Programa PENTAGONIA (8) ÔÇô Con┼úinuturi clasa a VIII-a

├Än semestrul I din clasa a VIII-a materia este foarte vast─â (cca. 2/3 din materia anului) pentru a permite elevilor o perioad─â c├ót mai lung─â de lucru pe teste complete pentru EN ├«n prim─âvar─â. Cel mai nou aspect ├«n ordinea lec┼úiilor ├«l reprezint─â studiul complet al piramidelor ┼či al prismelor (figuri, arii ┼či volume pe studiate baze intuitiv-ra┼úionale) ├«n prima jum─âtate a semestrului, urmate abia apoi de studiul pozi┼úiilor relative al dreptelor ┼či planelor cu aplica┼úii direct pe corpurile studiate. Se ob┼úine astfel o accesibilizare a materiei deosebit de eficient─â pentru elevii de r├ónd.

├Än semestrul al II-lea mai r─âm├ón func┼úiile, trunchiurile de piramid─â ┼či corpurile rotunde, urmate de c├óteva lec┼úii de cultur─â general─â, obi┼čnuite mai mult din zona op┼úional─â ÔÇťmatematica altfelÔÇŁ. Iat─â con┼úinuturile:

  1. ECUA┼óII ┼×I SISTEME DE ECUA┼óII (recapitulare ┼či complet─âri)
  • Ecua┼úii cu o necunoscut─â de tipurile studiate
  • Sisteme de dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute; Sisteme de trei ecua┼úii cu trei nec.
  • Probleme rezolvabile prin ecua┼úii sau prin sisteme de ecua┼úii
  1. INTERVALE DE NUMERE REALE ┼×I INECUA┼óII ├ÄN ÔäŁ
  • Mul┼úimi definite printr-o proprietate a elementelor ei
  • No┼úiunea de interval de numere reale; clasificarea intervalelor cu scriere ┼či reprezentarea grafic─â pe axa numerelor; opera┼úii cu intervale
  • Inecua┼úii ├«n ÔäŁ, cu scrierea mul┼úimii solu┼úiilor
  • Sisteme de dou─â inecua┼úii, cu scrierea mul┼úimii solu┼úiilor
  • Inecua┼úii cu modul, de tipul |┬áax┬á+┬áb┬á|┬á< c respectiv |┬áax┬á+┬áb┬á|┬áÔëĄ┬ác
  1. CALCUL ALGEBRIC (recapitulare ┼či complet─âri)
  • Sume algebrice: opera┼úii cu acestea, desfacerea parantezelor, aducerea la forma cea mai simpl─â
  • Formule de calcul prescurtat: p─âtratul sumelor sau al diferen┼úelor; produsul sumei cu diferen┼úa; p─âtratul trinomului; cubul sumei ┼či al diferen┼úei (cu dem. algebrice ┼či geometrice); suma ┼či diferen┼úa de cuburi; aplica┼úii
  • Descompunerea ├«n factori a sumelor algebrice: factorul comun; restr├óngerea p─âtratelor ┼či diferen┼úa de p─âtrate; grup─âri + factor comun; metode combinate; metode artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Ecua┼úii de gradul II: cazuri particulare pe baza formulelor de calcul prescurtat sau similare cu metodele artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Frac┼úii algebrice: simplificarea acestora ca aplica┼úie la descompunerea ├«n factori a sumelor algebrice; domeniul de defini┼úie al unei frac┼úii algebrice cu o nedeterm.
  • Opera┼úii cu frac┼úii algebrice; aducerea expresiilor la forma cea mai simpl─â
  1. FUNC┼óII ┼×I COMPLET─éRI (vezi indica┼úiile metodice*)
  • Elemente de organizare a datelor: tabele, diagrame
  • No┼úiunea de func┼úie: elemente, exemple, prezent─âri prin tabele sau diagrame Venn-Euler, reprezent─âri grafice prin diagrame sau pe baz─â de blocuri verticale
  • Sistemul cartezian de axe ortogonale: deducerea din reprezentarea grafic─â pe baz─â de blocuri verticale; coordonatele unui punct ┼či reprezentarea grafic─â; terminologia specific─â
  • Reprezentarea grafic─â a unei func┼úii: diferite func┼úii pe domenii finite pentru vizualizarea a diferite forme de grafice (de pild─â: x2, |x┬á+┬á2|, (x┬áÔÇô┬á1)3,, pe domenii cu valori ├«ntregi sau zecimale)
  • Graficul func┼úiei de gradul I: exemple pe domenii (de pild─â f(x)┬á=┬á2x┬á-3 pe r├ónd pe urm─âtoarele domenii: {-1, 0, 1, 2, 3}, apoi ÔäĄ, apoi ÔäŁ ┼či pe [-1; 3] ├«n final), cu observarea formei graficului ┼či adaptarea reprezent─ârii ├«n func┼úie de compozi┼úia acestuia, cu deducerea metodei de reprezentare grafic─â prin dou─â puncte + unul de control
  • Ecua┼úia ata┼čat─â unei func┼úii de gradul I: dreapta solu┼úiilor unei ecua┼úii; folosirea ecua┼úiei ata┼čate ├«n rezolvarea diferitelor probleme (puncte de coordonate egale de pe un grafic; intersec┼úia graficelor a dou─â func┼úii; determinarea func┼úiei de gradul I ce trece prin dou─â puncte date), inclusiv determinarea punctelor de intersec┼úie a graficului cu axele de coordonate
  • Metoda grafic─â ├«n rezolvarea unui sistem de ecua┼úii (dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute)
  • Elemente de calcul geometric ├«n planul cartezian: calcule de arii ┼či lungimi ┼či g─âsirea mijlocului unui segment etc. (aplica┼úii elementare)
  • Ecua┼úia de gradul II: rezolvarea cu formulele generale
  1. CORPURI GEOMETRICE ÔÇô PARTEA I
  • P─âtratul ┼či triunghiul echilateral: aria ┼či liniile importante (recapitulare)
  • Cubul: diferite reprezent─âri grafice, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum ┼či lungimea diagonalei
  • Sec┼úiuni ├«n cub: reprezentarea grafic─â a sec┼úiunilor paralele cu fe┼úele; sec┼úiunea diagonal─â; sec┼úiunea ╬ö echilateral (stabilirea intuitiv─â a formei; calcul perimetrului ┼či a ariei acestora)
  • Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul): reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum ┼či lungimea diagonalei (teorema lui Pitagora ├«n spa┼úiu, pe baza observ─ârii intuitive a unghiului drept: o muchie vertical─â este perpendicular─â pe baza orizontal─â, deci ┼či pe o diagonal─â a acestei baze)
  • Prisma patrulater─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum ┼či lungimea diagonalei
  • Prisma triunghiular─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Prisma hexagonal─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum; situa┼úia diagonalelor
  • Piramida patrulater─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum; apotema bazei, apotema piramidei ┼či conexiunile de calcul cu muchia bazei ┼či cu ├«n─âl┼úimea piramidei
  • Sec┼úiuni ├«n piramid─â: sec┼úiuni transversale, sec┼úiuni diagonale ┼či sec┼úiuni paralele cu baza ├«n piramida patrulater─â regulat─â (desenarea ┼či stabilirea intuitiv─â a formei)
  • Piramida triunghiular─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Tetraedrul regulat: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, ├«n─âl┼úime ┼či volum
  • Piramida hexagonal─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  1. PUNCTE, DREPTE ┼×I PLANE ├ÄN SPA┼óIU
  • Reprezentarea grafic─â ┼či notarea punctelor, dreptelor ┼či planelor; diferitele situa┼úii de pozi┼úii relative ale acestora: puncte coplanare, determinarea planului, drepte necoplanare, paralelism sau intersec┼úii ├«ntre drepte, plane
  • Studiul pozi┼úiilor relative ├«ntre dou─â drepte, o dreapt─â ┼či un plan, respectiv dou─â plane: demonstrarea situa┼úiilor de paralelism, respectiv de perpendicularitate, ┼či determinarea ├«nclina┼úiei, respectiv a m─âsurii unghiului determinat de acestea, ├«n cazul pozi┼úion─ârii oblice (demonstrarea paralelismului a dou─â drepte, calculul m─âsurii unghiului relativ a dou─â drepte necoplanare, demonstrarea perpendicularit─â┼úii a dou─â drepte necoplanare; ├«n mod similar ├«n cazul unei drepte ┼či a unui plan, respectiv ├«n cazul a dou─â plane); deducerea intuitiv─â ├«n cazul fiec─ârei demonstra┼úii;
  • Teorema celor trei perpendiculare; calculul distan┼úei de la punct la dreapt─â
  • Diverse corpuri neregulate: exemple cu reprezentarea grafic─â, descriere, calculul ariei ┼či a volumului; calculul distan┼úei de la un punct la un plan
  1. CORPURI GEOMETRICE ÔÇô PARTEA a II-a
  • Trunchiul de piramid─â patrulater─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Trunchiul de piramid─â triunghiular─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Raportul de asem─ânare, raportul ariilor figurilor asemenea ┼či raportul volumelor corpurilor asemenea: aplica┼úii ├«n piramidele sec┼úionate paralel cu baza pentru ob┼úinerea trunchiurilor de piramid─â
  • Trunchiul de piramid─â hexagonal─â regulat─â: reprezentarea grafic─â, desf─â┼čurarea, elemente (col┼úuri, muchii, fe┼úe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Cilindrul (circular drept): reprezentarea grafic─â, descrierea; desf─â┼čurarea, deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Conul (circular drept): reprezentarea grafic─â, descrierea; desf─â┼čurarea, deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Trunchiul de con (circular drept): reprezentarea grafic─â, descrierea; desf─â┼čurarea, deducerea formulelor pentru arii ┼či volum
  • Sfera: reprezentarea grafic─â, descrierea; desf─â┼čurarea, deducerea formulelor pentru arie ┼či volum
  • Elemente de geometria cercului ┼či a sferei pe globul p─âm├óntesc: rota┼úia Terrei ├«n jurul soarelui, axa de rota┼úie, ├«nclinarea acesteia fa┼ú─â de planul ecliptic (ecliptic─â) ┼či deducerea latitudinii tropicelor ┼či ale cercurilor polare
  • Corpurile platonice (perfecte) cu prezentarea celor cinci: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul ┼či icosaedrul; activit─â┼úi de cunoa┼čtere a ultimelor trei (desenare, construc┼úie din h├órtie sau be┼úi┼čoare, determinarea formulelor de arie ┼či volum dac─â sunt accesibile); exemple de corpuri arhimedice (trunchieri ale corpurilor platonice): activit─â┼úi de cunoa┼čtere pe exemple, mingea de fotbal

CTG

8-Clasa-a-VIII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (7) ÔÇô Con┼úinuturi clasa a VII-a

├Än semestrul I din clasa a VII-a materia se concentreaz─â aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra reg─âsindu-se mai mult ├«n slujba calculelor din geometrie (arii ┼či teorema lui Pitagora). Geometria ├«ns─â se ├«mparte ├«n dou─â linii preocupa┼úionale: pentru to┼úi elevii (materia de nota 5-7) se studiaz─â calculul de arii ┼či perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porne┼čte ├«n paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstra┼úii pe baza cuno┼čtin┼úelor deja dob├óndite ├«n clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstra┼úii cu unghiuri, cu segmente ┼či cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriz─â interesant─â o reprezint─â studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combin─â cu cel al ariilor, duc├ónd la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actual─â de obi┼čnuin┼ú─â) o reprezint─â ├«ns─â faptul c─â trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora ├«n cazul rezultatelor neexacte cu calcule ra┼úionale aproximative. De abia dup─â stabilizarea calculelor ├«ntregi sau aproximative (cu aplica┼úie clar─â ├«n via┼úa aplicativ─â extramatematic─â) se va trece la exprimarea rezultatelor ira┼úionale (cel mai bine ├«n semestrul al II-lea). Acela┼či traseu al studiului este valabil ┼či ├«n cazul lungimii ┼či ariei cercului, introduc├óndu-se ini┼úial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu dou─â zecimale exacte, adic─â o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai mult─â geometrie,dar ofer─â o stabilizare a calculului aritmetic ┼či o apropiere neagresiv─â de calculul pur algebric al numerelor ira┼úionale (scoaterea par┼úial─â a factorilor de sub radical ┼či calculul cu astfel de numere, care ├«n vest se studiaz─â eventual doar la nivelul liceului).

