Charles Darwin despre matematică

În autobiografia lui Charles Darwin apărută la editura HERALD sub titlul Viaţa mea, am găsit următorul citat (pag. 69-71), în care Darwin îşi aminteşte despre contactele sale cu matematica:

S-ar putea spune că, din punct de vedere al studiilor academice, cei trei ani petrecuţi la Cambridge au fost o pierdere de vreme, precum şi anii petrecuţi la Edinburgh şi la şcoală. Am încercat să învăţ matematica, iar în vara anului 1828 am mers la Barmouth, cu un meditator privat (un om foarte plicticos), dar progresam foarte lent. Această materie îmi provoca repulsie, mai cu seamă pentru că nu reuşeam să văd nicio noimă în algebra pentru începători. Nerăbdarea mea a fost foarte nesăbuită, iar mai apoi am regretat amarnic că nu progresasem suficient pentru a înţelege o parte dintre marile principii călăuzitoare ale matematicii, deoarece oamenii înzestraţi cu aceste cunoştinţe par să aibă un simţ în plus.

Dar nu cred că aş fi reuşit vreodată să depăşesc nivelul unei cunoaşteri elementare. (…) În ultimul an, m-am străduit să obţin licenţa reîmprospătându-mi cunoştinţele în materie de clasici, împreună cu un pic de algebră şi de matematică euclidiană, care ulterior mi-a pricinuit multe delicii intelectuale, ca şi în şcoală.

Pentru a obţine diploma universitară, trebuia să cunosc volumele “Dovezi ale creştinismului şi filozofiei morale”, de Paley (…). Logica acestei cărţi şi, aş adăuga, a “Teologiei naturale” scrise de el mi-au pricinuit tot atâta desfătare intelectuală ca şi matematica euclidiană.

(…) Răspunzând corect la întrebările legate de Paley, descurcându-mă bine la matematica euclidiană şi fără să eşuez lamentabil la clasici, mi-am dobândit un loc bun în mulţimea de tineri studenţi care nu se aşteptau să absolve cu onoruri. Oricât de straniu ar părea, nu-mi amintesc locul meu în clasament. (…) [A fost al zecelea pe lista din ianuarie 1831].

Pentru noi, profesorii de azi, nu este foarte clar ce înseamnă matematica euclidiană, dar în afară de această nelămurire citatul respectiv ne permite o scurtă privire în lumea intelectuală nematematică a secolului XIX şi felul în care aceasta se raporta la matematică. Şi mai am încă o observaţie pertinentă: se pare că din totdeauna au existat persoane care, încercând să-i înveţe pe tineri matematică, reuşesc doar să-i plictisească şi să le trezească repulsie faţă de acest domeniu al cunoaşterii umane. CTG

Suma lui Gauss (2) – Povestea sumei de la 1 la 100

Majoritatea profesorilor de matematică ştiu măcar sâmburele acestei poveşti, faptul că Gauss, elev fiind, a calculat în cap suma numerelor de la 1 la 100, uimindu-şi învăţătorul. De la această poveste am ajuns să denumim respectivele exerciţii “Suma lui Gauss”. Întâmplarea este magistral redată în romanul Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann (am un exemplar original din 2005, Die Vermessung der Welt, editura Büchergebilde Gutenberg). Cartea a fost tradusă în limba română în 2010 la editura Humanitas, colecţia Raftul Denisei. Romanul prezintă în paralel pasaje din viaţa lui Karl Friedrich Gauß şi a lui Alexander von Humbold. Următoarele două citate sunt redate din ediţia de la Humanitas, din capitolul 3, Învăţătorul (faţă de varianta tradusă în română mi-am permis să fac în unele puncte ale textului anumite modificări, urmărind o corespondenţă cât mai exactă cu textul original). Primul pasaj este potrivit elevilor, putând fi lecturat cu mult patos la clasă (merită s-o faceţi, îi impresionează puternic). Pe al doilea pasaj l-am pus mai mult pentru noi, profesorii, dar poate fi lecturat liniştit şi la clasă (poate în ora următoare). Acest al doilea pasaj ne completează imaginea asupra gândirii copilului precoce care a fost Karl Friedrich Gauß (în întregul text citat am folosit scrierea Gauss în loc de Gauß pentru a uşura lectura, cele două variante fiind oficial echivalente).

*

Mama sa era o durdulie melancolică şi, în afară de gătit, spălat, visat şi plâns, nu o vedea făcând altceva niciodată. Nu ştia să scrie sau să citească. (…)

Cele mai multe amintiri de mai târziu se învârteau în jurul lenei (inerţiei, trândăviei). Mult timp a crezut că oamenii joacă teatru sau urmează un ritual care-i obligă să vorbească sau să acţioneze doar după scurte pauze. Uneaori putea să se adapteze, alteori nu se mai putea abţine. Abia mai târziu şi-a dat seama că aveau nevoie de aceste pauze. De ce gândeau atât de tărăgănat, atât de greu şi de chinuit? Ca şi cum gândurile ar fi fost produse de o maşină pe care trebuia să o porneşti cu manivela, ca şi cum ar fi fost lipsite de viaţă şi n-ar fi venit de la sine. Şi-a dat seama că lumea se supăra atunci când el nu făcea pauze. Făcea tot posibilul, dar de multe ori nu reuşea.

Şi semnele negre din cărţi, care se adresau celorlalţi oameni mari, nu însă şi mamei sale sau lui, îl deranjau. Într-o duminică după-amiaza, a primit câteva explicaţii – băiete, ce stai aşa? – de la tatăl său: despre stâlpul cel mare, despre semnul curbat în partea de jos, semicercul şi cercul. Apoi a privit pagina până când necunoscutele au început să se completeze între ele de la sine şi brusc au apărut cuvintele. A dat pagina, de astă dată mergea mai repede, câteva ore mai târziu putea citi, iar în aceeaşi seară terminase cartea, care de altfel era plicticoasă, căci vorbea numai despre lacrimile lui Christos şi despre căinţa păcătosului. I-a adus-o mamei să-i explice şi ei semnele, dar ea a clătinat din cap zâmbind trist. În acel moment a înţeles că nimeni nu voia să-şi folosească mintea. Oamenii voiau linişte. Voiau să mănânce şi să doarmă, voiau să fi drăguţ cu ei. Nu voiau să gândească.

Învăţătorul de la şcoală se numea Büttner şi bătea copiii cu plăcere. O făcea ca şi cum ar fi fost dur şi ascetic, dar uneori se întâmpla ca faţa lui să dea în vileag bucuria trezită de bătaie. Cel mai mult îi plăcea să le dea teme de lucru în clasă la care trebuiau să lucreze îndelung şi care erau greu de rezolvat fără greşeală, astfel încât la sfârşit se găsea motiv să fie scoasă nuiaua. Era cel mai sărac cartier din Braunschweig, nici unul dintre copiii de aici nu avea să ajungă la o şcoală mai bună, nimeni nu avea să ajungă să muncească altfel decât cu braţele. Ştia că Büttner nu îl suporta. Tăcut cum era şi oricât se silea să răspundă rar ca toţi ceilalţi, simţea totuşi suspiciunea lui Büttner şi că învăţătorul aştepta doar un motiv ca să-l bată puţin mai tare decât pe colegii lui.

Şi i-a dat un motiv.

Büttner îi pusese să adune toate numerele de la unu la o sută. Operaţia ar fi durat ore întregi şi toată bunăvoinţa din lume n-ar fi fost de-ajuns pentru ca adunarea să decurgă fără greşeli de calcul, pentru care puteai fi pedepsit(1). La treabă! strigă Büttner. Nu mai căscaţi gura, la treabă! Mai târziu Gauss nu-şi mai amintea dacă în acea zi fusese mai obosit decât de obicei sau doar nechibzuit. În orice caz, şi-a pierdut controlul şi după trei minute se afla în faţa catedrei, cu tăbliţa lui pe care erau scrise doar câteva rânduri.

Aşa deci, a spus Büttner şi a întins mâna spre nuia. Privirea i-a căzut peste rezultat şi mâna i-a îngheţat. A întrebat ce vrea să însemne asta.

Cinci mii cincizeci.

Ce?

Gauss şi-a pierdut vocea, apoi şi-a dres glasul. Transpirase. Îşi dorea să fi rămas la locul lui şi să socotească la fel ca ceilalţi, care stăteau cu capetele aplecate şi se prefăceau că nu trag cu urechea. Era vorba de adunarea numerelor de la unu la o sută. O sută plus unu fac o sută unu. Nouăzeci şi nouă plus doi fac o sută unu. Nouăzeci şi opt plus trei fac o sută unu. De fiecare dată o sută unu. Poţi să faci asta de cincizeci de ori. Deci de cincizeci de ori o sută unu.

Büttner tăcea.

Cinci mii cincizeci, a repetat Gauss, în speranţa că Büttner, în mod excepţional, va înţelege. De cincizeci de ori o sută unu dă cinci mii cincizeci. Şi-a frecat nasul. L-au podidit lacrimile.

Să mă bată Dumnezeu, a spus Büttner. După care a tăcut îndelung. A început să-şi sugă obrajii, bărbia i s-a alungit, apoi şi-a frecat fruntea şi a bătut încet cu degetele peste nas. Apoi l-a trimis pe Gauss la locul lui, Trebuia să se aşeze, să-şi ţină gura şi să rămână după sfârşitul orelor.

Gauss a tras aer în piept.

Să n-audă nici musca, a spus Büttner, altfel are să pună mâna pe băţ.

