Dialogul profesor – elev în rezolvarea unei probleme

Eugen Rusu şi Dilema cerşetorului

Dacă tot vorbirăm de curând despre cerşetori, cunoaşteţi Dilema cerşetorului, o problemă legată de mucurile de ţigară? Am auzit-o pe vremuri de la un prieten şi am publicat-o prima dată în caietul de matematică P3NT4GON1A nr 4 (mai 1999). Aceasta este una dintr-e cele mai frumoase probleme de matematică distractivă pe care le cunosc. Iar pe lângă partea de matematică distractivă, are şi un factor educativ foarte ridicat. Trebuie doar precizat – undeva, în timpul rezolvării problemei – că este vorba de mucuri de la ţigări fără filtru (elevii de-acum nu prea mai ştiu de-aşa ceva); iar aceasta creşte factorul de scârbire a elevilor faţă de fumat. Deci, iată problema:

Un cerşetor reuşeşte să facă o ţigară întregă din trei mucuri găsite aruncate pe stradă. Câte ţigări va fuma un cerşetor care a adunat zece mucuri?

Nu vă repeziţi să răspundeţi trei ţigări. Întrebarea este despre câte ţigări va fuma, nu despre câte va asambla din cele zece mucuri. Aici este prima capcană a acestei minunate probleme.

*

În acest moment, tocmai ne-am lovit de una din cele mai mari dileme ale publicării problemelor de matematică: Să dau răspunsul final, sau să vă las să savuraţi căutarea acestuia? Dacă vă dau răspunsul, atunci nu veţi parcurge minunatul drum de strădanie, plin de zbucium interior, care duce la descoperirea personală a soluţiei. Acest drum poate să dureze uneori chiar şi zile întregi, inclusiv nopţile dintre ele. În această căutare constă chiar farmecul principal al matematicii.

Când dau astfel de probleme elevilor, rezolvarea are loc într-un dialog. Elevul se gândeşte dar, în cazul în care nu găseşte soluţia corectă, eu îi mai pun o întrebare ajutătoare. Uneori, după întrebarea ajutătoare, îi las pe elevi din nou o zi-două. Apoi reluăm procesul. Aceasta se poate însă doar într-un dialog, chiar şi dacă dialogul este în scris, între două persoane aflate la distanţă. Dar trebuie să fie un dialog.

Pe vremuri, marii matematicieni se provocau astfel prin scrisori cu probleme sau rezolvări găsite personal. Cazul lui Fermat este arhicunoscut, dar şi Arhimede a practicat informarea prin scrisori asupra rezultatelor sale.

Autorii de cărţi cu matematică distractivă dau răspunsurile în partea a doua, la soluţii, mizând pe faptul că cititorul are voinţă şi nu se duce direct la răspuns. De fapt această metodă este folosită la majoritatea culegerilor de matematică. Actualmente, la unele culegeri partea de răspunsuri este atât de înghesuită încât căutarea soluţiei devine o adevărată provocare. Pe vremuri, Grigore Gheba punea răspunsurile chiar lângă exerciţiu, dar acolo provocarea era să nu greşeşti, nu cum se rezolvă, pentru că rezolvarea o ştiai teoretic de la clasă.

Martin Gardner, pe vremea când publica minunatele sale probleme în Scientific American, dădea soluţia de-abia în numărul următor, lăsând astfel cititorilor timp de o lună pentru căutarea soluţiei.

La publicarea unei cărţi, însă, acest dialog de care vorbim este imposibil. El poate fi eventual mimat de către autor prin cei doi paşi (punerea problemei, respectiv oferirea răspunsului), dar realitatea arată că cititorul fuge tot mai das direct la răspunsuri. În acest sens, Eugen Rusu în lucrarea Cum gîndim şi rezolvăm 200 de probleme (Ed. Albatros, 1972), pune chiar mai multe “filtre protectoare” în acest proces în care rezolvitorul este tentat să caute soluţia gratuit. Astfel, lucrarea sa are cinci părţi, concepute pentru a forţa rezolvitorul să caute el singur soluţia. Pentru a da un impuls unei astfel de preocupări, culegerea  nu are numai două părţi, ci patru:

1 ENUNŢURI,   2 CUM GÎNDIM,   3 IDEEA  şi   4 SOLUŢIA
Citește întreg articolul

Ordinea operaţiilor pe internet

Prin primăvară devenise virală, mai ales în Japonia, următoarea “problemă”, la care foarte mulţi dădeau un răspuns greşit:

Ceea ce în mod normal, noi, ca profesori am numi “exerciţiu”, certându-i eventual pe elevii care l-au greşit, acesta a devenit pe internet, în zona adulţilor, o adevărată “problemă”. Un studiu a arătat că doar 60% din tinerii de peste 20 de ani au rezolvat-o corect, faţă de un rezultatul de 90% al unui studiu similar din anii ‘80.

Ce se întâmplă? Lăsându-i de-o parte pe cei care greşesc la ordinea operaţiilor şi efectuează mai întâi scăderea, cei mai mulţi ajung la un răspuns greşit pentru că efectueză exerciţiul pe un calculator, chiar şi unul “ştiinţific”, unde segmentul central al exerciţiului este tradus drept 3 : 1 : 3 = 1, în loc de 3 : 1/3 = 9. O variantă mai corectă, fără folosirea fracţiilor, ar fi 3 : (1 : 3), dar şi aceasta ridică anumite probleme pe diferite calculatoare. Astfel, dintre răspunsurile incorecte, cele mai dese erau 3, 7 sau 9.

Legat de ordinea operaţiilor,  chiar şi numai despre acest aspect se găsesc multe exemple pe internet. Iată unul simplu, în forma sa “americănească”, (având ataşată şi o poză a lui Einstein pentru impresia artistică): Only for genius??  3 – 3 x 6 + 2 = ??

­Datele din această postare sunt preluate de la adresa https://www.yahoo.com/news/lot-people-having-trouble-math-161950574.html

Einstein, Zweistein şi cu Rammstein

100 de studenţi – Matematică distractivă în GM

Discutând prin primăvară cu elevii de clasa a VIII-a, am concluzionat că matematica distractivă este atunci când Profu’ se distrează de elevi, că ei nu ştiu problema :-).

De curând petreceam o Duminică dimineaţă însorită în compania unei ceşti de cafea, lecturând nişte vechi caiete de Gazeta Matematică din 1966-1967 (de când am venit noi pe lume), căutând probleme de folosit la clasă. Vecinul ne tot bâzâia să-i dăm probleme de matematică “din-alea faine”, iar noi îi tot propuneam câte o problemă de matematică distractivă. Când o termina, mai cerea, iar tot anturajul se distra de bucuria sa. În aceste condiţii am găsit în GM seria B, Nr.1 din 1967 următoarea problemă dintr-un set cu titlul Probleme date la Olimpiada matematică din Anglia (problema 7916):

O sută de studenţi de înălţimi diferite sînt aranjaţi într-un pătrat de 10 rînduri şi 10 coloane. În fiecare rând studentul cel mai înalt este selectat, apoi studentul cel mai scund din cei selectaţi este marcat cu A. În fiecare coloană este selectat studentul cel mai scund, apoi studentul cel mai înalt dintre cei 10 studenţi selectaţi este marcat cu B. Dacă A şi B sînt persoane diferite, găsiţi care dintre ele este mai înaltă şi de ce?

Ne-am tot gândit, el a reuşit o rezolvare într-un caz particular, dar nimic mai mult. Apoi, rezolvarea mi-a venit în minte în vis, în somnul binemeritat de după-amiază (vis cu un mic iz de coşmar, pentru că tot pierdeam numărătoarea coloanelor). Când m-am trezit am aşterut rezolvarea pe hârtie, cu desenul celor 100 de studenţi ca o tablă de şah de 10×10, şi am realizat cât este de simplă problema noastră. Dar, de fapt, aşa sunt toate problemele de matematică distractivă: simple, dar cu rezolvarea bine ascunsă.