├Än semestrul al II-lea algebra ├«┼či ia revan┼ča, materia concentr├óndu-se mai mult pe aceast─â latur─â. Ca aspect important, pe l├óng─â revenirea sistemelor de ecua┼úii ├«n finalul clasei a VII-a, se p─âstreaz─â ┼či studiul formulelor de calcul prescurtat p─âtratice. Iat─â con┼úinuturile:

  1. NUMERE RA┼óIONALE (recapitulare ┼či complet─âri – I)
  • Opera┼úii cu numere naturale, ├«ntregi sau ra┼úionale
  • Opera┼úii cu mul┼úimi; mul┼úimile ÔäĽ, ÔäĄ, ÔäÜ
  • Puterea cu exponent ├«ntreg
  • Procente ┼či propor┼úionalitate; ecua┼úii; punerea ├«n ecua┼úie a unei probleme
  1. R─éD─éCINA P─éTRAT─é (recapitulare ┼či complet─âri – II)
  • R─âd─âcina numerelor p─âtrate: pe baza tablei p─âtratelor, a observa┼úiilor pe ultima cifr─â ┼či prin descompunere
  • Produsul ┼či c├ótul r─âd─âcinilor p─âtrate; aplica┼úii de tipul sau
  • Algoritmul de extragere a r─âd─âcinii p─âtrate din numere ra┼úionale (├«n cazuri exacte, respectiv aproximative)
  • Ideea de num─âr ira┼úional
  1. NUMERE IRAŢIONALE
  • No┼úiunea de num─âr ira┼úional; incluziunea ÔäĽ┬áÔŐé┬áÔäĄ┬áÔŐé┬áÔäÜ┬áÔŐé┬áÔäŁ cu diferite exemple
  • Forma aproximativ─â ┼či forma exact─â a numerelor ira┼úionale: studiu comparativ; num─ârul ¤Ç; reprezentarea numerelor ira┼úionale pe axa numerelor; numerele reale
  • Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exact─â a numerelor ira┼úionale; p─âtratul numerelor ira┼úionale; ridicarea la putere natural─â a numerelor ira┼úionale
  • Produsul ┼či c├ótul numerelor ira┼úionale; ra┼úionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere ├«ntreag─â a numerelor ira┼úionale
  • Suma numerelor ira┼úionale; ordinea opera┼úiilor; numere ira┼úionale ├«n forma de sume neefectuabile
  • Valoarea absolut─â a unui num─âr real
  1. CALCUL ALGEBRIC
  • Opera┼úii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, c├ótul ┼či puterea
  • ├Änsumarea numerelor reprezentate prin litere; no┼úiunile de monom, binom, trinom ┼či polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opu┼či
  • Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a dou─â binoame sau trinoame
  • Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): p─âtratul sumei ┼či p─âtratul diferen┼úei; produsul sumei cu diferen┼úa (cu dem. algebrice, dar ┼či geometrice, pe baz─â de arii)
  • Descompuneri elementare prin factor comun ┼či reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restr├óngerea p─âtratelor, diferen┼úa de p─âtrate); aplica┼úii ├«n simplificarea frac┼úiilor ┼či calculul din T. Pitagora
  • Aplica┼úi: calcule de expresii; ra┼úionalizarea numitorului (II); demonstra┼úii la teorema lui Pitagora pe baz─â de arii ┼či formule binomiale
  1. ECUA┼óII ┼×I SISTEME DE ECUA┼óII
  • Ecua┼úii de gr. I; ecua┼úii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecua┼úii ├«n care se reduc termenii de gradul II); mul┼úimea solu┼úiilor
  • Ecua┼úii de gradul II de forma x2=┬áb, ┬áx2┬á+┬áa┬á=┬áb ┼či ax2┬á=┬áb; mul┼úimea solu┼úiilor
  • Ecua┼úii cu module de forma |┬áax┬á+┬áb┬á|┬á=┬ác; mul┼úimea solu┼úiilor
  • Ecua┼úii cu dou─â necunoscute: scrierea solu┼úiilor ca perechi ordonate
  • Sisteme ini┼úiale de ecua┼úii (o ecua┼úie cu o nec. + o ecua┼úie cu dou─â necunoscute); scrierea solu┼úiilor, inclusiv ├«n cazul cu dou─â solu┼úii (ec. de gr. II sau cu modul)
  • Sisteme de ecua┼úii (dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute de forma y┬á=┬áax┬á+┬áb┬á ┼či┬á y┬á=┬ácx┬á+┬ád): metoda tranzitivit─â┼úii
  • Sisteme de ecua┼úii (dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute): metoda substitu┼úiei
  • Sisteme de ecua┼úii (dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute): metoda reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin punere ├«n ecua┼úie sau ├«n sistem de ecua┼úii
  1. DEMONSTRA┼óIA GEOMETRIC─é (recapitulare ┼či complet─âri – I)
  • Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate ├«nscrise ├«n cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi ┼či unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
  • Demonstra┼úii cu unghiuri: folosind propriet─â┼úile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuz─â; cateta opus─â unghiului de 30o
  • Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruen┼ú─â LLL, LUL, ULU; congruen┼úa triunghiurilor dreptunghice
  • Linia mijlocie ├«n triunghi (intuitiv, f─âr─â dem. inclusiv la teorema reciproc─â); linia mijlocie ├«n trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
  • Teoreme directe ┼či teoreme reciproce: exemplific─âri pe figurile studiate
  1. ARII ┼×I PERIMETRE (recapitulare ┼či complet─âri – II)
  • Aria patrulaterelor ┼či a triunghiurilor: dreptunghi, p─âtrat, ╬ö dreptunghic, paralelogram; ╬ö oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situa┼úii (rombul II, p─âtratul II, ╬ö dreptunghic II, deltoidul, ╬ö isoscel; ╬ö obtuzunghic)
  • Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate ┼či pozi┼úia sa pe median─â
  • Figuri echivalente: transformarea triunghiului ┼či a paralelogramului cu p─âstarea ariei (forfecarea triunghiurilor ┼či a paralelogramelor); figura ÔÇťgnomonÔÇŁ
  • Teorema lui Pitagora: demonstra┼úie prin arii folosind transform─âri echivalente de paralelograme
  • Calcule de arii ┼či perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) ┼či calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
  • Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; num─ârul ¤Ç ├«n form─â zecimal─â aproximativ─â; lungimea cercului (perimetrul)
  • Aplica┼úii: calcule aproximative de lungimi ┼či arii ├«n situa┼úii practice
  1. PROPOR┼óIONALITATE ┼×I ASEM─éNARE
  • Prezentarea prin transformarea intuitiv─â: Regula de trei simpl─â Ôćĺ Triunghiuri asemenea Ôćĺ Teorema fundamental─â a asem─ân─ârii Ôćĺ Teorema lui Thales
  • Raportul lungimilor a dou─â segmente
  • Teorema lui Thales ┼či reciproca: segmente propor┼úionale ┼či paralelismul;
  • Teorema fundamental─â a asem─ân─ârii: aplica┼úii aritmetice ┼či demonstra┼úii geometrice
  • Aplica┼úii: teorema bisectoarei; pozi┼úia centrului de greutate al triunghiului
  • Cazurile de asem─ânare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplica┼úii
  • Cazul de asem─ânare UU la triunghiurile scalene ┼či la triunghiurile dreptunghice
  • Studiul propozi┼úiilor directe ┼či al reciprocelor, par┼úiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii ├«n triunghi (teorema direct─â; apoi reciproca par┼úial─â 1 = teorem─â, dar reciproca par┼úial─â 2 = propozi┼úie fals─â; ├«n final reciproca total─â = teorem─â, fiecare cu demonstra┼úie sau contraexemplu); aplica┼úii pe probleme
  1. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
  • Proiec┼úia unui punct sau a unui segment pe o dreapt─â
  • Teoremele lui Euclid: teorema catetei ┼či teorema ├«n─âl┼úimii, demonstra┼úii prin asem─ânare ┼či aplica┼úii
  • Teorema lui Pitagora: demonstra┼úia cu teorema catetei; aplica┼úii cu rezultate sau date ira┼úionale; reciproca teoremei lui Pitagora
  • Rapoartele trigonometrice: defini┼úii, exemple, valori pentru 30o, 45o, 60o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Poligoanele regulate de baz─â (triunghiul echilateral, p─âtratul ┼či hexagonul regulat): liniile importante ┼či aria (├«n─âl┼úimea, diagonala, raza cercului circumscris sau ├«nscris, apotema)
  1. CERCUL (recapitulare ┼či complet─âri)
  • Elementele cercului ┼či propriet─â┼úile studiate; unghiul la centru ┼či m─âsura arcelor de cerc; ÔÇťCercul lui ThalesÔÇŁ (triunghiul dreptunghic ├«nscris ├«n semicerc)
  • Tangenta la cerc (f─âr─â dem.); proprietatea ÔÇťciocului de cioar─âÔÇŁ (cu dem.)
  • Unghiul ├«nscris ├«n cerc (sau ÔÇťunghiul perifericÔÇŁ): proprietatea m─âsurii (cu dem.)
  • Cercul ├«nscris ┼či cercul circumscris unui triunghi
  • Patrulatere ├«nscrise ┼či patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplica┼úii
  • Lungimea cercului ┼či aria discului; aria p─âr┼úilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (6) ÔÇô Con┼úinuturi clasa a VI-a

├Än semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetic─â realizeaz─â p├ón─â la vacan┼úa de iarn─â o reluare cu complet─âri ┼či aprofund─âri a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiaz─â componentele de baz─â (puncte, drepte, segmente, pozi┼úii relative, unghiuri, c├ót ┼či liniile importante mediatoarea ┼či bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplica┼úii doar diverse cerin┼úe de construc┼úii cu ├«ngr─âdiri pe instrumente (de exemplu, desena┼úi doar cu rigla ┼či compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de h├órtie).

