Category: Metodică

În urmă cu doi ani citeam o carte: Meik Wiking  Arta de a-ţi crea amintiri, Ed. Litera, 2019, cu subtitlul Cum să colecţionezi şi să-ţi aminteşti momente fericite. Pe copertă, sub numele autorului, apare precizarea: Institutul de Cercetare a Fericirii, Copenhaga. Ca un gând colateral, putem întreba: câţi elevi sunt fericiţi de obicei la orele de matematică? Citez în continuare dintre rândurile de prezentare de pe spatele cărţii:

Fiecare an are un număr fix de zile. Unele zile trec fără să lase nicio urmă. De alte zile ne amintim o viaţă. (…) Folosind cercetările despre fericire, Meik Wiking explorează modul în care putem învăţa să creăm amintiri fericite şi cum să le păstrăm mai bine. (…) Arta de a-ţi crea amintiri va analiza modul în care putem crea momente perfecte. Momente pe care ni le amintim pentru totdeauna. Momente care ne vor forma ca persoană.

Da, iar la un moment dat, în timpul lecturării acestei cărţi, în mintea mea s-a ivit impulsul de “a citi” acele rânduri prin prisma “Artei de a preda pentru a crea amintiri pozitive la ora de matematică”. Din acel moment lectura s-a desfăşurat cu un mare entuziasm, fiecare pagină fiind parcursă cu atenţia de a identifica acele pasaje care puteau fi înţelese, dincolo de sensul lor direct, în raport cu arta predării matematicii. Astfel, putem întreba din nou: câţi profesori pot afirma că reuşesc, fie şi numai din când în când, să creeze la ora de matematică momente desăvârsite, momente pe care elevii, sau foştii elevi, să şi le amintească întotdeauna, momente care îi vor fi format ca persoane?

În articolul de faţă doresc a vă oferi citate exemplare în acest sens, din cartea ce v-o recomand din tot sufletul, atât “în original”, cât şi în stilul “traducerii mele”, anume despre cum ar trebui să procedăm la ore, astfel încât acestea să conţină cât mai multă matematică “vie” din punct de vedere al impresiilor asupra elevilor. Visez de doi ani la acest articol, iar în tot acest timp gândurile mi-au revenit adesea la ideile respective, idei pe care le-am aplicat chiar din primele clipe, putându-le apoi observa eficienţa. În acest sens trebuie să conştientizăm că elevii actuali trăiesc tot mai mult într-o stare de emoţie constantă, iar mulţi dintre ei pot fi “câştigaţi” de partea matematicii prin tehnicile prezentate în această carte. O pot spune “cu mâna pe inimă”: predarea mea a evoluat mult în urma înţelegerii acestor nuanţe (din păcate, există şi mulţi elevi care trăiesc într-o emoţie negativă profundă, extrem de hotărâtă împotriva matematicii; pe aceştia nu-i convinge nimic).

Practic, această “trecere” neobişnuită de la lecturarea textului propriu-zis al cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii, s-a produs în Capitolul III: INVESTIŢI ATENŢIE. Concret, la pagina 97 apare următorul pasaj: (…) atenţia noastră este o monedă. Este finită, o resursă limitată pe care o putem aloca. Investim atenţie în ceva. Atenţia noastră este o piaţă râvnită şi profitabilă. Iar în prezent, se pare că cea mai de preţ proprietate o reprezintă ochii noştri. În timp ce Netflix declară că somnul este adversarul lor cel mai de temut, agenţiile de marketing sunt în căutarea ultimei fărâmiţe din atenţia noastră încă nerecoltată.

Ca un comentariu personal, precizez că după apariţia acestei cărţi a venit peste noi pandemia, care prin izolarea forţată a oficializat folosirea generală a smartphone-urilor, a tabletelor şi a calculatoarelor, acestea la rândul lor “cucerind” şi ultimele resturi de atenţie a elevilor. Pe baza nivelului de atenţie efectiv disponibil în rândul majorităţii elevilor, putem pune întrebarea: în ce măsură mai poate fi predată eficient matematica, o disciplină complexă, a cărei înţelegere şi asimilare presupun un efort susţinut şi multă atenţie? Pe baza cărei “urme de atenţie rămasă disponibilă” în sufletul elevilor să mai predăm noi matematică? Chiar şi în absenţa utilizării telefoanelor în timpul orelor, se constată că atenţia, memoria şi procesele de gândire ale multor elevi rămân influenţate de stimulii digitali şi de conţinutul accesibil online, ceeea ce afectează capacitatea lor de implicare autentică în procesul de învăţare. Mai direct spus, chiar şi în absenţa telefoanelor, mintea multora le stă tot la atracţiile de pe net accesibile prin intermediul acestor aparate omniprezente.

Îmi permit aici un exemplu prin analogie: la începutul anilor ’80 muzica înregistrată a cucerit şi ultimele fărâme din timpul oamenilor petrecut pe stradă, în parcuri, la jogging, în mijloacele de transport în comun etc., adică pe scurt în afara încăperilor (unde oricum existau deja aparate de redare a muzicii: radiouri, casetofoane, magnetofoane sau pickupuri). Această cucerire a timpului personal de către muzica comercială s-a întâmplat odată cu extinderea folosirii casetofoanelor portabile de mici dimensiuni, care redau muzica doar în căşti (primul astfel de aparat, Walkmen de la Sony a apărut în 1980). Asta s-a întâmplat cel puţin ca posibilitate la tineri, mai ales în SUA, Japonia sau în vestul Europei. Dar odată cu extinderea audiţiei muzicii doar în căşti, la mare parte din populaţie nivelul auzului a scăzut vertiginos (într-un studiu din jurul anului 2000 citisem despre o scădere cu 40%). Putem observa acest nivel al auzului mult mai scăzut decât al “oamenilor obişnuiţi”, atunci când participăm la diferite petreceri (nunţi, botezuri şi alte banchete) unde pur şi simplu suntem terorizaţi de DJ-ul angajat, care ne chinuie cu un nivel insuportabil de ridicat al muzicii. Asta se întâmplă pentru că el are un nivel mult scăzut al auzului şi percepţia sa consideră că aşa este tocmai bine. Sub agresiunea acelui nivel de sonorizare, de pildă, nu poţi purta un simplu dialog cu vecinii de masă (la persoanele răguşite vara, la întrebarea dacă a băut apă rece de la frigider, deseori primesc răspunsul: Nu, am fost la o nuntă şi am “vorbit” cu vecinii de masă!). Ţin minte un moment de la un banchet recent de absolvire, când toţi profesorii studiau telefonul, pentru că ne era absolut imposibil să vorbim între noi. Singurii care nu erau “pe telefon” erau colegii care ieşiseră afară pe terasă “la fumat” (deşi nu fumau!).

În articolul unde am găsit informaţiile respective se vorbea inclusiv despre dispariţia cântatului cu toată clasa în excursiile şcolare, de pildă în autocar. Cu cât apăreau mai multe aparate de ascultat muzică în căşti, cu atât scădea disponibilitatea şi motivaţia pentru cântat. Pur şi simplu Michael Jackson şi Madonna erau mai cool. Pentru noi, ultima cântare într-un autobuz plin de elev a fost în toamna lui 1989, în judeţul Constanţa unde ne-am început cariera de profesori. După 1990 au început şi la noi să apară acele casetofoane de buzunar. Baterii să ai cât era nevoie.

Prin analogie, în acelaşi fel trăim actualmente “cucerirea”, din punct de vedere vizual, a ultimelor fărâme din timpul oamenilor petrecut în afara clădirilor (adică departe de ecranele fixe). În mijloacele de transport în comun, dar şi când aşteaptă un autobuz în staţie, majoritatea oamenilor stau acum “pe telefon”. Doar cei în vârstă fac de obicei excepţie, aceştia fiind obişnuiţi să stea şi să nu facă nimic, eventual doar să observe ce se întâmplă în jurul lor. Tehnic, telefoanele cu ecran şi muzică, adevărate “televizoare sau calculatoare la purtător”, oferind muzică şi filmuleţe oricât de multe, dar şi texte (chiar şi probleme de matematică), aceste aparate cu acces nelimitat la internet ne “consumă” şi ultimele fărâme de atenţie. Aplicând aici o simplă analogie, am putea spune că, aşa cum apariţia muzicii în căşti în anii ’80-’90 a dus la scăderea aproape la jumătate a nivelului de auz, tot aşa extinderea agresivă a smartphone-urilor din ultimii ani duce la o scădere cel puţin la jumătate a nivelului de atenţie disponibilă din partea majorităţii oamenilor. Iar apoi, în aceste condiţii noi să mai avem pretenţia ca elevii să fie atenţi la orele de matematică! Serios?

Revenind la textul studiat al lui Meik Wiking, găsim la pagina 100: Deci ce se întâmplă cu memoria când suntem atacaţi cu toate aceste arme de distragere a atenţiei în masă (…)? Iar la sfârşitul paginii 101, după ce a abordat puţin tema sarcinilor multiple şi a multitaskerilor, autorul concluzionează: (…) probabilitatea să ţinem minte – sau măcar să fim atenţi – este mai mică în era armelor de distragere a atenţiei în masă.

Foarte multe ar mai fi de citat din acele pagini, chiar pagini întregi. Mă voi rezuma însă doar la cele mai edificatoare dintre acestea, împreună cu comentariile mele scrise în vâltoarea lecturii. Astfel, chiar lângă titlul capitolului eu am notat următoarea frază: În clasele mici elevul trebuie obişnuit să investească atenţie, apoi să se bucure de rezultatele investiţiei făcute. Comentez eu acum, când redactez acest articol: când apoi să se bucure de obişnuinţa şi de capacitatea de a investi atenţie? Păi în gimnaziu şi în liceu, odată cu instalarea pubertăţii, când se porneşte la totala sa intensitate atacul smartphone-ului ca principală armă de distragere a atenţiei în masă, chiar de distrugere a atenţiei în masă.

În continuarea lecturii, tot mai des mintea îmi “deraia” din nou şi din nou, alunecând de la lectura propriu-zisă a cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii. Această trecere s-a stabilizat şi s-a decis definitiv la pagina 115, unde găsim următoarele: Acordaţi atenţie! “Adevărata artă a memoriei”, scria Samuel Johnson, scriitorul britanic care a compilat Dicţionarul limbii engleze în secolul al XVIII-lea, “este arta atenţiei”. În josul paginii este reluată ideea: Adevărata artă a memoriei este arta atenţiei! La precizarea de la începutul paginii – Acordaţi atenţie! – eu am şi notat alături: Pay Attention! Precizez aici că expresia engleză “pay attention”, pentru “acordaţi atenţie, daţi atenţie”, tradusă mot-à-mot ca “plăteşte atenţie!“, exprimă fabulos însuşirea atenţiei ca act ce implică un cost real: ea nu este pasivă, ci presupune o alocare deliberată dintr-o resursă limitată. A înţelege ceea ce se desfăşoară înaintea noastră înseamnă, astfel, a consimţii să oferim din propria noastră atenţie, recunoscută implicit ca fiind valoroasă şi finită. Citeam eu desigur toate astea cu referire la atenţia pe care elevii trebuie să o dea în ora de matematică pentru a înţelege ce se predă.

Pagina analizată aici este ultima din acel capitol. Prima pagină din CAPITOLUL IV: CREAŢI MOMENTE CU SENS, (pag. 118) chiar din primele rânduri, ne precizează astfel: Ne amintim când suntem atenţi – şi suntem atenţi când suntem prezenţi, implicaţi, dedicaţi, când ceea ce vedem şi procesăm are sens pentru noi. Aşa cum am văzut în capitolul anterior, a fi doar expuşi la ceva nu înseamnă că ne vom şi aminti de acel lucru. Dacă nu este important – dacă este irelevant pentru noi –, probabil că nu îl vom observa, procesa, codifica, păstra. Reiau accentuat: dacă un lucru nu este important pentru noi, dacă este irelevant pentru noi, atunci de fapt nu îl vom păstra în memorie. Dar şi invers putem privi lucrurile: dacă ceea ce ne este prezentat la o oră nu are sens pentru noi, poate pentru că ne este prezentat ceva prea abstract de pildă, atunci sigur nu îl vom păstra în memorie. Iată şi schiţa pe care am făcut-o imediat după citirea acestor două pagini:

Mai exact: datoria mea ca profesor este să aduc în ora de matematică lucruri interesante şi fascinante, dar accesibile elevilor, pe când elevii trebuie să aducă ATENŢIE; doar atât, ATENŢIE! Într-o discuţie la o clasă de a 7-a din acea primăvară, au mai apărut şi alte aspecte în sarcina elevilor, însă acestea se refereau la munca de acasă (de pildă tema). Dar în ora de matematică elevii trebuie să aducă doar atenţia lor.

