SCRISOARE METODICĂ 2019 (IV)

Autorităţile responsabile de conducerea predării matematicii şcolare au fost, probabil, sesizate că noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale şi modificările aferente nu sunt percepute ca atare de către profesori. Astfel, cel puţin până acum, la clasele V-VI, matematica a ajuns să fie în multe cazuri chiar mai grea decât era înainte. Ca urmare s-a decis să se redacteze o scrisoare metodică prin care să se accentueze noua direcţie. Deşi în noua programă există nenumărate momente în care se cere profesorilor scăderea gradului de dificltate al acestei discipline la nivelul marii mase al elevilor, cel puţin pentru primele două clase ale ciclului gimnazial, se pare că există destule semnale ajunse până la Minister că profesorii nu au perceput, sau nu au priceput această nouă orientare, acţionând în viaţa de zi cu zi de multe ori contrar. Deşi pentru clasele V-VI se cere o predare mai intuitivă, există multe exemple că profesorii nu se pot debarasa “de la o zi la alta” de vechile obiceiuri, care pot fi clasificate în două direcţii: pe de o parte avem predarea înţesată de exagerări definiţioniste şi o ciudată vrie teoreticistă, pe de altă parte o preocupare excesivă pentru stressarea întregii clase cu probleme foarte grele, mult peste posibilităţile majorităţii, în numele forţării celor buni din clasă în vederea unei prezentări cât mai onorabile la concursurile şcolare.

Astfel, noua scrisoare metodică 2019 accentuează şi repetă aspecte din programă, dar aduce şi multe precizări lămuritoare pentru perceperea noii direcţii, cu care mare parte din profesori încă nu se pot adapta. Nu am pretenţia că eseul meu îi va convinge pe aceştia că într-adevăr s-a schimbat pardigma. Cred, mai degrabă, că există reale posibilităţi de a-mi stârni aprige duşmănii. Îmi asum însă acest risc cu gândul la ceilalţi pe care îi voi putea porni să depună totuşi o minimă preocupare în a înţelege cele redactate aici şi a face efortul de a citi cu mai multă preocupare noua programă şi gândurile exprimate în această scrisoare metodică (gânduri prezentate cam ciudat şi destul de alambicat).

Toate cele expuse până acum în primele trei părţi ale prezentului eseu “stau în picioare” doar dacă acceptăm (măcar parţial) ca adevărată istoria prezentată pe scurt în prima parte, cuprinzând cele cinci etape prin care susţin eu că s-a ajuns în situaţia actuală a predării matematicii şcolare româneşti. La punctul (1) vorbeam despre o luptă dintre metodişti şi teoreticieni. În cadrul reformei uitate din 1980, prezentată pe scurt la punctul (3), am arătat cum teoreticienii au ieşit învingători în această luptă, atraşi fiind de a se alia cu problemiştii întru folosul noilor cerinţe de la acea vreme exprimate de Ceauşescu, de creştere a nivelului rezultatelor la olimpiadele şcolare. Respectivele teorii le-am prezentat in extenso cu alte ocazii.

Ce argumente am în susţinerea acestui punct de vedere? În primul rând sunt amintirile din copilărie (am absolvit clasa a VIII-a şi împreună cu soţia mea facem parte din ultima generaţie care a învăţat pe vechile manuale şi pe vechea metodică). În paralel apar amintirile din liceu când asistam deseori la discuţiile părinţilor mei, profesori de matematică în Liceul din Or. Victoria, care dezbăteau acasă problematica predării şi absurdităţile cerute de noua linie.

Ca profesor am simţit că ceva nu este în regulă în forma învăţământului gimnazial pe care am găsit-o după absolvirea facultăţii (cam peste 10 ani) şi am vrut să mă las de meserie. După un an sabatic (mi-am luat un an de concediu fără plată 1995-96) m-am hotărât totuşi să rămân, iar de atunci caut soluţii de schimbare şi îmbunătăţire a predării. În căutările mele am găsit în multe lucrări urme ale acelui “război” dintre metodişti (tradiţionalişti) şi reformatori (teoreticieni modernişti). Îmi repugnă lucrările acestora din urmă pentru că le simt poziţia şi părerile rupte de orice legătură cu posibilităţile şi nevoile elevilor la diferitele vârste şcolare. Reiese din lucrările lor cum aceştia stăteau în “turnul lor de fildeş” universitar şi predicau, dând sfaturi şi impunând o modernizare teoreticistă, artificială şi egocentristă.

Dimpotrivă, mă atrag puternic lucrările metodiştilor, pentru că simt cum acestea mă încarcă spre folosul elevilor, mă ajută să fac pe zi ce trece ore tot mai frumoase şi mai atractive pentru majoritatea elevilor. Faptul că astfel sunt pregătit pentru a face faţă în mod onorabil noului val de elevi, având – în comparaţie cu generaţiile precedente – o atenţie tot mai scăzută, cu capacităţi de imaginaţie şi de concentrare tot mai reduse de la un an la altul, avariaţi fiind de folosirea tot mai intensă şi mai precoce a ecranului, tot mai multe ore pe zi, faptul că sunt pregătit pentru toate aceştia  mă bucură şi îmi dă energie pentru a le vorbi şi altor colegi despre această cale.

Dacă nu credeţi pasajul cu avarierea tot mai precoce a atenţiei şi a concentrării copiilor (acţiune iniţiată şi condusă de obicei chiar de către familie, desigur în mod inconştient), vă propun o imagine din seara asta, când redactez acest pasaj de text (23 martie 2019): conduceam seara către casă, când la un semafor, în maşina de pe banda alăturată am văzut cum o mamă, aşezată pe banchetă alături de scaunul special în care era un copil mic ţinea sus în dreptul tetierei şoferului (probabil soţul) un telefon inteligent în poziţie de ecran pe care se derulau scenele unui film de desene animate (scaunul copilului nu era fixat cu faţa în sensul direcţiei de mers, ci era chiar rotit oarecum cu 45o la stânga, aşac ă eu nu vedeam direct copilul). Este evident că mama respectivă făcea asta pentru ca copilul să stea cuminte, antrenându-l însă, de pe acum astfel încât să nu se poată concentra singur asupra peisjului de afară (clădiri, maşini, lumini şi oameni în semiîntuneric). Acest copil va veni peste câţiva ani la şcoală şi vom avea pretenţia să stea cuminte în bancă şi să fie atent şi să înveţe, fără o distracţie alertă ca în desenele animate. Iar peste încă şase ani, în gimnaziu fiind, vom dori să reţină definiţia proporţionalităţii inverse, de pildă, şi să o aplice corect, chiar dacă noi i-am dat-o cât de alambicat posibil. Oricum, în această paranteză fie spus, eu am convingerea că principala cauză a presiunii din partea societăţii asupra autorităţilor competente în stabilirea liniei matematicii şcolare, pentru simplificarea acesteia, îşi are sursă în starea tot mai avariată a atenţiei şi a capacităţii de concentrare a copiilor, cauzată de folosirea tot mai intensă a ecranului. Spun acestea cunoscut fiind efectul de slăbire a atenţiei, a concentrării şi a imaginaţiei ce îl aduce după sine folosirea excesivă a ecranului la vârstele formării acestor aptitudini, generând o adevărată stare pandemică de tip ADHD.

Haideţi să vedem în finalul acestui nou mega-eseu câteva din cele mai dragi mie citate din lucrările metodiştilor, citate care atestă existenţa luptei despre care v-am vorbit, o luptă acerbă, dar mocnită, ale cărei urme editoriale se găsesc pe parcursul anilor ’60-‘70. Este vorba de citate predominant din lucrările Profesorului Eugen Rusu, dar şi ale Profesorului A. Hollinger (ambii profesori metodişti la Universitatea din Bucureşti), care ating aspectele evocate în prima parte a acestui eseu, anume în punctele (1) şi (3) ale scurtului istoric al evoluţiei predării matematicii în România. Pe acestea le văd ca argumente în susţinerea celor exprimate adât de dur şi sec în scurtul istoric din prima parte. Prnim în acest sens cu câteva citate din Eugen Rusu. Să începem cu lucrarea Psihologia activităţii matematice (Ed. ştiinţifică, 1969) în care la pag. 72-73 găsim:

Din confruntarea între trecut şi prezent se constată că aspectul istoric al matematicii şi aspectul logic actual au, fiecare, caracteristici proprii prin care se deosebesc, uneori foarte adînc. (…) Să enunţăm, pe scur, principalele deosebiri.

Unde începe construcţia? Construcţia unei case începe cu temelia; cu atît mai solidă cu cît vrem să facem mai multe etaje. Într-o construcţie axiomatică, temelia o constituie axiomele, şi definiţiile; pe baza lor se construiesc primele teoreme; pe acestea toate, alte teoreme şi mai înalte etc. Dar opera de construcţie istorică, a acestui edificiu nu începe de la bază, ci de la mijloc; pe măsură ce unii oameni construiesc în sus, adăugînd noi teoreme, alţii construiesc în jos, spre temelie. De pildă, întîi s-a găsit teorema lui Pitagora apoi pe de o parte , relaţii metrice mai complexe bazate pe ea,pe de altă parte s-a mers spre fundamente, la teoreme care păreau evidente – cum ar fi că o latură e mai mică decît suma celorlalte două – care se stabilesc ferm. (Acesta) este un fapt foarte evident, dar asupra căruia se insistă (de către teoreticienii purişti) tocmai din cauza analogiei cu construcţia care-i face pe unii să creadă că trebuie început cu temelia. (…)

Dimpotrivă, Maurice Fréchet, profesor la Sorbona, afirmă: “Nici o ştiinţă nu s-a construit vreodată punînd apriori axiomele, fără legătură cu experienţa”. (…) Citîndu-l, a. D. Aleksandrov adaugă: “Menţionăm că unii formalişti contemporani uită acest lucru şi cred că este cel mai raţional să expună şi chiar să dezvolte teorii plecînd de la axiome care nu sînt precedate de nici un fel de analiză a conţinutului real pe care sînt menite să-l sintetizeze”.

Eugen Rusu accentuează aici parcursul istoric nu “de amorul artei”, ci convins fiind că – în majoritatea cazurilor – acesta este un model foarte eficient pentru organizarea materiei de predat în şcoli, avertizând printre rânduri asupra pericolului introducerii sistemului axiomatic de la prima parcurgere a materiei, pentru că aceasta n-ar avea nici un sens pentru elevi. De unde trebuie început pentru elevi? De acolo de unde a început istoric cunoaşterea.

Ceva înainte, la pagina 65, dânsul chiar precizase că: în geometria greacă preeuclidiană (…) accentul preocupărilor cade pe propoziţii care nu sînt evidente senzorial, care dezvăluie implicaţii ascunse, deci surprinzătoare şi emoţionante. (De aici, de la lecturarea acestui pasaj, cred că aveam eu ideea exprimată în urmă cu un an în seria de articole despre Criteriul psihologic al intuiţie în selectarea teoremelor de demonstrat, publicate pe acest blog în primăvara lui 2018).

Pasajul cu implicaţii ascunse, deci surprinzătoare şi emoţionante îmi duce gândul către toţi acei elevi cărora ajung să le predau şi care au deja atenţia distrusă, avariaţi fiind de ani şi ani de folosire abuzivă a ecranului de la vârstele cele mai mici: cum pot eu să le atrag atenţia la ora de geometrie, dacă nu vreau să recurg la o atmosferă de dominare poliţienească, prin care să-i ţin sub control fără frica notelor? Un răspuns posibil, o reţetă ce am găsit-o în aceste cărţi este chiar aici: structurându-le materia într-un mod cât mai palpitant (aşa cum sunt ei obişnuiţi din mass-media), vânând implicaţii ascunse, deci surprinzătoare şi emoţionante! Facem un salt la pag. 112-113 unde găsim noi dovezi ale războiului ce avea loc între tradiţionaliştii metodişti şi reformatorii teoreticieni:

Psihologul E. Fischbein arată: “Descoperirea adevărului matematic se realizează printr-un proces mintal constructiv în care observaţia, confruntarea, analogia, sinteza, experimentul joacă un rol tot atît de important ca în ştiinţele naturii. Metoda axiomatică nu ca un procedeu în sine, ci ca o verigă a mersului dialectic al cunoaşterii …”

Sublinierea acestor lucruri simple n-ar fi fost necesară acum 10 ani. Ea a devenit necesară astăzi ca reacţie împotriva poziţiilor înguste ale unora dintre modernizatori care au în vedere numai planul pur logic al matematicii. (…)

Pentru a înţelege următorul pasaj, îmi permit să rezum câteva din ideile exprimate de Profesorul Eugen Rusu în prima parte a cărţii. Astfel, dânsul subliniază că există două laturi ale matematicii. Pe de o parte avem matematica-proces, care în şcoală este responsabilă de formarea gândirii. Pe de altă parte avem matematica-rezultat, care în şcoală apare sub acumularea de cunoştinţe. În mod similar, construcţiile pur logice reprezintă o acumulare de gândire rece, seacă. Dimpotrivă, construcţiile intuitive reprezintă antrenarea de gândire vie. Atenţionez aici asupra legăturii evidente cu prima ţintă din scrisoarea metodică: Asigurarea calităţii educaţiei prin centrarea activităţii didactice pe proces, în egală măsură cu centrarea pe rezultate. Iată cum exprimă Profesorul Rusu aceste aspecte:

O primă amputare gravă constă în a lăsa la o parte matematica-proces, pe plan psihologic sau istoric, şi a avea în atenţie numai matematica-rezultat. O a doua amputare se face asupra acesteia (a predării matematicii), reţinînd în atenţie numai construcţiile pur logice, negîndu-le pur şi simplu pe acele cu o bază intuitivă. Se uită că “pur logic” nu există; că în procesul de construcţie a sistemului pur logic, omul care construieşte se lasă ghidat, cu sau fără voie, de modelul sistemelor care, deşi axate tot pe logică, au şi o bază intuitivă – şi tocmai prin aceasta se obţin construcţii logice a căror valoare depăşeşte calitativ şi adînc o construcţie artificială, pur arbitrară – în ipoteza în care ea ar fi posibilă. (…)

Cine uită, cine neglijează? Tocmai unii din cei mai înalţi specialişti, tocmai cei care au ajuns acolo sus, suind pe nişte ramuri pe care acum cată a le tăia de sub picioare. Şi care vor să impună (…) ca la toate nivelele învăţămîntului să se predea direct şi numai matematica strict logică.

Pedagogii îmbrăţişează cu interes, uneori cu căldură, ideea de a întregi învăţămîntul matematic, pe cît posibil, cu prezentarea construcţiilor pur logice. Ei se opun nu acestei includeri, ci limitării la aceste aspecte. Susţin modernizatorii extremişti că ceea ce e pur logic şi corect logic se poate înţelege. Iar pedagogii susţin nu numai că acest aspect este prea parţial faţă de bogatul fenomen al matematicii, util pentru cultură tocmai în complexitatea lui, ei susţin şi că aspectul logic, luat izolat, nu se poate înţelege. Se poate sau nu? (…)

Următorul citat este preluat din prefaţa lucrării Matematică modernă, matematică vie, de André Revuz (Ed. didactică şi pedagogică, 1970, pag. 3-4), din prefaţa cărţii semnată de Eugen Rusu, care este şi autorul traducerii.

Problemele învăţămîntului matematic nu au aceeaşi structură cu cele strict matematice. O demonstraţie matematică dacă e corectă, stabileşte un adevăr şi dă o convingere unanimă, de nezdruncinat. Argumentarea unei teze în domeniul unei problematici cu implicaţii de ordin psihologic şi social – cum este aceea a învăţămîntului – nu este de acelaşi tip. Enunţurile înseşi sînt aici mult mai bogate în nuanţe, valoarea lor fiind mai legată de ele decît de scheletul brut. Procesul de formare a convingerilor este şi el mai complex; criteriului logic i se adaugă şi criterii sau consideraţii de altă natură. În particular, frumuseţea expunerii trage, sensibil, în cîntar. Ceea ce e bine venit cînd ea se adaugă argumentelor de fond; ceea ce ar reprezenta şi un mic pericol dacă am lăsa ca ea să tindă a le înlocui.

Există în lucrarea de faţă, unele teze asupra cărora s-a căzut în general de acord, cum ar fi aceea privind importanţa şi necesitatea introducerii în liceu a noţiunilor fundamentale de matematică actuală – mulţimi şi relaţii, structuri. Expunerea de aici ne ajută să le înţelegem mai profund; în plus, ea nu se mărgineşte să arate această necesitate în abstract, ci indică sensuri şi metode efective de lucru.

Mai ales al doilea alineat stă dovadă ca exemplu asupra faptului că a existat clar o dispută legată de introducerea sau nu a noţiunilor moderne la acea vreme în matematica şcolară (aici se vorbeşte oricum despre matematica de liceu; introducerea mulţimilor în gimnaziu reprezintă un subiect colateral). În primul aliniat găsim clare, dar subtile “săgeţi” la adresa celor care criticau probabil faptul că matematica şcolară nu era abordată într-o formă riguroasă, cu axiome, definiţii adevărate şi demonstraţii complete. Astfel, profesorul Rusu avertiza că abordarea matematicii în învăţământul preuniversitar are un profund caracter emoţional, că este – la aceste nivele de vârstă – departe de răceala seacă a matematicii pure şi absolute, că este dominată în egală măsură de legile matematicii cât şi de legile psihologice, şi că trebuie acceptată ca atare. Evoluţia din anii ’80-’90 a predării matematicii şcolare arată că tabăra metodiştilor (cu Eugen Rusu cel mai vocal şi mai activ membru) a pierdut în faţa taberei universitarilor care doreau introducerea unor teme noi şi a metodelor specifice matematici pure în şcolile de masă.  Îmi pot închipui foarte bine disputele din acei ani pe acest subiect între Profesorii ”sânge pur” matematic şi metodiştii, cei ”sânge mâl”, pe culoarele Universităţii din Bucureşti (am folosit un limbaj colorat împrumutat din renumita serie despre Harry Potter, unde lupta are loc între vrăjitorii puri, copii din ambi părinţi vrăjitori, şi vrăjitorii priviţi de ceilalţi ca impuri, cei care au un părinte ”încuiat”, adică nevrăjitor. Analogia cu situaţia analizată aici este evidentă!).

Peste câţiva ani, pe când era clar că se porneşte această reformă, într-un ultim efort de a mai salva ceva, de a argumenta cum ar trebui să aibă loc predatul la ora de matematică, Profesorul Eugen Rusu a mai scos o lucrare magistrală: Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. didactică şi pedagogică, 1978). Îmi place acest titlu, mai ales a doua sa parte, cea cu probleme în matematica şcolară. Pentru a nu fi atât de evident că dânsul considera că sunt mari probleme în felul cum se schimba predarea matematicii, Eugen Rusu a cuprins în finalul lucrării un capitol de Probleme de matematică şi exerciţii de pedagogie pe marginea lor, parte care ocupă jumătate din carte, dând astfel titlului cărţii posibilitatea unei înţelegeri inofesnsive. Citez de la pag. 22-24, unde Eugen Rusu „analizează” noua line ce se prefigura, de preocupare foarte intensă spre rezolvarea problemelor.

(…) Acceptăm deci probleme gratuite, în primul rând pentru că sînt frumoase şi antrenante şi pentru că educă. Dar nu putem face din ele o ocupaţie exclusivă, un scop în sine; trebuie să avem în vedere că educăm nu pentru performanţe ci pentru viaţă; trebuie să acordăm mai multă atenţie acelor probleme care, pe lîngă rorlul educativ, tip sport, au şi calitatea de a deschide perspective, posibilităţi spre probleme ştiinţifice reale. Nu formăm un simplu sportiv; (…) Deci: şi probleme-sport, spre a-i cultiva calităţi psihice, dar şi o bază destul de largă şi solidă care să-i permită trecerea naturală de la sport la o muncă utilă sau de la o muncă utilă la o altă muncă utilă.

Îmi permit să intervin aici în citatul Profesorului Rusu, pentru a atenţiona asupra aspectului sportiv. Se prea poate ca anumite persoane să se fi simţit lezate de asocierea făcută în scurtul parcurs istoric din partea I a eseului între olimpismul matematic şi cel sportiv în politica lui Ceauşescu. Vedeţi că şi Eugen Rusu a atenţionat asupra acestui aspect, reuşind chiar să strecoare o frază destul de „inocentă” în cartea sa din 1978 (la 2 ani după nota 10 a Nadiei Comăneci).

Programa în linii mari. Liceul trebuie să asigure experienţa de gîndire a celor trei feluri de matematică: euristică, logică, aplicată.