├Än semestrul al II-lea aritmetica se cam ├«ncheie cu studiul rapoartelor ┼či al propor┼úiilor. Urmeaz─â capitolele de trecere spre algebr─â, apari┼úia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecua┼úiile ┼či mul┼úimile. Valoarea absolut─â a unui num─âr se prezint─â doar la sf├ór┼čitul capitolului, nu ├«n prima lec┼úie. La geometrie se studiaz─â intuitiv triunghiurile ┼či patrulaterele prin enumerarea observa┼úional─â a propriet─â┼úilor evidente ┼či demonstrarea propriet─â┼úilor neevidente. Studiul aplica┼úional al acestora se concentreaz─â mai ales pe construc┼úia exact─â cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind am├ónat─â pe ├«nceputul clasei a VII-a (de fapt, o rocad─â ├«ntre demonstra┼úia geometric─â diversificat─â ÔÇô nu doar demonstra┼úii cu congruen┼úa triunghiurilor ÔÇô ┼či capitolul despre patrulatere). ├Än clasa a VI-a cazurile LLL, LUL ┼či ULU se numesc mai degrab─â cazuri de construc┼úii dec├ót cazuri de congruen┼ú─â a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare ┼či complet─âri – I)
  • Opera┼úii ┼či propriet─â┼úile acestora; ordinea opera┼úiilor; factorul comun ┼či aplica┼úii; teorema ├«mp─âr┼úirii cu rest; scrierea numerelor ├«n baza zece
  • Opera┼úii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale ├«n produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc ┼či cmmmc a dou─â sau mai multe numere naturale; numere prime ├«ntre ele;
  • Criterii de divizibilitate; propriet─â┼úi ale divizibilit─â┼úii ┼či demonstra┼úii cu acestea
  • R─âd─âcina numerelor p─âtrate: determinarea intuitiv─â; determinarea prin descompunere ├«n factori; includerea ├«n ordinea opera┼úiilor
  1. FRAC┼óII (recapitulare ┼či complet─âri – II)
  • Frac┼úii ordinare: prezentare, transform─âri; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Opera┼úii cu frac┼úii ordinare; ordinea opera┼úiilor; frac┼úii suprapuse
  • Frac┼úii zecimale finite: transform─âri; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Frac┼úii zecimale periodice: transform─âri; comparare; aproxim─âri
  • Opera┼úii cu frac┼úii ordinare ┼či frac┼úii zecimale; ordinea opera┼úiilor; frac┼úii suprapuse
  • Aplica┼úii: media aritmetic─â ┼či media aritmetic─â ponderat─â
  • Ecua┼úii: ├«n formele de baz─â simple (x┬á+┬áa┬á=┬áb ┼či ax┬á=┬áb) cu rezolv─âri aritmetice prin opera┼úia de prob─â
  • Algoritmul de extragere a r─âd─âcinii p─âtrate: at─ât din numere p─âtrate (rezultate exacte), c├ót ┼či din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea ├«n ordinea opera┼úiilor
  1. RAPOARTE ┼×I PROPOR┼óII
  • Rapoarte ┼či propor┼úii: no┼úiunea de raport; proprietatea fundamental─â a propor┼úiei (proba propor┼úiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o propor┼úie
  • Regula de tei simpl─â: propor┼úionalitate direct─â ┼či propor┼úionalitate invers─â
  • propor┼úii derivate; ┼čir de rapoarte egale ┼či m─ârimi direct propor┼úionale; ┼čir de produse egale ┼či m─ârimi invers propor┼úionale
  • Procente: aplica┼úii prin metoda ÔÇťdinÔÇŁ , dar ┼či prin regula de trei simpl─â
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice ├«n contextul propor┼úionalit─â┼úii;
  • Elemente introductive de probabilit─â┼úi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive ┼či numere negative; semnul ┼či m─ârimea
  • ├Änsumarea a dou─â numere relative; sume; reducerea termenilor opu┼či
  • Produsul a dou─â numere relative; ├«mp─âr┼úirea a dou─â numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea opera┼úiilor
  • Aplica┼úii ├«n cazul opera┼úiilor cu frac┼úii
  • Reprezentarea pe ax─â; valoarea absolut─â a unui num─âr
  • Ecua┼úii: ecua┼úia de gradul I ├«n formele de baz─â simple (x┬á+┬áa┬á=┬áb ┼či ax┬á=┬áb) ┼či ├«n forma de baz─â combinat─â (ax┬á+┬áb┬á=┬ác) parcurse prin trei metode: metoda probei opera┼úiei (recapit.), metoda balan┼úei ┼či metoda mut─ârii ├«n membrul cel─âlalt cu opera┼úia opus─â; ecua┼úii reductibile la ecua┼úii de baz─â de gradul I
  • Probleme cu o singur─â necunoscut─â, ce se rezolv─â cu ajutorul ecua┼úiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, nota┼úii; rela┼úia dintre un element ┼či o mul┼úime; rela┼úii ├«ntre mul┼úimi
  • Opera┼úii cu mul┼úimi: reuniune, intersec┼úie, diferen┼ú─â
  • Mul┼úimi finite; cardinalul unei mul┼úimi; mul┼úimi infinite; mul┼úimea vid─â
  • Categorii de numere; mul┼úimile ÔäĽ, ÔäĄ, ÔäÜ; rela┼úii, aplica┼úii; axa nr.
  • Ecua┼úii ┼či inecua┼úii cu coef. ├«ntregi sau ra┼úionali, ├«n ÔäĽ, ÔäĄ, ÔäÜ; mul┼úimea solu┼úiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreapt─â, semidreapt─â, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Pozi┼úia relativ─â a dou─â drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Pozi┼úia relativ─â a trei drepte
  • Cercul: centru, raz─â, diametru
  • No┼úiunile de congruen┼ú─â ┼či egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construc┼úii; perpendiculara dintr-un/ ├«ntr-un punct pe o dreapt─â: diferite construc┼úii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; nota┼úii; clasificarea elementar─â: unghiuri ascu┼úite, drepte, respectiv obtuze
  • M─âsura unghiului; raportorul; m─âsurarea ┼či construc┼úia
  • Congruen┼úa unghiurilor; diferite construc┼úii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construc┼úii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la v├órf: congruen┼úa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de dou─â paralele t─âiate de o secant─â: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construc┼úii
  • Dou─â unghiuri ├«mpreun─â: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri ├«n jurul unui punct
  • Clasificarea complet─â a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (m─âsura┬á>┬á180o) ┼či unghiul plin (m─âsura┬á=┬á360o)
  • Simetria axial─â; simetria central─â; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construc┼úie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea ╬ö-lor I: ╬ö echilateral, ╬ö isoscel, propriet─â┼úi legate de congruen┼úa elementelor, ╬ö scalen, ╬ö oarecare
  • Clasificarea ╬ö-lor II: ╬ö ascu┼úit-, ╬ö drept- ┼či ╬ö obtuzunghic, combina┼úii categ. I + II
  • Liniile importante ├«n triunghi: bisectoare; mediane; ├«n─âl┼úimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, propriet─â┼úi, ├«nscrierea ├«n semicerc (ÔÇťCercul lui ThalesÔÇŁ cu dem.), mediana pe ipotenuz─â, cateta opus─â unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificat─â cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplica┼úii: construc┼úii de triunghiuri incluz├ónd ┼či liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor ┼či suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construc┼úia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; propriet─â┼úi ┼či construc┼úii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; p─âtratul; propriet─â┼úi ┼či construc┼úii
  • Aplica┼úii: construc┼úii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confec┼úionare de corpuri din carton cu construc┼úia desf─â┼čur─ârii: cubul, cuboidul, prisma triunghiular─â, piramida patrulater─â, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) ÔÇô Con┼úinuturi clasa a V-a

├Än semestrul I din clasa a V-a materia este structurat─â cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranj─ârii lec┼úiilor ├«l reprezint─â abordarea din trei direc┼úii a ideii de num─âr prim. Apar ┼či primele elemente de geometrie printr-o cunoa┼čtere elementar─â ini┼úial─â a principalelor figuri ├«nchise prin desenarea lor cu m├óna liber─â.

├Än semestrul al II-lea se trece la studiul frac┼úiilor ordinare ┼či zecimale, c├ót ┼či a unit─â┼úilor de m─âsur─â. La geometrie propun o perioad─â de cunoa┼čtere a instrumentelor geometrice ┼či obi┼čnuirea cu m├ónuirea acestora, printr-un traseu ocupa┼úional ├«n jurul ├«mp─âr┼úirii cercului ├«n p─âr┼úi egale ┼či realizarea unor desene frumoase cu rigla ┼či compasul pe baza acestora.

Problema principal─â a acestei structur─âri este faptul c─â desenul geometric este eficient doar dac─â elevii au timp suficient s─â lucreze la acele desene pentru a reu┼či s─â interiorizeze mi┼čc─ârile respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o or─â ├«n plus, de pild─â printr-un op┼úional. Iat─â ├«n continuare con┼úinuturile la r├ónd:

  1. RECAPITULARE ┼×I PROBLEME DE ARITMETIC─é
  • Recapitulare ┼či acomodare: exerci┼úii ┼či probleme elementare (ordinea opera┼úiilor, probleme cu ra┼úionamente elementare, matematic─â distractiv─â, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda compara┼úiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea ┼či citirea numerelor naturale; diferite reprezent─âri (cu puncte, cu linii, pe ax─â); scrierea numerelor ├«n diferite culturi (Egipt ┼či China, Roma ┼či Maya)
  • Compararea ┼či ordonarea numerelor naturale; aproxim─âri ┼či estim─âri
  • Adunarea numerelor naturale, propriet─â┼úi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare ┼či calcul); sc─âderea naturale
  • ├Änmul┼úirea numerelor naturale (calcule mintale ┼či prin algoritm), propriet─â┼úi
  • ├Ämp─âr┼úirea numerelor naturale (algoritm scris, par┼úial scris ┼či efectuat mintal); proba ├«mp─âr┼úirii (teorema ├«mp─âr┼úirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale ÔÇô metoda intuitiv─â (forma de delt─â); numere prime (1) ┼či numere compuse; ├«nmul┼úirea rapid─â cu 5 sau cu 25 prin ├«mp─âr┼úirea ├«n cap la 2 sau 4 ┼či invers
  • Descompunerea numerelor naturale ÔÇô algoritmul (forma cu bar─â)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci opera┼úii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Propriet─â┼úile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerci┼úii cu ├«nc─âlcarea ordinii opera┼úiilor folosind regulile ├«nv─â┼úate (opera┼úii cu puteri)
  • ┼×iruri de numere (pare, impare, ┼čirul lui 3, 4, 5 etc. ÔÇô nivel recapit. de cl. primare)
  • G─âsirea general─â a numerelor prime (2) ÔÇô Ciurul lui Eratostene
  • ┼×irul puterilor; alte ┼čiruri exponen┼úiale (┼čirurile lui Mersenne, Fermat ┼či nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. p─âtrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui num─âr etc.
  • Reprezentarea grafic─â pe cercul cu 10 cifre ┼či studiul evolu┼úiei ultimei cifre pentru ┼čirurile ├«nv─â┼úate; observa┼úii cu privire la evolu┼úia ┼čirului numerelor p─âtrate pe decade (ultima cifr─â ├«n tabla p─âtratelor); p─âtratele multiplilor de zece sau de sut─â
  • R─âd─âcina numerelor p─âtrate: prezentare intuitiv─â pe baza tablei numerelor p─âtrate ┼či pe baza studiului ultimei cifre, cu prob─â; includerea ├«n ordinea opera┼úiilor
  • Explicitarea numerelor ├«n sistemul zecimal ┼či ├«n sistemul binar (bazele 10 ┼či 2); scrierea numerelor naturale ca sum─â de puteri ale lui 2; (diferite aplica┼úii, inclusiv ├«nmul┼úirea ├«n Egiptul antic)
  • Divizorii unui num─âr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de g─âsire a divizorilor; studiul num─ârului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui num─âr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare ┼či prin descompunere); numere prime ├«ntre ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,┬á apoi cu 25 ┼či 4, apoi cu 3 ┼či 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Frac┼úii ordinare ÔÇô prezentare; reprezent─âri grafice (disc ├«mp─âr┼úit ├«n sectoare, dreptunghi ├«mp─âr┼úit ├«n felii etc.); numitor, num─âr─âtor; frac┼úii de baz─â (pe exemplul frac┼úiilor egiptene)
  • Clasificarea frac┼úiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezent─âri grafice; scoaterea ├«ntregilor din frac┼úie, introducerea ├«ntregilor ├«n frac┼úie
  • Transformarea frac┼úiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea ┼či sc─âderea frac┼úiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplific─âri sau simplific─âri intuitive)
  • Compararea frac┼úiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • ├Änmul┼úirea ┼či ├«mp─âr┼úirea frac┼úiilor ordinare, g─âsirea unei frac┼úii dintr-o cantitate ÔÇô cuv├óntul ÔÇťdinÔÇŁ; aplica┼úii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinz├ónd situa┼úii descrise prin frac┼úii ordinare
  • Frac┼úiile zecimale; prezentare; transform─âri (1); compararea frac┼úiilor zecimale
  • Adunarea ┼či sc─âderea frac┼úiilor zecimale
  • ├Änmul┼úirea frac┼úiilor zecimale
  • ├Ämp─âr┼úirea frac┼úiilor zecimale; transform─âri (2)
  • Frac┼úii zecimale finite ┼či frac┼úii zecimale periodice
  • Procente (ca frac┼úie); calcule pe baza ├«nmul┼úirii frac┼úiilor ordinare; promile
  • Unit─â┼úi de m─âsur─â pentru lungime ┼či mas─â
  • Aria ┼či perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din p─âtr─â┼úele ├«ntregi
  • de m─âs. pt. arie; formule ┼či re┼úete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, p─âtrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construc┼úia acestora cu ajutorul echerului
  • de m─âs. pt. volum ┼či capacitate; formule pt. volumul cubului ┼či a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de m─âs. monetare, pt. timp ┼či pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul ┼či dreapta
  • P─âtratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate fa┼ú─â de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate fa┼ú─â de cerc)
  • Unghiul; unghi ├«nscris ├«n cerc, ├«n semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele ├«n 6 sau 5 col┼úuri – ÔÇťSteaua lui DavidÔÇŁ ┼či pentagrama – etc.)
  • ÔÇťTeorema lui PitagoraÔÇŁ (eviden┼úiere ├«n cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul ┼či folosirea compasului
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 6 p─âr┼úi (ÔÇťfloarea vie┼úiiÔÇŁ); diverse aplica┼úii
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 4 p─âr┼úi (construc┼úii diverse); aplica┼úii
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 8 p─âr┼úi; diverse aplica┼úii
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n12 p─âr┼úi; diverse aplica┼úii
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 16 p─âr┼úi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • ├Ämp─âr┼úirea cercului ├«n 5; 9; 10 p─âr┼úi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la v├órf (unghiul ├«nscris ├«n cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stel─âri posibile (pentagrama, ÔÇťsteaua lui DavidÔÇŁ, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (4) ÔÇô Privire de ansamblu asupra con┼úinuturilor

