o formă mai atractivă (de pildă, problema din filmuleţul respectiv vorbea de o pisică şi o broască, care stăteau pe rând sub masă sau pe masă), formă care să provoace şi imaginaţia rezolvitorului. Totodată textul astfel aranjat poate fi dus liniştit la clasă fără a apela la un calculator sau la alte mijloace super tehnologizate.

Deşi preferata mea este o rezolvare prin metoda reducerii, în cadrul filmuleţului este prezentată şi o rezolvare aşa-zisă “de clasa a 3-a” (ce persoană o fi avut aşa o imaginaţie “bolnavă” încât să gândească cele două situaţii cocoţate una peste cealaltă?). Dacă v-am trezit curiozitatea şi doriţi să vedeti filmuleţul, îl găsiţi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=t-9QJMdVe7k.

O problemă de groază cu două fantome şi mult whiskey

Într-un castel vechi din munţii Scoţiei o singură fereastră este luminată. Aici Sir Jerome MacHumbough, stăpînul castelului scrie arborele genealogic al familiei sale. Adică ar vrea să-l scrie, dacă n-ar tremura de frica fantomelor care bântuie castelul. Nici zidurile groase nu-l apără contra acestora. Peste tot în castel se aude cînd plânsul, când râsul fantomelor, uneori chiar amândouă împreună.

La început a crezut că râsul este rezultatul conţinutului operei sale (în care a exagerat faptele eroice ale strămoşilor săi), iar plânsul este al fantomei din castelul vecin (faptele stăpânilor acestuia fiind diminuate de el). Dar cu timpul şi-a dat seama că nu este aşa, întrucât cele două fantome respectă nişte reguli surprinzătoare:

Pe de o parte, acestea nu aşteaptă nici măcar miezul nopţii, ca orice fantomă obişnuită, ci activează de la apusul soarelui pănă în zori fără întrerupere. Este însă adevărat că dacă vre-una nu a început să activeze la apusul soarelul, Sir Jerome poate să fie sigur că în acea noapte va avea linişte din partea acesteia. Pe de altă parte, Sir Jerome a constatat cu surprindere că poate să influenţeze activitatea fantomelor:

  1. Dacă uşa camerei de lucru spre balcon a fost deschisă ziua respectivă, atunci “fantoma plângăreaţă” face la fel ca în noaptea precedentă (adică plânge dacă în noaptea precedentă a plâns, dar tace dacă în noaptea precedentă a tăcut). “Fantoma care râde” însă, face tocmai invers decît în noaptea precedentă, atunci cînd uşa balconului a fost deschisă în ziua respectivă (adică râde dacă noaptea precedentă a tăcut şi tace dacă noaptea precedentă a râs).
  2. Dacă însă uşa amintită a fost închisă toată ziua, atunci cel care râde se comportă ca plângăreţul în noaptea precedentă (adică râde dace acesta a plâns şi tace dacă acesta a tăcut). Plângăreţul însă, în cele mai multe cazuri se adaptează fantomei care râde, dar nu oricum. În acest caz, cum plângăreţul se adaptează sau nu celeia care râde depinde de ce fel de whiskey a băut Sir Jerome în ziua respectivă. Adică:
  • Dacă a băut numai Johnnie Walker, atunci plângăreţul face la fel ca cealaltă fantomă în noaptea precedentă: plânge dacă aceasta a râs şi tace dacă aceasta a tăcut.
  • Dacă a băut numai Black and White, atunci plângăreţul face tocmai invers decît cel care râde: plânge dacă acesta a tăcut şi tace dacă acesta a râs.
  • În cazul în care Sir Jerome a băut din ambele whiskey-uri “fantoma plângăreaţă” devine independentă faţă de “fantoma care râde” şi face invers de cum a făcut ea însuşi în noaptea precedentă: plânge dacă a tăcut şi tace dacă a plâns.