În primul rînd, elevul trebuie pus în situaţia de a resimţi atracţia pentru problematic, de a afla lucruri noi, fără a avea informaţii nici din afară, nici de la propriile-i simţuri. Să se minuneze şi să se entuziasmeze pentru acest fapt. Să-şi dea seama că nu e o acţiune automată, că o problemă poate apare ca simplă post-factum, dar că ea poate rezista inexplicabil de mult încercărilor de rezolvare – prin aceasta să trăiască şi neliniştea cercetării, şi modestia şi curajul de a eşua provizoriu, şi satisfacţia succeselor.

Apoi, elevul trebuie să-şi dea seama – tot prin propria lui experienţă – ce înseamnă un raţionament logic bine articulat, ce înseamnă adevăr probabil, bănuit prin intuiţie, sau ghicit sau conturat prin schiţe provizorii de raţionament şi ce înseamnă a-l pune sub semnul dubiului pentru a-l stabili ferm sau, după caz, pentru a-l infirma. (…)

Problemele (atît cele propriu-zise cît şi cele care reprezintă problematizarea teoriei) au deci mai multe roluri care schematic s-ar prezenta astfel: A. Rol informativ -1. direct utile în practică; -2. necesare culturii generale; B. Rol formativ -1. exerciţiul gîndirii logice; -2. manifestarea atracţiei pentru problematic, educarea gîndirii creatoare. (…)

Problematizarea tocmai asta înseamnă: să nu avem în vedere numai rolul informativ, să nu ne mărginim la a furniza elevului nişte enunţuri şi nişte judecăţi gata aranjate. Să-l provocăm să le descopere.

Mai târziu în carte, la pag. 59-60, Profesorul Rusu ajunge la analiza prezentării axiomatice a unei teorii, combătând ideea includerii acestei linii în matematica şcolară (pe atunci se discuta în România despre introducerea formei axiomatizate doar la liceu; ulterior tendinţa s-a extins şi la gimnaziu).

Dacă în planul înalt al ştiinţei pure şi al filozofiei matematica nu este reductibilă la axiomatică – deşi procesul de axiomatizare are o valoare incontestabilă – iar rigoarea nu este absolută, cu atît mai mult în matematica şcolară trebuie pusă în valoare matematica vie – completă – trecerea de la o justificare la o demonstraţie mai riguroasă trebuie înfăţişată ca o problemă şi, amplificînd, trecerea de la o teoremă la un sistem de teoreme, cu structură axiomatică, ca o problemă mai întinsă.

Cînd lucrurile apar atît de clare încă din planul teoriei, mai este nevoie de experimentare, mai putem risca o experimentare ce costă atît de mult?

Vă rog să citiţi şi să recitiţi ultima frază. Profesorul Eugen Rusu nu putea să facă mai mult decât să avertizeze din tot sufletul asupra evitării acestui experiment. Care au fost rezultatele acestuia peste ani? Păi vedem acum, când ne străduim (ne căznim!) să reparăm ce se mai poate repara. Textul continuă:

O astfel de experienţă a fost făcută în Franţa (dar a fost mai mult sau mai puţin proiectată şi schiţată practic şi în alte ţări). Nu ne îngăduim să criticăm situaţia din afară, dar, şi în planul educaţiei, schimburile de idei în lume au devenit atît de active, încît putem cunoaşte aceste experienţe şi trage, pentru noi, unele concluzii. Avem în faţă două articole publicate într-o revistă de circulaţie (Renaud de la Taille, Math. „modernes” les risons logiques d’enterrer la réforme. În: Science et Vie, mars, 1972 şi Réformes des math.: pourquoi l’echec, în Science et Vie, noiembrie, 1973) (…)

„Axiomele nu dezvăluie adevăratul lor sens decît pentru acel care cunoaşte deja în mod temenic obiectele şi relaţiile unei teorii. Axiomatica nu este decît faza finală a unei teorii încheiate, cercetarea condiţiilor minimale din care decurge logic această teorie. Putem deci să ne ridicăm împotriva caracterului apriori al axiomelordate fără motivaţie în clasele elementare … . Nimic nu ne arată din faţa ascunsă a matematicii, din faţa intuitivă, inductivă, din tatonările care au condus la axiome. Stranie atitudine pentru un învăţămînt care se pretinde nedogmatic”.

Rezultatul? G. Choquet, profesor la universitatea din Paris, după ce mărturiseşte „am fost unul din promotorii reformei” spune textual „generaţia actuală a şcolarilor noştri va primi o formaţie matematică ce nu o pregăteşte nici pentru cercetarea matematică nici pentru utilizarea matematicii în tehnică”. Analog, D-na Lelong-Ferrand, prof. univ. Paris „un învăţămînt tot atît de îndepărtat de realitate ca şi de adevărata matematică”. În termeni şi mai alarmanţi, Acad. J. Leroy: „un învăţământ dement … pune în pericol tehnica şi ştiinţa franceză”.

Am amintit aici aceste articole (…) pentru acei – puţini – reformişti ai învăţământului, lipsiţi de un contact autentic cu el. Pentru cei care activează autentic în învăţămînt şi, în primul rînd, pentru cei care fac un învăţămînt axat pe problematizare, spre care toţi înclinăm în mod natural chiar înainte de a auzi de teoria pedagogică respectivă, argumentele decisive nu sînt nici în teorii, nici în experienţele altora, ele sînt oferite de faptele vii. A problematiza înseamnă a urmării cum elevul descoperă treptat implicaţii logice, teoreme şi cum, într-o fază superioară caută a le adînci şi sistematiza, înseamnă a stimula şi a sprijini acest proces de gîndire viu. (…)

Obiectivele noastre principale rămîn: a face pe elev să resimtă plăcerea de a descoperi implicaţii logice; a-l ajuta să-şi întărească gîndirea investigatoare şi gîndirea logică – prin exercitarea ei în condiţii favorabile.

Dimpotrivă, de la Reforma uitată încoace, majoritatea elevilor au fost împiedicaţi să-şi întărească gîndirea investigatoare şi gîndirea logică, prin crearea unor condiţii repulsive, exclusiviste la adresa lor, datorită preocupării învătământului matematic doar în direcţia elitelor. Această lucrare din 1978 este ultima semnată de Profesorul Eugen Rusu (despre care să am eu cunoştinţă). În 1978 au apărut noile manuale de Liceu iar în 1981 au fost introduse noi manuale şi în Gimnaziu. Din aceste lungi citate este clar că breasla matematicienilor nu poate spune că nu a fost avertizată despre consecinţele evidente ce vor avea loc în urma acestei reforme.

Profesorul A. Hollinger a fost un alt reprezentant de vârf al taberei metodiştilor care au pierdut acest ”război”. Superbele sale manuale de geometrie gimnazială au fost înlocuite cu unele de inspiraţie universitară, la trei ani după introducerea unora similare în liceu. La început pasul geometriei absolutist riguroase către liceu a putut fi suportat de către marea masă a elevilor inteligenţi, deoarece aveau bazele solid puse, în mod intuitiv introduse, adaptat vârstelor gimnaziale şi ideii de primă trecere prin această ştiinţă, de către manualele lui Hollinger. Când însă, s-a introdus o adaptare a geometriei absolutist riguroase şi în gimnaziu, de la prima trecere prin geometrie, atunci a avut loc o cădere masivă a înţelegerii acestei materii de către marea masă a elevilor. O situaţie similară a avut loc şi legată de procesul aritmetico-algebric.

După eliminarea manualelor sale de geometrie gimnazială, Profesorului Hollinger i s-a permis un ultim ”cântec de lebădă”, acea minunată culegere cu Probleme de geometrie din 1982. Iată cum începea prefaţa acestei culegeri: Lucrarea de faţă are ca punct de plecare o anumită idee despre predarea geometriei în şcoala generală. Care este această idee, Hollinger nu ne spune clar, pentru că ar fi trebuit să critice oficial linia noilor manuale.

Dacă la aritmetică şi algebră elevul mijlociu îşi însuşeşte cel puţin un minim de cunoştinţe şi este capabil să le aplice, sînt foarte mulţi elevi care nu se aleg aproape cu nimic din tot ce li se predă la geometrie. (…) Este evident că Hollinger se referea la manualele noi şi la linia de predare a acestora. Acest citat se potriveşte însă de minune şi ca o analiză lucidă a situaţiei actuale din clasele gimnaziale. Eseul de faţă nu-mi permite reluarea întreagă a acestei prefaţe, dar mă bazez că cititorul o va căuta şi o va lectura cu atenţie, mai ales prima pagină, care ar trebui să fie analizată de către orice profesor responsabil.

Starea actuală a matematicii şcolare, cu problemele ei grave, subliniate pe faţă sau printre rânduri şi de către scrisoarea metodică 2019, ne arată care a fost preţul plătit de societatea noastră în urma înfrângerii metodiştilor în acel “război” din anii ’60-’70, preţ plătit în numele absolutizării importanţei concursurilor şcolare. Repet pentru ultima dată: nu concursurile şcolare sunt de vină, ci absolutizarea importanţei acestora, subjugarea preocupării şi a atenţiei profesorilor doar acestui obiectiv.

Prof. C. Titus Grigorovici

SCRISOARE METODICĂ 2019 (III)

Noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale a adus o serie de modificări vizibile înspre scăderea gradului de dificltate al acestei discipline la nivelul marii mase al elevilor. Din păcate însă, această nouă orientare nu a fost percepută ca atare de către profesori astfel încât, cel puţin la clasele V-VI, matematica a ajuns să fie în multe cazuri chiar mai grea decât era înainte, deşi în programă este precizat explicit contrarul.

Ca urmare, la începutul lui 2019, toţi responsabilii de acest subiect s-au reunit din nou, ocazie cu care a fost emisă o scrisoare metodică. Am prezentat în primele două părţi ale eseului de faţă felul cum înţeleg eu această scrisoare metodică. După părerea mea, cele două documente – programa şi scrisoarea metodică – reprezintă adevărate pietre de hotar între vechea paradigmă generată de reforma uitată din 1980 (conform căreia Ceauşescu dorea o preocupare intensă pentru creşterea rezultatelor la olimpiadele şcolare) pe de-o parte, şi o nouă paradigmă în care se cere o matematică mai puţin distructivă pentru marea masă a elevilor, pe de altă parte.

Ce-ar fi trebuit să facă autorităţile în sensul implementării acestei noi direcţii? Ţinând cont cât este de diferită, aproape opusă această nouă paradigmă faţă de precedenta, şi ţinând cont totodată de faptul că simplele sugestii metodologice din preambulul noii programe nu sunt de fapt respectate, fiind încălcate deseori chiar şi conţinuturile, autorităţile ar fi trebuit să se asigure că mesajul acestei scrisori metodice ajunge în mod just la toţi profesorii de matematică.

Care a fost însă realitatea? Scrisoarea a fost trimisă în şcoli cerându-se un Plan operaţional corespunzător de la fiecare unitate de învăţământ (ţinând cont de termenul cerut, bănuiesc că un inspector a trebuit să centralizeze şi să le trimită mai departe la minister (unde trebuiau să ajungă până la 1 martie). Cum s-au întâmplat lucrurile de fapt în şcoli? Se pare că sarcina aceasta şi-au cam asumat-o şefii de catedră. Spun aceasta pentru că toţi profesorii din alte şcoli cu care m-am întâlnit între timp habar nu aveau de această scrisoare, sau de planul operaţional remedial corespunzător. Încercând să parafrazez această situaţie într-un mod cât mai civilizat, pot doar să spun o vorbă veche: “La vremuri noi, tot noi!” (adică, la vremuri noi, aceleaşi obiceiuri vechi). Astfel, sunt şanse mari ca în majoritatea şcolilor această scrisoare să nu fie cunoscută sau corect înţeleasă, aşa încât mesajul de la Minister “să fi mers pe lângă”.

Cunosc un singur caz care oarecum face excepţie de la acest tablou pesimist. La mijlocul lunii martie şcolile clujene au primit din partea CJRAE Cluj Programul pentru elevii claselor a IV-a “Trec la gimnaziu”, având ca ţintă exact recomandarea despre Asigurarea unei tranziţii optime de la un ciclu de învăţământ la altul, mai ales în cazul trecerii primar-gimnazial. Acest demers este însă unul general, dar cu atenţionări la adresa profesorilor, în sensul de a susţine cândva în semestrul al II-lea o oră de matematică în timpul unei zile doar cu profesori de gimnaziu la clasele a IV-a. Păi aşa ceva noi facem în şcoala noastră de 5 ani (la început din proprie iniţiativă); de 4 ani şcolile au primit oricum recomandarea de a organiza astfel de acţiuni. Din păcate însă, materialul respectiv conţine o lungă dizertaţia despre psihologia adaptării, dar nu conţine gânduri la adresa profesorilor de matematică de a-i lua mai blând pe cei mici.

Revenind la planul operaţional, în mod similar cum am descris mai sus, aşa a fost şi la noi: colegul meu era în pregătirile şi emoţiile inspecţiei pentru gradul I, aşa că am preluat eu sarcina improvizării unui plan operaţional la matematică (noi în Liceul Waldorf oricum avem clare preocupări în acest sens). Ce a ieşit? Nu garantez că este în regulă (chiar am serioase îndoieli şi mi-ar fi plăcut să văd ce au gândit şi alţi colegi în acest sens), dar în acele zile aglomerate mai mult n-am fost în stare să generez. Iată ideile adunate pe cele patru ţinte (la care se mai adaugă şi gândurile legate de elevii claselor a VIII-a, unde “se îngraşă porcul înainte de Ajun”):

1) Predarea prin problematizare şi atragerea elevilor în generarea lecţiei, pentru înţelegere profundă a fenomenului studiat; Realizarea unei treceri fluente între zona de matematică distractivă (deci atractivă) şi zona de eficientizare a rezolvării problemelor abstracte, totul înspre obişnuirea şi antrenarea elevilor în folosirea raţionamentelor logice intuitive, dar şi a reţetelor de rezolvare şi argumentare. Asigurarea unui proces de cunoaştere a matematicii centrat pe abilităţile şi capacităţile intelectuale ale elevului, nu pe cerinţele excesive de rigurozitate ale teoriei matematice absolute (nu matematica hiper-riguroasă, ci elevul în centrul atenţiei profesorului, dar desigur fără încălcarea atitudinii corect matematice).

2) Pedagogia Waldorf este o pedagogie de educare spre îndeplinirea datoriilor, adaptată nevoilor şi posibilităţilor fiecărei vârste. Reperul orei de matematică este elevul bun la învăţătură, dar nu nivelul de excelenţă spre care sunt forţaţi elevii vârfuri ai claselor, care este de obicei mult peste nivelul acestora. Acest reper le va permite elevilor să acceadă la diversele domenii profesionale ce se sprijină pe raţionamente şi acţiuni matematice.

3) Acordarea atenţiei profesorului de matematică către toţi elevii, în egală măsură elevilor avansaţi, cât şi elevilor rămaşi în urmă. Discutarea planurilor de măsuri cu părinţii (întâlniri separate cu fiecare familie). În loc de activităţi de remediere, mai degrabă atitudini preventive prin adaptarea introducerii noţiunilor la nivelul intelectual şi la nevoile intuitive ale vârstei fiecărei clase. Evitarea exagerărilor definiţioniste şi a vriei teoreticiste în introducerea noţiunilor şi prezentarea materiei, folosind texte cât mai simple şi accesibile, bazate pe înţelegerea intuitivă naturală a elevilor (de exemplu: Două drepte coplanare  care nu se intersectează se numesc drepte paralele. Ce caută în această definiţie de clasa a VI-a cuvântul coplanare? La ce îi ajută pe elevi acest cuvânt specific materiei de clasa a VIII-a?)

4) Folosirea unei palete cât mai largi de metode implicative şi adaptarea strategiilor didactice pentru atragerea cât mai eficientă a elevilor spre evoluţia învăţăturii; Asigurarea tranziţiei cât mai eficiente de la un ciclu la altul, în general de la o vârstă la alta. Adaptarea materiei la capacităţile vârstei şi respectarea acestora (gândire aritmetică şi construicţii geometrice în clasele V-VI; trecerea la gândirea algebrică şi la demonstraţia geometrică în clasele VII-VIII). Furnizarea plină de respect şi tact pedagogic, dar realistă a feedback-ului către elev în procesul de evaluare.

Din acele zile de strădanie, cel mai mult mi-a plăcut momentul când am generat ideea, expresia următoare: Evitarea exagerărilor definiţioniste şi a vriei teoreticiste! Într-una din cărţile mele ce ating acest subiect, şi din care voi cita mai jos, am găsit o hârtiuţă pe care am scris cândva următoarea propoziţie, care se potriveşte minunat în acest context: Trebuie să evităm formalizarea falsei rigurozităţi! Şi, Doamne!, câţi profesori chiar asta greşesc, se năpustesc zilnic la ora de matematică în formalizarea unei false rigurozităţi, pentru că numai aşa ştiu, pentru că aşa au fost setaţi.

Dar şi ideea unei atitudini preventive care să înlocuiască cu timpul atâtea activităţi de remediere, este o idee asupra căreia ţin să atenţionez hotărât. Adică, avem o politică ce distruge masiv elevii (avariere matematică în masă printr-un nivel foarte ridicat al lecţiilor şi al aplicaţiilor, reglat întotdeauna la nivelul şi spre folosul celor mai buni din clasă, de obicei chiar mai sus), iar apoi le cerem profesorilor activităţi de remediere (pentru restul clasei). Stupid!!!

Cum văd eu lucrurile în această direcţie? Pe lângă activităţile de remediere pentru “greşelile” din trecut, ar trebui ca fiecare profesor să înceapă de îndată a-şi face gânduri şi despre atitudini preventive pentru a elimina “greşelile” din viitor, pe care apoi să încerce a le implementa cât de repede posibil (onor Ministerul, prin această scrisoare metodică, ne împinge pe noi să căutăm soluţii în acest sens). Fraza de mai sus are desigur sens doar dacă admitem că situaţiile la care recunoaştem că trebuie remediate nu se datorează în întregime elevilor sau situaţiei familiare a acestora, ci că şi profesorii au o bună parte din vină. Cei care se consideră impecabili, ar trebui să-şi caute altceva de făcut decât să lectureze prezentul text. Cât despre mine, eu mă preocup zilnic în acest sens.

Este foarte discutabil care va fi eficienţa scrisorii metodice în aceste condiţii de diseminare (un subiect pentru o eventuală analiza ulterioară). Faptul că s-ar putea să nu fie înţeleasă, urmând să aibă o soartă similară cu cea a noii programe, este destul de plauzibil. Poate soarta ar fi fost alta dacă scrisoarea ar fi avut un preambul legat de evoluţia cerinţelor din partea autorităţilor asupra profesorilor de matematică în ultima jumătate de secol. Asta însă ar fi echivalat cu recunoaşterea faptului că timp de peste un sfert de secol după îndepărtarea lui Ceauşescu autorităţile i-au continuat politica în domeniul predării matematicii. Este evident că aşa ceva era imposibil.

Departe de mine de a încerca să dau sfaturi, dar cunosc că în timpul reformei uitate din jurul lui 1980 profesorii erau adunaţi toţi (probabil în săli mari de cinematograf) şi se dezbăteau problemele metodice ale noii forme de predare. Pe vremea respectivă, din câte ştiu, la săptămâna de lucru de 6 zile, profesorii aveau doar în 5 zile ore, a şasea zi fiind rezervată pentru perfecţionări metodice şi alte activităţi de pregătire (cred că cele 6 zile erau împărţite echilibrat tuturor materiilor). Ştiu că aşa ceva este imposibil actualmente, dar a încerca o reformă reparatorie doar prin intermediul unor documente nu cred că este foarte eficient. La fel, nu văd posibilitatea unei eficienţe reale prin simpla plasare a modificării convingerii profesorilor spre noua linie (oarecum opusă precedentei), tocmai inspectorilor de specialitate, aceeaşi care sunt responsabil de atâţia ani chiar de organizarea cu succes cât mai mare a olimpiadelor şcolare. Cred că un astfel de gând este absolut nerealist şi schizofrenic, forţându-i nemeritat pe inspectori într-o poziţie duplicitară de falsitate, pentru care nu sunt nici convinşi, nici pregătiţi. Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

P.S. Legat de segmentul elevilor din clasă care vor deveni doar utilizatori de bază ai conceptelor şi raţionamentelor matematice (despre care am vorbit în partea a doua a eseului, la analiza recomandărilor din scrisoarea metodică), am două aspecte suplimentare de prezentat, despre structura acestei categorii de elevi. În primul rând vreau să precizez că ei reprezintă în general marea masă a elevilor. Am discutat despre aceştia când am vorbit de Clopotul lui Gauss (în postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ din mai 2016), ei reprezentând corpul principal al graficului cu repartizarea populaţiei conform coeficientului de inteligenţă. Partea de populaţie cu un coeficient de inteligenţă scăzută sau foarte scăzut nu intră neapărat în subiectul preocupări acestei scrisori metodice (cel puţin sub un anumit nivel, aşa cum eram agresaţi în urmă cu câţiva ani pentru elevii cu CES). Pe de altă parte, elevii cu un coeficient de inteligenţă ridicat şi foarte ridicat reprezintă cei ce au fost căutaţi cu mare hotărâre în ultimii 30 de ani pentru a fi atraşi în activităţile de excelenţă, aceştia fiind potenţiali candidaţi pentru a aduce locuri bune la diferitele etape ale olimpiadelor şcolare sau alte concursuri şcolare. Pentru ei au ajuns să se preocupe foarte mulţi profesori, să se seteze doar în folosul acestora, neglijând parţial sau total marea masă a clasei, pe care îi hărţuiesc şi îi înjosesc zilnic în numele unei excelenţe prost înţelese.