 

├Änainte de prezentarea separat─â a con┼úinuturilor pe fiecare clas─â, v─â prezint o privire de ansamblu, ÔÇťdin aerÔÇŁ, asupra celor opt semestre ale gimnaziului. Tabelul anexat este g├óndit a fi imprimat pe o coal─â A3 pentru ca privirea s─â poat─â s─âri u┼čor de la un punct la altul al materiei, a┼ča cum sar g├óndul (daÔÇÖ unde-a pus cutare sau cutare con┼úinut?). Chiar dac─â nu v─â obosi┼úi s─â-l imprima┼úi, recomand totu┼či m─âcar desc─ârcarea tabelului ├«n calculator, pentru o lectur─â mai lesnicioas─â. Dimpotriv─â, pentru a accesibiliza lecturarea ┼či pe ecranul telefonului (poate sunte┼úi la mare, la umbra unei terase, cu o b─âutur─â r─âcoritoare al─âturi), voi cuprinde materialul respectiv ┼či ├«n format obi┼čnuit:

Clasa a V-a

Semestrul I ÔÇô ARITMETIC─é:

ARITMETICA NUMERELOR NATURALE

  • Probleme aritmetice, diverse metode
  • Cele patru opera┼úii de baz─â ┼či puterea; ordinea op.; propriet─â┼úile opera┼úiilor
  • Descompunerea numerelor ├«n factori; numere prime
  • Opera┼úii cu puteri: ordinea opera┼úiilor; ├«nc─âlcarea ordinii opera┼úiilor
  • R─âd─âcina numerelor p─âtrate: determin─âri intuitive
  • Divizori ┼či multipli
  • Criterii de divizibilitate

Semestrul I ÔÇô GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ (*)

  • Cercul ┼či dreapta
  • P─âtratul; alte patrulatere
  • Triunghiul echilateral; alte triunghiuri
  • Unghiul; unghi ├«nscris ├«n cerc, ├«n semicerc, clasific. (drepte, apoi ascu┼úite, respectiv obtuze)
  • Alte figuri (ÔÇťSteaua lui DavidÔÇŁ etc.)

ÔÇťTeorema lui PitagoraÔÇŁ pe cazul triunghiului dreptunghic isoscel

Semestrul II ÔÇô ARITMETIC─é:

  1. ORDINARE; FR. ZECIMALE; UNIT. M─éS.
  • Frac┼úii ordinare ÔÇô prezentare, tranform─âri, fr. mixte
  • Adunarea ┼či sc─âderea frac┼úiilor ordinare, comparare
  • ├Änmul┼úirea ┼či ├«mp─âr┼úirea frac┼úiilor ordinare
  • Frac┼úiile zecimale; transform─âri
  • Adunarea ┼či sc─âderea frac┼úiilor zecimale
  • ├Änmul┼úirea frac┼úiilor zecimale
  • ├Ämp─âr┼úirea frac┼úiilor zecimale; transform─âri
  • Frac┼úii zecimale finite sau periodice
  • Unit─â┼úi de m─âsur─â pentru lungime ┼či mas─â
  • de m─âs. pt. arie; p─âtrat ┼či dreptunghi, echerul
  • de m─âs. pt. volum ┼či capacitate; cub ┼či cuboid
  • de m─âs. monetare; pt. timp; pt. unghiuri

Semestrul II ÔÇô GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE (*)

  • Cercul ┼či ├«mp─âr┼úierea sa ├«n 6 p─âr┼úi (ÔÇťfloarea vie┼úiiÔÇŁ)
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 4 p─âr┼úi (constr. diverse)
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 8 p─âr┼úi
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n12 p─âr┼úi
  • ├Ämp─âr┼úierea cercului ├«n 16 p─âr┼úi (rigl─â ┼či compas)
  • Unghiul la centru; ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n 5; 9; 10 p─âr┼úi (raportorul)
  • Unghiul ├«nscris ├«n cerc (periferic) ┼či polig. stelate

(*) Se recomand─â cuprinderea ├«ntr-un curs op┼úional suplimentar de ÔÇťDesen geometricÔÇŁ

Clasa a VI-a

Semestrul I ÔÇô ARITMETIC─é:

FRACŢII; PROPORŢIONALITATE

  • ┼či complet─âri: Nr. naturale; ordinea op.
  • ┼či comp.: Frac┼úii; ordinea op., frac┼úii etajate
  • R─âd─âcina p─âtrat─â prin descompunere ┼či algoritm
  • Ecua┼úii (rezolv─âri aritmetice)
  • No┼úiunile de raport; propor┼úie; proba ┼či termen. nec.
  • Regula de trei simpl─â; propor┼úional. direct─â, invers─â
  • Propor┼úii derivate; ┼čiruri de rapoarte egale etc.
  • Procente (dou─â metode de rezolvare)
  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Elemente de probabilit─â┼úi (moneda, zarul, urna etc.)

Semestrul I ÔÇô GEOMETRIE:

GEOMETRIA COMPONENTELOR

  • Punct, dreapt─â, semidreapt─â, segment; lungime
  • Pozi┼úia relativ─â; paralelism ┼či perpendic.
  • Cercul, elemente
  • Congruen┼ú─â; mijloc; mediatoarea, construc┼úii div.
  • Unghiul; interiorul; m─âsura unghiului; clasificare;
  • Congruen┼úa unghiurilor; bisectoarea
  • Unghiuri opuse la v├órf
  • Unghiuri formate de paralele cu o secant─â
  • Unghiuri adiacente, complementare, suplementare

Simetria axial─â; simetria central─â (echerul geom.)

Semestrul II ÔÇô ARITMETIC─é:

  1. NEGATIVE; ECUAŢII; MULŢIMI
  • Numere relative (nr. pozitive ┼či nr. negative)
  • ├Änsumarea nr. relative; reducerea termenilor opu┼či
  • Produsul numerelor relative; ├«mp─âr┼úirea
  • Ordinea opera┼úiilor
  • Valoarea absolut─â (modulul)
  • Ecua┼úii (rezolv─âri algebrice)
  • Mul┼úimi; exemple; opera┼úii
  • Mul┼úimile de nr. ├«nv─â┼úate (ÔäĽ, ÔäĄ, ÔäÜ)

Semestrul II ÔÇô GEOMETRIE:

TRIUNGHIURI; PATRULATERE

  • Triunghiul, perimetrul, suma unghiurilor
  • Cazuririle de construc┼úie (LLL, LUL, ULU)
  • Clasificarea ╬ö-lor (I): echilateral, isoscel, scalen
  • Clasificarea ╬ö-lor (II): ascu┼úit-, drept-, obtuzunghic
  • Liniile importante ├«n triunghi
  • Triunghiul dreptunghic; ├«nscrierea ├«n semicerc, mediana pe ipotenuz─â, cat. op. Ôłó30o, T. Pitagora
  • Patrulatere, perimetrul, suma unghiurilor
  • Construc┼úii de patrulatere cu elemente date
  • Patrulatere speciale: Deltoidul ; Trapezele

Paralelogramul; Dreptunghiul; Rombul; P─âtratul

Clasa a VII-a

Semestrul I ÔÇô ALGEBR─é:

NUMERE RA┼óIONALE ┼či┬á R─éD─éCINA P─éTRAT─é

  • Puterea cu exponent ├«ntreg
  • Metode de extragere a r─âd─âcini dintr-un num─âr p─âtrat
  • Extragerea aproximativ─â a r─âd─âcinii p─âtrate
  • No┼úiunea de numere ira┼úionale

Semestrul I ÔÇô GEOMETRIE:

DEMONSTRAŢII GEOMETRICE; ARII

  • Cercul, elemente interioare (raze, diametru, coard─â)
  • Poligoane, poligoane regulate: construc┼úie, unghiuri
  • Demonstra┼úii cu unghiuri, mediana pe ipot., etc
  • Demonstra┼úii prin metoda triunghiurilor congruente
  • Linia mijlocie ├«n triunghi ┼či trapez
  • Aria figurilor de baz─â
  • Figuri echivalente
  • Teorema lui Pitagora (dem. prin arii)
  • Calcule de arii ┼či perimetre ale figurilor studiate (calcule exacte ┼či calcule aproximative)

Perimetrul ┼či aria cerc.; num─ârul ¤Ç

Semestrul II ÔÇô ALGEBR─é:

  1. IRAŢIONALE; CALC. ALGEB.; SIST. EC.
  • Numere ira┼úionale
  • Extragerea factorilor de sub radical
  • Mul┼úimea nr. reale ( inclusiv clasif. complet─â a nr.)
  • Opera┼úii cu nr. reale
  • Opera┼úii cu numere reprezentate prin litere
  • Formule de calcul prescurtat gr. II
  • Ra┼úionalizarea numitorului (cazurile I ┼či II)
  • Ecua┼úii de gr. I; Ec. de gr. II de forma x2=┬án
  • Sisteme de dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute, prin metodele tranzitivit─â┼úii, substitu┼úiei ┼či reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin ec. ┼či sist. de ec.

