Ziua lui pi – 14 martie 2019

Primăvara acesta profesorii de matematică în şcolile din toată ţara au primit un minunat cadou de ziua lui Pi: vor avea de corectat şi simulări la clasa a VII-a, sărbătorind astfel prin muncă înverşunată, în profund stil comunist, această minunată sărbătoare. Pi – … … de treabă!

PS Ce-ar fi ca la anu’ să dăm simulările puţin înainte de 15 ianuarie, că să aibă şi colegii de la limba română o astfel de bucurie?

Hypo-tenuza

Dacă tot am vorbit mai mult în ultima vreme despre triunghiul dreptunghic, despre Pitagora şi despre cum sunt văzute aceste lecţii în occident, haideţi să privim un pic şi caricaturizarea umoristică ce se găseşte pe net în legătură cu acest subiect. Totul porneşte probabil de la faptul că în limbile respective cuvântul ciudat pentru ipotenuză aminteşte de hipopotam, dar şi de alte ciudăţenii (pentru asta trebuie să ştiţi un pic de engleză, cele mai multe fiind greu traductibile). Cineva a încercat totuşi să genereze şi o variantă românească (găsită imprimată pe o sacoşă, o plasă neagră de cumpărături, primită cadou de Crăciun).




Situaţia este surprinsă şi într-o caricatură pe care o traduc în continuare: Probabil că ai dreptate Pitagora, dar toţi vor râde dacă o vei denumi “hipotenuză”. Pythytus

Aflarea laturii necunoscute in triunghiul dreptunghic

În finalul clasei a VI-a va trebui să-i învăţăm pe elevi să calculeze o latură necunoscută a triunghiului dreptunghic folosind Teorema lui Pitagora aplicată numeric. Cum va funcţiona, Dumnezeu ştie! Om vedea! Depinde de cum am pregătit lecţia. Sper că nu răspunsuri ca în următoarea imagine (cerinţa este să “găsiţi x”, iar răspunsul este “aici este”):

Minutul de 1000 de euro şi matematica şcolară

Luni 4 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea de la Europa FM, domnii Vlad, George şi Luca, în rubrica Minutul de 1000 de euro a avut loc următorul dialog între cei trei prezentatori şi ascultătorul intrat în direct:
Ce determină formula pi-er-pătrat? Ce măsoară această formulă?
Raza!
După terminarea minutului, în care aceasta a fost singura greşeală – deci diferenţa de la 90 euro (câte 10 pentru fiecare răspuns corect) şi 1000 euro (premiul mare pentru situaţia cu toate 10 răspunsurile corecte) – dialogul a mai continuat:
R este raza! Ia gândeşte-te ce era.
Aria?
Cred c-o să ţi minte toată viaţa.
Matematica! ….
E singurul răspuns greşit
Sper să nu mă-ntâlnesc cu Domnu’ profesor de matematică. Nu eram sigur, aşa că am zis ceva la nimereală.
Felicitări pentru cei 90 de euro, dar mia, era … ! (unde? în formulele cercului?)
A doua zi, marţi 5 feb., cu alt ascultător “drăcuşorul matematici” a lovit din nou, şi din nou matematica a făcut diferenţa dintre 90 euro şi 1000 euro:
Câte laturi are un hexagon?
Şapte!
După terminarea minutului şi a celor zece întrebări dialogul a continuat (din nou reluat orientativ):
Eu plec acasă acum (Vlad), nu mai suport!
Da’, ce-am făcut? Sau ce n-am făcut?
Vai de capu’ meu: Tetra, Penta, Hexa, Hepta, Octo!
Şapte!
Da’ un heptagon câte laturi are?
Erau şase!!
Am zis şşş-apte!
Ai zis 1000 euro: pa-pa!
Eu în locul tău m-aş duce şi-aş desena hexagoane până deseară, şi m-aş gândi la 1000 de euro: hexagon după hexagon pe o coală albă.
Albinuţe hexagoane.
E incredibil, ieri 90 euro, azi 90 euro, … e un semn! (din partea matematicii?)

Da, aceasta a fost istoria a două întrebări (din geometria de final de clasa a VII-a!!!) în care ascultătorii respectivi au pierdut câte 910 euro. Ca norocu’ că a treia zi drăcuşorul matematicii nu a mai lovit, aşa că ne-am liniştit. Până la urmă, în această vacanţă cei trei colegi din Deşteptarea au reuşit să dea mia de euro, mai cu cântec, mai cu poveste, vineri, după ce au dezbătut răspunsurile date de un ascultător joi.

În urmă au rămas doar gândurile respective, care – cel puţin mie – mi-au trezit amintirea unui om minunat, Marcetti Perneş, care a lucrat ani la rând ca portar în şcoala noastră şi care, atunci când ieşeau elevii de la lucrare de control la mate îi întâmpina şi ştia să le spună toate răspunsurile. Dorea să le dovedească astfel că nu profu’-i de vină, ci ei pentru că erau întrebări logice şi trebuiau să gândească, şi dacă şi el reuşeşte, înseamnă că erau doar pe baza unor cunoştinţe elementare minime.