În al doilea rând, haideţi să vedem cum stau lucrurile în alte ţări (mai degrabă, cum stăteau în urmă cu peste jumătate de secol peste ocean). În acest sens există un exemplu prezentat de George Pólya în lucrarea Descoperirea în matematică (Ed. Ştiinţifică 1971, pag. 316-317). Vă prezint aici pasaje din textul respectiv, aşa cum îl vedea Polya în anii ’50-‘60 în Statele Unite, cu gândul de a vedea un exemplu edificator despre modul obiectiv cum privesc alţii situaţia, dar şi cu gândul de a face o comparaţie între societatea lor şi a noastră (prin lucrările sale George Pólya – profesor maghiar emigrat via Elveţia în SUA – este probabil cel mai cunoscut autor de metodica şi didactica predării matematicii la nivel mondial).

De ce “rezolvarea problemelor” – obiect de studiu? Părerea mea este că tema … ar trebui să constituie … o componentă esenţială a oricărui plan de învăţămînt matematic în şcoala medie, care vrea să fie realmente util. … Aş vrea să adaug câteva comentarii despre rolul orelor de rezolvare de probleme …

(1) Ne ocupăm aici de predarea matematicii la nivelul şcolii medii şi de scopurile acestei predări. O considerare realistă şi cu spirit de răspundere a acestor scopuri trebuie să ţină seama de utilitatea pe care ne aşteptăm că o vor prezenta, în viitor, cunoştinţele pe care le cerem azi elevilor să le asimileze. Există desigur diferite categorii de elevi, şi unele vor folosi mai mult, altele vor folosi mai puţin, cunoştinţele dobîndite în şcoală, iar unele categorii constituie o fracţiune mai mare, altele – una mai mică, din masa elevilor. … Proporţiile numerice pe care le voi folosi în cele ce urmează sînt estimări foarte aproximative, fără o bază statistică serioasă … .

(2) Să considerăm elevii care învaţă ceva matematică la nivelul şcolii medii (algebră, geometrie etc.), şi să distingem – în ceea ce priveşte modul în care aceştia vor folosi cele învăţate în profesiunile lor viitoare – trei categorii: matematicienii, consumatorii de matematică şi neconsumatorii de matematică.

Limitele primei categorii să le facem destul de cuprinzătoare; să-i socotim drept “matematicieni”  sau “producători de matematică” şi pe fizicianii-teoreticieni, pe astronomi, şi pe unii ingineri în anumite funcţii de cercetare. La un loc, ei formează, să zicem, circa 1% din elevi. (Proporţia de viitori doctori în matematică este mai apropiată de 0,1%).

Inginerii, oamenii de ştiinţă (inclusiv unii dintre cei din domeniul ştiinţelor sociale), profesorii de matematică şi de ştiinţe exacte etc. sînt consumatori (dar în general nu şi producători) de matematică Să-i mai numărăm printre consumatorii de matematică şi pe elevii de azi care nu vor folosi matematica în profesiunea lor viitoare, dar care vor avea negreşit nevoie de anumite noţiuni de matematică în cadrul studiilor de specialitate (este cazul foarte multor ingineri diplomaţi care devin comercianţi sau manageri). Efectivul tuturor consumatorilor de matematică, de toate categoriile, s-ar putea ridica – să spunem – la 29% din numărul elevilor.

Intervin în citatul din Pólya, precizând că la această părere din anii ’50-’60 trebuie adăugată apariţia informaticienilor, segmentul actual al IT-iştilor schimbând vizibil procentele date în vremea respectivă; la fel, este posibil să existe anumite schimbări în procentele estimate, datorate în general evoluţiei multor ştiinţe către zona utilizării tot mai accentuate a matematicii, dar fără însă a schimba în mod foarte diferit semnificaţia celor susţinute în acest text.

Dintre elevii rămaşi, mulţi ar putea folosi ceva matematică peste nivelul celei pe care au învăţat-o în şcoala primară, dar efectiv nu o vor face. Apreciind că 70% din elevii din şcoala medie vor deveni neconsumatori de matematică, estimarea este, poate aproximativă, dar nu nerealistă: în această categorie intră aproape toţi viitorii oameni de afaceri, jurişti, clerici etc.

(3) Nu ştim dinainte cine – ce va deveni, aşa că nu ştim dacă elevii intră la cutare categorie. De aceea, lecţia de matematică trebuie condusă în aşa fel încât să respecte următoarele două “principii”:

Primul – trebuie ca toţi elevii să poată trage un oarecare folos din ceea ce învaţă, indiferent de profesiunile viitoare.

Al doilea – elevii care au oarecare aptitudini pentru matematică trebuie să fie atraşi spre matematică, şi nu dezgustaţi de ea, printr-o predare nejudicioasă.

Consider subînţeles că cititorul acceptă , cel puţin într-o anumită măsură, aceste două principii. De fapt, convingerea mea este că a planifica învăţămîntul matematic în şcoala medie fără a avea în atenţie, permanent şi de bună credinţă, aceste două principii ar fi nerealist şi iresponsabil.

Permiteţi-mă să sugerez, foarte pe scurt, în ce fel cele trei categorii de elevi considerate aici ar putea cîştiga ceva esenţial învăţînd cum se rezolvă problemele.

(4) Abilitatea de a rezolva probleme de matematică presupune, fireşte, o oarecare cunoaştere a subiectului matematic implicat dar ea presupune, în plus, şi anumite deprinderi ale intelectului, o anumită atitudine generală pe care, în viaţa de toate zilele, am înclina s-o numim ”bun simţ”. Profesorul care vrea să-şi servească în mod egal toţi elevii, viitorii consumatori sau neconsumatori de matematică, trebuie să-i înveţe cum se rezolvă problemele, în aşa fel încît ceea ce le spune el de la catedră să fie circa o treime matematică şi două treimi bun simţ. S-ar putea să nu fie prea uşor profesorului de matematică să înoculeze elevilor săi bun simţ şi deprinderi mintale utile, dar dacă reuşeşte s-o facă, înseamnă că le-a făcut un mare serviciu, indiferent de profesiile viitoare ale acestora. Acest serviciu este cu siguranţă cel mai important pe care-l poate face el pentru cei 70% din elevi, cei care nu vor avea nevoie să folosească aparatul matematic în ceea ce vor face mai tîrziu.

Legat de acest aliniat am un mic comentariu, în sensul că nu sunt mulţumit de traducerea rezultată în acest “bun simţ”, în sensul că englezescul “common sense” se suprapune ca semnificaţie doar parţial cu “bun simţ”. O colegă îmi sugera “un simţ al judecăţii echilibrate”. Traducând din Wikipedia, obţinem “abilitatea fundamentală de a percepe, a înţelege şi a judeca” în probleme practice. Alte traduceri recomandate de specialişti ar fi “simţul raţiunii corecte” sau “simţul obiectivităţii”. Toate se învârt în jurul unui mod de discuţie argumentat, raţional, echilibrat (adică nealunecat în argumentări subiective), tinzând spre obiectivitatea situaţiei.

Susţinând cele comentate aici inserez un alt citat din George Pólya, anume din lucrarea Cum rezolvăm o problemă (Ed. Ştiinţifică, 1965, pag. 70): Dacă elevul nu şi-a însuşit unele aspecte particulare din geometrie, el n-a pierdut prea mult; s-ar putea ca astfel de fapte să-i folosească prea puţin în viaţa sa de mai tîrziu. Dacă el nu a ajuns însă să cunoască demonstraţiile geometrice, el a pierdut cele mai bune şi cele mai simple exemple de argumentare corectă, a pierdut cea mai bună ocazie de a ajunge la ideea de raţionament riguros. Fără această idee, elevul este lipsit de un etalon valabil cu care să aprecieze argumentările care au pretenţia de a fi adevărate şi pe care le va întâlni mereu în viaţa de toate zilele. Pe scurt, dacă educaţia are intenţia de a-i da elevului noţiunile de evidenţă intuitivă şi de raţionament logic, ea trebuie să rezerve un anumit loc demonstraţiilor geometrice (atenţionez aici asupra legăturii dintre acest pasaj şi cel cu nemţii, şahul şi matematica din partea a II-a).

Revin la citatul mare întrerupt mai sus: Cei 29% din elevi, cei care vor deveni consumatori de matematică au nevoie, ca o pregătire pentru studiile lor ulterioare, de o oarecare îndemînare în tehnica calculului (de pildă, o oarecare uşurinţă în efectuarea operaţiilor algebrice). Or, tocmai elevii cu certe înclinaţii practice sînt foarte puţin dispuşi să înveţe ”tehnici”, dacă nu sînt convinşi că acele tehnici servesc cauza unui scop, că sînt bune la ceva. Lucrul cel mai bun care îl poate face profesorul pentru a justifica învăţarea tehnicilor este să demonstreze că ele sînt eficiente în rezolvarea unor probleme concrete, interesante, care survin în mod natural.

Despre aceştia vorbea probabil un medic, fost elev al mamei mele, care spunea că cei care învaţă şi ştiu matematică au acces la cea mai mare parte a posibilelor meserii. Un învăţământ ca al nostru, care se concentrează doar pe promovarea elitelor matematice, îi văduveşte pe toţi ceilalţi de o dezvoltare sănătoasă a gândirii, ce le-ar fi de folos în multe alte meserii.

Viitorii matematicieni nu constituie decît aproximativ 1% din masa elevilor, dar este extrem de important ca ei să fie descoperiţi, fiindcă dacă ei îşi aleg în mod greşit profesiunea, talentul lor, de care societatea modernă are nevoie sub atîtea şi atîtea forme – s-ar putea irosi. Lucrul cel mai important pe care-l poate face profesorul pentru aceşti 1% este să le trezească interesul pentru matematică. (…) Ei bine, rezolvarea problemelor este o ”magistrală” importantă, larg deschisă spre matematică; şi nu numai atît, dar ea comunică cu alte magistrale importante (…). În plus, profesorul ar trebui să trateze şi cîteva probleme care, deşi ceva mai dificile şi mai costisitoare ca timp de predare, sînt de o reală frumuseţe şi bogăţie matematică (…).

Lângă ultimul aliniat am găsit un comentariu mâzgălit de mine pe margine cu creionul (probabil de la a doua lecturare a acestei cărţi), o caracterizare a actualei situaţii a învăţământului matematic şcolar românesc: un învăţământ care s-a focusat tot mai mult pe cei 1%, dar şi pe sine (focusat pe sine într-un mod elitist egocentrist, intangibil marii mase a elevilor). Altfel spus, parafrazându-l pe Pólya, este evident că profesorii de matematică din România au cam fost setaţi în ultimul sfert de secol spre neglijarea celor 70% + 29% = 99%, cerându-li-se să-şi îndrepte toată atenţia spre cei 1% (doar spre cei mai buni din clasă, pentru că aceştia aduc rezultate). Impresia mea este că Scrisoarea metodică 2019 ne cere foarte clar să ne întoarcem atenţia şi spre cei 70% + 29% = 99%.

P.P.S. În prima parte a acestui eseu am prezentat câteva exemple de “deraieri” ale unor profesori, care îngreunează artificial matematica gimnazială. Astfel de exemple apar în mod constant; trebuie doar să urmăreşti regulat predarea acestora. În acest sens, de la redactarea primei părţi a eseului am găsit alte noi exemple pe care doresc să le prezint.

Ex.1) La puterea numerelor întregi, predând prin problematizare, le vom da elevilor să calculeze “băbeşte” câteva puteri cu baze negative, de tipul (-2)3 = (-2)∙ (-2)∙ (-2) = -8 sau (-3)4 = (-3)∙ (-3)∙ (-3)∙ (-3) = +81, la fiecare stabilind cu grijă semnul, şi încă două-trei exemple pentru a stabiliza şi verifica principiul rezultatului: dacă-i par, dacă-i impar. Rezultatul ar trebui să îl consemnăm într-o formă cât se poate de simplă şi intuitivă, de pildă: (–)par = + şi, sub aceasta (–)impar  = –, în mod similar cu mult mai cunoscutele (–)∙(–) = + etc. Despre (+)n = + discutăm după mai multe exemple cu baza negativă, doar ca un exemplu ciudat şi evident pentru toţi elevii. Primele două vor fi înrămate, pe când varianta cu baza pozitivă nu merită decât prin analogie această “onoare”.

Cum sunt prezentate aceste aspecte în cărţi? Iată varianta dintr-un manual: o scriere cu acoladă pe două rânduri (asemănătoare cu definiţia modulului), în care pe primul rând scrie că an>0, dacă n este par, şi pe al doilea rând an<0, dacă n este impar, totul pregătit meticulos cu semne de aparţine şi proaspăt învăţatul Z dublat. În acest moment elevii încă nu au clar reperul numerelor pozitive respectiv negative ca mai mari respectiv mai mici decât zero, aşa că cei mai mulţi n-au înţeles ce vrea această regulă, aşteptând ca acasă să-i explice cineva ce se întâmplă. Într-o culegere auxiliară apare regula asemănător, dar în loc de par, respectiv impar este folosită caracterizarea 2k, respectiv 2k+1. Cum ar înţeleage-o un elev care nu cunoaşta această codificare?

Ex.2)  Iată încă un exemplu de clasa a VI-a, dar de la geometrie. În caietul elevului stă scris Condiţie: |b – c| < a < b + c. Ce-i drept, după această relaţie cu modul (valoare absolută), care-i sperie instant pe elevi, stă scris că Verificăm dacă latura mai mare este mai scurtă decât celelalte 2 (vă daţi seama ce a înţeles elevul speriat de prima relaţie, scriind cum putea de repede, pentru a nu rămâne în urmă). Apoi apare înrămat a < b + c, dar eu cred că degeaba, pentru că prima relaţie i-a anesteziat înţelegerea. În plus, alături nu se află nici măcar un minim desen, un exemplu numeric, sau orice altceva care să-l ajute pe elev să înţeleagă despre ce este vorba. Cred că era sfârşitul orei (alături apare notată tema) şi în bunul stil obişnuit profesoara a dictat până în ultima clipă, când oricum elevii nu mai sunt atenţi, aşteptând cu nerăbdare doar  terminarea calvarului. La ce bune toate aceste etalări de scrieri generalizate şi atotcuprinzătoare, într-un limbaj codificat, avansat şi pretenţios? Asta la clase mici unde ar trebui predat cât mai intuitiv.

Ex.3)  Luăm şi un exemplu de clasa a VII-a, ca să dovedesc că în orice moment ne putem întâlni cu elemente peste nivelul vârstei, în afara programei. Ce caută la lecţia despre trigonometrie în triunghiul dreptunghic elemente de liceu cum ar fi formula sin2u + cos2u = 1 sau Teorema cosinusului? Unde întâlneşte elevul de gimnaziu pătratul sinusului? Doar pentru că la cine ştie ce concurs cineva ar putea da o problemă rezolvabilă greu la nivel de clasa a VII-a, dar rezolvabilă imediat cu aceasta? Cele două formule nu sunt culese dintr-un caiet (adică de la un profesor superambiţios şi exagerat), ci dintr-o culegere, un auxiliar de la o editură renumită (adică dintr-o sursă “formatoare de opinie”). Aceste exemple se alătură clasicelor “gafe” când profesorul (obişnuit cu nivelul de liceu) le dă elevilor de gimnaziu tabelul cu valori cuprinzând şi unghiurile de 0o şi 90o. Oare cum gândesc aceşti colegi că arată un triunghi dreptunghic cu un unghi de 0o sau cu încă un unghi drept?

SCRISOARE METODICĂ (II)

În acest început de an (ian.-feb. 2019), membrii Comisiei Naţionale de Specialitate şi inspectorii şcolari pe disciplina matematică, sub coordonarea MEN şi a Societăţii de Ştiinţe Matematice au redactat o Scrisoare metodică despre anumite aspecte ce trebuie urmărite în activitatea profesorilor de matematică.

Scrisoarea metodică are două părţi: în primul rând sunt patru Ţinte, obiective ce trebuie urmărite şi implementate în procesul de predare (cca. ½ pagină). Acestea sunt urmate de o serie de Recomandări lămuritoare ce se întind pe două pagini. În prima parte a acestui eseu am analizat (din punctul meu de vedere!) cele patru ţinte.

*

Această analiza am făcut-o după ce am reluat o scurtă prezentare a evoluţiei predării matematicii în ultima jumătate de secol, conform informaţiilor şi datelor cumulate în cercetările personale pe acest subiect. Daţi-mi voie să rezum această istorie în câteva idei de bază. Astfel, pe fondul unei predări destul de armonioase, spre finalul anilor ’70 în România a avut loc o reformă a predării matematicii (manuale + metodică şi didactică) având ca linii ghidante creşterea rigurozităţii materiei (subiect la modă în acei ani), încărcarea materiei cu teme aduse deseori din clase mai mari şi creşterea dificultăţii exerciţiilor şi a problemelor parcurse la clasă, dar şi la teme, toate având ca obiectiv principal ridicarea nivelului general de predare pentru îmbunătăţirea rezultatelor la olimpiade. Decada anilor ’90 şi reforma din ’97 cu introducerea manualelor alternative a păstrat linia impusă la reforma precedentă, între timp uitată, potenţând însă mai ales nivelul aplicativ, considerat “de excelenţă” în vederea obţinerii a cât mai bune rezultate la olimpiade şi concursuri. După 2000 vocea celor neglijaţi de acest sistem a început să se audă tot mai vehement, astfel încât au urmat ani de reformări mai punctuale sau mai generale pentru echilibrarea sistemului. Programa nouă pentru gimnaziu din 2017 trebuie citită şi înţeleasă în acest spectru. Din păcate foarte mulţi profesori nu înţeleg acest mesaj, aceştia acţionând în continuare în sensul paradigmei “excelenţă la olimpiade şi concursuri”. În acest sens trebuie înţeleasă Scrisoarea metodică din ianuarie 2019.

*

Un aspect important trebuie lămurit în acest moment al prezentului eseu: urmărind exprimarea acestor idei s-ar putea înţelege că sunt un adversar al practicării matematicii la nivel de excelenţă, în general un adversar al olimpiadelor şcolare. Nimic mai greşit! Copiii buni trebuie încurajaţi şi sprijiniţi, iar olimpiadele şcolare organizate în continuare. Colegii care lucrează în direcţia excelenţei merită toate laudele pentru munca lor şi trebuie încurajaţi în continuare pentru această muncă de tradiţie a matematicii româneşti. Pe de altă parte însă, nu sunt de acord cu această politică de sacrificare a marii majorităţi în numele obţinerii rezultatelor cu cei puţini dar buni. Absolutizarea importanţei muncii acestor colegi este cea care produce cele mai multe pagube în sistem, mai exact în mentalul majorităţii elevilor. Părerea mea este că tot ce câştigă această ţară prin respectiva politică adresată pentru cel mult 10% din populaţia şcolară (poate 5% ar fi mai realist exprimat), se pierde sigur, poate chiar înzecit, prin needucarea matematică a celorlalţi, a marii mase a populaţiei şcolare.

Să revenim la scrisoarea metodică. Ce găsim în aceste recomandări? Numai idei de bun simţ, pe care în general nimeni nu le contestă, dar pe care foarte puţini le înţeleg şi, ca urmare, cei mai mulţi nu le respectă. Haideţi să spicuim şi să comentăm câteve din aceste aspecte (reamintesc recomandarea de a citi integral Scrisoarea metodică de pe net).

Competenţele în domeniul matematicii sunt definite drept capacitatea de a dezvolta şi de a folosi o gândire matematică pentru a rezolva o serie de probleme în situaţii de zi cu zi. … se pune accent pe procese şi activităţi, cât şi pe cunoştinţe. Competenţele matematice implică, la niveluri diferite, capacitatea şi disponibilitatea de a utiliza moduri matematice de gândire (gândire logică şi spaţială) şi de prezentare (formule, modele, grafice, diagrame). UAU!!! Ce-mi plac aceste rânduri! Haideţi să vă explic cum le citesc eu.

