Sisteme de ecuaţii – introducerea noţiunii în clasa a 7-a

De foarte mult timp, cam de 10 ani, îmi doresc să redactez o fişă de lucru pentru lecţia de introducere a sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (2 ecuaţii cu 2 necunoscute). Această fişă trebuia să aibă clar două părţi: I) Sisteme rezolvabile mai uşor prin metoda substituţiei, şi II) Sisteme rezolvabile mai bine prin metoda reducerii. În plus, sistemele trebuiau să îndeplinească condiţia de accesibilitate pentru cât mai mulţi elevi, pentru a nu-i respinge din start. Revenirea lecţiei în finalul clasei a 7-a, odată cu abandonarea stupidei metode grafice (în ultimii 10 ani camuflată prin poziţionarea sistemelor după funcţii), reprezintă pentru mine o mare bucurie (prietenii ştiu de ce!), ocazie ce merită sărbătorită cu un articol explicativ extins şi cu o fişă de lucru completă în acest scop.

Vedeta incontestabilă a acestui articol este fişa de lucru şi mă voi concentra pentru început pe prezentarea acesteia. De-abia apoi voi dezbate detaliat metodica predării şi toate gândurile şi argumentele legate de aceasta. Fişa de lucru este plină de sisteme simple la fiecare pas parcurs. Ideea de cuplare a două ecuaţii este oricum o sperietoare la adresa majorităţii elevilor, aşa că am păstrat nivelul cât mai scăzut. După această fişă, elevii capabili de mai mult vor putea urca pe scara dificultăţii cât vor dori (ei sau profesorul lor). Nivelul de bază însă, este foarte subţire reprezentat în marea parte a culegerilor sau a manualelor (o boală apărută odată cu apariţia primelor manuale alternative în 1997).

Pe lângă cele două părţi I) metoda substituţiei şi II) metoda reducerii, am mai mers încă un pas cu III) completări. Cele trei părţi sunt doar orientative, ele nefiind evidenţiate concret pe fişă. Am lăsat astfel libertatea fiecărui profesor de a parcurge fişa în ritmul în care doreşte (la clasele mele parcurg fişa în trei lecţii, dar pot să-mi imaginez clase unde să fie nevoie de mai multe ore, sau clase unde profesorul să parcurgă ideile de bază pe câteva exemple în jumătate de oră, după care să urce la exemple mai grele, iar fişa să rămână doar ca temă). Eu parcurg această temă în trei ore astfel:

Prima oră: aceasta începe cu scrierea titlului de capitol şi prezentarea noţiunii de sistem de ecuaţii pe cazul Ex.1) care este profund intuitiv (“ce vedeţi?”, “ce-am putea face?” etc.). Apoi vine Ex.2), care conţine deja amândouă necunoscutele în ambele ecuaţii. Dacă nu-şi du seama ce-i de făcut, atunci trebuie să le arătăm pentru început “mişcarea”. În a doua parte a acestei prime ore apare metoda substituţiei, care este prezentată în doi paşi. La Ex.3) le vom arăta elevilor cum se face substituţia (dacă nu are careva ideea, desigur). Apoi luăm şi Ex.4) cu întrebarea “cum am putea şi aici să facem substituţia?”. După părerea mea valabilitatea practică metodei substituţiei, pentru elevii de rând, se limitează la cazurile când este posibilă exprimarea unei necunoscute fără fracţie din cealaltă; dacă apare o exprimare fracţională, atunci mai bine aplici metoda reducerii.

A doua oră: aceasta aduce metoda reducerii parcursă în paşi mici, odată cu evoluţia amplificărilor pe ecuaţii. Această metodă preia încet, la un alt nivel, gândirea dezvoltată deja la adunarea şi scăderea fracţiilor prin aducerea la numitor comun, în fiecare caz printr-o amplificare cât mai redusă, cu un efort cât mai mic. În a doua oră parcurgem Ex.5)-8). Desigur că şi aici va trebui să le arătăm la început măcar pe unu-două exerciţii cum funcţionează metoda. Apoi trebuie să avem răbdare ca elevii să descopere restul lecţiei odată cu complicarea exerciţiilor

A treia oră: aceasta este doar o oră de exersare şi combinare a celor două metode principale, cât şi de extindere în câteva direcţii a nivelului de complexitate. Cea mai bună cale de combinare a celor două metode ar reprezenta-o situaţia sistemelor de trei ecuaţii cu trei necunoscute, dar aceasta sigur nu este o sarcină de făcut în a treia oră din clasa a 7-a. Oricum, această a treia oră duce elevii până la nivelul de nota 7-8 la examenul de Evaluare Naţională.

Fiecare pas de învăţare prezintă 5 exerciţii. Acestea sunt gândite astfel încât să fie parcurse două exerciţii de cunoaşterere şi înţelegere a pasului respectiv la clasă, iar restul ca temă de casă. Astfel, la exerciţiile 1-8, cât şi la 10 şi 11 am ales pentru a fi parcurse la clasă exemplele a) şi b), pe când celelalte trei să rămână ca temă. Punctele centrale ale fişei, exerciţiile 4 şi 5, conţinând aplicaţiile de bază din cele două metode principale sunt reprezentate de pachete cu câte 10 exerciţii. Aici vom putea insista mai mult, de pildă făcând primele patru la clasă şi lăsând restul ca temă, păstrând astfel raportul clasă la temă egal cu 2 la 3..

În structurarea fişei am făcut o detaliere meticuloasă a drumului de parcurs (poate pentru unii excesivă) din motive foarte clare, anume pentru că mulţi elevi au nevoie de câteva exerciţii de fixare la fiecare pas logic. În afara claselor selectate, în cele mai multe clase numărul celor care au nevoie de o astfel de viteză de avansare prin materie (uşor clasificabilă ca “lentă” sau chiar “extrm de lentă”), numărul acestora ajunge sau chiar trece de 50% (viitorii analfabeţi funcţionali matamatic, dacă nu încercăm cumva să preîntâmpinăm fenomenul şi să vorbim la ore şi pe mintea lor).

Majoritatea sistemelor de ecuaţii întâlnite sunt cu necunoscutele x şi y dar, pentru a nu genera o dependenţă de nesurmontat faţă de acestea, am inserat în fişă unele sisteme de ecuaţii cu alte perechi de necunoscute. Aspectul este important şi prin prisma folosirii ulterioare la rezolvarea unor probleme ce pot fi puse în sistem (a fiind suma de bani a lui Andrei iar b suma de bani ai lui Bogdan, de pildă). Undeva, pe la sfârşit, chiar am scăpat şi un sistem cu una dintre soluţii 0(zero).

Forma aceasta de organizare a fişei mi-a apărut clar în minte în toamna lui 2019 la o oră de consultaţie cu clasa a 8-a (după două săptămâni de lucru la clasă şi o lucrare slabă la foarte mulţi elevi), când mi-am dat seama că trebuie să o iau de la capăt cu lecţia, ordonat cam în acest fel, dar mult mai detaliat pentru marea parte a elevilor, care erau doar bulversaţi la maxim de noua “arătare” de la ora de matematică. Mergând aşa, în paşi mici din punct de vedere logic, i-am văzut luminându-se la faţă şi începând să lucreze pe cont propriu, fără să mai copieze de pe tablă (uitându-se doar la sfârşit şi bucurându-se şi ei că le-a dat rezultatul de pe tablă).

Bine, bine, veţi spune, dar cu elevii buni ce facem? Ştim toţi ce facem cu elevi buni, cu vârfurile claselor, că de obicei numai de ei ne preocupăm şi numai de ei vorbim, pentru că ei sunt cei care ne oferă situaţia de a ne lăuda. Aşa am fost setaţi ca să vedem doar satisfacţia muncii legată de cei mai buni. Manualele şi culegerile sunt pline de material de lucru pentru aceştia. De data asta, la această fişă, cei buni primesc o altfel de provocare: să facă ei lecţia, adică să găsească ei cum să jongleze cu ecuaţiile alea, astfel încât să izoleze cumva câte o necunoscută pentru a o găsi. Predarea prin problematizare le vine cu totul în întâmpinare, dar nu într-un mod de dopare cu noi şi noi chestii grele, ci punându-i în situaţia de a se descurca pe baza gândirii lor pe situaţii nemaivăzute şi fără a le fi explicaţi – pe cât posibil – cum se fac respectivii paşi. Cei buni pot face la viteză, în timpul orei, încă un al treilea exerciţiu, rămânând cu mai puţină temă. Dar de data asta, fişa este în egală măsură şi pentru elevii medii şi mai ales şi pentru cei de la “coada plutonului”, cei care de obicei nu rămân cu nimic după ora de matematică. Şi ei merită un pic de atenţie; şi ei sunt elevii noştri. (Cu cât lucrăm mai mult la nivelul înalt al lecţiilor, neglijând masiv nivelul de bază al lecţiei, cu atât mai mult obţinem o creştere masivă a grupului care nu a înţeles nimic la lecţie şi rămâne “de căruţă”. Iar apoi ne mirăm de unde avem aşa de mulţi elevi cu rezultate slabe, de pildă la Studiul PISA. Elevii mai înceţi la matematică au şi ei nevoie de ore pe mintea lor.)

După cum am mai spus, paşii mici prin care evoluează exerciţiile de pe această fişă sunt deosebit de potriviţi pentru predarea lecţiei prin problematizare la care să se implice toţi elevii doritori. Predând în acest fel sunt sigur că elevii buni ai clasei vor vedea singuri ce pas trebuie făcut la fiecare nou exerciţiu, astfel încât profesorul să se limiteze doar la propunerea exerciţiilor şi la unele eventuale întrebări ajutătoare (eu aşa predau de aproape 10 ani şi merge de minune!). Singurele locuri unde probabil ar trebui intervenit de către profesor printr-o “hai să vă arăt cum se face:” vor fi la primele exerciţii din cele două metode de bază (pasul de substituire, respectiv reducerea prin reducere simplă). Deja la situaţii unde să fie nevoie de o amplificare pe una dintre ecuaţii s-ar putea ca un elev din clasă să sesizeze ce trebuie făcut (dacă nu, atunci le arătăm tot noi). Apoi elevii preiau din nou lecţia, profesorul trebuind doar să se rezume la formalităţi (acum trecem la nivelul următor etc.)

Fişa nu conţine exerciţii din lecţia premergătoare, anume despre ecuaţii cu două necunoscute. Eu fac scurt această lecţie, anume studiind 2-3 exemple de astfel de ecuaţii la care elevii să găsească câteva perechi de soluţii posibile, până se lămuresc că există un număr nesfârşit de astfel de perechi, însă nimic mai mult. Observ în mod ciudat cum unii colegi dau acestei lecţii la fel de mult timp cât dau apoi şi lecţiei despre sisteme; este o atitudine aberantă, atât din punct de vedere metodic, cât şi din punct de vedere al importanţei lecţiei. Este evidentă aici strădania inoculată în mentalul profesorilor şi ajunsă la nivel inconştient, de a te preocupa foarte mult de teme şi subiecte ce pot duce către aplicaţii specifice nivelului de olimpiade. Dimpotrivă, sisteme de ecuaţii nu se dau la concursuri, fiind o lecţie elementară, aşa că nu pierdem timpul cu aceasta (“avem lucruri mai importante de făcut”). Cum să faci o oră despre ecuaţii cu două necunoscute, cu tot felul de scrieri elaborate ca perechi ordonate de numere, iar apoi să faci sistemele de ecuaţii, ambele metode într-o oră? Fişa despre sisteme poate însă funcţiona foarte bine şi fără lecţia despre ecuaţii cu două necunoscute (eu nu ţin minte să fi făcut o astfel de lecţie în gimnaziu). Cât despre continuarea lucrului şi după finalizarea fişei, cu sisteme tot mai dificile (de pildă cu coeficienţi raţionali sau iraţionali), desigur că colegii profesori vor putea decide fiecare în funcţie situaţia concretă a elevilor strategia de creştere a dificultăţii sistemelor studiate, manualele şi alte auxiliare stându-ne desigur la dispoziţie.

