Poarta împărţirii lui 7 – Studiul grafic pe cercul de 9 cifre

Din start trebuie precizat că prezentul material reprezintă o creaţie personală 100%, găsit “din ȋntâmplare” într-un moment de inspiraţie, deşi am convingerea absolută că aspectele conţinute sigur au fost găsite şi de către alţii înaintea mea.

Dacă vom ȋmpărți la 7 un număr (nedivizibil cu 7) vom obține automat un rezultat ȋn forma unei fracții zecimale periodice. Asta cam știe toată lumea, dar este deja mai puțin evident că perioada acestor numere va fi ȋntotdeauna de exact 6 cifre (există și aici un studiu interesant ce se poate măcar porni cu elevii mai răsăriți: ȋmpărțirea la 3 sau la 9 are ȋntotdeauna perioada de o cifră; ȋmpărțirea la 11 are perioada de doua cifre; ȋmpărțirea la 37 are perioadă de trei cifre, pentru că 999 = 33·37; ȋmpărțirea la 7 are perioadă de șase cifre pentru că cel mai mic număr de forma 999…9 divizibil cu 7 este 999.999).

Până aici lucrurile se pot ȋnțelege relativ ușor de către o persoană doritoare de a aprofunda fenomenul (profesor sau elev). Oricum, pentru convingerea cititorului (acum), dar și a elevilor (la clasă), ȋn acest moment trebuie făcute câteva ȋmpărțiri (măcare vreo trei-patru, pentru a și vedea clar că ȋntotdeauna se obține o perioadă de șase cifre.

Analizând cu atenție perioadele acestor ȋmpărțiri vom vedea ȋnsă ȋncă ceva, mult mai surprinzător, anume că perioadele respective sunt ȋntotdeauna formate din următoarele cifrele: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Numai acestea vor apărea ȋn perioada ȋmpărțirii la 7 și de fiecare dată apar toate șase, fiecare o singură dată.

Mai mult, dacă ne uităm cu și mai mare atenție, vom vedea că acestea apar ȋntotdeauna ȋn aceeași ordine, una ciudată. De pildă vom putea ȋntâlni perioada 428571, sau perioada 571428, sau perioada 714285 etc. Cu alte cuvinte, ȋntr-o succesiune rotativă, după 7 vine ȋntotdeauna 1, iar apoi 4, urmat de 2 ș.a.m.d. Ȋncercând să reprezint grafic această succesiune pe cercul de 10 cifre, am obținut o structură ciudată care se repetă la nesfârșit, structură la care eu i-am spus “poarta ȋmpărțirii lui 7” sau mai pe scurt “poarta lui 7”. Atenționez asupra faptului că poarta va sta drept dacă vom ȋmpărți cercul cu cele zece cifre poziționate cu 9 și 0 sus echilibrate, respectiv 4 și 5 jos echilibrate, iar 2 și 7 la dreapta și la stânga.

Ȋn momentul când am făcut prima dată o astfel de reprezentare grafică mi-am adus aminte că am mai văzut un astfel de desen pe un afiș lipit pe o clădire (cu cca. 20 ani în urmă), afiş ce invita la o prezentare cu context spiritual (la vremea respectivă nu am întreprins nimic în sensul cunoaşterii, respectiv a înţelegerii acestuia, nici din punct de vedere spiritual, nici din punct de vedere a logicii desenului). Mult mai recent, ulterior găsirii porții lui 7, am aflat că de fapt desenul respectiv este denumit eneagramă, că este de fapt o reprezentare pe un cerc cu doar nouă cifre (lipsind 0) și că acolo poarta lui 7 este completată cu un triunghi echilateral care unește multiplii rămași ai lui 3.

Revenind la poarta lui 7, dați-mi voie să vă mai arăt o surpriză a acesteia. Vă rog să luați ȋmpărțirile la 7 efectuate mai sus (sper că le-ați făcut cu mâna, nu pe calculatorul din deșteptofon; dacă nu – ghinion – tot trebuie să le faceți și pe hârtie) și analizați resturile intermediare ale scăderilor din timpul ȋmpărțirii (fiind vorba de ȋmpărțire la 7, resturile trebuie să fie de cel mult 6; pentru că nu are loc divizibilitatea, ȋmpărțirea nu se va termina, așa că nu vom avea restul 0). Astfel, veți vedea că resturile respective vor fi ȋntotdeauna toate cifrele de la 1 la 6, ȋntr-o succesiune ciudată, care se păstrează ȋnsă la toate ȋmpărțirile. Reprezentându-le pe acestea pe un cerc cu șase cifre (de la 1 la 6) vom avea surpriza să ȋntâlnim din nou poarta lui 7 (apare și reprezentată grafic pe cercul cu 10 sau 9 cifre, dar mai turtită și răsucită ȋntr-o parte; ȋn schimb arată destul de frumos și desenată pe un cerc cu șapte cifre, de la 0 la 6, cu 0 centrat sus).

Să analizăm puțin din punct de vedere metodico-didactic această ciudată “micro-lecție”. Este evident că produce uimire, deși nu este o lecție grea. Elevul exersează ȋmpărțirea și vede cum apare clar perioada. Ȋn plus, ȋși exersează atenția la detalii, face o reprezentare grafică (fiecare cât se pricepe de bine la trasarea cercului cu mâna și la ȋmpărțirea acestuia ȋn 10 sau 9, respectiv 6 sau 7 părți “egale”). Motivația pentru tot acest demers o reprezintă verificare prin obținerea acestui desen impresionant. Toți pașii sunt deosebit de accesibili. Ȋn final, orice elev are o satisfacție clară obținând respectivul desen misterios. Ȋn plus poate merge acasă să-i uimească cu acesta și pe părinți, care nu au ȋnvățat așa ceva ȋn școală. Desigur că nu are rost să-i alocăm acestei ciudate lecții tare mult timp; cred că două exemple cu reprezentările grafice corespunzătoare sunt suficiente (unul la tablă și unul ca muncă independentă ȋn clasă, plus ȋncă două la libera alegere ca temă). Și ca să fie clar, nefiind ȋn programă, nici nu cer astfel de exerciții la teste. Dar oricum, sunt sigur că elevii care le-au ȋnțeles se aleg cu câteva sinapse ȋn plus, ȋnvățând să conecteze un fenomen numeric cu o reprezentare grafică.

Părerea mea este că elevilor de clasa a 5-a le este suficientă această formă de lecție, fără o justificare sau cine știe ce demonstrație a ciudatului fenomen. La nivelul clasei a 5-a lucrurile pot rămâne ȋn această stare de uimire, de mirare pură. Dimpotrivă, la nivelul mai adult, de pildă ȋncepând din liceu, se poate cere și găsirea unei justificări raționale. Un astfel de studiu ar depăși ȋnsă cu mult nivelul de accesibilitate al clasei a 5-a. La acest nivel este arhisuficient atât, ȋncât să-i lăsăm pe copii ȋntr-o stare de uimire “magică”, plină de admirație față de “minunile matematicii”.

*

Cu elevii lucrez până aici. Pentru curiozitatea personală am căutat mai departe ca să ȋnțeleg, măcar la nivel superficial, care ar fi cauza pentru care poarta lui 7 este implicată ȋntr-un simbol spiritual, dar nu am găsit nimic, deși pare destul de evident că există o legătură (cred că orice ȋntâmplare este exclusă la un desen de această complexitate). Este ȋnsă la fel de evident că forma sa este deosebit de potrivită pentru a impresiona “adepții” unui curent spiritual, mai ales pe cei care nu ȋnțeleg “lucruri din-astea” și care se vor uita cu cea mai profundă admirație la “ȋnvățătorul” ce le folosește. Nu susțin la nivelul absolut că desenul nu ar putea avea totuși și anumite explicații de altă natură, dar eu nu le-am găsit ȋn timpul căutărilor mele (destul de superficiale, recunosc).

Dacă tot am căutat, perimteți-mi să vă prezint un rezumat al contextului cultural găsit, context pe care îl veţi putea căuta și dvs. pe internet. Conform Wikipedia, desenul respectiv apare ca reprezentare prima dată în 1949  la autorul rus de orientare ezoterică P. D. Ouspensky, în încercările sale de explicare a teoriilor învăţatului mistic armean G. I. Gurdjieff, idei preluate şi extinse de către bolivianul Oscar Ichazo în teoriile sale despre personalitatea umană (enneagrama tipurilor de personalităţi). Eu nu le-am citit, dar dacă sunteți curioși, găsiţi un scurt istoric al subiectului pe site-ul The Enneagram Institute, la Learn – Traditional Enneagram (History), pe care-l puteţi accesa pornind de pildă de la adresa https://www.enneagraminstitute.com/how-the-enneagram-system-works/, dar şi pe Wikipedia, de pildă căutând Fourth Way enneagram). Oricum sursele de pe internet ce conectează acest desen cu lumea spirituală par nesfârşite (pe lângă unele desene minunate, mie cel mai mult mi-a plăcut o întrebare: Este Papa Francisc împortiva enneagramei?). Ȋn domeniul psihologiei există și ȋn limba română o mare bogăție de surse despre eneagrama personalităților. Revenind la matematica noastră, un lucru este sigur, tot ce am scris în acest aliniat nu are nici o minimă legătură cu lecţia prezentată pentru clasa a 5-a, şi în nici un caz nu ar trebui să ajungă la elevi.

Tehnic, deși lipsește din dex-uri, cuvântul eneagramă desemnează o „stea cu nouă colţuri”. Astfel, pe lângă nonagonul regulat, sub denumirea de eneagramă (sau nonagramă) există două stelări cu 9 colţuri şi o stea falsă compusă de fapt din trei triunghiuri echilaterale (stele adevărate cu pas de 2 sau de 4 pentru că 9 nu este divizibil cu 2 sau 4, respectiv o stea falsă corespunzând pasului de 3 pentru că 9 este divizibil cu 3).

Pe lângă aceste eneagrame cu mecanism simplu de generare, am văzut că mai există şi ciudata eneagramă compusă din poarta lui 7 și un triunghi echilateral ce unește multiplii lui 3. Despre aceasta, pe mine mă interesează doar partea matematică, fără nici cea mai mică legătură cu teoriile mistico-ezoterice, unele de găsit la adresele mai sus menționate. Singurul lucru care mă miră este felul cum a putut fi adusă această reprezentare grafică de la nivelul pur rațional (al ȋmpărțirii cu 7) la nivelul de simbol spiritual. Misticul Titus

Ultima cifră la şirurile de numere – Studiul grafic pe cercul cu 10 cifre

Exerciţiile despre stabilirea ultimei cifre la diferite numere exprimate cu puteri cu exponent foarte mare sunt arhicunoscute printre profesorii de matematică din România. Câţi elevi le înţeleg cu adevărat, asta este o cu totul altă problemă. Eu abordez această temă dintr-un punct de vedere diferit şi nutresc speranţa că numărul elevilor care înţeleg această abordare este ceva mai ridicat.

Am găsit această metodă la învăţătoarele de la Şcoala Waldorf: ele folosesc o scândură în formă de disc pe care sunt bătute zece cuie în cerc, numerotate cu cele 10 cifre. Pe acestea elevii, pornind de la zero, întind o sfoară mergând din 4 în 4 la şirul lui 4 (şirul multiplilor lui 4) etc. Această metodă este gândită a sprijini învăţarea tablei înmulţirii de către cei mici (fiecare trecere peste zero înseamnă o creştere cu o unitate a cifrei zecilor). O adaptare a acestei metode la nivelul elevilor de clasa a V-a o găsiţi în prima parte a lecţiei, prezentată în următoarea imagine a tablei:

Ca o observaţie de terminologie, trebuie să precizez că în Waldorf învăţătoarele şi elevii folosesc noţiunea “şirul lui 3” desigur pentru “şirul multiplilor lui 3”. O fac aceasta chiar din clasele mici ca substituent pentru clasica “tabla înmulţirii cu 3” (desigur că învaţă şi denumirea “românească” cu timpul). Nu văd nici o problemă în aceasta pentru că ei nu folosesc cuvântul “multiplu”. Ca o observaţie colaterală despre capacitatea de pricepere intuitivă la aceste vârste, precizez că elevii nou veniţi în clasa a V-a nu au deloc probleme de înţelegere a terminologiei de genul “şirul lui 3” (în cazul acestora vedem aici un bun exemplu de predare intuitivă, fără multe explicaţii).

Spuneam că am găsit această metodă de reprezentare grafică la colegele din Waldorf, iar asta se întâmpla în 1996. Mintea mea a făcut imediat pasul înainte, pornind reprezentarea grafică a succesiunii ultimei cifre la şirurile de puteri, când păstrăm baza constantă (viitoarea funcţie exponenţială) sau, dimpotrivă, când păstrăm exponentul constant, adică de pildă la şirul pătratelor sau la şirul cuburilor (am încercat şi la puteri mai mari şi se găsesc şi aici lucruri interesante, dar nu recomand a face aşa ceva cu elevii; aceasta poate fi însă o minunată temă “de cercetare” pentru adulţi sau eventual elevi mari).

Vă las pe dvs. să studiaţi cazurile date ca temă elevilor şi corelaţiile dintre acestea. Oricum, elevii capătă din respectivul studiu o imagine mult mai clară şi mai bogată despre ce se întâmplă în procesul de repetare a ultimei cifre la aceste şiruri, imagine ce are evident şi valenţe estetice.

La vremea respectivă, când am descoperit aceste aspecte (“descoperit” la colegele din Waldorf reprezentarea pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile multiplilor, respectiv “descoperit” de-adevăratelea reprezentările pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile de exponenţiale şi de puteri, aspecte pe care nu le-am găsit niciunde!), atunci în 1996 am studiat toate situaţiile şirurilor în care sunt implicate puterile şi toate corelaţiile dintre acestea. Astfel, ţin minte că am făcut o planşă cu un cerc mare cu cele zece cifre, iar în dreptul fiecărei cifre am făcut un cerc mai mic cu reprezentarea grafică corespunzătoare şirului de acel tip corespunzător numărului respectiv. Astfel, pe acel cerc mare se pot vedea în studiu comparativ corespondenţele dintre formele graficelor diferitelor şiruri (fapt sugerat în lecţie prin alegerea unor exemple cu aceeaşi formă de grafic, doar parcursă în sens invers (4n şi 6n) sau prin păstrarea formei, dar răsturnată (2n şi 3n). După cum am mai spus, ca profesori, vă recomand să faceţi acest studiu, dar la clasă în nici un caz. Cred că lecţia aşa cum am făcut-o este suficientă. Eventual, în cazul unui copil pasionat, se poate sugera parcurgerea tuturor cazurilor acasă, ca “temă de cercetare”.

Apoi, ulterior acestui studiu (o oră, cu indulgenţa corespunzătoare şi pentru elevii “neolimpici”), se pot parcurge binecunoscutele exerciţii cu ultima cifră, existând speranţa ca majoritatea să aibă o viziune mai clară despre ce se întâmplă. (Această lecţie este de găsit şi în primul caiet de matematică pentagonia, dar am reluat-o pentru că mi-au reuşit o lecţie şi nişte poze deosebit de clare de data asta) CTG cu amintiri din 1996

P.S. Merită scrise aici câteva rânduri despre ideea de reprezentare grafică a unui fenomen numeric.Ce înseamnă reprezentarea grafică a unei funcţii? Păi, o formă de vizualizare a variaţiei unei formule matematice (numită funcţie)după valorile date nedeterminatei, introduse în această formulă. Cu alte cuvinte, o formă de vizualizare a unui fenomen numeric. Ceea ce am prezentat mai sus reprezintă tot o reprezentare grafică, adică o formă de vizualizare a unui fenomen numeric, doar că într-o formă mai neobişnuită pentru publicul larg.

Numerele prime (2-Bis): Ciurul lui Eratostene

Prezentul eseu reia multe din ideile prezentate în urmă cu trei ani în articolul http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/, aducând unele scurte argumente suplimentare, o nouă fişă de lucru cât şi noi idei de fluentizare a lecţiei despre Ciurul lui Eratostene. Cu această ocazie am descris încă o dată pas cu pas procedura din această metodă antică de selectare a numerelor prime din şirul numerelor naturale.

Eu predau de obicei la gimnaziu, uneori am desigur şi clasă de a V-a, iar în acest context mă confrunt cu starea de şoc în cazul multor elevi la sosirea în lumea profesorilor. Simt că, oricât aş veni în întâmpinarea lor accesibilizând materia predată, de la un an la altul, tot găsesc o mare parte (să-i spunem “jumătate de clasă”) care sunt terifiaţi de fiecare dată când se întâlnesc mai serios cu matematica şi cu gândirea ce o însoţeşte. Din acest motiv revin “din nou şi din nou” la clasele mici în postările mele, pentru că simt că aici este localizată una din sursele de bază ale fenomenului de analfabetism funcţional matematic. Poate voi avea răbdare cândva să iau subiectul spre abordare amănunţită, dar momentan mă rezum la o nouă analiză punctuală asupra unei lecţii de clasa a V-a şi asupra contextului acesteia.

Elevul care nu va înţelege suficient de bine numerele prime (care va crede de pildă că sunt “un fel ciudat de numere impare”), acel elev va aduna cu timpul o frustrare mută ce contribuie la creşterea unei frici profunde de matematică, stare ce va deveni o a doua sa natură prin cumularea cu alte şi alte frustrări de neînţelegere şi frici, care cu timpul se vor transforma în ură faţă de cei care sunt capabili de gândira raţională obiectivă.

Din acest motiv este foarte important să acţionăm preventiv şi să nu mergem la aceste vârste “ca trenu prin gară” prin lecţii, dând scurte definiţii şi având pretenţia ciudată, chiar schizofrenică, ca elevii să înţeleagă şi să şi ştie imediat noţiunea predată. Dimpotrivă, trebuie să avem răbdare şi mai ales la clasele mici să zăbovim la introducerea noţiunilor. Trebuie să avem răbdare, eventual să prezentăm noţiunea într-o formă ludică şi – ce-i foarte important – să realizăm abordări spre noţiunea studiată din mai multe direcţii (la clasele mici neapărat în zile diferite, cel mai sănătos chiar în perioade diferite). Este ca şi cum am lua “obiectul matematic” respectiv în mână şi l-am analiza şi l-am întoarce pe toate părţile. Chiar este recomandabil să-l luăm şi să-i dăm elevului timp să-l înţeleagă prin faptul că-l folosim în diferite contexte. Trebuie să pricepem că înţelegerea sănătoasă nu poate să apară printr-o simplă definire, ci este obţinută printr-o analiză multiplă cu mai multe reluări relativ diferite una de alta, dar mai ales şi prin utilizări succesive în contexte diferite.

Preocupările mele didactice provin din strădania de a îndruma elevii pe căi prin care să le înlesnesc înţelegerea cât mai bună a fenomenelor studiate, totodată cu formarea gândirii în general. În acest sens empatia faţă de învăţăcel te poate lumina ca profesor despre faptul că este o deosebire structurală majoră între introducerea unei noţiuni în modul ideal din punct de vedere al ştiinţei matematice pe baza tripletei axiomă – definiţie – teoremă, pe de o parte, şi pe de cealaltă parte, introducerea noţiunii la clasă respectând cerinţele mecanismelor psihologice obligatorii pentru înţelegerea fenomenului de către elevul încă nematematician, în caz particular al respectivului fenomen, dar şi pentru formarea gândirii matematice, privit în general la întreaga activitate din cadrul orelor de matematică.

Simpla definire a numerelor prime din punct de vedere al divizorilor este insuficientă (Definiţie: se numesc numere prime numerele care se divid doar la 1 şi la el însuşi, cu diferite forme şi variante echivalente, dintre care cea cu divizorii improprii este cu încă un etaj mai abstractă, pentru că necesită încă o noţiune în plus, fiind astfel şi mai inaccesibilă pentru marea majoritate a elevilor), dovadă stând însuşirea slabă a noţiunii de către majoritatea elevilor, exceptând vârfurile. După părerea mea, în cazul numerelor prime este mult mai eficientă o abordare multiplă, adică abordarea numerelor prime pe rând din mai multe direcţii. În acest sens am identificat trei direcţii de bază, cea cu divizorii fiind cea mai scurtă, dar şi cea mai intelectuală şi, ca urmare, cea care ar trebui parcursă ultima. Personal, eu predau pe baza acestor trei direcţii de abordare de cca. 10 ani.

Am regăsit ideea celor trei abordări şi în lucrarea MATEMATICA în 30 de secunde, Editor Richard Brown, apărută în traducere la Editura LITERA în 2019. La pag. 22-23 sunt prezentate numerele prime astfel: Majoritatea numerelor întregi (adică naturale) se descompun în numere mai mici. De exemplu, 100 = 4 ∙ 25 dar şi 100 = 20 ∙ 5. Dacă luăm fiecare din aceste numere şi le descompunem factorii în factori mai mici, vom ajunge la factorizarea primară a lui 100 care este 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5. Nu putem descompune factorii mai mult de atât – aceştia sunt numere prime, divizibile doar cu 1 şi cu ele însele. (vedem cum matematicianul care a redactat acest text nu s-a putut abţine, punând imediat şi definiţia clasică, din precauţie ca să nu sară cineva în sus şi, ca să fie siguri, la pag. 134 au mai pus-o încă o dată) Revenind la citatul de mai sus, la pagina 23 găsim un tabel cu primele 100 de numere în care sunt tăiate cele ce se pot descompune, rămânând evidenţiate cu verde (?) numerele prime (fără a fie însă amintit numele lui Eratostene). Aşadar, cum ar trebui să parcurgem cu clasele a V-a cele trei abordări spre noţiunea de număr prim?

Prima abordare ar reprezenta factorizarea, adică descompunerea intuitivă în factori, care se descompun apoi în factori tot mai mici, până când ajungem la factori care nu se mai pot descompune (desigur, fără folosirea lui 1), adică factorizarea primară. Pe baza descompunerii intuitive  a numerelor până la 100 (la clasă şi ca temă) ajungem să întocmim o primă listă cu numerele prime până la 50-60 (poate chiar până la 100). Această primă abordare lămureşte definitiv şi de ce numărul 1 nu este considerat număr prim: numărul 1 nu participă la factorizare pentru că factorizarea nu s-ar mai termina.

A treia abordare, cea cu definiţia numerelor prime (numerele care se divid doar la 1 şi la ele însele) nu o mai descriu, pentru că o cunoaşte toată lumea (deşi am şi aici o scurtă colecţie de variante, dintre care cea mai interesantă o aveam dintr-o carte nemţească, aceasta folosind totuşi intuiţia printre cuvinte: un număr se numeşte prim dacă nu se divide la un alt număr în afară de 1 (cu excepţia lui 1) divizorul însuşi fiind astfel cumva “ascuns” prin subînţelegerea exprimării (pe germană era mai clar acest aspect şi se înţelegea foarte bine).