După părerea mea există trei moduri de educare la copii a unei gândiri cât mai obiective, raţional-logice, atât în sensul deciziilor cât şi în sensul exprimării. Acestea sunt, într-o ordine aleatoare, următoarele:

Educarea copilului în anturaj nemţesc duce la o abordare obiectivă şi o gândire raţională, cunoscut fiind cât de rece raţional procedează aceştia, copilul preluând astfel prin simpla imitaţie acest fel de a fi. Cunosc aceasta din exemplele din jurul meu de copii români crescuţi temporal de “bunicuţe” săsoaice, pe aici, prin Ardeal. Cunoaştem însă astfel de situaţii şi din Germania. Renumiţii fotbalişti Mesut Özil (din familie turcească emigrată în Germania)) sau neamţul neaoş Jérôme Boateng (din mamă germană şi tată ghanez emigrat în 1981 în Germania) sunt doar câteva exemple cunoscute în acest sens.

Practicarea şahului de mic şi în mod ordonat ar fi o altă cale de educare a unei gândiri logice şi a dezvoltării unui mod de abordare strategică vizionar-logică a felului de a acţiona şi de a lua decizii cât mai obiective.

Participarea regulată şi implicată a copilului la raţionamentele matematice de zi cu zi poate duce şi aceasta la formarea unui mod de gândire raţional şi a unui mod de exprimare ordonat „fără a bate câmpii”. Dimpotrivă, practicând pe scară largă o matematică de excelenţă, matematică inaccesibilă majorităţii elevilor, îi văduvim pe aceştia de factorul formativ la nivelul gândirii raţional obiective, lăsându-i pradă sigură unei gândiri subiective, superficiale, o pseudo-gândire ce a căpătat de mult în ţara noastră caracteristici de epidemie generalizată.

Aşadar, nu ne gândim doar la situaţii în care cineva foloseşte efectiv elemente de matematică, cum ar fi de pildă, sarcina calculul de procentaje cu elevi corigenţi, procentaj fete sau băieţi între anumite note, de către o dirigintă profesoară de materie umanistă etc. Aici vă rog să mai lecturaţi încă o dată citatul de mai sus, încercând deci să eliminaţi, pe cât posibil, din gândurile dvs. orice includere a unor situaţii cu adevărat matematice. Acum ar trebui să înţelegeţi magnitudinea dezastrului la nivel naţional cauzat de decenii întregi de orientare a atenţiei şi a preocupărilor profesorilor de matematică doar în direcţia zonei de excelenţă: Societatea română este plină de adulţi (foşti elevi) care nu sunt în stare de a gândi raţional şi a lua decizii cât de cât obiective, modul lor de a privi şi de a aborda situaţiile din viaţă fiind unul dominat profund de subiectivităţi şi egocentrisme, ce se desfăşoară constant sub premiza „vorbeşte gura fără mine, deci probabil că şi gândesc” (poate exagerez puţin, dar o fac cu scop teatral).

Ceva mai jos în scrisoarea metodică găsim următoarul aliniat: O atitudine pozitivă în matematică se bazează pe respectarea adevărului şi pe dorinţa de a căuta argumente şi de a verifica valabilitatea acestora. Extraordinar cum se leagă acest citat de cel precedent, în sensul dat prin explicaţiile ulterioare. Dintre cele trei modalităţi de formare la elevi (educabili) a unei gândiri raţional logice enumerate mai sus, singura viabilă în actuala structură a societăţii şi a învăţământului românesc este matematica. Se vede aici cât de mare este responsabilitatea profesorilor de matematică în acest sens, dar şi cât de distructivă este abordarea elitistă practicată accentuat de peste un sfert de secol în toate şcolile clasificate drept „bune” în jurul nostru. Trăim zilnic în mod dureros felul în care s-a ajuns ca adevărul să nu mai fie respectat, să fie călcat în picioare la nivelul cel mai înalt.

Spuneam că doar matematica a rămas pe baricade. Cât despre şah, ar fi foarte bine de introdus strategic şi obligatoriu în planul cadru, dar cine ia o astfel de decizie, că la discuţiile despre planul cadru toţi vorbesc doar de scos ore.

În continuare găsim confirmări ale acestor puncte de vedere: Parte integrantă a  competenţelor de formare/dezvoltare prin studiul matematicii trebuie să fie: gândirea critică, problem-solving, munca în echipă, competenţe de comunicare şi negociere, aptitudinile analitice, creativitatea şi competenţele interculturale. Vă las dvs., stimaţi cititori, sarcina de a analiza pe rând toate aceste aspecte şi felul în care o predare sănătoasă a matematicii ar trebui să le educe. Desigur, aceasta s-ar întâmpla dacă predarea matematicii ar fi adresată pe o lungime de undă accesibilă majorităţii elevilor. Dimpotrivă, atâta vreme cât predarea matematicii este făcută într-un mod exclusivist, adică excluzându-i de la participarea la procesul gândirii pe majoritatea elevilor, prin ridicare aberantă a nivelului matematicii practicate la cote inaccesibile pentru cei mai mulţi, atâta vreme cât se păstrează acest stil de predare nu există şanse de îndreptare a lucrurilor, viitorul poporului român rămânând în zone absolut incerte.

Revenind la matematica în sine, pe prima pagină a scrisorii metodice apare următorul aspect: Cunoştinţele necesare în domeniul matematicii au în vedere: numerele, măsurile şi structurile, operaţiile matematice de bază. O înţelegere a termenilor şi conceptelor matematice, precum şi o sensibilizare faţă de întrebările la care matematica poate oferi răspunsuri sunt necesare pentru o bună cuprindere a acestor cunoştinţe în competenţele formate sau dezvoltate. Am sublinat doar operaţiile matematice de bază pentru a da un singur exemplu de încălcare a acestor aspecte. Cât de des – oh Doamne – întâlnim elevi care nu ştiu să facă împărţiri, elevi care spun că 7 : 2 = 3,1 dovedind că nu au înţeles ce se întâmplă acolo, şi exemplele pot continua la nesfârşit legat de numerele negative sau de radicali, dar şi de „temutele” numere complexe din liceu. Faptul că profesorii îi iau ca reper doar pe elevii de vârf ai clasei şi merg foarte repede peste pasajele introductive, acest stil de predare îi abandonează într-o ceaţă intelectuală pe majoritatea celorlalţi elevi. Aceştia se vor obişnui astfel pe durată în a trăi într-o continuă „noapte a minţii”, pe care cu timpul o vor resimţi ca normalitate: a nu înţelege mare lucru pentru ei devine o normalitate, iar apoi ne mirăm de tarele lor ca adulţi: sunt uşor manipulabili, sunt profund egocentrişti, având o incapacitate crasă de a vedea întregul, nu sunt în stare de a-şi impune un stil de viaţă anume decât constrânşi, au o capacitate redusă de a gândi şi a lua decizii raţional, devin uşor extremişti etc. Groaznic! Aceste gânduri mă duc încet spre idee de „atentat la fiinţa naţională”.

La recomandările concrete citim de pildă: Adaptarea strategiilor didactice (predare – învăţare – evaluare) în spiritul programelor şcolare şi la specificul colectivelor de elevi . Am dat câteva exemple în prima parte a eseului despre cum consideră unii colegi să-şi adapteze strategiile didactice. Cum ar trebui să predăm? Despre asta tot scriu pe acest blog pentagonia.ro. Despre cum ar trebui să ne adaptăm învăţarea la oră colectivelor de elevi din clasele noastre, adică să dăm atenţie şi elevilor mai slabi (zic eu), găsim şi în această scrisoare referire la 25% din totalul timpului petrecut la clasă. Cât despre evaluare şi ce probleme consideră unii colegi să includă în lucrările scrise, nici nu are rost să mai vorbim. Ca reper orientativ, în cazul unei clase în care nivelul de învăţare este bun şi noi dăm la lucrare scrisă o problemă pe care n-o înţelege nimeni, atunci ar trebui „să ne uităm mai serios în oglindă”.

O recomandare mi-a atras în mod deosebit atenţia: Asigurarea unei tranziţii optime de la un ciclu de învăţământ la altul (primar-gimnazial, respectiv gimnazial-liceal). Este evidentă necesitatea strădaniei dinspre reprezentanţii ciclului de clase mai mici pentru a putea conecta onorabil cu pretenţiile ciclului următor. Dar a pune o pretenţie exagerată pe cei „inferiori” nouă este o atitudine absurdă şi egocentristă. Eu citesc această recomandare ca o cerinţă adresată în primul rând profesorilor din ciclul „superior al trecerii, adică profesorilor de la clasele a V-a respectiv a IX-a. În cea mai mare parte acestora le este adresată această cerinţă. Dacă ne uităm la clasa a XI-a, în principal la clasele „de real”, acolo problemele nu sunt atât de distructive pentru că este deja vorba de elevi sortaţi pe capacităţi matematice. Că la liceele bune sunt şi aceştia luaţi de sus, extrem de dur, majoritatea angajându-şi ca urmare profesor meditator în particular, iar rezultatele ulterioare ale liceului respectiv se bazează în mare parte pe munca individuală de acasă a acestor meditatori, asta este o situaţie de opţiune a fiecăruia. Dar de aici nu apar avarieri matematice puternice ale acestor elevi.

Dimpotrivă, la clasele a V-a, în care încă nu a avut loc o triere oficială şi în care mare parte din elevi sunt încă în fazele inferioare de gândire, abordarea dură a unui nivel ridicat de predare şi de pretenţii se dovedeşte la mulţi elevi devastator! Aici, neadaptarea profesorului la o tranziţie optimă a clasei la noul ciclu de învăţământ este distrugătoare pentru viitoarea atitudine de dorit pozitivă a elevilor. A discuta apoi de programe remediale este tardiv şi chiar ruşinos (ca să nu folosesc o expresie mai dură, pot spune doar „frecţie la picior de lemn”).

Ajungând pe ultima pagină a recomandărilor găsim: Diferenţierea demersului didactic, având în centru elevul, vizând ambele aspecte ale educaţiei matematice: cea de masă – cultură generală, cât şi cea competiţională – cultură de specialitate. Dacă cineva se mai gândea să nege cele spuse în prezentarea istorică din prima parte a acestui eseu, după acest citat nu mai are nici măcar o minimă şansă. Există două aspecte egal importante ale demersului didactic în ora de matematică: pe de o parte este matematica pentru toţi, pe de altă parte matematica pentru vârfuri, iar profesorul nu are voie să-i neglijeze nici pe unii, nici pe ceilalţi. Ţinând cont că foarte mulţi profesori obişnuiesc să dea atenţie preponderent doar vârfurilor clasei, aceasta este atenţionarea cea mai clară: „Fraţilor, şi ceilalţi sunt tot elevii voştri! Treaba voastră cum vă faceţi timp, dar trebuie să vă ocupaţi constant şi eficient, la nivelul lor, de cei mulţi dar neolimpici!”

Cu alte cuvinte, după decenii de dominaţie a preocupării din partea autorităţilor doar sau preponderent pentru rezultatele în domeniul excelenţei, această recomandare pune pe picior de egalitate, textual chiar în faţă, a importanţei muncii pentru cei mulţi (cei 90%) cu munca pentru cei puţini care dau rezultatele în excelenţă (cei 10%). Desigur că nimeni nu este cu capul în nori: creşterea timpului de preocupare, adaptarea în general a demersului didactic în mod egal pentru cele două categorii de elevi, într-un mod eficient, nu doar de faţadă, ar trebui să ducă automat la o scădere a nivelului preocupaţional pentru elitele mult iubite.

Pentru a atinge acest obiectiv (eu văd precedenta recomandare totodată şi ca un obiectiv!), profesorii mai primesc câteva recomandări. În primul rând: Diversificarea mediilor de învăţare, a instrumentelor şi metodelor de predare-învăţare-evaluare a matematicii, prin implicarea – cel puţin la nivelul învăţământului de masă – a activităţilor de tip învăţare prin cooperare, a investigaţiei, a învăţării bazate pe proiecte, inclusiv prin utilizarea aplicaţiilor IT şi a raportării la realitatea înconjurătoare.

Traducere: „nu doar profesorul la tablă, vorbind şi scriind în format de sorginte academică, urmat de lucrări scrise rupătoare, ci „coborâţi oamenilor pe pământ şi încercaţi să veniţi şi în întâmpinarea celor mulţi. Diversificaţi metodele în întâmpinarea şi în folosul nematematicienilor!” Bucata de text boldită mai sus este în original subliniată!, fiind singurul pasaj subliniat din această scrisoare metodică. „Trebuie să vă mobilizaţi şi să vă diversificaţi metodele, mai ales pentru cei 90% din elevi care au nevoie de matematică doar la nivel de cultură generală!” Cum? „Folosiţi predarea prin problematizare (investigaţia cu elevii în zona de matematică ce trebuie studiată). Raportaţi-vă la realitatea înconjurătoare, nu-i bombardaţi doar cu probleme abstracte din care cei mulţi nu înţeleg mai nimic.”

Un sfat din acest pasaj apare aici ca periculos în interpretare: învăţarea bazate pe proiecte nu trebuie confundată cu ideea de a le da elevilor referate, pe care aceştia să le descarce de pe net. Trebuie să avem grijă ce proiecte le dăm, şi cum le îndrumăm munca, astfel încât să păstrăm un echilibru decent între cantitatea de material preluată de pe net şi cantitatea din proiect realizată efectiv de către elev.

Următoarea recomandare este şi aceasta deosebi de valoroasă: Formarea unei conduite didactice care să favorizeze creşterea motivaţiei învăţării, … prin modalităţi de adaptare a procesului educaţional la particularităţile fiecărui colectiv de elevi (abordări diferenţiate, îndepărtarea barierei de comunicare şi colaborare profesor-elev, dar şi elev-elev, cu accent pe crearea unei atmosfere pozitive la clasă etc.). Adică „faceţi să îmbunătăţiţi atmosfera la ora de matematică, că până acum a cam ajuns să fie negativă.” La acest citat ar fi trebuit de fapt să boldesc aproape tot textul. Acesta este atât de clar încât nu mai e nevoie de explicaţii. Totuşi aş dori să accentuez în mod special ideea de colaborare elev-elev.

Eu le recomand elevilor care au înţeles să-şi caute repede un coleg mai slab căruia să-i explice despre ce este vorba, pentru că ei, elevii care au impresia că au înţeles, au oricum mult de câştigat din acest demers: întotdeauna când îi explici altuia şi tu înţelegi mai bine subiectul în cauză. Mai există desigur şi aspectul social, dar despre acesta nu le vorbesc elevilor; ei sunt prea mici încât să înţeleagă astfel de valori importante pentru societate. Zilele acestea am avut un astfel de exemplu, când unul din cei mai buni elevi ai clasei a VII-a, care înţelesese imediat lecţia, a stat restul orei lângă cei patru elevi mai slabi din spatele său şi i-a ajutat, le-a explicat ce nu înţelegeau la exerciţii, se muta de la unul la altul şi îi lămurea. L-am lăudat apoi (între patru ochi), spunându-i că are mai mari şanse să rezolve situaţia decât mine, pentru că dacă mă duc eu să-i ajut, aceştia se vor bloca „că stă profu’ lângă ei”.

Următoarea recomandare vorbeşte despre: Acordarea unei atenţii deosebite furnizării feedback-ului către elev, mai ales în relaţie directă cu procesul de evaluare şi cu accent pe evaluarea pentru învăţare (formativă), … . Câte o dată am impresia că evaluarea a devenit pentru mulţi un obiectiv în sine, ce ajunge să se manifeste obsesiv. Acest aspect împreună cu îndesarea lucrărilor scrise cu definiţii sau reguli nepotrivite vârstei şi cu probleme artificial îmbârligate (“pentru cei care vor merge la olimpiadă”), acestea duc toate la forme de evaluare care numai formative nu sunt. Ce înseamnă definiţii nepotrivite vârstei? Iată un exemplu (de anul acesta): “Două drepte coplanare care nu au niciun punct comun se numesc …”.Elevul era blocat, nu înţelegea despre ce-i vorba, dar imediat ce-i acopeream cuvântul “coplanare”, acest elev de clasa a VI-a ştia răspunsul. La ce a fost inserat acel cuvânt de geometrie în spaţiu într-o definiţie, apoi într-o cerinţă de clasa a VI-a? Eu nu văd decât o strădanie pentru o evaluare antiformativă.

Ultima recomandare sună astfel: Conştientizarea rolului învăţării experienţiale, în echipă, peer-to-peer learning (învăţare colaborativă), prin utilizarea eficientă a exemplelor, a contraexemplelor, învăţarea de tip încercare-eroare, mai ales în contextul elevului care rămâne utilizator de bază al conceptelor şi raţionamentelor matematice. Şi la această recomandare se precizează că întrega scrisoare metodică se referă mai ales la oferirea accesului elevilor medii la o educaţie matematică de bază, oferirea unei educaţii matematice elementare mai ales elevilor care vor rămâne în viaţă doar utilizatori de bază a conceptelor matematice, adică nu numai elevilor ce vor performa şi vor excela în matematică.

Legat de învăţarea de tip încercare-eroare eu m-am obişnuit în ultima vreme să-i laud pe elevii care spun ceva greşit. În plus le explic şi de ce îi laud de adevăratelea, adică nu îi iau peste picior. Astfel, le spun că mă bucur că au avut curajul să răspundă, că şi-au înfrânt frica de a ridica mâna şi şi-au prezenta ideea. Apoi le explic cât de folositoare este ideea prezentată, chiar dacă este greşită, pentru că prin aceasta elevul îmi oferă imaginea felului cum a înţeles el şi cum gândeşte. Totodată îmi oferă ocazia de a corecta un gând greşit, care poate să apară şi în mintea altui coleg care este însă mai timid, şi eu nici nu ştiu ce gândeşte acela. Ce nu-i spun că, de multe ori profesorul, prin experienţa sa ştie ce greşeli ar putea face în raţionament sau înţelegere elevii, dar este mult mai productiv din punct de vedere psihologic dacă ideea respectivă vine de la un elev, decât dacă vine de la profesor sub forma “să aveţi grijă să nu gândiţi aşa, să fiţi atenţi şi să raţionaţi corect bla-bla-bla”. Desigur că se prea poate ca elevii să nu înţeleagă astfel de raţionamente ciudate, dar pe durată ei înţeleg că “profu’ nu-i ceartă” ci vorbeşte cu respect cu ei, că apreciază că iau atitudine.

*

În final doresc să atenţionez asupra unei lipse de neînţeles a acestei scrisori: de ce nu se face deloc referire şi la nevoia de corectare a predării matematicii în ciclul primar? Pentru că şi acolo există o sumedenie de situaţii cu abordări exagerat de ambiţioase care distrug copiii, sfidând toate regulile unei abordări igienice din punct de vedere psihologic. Daţi-mi voie să vă ofer un exemplu de agresare a copiilor prin nerespectarea principiilor psiho-pedagogice la clasele mici. În clasa a 2-a, sem. II, se învaţă ordinea operaţiilor. Te-ai aştepta să aibă plin de exerciţii în care să aplice şi să exerseze ordinea operaţiilor, fără, dar şi cu paranteze. Asta este legea ce trebuie acum să şi-o însuşească. Dar nu, dimpotrivă, elevii primesc imediat exerciţii de felul: Calculaţi în două moduri a) (8 – 5) ∙ 3; la fel şi la  b) (10 + 6) : 2

Se pare că elevii învaţă aici ordinea operaţiilor şi imediat alături încălcarea ordinii operaţiilor. Adică învaţă cum se poate încălca o regulă imediat după ce a învăţat regula respectivă şi ar trebui să înveţe să o respecte măcar o vreme, până se fixează şi intră în obişnuinţă. Logica lucrurilor ar fi ca elevii să stabilizeze ordinea operaţiilor măcar un an, iar apoi dacă se consideră că sunt toţi atât de buni încât se plictisesc şi nu mai ştim ce să le dăm, atunci eventual să-i învăţăm când şi cum se poate încălca regula respectivă. Altfel, văzând manualele şi culegerile aferente pentru clasa a 2-a, eu conider că lecţia respectivă ar trebui să se numească Ordinea şi dezordinea operaţiilor. Unii elevi se prind ce să facă, alţii nu. Dacă există o mamă prin zonă care să urmărească procesul, bine, dacă nu, atunci ghinion! Dar oare, toate învăţătoarele ştiu de ce se poate face aşa? Ce-ar fi să dăm colegelor noastre exerciţiul 12 : (2 + 4) şi să le punem întrebarea dacă ambele rezolvări sunt corecte şi de ce da sau de ce nu. De ce trebuie să facă învăţătoarele exerciţii care implică o lecţie de clasa a V-a. Sau noi, profesorii, suntem cei luaţi de fraieri, pentru că elevii oricum învaţă aceste lucruri din clasa a II-a?