Un gând deosebit am acordat alegerii soluţiilor acestor sisteme, anume strădaniei de a introduce această lecţie doar cu soluţii numere întregi. Această strategie se bazează pe următorul gând: atunci când introduci un item nou este bine să păstrezi “ambientul” la un nivel corespunzător “zonei de confort” a clientului tău educaţional. Pentru mulţi elevi noutatea lecţiei reprezintă un şoc în sine. Apariţia a două necunoscute simultan şi a unei a doua ecuaţii (plus acolada aia ciudată pe care mulţi o tot uită), toate acestea îl stresează pe elevul mediu, dar mai ales pe cel slab, punându-i un fel de “ceaţă pe creier”. Aici apare gândul de a nu-l stresa suplimentar prin diverse soluţii fracţionare, ci de a-i oferi un “ambient”, o situaţie numerică în care să se simtă mai în largul său. După ce ajunge să cunoască şi să stăpânească procedurile din cadrul lecţiei despre sisteme de ecuaţii, după aceasta poate fi confruntat şi cu soluţii fracţionare, mai ales dacă îl şi avertizăm (“ai grijă că acum am pus şi câteva cu fracţii”). Astfel, pentru a veni în întâmpinarea elevilor medii sau slabi la matematică, am decis de mult timp să rămân măcar în primele ore în zona numerelor întregi. Cei care pot face pasul la fracţii nu vor întimpina dificultăţi ulterior acestei fişe, pentru că au înţeles paşii de bază ai sistemelor. (Acelaşi principiu îl folosesc şi la teorema lui Pitagora: stau cel puţin 2-3 ore în zona de numere întregi (tripletele pitagorice, cu rădăcina dintr-un număr pătrat) şi îi las să cunoască utilitatea teoremei pe amalgamul de figuri şi calcule de arii şi perimetre. Doar apoi încep să- conduc pe elevi şi spre rezultate iraţionale sau spre utilizarea în teorema lui Pitagora a unor lungimi iraţionale.)

Această strategie de introducere a unei lecţii noi, la început doar pe cazuri de numere întregi, trebuie făcută însă cu grijă, pentru a nu cădea în penibil. Pe la jumătatea anilor ’90 exista o culegere care avea două pagini pline de sisteme. Toate în, afară de un singur caz, aveau soluţia x = 1 şi y = 1. Este evident că şi elevii râdeau de profesorul care dădea o astfel de temă. Pentru actuala fişă m-am străduit să nu repet greşeala respectivă.

O ultimă observaţie mai am la adresa materialului din fişă, anume despre Ex.2) şi sistemele rezolvabile prin metoda tranzitivităţii. Am întâlnit pagini întregi din astfel de exerciţii într-o culegere veche nemţească şi de atunci le arătăm elevilor noştri şi astfel de sisteme, explicându-le metoda de lucru. Iar, pentru că totul la noi are de obicei şi o denumire, am denumit-o conform proprietăţii folosite. Eu folosesc această metodă ulterior la funcţii, la problemele cu determinarea intersecţiei graficelor a două funcţii (înlocuind f(x) şi g(x) cu y, obţinând ecuaţiile ataşate funcţiilor respective, obţinem un sistem ce se rezolvă banal cu această metodă; în aceste situaţii arată stupid când un elev începe să-şi ordoneze mai întâi sistemul pentru metoda reducerii). Dincolo de orice aplicabilitate însă, această metodă ne oferă în clasă o primă ocazie de a acţiona cu două ecuaţii cu câte două necunoscute simultan, fără însă a avea ceva foarte greu de înţeles Accentuez iarăşi: când introduc ceva nou, o fac într-un context cât mai paşnic, cât mai comod şi accesibil pentru majoritatea elevilor, astfel încât aceştia să nu se sperie de două lucruri noi simultan: atât apariţia ambelor necunoscute în amândouă ecuaţiile – chestie ce reprezintă un şoc în sine pentru cine nu s-a mai confruntat cu aşa ceva – cât şi cine ştie ce metodă prea complicată, din prea mulţi paşi, metodă care-i sperie “mintiuca lui stresată de matematică” (o elevă tare simpatică avea o vorbă pe vremuri: “staţi numai un pic, că neuronul meu nu mai poate”). În plus, trebie să înţelegem şi contextul momentului, adică să ne punem în locul elevului slab: el tocmai a primit o fişă plină de “nişte chestii” foarte dubioase şi se gândeşte doar “eu pe astea va trebui să le fac, pe toate?”. Revenind la metoda tranzitivităţii, sper că se vede că i-am dat acestei metode atenţia cuvenită, adică i-am dat atenţie, dar doar puţin, atâta cât merită şi nimic mai mult.

*

Părăsind fişa de lucru propusă, rămânem să mai analizăm alte câteva aspecte legate de metodica şi didactica predării sistemelor de ecuaţii în gimnaziu. Este nevoie de această parte pentru că tema respectivă a fost văduvită masiv de o stare de normalitate în şcolile româneşti timp de aproape 40 de ani! Pentru a înţelege despre ce este vorba, haideţi să analizăm puţin filozofia nivelelor de gândire legate de sistemele de ecuaţii.

Propun mai întâi o scurtă analiză faptică a evoluţiei acestei lecţii în ultima jumătate de secol (niţică istorie, că multă lume nici nu ştie despre ce-i vorba şi ce tot “mă cânt” aici).

Primul nivel al sistemelor de ecuaţi este cel corespunzător nivelului de rezolvare a ecuaţiilor de gradul I, cu gândirea specifică claselor 6-7 gimnaziale. Din acest punct de vedere metoda substituţiei este cea mai pură. Metoda reducerii are la bază o proprietate mai rar folosită în clasele gimnaziale (din a = b şi c = d rezultă a + c = b + d), fiind însă mult mai rapidă (uneori prea rapidă şi netransparentă pentru elevii mai “începători” în ale gânditului). Din acest punct de vedere este evident că ordinea naturală, potrivită elevilor, este cu metoda substituţiei prima, urmată de metoda reducerii. Din punct de vedere al raţiunii, metoda substituţiei este o metodă “mai băbească”, mai primitivă, şi din acest motiv se potriveşte a fi parcursă prima. Dimpotrivă, metoda reducerii este una mai evoluată din punct de vedere al gândirii, este o metodă “mai turbo” şi se prezintă ca o rezolvare mult mai eficientă decât cealaltă. Dar această comparaţie poate fi făcută doar dacă o cunoşti deja pe cealaltă (altfel, în mintea elevului, rezolvarea prin metoda reducerii rămâne doar una dintre multele chestii care se învaţă la orele de matematică).

Astfel, în cazul metodei reducerii predată prima, mulţi elevi nici nu-şi dau seama clar “ce s-a întâmplat”, metoda reducerii având pentru început un efect de “cutie neagră” asupra majorităţii elevilor (toţi înafară de cei foarte buni şi familiarizaţi în general cu raţionamentele matematice). În această ordine, cei mai mulţi elevi ratează clar valoarea de surpriză plăcută a metodei reducerii faţă de metoda substituţiei.

În plus, parcurgând mai întâi metoda reducerii, vom obţine evident o stare de opoziţie din partea elevilor la adresa metodei substituţiei: “de ce trebuie să mai învăţăm această metodă bleagă, de vreme ce ştim să rezolvăm sistemul mai uşor?”. În acest fel metoda substituţiei este evident condamnată la neînvăţare din partea majorităţii elevilor. De ce ar face cineva aşa ceva? Eu nu pot înţelege această mişcare, pentru că inversarea ordinii acestora duce în mod automat la posibile instabilităţi în formarea gândirii legate de sistemele de ecuaţii. Din păcate, acesta este şi cazul abordării în unele manuale (deşi în programă este dată ordinea naturală: metoda substituţiei, şi doar apoi metoda reducerii).

Care ar fi avantajul parcurgerii mai întâi a metodei reducerii? Unul foarte pragmatic, de tipul “haide să-ţi arăt cum se face” şi să mergem mai departe. Pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi, ideea de a-i da elevului imediat o metodă rapidă şi eficient utilizabilă este desigur un gând deosebit de atractiv. Repet: pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi. Dimpotrivă, este evident că pentru cineva care are o coardă sensibilă pentru ideea de formare a gândirii la elevi, pentru un astfel de profesor este absolut normal să apară o stare de nedumerire.

Pe de altă parte, la aceste două metode elevii trebuie să lucreze ceva mai mult, pentru a fi siguri că tot ce urmează se poate aşeza pe un fundament solid. Din păcate însă, marea majoritate a autorilor de culegeri sau manuale nu îşi iau timp şi spaţiu pentru a cuprinde în zona respectivă de exerciţii suficiente exemple de bază, pentru a fi siguri că marea majoritate a elevilor au înţeles şi şi-au însuşit cele două metode. Astfel, de pildă, într-un manual actual am găsit o reprezentativitate extrem de slabă a exerciţiilor de bază, din punct de vedere al aspectelor exprimate aici: cumulat la ambele metode, în acest manual sunt cu totul 9-10 sisteme în forma elementară de bază, iar asta se referă la nivelul exerciţiilor la care ne aşteptăm ca toţi elevii să le stăpânească (aşa-numitele exerciţii“de nota 5-6”). În auxiliarul însoţitor al manualului la care m-am referit mai sus, exemplele simple sunt mai bine reprezentate: undeva până în 15 exemple la fiecare dintre cele două metode (dar acestea sunt evident accesibile doar în cazul achiziţionării).

La “capătul celălalt al şcolii”, adică în liceu, se află teoria superioară a sistemelor şi rezolvarea acestora în principal prin determinanţi în clasa a 11-a la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info. Între aceste două nivele evoluează gândirea rezolvării sistemelor de ecuaţii. Primul nivel prezintă câteva extensii posibile (cuprinse sau nu în programa oficială), extensii care însă stabilizează simţul pentru sisteme de ecuaţii.

Mai întâi există, chiar în clasa a 7-a, rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor învăţate (în funcţie de alambicitatea textului, punerea în ecuaţii a unuei probleme putând fi uneori deosebit de dificilă). Între acestea apar surprinzător câteva probleme de geometrie care generează în mod neaşteptat ecuaţii destul de uşoare.

O altă extensie posibilă o reprezintă sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute, care nu sunt deloc atât de “extraterestre” cum consideră unii. Pe când eram elev iubeam sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ca profesor într-o şcoală cu o atitudine mai liberă, am făcut deseori astfel de sisteme în clasa a 8-a (o oră poţi găsi uşor ca profesor dacă înţelegi motivaţia). Avantajul lor uriaş este că folosesc de multe ori ambele metode de bază, ajutându-i astfel pe elevi să le înţeleagă cu adevărat şi în profunzime, în ce situaţie anume se potriveşte mai bine metoda substituţiei şi în ce situaţie mai bine metoda reducerii. Această argumentaţie ar fi suficientă pentru o astfel de oră. Dar, în plus, se poate întâmpla să apară sisteme de 3×3 chiar în probleme din procesul de pregătire a EN. Haideţi să vă dau un exemplu dintr-o culegere actuală (Ed. Paralela 45, EN VIII Consolidare, Gh. Iurea ş.a. 2019, pag. 101,Testul 15). Generatoarea conului este cu 4 cm mai mică decât triplul razei cercului de bază, iar înălţimea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei. Apoi se cer dimensiunile conului.

O a treia extensie posibilă a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute o reprezintă conexiunea acestora cu funcţiile de gradul I studiate în clasa a 8-a. După cum am spus, multe probleme de la funcţii pot fi transformate în sisteme de ecuaţii prin transformarea f(x) = y şi scrierea ecuaţiei ataşate funcţiei. Desigur că aici stă pitită după tufiş rezolvarea sistemelor de ecuaţie prin metoda reprezentării grafice a dreptei soluţiilor. Stă pitită după tufiş, ruşinată pentru cât rău a făcut în minţile elevilor şî în matematica şcolară timp de 40 de ani (!).