Semestrul II ÔÇô GEOMETRIE:

PROPORŢIONALITATE; CERCUL

  • Teorema lui Thales; TFA (aplica┼úii aritmetice)
  • Asem─ânarea ╬ö-lor ┼či a ╬ö-lor dreptunghice
  • Teoremele lui Euclid (T. catetei ┼či T. ├«n─âl┼úimii)
  • Alte demonstra┼úii la Teorema lui Pitagora; reciproca
  • Rapoartele trigonometrice
  • Cercul: recapitulare, tangenta la cerc
  • Unghiul ├«nscris ├«n cerc
  • Cercul ├«nscris sau circumscris unui triunghi
  • Patrulatere ├«nscrise, patrulatere circumscrise

Lungimea arcului de cerc, aria sectorului de disc

Clasa a VIII-a

Semestrul I ÔÇô ALGEBR─é:

EXPRESII ALGEBRICE

  • Sisteme de ecua┼úii cu trei necunoscute
  • Intervale de numere reale; opera┼úii cu acestea
  • Inecua┼úii ┼či sisteme de inecua┼úii
  • Ecua┼úii ┼či inecua┼úii cu module
  • Sume algebrice; opera┼úii cu acestea
  • Formule de calcul prescurtat gr. II ┼či III
  • Descompunerea ├«n factori a sumelor algebrice
  • Ecua┼úii de gr. II ÔÇô diferite cazuri particulare
  • Frac┼úii algebrice; opera┼úii cu acestea

Semestrul I ÔÇô GEOMETRIE:

PRISME; PIRAMIDE; TEOREME ÎN SPAŢIU

  • Cubul, paralelipipedul dreptunghic (cuboidul); prismele ÔÇô construc┼úii, arii ┼či volume, sec┼úiuni
  • Piramidele ┼či tetraedrele ÔÇô construc┼úii, arii ┼či volume
  • Puncte, drepte ┼či plane; pozi┼úii relative
  • Paralelism, perpendicularitate ┼či unghiuri relative
  • Teorema celor trei perpendiculare

Aplicaţii în corpurile studiate

Semestrul II ÔÇô ALGEBR─é:

FUNCŢIA GR.I; COMPLETĂRI

  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • No┼úiunea de func┼úie; elemente; exemple
  • Sistemul cartezian de axe (deducere din func┼úii)
  • Reprezentarea grafic─â a unei func┼úii
  • Graficul func┼úiei de gr. I ÔÇô exemple pe domenii
  • Ecua┼úia ata┼čat─â unei func┼úii; dreapta solu┼úiilor
  • Elemente de geometrie aplicat─â pe sistemul de axe
  • Ecua┼úii de gr. II ÔÇô rezolvarea cu formulele generale

Semestrul II ÔÇô GEOMETRIE:

TRUNCHIURI DE PIR.; CORPURI ROTUNDE

  • Trunchiurile de piramid─â ÔÇô constr., arii ┼či volume
  • Cilindrul; conul; trunchi de con; sfera ÔÇô (idem)
  • Elemente de geometria sferei pe globul p─âm├óntesc
  • Alte corpuri (platonice, arhimedice etc.)

TABEL-Privire-ansamblu-ProgramaPentagonia.pdf

Lectur─â pl─âcut─â! CTG

Programa PENTAGONIA (3) ÔÇô Principii metodico-didactice

În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:

  • Adaptarea materiei ┼či a pred─ârii la posibilit─â┼úile ┼či nevoile v├órstelor, dar ┼či ├«n func┼úie de posibilit─â┼úile individuale ┼či de cerin┼úele na┼úionale

Materia parcurs─â trebuie adaptat─â obligatoriu la posibilit─â┼úile ┼či nevoile v├órstelor, at├ót la nivelul individului, c├ót ┼či la nivelul clasei. G├óndirea elementar─â specific─â claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresat─â ├«n mod echilibrat ├«n paralel cu g├óndirea intelectual─â specific─â altor elevi, ┼či extins─â la v├órstele mai mari la majoritatea clasei (g├óndirea aritmetic─â fa┼ú─â de g├óndirea algebric─â, construc┼úia geometric─â ├«n opozi┼úie cu demonstra┼úia, exerci┼úiile de baz─â al─âturi de problemele complicate etc.). Nivelul lec┼úiei ┼či profunzimea studiului diferitelor lec┼úii trebuie alese cu respect fa┼ú─â de to┼úi elevii, at├ót fa┼ú─â de cei slabi, cu capacit─â┼úi reduse, c├ót ┼či fa┼ú─â de cei buni, cu capacit─â┼úi ┼či a┼čtept─âri ridicate ├«n g├óndirea matematic─â. Totodat─â, ├«ncadrarea parcursului ┼či nivelului orelor de matematic─â ├«n procesul ┼čcolar na┼úional este un deziderat evident ┼či trebuie urm─ârit de c─âtre orice dasc─âl ce pred─â matematica la gimnaziu.

  • Principiul ne-suprapunerii itemilor noi

Se va evita introducerea simultan─â a mai multor itemi, no┼úiuni sau abilit─â┼úi de calcul. Astfel, de pild─â ├«n clasa a V-a, se vor studia ├«n lec┼úii separate descompunerea intuitiv─â a numerelor naturale ├«n factori, apoi algoritmul de descompunere ÔÇťcu bar─âÔÇŁ, dar scriind r─âspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia ├«n lec┼úii separate introducerea opera┼úiei de putere, integrarea noii opera┼úii ├«n exerci┼úii cu toate nivelele de opera┼úii, respectiv propriet─â┼úile opera┼úiilor cu puteri ┼či scurtcircuitarea ordinii opera┼úiilor prin acestea. Odat─â cu avansarea ├«n v├órst─â, acest principiu scade ca importan┼ú─â, dar nu-┼či va pierde nici o dat─â cu totul valabilitatea.

  • Predarea ├«n spiral─â

Predarea ├«n spiral─â ofer─â formarea tot mai complex─â a no┼úiunilor ┼či a ideilor matematice, urm─ârind evolu┼úia acestora odat─â cu dezvoltarea g├óndirii elevului ┼či cu l─ârgirea spectrului s─âu de cuno┼čtin┼úe aferente. Predarea ├«n spiral─â poate fi aplicat─â la diferite magnitudini, ├«n cadrul unui capitol la lec┼úii ├«nvecinate, sau ├«n cadrul unor lec┼úii ├«ndep─ârtate ├«n timp, ├«n capitole diferite, sau chiar ├«n ani de studiu diferi┼úi.

De cele mai multe ori ├«n predarea ├«n spiral─â o no┼úiune suport─â un proces de evolu┼úie ┼či transform─âri. Astfel, vorbim despre ÔÇťno┼úiunea vieÔÇŁ, pe c├ónd definirea seac─â ├«nc─âtu┼čeaz─â o no┼úiune ├«n parametrii strict fixa┼úi, aici vorbind de ÔÇťno┼úiuni moarteÔÇŁ. ├Än acest sens, prezenta program─â recomand─â evitarea defini┼úiilor. Chiar ┼či abordarea unei ramuri ├«ntregi a matematicii evolueaz─â ├«n predarea ├«n spiral─â prin relu─ârile succesive la nivele tot mai evoluate de g├óndire (vezi evolu┼úia studiului geometriei din clasa a V-a ├«n a VII-a.

  • Predarea intuitiv─â

Deducerea ┼či ├«n┼úelegerea intuitiv─â a noilor itemi este foarte important─â la orice v├órst─â, ├«ns─â trebuie luat─â cu adev─ârat ├«n serios mai ales la clasele mici. Astfel, ├«n clasele de intrare ├«n matematica gimnazialo-liceal─â, profesorul va folosi c├ót de mult posibil intui┼úia elevilor, adapt├óndu-┼či predarea pentru acest scop. Ordonarea lec┼úiilor ┼či introducerea noilor cuno┼čtin┼úe se va face conform posibilit─â┼úii folosirii intui┼úiei ┼či nu conform necesit─â┼úilor pred─ârii riguros axiomatice. ┼×i ├«n acest sens se va evita definirea no┼úiunilor, acestea fiind mai degrab─â aduse intuitiv, prin imagini, ritm ┼či descriere.

  • Problematizarea

Problematizarea reprezint─â forma cea mai natural─â de implicare a elevilor ├«n ├«nv─â┼úarea matematicii. Aceasta se poate folosi ├«n cadrul rezolv─ârii diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes ┼či ├«n procesul de cunoa┼čtere a noilor con┼úinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lec┼úiilor noi se poate c─âuta deducerea lec┼úiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pild─â, la lec┼úia despre ├«nmul┼úirea numerelor naturale din clasa a V-a, c├ónd elevii de fapt cunosc ├«nmul┼úirea, putem proceda ├«n felul urm─âtor: dup─â c├óteva exerci┼úii cu ├«nmul┼úiri cu numere mari ├«n scris, sau cu numere mici ├«n cap (la ├«nceput ├«nmul┼úiri cu 10, 100, 1000 ┼či cu 20, 30 etc., apoi dou─â cifre ├«nmul┼úit cu o cifr─â ÔÇô 30┬áÔłÖ┬á5, apoi 34┬áÔłÖ┬á5 sau 29┬áÔłÖ┬á7 etc.), dup─â acestea le putem cere elevilor s─â efectueze ├«n cap ├«nmul┼úiri multiple de tipul 5┬áÔłÖ┬á37┬áÔłÖ┬á2 p├ón─â la 25┬áÔłÖ┬á73┬áÔłÖ┬á5┬áÔłÖ┬á4┬áÔłÖ┬á3┬áÔłÖ┬á2. ├Än acela┼či g├ónd le putem cere elevilor s─â g─âseasc─â produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite ├«nmul┼úiri mintal, apoi cele mari ├«n scris, iar ├«n final se adaug─â dou─â zero-uri la coad─â. Analiz├ónd cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea ┼či asociativitatea ├«nmul┼úirii. Aceasta este o predare prin problematizare ÔÇťdin aproape ├«n aproapeÔÇŁ; elevul nu ┼čtie care este ┼úelul pred─ârii ├«n aceast─â or─â, l─âs├óndu-se condus cu ├«ncredere de c─âtre profesor. ├Än acest caz, titlul lec┼úiei se scrie cel mai bine c─âtre sf├ór┼čitul orei, c├ónd lucrurile s-au clarificat. Dimpotriv─â, se pot da exemple de problematizare clasic─â, adic─â atunci c├ónd elevul afl─â ┼úelul lec┼úiei, iar apoi se caut─â drumul c─âtre acesta.

O form─â special─â a pred─ârii prin problematizare este predarea prin ├«ntreb─âri. Profesorul descompune procesul de g├óndire ├«n pa┼či mici, accesibili g├óndirii elevului, astfel ├«nc├ót, cu fiecare nou─â ├«ntrebare elevul mai descoper─â un pas nou al lec┼úiei. Forma ideal─â (extrem─â) a acestei metode este atunci c├ónd profesorul nu d─â nici o cuno┼čtin┼ú─â nou─â elevilor, ci le pune doar ├«ntreb─âri cu care le ├«ndrum─â acestora parcursul de descoperire pentru ├«ntreaga lec┼úie.