A doua abordare – cea cu Ciurul lui Eratostene, care reprezintă tema principală a acestui eseu – era prezentă în manualul de clasa a V-a din anii ’80, ce a fost valabil până în 1996. Manualele alternative introduse la reforma din 1997 s-au rezumat la abordarea prin definiţie, considerată aici ca cea de-a treia abordare. Eliminarea Ciurului lui Eratostene reprezintă o mare pierdere din punctul de vedere al formării gândirii matematicii. Nu ştiu ca cineva să o fi făcut clar în anii ‘90, dar măcar elevii vedeau tabelul, se întrebau la ce foloseşte şi primeau ca răspuns o cât de sumară explicaţie. La manualele alternative de după 1997 acest proces – chiar şi în forma sa minimală – a dispărut cu totul.

După cum am mai spus, eu am început să fac această lecţie en-detail în urmă cu 10 ani, deşi am mai făcut-o uneori în forme reduse încă din anii ‘90. Chiar dacă parcurgerea lecţiei este mare consumatoare de timp (cel puţin o oră se duce clar), aceasta este un bun proces de formare a gândirii şi de stabilizare a noţiunii de număr prim. Pentru asta trebuie însă să ne luăm timp suficient şi să lăsăm elevii să lucreze şi individual la clasă, lecţia fiind un deosebit exemplu de lucrare practică de tip “laborator de matematică”.

Parcurgerea Ciurului lui Eratostene doar până la 100 nu este deosebit de complicată, dar nici prea lămuritoare. Pentru a înţelege lucrurile ar trebui să mergem măcar până la 200; Parcurgerea până dincolo de 250 are avantajul că ne arată două situaţii speciale: o decadă fără numere prime, cât şi o nouă decadă cu patru numere prime, alta decât primele două de la început (patru numere prime până la 10 şi încă patru numere prime între 10 şi 20). Pentru elevii buni se pot pune şi întrebări de tipul: cum putem evita simpla re-tăiere a numerelor dintr-un şir de multiplii? Altfel spus, care este primul număr care nu este deja tăiat când ajungem la şirul lui 13? Dar la şirul lui 17? Răspunsurile la aceste întrebări ne lămuresc destul de clar până când numerele netăiate din tabel sunt toate prime.

Pentru a eficientiza această lecţie am pregătit o fişă conţinând numerele naturale de la 1 la 300 ordonate câte zece pe o linie. Această fişă trebuie multiplicată pentru toţi elevii pe coli A4, dar poate fi imprimată la firme de proiectare şi pe format mare, de pildă A0 sau A1, pentru a fi lipită pe tablă, astfel încât să se parcurgă tot procesul şi în faţa clasei.

Tot pentru eficientizare am decis ca, începând de la viitoarea clasă a V-a la care voi preda, să introduc în lecţia precedentă (despre şirurile numerelor) o temă ce îi va familiariza pe elevi cu lucrul pe şirurile numerelor, în vederea eliminării numerelor în Ciurul lui Eratostene. În acest sens, le voi da elevilor câte o coală A4 pe care va fi imprimat tabelul cu cele 300 de numere pe ambele părţi. Pe prima parte, în partea de sus a paginii lăsată intenţionat liber le voi dicta prima sarcină din temă, anume să taie cu creion galben toate numerele din şirul lui 2, iar cu portocaliu toate numerele din şirul lui 5. Tot pe această pagină vor trebui să taie toate numerele din şirul lui 11 cu albastru. Pe a doua pagină, în partea de sus vor scrie a doua sarcină din temă, anume să taie cu verde toate numerele din şirul lui 3, respectiv cu roşu toate numerele din şirul lui 7 (evident, o temă pe care ar trebui să o poată face în clasa a V-a orice elev). Aceasta va reprezenta tema la lecţia premergătoare pentru Ciurul lui Eratostene, o lecţie pregătitoare despre şiruri, în care prezint cele mai simple şiruri de numere naturale: şirul lui 2, adică al numerelor pare, dar şi şirul numerelor impare, apoi şirul lui 3, şirul lui 4 etc.

Am evidenţiat în aliniatul de mai sus legătura “obligatorie” dintre fiecare număr şi o anumită culoare din motive vizuale absolut practice şi recomand aceasta ca cea mai bună variantă. Vreau să spun că varianta aceasta de culori păstrează “haosul” din Ciurul lui Eratostene la nivelul cel mai mic posibil; orice altă variantă creşte nivelul de neînţelegere la unii elevi. Astfel, am pus numerele cele mai ordonate pe verticală, 2 şi 5 (2 cu cei mai mulţi multipli), cu culorile cele mai slabe, dar clar vizibile pentru că se pun la început sau curând. Apoi culorile vin într-un creşcendo tot mai întunecat; cumva, fiecare când apare în Ciurul lui Eratostene, aceasta se vede cel mai bine la acel moment.

Astfel pregătită lecţia principală, în ora următoare ne vom putea apuca de găsirea numerelor prime prin această metodă. Daţi-mi voie să vă prezint în detaliu cum fac eu această lecţie, atât ca exemplificare pentru cei care o cunosc, cât şi ca lămurire pentru profesorii mai tineri care nu cunoc această lecţie (dar şi pentru părinţii ce se rătăcesc pe acest blog şi vor să-şi ajute copiii în a înţelege subiectul cu pricina). Pentru această lecţie le voi aduce elevilor o nouă coală A4 imprimată doar pe o parte cu acelaşi tabel (al treilea tabel cu numerele de le 1 la 300). Le explic foarte scurt elevilor că vrem să căutăm numerele prime din acest tabel, apoi trecem direct la treabă.

Pe numărul 1 îl tăiem de la început pentru că ştim că 1 nu participă la căutarea numerelor prime. În plus, după ce vom înţelege cum funcţionează acest sistem, vom putea reveni şi găsi un nou argument pentru care 1 nu participă la Ciurul lui Eratostene (dacă ne-am propune să tăiem toate numerele din “şirul lui 1”, de fapt am elimina toate numerele şi nu am mai avea obiectul muncii acestei ore). Este important să facem acest pas pentru a fixa bine pe mentalul fiecărui elev că numărul 1 nu este număr prim (deşi marele Euler încă îl considera prim; ca să vezi!).

Primul număr netăiat este 2 şi pe acesta îl încercuim cu galben. Apoi tăiem cu galben toate celelalte numere din şirul lui 2 (în afară de 2, procedăm la fel ca la tema de ora trecută). Atenţie că durează mult până elevii taie toate numerele din şirul lui 2; acestea sunt aliniate frumos dar sunt multe de tăiat.

Apoi o luăm de la capăt cu raţionamentul: primul număr netăiat este 3 şi pe acesta îl încercuim cu verde. Apoi tăiem tot cu verde toate celelalte numere din şirul lui 3 (unele erau deja tăiate cu galben, dar le mai tăiem încă o dată; altele le tăiem pentru prima dată cu verde). Şi la şirul lui trei durează destul de mult până ajung să fie tăiate toate numerele, chiar dacă sunt ceva mai puţine, pentru că sunt ciudat ordonate (nu sunt pe o verticală, adică pe o coloană, ci stau într-o ordine oblică).

În acest moment primul număr netăiat este 5 şi pe acesta îl încercuim cu portocaliu (păstrăm culorile din tema de ora trecută). Apoi tăiem cu portocaliu toate numerele ulterioare din şirul lu 5 (indiferent dacă mai sunt tăiate deja sau nu cu altă culoare). La acestea avem de tăiat doar numerele de pe două coloane şi merge ceva mai repede.

Până în acest moment am tăiat foarte multe numere şi am încercuit  doar trei numere, pe 2, pe 3 şi pe 5, care sunt toate trei numere prime. Acum primul număr netăiat este 7. Îl încercuim şi pe acesta ca număr prim cu roşu şi tăiem tot cu roşu celelalte numere din şirul lui 7. Aici treaba merge din nou greu, chiar dacă sunt mai puţine de tăiat, pentru că sunt aparent destul de dezordonate. Cu greu reuşesc unii elevi să-şi dea seama de structura şi modelul în care acestea apar în tabelul numerelor naturale cu zece coloane. Desigur că aici va ajuta mult tema din ora precedentă.

Următorul număr netăiat, deci număr prim va fi 11, iar pe acesta îl vom încercui cu albastru, după care vom tăia tot cu albastru restul numerelor din şirul lui 11 în tabelul nostru (situate pe diagonale ciudate: 11, 22, 33, … 99, apoi din nou din stânga de la 110, pe acelaşi model 121, 132 etc.). Până aici vom fi fost ajutaţi de tema din ora precedentă. În continuare va trebui să ne descurcăm fără acest ajutor.

Următorul număr netăiat, deci prim, va fi 13 şi îl vom încercui cu creion grafic (negru). Începând din acest moment se despart drumurile între cei care gândesc cu adevărat şi cei care nu gândesc la matematică. Am putea să procedăm la fel ca şi până acum, anume să ne propunem să tăien cu creion grafic restul numerelor din şirul lui 13, dar acesta este oricum un şir greu (câţi elevi este de aşteptat să ştie “tabla înmulţirii cu 13”?). O idee mai bună s-ar putea să ne vină dacă observăm că oricum o vreme toate vor fi fost deja tăiate la una din trecerile precedente, cu o altă culoare. Care este primul număr din şirul lui 13 care nu este încă tăiat? (îl putem găsi că este 169, dar nu ne interesează doar acest număr, în mod egoist, ci vrem să dibuim “modelul comportamental” pentru a ne descurca în continuare şi la numere mai mari).

Pentru a răspunde la această întrebare ne putem întoarce la şirul lui 7, întrebându-ne care a fost primul număr din şirul lui 7 care nu era deja tăiat cu altă culoare şi pe care l-am tăiat pentru prima oară cu roşu? După un pic de căutare elevii îl găsesc pe 49, după care îşi dau seama şi că 49 este pătratul lui 7. Verificăm teoria şi cu un pas mai înainte, anume la 5 şi observăm că primul număr care a fost tăiat doar cu portocaliu a fost 25, adică pătratul lui 5 (mai putem face şi o verificare la 11). Deducem aşadar prin analogie că primul număr din şirul lui 13 care încă nu este tăiat este pătratul lui 13, adică 169.

Din acest moment lucrurile se complică, dar totodată devin fascinante pentru elevii cu gândire bună, care au ocazia să-şi exerseze intuiţia matematică. Ideile se succed în continuare cu repeziciune într-o ordine relativă (un elev observă un aspect, un al doilea observă altceva etc.). În linii mari ideile ar trebui să fie după cum urmează: următoarele numere din şirul lui 13 sunt deja tăiate: 13 ∙ 14; 13 ∙ 15; 13 ∙ 16 (de la şirul lui 2 sau 3 sau 5), dar 13 ∙ 17 = 221 nu este încă tăiat. La fel nu este tăiat 13 ∙ 19 = 247 şi nici 13 ∙ 23 = 299 (şi apoi aici ieşim din tabel cu şirul lui 13). Merită zăbovit cu o ridicare de sprânceană la aceste numere: care este forma lor?

Următorul număr netăiat, despre care oricum ştim dintr-o lecţie precedentă că este prim, este 17 (îl încercuim tot cu creion grafic). Care este primul număr netăiat din şirul lui 17? Desigur că pătratul lui 17 care este 289. Apoi observăm că 17 ∙ 18 trece oricum de 300, aşa că am terminat foarte uşor cu acest şir în tabelul nostru.

Următorul număr netăiat, aşadar prim este 19 (de încercut tot cu creion grafic), iar primul număr din şirul său care n-ar fi deja oricum tăiat este 19 ∙ 19 = 361, care este în afara tabelului nostru. Ce deducem de aici? (aici trebuie ca profesorul să aibă răbdare, până se prinde măcar un elev) Da, exact, restul numerelor netăiate din tabelul nostru sunt toate prime şi pot fi încercuite liniştit cu creion grafic.

În final fiecare elev scrie în spaţiul liber de deasupra tabelului cu cele 300 de numere titlul lecţiei: Ciurul lui Eratostene pentru găsirea numerelor prime până la 300. Ca temă, elevii vor trebui să aleagă numerele prime găsite (adică cele încercuite) şi să treacă în caietul de matematică. Ambele coli vor fi lipite pe o margine în caiteul de matematică în locul unde am ajuns cu lecţiile.

În ora următoare voi relua lista, iar elevii o vor scrie din nou pe verso-ul colii cu Ciurul lui Eratostene (foaia culcată, adică landscape), pe lăţimea unui liniar (3-4cm), toate numerele prime găsite, aranjate pe coloane de cel mult patru numere, corespunzând fiecărei decade. Astfel, prima coloană are patru numere, a doua coloana tot patru numere (între 10 şi 20), a treia coloană are doar două numere prime (23 şi 29) etc. Mai încolo vom avea coloane cu un singur număr prim corespunzând unei decade, dar şi coloane fără numere.

Apoi vom face o analiză a celor observate, scriindu-le tot pe această pagină, alături de lista cu numerele prime. Observaţiile ar trebui să fie în linii mari următoarele: într-o decadă (corespunzând unui rând, adică unei linii pe tabelul cu 300) sunt maxim patru numere prime; există decade fără numere prime, de pildă decada 201 – 210; numerele prime apar tot mai rar; numărul 2 este singurul număr prim par; după 10 numerele prime au ca ultimă cifră doar 1; 3; 7 sau 9. O observaţie mai interesantă este faptul că unele numere apar în perechi, despărţite doar de un singur număr par. Elevii pot primi ca temă să caute astfel de perechi de numere prime alăturate.

Totodată putem da aici şi justificarea denumirii acestor numere, justificare ce ţine de fapt de lecţia precedentă, cea cu şirurile numerelor: numerele care apar pe şirurile numerelor doar pe prima poziţie se numesc numere prime. De pildă, numărul 4 apare pe prima poziţie în şirul lui 4, dar el apare şi pe a doua poziţie în şirul lui 2, deci nu este prim. Dimpotrivă, numărul 5 apare doar în şirul lui 5 şi acolo pe prima poziţie, deci este număr prim, putând fi doar primul.

Înţelegem aici că această justificare a numerelor prime – numerele care apar pe diversele şiruri de multipli doar pe prima poziţie se numesc numere prime (pentru că pot fi doar primele pe un şir de multipli) – această justificare nu mai funcţionează când studiem de fapt multipli unui număr pornind de la definiţia că multipli unui număr se obţin din produsul acelui număr cu un alt număr natural, printre acestea putând fi ales şi zero. Multiplul zero ne încurcă aici rău de tot, aşa că această lecţie trebuie parcursă înaintea unui studiu riguros definiţionist al multiplilor. Pe de altă parte, ştim şi simţim aici clar că noţiunea de număr prim, împreună cu denumirea respectivă, sunt mult mai vechi din punct de vedere istoric decât apariţia în matematică a numărului 0 (zero).

Trebuie să lămuresc aici un aspect ce probabil i-a nedumerit pe mulţi cititori ai acestei prezentări, anume faptul că am folosit expresia “şirul lui 5” în loc de expresia completă “şirul multiplilor lui 5” (desigur clar mai corectă). Am evitat folosirea cuvântului “multiplu” în acest context pentru simplul fact că la acest moment încă nu am predat noţiunea de multiplu, şi am făcut aceasta cât se poate de intenţionat şi premeditat. Veţi spune că aşa ceva nu se poate, că asta nu mai este predare riguros matematică. Iar eu vă voi răspunde că se poate preda aşa, iar elevii nu înţeleg cu nimic mai puţin ca în forma riguroasă, datorită faptului că ne bazăm în acest proces pe intuiţia elevilor.

Sunt convins că pentru mulţi dintre cititorii profesori toate aceste rearanjări şi mici redenumiri crează probabil impresia unui mic haos, aşa că îmi permit să mai reiau câteva aspecte din ultima parte, aspecte legate de justificarea metodică şi de aranjarea optimă a lecţiilor, pentru ca acestea să nu-şi pună una alteia “piedică”.

În primul rând, precizez că lecţia despre numerele prime prin Ciurul lui Eratostene reprezintă o întrerupere în seria lecţiilor despre şiruri de numere naturale la clasa a V-a, aşa cum le-am predat în ultimii ani. Pe scurt, aceste lecţii sunt următoarele: 1) lecţia despre Şirurile de multipli (nu le voi numi aşa), ce include deci şi Ciurul lui Eratostene, va fi urmată de lecţia 2) despre Şirurile puterilor unui număr (şirul puterilor lui 2 până la puterea a 10-a, apoi şirul puterilor lui 3 până la puterea a 5-a, la fel şi la puterile lui 4 şi ale lui 5, şi în final şirul puterilor lui 10); iar apoi de lecţia 3) Şirul puterilor cu exponent constant (cu exemplificare pe şirul puterilor a doua, cât şi pe şirul puterilor a treia; ulterior voi reveni la acestea sub denumirea de şiruri de numere figurative, lecţie la care voi aborda şi numerele triunghiulare).

Despre predarea intuitivă am început să auzim din nou în textele metodice însoţitoare la noua programă de gimnaziu din 2017, cei drept fără a ne fi explicat despre ce-i vorba şi cum se foloseşte (ca şi cum toată lumea ar şti ce-i asta şi ar fi făcut în facultate în detaliu folosirea intuiţiei în predare). Predarea intuitivă deschide căi nebănuite în introducerea noţiunilor matematice. De pildă, în acest caz eu am folosit faptul că învăţătoarele din Waldorf folosesc denumirea de “şirul lui 5” ca variantă alternativă la “tabla înmulţirii cu 5”. În plus, am introdus lecţia pregătitoare de “şiruri”, desigur adaptată vârstei şi predată intuitiv. Avantajul faţă de o eventuală poziţinare a lecţiei după studiul noţiunii de multiplu este însă legat de absenţa din acţiune a numărului 0 (zero). Anume, lipsa numărului zero din şirul multiplilor lui 5 ne permite poziţionarea numărului 5 (numărului titular al acestui şir) pe prima poziţie. Istoric aşa s-a şi întâmplat, iar de acolo a şi venit denumirea de număr prim (numărul zero fiind integrat mult mai târziu în tabloul numerelor naturale). Ulterior, la studiul noţiunii de multiplu îl adaug şi pe zero la “şirul lui 5”, analizând structura acestor numere ca 5 ∙ n cu n număr natural, şi obţinând astfel “şirul multiplilor lui 5”.

În altă ordine de idei, îmi povesteşte soţia mea că la ultima clasă de gimnaziu la care a predat le dăduse să facă planşe (câte doi-trei elevi la o planşă) pe diferite teme numerice, planşe ce au stat apoi multă vreme afişate prin clasă. Una din planşe era cu Ciurul lui Eratostene. Alte planşe erau despre descompunerile unor numere cu factori primi alţii decât cei pentru care avem criterii de divizibilitate, despre pătrate perfecte, despre puterile diferitelor numere, în general informaţii care oricum fuseseră parcurse la clasă (în a V-a nu are sens să le ceri mai mult). CTG

P.S. Ulterior, când ajungem la multipli, la multipli comuni şi mai ales la cmmmc putem beneficia din plin de paşii parcurşi în această lecţie. Dându-le din nou elevilor astfel de fişe vom putea da spre studiu pe această fişă multiplii şi respectiv multiplii comuni ai numerelor 2 şi 3 (ambele prime), obţinând şirul lui 6 şi cmmmc(2,3). Aici vom vedea cum 6 nu este prim pentru că, deşi apare pe prima poziţie în şirul lui 6, apare pe a doua sau pe a treia poziţie în şirul lui 3, respectv 2. Apoi vom putea lua situaţii mai complicate, cum ar fi: 4 şi 9 (neprime, dar cmmmc egal cu produsul lor, pentru că nu au factori comuni), respectv 6 şi 8 (neprime, dar cmmmc diferit de produsul lor, pentru că au factor comun 2).

P.P.S. Această prezentare a fost redactată în mare măsură în vacanţa de iarnă, în urma impresiilor de la trecerea din toamnă prin această lecţie. În ce măsură s-ar putea folosi aceste elemente în condiţiile predării la distanţă, care se prevede foarte clar pentru anul şcolar 2020-2021, asta eu nu pot preciza acum.

În general predarea interactivă pare a fi marea perdantă a situaţiei actuale. Încă nu-mi pot imagina cum aş putea obţine efectele dorite la o predare pe Zoom cu o clasă de 30 de elevi, iar a pune toate aceste aspecte cu toţi paşii pe un filmuleţ you-tube omoară cu totul acele momente din lecţie în care elevii sunt puşi să facă singuri (adică să şi gândească) şi nu doar să copieze pur şi simplu (acţiune pe care mulţi o fac pasiv). Accentuez aici diferenţa majoră între gândirea activă de găsire a unei soluţii pentru situaţia problematică în care a fost pus elevul, faţă de eventuala preluare a gândurilor expuse de către altcineva şi strădania de a înţelege aceste gânduri. Fără să mai discutăm de un aspect foarte profund: pus în faţa situaţiei problematice, copilul s-ar putea să găsească o soluţie, o explicaţie diferită de cea oficială, dar potrivită propriei gândiri (şi, la o adică, chiar corectă pentru o minte deschisă la nou). Dimpotrivă, s-ar putea să-i fie mult mai greu să înţeleagă un raţionament străin (care de multe ori este generat de un adult, care are deci o gândire profund diferită de gândirea copiilor).

Doresc să dau aici un exemplu nematematic despre diferenţa majoră între modelul primit din exterior şi modelul produs de propria gândire pentru înţelegerea unei anumite situaţii. Când eram copil s-au introdus în traficul din România sensurile giratorii şi prioritatea de stânga la intrarea în acestea. Îl auzeam pe tatăl meu cum discuta despre aceasta cu mama şi cum aici trebuia să respecte o regulă opusă faţă de prioritatea de dreapta. De curând am avut ocazia să circul împreună cu mama mea (fostă profesoară de matematică, actualmente mândră pensionară de 80 de ani), să circulăm împreună într-un sens giratoriu şi mi-a spus că ea nu a înţeles cum este cu prioritatea din sensul giratoriu, dar că şi-a făcut propriul model: prioritatea de “prima tangentă”. Vă las pe dvs. să înţelegeţi acest model de gândire şi să vedeţi cum mama şi-a găsit un model de înţelegere pe baza cunoştinţelor în care se simţea cel mai sigură (zona de confort a gândirii).

Revenind la cunoaşterea unor fenomene matematice, vedem cum avem astfel o cunoaştere activă, bazată pe implicarea profundă a gândirii personale, faţă în faţă cu o cunoaştere fără implicarea gândirii, cel mult prin activarea strădaniei de înţelegere. Varianta a doua este uşor de pus pe you-tube (în general, mult mai uşor de predat), pe când prima mult mai greu de realizat şi practic inexistentă pe net (cel puţin, eu nu am văzut-o niciunde), fiind practic mult mai mare consumatoare de timp şi de energie. Care ar fi însă marile avantaje ale forţării gândirii elevilor, despre asta am vorbit de multe ori, aşa că mă opresc aici.

Tabel-Prime-Eratostene.pdf

Numărul cercului (3) – Bonus: câte zecimale pentru π?

