Steaua sus răsare ca o taină mare

Demult îmi doream să realizez o astfel de stea. Este vorba de “stelarea” unui icosaedru, anume de “prelungirea” muchiilor sale, astfel încât acestea să formeze pe fiecare faţă o piramidă triunghiulară. Cu alte cuvinte, icosaedrul având 20 de feţe, vom obţine în exteriorul acestuia o stelare cu 20 de piramide. Se poate studia de ce muchiile stelării şi muchiile icosaedrului de bază sunt în raprtul secţiunii de aur (eu le-am făcut de 10 respectiv de 16 cm, întreaga stea având o înălţime de cca. 48 cm).

Tehnic, stelarea respectivă este manufacturată din beţe de forsiţia, curăţate de coajă imediat după tăiere şi lăsate să se usuce bine. Acestea sunt foarte casante la tăierea cu un fierăstrău normal, dar s-au putut tăia bine cu un fierăstrău de traforaj (păstrat din clasa a 5-a, când lucram cu el la atelier). Beţişoarele din aceste joarde au un gol pe interior, asemănător cu trestia. După tăiere, acestea trebuie perforate pentru penetrare, “tubul” fiind întrerupt din loc în loc. Beţele sunt asamblate cu sârmă trecută prin tuburile respective. Un corp similar s-ar putea face din beţişoare curăţate de vată, cu aţă trecută prin ele (beţişoarele icosaedrului trebuie tăiate corespunzător pentru a obţine tăietura de aur cu beţişoarele stelării).

Corpul geometric respectiv face parte din Stelele lui Kepler (mai există încă unul similar construit pe un dodecaedru, dar acesta nu are stabilitate dacă este făcut din beţişoare pentru că doar corpurile din feţe triunghiulare sunt perfect stabile). Pe net acesta este de găsit de pildă la adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron. Următoarea imagine este luată de pe Wikipedia nemţească la adresa https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Poinsot-K%C3%B6rper . O variantă interesantă pentru pasionaţii de origami găsiţi şi dând spre căutare Bascetta-Stern. CTG

Volumul cilindrului şi greutatea porcului la ignat

Deci, greutatea porcului se poate determina cu o ruletă, măsurând circumferinţa porcului (notată cu C) şi lungimea sa de la urechi la coadă (notată cu L), prin formula de-a dreptul magică G = C2 · L · 69,3. Pentru cine n-a înţeles, reiau: măsurăm în metri cele două dimensiuni le porcului, aplicăm formula şi G = C · C · L · 69,3 şi obţinem greutatea porcului în kilograme (pardon, masa porcului, ca să fie corect şi din punctul de vedere al fizicii, sau? parcă altfel era, porcul era prelucrat fizic de ignat pe masă din bucătărie…). Oricum, vă las să vă lămuriţi urmărind un filmuleţ găsit pe internet: https://agrointel.ro/89877/cum-aflam-greutatea-unui-porc-fara-cantar-formula-de-calcul-care-nu-da-gres/

Pe mine mă interesează mult mai mult dedesupturile acestei formule, respectiv analogia acesteia cu cea pentru volumul cilindrului, corp cu care este aproximat porcul. Este clar că C2 ascunde, prin perimetrul cercului – ridicat aici la pătrat – renumitul r2 din aria bazei, pe când L stă pentru înălţimea cilindrului. Detalii fizice, precum elementele anatomice ale porcului care ies din forma cilindrului (râtul, picioarele etc.), detalii matematice, precum implicarea şi evoluţia coeficienţiilor, printre care şi vestitul π, dar şi detaliile de densitate medie organismului porcului sau transformarea ciudată din lungimi în greutate, toate acestea devin colaterale în faţa evidenţei: formula cunoscută de mulţi pentru greutatea porcului este structurată pe baza formulei pentru volumul cilindrului.

Din păcate, această legătură fascinantă nu-şi prea poate găsi un moment prielnic de discutare la clasă, ca un exemplu fascinant de aplicabilitate a matematicii: în clasa a 8-a cilindrul se studiază prin primăvară (departe de ignat), iar în liceu nu se mai studiază defel elementele de geometrie clasică şi stereometrie. Doar din partea unui profesor deschis la minte şi cu ajutorul unei teme de proiect ar putea veni “salvarea” pentru implicarea acestei misterioase formule în procesul de învăţământ, poate într-o colaborare cu fizica sau cu biologia.

Planimetria şi Stereometria – (6) Concluzii, cu trimitere la reforma de avarie

Am ajuns la capătul unui drum explicativ deosebit delung, dar şi detaliat, de înţelegere a contextului în care se integrează “geometria de calculat” alături de “geometria de demonstrat” în şcolile noastre gimnaziale. În acest sens am explicat de la început că întregul fenomen trebuie înţeles în toată amplitudinea sa, din toate punctele de veddere, iar fenomenul trebuie adaptat în funcţie de diferitele situaţii întâlnite.

Situaţia actuală este rezultatul mai multor reforme, cea mai nocivă fiind pe departe reforma din 1980, cerută la vremea respectivă de Ceauşescu, numită de mine “reforma uitată” pentru că majoritatea profesorimii a uitat de aceasta şî despre cum arăta matematica şcolară până la finalul anilor ’70.

Actualmente, începând cu noua programă din 2017 s-au încercat paşi reparatorii destul de puternici, dar profesorii de matematică nu-i înţeleg. Din partea oficialităţilor nu s-a făcut destul încât să “se întoarcă căruţa” înspre o direcţie mai sănătoasă (nu am discutat despre cauzele acestei situaţii sau despre ce ar fi trebui făcut).

În acest sens reiau un singur exemplu din câte am discutat: chiar zilele acestea, după publicarea părţii (4) a acestui mega-eseu, m-am întâlnit din nou cu o situaţie absurdă şi am promis că o voi prezenta. Este vorba despre capitolul de arii din clasa a 7-a, în care, la propunerea unui elev de a rezolva cu teorema lui Pitagora, profesorul spune ad-literam: încercăm să evităm folosirea lui Pitagora. Este NOAPTEA MINŢII să lucrezi întreg acest capitol fără teorema lui Pitagora, deşi de data asta elevii o cunosc din finalul clasei a 6-a, doar aşa, pentru că tu te-ai obişnuit să-l predai fără Pitagora şi îţi este greu să te schimbi.

Poate onor cititorii au simţit, poate nu, dar merită să precizez un aspect important: am redactat întreg acest mega-eseu cu durerea în suflet că în România planimetria şi stereometria sunt neglijate, fiind clar pe un loc secund după geometria axiomatică, cu definiţii şi demonstraţii, cu multe multe demonstraţii, care însă sunt accesibile doar unei minorităţi a populaţiei şcolare. Am încercat să aduc argumente înspre alegerea unei căi de echilibru (nu vreau să pun “prostimea” în faţă, ci doar să avem un echilibru între atenţia dată elitelor şi atenţia acordată marii majorităţi a populaţiei şcolare).

Dar ce m-a apucat chiar acum? Totul a fost motivat de experienţa de anul trecut, experienţă ce pare să se repete în mod stupid, prin care – printr-un simplu ordin de ministru – a fost ştearsă din viaţa unei întregi generaţii toată stereometria din clasa a 8-a.

Să analizăm, deci, – din nou (a nu ştiu câta oară, poate mă şi aude totuşî cineva) – să analizăm ce s-a întâmplat după declanşarea pandemiei de Covid-19 din punctul de vedere al sterometriei. În primul rând să ne aducem aminte cum a fost tratată situaţia de către ministerul condus de D-na Anisie pentru generaţia clasei a 8-a din anul şolar 2019-2020. Păi, simplu: s-a decis, prin analogie cu materia de la Limba şi literatura română, să se taie materia de examen la finalul semestrului I (orientativ), astfel încât materia de arii şi volume a fost eliminată de la examen, lăsată pur şi simplu “pe din afară”. În paralel, şi-au dat ei seama că au o problemă mare cu cei care nu pot “duce” demonstraţii, aşa că au introdus acele cerinţe înjositoare, restrângând întrebările de planimetrie la nivelul clasei a 5-a, iar stereometria desfiinţată cu totul (cu excepţia determinări de lungimi bazate tot pe demonstraţii grele în spaţiu).