Aşa că Gauss apăru după ultima oră cu capul plecat în faţa catedrei. Büttner i-a cerut să-şi dea cuvântul în faţa lui Dumnezeu, care le vede pe toate, că a calculat de unul singur. Gauss şi-a dat cuvântul, dar când a încercat să explice că nu era nimic neobişnuit, că o problemă trebuie privită fără prejudecăţi şi idei preconcepute şi astfel soluţia apare de la sine, Büttner l-a întrerupt şi i-a întins o carte stufoasă. Aritmetică superioară: o pasiune de-a lui. Gauss trebuia s-o ia cu el acasă şi s-o studieze. Dar cu grijă. Dacă găsesc o singură pagină îndoită, o pată, o urmă de deget, atunci pun băţul pe tine şi să te ferească Dumnezeu!

A doua zi a înapoiat cartea.

Büttner l-a întrebat ce vrea să însemne asta. Sigur că e greu, dar nu renunţi atât de uşor!

Gauss a făcut semn că nu, voia să explice, dar nu putea. Îi curgea nasul. Trebuia să şi-l sufle.

Ei, ce-i cu asta?

O terminase, bolborosi el. A fost interesantă şi voia să-i mulţumească. Se holba la Büttner şi se ruga ca toate acestea să se termine.

N-are voie să-l mintă, i-a răspuns Büttner. Acesta este cel mai greu manual scris în limba germană. Nimeni nu poate să-l parcurgă într-o zi, darămite un mucos de opt ani.

Gauss nu ştia ce să spună.

Büttner a întins mâinile, nesigur, după carte. Poate să se pregătească, acum o să-l asculte!

O jumătate de oră mai târziu îl privea pe Gauss cu o privire goală. El ştie că nu este un învăţător bun. Nu are nici chemare pentru aşa ceva, nici calităţi deosebite. Dar acum e timpul: dacă Gauss nu ajunge la Gimnaziu(2), înseamnă că el a trăit degeaba. L-a măsurat cu o privire confuză, după care, probabil pentru a-şi învinge emoţia, a apucat nuiaua şi Gauss a primit ultima mamă de bătaie a vieţii lui.

În aceeaşi după-amiază un tânăr bătea la uşa casei părinteşti. Are şaptesprezece ani, se numeşte Martin Bartels, studiază matematica şi lucrează ca asistent al domnului Büttner. Dacă nu e cu supărare, doreşte să schimbe două vorbe cu fiul familiei.

Am doar unul, a spus tatăl, şi are opt ani.

Cu el avea treabă, a răspuns Bartels. Cerea permisiunea de a lucra cu tânărul la matematică de trei ori pe săptămână. Nu e vorba de a-i preda ceva, termenul îi pare nepotrivit – zâmbea nervos – , pentru o activitate la care posibil că el însuşi va avea mai multe de învăţat decât elevul.

Tatăl i-a cerut să stea drept. Toate astea sunt numai prostii! A reflectat câteva momente. Pe de altă parte nu ar fi nici un argument împotrivă.

Au lucrat împreună un an. La început, Gauss s-a bucurat de acele după-amiezi care întrerupeau rutina săptămânală, cu toate că nu prea mai avea ce face cu matematica. I-ar fi plăcut mai mult să facă latină. Apoi a intervenit plictiseala, Bartels nu gândea chiar atât de greoi ca ceilalţi, dar nici cu el nu era prea uşor.

Bartels i-a povestit că a vorbit cu directorul Gimnaziului. Dacă tatăl lui îi dă voie, e un loc liber pentru el acolo. (pag. 42-45)

*

La scurt timp după aceea, în oraş a venit Pilâtre de Rozier. Zburase împreună cu marchizul d’Arland cinci mile şi jumătate pe deasupra Parisului, într-un coş pe care Montgolfier îl fixase de un sac plin cu aer cald. (…) Pilâtre se afla, cu aparatul său de zbor şi doi asistenţi, în drum spre Stockholm. Înnoptase într-unul din cele mai ieftine hanuri şi se pregătea să meargă mai departe, când ducele i-a cerut să facă o demonstraţie. (…) În dimineaţa următoare cineva a bătut la uşa lui. Un (băiat) stătea afară şi, fixându-l cu o privire atentă, l-a întrebat dacă are voie să meargă şi el.

Să meargă şi el, a repetat Pilâtre. Cu balonul zbori. Nu spui „a merge”, ci „ a zbura”. Aşa spun oamenii care folosesc balonul.

Care oameni folosesc balonul?

El este primul, a spus Pilâtre, şi aşa vrea el. Şi nu, sigur că nu poate să meargă şi el. L-a mângâiat uşor pe obraz şi a dat să închidă uşa.

El nu este aşa, a răspuns băiatul ştergându-şi nasul cu dosul palmei. Dar numele lui este Gauss, nu este un necunoscut şi în scurt timp va face descoperiri la fel de mari ca Isaac Newton. Şi n-o spune din vanitate, ci pentru că timpul este scurt şi e necesar ca el să ia parte la zbor. Stelele se văd mai bine de acolo de sus, nu-i aşa? Mai clar şi nu învăluite în ceaţă?

Ar putea paria pe asta, a răspuns Pilâtre.

De aceea trebuie să meargă şi el. Ştie multe despre stele. Ar putea fi supus şi celei mai grele verificări.

Pilâtre a râs şi a întrebat cine îl învaţă pe un bărbat atăt de mic să vorbească aşa de frumos. A stat un timp pe gânduri. Ei bine, a spus el în sfârşit, dacă e vorba despre stele!

După-amiază, în faţa unei mulţimi de oameni, în faţa Ducelui şi a batalionului de gardă, o flacără trimitea căldură prin două tuburi în balonul de pergament. Nimeni nu se aşteptase să dureze atât de mult. O jumătate din spectatori plecaseră deja când balonul a început să prindă rotunjimi şi mai puţin de un sfert din mulţime se mai afla acolo când a dat să se ridice, ezitant, de la pământ. Corzile s-au întins, asistenţii lui Pilâtre au dat drumul la tuburi, micul coş s-a smucit din loc, iar Gauss, care stătea ghemuit bolborosind pe podeaua împletită, (ar fi sărit deja) în picioare, dacă nu l-ar fi împins înapoi Pilâtre.

Încă nu, (şopti) el gâfâind. Ce faci, te rogi?

Nu, şopti Gauss. El numără numere prime, face asta de fiecare dată când este agitat.

(…) Balonul avea să se ridice şi să se îndrepte încotro va fi dus de vânt, după care va coborî înapoi atunci când aerul din el se va fi răcit. Un pescăruş a ţipat foarte aproape de coş. Încă nu, a strigat Pilâtre, încă nu. Acum! Şi apucându-l de la ceafă, jumătate de guler, jumătate de păr, l-a tras pe Gauss în picioare.

Pământul curbat în depărtare. Orizontul adânc, vârfurile dealurilor aproape dispărute în ceaţă. Oamenii care se holbau în sus, feţe minuscule în jurul focului încă arzând şi lângă ele acoperişurile oraşului. Nori de fum agăţaţi de hornuri. Un drum şerpuia pe câmpul verde, pe el un măgar de mărimea unei insecte. Gauss s-a prins de marginea coşului şi abia când a închis gura şi-a dat seama că până atunci ţipase întruna.

Aşa vede Dumnezeu lumea, a spus Pilâtre.

Voia să răspundă, dar nu mai avea voce. Cu ce forţă îi mişca aerul! Şi soarele – de ce e atât de luminos aici sus? Îl dureau ochii, dar nu putea să-i închidă. Şi spaţiul însuşi: o linie dreaptă de la orice punct la altul, de la acest acoperiş la acest nor, spre soare şi înapoi la acoperiş. Din puncte linii, din linii suprafeţe şi din suprafeţe corpuri – şi nu doar atât. Curbura uşoară: de aici de sus aproape o puteai vedea. Simţea mâna lui Pilâtre pe umăr. (…) S-a uitat cu atenţie la soare, la lumina care se  schimba. Lumina obscură a apusului părea că urcă precum o perdea de ceaţă pe cerul încă luminos.. Ultimele raze, roşul de la orizont – apoi soarele a dispărut, după care au apărut stelele. (…) Atât de multe, cu fiecare minut din ce în ce mai multe. Fiecare stea era un soare în agonie. Fiecare se stingea, fiecare îşi urma drumul şi, aşa cum existau formule pentru fiecare planetă care gravita în jurul unui soare şi pentru fiecare lună care gravita în jurul unei planete, tot aşa exista o formulă nespus de complicată, sau poate nu, poate că ascunsă tocmai în propria simplitate, care definea toate aceste mişcări, orice rotire a fiecăreia; poate că trebuia doar să te uiţi îndeajuns de mult. Îl dureau ochii. Era ca şi cum n-ar mai fi clipit de mult.

Acuşi suntem jos, a spus Pilâtre.

Încă nu! S-a ridicat în vârful picioarelor, ca şi cum asta l-ar fi ajutat, s-a holbat în sus şi a înţeles pentru prima oară ce înseamnă mişcare, ce înseamnă un corp, ce înseamnă spaţiul care se întinde între ele, între toţi, între el, Pilâtre şi acest coş. Spaţiul …

S-au lovit de aracii ce susţineau o căpiţă de fân, o coardă s-a rupt, iar coşul s-a răsturnat. Gauss s-a rostogolit într-o baltă cu noroi, Pilâtre a căzut prost, sclântindu-şi braţul şi, când a văzut ruptura pânzei de pergament a balonului, a tras nişte înjurături atât de straşnice, încăt ţăranul, venit alergând de la casa sa, se opri ameninţând cu hârleţul ridicat. Asistenţii au venit într-o suflare şi au dat să strângă balonul făcut ferfeniţă. Pilâtre a ridicat braţul şi i-a tras un ghiont dureros lui Gauss.

Gauss a spus că acum ştie.

Ce anume?

Că toate liniile paralele se ating(3).