Eu consider că încălcarea ordinii operaţiilor este o acţiune specifică gândirii algebrice şi nu are ce căuta în clasele mici. Dacă este să-l chemăm în ajutor pe Piaget (Jean Piaget, matematician şi totodată psiholog de notorietate mondială), atunci voi spune că elevii trec din faza gândirii de copil (stadiul operaţional concret), în faza gândirii adulte (stadiul operaţional formal) pe la 11 ani (la mulţi elevi chiar mai târziu, 12, poate chiar 13 ani). Scurtcircuitarea ordinii operaţiilor în clasa a II-a este in acest context o aberaţie fără rost. Desigur că se vor găsi elevi care să o înţeleagă, dar care-i rostul? Şi apoi, cu ce costuri? Câţi elevi din clasă nu o înţeleg şi doar îi bulversează, uneori iremediabil, această lecţie (şi apoi venim cu cerinţa unui plan de remedial!). Prof. Constantin Titus Grigorovici

SCRISOARE METODICĂ 2019 (I)

Cu ocazia acestui început de an (ian.-feb. 2019) am fost blagosloviţi de o nouă găselniţă venită “de sus”: o Scrisoare metodică elaborată de către membrii Comisiei Naţionale de Specialitate şi inspectorii şcolari pe disciplina matematică, sub coordonarea MEN şi a Societăţii de Ştiinţe Matematice. UAU!

Îmi cer scuze pentru limbajul agresiv-vulgar de mai sus, dar am vrut să joc un pic de teatru şi să exprim cam cum a fost percepută în şcoli, de către profesori, această nouă “mişcare” a ministerului: “Cum? Ce? Ce-au mai inventat?”. În unele şcoli poate că s-a întrunit catedra, în altele poate a fost însărcinat un coleg cu redactarea planului operaţional. Dar, despre ce-i vorba? Cine ştie ce a înţeles fiecare! Ar fi trebuit să fim convocaţi şi să fim lămuriţi despre ce şi cum. Sau poate nu? Pentru că la precedenta mişcare, la începutul clasei a V-a pe noua programă, ştim noi ce explicaţii am primit …

Permiteţi-mi să analizez mai profund această nouă “misivă”, această iniţiativă care, corect transpusă (!), s-ar putea dovedi piatra de hotar între trecutul matematicii şcolare utopic, aşa cum l-a dorit Ceauşescu şi un viitor matematic sănătos pentru majoritatea elevilor. Nu voi relua respectiva scrisoare metodică, ci doar fragmente din aceasta, în măsura necesităţii înţelegerii şi curgerii textului. Cititorii care nu sunt prezenţi sau activi actualmente în învăţământ, şi deci n-au avut ocazia de a o primi pe scară ierarhică, sunt rugaţi să o lectureze de pe postările site-urilor ISJ din ţară (introduceţi Scrisoare metodică 2019); la fel sunt rugaţi să facă şi colegii care nu au citit-o încă.

*

Pentru cei care n-au avut ocazia să lectureze diferitele mele eseuri legate de istoricul acestui subiect, permiteţi-mi să fac un scurt rezumat al acestor idei. (1) În diversele cărţi legate de forma matematicii şcolare publicate în anii 60-70 se găsesc numeroase mărturii ale luptei dintre metodişti şi teoreticieni  Pe de o parte se situau cei care doreau impunerea unor teme noi în predare (cum ar fi teoria mulţimilor, dar şi multe noţiuni nerelevante pentru materia în cauză, dar necesare unei definiri mai riguroase, cum ar fi de pildă noţiunea de semiplan în clasa a VI-a pentru definirea interiorului unui unghi); aceştia doreau şi impunerea unei mult mai crescute rigurozităţi în prezentarea subiectelor la clasă, mai ales în exprimare, atât în cea scrisă cât şi în cea orală (axiomatizare, definire super-detaliată, scriere riguroasă, de pildă pe baza limbajului mulţimilor), o exprimare mult mai apropiată de forma academică în care se ajunsese în prima jumătate a secolului XX. De cealaltă parte se situau metodiştii, susţinători ai metodelor tradiţionale de predare verificate pe fiecare vârstă şcolară. Aceştia (printre care vârful se pare că îl reprezenta Profesorul Eugen Rusu) încercau să avertizeze de efectele negative ce vor apărea la elevi în cazul unor astfel de schimbări, luptându-se de pildă pentru păstrarea folosirii intuiţiei în predare.

(2) Olimpiada Internaţională de Matematică a fost organizată pentru prima oară în 1959 în România şi doar între ţări din blocul comunist; la fel şi a doua ediţie. Primele ediţii au reprezentat o afacere internă a sistemului comunist care se străduia să genereze o organizare mondială paralelă cu cea capitalistă. Doar spre finalul anilor ’60 au intrat în horă şi primele ţări capitaliste. În toată această perioadă România s-a situat constant între leaderii noii mişcări matematice inter-ţări, ocupând relativ constant locuri fruntaşe. De abia la începutul anilor ’70 au început să intre în concurs şi marile puteri capitaliste, în frunte cu SUA. Din acel moment lupta între cele două blocuri sociale s-a acutizat, ridicându-se la nivele ce au ajuns cvasi inaccesibile majorităţii participanţilor, lupta devenind una “pe viaţă şi pe moarte” între leaderii celor două blocuri, URSS şi SUA. În aceste condiţii, românii nu mai ajungeau pe primele locuri ale competiţiei.

(3) În preocupările sale, Ceauşescu a decis spre finalul anilor ’70 o reformă a învăţământului, mai ales a celui matematic, cu scopul explicit de a aduce din nou România pe locurile fruntaşe în OIM, dar şi în alte olimpiade internaţionale. Se întâmpla asta în marea strădanie de a aduce România pe locurile fruntaşe în toate competiţiile, desigur şi în cele sportive, pentru a dovedi teoriile sale fantasmagorice despre omul de tip nou specific societăţii socialiste multilateral dezvoltate bla-bla-bla. Pentru obţinerea rezultatelor dorite în matematică au fost aduşi la ordin atât reprezentanţii curentului teoreticienilor, cât şi responsabilii pentru pregătirea loturilor de olimpici. L-a fel ca şi în activităţile sportive, s-a organizat o foarte largă bază de preocupare şi selecţie. Materia şcolară a fost încărcată, îngreunată şi teoretizată, diferite lecţii au ajuns deseori în clase mai mici şi nivelul problemelor aplicative a început să crească constant. Toată această reformă s-a petrecut orientativ între 1977 şi 1981, iar noua linie a fost impusă cu forţa în deceniul ce a urmat până la căderea lui Ceauşescu. Chiar dacă în primii ani profesorii au rezistat, mai ales în cazul schimbărilor absurde din materie aceştia păstrând formele vechi de lecţii, cu timpul majoritatea au fost forţaţi să “se dea pe brazdă” sub presiunea inspectorilor şcolari. Ţinând cont că cei care au prins această reformă în activitate la catedră s-au cam pensionat sau chiar nu mai sunt printre noi, eu obişnuiesc să o numesc pe această Reforma uitată din 1980.

(4) La începutul anilor ’90 când celelalte ţări-satelit URSS în fostul bloc operau transformări structurale de eliberare de sub metodele şi principiile dictaturilor comuniste, noi, românii, eram mândri nevoie mare de “olimpicii şi sportivii noştri” şi nimănui nu-i trecea prin cap să pună în discuţie nivelul aberant al matematicii şcolare. Mai mult, în cadrul reformei din 1997 avântul teoreticisto-olimpic s-a păstrat, chiar s-a potenţat prin apariţia mai multor manuale paralele, scuzaţi, alternative, majoritatea dintre acestea crescând din nou nivelul, faţă de cele comuniste valabile din anii ’80, de la reforma deja uitată. Creşterea a avut loc mai ales în direcţia aplicativă, a dificultăţii problemelor. Cu această ocazie toată tradiţia de probleme de excelenţă din GM şi de la diferitele olimpiade s-a descărcat în noile manuale, nemailăsând loc exerciţiilor de bază pentru fixarea noţiunilor de către elevii obişnuiţi sau chiar slăbuţi la matematică. În loc să aibă loc un proces reparatoriu, dimpotrivă presiunea asupra profesorilor a crescut “exponenţial”: directorii îi presau pe profesori să aducă rezultate la olimpiadă pentru şcoală; sistemul le dădea salarii de merit celor cu rezultate, iar inspectorii şcolari organizau toată ziua concursuri şi centre de excelenţă. Toată lumea era în concurs cu toată lumea şi asta în numele unei paradigme impusă de Ceauşescu. Ne bucuram că am scăpat oficial de dictator şi de regimul său, dar îi trăiam cu bucurie viitorul, cel puţin cel matematic şcolar, aşa cum îl preconizase el. Copiii nu erau încă distruşi de televizor, iar rezultatele la olimpiade încă mai veneau, situaţia fiind similară cu sportul românesc unde sistemul a mers din inerţie încă un deceniu şi ceva după căderea lui Ceauşescu.

(5) Cândva în anii 2000 (eu aş spune orientativ 2004-2005) s-a cam terminat cu avântul general iar balanţa a început să se încline încet dar sigur în direcţia opusă: se auzeau tot mai des voci în favoarea elevilor de rând, iar elevii performanţi ca pe vremuri începeau să apară tot mai rar; elevii în general începeau să fie tot mai puţin dispuşi să-şi petreacă tot timpul învăţând lucruri cu grad redus de entertainment, fiind tot mai atraşi de consumul mass-media (TV, jocuri pe calculator şi, timid la început, dar tot mai sigur internetul). Au urmat încet, dar hotărât, diferite schimbări de programă care încercau să uşureze matematica şcolară, mai ales pe cea gimnazială. Cea mai stupidă dintre toate a fost, după părerea mea, mutarea sistemelor de ecuaţii din finalul clasei a VII-a în finalul clasei a VIII-a, dar la fel de distructivă a fost şi mutarea capitolului despre patrulatere din clasa a VI-a în clasa a VII-a, peste vacanţa mare. Şi totuşi plângerile se înteţeau şi în curând toată presa a început să se plângă la unison despre starea jalnică a şcolii româneşti. Da, şi cam aşa trăim de peste 10 ani.

Aceste gânduri  se pot studia şi în eseurile mele din 2016, de găsit într-o variantă mai scurtă în postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ sau mai pe larg în postările http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-i/ şi http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-a-ii-a/.

 

Prin programa din 2017 s-a încercat o reformă reparatorie mai amplă, dar marea masă a profesorilor, inclusiv mulţi inspectori, nu o înţeleg. Nu înţeleg ce se întâmplă, pentru că toată lumea este încă setată conform paradigmei “olimpiade şi cocursuri” moştenită de la Ceauşescu şi îmbunătăţită prin manualele alternative de la finalul anilor ’90. Foarte mulţi profesori predau cât se poate de teoretizat şi aruncă în elevi cu probleme mult peste posibilităţile lor. Aşa au fost setaţi. Aşa a fost setată profesorimea de peste 30 de ani.

*

Ca urmare, s-a redactat această scrisoare metodică, pentru compunerea căreia au fost adunaţi împreună toţi cei care sunt într-un fel sau altul răspunzători de matematica şcolară. Haideţi să citim scrisoarea metodică acum, după ce am recapitulat istoricul predării matematicii şcolare, aşa cum am reuşit eu să-l reconstitui. Haideţi să spicuim împreună acest document (pentru conformitate, precizez că toate pasajele următoare scrise înclinat sunt citate din respectiva SCRISOARE METODICĂ). Documentul începe cu patru ŢINTE:

1) Asigurarea calităţii educaţiei prin centrarea activităţii didactice pe proces, în egală măsură cu centrarea pe rezultate.

Gânduri explicative: Decursul procesului didactic este la fel de important ca şi rezultatele acestuia (întrbare pentru cititor: oare de ce un proces didactic sănătos este la fel de valoros ca şi rezultatele procesului?). Nu ne interesează doar rezultatele; rezultatele cu orice preţ trebuie evitate; gândirea matematică se formează foarte bine în proces. Dimpotrivă, dându-i direct reţetele pentru a ajunge cât mai repede şi mai sus la aplicaţii de excelenţă, văduvim mintea elevului de procesul înţelegerii sursei ideilor şi a formării unei gândiri complete; dându-i direct reţeta de rezolvare pentru a economisi timp, îi tăiem elevului din timpul în care el ar trebui să-şi exerseze gândirea pe marile raţionamente ale matematicii. Predarea matematicii nu constă doar în a le da elevilor rapid reţete, procesul predării matematicii este în sine important pentru înţelegerea fenomenului studiat şi pentru formarea gândirii în ansamblul său. Profesorii de matematică trebuie să se concentreze şi pe procesul predării şi vor fi evaluaţi ca atare. S-au încheiat vremurile când doar rezultatele contau. Rezultatele deosebite se obţineau în general doar cu elevii buni, dar un proces bine construit îi ajută şi pe elevii de nivel mediu;  cu elevii mediocrii se obţin mult mai greu rezultate, chiar şi la examinări, dar societatea a înţeles că formarea gândirii logice printr-un proces didactic sănătos are urmări pozitive în gândirea generală a populaţiei dincolo de simplele subiecte de examen (de pildă se educă oameni mai greu manipulabili de către politicieni, iar acest fapt în sine creşte valoarea medie a unei populaţii, a unei societăţi); atragerea elevilor în procesul activităţii didactice coborând parcursul acestuia la un nivel accesibil majorităţii le dă şi elevilor mediocri ocazia de a-şi îmbogăţi gândirea practicând raţionamente logice specifice matematicii, nu doar dresându-şi mintea în aplicarea unor reţete de rezolvare ce se vor da la evaluare.

Mai presus de toate aceste gânduri, eu cred însă că respectiva ţintă scoate în evidenţă răspunsul la întrebarea “pentru ce învăţăm matematica?”. Iar răspunsul nu este doar “pentru examene şi concursuri”. Nu, pe lângă acestea – a căror realitate nu o contestă nimeni – pe lângă acestea mai există un motiv, anume formarea unei gândiri deductive logico-raţionale care îl va însoţi şi îi va sluji viitorului adult toată viaţa sa, mai ales în viaţa extramatematică, în luarea unor decizii corecte şi juste. Iar acest stil de gândire nu se formează dându-i elevui reţete rapide pentru obţinerea unor rezultate bune (rezultate atât direct în probleme, cât şi rezultate la nivel superior, în performarea elevilor la concursuri şi examene), ci se formează în procesul construirii lecţiilor de matematică. Nu mă pot abţine aici să nu scot în evidenţă strădaniile mele din recenta serie de postări menită a scoate preconizata predare a Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a din zona de eficienţă concentrată pe rezultate rapide (obţinute prin predarea simplă a reţetei) şi aducerea predării acesteia într-o formă de proces deductiv al activităţii didactice, chiar dacă într-o formă mai intuitivă şi mai infantilă decât demonstraţiile cu care eram obişnuiţi până acum.

2) Creşterea preocupării profesorilor pentru conştientizarea elevilor privind rolul matematicii, atât din perspectiva de utilizatori primari, în viaţa de zi cu zi, cât şi ca urmare a diversificării domeniilor profesionale în care noţiunile şi raţionamentele matematice sunt prezente şi sprijină realizarea de sarcini şi acţiuni.

Gânduri explicative: Acest ţel conectează direct cu cele spuse în finalul comentariului la ţelul precedent, doar că schimbă un pic întrebarea: “la ce ne trebuie matematica?” în loc de “pentru ce învăţăm matematica?”. Oricum, şi aici extinderea este clară: nu învăţăm matematica doar pentru concursuri şi examene, ci – direcţia este de data asta chiar dată “mură-n gură” – de matematică avem nevoie în viaţa de zi cu zi (o mai ţineţi minte pe caseriţa din vară cu cele opt boxuri de apă minerală a câte şase butelii fiecare, în total 40 de butelii?), dar şi în multe specializări profesionale şi în îndeplinirea sarcinilor de serviciu ulterioare. Profesorii trebuie să se străduiască mai mult în acest sens; de fapt nu mai ajung argumente de tipul “vă trebuie la examen”. Ce nu s-a spus în redactarea acestui al doilea ţel este faptul că, pe lângă marea masă a facultăţilor ce includ şi cursuri de matematică, gândirea raţională logico-deductivă este de fapt necesară şi în majoritatea specializărilor care nici măcar nu se declară utilizatoare de matematică.

Încercând să luăm nişte exemple, mă gândesc că un pictor sau un muzician virtuoz chiar nu prea au nevoie în meseria lor de gândire raţională, dar un psihiatru care nu şi-a format o gândire logico-deductivă poate reprezenta uneori chiar un pericol pentru pacienţii săi (acest tip de psihiatri par din păcate majoritari). Ca o anecdotă, din cei doi psihiatri (psihologi, sau cum s-or fi mai numind) întâlniţi în şcoala noastră de-a lungul anilor la care am observat clar o gândire cu adevărat sănătoasă, una avea la activ şi facultatea de matematică.

Revenind la lucruri serioase, mă gândesc cât de important este ca viitoarele învăţătoare să aibă o relaţie pozitivă cu matematica, ele ca formatoare de bază a gândirii logice la viitoarele generaţii de copii. Din păcate însă, situaţia este cu totul alta: la PIPP nu ajung persoane care să fi avut o foarte bună relaţie cu gândirea logică, cursul de matematică ce le este adresat nu este privit ca important, având mari şanse să-şi rateze misiunea, iar mai departe nu are rost să discutăm, fiind evidentă forma deficitară a primilor paşi în formarea gândirii matematice la viitoarele clase primare (groaznică spirală a decăderii gândirii logice!).

3) Identificarea corectă a nevoilor de activităţi remediale, proiectarea şi desfăşurarea unor activităţi specifice, eficiente, cu accent pe formarea / dezvoltarea graduală a competenţelor (remedierea vizează îmbunătăţirea nivelului de competenţă, conţinuturile fiind suport al competenţelor).

Gânduri explicative: Nu am nimic cu activităţile remediale, nu neg rolul acestora, care este deosebit de important în multe cazuri, dar “gândesc şi eu în gura mare”: când vom ajunge să ne referim la activităţi de prevenţie a “avarierii matematice” a elevilor? De ce nu vorbim despre Identificarea corectă a nevoilor de activităţi preventive? Cum ar trebui să arate predarea matematicii structurată într-o formă preventivă? Ca să citez o reclamă simpatică difuzată la televizor: “aşa ceva, nu există!” (un individ holbându-se pe telefonul prietenului la site-ul Publi24). Dar, cum ar trebui să predăm astfel încât să acţionăm preventiv? Preventiv la ce? Păi, să încercăm să prevenim apariţia avarierii matematice a elevilor, rămânerile în urmă faţă de colegi şi apariţia blocajelor în gândire, clacarea în viaţă a unor copii în principiu sănătoşi şi fără defecte vizibile la nivelul gândirii. Acestea trebuie prevenite printr-o predare sănătoasă. Desigur că o astfel de predare este mare consumatoare de timp şi de obicei profesorii nici nu se gândesc să abordeze astfel de metode preventive pentru că setarea lor a fost în ultimii 30-40 de ani să tot fugă prin materie, să facă cât mai mult şi cât mai greu pentru a performa în zona de concursuri şi examene. În această paradigmă au fost împinşi, la început în anii ‘80 forţat, apoi din anii ’90 sub titluri de performanţă şi excelenţă (mândri că suntem români, noi şi olimpicii noştri etc.). Atunci când nu vom mai vedea clasamente cu cele mai bune şcoli la olimpiade sau examene, atunci vom şti că societatea este vindecată şi are rost să vorbim despre forme de predare conţinând activităţi preventive şi nu doar activităţi remediale. Până atunci acest blog pentagonia.ro va rămâne o pasăre rară şi oarecum ciudată în peisajul şcolar matematic din ţara noastră.

4) Aplicarea conformă a curriculumului (având în vedere zona dezvoltării proximale) în relaţie directă cu particularităţile colectivelor de elevi, nevoile şi stilurile de învăţare ale acestora, favorizând creşterea participării active la propria învăţare, diminuarea abandonului şcolar sau pasivităţii faţă de educaţie şi îmbunătăţirea rezultatelor învăţării, atât reflectate în rezultate la examene, evaluări, concursuri şi olimpiade şcolare de specialitate, cât şi în termeni de reuşită profesională şi socială.

