Cred că onor cititorii şi-au dat seama că am redactat acest mega-eseu cu gândul direct la studiul ariilor şi al volumelor corpurilor geometrice din clasa a 8-a, indignat fiind de excluderea acestora din materia de EN în contextul opririi şcolilor în primăvara acestui an bulversant 2020, dar şi speriat fiind de posibilitatea repetării scenariului pentru următoarea generaţie. Dacă în anul şcolar 2019-2020 decizia se mai justifică cumva, pentru anul şcolar 2020-2021 nu mai există nici cea mai mică justificare, datorită faptului că lucrurile puteau fi pregătite din timp (adică din vara anului 2020).
Unul din motivrele plauzibile pentru care nu a fost pregătită, respectiv prevenită repetarea unei astfel de situaţii, este faptul că probabil în Minister atenţia majorităţii este îndreptată cu predilecţie spre vârfuri, spre matematica “de performanţă”; ori, mişcarea de excludere a stereometriei de la EN nu i-a afectat prea mult pe elevii de vârf (cei mai buni dintre ei au primit însă o lovitură “sub centură” prin toamnă, când d-na Ministru filolog a decis să elimine toate olimpiadele din activitatea acestui an, deci inclusiv “sfintele” olimpiade de matematică).
Se pare însă că pe diriguitorii matematicii româneşti nu-i prea interesează ce se întâmplă cu marea masă a celor “slabi la matematică”. Lor le-au dat câteva întrebări tălâmb de banale, astfel încât să nu existe proteste din partea acestora, dar şi pentru ca promovabilitatea pe ţară să fie OK din punct de vedere politic, astfel încât guvernanţii să aibă linişte măcar din acest punct de vedere într-un an electoral agitat cum nu a mai fost altul.
Aşadar, aceasta a fost motivaţia mea principală, pentru redactarea ideilor exprimate, cea din punct de vedere a afectării stereometriei. În cadrul acestui mega-eseu am folosit însă ocazia pentru a atinge şi alte aspecte colaterale, care însă sunt înrudite ca fenomenologie, respectiv ca atitudine a organizatorilor din Minister, a autorilor de manuale sau a marii majorităţi a profesorilor, care însă toate afectează la diferite vârste învăţarea matematicii şi formarea gândirii la marea masă a elevilor.
Unul din “punctele” respective îl reprezintă planimetria, mai ales studiul ariilor în clasa a 7-a, despre care am vorbit în diferite rânduri. În contextul studiului ariilor există multe aspecte implicate. Haideţi să analizăm mai atent două dintre acestea şi felul în care ele interacţionează. Precizez că este vorba de aspecte ale predării noastre ca profesori în România acestor ani, aspecte care însă nu sunt defel şi niciunde discutate: nici în materialul însoţitor al programei noi din 2017, nici în cursurile de formare, nici în manuale, niciunde!
Un prim aspect la care mă gândesc este faptul că planimetria capătă un sens evoluat, un sens cu adevărat matematic, doar odată cu posibilitatea calculului unor lungimi prin teorema lui Pitagora. Fără teorema lui Pitagora calculul ariilor şi a perimetrelor se rezumă la aplicarea unor reţete, adică a unor formule anterior dobândite (deduse prin gândire sau primite “de-a moaca”), şi a finalizării corecte a calculului din acestea (care se rezumă de obicei la aritmetică de clasa a 5-a, eventual la calcule cu proaspăt învăţatele numere iraţionale). De-abia prin teorema lui Pitagora calculul de arii şi perimetre devine MATEMATICĂ, devenind adică o situaţia de gândire, de forţare a individului în a decide singur ce paşi trebuie să facă, de a alege şi a combina diferite procedee anterior învăţate într-un întreg, care să parcurgă în mod coerent drumul de la ce se dă la ce se cere. De abia prin posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora planimetria urcă de la nivelul unui calcul banal la nivelul superior al problemelor de matematică. Cu alte cuvinte, folosirea teoremei lui Pitagora îl obligă pe elev să urce de la aplicarea “contabilicească” a unei formule, a unei reţete, la un nivel elevat în care el, elevul, trebuie să gândească, adică să ia decizii despre ce procedeu să aplice în fiecare moment.
