Category: Metodică

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Uneori am impresia că acestea se întâmplă din indeferenţă, alteori din dorinţa de a epata a unor profesori, pe baza unor gânduri de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? (cel puţin în cadrul lecţiei de introducere). De ce? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice... Alteori poate că se întâmplă dintr-un fel de frică; frica de a nu primi observaţii din partea unor colegi, ceva de genul: “Cum, nu şti forma generală, cea de vârf? Doar atâta poţi?” (am vorbit de curând despre această mentalitate).

În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme mult prea elevate pentru o primă abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale (când – nota bene – lecţiile se adresează tuturor elevilor, aceştia nefiind încă selectaţi de EN). În articolul precedent am luat ca exemplu chiar o situaţie în care este folosit un cuvânt ce se introduce oficial de-abia peste doi ani. Am analizat astfel situaţia interzisă în predarea matematicii când elevilor li se introduce o noţiune nouă folosind o altă noţiune necunoscută, încă neintrodusă. Oare nu ar trebui să existe un DNA, o poliţie a matematicii. un fel de radar pentru profesorii care “circulă cu mult prea mare viteză”, trecând “de pe o bandă pe cealaltă” şi “depăşind pe linie continuă” prin lecţiile gimnaziale?

Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii au defalcate şi studiate aici multe categorii), rezultatul evident fiind îndepărtarea de matematică. În funcţie de posibilităţi, părinţii reacţionează angajând un meditator. Cu cât aceste fapte se întâmplă mai devreme şi mai puternic, cu atât meditaţiile tind să pornească şi ele mai devreme (cel puţin în Cluj nu mai este nimic special ca elevii să aibă meditator din clasa a 5-a).

*

Să abordăm acum cel de-al doilea exemplu propus, anume folosirea scrierilor generale, acelea cu “…” (cu puncte-puncte) şi până la n, desigur cu numere generale, adică cu litere şi indici. Ca să nu existe neclarităţi, am scris pe o foaie de hârtie câteva exemple de astfel de scrieri, pasaje ce dau fiori unor clase întregi, blocând din start gândirea marii majorităţi a elevilor la primul contact cu acestea.

Sunt pline cărţile cu astfel de prezentări, dar am preferat să le scriu eu cu mânuţa mea. Nici pe calculator nu am vrut să le scriu, ca să nu ajungem la subiectul “datului mare” (dar e clar că acestea ar fi “numai bune” la un curs de reciclare a celor din vârsta a III-a în scrierea “ecuaţiilor”). Nu le-am pus neapărat în ordinea apariţiei lor conform programei. Este clar că “monstrul monştrilor” este formula ce doreşte să descrie transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, care mie mi-a ocupat un rând întreg, aceasta înţinzându-se pe toată lăţimea paginii A4. Să ne gândim puţin, oare cum arată aceasta în caietul unui puşti de final de a 5-a, care scrie puţin mai mare, poate chiar mai lăbărţat.

Înainte de a intra în discuţia acestor scrieri, merită să fac o observaţie filozofică. În lucrarea sa Marele roman al matematicii, Mickaël Launay, Ed. Trei, 2021, autorul vorbeşte la pag. 276 despre iniţiativa lui David Hilbert, la începutul sec. XX, înspre o teorie generală care să unească toate marile zone matematice, teorie care prezentată axiomatic să ferească această ştiinţă de cutremure de felul celei legate de axioma paralelelor la începutul sec. XIX. Este apoi dat în această carte şi exemplul primilor matematicieni care au reuşit aşa o “mândră minune”, britanicii Alfred North Whitehead şi Bertrand Russell, care între 1910 şi 1913 publică o lucrare în trei volume, denumită Principia Mathematica. Nu mă pot abţine în acest sens, să nu văd scrierile reproduse mai sus ca “sforţări de generalizare” a unor mărunţi matematicieni care doresc şi ei să se împăuneze drept nişte demni urmaşi ai lui David Hilbert, ca nişte mici continuatori ai acestuia. Da’ bine v-aţi trezit s-o faceţi stimabililor, la elevi de-a 5-a şi a 6-a din şcolile de masă? Dar să revenim pe plaiurile mioritice şi să studiem exemplele noastre de scriere generalizată.

Prima întrebare ce îmi trece prin minte este dacă autorii care pun astfel de scrieri în cărţile lor chiar se gândesc că elevii care le vor citi le vor şi înţelege. Vorbesc aici de o adevărată înţelegere la vârstele gimnaziale, nu o simplă învăţare pe de rost şi o posibilă redare fără greşeală, la o verificare. Totodată mă gândesc desigur la o înţelegere directă, nu la una când un adult (părinte sau meditator) îi explică ulterior copilului că “ce şi cum” în scrierea respectivă. Părerea mea este că cei mai mulţi astfel de autori nu au omeneşte cum să gândeasc aşa ceva. Atunci, de ce o fac? Logica ar fi ceva de genul: pentru că aşa se obişnuieşte – un fel de modă – şi oricum “de frică” să nu fie atacaţi că nu pun forma cea mai elevată, sau poate dintr-un fel de mândrie, de orgoliu profesional, pentru a arăta că o stăpânesc. Cât despre elevi în sine: las’ că le explică cineva …

Faptul că nici autorii respectivi nu cred realist în accesibilitatea acestor scrieri se vede de pildă într-una din renumitele culegeri cu teste pentru EN din clasa a 8-a, la partea de recapitulare a materiei de clasele 5-8, acolo unde autorii au pus transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare, atât în forma acestor scrieri generaliste, cât şi imediat alăturat în forma unor exemple numerice concrete (un fel de tabel). Gestul respectiv este foarte bun, însă va avea efect doar dacă elevii mai apucă să se şi uite alături la exemplele concrete, adică nu rămân cumva doar cu spaima şi cu blocajul corespunzător vizualizării formulelor generale. Toate acestea ar reprezenta gânduri legate de accesibilitatea respectivelor scrieri la nivelul elevilor de gimnaziu (a marii mase a elevilor, adică înainte de marea selectare în urma admiterii la liceu).

În mod similar, într-o altă lucrare, redactată ca auxiliar şi destinată direct elevilor de a 5-a, fără nici cea mai mică explicaţie, în finalul pasajului de teorie a transformărilor respective, autorii au mai reluat o dată teoria pe exemple de lungimi particulare, dar scrise totuşi generalist cu diferite litere (a, b, c, d) şi nu cu o literă cu indici. Dacă le-ar fi dat pe acestea primele şi însoţite de nişte explicaţii, că ce vor acele scrieri, atunci poate că unii elevi le-ar fi înţeles; aşa însă, mă îndoiesc că înţelege careva acasă fără “traducere” din partea unui adult sau măcar a unui frate mai mare.

Eu aş pune însă şi următoarea întrebare: oare, unde este predarea intuitivă recomandată prin programa din 2017, cel puţin pentru primele clase gimnaziale, în predarea acestor noţiuni? Dar, mai ales, unde este mentalitatea de predare intuitivă din mintea autorilor, în general a profesorilor? “Ce-i aia?“, veţi întreba. Pentru că – da –nimeni nu s-a ocupat să prezinte aşa ceva profesorilor. Doar s-a cerut prin noua programă, recomandându-se foarte civilizat să se folosească o predare mai intuitivă. Aici îmi permit o observaţie la adresa autorilor sugestiilor metodologice din deschiderea programei de gimnaziu 2017. În lumea profesorilor de matematică din şcolile româneşti din această epocă post-comunistă, oamenii nu reacţionează eficient decât tot doar în urma unor presiuni destul de dure din partea autorităţilor. Profesorii au fost obligaţi în mod deosebit de dur să abandoneze predarea intuitivă începând orientativ din 1980, deci ca politică de stat pe parcursul a zece ani (până în 1989). În anii ’90 predarea riguros teoretică era deja înpământenită în mentalul general, în acei ani continuându-se politica de predare riguroasă, deoarece nimeni nu a pus-o în discuţie. Cât despre noii absolvenţi de facultăţi, toţi profesorii proaspeţi de matematică ieşeau oricum de pe băncile facultăţilor fără nici cea mai mică urmă de metodă intuitivă în predare (cei mai mulţi, ca să nu exagerez: eu am găsit câţiva care stăpânesc destul de bine predarea intuitivă). Acum, din marea majoritate, nimeni nu prea mai este dispus să facă pasul înapoi, mai ales că este vorba despre un pas “în necunoscut”: nimeni nu mai ştie ce-i aia predare intuitivă. Dovada? Formulele de tipul scrierilor de mai sus.

Ce-i de făcut? Sunt absolut sigur că dacă s-ar dori cu adevărat, s-ar putea face trecerea şi înapoi. Trebuie doar declarată un fel de “politică de stat” trecerea înapoi la folosirea intuiţiei adevărate. Din păcate, nici voinţă nu se prea vede în acest sens, nici o lămurire clară a breslei nu este “target-ată” cu adevărat, dar nici măcar pentru cei ce ar dori să o facă pe cont propriu nu există clar o bază bibliografică în direcţia respectivă. Doar “s-a sugerat” în Sugestiile metodologice prin repetarea aproape obsesivă a cuvântului intuitiv (de 20 ori, în diferite forme). Şi, cine nu vrea, sau cine nu înţelege ce-i aia, sau cine a uitat pur şi simplu, luându-se cu altele, sau cine a înţeles-o total greşit ideea asta cu folosirea intuiţiei, adică pentru marea masă a profesorilor, ce se întâmplă dacă nu se conformează acestor sugestii? Nimic nu se întâmplă, pentru că nu mai suntem în comunism, veţi răspunde. Stalin spunea despre sugestiile şi recomandările primelor plane cincinale că sunt obligatorii; pe când a ajuns sistemul respectiv la noi, cel puţin prin anii ’80, ştim noi cât mai era de “obligatoriu” planul cincinal (aveam desigur experienţă de secole cu fentarea diferitelor imperii care încercau să “tragă pielea de pe noi”; povestea cu apariţia cuvântului şmecher din germanul Schmecker este absolut sugestivă în acest sens). Cam aşa au fost preluate de către profesorii de matematică şi sugestiile metodologice din programa de gimnaziu din 2017. Pentru cine încă nu crede ce tot zic eu aici, luaţi ca exemplu scrierile de mai sus.

Dar cum ar trebui predate acestea? Simplu: câteva exemple de diferite lungimi (cu 3, apoi cu 4 sau cu 5 termeni, adică nu cu n termeni) sunt suficiente pentru orice elev care vrea să înveţe. Iar pentru cei care tot nu le înţeleg sau nu vor să le înveţe, pentru aceştia fiţi siguri că formulele generale oricum nu vor schimba situaţia (eventual doar le vor confirma poziţia). Ce este important e ca atât pe tablă, cât şi în caietul elevilor aceste exemple cu rol de model să fie înrămate ca orice formule (eu chiar scriu lângă sau sub ele, sau deasupra lor cuvântul MODEL, cu majuscule). Asta îi atrage atenţia că acolo este ceva foarte important, este uşor de găsit şi ajută la ideea că trebuie învăţat ca principiu, dar nu pe de rost!

Astfel de modele activează instant un tip de înţelegere intuitivă a fenomenului. Elevul nu are nici cea mai mică problemă să-şi imagineze o nouă situaţie similară, dar cu alte cifre şi cu alte lungimi ale fenomenului (câţi termeni în media aritmetică ponderată sau câte cifre în perioada unei fracţii zecimale de transformat în fracţie ordinară). Privind gândirea copilului în acest moment, putem spune că intuiţia este de fapt o gândire logică într-o formă primitivă, nedezvoltată, neevoluată la un nivel “maturizat” al gândului. Gândirea elevului “se forţează” în acele momente, dar este o forţare mult mai accesibilă majorităţii, se forţează să cuprindă noua realitate, să înţeleagă pe mintea lui “cum se face, care este regula aici”. Această forţare, cu doar puţine explicaţii, îi activează intuiţia, generând încet dar sigur gândire.

Folosirea cât mai des a acestui tip de paşi activatori de gânduri logice pentru înţelegerea unui fenomen, duce cu timpul la formarea unei gândiri observaţionale raţionale solide, practic formează gândirea. Dimpotrivă, formulele generale sigur nu formează gândire la vârstele gimnaziale. Redarea unor astfel de formule învăţate pe de rost este doar dovada unei capacităţi deosebite de a învăţa pe de rost orice (respectiv altceva decât un text care rimează, pentru că aia este din nou un alt tip de memorare). În nici un caz însă redarea unor astfel de formule generale nu este o dovadă a înţelegerii fenomenului în gimnaziu, darămite o dovadă de gândire (în liceu, la clasele cu matematică mai serioasă, acolo se prea poate să fie aşa; mai exact, în liceu poate apărea înţelegera formulelor generale, dacă înainte, în gimnaziu, a fost exersată înţelegerea intuitivă pe baza exemplelor particulare). Teoretic, nu le-aş exclude astfel de situaţii şi în gimnaziu, dar cred că sunt extrem de rare cazurile când un elev de la acest nivel poate să redea aceste formule generale şi le şi înţelege cu adevărat.

Ca o paranteză, nu vreau să iau aici în considerare situaţii artificiale când cineva ar petrece suficient timp cu un copil sau cu o grupă, cu o clasă, pentru înţelegerea sistemului redacţional al acestor formule generale, analizând totodată suficiente exemple astfel încât elevul/ elevii respectivi să ajungă a înţelege şi a stăpâni sistemul respectiv, totul pentru a-mi demonstra mie că nu am dreptate în cele afirmate mai sus. Desigur că se poate face aşa ceva, dar cine petrece atâta timp doar pentru ca elevii să priceapă un sistem general de redactare a formulelor, sistem care le este total străin şi nu le trebuie nicunde. Şi, cam cât timp ar lua să-i aduci pe unii de-a 5-a, pe toată clasa, şă ştie toţi cu adevărat astfel de scrieri, fie aceasta şiîntr-o clasă bună, selectată? Probabil că doar olimpicii percutează eficient la aceste scrieri.

Revenind în realitatea plauzibilă a lecţiilor de zicu zi, copilul se uită la modelul respectiv şi face “la fel” şi la exerciţiile primite. Făcând suficiente din acestea apare automatismul, se produce fixarea şi elevul “le ştie”. El nu va putea să-ţi redea o formulă generală dar va şti să rezolve exerciţii de acest fel (iar în gimnaziu asta i se şi cere).

Foarte important când dai astfel de modele este să nu dai situaţii dubioase, practic dublări de cifre (de pildă cifra 3 la întregi, dar şi cifra 3 între virgulă şi perioadă, la o fracţie zecimală mixtă), sau dubări de cantităţi (de pildă transformarea fracţiei 0,273(185), deci cu acelaşi număr de cifre în perioadă cât şi între virgulă şi perioadă).

Unele situaţii pot fi prezentate fără dubii printr-un singur exemplu dat ca model; la altele dimpotrivă înţelegerea are nevoie de două, uneori chiar trei exemple diferite. Se prea poate să ne pară că astfel scriem ceva mai mult decât o singură formulă generală, dar din exemple concrete mult mai mulţi elevi înţeleg situaţia, decât dintr-o formulă generală.

O modalitate interesantă la care putem apela pentru a veni în întâmpinarea înţelegerii unui exemplu–model este folosirea culorilor (eventual a sublinierilor cu diferite forme sau linii). De pildă, la modelul de prezentare a unei fracţii zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, eu subliniez de exemplu fiecare cifră dintre virgulă şi perioadă cu o mică “paranteză” pătrată verde (să zicem) şi la fel sub zero-urile corespunzătoare de la numitor, iar fiecare cifră din perioadă cu o “paranteză” rotundă roşie (dacă am) şi la fel la 9-urile corespunzătoare de la numitor. Desigur că aceste convenţii le păstrez la întregul pacheţel de modele de transformare a fracţiilor zecimale în fracţii periodice, asta pentru a da siguranţă înţelegirii intuitive în procesul de transformare a acesteia în gândire, respectiv în sintetizarea în mintea copilului a unor reguli clare (pe care desigur că nu vreau să i le dau în text, pentru că atunci avem o altă belea: elevii încep să înveţe pe de rost texte, fără a înţelege o iotă din ce spun).

Astfel, de fiecare dată când prezint transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare prin modele, eu încep cu un exemplu de transformare a fracţiilor zecimale finite în fracţie ordinară. Culoarea şi forma folosite aici le voi păstra apoi şi la fracţiile periodice mixte, la partea dintre virgulă şi perioadă. În tabloul final elevii le pot vedea dintr-o privire care cu care se leagă (de pildă două paranteze pătrate verzi sub cele două cifre dintre virgulă şi perioadă, dar şi sub cele două zero-uri de la numitor, apoi trei paranteze rotunde roşii sub cele trei cifre din perioadă, dar şi sub cele trei cifre de 9 de la numitor; la fracţia zecimală finită apăreau astfel în primul exemplu doar paranteze verzi pătrate).

Revenind la alegerea exemplelor din care elevii să “deducă intuitiv” regula şi peste zile sau săptămâni, atunci când se uită în urmă şi găseşte modelul înrămat, există desigur pericolul apariţiei unor exemple care produc o sugerare intuitivă către o regulă greşită. De pildă, la exemplul 1 : 3 = 0,(3) trebuie neapărat să dăm imediat şi un exemplu de felul 5 : 3 = 1,(6), pentru a nu permite confuzii. După primul exemplu elevul ar putea fi tentat să considere că împărţitorul se pune în perioadă (mai nou, la această lecţie). Exemplul al doilea (cu împărţirea alăturată) ne exclude o astfel de posibilitate de “înţelegere”, astfel încât, chiar dacă este mai dificil, elevul va înţelege sursa corectă a modelului. De fapt, primul exemplu de aici este un foarte bun contraexemplu despre cum nu ar trebui să fie alese astfel de modele de rezolvare (am mai discutat pe larg despre alegerea acestor exemple).

În acest context, revenind la predarea intuitivă, noi trebuie să avem în vedere că intuiţia în formele ei iniţiale de manifestare nu este neapărat o gândire logică foarte stabil corectă. Impresiile intuitive ne pot înşela, iar elevii din vremurile noastre sunt deosebit de vulnerabili la acest fenomen. Asta se întâmplă şi pentru că nu mai au atâta de multă răbdare (ca în urmă cu 20-30 de ani), folosirea în masă a ecranelor de toate tipurile ducând la un deficit de atenţie generalizat la marea masă a populaţiei şcolare (iar cei doi ani de predare online numai nu au ajutat la preîntâmpinarea acestui fenomen).

Aşadar, ca să închei într-un mod fără echivoc, rezum acest eseu printr-un NU! foarte hotărât împotriva folosirii formulelor generale cu n termeni în clasele gimnaziale, la introducerea în lecţii; cel mult la recapitularea din a 8-a pentru EN, dar atunci neapărat însoţite de exemple (în acest caz însă cu exemplele date mai întâi, şi doar apoi în forma generală). C. Titus Grigorovici

P.S. Un astfel de exemplu “la jumătatea drumului”, adică într-o formă semigeneralizată, am găsit într-o carte veche de pregătire a admiterii în licee. Este vorba de lucrarea MATEMATICĂ pentru candidaţii la examenele de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, din 1970, autori Maria Dinescu, Ivanca Olivotto, Rosa Gruia. Exemplul respectiv vroia să demonstreze de ce fracţiile periodice simple se transformă în fracţii ordinare cu partea din perioadă la numărător, iar la numitor atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă. Este evident că la vremea respectivă autorii au considerat că în clasa a 8-a elevii pot duce atâta generalizare şi nu mai mult. Iată materialul respectiv de la pag. 38-39:

Pe exemplul de mai sus putem filozofa puţin, observând cui i se adresează această lucrare, deci şi materialul reprodus aici, anume candidaţilor la examenele de admitere în licee, adică sigur nu marii mase a populaţiei şcolare, fie ea şi doar de la oraşe. Pe vremea respectivă examenul din finalul clasei a 8-a era benevol, nu general, deci şî pregătirea “aşişderea”! Trebuie precizat totodată că pe vremea aia elevii mergeau la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani şi împlineau 14 ani în clasa a 8-a. Am putea astfel asimila vârsta respectivă cu cea a elevilor actualli de a 7-a.

Revenind la scrierea de mai sus, vedem că pasajul generalizat apare în sensul demonstrativ (10ⁿ – 1), nu în sensul rezultatului (999…9), şi desigur doar după câteva exemple concrete (nu cum se face acum în sens prea elevat teoreticist, anume că se dă mai întâi teoria generalizată, iar apoi câteva exemple de înţelegere). După pasajul reprodus aici, în cartea respectivă urmează ca a doua regulă şi deducerea pe exemple a variantelor cu fracţii zecimale periodice mixte, doar că la acestea autorii nu au mai prezentat şi o scriere generală (!!!). Probabil că au considerat că acestea sunt clar prea grele, chiar şi pentru elevii de final de ciclu gimnazial. Las’ că “noi” le dăm la ora actuală chiar şi în clasa a 5-a! Oare a fost făcut un studiu despre care eu încă n-am aflat, un studiu, conform căruia din 1970 şi până acum să fi evoluat puternic inteligenţa elevilor români??? În sus, desigur!