Ne-am preocupat în această scurtă serie despre cum putem proceda la clasă astfel încât numărul π să intre eficient în conştienţa elevilor. Am văzut în toamnă, cu ocazia alegerilor prezidenţiale că acest număr este cumva considerat ca un reper al delimitării persoanelor culte de restul populaţiei. Nu trebuie să fie un mare matematician, dar totuşi, uitarea lui π a reprezentat în aceste alegeri un element definitoriu al personajului respectiv, care ajunsese print-u joc ciudat al sorţii în poziţia de a se visa preşedintele României. Noi trebuie să predăm perimetrul şi aria cercului astfel încât π să nu rămână o enigmă pentru majoritatea elevilor, aşa cum din păcate se întâmplă deseori. Dacă ne structurăm predarea în mod sănătos, atunci peste ani, chiar şi după ce a intervenit uitarea, o persoană va ţine minte că există π şi că acesta este “cam 3,14”.

Una din marile provocări legate de acest număr o reprezintă faptul că acesta este un număr iraţional transcendent. Elevilor de gimnaziu nu le putem preciza clar aceste lucruri, dar le putem da un surogat interesant al ideii de număr iraţional (cu o infinitate de zecimale, dar neperiodic; atâta măcar trebuie să poată înţelege elevul de a 7-a), anume o imagine a preocupărilor despre caclularea lui π cu cât mai multe zecimale.

Astfel, undeva pe parcursul acestor lecţii ar fi frumos să le dăm elevilor ocazia să guste şi din acel subiect destul de ciudat prin care calculatoriştii se întrec în a-l determina pe π cu un număr cât mai mare de zecimale exacte. În acest context eu le duc elevilor la clasă copia unei pagini din cartea lui Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, (Humanitas, 1998, pag. 60), unde este dat acest număr cu peste 1500 de zecimale. Tot în această lucrare se găsesc şi date despre numărul zecimalelor ale lui π cunoscut la acea vreme (anii ’90), dar acestea sunt oricum istorie, cartea respectivă având oricum o vârstă respectabilă de un sfert de secol. Pasionaţii de senzaţional pot căuta liniştiţi pe net situaţii mai apropiate de anii noştri.

Apoi le spun şi că în calculator îl am descărcat de peste 10 ani pe numărul π cu un milion de zecimale exacte (are 176 de pagini!), şi pot continua cu multe alte poveşti “vânătoreşti” despre cursa calculări acestui număr cu cât mai multe zecimale. Legat de acestea, desigur că le putem preciza elevilor că aceste rezultate sunt obţinute pe alte căi decât cele direct geometrice accesibile elevului de gimnaziu, şi că despre aceste căi vor putea căpăta o primă impresie de-abia în liceu, cei care vor merge mai spre matematică (desigur, o primă impresie şi aceasta extrem de superficială). Revenind la elevii din gimnaziu, adică la nivelul de cultură generală predat aici, chiar şi următoarea valoare aproximativă cu 50 de zecimale exacte este suficient de covârşitoare:

π ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…..

(Da, sunt conştient că nu ar trebui să folosesc într-o scriere atât semnul de aproximaţie cât şi notaţia de neterminat de la sfârşit, dar cele două arată atât de bine împreună!) În acest context este absolut impresionantă pentru elevi, chiar şi pentru cei orientaţi mai umanist (Salut! Vlăduţ) să afle că oamenii au găsit o metodă ciudată, dar eficientă, de a memora acest număr cu ceva mai mare exactitate decât doar două zecimale, anume prin asocierea cu o propoziţie artificială, dar mai uşor de memorat (dar mai uşor de memorat decât un număr de cifre venite de-a valma), a cărei cuvinte au lungimea cifrelor din exprimarea lui π. Această tehnică mnemonică a primit şi un nume: piphilologie (noi le-am spus pi-isme)

Astfel, în limba română avem următorul exemplu de propoziţie pentru zece cifre (primită încă din liceu de la mama mea): Aşa e uşor a scrie renumitul şi utilul număr mare, cu lungimea cuvintelor corespunzând aproximării 3,141592654 (cu 9 zecimale exacte, la care se adaugă ultimul 4 ca aproximarea mai bună prin adaos a lui 3).

Apropos, de dragul unei cât mai apropiate exactităţi, pentru cazurile când nu ne ajunge clasicul 3,14 şi vrem o aproximare cât mai exactă cu patru zecimale, în loc de 3,1415 nu ar fi mai bine să le atragem atenţia elevilor asupra valorii 3,1416, aceasta fiind o aproximare mult mai bună datorită acelui 9 de pe poziţia a cincea zecimală? (zic şi eu, doar aşa “ca să mă bag în seamă”…). Precizez aceste aspecte şi din punct de vedere psihologic: o discuţie despre când ar trebui folosită aproximarea în lipsă şi când aproximarea prin adaos poate fi sterilă dacă se face pe example aleatorii. Dimpotrivă, în situaţia de faţă numărul π a căpătat deja în mintea elevilor o oarecare identitate, reprezentând în preocuparea ultimelor ore un adevărat “personaj” în lumea asta ciudată a matematicii. Ca atare π poate trezi interesul şi atenţia elevilor în mult mai mare măsură, clasa putând fi mai uşor atrasă într-o preocupare de detaliu cum este dacă să luăm aproximarea prin lipsă sau prin adaos. Desigur că există şi alte criterii pe baza cărora să facem această alegere, dar aici, pe baza acestei situaţii din cadrul numărului π, putem prezenta eficient criteriul celei mai bune aproximări.

Revenind la propoziţiile care-l dau pe π, în limba engleză avem “paşnica”: How I wish I could recollect pi easily today! sau  simpatica: May I have a large container of coffee beans?, cu lungimea cuvintelor pentru aproximarea 3,14159265 (tot opt zecimale exacte), eventual varianta cu două cifre în plus: May I have a large container of coffee, cream and sugar? (10 zecimale). Mult mai “rebelă” este în engleză următoarea propoziţie, potrivită mai degrabă studenţilor: How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics (14 zecimale, merge până la secvenţa 79).

În franceză gluma se îngroaşă: Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires! (30 de zecimale, pe care însă nu le-am verificat). Oricum, francezii “au luat-o rău pe arătură”, pentru că la această reprezentare în versuri există şi o variantă pentru obsedaţi (ca să nu spun maniaci):

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire?
Former un triangle auquel il équivaudra?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra:
Dédoublera chaque élément antérieur;
Toujours de l’orbe calculée approchera;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Există astfel de propoziţii şi în alte limbi. Iată una în spaniolă: Fue y cayó. Y queda solamente la inútil cifra con pocos destinos poderosos, tristes devenires sin el más sencillo bien. Idiota, re idiota, sabe que sus encantos son ya latosos decimales. Pobre…, dar şi una în portugheză: Cai a neve e novas ferrovias de marfim serão por casas trocadas, sau una deosebit de sugestivă în portugheza braziliană: Sim, é útil é fácil memorizar pi, grande valor real. În italiană traba ar suna cam aşa: Non è dato a tutti ricordare il numero aureo del sommo filosofo Archimede. Certuni sostengon che si può ricordar tale numero, ma questi soli poi non recitano che un centone insensato (30 de zecimale).

Majoritatea acestora se găsesc pe Wikipedia, unde apar ca “tehnici mnemonice” sub denumirea de Piphilology. La adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology găsim exemple din mai multe limbi. Aici apare şi varianta primită de la mama mea, dar şi o altă variantă în română, “în versuri”:

Dar o ştim, e număr important ce trebuie iubit,
Din toate numerele însemnate diamant neasemuit,
Cei ce vor temeinic asta preţui
Ei veşnic bine vor trăi
.

P.S. Fără nici o legătură directă cu numărul π, amintesc că există astfel de asocieri mnemotehnice cu o propoziţie şi pentru numărul e. Iată două variante primite tot de la mama mea: Un scoţian a inventat, un elveţian a  calculat şi exprimat acel număr admirabil (e vorba despre John Napier şi Leonhard Euler). Tot pentru o aproximare cu 12 zecimale exacte a numărului ≈ 2,718281828459 avem şi: Pe numărul e savantul îl stimează, e academic şi formează bază pentru logaritmi.

Ca un fapt divers din lumea matematicienilor (cu evidentă tentă comică), vreau să vă spun că clădirea departamentului Facultăţii de matematică de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj – Mathematica – îşi are sediul într-o clădire ce cuprinde, printre altele, biblioteca facultăţii, încăperi pentru toate catedrele, cât şi două săli de curs, numite desigur sala π şi sala e (cum altfel?).

Noi am găsit şi la Paris, în Palais de découverte (un fel de muzeu al ştiinţelor, pe care l-am amintit mai sus) o sală π rotundă, la capătul coridorului despre matematică, care chiar este folosită ocazional la diferite prezentări. Numărul π  este scris la baza tavanului, cu sute de zecimale, dând roată sălii de câteva ori, iar sub acesta un rând cu mari matematicieni din toate timpurile (îi găsim evocaţi acolo atât pe Ahmes, scribul Papirusului Rhind, dar şi pe Bolyai; puteţi face o tură virtuală a acestei săli la adresa https://www.youtube.com/watch?v=NRuKh7dI_bs ). Ataşez o poză cu familia mea din 2007 în această sală. CTG

P.P.S. Haideţi să mai evocăm încă o ciudăţenie despre numărul cercului, doar aşa ca să vedem că am putea continua în ritmul acesta mult şi bine. Pentru asta trebuie să luăm în discuţie şi celelalte două numere iraţionale foarte des folosite, numărul pătratului şi numărul triunghiului echilateral, adică şi cu aproximările lor uzuale cu două zecimale exacte. Verificând pe aceste aproximări suma lor 1,41 + 1,73 = 3,14, putem vedea ciudăţenia cea mai mare: .

Numărul cercului (2) – Deducerea practică a lui π din arie

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, cu abordare atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. În prima parte a acestui eseu am prezentat o formă de “găsire” a acestui număr, căutat dinspre perimetrul cercului, pe baza determinării prin măsurare a raportului între perimetru şi diametru (transversala sau lăţimea cercului). Tot în prima parte am prezentat şi o formă de demonstrare a formulei pentru aria cercului, dedusă însă indirect, adică din formula de perimetru. A fost o formă vizuală cu abordare predominant geometrică, deşi aceasta poate fi adaptată şi într-o abordare tehnicist algebrică (consider însă că cei care doresc o astfel de abordare ar putea-o prezenta în continuarea primeia, ca o formă de traducere în noul limbaj de lucru algebric ce se prefigurează în clasa a 7-a). În această a doua parte a eseului voi încerca prezentarea unor abordări directe pentru obţinerea formulei de arie a cercului şi deci pentru obţinerea unei aproximări a numărului π, căutând de fapt de câte ori intră suprafaţa pătratului razei în suprafaţa cercului

În prima parte a eseului am văzut însă o despărţire clară a două linii de preocupare: prezentarea din start a formulelor pentru perimetrul şi aria cercului, cât şi a numărului π, ce deschid posibilitatea de lucru pe exerciţii şi probleme, în vederea pregătirii testelor (utilitatea acestor formule), cât şi în paralel pornirea unui “proces de cercetare” pentru cunoaşterea diferitelor căi de obţinere a acestor formule şi a valorii aproximative de 3,14 pentru acest număr fascinant. Prima linie de preocupare este evidentă: toată lumea le dă elevilor formulele şi valoarea aproximativă a lui π şi se ocupă de aplicaţii ale acestora în exerciţii şi probleme. Cât despre cea de-a doua linie de preocupare, recomand parcurgerea câtorva căi de obţinere a numărului π, atât din motiv de formare a obişnuinţei de a înţelege “de ce este ceva aşa cum este”, cât şi ca exemple de gândire matematică diversă (motiv pentru care recomand în general la toate marile teoreme, dar şi le unele exemple de probleme individuale, parcurgerea mai multor demonstraţii diferite; de pildă parcurgerea a cel puţin 3-4 demonstraţii diferite la teorema lui Pitagora).

Ca o paranteză de accentuare la ultimul aliniat, vreau să atrag atenţia: cu cât parcurgem mai multe rezolvări diferite la o problemă, cu atât mai mult dezvoltăm gândirea în matematică şi prevenim obişnuinţa elevilor de a învăţa pur şi simplu rezolvări automat pe de rost. Desigur însă că nu ne putem permite mai multe rezolvări la toate problemele, dar măcar la cunoaşterea marilor probleme ale omenirii ne putem lua timp pentru a parcurge câteva metode diferite, astfel încât elevul să primească prin acestea mari exemple de gândire.

Am spus că găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. Prima aproximare a numărului π este numărul 3 şi am văzut în prima parte a acestei prezentări cum putem obţine această aproximare din reducerea perimetrului cercului la perimetrul hexagonului regulat. O formă similară de aproximare brută a numărului π ≈ 3 se poate obţine şi din direcţia aproximării ariei, anume prin calculul ariei dodecagonului regulat, dar este evident deja că se naşte aici o mică problemă de ordonare a materiei.

Organizarea oficială a materiei pentru clasa a 7-a cuprinde de-abia la finalul clasei lecţii despre poligoanele regulate, iar acolo se discută doar despre triunghiul, patrulaterul şi hexagonul regulat, iar la acestea accentul studiului este asupra diferitelor lungimi şi a relaţiilor dintre acestea (în conexiune raţională sau iraţională). Despre celelalte poligoane regulate sau nu se discută, decât foarte puţin despre unghiuri. La aceasă lecţie se stă foarte puţin pentru că toţi se grăbesc să ajungă la lecţia despre lungimi (apotemă, raza cercului înscris sau circumscris etc.). Ca urmare elevii rămân cu o ceaţă totală despre celelalte popigoane regulate (pentagonul, octogonul, decagonul etc) sau despre ideea de cerc înscris sau cerc circumscris (cei mai mulţi profesori nici măcar nu se obosesc să le reprezinte figura cu cu cele două cercuri şi un poligon regulat. La ora actuală nimeni nu-şi mai propune să facă aceste construcţii cu elevii.

Pentru a găsi aproximarea lungimii cercului la 3 diametre am avut nevoie să cunoaştem hexagonul regulat şi faptul că acesta se descompune în şase triunghiuri echilaterale (isoscele şi cu un unghi de 60o). Acestea sunt noţiuni elementare de clasa a 6-a şi nu necesită cunoştinţe despre numere iraţionale. Pentru a ne apropia de aproximarea lui π la 3 trebuie să aproximăm aria cercului la o figură cu aria egală cu triplul pătratului razei; în acest sens avem nevoie de cunoaşterea dodecagonului (a poligonului regulat cu 12 vârfuri). Este absolut ciudat şi total neaşteptat, dar şi acesta poate fi cercetat din punct de vedere a unghiurilor la nivel de clasa a 6-a. În plus, acesta ne oferă o surpriză de proporţii din punct de vedere “filozofic”: dacă la hexagonul regulat putem calcula perimetru fără a fi nevoie de numere iraţionale (deşi aria implică iraţionalitatea), la dodecagonul regulat se poate calcula aria fără a avea nevoie de numere iraţionale (de bună seamă că perimetrul va implica iraţionalitatea, aşa că ideea nu mă interesează în contextul prezentului material).

Dacă nu cunoaşteţi încă de acest subiect, atunci nici nu vreau să vă răpesc bucuria de a calcula singuri aria dodecagonului. Trebuie să calculaţi aria unui triunghi din cele 12 în care se descompune orice poligon regulat, triunghiuri având cele două laturi egale cu raza cercului circumscris. Pornind de la unghiul la centru al unui astfel de triunghi, de 30o, şi determinând lungimea unei înălţimi pe o latură congruentă (nu apotema poligonului), de pildă, în triunghiul AOB să luăm înălţimea din A pe raza [OB], se poate calcula apoi aria dodecagonului, obţinând ca rezultat 3r2 (rezolvare de cel mult două rânduri).

Consider că acest rezultat cu figura şi calculul aferent se potrivesc deosebit de bine în prezentul context, vizualizând – cel puţin pe cale algebrică – într-un mod fascinant aria de trei pătrate de rază, dar mai ales diferenţa minoră până la aria cercului, adică de fapt “cum arată” 0,14 (cele 12 bucăţele care arată ca bucăţile de unghii tăiate). Singura întrebare serioasă legată de aria dodecagonului regulat este legată de cum a putut profesorimea să piardă din conştienţa generală această informaţie. Eu am aflat-o dintr-o carte nemţească din timpul războiului, iar aceasta este singura sursă unde am găsit respectiva informaţie. (în cartea respectivă problema este abordată geometric; apropos: în mod similar, am aflat de la un prieten, profesor în Klagenfurt, cum în Austria s-au scos cândva după război multiplii de unităţi deca şi hecto, dar a rămas kilo, iar actualmente profesorii nu ştiu de ce există multiplicitate de 10 pe secvenţa mili-centi-deci-unitate, dar multiplicitate de 1000 pe secvenţa unitate-kilo; dânsul a “descoperit” multiplii deca şi hecto într-o carte veche din timpul războiului şi vroia să ne povestească despre acestea la un curs, drept o mare găselniţă).

Dar sigur, pentru a prezenta această mică comoară cu aria dodecagonului, trebuie găsită o formă de a cunoaşte cu elevii din punct de vedere geometric poligoanele regulate până pe la 20 de laturi (la nivel de clasa a 6-a, nu la nivel de lungimi iraţionale). În acest sens se pot studia metode cu rigla şi compasul, dar şi metoda cu raportorul (care ne permit construcţia pe divizori ai lui 360, de exemplu a poligonului regulat cu 36 de laturi). Apropos de iraţionalitate: dacă tot este atât de îndrăgită, de ce nu se calculează în finalul clasei a 7-a şi aria octogonului regulat, că dă aşa de frumos şi uşor cu sin45o? Ar înţelege şi copiii ce-s acelea poligoane regulate, că din cele trei din programă nu se pricepe de fapt ce-s acestea în general (tringhiul şi pătratul sunt total atipice, iar hexagonul este ciudat prin regularitatea supraperfectă).

Aceasta ar fi deci prima formă de aproximare directă a ariei unui cerc, confirmându-ne că suntem din nou în apropierea acestui număr fascinant, care în cazul ariei ne spune de câte ori intră pătratul razei în suprafaţa cuprinsă de cerc.

Următoarea metodă de aproximare a ariei cercului şi a numărului π am dezvoltat-o intuitiv într-o oră în urmă cu câţiva ani. Este din nou o metodă practică de cercetare, de tip “laborator de matematică”, în care elevii trebuie să lucreze ceva mai practic. Este o abordare frontală a problemei, prin faptul că ne apucăm efectiv să numărăm pătrăţelele din interiorul cercului. Aceasta vine ca o abordare naturală dacă profesorul s-a îngrijit ca înainte să mai întreprindă astfel de momente de numărat sau determinat aritmetic numărul de pătrăţele din interiorul unei figuri geometrice (atât la finalul clasei a 5-a, cât şi recapitulativ la începutul studiului despre arii în clasa a 7-a). Deci, elevii trebuie să numere pătrăţelele din interiorul cercului, încercând să aproximeze cât mai bine aria cercului. O aproximare destul de bună se obţine dacă nu privim absolutist cerinţa de numărare a pătrăţelelor “din interiorul cercului”, privind situaţiile mai permisiv, anume prin numărarea unor “pătrăţele” şi dacă acestea ies puţin în exteriorul cercului, echilibrând astfel suprafeţele abandonate din interior (veţi vedea imediat la ce mă refer).

Pentru asta vom trasa un cerc cu raza de 5 cm pe caietul de matematică cu pătrăţele. Am ales raza de 5 cm intenţionat, deoarece acest cerc mai are încă opt puncte “de coordonate întregi” prin care trece, câte două pe fiecare sfert de cerc (datorită teoremei lui Pitagora şi a “triunghiului egiptean” cu catetele de 3 şi 4 cm care dau ca ipotenuză tot 5 cm pe raze oblice). Pentru determinarea ariei vom număra pentru început totalitatea centimetrilor pătraţi întregi, cât şi a pătrăţelelor de pe caiet reprezentând sferturi de centimetri pătraţi situaţi complet în interiorul cercului (zona roşie, respectiv pătrăţelele colorate în desen cu verde). Apoi vom lua la numărat restul pătrăţelelor, cele care sunt parţial în interior, parţial în exterior, aproximându-l pe fiecare, sau pe câte două împreună, cât se poate de bine la noi sferturi (aproximăm arcul de cerc cu o linie poligonală care merge când cum, adică în unele cazuri mai în interior, în altele mai în exterior). Se obţine astfel o suprafaţă poligonală cu aria determinabilă şi care aproximează optic foarte bine cercul ales. Din împărţirea ariei obţinute la r2 = 25 se vede că şi aproximarea prin calcul este una mulţumitoare (78 : 25 = 3,12).

Desigur că putem analiza rezultatul muncii noastre, punându-ne întrebarea “de ce avem totuşi o eroare în minus de 2 sutimi?”. În cazul unei figuri meticulos realizată, la o analiză mai atentă se vede că suprafeţele pierdute prin aproximarea în interior sunt mai mari decât suprafeţele câştigate prin aproximarea în exterior.

Pentru eficientizarea muncii, consider că şi aici ar trebui lucrat tot pe o fişă preimprimată, altfel se pierde foarte mult timp cu făcutul figurii (ştiu din experienţă: deşi lucrez foarte mult cu clasele la realizarea figurilor, tot sunt mulţi elevi care se uită “ca mâţa-n calendar”, rămân în urmă şi “nu înţeleg”, iar apoi se duc acasă şi “se plâng” cât de grea-i matematica). Astfel, în vederea preîntâmpinării neînţelegerilor,  elevii vor trebui să-şi facă doar însemnarea unităţilor de arie cu creioane colorate, să se concentreze asupra calculului centimetrilor pătraţi sau a pătrăţelelor, iar în final să facă însumarea suprafeţei şi împărţirea finală. Această lucrare practică ar putea fi dată ca sarcină într-o oră ulterioară (în nici un caz în prima oră despre lungimea şi aria cercului), la finalul orei sau combinată pe o fişă împreună cu alte sarcini mai obişnuite, cu exerciţii şi probleme (vedeţi în prima parte a eseului sfaturile de reluare preţ de câteva ore a exerciţiilor de bază, cât şi creşterea moderată a dificultăţii aplicaţiilor pentru o accesibilizare cât mai largă). Este evident scopul de a-l pune pe elev oarecum într-o stare de “cercetare” a acestui subiect, urmată de concluzia îmbucurătoare: “Uau, pot şi eu să mă apropiu de acest număr magic!”

În acest context este fascinant de cunoscut cu elevii cum au abordat problema ariei cercului vechii egipteni. Şi această metodă de determinare a ariei cercului s-ar potrivi de a fi inclusă în finalul unei fişe de lucru. Ca o paranteză fie spus, sunt conştient că prezentarea figurilor pe o fişă de lucru nu este tocmai cea mai strălucită idee în vederea obişnuirii elevilor cu construcţiile geometrice, dar îi ajută enorm să înţeleagă despre ce este vorba (foarte mulţi elevi nu au capacitatea de a extrage corect figura dintr-un text şi ca urmare abandonează, fapt recunoscut şi de organizatorii concursurilor naţionale care includ figurile geometrice în cadrul fişei de lucru cu subiectele). Se mai poate repara acest impediment dacă elevii primesc ca temă să refacă acasă figura şi calculul, copiate din fişă în caietul de matematică, construite exact cu instrumente.