Revenind la sistemele de 3×3, o altă argumentaţie în favoarea parcurgerii unei lecţii despre acestea chiar în gimnaziu este următoarea: dacă nu le facem prin aceste metode de gândire “bazic” din gimnaziu, elevii care ajung să le studieze prin determinanţi în liceu trag în mod natural concluzia că sistemele 3×3 se pot rezolva doar prin metodele învăţate în liceu. Din combinarea metodelor de bază “gimnaziale” rezultă apoi în clasa a 11-a metoda lui Gauss, ce reprezintă la rândul ei un preambul de nivel intuitiv pentru rezolvările prin determinanţi. Majoritatea profesorilor nu dau atenţie acestor conexiuni de transformare şi evoluţie a gândirii, păstrând parcă intenţionat fiecare metodă într-o zonă a cunoaşterii automate, fără nici măcar un pic de înţelegere (parcă ar preda după principiul “elevii trebuie să ştie să rezolve exerciţiile, nu să le şi înţeleagă”).

Dar unde să facem sisteme de 3×3 în gimnaziu, atâta vreme cât programa oficială nu le include? O variantă (de care m-am folosit în ultimii ani) este să le cuprindem într-o oră din începutul clasei a 8-a, la “recapitulare şi completări”. Le-am putea face şi ca un fapt divers în săptămâna “şcoala altfel”, în clasa a 7-a, dacă am parcurs sistemele 2×2 până atunci, sau în clasa a 8-a, aducând atunci şi exemple ca cel de mai sus (ştiu că nu seamănă a excursie, aşa cum bine mersi am transformat noi, românii, o idee interesantă de lucru într-o opurtunitate de a face mai puţină şcoală). Oricum, dacă vrem, atunci se găsesc soluţii de integrare. Şi, nu trebuie insistat tare mult: cam 5-6 exemple dintr-o culegere veche de-a lui Gheba, apoi încă 3-4 date ca temă şi gata. C.T.G.

P.S. În aceste vremuri de izolare la domiciliu, nutresc speranţa ca acest material să fie la fel de folositor şi în cazul în care nu ne vom întâlni pre repede din nou cu elevii noştri. Încerc să gândesc un format prin care să-i putem ghida pe parcursul acestei lecţii de la distanţă. Desigur, putem să le sugerăm să se uite în manuale, dar atunci s-a dus pe apa Sâmbetei toată predarea prin problematizare.

SistemeEcuatii-FisaLucru.pdf

Biziday despre starea şcolii româneşti (3)

Moise Guran – pe când era încă jurnalist – a vorbit la Pastila Biziday de la Europa fm din 5 dec. 2019 sub titlul Cum se face că avem un preşedinte inspector şcolar şi un fost premier analfabet funcţional despre realitatea învăţământului şcolar românesc. Să analizăm în continuare pasajele legate de inspecţia la clasă.

Doamna Monica Anisie, actualul ministru al educaţiei este şi ea un fost inspector şcolar, la fel ca şi Preşedintele Klaus Iohannis. Trebuie că şi D-na Anisie şi Dl Iohannis au asistat de nenumărate ori la numerele de dresaj cu copii numite “lecţie deschisă”, “inspecţie la clasă”, “examen de grad”. Aceasta este metoda de evaluare a calităţii profesorilor în România: o şcenetă anunţată, repetată înainte, în care copiii ştiu ce întrebări va pune doamna la clasă, doamna ştie ce copii trebuie să răspundă şi la ce întrebări fiecare, iar un inspector plictisit ştie că asistă de fapt la un “montaj literar artistic”. (…)

Fără a generaliza şi fără a arunca anatema asupra (…) tuturor profesorilor, adevărul este că nu ştim în acest moment câţi dintre cei rămaşi în sistemul de educaţie mai sunt altfel, mai predau adică la clasă şi demnitatea umană. Pentru că, vedeţi dumneavoastră, după ce importantul personaj – inspectorul – părăseşte lecţia deschisă, profesorul le poate dicta copiilor dintr-o carte, aşa cum au mărturisit foştii elevi ai Vioricăi Dăncilă, de exemplu că făcea aceasta, le poate vorbi urât, poate urla la ei, le poate arăta semne obscene, şi credeţi-mă că nu vorbesc din teorie, sau – mai des – le poate preda plictisit şi mecanic o lecţie de la care cel mai des şi copiii şi profesorul absentează în realitate, chiar dacă sunt cu toţii acolo în clasă, înecaţi în formalism.

*

Eu consider că cel mai important punct al acestui citat îl reprezintă demnitatea umană. Cel care nu are în el demnitatea umană, acela şi-a ratat cariera, acela nici măcar nu ar avea voie să intre într-o clasă! Şi spun atât de hotărât acest gând datorită unui fapt puţin cunoscut şi deloc luat în seamă despre învăţământ: imitaţia!

Imitaţia este singura cale prin care copiii învaţă şi se formează până la vârsta de 7 ani. Orice aparentă învăţare raţională, pe bază de explicaţii, înainte de această vârstă este o falsă învăţare şi o dăunătoare intelectualizare mult prea timpurie. Doar după împlinirea vârstei de 7 ani încep să se deschidă în mod realist canalele de învăţare explicativă şi dobândire conştientă şi activă de cunoştinţe pentru creierul uman. Totuşi, acumularea de comportament, atitudine şi “felul de a fi” are loc în continuare şi după vârsta de 7 ani, predominant tot prin imitaţie, iar prezenţa în faţa clasei a unui personaj precum Viorica Dăncilă, par examplu, produce pagube greu de imaginat în marea masă a populaţiei şcolare cu care aceasta a interacţionat. Dacă dorim educarea demnităţii umane la întreaga populaţie şcolară, atunci trebuie să avem grijă ca în faţa claselor să ajungă doar persoane cu o solidă demnitate umană. Cum s-ar putea face chestia asta, asta este un alt subiect.

Dar să revenim la inspecţia la clasă. Îmi permit să vorbesc atât de degajat şi fără jenă despre acest subiect pentru că eu m-am înscris de mai multe ori la ţinerea unei lecţii deschise cu colegii din cercul metodic, şi pot povesti câte ceva suplimentar faţă de modelul tipic prezentat de Moise Guran (în plus, am mai ţinut şi o lecţie deschisă pentru care am fost desemnat să o ţin). Cele mai multe au ieşit bine sau foarte bine, dar despre ultima nu mă pot lăuda (sper să reuşesc în curând o analiză a acestei ultime ore, pentru că atinge câteva subiecte foarte actuale în finalul lui 2019).

Pe lângă acestea au fost şi inspecţiile pentru examenele de grad. Desigur că îţi pregăteşti aceste lecţii în mod deosebit. De ce? Pentru că de aia sunt făcute, ca să vadă musafirii ceva deosebit! Ţine de felul nostru de a fi; de a fi o “gazdă bună”.

Aşa suntem noi: dacă mergi în străinătate pe la rude şi prieteni (plecaţi din România), te vor ospeţi din plin. Dacă vei merge la prieteni străini, atunci cel mult te vor informa că poţi să te serveşti din frigider cu ce este şi îţi vor spune eventual unde este cel mai apropiat magazin. Ce-i drept, vor organiza şi o masă deosebită sau te vor scoate la restaurant, dar totul departe de strădania deosebită a “românului” de a te îndopa până îţi va veni “să explodezi” de atâta mâncare. Dar să revenim la orele cu “musafiri” la clasă.

Desigur că lecţiile deschise sunt deosebite de restul orelor şi asta se întâmplă din multe cauze. Nici măcar nu-mi pot permite într-un astfel de eseu să fac o analiză exhaustivă, atât de multe cauze există. Voi evidenţia doar două: una care ţine de cel inspectat şi una care ţine de cel aflat în vizită, ambele coexistând într-un fel de simbioză de nimeni analizată în mod realist. Pe de o parte este “gazda”, cadrul didactic care ţine ora respectivă şi care are desigur îndoieli asupra sa: oare, în realitate, corespunde el cerinţelor? Oare câte lipsuri are el, câte deficienţe prezintă activitatea sa de zi cu zi? Şi întrebările la adresa propriei persoane pot continua cu diferite nuanţe “mult şi bine”, dar acestea sunt ţinute ascunse în cotloanele personale cele mai adânci. Oare câte din acestea vor fi vizibile la lecţia deschisă, punându-te într-o poziţie vulnerabilă? Pe de cealaltă parte este “musafirul”, care însă nu se comportă neapărat ca un veritabil musafir, ci se crede de multe ori îndreptăţit în a critica, prin poziţia sa; starea societăţii noastre a ajuns chiar în faza în care aceşti musafiri se cred uneori chiar datori de a te critica, a-ţi găsi mici chiciţe de care să se lege, în cazul lipsei unor aspecte evident greşite.

Cine are impulsul de a spune că aceasta este o atitudine normală, acestuia îi precizez că nici vorbă; am avut mai multe ocazii să particip (ca director în Şcoala Waldorf) la ore ale colegilor alături de musafiri din Germania, veniţi să verifice calitatea şi nivelul waldorfului din şcoala noastră, şi trebuie să precizez că atitudinea acestora este una profund diferită de ceea ce suntem noi obişnuiţi.

Aruncând o privire sumară chiar şi numai asupra acestor două aspecte, şi înţelegem imediat cât este de dificil momentul unei lecţii deschise şi de ce oamenii se străduiesc să le facă deosebite. Asta nu-i scuză însă pe cei care prezintă “ore false”. Una este să prezinţi o oră cât mai bine pregătită, chiar regizată în mintea ta până în cel mai mic detaliu, şi alta este ca toată această pregătire să fi fost repetată şi exersată dinainte cu elevii. Nici nu vreau să discut de astfel de cazuri. Simt că m-ar îngreţoşa până la extrem.

Prefer dimpotrivă să vă povestesc două întâmplări din experienţa mea cu cu inspecţiile avute la clasă. Alte întâmplări de la ore deschise sau de inspecţie le voi povestii în articole viitoare separate, împreună cu conţinutul care a fost în aceste cazuri deosebit faţă de lecţiile cunoscute de toată lumea. Până atunci însă aş dori să vă povestesc cum mi-am permis eu “să fentez” sistemul într-un mod cât se poate de cinstit, ajungând chiar să-i povestesc după oră inspectorului despre ce am făcut.

Prima lecţie evocată a avut loc în primăvara lui1998, cu ocazia inspecţiei pentru gradul II (la vremea respectivă încă nu se făceau tot felul de preinspecţii). Aveam două clase în Şcoala Waldorf şi două clase în şcoala tradiţională unde eram titular. Ca inspector urma să vină o Doamnă Profesoară (profesoară cu P foarte mare!) total deosebită: în primul rând pentru că fusese colegă cu părinţii mei în facultate, astfel încât cădea din start posibilitatea unei atitudini prea severe la inspecţie; pe de altă parte aveam un respect apropiat de frică faţă de dânsa, pentru că era unul din autorii manualelor de geometrie pentru clasele 9-10 după care învăţasem în liceu (pentru mine era un fel de semizeu). Dar aveam şi eu ambiţiile mele: vroiam să folosesc ocazia pentru a-i dovedi unei mari personalităţi de ce sunt eu în stare, dar mai ales de faptul că Şcoala Waldorf nu este o şcoală pentru copii cu probleme la învăţătură, aşa cum susţineau cei mai mulţi.

Ne înţelesesem să fac două ore de aritmetică şi algebră la casele de la şcoala tradiţională şi două ore de geometrie care erau legate la clasa a VI-a din Waldorf (la vremea respectivă patrulaterele erau în clasa a VI-a, după triunghiuri). Atenţia cea mai mare a mea era asupra orei duble de geometrie, unde oricum mă simţeam cel mai în largul meu. Pentru a o impresiona pe Doamna Profesoară îmi pusesem două obiective clare pentru această oră: să fac o problemă “de olimpiadă” şi o problemă pe care dânsa să nu o ştie. În plus, totul trebuia să se lege impecabil, iar clasa trebuia să funcţioneze cum trebuie prin elevii buni pe care mă puteam baza. Dar nici prin cap nu-mi putea trece să fac o şcenetă anunţată şi înainte repetată, aşa cum vorbeşte Moise Guran.

Puteam însă să fac cu o zi înainte o lecţie de factură similară, astfel încât elevii să fie cumva setaţi pe lungimea de undă dorită. Practic, am regizat două ore duble în cascadă, în două zile consecutive. Prima oră din cele două din ziua precedentă aducea linia mijlocie în triunghi, iar a doua venea cu probleme în care linia mijlocie în triunghi se aplica în situaţii combinate împreună cu mediana pe ipotenuză şi altele. Apoi, în prima din cele două ore de la inspecţie urma să studiem linia mijlocie în trapez, iar apoi probleme combinate împreună cu linia mijlocie în triunghi, mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o etc.