Puterea plânsului sau a râsului, după experienţa lui Sir Jerome, este direct proporţională cu cantitatea de whiskey consumată. Trebuie menţionat totodată faptul că lui Sir Jerome nu-i plac alte whiskey-uri în afară de cele două menţionate, însă nici nu-şi poate imagina să treacă o zi fără a bea whiskey.

Ce trebuie să facă Sir Jerome, ca ambele fantome să-i dea definitiv pace?

*

Am găsit această problemă pe o coală de hârtie veche, îngălbenită de timp, între foile rămase de la socrul meu, inginerul Dodul Eugen, un mare pasionat de matematică, dar şi de pasenţe şi în general de orice probleme de logică. Problema este scrisă la o maşină de scris veche, dar cu diacritice româneşti, având banda de tuş “destul de obosită”. Pe coala respectivă de hârtie nu este menţionată nici o sursă oficială a acestei probleme. Spor la gândit! Pentru inspiraţie puteţi încerca cu un pahar de whiskey (la libera alegere). Sir Teacher’s

Câte piese are un puzzle de 100 de piese?

Pentru că, staţi liniştiţi, nu prea poate să aibă exact 100 de piese. De ce? Păi, pentru că numărul 100 nu poate fi scris ca produs de două numere diferite reprezentând lungimea şi lăţimea unui dreptunghi obişnuit, adică cu un raport între ele undeva în jurul lui 1,5.

Cred că între timp vă merg rotiţele creierului la turaţie maximă. Într-un puzzle simplu pentru copii de 6 ani poate sta ascunsă atâta matematică?  100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 = 10 x 10. Dar ultima variantă nu este bună ca dreptunghi, că e pătrat, iar celelalte sunt dreptunghiuri prea lungi. Deci, câte piese are de fapt un astfel de puzzle?

Toată povestea a ieşit la iveală când fică-mea a căutat un puzzle de când era copiliţă, ca să-l ducem cadou în vizită unei fetiţe de 7 ani. A venit cu un puzzle nemţesc foarte frumos, cu prinţesa Ariel, şi s-a gândit să-l verifice dacă este complet. Aşa că i-a numărat piesele şi – surpriză! – i-au ieşit 104 bucăţi. Or fi şi bucăţi de la alt puzzle? Hai să vedem, aşa că s-a apucat să-l facă. Şi iarăşi surpriză, puzzle-ul era complet şi avea exact 104 piese. Păi, cum? Păi, simplu: 104 = 13 x 8 (se vedea şi numărând lungimea şi lăţimea, se poate deduce şi descompunând numărul 104 şi combinând factorii în două produse). Iar 13 cu 8, luate ca lungime şi lăţime, dau un raport de dreptunghi frumos, 13 : 8 = 1,625 foarte aproape de numărul de aur 1,618 (asta nu i-am explicat fiicei noastre). Repede am început să căutăm şi alte aproximări. De pildă, numărul 96 = 12 x 8 are aproximarea 1,5 destul de bună şi aceasta.

De aici se nasc două întrebări. Prima este: ce se întâmplă la celelalte variante de puzzle-uri? Cum stă treaba la puzzle-urile de 500 sau la cele de 1000 de bucăţi? Poate acolo există variant exacte (1000 = 40 x 25?). Sau dacă nu, din nou câte piese are un puzzle de 1000 de piese? Dacă îl avem făcut, răspunsul este uşor, dacă nu, vai de noi!

A doua întrebare: la ce vârstă, în ce clasă ar fi bună această problemă “de cercetare”? Ţinând cont că avem aria dreptunghiului şi descompunerea numerelor în factori, trebuie să fim spre finalul clasei a V-a. Dacă vrem să implicăm şi ideea de raport, atunci trebuie să mai aşteptăm, undeva în semestrul II al clasei a VI-a. Dacă înţelegem că este vorba de fapt de asemănarea dreptunghiurilor, atunci ne gândim la clasa a VII-a. Eu aş înclina pentru această ultimă variantă; rămâne de stabilit când, după sau înaintea lecţiei despre asemănarea triunghiurilor? Ambele variante au avantajele lor. Fiica noastră tocmai ce a terminat clasa a VII-a.