Iată şi un detaliu interesant al acelei lecturi din 2024: după ce am ajuns cu cititul la finalul cărţii, am luat-o de la capăt în acest stil, aşa încât am “contabilizat” toate pasajele ce ar avea o legătură cu predarea matematicii. În continuare încerc să vă prezint o scurtă selecţie a altor diverse pasaje, dintre cele mai edificatoare, din această ciudată lectură.

Începem la pag. 10: În cadrul unui studiu despre amintiri fericite, ca cea mai puternică sursă a amintirilor, cel mai important ingredient s-a dovedit a fi Atenţia, cu 100%, urmată de Multisenzorial cu 62% şi Emoţii cu 56% (destul de departe de 100%). În afara podiumului, dar cu procentaje demne de băgat în seamă, s-au mai clasat categoriile Semnificativ cu 37% şi Povestiri cu 36%. Într-o recapitulare de la pag. 14 autorul precizează: Acordă atenţie. Tratează-ţi momentele fericite ca pe o persoană iubită. Acordă-le atenţie! În acelaşi mod am putea spune: Ca profesor, generează momente deosebite în predare, conştient că acestea au o adevărată însemnătate pentru formarea elevilor. Nu te grăbi, ci frânează din goana nebună prin materie şi probleme; încetineşte ritmul, trăiţi împreună experienţa minunată a învăţării şi savuraţi momentul.

La pag. 21 citim: memoria episodică este foarte complexă şi se dezvoltă mai târziu în copilărie decât memoria semantică. Afli lucruri despre lume înainte să îţi poţi aminti propriile experienţe pe termen lung. Aici eu am desenat alături o steluţă în cinci colţuri şi am scris alături MATE, iar deasupra: când demonstrăm; explicaţii demonstrative, cu referire desigur la întrebarea despre când ar trebui să începem demonstraţiile, în contextul faptului că acestea au fost extrem de abuzate în clasele gimnaziale pentru un sfert de secol începând din 1981, iar apoi, actualmente au căzut într-o neglijare totală (un subiect ce ar merita tratat într-un articol separat).

La pag. 22 găsim indicii despre metoda “loci” (care utilizează vizualizarea şi memoria spaţială) pentru a-i ajuta să invoce amintiri fericite mai uşor. Precizez aici că acest termen “loci” este folosit în vest şi pentru ceea ce noi numic “locuri geometrice”. Cu alte cuvinte, pentru noi este important să înţelegem că anumite fenomene se pot înţelege şi ţine minte mai bine dacă sunt prezentate în conexiune cu o imagine, cu “un loc vizual”, dar şi într-un fel de mişcare vizuală a tuturor situaţiilor similare.

La pag. 27 autorul explică despre memorarea situaţiei printr-o imagine mentală a situaţiei în care se află personajele. Este mult mai eficient dacă personajele fac ceva (…). Aici eu am pus trei semne de exclamaţie şi am scris: Mate! Personajele (numerele) fac ceva, cu referire la felul în care predau eu cunoştinţele despre numere naturale din începutul clasei a 5-a, sub titlul “Magia numerelor naturale” (Suma Gauss, comutativitatea, puterea, numerele prime, divizorii etc.).

La pag. 55 găsim o enumerare ciudată: Balenă, cal, pisică, vultur, vacă, curcan, prăjitură cu brânză, elefant, după care următoarea precizare: Noi ţinem minte lucrurile extraordinare, lucrurile care ies în evidenţă. Fenomenul este cunoscut drept izolare sau efectul von Restorff (…). Din nou eu am scris alături MATE şi abuzarea sa în România! (deci abuzarea acestui fenomen în matematica şcolară românească). Las onorat cititorul să traducă acest gând. Eu aş da aici doar un exemplu conştientizat anul acesta, anume faptul că imediat după prezentarea piramidelor patrulatere regulate în clasa a 8-a noi ne aruncăm direct la cea mai specială, anume la piramida cu toate muchiile egale, care are o seamă de proprietăţi speciale. Astfel, prin ianuarie am conştientizat cu stupefacţie că mulţi dintre elevi înţeleg că este vorba despre acest corp atunci când se dă o piramidă patrulateră regulată.

La pag. 68: Ne amintim lucruri prin asociere (…). Fără alte comentarii! E bine să folosim orice oportunitate să prezentăm cunoştinţele matematice prin asociere. Aşa se ţin minte mai bine. Această afirmaţie este repetată la pag. 106: Noi ne amintim lucruri prin asocieri.

La pag. 87: (…) memoria noastră fotografică este superioară memoriei verbale. Completez eu: mai ales la actualele generaţii postpandemice, prezentarea informaţiilor prin imagini (figuri geometrice) este mult mai eficientă decât tradiţionalele definiţii sau teoreme cu texte pompoase. Oricum, la fenomenele geometrice prezentarea unor informaţii scrise fără figura asociată ar trebui interzisă prin lege şi sancţionată ca atare (dacă am trăi într-o societate responsabilă). Apoi, mai jos găsim: Cu cât imaginile sunt mai bizare (…) cu atât sunt mai memorabile. Iar alături eu am scris Mate! Ciocul de cioară! Într-adevăr, aflu de la elevi cum şi peste un an, în cadrul pregătirii din a 8-a, aceştia recunosc vizual teorema, o caută în caietul de a 7-a şi îi revăd cu bucurie chiar şi demonstraţia, apreciind-o ca frumoasă.

La pag. 109: Dacă vedeţi ceva fără să îi acordaţi atenţie, şansele să vă amintiţi acel lucru sunt mai mici. Din nou am notat alături Mate! Acest rând este urmat de o imagine conţinând scrise cu majuscule cuvintele: DETOXIFIERE DIGITALĂ. Aş scrie doar: q.e.d.

La pag. 121 jos găsim precizat: Persoanele pe care le iubim par a fi acelea de care ne amintim cel mai bine şi căutăm să păstrăm amintiri fericite cu ele. Şi aici am scris alături Mate! cu precizarea: relaţia pozitivă cu elevii generând o stare pozitivă la ora de mate. A se citi această afirmaţie în contextul în care mulţi colegi întreţin natural o stare de învăţare a matematicii pe bază de frică, dar şi mulţi părinţi îi ameninţă pe elevi cu matematica, aceasta fiind prezentată ca un fel de “bau-bau” în viaţa elevilor. Fără să mai discutăm de elevii care urăsc matematică pentru că nu-i lasă să-şi vadă fericiţi de preocupările lor online şi îi chinuie.

La pag. 128: Când citeşti amintirile oamenilor, le simţi mândria. (…) auzi ecoul triumfurilor lor. Această afirmaţie apare în legătură cu un studiu despre amintiri, iar eu am notat din nou MATE, cu referire desigur la momentele de realizări deosebite din activitatea matematică a elevilor, ce rămân fixate în memoria lor pentru totdeauna, indiferent dacă vorbim despre un elev sclipitor sau dacă este vorba despre un elev de nivel mediu, dar care a reuşit să facă în sfârşit singurul din clasă o anumită problemă.

La pag. 130, sub semnul întrebării Ce înseamnă sensul vieţii?, găsim în final următoarea precizare: Pentru mine, o viaţă bună (…) este o viaţă plină de scopuri şi bucurii. Este atunci când viaţa îţi oferă o satisfacţie a prezentului, speranţe (pentru viitor) şi o împăcare cu trecutul. Fericirea nu este o mâncare cu un singur ingredient. Oare de ce am notat aici din nou MATE lângă sublinierile respective? Gândiţi-vă doar câtă bucurie oferă de obicei orele de matematică şi activitatea temelor elevilor actuali din ţara noastră (întrebare retorică, cu ghilimelele de rigoare). Câtă satisfacţie a prezentului, speranţe pentru viitor sau împăcare cu trecutul le oferim noi elevilor? Profesorul de matematică care îşi asumă în mod conştient răspunderea de a-şi reconfigura întreaga predare, astfel încât să nu urmărească doar rezultatele exterioare şi măsurabile, ci şi cele sufleteşti, acesta depăşeşte simpla condiţie de dascăl. Profesorul care îşi propune să cultive în elevi capacitatea de gândire adevărată, de judecată riguroasă, concomitent cu conştientizarea propriilor procese de gândire, dar şi a celor sufleteşti, acesta ar fi UN ADEVĂRAT PROFESOR DE MATEMATICĂ!

La pag. 132: Memoria este capacitatea noastră de a codifica, de a stoca şi de a recupera informaţii. Iar mai jos găsim: Toate aceste senzaţii sunt combinate de creier într-o singură experienţă şi analizate înainte ca acesta să decidă dacă informaţia trebuie transformată în memorie pe termen lung. (…) când suntem atenţi, cresc şansele să ţinem minte o anumită experienţă. (…) emoţia face experienţa mai intensă şi tinde să sporească gradul de atenţie acordată unei experienţe. O potenţială amintire începe în memoria pe termen scurt, (…) cunoscută şi drept memoria de lucru (…). În conexiune cu cele enumerate mai sus, este evident de ce am scris şi alături de acest pasaj cuvântul MATE!, desenând alături şi două steluţe frumoase.

La pag. 135 mai găsim o precizare importantă, lângă care am scris din nou MATE, desenând şi aici o stea frumoasă: Amintirile noastre sunt, în esenţă, sinapse între neuronii din creier. Pentru a păstra aceste sinapse intacte, ele trebuie exersate sau activate cu regularitate. Fără comentarii.

În Capitolul V: CONDIMENTAŢI TOTUL CU MULTĂ EMOŢIE, imediat la pag. 141 aflăm că (…) emoţiile acţionează precum un marker (…). Reacţiile emoţionale precum frica sau ruşinea sunt procesate în amigdala cerebrală (acea parte a creierului unde are loc şi reacţia luptă-sau-fugi), noi având astfel ocazia să învăţăm aspecte ale situaţiei care sunt relevante pentru emoţiile resimţite.(…) O reacţie emoţională va face experienţele şi momentele mai memorabile, aşa că arta colecţionării amintirilor înseamnă să pui la treabă markerul emoţional. Probabil că pentru mulţi colegi va fi mai greu de înţeles care este legătura acestor afirmaţii cu predarea materiei noastre şi de ce am scris şi aici Mate. Dar chiar despre asta este vorba: matematica este, prin definiţie, o disciplină pe bază de raţiune seacă, fiind prin esenţa ei o materie “rece”. Totuşi, “condimentarea predării”, introducerea unor elemente care stimulează emoţii pozitive în sufletele elevilor, poate creşte semnificativ interesul şi implicarea reală a acestora. O astfel de abordare este deosebit de eficientă pentru cei care, de obicei, manifestă reticienţă faţă de materia noastră, transformând experienţa de învăţare într-una mai pozitivă.

Astfel, la pag. 142 aflăm că: Zilele când suntem încărcaţi de emoţie (pozitivă) sunt, probabil, cele mai fericite din viaţa noastră (…). Apoi, la pag. 143 regăsim descrierea completă: Unele zile sunt fericite, altele, dimpotrivă triste – dar numitorul comun este că zilele pline de emoţie sunt cele pe care nu le uităm niciodată, indiferent la ce capăt al spectrului se află.

Multe aspecte uluitoare au apărut în această carte, aspecte ce mi-au accesat diverse amintiri din timpul predării. De pildă, povestind în urmă cu ani cu un fost elev (la vremea respectivă deja profesor de fizică), despre o întâmplare de când era în clasa a 6-a, acesta mi-a spus că nu mai ţine minte astfel de detalii, că nu mai ţine minte nimic concret din ore, dar ţine minte că era constant fascinat la matematică. În acest sens, iată ce am găsit la pag. 153: oamenii vor uita ce ai spus, oamenii vor uita ce ai făcut, dar oamenii nu vor uita niciodată cum i-ai făcut să se simtă. Vă daţi seama că alături am scris din nou Mate, cât şi numele acelui fost elev.