Bine, a spus Pilâtre. (…) (pag. 48-52)

*

(1) Pentru o mai bună înţelegere mă simt nevoit să fac în final câteva observaţii. În primul rând, pentru a avea o imagine cât de cât conformă cu vremurile respective, eu le dau elevilor, cu ocazia acestei poveşti, să vadă o poză cu „sala de clasă” a primei şcoli româneşti din Ardeal, cea din Scheii Braşovului. În acele băncuţe intrau înghesuiţi câte 4-5 elevi, cu totul deci peste 20 de elevi. Următoarea poză cu Sala „Anton Pann” este preluată de pe wikipedia.ro, de pe pagina despre Prima Şcoală românească. La fel de impresionantă este pentru elevi şi „imaginea” ce o inserez în timpul poveştii cu faptul că pe vremuri elevii scriau pe o tăbliţă, şi că pe aceasta nu încăpea foarte mult, după care trebuiau să şteargă, ţinând minte rezultatul precedent pentru următorul calcul.

(2) O altă precizare importantă ţine de sistemul şcolar german, în care gimnaziu (Gymnasium) reprezintă o şcoală înaltă, pentru elevi buni, ceva de genul liceelor româneşti dinainte de război, unde mergeau doar elevii „de bani gata”, dar unde erau primiţi printr-un un sistem de burse şi elevii buni din familiile fără stare materială ridicată. Actualmente în Germania se numesc Gymnazium şcolile de nivel ridicat, oarecum echivalentul liceelor noastre teoretice (cumulat real + uman). În Germania şcolile pentru elevi mai slabi la învăţătură se numesc şcoli reale (Realschulen). În funcţie de abilităţile dovedite până în clasa a IV-a elevii sunt îndreptaţi începând din clasa a V-a către Gimnazium (cei buni la învăţătură) sau către Realschule (ceilalţi). În pasajul de mai sus, Gauss a fost trimis de învăţătorul său la o şcoală „din cele bune”.

(3) Finalul celui de-al doilea pasaj este edificator doar în măsura în care ştim că Gauss a fost printre marile minţi matematice care s-au preocupat de „problema axiomei paralelelor”. Pe vremea respectivă nu se folosea atât de mult exprimarea „dreptele paralele sunt drepte care nu se intersectează”, specifică teoriei mulţimilor, ci se folosea mult mai artistica exprimare „dreptele paralele sunt drepte care se intersectează la nesfârşit, la infinit”. În acest context înţelegem ceva mai bine exprimarea copilului Gauss de la finalul citatului. Afirmaţia respectivă este inclusă în roman ţinând cont probabil de dorinţa autorului de a atinge măcar în treacăt preocuparea lui Gauss legată de subiectul paralelelor. Se ştie că Farkas Bolyai, tatăl lui János Bolyai, a fost prieten cu marele Gauss şi a purtat cu acesta o corespondenţă despre „demonstrarea axiomei paralelelor”. Pe acest substrat preocupaţional din jurul său a apărut legendarul „Apendix” al fiului său, unul dintre deschizătorii drumului către geometriile neeuclidiene, alături de rusul Nikolai Lobachevsky. Cu timpul, după recunoaşterea ideilor celor doi tineri (Lobachevsky şi Bolyai János), Gauss ar fi admis că a avut şi el idei asemănătoare, de contestare a axiomei paralelelor, dar că s-a temut să le publice pentru a nu se face de râs în lumea matematicii, unde avea deja un renume de necontestat, fiind supranumit „Princeps mathematicorum”.

Închei cu recomandarea caldă să căutaţi şi să citiţi cartea Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann. Este una din acele cărţi rare la care citeam de fiecare dată tot mai puţin pentru ca lectura să dureze cât mai mult. Iată şi o caracterizare din Ziarul Frankfurter Allgemeine Zeitung despre Daniel Kehlmann:  Autori care să scrie cărţi ce merită atât de mult să fie citite, nu avem prea mulţi (citat tradus de pe coperta a IV-a a exemplarului în limba germană). CTG

Citate despre intuiţie

În prezentarea liniei metodico-didactice pentru noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, cuvântul intuiţie apare de peste 20 de ori, arătându-se astfel că folosirii intuiţiei îi este alocată o importanţă mult crescută faţă de perioada precedentă.

Ţinând cont că m-am preocupat foarte mult în ultimii ani cu folosirea intuiţiei elevilor în procesul de predare, voi încerca în această vară să prezint elemente din materialele despre predarea intuitivă găsite în ultima vreme. În acest sens doresc să încep cu un material la care am lucrat vara trecută (!), dar care nu a ajuns să se materializeze într-o postare (toată iarna a stat cărticica în aşteptare, dar de-abia acum i-a venit vremea).

Lucrarea se numeşte Proverbe, cugetări, definiţii despre EDUCAŢIE şi este apărută în Colecţia Cogito la Editura Albatros în 1978 sub îngrijirea lui Eusebiu Mihăilescu. Respectând forma lucrării, am ataşat în faţa fiecărui citat şi numărul curent al acestuia (la început două citate de la fantezie, respectiv de la gândire, apoi cele din colecţia centrată pe intuiţie, de la pag. 187-190). Vă doresc cugetare plăcută, profundă şi cu folos. CTG

896 ● Fantezia e raportul liber neprevăzut dintre intuiţie şi expresie; raportul eliberat de stringenţa logică a spiritului. (Şerban CIOCULESCU, aspecte literare contemporane)

959 ● A gîndi e mai interesant decît a şti – dar nu decît a intui. (J.W. GOETHE, Maxime şi reflecţii)

1217 ● Intuiţia ar fi deci egală cu invenţia intelectuală; intuiţia este, aşadar, facultatea de a găsi un sens unui ansamblu de fapte. (Eugen BARBU, Caietele principelui, vol. II)

1218 ● Prin intuiţie, conştiinţa elevului nu numai că se îmbogăţeşte cu reprezentări vii şi adecvate asupra fenomenelor studiate, dar în acelaşi timp se face apropierea şi legarea strînsă a cuvîntului de conţinutul său real.

1219 ● Scopul intuiţiei nu este intuiţia pentru intuiţie, ci de a dezvolta cît mai eficace gîndirea abstractă a elevilor. (Tiberiu BOGDAN şi Nicolae RADU, Note de curs de psihologia copilului şi psihologia pedagogică)

1220 ● Intuiţia este un mijloc de cunoaştere a realităţii obiective, care este folosită nu numai în faza iniţială de percepere a realităţii, dar şi atunci cînd se trece la gîndirea abstractă. Ea favorizează conducerea gîndirii abstracte de la fenomen la esenţă şi de la o esenţă mai puţin profundă la una şi mai profundă. (Georgeta CHIRIŢĂ, Pedagogie aplicată la domeniul educaţiei fizice)

1222 ● Reprezentarea care poate fi dată anterior oricărei gîndiri se numeşte intuiţie. (Immanuel KANT, Critica raţiunii pure)

1223 ● Observarea atentă şi amănunţită a unui lucru se numeşte intuire. Intuirea este deci un complex de percepţii.

1224 ● Intuiţie formează temelia reprezentărilor şi a noţiunilor şi prin acestea a întregii cunoştinţe a omului; ea are influenţă asupra sentimentelor şi a voinţei. (Emanuel MARTIG, Psihologie pedagogică)

1229 ● Intuiţiile fără noţiuni sînt oarbe, noţiunile fără intuiţii sînt goale. (Friederick PAULSEN, Introducere în filozofie)

1231 ● Intuiţia cea mai complexă se compune din elemente simple. De îndată ce cineva le-a înţeles, studiul cel mai complicat devine simplu. (J.H. PESTALOZZI, Cum îşi învaţă Ghertruda copiii, Scrisori. SCR. A V-a)

1233 ● Numai prin intuiţie, dar o intuiţie făcută în natura reală, nu prin povestiri, se poate înlătura din şcoală cel mai periculos duşman al ei, care este verbalismul. (I.C. PETRESCU, Şcoala activă)

1234 ● Intuiţiile sînt produsele conştiinţei atente, iar nu imaginile oglindite din lumea înconjurătoare. (C. RĂDULESCU-MOTRU, Elemente de psihologie)

1235 ● Intuiţia poate multe, dar nu tot. (Herbert SPENCER, Eseuri despre educaţie)

Prezentare de carte: George Pólya – Descoperirea în matematică

Pólya este cel mai citat autor în domeniul metodico-didacticii matematicii şcolare, iar lucrarea sa cu acest titlu ciudat – Descoperirea în matematică – probabil apogeul lucrărilor despre arta predării matematicii la nivel mondial. Lucrarea a fost tradusă în limba română şi publicată impecabil la Editura ştiinţifică în 1971, după originalul Mathematical discovery – On understanding, learning and teaching problem solving, apărut în două părţi la New York în 1962 şi 1965. Lucrarea urmează primelor două ale acestui autor: Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. ştiinţifică,1962 (originalul din 1954) şi respectiv Cum rezolvăm o problemă?, Ed. ştiinţifică, 1965 (originalul din 1957), cele trei formând o trilogie în slujba gândirii problemelor matematice.

Din start trebuie precizat faptul că titlul acestei cărţi este foarte înşelător; mult mai potrivit, mai clar, ar fi fost Descoperirea rezolvărilor problemelor de matematică. Pentru că, da, lucrarea încearcă o cale de iniţiere cât mai detaliată în arta rezolvării problemelor de matematică (aspect evidenţiat şi de subtitlul originalului în limba engleză, dar şi în varianta tradusă la pag. 83). Doar ultimul capitol, Conjectura şi metoda ştiinţifică, se apropie mai mult de titlul cărţii, încercând să împingă cititorul, dar mai ales elevul, spre probleme de cercetare (i-aş spune micro-cercetare).

Plecând de la premiza că onoratul cititor este oricum iniţiat şi versat în rezolvarea problemelor, mă voi concentra în prezentarea acestei lucrări pe al doilea mare obiectiv al acestei cărţi, cel care de fapt i-a adus renumele, anume arta predării matematicii.