Titus Grigorovici

Introducerea numerelor negative

Separarea numerelor în pozitive şi negative reprezintă un pas mare în viaţa unui elev. Într-un manual vechi apărea denumirea de numere relative. De fapt, într-adevăr noi sunt doar numerele negative, cele pozitive sunt cunoscute de către elevi de mult, dar nu sub acest nume. Oricum, denumirea oficială de numere întregi este clar cea mai nepotrivită vârstei când se introduc, pentru că nu surprinde nimic din dualitatea nou apărută: de acum avem două numere de 5, cinci-ul pozitiv şi cinci-ul negativ. Una este să ai cinci lei în buzunar şi alta este să ai cinci lei datorie.

Nu mi-am propus pentru această postare să vin cu o formă inovativă completă de predare a acestui capitol (poate altă dată), ci doar să ofer doritorilor o fişă de lucru interesantă cu “problemuţe” nematematice pentru introducerea acestor numere, din fizică, geografie şi istorie, acolo unde apare dualitatea numerelor pozitive, respectiv negative.

Problemele sunt culese şi adaptate dintr-un manual austriac din 2010 pentru clasa a 7-a, de la începutul capitolului 1. (A. Die ganzen Zahlen, adică numerele întregi): Thorwartl Wolfram, Wagner Günther,Wagner Helga, Mathematik positiv!, 3. Klasse HS und AHS, apărut la editura G&G Verlag, Viena.

În continuare vă prezint problemele respective, sub titlul PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE, iar ataşat coala pdf pentru multiplicat elevilor ca temă.

  1. Câte de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează la a) +12oC; b) –8oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51oC?
  2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
  3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maxim 40oC şi minim –170oC (ziua/noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
  4. Stabileşte semnul temperaturii de 22oC ştiind că este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
  5. În atlasul geografic, la Groapa Marianelor este trecut numărul ▼11.038, iar la Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0 (zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
  6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă pe aceasta următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000-lea jubileu?
  7. Ötzi, omul descoperit într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca. 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
  8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
  9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Probleme Nr Negative Austria.pdf

Omagiu lui Grigore Gheba (1)

Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale finite

Profesorul Grigore Gheba a publicat în România în anii ’60-’70 o culegere reluată în multe ediţii, ce a ajuns la nivel de cult în învăţarea matematicii. Astfel, majoritatea părinţilor elevilor actuali îşi aduc aminte cu veneraţie de culegerile lui Gheba.

Din multele exemplare ce le-am avut în casă (un raft întreg cu toate ediţiile), ne-au mai rămas în principal două exemplare: cel al soţiei (din 1969) pe care lucraseră înaintea ei şi cei doi fraţi mai în vârstă, cât şi exemplarul meu în limba germană (din 1973), din care a lucrat şi fratele meu. Ambele au fost atât de “muncite”, mai ales în partea cu operaţii cu fracţii suprapuse (numere raţionale), încât primele zeci de pagini sunt distruse, detaşate, de-a dreptul rufoase. Se vede de departe cât de mult s-a lucrat din ele!

Pentru cei care doresc să dea elevilor acele exerciţii “de aur” pentru stabilizarea calculului cu fracţii, vă oferim o variantă a acestora, adaptată la programa actuală a clasei a VI-a, adică fără radicali. Eu, de pildă, le dau elevilor ca temă de lucru în vacanţa de vară, câte una pe zi, 20 la începutul vacanţei şi restul la sfârşit, pentru reamintire.

Titus Grigorovici

Omagiu-Gheba-1.pdf

8 bile – Matematică distractivă în G.M.

De curând am căutat într-o cutie cu cărţi vechi şi am dat peste două caiete de Gazeta Matematică vechi. Într-una dintre ele (GM&F seria B, ianuarie 1958) am găsit următoarea problemă (E:1075, pag 49) clasificabilă uşor drept problemă de matematică distractivă (am modificat textul pentru elevii de azi):

Avem opt bile identice ca mărime, culoare şi textură; ştim că toate sunt la fel de grele cu excepţia uneia care este un pic mai grea (diferenţă insesizabilă la comparaţia în mână). Explicaţi cum putem stabili care este bila mai grea efectuând doar două cântăriri cu o balanţă.