Adaptând cele de mai sus, la recapitularea din clasa a 8-a (sau poate în a 7-a, atunci când ne întâlnim cu o astfel de situaţie), eu folosesc o scriere parţial generală, respectiv parţial particulară, care am văzut că prinde bine la elevi (în finalul gimnaziului la cei mai mulţi). Astfel, considerăm numărul N = 0,(abc), care este apoi “prelucrat” puţin, fiind înmulţit cu 1000, obţinându-se astfel 1000 N = abc,(abc). Vă rog să puneţi dvs. bara de scriere zecimală deasupra, deşi aţi văzut că în lucrarea din 1970 nu apare. Scăzând cele două egalităţi obţinem că 999 N = abc, de unde deducem că N =  abc/999 (tot cu bară deasupra). Vedeţi cu demonstrţia respectivă are o parte clară de “caz particular”, faptul că sunt exact trei cifre în perioadă, dar şi o parte de situaţie generală, faptul că nu sunt date trei cifre concrete în perioadă, ci sunt date litere. Evit însă să dau o literă repetată cu diferiţi indici.

Apropos de bara deasupra folosită în România pentru scrierea zecimală generalizată, adică atunci când cifrele nu sunt date concret, numeric: este evident că la mulţi elevi aceasta poate produce mare bulversare, mai ales atunci când este folosită în scrieri cu fracţii ordinare. Imaginaţi-vă copiii aceia care încearcă să copieze frumos de pe tablă (de obicei elevi care au şi rămas puţin în urmă, poate pentru că profesoara tocmai scria, şi deci nu se vedea la tablă), iar când se uită nici nu înţeleg de ce în scrierea respectivă apare linie şi deasupra, sau apar uneori chiar două linii de fracţii. Folosită o astfel de scriere în clasa a 5-a, alături de folosirea literelor, cu indicii respectivi, în care mai apare şi pasajul cu “puncte puncte”, aceasta duce la blocarea generală şi sperierea definitivă a elevilor. Fără discuţie!

P.P.S. Dacă aveţi impresia că le-am spus “pe toate” atunci vă înşelaţi. Am găsit într-o culegere (nu spui care!) o astfel de generalizare la geometrie, concret la lecţia despre poligoane regulate din clasa a7-a, unde desigur am putea să discutăm despre poligoane regulate cu 3; 4; …; n laturi. Este o culegere care la începutul fiecărei lecţie prezintă pe scurt partea teoretică, fără demonstraţii, dar mai ales, la multe lecţii fără figura corenspunzătoare. Ei, dar la această lecţie autorii s-au gândit să dea totuşi o figură, însă numai una (ca să nu ocupe prea mult loc). Aşa că au dat o figură generală pentru un poligon regulat “cu n laturi”. Uau! Am trăit să o văd şi pe asta!

Gândiţi-vă ce poate înţelege un elev de clasa a 7-a din această figură, un elev care n-a văzut în viaţa lui un poligon regulat cu mai multe laturi. Apropos scriere corecte, veţi spune, lipsesc renumitele “…” (puncte puncte), care să transmită mesajul “şi tot aşa mai departe, până la”.

Ca să nu închei pe acest ton dur, ci să dau şi o soluţie, din experienţa mea în acest sens, eu consider că elevii vor înţelege uşor, intuitiv, ce-i acela un poligon regulat dacă le vom da următoarele elemente. În primul rând, eu le scriu o listă cu denumirile poligoanelor regulate, începând cu triunghiul echilateral şi cu pătratul, şi mergând măcar până la decagon şi dodecagon (explicându-le desigur originea denumirilor în numerele pe limba greacă). În condiţiile actuale această listă ar putea acţiona ca suficientă şi de una singură, cu precizarea de temă să caute pe net imagini cu acestea.

În al doilea rând, eu petrec cu ei timpul pentru a construi un octogon regulat. Acesta îmbină cel mai bine accesibilitatea cu înţelegerea fenomenului general. Înaintea studiului ariei discului, mai fac de obicei şi construcţia unui dodecagon regulat (12 laturi) prin împărţirea cercului cu raportorul, pentru a-i calcula aria (3r²; se face cu cateta opusă unghiului de 30^o; ulterior, la după lecţia de trigonometrie, se poate determina ca exerciţiu şi formula ariei octogonului regulat în funcţie de rază).

De fapt, nu pot spune dacă este mai bine să le dăm întâi lista cu toate acele denumiri ciudate (pentagon, hexagon, heptagon, octogon etc.) şi doar apoi să desenăm un octogon regulat, sau dimpotrivă să desenăm mai întâi unul din acesta ca exemplu pentru înţelegerea titlului şi, doar apoi lista cu denumirile respective. Din punct de vedere metodolocic, fiecare variantă are aventajele ei. Oricum, sigur este că de-abia apoi, cel mai bine în ora următoare, putem să predăm cazurile particulare studiate tradiţional în România (cele cu formulele respective de arie, înălţime, apotemă etc. pentru triunghi echilateral, pătrat şi hexagon regulat). Să filozofăm puţin pe seama acestora trei.

Atât triunghiul echilateral, cât şi pătratul, au “o viaţă” separată de ideea de poligon regulat. Ca să le înţelegi apartenenţa lor la “familia” poligoanelor regulate trebuie să înţelegi mai întâi această familie pe nişte cazuri mai apropiate de ideea generală de “poligon regulat”. Hexagonul regulat se mai apropie puţin de această idee generală, dar acesta are proprietatea absolut specială că este format din şase triunghiuri echilaterale. Pentru a înţelege faptul că aceasta este o proprietate absolut remarcabilă, trebuie să avem viziunea de ansamblu, anume că poligonul regulat este compus din  mai multe triunghiuri în general isoscele dispuse “roată în jurul vârfului” (şi de obicei triunghiul isoscel este perceput ceva mai strâns decât cel echilateral). De-abia după înţelegerea măcar a unui caz cu mai multe laturi şi cu unghiurile la centru mai ascuţite, se poate merge la triunghiul echilateral (care se descompune în trei triunghiuri isoscele obtuzunghice), apoi la pătrat (care se descompune în patru triunghiuri isoscele dreptunghice), respectiv la hexagonul regulat (exagonul, cum îl denumesc unii colegi) care se descompune în şase triunghiuri şi care de data asta sunt chiar echilaterale, fiind isoscele cu unghiul la centru de 60^o. Aici poate fi observată o mare bucurie la mulţi elevi obişnuiţi (“elevul mijlociu” al lui Hollinger).

În acest context, nu pot să nu observ la figura de mai sus că aceasta prezintă de fapt o jumătate dintr-un hexagon regulat, în care de fapt singurul triunghi isoscel desenat complet este un triunghi echilateral. Pe lângă faptul că şi din acest motiv abordarea generalistă respectivă nu poate conduce mintea copiilor spre realitatea că “un pologon regulat cu n laturi este compus din n triunghiuri isoscele“, eu mă întreb dacă autorii respectivi ştiu ce-i acela un poligon regulat, altul decât cele trei cazuri obligatorii prin programă. Cred totuşi că ştiu, dar nu-i dau defel atenţie fenomenului. Dar atunci mă întreb, de ce mai denumim lecţia respectivă “Poligoane regulate”? Aşa, ca să ne dăm mari cu încă o noţiune ciudată, pe care elevii n-au cum să o înţeleagă? Doar aşa, ca să priceapă cât sunt ei de proşti şi cât suntem noi de deştepţi?

Plecând de la respectivele triunghiuri isoscele cărora le putem stabili unghiul din vârf, cel de la centrul cercului, se pot desigur determina şi unghiurile poligonului regulat în diferite cazuri particulare (sarcină accesibilă şi totuşi nebanală pentru “elevul mijlociu”), dar din păcate această parte a fost scoasă din materie, deci profesorul este atacabil dacă o parcurge şi o cere ca sarcină de lucru şi de evaluare (că pentru olimpici oricum nu se fac “banalităţi” de felul ăsta). Astfel, pentru cei doritori, pentagonul (ca să apară şi acesta) sau decagonul oferă calcule banale, la fel şi nonagonul; octogonul face o şmecherie în care aparent elevii dau de fracţie zecimală în procesul de calcul, dar în final rezultatul este tot o măsură întreagă. Aici ajunge să se activeze gândirea într-un mod magistral, pe baza unui exemplu de dilemă cognitivă foarte drăguţ. Dar, cine mai face chestiuni din acestea?

Toate acestea însă, nu sunt valabile pentru autorii auxiliarului din care am găsit figura de mai sus (nici excluderea din materie, nici studiul situaţiei pe cazuri concrete, altele decât cele trei obligatorii din programă). Aceştia prezintă alături de figura respectivă şi formula generală în funcţie de n pentru măsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi. De ce? De aia! Că pot!

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Procesul a început în urmă cu decenii, la început fiind luat ca reper şi ca justificare nivelul celor mai buni elevi. O altă cauză este faptul că au fost coborâte în clasele gimnaziale lecţiile în forma în care acestea se parcurgeau la o a doua trecere, una mai elevată, doar în liceu. La ora actuală, în multe cărţi şi la mulţi profesori avem o atitudine de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice. Pentru că există desigur întordeauna riscul ca să ne apostrofeze careva de felul “cum, nu şti forma generală, cea de vârf?” (de curând am vorbit despre aceste aspecte urâte ale interacţiunii din lumea profesorilor de matematică).

Desigur că fenomenul se petrece şi în cadrul claselor gimnaziale, adică între acestea, ca anumite elemente să fie predate în clase mai mici, deşi elevii nu au capacitatea sau cunoştinţele necesare a le pricepe decât mai târziu, după ce au învăţat elemente suplimentare. Profesorii, care însă cunosc toată materia, au în astfel de momente dificultăţi reale de a nu “turna toată tema respectivă” peste elevi în lecţia predată într-o clasă mică. În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme prea elevate pentru o primă abordare.

Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii pot descrie multe) şi se îndepărtează de matematică. În funcţie de posibilităţi părinţii reacţionează angajând un meditator. Mulţi dintre aceştia, la rândul lor, fentează parcurgând cu elevii lecţiile în avans, între patru ochi existând şanse mai mari ca elevul să priceapă totuşi ceva, mai ales dacă o faci înainte de a fi intervenit sperietura de la clasă.

O altă urmare este faptul că cei mai mulţi elevi reduc matematica la un set de reguli şi de texte ce trebuie pur şi simplu învăţate pe de rost, gândirea fiind eliminată cu totul din discuţie (din procesul matematic). Dramatic este faptul că elevii nici măcar nu înţeleg că ei nu gândesc. Astfel, ei ajung să confunde înţelegerea adevărată, gândită, cu impresia că pot să redea ceva (total sau într-o oarecare măsură): dacă pot reda o situaţie înseamnă că au înţeles. Asta nu este însă de obicei adevărat: imediat ce schimbi puţin (sau mai mult) modelul, vei vedea o bulversare generală, manifestările mergând de la blocaj total până la situaţii în care vei primi rezolvări total anapoda (de pildă, demonstraţie cu metoda triunghiurilor congruente la probleme unde nici măcar nu apar în figură triunghiuri congruente).

*

Să abordăm deci primul exemplu propus, anume includerea cuvântului “coplanare” în definirea dreptelor paralele din prima parte a clasei a 6-a (unii profesori se “pot trezi” să o dea chiar şi în a 5-a): Două drepte coplanare care nu au puncte comune se numesc paralele (sau orice altă variantă pe care o preferaţi, de pildă cu folosirea cuvântului “neintersectate” etc.).

Să ne punem în locul elevilor. În faţa lor se deschid două căi: fie înţeleg lucrurile şi atunci le pot reda, eventual cu cuvintele lor, dar oricum le pot desigur folosi la nevoie, fie nu le înţeleg, iar atunci apare impulsul de a le învăţa pe de rost (impuls personal sau la sugestia părinţilor). Incluzând în această definiţie un cuvânt pe care elevii nu-l înţeleg, asta duce la obturarea căii de înţelegere a noţiunii, apare sperietura şi blocajul şi rămâne ca soluţie disperată doar învăţarea pe de rost. În acest caz însă, la cei mai mulţi elevi memoria nu poate duce pe durată stăpânirea definiţiei, fără să mai discutăm că nici măcar nu putem spera la apariţia cu timpul a înţelegerii noţiunii, pentru că mentalul a fost blocat de sperietura iniţială.

Aşa se ajunge la starea de toceală împănată cu multe spaime în matematică. Rezultatul este că o noţiune elementară, destul de accesibilă în principiu, devine un “balaur” pe psihicul copilului. Apoi, cuvântul fiind relativ lung şi având deja ataşată sperietura, starea de frică se extinde şi la alte situaţii, de pildă la noţiunea de drepte perpendiculare (tot un cuvânt lung şi începând cu litera p).

Desigur că, din punct de vedere al rigurozităţii exprimării matematice, cuvântul “coplanare” nu poate fi omis, pentru că asta ar lăsa “portiţa deschisă” pentru posibilitatea ca “cineva” să înţeleagă şi posibilitatea acelei poziţionări denumită în clasa a 8-a drept “necoplanare”. Să analizăm puţin aspectele acestui moment.

Păi, în primul rând, putem susţine liniştit că marea majoritate a elevilor nu vor “vedea” situaţia dreptelor necoplanare, mai ales dacă profesorul desenează imediat măcar o reprezentare a două drepte paralele (renumitul efect de “în figura alăturată” care îi direcţionează elevului înţelegerea). Totuşi, există în continuare riscul ca un “mic Einstein” să “scoată porumbelul pe gură”, respectiv să ia profesorul la întrebări, că “şi dacă le pune aşa:…?” arătând sau sugerând cumva situaţia dreptelor necoplanare (de pildă cu două creioane în aer).

Acest lucru se poate intâmpla din două cauze: fie acelui elev chiar “i-a mers mintea” singur, adică a văzut în propria imaginaţie poziţia unor drepte necoplanare (neintersectate dar nici paralele), fie elevul are informaţia respectivă primită deja de undeva. În primul rând, eu consider ca extrem de rară prima situaţie, acea când elevul “vede singur” poziţia respectivă (nu imposibilă, dar foarte puţin probabilă).

Revenim aşadar la faptul că unii copii află lucrurile mai devreme decât din lecţia de la şcoală. Am povestit despre situaţia când un meditator particular parcurge lecţiile în avans (un fenomen foarte urât, ce se întâlneşte pe scară tot mai largă în oraşele româneşti). Desigur că sunt probabili şi părinţi care au ajuns la concluzia că trebuie ei însuşi să facă aşa ceva. Există şi elevi care ajung la concluzia că e bine dacă fac aşa ceva: au mult mai mult succes la ora următoare dacă citesc în avans lecţia din manual, iar cu timpul acest model le devine felul lor de a fi. Desigur că nimeni nu se gândeşte care este efectul unei astfel de acţiuni asupra celorlalţi elevi sau asupra mersului lecţiei în general.

Există şi o altă cale prin care diverse cunoştinţe pot ajunge ca informaţii la copii, anume prin diferite cărţi cumpărate de către părinţi sau diverse rude/ prieteni, date copiilor doar aşa, “să-i trezească curiozitatea”. Copiii le parcurg mai mult sau mai puţin superficial, dar oricum rămân cu cuvinte sau cu imagini şi pe baza cărora intervin în lecţii ulterioare (dacă îşi amintesc). Există diverse astfel de cărţi, inclusiv unele cu o parcurgere destul de superficială, gen “enciclopedie în imagini” traduse din alte limbi. Acestea alimentează şi ele respectivul fenomen de “care pe care”, fenomen de dat mare pe baza a care ştie mai multe şi mai repede. Desigur că nici internetul nu poate fi exclus din această discuţie, deşi nu i-aş acorda o pondere prea ridicată.

Să revenim totuşi la cuvântul nostru buclucaş. Cuvântul coplanar este un termen tehnic ce ţine de clasa a 8-a, respectiv de geometria în spaţiu; acelaşi lucru este valabil şi în legătură cu cuvântul necoplanar. Înţelegerea cuvântului coplanar are loc atunci când este privit din afară (din afara unui plan), adică atunci când persoana care-l foloseşte se poziţionează “mai sus”, adică “la un nivel superior”, în cazul acesta la nivel 3D, din care ne uităm la o parte a “lumii în care suntem” – asta putem să facem uşor – şi îi analizăm “un obiect”, o zonă etc.

Dimpotrivă, în clasa a 6-a copilul este mental “în plan”, adică în geometria 2D, specifică unei poze, aşa încât el nu este în stare să facă acest “flip-flop”, această tumbă imaginară, de a se ridica în 3D (într-o “altă dimensiune”), pentru a analiza situaţia, iar apoi de a coborî din nou în starea mentală de 2D. Acest lucru este valabil mai ales dacă nu se face nici cea mai mică pregătire în acest sens.

Mai există însă şi un alt aspect – deloc neglijabil, anume acela al autoperceperii profesorului de matematică. Noi, ca matematicieni, nu acceptăm să vorbim folosind aspecte false, neadevăruri. Aşa este fiinţa noastră de matematicieni. Aşa suntem noi. Ca urmare, simpla eliminare a acestui cuvânt nu ar rezolva problema. Ne-ar “zgâria pe creier” pe mulţi dintre noi. Poate că unul sau altul dintre profesori l-ar putea elimina din propria exprimare, din predare (doar aşa, pentru că a înţeles ce perturbare produce acest cuvânt la nivelul majorităţii elevilor), dar sigur nu le poţi cere tuturor acest gest. La nivel naţional soluţia respectivă sigur nu este una viabilă.

Aşadar, ce-i de făcut? De obicei, atunci când ridic o problemă încerc să vin şi cu o soluţie. În speţa de faţă mă tot băteau gânduri de genul: “pe vremea mea”, adică înainte de 1980, în manualele lui Hollinger adică, n-am avut aşa ceva. Mă mulţumeam cu atâta: bodogăneam şi gata. Pănă când mi-am făcut prin vacanţa de iarnă timp şi am scos cutia cu manualele vechi din copilărie. Surpriza a fost destul de puternică: şi Hollinger prezenta situaţia corect şi complet, excluzând neînţelegerea, dar o făcea într-un limbaj “pe mintea copilului”. Iată cum sună definiţia din manualele copilăriei mele:

Definiţie: Două drepte din acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele (A. Hollinger, Geometrie, Manual pentru clasa a VI-a, Editura didactică şi pedagogică, 1977). Pentru înţelegera întregului “tablou” redau în continuare în citat şi următorul rând legat de acest subiect:

Pentru prescurtare, se foloseşte semnul ; de exemplu: AB  CD sau CD  AB (fig. IV.1). Întrerup citatul, precizând că aici, în manual, urmează o figură cu două drepte paralele (“orizontale”; eu aş fi pus şi unele “oblice”; în lecţia de la tablă eu pun întotdeauna trei situaţii: o pereche de drepte “orizontale”, o pereche “verticale” şi una cu drepte “oblice” paralele). Reiau citarea din manualul lui Hollinger:

În definiţia dreptelor paralele trebuie spus că dreptele sînt în acelaşi plan. Dreptele d şi d’ din figura IV.2 (două muchii ale unui cub) n-au nici un punct comun, totuşi ele nu sînt paralele, căci nu sînt în acelaşi plan. (…)

Întrerup din nou citarea textului, făcând o paranteză logică, anume cu precizarea că în continuare autorul se ocupă şi de situaţia ciudată când unor elevi li se prezintă două drepte neparalele sub forma a două segmente ce nu se ating iar unii elevi ar putea considera că aceste drepte nu se intersectează. Este foarte important şă punem elevilor această întrebare, pentru că din răspunsurile greşite (că acestea ar fi paralele de vreme ce nu au nici un punct comun) vom putea vedea care elev nu a ajuns să înţeleagă cu adevărat fenomenul de dreaptă, spre deosebire de cel de segment. Desenul nu i-a ieşit foarte bine lui Hollinger, în figură pârând că dreptele se intersectează evident. Cel mai bine se înţelege fenomenul în doi paşi: pentru început desenăm două segmente ce nu se ating, dar ale căror drepte suport nu sunt paralele (pe vremea respectivă nu se prea vorbea de dreptele suport). În acest prim pas punem întrebarea dacă cele două drepte sunt paralele. Apoi, după un moment de gândire, eventual după ce am auzit prin clasă şi răspunsuri de felul că da, ar fi paralele, atunci, într-un al doilea pas prelungim segmentele respective pentru a arăta că dreptele nu sunt însă paralele (ca în figura completă IV.3 din manual). O variantă interesantă ar fi ca punerea întrebării să aibă loc în legătură cu două “drepte” desenate la marginea tablei, punctul lur de intersecţie fiind situat în afara teblei. Hollinger mai dă apoi şi un exemplu din spectrul iluziilor optice. Textul continuă apoi cu Postulatul lui Euclid, cu analiza acestuia şi cu două desene sugestive pentru lămurirea situaţiei. Pentru cei care doresc să vadă în detaliu aceste aspect ataşez cele două pagini despre care am vorbit (pag. 62-63), decupate doar cu ce ne interesează aici):

Dar să revenim la cuvinţelul nostru. Deci, putem vorbi liniştit de două drepte “cuprinse în acelaşi plan” (“situate în acelaşi plan“, sau cum a zis Hollinger: “din acelaşi plan“), în loc să folosim termenul mult mai riguros de “drepte coplanare”.