  • Activit─â┼úi ludice ┼či ritmice

Activit─â┼úile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clas─â dac─â sunt corect adaptate v├órstei. Se pot face jocuri matematice la ├«nceputul orei (* vezi exemplul din final), dar ┼či diferite calcule de pornire a g├óndirii, prezentate ├«n form─â de joc. ├Än acest sens putem face oric├ónd un foarte bun exerci┼úiu ÔÇťde ├«nc─âlzireÔÇŁ cu c├óteva zaruri aruncate pe mas─â ├«n fa┼úa elevului:profesorul vede ÔÇťdintr-o privireÔÇŁ dac─â are mai mul┼úi de 2 ┼či 5 sau nu. Dac─â da, atunci ├«i cere elevului s─â g─âseasc─â produsul total; dac─â nu, atunci ├«i cere suma total─â. Acest exerci┼úiu este ├«ns─â unul individual ┼či poate fi crescut ├«n dificultate prin cre┼čterea num─ârului de zaruri. Odat─â cu ├«nv─â┼úarea descompunerii, acest exerci┼úiu devine ┼či mai u┼čor (de pild─â, ├«n cazul produsului,┬á un 6 ┼či un 5 ├«ntre zaruri se transform─â ├«ntr-un 3 ┼či un zero la coad─â).

Chiar ┼či unele lec┼úii pot c─âp─âta form─â de joc, descompunerea numerelor naturale ├«n factori primi ├«n clasa a V-a fiind un bun exemplu ├«n acest sens. ┼×i elementul ritmic, chiar dac─â interiorizat din fizic ├«n intelectual, poate sta la baza unor p─âr┼úi de lec┼úie (de pild─â, studiul ┼čirurilor ┼či c─âutarea numerelor prime cu ÔÇťCiurul lui EratosteneÔÇŁ, tot ├«n clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai a┼čezat─â, manufacturier─â, ├«ns─â cu profund caracter ludic. ├Än sensul c─âut─ârii jocului ├«n matematic─â, pe l├óng─â lec┼úiile din program─â se pot include ┼či teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al ÔÇťp─âtratelor magiceÔÇŁ, m─âcar pe p─âtratele de 3×3, 4×4 ┼či de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate ap─ârea de la elemente de ÔÇťmagie matematic─âÔÇŁ (de pild─â cu zaruri) p├ón─â la diferite alte probleme de ÔÇťmatematic─â distractiv─âÔÇŁ.

  • Predarea artistic─â

Elementele artistice ┼či manualitatea sunt binevenite ├«n cadrul orelor de matematic─â, de la redactarea ┼či aranjarea estetic─â a caietului de epoc─â sau a fi┼čelor din portofoliu, p├ón─â la activit─â┼úi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase ┼či colorarea acestor desene ├«n clasa a V-a). ├Än m─âsura ├«n care se pricepe, dasc─âlul poate aduce la ora de matematic─â ┼či elemente de observare a frac┼úiilor pe corzile instrumentelor, adic─â la notele muzicale, ├«n diferite c├óntece.

Dinspre profesor, predarea artistic─â are, pe l├óng─â ├«ncurajarea aspectelor mai sus men┼úionate, ┼či alte valen┼úe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie ┼či de admira┼úie ├«n sufletul copiilor. Organizarea lec┼úiilor ├«ntr-un crescendo care duce la o desc─âtu┼čare de uimire prezint─â similitudini cu felul ├«n care un compozitor ├«┼či structureaz─â simfonia, sau felul ├«n care un scriitor treze┼čte ├«ntr-un roman curiozitatea ┼či ofer─â deznod─âm├óntul abia spre sf├ór┼čit.

  • Libertatea ┼či obliga┼úiile profesorului

Aranjarea materiei din prezenta program─â este orientativ─â, profesorul av├ónd oric├ónd libertatea de a g─âsi alte variante de aranjare a materiei ├«n forma lec┼úiilor, ├«n forma capitolelor sau chiar ├«n forma aranj─ârii acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul ├«ntregului ciclu gimnazial. Singura obliga┼úie evident─â este aceea de a parcurge toate cuno┼čtin┼úele din programa de examen p├ón─â la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a, ├«ntr-o ordine ra┼úional─â ┼či ├«ntr-un ritm echilibrat. Chiar ┼či con┼úinuturile sunt ├«n linii mari de dou─â feluri: cele obligatorii prin prisma prezen┼úei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, c├ót ┼či cele facultative, dar recomandate prin prisma ├«nc─ârc─âturii lor cu spiritualitate matematic─â (de pild─â, numerele perfecte ┼či numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). ├Än program─â exist─â ┼či con┼úinuturi care nu sunt incluse ├«n materia de examen, dar care contribuie din plin la ├«n┼úelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate ├«ns─â, utilitatea matematicii trebuie v─âzut─â ├«n formarea g├óndirii logice, ra┼úionale, libere, de care elevul va beneficia ├«n ├«ntreaga sa via┼ú─â ┼či ├«n afara matematicii, profesorul av├ónd obliga┼úia de a se preocupa constant ┬á┼či ├«n acest sens. CTG

* Cel mai bun joc matematic, ce implic─â toat─â clasa, m─âcar pentru ├«nceput, este jocul Bum pe 7. Elevii participan┼úi (adic─â toat─â clasa) ├«mpreun─â cu profesorul, se aranjeaz─â ├«n cerc (m─âcar oval s─â fie; trebuie tehnic ca fiecare s─â-l poat─â vedea pe fiecare). Profesorul (┼čeful de joc) porne┼čte num─âratul cu 1 (unu), uit├óndu-se totodat─â ├«ntr-o parte (la dreapta sau la st├ónga) pentru a stabili sensul de num─ârare. Apoi, fiecare elev la r├ónd num─âr─â mai departe: 1, 2, 3, 4 ÔÇŽ.. , trebuind s─â respecte urm─âtoarele dou─â reguli: s─â spun─â ├«n loc de num─ârul care vine la r├ónd BUM! ├«n cazul ├«n care este un num─âr din ┼čirul lui 7, adic─â un multiplu de 7, dar ┼či ├«n cazul c├ónd num─ârul de spus este cu 7, adic─â are ├«n scrierea sa 7, con┼úine cifra 7. Practic, vom avea secven┼úe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 ÔÇŽ, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 ÔÇŽ, sau iar─â┼či 68, 69, bum, bum, bum, ÔÇŽ(10 bum-uri la r├ónd), 80 ÔÇŽ, sau, pentru cei mai avansa┼úi, 268, 269, bum, bum, bum, ÔÇŽ(11 bum-uri la r├ónd), 281, 282 ÔÇŽ

Cine gre┼če┼čte iese din joc. C├ó┼čtig─â ultimii doi r─âma┼či ├«n joc (la doi juc─âtori, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac ├«n cap (fiecare cum ├«l duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia ├«n urma unor calcule de tipul 84┬á=┬á70┬á+┬á14 (spun Bum) sau 163┬á=┬á2ÔłÖ70┬á+ 23 (spun num─ârul), trebuind ├«ns─â s─â fiu tot timpul atent ┼či la cifra 7: 157┬á=┬á140┬á+ 17, dar con┼úine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea c─â el, la elevii buni, joac─â cu urm─âtorul supliment: c├ónd sunt ├«ndeplinite dou─â criterii de bum, atunci se spune totu┼či num─ârul; de exemplu la 175 sau la 177.

La ├«nceput jocul se termin─â repede, dar dac─â se va exersa din c├ónd ├«n c├ónd, elevii ├«ncep s─â mearg─â tot mai mult, ajung├óndu-se ├«n cazuri bune dincolo de 300. Problema este c─â ┼či durata jocului cre┼čte corespunz─âtor. Elevii care au ie┼čit se plictisesc r─âu de tot (ar trebui s─â aib─â o ocupa┼úie, de pild─â o fi┼č─â de lucru). Astfel jocul este bun ├«n ore din acelea pierdute (sf├ór┼čitul semestrului, sau c├ónd trebuie s─â suplinim la o clas─â care nu are caietele de matematic─â). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, c├ónd elevii sunt foarte bucuro┼či de un astfel de divertisment. CTG

Programa PENTAGONIA (2) ÔÇô Competen┼úele

Subiectul competen┼úelor este unul controversat: toat─â lumea este de acord c─â sunt importante, dar pu┼úini cei care chiar le ┼či folosesc concret. Consider c─â, la fel ca ┼či domeniile de con┼úinut, teoria competen┼úelor ┼úine mai mult de metodica ┼či didactica pred─ârii matematicii dec├ót de cuprinderea lor ├«n planificarea profesorului. Este bine s─â le ai scrise (deci ├«n program─â), dar s─â le tot cuprinzi ├«n planificare, nu ┼čtiu ce efect practic au ├«n modelarea pred─ârii.

Exist─â ┼čase competen┼úe generale: 1. Identificarea unor date, m─ârimi ┼či rela┼úii matematice ├«n contextul ├«n care acestea apar; 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse ├«n diverse surse informa┼úionale; 3. Utilizarea conceptelor ┼či a algoritmilor specifici ├«n diverse contexte matematice; 4. Exprimarea ├«n limbajul specific matematicii a informa┼úiilor, concluziilor ┼či demersurilor de rezolvare pentru o situa┼úie dat─â; 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situa┼úii date; 6. Modelarea matematic─â a unei situa┼úii date, prin integrarea achizi┼úiilor din diferite domenii.

Problema principal─â a acestor competen┼úe este c─â, pentru a fi c├ót mai cuprinz─âtoare, ele sunt exprimate extrem de sofisticat ┼či alambicat, fiind redactate ├«ntr-un limbaj mult prea preten┼úios, total rupt de limbajul uzual ┼či de ├«n┼úelegerea obi┼čnuit─â. S-ar putea s─â nu se poat─â exprima ├«ntr-un limbaj mai accesibil, dar nu prea cred ├«ntr-o astfel de variant─â (totu┼či, nu e chiar teoria relativit─â┼úii). Cu alte cuvinte, sunt abstracte ┼či inaccesibile g├óndirii obi┼čnuite a profesorului. Ai impresia c─â la redactarea acestora, s-a amestecat puternic ├«n ceaunul g├óndirii prea elevate, amestecat cu lingura mare de lemn, ca ├«ntrupare fizic─â pentru renumita ÔÇťlimb─â de lemnÔÇŁ. Ni┼čte superspeciali┼čti ├«ntr-un domeniu abstract ┼či ├«nalt ÔÇťne omoar─âÔÇŁ cu no┼úiunile lor teoretice ┼či cu jargonul lor de specialitate, cu limbajul lor teoreticist ┼či exprim─ârile lor generalist defini┼úioniste. Noroc c─â, din c├ónd ├«n c├ónd, mai apare ┼či cuv├óntul ÔÇťmatematic─âÔÇŁ, trezindu-ne ┼či aten┼úion├óndu-ne c─â este vorba despre noi. Cu p─ârere de r─âu scriu aceste r├ónduri, dar trebuie ├«n┼úeles c─â aceasta este impresia creat─â asupra profesorului de r├ónd.

Care este efectul asupra profesorimii? La fel ca ┼či alte elemente sofisticate ce ne-au b├óntuit la redactarea planific─ârilor de ani buni, ┼či acestea contribuie din plin la t─âb─âcirea sufletului nativ doritor de ├«mbun─ât─â┼úire a dasc─âlilor, duce la atrofierea disponibilit─â┼úii acestora de a-┼či ├«nsu┼či elementele noi, reformatoare, noile directive ce vin de sus prin noile politici educa┼úionale. Cu alte cuvinte, de at├ótea ori profesorii s-au sim┼úit agresa┼úi ├«n activitatea lor de astfel de cerin┼úe c─ârora nu le-au v─âzut sensul, ├«nc├ót atunci c├ónd ├«n sf├ór┼čit vin ni┼čte cerin┼úe cu sens, profesorul de r├ónd le percepe ┼či le clasific─â automat ├«n aceea┼či categorie a inutilit─â┼úii, refuz├óndu-le din start. Permite┼úi-mi s─â nu m─â mai opresc aici la exemple ├«n acest sens; am scris de multe ori despre cum colegii nu introduc ├«n predarea lor noile cerin┼úe pozitive ale acestor ani.

