Divizorii unui număr – prezentarea unei ore deschise

În data de 12 octombrie 2017 am susţinut la o oră deschisă la clasa a V-a. M-am oferit personal pentru această acţiune din motive evidente: cerinţele metodologice ale noii programe de matematică pentru toate şcolile din România, de aplicat începând din acest an şcolar la clasele a V-a, sunt asemănătoare cu cerinţele de predare din şcolile Waldorf, cerinţe pe care încerc să le înţeleg şi cu care mă străduiesc să mă acomodez de peste 20 de ani. În toţi aceşti ani am conştientizat în acest sens că, de fapt, trebuie să revitalizez în felul meu de predare modul în cere se preda matematica în România înainte de 1980. Astfel, conştient fiind de faptul că am un oarecare avans în faţa celorlalţi profesori, în strădaniile de a mă schimba conform acestor cerinţe, am considerat că este de datoria mea să le ofer o mostră despre cum am înţeles eu că ar trebui predate lecţiile de matematică.

În acest demers, am ales o lecţie cât mai simplă, pentru a exemplifica felul în care matematica poate şi trebuie a fi predată pornind cât mai de jos, astfel încât lecţiile să fie accesibile cât mai multor elevi din clasă. Desigur că ulterior, în cadrul lecţiei şi a lecţiilor ulterioare se poate şi e bine să se urce cât mai mult (cât pot “duce” cei mai buni elevi ai clasei). Datorită predării în module şi a faptului că eu sunt dirigintele acestei clase, deci am avut deja un astfel de modul cu foarte multe ore de matematică pe săptămână (12 ore/ săptămână în septembrie), am avansat rapid cu materia. Astfel am putut oferi colegilor o lecţie pe care dânşi urmează să o facă mult mai târziu. Ca urmare, colegii vor avea timp să se gândească la ce au văzut şi, poate, să aplice anumite aspecte la momentul respectivei lecţii. Desigur că aceste aspecte vor putea fi aplicate şi la alte ore, deoarece acţiunea a avut loc foarte repede, la exact o lună de la începutul cursurilor.

Concret, prin această lecţie m-am străduit să ating mai multe aspecte ce apar ca cerinţe în cadrul noii programe de matematică pentru clasele gimnaziale. Mai ales pentru clasele a V-a şi a VI-a, cerinţa este de a oferii o introducere cât mai intuitivă a materiei, a noţiunilor nou predate. Astfel, provocarea cea mai mare a acestei lecţii venea chiar la început: cum să introducem cuvântul divizor fără a da o definiţie sterilă, ci dimpotrivă, într-un mod care să conecteze natural cu cunoştinţele anterioare ale elevilor. Atenţionez în acest sens că, negestionat cum trebuie, momentul poate duce chiar de la început la neînţelegerea lecţiei de către mulţi elevi. Din păcate acest fenomen se întâmplă de multe ori la toate clasele. În cazul de faţă, eu am încercat să conectez lecţia cu împărţierea exactă, divizorul unui număr însemnând un împărţitor exact al acestui număr. Nu am lungit-o mult, ci am dat imediat oral primul exemplu pe divizorii lui 6, pe care i-au spus chiar elevii (concret, momentul a fost sub forma unei întrebări din partea mea: hadeţi să vedem care ar fi împărţitorii exacţi ai numărului 6, moment în care elevii au începu să răspundă, primul mai timid, puţin ezitant, neştiind dacă a înţeles cum trebuie, apoi următorii cu curaj; nu mai ţin minte exact, dar divizorii nu au venit în mod ordonat de la elevi). Din acest moment “gheaţa s-a spart” şi lecţia a început să curgă natural, într-un dialog (predare prin problematizare), în care profesorul întreabă şi elevii răspund. Astfel, profesorul îi îndrumă pe elevi prin întrebări bine regizate, dar de fapt aproape toată lecţia a fost dictată de către elevi (eu doar am scris totul pe tablă, elevii completându-şi notiţele ordonat, după modelul de pe tablă). Un fapt comic a fost următorul: o vreme au mai ridicat mâna “civilizat” (clasa era plină cu încă 17 profesori străini), dar după cca. 10 minute “gheaţa s-a spart de tot”, elevii uitând să mai ridice mâna şi răspunzând direct şi spontan într-un dialog plin de bucurie în procesul de descoperire a noilor aspecte. Totul căpătase un profund caracter ludic; aveam un joc serios, dar totuşi un joc plin de bucurie.