Oricum, veţi spune, tot se face referire la ideea de “plan”, iar asta ar trebui lămurită înainte. Şi da, aveţi dreptate, iar Hollinger a şi făcut-o, chiar la începutul manualului (care reprezenta totodată şi începutul geometriei, pe vremea respectivă începutul geometriei riguroase nefăcându-se în clasa a 5-a). Astfel, la începutul manualului găsim următoarele precizări, în cadrul primei lecţii (1.1 Planul. Punctul. Linia) găsim:

Planul. 1) O suprafaţă dreaptă şi netedă, ca de exemplu tăblia unei mese, tabla ş.a. reprezintă un plan. Mai precis, fiecare din ele reprezintă numai o parte din plan. Planul este nelimitat (nesfîrşit). Vom asemui planul cu o foaie de hîrtie sau de tablă foarte subţire, nu se ţine seama de grosimea ei, dar rigidă. Ea nu se poate încovoia, rupe sau găuri. (…)

Pe următoarea pagină găsim: 2. Punctul şi linia. Cînd atingem uşor hîrtia cu vîrful creionului, pe hîrtie apare un punct. Cînd mişcăm creionul astfel încît vîrful lui să alunece pe hîrtie, apare o linie. Orice linie este formată din puncte, aşezate unul lîngă altul, fără goluri între ele. (…) Punctul şi linia sînt figuri geometrice. Cu ajutorul lor se pot reprezenta obiectele din realitate, ele sînt modeleale acestor obiecte.

3. Geometria plană. Unul sau mai multe linii sau puncte formează o figură geometrică. Cînd toată figura se găseşte într-un plan, se spune că figura este plană. De exemplu, triunghiul, dreptunghiul, cercul ş.a., sînt figuri plane. În cadrul acestei cărţi se expun proprietăţile figurilor plane. Această parte a geometriei se numeşte geometrie plană.

4) Figuri geometrice, puncte şi linii se pot desena şi pe un cilindru (un burlan sau o cutie de conserve), sau pe o sferă sau pe o altă suprafaţă, (…). Studiul acestor figuri nu intră în cadrul acestei cărţi. De asemenea, geometria se ocupăcu studiul unor corpuri, cum ar fi paralelipipedul, cilindrul sfera ş.a. Această parte a geometriei se numeşte geometrie în spaţiu. Pentru cei doritori de un studiu complet, ataşez aici şi paginile respective în integralitatea acestei prime lecţii (din pag. 3-5, rearanjate aici electronic în două pagini):

După cele două pagini introductive, de la începutul manualului, profesorul Hollinger putea liniştit să folosească expresia “două drepte din acelaşi plan”, fără a avea grija că încalcă nevoia de rigurozitate naturală a profesorilor de matematică, atâta cât se manifestă aceasta la nivelul matematicii gimnaziale, respectând totodată şi posibilităţile de înţelegere a elevilor din clasa a 6-a. Eu personal, oricum nu ţin minte să fi avut momente de neînţelegere.

Revenind în timpurile noastre, spre finalul acestui prim sfert al secolului XXI, eu cred că oricine poate la începutul geometriei, adică atunci, în clasa a 5-a, să povestească în felul acesta elevilor – 5 minute, cel mult 10 – despre plan, despre puncte sau linii, despre geometria plană şi despre geometria în spaţiu, fără a intra în detalii prea tehnice şi fără a apela, de pildă la renumitele reprezentări grafice ale unui plan în formă de paralelogram etc. Doar o poveste care apelează la exemple banale din lumea cunoscută a copiilor (mie îmi place exemplul cu geamul) este suficientă ca să lămurească ideea, iar apoi se poate folosi termenul liniştit.

Ca o observaţie colaterală, merită menţionat că Hollinger vorbeşte întotdeauna despre “plan”, adică la singular, şi nu despre “plane”. El vorbeşte despre “plan” şi despre “linii sau puncte”. Asta trebuie înţeleasă legat de observaţia de la început, cum se poziţionează mental elevul în 3D pentru a înţelege ce-i acela un plan, fără însă a avea în vizor preocuparea de a lucra apoi cu mai multe plane (specific clasei a 8-a), ci doar de a înţelege şi a descrie cât mai simplu “lumea” în care se va petrece geometria plană.

Dacă aţi studiat textul integral, aţi observat desigur că am omis o mare parte din text, de pildă partea cu alunecarea planului pe el însuşi. Nu o consider relevantă, nici clar folositoare la ceva anume. Am pus în copie prima lecţie integral, dar cred că se poate şi fără această parte, la fel şi fără partea despre feţele planului etc.

În finalul acestui articol, probabil că mulţi dintre dvs. se vor plânge de “un pic cam multă zdroabă pentru un singur cuvinţel! (mai exact exagerat de multă!)”. Totuşi, aici atingem un alt subiect foarte important, extrem de neglijat la ora actuală pe scară largă, anume acela de introducere a unei noţiuni noi. La ora actuală mulţi profesori văd începutul unei lecţii, respectiv partea de introducere a noilor noţiuni, drept o parte de mică importanţă, aproape neglijabilă. Cea mai importantă parte o reprezintă pentru mulţi partea de aplicaţii, cât mai complicate dacă se poate. Pe drumul către aceasta mulţi profesori doresc să parcurgă cât mai repede faza de introducere, de definire a noilor noţiuni sau de predare a teoremelor. Apoi, se aruncă cu mare avânt în aplicaţii cât mai “o-la-la!”. Astfel, cine mai are timp să piardă minute valoroase din oră pe lămurirea ideii de drepte coplanare? Pe bune?! Faptul că cei mai mulţi elevi nu înţeleg mare lucru, acest fapt este din păcate pentru mulţi colegi profesori un aspect total neglijabil.

Nici feed-back-ul primit de către aceşti colegi nu le dă de gândit: dacă la următorul test mulţi copii nu ştiu definiţia dreptelor paralele, atunci urmează o “ceartă zdravănă”, iar la următorul test profesorul ştie că dacă le dă din nou definiţia dreptelor paralele, iar “îi va fi bubuit”. Rezultatul este întotdeauna unul şi acelaşi: toţi ajung să-şi ia meditator particular şi uite aşa ajungem să avem “rezultate bune” cu clasa respectivă.

O componentă aparte a acestei situaţii sesizate aici o reprezintă rolul şi forma definiţiilor, aşa cum acestea au ajuns să fie înţelese în mentalul profesorului de matematică din acest început de secol XXI în şcoala românească. Se apropie tot mai mult momentul când îmi voi face curajul, încercând să abordez şi tematica definiţiilor în matematica şcolară.

Apropos de introducerea noţiunilor, trebuie totuşi să ne mai întoarcem la manualul lui Hollinger din anii ’70. Dânsul a mai aplicat o tehnică interesantă, care din păcate a cam fost abandonată odată cu reforma din 1980, astfel încât la ora actuală profesorii n-o mai cunosc. Este vorba despre introducerea noţiunilor prin predarea în spirală.

Astfel, în manualul respectiv (cel din 1977) Profesorul Hollinger vorbeşte prima dată despre dreptele paralele la paginile 20-21 în cadrul lecţiei 2.2. Relaţia de incidenţă, acolo unde apar pe scurt următoarele idei: Dreapta conţine o infinitate de puncte. (…) Printr-un punct se pot duce o infinitate de drepte. (…) Prin două puncte se poate duce o singură dreaptă. (…) Două puncte determină o dreaptă. (…) În această succesiune se ajunge apoi la: Intersecţia a două drepte conţine cel mult un punct. (…) Teoria respectivă se termină sec cu următoarea concluzie: Două drepte sînt ori concurente, ori paralele. (…)

Am ataşat aici în imagine acest ultim pasaj al lecţiei respective, din care se vede că nu se dă nici cea mai mică atenţie ideii de coplanaritate, dar că Hollinger a pus deja de aici alăturat cele două poziţii posibile în care pot sta de fapt două drepte în geometria plană. După cum spuneam mai la începutul articolului, prezenţa acestor două imagini anulează din start posibilitatea ca vreun elev “să vadă” în acest moment şi varianta dreptelor necoplanare.

Dacă vrem să avem o abordare umană a introducerii noţiunilor, atunci nu ne vom arunca din prima într-o definiţie (elevii nu au de obicei capacitatea de a înţelege o noţiune din prima după o definiţie), ci undeva mai înainte vom intermedia contactul elevului cu acea noţiune într-o formă mai puţin teoreticistă, mai superficială. Hollinger a făcut-o aici în cadrul unui proces de analiză filozofică “în mişcare” intelectuală, folosind intens imaginile alăturate. Putem spune că oarecum elevii ajungeau să întâlnească pentru prima dată dreptele paralele în mod informal, în cadrul unui eveniment cu un cu totul alt subiect (poziţii relative a punctelor şi dreptelor). Cunoaşterea adevărată urma să aibă loc ulterior. Mai mult, în paginile următoare nu apăreau aplicaţii directe la dreptele paralele, doar că după o vreme elevii începeau totuşi să se întâlnească cu acestea în diferite ocazii, însă dar atât. De-abia după lecţia de la paginile 62-63 încep şi aplicaţiile (unghiurile formate de două paralele cu o secantă etc.).

Ca un aspect colateral, desigur că aţi observat aici, “v-a sărit în ochi”, modul de folosire “incorectă” a scrierii din teoria mulţimilor pentru exprimarea intersecţiei a două drepte într-un punct. Ceva de genul: “da’ pân-aici!”. Adică, folosim elemente din scrierea tipică mulţimilor acolo unde acestea ne uşurează scrierea (semnul de intersecţie în locul cuvântului respectiv), dar nu absolutizăm, deci nu îngreunăm scrierea în altă parte. Parcă îl aud spunând pe Hollinger că gândirea fenomenului geometric este oricum foarte grea, nu ne mai trebuie şi o îngreunare suplimentară pe baza aplicării radical-extremiste a scrierilor din teoria mulţimilor. Gen “pân-aici!”: Intersecţia a două drepte este un punct şi nu o mulţime. “Basta!”

Pentru cei ce mi-au urmărit scrierile din ultima vreme, desigur că puteţi sesiza apropierea acestui articol de ideea de “umanizare a matematicii şcolare” exprimată în interviul cu Dl. Profesor Radu Gologan, reluat de curând de la începutul anului 2022. În speranţa unor paşi în acest sens, pe curând!  C. Titus Grigorovici

P.S. Apropos, “pe vremea mea”, acelea nu se numeau drepte “necoplanare”. Eu ţin minte destul de vag denumirea de drepte “strâmbe în vânt” (probabil, tradusă de unii din germană, unde se spune “windschief”; cred că am auzit această denumire în liceu sub forma de “necoplanare sau strâmbe în vânt”). Aruncând o privire şi în manualul de geometrie de a 8-a din 1978, am găsit expresia de “drepte oarecare”, pe care însă nu o consider deosebit de corectă. Nici măcar clasicul desen pentru drepte necoplanare nu apare acolo, ci doar un paralelipiped însoţit de referiri la anumite exemple de muchii, cât şi o imagine reprezentând o cale ferată (cu trenul aferent) ce trece peste o şosea (cu maşinile aferente), desenate în tehnica imaginilor des întâlnite in cărţile de la jumătatea secolului XX.

Oricum, celelalte două poziţii (paralele sau secante) erau şi în manualul respectiv descrise ca “două drepte din acelaşi plan“, în nici un caz drept “coplanare”. Cuvintele tehnic riguroase de “coplanare” respectiv “necoplanare” generaţia mea le-am auzit doar în clasa a 10-a, mai exact la o a doua trecere prin geometria plană. Este foarte important acest aspect: la o primă cunoaştere, termenii noi erau introduşi intuitiv şi într-un limbaj ne-tehnicizat excesiv, urmând ca la o a doua trecere lucrurile să capete clare accente de rigurozitate matură teoretic.

P.P.S. Când să declar articolul finalizat, inclusiv P.S.-ul de mai sus, mi-am dat seama că aş putea arunca o privire şi în manualele anilor 80′ (autori Ion Cuculescu şi Constantin Ottescu). Citez în continuare dintr-un manual din 1988 (îl am şi pe cel iniţial din 1979, dar şi o variantă din 1995, dinainte de marea schimbare din 1997). La pagina 3 manualul începe astfel:

(…) Anul acesta vom începe un studiu sistematic al geometriei. Vom studia o parte din geometria în plan, deci vom studia proprietăţi ale figurilor dintr-un plan dat, fixat. Aici merită deja intervenit: observaţi exprimarea mult prea pretenţioasă pentru copiii de gimnaziu mic (clasa a 6-a), exprimare de origine academică, ce presupune o privire matură, “de sus”, total nepotrivită copilului mic ce ia pentru prima dată contactul cu aceste cuvinte. De-abia apoi autorii îşi aduc aminte să prezinte ce-i acela un plan (tot la pag.3):

Planul este o noţiune abstractă, despre care ne facem o idee apropiată de cea exactă privind, de exemplu, o foaie netedă de hârtie, o pagină de carte, şi închipuindu-ne că această foaie este prelungită la infinit în toate părţile. În plus, această “foaie” nu are grosime. (…) Doar folosind cuvântul “abstract” şi autorii “i-au pierdut” din start pe mulţi copii. Privesc aici doar atitudinea, pentru că oricum copiii nu se apucă neapărat să citească manualul foarte riguros; mult mai des aceştia răsfoiesc manualul şi se uită doar la “poze”. Aşadar mesajul ridicării “lungumii de undă” al limbajului se adresa profesorilor, iar aceştia desigur că le explicau elevilor ce înseamnă aceea o “noţiune abstractă”. Sau nu? Interesant este că autorii erau total preocupaţi de prelungirea planului la infinit în toate părţile, cât şi de faptul că nu are grosime, neglijând total faptul că trebuie să nu fie curb (cum deseori sunt paginile unei cărţi, sau ale unui caiet la început). În manualul din 1995 (care avea pe lângă domnii de mai sus încă doi autori: Stefan Kleitsch şi Laurenţiu N. Gaiu) găsim însă următorul aliniat (pag.3):

Planul este o noţiune “abstractă”, despre care ne facem o idee apropiată de cea exactă privind, de exemplu, suprafaţa unei mese, placa de sticlă de la fereastră, o foaie netedă de hârtie (caiet), o pagină de carte şi închipuindu-ne că toate acestea sunt prelungite la nesfârşit “în toate părţiele”. În plus, vom considera că el nu are grosime. Aha! Deci a revenit “masa” lui Hollinger, respectiv masa pe care lucrează orice copil. Totodată, expresia “prelungită la infinit ” a fost înlocuită cu mai vechea dar şi mai accesibila “ la nesfârşit “.

Dar să avansăm cu această anchetă suplimentară. În manualul din 1988, la pagina 33  apar şi dreptele paralele. Lecţia începe astfel: Să considerăm două drepte diferite a şi b. Ele nu pot avea două puncte diferite comune, deoarece am văzut că prin două puncte trece o dreaptă şi numai una. Uau! Deci pe-atunci nu existau drepte suprapuse! Interesant. Citim mai departe: Se poate întîmpla ca două drepte diferite date a şi b să aibă un punct comun A. (… + figură) E poate întîmpla ca două drepte distincte să n-aibă nici un punct comun.

Definiţie. Două drepte diferite a şi b, care n-au nici un punct comun, se spune că sînt paralele. (… + figură) Interesant este că figura alăturată definiţiei nu prezintă două drepte paralele, ci două drepte clar neparalele, care însă nu se intersectează în zona figurii; aici nu există un desen cu două drepte paralele, ci doar se vorbeşte despre acestea; ciudat! Mult mai interesant e să observăm cum a evoluat situaţia în manualul din 1995 (pag. 92):

(…) dacă două drepte au două puncte comune, atunci ele au toate punctele comune şi se numesc drepte identice sau confundate; (… Aha!) Definiţie. Două drepte distincte (diferite) a şi b conţinute în acelaşi plan, care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.

Deci, pe lângă revenirea la “posibilitatea” ca două drepte să fie suprapuse, vedem că a revenit şi condiţia ca dreptele paralele să fie “ conţinute în acelaşi plan “. Oricum, în 1995 sigur încă nu erau descrise ca două drepte “coplanare” în clasa a 6-a.

Închei aici aceste şapte pagini de zdroabă pentru un singur cuvânt, dar unul folosit în mod extrem de stupid, care terorizează masiv elevii, cu următoarea întrebare: “De ce şi de unde a apărut acest cuvânt în a 6-a?”. O sursă a unui răspuns posibil ar putea consta într-o interpretare prea riguroasă, prea “avântată”, din partea autorilor de manuale sau auxiliare, a unor elemente din Programa oficială din 2017, unde găsim următoarele cuvinte. În clasa a 5-a: Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notaţii). Apoi, în clasa a 6-a: Drepte paralele (…, deci fără aluzie la plan), dar şi Drepte perpendiculare în plan (…). What?

Matematica şcolară românească este orientată şi preocupată obsesiv doar spre acele teme care oferă clar aplicaţii ulterioare. Lipsesc însă preocupările şi cunoştinţele despre subiectele frumoase, dar care nu oferă aplicaţii variate în zona problemelor de concursuri. În general lipsesc cu desăvârşire diverse subiecte matematice care din diferite motive au fost excluse din programa şcolară de-a lungul timpului. Astfel de subiecte lipsesc de obicei şi din cultura generală a profesorilor de matematică, deşi ele apar în diferite situaţii “din afara matematicii şcolare”; ca urmare deci, acestea lipsesc şi din cultura generală a întregii populaţii culte. Cel mai flagrant exemplu în acest sens a fost momentul apariţiei romanului Codul lui DaVinci în începutul căruia autorul Dan Brown a inclus Şirul lui Fibonacci. Toţi oamenii din jurul meu, care citeau cărţi mă căutau la vremea respectivă să le explic ce-i acela Şirul lui Fibonacci.

Unul din subiectele ce mă preocupă este felul în care eu să ofer elevilor de clasa a 8-a cunoştinţe minime, elementare despre octaedrul regulat. Folosesc prezenta postare pentru a trage un semnal de atenţionare la adresa colegilor profesori, pornind de la o apariţie surprinzătoare a acestui corp într-o reclamă difuzată la televiziune, reclamă în care octaedrul apare ca vedetă într-un rol extrem de dureros, încercând să simuleze vizual durerea cauzată de hemoroizi “ştiţi voi unde”. Pentru a înţelege despre ce vorbesc, vă rog să căutaţi reclama la medicamentul Procto Glyvenol la adresa https://www.youtube.com/watch?v=5LRAVsjKq0I .

Aşa, după ce m-am străduit puţin să vă stârnesc un minim zâmbet în colţul gurii, pe baza vizualizării corpului respectiv, aş dori să vă provoc în continuare la a-l cunoaşte cât de cât, astfel încât să înţelegeţi ce spun cănd mă plâng că astfel de cunoştinţe nu sunt defel incluse în materia predată în şcoli. În acest sens voi încerca o minimă prezentare a unor informaţii legate de octaedru. Nu doresc însă să mă lansez într-o prezentare exhaustivă, ci mai degrabă într-o prezentare minimalistă a aspectelor de bază, cu rol de stârnire a curiozităţii cititorului, pe baza căruia să înceapă un proces de căutare pe internet. Astfel, deşi este vorba de o temă de geometrie, a cerei prezentare ar necesita multe imagini, eu mă voi rezuma la a vă prezenta doar în text paşi acestei minimaliste cunoaşteri, urmând ca cei cărora le voi fi stârnit suficient curiozitatea să parcurgă fiecare pentru sine drumul respectiv.

Există cinci corpuri perfecte, aşa numitele poliedre regulate, denumite după numărul de feţe exprimat original de către învăţaţii greci: tetraedrul (4 feţe triunghiuri echilaterale), hexaedrul (adică cubul, având 6 feţe pătrate), octaedrul (8 feţe triunghiuri echilaterale, “prietenul nostru cauzator de hemoroizi”), dodecaedrul (12 feţe pentagoane regulate) şi icosaedrul (20 feţe triunghiuri echilaterale). Toate ar merita extinderea denumirii de “regulate”, dar din motive practice de utilizare sunt denumite simplu, după numărul feţelor. Primele două sunt prezente în programa şcolară românească; ultimele două sunt destul de complicate, desenarea lor fiind o provocare în sine (despre care nu mi-am propus să vorbesc acum). Octaedrul nu e inclus defel în programă, deşi este destul de accesibil, fiind cu totul la nivelul materiei şcolare de clasa a 8-a din România.