Pentru inspecţie găsisem o problemă cu linia mijlocie în trapez şi mediana pe ipotenuză, ce fusese dată la olimpiadă în acel an, şi care se potrivea perfect cu întregul demers. Mai îmi trebuia o problemă pe care Doamna Profesoară să nu o cunoască, pentru a o impresiona profund, dar pe care elevii mei să o ştie face, chiar dacă desigur nu-mi permiteam să le-o arăt dinainte. Concluzia era clară: aveam nevoie de două probleme similare, una cu linia mijlocie în triunghi şi una cu linia mijlocie în trapez, amândouă inventate de mine, plecând de la premiza că dânsa (ca autor de manuale de geometrie) ştia cam orice problemă deja existentă la nivelul la care eram eu cu elevii. Trebuia deci să compun două probleme total noi pentru aceste lecţii, astfel încât să parcurg problema cu linia mijlocie în triunghi în lecţia precedentă, iar elevii să ştie rezolva sigur problema cu linia mijlocie în trapez la inspecţia de grad. Măcar unul din clasă trebuia să poată face transferul.

După 3-4 zile de gânduri şi strădanii mi-a venit ideea unor probleme cu două semicercuri  construite pe laturile oblice ale unui triunghi oarecare, respectiv ale unui trapez oarecare. Prima trebuia să o facem la lecţia precedentă inspecţiei, astfel încât elevii să cunoască rezolvarea în principiu la cea de a doua problemă, la lecţia cu linia mijlocie în trapez de la inspecţie. În plus, cele două probleme precedau foarte fluent şi problema aleasă de la olimpiadă.

Puteţi vedea probleme din cele două lecţii succesive în următoarea imagine (din culegerea scrisă peste ani). Problema 17. este problema nouă în trepez (cea în triunghi este similară). Problema 20. este problema ce fusese dată de curând la olimpiadă (nu mai ţin minte ce fază (locală sau judeţeană). Problemele 21. şi 22. au participat şi ele la ispravă, dar nu mai ştiu în rest care probleme au mai fost implicate.

Cum a funcţionat toată treaba la inspecţie? Perfect! Sau, ar trebui să spun “mai mult ca perfect”! Doamna Profesoară, care era afundată într-o discuţie cu directoarea noastră, a sărit în picioare când a văzut figura pe tablă (nu fusese atentă la prezentarea problemei) şi a preluat pur şi simplu lecţia: “Ce se dă? Spune tu. Ce se cere? Spune tu. Cum se rezolvă? Poftim tu la tablă.”, hotărându-se asupra unei eleve care a ridicat mâna şi a început să explice cum s-ar rezolva. Apoi s-a întors în ultima bancă şi m-a lăsat să continui. După oră, întorşi în cabinetul unde urma să aibă loc o primă analiză, s-a uitat la mine zâmbind: “Ce mi-ai făcut, copile! De unde ai scos problema aia?” Am zâmbit cu gura până la urechi şi i-am povestit toată tărăşenia, cum îmi propusesem să o impresionez şi care a fost planul meu. Oricum, lecţia decursese foarte bine, fără ca elevii să cunoască conţinutul dinainte.

Următoarea întâmplare ce doresc să o evoc, tot într-o parţială contrazicere a celor prezentate de Moise Guran, este o experienţă ciudată, la trei ani după prima întâmplare. Eram înscris la gradul I când s-au introdus preinspecţiile, aşa că m-am trezit şi eu că urma să fiu pre-inspectat (ce-i drept numai o oră). Fusesem anunţat când şi la ce oră urma să vină profesorul desemnat în acest sens. Se potrivea la clasa a VII-a, aşa că am hotărât să fac o oră nou inventată de mine (conţinând teorema directă a liniei mijlocii în triunghi, ambele reciproce parţiale, cât şi reciproca totală; sper să vă pot prezenta în curând şi această lecţie deosebită pe pentagonia.ro). Tocmai compusesem lecţia respectivă, eram total entuziasmat despre aceasta şi urma să o prezint la acea inspecţie în premieră absolută în ziua cu pricina. Aşa că că m-am hotărât spontan în acea zi să fac o repetiţie generală a lecţiei respective la clasa a VIII-a, cu care aveam ora dinaintea inspecţiei (fiind o lecţia nouă, această clasă nu o văzuse cu un an înainte).

Pe vremea respectivă eram o şcoală mică, cu personalul la minim, directoarea făcea şi ore, doar femeia de servici umbla prin şcoală în timpul orelor. Aşa că am instruit-o că va veni un Domn Profesor pentru inspecţie la ora 11 şi că dacă apare mai devreme să-l poftească în mica săliţă ce o foloseam atât ca secretariat cât şi ca direcţiune.

Acum eram la clasa a VIII-a cărora le spusesem că le prezint sub titlu de probleme recapitulative la demonstraţii de geometrie plană o nouă lecţie de a mea, lecţie ce o voi face apoi şi ora următoare cu cei de a VII-a. Tocmai trecuseră cam 20 min. din ora la clasa a VIII-a, eram cam pe la jumătatea lecţiei, când uşa clasei se deschise şi femeia de servici îl împise pe Domnul Profesor în clasă. Nu-l mai văzusem nici o dată şi am rămas mască, iar singurul mod în care am putut să reacţionez a fost să-l salut şi să fiu 100% cinstit şi să-i explic ce se întâmplă. A spus că nu-i nimic, a luat loc într-o bancă şi a urmărit finalul lecţiei (eu nu puteam să fac altceva, nu puteam schimba subiectul, aş fi arătat necinstit şi ipocrit faţă de respectiva clasă a VIII-a, lecţia era pe jumate pe tablă şi dânsul oricum s-ar fi prins de întâmplare). Apoi, ora următoare a văzut lecţia de la cap la coadă la clasa a VII-a. Lecţia i-a plăcut, pre-inspecţia a ieşit bine, iar peste ani mi-a fost povestit de către cineva cât de frumos vorbea Domnul Profesor respectiv despre cele văzute cu acea ocazie.

Acestea au fost cele două exemple în care eu mi-am pregătit lecţia de la inspecţie mai mult decât ar fi obişnuit (mai neortodox, am putea spune). Am totuşi convingerea că am jucat cinstit, iar situaţiile respective nu pot fi încadrate la categoria o şcenetă anunţată, repetată înainte, în care copiii ştiu ce întrebări va pune doamna la clasă, doamna ştie ce copii trebuie să răspundă şi la ce întrebări fiecare, iar un inspector plictisit ştie că asistă de fapt la un “montaj literar artistic”. În schimb, chiar dacă eram hiperstresat la vremea respectivă (în mod diferit desigur în cele două situaţii), elevii mei au putut să vieţuiască totodată cu aceste ocazii şi demnitatea umană. CTG

Suma lui Gauss (3) – Lecţia la clasă

De foarte mult timp am vrut să mă ocup de acest subiect (părţile 1 şi 2 au fost postate încă din vara lui 2017, dar acestea au fost doar elemente suplimentare la lecţia în sine). Iată că i-a venit vremea şi acestei teme, aşa că haideţi să analizăm ce ar fi de spus despre acest subiect. În primul rând, daţi-mi voie să vă prezint cum predau eu această lecţie, undeva în prima parte a semestrului I din clasa a V-a, pe post de buton de start al noii matematici adusă de către profesor, profund diferită şi desigur mult mai complexă, mai bogată decât cea practicată cu d-na învăţătoare (rog cititorul a evita o înţelegere a acestor afirmaţii drept o îngâmfare, o atitudine de superioritate a unui profesor faţă de d-le învăţătoare; am vrut doar să accentuez că învăţătoarele trebuie să practice la vârstele respective un anumit fel de gândire matematică, pe când profesorul trebuie încet să facă trecerea spre un cu totul alt fel de gândire).

Următorul material, lecţia în sine, este pentru mai multe ore, fiind un material deosebit de complex. Concret, ce veţi vedea reprezintă lecţiile de matematică din trei zile consecutive, predate în sistem de problematizare, cca. 75 minute în fiecare zi (în sistemul Waldorf există aşa ceva).

Lecţia începe, total nepregătir, cu o cerere surpriză: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10 (toate numerele de la 1 la 10). Elevii se pun pe socotit şi în curând răsar primele mânuţe ridicate. După ce s-au mai anunţat câţiva, le dau cuvântul şi printre răspunsuri apar multe răspunsuri de 55 (alături de altele greşite, cum ar fi şi 45: cred că l-ai uitat pe 10).

Urmează o a doua întrebare: Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 20. Elevii se pun iar pe socutit, dar treaba merge mult mai greu acum. De la o clasă la alta se poate întâmpla să primim câteva răspunsuri corecte de 210 sau nici măcar unul. După ce analizăm răspunsurile, încerc să le explic copiilor cât mai pe înţelesul lor faptul că este necesară o nouă abordare, diferită de simpla adunare (pe care ei o denumesc “în turnuleţ”).

În acest sens, o abordare foarte simplă ar fi cu o reprezentare “grafică” a numerelor, prin înşiruire de punctuleţe (ca nişte ghirlande). Vedeţi în prima imagine cum se pot reprezenta toate numerele de la 1 la 20, cât şi cum pot fi grupate acele “mărgeluţe”, astfel încât să se cristalizeze un model “comportamental” al acestora (pregătiţi-vă pentru o mică-mare văicăreală în urma desenatului atâtor punctuleţe).

La următoarele sume (între timp am început să le notez S10, S20 etc.) nu am mai reprezentat fiecare număr cu punctuleţe, ci am reprezentat doar grupările pătrate de 100 şi cele triunghiulare de 55. Cu această metodă putem urca până pe la S50, după care şi această reprezentare devine deranjantă (sigur, s-ar putea studia cum evoluează numărul de triunghiuri de 55 şi numărul de pătrate de 100, dar nu am avut timp de aşa ceva; pentru elevii foarte doritori s-ar putea da ca “temă de cercetare”, acum sau mai târziu, dar eu urmează să introduc numerele figurate triunghiulare de abia mai târziu).




Cam aceasta a fost prima oră, iar în ultima poză de mai sus găsiţi analiza de a doua zi a temei pe care au avut-o de făcut. De la aceasta se poate merge şi pe o linie de dezvoltare a reprezentărilor tot cu punctuleţe, dar eu am preferat să avansez înspre metoda cunoscută (care oricum, are avantajul că nu-i mai chinuie pe elevi cu desenarea atâtor punctuleţe). Pentru început, le prezint elevilor o variantă mai infantilă a obişnuitei metode de calculat suma S100. Există specialişti care spun că o minte de copil ar fi adunat natural 1 cu 99, apoi 2 cu 98 etc., adică 49 de sute şi încă una de la sfârşit, plus 50-ul de la mijloc. Se prea poate că aşa să fi adunat elevul Gauss. Apoi le arăt forma maturizată a metodei, cea cu adunarea lui 1 cu 100, a lui 2 cu 99 etc., care duce la 50 de perechi cu valoarea de 101.

Ce întrebare urmează? Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 1000, adică S1000. Aici fac o scurtă pauză în vorbire, cât să apuce să digere scurt sarcina,după care vin cu o completare: Cine este destul de vigilent, poate da rezultatul direct, fără calcule. Cel care se prinde “de poantă”, acela trăieşte o fericire mare. La trecerea de anul acesta, un elev a intuit răspunsul şi vă pot spune că, măcar un sfert de oră “a bătut foarte intens soarele” din acea zonă a clasei! Respectivul elev m-a chemat să văd răspunsul bănuit, i-am arătat un like!, dar i-am cerut să şi calculeze prin metoda nou învăţată, pentru a confirma răspunsul.

