7 ani de pentagonia.ro ÔÇô cine-ar fi crezut!?

├Ämi vine greu s─â m─â laud, dar chiar sunt surprins. Ini┼úial am g├óndit demersul de a sus┼úine un blog despre arta pred─ârii matematicii pentru 2-3 ani (pentru at├óta aveam idei la ├«nceput). Exista ├«n subcon┼čtient ┼či visul de a reu┼či s─â public 5 ani (suna frumos: pentagonia ÔÇô 5 ani). At├óta rezistasem la precedenta ├«ncercare, cea cu Caietele de matematic─â P3NT4GON1A (1998 ÔÇô 2002). Fiecare an trecut peste acest prag de cinci reprezint─â pentru mine o mare realizare ├«n sine. ├Än ultimii doi ani, pe care putem s─â-i privim ca un bonus, a sc─âzut frecven┼úa post─ârilor, dar ├«n schimb a crescut considerabil lungimea textelor publicate.

La acest moment aniversar a┼č dori s─â evoc un aspect interesant din munca la articolele scrise. Se ├«nt├ómpl─â uneori s─â m─â apuc de lucru, ├«ncerc├ónd s─â explic un fenomen pe care-l simt eu sau pe care-l g─âsesc evocat ├«n diferite surse, dar neclar l─âmurit. ├Äncep s─â scriu articolul, str─âduindu-m─â s─â explic ce-ar trebui ├«n┼úeles acolo, ┼či din senin ├«mi apare o idee l─âmuritoare, sub forma unei expresii ce clarific─â foarte bine totul. Restul este apoi doar munc─â de detaliu ┼či de folosire la maxim a noii expresii proasp─ât generate (pentru a se fixa c├ót mai bine ├«n con┼čtien┼úa cititorului, dar ┼či pentru a extrage maximum din aceasta).

Ca exemplu cel mai recent, vara asta am avut din nou un moment de inspira┼úie ├«n acest sens, gener├ónd no┼úiunea de “Dilem─â cognitiv─â“, ce mi s-a p─ârut mult mai potrivit─â ├«n folosirea de zi cu zi la clas─â, dec├ót poate prea durul “Conflict cognitiv”. Acesta este doar ultimul dintr-un ┼čir ciudat de momente inspira┼úionale ap─ârute “din senin” ├«n procesul de explicare a diferitelor aspecte pe care ini┼úial doar le intuiesc, doar “le simt” mai mult sau mai pu┼úin con┼čtient (dar pe care cu mare av├ónt m─â apuc s─â le explic colegilor, pentru c─â simt c─â trebuie s─â o fac).

Prima dat─â s-a ├«nt├ómplat acest fenomen pe la ├«nceputuri, ├«n momentul c├ónd am realizat c─â “G├óndirea aritmetic─â” este profund diferit─â fa┼ú─â de “g├óndirea algebric─â“. Apoi am avut un moment interesant c├ónd am generat no┼úiunea de “Matematic─â naiv─â“. Alt─â dat─â, prin toamna lui 2017, r─âsfoiam o carte veche a lui Eugen Rusu ┼či eram entuziasmat de nuan┼úele nou ├«n┼úelese la aceast─â lectur─â, c├ónd brusc s-a cristalizat ideea c─â eu folosesc de fapt “Criteriul psihologic al intui┼úiei” ├«n selectarea teoremelor pe care le selectam spre demonstrare la clas─â. Cu alt─â ocazie, ├«ncerc├ónd s─â explic ce lec┼úii de geometrie se potrivesc c─âror elevi, am ├«nceput s─â scriu din senin despre “Geometria aritmetic─â” (geometria de calcul, accesibil─â elevilor slabi ├«n opozi┼úie cu “geometria demonstrativ─â“, c─âreia ├«i fac fa┼ú─â cu succes doar elevii mai buni). “Predarea prin descoperire” este o alt─â denumire generat─â personal, de┼či sunt convins c─â ar trebui s─â fie de g─âsit pe undeva ├«n marea ┼či larga bibliografie pedagogic─â.

De┼či nu-mi apar┼úine, sunt foarte bucuros de aten┼úionarea la adresa comunit─â┼úii matematice ┼čcolare rom├óne┼čti a fenomenului denumit generic drept “Legea lui Campbell” (oare c├ónd vom vedea ┼či efecte ├«n acest sens, ├«n politica educa┼úional─â na┼úional─â?). La fel de tare m-am bucurat ┼či de orice alte elemente adus─â ├«n fa┼úa dvs. din diferite col┼úuri ale lumii sau din diferite epoci, elemente ce ar putea contribui la ├«mbun─ât─â┼úirea artei pred─ârii matematicii.

Dar, pe departe cea mai mare bucurie ├«n uurma acestor articole o reprezint─â propria evolu┼úie ce are loc cu aproape fiecare articol metodico-didactic nou scris. Str─âduindu-m─â la fiecare astfel de eseu s─â explic fenomenul respectiv c├ót mai bine, c├ót mai clar, din toate punctele de vedere, ├«n final m─â asigur─â c─â eu le-am ├«n┼úeles foarte bine. Este ca ┼či cum a┼č da de fiecare dat─â un examen ├«n fa┼úa dvs., a cititorilor ├«n mare parte necunoscu┼úi, mul┼úi deosebit de preten┼úio┼či, poate unii ├«n disacord cu mine, a┼ča ├«nc├ót trebuie din start s─â fiu c├ót mai conving─âtor, s─â aduc argumente c├ót mai solide, pentru a fi sigur c─â ÔÇô odat─â publicat ÔÇô trec “examenul”.

├Än acest sens ÔÇô din tot acest proces de deslu┼čire a fine┼úurilor artei pred─ârii matematicii ÔÇô este evident c─â cel mai c├ó┼čtigat sunt eu, iar acesta este probabil unul din motoarele principale ale continu─ârii blogului pentagonia.ro. Eu muncesc masiv la aceste articole, dar tot eu sunt ┼či foarte c├ó┼čtigat ├«n final, ├«n sens profesional. Satisfac┼úia tr─âit─â ├«n urma finaliz─ârii unui astfel de articol este deosebit─â, iar asta ├«mi d─â o energie ce m─â ├«ncarc─â puternic ├«n via┼úa profesional─â (f─âr─â s─â mai discut despre calitatea muncii mele, care tot cre┼čte).