Gânduri explicative: Încet, dar sigur, ies la iveală felul în care s-a predat la clase în primul an de introducere a noii programe, în anul şcolar 2017-2018 la clasele a V-a, dar şi în actualul an şcolar 2018-2019 până acum la clasele a VI-a. Ies la iveală situaţiile în care profesorii au acţionat distructiv la adresa majorităţii elevilor din clasă, în numele vechii paradigme care le îndrepta atenţia doar spre “elevii cei mai buni din clasă”, în numele obţinerii unor rezultate cât mai bune la sistemul de olimpiade, aceşti profesori acţionând abuziv şi distructiv la adresa celorlalţi elevi (să le spunem “restul de 90%”), agresându-i cu probleme foarte grele, mult peste nivelul vârstei şi al colectivului de elevi, dar şi cu un mod de predare a noilor cunoştiinţe cât mai abstract, teoreticist, neadaptat vârstei, deseori importat din clasele mai mari, uneori chiar din liceu (deci cu salt de vârstă chiar de 4 ani). Deseori programa nu a fost respectată, de pildă majoritatea profesorilor făcând în continuare ecuaţii în clasa a V-a, pur şi simplu pentru că nu erau pregătiţi în a parcurge problemele aritmetice prin metode specifice, fără punerea în ecuaţie, deşi noua programă o cerea explicit. În paradigma cu care s-au obişnuit, majoritatea profesorilor au nevoie de ecuaţii pentru rezolvarea situaţiilor întâlnite, iar lipsa acestora pur şi simplu nu funcţionează în acord cu pregătirea olimpiadelor aşa cum se pricep aceştia. Am întâlnit chiar un caz în care profesoara a predat în clasa a V-a într-o singură oră numerele întregi, inclusiv toate operaţiile, cu motivaţia că “să fie dacă se dă la olimpiadă”.

În şcolile bune din mediul urban nu prea apare abandonul şcolar, dar pasivitatea, chiar repulsia faţă de matematică este omniprezentă. Există clase întregi în care toţi părinţii plătesc ore particulare copiilor doar pentru că predarea profesorului nu este adaptată nevoilor reale ale vârstei şi particularităţilor colectivului de elevi, profesorul predând de fapt doar pentru “elevii cei mai buni din clasă” care urmează a merge la olimpiadă şi a reprezenta şcoala în mod onorabil (fiecare, cum şi ce înţelege prin onorabil). În nici un caz o astfel de abordare nu favorizează creşterea participării active a elevilor la propria învăţare. Cât despre reuşita profesională şi socială, am atins acest subiect în analiza celorlalte ţeluri. Se vede cum toate sunt profund interconectate, dar nimeni nu vorbeşte despre sursa cauzală a tuturor problemelor actuale ale predării matematicii şcolare în România.

Aşa văd eu lucrurile, acesta este punctul meu de vedere, iar cele de mai sus reprezintă o foarte scurtă analiză, în care am încercat să ating doar câteva aspecte vizate de către Scrisoarea metodică din acest punct de vedere. Mi-ar place să n-am dreptate, să fie totul doar o simplă şi isterică exagerare, dar toate aspectele converg către astfel de concluzii. Dvs., stimaţi cititori, cum vedeţi lucrurile? Este evident că analiza se cere continuată, aşa că voi încerca să revin cât de curând, în măsura timpului disponibil.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Pentru cititorii care ar fi tentaţi să conteste aceste gânduri, considerând că elevii nu sunt abuzaţi prin predarea matematicii în gimnaziu, daţi-mi voie să vă prezint câteva exemple din ultima perioadă.

Perimetrul unui triunghi este egal cu 60 cm iar raza cercului înscris în triunghi este egală cu 4 cm. Aria triunghiului este egală cu … cm2. Problema este preluată de pe site-ul mate.info.ro profu’ de mate, de pe unul din testele având ca titlu TEST model NR. 3 – Pregătire pentru simulare E.N. Proba scrisă la matematică clasa a VII-a, 13 martie 2019. Formula S = p ∙ r este în materia de clasa a VII-a şi trebuia să o facem? Sau nu este? Sau o fac diverse persoane ca un prim pas de introducere sub umbrela excelenţei? Dar atunci, ce căuta pe acest “model” de simulare? Oricum, în isteria creată de lipsa unor modele oficiale pentru simularea pripit organizată la clasa a VII-a, lumea a ajuns uşor la aceste modele şi întrebările despre ele circulau de zor.

Dar nu numai prin probleme din afara materiei sunt agrasaţi elevii, ci chiar şi prin lecţii. Un exemplu în acest sens ar fi studiul despre progresii în clasa a V-a, de către profesori tare ambiţioşi: una este să numeri aditiv sau multiplicativ din 2 în 2 sau din 3 în 3, sau chiar din ½ în ½  şi să pui câteva întrebări despre diferite momente ale acestui fenomen, şi alta este să imporţi cu totul lecţia din clasa a IX-a, cu toată abordarea teoretică, dar mai ales cu toată zestrea de probleme, şi asta în numele excelenţei şi al performanţei la olimpiade. Acesta este un exemplu cu salt de vârstă de patru ani în jos. Şi la alte materii se întâmplă astfel de preluări în bloc de la clase mai mari. Cunosc despre înclinaţia pentru astfel de acţiuni o situaţie din anul şcolar 2000-2001. Pe vremea respectivă eram dirginte la o clasă de a VIII-a, iar elevii trebuiau să se pregătească pentru nou introdusele probe la geografie şi istorie în cadrul Examenului de Capacitate. O elevă avea soră mai mare cu 5 ani, iar mama lor mi-a atras atenţia că testele după care se pregăteşte “asta mică” sunt aceleaşi teste după care s-a pregătit cu un an în urmă sora cea mare pentru examenul de Bacalaureat.

Cât despre prezentările teoretice, pentru cititorii care consideră că exagerez, că aceste descrieri sunt fabulaţii, că de fapt nu se exagerează, daţi-mi voie să vă prezint un exemplu concret din această iarnă, găsit în caietul unui elev. Este vorba despre primii paşi în lecţia Proporţionalitatea inversă (indirectă). După acest titlu apar scrise imediat următoarele rânduri, fără cuvinte de legătură sau alte explicaţii, în pur stil minimalist matematicist:

{ a1 , a2 , … , an }  şi  { bn , bn-1 , … , b2 , b1 }  i.p.

a1 < a2 < … < an         bn < bn-1 < … < b2 < b1      

Aici ar trebui să spun: g.e.d.! Totuşi nu mă pot abţine, aşa că întreb: la ce bun toate astea? La ce îi poate ajuta pe elevii de clasa a VI-a o astfel de definiţie (incluzând renumitele “…”, puncte-puncte, la care majoritatea elevilor reacţionează cu spaimă în glas: “Suma lui Gauss?”) şi cu această îngâmfată etalare de scriere generalizată pentru n numere, care în plus, la proporţionalitea inversă – în cazul absolutizării ordonării celor două mulţimi de numere, neapărat în ordine crescătoare – impune tratarea elementelor celei de a doua mulţimi de la coadă (bn < bn-1 < … < b2 < b1). Mă mai puteţi urmări? Da’ de elevi ce să mai zicem!? Toate acestea se adaugă în dificultate situaţiei oricum dificile generate de forma condiţionării proporţionalităţii inverse cu fracţii supraetajate (am scris despre aceasta în postarea http://pentagonia.ro/maimutele-si-educatia/ , pe vremea când credeam că mai rău nu se poate). Ce-ar fi fost dacă definiţia s-ar fi dat doar pentru trei elemente, să zicem {a, b, c} şi {x, y, z} sunt i.p etc.? Ce a obţinut cadrul didactic respectiv în sufletul elevilor săi? Cum s-au dus aceşti copii acasă din punct de vedere al încrederii în sine. Vă las pe dvs. să alegeţi un răspuns la aceaste întrebări. Eu mă gândesc doar dacă nu trebuia să folosesc mai degrabă denumirea “antididactic”.

Teorema lui Pitagora şi tripletele de numere pitagoreice în clasa a 6-a

În precedentele postări despre figura cu pătratele construite în exteriorul triunghiului dreptunghic ne-am concentrat asupra ideii de arie a acestora, scoţând în evidenţă descompunerea acestor pătrate în pătrăţele, adică în unităţi de bază. La acestea relaţia din teoremă se evidenţiază adunând conţinuturile celor două pătrate ale catetelor pentru a obţine pătratul ipotenuzei. În acest sens reamintesc traducerea ad-literam a cuvântului german pentru arie: Flächeninhalt = conţinutul suprafeţei.

Despre acest subiect am mai vorbit şi cu alte ocazii, de pildă în postarea din toamna lui 2018 http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-un-simbol-denaturat/ . Desigur că în exterior, pe laturile triunghiului dreptunghic se pot desena orice poligoane, cu condiţia să fie toate trei asemenea între ele (trei dreptunghiuri asemenea, trei triunghiuri echilaterale, trei pentagoane regulate etc.). Aceste construcţii ar fi însă potrivite, doar ca nişte curiozităţi, de prezentat mult după învăţarea teoremei lui Pitagora.

Mai am o poză găsită pe net în care însumarea pătratelor catetelor apare nu doar la nivel numeric, ci şi la nivel geometric al suprafeţelor (figura are o mică greşeală: îi lipseşte o linie în pătratul din stânga, dar sper că se înţelege).

Această imagine sugerează o nouă direcţie de gândire în tema noastră de studiu, anume că dacă unui pătrat (celui roz, cu 16 = 42 unităţi) îi putem adăuga o lărgire cu un rând în ambele direcţii, iar această lărgire (care este reprezentată de un număr impar) este totodată pătrat perfect, atunci obţinem un triplet de numere care respectă Teorema lui Pitagora. Se înţelege? Cam îmbârligat, ştiu. Haideţi să o luăm cătinel.

Suma primelor numere impare este studiată în mod algebric în clasa a X-a, fiind cunoscută în forma: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2, demonstrată fiind prin inducţie matematică. Există şi situaţii când suma primelor numere impare este inclusă în exerciţii din zona de excelenţă şi olimpiadă la clasele mici gimnaziale, dar subiectul nu este oficial inclus în materie, fiind considerat inaccesibil pentru majoritatea elevilor. Există însă o formă ceva mai accesibilă de a ajunge în zona acestui subiect. Haideţi să o vedem.

Pentru a înţelege ce urmează trebuie însă să schimbăm puţin forma de a privi numerele pătrate. Până acum le-am reprezentat sub forma unor figuri geometrice, anume nişte pătrate împreună interiorul acestora împărţit în pătrăţele ca unităţi de arie. Totuşi în postarea precedentă am avut două imagini care făceau aluzie la o altă abordare.

În primul rând a fost imaginea cu piesele tip “LEGO”, imagine cu pătrate al căror conţinut erau acei “bumbi” specifici, ca nişte buline, aproximante ale unor puncte. Bulinele respective erau ordonate “în pătrat” de trei ori trei ş.a.m.d. Apoi, în imaginea următoare a avut loc o distanţare şi mai puternică faţă de figura pătratului împărţită în pătrăţele. Astfel, în figura cu roşiile aranjate în “formă de pătrat”, figura geometrică numită pătrat a ajuns doar orientativă. “Pătratele” din această imagine nu mai sunt de mult pătrate în sensul geometric, dar totuşi rolul acestora în Teorema lui Pitagora este clar şi evident. Aici roşiile acelea micuţe joacă rolul de buline sau punctuleţe în reprezentarea numerelor pătrate.

Reprezentarea numerelor prin punctuleţe a apărut în Grecia Antică, învăţaţii din acea vreme folosind pietricele (sau orice altceva, obiecte cât de cât punctiforme, cum ar fi sâmburi) pentru a reprezenta vizual anumite proprietăţi ale numerelor (numerele prime, numerele pătrate sau numerele triunghiulare). Astfel. în diferite lucrări numerele pătrate sau numerele triunghiulare (la fel ca şi altele de inspiraţie geometrică) sunt denumite numere figurate. Faptul că suma primelor n numere impare este egală cu pătratul lui n, de exemplu 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62, poate fi reprezentată prin punctuleţe foarte clar astfel:

Vedeţi în această imagine cum, în afară de 1, orice număr poate fi reprezentat în forma unui “echer de tâmplar” isoscel (nişte L-uri isoscele, numite în antichitate gnomon), însumarea acestora generând o formă de “pătrat”. Astfel, fiecare nou echer, reprezentând un nou număr impar, măreşte pătratul deja existent la următorul număr pătrat. De pildă, dacă la suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72 adunăm următorul număr impar, adică 15, obţinem (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15 = 72 + 15 = 64 = 82.

Cu ce ne ajută asta la Teorema lui Pitagora? Păi, aşa-numitul triunghi egiptean, adică suma divină 42 + 32 = 52 se obţine ca 42 + 9 = 52 din următoarea figură:

Asta se întâmplă datorită faptului că 9 este primul număr impar pătrat diferit de 1. Ne punem, pe bună dreptate, întrebarea dacă şi când ne mai întâlnim cu o astfel de situaţie. Păi, desigur la adăugarea gnomonului (a “echerului”) numărului 25, care este următorul număr impar totodată şi pătrat. În acest caz suma numerelor impare până la 23, adică primele 12 impare dă 122 = 144, la care dacă adăugăm 25, obţinem 132 = 169. Avem în acest caz tripletul pitagoreic 122 + 52 = 132. Astfel putem găsi şi alte triplete care îndeplinesc ciudata însumare din Teorema lui Pitagora, următorul fiind de pildă în dreptul numărului impar pătrat 49 (găsirea acestuia elevii o pot primi ca temă opţională).

Se bănuieşte că Pitagora ştia de aceste lucruri, cunoscute de pe vremea civilizaţiei babiloniene. Desigur că Pitagora cunoştea şi obţinerea unor astfel de triplete prin amplificarea celor deja găsite, cum ar fi (6, 8, 10) sau (9, 12, 15) prin amplificare din cel egiptean.. Pe lângă aceste metode există şi alte căi de a găsi triplete pitagoreice, astfel că se găsesc cu totul 11 triplete cu pătratele de cel mult trei cifre (adică până la 1000). Acestea sunt următoarele: (3, 4, 5) şi amplificările sale (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15; 20; 25); (18, 24, 30); apoi avem (5, 12, 13) şi amplificarea (10, 24, 26); în final încă trei triplete (7, 24, 25); (8, 15, 17); (20, 21, 29) ale căror amplificări depăşesc însă la pătrat limita de 1000.

Aici v-am arătat calea “babiloneană”de a găsi astfel de triplete, prin figurarea numerelor pătrate, dar şi lista completă până la un anumit nivel de mărime, pentru a le putea folosi în exemple de calcul. Totuşi, eu nu cred că ar trebui să le arătăm elevilor această listă completă. Ei vor trebui să înveţe algoritmul de calcul şi aplicarea acestuia, nu să înveţe pe de rost o serie de rezultate. Astfel, eu la clasă mă concentrez cu elevii mai mult asupra proceselor accesibile de deducere a astfel de triplete şi mai puţin asupra găsirii cât mai multora şi a memorării acestora. Titus şi babiloniile sale

P.S. Vrem – nu vrem, oricum ajungem aici şi la subiectul numit “rădăcina pătrată”: în finalul clasei a VI-a va trebui să le predăm elevilor aplicarea teoremei lui Pitagora dar, prin programă nu avem de studiat până la acel moment finalul calculului, care se face prin rădăcina pătrată (eu am tot căutat-o, dar nu e trecută nici în a V-a, nici în a VI-a). Aşadar, cum să predăm Pitagora fără radicali? Zice nevastă-mea s-o facem ca Pitagora, că nici el n-avea radicalii!!! Logic, nu? Dacă m-ambiţionez, o fac şi aşa, dar nu cred că are sens, pentru că oricum imediat după vacanţa de vară trebuie să le explic cum vine treaba cu rădăcina pătrată. Aşadar, undeva, înainte de lecţia despre Pitagora ar trebui introdusă rădăcina pătrată. Dar cum şi unde?

Cum? Cel mai simplu ar fi de a introduce rădăcina pătrată doar din numerele pătrate, drept operaţie “de probă” a ridicării la pătrat a numerelor naturale. Unde? Cel mai bun loc în materie cred că ar fi fost în capitolul despre numere naturale din semestrul I al clasei a V-a, în continuarea lecţiei despre numere pătrate. Cei care au fost prevăzători, poate chiar au făcut-o acolo, sau o vor face la următoarele clase de a V-a. Dacă însă nu a fost studiată încă rădăcina pătrată, atunci cred că cel mai bine ar fi să o introducem chiar înainte de Teorema lui Pitagora, în ora precedentă. Ca rădăcină doar din numerele pătrate ajunge chiar şi jumătate dintr-o oră. Sunt suficiente doar câteva exerciţii de “extragere” pe baza tablei numerelor pătrate. Pentru asta trebuie însă prezentată tabla numerelor pătrate până la 302 (vezi în acest scop primele exerciţii de pe fişa publicată în postarea http://pentagonia.ro/radacina-patrata-faza-aritmetica-prin-predare-intuitiva/).

Teorema lui Pitagora şi pătratele acesteia în clasa a 6-a

De când am pornit acest blog am scris de câteva ori despre figura geometrică cu trei pătrate construite pe laturile unui triunghi dreptunghic şi despre faptul că aceasta prezintă într-o formă deosebit de intuitivă Teorema lui Pitagora. De pildă, în luna mai 2018, în postarea despre cum mi-am pus faianţa în baie, am arătat cum am încercat să evoc în propria-mi casă amintirea din copilărie despre figura geometrică cu cele trei pătrate, figură ce era zugrăvită pe un perete al holului de intrare în apartamentul unde am locuit până în clasa a VI-a, acasă în Oraşul Victoria. Foarte interesant, cât de pregătit eram eu de pe atunci pentru Teorema lui Pitagora în clasa a VI-a.

Reluarea temei cu ajutorul ciocolăţilor pătrate Ritter Sport nu reprezintă în acest sens o simplă fixaţie, o ciudăţenie personală, ci răspunde unei necesităţi de moment în sensul sprijinirii profesorilor ce vor avea de predat în finalul clasei a VI-a Teorema lui Pitagora începând de anul acesta. Acolo este stabilită prin programă, explicându-ni-se că trebuie să o predăm fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (din nou citatele sunt preluate înclinat din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16). Trebuie (!) să facem acest lucru pentru a ne asigura că le-o predăm elevilor NOI, PROFESORII DE MATEMATICĂ, cea mai importantă teoremă din gimnaziu, probabil chiar cea mai renumită din toate timpurile, astfel încât să nu apuce să le-o arate elevilor colegii profesori de fizică, doar pentru că lor le-o trebuie în toamna clasei a VII-a.

OK, foarte bine aşa, dar care-i diferenţa? Că le-o arată ei superficial sau le-o arătăm noi superficial înaintea lor, tot superficial se numeşte. Am arătat în prima parte cum putem însă aduce această teoremă într-o formă de minimă “demonstrare”, o formă de justificare intuitivă, scoţând-o astfel din starea de HOCUS-POCUS de neînţeles spre care ne direcţionează noua programă.

După cum am mai spus, sunt foarte mulţi cei care nu cunosc figura cu triunghiul dreptunghic şi pătratele construite în exterior pe laturile sale, care nu o asociază cu Teorema lui Pitagora. Se întâmplă asta pentru că respectiva figură a fost exilată din manuale începând cu reforma din 1980, demonstrarea teoremei făcându-se doar pe baza teoremei catetei obţinută prin asemănarea triunghiurilor, respectiv datorită faptului că în textul teoremei s-a pus accentul doar pe aspectul de putere a doua a lungimii unei laturi, eliminându-se din discuţie ideea de arie a unui pătrat. Interesant este aici următorul aspect: dacă, în justificările cu pătratele construite pe laturile triunghiului, legătura dintre unghiul drept şi relaţia între cele trei pătrate este destul de evidentă pentru “ochiul începător” al elevilor, în demonstraţiile care folosesc doar lungimile laturilor, adică numerele la puterea a doua, legătura dintre cele două părţi ale Teoremei lui Pitagora se pierde pentru cei mai mulţi elevi.

S-a mers astfel în ultimii aproape 40 de ani doar pe abordarea aritmetică, eliminându-se cu totul forma geometrică, formă care aducea o foarte vizibilă reprezentare grafică a fenomenului numeric pe care se bazează Teorema lui Pitagora. Oare ce se întâmplă în alte părţi legat de aspectele discutate? În plimbările mele pe internet am găsit diferite poze care aduc în discuţie situaţia cu pătratul ipotenuzei care este cât suma pătratelor catetelor, exemplificată pe cazul triunghiului de laturi (3, 4, 5). Iată două mai interesante dintre acestea, poze care arată cât de cunoscută este de fapt imaginea respectivă:

La ce sunt bune toate acestea – veţi întreba – de vreme ce autorii noii programe nu au acordat nici măcar o minimă atenţie ideii de “demonstraţie” a teoremei. Noi de ce să ne stresăm când ei tocmai au deschis cutia Pandorei, spunând lejer că se poate “fără demonstraţie” la cea mai mare teoremă din toate timpurile?! (conform programei, a doua trecere pe la Teorema lui Pitagora, de data asta cu demonstraţie, se face de abia peste un an, undeva în finalul clasei a VII-a).

Se vede aşadar – pentru orice matematician responsabil – că discuţia despre prezentarea Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a este una importantă, mai ales prin prisma justificării accesibile a acesteia pe baza însumării ariei pătratelor catetelor pentru a obţine echivalarea ariei pătratului ipotenuzei. Până acum am discutat despre prezentarea unor situaţii sub formă concretă (cine mai găseşte şi altele în afară de ciocolată, “LEGO” sau roşii?) sau de imagini aduse ca poze ori prezentate digital, imagini care ar trebui desigur să se concretizeze şi ca figuri geometrice pe tablă (profesorul de mate trebuie să fie conştient de importanţa unui astfel de demers). Cu alte cuvinte, am discutat doar despre ce ar trebui să facă profesorul în faţa clasei pentru a prezenta această teoremă cât mai just.