Asemănarea dreptunghiurilor este o asemănare mai simplă, pentru că nu implică şi unghiurile. Mai mult, din punct de vedere a rapoartelor implică o simplă proporţie, nu un şir de trei rapoarte egale. Deci, ideea de asemănare poate fi dedusă din întrebarea de titlu, pe baza figurii celei mai des folosite în viaţa de zi cu zi, anume dreptunghiul, ca un preambul, după care, în ora următoare vine lecţia de asemănare a triunghiurilor.

Se poate urma şi ordinea opusă: parcurgem asemănarea triunghiului cu toate problemele sale, iar apoi cândva, ulterior (poate înainte de vacanţă, când nimeni nu mai are chef de lecţii serioase) le punem elevilor această întrebare. Din discuţii deducem încet că este vorba de asemănarea dreptunghiurilor (uneori şi elevii întreabă dacă există doar asemănarea triunghiurilor, sau asta se întâmplă şi la patrulatere?). În acest caz putem observa că aici vorbim de un raport “autocomparativ”, între două laturi ale aceleiaşi figuri, nu ca la asemănare unde avem raportul “de asemănare” între elementele corespunzătoare din două figuri.

Elevii pot primi ca temă de durată rugămintea de a studia cum stau lucrurile concret la diferite puzzle-uri ce le au acasă sau le găsesc la cunoştinţe. Astfel, brusc matematica iese din caiete şi manuale, relevându-se ca activă unde nici nu te aşteptai. Aşa că, de acum înainte uitaţi-vă mai cu atenţie la puzzle-uri.

Familia Grigorovici în vacanţă

Îmi meditez copilul – Karinthy Frigyes

Regula de trei compusă: lectură la început de vacanţă pentru descreţit frunţile

Dacă nouă sobe în cinci zile şi jumătate consumă doisprezece metri cubi de lemne de fag, în cîte zile consumă douăsprezece sobe nouă metri cubi de lemne de fag?
Dacă nouă sobe …

Stau la birou citind un articol oarecare, dar mi-e imposibil să-l urmăresc cu atenţie. Din camera vecină aud pentru a treizeci şi cincea oară aceeaşi frază.

Ce dracu o fi cu lemnele acelea de fag? Trebuie să ies, să văd.

Gabi stă ghemuit, cu coatele pe masă şi îşi roade tocul. Mă prefac că am ieşit din odaia mea pentru alte motive. Cotrobăiesc, preocupat, în dulapul de cărţi. Gabi se uită la mine pe furiş. Mă încrunt ca un om copleşit de gânduri, căruia nici prin minte nu-i trece să ia cunoştinţă de prezenţa lui. Simt că Gabi tocmai la aşa ceva se gândeşte şi repet cu încăpăţânare în sinea mea: “Dacă nouă fagi … doisprezece metri cubi … atunci în cîte sobe …” Ei drăcie! Cum vine asta?

Trec, distrat, prin faţa băiatului. Deodată mă opresc, parcă numai în clipa aceea l-aş fi observat:

Ei, dragul tatii, merge, merge?

Gabi îşi lasă buzele în jos.

Tăticule …
Ce este?
Nu pricep chestia asta aici …
Nu pricepi?! … Bine, Gabi, cum poţi spune aşa ceva? … Nu ţi s-a explicat la şcoală?
Ba da, dar …

Îmi dreg vocea, apoi îi vorbesc aspru şi contrariat.

Eh, ia să vedem, ce nu pricepi?

Gabi începe să turuie repede, cu lăcomie şi uşurat, ca omul căruia i s-a luat o povară de pe umeri.

