Numerele lui Fibonacci şi ananasul

În postarea precedentă am deschis sacul din care au ieşit iepuraşii lui Fibonacci, aducând cu ei – ca dintr-un joben magic – numerele din renumitul şir. Dacă tot am deschis subiectul, merită să mai zăbovim puţin în jurul acestor numere renumite.

În primul rând trebuie subliniat faptul că problema respectivă este profund falsă din punct de vedere al realităţii speciei şi a felului în care se înmulţesc iepuraşii. La fel ca majoritatea problemelor de matematică, şi aceasta descrie şi se bazează pe o situaţie idealizată, profund diferită de realitatea înconjurătoare. Cu atât mai şocantă este această constatare cu cât există multiple exemple de situaţii profund naturale în care numerele izvorâte din problema iepuraşilor apar totuşi în realitatea înconjurătoare în mod nemijlocit şi fără de tăgadă. Sunt renumite diferitele situaţii din lumea vie în care se găsesc urme ale numerelor lui Fibonacci, spirala logaritmică sau secţiunea de aur fiind prezente “te miri unde”.

Există foarte multe exemple, dar nu mi-am propus aici o prezentare exhaustivă, nici măcar o enumerare a celor mai cunoscute astfel de situaţii unde sunt întâlnite renumitele numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Le puteţi găsi în bogata literatură tipărită sau pe internet (de pildă Mario Livio, Secţiunea de aur, Humanitas). Doar un singur exemplu doresc să vă prezint în această postare, anume unde şi cum am găsit eu numere Fibonacci pe un fruct de ananas.

Analizând un astfel de fruct, observăm că suprafaţa sa este formată din nişte “celule” oarecum patrulatere destul de ordonat aliniate. De fapt acestea sunt seminţe iar alinierea lor poate fi privită ca o înşiruire de dale pentru un posibil “şotron”.

Mai exact spus, fiecare astfel de poziţie este parte a două alinieri, una care urcă spre stânga şi una care urcă spre dreapta. Analizând cu atenţie sporită vedem că alinierea care urcă înspre stânga este mai lină, pe când alinierea care urcă spre dreapta este mai abruptă.

Interesant este că cele două alinieri care pornesc dintr-o poziţie, cea înspre stânga şi cea înspre dreapta, ajung să se reîntâlnească în partea cealaltă a ananasului. De fapt nu se întâlnesc exact în partea opusă, şi asta datorită diferenţei de înclinaţie. Astfel, de la un punct comun, să-i zicem A punctului de jos, până la celălalt punct comun B al celor două alinieri oblice, situat mai sus, drumurile pe cele două trasee diferă ca lungime: drumul care urcă lin spre stânga este mai lung, pe când drumul care urcă abrupt spre dreapta este clar mai scurt.

Surpriza apare atunci când numărăm paşii ce trebuie făcuţi pe cele două drumuri: de la A la B pe drumul abrupt dar mai scurt avem de făcut 8 paşi, pe când pe drumul lin dar mai abrupt sunt de făcut 13 paşi! UAU!!! DA!!! Exact 8, respectiv 13 paşi. La alte specii pot fi găsite alte numere Fibonacci alăturate. De pildă la o creangă de pin am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8 (cu cât avansăm, raportul a două numere alăturate din acest şir aproximează tot mai bine renumitul număr “fi” φ ≈ 1,618).

Păi, ştiu ananaşii sau pinii matematică? Multe persoane au în momentul acesta o trăire de uluială profundă, ceva de genul: plantele sunt creaţia lui Dumnezeu; asta este o urmă clară şi de netăgăduit lăsată de Dumnezeu de când a creat lumea. Problema cu iepuraşii era clar artificială, dar această situaţie este una profund naturală şi realistă. Încă o dată: UAU!!!

De obicei, prima întrebare ce îmi este adresată în acest moment este dacă toţi ananaşii au chestia asta. Cel mai bine ar fi să mergeţi şi să verificaţi în supermarket (este distractivă imaginea a doi elevi distrându-se într-un magazin la cutia cu ananaşi, numărând bunbii respectivi, când un angajat vine şi îi ia la rost, că “ce fac acolo?”, iar aceştia să răspundă “ne facem tema la mate, ne-a dat profu’ să numărăm pătrăţelele de pe ananas!”).