Astfel, cartea urcă de la accentul pus pe metode generale de rezolvare a problemelor până la elemente clare de metodică şi didactică a predării matematicii. Deşi Pólya accentuează de câteva ori importanţa ca şi profesorul de şcoală medie să aibă o minimă experienţă în cercetare, doar în ultimul capitol el se referă la posibilitatea şcolirii înspre descoperirea unor elemente noi în matematică (doar colateral).

Cel mai dificil aspect în prezentarea acestei lucrări îl reprezintă alegerea unor citate sugestive din noianul sublinierilor existente în exemplarul din faţa mea. Voi încerca să aleg citatele în contextul elementelor din noua programă de matematică pentru clasele V-VIII, ce va fi aplicată actualilor absolvenţi de clasa a IV-a. Astfel, Pólya porneşte primul capitol cu următoarea explicaţie despre necesitatea construcţiilor geometrice:

Desenarea (sau construirea) figurilor cu ajutorul riglei şi compasului face parte, prin tradiţie, din predarea geometriei plane. Dintre construcţiile de acest gen, câteva – cele mai simple – sînt utilizate efectiv de desenatori, însă în rest, importanţa lor practică este neglijabilă, şi nici importanţa lor teoretică nu este prea mare. Cu toate acestea, prezenţa acestei teme în programele de învăţământ este pe deplin justificată: construcţiile geometrice sînt cît se poate de potrivite pentru familiarizarea începătorului cu figurile geometrice, şi constituie un excelent pretext pentru a-l iniţia în noţiunile de bază ale rezolvării problemelor. Şi tocmai din acest din urmă motiv, vom începe prin a studia construcţiile geometrice. (pag.15)

În continuare Pólya se avântă în explicarea rezolvării unor probleme, iar în acest demers foloseşte uneori un limbaj foarte sugestiv, chiar teatral. De pildă, în rezolvarea unei probleme, aflăm că în figură există un punct, punctul D, care evident, arde de dorinţa de a intra şi el în joc, de a avea mai multe relaţii …(pag.25).

În Cap.2 – Schema carteziană, Pólya ne prezintă o problemă banală, pe care apoi o analizează la diferite nivele. Iată problema: Un fermier are găini şi iepuri. Aceste animale au la un loc 50 de capete şi 140 de picioare. Câte găini şi câţi iepuri are fermierul?

Astfel, Pólya analizează mai multe moduri de abordare a problemei. Primul este rezolvarea prin tatonare (prin încercări). A doua metodă, ceva mai evoluată, este prezentată sub titlul: O idee strălucită. Iată în detaliu această rezolvare:

Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor, adică 70. În acest număr 70, fiecare cap de găină este socotit o dată, însă fiecare cap de iepure este socotit de două ori. Să scădem din 70 – numărul total de capete, adică 50; ceea ce rămîne este tocmai numărul de capete “urecheate” – sînt deci 70 – 50 = 20 iepuri! Şi bineînţeles, 30 de găini.

(…) Rezolvarea aceasta (…) este ingenioasă: ea necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Ideile strălucite sînt însă rare –  e un noroc ca să-ţi vină vreuna în minte. Aşa că Pólya trece la următorul nivel, la rezolvarea algebrică, iar apoi la o generalizare, şi în final face şi un  studiu comparativ al metodelor prezentate. Apoi se ocupă cu totul de punerea în ecuaţie.

Mai ales prima parte a cărţii (capitolele 1 – 4) este plină de exemple sugestive de probleme – unele mai frumoase decât altele – şi cu greu mă pot decide pe care să-o aleg spre exemplificare. Totuşi, hai să încerc. La pag.176 există următoarea problemuţă: 6.12. Înmulţirea cu 9 “răstoarnă” un număr de patru cifre (dă un număr cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă). Care este numărul? Legat de multele probleme de geometrie, o observaţie merită totuşi făcută: autorul dă multe exemple din ceea ce era la noi până în ’97 geometria de liceu. Mă doare sufletul că toată această parte de materie şi de aplicaţii nu mai este prin liceu (de pildă, probleme cu locuri geometrice oricum nu se pot studia în gimnaziu).

Revenind la reţetele date din Descartes, din alte surse, sau date chiar de către Pólya, acesta face la pag. 73 o obsevaţie foarte pertinentă: Cuvintele lui Descartes vor constitui pentru noi un îndreptar preţios, dar cititorul ar jigni pur şi simplu memoria părintelui “îndoielii carteziene” dacă ar accepta ceva din cele spuse de el, pur şi simplu pe considerentul că “aşa a spus Descartes”. În fapt, cititorul n-ar trebui să accepte “de-a gata” nici ceea ce spune autorul de faţă, nici vreun alt autor, oricare ar fi el, şi n-ar trebui să se încreadă  prea mult nici măcar în propriile sale impresii de prim moment. După ce-şi va pleca cu onestitate urechea la cele spuse de autor, cititorul n-ar trebui să accepte decît acele propoziţii pe care izbuteşte să le înţeleagă foarte clar prin propriile sale eforturi, sau de care este pe deplin convins pe baza propriei sale experienţe bine sedimentate. Numai procedînd în felul acesta, el va acţiona în spiritul Regulilor lui Descartes.

Cap. 3 pleacă de la celebra poveste cu Suma lui Gauss, dar ajunge curând la o minunată prezentare a combinatoricii şi a demonstrare prin inducţie matematică (la notaţii aţi putea avea anumite probleme, pentru că nu sunt cele folosite în România). Iar cap. 4 se încheie cu un minunat sfat: “Pentru a preţui cum se cuvine o cale uşoară, mergi mai întîi pe calea cea mai grea”, spunea profesorul de matematică tradiţional (pag.137). Acest sfat, poate de neînţeles, devine brusc clar dacă ne gândim la ordinea celor două metode tradiţionale de rezolvare a sistemelor de ecuaţii (substituţia, respectiv reducerea), dar şi la cunoaşterea noţiunii de fracţie (mai întâi cele ordinare, şi doar apoi cele zecimale).

În partea a doua, studiul evoluează în continuare. De pildă, în cap.10 – Naşterea ideii, găsim următoarea imagine deosebit de sugestivă (10.1 Şi dintr-o dată – lumină…, pag.240): Soluţia unei probleme poate surveni cît se poate de brusc. După ce-ai “rumegat” îndelung o problemă şi fără nici un progres aparent îţi “fulgeră”dintr-o dată în minte o idee strălucită, o sclipire de inspiraţie, şi parcă ţi se face lumină în faţa ochilor. Este ca şi cum ai intra, noaptea tîrziu, într-o cameră necunoscută de hotel, şi n-ai şti nici măcar unde este întrerupătorul; bîjbîi într-o cameră cufundată în întuneric, percepi confuz nişte forme întunecoase, pipăi ici o mobilă, colo o alta, şi cauţi, cauţi mereu – încerci să dibui pe undeva întrerupătorul; şi în clipa cînd l-ai găsit şi ai aprins lumina, totul devine dintr-o dată clar. Masele pînă atunci confuze capătă contururi distincte, forme binecunoscute, şi vezi că totul este la locul lui şi perfect adaptat unei funcţionalităţi evidente.

Cam de această natură poate fi şi experienţa pe care o trăieşti când rezolvi o problemă: o clarificare fulgerătoare care face lumină, care ordonează, structurează şi dă scop unor detalii care păreau pînă atunci obscure, confuze, haotice şi fără nici o semnificaţie.

Dar în acest domeniu, o fărîmă de experienţă este mai de folos decît un noian de descrieri; şi pentru a ne apropia cît mai mult de experienţa fiecăruia, ar trebui să trecem la un exemplu concret. Exemplele foarte elementare de matematică sînt, poate, cele mai potrivite pentru a ne face să simţim efortul, suspensul şi plăcerea unei descoperiri, şi pentru “a ne obişnui ochii să vadă adevărul clar şi distinct”. (Ultima frază este împrumutată din Descartes).

În continuare, la pag.241 se găseşte o demonstraţie foarte interesantă, de geometrie în spaţiu, la problema lui Ţiţeica cu moneda de 3 lei. Cap. 11 Activitatea gîndirii, aproape că pare luat dintr-un manual de psihologie. Superb! Citez de la pag. 249: O componentă esenţială a problemei este dorinţa, voinţa, hotărîrea de a o rezolva. (…) La partea de exemple şi comentarii la acest capitol găsim următorul aliniat: Scopul acestei cărţi este să vă îmbunătăţească deprinderile de lucru [ale dvs. sau ale elevilor dvs.]. De fapt, însă, numai dumneavoastră singur vă puteţi îmbunătăţi deprinderile. Dumneavoastră înşivă trebuie să descoperiţi ce diferenţe există între ceea ce faceţi de obicei, şi ceea ce trebuie să faceţi. Capitolul acesta a fost scris pentru a vă ajuta să înţelegeţi mai bine ceea ce faceţi dumneavoastră de obicei.

Personal, din toată cartea lui Pólya, preferatul meu este Capitolul 14: Să învăţăm noi, să-i învăţăm pe alţii şi să învăţăm cum să-i învăţăm  pe alţii. Primul titlu al acestui capitol este în sine o perlă: Predarea nu este o ştiinţă [ci o artă!]. Vă voi împărtăşi cîteva din opiniile mele despre procesul de învăţare, despre arta de-ai învăţa pe alţii şi despre procesul de instruire profesională a profesorului. Dacă nu toată cartea, măcar acest capitol ar trebui să fie inclus în bibliografia obligatorie pentru cursurile de metodică şi didactică din facultăţi sau de formare continuă a profesorilor. Paragrafele 14.1 – 14.7 au fost prezentate într-o alocuţiune la al 46-lea Congres al The Mathematical Association of America, la Berkley; paragraful 14.8 întregeşte capitolul într-un magistral curs de predarea a matematicii prin Decalogul profesorului, un set de reguli despre cum ar trebui predată matematica. Nu are rost să vă prezint citate din acest capitol pentru că în perioada următoare intenţionez să iau sub lupă diferite subiecte din acesta (de fapt, deja am început).