Uite ce-i tăticule … Dacă nouă sobe consumă timp de cinci zile şi jumătate doisprezece metri cubi de lemne de fag …

Intervin furios:

Tara-tara, tara-tara … Nu mai turui! Aşa nu se poate gândi logic. Hai, spune încă o dată, de la început, frumos şi liniştit: să vezi cum ai să înţelegi. Fă-mi puţin loc.

Gabi se dă sprinten şi fericit la o parte. E ferm convins că în clipa aceasta toată grija problemei a trecut-o în cîrca mea şi crede că eu nu-mi dau seama de acest lucru. El nu ştie, n-are de unde să ştie că această scenă s-a petrecut aidoma, acum douăzeci şi ceva de ani, atît numai că atunci cel care se dădea la o parte – tot aşa de fericit şi de uşurat – eram eu, iar cel care se aşeza lîngă mine, tot aşa de important şi de înciudat cum sînt eu acum, era tatăl meu. Dar, ceea ce e şi mai înfiorător, e că, în clipa aceasta îmi dau limpede seama că şi atunci, ca şi acum, era vorba de exact aceeaşi problemă! … Da, da … aşa e, fără nici o îndoială … lemnele de fag şi soba! … Sfinte Dumnezeule … atunci eram cît pe ce să o înţeleg, dar acum iată că am uitat-o! …

Trecutul de douăzeci şi cîţiva de ani se cufundă într-o singură clipită în neant. Cum a şi fost?

Uite ce-i, Gabi – îi spun eu plin de răbdare – omul nu se gîndeşte cu gura, ci cu mintea. Spune-mi, ce nu pricepi?! … Totul e doar simplu şi clar, ca lumina zilei; chestiile astea le pricepe chiar şi un elev de clasa întîi primară, dacă bine-înţeles, e atent. Uite dragul meu: va să zică, aici e vorba de nouă sobe care consumă, în răstimp de cinci zile şi jumătate, atîtea şi atîtea lemne de fag. Ei? Ce nu pricepi aici?
Tăticule, asta o pricep … dar nu ştiu dacă prima proporţie e inversă şi a doua e directă sau prima este directă şi a doua inversă, sau amîndouă sînt directe sau amîndouă inverse.

La rădăcina părului, prin pielea capului încep să mă săgeteze fiori reci. Ce tot îi dă zor băiatul ăsta, alandala, cu proporţiile? Ce-or mai fi şi afurisitele alea de proporţii? … Cum aş putea să le dau de rost la iuţeală?

De data aceasta mă răstesc aspru la el:

Gabi! … Iar a început să-ţi meargă gura ca o moară! Cum vrei să înţelegi aşa ceva? … Omul cu gura se gîn … vrau să zic … în definitiv … ce-i aia inverse şi directe, directe şi inverse, tara-tara, tara-tara, parcă ai bate darabana pe perete!

Gabi rîde. Eu ţip:

Nu rîde! De asta crezi tu că te port la şcoală şi mă zbat pentru tine?! … Uite unde ajungi, dacă nu eşti atent la lecţii! Păi tu nu ştii nici măcar … (Mă uit la el uimit, mă prefac că mi-a trecut prin minte o bănuială înfiorătoare.) Tu nu ştii nici măcar ce este o proporţie?! …
Vai de mine, tăticule … proporţia este …proporţia … proporţia este … raportul dintre doi termeni în care cîtul termenilor interni … respectiv produsul termenilor externi …

Plesnesc din palme:

Ei, ce spuneam eu? Cogeamite flăcău de paisprezece ani şi nu ştie ce este o proporţie!

Gabi îşi lasă buza în jos.

Bine, dar ce este?
Ce este! Ei bine, păcătosule, să-ţi iei numaidecît cartea şi să repeţi definiţia de treizeci de ori … Altfel …

Gabi, intimidat, răsfoieşte manualul, apoi începe să turuie:

Proporţia este acea valoare în care cei doi termeni interni se raportează la alte două valori … ca … da, tăticule, dar care sînt aici termenii interni? Cantitatea lemnelor de fag şi numărul zilelor? Sau numărul sobelor şi volumul lemnelor de fag?
Iar ai început să turui?! Ia’ dă cartea încoace.