Revenind la începutul lecţie, după scurta introducere orală, cu prezentarea noţiunii de divizor prin sinonimul împărţitor exact, urmată de exemplul divizorilor lui 6, după acestea am început să scriu pe tablă titlul şi cele două aspecte deja menţionate. Apoi le-am propus clasei să procedăm la o abordare ordonată şi să vedem cum stau lucrurile în general, studiind fiecare caz până la 10. La acestea eu am scris pe tablă, dar elevii dictau. După ce am completat coloana respectivă i-am rugat pe elevi să notăm alături la fiecare număr câţi divizori are. Apoi elevii au trebuit să completeze singuri următoarea decadă de numere, până la 20 (muncă independentă pe care o pot face toţi!). După câteva minute de lucru în linişte i-am rugat să îmi dicteze rezultatele, eu scriind ordonat pe tablă. Iată în continuare poza tablei de la această oră:

Înainte de a prezenta continuarea lecţiei, doresc să atrag atenţia asupra modului de scriere a divizorilor fără a folosi mulţimile. Aceasta reprezintă o nouă cerinţă din partea prezentei programe, o cerinţă care îi bulversează puternic pe profesori. Vreau să precizez că elevii nu au avut nici o problemă în folosirea semnului cu două puncte în sens literar, nu în sensul operaţiei de împărţire. Din păcate, la discuţiile de după oră am uitat să scot din geantă o carte din 1966 despre numere prime scrisă de un academician polonez, redactată în întregime fără folosirea scrierii cu mulţimi (Sierpinski W. – Ce ştim şi ce nu ştim despre NUMERELE PRIME, Ed. Ştiinţifică, 1966, traducere după originalul din 1964). Da, dragi colegi, se poate scrie în matematică şi fără limbajul mulţimilor. Cei care au apucat clasele gimnaziale înainte de 1981 au scris totul fără mulţimi. Sarcastic spus, putem zice că a existat matematică şi înaintea mulţimilor. Lăsând gluma de o parte, prezentarea unei posibilităţi de a enumera nişte elemente fără a folosi mulţimile a fost pentru mine unul din obiectivele acestei lecţii deschise. Nu cred că aceasta reprezintă singura cale de scriere, dar eu aşa am considerat să o fac.

Un alt aspect legat de această lecţie îl reprezintă enumerarea concretă a divizorilor, astfel încât copiii să vadă despre ce este vorba. Trebuie să vadă noua situaţie pe cât mai multe exemple, înainte de a fi capabili să înţeleagă despre ce este vorba doar vorbind despre ele. Elevii de clasa a VI-a ştiu foarte bine despre ce este vorba când vorbim de divizorii unui număr, pentru că în clasa a V-a i-am enumerat de foarte multe ori, şi în cazuri simple şi în cazuri complicate. Am conectat aici la indicaţia din Sugestiile metodologice din finalul noii programe de matematică (vezi la pagina 31, despre clasa a V-a): … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … . În acest sens, la temă elevii au primit să enumere în continuare divizorii numerelor vână la 30, continuînd astfel lista de la clasă din prima parte a orei.

Odată înţeles despre ce este vorba, elevii familiarizându-se cu noţiunea de divizor, am putut trece la aprofundarea temei. Am făcut aceasta prin observaţii făcute asupra numărului de divizori ai numerelor deja studiate pănă la 20 (din nou, sub forma unei întrebări: Ce observăm?, urmată de răspunsuri din partea elevilor; aceste răspunsuri, eventual rearanjate, au ajuns apoi pe tablă). Am putut face aceasta deoarece ne-am pregătit terenul, notând în dreptul fiecăruia câţi divizori avea. Astfel, am observat că avem în primul rând ciudatul număr 1, singurul număr cu doar un divizor. La acest punct vom reveni desigur în clasa a VI-a, când vom observa că acest fapt este valabil doar în “familia” numerelor naturale, în cazul numerelor întregi chiar şi numărul 1 având doi divizori. Pentru a sublinia că numărul 1 este aparte, l-am şi separat de restul printr-o subliniere. Apoi am trecut la restul numerelor, unde am văzut că numărul divizorilor variază de la un caz la altul, ba mai mulţi, ba mai puţini. În mod neaşteptat, la unele numere constatăm că au doar doi divizori. Ce fel de numere sunt acestea? Aici, elevii le-au recunoscut cu mare bucurie pe vechile lor cunoştinţe, numerele prime. Pentru a înţelege ce vreau să spun, rog onoratul cititor să studieze şi postările din ianuarie 2017 despre numerele prime ( vezi postările http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/ şi http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ). Aceasta a reprezentat a treia mare abordare a naturii numerelor prime; după ideea de numere nedecompozabile de la început, şi după ideea de numere care rămân în Ciurul lui Eratostene în urma eliminării tuturor multiplilor în sens de plural, acum vedeam numerele prime ca acele numere care au exact doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi. Aceşti divizori “automaţi” i-am numit divizori improprii, doar după ce am precizat că oamenii pe vremuri i-au privit pe aceştia ca nişte ciudăţenii, că multă vreme doar ceilalţi divizori au contat (aceştia erau divizorii “propriu-zişi”, adică divizorii proprii). Restul numerelor au mai mulţi divizori, adică cel puţin trei. Este vorba aici de numerele care se pot descompune în factori mai mici.