La pag. 158 Meik Wiking ajunge în sfârşit pe faţă la subiectul ce ne interesează pe noi: CUM CONDIMENTĂM EMOŢIONAL EVENIMENTELE LA ŞCOALĂ, cu precizarea Puterea aspectului emoţional când vine vorba de memorie este în prezent valorificată de şcoli care folosesc memoria episodică pentru a stimula memoria semantică a elevilor. Desigur că eu am văzut din nou o legătură cu materia noastră, notând alături Mate.

Apoi, la pag. 169 autorul ajunge şi la subiectul feedbackului: (…) Studiul sugerează că evaluările pot fi mai plăcute pentru elevi dacă se încheie cu cea mai bună parte a evaluării şi că ordinea feedbackului poate avea un impact asupra motivării, studiului şi relaţiilor dintre elevi. Din nou am pus precizarea Mate, la fel şi la pagina imediat următoare, de unde găsim din titlu următorul pont: ÎNCHEIAŢI APOTEOTIC, Păstraţi ce e mai bun pentru final. Pe mine m-au ajutat aceste pasaje să înţeleg şi mai bine starea de emotivitate profundă a celor din faţa mea, cât şi faptul cât de important este să mă adaptez acesteia în viaţa de zi cu zi.

Facem un salt la pag. 180, unde aflăm că: (…) influenţa aversiunii faţă de înfrângere – ideea că urâm să pierdem mai mult decât ne place să câştigăm. (…) dacă ne aşteptăm să pierdem şi apoi câştigăm, victoria va fi chiar şi mai dulce. Aici (pag. 181) găsim şi o precizare care aparent nu are de-a face cu predarea matematicii defel: (…) fanii fotbalului sunt iraţionali. Şi totuşi, la câţi băieţi fani de fotbal avem prin clase … Dar să fim clar înţeleşi: nu toţi băieţii fotbalişti sunt şi iraţionali; mă gândesc acum la câţiva foşti elevi din ultimiii ani, buni fotbalişti şi totuşi buni sau foarte buni matematicieni, care au reprezentat pentru mine unele din cele mai bune exemple de oameni raţionali şi cerebrali.

La pag. 187 începe Capitolul VII cu un titlu fabulos: ZĂDĂRNICIŢI UITAREA CU AJUTORUL POVEŞTILOR. Absolut fără comentarii din punctul meu de vedere legat de predarea matematicii. Eu folosesc acest sfat tare mult, “pigmentându-mi” orele cu diferite poveşti, în strădania de a ajuta la fixarea noilor cunoştinţe. Iar la pag. 189 găsim că: starea noastră de bine este influenţată de abilitatea de a crea o naraţiune pozitivă, din viaţa noastră. Aşadar, poveştile pozitive în cadrul orei de matematică nu doar pot preîntâmpina uitarea, ci pot contribui şi la starea de bine a elevilor în timpul activităţii matematice. Spre sfârşitul acestei pagini găsim un citat din Muriel Rukeyser, poet şi activist american, din The Speed of Darkness: “Universul este alcătuit din poveşti. Nu din atomi.” Parafrazând această afirmaţie, am putea spune că matematica este alcătuită şi din poveşti, nu numai din numere.

La pag. 195 autorul revine: Ceea ce fac marii povestitori este să aducă la viaţă poveştile. Poveştile bine spuse devin experienţe (…). În mod similar, profesorul de matematică ar trebui să aducă la viaţă cunoştinţele predate în ora sa. O lecţie bine povestită devine o experienţă memorabilă pentru elevi. E evident că şi alăturat acestor sublinieri am scris din nou Mate!

La pag. 200 primim următorul sfat: Luaţi-o înaintea curbei uitării!, unde aflăm că putem modifica panta uitării dacă repetăm informaţia învăţată la anumite intervale. (…) o variantă ar fi să vorbiţi despre ele atunci când au avut loc, dar şi a doua zi, apoi după o săptămână, o lună, trei luni, un an. Fără comentarii suplimentare! Doar o mică dilemă: oare de ce am notat eu alături T. Pitagora? Bănuiesc că datorită faptului că este masiv neglijată de cei preocupaţi numai de excelenţă, revenindu-se tot mai rar cu aplicaţii ale acesteia.

Ultima referire legată de Mate apare în cartea mea la pag 261, unde, sub titlul Fiţi atenţi la fericire, am zice noi acum: fiţi atenţi la bucuria adusă de matematică, cât o fi ea de puţină! Aici este reluată vechea idee: (…) memoria cere atenţie. Ne amintim lucrurile la care suntem atenţi. Da, vom ţine minte elementele din ora de matematică la care am fost atenţi! Însă pentru mine această afirmaţie poartă şi o încărcătură dureroasă: foarte mulţi dintre elevi de fapt nu sunt atenţi, deşi ei stau cuminţi în bancă şi chiar scriu totul de pe tablă. În realitate mulţi nu sunt atenţi. Nu sunt atenţi pentru că nu pot, nu sunt în stare, pentru că nu au chef, nu sunt atenţi pentru că sunt doar preocupaţi să copieze de pe tablă, rămânând în urmă, sau pentru că nu-i lasă prietenul/ prietena, deranjându-i constant ş.a.m.d. Dar nici în parte opusă lucrurile nu stau mai bine: foarte mulţi profesori predau matematica astfel încât elevii nu au posibilitatea de a fi atenţi, chiar dacă-şi doresc. Se predă prea repede, prea abstract, prea dificil etc. Acesta este crudul adevăr.

Pentru mine însă, cât şi pentru unii elevi tehnicile găsite în această carte funcţionează de minune. Până acolo că uneori, tot mai des, mie îmi reuşesc ore “de paradă”, pe când, chiar şi unor elevi “nematematicieni” momentele respective le rămân definitiv în suflet. Astfel, odată deprinse, aceste tehnici pot “însufleţi” orele de matematică într-un mod incredibil, efectiv ridicând predarea la nivel de artă. C. Titus Grigorovici

Am descoperit în ultimele postări această teorie absolut uimitoare a Principiului lui Pareto, cunoscut şi ca Regula 80/20, care ne spune că 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Astfel, în orice domeniu oamenii ar trebui să identifice “acei 20%” care contează cu adevărat şi să se concentreze cu prioritate asupra acestora, având siguranţa că astfel obţin 80% din rezultatele urmărite. De multe ori asta este suficient (raportul de eficienţă dintre rezultatele obţinute faţă de efortul alocat fiind până aici excelent, dar scăzând ulterior vertiginos). Doar apoi, în măsura în care mai există posibilităţi, timp şi interes, merită să se extindă preocupările.

Într-o primă parte am privit acest principiu din punct de vedere al populaţiei şcolare, acest studiu putând fi făcut atât la nivelul unei clase obişnuite, cât şi la nivelul unei localităţi sau al unui judeţ, dar şi la nivelul întregii populaţii şcolare, deci la nivel naţional. În a doua parte ne-am uitat la felul în care ar trebui să ţinem cont de acest principiu din punct de vedere al materiei studiate, dar şi din punct de vedere al aplicaţiilor alese, al exerciţiilor şi problemelor oferite spre muncă şi studiu elevilor noştri.

În timp ce lucram la a doua parte am conştientizat că de fapt putem să privim din punct de vedere al principiului lui Pareto şi asupra nivelului de accesibilitate, de dificultate, de abstractizare etc. al felului în care abordăm materia şi aplicaţiile. Astfel chiar şi una şi aceeaşi lecţie poate fi prezentată elevilor în mod accesibil sau dimpotrivă abstract. La fel şi o anumită problemă poate fi explicată mai accesibil sau mai abstract. Chiar şi în structura problemelor, alegerea situaţiilor numerice concrete poate oferi un nivel de accesibilitate mai larg sau dimpotrivă mai restrâns pentru marea parte a elevilor. Iar din acest punct de vedere, foarte mulţi profesori au o abordare extrem de indiferentă, chiar sfidătoare faţă de majoritatea elevilor, totul sub pretexte de felul că “şi acestea sunt numere (iar elevii trebuie să le cunoască)” sau că “matematica dintotdeauna a fost grea! (degeaba vă plângeţi)”.

Din acest punct de vedere autorităţile matematicii şcolare româneşti abordează o indiferenţă crasă faţă de marea masă a populaţiei şcolare (cei 80%), lăsând aceste aspecte cu totul la cheremul autorilor de manuale sau diverse auxiliare, respectiv la cheremul fiecărui profesor sau al autorităţilor locale.

În acest sens, ţin minte cum în urmă cu mai bine de un sfert de secol, la o şcoală obişnuită (deci nu “de centru”), o colegă mai experimentată ajunsese de fapt să parcurgă materia din gimnaziu tot timpul cu jumătate de an înainte, pentru ca elevii să se obişnuiască cu aceasta, să apuce să lucreze suficient, făcând aceasta ca singură soluţie găsită cu elevii obişnuiţi din clasele sale, pentru că directorul şcolii respective îi cerea să aducă şi ea “ceva rezultate la olimpiadă” pentru şcoală. Iar asta se întâmpla în situaţia în care materia din România era oricum trasă mult prea în jos ca vârste, exagerat de devreme faţă de posibilităţile şi nevoile reale ale marii mase a populaţiei şcolare.

Mult mai recent, cândva înainte de pandemie ţin minte că am oprit colaborarea cu o editură renumită din următorul motiv: alesesem manualele lor, acestea plăcându-mi din punct de vedere al abordării lecţiilor. Totuşi, ulterior am văzut că aplicaţiile iniţiale erau foarte puţine, trecându-se direct la cele grele şi foarte grele. Astfel, ţin minte că mi-au trimis drept mostră un exemplar din auxiliarul însoţitor, iar acesta avea suficiente exerciţii accesibile elevilor de rând. Concret, era vorba despre sistemele de ecuaţii: în manual era un singur exemplu simplu, după care se trecea la tot felul de complicaţiuni cu fracţii, cu coeficienţi iraţionali sau cu alte şmecherii. Culegerea însă avea pagini întregi de sisteme simple la ambele metode, astfel încât orice elev să poată exersa această lecţie obligatorie (cu condiţia să cumpere culegerea). Trageţi dvs. concluziile. Eu oricum am oprit orice colaborare cu editura respectivă şi mi-am îndreptat atenţia spre redactarea unei fişe de lucru accesibile majorităţii elevilor.

Toate clasele de gimnaziu “cu pretenţii” sunt vulnerabile la această “apucătură” specifică şcolii româneşti, obsedată “până în măduva oaselor” pentru ridicarea nivelului spre excelenţă. Acesta este de fapt mecanismul prin care se obţin rezultate: la clasă se instituie din start un nivel extrem de ridicat al aplicaţiilor, inaccesibil majorităţii, exprimate într-un nivel cât de abstract posibil pe care elevii nu-l pot înţelege cu adevărat (apărând învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări), nici nu-l pot duce pe durată, familiile fiind nevoite să apeleze de prea devreme la ore particulare de sprijinire a acestui nivel mult prea dificil şi abstract.

Ca o paranteză, putem observa aici că nu există la noi o “poliţie a învăţământului matematic”, dotată cu “un radar” de depistare a celor care “apasă prea tare pe acceleraţie”, a celor care “îi dau blană” constant, ca mod de a conduce “autocarul cu elevi” pe drumurile matematicii. Iar drama cea mai mare a acestei ţări este că în Uniunea Europeană nu apare această apucătură, deci nu există nici “ac de cojocul acestor indivizi”. Ca urmare, nici nu există şanse să ne fie impusă o remediere a situaţiei pe baza mecanismelor de supraveghere UE.

O astfel de “poliţie” a învăţământului matematic ar trebui să acţioneze adaptat la vârstă şi la situaţie pe toate cele patru paliere de şcolire, adică primar, gimnazial, liceal, respectiv chiar şi universitar (în sensul şcolirii viitorilor profesori), în lipsa evidentă a unui autocontrol al activităţii (personal şi instituţional), autocontrol de bun simţ care ar trebui să se activeze de la respectul reciproc şi abordarea empatică. Dar să revenim la subiectul nostru.

Aş da aici un exemplu tipic pe care îl pot observa atunci când am ocazia să arunc câte o privire în caiete ale elevilor de la alţi profesori, şi voi face acest lucru ţinând cont de faptul că am oferit de curând ca exemplu felul în care parcurg eu aplicaţiile din respectiva lecţie. Concret, este vorba despre aplicaţiile la Teorema lui Pitagora în sensul calculelor premergătoare pentru determinarea de arii şi perimetre în toamna clasei a 7-a.