Cred că ar fi cazul să ne îndreptăm atenţia şi asupra felului despre cum ajung aceste desene în caietele elevilor? (aspecte despre care desigur că programa cea nouă nu ne vorbeşte). Nu trebuie făcute multe desene. Cum am precizat în finalul postării despre folosirea ciocolatei, este vorba de puţine figuri geometrice, dar acestea ar trebui să fie cât de cât coerent şi corect realizate în caiete. Indiferent de câtă experienţă are o clasă în realizarea figurilor geometrice (din câte văd în jurul meu, nu prea se lucrează în acest sens), sunt şanse mari ca mulţi elevi să nu reuşească acest desen, pentru că este vorba de construirea unuia sau a două pătrate poziţionate oblic faţă de aliniamentul şi liniatura caietului de matematică. Şi atunci ce facem?

Eu cred că există două direcţii de acţiune. Prima ar fi ca elevii să decupeze pătratele (anterior colorate) de pe o altă coală de hârtie (tot cu pătrăţele) şi să le lipească corect asamblate în caietul de clasă la locul potrivit în cadrul lecţiei. Aceasta ar fi varianta uşoară, pentru că nu implică construcţii geometrice foarte abile. Dar pentru asta trebuie să fim dispuşi la transformarea unui sfert de oră de matematică într-o parte manufacturieră, pentru care elevii trebuie să aibă la ei lipici şi foarfecă. Desigur, le-o putem da şi ca temă, dar în acest caz eu nu garantez pentru ce se va găsi în unele caiete.

O a doua direcţie de reprezentare ar fi desenarea figurii geometrice cu instrumente pe caiet. În acest moment apare ideea de a alege între cele două posibile variante de poziţionare a triunghiului dreptunghic: cu ipotenuza drept bază (aşa cum am prezentat-o în imaginile cu ciocolata sau cu faianţa) sau cu o catetă drept bază (aşa cum apare în pozele cu piesele “LEGO” sau cu roşiile cherry). În varianta cu ipotenuza ca bază vom avea de construit două pătrate înclinate pe laturile oblice, pe când în varianta cu o catetă ca bază (să alegem cateta cea mare) vom avea de construit doar un pătrat pe o latură oblică (cel de pe ipotenuză). Este evident că a doua variantă este preferabilă din acest punct de vedere.

Un aspect mai trebuie evidenţiat aici, anume că la triunghiul (3, 4, 5) figura cu pătrăţele este destul de mică, dar poate fi uşor dublată prin trecerea la altă unitate de măsură, anume la cm2. Dimpotrivă, la triunghiurile (6, 8, 10) sau (5, 12, 13) figurile în pătrăţele sunt clar preferabile pentru a încăpea pe pagina de caiet. Dacă vrem să le punem pe toate trei triunghiurile alăturat, pentru a exemplifica (bio)diversitatea acestora, atunci vom alege desigur pătrăţelul caietului de matematică drept unitate de măsură.

Dacă încercăm să analizăm şi mai profund aceste două variante de realizare a figurii – poziţionând ipotenuza sau o catetă drept bază – atunci ajungem să descoperim aspecte de-a dreptul surprinzătoare.

Construcţia figurii cu o catetă drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LUL în varianta sa CC (catetă-catetă cu unghiul drept între acestea). Putem să ne imaginăm aici de pildă cateta de 4 ca bază şi cateta de 3 ca înălţime, pătratele acestora fiind desenate cu laturile orizontale sau verticale exact pe liniile de pe caietul de matematică. În acest caz lungimea ipotenuzei de 5 apare ca “probă” a construcţiei.

Dimpotrivă, construcţia figurii cu ipotenuza drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LLL: latura de 5 ca bază şi laturile de 3 şi 4 ca laturi oblice construite cu compasul. În acest caz verificarea corectitudinii situaţiei se face cu un echer care va verifica unghiul drept.

Cu alte cuvinte, mai elevat spus, adică într-un limbaj mai potrivit clasei a VII-a, în cazul construcţiei triunghiului dreptunghic cu laturile de (3, 4, 5), varianta de construcţie cu cateta ca bază corespunde Teoremei directe a lui Pitagora; dimpotrivă, varianta de construcţie cu ipotenuza ca bază şi catetele oblice, dar de lungimi date, corespunde mai degrabă Teoremei reciproce a lui Pitagora.

În final îmi permit să vă aduc şi o mică imagine din pedagogia alternativă Waldorf, care sărbătoreşte anul acesta 100 de ani de la înfiinţarea primei astfel de şcoli la Stuttgart în Germania (septembrie 1919). Rudolf Steiner, întemeietorul acestei şcoli, a cuprins pentru clasa a V-a şi o materie numită Desen geometric cu mâna liberă, în care elevii trebuiau să parcurgă în formă de desen principalele figuri geometrice, ajungând până la Teorema lui Pitagora, cel puţin în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. De-a lungul anilor, dascălii Waldorf au încercat să găsească căi de parcurgere a acestei materii. Pe caietul de matematică putem foarte uşor desena o astfel de figură pentru că laturile oblice sunt în acest caz diagonale ale pătrăţelelor, fiind înclinate la 45o faţă de liniatură. După ce construim figura, împărţim pătratele de pe catete cu câte o diagonală, iar pătratul ipotenuzei cu ambele diagonale, relaţia din Teorema lui Pitagora devenind astfel evidentă.

În acest sens vă prezint şi o imagine cu o dublă caricatură din 1886, din Foaia volantă de München, cu Pitagora înainte şi după descoperirea renumitei teoremei denumită după el, în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. Nu cred că Steiner a avut aşa ceva în gând atunci când a spus cele de mai sus, dar această caricatură ne oferă măcar o oarecare imagine a spiritului acelor vremuri în legătură cu subiectul nostru. CTG

P.S. “Ameninţarea” cu cutia Pandorei legată de lipsa unei demonstraţii a fost desigur o exagerare, mai degrabă o “figură de stil” menită să dea un aer de opoziţie. Realitatea este că în matematica gimnazială există multe puncte unde nu prea le explicăm elevilor de unde vin lucrurile învăţate.

Jocul din copilărie “de-a hoţii şi vardiştii” se numeşte în matematica pură “de-a axiomele şi teoremele”. Însă în matematica şcolară mai apar şi alţi factori decisivi, ca doi arbitri pe care i-am putea denumi accesibilitate şi intuitivitate. Aceştia interferează în procesul de stabilire a materiei de predat, eliminând din jocul pur “de-a axiomele şi teoremele” diferite pasaje, ca fiind prea “violente”, adică inaccesibile minţii elevilor. Haideţi să trecem în revistă câteva astfel de momente, în care demonstrarea paşilor parcurşi este “împinsă sub preş”, omisă sau doar mimată.

Dintre cele mimate îmi vin acum în minte două momente. Primul ar fi Teorema lui Thales, care este oarecum pregătită prin Teorema paralelelor echidistante. Aceasta însă poate duce la justificarea primeia doar în cazul unui raport raţional; situaţia iraţionalităţii rămâne “în aer”, fiind preluată însă în mod inconştient de intuiţia elevilor (aşa se întâmplă şi pentru numere iraţionale). Un alt caz, chiar mai enervant, îl reprezintă teorema care afirmă că tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Aceasta nu primeşte o demonstraţie, dar elevii sunt plictisiţi de către toţi profesorii şi de către toate manualele cu câteva teoreme premergătoare pe drumul unei demonstraţii: arce cuprinse între coarde paralele etc. Acestea, la rândul lor, nu au mai deloc aplicaţii (în mod similar cu teorema paralelelor echidistante), dar toată lumea le face.

Dintre cele prezentate fără demonstraţie mă gândesc la următoarele. Primul exemplu ar fi metoda triunghiurilor congruente: dintre cele trei cazuri, unul era considerat axiomă iar celelalte erau demonstrate din acesta. Când am început noi să predăm şi trebuia să ne dăm definitivatul era încă la modă acest subiect: care este axioma şi cum era demonstraţia aia prin reducere la absurd? Un alt exemplu în acest sens, faţă de care nimeni nu face “mare caz” este formula pentru volumul piramidelor: de ce este acolo supra 3? Dacă la aria triunghiului se poate uşor explica de ce este supra 2, la volum lucrurile stau mult mai greu. Cât despre formulele sferei în acest context, am vorbit cu altă ocazie. Mai dau încă un exemplu, din aritmetico-algebră: de unde vine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate? De ce se face în acest mod?

Analizând însă toate aceste exemple, vedem că ele au fost eliminate din predare sau nici măcar nu au fost introduse, deoarece demonstraţia respectivă a fost considerată (din start sau ulterior) mult prea dificilă pentru mintea gimnazială a elevilor. Vedem deci că nu este nimic neobişnuit în a li se da elevilor o teoremă fără justificare. Consider însă că Teorema lui Pitagora poate fi justificată într-un mod intuitiv accesibil prin ariile pătratelor celor trei laturi ale triunghiului dreptunghic, aşa că prezentarea acestei teoreme fără nici măcar o minimă justificare poate fi liniştit considerată drept o gafă de predare.

Îmi permit aici şi o scurtă observaţie nematematică de final: cu scuzele de rigoare vreau să precizez că sunt conştient că folosesc un limbaj care pentru răgăţeni ar putea suna în anumite momente a regionalism, de pildă în cazul pluralului cuvântului ciocolată (ciocolăţi în loc de ciocolate). Prefer varianta ardelenească din două motive: în primul rând consider că dă textului o culoare specifică Clujului, oraş unde îmi desfăşor activitatea; în al doilea rând, folosind exprimările uzuale din această zonă, îmi permit să stau în “zona de confort” din punct de vedere lingvistic, fapt care mă ajută să mă concentrez mai bine asupra subiectelor propuse. Sper că cititorii pot trece peste aceste impedimente, reuşind la rândul lor să se concentreze asupra gândurilor exprimate în aceste eseuri.

Teorema lui Pitagora şi Ciocolată Ritter Sport în clasa a 6-a

De curând mi-am dus la îndeplinire o dorinţă mai veche, anume de a realiza din ciocolăţi Ritter Sport figura geometrică ce prezintă Teorema lui Pitagora cu pătratele laturilor sale în exteriorul triunghiului (3, 4, 5). Am încercat diferite variante pentru o poză cât mai sugestivă şi mâncând cu această ocazie destul de multă ciocolată. Pentru a se înţelege cât mai clar şi a ajuta la exprimarea în cazul viitoarelor folosiri a imaginii la clasă am ales până la urmă ciocolăţi de culori diferite (neagră, albă şi cu lapte). Iată ce a ieşit:

Odată vizualizată imaginea pe ecran, am realizat avantajul uriaş al acestei poze în contextul includerii Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a pe noua programă, fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a se putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (pasajele prezentate înclinat sunt preluate din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16).

Pentru cei care încă n-au înţeles, la nivelul conducerii matematicii şcolare s-a ajuns la concluzia că Teorema lui Pitagora trebuie predată înainte de începutul clasei a VII-a, pentru că altfel profesorii de fizică de la grupele de excelenţă (şi nu numai) încep să le-o arate oricum elevilor în toamnă, pentru că au nevoie de ea în sezonul de olimpiade din primăvară, dovedind astfel o acută durere în cot faţă de minimele nevoi de rigurozitate ale matematicii.

Aşadar să le dăm elevilor Teorema lui Pitagora fără nici măcar o minimă justificare! Eu nu sunt de acord cu aşa ceva, şi asta pentru că legătura realizată prin Teorema lui Pitagora (directă sau reciprocă) între proprietatea unui triunghi de a avea un unghi drept şi ciudata egalitate între puterile “a doua” ale lungimilor laturilor sale, această legătură este una lipsită total de evidenţă. Cu alte cuvinte, noua programă ne cere să dăm cea mai mare teoremă din toate timpurile doar ca un fel de reţetă gen hocus-pocus şi gata.

Acest aspect de totală ne-evidenţă de care vorbesc, era evidenţiat în stilul lor specific chiar şi de preoţii de Egiptul Antic. Iată cum prezentau ei asocierea între triunghiul dreptunghic şi ciudata egalitate între puterile a doua ale triunghiului (3, 4, 5). În mistica vremii aceştia considerau numerele pare ca femeieşti iar numerele impare ca bărbăteşti (6 = 3 + 3 iar 7 = 3 + 1 + 3). În egalitatea 32 + 42 = 52, numărul 3 era considerat zeul  Osiris, 4 era zeiţa Isis, iar 5 era copilul lor Horus. Cu alte cuvinte, adunarea între 3 şi 4 care dă 5, prin intermediul ridicării la pătrat era considerată o adunare divină. În limbajul nostru, pentru a nu deveni mistici, putem spune că legătura dintre unghiul drept al unui triunghi şi laturile sale care să respecte o egalitate de felul 32 + 42 = 52 este o legătură uluitoare, total ne-evidentă.

Situaţia de lipsă totală a unei minime evidenţe se păstrează atâta vreme cât păstrăm folosirea cuvântului “pătrat” doar pentru “puterea a doua”. Însă imediat ce acceptăm folosirea cuvântului “pătrat” cu sensul său iniţial, de figură geometrică, respectiv înţelegând că vorbim de aria sa, lucrurile capătă brusc sens, cel puţin în cazul triunghiurilor cu laturi de lungimi întregi. Din păcate însă, acest aspect a fost neglijat total de către autorii programei noi la mutarea Teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a.

Văzând minunata poză de mai sus cu pătratele (având incontestabil unghiuri drepte), se observă automat că laturile celor două pătrate mai mici sunt aliniate perfect, arătând astfel evidenţa unghiului drept al triunghiului cuprins între cele trei pătrate. Moment în care m-am gândit să refac figura şi cu alte numere, adică cu alte pătrate decât cele de (3, 4, 5). Zis şi făcut, şi iată ce a ieşit:



Analizând cele trei poze în comparaţie cu prima se poate vedea clar că la acestea triunghiul cuprins între cele trei pătrate nu mai este dreptunghic, pentru că cele două pătrate mai mici nu au laturi în prelungire. Facem în paralel o verificare de ordin aritmetic: 22 + 32 < 42 (4 + 9 < 16) şi 32 + 42 < 62 (9 + 16 < 36) pentru situaţiile cu triunghi obtuzunghic, respectiv 42 + 52 > 62 (16 + 25 > 36) pentru o situaţie cu triunghi ascuţitunghic. Aceasta ne creează un tablou mai larg şi mai clar: a2 + b2 < c2 indicându-ne un triunghi obtuzunghic, pe când a2 + b2 > c2 (c fiind latura cea mai lungă) corespunzând unui triunghi ascuţitunghic, situaţia de trecere între cele două variante, reprezentată printr-o egalitate, adică atunci când a2 + b2 = c2, ne indică evident un triunghi dreptunghic. Clar? Clar!

Cred că o astfel de succesiune de imagini poate aduce o destul de bună legătură în mintea elevilor de clasa a VI-a, între ideea de triunghi dreptunghic şi egalitatea divină între “pătratele laturilor” sale. Desigur că putem confecţiona şi nişte cartoane împărţite în pătrăţele de aceeaşi mărime, pătrate cu laturi de 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. cu care să putem experimenta ceva mai mult ca în situaţiile sus prezentate. Confecţionând până la pătrate de 10 am putea arăta şi următoarea situaţie de egalitate pentru triunghiul (6, 8, 10) obţinut prin amplificarea primului, cunoscut şi ca triunghiul egiptean. Dacă am avea pătrate până la 13, am putea să le arătăm un triunghi dreptunghic nou, triunghiul (5, 12, 13), care nu derivă din amplificarea celui egiptean.

Pe de altă parte, seria redusă până la 6, dar din ciocolăţi Ritter Sport este mai atractivă (gustoasă), fiind destul de clară şi edificatoare pentru copii (o astfel de variantă, cu ciocolăţi achiziţionate din fondul clasei, se finalizează şi cu un mic festin dulce pentru elevi, legându-le definitiv în amintire Teorema lui Pitagora de o senzaţie pozitivă). Găsind prin magazine doar ciocolăţi cu latura de 4 sau 6, am decis să tai din acestea pentru a obţine pătrate cu latura de 2, 3, respectiv de 5. Ciocolăţile Ritter Sport au ajuns o prezenţă obişnuită şi în România. La nemţi sloganul lor este QUADRATISCH. PRAKTISCH. GUT, care în traducere liberă înseamnă pătratic – practic – bun (traducerea imprimată în engleză pe unele ambalaje este parţial diferită). Pentru cei interesaţi de detalii gustoase (adică pe post de bibliografie), am folosit următoarele sortimente: white + crisp (cea albă), nugat praline (cea cu culoare de ciocolată de lapte) şi dark chocolate – halbbitter (cea mai întunecată).

În urmă cu un an, când am avut ideea aceasta, am căutat imediat şi pe internet. Nu se putea ca să nu fi avut altcineva ideea respectivă până atunci. Şi într-adevăr, am găsit poze cu Pitagora şi Ritter Sport, dar cu nişte ciocolăţele împachetate câte un pătrăţel individual (într-adevăr, dacă vrei să o faci la clasă, este mult mai igienic aşa). Deşi în acest caz pătratul este de obicei deformat în dreptunghi datorită ambalajului, până la urmă am găsit şi o imagine cu “pătrate” cât de cât corecte. Îmi place foarte mult şi comentariul alăturat: alune2 + marţipan2 = lapte2 (uneori e comică limba germană pentru că are un umor tare sec: autorul a dat “factor comun” cuvintele “ciocolată cu” şi apoi a împărţit egalitatea cu acestea). Constantin Titus Grigorovici

P.S.

Reprezentarea grafică a unei funcţii se face pentru a putea înţelege mai bine variaţia sa, adică “comportamentul” acesteia în general sau în anumite puncte. Cei puţini, cu o imaginaţie numerică bună, le înţeleg oricum, dar pentru a le accesibiliza cât mai multor persoane, funcţiile se reprezintă grafic. Iniţial reprezentarea grafică a funcţiilor a făcut parte din strădania de a transmite studenţilor înţelegerea pentru evoluţia fiecărui tip de funcţie în parte. De abia ulterior reprezentarea grafică a devenit un scop în sine (problemă sau exerciţiu, de dat ca temă şi apoi la testare), coborând cu timpul în liceu (nu vreau să comentez aici despre ce înţelege un elev care învaţă doar graficul funcţiei de gradul I).

Prin această postare, dar şi prin multe altele înainte, doresc să atrag în primul rând atenţia asupra faptului că Teorema lui Pitagora prezentată doar numeric este abstractă şi greu de înţeles pentru majoritatea elevilor. Doar cei obişnuiţi deja în a prelua o reţetă fără comentarii (aşa se face) o vor aplica din prima şi o vor considera uşoară. Toţi ceilalţi însă se vor duce acasă buimăciţi şi vor trebui şi ei dresaţi de către părinţi sau de către profesorii particulari înspre aplicarea reţetei. De aplicat, o vor aplica până la urmă, dar de înţeles nu o vor înţelege, matematica întărindu-şi astfel în mintea majorităţii caracterul ei de colecţie de reţete de nepătruns, în cel mai bun caz nuanţate cu un iz de hocus-pocus.

Datorită multelor insistenţe din partea mea în legătură cu figura cu pătrate în exteriorul triunghiului dreptunghic s-ar putea înţelege că am o “fixaţie”, o obsesie legată de această figură. Total greşit! Prin toate aceste reveniri şi atenţionări doresc doar să transmit că în cazul absenţei pătratelor ca figură geometrică în exteriorul triunghiului, Teorema lui Pitagora reprezintă un fenomen abstract, inaccesibil unei înţelegeri reale pentru majoritatea elevilor. Puteţi verifica desigur şi câţi adulţi nematematicieni o înţeleg în jurul dvs. Să vedeţi ce figură fac diverse persoane când le arăt Teorema lui Pitagora în baie pentru că nu înţeleg: ceea ce ţin ei minte din şcoală o reţetă de calcule într-un anumit format, iar aici eu le arăt nişte pătrate.  Vă daţi seama cum se uită când îi întreb câte pătrăţele sunt în pătratul cel mic (9), dar în pătratul mijlociu (16); dar în pătratul cel mare (aici unii trebuie să se forţeze bine până deduc 25). Unii încă nici acum nu pricep ce vreau şi trebuie să-i întreb cât face 9 cu 16: abia acum se luminează la faţă şi reuşesc să facă conexiunea între ce au învăţat în şcoală şi ce văd pe perete. Abia acum înţeleg DE CE funcţiona reţeta aia.