Răspunsul la întrebarea dacă întotdeauna se întămplă aşa, este în principiu afirmativ, doar că aceste fructe nu sunt obligatoriu perfecte, ci au dereglări ale rândurilor în anumite părţi. De pildă, exemplarul din aceste poze dovedeşte o dereglare a rândurilor pe partea surprinsă în prima poză. Concret, pentru a fi sigur că pot face pozele pentru prezentul articol, pe acest fruct l-am verificat cu atenţie înainte de a-l cumpăra din magazinul Lidl (unde mă aştepta cuminte în raft). Dar de obicei funcţionează. În calculator mai am încă un rând de poze cu un ananas cumpărat cu trei săptămâni în urmă din Kaufland, la fel de corect, dar la care vopsirea nu se vede la fel de bine. Pe cele de mai sus le-am ales doar pe baza vopsirii mai clare a alinierilor. Titus “Dole”

Dodecaedrul lui Enrique

Până la urmă am ajuns să văd şi eu videoclipul melodiei Nos Fuimos Lejos interpretată de Descemer Bueno şi Enrique Iglesias, alături de diferiţi alţi artişti, printre care prezenţa lui Andra ne-a stârnit admiraţia. Dar nu despre aceşti artişti vă reţin atenţia, ci despre prezenţa geometriei în filmuleţ: corpul în care dansează băieţii ăştia este un dodecaedru regulat (chiar dacă este optic destul de deformat, fiind “filmat” de foarte aproape). Interesant! Acest corp este prezent peste tot, doar din programa de matematică este absent. Oare de ce? Enrique Dodecaedrias

Pisica, masa şi canarul

Când pisica Pusi stă sub masă, iar canarul Cico stă pe masă, diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 60 cm. Dacă pisica Pusi se suie pe masă atunci canarul Cico zboară jos şi se plimbă sub masă pe podea. În acest caz diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 90 cm. Ce înălţime are masa?

*

De curând am primit un e-mail de la site-ul mquest.ro cu adresa unui filmuleţ conţinând o problemă şi diferite rezolvări pentru aceasta. Deşi cunosc foarte multe probleme vechi, caracterizate printr-un farmec special inconfundabil, recunosc că nu cunoşteam această problemă (impregnată cu acelaşi farmec special). Textul de mai sus reprezintă o încercare personală de a vă prezenta problema respectivă într-o formă mai atractivă (de pildă, problema din filmuleţul respectiv vorbea de o pisică şi o broască, care stăteau pe rând sub masă sau pe masă), formă care să provoace şi imaginaţia rezolvitorului. Totodată textul astfel aranjat poate fi dus liniştit la clasă fără a apela la un calculator sau la alte mijloace super tehnologizate.

Deşi preferata mea este o rezolvare prin metoda reducerii, în cadrul filmuleţului este prezentată şi o rezolvare aşa-zisă “de clasa a 3-a” (ce persoană o fi avut aşa o imaginaţie “bolnavă” încât să gândească cele două situaţii cocoţate una peste cealaltă?). Dacă v-am trezit curiozitatea şi doriţi să vedeti filmuleţul, îl găsiţi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=t-9QJMdVe7k.

Calendar Dodecaedru 2019

Ultimele ore înainte de vacanţă, în care nimeni nu mai are chef în România să lucreze ceva serios (nimeni cu ghilimelele de rigoare), sunt foarte potrivite pentru activităţi de tip „şcoala altfel”, în care elevii să înveţe ceva, chiar dacă în forme mai „necanonice”. Pentru cei care sunt dispuşi la astfel de „experimente”, înaintea vacanţei de iarnă se poate construi un calendar în formă de dodecaedru regulat. Acestea se găsesc la liber pe internet şi trebuie doar să vă descărcaţi o variantă, să o multiplicaţi pentru toţi elevii şi să-i anunţaţi să vină pregătiţi cu „foficuţă şi lipici”.

La căutarea de anul acesta mi-a intrat imediat următoarea adresă: https://folk.uib.no/nmioa/kalender/ la care se găsesc variante de calendare pe diferite limbi şi în diferite formate. Preluate de aici anexăm o variantă pdf în limba română. Cu ocazia căutărilor pentru acesta am găsit „de vânzare” pe net un calendar vintage din anul naşterii mele (nu că m-ar interesa să-l cumpăr, dar am salvat imaginea). CTG

Download

Matematica alternativă: 2 + 2 = 5!

După postarea precedentă pe tema 2 + 2, profesorul Kjell Sammuelson din Järna, Suedia, mi-a mai trimis încă o adresă de filmuleţ. Dacă la primul ne-am mai distrat, la acesta ne cam dispare zâmbetul de pe feţe. Filmul a avut o nominalizare pentru premiul Bafta pe 2012 la categoria scurt-metraje. 2+2=5 | Two & Two – [MUST SEE] Nominated as Best Short Film, Bafta Film Awards, 2012
Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi. Un prieten drag a primit în copilărie, prin clasa a VI-a, un 4 pentru că a insistat că şi metoda lui de a găsi centrul unui cerc cu rigla şi compasul era bună (o altă metodă decât cea cunoscută de către profesoară).