Astfel, în toate situaţiile ce le-am putut observa, la marea majoritate a profesorilor, aplicaţiile încep de obicei cu 3-4-5; la cei mai cu pretenţii de calcul eventual cu 6-8-10; în cazurile celor mai atenţi la detalii chiar cu tripletul 5-12-13 (alte exemple nu prea se cunosc). După care, la majoritatea covârşitoare a colegilor profesori, apare imediat şi un exemplu cu rezultate iraţionale. “Noblesse oblige!” Trebuie să ne respectăm, nu-i aşa?

Nici vorbă de o preocupare pentru elevul de rând să apuce să “prindă mişcarea” pe mai multe exemple cu triplete pitagoreice, în zona sa de siguranţă numerică maximă (deci, inclusiv să ajungă să trăiască şi satisfacţia că poate şi el să rezolve o problemă cu mai mulţi paşi de lucru, din punctul lui de vedere de fapt o problemă “mai complexă”). Apoi, se trece cât mai repede la situaţii de calcul tot mai grele, cât mai grele posibil, adică cu numere iraţionale, chiar uneori şi cu numere necunoscute, fiecare în funcţie de “pretenţiile personale” sau de “ambiţiile şcolii”.

Pe lângă frustrarea generală, chiar obişnuirea marii mase a populaţiei şcolare cu ideea că ei de fapt “nu pot”, având din start nevoie de ajutor, elevii sunt astfel dresaţi spre o pasivitate profundă, în care ei vin la orele de matematică nu să gândească, ci doar să copieze de pe tablă fără nici cea mai mică implicare raţională. Generarea AFM în acest mod este evidentă.

Dar, cum fac eu? Păi, aţi putut vedea în partea finală a postării despre determinarea de arii şi perimetre, faptul că eu stau chiar câteva ore la rând în situaţii de “numere întregi” la calculele cu Teorema lui Pitagora (în paralel cu cunoaşterea diferitelor metode de calcul a rădăcinii pătrate doar din numere pătrate la început, sau eventual şi din numere nepătrate, cu calcul aproximativ pe baza algoritmului de extragere). De-abia după stabilizarea acestor calcule exemplificate suficient de mult în zona numerelor naturale, de-abia apoi trec la situaţii cu rezultate iraţionale. Aici mai petrec o vreme bună, şi doar ulterior, după stabilizarea în paralel a calculului cu numere iraţionale, doar apoi apar şi exemple cu calcule implicând din datele problemei şi mărimi iraţionale.

Ca o paranteză, s-ar putea crede că în acest fel obţin învăţarea sigură a acestor lecţii de bază de către majoritatea elevilor (cei 80%). Nici vorbă! Speranţe deşarte! Pentru că la foarte mulţi elevi acţionează diverşi alţi factori perturbatori, de la avarierea atenţiei prin folosirea excesivă a ecranului (superficialitate în gândire, timpi prea scurţi de capacitate a concentrării etc.), până la indiferenţă şi chiar lene în cel mai profund sens al cuvântului. Iar acolo unde părintele mai şi validează acest comportament (“Nici eu n-am fost bun la matematică” sau “Vai, vai, profesorii ăştia, că peste tot aud de astfel de situaţii!”), atunci, acel copil este ca şi “pierdut”, fiind foarte greu de pus “pe şine” spre o învăţare decentă a matematicii (direct de la clasă).

În acest sens observ tot mai des şi mai “pe faţă” o agresivitate clară din partea familiilor, fiecare cu pretenţia ca profesorul să facă aşa cum gândeşte şi–şi doreşte părintele. Din acest punct de vedere eu mă simt “tras în ambele părţi” de către elevii din clase, cât şi de către părinţii acestora. Pe de-o parte sunt cei cu pretenţii de excelenţă, faţă de care cu greu mă apăr, în condiţiile în care sistemul oficial nu îmi oferă nici cea mai mică protecţie, oricine putând emite în acest sens pretenţii şi acuzându-mă că nu fac suficient de mult, că “nu-mi parcurg materia” dacă nu ofer la clasă toate diversele elemente specifice preocupărilor din zona de excelenţă. Pe de cealaltă parte sunt cei mulţi care înţeleg şi îşi însuşesc materia mai greu, unii deşi se străduiesc, alţii din pură indiferenţă, chiar lene, prezentându-se însă “în gura mare” ca “victime ale sistemului”. Până acum am făcut faţă în mod onorabil, justificând la nevoie şi unora şi celorlalţi despre linia mea de predare centrată pe cei 60% din zona mediană. În ultima vreme însă, se simte tot mai clar scăderea disponibilităţii spre dialog la nivelul întregii populaţii, manifestată printr-o atitudine tot mai agresiv egocentristă, atât unii cât şi ceilalţi dintre părinţi arătându-se tot mai agresivi (pe ascuns sau chiar pe faţă).

Dar, să revenim la subiectul nostru principal, anume la nivelul de accesibilitate, respectiv de dificultate al predării. Profesorul poate acţiona greşit dând atenţie şi preocupare doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf” (peste nota 8-9 de la examen). Dar, cel mai rău este atunci când de fapt această atitudine se reflectă şi în teme, dar mai ales în evaluare. Dacă e să privim doar asupra nivelului de complexitate al aplicaţiilor şi al sarcinilor date la teste, se vede cum la unii profesori lipsesc, uneori chiar total, exerciţii şi probleme din partea de 20% cele mai accesibile, acelea pe care Principiul lui Pareto le-ar susţine ca suficiente pentru însuşirea elementară a materiei respective.

Mă raportam aici la nota 8-9 de la examen, deşi sistemul elitist de excelenţă “trage masiv” spre nivele mult mai ridicate (respectând scara dificultăţii, să-i spunem peste nota 14, chiar către nota 20). Disputa despre admiterea suplimentară la Colegiile Naţionale despre asta a fost: concentrarea preocupaţională excesivă spre o dificultate şi complexitate tot mai mare, ceva de felul 99% din energie alocată pentru cei 1% “din vârf” (ca dificultate, dar şi ca populaţie şcolară generală). Iar oficializarea acestor admiteri speciale pentru vara lui 2026 spune totul despre atitudinea reală a autorităţilor matematicii şcolare din ţara noastră. Profesorii din aceste Colegii Naţionale exact aşa şi-au prezentat munca la începuturile clasei a 5-a în urmă cu doi ani: noi vom lucra aici doar pentru nivelul cel mai ridicat posibil, care se va da la admiterea din finalul clasei a 8-a!

Îmi permit aici o nouă paranteză. Spuneam mai sus că profesorii acţionează deseori greşit dând atenţie doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf”, o linie de mijloc fiind mult mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare (mai ales în cazul claselor eterogene, cum sunt cele mai multe din ţară). Frica să nu fim cumva etichetaţi ca profesori “slabi” ne fereşte oricum să cădem în extrema cealaltă, anume să acordăm o prea mare parte a timpului şi a energiei celor 20% dintre elevii de la coadă. Să ştiţi însă că am trăit pe viu şi acest fenomen. Astfel, există persoane care, din păcate, interpretează în acest spectru sistemul Waldorf (sistem în care activez din ’96), înţelegând această alternativă educaţională ca un refugiu pentru cei slabi la învăţătură, fie că aceştia chiar nu pot (din diferite motive obiective), dar de obicei pentru că n-au chef, validându-le astfel acestora din urmă lenea (am folosit aici cuvântul “lene” pentru a descrie un spectru larg de motivaţii de a nu face ce trebuie; nu intru mai mult în detalii).

Dar să revenim la subiectul nostru, care mi-a fost sugerat de către soţia mea într-o scurtă discuţie de dimineaţă, pe drumul către şcoală. Deci, ea auzindu-mă că tot vorbesc de Principiul lui Pareto, a văzut acest aspect, anume a importanţei unei reprezentativităţi sănătos echilibrate a dificultăţii cerinţelor dintr-un test (nici să le dai prea uşor, dar nici “să-i rupi” tot timpul!). Dacă acest lucru se întâmplă, iar elevii încep să muncească singuri (deci nu discut aici de cei dopaţi prin meditaţii), atunci vor apărea şi rezultatele pozitive exprimate prin note bune, validând astfel comportamentul de muncă al elevilor. Încet, dar sigur vor începe să lucreze tot mai mulţi, singuri, fără meditaţii, acesta fiind drumul cel mai sănătos spre învăţarea matematicii (nu neapărat şi cel mai rapid). Această politică funcţionează însă pe clase cu copii selectaţi, orientativ pe acelaşi nivel (cum sunt cele începând din clasa a 9-a). La clasele eterogene, cum sunt cele obişnuite din gimnaziu, situaţia este mult mai complicată.

Cugetând la această observaţie a soţiei mele, de a privi Principiul lui Pareto şi din punct de vedere a organizării evaluării, gândesc că sigur alte minţi luminate şi implicate ar putea vedea şi alte aspecte ale unei aplicabilităţi sănătoase a acestuia în procesul de învăţare a matematicii din şcoli. Eu însă, mă opresc la aceste trei părţi, cu speranţa să fi reuşit a atrage atenţia şi asupra acestui aspect total neglijat de către orientarea matematicii şcolare româneşti.

Ca o ultimă observaţie legată de Principiul lui Pareto, eu am impresia că – în străfundurile sale – acesta este înrudit cu Principiul selecţiei naturale exprimat de Charles Darwin. Dacă privim aşa lucrurile, atunci mai putem face un pas în raţionamentul nostru, spunând că matematica şcolară românească, funcţionând încă pe criteriul stabilit de către Ceauşescu la finalul anilor ’70,   poate fi privită prin analogie cu “o junglă sălbatică” în care supravieţuiesc doar cei “mai tari”. Asta nu este însă o atitudine social sănătoasă, empatică la adresa întregii populaţii şcolare, frusrările şi pagubele emoţional comportamentale generate fiind uşor de observat la tot pasul.

Concluzionând, putem spune următoarele: la ora actuală şi la majoritatea profesorilor, atât din punct de vedere al nivelului lecţiilor de prezentare a materiei, cât şi din punct de vedere al aplicaţiilor, atât cele de făcut, cât şi a celor din cadrul procesului de evaluare, în general se acordă 80% din energia educaţională situaţiilor din zona de dificultate superioară, celor 20% din vârf (asta în cazurile cele mai bune, pentru că uneori procentajele acestea pot ajunge şi la situaţii extreme).

Dimpotrivă, un învăţământ sănătos ar cere exact opusul, anume concentrarea a 80% din energia educaţională a sistemului asupra celor 20% cele mai relevante aspecte, dar care oferă marii mase a populaţiei şcolare o percepţie sănătoasă asupra a 80% din materie, lăsând însă apoi timp, preocupare suplimentară şi energie creatoare pentru cei care doresc mai mult, atât ca profesori, cât şi ca elevi. Nu ştiu cum s-ar putea face această inversare a paradigmei educaţionale, dar vedem toţi ce urmări are forma actuală practicată de cca. 45 de ani în România (de aproape jumătate de secol!). C. Titus Grigorovici

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, despre proiectul Matematica Altfel, ce susţine predarea prin investigaţie, o strategie inductivă de “cucerire” a matematicii de către elevi, printr-un proces de “cercetare”, însoţiţi cu tact de către profesori.

Cândva, în perioada în care citeam prezentarea de pe site-ul CEAE şi redactam selecţia din materialul pentru primul episod din această serie, cam în acele zile am avut la clasă o lecţie ce părea a se potrivi perfect cu tema, aşa încât am decis să o ofer ca un posibil exemplu (deşi, concret, nici nu ştiu cum arată tehnicile prezentate în cursurile CEAE). Aşadar, doresc să vă prezint cum predau eu de 25 de ani lecţia despre ariile figurilor de bază în toamna clasei a 7-a, printr-un proces de însoţire a gândirii elevilor înspre descoperirea respectivelor reguli (organizare gândită spontan la clasa a 7-a de atunci, exact cu 25 de ani în urmă; desigur că lecţia a fost supusă unui proces natural de cizelare în toţi aceşti ani, cu variaţiuni de la o clasă la alta, dar forma a rămas în mare parte, la fel).