Cei mai mulţi s-au apucat să lucreze după model, după două-trei minute am scris şi eu pe tablă, apoi am rezolvat şi următorul exerciţiu (S10000), şi doar după aceea am cristalizat într-o scurtă recapitulare “modelul comportamental” al acestor rezultate (the pattern, pe engleză). În această scurtă analiză am mers desigur încă doi paşi în mod intuitiv, dând rezultatele sumelor până la 100.000 şi până la 1.000.000, fapt care este profund impresionant pentru elevi (elevii au dictat aceste răspunsuri, în urma scrierii primelor patru sume; între timp “se prinseseră” cei mai mulţi despre cum evoluează rezultatele acestea).

Pe fondul entuziasmului general am plusat cu o nouă “metodă”, spunându-le că eu am la această metodă impresia unui briceag: ne putem imagina toată suma împărţită “în două” pe la mijloc şi împăturită ca un briceag. Elevii reacţionează cu bucurie la această idee, cei mai mulţi reuşind să “vizualizeze” în minte această mişcare de împăturire. Aşadar am numit-o pe aceasta metoda briceag.

O idee similară am găsit-o demult într-o carte veche nemţească. Se vorbea acolo despre metoda stadion, prin stadion înţelegând forma stadioanelor apărută în Grecia antică, constând din două linii drepte unite de o singură turnantă (ce legătură are unitatea de măsură numită stadiu cu acest tip de stadion?). Şi această metodă le place elevilor, fiind o nouă imagine posibilă pentru vizualizarea fenomenului comportamental al numerelor din această etapă de rezolvare a Sumelor Gauss.

La temă am rezolvat primul exerciţiu în clasă (l-au rezolvat elevii, iar apoi l-am scris şi eu pe tablă, ca model). Din păcate, nu am fost atent şi am ales tocmai S36, care dă chiar “maleficul” 666. Părerea mea este că acest exemplu ar trebui evitat la clasele mici, meritând a fi lăsat ca surpriză pentru finalul clasei a VIII-a, unde îl căutăm din “partea cealaltă”, rezolvând o ecuaţie de gradul II pornind chiar de la “numărul bestiei” (am tratat acest subiect în postarea http://pentagonia.ro/matematica-biblie-suma-lui-gauss-1/). Consider că aceste informaţii sunt mult mai potrivite pentru elevii de peste 14 ani decât puiuţilor de a V-a.

La sfârşitul acestei de-a doua ore le-am atras atenţia elevilor că la începutul primei ore am făcut sublinierea pentru titlu, dar nu am scris efectiv unul. Care ar fi titlul acestei lecţii? E clar: Suma lui Gauss, şi toată lumea a răsfoit înapoi şi a scris titlul în locul rezervat la început.

La începutul celei de-a treia ore, la verificarea temei, le-am atras atenţia că toate sumele de la temă au fost “sume pare”, adică sume de la 1 până la un număr par. Analizând şi încercând “să optimizăm procedura” pe exemplul lui S48, am văzut că am înmulţit succesorul lui 48 cu jumătatea lui 48 (metoda briceag sau metoda stadion ne ajută la vizualizarea clară a ideii de jumătate).

Ce se întâmplă însă dacă vom lua o sumă impară? Spre exemplificare am luat una mai greu accesibilă minţii obişnuite a elevului de clasa a V-a, anume S157. Celor mai mulţi le-a venit foarte greu să depisteze care număr stă singur (adică desperecheat) pe turnantă. Eu nu am considerat că merită să ne afundăm cu toată clasa în lămurirea acestei întrebări. Dimpotrivă, am decis că această metodă este prea grea şi, bazându-ne pe acest verdict ca pretext, am “hotărât” că merită să căutăm ceva mai uşor pentru sumele impare (suma S2020 de la baza imaginii următoare a fost scrisă mai târziu şi nu trebuie citită în acest moment al lecţiei).

În acest moment am scos o nouă metodă din “jobenul de magician matematic”, anume metoda dublării: luăm suma impară de două ori, a doua oară scrisă de la ultimul număr la primul, obţinând astfel 157 (scrise cu roşu) de perechi cu valoarea de 158 (scrise cu verde). Obţinem astfel dublul rezultatului, iar la sfârşit trebuie doar să împărţim la 2 pentru a obţine S157. Este evident că această metodă funcţionează şi la sume pare.

Analizând pe un nou exemplu (S87) ce am făcut de fapt, vedem că am înmulţit ultimul termen al Sumei Gauss (87) cu succesorul său (88) şi am împărţit la 2. Putem astfel cristaliza metoda generală scrisă ca formulă, cunoscuta Sn = n ∙ (n + 1) : 2. Păstrând la generalizare pe aceleaşi poziţii culorile, elevii au un sprijin suplimentar în înţelegerea raţionamentului acestei formule. (în urma acestui moment am scris şi exemplul rezolvării cu această reţetă pentru o sumă pară, luând cazul S2020, având locul liber alături, în poza precedentă)

Aceasta a fost prezentarea pe scurt a lecţiei desfăşurată pe parcursul a trei ore (aşadar în trei zile succesive). A treia zi s-a încheiat în mod spectaculos cu citirea poveştii despre întâmplarea de la care a pornit totul, momentul când elevul Gauss a avut ideea de a calcula în cap S100 la clasă. Pentru asta mi-am rezervat ultimul sfert de oră din a treia oră şi, pe o linişte deplină, le-am citit elevilor cu intonaţie şi variaţii de ton întreaga poveste şi dialogul dintre Gauss şi învăţător. Găsiţi această poveste în postarea http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ (le citesc doar povestea până la plecarea elevului Gauss la Gimnaziu). Pe elevi îi impresionează puternic duritatea învăţătorului, realizând o conectare şi mai puternică din punct de vedere emoţional cu subiectul acestei lecţii şi cu personajul principal, un elev foarte deştept cu care mulţi s-ar identifica.

*

Să analizăm în continuare câteva aspecte metodice ale lecţiei în această formă. În primul rând, vedeţi că lecţia constă dintr-o colecţie de metode de calcul a Sumei Gauss, ordonate de la mic la mare, de la intuitivul figurat la abstractul unei formule. Astfel, mintea şi gândirea elevului sunt îndrumate pe o cale formată din paşi accesibili, urcând încet pe acest drum al abstractizării. Elevii care colaborează la acest proces sunt învăţaţi – încet dar sigur – să gândească, nu doar să-şi însuşească un mod străin de a rezolva o anumită sarcină. Ei sunt îndrumaţi pe parcursul acestor trei zile să privească din varii puncte de vedere asupra unei singure probleme, prezentă în diferite cazuri particulare, având astfel posibilitatea de a se împrieteni într-adevăr cu aceasta, prezenţa unui personaj copil în acest “film” ajutând puternic la “împrietenirea” elevilor cu Suma lui Gauss.

Pornirea la această mega-lecţie o am de la soţia mea, care a intrat la un început de an şcolar în prima oră la o clasă a V-a, după o oră la o clasă a XI-a, stresată şi fugărită în perioada când toată mintea îi era plină de făcutul orarului. Intrând în clasă şi văzându-i pe cei mici cu ochii mari şi speriaţi de “tanti asta aşa de avântată”, s-a frânat în avântul ei de profesoară de liceu (de câţiva ani preda doar la clase de ştiinţe), şi a exclamat: vai ce mici sunteţi!, după care, încercând să coboare la nivelul lor, a “scos” această sarcină: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10., apoi următoare etc. Seara, acasă, mi-a povestit şi aşa am preluat şi eu această foarte bună pornire, dar nu o fac în prima oră, ci după o scurtă cunoaştere de câteva ore (de pildă sub forma unei recapitulări a operaţiilor de bază, urmată de o minimă testare iniţială). Această pornire este foarte potrivită deoarece se conectează cu nivelul minim al elevilor după ciclul primar (S10), dar vine repede şi cu promisiunea unor elemente de gândire superioară (S20 etc.). În prezentarea de la începutul acestui eseu am folosit intenţionat cuvântul socotit pentru că la această vârstă elevii chiar socotesc din tot sufletul.

Căutarea unor metode mai eficiente decât simplul socotit (în ordinea scrierii numerelor) începe imediat, deoarece deja de la S20 mulţi elevi încep să greşească. Reprezentarea grafică, figurativă a numerelor ne duce probabil spre cea mai elementară formă de studiere a modelelor comportamentale ale acestor numere. Metoda îmi aparţine (dar nu cred că-i o mare invenţie), iar gândul ce a stat la bază a fost de a vizualiza fenomenul cât mai intuitiv.

Majoritatea celorlalte metode etalate în continuarea lecţiei sunt găsite în diferite cărţi vechi (româneşti sau din Germania) şi regret mult că nu le-am notat la vremea respectivă astfel încât să pot oferi surse clare (dar sigur nu îmi aparţin, cu excepţia acelei scurte idei de “briceag”, ca formă intuitivă pentru plierea sumei în două). Îmi aparţine însă în totalitate ideea de ordonare a acestei colecţii de rezolvări într-un mod crescător, în ordinea eficienţei rezolvărilor, etalând astfel în faţa elevilor un mic drum iniţiatic în ale gândirii matematice. În Şcoala Waldorf am găsit ideea de îndrumare spre o predare artistică, iar ceea ce am prezentat aici cred că poate fi caracterizat ca atare: această lecţie creează impresii profunde asupra elevului, aşa cum trebuie să genereze orice act artistic. Ca motto al acestei prezentări s-ar potrivi astfel vorbele D-nei Margareta Pîslaru: artistul este un creator (din emisiunea La Radio a  Andreei Esca, de sâmbătă 26 oct. 2019, de la Europa fm)

Creşterea nivelului de gândire într-un mod neaşteptat de puternic are asupra elevilor un efect covârşitor. Faptul că putem urca atât de repede pe această scară a sumelor, în paşi pe care ei îi pot cuprinde cu gândirea, aceasta îi impresionează puternic. Despre aceasta este vorba când se spune “predare artistică” a matematicii: avem “un film” al acţiunii care vine – într-un ritm accesibil, dar oricum mai alert decât în clasele primare, cu noi şi noi idei şi metode în jurul aceluiaşi “personaj matematic”, Suma lui Gauss, personalizată efectiv de imaginea elevului Gauss din clasa I. Faptul că în a doua oră suntem în stare să prezicem cu certitudine suma tuturor numerelor până la un milion – aceasta este o realizare pur şi simplu uimitoare pentru oricine.

Un alt aspect, avut în vedere de la început, este folosirea scrierii cu … (cu “puncte-puncte”), acolo unde ne dăm seama despre ce succesiune de numere avem, însă nu vrem sau nu putem scrie toate aceste numere. Din când în când mă opresc din pledoaria şi dialogul lecţie şi întreb clasa sau pe vreun elev anume câte numere sunt în această sumă?; nu de puţine ori răspunsul îmi arată că el “vede” doar numerele scrise fizic în acea sumă, neconştientizând că acolo mai sunt şi alte numere subînţelese în zona de “puncte-puncte”. Trebuie să punem des aceste întrebări pentru a ne asigura că mintea lor face pasul necesar spre abstractizarea scrierii şi că vom avea cât mai mulţi elevi care nu generează o frică “patologică” de exerciţiile cu “puncte-puncte”. Din păcate, experienţa îmi spune că peste tot rămân “victime” în urma acestui proces, elevi care nu au reuşit să facă acest pas de abstractizare, care nu s-au împrietenit cu ideea că multe numere nu sunt scrise dar trebuie să le gândim, elevi la care se declanşează automat spaima când văd un exerciţiu cu “puncte-puncte”.

Un alt moment dificil îl reprezintă depistarea termenului din mijlocul Sumei lui Gauss la o sumă impară (pe exemplul concret de la ora prezentată, la S157). Elevilor le vine foarte greu să găsească singuri, nepregătiţi, acest număr, iar eu folosesc respectiva stare generală pentru a cauza trecerea la o nouă metodă, una mai eficientă pe drumul către sintetizarea formulei generale.

Am numit-o pe aceasta metoda dublării (nu ţin minte dacă avea sau nu vreun nume acolo unde am văzut-o cu cca. 20 de ani în urmă). Atenţionez încă o dată asupra importanţei folosirii culorilor pentru a îndruma gândirea elevilor şi acasă când s-ar mai uita pe lecţie asupra diferitelor numere şi a jocului dintre acestea. Această metodă confirmă ceea ce am intuit deja la precedentele, iar în urma analizei acesteia putem sintetiza reţeta generală (înmulţim ultimul număr cu succesorul său şi împărţim la doi).