De data aceasta încep să vorbesc extrem de grav.

Ia uită-te aici şi nu fi prost. Totul e doar clar ca lumina zilei. Uite ce simplu e. Ei! Fii atent! Va să zică dacă nouă sobe consumă, în atâtea zile, atîtea şi atîtea lemne de fag, deci, dacă atîtea şi atîtea lemne de fag se consumă în nouă zile, e clar, nu-i aşa, că în douăsprezece zile nu se vor mai consuma numai atîtea şi atîtea , ci …
Da, tăticule, pînă aici înţeleg şi eu, dar proporţia …

De data asta mă înfurii de-a binelea.

Taci din gură şi nu mă mai tot întrerupe, aşa nu pot înţe … vreau să zic că aşa nu poţi înţelege nimic … Fi atent! Dacă în nouă zile … atîtea şi atîtea, atunci în douăsprezece zile să zicem că tot atîtea, plus cu atîtea mai mult. Dar în schimb … nu, pardon … totuşi, nu se consumă mai mult, fiindcă nu e vorba de nouă sobe, ci de douăsprezece, deci cu atîtea va fi mai puţin, adică cu atîtea mai mult, decît dacă ar fi fost mai puţin cu tot atîtea, decît cu cît a fost mai mult … Fiindcă vezi tu, proporţia … da, da, proporţia …

… Deodată mi se face lumină în cap. Marea cunoaştere mă străbate ca o lovitură de trăsnet. Douăzeci şi cîţiva de ani a trăit mocnită, ascunsă în mine – da, da, şi acum, abia acum am descoperit-o. Da, nu-i nici o îndoială că atunci, acolo …e evident da, da e absolut evident, că nici tatăl meu n-a înţeles această problemă

Mă uit pe furiş la Gabi. Băiatul, între timp a deschis pe neobservate, cartea de istorie şi, topimdu-se de plăcere, se uită cu un ochi la ilustraţia care îl înfăţişează pe Paul Chinezu1 burduşind doi turci.

Îl plesnesc peste căpăţînă, de răsună odaia.

Na! … Crezi că-s nebun să mă căznesc cu tine cînd mintea ta colindă în altă parte?

Gabi urlă, ca cei doi turci împreună.

Iar eu mă ridic uşurat. Prin ceaţa trecutului o faţă de om prinde a se desluşi: a tatălui meu, în clipa cînd m-a plesnit peste cap, vesel şi uşurat, spunîndu-mi parcă: dă-o mai departe copilului tău, mie mi-a fost de ajuns! Şi pornind apoi, fără grijă, fluierînd, cu mîinile în buzunar, spre mormînt, unde este cu totul indiferent în cîte zile se consumă nouă metri cubi de lemne de fag şi … şaizeci-şaptezeci de ani de viaţă …

1 Paul Chinezu – Luptător împotriva turcilor, de o forţă legendară. A trăit în sec. XV.

*

Schiţa de mai sus este preluată din Karinthy Frigues, Daţi-mi voie, domnule profesor…, Ed. Facla, 1977, pag.129-135, în traducerea lui Aurel Buteanu, apărută iniţial în româneşte la Ed. Tineretului, 1961. Nu voi cădea în capcana de a începe să comentez, analizănd din diferite puncte de vedere situaţia prezentată în mod briliant de autorul maghiar. Chiar dacă tratează o temă din afara programei, pentru starea prezentă a învăţământulul românesc textul este de o actualitate năucitoare, şi nu mă pot abţine să îmi imaginez un cerc de dascăli, învăţători, profesori de diferite materii şi psihologi şcolari, poate chiar şi reprezentanţi ai părinţilor, în cadrul unui proces de brain-storming, dezbătând multitudinea de aspecte ce pot fi deduse din această schiţă. Aşa că vă las pe dvs., stimaţi colegi, să încercaţi să faceţi acest lucru, fiecare după gândurile, preocupările şi imaginaţia sa.

