Folosirea intuiţiei în noua programă de gimnaziu

Odat─â cu ├«nceputul anului ┼čcolar 2017-2018 profesorii de matematic─â vor trebui s─â-┼či reseteze predarea, cel pu┼úin la clasele a V-a, conform noilor cerin┼úe din programa aprobat─â ├«n prim─âvar─â. ├Äntre toate aceste cerin┼úe, folosirea intui┼úiei ├«n predare la clasele V-VI se remarc─â cu o insisten┼ú─â ie┼čit─â din comun. Astfel, cuv├óntul intui┼úie, ├«n diferitele sale forme, apare ├«n aceast─â program─â de peste 20 de ori!

├Än acest sens am hot─âr├ót s─â postez ┼či aici cele dou─â p─âr┼úi ale noii programe care se ocup─â ├«n format compact despre aspectele metodice: nota de prezentare (2 pagini A4) ┼či partea de sugestii metodologice (4 pagini A4). Pe l├óng─â pasajele unde apare cuv├óntul intui┼úie, mi-am permis s─â boldesc ├«n con┼úinutul acestora diferitele aspecte importante ce vor trebui urm─ârite de c─âtre profesori ├«ncep├ónd din acest an ┼čcolar, ┼úin├ónd cont de faptul c─â ├«n predarea multor profesori respectivele aspecte lipsesc uneori cu des─âv├ór┼čire. Dau un singur exemplu (la ├«nt├ómplare): mul┼úi profesori neglijeaz─â constant folosirea instrumentelor geometrice la tabl─â, sus┼úin├ónd c─â figura exact─â nu conteaz─â, important fiind doar ra┼úionamentul. Mai ales compasul sufer─â ├«n acest sens, pentru c─â majoritatea nu ┼čtiu nici m─âcar s─â-l foloseasc─â la tabl─â. Iat─â ├«n continuare cele dou─â p─âr┼úi ale programei. CTG

*

Not─â de prezentare

Evolutia umanit─â┼úii a fost str├óns legata de dezvoltarea matematicii. Obiectele specifice matematicii sunt ├«n concordan┼ú─â cu nevoile ┼či interesele omului pentru rezolvarea unor situa┼úii teoretice, metodologice ┼či practice, dar ┼či estetice. Matematica nu se rezum─â doar la studiul numerelor ┼či al rela┼úiilor dintre acestea, ci este un domeniu de crea┼úie, bazat pe g├óndire logic─â ┼či inovatoare.

Matematica este o disciplin─â de mare profunzime, av├ónd un caracter deschis, datorat ┼či existen┼úei unei serii de probleme nerezolvate (conjecturi). ├Än timp, rezolvarea acestora a condus la crearea unor domenii noi de cercetare ┼či a contribuit la rezolvarea unor probleme conexe altor arii de cunoa┼čtere. Totodat─â, Matematica contribuie la ├«n┼úelegerea realit─â┼úii subiective a propriei persoane ┼či a realit─â┼úii obiective a mediului ├«nconjur─âtor.

Programa ┼čcolar─â de matematic─â reprezint─â o component─â esen┼úial─â a curriculumului na┼úional, ├«n acord cu Planul-cadru de ├«nv─â┼ú─âm├ónt pentru ├«nv─â┼ú─âm├óntul gimnazial, aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urm─ârind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitiv─â a elevului ┼či utilizarea eficient─â a resurselor didactice disponibile. Disciplina este inclus─â ├«n aria curricular─â Matematic─â ┼či ┼čtiinte ale naturii din trunchiul comun ┼či este prevazut─â ├«n planul-cadru de ├«nv─â┼ú─âm├ónt cu un buget de timp de 4 ore/s─âpt─âm├ón─â.

├Än procesul de proiectare curricular─â s-au avut ├«n vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programa ┼čcolar─â pentru ciclul primar la disciplina Matematic─â, competen┼úele-cheie pentru ├«nv─â┼úarea pe tot parcursul vie┼úii din cadrul european de referin┼ú─â, rezultatele ├«nregistrate la evalu─ârile na┼úionale ┼či interna┼úionale pentru ├«nv─â┼úam├óntul gimnazial ┼či principiile de construc┼úie curricular─â.

Procesul de proiectare curricular─â a programei ┼čcolare de matematic─â pentru ├«nv─â┼ú─âm├óntul gimnazial s-a realizat ┼úin├ónd cont de:

  • adecvarea curriculumului la realit─â┼úile interne ale societ─â┼úii ┼či ale sistemului de ├«nv─â┼ú─âm├ónt, av├ónd ca obiectiv preg─âtirea elevului pentru via┼ú─â, ├«n general, ┼či pentru integrarea socio-profesional─â, ├«n special;
  • echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei ┼či integrarea acestora ├«ntr-un sistem coerent la nivel de interdependen┼úe func┼úional structurale ┼či din punct de vedere temporal;
  • flexibilitatea curriculumului prin parcurgerea ┼či aplicarea acestuia la clasa, ├«n contextul respect─ârii diferen┼úelor la elevii de aceea┼či v├órsta (ritm de ├«nv─â┼úare, nivel de achizi┼úii anterioare, motiva┼úie intern─â, specific cultural ┼či comunitar);
  • continuitatea curriculumului prin asigurarea unei tranzi┼úii optime de la un ciclu de ├«nv─â┼ú─âm├ónt la altul ┼či de la un an de studiu la altul, cu introducerea unor secven┼úe de ini┼úiere a procesului de instruire la nivelul achizi┼úiilor de baz─â ├«n termeni de con┼úinuturi-ancor─â;
  • diversificarea criteriilor de structurare a con┼úinuturilor programei ┼čcolare la nivelul achizi┼úiilor de baz─â, cu deschideri semnificative ├«n planul practicii didactice;
  • corelarea activit─â┼úilor propuse prin curriculum cu dimensiunea axiologic─â a idealului educa┼úiei, referitor la formarea personalit─â┼úii autonome creative;
  • utilitatea curriculumului ├«n raport cu cerin┼úele partenerilor educa┼úionali: profesori, elevi, familie, comunitate, reflectate ├«n componentele specifice programei: competen┼úe generale, competen┼úe specifice, exemple de activit─â┼úi de ├«nv─â┼úare, con┼úinuturi ┼či sugestii metodologice, inclusiv preciz─âri privind evaluarea competen┼úelor formate/dezvoltate.

Prin specificul s─âu, disciplina Matematic─â este esen┼úial─â ├«n formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor necesare pentru ├«nv─â┼úarea pe tot parcursul vie┼úii, ┼či constituie un fundament solid pentru argumentare, dezvoltare de ra┼úionament logic, spirit ┼či g├óndire critic─â, analizare, interpretare ┼či rezolvare de probleme.

Atitudinile promovate de programa ┼čcolar─â de matematic─â sunt cele prev─âzute ├«n documentele europene pentru educa┼úia matematic─â: respectul pentru adev─âr ┼či perseveren┼úa pentru g─âsirea celor mai eficiente solu┼úii, dezvoltarea de argumente ┼či evaluarea validit─â┼úii acestora. Abordarea ├«n spirit matematic a situa┼úiilor cotidiene solicit─â un tip de g├óndire deschis─â ┼či creativ─â, precum ┼či un spirit de observa┼úie dezvoltat, matematica fiind modelul perfect pentru exersarea ┼či implementarea g├óndirii critice la elevi. Prezenta program─â ┼čcolar─â ├«┼či propune s─â formeze la elevi ini┼úiativa ┼či capacitatea decizional─â, independen┼úa ├«n g├óndire ┼či ├«n ac┼úiune pentru a avea disponibilitate de a aborda situa┼úii variate, precum ┼či capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea ┼či elegan┼úa ├«n arhitectura model─ârii unei situa┼úii date, a rezolv─ârii unei probleme sau a construirii unei teorii. Programa ┼čcolar─â de matematic─â promoveaz─â exersarea obi┼čnuin┼úei de a recurge la modele matematice ├«n abordarea unor situa┼úii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.

Demersul de predare-├«nv─â┼úare-evaluare poate fi organizat individual, frontal sau pe grupe, cultiv├ónd astfel spiritul de echip─â, ├«ncrederea ├«n sine ┼či respectul pentru ceilal┼úi, toleran┼úa, curajul de a prezenta o opinie personal─â ┼či spiritul de ini┼úiativ─â al elevilor. ├Äncrederea ├«n sine ┼či autonomia personal─â sunt sus┼úinute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursa de ├«nv─â┼úare, prin ├«ncurajarea unor abord─âri din perspective multiple ┼či prin aplicarea matematicii ├«n via┼úa de zi cu zi. Astfel se dezvolt─â motiva┼úia elevilor pentru a reu┼či ├«n ├«nv─â┼úare ┼či, implicit, pentru continuarea studiului disciplinei. Programa ┼čcolar─â de matematic─â pentru gimnaziu se concentreaz─â pe formarea ┼či pe dezvoltarea gradat─â ┼či continu─â a competen┼úelor matematice, care permit elevilor s─â r─âspund─â la situa┼úii diverse f─âc├ónd at├ót corela┼úii intradisciplinare, c├ót ┼či interdisciplinare.

Structura programei ┼čcolare include, pe l├ónga Nota de prezentare, urm─âtoarele elemente:

Competenţe generale

Competen┼úe specifice ┼či exemple de activit─â┼úi de ├«nv─â┼úare

Elemente de conţinut

Sugestii metodologice

Competen┼úele generale vizate la nivelul disciplinei, ├«ncadreaz─â achizi┼úiile de cunoa┼čtere ┼či de ┬ácomportament ale elevului, fiind comune ├«ntregului ciclu de ├«nv─â┼ú─âm├ónt gimnazial ┼či red├ónd, ├«ntr-un mod particularizat pentru aceasta disciplin─â, orientarea general─â a procesului educa┼úional.

Competen┼úele specifice sunt competen┼úe derivate din competen┼úele generale ┼či reprezint─â etape m─âsurabile ├«n formarea ┼či dezvoltarea acestora. Pentru formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor specifice, ├«n program─â sunt propuse exemple de activit─â┼úi de ├«nv─â┼úare care valorific─â experien┼úa concret─â a elevului ┼či care definesc contexte de ├«nv─â┼úare variate. Programa ┼čcolar─â de matematic─â pentru gimnaziu propune o oferta flexibil─â de activit─â┼úi de ├«nv─â┼úare. Profesorul poate s─â modifice, s─â completeze sau s─â ├«nlocuiasc─â aceste activit─â┼úi cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil s─â se realizeze un demers didactic personalizat, care s─â asigure formarea/dezvoltarea competen┼úelor prev─âzute de program─â, ├«n contextul specific al fiec─ârei clase.

Con┼úinuturile reprezint─â decupaje didactice relevante pentru matematic─â, structurate ┼či abordate astfel ├«nc├ót s─â fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt mijloace informa┼úionale prin care se formeaz─â ┼či se dezvolt─â competen┼úele specifice. Con┼úinuturile au fost selectate pe baza principiului continuit─â┼úii ┼či al coeren┼úei ┼či sunt puternic interconectate, astfel ├«nc├ót, dup─â parcurgerea lor integral─â, elevul s─â fie capabil s─â realizeze conexiuni ├«ntre idei, texte cu con┼úinut matematic, reprezent─âri grafice ┼či formule, ├«n scopul rezolv─ârii unor probleme diverse, de natur─â teoretic─â sau practic-aplicativ─â.

Sugestiile metodologice reprezint─â o component─â a programei care propune modalit─â┼úi ┼či mijloace pentru realizarea demersului didactic.

Note definitorii ale acestei programe

Programa ┼čcolar─â de matematic─â delimiteaz─â, pentru fiecare clas─â a ├«nv─â┼ú─âm├óntului gimnazial, un nivel de preg─âtire matematic─â necesar elevilor pentru continuarea studiilor disciplinare ┼či, pe baza acestuia, trasarea posibilit─â┼úilor de avansare ├«n ├«nv─â┼úare.

Programa ┼čcolar─â de matematic─â a fost g├óndit─â astfel ├«nc├ót s─â poat─â fi parcurs─â ├«n 75% din timpul alocat orelor de matematic─â, restul orelor (25%) fiind la dispozi┼úia profesorului pentru activit─â┼úi remediale, de fixare sau de progres.

O caracteristic─â a acestei programe ┼čcolare este c─â, ├«n clasele a V-a si a VI-a, no┼úiunile sunt prezentate intuitiv, evit├óndu-se abuzul de nota┼úii sau de abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, a┼čtept─ârile sunt ca elevul s─â poata deja dezvolta ra┼úionamente deductive simple, utiliz├ónd, dac─â este cazul, contraexemple. Elevul devine capabil s─â foloseasc─â diferite mijloace de ├«nv─â┼úare, inclusiv softuri matematice. De asemenea, poate folosi ├«n mod adecvat regulile de calcul pentru a investiga idei matematice ┼či pentru a rezolva diverse situa┼úii problematice.

Pa┼čii c─âtre dezvoltarea unei g├óndiri structurate, teoretiz─ârile sau ra┼úionamentele mai ample, orientate spre formarea unor competen┼úe de transfer al matematicii ├«n practic─â ┼či al cotidianului ├«n modele matematice, precum ┼či familiarizarea cu o abordare pluridisciplinar─â a domeniilor cunoa┼čterii, se realizeaz─â treptat, mai accentuat ├«n ultimii doi ani din gimnaziu.

Extinderea spa┼úiului numeric la acest nivel de ┼čcolaritate impune ├«n┼úelegerea ┼či dezvoltarea unor competen┼úe de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor no┼úiuni de geometrie ┼či de m─âsurare devine o premis─â ├«n ├«n┼úelegerea unor no┼úiuni specifice altor discipline prev─âzute ├«n planul-cadru.

*

Sugestii metodologice

Formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor matematice reprezint─â mai mult dec├ót a ├«nv─â┼úa concepte matematice ┼či presupun procese cognitive ┼či metacognitive valorificate printr-o buna alegere ┼či construc┼úie a experien┼úelor de ├«nv─â┼úare din cadrul procesului de predare-├«nv─â┼úare-evaluare. Acest proces creeaz─â oportunit─â┼úi pentru ca elevii s─â fie condu┼či spre conexiuni ├«ntre diferite teme, ├«ntre abstract ┼či practic, iar mijloacele TIC reprezint─â un avantaj important ├«n explorarea de concepte ┼či rel─â┼úii matematice.

├Än proiectarea ┼či desf─â┼čurarea activit─â┼úilor de ├«nv─â┼úare vor fi valorificate ┼či dezvoltate experien┼úa matematic─â acumulat─â de c─âtre elevi ├«n anii anteriori, precum ┼či g├óndirea elevilor aflat─â la un nivel de maturitate specific acestei etape. Sarcinile de ├«nv─â┼úare vor fi e┼čalonate dup─â gradul lor de dificultate, iar nivelul de aprofundare ┼či complexitatea con┼úinuturilor vor fi corelate cu nivelul de dezvoltare cognitiv─â a elevilor.

Introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de con┼úinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea ├«nconjur─âtoare, de la experien┼úa anterioar─â a elevilor ┼či de la conexiunile intradisciplinare ┼či interdisciplinare, realiz├ónd astfel un demers didactic care echilibreaz─â nivelul intuitiv/descriptiv cu rigoarea specific─â matematicii.

Abordarea intuitiv─â reprezint─â o form─â de cunoa┼čtere imediat─â a adev─ârului, f─âr─â ra┼úionamente logice complexe preliminare. Este o modalitate de a organiza, ierarhiza, gestiona informa┼úiile nestructurate, cu scopul de a forma reprezent─âri matematice, de a propune metode de rezolvare a unor situa┼úii date sau de a anticipa situa┼úii, aceast─â abordare fiind o etap─â necesar─â ├«n generaliz─âri sau formaliz─âri ulterioare. ├Än matematic─â, intui┼úia este privit─â ca o prim─â etap─â a ├«n┼úelegerii anumitor informa┼úii, metode sau rezultate, fiind o form─â de interpretare a realit─â┼úii, bazat─â pe experien┼ú─â ┼či pe ra┼úionamente anterioare, aplicate unor situa┼úii similare.

Pornind de la premisa c─â exist─â o str├óns─â legatur─â ├«ntre ├«ntelegerea unor no┼úiuni ┼či reprezentarea mental─â a acestora, se va acorda o importan┼ú─â deosebit─â competen┼úelor specifice asociate con┼úinuturilor din algebr─â ┼či geometrie, care sunt noi pentru elevii din gimnaziu. Modul ├«n care elevii ├«┼či reprezint─â ideile, structurile, informa┼úiile ├«i ajut─â ├«n rezolvarea problemelor ┼či, ├«n general, ├«n gestionarea informa┼úiilor. Deoarece reprezent─ârile matematice se bazeaz─â unele pe altele, profesorii vor eviden┼úia conexiunile posibile dintre no┼úiuni.

├Än cazul calcului numeric, de exemplu, intui┼úia presupune estimarea rezultatului unui calcul, f─âr─â a efectua opera┼úiile. Introducerea geometriei se va realiza tot ├«ntr-o maniera intuitiv─â, prin exemple sau acces├ónd experien┼úele anterioare ale elevilor, utiliz├ónd desene sau modele spa┼úiale, astfel devenind posibil─â ├«ncadrarea corespunz─âtoare ├«ntr-o sfera conceptual─â (de exemplu, p─âtratul poate fi ├«n┼úeles ├«n conexiune cu alte figuri: p─âtratul este un romb cu un unghi drept; p─âtratul este un dreptunghi cu dou─â laturi al─âturate egale). Cu ajutorul exemplelor intuitive se pot elimina erorile tipice ┼či se pot forma ┼či accesa reprezent─âri matematice corecte. ├Äntr-o etap─â ulterioar─â intui┼úia se verific─â prin diverse metode: m─âsurare sau exemplificare ┼či se valideaz─â prin ra┼úionament matematic bazat pe argumente logice. Exers├óndu-┼či intui┼úia, elevul ajunge s─â interpreteze matematic realitatea ├«nconjur─âtoare, ca expresie a competen┼úelor matematice, cultiv├óndu-┼či astfel ├«ncrederea ├«n sine.

Prin construc┼úia programei, elevii sunt provoca┼úi s─â ├«n┼úeleag─â matematica prin raportare la experien┼úa cotidian─â. ├Äntr-o prima etap─â, aplica┼úiile se vor limita la formarea deprinderilor de baz─â, f─âr─â calcule ample/sofisticate. ┼×i ├«n cazul geometriei, ├«n partea sa de ├«nceput, introducerea oric─ârei no┼úiuni se face tot prin raportare la imagine, model, obiect, mediul ├«nconjur─âtor. Caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice vor fi eviden┼úiate ├«nt├ói prin observare direct─â ┼či verificate prin m─âsurare, ├«n sensul unei abord─âri c├ót mai naturale ┼či intuitive, ra┼úionamentul fiind introdus c─âtre finalul clasei a VI-a (├«ncep├ónd cu metoda triunghiurilor congruente).

Competen┼úele generale ┼či competen┼úele specifice derivate din acestea respect─â etapele de structurare specifice opera┼úiilor mentale dezvoltate la nivelul acestei discipline, astfel se pot identifica urm─âtoarele coresponden┼úe:

identificarea unor elemente noi ├«n diferite contexte, care duc la o reorganizare a sferei conceptuale, pe baza observa┼úiei (C.G.1: Identificarea unor date, m─ârimi ┼či rela┼úii matematice ├«n contextul ├«n care acestea apar);

prelucrarea datelor, ca nivel elementar al aplicaţiilor, folosind o regulă sau o formulă dată, ori recurgând la reprezentări (C.G.2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaţionale);

utilizarea algoritmilor, metodelor sau a unor reguli matematice ├«n situa┼úii diverse (C.G.3: Utilizarea conceptelor ┼či a algoritmilor specifici ├«n diverse contexte matematice);

exprimarea ├«n limbaj matematic pentru descrierea unei situa┼úii matematice, prezentarea unei probleme, a unui demers de rezolvare sau a rezultatului ob┼úinut (C.G.4: Exprimarea ├«n limbajul specific matematicii a informa┼úiilor, concluziilor ┼či demersurilor de rezolvare pentru o situa┼úie dat─â);

interpretarea unor situa┼úii problematice, ca etap─â superioar─â de aplicare a matematicii, ├«n context intradisciplinar ┼či interdisciplinar (C.G.5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situa┼úii date);

modelarea matematic─â prin utilizarea cunoa┼čterii dob├óndite, integr├ónd achizi┼úii din diverse domenii (C.G.6: Modelarea matematic─â a unei situatii date, prin integrarea achizi┼úiilor din diferite domenii).

Modalit─â┼úile de organizare a activit─â┼úilor de ├«nv─â┼úare (frontale, individuale sau pe grupe) se vor adapta particularit─â┼úilor clasei de elevi, resurselor disponibile ┼či finalit─â┼úilor vizate. Se recomand─â utilizarea metodelor ┼či mijloacelor didactice care s─â favorizeze implicarea elevului ├«n propriul proces de ├«nv─â┼úare, inclusiv a mijloacelor TIC.

├Än cadrul procesului de predare-├«nv─â┼úare-evaluare, componenta evaluare are un rol fundamental. Deoarece este necesar─â asigurarea unui feedback permanent ┼či corespunz─âtor, at├ót pentru actorii procesului educa┼úional, c├ót ┼či pentru factorii de decizie, se va urm─âri accentuarea dimensiunii formative a evalu─ârii. Astfel, se va monitoriza nivelul de formare ┼či dezvoltare a competentelor specifice asociate fiec─ârui domeniu de con┼úinut ┼či, implicit, se va orienta demersul didactic spre trecerea la domeniul de con┼úinut urm─âtor, spre aprofundarea unor aspecte sau spre revenirea asupra aspectelor deficitare, prin alocarea unui timp suplimentar de studiu, av├ónd mereu ├«n vedere zona proximei dezvolt─âri.

Evaluarea se realizeaz─â ├«n principal ├«n vederea ├«nv─â┼ú─ârii, prin forme, metode ┼či instrumente c├ót mai diversificate, orientate pe formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor matematice:

forme de evaluare: evaluare frontal─â, evaluare scris─â, evaluare asistat─â de calculator;

metode de evaluare: conversa┼úia, explica┼úia, observarea sistematic─â a activit─â┼úii ┼či comportamentului elevului, rezolvarea de probleme, autoevaluarea, jocul didactic, portofoliul, investiga┼úia, studiul de caz, proiectul etc.;

instrumente de evaluare: fi┼če de lucru sau fi┼če de lucru individualizate, seturi de ├«ntreb─âri structurate, chestionare, teste de evaluare etc.

Programele ┼čcolare de matematic─â pentru clasele a V-a si a VI-a se axeaz─â pe introducerea intuitiv─â a conceptelor matematice, f─âr─â utilizarea excesiv─â a formalismului specific matematicii (nota┼úii, teorie prezentat─â ├«n extenso, demonstra┼úii exhaustive) ┼či cu accent pe formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor matematice prin exersarea cu scop, cu o mai bun─â leg─âtur─â cu realitatea ┼či favoriz├ónd abord─âri intradisciplinare ┼či interdisciplinare. Programele ┼čcolare de matematic─â pentru clasele a VII-a ┼či a VIII-a realizeaz─â trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate ├«n clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor propriet─â┼úi ┼či la aplicarea unor algoritmi de calcul.

CLASA a V-a

Programa ┼čcolar─â de matematic─â pentru clasa a V-a realizeaz─â o continuitate ├«ntre ciclul primar ┼či cel gimnazial, urm─ârind o construc┼úie curricular─â logic─â ┼či coerent─â, care ├«mbin─â nivelul intuitiv cu rigoarea specific─â matematicii, construc┼úie adaptat─â caracteristicilor elevilor ├«n aceast─â etap─â de dezvoltare.

Abordarea problemelor prin metode aritmetice (at├ót la Numere naturale, c├ót ┼či la Frac┼úii ordinare. Fractii zecimale) are ├«n vedere dezvoltarea capacit─â┼úii de analizare ┼či sintetizare a informa┼úiilor dintr-o situa┼úie-problem─â, a ra┼úionamentului logico-matematic. Se vor evita abord─ârile algebrice (de altfel no┼úiunea de ecua┼úie nu se reg─âse┼čte ├«n programa de clasa a V-a, fiind introdus─â ├«n clasa a VI-a).

No┼úiunile ÔÇ×cel mai mare divizor comunÔÇŁ ┼či ÔÇ×cel mai mic multiplu comunÔÇŁ vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv multiplilor, iar identificarea ÔÇ×celui mai mare divizor comunÔÇŁ, respectiv a ÔÇ×celui mai mic multiplu comunÔÇŁ se realizeaza strict cu scopul utiliz─ârii acestor no┼úiuni ├«n efectuarea opera┼úiilor cu frac┼úii. Prin urmare, se recomand─â folosirea frac┼úiilor care au la numitor numere formate din cel mult dou─â cifre, urm─ârindu-se cu prioritate fixarea regulilor de calcul ┼či crearea unui ÔÇ×sim┼ú al numerelorÔÇŁ ┼či nu efectuarea unor calcule voluminoase.

No┼úiunea de num─âr ra┼úional se va prezenta doar la nivel intuitiv, ca exprimare prin forme echivalente de scriere a aceluia┼či obiect matematic; de exemplu: o doime, trei ┼česimi, 0,5 sau 50% reprezint─â forme de reprezentare a aceluia┼či num─âr ra┼úional, care semnific─â o jum─âtate dintr-un ├«ntreg.

Abordarea elementelor de geometrie urm─âre┼čte, cu prec─âdere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice ┼či formarea deprinderilor de identificare, investigare ┼či construc┼úie a figurilor ┼či corpurilor geometrice. De asemenea, se face trecerea de la perceperea intuitiv─â a no┼úiunilor geometrice de baz─â la reprezentarea ┼či notarea lor. Tema Figuri congruente se va prezenta ├«n mod intuitiv, denumind ÔÇ×figurile congruenteÔÇŁ, de exemplu, ÔÇ×figuri care pot fi suprapuse exactÔÇŁ. Pentru poligoane, acest lucru revine la faptul c─â ÔÇ×doua poligoane congruente au aceea┼či form─â ┼či m─ârime, iar elementele corespondente (unghiuri, laturi) sunt congruenteÔÇŁ.

La tema Probleme de utilizare a datelor, tem─â abordat─â ┼či ├«n programa ┼čcolara de matematic─â de la ciclul primar, introducerea no┼úiunilor de frecven┼ú─â ┼či medie ca elemente care pot fi extrase dintr-o reprezentare statistic─â de date, urm─âre┼čte familiarizarea elevilor cu unele metode de prelucrare, reprezentare ┼či interpretare primar─â a datelor statistice.

├Än toate activit─â┼úile de ├«nv─â┼úare, accentul se va pune pe eviden┼úierea dimensiunii aplicative a cuno┼čtin┼úelor matematice, ├«n situa┼úii concrete c├ót mai variate, av├óndu-se ├«n vedere intradisciplinaritatea ┼či interdisciplinaritatea, dar ┼či utilizarea mijloacelor TIC. Astfel, se au ├«n vedere stimularea ┼či men┼úinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

CLASA a VI-a

Programa ┼čcolar─â de matematic─â pentru clasa a VI-a continu─â demersul ├«nceput ├«n clasa a V-a din punct de vedere al prezent─ârii intuitive/descriptive a no┼úiunilor, urm─ârind ca ├«n final s─â se treac─â la definirea riguroas─â a unor concepte matematice ┼či la demonstrarea unor propriet─â┼úi.

Pentru formarea ┼či dezvoltarea competen┼úelor specifice, la tema Mul┼úimi. Mul┼úimea numerelor naturale prezentarea no┼úiunilor se va realiza f─âr─â exces de limbaj formal sau de nota┼úii, utiliz├ónd multimi date doar prin diagrame sau prin enumer─âri de elemente, inclusiv ├«n cazul opera┼úiilor cu mul┼úimi, cu leg─âturi intradisciplinare (elemente de baz─â ale geometriei de tip mul┼úimi de puncte, drepte etc.), urm─ârind ┼či dezvoltarea g├óndirii combinatorice.

La tema Rapoarte. Propor┼úii, conceptele vor fi introduse pe baza c├ót mai multor exemple din realitate, din cadrul altor discipline, din corela┼úii intradisciplinare, nivelul de dificultate al aplica┼úiilor raport├óndu-se ├«n principal la intui┼úie ┼či observare direct─â, f─âr─â a se baza pe ra┼úionamente ample. Aplica┼úiile ├«n zona propor┼úiilor derivate au rol de a anticipa utilizarea acestora ├«n capitolul de asem─ânare, exersarea av├ónd scopul form─ârii unor deprinderi de baz─â. Elevului i se vor crea situa┼úii de ├«nv─â┼úare ├«n care trebuie s─â colecteze date reale pentru stabilirea unor propor┼úionalit─â┼úi sau alte caracteristici ale unor serii de date, inclusiv prin ├«nv─â┼úarea prin colaborare, fiind ├«ncurajat s─â emita ipoteze pe baza datelor colectate sau informa┼úiilor accesate din diverse surse (media, internet). Se vor utiliza jocuri practice prin care elevul s─â fie pus s─â experimenteze ┼či s─â identifice evenimente asociate experimentului (aruncarea zarului, alegerea unei bile dintr-o cutie etc.).

La temele Mul┼úimea numerelor ├«ntregi ┼či Mul┼úimea numerelor ra┼úionale accentul trebuie pus pe introducerea numerelor din considerente ┼či necesit─â┼úi practice, reprezentarea pe axa numerelor fiind realizat─â cu scopul form─ârii unor deprinderi de localizare. La utilizarea modulului, nu se va folosi calculul literal, acord├óndu-se o pondere mare exemplelor numerice care utilizeaz─â distan┼úe m─âsurate pe axa numerelor. Pentru sprijinirea deprinderilor de calcul mintal, se vor utiliza jocuri didactice ┼či se va limita calcul numeric la zona de exersare relevant─â.

Tema No┼úiuni geometrice fundamentale continu─â introducerea realizat─â ├«n clasa a V-a (no┼úiunile de punct, dreapt─â, segment, unghi) ├«n aceea┼či manier─â, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul ├«nconjur─âtor. Caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice vor fi eviden┼úiate prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, ├«n sensul unei abord─âri c├ót mai naturale ┼či intuitive. Accentul va fi pus pe consolidarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice pentru realizarea desenelor specifice, pe utilizarea de softuri educa┼úionale ├«n vederea facilit─ârii ├«n┼úelegerii/identific─ârii mai bune/mai u┼čoare a unor caracteristici ale configura┼úiilor geometrice.

La tema Triunghiul caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, urm├ónd ca dup─â formarea deprinderilor de baz─â s─â se utilizeze ra┼úionamente simple ┼či instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. Activita┼úile de ├«nv─â┼úare de la calculul cu unit─â┼úi de m─âsur─â vor urm─âri formarea deprinderilor de baz─â, reflect├ónd c├ót mai mult din realitatea ├«nconjur─âtoare. Rolul introducerii teoremei lui Pitagora, f─âr─â demonstra┼úie, este de a sprijini ├«ntelegerea unor fenomene studiate la diverse discipline, iar exersarea trebuie s─â fie bine dimensionat─â, pentru a ├«ncuraja elevul ├«n studiul geometriei ┼či sporirea gradului de atractivitate a matematicii.

CLASA a VII-a

├Än clasa a VII-a se realizeaz─â trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate ├«n clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor propriet─â┼úi ┼či la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Programa pentru algebr─â vizeaz─â continuarea studiului mul┼úimilor de numere prin introducerea mul┼úimii numerelor reale, pentru a fi folosite ├«n rezolvarea de ecua┼úii ┼či sisteme de ecua┼úii liniare, pentru organizarea datelor ┼či pentru calcule din cadrul geometriei.

Studiul geometriei se caracterizeaz─â prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matematice ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al acestora, bazat pe demonstra┼úie. Una dintre finalit─â┼úile a┼čteptate ale studiului geometriei prin propriet─â┼úi este modelarea configura┼úiilor geometrice pentru a calcula lungimi de segmente, m─âsuri de unghiuri, perimetre ┼či arii.

La tema Ecua┼úii ┼či sisteme de ecua┼úii se are ├«n vedere formarea unor deprinderi de rezolvare a ecua┼úiilor ┼či sistemelor de ecua┼úii liniare, utiliz├ónd diverse metode de rezolvare. Comparativ cu clasele anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizeaz─â prin metode aritmetice, problemele ├«nt├ólnite ├«n via┼úa cotidian─â vor fi rezolvate model├ónd cu ajutorul simbolurilor informa┼úiile deduse din enun┼ú, asociind ├«n acest mod problemei o ecua┼úie sau un sistem de ecua┼úii.

La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii ├«n triunghi ┼či ├«n trapez, proprietatea centrului de greutate al unui triunghi, utiliz├ónd propriet─â┼úi ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelogram, romb, triunghi ┼či trapez. Astfel, la final se va putea determina aria unui poligon prin descompunerea acestuia ├«n figuri geometrice studiate. ├Än continuarea studiului din clasa a VI-a al congruen┼úei triunghiurilor, la Asem─ânarea triunghiurilor se vor introduce teorema paralelelor echidistante ┼či teorema lui Thales, ambele f─âr─â demonstra┼úie. Cazurile de asemanare a triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu cazurile de congruen┼ú─â a triunghiurilor.

La Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic identificat în configuraţii geometrice sau practice date. Utilizând noţiunile prezentate la Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpurile geometrice studiate în clasa a VIII-a.

CLASA a VIII-a

├Än clasa a VIII-a se consolideaz─â competen┼úele formate ┼či dezvoltate anterior pentru calculul numeric. Unele dintre formulele de calcul pot fi deduse, pe baza defini┼úiei (de exemplu, pentru aria lateral─â ┼či aria total─â a unei prisme, piramide, cilindru etc.), altele, mai complexe, vor fi puse la dispozi┼úia elevilor. ├Än┼úelegerea ┼či aplicarea formulelor cu o anumit─â ritmicitate, ├«n situa┼úii concrete c├ót mai diverse, faciliteaz─â interiorizarea acestora.

Tema Func┼úii dezvolt─â ┼či competen┼úele de interpretare a reprezent─ârilor grafice, realiz├óndu-se astfel o conexiune cu teme specifice domeniului de con┼úinut Organizarea datelor ┼či cu teme specifice de la Rapoarte. Propor┼úii din clasa a VI-a, pentru anumite situa┼úii particulare de func┼úii.

├Än cazul geometriei ├«n spa┼úiu, se va acorda o aten┼úie special─â ra┼úionamentului matematic ┼či argument─ârilor personale. Pentru realizarea unor figuri utile ├«n anumite ra┼úionamente, este indicat s─â se insiste la ├«nceput pe realizarea aceleia┼či configura┼úii din diverse perspective. Aceasta conduce la o mai bun─â reprezentare mental─â a conceptului respectiv, ca baz─â necesar─â interpret─ârii diferitelor situa┼úii ┼či model─ârii corespunz─âtoare a situa┼úiilor concrete. Ca ┼či ├«n clasele anterioare, utilizarea instrumentelor geometrice sau a softurilor este necesar─â pentru acurate┼úea reprezent─ârilor grafice ale configura┼úiilor spa┼úiale, cu respectarea conven┼úiilor de desen.

Intui┼úia ÔÇô alte aspecte

ÔÇťProstul nu cunoa┼čte om mai de┼čtept ca elÔÇŁ- Montesquieu

Cine nu caut─â ├«ntr-un dic┼úionar, fie el ┼či virtual, defini┼úia unui cuv├ónt mai important pe care este nevoit s─â-l foloseasc─â din plin este demn de citatul de mai sus (g─âsit pe prima pagin─â a ziarului prezentat ├«n continuare); totodat─â, cine cite┼čte defini┼úia cuv├óntului ┼či consider─â apoi c─â ┼čtie foarte bine, f─âr─â s─â mai caute, acesta se dovede┼čte la fel de ignorant ca ┼či primul. Acesta este ┼či cazul intui┼úiei, despre care trebuie s─â ne ocup─âm mai am─ânun┼úit pentru c─â, de la toamn─â va trebui s─â o folosim ├«n predare, iar valen┼úele acestui cuv├ónt sunt at├ót de vaste ├«nc├ót, oric├ót ne-am preocupa cu studiul intui┼úiei, putem avea surprize oric├ónd, ├«nt├ólnind aspecte noi.

C├ónd mi-am propus ca ├«n aceast─â var─â s─â m─â ocup ceva mai mult de subiectul intui┼úie nu b─ânuiam c─â voi primi ajutor ┼či din alte p─âr┼úi. Iat─â ├«ns─â c─â ├«n Nr. 29 al s─âpt─âm├ónalului Magazin, din 20 iulie 2017 pe prima pagin─â am g─âsit articolul Creierul ┼či intui┼úia. S─â ne aplec─âm un pic asupra acestui articol (din p─âcate nesemnat), ├«n care apar c├óteva idei mai neobi┼čnuite, de sorginte psihanalitic─â, despre subiectul nostru.

ÔÇťVisul, intui┼úia ┼či creativitatea sunt mesaje ale incon┼čtientuluiÔÇŁ, scria C.G. Jung, cu aproape o sut─â de ani ├«n urm─â. Culmea este c─â nici ast─âzi despre creativitate, una dintre cele mai fascinante dintre capacit─â┼úile mentale ale creierului uman, nu se ┼čtie mare lucru.

Creativitatea, pe care Jung o numea ┼či ÔÇťmica intui┼úieÔÇŁ, aceast─â capacitate misterioas─â ┼či puternic─â, specific─â dintre toate mamiferele doar omului, este ├«nainte de toate mecanismul extraordinar ┼či fundamental al autotransform─ârii. Cum se na┼čte, cum ajungem s─â folosim aceast─â ma┼čin─ârie inefabil─â cu sediul ├«n creierul nostru, cum g─âsim c─âile, u┼čile, cheile potrivite? Cum folosim acest dar, pe care ├«l primim de la na┼čtere, dar f─âr─â un manual de utilizare? (ÔÇŽ)

Aceast─â fantastic─â capacitate, intui┼úia, pe care o avem to┼úi, aceea de a anticipa, de a resim┼úi, de a ghici lucruri, de a vedea evenimente ├«nainte ca ele s─â se produc─â, nu o folosim dec├ót o dat─â din zece cazuri. Ea fiind, aten┼úie, cel mai bun aliat al nostru ├«n momente dificile! Oare, putem s─â citim aceste r├ónduri prin prisma persoanei confruntat─â cu sarcina rezolv─ârii unei probleme de matematic─â ne-mai-├«nt├ólnite, care nu seam─ân─â cu nimic ce-a ├«nv─â┼úat p├ón─â acum ┼či pentru care nu are nici o re┼úet─â clar─â de rezolvare? Dar, s─â revenim la citat: Cum reu┼česc unii oameni s─â-┼či utilizeze la maximum capacit─â┼úile intuitive ├«n compara┼úie cu al┼úii? Iat─â c├óteva explica┼úii prezentate ├«n Healthy Living.

Intui┼úia este, ca ┼či gravita┼úia, ceva foarte greu de explicat, ├«n ciuda rolului pe care ├«l joac─â ├«n via┼úa de fiecare zi. Steve Jobs numea intui┼úia ceva ÔÇťmai puternic dec├ót intelectulÔÇŁ. Oricum am spune-o ├«n cuvinte, ┼čtim to┼úi, intuitiv, ce este. To┼úi am experimentat acest sentiment, senza┼úie, av├ónt incon┼čtient, care ne ├«mpinge s─â facem ceva f─âr─â s─â ne spun─â de ce sau cum. ÔÇťEu definesc intui┼úia ca o cunoa┼čtere subtil─â f─âr─â a avea idee de ce ai nevoie s─â cuno┼čtiÔÇŁ, scria Sophy Burnham ├«n cartea sa, Arta intui┼úiei, ┼či ad─âuga: ÔÇťE diferit─â de g├óndire, diferit─â de logic─â ┼či analiz─â ÔÇŽ este o cunoa┼čtere f─âr─â cunoa┼čtereÔÇŁ. (ÔÇŽ) ÔÇťNu trebuie s─â respingem logica ┼čtiin┼úific─â pentru a beneficia de instinctÔÇŁ, spunea Francis Cholle, autorul c─âr┼úii The Intuitive Compass (Busola Intuitiv─â), ÔÇťtrebuie s─â ne folosim de ambele unelte, pentru a g─âsi echilibrulÔÇŁ.

├Än continuare autorul articolului se lanseaz─â ├«n c─âutarea unor c─âi de a putea ├«nt─ârii for┼úa intui┼úiei, plec├ónd de la observarea vie┼úii actuale, care dimpotriv─â, ├«mpiedic─â formarea capacit─â┼úilor intuitive ale individului: R─ât─âci┼úi ├«n labirintul vie┼úii trepidante, dominate de grijile zilnice, hran─â, munc─â, distrac┼úie, computer, telefon, televizor, de nebunie generatoare de stres etc., trebuie s─â ne oferim scurte r─âgazuri de singur─âtate, de lini┼čte exterioar─â pentru a ne putea asculta vocea interioar─â. Singur─âtatea ne poate ajuta s─â d─âm fr├óu liber g├óndirii creatoare, (ÔÇŽ) Lini┼čtea exterioar─â, f─âr─â a fi ÔÇťbombarda┼úiÔÇŁ tot timpul cu impresii din afar─â, acestea pot fi modalit─â┼úi excelente de a ne desc─âtu┼ča intui┼úia.

Am putea ├«n┼úelege de aici doar preocuparea pentru intui┼úia adul┼úilor, crez├ónd c─â copiii sunt feri┼úi de stresul vie┼úii cotidiene. Nimic mai gre┼čit. Reciti┼úi doar ├«nc─â o dat─â lista de mai sus ┼či ve┼úi vedea cu c├óte sunt confrunta┼úi copiii la ora actual─â; haide┼úi s─â lu─âm cazul fericit ├«n care totul e bine ┼či apar doar acestea trei: distrac┼úie, computer, telefon, ce-i drept str├óns ├«ntrep─âtrunse, de obicei ├«ntrep─âtrunse ÔÇťla purt─âtorÔÇŁ prin renumitul smartphone, care este ├«ns─â prezent 24-7, adic─â zi ┼či noapte ├«n via┼úa lor. Ei nu mai au ocazia s─â se plictiseasc─â, s─â-┼či caute o preocupare creatoare. Primul lucru pe care trebuie s─â-l faci este de a observa atent lucrurile, dar pentru asta actualii elevi nu mai au timp, smartphone-ul ┼či al s─âu WhatsApp fiind tot timpul ÔÇťla datorieÔÇŁ, rup├óndu-i constant din orice concentrare. Concluzia ce se impune este n─âucitoare: dac─â dorim ca actualii elevi s─â mai aib─â scurte intervale ├«n care s─â-┼či antreneze ├«n lini┼čte concentrarea, pentru a-┼či trezi intui┼úia, atunci trebuie s─â le oferim astfel de momente la ┼čcoal─â, ├«n timpul orelor. ┼×tiu c─â este pu┼úin, dar altceva nu putem face. P─ârin┼úii oricum i-au abandonat ├«n bra┼úele ÔÇťtelefoanelorÔÇŁ diabolic de inteligente, de cele mai multe ori incon┼čtien┼úi de ce au f─âcut (de aici ├«n continuare internetul face totul; ┼či prietenii care se plictisesc ┼či ├«l b├óz├óie pe copilul conectat tot timpul: cf?, adic─â traducerea din englez─â a lui whats up?).

Cum putem s─â le oferim momente de concentrare ┼či de a observa atent lucrurile ├«n cadrul orelor de matematic─â? Folosind c├ót mai des predarea prin problematizare ┼či asta nu doar ├«n cadrul rezolv─ârii problemelor, ci ┼či ├«n cadrul lec┼úiei, a ÔÇťprezent─âriiÔÇŁ noilor cuno┼čtin┼úe, ce trebuie aduse c├ót mai des sub forma unor ├«ntreb─âri, urmate de scurte perioade de introspec┼úie, de c─âutare a unui posibil r─âspuns din partea elevilor. ┼óin minte dou─â exemple mai speciale ├«n acest sens, ambele de la diferite genera┼úii de clasa a VI-a.

Primul exemplu se refer─â la felul cum ÔÇťscoteamÔÇŁ de la elevi toate construc┼úiile cu rigla ┼či compasul din primul semestru (mediatoarea unui segment, bisectoarea unui unghi, cobor├«rea unei perpendiculare dintr-un punct pe o dreapt─â, ridicarea unei perpendiculare pe o dreapt─â ├«ntr-un punct al s─âu, construirea unui unghi congruent cu un unghi dat, construirea unei paralele la o dreapt─â printr-un punct dat etc., totul f─âr─â echer!). O elev─â din acea clas─â a reu┼čit ÔÇťs─â prind─â ┼čmecheriaÔÇŁ ┼či le g─âsea foarte repede, a┼ča c─â o puneam s─â mai a┼čtepte, poate reu┼česc ┼či al┼úii s─â g─âseasc─â o cale de construc┼úie (ea, p├ón─â ce colegii s─âi se mai g├óndeau, uneori reu┼čea chiar s─â mai g─âseasc─â ├«nc─â o solu┼úie). Dar nu puteam aloca prea mult timp acestei a┼čtept─âri (2-3 minute, cel mult 5 ├«n cazuri foarte importante). O dat─â, fiind mai gr─âbit, am vrut s─â divulg─âm solu┼úia dup─â numai un minut de g├óndire (eleva talentat─â avea deja r─âspunsul ┼či a┼čtepta). ├Än acel moment o alt─â elev─â a s─ârit destul de ÔÇťar┼ú─âgoas─âÔÇŁ: sta┼úi, sta┼úi, numai pu┼úin, s─â apuc─âm ┼či noi s─â g├óndim un pic! (dup─â ce i-am mai l─âsat dou─â minute, ┼či cum nu mai ap─ârea nici o alt─â reu┼čit─â, am prezentat totu┼či solu┼úia la tabl─â) A fost evident─â ├«ns─â dorin┼úa lor de a savura ┼či aceast─â ocazie de a g├óndi, al─âturi de toate celelalte ce le aveau ├«n orele de matematic─â. ├Än┼úeleseser─â problema, nimic nu-i distr─âgea ┼či c─âutau concentra┼úi o cale de solu┼úionare, o idee care s─â le lumineze calea (trebuie s─â men┼úionez c─â la noi ├«n ┼čcoal─â elevii predau telefoanele la ├«nceputul programului, a┼ča c─â ├«n ore acestea nu ├«i distrag).

Al doilea exemplu se refer─â la lec┼úia despre trapez. M─â trezesc eu s─â filozofez ├«n fa┼úa clasei: dac─â t─âiem un triunghi oarecare cu o paralel─â la o latur─â, se ob┼úine un trapez oarecare; dac─â t─âiem un triunghi isoscel paralel cu baza, atunci se ob┼úine un trapez isoscel. La care o elev─â ridic─â m├óna ┼či ├«ntreab─â la fel de filozofic: dac─â dintr-un triunghi isoscel ob┼úinem un trapez isoscel, atunci dintr-un triunghi echilateral se ob┼úine un trapez echilateral? Exist─â a┼ča ceva?

Am reu┼čit s─â m─â redresez destul de repede dup─â micul ┼čoc al acestei ├«ntreb─âri: Da, ├«ntr-un fel. Dac─â t─âiem triunghiul cum trebuie ob┼úinem la trapez trei laturi congruente ┼či baza cea mare dublul celei mici, iar ├«n plus avem ┼či dou─â unghiuri de 60o (discu┼úia a fost mai lung─â de fapt). Acest exemplu ne arat─â cum, obi┼čnui┼úi fiind s─â g├óndeasc─â la generarea lec┼úiilor, elevii devin cu timpul creativi, iar uneori r─âspunsurile lor scot ├«n eviden┼ú─â aspecte la care nici nu te a┼čtep┼úi. Asta poate fi numit─â deja cu adev─ârat creativitate.

Titus Grigorovici, 25.07.2017

Algoritmizare vs. Empirism ÔÇô (1) Exemple aritmetice

├Än rezolvarea problemelor de matematic─â exist─â dou─â c─âi opuse ca atitudine: folosirea unei c─âi cunoscute, sau dimpotriv─â, generarea ÔÇťpe locÔÇŁ a unei c─âi noi, necunoscute. Prima cale ┼úine mai mult de ÔÇťdresajÔÇŁ, de disponibilitatea elevului de a se l─âsa ÔÇť├«ndoctrinatÔÇŁ cu re┼úete de rezolvare preparate de c─âtre altcineva. Dimpotriv─â, a doua cale, specific─â mai mult unor ÔÇťsuflete rebeleÔÇŁ, necesit─â o g├óndire mai activ─â, mai spontan─â.

Prima este mai u┼čor de educat; a doua a fost masiv neglijat─â ├«n ultimii 20-30 de ani, educarea acesteia fiind mare consumatoare de timp ┼či de energie (nici prima nu este foarte lesne de aplicat ├«n mod responsabil fa┼ú─â de g├óndirea elevului, dar ofer─â o aparent─â lini┼čte sufleteasc─â profesorilui lipsit de empatie: eu i-am ar─âtat cum se rezolv─â, acum ┼úine doar de el dac─â ├«nva┼ú─â rezolvarea, adic─â dac─â o memoreaz─â; dac─â altfel nu merge, s─â o toceasc─â!).

Un matematician este ├«ns─â cu adev─ârat bun doar dac─â reu┼če┼čte s─â st─âp├óneasc─â ambele c─âi de generare a unei rezolv─âri, ├«mbin├óndu-le ├«n mod judicios de la o situa┼úie la alta. Accentul eseului de fa┼ú─â este pus pe cea de a doua cale, dar ┼či pe ├«mbinarea potrivit─â de la un caz la altul ├«ntre cele dou─â c─âi antagonice.

*

┼×oareci ┼či oameni. Gospodina se n─âpusti ├«n curtea de serviciu, puse jos cu┼čca de ┼čoareci (era un model vechi ÔÇô o cu┼čc─â cu o trap─â) ┼či strig─â fie-si s─â aduc─â pisica. ┼×oarecele din cu┼čc─â p─ârea s─â ├«n┼úeleag─â miezul acestor gesturi, alerg├«nd ├«nnebunit prin cu┼čc─â, se n─âpustea disperat c├«nd ├«ntr-o parte c├«nd ├«n alta, izbindu-se violent de gratii, ┼či reu┼či, ├«n ultimul moment, s─â se strecoare din cu┼čc─â, disp─âr├«nd imediat ├«n c├«mpul ├«nvecinat. Probabil c─â ├«n partea aceea a cursei exista o deschiz─âtur─â ceva mai larg─â ├«ntre gratii. Gospodina p─âru dezam─âgit─â, ca ┼či pisica ÔÇô de altfel, care a sosit prea t├«rziu. Simpatia mea fusese ├«ns─â ├«nc─â de la ├«nceput de partea ┼čoarecelui, a┼ča c─â mi-a fost greu s─â adresez vreun cuv├«nt de consolare, gospodinei sau pisicii; ├«n schimb, ├«l felicitam, ├«n sinea mea, pe ┼čoarece. El rezolvase o problem─â colosal─â, ┼či d─âduse un excelent exemplu.

A┼ča se rezolv─â problemele. Trebuie s─â ├«ncerci, ┼či iar─â┼či s─â ├«ncerci, p├«n─â ce sesisezi, ├«n cele din urm─â, acea mic─â diferen┼ú─â dintre ÔÇťdeschiz─âturiÔÇŁ, de care depinde totul; trebuie s─â ├«ncerci ├«n toate chipurile, ├«n a┼ča fel ├«nc─ât s─â po┼úi explora toate laturile problemei, fiindc─â nu po┼úi ┼čti dinainte pe ce parte se afl─â acea unic─â deschiz─âtur─â practicabil─â prin care te vei putea strcura.

La ┼čoareci ┼či la oameni, metoda de baz─â este aceea┼či: ├«ncerci, ┼či iar ├«ncerci, ┼či variezi ├«ncerc─ârile ÔÇô ca nu cumva s─â ratezi pu┼úinele posibilit─â┼úi favorabile. Este adev─ârat c─â omul se pricepe, de obicei, mai bine dec├«t ┼čoarecele s─â rezolve probleme. Un om n-are nevoie s─â se n─âpusteasc─â fizic asupra obstacolului ÔÇô o poate face ├«n minte; un om ├«┼či poate varia incomparabil mai mult tentativele, ┼či poate ├«nv─â┼úa mai mult din e┼čecul tentativelor sale, dec├«t o poate face un ┼čoarece. (P├│lya George, Descoperirea ├«n matematic─â, Ed. ┼×tiin┼úific─â, 1971, pag. 165, punctul 11.11)

Am ales acest citat din P├│lya pentru c─â ne pune ├«n fa┼úa unui exemplu ├«n care str─âdania este totul. De aici putem trece la elev, la elevul care este pus ├«n fa┼úa rezolv─ârii unei probleme de matematic─â. Pentru noi, profesorii, se pune ├«ntrebarea ÔÇťcum g├ónde┼čte acesta?ÔÇŁ, cu alternativa ÔÇťeste elevul obi┼čnuit s─â g├óndeasc─â?ÔÇŁ, adic─â ÔÇťs─â se lupte precum ┼čoarecele pentru a rezolva problema?ÔÇŁ. Aceste ├«ntreb─âri (cu multele lor variante ┼či alternative posibile) nasc o serie nou─â de ├«ntreb─âri, ├«ndreptate de data asta asupra noastr─â, a adul┼úilor, profesori sau p─ârin┼úi: ÔÇťeste elevul antrenat s─â g├óndeasc─â?ÔÇŁ, ÔÇťare elevul motiva┼úia s─â g├óndeasc─â?ÔÇŁ, ÔÇťoare, nu a fost elevul obi┼čnuit de acas─â s─â primeasc─â totul dea gata, astfel ├«nc├ót nu cunoa┼čte starea de a te lupta pentru ceva?ÔÇŁ (├«n afar─â de situa┼úia de a face circ ┼či a zbiera ├«n magazin pentru a ob┼úine de la p─ârin┼úi achizi┼úionarea unei juc─ârii?). Pe p─ârin┼úi nu-i putem influen┼úa/educa ┼či, oricum, c├ónd vin elevii la ora de matematic─â r─âul a fost de multe ori deja f─âcut ├«n educa┼úia numit─â generic ÔÇťcei ┼čapte ani de acas─âÔÇŁ. A┼ča c─â, cel mai bine, haide┼úi s─â ne analiz─âm propria noastr─â activitate educativ─â.

*

Drumuri asfaltate ┼či parcursuri off-road. Analiz├óndu-ne propria activitate, propriile g├ónduri din momentul c├ónd trebuie s─â rezolv─âm o problem─â, observ─âm urm─âtoarele dou─â alternative:

  • Pe de-o parte avem probleme pentru care avem deja l─âmurit─â rezolvarea ├«n detaliu, la care avem clar fiecare din pa┼čii care compun ├«ntregul parcurs. Acestea sunt cele pe care le rezolv─âm u┼čor ┼či sigur. Parcurgerea acestor probleme d─â senza┼úia rul─ârii pe un drum asfaltat, ├«n condi┼úii sigure. De multe ori elevii buni sunt considera┼úi cei care reu┼česc s─â stocheze re┼úete de rezolvare la c├ót mai multe tipuri de probleme. Ace┼čtia dau impresia deseori c─â ÔÇťruleaz─âÔÇŁ cu lejeritate pe calea matematic─â, d├ónd impresia c─â, ├«n calea lor, ÔÇťorice drum este asfaltatÔÇŁ.
  • Pe de alt─â parte apar din c├ónd ├«n c├ónd probleme care ├«i ├«ncurc─â ┼či pe cei mai buni rezolvitori. Nimeni nu poate nega asta, nimeni nu poate sus┼úine c─â el nu s-a ├«nt├ólnit cu probleme care s─â-l pun─â ├«n dificultate, s─â-l ├«ncuie ┼či s─â-l blocheze. ├Än parcursul nostru prin problemele de matematic─â, acestea ne apar ca ni┼čte c─âi ce nu au fost dinainte b─ât─âtorite, reprezent├ónd ├«n fa┼úa noastr─â adev─ârate ÔÇťtrasee off-roadÔÇŁ. Mintea rezolvitorului trebuie s─â se comporte aidoma unui vehicul 4×4, poate un ATV, ce trebuie s─â se strecoare cu ├«nd├órjire prin ni┼čte ra┼úionamente nemaiv─âzute ┼či nemai├«nt├ólnite. ├Än astfel de situa┼úii este necesar─â o t─ârie psihic─â solid─â pentru a nu abandona dup─â primele ├«ncerc─âri. Iat─â cum descrie George P├│lya ├«n Descoperirea ├«n matematic─â acel moment de disperare: C├«nd nici una dintre solu┼úiile ├«ncercate nu se potrive┼čte problemei, ne sim┼úim pierdu┼úi, nimic nu ne mai vine ├«n minte (pag. 253, 6. Domeniul de c─âutare).

Un lucru este sigur, anume c─â puterea ┼či ├«nd├órjirea pentru a insista ├«ntr-un astfel de demers nu se educ─â prin problemele din prima categorie. A obi┼čnui elevul doar cu re┼úete de rezolv─âri pre-fabricate este o mare gaf─â educa┼úional─â din punct de vedere a obiectivului de formare a g├óndirii matematice. Totodat─â, a ÔÇťbubuiÔÇŁ constant mintea elevului cu probleme nemaiv─âzute ┼či a sanc┼úiona nerezolvarea acestora ├«i ├«ndep─ârteaz─â clar pe mul┼úi elevi de la matematic─â (├«n func┼úie de psihicul elevului, a sanc┼úiona poate ├«nseamna o not─â proast─â sau sc─âderea notei la lucrare ÔÇô la un elev mai tare; la un elev cu un psihic mai slab, a sanc┼úiona poate s─â ├«nsemne chiar ┼či numai confruntarea cu problema respectiv─â ┼či concluzia acestuia c─â EL nu ┼čtie). Profesorul cu tact se va str─âdui s─â g─âseasc─â ├«n func┼úie de clasa ┼či elevii s─âi o cale conciliant─â ├«ntre cele dou─â linii de lucru extreme, eventual un amestec plin de empatie ├«ntre exemple din tot spectrul posibil (probleme din cele dou─â extreme, dar ┼či exemple intermediare).

Este momentul aici pentru un pic de filozofie: acum putem ├«n┼úelege clar care este diferen┼úa dintre exerci┼úii ┼či probleme. ├Än principiu, exerci┼úiile reprezint─â situa┼úii de rezolvare re┼úetate, pe care elevul trebuie s─â le repete cu mici varia┼úiuni pentru a ┼či le ├«nsu┼či spre dob├óndire automat─â. Dimpotriv─â, problemele reprezint─â situa┼úii de rezolvare nea┼čteptat─â, la care dificultatea provine din diverse surse. O ÔÇťproblem─âÔÇŁ la care totul este clar nu mai reprezint─â o problem─â. Este evident ┼či aspectul subiectiv al discu┼úiei: o situa┼úie de rezolvare poate reprezenta pentru un rezolvitor ÔÇťo problem─âÔÇŁ, pe c├ónd, pentru alt rezolvitor aceasta ÔÇťnu prezint─â nici o problem─âÔÇŁ, fiind doar un simplu exerci┼úiu.

Str─âdania profesorilor de-a lungul timpului a fost s─â ÔÇťtrag─â pe calapodÔÇŁ orice tip de problem─â ce poate ap─ârea mai des ├«n via┼úa elevilor. Confruntat─â cu aceast─â str─âdanie, cele mai multe tipuri se dovedesc a fi re┼úetabile. Imediat ce apar dou─â-trei probleme de un fel, acestea sunt automat re┼úetate. Dar, cum am precizat, re┼úetarea unui tip de probleme nu dezvolt─â neap─ârat g├óndirea elevilor, ci de multe ori doar ofer─â aparen┼úa unor elevi de┼čtep┼úi, ├«n sensul c─â ace┼čtia vor putea face rezolvarea atunci c├ónd sunt confrunta┼úi cu o situa┼úie, cu o problem─â similar─â. Astfel, deseori elevul ÔÇťde 10ÔÇŁ este acela care are voin┼úa (┼či pasiunea) de a-┼či ├«nsu┼či c├ót mai multe astfel de re┼úete, dep─â┼čind pe aceast─â cale limitele de siguran┼ú─â ale problemelor ce pot fi date la examen.

La o analiz─â obiectiv─â se poate ajunge relativ u┼čor la concluzia c─â activitatea unui elev ├«n cadrul matematicii necesit─â educarea ambelor tipuri de probleme, at├ót a celor re┼úetabile, de algoritmizare, c├ót ┼či a celor off-road, cele empirice. Din p─âcate ├«ns─â, analiz─ând modul de predare practicat de peste 30 de ani de c─âtre mul┼úi profesori, se observ─â cu durere ├«n suflet c─â majoritatea educ─â doar prima categorie de probleme. Astfel, la toate concursurile ┼či examenele oficiale, elevul este confruntat ÔÇô ├«n mod subiectiv ÔÇô cu dou─â tipuri de probleme: cele care i-au fost ar─âtate ┼či cele care nu i-au fost ar─âtate; dac─â profesorul i-a ar─âtat de toate, atunci elevul poate vedea lucrurile ┼či astfel: exist─â probleme la care a ┼úinut minte rezolvarea ┼či probleme la care nu ┼či-a mai adus aminte cum se face.

Din p─âcate, tot mai pu┼úin intr─â ├«n preocuparea noastr─â, a profesorilor, str─âdania de a-l obi┼čnui pe elev s─â se lupte cu o problem─â nemaiv─âzut─â, ├«n care apare g├óndirea pur─â. ├Än ultima period─â m-am ocupat destul de mult de acest subiect, cel al problemelor off-road, pentru care nu avem o re┼úet─â de rezolvare. M-am ocupat astfel de probleme, dar ┼či de felul cum a┼č putea educa puterea de g├óndire matematic─â prin ÔÇťpredareÔÇŁ. Aceast─â preocupare o consider foarte important─â mai ales prin prisma felului ├«n care de fapt ├«n mare parte este profund neglijat─â. Cu durere ├«n suflet aflu despre profesori din licee de v├órf care educ─â ÔÇô ┼či la gimnaziu, dar ┼či la clase de real ÔÇô doar ├«nv─â┼úarea pe de rost a rezolv─ârilor, f─âr─â a pune m─âcar un pic accent ┼či pe ├«n┼úelegerea acestora.

De obicei nu exist─â problemede ┬áoff-road complet. Unele probleme au la ├«nceput o parte simpl─â, re┼úetabil─â, dup─â care rezolvarea o ia ÔÇťpe c─âi neb─âtuteÔÇŁ. Dimpotriv─â, alte probleme te arunc─â ÔÇťin the middle of nowhereÔÇŁ (├«n mijlocul unui pustiu, unui vid de experin┼ú─â rezolvatoare), unde nu recuno┼čti nimic cunoscut, dar dac─â faci un pas inspirat s-ar putea s─â ├«ncepi s─â recuno┼čti ÔÇťzonaÔÇŁ ┼či apoi s─â-┼úi dai seama ÔÇťpe unde te afliÔÇŁ ┼či s─â po┼úi aplica elemente din rezolv─âri deja cunoscute. Totu┼či, din c├ónd ├«n c├ónd autorii sau colec┼úionarii mai scot c├óte o problem─â ce iese din toate tiparele de rezolvare, c├óte o problem─â ÔÇťunic─âÔÇŁ ce nu a fost ┼či nici nu merit─â clar a fi re┼úetat─â.

Am g─âsit o astfel de problem─â ├«n culegerea de Consolidare pentru EN 2016-2017 de la Ed. Paralela 45 (pag. 201, Testul 52, Sub. II, 2). Problema ne prezint─â o diagram─â circular─â cu trei sectoare ha┼čurate diferit, pe care sunt trecute procentajele, iar al─âturat numele a trei elevi care au participat la alegerile pentru ┼čefia clasei, ata┼čat fiec─ârui tip de ha┼čur─â. Astfel, avem urm─âtorul text: ├Än clasa a VIII-a B sunt mai pu┼úin de 30 de elevi. La alegerile pentru ┼čeful clasei (unde au votat to┼úi elevii) s-au ob┼úinut urm─âtoarele rezultate: Alexandru ÔÇô 25%, Andrei ÔÇô 35%, Adrian ÔÇô 40%. a) Preciza┼úi numele elevului care a c├ó┼čtigat alegerile; b) Afla┼úi num─ârul elevilor clasei a VIII-a B. (Este evident─â dorin┼úa autorului de a-l ├«ncurca cu orice pre┼ú pe rezolvitor chiar ┼či dac─â ne uit─âm doar la numele celor trei candida┼úi; o variant─â mai ├«n sprijinul scrierii rezolv─ârii ar fi fost Andrei, Barbu ┼či C─âlin cu nota┼úiile A, B ┼či C). ├Äncerca┼úi s─â rezolva┼úi problema (punctul b) ┼či ve┼úi vedea cum aceasta ÔÇťiese din toate tipareleÔÇŁ. Pe oriunde ├«ncerci s─â o iei parc─â nu merge.

├Än amintirea problemei cu 198 date la Simularea EN din 2016, am adunat un mic set de probleme la care eventuala parte re┼úetabil─â este din domeniul scrierii numerelor ├«n baza zece (de exemplu: \overline{ab}=10\cdot a +b sau \overline{abc}=100\cdot a + 10\cdot b +c etc.), dar la care apare de fiecare dat─â un procentaj mai mare sau mai mic de off-road. Cele mai grele sunt desigur cele ÔÇťcu traseu total neasfaltatÔÇŁ. ├Äntre acestea am inserat ┼či exerci┼úii potrivite, adic─â situa┼úii de rezolvare f─âr─â parte offroad, dar care se potrivesc ├«ntregului set. Anul trecut ┼čcolar am oferit acest set de exerci┼úii elevilor de clasa a VIII-a, ├«n momentul c├ónd au ├«nceput s─â se loveasc─â prin teste de exerci┼úii similare, pretextul reprezent├óndu-l chiar problema de la simularea oficial─â din 2016. Exerci┼úii izolate din acesta pot fi date ┼či ├«nainte, dar ca ├«ntreg, ├«nainte de clasa a VII-a acest set merge doar la olimpici. Oricum, eu recomand parcurgerea acestei mici colec┼úii ca ├«ntreg, pe o perioad─â mai scurt─â sau mai lung─â, prin natura lor exerci┼úiile poten┼ú├óndu-se unul pe cel─âlalt (efectul setului ca ├«ntreg dep─â┼če┼čte suma efectelor individuale).

Dup─â parcurgerea acestora v─â recomand s─â face┼úi la fiecare o analiz─â a rezolv─âri din punct de vedere a c─âii urmate: rezolvare dup─â re┼úet─â vs. parcurs off-road. La unele rezolvarea porne┼čte de la ├«nceput, la altele ideile ├«┼úi vin mai degrab─â legate de o posibil─â transformare a concluziei. Probleme grele alterneaz─â cu unele medii sau chiar cu exerci┼úii foarte u┼čoare care doar te fac s─â z├ómbe┼čti. Unele ne apar ca probleme foarte serioase, pe c├ónd altele au un profund caracter de matematic─â distractiv─â, ┼či chiar pot fi folosite ca atare, arunc├ónd astfel o umbr─â de z├ómbet ┼či asupra celorlalte. V─â doresc s─â petrece┼úi un timp c├ót mai pl─âcut ├«n compania acestora. (Ata┼čat g─âsi┼úi setul de probleme ┼či ├«n format PDF, pentru folosirea la clas─â)

C. Titus Grigorovici

*

Probleme aritmetice înrudite sau prietene (198&Co.)

  1. Dac─â \overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=198, demonstra┼úi c─â \overline{abc} este multiplu al lui 9. (din EN ÔÇô Consolidare, 2015-2016, Ed. Paralela 45, pag. 29, ex. 19)
  2. Determina┼úi num─ârul natural format din trei cifre, de forma \overline{abc}, ┼čtiind c─â \overline{abc}=\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}, a\neq 0. (din Simulare la EN pentru clasa a VIII-a 2016, Sub.II, 2)
  3. Determinaţi x din ecuaţia 2\cdot \overline{0,x}+2\cdot \overline{0,0x}=1,98 (sursă necunoscută).
  4. G─âsi┼úi un num─âr de dou─â cifre care ├«nmul┼úit separat cu 2, respectiv cu 9, d─â rezultate de trei cifre r─âsturnate (rezultatul ├«nmul┼úirii cu 2 a num─ârului ini┼úial de dou─â cifre este r─âsturnatul rezultatului ├«nmul┼úirii cu 9 a aceluia┼či num─âr de dou─â cifre, adic─â un num─âr cu acelea┼či trei cifre dar ├«n ordine invers─â).
  5. G─âsi┼úi toate numerele de dou─â cifre \overline{ab} pentru care \overline{ab}+\overline{ba} este p─âtrat perfect. (din B─âl─âuc─â ┼č.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recapitulare Sem.I, pag. 85)
  6. Determina┼úi p─âtratele perfecte de dou─â cifre \overline{ab} la care ┼či numerele a ┼či b sunt p─âtrate perfecte. (din B─âl─âuc─â ┼č.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recap. Sem.I, pag. 87)
  7. Există un număr interesant A de cinci cifre. Cu 1 după el, este de trei ori mai mare decât cu 1 înaintea lui. Care este acest număr? (din Boris A. Kordemsky, 359 Probleme de matematică recreativă, Ed. Paralela 45, 2015, pag. 129. Răspuns: 42857)
  8. ├Änmul┼úirea cu 9 ÔÇťr─âstoarn─âÔÇŁ un num─âr de patru cifre (d─â un num─âr cu acelea┼či cifre dar ├«n ordine invers─â). Care este num─ârul? (din George P├│lya, Descoperirea ├«n matematic─â, pag. 176). Observa┼úie metodic─â: scrierea \overline{abcd}\cdot 9=\overline{dcba}┬áne ajut─â s─â ├«n┼úelegem problema, dar ne poate ├«ncurca r─âu la g─âsirea unei rezolv─âri.
  9. Numerele 144 ┼či 441 sunt p─âtrate perfecte de trei cifre r─âsturnate. Mai exist─â ┼či alte perechi de p─âtrate perfecte de trei cifre r─âsturnate? Verifica┼úi apoi c─â cele dou─â numere de la problema precedent─â sunt p─âtrate perfecte. Mai exist─â ┼či alte perechi de p─âtrate perfecte de patru cifre r─âsturnate?
  10. O împărţire frumoasă: 9801 : 1089 = ?
  11. Un vechi num─âr de magie matematic─â: lua┼úi un num─âr de trei cifre diferite, c├ót ┼či r─âsturnatul s─âu, ┼či face┼úi diferen┼úa dintre acestea (num─ârul mai mare minus cel mai mic). Lua┼úi apoi rezultatul* ┼či aduna┼úi-l cu r─âsturnatul s─âu (* rezultatul primei sc─âderi trebuie s─â aib─â trei cifre; dac─â a avut doar dou─â cifre, pune┼úi cifra sutelor zero ┼či apoi lua┼úi r─âsturnatul s─âu, de trei cifre, cu cifra unit─â┼úilor zero). ├Än final pot ÔÇťghiciÔÇŁ c─â a┼úi ob┼úinut suma 1089. Demonstra┼úi c─â ├«ntotdeauna se ob┼úine acest rezultat. (problema apare ├«n diferite lucr─âri; o surs─â destul de veche a acesteia este lucrarea lui Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery din 1956)
  12. Descompune┼úi ├«n factori numerele 198, 891, 1089 ┼či 9801. Ce observa┼úi?

FisaProblemeAritmetice198&Co.pdf

Jurnalul unei eleve de alt─âdat─â

├Än aceast─â prim─âvar─â a ajuns ├«n ┼čcoala noastr─â, ├«mpreun─â cu o dona┼úie de c─âr┼úi, un carne┼úel misterios. Este ├«mbr─âcat frumos ├«n dou─â r├ónduri de h├órtie (cea exterioar─â e clasica h├órtie de pachete albastru liliachiu ce se mai folosea ├«nc─â prin anii ÔÇÖ80), iar pe prima pagin─â are titlul Albumul copil─âriei scris cu o grafie foarte ├«ngrijit─â, numele unei fete ┼či cl V L.C. (b─ânuiesc c─â e vorba de o fat─â din clasa a V-a de liceu). Ulterior se pare c─â acest carne┼úel a fost ÔÇťpreluatÔÇŁ de c─âtre un b─âiat cu acela┼či nume de familie (poate fratele ei). Carne┼úelul este plin cu ÔÇťde toateÔÇŁ: cca. 40 de pagini cu Souveniruri (scurte catrene) semnate, apoi Horacolul meu completat de c├ó┼úiva prieteni, iar intimit─â┼úile ┼či curiozit─â┼úile v├órstei continu─â inclusiv cu zile de na┼čtere ┼či adrese. Tare s-au mai distrat fetele din ┼čcoala noastr─â c├ónd l-au putut lectura ├«n limbajul a┼ča de vechi, ├«n album fiind date de completare de la ├«nceputul anilor ÔÇÖ40 (primele ├«nsemn─âri din 12-X-1940, iar ultima dat─â trecut─â 22.Iunie 1945)

Pe la jum─âtatea carne┼úelului apare ÔÇťun capitol nouÔÇŁ despre Jocuri sociale, ├«n care apar ┼či problemu┼úe cu caracter matematic (urmeaz─â apoi o parte cu C├óntece ┼či ultima cu Epigrame, epitafe ┼či hore). Dintre problemu┼úe am ales c├óteva ca exemple cu distrac┼úii intelectuale din vremurile de mult apuse. Desigur, unele erau mai serioase, altele mai ÔÇŽ neserioase. Le redau c├ót se poate de fidel, inclusiv cu r─âspunsurile ├«n finalul fiec─âruia.

  1. C├ó┼úi solda┼úi au fost? Cu ocazia recrut─ârii, la un regiment s-au prezentat mai mul┼úi solda┼úi. Ca s─â-I duc─â la baie plutonierul i-a a┼čezat ├«n r├ónd c├óte doi ├«ns─â a r─âmas unul stingher ├«n flancul st├óng, atunci i-a a┼čezat ├«n r├ónd c├óte trei ├«ns─â a r─âmas iar─â┼či unul stingher. I-a pus atunci ├«n r├ónd de c├óte patru ├«ns─â iar─â┼či r─âmase unul stingher, atunci ├«i puse c├óte 5 ├«ns─â r─âmase din nou unul stingher, cu 6 la fel r─âmase unul. ├Än sf├ór┼čit c├ónd ├«i pune c├óte 7 a aflat c─â nu a mai r─âmas nici un recrut ├«n flancul st├óng. C├ó┼úi solda┼úi au fost? (R─âspuns: 301)

Urmeaz─â diverse alte ├«ntreb─âri ce nu merit─â reluate, fie prea cunoscute (de exemplul cea cu melcul care urc─â ziua ┼či alunec─â noaptea), fie nu chiar de matematic─â (de pild─â jocuri cu chibrite aranjate sau cu c─âr┼úi de joc). Exist─â ┼či altele ce le cunosc din c─âr┼úi vechi de matematic─â distractiv─â sau magie matematic─â, pe care le voi prezenta cu alte ocazii.

  1. C├ót face 1000 grame ┼či 100 centimetrii? R─âspuns: 1 kilometru.
  2. Lua┼úi 9 bilete cu numerele de la 1 la 9 ┼či a┼čezai-le astfel ├«nc├ót totalul punctelor s─â dea 100. R─âspuns: 15┬á+┬á36┬á+┬á47┬á+┬á2┬á=┬á100.
  3. Marca┼úi num─ârul 100 prin patru cifre; dar prin 6 cifre. R─âspuns: 99 ┼či 3/3; 99 ┼či 30/30 (scrie┼úi r─âspunsul ca frac┼úie mixt─â cu ├«ntregi ┼či parte ÔÇťfrac┼úionar─âÔÇŁ)
  4. Alta cu 1: Se cere ca 111111 = 12, cum? Răspuns: 11 + 11/11 = 12
  5. Cifre: Din num─ârul 12345678 aduna┼úi a┼ča fel ca s─â ob┼úine┼úi 9999. R─âspuns: 1234┬á+┬á8765┬á=┬á9999.
  6. Alta cu cifre: Avem la dispoziţie cifrele 123456789. Cu ele trebuie să obţinem 100 fără fracţii. Cum? Răspuns: 9 x 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100.
  7. Alte sute: 1┬á+┬á(2┬áx┬á3)┬á+┬á4┬á+┬á5┬á+┬á67┬á+┬á8┬á+┬á9┬á=┬á100. Forma┼úi o sut─â din utilizarea ├«n ordine a cifrelor 1,2,3,4,5,6,7,8,9 prin alte dou─â metode. R─âspuns: (1┬áx┬á2)┬á+┬á34┬á+┬á56┬á+┬á7┬áÔÇô┬á8┬á+┬á9┬á=┬á100, sau 1┬á+┬á(2┬áx┬á3)┬á+┬á(4┬áx┬á5)┬áÔÇô┬á6┬á+┬á7┬á+┬á(8┬áx┬á9)┬á=┬á100.
  8. Jocul paharelor: A┼čeza┼úi 3 pahare pe mas─â ├«n linie dreapt─â astfel: cele de la margine cu gura ├«n jos, iar cel din mijloc cu gura ├«n sus. E vorba s─â se ia mereu c├óte 2 pahare ┼či s─â fie r─âsturnate. Dup─â trei astfel de r─âsturn─âri, cele trei pahare trebuie s─â se afle toate cu gura ├«n sus. R─âspuns: singurul fel da a reu┼či este urm─âtorul (plus varianta simetric─â).

Prima mi┼čcare: r─âsturna┼úi paharul din mijloc ┼či cel din st├ónga;

A doua mi┼čcare: r─âsturna┼úi cele dou─â pahare dela margine;

A treia mi┼čcare: r─âsturna┼úi pe cel din mijloc ┼či pe cel din st├ónga.

  1. Picioare: Cineva s-a ├«nt├ólnit cu o femeie care ducea ├«ntr-un co┼č 4 ra┼úe, 3 g├ó┼čte ┼či doi iepuri de cas─â la t├órg de v├ónzare. C├óte picioare mergeau ├«n total la t├órg? R─âspuns: numai dou─â, c─âci restul erau duse de femeie la t├órg.

Un elev de alt─âdat─â

Predarea intuitiv─â ÔÇô alte aspecte ┼či exemple

Predarea intuitiv─â a fost ├«nl─âturat─â din orele de matematic─â ├«ntr-un proces ce a pornit ├«n jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu ├«n 1978, respectiv la gimnaziu ├«n 1981) ┼či prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lung─â durat─â, desf─â┼čur├óndu-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, ├«ndeplinirea fiind impus─â de c─âtre ┼či prin intermediul inspectorilor ┼čcolari. ├Än noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare ┼či rigurozitate, iar ├«n manuale introducerea noilor no┼úiuni ap─ârea uneori pe c─âi nemaiv─âzute (pentru profesori) ┼či de ne├«n┼úeles (pentru elevi): pe profesori, unele din nout─â┼úi ├«i l─âsau cu gura c─âscat─â chiar ├«n sens pozitiv; ┼či pe elevi noile c─âi ├«i l─âsau cu gura c─âscat─â, dar ├«n sens negativ, adic─â nu ├«n┼úelegeau nimic (sau, mai exact, num─ârul celor care ├«n┼úelegeau ┼či f─âceau fa┼ú─â a sc─âzut dramatic!). Vechiile c─âi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de c─âtre metodi┼čti de carier─â ┼či verificate ├«n practic─â de c─âtre profesori printr-un sim┼ú psiho-pedagogic natural s─ân─âtos, prezentau un raport optimizat ├«ntre ├«n┼úelegerea intuitiv─â de c─âtre elevi ┼či formarea g├óndirii matematice specifice respectivelor lec┼úii. Dup─â aceast─â reform─â, reforma ÔÇťdin 1980ÔÇŁ, uitat─â actualmente de majoritatea profesorilor, dup─â aceast─â reform─â intui┼úia elevului ┼či formarea g├óndirii sale de c─âtre profesor au fost ├«nl─âturate dintre obiectivele pred─ârii matematicii, preocuparea principal─â din punct de vedere a autorit─â┼úilor concentr├óndu-se pe predarea riguroas─â conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic ├«n comun cu metodica natural─â a pred─ârii la v├órstele gimnaziale ┼či liceale. ├Än esen┼ú─â putem spune c─â formarea g├óndirii elevului a fost ├«nl─âturat─â din centrul aten┼úiei profesorimii, ├«n locul acesteia ├«ntron├óndu-se ÔÇť├«n lumina reflectoarelorÔÇŁ matematica ├«ns─â┼či, rece, egocentrist─â, accesibil─â doar unui num─âr extrem de restr├óns de elevi capabili a o ├«n┼úelege.

Nici profesorii n-o prea ├«n┼úelegeau, ┼či o vreme chiar s-au ├«mpotrivit curentului. Dar, cu timpul, to┼úi au acceptat noul trend, ├«n┼úeleg├ónd p├ón─â la urm─â orice lec┼úie pe noul sistem, dup─â c├ó┼úiva ani de ├«ncerc─âri ajung├ónd s─â fie convin┼či de ÔÇťjuste┼úeaÔÇŁ acesteia. Problema este c─â elevul nu are la dispozi┼úie mai mul┼úi ani pentru a ├«n┼úelege o lec┼úie; el nu are la dispozi┼úie mai mul┼úi ani nici fizic (!) ┼či nici temperamental (!). Elevul ├«n┼úelege o lec┼úie, sau nu o ├«n┼úelege! Gata! Nu-i po┼úi preda o lec┼úie de ne├«n┼úeles, cer├«ndu-i s─â stea lini┼čtit c─â o va ├«n┼úelege peste trei ani. A┼ča ceva este absurd. C─â se mai ├«nt├ómpl─â izolat c├óte o astfel de situa┼úie, mai merge, dar s─â ai un sistem de ├«nv─â┼ú─âm├ónt care generalizeaz─â respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ie┼čiri din situa┼úia ├«n care a fost ├«mpins exist─â doar dou─â: ori abandoneaz─â demersul, impulsul natural de a ├«n┼úelege matematica, ori d─â fuga la un profesor particular, care-i va explica no┼úiunea respectiv─â ÔÇťaltfelÔÇŁ, adic─â pe mintea lui. Pricepem ├«n acest moment de unde vine dezvoltarea exploziv─â a sistemului de ore particulare la v├órste tot mai mici (dup─â profesorii de liceu au ├«nceput medita┼úiile la gimnaziu, iar dup─â ace┼čtia s-au luat ┼či ├«nv─â┼ú─âtorii), ├«n paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN ┼či la BAC (elevi la care nu exist─â de fapt ├«n spate for┼úa familiei).

P├ón─â prin 2000 acest trend de predare a fost ÔÇťpe valÔÇŁ, stare alimentat─â ├«n subcon┼čtient de ideea impus─â pe parcursul anilor ÔÇÖ80 c─â ar exista o leg─âtur─â ├«ntre rigurozitatea excesiv─â a pred─ârii ┼či rezultatele la diferitele concursuri ┼či olimpiade. ┼óin minte din anii ÔÇÖ90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozit─â┼úi (v─â mai aduce┼úi aminte de unghiul plan corespunz─âtor diedrului?). De abia cu sc─âderea tot mai puternic─â a disponibilit─â┼úii elevilor pentru aceast─â ÔÇťtortur─â intelectual─âÔÇŁ au ├«nceput s─â se aud─â ┼či apoi s─â se ridice tot mai tare voci ├«mpotriva ÔÇťmatematicii mult prea greleÔÇŁ din ┼čcoli.

├Än acest context este evident─â str─âdania reparatorie a comisiei condus─â de c─âtre Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua program─â pentru clasele gimnaziale, care va intra ├«n func┼úiune ├«ncep├ónd cu clasa a V-a ce porne┼čte ├«n septembrie 2017. Haide┼úi s─â mai arunc─âm c├óteva priviri printre r├óndurile lui George P├│lya din ┬áDescoperirea ├«n matematic─â, v├ón─ând citate despre folosirea intui┼úiei ├«n predare.

├Än capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propus─â o ÔÇťtem─â de cercetareÔÇŁ ce are ca finalitate renumita formul─â a lui Euler, rela┼úia dintre num─ârul fe┼úelor, a muchiilor ┼či a v├órfurilor unui poliedru: F┬á+┬áV┬á=┬áM┬á+┬á2. Pe parcursul ra┼úionamentului, la pag. 351, g─âsim urm─âtoarele r├ónduri: (ÔÇŽ) Pentru varia┼úie, s─â facem acum mai ├«nt├«i suma unghiurilor care au ca v├«rf un acela┼či v├«rf al poliedrului. Nu ┼čtim c├«t face exact aceast─â sum─â, dar ┼čtim c─â ea este sigur mai mic─â dec├«t 2¤Ç, unghiul plan maxim. (A┼čadar, ne limit─âm acum, ├«n mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar pute┼úi c─âuta ├«n Euclid XI 21, unde g─âsi┼úi o demonstra┼úie.) (ÔÇŽ) Consider c─â exemplul respectiv nici m─âcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar ├«ntrebarea din spatele pred─ârii intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clas─â, ┼či prin ce metode, la fiecare v├órst─â ┼či ├«n fiecare context separat.

Predarea intuitiv─â nu ├«nseamn─â ├«ns─â o predare superficial─â a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului ÔÇťse vede c─â-i a┼ča!ÔÇŁ. Fenomenul intuitiv reprezint─â baza ra┼úionamentului matematic ├«n 99,99% din cazuri ┼či trebuie tratat cu foarte mult─â responsabilitate, pentru a nu conduce la o ├«nv─â┼úare superficial─â, tocilar─â a matematicii. ├Än cadrul capitolului 14, la pag. 333 g─âsim urm─âtoarele r├ónduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urm─âre┼čte cunoa┼čterea bine organizat─â trebuie s─â fie atent, ├«n primul r├«nd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie s─â apar─â de nic─âieri, sau din nimic, (Doamne c├ó┼úi profesori procedeaz─â astfel la ora actual─â ├«n licee!*) ci trebuie s─â fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur ┼či cuno┼čtin┼úele existente, cu experien┼úa de fiecare zi ┼či curiozitatea ├«nn─âscut─â a elevului.

Mai mult, dup─â ce noul fapt a fost ├«n┼úeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simpl─â a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate ┼či puse ├«n lumin─â anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel pu┼úin, a┼ča se a┼čteapt─â elevul!*)

La r├óndul s─âu, elevul ambi┼úios trebuie sprijinit s─â studieze cu cea mai mare aten┼úie fiecare fapt nou: trebuie s─â-l ├«ntoarc─â pe toate fe┼úele, s─â-l considere sub diferitele lui aspecte, s─â-l scruteze sub toate unghiurile, ┼či s─â se str─âduiasc─â s─â-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cuno┼čtin┼úele deja existente ÔÇô adic─â acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele ├«nrudite. Numai atunci el va fi ├«n situa┼úia de a putea ├«n┼úelege noul element de cunoa┼čtere cu minim efort ┼či ├«n modul cel mai intuitiv. (ÔÇŽ)

(8) Ca profesori devota┼úi profesiunii, trebuie s─â ┼čtim s─â ancor─âm un fapt nou ├«n bagajul cognitiv al elevului, s─â-l corel─âm cu faptele ├«nv─â┼úate anterior, s─â-i consolid─âm asimilarea prin aplica┼úii ├«n cazuri concrete. Numai cunoa┼čterea bine ancorat─â, bine corelat─â, bine consolidat─â, bine organizat─â ├«n intelectul elevului, – numai o astfel de cunoa┼čtere putem spera c─â va deveni, ├«n cele din urm─â, cunoa┼čterea intuitiv─â.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! ├«n cadrul textului lui P├│lya cu g├óndul la mul┼úii colegi care ac┼úioneaz─â ca ni┼čte mici dumnezei, ├«ncerc├ónd s─â creeze lec┼úia din nimic, dup─â un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde ├«n clasa a VI-a ap─ârea urm─âtoarea defini┼úie: Aria unui triunghi este, prin defini┼úie, semiprodusul bazei cu ├«n─âl┼úimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se define┼čte, ea se deduce printr-un amestec s─ân─âtos de logic─â ┼či intui┼úie, put├ónd eventual purta titlul de teorem─â. Nici m─âcar aria dreptunghiului sau cea a p─âtratului nu se definesc, ele fiind de fapt ni┼čte ra┼úionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai u┼čor, altele mai greu. C├ó┼úi profesori procedeaz─â ┼či acum la clas─â ├«n acest fel, juc├óndu-se dea Dumnezeul cu g├óndirea elevului! Iar elevii ├«nva┼ú─â pe de rost ÔÇťkilograme ├«ntregi de matematic─âÔÇŁ f─âr─â s─â-i ├«n┼úeleag─â sensul ┼či logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor rela┼úiilor trigonometrice f─âr─â a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

├Än acest moment m─â simt obligat s─â fac totu┼či o observa┼úie despre un aspect ÔÇťnevralgicÔÇŁ al comentariilor metodologice la noua program─â de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugereaz─â c─â predarea intuitiv─â ┼či-ar avea locul ┼či ar fi ├«ndrept─â┼úit─â ├«n clasele V-VI, dar c─â ├«ncep├ónd din clasa a VII-a se poate renun┼úa c├ót de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: ├Än clasa a VII-a se realizeaz─â trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate ├«n clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor propriet─â┼úi ┼či la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi gre┼čit dac─â profesorii ar ├«n┼úelege prin aceasta o rupere brusc─â de la un an la altul ├«n privin┼úa folosirii intui┼úiei. (Oare, de ce exist─â acest impuls ├«n mintea profesorilor de matematic─â, impuls de a pune ├«n calea elevilor diferite trepte greu de trecut, dup─â principiul ÔÇťde-acum se schimb─â foaia, gata cu leneveala!ÔÇŁ; de ce nu putem organiza totul ├«ntr-un proces de cre┼čtere continu─â f─âr─â ┼čocuri?) Dimpotriv─â, se pot g─âsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate v├órstele ┼čcolare, exist├ónd numeroase exemple chiar ┼či ├«n clasele de final a liceului. Da, sunt de acord c─â ├«ncep├ónd din clasa a VII-a se pot introduce treptat (┼či chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescut─â, dar fenomenul intuitiv ├«┼či are ├«n continuare locul s─âu natural ├«ntr-o predare vie ┼či s─ân─âtoas─â, chiar ┼či ├«n clasele mai mari.

C. Titus Grigorovici, 10.07.2017

Câte piese are un puzzle de 100 de piese?

Pentru c─â, sta┼úi lini┼čti┼úi, nu prea poate s─â aib─â exact 100 de piese. De ce? P─âi, pentru c─â num─ârul 100 nu poate fi scris ca produs de dou─â numere diferite reprezent├ónd lungimea ┼či l─â┼úimea unui dreptunghi obi┼čnuit, adic─â cu un raport ├«ntre ele undeva ├«n jurul lui 1,5.

Cred că între timp vă merg rotiţele creierului la turaţie maximă. Într-un puzzle simplu pentru copii de 6 ani poate sta ascunsă atâta matematică?  100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 = 10 x 10. Dar ultima variantă nu este bună ca dreptunghi, că e pătrat, iar celelalte sunt dreptunghiuri prea lungi. Deci, câte piese are de fapt un astfel de puzzle?

Toat─â povestea a ie┼čit la iveal─â c├ónd fic─â-mea a c─âutat un puzzle de c├ónd era copili┼ú─â, ca s─â-l ducem cadou ├«n vizit─â unei feti┼úe de 7 ani. A venit cu un puzzle nem┼úesc foarte frumos, cu prin┼úesa Ariel, ┼či s-a g├óndit s─â-l verifice dac─â este complet. A┼ča c─â i-a num─ârat piesele ┼či ÔÇô surpriz─â! ÔÇô i-au ie┼čit 104 buc─â┼úi. Or fi ┼či buc─â┼úi de la alt puzzle? Hai s─â vedem, a┼ča c─â s-a apucat s─â-l fac─â. ┼×i iar─â┼či surpriz─â, puzzle-ul era complet ┼či avea exact 104 piese. P─âi, cum? P─âi, simplu: 104┬á=┬á13┬áx┬á8 (se vedea ┼či num─âr├ónd lungimea ┼či l─â┼úimea, se poate deduce ┼či descompun├ónd num─ârul 104 ┼či combin├ónd factorii ├«n dou─â produse). Iar 13 cu 8, luate ca lungime ┼či l─â┼úime, dau un raport de dreptunghi frumos, 13┬á:┬á8 = 1,625 foarte aproape de num─ârul de aur 1,618 (asta nu i-am explicat fiicei noastre). Repede am ├«nceput s─â c─âut─âm ┼či alte aproxim─âri. De pild─â, num─ârul 96 = 12┬áx┬á8 are aproximarea 1,5 destul de bun─â ┼či aceasta.

De aici se nasc dou─â ├«ntreb─âri. Prima este: ce se ├«nt├ómpl─â la celelalte variante de puzzle-uri? Cum st─â treaba la puzzle-urile de 500 sau la cele de 1000 de buc─â┼úi? Poate acolo exist─â variant exacte (1000 = 40┬áx┬á25?). Sau dac─â nu, din nou c├óte piese are un puzzle de 1000 de piese? Dac─â ├«l avem f─âcut, r─âspunsul este u┼čor, dac─â nu, vai de noi!

A doua ├«ntrebare: la ce v├órst─â, ├«n ce clas─â ar fi bun─â aceast─â problem─â ÔÇťde cercetareÔÇŁ? ┼óin├ónd cont c─â avem aria dreptunghiului ┼či descompunerea numerelor ├«n factori, trebuie s─â fim spre finalul clasei a V-a. Dac─â vrem s─â implic─âm ┼či ideea de raport, atunci trebuie s─â mai a┼čtept─âm, undeva ├«n semestrul II al clasei a VI-a. Dac─â ├«n┼úelegem c─â este vorba de fapt de asem─ânarea dreptunghiurilor, atunci ne g├óndim la clasa a VII-a. Eu a┼č ├«nclina pentru aceast─â ultim─â variant─â; r─âm├óne de stabilit c├ónd, dup─â sau ├«naintea lec┼úiei despre asem─ânarea triunghiurilor? Ambele variante au avantajele lor. Fiica noastr─â tocmai ce a terminat clasa a VII-a.

Asem─ânarea dreptunghiurilor este o asem─ânare mai simpl─â, pentru c─â nu implic─â ┼či unghiurile. Mai mult, din punct de vedere a rapoartelor implic─â o simpl─â propor┼úie, nu un ┼čir de trei rapoarte egale. Deci, ideea de asem─ânare poate fi dedus─â din ├«ntrebarea de titlu, pe baza figurii celei mai des folosite ├«n via┼úa de zi cu zi, anume dreptunghiul, ca un preambul, dup─â care, ├«n ora urm─âtoare vine lec┼úia de asem─ânare a triunghiurilor.

Se poate urma ┼či ordinea opus─â: parcurgem asem─ânarea triunghiului cu toate problemele sale, iar apoi c├óndva, ulterior (poate ├«nainte de vacan┼ú─â, c├ónd nimeni nu mai are chef de lec┼úii serioase) le punem elevilor aceast─â ├«ntrebare. Din discu┼úii deducem ├«ncet c─â este vorba de asem─ânarea dreptunghiurilor (uneori ┼či elevii ├«ntreab─â dac─â exist─â doar asem─ânarea triunghiurilor, sau asta se ├«nt├ómpl─â ┼či la patrulatere?). ├Än acest caz putem observa c─â aici vorbim de un raport ÔÇťautocomparativÔÇŁ, ├«ntre dou─â laturi ale aceleia┼či figuri, nu ca la asem─ânare unde avem raportul ÔÇťde asem─ânareÔÇŁ ├«ntre elementele corespunz─âtoare din dou─â figuri.

Elevii pot primi ca tem─â de durat─â rug─âmintea de a studia cum stau lucrurile concret la diferite puzzle-uri ce le au acas─â sau le g─âsesc la cuno┼čtin┼úe. Astfel, brusc matematica iese din caiete ┼či manuale, relev├óndu-se ca activ─â unde nici nu te a┼čteptai. A┼ča c─â, de acum ├«nainte uita┼úi-v─â mai cu aten┼úie la puzzle-uri.

Familia Grigorovici în vacanţă

Scrisoare c─âtre p─ârin┼úi ┼či profesori prea ambi┼úio┼či

De cur├ónd am g─âsit pe Republica o postare deosebit─â. Permite┼úi-mi s─â o reiau integral. Scurta povestire se nume┼čte Primul meu e┼čec: p├ón─â ├«ntr-a VIII-a am fost cel mai bun din ┼čcoal─â, dar c├ónd am dat examenul de Capacitate am c─âzut┬á┼či este semnat─â de Vasi R─âdulescu (postarea este din 28.06.2017, din perioada ulterioar─â examenului de Evaluare Na┼úional─â de la finalul gimnaziului).

P├ón─â la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a am fost cel mai bun din ┼čcoala mea micu┼ú─â. Urma Examenul de Capacitate ┼či to┼úi se a┼čteptau s─â iau printre primii. Ei bine, nu ┼čtiu ce s-a ├«nt├ómplat cu mine la examenul ─âla.

C├ónd s-au afi┼čat rezultatele ┼či-am v─âzut nota final─â, nu mi-a venit s─â cred. Nu numai c─â nu urma s─â intru la prima clas─â de mate-info din liceul cel mai bun din ora┼č, ci exista riscul s─â nu prind mate-info. Am plecat acas─â z─âp─âcit ┼či n-am avut curaj s─â dau ochii cu ai mei. M-am dus undeva, ├«n spatele casei, mi-am luat capul ├«n m├óini ┼či-am pl├óns ├«n hohote. Apoi, ud pe fa┼ú─â, am zis totu┼či s─â arunc adev─ârul. Mama s-a cutremurat, a┼čtept─ârile erau altele, am dezam─âgit, nu a mai vorbit cu mine, am f─âcut-o de r├ós.

Vacanţa aia a fost o porcărie în care am căzut psihic. Am intrat la a treia clasă de mate-info, m-am remontat cu greu, am fost iar primul până la finele liceului.

C├ónd m─â g├óndesc retrospectiv, ├«mi dau seama c─â lucrurile s-au petrecut a┼ča pentru c─â a┼ča trebuia s─â se ├«nt├ómple. Un e┼čec e o lec┼úie. Dac─â sunte┼úi p─ârin┼úi ┼či copiii vo┼čtri au luat note mai mici dec├ót v─â a┼čtepta┼úi, nu-i nicio tragedie. Nu trece┼úi cu ghetele peste sentimentele lor. Sta┼úi aproape ┼či fi┼úi convin┼či c─â totul va fi bine oricum, chiar dac─â nu au prins cel mai bun liceu sau cea mai bun─â clas─â.

N-a┼č miza nici pe pozi┼úia de frunta┼č ├«n clas─â. Pe mine nu m-a ajutat cu nimic ┼či-am avut de suportat multiple antipatii, orgolii, vorbe. Fiecare om ├«nva┼ú─â toat─â via┼úa ┼či trebuie s─â profite de ┼čcoal─â, de timpul liber, de conexiunile umane, toate pentru a deprinde informa┼úii, aptitudini, experien┼ú─â. Chiar dac─â nu e┼čti primul, tot po┼úi ajunge un inginer str─âlucit. Sau un scriitor. Sau medic de top. Conteaz─â s─â depui munc─â, s─â perseverezi, s─â nu renun┼úi la primele hopuri avute, s─â ai ├«ncredere c─â lucrurile se vor a┼čeza, cu energie din partea ta ┼či din alte p─âr┼úi. E┼čecuri vor mai fi, succese la fel.

Fi┼úi al─âturi de copiii vo┼čtri ┼či, indiferent de rezultate, nu trece┼úi cu ghetele alea butuc─ânoase peste sufletele lor. Educa┼úia e un fir continuu al vie┼úii, nu e un examen.

C├ót timp exist─â educa┼úie continu─â, bun sim┼ú, respect, munc─â, poft─â de cultur─â, aplecare spre frumos, dorin┼ú─â de a cunoa┼čte versiuni superioare ale propriilor persoane, p─ârin┼úi mi┼čto, profesori excelen┼úi, copiii vor merge ├«n direc┼úia bun─â ┼či vor ajunge bine de tot.

Mama s-a prins repede c─â a reac┼úionat gre┼čit atunci. M-a sprijinit cu medicina, am intrat aici f─âr─â emo┼úii, am terminat-o, mi-am f─âcut ┼či reziden┼úiatul ┼či-am ajuns medic medic, adic─â specialist. Tot un ÔÇ×mucule┼úÔÇŁ, dac─â m─â ├«ntreba┼úi pe mine. Dar era ┼či visul meu, ┼či-al ei; ├«┼či dorise s─â devin─â doctori┼ú─â, nu a reu┼čit din motivele vremurilor apuse pline de greut─â┼úi, am reu┼čit eu, cumva ┼či pentru ea.

Cum ziceam, lucrurile pe undeva se a┼čaz─â.

Aceast─â scurt─â povestire ├«mi aduce aminte de o scrisoare sub forma unui filmule┼ú, ce mi-a parvenit ├«n urm─â cu jum─âtate de an printr-o cuno┼čtin┼ú─â. Un director din Singapore a scris urm─âtoarea scrisoare c─âtre p─ârin┼úii ┼čcolii:

Examin─ârile copiilor dvs. vor ├«ncepe ├«n cur├ónd. ┼×tiu c─â sunte┼úi foarte agita┼úi pentru copilul dvs. ca s─â reu┼čeasc─â bine. Dar, v─â rog s─â ┼úine┼úi minte, ├«ntre elevii care vor da examenul, exist─â un viitor artist care nu are nevoie s─â ├«nteleag─â matematica; exist─â un viitor antreprenor care nu se intereseaz─â despre istorie sau literatur─â; exist─â un viitor muzician ale c─ârui note la chimie nu conteaz─â; ├«ntre ei este ┼či un viitor sportiv al c─ârui antrenament fizic este mult mai important dec├ót fizica.

Dac─â copilul dvs. ob┼úine note mari, e minunat! Dar, dac─â nu ob┼úine note bune, v─â rog s─â nu le distruge┼úi ├«ncrederea ├«n sine ┼či demnitatea. Spuneti-le c─â este doar un examen! Pe ei ├«i asteapt─â oricum realiz─âri mai mari ├«n via┼ú─â. Spune┼úi-le c─â nu conteaz─â nota, c─â ├«i ve┼úi iubi oricum ┼či nu ├«i ve┼úi judeca.

V─â rog s─â face┼úi asta, iar c├ónd le-o spune┼úi privi┼úi-i de fapt ca fiind ├«n proces, ├«n timp ce cuceresc lumea. Un examen sau o not─â slab─â nu le va confisca visele ┼či talentele. ┼×i v─â rog din suflet, nu v─â g├óndi┼úi c─â doctorii ┼či inginerii sunt singurii oameni ferici┼úi din lume. Cu salut─âri calde, Directorul dvs. (traducere liber─â dup─â Letter to parents, de g─âsit ├«n original la adresa https://youtu.be/7jRRxhWuTEQ)

Cred c─â nu mai este nimic de comentat (q.e.d.). Sau? ├Än urma celei de-a doua scrisori m─â g├óndesc doar la faptul c─â presiunea exercitat─â prin intermediul examenelor asupra copiilor este uria┼č─â ├«n multe ┼ú─âri. Exist─â ├«ns─â ┼či ┼ú─âri care au reu┼čit s─â vindece aceast─â boal─â. Exist─â ┼ú─âri care nici n-au avut aceast─â boal─â, dar la care ÔÇ×virusulÔÇŁ ├«ncepe s─â se ia, pu┼úin c├óte pu┼úin, prin tot felul de test─âri, cum ar fi de pild─â Studiul PISA. Toate aceste test─âri ┼či examin─âri ar trebui s─â foloseasc─â la ceva, dar ajung s─â devin─â ele ├«ns─â┼či obiectivul vie┼úii multor familii. Lumea nu pricepe c─â nu exist─â nici o garan┼úie a succesului ├«n via┼ú─â prin promovarea cu succes a examenelor. Exist─â studii care arat─â reparti┼úia absolut echilibrat─â ├«n via┼ú─â a celor patru variante logice: elev tare + adult tare; elev tare + adult slab; elev slab + adult tare; elev slab + adult slab, prin tare sau slab ├«n┼úeleg├ónd de succes, respectiv opusul acestei st─âri (whatever ce-o fi ├«nsemn├ónd acestea variind de la o situa┼úie la alta). Via┼úa este compus─â ┼či determinat─â din mult mai mult dec├ót nota, respectiv reu┼čita prezen┼úei la examene, examene ce verific─â o felie at├ót de mic─â din tot ce ├«nseamn─â activitatea ┼či via┼úa unui om. Sigur, trebuie s─â ne sprijinim copilul ├«n preg─âtirea examenului, dar totodat─â trebuie s─â r─âm├ónem cu picioarele pe p─âm├ónt ┼či s─â nu ne l─âs─âm du┼či de valul ambi┼úiilor personale proiectate asupra copilului. M─â g├óndesc, de pild─â, la exemplul acela stupid de prin prim─âvar─â cu o doamn─â (medic?) care a fost dec─âzut─â din drepturile p─ârinte┼čti pentru c─â ┼či-a znopid copilul ├«n b─âtaie fiindc─â acesta refuza s─â mearg─â la o olimpiad─â. De aceast─â dram─â s-a auzit ├«n pres─â, dar c├óte astfel de drame mute se petrec ├«n jurul nostru, asta nu mai afl─âm.

Un alt studiu de lung─â durat─â de care am auzit a urm─ârit ├«n mare secret modul ├«n care s-au realizat ├«n via┼ú─â un num─âr mare de copii la care s-a constatat un IQ ridicat, ÔÇ×de geniuÔÇŁ. Reparti┼úia constatat─â ulterior a realiz─ârii ├«n via┼ú─â a acestora a fost absolut nerelevant─â: de la ┼čofer de taxi p├ón─â la general de nivelul cel mai ├«nalt (generalul american Colin Powell) subiec┼úii acestui studiu erau repartiza┼úi prin tot spectrul social, ca ┼či cum n-ar fi fost ale┼či ÔÇ×pe spr├óncean─âÔÇŁ s─â devin─â viitori mari … . Vedem de aici c─â nici m─âcar test─ârile de inteligen┼ú─â secrete nu au mare relevan┼ú─â. Oricum, ├«n acest sens merit─â amintit─â l─ârgirea spectrului no┼úiunii de inteligen┼ú─â realizat─â prin anii ┬áÔÇÖ90, prin a┼ča-numitele inteligen┼úe multiple, inteligen┼úa social─â, inteligen┼úa emo┼úional─â etc.

Acestea ar fi c├óteva aspecte despre exager─ârile societ─â┼úii la momentul examin─ârii, adic─â a unui final de etap─â, desigur prin prisma accederii ├«n urm─âtoarea etap─â pe baza rezultatelor acestei examin─âri. La ├«nceputul drumului, prin lipsa unei examin─âri, accederea la o institu┼úie de ├«nv─â┼ú─âm├ónt mai bun─â cap─ât─â uneori valen┼úe n─âucitoare. ├Än acest sens a scris despre starea actual─â a lucrurilor Raluca Ion pe Republica, ├«n postarea din 15.07.2017 cu titlul ÔÇ×E┼čeculÔÇŁ de a ajunge ├«ntr-o ┼čcoal─â de cartier. Merit─â din plin citit acest eseu. ├Änchei cu un scurt citat din acesta, ├«n spiritul celor prezentate mai sus: S─â pretinzi rezultate excep┼úionale de la oricine ┼či ├«n orice condi┼úii e o iluzie periculoas─â ┼či distrage aten┼úia de la adev─ârata miz─â pentru care ar trebui s─â ne batem cu to┼úii: ┼čcoli mai bune pentru to┼úi copiii din Rom├ónia.┬áOrice copil obi┼čnuit are ├«n alc─âtuirea lui ├«nsu┼čiri remarcabile ┼či poate aduce lumin─â ├«n jurul lui ├«n orice loc ├«l poate aduce via┼úa ├«ntr-un moment sau altul. Cu o condi┼úie: s─â ├«i lumin─âm noi ├«nainte locurile prin care trece c├ót cre┼čte ┼či prinde puteri ca om.

CTG