Un ultim pas îl reprezintă scrierea matematică a acestei reţete, folosind numărul general n (formula cunoscută). Din acest moment lecţia poate intra pe făgaşul cunoscut de către toată lumea. Eu personal m-am oprit în acest moment, nu am mai făcut nici măcar un exemplu, ci am trecut la cititul poveştii, lăsându-i pe elevi să “savureze” impresiile de gândire ale drumului parcurs (impresiile “filmului”).

În urma acestui proces de gândire putem trece la lecţia despre proprietăţile adunării: comutativitatea şi asociativitatea, adică la posibilitatea de a efectua adunarea termenilor unei sume după bunul plac. Această posibilitate a fost intens şi natural observată în metodele de calcul la Suma lui Gauss, iar pentru elevi aceste proprietăţi vin în mod natural şi evident.

La clasă voi reveni mai târziu la subiectul Sumei lui Gauss, cândva după ce voi fi studiat noţiunea de multiplu şi factorul comun. Atunci voi adăuga acestui drum două noi etape. Prima va fi o etapă aplicativă: ne vom aminti de formulă şi vom face cât mai multe exemple (cu temă corespunzătoare). Într-o a doua etapă vom putea calcula şi suma primelor n numere pare (nenule*) sau în general suma primilor multipli (nenuli *), desigur şi suma primelor n numere impare. (* remarcile respective sunt pentru cei hiper-pedanţi în ale limbajului matematic: ştiu să vorbesc şi aşa, dar în general nu o fac pentru a nu încărca textul; desigur că condiţia de nenul poate fi abandonată ş.a.m.d.)

Colecţia de “rezolvări” ale Sumelor Gauss nu se încheie aici: după învăţarea operaţiei de putere şi a ridicării la pătrat vom studia numerele figurate, iar atunci, anume la numerele triunghiulare vom constata că acestea sunt doar o reprezentare grafică a numerelor de tip Sumă Gauss. Cu ajutorul acestora vom putea da şi o variantă grafică la metoda dublării, arătând vizual cum se obţine formula respectivă (de pildă, suma S10 reprezentată la început cu punctuleţe în forma acelor triunghiuri cu valoarea 55 poate fi dublată în forma unui dreptunghi din punctuleţe cu laturile de 10 respectiv 11 punctuleţe, deci cu un total de 110 punctuleţe).

Închei amintindu-vă că subiectul Sumei lui Gauss a fost tratat în mod surprinzător şi de către jurnalistul şi scriitorul Cristian Tudor Popescu într-o emisiune la televizor (digi 24, 23 mai 2019), dânsul încercând să explice că înţelegerea unui proces de gândire precum calculul sumei S100 dezvoltă în om o capacitate superioară de gândire, care apoi îi va folosi toată viaţa, inclusiv în situaţii de a lua decizia în legătură cu o participare la vot (din păcate filmarea emisiunii sugerată în postarea din iunie a fost restricţionată şi nu mai este accesibilă publicului larg). Depinde doar de noi dacă dorim să folosim ocazia acestei lecţii pentru antrenarea capacităţilor superioare de gândire, sau dorim doar să bifăm rapid o nouă  lecţie, dând rapid şi concis formula şi exemplele de aplicare.

Da, şi uite-aşa am încălecat pe-o şa şi v-am spus o poveste de cinci pagini, uite-aşa. Cred că acum se înţelege de ce am amânat atât de mult redactarea şi prezentarea acestei teme (text redactat în weekend-ul 25-27 0ct. 2019). Cu respect şi fără pretenţia de a da lecţii altora, CTG.

Observaţii la începutul anului 3 (după noua programă)

Următoarele rânduri ne-au fost trimise drept comentariu la articolul Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor din ………2017. Redau comentariul întreg pentru că merită fiecare cuvânt. Mulţumesc! CTG şi QED

*

Observații la începutul anului 3 (după noua programă) 🙁

Mulțimi, segmente, unghiuri, divizibilitate și ecuații -clasa a VI-a.
Am stat mai bine de o lună la mulțimi, având o clasă medie, care nu a făcut nici o conexiune cu noțiunile predate în clasa a V-a.
La segmente și unghiuri am luat-o de la început ( sunt mulțimi de puncte, cu notații și tot meniul asociat, nu-i așa?), fără posibilitatea de a rezolva civilizat multitudinea de ecuații aferente.
Metodele aritmetice erau foarte bine predate de către învățători, acceptate și însușite de către elevi (fără exagerări, sume Gauss sau metoda ”algebrică”). Acum elevii intră în gimnaziu cu un bagaj matematic … extrem de modest, dar cu EN II și cu EN IV trecute cu succes!
Teorema lui Pitagora a devenit șarpele acestei programe.
Materia clasei a VII-a este extrem de lejeră, avem timp până și pentru jocuri didactice, În clasele V-VI nici vorbă de așa ceva (goana după olimpici).
Greul a rămas … pentru clasa a VIII-a.
Despre evaluare și mai ales despre Evaluarea națională din 2021 nu vorbește nimeni. Curriculum fără evaluare … nu există.

Poate nu am înțeles eu prea bine noua programă, dar am pierdut o groază de timp ! … A, peste trei săptămâni dăm teza. Atât.

Bravo, cu felicitări!

              

*

P.S. Merită evidenţiat un aspect surprins în acest comment, anume faptul că învăţătoarele puseseră la punct o formă de predare a problemelor de aritmetică care funcţiona de  bine, de rău, pe când profesorii au fost luaţi cu totul prin surprindere cu acestea. Profesorii n-au mai predat a metodele aritmetice de rezolvare a problemelor în ultimii peste 30 de ani, aşa că nu le stăpâneau. În plus mai este şi stilul de predare, inclusiv viteza, profund diferite de la învăţătoare la profesori. Cât despre EN trecută cu succes, dar cu un bagaj matematic modest, se repetă fenomenul din anii tezelor unice. Când vor înţelege cei care conduc matematica din România că primul moment când se poate da o EN fără urmări negative este la sfârşitul clasei a VIII-a? Când nu vor mai face experimente pe evaluarea elevilor?

Ce-nţeleg elevii noştri?

Uneori găsesc în caietele elevilor elemente atât de edificatoare despre cât de puţin înţeleg aceştia din ora de matematică (a mea sau a altor colegi) încât mă crucesc. Iată două exemple în acest sens: dintr-o singură lecţie, dar de la doi elevi diferiţi din şcoli diferite. Sunt convins că recunoaşteţi lecţia. Titus Crucitus

P.S. Oare lecţia să fie de vină, pentru că este prea abstractă pentru mulţi elevi?

Impardonabil

De curând am primit următorul comentariu la o postare din 2017:

In articolul dumneavoastra din octombrie 2019 , doua greseli impardonabile pentru un doritor sa invete pe altii :
– tabelele cu impartiri care au inundat “piata” nu sunt (o) tabla a impartirii! Nu exista o tabla a impartirii!!! Exista doar o tabla(patratica) a inmultirii , atribuita lui Pitagora,tabla dupa care se fac /se invata si impartirile!!!
– reprezentarea prin segmente a numerelor cunoscute si necunoscute si arelatiilor dintre ele se numeste corect :metoda figurativa! Metoda grafica – ati pomenit de ea- se invata incepand cu clasa a 7-a! Pentru lamuriri consultati singurul ghid aprobat de M.E. Matematica Ghidul invatatorului, editura Lucian.

Nu voi intra într-o polemică cu autorul acestor rânduri, deşi tare „mă mâncă buricele degetelor” să o fac (de pildă, să caut prin grămăjoara de cărţi de acasă în câte feluri au fost denumite, de-a lungul anilor, diferitele metode de rezolvare aritmetică a problemelor; sunt oricum mult mai variate decât sunt probabil în unicul şi irepetabil ghid mai sus menţionat). Doresc doar să-i mulţumesc colegei/colegului (oricine o fi acesta) pentru confirmarea teoriei mele despre precauţia autorilor de programă care au mutat problemele de aritmetică în clasa a 5-a, neexplicând mutarea pentru a nu jigni pe cineva (care – după cum se vede – ar putea sări în sus ca o bombă americană). Şi, oricum, e foarte bine că metoda grafică nu mai este în programă – ştiţi, aia din clasa a 7-a, ba nu, că din a 8-a – la alunecarea înapoi în a 7-a a sistemelor de ecuaţii.

Nu este prima dată când m-am confruntat la colegi cu această atitudine plină de o pedanterie excesivă a limbajului, o atitudine super îngâmfată cu pretenţia de atotştiutor. De pildă, când mă pregăteam de apariţia culegerii de geometrie, în primăvara lui 2006, o persoană foarte dragă mie, care a citit textul pentru a căuta eventuale greşeli (adică, după corectură), m-a anunţat „verde-n faţă” că culegerea este plină de greşeli! Cât de plină putea să fie, de vreme ce o corectaserăm noi în două rânduri (atât eu, cât şi soţia)? Ne-am aşezat la masă şi să vezi greşeli: era considerată o greşeală impardonabilă „determinaţi înălţimea triunghiului”, exprimarea „corectă” fiind „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” (şi multe altele de acelaşi fel).

Asta se întâmpla în 2006, iar singurul aspect cu adevărat impardonabil este faptul că mai există în ziua de azi indivizi cu o astfel de atitudine, acum, după 30 de ani de la schimbarea din 1989 şi mult dorita despărţire de comunism. Din păcate, vedem că tarele acelor ani trăiesc bine-mersi şi chiar proliferează.

Este păcat că după atâţia ani încă există oameni care au pretenţia că, criticându-l şi deci încercând să-l înjosească, să-l umilească pe cel de alături, el se dovedeşte automat superior acestuia. Atitudinea îmi aduce aminte de bancul cu dracii care beau o berică la barul din colţul iadului, după orele de program. Unul dintre draci era întotdeauna mai abătut şi mai obosit decât ceilalţi. Un altul dintre colegi îl întreabă ce probleme are, iar acesta îi răspunde că el este la cazanul cu evrei şi că, ăştia se ajută şi imediat ce unul vrea să iasă alţii îl împing în sus, iar el, dracul respectiv, până îl împinge inapoi, în altă parte a cazanului iese altul şi tot aşa. Un alt drac, unul mai grăsuţ şi mai îmbujorat, îi răspunde râzând, spunând că el are postul la cazanul cu români şi că, imediat ce un român vrea să se ridice, alţi români sar şi îl trag înapoi. Cu stima cuvenită, Titus G.

Programa PENTAGONIA (8) – Conţinuturi clasa a VIII-a

În semestrul I din clasa a VIII-a materia este foarte vastă (cca. 2/3 din materia anului) pentru a permite elevilor o perioadă cât mai lungă de lucru pe teste complete pentru EN în primăvară. Cel mai nou aspect în ordinea lecţiilor îl reprezintă studiul complet al piramidelor şi al prismelor (figuri, arii şi volume pe studiate baze intuitiv-raţionale) în prima jumătate a semestrului, urmate abia apoi de studiul poziţiilor relative al dreptelor şi planelor cu aplicaţii direct pe corpurile studiate. Se obţine astfel o accesibilizare a materiei deosebit de eficientă pentru elevii de rând.