Astfel, octaedrul regulat ne apare ca un corp compus din două piramide cu baza comună. Este vorba aici despre renumitele şi foarte des întâlnitele piramide patrulatere cu feţele laterale triunghiuri echilaterale, ştiţi, cele care au câte două feţe laterale opuse perpendiculare. Ca urmare, pentru orice elev binevoitor, chiar şi determinarea formulelor de arie totală şi volum reprezintă nişte sarcini deosebit de accesibile (calcul în funcţie de lungimea muchiei).

Dar, cum se desenează un astfel de corp? Cea mai practică reprezentare grafică este următoarea: desenaţi un cub şi trasaţi diagonalele fiecărei feţe. Apoi uniţi în mod corespunzător centrele astfel obţinute ale feţelor cubului. Desenul implică foarte foarte multe linii, riscând să devină total de neînţeles, aşa că recomand cu căldură ca diagonalele feţelor cubului să fie trasate cât mai fin cu putinţă, doar cât să se poată vedea punctele de intersecţie de pe fiecare faţă. Apoi uniţi cu linie continuă muchiile “din faţă” ale octaedrului, respectiv cu linie întreruptă muchiile “din spate”. Dacă luaţi un creion colorat (sau un alt instrument cu linie fină) şi trasaţi încă o dată octaedrul (de exemplu un roşu ca să semene cu cel din reclamă), atunci se va înţelege foarte bine cum arată acest corp.

Desigur că puteţi să porniţi şi de la un desen clasic al unei piramide patrulatere, construind încă una simetrică “în jos”, dar această metodă nu vă garantează o figură foarte clară, existând pericolul ca octaedrul dvs. să fie prea ţuguiat (şi de pildă să nu îndeplinească perpendicularitatea de care am vorbit, pentru că cei mai mulţi nu dau atenţie unor astfel de detalii când desenează o piramidă – din păcate).

Revenind la cele cinci corpuri perfecte, inclusiv demonstrarea faptului că există doar acestea cinci este o sarcină de nivel gimnazial: faceţi un tabel având pe capul orizontal unghiurile corespunzătoare poligoanelor regulate până la hexagon – 60^o, 90^o, 108^o, eventual şi 120^o – iar apoi analizaţi pe verticală posibilităţile numărului de feţe dintr-un colţ, plecând de la faptul că suma unghiurilor plane din jurul unui vârf de corp nu poate atinge valoarea de 360^o.

Găsiţi elemente la care m-am referit în această postare intrând pe site-ul pentagonia.ro la Revista Pentagonia 1998-2002 şi deschizând pdf-ul cu caietul nr.2 pentru prezentarea octaedrului şi a unor desene legate de acesta, respectiv pdf-ul cu caietul nr.3 pentru tabelul de demonstrare a existenţei doar a celor cinci corpuri perfecte. În caietul nr.4 găsiţi şi ultima parte a seriei despre aceste corpuri.

Dar ce puteţi face cu aceste informaţii? Cel mai simplu ar fi includerea acestora în ore din săptămâna “Şcoala altfel”, sau în diverse alte momente când din diferite motive nu prea se lucrează la ore (de pildă în ultima oră înainte de vacanţă). Desigur că problematizarea reprezintă cea mai raţională cale de a-i implica pe elevi în cunoaşterea acestui corp, astfel încât lecţia respectivă să reprezinte de fapt o ocazie eficient folosită înspre activarea gândirii elevilor (gândire care este folositoare şi la examen!). Ca urmare este evident că nu sunt de părere, dar  defel, ca profesorul să-i dea elevului direct formulele respective.

Lecţia respectivă poate fi studiată şi ca temă, de pildă dând elevului un proiect pentru o notă suplimentară. Cel mai bine ar fi ca în acest caz elevul să primească o minimă listă cu ce ar trebui să includă în “lecţia” respectivă, aşa încât acesta să nu “dea direct pe net” şi să caute ca disperatul, sau dimpotrivă să descarce de-a gata un referat făcut de altcineva (deşi nu cred că există, pentru că nu e în programă).

Dacă aţi apucat să vă obişnuiţi cu acest corp, veţi recunoaşte desigur că acesta este unul foarte frumos, probabil unul dintre cele mai frumoase. Evident că puteţi să abordaţi şi construcţia sa din carton, sau din beţe (de pildă din paie de băut, sau din beţişoare de curăţat urechile, de la care s-a îndepărtat vata, legate cu aţă trecută prin ele). Confecţionat dintr-un carton roşu, octaedrul este deosebit de decorativ în bradul de Crăciun. Pentru o persoană cu dexterităţi migăloase, ar fi o idee de a confecţiona unul mic, cu muchia de 1 cm, pe post de mărţişor (poate unul dintr-un carton fin alb, măcar 120g/mp). Pentru început, însă, vă doresc spor la studiu! CTG

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În primele două părţi ale prezentului eseu am prezentat momentul “întâlnirii” elevilor cu fenomenul periodicităţii zecimale, cât şi mai ales toate gândurile pregătitoare necesare unui dascăl, astfel încât acest moment să fie unul de un impact cât mai puternic, dar totuşi cât mai pozitiv, accesibil şi nefrustrant pentru cât mai mulţi elevi.

Din păcate, în astfel de momente foarte mulţi profesori greşesc. Mentalul nostru general, cel puţin în România, după atâţia ani de zdroabă, împinşi fiind spre olimpiade şi excelenţă, mentalul nostru este focusat pe zona de aplicaţii cât mai complexe ale fiecărei lecţii. Majoritatea profesorilor “cu rezultate” neglijează inconştient începutul lecţiilor. Introducerea noilor noţiuni, itemi, lecţii este total neglijată. Unii “uită” să le facă, alţii le dau să fie copiate acasă din culegere sau mai rar din manual (şi acesta este un fenomen interesant ce ar merita discutat cu o ocazie); alţii îi pun în clasă să copieze lecţia dintr-o carte (cică metode noi – dacă a mers în pandemie, de ce n-ar merge şi acum?, iar profesoara are timp să stea puţin pe telefon). Alţii nu le predau, nu le dau nici ca temă, dar dacă copilul nu stă cuminte la oră este ridicat în picioare şi întrebat din noţiuni nepredate, la care desigur nu ştie şi deci primeşte un 2 (ca să se înveţe minte!).

Chiar şi în afară de astfel de forme extreme, totuşi, în general noi nu mai avem o cultură a introducerii noţiunilor noi la clasă. Fenomenul poate fi explicat şi astfel: tu, ca profesor, ai mai făcut lecţia asta de n-şpe ori; între timp, de la ultima trecere, eventual de anul trecut, ai găsit noi probleme şi de-abia aştepţi să le dai la clasă. Pe tine începutul lecţiei te plictiseşte profund. Doar că, în entuziasmul tău, tu uiţi cumva că aceştia sunt alţi elevi, că aceştia habar nu au despre lecţia respectivă (cel puţin cei cu care nu a parcurs nimeni lecţia în avans acasă! Acesta este un alt aspect ce ar merita tratat separat şi analizat pendelete.).

Da, într-adevăr, majoritatea profesorilor nu se concentrează pe o introducere “organică” a lecţiilor. Desigur că la acest fenomen a contribuit şi moda introducerilor definiţioniste a lecţiilor din anii ’80 ai secolului trecut, modă care nu a fost niciodată luată în discuţie şi în analiză la nivel naţional. Profesorul are impresia că odată date definiţia şi regulile, elevii le ştiu în mod natural şi înţeleg instant toată lecţia. Nimic mai greşit. În plus, profesorii au impresia că, odată prezentate principalele aspecte ale unei lecţii, elevii ştiu automat şi toate aspectele despre care nu s-a vorbit încă în lecţie.

Despre felul în care putem evita astfel de “gafe pedagogice” am încercat să vorbesc “printre rânduri” în primele două părţi ale eseului de faţă. Astfel, am încercat să arăt cum putem veni “din înaltul cerului nostru matematic” în întâmpinarea elevilor novice, cât mai jos, acolo unde se află aceştia înaintea predării lecţiei (încă o dată: asta dacă nu le-a arătat cineva cum stă treaba, dând astfel “spoil” la “filmul” ce urmează a fi vizionat).

Eu, ca profesor, trebuie “să mă cobor acolo jos unde este elevul” (elevul mijlociu), adică să pornesc lecţia mea de la lucruri pe care majoritatea elevilor le ştiu deja bine şi să urc pe o pantă destul de lină, adaptată majorităţii, astfel încât să am siguranţa că “nu pierd pe drum prea mulţi puiuţi”. Lecţia astfel ar trebui structurată încât orice elev binevoitor să meargă cu lucrurile înţelese acasă (bine înţelese şi deja parţial fixate). Aşa se preda pe vremuri (până prin anii ’70) şi până la un anumit nivel al lecţiilor majoritatea elevilor de la toate nivelele nu aveau nevoie de explicaţii suplimentare acasă, nici vorbă de meditaţii regulate (cel puţin nu cei de la mediu în sus, cel puţin nu la o astfel de lecţie cu abilităţi de bază cum este algoritmul împărţirii). Tema de casă trebuie apoi să repete măcar parţial cele întâmplate la oră, astfel încât aceste abilităţi şi cunoştinţe să se fixeze bine.

Nu vreau să susţin că lecţiile de introducere ar trebui să dureze foarte mult, dar nici prea puţin sau defel. Profesorul trebuie să le adapteze la nivelul clasei. La o clasă bună, selectată, lecţia precedentă ar putea să dureze cel mult 15 min. Dimpotrivă, la o clasă ce are şi copii mai slabi la matematică, acestora trebuie să li se acorde mai mult timp pentru digerarea noilor situaţii.

Setul de exemple de împărţiri prezentat în prima parte este suficient de bogat în diversitatea formelor rezultatelor, acesta trebuind repetat şi la temă (desigur cu alte exemple, poate mai multe exerciţii, dar şi eventual amestecate cu câteva fracţii zecimale finite). În altă ordine de idei, sper că s-a observat faptul că setul propus spre parcurgere la clasă este totuşi destul de scurt (cum am spus, la elevii buni probabil până în 10-15 min.). Revin, precizând că acest aspect a fost intenţionat gândit ca atare: pentru elevii slabi o astfel de lecţie este suficientă pentru o oră (la aceştia munca va dura mult mai mult decât la cei buni), putând fi eventual pornită la clasă şi tema pentru casă (aşa sunt de fericiţi când au ocazia să pornească tema la clasă! Cei mai mulţi nu apucă să facă tare mult în ultimele 3-5 minute, dar sunt atât de recunoscători de ideea că tema a scăzut, încât pleacă toţi fericiţi de la ora de mate). Pentru elevii buni, desigur că o astfel de lecţie scurtă lasă loc şi pentru aplicaţii mai grele, atât la începutul orei (deci din lecţiile precedente), cât şi după (deci din lecţia de faţă).

Să revenim însă la fracţiile noastre periodice: mai avem de studiat şi drumul invers, adică transformarea fracţiilor zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare. Elevii cunosc cumva ideea de la fracţiile zecimale finite, unde au cunoscut deja ambele direcţii de transformare şi unde am accentuat asupra faptului că fracţiile au două forme de manifestare, două “limbi de exprimare” şi că noi putem să transformăm o anumită fracţie şi într-o direcţie şi în cealaltă.

Apropos de fracţiile zecimale finite: aici apare un fenomen foarte ciudat din punct de vedere a felului în care văd profesorii o noţiune, o lecţie, un fenomen matematic, pe de-o parte, şi felul în care acesta este văzut de elevii aflaţi în procesul cunoaşterii. Daţi-mi voie să evidenţiez acest fenomen pe exemplul fracţiilor zecimale finite, deşi fenomenul este prezent şi în multe alte locuri.

Fracţiile zecimale apar de la împărţirea numerelor şi nu este normal să îi confruntăm “din prima” pe elevi cu situaţia periodicităţii (aici toată lumea este cumva de acord). Incluzând însă în titlu cuvântul finite, putem genera una din următoarele două situaţii: fie îi derutăm pur şi simplu pe cei mai mulţi, fie dăm “spoil” la ce urmează, adică stricăm surpriza lecţiei următoare, eventual cauzând la elevii mai curioşi impulsul să studieze în avans (pe internet sau întrebând un părinte). Părerea mea este că cel mai des se va întâmpla prima situaţie (că dacă s-ar întâmpla prea destul des a doua situaţie, măcar am ştii că le-am stârnit curiozitatea şi asta tot ar fi bine). Rămânând la prima variantă, uneori chiar am impresia că profesorii asta îşi şi doresc: să-i bulverseze pe elevi (şi de aici am putea să divagăm spre un fenomen ce a ajuns să se manifeste la nivel naţional).

Vorbim aici deci de fenomenul folosirii unor cuvinte sau expresii pe care elevii încă nu au de unde să le ştie, dar pe care programa oficială le impune la un anumit moment. Dar unde mai apare acest fenomen? Păi. să vă dau nişte exemple la întâmplare. Folosirea termenului de număr raţional pozitiv înaintea cunoaşterii numerelor negative va trezi în orice minte ageră curiozitatea despe ce şi cum. Dimpotrivă, folosirea termenului coplanare în definiţia dreptelor paralele din clasa a 6-a va bulversa masiv înţelegerea copilului obişnuit. Mai sus, în a 8-a sau a 9-a, apare un astfel de moment când discriminantul unei ecuaţii de gradul II este negativ şi nu spunem pur şi simplu că ecuaţia nu are soluţii în acest caz, ci ne simţim toţi datori să le precizăm că nu are soluţii reale. Întotdeauna de aici se iscă întrebarea: dar există şi alte numere pe lângă cele reale?

Există şi un exemplu de folosire a unei expresii legată de “ceva” ce însă nu va veni nici pe viitor, conform programei, iar asta o pot descrie ca “răutatea supremă”. Vorbesc aici despre folosirea denumirii de prismă dreaptă cu baza pătrat, ce se întâlneşte foarte des prin cărţi. Descriu asta drept o răutat pentru că elevii nu învaţă dualitatea prismă dreaptă – prismă oblică, dar nici măcar ideea de prismă dreaptă, care ar necesita desigur măcar un exemplu (de pildă o prismă dreaptă cu baza un romb, pe care calculele sunt foarte uşoare). Este evident că dacă ar fi incluse şi acestea în programă. s-ar năpusti toţi olimpiştii în acea zonă. Acestea au fost exluse din materie la începutul anilor ’90, aşa că nici expresii ce ţin de ele nu ar avea voie să apară prin cărţi.

De ce trebuie să le facem asta constant elevilor noştri, această înjosire constantă, prin care să le arătăm sistematic că ei nu ştiu destul? Haideţi să facem un experiment cu dvs., profesori de matematică ce aveţi pretenţia că ştiţi desigur totul despre matematica preuniversitară. Cum vă simţiţi la următoarea afirmaţie: numerele iraţionale de tipul radical din 2 sau radical din 3 etc. au o formă infinită neperiodică, dar asta doar în sistemul de scriere zecimal. Cum adică? Există o altă formă de scriere a acestor numere care este infinită dar periodică?, veţi întreba. Iar eu voi răspunde că Da!, există, doar că dvs. încă n-aţi învăţat-o. Iar acum schimb subiectul, pentru că nu ne-am propus să vorbim aici despre fracţiile continue.

Revenind la fracţiile zecimale finite, după părerea mea acestea pot fi denumite oficial de-abia după cunoaşterea fracţiilor periodice. În acest sens putem face o scurtă sistematizare la sfârşitul orei respective (dacă mai este timp suficient), sau putem să o aducem ca o formă de reactualizare la începutul orei următoare (aşa este poate chiar mai bine). Ca o paranteză pentru pedanţi, experienţa îmi arată că nu apar întrebări de genul: dar există şi fracţii infinite neperiodice? Totuşi, dacă ar apărea această întrebare, le-aş răspunde calm că da, sunt radicalii (de care elevii au cam auzit, că-i văd pe calculatoarele de pe telefoane), doar că despre aceştia vom învăţa prin clasa a 7-a pentru că sunt ceva mai complicaţi.

Înainte de a vorbi despre transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare mai trebuie să prezint un scurt aspect ce ţine de didactica predării. Eu personal mă străduiesc cât se poate de mult să le aduc elevilor noile cunoştinţe în forme pe care ei să le înţeleagă de unde vin. Când predau prin întrebări (prin problematizare etc.) este evident că elevul care dă răspunsul corect a intuit de unde vine ideea. Chiar şi acolo unde nu pot să-i îndrum pe elevi pe o cale de descoperire, le explic eu cum se face, dar mă străduiesc să le-o prezint astfel încât să le generez o cât mai clară senzaţie de înţelegere a raţionamentului sursă al fenomenului respectiv. Înţelegând raţionamentul care duce la o nouă situaţie, elevul îşi formează totodată şi gândirea. Predând cât mai des astfel încât elevii să înţeleagă sursa logică a noţiunilor, eu am certitudinea şi bucuria că pot contribui constant la formarea unei gândiri raţionale la elevi.

Totuşi, există situaţii când uneori chiar nu le putem explica nicicum de unde vine ideea, cel puţin nu la nivelul la care sunt elevii în acel moment (algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate este o astfel de situaţie; chiar aşa, ştiţi cum se justifică acesta? Întrebarea asta a venit în contextul în care am vorbit de înjosirea celorlalţi; Scuze că folosesc asta pe dvs.).

Pentru că elevii trăiesc constant strădania mea de a-i face să înţeleagă, într-un asfel de moment beneficiez de un soi de “clemenţă” din partea lor atunci când le spun: aici nu am cum să vă explic de unde vine; aici pot doar să vă arăt cum se face. Aici pot să fac doar ca toţi ceilalţi din breasla mea; dacă-mi aduceţi aminte peste doi ani, atunci vă voi putea explica de ce se face aşa. Un astfel de moment este şi la transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare.

Faptul că transformarea se face într-o fracţie cu numitorul format din atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă, acesta este un fapt ce are un efect tranchilizant, de anestezie totală asupra gândirii învăţăcelului. De unde 99 la o fracţie de tipul 0,(37)? Regula se înţelege destul de uşor; de pild la 0,(375) vom scrie automat numitorul 999. Dar de ce? DE CE?

Trecând peste acest moment de neînţelegere “că de ce se face aşa?”, elevii nu au mari probleme în a aplica noua regulă în cazurile simple. Cumva ţine însă de arta profesorului “să le facem viaţa cât mai uşoară” şi să le prelungim cât mai mult starea de “cazuri simple”, adică să nu-i trecem prea repede la “cazuri complicate”.

Pentru a prelungi starea de “caz simplu”, eu le dau forma de fracţii zecimale periodice simple supraunitare prin trecere în scriere cu întregi ca fracţie ordinară. Concret, odată ce a înţeles primele cazuri (cele de mai sus, pe câteva exemple), eu le dau modele de felul 3,(45) = 3 întregi şi 45/99 (scuzaţi scrierea, vreau să am garanţia că se poate citi de orice aparat). Astfel şi acest caz este unul simplu, aducând doar combinaţia noii reguli cu forma mai veche, uşor de reamintit, ce necesită apoi doar introducerea întregilor în fracţie (o bună ocazie de reactualizare).

De-abia la forma fracţiilor periodice mixte vin cu varianta ce implică scădere, simultan cu numitorul ca o combinaţie de 9 şi de 0. De pildă 0,4(25) = (425 – 4)/990. De ce se întâmplă aşa, asta este din nou o mare enigmă pe care nu le-o putem explica acum elevilor. Ce putem însă este ca la forma din aliniatul precedent să nu le-o băgăm încă (aşa cum din păcate s-a stabilizat la ora actuală în toate manualele şî auxiliarele). Evident că lecţia urmează să primească cât mai multe exerciţii, dar aici eu nu mai continui pentru că acestea se găsesc peste tot în cantităţi suficiente.

Legat de exerciţii, am un singur “contra-exemplu”, anume o hiper-capcană pentru elevi găsită într-o culegere (seria condusă de dl. profesor Artur Bălăucă, la ed. Taida). Fracţia zecimală periodică mixtă 1,0(6) este cuprinsă într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, inclusiv paranteze (direct paranteze drepte, pentru că cele rotunde sunt rezervate pentru perioade). De ce este acesta o hiper-capcană? Pentru că elevul a fost împins pe calea unei rezolvări care permite apoi o capcană. Rezolvarea cu scrierea întregilor, sugerată mai sus, nu ar împinge elevul spre această greşeală. Despre ce este vorba? Aplicând rezolvarea propovăduită actualmente de toată lumea, elevul va avea tendinţa să neglijeze acel zero şi să scrie 106 – 1 la numărător, şi nu 106 – 10. Pe această capcană o mai putem numi şi “mină anti-elev”.