Mai ales în vremurile din urmă, când majoritatea covârşitoare a elevilor au crescut cu prezenţa constantă a ecranului, aceştia nu mai au puterea de imaginaţie dezvoltată astfel încât să înţeleagă ce se întâmplă în Teorema lui Pitagora (nici dacă le-o demonstrăm pe calea asemănarea triunghiurilor + teorema catetei, adică prin rapoarte, nu înţeleg mare lucru).

Aşadar, pătratele respective construite în exteriorul unui triunghi constituie de fapt “reprezentarea grafică” a Teoremei lui Pitagora. Desigur că interioarele pătratelor respective trebuie colorate, haşurate, pentru a sugera că vorbim despre suprafeţele lor. Astfel, putem constata că există două forme extreme pentru textul Teoremei lui Pitagora.

FORMA NUMERICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la operaţia de “puterea a doua”. Această prezentare a teoremei este una curat numerică, abstractă, dar uşor de reţetat pentru aplicaţii în probleme.

FORMA GEOMETRICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la figura geometrică vizibil construită în exteriorul triunghiului pe fiecare latură. Această prezentare a teoremei este una destul de clar de înţeles pentru majoritatea elevilor, dar anevoios de aplicat pe exemple concrete (doar n-o să desenăm în fiecare problemă cele trei pătrate!, fără să mai discutăm de cazurile cu lungimi neîntregi)

Analizând cele două variante, putem spune că forma geometrică, cea cu pătrate în exterior, este una potrivită introducerii şi înţelegerii fenomenului, pe când forma numerică, cea cu “puterile a doua” una mult mai practică pentru scriere şi pentru aplicaţii ulterioare în calcularea celei de a treia laturi. O predare corectă trebuie în mod automat să le includă pe amândouă, cea geometrică pentru înţelegere la început, apoi cea numerică pentru scriere şi aplicaţii în continuare.

Pentru a nu da două variante de text diferite (cea cu “arie” respectiv cea cu “lungime”), cel mai sănătos este să dăm un text care să le cuprindă oarecum pe amândouă, un text care omite ambele cuvinte şi care totodată le subînţelege pe ambele, text care era folosit înaintea reformei din 1980 (reformă evidenţiată între altele printr-o rigurozitate excesivă):

FORMA DE COMPROMIS: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Faţă de avantajele enumerate mai sus, acest text este şi mai scurt, deci mai uşor de cuprins de către minţile elevevilor. În plus, acest text forţează atât imaginaţia, cât şi intuiţia elevilor, ambele caracteristici fiind foarte importante în viaţa ulterioară de adult.

Mai trebuie lămurit un aspect important: oare, cam de câte ori  trebuie făcută figura cu pătrate în exterior la o clasă? Eu o fac o dată pentru triunghiul (3, 4, 5), cu fiecare pătrat împărţit în pătrăţele unitare (la fel ca la exemplul cu ciocolata), şi încă o dată ora următoare cu pătratele doar haşurate (interiorul colorat), pentru generalizare. Mai departe ne concentrăm asupra formei scrise în cât mai multe exemple. După ce au văzut primul desen, la următoarele exemple de calcul elevii vor prelua prin analogie forma scrisă de rezolvare, gândindu-se că este la fel ca atunci cu ciocolata.

Să nu încheiem înainte de a arunca o privire şi pe YouTube (cuvânt de căutare: pitagora), unde găsesc mai multe preocupări faţă de subiectul nostru. În primul rând amintesc “filmuleţul” https://www.youtube.com/watch?v=vMyv5mRzzMU (ThePitiClic) în care autorul ne explică încă o dată cele de mai sus. Apoi găsim una dintre cele mai bune explicaţii, o demonstraţie cu apă: https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o

P.P.S. O cunoştinţă care a citit acest text înainte de publicare ne-a trimis următorul comentariu: Eu la şcoală am învăţat-o cu terenuri de tenis de mărimi diferite şi spectatori care priveau dintr-un triunghi şi mă miram de ce sunt terenurile pătrate şi de ce stau spectatorii într-un triunghi : )

Numerele lui Fibonacci şi creanga de pin

În postarea precedentă am prezentat cum se găsesc numerele Fibonacci consecutive 8 şi 13 la alinierea fructelor de pe un ananas. Tot acolo am amintit în treacăt şi despre o creangă de pin pe care am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8, aşa că m-am gândit să vă prezint şi această găselniţă personală, în caz că cineva s-ar fi putut gândi că situaţia prezentată la ananas ar fi una singulară. Şi, da, aceasta este o găselniţă personală, pe care nu am întâlnit-o niciunde în literatura studiată (unde se găsesc indicii despre conurile coniferelor, dar nu şi despre crengile acestora).

Aşadar, cum am găsit situaţia ce urmează? Simplu: făceam într-o vară un foc pentru grătarul de seară şi spărgeam nişte lemne dintr-un pin tăiat în anul precedent. Am vrut să crestez o creangă “de-a lungul”, aşa că o ţineam culcată lovind-o cu toporul pe lungime. Probabil că n-am lovit destul de tare, aşa încât a crăpat doar primul strat de lemn, cel din ultimul an de creştere, dar a rămas intact stratul interior. Când m-am uitat la acesta, am văzut nişte adâncituri perfect aliniate pe toată suprafaţa sa. În momentul acela am avut o bănuială, aşa că am pus lemnul de-o parte şi mi-am continuat activitatea de pregătit a grătarului cu alte lemne. Apoi am luat lemnul cu pricina la studiat şi iată ce am găsit.

Întrebând o colegă, am aflat că porii respectivi, frumos aliniaţi, sunt canale rezinifere (de răşină), cuprinse în zonele de lărgire a razelor medulare. Apropos, cum vă simţiţi când “dă” cineva în voi cu jargon de specialitate din afara zonei dvs. “de confort”? Cam aşa se simt şi elevii când “dăm” în ei cu jargon prea dur din specialitatea noastră. Din ce am înţeles eu, prin acei pori copacul “transpiră răşină” la nevoie.

Este evident că aici este loc de o vastă cercetare, de care însă eu nu mi-am luat timp până acum, având alte priorităţi. De pildă, pare destul de logic că la o creangă mai groasă vom găsi numere consecutive Fibonacci mai mari. Sau poate nu? Titus Sylvestris




Iepuraşii lui Fibonacci

În grupul celor mai spectaculoase şi mai cunoscute probleme de matematică sunt aglomerate de fapt mai multe “vedete”, realizarea unei ierarhii stricte între acestea fiind practic imposibilă. Totuşi, chiar dacă pentru unii s-ar putea să nu reprezinte vârful unei astfel de selecţii, problema lui Fibonacci cu iepuraşii este sigur în “top 10” al celor mai frumoase probleme din toate timpurile, şi nu fac această afirmaţie doar din punct de vedere al multitudinii de aplicaţii a şirului numerelor lui Fibonacci. Problema în sine este frumoasă, deosebit de provicatoare pentru gândirea umană în general, dar şi în particular pentru persoana (elevul) care primeşte spre rezolvare problema fără a-i cunoaşte răspunsul şi algoritmul aritmetic de generare a numerelor. Dar nu numai atât, problema reprezintă o provocare serioasă chiar şi pentru profesorul de matematică, care cunoaşte atât răspunsul (şirul lui Fibonacci) cât şi forma relativă a problemei: cum se deduce însă din problema iepuraşilor proprietatea caracteristică de generare a şirului cu pricina?

Acestor întrebări trebuie neapărat să le mai adăugăm una de ordin pedagogic: în ce clasă ar fi potrivit să propunem această problemă elevilor? Şirul lui Fibonacci apare în liceu la clasele de real în studiul şirurilor. Oare nu ar trebui să apară şi la clasele de uman? Dar problema în sine cu iepuraşi nu apare niciunde. De ce? Ce are această problemă, de profesorii nu se gândesc să o facă? Nici profesorii individual, nici organizatorii de programe, dar nici autorii de manuale (nu am o pasiune deosebită de a colectoa toate manualele ce apar, dar oricum nu am ştiinţă să existe într-un manual oficial; dacă există îmi cer scuze). Revin la intrebare: în ce clasă ar fi potrivit de făcut această problemă?

Eu nu deţin neapărat un răspuns hotărât la această întrebare, dar ştiu sigur că a lăsa elevii să plece din şcoală fără să fi cunoscut această problemă este mare păcat. Un argument în favoarea acestei afirmaţii este faptul că numerele lui Fibonacci sunt unele dintre destul de puţinele situaţii matematice care au penetrat cultura universală, prezenţa acestora în renumitul roman Codul lui da Vinci fiind doar un exemplu în acest sens.

Problema apare în cartea Liber abacci a lui  Leonardo Pissaro, zis şi Fibonacci, în a doua ediţie a acesteia din 1204. Iată o cât de cât curată variantă a problemei: Într-o curte sunt aduşi o pereche de iepuraşi pui (un băieţel şi o fetiţă). Pui de iepuri se maturizează într-o lună. După maturizare încep să facă pui, sarcina durând o lună şi fiecare naştere aduce pe lume o pereche de pui (un băieţel şi o fetiţă). Aceştia se maturizează într-o lună şi după încă o lună de sarcină au şi ei pui (întotdeauna o pereche). Adulţii aduc pe lume după fiecare lună câte o pereche de pui. Câte perechi de iepuri vor fi după un an?

Câţiva ani la rând am prezentat această problemă la clase liceale de uman, folosind farmecul deosebit exercitat chiar şi asupra ne-matematicienilor. Astfel, probelma poate fi prezentată într-o formă liberă de orice constrângere de rigurozitate scriptică a unei lecţii matematice anume. Ţinând cont că elevii de la uman nu au o deosebită capacitate de imaginaţie şi înţelegere a unor situaţii, capacitate necesară pentru găsirea numerelor şi pentru sintetizarea modelului comportamental al acestor numere, am căutat o cale cât mai atractivă de a le aduce în faţă problema.

Concret, am strâns de-a lungul anilor un sac de iepuraşi din pluş, mai mari sau mai mici, cu care fac elevilor o prezentare simulată a situaţiei descrisă în problemă (elevilor trebuie să le atragem atenţia de câteva ori că vom prezenta situaţia cu un iepuraş, gândind însă că este vorba despre o pereche (!). Astfel, încep prin a le pune pe masă un iepuraş mic (1). În pasul al doilea, adică “după o lună” înlocuiesc acest iepuraş cu unul mare (din sacul cu iepuraşi de pluş de pe masă), adică tot (1). După “încă o lună” aceştia capătă pui, deci pe lângă iepuraşul mare mai scot şi unul mic pe masă (2). După “încă o lună” noii pui se maturizează (îl înlocuiesc pe cel mic cu unul mare), iar cei iniţiali mai au o pereche de pui (scot din nou un iepuraşi mic), având pe masă doi iepuri mari şi unul mic (3). Peste “încă o lună” înlocuiesc iepuraşul mic cu unul mare şi în paralel scot din sac doi iepuraşi mici, ca reprezentanţi ai celor două perechi de pui ai celor două perechi deja adulte, având astfel pe masă trei iepuri mari şi doi mici (5). În general reuşesc să merg încă doi-trei paşi, (8) şi (13), cel mult (21), într-o cascadă de iepuraşi care tot “ies din sac”, după care mă opresc în râsetele generale ale audienţei. Iată în acest sens o “poză de grup” de la una din ultimele “reprezentaţii” ale problemei.

Las câteva momente de râs general apoi, după liniştirea atmosferei, elevii primesc sarcina să încerce pe caiete o formă de contabilizare pe paşi a numărului de iepuraşi (şi aici trebuie repetat că scriem 1 şi înţelegem o pereche de iepuri). În funcţie de timpul alocat, în final încerc întotdeauna la tablă realizarea unei scheme care să arate în ce fel evoluează numărul iepuraşilor, iar la marginea acestei scheme scriem la fiecare nivel numărul corespunzător acestei etape. Este evident că nu putem merge foarte mulţi paşi pentru că diagrama creşte puternic, aşa că destul de repede elevii trebuie să facă transferul de concentrare de la diagramă la numerele alăturate şi să “observe” modelul comportamental aritmetic după care apar acestea. În final facem un tabel separat cu 13 poziţii (start + 12 luni), în care cuprindem numerele obţinute şi îl completăm până la capăt. Iată şi o variantă de diagramă găsită pe net ca sugestie de lucru (să nu vă tot arăt variantele pusă de mine pe tablă). Spre deosebire de alte imagini ce se găsesc pe net, aceasta scoate în evidenţă atăt ideea de pereche, cât şi prin linie continuă o anumită pereche de iepuri, respectiv prin linie întreruptă naşterea unei noi perechi.

După cum am mai scris, iarna aceasta am cunoscut cartea Drăcuşorul cifrelor în care problema apare într-o formă foarte accesibilă elevilor de gimnaziu. Şi în desenele din carte sunt prezentaţi iepuraşii dublaţi (deci ca pereche) astfel încât este rezolvată şi situaţia disonantă că numerele lui Fibinacci se referă la perechile de iepuri (nu câţi iepuri, ci câte perechi). Ca semn de apreciere faţă de elevul din clasa a VII-a care mi-a împrumutat cartea înainte de vacanţă, am prezentat clasei respective această problemă în prima oră după vacanţa de iarnă (şi a mers foarte bine, deci în această formă jucăuşă funcţionează foarte bine şi la gimnaziu).

Lecţia funcţionează însă foarte bine şi la adulţi ne-matematici. La inceputul lunii decembrie am prezentat-o într-o întâlnire a Consiliului profesoral, la partea pedagogică, iar colegii (învăţătoare şi profesori de toate materiile) au reacţionat la fel de pozitiv ca şi elevii. Mai mult, o colegă mi-a dăruit înainte de vacanţă un tricou pe care desenase o grămadă de iepuraşi şi numerele lui Fibonacci. Cu mulţumirile de rigoare vă prezint şi dvs. desenul de pe acel tricou. Titus şi iepuraşii

Probabilităţi în gimnaziu

Ideea predării probabilităţilor chiar din clasele mici gimnaziale este în sine o idee năstruşnică prin prisma următorului gând: probabilităţile sunt un fenomen matematic ce ţine exclusiv de viitor, de anticiparea viitorului, pe când gândirea copiilor este profund ancorată în prezent. Urmare a acestui aspect ar rezulta că subiectul calculării probabilităţilor nu este unul de a V-a, ci mai degrabă unul de final de a VI-a, chiar poate de a VII-a. Pe vremuri probabilităţile se studiau doar în liceu. Oricum, această lecţie este una destul de liberă, nelegată în mod special de altele, decât prin faptul că trebuie să fi fost studiate deja rapoartele şi procentele. Vreau să spun prin aceasta că lecţia nu are alte îngrădiri de ordin structural matematic, putând fi astfel poziţionată oricând (ea se face într-un anumit punct al programei doar pentru că aşa s-a convenit, nu pentru că ar fi matematic obligatoriu acolo).

Oricum, tema ar trebui abordate prin prisma gândurilor pedagogic naturale că trebuie să o luăm de jos, cât mai de jos, cu răbdare şi multe exemple, pentru a nu pierde elevi pe drum chiar de la început. Nu susţin că aşa nu pierzi elevi pe drum (cel care nu vrea să fie atent tot nu va pricepe nimic din noua temă), cum nu vreau să susţin nici că toţi elevii vor înţelege totul (lecţia va fi dusă tot de către elevii buni, cei care duc de obicei toate lecţiile). Dar măcar o astfel de abordare asigură faptul că las portiţa deschisă şi toţi elevii au ocazia să participe, pentru că aceste cunoştinţe nu presupun multe altele anterior bine dobândite. Piviţi mai întâi pozele lecţiei pe tablă:

După cum simţiţi, lecţia are un profund caracter ludic, deşi eu nu am aruncat nici măcar o dată cu un zar sau cu o monedă pe parcursul acestei ore. Toţi elevii au văzut cum este să arunci cu zarul sau cum se aruncă la începutul unui meci cu moneda pentru a se stabili terenurile fiecărei echipe. Desigur că dvs. trebuie să vă imaginaţi dialogul constant cu clasa, a cărui umbră apar cele scrise pe tablă şi în caiete. Întreaga lecţie a fost prezentată sub formă de întrebări, descoperirea acesteia, generarea lecţiei prin problematizare făcând-o foarte atractivă pentru elevi; până acolo de atractivă încât nu a mai fost nevoie de nici o definiţie, de nici o formulă de calcul a probabilităţii. La o oră ulterioară, eventual sub forma unei analize retrospective mai teoretice se poate da şi o definiţie (cazuri favorabile supra …).

Am spus că nu am aruncat cu zaruri,dar am scos din pungă acele zaruri ciudate cu 12 sau cu 20 de feţe, prezentându-le elevilor ca să ştie despre ce este vorba (dvs. le cunoaşteţi din postări mai vechi pe acest blog). Calendarul dodecaedric nu l-am avut în clasă, dar l-am descris şi elevii n-au avut nici o problemă în a răspunde cerinţelor. La aruncarea cu un calendar dodecaedric trebuie să explic întrebările, care au fost doar orale: probabilitatea să ne iasă o lună care începe cu litera i; probabilitatea să ne iasă o lună cu 31 zile; probabilitatea să ne iasă o lună care are numele de la un număr (octombrie vine de la 8); probabilitatea să ne iasă o lună care are numele de la un împărat roman (iulie de la Iulius Ceasar; august de la Augustus Ceasar).

Atrag atenţia asupra modului repetitiv “again and again” în care curg exemplele lecţiei, oferind astfel majorităţii elevilor suficient timp pentru a se acomoda cu noile cunoştiinţe, cu noua tipologie a scrierii. Doar elevii brilianţi în ale matematicii au capacitatea de a pricepe “din prima” o lecţie nouă. Ceilalţi au nevoie de multe exemple şi exerciţii până prind noua mişcare, cu toate aspectele ei, iar noi, profesorii, trebuie să pricepem acest fapt, altfel vom rămâne în continuare “o castă” de ciudaţi care chinuie copiii şi împotriva căreia se vor răscula tot mai des şi tot mai puternic părţi tot mai mari din societate.

Lecţia mai bifează un aspect important: ieşirea matematicii din zona sa internă de confort, prin apelarea atât la zarurile neobişnuite cu 12 sau 20 de feţe (am arătat că există şi cu 8 sau cu 10 feţe), cât şi prin folosirea minunatului exemplu al calendarului dodecaedric, cu scurte incursiuni în afara matematicii (nu aş merge până la folosirea termenilor de interdisciplinaritate sau transdisciplinaritate – Doamne cât ne mai plac termenii teoretici care-i dau pe spate pe cei din jur! – dar se simte totuşi un iz din acestea).

Legat de exemplul aruncării cu două zaruri, elevii trebuie ajutaţi să înţeleagă folosind două aspect. Mai întâi faptul că “să ne imaginăm că” aruncăm cu două zaruri de culori diferite (de ex. unul roşu şi unul albastru). Astfel vor înţelege că există doar un eveniment (5, 5), dar că există două evenimente cu 3 şi 4, adică (3, 4) şi (4, 3). Acest fapt este apoi “cristalizat” într-un tabel pătrat din care deducem că există 36 de cazuri teoretic posibile.

Mai rămâne de lămurit un singur aspect, cel evocat la început: de ce nu am aruncat cu zaruri? Pe lângă faptul că o oră de aruncat cu zarurile, o oră de tip “laborator de matematică”, s-ar fi lungit dincolo de limitele orei de clasă, există un aspect foarte important: prin faptul că i-am forţat pe elevi să-şi imagineze, deşi de fapt nu le-am arătat nimic, i-am forţat pe elevi să-şi folosească imaginaţia. Acest aspect este foarte important într-o lume plină de ecrane în care copiii de la vârstele cele mai fragede nu-şi mai folosesc imaginaţia pentru că primesc direct povestea prin intermediul imaginilor. Nu mai este ca pe vremuri când copilului i se spunea o poveste, iar mintiuca lui trebuia să-şi imagineze cele povestite oral, antrenându-se să-şi creeze astfel propriul său film interior. Astfel, mai ales o temă aranjată atât de atractiv, care are la bază experienţe ale elevilor din afara şcolii, trebuie neapărat folosită ca ocazie pentru antrenarea imaginaţiei.

P.S. Cu ocazia Centenarului Marii Uniri am gândit şi am scris un articol de analiză a situaţiei învăţământului matematic din România, sub gândul Unde suntem şi cum întâmpinăm Centenarul. Din păcat, ce a ieşit este destul de supărat, departe de orice atitudine festivă potrivită momentului. Riscam să obţin doar o imagine tip Cristian Tudor Popescu. Ca urmare, acest eseu a ajuns în arhivă, în aşteptarea unei forme mai pozitive de exprimare a gândurilor respective. În lipsă de altceva aţi avut ocazia să citiţi prezentarea lecţiei despre probabilităţi. C.T.G.