Prezentare de carte – Pentagonia

Discuţii metodice despre predarea prin problematizare pe baza cărţii lui Eugen Rusu

De curând a revenit în preocupările mele lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară a Profesorului Eugen Rusu (Editura didactică şi pedagogică, 1978). În noiembrie 2015, fiind într-un context special, am şi scris o scurtă prezentare de carte despre aceasta; articolul poate fi găsit la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-eugen-rusu-problematizare-si-probleme-in-matematica-scolara/. Cartea este una dintre preferatele mele, eu personal având de mult preocupări în sensul “predării prin descoperire”, cum numeam eu acest tip de predare. Din primii ani de predare am simţit că aceasta este calea cea mai sănătoasă de a introduce o nouă temă de studiu în viaţa elevilor, că prin această modalitate îi pot conecta cel mai bine, atât emoţional cât şi intelectual, de noul subiect.

În toamna asta am început să o recitesc (după mai mult de zece ani) şi redescopăr cu bucurie gânduri şi idei la care am lucrat intens tot timpul la clasă, dar şi “idei noi”, aspecte ce nu le-am remarcat la precedentele lecturi. Însă, cel mai important este că observ interconectarea uluitoare a aspectelor găsite în această carte cu realitatea actuală din clasele mele (septembrie-octombrie 2023).

În prezentul eseu aş dori să discutăm câteva astfel de aspecte. De pildă, la pag.5, vorbind despre trecerea de la şcoala informativă la cea formativă, Eugen Rusu ne spune următoarele: Pentru a-şi îndeplini rolul de formare a omului, şcoala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, gata sistematizate; trebuie să-l stimuleze să gîndească şi să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate şi organizate prin problematizare: în loc de a da soluţii, a-l pune pe elev în situaţia de a le descoperi.

La pag.24 autorul reia ideea. Problematizare tocmai asta înseamnă: să nu avem în vedere numai rolul informativ, să nu ne mărginim la a furniza elevului nişte enunţuri şi nişte judecăţi gata aranjate. Să-l provocăm să le descopere. (…) Până le învaţă, toate chestiunile de matematică aplicată sînt probleme de cercetare, probleme euristice. (…) Elevul însă pînă stabileşte acele formule şi pînă ce transformă nişte activităţi în deprinderi, nu lucrează automat (…).

La pag. 28, autorul revine stăruind asupra exercitării regulate a gândirii creatoare, axată pe probleme în care raţionamentul nu este dat ci trebuie găsit, iar găsirea lui nu se face prin simpla aplicare a unor metode învăţate (…).

Cu alte cuvinte, noi nu ar trebui să le dăm elevilor din startul lecţiei un set de cunoştinţe sau reţete gata aranjate, căzute oarecum “din cer”, aidoma unor porunci din partea zeilor (profesorul jucând desigur rolul de “preot” al zeilor matematicii :). Dimpotrivă, noi ar trebui să-i îndrumăm pe elevi pe un drum de “descoperire” a noilor cunoştinţe, desigur în mod intuitiv pentru început, un drum de discuţie şi dezbatere, în acest fel elevii ajungând la o conectare mult mai intimă cu respectivele cunoştinţe, la o înţelegere reală însoţită de o convingere profundă a celor descoperite în final. Mai presus însă de învăţarea fiecărei lecţii, elevii învaţă astfel să gândească matematica, nu doar să reproducă nişte cunoştinţe sau să aplice orbeşte nişte reţete sau formule.

Pentru că în cazul matematicii negândite personal, ci pur şi simplu preluate (şi scrise în caiet) de la o prelegere simplă a profesorului de matematică sau dintr-o prezentare pe scurt dintr-o carte, ambele – atât cunoştinţele cât şi reţetele şi formulele – sunt de obicei neînţelese în profunzime Marea majoritate a elevilor nu au capacitatea de a prelua prin înţelegere cunoştinţele dintr-un text, fie acesta scris sau chiar şi vorbit (pentru că – da! – mulţi profesori predau de fapt în “texte vorbite”).

Aşadar, odată cu faptul că elevul învaţă să gândească matematica datorită activităţii de problematizare, prin extensie, ora de matematică îşi îndeplineşte totodată şi rolul cel mai înalt, anume să-l înveţe pe viitorul adult SĂ GÂNDEASCĂ! În acest sens Eugen Rusu ne dă din start un citat edificator: Mai degrabă un cap bine construit decît unul plin. Montagne (pag.3)

De abia după descoperirea respectivelor cunoştinţe profesorul trebuie să facă o rezumare a acestora (cel mai sănătos ar fi să o facă ora următoare, oarecum ca un fel de recapitulare). Odată făcută aceasta, elevii trebuie apoi îndrumaţi pe o cale de “automatizare” a aplicării respectivelor cunoştinţe, reţete, formule. Deci nu ar trebui să înlocuim “reţetarea” (practicată la ora actuală de majoritatea profesorilor), să o înlocuim cu “gândirea”, ci să le facem cu elevii pe amândouă, desigur în ordinea naturală: mai întâi cunoaşterea prin gândire, apoi generarea de deprinderi pe baza reţetelor deduse. Matematica este compusă din ambele aceste două faţete, atât gândirea brută, cât şi apoi aplicarea automată a unui reţetar de cunoştinţe.

În plus faţă de ce ne spune Profesorul Rusu, noi personal, în familie, am conştientizat toamna aceasta că există unii elevi – uneori chiar din cei buni la matematică – care înţeleg să se bazeze doar pe gândire şi refuză să facă şi al doilea pas, cel de exersare intensă pentru formarea automatismelor (poate din comoditate, din lene?).

În discuţia de faţă doresc să vă prezint cum aplic eu aceste idei – cu accent pe prima parte, neglijată la ora actuală – în predarea formulelor de arie ale principalelor figuri poligonale (triunghiuri şi patrulatere) în cadrul unei lecţii din toamna clasei a 7-a. Menţionez că lecţia respectivă o predau în acest mod încă din anul 2000!

Astfel, pentru a nu-l pune pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, ceea ce foarte multe cărţi sau profesori fac, dându-le formulele de arie în forma lor finală, gata “pre-gătite”, numai bune de aplicat, eu dezvolt împreună cu elevii un drum de cercetare pe parcursul căruia îi provoc cât mai mult să gândească şi să le descopere singuri. Precizez că tot ce urmează se întâmplă într-o singură oră (mult mai relaxat în două ore, dar atunci neapărat legate, adică nu de pe o zi pe alta), deci neavertizat dinainte, astfel încât să eliminăm din start posibilitatea ca un elev să le cunoască de acasă şi desigur să “trântească” formula în faţa clasei, anulând astfel starea de “cercetare”, adică forţarea gândirii în căutarea soluţiei de către colegii săi. Dacă totuşi se întâmplă ca un elev să ştie o formulă, chiar şi aşa – redusă ca intensitate – faza de cercetare poate rămâne sub forma simplificată: Ok, şi cum putem demonstra această formulă? (poate cineva “a avut grijă” să-i arate aceste chestiuni “din timp”, sau poate chiar elevul respectiv a avut un puseu de curiozitate şi le-a căutat pe net; mizez pe ideea că nu le caută în timpul orei pe telefon – la noi telefoanele se strâng la începutul zilei şi stau într-o cutie).

După cum veţi vedea, pentru a veni în întâmpinarea nevoilor naturale ale predării prin problematizare, trebuie desigur să stabilim o altă ordine de parcurgere a elementelor din lecţie, decât cele ce se găsesc programă, în manuale sau în diferite auxiliare (de pildă mai întâi triunghiurile, apoi patrulaterele). Întotdeauna lucrurile au fost descoperite în altă ordine decât sunt acestea ulterior sistematizat prezentate în manuale, iar noi trebuie să ţinem cont de acest fapt atunci când îi îndrumăm pe elevi pe “un drum de cercetare”; cele două categorii pur şi simplu nu pot fi suprapuse în aceeaşi ordine.

Lecţia porneşte cu reactualizarea celor două formule cunoscute din clasa a 5-a, inclusiv a principiilor pe care acestea se bazează (se şi poate pune un subtitlu de felul formulele de arii “iniţiale”; chiar şi acestea vin împreună cu raţionamentul de deducere). Această reactualizare o fac eu personal, ca să mă asigur că imprim lecţiei “o linie şi o viteză” de parcurgere corespunzătoare, la care apoi elevii se aliniază, intrând ulterior şi ei în mersul lecţiei, formând astfel un dialog de generare a celorlalte formule. Astfel, începem cu: 1) Dreptunghiul. La acesta pornesc prin prezentarea unui hol dreptunghiular în care se pune gresie şi în care încap 7 plăci pe lungime şi 4 plăci pe lăţime (în caiete elevii desenează un dreptunghi de 7 pe 4 pătrăţele). Din start elevii se implică cu rezultatul de 28 de pătrăţele, iar eu scriu liniştit totul pe tablă, consemnând mai întâi aria de 7·4 = 28, în timp ce oral spun că avem “patru rânduri de câte şapte plăci”. Apoi, dedesupt scriu generalizarea, adică formula A□ = L·l (lângă litera mare A de mână semnificând aria pun jos un dreptunghi pentru o fixare cât mai vizuală). Urmează 2) Pătratul. Faptul că acesta este al doilea se bazează clar pe observaţia că pătratul este un caz particular de dreptunghi. Totuşi, chiar dinainte de a cunoaşte oficial aria dreptunghiului în finalul clasei a 5-a, elevii au apucat să cunoască numerele pătrate, acolo unde eu le-am desenat aceste numere în structuri pătrate de punctuleţe, astfel încât să înţeleagă de ce la puterea a doua pronunţăm “la pătrat”. Cu alte cuvinte, formula de arie a pătratului se deduce atât ca un caz particular al formulei dreptunghiului, cât şi oarecum separat de la numerele pătrate. Din start am desenat un pătrat cu latura de 5 (elevii pe caiete un pătrat cu 5 pătrăţele pe latură), după care scriem atât în cazul particular, cât şi general, cu latura notată cu a, astfel: A_▫ = a² (lângă A mai jos un pătrăţel).

Urmează formulele noi pe care trebuie să le deducem împreună (eu chiar scriu un astfel de titlu intermediar de felul Formule deduse). Traseul de parcurgere al acestora este stabilit în funcţie de uşurinţa de deducere a acestora, într-un proces de creştere a dificultăţii intuitive vizuale. O caracteristică interesantă este faptul că, faţă de primele două figuri formate doar din laturi orizontale şi verticale, toate cele care urmează au şi laturi oblice (dar asta nu le-o spun copiilor; cel mult o putem observa în final). Astfel, drumul nostru continuă cu 3) Triunghiul dreptunghic. Aici eu desenez pe tablă un triunghi cu cateta orizontală de 7 şi cea verticală de 4 (este evidentă strădania de a-i ajuta pe cât mai mulţi să observe pasul ce trebuie făcut) şi îl colorez fin cu latul cretei, dându-i o “textură de carton”, pentru ca elevii “să simtă” cât mai bine forma acestei figuri, cât şi noţiunea de arie.

Fac aici o pauză în descrierea lecţiei. Încă din clasa a 5-a eu îi obişnuiesc pe elevi cu acest tip de predare, în care eu spun ce spun şi brusc mă opresc sub forma unei întrebări: “aici cum merge mai departe”. Ca urmare, în clasa a 7-a elevii sunt deja obişnuiţi şi primii se şi oferă să zică, ridicând mâna şi anunţându-mă vocal că “ştiu!”. Îi ţin puţin în aşteptare astfel încât să apuce şi alţii să se concentreze şi să vadă ce-i de făcut, apoi aleg un elev care să spună. Este clar că acesta este jumătate din dreptunghiul de mai sus. Eu completez figura cu încă un triunghi trasat cu linie întreruptă (de fapt doar catetele acestuia) ca să vedem toţi acest fapt, după care putem scrie şi forma din cazul particular (cu rezultatul 14), cât şi forma generală. Aici, înainte să scriu formula precizez că lungimea şi lăţimea de la dreptunghi îşi schimbă denumirile în cateta₁ şi respectiv cateta₂.