O altă problemă ce implică aspectele metodico-didactice ale acestei lecţii o reprezintă forma în care le dăm aceste reguli elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor şi majoritatea cărţilor prezintă aceste reguli într-o formă scrisă cu litere în loc de cifre, având astfel pretenţia că devine generală. Din păcate marea majoritate a elevilor nu înţeleg NIMIC din aceste scrieri, dar NIMIC-NIMIC! Realitatea acestei predări e ca şi cum acele sfaturi din startul Programei de gimnaziu din 2017 despre o predare cât mai întuitivă, cel puţin la clasele gimnaziale mici, sunt de fapt aplicate exact pe dos. Aici o predare intuitivă înseamnă să-i dai câteva exemple cât mai sugestive, iar elevul prin simpla imitaţie să facă mai departe alte şi alte exerciţii similare în acelaşî fel. Atâta tot! Cei mai mulţi le vor înţelege imediat, iar cei care nu le înţeleg nici aşa, “asta e!”. Cei mai slabi oricum nu le vor înţelege nici din forma generală dată prin litere. Dând însă aceste reguli prin exemple, creştem considerabil numărul elevilor ce le vor înţelege şi le vor putea face fără ajutor de acasă.

Din forma cu litere însă, “marea mare” majoritate nu vor înţelege nimic şi vor avea deci nevoie de explicaţii reluate acasă. Iar acasă, fie un părinte, fie un meditator plătit le va prezenta câteva exemple şi gata: elevul va înţelege.

E aşa de simplu cu exemple. Dar de ce să le prezinte profesorii lucrurile simplu elevilor, când pot să le facă viaţa grea şi amară la orele de matematică? Această atitudine mi se pare stupidă, chiar profund încărcată de o adevărată răutate. Îmi pare rău pentru agresivitatea acestor rânduri, dar aşa se văd lucrurile din punctul meu de vedere.

După părerea mea şase exemple lămuresc cu totul situţiile de aici. Gândind acum, eu le-aş aranja astfel: pe coloana din stânga trei exemple subunitare cu perioadă de una, doua respectiv trei cifre, măcar una sau două care să se simplifice, iar pe coloana din dreapta o fracţie supraunitară dar cu partea zecimală simplu periodică, apoi una subunitară mixtă (deci fără întregi), cât şi una supraunitară mixtă (deci cu întregi). La ultimele două trebuie să aleg diferit numărul de cifre din perioadă şi cel de cifre dintre virgulă şi perioadă, pentru a da impresia de situaţie generală.

Ajută la aceste exemple dacă folosim puţină culoare pentru a conecta vizual de pildă numărul de cifre din perioadă cu numărul de 9 de la numitor. Desigur că merită adăugate înaintea acestui set şi unul-două exemple de transformare de fracţii zecimale finite, care implică un 1 şi atâia de 0 la numitor câte cifre erau în partea zecimală. Două culori diferite vor ajuta elevii să conecteze exact aşa cum trebuie cele întâmplate.

Am convingerea că un set bine ales de astfel de exemple este mult mai clar pentru oricine decât nişte forme artificiale de reguli cu litere, sau o descriere în text (atunci când, pe lângă linia de fracţie, mai apare şi bara de deasupra, pentru scrierea în baza 10, cei mai mulţi elevi “cad pe spate, ca gândacii” şi “dau neajutoraţi din mâini şi din picioare!”). Îmi cer încă o dată scuze, dar chiar nu se gândeşte nimeni la aspectele acestea?

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă pozitivă: deci, cum se poate demonstra la nivelul unor elevi de clasa a 7-a să zicem, sau a 8-a, de ce are loc transformarea în fracţie ordinară cu numitorul atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă? Şi ca să fiu cât se poate de clar, vă voi face prezentarea exact în formatul unui exemplu numeric, situaţie ce acţionează deosebit de intuitiv la orice om, şi la noi, la profesori, dar şi la elevi.

Să alegem de pildă numărul 0,(375) pe care îl şi notăm cu a = 0, (375). Să înmulţim această egalitate cu 1000 şi obţinem 1000a = 375,(375). Scăzând prima egalitate din a doua obţinem 999a = 375 de unde deducem imediat că a = 375/999 (scrieţi dvs. pe hârtie varianta obişnuită, cu linie de fracţie). Asta a fost. E simplu pentu un elv de a 7-a, a 8-a. Poate ar merge şi în a 6-a, dar sigur marea majoritate nu o vor înţelege în finalul clasei a 5-a. Eu am găsit această “demonstraţie” într-o culegere veche din 1970 de pregătire a examenului de admitere în licee, deci pentru recapitularea din clasa a 8-a a materiei de clasele 5-8. Nu mai găsesc culegerea respectivă (cine ştie în ce cutie am pus-o), dar ştiu că pe copertă era ca nume dominant Ivanca Olivotto (m-a surprins pentru că la vremea respectivă, profesor tânăr fiind, nu-i ştiam istoricul şi cunoşteam doar culegerea de aritmetică cu acest nume).

Precizez un aspect important: chiar dacă un profesor ar avea impresia că aceste artificii de calcul într-adevăr pot fi înţelese de către elevi şi s-ar gândi să le arate elevilor în clasa a 5-a, realitatea ar avea şanse mari să fie una opusă. Haideţi să analizăm puţin lucrurile din punct de vedere a fenomenului dilemei cognitive. Elevii tocmai ce au fost confruntaţi cu o puternică dilemă cognitivă. În aceste condiţii lămurirea şi justificarea respectivei dileme cognitive ar trebui să aibă loc pe o cale cognitivă care face deja parte din uzualul elevilor, din “zona lor de confort” intelectual. Or, astfel de artificii sigur încă nu fac parte din zona de confort calculaţionist al elevilor obişnuiţi în clasa a 5-a. Făcând această “demonstraţie” la clasă, pentru cei 2-3 vârfuri ai colectivului, asta îi va bulversa şi mai mult pe toţi ceilalţi, împingându-i din nou spre învăţat pe de rost şi spre meditaţii private. Dimpotrivă, la o grupă de excelenţă, acolo s-ar putea face liniştit.

Tot în acea lucrare am găsit şi o “demonstraţie” foarte accesibilă a criteriului de divizibilitate cu 9, fapt ce întăreşte ideea că la clasele mici le putem da anumite reguli nejustificate, dar că odată ce elevii evoluează pe scara gândirii, noi ar trebui să venim cu o reluare mai matură în timpul căreia să aducem şi astfel de completări. Din păcate, nici în a 7-a şi sigur nici în a 8-a nu are nimeni timp pentru astfel de “filozofii”, acolo toată lumea fiind focusată pe “doparea” elevilor cu problemele şi situaţiile specifice verificate în examen (nimeni nu te întreabă la EN dacă cunoşti de ce se scrie cu 999 la numitor).

Da, cam astfel de gânduri ar trebui să avem noi atunci când venim cu “o lecţie banală” în clasă. Pentru mine gândurile pregătioare urmăresc un astfel de evantai de aspecte diverse, dar profund interconectate între ele. Nu poţi doar să turui o lecţie cât mai teoretic şi scurt, iar apoi să te plângi că elevii “n-au învăţat acasă”. Într-o lecţie de matematică trebuie pus mult suflet. Eu. doar aşa ştiu să fac. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din anul şcolar precedent, din care se poate obţine o oarecare impresie despre aspectele prezentate. C.Titus Grigorovici

P.S. Starea de îngâmfare, acea renumită stare de “eu ŞTIU!” este foarte periculoasă. Noi trebuie să fim conştienţi de acest aspect şi constant treji împotriva ei. De pildă, acum în final, recitind tot articolul şi aruncând o ultimă privire asupra celor două poze, mi-am dat seama de o mică gafă. În ultimele pagini am propovăduit calea transformării fracţiilor zecimale supraunitare în fracţii ordinare cu întregii scrişi separat, dar în pozele respective eu n-am dat nici măcar un exemplu similar în cazul fracţiilor zecimale finite. De pildă, la recapitularea dinaintea transformării fracţiilor periodice eu ar trebui să dau măcar un exemplu de transformare de felul: 3,65 = 3 întregi şi 65/100 care apoi să fie transformat prin introducerea întregilor în fracţie în (3 · 100 + 65)/100 = 365/100. Da, da! Cât trăim învăţăm.

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În prima parte a prezentului eseu “am ajuns cu elevii” până la momentul când aceştia au descoperit existenţa şi fenomenul fracţiilor zecimale periodice, pe baza câtorva exemple la clasă, dar şi la temă.

Pentru mine este foarte important ca în acest moment elevii să vieţuiască în mod sănătos diversitatea fracţiilor periodice. Atenţionez că procesul trebuie să se întâmple într-un ritm accesibil majorităţii elevilor, astfel încât aceştia chiar să şi înţeleagă ce se petrece. Această recomandare vine desigur în opoziţie cu impulsurile spre o viteză cât mai mare de parcurgere a lecţiei, conducând la o cantitate tot mai mare de informaţii, viteză spre care au fost împinşi profesorii în anii ’80-’90. Gândul acestei recomandări ţinteşte spre o accesibilizare a vitezei şi a cantităţii de lucru la nivelul majorităţii elevilor (mă refer aici mai ales la clasele cu colective eterogene). Din această temperare a impulsurilor mele elitiste de profesor face parte şi ideea de a relua la începutul orei următoare cele întâmplate şi descoperite pănă acum, aşa ca o mică recapitulare. În acest sens am văzut în pozele de tablă de la sfârşitul primei părţi unele tentative de sistematizare pe scurt a celor deja descoperite până în acel moment.

În setul de exerciţii sugerat în prima parte a prezentării am inclus şi impărţiri cu două cifre în perioadă, dar şi cu patru sau şase cifre în perioadă (împărţirea la 101 respectiv la 7). Tehnic, am putea renunţa pentru prima zi la împărţirea la 7 (adică la perioada de 6 cifre), lăsând-o ca “surpriză” pentru a doua oră a temei fracţiilor zecimale periodice (eu de multe ori aşa am făcut şi este de-a dreptul interesant când eu mă contrazic pe mine faţă de ce-am spus în prima parte; de fapt vreau să vă arăt diferite variaţiuni posibile ale lecţiei).

În această a doua prte a eseului de faţă va fi activ un principiu despre care încă n-am vorbit, aşa că o fac acum. Este sănătos pentru predare ca noi să ştim mai mult decât le aducem elevilor în clasă. Elevii capătă cu timpul o siguranţă în profesor dacă simt, chiar nearătat, că acesta ştie mult mai mult decât le arată lor. Este penibil dacă elevii te surprind prea des cu întrabări la care nu ai răspuns şi faţă de care te eschivezi (gen: acum n-avem timp pentru asta). Pe de altă parte, dacă uneori, rar, chiar se întâmplă, atunci eu prefer să fiu cinstit şi să spun că nu ştiu; asta mă umanizează în faţa lor. Dar, desigur, trebuie să nu se întâmple prea des.

Revenind, îÎn plus, din acea zonă vastă de cunoştinţe suplimentare profesorul poate scoate din când în când câte o idee, dacă consideră că este sănătos pentru clasă (de fapt asta fac toţi colegii în sistemul olimpic, elitist, dar o fac doar în zona problemelor). În cazul de faţă ajută dacă noi cunoaştem de unde se obţin perioade cu 2, cu 3, cu 4, cu 5 sau 6 cifre. Elevilor nu le explicăm de unde “le scoatem”, decât eventual în finalul capitolului.

*

Deci, de unde obţinem o împărţire cu trei cifre în perioadă? Repet: acum vorbesc pentru profesori (!!!); elevii nu au de unde să ştie a răspunde la această întrebare. Sau, la ce trebuie să împart astfel încât să obţin o perioadă de patru cifre? Cu această mega-întrebare ar trebui să ne ocupăm în continuare. Eu mi-am pus-o de câţiva ani buni şi iată cum am raţionat.

Pentru început ar trebui să recapitulăm ce cunoaşte sigur orice profesor (adică ce cred eu că este cunoscut). impărţirile la 2, la 5, la puteri ale acestora sau la numere compuse doar din factori de 2 şi 5, dau un număr finit de zecimale (în plus faţă de deîmpărţit), egal cu exponentul cel mai mare al împărţitorului scris ca produs de puteri de factori primi (astfel de exprimări “ne ies pe gură” dacă ne punem în cap să vorbim cât mai riguros; cam ce-aţi simţit dvs. la citirea acestei fraze, cam asta simt elevii când “îi duduim” cu câte o exprimare de-a noastră prea riguroasă). Fraza de deasupra este valabilă dacă nu are loc o simplificare prin 2 sau 5; atunci lucrurile trebuie reanalizate după simplificare (oare cum ar fi sunat fraza cea complicată dacă aş fi inclus şi ultimul aspect în ea?).

Un al doilea aspect pe care cam toţi profesorii îl ştiu este că împărţirea la 3, la 6 şi la 9 dă perioadă de o cifră. De unde vin atunci perioadele de mai multe cifre? Păi, de la alte numere! Dar, de la care? Unii profesori cunosc că împărţirea la 11 dă perioadă de două cifre. Dar, de ce? Poate unii au observat că o împărţire de felul 37 : 22 va da o perioadă de două cifre precedată de o cifră zecimală izolată (adică o fracţie zecimală periodică mixtă). Este destul de clar că acea cifră izolată provine de la factorul 2, iar perioada de două cifre de la factorul 11. Un bun exemplu aici ar fi o împărţire la 88 = 2³ · 11, care va da o fracţie periodică mixtă cu … (aţi înţeles, da?).

Un al treilea aspect cunoscut nouă, profesorilor, dar elevilor încă nu, este felul în care se transformă fracţiile zecimale periodice în fracţii ordinare, adică renumitele scrieri cu atâţia de 9 la numitor câte cifre în perioadă (numitorii de felul 9. 99. 999, 9999, ….) la care se adaugă şi combinaţii de tipul 990, 900, etc.

La toate acestea se mai adaugă un aspect de obicei necunoscut, dar pe care eu îl ştiam, anume descompunerea numărului 1001 = 7 · 11 · 13. Precizez că 1001 se compune multiplicativ exact din “următoarele trei numere prime”, adică exact cele ce urmează după primele trei numere prime (2, 3, 5), care sunt cunoscute şi uzate de obicei. Această descompunere apare folosită magistral într-un număr vechi de magie matematică. Iată-l pe scurt: magicianul îi cere subiectului (unui voluntar din audienţă, unuia care ştie bine socoti) să scrie la alegere un număr de trei cifre diferite (magicianul nu vede numărul respectiv). Apoi subiectul magiei este rugat să scrie în continuarea numărului încă o dată cele trei cifre, obţinând un număr de şase cifre (de pildă, la numărul 735 se va obţine numărul 735735). Apoi, acest număr trebuie împărţit la 7 (împărţirea se face exact); apoi, rezultatul va trebui împărţit la 11 (din nou iese împărţire exactă, adică fără rest). În final ultimul rezultat trebuie împărţit la 13 (desigur că se divide şi la 13). Magia este că după cele trei împărţiri, rezultatul final este exact numărul iniţial ales (adică exact 735).

Eu fac acest număr de magie trecând calculele de la un elev la altul, implicând astfel mai mulţi elevi. Surpriza va fi şi mai mare când ultimul elev îi poate spune primului elev numărul ales (pe care doar el şi următoarul îl ştiau). După efectuarea numărului de magie îi provoc pe elevi să-l descifrăm, adică să vedem cum de s-a întâmplat chiar aşa. Problema are două aspecte: primul ar fi că alipirea unui număr de trei cifre după acesta înseamnă de fapt o înmulţire cu 1001 (adică 735 · 1001 = 735735). Aici trebuie pur şi simplu făcută această înmulţire pentru a vizualiza ce se întâmplă; al doilea aspect este chiar descompunerea numărului 1001. S-ar putea ca un elev să se prindă de legătura cu cele trei numere ce apar ca împărţitori succesivi, sau se prea poate să fie nevoie ca profesorul să le spună acest fapt. Acest număr de magie mi-a fost foarte de folos la studiul periodicităţii ce apare la împărţirea la 7. Să revenim deci la studiul ce l-am propus.

Cercetarea noastră poate începe de la perioada de două cifre, care este legată de numărul 99 = 9 · 11. Numărul 9 apare prima dată ca factor chiar la numitorul 9, al perioadelor de o cifră. Doar numărul 11 apare prima dată ca factor la 99, deci la numitorul perioadei de două cifre (dacă aveţi comentarii legate de exprimarea neriguroasă, să ştiţi că o fac intenţionat ca să fie mai accesibilă). De aici apare întrebarea, conexiunea absolut legitimă: ce numere apar noi ca factori în acest proces, ca divizori ai numerelor cu cifre doar de 9, în studiul de creştere a numărului de cifre de 9? Adică, ce factori noi apar la 999, sau la 9999, sau la 99999? Sau invers: de vreme ce am văzut că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre, înseamnă că factorul prim 7 apare prima dată ca divizor al numărului 999.999, respectiv mai exact la numărul 111.111?

Oare, aţi prins ideea de unde am dedus toate cele? Dacă da, atunci opriţi-vă din citit, luaţi hârtie şi creion şi studiaţi singuri mai departe. Dacă nu v-aţi prins ce vreau să sugerez, atunci puteţi lectura prezentarea în continuare.

Numărul 111.111 este de tipul celor de la numărul de magie matematică de mai sus. Ca urmare deducem că 111.111 = 111 · 1001, având astfel ca divizor pe 7. Deoarece numărul 111.111 este primul de tipul 11…1 care se divide la 7, rezultă că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre. Doar de curând “mi-a picat fisa” că desigur şi la împărţirea cu 13 vom obţine o perioadă tot de şase cifre. Evident!

După ce am înţeles acestea merită să ne întoarcem şi să o luăm sistematic. 11 este el însuşi număr prim. Primul unde putem pune în discuţie ce am observat la 7, este numărul 111, care este divizibil cu 3. Aşadar 999 = 3³ · 37. Deducem că la împărţirea cu numărul prim 37 se obţine perioadă de trei cifre. Asta o ştiam mai de mult timp. dar prin primăvară mi-am dat seama că avem perioadă de trei cifre şi la împărţirea cu 27, care însă nu este prim. Totuşi, ca divizor el apare prima dată la numitorul 999, asta însemnând că şi el generează perioade de trei cifre (ce bun e calculatorul de pe telefon ca să verifici repede astfel de afirmaţii!).

Următoarea întrebare la rând este despre descompunerea lui 1111. În mod similar cu fenomenul de la şase de 1, preluat de la magia de mai sus, vom putea spune şi aici că 1111 = 11 · 101. Numărul 101 fiind număr prim, iar 11 apărând deja ca divizor la 99, deducem că factorul 101 este cel mai mic număr care generează perioadă de patru cifre.

Oare, care este cel mai mic divizor al lui 11.111? Aici m-a ajutat nevastă-mea, care din plictiseală (în timpul unei şedinţe) a abordat problema din altă parte. Astfel, ea lua numere ciudate şi le studia cu ce ar trebui să le înmulţească astfel încât să obţină produse numere scrise doar cu cifra 9, adică de tipul 99…9. Pe această cale la găsit ea pe 41 ca divizor al lui 99.999 (mai exact 11.111 = 41 · 271). În poza următoare găsiţi exemplificarea metodei chiar pentru 41. Am încercat să fac separat fiecare pas într-o imagine nouă, evidenţiind pasul nou cu roşu.  Prima cifră cu care începe un pas este cea roşie din mijloc, stabilită astfel încât să completeze suma pe coloana respectivă la 9; în funcţie de aceasta se stabileşte şi cifra din acel pas de la înmulţitor, iar apoi se revine în mijloc şi se completează produsul pasului respectiv. Finalul procesului este atunci când obţinem direct o sumă de 9, nemai fiind nevoie să o completăm cu nimic; această sumă directă de 9 este prezentată în forma finală cu albastru. Interesant, ce se mai poate face în timpul unor şedinţe prea lungi!

Rezumând, vom obţine perioadă de două cifre la 11, perioadă de trei cifre la împărţirea cu 27 sau 37, perioadă de patru cifre la împărţirea cu 101, perioadă de 5 cifre la împărţirea cu 41 şi perioadă de şase cifre la împărţirea cu 7 sau cu 13. Asta cu împărţitori cât de cât accesibili; pe 271 nu l-am băgat în seamă pentru că sigur nu vreau să îl folosesc, nici la clasă cu elevii, nici eu singur acasă (dar se poate verifica cu telefonul, de la 11.111 = 41 · 271).

