Steaua sus răsare ca o taină mare

Demult îmi doream să realizez o astfel de stea. Este vorba de “stelarea” unui icosaedru, anume de “prelungirea” muchiilor sale, astfel încât acestea să formeze pe fiecare faţă o piramidă triunghiulară. Cu alte cuvinte, icosaedrul având 20 de feţe, vom obţine în exteriorul acestuia o stelare cu 20 de piramide. Se poate studia de ce muchiile stelării şi muchiile icosaedrului de bază sunt în raprtul secţiunii de aur (eu le-am făcut de 10 respectiv de 16 cm, întreaga stea având o înălţime de cca. 48 cm).

Tehnic, stelarea respectivă este manufacturată din beţe de forsiţia, curăţate de coajă imediat după tăiere şi lăsate să se usuce bine. Acestea sunt foarte casante la tăierea cu un fierăstrău normal, dar s-au putut tăia bine cu un fierăstrău de traforaj (păstrat din clasa a 5-a, când lucram cu el la atelier). Beţişoarele din aceste joarde au un gol pe interior, asemănător cu trestia. După tăiere, acestea trebuie perforate pentru penetrare, “tubul” fiind întrerupt din loc în loc. Beţele sunt asamblate cu sârmă trecută prin tuburile respective. Un corp similar s-ar putea face din beţişoare curăţate de vată, cu aţă trecută prin ele (beţişoarele icosaedrului trebuie tăiate corespunzător pentru a obţine tăietura de aur cu beţişoarele stelării).

Corpul geometric respectiv face parte din Stelele lui Kepler (mai există încă unul similar construit pe un dodecaedru, dar acesta nu are stabilitate dacă este făcut din beţişoare pentru că doar corpurile din feţe triunghiulare sunt perfect stabile). Pe net acesta este de găsit de pildă la adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron. Următoarea imagine este luată de pe Wikipedia nemţească la adresa https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Poinsot-K%C3%B6rper . O variantă interesantă pentru pasionaţii de origami găsiţi şi dând spre căutare Bascetta-Stern. CTG

Volumul cilindrului şi greutatea porcului la ignat

Deci, greutatea porcului se poate determina cu o ruletă, măsurând circumferinţa porcului (notată cu C) şi lungimea sa de la urechi la coadă (notată cu L), prin formula de-a dreptul magică G = C2 · L · 69,3. Pentru cine n-a înţeles, reiau: măsurăm în metri cele două dimensiuni le porcului, aplicăm formula şi G = C · C · L · 69,3 şi obţinem greutatea porcului în kilograme (pardon, masa porcului, ca să fie corect şi din punctul de vedere al fizicii, sau? parcă altfel era, porcul era prelucrat fizic de ignat pe masă din bucătărie…). Oricum, vă las să vă lămuriţi urmărind un filmuleţ găsit pe internet: https://agrointel.ro/89877/cum-aflam-greutatea-unui-porc-fara-cantar-formula-de-calcul-care-nu-da-gres/

Pe mine mă interesează mult mai mult dedesupturile acestei formule, respectiv analogia acesteia cu cea pentru volumul cilindrului, corp cu care este aproximat porcul. Este clar că C2 ascunde, prin perimetrul cercului – ridicat aici la pătrat – renumitul r2 din aria bazei, pe când L stă pentru înălţimea cilindrului. Detalii fizice, precum elementele anatomice ale porcului care ies din forma cilindrului (râtul, picioarele etc.), detalii matematice, precum implicarea şi evoluţia coeficienţiilor, printre care şi vestitul π, dar şi detaliile de densitate medie organismului porcului sau transformarea ciudată din lungimi în greutate, toate acestea devin colaterale în faţa evidenţei: formula cunoscută de mulţi pentru greutatea porcului este structurată pe baza formulei pentru volumul cilindrului.

Din păcate, această legătură fascinantă nu-şi prea poate găsi un moment prielnic de discutare la clasă, ca un exemplu fascinant de aplicabilitate a matematicii: în clasa a 8-a cilindrul se studiază prin primăvară (departe de ignat), iar în liceu nu se mai studiază defel elementele de geometrie clasică şi stereometrie. Doar din partea unui profesor deschis la minte şi cu ajutorul unei teme de proiect ar putea veni “salvarea” pentru implicarea acestei misterioase formule în procesul de învăţământ, poate într-o colaborare cu fizica sau cu biologia.