În acest moment am adus o întrebare ce urmărea observarea unui aspect pe care elevii nu au cum să-i vadă la nivelul acesta de dezvoltare a lecţiei, respectiv a gândirii (nici profesorii nu cred că-l prea văd; eu l-am observat singur în urmă cu trei ani şi, de atunci îi atenţionez şi pe elevi asupra repectivului detaliu). Majoritatea numerelor au un număr par de divizori. Ce fel de numere au un număr impar de divizori? De obicei este vreun elev care observă răspunsul corect (la momentul acestei întrebări elevii trebuie să se fi jucat destul cu numerele pătrate, să le recunoască uşor pe renumitele pătrate perfecte); de data aceasta răspunsul a venit mai greu, dar până la urmă a venit cumva, aşa că l-am notat şi pe acesta ca o ultimă observaţie.

După seria de observaţii, urmare a analizei făcute pe munca de nivelul elementar de la începutul orei, am putut trece la un nou nivel de lucru, anume la găsirea divizorilor unor numere mai mari. În cazul acestora apar deja dificultăţi reale la găsirea intuitivă a divizorilor mai mari. De pildă, la numărul 48 se vede încă uşor divizorul 12, dar nu se mai vede natural divizorul 16; la numărul 72 se văd foarte greu  divizorii 18, 24 şi 36. Pentru aceştia le-am arătat elevilor, le-am atras de fapt atenţia asupra unei proprietăţi interesante a divizorilor care, aranjaţi în ordine crescătoare, aşa cum ne-am obişnuit, formează de fapt perechi al căror produs dă întotdeauna numărul iniţial. Am numit această observaţie proba divizorilor. Acest procedeu ne permite, după găsirea intuitivă a primilor divizori, depistarea divizorilor mai mari, a celor neintuitivi, odată ce am reuşit să trecem “de mijloc”, adică de doi divizori consecutivi al căror produs este numărul iniţial (de pildă de 8 şi 9 în cazul lui 72; atenţie, nu numere consecutive, ci doar divizori consecutivi; la 48 aceşti divizori consecutivi sunt 6 ∙ 8 = 48). Aş mai fi zăbovit cu două trei exemple aici, dar timpul nu-mi mai permitea şi ştiam că mai doresc să le povestesc elevilor despre un exemplu special “cu tâlc”. Astfel, am uitat în cadrul orei (şi nimeni nu a observat la discuţiile de analiză de după ora deschisă) să dau măcar un exemplu de găsire a divizorilor în cazul unui pătrat perfect. Era potrivită aici de pildă enumerarea divizorilor lui 64. Ce se întâmplă în acest caz la mijloc? Păi simplu: divizorul 8 face pereche cu sine, iar asta noi o vom însemna printr-o buclă de la 8 chiar la el. Este clar că am recuperat acest aspect ca observaţie la discutarea temei de la începutul orei următoare (şi aşa este în regulă). La temă au apărut două pătrate perfecte iar elevii au venit cu diferite idei şi contra-idei (un elev propunea să-l punem pe divizorul 8 de două ori). Deci, până la urmă am lămurit aspectul respectiv ora următoare.