Aşadar, cum făceau vechii egipteni? Informaţia vine tot din Papirusul Rhind şi sună ca o reţetă magică, ceva de felul următor (citat absolut orientativ din memorie, după diverse traduceri, care oricum sunt şi acestea doar orientative). Aşadar: Ia a noua parte (din lăţimea cercului), ia rezultatul de opt ori şi înmulţeşte apoi cu ce-ai obţinut. Asta este! (aria cercului). Elementele din paranteze nu existau de fapt în text, ci trebuiau subînţelese, iar “textul” era oricum hieroglific, departe de gândirea noastră actuală. Să recapitulăm în text clar, mai pe limba noastră: Ia a noua parte din diametrul cercului, înmulţeşte-o cu opt şi ridică la pătrat. Astfel ai obţinut aria cercului. Cu alte cuvinte, mai pe scurt spus, aria cercului ar fi egală cu pătratul a opt noimi din diametru. Scris pe limba noastră de matematicieni, am obţine formula:

.

Rezultatul (aproximativ, desigur) este unul foarte bun pentru acele vremuri (având la împărţire a treia zecimală chiar zero). Asta la cca. 1500 de ani înaintea lui Arhimede, şi se pune clar întrebarea: oare, cum s-a obţinut această metodă? De la zei sau o aveau moştenită de la atlanţi? Lăsând gluma de-o parte, şi-au bătut matematicienii capul (în ultimul un secol şi jumătate) şi au ajuns la următoarea explicaţie plauzibilă.

Suprafaţa cercului este aproximată în doi paşi: în pasul I aria cercului este aproximată cu aria octogonului “treimilor” decupat din pătratul circumscris cercului iniţial; în pasul II aria acestui octogon este aproximată la aria unui pătrat cu latura de 8 (noimi ale diametrului cercului).

Pentru o înţelegere mai bună trebuie să luăm la început o “unitate dă măsură” a problemei, anume noimea diametrului. Apoi luăm pătratul circumscris cercului a cărui arie vrem să o determinăm, şi îl împărţim în 81 de pătrăţele, plecând de la unitatea stabilită. Tehnic, pentru primul pas, este suficient dacă luăm doar punctele de treimi ale laturilor (împărţind astfel pătratul în 9 subpătrate; acest aspect întâlnit în multe surse derutează însă spre finalul raţionamentului; eu am făcut desenul cu împărţirea în 9, dar pe o tablă cu pătrăţele, fiind astfel vizibile şi cele 81 de pătrăţele mici).

Pasul I este deja foarte evident, anume că aria cercului se aproximează foarte bine cu aria octogonului IJKLMNPQ: în unele zone iese octogonul în exterior, în altele iese cercul mai în afară, părând astfel că se echilibrează ca suprafeţe. De-abia la un calcul exact vedem o eroare infimă de trei sutimi în defavoarea octogonului (faţă de rezultatul cunoscut actualmente). Dar şi acest rezultat nu este unul de neglijat, având însă în plus avantajul unei clarităţi vizuale deosebit de simple a aproximării. În multe surse însă se rămâne doar la acest nivel, după care se dă rezultatul vechilor egipteni, A ≈ 256/81∙r2, cititorul rămânând astfel într-o ciudată ceaţă mistică a neînţelegerii (inclusiv în manualul german de care am vorbit în prima parte a eseului; şi într-o imagine prezentată în muzeul Palais de découverte din Paris m-am împiedicat de respectivul neajuns). “De unde?” se va întreba cititorul, pentru că rezultatul figurii cu octogonul este de forma A ≈ 28/9∙r2.

Pasul II ne ajută în acest sens, şi doar făcând această nouă aproximare a ariei octogonului într-un pătrat cu latura de opt unităţi (printr-o ciudată adăugare de o unitate de arie, pe baza apropierii lui 63 de pătratul 64), doar aşa vom putea face pasul spre rezultatul din Papirusul Rhind. De ce a simţit nevoia învăţatul antic să facă şi acest al doilea pas, asta nu cunosc, dar putem da cu presupusul. Oricum, rezultatul îmbunătăţeşte puţin eroarea, de la o lipsă de trei sutimi la un adaos de două sutimi. Aşadar, combinând cei doi paşi, deducem că aria cercului de diametru 9 este aproximată la aria pătratului de latură 8, aceasta fiind în esenţă metoda egipteană.

Includerea acestei metode în finalul unei fişe de lucru ar avea scopul ca pe baza figurilor pre-existente în fişă elevii să refacă calcului şi să obţină în final aproximarea lui π, însoţită automat de acea cunoscută stare de uimire, scurtă dar intensă. Cu alte cuvinte, elevii ar fi puşi din nou să guste puţin din starea de “cercetător”, după principiul “căutaţi aici şi veţi găsi ceva frumos!”.

Trebuie făcută aici o scurtă precizare. Aproximarea cercului prin octogonul treimilor din pătratul circumscris este în sine o deosebită realizare şi poate fi făcută separat (adică pentru început doar pasul I şi doar pe treimi). Ideea de a aproxima cercul cu o figură poligonală, idee din care a derivat apoi “cvadratura cercului”, această idee este una deosebită şi orice elev ar trebui să o întâlnească în şcoală într-o formă simplă şi accesibilă. Iar aproximarea cu acest octogon este, fără discuţie, deosebit de accesibilă. Ideea este foarte frumoasă chiar şi dacă octogonul respectiv nu este un octogon regulat, având doar unghiurile congruente, nu şi toate laturile congruente (acest aspect ar trebui inclus undeva înainte în studiul despre poligoanele regulate).

Dacă tot am adus vorba despre Arhimede (puţin mai sus), eu aş încheia aceste preocupări cu un scurt rezumat despre rezultatele sale în domeniu. Arhimede este considerat oarecum primul geniu universal al omenirii, personalitatea sa fiind disputată intens între fizicieni şi matematicieni. Aparent câştigă fizicienii pentru că matematicienii nu-i folosesc numele, dar, la vremea sa, din creaţia lui Arhimede rezultatul cel mai înalt a fost apreciat ca fiind măsurarea sferei, adică volumul şi aria sferei (se ştie că pe piatra sa funerară erau sculptate, întrepătrunse între ele, o sferă, un con şi un cilindru). Ca o paranteză, trebuie precizat că cele două rezultate, volumul şi aria, au venit în această ordine, cu alte cuvinte, rezultatul final şi cel mai uimitor este totodată şi cel mai simplu, anume că aria sferei este de patru ori aria cercului (de acelaşi diametru).

Legat de numărul π (desigur, nedenumit ca atare în acele vremuri), Arhimede a dat cel mai bun rezultat pentru următoarele peste 1500 de ani, rezultat care se apropie extrem de bine de aproximarea acceptată ca uzuală în vremurile moderne. Anume, Arhimede a aproximat π ≈ 22/7 (anticii nu cunoşteau fracţiile zecimale) şi putem printr-o simplă împărţire verifica faptul că această fracţie ordinară aproximează numărul π corect la primele două zecimale (de abia la miimi apare eroare). Consider că acest rezultat trebuie neapărat dat elevilor, punându-i totodată să-l verifice.

Cum a reuşit Arhimede acest rezultat? Calculul este unul laborios şi depăşeşte cu mult nivelul gimnazial, dar le putem spune elevilor că acest calcul se bazează pe aproximarea ariei cercului cu aria unui poligon regulat cu 96 de laturi. De ce 96? Păi, plecând de la dodecagonul regulat, Arhimede a construit prin înjumătăţirea arcelor (adică prin bisectoare) în mod succesiv poligoane regulate cu un număr dublu de laturi, deci cu 24, 48 şi în final 96 de laturi. Nu am făcut calculul respectiv, aşa că nu pot spune dacă Arhimede s-a oprit aici considerând rezultatul unul suficient de bun (poligonul cu 96 de laturi aproximând extrem de bine cercul), sau s-a oprit aici pentru că a găsit un rezultat foarte frumos în fracţia 22/7, evident frumos prin simplitatea sa (următoarele aproximări mai exacte ale lui π prin fracţii ordinare sunt de ordinul sutelor, acestea fiind evident mai greu de memorat; dacă nu greşesc: 331/106 şi 355/113).

Există aici o precizare (eventual cu trimitere în urmă), având un clar iz practic: elevii se pot apropia de înţelegerea aproximării cercului printr-un poligon regulat cu multe laturi, dacă au realizat în prealabil un astfel de poligon. De pildă, am fi putut să le propunem elevilor spre finalul studiului despre poligoane regulate, despre care am vorbit mai la începutul acestui eseu, sau dimpotrivă, le putem propune chiar acum, în asociere cu prezentarea despre aproximarea dată de Arhimede, să construiască un poligon regulat cu 36 de laturi folosind un raportor (cel mai bine un raportor complet de 360o, care evită eroarea asamblării din două semicercuri). Astfel, împărţind cercul în 36 de arce de câte 10o şi construind poligonul corespunzător, elevii vor pricepe imediat cât de bine aproximează acesta de fapt cercul respectiv. Ca observaţie practică, este evident aici că trebuie lucrat cu creion de 0,5 sau oricum cu un creion foarte bine ascuţit. După acest desen elevii vor privi cu mult mai mare admiraţie şi respect realizarea lui Arhimede bazată pe împărţirea cercului în 96 de părţi egale şi aproximarea cercului cu poligonului regulat obţinut.

*

În final doresc să revin la analiza lecţiei deschise ţinute în toamnă. Este evidentă greşeala de strategie, prin care am încercat să înghesui atâtea şi atâtea informaţii într-o singură oră, covârşindu-i pe elevi cu o cantitate năucitoare. Dorind să fac cât mai mult, am impus o viteză peste posibilităţile majorităţii elevilor, aceştia reuşind doar să copieze ce venea de pe tablă către ei, fără însă a putea şi trece conţinuturile prin filtrul propriei înţelegeri. Este o greşeală general întâlnită, şi un aspect apărut deseori ca reproş la adresa noastră, a profesorilor de matematică. Această atitudine îşi are originea în anii ’80 când s-a marşat mult pe creşterea cantităţii şi a nivelului de lucru la clasă, în vederea obţinerii rezultatelor la olimiade şi concursuri (desigur, în contextul politic general al unor astfel de cerinţe la adresa întregii societăţi; cei care au trăit atunci îşi mai aduc aminte de veşnicele raportări de depăşiri de plan sau de îndepliniri a planului de producţie înainte de termen).

Dar, să privim şi “partea plină a paharului”: dacă nu ar fi fost întâmplarea cu această lecţie nereuşită, cine ştie cât aş mai fi amânat să “pun pe hârtie” toată această colecţie minunată despre numărul π (doar la nivel gimnazial). Şi aşa mi-a fost foarte greu, mi-a luat cam jumătate de an să găsesc forma în care să scriu toate aceste lucruri şi mai ales timpul şi energia pentru a o face.

Legat de parcurgerea tuturor acestor exemple şi informaţii, mult peste ce fac la clasă majoritatea dascălilor, am certitudinea că elevii mei, care au parcurs aceste elemente, au dezvoltat o mult mai bună înţelegere a fenomenului şi în general o gândire superioară celor care au primit doar formulele şi le-au aplicat direct ca pe nişte reţete. De pildă, elevii care s-au ocupat într-adevăr să numere cm2 şi pătrăţelele din interiorul unui cerc au dezvoltat evident o mult mai bună înţelegere a noţiunii de arie în general, cât şi a deosebiri majore între figurile cu laturi drepte şi cerc în ceea ce priveşte exactitatea determinării ariei (cei care doar au copiat de pe tablă, şi nu s-au străduit măcar acasă să înteleagă ce s-a întâmplat, desigur că nu au beneficiat de această ocazie pentru dezvoltarea gândirii).

Accentuez că ne-am preocupat aici de cunoaşterea şi înţelegerea unor fenomene ce ţin de cultura generală (de pildă noţiunea de arie), pe când lecţiile oficiale (despre poligoane regulate şi cerc) se îndepărtează cât pot mult de cultura generală, trăgând preocupările cu toată înverşunarea înspre zona abstractă de specialitate (de pildă făcând o apologie a iraţionalităţii). Ca o paranteză fie spus, este evident ajutorul oferit de întâmplarea cu “idioţenia numită aria discului”, observaţia respectivă oferindu-mi ocazia de a lămurii înainte de toate chestiunea lejerităţii limbajului (vezi postarea din martie 2020 la adresa http://pentagonia.ro/despre-idiotenia-numita-aria-discului/).

Cum ar trebui să procedăm la predarea acestei mega-lecţii? Păi, fie reuşim să alocăm acestui subiect câteva ore şi parcurgem materia aşa cum am prezentat-o în acest eseu, fie facem lecţia pe scurt şi includem restul materialului în fişe de lucru suplimentar, pentru acasă, prin care elevii să facă totuşi cunoştinţă cu toate aspectele prezentate. Poate totuşi ar fi mai bine să facem fişele de lucru combinate pentru clasă şi acasă, aşa cum am prezentat în acest eseu, stratificate desigur, fiecare fişă pe nivele de accesibilitate şi de aplicabilitate (fiecare fişă la început cu exerciţii simple, apoi cu exerciţii de complexitate mai ridicată, iar în final cu o parte de “cercetare” pe exemplele date; astfel, fiecare elev lucrează cât poate, dar are în final satisfacţia că a făcut măcar ceva; în plus, puse în această ordine şi elevii din pluton au satisfacţia că ajung şi ei până la sfârşitul fişei, chiar dacă au “goluri” pe parcurs). Astfel aranjate, aceste fişe ar putea fi folosite şi în contextul predării de la distanţă, aşa cum se cam vede că va trebui să facem în viitor (am evitat folosirea verbului “se prevede”, acesta fiind de obicei asociat unor “ordine de sus”). CTG

P.S. M-am gândit că ar fi de interes, ca o curiozitate, să aruncăm o privire în cărticica menţionată în care am găsit informaţia despre aria dodecagonului regulat. Autorul este Graf Ulrich, iar lucrarea se numeşte Kabarett der Mathematik, (Ed. Ehlermann, Dresda, 1943). Ulrich Graf abordează problema din punct de vedere pur geometric (nu cum v-am îndrumat eu, adică amestecat geometrico-algebric); o abordează printr-un şir de imagini, la modul cel mai brut, anume prin descompunerea suprafeţei discului în bucăţi care sunt apoi reasamblate în formă de trei pătrate şi un rest. Am încercat la început şi eu această cale, dar respectul faţă de demonstrarea riguroasă a diverselor aspecte implicate m-a forţat la mulţi paşi demonstrativi (lejer o pagină mare de demonstraţie, cu care am pierdut însă la vremea respectivă interesul aproape întregii clase). Iată, deci, cum pune autorul problema respectivă:

Legendarul număr π, aşa cum învăţăm la şcoală, ne spune de câte ori poate intra pătratul razei în cerc. Să încercăm această doar geometric, fără nici un calcul, ci doar cu rigla şi compasul. O dată merge fără nici un effort; şi de două ori putem construi pătratul din cerc, păstrând încă un rest respectabil. Iar dacă ne străduim o vreme, vom putea obţine chiar şi trei pătrate (cu raza cercului ca latură) din suprafaţa cercului, pentru că dodecagonul regulat (12-unghiul sau 12-gonul, cum se spune în germană) se poate descompune în exact trei astfel de pătrate. Un rest mic ne rămâne şi vedem fără niciun calcul: π trebuie să fie 3 şi încă un mic rest, fiecare amintindu-şi aici din timpul şcolii: π = 3,14159… = 3 + 0,14159… = 3 + un rest. Aşa am ajuns în  jocul nostru să o reîntâlnim pe bătrâna Doamnă Matematica, jonglând între geometrie şi  aritmetică, iar fiecare îşi poate alege ce i se potriveşte mai mult ….

Alăturat găsiţi imaginile de care vorbesc şi modul ciudat de concret de a vizualiza întrebarea “câte pătrate ale razei intră într-un cerc?” (inclusiv o încercare de-a mea de lămurire a ultimului pas, cel cu trei pătrate).

Numărul cercului (1) – Deducerea practică a lui π din perimetru

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor pe toate nivelurile de complexitate, iar arta predării înseamnă a găsi acele căi de parcurs la clasă care să le fie accesibile elevilor şi să-i stârnească în procesul gândirii, căi din care să înţeleagă fenomenul şi pe baza cărora să poată apoi lucra independent sarcinile primite ca temă.

Pare simplu şi totuşi de multe ori o dăm în bară. Eu, de pildă, am dat-o “pe de lângă” destul de urâţel în noiembrie 2019 chiar cu ocazia unei lecţii deschise la care – culmea – eu m-am înscris să o ţin. Pe scurt, am dorit să introduc acest număr, dar am făcut greşeala de a încărca lecţia mult prea tare cu diferite elemente, astfel încât lecţia pregătită şi clasa respectivă au avut foarte puţine momente în comun. Pentru ce am greşit eu mi-am luat timp şi am încercat să analizez cât mai obiectiv, după principiul “greşelile sunt bune dacă înveţi din ele”. Seria începută acum reprezintă de fapt gestul de corectură pentru respectiva oră deschisă.

Oricum, cu clasa a 7-a am petrecut şi următoarele două ore din program cu lămurirea subiectului respectiv. Elevii, în general cei buni desigur, aveau foarte multe întrebări, multe nelămurite de către cei de acasă. Pe lângă aceştia mai era şi o parte foarte consistentă a clasei care avea aerul “de parcă trecuse trenul peste ei”. Apropos, aici am atins un aspect de care noi profesorii de matematică nu prea suntem conştienţi: cei mai mulţi elevi nu înţeleg o lecţie “din prima”, aşa încât ar fi nevoie de un sistem de lecţii în care să reluăm cunoştinţele predate câteva ore, desigur tot în altă formă (până “le intră în cap”). Noi, profesorii, greşim aici pentru că avem impresia că “dacă le-am predat o chestie, ei şi trebuie să o ştie”. Nu-i deloc aşa; o vor şti eventual vârfurile clasei, cât şi cei care au acasă pe cineva care să e explice imediat ce s-a întâmplat. Mai există şi cei puţini care au forţa de a se duce acasă şi a se lupta cu noua situaţie până o înţeleg. Cei mai mulţi însă se prind despre ce-i vorba doar în următoarele ore (în cazul în care aceste ore reiau subiectul). În cazul de faţă, apariţia acestui număr ciudat, notat cu o literă necunoscută (de unde-i?, grecească? de ce? ce vrea să însemne ăsta?), această apariţie oricum îi bulversează puternic pe majoritatea (acelaşi fenomen l-am observat la apariţia ciudatei acolade de la sistemele de ecuaţii). În general, orice nouă apariţie care nu seamănă cu cele deja cunoscute, se pare că îi sperie pe foarte mulţi. În primul rând, aceste situaţii ar trebui contabilizate şi conştientizate de către profesorime, iar în cazul acestora ar trebui acţionat cu mare precauţie la introducerea respectivei noţiuni, pentru a ne asigura că ducem cu noi “în plutonul celor care au înţeles” cât mai mulţi elevi ai clasei (mă refer aici măcar la cei din corpul central al clasicului “clopot al lui Gauss”).

Stimaţi colegi, noi nu am fost formaţi să avem grijă la astfel de aspecte de ordin psihologic, dar se pare că elevii actuali sunt foarte sensibili în acest sens. Ca o scurtă paranteză, trebuie să precizez că respectiva clasă o luase oricum cam puternic pe o pantă descendentă în ceea ce priveşte învăţatul, fenomenul accentuându-se în săptămânile următoare. Astfel, am fost nevoit să iau măsuri mai hotărâte (blânde desigur, dar hotărâte) astfel încât situaţia să se redreseze pe o pantă pozitivă.

Revenind la introducerea cunoştinţelor despre măsurarea cercului şi la studiul numărului π, părerea mea actuală este că această lecţie ar trebui să se desfăşoare pe parcursul mai multor ore, într-un proces având punctul de pornire la un nivel cât mai simplu (nivel la care să se conecteze tot colectivul) şi care să urce treptat pănă la nivelul maxim al elevilor cei mai buni din clasă (deci nu doar la acest nivel, aşa cum procedează mulţi colegi cu pretenţii de excelenţă), parcursul desfăşurându-se pe două căi importante în paralel: exemple din procesul istoric de găsire a numărului π, pe de-o parte, cât şi exemple aplicative de calcul a lungimii şi a ariei cercului. Lecţia ar trebui să se desfăşoare într-o formă care să respecte cât mai mult atât aspectele psihologice (tot mai mulţi elevi trăiesc într-o “supă psihologică” greu de imaginat pentru noi matematicienii), cât şi aspectele istorice de descoperire a elementelor de măsurare a cercului (aspecte deseori profund diferite de formele de predare de sorginte academică, dragi sufletului de profesor format în ultimii 30-40 de ani).

Prin actuala serie de postări mi-am propus să prezint orientativ forma la care am ajuns pe parcursul ultimilor ani, desigur şi pe baza experienţei (ceva cam greu de digerat) din toamnă, de la actuala clasă a 7-a. Materialul ce urmează reprezintă rodul un proces de acumulare de lungă durată şi din multe surse (multe pe care din păcate nu le-am notat la vremea respectivă ca posibilă sursă bibliografică), dar şi cu mult adaos personal, fie pe bază de gândire anticipativă, fie pe bază de experinţă cumulativă.

Un ultim argument în favoarea acestei forme îl reprezintă un manual pentru clasa a 10-a (!) din Germania (bănuiesc că acest manual prezintă oricum matereia în a nuştiu-câta reluare). Este un manual pentru Gimnazii, adică pentru şcolile teoretice de la ei, echivalentul liceelor noastre într-o medie a nivelelor matematice (ei nu au despărţirea pe evantaiul filierelor uman până la real). Editura Ernst Klett Verlag are baze în toată Germania, dar acest manual (repet, pentru Gimnazium, adică pentru şcolile cele mai bune, pentru elevii din care se vor selecta cei ce vor merge şi la facultăţi) este pentru Land-ul Baden-Württenberg (Coordonatorul echipei de autori este August Schmid, iar manualul avizat din 1996). Capitolul despre măsurarea cercului este între paginile 74-91 (fiecare lecţie de 2 sau 3 pagini) şi are următoarele titluri: 1. Numărul cercului π; 2. Calculul ariei cercului (conţinutul cercului – Kreisinhalt); 3. Calculul lungimii cercului (perimetrului cercului – Kreisumfang); 4. Părţi de cerc (cu referire la sectorul cercului cu unghiul la centru, dar şi la desfăşurarea conului şi la elemente de astronomie şi geografia globului terestru); 5. Căi de apropiere de π (atât metoda egipteană, cât şi calcul modern adaptat calculatoarelor (aici am găsit anumite greşeli – uau! Şi calculatoarele pot greşi, iar o dată cu “ele” oamenii care lasă garda jos, având încredere că “a făcut calculatorul”); 6. Probleme combinate, aspecte istorice legate de calculul prin serii, cât şi elemente de cvadratura cercului. Cel puţin ¾ din material se încadrează liniştit sub nivelul practicat de matematica gimnazială din România (asta elitistă, cu care ne mândrim atâta). Explicaţia din lecţii este de obicei clară, la un nivel accesibil majorităţii, într-o combinaţie accesibilă de intuitiv şi teoretic. Noi avem acest manual în casă de la începutul anilor 2000. Dau aici poza unei părţi de pagină din acest manual pentru a vă face o imagine despre ce vorbesc (în traducere orientativă: cu cât împărţim un disc în mai multe părţi, cu atât mai tare reasamblarea acestor părţi se apropie de forma unui dreptunghi cu lungimea ½ P şi lăţimea r; deoarece aria rămâne tot timpul π r2, înseamnă că ½ P ∙ r = π r2 şi deci = 2 π r, fapt care se consemnează apoi ca teoremă (U pentru Umfang, adică perimetru, iar Satz reprezintă teoremă).