Matematica la vreme de corona virus (2) – Abajur icosaedru (NOU!!!)

(ca să-l mai parafrazăm puţin pe Gabriel Garcia Marquez) Ce mai facem noi, pe lângă materiale de lucru pentru elevii consemnaţi acasă? Noi aveam un proiect mai vechi cu un  abajur pentru balcon, care s-a materializat în aceste zile. Este vorba de un al doilea, pentru că primul fusese asamblat deja prin toamnă. Soţia îşi propusese de mult să facă unul nou în locul celui vechi care împlinise 20 de ani şi era tare obosit. Acest prim abajurul este unul deosebit de cunoscut în sistemul şcolilor Waldorf, unde este folosit ca lămpaş în perioada premergătoare sărbătorilor de iarnă (deci cu lumânare înăuntru).

Abajurul nostru are un diametru de cca. 40 cm şi este făcut dintr-un carton colorat cu o oarecare “transparenţă” la lumina becului. Acesta are forma unui dodecaedru (12 feţe) din care sunt lăsate două feţe  opuse goale (una sus pentru aerisire şi una jos pe care iese lumina spre masă). Cele zece feţe sunt făcute din cartoane pentagonale îndoite pe “liniile mijlocii” ce unesc mijloacele a două laturi consecutive. Două feţe alăturate se lipesc cu o “linie mijlocie” comună, iar partea întunecată a abajurului apare acolo unde se suprapun două pentagoane. Acolo unde rămâne un singur strat de carton se văd acele stele cu cinci colţuri, pentagramele. Atenţionez că aceste pentagrame nu sunt efectiv construite ci ele apar  acolo unde nu sunt două straturi de carton suprapuse. Găsiţi alte descrieri suplimentare la Revista Pentagonia 1998-2002, în copia pdf a caietului Nr. 3 dec. 1998, mai direct la adresa http://pentagonia.ro/wp-content/uploads/2015/10/Pentagonia3.pdf . Puteţi găsi şi pe net multe poze sau articole despre acesta dând la căutare “dodecahedron star lantern” (de obicei acestea sunt făcute din foste “picturi în acuarelă lichidă” la care s-a lucrat pe o hârtie de pictură mai groasă decât cea obişnuită; la acestea se pune înăuntru o lumânare pastilă)).

După acest prim abajur, problema noastră era că doream să facem şi unul în formă de icosaedru (20 feţe triunghiuri echilaterale), care însă să funcţioneze pe un principiu similar, anume la care să apară un “desen” pe feţele sale, un model generat de alternanţa dintre zone mai întunecate şi zone mai luminoase în funcţie de numărul de straturi de carton. Menţionez însă că pentru o astfel de sarcină nu aveam cunoscut de undeva un model de fabricaţie. Soţia mă tot întreba din când în când, oare cum să-l facem. Trebuia să găsesc o modalitate în care “geometria” să colaboreze într-um mod la fel de frumos ca şi la precedentul. Cândva, prin toamnă mi-a venit ideea (desigur, într-un somn scurt de după amiază, când iarăşi bătea soarele pe pat), anume să tăiem bucăţile pentru feţe în formă circulară (pardon, de disc), îndoite de-a lungul laturilor unui triunghi echilateral înscris. Problema este că în acest fel se suprapune complet cu două straturi fiecare faţă, dar apar şi câteva zone sub forma unor petale unde avem o suprapunere de trei straturi.

Ca urmare a trebuit să căutăm un carton mai subţire pentru a obţine o “transparenţă” plăcută chiar şi cu două straturi. Cu alte cuvinte, dacă primul abajur este cu raportul 1:2 de straturi, la al doilea avem raportul 2:3 la straturi, iar asta se vede: contrastul nu mai este atât de clar, ci este ceva mai “şters” (diferenţa de luminozitate este de 50% la primul şi de 33% la al doilea). Da, şi încet, cu timpul, de-a lungul iernii, printre multe altele, acest abajur a văzut “lumina zilei”, dar stătea abandonat din lipsă de timp, în aşteptarea unui sistem de prindere şi a unei lămpi interioare, pentru care pur şi simplu nu găseam liniştea şi timpul necesare (că pe aici nu găseşti prin magazine astfel de produse).