Totu┼či, sper c─â m─âcar fr├ónturi din tot ce scriu eu aici s─â v─â ajute ┼či pe dvs., cel pu┼úin din c├ónd ├«n c├ónd. Oricum, stima┼úi cititori, ┼úin s─â v─â mul┼úumesc din suflet pentru timpul acordat prin lecturarea acestor esuri. Dvs. reprezenta┼úi desigur cel─âlalt motiv principal al demersului acestui blog. Cu tot respectul, din Pentagonia, al dvs. Constantin Titus Grigorovici

Conflictul cognitiv (dilema cognitiv─â) ÔÇô O paradigm─â diferit─â ├«n predarea matematicii

├Än prim─âvar─â am fost aten┼úionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, preluat de pe blogul CEAE. Scurt apoi am reu┼čit s─â postez o analiz─â a acestuia, ├«n dou─â p─âr┼úi; dac─â a┼úi ratat momentul, iat─â aici link-urile: http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-1/ ┼či respectiv http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-2/ .

Chiar dac─â aparent, cel pu┼úin pentru unii, p─ârea c─â a fost un demers f─âr─â sens, gen “teoria chibritului”, de fapt ├«n aceast─â analiz─â inten┼úionat am “despicat firul ├«n patru” pe subiectul respectiv, studiind ├«n detaliu fiecare g├ónd exprimat acolo. O singur─â afirma┼úie am refuzat s─â o discut la momentul respectiv, a┼čtept├ónd confirm─âri ┼či eventuale l─âmuriri din partea autorilor. Da, ┼či bine am f─âcut, pentru c─â pe l├óng─â confirmarea direc┼úiei generale pe care o intuiam, am primit ┼či l─âmuriri ┼či argumente suplimentare edificatoare. Dar despre ce este vorba?

Spre finalul părţii a doua a acelei analize, mă întrebam mai mult retoric, oare ce a vrut să spună autorul când explica astfel: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

Dup─â cum am intuit, l─âmurirea acestui subiect ar deschide poarta spre o alt─â mare schimbare ├«n predarea matematicii, o schimbare despre care ├«nc─â nu m-am sim┼úit p├ón─â acum ├«n stare a vorbi la un nivel acceptabil (am atins subiectul, mai exact m-am apropiat de acesta de c├óteva ori, ├«ns─â doar punctual ┼či superficial, prin c├óteva exemple izolate, ├«n cu totul alte contexte). Acum cred c─â a venit vremea s─â “iau ┼či acest taur de coarne”. A┼čadar, s─â pornim!

*

Una din acuzele dese la adresa matematicii (ca materie ┼čcolar─â, a┼čadar la adresa pred─ârii matematicii) este faptul c─â orele de matematic─â nu sunt atractive. Mul┼úi al─âtur─â aceast─â acuz─â unei alteia, anume c─â matematica este mult prea grea. Ca urmare, unii ├«ncearc─â s─â vin─â cu str─âdania de corectare a primei acuze, printr-o form─â de remediere ├«n sensul celei de a doua, cobor├ónd nivelul matematicii ├«ntr-o zon─â de aplica┼úii banale. ┼×i de unde le iau pe acestea? P─âi, “din lumea real─â”, av├ónd ├«n acest sens dou─â tipuri de impulsuri.

Pe de-o parte ar fi impulsul de a imita subiectele date la studiile PISA (acolo este ├«ns─â verificat─â capacitatea de modelare, pe c├ónd ├«n problemele imitative din zona gimnazial─â rom├óneasc─â acestea ofer─â deja modelul). Pe de alt─â parte, mai exist─â ┼či nemul┼úumirea c─â elevii nu ┼čtiu aplica ├«n via┼úa de zi cu zi toat─â ├«nv─â┼ú─âtura matematic─â primit─â la ┼čcoal─â “cu tolceriu” (adic─â turnat─â cu p├ólnia ├«n c─âp┼čoarele lor). Aceast─â deficien┼ú─â a fost exprimat─â ├«ntr-un eseu foarte clar de c─âtre Dl. Sorin Borodi (├«n urm─â cu c├ó┼úiva ani). A┼čadar ÔÇô concluzioneaz─â unii ÔÇô ar trebui s─â venim ├«n ├«nt├ómpinarea elevilor cu o linie de aplica┼úii banale “din via┼úa de zi cu zi”.

Aici ├«ns─â, profesorii obi┼čnui┼úi cu matematica “├«nalt─â” (adic─â prea grea ┼či prea riguroas─â ÔÇô vezi ├«n acest sens principalii vectori de schimbare din timpul reformei uitate” din 1980), ace┼čtia au mari dificult─â┼úi ├«n a sim┼úi c├ót s─â coboare pentru a accesibiliza materia; de obicei coboar─â mult prea jos, p├ón─â la un nivel banal, care ┼či acesta ac┼úioneaz─â plictisitor asupra marii majorit─â┼úi a elevilor (alteori o fac ├«ntr-un fel lipsit total de sens realist; amintesc astfel de tortul ├«n form─â de piramid─â patrulater─â regulat─â cu v├órful ├«n jos, din urm─â cu c├ó┼úiva ani; cum a putut g├óndi cineva a┼ča o chestie?).

├Äntr-un astfel de demers am putea spune c─â matematica accept─â s─â coboar─â mult prea ├«njositor ├«n lumea elevilor, ├«n loc s─â-i atrag─â pe ace┼čtia ├«nspre lumea matematic─â, acolo unde ea ÔÇô matematica ÔÇô are cele mai frumoase lucruri de oferit. Practic, noi profesorii ne mul┼úumim s─â ne adres─âm elevilor ├«n demersul matematic doar pe cele dou─â extreme posibile: fie prin intermediul matematicii seci, riguroase, de nivel prea ├«nalt, cu care suntem obi┼čnui┼úi “de o via┼ú─â” (adic─â din anii ’80 c├ónd a fost introdus─â agresiv), fie “ne cobor├óm la nivelul lor”, ├«n┼úeleg├ónd prin asta s─â ├«i plictisim cu eviden┼úe “f─âr─â sare ┼či piper”, cu elemente care nu pot trezi entuziasmul pentru activitatea matematicii (m─â refer aici desigur la marea majoritate a elevilor de nivel mediu).

Tehnic, nici una, nici cealalt─â dintre variante nu este sortit─â succesului dac─â se omite un aspect important, despre care cei mai mul┼úi nici nu se g├óndesc. C─âtre elevi matematica trebuie s─â vin─â cu elementele ei cele mai atractive, cele mai fascinante, cu cele mai frumoase aspecte cu care ├«i poate “vr─âji” profesorul pe elevi ├«n acel moment.