Mai am două ultime observaţii generale legate de materialul în care încerc să mă lansez cu atâta precauţie. În primul rând, este evident că întregul conţinut reprezintă de fapt un amestec între nevoile reale ale unui elev de clasa a 7-a şi posibilităţile medii ale elevului de clasa a 9-a (care reprezintă totodată vârsta elevilor de a 10-a din Germania; ei nu au clasa pregătitoare). Cu alte cuvinte, materialul ce urmează reprezintă o încercare cam “înghesuită” în nivelul clasei a 7-a, atâta vreme cât în România de peste 20 de ani nu se mai face geometrie clasică în licee. Materialul ar funcţiona mult mai bine în două parcurgeri clare, una în clasa a 7-a (fără aere elitste, cât mai accesibilă majorităţii) iar a doua, recapitulativă şi cu completări, în clasa a 9-a. În condiţiile actuale profesorii trebuie să decidă cât anume şi mai ales în ce formă să prezinte materialul la clasă, în funcţie de nivelul elevilor din colectivul respectiv.

În al doilea rând, este la fel de evident că profesorul cititor trebuie să-şi ia timpul necesar pentru “digerarea” acestui material, care este în general profund diferit faţă de forma actuală de predare. În cazul meu, această formă de predare reprezintă rezultatul unui proces lung de peste 20 de ani. Prin această serie eu îmi pun la dispoziţie toată experienţa acumulată în tema respectivă.

Varianta ce o voi prezenta reprezintă o formă de lecţie, cu cunoştinţele date “de-a gata”, care nu respectă principiile predării prin problematizare, dar experienţa arată că foarte puţini elevi pot descoperi prin problematizare cunoştinţele despre măsurarea cercului, iar aceştia de fapt au aflat de mult de numărul π, aşa că demersul şi stradania în acest sens nu-şi găsesc rostul. Ca atare este mult mai bine să parcurgem cu elevii cunoştinţele într-un format oarcum clasic, organizat orientativ în următoarele trei etape: 1) Lecţia introductivă cu prezentarea cunoştinţelor pe scurt; 2) Exerciţii şi probleme; 3) Diverse căi de obţinere a formulelor (pe post de demonstraţie).

Astfel, în prima oră ar trebui să parcurgem etapa 1), primele exerciţii din etapa 2) şi eventual o primă deducere aproximativă a numărului π, ca element din etapa 3). În orele următoare vom lucra la fixarea cunoştinţelor, la extinderea nivelului de exerciţii, probleme şi aplicaţii, cât şi la alte câteva variante de deducere a numărului π accesibile nivelului clasei. Am convingerea că această formă de ordonare a cunoştinţelor este folositoare tuturor elevilor, dar mai ales elevului mediu, care primeşte “din prima” cunoştinţele de învăţat cât şi felul cum se aplică acestea. Pe acest elev nu-l interesează de unde vin aceste cunoştinţe, cum au fost ele găsite şi de ce este totul aşa cum este. Poate îl va interesa mai încolo, după ce ajunge să se împrietenească cu aceste noi cunoştinţe. Poate, după o oră-două, vom reuşi să-i trezim interesul pentru felul cum au ajuns matematicienii să-l găsească pe acest ciudat 3,14.

Există şi un alt aspect: elevul asimilează numai ceea ce înţelege, nu tot ce i se prezintă. În acest sens există oarecum două tipuri de înţelegere: cea care acoperă plaja de la intuitiv la raţional, adică mai mult sau mai puţin intelectuală, specifică elevilor buni, cât şi un substituent al acesteia, anume înţelegerea prin exersarea celor de asimilat, care este singura valabilă şi în cazul elevilor care nu înţeleg matematica. Această a doua formă de înţelegere apare însă la un elev doar dacă exersarea este făcută la un nivel accesibil capacităţii intelectuale a acestuia. Cu alte cuvinte, etapa a 2-a, cea de exerciţii şi probleme, trebuie să cuprindă din start, imediat după etapa de prezentare a cunoştinţelor, un calup consistent de exerciţii şi aplicaţii accesibile tuturor elevilor. Acestea trebuie să reprezinte “un cap de pod” în noua lecţie de cucerit, accesibil tuturor elevilor din clasă. Pe baza acestuia şi includerii sale în “zona de confort” matematic a fiecărui elev, toţi elevii vor putea în continuare să spere la înţelegerea elementelor de dificultate sporită ce vor veni. Chiar, am putea spune că exerciţiile din acest prim calup de aplicaţii ar trebui să fie de fapt la nivelul celor mai slabi elevi din clasă. Aplicaţiile de dificultate sporită, pentru elevii buni, pot veni doar ulterior acestora (după ce elevii slabi s-au liniştit, înţelegând ce se întâmplă), sau poate, chiar mai bine, doar ora următoare.

Aici avem şi o problemă de percepţie a profesorilor legată de “hrana spirituală” pentru elevii buni şi foarte buni (categoria cunoscută sub titlul de “excelenţă”). Pentru aceşti elevi trebuie să dăm aplicaţii cât mai dificile şi complicate, dar tot ei vor fi şi principalii beneficiari ai confruntării cu diferitele căi de obţinere a aproximărilor numărului π, adică a demonstrării formulelor de lungime şi arie a cercului. Ar fi absurd să considerăm că aceştia pot fi beneficiarii unei matematici provocatoare doar prin supunerea constantă la un tir de probleme dificile. Partea practică a matematicii şi de problematizarea în cazul cercetării demonstrative le poate fi la fel de folositoare, lărgindu-le puternic tabloul despre această disciplină.

Aşadar, să “purcedem la drum”.

*

1) – Lungimea şi aria cercului (lecţia introductivă) Această lecţie are rolul de a le prezenta elevilor pe scurt materialul ce urmează a fi studiat, făcându-le direct cunoştinţă cu elementele de bază ale lecţiei. De fapt aceasta reprezintă orientativ lecţia pe care o cam fac toţi profesorii. “Lecţia” ar trebui să fie scurtă, dar recomand să nu ne grăbim, poate să fie lejer undeva către 10-15 minute, la care mai adăugăm apoi şi partea de exemple.

În primul rând trebuie să le dăm aici o figură cu un cerc în care să evidenţiem cât mai clar centrul,  raza şi diametrul cercului (cu notaţia acestora), iar alăturat cele două formule şi valoarea aproximativă general cunoscută a lui π, după principiul: “matematicienii au stabilit că: …”. Vom da formulele mai întâi în format aritmetic aproximativ, de felul Pcerc ≈ d ∙ 3,14 = 2 r ∙ 3,14  şi Acerc  r2∙3,14. Apoi, vom explica notaţia lui π (litera grecească pentru P, de la periferie, perimetru) şi vom scrie π ≈ 3,14, explicând totodată scurt, fără multe detalii, că acest număr este un număr iraţional pentru care oamenii folosesc uzual această aproximare. Tot în acest pacheţel de formule vom da în final şi formulele exacte: Pcerc = π r  şi Acerc = π r2. Eu obişnuiesc să înrămez individual aceste cinci formule pentru a accentua importanţa lor. Mesajul este clar: acestea trebuie ştiute pe de rost!

Întrerup aici parcursul acestei lecţii iniţiale cu precizarea următoare: în perioada interbelică, atunci când erau oarecum obligatorii patru clase (bunica din partea mamei avea 4 clase, bunicul însă nu), la sfârşitul clasei a 4-a elevii primeau informaţii despre măsurarea cercului (lungimea şi aria) în format aritmetic aproximativ, doar cu valoarea 3,14 (fără notaţia cu π). Această lecţie avea atunci câteva aplicaţii scurte legate de butoaie şi roţi de căruţă. Acest pas nu se mai face la ora actuală şi înţelegerea sa practică le lipseşte multor elevi (cei din categoria mai “ne-matematicieni”), aşa că recomand includerea sa aici. Desigur că această parte aritmetică aproximativă s-ar putea introduce şi în finalul clasei a 5-a, undeva printre unităţile de măsură şi elementele de măsurare a pătratului şi a cercului.

2) – Exemple de calcul În finalul acestei lecţii iniţiale introductive vom face câteva exemple de calcul pentru lungimea şi aria unor cercuri, în vederea lămuririi tuturor elevilor despre scopul acestor formule. Revin cu atenţionarea că mulţi elevi le vor primi foarte speriaţi, iar noi trebuie să avem grijă să nu le perceapă ca “picate din cer”, aproape ce ceva extraterestru (aşa cum se întâmplă de obicei, iar copiii “fug acasă” la primul adult să ceară lămuriri, să ceară ajutor, despre ce s-a întâmplat). Cu alte cuvinte: ne asumăm că lecţia tot îi sperie – oricât de scurtă şi oricât de clară (de aia o şi facem cât mai scurtă, ca să nu lungim agonia sperieturii), iar imediat în continuare facem câteva exerciţii uşoare prin care să-i destresăm, prin care elevii să vadă că nu-i aşa de greu, să vadă că este de fapt un model de rezolvare în paşi puţini şi accesibili, care se repetă la fiecare exerciţiu, deci că-i uşor! Asta ar trebui să facem noi în clasă, nu să-i lăsăm să meargă acasă speriaţi şi să-i lămurească acolo cineva (dacă au cine să-i lămurească acasă; cei care n-au pe nimeni să-i lămurească sunt condamnaţi la neînţelegerea matematicii, la frica de matematică şi la analfabetism matematic).

În contextul unei predări liniştite şi ca să mă asigur că au înţeles toţi elevii, eu aş da aici sigur trei exemple cu raza şi două exemple cu diametrul dat, toate cele cinci cazuri cu dimensiunea iniţială număr întreg (de pildă: r = 5 cm; r = 8 cm; d = 12 cm; r = 11 m; d = 20 m). La toate voi cere calculul lungimii şi a ariei, în paralel prin cele două tipuri de formule, atât cu rezultate exacte teoretic (de tipul L = 16 π cm şi A = 64 π cm2), cât şi cu rezultate aproximative, dar mult mai clare pentru înţelegerea dimensiunii respective (L ≈ 50,24 cm şi A ≈ 200,96 cm 201 cm2). Insist aici asupra acestui fapt, amintind principiul psihologic: atunci când introduci ceva nou, cu şanse mari de sperietură prin dificultatea sa inerentă de item nou, nemaiîntâlnit şi care nici nu seamănă cu nimic din ce cunoaşte elevul, atunci vom evita să introducem din prima în datele problemei şi alte elemente suplimentare de dificultate, neesenţiale pentru înţelegerea noului subiect (nu facem “sport matematic” din prima lecţie; avem timp pentru aşa ceva mai târziu).

Fişa de lucru ar putea apoi conţine şi câteva exemple cu date fracţionare, dar aş recomanda evitarea strictă pentru prima oră a unor exemple de date iraţionale; acestea pot fi introduse în orele următoare dacă neapărat dorim. Acelaşi lucru este valabil şi pentru exemple de tipul: se dă aria şi se cere lungimea, sau invers (ştiu că pe mulţi colegi “îi arde tare” să dea din prima şi tot felul de giumbuşlucuri, dar trebuie înţeles aspectul psihologic răvăşitor la adresa unor elevi; şi să nu-mi spună cineva că el are doar elevi brilianţi în clasă, ştiu sigur că sunt peste tot din cei care se blochează, chiar şi în clasele din colegiile cele mai de vârf). În schimb, fişa de lucru ar trebui să conţină şi cel puţin încă pe atâtea exerciţii de acelaşi fel pentru temă. În partea a doua a acestei ore vom putea să ne ocupăm de deducerea formulei pentru lungimea cercului, respectiv de deducerea unei prime valori aproximative pentru numărul π (matematicienii s-au ocupat cu acest subiect sute de ani; noi putem să-i acordăm măcar un sfert de oră, din când în când).

3) – O primă deducere a numărului π se poate face prin perimetrul cercului. Pentru o înţelegere raţională a lumii (formarea unei înţelegeri nemistice, cât şi obişnuinţa de a înţelege cele ce ne înconjoară), elevii trebuie în continuare să priceapă (cât mai bine posibil, la nivelul fiecăruia) de unde vine această valoare aproximativă de 3,14 în măsurarea cercului (reamintesc părerea că nu predăm matematica doar pentru examene şi concursuri, ci şi pentru formarea unei gândiri raţionale logice la elevi; lipsa acestei gândiri s-a văzut masiv în reacţia oamenilor legată de toate situaţiile cu care s-au confruntat cu ocazia pandemiei Covit19).

Alegerea de a porni în căutarea numărului π de la perimetrul cercului nu este una uşoară, eu am încercat de-a lungul anilor şi varianta de pornire de la aria cercului (în manualul nemţesc mai sus amintit se găseşte mai întâi aria şi din aceasta se deduce perimetrul, după cum se vede în argumentaţia din poza respectivă). Cred totuşi că pornirea de la lungime este mai accesibilă majorităţii elevilor şi din punct de vedere logic, lungimea (1D), adică măsurarea de pildă în cm şi mm fiind directă, pe când aria (2D) se stabileşte indirect. Pe de altă parte, pornirea de la arie este în schimb mult mai “vizibilă” pentru elevii care şi-au format în mod sănătos şi solid simţul pentru arie, adică pentru “conţinutul suprafeţei”, aşa cum zice neamţul (Flächeninhalt). Aria cercului se vede mai bine decât lungimea acestuia, elevii fiind obişnuiţi să vadă lungimi drepte şi nu lungimi “roată”, adică circulare. Ce-i drept că ei cunosc perimetrul, iar din acest motiv ar fi mult mai sănătos dacă am vorbi despre perimetrul cercului, nu despre lungimea cercului. Pentru asta noi ar trebui însă să facem “pace cu trecutul” şi să acceptăm folosirea cuvântului cerc şi împreună cu interiorul său, adică în loc de disc (sau bulină), la fel ca la toate figurile geometrice poligonale. Astfel, în acest material eu voi vorbi în general despre perimetrul şi aria cercului, dar pentru o înţelegere generală liberă, îm rezerv dreptul de a folosi din când în când (în mod aleatoriu) şi expresiile lungimea cercului respectiv aria discului (aşa fac şi la clasă pentru că elevii mei trebuie să înţeleagă şi limbajul folosit de ceilalţi profesori). Din nou atenţionez, luaţi-vă timp să digeraţi această scurtă “filozofie” de genul “teoria chibritului” (tot ce scriu aici este rezultatul încercărilor şi al gândurilor de mulţi ani).

Începutul acestei lecţii ar trebui să fie făcut be baza unei simple observaţii la una dintre cele mai cunoscute figuri geometrice: hexagonul regulat înscris în cerc (dedus din împărţirea cercului cu compasul în şase părţi egale, desen echivalent ca proprieţăţi cu foarte cunoscuta figură mistică “floarea vieţii”), hexagon compus din şase triunghiuri echilaterale. Pe baza cunoaşterii anterioare a acestei figuri se poate observa că perimetrul hexagonului regulat este egal cu 6r, fiind deci triplul diametrului: Phexagon = 3∙d.  Putem aici să folosim pe desen trei culori diferite cu care să trasăm tot câte două laturi consecutive ale hexagonului cu aceeaşi culoare, evidenţiind astfel trei diametre pe perimetrul hexagonului. Analizând figura cu hexagonul regulat înscris în cerc, putem deduce că Pcerc > Phexagon  şi deci că Pcerc > 3d. Scopul acestei lecţii scurte este de a afla orientativ cu cât depăşeşte perimetrul cercului triplul diametrului.

De multe ori oamenii de rând reproşează matematicienilor că nu fac nimic practic, şi în general chiar au dreptate. În acest sens, eu propun aici o scurtă lecţie practică (o lecţie de tip “laborator de matematică”) de măsurare a perimetrului cercului şi comparare a acestuia cu diametrul. Pentru asta ne trebuie câteva recipiente rotunde şi un metru de croitorie. Elevii trebuie să măsoare diametrul recipientului şi circumferinţa acestuia, iar în final să facă o împărţire. În funcţie de acurateţea măsurărilor, rezultatul se apropie mai mult sau mai puţin de 3,14. Pentru rezultate cât mai bune trebuie însă să avem grijă la câteva aspecte.

În primul rând, recomand metrul de croitorie şi nu o ruletă, pentru că ruleta flambează şi ca urmare denaturează măsurarea, deci şi rezultatul final. Metrul de croitorie este singurul instrument menit să măsoare şi “roată împrejur”; ruleta nu se potriveşte bine la aşa ceva, exact datorită faptului că tehnic a fost gândită să se susţină singură dreaptă pe anumite lungimi.

În al doilea rând, trebuie avut mare grijă ce recipiente rotunde alegem. Din start trebuie avertizat că oalele nu sunt bune pentru că au o teşitură rotunjută pe circumferinţa bazei, aşa că nu permit o măsurare exactă a diametrului. Altele nu au această teşitură, dar nici nu sunt cilindrice ci mai mult tronconice în apropierea bazei, încurcând astfel măsurarea circumferinţei. Nouă ne-ar trebui obiecte cilindrice cu muchia bazei cât mai clară. Diverse ţevi de PVC s-ar potrivi foarte bine pentru aşa ceva (trebuie unele cu tăietură, pentru că din fabrică vin cu teşitură, iar aceasta denaturează măsurătoarea; capacul de PVC din poză are teşitură, dar are trecut şi diametrul pe etichetă, fiind făcut standard de 12,5 cm, deci teoretic nu mai trebuie măsurat diametrul, pentru că este dat. Pentru măsurarea ambelor dimensiuni, eu am folosit în ultima vreme câteva recipiente din plastic pentru diferite produse lactate (muchie destul de clară şi suprafaţă laterală aproape cilindrică, în plus legate direct de realitatea înconjurătoare a elevilor, spre deosebire de ţevile PVC care dau o tentă tehnică întregului proces, bună şi aceasta de fapt). Şi rolele de bandă adezivă sunt foarte potrivite scopului propus aici.

Conservele de tablă dimpotrivă, nu sunt prea bune pentru că au acea buză de asamblare, care introduce automat eroare. Eventual o doză mare din tablă, cum ar fi cele ce apar ocazional cu panetone, ar da o eroare mai mică din cauza faptului că influenţa buzei scade cu cât avem un diametru mai mare. În general trebuie deci să alegem obiecte care să permită o măsurare cât mai exactă a diametrului şi a circumferinţei pe acel diametru. În lipsa unui metru de croitorie, sigur că putem căuta şi alte metode de a măsura circumferinţa, de pildă prin rostogolirea unei conserve pe o coală de hârtie (astfel am putea măsura diametrul şi circumferinţa buzei conservei; vă las pe dvs. să lămuriţi metoda), sau prin înfăşurarea unei aţe ne-elastice şi măsurarea acesteia cu liniarul.

Cel mai potrivit ar fi să organizăm această scurtă lecţie pe grupe de lucru, fiecare grupă primind un obiect rotund de măsurat (desigur, de diametre diferite) şi un metru de croitorie (eventual un metru la două grupe). Se explică sarcina şi fiecare îşi face treaba. Între timp profesorul construieşte pe tablă un tabel cu patru coloane (grupa, diametrul, circumferinţa şi rezultatul împărţirii) şi linii pentru toate grupele. Reprezentanţii fiecărei grupe vin apoi şi îşi trec rezultatele în tabel. În final se analizează rezultatele şi toată lumea îşi trece tot tabelul în caiet. Eu mă gândesc că ar fi suficiente 4-6 grupe de lucru cu diametre clar diferite, dacă vrem ca tabelul să nu crească prea tare şi să fie nevoie de prea mult timp pentru copierea sa (plus că pot apărea erori de copiere în caiet la tabele cu prea multe linii). Este evident că ne vom bucura de orice rezultat între 3,1 şi 3,2,

Aceasta ar fi o metodă practică de obţinere a unei aproximări onorabile pentru numărul cercului, adică pentru 3,14 drept “raportul dintre circumferinţa şi diametrul cercului” (observaţi că am folosit denumirea de raport pentru π, la fel cum folosesc acest cuvânt şi la “rapoartele trigonometrice” în gimnaziu, în loc de “funcţii trigonometrice” specifice trigonometriei din liceu) Ca o scurtă observaţie, în contextul ideii de raport, consider că sunt absurde exerciţiile în care elevii primesc o lungime egală cu π cm. Desigur că această lungime există, de pildă la cercul cu diametrul sau cu raza unitate, dar în clasele gimnaziale nu ar trebui să practicăm astfel de giumbuşlucuri de “matematică sportivă” potrivite mai degrabă maturităţii matematice din liceu, eventual materiei din jurul şi de după studiul cercului trigonometric.

Închei această primă parte a lecţiilor cu o scurtă întâmplare anecdotică. În urmă cu mulţi ani, am predat la cerc doar lecţia de bază, cu explicaţiile de rigoare că 3,14 este o valoare aproximativă şi că numărul π are o infinitate de zecimale, care apar neperiodic, etc. În ora următoare un elev a ridicat mâna şi mi-a zis că verişorul lui, care este în liceu, i-a spus că numărul π  este exact 3,14! Da, da! Nu are rost să mă pun eu cu verişorii ăştia mari, că ştiu ei mai bine. CTG

P.S. Având ceva mai mult timp cu ocazia acestei “vacanţe forţate” de PDV (pandemia de Corona virus), m-am uitat în câteva cutii cu cărţi la care n-am umblat de mult şi surpriză! Să vezi şi să nu crezi ce-am găsit: un manual de clasa a 7-a din Austria din 1977 (Rinderer Leo, Laub, Josef, şa, Mathematik 3.Kl. Ed. Hölder-Pichler-Tempsky, Viena, cam pentru vârsta elevilor din clasele noastre de a 6-a). Răsfoiesc eu prin manual în căutarea unor lecţii interesante şi aşa ajung şi la lecţiile despre măsurarea cercului. Aici prima lecţie este despre lungimea cercului şi, în principiu spune cam ce am zis şi eu mai sus, anume îi pune pe elevi să măsoare circumferinţa şi diametrul unui obiect cilindric. Interesant este felul în care sunt îndrumaţi elevii să măsoare circumferinţa cercului, anume să înfăşoare o aţă ne-elastică (precizat clar) de 10 ori în jurul cilindrului, să măsoare exact acea aţă şi să ia pentru circumferinţă a zecea parte din rezultat (?). Oare astfel se evită mai bine greşeli de măsurare? Se prea poate (pag. 209).