Vremea i-a venit odată cu consemnarea acasă, acest abajur văzând “lumina becului” într-o zi cu “zăpada mieilor”, şi cred că arată destul de frumos. Precizez că această poză este probabil o premieră mondială: eu l-am compus şi nu am habar să existe aşa ceva făcut înainte undeva în lumea asta largă. Să lămurim: fiecare petală este obţinută prin suprapunerea peste faţa respectivă a segmentelor de cerc (pardon, de disc) de la două feţe vecine, fiind astfel de trei straturi, ieşind astfel în evidenţă faţă de zonele înconjurătoare mai luminoase care sunt doar cu două straturi. Ziua, atunci când nu este aprins becul dinăuntru, aceste abajururi arată oarecum banal, ieşind în evidenţă doar prin forma frumoasă geometrică (chiar arată puţin deranjant pentru că pe fiecare faţă există şi porţiuni ale unor feţe laterale care sunt lipite pe exterior).

Mă bucur foarte mult că am reuşit să facem acest al doilea abajur, completând astfel perechea, pentru că cele două corpuri reprezintă o pereche specială în lumea geometriei (cunoscute oarecum peste tot în lume, mai puţin însă la noi). La noi, această situaţie a celor două corpuri pereche absolut speciale a fost evidenţiată totuşi într-un mod ciudat de către Buţu Gh., autorul copertei manualului de matematică de clasa a VIII-a din anul 1971, fără ca cele două corpuri să fie cuprinse însă în materia din interiorul manualului (partea de algebră: Constantin Ionescu-Bujor, Ivanca Olivotto, Ion Giurgiu; partea de geometrie: A. Hollinger, Corina Pârvulescu). Noi mai avem un manual cu acelaşi desen pe copertă, dar pe albastru, din 1974. Mariana şi Titus Grigorovici

P.S. Ca o scurtă observaţie de final, pe spatele acestor manuale este reprezentat şi cel de al treilea corp perfect neglijat de programa de geometrie din România, anume octaedrul regulat (care este perechea cubului, aşa cum cele două de mai sus sunt considerate o pereche); de cu nu este acest corp nici acum în materie, nu-mi pot explica altfel decât prin vechea poveste cu maimuţele; atât aria totală cât şi volumul octaedrului sunt la nivel elementar accesibile elevului mediu din România, lecţia fiind atât de uşoară încât poate fi dată elevilor să o compună singuri.

La Mulţi Ani! de ziua lui π

Chiar dacă totul este dereglat şi am ratat termenul (am ţinut un curs cu profesori despre predarea matematicii la şcolile Waldorf), merită să ne amintim de una din zilele importante pentru „matematica lejeră”. De curând am avut o discuţie cu un elev (bunicel) de clasa a VIII-a:

CTG: Şi aria cercului cât e?

Elevul: ?

CTG: ??

Elevul: Dapoi, nu mi-am recapitulat formulele!

CTG: Mă, dacă nu ştii formula asta, eşti bun de intrat în PSD!

Elevul (absolut spontan): pi-er-pătrat!

Ana are mere, pardon, Ana are pere!

Pentru cine a ratat ştirea, haideţi să amintim situaţia. De curând a devenit virală pe net o poză dintr-un manual de matematică cu următoarea “problemă”:

Ana a cules 15 pere, iar Radu a cules cu 4 mai multe.Câte pere a cules Nelu?

În comentariile „internauţilor” unii râd, alţii se iau în serios, ca să-i cităm pe domnii de la Europa fm din emisiunea Deşteptarea. Unii spun că Nelu are treburi mai importante de făcut, alţii afirmă că Nelu a cules 19 pere. Domnii de la Deşteptarea susţin că există doar două răspunsuri posibile:

Răspunsul 1): Nelu are un total de 34 de pere, Nelu fiind de fapt patronul, iar Ana şi Radu angajaţii săi;

Răspunsul 2): Nelu nu are pere, fiind plecat în Spania la cules de căpşuni.