Revenind la cele dou─â variante de abordare exprimate mai sus, trebuie s─â observ─âm aici un aspect absolut fascinant: ambele se adreseaz─â doar extremelor din Clopotul lui Gauss. Pe c├ónd predarea teoreticist─â riguroas─â ┼či de ├«nalt nivel al aplica┼úiilor este de ├«n┼úeles doar de c─âtre cei mai buni elevi (singurii care se pot ridica la acest nivel), elementele de exemplificare banale pot aduce oarece satisfac┼úie doar elevilor foarte slabi (bucuro┼či c─â ├«n sf├ór┼čit ├«n┼úeleg ┼či ei ceva). ┼×i iar─â┼či ajungem la Profesorul Hollinger: dar de elevul mijlociu c├ónd ne ocup─âm? Cu alte cuvinte, cum ar trebui s─â arate predarea matematicii ┼čcolare pentru elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss? (s─â-i aproxim─âm la cca 80% din popula┼úia ┼čcolar─â general─â)

Aici cred c─â se adreseaz─â “cerin┼úa” despre care vorbesc din articolul respectiv de la CEAE, ce ne apare acolo sub forma acelei acuze: Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu genereaz─â ├«ns─â un conflict cognitiv ├«n mintea elevului. Acum ├«ncepem s─â intuim c├óte pu┼úin sensul ├«ntreb─ârilor ce le-am sugerat atunci: Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a ├«n┼úelege o demonstra┼úie? Este bine sau nu s─â apar─â un conflict gognitiv ├«n acest moment al lec┼úiei?

*

Revenind la subiectul nostru, no┼úiunea de conflict cognitiv vine din zona de psihologie pedagogic─â. V─â las dvs., stima┼úi cititori, bucuria de a c─âuta net-ul in lung ┼či ├«n lat despre acest subiect (de pild─â, profesorii de fizic─â il folosesc foarte mult). ├Än eseul de fa┼ú─â eu ├«mi permit s─â v─â prezint g├óndurile mele personale, desigur cu accent pe predarea matematicii, a┼ča cum intuiesc eu acest subiect. Experien┼úele mele personale ┼či preocup─ârile de atragere a elevilor obi┼čnui┼úi ├«nspre matematic─â, c├ót ┼či multele cursuri cu docen┼úi din str─âin─âtate, dar ┼či bogata literatur─â studiat─â despre predarea matematicii, toate acestea ├«mi dau curajul s─â m─â apuc de acest subiect, de┼či tehnic nu l-am ├«nt├ólnit niciunde p├ón─â acum. Multe se adun─â ├«ns─â “ca un buchet” ├«n jurul acestei idei. Dau un singur exemplu aici: impresionant ┼či intrigant mi-a r─âspuns colegul Kjell Sammuelson din Suedia, ├«n 2020 c├ónd i-am trimis poza cu lampa icosaedric─â descoperit─â, rezum├ónd extrem de bine chiar subiectul nostru de acum (vede┼úi al doilea abajur din postarea http://pentagonia.ro/matematica-la-vreme-de-corona-virus-2-abajur-icosaedru-nou/ ; primul este destul de cunoscut ├«n sistemul ┼čcolar Waldorf)

A┼čadar, permite┼úi-mi s─â ├«ncep. Din c├óte exprim─â pe scurt denumirea, conflictul cognitiv aduce o contradic┼úie ├«ntre elementele ce-i sunt cunoscute cuiva ├«ntr-un moment al procesului de cunoa┼čtere. Dac─â profesorul introduce o informa┼úie nou─â, o metod─â nou─â pe baza unei contradic┼úii ├«n ├«n┼úelegere ┼či reu┼če┼čte s─â-l implice pe elev ├«n ac┼úiunea de l─âmurire, atunci el de fapt st├órne┼čte curiozitatea elevului. Acesta va ie┼či din “v─âg─âuna lui de indiferen┼ú─â”, motivat de o curiozitate pe care ┼či-o dore┼čte l─âmurit─â; situa┼úia problematic─â ├«i devine acum una personal─â ┼či se va implica, se va lupta s─â ┼či-o l─âmureasc─â. Pus ├«n fa┼úa unui conflict cognitiv (practic predare prin problematizare!), cresc vertiginos ┼čansele ca elevul s─â ias─â din starea sa de indiferen┼ú─â, de “platitudine” emo┼úional-intelectual─â, ┼či s─â se implice ├«n deslu┼čirea “misterului” ap─ârut. Prezent├ónd noile elemente ale unei lec┼úii printr-un conflict cognitiv, profesorul are ┼čanse crescute s─â-i stimuleze pe elevi ├«n a se implica ├«n ├«n┼úelegerea acesteia.

Dimpotriv─â, lipsa unui conflict cognitiv ├«n prezentarea unor itemi noi las─â elevul ├«n acea stare cunoscut─â de neimplicare emo┼úional─â, de “participare plat─â” la lec┼úie, de plictiseal─â ┼či indiferen┼ú─â (“o nou─â lec┼úie pe care profu’ o turuie, iar noi va trebui s─â o tocim; pentru moment singura mea datorie este cel mult s─â copiez lec┼úia”). Pe durat─â, acest tip de predare obose┼čte (chiar adoarme la propriu), aduce ur─â fa┼ú─â de materia respectiv─â ┼či, ├«n predarea matematicii, ├«n nici un caz nu produce dezvoltarea g├óndirii; dimpotriv─â!

Probabil c─â nu se poate preda orice lec┼úie pe baza gener─ârii unui conflict cognitiv (acesta este un alt subiect de discu┼úie), dar asta nu este o scuz─â s─â nu folosim defel aceast─â abordare. Pigmentarea procesului de predare de c├óte ori este posibil cu momente generatoare de conflict cognitiv (chiar de diferite nivele, mai mari sau mai mici) ├«nvioreaz─â puternic ora de matematic─â. Elevii ├«ncep s─â povesteasc─â plini de apreciere (├«n urma acelei ore), iar p─ârin┼úii nu mai ├«n┼úeleg nimic: brusc, matematica nu mai este acea materie “bau-bau”. Chiar ┼či elevii foarte slabi povestesc acas─â ├«n spectru pozitiv despre “profu’ ─âsta de mate”, pentru c─â starea de entuziasm despre subiectele discutate se generalizeaz─â ├«n clas─â, fiind sim┼úit─â de c─âtre to┼úi elevii, chiar ┼či de c─âtre cei slabi (care deseori totu┼či nu pot participa direct la dezbatere).

Pe baza inser─ârii ├«n lec┼úii a unor momente de conflict cognitiv, predarea ┼či ├«nv─â┼úarea matematicii cap─ât─â accente de roman, de film, devine pe alocuri chiar palpitant─â; elevii se bucur─â c├ónd vine ora de mate. ┼óin minte exprimarea unui copila┼č de a 5-a prin prim─âvar─â, la frac┼úiile zecimale periodice: “eu nu mai suport, a┼ča-i de palpitant; vreau s─â aflu odat─â ce-i aici!”. Cred c─â atunci mi-a reu┼čit bine generarea ┼či gestionarea unui conflict cognitiv de succes (voi reveni ├«n cur├ónd cu acest exemplu).