Veţi putea vedea cum încerc eu să-i îndrum pe elevi pe un drum de matematică-proces, într-o stare de explorare, înspre descoperirea formulelor specifice. Eu fac aceasta pe baza unor figuri tip, la care adăugăm însă – din mers – diferite construcţii ajutătoare care sugerează şi explică apariţia formulei. Apoi, veţi vedea cum pornim a doua zi de lucru mai întâi cu cristalizarea acestora în matematica-rezultat, prin reluarea formulelor lângă figuri curate (adică lângă figuri tip, fără desenele ajutătoare din ora trecută, din timpul procesului de explorare). Cu alte cuvinte, veţi putea vedea cum elevii iau contact mai întâi cu matematica-proces, reprezentând gândirea şi înţelegerea fenomenelor respective, pe când în ora următoare apare matematica-rezultat, aducând perechile figură + formulă aşa cum trebuie acestea de fapt învăţate pe de rost pentru aplicarea în probleme.

În conexiune cu finalul episodului precedent al acestei serii, trebuie să precizez că este mult mai bine să lăsăm partea de cristalizare pentru ora următoare, chiar dacă aceasta este extrem de simplă. La fel ca şi în cazul unui film bun, dorim a-i lăsa pe elevi în atmosfera repectivă de cercetare, unde concentrarea era asupra diferitelor “mişcări” cu suprafeţe pe bază de triunghiuri congruente (completate de mişcările diferite de la trapez). Preocuparea din această lecţie a reprezentat-o găsirea reţetelor, nu aplicarea lor în probleme. Cu alte cuvinte, preocuparea acestei lecţii a reprezentat-o matematica-proces. Apoi, de-abia în ora următoare, apare matematica-rezultat, al cărei obiectiv principal îl reprezintă aplicarea în probleme (!!!).

Merită să precizăm aici şi un aspect ceva mai filozofic. Matematica-rezultat şi însuşirea acesteia se verifică – prin aplicarea în probleme – la teste, apoi desigur şi la examen. De aia toată lumea se concentrează asupra ei. Dimpotrivă, matematica-proces nu este verificată nicăieri (din câte am auzit era verificată pe vremuri, până prin anii ’70, când la Bacalaureat elevii trebuiau să susţină şi un examen oral). Din acest motiv nimeni nu-i dă atenţie. Doar că numai matematica-proces este formatoare de gândire matematică adevărată şi aducătoare de înţelegere a fenomenului studiat. Matematica-rezultat aduce doar “înţelegerea” paşilor din aplicarea în probleme (care este un alt tip de înţelegere şi de gândire, o inteligenţă “executorie”). Matematica-proces face conexiuni mult mai puternice între emisferele cerebrale, decât simpla învăţare şi aplicare a matematicii-rezultat. Matematica-proces produce pe durată oameni care gândesc cu adevărat, pe când matematica-rezultat produce doar buni aplicatori ai unor procedee gândite de alţii (!!!).

Găsim aici iarăşi o explicaţie a fenomenului de manipulare masivă a electoratului român la alegerile cvasi-eşuate din 2024-2025: românii sunt antrenaţi în şcoală înspre a fi buni executanţi ai unor procedee gândite de altcineva, dar pe care nu le şi înţeleg. Pur şi simplu, matematica din şcoala românească nu-i obişnuieşte pe elevi să participe la gândirea lecţiei, ci doar să execute şi să o aplice fără să comenteze. Cu alte cuvinte, nu-i obişnuieşte să gândească şi să se implice în organizarea unui proces ce urmează a fi creat, ci îi obişnuieşte doar să aplice un proces gândit de către alţcineva. Dar, să revenim la subiectul nostru.

Înainte de a începe prezentarea şi pozele tablei doresc să fac câteva precizări pregătitoare. În primul rând trebuie înţeles că forma de predare la care am ajuns reprezintă o formă de mijloc între predarea prin prelegere (care este destul de eficientă temporal, mergând cât de repede consideră profesorul pe moment) şi predarea prin descoperire, prin problematizare, până la urmă prin investigare şi explorare, prin care elevii descoperă de fapt informaţiile noi.

Concret, în desfăşurarea lecţiei caut o formă de echilibru între conducerea lecţiei de către profesor şi implicarea activă a elevilor. Astfel, lecţia se desfăşoară cu mine scriind la tablă şi cu elevii în bănci scriind în caietele lor. În acest fel eu dau forma ordonată a ceea ce ajunge în lecţie, ei copiază cât pot de bine, imitând cât mai ordonat cele de pe tablă (fiecare după posibilităţi). Dar, la fiecare pas ce trebuie făcut, eu expun situaţia, “problema” pe care o avem de rezolvat, sarcina pe care trebuie să o descoperim, la care elevii doritori din clasă se implică cu răspunsuri (cu cei nedoritori, …). Eu nu merg mai departe, preferabil, decât dacă am primit răspunsuri viabile, pe baza cărora să putem scrie ceva corect.

Desigur că acest sistem de predare funcţionează natural doar dacă elevii participanţi nu au învăţat deja informaţiile respective înainte, de acasă sau de la orele private. Când avem astfel de situaţii, convenţia este ca cel în cauză să nu se implice cu ceea ce deja ştie, perturbând astfel procesul de “cercetare”, el rămânând să privească acest dialog doar ca un spectator.

Un alt aspect îl reprezintă faptul că eu încerc să păstrez cât mai mult din lecţie prezentă pe tablă, aşa încât nu risipesc defel spaţiu (tabla fiind uneori cam înghesuită). Elevii sunt obişnuiţi ca la ei în caiete să nu se înghesuie aşa de tare, dar să păstreze ordinea. Clasa la care am predat acum această lecţie are o tablă de 4m, aşa încât în orice moment putem privi înapoi la momente similare sau la situaţii conectate de momentul în care suntem. Pentru articolul de faţă am tăiat însă pozele tablei în bucăţi mai uşor de privit pe ecrane.

Înainte de a începe trebuie să vă prezint şi structura lecţiilor pe care le aveam deja parcurse şi de care ne-am putut folosi în această lecţie, atât în partea teoretică, cât şi apoi în partea de aplicaţii imediate. Astfel, elevii cunoşteau deja rădăcina pătrată şi diferite metode de extragere a radicalului în cazul numerelor pătrate. Apoi, cunoşteau din clasa a 6-a şi foloseam deja de câteva ore intens teorema lui Pitagora pe diferite figuri pentru calcularea perimetrelor. Acum, pe lângă stabilizarea simţului pentru arie (unii elevii mai încurcă aria cu perimetrul), preocuparea principală consta în găsirea formulelor de arie pentru cât mai multe figuri deja cunoscute şi stabilizarea folosirii lor concrete (la nivel aritmetic, de calcul). Desigur că erau cunoscute şi toate felurile de triunghiuri, dar şi toate patrulaterele din programă. Materialul ce urmează prezintă preocuparea de bază despre calculul ariilor, material pe care îl consider obligatoriu pentru toţi copiii, în vederea promovării clasei. În această parte nu am abordat defel alte proprietăţi ale ariei (cum ar fi de pildă proprietatea de arie a medianei). Materialul de faţă prezintă doar preocuparea pentru calculul de arii şi perimetre.

Procesul de lucru a început de fapt în ora precedentă (cca. 20min.) printr-o recapitulare a cunoştinţelor despre arie din clasa a 5-a, insistând pe explicarea logicii celor două formule: principiul de arie a dreptunghiului (un hol cu 4 rânduri de plăci de gresie, fiecare a 7 plăci, adică 7×4, deci lungimea ori lăţimea), apoi a faptului că la pătrat putem aplica formula de la dreptunghi, dar şi că la pătrat apare de fapt fenomenul “numerelor pătrate” (că de aia se numesc aşa) cunoscute tot din clasa a 5-a.

În plus, am discutat apoi următoarea întrebare: pentru situaţia când lungimea şi lăţimea unui dreptunghi sunt numere întregi, fenomenul este logic iar generalizarea rezultatului la formulă clară. Ce se întâmplă însă dacă lungimea şi/sau lăţimea nu sunt numere naturale? Exemplul de studiu din poza a doua îmi aparţine şi ţin foarte mult la el, mai ales că rezultatul întreg al ariei poate fi prezentat şi grafic (elevii trebuind să-l facă exact pe baza pătrăţelelor din caiet).

Ziua următoare am recapitulat pe scurt formulele celor două figuri iniţiale, după care am început căutarea formulelor pentru noi figuri. În acest sens trebuie să precizez că această lecţie a durat cca 70min. pe parcursul a două ore legate. Totodată, aşa cum veţi putea observa, cucerirea noilor formule are loc într-o ordine naturală pentru gândire, nu într-o ordine obişnuită a ordonării materiei (adică nu la început triunghiuri, iar apoi patrulatere), s-au într-o ordine obişnuită a teoriei matematice (adică nu mai întâi formula generală pentru triunghiul oarecare şi doar apoi cazurile sale particulare).

Cu alte cuvinte, prin selectarea ordinii de descoperit, am ales cea mai naturală cale pentru paşii de făcut de către mintea şi gândirea copilului într-un proces de descoperire a materiei. Precizez încă o dată: eu decid care figură urmează şi tot eu fac destul de repede şi o figură corespunzătoare pe tablă, însoţită de întrebarea “jucăuşă”: oare cum ar trebui să facem aici?

Dacă elevii văd ideea şi răspund, chiar şi numai orientativ, atunci discutăm ce şi cum, facem eventualele adăugări la desenul iniţial, deducem reţeta oral (de obicei un elev mai rapid de minte), iar apoi scriem reţeta sub formă de formulă lângă figură (şi desigur toată lumea copiază în caiet). Dacă, în urma mai multor încercări, nu vede nimeni ce-i de făcut, atunci ori mai insist cu informaţii ajutătoare ori, dacă “nu şi nu”, atunci ofer eu răspunsul (dar asta se întâmplă foarte rar şi doar când eu, ca dascăl, sunt constrâns de timp).

Aceasta ar fi forma ideală. Totuşi, de multe ori (depinzând de clasă) trebuie să dau eu primele idei, pentru că elevii pur şi simplu nu înţeleg ce ar trebui să facă. Anul acesta am avut totuşi bucuria să “curgă” cu idei folositoare de la primul pas; în schimb nu au prea avut idei de găsire a ariei trapezului, în finalul orei. Iată deci lecţia cu pricina (sper să vă descurcaţi în ordinea cam înghesuită de pe tablă), cu poza tăiată în trei părţi. Deci, după o nouă scurtă recapitulare a celor două iniţiale, la începutul orei (pentru elevii “din eşalonul de la coadă” nu sunt niciodată suficiente recapitulări), am pornit cu figurile noi.

Aşadar, după părerea mea, cea mai uşor de dedus este aria triunghiului dreptunghic, ca jumătate dintr-un dreptunghi. Apoi urmează paralelogramul, căruia îi decupăm un triunghi determinat de înălţime, şi doar apoi triunghiul oarecare, ca jumătate dintr-un paralelogram.

De-a lungul anilor m-am tot întâlnit cu elevi nedumeriţi că nu găseau formula de arie a triunghiului isoscel, aşa că de o vreme o includ şi pe aceasta (cu parantezele şi explicaţiile de rigoare). Apoi apare, din acelaşi spectru, al nevoii elevilor ce gândesc mai puţin, şi aria triunghiului dreptunghic care “stă pe ipotenuză” (deci cu ipotenuza ca bază). Lecţia continuă cu aria rombului, aşezat în poziţia tradiţională, pe care eu o numesc “poziţia balerină”, deci cu o diagonală verticală şi una orizontală. La această figură am avut deja mai multe propuneri, iar eu doar le dădeam cuvântul elevilor, ca să avem o oarecare ordine (şi ca să nu se certe). Varianta posibilă cu rombul înscris într-un dreptunghi nu a văzut-o nimeni, aşa încât le-am spus-o eu în final, fără ca să o şi schiţez pe figură.

Însemnarea formulei respective cu (1) a fost făcută în momentul când i-am anunţat că la romb mai avem şi o a doua formulă, anume atunci când rombul stă “culcat pe o parte”, adică în “poziţia paralelogram”, scriind în acest timp şi titlul cu rombul (2). Aici au fost puţin surprinşi, dar repede careva din clasă a văzut conexiunea cu aria paralelogramului.