Nici nu mai are rost aici să discutăm că aceşti elevi, odată împrăştiaţi la diferitele forme de şcolarizare în clasa a 9-a nu vor mai relua niciodată stereometria, deşi D-na Ministru aşa a promis (că să stea liniştiţi părinţii, că materia se va relua la toamnă). Cu alte cuvinte, vom avea o generaţie care habar nu are de paşii minimali de calcul practic a ariilor sau a volumelor. Minunat! Bine însă că cei puţini care pot înţelege au parcurs liniştiţi mai toate formele de demonstraţii în spaţiu. Încă o dată precizez: “MINUNAT”!!!

Haideţi să vedem cum stau însă lucrurile pentru generaţia următoare (clasa a 8-a pe anul şcolar 2020-2021). Pentru că, ne-am fi aşteptat să se remedieze lucrurile măcar pentru aceştia, adică ne-am fi aşteptat ca responsabilii cu matematica să fi sesizat situaţia şi să fi încercat într-o formă sau alta să prevină repetarea acesteia la următorii elevi de a 8-a. Am avut totuşi o vară în care se puteau studia lucrurile, astfel încât la reîntoarcerea la şcoală să fim întâmpinaţi cu “o programă de pandemie” orientativă (un “plan B”, în caz că se întâmplă din nou să se închidă şcolile), măcar pentru clasele terminale (faceţi prioritar aia şi aia, lăsaţi mai la coadă acelea etc., în caz că vom trece iarăşi în online, că acum sunteţi pregătiţi cu calculatoare şi cu tablete …). Dar nu, nu s-a făcut nimic, totul sub premisa tâmpită: “hai să fim optimişti!”.

De-abia după o nouă închidere a şcolilor s-a trezit şi D-na Ministru şi a dat ordin să se facă “o programă de avarie”. Când va apărea aceasta? Pentru că, până una-alta, profesorii merg mai departe pe programa oficială şi bagă de zor poziţii relative ale dreptelor şi planelor. Iar vor rămâne pe de lângă calculele simple, dar neumilitoare de arii şi volume implicând şi teorema lui Pitagora? Ne putem aştepta. Mai sacrificăm o generaţie, pentru că oricum, din punctul de vedere al unui filolog “se face prea multă matematică în România”.

Putem pune şi altfel problema: cât poate dura să se facă o “programă de avarie”? Chiar nu s-a gândit nimeni până în toamnă la aceste aspecte şi la o astfel de posibilitate? Groaznic! Acum oricum se schimbă tot guvernul; cine ştie când se va face, dacă se va mai face o astfel de programă de “planul B”.

În aceste condiţii, cel mai bine ar fi să se lase aşa cum sunt, dar să se lase şi toată materia pentru examen. În aceste condiţii lucrurile vor putea fi reglate de la sine – fiecare va face cât poate de mult, ordonându-le după posibilităţile concrete – iar din partea ministerului vor veni noi teste de antrenament cuprinzând şi calcul de arii şî volume, măcar pe corpurile esenţiale, cele care apar şi în practică (incluzând şi corpurile rotunde simple). Deci, stimaţi conducători ai matematicii şcolare româneşti: nu mai scoateţi de la EN calculul de arii şi volume!

Apropos, în toamnă au fost sistate pentru acest an şcolar şi olimpiadele, aşa că oricum toată geometria demonstrativă din materia olimpiadelor este cam degeaba. Ba nu, veţi spune, rămâne totuşi pentru examen. Da, voi răspunde eu, este pentru examen, dar accesibilă doar unei minorităţi reduse. Cu restul ce facem??? Păi, vă zic eu ce facem: îngroşăm rândurile analfabeţilor funcţionali la următoarele studii PISA, iar de data asta o facem ordonat şi cu reluare; nu cu premeditare, dar din prostie şi cu indiferenţă. Constantin Titus Grigorovici

P.S. V-am obişnuit la părţile acestui eseu să am şi alte comentarii colaterale şi nici acum nu fac excepţie. Nu pot să nu mă gândesc la acţiunea mediatizată (dar, din păcate, prea puţin luată în seamă) a colegului Sorin Borodi din Dej, care prin 2019 s-a revoltat puternic pentru faptul că elevii nu ştiu să aplice matematica învăţată în situaţii din viaţa reală.

Atât planimetria, cât mai ales stereometria sunt domenii matematice care sunt potrivite “par excellence” ca domenii de aplicabilitate în viaţa de zi cu zi. Din clasa a 5-a se pot da elevilor probleme cu volumul şi aria unui acvariu sau a unei piscine paralelipipedice, iar în clasa a 8-a ar trebui să facem din nou şi aplicaţii pe diferite corpuri, cutii de carton sau alte obiecte cât de cât realiste.

Desigur că ultima precizare este esenţială, anume că trebuie să fie o situaţie realistă, iar elevii simt imediat o situaţie dacă aceasta este cu totul falsă. Mi-a rămas în memorie un contra-exemplu năucitor dintr-o culegere din urmă cu câţiva ani (citat orientativ din memorie): în figura alăturată este reprezentat un tort în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos … Pe bune? Ce a gândit acel coleg când a redactat respectiva problemă? Şi, nu s-a gândit nimeni să-l tragă niţel de mânecă?

Vă las pe dvs. să trageţi concluziile acestui Post Scriptum din punct de vedere al faptului că ministerul “se cam joacă” de-a scosul stereometriei din clasa a 8-a pentru al doilea an la rând. Adică, ce vreau să zic? Păi, nici măcar nu am avut vreun ordin care să ceară explicit profesorilor de la clasele de a 9-a să recupereze fiecare cum s-o pricepe, măcar pentru câteva ore, pe câteva exemple, partea de stereometrie din clasa a 8-a de anul trecut (proces care să fie finalizat cu un scurt test, pentru o minimă garanţie). În schimb, vedem cum “istoria” pare să se repete şi anul acesta şcolar, pentru următoarea generaţie.

Planimetria şi Stereometria – (5) Situaţia clasei a 8-a

Am parcurs acest drum explicativ deosebit de detaliat, dar şi lung, pentru a înţelege contextul în care se petrece “geometria de calculat” în şcolile gimnaziale din România. În acest sens am explicat de la început că întregul fenomen trebuie înţeles în toată amplitudinea sa, din toate punctele de vedere, prezentând în acest sens trei “axe de discuţie”, pe care le reiau aici pe scurt: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă.

Am văzut astfel în acest mega-eseu cum se alternează parcurgerea şi abordarea materiei, pendulând de-a lungul acestor axe într-un fel destul de discutabil, de multe ori deosebit de agresiv la adresa nevoilor şi a posibilităţilor elevilor la diferite vârste. Multe se mai pot înţelege cumva, dintre cele ce se întâmplă în clasele 5-7, dar agresivitatea sistemului la adresa elevilor de rând îşi atinge apogeul în geometria de clasa a 8-a. Vorbesc aici de ordinea total nepedagogică între partea de demonstraţii cu “teoreme în spaţiu” şi partea de stereometrie, adică de calcul a ariilor şi a volumelor diferitelor corpuri studiate. Să analizăm acest subiect.

Materia este aranjată după principiul rigurozităţii mtematice absolute al ordonării materiei, anume că un elev nu ar putea lucra pe corpuri până nu a studiat pe deplin toate situaţiile ce pot apărea între drepte şi plane în spaţiu. Această abordare neagă însă intuiţia elevilor (câtă o mai fi ea acolo, în mintea lor, după trei ani de predare care le-a îngrădit-o cu totul). Prin eseul de faţă, însă, susţin punctul de vedere opus, anume că se poate studia cea mai mare parte a stereometriei, adică a calculului de arii şi volume pe corpurile regulate de bază, înainte de a studia poziţiile şi “comportamentul” dreptelor şi a planelor în spaţiu.

Unele elemente din stereometria de clasa a 8-a se repetă din clasa a 5-a (când au fost predate intuitiv), iar ariile diferitelor figuri se cunosc bine din clasa a 7-a (plecăm de la premisa că elevii, cumva le-au învăţat totuşi până la intrarea în a 8-a). Calculul de arii şi volume reprezintă o parte de materie accesibilă marii majorităţi a elevilor, abordabilă intuitv şi prin analogie cu unele anterioare, pe când demonstraţiile în spaţiu nu sunt accesibile decât copiilor de vârf. Aranjarea materiei astfel încât pe întregul semestru I se parcurge o materie acesibilă doar elitelor, aceasta este o agresivitate năucitoare la adresa celor 80% dintre elevi care nu pot, sau nu au nevoie, sau nu-i ineresează demonstraţiile în spaţiu. Şi apoi ne mirăm că aceştia clachează masiv la diferite teste! Păi, dacă îi ţinem în şcoală cu o materie pe care nu o înţeleg, care se adresează altora ce să ne aşteptăm? Singurele urmări clare sunt cele de ordin psihologic, cum ar fi frustrarea, agresivitatea, refuzul matematicii de orice fel etc.