Dar, dacă tot am deschis cutia prăfuită “dusă de mulţi ani în podu’ casei”, cutia cu regula de trei compusă, haideţi să vă mai propun o problemă cu iz de îmbârligătură de limbă, problemă ce o port cu mine cam de 20 de ani. Aceasta sună astfel: La o fermă avicolă, specialişti au stabilit că, în medie, o găină şi jumătate depune într-o zi şi jumătate un ou şi jumătate. Câte ouă depun nouă găini în nouă zile? Să nu cumva să vă repeziţi şi să daţi răspunsul nouă ouă. Luaţi-o încet şi gândiţi bine problema, iar dacă faceţi parte dintre cei ce nu stăpânesc o metodă mai directă pentru regula de trei compusă (metodele de stil vechi), luaţi-o băbeşte şi faceţi reducerea la unitate. Distracţie plăcută! CTG

Matematica în Biblie – Suma lui Gauss (1)

Numărul 17 este la mare cinste în Sfânta Scriptură: spre finalul Evangheliei după Ioan, 21, citim despre a treia oară când Isus S-a arătat ucenicilor Săi, după ce înviase din morţi, la marea Tiberiadei.

  1. Simon Petru le-a zis [celorlalţi]: “Mă duc să prind peşte.” “Mergem şi noi cu tine,” i-au zis ei. Au ieşit, şi au intrat într’o corabie; şi n’au prins nimic în noaptea aceea.
  2. 4. Dimineaţa, Isus stătea pe ţărm: dar ucenicii nu ştiau că este Isus.
  3. “Copii,” le-a zis Isus, “aveţi ceva de mîncare?” Ei I-au răspuns: “Nu.”
  4. El le-a zis: “Aruncaţi mreaja în partea dreaptă a corăbiei, şi veţi găsi.” Au aruncat-o deci, şi n’o mai puteau trage de mulţimea peştilor.
  5. Atunci ucenicul, pe care-l iubea Isus, a zis lui Petru: “Este Domnul!” Cînd a auzit Simon Petru că este Domnul şi-a pus haina pe el, şi s’a încins, căci era dezbrăcat, şi s’a aruncat în mare.
  6. Ceilalţi ucenici au venit cu corăbioara, trăgând mreaja cu peşti, pentru că nu erau departe de ţărm decît ca la două sute de coţi.
  7. Cînd s’au pogorît pe ţărm au văzut acolo jăratic de cărbuni, peşte pus deasupra şi pîine.
  8. Isus le-a zis: “Aduceţi din peştii, pe cari i-aţi prins acum.”
  9. Simon Petru s’a suit în corăbioară, şi a tras mreaja la ţărm, plină cu o sută cincizeci şi trei de peşti mari; şi, măcar că erau atîţia, nu s’a rupt mreaja.
  10. “Veniţi de prînziţi,” le-a zis Isus. Şi nici unul dintre ucenici nu cuteza să-L întrebe: “Cine eşti?” căci ştiau că este Domnul.

Pentru a încerca să înţelegeţi ce vreau să spun, vă rog să calculaţi Suma lui Gauss până la 17, aducă suma S17 = 1 + 2 + 3 + … + 17. Şi, da, răspunsul este 153. Desigur că nu mi-am propus să mă lansez într-o încercare de explicare, ci doar să vă informez despre acest fapt, care este evident de sorginte matematică.