Următoarea figură aleasă în acest parcurs este: 4) Paralelogramul. Pe acesta îl desenez cu baza de 7 pătrăţele şi înălţimea de 4, dar decalată cu 2 pătrăţele “la dreapta” (şi îmi iau timp să le explic clar elevilor, astfel încât să aibă şi ei figuri clare în caiete). “Oare, aici cum procedăm?” (uneori nu spun nimic, ci mă întorc cu un gest sugestiv şi cu ochii mari către clasă). Poate aici este prea devreme, sau poate mişcarea necesară este încă surprinzătoare la acest moment, dar uneori totuşi cineva “vede” ce-i de făcut şi mă cheamă timid la bancă să-mi arate ce idee a avut. În final prezint eu oricum mişcarea la tablă: trebuie să “decupăm” triunghiul din stânga determinat de înălţime şi de latura oblică (cu cele două pătrăţele din bază) şi să-l alipim în partea dreaptă a paralelogramului, formând astfel un dreptunghi ca cel de mai sus, deci cu aria de 28 (aici, fie haşurez întregul paralelogram şi las “imaginaţia” elevilor “să-l vadă” transformat în dreptunghi, fie haşurez doar triunghiul mic şi “îl direcţionez” cu o săgeată în noua poziţie, trasată desigur cu linie întreruptă). Deducem de aici formula cu denumirile adeptate noi figuri: B·h (de obicei deducerea o fac eu la tablă, dar am convingerea că cei mai mulţi au înţeles, datorită feţelor luminoase şi pline de entuziasmul descoperirii).

Figura următoare este 5) Triunghiul oarecare. Aici entuziasmul creşte pentru că se întrevede repetarea mişcării de la triunghiul dreptunghic (cu greu îi mai pot opri pe cei care observă aceasta). Respectăm totuşi “protocolul lecţiei” şi trasăm cu linie întreruptă partea a doua a paralelogramului din care suprafaţa triunghiului nostru reprezintă doar jumătate. Aici nu se mai schimbă notaţiile, aşa că figura îmi este de obicei dictată de către un elev (eu trbuie să fiu doar atent la elevi şi să-l aleg pe unul care n-a răspuns până acum; se vede clar pe ochii lor cei care au înţeles şi ştiu ce urmează să scriem). Apropos de “protocolul” instituit de la început, de obicei la acest moment elevii abandonează ideea efectuării mai întâi a calculelor pe cazul particular şi doar apoi a formulei generale, dictând direct formula (iar eu nu-i opresc).

Deducerea următoarelor două este tot mai grea, dar ne putem totodată baza şi pe faptul că elevii au acumulat “oarece experienţă”. Aşadar, trecem la 6) Rombul. Aici construim mai întâi centralizat toată clasa un romb în “poziţia balerină”, adică în jurul crucii formată de o diagonală verticală (cea mai lungă) şi o diagonală orizontală (cea mai scurtă), trasate cu linie întreruptă şi înjumătăţindu-se una pe cealaltă (poate unii elevi au chiar nevoie să li se spună câte pătrăţele fiecare). Cel mai bine să şi haşurăm suprafaţa rombului finuţ. Apoi urmează căutarea formulei prin procedeul problematizării: “oare cum o fi aici?”. La această figură elevii pot deveni creativi pentru că au deaja experienţe în domeniu. Unii iau două triunghiuleţe din jumătatea de jos a rombului şi le alipesc lângă jumătatea de sus, generând un dreptunghi cu baza cât diagonala orizontală şi înălţimea cât jumătate din diagonala verticală. Alţii fac acelaşi lucru dar din stânga în dreapta. Mai şunt apoi şi cei care văd că rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi cu lăţimea orizontală şi lungimea verticală, care se formează prin adăugarea în exteriorul rombului a încă patru triunghiuri congruente cu cele patru sferturi ale rombului. Oricum o iei, toate duc până la urmă la aceeaşi formulă, deşi cei care au văzut ultima variantă se pare că reuşesc cel mai des – la vârsta asta, cu experienţă algebrică redusă – să verbalizeze clar formula: A_◊ = d₁·d₂/2, chiar dacă de fapt iniţial sub forma L·l /2 , aşa că trebuie din mers să-i rugăm să o dicteze cu elemente ale rombului, nu ale dreptunghiului. Desigur, oricând pot apărea şi alte explicaţii: anul acesta un elev a decupat jumătatea de jos a rombului şi a alipit-o alături de cea de sus, transformând suprafaţa într-un paralelogram (merge şi aşa; ce frumos!).

Finalul formuleleor mai dificile îl reprezintă 7) Trapezul. Deja este clar demersul, astfel că elevii se pot apuca de lucru imediat ce avem toţi câte o figură “bună” în caiet: un trapez “scalen” înalt de patru rânduri (pătrăţele) şi la care ambele laturi oblice să aibă mijlocul în câte un nod al grilei de pătrăţele de pe foaia de matematică ( eu recomand baza mare de 9 pătrăţele, latura oblică din stânga cu piciorul înălţimii la două pătrăţele înspre dreapta, ca la paralelogramul de mai sus, iar baza mică de trei pătrăţele; astfel latura oblică din dreapta are o înclinaţie de 45^o, ambele laturi oblice având mijlocul într-un nod de pătrăţele). Pe o astfel de figură se pot observa trei deduceri diferite ale formulei de arie (pe care – repet – elevii nici nu o cunosc de fapt, ei “bâjbâind” în înturneric ca într-o adevărată cercetare!). O variantă este cea de a dubla aria similar cu procedeele de la dreptunghi sau paralalogram, dublare făcută printr-un al doilea trapez congruent cu primul, ataşat în partea dreaptă cu “capul în jos”, obţinând astfel un paralalogram cu baza cât cele două baze ale trapezului însumate. Celelalte două variante se obţin pe baza mijloacelor laturilor oblice şi a liniei mijlocii, prin procedeul decupării unor triunghiuri din suprafaţa trapezului şi alipirea lor într-o altă poziţie. De pildă, se poate face o astfel de mişcare de două ori, în stânga respectiv în dreapta figurii, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie; în mod similar se poate aplica doar o singură astfel de mişcare, transformând trapezul într-un paralelogram cu baza cât linia mijlocie. În unele clase apar doar două astfel de propuneri, în altele toate trei. Dacă apare doar una, atunci le mai prezint eu încă una pentru a le arăta clar ideea că întotdeauna pot apărea mai multe variante de gândire.

În funcţie dacă ne rămâne timp, dacă nu atunci sigur în ora următoare, în finalul lecţiei mai putem adăuga încă două formule destul de des folosite, pentru a avea un tablou complet pentru faza aceasta a cunoaşterii: 8) Rombul-(2). Această formulă apare atunci când desenăm un romb în poziţia tipică unui paralelogram. De vreme ce i-am obişnuit pe elevi să le sugerăm desene de o anumită formă prin numărarea pătrăţelelor, fără a da multe explicaţii putem şi aici să îi îndrumăm spre un romb cu latura de 5 pătrăţele în care noi am integrat cu ajutorul unei înălţimi “triunghiul egiptean” (cel cu catetele de 3 şi 4 şi ipotenuza de 5; dacă elevii “se prind” pe baza scurtelor experienţe pitagoreice din finalul clasei a 6-a, bine, dacă nu e bine şi aşa, treaba rămânând într-o stare de “magie” pe care ei eventual vor dori să o verifice prin măsurare a laturii oblice, tot de 2,5 cm (adică de 5 pătrăţele); astfel, există două romburi diferite care se pot construi aici; eu îl recomand pe cel mai ascuţit, cel cu înălţimea de 3 pătrăţele, care arată mai clar ca figura rombului din mintea copiilor). Aici elevii observă destul de uşor că trebuie să preia formula de la paralelogram; noi trebuie să le spunem că preferăm să schimbăm denumirea bazei în latură.

În final luăm şi 9) Pătratul-(2). Aici vom desena un pătrat în poziţia tipică pentru romb, adică pornind de la o cruce a diagonalelor trasate cu linie întreruptă, una verticală şi cealaltă orizontală, ambele înjumătăţite, dar desigur şi egale. Elevii vor observa şi aici foarte uşor “mişcarea”, singura provocare pentru cei buni fiind rescrierea în forma d²/2; pentru cei mai slabi provocarea va fi chiar să înţeleagă diferenţa dinte faptul că la romb apăreau 1 şi 2 scrise mai jos, ca indici, pe când la pătrat apare acel 2 lângă litera d, dar mai sus iar asta înseamnă la puterea a doua şi nu o prescurtare.

După cum am mai spus, pe lângă uriaşele avantaje în sensul înţelegerii şi a formării de gândire, acest tip de lecţie prezintă şi anumite pericole. Atât elevii slabi, cât şi mulţi elevi buni vor înţelege că de fiecare dată la calculul unei arii ei trebuie să aplice “procedura” văzută în timpul lecţiei, adică de pildă, la romb să-l înscrie într-un dreptunghi etc. Cei slabi la matematică vor înţelege că aceasta este o lecţie foarte grea şi complicată, dificil de aplicat în exerciţii, pentru că trebuie memorate toate acele “mişcări”. Dimpotrivă, cei cu o gândire bună se vor simţi “în zona lor de confort”, pierzând de fiecare dată timp valoros cu rededucerea formulei.

Cu alte cuvinte, atât pentru cei cu o gândire superficială cât şi dimpotrivă, pentru cei cu o minte ageră, dar leneşi, va trebui să facem şi următorul pas, anume să rezumăm lecţia respectivă doar în forma ei seacă, adică la fiecare figură studiată să le evidenţiem cele trei componente de bază: denumirea figuri + o figură tip simplă în care sunt trasate doar elementele ce apar în formulă + formula în sine, înrămată pentru atenţionare că aceasta trebuie ştiută pe de rost.

Fie în timpul lecţiei, fie la această recapitulare eu le dau uneori elevilor şi alte formule “colaterale”. Una dintre acestea ar putea fi 10) Triunghiul isoscel. Pe aceasta o fac ca un fel de “glumă matematică”, dar din motive clar justificate: de-a lungul timpului am avut ocazia să întâlnesc situaţii în care câte un elev s-a blocat la cunoscutele exerciţii de aplicat teorema lui Pitagora pentru calculul ariei unui triunghi isoscel, pentru că în lista cu formulele de arie nu se regăsea şi o formulă pentru această figură (avem pentru triunghiul oarecare, adică cel scalen, avem pentru triunghiul dreptunghic, dar pentru cel isoscel nu avem; vorbesc de prima fază de aplicare, pe triplete pitagoreice, când oricum nu le dau triunghiuri echilaterale).

Tot aici putem desigur să mai adăugăm şi 11) Triunghiul dreptunghic-(2), de fapt adaptarea de la triunghiul oarecare, atunci când triunghiul dreptunghic este desenat cu ipotenuza ca bază şi mai avem cunoscută şi înălţimea pe ipotenuză. Alteori elevii îmi cer şi 12) Deltoidul (la capitolul cu patrulatere eu parcurg şi această figură, chiar dacă nu este în programa oficială; deşi fără folosirea denumirii apar din când în când probleme cu deltoid în diferite culegeri).