De abia prin integrarea teoremei lui Pitagora în probleme planimetria urcă la un nivel de complexitate comparabil cu cealaltă mare parte a geometriei, anume cu demonstraţia geometrică. Totuşi, chiar dacă urcă de la nivelul de “exerciţii” (aplicarea şi exersarea unei simple reţete individuale) la nivelul de “problemă” (combinarea mai multor reţete individuale într-un întreg mai complex, combinare ce are loc, cum spuneam, în urma unor decizii ale rezolvitorului, ce reprezintă deja un proces de gândire), planimetria rămâne oricum la un nivel mai accesibil majorităţii elevilor pentru că răspunde la mult mai obişnuita întrebare “CÂT?”, pe când necesitatea demonstraţiei apare în urma întrebării “DE CE?”. Or, întrebarea “CÂT?” este mult mai prezentă în cotidianul majorităţii oamenilor, inclusiv a celor mai mulţi elevi, fiind ca atare mult mai accesibilă majorităţii indivizilor, decât întrebarea “DE CE?”, care este evident o întrebare mai profundă (vedeţi, asta numesc eu o adevărată psiho-pedagogie; şi când mă gândesc câţi ani m-am uitat cu dispreţ la cartea prof. Eugen Rusu despre Psihologia activităţii matematice).
Cu întrebarea “CÂT?” elevul se confruntă din clasele primare, aceasta reprezentând deci parte a zonei sale de confort intelectual matematic, chiar şi măcar datorită faptului că s-a confruntat cu astfel de situaţii de multe ori. Această întrebare este specifică gândirii infantile, anume a stadiului operaţional concret, aşa cum îl denumea Piaget, deşi problemele de calcul a ariilor şi a perimetrelor încep să folosească elemente ale gândirii adulte, din stadiul operaţional formal. Dimpotrivă, problemele de demonstraţie, cele care răspund la întrebarea “DE CE?”, lucrează predominant la nivelul gândirii adulte, adică în stadiul operaţional formal al raţionamentelor.
Vreau să spun aici că problemele de planimetrie reprezintă o cale de formare şi de exersare a gândirii mult mai accesibilă marii majorităţi a elevilor decât problemele de demonstraţie. Mai mult, toate problemele de demonstrat (inclusiv cele de calcul, dar care folosesc artificii algebrice sau de demonstraţie geometrică) reprezintă perioade ale orei de adresare şi educare exclusivă a elitelor, a elevilor de vârf (de obicei 2-3 în clasă). Dimpotrivă, problemele de calcul reprezintă perioade de adresare generală a întregii clase, adică şi a marii majorităţi a elevilor, din care însă înţeleg şi cei buni (şi, să ştiţi că nu li se usucă creierul de puţină “artimetică”).
Mai mult, în aceste perioade, elevii de vârf au ocazia să exerseze EMPATIA, dar şi o stare de respect plină de îngăduinţă faţă cei care le sunt inferiori din punct de vedere al gândirii. Dimpotrivă, toate acele perioade ale orei când se lucrează doar pentru vârfurile clasei, îi educă pe aceştia înspre o stare îngâmfată egoist-egocentristă, ce nu are nimic în comun cu educarea respectului mutual ce ar trebui să existe între membrii unei societăţi civilizate.
Cu alte cuvinte, prin problemele de planimetrie şi stereometrie profesorul de matematică are o ocazie mult mai accesibilă de a deveni un formator de gândire, decât prin intermediul demonstraţiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formează corpul de bază al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre gândire prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe când în cazul problemelor de demonstrat aceştia vor fi tentaţi să înveţe pe de rost, mimând că gândesc, gândirea adevărată rămânând “de căruţă” (vezi şi P.S. din final, cu alte aspecte legate de acest important gând).