C├ót despre competen┼úele specifice, nimic nou. Dau un singur exemplu pentru a-mi sus┼úine p─ârerea asupra inutilit─â┼úii cuprinderii acestora ├«n documentele redactate de c─âtre profesori, mai exact asupra faptului c─â nu sunt luate ├«n seam─â de c─âtre majoritate profesorilor. ├Än clasa a V-a apare: 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a m─âsura sau pentru a construi configura┼úii geometrice. C├ó┼úi profesori de matematic─â a┼úi v─âzut ├«n ace┼čti doi ani intr├ónd la clasa a V-a cu instrumente geometrice ┼či lucr├ónd cu acestea pe tabl─â, pentru a le ar─âta elevilor cum trebuie s─â fac─â? ├Ämi permit s─â nu mai caut ┼či alte exemple pentru a-mi sublinia punctul de vedere.

Doresc ├«ns─â s─â atrag ├«n final aten┼úia asupra unui aspect cantitativ: din aproape 5 pagin c├ót cuprinde partea de clasa a V-a a programei, competen┼úele specifice ocup─â 3 pagini ┼či o treime (cam 75%). Pe total, cca. 30 de pagini, jum─âtate reprezint─â pasaje legate de competen┼úe. Nu ┼čtiu c├ót de serios au fost acestea lecturate, dar se prea poate ca repulsia fa┼ú─â de ele s─â se fi transferat ┼či asupra restului materialului. Lumea este interesat─â doar de con┼úinuturi, dar dup─â cum v─âd c─â se mi┼čc─â treaba dup─â doi ani de la intrarea ├«n vigoare a programei, am impresia c─â nici m─âcar Nota de prezentare de la ├«nceput sau Sugestiile metodologice din final nu au fost lecturate serios sau prea clar luate ├«n seam─â. CTG

Programa PENTAGONIA (1) ÔÇô Domeniile de con┼úinut

Dup─â apari┼úia Programei noi pentru clasele gimnaziale, ├«n prim─âvara lui 2017, am ├«ncercat o analiz─â, cu bune ┼či cu rele, a acesteia. Pe multe aspecte nu le-am ┼čtiut cu certitudine, dar le-am intuit; altele din c├óte s-au ├«nt├ómplat ulterior, m-au surprins ┼či pe mine, unele ├«n sens pozitiv, altele dimpotriv─â. Pe c├ót s-a putut, m-am str─âduit ├«ns─â s─â scot ├«n eviden┼ú─â aspectele pozitive ┼či s─â sprijin ├«n┼úelegerea acestora. Unde era de criticat, am preferat s─â zic mai bine cum fac eu ├«n acel punct. O variant─â de critic─â constructiv─â mai elaborat─â ar fi prezentarea unei forme ├«nchegate de ordonare a unei ÔÇťprogrameÔÇŁ.

Zis ┼či f─âcut, sau, mai exact g├óndit ┼či scris: nu mi-a fost tare greu s─â ordonez un astfel de material, pentru c─â acesta con┼úine ├«n mare forma ├«n care predau eu, sau ├«n care ├«mi doresc s─â predau, argumente ├«n acest sens reg─âsindu-se ├«n multe din articolele mele. Am lucrat doi ani p├ón─â acum ┼či materialul ├«ncepe s─â aib─â o coeren┼ú─â inteligibil─â, a┼ča c─â m-am g├óndit s─â ├«l prezint pentru prima dat─â ca eseu, sub acest titlu. Probabil c─â acest material va reprezenta baza de lucru ┼či pentru noua program─â a ┼čcolilor alternative Waldorf, dar acesta este un alt subiect ┼či p├ón─â acolo cine ┼čtie c├ót mai este.

A┼čadar, ├«ncep cu aceast─â postare prezentarea p─âr┼úilor deja realizate din Programa PENTAGONIA, ca un eseu ├«n nume personal. Pentru a p─âstra o form─â de postare m─âcar ├«n parte lecturabil─â pe telefoane mobile, materialul din aceast─â serie va fi par┼úial ÔÇťla vedereÔÇŁ, par┼úial pe documente PDF anexate, pentru a putea fi lecturate pe ecranul calculatorului. Pentru aceast─â postare am ales s─â v─â prezint situa┼úia domeniilor de con┼úinut, a┼ča cum le-am ├«n┼úeles eu. Domeniile de con┼úinut din programa oficial─â 2017 sunt urm─âtoarele:

Clasa a 5-a: ÔÇô Numere; ÔÇô Organizarea datelor; ÔÇô Geometrie

Clasa a 6-a: ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô Numere; ÔÇô ┬áOrganizarea datelor; ÔÇô Probabilit─â┼úi; ÔÇô Geometrie

Clasa a 7-a: ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô Numere; ÔÇô Algebr─â; ÔÇô Organizarea datelor; ÔÇô Geometrie

Clasa a 8-a: ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô ┬áNumere; ÔÇô Algebr─â; ÔÇô Func┼úii; ÔÇô ┬áOrganizarea datelor; ÔÇô ┬áProbabilit─â┼úi; ÔÇô Geometrie

├Än primul r├ónd, eu nu le ├«n┼úeleg rostul acestor domenii de con┼úinut ├«n general. Dar, s─â trecem peste acest aspect ┼či s─â zicem c─â, pentru a integra totul ├«ntr-un tabel, era nevoie de coloane suplimentare, a┼ča c─â le-au inventat. ├Än acest sens prezen┼úa coloanei cu domenii de con┼úinut se integreaz─â ÔÇťistoricÔÇŁ ├«n lungul ┼čir al diferitelor forme de tabel pentru planificare, forme cu care am fost blagoslovit de-a lungul anilor ├«ncep├ónd din 1990. Fiecare nou─â autoritate ce ajungea la Minister considera c─â trebuie s─â schimbe forma planific─ârii. Este ceva similar cu schimbarea bordurilor de c─âtre aproape orice primar nou. Dup─â p─ârerea mea aceste clasific─âri ├«n tipuri de domenii ┼úine mai mult de preg─âtirea profesorilor ┼či nu ar trebui s─â ocupe procente serioase din h├órtia folosit─â pentru planificare. C─ârui domeniu de con┼úinut ├«i apar┼úine o lec┼úie sau un capitol ┼úine de metodica ┼či didactica pred─ârii. Dar s─â trecem peste aceste mici nemul┼úumiri.

Cea mai mare problem─â, ├«ns─â, este faptul c─â geometria nu are parte de o detaliere similar─â cu cea a zonei aritmeticii ┼či a algebrei (adic─â a matematicii numerelor). Exist─â mul┼úimi; numere; organizarea datelor; probabilit─â┼úi; algebr─â; func┼úii ┼či apoi mai exist─â geometrie. P─ârerea mea este c─â persoana sau grupul care a redactat chestia asta era unul algebrist convins, o persoan─â sau un grup care nu ├«n┼úelege clar rostul geometriei. Iar dac─â ceea ce scriu eu aici aste adev─ârat, atunci situa┼úia este extrem de grav─â. Cum s─â ajung─â a┼ča o ÔÇťg├óndireÔÇŁ ├«ntr-un astfel de post? G├óndire ┼či ÔÇťra┼úionamenteÔÇŁ de felul acesta au dus ┼či la eliminarea geometriei sintetice din liceu, ├«nlocuind-o cu geometriile algebrice (vectorial─â ┼či analitic─â).

Sigur c─â nici includerea algebrei drept un domeniu de con┼úinut ├«n aceast─â list─â nu este chiar ├«n regul─â, pentru c─â aici algebra apare cu sensul de calcul algebric nu ca algebr─â ├«n general. Totu┼či, peste aceast─â problem─â filozofic─â am trecut (prin ignorare elegant─â), sensul cuv├óntului algebr─â nereprezent├ónd o situa┼úie foarte clar─â ├«n general. ├Äncerc├ónd ├«ns─â s─â rezolv problema explicit─ârii geometriei pe domenii de con┼úinut, ├«n aceast─â propunere de program─â am folosit urm─âtoarea ├«mp─âr┼úire:

Clasa a 5-a: ÔÇô Numere; ÔÇô Numere ┼či m─ârimi; ÔÇô Figuri geometrice; ÔÇô ┬áDesen geometric

Clasa a 6-a: ÔÇô Numere; ÔÇô Organizarea datelor; ÔÇô Probabilit─â┼úi; ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô Figuri geometrice; ÔÇô Construc┼úii geometrice; ÔÇô┬á Demonstra┼úii

Clasa a 7-a: ÔÇô Numere; ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô Algebr─â; ÔÇô Organizarea datelor; ÔÇô Figuri geometrice; ÔÇô Construc┼úii geometrice; ÔÇô ┬áDemonstra┼úii; ÔÇô ┬áPlanimetrie

Clasa a 8-a: ÔÇô Mul┼úimi; ÔÇô Numere; ÔÇô Algebr─â; ÔÇô Func┼úii; ÔÇô Organizarea datelor; ÔÇô Corpuri geometrice; ÔÇô ┬áConstruc┼úii geometrice; ÔÇô Demonstra┼úii; ÔÇô Stereometrie

Apar aici c├óteva cuvinte noi pe care trebuie s─â le explicitez ┼či ├«mi permit s─â ├«ncep de la sf├ór┼čit. Planimetria reprezint─â m─âsurarea figurilor plane, anume calculul de arii ┼či perimetre (2D); ├«n mod similar, stereometria reprezint─â m─âsurarea corpurilor geometrice, anume calculul ariilor ┼či al volumelor (3D). Desenul geometric din clasa a 5-a reprezint─â un preambul deosebit de logic la studiul geometriei. Este un ÔÇťcapitolÔÇŁ g─âsit ├«n programa ┼čcolilor Waldorf ┼či pe care ├«l sus┼úin pe deplin, prezen┼úa acestuia fiind extrem de ra┼úional─â ┼či logic─â. ├Än principiu, este vorba despre o cunoa┼čtera exterioar─â, observa┼úional─â, venit─â ├«n principal din partea de manualitate, sprijinit─â de o str─âdanie estetic─â. Nu apar defini┼úii sau demonstra┼úii, ci numai titluri ┼či desene. Desenul geometric se poate face, ├«n principiu, ├«n dou─â feluri: cu m├óna liber─â, respectiv cu instrumente geometrice. Poate voi mai avea ocazia s─â vorbesc despre aceast─â minunat─â idee a lui Rudolf Steiner, ├«ntemeietorul ┼×colii Waldorf, de┼či nu este obiectivul meu s─â v─â prezint pe aceast─â cale pedagogia alternativ─â ├«n care lucrez. CTG

Mistica matematic─â: o metod─â de fraierit oamenii

Prezentul articol a fost redactat ├«n martie 2018, dar l-am uitat prin ÔÇťsertareleÔÇŁ calculatorului p├ón─â de cur├ónd. Nu-i bai, l-am adaptat la timpul trecut ┼či ├«l ofer la un an de la OIM-Cluj, la fel de proasp─ât ca ┼či acuÔÇÖ un an ├«n urm─â.

Prima Olimpiada Interna┼úional─â de Matematic─â a fost organizat─â ├«n Rom├ónia ├«n 1959. A doua edi┼úie a fost organizat─â tot ├«n Rom├ónia. De atunci ┼úara anoastr─â a mai organizat OIM de c├óteva ori, iar anul trecut a venit din nou r├óndul nostru, de data asta ├«n premier─â la Cluj. ├Än aceast─â jum─âtate de secol matematica ┼čcolar─â rom├óneasc─â s-a ocupat tot mai mult de cei buni, de v├órfuri, ┼či tot mai pu┼úin de ceilal┼úi, desigur ├«n detrimentul acestora. Niciodat─â matematica nu se va putea ocupa de to┼úi, dar neglijarea marii mase a elevilor prin supunerea la o matematic─â mult peste nivelul lor de accesibilitate, aceasta duce la o p─âtur─â a popula┼úiei mult prea u┼čor de manevrat (poate asta s-a ┼či dorit).