Când şi cum trebuie făcută această rezumare, asta este în sine o mare problemă. Dacă s-a parcurs lecţia principală într-o singură oră, atunci nu cred că mai este timp şi pentru rezumare (vorbesc aici de o parcurgere cinstită la o clasă obişnuită, nu de o turuială în viteză în care profesorul întreabă şi tot el răspunde imediat, pentru o eficienţă temporală – asta sigur nu poate fi numită problematizare). În acest caz rezumarea cunoştinţelor poate fi făcută doar ora următoare, dar pentru asta trebuie să ne asumăm că fie le dăm ca temă aplicaţii la care unii nu vor înţelege că trebuie doar să aplice rezultatele (chiar dacă am înrămat fiecare formulă din prima lecţie), fie ne asumăm că la prima lecţie, cea cu deducerea formulelor, încă nu le dăm temă din aceasta (fie ne bazăm cu indiferenţă că de fapt cineva le clarifică lucrurile acasă).

Eu personal prefer această a doua variantă pentru că aşa mă asigur că toţi elevii au priceput cum se aplică această lecţie şi că de fapt este una din cele mai uşoare lecţii. O fişă bună cu o grămăjoară responsabilă de exerciţii de aplicat după rezumare va ajuta mult în acest sens. Pentru a nu cădea într-o banalitate extremă, aceste exerciţii ar trebui să apară amestecate faţă de ordinea din lecţie (“dificultatea” temei constând în sarcina de a alege de fiecare dată formula corespunzătoare); la fiecare formulă vor apărea cel puţin câte trei-patru din fiecare cu diverse aplicaţii numerice (de pildă, la cele cu fracţie şi câte una la care nu se simplifică în final).

Spuneam că forma predării prin problematizare prezintă pericolul că anumiţi elevi vor înţelege că astfel trebuie procedat în cadrul aplicaţiilor de la temă sau de la teste, aşa încât în finalul lecţiei parcursă prin problematizare trebuie să le dăm un rezumat al cunoştinţelor ce vor fi transformate în reţete, în formule direct de aplicat. Şi atenţionez că trebuie să le precizăm clar că acestea trebuie să le înveţe şi să le aplice ca atare.

Dacă nu facem acest pas, se pare că mulţi elevi de azi înţeleg în mod “docil” că trebuie să aplice de fiecare dată forma cunoscută în faza de problematizare, pentru că aşa au fost obişnuiţi de către cei dinaintea noastră. De pildă, ne putem aştepta ca învăţătoarea clasei să nu fi folosit o astfel de tehnică de dezvoltare a gândirii, ci să le fi prezentat întotdeauna cunoştinţele noi ca un simplu “cod de reguli”, ca nişte reţete despre care nu ne interesează de unde vin, ci doar cum le aplicăm (pentru că de fapt în asta constă matematica verificată prin teste). Într-un astfel de caz elevii vor percepe că şi aici trebuie să facă la fiecare problemă “ca la clasă”. În mod similar, la o clasă de a 9-a ne putem aştepta ca elevii respectivi să fi primit toată matematică din gimnaziu direct în formatul de reţetă, pentru a fi aplicată cât mai repede în exerciţii şi probleme (că doar asta se dă la examen).

Astfel, povestind dimineaţa la cafeluţă cu soţia mea, citindu-i ideile din cartea despre problematizare a lui Eugen Rusu şi povestindu-i despre întâmplarea cu anumiţi elevi care înscriau rombul într-un dreptunghi pentru a-i calcula aria, soţia mi-a spus că şi ea a observat un fenomen similar la formulele de calcul de gradul trei, unde anumiţi elevi nu le aplicau ca atare în exerciţiile date la test, adică nu le aplicau ca “formule de calcul prescurtat”, ci refăceau de fiecare dată calculul aşa cum fusese dedusă formula prima dată la clasă (prin problematizare), după principiul: decât să mai învăţ o formulă nouă mai bine nu! (pentru că oricum “toate se găsesc la ora actuală pe internet”, cum zic unii, adică “la un clic distanţă”); mai bine o deduc de fiecare dată, că îmi este uşor (aşa se manifestă lenea la elevii inteligenţi matematic).

Probabil că la vremea când Eugen Rusu scria acele rânduri, învăţarea formulelor ca atare era de la sine înţeleasă, dar acum trebuie să ne asigurăm că elevii primesc acest mesaj şi apoi să includem în predare şi faza de fixare a acestora prin aplicaţii elementare, şi astfel transformarea acestora în deprinderi, pe baza cărora elevul să lucreze automat. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Căutând prin aparatul de fotografiat am găsit o poză cu tabla de la această lecţie din toamnă. Nu o consider neapărat o variantă perfectă, dar – împreună cu descrierea de mai sus – se poate forma o idee coerentă asupra predării prin problematizare la această lecţie (desigur că în poză nu apar toate acele momente de gândire şi de discuţie cu elevii, ci doar forma finală de pe tablă, ce se regăseşte şi în caietele elevilor).

Ataşez în continuare şi o variantă de tabel rezumativ cu formulele “curate”. Nici acesta nu este neapărat într-o formă perfectă, dar se poate înţelege despre ce am vorbit mai sus.

Legat de aceste poze trebuie să fac câteva precizări. În primul rând, este clar de ce formula triunghiului echilateral nu apare aici, ci vine mai târziu; la fel de pildă şi formula de arie a cercului sau alte formule cunoscute. Eu le şi spun elevilor că aceasta este doar o primă tranşă de formule, cele mai simple, şi că lista va continua.

O a doua idee este legată de linia mijlocie in trapez. Pe prima poză nu apare o demonstraţie la formula trapezului pe baza liniei mijloci, pentru că anul acesta am avut o parcurgere atipică, încercând să ajung rapid la anumite lecţii, dar neglijând altele (în toată starea de bulversare de pe urma grevei din vară). Astfel, atunci când am făcut lecţia cu arii, elevii încă nu cunoşteau linia mijlocie; am făcut-o ulterior, destul de repede, iar atunci am prezentat şi cum aceasta ajută la alte variante de deducere a formulei de arie a trapezului.

Prezentare de carte: MARELE ROMAN AL MATEMATICII – MICKAËL LAUNAY

De curând am găsit în librărie o carte despre care cred că merită să vorbim. Eu încă nu am citit-o pentru că trec printr-o perioadă deosebit de aglomerată. Simt însă că este vorba de o lucrare care îmi va plăcea foarte mult, aşa că mi-o păstrez cu mare drag ca lectură pentru vacanţa de vară. Acelaşi lucru vi-l doresc şi dvs., aşa încât consider că merită să vă atenţionez asupra acesteia, ca să aveţi timp să v-o procuraţi. Autorul se numeşte MICKAËL LAUNAY, iar cartea, cu titlu complet MARELE ROMAN AL MATEMATICII din preistorie în zilele noastre, fiind apărută în 2021 la Editura TREI.

Recomandarea caldă vine din ideea că intuiesc o nouă lucrare care îl poate ajuta pe profesorul de matematică din România să se mai detaşeze de starea înverşunată, cu “nasul pe sus”, orientată şi tinzând – care cât de mult poate – înspre o matematică tot mai grea, total inaccesibilă majorităţii elevilor, stare în care este împins constant de atitudinea generală ce se manifestă în breasla noastră şi care îi lasă pei cei mai mulţi elevi “în offside” faţă de gândirea matematică, faţă de gândirea logică, generând astfel o frustrare, o frică şi uneori aproape o ură în masă la adresa acestei materii.

Recomandarea poate veni şi din faptul că, după cum am observat răsfoind-o la repezeală, lucrarea ne poate lărgi orizontul matematic cu noi şi frumoase elemente (vorbesc aici de elemente atractive de matematică, ce din păcate nu se regăsesc în programele româneşti).

După cum văd la o primă privire, aceasta este o carte care te poate ajuta să devi un profesor de matematică mai bun pentru majoritatea elevilor, nu doar pentru cei de vârf, putând fi o sursă de inspiraţie valoroasă pentru orice doritor de autoperfecţionare în sensul găsirii unor căi spre sufletul elevului de rând (abilităţi despre care din păcate nu ţi se vorbeşte nici în facultate, dar nici în toate viitoarele cursuri posibile ce se fac în România). Presimt că lucrarea în discuţie se va alinia în acest sens alături de marile precedente cărţi ale lui Simon Singh, Ian Stewart sau alţii mai puţini cunoscuţi, despre ale căror lucrări am scris de pildă în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/. Chiar şi autorul prezintă în final o listă de surse de unde doritorul îşi poate continua munca de autoperfecţionare. După cum am spus, de-abia aştept să o citesc la vară, dar până atunci încerc să încropesc o scurtă prezentare. În acest sens, aproape tot textul ce urmează este compus din pasaje citate de pe coperţi sau din “prefaţa” cărţii (pasajele scrise înclinat).

Dacă n-ai înţeles niciodată nimic din matematică, dacă ţi s-a întâmplat chiar să o deteşti, ce-ai zice să-i dai o a doua şansă? Vei avea parte de o mare surpriză (de pe coperta 4). Iată ce scria LE MONDE despre aceasta: “O carte atât de fascinantă, încât, după ce o vei fi citit, îţi va fi greu să mai spui că nu-ţi place matematica. Mickaël Launay este profesorul de matematică pe care ţi l-ai dorit dintotdeauna.” Exemplele de laude pot continua, sau aş putea să vă prezint de pildă cuprinsul, dar prefer “să-i dau cuvântul” autorului, care ne prezintă următorul text (într-un fel de prefaţă fără titlu, la pag. 7-8):

– Din păcate, mereu am fost slabă la matematică!

Sunt puţin cam descurajat. Cred că este a zecea oară când aud această frază pe ziua de azi. Şi totuşi, iată că a trecut mai mult de un sfert de oră de când această doamnă s-a oprit la standul meu, printre alţi trecători, şi ascultă atent cum prezint diverse curiozităţi geometrice. Şi în acest moment a venit lovitura de graţie:

– De fapt, cu ce vă ocupaţi dumneavoastră? m-a întrebat ea.

– Sunt matematician.

– Din păcate, mereu am fost slabă la matematică!

– Chiar aşa? Cu toate astea, ceea ce povesteam părea că vă interesează.

– Da … dar aici nu e vorba chiar de matematică … înţeleg ceea ce spuneţi.

Hopa, pe asta nu am mai auzit-o până acum. Matematica ar fi, prin definiţie, o disciplină pe care nu o putem înţelege?

Suntem la începutul lui august, pe strada Félix Faure, la Flotteen-Ré. În acest mic târg estival, am la dreapta mea un stand de tatuaje cu hena şi şuviţe africane, la stânga – un vânzător de accesorii pentru telefoane mobile, iar în faţa mea, o tarabă cu bijuterii şi gablonţuri de toate felurile. Între toate acestea, mi-am instalat şi eu standul de matematică. În răcoarea serii, turiştii se perindă liniştiţi. Îmi place în mod deosebit să fac matematică în locuri neobişnuite, mai ales acolo unde oamenii se aşteaptă cel mai puţin să o întâlnească. Într-un mediu unde nu sunt inhibaţi …

– Când le-oi spune părinţilor că am făcut matematică în timpul vacanţei …, îmi zice în treacăt un licean, venind de la plajă.

E adevărat, nu iau oamenii prea în serios, dar îi iau aşa cum sunt. Unul dintre momentele mele preferate este să observ expresiile celor care se considerau iremediabil certaţi cu matematica, atunci când le arăt că tocmai au făcut matematică timp de un sfert de oră. Iar standul meu nu se goleşte! Le prezint origami, magie, jocuri, enigme … Am de toate, pentru toate gusturile şi pentru toate gusturile.