Parcurgerea în 3D a axei calcule – demonstraţii dinspre acestea din urmă un semestru întreg, ajungând la calcule de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice (vezi P.S. în final).

Pot întreba aici şi altfel: cât la sută din populaţia şcolară va ajunge să facă ştiinţa matematică? Răspunsul l-a dat George Pólya: 0,1%, cu extindere la 1% pentru toţi cei care vor avea colateral nevoie de matematică ca ştiinţă. Ok, poate lucrurile au mai evoluat de pe vremea lui Pólya, dar oricum nu au cum să treacă de 10% din populaţia şcolară. Pentru aceşti 10%, în numele unei rigurozităţi ştiinţifice matematice stupide, noi îi sacrificăm pe restul populaţiei şcolare, iar apoi, ca să nu se vadă situaţia profund dezastroasă, le dăm să calculeze aria unui dreptunghi la examen (pe care le dăm şi “de-a moaca” 5 puncte, cerinţă la care le dăm şi răspunsul “pe faţă” (Arătaţi că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 240 cm2).

Se poate şi altfel? Oare se poate găsi o formă de geometrie care să nu-i lase “pe de lângă” pe cei mulţi? Se poate găsi o formă de predare şi o ordine a lecţiilor prin care să dăm mai întâi materia practică şi accesibilă celor mulţi, cei care au nevoie de mai mult timp ca să înţeleagă o lecţie (poate luni întregi), iar doar apoi să trecem la lecţiile mai grele, mai teoretice, pentru cei capabili a le înţelege, dintre care se aleg de fapt participanţii la concursurile şcolare de elită (iar aceştia să apuce să le înveţe până la olimpiadele din februarie-martie), se poate aşa ceva? Se poate preda geometria mergând de la uşor la greu, de la accesibil la dificil, respectând astfel unul dintre principalele principii psihopedagogice? Da! Se poate!

Iată cum predau eu de peste 20 de ani geometria clasei a 8-a, îmbinând cerinţele psihopedagogice elementare cu cerinţele minimale de rigurozitate a matematicii. În linii mari parcurg trei părţi pentru geometria în spaţiu de clasa a 8-a. Cap. 1): un prim calup de corpuri studiate pe rând (prismele şi piramidele), parcurse intuitiv îi dau elevului “o schelă de sprijin” pentru activitatea geometrică în spaţiu. Cu acest capitol încep geometria de clasa a 8-a, chiar în septembrie. Cap. 2): un studiu structurat al geometriei dreptelor şi planelor în spaţiu. Acest capitol ocupă partea a doua a semestrului I, terminându-se înainte de vacanţa de iarnă sau cândva în ianuarie. Cap. 3): un al doilea calup de corpuri studiate pe rând (trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde), parcurse pe formatul deja cunoscut, incluzând şi “marile demonstraţii” ale stereometriei (volumul trunchiului de piramidă, aria laterală a conului şi volumul şi aria sferei). M-am obişnuit să parcurg acest capitol pe cât posibil după simularea oficială din martie, dar îl termin obligatoriu până la vacanţa de Paşte, pentru ca elevii să aibă timp suficient a se pregăti pe teste generale. În continuare doresc să descriu pe rând pe fiecare din aceste trei capitole

Cap. 1): La fiecare corp facem desenul, descrierea elementelor (vârfuri, muchii, feţe) şi deducem raţional, prin problematizare, ariile şi volumul, cât şi diverse lungimi speciale. Când avem nevoie de teorema lui Pitagora, susţinem raţional perpendicularitatea pe baza faptului că un segment vertical din figură este perpendicular pe un segment orizontal pe care cade. De exemplu, muchia verticală DD’ a unui cub este evident perpendiculară pe diagonala BD a bazei, care este orizontală. Prin astfel de justificări elevul învaţă să vadă unghiurile drepte în spaţiu, deşi în reprezentările grafice are loc o deformare a acestora.

Iată încă un exemplu de unghi drept uşor de justificat fără nici cea mai mică teoremă în spaţiu: segmentul VM care uneşte vârful unei piramide patrulatere regulate cu mijlocul muchiei BC (adică o mediană) este perpendicular pe BC pentru că triunghiul VBC este isoscel (oricum, nici abordarea oficială nu este mai riguroasă). Teorema celor trei perpendiculare în cazul determinării apotemei îşi găseşte sensul doar în cazul unei piramide neregulate (de ex. o piramidă cu baza romb şi înălţimea ridicată în intersecţia diagonalelor acestuia), dar aceste oricum nu mai sunt în materie de peste un sfert de secol.

Ordinea în această primă parte este stabilită având criteriul accesibilităţii intuiţiei elevilor ca punct central, şi este următoarea: cubul; paralelipipedul dreptunghic; prisma patrulateră regulată şi prisma triunghiulară regulată predate în paralel, apoi piramida patrulateră regulată, iar în final, predate în paralel piramida triunghiulară regulată şi tetraedrul regulat. Alt criteriu ce susţine această ordine îl reprezintă accesibilitatea calculului; pe copii îi atragi de partea matematicii dacă le prezinţi la început elemente accesibile, crescând doar ulterior nivelul.

În această primă parte facem multe exerciţii de calcul cu teorema lui Pitagora, cu rezultate întregi sau iraţionale, dar şi multe desene colorate în care elevii au de trasat şi de colorat diferite secţiuni în corpuri. Mă refer aici în primul rând la secţiunile particulare în cub (secţiunile diagonale, cele paralele cu feţele, dar şi secţiunea triunghi echilatera), sau în piramida patrulateră regulată (secţiunile diagonale). Elevii au astfel ocazia, chiar sarcina, să deseneze multe astfel de corpuri cât mai corect şi să facă pe acestea multe calcule (adică stereometrie). În această fază geometria se desfăşoară doar în corpurile studiate, luate ca structuri întregi. Începând din acest capitol, elevii de rând au de lucru, urmând să acumuleze experienţă şi abilităţi sigure de desen şi calcul pentru lungimile, ariile şi volumele studiate aşa că ne putem ocupa de materia pentru cei buni.

Cap. 2): De-abia după ce elevii s-au obişnuit cu desenele şi cu vederea în spaţiu, de-abia apoi trecem la studiul dreptelor şi a planelor în spaţiu; acum putem trece la un studiu cât de cât pregătit al elementelor demonstrative. Primele 2-3 ore discutăm despre notaţii, convenţii de desen, determinarea planului, faptul că unghiurile par deformate în spaţiu, discutăm despre dreptele necoplanare şi despre multe alte aspecte ce trebuie acum conştientizate.

Din punct de vedere a sarcinilor de lucru ce pot fi întâlnite în probleme, facem o structurare a “teoremelor în spaţiu”, practic a reţetelor de demonstrare a diferitelor situaţii, organizate după două principii. În primul rând avem principiul poziţiei relative, care include trei poziţii relative: paralelismul; unghiul relativ, respectiv determinarea măsurii acestuia, şi situaţia de perpendicularitate relativă. În al doilea rând avem principiul obiectelor poziţionate: astfel, trebuie să studiem poziţia relativă a două drepte, apoi a unei drepte faţă de un plan, iar în final poziţia a două plane. Avem astfel 9 situaţii de studiu, plus teorema celor trei perpendiculare, pe care le enumăr în continuare în ordinea în care le parcurg cu elevii (de la cele mai accesibile la început, spre cele mai complicate în final): două drepte paralele; unghiul dintre două drepte necoplanare; perpendicularitatea a două drepte necoplanare; dreaptă perpendiculară pe plan; două plane perpendiculare; dreaptă paralelă cu plan; două plane paralele; teorema celor trei perpendiculare; unghiul dintre o dreaptă şi un plan; unghiul diedru. În măsura timpului şi a interesului, parcurg şi alte teoreme necuprinse în această listă.

La fiecare astfel de lecţie facem figura teoretică de bază (eventual cu folosirea culorilor pentru a evidenţia diferite aspecte importante) şi deducem prin problematizare reţeta de demonstrare, după care dăm de obicei exemple tot în corpurile studiate. Consider că este mai bine aşa pentru că fiecare lecţie nouă este aplicată într-o zonă de confort, anume în corpurile deja cunoscute. Astfel evit introducerea mai multor informaţii noi, pe lângă cea principală într-o lecţie. De abia la teorema celor trei perpendiculare încep şi cu probleme în structuri artificiale, de tipul: pe planul dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara AM etc. Pe aceste două “plane de lucru” ne concentrăm atenţia pentru o vreme, până spre primăvară. Elevii de rând exersează stereometria, cei capabili au de făcut şi demonstraţiile în spaţiu.

Cap. 3): În primăvara clasei a 8-a parcurgem şi al doilea calup de corpuri, acoperind toată gama acestora ce ar putea veni la examen conform programei. Ori înainte, ori acum integrez aici şi prisma şi piramida hexagonală regulată, dar în principal avem de studiat trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Cu asta se termină ca lecţii geometria de clasa a 8-a.

Simţiţi acum că o astfel de ordonare a materiei oferă elevilor studiul geometriei pe o pantă mai lină a dificultăţii, lăsând la nivelul fiecărui elev până la ce nivel de dificltate să urce fiecare, în funcţie de posibilităţi şi interes. O astfel de parcurgere nu-i înjoseşte pe elevii de nivel mediu, adică pe majoritatea popula tiei şcolare, ci îi lasă să urce fiecare după cât poate până în ultima clipă, înainte de examenul de Evaluare Naţională. Mă refer aici la elevii care vor putea urca mare parte din acest drum, doar că mai încet, pentru că nu sunt chiar olimpici. Aceştia au însă nevoie să pornească cu lucruri simple şi să urce într-un mod accesibil. Toţi aceştia stagnează de fapt primul semestru pe programa oficială, pentru că sunt confruntaţi cu o materie prea teoretică şi cu aplicaţii prea abstracte, ei întrând automat în stare defensivă şi de blocaj. Cei care au norocul de ore în particular întră cu profesorii de acasă într-un program de dresură, dar nu neapărat şi de înţelegere, frica şi repulsia de matematică rămânând la multi prezente.

Cam aşa arată situaţia aşa cum o percep eu în Cluj. Despre cum arată la ţară pot doar să-mi închipui (mă mai ajută diferitele reportaje ce le aud la radio – mulţumesc Europa fm!). Majoritatea elevilor de la sate vor ajunge în cel mai bun caz cel mult la un liceu tehnologic. De ce să-i ţinem blocaţi un semestru întreg în demonstraţii sterile de geometrie în spaţiu?

P.S. Am atins în această parte a eseului un aspect ce trebuie lămurit. Anume, în primul sfert al textului am scris că parcurgerea demonstraţiilor timp de un semestru întreg, înaintea calculelor de arii şi volume, care vin de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice. Aici matematica din România ar trebui să ajungă la pace cu pedagogia, poziţia naturală şi normală trebuind să fie una de compromis, de echilibru pentru ambele părţi. Concret, după părerea mea, între cele trei nivele de învăţământ cu profesorii de matematică, priorităţile ar trebui să fie următoarele: în ciclul gimnazial dominante să fie principiile pedagogice; în liceele de ştiinţe şi mate-info principiile pedagogice să fie în echilibru cu principiile rigurozităţii matematice, iar în facultăţile de matematică principiile matematice să fie dominante.

S-ar putea chiar trage două grafice care să descrie importanţa (poate în procente) a fiecărui domeniu, plecând de la începutul clasei a 5-a până la finalul facultăţii. Astfel, o comisie paritară de specialişti din ambele părţi ar putea decide o politică reparatorie de felul următor: importanţa criteriilor pedagogice să scadă de la 75% la în clasa a 5-a către 25% în facultate, pe când importanţa criteriilor pur matematice să crească de la 25% în clasa a 5-a pană la 75% în facultate. Liceul ar fi desigur în zona de echilibru a acestor criterii. Desigur, aceasta este o simplă propunere, dată fără o mare şi profundă analiză, dar ideea contează.

Pentru cei care s-ar simţii “şocaţi” de o astfel de perspectivă, doresc să precizez că înaintea reformei din 1980 aşa era structurată materia. Se pot găsi multe exemple în acest sens în lucrările de specialitate despre predarea matematicii în diferitele clase şcolare sau liceale, dar am auzit (doar din relatări) şi de prezenţa criteriilor pedagogice în facultăţile de matematică din anii ’50 – ’70.

Important este că acest principiu ar trebui reintrodus în şcolile româneşti, desigur după o solidă analiză, adaptat situaţiei actuale, printr-un program naţional pe câţiva ani. Altfel, tot în starea jalnică din anii aceştia ne vom regăsi şi peste decenii.

Planimetria şi Stereometria – (4) Teorema lui Pitagora şi planimetria în clasa a 7-a

În postarea precedentă am analizat cum pe întreg parcursul clasei a 6-a elevii vieţuiesc un adevărat embargou în direcţia planimetriei şi a sterometriei (eventual în afara recapitulării de la început şi a testărilor iniţiale). La geometrie, întreaga clasă a 6-a, chiar şi o parte din clasa a 7-a, se ocupă numai de studiul figurilor geometrice, studiu făcut doar prin prisma definiţiilor  şi a demonstraţiei geometrice. Acest studiu are încă – şi actualmente, după atâtea reforme “de accesibilizare” – are încă forma de bază teoreticist-axiomatică, cu definiţii riguroase şi inaccesibile marii majorităţi a elevilor. Intuiţia, care este singura formă de înţelegere la majoritatea elevilor, intuiţia nu este accesată mai deloc (deşi conform programei din 2017 aceasta se cere explicit profesorilor). Problema este că nici profesorii de la clasă, nici autorii de manuale nu prea ştiu cum s-ar face asta, fiind prea puternic ancoraţi în forma teoreticistă ce a reprezentat normalitatea din anii ’80 încoace.

Aici se întâmplă una dintre cele mai abrutizante agresiuni la adresa majorităţii elevilor, 80-90% din populaţia şcolară nefiind încă trecută în stadiul gândirii necesar înţelegerii unei abordări abstracte a geometriei. Piaget preciza clar acest aspect, dar matematica şcolară românească este setată şi la ora actuală doar după olimpici, adică după cei foarte puţini care fac fată unui studiu abstract teoreticist al formelor geometrice, neglijându-i însă pe majoritatea elevilor. Practic, gândirea celor 80-90% dintre elevii ţării este “trasă pe line moartă”, până când se introduc toate figurile geometrice (în mod definiţionist) şi se studiază toate proprietăţile acestora (desigur, în mod demonstrativ).

Îmi permit să fac aici o întrerupere a discursului acestui eseu, pentru a relua în citat un pasaj găsit într-o carte veche din biblioteca părinţilor mei: Laboratorul de matematică (Ed. Didactică şi pedagogic, 1973), autori N. Teodorescu, Gh. N. Rizescu, B. Ionescu, D. Ogrezeanu (am întărit numele dl-ui Academician Teodorescu, pe vremuri preşedintele Societăţii de Ştiinţe Matematice din România) La pagina 5 găsim faptul că: Structura logică a minţii copilului nu este aceeaşi cu a adultului şi nu atinge stadiul adult de dezvoltare înainte de 11-12 ani. În teoria lui Piaget se menţionează mai multe stadia de dezvoltare la copii, (…) Ultimul stadiu începe după această vârstă sub numele de stadiu operaţional formal, care este un nivel adult de gândire.

Legat de această afirmaţie, părerea mea este că la mulţi copii acest stadiu apare chiar şi mai târziu, aceasta şi datorită contactului masiv încă din copilăria fragedă cu ecranul (TV, calculator, Smartphone), contact deosebit de distructiv la nivelul capacităţii de imaginaţie a unor informaţii primite pe bază de cuvinte, nu pe bază de imagini concrete,, astfel încât în ultimii 20 de ani am putut observa o maturizare tot mai lentă a tot mai multor copii.

În concluzie, părerea mea este că în clasa a 6-a actualmente este prea devreme pentru o geometrie prea matură, aşa cum încă în anii ’90 cu multe clase se putea face. Eu ţin minte lecţia de la inspecţia pentru gradul II, ţinută la Şcoala Waldorf în primăvara lui 1998 la clasa a 6-a: am definit, am dat teoremă, am calculat şi am demonstrat, iar inspecţia a fost o reuşită. Actualmente, acea lecţie o pot face doar la începutul iernii din clasa a 7-a, iar asta nu numai din motive de programă, ci şi din motivul că de-abia atunci am destui elevi dezvoltaţi astfel încât să poată parcurge această lecţie. În principiu, atât demonstraţia geometrică (în direcţia celor buni la mnatematică), cât si calculul planimetriei pe baza formulelor de arie şi a teoremei lui Pitagora (pentru toţi elevii, dar cu accent în direcţia celor medii), ambele domenii pot fi practicate în clasa a 7-a cu încredere că mulţi dintre elevii cărora ne adresăm au făcut pasul în noul tip de gândire, aşa încât vor şi fi în stare să lucreze ce le cerem.

Legat de afirmaţia dinainte, de faptul că la tot mai mulţi copii apare incapacitatea imaginării unor situaţii prezentate textual (oral sau scris), legat de aceasta mai am o observaţie colaterală. Dintr-o prezentare numerică a teoremei lui Pitagora, aşa cum cei mai mulţi profesori o fac încă, elevul va înţelege mult mai puţin decât dintr-o prezentare figurativă pe bază de arii, în care expresiile “pătratul ipotenuzei” sau “suma pătratelor catetelor” să fie adresate şi accesibile gândirii în mod dual, atât pe cale numerică (pătratul = puterea a doua), cât şi pe cale figurativă (pătratul unei laturi = aria pătratului construit pe acea latură). Fără să mai discutăm că o prezentare a teoremei lui Pitagora doar din punct de vedere aritmetico-numeric are doar darul de a prezenta această “cea mai importantă teoremă” ca o ciudăţenie matematică de neînţeles, ca un fel de “hocus-pocus”, căruia nimeni nu-i poate înţelege logica; o astfel de abordare în nici un caz nu se poate lăuda că dezvoltă gândirea elevilor.

Ca să iau o pauză din această critică în cascadă, haideţi să prezint cum abordez eu situaţia. Încercând să păstrez linia generală de introducere a figurilor geometrice înainte de a reveni la calculul de perimetre şi arii, eu mă concentrez în clasa a 6-a asupra construcţiilor geometrice, cerându-le elevilor să deseneze cu exactitate toate figurile, prin folosirea practică a diferitelor instrumente geometrice (Piaget vorbea despre stadiul operaţional concret, ca penultimul stadiu de dezvoltare). Eu accesibilizez geometria de clasa a 6-a pentru majoritatea elevilor, atrăgându-le preocuparea spre construcţia practică a figurilor geometrice, după principiul: dacă nu înţelege mai nimeni abordarea euclidiană, dar încă nu avem toate cunoştinţele pentru a face planimetrie de clasa a 7-a, atunci să cunoaştem figurile geometrice şi proprietăţile acestora prin construcţia geometrică exactă! Manualele vechi, înaintea reformei uitate din 1980 aşa aveau structurată cunoaşterea figurilor geometrice. Obsesia demonstrativă a apărut doar prin manualele din 1981.

Această abordare ajută şi în direcţia deficienţei prezentate mai sus, anume a faptului că elevii au actualmente o capacitate mult mai redusă de a-şi imagina anumite situaţii prezentate verbal. Punându-i în clasa a 6-a să se preocupe mult de desenarea concretă a diferitelor figuri, elevii vor fi în stare ulterior (adică în clasa a 7-a) să-şi imagineze diferite situaţii, pentru că au acumulat experienţe personale practice cu aceste figuri.

Dar să revenim la subiectul principal: aşadar, la nivel naţional, clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei ariilor sau a volumelor Am repetat din nou acest aspect în speranţa găsirii unor soluţii, de pildă, poate includerea unor astfel de aplicaţii în zona aritmetică a clasei a 6-a). Concret, după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea lor, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora, adică după mai mult de un an, se revine la planimetrie (embargoul asupra stereometriei este mult mai lung, adică de doi ani şi jumătate).

Dar şi aşa, atunci când în sfârşit apar din nou ariile în viaţa elevilor (în a doua parte a semestrului I al clasei a 7-a), mare lucru nu se poate face cu formulele respective de către elevul de rând. Aplicaţiile la formulele de arie sunt puţine şi, fie sunt tembele, fie implică elemente de demonstraţii care elevului de rând nu-i sunt accesibile (de pildă, calculul ariei unui romb la care se cunosc laturile şi un unghi de 30o – să fim realişti: câţi elevi ştiu “neavertizaţi” să aplice “cateta opusă unghiului de 30o). Măcar dacă profesorii ar petrece mai mult timp la cele banale (tembele, cum le-am denumit aici) şi tot ar primi ceva şi copiii neolimpici, dar profesorii le consideră pe acestea înjositoare şi în general le fac în mare viteză şi nu prea le scot în evidenţă. Atâta vreme cât nu sunt folosibile pentru pregătirea olimpicilor, puţini profesori şi zăbovesc asupra lor.

La reluarea planimetriei după studiul patrulaterelor, în semestrul I al clasei a 7-a, planimetria se rezumă la prezentarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice, dar oricum, mare lucru nu se poate face apoi cu acele formule. Mai rău, cei mai mulţi profesori nici măcar nu petrec timp la căutarea prin gândire a acestor formule; acesta este în sine un proces interesant, dacă ne propunem să îl parcurgem cu elevii prin problematizare, nu printr-o simplă prezentare, dar pentru asta trebuie să fim în stare să ieşim din ordinea stupidă care începe cu aria triunghiului, apoi cândva – în altă oră – se ajunge şi la ariile patrulaterelor.

Mă gândesc să anexez prezentului eseu, ca o paranteză, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, respectiv căutarea formulelor de calcul a ariilor. Dar, oricum, fără posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora, planimetria se rezumă cel mult la căutarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice. Dimpotrivă, odată ce intră în joc teorema lui Pitagora, aducând cu sine posibilitatea de a determina diferite lungimi necesare în formulele de arii, viaţa elevului de rând capătă brusc mult mai mult sens.

Mă refer aici la cei cca. 80% dintre elevi, cei care au stat docil “în bancă” toată clasa a 6-a, dar mare lucru nu au dobândit la geometrie. Aceştia vor avea ocazia să înceapă şi ei a face cu adevărat matematică în momentul când ştiu să extragă un radical simplu, învaţă metoda din teorema lui Pitagora şi primesc a calcula perimetre şi arii ale unor figuri de bază. Dacă profesorul are puţin de tact pedagogic şi le dă la început câteva probleme cu soluţii naturale, ca să-i încurajeze, atunci aceştia vor prinde curaj şi vor începe să lucreze.

Ce se întâmplă însă în realitate? Din păcate, aici profesorii fac masiv gafe pedagogice, încurcându-i cât se poate de mult pe elevi şi împiedicându-i să înţeleagă geometria. Ca să nu pară din nou că arunc aici cu critici gratuite, doresc să dau câteva exemple observate printre colegii profesori, în general toţi “profesori buuuni (!)” la şcoli “buuune (!!!)”. Exemplul 1) Profesori care din prima sau cel târziu din a doua problemă trec la calcul în iraţional, bulversând prin această mişcare toţi elevii care încă nu au înţeles aceste numere. Am întâlnit foarte multe astfel de cazuri; aş putea să spun că majoritatea colegilor din Cluj procedează în acest fel. Exemplul 2) Profesori care nu face probleme de calcul a ariilor la clasă pentru că acestea “sunt prea simple”, dar le cer apoi la teză. Am întâlnit chiar şi profesor care nu a predat teorema lui Pitagora deloc, dar la un moment dat au început să apară aplicaţii din senin (de obicei întâlneam acest obicei la clasa a 8-a, unde diferiţi profesori nu predau ariile şi volumele corpurilor, dar la un moment dat încep să le ceară la teste, după principiul minunat că “le găsiţi peste tot în cărţi”). Exemplul 3) După introducerea ciudată a teoremei lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, te-ai fi aşteptat ca în clasa a 7-a, la lecţia despre arii să pornească şi folosirea teoremei lui Pitagora. Dar, nici vorbă! Mulţi profesori predau lecţia despre arii din semestrul I în continuare ca în anii precedenţi (dinaintea programei din 2017), teorema lui Pitagora apărând în probleme de-abia în semestrul al II-lea, aşa cum o făceau ei “de-o viaţă”. Astfel profesorii ratează ocazia de a ridica embargoul asupra planimetriei, singura formă clară de înţelegere a unor elemente de geometrie de către majoritatea elevilor, prelungindu-le de fapt “agonia teoreticistă” până spre primăvara clasei a 7-a.

Am uneori impresia că majoritatea profesorilor, atât cei de la clasă, cât şi cei decidenţi la nivel naţional, se preocupă doar în folosul vârfurilor, a celor maxim 10% din populaţia şcolară, abandonându-i, chiar împingându-i pe cei mulţi în mocirla necunoaşterii, a înjosirilor şi a frustrărilor, totul în numele unui olimpism exagerat, avându-şi originea în comunismul întunecat al lui Ceauşescu.

Cum parcurg eu acest drum? Am prezentat prin programa pentagonia în postări din vara lui 2019 cum încerc eu să vin în întâmpinarea elevilor de nivel mediu, care reprezintă însă marea masă a populaţiei şcolare (mai nou le spun simplu cei 80%). Iată, pe scurt, forma de predare practicată de peste 20 de ani, formă care le dă şi elevilor obişnuiţi şansa de a face “niţică geometrie”.

1) Prima parte o reprezintă înţelegerea rădăcinii pătrate, cel puţin la nivel aritmetic (adică calculul radicalilor în situaţii exacte, din numere pătrate, cât şi în situaţii aproximative, în cazul numerelor ce nu sunt pătrate); Desigur că aici se poate parcurge şi forma algebrică, adică exprimarea radicalilor din numere nepătrate prin scoaterea parţială a factorilor de sub radical (părerea mea este că această parte ar trebui să vină mai târziu, dar acesta este un alt subiect).

2) A doua parte o reprezintă calculul de arii, deducerea formulelor pentru triunghiuri şi patrulatere, cât şi scurte aplicaţii ale acestora. Aici fac şi partea de arii ce implică compararea acestora: figuri echivalente (de exemplu proprietatea de arie a medianei) sau alte aplicaţii.

3) A treia parte o reprezintă teorema lui Pitagora, justificată prin intermediul ariilor, pe baza căreia putem combina primele două părţi în probleme de calcul, adică de planimetrie. Concret, odată făcută şi teorema lui Pitagora, se pot da cât mai multe probleme de calcul a ariilor şi a perimetrelor, cu aflarea diferitelor lungimi necesare prin această cea mai importantă teoremă a geometriei gimnaziale. Aici fac multe aplicaţii cu rezultate întregi (triplete pitagorice), dar şi calcule de arii aproximative în cazuri de radicali din numere nepătrate (mai ales la diagonala în pătrat şi la triunghiul echilateral).

Acest parcurs al lecţiilor le dă elevilor obişnuiţi şansa să se exerseze pe probleme de calcul cu mai mulţi paşi logici, începând chiar din toamna clasei a 7-a. Această abordare permite umplerea clasei a 7-a cu probleme de planimetrie accesibile majorităţii elevilor. Rezolv astfel una din marile probleme ale geometriei gimnaziale actuale, anume că marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” planimetrie, dar nu înţeleg rostul demonstraţiilor şi logica acestora, astfel încât învăţarea lor se rezumă la învăţarea pe de rost a unor lucruri neînţelese. Aceşti copii vor învăţa prin repetiţie paşi de calcul cu teorema lui Pitagora şi aplicarea lungimilor în formulele de arie, astfel încât vor putea face matematică până la un nivel mulţumitor fără a înţelege demonstraţiile.

Ca o paranteză (în “războiul” meu cu stilul de matematică din America, stil numai bun de tâmpit copiii), trebuie să precizez că eu nu sunt adeptul unor formule pentru perimetre de învăţat pe de rost de către elevi. Perimetrul reprezintă un fenomen accesibil oricărui elev, iar aceştia vor trebui să “îşi deducă” în minte cum se calculează perimetrul unei figuri, mai presus de enumerarea şi însumarea tălâmbă a tuturor laturilor. Ce treabă am eu cu predarea din America? Păi, mă întâlnesc cu formule de perimetre în trusele geometrice făcute în China în principal pentru piaţa americană.

Ulterior, evident către primăvară, în urma lecţiilor despre asemănarea triunghiurilor din semestrul al II-lea, parcurgem şi demonstraţia teoremei lui Pitagora pe baza teoremei catetei (dată de Euclid). La această reluare pun accentul mai mult pe partea de iraţionalitate a calculelor şi a rezultatelor (după parcurgerea formulelor de calcul prescurtat se pot face şi alte demonstraţii ale teoremei lui Pitagora pe baza acestora). Acest pas este adresat elevilor buni la matematică, dar şi celor de nivel mediu care au parcurs şi au înţelesmulte elemente de geometrie prin intermediul problemelor elementare de calcul parcurse în semestrul I. Constantin Titus Grigorovici

P.S. După cum am spus, mi-am propus să anexez prezentului eseu, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, mai exact deducerea formulelor de calcul a ariilor în clasa a 7-a. Punctul de plecare raţional este reconectarea cu lecţia din finalul clasei a 5-a, chiar reluarea pe scurt a ideilor respective. Concret, există două tipuri de formule de calcul a ariilor: 1) formulele bazate pe principiile logice de bază, anume dreptunghiul şi pătratul (pătratul cu dublu rol, mai întâi ca unitate de măsură cea mai practică, apoi după dreptunghi, ca un caz particular al acestuia); 2) formulele ce pot fi deduse din primele pe baza unor raţionamente elementare, aici apărând – după părerea mea – ariile pentu majoritatea figurilor în următoarea ordine: triunghiul dreptunghic, paralelogramul, triunghiul oarecare, rombul şi trapezul. Daţi-mi voie să le prezint pe rând, în ordinea cea mai naturală gândirii şi deducţiei logice (o minunată ocazie de predare prin problematizare, adică prin întrebări). Voi enumera fiecare situaţie şi voi descrie raţionamentul pe care se poate gândi, fără să mai fac şi figurile (dar cu elevii figurile devin partea de bază; cu ei nu scriem decât formula în urma dialogului şi a explicaţiilor orale; cu elevii totul devine cât mai vizual posibil).

Triunghiul dreptunghic: aria sa este jumătate din aria dreptunghiului, lungimea şi lăţimea devenind aici cele două catete (desenul conţine un triunghi dreptunghic cu o catetă orizontală şi una verticală, completat cu linie punctată la un dreptunghi, faţă de care aria triunghiului este jumătate, adică “supra 2”).

Paralelogramul: se reduce la formula dreptunghiului dacă trasăm o înăţime, decupăm triunghiul dreptunghic format şi “îl lipim” în capătul celălalt al paralelogramului.

Triunghiul oarecare: este jumătate dintr-un paralelogram (deci, doar aici apare posibilitatea justificării raţionale a formulei de arie a triunghiului oarecare!!!)

Rombul: pus “ca un diamant”, rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi (desenat cu linie întreruptă) cu laturile paralele cu diagonalele rombului. La numărarea triunghiuleţelor se vede că rombul are aria cât jumătate din aria dreptunghiului

Trapezul: aici există cel puţin 2-3 variante de deducere a formulei (1- completarea trapezului cu încă unul la fel, dar cu capul în jos, alături, astfel încât să formeze împreună un paralelogram cu baza egală cu suma bazelor trapezului; 2- trasarea liniei mijlocii MN şi a înălţimilor prin M şi N, după care două triunghiuri dreptunghice diferite de la baza mare se rabatează în sus, la baza mică, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie etc.)

Pătratul (2): trasând un pătrat care stă cu diagonalele verticală, respectiv orizontală se poate adapta aria de mai sus a rombului.

Rombul (2): Construind un romb culcat, adică în formatul “paralelogramic”, se poate adapta acestuia formula de la paralelogram. Ca “spirit” al rombului este însă evident că aceasta este a doua formulă pentru aria rombului, în nici un caz prima.

Aici mai are sens a fi discutată doar ideea că la triunghiul isoscel, cât şi la triunghiul dreptunghic cu baza pe ipotenuză, se aplică tot aria triunghiului oarecare. Este evident că aria triunghiului echilateral, formula lui Heron cât şi aria cercului nu-şi au locul aici. Ele ar trebui să apară mai târziu dar, din păcate, mulţi profesori le dau aici, deşi acestea nu pot fi justificate în nici un fel în această fază de gândire (acesta este alt subiect, la care îmi doresc să revin cu altă ocazie).

Planimetria şi Stereometria – (3) Embargoul din clasa a 6-a

Clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei calculelor de arii sau volume. În afara unor apariţii sporadice şi întâmplătoare în probleme de aritmetică, doar lungimea apare uneori, eventual perimetrul unui triunghi. Întreaga clasă a 6-a se ocupă la geometrie doar de studiul proprietăţilor şi de demonstrarea acestora. Se încalcă astfel un principiu psiho-pedagocic de accesibilitate faţă de vârsta copiilor, conform căruia elevii de clasa a 6-a nu sunt încă pregătiţi pentru o abordare euclidiană a geometriei, dar ar putea înţelege elemente de măsurare şi calcul pe figurile geometrice studiate, cât şi activităţi de construire a diverselor situaţii. Abordarea geometriei de clasa a 6-a se situează pe partea greşită a axelor descrise în prima parte a acestui eseu, atât din punct de vedere a axei pedagogie-ştiinţă, cât şi din punct de vedere a axei calcule-demonstraţii.

Avem aici o mare problemă: marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” ale planimetriei, în sensul calculării perimetrului sau a ariei unei figuri (cu implicaţii practice de tipul determinării lungimii plintei şi a suprafeţei unei camere în care trebuie pus parchet). Dimpotrivă, studiul demonstrativ abstract al figurilor geometrice este mult mai puţin accesibil majorităţii elevilor. Chiar începând chiar de la introducerea acestei abordări prin manualele din 1981, cel mult 2-3 elevi din clase înţelegeau ce se întâmplă la geometrie în clasa a 6-a. Pe cale de consecinţă, pentru marea majoritate a elevilor, geometria de clasa a 6-a reprezintă o materie de neînţeles, la care trebuie tocite atât teoria cât şi “problemele”, pentru că elevii nu le văd un sens practic.

Dar nu doar că marea majoritate a elevilor primesc o materie e care de fapt nu o înţeleg şi căreia nu-i văd sensul, dar ei nu parcurg o materie practică cu aplicabilitate în lumea din afara matematicii. Vreau să atenţionez aici o diferenţă majoră între geometria teoretică cu demonstraţii (o materie orientată egocentrist, autosuficient, înspre propriile nevoi de dezvoltare) şi geometria planimetrică, asociată şi cu geometria construcţiilor practice a figurilor, care este o materie aplicativă (o materie orientată altruist, în folosul aplicaţiilor extramatematice). Majoritatea elevilor nu pot să intre cu adevărat în lumea închisă a matematicii, dar – în urma unor incursiuni cu sens la orele de matematică – ar putea dobândi arta aplicării cunoştinţelor matematice în situaţii practice. Parcurgerea unei materii egocentriste în şcoală, fără aplicabilitate direct, reprezintă una dintre cauzele majore a situaţiei dramatice constatată la nivel naţional prin studiile PISA.

Există şi alte surse de atenţionare a faptului că material nu este bine astructurată. O aranjare teoreticistă, care neglijează nevoile practice ale omului de rând, cât şi nivelul maxim de aplicabilitate matematică al celei mai mari părţi a populaţiei, duce la o reală pierdere de vreme în şcoală pentru majoritatea populaţiei şcolare. Părerea mea este că foarte mulţi elevi vin degeaba la orele de matematică în clasa a 6-a (dar şi în alte clase), pentru că material parcursă nu li se adresează defel! Fenomenul se accentuează până al aproape general în cazul şcolilor de la sate, fapt subliniat şi în ultimul raport World Vision pentru România.

Dar lucrurile stau prost nu numai la sate. Şi la oraşe există o mare parte a populaţiei care nu se allege cu nimic din orele de matematică. Să vă dau un exemplu văzut din întâmplare în aceste zile. Mă uitam la o emisiune despre un American pasionat de maşini, care recondiţiona împreună cu angajaţii săi maşini vechi. În exemplul concret găsiseră o maşină “tare” de la sfârşitul anilor ’60, pe care o analizau cu mult entuziasm. Ajungând la ţevile de eşapament, au comentat că acestea ieşirile originale dreptunghiulare (în comentariul englezesc a fost folosit cuvântul “rectangle”). Ei bine, traducătorul subtitrării în română a folosit cuvântul “pătrate”, deşi se vedea clar că ieşirile au formă dreptunghiulară. Dar, ce-l interesează astfel de detalii pe un absolvent de filologie? Pentru acel traducător, chiar şi dreptunghiul reprezintă o figură prea neobişnuită, care-i crează repulsie din vremea când se chinuia să supravieţuiască cumva orelor de matematică.

Practic, revenind la subiectul nostrum, destul de repede după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea acestora, embargou ce durează practic de la începutul clasei a 6-a, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora (adică după un an şi un sfert) se revine la planimetrie, adică prin toamna clasei a 7-a.

Dar şi atunci, abordarea este foarte rară la nivelul accesibil majorităţii, pentru că – nu-i aşa? – noi, profesorii, nu ne pierdem vremea cu “prostii”! În plus, apare şi o interferare brutal dinspre o ordonare la fel de agresivă din partea algebrică a programei, anume a parcurgerii practice simultane a rădăcinii pătrate aritmetice (cu rezultate întregi sau aproximative) cu forma algebrică a radicalilor (cu rezultate exacte, dar iraţionale). Elevii buni fac faţă acestei abordări, dar larga majoritate clachează total sau, eventual se refugiază în învăţarea pe de rost. Parcurgând din start aplicaţii iraţionale (pentru “cei buni” desigur), profesorimea închide “poarta înţelegerii” geometriei pentru foarte mulţi elevi.

Embargoul asupra stereometriei este dublu, adică de doi ani şi jumătate, neglijând cu totul necesitatea formării şi antrenării vederii în spaţiu prin intermediul desenării corpurilor geometrice şi a forţării minţii elevului de a-şi imagina aceste desene plane drept corpuri 3D (din pedagogia Waldorf am aflat că vederea în spaţiu sănătoasă trebuie să se fi format până la vârsta de 13-14 ani, altfel se închide “fereastra temporală” de formare a vederii sănătoase tridimensionale; ne mirăm apoi că elevii de liceu, sau mai târziu adulţii, nu înţeleg diferite situaţii de ordonare spaţială, mai ales că în liceu oricum acestea nu se mai reiau, ca pe vremuri).

Din nou, am impresia că are loc aici o “conspiraţie” generală şi bine pusă la punct împotriva elevilor de rând, cei care reprezintă majoritatea covârşitoare a populaţiei şcolare. Singurii care pot trage foloase din această formă actuală de geometrie sunt cei 2-3 potenţiali olimpici, care au oricum şi acasă profesor particular şi după care se reglează întreaga predare a profesorului de la tablă. În rest, toţi ceilalţi elevi sunt supuşi constant unei înjosiri prin neînţelegere, proces cu urmări de neînchipuit la nivel psihic. Rezultatul este că toţi elevii (ai căror părinţi “pot”) sunt forţaţi “să-şi ia profesor” pentru a face faţă situaţiei. Am întâlnit chiar un caz de şcoală particulară, deci cu taxe serioase, la care în clasa a 6-a toţi elevii erau nevoiţi să aibă în paralel şi profesor în particular, pentru a face faţă predării şi cerinţelor profesorului de matematică, măcar la un nivel de promovare a clasei.

Precizez că mă refer aici la elevul de rând, atât cel care oricum are dificultăţi în a înţelege ce tot vor “ăştia din jurul lui” cu atâtea demonstraţii, dar şi la cel cu note destul de bune la matematică, dar neolimpic. Toţi aceştia nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele. Implicându-mă în căutarea unor soluţii de corectare a situaţiei, respectiv de găsire a unor căi în sprijinul învăţării geometriei de către toţi ceilalţi elevi în afară de vârfurile clasei, eu încerc să mai fac paşi în sprijinul majorităţii elevilor. În primul rând, încerc să accesibilizez geometria din timpul embargoului asupra planimetriei, punând un accent mai puternic pe construcţiile practice ale figurilor geometrice (cu folosirea tuturor instrumentelor geometrice), şi folosind din planimetrie măcar măsurările şi construcţiile concrete de laturi şi de unghiuri (aici merg desigur şi perimetrele). În afară de asta mă străduiesc să le dau elevilor noţiunile cât mai intuitive posibil, pentru a le accesibiliza cât mai bine material. Predarea prin problematizare ajută desigur mult în parcurgerea materiei. Nici eu nu ştiu cum aş putea elimina cu totul această perioadă de introducere a tuturor noţiunilor teoretice ale geometriei, dar încerc să o fac cât mai scurt şi cât mai accesibil elevilor de rând.