Spuneam că spre finalul lecţiei m-am grăbit pentru că mai aveam “în buzunar” o scurtă “poveste cu tâlc” (nu apare pe poza tablei). Este vorba de numerele perfecte. Ce sunt acestea? Primul număr perfect este 6; dacă la numărul 6 facem suma tuturor divizorilor săi, în afară de numărul însuşi, obţinem SD6 = 1 + 2 + 3 = 6, adică exact 6. Ce se întâmplă la alte numere din acest punct de vedere? De pildă la 10 obţinem SD10 = 1 + 2 + 5 = 8, mai puţin decât numărul însuşi; dimpotrivă, la 12 obţinem SD12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, adică mai mult decât numărul însuşi. Exact ca la oameni avem şi la numere: la multe numere dacă facem suma divizorilor lor obţinem mai puţin decât “se laudă ele că pot”; dimpotrivă, la unele numere, dacă facem suma divizorilor lor vedem că obţinem mai mult decât “arată numărul”; există însă şi numere la care suma este exact “cât ne spune numărul că valorează”. Şi da, la oameni avem exact la fel: cei mai mulţi pot mai puţin decât se laudă că sunt în stare (cunoscuţii lăudăroşi); dimpotrivă, există oameni care, odată puşi în faţa unor situaţii dificile, constaţi că sunt foarte capabili şi pot mai mult decât arătau iniţial (pe aceştia îi numim de obicei modeşti). Da, şi mai există, cei drept foarte rar, cei care îţi arată exact cât pot (pe aceşti oameni de încredere îi putem numi perfecţi). În sensul acestei poveşti, elevii au primit acasă sarcina de a căuta şi următorul număr perfect (care este 28). Ora următoare, la discutarea temei, câţiva elevi au anunţat că l-au găsit, iar eu le-am spus despre Pitagora, anume că de la acest mare învăţat al Greciei antice cunoaştem aceste două numere perfecte şi că de la el vine şi această poveste. Apoi, tot ora următoare, în conectare cu analiza temei, după găsirea lui 28 le-am prezentat elevilor şi următoarele numere perfecte, 496 şi 8128, găsite de Nicomac din Alexandria în sec 1 d.Chr., dar şi următoarele care sunt deja uriaşe (urmează numărul 33.550.336, etc.).

Iată şi tema dată elevilor la sfârşitul orei deschise: 1) Scrieţi toţi divizorii numerelor de la 21 la 30, notaţi la fiecare câţi divizori are şi calculaţi în dreptul fiecăruia şi suma divizorilor săi (fără numărul însuşi), aşa cum am făcut în clasă. Fiţi atenţi dacă mai găsiţi un număr perfect printre acestea. 2) Scrieţi lista completă a divizorilor la fiecare din următoarele numere, folosind de fiecare dată proba divizorilor: 36; 42; 75; 96; 144; 150; 220; 280; 284; 300.

Tot de la Pitagora vine şi o altă poveste “cu tâlc”, prezentată elevilor în ora următoare: se spune că Pitagora a fost întrebat o dată despre cum ar caracteriza el doi prieteni cu adevărat buni. Iar Pitagora a răspuns că două persoane pot fi caracterizate drept prieteni buni dacă se vor comporta la bine şi la greu aidoma numerelor 220 şi 284. Într-adevăr, dacă veţi face suma divizorilor fiecăruie din cele două numere, veţi vedea că la fiecare se obţine celălalt ca rezultat. Acestea două se numesc numere prietene, şi erau folosite în lumea învăţaţilor arabi din jurul anului 1000 la confecţionarea de amulete pereche pentru “cimentarea” unei prietenii dorite (fiecare din cei doi prieteni păstra o amuletă cu unul dintre cele două numere prietene gravat pe aceasta).

Până în acest moment al studiului despre divizorii unui număr am parcurs următoarele nivele de gândire: la început am căutat toţi divizorii unui număr în mod intuitiv; apoi, odată cu creşterea numerelor studiate, găseam primii divizori intuitiv, până treceam de jumătatea listei, iar apoi restul divizorilor printr-un procedeu pe care l-am numit “proba divizorilor”. Această a doua metodă poate fi descrisă ca parţial intuitivă, parţial algoritmică. Dar şi această metodă mai performantă îşi găseşte în curând limitele, odată cu creşterea numerelor la care dorim să găsim divizorii. A fost deja cazul la numerele mai mari date ca temă la sfârşitul orei deschise, inclusiv la numărul 284. Aşa că trebuia să ne gândim la o metodă şi mai puternică, una care să elimine subiectivismul intuitivităţii. În ora următoare (după cea deschisă) le-am arătat cum am putea depista în mod ordonat toţi divizorii, procedând în prealabil la descompunerea numărului în factori primi.