Daţi problema aceasta la orice clasă şi bucuraţi-vă alături de elevi de ea. Ca adulţi, vă puteţi gândi şi de ce autorul (nesemnat) a dat 8 şi nu 9 bile.

O problemă din Suedia

În urmă cu doi ani, am primit de la Kjell Samuelsson de lângă Stokholm următoarea întrebare, din categoria matematică distractivă (distractivă, dar nu neserioasă).

Ce număr urmează?

61, 71, 101, 131, 151, …?

Iar, dacă tot am vorbit de dl. Kjell Samuelsson, dânsul a împlinit primăvara asta 100 de ani (număraţi în baza 8). La mulţi ani! dragă Kjell.

Matematică de pe facebook: 5 sau 120?

Pe Facebook e cam ca la balamuc (sau ar trebui să scriu balamook?); postează fiecare ce-i trece prin cap şi mulţi o dau mai departe, poate ştie cineva să rezolve minunea. O elevă mi-a atras atenţia asupra acestei “probleme”, mai degrabă o farsă pentru foarte mulţi (mai ales dintre aceia care n-au apucat să ajungă prin clasa a X-a sau au uitat c-au fost pe-acolo). Problema este plină de “bombe fumigene”, care să-ţi distragă atenţia în procesul de rezolvare, fiind un exemplu minunat despre cum o banalitate poate fi îmbrăcată într-o problemă. Din acest punct de vedere, rezultatul acestei strădanii este chiar foarte reuşit. Soţia mea spunea că, atunci când vin elevii cu o ciudăţenie din asta, refuză să se implice până nu vede cu ochii ei problema acolo de unde a fost luată, elevii nefiind întotdeauna atenţi la toate detaliile (citită de pe ecranul unui smartphone înghesuit este şi mai uşor să ratezi detalii minore, dar esenţiale). Deci, iată “problema”:

25 – 55 +(85 +65)

Poate n-o să vă vină să credeţi, dar rezultatul este într-adevăr 5!

Matematică distractivă pe SCAM SCHOOL

Un elev de clasa a VIII-a m-a atenţionat de curând asupra acestei emisiuni, găsită pe net. Am căutat scamschool, am intrat pe Scam School / Test Tube şi am găsit (printre multe alte nebunii) câteva probleme foarte drăguţe de matematică distractivă (mathematical puzzles). Emisiunea este prezentată într-un mod foarte atractiv/agitat de către Brian Brushwood şi la majoritatea episoadelor este vorba de un pariu, anume cine plăteşte berea.

Totuşi, cred că mai există şi un alt motiv – în afară de berea din timpul emisiunii – pentru care partenerii de discuţie ai lui Brian sunt de peste 20 ani, chiar şi până în 40. Oare care ar fi acest motiv? Pentru că problemele sunt tehnic, prin prisma rezolvărilor, la nivel de gimnaziu (în general de clasa a 5-a). Haideţi să vedem câteva dintre aceste probleme (am căutat din emisiunile ultimului an). Interesant este că unele dintre ele permit mai multe soluţii. Le prezint pe fiecare cu titlul original al episodului respectiv:

The Most Powerful Number Puzzle. Se dau toate cifrele 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  =  1. Aveţi voie să puneţi orice semne sau operaţii din matematică, dar să păstraţi ordinea cifrelor (de la stânga la dreapta), şi trebuie să obţineţi rezultatul 1. Se caută desigur cea mai elegantă soluţie.

Fill in the Blanks: A Number Puzzle. Trebuie scrise trei numere a căror sumă să dea 30, adică  ___ + ___ + ___ = 30 folosind ca piese de lucru doar unele din următoarele numere:  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La acesta Brian a trebuit să plătească el berea, pentru că prietenii lui au găsit o altă soluţie decât a sa, dar la fel de frumoasă. Un elev din a VII-a a găsit la prima prezentare, în 3-4 minute, altă soluţie decât cele două din emisiune.