├Än matematic─â, o predare ce implic─â inserarea anumitor momente de conflict cognitiv genereaz─â o atitudine de o oarecare stare de secret; aparent, profesorul “nu joac─â cu c─âr┼úile pe fa┼ú─â”, cel pu┼úin nu total. Or, este cunoscut c─â secretele st├órnesc dorin┼úa de a le afla. La fel ┼či ├«n predarea matematicii: ├«ntr-o atitudine ceva mai enigmatic─â de predare a lec┼úiei, prezentarea materiei ├«mpachetat─â ├«n ciudate secrete st├órne┼čte dorin┼úa de cunoa┼čtere a elevilor.

P─ârerea mea este c─â ├«n matematic─â rareori ajungem cu adev─ârat la un nivel ce poate fi clasificat drept “conflict” cognitiv. Aceast─â expresie ar fi potrivit─â a se folosi atunci c├ónd apare cu adev─ârat un conflict, adic─â atunci c├ónd exist─â dou─â pozi┼úii, dou─â p─âreri sau dou─â dorin┼úe opuse. Conflictul apare de obicei ├«n ┼čtiin┼úe, legat de diferitele explica┼úii ce pot fi date unui anumit fenomen; da, acolo putem vorbi cu adev─ârat de un conflict.

├Än matematic─â, “conflictul cognitiv” nu poate ap─ârea ca atare (ca un conflict ├«ntre dou─â puncte de vedere opuse) dec├ót absolut excep┼úional. ├Än matematic─â singurul conflict posibil este ├«ntre matematician cercet─âtor ┼či subiectul ├«nc─â nel─âmurit, nedemonstrat, cu care acesta se ocup─â. ├Än mod similar, ├«n predarea matematicii singura situa┼úie conflictual─â poate fi eviden┼úiat─â ├«ntre elevul care ├«nc─â nu ├«n┼úelege ┼či situa┼úia enigmatic─â ce ├«i este adus─â de c─âtre profesor. Este greu ├«ns─â s─â extrapolezi aici situa┼úia la un “conflict” ├«ntre dou─â persoane. Mai degrab─â, ├«n predarea matematicii eu a┼č folosi expresia “Dilem─â cognitiv─â“. Din c├óte ├«n┼úeleg eu, simt c─â ar fi vorba de obicei doar despre o dilem─â cognitiv─â, pe care eu ca dasc─âl o aduc ├«n fa┼úa elevilor ┼či o folosesc ca s─â le st├órnesc curiozitatea ┼či s─â le captez aten┼úia.

├Än acest context, ideea apare de pild─â pe net astfel: Predarea matematicii … lans├ónd elevilor o ├«ntrebare problem─â provocatoare (“conflict cognitiv”), (numele lucr─ârii ┼či autorii la adresa https://www.academia.edu/36969914/Lucrare_mate_Conversie ).

Aplicat─â pe durat─â, aceast─â tehnic─â st├órne┼čte dorin┼úa de cunoa┼čtere la elevi. Iar asta face parte clar din “Arta pred─ârii matematicii“. Zonele de materie ├«n care ├«mi reu┼če┼čte s─â aduc la fiecare lec┼úie m─âcar o dilem─â cognitiv─â, ca profesor, pe acestea le consider cele mai reu┼čite; elevii particip─â cu tot av├óntul la generarea lec┼úiei ┼či “toat─â lumea e fericit─â”. Nu trebuie s─â fie de fiecare dat─â dileme foarte mari; pot fi elemente destul de banale, dar aduse cu dib─âcie, f─âr─â a le da elevilor totul “mur─â-n gur─â” (├«n acest context, ca un exemplu extrem de banal, pute┼úi relua ├«nceputul articolului despre divizorii unui num─âr, din urm─â cu aproape 5 ani, la adresa http://pentagonia.ro/divizorii-unui-numar-prezentarea-unei-ore-deschise/ ).

Tehnica este foarte simpl─â: trebuie doar s─â reu┼če┼čti s─â st├órne┼čti curiozitatea elevilor. Despre asta este vorba de fapt, despre un repertoriu c├ót mai vast (din partea profesorului) prin care s─â se st├órneasc─â curiozitatea elevilor (a c├ót mai multora, c─â la toat─â clas─â oricum nu cred c─â se prea poate). Iar curiozitatea elevilor se st├órne┼čte printr-o dilem─â cognitiv─â accesibil─â, care le capteaz─â aten┼úia (elevii trebuie s─â ├«n┼úeleag─â situa┼úia enigmatic─â, ca apoi s─â-┼či doreasc─â a o deslu┼či). Evident c─â o dilem─â cognitiv─â prea profund─â, prea grea, nu rezolv─â obiectivul atragerii elevilor, fiind inaccesibil─â majorit─â┼úii acestora. Dilema cognitiv─â trebuie s─â fie accesibil─â majorit─â┼úii elevilor din blocul central al “Clopotului lui Gauss”. Rezum ideea: “dilem─â cognitiv─â” (adic─â nu banal─â!), dar “accesibil─â” (adic─â nu foarte grea!). E simplu! Sau?

În ianuarie 2018 m-am apropiat foarte mult de acest subiect în seria despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat (inserez aici link-ul primei părţi din acea serie http://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ , pe restul le găsiţi în arhivă). Din această primă parte reiau un pasaj interesant pentru subiectul nostru actual:

*

De cur├ónd am r─âsfoit din nou ├«ntr-una din c─âr┼úile unui fost mare profesor metodist al anilor ÔÇÖ60-ÔÇÖ70 ┼či am reg─âsit c├óteva citate deosebit de interesante ├«n acest sens. ├Än lucrarea sa┬á De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros, 1971), Eugen Rusu ┼či-a pus problema despre ÔÇŽ mobilul psihologic care l-a ├«mpins pe Euclid spre rigurozitate. D├ónsul d─â imediat ┼či principalul r─âspuns: Aceast─â tendin┼ú─â spre riguros se na┼čte ┼či se accentueaz─â din ├«ns─â┼či activitatea geometric─â.

Important este s─â se pun─â problema de a c─âuta s─â descoperi lucruri noi, prin ra┼úionament deductiv. Aceasta este destul ca, ├«n cadrul acestei activit─â┼úi, s─â se pun─â de la sine, ├«n mod din ce ├«n ce mai acut, ┼či chestiunea rigurozit─â┼úii. Este interesant s─â ne oprim aten┼úia asupra acestui fenomen psihologic.