Câteva pagini mai încolo, la lecţia despre aria cercului, apare din nou descompunerea discului recompusă în formă de dreptunghi, prezentată la începutul acestui eseu, într-o variantă puţin diferită, folosită de data asta pentru trecerea de la perimetrul cercului către aria sa. Interesante sunt aici apariţia a două noi formule pentru arie în funcţie de diametru: formula exactă A = d2 π / 4 şi formula aproximativă A = 0,785 ∙ d2.

Conţinutul acestei imagini poate fi folosit uşor ca bază pentru o primă încercare în  deducerea ariei cercului. Fie la finalul primei ore descrisă mai sus, fie ca temă inclusă în finalul fişei de lucru din prima oră, fie în următoarea oră se poate face următoarea lucrare practică: elevii vor trebui să construiască pe hârtie colorată şi să le decupeze cele două figuri echivalente în paralel, discul împărţit în 8 părţi egale şi alăturat reasamblarea pieselor în formă “dreptunghiulară” (cei curajoşi primesc desigur recomandarea să facă împărţirea în 16 părţi egale). Vedeţi că această ultimă imagine are un mic pas în plus faţă de reasamblarea din prima imagine, anume că aici o optime a fost tăiată în jumătăţi, fiecare din acestea fiind lipită la câte un capăt al şirului celorlalte şapte optimi, astfel încât figura compusă seamănă şi mai bine cu un dreptunghi decât cu un paralelogram (având lăţimea perpendiculară pe “lungime”).

Vedeţi în imagine că oricum această lucrare practică este recomandată prin forfecuţa reprezentată la început lângă nr. 1155 (în colţul din stânga sus). Autorii recomandă în text o rază de 6 cm, dar mult mai interesant, ne recomandă să decupăm discurile şi să obţinem împărţirea în opt părţi egale prin împăturiri succesive a acestora: prima împăturire în jumătăţi, a doua în sferturi, iar a treia în optimi. Unul dintre aceste sectoare de cerc trebuie împărţit încă în două de-a lungul axei sale de simetrie; aceste două bucăţi sunt cele care se vor pune la capete.

Dacă alegem această cale şi dorim să mergem până la şaisprăzecimi, atunci va trebui să ne pregătim cu hârtie cât mai subţire, pentru că hârtia normală de copiator nu se lasă împăturită cu exactitate de prea multe ori. Puteţi lucra totuşi şi pe hârtie de copiator, dar după fiecare pliere faceţi direct tăierea sau ruperea celor două jumătăţi. Aici desigur că le vom povesti că această transformare este doar o imagine intuitivă, practică, orientativă pentru fenomenul studiat; este evident că forma obţinută nu este un dreptunghi pentru că are lungimile ondulate, dar acestea vor deveni tot mai drepte cu cât vom descompune discul în tot mai multe sectoare de disc.

Sisteme de ecuaţii – introducerea noţiunii în clasa a 7-a

De foarte mult timp, cam de 10 ani, îmi doresc să redactez o fişă de lucru pentru lecţia de introducere a sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (2 ecuaţii cu 2 necunoscute). Această fişă trebuia să aibă clar două părţi: I) Sisteme rezolvabile mai uşor prin metoda substituţiei, şi II) Sisteme rezolvabile mai bine prin metoda reducerii. În plus, sistemele trebuiau să îndeplinească condiţia de accesibilitate pentru cât mai mulţi elevi, pentru a nu-i respinge din start. Revenirea lecţiei în finalul clasei a 7-a, odată cu abandonarea stupidei metode grafice (în ultimii 10 ani camuflată prin poziţionarea sistemelor după funcţii), reprezintă pentru mine o mare bucurie (prietenii ştiu de ce!), ocazie ce merită sărbătorită cu un articol explicativ extins şi cu o fişă de lucru completă în acest scop.

Vedeta incontestabilă a acestui articol este fişa de lucru şi mă voi concentra pentru început pe prezentarea acesteia. De-abia apoi voi dezbate detaliat metodica predării şi toate gândurile şi argumentele legate de aceasta. Fişa de lucru este plină de sisteme simple la fiecare pas parcurs. Ideea de cuplare a două ecuaţii este oricum o sperietoare la adresa majorităţii elevilor, aşa că am păstrat nivelul cât mai scăzut. După această fişă, elevii capabili de mai mult vor putea urca pe scara dificultăţii cât vor dori (ei sau profesorul lor). Nivelul de bază însă, este foarte subţire reprezentat în marea parte a culegerilor sau a manualelor (o boală apărută odată cu apariţia primelor manuale alternative în 1997).

Pe lângă cele două părţi I) metoda substituţiei şi II) metoda reducerii, am mai mers încă un pas cu III) completări. Cele trei părţi sunt doar orientative, ele nefiind evidenţiate concret pe fişă. Am lăsat astfel libertatea fiecărui profesor de a parcurge fişa în ritmul în care doreşte (la clasele mele parcurg fişa în trei lecţii, dar pot să-mi imaginez clase unde să fie nevoie de mai multe ore, sau clase unde profesorul să parcurgă ideile de bază pe câteva exemple în jumătate de oră, după care să urce la exemple mai grele, iar fişa să rămână doar ca temă). Eu parcurg această temă în trei ore astfel:

Prima oră: aceasta începe cu scrierea titlului de capitol şi prezentarea noţiunii de sistem de ecuaţii pe cazul Ex.1) care este profund intuitiv (“ce vedeţi?”, “ce-am putea face?” etc.). Apoi vine Ex.2), care conţine deja amândouă necunoscutele în ambele ecuaţii. Dacă nu-şi du seama ce-i de făcut, atunci trebuie să le arătăm pentru început “mişcarea”. În a doua parte a acestei prime ore apare metoda substituţiei, care este prezentată în doi paşi. La Ex.3) le vom arăta elevilor cum se face substituţia (dacă nu are careva ideea, desigur). Apoi luăm şi Ex.4) cu întrebarea “cum am putea şi aici să facem substituţia?”. După părerea mea valabilitatea practică metodei substituţiei, pentru elevii de rând, se limitează la cazurile când este posibilă exprimarea unei necunoscute fără fracţie din cealaltă; dacă apare o exprimare fracţională, atunci mai bine aplici metoda reducerii.

A doua oră: aceasta aduce metoda reducerii parcursă în paşi mici, odată cu evoluţia amplificărilor pe ecuaţii. Această metodă preia încet, la un alt nivel, gândirea dezvoltată deja la adunarea şi scăderea fracţiilor prin aducerea la numitor comun, în fiecare caz printr-o amplificare cât mai redusă, cu un efort cât mai mic. În a doua oră parcurgem Ex.5)-8). Desigur că şi aici va trebui să le arătăm la început măcar pe unu-două exerciţii cum funcţionează metoda. Apoi trebuie să avem răbdare ca elevii să descopere restul lecţiei odată cu complicarea exerciţiilor

A treia oră: aceasta este doar o oră de exersare şi combinare a celor două metode principale, cât şi de extindere în câteva direcţii a nivelului de complexitate. Cea mai bună cale de combinare a celor două metode ar reprezenta-o situaţia sistemelor de trei ecuaţii cu trei necunoscute, dar aceasta sigur nu este o sarcină de făcut în a treia oră din clasa a 7-a. Oricum, această a treia oră duce elevii până la nivelul de nota 7-8 la examenul de Evaluare Naţională.

Fiecare pas de învăţare prezintă 5 exerciţii. Acestea sunt gândite astfel încât să fie parcurse două exerciţii de cunoaşterere şi înţelegere a pasului respectiv la clasă, iar restul ca temă de casă. Astfel, la exerciţiile 1-8, cât şi la 10 şi 11 am ales pentru a fi parcurse la clasă exemplele a) şi b), pe când celelalte trei să rămână ca temă. Punctele centrale ale fişei, exerciţiile 4 şi 5, conţinând aplicaţiile de bază din cele două metode principale sunt reprezentate de pachete cu câte 10 exerciţii. Aici vom putea insista mai mult, de pildă făcând primele patru la clasă şi lăsând restul ca temă, păstrând astfel raportul clasă la temă egal cu 2 la 3..

În structurarea fişei am făcut o detaliere meticuloasă a drumului de parcurs (poate pentru unii excesivă) din motive foarte clare, anume pentru că mulţi elevi au nevoie de câteva exerciţii de fixare la fiecare pas logic. În afara claselor selectate, în cele mai multe clase numărul celor care au nevoie de o astfel de viteză de avansare prin materie (uşor clasificabilă ca “lentă” sau chiar “extrm de lentă”), numărul acestora ajunge sau chiar trece de 50% (viitorii analfabeţi funcţionali matamatic, dacă nu încercăm cumva să preîntâmpinăm fenomenul şi să vorbim la ore şi pe mintea lor).

Majoritatea sistemelor de ecuaţii întâlnite sunt cu necunoscutele x şi y dar, pentru a nu genera o dependenţă de nesurmontat faţă de acestea, am inserat în fişă unele sisteme de ecuaţii cu alte perechi de necunoscute. Aspectul este important şi prin prisma folosirii ulterioare la rezolvarea unor probleme ce pot fi puse în sistem (a fiind suma de bani a lui Andrei iar b suma de bani ai lui Bogdan, de pildă). Undeva, pe la sfârşit, chiar am scăpat şi un sistem cu una dintre soluţii 0(zero).

Forma aceasta de organizare a fişei mi-a apărut clar în minte în toamna lui 2019 la o oră de consultaţie cu clasa a 8-a (după două săptămâni de lucru la clasă şi o lucrare slabă la foarte mulţi elevi), când mi-am dat seama că trebuie să o iau de la capăt cu lecţia, ordonat cam în acest fel, dar mult mai detaliat pentru marea parte a elevilor, care erau doar bulversaţi la maxim de noua “arătare” de la ora de matematică. Mergând aşa, în paşi mici din punct de vedere logic, i-am văzut luminându-se la faţă şi începând să lucreze pe cont propriu, fără să mai copieze de pe tablă (uitându-se doar la sfârşit şi bucurându-se şi ei că le-a dat rezultatul de pe tablă).

Bine, bine, veţi spune, dar cu elevii buni ce facem? Ştim toţi ce facem cu elevi buni, cu vârfurile claselor, că de obicei numai de ei ne preocupăm şi numai de ei vorbim, pentru că ei sunt cei care ne oferă situaţia de a ne lăuda. Aşa am fost setaţi ca să vedem doar satisfacţia muncii legată de cei mai buni. Manualele şi culegerile sunt pline de material de lucru pentru aceştia. De data asta, la această fişă, cei buni primesc o altfel de provocare: să facă ei lecţia, adică să găsească ei cum să jongleze cu ecuaţiile alea, astfel încât să izoleze cumva câte o necunoscută pentru a o găsi. Predarea prin problematizare le vine cu totul în întâmpinare, dar nu într-un mod de dopare cu noi şi noi chestii grele, ci punându-i în situaţia de a se descurca pe baza gândirii lor pe situaţii nemaivăzute şi fără a le fi explicaţi – pe cât posibil – cum se fac respectivii paşi. Cei buni pot face la viteză, în timpul orei, încă un al treilea exerciţiu, rămânând cu mai puţină temă. Dar de data asta, fişa este în egală măsură şi pentru elevii medii şi mai ales şi pentru cei de la “coada plutonului”, cei care de obicei nu rămân cu nimic după ora de matematică. Şi ei merită un pic de atenţie; şi ei sunt elevii noştri. (Cu cât lucrăm mai mult la nivelul înalt al lecţiilor, neglijând masiv nivelul de bază al lecţiei, cu atât mai mult obţinem o creştere masivă a grupului care nu a înţeles nimic la lecţie şi rămâne “de căruţă”. Iar apoi ne mirăm de unde avem aşa de mulţi elevi cu rezultate slabe, de pildă la Studiul PISA. Elevii mai înceţi la matematică au şi ei nevoie de ore pe mintea lor.)

După cum am mai spus, paşii mici prin care evoluează exerciţiile de pe această fişă sunt deosebit de potriviţi pentru predarea lecţiei prin problematizare la care să se implice toţi elevii doritori. Predând în acest fel sunt sigur că elevii buni ai clasei vor vedea singuri ce pas trebuie făcut la fiecare nou exerciţiu, astfel încât profesorul să se limiteze doar la propunerea exerciţiilor şi la unele eventuale întrebări ajutătoare (eu aşa predau de aproape 10 ani şi merge de minune!). Singurele locuri unde probabil ar trebui intervenit de către profesor printr-o “hai să vă arăt cum se face:” vor fi la primele exerciţii din cele două metode de bază (pasul de substituire, respectiv reducerea prin reducere simplă). Deja la situaţii unde să fie nevoie de o amplificare pe una dintre ecuaţii s-ar putea ca un elev din clasă să sesizeze ce trebuie făcut (dacă nu, atunci le arătăm tot noi). Apoi elevii preiau din nou lecţia, profesorul trebuind doar să se rezume la formalităţi (acum trecem la nivelul următor etc.)

Fişa nu conţine exerciţii din lecţia premergătoare, anume despre ecuaţii cu două necunoscute. Eu fac scurt această lecţie, anume studiind 2-3 exemple de astfel de ecuaţii la care elevii să găsească câteva perechi de soluţii posibile, până se lămuresc că există un număr nesfârşit de astfel de perechi, însă nimic mai mult. Observ în mod ciudat cum unii colegi dau acestei lecţii la fel de mult timp cât dau apoi şi lecţiei despre sisteme; este o atitudine aberantă, atât din punct de vedere metodic, cât şi din punct de vedere al importanţei lecţiei. Este evidentă aici strădania inoculată în mentalul profesorilor şi ajunsă la nivel inconştient, de a te preocupa foarte mult de teme şi subiecte ce pot duce către aplicaţii specifice nivelului de olimpiade. Dimpotrivă, sisteme de ecuaţii nu se dau la concursuri, fiind o lecţie elementară, aşa că nu pierdem timpul cu aceasta (“avem lucruri mai importante de făcut”). Cum să faci o oră despre ecuaţii cu două necunoscute, cu tot felul de scrieri elaborate ca perechi ordonate de numere, iar apoi să faci sistemele de ecuaţii, ambele metode într-o oră? Fişa despre sisteme poate însă funcţiona foarte bine şi fără lecţia despre ecuaţii cu două necunoscute (eu nu ţin minte să fi făcut o astfel de lecţie în gimnaziu). Cât despre continuarea lucrului şi după finalizarea fişei, cu sisteme tot mai dificile (de pildă cu coeficienţi raţionali sau iraţionali), desigur că colegii profesori vor putea decide fiecare în funcţie situaţia concretă a elevilor strategia de creştere a dificultăţii sistemelor studiate, manualele şi alte auxiliare stându-ne desigur la dispoziţie.

Un gând deosebit am acordat alegerii soluţiilor acestor sisteme, anume strădaniei de a introduce această lecţie doar cu soluţii numere întregi. Această strategie se bazează pe următorul gând: atunci când introduci un item nou este bine să păstrezi “ambientul” la un nivel corespunzător “zonei de confort” a clientului tău educaţional. Pentru mulţi elevi noutatea lecţiei reprezintă un şoc în sine. Apariţia a două necunoscute simultan şi a unei a doua ecuaţii (plus acolada aia ciudată pe care mulţi o tot uită), toate acestea îl stresează pe elevul mediu, dar mai ales pe cel slab, punându-i un fel de “ceaţă pe creier”. Aici apare gândul de a nu-l stresa suplimentar prin diverse soluţii fracţionare, ci de a-i oferi un “ambient”, o situaţie numerică în care să se simtă mai în largul său. După ce ajunge să cunoască şi să stăpânească procedurile din cadrul lecţiei despre sisteme de ecuaţii, după aceasta poate fi confruntat şi cu soluţii fracţionare, mai ales dacă îl şi avertizăm (“ai grijă că acum am pus şi câteva cu fracţii”). Astfel, pentru a veni în întâmpinarea elevilor medii sau slabi la matematică, am decis de mult timp să rămân măcar în primele ore în zona numerelor întregi. Cei care pot face pasul la fracţii nu vor întimpina dificultăţi ulterior acestei fişe, pentru că au înţeles paşii de bază ai sistemelor. (Acelaşi principiu îl folosesc şi la teorema lui Pitagora: stau cel puţin 2-3 ore în zona de numere întregi (tripletele pitagorice, cu rădăcina dintr-un număr pătrat) şi îi las să cunoască utilitatea teoremei pe amalgamul de figuri şi calcule de arii şi perimetre. Doar apoi încep să- conduc pe elevi şi spre rezultate iraţionale sau spre utilizarea în teorema lui Pitagora a unor lungimi iraţionale.)

Această strategie de introducere a unei lecţii noi, la început doar pe cazuri de numere întregi, trebuie făcută însă cu grijă, pentru a nu cădea în penibil. Pe la jumătatea anilor ’90 exista o culegere care avea două pagini pline de sisteme. Toate în, afară de un singur caz, aveau soluţia x = 1 şi y = 1. Este evident că şi elevii râdeau de profesorul care dădea o astfel de temă. Pentru actuala fişă m-am străduit să nu repet greşeala respectivă.

O ultimă observaţie mai am la adresa materialului din fişă, anume despre Ex.2) şi sistemele rezolvabile prin metoda tranzitivităţii. Am întâlnit pagini întregi din astfel de exerciţii într-o culegere veche nemţească şi de atunci le arătăm elevilor noştri şi astfel de sisteme, explicându-le metoda de lucru. Iar, pentru că totul la noi are de obicei şi o denumire, am denumit-o conform proprietăţii folosite. Eu folosesc această metodă ulterior la funcţii, la problemele cu determinarea intersecţiei graficelor a două funcţii (înlocuind f(x) şi g(x) cu y, obţinând ecuaţiile ataşate funcţiilor respective, obţinem un sistem ce se rezolvă banal cu această metodă; în aceste situaţii arată stupid când un elev începe să-şi ordoneze mai întâi sistemul pentru metoda reducerii). Dincolo de orice aplicabilitate însă, această metodă ne oferă în clasă o primă ocazie de a acţiona cu două ecuaţii cu câte două necunoscute simultan, fără însă a avea ceva foarte greu de înţeles Accentuez iarăşi: când introduc ceva nou, o fac într-un context cât mai paşnic, cât mai comod şi accesibil pentru majoritatea elevilor, astfel încât aceştia să nu se sperie de două lucruri noi simultan: atât apariţia ambelor necunoscute în amândouă ecuaţiile – chestie ce reprezintă un şoc în sine pentru cine nu s-a mai confruntat cu aşa ceva – cât şi cine ştie ce metodă prea complicată, din prea mulţi paşi, metodă care-i sperie “mintiuca lui stresată de matematică” (o elevă tare simpatică avea o vorbă pe vremuri: “staţi numai un pic, că neuronul meu nu mai poate”). În plus, trebie să înţelegem şi contextul momentului, adică să ne punem în locul elevului slab: el tocmai a primit o fişă plină de “nişte chestii” foarte dubioase şi se gândeşte doar “eu pe astea va trebui să le fac, pe toate?”. Revenind la metoda tranzitivităţii, sper că se vede că i-am dat acestei metode atenţia cuvenită, adică i-am dat atenţie, dar doar puţin, atâta cât merită şi nimic mai mult.

*

Părăsind fişa de lucru propusă, rămânem să mai analizăm alte câteva aspecte legate de metodica şi didactica predării sistemelor de ecuaţii în gimnaziu. Este nevoie de această parte pentru că tema respectivă a fost văduvită masiv de o stare de normalitate în şcolile româneşti timp de aproape 40 de ani! Pentru a înţelege despre ce este vorba, haideţi să analizăm puţin filozofia nivelelor de gândire legate de sistemele de ecuaţii.

Propun mai întâi o scurtă analiză faptică a evoluţiei acestei lecţii în ultima jumătate de secol (niţică istorie, că multă lume nici nu ştie despre ce-i vorba şi ce tot “mă cânt” aici).

Primul nivel al sistemelor de ecuaţi este cel corespunzător nivelului de rezolvare a ecuaţiilor de gradul I, cu gândirea specifică claselor 6-7 gimnaziale. Din acest punct de vedere metoda substituţiei este cea mai pură. Metoda reducerii are la bază o proprietate mai rar folosită în clasele gimnaziale (din a = b şi c = d rezultă a + c = b + d), fiind însă mult mai rapidă (uneori prea rapidă şi netransparentă pentru elevii mai “începători” în ale gânditului). Din acest punct de vedere este evident că ordinea naturală, potrivită elevilor, este cu metoda substituţiei prima, urmată de metoda reducerii. Din punct de vedere al raţiunii, metoda substituţiei este o metodă “mai băbească”, mai primitivă, şi din acest motiv se potriveşte a fi parcursă prima. Dimpotrivă, metoda reducerii este una mai evoluată din punct de vedere al gândirii, este o metodă “mai turbo” şi se prezintă ca o rezolvare mult mai eficientă decât cealaltă. Dar această comparaţie poate fi făcută doar dacă o cunoşti deja pe cealaltă (altfel, în mintea elevului, rezolvarea prin metoda reducerii rămâne doar una dintre multele chestii care se învaţă la orele de matematică).

Astfel, în cazul metodei reducerii predată prima, mulţi elevi nici nu-şi dau seama clar “ce s-a întâmplat”, metoda reducerii având pentru început un efect de “cutie neagră” asupra majorităţii elevilor (toţi înafară de cei foarte buni şi familiarizaţi în general cu raţionamentele matematice). În această ordine, cei mai mulţi elevi ratează clar valoarea de surpriză plăcută a metodei reducerii faţă de metoda substituţiei.

În plus, parcurgând mai întâi metoda reducerii, vom obţine evident o stare de opoziţie din partea elevilor la adresa metodei substituţiei: “de ce trebuie să mai învăţăm această metodă bleagă, de vreme ce ştim să rezolvăm sistemul mai uşor?”. În acest fel metoda substituţiei este evident condamnată la neînvăţare din partea majorităţii elevilor. De ce ar face cineva aşa ceva? Eu nu pot înţelege această mişcare, pentru că inversarea ordinii acestora duce în mod automat la posibile instabilităţi în formarea gândirii legate de sistemele de ecuaţii. Din păcate, acesta este şi cazul abordării în unele manuale (deşi în programă este dată ordinea naturală: metoda substituţiei, şi doar apoi metoda reducerii).

Care ar fi avantajul parcurgerii mai întâi a metodei reducerii? Unul foarte pragmatic, de tipul “haide să-ţi arăt cum se face” şi să mergem mai departe. Pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi, ideea de a-i da elevului imediat o metodă rapidă şi eficient utilizabilă este desigur un gând deosebit de atractiv. Repet: pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi. Dimpotrivă, este evident că pentru cineva care are o coardă sensibilă pentru ideea de formare a gândirii la elevi, pentru un astfel de profesor este absolut normal să apară o stare de nedumerire.