Găsirea unei noi metode poate reprezenta aici o mare provocare pentru elevi dar, totodată reprezintă o provocare şi mai mare pentru profesorul care-şi doreşte să regizeze lecţia prin întrebări cât mai naturale prin care să-i împingă pe elevi spre a descoperi ei înşişi noua metodă. Ideea de a descompune numărul iniţial în factori primi şi a găsi divizorii săi prin compunerea factorilor în toate produsele posibile, această idee este însă una prea precoce pentru elevii de clasa a V-a. Nu cred că ei o pot găsi, dar o pot foarte bine înţelege după câteve exemplificări (dimpotrivă, un elev de clasa a VIII-a ar putea-o depista, dacă se dovedeşte mai treaz la minte). Deoarece ora respectivă (ora următoare după lecţia deschisă) se îndrepta către sfârşit, nu am apucat să fac decât două exemple (divizorii lui 100 şi cei ai lui 220, cu temă directă divizorii lui 2000). Eu am numit reprezentarea divizorilor în acel tabel drept metoda frunză, încercând astfel să le atrag atenţia asupra simetriei numărului de divizori de la nivelele egal depărtate de extremităţile tabelului. Tot la tema acestei a doua ore, le-am propus elevilor să găsească toţi divizorii numărului 496 şi să verifice apoi dacă într-adevăr acesta este număr perfect (temă opţională; scuze pentru tabla foarte urât ştearsă).

Am reluat discuţia peste încă două zile (în a treia oră prezentată aici), când am analizat situaţia divizorilor numărului 12, iar apoi, prin analogie, situaţia numărului 284, care are o structură de aceeaşi formă, dar cu factorul prim 71 în loc de 3. Apoi, la cererea câtorva elevi am făcut la tablă şi descompunerea şi găsirea divizorilor în cazul numerelor de la temă, 496, respectiv 2000, ce fuseseră ca temă, dar care le-a dat multă durere de cap (foarte puţini le-au reuşit).

Las aici onoratul cititor să studieze metoda în formă de frunză pentru găsirea tuturor divizorilor unui număr pe alte exemple. Diferite aspecte cunoscute din problemele de combinatorică se regăsesc aici într-un mod deosebit de natural. De pildă, la numărul 2000 care are în produs 7 factori primi, la găsirea tuturor variantelor de divizori compuşi din 5 factori, putem căuta ce posibilităţi există de a exclude doi factori din numărul 2000, aceasta susţinând observaţia de simetrie sus-jos a tabelului respectiv (în formă de frunză). Precizez că această “metodă” am generat-o la clasă în urmă cu trei ani, am stabilizat-o la clasa care sunt acum în a VII-a şi am introdus-o înclusiv în lucrarea de control (cu succes) anul trecut.

În a patra oră dedicată acestei teme, de care cu greu ne puteam despărţi, au apărut condiţiile ideale pentru ultimul pas, anume pentru stabilirea numărului divizorilor unui număr mare, fără a-i găsi neapărat pe toţi divizorii respectivi. Ce înţeleg prin condiţii ideale? Păi, simplu: la discutarea temei, care fusese găsirea tuturor divizorilor lui 3000, un elev ridică mâna şi spuse: D-le profesor, aţi avut dreptate când aţi spus că la 3000 nu o să avem 30 de divizori aşa cum am prevăzut eu (băieţelul respectiv concluzionase ora trecută că, dacă la 2000 aveam 20 de divizori, atunci la 3000 vom avea 30 de divizori, la care eu m-am arătat doar sceptic); mi-au dat 27 de divizori. În acest moment au sărit alţi copii: unul găsise 28, altul găsise chiar 30 şamd (eu am tăcut în acel moment, când el susţinea un număr impar de divizori la un număr care nu este pătrat perfect). Aşa că am scris chiar pe tablă întrebarea ce ne frământa. După care le-am arătat “marea bombă”, anume cum se află câţi divizori are numărul 18.000 (comentariul celui care a pornit totul: păi dacă-l facem pe ăsta, atunci la 3000 o să fie superuşor).

Astfel, pentru a epuiza subiectul divizorilor unui număr, mai trebuia să facem pasul către formula care ne spune – înainte de a-i găsi concret – câţi divizori are un anumit număr. De pildă, formula respectivă ne spune că numărul 18.000 = 24∙32∙53 are un număr de (4 + 1)∙(2 + 1)∙(3 + 1) = 5 ∙ 3 ∙ 4 = 60 divizori (vedeţi pe următoarea poză folosirea culorii pentru a îndrepta atenţia elevilor asupra exponenţilor).