Mă distrez, dar în adâncul meu sunt dezamăgit. Cum s-a ajuns, oare, ca oamenii să nu-şi dea seama că a face matematică poate fi o plăcere? De ce cuvântul “matematică” generază atâta frică? Cu siguranţă că, dacă aş fi pus deasupra mesei o pancartă pe care aş fi scris “Matematică” – aşa cum sunt la standurile din jurul meu “Bijuterii şi coliere”, “Telefoane” sau “Tatuaje” – nu aş fi avut nici măcar un sfert din succesul pe care îl am. Lumea nu s-ar fi oprit. Poate că m-ar fi ocolit, întorcând privirea. Totuşi curiozitate există. Constat acest lucru în fiecare zi. E adevărat că matematica provoacă frică, dar fascinează cu mult mai mult. Nu ne place, dar jinduim să ne placă! (… Citiţi mai departe în carte.)

Sunt de acord că profesorul de matematică trebuie să-şi parcurgă materia, trebuie să-i pregătească pe elevi pentru examen, trebuie să lucreze cu elevii buni la nivelul lor şi să-i ridice constant spre niveluri mai înalte, dar … (pentru că există şi un mare “DAR…”!). Dar profesorul de matematică trebuie să se ocupe în primul rând de toţi elevii, chiar şi de cei care se descurcă mai greu cu matematica, astfel încât această disciplină să-şi poată pune amprenta formatoare şi asupra lor, anume să-şi pună amprenta prin formarea şi exersarea gândirii logice! A face matematică doar cu cei buni din clasă, cu elevii care au nevoie de matematică la examene sau cu cei care îţi aduc rezultate cu care să te poţi făli, o astfel de atitudine îi condamnă pe restul la o “neagră” neştiinţă şi profundă stare de “negândire”, de a deveni un omoameni cu o logică redusă, cu o argumentaţie nedezvoltată şi cu o capacitate extrem de primitivă de a înţelege la rândul lor orice fel de mesaj raţional (de pildă despre covid, despre alegeri etc.), îi condamnă la a fi manevrabili. Acelaşi rezultat îl are şi abordarea unei matematici riguroase şi înalte pentru toată clasa, fără a o adapta predarea la nivelul celor mai slabi la această disciplină.

Profesorul este dator să-l aducă pe fiecare elev în situaţia de a face matematică prin bucurie, fără a-i crea repulsie. Dar asta nu se poate face prin forma înverşunată de predare ce se practică în majoritatea şcolilor româneşti. Mickaël Launay vine dintr-o altă lume, unde atitudinea este mult mai puţin înverşunată şi totuşi, şi la ei în vest cei pro şi cei contra matematicii sunt în raport de cca. 50/50%. La noi raportul este mult mai slab în defavoarea “matematicienilor”. Este de aşteptat ca în Marele roman al lui Mickaël Launay să găsim inspiraţie cum să ne putem seta într-un mod ceva mai pozitiv, mai cald, faţă de majoritatea elevilor, adică şi faţă de “ceilalţi”, faţă de cei care stau de obicei speriaţi în bancă, în “poziţia ghiocel”, sperând cu disperare că vor scăpa şi azi fără “să fie ascultaţi”.

Viaţa noastră de profesori este invadată de cărţi “de matematică”. Mult mai rare sunt însă cărţile “despre matematică”. După cum îşi descrie Mickaël Launay cartea, Marele romanal matematicii este chiar mai mult, este o carte “despre bucuria de a face matematică”. Oficial îşi propune să transmită această bucurie celor care nu au avut ocazia ca elevi să trăiască respectivul sentiment. Părerea mea este că va putea la fel de bine să transmită şi profesorilor arta de a aduce bucuria matematicii în viaţa elevilor. Astfel, după câte am văzut, am impresia că lectura acestei cărţi îmi va realimenta cu o doză bună de energie arta predării matematicii, a unei matematici pline de bucurie pentru cât mai mulţi dintre elevi. În acest sens le mulţumesc anticipat celor de la Editura TREI pentru această carte. Cu respect, prof. Titus Grigorovici

P.S. Şi totuşi îmi persistă în minte o întrebare din textul de mai sus: Cum s-a ajuns, oare, ca oamenii să nu-şi dea seama că a face matematică poate fi o plăcere? Păi, simplu: asta se întâmplă – atunci când şi acolo unde – dascălii, fie ei învăţători sau profesori, nu vor sau nu pot sau nu ştiu cum să-i dea elevului timp să-şi creeze o relaţie plăcută şi apropiată cu matematica. Fie că ei înşişi nu au o relaţie caldă cu matematica – aşa cum se întâmplă în cazul multor învăţătoare (din fericire sunt şi multe care fac minuni în acest sens), fie că au o relaţie prea înaltă cu matematica, inaccesibilă multor elevi – aşa cum se întâmplă în cazul multor profesori exagerat de ambiţioşi (cei care sunt preocupaţi de obicei în principal pentru rezultate la concursuri), fie că au o relaţie fadă cu matematica – aşa cum se întâmplă din păcate la mulţi profesori care se complac într-o stare de mediocritate (şi din aceştia sunt foarte mulţi – o predare teoreticistă, de neînţeles, astfel încât elevii să vină cât mai mulţi la meditaţii). Şi din păcate trebuie să recunoaştem că nici programele (mult prea încărcate, dar şi cu multe defecte), nici autorii de manuale (cu o abordare în continuare mult prea teoreticistă, fără legătură cu psihologia diferitelor vârste) sau autorii de auxiliare (autori şi edituri; e greu de descris situaţia acestora în 2-3 cuvinte), nici atitudinea generală a breslei, nici oficialităţile nu au gânduri clare (sau o voinţă hotărâtă) să schimbe această situaţie, dar nici idee cum anume să o facă.

Prezentare de carte: Pietro Greco – Povestea numărului π

Când am decis în toamnă devreme să ţin o lecţie deschisă despre numărul π, apoi când o elevă mi-a scris într-o lucrare fulger că valoarea lui π este 14,3 pe la începutul lui octombrie 2019, nici nu-mi trecea prin cap câte se vor mai întâmpla anul acesta şcolar în legătură cu π. Din punctul meu de vedere, pe lângă faptul că va rămâne în amintirea tuturor drept “anul şcolar cu pandemia”, acesta este clar şi “anul lui π” (chiar dacă nimeni nu l-a declarat oficial ca atare), legendarul număr ajungând să fie implicat chiar şi în alegerile prezidenţiale din noiembrie (nu cred să se mai fi întâmplat pe undeva aşa “minune de grozăvie”).

Faptul că în acest an şcolar avem ocazia să lecturăm inclusiv o carte nouă despre π confirmă doar că – pentru România – stelele s-au aliniat clar anul acesta “în zodia lui π”. Lucrarea cu pricina a apărut la Humanitas în 2019 şi se găseşte actualmente în librării, inclusiv în magezinele InMedio (fiind evident în lucru cu mult înaintea alegerilor prezidenţiale: printre pozele de pe net am găsit inclusiv un afiş despre o dezbatere de ştiinţă pornind de la această carte, ce a avut loc în 18 februarie 2020). Transmit pe această cale mulţumiri pentru plăcuta surpriză d-lui Vlad Zografi, coordonatorul seriei cărţilor de ştiinţă de la editura Humanitas, care se străduieşte de ani buni să ne aducă regulat astfel de cărţi în rafturile librăriilor.

După legendara carte omonimă a lui Florica T. Câmpan, o nouă lucrare pe această temă aduce bucurie profesorului de matematică. Dar surpriză: Pietro Greco nu este un matematician, ci are studii de chimie, dar s-a specializat în cărţi de popularizare a ştiinţei, din această postură scriind şi cartea despre π. Ideea cărţii a pornit de la numele său, care în italiană se prescurtează Pi Greco, având o pronunţie identică cu “P grec” (aşa cum spunem noi “I grec” literei Y).

Autorul fiind deci un nematematician, cartea este scrisă lejer, lipsită de limbajul pretenţios şi scorţos al specialistului, acel limbaj care contribuie din plin la inaccesibilizarea matematicii, mai ales în clasele gimnaziale (acolo unde se duce de fapt bătălia pentru mintea copilului, acolo unde “se despart apele” definitiv între iubitorii şi speriaţii de matematică). În acest context, întregul text este un bun exemplu de lejeritate a limbajului cu care ar trebui să intrăm la clase, iar lucrarea nu are voie să lipsească din biblioteca nici unui profesor de matematică (universitară sau preuniversitară).

Pentru cei familiarizaţi cu matematica, cartea reprezintă o lectură lejeră ce plimbă cititorul prin istoria matematicii, autorul alegând un traseu prin acele elemente care au măcar o minimă legătură cu evoluţia cunoaşterii numărului π. Aici găsim şi singurul “păcat” al cărţii, care are de multe ori aerul unui curs plictisitor de istoria matematicii, cu pasaje de enumerare parcă nesfârşită de nume şi date. Dacă reuşiţi să treceţi însă de aceste pasaje cu bucuria cititului neştirbită, veţi găsi din plin motive pentru care cartea merită citită. În prezentarea de faţă nu mi-am propus să dau prea multe citate matematice, ci doar câteva, pentru a vă stârni curiozitatea. Îmi permit să încep cu un pasaj foarte drag mie, prin faptul că “pune degetul” pe un aspect despre care nimeni nu mi-a atras atenţia până acum, iar pe mine nu m-a dus mintea să-l observ.

“Uciderea lui Arhimede de către un soldat roman va fi fost accidentală, dar a fost cu adevărat premonitorie. Pe parcursul îndelungatei sale istorii, Roma antică a dat puţine contribuţii la ştiinţă şi filozofie, încă şi mai puţine la matematică.” Pentru a ne convinge că Roma a ignorat matematica – ba chiar ştiinţa –, cum spune Carl Boyer, e de-ajuns să spunem că Elementele lui Euclid nu au fost traduse în latină decât şase secole şi jumătate după căderea Imperiului Roman de Apus, în 1120, direct din arabă şi prin munca unui englez, Abelard din Bath. Odată cu luarea Siracuzei (212 î.C.) şi, mai ales, după distrugerea Corintului şi a Cartaginei (146 î.C.), adică începând cu secolul II î.C., Roma cucereşte lumea greacă. Dar e cucerită de cultura grecilor. Toţi oamenii cultivaţi din emergenta putere latină învaţă limba greacă şi sunt influenţaţi de arta şi de filozofia greceşti. Cu toate acestea, în o mie de ani de istorie romană nu apare nici măcar un om de ştiinţă latin. (…) Abia la o mie cinci sute de ani după Arhimede se va naşte şi va lucra în Europa un matematician creativ, pisanul Leonardo Fibonacci. (pag. 69-70)

Pietro Greco are lejeritatea plăcută lecturii, dovedind uneori chiar doze bune de umor. De pildă, la pag. 72 abordează prezenţa numărului π în Biblie: (…) în Cartea regilor din Vechiul Testament, compusă pe la 550 î.C., i se atribuie în grabă valoarea 3. Cu siguranţă, evreii nu sunt o populaţie izolată, iar civilizaţia lor nu e imună la contaminări profunde, inclusiv la cea greacă. În alţi termeni, în secolele care au urmat scrierii Cărţii regilor ei se vor familiariza cu cultura elenistică şi cu valoarea lui π calculată de Arhimede (3,14) şi de Apoloniu (3,14167). Avem dovada. În secolul II, în timp ce la Alexandria lucrează Claudiu Ptolemeu, în Palestina, rabinul şi matematicianul Neemia se întreabă, din punct de vedere teologic, care valoare trebuie acceptată: 3, cum scrie în Cartea regilor, sau 3,1412, cum calculează Arhimede. Şi îşi cam prinde urechile, încercând să demonstreze că valoarea “adevărată” e cea a lui Arhimede, dar că, în acelaşi timp, Biblia nu greşeşte.