Pe de altă parte, la aceste două metode elevii trebuie să lucreze ceva mai mult, pentru a fi siguri că tot ce urmează se poate aşeza pe un fundament solid. Din păcate însă, marea majoritate a autorilor de culegeri sau manuale nu îşi iau timp şi spaţiu pentru a cuprinde în zona respectivă de exerciţii suficiente exemple de bază, pentru a fi siguri că marea majoritate a elevilor au înţeles şi şi-au însuşit cele două metode. Astfel, de pildă, într-un manual actual am găsit o reprezentativitate extrem de slabă a exerciţiilor de bază, din punct de vedere al aspectelor exprimate aici: cumulat la ambele metode, în acest manual sunt cu totul 9-10 sisteme în forma elementară de bază, iar asta se referă la nivelul exerciţiilor la care ne aşteptăm ca toţi elevii să le stăpânească (aşa-numitele exerciţii“de nota 5-6”). În auxiliarul însoţitor al manualului la care m-am referit mai sus, exemplele simple sunt mai bine reprezentate: undeva până în 15 exemple la fiecare dintre cele două metode (dar acestea sunt evident accesibile doar în cazul achiziţionării).

La “capătul celălalt al şcolii”, adică în liceu, se află teoria superioară a sistemelor şi rezolvarea acestora în principal prin determinanţi în clasa a 11-a la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info. Între aceste două nivele evoluează gândirea rezolvării sistemelor de ecuaţii. Primul nivel prezintă câteva extensii posibile (cuprinse sau nu în programa oficială), extensii care însă stabilizează simţul pentru sisteme de ecuaţii.

Mai întâi există, chiar în clasa a 7-a, rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor învăţate (în funcţie de alambicitatea textului, punerea în ecuaţii a unuei probleme putând fi uneori deosebit de dificilă). Între acestea apar surprinzător câteva probleme de geometrie care generează în mod neaşteptat ecuaţii destul de uşoare.

O altă extensie posibilă o reprezintă sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute, care nu sunt deloc atât de “extraterestre” cum consideră unii. Pe când eram elev iubeam sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ca profesor într-o şcoală cu o atitudine mai liberă, am făcut deseori astfel de sisteme în clasa a 8-a (o oră poţi găsi uşor ca profesor dacă înţelegi motivaţia). Avantajul lor uriaş este că folosesc de multe ori ambele metode de bază, ajutându-i astfel pe elevi să le înţeleagă cu adevărat şi în profunzime, în ce situaţie anume se potriveşte mai bine metoda substituţiei şi în ce situaţie mai bine metoda reducerii. Această argumentaţie ar fi suficientă pentru o astfel de oră. Dar, în plus, se poate întâmpla să apară sisteme de 3×3 chiar în probleme din procesul de pregătire a EN. Haideţi să vă dau un exemplu dintr-o culegere actuală (Ed. Paralela 45, EN VIII Consolidare, Gh. Iurea ş.a. 2019, pag. 101,Testul 15). Generatoarea conului este cu 4 cm mai mică decât triplul razei cercului de bază, iar înălţimea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei. Apoi se cer dimensiunile conului.

O a treia extensie posibilă a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute o reprezintă conexiunea acestora cu funcţiile de gradul I studiate în clasa a 8-a. După cum am spus, multe probleme de la funcţii pot fi transformate în sisteme de ecuaţii prin transformarea f(x) = y şi scrierea ecuaţiei ataşate funcţiei. Desigur că aici stă pitită după tufiş rezolvarea sistemelor de ecuaţie prin metoda reprezentării grafice a dreptei soluţiilor. Stă pitită după tufiş, ruşinată pentru cât rău a făcut în minţile elevilor şî în matematica şcolară timp de 40 de ani (!).

Revenind la sistemele de 3×3, o altă argumentaţie în favoarea parcurgerii unei lecţii despre acestea chiar în gimnaziu este următoarea: dacă nu le facem prin aceste metode de gândire “bazic” din gimnaziu, elevii care ajung să le studieze prin determinanţi în liceu trag în mod natural concluzia că sistemele 3×3 se pot rezolva doar prin metodele învăţate în liceu. Din combinarea metodelor de bază “gimnaziale” rezultă apoi în clasa a 11-a metoda lui Gauss, ce reprezintă la rândul ei un preambul de nivel intuitiv pentru rezolvările prin determinanţi. Majoritatea profesorilor nu dau atenţie acestor conexiuni de transformare şi evoluţie a gândirii, păstrând parcă intenţionat fiecare metodă într-o zonă a cunoaşterii automate, fără nici măcar un pic de înţelegere (parcă ar preda după principiul “elevii trebuie să ştie să rezolve exerciţiile, nu să le şi înţeleagă”).

Dar unde să facem sisteme de 3×3 în gimnaziu, atâta vreme cât programa oficială nu le include? O variantă (de care m-am folosit în ultimii ani) este să le cuprindem într-o oră din începutul clasei a 8-a, la “recapitulare şi completări”. Le-am putea face şi ca un fapt divers în săptămâna “şcoala altfel”, în clasa a 7-a, dacă am parcurs sistemele 2×2 până atunci, sau în clasa a 8-a, aducând atunci şi exemple ca cel de mai sus (ştiu că nu seamănă a excursie, aşa cum bine mersi am transformat noi, românii, o idee interesantă de lucru într-o opurtunitate de a face mai puţină şcoală). Oricum, dacă vrem, atunci se găsesc soluţii de integrare. Şi, nu trebuie insistat tare mult: cam 5-6 exemple dintr-o culegere veche de-a lui Gheba, apoi încă 3-4 date ca temă şi gata. C.T.G.

P.S. În aceste vremuri de izolare la domiciliu, nutresc speranţa ca acest material să fie la fel de folositor şi în cazul în care nu ne vom întâlni pre repede din nou cu elevii noştri. Încerc să gândesc un format prin care să-i putem ghida pe parcursul acestei lecţii de la distanţă. Desigur, putem să le sugerăm să se uite în manuale, dar atunci s-a dus pe apa Sâmbetei toată predarea prin problematizare.

SistemeEcuatii-FisaLucru.pdf

Biziday despre starea şcolii româneşti (3)

Moise Guran – pe când era încă jurnalist – a vorbit la Pastila Biziday de la Europa fm din 5 dec. 2019 sub titlul Cum se face că avem un preşedinte inspector şcolar şi un fost premier analfabet funcţional despre realitatea învăţământului şcolar românesc. Să analizăm în continuare pasajele legate de inspecţia la clasă.

Doamna Monica Anisie, actualul ministru al educaţiei este şi ea un fost inspector şcolar, la fel ca şi Preşedintele Klaus Iohannis. Trebuie că şi D-na Anisie şi Dl Iohannis au asistat de nenumărate ori la numerele de dresaj cu copii numite “lecţie deschisă”, “inspecţie la clasă”, “examen de grad”. Aceasta este metoda de evaluare a calităţii profesorilor în România: o şcenetă anunţată, repetată înainte, în care copiii ştiu ce întrebări va pune doamna la clasă, doamna ştie ce copii trebuie să răspundă şi la ce întrebări fiecare, iar un inspector plictisit ştie că asistă de fapt la un “montaj literar artistic”. (…)

Fără a generaliza şi fără a arunca anatema asupra (…) tuturor profesorilor, adevărul este că nu ştim în acest moment câţi dintre cei rămaşi în sistemul de educaţie mai sunt altfel, mai predau adică la clasă şi demnitatea umană. Pentru că, vedeţi dumneavoastră, după ce importantul personaj – inspectorul – părăseşte lecţia deschisă, profesorul le poate dicta copiilor dintr-o carte, aşa cum au mărturisit foştii elevi ai Vioricăi Dăncilă, de exemplu că făcea aceasta, le poate vorbi urât, poate urla la ei, le poate arăta semne obscene, şi credeţi-mă că nu vorbesc din teorie, sau – mai des – le poate preda plictisit şi mecanic o lecţie de la care cel mai des şi copiii şi profesorul absentează în realitate, chiar dacă sunt cu toţii acolo în clasă, înecaţi în formalism.

*

Eu consider că cel mai important punct al acestui citat îl reprezintă demnitatea umană. Cel care nu are în el demnitatea umană, acela şi-a ratat cariera, acela nici măcar nu ar avea voie să intre într-o clasă! Şi spun atât de hotărât acest gând datorită unui fapt puţin cunoscut şi deloc luat în seamă despre învăţământ: imitaţia!

Imitaţia este singura cale prin care copiii învaţă şi se formează până la vârsta de 7 ani. Orice aparentă învăţare raţională, pe bază de explicaţii, înainte de această vârstă este o falsă învăţare şi o dăunătoare intelectualizare mult prea timpurie. Doar după împlinirea vârstei de 7 ani încep să se deschidă în mod realist canalele de învăţare explicativă şi dobândire conştientă şi activă de cunoştinţe pentru creierul uman. Totuşi, acumularea de comportament, atitudine şi “felul de a fi” are loc în continuare şi după vârsta de 7 ani, predominant tot prin imitaţie, iar prezenţa în faţa clasei a unui personaj precum Viorica Dăncilă, par examplu, produce pagube greu de imaginat în marea masă a populaţiei şcolare cu care aceasta a interacţionat. Dacă dorim educarea demnităţii umane la întreaga populaţie şcolară, atunci trebuie să avem grijă ca în faţa claselor să ajungă doar persoane cu o solidă demnitate umană. Cum s-ar putea face chestia asta, asta este un alt subiect.

Dar să revenim la inspecţia la clasă. Îmi permit să vorbesc atât de degajat şi fără jenă despre acest subiect pentru că eu m-am înscris de mai multe ori la ţinerea unei lecţii deschise cu colegii din cercul metodic, şi pot povesti câte ceva suplimentar faţă de modelul tipic prezentat de Moise Guran (în plus, am mai ţinut şi o lecţie deschisă pentru care am fost desemnat să o ţin). Cele mai multe au ieşit bine sau foarte bine, dar despre ultima nu mă pot lăuda (sper să reuşesc în curând o analiză a acestei ultime ore, pentru că atinge câteva subiecte foarte actuale în finalul lui 2019).

Pe lângă acestea au fost şi inspecţiile pentru examenele de grad. Desigur că îţi pregăteşti aceste lecţii în mod deosebit. De ce? Pentru că de aia sunt făcute, ca să vadă musafirii ceva deosebit! Ţine de felul nostru de a fi; de a fi o “gazdă bună”.

Aşa suntem noi: dacă mergi în străinătate pe la rude şi prieteni (plecaţi din România), te vor ospeţi din plin. Dacă vei merge la prieteni străini, atunci cel mult te vor informa că poţi să te serveşti din frigider cu ce este şi îţi vor spune eventual unde este cel mai apropiat magazin. Ce-i drept, vor organiza şi o masă deosebită sau te vor scoate la restaurant, dar totul departe de strădania deosebită a “românului” de a te îndopa până îţi va veni “să explodezi” de atâta mâncare. Dar să revenim la orele cu “musafiri” la clasă.

Desigur că lecţiile deschise sunt deosebite de restul orelor şi asta se întâmplă din multe cauze. Nici măcar nu-mi pot permite într-un astfel de eseu să fac o analiză exhaustivă, atât de multe cauze există. Voi evidenţia doar două: una care ţine de cel inspectat şi una care ţine de cel aflat în vizită, ambele coexistând într-un fel de simbioză de nimeni analizată în mod realist. Pe de o parte este “gazda”, cadrul didactic care ţine ora respectivă şi care are desigur îndoieli asupra sa: oare, în realitate, corespunde el cerinţelor? Oare câte lipsuri are el, câte deficienţe prezintă activitatea sa de zi cu zi? Şi întrebările la adresa propriei persoane pot continua cu diferite nuanţe “mult şi bine”, dar acestea sunt ţinute ascunse în cotloanele personale cele mai adânci. Oare câte din acestea vor fi vizibile la lecţia deschisă, punându-te într-o poziţie vulnerabilă? Pe de cealaltă parte este “musafirul”, care însă nu se comportă neapărat ca un veritabil musafir, ci se crede de multe ori îndreptăţit în a critica, prin poziţia sa; starea societăţii noastre a ajuns chiar în faza în care aceşti musafiri se cred uneori chiar datori de a te critica, a-ţi găsi mici chiciţe de care să se lege, în cazul lipsei unor aspecte evident greşite.

Cine are impulsul de a spune că aceasta este o atitudine normală, acestuia îi precizez că nici vorbă; am avut mai multe ocazii să particip (ca director în Şcoala Waldorf) la ore ale colegilor alături de musafiri din Germania, veniţi să verifice calitatea şi nivelul waldorfului din şcoala noastră, şi trebuie să precizez că atitudinea acestora este una profund diferită de ceea ce suntem noi obişnuiţi.

Aruncând o privire sumară chiar şi numai asupra acestor două aspecte, şi înţelegem imediat cât este de dificil momentul unei lecţii deschise şi de ce oamenii se străduiesc să le facă deosebite. Asta nu-i scuză însă pe cei care prezintă “ore false”. Una este să prezinţi o oră cât mai bine pregătită, chiar regizată în mintea ta până în cel mai mic detaliu, şi alta este ca toată această pregătire să fi fost repetată şi exersată dinainte cu elevii. Nici nu vreau să discut de astfel de cazuri. Simt că m-ar îngreţoşa până la extrem.

Prefer dimpotrivă să vă povestesc două întâmplări din experienţa mea cu cu inspecţiile avute la clasă. Alte întâmplări de la ore deschise sau de inspecţie le voi povestii în articole viitoare separate, împreună cu conţinutul care a fost în aceste cazuri deosebit faţă de lecţiile cunoscute de toată lumea. Până atunci însă aş dori să vă povestesc cum mi-am permis eu “să fentez” sistemul într-un mod cât se poate de cinstit, ajungând chiar să-i povestesc după oră inspectorului despre ce am făcut.

Prima lecţie evocată a avut loc în primăvara lui1998, cu ocazia inspecţiei pentru gradul II (la vremea respectivă încă nu se făceau tot felul de preinspecţii). Aveam două clase în Şcoala Waldorf şi două clase în şcoala tradiţională unde eram titular. Ca inspector urma să vină o Doamnă Profesoară (profesoară cu P foarte mare!) total deosebită: în primul rând pentru că fusese colegă cu părinţii mei în facultate, astfel încât cădea din start posibilitatea unei atitudini prea severe la inspecţie; pe de altă parte aveam un respect apropiat de frică faţă de dânsa, pentru că era unul din autorii manualelor de geometrie pentru clasele 9-10 după care învăţasem în liceu (pentru mine era un fel de semizeu). Dar aveam şi eu ambiţiile mele: vroiam să folosesc ocazia pentru a-i dovedi unei mari personalităţi de ce sunt eu în stare, dar mai ales de faptul că Şcoala Waldorf nu este o şcoală pentru copii cu probleme la învăţătură, aşa cum susţineau cei mai mulţi.

Ne înţelesesem să fac două ore de aritmetică şi algebră la casele de la şcoala tradiţională şi două ore de geometrie care erau legate la clasa a VI-a din Waldorf (la vremea respectivă patrulaterele erau în clasa a VI-a, după triunghiuri). Atenţia cea mai mare a mea era asupra orei duble de geometrie, unde oricum mă simţeam cel mai în largul meu. Pentru a o impresiona pe Doamna Profesoară îmi pusesem două obiective clare pentru această oră: să fac o problemă “de olimpiadă” şi o problemă pe care dânsa să nu o ştie. În plus, totul trebuia să se lege impecabil, iar clasa trebuia să funcţioneze cum trebuie prin elevii buni pe care mă puteam baza. Dar nici prin cap nu-mi putea trece să fac o şcenetă anunţată şi înainte repetată, aşa cum vorbeşte Moise Guran.

Puteam însă să fac cu o zi înainte o lecţie de factură similară, astfel încât elevii să fie cumva setaţi pe lungimea de undă dorită. Practic, am regizat două ore duble în cascadă, în două zile consecutive. Prima oră din cele două din ziua precedentă aducea linia mijlocie în triunghi, iar a doua venea cu probleme în care linia mijlocie în triunghi se aplica în situaţii combinate împreună cu mediana pe ipotenuză şi altele. Apoi, în prima din cele două ore de la inspecţie urma să studiem linia mijlocie în trapez, iar apoi probleme combinate împreună cu linia mijlocie în triunghi, mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o etc.

Pentru inspecţie găsisem o problemă cu linia mijlocie în trapez şi mediana pe ipotenuză, ce fusese dată la olimpiadă în acel an, şi care se potrivea perfect cu întregul demers. Mai îmi trebuia o problemă pe care Doamna Profesoară să nu o cunoască, pentru a o impresiona profund, dar pe care elevii mei să o ştie face, chiar dacă desigur nu-mi permiteam să le-o arăt dinainte. Concluzia era clară: aveam nevoie de două probleme similare, una cu linia mijlocie în triunghi şi una cu linia mijlocie în trapez, amândouă inventate de mine, plecând de la premiza că dânsa (ca autor de manuale de geometrie) ştia cam orice problemă deja existentă la nivelul la care eram eu cu elevii. Trebuia deci să compun două probleme total noi pentru aceste lecţii, astfel încât să parcurg problema cu linia mijlocie în triunghi în lecţia precedentă, iar elevii să ştie rezolva sigur problema cu linia mijlocie în trapez la inspecţia de grad. Măcar unul din clasă trebuia să poată face transferul.

După 3-4 zile de gânduri şi strădanii mi-a venit ideea unor probleme cu două semicercuri  construite pe laturile oblice ale unui triunghi oarecare, respectiv ale unui trapez oarecare. Prima trebuia să o facem la lecţia precedentă inspecţiei, astfel încât elevii să cunoască rezolvarea în principiu la cea de a doua problemă, la lecţia cu linia mijlocie în trapez de la inspecţie. În plus, cele două probleme precedau foarte fluent şi problema aleasă de la olimpiadă.

Puteţi vedea probleme din cele două lecţii succesive în următoarea imagine (din culegerea scrisă peste ani). Problema 17. este problema nouă în trepez (cea în triunghi este similară). Problema 20. este problema ce fusese dată de curând la olimpiadă (nu mai ţin minte ce fază (locală sau judeţeană). Problemele 21. şi 22. au participat şi ele la ispravă, dar nu mai ştiu în rest care probleme au mai fost implicate.

Cum a funcţionat toată treaba la inspecţie? Perfect! Sau, ar trebui să spun “mai mult ca perfect”! Doamna Profesoară, care era afundată într-o discuţie cu directoarea noastră, a sărit în picioare când a văzut figura pe tablă (nu fusese atentă la prezentarea problemei) şi a preluat pur şi simplu lecţia: “Ce se dă? Spune tu. Ce se cere? Spune tu. Cum se rezolvă? Poftim tu la tablă.”, hotărându-se asupra unei eleve care a ridicat mâna şi a început să explice cum s-ar rezolva. Apoi s-a întors în ultima bancă şi m-a lăsat să continui. După oră, întorşi în cabinetul unde urma să aibă loc o primă analiză, s-a uitat la mine zâmbind: “Ce mi-ai făcut, copile! De unde ai scos problema aia?” Am zâmbit cu gura până la urechi şi i-am povestit toată tărăşenia, cum îmi propusesem să o impresionez şi care a fost planul meu. Oricum, lecţia decursese foarte bine, fără ca elevii să cunoască conţinutul dinainte.

Următoarea întâmplare ce doresc să o evoc, tot într-o parţială contrazicere a celor prezentate de Moise Guran, este o experienţă ciudată, la trei ani după prima întâmplare. Eram înscris la gradul I când s-au introdus preinspecţiile, aşa că m-am trezit şi eu că urma să fiu pre-inspectat (ce-i drept numai o oră). Fusesem anunţat când şi la ce oră urma să vină profesorul desemnat în acest sens. Se potrivea la clasa a VII-a, aşa că am hotărât să fac o oră nou inventată de mine (conţinând teorema directă a liniei mijlocii în triunghi, ambele reciproce parţiale, cât şi reciproca totală; sper să vă pot prezenta în curând şi această lecţie deosebită pe pentagonia.ro). Tocmai compusesem lecţia respectivă, eram total entuziasmat despre aceasta şi urma să o prezint la acea inspecţie în premieră absolută în ziua cu pricina. Aşa că că m-am hotărât spontan în acea zi să fac o repetiţie generală a lecţiei respective la clasa a VIII-a, cu care aveam ora dinaintea inspecţiei (fiind o lecţia nouă, această clasă nu o văzuse cu un an înainte).

Pe vremea respectivă eram o şcoală mică, cu personalul la minim, directoarea făcea şi ore, doar femeia de servici umbla prin şcoală în timpul orelor. Aşa că am instruit-o că va veni un Domn Profesor pentru inspecţie la ora 11 şi că dacă apare mai devreme să-l poftească în mica săliţă ce o foloseam atât ca secretariat cât şi ca direcţiune.

Acum eram la clasa a VIII-a cărora le spusesem că le prezint sub titlu de probleme recapitulative la demonstraţii de geometrie plană o nouă lecţie de a mea, lecţie ce o voi face apoi şi ora următoare cu cei de a VII-a. Tocmai trecuseră cam 20 min. din ora la clasa a VIII-a, eram cam pe la jumătatea lecţiei, când uşa clasei se deschise şi femeia de servici îl împise pe Domnul Profesor în clasă. Nu-l mai văzusem nici o dată şi am rămas mască, iar singurul mod în care am putut să reacţionez a fost să-l salut şi să fiu 100% cinstit şi să-i explic ce se întâmplă. A spus că nu-i nimic, a luat loc într-o bancă şi a urmărit finalul lecţiei (eu nu puteam să fac altceva, nu puteam schimba subiectul, aş fi arătat necinstit şi ipocrit faţă de respectiva clasă a VIII-a, lecţia era pe jumate pe tablă şi dânsul oricum s-ar fi prins de întâmplare). Apoi, ora următoare a văzut lecţia de la cap la coadă la clasa a VII-a. Lecţia i-a plăcut, pre-inspecţia a ieşit bine, iar peste ani mi-a fost povestit de către cineva cât de frumos vorbea Domnul Profesor respectiv despre cele văzute cu acea ocazie.

Acestea au fost cele două exemple în care eu mi-am pregătit lecţia de la inspecţie mai mult decât ar fi obişnuit (mai neortodox, am putea spune). Am totuşi convingerea că am jucat cinstit, iar situaţiile respective nu pot fi încadrate la categoria o şcenetă anunţată, repetată înainte, în care copiii ştiu ce întrebări va pune doamna la clasă, doamna ştie ce copii trebuie să răspundă şi la ce întrebări fiecare, iar un inspector plictisit ştie că asistă de fapt la un “montaj literar artistic”. În schimb, chiar dacă eram hiperstresat la vremea respectivă (în mod diferit desigur în cele două situaţii), elevii mei au putut să vieţuiască totodată cu aceste ocazii şi demnitatea umană. CTG

Suma lui Gauss (3) – Lecţia la clasă

De foarte mult timp am vrut să mă ocup de acest subiect (părţile 1 şi 2 au fost postate încă din vara lui 2017, dar acestea au fost doar elemente suplimentare la lecţia în sine). Iată că i-a venit vremea şi acestei teme, aşa că haideţi să analizăm ce ar fi de spus despre acest subiect. În primul rând, daţi-mi voie să vă prezint cum predau eu această lecţie, undeva în prima parte a semestrului I din clasa a V-a, pe post de buton de start al noii matematici adusă de către profesor, profund diferită şi desigur mult mai complexă, mai bogată decât cea practicată cu d-na învăţătoare (rog cititorul a evita o înţelegere a acestor afirmaţii drept o îngâmfare, o atitudine de superioritate a unui profesor faţă de d-le învăţătoare; am vrut doar să accentuez că învăţătoarele trebuie să practice la vârstele respective un anumit fel de gândire matematică, pe când profesorul trebuie încet să facă trecerea spre un cu totul alt fel de gândire).