Revenind la realitatea noastră, situaţia ar trebui să ne dea de gândit (nu numai nouă, hexa apare şi în chimie). Şi, să fim bine înţeleşi: lucrurile pot evolua doar înspre mai rău; cu cât scade vârsta de început “a vieţii în faţa unui ecran” şi cu cât creşte timpul petrecut, de pildă în faţa deşteptofonului, cu atât va fi tot mai rău. Şi tot mai mulţi sunt cei care se întreabă retoric: la ce bun să învăţăm toate prostiile, că doar se găsesc pe internet?! Sigur, nu trebuie învăţate pentru concursuri “de cultură generală”; ele sunt folositoare însă şi în alte locuri. Dar acesta este alt subiect. Titus Hexagonezul

Numerele lui Fibonacci şi ananasul

În postarea precedentă am deschis sacul din care au ieşit iepuraşii lui Fibonacci, aducând cu ei – ca dintr-un joben magic – numerele din renumitul şir. Dacă tot am deschis subiectul, merită să mai zăbovim puţin în jurul acestor numere renumite.

În primul rând trebuie subliniat faptul că problema respectivă este profund falsă din punct de vedere al realităţii speciei şi a felului în care se înmulţesc iepuraşii. La fel ca majoritatea problemelor de matematică, şi aceasta descrie şi se bazează pe o situaţie idealizată, profund diferită de realitatea înconjurătoare. Cu atât mai şocantă este această constatare cu cât există multiple exemple de situaţii profund naturale în care numerele izvorâte din problema iepuraşilor apar totuşi în realitatea înconjurătoare în mod nemijlocit şi fără de tăgadă. Sunt renumite diferitele situaţii din lumea vie în care se găsesc urme ale numerelor lui Fibonacci, spirala logaritmică sau secţiunea de aur fiind prezente “te miri unde”.

Există foarte multe exemple, dar nu mi-am propus aici o prezentare exhaustivă, nici măcar o enumerare a celor mai cunoscute astfel de situaţii unde sunt întâlnite renumitele numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Le puteţi găsi în bogata literatură tipărită sau pe internet (de pildă Mario Livio, Secţiunea de aur, Humanitas). Doar un singur exemplu doresc să vă prezint în această postare, anume unde şi cum am găsit eu numere Fibonacci pe un fruct de ananas.

Analizând un astfel de fruct, observăm că suprafaţa sa este formată din nişte “celule” oarecum patrulatere destul de ordonat aliniate. De fapt acestea sunt seminţe iar alinierea lor poate fi privită ca o înşiruire de dale pentru un posibil “şotron”.

Mai exact spus, fiecare astfel de poziţie este parte a două alinieri, una care urcă spre stânga şi una care urcă spre dreapta. Analizând cu atenţie sporită vedem că alinierea care urcă înspre stânga este mai lină, pe când alinierea care urcă spre dreapta este mai abruptă.

Interesant este că cele două alinieri care pornesc dintr-o poziţie, cea înspre stânga şi cea înspre dreapta, ajung să se reîntâlnească în partea cealaltă a ananasului. De fapt nu se întâlnesc exact în partea opusă, şi asta datorită diferenţei de înclinaţie. Astfel, de la un punct comun, să-i zicem A punctului de jos, până la celălalt punct comun B al celor două alinieri oblice, situat mai sus, drumurile pe cele două trasee diferă ca lungime: drumul care urcă lin spre stânga este mai lung, pe când drumul care urcă abrupt spre dreapta este clar mai scurt.

Surpriza apare atunci când numărăm paşii ce trebuie făcuţi pe cele două drumuri: de la A la B pe drumul abrupt dar mai scurt avem de făcut 8 paşi, pe când pe drumul lin dar mai abrupt sunt de făcut 13 paşi! UAU!!! DA!!! Exact 8, respectiv 13 paşi. La alte specii pot fi găsite alte numere Fibonacci alăturate. De pildă la o creangă de pin am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8 (cu cât avansăm, raportul a două numere alăturate din acest şir aproximează tot mai bine renumitul număr “fi” φ ≈ 1,618).

Păi, ştiu ananaşii sau pinii matematică? Multe persoane au în momentul acesta o trăire de uluială profundă, ceva de genul: plantele sunt creaţia lui Dumnezeu; asta este o urmă clară şi de netăgăduit lăsată de Dumnezeu de când a creat lumea. Problema cu iepuraşii era clar artificială, dar această situaţie este una profund naturală şi realistă. Încă o dată: UAU!!!