The Toothpick Variable. Această problemă cu scobitori cere să stabiliţi egalitatea mutând doar o singură scobitoare în membrul stâng, pentru a obţine într-adevăr numărul patru (în membrul drept este 4 pe sistemul roman vechi: IIII, nu IV):

CRUSH Smug Geniuses With The Simplest Number Puzzle. În această problemă se primesc câteva bileţele pe care trebuie să le ordonaţi pentru a obţine rezultatul 24 (bileţelele =, 2 şi 4 sunt fixe). Atenţie că şi aici am găsit mai multe soluţii (daţi problema la elevi într-o pauză şi veţi vedea ce iese).

Single Digit FACE-OFF. Se cere ca folosind un calculator de buzunar să obţineţi numărul 17 apăsând doar cifra 5 şi orice/oricâte operaţii doriţi. Desigur că sunt căutate soluţii cât mai frumoase, adică cu cât mai puţine folosiri ale tastei 5. În filmuleţ apar soluţii cu şapte de 5, cu şase de 5, cu cinci de 5, chiar şi cu patru de 5, dar cireaşa de pe tort este o variantă în care se apasă tasta 5 o singură dată, iar în rest doar taste de operaţii.

Match Math. Un ultim exemplu este cu chibrite (chibrite, scobitori, ce gasiţi). Scrieţi cu chibrite “egalitatea” VII = I. Sarcina este să mutaţi un chibrit în partea stângă a semnului egal pentru a obţine într-adevăr rezultatul 1.

Morala poveştii: Pe vremuri, Martin Gardner publica în Scientific American probleme de matematică distractivă, câte una pe revistă. Răspunsul apărea de-abia în următorul număr al revistei. Această politică îţi lăsa chiar timp ca să te gândeşti şi să cauţi tu o soluţie. Ori, în emisiunile de pe Scam School totul decurge foarte repede şi, în avântul emisiunii, primeşti şi răspunsul în 2-3 minute. Astfel eşti redus la un simplu spectator la SPECTACOLUL GÂNDIRII.

Eu consider că rolul nostru ca profesori de matematică este să-i atragem pe elevi să fie activi în acest proces al gândirii, nu să se uite pasiv, din exterior, la cineva care gândeşte. Astfel, eu le dau elevilor problemuţe din acestea şi îi las să gândească (câteva minute, sau rămâne ca temă). Şi, în general, chiar careva reuşeşte de obicei să găsească o soluţie valabilă. Cât despre numele site-ului respectiv, nu l-am dat la clase ca să nu se uite şi să găsească acolo răspunsurile, rămânând să gestionez eu situaţia, când şi cum le dau răspunsul.

Constantin Titus Grigorovici

Un exerciţiu de vis

De curând v-am prezentat povestea a două exerciţii frumoase compuse în vacanţa inter-semestrială din februarie 2015 (vezi articolul Aniversarea de 1 an a două exerciţii speciale), explicându-vă cum am ajuns să visez la propriu cel de-al doilea exerciţiu.

Ei, nu cred că trebuie să vă amintesc, de curând am avut iar o vacanţă inter-semestrială, dar decalată cu o săptămână faţă de cea de anul trecut. Şi nu ştiu cum să vă explic, dar iar m-am pus într-o zi la un somnic de după amiază (în 9 feb.). Şi desigur că iar am avut un vis cu un exerciţiu. Acum, totul se întâmpla pe baza faptului că 50 – 1 = 49 (briliant, nu-i aşa?).

După ce m-am trezit am pus la punct detaliile exerciţiului, pe care vă rog să-l savuraţi şi dvs. în continuare (doar exerciţiul a) mi-a apărut în vis; exerciţiul b) este adăugat în stare total trează).

1) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele zece cifre ale lui n.

În afară de faptul că l-am visat (de data aceasta neforţat), exerciţiul este frumos şi datorită faptului că se pot compune şi altele pe acelaşi calapod, ca temă. De exemplu:

2) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele 27 cifre ale lui n.