Legat de scurtarea acestui embargo asupra planimetriei, eu încerc să mă rezum doar la nivelului clasei a 6-a. Cu alte cuvinte, încerc să şi reduc perioada lipsită de calcule de arii doar la un an, nu la 1,5 ani. Concret, eu încerc la fiecare clasă a 6-a să parcurg în final, în acelaşi mod intuitiv şi capitolul despre studiul patrulaterelor (fără aplicaţii, cum ar fi de pildă linia mijlocie). Nu este nimic aberant în acest gest: până la sfârşitul anilor ’90 patrulaterele erau încă în clasa a 6-a. Eu mi-am dat inspecţia de gradul II, în primăvară la o clasă a 6-a, cu lecţia despre linia mijlocie în trapez. Avem şi o dovadă clară în acest sens, cunoscută tuturor: manualele alternative din 1997 au fost redactate după o programă conţinând patrulaterele în clasa a 6-a, iar altele nu au mai fost aprobate, aşa încât până în urmă cu doi ani, adică până la manualele actuale conform programei din 2017, manualele de clasele 6 şi 7 erau retipărite cu patrulaterele în clasa a 6-a, nu în a 7-a.

La ce mă ajută parcurgerea intuitivă, superficial-observaţionistă a patrulaterelor în finalul clasei a 6-a? Mă ajută atât în direcţia elevilor buni, cât şi în direcţia celor mediocri sau slabi. Eliberând presiunea asupra începutului clasei a 7-a, în primul rând eliberez un spaţiu temporal în care pot parcurge pentru elevii buni un spectru mai larg de demonstraţii geometrice, nu doar prin congruenţa triunghiurilor, ci printr-o diversitate mai largă de demonstraţii.

Cât despre ceilalţi elevi, cei mediocri dar mulţi, acestora le ofer posibilitatea ca destul de repede în clasa a 7-a să pornească cu calculele specifice teoremei lui Pitagora, ajungând în sfârşit să facă şi ei geometria căreia îi văd sensul, anume planimetria. Dar despre acest subiect vom discuta pendelete în următoarea parte a eseului de faţă. Constantin Titus Grigorovici

P.S.  Vorbeam mai sus de toţi elevii care nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele (cei care cât de cât se preocupă, dar şi cei ai căror părinţi îi forţează spre rezultate la şcoală, că despre cei mulţi de la sate oricum nu se prea vorbeşte decât separat).

Teoria trebuie să o înveţe pe de rost pentru că li se cere la lucrări de control să redea diferite definiţii. Şi aici găsim – apropos – acea formă de bullying, de răutate teoretică de care am vorbit în în partea a doua a acestui eseu, elevii simţindu-se agresaţi constant de către profesorul de matematică. La exemplul şcolii de mai sus, elevii de clasa a 6-a primiseră să redea în diverse teste, de trei ori la rând, următoarea definiţie “Două drepte coplanare neintersectate se numesc drepte paralele”. Elevii nu înţelegeau despre ce este vorba, pentru că ei făceau geometrie doar în plan şi – pur şi simplu – cuvântul “coplanare” nu le putea intra în minte, producând blocaje în cascadă. Imediat ce scoteam acest cuvânt din definiţie, lucrurile se luminau şi totul era în ordine. Pentru elevul de rând (99,99% din populaţia şcolară) poţi vorbi cu sens despre anumite puncte din plan, doar atunci când ai trecut la geometria în spaţiu. Cuvântul “coplanar” face parte din vocabularul clasei a 8-a şi nu are ce căuta la clase mai mici în ora de matematică! Folosirea acestuia în clasa a 6-a reprezintă o dovadă clară de bullying intelectual din partea profesorilor la adresa elevilor.

Acest bullying a pornit însă official de mult, odată cu manualele de clasa a 6-a de la începutul anilor ’80, când se vorbea despre “punctele din plan” şi a început să se introducă noţiunea de “semiplan” pentru a se putea define riguros ce-i acela interiorul unui unghi (intersecţia dintre semiplanul determinat de dreapta suport a unei laturi a unghiului ce include cealaltă latură, cu semiplanul determinat de dreapta suport a celei de-a doua laturi ce include prima latură – cam aşa ceva era, mă scuzaţi că nu fug acum să caut un astfel de manual ca să dau această definiţie cu citat şi sursă). Noţiunea de interior al unghiului devenea astfel ceva de neînţeles, trăgând în groapa neînţelegerii şi definiţii ulterioare stupide, cum ar fi definiţia bisectoarei (o semidreaptă cu originea în vârful unghiului, ca formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente). Dar ambiţia de a introduce interiorul unghiului pe bază de semiplane, conform teoriei mulţimilor, a dus şi la alte tâmpenii, cea mai mare fiind eliminarea din material şcolară a unghiurilor cu o descidere mai mare de 180o (unghiuri supraobtuze), deci desigur şi a unui studiu minimal al patrulaterelor concave. Lucrurile au mers mai departe în cascadă: dacă elevul a reuşit cumva să înţeleagă ce înseamnă acela un “triunghi oarecare”, la patrulatere nu are voie să folosească noţiunea similar de “patrulater oarecare”, pentru că sunt interzise cele concave. Denumirea de “patrulater convex” este mult prea pretenţios-teoreticistă, făcând noi victim în strădania de înţelegere a demonstraţiei de către elevi.

Dar şi problemele de geometrie din clasa a 6-a sunt învăţate pe de rost, pentru că elevii nu le văd sensul. Ce au făcut în această situaţie diriguitorii matematicii şcolare româneşti? În urmă cu peste 20 de ani au scos patrulaterele din clasa a 6-a, mutându-le la începutul clasei a 7-a şi prelungind astfel embargoul de care am vorbit mai sus la adresa unei matematici mai accesibile elevului de rând. Dar şi în cadrul demonstraţiilor din semestrul al II-lea al clasei a 6-a, profesorii se concentrează mai ales pe “cele mai importante”, adică pe demonstraţiile prin metoda triunghiurilor congruente. Absolutizarea acestei metode, care este una destul de abstract pentru mintea de începător a elevului de a 6-a, această absolutizare duce la toceală, elevii ajungând să simtă nevoia a o învăţa pe de rost.

De pildă, dacă dai unui elev obişnuit la începutul clasei a 7-a o problemă cu unghiuri, el ţi-o va “rezolva” oricum cu metoda triunghiurilor congruente (că merge, că nu merge), arătându-ţi de fapt că el nu a înţeles nimic din demonstraţiile clasei a 6-a. Preferata mea în acest sens este următoarea problemă (ca să vă lămuresc ce vreau să spun): Considerăm triunghiul oarecare ABC în care bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D şi trasăm prin D paralela DE BC, E  [AB]. Demonstraţi că [BE]  [ED]. Păi, să vedeţi câte demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor am văzut dea lungul anilor la această problemă! Te doare capul!

Din păcate, o astfel de abordare a materiei, o învăţare pe de rost atât a teoriei, cât şi a problemelor, ani de-a rândul, chiar decenii întregi, nu are cum să nu lase urme de nedorit în gândirea logică a poporului, chiar şi a celor ce se pretend culţi. Oamenii ajung să evolueze şi să studieze orice într-un mod total paralel cu matematica (adică neatingându-se cu adevărat cu gândirea din matematică), eludând matematica şi rămânând fără o gândire logică în adevăratul sens al cuvântului. Mulţi români “mimează” gândirea şi argumentaţia logică, pentru că de fapt nu au participat cu sufletul şi cu mintea la orele singurei materii care le putea forma gândirea cauzală, ei mulţumindu-se să înveţe elementele lecţiilor pe de rost (să nu-mi spuneţi despre material numită “logică” din liceu, pentru că aceasta cu greu poate fi înţeleasă că ar putea educa la elevi o gândire logică). Dar nu foştii elevi sunt de vină pentru această evoluţie total paralelă cu matematica, ci mai degrabă abordarea îngâmfată a matematicii (atât din punct de vedere a programei, cât şi a profesorilor), care se prezintă exclusivist şi repulsiv în faţa marii majorităţi a elevilor. Există prea multe exemple în acest sens, dar prefer să nu intru într-o astfel de discuţie, aşa că mă opresc aici.