Multe pasaje de text ar merita citate, dar mă rezum la doar câteva, cu relevanţă pentru profesorul de matematică de la clasă. … O mare influenţă culturală are Michael Stifel, prieten şi susţinător al lui Martin Luther, care scrie şi publică la Nürnberg, în 1544, (…) Arithmetica integra, operă în care nu găsim noutăţi importante faţă de ceea ce se ştia în Italia, dar în care, pentru prima oară, sunt folosite sistematic semnele + şi – pentru numerele relative. (…; pag. 102) Ce sunt acelea numere relative? Denumirea aceasta surprinde cel mai bine momentul când în evoluţia gândirii matematicii (deci inclusiv la copii în gimnaziu) apar numerele de valoare opusă: în loc de vechiul 3 apar acum valorile relative +3 şi –3 (sper să ajung în curând să abordez într-un articol separat şi respectiva temă în legătură cu arta predării matematicii).

O figură centrală în această reflecţie e avocatul francez François Viète (1540-1603), un amator. Dar unul atât de bun încât ajunge să fie considerat cel mai mare matematician din secolul XVI. (…) Interesat de teoria numerelor, Viète pune practic capăt folosirii sistemului sexazecimal al anticilor şi îl impune definitiv pe cel zecimal. (…) Viète e primul care trece dincolo de Arhimede. Interesul pentru π apare încă din tinereţe: în 1559 (deci la 19 ani!), folosind metoda clasică a lui Arhimede, stabileşte corect primele nouă zecimale, calculând aria unui poligon cu 393 216 laturi, obţinut dublând de 16 ori numărul de laturi ale hexagonului iniţial. (…, pag. 110-111)

Vrând-nevrând, Pietro Greco ajunge încet şi la “vânătorii de zecimale”, despre care scrie: Doar fascinaţia numărului îndeamnă la asemenea eforturi colosale cu iz sportiv. (pag.115) În ciuda noutăţii seriei introduse de Viète, metoda lui Arhimede a rămas cea mai performantă până în secolul XVIII şi până la descoperirea calculului diferenţial şi a dezvoltării în serie, care i-a permis lui Leonhard Euler să calculeze în 1748, în mai puţin de o oră, valoarea lui π până la a douăzecea zecimală. Metoda lui Euler nu era doar precisă, ci şi foarte rapidă (…, pag 116, reluată apoi la pag.132). Închei aici prezentarea şi vă doresc lectură plăcută! CTG

Prezentare de carte: Dăncilă & Dăncilă – Probleme de matematică ale copilăriei

Personal, sunt un colecţionar împătimit; am ajuns în situaţia ciudată de a putea susţine că am o colecţie de colecţii. Colecţionez orice “îmi pică cu tronc”: de la cutii de cafea la probleme de magie matematică, orice este potrivit pentru a fi colecţionat. Momentul când am realizat că acest impuls ar putea să-mi fie folositor a fost absolut revelator: Începând să colecţionez probleme, aş putea face chiar să-mi placă această meserie de o profundă uzură nervoasă. Este evident ca urmare, că nu am putut rămâne rece la următoarea carte (prezentarea era deja în plan când “a picat” commentul respectiv; nu mă las influenţat sau atras într-o polemică fără sens, ci pornesc pozitiv la lucru şi iau fiecare zi ca un dar de la Dumnezeu, ca o nouă ocazie de a face bine).

În cadrul Grupului Editorial ART a apărut în 2016 lucrarea Cele mai frumoase 250 de probleme de matematică ale copilăriei avându-i ca autori pe Eduard Dăncilă şi Ioan Dăncilă. Este evident că avem de-a face cu o bogată colecţie de problemuţe, din acelea fără vârstă, recomandată elevilor de la 10 la 12 ani şi nu numai. Mă deranjează foarte mult focusarea editorilor în mod obsesiv pe acele auxiliare însoţitoare cu sfinţenie a programei şcolare, şi căderea într-un con de penumbră fără sfârşit a culegerilor “cu libertate la gândire”. Cu atât mai valoroasă este această carte: visez la elevi de gimnaziu sau de liceu care să lucreze din aceasta cu fraţii lor mai mici, în loc să “mângâie” constant deşteptofoanele. Visez la părinţi sau la bunici care să cumpere această carte şi să se aplece cu pasiunea de pe vremuri împreună cu cei mici asupra acestei colecţii de nestemate, astfel încât elevii să vieţuiască bucuria gânditului şi faptul că există şi alte lucruri intelectual atrăgătoare în afară de nesfârşitul internet la purtător.

Există la această recomandare de vârstă şi un alt aspect, mai puţin cunoscut. Cercetătorii în domeniul neuronal au arătat că după vârsta de 12 ani în creierul copilului are loc o “acţiune de curăţenie”: sinapsele existente dar nefolosite până la acel moment, dovedindu-se inutile, sunt eliminate, iar acest proces de curăţenie are loc până la 14 ani. Prin analogie cu curăţirea şi tunderea pomilor, acest proces a fost numit cu cuvântul corespunzător din limba engleză, adică pruning.

Mulţi părinţi conduc viaţa copilaşilor lor doar spre fericire şi bucurie, cu toate distracţiile posibile ale actualei societăţi, după principiul “va avea timp destul mai târziu să înveţe”. Această atitudine este greşită, mai târziu putând fi prea târziu, la vârsta de clasa a VII-a în cazul anumitor elevi putându-se constata că nu se mai poate repara mare lucru. Dimpotrivă, alţi părinţi pornesc din clasele mici ore particulare; şi acestea au dezavantaje foarte mari (lucrez la un eseu pe această temă). În acest sens lucrarea profesorilor Dăncilă oferă o alternativă de lucru matematic plăcut (cu activarea sinapselor gândirii) la vârste potrivite, înainte de momentul declanşării “curăţeniei” de la începutul pubertăţii.

Cartea este publicată în condiţii perfecte, pe o hârtie de cea mai bună calitate, cu o nuanţă ce evocă paginile îngălbenite de timp ale cărţilor de altădată, potrivită perfect cu problemele, care sunt şi acestea foarte multe “de altădată”. În plus, lucrarea este plină de desene (din fericire, doar în cerneală neagră, deci necolor, aşa ca pe vremuri) ce însoţesc elevul rezolvitor în strădania sa de a-şi imagina situaţia prezentată într-o problemă sau alta.

Ar fi stupid să încep a evidenţia toate problemuţele ce mi-au atras atenţia în sens pozitiv; las această bucurie cititorului, fie ele elev, părinte sau dascăl. Mă opresc la a evidenţia doar două exemple. În primul rând, m-am bucurat să găsesc într-o carte de matematică renumita întâmplare a lui Ion Creangă cu cei doi drumeţi care au împărţit mâncarea cu un al treilea.

Pe de altă parte, mie personal, la o primă lectură în grabă, mi-a atras atenţia în mod deosebit, ca posibilă aplicaţie la clasă pentru lecţia despre comutativitatea şi asociativitatea adunării, problema 11 de la pagina 13, din al doilea set (capitol). Această problemă poate fi făcută (la începutul clasei a V-a, după lecţia respectivă) în doi paşi: pasul (I) de mirare, ca o magie matematică, şi pasul (II) de lămurire, ca aplicaţie a celor învăţate la lecţie.

În carte apare un tabel pătrat de 5 linii şi 5 coloane, alăturat următorului text: În imaginea alăturată se poate observa un tabel de 25 de numere. Alege 5 dintre acestea, astfel încât să nu existe două numere care să se afle pe aceeaşi linie sau pe aceeaşi coloană. Adună aceste numere. Nu-i aşa că ai obţinut suma 100? Cum am ştiut? Nu ştiu cum ar putea un elev să-şi dea seama, dar la partea de răspunsuri, tabelul apare extins cu o linie şi o coloană de numere iniţiale, drept un tabel de adunare, numerele din tabelul iniţial reprezentând însumarea capetelor de linie şi de coloană corespunzătoare fiecărei poziţii.

Anexat găsiţi un pdf cu un tabel similar cu suma 123 pentru cele 5 numere alese la întâmplare în condiţiile din problemă. Imprimând coala respectivă (identic şi pe faţă şi pe verso) şi tăind foile în câte 10 bileţele (fiecare cu câte un tabel mic pe o faţă şi un tabel complet pe verso), puteţi da elevilor câte un bilet, cerându-le să lucreze mai întâi pe tabelul mic, ca problemă pentru mirare şi gândire, apoi pe cel mare pentru edificare şi analiză teoretică. Un copil de altădată

TabelSumeEgaleDancila.pdf

Math Around Us – o scurtă prezentare

De curând am aflat despre acest proiect Erasmus la care au colaborat opt şcoli din opt ţări: România, Italia, Polonia, Ungaria, Portugalia, Danemarca, Grecia şi Lituania. Proiectul a fost condus de către Colegiul Tehnic ANA ASLAN din Cluj şi s-a concretizat într-un “manual”, o colecţie de lucrări reunite în jurul întrebării “La ce îţi foloseşte Matematica?”. Manual a fost realizat de elevi cu aplicaţii practice în geografie, mediul înconjurător, informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică. Puteţi găsi prezentarea proiectului şi descărca acest manual la adresa:
La ce îţi foloseşte Matematica. Manual făcut de elevi cu aplicaţii practice în informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică – Edupedu

Interesantă pare justificarea proiectului de către autorii acestuia: elevii tind să nu agreeze matematica (un studiu Rosetta Zan de la Universitatea din Pisa, Italia) mai ales atunci când nu reuşesc să obţină rezultatele academice dorite şi o percep, de obicei, ca un subiect abstract, cu puţine aplicaţii în situaţiile reale … . Uau!!! Zău? Nu m-aş fi gândit la aşa ceva.

Glumeam, desigur. Da, aşa este văzută matematică de către toţi cei din afara ei. Asta pentru că aşa este prezentată matematică de către profesori: o disciplină autosuficientă şi încrezută. Ora de matematică este prezentată ca o succesiune de axiome, definiţii, demonstraţii, teoreme, formule date de către un profesor atotştiutor şi stăpân total al orei, elemente toretice seci care au apoi ca aplicaţii exerciţii şi probleme ce trebuie învăţate pentru că se vor da la lucrare, la teză şi în final la examen.

Teme care nu intră în această categorie nu se fac la clasă, chiar dacă ar avea avantajul că ar fi mai atractive pentru elevi. De pildă, câţi prezentăm la clasă problema originală cu înmulţirea iepuraşilor din lucrarea Liber Abbaci a lui Fibonacci? Sau câţi vorbim despre secţiunea de aur şi aplicaţiiile acesteia, inclusiv în poziţionarea buricului la oameni? Este în programă? Nu! Deci nu o facem. (Am dat o simplă linie de exemple, dar lista poate continua mult şi bine).

Dar şi teme de studiu obişnuite în lecţiile româneşti sunt neglijate în a fi prezentate în alte forme „mai atractive” elevului de rând. De pildă, numerele triunghiulare prezentate în foaia de lucru nr. 7 din Capitolul 7 – Matematica în arheologie, unde ne sunt prezentate ca vizualizări (reprezentări grafice) ale numerelor din mult mai cunoscuta lecţie despre Suma lui Gauss.

Dacă tot nu v-am convins, vă atrag atenţia că şi în prezentarea proiectului este scoasă în faţă întrebarea „La ce foloseşte matematica?”. Astfel, la adresa de mai sus citim în prezentare că tinerii au încercat să facă mai uşor de înţeles utilitatea acestei materii, aşa că au creat ceva nou. Au creat ceva nou în sensul unei abordări noi pentru ideea de manual (la noi sigur; eu nu mă pot exprima despre celelalte ţări). Spun asta pentru că multe din elementele prezentate nu sunt deloc noi. Sunt poate noi doar pentru persoanele obişnuite să lucreze doar şi numai matematica din manualele oficiale şi nimic altceva. Astfel, recomand cu căldură să aruncaţi o privire mai profundă peste acest material. Are multe lucruri frumoase.