Din ultimul capitol, în care se propun anumite teme în care elevii să fie împinşi spre o aşa-numită “cercetare”, apar câteva citate de o importanţă deosebită în contextul actual. Astfel, la pag. 351 citim că faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie. La pag. 356 apare titlul 15.7. Metoda ştiinţifică: “Ghiceşte şi verifică”, care implică evident şi folosirea intuiţiei. În multe săli de clasă verbul a “ghici” este tabu, în timp ce în cercetarea matematică – linia de conduită. “mai întîi ghiceşte, apoi verifică” constituie aproape o regulă (pag. 358). În partea de “probleme” sunt date apoi multe exemple pentru “proiecte de investigaţie”.

Cartea nu se încheie însă aici. Urmează, pe lângă partea de răspunsuri, şi două anexe corespunzătoare celor două volume originale ale acestei cărţi. Din prima anexă merită să vă dau următorul citat (pag.375):  Aşa cum am arătat în Prefaţă, cartea aceasta a fost scrisă cu intenţia de a da posibilitate şi prilej viitorilor profesori de matematică pentru şcoala medie (precum şi profesorilor deja în funcţie) să desfăşoare o oarecare activitate de creaţie la un nivel adecvat. După părerea mea, este foarte de dorit să se creeze profesorilor o astfel de posibilitate, fiindcă de la un profesor care n-are nici un fel de experienţă personală, într-o formă sau alta, de activitate de creaţie, este greu de aşteptat că va fi în stare să inspire, să conducă, să sprijine, sau măcar să-şi dea seama de activitatea creatoare a elevilor săi. Aici Pólya vorbeşte desigur de activitatea creatoare a elevilor în contextul problemelor dificile, pentru care acestora nu le putem da o reţetă tipică de rezolvare Anexa 2 conţine doar noi probleme şi alte indicaţii/ sfaturi de “micro-cercetare”, de pildă cum ar fi acela despre cum se pot găsi numerele lui Fibinacci în Triunghiul lui Pascal.

Închei cu observaţia că aspecte similare, oarecum pe aceeaşi lungime de undă, se pot spune şi despre precedenta lucrare a lui George Pólya, Cum rezolvăm o problemă?, aşa că pentru aceasta nu îmi voi propune o prezentare separată.

Titus Grigorovici

24 aprilie 2017

Arta predării intuitive a matematicii – Surse de inspiraţie

Folosirea intuiţiei în predare reprezintă cea mai nouă cerinţă la adresa profesorilor de matematică. Noua programă pentru clasele V-VIII adoptată la începutul acestui an, readuce în viaţa profesorilor de matematică predarea intuitivă. Folosirea intuiţiei a fost exilată din şcoli odată cu reforma cerută de Ceauşescu la sfârşitul anilor ’70 (aplicată în gimnaziu începând din anul şcolar 1981-1982). În această reformă uitată de majoritatea profesorilor, intuiţia ca o componentă esenţială în procesul de învăţare a matematicii, a fost alungată brutal din orele de matematică, înlocuită fiind cu o predare axiomatic-riguroasă, de sorginte universitară, aplicată atât la clasele de liceu (cu vârste mai apropiate de cele ale facultăţilor), cât şi la clasele gimnaziale, unde ravagiile în procesul de formare a gândirii matematice au fost imense.

Din păcate, la ora actuală sunt foarte puţini cei care mai cunosc folosirea intuiţiei în predarea matematicii, astfel încât este de aşteptat ca majoritatea aşa-zişilor “formatori” din marele aparate de formare iniţială şi de formare continuă să trateze problema superficial, abordând “papagaliceşte” subiectul predării intuitive (în mod similar cu toţi cei care în ultimii ani ne-au vorbit în vânt despre “folosirea metodelor moderne de predare”, dându-ne lecţii despre ceva ce de fapt habar nu prea aveau nici măcar ei).

Dacă nu vrem să ratăm această ocazie – de revenire a predării intuitive după un exil de aproape 40 de ani – avem nevoie de o strategie clară, la nivel naţional, de reînsuşire a acestui tip de predare de către profesorii de matematică. Propunerea mea în acest context este ca factorii decisivi de la conducerea matematicii şcolare româneşti să se preocupe cu seriozitate de republicarea unor cărţi de căpătâi care au tratat pe toate părţile predarea vie şi sănătoasă pe care toţi ne-o dorim. Despre ce cărţi, respectiv despre ce autori este vorba? Două nume mari îmi vin în minte în acest context: Eugen Rusu şi George Pólya. Astfel, ar trebui republicate următoarele cărţi:

Eugen Rusu – Psihologia activităţii matematice, Ed. ştiinţifică, 1969.

Eugen Rusu – Problematizare şi probleme în matematica şcolară, Ed. didactică şi pedagogică, 1978 (cu semnul întrebării relativ la partea de probleme ce începe la pag.102, probleme ce ar putea să nu mai fie în ton cu materia sau cu cerinţele actuale).

Eugen Rusu – De la Tales la Einstein, Lyceum, Ed. Albatros, 1971.

Eugen Rusu a fost autor de manuale, dar şi un mare metodist român activ în anii ’60-’70. Văzând ca adult profunzimea gândurilor sale metodico-didactice, mă simt mândru că am avut ocazia să învăţ după manualele sale de aritmetică în clasele a V-a şi a VI-a.

George Pólya – Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. ştiinţifică,1962 (originalul din 1954).

George Pólya – Cum rezolvăm o problemă?, Ed. ştiinţifică, 1965 (originalul din 1957).

George Pólya – Descoperirea în matematică, Ed. ştiinţifică, 1971 (originalul din 1965).

George Pólya a fost un matematician maghiar (deci de prin această zonă a lumii), pe care viaţa l-a dus în Elveţia, apoi mai departe, în America. Cărţile sale sus amintite au fost scrise în urma activităţii de metodist în SUA, la ora actuală fiind apreciat ca cel mai mare specialist în arta predării matematicii la nivel mondial. Din lista de mai sus cu cărţile lui Pólya, eu personal le-am citit doar pe ultimele două (acestea sunt şi cele mai citate şi folosite la nivel mondial), dar se pare că cele trei formează un fel de trilogie, despre care acesta aminteşte în câteva rânduri. Precizez că cele trei sunt apărute în limba română, deci nu este nevoie să mai fie traduse (adică retraduse). Descoperirea în matematică o citesc actualmente a două oară şi sunt fascinat de tot ce scrie acolo (voi încerca în curând o scurtă prezentare).

Personal, la surse de inspiraţie, în sensul dobândirii unui stil de predare viu, apreciat de către elevi, mă simt obligat să mai amintesc o lucrare ce o am în limba germană. Şi pe aceasta am lecturat-o de două ori şi pot doar sublinia: este fabuloasă.

Bengt Ulin – Der Lösung auf der Spur, Ziele und Methoden des Mathematikunterrichts, (într-o traducere relativă: În căutarea soluţiei, a rezolvării, Ţeluri şi metode ale predării matematicii). Exemplarul meu este apărut la editura Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, 1987. Bengt Ulin a fost profesor de matematică într-o şcoală Waldorf din Suedia, lucrarea fiind redactată la cererea ministerului suedez al educaţiei, ca sursă de inspiraţie pentru profesorii din toate şcolile.

Dintre cei trei autori amintiţi în această postare, doar Pólya are dedicată o pagină pe Wikipedia (aici suntem la egalitate, românii cu suedezii). Permiteţi-mi să închei această scurtă prezentare citând câteva pasaje (lecturate azi dimineaţă) din Descoperirea în matematică a lui George Pólya (din Cap. 14, Să învăţăm noi, să-i învăţăm pe alţii şi să învăţăm cum să-i învăţăm pe alţii, citat compilat de la paginile321 şi 323):

Geometria, ştiinţa despre spaţiu poate fi considerată sub diferite aspecte. Geometria poate fi concepută, aşa cum ştim, ca o ştiinţă bazată pe axiome. Dar geometria este şi o măiestrie a ochiului şi a mîinii. Apoi, geometria poate fi considerată drept o parte a fizicii (…). În ipostaza de parte a fizicii, geometria este şi un domeniu în care putem face descoperiri, intuitive sau inductive, pe care le putem verifica apoi prin raţionament. La aceste multiple aspecte mai adăugăm unul: geometria este şi sursa de simboluri pentru un anumit tip de limbaj care poate fi discursiv sau precis, dar şi într-un caz şi în altul – util şi instructiv.

Există şi o morală – în atenţia profesorului: dacă vreţi să vă instruiţi elevii, şi nu doar să parcurgeţi în goană temele unui plan de studiu dictat “de sus”, atunci nu neglijaţi nici unul din aceste aspecte. Şi mai ales nu insistaţi prea de timpuriu sau prea mult asupra aspectului axiomatic al geometriei – dacă nu vreţi să-i dezgustaţi de geometrie pe elevi – [indiferent de ce vor deveni aceştia]: viitori ingineri, oameni de ştiinţă, artişti, filozofi etc., pe care i-ar putea atrage mai mult cunoaşterea vizuală a formelor geometrice, vizualizarea spaţială, sau descoperirea intuitivă, sau sprijinul viguros pe care-l poate constitui pentru gândire reprezentarea diagramatică. (…)

Despre Raţionamentul riguros George Pólya spune următoarele:  Demonstraţia riguroasă este efigia, semnul distinctiv al matematicii, ea este o parte esenţială a contribuţiei matematicii la cultura generală. Elevul căruia nu i s-a dat niciodată ocazia de a fi impresionat de o demonstraţie matematică a fost lipsit de una din trăirile intelectuale de bază. (…)

Există [însă] demonstraţii şi demonstraţii, există diferite moduri de a demonstra. Primul lucru pe care trebuie să-l înţelegem, şi să-l înţelegem bine de tot, este că la o vîrstă dată a auditoriului şi la un grad de maturitate dat al acestora, anumite moduri de demonstrare sînt mai adecvate în predare, decît altele.