În acelaşi stil am dat apoi şi o a doua formulă pentru pătrat, atunci când pătratul stă în “poziţia romb”, după care am căutat şi formula. În această ordonare, finalul îi aparţine trapezului, la care eu mă opresc şi îi poftesc pe elevi să caute singuri o cale de a găsi formula. Cele mai vizuale sunt cuprinse în primele două figuri. Mai întâi dublarea trapezului pentru compunerea unui paralelogram de arie dublă, pe urma căreia găsim formula. Apoi apare şi varianta transformării trapezului într-un dreptunghi echivalent prin decuparea a două triunghiuri şi alipirea lor deasupra. Anul acesta nu a văzut nimeni aceste variante de lucru, iar când le-am arătat eu au fost foarte surprinşi. În alţi ani le vedea careva şi pe acestea (dar şi altele). În schimb, în acest an un elev a tăiat trapezul pe o diagonală, dar mai departe nu prea ştia clar ce să facă (voia să adune ariile celor două triunghiuri, dar încă nu avea forţa să scrie aria triunghiului care stă cu vârful în jos, în plus fiind şi obtuzunghic). Aşa că am preluat eu ideea şi i-am făcut o demonstraţie din aceasta, o demonstraţie mai algebrică.

Da, cam aşa arată lecţia, la care din păcate nu-i puteţi asculta şi sonorul cu dialogurile, uneori entuziasmante, din timpul descoperirii formulelor. În ora următoare am început din nou cu o recapitulare, de data aceasta formulele fiind organizate pe categorii, dar în primul rând fiind reluate fără completările de ora trecută pe baza cărora s-au dedus formulele. Acum apare doar figura tip curată şi formula (n-am scris nici măcar denumirea, ci doar le-am spus-o oral).

După această recapitulare (figurile rămânând deci pe tablă, gata de folosit), am pornit cu problemele. Eu continui această lecţie cu aplicaţii în calcul de arii şi perimetre la figurile studiate, întotdeauna conţinând desigur şi determinări de lungimi prin teorema lui Pitagora.

Este important ca în această oră să apară suficiente exemple cu diferite figuri, astfel încât elevii să priceapă cum se integrează de la sine teorema lui Pitagora în acestea, prezentă atât în formă de adunare (calcul de ipotenuză), cât şi în formă de scădere (calcul de catetă), învăţând să localizeze în aceste figuri triunghiuri dreptunghice pentru calculul necesar. În ora următoare am continuat cu probleme similare în alte figuri, elevii putând astfel observa cum se păstrează reţeta de lucru din ora precedentă, adaptată însă la acestea.

Puteţi observa desigur cum am venit cu situaţii tot mai alambicate (pentru elevul de rând), dar rămânând totuşi în spectrul numerelor naturale, adică a tripletelor pitagoreice. Concentrarea elevilor trebuie să aibă loc asupra alegerii corecte şi a folosirii noilor formule de arie, plus asupra calculului. Atrag astfel atenţia că aceasta este o lecţie pentru toţi elevii, construită deci cât mai accesibil, în organizarea lecţiilor, calculele cu situaţii iraţionale urmând să apară doar ulterior.

Prin această formă de organizare, eu cred că am găsit un echilibru onorabil între matematica-proces (destul de mare consumatoare de timp) şi matematica-rezultat (ca formă cristalizată şi eficientă temporal). Tot ce-aţi văzut aici s-a întâmplat în cca. 4 ore, la care trebuie să adăugăm jumătatea de oră de la început (recapitularea şi completările din clasa a 5-a). Ţinând cont că se adresează mai tuturor elevilor, eu cred că merită din plin. C. Titus Grigorovici

*

Apendix by Zara Hola: Citind articolul, m-au năpădit amintirile acestei lecții de când mi-a fost predată de către domnul profesor, în urmă cu doi ani. Acum, în clasa a noua fiind, am conștientizat dedesubturile valoroase ale lecției și importanța procesului ce precede rezultatul. Cu alte cuvinte, preocuparea acestei lecții reprezintă percepția ce ia loc conceptului. Lucrurile se prezintă elevului așa cum apar, ci nu cum sunt cristalizate. De-abia apoi apare fixarea relevantă a noțiunilor matematice, posibilă fiind apoi repetarea și memorarea lor. Această lecție pornește de la fapte și ajunge la concepte. Mai întâi matematica-proces, apoi matematica-rezultat.

Într-o altă ordine de idei, matematica-proces, în esență, cultivă indivizi care reflectă asupra problemei, cu o înțelegere solidă, transformându-i în creatori de cunoștințe. În contrast, matematica-rezultat, deși esențială, riscă să limiteze, putând să producă executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Prin ochii mei, a unui elev mediocru la matematică, însă ce și-a însușit ariile figurilor de bază prin această lecție, știindu-le și la această oră, pot a spune aceea că, această lecție, prezentată în acest fel, este creată pentru a optimiza parcursul de învățare al elevului, ordinea pașilor fiind gândită astfel încât să respecte ritmul natural de asimilare al informațiilor noi de către elev. O capodoperă din punct de vedere al artei predării matematicii.

Una din cele mai mari probleme ale şcolii româneşti, iar predarea matematicii este în elita acestui curent, o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă. Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Iată a doua parte a materialului strâns, cu precizarea că acesta creşte avântat chiar în timp ce lucrez.

Problema este una foarte veche în România. Eu o văd ca reprezentând situaţia “specialistului” care s-a întors de la studii, dintr-o “altă lume”, iar acum, aici, între oamenii de rând, îşi etalează “superioritatea” în fiecare moment prin folosirea unui limbaj din care cei din jur înţeleg un singur lucru: cât de deştept este acesta, deci cât sunt ei de proşti prin comparaţie. Este un fel de bullying intelectual subtil, dar eficient pe durată (“picătura chinezească”?). Unul dintre efectele clare este că şi alţii îşi vor dori să facă studii ca să ajungă “deştepţi” (ca să se poată şi ei “da deştepţi”), după care şi ei se întorc între oamenii de rând şi reiau ciclul.

Când am descris problema ca fiind una foarte veche în România nu am glumit defel: îmi pot închipui copiii de boieri sau din clasele superioare ce se întorceau după anii de studiu de la Viena sau Paris, cum vorbeau într-un limbaj în mare parte neînţeles de către cei rămaşi acasă. Fenomenul s-a păstrat şi în interiorul graniţelor ţării: ne imaginăm tânărul care “întră în pâine” după absolvirea studiilor şi care în domeniul său de specializare şi-a însuşit un limbaj specific, el putând comunica doar în acest limbaj. Problema este că deseori specialistul o face cu mare plăcere, simţind în timp ce vorbeşte admiraţia trezită în faţa celorlalţi.

Până în secolul XIX România nu a avut cu adevărat ştiinţe, deci evident că nu s-a confruntat nici cu nevoia generării termenilor de specialitate. Apoi, românii au preluat ştiinţele de la ceilalţi împreună cu termenii corespunzători, rareori termenii fiind înlocuiţi cu unii de producţie autohtonă. Fenomenul nu este unul tipic nouă; de pildă romanii au preluat aproape ad-literam din greacă foarte mulţi termeni de specialitate, aceştia fiind apoi trecuţi natural şi în alte limbi latine. Francezii au foarte mulţi termeni preluaţi din latină, care era pe vremuri limba activităţilor culte. Dimpotrivă, englezii sau nemţii, care s-au rupt de la o vreme de biserica catolică – total sau parţial – au dezvoltat încet o terminologie specifică, pe parcurs ce dezvoltau şi descopereau diferitele elemente de ştiinţă (desigur că au practicat şi împrumutul, dar mai ponderat). La noi însă – prin uriaşa dezvoltare a ştiinţelor din secolele XIX-XX – fenomenul a ajuns la cote inimaginabile, ducând la un comportament lingvistic năucitor.

Actualmente, acest limbaj împănat cu diverse cuvinte de specialitate a ajuns să penetreze multe din activităţile societăţii noastre. Dau aici două exemple întâlnite zilele acestea în traducerile televiziunilor de orientare mai ştiinţifică. Ţin minte că nu de mult, pe un canal din familia National Geographic, expresia “on the forest flor” a fost tradusă “pe litiera pădurii” (în legătură cu animalele ce trăiesc pe jos). Noroc că urmăresc şi sonor comentariul original, pentru că altfel n-aş fi înţeles despre ce este vorba (tradus mot-a-mot din engleză ar fi “pe podeaua pădurii”). De foarte curând, pe 30 iunie 2023, pe canalul Viasat History, într-o emisiune despre marea expoziţie itinerantă cuprinzând artefacte găsite în mormântul lui Tuthankamon, un reprezentant al firmei nemţeşti ce se ocupă cu transportul în siguranţă a acelor obiecte extrem de valoroase, explica despre procesul de mutare a acestora că  “das ist eine relativ lange Sache” (mot-a-mot tradusă: “asta este o treabă relativ lungă“); în traducerea de pe ecran a apărut că această activitate este “cronofagă“.

Am făcut această analiză a fenomenului, incluzând şi două exemple aleatorii despre felul cum fenomenul jargonului de specialitate penetrează viaţa noastră de zi cu zi, pentru a sublinia realitatea acestuia în toate domeniile în care ştiinţa se intersectează cu viaţa noastră. Elevii resimt desigur intens astfel de situaţii, matematica fiind una dintre materiile de vârf în acest sens. Mai ales în reforma începută prin 1978 în materia de liceu, o componentă de bază era reprezentată de exprimarea riguroasă, iar acest aspect a fost surprins magistral de realizatorii filmelor Liceenii prin porecla dată profesoarei de matematică: “Isoscel“. Un cuvânt extraterestru, pronunţat probabil cu multă emfază de profa de mate a dus la această poreclă (oare, careva din echipa de scenarişti chiar a avut în copilărie o astfel de situaţie?). Oricum, îmi pot închipui că situaţia din acele filme i-a mai liniştit pe mulţi profesori din avântul lor de a accentua prea teatral diverşii termeni de specialitate din lecţia de matematică (am descris cuvântul “isoscel” ca extraterestru, prin comparaţie de pildă cu “echilateral”, din care în româneşte mai înţelegi câte ceva).

Ideea pentru acest dublu eseu mi-a venit în urma lecturării unui articol din aprilie de pe republica.ro, scris de dl. Andrei Conţan, care începe cu o descriere nu tocmai măgulitoare a şcolii româneşti prin care am cam trecut cu toţii (chiar şi această parte ar merita o analiză temenică, dar las pe seama cititorilor treaba asta, subiectul respectiv îndepărtându-se prea mult de tema discuţiei noastre). Totuşi, destul de repede autorul vine cu un pasaj magistral ce ne duce direct în centrul subiectului limbajului împănat până la refuz cu cuvinte tehnice, în faţa cărora elevul nu are altă şansă de supravieţuire decât pura toceală, învăţatul pe de rost în formele sale cele mai brute şi extreme. Aşadar, iată citatul respectiv:

Am în minte că în clasa I am exersat la tablă propoziția „Ana are mere” cu presiunea de a mă ridica la nivelul așteptărilor bunicii, care profesa la aceeași școală generală.

Apoi, la finalul clasei a VIII-a, în lupta cu materiile ”de bază”, „Ana are mere” ar fi trebuit redat sub forma: „Ana este deținătoarea unui obiect sferic de natură fructiferă, clasificat ca specie pomiferă Malus, conform taxonomiei botanice, cu o compoziție chimică bogată în zaharuri, fibre și substanțe antioxidante, conform analizelor nutriționale efectuate.”

Iar la finalul clasei a XII-a, așteptările erau de a reproduce fidel texte de nivelul: „În lumina contemplației, se poate afirma că există o entitate numită Ana, iar această entitate posedă o manifestare fizică în formă de sferă comestibilă, cunoscută sub numele de măr. În esență, Ana și mărul sunt două aspecte diferite ale aceluiași fenomen, iar această dualitate poate fi percepută ca o iluzie a minții umane, care încearcă să distingă și să definească obiectele fizice din lumea materială. Prin urmare, există o legătură subtilă și interconectată între subiect și obiect, care poate fi explorată prin introspecție și contemplare profundă.”

Las aici o pauză de uimire şi de râs; puteţi reciti pasajul respectiv – Magistral! – pentru că descrie în mod fabulos şcoala românească (ad literam fabulos!, adică aidoma unei fabule). În plus, cel mai bine se înţelege o critică atunci când se vorbeşte despre alţii, nu despre persoanele de faţă, caz în care critica ar trezi impulsuri de apărare şi contraatac (în cazul de faţă critica fiind despre cei de limba română, nu despre noi, cei de matematică).