Închei cu aşa-zisele rezultate ale proiectului: peste 50% dintre elevii angrenaţi în proiect au avut mai multă motivaţie pentru studiul matematicii; 21% au avut creşteri ale notelor la matematică de cel puţin 20%. Da, astfel de lucruri se pot întâmpla dacă îi atragem pe elevi într-o matematică mai deschisă, chiar dacă nu abordăm subiecte de examen. CTG

Drăcuşorul cifrelor – o prezentare de carte

De curând mi-a fost atrasă atenţia asupra acestei cărţi de către un elev venit nou la şcoala noastră în clasa a VII-a: Noi, când vom învăţa despre Numerele lui Fibonacci? I-am răspuns mirat că noi le-am prezentat pe scurt, ca un joc, în clasa a V-a, întrebându-l totodată de unde ştie el de aceste numere. Dintr-o carte despre matematică, o poveste. Mi-a adus cartea, am citit-o, iar acum încerc să vă stârnesc şi pe dvs. prin această scurtă prezentare.

Cartea se numeşte Drăcuşorul cifrelor şi este scrisă de către Hans Magnus Enzensberger (staţi liniştiţi, nici eu n-am mai auzit de el şi cu greu reuşesc să-i ţin minte numele mai mult de 10 minute), având ca subtitlu caracterizarea: O carte de pus sub perna celor care se tem de matematică. Cartea este apărută în 2015 la editura Pandora, colecţia Panda, parte a Grupului editorial TREI.

Povestea ne prezintă un băieţel pe nume Robert care visează în 12 nopţi un fel de curs de matematică, mai mult aritmetică, ce îi este prezentat de către un drăcuşor matematician. Acesta îi prezintă în vis diverse teme mai mult sau mai puţin superficiale din matematica elementară şi nu numai. Ca exemple, aş putea spicui teme ca scrierea în baza 10, puterea numerelor, rădăcina pătrată din clasele mici, dar şi Conjectura lui Goldbach, triunghiul lui Pascal sau exemple elementare de combinatorică. Toate temele sunt prezentate ludic (cum s-ar putea altfel?, suntem doar în visul unui băieţel cam de clasa a V-a), într-un limbaj deloc pretenţios şi într-o abordare accesibilă şi intuitivă, potrivită oricărui elev de gimnaziu. Ba mai mult, denumirile sunt de multe ori modificate faţă de terminologia oficială pentru a fi cât mai simpatice şi jucăuşe dar, nu vă temeţi, autorul prezintă la sfârşitul cărţii un dicţionar de traducere a denumirilor folosite. De pildă, aşa-numitele numere sărite reprezintă de fapt ridicarea la putere, mai exact şirul puterilor unui număr.

În ansamblul ei, cartea reprezintă o foarte reuşită încercare de a-l atrage pe elev într-o plimbare prin iniţierea în ideile de bază ale matematicii. Aceasta poate fi folosită cu succes ca recomandare de lectură în domeniul matematicii, fiind deosebit de potrivită mai ales primelor clase gimnaziale. Deşi conţine şi elemente de matematică liceeală, la o lectură mai sus de clasa a VII-a trebuie însă să ne bazăm pe dorinţa de colaborare a elevului cititor, deoarece tonul în care este scrisă cartea este totuşi mai potrivit claselor V-VI. Stilul este atât de ludic şi copilăresc încât există pericolul real ca părinţii să le-o cumpere copiilor chiar mai repede de intrarea în gimnaziu. Eu personal am rezerve în legătură cu astfel de încercări de a forţa înainte de vreme dezvoltarea copiilor, dar deja la sfârşitul clasei a V-a cartea poate fi recomandată ca lectură, fiind o mult mai potrivită preocupare de vacanţă decât tradiţionalele şi stupidele culegeri cu matematică “de vacanţă” produse la ora actuală de către diversele edituri. Oricum, mi-aş dori să mai existe şi alte astfel de cărţi de oferit elevilor de gimnaziu ca lectură suplimentară.

În acest context mi-am adus aminte de câteva vorbe spuse de regretatul Profesor Solomon Marcus în 2008 în cadrul unei emisiuni Garantat 100% găzduită de către Cătălin Ştefănescu: Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. (…) Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Învăţarea trebuie însoţită de o stare de plăcere. Aici şcoala eşuează.

În final câteva cuvinte despre autor. Hans Magnus Enzensberger nu este matematician, dar l-am găsit pe internet ca autor al unui eseu despre prăpastia ce se cască tot mai tare între matematică şi majoritatea oamenilor, eseu publicat în 1998 în Frankfurter Allgemeine Zeitung, cu un titlu dificil (Zugbrücke außer Betrieb ~ Pod retractabil scos din funcţiune), dar cu subtitlul destul de clar: Matematica dincolo de cultură – O privire din exterior. Cam atât pentru acum, dar promit că voi mai reveni la această carte. CTG

Apariţie editorială – 50 de idei de cunoscut în matematică

Ziarul Libertatea şi editura Litera publică în acest final de an o colecţie cu titlul 50 de idei pe care trebuie să le cunoşti. Volumul al doilea, apărut în 27 noiembrie 2017, este despre MATEMATICĂ, avându-l ca autor pe Tony Crilly, specialist în istoria matematicii şi profesor la mai multe universităţi americane şi britanice. Lucrarea se găseşte la punctele de distribuţie a presei (deci nu în librării), la un preţ absolut decent (20 lei).

Fiecare din cele 50 de teme sunt prezentate în câte patru pagini, tratate la un nivel accesibil publicului larg interesat, dar totuşi relativ serios matematic. Recomandarea călduroasă de a achiziţiona această carte vine din bogata varietate de teme din afara programei şcolare, teme care în general sunt necunoscute profesorului de matematică din România. În acest sens găsiţi multe poveşti cu care vă puteţi împăna lecţiile, sau pe care le puteţi folosi în cadrul unor cursuri opţionale. Lucrarea poate fi folosită şi ca material bibliografic de pus la dispoziţia elevilor în vederea realizării unui referat.

Răsfoind cartea găsesc multe teme de gimnaziu sau de liceu deosebite. De pildă, la lecţia despre fracţii se vorbeşte şi despre fracţiile egiptene; la lecţia despre pătrate şi rădăcini pătrate sunt prezentate şi numerele triunghiulare; la lecţia despre Şirul lui Fibonacci este amintită şi problema originală cu iepuraşii, dar şi raportul de aur (lecţia este urmată de prezentarea diferitelor dreptunghiuri: formatele A şi dreptunghiurile de aur); există chiar şi o lecţie despre numere perfecte sau una despre pătrate magice.

Desigur că există şi lecţii de matematică “mai serioasă”: triunghiul lui Pascal; numerele imaginare; topologie; conice; calcul diferenţial şi integral; grafuri; grupuri; matrici; probabilităţi etc. Mă bucur că sunt prezente şi problema celor 4 culori; ultima teoremă a lui Fermat sau ipoteza lui Riemann.

Ca să vă stârnesc şi mai mult curiozitatea vă prezint un exemplu de la lecţia despre numere prime: “numărul fiarei” din Apocalipsă (…) este suma pătratelor primelor 7 numere prime: 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² Numărul 666 este cu adevărat “numărul numerologilor”.

Charles Darwin despre matematică

În autobiografia lui Charles Darwin apărută la editura HERALD sub titlul Viaţa mea, am găsit următorul citat (pag. 69-71), în care Darwin îşi aminteşte despre contactele sale cu matematica:

S-ar putea spune că, din punct de vedere al studiilor academice, cei trei ani petrecuţi la Cambridge au fost o pierdere de vreme, precum şi anii petrecuţi la Edinburgh şi la şcoală. Am încercat să învăţ matematica, iar în vara anului 1828 am mers la Barmouth, cu un meditator privat (un om foarte plicticos), dar progresam foarte lent. Această materie îmi provoca repulsie, mai cu seamă pentru că nu reuşeam să văd nicio noimă în algebra pentru începători. Nerăbdarea mea a fost foarte nesăbuită, iar mai apoi am regretat amarnic că nu progresasem suficient pentru a înţelege o parte dintre marile principii călăuzitoare ale matematicii, deoarece oamenii înzestraţi cu aceste cunoştinţe par să aibă un simţ în plus.

Dar nu cred că aş fi reuşit vreodată să depăşesc nivelul unei cunoaşteri elementare. (…) În ultimul an, m-am străduit să obţin licenţa reîmprospătându-mi cunoştinţele în materie de clasici, împreună cu un pic de algebră şi de matematică euclidiană, care ulterior mi-a pricinuit multe delicii intelectuale, ca şi în şcoală.

Pentru a obţine diploma universitară, trebuia să cunosc volumele “Dovezi ale creştinismului şi filozofiei morale”, de Paley (…). Logica acestei cărţi şi, aş adăuga, a “Teologiei naturale” scrise de el mi-au pricinuit tot atâta desfătare intelectuală ca şi matematica euclidiană.

(…) Răspunzând corect la întrebările legate de Paley, descurcându-mă bine la matematica euclidiană şi fără să eşuez lamentabil la clasici, mi-am dobândit un loc bun în mulţimea de tineri studenţi care nu se aşteptau să absolve cu onoruri. Oricât de straniu ar părea, nu-mi amintesc locul meu în clasament. (…) [A fost al zecelea pe lista din ianuarie 1831].

Pentru noi, profesorii de azi, nu este foarte clar ce înseamnă matematica euclidiană, dar în afară de această nelămurire citatul respectiv ne permite o scurtă privire în lumea intelectuală nematematică a secolului XIX şi felul în care aceasta se raporta la matematică. Şi mai am încă o observaţie pertinentă: se pare că din totdeauna au existat persoane care, încercând să-i înveţe pe tineri matematică, reuşesc doar să-i plictisească şi să le trezească repulsie faţă de acest domeniu al cunoaşterii umane. CTG

Suma lui Gauss (2) – Povestea sumei de la 1 la 100

Majoritatea profesorilor de matematică ştiu măcar sâmburele acestei poveşti, faptul că Gauss, elev fiind, a calculat în cap suma numerelor de la 1 la 100, uimindu-şi învăţătorul. De la această poveste am ajuns să denumim respectivele exerciţii “Suma lui Gauss”. Întâmplarea este magistral redată în romanul Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann (am un exemplar original din 2005, Die Vermessung der Welt, editura Büchergebilde Gutenberg). Cartea a fost tradusă în limba română în 2010 la editura Humanitas, colecţia Raftul Denisei. Romanul prezintă în paralel pasaje din viaţa lui Karl Friedrich Gauß şi a lui Alexander von Humbold. Următoarele două citate sunt redate din ediţia de la Humanitas, din capitolul 3, Învăţătorul (faţă de varianta tradusă în română mi-am permis să fac în unele puncte ale textului anumite modificări, urmărind o corespondenţă cât mai exactă cu textul original). Primul pasaj este potrivit elevilor, putând fi lecturat cu mult patos la clasă (merită s-o faceţi, îi impresionează puternic). Pe al doilea pasaj l-am pus mai mult pentru noi, profesorii, dar poate fi lecturat liniştit şi la clasă (poate în ora următoare). Acest al doilea pasaj ne completează imaginea asupra gândirii copilului precoce care a fost Karl Friedrich Gauß (în întregul text citat am folosit scrierea Gauss în loc de Gauß pentru a uşura lectura, cele două variante fiind oficial echivalente).