C├«nd, pentru prima oar─â, ne sim┼úim ├«ndemna┼úi s─â afl─âm un adev─âr nou, altfel dec├ót prin experien┼ú─â direct─â, deci prin deduc┼úie logic─â, aceasta nu se poate ├«nt├«mpla pentru ceva care este ÔÇťevidentÔÇŁ prin intui┼úie; aceasta se ├«nt├«mpl─â cu o chestiune despre care sim┼úurile nu ne dau informa┼úii precise ┼či sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experien┼ú─â senzorial─â. Atunci cu adev─ârat ne vom sim┼úi ├«ndemna┼úi s─â o ÔÇťdeducemÔÇŁ din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu urm─âtoarea observa┼úie: fa┼ú─â de obi┼čnuita demonstra┼úie bazat─â pe propor┼úionalit─â┼úi din asem─ânare (prin teorema catetei), demonstra┼úiile prin arii transform─â, apropie, d─â perceperii teoremei lui Pitagora o clar─â not─â de experien┼ú─â senzorial─â. Acest fapt sus┼úine o prim─â abordare ┼či demonstrare a acestei teoreme prin arii.

*

├Änchei aici citatul din vechiul articol; se vede cum am atins atunci foarte fin aspectul ce ne preocup─â acum. S─â clarific─âm fenomenul: nici nu are rost s─â ├«ncerc─âm s─â demonstr─âm un aspect ce este evident pentru intui┼úia elevului, dar nici nu are rost s─â venim ├«n fa┼úa elevilor cu dileme cognitive prea grele, pentru c─â acestea nu le vor fi defel accesibile. ├Än procesul pred─ârii, noi trebuie s─â ┼úintim calea de mijloc, adic─â trebuie s─â venim ├«n fa┼úa clasei cu o dilem─â cognitiv─â accesibil─â. Nu are rost s─â le cerem s─â demonstr─âm ceva evident pentru intui┼úia lor, pentru c─â atunci nu avem o dilem─â! Dar nici dac─â venim cu o dilem─â prea profund─â “nu rezolv─âm mare scofal─â”, pentru c─â majoritatea elevilor nu vor ├«n┼úelege nimic.

Se pare c─â Teorema lui Pitagora reprezint─â ├«n acest context un exemplu magistral (┼či aici b─ânuiesc eu motiva┼úia articolului CEAE). Demonstra┼úia tradi┼úional─â prin rapoarte, venind dinspre teorema catetei, este pentru marea majoritate a elevilor un soi de “hocus-pocus” inaccesibil g├óndirii lor (la acel moment marea majoritate a elevilor ├«nc─â nu are o g├óndire “foarte dibace” din punct de vedere a “jongleriilor algebrice”, care aici sunt ├«n plus redactate ├«n limbaj geometric). Demonstra┼úia tradi┼úional─â a teoremei lui Pitagora prin rapoarte aduce ├«n fa┼úa elevilor o dilem─â cognitiv─â inaccesibil─â marii majorit─â┼úi a elevilor, ┼úintind astfel mult prea sus fa┼ú─â de posibilit─â┼úile “elevului mijlociu”. Aceast─â abordare reprezint─â practic o ocazie irosit─â de a atrage elevii c─âtre matematic─â, de a le construi g├óndire logic─â ├«n ultim─â instan┼ú─â.

Abordarea demonstr─ârii dinspre arii accesibilizeaz─â procesul, venind dinspre o direc┼úie totu┼či mai senzorial─â. Eugen Rusu avertiza c─â nu trebuie s─â demonstr─âm propriet─â┼úi evidente din punct de vedere senzorial, dar nici s─â tragem orice demonstra┼úie ├«ntr-o zon─â c├ót mai abstract─â nu este normal. Repet: o cale de mijloc este cea mai s─ân─âtoas─â. Teorema lui Pitagora reprezint─â o dilem─â cognitiv─â destul de abstract─â, aceasta put├ónd ├«ns─â a fi accesibilizat─â prin prezentarea ei cu ajutorul ariilor, ├«ntr-o form─â mai senzorial─â pentru o prim─â demonstra┼úie. Cu alte cuvinte, demonstrarea prin arii aduce ├«n fa┼úa elevilor o dilem─â cognitiv─â, ├«ns─â una accesibil─â majorit─â┼úii elevilor, abord├óndu-i printr-o “clar─â not─â de experien┼ú─â senzorial─â“.

Eu cred c─â la aceste aspecte s-au referit colegii de la CEAE ├«n observa┼úia din articolul la care am f─âcut referire la ├«nceput (articolul reluat imediat ┼či pe edupedu.ro). Practic, forma actual─â de introducere a Teoremei lui Pitagora “sare de la o extrem─â la cealalt─â”: la sf├ór┼čitul clasei a 6-a trebuie introdus─â “┼čmecheria” f─âr─â nici cea mai mic─â justificare, doar ca o re┼úet─â “picat─â din cer”, evit├ónd astfel total dilema cognitiv─â, iar apoi ├«n clasa a 7-a, de-abia ├«n semestrul al doilea (sau cum ├«i va mai zice de-acum, prin module), cunoa┼čterea Teoremei lui Pitagora este condus─â pe o cale demonstrativ─â bazat─â pe o dilem─â cognitiv─â inaccesibil─â majorit─â┼úii elevilor. Dup─â p─ârerea mea, acesta este de fapt “repro┼čul” din articolul CEAE la adresa autorilor manualului respectiv: sim┼úind c─â demonstra┼úia tradi┼úional─â este inaccesibil─â majorit─â┼úii elevilor, ├«n ├«ncercarea de a le ar─âta c─â “nu-i a┼ča de greu”, ace┼čtia sar ├«n extrema cealalt─â ┼či “├«i pun” pe cei doi copii (cele dou─â personaje din manual) s─â arate rezolvarea pe care elevii ar trebui s─â o ┼čtie de la sf├ór┼čitul clasei a 6-a (de fapt un algoritm, o re┼úet─â de ├«nv─â┼úat pe de rost). Asta spune ├«ns─â de fapt ceva groaznic: “Voi, majoritatea elevilor, nici nu trebuie s─â participa┼úi la ├«n┼úelegerea matematic─â; este suficient dac─â ┼čti┼úi s─â aplica┼úi calculul respectiv. Nu-i nevoie ca s─â g├óndi┼úi; ne mul┼úumim s─â v─â dres─âm s─â pute┼úi face automat o rezolvare”.

Dar de ce face Teorema lui Pitagora a┼ča cum face, asta oricum marea majoritate a elevilor tot nu vor ├«n┼úelege, predarea celor mai mul┼úi profesori (inclusiv din manualul respectiv) rat├ónd momentul cu “mare brio”. ┼×i, uite-a┼ča profesorimea mai rateaz─â un moment ├«n care ar putea s─â-i fac─â pe elevi s─â g├óndeasc─â, mul┼úumindu-se s─â-i dreseze doar s─â ├«nve┼úe o nou─â re┼úet─â (necesar─â pentru a face fa┼ú─â la teste, la examene sau la fizic─â).

*

Fac aici o parantez─â la prezentul eseu ┼či v─â povestesc pu┼úin despre via┼úa mea la acest moment ├«n contextul ├«ncerc─ârii altruiste de a ajuta la repararea pred─ârii matematicii ├«n Rom├ónia. Am ajuns s─â m─â preocup ├«nspre multe direc┼úii (cam multe), a┼ča ├«nc├ót acest aspect se reflect─â ┼či ├«n apari┼úia post─ârilor pe blog. Totu┼či, vede┼úi cum se leag─â ├«n mod curios, foarte interesant, subiecte din ultima perioad─â (de pild─â, preocuparea despre prefa┼úa culegerii lui Hollinger cu articolul CEAE despre alegerea demonstra┼úiei teoremei lui Pitagora). Exist─â ┼či un alt subiect mai vechi, despre care nu am scris ├«n ultima vreme (pentru c─â pur ┼či simplu n-am apucat), de┼či au ap─ârut elemente noi ├«n preocuparea mea: munca de ├«n┼úelegere a fi┼čelor de descoperire a matematicii generate de D-na Birte Vestergaard din Norvegia. La cursul seminarului de la Kassel de anul acesta m-am ├«nscris pentru a participa exact la cursul de 5 ├«nt├ólniri ┼úinute de d├ónsa (la restul am participat din decen┼ú─â fa┼ú─â de cei care mi-au pl─âtit cursul ├«ntreg). Permite┼úi-mi s─â v─â divulg deja una din nout─â┼úile auzite acolo. Astfel, d├ónsa a ├«nceput s─â ne vorbeasc─â despre un a┼ča-numit “Sudoku-effect“, ├«n┼úeleg├ónd prin acesta acea stare atractiv─â de rezolvare a unor situa┼úii enigmatice pe care ” TU trebuie s─â le rezolvi”, care nu-┼úi dau pace “p├ón─â nu le dai de cap─ât”.

Cred c─â to┼úi cunoa┼čte┼úi acea stare (de-a dreptul obsesiv─â uneori) c├ónd nu po┼úi abandona un subiect p├ón─â nu afli cum func┼úioneaz─â; ├«n aceast─â zon─â ar trebui atra┼či elevii ├«n momentul demonstra┼úiei Teoremei lui Pitagora. Mai mult: la aceast─â cea mai cunoscut─â teorem─â din toate timpurile, procesul poate fi repetat chiar de mai multe ori. Dilema cognitiv─â are “o energie” at├ót de mare ├«nc├ót procesul demonstr─ârii poate fi reluat de mai multe ori, din diferite direc┼úii de materie (varianta dinspre Teorema catetei fiind doar una dintre acestea). Asta f─âcea de fapt “again and again” (din nou ┼či din nou) acea profesoar─â din America, d-na Marisha Plotnik pun├óndu-i pe elevi s─â descifreze alte ┼či alte demonstra┼úii ale Teoremei lui Pitagora.

Am dat “Sudoku-effect” pe Google, mi-a ap─ârut instant (se pare c─â-i destul de cunoscut─â expresia) ┼či am ales din lista oferit─â “sudoku effects on brain” (efectul sudoku asupra creierului); iat─â prima informa┼úie ap─ârut─â acolo: People who do puzzles have brain function equivalent to 10 years younger than their age, according to the study tests. On short-term memory tests, puzzle takers had brain function equivalent to eight years younger. (oamenii care se ocup─â cu rezolvarea puzzle-urilor, ├«n general a situa┼úiilor enigmatice, a jocurilor enigmatice, au func┼úii ale creierului corespunz─âtoare unei v├órste cu 10 ani mai tineri, conform studiilor. La testele de memorie pe termen scurt, “puzzel-i┼čtii”┬áau func┼úiuni ale creierului echivalente unora cu 8 ani mai tineri) Mai pun totu┼či ├«nc─â una: Sudoku May Keep Your Brain Younger! Uaaau! (Sudoku ├«┼úi ┼úine creierul mai t├ón─âr) Cu scuzele de rigoare eviden┼úiez aici dificultatea traducerii cuv├óntului “puzzle”, care include la americani orice tip de “joc enigmatic” (nu numai cele din multe piese mici de carton ce urmeaz─â a fi reasamblate ├«ntr-o imagine, a┼ča cum este folosit ├«n rom├ón─â), deci desigur ┼či jocurile numerice tip Sudoku, dar ┼či multe probleme matematice, mai ales cele clasificabile drept “matematic─â distractiv─â”. La problemele lui Martin Gardner este folosit de pild─â constant termenul “puzzle”.

Aceste g├ónduri ne arat─â c─â practic “destinatarul” unei pred─âri ce folose┼čte acest Sudoku-effect, adic─â elevul “simte” chiar ┼či organic (deci pe creier) un nivel de stimulare extraordinar, ├«nso┼úit probabil de generarea unor anumite neurochimicale, ce produc o stare de bucurie ┼či satisfac┼úie, ├«ntregul proces fiind astfel resim┼úit ca atractiv (Paul Olteanu ar explica mai bine asta). Revenind la matematica noastr─â, o predare ce folose┼čte acest Sudoku-effect ÔÇô gener├ónd un conflict cognitiv ÔÇô va duce la o stare de atractivitate crescut─â fa┼ú─â de matematic─â. Iar asta se va ├«nt├ómpla la tot mai mul┼úi elevi, cu c├ót reu┼če┼čte profesorul s─â atrag─â c├ót mai mul┼úi elevi ├«n discu┼úia acestui conflict cognitiv. A┼čadar, se pare c─â ┼či aici ÔÇô ├«n teoria Sudoku-effect ÔÇô este implicat─â clar no┼úiunea de conflict cognitiv. Interesant! ├Änchid paranteza.