Cum putem schimba azi învățarea? se întreabă Andrei Conţan şi tot el începe să aducă şi anumite răspunsuri. Iată în continuare ideile selectate din acest articol, idei ce mi-au îndreptat atenţia înspre redactarea eseului de faţă (Gaspar Gyorgi a apărut ulterior cu explicaţiile sale):

Mă regăsesc acum, 20 de ani mai târziu, de partea cealaltă a „catedrei”, într-un mediu online sau hibrid, oferind cursuri de formare profesională viitorilor profesioniști în IT. Obiectivul e unul singur: ca participanții la lecție să înțeleagă în termeni simpli domeniul în care vor intra pentru a putea naviga cu mult curaj și curiozitate printre problemele de care se vor lovi. De 5 ani de zile de când lucrez sub această paradigmă (…) am observat schimbări remarcabile în rândul participanților:

– Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat, şi îmbunătățesc astfel memoria.

– Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți să se implice în activitățile de grup, iar informațiile devin identificabile și ușor de înțeles.

– Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți la construirea încrederii de sine.

În IT, o abilitate tot mai rar întâlnită e ca angajații să fie capabili să explice o tehnologie sau un produs complex în termeni simpli, ușor de înțeles, nu pentru că managerul are nevoie să înțeleagă, ci ca dovadă că inginerul înțelege complet problema de care se lovește.

A cunoaște numele unui concept nu înseamnă că îl și înțeleg, (…) Prin simplitate în comunicarea noastră, am putut ajuta la înlăturarea barierelor și face conceptele tehnice mai accesibile unui public mai larg.

Pentru început, folosesc 3 idei de bază:

– În introducerea unui concept tehnic, evit utilizarea jargonului.

– Evit termenii tehnici care ar putea fi nefamiliari. În schimb, mă concentrez pe utilizarea unui limbaj simplu, de zi cu zi, pe care oamenii îl pot înțelege cu ușurință. (…)

– Simplific la maximum, inspirat de poveștile celebrului profesor Richard Feynman – „organizarea și simplificarea sunt critice” – repet procesul de simplificare până când obțin o poveste pe care o pot spune oricui ascultă.

Revin la tema de la începutul articolului: de prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm. Aceasta este o oportunitate ratată de a învăța. Dacă ai o conversație cu cineva și acesta începe să folosească jargon pe care nu îl înțelegi, roagă-l să îți explice ca și cum ai avea 12 ani. Nu numai că îți vei supraalimenta propria învățare, dar o vei supraalimenta și pe a celorlalți. Chiar și pe a celui care îți vorbește.

Mai clar nu ştiu dacă se poate, sau altfel spus: “Congruent, adică egal prin suprapunere“! Recomand lecturarea întregului articol (îl găsiţi la adresa https://republica.ro/cand-folosim-cuvinte-pompoase-ratam-oportunitati-de-a-invata-cum-putem-facilita-invatarea-in-companii ) şi adăug aici alte câteva citate edificatoare:

Dăm din cap chiar și atunci când nu înțelegem despre ce vorbește cineva. Chiar și atunci când ne interesează tema. (…) În goana după recunoștință și validare, folosim cuvinte mari și complicate pentru a impresiona. Mesajul se pierde în traducere, întrebările clarificatoare nu sunt adresate de teama stigmatizării, (…) De prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm ceva nou și folositor.

Vedem cum se regăseşte o idee şi la Gaspar Gyorgi şi la Andrei Conţan. Este vorba de observaţia că într-un domeniu de specialitate, absolventul specialist este prin natura specializării sale imersat într-un limbaj supraelevat, inaccesibil semenilor de rând, chiar celor cu care are apoi de interferat şi cărora trebuie să le aducă plusvaloarea studiilor sale. Practic, datorită limbajului dobândit, el este pus în situaţia de a nu-şi putea îndeplini în mod eficient menirea ce şi-a asumat-o prin studiile făcute. Iar dacă acest specialist nu are o doză bună de empatie, nu simte că vorbeşte “prea sus” în faţa celor din jur, de fapt nu simte că “vorbeşte cu pereţii”, atunci se ajunge în stări de felul celor descrise mai sus, anume că el ajunge cel mult doar să fie adulat de către “proştii” din jur, el nedevenind la rândui formator intelectual.

Plecând de la ultima frază exprimată putem deduce şi o altă consecinţă extrem de dăunătoare ce s-a dezvoltat în societatea noastră, anume faptul că cei din jur îşi vor forma această părere despre un specialist, anume că este un om “atât de deştept” încât “oamenii de rând” nici nu prea înţeleg ce spune. Astfel, din păcate, acesta ajunge să fie adulat de către “plebea” din jur, fiind deseori luat ca model comportamental. Şi “următorii” vor trage să-şi însuşească un astfel de jargon de specialitate, nu pentru a ajunge mari specialişti, ci doar pentru a fi şi ei adulaţi la rândul lor. Societatea noastră este înţesată de aşa-zişi “specialişti” care doar asta fac, să se împăuneze cu folosirea unui jargon de specialitate, cu citate înalte şi evocarea unor nume sonore (vă rog să observaţi ce veţi simţi în curând, atunci când voi veni cu un citat din Schopenhauer despre cum ar trebui să abordăm teorema lui Pitagora, ceva de genul: Uau, cel care vorbeşte de ăla “e deştept tare”, sau dimpotrivă, “se dă mare” în faţa noastră “aruncând” în jurul său cu astfel de nume pompoase).

Sunt clare şi absolut edificatoare ideile reluate mai sus. În mod special, ca o mică divagaţie, aş accentua puţin o idee interesantă din articolul mai sus evocat. Astfel, Andrei Conţan spune într-un anumit moment că: Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat. Și îmbunătățesc astfel memoria. Este evident că aici dânsul se referă la o învăţare raţională şi sănătoasă, nu la simpla toceală neînţeleasă. Când elevul se obişnuieşte doar să tocească, el se obişnuieşte automat ca să o facă pentru a o putea reda (la test sau la ascultarea din lecţia respectivă), dar tot automat se întâmplă şi fenomenul opus, anume că de fiecare dată el trebuie să uite rapid ce a învăţat înainte, pentru a face loc în memoria de scurtă durată elementelor din viitoarea lecţie. Este evident că astfel se antrenează doar memorarea papagalicească de scurtă durată, neglijându-se masiv memoria profindă şi logică. Dimpotrivă, în urma unor explicaţii simple, deci de înţeles şi uşor de redat, memoria logică se antrenează şi se îmbunătăţeşte. Ţin minte în acest sens nişte eleve de a 9-a “bune tocilare”, care nu reuşiseră să cuprindă într-o frază descriptivă cu sens următoarele trei elemente: 360^o în jurul Ecuatorului; 24 de ore pentru o zi; 15^o pentru un fus orar. Nefiind punctate la test, ele reproşau de zor că au stat până la 3 noaptea să înveţe, consumând mai multe cafele (la geografie s-a întâmplat asta). Păi, dacă nu gândeau, ce să le faci?

Dar să revenim spre final la matematica noastră. După cum spuneam şi în prima parte a eseului de faţă, calea de mijloc este probabil cea mai sănătoasă. Nici exagerarea folosirii jargonului de specialitate la clasă nu este în regulă, dar nici evitarea folosirii termenilor tehnici nu poate duce la ceva bun; elevii trebuie totuşi să le înveţe şi să le poată folosi până la urmă. De obicei totul se poate rezolva prin tact pedagogic.

Ţinând cont că Evaluarea Naţională în finalul clasei a 8-a este o examinare la nivel naţional (mulţi neavând parte de o predare strălucită sau de un deosebit tact pedagogic la clasă), EN fiind vitală şi decisivă pentru mase uriaşe de absolvenţi, este evident că autorii subiectelor ce se dau la această EN sunt foarte atenţi în exprimare. Astfel, putem observa o mare grijă pentru controlul jargonului de specialitate, prin evitarea oricăror derapaje ce ar putea fi ulterior reproşate de către mass-media, şi este foarte bine că se întâmplă aşa.

La fel de bine este şi faptul că în auxiliarele de pregătire a EN se pune accentul şi în sensul opus, pe încărcarea limbajului, pentru ca elevii să se înveţe şi să nu aibă surprize neplăcute la examen. Doar că această abordare este bună numai atunci când elevul se pregăteşte sub îndrumarea strictă a unui adult care se pricepe la aceste aspecte. Altfel, dacă n-are cine să-l iniţieze pe elev în folosirea limbajului extrem, acesta se sperie şi sigur nu mai învaţă, cel puţin partea respectivă. Dau aici un citat întâlnit în ultima perioadă pentru a fi clar înţeles la ce mă refer: Fie A şi B punctele de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar P mijlocul segmentului AB. Determinaţi lungimea segmentului OP. Nu vreau să susţin aici că acest text ar putea fi redactat mult mai scurt, dar observ că lungimea sa păstrând acel limbaj abstract timp de peste două rânduri îi face pe mulţi elevi să abandoneze ideea de a rezolva această cerinţă. Am şi alte exemple ce emană mult mai clar înverşinare în a-l prinde pe elev “în offside”. Ce părere aveţi de pildă despre exprimarea prismă dreaptă cu baza pătratul ABCD în loc de denumirea oficială de prismă patrulateră regulată? Mie îmi sună a îmbârligarea limbajului cu orice preţ.

Spuneam la început că materialul pentru acest eseu se adună în timp ce lucrez. Iată în final o idee sugestivă, care deşi nu are aparent nimic de-a face cu matematica, analizată mai profund se dovedeşte deosebit de potrivită aici. Citez în continuare din d-na Dr. Mihaela Bilic, medic nutriţionist care ţine emisiunea Frecvenţa gustului la Europa FM. În data de 23 iunie, într-o emisiune despre cum îi învăţăm pe copii să mănânce, dânsa spunea: Copilul trebuie să guste de mai multe ori dintr-un gust ca să se obişnuiască cu acesta. Este evident că acelaşi principiu se aplică şi la alte lucruri noi aduse în viaţa copilului, iar elementele de matematică, îndeosebi cele ce implică cuvinte noi, străine limbajului obişnuit al vârstei, şi mai ales la clasele mai mici, acestea trebuie introduse cu mult tact şi răbdare. CTG

P.S. În perioada când redactam acest eseu am participat la un curs Waldorf, unde am lucrat în grupe de lucru şi am audiat multe conferinţe (dar am şi ţinut un curs de desen geometric). Conferinţele au fost ţinute de diverşi docenţi din străinătate (Israel, Ungaria, Cehia, Germania, Franţa şi Maria Britanie). Am aici o observaţie din partea celor care au participat la grupul de lucru condus de docentul britanic, anume cât de mult au apreciat simplitatea felului său de adresare, de vorbire. Am remarcat şi eu modestia cu care dânsul vorbea, modul liniştit şi deloc pompos de adresare în conferinţa ţinută în plen (cu toţii erau reprezentanţi ai Cercului de la Haga, întrunirea internaţională a reprezentanţilor ţărilor în care funcţionează pedagogie Waldorf). Evitând tot timpul jargonul de specialitate specific pedagogiei Waldorf (da, avem şi noi aşa ceva, iar uneori este cvasi-inaccesibil), dânsul atrăgea automat auditoriul într-o stare de linişte, din care fiecare putea urmări clar ideile prezentate.

P.P.S. Din pură întâmplare sunt în posesia unui citat ce scoate în evidenţă starea opusă celor spuse în primul P.S., anume despre atitudinea de prezentare îngâmfată, fără intenţia de a te şi face înţeles de către cei pe care ţi-ai asumat să-i “luminezi”. Iată citatul (ce se referă, după cum am înţeles, mai mult la colaborarea de mentorare a unui coleg începător):

Ca să pot ajuta cu adevărat pe cineva, trebuie să înţeleg mai mult decât acesta – dar mai întâi trebuie ca eu să înţeleg ce a înţeles acesta. Dacă nu îmi reuşeşte asta, atunci ceea ce înţeleg, ceea ce ştiu eu în plus nu-i va fi de nici un folos.

Dacă ţin totuşi să dau relevanţă cunoaşterii şi inţelegerii mele suplimentare, atunci ţine doar de mândria şi de vanitatea mea, că nu vreau (că nu mă străduiesc) să-l ajut, ci că mai degrabă vreau să fiu admirat de către acesta (că mai degrabă ajung să-mi doresc să fiu admirat de către acesta).

Nu cunosc defel autoarea, dar dau totuşi sursa, aşa cum mi-a parvenit: Søren Kierkegaard, “Samlede Værker” (Opere alese), Kbh 1964, Vol. 18, Pag. 96-97.