Mama sa era o durdulie melancolică şi, în afară de gătit, spălat, visat şi plâns, nu o vedea făcând altceva niciodată. Nu ştia să scrie sau să citească. (…)

Cele mai multe amintiri de mai târziu se învârteau în jurul lenei (inerţiei, trândăviei). Mult timp a crezut că oamenii joacă teatru sau urmează un ritual care-i obligă să vorbească sau să acţioneze doar după scurte pauze. Uneaori putea să se adapteze, alteori nu se mai putea abţine. Abia mai târziu şi-a dat seama că aveau nevoie de aceste pauze. De ce gândeau atât de tărăgănat, atât de greu şi de chinuit? Ca şi cum gândurile ar fi fost produse de o maşină pe care trebuia să o porneşti cu manivela, ca şi cum ar fi fost lipsite de viaţă şi n-ar fi venit de la sine. Şi-a dat seama că lumea se supăra atunci când el nu făcea pauze. Făcea tot posibilul, dar de multe ori nu reuşea.

Şi semnele negre din cărţi, care se adresau celorlalţi oameni mari, nu însă şi mamei sale sau lui, îl deranjau. Într-o duminică după-amiaza, a primit câteva explicaţii – băiete, ce stai aşa? – de la tatăl său: despre stâlpul cel mare, despre semnul curbat în partea de jos, semicercul şi cercul. Apoi a privit pagina până când necunoscutele au început să se completeze între ele de la sine şi brusc au apărut cuvintele. A dat pagina, de astă dată mergea mai repede, câteva ore mai târziu putea citi, iar în aceeaşi seară terminase cartea, care de altfel era plicticoasă, căci vorbea numai despre lacrimile lui Christos şi despre căinţa păcătosului. I-a adus-o mamei să-i explice şi ei semnele, dar ea a clătinat din cap zâmbind trist. În acel moment a înţeles că nimeni nu voia să-şi folosească mintea. Oamenii voiau linişte. Voiau să mănânce şi să doarmă, voiau să fi drăguţ cu ei. Nu voiau să gândească.

Învăţătorul de la şcoală se numea Büttner şi bătea copiii cu plăcere. O făcea ca şi cum ar fi fost dur şi ascetic, dar uneori se întâmpla ca faţa lui să dea în vileag bucuria trezită de bătaie. Cel mai mult îi plăcea să le dea teme de lucru în clasă la care trebuiau să lucreze îndelung şi care erau greu de rezolvat fără greşeală, astfel încât la sfârşit se găsea motiv să fie scoasă nuiaua. Era cel mai sărac cartier din Braunschweig, nici unul dintre copiii de aici nu avea să ajungă la o şcoală mai bună, nimeni nu avea să ajungă să muncească altfel decât cu braţele. Ştia că Büttner nu îl suporta. Tăcut cum era şi oricât se silea să răspundă rar ca toţi ceilalţi, simţea totuşi suspiciunea lui Büttner şi că învăţătorul aştepta doar un motiv ca să-l bată puţin mai tare decât pe colegii lui.

Şi i-a dat un motiv.

Büttner îi pusese să adune toate numerele de la unu la o sută. Operaţia ar fi durat ore întregi şi toată bunăvoinţa din lume n-ar fi fost de-ajuns pentru ca adunarea să decurgă fără greşeli de calcul, pentru care puteai fi pedepsit⁽¹⁾. La treabă! strigă Büttner. Nu mai căscaţi gura, la treabă! Mai târziu Gauss nu-şi mai amintea dacă în acea zi fusese mai obosit decât de obicei sau doar nechibzuit. În orice caz, şi-a pierdut controlul şi după trei minute se afla în faţa catedrei, cu tăbliţa lui pe care erau scrise doar câteva rânduri.

Aşa deci, a spus Büttner şi a întins mâna spre nuia. Privirea i-a căzut peste rezultat şi mâna i-a îngheţat. A întrebat ce vrea să însemne asta.

Cinci mii cincizeci.

Ce?

Gauss şi-a pierdut vocea, apoi şi-a dres glasul. Transpirase. Îşi dorea să fi rămas la locul lui şi să socotească la fel ca ceilalţi, care stăteau cu capetele aplecate şi se prefăceau că nu trag cu urechea. Era vorba de adunarea numerelor de la unu la o sută. O sută plus unu fac o sută unu. Nouăzeci şi nouă plus doi fac o sută unu. Nouăzeci şi opt plus trei fac o sută unu. De fiecare dată o sută unu. Poţi să faci asta de cincizeci de ori. Deci de cincizeci de ori o sută unu.

Büttner tăcea.

Cinci mii cincizeci, a repetat Gauss, în speranţa că Büttner, în mod excepţional, va înţelege. De cincizeci de ori o sută unu dă cinci mii cincizeci. Şi-a frecat nasul. L-au podidit lacrimile.

Să mă bată Dumnezeu, a spus Büttner. După care a tăcut îndelung. A început să-şi sugă obrajii, bărbia i s-a alungit, apoi şi-a frecat fruntea şi a bătut încet cu degetele peste nas. Apoi l-a trimis pe Gauss la locul lui, Trebuia să se aşeze, să-şi ţină gura şi să rămână după sfârşitul orelor.

Gauss a tras aer în piept.

Să n-audă nici musca, a spus Büttner, altfel are să pună mâna pe băţ.

Aşa că Gauss apăru după ultima oră cu capul plecat în faţa catedrei. Büttner i-a cerut să-şi dea cuvântul în faţa lui Dumnezeu, care le vede pe toate, că a calculat de unul singur. Gauss şi-a dat cuvântul, dar când a încercat să explice că nu era nimic neobişnuit, că o problemă trebuie privită fără prejudecăţi şi idei preconcepute şi astfel soluţia apare de la sine, Büttner l-a întrerupt şi i-a întins o carte stufoasă. Aritmetică superioară: o pasiune de-a lui. Gauss trebuia s-o ia cu el acasă şi s-o studieze. Dar cu grijă. Dacă găsesc o singură pagină îndoită, o pată, o urmă de deget, atunci pun băţul pe tine şi să te ferească Dumnezeu!

A doua zi a înapoiat cartea.

Büttner l-a întrebat ce vrea să însemne asta. Sigur că e greu, dar nu renunţi atât de uşor!

Gauss a făcut semn că nu, voia să explice, dar nu putea. Îi curgea nasul. Trebuia să şi-l sufle.

Ei, ce-i cu asta?

O terminase, bolborosi el. A fost interesantă şi voia să-i mulţumească. Se holba la Büttner şi se ruga ca toate acestea să se termine.

N-are voie să-l mintă, i-a răspuns Büttner. Acesta este cel mai greu manual scris în limba germană. Nimeni nu poate să-l parcurgă într-o zi, darămite un mucos de opt ani.

Gauss nu ştia ce să spună.

Büttner a întins mâinile, nesigur, după carte. Poate să se pregătească, acum o să-l asculte!

O jumătate de oră mai târziu îl privea pe Gauss cu o privire goală. El ştie că nu este un învăţător bun. Nu are nici chemare pentru aşa ceva, nici calităţi deosebite. Dar acum e timpul: dacă Gauss nu ajunge la Gimnaziu⁽²⁾, înseamnă că el a trăit degeaba. L-a măsurat cu o privire confuză, după care, probabil pentru a-şi învinge emoţia, a apucat nuiaua şi Gauss a primit ultima mamă de bătaie a vieţii lui.

În aceeaşi după-amiază un tânăr bătea la uşa casei părinteşti. Are şaptesprezece ani, se numeşte Martin Bartels, studiază matematica şi lucrează ca asistent al domnului Büttner. Dacă nu e cu supărare, doreşte să schimbe două vorbe cu fiul familiei.

Am doar unul, a spus tatăl, şi are opt ani.

Cu el avea treabă, a răspuns Bartels. Cerea permisiunea de a lucra cu tânărul la matematică de trei ori pe săptămână. Nu e vorba de a-i preda ceva, termenul îi pare nepotrivit – zâmbea nervos – , pentru o activitate la care posibil că el însuşi va avea mai multe de învăţat decât elevul.

Tatăl i-a cerut să stea drept. Toate astea sunt numai prostii! A reflectat câteva momente. Pe de altă parte nu ar fi nici un argument împotrivă.

Au lucrat împreună un an. La început, Gauss s-a bucurat de acele după-amiezi care întrerupeau rutina săptămânală, cu toate că nu prea mai avea ce face cu matematica. I-ar fi plăcut mai mult să facă latină. Apoi a intervenit plictiseala, Bartels nu gândea chiar atât de greoi ca ceilalţi, dar nici cu el nu era prea uşor.

Bartels i-a povestit că a vorbit cu directorul Gimnaziului. Dacă tatăl lui îi dă voie, e un loc liber pentru el acolo. (pag. 42-45)

La scurt timp după aceea, în oraş a venit Pilâtre de Rozier. Zburase împreună cu marchizul d’Arland cinci mile şi jumătate pe deasupra Parisului, într-un coş pe care Montgolfier îl fixase de un sac plin cu aer cald. (…) Pilâtre se afla, cu aparatul său de zbor şi doi asistenţi, în drum spre Stockholm. Înnoptase într-unul din cele mai ieftine hanuri şi se pregătea să meargă mai departe, când ducele i-a cerut să facă o demonstraţie. (…) În dimineaţa următoare cineva a bătut la uşa lui. Un (băiat) stătea afară şi, fixându-l cu o privire atentă, l-a întrebat dacă are voie să meargă şi el.

Să meargă şi el, a repetat Pilâtre. Cu balonul zbori. Nu spui „a merge”, ci „ a zbura”. Aşa spun oamenii care folosesc balonul.

Care oameni folosesc balonul?

El este primul, a spus Pilâtre, şi aşa vrea el. Şi nu, sigur că nu poate să meargă şi el. L-a mângâiat uşor pe obraz şi a dat să închidă uşa.

El nu este aşa, a răspuns băiatul ştergându-şi nasul cu dosul palmei. Dar numele lui este Gauss, nu este un necunoscut şi în scurt timp va face descoperiri la fel de mari ca Isaac Newton. Şi n-o spune din vanitate, ci pentru că timpul este scurt şi e necesar ca el să ia parte la zbor. Stelele se văd mai bine de acolo de sus, nu-i aşa? Mai clar şi nu învăluite în ceaţă?

Ar putea paria pe asta, a răspuns Pilâtre.

De aceea trebuie să meargă şi el. Ştie multe despre stele. Ar putea fi supus şi celei mai grele verificări.

Pilâtre a râs şi a întrebat cine îl învaţă pe un bărbat atăt de mic să vorbească aşa de frumos. A stat un timp pe gânduri. Ei bine, a spus el în sfârşit, dacă e vorba despre stele!

După-amiază, în faţa unei mulţimi de oameni, în faţa Ducelui şi a batalionului de gardă, o flacără trimitea căldură prin două tuburi în balonul de pergament. Nimeni nu se aşteptase să dureze atât de mult. O jumătate din spectatori plecaseră deja când balonul a început să prindă rotunjimi şi mai puţin de un sfert din mulţime se mai afla acolo când a dat să se ridice, ezitant, de la pământ. Corzile s-au întins, asistenţii lui Pilâtre au dat drumul la tuburi, micul coş s-a smucit din loc, iar Gauss, care stătea ghemuit bolborosind pe podeaua împletită, (ar fi sărit deja) în picioare, dacă nu l-ar fi împins înapoi Pilâtre.

Încă nu, (şopti) el gâfâind. Ce faci, te rogi?

Nu, şopti Gauss. El numără numere prime, face asta de fiecare dată când este agitat.