Repet, desigur că toate aceste gânduri nu sunt menite să ajungă la elevi, nu sunt pentru ei. Acest studiu, ca o mică cercetare, a fost menit doar să ne ajute pe noi să găsim exemple diverse pentru elevi, cu împărţiri având la rezultat perioade mai lungi de o cifră, aşa încât elevii să priceapă din start acest aspect: că pot exista perioade de diferite lungimi, iar asta nu doar pe bază de încredere (doar aşa, că le spunem noi, iar ei ne cred “pe cuvânt”), ci chiar vieţuind asta, adică prin efectuarea unor împărţiri. Este important acest aspect, pentru ca elevii să nu se uite “ca mâţa-n calendar” la lecţia următoare, atunci când îi vom învăţa să transforme fracţiile zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare, şi unde acolo avem cu mare conştiinciozitate exemple cu perioade de diferite lungimi. Elevii nu trebuie să ştie mare lucru din studiu de mai sus. Ei trebuie doar să primească atât la clasă, cât şi la temă, câteva exemple cu perioade de alte lungimi, nu doar exemple cu perioade de o cifră. Dar, vedeţi câtă nebunie de gânduri stă în spatele celor câteva exemple din lista de exerciţii dată ca sugestie în finalul primei părţi.

Vedeţi acum şi de ce în prima parte a eseului am făcut acea ciudată delimitare pe categorii de dificultate a împărţirilor din primul semestru. Avem pentru început împărţirile la numere de o cifră la care se mai adaugă împărţirile foarte uşoare la 10 şi la 11. Aha, la 11! Deci, pe lângă perioadele de o cifră, le putem oferi împărţiri destul de accesibile cu perioada de două sau şase cifre. Apoi, am spus atunci şi deîmpărţiri cu şirul multiplilor accesibil sau parţial accesibil, aici intrând 15 sau 12 (care dau fracţie periodică mixtă) sau 13 (care dă fracţie periodică de şase cifre). Apoi vorbeam la început şi de împărţiri care s-ar mai putea face relativ uşor, cum sunt împărţirile la 101 (patru cifre la perioadă) sau la 41 (cu cinci cifre la perioadă). Cele mai greuţe mi se par împărţirile la 27 sau la 37 (care amândouă generează o perioadă de 3 cifre).

*

În cadrul acestui pasaj de împărţiri ce dau ca rezultat fracţii zecimale periodice, eu am pentru elevi şi două momente speciale. Primul ar fi cel ce l-am numit “poarta lui 7” cu două forme uluitor de asemănătoare: “poarta perioadei împărţirii la 7”, respectiv “poarta resturilor intermediare ale împărţirii la 7”. Am vorbit despre acest fenomen ciudat în postarea din 2020 de la adresa http://pentagonia.ro/poarta-impartirii-lui-7-studiul-grafic-pe-cercul-de-9-cifre/ şi vă rog să-l studiaţi în acest moment, ca să nu mai reiau acele idei. În pozele de tablă de la sfârşitul acestei a doua părţi vor apărea din nou exemple în acest sens.

Suplimentar la cele spuse atunci sau la cele ce apar în poze, vă propun şi un exerciţiu de cercetare descoperit personal la începutul acestei săptămâni în care scriu rândurile de faţă. De vreme ce la numărul 111.111 apar pentru prima dată ca divizori noi ai numerelor de tipul 11…1 numerele prime 7 şi 13 (11 apăruse înainte, ca divizor al lui 99), iar la împărţirea cu 7 avem perioada de şase cifre, deducem două informaţii: şi la împărţirea la 13 vom avea perioadă de şase cifre (am mai spus asta şi este foarte uşor de verificat cu telefonul), dar şi că la împărţirea cu 13 ar trebui să apară o reprezentare grafică similară cu poarta lui 7, un fel de “poarta lui 13”. Vă las pe dvs. să studiaţi şi să savuraţi veridicitatea acestor supoziţii. Atenţionez totodată că această asemănare absolut surprinzătoare între comportamentul împărţirii la 7 şi al împărţirii la 13 nu are decât cel mult o legătură de tip misticist cu faptul că 7 + 13 = 20, care reprezintă exact numărul degetelor unui om.

Un al doilea moment special ar fi cel doar amintit în eseul despre conflictul cognitiv. Pe acesta aş vrea să-l detaliez în următoarele rânduri. Astfel, elevilor le-am adus următoarea întrebare, ca dilemă cognitivă: dacă împărţim un număr (desigur impar) la 2 (adică la 2¹), vom obţine un cât cu o cifră zecimală; dacă împărţim un număr impar la 4 (adică la 2²), vom obţine un cât cu două cifre zecimale; dacă împărţim un număr impar la 8 (adică la 2³), vom obţine un cât cu trei cifre zecimale şi tot aşa mai departe (nici n-am mai precizat denumirea de fracţii zecimale finite). Acelaşi lucru se întâmplă la împărţirea cu puteri ale lui 5. Dimpotrivă, dacă împărţim un număr la 3 (desigur, unul nedivizibil cu 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică cu o cifră în perioadă; dacă însă împărţim un număr la 9 (desigur, la fel, unul nedivizibil la 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică tot cu perioadă de  o cifră; oare ce se va întâmpla la împărţirea unui număr la 3³ = 27? Vom avea tot perioadă de o cifră sau vom avea perioadă de trei cifre? Sau poate o altă situaţie?

Această întrebare, evident destul de îmbârligată, ce necesită o concentrare bună, această întrebare clasele în ansamblu au înţeles-o. Aici a fost momentul când un elev a exclamat: “E aşa de palpitant că eu nu mai pot; vreau să aflu cum se întâmplă” (sau ceva de genul acesta, că desigur nu m-am oprit să-i notez vorbele). Prima parte a afirmaţiei era de mult lămurită; împărţirile la 3 şi la 9 erau proaspete (de ora trecută), aşa că nu aveam decât să facem o împărţire la 27.

Legat de afirmaţia de mai sus, despre cât ar trebui să cunoaştem noi ca profesori în plus faţă de ce le aducem elevilor, la una din clase s-a ivit întrebarea despre ce se întâmplă la împărţirea la 3⁴ = 81. Vă las pe dvs. să studiaţi ce se întâmplă aici.

Nu am pretenţia că am lămurit subiectul cu totul, dar vedeţi câte gânduri se află în spatele unei banale lecţii, dacă vrei să respecţi mintea curioasă şi gândirea vie a elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor vin la lecţia respectivă cu împărţiri generând doar perioade de o cifră, cel mult două, prin aceasta contribuind din nou la înceţoşarea gândirii elevilor. Chiar şi dacă un elev ar întreba aici – mânat de o curiozitate naturală, dintr-o gândire trează – dacă profesorul nu ştie ce să-i răspundă, momentul este ratat (ca să nu mai spun că profesorul respectiv “s-a făcut de …”).

Pe de altă parte, nu cred că am exagerat în studiul meu, de vreme ce m-am dus doar până la perioade de şase cifre, corespunzând împărţirii accesibile la 7 (care e un număr de o cifră). Ce se întâmplă mai încolo chiar nu mă mai interesează.

Vedem însă cum această a doua parte a studiului despre predarea fracţiilor zecimale periodice se adresează în mare parte doar înţelegerii fenomenului de către profesor, astfel încât acesta “să-şi umple tolba” cu o varietate sănătoasă de exemple. Această a doua parte a studiului despre fracţiile zecimale periodice este adresată doar profesorului. De-abia cândva după ora următoare am putea “la o adică” să-i provocăm pe elevii cei mai buni (doar pe aceştia) cu o întrebare despre sursa diferitelor lungimi ale perioadelor. Poate fi o discuţie de câteva minute, care doar să atingă subiectul şi să sugereze de unde vin acestea, sau poate să vină ca un studiu de o oră extra, în cazul unei clase foarte bune, după parcurgerea materiei, cândva în ultimele ore înainte de vacanţa mare.

Închei aici cu un nou pachet de poze de tablă din lecţiile ultimului an, în care puteţi regăsi anumite aspecte discutate aici (nu neapărat exact în forma descrisă acum). Precizez că lecţiile respective s-au desfăşurat în regim de “eu la tablă iar elevii pe caietul lor”. De pildă, uneori scriam eu în faţă, apoi elevii trebuiau să meargă singuri înainte, fiecare în caietul său, iar apoi – după ce destul de mulţi terminaseră – făceam şi eu calculele pe tablă, atât ca verificare pentru cei care au făcut, cât şi pentru completarea notiţelor celor care nu s-au priceput. În partea a treia a prezentului studiu vom analiza lecţia inversă, anume transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare. C.Titus Grigorovici

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. Stimulat de strădania intensă, m-am preocupat totodată şi mai aprofundat despre ce se întâmplă în afara vieţii mele metodico-didactice, adică la alte şcoli.

Înţelegerea fenomenului fracţiilor zecimale periodice este profund legată de două teme premergătoare: algoritmul împărţirii numerelor naturale (de reluat cândva la începutul clasei a 5-a) şi înţelegerea fracţiilor zecimale finite (imediat precedentă, cu care face practic pereche în predare). La acestea s-ar mai adăuga una “de paranteză”, anume simplificarea fracţiilor. Toate vor apărea la momentul potrivit, aşa încât acestea trebuie bine lămurite înainte, atunci când le este vremea. Să le luăm pe rând.

În principiu, fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Fracţia ordinară echivalând de fapt câtul unei împărţiri, este foarte important ca elevii să stăpânească algoritmul împărţirii. Cum am mai spus, chiar dacă elevii le învaţă deja în clasele primare, este foarte bine să ne asigurăm cândva la începutul clasei a 5-a că toată lumea le şi ştie cum trebuie (unele învăţătoare “nu le chiar stăpânesc” cum trebuie). În acest context merită acordat măcar două ore pentru recapitularea, fixarea şi fluentizarea algoritmului de împărţire, la vremea respectivă încă sub forma împărţirii cu rest.

Important este să nu-i năucim atunci pe elevi cu împărţiri foarte grele, adică cu împărţiri la numere “tare complicate” (pentru cine n-a înţeles, precizez: lecţia trebuie să fie neapărat una pentru toată lumea, nu doar pentru cei mai buni din clasă). În acest sens, eu am următoarele categorii de împărţitori: (1) împărţiri la numerele de o cifră, la care putem presupune că elevii le cunosc “tabla înmulţirii”, adică şirurile de multipli (împărţiri la toate numerele de o cifră!); la acestea se pot alătura natural şi împărţirile la 10 sau la 11, care au cele mai uşoare şiruri de multipli, elevul având astfel oportunitatea să exerseze şi să conştientizeze primele împărţiri la numere de două cifre (dacă nu le-a făcut până acum, în clasa a 5-a); (2) împărţiri la numere ceva mai mari, ale căror şiruri de multipli se pot găsi destul de uşor, cum ar fi 15, 20; 25, 30, 40, 50; după exersarea acestora se poate trece şi la anumite extensii, anume înspre (3) împărţiri la numere ale căror şiruri de multiplii sunt parţial intuitive (12, 13) sau relativ uşor de generat (75; 125), sau altele aproximabile la unele deja cunoscute (14 < 15, 23 şi 24 < 25 etc.). Dacă elevii fac destule exerciţii cu împărţitori de două cifre, atunci vor fi suficiente doar câteva (două-trei) exemple cu împărţitori de trei cifre la clasă şi câteva acasă, încât algoritmul de împărţire să fie stabilizat şi bine înţeles.

O faţetă specială a acestei lecţii o reprezintă şi capacitatea de trecere de la împărţirea în scris la împărţirea în minte; despre asta am scris în articolul http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ . Pe lângă aplicabilitatea la descompunerea în factori a numerelor, abilitatea de a face împărţiri în minte le dă elevilor şi o mai mare siguranţă la împărţirile în scris, ce la va fi de mare folos la zona de împărţiri din semestrul II, la studiul fracţiilor zecimale. Atunci vom fi nevoiţi să luăm şi împărţiri mai urâte, iar o “relaţie caldă” cu algoritmul împărţirii ajută mult la buna concentrare pe fenomenul fracţiilor zecimale. Oricum, de la prima lecţie despre împărţiri împreună cu noua clasă, eu le spun elevilor că trebuie să o ia foarte în serios, pentru că împărţirea va fi unul dintre “firele roşii”, una dintre temele cele mai folosite de-a lungul întregii clase a 5-a. În acest sens facem un târg: eu nu le dau împărţiri grele, decât atâta cât e nevoie cu adevărat, iar ei în schimb fac toate împărţirile serios şi conştiincios.

Spuneam că fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Să discutăm puţin înainte despre “ce şi cum”, deşi această discuţie eu nu aş face-o apriori complet cu clasa (încă o dată: asta nu se discută înainte cu elevii, ci doar după).

Tehnic, dacă această împărţire are rezultat exact (adică dă fără rest, cum spun copiii), atunci fracţia respectivă este de fapt un număr natural. Dacă la finalizarea împărţirii întregi avem rest, atunci în continuare se poate întâmpla una din următoarele două variante: fie fie apar un număr finit de zecimale, după care împărţirea se termină, fie apare un număr de cifre care încep să se repete grupat, obţinând perioada. Desigur că există şi forma mixtă între cele două. Pentru a înţelege fenomenul, trebuie să vedem când se întâmplă fiecare din cele două variante, fracţia zecimală finită, respectiv fracţia zecimală periodică.

Pe scurt, dacă împărţitorul (numitorul fracţiei ordinare) este o putere a lui 2 sau o putere a lui 5 sau este compus doar din factori de 2 şi 5, atunci rezultatul va fi o fracţie zecimală finită. numărul de zecimale fiind egal cu exponentul puterii respective (sau cu cel mai mare dintre exponenţii celor două puteri, în cazul unui număr compus din 2 şi 5). La orice alt factor prim ce apare în structura împărţitorului (în format ireductibil desigur), fracţia zecimală va intra în periodicitate. Dar, vorba unui prieten, “dacă n-am spus, atunci mă repet!”: aceste aspecte nu le discut iniţial cu elevii; cu ei le vom descoperi pas cu pas, savurând procesul enigmatic ca pe un film, şi doar în final le vom sistematiza şi le vom repeta de câteva ori.

Să vedem cum funcţionează concret această abordare. Pentru început ar fi bine ca în prima zi să facem cu elevii (şi să le dăm ca temă) doar împărţiri la numere din prima categorie: 2, 4, 5, 8, 16; 20, 25, 50, 125, 200, 250, 500, 2000 (asta în cazul când deja am făcut împărţiri la 10, 100, 1000, văzând cum “se mută virgula”). În această primă etapă elevii învaţă noua “mişcare” doar în forma simplă, anume că lângă restul împărţirii întregi să coboare un zero  de după “virgula” deîmpărţitului întreg, să mai facă o împărţire parţială, apoi încă un zero ş.a.m.d. până ce se termină. Pentru că aici “lucrurile se termină”: copilul învaţă o nouă “mişcare”, dar în rest totul rămâne în zona lui de siguranţă. Cu alte cuvinte, introducem un item nou de cunoaştere, dar în rest îl lăsăm în zona sa de confort din punct de vedere a cunoaşterii. E bine şi sănătos aşa; prea mulţi itemi noi îi bulversează pe cei mai mulţi.

Elevii s-ar prinde dacă le-am da doar împărţiri cu aceşti împărţitori, aşa încât putem apela aici şi la o şmecherie (nici pe asta încă nu le-o explicăm). Le putem da şi situaţii la care împărţitorul are şi alţi factori, de pildă 3, dar la care fracţia ordinară corespunzătoare ar fi reductibilă cu 3. Astfel, factorul 3, care este unul generator de perioadă nu-şi poate face acest efect. Se pot obţine astfel împărţiri de tipul 21 : 6, care este de fapt echivalentă cu 7 : 2., sau 18 : 15 echivalentă cu 6 : 5, sau ceva mai complicatul 91 : 14 reductibil prin 7 la 13 : 2. Încă o dată, aceste aspecte le ţinem pentru moment secrete; elevii primesc doar exerciţiile şi se bucură că le pot face, savurând astfel procesul matematic.

Pentru a mai diversifica exerciţiile, putem să le dăm şi în forma de “transformaţi fracţiile ordinare în fracţii zecimale” şi în forma de “efectuaţi împărţirile”. Astfel de succesiuni de exerciţii pot ajuta şi la fixarea ideii că fracţia ordinară reprezintă de fapt o împărţire.

Prin această lecţie elevii trebuie să se obişnuiască pe noul tip de împărţire, diferit de împărţirea cu rest, iar pentru asta au nevoie măcar de o zi, adică de un set de oră la clasă plus temă singur acasă (desigur cu încă câteva repetări în orele următoare). Probabil că foarte mulţi profesori nu-şi iau acest timp, astfel încât în mentalul elevilor nu se înţelege profund şi nu se fixează definitiv noua formă de împărţire. Dovada palpabilă şi clar vizibilă a acestei “fuşăreli” apare peste o bucată bună de vreme, când intervine uitarea şi mulţi elevi fac împărţirea cu rest iar apoi pun restul “după virgulă”.

Ei, da, iar acum, odată aceste lucruri fiind lămurite, putem să venim într-o bună dimineaţă cu o nouă împărţire, având aerul că “mai facem două-trei exerciţii, aşa pentru încălzire”. De fapt, însă, vom veni cu o primă împărţire cu perioadă. Elevii încă nu ştiu ce urmează, va fi o surpriză destul de puternică, iar pentru asta nici măcar nu vom scrie titlul pe tablă; putem, ca “din greşeală” să lăsăm loc sau, mai bine, putem rezerva locul pentru titlu printr-o subliniere “goală”, astfel încât şi în caiete să le arate frumos, noi adăugând titlul la momentul când ne vom fi lămurit despre ce este vorba (Fracţii periodice).

Atrag atenţia asupra faptului că trebuie gestionat cu mare grijă primul contact cu aceste noi “bestii matematice”. Eu spun că lecţia precedentă se desfăşoară “pe marginea prăpastiei” şi de aia a fost aşa de important ca la acel moment elevii să nu se împiedice de o situaţie cu perioadă. Acolo, încă în lumea lor totul este “în bună regulă”; în curând însă se va dezlănţui o “furtună intelectuală” nebănuită. Este important ca aceasta să se petreacă în timpul orei de matematică şi nu acasă, astfel încât lucrurile să fie gestionate cu mână sigură de către profesor (din acest motiv am spus să luăm noua împărţire la începutul orei, ca să apucăm să lămurim existenţa acestor noi fenomene în timpul orei respective, adică şocul şi lămuririle să se întâmple sub supravegherea noastră). Putem privi lucrurile şi astfel: e bine ca lucrurile să se desfăşoare la clasă, regizate fiind pentru un cât mai mare impact emoţional sub strictul control al profesorului.

Ar fi o prostie să le dăm la sfârşitul orei sau să se ajungă încât să fie “descoperite” acasă, poate neintenţionat, adică elevul să se “împiedice” de o astfel de împărţire când nu este cu profesorul. Părinţii le-ar arăta direct cum se întâmplă, eventual bucuroşi fiind că-şi mai aduc aminte, dar de fapt spulberându-le elevilor bucuria descoperirii, emoţia procesului de întrare în contact cu această “civilizaţie extraterestră”, total nouă pentru ei. Pentru a preveni un astfel de scenariu ar fi bine ca tema de la lecţia cu fracţiile finite să fie destul de consistentă, încât să nu apară vre-un părinte cu ideea “hai s-ţi mai dau eu câteva” iar acolo să dea din greşeală şi o împărţire cu perioadă (măcar să minimalizăm pe cât se poate acest risc).

Nici culegerile sau manualele nu ne ajută neapărat în sensul respectiv, pentru că cele două lecţii – aşa cum le văd eu ca separate – sunt de obicei unite într-una. Degeaba eu mă opresc înainte de a apărea fracţiile periodice, că există oricând pericolul ca vre-un părinte mai ambiţios să zică “numai atâta ai avut temă?; hai, fă-le şi pe următoarele din carte!”, următoarele fiind deja cu rezultate periodice (vorbesc din experienţă).

Dar să revenim la detaliile trecerii la fracţiile periodice. Alegerea primelor noi împărţiri este foarte importantă. Confruntaţi cu o noutate, elevii au deseori obiceiul de a “vedea” diferite reguli ce nici măcar nu există. De pildă, dacă vom face doar împărţiri având perioada de o cifră, este absolut natural ca elevii să creadă că există doar astfel de rezultate. În acest context, trebuie neapărat să apară suficiente exemple cu perioadă de două cifre, cât şi măcar două-trei cu perioade mai lungi de două cifre.

Apoi trebuie să evităm pentru început să dăm prea multe exemple în care deîmpărţitul sau împărţitorul se regăsesc şi ca atare în perioadă [de felul 1 : 3 = 0,(3) sau 7 : 9 = 0,(7)]; pot să apară şi din acestea izolat, dar nu între primele pentru că se vor găsi unii elevi care să vadă aceste apariţii ca regul de scurtătură.