Una din cele mai mari probleme ale predării matematicii – şi nu numai – o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă (mult prea elevat, dar şi prea repede elevat). Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Noi trebuie să conştientizăm că nu sunt puţini aceştia care folosesc un limbaj “extraterestru” pentru vocabularului majorităţii elevilor, care au chiar ca una din liniile ghidante în meseria de profesor să vorbească în acest mod.

Analizând lucrurile la nivelul diferitelor trepte de şcolarizare, plecând de sus putem constata următoarele. La nivelul facultăţii de matematică reprezintă o normalitate folosirea unui limbaj tehnic cât mai elevat şi mai sofisticat. Acolo sunt matematicienii între ei şi se pot potenţa cât doresc în această direcţie (la fel în orice altă facultate cu limbajul specific ştiinţelor respective). Coborând în treapta a doua a liceului, la clasele cu bacalaureat la matematică, te poţi aştepta ca elevii să fi dobândit deja arta însuşirii rapide a unor noi termeni de specialitate; coborând însă mai mult, la primele clase de liceu, se simte că la acestea este nevoie de “puţin tact” în introducerea noilor termeni. Cât despre clasele gimnaziale, care oricum au în componenţă elevi de toate nivelele şi toate orientările intelectuale, aici folosirea inadecvată şi prea incisivă a unui jargon de specialitate devine profund dăunătoare, acţionând distructiv în direcţia tuturor celor care nu se întâmplă să fie “matematicieni pur sânge”. Această afirmaţie capătă un nivel de profunzime maximală în primele două clase gimnaziale, acolo unde avem combinaţia dintre elevi mici (care majoritatea n-au trecut încă în stadiul de gândire operaţională formală), pe de-o parte, şi profesori specialişti de matematică în locul blândei învăţătoare (profesorii venind cu impulsul puternic de a-i pune cât mai repede “pe linia” matematicii pe cei mici).

Aceste afirmaţii ajung la stadiul acut mai ales când ne referim la introducerea elementelor de geometrie în clasele 5-6, aceasta fiind o materie cu totul nouă (99,99%) faţă de ce cunoştea elevul până în acel moment. Mai ales dacă analizăm felul în care începem geometria, anume prin introducerea unei liste foarte lungi de elemente noi ce reprezintă însă doar structura figurilor geometrice, “partea atomică” a acestora, plină de cuvinte noi pentru copii, înţelegem cât de dramatică şi disperată este percepută situaţia de către majoritatea elevilor. Din punct de vedere psihologic, noi ar trebui să plecăm de la pătrate, triunghiuri şi cercuri, elementele cunoscute elevilor, pe care să le disecăm încet şi să ajungem la componentele acestora, la segmente şi unghiuri, şi la relaţiile dintre ele. Dar nu, noi începem de la componente – care nu au nici cea mai mică relevanţă pentru elevi – pentru că doar aşa ştim să predăm geometria, aşa se predă această materie din punct de vedere riguros ştiinţific. În acest proces însă, pentru cei mai mulţi geometria reprezintă materie care luni la rând aduce doar un şir aparent nesfârşit de cuvinte noi – fără nici cea mai mică relevanţă pentru elevul obişnuit, vocabularul de specialitate crescând mult peste orice nivel de suportabilitate normal. Cât despre clasele primare, aici nu văd mari pericole în acest sens, deoarece este puţin probabil ca învăţătoarele să alunece în astfel de extreme ale vocabularului de specialitate.

Ca în paranteza de mai sus, trebuie spus că aceasta este situaţia în cazul oricărei ştiinţe (geometria reprezentând totuşi vârful de lance), doar că matematica este una dintre cele ce apar imediat din clasa a 5-a, alături de biologie, geografie şi istorie. În plus însă, dintre acestea matematica este singura care-şi poate justifica atitudinea “agresivă” în implementarea unui limbaj prea încărcat cu motivaţia examenului din finalul gimnaziului.

În general, fiecare materie are nevoie de jargonul ei de specialitate pentru a se exprima, iar în consecinţă copiii sunt practic bombardaţi cu cuvinte noi ce se schimbă de la o oră la alta într-un ritm de multe ori prea rapid, mult prea rapid (evident că şi religia se integrează în acest trend, doar că acolo măcar nu-i stres, acolo toţi primesc 10 din oficiu). Efectul psihologic rezultant este desigur faptul că mulţi elevi au tendinţa de “a nu mai auzi” cele spuse de profesori la diferitele ore, nici vorbă de a mai şi încerca să înţeleagă ce spun aceştia (cu trimitere evidentă spre dezvoltare de analfabetism funcţional dacă obiceiul nu este întrerupt în timp util prin trecerea elevului în faza de înţelegere).

Apoi, trebuie vorbit aici şi de cantitatea de cuvinte noi introduse “pe unitate de timp”. Un coleg a reuşit în urmă cu cca. 20 de ani să contabilizeze la o clasă de a 9-a în ziua cea mai densă a săptămânii, cumulat la toate materiile 142 de itemi noi (din câte ţin minte). Ne putem imagina câţi dintre aceşti itemi fuseseră termeni noi de specialitate. Părerea, impresia că odată definit, un astfel de termen este clar înţeles şi însuşit de către elevi este pur şi simplu utopică, iar aşteptarea ca ei să înveţe acasă noţiunile respective şi să le poată folosi automat începând de ora următoare, asta este una din cauzele faptului că elevii nu învaţă să gândească ci înţeleg prin învăţare doar simpla toceală. Astfel, cuvântul nou nu intră într-un vocabular natural al elevului, ci rămâne suspendat undeva între necunoaştere şi o folosire artificială, dar de fapt neînţeleasă. Eu simt aici că putem vorbi de o folosire de faţadă a acestor cuvinte, un fel de mascaradă de obicei neînţeleasă, de genul “la orele astea vorbim cu astfel de cuvinte”.

Uneori apar referiri la acest fenomen al limbajului prea sofisticat şi în alte părţi decât în procesul de învăţământ din şcoală. De pildă, în emisiunea Antrenorul părinţilor din data de 4 iunie 2023, Gaspar Gyorgi îi explică Mirelei Retegan următoarele: G.G. … oameni care veneau şi-mi spuneau: “Gaspar, e un pic ciudat felul în care vorbeşti” – pentru că atunci vorbeam mult mai mult în jargon de specialitate decât o fac acum – “dar, dincolo de asta, ce ajunge la mine este ca spui ceva important şi aş vrea să mă ajuţi să înţeleg un pic mai bine, aşa că te rog vorbeşte pe limba omului obişnuit, încearcă să-mi explici în aşa fel încât să-mi fie un pic mai uşor de înţeles”. M.R. … eu asta fac aici, îl ajut pe Gaspar să vorbească pe limba omului obişnuit. G.G. … ăsta e paradoxul psihologiei în România, că în facultate eşti învăţat să-ţi însuşeşti un limbaj de specialitate, iar după aceea, pentru a te înţelege cu oamenii trebuie să renunţi la acel limbaj de specialitate (urmăriţi înregistrarea https://www.youtube.com/watch?v=a2hqWYlXmAE între minutele 37:20 – 38:00). Da! Fără comentarii!

Folosirea unui limbaj inaccesibil este clar una din cauzele eşecului şcolii actuale din România, a procentajului uriaş de elevi cu analfabetism funcţional în toate direcţiile. Accesibilizarea limbajului duce evident la accesibilizarea mesajului transmis, dar pentru asta profesorii trebuie să conştientizeze că “soluţia problemei” este la ei şi să nu mai dea simplu “vina” pe elevi.

Desigur că nici evitarea introducerii termenilor noi nu este o soluţie viabilă pe durată; cu greu ar mai putea avea loc evoluţia elevilor pe drumul învăţării matematicii (practic a oricărei ştiinţe) fără cuvintele ce-i compun limbajul specific. Ca în orice domeniu, nici aici nu este bine a trece dintr-o extremă în cealaltă. La fel ca oriunde şi aici calea de mijloc este de obicei cea mai sănătoasă.

Profesorul care stăpâneşte “arta predării matematicii” ştie cum să introducă în limbaj un nou cuvânt, o nouă expresie, astfel încât să nu “îi şocheze” pe elevi, să nu îi repulsioneze. Mai ales în clasele 5-6 este important ca profesorul de matematică să ia în calcul frica de matematică cu care vin elevii din ciclul primar şi să încerce să preîntâmpine adâncirea lor în această stare.

Mi-a fost dat să cunosc o astfel de atitudine grijulie la profesori din Germania, la care am observat de-a lungul timpului expresia “triunghiurile cutare şi cutare sunt congruente, adică egale prin suprapunere“. Observăm cum folosirea termenului nou, străin limbajului uzual al copilului, este însoţit imediat în exprimarea adultului de “o traducere” mai accesibilă elevilor (pe germană termenul “deckungsgleich” înseamnă mai exact “egal prin acoperire” fiind şi mai apropiat în limbajul uzual decât traducerea mea “egal prin suprapunere“). În spaţiul de cultură în limba germană ideea este atât de împământenită încât şi dacă dăm spre căutare cuvântul “deckungsgleich”, toate adresele oferite pe net, inclusiv wikipedia.org, dau automat în text ambele “kongruent (deckungsgleich …)“.

Personal nu cred totuşi că ar fi sănătos să înlocuim definitiv, adică pe durată cuvântul “congruente” cu expresia “congruente, adică egale prin suprapunere” după modelul nemţilor, dar am preluat ideea că la început să folosesc expresia combinată, până când simt că elevii s-au obişnuit cu cuvântul “congruent” în cadrul lecţiei despre metoda triunghiurilor congruente (adică pentru o vreme, oarecum pe parcursul clasei a 6-a, până când am percepţia clară că elevii şi-au însuşit noţiunea).

Desigur, asta funcţionează doar cu condiţia să fi făcut înaintea lecţiei respective – măcar printr-o “poveste” descriptivă – analiza situaţiei de “egalitate prin suprapunere” prin constatarea că foile cu triunghiurile construite de doi elevii puse una peste cealaltă pe geamul clasei vor arăta prin transparenţă suprapunerea perfectă a celor două triunghiuri (construite pe aceleaşi date, de pildă prin cazul de construcţie LUL; asta este de fapt ideea introducerii acestora mai întâi sub formă de “cazuri de construcţie”, ducând deci la triunghiuri “egale prin suprapunere” numite apoi “congruente”, iar doar ulterior drept “cazuri de congruenţă” în cadrul unei noi metode de demonstraţie).

Legat de “exerciţiul” aici evocat, precizez că eu nu am mai făcut acest exerciţiu concret la clasă de peste 20 de ani – este şi greu de făcut, deoarece elevii desenează de obicei în caiet; ca să-l pot face ar trebui să le cer construcţia pe coli de hârtie separate şi de obicei nu consider să-mi iau acest timp. Făcându-l concret, aş avea garanţia că toţi elevii au priceput, dar nu acesta este obiectivul meu aici; oricum elevii slabi ai clasei nu vor beneficia de idee pentru că ei oricum nu vor învăţa cu adevărat metoda triunghiurilor congruente la demonstraţii (sau, poate greşesc?). Pe de altă parte, elevul mediu, elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, acesta îşi pot imagina exerciţiul, cu condiţia măcar să ne luăm 2-3 minute să il povestim, iar de aici mai departe vor putea conecta cu “imaginea” imaginată în acest moment (iar asta întăreşte capacitatea de imaginare a elevilor, mai ales în aceste vremuri când ei sunt obişnuiţi să vadă totul pe ecrane).

În mod similar, în cazul cuvintelor “complementare” sau “suplementare”, eu folosesc pentru început, pentru o vreme, măcar în apariţiile izolate din clasa a 6-a expresia dublată că “cele două unghiuri au împreună 180^o, adică sunt suplementare” sau “unghiurile B şi C sunt complementare, adică au împreună 90^o” (măcar din când în când, cel puţin la apariţii noi, când nu le-am folosit de mult). Apoi, trec destul de repede la folosirea curată, spunând simplu “complementare” sau “suplementare”, Important este să le acord elevilor timpul să se obişnuiască cu noile cuvinte, fără ca să apară în ei senzaţia că nu înţeleg ce vorbesc (probabil, mai reiau ideea de dublare descriptivă a cuvântului şi la primele apariţii din clasa a 7-a, dar apoi gata). CTG