O observaţie metodico-didactică merită totuşi făcută. Consider că tema este potrivită elevilor de clasa a VIII-a. Astfel, putem merge la clasă cândva prin luna mai, după Sărbătoarea Paştilor, să le citim pasajul respectiv şi să-i întrebăm dacă nu cumva acesta ar fi rezultatul unei Sume Gauss. Unii vor rezolva dilema prin încercări succesive, dar îi putem provoca să găsească soluţia folosind ecuaţia de gradul II. Egalând formula sumei primilor n numere naturale cu 153 se obţine rezultatul, care le apare elevilor ca o mare surpriză. Dacă aveţi curajul (să vă puneţi cu gura lumii) şi simţiţi că “elevii duc”, puteţi relua întrebarea cu numărul 666 din Apocalipsă. Surpriză? Simţiţi cum întrebarea despre “numărul bestiei” capătă cu totul noi valenţe? Ce reprezintă de fapt bestia? Cunoaşterea? Eu nu ştiu, dar sigur nu poate să fie o simplă coincidenţă. Oricum, ideea de a face ecuaţii de gradul II din Biblie este o idee ieşită din comun, iar elevii o vor purta în amintire toată viaţa.

CTG

Repetarea calendarului (3)

În continuarea explicaţiilor din postarea precedentă pe tema repetării calendarului, doresc să vă prezint în această ultimă parte notiţele mele din zilele de început a anului 2017, atunci când am rezolvat această problemă. “Marea idee” a fost să figurez cei şapte ani normali pe un cerc, la fel şi cei şapte ani bisecţi posibili. Iniţial am încercat parcursul unei perioade de 28 de an pendulând pe cele două cercuri după principiul: trei paşi succesivi pe cercul calendarelor normale şi un pas (dublu) pe cercul calendarelor bisecte. Astfel am obţinut prima dată lista succesiunii celor 14 calendare posibile într-un ciclu de 28 de ani după care succesiunea începea din nou de la capăt:

a, b, c, F, f, g, a, E, d, e, f, D, b, c, d, C, g, a, b, B, e, f, g, A, c, d, e, G, → a

Cel mai interesant în acest şir este faptul că un calendar – de exemplu cel notat cu a – nu se repetă echidistant (nici nu avea cum, 28 nefiind divizibil cu 3), ci într-un ciclu de → 6 ani→11 ani → 11 ani →. Anii bisecţi apar doar o dată într-un ciclu de 28 de ani. Singura provocare în acest moment a fost dorinţa de a cuprinde într-o singură formă circulară (de fapt heptagonală) cele două cercuri de calendare. În imaginea alăturată vedeţi rezultatul acestor strădanii, împreună cu notiţele colaterale din acel moment. De pildă, vedeţi în partea dreaptă o primă încercare de a stabili care au fost precedenţii trei ani şi următorii trei ani care au calendarul identic cu anul 2017. Astfel, au acelaşi calendar anii 1989→1995→2006→2017→2023→2034→2045.

În acest moment este evidentă nevoia de a cuprinde într-o imagine circulară repetitivă, în care să se vadă imediat care sunt anii cu calendare identice, respectiv să vedem fizic ce formă are ciudata periodicitate (6, 11, 11). Astfel, pe figura următoare se vede aranjarea pe un cerc împărţit în 28 de părţi (centura mijlocie) a celor 14 calendare posibile (şapte normale, fiecare de trei ori, respectiv cele şapte bisecte, fiecare o singură dată) pe centura interioară. Pe centura exterioară sunt notaţi în mod corespunzător anii actuali, dar şi precedenţii cu 28 de ani în urmă (pe poziţia 1 anul ’01 pentru 2001 etc., cât şi 2001 – 28 = 1973, notat ’73).

Surpriza a apărut când am început să conectez cu o aceeaşi culoare poziţiile celor trei ani identici dintr-un ciclu de 28, obţinând acele triunghiuri isoscele, a căror combinare arată foarte “mistic”. Efectiv arată ca şi cum m-aş fi întors de la un curs de specializare din Tibet. Pe baza acestei imagini putem stabili imediat că actualul calendar (2017) va putea fi folosit din nou în 2023, pe când calendarul anului viitor de-abia în 2029.