De zeci de ani ne-am obi┼čnuit cu sentimentul de m├óndrie dat de ÔÇťolimpicii no┼čtriÔÇŁ, succesul c─ârora ne face s─â ne sim┼úim o na┼úiune de ÔÇťmari matematicieniÔÇŁ, cel pu┼úin ├«n domeniul rezolv─ârii problemelor. Nu ne place ├«ns─â c├ónd cineva ne atrage aten┼úia c─â atunci c├ónd vorbim de olimpici, de fapt vorbim doar de ÔÇťv├órful eisberg-uluiÔÇŁ. Care este ├«ns─â situa┼úia ÔÇťrestului eisberg-uluiÔÇŁ, a marii mase a popula┼úiei Rom├óniei? ┼×i aici nu-i includ ┼či pe cei care au ajuns ├«n via┼úa ┼čcolar─â s─â participe la diferite faze ale olimpiadei, fie doar ┼či numai la olimpiada pe ┼čcoal─â: pe ace┼čtia ├«i include ├«n ÔÇťv├órful eisberg-uluiÔÇŁ, adic─â ├«n cei cca. 10% care ├«n┼úeleg matematica chiar ┼či dac─â ├«n via┼úa de adult nu mai au treab─â cu ea. C├ónd vorbesc de ÔÇťrestului eisberg-uluiÔÇŁ m─â refer la to┼úi acei oameni care au ├«n sufletul lor o mare spaim─â de momentul c├ónd cineva i-ar ├«ntreba ┼či cel mai mic calcul sau element de g├óndire matematic─â ce trece dincolo de aritmetica simpl─â a portmoneului.

├Än perioada ├«n care Rom├ónia organiza de zor OIM-2019 am g─âsit un articol-reclam─â (advertorial?) pe care a┼č dori s─â-l reproduc, ┼či eventual s─â-l analiz─âm pe scurt. Dac─â situa┼úia prezentat─â n-ar ascunde o stare a lucrurilor dramatic de serioas─â, atunci am putea include urm─âtorul articol la categorie umor extrem cu recomandarea de a v─â pune centurile de siguran┼ú─â ca s─â nu c─âde┼úi de pe scaune de r├ós. Urm─âtorul text este preluat integral din revista Click TV Nr. 581 din 09.03.2018, pag.15 (o pagin─â ├«ntreag─â ocupat─â de text ┼či pozele aferente).

*

ATEN┼óIE: nu este vorba de un concurs sau de o tragere la sor┼úi ci de o str─âfulgerare de clarviziune, avut─â de marea noastr─â clarv─âz─âtoare Eva Gabor. Unul dintre cele 3 pre┼úioase obiecte de mai jos v-ar putea apar┼úine, datorit─â zilei dumneavoastr─â de na┼čtere. Acesta este rezultatul unui uimitor calcul numerologic, vechi de 3000 de ani, pe care l-a f─âcut Eva Gabor acum 26 de zile.

Scrisoare deschis─â a Evei Gabor c─âtre to┼úi cei care viseaz─â s─â primeasc─â foarte repede o mare sum─â de bani sau un cadou de mare valoare. ÔÇťDa eu, Eva Gabor, sunt sigur─â. Tabelele lui Pitagora nu se ├«n┼čeal─â niciodat─â, cei mai mul┼úi oameni de ┼čtiin┼ú─â admit c─â universul este guvernat de calculele acestora. ├Än fiecare an, cu ajutorul acestor tabele preg─âtesc un anumit num─âr de calcule numerologice. Acum 26 de zile, rezultatele au fost surprinz─âtoare. Am f─âcut incredibila descoperire c─â fiecare persoan─â care putea, cu data sa de na┼čtere, s─â ob┼úin─â num─ârul 118 dup─â un calcul simplu, avea incredibila ┼čans─â de a primi: fie un cec de 118.000 lei, fie o ma┼čin─â, fie suma de 118.000 lei ├«n 1180 de bancnote de 100 lei.

Sunte┼úi printre marii noroco┼či ai anului 2018? R─âspunsul e u┼čor de aflat: lua┼úi ultimele dou─â cifre ale anului ├«n care v-a┼úi n─âscut (de exemplu, dac─â sunte┼úi n─âscut ├«n 1951, 5 ┼či 1, adic─â 51). Lua┼úi apoi v├órsta pe care o ├«mplini┼úi anul acesta (de exemplu, dac─â sunte┼úi n─âscut ├«n 1964, ve┼úi avea anul acesta 54 ani).. Aduna┼úi cele 2 numere, adic─â ultimele dou─â cifre ale anului na┼čterii ┼či v├órsta pe care o ├«mplini┼úi anul acesta. Dac─â totalul este egal cu 118, felicit─âri! Nu v─â r─âm├óne dec├ót s─â alege┼úi obiectul ├«n valoare de 118.000 lei, pe care l-a┼úi putea primi ├«n lunile urm─âtoare.

A┼úi obinut num─ârul 118, excelent! Iat─â ce trebuie s─â face┼úi: Dac─â a┼úi ob┼úinut 118 ┼či numai cu aceast─â condi┼úie, v─â voi ajuta gratuit s─â ob┼úine┼úi un superb obiect ├«n valoare de 118.000 lei. Este suficient s─â-mi trimite┼úi Bonul de ajutor gratuit ┼či, imediat ce-l primesc v─â voi trimite revela┼úiile mele secrete, ce v─â vor permite ca acest pre┼úios obiect ├«n valoare de 118.000 lei s─â v─â revin─â ├«n urm─âtoarele 3 luni.

Informa┼úie capital─â 1) Nu povesti┼úi nim─ânui despre aceast─â ┼čans─â ce vi se ofer─â. 2) Nu-mi trimite┼úi acum niciun ban, ar risca s─â distrug─â cercul de noroc, ce v─â va ├«nconjura ├«n urm─âtoarele 3 luni.ÔÇť Eva Gabor

 *

Mi-am permis s─â nu mai copiez ┼či textul de pe BONUL GRATUIT pentru a primi un superb obiect ├«n valoare de 118.000 lei, unde se reiau acelea┼či ÔÇťinforma┼úiiÔÇŁ (doar c─â la persoana I; Da, doamn─â Eva, am urmat instruc┼úiunile dvs., adun├ónd ÔÇŽ). Exist─â acolo ┼či un text scris foarte m─ârunt, pe care chiar nu l-am mai citit. Pe l├óng─â o poz─â cu un cec completat pe suma respectiv─â ┼či o poz─â cu c├óteva bancnote de 100 lei, pagina respectiv─â mai con┼úine ┼či o poz─â cu luxos autoturism BMW (seria ┼ú-┼čpe), pentru a┼ú├ó┼úat vise.

Nu o cunosc personal pe Eva Gabor, dar poza oferit─â ├«n cadrul articolului nu pare potrivit─â cu numele. Mai degrab─â pare o poz─â desc─ârcat─â de pe net, ├«nf─â┼úi┼č├ónd o doamn─â tipic─â din Europa de vest (fizionomie, privire, aranjament). Pe de alt─â parte, nu ┼čtiu la ce tabele ale lui Pitagora se refer─â distinsa Eva Gabor, dar ┼čtiu c─â o denumire veche pentru tabla ├«nmul┼úirii era tabla lui Pitagora, iar despre aceasta pot s─â confirm c─â sigur nu se ├«n┼čeal─â niciodat─â ├«n rezultatele date. ┼×i, da, universul este guvernat de calculele acestora.

Am sugerat la ├«nceput o eventual─â analiz─â a acestui articol, dar cred c─â pur ┼či simplu un astfel de gest ar jigni inteligen┼úa onora┼úilor cititori. Sper, ├«n schimb, c─â fiecare ├«┼či va face propria analiz─â a acestui minunat ÔÇťeseu de fraieritÔÇŁ cititorii fraieribili (sigur n─âscu┼úi ├«n secolul trecut, c─â la persoanele n─âscute dup─â 2000 nu mai merge). Eu personal, un singur semn de ├«ntrebare am din toat─â aceast─â etalare ├«nv├órto┼čit─â de numere: ce-i cu num─ârul 26? O fi o interpretare ocult─â de tipul: de dou─â ori 13, care reprezint─â ghinionul, inversat astfel ├«nc├ót de dou─â ori ghinion d─â noroc, similar cu minus cu minus face plus??? Da, ┼či ar mai fi totu┼či o ├«ntrebare: ce-i at├ót de vechi ÔÇô 3000 de ani ÔÇô la acest calcul?

Oricum, este evident c─â acest anun┼ú publicitar se adreseaz─â celor cu un nivel de cultur─â matematic─â at├ót de redus ├«nc├ót vor considera c─â s-a pogor├ót ├«n sf├ór┼čit ┼či asupra lor acel cerc de noroc, prin faptul c─â le-a dat ┼či lor ├«n sf├ór┼čit o adunare de dou─â cifre. Cum, care cerc de noroc? P─âi, mul┼úi oameni privesc ca un mare noroc s─â le dea corect rezultatul unei sarcini matematice, iar pentru asta i-au invidiat toat─â via┼úa pe cei c─ârora ÔÇťnu le d─â cu virgul─âÔÇŁ. Pentru ace┼čtia rezultatul respectiv reprezint─â dovada de net─âg─âduit a apari┼úiei cercului de noroc ┼či ├«n via┼úa lor. Iar, dac─â ar spune aceasta cuiva s-ar putea s─â afle c─â tocmai au fost fraieri┼úi, c─â au luat din nou ÔÇť┼úeap─âÔÇŁ de la matematica asta par┼čiv─â. Deci nu trebuie s─â povesteasc─â nim─ânui despre ├«nt├ómplare. Logic? Logic!

La ce ne poate ajuta pe noi ÔÇťminuneaÔÇŁ asta ├«n activitatea de la clas─â? P─âi, eventual ca un num─âr de magie: elevii primesc ca tem─â de a afla ├«n ce an s-a n─âscut un p─ârinte sau un bunic drag, c├ót ┼či ce v├órst─â are acesta (cel mai bine s─â vin─â cu cele dou─â numere notate, pentru a nu ap─ârea surprize). Apoi primesc la ┼čcoal─â s─â adune cele dou─â numere. P├ón─â c├ónd lucreaz─â elevii, profesorul scrie pe tabl─â 118 (pardon, anul acesta trebuie s─â scriem 119, a┼ča-i?) ┼či se posteaz─â ├«n fa┼úa num─ârului (sau l-a scris ├«nainte pe un bile┼úel pe care l-a ascuns sub un ghiveci de pe pervaz etc.). Apoi apare uimirea: tuturor le-a dat la fel (sau un elev este rugat s─â se uite sub ghiveciul respectiv). A┼ča ar ar─ât─â acest num─âr de magie la ├«nceputul clasei a V-a. Ulterior elevii pot primi sarcina de a demonstra ÔÇťminuneaÔÇŁ. A face acest num─âr de ÔÇťmagieÔÇŁ cu anul na┼čterii ┼či v├órsta unui elev (deci n─âscut dup─â 2000) ar da un rezultat prea transparent (unde-i ÔÇťmagiaÔÇŁ ├«n acest caz?).

Titus Gregorovici, produc─âtor de baghete magice (Gregorovici, ca cel din Harry Potter)