Merită totuşi să ascultaţi momentul în înregistrarea de pe site-ul Europa fm (sub 4 min.), de găsit la adresa https://www.europafm.ro/problema-diminetii-cate-pere-a-cules-nelu/ .

La Mulţi Ani! – 20-20

De ce s-au distrat oamenii atunci când d-na Dăncilă a spus 20-20 în loc de 2020 (două mii două zeci)? În limba engleză se foloseşte curent o astfel de citire a anilor, de pildă 19 sute 72, iar dânsa ne-a tot spus că ştie engleză. Or, pe engleză sună ciudat să spui o mie nouă sute şapte zeci şi doi. În limba română nu se spune “Revoluţia din 19 sute 89”, care să poată fi apoi prescurtată “Revoluţia din 19-89”. De aia s-au distrat, pentru că au privit exprimarea ca pe o nouă dovadă de incultură (şi în germană se denumesc anii la fel cu în engleză, cel puţin cei din secolul XX; cu 2020 am auzit ambele variante).

Şi totuşi, câtă dreptate avea D-na Dăncilă! În spatele citirii 20-20 se ascunde o foarte intereantă proprietate, anume că 2020 = 20 ∙ 101 (cu 101 primul număr prim de trei cifre). Precedentul an  cu această proprietate a fost 1919 iar următorul va fi 2121; puţini sunt cei aleşi de soartă să prindă într-o viaţă doi astfel de ani (La mulţi ani D-le Şora!).

Închei această scurtă analiză a numărului noului an cu două exerciţii, numai bune de folosit la începutul primei ore din semestrul al II-lea din acest nou an. Pentru “începători” luăm următorul calcul: 5 ∙ 22 ∙ (5 + 22 ∙ 52 – 22). Pentru elevii mai “curajoşi” putem lua exerciţiul găsit într-o poză recentă din Ljubljana: . Oare primarul lor este prof de mate? Nu de alta, dar au fost mai multe imagini cu mesaje matematice în setul de poze primit. Ti ∙ 101

P.S. Dacă mai doriţi exerciţii cu rezultatul 2020, accesaţi Matematica Altfel aici, unde găsiţi frumuseţi de genul . Mie personal, cel mai mult mi-a plăcut următorul calcul: (9 ∙ 8 ∙ 7 + 6 – 5) ∙ 4 – 3 + 2 + 1 = 2020, deşi nici cu următorul nu te poţi plânge: 1 – 2 + (3!)4 + 5 + 6! = 2020. Pe de altă parte, cei pasionaţi de teorema lui Pitagora au amplificat tripleta egipteană 32 + 42 = 52 cu 404 şi au obţinut 12122 + 16162 = 20202.

Impresii din Germania (6) – Zaruri din corpuri platonice la München

În vizita din vară în Germania ne-am oprit pentru 2-3 zile la München. De mult îmi doream să vizitez magazinul de la sediul central Dallmayr, cel cunoscut de pe ambalajele de cafea prodomo, doar aşa să ştiu că am fost şi pe acolo (se pronunţă Dalmaiăr cu un ă mai scurt, nu Dalmair ca în nu-ştiu ce reclamă). N-am cumpărat nimic pentru că totul era foarte scump, acolo “în buricu’ târgului”, dar dacă tot am ajuns în centrul vechi, în Marienplatz, am căscat şi noi gura prin jur. La un colţ de stradă într-un magazin specializat mai mult pe jucării din lemn (pentru oameni mari sau pentru copii), în subsolul magazinului am găsit să cumpăr zaruri din corpuri perfecte, altele decât cubul. Cele trei din poza alăturată, în ordine, de la stânga la dreapta, sunt dodecaedrul (12 feţe), octaedrul (8 feţe) şi icosaedrul (20 feţe). În poză găsiţi inclusiv adresa magazinului (din păcate, nefiind produse de ei, pe site-ul magazinului nu se găsesc de comandat astfel de zaruri, dar dacă ajungeţi prin centrul München-ului …). Titus und die drei platonische Körper aus Bayern