Este foarte uşor să le dai elevilor de la clasele de excelenţă această formulă, iar ei o vor aplica imediat prin analogie. Dar, pentru mintea în formare a elevului talentat la matematică, această formulă cu efect de cutie neagră este situată undeva între nefolositoare şi otravă pentru gândire, în sensul că îl obişnuieşte pe elev să înveţe ceva pe de rost fără să înţeleagă cum funcţionează, aşa că elevilor buni trebuie neapărat să le oferim şi o explicaţie, de ce se întâmplă astfel. Băieţelul respectiv, care a fost în vervă mare la această oră, după ce a văzut calculul afişat de mine pe tablă, a strigat indignat: da’, de ce facem aşa? Am şi scris pe tablă întrebarea sa, după care am pornit explicaţiile. Iată în continuare poza tablei cu exemplele prin care am încercat să-i conduc pe elevii buni spre înţelegerea principiului acestei formule. În acest sens nu cred că trebuie o demonstraţie în caz general, fiind suficientă parcurgerea a două-trei exemple edificatoare. Vedeţi în continuare şi poza tablei din cea de a patra oră pe această temă.

Pentru noi profesorii, dar şi în caz că am discuta aceste aspecte la elevi mai mari, se impune aici o observaţie deosebită. În cazul numerelor scrise ca o simplă putere de un factor prim (an), formula respectivă este o formulă de lungime pentru că toţi divizorii se aranjează ordonat în linie. Dacă avem un număr ce s-a descompus într-un produs de două puteri de factori primi (an ∙ bm), formula respectivă devine o formulă de arie, pentru că toţi divizorii se aranjează în mod ordonat într-un tabel dreptunghic. Continuând raţionamentul, în mod evident că la un număr ce se descompune într-un produs de trei puteri de factori primi (an ∙ bm ∙ cp) avem o formulă de volum (L ∙ l ∙ h), pentru că toţi divizorii s-ar aranja ordonat într-un “tabel tridimensional” în formă de paralelipiped dreptunghic. La un număr cu patru factori primi diferiţi avem “volumul” unoi cuboid patru-dimensional (conţinutul în 4D), etc.

După lămurirea acestei metode am stabilit (muncă individuală, dictată apoi la tablă) câţi divizori avea buclucaşul număr 3000 de la temă, anume că are 32 de divizori. Normal că au primit să studieze din plin noua şmecherie (temă de găsit câţi divizori au fiecare din numerele 6000; 12000; 2400; 980; 10500).

În final doresc să atenţionez asupra unui aspect metodic suplimentar, de fineţe. Analizând cele prezentate mai sus, se observă strădania de a înţelege cât mai complet, din cât mai multe puncte de vedere, comportamentul numerelor participante la fenomenul studiat. Divizorii au apărut la început intuitiv, fiind imediat şi aranjaţi în ordine crescătoare. Apoi am constatat pe această primă formă o legătură interesantă ce am numit-o proba divizorilor. În ora următoare a apărut o structură nouă, bidimensională, sub forma unui tabel cu divizorii aranjaţi pe rânduri, în funcţie de numărul factorilor primi conţinuţi. În final a apărut o a treia formă de ordonare a divizorilor, destul de algebrică. Observăm astfel cum am studiat cu elevii diferitele forme în care se pot cuprinde/ ordona divizorii unui număr, în funcţie de punctul de vedere urmărit. Este bine să încercăm cât mai des să ne uităm la un fenomen studiat din cât mai multe puncte de vedere, aceasta ajutându-i pe elevi să înţeleagă mai bine lucrurile, dar şi să-şi clarifice în general felul în care “gândeşte matematica”. Da, şi încă o mică observaţie de ordin lingvistic: la mai mulţi factori folosim pluralul; la un singur factor folosim singularul; aţi văzut că la zero factori folosim din nou pluralul? Adică, zero obiecte de un fel sunt mai multe?

Mă opresc aici cu această prezentare (textul are 6 pagini A4 scrise cu 12). Urmează desigur lecţia despre divizorii comuni ai două numere, dar despre aceasta cu altă ocazie. Pe lângă bucuria acestei lecţii, rămân în urmă gândurile despre oportunitatea urcării la nivele atât de înalte de raţionament şi de cunoştinţe, cu elevi de clasa a V-a. Cu “olimpicii” merge, dar câţi elevi dintr-o clasă pot duce toate cele prezentate? În urmă cu 20-30 de ani astfel de teme de studiu erau incluse într-un capitol de aritmetică de la începutul clasei a IX-a. În 1997 acel capitol a fost desfiinţat, considerându-se că toate aspectele se lămuresc în clasa a V-a. Şi totuşi, câţi elevi de această vârstă ….

Titus Grigorovici, 14-23 oct. 2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
24 + 20 =