Un anumit aspect al demonstraţiei matematice a fost sesizat şi descris cu remarcabilă luciditate de către Descartes. Citez a treia din regulile pentru îndrumarea minţii: “În raport cu obiectele propuse [pentru studiu] trebuie cercetat nu ceea ce au gândit alţii sau ceea ce noi înşine doar presupunem, ci numai ce putem să intuim în mod clar şi evident sau să deducem cu certitudine; căci ştiinţa nu se dobîndeşte în alt mod”. Explicitînd această regulă, Descartes consideră succesiv cele două “moduri prin care se dobîndeşte ştiinţa”: intuiţia şi deducţia. Iată cum începe el discuţia despre deducţie: “Această evidenţă şi certitudine a intuiţiei se cere nu numai într-un enunţ oarecare, dar şi în orice specie de raţionament. (…)”

O deducţie matematică îi apare lui Descartes drept un lanţ de concluzii, o secvenţă de paşi succesivi; şi pentru ca deducţia să fie valabilă, este necesar ca la fiecare pas să se realizeze acea înţelegere intuitivă care arată că concluzia obţinută în acea etapă decurge evident şi rezultă necesar din cunoştinţele dobîndite anterior (dobîndite fie direct – prin intuiţie, fie indirect – din etapele anterioare ale deducţiei).

Legat de demonstraţii mai complicate, care ne apar nu ca un lanţ, ci ca o diagramă cu ramuri, Pólya precizează că Descartes ar fi insistat ca fiecare element al diagramei (…) să se sprijine pe evidenţa intuitivă. Analizând aceste rânduri înţelegem cu prisosinţă că intuiţia reprezintă celula de bază a raţionamentului riguros.

Mă opresc aici din citarea acestui text, nu pentru că s-ar fi terminat partea interesantă, ci pentru că a continua ar reprezenta un demers fără sens: ar trebui să citez o parte mult prea mare din carte pentru a avea convingerea că am redat tot ce-i interesant legat de acest subiect. A doua zi (18 aprilie) la cafeaua de dimineaţă am lecturat şi am subliniat voios încă trei pagini din Descoperirea în matematică (până la 326, pentru cei care au cartea, dar şi curiozitatea să vadă la ce mă refer).

Revenind la lista iniţială a celor doi autori, Eugen Rusu şi George Pólya, trebuie precizate câteva aspecte. În primul rând, trebuie înţeles că aceste cărţi nu se citesc uşor. Cu excepţia lucrării De la Tales la Einstein, care are un profund caracter de beletristică, celelalte patru pe care le cunosc nu se citesc deloc uşor (mă aştept ca şi prima lucrare a lui Pólya să aibă această caracteristică; acelaşi lucru se poate spune şi despre lucrarea lui Bengt Ulin). Aceste cărţi se citesc greu şi doar dacă reuşeşti să-ţi dezvolţi un interes adevărat pentru autodezvoltare, pentru ieşirea din starea plată de prelegere apatică în care am fost împinşi noi, profesorii de matematică, şi în care mulţi dintre noi se complac fără jenă. Aceste cărţi se citesc fără a înţelege iniţial mare lucru, fără un aparent efect spectaculos în predarea personală. Dar apoi, parcă de niciunde, încep să-ţi vină idei noi în predare. Iar când vei relua cartea peste 2-3 ani înţelegi mult mai bine şi pricepi de unde îţi veneau acele idei novatoare. Este un proces de lungă durată la profesorii activi, deja formaţi pe o linie, dar merită: cei care o iau pe acest drum vor simţi tot mai des satisfacţia unei predări interactive, în care bucuria de zi cu zi a elevilor la ora de matematică te hrăneşte cu o energie de nebănuit.

Închipuiţi-vă ce am simţit joia trecută la clasă (vineri se lua vacanţă) în timp ce predam la clasa a VI-a liniile importante în triunghi: parcursesem bisectoarele şi mediatoarele (la fiecare făcusem o figură cu o singură linie pentru reamintire, iar apoi o figură cu toate cele trei linii de un fel într-un triunghi, cu constatarea concurenţei); acum eram la mediană, făcusem prima figură, şi lucram toţi la figura cu toate cele trei mediane în triunghi – elevii în caiete iar eu la tablă, cu spatele către clasă. La un moment dat s-a auzit din clasă o voce de elev: “Ce frumos!”. Nu m-am întors; n-am spus nimic; doar am savurat. În acel moment am ştiut că le-am oferit acelor elevi exact ce aveau nevoie şi că ei vor spune de-acum încolo că “geometria e frumoasă”. Pentru acel elev reuşita unei figuri geometrice corecte, confirmate probabil prin concurenţa celor trei mediane, a fost suficientă pentru a fi considerată o trăire frumoasă.

Aceste cărţi trebuie citite de mai multe ori, dar după ce le-ai citit prima oară şi după ce a trecut o perioadă de dospire a acestor gânduri în subconştientul tău, după 2-3 ani le vei relectura a două oară cu mare plăcere. Desigur că, cel mai bine ar fi ca acestea să reprezinte literatură obligatorie pentru facultate şi pentru primii ani de predare, până la definitivat (chiar şi pentru gradul II sunt foarte potrivite). Acest demers ar trebui decis cât de curând şi aplicat cu sfinţenie pentru a ne asigura că măcar peste 10 ani să intre în sistem profesori cu o mentalitate sănătoasă în predare. Pentru cei mai avansaţi în cariera de profesor de matematică aceste cărţi trebuie să reprezinte însă un demers autoasumat de bună voie şi dus la îndeplinire conştincios. Asta dacă nu cumva aceştia sunt atât de “avansaţi” încât au început să numere AMR-ul, adică anii până la pensie.

Există desigur şi o altă cale: aşa cum în anii ’80 profesorii au fost forţaţi să treacă de la predarea vie, intuitivă la predarea riguros axiomatică de tip prelegere, în mod similar acum autorităţile ar putea să procedeze la forţarea în sens opus. Mă şi îngrozesc însă gândindu-mă cum aceste cărţi minunate ar putea fi pervertite într-un mod autoritar, “băgate fiind cu forţa pe gâtul” unor profesori care nu le înţeleg rostul.

Revenind la cei doi autori, Eugen Rusu şi George Pólya, este evident că Eugen Rusu vorbeşte “mai pe limba noastră”, referindu-se deseori la aspecte ce ne sunt unora mai cunoscute. Dimpotrivă, George Pólya şi-a redactat cărţile pentru profesorii americani. Deşi se simte că este un “autor mondial”, în lucrările sale am avut impresia deseori că le vorbeşte profesorilor din amintirile sale din copilăria şi tinereţea petrecută pe aici, prin răsăritul Europei. Cele două seturi de lucrări se completează însă foarte bine, Eugen Rusu ca al doilea în ordine cronologică făcând o muncă magistrală în redactarea lucrărilor sale. În acest sens, eu nici nu ştiu cum ar fi mai bine: un profesor să pornească cu lecturarea cărţilor lui Pólya sau cu cea a cărţilor lui Rusu. Eu personal l-am citit întâi pe Pólya, despre care tot auzisem; pe Eugen Rusu l-am descoperit ca autor ceva mai târziu.

Titus Grigorovici,

17-18 aprilie 2017

Matematica devreme

Exista persoane care ar dori să-i introducă pe elevi cât mai de timpuriu în învăţarea matematicii. Ca urmare apar oferte editoriale pe măsură. Vedeţi în poza alăturată oferta pentru aproape toate vârstele preşcolare. Eu nu înţeleg de ce sunt neglijaţi sugarii şi, poate ar trebui cineva să pornească în căutarea unor metode de învăţare a matematicii din perioada prenatală.

Gaşca cu pozaru’

Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach

Ed. HUMANITAS, 2003

(în engleză: Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture, 2000)

Despre unchiul Petros toţi membrii familiei, oameni de afaceri, vorbesc cu jenă, pentru că este un ratat. Într-o zi însă, unul dintre nepoţi descoperă că viaţa lui Petros conţine un secret minunat, care-l transformă dintr-o dată din “oaia neagră” a familiei într-un adevărat erou tragic. Relaţia afectivă dintre nepot şi unchi devine posibilă … şi imposibilă datorită unei faimoase ipoteze matematice, Conjectura lui Goldbach. Ea sună aşa: “ORICE NUMĂR PAR MAI MARE DECÂT 2 ESTE SUMĂ A DOUĂ NUMERE PRIME.” Nimeni nu a reuşit încă să demonstreze adevărul acestei observaţii, atât de uşor verificabil prin încercări succesive (chiar şi de către un elev care a absolvit clasa a V-a şi a învăţat noţiunile de bază).

Un roman în care matematica devine un personaj plin de surprize, un roman în care numerele se încarcă de o indescriptibilă poezie. O poveste cu oameni fragili (impari) şi numere puternice (pare). O apologie a matematicianului. O istorie care leagă destinul unui copil curios de cel al unui unchi excesiv de discret. (citate de pe coperta IV a volumului prezentat)

Da, există şi un roman despre matematică, despre sentimentele matematicianului, care visează să descopere CEVA, ceva cu care să rămână în memoria colectivă a acestei bresle. O carte despre dorinţa arzătoare a matematicianului de “a călca în minte” pe undeva pe unde nu a mai fost nici o dată o altă minte omenească. Acele pete albe de pe nesfârşita hartă a matematicii exercită asupra matematicienilor de vârf o atracţie incredibilă, iar noi, matematicienii de rând de la catedră putem simţi prin această carte un iz din mireasma rezervată de obicei doar celor câţiva aleşi de soartă.

Citiţi această carte; aceasta reprezintă o lectură obligatorie (poate de vacanţă) pentru orice iubitor de matematică. Desigur că redactorii au avut anumite dificultăţi cu scrierea matematică (de pildă micile gafe de la paginile 82-83), dar îi iertăm pentru că ne-au oferit cu acest scurt roman o mare bucurie.