Ultimul pas în această mică cercetare a fost să caut ce se găseşte pe internet legat de repetarea calendarului. Fără pretenţia unei căutări exhaustive, totuşi nu am găsit teoria mai sus prezentată, ci doar câteva tabele cu confirmarea rezultatelor (pentru întreaga perioadă de aproape două secole până în 2100, an ce nu va fi considerat bisect). Cuvinte de căutare ar fi same calendar (pentru engleză), respectiv identische Jahre (pentru germană).

În caz că nu aţi ajuns şi dvs. la aceste concluzii, vă doresc să petreceţi clipe plăcute în procesul de de descifrare a notiţelor prezentate. Ah, da, şi fiţi vigilenţi la calendare vechi. În plus, este evident că un calendar frumos merită ţinut, pentru că îi vine vremea din nou.

Titus Grigorovici

Frumuseţea de cretă a matematicii

Ştim, copiii urăsc tabla înmulţirii, urăsc cărţile, lecturile suplimentare, memorarea şi dacă s-ar putea nici un fel de manuale, nici un fel de teme, nici un fel de BAC, cu toţii direct la facultate, fără examen de admitere, bineînţeles. Dar, lăsând la o parte cum vor unii din minister să bramburească învăţământul şi sistemul de educaţie, acesta “sfânt”, care “dă profilul unei naţii”, să recunoaştem că aritmetica, tabla înmulţirii, chiar dacă n-o fi ea frumoasă, este totuşi necesară.

Numai că uneori ai nevoie de profesori dedicaţi care să ştie să-i facă pe elevi să descopere frumuseţile matematicii. Ştim, aceştia sunt ca diamantele, nu se găsesc la orice colţ de stradă, dar când ei există parcă mai avem un licăr de speranţă. Iată un exemplu prin care învăţătorii sau profesorii devotaţi meseriei lor l-ar putea da elevilor plictisiţi, înfrăţiţi doar cu jocurile de pe tabletă sau smartphone.

Am preluat integral, inclusiv titlul, articolul de mai sus din ziarul Magazin, Nr. 52 din 29 dec. 2016, pag. 12, pentru că pur şi simplu merită, reprezentând o pledoarie deosebită pentru o matematică de suflet. Titlul este de-a dreptul magnific. Articolul nu este semnat, doresc însă cu drag să felicit autorul pledoariei respective. Merită să zăbovim un pic asupra conţinutului.

În primul rând, să spunem câte ceva despre “sursa” celor patru seturi de “exerciţii”. Acestea sunt foarte vechi, fiind oarecum din repertoriul universal. Apar împreună sau doar unele în diferite cărţi, dar le putem găsi şi în diferite locuri pe internet. Într-o vreme umbla un Power Point pe e-mail, în care acestea aveau prin prezentare “ataşată” o aură mistică (în 2011, exact aceleaşi patru seturi cu titlul Frumuseţea matematicii).

Apoi, ar trebui să vorbim şi despre momentul cel mai potrivit de folosire al acestora. Părerea mea este că şi-ar găsi locul pe prima fişa de lucru dată elevilor la începutul clasei a V-a, cu cerinţa ca fiecare elev să verifice cât mai multe nivele din fiecare exemplu. Elevii slabi vor face doar câte 2-3 din fiecare; elevii harnici vor face seturile complete. Mesajul este însă unul clar: matematica este frumoasă, dar nu este grea; fiecare poate să facă după forţele sale câte ceva. În plus, aceste exerciţii reprezintă o recapitulare minunată a înmulţirii şi a adunării, fără a fi plictisitoare, ci având chiar o doză bună de “joc”. Este evident că o astfel de fişă poate fi dată doar dacă 1) profesorul de matematică nu consideră că este “sub demnitatea sa”; 2) învăţătoarea nu lea dat deja clasei respective.