Până la programa din 2017 acest pas (introducerea teorema lui Pitagora în calculul ariilor) nu era posibil în cadrul capitolului din toamna clasei a 7-a, evident pentru că elevii încă nu aveau parcursă teorema lui Pitagora, aceasta fiind poziţionată în programă de abia în semestrul al II-lea, fixată fiind acolo de acceptarea doar a demonstraţei prin teorema catetei, care la rândul ei trebuia în prealabil demonstrată prin asemănarea triunghiurilor. Ca o paranteză fie spus, atenţionez că există şi demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (încă multe chiar), demonstraţii ce ar permite includerea acestei teoreme în capitolul de arii (eu am ales una dintre ele, incluzând-o astfel de 20 de ani în studiul ariilor din toamna clasei a 7-a), dar acesta este un alt subiect şi nu vreau să intru în el acum.
Dimpotrivă, după programa din 2017, programă ce implică predarea “în gol”, adică fără demonstraţie, a teoremei lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, n-ar mai trebui să ne împiedice nimic în integrarea acestei teoreme în studiul ariilor din toamna clasei a 7-a. Orice demonstraţie la teorema lui Pitagora implică parcurgerea unor elemente dificile, din categoria demonstraţiilor, înainte de aplicarea banală a calculului în probleme de planimetrie (absolut ciudat, dar acest fenomen nu apare şi în stereometrie, unde se poate intra în mod intuitiv direct în calcule, fără a fi nevoie de demonstraţii prealabile). Dimpotrivă, situaţia ciudată creată de programa din 2017 ne scuteşte de acest aspect al rigurozităţii, dând “mână liberă” profesorului de a folosi din start teorema lui Pitagora la calculul de arii şi perimetre. Şi totuşi, în aceste condiţii “ideale” pentru profesor de a face un pas clar în favoarea majorităţii elevilor, cei mai mulţi profesori se fac că nu văd, ratând această oportunitate, unii chiar luptându-se împotriva acesteia.
În acest sens, poate fiecare să studieze cum arată situaţia în manualele sau în culegerile auxiliare însoţitoare alese; unii le-au integrat timid, alţii dimpotrivă nu s-au gândit la această posibilitate (eu personal nu am făcut un astfel de studiu cât de cât vast; vorbesc doar în urma întâlnirii unor câteva exemple din ambele categorii). Care este însă situaţia de la clasă în acest context? Păi, cam aceeaşi: profesorii nu se bagă, nu văd oportunitatea, le este “nu ştiu cum” să iasă din zona de confort a predării din ultimii zece ani.
În acest sens vreau să prezint un singur exemplu: chiar zilele acestea, după publicarea părţii (4) a acestui mega-eseu, m-am întâlnit din nou cu o situaţie absurdă şi am promis că o voi prezenta. Este vorba despre situaţia unei probleme din capitolul de arii din clasa a 7-a, în care, la propunerea unui elev de a rezolva cu teorema lui Pitagora, profesorul spune ad-literam: încercăm să evităm folosirea lui Pitagora (aproape că ai impresia că-l vezi pe acel profesor “scrâşnind printre dinţi” o înjurătură la adresa cui o fi decis introducerea acelei lecţii în finalul clasei a 6-a). Este NOAPTEA MINŢII să lucrezi întreg acest capitol fără teorema lui Pitagora, deşi de data asta elevii o cunosc, doar aşa, pentru că tu te-ai obişnuit să predai acele lecţii fără Pitagora şi îţi este greu să te schimbi. Analizând situaţia concret am putut vedea gândul mai profund al respectivului profesor, anume că el pregătise problema pentru o anumită rezolvare, care era mai scurtă, dar mai “algebrică” decât cea prin folosirea teoremei lui Pitagora (aceasta fiind însă din punct de vedere al elevilor mai accesibilă pentru că era mai “aritmetică”, chiar şi prin prisma celui mai bun elev din clasă, cel care venise cu propunerea). Da, “stimaţi” colegi, dar într-o astfel de situaţie suntem obligaţi să explicăm situaţia elevilor, nu doar să le refuzăm soluţia în mod schizofrenic, pentru că altfel lucrurile rămân în mentalul întregii clase la un nivel inerxplicabil mustind de subiectivitate: de ce să evităm folosirea lui Pitagora de vreme ce o cunoaştem? Vedeţi cum situaţia capătă aspecte conflictuale prin impulsul unei astfel de contra-întrebări retorice.
Cum s-ar fi putut evita astfel de situaţii? Păi simplu, dacă în textele însoţitoare ale programei din 2017 ar fi fost prevăzute şi incluse aceste aspecte, dacă ar fi fost clar precizate, atunci autorii de manuale le-ar fi integrat clar şi vizibil, iar profesorii s-ar fi adaptat evident. Aşa, după cum am mai spus, fiecare ocazie de reformă adevărată şi profundă este ratată în România cu mare stil şi eleganţă balcanică, astfel încât cei de la baza învăţământului, profesorii de rând şi orele lor în nici un caz nu au cum să evolueze în favoarea marii majorităţi a populaţiei şcolare.
Am precizat, mai ales la geometria în spaţiu din clasa a 8-a, că avem de fapt o formă de predare orientată după criteriile rigurozităţii matematicii, dar care sfidează criteriile pedagogice (înţelegeţi ce am vrut cu axele acelea ciudate din prima parte a eseului). Această formă este accesibilă vârfurilor populaţiei şcolare, dar se desfăşoară mult prea sus din punct de vedere intelectual pentru cea mai mare parte a elevilor. Probabil că mulţi dintre matematicieni nu înţeleg de ce “prostimea” nu face faţă geometriei, pentru că doar, măcar ariile şi volumele din clasa a 8-a “sunt simple”. Acelaşi fenomen se întâmplă însă şi cu un an înainte, în clasa a 7-a la studiul ariilor, din cauza a două aspecte, unul dintre ele fiind cel discutat mai sus.
Un al doilea aspect de analizat ar fi următorul: studiul ariilor are două părţi destul de bine delimitate, cu adresabilitate destul de diferită la nivelul elevilor. Pe de o parte avem calculul concret ar ariilor, ce se face cu diferite formule (majoritatea figurilor au mai multe formule, în funcţie de situaţia datelor, şî acestea cu adresabilitate diferită la nivelul elevilor, dar nu mai pornesc şi în acest sens o analiză specială). Pe de altă parte, avem studiul proprietăţilor ariilor, cu figuri echivalente (de obicei necongruente, dar cu aceeaşi arie), rapoarte de arii sau diferite relaţii între elementele unor figuri, relaţii demonstrabile cu ajutorul ariilor. De obicei, în această parte nu se cere calculul unei arii. Prin excelenţă, apogeul acestui domeniu matematic îl reprezintă chiar teorema lui Pitagora, anume că aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete (deşi în mentalul multor profesori din România pare că este prohibită).
Din a doua parte, cea mai accesibilă şi cunoscută este proprietatea de arie a medianei, anume că mediana împarte triunghiul în două triunghiuleţe cu ariile egale, deşi de obicei acestea nu sunt congruente. Şi lungimea înălţimii pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic poate fi demonstrată aici foarte uşor, prin egalarea a două formule de arie a acestuia. Anexez aici două din problemele mele preferate în această parte de geometrie.
Eu am scos în evidenţă existenţa celor două părţi destul de diferite încă din 2005, la redactarea culegerii de geometrie publicată în 2006 împreună cu soţia mea (De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, Probleme elementare de geometrie plană, Ed. Humanitas Educaţional). În această lucrare am cuprins două capitole separate cu arii: Cap. V – Calcule de arii şi perimetre, respectiv Cap. VI – Proprietăţile ariei (problemele de mai sus sunt primele două din acest capitol). Cap. V este adresat, cel puţin în prima sa parte, elevilor de rând, cuprinzând multe probleme de calcul elementar de arii şi perimetre ale figurilor de bază, pe când Cap.VI se adresează prin excelenţă doar elevilor buni la matematică.
Problemele de felul celor două (mai sus prezentate) sunt destul de şocante pentru cei mai mulţi elevi, pur şi simplu pentru faptul că sunt probleme de arii, dar în care elevul nu primeşte nici un număr cu care să calculeze. Arii, dar fără numere, cum vine asta??? Chiar şi cel mai bun elev este bulversat de această situaţie. Diferenţa dintre elevii de vârf şi cei de rând este că cei buni reuşesc să-şi revină din această bulversare, pe când cei de rând nu. Există desigur şi probleme “parşive” în acest sens, probleme în care rezolvitorul primeşte numere (de obicei un număr), dar problema nu este una tradiţională “de calculat”, ci una de comparare de arii. Iată un exemplu la repezeală în acest sens: Considerăm un triunghi oarecare ABC de arie 234 cm2 şi notăm cu M, N şi P mijloacele laturilor sale. Demonstraţi că patrulaterul AMNP este un paralelogram şi determinaţi aria acestuia. Problema are un număr, dar nu ai ce să calculezi mare lucru cu acesta. Putem explica şi astfel: la acel paralelogram, nu-i poţi calcula nici o latură, nici o înălţime (aşa cum art cere formula de bază).
Rezumând, putem spune că neconştientizarea existenţei acestei delimitări destul de clare între cele două domenii, alături de neimplicarea teoremei lui Pitagora în capitolul de arii din semestri I al clasei a 7-a, contribuie împreună la ratarea momentului acestui capitol înspre atragerea elevilor de rând către fenomenul matematic. Mulţi profesori bombardează clasele cu probleme din partea de proprietăţi a ariilor, accesibile doar vârfurilor, astfel încât toţi elevii de rând din aceste clase ratează oportunitatea conectării cu gândirea, chinuindu-se în cel mai bun caz să înveţe pe de rost rezolvările respectivelor probleme. Aceasta, împreună cu faptul că elevii nu primesc dreptul de a folosi teorema lui Pitagora în calcule, îi menţine pe cei mai mulţi într-o stare de profundă prostie matematică, tăindu-le posibilitatea accesării gândirii prin fereastra de oportunitate numită “arii”.
Avem şi aici un bun exemplu prin care profesorimea împinge elevii spre analfabetism funcţional matematic, aspect ce iese apoi la iveală în mod dureros la examenul de EN sau la studiile PISA, dar şi cu alte ocazii. Degeaba avem câteva vârfuri cu care ne tot mândrim, când în paralel avem o politică aparent gândită doar spre îndobitocirea maselor.
Dar nici măcar această parte despre proprietăţile ariilor nu este predată corect. De multe ori elevii primesc probleme din această parte, fără să aibă predate înainte elementele necesare (profesorul de mai sus s-a trezit după o săptămână că nu le-a dat proprietatea de arie a medianei, necesară într-o problemă de la temă). Eu văd însă un aspect negativ mult mai profund. Această parte de proprietăţi a ariilor se împarte şi ea în două subpărţi. Există aici foarte multe aplicaţii care sunt exprimabile uşor în limbaj algebric, spre care tind cei mai mulţi profesori, dar există aici şi aplicaţii cu un profund caracter vizual grafic. Cele cu caracter algebric sunt mai statice (de pildă faptul că produsul dintre o latură a unui triunghi şi înălţimnea corespunzătoare este acelaşi, indiferent de latura aleasă ca bază), pe când cele cu caracter mai vizual grafic sunt oarecum “în mişcare” (de pildă faptul că aria unui triunghi nu se modifică dacă “plimbăm” un vârf al acestuia paralel cu latura opusă). Această a doua parte, care dezvoltă o mobilitate mai bună în gândire, este cu totul neglijată în România, fiind abandonată total după reforma din 1997.
*
Încerc să mă opresc aici, deşi este evident pentru orice cititor că aş putea continua cu alte şi alte aspecte “mult şi bine”. Sunt sigur că acest mega-eseu are clar un aer destul de haotic, trecând uneori neaşteptat “de la una la alta”. Este evident că la o a doua reluare lucrurile ar fi mult mai ordonate, dar acest eseu a fost publicat în “timp real”. Iniţial am gândit 4, ba nu 5 părţi (una introductivă şi câte una pentru fiecare clasă gimnazială), iar apoi am spus că mai adaug şi una de concluzii, deci 6, pentru ca în final să ajung la 8 părţi.
Nutresc însă speranţa, că cititorul de bună credinţă a putut căpăta o idee solidă despre cum ar trebui integrate elementele de planimetrie şi de stereometrie în materia de gimnaziu, într-un mod cât mai just relativ la cele trei axe de referinţă prezentate iniţial: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă. Nutresc speranţa că am reuşit să atrag atenţia cititorilor asupra acestei problematici importante şi că aceştia şi-au făcut o idee cât mai sănătoasă despre “traseul” pe care noi profesorii ar trebui să-i conducem pe elevi prin “meandrele octantelor” apărute între aceste trei axe de referinţă ale predării geometriei gimnaziale (octantele reprezintă “optimile” în care este împărţit spaţiul de către trei axe de coordonate; octantele sunt similarele cadranelor în sistemul de două axe; cadranele reprezintă “colţuri 2D”, pe când octantele “colţuri 3D”; m-am referit aici la imaginea cu cele trei axe din prima parte a eseului).
Mai sunt doar câteva aspecte pe care nu le-am putut integra fluent în începutul acestui episod, aşa încât le-am păstrat pentru final, în următorul Post Scriptum. Sper să mă pot limita la 8 părţi pentru acest mega-eseu (8 este un număr foarte favorabil din punct de vedere Feng Shui), dar nu pot “băga mâna-n foc” că nu mă va mai apuca din nou scrisul pe acest subiect. Constantin Titus Grigorovici
P.S. Spuneam mai sus că prin problemele de planimetrie şi stereometrie profesorul de matematică are o ocazie mult mai accesibilă de a deveni un formator de gândire pentru marea masă a elevilor, decât prin intermediul demonstraţiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formează corpul de bază al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre gândire mult mai lesne prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe când în cazul problemelor de demonstrat aceştia vor fi tentaţi să înveţe pe de rost, gândirea adevărată rămânând “de căruţă”.
Acest aspect este susţinut şi de faptul că în calculul de arii şi perimetre elevul are de combinat calculele teoremei lui Pitagora cu formulele de arie specifice figurii respective, adică are de ales dintre decizia de aplicare între puţini “paşi logici” (la care se adaugă situaţiile banale din cazul perimetrelor), pe când în cazul demonstraţiilor elevul are de ales dintre mult mai mulţi paşi logici posibili (deja învăţaţi), pentru combinarea într-o demonstraţie corectă. Cu alte cuvinte, combinarea unei rezolvări de planimetrie este mult mai simplă decât majoritatea situaţiilor de combinare a unei probleme de demonstraţie.
Ca o scurtă paranteză, precizez că în nici un caz nu ar trebui să le dăm elevilor de învăţat “formule pentru perimetre”. Fenomenul perimetrelor este atât de simplu, încât profesorul ar trebui să le pună din start la baza ideii de gândire. Acolo unde profesorul observă că elevul are tendinţa să înveţe pe de rost “o formulă de perimetru”, acolo trebuie intervenit de urgenţă pentru a atrage mintea elevului înapoi pe linia de gândire. Una este ca elevul să fi dedus singur şi să ştie că perimetrul unui romb este 4a (de 4 ori latura) şi să o poată explica de unde vine, iar alta este să vedem că elevul nu ştie de unde vine această “formulă”, dar a învăţat-o pe de rost, eventual şi-a şi notat-o într-o listă după care o repetă şi este ascultat acasă, de către un părinte binevoitor, dacă “o ştie”.
Merită făcută aici şi o altă scurtă observaţie metodică, în vederea oportunităţii de formare a gândirii, în sensul de antrenare a minţii elevului în a lua deciziile juste în fiecare caz în parte (vorbesc aici de situaţii din planimetrie, unde, cum am spus, procesul decizional este la un nivel mult mai accesibil). În general există două tipuri de rezolvări prin teorema lui Pitagora. Există pe de o parte cei care scriu relaţia întotdeauna în formă de sumă, urmând ca în cazul când necunoscuta este o catetă, aceasta să fie calculată în final prin procedee specifice ecuaţiilor (trecut în membrul celălalt cu semnul schimbat. Această rezolvare se bazează pe faptul că elevul ştie foarte bine să rezolve ecuaţii, dar în cazul unui elev care a cam ocolit învăţatul în ultimii ani, sau nu poate face lesne transferul de cunoştinţe dintr-un capitol în celălalt, învăţarea problemelor cu teorema lui Pitagora este subminată.
Dimpotrivă, există şi cei care aplică teorema lui Pitagora în două forme, de sumă, dacă ştim ambele catete şi avem de calculat ipotenuza, respectiv de diferenţă, dacă nu cunoaştem o catetă, pornind de fiecare dată cu latura necunoscută. Aparent, aici elevul are de învăţat două rezolvări în paralel (în loc de una) şi mai are de luat şi o decizie în plus, anume pe care dintre cele două să o folosească în fiecare caz. În această rezolvare, însă, elevul nu este dependent de abilităţile dintr-un capitol precedent de algebră, ci rezolvarea se resrânge doar la aplicaţii aritmetice. Apoi, această a doua rezolvare îl antrenează pe elev de a lua decizii încă într-un loc. Pe lângă faptul că-l învăţăm pe elev să aplice anumite reţete, anumiţi algoritmi, ca profesori, noi trebuie să-l învăţăm să şi gândească, măcar câtuşi de puţin şi pe elevul cel mai slab la matematică. Mie personal, această a doua variantă de rezolvare prin Pitagora îmi oferă o astfel de ocazie de formare a gândirii şi la cei mai “începători” la matematică.
Merită să adaug aici încă un aspect ciudat legat de învăţarea matematicii. În general, lumea trăieşte cu impresia că învăţatul matematicii este ca un tren al cărui traseu trebuie să îl parcurgi neapărat pornind de la prima staţie, pe rând prin toate celelalte. Eu sunt însă de altă părere, anume că pe lungul traseu al acestui tren există anumite staţii în care un elev se poate urca cu succes, fără însă să fi parcurs în prealabil toate celelalte dinainte. De ce nu le-ar fi parcurs? Păi, din lene, sau poate datorită unei predări mult prea elevate din partea profesorului, căreia elevul pur şi simplu nu i-a făcut faţă, sau din cine ştie ce alte motive.
Pentru astfel de elevi (care nu sunt deloc puţini), calculul de arii şi perimetre din clasa a 7-a, cu aplicarea teoremei lui Pitagora, reprezintă o astfel de oportunitate rară de a se urca în “trenul gândirii matematice” cu multă eficienţă şi succes, crescând puternic moralul şi dispoziţia unui astfel de elev în a învăţa matematica (creierul său crează cu această ocazie sinapse de gândire şi învaţă să le folosească, urmând ca aceste conexiuni să fie utilizate ulterior şi în alte situaţii). Apoi, odată pornită gândirea matematică, un astfel de elev reuşeşte cu timpul să recupereze şi multe alte elemente dintre cele pierdute înainte. Uneori o astfel de recuperare poate fi absolut spectaculoasă, ridicând elevul de la nivelul unui analfabetism funcţional matematic extrem (la începutul clasei a 7-a) până la nivelul de intrare la liceu într-o clasă de ştiinţe.