Personal, de când am citit cartea în urmă cu câţiva ani, le prezentăm elevilor începând din clasa a V-a elemente de teoria numerelor figurate, dar şi Conjectura lui Goldbach, dându-le ca temă să o verifice pe toate numerele pare până la 50 (elevii care iubesc matematica “au voie” să urce până la 100). Acesta este un exerciţiu foarte bun de fixare a numerelor prime, chiar în semestrul I din a V-a.

Încheiem prezentarea cu câteva citate dragi din Unchiul Petros, la care neliniştea constantă adusese cu ea şi insomnia, care se agrava şi din cauza consumului excesiv de cafea, combustibilul cu care funcţionează matematicienii (pag.93). De fapt, profilul psihologic al adevăratului matematician se apropie mai mult de cel al poetului sau al compozitorului, cu alte cuvinte de al celui preocupat de crearea Frumuseţii în căutarea Armoniei şi a Perfecţiunii (pag.33). Matematica este ca un copac cu rădăcini putenice (Axiomele), cu un trunchi solid (Demonstraţia riguroasă) şi cu ramuri în continuă creştere pe care înfloresc flori minunate (Teoremele). Cu alte cuvinte, este vorba de Sfânta Treime, Axiomă-Demonstraţie-Teoremă (pag.112). Trebuie să subliniez pentru nespecialişti: cărţile de matematică nu pot fi în mod obişnuit gustate ca romanele, în pat, în cada de baie, cufundat într-un fotoliu sau lungit pe o canapea. Să le “citeşti” înseamnă să le înţelegi, iar pentru asta ai nevoie de o suprafaţă tare, hârtie, creion şi timp din belşug (pag. 168). Din contră, romanul Unchiul Petros îl puteţi însă citi oriunde, chiar şi la plajă. Lectură plăcută!

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Prezentare de carte: Anii de aur ai cărților despre matematică

În ultimii 20 ani am putut fi martorii unui curent de gândire de excepţie care s-a manifestat prin apariţia unui număr mare de cărţi despre fenomenul matematic şi dezvoltarea matematicii, curent deosebit de efervescent, peste media anilor precedenţi. Au apărut în aceşti ani cărţi oarecum beletristice despre lumea matematicii, cu iz de popularizare a ştiinţei, cărţi ce pot fi lecturate de către orice persoană ce îndrăgeşte matematica (având amintiri pozitive de la orele de matematică din şcoală). Unele chiar sunt scrise nu de către matematicieni pur sânge, ci de către ingineri, ei arătând pentru omul de rând “cum gândesc această subspecie separată de oameni, numiţi matematicieni”.

În acest sens cărţile amintite sunt deosebit de importante pentru profesorul de matematică preuniversitară: ele ne învaţă cum să coborâm din înaltele sfere ale matematicii, jos pe pământul oamenilor de rând cu care trebuie să avem un contact real. Or, dacă le vorbim de prea sus, mult prea abstract şi teoretic, cei mai mulţi “nu ne mai aud”, adică nu ne mai înţeleg.

Un alt motiv pentru care profesorii ar trebui să studieze aceste cărţi îl reprezintă multitudinea de poveşti despre diferite momente din istoria matematicii. Cu acestea ne putem înfrumuseţa orele, prezentându-le elevilor matematica studiată mult mai umană.

Un al treilea motiv pentru lecturarea acestor cărţi îl reprezintă posibilitatea găsirii unor teme pentru opţionale. Noi am generat în acest fel un curs despre codificări deosebit de apreciat de elevii claselor mari de liceu, mai ales cei de la profilul uman.

Un al patrulea motiv pentru studiul unora din aceste cărţi este că ele ne deschid ochii în privinţa unor greşeli pedagogice majore ce ne sunt impuse prin programe şi manuale. Elevii vor înţelege uneori mult mai bine dacă le prezentăm ideile în forma apariţiei lor istorice, nu în forma refăcută acedemic; desigur că acest aspect nu este valabil întotdeauna, existând şi exemple în care “te apucă durerea de cap” sau eventual “te pufneşte râsul” când afli cum s-au chinuit iniţiatorii unor domenii matematice.

În eseul de faţă nu doresc să prezint în mod special vreuna din aceste cărţi, ci curentul în sine care s-a manifestat de fapt vreme de cca. 10 ani, în intervalul 1997 – 2007, începând cu Marea Teoremă a lui Fermat a lui Simon Singh şi încheindu-se în linii mari cu Îmblânzirea infinitului: povestea matematicii a lui Ian Stewart (cca. 12 ani în traducerile româneşti, în intervalul 2000 – 2011).

Iată în continuare lista cărţilor pe care am apucat noi să le găsim prin librăriile clujene în toţi aceşti ani (la finalul fiecărui titlu de carte am pus anul apariţiei româneşti şi în paranteză anul apariţiei originale în limba engleză).

Purtătorul curentului a fost desigur Editura HUMANITAS:

Simon Singh – Marea teoremă a lui Fermat 2000 (1997)*

Mario Livio – Secţiunea de aur, povestea lui phi …2005 (2002)*

Simon Singh – Cartea codurilor, istoria secretă …2005 (1999)*

Ian Stewart – Numerele naturii 2006 (1995)

Gale E. Christianson – Newton (seria Maeştrii Spiritului) 2006 (2005)

Charles Seife – Zero, biografia unei idei periculoase 2007 (2000)

Mario Livio– Ecuaţia care n-a putut fi rezolvată 2007 (2005)

Clifford A. Pickover – Banda lui Möbius 2007 (2006)

John D. Barrow – Cartea infinitului, Scurtă introducere…2008 (2005)

Ian Stewart – De ce Frumuseţea este Adevărul 2010 (2007)*

Keith Devlin – Partida neterminată, Pascal, Fermat şi scrisoarea…2010 (2008)*

Ian Stewart – Îmblânzirea infinitului, Povestea matematicii 2011 (2007)*

Mario Livio – Este Dumnezeu matematician? 2011 (2009)

David Berlinski – Unu, Doi, Trei, Matematica absolut elementară 2013 (2011)

Curentul a fost prefigurat în mod ciudat de către Editura HUMANITAS cu romanul:

Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach 2003 (?)*

Această carte este absolut fabuloasă, fiind o ficţiune ce descrie incredibil de bine starea de matematician. Cei care s-au luptat cu ideile în matematică o vor savura din plin.

Câteva cărţi deosebite despre matematică au apărut şi la Editura Theta:

Paul J. Nahin – O poveste imaginară, Istoria numărului 2000 (1998)*

Keith Nevlin – Vârsta de aur a matematicii 2001 (1988)

Eli Maor – e Povestea unui număr 2006 (1998)

Eli Maor – Splendorile trigonometriei 2007 (1998)

Perechea lucrării lui John D. Barrow de mai sus a apărut la Editura Tehnică:

John D. Barrow – Mic tratat despre nimic 2006 (2000)

O poveste deosebit de romanţată a apărut la Editura NEMIRA:

Amir D. Aczel – Însemnările secrete ale lui Descartes 2008 (2005)*

O colecţie de articole foarte frumoase am găsit şi la Editura CADMOS:

Ion Ionescu – Povestiri ştiinţifice 2008 (după articole din 1941)

Ca supliment la Săptămâna Financiară a apărut la Editura LITERA:

Laurent Joffrin – Istoria Codurilor Secrete 2010 (2009), un rezumat cu completări la lucrarea lui Simon Singh (în opţionalul despre codificări, pe lângă aceste două lucrări am folosit şi exemplele de criptare din renumitul roman al lui Dan Brown Codul lui Da Vinci publicat în 2007 la Editura RAO).

Pentru cei ce ar dori să pornească în lecturarea acestor cărţi, am ataşat câte o steluţă – desigur subiectivă – preferatelor noastre, rezistând cu greu tentaţiei de a le ordona într-un top al celor mai….

P.S. Un regret uriaş este faptul că, datorită cantităţii uriaşe de hârţogărie birocratică zilnică şi cursuri inutile pentru ciudatele puncte obligatorii, profesorii de matematică nici nu prea au când să mai citească toate aceste cărţi (cărţi din care s-ar perfecţiona cu adevărat). Şi să fim lămuriţi: lista cărţilor prezentată mai sus nu are pretenţia de a fi completă, nici în sensul lucrărilor traduse în limba română, nici în sensul general, al lucrările la nivel internaţional.

12 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Prezentare de carte: Eugen Rusu – Problematizare și probleme în matematica școlară

De la începutul trebuie precizat că această carte ar trebui ridicată la rangul de “biblie a profesorului de matematică”. Orice profesor ar trebui să aibă un exemplar din aceasta, iar cartea ar trebui să fie la a “nu-ştiu-câta” ediţie. Din păcate lucrurile nu stau deloc aşa.

Să o luăm ordonat: lucrarea este apărută în anul 1978 la Editura didactică şi pedagogică, deci nu poate fi căutată decât în anticariate sau biblioteci.

Despre profesorul Eugen Rusu nu ştiu prea multe date. Pe Wikipedia există doar o menţionare a sa într-o listă a autorilor de manuale de matematică din România. Într-adevăr, numele său apare ca unic autor al unor manuale gimnaziale de aritmetică şi algebră din anii ’70 (manualele din care a învăţat generaţia mea). În lista bibliografică a cărţii despre problematizare apar o serie de alte şapte lucrări de metodică publicate în perioada 1957 – 1972. În subsolul paginii 62 apare chiar următoarea observaţie: Un astfel de manual am alcătuit în 1938, el a fost aprobat de Minister, dar iminenţa războiului a împiedicat tipărirea lui (este vorba despre un manual de geometrie analitică). După ’78 numele său nu mai apare ca autor; putem deci concluziona liniştiţi că lucrarea despre problematizare este “testamentul metodico-didactic” al profesorului Eugen Rusu.