*

Pricep├ónd-o tot mai clar, observ─âm c─â aceast─â nou─â cerin┼ú─â asupra pred─ârii ÔÇô de a genera ┼či de a folosi un conflict cognitiv, o dilem─â cognitiv─â ├«n predare┬á ÔÇô intr─â brutal ├«n contradic┼úie, ├«n opozi┼úie cu o alt─â cerin┼ú─â asupra pred─ârii matematicii, una ap─ârut─â ├«n lumea matematicii ┼čcolare chiar prin reforma uitat─â din 1980, anume cerin┼úa pred─ârii c├ót mai riguroase, dup─â modelul cursurilor universitare: super-detaliat, prevenind astfel orice discu┼úie divergent─â despre o oarecare neclaritate sau nesiguran┼ú─â, totul ├«ns─â ├«ntr-o atitudine “plat─â”, f─âr─â nici cea mai mic─â emo┼úie, tinz├ónd spre o stare de eviden┼ú─â absolut─â, care “s─â anestezieze” orice fel de comentariu de contestare a discursului ┼č├« a concluziilor.

Problema este c─â acest tip de predare este unul deosebit de egocentrist (profesorul este concentrat doar pe discursul s─âu, care ├«n forma ideal─â trebuie s─â fie “absolut”). Dar, acest tip de predare este ┼či deosebit de plictisitor, de-a dreptul “adormitor” pentru auditoriu (modelul profesorului universitar care vorbe┼čte “de unul singur” la tabl─â, din “├«naltul” matematicii sale). ├Än afara celor pasiona┼úi de subiectul respectiv (de obicei foarte pu┼úini), oricine ascult─â un astfel de discurs, o astfel de lec┼úie, ajunge s─â piard─â destul de repede contactul cu cel care ┼úine prelegerea. Practicat─â pe durat─â ├«n ┼čcolile de mas─â, acest tip de predare duce la efectele despre care toat─â lumea vorbe┼čte acuzator legat matematica ┼čcolar─â. Care este reac┼úia multor profesori, sesiz├ónd acest aspect? Ace┼čtia ├«ncep s─â transforme lec┼úia de matematic─â ├«ntr-un simplu pachet de re┼úete, pe care elevii nu e nevoie s─â le ├«n┼úeleag─â, ci doar s─â le st─âp├óneasc─â ┼či s─â le poat─â aplica corect. Uau! V─â rog s─â mai citi┼úi ├«nc─â o dat─â acest ultim aliniat.

Durerea cea mare este c─â mentalul multor profesori s-a transformat at├ót de mult, ├«nc├ót ace┼čtia predau astfel ca elevii nu c─â nu e nevoie s─â ├«n┼úeleag─â dar, cel mai bine nici m─âcar nu trebuie s─â ┼či ├«n┼úeleag─â lec┼úia (nu ┼čtiu dac─â se simte diferen┼úa de nuan┼ú─â din ultimul r├ónd): aparent, ├«n cazul unor profesori pare c─â ne├«n┼úelegerea elevilor este rezultatul unei atitudini inten┼úionate; “eu profesorul, nici nu vreau s─â ├«n┼úelegi, fac chiar tot ce pot ca s─â nu ├«n┼úelegi, prezent├óndu-┼úi lucrurile c├ót mai alambicat (ca s─â vezi tot timpul c├ót sunt eu de de┼čtept ┼či c├ót e┼čti tu de …); eu doresc doar s─â te dresez s─â le po┼úi aplica automat, ca s─â le po┼úi reda la examen” (faptul c─â elevul trebuie s─â simt─â zilnic c├ót ├«i este profesorul de superior, aceasta este o alt─â latur─â ur├ót─â a stilului de predare universitar din Rom├ónia, ce a fost preluat─â cu mare entuziasm de unii profesori din licee, ajung├ónd ┼či ├«n clasele gimnaziale, fiind confundat─â ├«n mentalul multor profesori preuniversitari cu ideea de “predare super-riguroas─â”).

*

S─â revenim ├«n final ├«nc─â o dat─â la subiectul nostru, anume la conflictul cognitiv (sau s─â-i spun mai degrab─â “dilem─â cognitiv─â”? C─â parc─â se potrive┼čte mai bine ├«n contextul pred─ârii matematicii). A┼č dori s─â eviden┼úiez c├óteva direc┼úii despre care n-am vorbit ┼či nici nu inten┼úionez s─â vorbersc cu aceast─â ocazie (le enum─âr ├«ns─â, oarecum ca tem─â pentru cititori).

Pentru profesorul care a auzit doar acum de acest termen, un subiect deosebit de interesant ar fi urm─âtorul: oare, care sunt lec┼úiile predispuse spre introducerea prin dilem─â cognitiv─â sau la care se poate folosi acesta? Nu-mi propun acum o astfel de analiz─â, mare consumatoare de timp ┼či spa┼úiu. P├ón─â la o eventual─â astfel de prezentare (?) las tema ├«n suspans, cum am spus deja, eventual ca tem─â de reflexie la adresa cititorului doritor.

Urm─âtoarea tem─â ar fi de interes doar pentru cei ce ajung ├«n postura de a scrie c─âr┼úi de matematic─â pentru elevi, ├«n principal manuale. Oare cum se pot introduce ├«n lec┼úiile din manuale pasaje pe baz─â de dileme cognitive? Trebuie s─â recunosc c─â m─â preocup cu aceast─â ├«ntrebare de c├ó┼úiva ani, dar ├«nc─â nu am ajuns la un r─âspuns clar (o linie de re┼úete eficiente ├«n acest sens). Deci, cum po┼úi purta “un dialog” cu cititorul?

Pentru cine dore┼čte s─â aprofundeze subiectul, ar fi de un real interes s─â afle cum se practic─â aceast─â abordare, a scoaterii ├«n eviden┼ú─â a dilemei cognitive, ├«n predarea altor materii. Cum se face la fizic─â; cum s-ar putea folosi la istorie ? etc. Ar fi de eviden┼úiat ┼či alte aspecte, dar m─â opresc aici, ├«ncheind cu un citat din Albert Einstein, citat ce subliniaz─â importan┼úa form─ârii g├óndirii: Nu port toate aceste informa┼úii ├«n memorie, de vreme ce sunt disponibile ├«n c─âr┼úi. Valoarea unei bune educa┼úii nu const─â ├«n ├«nv─â┼úarea multor informa┼úii, ci ├«n antrenarea min┼úii s─â g├óndeasc─â. Iar pentru acest scop, folosirea ├«n predare a conflictului cognitiv, mai exact la matematic─â a dilemelor cognitive, are o valoare deosebit─â. C. Titus Grigorovici