(…) Balonul avea să se ridice şi să se îndrepte încotro va fi dus de vânt, după care va coborî înapoi atunci când aerul din el se va fi răcit. Un pescăruş a ţipat foarte aproape de coş. Încă nu, a strigat Pilâtre, încă nu. Acum! Şi apucându-l de la ceafă, jumătate de guler, jumătate de păr, l-a tras pe Gauss în picioare.

Pământul curbat în depărtare. Orizontul adânc, vârfurile dealurilor aproape dispărute în ceaţă. Oamenii care se holbau în sus, feţe minuscule în jurul focului încă arzând şi lângă ele acoperişurile oraşului. Nori de fum agăţaţi de hornuri. Un drum şerpuia pe câmpul verde, pe el un măgar de mărimea unei insecte. Gauss s-a prins de marginea coşului şi abia când a închis gura şi-a dat seama că până atunci ţipase întruna.

Aşa vede Dumnezeu lumea, a spus Pilâtre.

Voia să răspundă, dar nu mai avea voce. Cu ce forţă îi mişca aerul! Şi soarele – de ce e atât de luminos aici sus? Îl dureau ochii, dar nu putea să-i închidă. Şi spaţiul însuşi: o linie dreaptă de la orice punct la altul, de la acest acoperiş la acest nor, spre soare şi înapoi la acoperiş. Din puncte linii, din linii suprafeţe şi din suprafeţe corpuri – şi nu doar atât. Curbura uşoară: de aici de sus aproape o puteai vedea. Simţea mâna lui Pilâtre pe umăr. (…) S-a uitat cu atenţie la soare, la lumina care se schimba. Lumina obscură a apusului părea că urcă precum o perdea de ceaţă pe cerul încă luminos.. Ultimele raze, roşul de la orizont – apoi soarele a dispărut, după care au apărut stelele. (…) Atât de multe, cu fiecare minut din ce în ce mai multe. Fiecare stea era un soare în agonie. Fiecare se stingea, fiecare îşi urma drumul şi, aşa cum existau formule pentru fiecare planetă care gravita în jurul unui soare şi pentru fiecare lună care gravita în jurul unei planete, tot aşa exista o formulă nespus de complicată, sau poate nu, poate că ascunsă tocmai în propria simplitate, care definea toate aceste mişcări, orice rotire a fiecăreia; poate că trebuia doar să te uiţi îndeajuns de mult. Îl dureau ochii. Era ca şi cum n-ar mai fi clipit de mult.

Acuşi suntem jos, a spus Pilâtre.

Încă nu! S-a ridicat în vârful picioarelor, ca şi cum asta l-ar fi ajutat, s-a holbat în sus şi a înţeles pentru prima oară ce înseamnă mişcare, ce înseamnă un corp, ce înseamnă spaţiul care se întinde între ele, între toţi, între el, Pilâtre şi acest coş. Spaţiul …

S-au lovit de aracii ce susţineau o căpiţă de fân, o coardă s-a rupt, iar coşul s-a răsturnat. Gauss s-a rostogolit într-o baltă cu noroi, Pilâtre a căzut prost, sclântindu-şi braţul şi, când a văzut ruptura pânzei de pergament a balonului, a tras nişte înjurături atât de straşnice, încăt ţăranul, venit alergând de la casa sa, se opri ameninţând cu hârleţul ridicat. Asistenţii au venit într-o suflare şi au dat să strângă balonul făcut ferfeniţă. Pilâtre a ridicat braţul şi i-a tras un ghiont dureros lui Gauss.

Gauss a spus că acum ştie.

Ce anume?

Că toate liniile paralele se ating⁽³⁾.

Bine, a spus Pilâtre. (…) (pag. 48-52)

(1) Pentru o mai bună înţelegere mă simt nevoit să fac în final câteva observaţii. În primul rând, pentru a avea o imagine cât de cât conformă cu vremurile respective, eu le dau elevilor, cu ocazia acestei poveşti, să vadă o poză cu „sala de clasă” a primei şcoli româneşti din Ardeal, cea din Scheii Braşovului. În acele băncuţe intrau înghesuiţi câte 4-5 elevi, cu totul deci peste 20 de elevi. Următoarea poză cu Sala „Anton Pann” este preluată de pe wikipedia.ro, de pe pagina despre Prima Şcoală românească. La fel de impresionantă este pentru elevi şi „imaginea” ce o inserez în timpul poveştii cu faptul că pe vremuri elevii scriau pe o tăbliţă, şi că pe aceasta nu încăpea foarte mult, după care trebuiau să şteargă, ţinând minte rezultatul precedent pentru următorul calcul.

(2) O altă precizare importantă ţine de sistemul şcolar german, în care gimnaziu (Gymnasium) reprezintă o şcoală înaltă, pentru elevi buni, ceva de genul liceelor româneşti dinainte de război, unde mergeau doar elevii „de bani gata”, dar unde erau primiţi printr-un un sistem de burse şi elevii buni din familiile fără stare materială ridicată. Actualmente în Germania se numesc Gymnazium şcolile de nivel ridicat, oarecum echivalentul liceelor noastre teoretice (cumulat real + uman). În Germania şcolile pentru elevi mai slabi la învăţătură se numesc şcoli reale (Realschulen). În funcţie de abilităţile dovedite până în clasa a IV-a elevii sunt îndreptaţi începând din clasa a V-a către Gimnazium (cei buni la învăţătură) sau către Realschule (ceilalţi). În pasajul de mai sus, Gauss a fost trimis de învăţătorul său la o şcoală „din cele bune”.

(3) Finalul celui de-al doilea pasaj este edificator doar în măsura în care ştim că Gauss a fost printre marile minţi matematice care s-au preocupat de „problema axiomei paralelelor”. Pe vremea respectivă nu se folosea atât de mult exprimarea „dreptele paralele sunt drepte care nu se intersectează”, specifică teoriei mulţimilor, ci se folosea mult mai artistica exprimare „dreptele paralele sunt drepte care se intersectează la nesfârşit, la infinit”. În acest context înţelegem ceva mai bine exprimarea copilului Gauss de la finalul citatului. Afirmaţia respectivă este inclusă în roman ţinând cont probabil de dorinţa autorului de a atinge măcar în treacăt preocuparea lui Gauss legată de subiectul paralelelor. Se ştie că Farkas Bolyai, tatăl lui János Bolyai, a fost prieten cu marele Gauss şi a purtat cu acesta o corespondenţă despre „demonstrarea axiomei paralelelor”. Pe acest substrat preocupaţional din jurul său a apărut legendarul „Apendix” al fiului său, unul dintre deschizătorii drumului către geometriile neeuclidiene, alături de rusul Nikolai Lobachevsky. Cu timpul, după recunoaşterea ideilor celor doi tineri (Lobachevsky şi Bolyai János), Gauss ar fi admis că a avut şi el idei asemănătoare, de contestare a axiomei paralelelor, dar că s-a temut să le publice pentru a nu se face de râs în lumea matematicii, unde avea deja un renume de necontestat, fiind supranumit „Princeps mathematicorum”.

Închei cu recomandarea caldă să căutaţi şi să citiţi cartea Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann. Este una din acele cărţi rare la care citeam de fiecare dată tot mai puţin pentru ca lectura să dureze cât mai mult. Iată şi o caracterizare din Ziarul Frankfurter Allgemeine Zeitung despre Daniel Kehlmann: Autori care să scrie cărţi ce merită atât de mult să fie citite, nu avem prea mulţi (citat tradus de pe coperta a IV-a a exemplarului în limba germană). CTG

Citate despre intuiţie

În prezentarea liniei metodico-didactice pentru noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, cuvântul intuiţie apare de peste 20 de ori, arătându-se astfel că folosirii intuiţiei îi este alocată o importanţă mult crescută faţă de perioada precedentă.

Ţinând cont că m-am preocupat foarte mult în ultimii ani cu folosirea intuiţiei elevilor în procesul de predare, voi încerca în această vară să prezint elemente din materialele despre predarea intuitivă găsite în ultima vreme. În acest sens doresc să încep cu un material la care am lucrat vara trecută (!), dar care nu a ajuns să se materializeze într-o postare (toată iarna a stat cărticica în aşteptare, dar de-abia acum i-a venit vremea).

Lucrarea se numeşte Proverbe, cugetări, definiţii despre EDUCAŢIE şi este apărută în Colecţia Cogito la Editura Albatros în 1978 sub îngrijirea lui Eusebiu Mihăilescu. Respectând forma lucrării, am ataşat în faţa fiecărui citat şi numărul curent al acestuia (la început două citate de la fantezie, respectiv de la gândire, apoi cele din colecţia centrată pe intuiţie, de la pag. 187-190). Vă doresc cugetare plăcută, profundă şi cu folos. CTG

896 ● Fantezia e raportul liber neprevăzut dintre intuiţie şi expresie; raportul eliberat de stringenţa logică a spiritului. (Şerban CIOCULESCU, aspecte literare contemporane)

959 ● A gîndi e mai interesant decît a şti – dar nu decît a intui. (J.W. GOETHE, Maxime şi reflecţii)

1217 ● Intuiţia ar fi deci egală cu invenţia intelectuală; intuiţia este, aşadar, facultatea de a găsi un sens unui ansamblu de fapte. (Eugen BARBU, Caietele principelui, vol. II)

1218 ● Prin intuiţie, conştiinţa elevului nu numai că se îmbogăţeşte cu reprezentări vii şi adecvate asupra fenomenelor studiate, dar în acelaşi timp se face apropierea şi legarea strînsă a cuvîntului de conţinutul său real.

1219 ● Scopul intuiţiei nu este intuiţia pentru intuiţie, ci de a dezvolta cît mai eficace gîndirea abstractă a elevilor. (Tiberiu BOGDAN şi Nicolae RADU, Note de curs de psihologia copilului şi psihologia pedagogică)

1220 ● Intuiţia este un mijloc de cunoaştere a realităţii obiective, care este folosită nu numai în faza iniţială de percepere a realităţii, dar şi atunci cînd se trece la gîndirea abstractă. Ea favorizează conducerea gîndirii abstracte de la fenomen la esenţă şi de la o esenţă mai puţin profundă la una şi mai profundă. (Georgeta CHIRIŢĂ, Pedagogie aplicată la domeniul educaţiei fizice)

1222 ● Reprezentarea care poate fi dată anterior oricărei gîndiri se numeşte intuiţie. (Immanuel KANT, Critica raţiunii pure)

1223 ● Observarea atentă şi amănunţită a unui lucru se numeşte intuire. Intuirea este deci un complex de percepţii.

1224 ● Intuiţie formează temelia reprezentărilor şi a noţiunilor şi prin acestea a întregii cunoştinţe a omului; ea are influenţă asupra sentimentelor şi a voinţei. (Emanuel MARTIG, Psihologie pedagogică)

1229 ● Intuiţiile fără noţiuni sînt oarbe, noţiunile fără intuiţii sînt goale. (Friederick PAULSEN, Introducere în filozofie)

1231 ● Intuiţia cea mai complexă se compune din elemente simple. De îndată ce cineva le-a înţeles, studiul cel mai complicat devine simplu. (J.H. PESTALOZZI, Cum îşi învaţă Ghertruda copiii, Scrisori. SCR. A V-a)

1233 ● Numai prin intuiţie, dar o intuiţie făcută în natura reală, nu prin povestiri, se poate înlătura din şcoală cel mai periculos duşman al ei, care este verbalismul. (I.C. PETRESCU, Şcoala activă)

1234 ● Intuiţiile sînt produsele conştiinţei atente, iar nu imaginile oglindite din lumea înconjurătoare. (C. RĂDULESCU-MOTRU, Elemente de psihologie)

1235 ● Intuiţia poate multe, dar nu tot. (Herbert SPENCER, Eseuri despre educaţie)