Ajungând la titlul lucrării, acesta este clar prea lung; o formă de tipul “Problematizarea în matematică” sau eventual “Problematizarea ca metodă de predare a matematicii” ar fi un titlu mult mai potrivit.

O prezentare ordonată a conţinutului cărţii ar fi greu de făcut, iar cuprinsul nu dezvăluie mai nimic din nestematele ascunse în text sau printre rânduri. Cuprinsul este oficial şi serios, fără a oferi vreo impresie despre marea bucurie a “artei predării matematicii prin problematizare” ce se regăseşte în paginile acestei lucrări. Redând doar pasajele ce m-au entuziasmat la o primă lectură, şi ar trebui să citez cel puţin o treime din carte.

Ca urmare voi recurge la câteva citate cu gândul declarat de a vă trezi interesul pentru achiziţionarea şi lecturarea acestei cărţi.

… înainte de război…la matematică a existat o tendinţă foarte activă de a realiza …lecţii în care materia era transformată în probleme de cercetare…Numai profesorii slab pregătiţi făceau lecţii expozitive; se sileau să ţină minte şi să reproducă un text…(pag.6).

Distingem trei aspecte principale ale matematicii: 1) matematica euristică; 2) matematica – sistem logic; 3) matematica aplicată (pag.12). În continuare urmează pe faţă o pledoarie a părţii euristice şi a intuiţiei; iată aici un citat din J. Hadamard: “Obiectul rigoarei matematice este să întărească şi să legitimeze cuceririle intuiţiei”(pag.13).

Obiectivele noastre principale rămân: a face pe elev să resimtă plăcerea de a descoperi implicaţii logice; a-l ajuta să-şi întărească gândirea investigatoare şi gândirea logică – prin exercitarea ei în condiţii favorabile (pag. 60).

…În acest fel se fixează în memorie formula în sine, fără justificarea ei – chiar şi când aceasta este foarte simplă….Dacă însă s-a procedat prin problematizare, formulele se reţin prin memorare raţională, singura admisibilă în matematică, adică împreună cu procedeul prin care au fost descoperite; în acest caz nu mai este nevoie de prea multe exerciţii de fixare, activitatea este conştientă, nu mecanică. Aceasta este o superioritate clară a problematizării (pag. 64-65).

Dacă am împărţi conţinutul lecţiilor de geometrie în: 1) chestiuni pe care “le explică” profesorul; 2) chestiuni pe care le descoperă elevul călăuzit de întrebările profesorului şi 3) chestiuni pe care le descoperă elevul necălăuzit, am vedea că în 1) pot rămâne foarte puţine lucruri (pag.66).

Lăsând la o parte stabilirea unui vocabular – care este sarcina profesorului sau a manualului – restul activităţii, tot restul intră în atribuţia gândirii elevului – de la caz la caz cu sau fără călăuzirea profesorului. Din acest punct de vedere, nu trebuie să facem distincţie între teoreme şi probleme. În învăţământul informativ – instituit încă de la Euclid care, deşi plecând de la o intenţie pedagogică s-a dovedit a fi cel mai chinuitor pedagog, de-a lungul veacurilor – distincţia între teoreme şi probleme există. Teoremele sunt scrise: intăi enunţul, apoi demonstraţia – fără nici o preocupare pentru procesul găsirii lor – şi se învaţă; exerciţiile şi problemele se fac. În învăţământul formativ, distincţia se estompează sau se şterge complet. Ca mod de tratare, nu trebuie să existe deosebire (pag.67).

Cred că nici tabla înmulţirii… nu trebuie învăţată pur şi simplu pe dinafară. Acest “pe dinafară” trebuie întâi să se coacă “pe dinăuntru”. Dacă întreb un copil de clasa I cât fac 4 cu 3 şi acesta răspunde prompt şi sigur şapte, am o îndoială. Dacă îşi ascunde degetuţele la spate – ca să nu văd eu ce face – şi caută să pună alături 4 de la o mână şi 3 de la alta, îl simt că este pe drumul matematic autentic … pentru că el caută prin mijloace proprii să se convingă … Tabla înmulţirii trebuie ştiută pe dinafară nu învăţată pe dinafară (pag.79-80).

Închei această spicuire cu un citat din G. Glaeser oferit la începutul capitolului VI: Scopul meu este de a deschide discuţia şi a pune probleme, în speranţa de a stimula pe cititor să regândească bazele funcţiei de educator (pag.97).

*

Pentru cei care sunt nedumeriţi în urma citatelor de mai sus, neştiind ce să înţeleagă clar din ideea de problematizare, daţi-mi voie să fac o scurtă prezentare a acestei teme.

Problematizarea este procesul prin care elevul este “obligat” să gândească, nu prin frica de note, ci prin trezirea curiozităţii. Activarea gândirii prin problematizare este cea mai sănătoasă şi aceasta poate fi făcută atât la diferite probleme (inclusiv la demonstrarea unor teoreme privite ca problemă în sine), cât şi la generarea anumitor părţi de lecţie, posibilă pe baza unor cunoştinţe deja însuşite (sau nu!).

Pentru ca gândirea elevului să fie activată cu adevărat trebuie doar ca pasul cerut elevilor să fie posibil de făcut de către mintea acestuia, adică cerinţa să fie adaptată elevilor de faţă. Desigur că dacă întrebarea este măsurată doar după capacităţile maxime ale elevului/grupului cel mai bun din clasă, atunci pentru restul elevilor demersul este degeaba (chiar antiproductiv, convingându-i pe majoritatea cât sunt de “proşti”, iar de aici în continuare discuţia intră în domeniul psihologilor, amintind de Peter Gallin cu teoria sa despre persoane avariate matematic).

În acest sens recomand lecturarea în Caietele de matematică PENTAGONIA a două exemple din anii ‘90 de predare prin întrebări (vezi PENTAGONIA Nr.2 Apariţia numerelor complexe şi PENTAGONIA Nr.4 Fracţiile zecimale)

Există şi o altă modalitate de abordare a problematizării. Am auzit despre aceasta de la tatăl meu: profesorul său de matematică o folosea pe când era tata elev la Vatra Dornei. Astfel, elevii primeau la începutul orei o problemă cu care erau lăsaţi să se preocupe cca. 10 min. Apoi veneau “răspunsurile” la care însă nu se zăbovea mult. Chiar dacă nu se găsea un răspuns sau o rezolvare clară, profesorul pornea noua lecţie şi în timpul acesteia elevii se trezeau că studiază un subiect cu care s-au întâlnit în problema primită iniţial. Astfel, în lecţia respectivă apărea metoda, calea pentru găsirea răspunsului la problema iniţială. Aici problema oferită spre gândire avea rolul de a le trezi curiozitatea şi a le destupa atenţia în domeniul respectiv: în urma problemei în mintea elevului se năştea o mare întrebare, iar pe fondul acestei curiozităţi lecţia venea cu răspunsul eliberator.

24 nov.2015

Titus Grigorovici

Prezentare de carte

Cine nu ia o carte de matematică în mână pătruns de un sentiment de sacru, nu va găsi mare lucru în această carte. NOVALIS

În ultimele trei caiete PENTAGONIA, din 2001 şi 2002, am început să prezentăm cărţi de matematică. Nu este vorba despre culegeri de exerciţii şi probleme, şi nici despre manuale de matematică, ci despre cărţi care vorbesc despre matematică, despre istoricul acesteia şi despre cum ar trebui să ne apropiem împreună cu elevii de matematică.
Citindu-le, profesorul de matematică poate găsi inspiraţie în a-şi structura lecţiile mai atractiv, fie cu mici detalii de o coloratură atractivă, fie în general, ca atitudine de intrat la clasă.

Lucrarea lui Simon Singh, Marea Teoremă a lui Fermat, ajunsă între timp la ediţia a 3-a la Editura Humanitas, rămâne în continuare un posibil cap de afiş în spectacolul acestor cărţi minunate (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.7 din martie 2001), reprezentând o lectură obligatorie pentru orice profesor de matematică ce doreşte să-şi extindă cultura. În Vest această carte a stârnit un val întreg de lucrări de popularizare a matematicii. Este extrem de lăudabil faptul că multe din acestea au fost publicate la Humanitas, devenind astfel accesibile cititorului român, dar despre acestea într-o intervenţie ulterioară.

În Caietul PENTAGONIA No.8 am prezentat mama şi tata tuturor cărţilor de popularizare a matematicii, cele două lucrări ale lui Egmont Colerius, De la tabla înmulţirii la integrală, respectiv De la punct la a patra dimensiune, apărute în perioada interbelică şi traduse în româneşte în 1967. În legătură cu această carte iată o istorioară interesantă: profesorul Wolf Klein de la Şcoala Waldorf din Klagenfurt, Austria, a contactat pe vremuri editura ce a publicat iniţial cartea în germană şi a obţinut o reeditare pentru elevii săi. Cu acest exemplu în faţă, cred că merită să o citim şi noi. (De căutat prin anticariate sau biblioteci cu carte mai veche).

O lucrare îmi este foarte special apropiată de suflet: Paul J.Nahin, O poveste imaginară. Istoria numărului radical din –1 a apărut în 2000 la editura Theta, Bucureşti (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.9 din sept.2002). Pentru profesorul de liceu aceasta reprezintă o lectură obligatorie, mai ales din prisma cunoaşterii apariţiei acestor numere şi a înţelegerii aberaţiei didactice reprezentată de lecţiile de introducere a numerelor complexe în forma actuală, existentă în manuale de prin 1980. În acest sens vă recomand şi lecturarea articolului metodic Apariţia numerelor complexe; predarea noţiunii prin întrebări din Caietul PENTAGONIA No.2. În 1998 o elevă de-a 7-a la citit şi ne-a zis că a înţeles tot. Oare, de ce din forma de predare din manuale nu înţelege nimeni nimic?

Alte prezentări de carte vor urma.