P.S. Cum am mai spus, poate c─â denumirea de “Conflict cognitiv” nu este cea mai reu┼čit─â eu suger├ónd denumirea de “Dilem─â cognitiv─â” (poate exist─â ┼či o alt─â denumire, mai edificatoare). Important este s─â ├«ntelegem c├ónd consider─âm c─â apare aceasta: ├«n eseul de fa┼ú─â m-am referit la situa┼úii ├«n care ne confrunt─âm cu elemente noi ├«n via┼úa noastr─â, despre care la ├«nceput nu ├«n┼úelegem cum se situeaz─â fa┼ú─â de restul aspectelor, a celor deja cunoscute. De obicei ├«n procesul de ├«nv─â┼úare a matematicii, no┼úiunea de dilem─â cognitiv─â descrie de fapt situa┼úia ├«n care ├«nv─â┼ú─âcelul se confrunt─â cu o informa┼úie nou─â ce nu este ├«nc─â ├«n acord cu cele anterioare, organizate deja, p├ón─â ├«n acel moment, ca sistem coerent. Legat de acest moment cunosc un citat interesant din Rudolf Steiner, filozoful fondator al ┼×colii Waldorf (este chiar citatul meu preferat). Iat─â pasajele la care m─â refer:

Toate g├óndurile izolate sunt p─âr┼úi ale unui mare ├«ntreg pe care-l numim lumea noastr─â de no┼úiuni. Dac─â ├«n con┼čtien┼ú─â se ive┼čte un oarecare g├ónd izolat, eu nu-mi g─âsesc odihna p├ón─â c├ónd el nu este pus ├«n acord cu restul g├óndirii mele. O asemenea no┼úiune separat─â, desp─âr┼úit─â de restul lumii mele spirituale, ├«mi este cu totul insuportabil─â. C─âci eu am con┼čtiin┼úa faptului c─â exist─â o armonie l─âuntric ├«ntemeiat─â a tuturor g├óndurilor, c─â lumea g├óndurilor este una unitar─â. De aceea, pentru noi orice asemenea separare este ceva nenatural, un neadev─âr. C├ónd am ajuns p├ón─â acolo (ca g├óndul cel nou s─â fie pus ├«n acord cu restul g├óndirii mele), c─â ├«ntreaga noastr─â lume de g├ónduri poart─â caracterul unui acord l─âuntric des─âv├ór┼čit, atunci avem parte de acea mul┼úumire dup─â care tinde spiritul nostru. Atunci ne sim┼úim ├«n posesia adev─ârului.(din Rudolf Steiner, Linii fundamentale ale unei teorii a cunoa┼čterii ├«n concep┼úia goetheanian─â despre lume, Ed. Triade, 1996. Pag. 35-36)

P.P.S. Dac─â nu a┼úi creat deja o alergie la “manualele germane”, pe baza articolului ini┼úial CEAE despre alegerea demonstra┼úiei pentru Teorema lui Pitagora, v─â prezint ├«nc─â dou─â astfel de articole (din 2019, respectiv 2021) ├«n care se vede cum se pot introduce no┼úiuni noi de geometrie prin problematizare, adic─â pe baza unei dileme cognitive. Iat─â link-urile acestora: https://ceae.ro/cum-sa-i-ajuti-pe-copii-sa-gandeasca-nu-sa-toceasca-la-matematica-solutia-prezentata-de-un-manual-german-de-clasa-a-vi-a/ , respectiv https://ceae.ro/cand-predai-matematica-trebuie-sa-i-inveti-pe-copii-sa-gaseasca-solutii-la-probleme-noi-nu-sa-memoreze-proceduri/ ┬áEu nu m─â apuc de noi analize, ci v─â las dvs., stima┼úi cititori pl─âcerea ┼či provocarea de a aprofunda individual fiecare idee exprimat─â ├«n acestea. Sunt dou─â articole deosebit de valoroase, ├«n┼úelegerea lor put├ónd cre┼čte vizibil “arta pred─ârii matematicii”.

Pentru c─â am f─âcut subtile referiri ┼či la alte materii, probabil cel mai bine se poate surprinde ideea de conflict cognitiv la fizic─â, atunci c├ónd confrun┼úi pentru ├«nceput mintea elevului cu un experiment surprinz─âtor, cu o situa┼úie uluitoare, intrigant─â. Uimirea ap─ârut─â instant la vederea acelui experiment ac┼úioneaz─â ca un imbold natural, trezind dorin┼úa de a cerceta ┼či de a ├«n┼úelege noul fenomen. Observa┼úi ├«n acest sens urm─âtoarele filmule┼úe (youtube-ul d─â ┼či altele): https://www.youtube.com/watch?v=XAbEeE6eCZw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=yYWXyHgupjw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=JRPA5Wk5PTw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=7

Din p─âcate, mul┼úi ├«n┼úeleg pe baza unor astfel de exemple c─â metoda conflictului cognitiv este potrivit─â doar fizicii (unde ├«ntr-adev─âr aceasta func┼úioneaz─â “ca pe┼čtele ├«n ap─â”), sus┼úin├ónd c─â ├«n predarea matematicii aceast─â metod─â nu-┼či are locul. Nimic mai gre┼čit! Conflictul cognitiv poate fi folosit cu succes, ca dilem─â cognitiv─â, ┼či ├«n predarea matematii preuniversitare, de obicei sub forma pred─ârii prin problematizare, ├«n forme extreme chiar ca predare prin descoperire.

Dac─â tot am ajuns s─â vorbesc ┼či despre fizic─â, ├«mi permit un g├ónd personal. Ideea de conflict cognitiv poate fi desigur ├«n┼úeleas─â ca atare ├«n momente istorice precum situa┼úia de explicare a fenomenului luminii: conflictul dintre teoria de und─â ┼či teoria corpuscular─â (exist─â ┼či alte conflicte nel─âmurite, unele chiar la bazele fizicii). Dar ├«n procesul de predare a fizicii la clas─â avem de obicei doar dileme cognitive, ├«n urma prezent─ârii unui experiment uimitor. Cel mult, ├«n procesul de ├«ncercare de g─âsire a unei explica┼úii pot ap─ârea situa┼úii conflictuale ├«ntre doi elevi, ├«ntre dou─â grupuri (poate chiar trei), care vin cu explica┼úii diferite, iar apoi ├«┼či sus┼úin cu ardoare punctul de vedere. Cu alte cuvinte, cred c─â folosirea cuv├óntului “conflict” este de obicei exagerat─â, denumirea de “dilem─â” cognitiv─â fiind de obicei mult mai potrivit─â.

De data asta chiar ├«nchei, dorind s─â aduc mul┼úumiri sincere d-lui Cristian Hatu de la CEAE, pentru sugestiile l─âmuritoare ┼či materialul trimis ├«n acest sens (adresele din acest P.P.S.).