Sau, dacă vom da doar rezultate cu parte inteagă nenulă, elevii se vor speria când vor avea o împărţire corespunzătoare unei fracţii subunitare, de tipul zero virgulă ceva. Această ultimă observaţie este la fel de importantă şi în cazul lecţiei precedente, cu fracţii zecimale finite (această situaţie nu se putea rezolva natural la recapitularea împărţirii cu rest din semestrul I, ci îşi are locul mai potrivit doar la fracţiile zecimale finite). De fapt situaţia trebuia deja acolo clarificată prin sufieciente exemple la clasă şi la temă, astfel încât să nu mai reprezinte pentru nimeni o neclaritate acum, când ne pregătim să dăm faţa cu fenomenul periodicităţii (repet pentru ultima dată, elevii încă habar nu au despre ce vine spre ei, despre ce ciudăţenie urmează să se întâmple la începutul acestei ore, sub atitudinea plată şi inofensivă “hai să mai facem două-trei exerciţii (aşa doar de încălzire – această ultimă parte o las doar să se simtă)”.

Analizând lucrurile, pentru un impact maxim al introducerii acestei dileme cognitive, eu recomand aici exemplul: 17/3 = 17 : 3 (care este de fapt 5 întregi şi 2/3) = 5,(6), exemplul fiind cu numere mici şi totuşi toate diferite). Momentul când începe să se vadă că se tot repetă noi şi noi cifre de 6 la partea zecimală a câtului, acela este un moment foarte important. Elevii trebuie lăsaţi să repete şi să scrie pasul de suficiente ori astfel încât să vieţuiască clar şi convingător ce se întâmplă. Ei trebuie lăsaţi să trăiască din plin surpriza de proporţii în urma acestei noi situaţii, nemaiîntâlnite până acum. La început, rezultatul îl vom scrie de felul 5,6666… De-abia după câteva exemple, inclusiv măcar unul cu perioadă de două cifre, ne vom întoarce şi vom scrie sub acest tip de rezultat şi cele oficiale, de felul 5,(6).

Este evident că acest tip de surpriză, acest tip de moment de “Uau!” este stricat în cazul când părintele unui copil, sau mai degrabă profesorul particular îi arată înainte lecţia, pentru ca “elevul să ştie la clasă”. Din păcate foarte mulţi astfel de meditatori procedează în acest fel, habar ne-având ce pagube produc lecţiei de la clasă (cel puţin din punctul de vedere a unei astfel de abordări “artistice”, lecţia derulându-se cu suspans, ca un adevărat film).

Revenind la desfăşurarea lecţiei, după primul exemplu ce a prudus atâta uimire, chiar bulversare, se cer date imediat noi exemple (“mai aveţi dinastea?”, s-ar putea să întrebe unii elevi, plini de entuziasm). Acestea au menirea de a prelungii trăirea acestei uimiri spre o certitudine, dar şi menirea de a aduce ocazii ca elevul să vadă cât mai repede tot felul de astfel de ciudăţenii şi de a se obişnui cu existenţa lor. Pentru lămurirea cât mai rapidă a acestei dileme cognitive, eu recomand aici următoarele exerciţii, exact în această ordine:

23/9 = 23 : 9 = 2,(5)

295/9 295 : 9 = 32,(7)

2/3 = 2 : 3 = 0,(6)

22/3 = 22 : 3 = 7,(3)

4/9 = 4 : 9 = 0,(4)

13/6 = 13 : 6 = 2,1(6)

19/11 = 19 : 11 = 1,(72)

173/22 = 173 : 22 = 7,8(63)

7/12 = 7 : 12 = 0,58(3)

379/101 = 379 : 101 = 3,(7524)

18/7 = 18 : 7 = 2,(571428)

Exerciţiile le-am dat şi cu rezultate astfel încât să puteţi vedea dintr-o privire care-i logica alegerii acestora. Elevii nu le vor primi desigur aşa, ci doar a doua, eventual împreună primele două forme; în continuarea împărţirii vor aplica algoritmul şi vor scrie rezultatul în final (am explicat deja cum apare scris rezultatul şi cum le dau ulterior forma oficială). Important este să alegem în primul set de exerciţii o varietate destul de largă de rezultate, astfel încât la finalul acestei ore elevii să aibă o vedere destul de clară, completă şi realistă despre formele fracţiilor zecimale periodice.

Foarte important este să oferim elevilor pe lângă exemple cu o cifră în perioadă şi exemple cu perioadă de două cifre sau mai multe. Se pare că majoritatea profesorilor nu respectă această cerinţă, astfel încât elevii văd la oră multe fracţii periodice cu o cifră în perioadă, eventual printre acestea rătăcită ca din greşeală o situaţie cu două cifre în perioadă şi atât. Desigur că astfel elevii nici nu-şi vor putea imagina clar cum există situaţii cu mai multe cifre în perioadă (poate profesorul le spune că există, dar nu-i suficient). Cum înţeleg aceştia matematica atunci când profesorul vine cu partea de lecţie opusă, cea de transformare a fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare şi le vorbeşte despre situaţii de pildă cu trei cifre în perioadă şi un numitor de 999? Fie nu vor înţelege iar în mintea lor vor crede că sunt proşti, fie le va explica cineva ulterior cum stă treaba iar atunci vor înţelege că profesorul este slab, dezinteresat etc. (acum iar am fost răutăcios, dar să ştiţi că acesta a fost unul din motivele principale care m-au determinat să scriu prezentarea de faţă).

La sfârşitul orei, sau poate chiar la începutul orei viitoare, le putem prezenta denumirile de fracţie periodică simplă, respectiv fracţia periodică mixtă. Oricum, ora viitoare “se cere” o analiză a situaţiilor întâlnite (la clasă sau la temă), inclusiv despre apariţia fracţiilor periodice mixte, dar şi despre eventuala sursă a diferitelor lungimi ale perioadelor. Pentru elevii care calculează destul de rapid, sau poate ca temă, vă mai ofer câteva situaţii interesante:

257/88 = 257 : 88 = 2,920(45) având o perioadă de două cifre pornită de-abia după trei zecimale neperiodice (înţelegeţi acum clasificarea meticuloasă a împărţirilor de la început);

349/101 = 349 : 101 = 3,455445544…, care sugerează două scrieri diferite, atât ca 3,(4554) cu cei doi de 4 din perioadă despărţiti, cât şi ca 3,4(5544);

953/41 = 953 : 41 = 23,(24390) cu o perioadă de cinci cifre.

Mă opresc aici cu această primă parte a prezentării predării fracţiilor zecimale periodice, lăsându-vă să analizaţi şi să gândiţi toate aspectele deja evocate. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din acest an, pe baza cărora să vă puteţi face o imagine a unor aspecte evocate până acum, dar precizez că predarea din aceste poze nu a fost exact pe tipicul prezentat în eseul de faţă. Primele trei poze sunt de la o clasă, următoarele două de la cealaltă. C.Titus Grigorovici

La începutul lunii aprilie am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro; doar în urma unei scurte priviri asupra acestuia (mai puţin decât o lectură “pe diagonală”); mi-am dat însă atunci seama despre ce este vorba şi, considerându-l valoros, m-am grăbit să-i fac publicitate. Fiind foarte ocupat, nu am apucat să-l citesc în detaliu, decât peste o săptămână, după intrarea în vacanţa de Paşte. Toate ideile cuprinse în precedentul eseu – O analiză (1) – reprezintă gânduri stârnite doar de această primă şi scurtă privire asupra articolului respectic, mai mult însă a indignării în urma comentariilor văzute în final (când mai aveam scurte momente libere mintea îmi fugea tot la aceste aspecte). Precedenta primă parte a analizei se bazează pe acele gânduri. Păstrând spectrul ideilor, înainte de a trece la a doua parte, doresc să vă ofer următorul:

A.S. (ante scriptum) În paralel cu munca la această dublă analiză mă mai gândeam şi la o continuare a seriei (brusc întrerupte) despre ideile găsite în prefaţa culegerii din 1982 a Profesorului A. Hollinger, când – Surpriză! – spre finalul acelui text găsesc o trimitere la un mic set de trei demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (în cadrul paragrafului 10.4 Demonstraţii bazate pe arii, pag. 95). Prima din cele trei “probleme” este următoarea:

10.4.4. Fie b şi c catetele şi a ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Se construiesc un pătrat cu latura b + c şi patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 61. Apoi se construiesc patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 62. Să se calculeze aria părţii din pătrat care rămâne neacoperită de triunghiuri şi să se compare rezultatele. Ce teoremă se obţine? (din motive tehnice am aşezat poza culcat)

Acest exemplu vine “la ţanc” pentru cei care ar considera disputa iscată de articolul iniţial ca fiind una între “matematica lor, a celor din vest” şi “matematica noastră”. Nici vorbă de aşa ceva. Textul şi pozele de mai sus sunt luate din culegerea profesorului A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982. Nu am la îndemână manualele dânsului, însă bănuiesc că demonstraţia respectivă se găseşte şi acolo.

Dar să revenim la analiza noastră. Pe când începusem să lucrez la redactarea acesteia am văzut că de fapt articolul era preluat de pe blogul CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale (iată adresa articolului iniţial: https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ ). Lecturându-l cu mai apăsată atenţie, am găsit multe aspecte noi ce ar merita discutate. În acest sens permiteţi-mi să reiau integral articolul respectiv, dar să-l întrerup din când în când cu comentariile şi accentuările mele personale (citatele din articolul CEAE sunt scrise înclinat, iar comentariile mele intercalate neînclinat).

*

Cum este demonstrată Teorema lui Pitagora într-un manual german de matematică. O comparație cu România

Îmi exprimam părerea în prima parte a analizei că ar fi de evitat astfel de comparaţii (chiar din titlu), care pot stârni ego-ul în sufletul unor colegi. Din acest motiv, discuţia ar trebui să se mute din zona “nemţii au cele mai bune maşini şi cele mai tari autostrăzi, dar noi avem cea mai tare matematică din lume”, într-o zonă mai pragmatică pentru noi, anume în zona argumentelor psihopedagogice, în zona nevoilor şi a posibilităţilor fiecărei vârste şcolare, de fapt într-o zonă metodico-didactică realistă. Pura întâmplare m-a ajutat să pot face repede divagaţia spre americani, dar de fapt noi ar trebui să ieşim din starea de a lua lucrurile de-a gata de la străini (alteori ne apucă cu finlandezi sau cu britanicii etc.), şi să începem să decidem raţional ce este nevoie cu adevărat pentru a vindeca predarea matematicii în şcolile româneşti (mai ales în ciclul gimnazial, unde materia este obligatorie pentru toţi elevii, neselectaţi oficial; astfel, noi ar trebui să punem un mai mare accent pe satisfacerea în mod echilibrat a nevoilor tuturor categoriilor de elevi). Asta nu înseamnă să nu ne uităm la ce fac ceilalţi, pentru că şi de acolo ne pot veni idei bune: ne uităm şi la unii şi la alţii, analizăm, judecăm, dezbatem, iar după o vreme poate reuşim să luăm decizii mai bune. Importante sunt criteriile pe baza cărora decidem (în anii ’80 criteriile au fost de performanţă pentru olimpiade şi rigurozitate teoretică, iar acestea nu au fost clar şi oficial abandonate nici în ziua de azi; prima categorie s-a transformat doar cu numele, în excelenţă, pe când a doua a suferit o serie de amputări, actualmente ajungându-se într-o ciudată degringoladă). Dar să revenim la articolul nostru:

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Așa sună una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, pe care mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu: a² + b² = c².

Trebuie să apreciez în această intervenţie textul teoremei, adică enunţarea relaţiei fără folosirea cuvântului “lungimea”. Despre acest aspect am scris pendelete în postarea din 22 februarie 2019, de la adresa http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ (cu atenţionarea că de fapt sunt trei articole în cascadă). Eseul respectiv conţine inclusiv elemente evocate mai jos. Să continuăm cu articolul CEAE:

Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte, cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă, iar în eventualitatea în care o uită au la îndemână o cale rapidă pentru a o determina din nou.

Autorul articolului precizează clar (numai să avem “ochi să vedem şi urechi să auzim”): el ne vorbeşte despre numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice (aha, deci există demonstraţii geometrice şi demonstraţii algebrice!), acestea foarte frumoase (adică atractive pentru sufletul şi mintea elevului). Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte (aici, afirmaţia aproape se atinge cu cele spuse de Profesorul Hollinger în prefaţa ultimei sale culegeri), cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă,(…)

Da, socrul meu avea prin anii ’90 un elev care ştia să turuie textul teoremei lui Pitagora cu o viteză de invidiat, dar habar nu avea despre cum să o folosească în calculele din probleme: “Măi, păi ştii sau nu teorema lui Pitagora?”. “Ba da!” răspundea acesta şi începea să o turuie de la capăt. În primul aliniat chiar este folosită expresia “mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu”. În acest sens trebuie să precizez că eu nu le cer elevilor să ştie pe de rost textul teoremei. Revenim la citatele articolului CEAE:

Există pe YouTube o serie de animații și de experimente filmate, în care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor pătratelor care au ca laturi catetele a și b este egală cu aria pătratului care are ca latură ipotenuza c. Acest lucru poate fi făcut, de exemplu, împărțind pătratele în pătrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot număra și pot constata ei înșiși relația de egalitate.

Apreciez şi savurez din plin faptul că autorul/autorii articolului au trecut textul teoremei din zona numerică (pătratul lungimii ipotenuzei) în zona fenomenologică a ariilor (aria pătratului ipotenuzei), mult mai “vizibilă” pentru ochiul ne-experimentat al elevului mediu. Trec astfel peste faptul că au încărcat textul cu alte cuvinte (“aria pătratului care are ca latură ipotenuza c” în loc de “aria pătratului pe ipotenuza c, sau chiar “aria pătratului ipotenuzei c), punând acest gest pe faptul că au vrut să accentueze clar la adresa cititorilor mutarea de accent. Elevilor putem să le dăm desigur o variantă cât mai simplă, cât mai scurtă deci, pentru că oricum vor fi mulţi înclinaţi (sau puşi de către părinţi) să înveţe textul pe de rost. Şi dacă ei învaţă textul ca o poezie, noi trebuie să venim în întâmpinarea lor, astfel încât mintea lor să poată face cât mai uşor conexiunea cu cele văzute. În acest sens, cuvintele ne-esenţiale trebuie reduse la maximum. Să revenim la articolul analizat, unde găsim un magistral exemplu de predare prin problematizare:

Într-un experiment de pe YouTube, vedem o dovadă experimentală că Teorema lui Pitagora este adevărată. Ea este făcută cu ajutorul apei și ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lecții despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate începe cu o întrebare. De ce credeți că se întâmplă asta? Ceea ce văd elevii că se petrece în experiment îi nedumerește/ contrariază și îi face curioși să afle de ce se întâmplă așa lucrurile. Mai mult, își vor reaminti cu plăcere experimentul și peste 10-20 de ani. (aici este ataşat filmuleţul  de pe youtube, de la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o )

Să lămurim deci această sugestie: dacă împărţirea pătratelor construite pe laturile triunghiului în pătrăţele egale (de pildă cum am făcut eu cu pătrăţele de ciocolată) ne sugerează egalitatea din teorema lui Pitagora pentru lungimi întregi, varianta din filmuleţul cu apă ce echivalează pătratul ipotenuzei cu pătratele catetelor se eliberează de spectrul lungimilor numere întregi (adică a tripletelor pitagorice) şi deschide poarta pentru un pas intuitiv spre orice lungimi la laturile triunghiului dreptunghic. Chiar dacă nu-şi dau seama pe loc de acest pas, se prea poate ca unii din elevi să realizeze ulterior ce s-a întâmplat. Aici ariile nu mai sunt împărţite în pătrăţele, ca un fel de unităţi de măsură, ci “curg” în mod continuu între cele două situaţii echivalente (apa din pătratele catetelor curge efectiv în pătratul ipotenuzei). Situaţia rămâne însă în spectrul vizualizării simple, fără a avea pretenţia unei demonstraţii adevărate.

Pe vremuri am avut tentativa de a construi pe o planşă pătratele din exteriorul unui triunghi dreptunghic, mărginite cu o bordură de carton mai gros, de cca. 1-2 mm. Apoi puneam cât mai dens un strat de boabe de orez în interiorul pătratelor catetelor. În final luam toată această cantitate de orez şi o rearanjam în pătratul ipotenuzei, justificând astfel în mod vizual practic afirmaţia din teorema lui Pitagora (merge şi altfel: umplem toate pătratele, iar apoi comparăm cantităţile, fie numărând boabele, fie cântărindu-le). Boabele mele de orez reprezentau astfel o trecere de la pătrăţelele în care sunt descompuse cele trei mari pătrate (reprezentând numerele întregi), către forma lichidă (reprezentând chiar şi mărimile iraţionale). Nu pot să susţin că am fost foarte entuziasmat de experimentul respectiv (consumă foarte mult timp), dar acum acesta capătă o relevanţă interesantă. Să revenim însă la articolul CEAE:

Urmează pasul 2 – demonstrarea Teoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstrație este cel găsit într-un manual german de matematică de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg.

Dacă aţi ratat momentul vă atenţionez eu acum: demonstraţia respectivă apare într-un manual pentru clasa a 9-a. Aha! Numai puţin, să ne lămurim: Ei numără clasele începând de la prima (noi avem mai întâi clasa pregătitoare), adică de la intrarea la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani, cum ar fi şi normal. Aşadar, clasa lor a 9-a corespunde ca vârstă clasei noastre a 8-a, cu deosebirea că ei nu au după acest an examen. Astfel, înţelegem că diferenţa este de doar un an, adică noi facem teorema lui Pitagora doar cu un an mai repede (dacă nu luăm în considerare experimentul ciudat din finalul clasei a 6-a). Dar oare, acest manual nu reia doar teorema lui Pitagora? Ei mai fac uneori recapitulări din anii precedenţi.

Mai există însă un aspect de care ar trebui să ţinem cont: după încheierea ciclului primar, ei au două tipuri de şcoli: Gymnasium (şcoli pentru elevii mai buni, din care se vor selecta cei care vor merge şi la facultăţi, cuprinzând clasele 5-12) şi Realschule (şcoli pentru elevii mai puţin înclinaţi spre învăţătură, din care se va forma viitoarea “clasă muncitoare”, încep tot în a 5-a, dar nu ştiu clar când se termină; este interesant că la ei cuvântul real reprezintă faptul că şcoala este mai apropiată de realitatea vieţii cotidiene, pentru elevii mai practici, dar neînclinaţi spre învăţarea teoretică; la noi cuvântul real înseamnă cu totul altceva).

Ca o paranteză la discuţia noastră, selecţia pentru cele două “filiere” se face la finalul clasei a 4-a, exclusiv pe baza caracterizărilor făcute de către învăţători, caracterizări deosebit de obiective, profesionist organizate pe itemi clari, cuprinzând o analiză detaliată şi verificabilă a multor aspecte din evoluţia şi din capacităţile dovedite de fiecare elev în parte. Familiile elevilor nu au nici cel mai mic cuvânt de spus în această selecţie: copilul este repartizat în urma studiului obiectiv şi gata.

Pe baza informaţiilor oferite, noi nu ştim în acest moment pentru care tip de şcoală este manualul din care sunt preluate imaginile din articolul CEAE. La o analiză serioasă a subiectului, aceste aspecte ar putea avea o oarecare relevanţă. Poate că în manualele pentru Gymnasium teorema lui Pitagora se face în clasa lor a 8-a, pe când la Realschule de abia în a 9-a. Este clar că o comisie care ar face o astfel de analiză cum vorbeam mai sus, ar trebui să ia în calcul toate aceste aspecte.

Pe de altă parte, de vreme ce discuţia alegerii unei demonstraţii la teorema lui Pitagora ne interesează oricum pentru clasa a 7-a, aspectul filierei manualului din Germania îşi pierde importanţa: în clasa a 7-a noi încă nu am selectaţi elevii, aşa încât trebuie să venim cu o demonstraţie cât mai accesibilă majorităţii (elevului mediu, cum spunea Hollinger). Dar, să revenim la articolul CEAE:

Se construiește un pătrat cu latura de lungime a + b și se desenează apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a și b ca în figura din mijloc. Plecând de la această imagine, copii sunt puși să se gândească cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mutând poziția triunghiurilor; desigur, nu li se arată imaginea din dreapta când li se cere acest lucru.

Mai întâi, ei observa că spațiul alb care rămâne în figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Arătăm că este vorba despre un pătrat, demonstrând că are un unghi de 90 de grade – este vorba despre unghiul δ. Astfel, scădem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor α și β, despre care știm (pe baza proprietăților triunghiului dreptunghic) că este de 90 de grade. Se pot face demonstrații similare și pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un pătrat, iar suprafața sa este c².