Econimie politică de clasa a V-a

Oamenii politici! Eu nu stau chiar toată ziua să văd ce şi cum fac aceştia şi în nici un caz nu mi-am propus să fac analiză politică pe un blog destinat artei predării matematicii. Totuşi, sunt şi eu om, cu slăbiciunile de rigoare, şi dacă apare unul care “se cere cu hotărâre” a fi poftit în faţă, atunci n-am ce-i face; dacă trebuie, trebuie! Astfel, în revista LUMEA nr. 7 din 2018, în cadrul articolului Dictatura secăturilor şi legile bramburelii semnat de către Viorel Patrichi, în cadrul rubricii România lucrului ţapăn făcut (pag. 104) am găsit următorul citat din Lia Olguţa Vasilescu:

“Eu v-aş ruga să mai puneţi mâna pe o carte de matematică de a V-a, că văd că unii dintre noi nu înţeleg limba română. La fel am spus şi anul trecut, dar nu aţi fost atenţi. Am explicat atunci că o dublare nu înseamnă automat o creştere cu 100% a salariului. La unii, dublare poate fi o creştere de 10% sau chiar o scădere de 40%, depinde de care parte a diagramei te situezi. Eu ce să vă fac dacă nu v-a plăcut matematica?”

Dacă era numai despre învăţatul limbii române din manualul de matematică de clasa a V-a (unul din cele apărute prea târziu sau din compendiu?), atunci nu mă implicam în subiect. Nici măcar acolo unde se explică faptul că o dublare nu înseamnă o creştere cu 100% (o să ţin minte şi aşa am să le explic elevilor, când oi mai avea clasa a V-a, că la anu’ n-o să am. Ca norocu’!). Da-mi permit şi eu să ridic două degete şi să întreb cu respect: o scădere de – 40% înseamnă de fapt o creştere de + 40%? Adică, am voie să folosesc faptul că “minus cu minus” face plus, la fel ca şi “plus cu plus”, la fel ca la desfăcutul parantezelor: – (– 40% ) = + (+ 40%)? Întreb adică dacă în clasa a V-a am voie să folosesc limba română din manualul de matematică de clasa a VI-a, aşa cum o face de pildă Mugur Isărescu când prevede spre sfârşitul verii o inflaţie negativă, adică o “creştere negativă a preţurilor”? Q.e.d.!!!

Matematica alternativă: cât fac 2 cu 2

Concurs de secretare la o firmă. Intră prima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 4. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Respectiva iese afară şi le povesteşte celorlalte de întâmplare, precizând că nu părea mulţumit de ultimul răspuns.

Intră următoarea: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 3, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe prima cam risipitoare. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Ajunsă afară, le precizează celor rămase că nici răspunsul de 3 nu pare să-l fi mulţumit pe directorul ciudat.

Intră a treia doritoare: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă şi pe ea cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 5, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe precedenta cam zgârcită. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Afară aceasta îi spune ultimei rămase că nici 5 nu pare să-i fi fost pe plac şefului.

Intră a ultima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul cu întrebarea încuietoare: “cât face 2 + 2?”. La care aceasta răspunde: “Cât vreţi dvs. domnule Director!”

*

Se pare că s-au gândit şi alţii la acest subiect. Uitaţi ce filmuleţ am găsit (sub 10 minute):

Alternative Math | Short Film

Mulţumesc prietenului meu Kjell Sammuelson care mi-e atras atenţia asupra acestui filmuleţ (pensionat de câţiva ani; a predat la o şcoală Waldorf din Järna lângă Stockholm). Oare asta ne aşteaptă şi pe noi? Un şef de nota 4

Moo-thematics

Se spune că, după ce a descoperit minunata relaţie din teorema sa, Pitagora ar fi sacrificat pe altarul zeilor 100 de boi drept mulţumire. Se mai spune că, de atunci, toţi „boii” tremură când aud de teorema lui Pitagora. În vremurile noastre vitele folosesc matematicii într-un mod mult mai paşnic. Astfel, o persoană ce cunoştea destul de bine matematică a găsit nişte poze cu diferite rase bovine şi, ce i-a trecut prin cap? Să explice elevilor într-un mod mai atractiv, mai edificator şi mai adaptat nivelului de atenţie al acestor vremuri, cum stă treaba cu reprezentările grafice. Asta da explicaţie „pe înţelesul tuturor”! (oare acest ultim comentariu nu este o aluzie cam jignitoare pentru anumiţi elevi mai „grei de cap”?) Pozele sunt preluate de la adresa https://9gag.com/gag/avO9x3q .

Ciurdaru matematic