De obicei, prima întrebare ce îmi este adresată în acest moment este dacă toţi ananaşii au chestia asta. Cel mai bine ar fi să mergeţi şi să verificaţi în supermarket (este distractivă imaginea a doi elevi distrându-se într-un magazin la cutia cu ananaşi, numărând bunbii respectivi, când un angajat vine şi îi ia la rost, că “ce fac acolo?”, iar aceştia să răspundă “ne facem tema la mate, ne-a dat profu’ să numărăm pătrăţelele de pe ananas!”).

Răspunsul la întrebarea dacă întotdeauna se întămplă aşa, este în principiu afirmativ, doar că aceste fructe nu sunt obligatoriu perfecte, ci au dereglări ale rândurilor în anumite părţi. De pildă, exemplarul din aceste poze dovedeşte o dereglare a rândurilor pe partea surprinsă în prima poză. Concret, pentru a fi sigur că pot face pozele pentru prezentul articol, pe acest fruct l-am verificat cu atenţie înainte de a-l cumpăra din magazinul Lidl (unde mă aştepta cuminte în raft). Dar de obicei funcţionează. În calculator mai am încă un rând de poze cu un ananas cumpărat cu trei săptămâni în urmă din Kaufland, la fel de corect, dar la care vopsirea nu se vede la fel de bine. Pe cele de mai sus le-am ales doar pe baza vopsirii mai clare a alinierilor. Titus “Dole”

Dodecaedrul lui Enrique

Până la urmă am ajuns să văd şi eu videoclipul melodiei Nos Fuimos Lejos interpretată de Descemer Bueno şi Enrique Iglesias, alături de diferiţi alţi artişti, printre care prezenţa lui Andra ne-a stârnit admiraţia. Dar nu despre aceşti artişti vă reţin atenţia, ci despre prezenţa geometriei în filmuleţ: corpul în care dansează băieţii ăştia este un dodecaedru regulat (chiar dacă este optic destul de deformat, fiind “filmat” de foarte aproape). Interesant! Acest corp este prezent peste tot, doar din programa de matematică este absent. Oare de ce? Enrique Dodecaedrias

Pisica, masa şi canarul

Când pisica Pusi stă sub masă, iar canarul Cico stă pe masă, diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 60 cm. Dacă pisica Pusi se suie pe masă atunci canarul Cico zboară jos şi se plimbă sub masă pe podea. În acest caz diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 90 cm. Ce înălţime are masa?

*

De curând am primit un e-mail de la site-ul mquest.ro cu adresa unui filmuleţ conţinând o problemă şi diferite rezolvări pentru aceasta. Deşi cunosc foarte multe probleme vechi, caracterizate printr-un farmec special inconfundabil, recunosc că nu cunoşteam această problemă (impregnată cu acelaşi farmec special). Textul de mai sus reprezintă o încercare personală de a vă prezenta problema respectivă într-o formă mai atractivă (de pildă, problema din filmuleţul respectiv vorbea de o pisică şi o broască, care stăteau pe rând sub masă sau pe masă), formă care să provoace şi imaginaţia rezolvitorului. Totodată textul astfel aranjat poate fi dus liniştit la clasă fără a apela la un calculator sau la alte mijloace super tehnologizate.

Deşi preferata mea este o rezolvare prin metoda reducerii, în cadrul filmuleţului este prezentată şi o rezolvare aşa-zisă “de clasa a 3-a” (ce persoană o fi avut aşa o imaginaţie “bolnavă” încât să gândească cele două situaţii cocoţate una peste cealaltă?). Dacă v-am trezit curiozitatea şi doriţi să vedeti filmuleţul, îl găsiţi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=t-9QJMdVe7k.

Calendar Dodecaedru 2019

Ultimele ore înainte de vacanţă, în care nimeni nu mai are chef în România să lucreze ceva serios (nimeni cu ghilimelele de rigoare), sunt foarte potrivite pentru activităţi de tip „şcoala altfel”, în care elevii să înveţe ceva, chiar dacă în forme mai „necanonice”. Pentru cei care sunt dispuşi la astfel de „experimente”, înaintea vacanţei de iarnă se poate construi un calendar în formă de dodecaedru regulat. Acestea se găsesc la liber pe internet şi trebuie doar să vă descărcaţi o variantă, să o multiplicaţi pentru toţi elevii şi să-i anunţaţi să vină pregătiţi cu „foficuţă şi lipici”.

La căutarea de anul acesta mi-a intrat imediat următoarea adresă: https://folk.uib.no/nmioa/kalender/ la care se găsesc variante de calendare pe diferite limbi şi în diferite formate. Preluate de aici anexăm o variantă pdf în limba română. Cu ocazia căutărilor pentru acesta am găsit „de vânzare” pe net un calendar vintage din anul naşterii mele (nu că m-ar interesa să-l cumpăr, dar am salvat imaginea). CTG

Download