Următorul material, lecţia în sine, este pentru mai multe ore, fiind un material deosebit de complex. Concret, ce veţi vedea reprezintă lecţiile de matematică din trei zile consecutive, predate în sistem de problematizare, cca. 75 minute în fiecare zi (în sistemul Waldorf există aşa ceva).

Lecţia începe, total nepregătir, cu o cerere surpriză: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10 (toate numerele de la 1 la 10). Elevii se pun pe socotit şi în curând răsar primele mânuţe ridicate. După ce s-au mai anunţat câţiva, le dau cuvântul şi printre răspunsuri apar multe răspunsuri de 55 (alături de altele greşite, cum ar fi şi 45: cred că l-ai uitat pe 10).

Urmează o a doua întrebare: Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 20. Elevii se pun iar pe socutit, dar treaba merge mult mai greu acum. De la o clasă la alta se poate întâmpla să primim câteva răspunsuri corecte de 210 sau nici măcar unul. După ce analizăm răspunsurile, încerc să le explic copiilor cât mai pe înţelesul lor faptul că este necesară o nouă abordare, diferită de simpla adunare (pe care ei o denumesc “în turnuleţ”).

În acest sens, o abordare foarte simplă ar fi cu o reprezentare “grafică” a numerelor, prin înşiruire de punctuleţe (ca nişte ghirlande). Vedeţi în prima imagine cum se pot reprezenta toate numerele de la 1 la 20, cât şi cum pot fi grupate acele “mărgeluţe”, astfel încât să se cristalizeze un model “comportamental” al acestora (pregătiţi-vă pentru o mică-mare văicăreală în urma desenatului atâtor punctuleţe).

La următoarele sume (între timp am început să le notez S10, S20 etc.) nu am mai reprezentat fiecare număr cu punctuleţe, ci am reprezentat doar grupările pătrate de 100 şi cele triunghiulare de 55. Cu această metodă putem urca până pe la S50, după care şi această reprezentare devine deranjantă (sigur, s-ar putea studia cum evoluează numărul de triunghiuri de 55 şi numărul de pătrate de 100, dar nu am avut timp de aşa ceva; pentru elevii foarte doritori s-ar putea da ca “temă de cercetare”, acum sau mai târziu, dar eu urmează să introduc numerele figurate triunghiulare de abia mai târziu).




Cam aceasta a fost prima oră, iar în ultima poză de mai sus găsiţi analiza de a doua zi a temei pe care au avut-o de făcut. De la aceasta se poate merge şi pe o linie de dezvoltare a reprezentărilor tot cu punctuleţe, dar eu am preferat să avansez înspre metoda cunoscută (care oricum, are avantajul că nu-i mai chinuie pe elevi cu desenarea atâtor punctuleţe). Pentru început, le prezint elevilor o variantă mai infantilă a obişnuitei metode de calculat suma S100. Există specialişti care spun că o minte de copil ar fi adunat natural 1 cu 99, apoi 2 cu 98 etc., adică 49 de sute şi încă una de la sfârşit, plus 50-ul de la mijloc. Se prea poate că aşa să fi adunat elevul Gauss. Apoi le arăt forma maturizată a metodei, cea cu adunarea lui 1 cu 100, a lui 2 cu 99 etc., care duce la 50 de perechi cu valoarea de 101.

Ce întrebare urmează? Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 1000, adică S1000. Aici fac o scurtă pauză în vorbire, cât să apuce să digere scurt sarcina,după care vin cu o completare: Cine este destul de vigilent, poate da rezultatul direct, fără calcule. Cel care se prinde “de poantă”, acela trăieşte o fericire mare. La trecerea de anul acesta, un elev a intuit răspunsul şi vă pot spune că, măcar un sfert de oră “a bătut foarte intens soarele” din acea zonă a clasei! Respectivul elev m-a chemat să văd răspunsul bănuit, i-am arătat un like!, dar i-am cerut să şi calculeze prin metoda nou învăţată, pentru a confirma răspunsul.

Cei mai mulţi s-au apucat să lucreze după model, după două-trei minute am scris şi eu pe tablă, apoi am rezolvat şi următorul exerciţiu (S10000), şi doar după aceea am cristalizat într-o scurtă recapitulare “modelul comportamental” al acestor rezultate (the pattern, pe engleză). În această scurtă analiză am mers desigur încă doi paşi în mod intuitiv, dând rezultatele sumelor până la 100.000 şi până la 1.000.000, fapt care este profund impresionant pentru elevi (elevii au dictat aceste răspunsuri, în urma scrierii primelor patru sume; între timp “se prinseseră” cei mai mulţi despre cum evoluează rezultatele acestea).

Pe fondul entuziasmului general am plusat cu o nouă “metodă”, spunându-le că eu am la această metodă impresia unui briceag: ne putem imagina toată suma împărţită “în două” pe la mijloc şi împăturită ca un briceag. Elevii reacţionează cu bucurie la această idee, cei mai mulţi reuşind să “vizualizeze” în minte această mişcare de împăturire. Aşadar am numit-o pe aceasta metoda briceag.

O idee similară am găsit-o demult într-o carte veche nemţească. Se vorbea acolo despre metoda stadion, prin stadion înţelegând forma stadioanelor apărută în Grecia antică, constând din două linii drepte unite de o singură turnantă (ce legătură are unitatea de măsură numită stadiu cu acest tip de stadion?). Şi această metodă le place elevilor, fiind o nouă imagine posibilă pentru vizualizarea fenomenului comportamental al numerelor din această etapă de rezolvare a Sumelor Gauss.

La temă am rezolvat primul exerciţiu în clasă (l-au rezolvat elevii, iar apoi l-am scris şi eu pe tablă, ca model). Din păcate, nu am fost atent şi am ales tocmai S36, care dă chiar “maleficul” 666. Părerea mea este că acest exemplu ar trebui evitat la clasele mici, meritând a fi lăsat ca surpriză pentru finalul clasei a VIII-a, unde îl căutăm din “partea cealaltă”, rezolvând o ecuaţie de gradul II pornind chiar de la “numărul bestiei” (am tratat acest subiect în postarea http://pentagonia.ro/matematica-biblie-suma-lui-gauss-1/). Consider că aceste informaţii sunt mult mai potrivite pentru elevii de peste 14 ani decât puiuţilor de a V-a.

La sfârşitul acestei de-a doua ore le-am atras atenţia elevilor că la începutul primei ore am făcut sublinierea pentru titlu, dar nu am scris efectiv unul. Care ar fi titlul acestei lecţii? E clar: Suma lui Gauss, şi toată lumea a răsfoit înapoi şi a scris titlul în locul rezervat la început.

La începutul celei de-a treia ore, la verificarea temei, le-am atras atenţia că toate sumele de la temă au fost “sume pare”, adică sume de la 1 până la un număr par. Analizând şi încercând “să optimizăm procedura” pe exemplul lui S48, am văzut că am înmulţit succesorul lui 48 cu jumătatea lui 48 (metoda briceag sau metoda stadion ne ajută la vizualizarea clară a ideii de jumătate).

Ce se întâmplă însă dacă vom lua o sumă impară? Spre exemplificare am luat una mai greu accesibilă minţii obişnuite a elevului de clasa a V-a, anume S157. Celor mai mulţi le-a venit foarte greu să depisteze care număr stă singur (adică desperecheat) pe turnantă. Eu nu am considerat că merită să ne afundăm cu toată clasa în lămurirea acestei întrebări. Dimpotrivă, am decis că această metodă este prea grea şi, bazându-ne pe acest verdict ca pretext, am “hotărât” că merită să căutăm ceva mai uşor pentru sumele impare (suma S2020 de la baza imaginii următoare a fost scrisă mai târziu şi nu trebuie citită în acest moment al lecţiei).

În acest moment am scos o nouă metodă din “jobenul de magician matematic”, anume metoda dublării: luăm suma impară de două ori, a doua oară scrisă de la ultimul număr la primul, obţinând astfel 157 (scrise cu roşu) de perechi cu valoarea de 158 (scrise cu verde). Obţinem astfel dublul rezultatului, iar la sfârşit trebuie doar să împărţim la 2 pentru a obţine S157. Este evident că această metodă funcţionează şi la sume pare.

Analizând pe un nou exemplu (S87) ce am făcut de fapt, vedem că am înmulţit ultimul termen al Sumei Gauss (87) cu succesorul său (88) şi am împărţit la 2. Putem astfel cristaliza metoda generală scrisă ca formulă, cunoscuta Sn = n ∙ (n + 1) : 2. Păstrând la generalizare pe aceleaşi poziţii culorile, elevii au un sprijin suplimentar în înţelegerea raţionamentului acestei formule. (în urma acestui moment am scris şi exemplul rezolvării cu această reţetă pentru o sumă pară, luând cazul S2020, având locul liber alături, în poza precedentă)

Aceasta a fost prezentarea pe scurt a lecţiei desfăşurată pe parcursul a trei ore (aşadar în trei zile succesive). A treia zi s-a încheiat în mod spectaculos cu citirea poveştii despre întâmplarea de la care a pornit totul, momentul când elevul Gauss a avut ideea de a calcula în cap S100 la clasă. Pentru asta mi-am rezervat ultimul sfert de oră din a treia oră şi, pe o linişte deplină, le-am citit elevilor cu intonaţie şi variaţii de ton întreaga poveste şi dialogul dintre Gauss şi învăţător. Găsiţi această poveste în postarea http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ (le citesc doar povestea până la plecarea elevului Gauss la Gimnaziu). Pe elevi îi impresionează puternic duritatea învăţătorului, realizând o conectare şi mai puternică din punct de vedere emoţional cu subiectul acestei lecţii şi cu personajul principal, un elev foarte deştept cu care mulţi s-ar identifica.

*

Să analizăm în continuare câteva aspecte metodice ale lecţiei în această formă. În primul rând, vedeţi că lecţia constă dintr-o colecţie de metode de calcul a Sumei Gauss, ordonate de la mic la mare, de la intuitivul figurat la abstractul unei formule. Astfel, mintea şi gândirea elevului sunt îndrumate pe o cale formată din paşi accesibili, urcând încet pe acest drum al abstractizării. Elevii care colaborează la acest proces sunt învăţaţi – încet dar sigur – să gândească, nu doar să-şi însuşească un mod străin de a rezolva o anumită sarcină. Ei sunt îndrumaţi pe parcursul acestor trei zile să privească din varii puncte de vedere asupra unei singure probleme, prezentă în diferite cazuri particulare, având astfel posibilitatea de a se împrieteni într-adevăr cu aceasta, prezenţa unui personaj copil în acest “film” ajutând puternic la “împrietenirea” elevilor cu Suma lui Gauss.

Pornirea la această mega-lecţie o am de la soţia mea, care a intrat la un început de an şcolar în prima oră la o clasă a V-a, după o oră la o clasă a XI-a, stresată şi fugărită în perioada când toată mintea îi era plină de făcutul orarului. Intrând în clasă şi văzându-i pe cei mici cu ochii mari şi speriaţi de “tanti asta aşa de avântată”, s-a frânat în avântul ei de profesoară de liceu (de câţiva ani preda doar la clase de ştiinţe), şi a exclamat: vai ce mici sunteţi!, după care, încercând să coboare la nivelul lor, a “scos” această sarcină: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10., apoi următoare etc. Seara, acasă, mi-a povestit şi aşa am preluat şi eu această foarte bună pornire, dar nu o fac în prima oră, ci după o scurtă cunoaştere de câteva ore (de pildă sub forma unei recapitulări a operaţiilor de bază, urmată de o minimă testare iniţială). Această pornire este foarte potrivită deoarece se conectează cu nivelul minim al elevilor după ciclul primar (S10), dar vine repede şi cu promisiunea unor elemente de gândire superioară (S20 etc.). În prezentarea de la începutul acestui eseu am folosit intenţionat cuvântul socotit pentru că la această vârstă elevii chiar socotesc din tot sufletul.

Căutarea unor metode mai eficiente decât simplul socotit (în ordinea scrierii numerelor) începe imediat, deoarece deja de la S20 mulţi elevi încep să greşească. Reprezentarea grafică, figurativă a numerelor ne duce probabil spre cea mai elementară formă de studiere a modelelor comportamentale ale acestor numere. Metoda îmi aparţine (dar nu cred că-i o mare invenţie), iar gândul ce a stat la bază a fost de a vizualiza fenomenul cât mai intuitiv.

Majoritatea celorlalte metode etalate în continuarea lecţiei sunt găsite în diferite cărţi vechi (româneşti sau din Germania) şi regret mult că nu le-am notat la vremea respectivă astfel încât să pot oferi surse clare (dar sigur nu îmi aparţin, cu excepţia acelei scurte idei de “briceag”, ca formă intuitivă pentru plierea sumei în două). Îmi aparţine însă în totalitate ideea de ordonare a acestei colecţii de rezolvări într-un mod crescător, în ordinea eficienţei rezolvărilor, etalând astfel în faţa elevilor un mic drum iniţiatic în ale gândirii matematice. În Şcoala Waldorf am găsit ideea de îndrumare spre o predare artistică, iar ceea ce am prezentat aici cred că poate fi caracterizat ca atare: această lecţie creează impresii profunde asupra elevului, aşa cum trebuie să genereze orice act artistic. Ca motto al acestei prezentări s-ar potrivi astfel vorbele D-nei Margareta Pîslaru: artistul este un creator (din emisiunea La Radio a  Andreei Esca, de sâmbătă 26 oct. 2019, de la Europa fm)

Creşterea nivelului de gândire într-un mod neaşteptat de puternic are asupra elevilor un efect covârşitor. Faptul că putem urca atât de repede pe această scară a sumelor, în paşi pe care ei îi pot cuprinde cu gândirea, aceasta îi impresionează puternic. Despre aceasta este vorba când se spune “predare artistică” a matematicii: avem “un film” al acţiunii care vine – într-un ritm accesibil, dar oricum mai alert decât în clasele primare, cu noi şi noi idei şi metode în jurul aceluiaşi “personaj matematic”, Suma lui Gauss, personalizată efectiv de imaginea elevului Gauss din clasa I. Faptul că în a doua oră suntem în stare să prezicem cu certitudine suma tuturor numerelor până la un milion – aceasta este o realizare pur şi simplu uimitoare pentru oricine.

Un alt aspect, avut în vedere de la început, este folosirea scrierii cu … (cu “puncte-puncte”), acolo unde ne dăm seama despre ce succesiune de numere avem, însă nu vrem sau nu putem scrie toate aceste numere. Din când în când mă opresc din pledoaria şi dialogul lecţie şi întreb clasa sau pe vreun elev anume câte numere sunt în această sumă?; nu de puţine ori răspunsul îmi arată că el “vede” doar numerele scrise fizic în acea sumă, neconştientizând că acolo mai sunt şi alte numere subînţelese în zona de “puncte-puncte”. Trebuie să punem des aceste întrebări pentru a ne asigura că mintea lor face pasul necesar spre abstractizarea scrierii şi că vom avea cât mai mulţi elevi care nu generează o frică “patologică” de exerciţiile cu “puncte-puncte”. Din păcate, experienţa îmi spune că peste tot rămân “victime” în urma acestui proces, elevi care nu au reuşit să facă acest pas de abstractizare, care nu s-au împrietenit cu ideea că multe numere nu sunt scrise dar trebuie să le gândim, elevi la care se declanşează automat spaima când văd un exerciţiu cu “puncte-puncte”.

Un alt moment dificil îl reprezintă depistarea termenului din mijlocul Sumei lui Gauss la o sumă impară (pe exemplul concret de la ora prezentată, la S157). Elevilor le vine foarte greu să găsească singuri, nepregătiţi, acest număr, iar eu folosesc respectiva stare generală pentru a cauza trecerea la o nouă metodă, una mai eficientă pe drumul către sintetizarea formulei generale.

Am numit-o pe aceasta metoda dublării (nu ţin minte dacă avea sau nu vreun nume acolo unde am văzut-o cu cca. 20 de ani în urmă). Atenţionez încă o dată asupra importanţei folosirii culorilor pentru a îndruma gândirea elevilor şi acasă când s-ar mai uita pe lecţie asupra diferitelor numere şi a jocului dintre acestea. Această metodă confirmă ceea ce am intuit deja la precedentele, iar în urma analizei acesteia putem sintetiza reţeta generală (înmulţim ultimul număr cu succesorul său şi împărţim la doi).

Un ultim pas îl reprezintă scrierea matematică a acestei reţete, folosind numărul general n (formula cunoscută). Din acest moment lecţia poate intra pe făgaşul cunoscut de către toată lumea. Eu personal m-am oprit în acest moment, nu am mai făcut nici măcar un exemplu, ci am trecut la cititul poveştii, lăsându-i pe elevi să “savureze” impresiile de gândire ale drumului parcurs (impresiile “filmului”).

În urma acestui proces de gândire putem trece la lecţia despre proprietăţile adunării: comutativitatea şi asociativitatea, adică la posibilitatea de a efectua adunarea termenilor unei sume după bunul plac. Această posibilitate a fost intens şi natural observată în metodele de calcul la Suma lui Gauss, iar pentru elevi aceste proprietăţi vin în mod natural şi evident.

La clasă voi reveni mai târziu la subiectul Sumei lui Gauss, cândva după ce voi fi studiat noţiunea de multiplu şi factorul comun. Atunci voi adăuga acestui drum două noi etape. Prima va fi o etapă aplicativă: ne vom aminti de formulă şi vom face cât mai multe exemple (cu temă corespunzătoare). Într-o a doua etapă vom putea calcula şi suma primelor n numere pare (nenule*) sau în general suma primilor multipli (nenuli *), desigur şi suma primelor n numere impare. (* remarcile respective sunt pentru cei hiper-pedanţi în ale limbajului matematic: ştiu să vorbesc şi aşa, dar în general nu o fac pentru a nu încărca textul; desigur că condiţia de nenul poate fi abandonată ş.a.m.d.)

Colecţia de “rezolvări” ale Sumelor Gauss nu se încheie aici: după învăţarea operaţiei de putere şi a ridicării la pătrat vom studia numerele figurate, iar atunci, anume la numerele triunghiulare vom constata că acestea sunt doar o reprezentare grafică a numerelor de tip Sumă Gauss. Cu ajutorul acestora vom putea da şi o variantă grafică la metoda dublării, arătând vizual cum se obţine formula respectivă (de pildă, suma S10 reprezentată la început cu punctuleţe în forma acelor triunghiuri cu valoarea 55 poate fi dublată în forma unui dreptunghi din punctuleţe cu laturile de 10 respectiv 11 punctuleţe, deci cu un total de 110 punctuleţe).

Închei amintindu-vă că subiectul Sumei lui Gauss a fost tratat în mod surprinzător şi de către jurnalistul şi scriitorul Cristian Tudor Popescu într-o emisiune la televizor (digi 24, 23 mai 2019), dânsul încercând să explice că înţelegerea unui proces de gândire precum calculul sumei S100 dezvoltă în om o capacitate superioară de gândire, care apoi îi va folosi toată viaţa, inclusiv în situaţii de a lua decizia în legătură cu o participare la vot (din păcate filmarea emisiunii sugerată în postarea din iunie a fost restricţionată şi nu mai este accesibilă publicului larg). Depinde doar de noi dacă dorim să folosim ocazia acestei lecţii pentru antrenarea capacităţilor superioare de gândire, sau dorim doar să bifăm rapid o nouă  lecţie, dând rapid şi concis formula şi exemplele de aplicare.

Da, şi uite-aşa am încălecat pe-o şa şi v-am spus o poveste de cinci pagini, uite-aşa. Cred că acum se înţelege de ce am amânat atât de mult redactarea şi prezentarea acestei teme (text redactat în weekend-ul 25-27 0ct. 2019). Cu respect şi fără pretenţia de a da lecţii altora, CTG.

Observaţii la începutul anului 3 (după noua programă)

Următoarele rânduri ne-au fost trimise drept comentariu la articolul Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor din ………2017. Redau comentariul întreg pentru că merită fiecare cuvânt. Mulţumesc! CTG şi QED

*

Observații la începutul anului 3 (după noua programă) 🙁

Mulțimi, segmente, unghiuri, divizibilitate și ecuații -clasa a VI-a.
Am stat mai bine de o lună la mulțimi, având o clasă medie, care nu a făcut nici o conexiune cu noțiunile predate în clasa a V-a.
La segmente și unghiuri am luat-o de la început ( sunt mulțimi de puncte, cu notații și tot meniul asociat, nu-i așa?), fără posibilitatea de a rezolva civilizat multitudinea de ecuații aferente.
Metodele aritmetice erau foarte bine predate de către învățători, acceptate și însușite de către elevi (fără exagerări, sume Gauss sau metoda ”algebrică”). Acum elevii intră în gimnaziu cu un bagaj matematic … extrem de modest, dar cu EN II și cu EN IV trecute cu succes!
Teorema lui Pitagora a devenit șarpele acestei programe.
Materia clasei a VII-a este extrem de lejeră, avem timp până și pentru jocuri didactice, În clasele V-VI nici vorbă de așa ceva (goana după olimpici).
Greul a rămas … pentru clasa a VIII-a.
Despre evaluare și mai ales despre Evaluarea națională din 2021 nu vorbește nimeni. Curriculum fără evaluare … nu există.

Poate nu am înțeles eu prea bine noua programă, dar am pierdut o groază de timp ! … A, peste trei săptămâni dăm teza. Atât.

Bravo, cu felicitări!

              

*

P.S. Merită evidenţiat un aspect surprins în acest comment, anume faptul că învăţătoarele puseseră la punct o formă de predare a problemelor de aritmetică care funcţiona de  bine, de rău, pe când profesorii au fost luaţi cu totul prin surprindere cu acestea. Profesorii n-au mai predat a metodele aritmetice de rezolvare a problemelor în ultimii peste 30 de ani, aşa că nu le stăpâneau. În plus mai este şi stilul de predare, inclusiv viteza, profund diferite de la învăţătoare la profesori. Cât despre EN trecută cu succes, dar cu un bagaj matematic modest, se repetă fenomenul din anii tezelor unice. Când vor înţelege cei care conduc matematica din România că primul moment când se poate da o EN fără urmări negative este la sfârşitul clasei a VIII-a? Când nu vor mai face experimente pe evaluarea elevilor?