În semestrul al II-lea mai rămân funcţiile, trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde, urmate de câteva lecţii de cultură generală, obişnuite mai mult din zona opţională “matematica altfel”. Iată conţinuturile:

  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII (recapitulare şi completări)
  • Ecuaţii cu o necunoscută de tipurile studiate
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; Sisteme de trei ecuaţii cu trei nec.
  • Probleme rezolvabile prin ecuaţii sau prin sisteme de ecuaţii
  1. INTERVALE DE NUMERE REALE ŞI INECUAŢII ÎN
  • Mulţimi definite printr-o proprietate a elementelor ei
  • Noţiunea de interval de numere reale; clasificarea intervalelor cu scriere şi reprezentarea grafică pe axa numerelor; operaţii cu intervale
  • Inecuaţii în ℝ, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Sisteme de două inecuaţii, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Inecuaţii cu modul, de tipul | ax + b | < c respectiv | ax + b | ≤ c
  1. CALCUL ALGEBRIC (recapitulare şi completări)
  • Sume algebrice: operaţii cu acestea, desfacerea parantezelor, aducerea la forma cea mai simplă
  • Formule de calcul prescurtat: pătratul sumelor sau al diferenţelor; produsul sumei cu diferenţa; pătratul trinomului; cubul sumei şi al diferenţei (cu dem. algebrice şi geometrice); suma şi diferenţa de cuburi; aplicaţii
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice: factorul comun; restrângerea pătratelor şi diferenţa de pătrate; grupări + factor comun; metode combinate; metode artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Ecuaţii de gradul II: cazuri particulare pe baza formulelor de calcul prescurtat sau similare cu metodele artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Fracţii algebrice: simplificarea acestora ca aplicaţie la descompunerea în factori a sumelor algebrice; domeniul de definiţie al unei fracţii algebrice cu o nedeterm.
  • Operaţii cu fracţii algebrice; aducerea expresiilor la forma cea mai simplă
  1. FUNCŢII ŞI COMPLETĂRI (vezi indicaţiile metodice*)
  • Elemente de organizare a datelor: tabele, diagrame
  • Noţiunea de funcţie: elemente, exemple, prezentări prin tabele sau diagrame Venn-Euler, reprezentări grafice prin diagrame sau pe bază de blocuri verticale
  • Sistemul cartezian de axe ortogonale: deducerea din reprezentarea grafică pe bază de blocuri verticale; coordonatele unui punct şi reprezentarea grafică; terminologia specifică
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii: diferite funcţii pe domenii finite pentru vizualizarea a diferite forme de grafice (de pildă: x2, |x + 2|, (x – 1)3,, pe domenii cu valori întregi sau zecimale)
  • Graficul funcţiei de gradul I: exemple pe domenii (de pildă f(x) = 2x -3 pe rând pe următoarele domenii: {-1, 0, 1, 2, 3}, apoi ℤ, apoi ℝ şi pe [-1; 3] în final), cu observarea formei graficului şi adaptarea reprezentării în funcţie de compoziţia acestuia, cu deducerea metodei de reprezentare grafică prin două puncte + unul de control
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii de gradul I: dreapta soluţiilor unei ecuaţii; folosirea ecuaţiei ataşate în rezolvarea diferitelor probleme (puncte de coordonate egale de pe un grafic; intersecţia graficelor a două funcţii; determinarea funcţiei de gradul I ce trece prin două puncte date), inclusiv determinarea punctelor de intersecţie a graficului cu axele de coordonate
  • Metoda grafică în rezolvarea unui sistem de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute)
  • Elemente de calcul geometric în planul cartezian: calcule de arii şi lungimi şi găsirea mijlocului unui segment etc. (aplicaţii elementare)
  • Ecuaţia de gradul II: rezolvarea cu formulele generale
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA I
  • Pătratul şi triunghiul echilateral: aria şi liniile importante (recapitulare)
  • Cubul: diferite reprezentări grafice, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Secţiuni în cub: reprezentarea grafică a secţiunilor paralele cu feţele; secţiunea diagonală; secţiunea Δ echilateral (stabilirea intuitivă a formei; calcul perimetrului şi a ariei acestora)
  • Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul): reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei (teorema lui Pitagora în spaţiu, pe baza observării intuitive a unghiului drept: o muchie verticală este perpendiculară pe baza orizontală, deci şi pe o diagonală a acestei baze)
  • Prisma patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Prisma triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Prisma hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; situaţia diagonalelor
  • Piramida patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; apotema bazei, apotema piramidei şi conexiunile de calcul cu muchia bazei şi cu înălţimea piramidei
  • Secţiuni în piramidă: secţiuni transversale, secţiuni diagonale şi secţiuni paralele cu baza în piramida patrulateră regulată (desenarea şi stabilirea intuitivă a formei)
  • Piramida triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Tetraedrul regulat: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, înălţime şi volum
  • Piramida hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  1. PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE ÎN SPAŢIU
  • Reprezentarea grafică şi notarea punctelor, dreptelor şi planelor; diferitele situaţii de poziţii relative ale acestora: puncte coplanare, determinarea planului, drepte necoplanare, paralelism sau intersecţii între drepte, plane
  • Studiul poziţiilor relative între două drepte, o dreaptă şi un plan, respectiv două plane: demonstrarea situaţiilor de paralelism, respectiv de perpendicularitate, şi determinarea înclinaţiei, respectiv a măsurii unghiului determinat de acestea, în cazul poziţionării oblice (demonstrarea paralelismului a două drepte, calculul măsurii unghiului relativ a două drepte necoplanare, demonstrarea perpendicularităţii a două drepte necoplanare; în mod similar în cazul unei drepte şi a unui plan, respectiv în cazul a două plane); deducerea intuitivă în cazul fiecărei demonstraţii;
  • Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la punct la dreaptă
  • Diverse corpuri neregulate: exemple cu reprezentarea grafică, descriere, calculul ariei şi a volumului; calculul distanţei de la un punct la un plan
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA a II-a
  • Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Raportul de asemănare, raportul ariilor figurilor asemenea şi raportul volumelor corpurilor asemenea: aplicaţii în piramidele secţionate paralel cu baza pentru obţinerea trunchiurilor de piramidă
  • Trunchiul de piramidă hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Cilindrul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Conul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de con (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Sfera: reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arie şi volum
  • Elemente de geometria cercului şi a sferei pe globul pământesc: rotaţia Terrei în jurul soarelui, axa de rotaţie, înclinarea acesteia faţă de planul ecliptic (ecliptică) şi deducerea latitudinii tropicelor şi ale cercurilor polare
  • Corpurile platonice (perfecte) cu prezentarea celor cinci: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul; activităţi de cunoaştere a ultimelor trei (desenare, construcţie din hârtie sau beţişoare, determinarea formulelor de arie şi volum dacă sunt accesibile); exemple de corpuri arhimedice (trunchieri ale corpurilor platonice): activităţi de cunoaştere pe exemple, mingea de fotbal

CTG

8-Clasa-a-VIII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (7) – Conţinuturi clasa a VII-a

În semestrul I din clasa a VII-a materia se concentrează aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra regăsindu-se mai mult în slujba calculelor din geometrie (arii şi teorema lui Pitagora). Geometria însă se împarte în două linii preocupaţionale: pentru toţi elevii (materia de nota 5-7) se studiază calculul de arii şi perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porneşte în paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstraţii pe baza cunoştinţelor deja dobândite în clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstraţii cu unghiuri, cu segmente şi cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriză interesantă o reprezintă studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combină cu cel al ariilor, ducând la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actuală de obişnuinţă) o reprezintă însă faptul că trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora în cazul rezultatelor neexacte cu calcule raţionale aproximative. De abia după stabilizarea calculelor întregi sau aproximative (cu aplicaţie clară în viaţa aplicativă extramatematică) se va trece la exprimarea rezultatelor iraţionale (cel mai bine în semestrul al II-lea). Acelaşi traseu al studiului este valabil şi în cazul lungimii şi ariei cercului, introducându-se iniţial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu două zecimale exacte, adică o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai multă geometrie,dar oferă o stabilizare a calculului aritmetic şi o apropiere neagresivă de calculul pur algebric al numerelor iraţionale (scoaterea parţială a factorilor de sub radical şi calculul cu astfel de numere, care în vest se studiază eventual doar la nivelul liceului).

În semestrul al II-lea algebra îşi ia revanşa, materia concentrându-se mai mult pe această latură. Ca aspect important, pe lângă revenirea sistemelor de ecuaţii în finalul clasei a VII-a, se păstrează şi studiul formulelor de calcul prescurtat pătratice. Iată conţinuturile:

  1. NUMERE RAŢIONALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii cu numere naturale, întregi sau raţionale
  • Operaţii cu mulţimi; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ
  • Puterea cu exponent întreg
  • Procente şi proporţionalitate; ecuaţii; punerea în ecuaţie a unei probleme
  1. RĂDĂCINA PĂTRATĂ (recapitulare şi completări – II)
  • Rădăcina numerelor pătrate: pe baza tablei pătratelor, a observaţiilor pe ultima cifră şi prin descompunere
  • Produsul şi câtul rădăcinilor pătrate; aplicaţii de tipul sau
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale (în cazuri exacte, respectiv aproximative)
  • Ideea de număr iraţional
  1. NUMERE IRAŢIONALE
  • Noţiunea de număr iraţional; incluziunea ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ cu diferite exemple
  • Forma aproximativă şi forma exactă a numerelor iraţionale: studiu comparativ; numărul π; reprezentarea numerelor iraţionale pe axa numerelor; numerele reale
  • Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exactă a numerelor iraţionale; pătratul numerelor iraţionale; ridicarea la putere naturală a numerelor iraţionale
  • Produsul şi câtul numerelor iraţionale; raţionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere întreagă a numerelor iraţionale
  • Suma numerelor iraţionale; ordinea operaţiilor; numere iraţionale în forma de sume neefectuabile
  • Valoarea absolută a unui număr real
  1. CALCUL ALGEBRIC
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, câtul şi puterea
  • Însumarea numerelor reprezentate prin litere; noţiunile de monom, binom, trinom şi polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opuşi
  • Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a două binoame sau trinoame
  • Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): pătratul sumei şi pătratul diferenţei; produsul sumei cu diferenţa (cu dem. algebrice, dar şi geometrice, pe bază de arii)
  • Descompuneri elementare prin factor comun şi reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restrângerea pătratelor, diferenţa de pătrate); aplicaţii în simplificarea fracţiilor şi calculul din T. Pitagora
  • Aplicaţi: calcule de expresii; raţionalizarea numitorului (II); demonstraţii la teorema lui Pitagora pe bază de arii şi formule binomiale
  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII
  • Ecuaţii de gr. I; ecuaţii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecuaţii în care se reduc termenii de gradul II); mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii de gradul II de forma x2= b,  x2 + a = b şi ax2 = b; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu module de forma | ax + b | = c; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu două necunoscute: scrierea soluţiilor ca perechi ordonate
  • Sisteme iniţiale de ecuaţii (o ecuaţie cu o nec. + o ecuaţie cu două necunoscute); scrierea soluţiilor, inclusiv în cazul cu două soluţii (ec. de gr. II sau cu modul)
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute de forma y = ax + b  şi  y = cx + d): metoda tranzitivităţii
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda substituţiei
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin punere în ecuaţie sau în sistem de ecuaţii
  1. DEMONSTRAŢIA GEOMETRICĂ (recapitulare şi completări – I)
  • Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate înscrise în cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi şi unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
  • Demonstraţii cu unghiuri: folosind proprietăţile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuză; cateta opusă unghiului de 30o
  • Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruenţă LLL, LUL, ULU; congruenţa triunghiurilor dreptunghice
  • Linia mijlocie în triunghi (intuitiv, fără dem. inclusiv la teorema reciprocă); linia mijlocie în trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
  • Teoreme directe şi teoreme reciproce: exemplificări pe figurile studiate
  1. ARII ŞI PERIMETRE (recapitulare şi completări – II)
  • Aria patrulaterelor şi a triunghiurilor: dreptunghi, pătrat, Δ dreptunghic, paralelogram; Δ oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situaţii (rombul II, pătratul II, Δ dreptunghic II, deltoidul, Δ isoscel; Δ obtuzunghic)
  • Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate şi poziţia sa pe mediană
  • Figuri echivalente: transformarea triunghiului şi a paralelogramului cu păstarea ariei (forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor); figura “gnomon”
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţie prin arii folosind transformări echivalente de paralelograme
  • Calcule de arii şi perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) şi calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
  • Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; numărul π în formă zecimală aproximativă; lungimea cercului (perimetrul)
  • Aplicaţii: calcule aproximative de lungimi şi arii în situaţii practice
  1. PROPORŢIONALITATE ŞI ASEMĂNARE
  • Prezentarea prin transformarea intuitivă: Regula de trei simplă → Triunghiuri asemenea → Teorema fundamentală a asemănării → Teorema lui Thales
  • Raportul lungimilor a două segmente
  • Teorema lui Thales şi reciproca: segmente proporţionale şi paralelismul;
  • Teorema fundamentală a asemănării: aplicaţii aritmetice şi demonstraţii geometrice
  • Aplicaţii: teorema bisectoarei; poziţia centrului de greutate al triunghiului
  • Cazurile de asemănare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplicaţii
  • Cazul de asemănare UU la triunghiurile scalene şi la triunghiurile dreptunghice
  • Studiul propoziţiilor directe şi al reciprocelor, parţiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii în triunghi (teorema directă; apoi reciproca parţială 1 = teoremă, dar reciproca parţială 2 = propoziţie falsă; în final reciproca totală = teoremă, fiecare cu demonstraţie sau contraexemplu); aplicaţii pe probleme
  1. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
  • Proiecţia unui punct sau a unui segment pe o dreaptă
  • Teoremele lui Euclid: teorema catetei şi teorema înălţimii, demonstraţii prin asemănare şi aplicaţii
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţia cu teorema catetei; aplicaţii cu rezultate sau date iraţionale; reciproca teoremei lui Pitagora
  • Rapoartele trigonometrice: definiţii, exemple, valori pentru 30o, 45o, 60o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Poligoanele regulate de bază (triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat): liniile importante şi aria (înălţimea, diagonala, raza cercului circumscris sau înscris, apotema)
  1. CERCUL (recapitulare şi completări)
  • Elementele cercului şi proprietăţile studiate; unghiul la centru şi măsura arcelor de cerc; “Cercul lui Thales” (triunghiul dreptunghic înscris în semicerc)
  • Tangenta la cerc (fără dem.); proprietatea “ciocului de cioară” (cu dem.)
  • Unghiul înscris în cerc (sau “unghiul periferic”): proprietatea măsurii (cu dem.)
  • Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise şi patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplicaţii
  • Lungimea cercului şi aria discului; aria părţilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (6) – Conţinuturi clasa a VI-a

În semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetică realizează până la vacanţa de iarnă o reluare cu completări şi aprofundări a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiază componentele de bază (puncte, drepte, segmente, poziţii relative, unghiuri, cât şi liniile importante mediatoarea şi bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplicaţii doar diverse cerinţe de construcţii cu îngrădiri pe instrumente (de exemplu, desenaţi doar cu rigla şi compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de hârtie).

În semestrul al II-lea aritmetica se cam încheie cu studiul rapoartelor şi al proporţiilor. Urmează capitolele de trecere spre algebră, apariţia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecuaţiile şi mulţimile. Valoarea absolută a unui număr se prezintă doar la sfârşitul capitolului, nu în prima lecţie. La geometrie se studiază intuitiv triunghiurile şi patrulaterele prin enumerarea observaţională a proprietăţilor evidente şi demonstrarea proprietăţilor neevidente. Studiul aplicaţional al acestora se concentrează mai ales pe construcţia exactă cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind amânată pe începutul clasei a VII-a (de fapt, o rocadă între demonstraţia geometrică diversificată – nu doar demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor – şi capitolul despre patrulatere). În clasa a VI-a cazurile LLL, LUL şi ULU se numesc mai degrabă cazuri de construcţii decât cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii şi proprietăţile acestora; ordinea operaţiilor; factorul comun şi aplicaţii; teorema împărţirii cu rest; scrierea numerelor în baza zece
  • Operaţii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc şi cmmmc a două sau mai multe numere naturale; numere prime între ele;
  • Criterii de divizibilitate; proprietăţi ale divizibilităţii şi demonstraţii cu acestea
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinarea intuitivă; determinarea prin descompunere în factori; includerea în ordinea operaţiilor
  1. FRACŢII (recapitulare şi completări – II)
  • Fracţii ordinare: prezentare, transformări; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Operaţii cu fracţii ordinare; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Fracţii zecimale finite: transformări; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Fracţii zecimale periodice: transformări; comparare; aproximări
  • Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Aplicaţii: media aritmetică şi media aritmetică ponderată
  • Ecuaţii: în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) cu rezolvări aritmetice prin operaţia de probă
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate: atăt din numere pătrate (rezultate exacte), cât şi din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea în ordinea operaţiilor
  1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
  • Rapoarte şi proporţii: noţiunea de raport; proprietatea fundamentală a proporţiei (proba proporţiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
  • Regula de tei simplă: proporţionalitate directă şi proporţionalitate inversă
  • proporţii derivate; şir de rapoarte egale şi mărimi direct proporţionale; şir de produse egale şi mărimi invers proporţionale
  • Procente: aplicaţii prin metoda “din” , dar şi prin regula de trei simplă
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii;
  • Elemente introductive de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive şi numere negative; semnul şi mărimea
  • Însumarea a două numere relative; sume; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul a două numere relative; împărţirea a două numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea operaţiilor
  • Aplicaţii în cazul operaţiilor cu fracţii
  • Reprezentarea pe axă; valoarea absolută a unui număr
  • Ecuaţii: ecuaţia de gradul I în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) şi în forma de bază combinată (ax + b = c) parcurse prin trei metode: metoda probei operaţiei (recapit.), metoda balanţei şi metoda mutării în membrul celălalt cu operaţia opusă; ecuaţii reductibile la ecuaţii de bază de gradul I
  • Probleme cu o singură necunoscută, ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, notaţii; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
  • Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
  • Mulţimi finite; cardinalul unei mulţimi; mulţimi infinite; mulţimea vidă
  • Categorii de numere; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ; relaţii, aplicaţii; axa nr.
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu coef. întregi sau raţionali, în ℕ, ℤ, ℚ; mulţimea soluţiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Poziţia relativă a două drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Poziţia relativă a trei drepte
  • Cercul: centru, rază, diametru
  • Noţiunile de congruenţă şi egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construcţii; perpendiculara dintr-un/ într-un punct pe o dreaptă: diferite construcţii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; notaţii; clasificarea elementară: unghiuri ascuţite, drepte, respectiv obtuze
  • Măsura unghiului; raportorul; măsurarea şi construcţia
  • Congruenţa unghiurilor; diferite construcţii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construcţii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la vârf: congruenţa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de două paralele tăiate de o secantă: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construcţii
  • Două unghiuri împreună: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri în jurul unui punct
  • Clasificarea completă a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (măsura > 180o) şi unghiul plin (măsura = 360o)
  • Simetria axială; simetria centrală; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construcţie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea Δ-lor I: Δ echilateral, Δ isoscel, proprietăţi legate de congruenţa elementelor, Δ scalen, Δ oarecare
  • Clasificarea Δ-lor II: Δ ascuţit-, Δ drept- şi Δ obtuzunghic, combinaţii categ. I + II
  • Liniile importante în triunghi: bisectoare; mediane; înălţimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, proprietăţi, înscrierea în semicerc (“Cercul lui Thales” cu dem.), mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificată cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplicaţii: construcţii de triunghiuri incluzând şi liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor şi suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construcţia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; proprietăţi şi construcţii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; pătratul; proprietăţi şi construcţii
  • Aplicaţii: construcţii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confecţionare de corpuri din carton cu construcţia desfăşurării: cubul, cuboidul, prisma triunghiulară, piramida patrulateră, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) – Conţinuturi clasa a V-a

În semestrul I din clasa a V-a materia este structurată cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranjării lecţiilor îl reprezintă abordarea din trei direcţii a ideii de număr prim. Apar şi primele elemente de geometrie printr-o cunoaştere elementară iniţială a principalelor figuri închise prin desenarea lor cu mâna liberă.

În semestrul al II-lea se trece la studiul fracţiilor ordinare şi zecimale, cât şi a unităţilor de măsură. La geometrie propun o perioadă de cunoaştere a instrumentelor geometrice şi obişnuirea cu mânuirea acestora, printr-un traseu ocupaţional în jurul împărţirii cercului în părţi egale şi realizarea unor desene frumoase cu rigla şi compasul pe baza acestora.

Problema principală a acestei structurări este faptul că desenul geometric este eficient doar dacă elevii au timp suficient să lucreze la acele desene pentru a reuşi să interiorizeze mişcările respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o oră în plus, de pildă printr-un opţional. Iată în continuare conţinuturile la rând:

  1. RECAPITULARE ŞI PROBLEME DE ARITMETICĂ
  • Recapitulare şi acomodare: exerciţii şi probleme elementare (ordinea operaţiilor, probleme cu raţionamente elementare, matematică distractivă, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea şi citirea numerelor naturale; diferite reprezentări (cu puncte, cu linii, pe axă); scrierea numerelor în diferite culturi (Egipt şi China, Roma şi Maya)
  • Compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări şi estimări
  • Adunarea numerelor naturale, proprietăţi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare şi calcul); scăderea naturale
  • Înmulţirea numerelor naturale (calcule mintale şi prin algoritm), proprietăţi
  • Împărţirea numerelor naturale (algoritm scris, parţial scris şi efectuat mintal); proba împărţirii (teorema împărţirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale – metoda intuitivă (forma de deltă); numere prime (1) şi numere compuse; înmulţirea rapidă cu 5 sau cu 25 prin împărţirea în cap la 2 sau 4 şi invers
  • Descompunerea numerelor naturale – algoritmul (forma cu bară)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci operaţii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Proprietăţile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerciţii cu încălcarea ordinii operaţiilor folosind regulile învăţate (operaţii cu puteri)
  • Şiruri de numere (pare, impare, şirul lui 3, 4, 5 etc. – nivel recapit. de cl. primare)
  • Găsirea generală a numerelor prime (2) – Ciurul lui Eratostene
  • Şirul puterilor; alte şiruri exponenţiale (şirurile lui Mersenne, Fermat şi nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. pătrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui număr etc.
  • Reprezentarea grafică pe cercul cu 10 cifre şi studiul evoluţiei ultimei cifre pentru şirurile învăţate; observaţii cu privire la evoluţia şirului numerelor pătrate pe decade (ultima cifră în tabla pătratelor); pătratele multiplilor de zece sau de sută
  • Rădăcina numerelor pătrate: prezentare intuitivă pe baza tablei numerelor pătrate şi pe baza studiului ultimei cifre, cu probă; includerea în ordinea operaţiilor
  • Explicitarea numerelor în sistemul zecimal şi în sistemul binar (bazele 10 şi 2); scrierea numerelor naturale ca sumă de puteri ale lui 2; (diferite aplicaţii, inclusiv înmulţirea în Egiptul antic)
  • Divizorii unui număr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de găsire a divizorilor; studiul numărului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui număr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare şi prin descompunere); numere prime între ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,  apoi cu 25 şi 4, apoi cu 3 şi 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Fracţii ordinare – prezentare; reprezentări grafice (disc împărţit în sectoare, dreptunghi împărţit în felii etc.); numitor, numărător; fracţii de bază (pe exemplul fracţiilor egiptene)
  • Clasificarea fracţiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezentări grafice; scoaterea întregilor din fracţie, introducerea întregilor în fracţie
  • Transformarea fracţiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplificări sau simplificări intuitive)
  • Compararea fracţiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare, găsirea unei fracţii dintr-o cantitate – cuvântul “din”; aplicaţii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinzând situaţii descrise prin fracţii ordinare
  • Fracţiile zecimale; prezentare; transformări (1); compararea fracţiilor zecimale
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări (2)
  • Fracţii zecimale finite şi fracţii zecimale periodice
  • Procente (ca fracţie); calcule pe baza înmulţirii fracţiilor ordinare; promile
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • Aria şi perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din pătrăţele întregi
  • de măs. pt. arie; formule şi reţete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, pătrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construcţia acestora cu ajutorul echerului
  • de măs. pt. volum şi capacitate; formule pt. volumul cubului şi a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de măs. monetare, pt. timp şi pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate faţă de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate faţă de cerc)
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele în 6 sau 5 colţuri – “Steaua lui David” şi pentagrama – etc.)
  • “Teorema lui Pitagora” (evidenţiere în cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul şi folosirea compasului
  • Împărţierea cercului în 6 părţi (“floarea vieţii”); diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (construcţii diverse); aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 8 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în12 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 16 părţi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • Împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la vârf (unghiul înscris în cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stelări posibile (pentagrama, “steaua lui David”, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf