Obligativitatea medita┼úiilor pentru EN ┼či proiectul matex.xyz

Prin vara lui 2020, cur├ónd dup─â examenul de Evaluare Na┼úional─â, printre multe altele, am avut ┼či urm─âtorul scandal: Lumini┼úa Barcari, la acea vreme secretar de stat responsabil cu ├«nv─â┼ú─âm├óntul preuniversitar, vorbind despre subiectele la proba de matematic─â de la EN, spunea: Dup─â p─ârerea speciali┼čtilor, au fost probleme normale. M─â uitam chiar pe re┼úelele de socializare: un copil care ├«nva┼ú─â la ┼čcoal─â, nu neap─ârat cu medita┼úii, ar fi putut s─â ia 5-6.

Cu alte cuvinte, un copil obi┼čnuit, cu o inteligen┼ú─â OK, dar care nu prime┼čte medita┼úii, ci merge doar cuminte la ┼čcoal─â, cu c├ót prime┼čte de la profesorul s─âu, prin manualele publice ┼či conform programei oficiale, cam la 5-6 se poate ridica la examen. Uau!!! Minunat de-a dreptul! Lumini┼úa Barcari a fost taxat─â aspru pentru aprecierea pe care a f─âcut-o, dar situa┼úia a r─âmas la fel. Nimic nu s-a schimbat pentru c─â nu s-au luat m─âsuri pentru a se schimba situa┼úia. M─âsuri nu s-au luat pentru c─â nimeni nu ┼čtie ce m─âsuri s─â ia, sau poate c─â situa┼úia este at├ót de complicat─â ┼či ├«mb├órligat─â ├«nc├ót nimeni nu ┼čtie cum s-o desc├ólceasc─â. Eu cred c─â nimeni nu a luat m─âsuri din simplul motiv c─â fiecare avea alte lucruri mai importante de f─âcut. Dup─â p─ârerea mea, singurii care ar putea duce la schimb─âri reale sunt oamenii de pres─â, dac─â ar insista constant pe aceste subiecte (dl. Moise Guran ├«┼či luase ├«ntr-o vreme aceast─â sarcin─â ┼či o f─âcea remarcabil de bine), dar presa a avut ┼či ea multe alte subiecte care au urcat ├«n topul importan┼úei cotidiene, a┼ča ├«nc├ót de-abia prin decembrie subiectul medita┼úiilor a ap─ârut din nou la radio, ┼či iat─â cum.

Duminic─â, 13 dec. 2020, la emisiunea LUMEA EUROPA FM, Iulia Verbancu ne prezenta reportajul f─âcut de c─âtre Viorica ┼×tefan despre ini┼úiativa unor elevi de clasa a 10-a de a-┼či ajuta colegii de clasa a 8-a din ┼úar─â, mai exact colegii f─âr─â posibilit─â┼úi de medita┼úii la mate. Este vorba de ┼čase elevi olimpici la matematic─â, care prin intermediul proiectul matex.xyz ┼či-au oferit ajutorul pe internet doritorilor care vor s─â ├«nve┼úe matematica pentru examenul de EN. Lec┼úiile deja ┼úinute prin proiectul respectiv pot fi vizionate acces├ónd arhiva site-ului de la butonul de “Orar” din partea dreapt─â a paginii de prezentare a site-ului matex.xyz.

Puteţi asculta întregul material din reportajul Europa FM, cât timp va mai fi disponibil, la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/, dând cursorul la minutul 12:20; întregul reportaj are aproape 12:30 minute. Iată câteva pasaje scurte din această emisiune.

Peste 6 luni elevii de clasa a 8-a vor da piept cu primul examen important din via┼úa lor, Evaloarea Na┼úional─â. Nu ar trebui s─â fie un cap─ât de ┼úar─â, ci ar trebui s─â arate nivelul de preg─âtire al elevilor ┼či s─â-i ajute s─â se orienteze c─âtre un anumit profil la liceu. Dar de fapt pentru mul┼úi copii Evaluarea Na┼úional─â chiar e o ├«ncercare grea, at├ót de dificil─â ├«nc├ót unii nici nu se mai ├«nscriu la examen. Ast─â var─â aproape 40% dintre elevii de a 8-a nu au dat evaluarea sau nu au luat media de trecere 5.

Pentru urm─âtorul examen na┼úional ┼čase elevi de liceu, olimpici la matematic─â, au hot─âr├ót s─â dea o m├ón─â de ajutor: medita┼úii gratuite. Au ├«nceput pe 5 decembrie. Viorica ┼×tefan aduce ├«n lumea Europa FM povestea marii lor pasiuni pentru matematic─â:

… El este Darius V., elev ├«n clasa a 10-a: … ne-am bazat c─â o s─â le putem s─â le pred─âm ├«ntr-un “alt fel” fa┼ú─â de profesorifac mai mult demonstra┼úii ┼či exemple ┼či mai pu┼úin teorieAlexandra P. a fost printre primii elevi ai lui Darius …: Ei sunt olimpici, ┼čtiu cum s─â explice mai pe ├«n┼úelesul nostru; ….

Alexandra nu-┼či permite s─â fac─â medita┼úii pentru probele de la Evaluarea Na┼úional─â, lucru care ar fi condamnat-o la un rezultat slab, dac─â ar fi s─â ne lu─âm dup─â declara┼úia f─âcut─â vara trecut─â de fostul secretar de stat Lumini┼úa Barcari (vezi pasajul de la ├«nceput). Aceasta a fost taxat─â aspru pentru aprecierea pe care a f─âcut-o, iar consiliul na┼úional al elevilor a cerut Ministerului Educa┼úiei o reform─â a sistemului de evaluare la examenele na┼úionale. Alexandra nu a auzit declara┼úia fostului secretar de stat, dar e hot─âr├ót─â s─â arate c─â se poate ┼či f─âr─â medita┼úii, cu ajutorul proiectului matex.xyz.

Toate bune ┼či frumoase (chiar am savurat reportajul respectiv, atunci ├«ntr-o duminic─â diminea┼úa ├«nsorit─â de decembrie: nu auzi prea des vorbindu-se la un post de a┼ča o anvergur─â despre explicitarea modulului), dar ceva nu se leag─â ├«n ultima fraz─â ├«nt─ârit─â (unii ar spune c─â sunt c├órcota┼č, dar ceva tot nu ├«n┼úeleg, stima┼úi cu adev─ârat prieteni de la Europa fm, doamnelor realizatoare): pentru c─â sunt ┼úinute de elevii respectivi olimpici, aceste ore nu se numesc tot medita┼úii? Adic─â, se numesc medita┼úii numai dac─â sunt ┼úinute de c─âtre un profesor ┼či dai bani pe ele?

Ce vreau s─â zic? P─âi simplu, aceasta nu este de fapt o rezolvare real─â la “buba” cea mai dureroas─â a matematicii ┼čcolare rom├óne┼čti, servit─â cu at├óta st├óng─âcie prin var─â de c─âtre d-na Barcari. Aceast─â ini┼úiativ─â absolut l─âudabil─â a celor ┼čase elevi reprezint─â totu┼či doar o nou─â form─â de medita┼úii, adic─â o nou─â peteceal─â a sistemului ÔÇô ce-i drept una foarte eficient─â din mai multe puncte de vedere (inclusiv datorit─â faptului c─â ac┼úioneaz─â de la elev la elev) ÔÇô dar totu┼či este tot o peteceal─â, la fel ca toate miile de peteceli reprezentate de medita┼úiile la matematic─â de-a lungul ┼či de-a latul ┼ú─ârii, fiind necesar─â datorit─â faptului c─â activitatea de la clas─â nu este eficient─â pentru majoritatea copiilor.

Da, matematica ┼čcolar─â, cu care obi┼čnuiam s─â ne m├óndrim peste tot, mai func┼úioneaz─â onorabil, acolo unde treaba merge c├ót de c├ót, doar datorit─â zecilor de mii de petece lipite peste tot prin sistemul de medita┼úii. Acolo unde nu se pot da medita┼úii, matematica ┼čcolar─â este “pe jeant─â”, ┼či nimeni de la Minister nu ┼čtie (sau nu vrea) s─â rezolve aceast─â “pan─â” cu care ne chinuim de zeci de ani, dar care ÔÇô ce-i drept ÔÇô doar ├«n ultima vreme a ├«nceput s─â fie scoas─â ├«n eviden┼ú─â de mass-media mioritic─â.

Ca o parantez─â, uneori ├«nt├ólnesc situa┼úii ├«n care s-ar putea chiar sus┼úiune c─â profesorii de la clas─â cauzeaz─â aceast─â “pan─â” continu─â (fie datorit─â faptului c─â sunt cu capul ├«n norii ├«nal┼úi ai viselor olimpice locale, fie pentru c─â ├«┼či alimenteaz─â prin asta o aur─â de “profesor bun”, de “mic baron local” ├«n ale matematicii, datorit─â c─âreia are asigurat─â ┼či o bun─â pia┼ú─â de medita┼úii locale).

├Äntreg ansamblu al matematicii gimnaziale, format din program─â (una destul de nou─â ┼či reformat─â), manuale (┼či acestea noi) ┼či profesori, acest ansamblu nu func┼úioneaz─â mai sus de nota 5-6 (chiar cu cerin┼úe sc─âz├ónd constant de la un an la altul), prin cele patru ore de matematic─â s─âpt─âm├ónale, av├ónd nevoie de ajutor extern (adic─â de medita┼úii!) pentru a trece de acest prag (prag cunoscut pe vremuri ca not─â de trecere). Jalnic!

Aici am ajuns dup─â 40 de ani de ├«nv─â┼ú─âm├ónt orientat ├«n principal ├«nspre rezultate la concursuri ┼či olimpiade (introdus ini┼úial la ordinele lui Ceau┼čescu, p─âstrat ├«ns─â apoi ca surs─â de alimentare a orgoliului na┼úional, dar ┼či pentru p─âstrarea artificial─â a suprema┼úiei unor profesori). ├Än afara celor pu┼úini elevi care reprezint─â elitele ┼čcolare (┼či care oricum lucreaz─â mult suplimentar!), ├«n afara acestora avem doar dou─â categorii de elevi: cei care iau note bune, pentru c─â lucreaz─â suplimentar cu cineva acas─â (profesori sau colegi), de obicei pe bani, ┼či cei care nu iau ore suplimentare de nici un fel, dar care se pot ridica cel mult la 5-6 la EN, av├ónd astfel t─âiate orice ┼čanse pentru un viitor mai bun prin ├«nv─â┼ú─âtur─â. ├Äntr-adev─âr jalnic! CTG

P.S. Chiar ┼či elevii de clasa a 10-a, cum este acest Darius Vulturu, simt c─â este nevoie “s─â le predea ├«ntr-un alt fel” colegilor, pentru ca ace┼čtia s─â ├«n┼úeleag─â ceva, poate cu “mai pu┼úin─â teorie“. Cum spune Alexandra Panait: “ei ┼čtiu s─â ne explice mai pe ├«n┼úelesul nostru“. Oare, profesorii de ce nu simt astfel de aspecte? Oare, cei de la Minister de ce nu studiaz─â s─â le transmit─â profesorilor din toat─â ┼úara metode “mai pe ├«n┼úelesul majorit─â┼úii elevilor”? Penibil!

Scrisoare către părinţii clasei a 8-a în urma unei simulări pe clasă a EN

Înainte de vacanţa de iarnă le-am dat elevilor clasei a 8-a o simulare online sincron, încercând prin această să le impulsionez procesul de învăţare. Toată procedura nu ar fi fost completă în situaţia de faţă fără o scrisoare dataliată adresată părinţilor, mai ales că în multe cazuri notele obţinute au fost clar mai bune decât au arătat elevii respectiv în ultima vreme. Cred că poate fi de interes pentru unii cititori lecturarea acestor rânduri. Iată scrisoarea de miercuri 23 dec., aproape întreagă (din care am scos câteva pasaje irelevante pt dvs., cca. 10%).

Stimaţi părinţi ai clasei a 8-a,

Nu pot s─â-mi iau cu adev─ârat vacan┼ú─â p├ón─â nu v─â scriu o epistol─â c├ót de c├ót detaliat─â despre “starea clasei” la matematic─â, a┼ča ├«nc├ót se pare c─â ┼či azi am o scurt─â “zi de lucru”. Acest aspect este r─âu la online-ul acesta, c─â ├«┼úi umple ┼či timpul de acas─â.

Sper că aţi aflat că am dat până la urmă simularea promisă, vineri 18 dec. Copiii au primit notele pe Classroom duminică seara la ora 23, iar lucrările scanate luni după amiaza. În acest context trebuie să vă explic situaţia în care a avut loc respectivul test.

Elevii au avut de lucrat toate testele de antrenament date de minister pentru cei de anul trecut. Aceste teste au marele avantaj c─â sunt compuse din materia pentru clasele 5-7 ┼či doar sem. I din a 8-a. Au fost 35 de astfel de teste pe care elevii le-au primit ├«ncep├ónd din var─â p├ón─â la sf├ór┼čitul lui oct. Ultimele lec┼úii din materia pentru acestea (geometrie) au fost terminate c├óndva la ├«nceputul lui dec., de┼či de fapt ├«n simulare cea mai nou─â lec┼úie era de la ├«nceputul lui noiembrie.

Subiectul dat la simulare a fost cca. 60% format din subiectul dat la examen azi var─â, la care am mai ad─âugat diferite exerci┼úii sau probleme din testele de antrenament. (…)

Analiz├ónd rezultatele putem spune c─â notele au fost ├«n general bune p├ón─â la foarte bune (desigur interpretate ca atare din punctul de vedere al fiec─âruia ├«n parte). Ideea este c─â v─â revine dvs. sarcina de a trage analiza acestui test din zona unei bucurii exagerate ┼či mult prea lini┼čtitoare ├«ntr-o zon─â mai realist─â, plec├ónd de la premisa c─â orice rezultat prea bun poate ac┼úiona spre del─âsare. Ca urmare, ├«n aceast─â perioad─â, ├«n care elevii trebuie s─â lucreze intens, cel mai r─âu lucru ce se poate ├«nt├ómpla este s─â ia o not─â prea mare, pe baza c─âreia “s─â se culce pe-o ureche” ┼či s─â nu mai ├«nve┼úe. Am avut ├«n ace┼čti 30 de ani de activitate o serie de exemple spectaculoase de situa┼úii ├«n care diferi┼úi elevi ┼či-au distrus viitorul pe baza unei note prea bune (ob┼úinut─â la ┼čcoal─â, sau chiar ┼či ├«n privat). Tehnic, ca profesor, eu trebuie s─â am mare grij─â ca elevii s─â nu ia cumva o not─â prea mare. Or, ├«n cazul acestui al doilea “Hausarrest” (lockdown-ul ┼čcolar de toamn─â) , dup─â “simularea” par┼úial ratat─â din 21 oct., ├«n cazul simul─ârii de fa┼ú─â mi-a fost imposibil s─â pre├«nt├ómpin acest aspect. Mai mult, ├«n cazul acestei clase, a acestor elevi ┼či a acestei situa┼úii, pentru mine a fost important ┼či aspectul opus, anume de a le da o doz─â bun─â de ├«ncredere pentru perioada urm─âtoare.

Cu alte cuvinte, v─â r─âm├óne dvs. sarcina unei analize c├ót mai exacte a rezultatelor ├«n fiecare caz ├«n parte, deoarece eu nu le ┼čtiu multora┬á evolu┼úia ├«n ultima perioad─â. Vorbesc aici de to┼úi acei elevi care ├«n mod normal nu au impulsul de a r─âspunde din proprie ini┼úiativ─â, iar c├ónd ├«i pune profesorul s─â r─âspund─â afi┼čeaz─â din oficiu o atitudine “de victim─â”, sub motto-ul “ce-ai cu mine? de ce eu?”. Cei mai mul┼úi dintre ace┼čtia au luat note mai bune dec├ót eram obi┼čnui┼úi, iar dvs. trebuie s─â analiza┼úi contextul ├«n care s-a ├«nt├ómplat aceasta. Anume, trebuie s─â studia┼úi cu tact, dar ┼či cu mult─â circumspec┼úie, care sunt factorii care au dus la acest rezultat bun. Pentru o impresie c├ót mai obiectiv─â, trebuie s─â analiza┼úi concret to┼úi factorii posibili ┼či mai ales s─â nu v─â l─âsa┼úi fraieri┼úi de c─âtre copilul personal. De multe ori p─ârin┼úii sunt foarte “fraieribili”, naivi am putea spune, iar dvs. cei mai mul┼úi sunte┼úi la primul copil ┼či nu ave┼úi experien┼ú─â cu aceste aspecte (├«n clasa aceasta avem foarte pu┼úini p─ârin┼úi care nu sunt la primul copil).

În primul rând trebuie să vedeţi dacă copilul dvs. nu a copiat. Cei mai atenţi la acest aspect trebuie să fiţi cei care aveţi experienţa că în trecut copilul dvs. a avut tentative de a vă fenta cu diferite ocazii (în trecutul mai apropiat sau mai îndepărtat). În afară de vreo două cazuri, eu nu am văzut dovezi clare de copiere, dar în condiţiile date copierea putea fi foarte bine camuflată.

Exist─â c├óteva forme de fraudare la care ar fi putut apela elevii, pe lang─â deschiderea caietului de mate undeva pe mas─â. ├Än primul r├ónd, puteau s─â-┼či transmit─â pe diferite canale alternative r─âspunsurile de la unul la altul, acolo unde se cerea doar r─âspunsul (toate cele 6 ├«ntreb─âri de la subiectul I), sau acolo unde exista o rezolvare scurt─â. La subiectul I trebuie s─â fi┼úi deosebit de suspicio┼či: de c├ónd m─â ┼čtiu nu am avut o situa┼úie “at├ót de bun─â” ca acum. Nu pot sus┼úine c─â sigur s-a copiat, poate chiar au ┼čtiut, ┼úin├ónd cont c─â au avut clar posibilitatea de a se preg─âti ├«n acest sens, iar ├«ntreb─ârile de la examen, sau cele ├«nlocuite, au fost chiar u┼čoare, iar unii ┼či a┼ča tot au gre┼čit. O alt─â form─â de copiere ar fi fost de a fi ajuta┼úi de altcineva. Aici nu m─â pot exprima. Exist─â ┼či aplica┼úii care-┼úi rezolv─â anumite tipuri de exerci┼úii (eu am v─âzut cum func┼úioneaz─â pe sisteme de ecua┼úii). Cea mai eficient─â situa┼úie ar fi fost desigur ca cineva s─â se fi prins c─â este vorba ├«n mare despre subiectele de la examen, s─â fi desc─ârcat baremele ÔÇô care sunt desigur ┼či pe net ÔÇô ┼či s─â-┼či fi ales de acolo rezolv─ârile corespunz─âtoare (nici aici nu am suspiciuni clare, dar merit─â s─â fi┼úi cu “urechile-n patru”).

Marea majoritate a elevilor au stat cu video conectat ┼či ├«i cam puteam vedea clar cum lucreaz─â. Pe l├óng─â cei 2-3 care erau prezen┼úi doar cu bulin─â (din motive obiective), au mai fost ├«ns─â unii care st─âteau apleca┼úi de nu le vedeam dec├ót freza sau st─âteau lateral, sau st─âteau ├«n semi├«ntuneric (oare cum scriau ace┼čtia?), sau etc. Cu alte cuvinte, dac─â cineva dorea s─â fraudeze, o putea face lini┼čtit f─âr─â ca eu s─â bag de seam─â clar.

Pentru a pre├«nt├ómpina din start posibilitatea unor fraud─âri, profesorii din celelalte ┼čcolii dau teste foarte grele sau ├«ntr-un timp foarte scurt, pres├óndu-i pe elevi printr-un stres excesiv. Eu nu am vrut s─â aleg nici una din aceste dou─â variante, ci am vrut s─â le ofer timp cinstit ┼či o dificultate moderat─â, ┼úin├ónd cont c─â ace┼čti copii sunt oricum oropsi┼úi datorit─â situa┼úiei actuale. Nu avea rost s─â-i pedepsesc apriori pe to┼úi, adic─â ┼či pe cei cinsti┼úi (din care avem foarte mul┼úi ├«n aceast─â clas─â, majoritatea a┼č putea spune), doar pentru c─â experien┼úa, at├ót cea general─â, c├ót ┼či cea cu unii dintre ei, ├«mi spune c─â exist─â pericolul ca unii s─â fraudeze. Cu alte cuvinte, dac─â exist─â cazuri de copiere de orice fel, este sarcina dvs. s─â afla┼úi ┼či st─â tot ├«n puterea dvs. s─â rezolva┼úi situa┼úia.

Presupun├ónd ├«ns─â c─â nu vorbim de astfel de situa┼úii, putem trece la lucruri ceva mai cinstite. Eu nu le-am trimis dinainte elevilor ┼či testul dat la examen (normal!!!), nici nu le-am spus nimic despre acesta (normaaal), dar exist─â clar posibilitatea ca unii dintre ei s─â-l fi v─âzut sau chiar s─â-l fi f─âcut dinainte, fie c─â s-au g├óndit ei s─â-l caute, fie c─â v-a┼úi g├óndit dvs. ca p─ârin┼úi s─â-l da┼úi. P─ârin┼úii mai fac faze din acestea, ca s─â se implice ┼či ei ├«n preg─âtire, d├ónd f─âr─â s─â vrea “spoil” la planul de lucru al profesorului (avem astfel de cazuri ├«n clas─â legat de anumite filme). Exist─â desigur ┼či posibilitatea ca s─â se fi ocupat de aceasta profesorul din privat (poate chiar l-au f─âcut ├«mpreun─â). Dvs. trebuie s─â vede┼úi dac─â copilul dvs. este ├«ntr-unul din aceste cazuri, astfel ├«nc├ót s─â privi┼úi rezultatul de la simulare ┼či prin prisma acestui aspect, deci cu bucurie re┼úinut─â.

Un al treilea aspect ├«l reprezint─â stresul unei astfel de simul─âri, care trebuie s─â ac┼úioneze ca antrenament la stresul din timpul examenului. Este foarte posibil ca acest stres s─â fi fost puternic diminuat datorit─â faptului c─â copilul era acas─â, singur ├«n mediul lui, total neperturbat de c─âtre ceilal┼úi colegi (oricum, mult mai pu┼úin perturbat). Dac─â sim┼úi┼úi la copilul dvs. o astfel de situa┼úie (subliniat─â de o cre┼čtere puternic─â a rezultatului fa┼ú─â de precedentele cu care eram obi┼čnui┼úi), atunci bucura┼úi-v─â pe de o parte pentru succes, dar f─âce┼úi-v─â g├ónduri despre c├ót de vulnerabil este copilul la stresul colectivului, dar ┼či cum ar trebui procedat pentru rezolvarea situa┼úiei p├ón─â la var─â.

Este evident c─â va trebui s─â verifica┼úi dac─â elevul proprietate personal─â ┼či-a f─âcut ulterior corectura testului cap-coad─â ┼či ┼či-a l─âmurit toate aspectele ratate la simulare. Eu le-am trimis ├«n acest sens foaia dup─â care am facut eu corectura, c├ót ┼či rezolvarea problemei III-1-b (pagina cu rezolvarea respectiv─â din lucrarea unei colege). Desigur c─â se poate desc─ârca ┼či de pe net baremul subiectelor date la examen, unde se g─âsesc rezolv─ârile la unele probleme din aceast─â simulare.

Toate aceste teste de antrenament c├ót ┼či simularea dat─â au fost pe modelul, pe forma date la examen p├ón─â ├«n vara lui 2020. Genera┼úia actual─â nu va mai da examenul pe aceast─â form─â, dar nu avea rost s─â rat─âm ocazia: cele 35 de teste plus cel dat la examen erau din programa de pandemie din aprilie 2020, fiind de fapt din materia p├ón─â la vacan┼úa de iarn─â a clasi a 8-a, astfel fiind deosebit de potrivite pornirii preg─âtirii direct pe teste ├«nc─â din semestrul I. Am folosit aceste teste, de┼či nu sunt pe forma ce o vor da ei, pe baza urm─âtoarelor argumente. ├Än primul r├ónd, matematica din acestea oricum era de ├«nv─â┼úat, formatul ├«n care se prezentau ├«ntreb─ârile fiind de importan┼ú─â secundar─â. Apoi, este clar c─â acestea fiind redactate de c─âtre minister, sunt mai accesibile elevilor de r├ónd, pentru c─â erau redactate sub presiunea politicului (├«n vederea alegerilor) “pentru to┼úi”, nu doar pentru cei buni (a┼ča cum se ├«nt├ómpl─â la marea majoritate a testelor din culegerile editurilor). Da, ┼či cum am mai spus, aceste teste reprezentau un pache┼úel de bun sim┼ú numeric (35 de teste), cuprinz├ónd din clasa a 8-a doar materia de sem. I, fiind astfel mult mai potrivite dec├ót testele din toat─â materia de examen, cele care con┼úin de pild─â ┼či func┼úiile sau frac┼úiile algebrice (nu se potriveau perfect pe materia parcurs─â de noi, dar am rezolvat ┼či problema asta). Cu aceast─â simulare ne desp─âr┼úim ├«ns─â de formatul vechi ┼či vom trece pe forma nou─â de subiecte, pe care vor da elevii examenul.

├Än acest sens, ca tem─â de vacan┼ú─â le-am propus elevilor primele 10 teste din culegerea achizi┼úionat─â de c─âtre dvs., care sunt ├«n noul format ┼či pe care le vom discuta c├ónd se termin─â vacan┼úa. V─â rog frumos s─â v─â ocupa┼úi s─â le ┼či lucreze, pentru c─â eu nu-mi mai pot asuma repede presiunea lucratului printr-o nou─â simulare. Simularea dat─â ├«n acest fel, “la distan┼ú─â” este enorm─â consumatoare de timp (cam o zi de lucru cumulat, p├ón─â c├ónd am avut lucr─ârile pe h├órtie, c├ót ┼či procesul final de scanare a lucr─ârilor corectate tradi┼úional ┼či trimiterea lor individual c─âtre fiecare elev ├«n parte), av├ónd ├«n paralel o eficien┼ú─â mult sc─âzut─â fa┼ú─â de varianta dat─â fizic ├«n clas─â. (…)

├Än speran┼úa c─â vom putea face fa┼ú─â c├ót mai bine provoc─ârilor acestor vremuri, v─â doresc toate cele bune ┼či s─ân─âtate. ├Än cazul c├ónd ave┼úi nel─âmuriri punctuale m─â pute┼úi suna, iar dac─â v─â pot ┼či r─âspunde atunci discut─âm ┼či rezolv─âm situa┼úia. Cu stim─â, Mo┼č Cr─âciun CTG, 23 dec. 2020

P.S. Iat─â ┼či un r─âspuns civilizat ├«n urma acestei scrisori:

Bun─â seara, Dup─â ce am citit “epistola Dl. Diriginte c─âtre p─ârin╚Ťi” , ├«mi zisei (vorba olteanului), s─â v─â urez s─ân─âtate ╚Öi bucurii (…)!! O vacan╚Ť─â binecuv├óntat─â pentru ├«ntreaga familie! Cu drag, (…)

Planimetria ┼či Stereometria ÔÇô (8) O privire mai profund─â asupra ariilor din clasa a 7-a

Cred c─â onor cititorii ┼či-au dat seama c─â am redactat acest mega-eseu cu g├óndul direct la studiul ariilor ┼či al volumelor corpurilor geometrice din clasa a 8-a, indignat fiind de excluderea acestora din materia de EN ├«n contextul opririi ┼čcolilor ├«n prim─âvara acestui an bulversant 2020, dar ┼či speriat fiind de posibilitatea repet─ârii scenariului pentru urm─âtoarea genera┼úie. Dac─â ├«n anul ┼čcolar 2019-2020 decizia se mai justific─â cumva, pentru anul ┼čcolar 2020-2021 nu mai exist─â nici cea mai mic─â justificare, datorit─â faptului c─â lucrurile puteau fi preg─âtite din timp (adic─â din vara anului 2020).

Unul din motivrele plauzibile pentru care nu a fost preg─âtit─â, respectiv prevenit─â repetarea unei astfel de situa┼úii, este faptul c─â probabil ├«n Minister aten┼úia majorit─â┼úii este ├«ndreptat─â cu predilec┼úie spre v├órfuri, spre matematica “de performan┼ú─â”; ori, mi┼čcarea de excludere a stereometriei de la EN nu i-a afectat prea mult pe elevii de v├órf (cei mai buni dintre ei au primit ├«ns─â o lovitur─â “sub centur─â” prin toamn─â, c├ónd d-na Ministru filolog a decis s─â elimine toate olimpiadele din activitatea acestui an, deci inclusiv “sfintele” olimpiade de matematic─â).

Se pare ├«ns─â c─â pe diriguitorii matematicii rom├óne┼čti nu-i prea intereseaz─â ce se ├«nt├ómpl─â cu marea mas─â a celor “slabi la matematic─â”. Lor le-au dat c├óteva ├«ntreb─âri t─âl├ómb de banale, astfel ├«nc├ót s─â nu existe proteste din partea acestora, dar ┼či pentru ca promovabilitatea pe ┼úar─â s─â fie OK din punct de vedere politic, astfel ├«nc├ót guvernan┼úii s─â aib─â lini┼čte m─âcar din acest punct de vedere ├«ntr-un an electoral agitat cum nu a mai fost altul.

A┼čadar, aceasta a fost motiva┼úia mea principal─â, pentru redactarea ideilor exprimate, cea din punct de vedere a afect─ârii stereometriei. ├Än cadrul acestui mega-eseu am folosit ├«ns─â ocazia pentru a atinge ┼či alte aspecte colaterale, care ├«ns─â sunt ├«nrudite ca fenomenologie, respectiv ca atitudine a organizatorilor din Minister, a autorilor de manuale sau a marii majorit─â┼úi a profesorilor, care ├«ns─â toate afecteaz─â la diferite v├órste ├«nv─â┼úarea matematicii ┼či formarea g├óndirii la marea mas─â a elevilor.

Unul din “punctele” respective ├«l reprezint─â planimetria, mai ales studiul ariilor ├«n clasa a 7-a, despre care am vorbit ├«n diferite r├ónduri. ├Än contextul studiului ariilor exist─â multe aspecte implicate. Haide┼úi s─â analiz─âm mai atent dou─â dintre acestea ┼či felul ├«n care ele interac┼úioneaz─â. Precizez c─â este vorba de aspecte ale pred─ârii noastre ca profesori ├«n Rom├ónia acestor ani, aspecte care ├«ns─â nu sunt defel ┼či niciunde discutate: nici ├«n materialul ├«nso┼úitor al programei noi din 2017, nici ├«n cursurile de formare, nici ├«n manuale, niciunde!

Un prim aspect la care m─â g├óndesc este faptul c─â planimetria cap─ât─â un sens evoluat, un sens cu adev─ârat matematic, doar odat─â cu posibilitatea calculului unor lungimi prin teorema lui Pitagora. F─âr─â teorema lui Pitagora calculul ariilor ┼či a perimetrelor se rezum─â la aplicarea unor re┼úete, adic─â a unor formule anterior dob├óndite (deduse prin g├óndire sau primite “de-a moaca”), ┼či a finaliz─ârii corecte a calculului din acestea (care se rezum─â de obicei la aritmetic─â de clasa a 5-a, eventual la calcule cu proasp─ât ├«nv─â┼úatele numere ira┼úionale). De-abia prin teorema lui Pitagora calculul de arii ┼či perimetre devine MATEMATIC─é, devenind adic─â o situa┼úia de g├óndire, de for┼úare a individului ├«n a decide singur ce pa┼či trebuie s─â fac─â, de a alege ┼či a combina diferite procedee anterior ├«nv─â┼úate ├«ntr-un ├«ntreg, care s─â parcurg─â ├«n mod coerent drumul de la ce se d─â la ce se cere. De abia prin posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora planimetria urc─â de la nivelul unui calcul banal la nivelul superior al problemelor de matematic─â. Cu alte cuvinte, folosirea teoremei lui Pitagora ├«l oblig─â pe elev s─â urce de la aplicarea “contabiliceasc─â” a unei formule, a unei re┼úete, la un nivel elevat ├«n care el, elevul, trebuie s─â g├óndeasc─â, adic─â s─â ia decizii despre ce procedeu s─â aplice ├«n fiecare moment.

De abia prin integrarea teoremei lui Pitagora ├«n probleme planimetria urc─â la un nivel de complexitate comparabil cu cealalt─â mare parte a geometriei, anume cu demonstra┼úia geometric─â. Totu┼či, chiar dac─â urc─â de la nivelul de “exerci┼úii” (aplicarea ┼či exersarea unei simple re┼úete individuale) la nivelul de “problem─â” (combinarea mai multor re┼úete individuale ├«ntr-un ├«ntreg mai complex, combinare ce are loc, cum spuneam, ├«n urma unor decizii ale rezolvitorului, ce reprezint─â deja un proces de g├óndire), planimetria r─âm├óne oricum la un nivel mai accesibil majorit─â┼úii elevilor pentru c─â r─âspunde la mult mai obi┼čnuita ├«ntrebare “C├éT?”, pe c├ónd necesitatea demonstra┼úiei apare ├«n urma ├«ntreb─ârii “DE CE?”. Or, ├«ntrebarea “C├éT?” este mult mai prezent─â ├«n cotidianul majorit─â┼úii oamenilor, inclusiv a celor mai mul┼úi elevi, fiind ca atare mult mai accesibil─â majorit─â┼úii indivizilor, dec├ót ├«ntrebarea “DE CE?”, care este evident o ├«ntrebare mai profund─â (vede┼úi, asta numesc eu o adev─ârat─â psiho-pedagogie; ┼či c├ónd m─â g├óndesc c├ó┼úi ani m-am uitat cu dispre┼ú la cartea prof. Eugen Rusu despre Psihologia activit─â┼úii matematice).

Cu ├«ntrebarea “C├éT?” elevul se confrunt─â din clasele primare, aceasta reprezent├ónd deci parte a zonei sale de confort intelectual matematic, chiar ┼či m─âcar datorit─â faptului c─â s-a confruntat cu astfel de situa┼úii de multe ori. Aceast─â ├«ntrebare este specific─â g├óndirii infantile, anume a stadiului opera┼úional concret, a┼ča cum ├«l denumea Piaget, de┼či problemele de calcul a ariilor ┼či a perimetrelor ├«ncep s─â foloseasc─â elemente ale g├óndirii adulte, din stadiul opera┼úional formal. Dimpotriv─â, problemele de demonstra┼úie, cele care r─âspund la ├«ntrebarea “DE CE?”, lucreaz─â predominant la nivelul g├óndirii adulte, adic─â ├«n stadiul opera┼úional formal al ra┼úionamentelor.

Vreau s─â spun aici c─â problemele de planimetrie reprezint─â o cale de formare ┼či de exersare a g├óndirii mult mai accesibil─â marii majorit─â┼úi a elevilor dec├ót problemele de demonstra┼úie. Mai mult, toate problemele de demonstrat (inclusiv cele de calcul, dar care folosesc artificii algebrice sau de demonstra┼úie geometric─â) reprezint─â perioade ale orei de adresare ┼či educare exclusiv─â a elitelor, a elevilor de v├órf (de obicei 2-3 ├«n clas─â). Dimpotriv─â, problemele de calcul reprezint─â perioade de adresare general─â a ├«ntregii clase, adic─â ┼či a marii majorit─â┼úi a elevilor, din care ├«ns─â ├«n┼úeleg ┼či cei buni (┼či, s─â ┼čti┼úi c─â nu li se usuc─â creierul de pu┼úin─â “artimetic─â”).

Mai mult, ├«n aceste perioade, elevii de v├órf au ocazia s─â exerseze EMPATIA, dar ┼či o stare de respect plin─â de ├«ng─âduin┼ú─â fa┼ú─â cei care le sunt inferiori din punct de vedere al g├óndirii. Dimpotriv─â, toate acele perioade ale orei c├ónd se lucreaz─â doar pentru v├órfurile clasei, ├«i educ─â pe ace┼čtia ├«nspre o stare ├«ng├ómfat─â egoist-egocentrist─â, ce nu are nimic ├«n comun cu educarea respectului mutual ce ar trebui s─â existe ├«ntre membrii unei societ─â┼úi civilizate.

Cu alte cuvinte, prin problemele de planimetrie ┼či stereometrie profesorul de matematic─â are o ocazie mult mai accesibil─â de a deveni un formator de g├óndire, dec├ót prin intermediul demonstra┼úiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formeaz─â corpul de baz─â al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre g├óndire prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe c├ónd ├«n cazul problemelor de demonstrat ace┼čtia vor fi tenta┼úi s─â ├«nve┼úe pe de rost, mim├ónd c─â g├óndesc, g├óndirea adev─ârat─â r─âm├ón├ónd “de c─âru┼ú─â” (vezi ┼či P.S. din final, cu alte aspecte legate de acest important g├ónd).

P├ón─â la programa din 2017 acest pas (introducerea teorema lui Pitagora ├«n calculul ariilor) nu era posibil ├«n cadrul capitolului din toamna clasei a 7-a, evident pentru c─â elevii ├«nc─â nu aveau parcurs─â teorema lui Pitagora, aceasta fiind pozi┼úionat─â ├«n program─â de abia ├«n semestrul al II-lea, fixat─â fiind acolo de acceptarea doar a demonstra┼úei prin teorema catetei, care la r├óndul ei trebuia ├«n prealabil demonstrat─â prin asem─ânarea triunghiurilor. Ca o parantez─â fie spus, aten┼úionez c─â exist─â ┼či demonstra┼úii prin arii la teorema lui Pitagora (├«nc─â multe chiar), demonstra┼úii ce ar permite includerea acestei teoreme ├«n capitolul de arii (eu am ales una dintre ele, incluz├ónd-o astfel de 20 de ani ├«n studiul ariilor din toamna clasei a 7-a), dar acesta este un alt subiect ┼či nu vreau s─â intru ├«n el acum.

Dimpotriv─â, dup─â programa din 2017, program─â ce implic─â predarea “├«n gol”, adic─â f─âr─â demonstra┼úie, a teoremei lui Pitagora ├«n finalul clasei a 6-a, n-ar mai trebui s─â ne ├«mpiedice nimic ├«n integrarea acestei teoreme ├«n studiul ariilor din toamna clasei a 7-a. Orice demonstra┼úie la teorema lui Pitagora implic─â parcurgerea unor elemente dificile, din categoria demonstra┼úiilor, ├«nainte de aplicarea banal─â a calculului ├«n probleme de planimetrie (absolut ciudat, dar acest fenomen nu apare ┼či ├«n stereometrie, unde se poate intra ├«n mod intuitiv direct ├«n calcule, f─âr─â a fi nevoie de demonstra┼úii prealabile). Dimpotriv─â, situa┼úia ciudat─â creat─â de programa din 2017 ne scute┼čte de acest aspect al rigurozit─â┼úii, d├ónd “m├ón─â liber─â” profesorului de a folosi din start teorema lui Pitagora la calculul de arii ┼či perimetre. ┼×i totu┼či, ├«n aceste condi┼úii “ideale” pentru profesor de a face un pas clar ├«n favoarea majorit─â┼úii elevilor, cei mai mul┼úi profesori se fac c─â nu v─âd, rat├ónd aceast─â oportunitate, unii chiar lupt├óndu-se ├«mpotriva acesteia.

├Än acest sens, poate fiecare s─â studieze cum arat─â situa┼úia ├«n manualele sau ├«n culegerile auxiliare ├«nso┼úitoare alese; unii le-au integrat timid, al┼úii dimpotriv─â nu s-au g├óndit la aceast─â posibilitate (eu personal nu am f─âcut un astfel de studiu c├ót de c├ót vast; vorbesc doar ├«n urma ├«nt├ólnirii unor c├óteva exemple din ambele categorii). Care este ├«ns─â situa┼úia de la clas─â ├«n acest context? P─âi, cam aceea┼či: profesorii nu se bag─â, nu v─âd oportunitatea, le este “nu ┼čtiu cum” s─â ias─â din zona de confort a pred─ârii din ultimii zece ani.

├Än acest sens vreau s─â prezint un singur exemplu: chiar zilele acestea, dup─â publicarea p─âr┼úii (4) a acestui mega-eseu, m-am ├«nt├ólnit din nou cu o situa┼úie absurd─â ┼či am promis c─â o voi prezenta. Este vorba despre situa┼úia unei probleme din capitolul de arii din clasa a 7-a, ├«n care, la propunerea unui elev de a rezolva cu teorema lui Pitagora, profesorul spune ad-literam: ├«ncerc─âm s─â evit─âm folosirea lui Pitagora (aproape c─â ai impresia c─â-l vezi pe acel profesor “scr├ó┼čnind printre din┼úi” o ├«njur─âtur─â la adresa cui o fi decis introducerea acelei lec┼úii ├«n finalul clasei a 6-a). Este NOAPTEA MIN┼óII s─â lucrezi ├«ntreg acest capitol f─âr─â teorema lui Pitagora, de┼či de data asta elevii o cunosc, doar a┼ča, pentru c─â tu te-ai obi┼čnuit s─â predai acele lec┼úii f─âr─â Pitagora ┼či ├«┼úi este greu s─â te schimbi. Analiz├ónd situa┼úia concret am putut vedea g├óndul mai profund al respectivului profesor, anume c─â el preg─âtise problema pentru o anumit─â rezolvare, care era mai scurt─â, dar mai “algebric─â” dec├ót cea prin folosirea teoremei lui Pitagora (aceasta fiind ├«ns─â din punct de vedere al elevilor mai accesibil─â pentru c─â era mai “aritmetic─â”, chiar ┼či prin prisma celui mai bun elev din clas─â, cel care venise cu propunerea). Da, “stima┼úi” colegi, dar ├«ntr-o astfel de situa┼úie suntem obliga┼úi s─â explic─âm situa┼úia elevilor, nu doar s─â le refuz─âm solu┼úia ├«n mod schizofrenic, pentru c─â altfel lucrurile r─âm├ón ├«n mentalul ├«ntregii clase la un nivel inerxplicabil mustind de subiectivitate: de ce s─â evit─âm folosirea lui Pitagora de vreme ce o cunoa┼čtem? Vede┼úi cum situa┼úia cap─ât─â aspecte conflictuale prin impulsul unei astfel de contra-├«ntreb─âri retorice.

Cum s-ar fi putut evita astfel de situa┼úii? P─âi simplu, dac─â ├«n textele ├«nso┼úitoare ale programei din 2017 ar fi fost prev─âzute ┼či incluse aceste aspecte, dac─â ar fi fost clar precizate, atunci autorii de manuale le-ar fi integrat clar ┼či vizibil, iar profesorii s-ar fi adaptat evident. A┼ča, dup─â cum am mai spus, fiecare ocazie de reform─â adev─ârat─â ┼či profund─â este ratat─â ├«n Rom├ónia cu mare stil ┼či elegan┼ú─â balcanic─â, astfel ├«nc├ót cei de la baza ├«nv─â┼ú─âm├óntului, profesorii de r├ónd ┼či orele lor ├«n nici un caz nu au cum s─â evolueze ├«n favoarea marii majorit─â┼úi a popula┼úiei ┼čcolare.

Am precizat, mai ales la geometria ├«n spa┼úiu din clasa a 8-a, c─â avem de fapt o form─â de predare orientat─â dup─â criteriile rigurozit─â┼úii matematicii, dar care sfideaz─â criteriile pedagogice (├«n┼úelege┼úi ce am vrut cu axele acelea ciudate din prima parte a eseului). Aceast─â form─â este accesibil─â v├órfurilor popula┼úiei ┼čcolare, dar se desf─â┼čoar─â mult prea sus din punct de vedere intelectual pentru cea mai mare parte a elevilor. Probabil c─â mul┼úi dintre matematicieni nu ├«n┼úeleg de ce “prostimea” nu face fa┼ú─â geometriei, pentru c─â doar, m─âcar ariile ┼či volumele din clasa a 8-a “sunt simple”. Acela┼či fenomen se ├«nt├ómpl─â ├«ns─â ┼či cu un an ├«nainte, ├«n clasa a 7-a la studiul ariilor, din cauza a dou─â aspecte, unul dintre ele fiind cel discutat mai sus.

Un al doilea aspect de analizat ar fi urm─âtorul: studiul ariilor are dou─â p─âr┼úi destul de bine delimitate, cu adresabilitate destul de diferit─â la nivelul elevilor. Pe de o parte avem calculul concret ar ariilor, ce se face cu diferite formule (majoritatea figurilor au mai multe formule, ├«n func┼úie de situa┼úia datelor, ┼č├« acestea cu adresabilitate diferit─â la nivelul elevilor, dar nu mai pornesc ┼či ├«n acest sens o analiz─â special─â). Pe de alt─â parte, avem studiul propriet─â┼úilor ariilor, cu figuri echivalente (de obicei necongruente, dar cu aceea┼či arie), rapoarte de arii sau diferite rela┼úii ├«ntre elementele unor figuri, rela┼úii demonstrabile cu ajutorul ariilor. De obicei, ├«n aceast─â parte nu se cere calculul unei arii. Prin excelen┼ú─â, apogeul acestui domeniu matematic ├«l reprezint─â chiar teorema lui Pitagora, anume c─â aria p─âtratului construit pe ipotenuz─â este egal─â cu suma ariilor p─âtratelor construite pe catete (de┼či ├«n mentalul multor profesori din Rom├ónia pare c─â este prohibit─â).

Din a doua parte, cea mai accesibil─â ┼či cunoscut─â este proprietatea de arie a medianei, anume c─â mediana ├«mparte triunghiul ├«n dou─â triunghiule┼úe cu ariile egale, de┼či de obicei acestea nu sunt congruente. ┼×i lungimea ├«n─âl┼úimii pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic poate fi demonstrat─â aici foarte u┼čor, prin egalarea a dou─â formule de arie a acestuia. Anexez aici dou─â din problemele mele preferate ├«n aceast─â parte de geometrie.

Eu am scos ├«n eviden┼ú─â existen┼úa celor dou─â p─âr┼úi destul de diferite ├«nc─â din 2005, la redactarea culegerii de geometrie publicat─â ├«n 2006 ├«mpreun─â cu so┼úia mea (De la Cercul lui Thales la Moneda lui ┼ói┼úeica, Probleme elementare de geometrie plan─â, Ed. Humanitas Educa┼úional). ├Än aceast─â lucrare am cuprins dou─â capitole separate cu arii: Cap. V ÔÇô Calcule de arii ┼či perimetre, respectiv Cap. VI ÔÇô Propriet─â┼úile ariei (problemele de mai sus sunt primele dou─â din acest capitol). Cap. V este adresat, cel pu┼úin ├«n prima sa parte, elevilor de r├ónd, cuprinz├ónd multe probleme de calcul elementar de arii ┼či perimetre ale figurilor de baz─â, pe c├ónd Cap.VI se adreseaz─â prin excelen┼ú─â doar elevilor buni la matematic─â.

Problemele de felul celor dou─â (mai sus prezentate) sunt destul de ┼čocante pentru cei mai mul┼úi elevi, pur ┼či simplu pentru faptul c─â sunt probleme de arii, dar ├«n care elevul nu prime┼čte nici un num─âr cu care s─â calculeze. Arii, dar f─âr─â numere, cum vine asta??? Chiar ┼či cel mai bun elev este bulversat de aceast─â situa┼úie. Diferen┼úa dintre elevii de v├órf ┼či cei de r├ónd este c─â cei buni reu┼česc s─â-┼či revin─â din aceast─â bulversare, pe c├ónd cei de r├ónd nu. Exist─â desigur ┼či probleme “par┼čive” ├«n acest sens, probleme ├«n care rezolvitorul prime┼čte numere (de obicei un num─âr), dar problema nu este una tradi┼úional─â “de calculat”, ci una de comparare de arii. Iat─â un exemplu la repezeal─â ├«n acest sens: Consider─âm un triunghi oarecare ABC de arie 234┬ácm2 ┼či not─âm cu M, N ┼či P mijloacele laturilor sale. Demonstra┼úi c─â patrulaterul AMNP este un paralelogram ┼či determina┼úi aria acestuia. Problema are un num─âr, dar nu ai ce s─â calculezi mare lucru cu acesta. Putem explica ┼či astfel: la acel paralelogram, nu-i po┼úi calcula nici o latur─â, nici o ├«n─âl┼úime (a┼ča cum art cere formula de baz─â).

Rezum├ónd, putem spune c─â necon┼čtientizarea existen┼úei acestei delimit─âri destul de clare ├«ntre cele dou─â domenii, al─âturi de neimplicarea teoremei lui Pitagora ├«n capitolul de arii din semestri I al clasei a 7-a, contribuie ├«mpreun─â la ratarea momentului acestui capitol ├«nspre atragerea elevilor de r├ónd c─âtre fenomenul matematic. Mul┼úi profesori bombardeaz─â clasele cu probleme din partea de propriet─â┼úi a ariilor, accesibile doar v├órfurilor, astfel ├«nc├ót to┼úi elevii de r├ónd din aceste clase rateaz─â oportunitatea conect─ârii cu g├óndirea, chinuindu-se ├«n cel mai bun caz s─â ├«nve┼úe pe de rost rezolv─ârile respectivelor probleme. Aceasta, ├«mpreun─â cu faptul c─â elevii nu primesc dreptul de a folosi teorema lui Pitagora ├«n calcule, ├«i men┼úine pe cei mai mul┼úi ├«ntr-o stare de profund─â prostie matematic─â, t─âindu-le posibilitatea acces─ârii g├óndirii prin fereastra de oportunitate numit─â “arii”.

Avem ┼či aici un bun exemplu prin care profesorimea ├«mpinge elevii spre analfabetism func┼úional matematic, aspect ce iese apoi la iveal─â ├«n mod dureros la examenul de EN sau la studiile PISA, dar ┼či cu alte ocazii. Degeaba avem c├óteva v├órfuri cu care ne tot m├óndrim, c├ónd ├«n paralel avem o politic─â aparent g├óndit─â doar spre ├«ndobitocirea maselor.

Dar nici m─âcar aceast─â parte despre propriet─â┼úile ariilor nu este predat─â corect. De multe ori elevii primesc probleme din aceast─â parte, f─âr─â s─â aib─â predate ├«nainte elementele necesare (profesorul de mai sus s-a trezit dup─â o s─âpt─âm├ón─â c─â nu le-a dat proprietatea de arie a medianei, necesar─â ├«ntr-o problem─â de la tem─â). Eu v─âd ├«ns─â un aspect negativ mult mai profund. Aceast─â parte de propriet─â┼úi a ariilor se ├«mparte ┼či ea ├«n dou─â subp─âr┼úi. Exist─â aici foarte multe aplica┼úii care sunt exprimabile u┼čor ├«n limbaj algebric, spre care tind cei mai mul┼úi profesori, dar exist─â aici ┼či aplica┼úii cu un profund caracter vizual grafic. Cele cu caracter algebric sunt mai statice (de pild─â faptul c─â produsul dintre o latur─â a unui triunghi ┼či ├«n─âl┼úimnea corespunz─âtoare este acela┼či, indiferent de latura aleas─â ca baz─â), pe c├ónd cele cu caracter mai vizual grafic sunt oarecum “├«n mi┼čcare” (de pild─â faptul c─â aria unui triunghi nu se modific─â dac─â “plimb─âm” un v├órf al acestuia paralel cu latura opus─â). Aceast─â a doua parte, care dezvolt─â o mobilitate mai bun─â ├«n g├óndire, este cu totul neglijat─â ├«n Rom├ónia, fiind abandonat─â total dup─â reforma din 1997.

*

├Äncerc s─â m─â opresc aici, de┼či este evident pentru orice cititor c─â a┼č putea continua cu alte ┼či alte aspecte “mult ┼či bine”. Sunt sigur c─â acest mega-eseu are clar un aer destul de haotic, trec├ónd uneori nea┼čteptat “de la una la alta”. Este evident c─â la o a doua reluare lucrurile ar fi mult mai ordonate, dar acest eseu a fost publicat ├«n “timp real”. Ini┼úial am g├óndit 4, ba nu 5 p─âr┼úi (una introductiv─â ┼či c├óte una pentru fiecare clas─â gimnazial─â), iar apoi am spus c─â mai adaug ┼či una de concluzii, deci 6, pentru ca ├«n final s─â ajung la 8 p─âr┼úi.

Nutresc ├«ns─â speran┼úa, c─â cititorul de bun─â credin┼ú─â a putut c─âp─âta o idee solid─â despre cum ar trebui integrate elementele de planimetrie ┼či de stereometrie ├«n materia de gimnaziu, ├«ntr-un mod c├ót mai just relativ la cele trei axe de referin┼ú─â prezentate ini┼úial: 1) axa calcule ÔÇô demonstra┼úii; 2) axa 2D ÔÇô 3D; 3) axa pedagogie ÔÇô ┼čtiin┼ú─â. Nutresc speran┼úa c─â am reu┼čit s─â atrag aten┼úia cititorilor asupra acestei problematici importante ┼či c─â ace┼čtia ┼či-au f─âcut o idee c├ót mai s─ân─âtoas─â despre “traseul” pe care noi profesorii ar trebui s─â-i conducem pe elevi prin “meandrele octantelor” ap─ârute ├«ntre aceste trei axe de referin┼ú─â ale pred─ârii geometriei gimnaziale (octantele reprezint─â “optimile” ├«n care este ├«mp─âr┼úit spa┼úiul de c─âtre trei axe de coordonate; octantele sunt similarele cadranelor ├«n sistemul de dou─â axe; cadranele reprezint─â “col┼úuri 2D”, pe c├ónd octantele “col┼úuri 3D”; m-am referit aici la imaginea cu cele trei axe din prima parte a eseului).

Mai sunt doar c├óteva aspecte pe care nu le-am putut integra fluent ├«n ├«nceputul acestui episod, a┼ča ├«nc├ót le-am p─âstrat pentru final, ├«n urm─âtorul Post Scriptum. Sper s─â m─â pot limita la 8 p─âr┼úi pentru acest mega-eseu (8 este un num─âr foarte favorabil din punct de vedere Feng Shui), dar nu pot “b─âga m├óna-n foc” c─â nu m─â va mai apuca din nou scrisul pe acest subiect. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Spuneam mai sus c─â prin problemele de planimetrie ┼či stereometrie profesorul de matematic─â are o ocazie mult mai accesibil─â de a deveni un formator de g├óndire pentru marea mas─â a elevilor, dec├ót prin intermediul demonstra┼úiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formeaz─â corpul de baz─â al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre g├óndire mult mai lesne prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe c├ónd ├«n cazul problemelor de demonstrat ace┼čtia vor fi tenta┼úi s─â ├«nve┼úe pe de rost, g├óndirea adev─ârat─â r─âm├ón├ónd “de c─âru┼ú─â”.

Acest aspect este sus┼úinut ┼či de faptul c─â ├«n calculul de arii ┼či perimetre elevul are de combinat calculele teoremei lui Pitagora cu formulele de arie specifice figurii respective, adic─â are de ales dintre decizia de aplicare ├«ntre pu┼úini “pa┼či logici” (la care se adaug─â situa┼úiile banale din cazul perimetrelor), pe c├ónd ├«n cazul demonstra┼úiilor elevul are de ales dintre mult mai mul┼úi pa┼či logici posibili (deja ├«nv─â┼úa┼úi), pentru combinarea ├«ntr-o demonstra┼úie corect─â. Cu alte cuvinte, combinarea unei rezolv─âri de planimetrie este mult mai simpl─â dec├ót majoritatea situa┼úiilor de combinare a unei probleme de demonstra┼úie.

Ca o scurt─â parantez─â, precizez c─â ├«n nici un caz nu ar trebui s─â le d─âm elevilor de ├«nv─â┼úat “formule pentru perimetre”. Fenomenul perimetrelor este at├ót de simplu, ├«nc├ót profesorul ar trebui s─â le pun─â din start la baza ideii de g├óndire. Acolo unde profesorul observ─â c─â elevul are tendin┼úa s─â ├«nve┼úe pe de rost “o formul─â de perimetru”, acolo trebuie intervenit de urgen┼ú─â pentru a atrage mintea elevului ├«napoi pe linia de g├óndire. Una este ca elevul s─â fi dedus singur ┼či s─â ┼čtie c─â perimetrul unui romb este 4a (de 4 ori latura) ┼či s─â o poat─â explica de unde vine,┬á iar alta este s─â vedem c─â elevul nu ┼čtie de unde vine aceast─â “formul─â”, dar a ├«nv─â┼úat-o pe de rost, eventual ┼či-a ┼či notat-o ├«ntr-o list─â dup─â care o repet─â ┼či este ascultat acas─â, de c─âtre un p─ârinte binevoitor, dac─â “o ┼čtie”.

Merit─â f─âcut─â aici ┼či o alt─â scurt─â observa┼úie metodic─â, ├«n vederea oportunit─â┼úii de formare a g├óndirii, ├«n sensul de antrenare a min┼úii elevului ├«n a lua deciziile juste ├«n fiecare caz ├«n parte (vorbesc aici de situa┼úii din planimetrie, unde, cum am spus, procesul decizional este la un nivel mult mai accesibil). ├Än general exist─â dou─â tipuri de rezolv─âri prin teorema lui Pitagora. Exist─â pe de o parte cei care scriu rela┼úia ├«ntotdeauna ├«n form─â de sum─â, urm├ónd ca ├«n cazul c├ónd necunoscuta este o catet─â, aceasta s─â fie calculat─â ├«n final prin procedee specifice ecua┼úiilor (trecut ├«n membrul cel─âlalt cu semnul schimbat. Aceast─â rezolvare se bazeaz─â pe faptul c─â elevul ┼čtie foarte bine s─â rezolve ecua┼úii, dar ├«n cazul unui elev care a cam ocolit ├«nv─â┼úatul ├«n ultimii ani, sau nu poate face lesne transferul de cuno┼čtin┼úe dintr-un capitol ├«n cel─âlalt, ├«nv─â┼úarea problemelor cu teorema lui Pitagora este subminat─â.

Dimpotriv─â, exist─â ┼či cei care aplic─â teorema lui Pitagora ├«n dou─â forme, de sum─â, dac─â ┼čtim ambele catete ┼či avem de calculat ipotenuza, respectiv de diferen┼ú─â, dac─â nu cunoa┼čtem o catet─â, pornind de fiecare dat─â cu latura necunoscut─â. Aparent, aici elevul are de ├«nv─â┼úat dou─â rezolv─âri ├«n paralel (├«n loc de una) ┼či mai are de luat ┼či o decizie ├«n plus, anume pe care dintre cele dou─â s─â o foloseasc─â ├«n fiecare caz. ├Än aceast─â rezolvare, ├«ns─â, elevul nu este dependent de abilit─â┼úile dintr-un capitol precedent de algebr─â, ci rezolvarea se resr├ónge doar la aplica┼úii aritmetice. Apoi, aceast─â a doua rezolvare ├«l antreneaz─â pe elev de a lua decizii ├«nc─â ├«ntr-un loc. Pe l├óng─â faptul c─â-l ├«nv─â┼ú─âm pe elev s─â aplice anumite re┼úete, anumi┼úi algoritmi, ca profesori, noi trebuie s─â-l ├«nv─â┼ú─âm s─â ┼či g├óndeasc─â, m─âcar c├ótu┼či de pu┼úin ┼či pe elevul cel mai slab la matematic─â. Mie personal, aceast─â a doua variant─â de rezolvare prin Pitagora ├«mi ofer─â o astfel de ocazie de formare a g├óndirii ┼či la cei mai “├«ncep─âtori” la matematic─â.

Merit─â s─â adaug aici ├«nc─â un aspect ciudat legat de ├«nv─â┼úarea matematicii. ├Än general, lumea tr─âie┼čte cu impresia c─â ├«nv─â┼úatul matematicii este ca un tren al c─ârui traseu trebuie s─â ├«l parcurgi neap─ârat pornind de la prima sta┼úie, pe r├ónd prin toate celelalte. Eu sunt ├«ns─â de alt─â p─ârere, anume c─â pe lungul traseu al acestui tren exist─â anumite sta┼úii ├«n care un elev se poate urca cu succes, f─âr─â ├«ns─â s─â fi parcurs ├«n prealabil toate celelalte dinainte. De ce nu le-ar fi parcurs? P─âi, din lene, sau poate datorit─â unei pred─âri mult prea elevate din partea profesorului, c─âreia elevul pur ┼či simplu nu i-a f─âcut fa┼ú─â, sau din cine ┼čtie ce alte motive.

Pentru astfel de elevi (care nu sunt deloc pu┼úini), calculul de arii ┼či perimetre din clasa a 7-a, cu aplicarea teoremei lui Pitagora, reprezint─â o astfel de oportunitate rar─â de a se urca ├«n “trenul g├óndirii matematice” cu mult─â eficien┼ú─â ┼či succes, cresc├ónd puternic moralul ┼či dispozi┼úia unui astfel de elev ├«n a ├«nv─â┼úa matematica (creierul s─âu creaz─â cu aceast─â ocazie sinapse de g├óndire ┼či ├«nva┼ú─â s─â le foloseasc─â, urm├ónd ca aceste conexiuni s─â fie utilizate ulterior ┼či ├«n alte situa┼úii). Apoi, odat─â pornit─â g├óndirea matematic─â, un astfel de elev reu┼če┼čte cu timpul s─â recupereze ┼či multe alte elemente dintre cele pierdute ├«nainte. Uneori o astfel de recuperare poate fi absolut spectaculoas─â, ridic├ónd elevul de la nivelul unui analfabetism func┼úional matematic extrem (la ├«nceputul clasei a 7-a) p├ón─â la nivelul de intrare la liceu ├«ntr-o clas─â de ┼čtiin┼úe.

Planimetria ┼či Stereometria ÔÇô (7) Scurt istoric al studiului despre drepte ┼či plane

Am v─âzut ├«n acest eseu-serial cum la geometria ├«n spa┼úiu din clasa a 8-a avem de fapt o form─â de predare orientat─â dup─â criteriile rigurozit─â┼úii matematicii, dar care sfideaz─â criteriile pedagogice. Aceast─â form─â poate fi ├«n┼úeleas─â de c─âtre v├órfurile popula┼úiei ┼čcolare, dar se desf─â┼čoar─â mult prea sus din punct de vedere intelectual pentru cea mai mare parte a popula┼úiei ┼čcolare. Probabil c─â mul┼úi dintre matematicieni nu ├«n┼úeleg de ce “prostimea” nu face fa┼ú─â geometriei, pentru c─â doar, m─âcar ariile ┼či volumele “sunt simple”. P─âi, DAAAA!, chiar ┼či lucrurile simple devin de ne├«n┼úeles pentru mul┼úi dac─â sunt prezentate ├«n context complicat sau ├«ntr-o form─â f─âr─â sens! Iar dup─â o vreme apare at├ót negarea ┼či refuzul, din punct de vedere psihologic, c├ót ┼či incapacitatea pur─â de a urm─âri ┼č├« a ├«n┼úelege un con┼úinut, chiar dac─â acesta este prezentat evident simplu, din punct de vedere al capacit─â┼úii intelectuale. Cu alte cuvinte, o predare mult prea elevat─â duce la ├«ndobitocirea maselor!

Haide┼úi s─â v─â prezint ce amintiri am eu despre clasa a 8-a ├«n leg─âtur─â cu acest subiect, al studiului pozi┼úiei relative a dreptelor ┼či planelor ┼či a demonstra┼úiilor cu acestea ├«naintea elementelor de stereometrie. Nu ┼úin minte mai nimic, ├«n afara faptului c─â dup─â o anumit─â or─â din clasa a 8-a m-am dus acas─â ┼či mi-am construit o mic─â machet─â pentru teorema celor trei perpendiculare (o machet─â foarte mic─â, la care “planul” era reprezentat de un dreptunghi de la o cutie de chibrituri, care la vremea respectiv─â ├«nc─â erau f─âcutedin pl─âcu┼úe foarte sub┼úiri de lemn lipite ├«mpreun─â cu h├órtie). Singura datare clar─â a momentului respectiv este c─â a fost c├óndva ├«nainte de Cr─âciun, pentru c─â respectiva machet─â a ajuns at├órnat─â ├«n bradul ├«mpodobit, ┼či a r─âmas mul┼úi ani printre podoabele pentru pom (chiar ┼či c├ónd eram prin facultate o mai g─âseam acas─â la p─ârin┼úii mei ├«n bradul de Cr─âciun).

Nu am amintiri de geometrie ├«n spa┼úiu dinaintea acestui moment, dar b─ânuiesc ca ceva am ├«n┼úeles din acele ore, de vreme ce am priceput teorema respectiv─â, despre care ┼úin minte o stare de relativ entuziasm, dup─â care am putut s─â fac corect macheta respectiv─â c├ónd am ajuns acas─â. Precizez c─â am f─âcut-o din proprie ini┼úiativ─â; nu a fost tem─â. Urm─âtoarele amintiri le am despre formulele de arii ┼či volume, undeva prin prim─âvar─â.

Cu alte cuvinte, ┼či atunci, pe forma de manuale ale lui Hollinger, ├«n ultimul an de valabilitate al acestora (1980-1981), toamna era ocupat─â de studiul relativ detaliat al dreptelor ┼či planelor, un studiu greu ┼či pentru elevii cu o vedere geometric─â bun─â (nu am nici cea mai mic─â amintire despre probleme sau teste, dar probabil c─â nici nu f─âceam mare lucru; problemele adev─ârate ├«n acest sens au venit la a doua trecere, ├«n clasa a 10-a). C├ót era acest studiu de detaliat, dar totu┼či prezentat pe baze intuitive, se poate vedea din oricare manual din anii ’60-’70. Nu mi-am propus acum s─â v─â prezint aceast─â form─â ├«ntr-un studiu detaliat (cea din timpul ┼čcolii mele), dar este evident c─â respectivele manuale ar trebui studiate ┼či actualmente, at├ót de c─âtre autorii de programe, c├ót ┼či mai ales de c─âtre autorii de manuale.

Mai am ├«ns─â o relatare despre acest subiect, una profund diferit─â ┼či totu┼či pe aceea┼či linie, anume de la mama mea. Zilele acestea (dup─â publicarea primelor patru p─âr┼úi ale prezentului eseu) ├«i povesteam mamei mele despre acest subiect ┼či iat─â ce mi-a povestit (la telefon). Partea de studiu a dreptelor ┼či planelor i-a fost una dintre cele mai ur├óte p─âr┼úi din matematic─â, vorbind aici cu referire la clasa a 10-a (Mama a predat toat─â cariera ei ├«n liceu). De abia dup─â ce ap─âreau corpurile ┼či ap─âreau cerin┼úe pe corpuri, de abia atunci sim┼úea c─â elevii ├«ncep s─â ├«n┼úeleag─â respectivele situa┼úii (nu vorbea aici de arii ┼či volume, ci doar de studiul comportamental al dreptelor ┼či planelor ├«n spa┼úiu). Cu alte cuvinte, nici m─âcar ├«n clasa a 10-a, la o a doua trecere prin subiect) elevilor nu le erau accesibile problemele cu demonstra┼úii ├«n spa┼úiu dar f─âr─â corpuri (vorbim aici de liceul din Or. Victoria, ca un e┼čantion destul de reprezentativ pentru toat─â ┼úara: cu reprezentan┼úi ai elevilor din toate nivelele, de la cei ce urmai s─â ajung─â muncitori de r├ónd, apoi mul┼úii viitori intelectuali, p├ón─â la cei ce urmau s─â ajung─â ├«n cele mai ├«nalte pozi┼úii universitare, la nivel na┼úional sau interna┼úional, ┼či p├ón─â la locul I la Olimpiadele na┼úionale de matematic─â).

Traduc eu: problemele pe structuri artificiale, de tipul celei date azi var─â la EN-8, sunt mult mai greu de ├«n┼úeles pentru elevi dec├ót situa┼úiile prezentate ├«n corpuri, care sunt ni┼čte structuri mai u┼čor de ├«n┼úeles. Corpurile ac┼úioneaz─â aici ca un fel de “schel─â” suport pentru ├«n┼úelegerea ┼či g├óndirea elevului, pentru capacitatea sa de imagina┼úie ├«n spa┼úiu; desigur c─â ├«n lipsa acestei schele elevul se descurc─â mult mai greu. Acest aspect a fost recunoscut pe la sf├ór┼čitul anilor 2000, c├ónd s-a decis introducerea rapid─â a corpurilor la ├«nceputul clasei a 8-a, ├«ntr-o form─â descriptiv intuitiv─â, astfel ├«nc├ót s─â se poat─â parcurge din start ├«n mod echilibrat ┼či probleme “├«n corpuri”, nu doar pe structuri artificiale. Din p─âcate “onor ministerul” nu a explicat niciodat─â aceste aspecte, l─âs├ónd totul la bunil sim┼ú al profesorilor.

Ordinea natural─â ar fi dimpotriv─â urm─âtoarea: De la ├«nceput probleme cu drepte ┼či plane doar pe corpurile deja studiate, iar doar de la un anumit moment probleme pe structuri artificiale. Eu, de pild─â, studiez mai ├«nt├ói toate prismele ┼či piramidele; apoi studiez lec┼úiile u┼čoare despre drepte ┼či plane doar pe corpuri (unghiul dintre dou─â drepte necoplanare, drepte necoplanare perpendiculare, dreapt─â perpendicular─â pe plan, plane perpendiculare, drepte paralele, dreapt─â paralel─â cu un plan, c├ót ┼či planele paralele). La acestea elevii primesc o structur─â artificial─â teoretic─â urmat─â imediat de aplica┼úii pe corpuri, transferul fiind ajutat de c─âtre folosirea cretelor colorate (├«ntotdeauna acelea┼či culori ┼či pe structura teoretic─â ┼či ├«n mod corespunz─âtor pe corpul geometric din problem─â). Structurile artificiale le introduc abia la teorema celor trei perpendiculare. Din acest moment apar apoi ┼či aplica┼úii ale celorlalte ├«n structuri artificiale.

Pentru cei care au uitat problema de azi var─â ┼či nu ├«n┼úeleg la ce m─â refer c├ónd vorbesc de probleme pe structuri artificiale, o reiau pe scurt: ├Än Figura 3 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB┬á=┬á24┬ácm ┼či BC┬á=┬á10┬ácm. Punctul O este intersec┼úia dreptelor AC ┼či BD, iar dreapta EO este perpendicular─â pe planul (ABC). Punctele M, N ┼či P sunt mijloacele segmentelor AB, AD, respectiv AE etc.

Mama vorbea de elevii de a 10-a, la o a doua parcurgere; la cei de a 8-a, la primul contact cu situa┼úia respectiv─â, fenomenul este desigur ┼či mai dur. At├ót de dur ├«nc├ót mul┼úi dintre elevii care poate ar ├«nv─â┼úa geometria ├«n spa┼úiu, dup─â un astfel de prim contact se sperie at├ót de tare, ├«nc├ót cu greu mai pot fi recupera┼úi. Iar dup─â reforma din 1997, c├ónd s-a scos geometria sintetic─â din liceu, elevii nu mai au oricum o a doua ┼čans─â de a ├«n┼úelege acest studiu.

Apare aici o situa┼úie de ordin filozofic: dac─â studiul dreptelor ┼či planelor este at├ót de important din punct de vedere al matematicii, atunci de ce nu este reluat ├«n liceu? Dimpotriv─â, dac─â acest studiu nu este totu┼či at├ót de important, atunci de ce se insist─â cu introducerea acestuia ├«nainte de elementele de stereometrie, care sunt evident mult mai accesibile marii majorit─â┼úi a elevilor? P─âi, sunt sau nu importante?

Revenind la amintirile mele, trebuie s─â precizez accentuat c─â efectiv nu am amintiri din clasa a 8-a ├«naintea teoremei celor trei perpendiculare. Din clasa a 10-a, c├ónd am reluat aceast─â materie, nu am astfel de “lipsusuri”, dar trebuie ├«n┼úeles c─â eu am avut dintotdeauna o foarte bun─â vedere geometric─â. Dimpotriv─â, mul┼úi elevi nu au nativ o vedere geometric─â bun─â. La ace┼čtia profesorul trebuie s─â aib─â mult tact pedagogic pentru a-i ajuta s─â-┼či formeze minime capacit─â┼úi ├«n acest sens (voi reveni cu o alt─â ocazie asupra acestui subiect).

Rezum├ónd cele dou─â amintiri, ale mele din clasa a 8-a, c├ót ┼či ale mamei mele de profesoar─â ├«n liceu, putem spune c─â elevul obi┼čnuit tr─âia o stare bulversant─â ├«n care reac┼úia natural─â era cea de “ghiocel”: s─â stai cuminte, cu capul aplecat ┼či s─â speri c─â “azi nu o s─â te pun─â pe tine”. La aceste lec┼úii elevul de r├ónd tr─âie┼čte o fric─â profund─â, refugiindu-se ├«n copierea lec┼úiei cuminte, iar apoi acas─â, ├«n copierea temei de la cineva care o ┼čtie sau de la un coleg care o are (de la altcineva care o ┼čtie) aceasta este o situa┼úie specific─â sistemelor autoritare. Cre┼čtinismul Evului mediu a inventat-o prin v├ón─âtoarea de vr─âjitoare, dar ┼či comunismul a practicat-o intens: s─â te sim┼úi vinovat c─â nu ├«ndepline┼čti cerin┼úele cerute (renumitul plan de produc┼úie), ca s─â stai “ghiocel” ┼či s─â nu emi┼úi preten┼úii. Din p─âcate, aceast─â stare se p─âstreaz─â ├«n continuare ┼či azi (decembrie 2020), c├ónd la radio se aud evoc─âri cu ocazia ├«mplinirii a 31 de ani de la Revolu┼úia din decembrie 1989. ┼×i acum elevii tr─âiesc impulsul de a se refugia ├«n aceast─â “stare de ghiocel” ca s─â nu atrag─â aten┼úia asupra lor iar profesorul s─â-i ├«ntrebe ceva din lec┼úie (la multe lec┼úii se ├«nt├ómpl─â aste, chiar la multe materii, dar acesta este un alt subiect).

Haide┼úi s─â schimb─âm punctul de vedere din cel particular ├«ntr-unul c├ót mai general. Haide┼úi s─â arunc─âm o privire ├«n trecut, asupra respectivei p─âr┼úi a geometriei ├«n spa┼úiu, s─â vedem cum st─âteau lucrurile la nivel na┼úional ├«ntr-un trecut c├ót mai ├«ndep─ârtat, c├ót mai “istoric” posibil. Ar fi minunat s─â putem afla de unde vine aceast─â ordonare a materiei. Sursele mele de informare sunt ├«n acest punct deosebit de limitate, dar c├óte ceva tot am g─âsit (oare nu se apuc─â nimeni de o cercetare mai profund─â a acestui subiect?).

├Än perioada interbelic─â ┼čcoala (c├ót de c├ót) obligatorie era de 4 ani. Doar cei ale┼či de soart─â mergeau mai departe la liceu. Pentru aceste elite exista o materie mult mai intelectual─â dec├ót ar fi fost normal ├«n cazul unei ┼čcoli de mas─â. Odat─â cu extinderea ├«nv─â┼ú─âm├óntului de mas─â de c─âtre autorit─â┼úile comuniste, mai ├«nt├ói la 7 clase, apoi la 8, a fost nevoie de adaptarea materiei obi┼čnuite din primele clase de liceu (actualele clase 5-8) la o form─â c├ót de c├ót accesibil─â ├«ntregii popula┼úii ┼čcolare. Aici autorii de manuale s-au confruntat cu o mare dilem─â, anume cum s─â adapteze o materie setat─â de ani buni doar pentru elite ├«ntr-o form─â folosibil─â pentru “tot poporul”, cerut─â de c─âtre noile autorit─â┼úi, care puneau popula┼úia muncitoare deasupra elitelor intelectuale.

Merg├ónd ├«n urm─â pe aceast─â “linie de studiu”, am avut norocul s─â-mi parvin─â un manual semnat A. Hollinger din 1957: GEOMETRIA Manual pentru clasa a VII-a, Ed. de Stat didactic─â ┼či pedagogic─â. Cartea este ├«mp─âr┼úit─â ├«n dou─â p─âr┼úi: GEOMETRIE PLAN─é ┼či GEOMETRIE ├ÄN SPA┼óIU. Prima parte are ┼čase capitole: I. Figuri asemenea; II. Rela┼úii metrice ├«ntr-un triunghi dreptunghic; III. Elemente de trigonometrie; IV. Poligoane regulate; V. Ariile poligoanelor; VI. Lungimea ┼či aria cercului. A doua parte are dou─â capitole: VII. Introducere; VIII. Arii ┼či volume. Iat─â ├«n detaliu cuprinsul p─âr┼úii a doua:

B─ânuiesc c─â acest manual este din anii c├ónd ┼čcoala obligatorie din Rom├ónia fusese extins─â de la 4 ani la 7 ani, deci era manualul de geometrie pentru ultimul an de ┼čcoal─â general─â. Vedem cum ┼či atunci autorii de manuale considerau ca obligatoriu ÔÇô din punct de vedere ┼čtiin┼úific ÔÇô un studiu preliminar despre drepte ┼či plane ├«n spa┼úiu, studiu care s─â preg─âteasc─â ├«n┼úelegerea corpurilor. Pare o obsesie a matematicienilor, care oarecum nu ┼úine cont de existen┼úa intui┼úiei naturale a elevului (intui┼úie cu care ├«ns─â lumea matematicienilor constatase c─â s-a p─âc─âlit r─âu de tot ├«n cazul situa┼úiei sistemului geometric axiomatic, pe la ├«nceputul secolului al XIX-lea, a┼ča ├«nc├ót de-atunci a ├«nceput “s─â sufle ┼či-n iaurt”, adic─â s─â ┼úin─â cont destul de obsesiv de aceasta chiar din ┼čcoala elementar─â). Pe de alt─â parte putem vedea lucrurile ┼či astfel: ├«n general, ├«n perioada postbelic─â, corpurile geometrice erau mult mai pu┼úin prezente ├«n via┼úa elevului de r├ónd, dec├ót sunt acum. De pild─â, ├«n prezent orice copil de ┼čcoal─â primar─â a v─âzut cuburi Rubik sau poze ┼či filme cu piramidele din Egipt, pe c├ónd ├«n anii postbelici “cultura general─â” a elevilor despre corpuri geometrice trebuie c─â era mult mai redus─â. Dar s─â revenim la manualul din 1957.

Capitolul VII. de introducere ├«n geometria ├«n spa┼úiu nici m─âcar nu are un titlu, dar nu are trecute la cuprins nici titlurile lec┼úiilor, de┼či dac─â r─âsfoim prin carte g─âsim ni┼čte titluri (un fel de titluri de aliniat): 139. Planul; 140. Determinarea planului; 141. Pozi┼úia unei drepte fa┼ú─â de un plan; 142. Construc┼úia unei drepte paralele cu un plan; 143. Pozi┼úia relativ─â a dou─â drepte; 144. Drepte paralele; 145. Unghiul a dou─â drepte; 146. Pozi┼úia relativ─â a dou─â plane; 147. Plane paralele; 148. Dreapt─â perpendicular─â pe un plan; 149. Condi┼úia ca o dreapt─â s─â fie perpendicular─â pe un plan; 150. Distan┼úa dintre dou─â plane paralele; 151. Proiec┼úii; 152. Perpendiculare ┼či oblice; 153. Distan┼úa de la un punct la un plan; 154. Unghiul unei drepte cu un plan; 155. Unghi diedru; 156. Unghi plan corespunz─âtor unui unghi diedru; 157. Reprezentarea corpurilor prin desen cotat (tip─ârit─â cu caractere mai mici); 158. Reprezentarea corpurilor ├«n perspectiv─â; 159. Exemple (p─âtrat, triunghi echilateral, hexagon regulat reprezentate “culcat”).

Titlul 157. are o clar─â utilitate tehnic─â (eram ├«n anii de foc ai comunismului, iar absolven┼úii care aveau s─â intre dup─â ┼čcoal─â ├«n c├ómpul muncii trebuiau s─â primeasc─â primele indica┼úii pentru citirea unui desen tehnic ├«n vederea confec┼úion─ârii unei anumite piese). Tilurile 157 ┼či 158 sunt de fapt ├«mpreun─â ┼či prezint─â instruc┼úiuni detaliate de reprezentare a figurilor ┼či corpurilor ├«n spa┼úiu (din p─âcate, dup─â titlul 158. mai aparte un exemplu de la titlul precedent). Lec┼úia cuprins─â ├«n aceste dou─â titluri este foarte bine explicat─â ┼či actual─â oric├ónd.

Este de b─ânuit ca acest capitol VII. introductiv ├«n ale geometriei ├«n spa┼úiu s─â fi fost oricum parcurs “pe repede ├«nainte”, deoarece toat─â partea de geometrie ├«n spa┼úiu ocupa cel mult jum─âtate din anul ┼čcolar, mai probabil ├«ns─â sub jum─âtate (poate c─â cele dou─â capitole aveau alocat doar trimestrul III.). Pentru a ├«n┼úelege diferen┼úa uria┼č─â existent─â ├«ntre acest─â prezentare introductiv─â ┼či actuala form─â a materiei din semestrul I al clasei a 8-a, am anexat ├«n final ├«n scanare acest capitol. Se vede clar cum prezentarea este setat─â totalmente pe o cunoa┼čtere intuitiv─â, pu┼úinele cazuri de “teoreme” primind aceast─â denumire doar ca “titlu ┼čtiin┼úific-nobiliar”.

Putem privi importan┼úa dat─â celor dou─â p─âr┼úi ale geometriei ├«n spa┼úiu ┼či analiz├ónd pur ┼či simplu num─ârul de pagini alocat fiec─âriua: Cap VII. Introducere are 19 pagini, pe c├ónd Cap. VIII. Arii ┼či volume are 34 de pagini. Cei drept c─â apar ocazional ┼či corpuri neregulate (din punct de vedere a bazelor). Nu l-am studiat ├«n detaliu, dar nu am v─âzut figuri cu corpuri ├«nclinate. Ca o observa┼úie evident─â, actualmente raportul ├«ntre cele dou─â p─âr┼úi este cu totul altul (cam invers).

Sare “├«n ochi” destul de repede faptul c─â nu apare teorema celor trei perpendiculare. Din p─âcate nu am ├«n paralel spre analiz─â ┼či manualul pentru primul an de liceu (sau pentru al doilea), unde este de a┼čteptat s─â apar─â totu┼č├« aceast─â vestit─â teorem─â, dar faptul ├«n sine ne arat─â c─â aceasta era privit─â ca un element de geometrie teoretic─â “├«nalt─â”, doar pentru “cei ale┼či” (cei capabili de a┼č┼ča ceva ┼či care intrau la liceu).

Desigur c─â mai trebuie s─â ┼úinem cont ├«n analiza noastr─â ┼či de faptul c─â la vremea respectiv─â se mergea la ┼čcoal─â cam de la 6 ani ├«mplini┼úi, clasa I corespunz├ónd actualei clase preg─âtitoare, astfel ├«nc├ót acest manual de clasa a 7-a corespunde ca v├órst─â adresat─â actualei clase a 6-a.

Revenind la capitolul analizat, putem compara situa┼úia de atunci cu situa┼úia actual─â ┼či din punct de vedere al problemelor. Dac─â ve┼úi avea r─âbdare s─â le lectura┼úi, ve┼úi constata c─â sunt probleme pe baz─â de situa┼úii din lumea ├«nconjur─âtoare, “probleme” ce scot ├«n eviden┼ú─â situa┼úii din lumea real─â bazate pe teoria studiat─â. Nici vorb─â de problemele cu care suntem obi┼čnui┼úi la ora actual─â, de┼či se pot g─âsi anumite probleme ce ar merita f─âcute la clas─â.

Legat de capitolul despre corpuri, merit─â f─âcut─â o singur─â observa┼úie: vede┼úi cum cilindrul este f─âcut imediat dup─â prisme, fiind de fapt asimilat grupului prismelor; cilindrul este de fapt o prism─â cu baza cerc, simplu, nu-i a┼ča? Dar, oare, ce-i acela un prismatoid? Nu v─â bate┼úi capul, e o ciud─â┼úenie, lec┼úia con┼úin├ónd ┼či anumite elemente profund discutabile.

Haide┼úi s─â facem un salt ├«n timp, tot cu A.Hollinger, dar al─âturi de Carina P├órvulescu, la manualul de clasa a 8-a din 1971 (deja se introdusese de mult clasa a 8-a ├«n ┼čcoala general─â, iar geometria ├«n spa┼úiu avea la dispozi┼úie un an ├«ntreg din ┼čcoala general─â, cu materie cuprins─â ├«n examenul de admitere la licee). ├Äntre timp capitolul ce ne intereseaz─â a primit ┼či un nume Drepte ┼či plane (e comic, dar acesta nu are ┼či un num─âr). Studiul despre corpuri, cu arii ┼či volume a fost desp─âr┼úit ├«n dou─â, exist├ónd capitolul 2. Poliedre ┼či separat capitolul 3. Corpuri rotunde. ├Än plus mai exist─â ┼či un capitol ciud─â┼úel cuprinz├ónd Elemente de cosmografie (oamenii trebuiau s─â ├«n┼úeleag─â ce se petrecea ├«n marea lupt─â de cucerire a spa┼úiului cosmic, ├«ntre “minunea sovietic─â” ┼či capitali┼čtii ─âia de americani).

De┼či se p─âstreaz─â linia de prezentare intuitiv─â ├«n capitolul despre drepte ┼či plane, ├«ntre timp a ap─ârut ┼či teorema celor trei perpendiculare, dar ┼či unele probleme de structuri artificiale constuite ad-hoc (de pild─â: ├«n figura 64 punctul M este exterior planului triunghiului ABC etc.). La acest capitol sunt cu totul 6 pagini de exerci┼úii scrise mai m─ârunt, incluz├ónd ├«ns─â ┼či 16 figuri generoase, cu multe ├«ntreb─âri din anii ’50 pentru aprofundarea fenomenelor studiate (apare din nou sc─âunelul cu trei picioare), dar ┼či probleme noi, at├ót dintre cele pe structuri artificiale, dar ┼či ├«ntreb─âri pe corpuri studiate (├«ntre timp capitolul folose┼čte ┼či corpuri elementare, cuburi, prisme sau piramide).

Cum spuneam, astfel de analize ale formelor de predare din trecut ar trebui f─âcute ├«n mod foarte serios, pentru c─â de acolo pot fi deduse idei deosebit de bune ├«n rezolvarea problemelor cu care ne confrunt─âm ├«n prezent. ├Än general, orice program─â ┼či orice manual vor corespunde cu adev─ârat nevoilor actuale doar dac─â se bazeaz─â pe un studiu profund al trecutului, din punct de vedere al experien┼úelor de predare, apoi pe un studiu profund al prezentului, mai ales din punct de vedere al psihologiei elevului din zilele noastre, ┼či nu ├«n ultimul r├ónd un studiu profund al viitorului, din punct de vedere nevoilor generale ale viitorilor adul┼úi pe toate palierele profesionale posibile, adic─â pe tot evantaiul profesional, dem la cei de orientare real─â la cei de orientare umanist─â, de la cei de elit─â p├ón─â la muncitorul de r├ónd (care, ┼či acesta, ar trebui s─â ├«nve┼úe s─â g├óndeasc─â la nivelul s─âu de capacitate ┼či de nevoi).

Din p─âcate, fiecare pas f─âcut ├«n reformarea pred─ârii matematicii, pas care nu ┼úine cont de aceste aspecte, trimite tot mai departe ├«n viitor o posibil─â vindecare a pred─ârii geometriei pentru genera┼úiile urm─âtoare. De pild─â, analiz├ónd o culegere preg─âtitoare cu teste pentru noua form─â de Evaluare Na┼úional─â ├«n finalul clasei a 8-a (una renumit─â, “nu spui care”), observ c─â elementele de stereometrie sunt aproape eliminate, prelu├ónd de la sine ├«n┼úeles (drept “cvasi-obligatorie”) ideea din anul trecut ┼čcolar c├ónd aria ┼či volumul corpurilor au fost excluse din programa de examen. Oameni buni, ce facem aici? Distrugem genera┼úii dup─â genera┼úii! Constantin Titus Grigorovici

P.S. Pe c├ónd erau gate p─âr┼úile 7 ┼či 8 ale acestui mega-eseu, discut├ónd pe aceste subiecte cu so┼úia mea, a reie┼čit un aspect special. Ea ┼či-a adus aminte cum ├«n clasa a 8-a savura situa┼úii de tipul unor piramide neregulate, adic─â la care fie baza este un poligon neregulat (cel mai uzual exemplu este un romb) dar ├«n─âl┼úimea cade ├«n centrul acestuia, fie c─â ├«n─âl┼úimea cade ├«ntr-un punct necentral al bazei (eventual chiar ├«ntr-un col┼ú al bazei), fie am├óndou─â cumulate. La aceste corpuri trebuia s─â calculezi ├«n─âl┼úimile fe┼úelor laterale ├«n mod special, acest calcul implic├ónd de obicei ┼či aplicarea teoremei celor trei perpendiculare, aceast─â mare teorem─â c─âp─ât├ónd astfel un sens practic, pe mintea elevului de clasa a 8-a (care tot ├«n scopul calcul─ârii g─âse┼čte o justificare mai pe mintea lui, dec├ót ├«n scopul demonstr─ârii pure a unor situa┼úii ÔÇô vorbesc aici de amintiri r─âmase de 40 de ani, ├«ns─â ├«n mintea unui profesor).

Bine, ve┼úi spune, dar corpurile neregulate nu sunt actualmente ├«n materie. Da, pentru c─â au fost scoase din materia clasei a 8-a c├óndva la ├«nceputul anilor ’90, exact ca s─â u┼čureze materia. Dar nu au u┼čurat-o, pentru c─â toate aceste aplica┼úii ale teoremei celor trei perpendiculare au fost p─âstrate ├«n probleme pe structuri artificiale: Pe planul rombului ABCD se ridic─â perpendiculara OM, O fiind punctul de intersec┼úie al diagonalelor rombului etc. Problema a r─âmas, dar a fost de fapt crescut nivelul de dificultate, deoarece elevul nu mai are corpul care s─â-i ofere acea “schel─â” de sus┼úinere a imagina┼úiei ┼či a g├óndirii ├«n spa┼úiu.

Ah, da, ┼či am omis un aspect: vorbesc aici de amintirile unui fost elev care ├«n clasa a 8-a a ratat “la musta┼ú─â” locul 1 la olimpiada jude┼úean─â pe Cluj (pe-atunci acesta era apogeul, ne-exist├ónd ┼či faz─â na┼úional─â). So┼úia mea poveste┼čte cum savura munca de a depista unde cade respectiva “apotem─â”; teorema celor trei perpendiculare c─âp─âta astfel “sens” ├«n mintea sa. ┼×i eu am astfel de amintiri, pu┼úine ├«ns─â din clasa a 8-a (eu n-am umblat la olimpiade ├«n a 8-a), dar multe din liceu (care evident predomin─â).

Reversul acestei situa┼úii, anume calculul ariei laterale a unor piramide regulate, ne atrage din nou aten┼úia asupra unui aspect special, anume asupra faptului c─â la apotema piramidei regulate nu este nevoie de T3P. Nu este nevoie, dup─â mintea elevului de a 8-a, dar nu este nevoie nici din punct de vedere teoretic, fe┼úele laterale ale piramidei fiind triunghiuri isoscele, ├«n care ├«n─âl┼úimea cade evident ├«n mijlocul muchiei de baz─â, toate calculele put├ónd fi efectuate cu cuno┼čtiin┼úele de a 7-a. Cu alte cuvinte, reiese iar─â┼či aspectul de care am scris, anume c─â pentru aria lateral─â a unei piramide regulate (a piramidelor din program─â) nu este nevoie de T3P, ├«n general de┬á toat─â partea de teoreme ├«n spa┼úiu.

Am alunecat din nou ├«n aceast─â stare pe care unii ar putea-o interpreta drept agresiune la adresa rigurozit─â┼úii matematice. Nimic mai gre┼čit! Problema este ├«n cu totul alt─â direc┼úie: rigurozitatea matematic─â este foarte important─â, dar locul ei ├«n forma pur─â este altundeva, anume ├«n facultate, deci dup─â o a doua selec┼úie a doritorilor de matematic─â (prima fiind la sf├ór┼čitul clasei a 8-a). Dup─â prima selec┼úie se poate trece la rigurozitate ridicat─â, dar nu absolut─â, aspectele de psihologia pedagogic─â trebuind s─â r─âm├ón─â activ─â ├«n selec┼úia materiei (chiar dac─â nu pe primul loc, ci doar pe al doilea, dup─â rigurozitatea teoretic─â). ├Änainte de prima selec┼úie a popula┼úiei ┼čcolare rigurozitatea matematic─â trebuie s─â fie ├«ns─â pe al doilea loc, dup─â criteriile psiho-pedagogice. P├ón─â la EN din clasa a 8-a, fiind o ┼čcoal─â general─â, matematica trebuie s─â aib─â ca obiectiv principal formarea ┼či ┼čcolirea capacit─â┼úii de a ra┼úiona la c├ót mai mul┼úi elevi, nu doar la elite. ┼×colirea g├óndirii trebuie adaptat─â la nivelul marii popula┼úii ┼čcolare. O g├óndire prea ridicat─â ├«n cadrul orelor de matematic─â ├«i las─â pe cei mai mul┼úi f─âr─â o g├óndire ra┼úional─â (adic─â ├«i las─â pro┼čti!).

Bine, dar cum facem cu rigurozitatea teoretic─â a geometriei, care este astfel condamnat─â “s─â r─âm├ón─â de c─âru┼ú─â”, pentru c─â geometria sintetic─â se mai face doar ├«n clasele gimnaziale? Aici iese ├«n eviden┼ú─â marea gaf─â petrecut─â la reforma din 1997 c├ónd a fost scoas─â geometria sintetic─â din licee, dup─â ce la reforma din 1980 se cam ├«nghesuise oricum toat─â la un nivel foarte ├«nalt ├«n gimnaziu. Practic, dup─â 1980 se f─âcea geometria sintetic─â de dou─â ori, cam la fel (├«n cazul genera┼úiilor care au terminat clasa a 8-a ├«nainte de 1981 geometria gimnazial─â era la un nivel mai sc─âzut dec├ót cea din liceu). Astfel, ├«n 1997 s-a considerat c─â de fapt nu-┼či mai are loc o a doua reluare a geometriei sintetice ├«n liceu, pentru c─â aceasta oricum se face ├«n mod complet ├«n gimnaziu. Aici este MAREA GRE┼×EAL─é, despre care nu ┼čtiu c├ót este de clar sesizat─â la nivelul conducerii matematicii rom├óne┼čti.

Acum ne preg─âtim pentru o nou─â program─â de liceu (genera┼úia ce a pornit prima clasa preg─âtitoare este ├«n clasa a 8-a iar pentru ei trebuie f─âcut totul nou), dar pandemia ne ocup─â tot timpul ┼či parc─â v─âd c─â rat─âm ┼či acest moment ce ar putea fi reparatoriu la adresa geometriei. Pentru mine este evident c─â acesta ar trebui s─â fie c├ót mai urgent subiectul unui viitor eseu (dac─â nu m-am trezit prea t├órziu).

SCANARI Cap VII-Introducere