Ulterior, elevii trebuie să se gândească cum ar putea să mute triunghiurile a.î. să rezulte două pătrate de laturi a și b. După ce se translatează trei din cele patru triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge în pozițiile pe care le vedem în cea de-a treia figură. Vom obține astfel două pătrate mai mici, având ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafața totală a spațiului alb rămâne aceeași ca în figura din mijloc. De această dată nu vom mai avea însă un singur pătrat, ci două, cu suprafețe mai mici. Există și alte moduri de translatare a triunghiurilor a.î. să se obțină cele două pătrate de laturi a și b.

Așadar suma suprafețelor celor două pătrate, a² + b², este egală cu suprafața pătratului mare, c². Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor.

Intervin aici întrerupând articolul CEAE cu o scurtă idee practică: cred că îmi voi construi din carton o astfel de machetă pe care elevii să poată translata cu adevărat triunghiurile; mai exact, cred că voi face mai multe seturi, astfel încât să-i pun să lucreze pe grupe.

În altă ordine de idei – pentru cei care-mi lecturează constant articolele – mai ţineţi minte afirmaţia d-ne Birte Vestergaard? Elevii buni la matematică vor avea bucuria că “eu am descoperit asta!”, pe când cei slabi se vor bucura că “eu am înţeles asta!”. Elevilor buni trebuie să le oferim ocazia să descopere demonstraţia (iar pentru asta trebuie să-i pui să cerceteze, adică să predai prin problematizare; iar dacă o faci pe grupe, mai mulţi elevi vor avea ocazia de a se implica, de a descoperi chiar ei), iar în final elevilor mai slabi trebuie să le-o explicăm, oferindu-le şi lor ocazia să înţeleagă demonstraţia (Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor).

Uau! Vedeţi? Nu trebuie neapărat să preluăm idei doar din “străinezia”; şi la noi sunt oameni care spun lucruri de valoare; trebuie doar să avem aplecarea să-i ascultăm cu atenţie. Dar dacă auzim aceleaşi lucruri spuse şi de unii şi de alţii, atunci este cu atât mai convingător. Să revenim la studiul nostru:

În Germania, lecția despre Teorema lui Pitagora este predată conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleacă de la ceea ce știau de dinainte – cum se determină aria pătratului. Astfel, ei nu vor trebui să memoreze că a² + b² = c², fără să o înțeleagă (cum se întâmplă în cazul unora dintre ei – dintre elevii noştrii). Dacă vor uita formula peste ani de zile, vor putea să ajungă într-un mod logic și intuitiv la ea.

Da! Da! Da! De curând m-am uitat într-un “manual auxiliar” pentru clasa a 6-a (deci nu într-un manual oficial). Ideea de a demonstra (aşadar primele demonstraţii), de a justifica măcar superficial un rezultat cuprins ca teoremă (mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30^o, sau reciprocele), această idee lipseşte cu desăvârşire acolo (unele nu au nici măcar figură alăturată pentru a susţine înţelegerea elevilor). Acea “lecţie” despre triunghiul dreptunghic (din finalul clasei, deci care ar fi putut conţine anumite justificări în loc de demonstraţii), aceasta este doar o colecţie de texte de învăţat pe de rost, fără orice urmă de înţelegere pentru elevi. Lecţia respectivă se încheie cu teorema lui Pitagora, ce le este dată elevilor exact cum este spus mai sus: în orice triunghi dreptunghic, avem a² + b² = c²! Atât, nimic mai mult!

“Care-i problema?”, veţi spune, fiind vorba despre un auxiliar. Când însă manualul folosit de clasa respectivă este şi mai slab, existând recomandarea explicită a profesoarei de la clasă de a nu-l folosi (dar, am verificat şi eu pe concret, şi chiar e de toată jena!), atunci auxiliarul capătă o importanţă mult mai mare şi ar trebui să acţioneze ca “o plasă de siguranţă” pentru formarea gândirii elevului (mai ales că profesoara respectivă obişnuieşte a-i pune pe elevi să copieze lecţia din carte!).

Simt aici un fenomen ciudat: pe de-o parte, ca autori de manuale, unii colegi se simt obligaţi să dea demonstraţii cât mai elevate, cât mai sofisticate, în ultimă instanţă cât mai grele, accesibile câtor mai puţini elevi; pe de altă parte considerăm demonstraţiile total nerelevante (pentru lecţia de zi-cu-zi, de pildă în pregătirea evaluărilor, a examenelor etc.), aşa încât, dacă avem libertatea, cum ar fi în cazul redactării unor auxiliare, atunci eliminăm cu totul ideea de a demonstra un rezultat important (“trebuie să-i înveţe textul, că doar am scris că-i teoremă”). Oare, o variantă de mijloc nu ar fi mai sănătoasă? Să revenim la articol. Aşadar:

Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?

Imaginea folosită în manualul de matematică, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are legătură cu viața reală – o scară sprijinită de o casă, pe care niște copii trebuie să se urce pentru a ajunge la un cuib de păsări. Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Sara reușește să calculeze rapid lungimea scării, folosind formula făcută în clasa a VI-a (c² = a² + b²). În acest manual, se face și demonstrația teoremei – pentru aceasta se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate (adică avem de-a face tot cu calcul algebric).

Acest aliniat – analiza situaţiei din manualul Intuitext – are mai multe aspecte ce merită analizate. Ideea de a porni de la o situaţie practică este deosebit de bună, dându-i elevului o oarecare justificare a utilităţii elementelor de învăţat. Aparent şi aceasta este o altfel de situaţie, doar că nimeni nu va calcula ce lungime trebuie să aibă scara, cu un rezultat de   m. În situaţia respectivă, cu înălţimea până la streaşină de 5 m, era evident că este nevoie de o scară mai lungă de atât. Şi cât mai lungă? Păi, nu-ţi face nimeni o scară pe măsura nevoilor de moment. Cum arată şi desenul, probabil că este nevoie de o scară de 6 m (care trece puţin de straşină). Aşadar, punerea problemei se vrea practică, dar se vede că autorii nu prea au experienţă despre ce înseamnă practică pentru omul de rând.

Însă, oricum, Sara – deşteapta clasei – nu se împiedică de astfel de aspecte. Eu mă întreb, oare câte eleve cu numele de Sara au fost luate la mişto de către colegi în urma acestei situaţii în diverse clase din ţară? Oare, nu-i dă nimeni în judecată pe aceşti autori, sau pe alţii pentru posibila generare de situaţii favorizante de bullying? N-am nimic cu folosirea numelor, dar Sara asta “se cam dă deşteaptă” în faţa colegilor săi. Imaginaţi-vă diverse scenarii posibile într-o clasă, în care o oarecare Sara mai bună la învăţătură este catalogată drept tocilară.

În altă ordine de idei, aliniatul respectiv cred că are şi o greşeală din partea autorilor de la CEAE, anume afirmaţia că la demonstrare se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a. Nu trebuie să şi-o amintească din clasa a 6-a, pentru că nu se face atunci. Trebuie să şi-o amintească doar din lecţia precedentă. Greşeala este totuşi insignifiantă la nivelul întregului articol.

Toate acestea sunt însă detalii; un aspect mai important ce ar trebui discutat este afirmaţia ce am îngroşat-o, anume că Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare ce a vrut să spună autorul articolului de la CEAE? În altă ordine de idei, despre abordarea intuitivă a materiei am vorbit cu diferite alte ocazii. Punctez doar faptul că şi aici este amintită: Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate.

Finalul aliniatului respectiv – adică avem de-a face tot cu calcul algebric – aduce însă, chiar şi în paranteză, un aspect total neglijat în România ultimilor 40 de ani, anume că la noi matematica este trasă tot mai mult în zona algebrică a gândirii, în detrimentul gândirii geometrice (gândirea numerică, algoritmică faţă de gândirea spaţială, pe bază de forme).  Ce vrea să spună această afirmaţie? “Doar, aici facem geometrie!”, veţi spune.

Nu-i chiar aşa de simplu. Acesta este un subiect mult prea vast pentru a-l aborda acum, dar pot să dau aici un indiciu: în lucrarea americană evocată în prima parte a analizei, demonstraţia despre care ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik este demonstraţia cu numărul 82 din capitolul cu demonstraţii algebrice! Da, demonstraţia respectivă este privită ca demonstraţie algebrică. După ce “digeraţi” acest fapt, puteţi să recitiţi întregul articol CEAE. Păi, dacă acea demonstraţie a fost considerată “algebrică”, atunci demonstraţia folosind factorul comun şi teorema catetei (cea uzuală la noi), cu atât mai mult este una algebrică.

Chiar şi în aliniatul următor este reluată ideea, fapt ce dovedeşte cumva înclinaţia noastră spre algebrizarea oricărei demonstraţii. La noi, o demonstraţie este cu adevărat de băgat în seamă doar dacă este redactată într-un limbaj cât mai algebric. La noi doar limbajul algebric este considerat cel adevărat matematic. Dar să continuăm cu articolul CEAE:

În manualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asemănătoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Mai mult, raționamentul este complicat și se merge tot pe calcul algebric. Pașii raționamentului sunt făcuți acum în sens invers, începând cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dacă elevii urmăresc calculul din filmulețul de la pagina 201 a manualului, există riscul pentru o bună parte dintre ei să piardă cu ușurință firul explicației.

Time out! Trebuie să intervin din nou. Părerea mea este că autorul articolului CEAE a fost deosebit de politicos, abordând un ton extrem de conciliant. Uitaţi-vă, vă rog, din nou la demonstraţia din manualul acestei edituri şi analizaţi-vă gândurile, anume ce efort trebuie să faceţi ca să înţelegeţi mersul lucrurilor. Uitaţi-vă apoi la imaginile demonstraţiei prezentată din “manualul nemţesc”. Apoi, după ce aţi citit cu atenţie, vă las pe dvs., onoraţii cititori, să judecaţi. De ce trebuie transformată într-o formă atât de complicată, cu calcule algebrice, o demonstraţie geometrică vizuală (pur geometrică!!!), care este deosebit de intuitivă? De ce?

Ce ne facem cu acest impuls năucitor din mintea unor colegi, de a complica lucrurile atât de mult, cât mai mult dacă se poate? Asta înseamnă a face matematică? În momente ca acesta apare absolut natural impresia că “se doreşte” a se complica lecţiile cât mai mult, doar-doar vor fi cât de puţin elevi care să înţeleagă matematica (oculta pseudo-ştiinţifică mioritică?). Eu personal recunosc aici: nici nu am avut răbdare la început să analizez demonstraţia respectivă în cele mai mici detalii. Păi atunci, cum ar avea răbdare un elev să o facă? Elevul ar trebui să o poată înţelege de unul singur, că de aia este făcut manualul, nu ca să vină în paralel cineva acasă şi să-i explice ce scrie acolo.

Acest aliniat mai are un pasaj important: copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Acest aspect este de o fineţe deosebită din punct de vedere metodico-didactic. Noi trebuie astfel să predăm încât mintea elevului să “aibă loc să mişte” relativ liber. Doar aşa elevul se va obişnui încet, tot mai mult să gândească. Doar atunci elevul va avea sentimentul că gândurile respective sunt şi “ale sale”. Dacă nu-i lăsăm defel “spaţiu de mişcare”, ci îl obligăm să înveţe o demonstraţie mot-a-mot (cuvânt cu cuvânt), atunci elevul va resimţi gândurile respective ca străine şi automat va fi înclinat să le refuze. Sau dimpotrivă, un alt elev poate se va obişnui doar să înveţe pe de rost o teorie, nedezvoltând însă abilităţi de proprie judecată şi gândire (cu ambele alternative ne întâlnim des, deşi este clar că acestea nu duc la situaţii dezirabile). Dar, să terminăm “de lecturat” articolul de pe blogul CEAE:

Remarcăm în ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematică din România de a pleca de la situații din viața reală sau de a se raporta la acestea, însă adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se întâmplă pentru că nu s-au făcut suficienți pași pentru a schimba semnificativ paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu (în loc să devină inductive, cum se întâmplă în tot mai multe țări europene, abordările la noi sunt încă preponderent deductive și calculul algebric are în continuare o pondere importantă). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica înseamnă memorarea și reproducerea formulelor de calcul și aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea să contribuie mai mult în a le dezvolta copiilor o gândire structurată și logică.

Pentru cine a ratat momentul de la început, precizez din nou cum trebuie citite afirmaţiile din paranteză: paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu ar trebui să devină una inductivă, nu pentru că aşa se întâmplă în tot mai multe țări europene, ci pentru că aşa este potrivit psihologiei vârstelor gimnaziale (pentru o întreagă populaţie şcolară, până la 14-15 ani), dar şi mai târziu. Legat de afirmaţiile din ultimele două fraze nici nu mă gândesc să le analizez acum. Acestea sunt atât de valoroase încât merită fiecare câte un eseu separat de discuţii şi analize.

Dar, cine trebuia să facă paşii pentru schimbarea paradigmei utilizate în predarea matematicii gimnaziale? Profesorii, fiecare pentru el? Nu prea cred. Nişte oameni care în ultimele câteva zeci de ani au trăit doar într-o paradigmă şi într-o stare generală de executanţi ai politicilor educaţionale venite “de sus”, aceştia sigur nu vor fi în stare să contribuie în mod sănătos la o schimbare de paradigmă ca cea evocată în ultimul aliniat. Scurtele indicaţii (foarte valoroase de altfel) din programa 2017 nu au forţa de a duce la o schimbare de paradigmă.

Merită să scot în evidenţă aici un aspect relativ nou: geometria sintetică a fost scoasă din licee prin 1997 (orientativ). Ca urmare, avem deja prin şcoli colegi profesori care au cam încheiat-o cu geometria după clasa a 8-a. Aceştia nu au mai apucat să reia şi să aprofundeze geometria (atât cea plană, cât şi cea în spaţiu) la un nivel mai matur. Iar în facultate sigur nu au mai reluat aceste aspecte. Aceşti colegi mai tineri cunosc doar forma deductivă şi algebrizată până în “măduva oaselor”. Cum să-şi schimbe aceştia predarea? În general, cea mai mare parte a profesorilor sub 45-50 de anu nu au prins predarea inductivă nici ca elevi. Pe baza a ce să poată ei acum face o schimbare de paradigmă?

Eu mă lupt de 25 de ani să înţeleg aceste lucruri, să îmi modific propria paradigmă de predare şi văd cât este de greu (eu, cel care vreau să mă schimb, în luptă cu mine, cel ce vine cu apucăturile profesionale vechi). Pentru o adevărată conştientizare, părţi din acest ultim aliniat citat ar trebui să devină obligatoriu de lecturat zilnic, de către toţi profesorii. Totuşi, la fel ca autorii articolului din CEAE, nici eu nu-mi permit să dau sfaturi despre cine ar trebui să se ocupe de această modificare de paradigmă (pentru ca lucrurile să se şi întâmple cu adevărat şi în mod sănătos), dar sigur treaba asta nu poate fi lăsată pe seama profesorilor de la clasă.

*

Acesta a fost articolul apărut pe blogul CEAE, însoţit şi întrerupt de câteva “scurte” comentarii personale. Dacă în prima parte a analizei mi-am spus punctele de vedere mai mult stârnite de comentariile la reluarea articolului pe edupedu.ro, în această a doua parte a analizei mi-am exprimat punctele de vedere direct la afirmaţiile din articolul iniţial.

Da, acum chiar cred că mă opresc cu analiza (la cât de lungă a ieşit, chiar poate fi clasificată ca exagerare – cu totul sunt aproape 16 pagini A4 doar text, scris cu 12), dar vreau să aduc aici şi o mică propunere: demonstraţia din manualul nemţesc ar putea fi folosită clar pentru includerea teoremei lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a, statutând astfel totodată şi folosirea acestei teoreme în calculele pentru determinarea segmentelor necesare la arii sau perimetre. În ultimii ani am putut observa cum foarte mulţi profesori se feresc încă a folosi teorema lui Pitagora în acest capitol, deşi la ora actuală este cunoscută de la sfârşitul clasei a 6-a, cel puţin ca aplicaţie încă nedemonstrată. Atunci, de ce mulţi profesori încep să o folosească în probleme de-abia în primăvară după ce teorema apare şi cu demonstraţie (după asemănarea triunghiurilor şi teorema catetei). Poate, dacă ar şi avea-o de demonstrat prin arii, colegii s-ar “aventura” să o şi folosească la clasă chiar din capitolul despre arii. Sau, poate, un “ordin de sus” în acest sens ar rezolva mai eficient situaţia. Fără teorema lui Pitagora, capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a este sec, doar cu aplicaţii grele, potrivit elevilor mai buni, în continuare înjositor pentru elevii de rând.

Revenind la demonstraţia cu cele patru triunghiuri în interiorul unui pătrat, trebuie să mai precizez ceva: dacă undeva înaintea acesteia, într-o oră precedentă de aplicaţii la patrulatere, s-ar face problema care cere demonstrarea faptului că figura cuprinsă între cele patru triunghiuri este tot un pătrat (adică un romb – congruenţa triunghiurilor, dar cu cel puţin un unghi drept, deci pătrat), atunci demonstraţia respectivă la teorema lui Pitagora devine chiar una doar orală, având drept urmare un nivel de accesibilitate deosebit de bun la toţi elevii.

Schimbând puţin linia discuţiei, merită precizat că aici nu este vorba despre “care demonstraţie o facem pentru teorema lui Pitagora?”. În mod excepţional teorema lui Pitagora ar trebui eliberată de paradigma generală a “cursului euclidian” (fiecare teoremă cu demonstraţia ei, ca urmare deci la fiecare teoremă doar o singură demonstraţie), permiţând profesorilor să predea – iar elevilor să cunoască – diferite şi diverse demonstraţii. Cea evocată din manualul nemţesc ar merita să fie prima din clasa a 7-a, dar sunt multe altele ce pot veni în continuare ca aplicaţii la noile lecţii. În această categorie s-ar încadra şi demonstraţia pe baza teoremei catetei, dar şi multe altele.

Am rămas însă cu o datorie legată de comentariile la articolul de pe blogul CEAE: oare ce a vrut să transmită autorul în aliniatul în care comenta situaţia din manualul Intuitext, când a spus cu referire la felul în care decurge raţionamentul: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului.

Ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv? Eu m-aş încumeta să încerc un răspuns (chiar îmi stă pe limbă), dar nu am nici cea mai mică garanţie că aşa este. Prefer de data asta să tac şi cel mult să relansez întrebarea, cel mai bine către autorul articolului: stimate coleg, ce aţi vrut să spuneţi aici? Pentru că, dacă este aşa cum simt eu, atunci acest gând ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii. Dacă nu vom primi în următoarea perioadă un răspuns, atunci poate totuşi mă voi încumeta eu să dau o explicaţie. Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. În ambele părţi ale acestei analize m-am lovit în anumite momente de situaţii în care am impresia că profesori de matematică din ţara noastră doresc cu cea mai mare hotărâre să aducă în faţa elevilor o materie cât mai complicată, cât mai inaccesibilă. Dacă vă sună ca exagerată această afirmaţie, dacă o consideraţi drept o “acuză nefondată”, atunci vă mai dau un exemplu: gândiţi-vă cât de repede apar direct aplicaţii cu numere iraţionale la teorema lui Pitagora (după ce aceasta a fost în sfârşit predată, fie şi prin teorema catetei). În acel moment, adică la prima lecţie, la cei mai mulţi profesori apar rapid şi exemplele cu numere iraţionale, la unii chiar din prima (vedeţi exemplul cu Sara şi lungimea scării), dar oricum cel târziu de la a doua sau a treia aplicaţie. N-am prea întâlnit profesori care să stea în prima oră doar la nivelul tripletelor pitagoreice, adică în zona de comfort a tuturor elevilor, respectând astfel capacitatea uneori lentă de adaptare a elevului mediu la un algoritm nou. Elevul mediu ar avea nevoie de o oră la clasă, cu exemple cât mai multe, plus o tema corespunzătoare, pe care să o şi înţeleagă şi să o poată face singur, fără  ajutor din partea altcuiva. La algoritmul nou din aplicarea teoremei lui Pitagora, elevul mediu are nevoie să rămână măcar o oră în zona sa de comfort numeric, ca să se poată concentra la aspectele noi ce ţin de calculul specific. Doar apoi acesta va putea face pasul fără spaime în zona iraţională.

Am atins aici un subiect ciudat: cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc tare multe triplete pitagoreice (triplete de numere naturale care să verifice relaţia teoremei lui Pitagora). Majoritatea cunosc aparent doar tripletul (3; 4; 5), cu primele amplificări şi eventual încă tripletul (5; 12; 13). În acest sens, eu folosesc toată plaja de triplete pitagoreice cu lungimi până la 100 (deşi am fost acuzat că astfel terorizez copiii; ar fi de discutat cum îi terorizăm mai tare pe elevi, cu radicali din pătrate perfecte de cel mult patru cifre sau dându-le din prima numere iraţionale, care sunt destul de neînţelese? Mă refer aici la faptul că majoritatea elevilor se blochează când sunt întrebaţi despre lungimea aproximativă a unor numere iraţionale de forma ; la numere de forma  aproximarea este ceva mai accesibilă).