Didactica matematicii 2018

Profesorii Facultății de matematică de la Universitatea Babeș-Bolyai din Cluj organizează din anii ’80 o sesiune de comunicări știintifice sub titlul Didactica matematicii. Manifestarea are loc de obicei în perioda de primăvară târzie și este găzduită în fiecare an în altă locație din Cluj sau din Ardeal. Anul acesta Didactica matematicii are loc la Cavnic în data de 19 mai: http://www.math.ubbcluj.ro/~didactica/.

Personal, am participat pentru prima dată la această sesiune de comunicări stiințifice în anul 1992, iar de atunci de mai multe ori, pierzând numărătoarea participărilor. Lucrarea mea pentru această ediție a Didacticii matematicii are titlul Criteriul psihologic al intuiției în selectarea teoremelor de demonstrat în gimnaziu, fiind un subiect la care am lucrat începând din ianuarie. Pentru cei care n-au citit părtile acestui eseu la momentul apariției vă ofer un scurt rezumat al principalelor aspecte analizate:

Constantin Titus Grigorovici, profesor Liceul Waldorf Cluj-Napoca

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (PS)

S-ar putea crede că un eseu atât de lung ar fi trebuit să epuizeze definitiv subiectul propus (PS-ul de faţă a fost redactat după partea a III-a a eseului, fiind un scurt apendice al acesteia; scuze pentru întârzierea publicării). Aplecându-ne cu răbdare şi meticulozitate asupra subiectului, stârnit de gândurile cu tâlc expuse de profesorului Eugen Rusu în lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), am găsit o sumedenie de idei legate de nivelul evidenţei drept un criteriu psihologic legat de folosirea intuiţiei în selectarea itemilor de parcurs la geometria gimnazială. Totuşi, odată ce am părăsit redactarea textului şi subiectul în sine, luând distanţă şi admirând întregul de la depărtare, se pot vedea şi alte aspecte ce nu au fost atinse.

De pildă, se poate pune în discuţie diferenţa dintre nivelele evidenţei la fenomenele geometrice faţă de fenomenele numerice. Am atins scurt acest subiect atunci când am afirmat că demonstraţiile pe bază de arii ale teoremei lui Pitagora au un nivel de evidenţă net superior demonstraţiei pe bază de rapoarte, demonstraţie ce are un profund caracter algebric. Asfel, demonstraţia tradiţională din manuale, pe baza teoremei catetei, are un ciudat caracter de “Hocus-Pocus!”: majoritatea elevilor nici nu prind clar ce s-a întâmplat, şi nici nu înţeleg clar rezultatul la care s-a ajuns. Ei pricep că s-a ajuns la faimoasa teoremă a lui Pitagora, dar rămân doar cu o stare dilematică generală: “totuşi, despre ce-i vorba aici?”. Iar această stare este foarte îngrijorătoare pentru că prin ea elevul se învaţă să nu gândească, situaţia fiind generalizată atât la mulţi elevi inteligenţi în ceea ce priveşte majoritatea lecţiilor, cât şi generalizată în sensul unei majorităţi a elevilor, având deja un caracter de pandemie.

Revenind la compararea nivelelor de evidenţă a diferitelor demonstraţii, a diferitelor căi de a explica un anumit rezultat matematic, trebuie conştientizat clar că există căi mai vizuale şi căi bazate mai mult pe tehnicile de calcul. Un bun exemplu în acest sens îl reprezintă formula numită pătratul sumei, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, la care avem cele două căi cunoscute de obţinere, de justificare: calea tradiţională prin calcul algebric, care oarcum justifică supratitlul de formule de calcul prescurtat, şi calea geometrică la fel de cunoscută, dar deseori neglijată, în care formula respectivă este privită drept aria unui pătrat mare descompusă într-o sumă de două arii de pătrate diferite şi două arii de dreptunghiuri congruente. De obicei profesorii fac la clasă prima rezolvare în urma căreia elevii văd că iarăşi profesorul se agită şi înrămează ceva ca fiind foarte important, dar la care ei rămân cu un mare semn de întrebare, asemănător cu o stare de “ceaţă pe creier”. Dacă imediat după aceasta profesorul aduce şi a doua justificare, cea geometrică cu arii, atunci aceasta are de obicei efectul unui vânticel proaspăt de primăvară care alungă ceaţa de pe gândirea elevilor: “Aha, este evident. Da, aşa-i! Se vede.”

Aici nu putem spune însă că una dintre rezolvări ar fi mai importantă decât cealaltă, dându-i căştig de cauză şi întâietate, eliminând-o pe cea mai puţin importantă, şi asta dintr-un motiv foarte simplu: există copii de diferite feluri, unii având o gândire cu afinităţi mai apropiate de lumea numerelor, alţii cu o gândire mai abilă în lumea imaginilor, potrivită mai degrabă căilor geometrice. Cum am mai spus: poziţionarea unor itemi pe treptele scării evidenţei are un profund caracter subiectiv din punct de vedere psihologic. Alăturarea celor două căi de obţinere a formulei oferă siguranţa unui rezultat mai bun al înţelegerii, atât la nivelul clasei, cât şi la nivelul fiecărui individ. Altfel, o predare unilaterală are mari şanse de a-i neglija pe unii dintre elevii, care sunt capabili şi inteligenţi, dar dotaţi cu gândirea unilaterală mai potrivită celeilalte dintre cele două direcţii.

Aceste idei sunt susţinute şi de către gândurile din lucrarea profesorului Eugen Rusu, combinând cele două pasaje deja cunoscute: Întrucît grecii nu erau familiarizaţi cu calculul algebric, ei vedeau în a2 o arie, nu un număr-măsură ridicat la pătrat (privit ca operaţie de ordinul III; pag.38) şi: evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii (pag.4). Cu alte cuvinte: la fel ca la primii învăţaţi greci, gândirea algebrică în curs de formare s-ar putea să nu-i ofere elevului încă o siguranţă deplină, pe când raţionamentele legate de arii (măsura suprafeţei) să-i asigure o claritate şi o certitudine mai evidentă, cu acestea elevul ocupându-se deja aritmetic şi geometric încă din clasa a V-a

CTG 01.02.2018

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (VI)

Eseul de faţă a pornit ca o analiză a modului de predare a geometriei, plecând de la noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice de la pagina 30 citim: Programele de matematică pentru clasele a V-a şi a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notaţii, teorie prezentată in extenso, demonstraţii exhaustive)… Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea de la modelele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi …La pagina 32 găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Legat de formalismului specific matematicii, la pagina 9 a programei, la finalul clasei a V-a, autorii chiar au avut curajul să cuprindă următoarea observaţie: 2Notaţia ∢AOB reprezintă atât unghiul AOB, cât şi măsura unghiului AOB, în funcţie de context. Şi când mă gândesc că eu am auzit de măsura unghiului, adică de scrierea m(∢AOB) deabia în clasa a IX-a!

În paralel cu analiza diferitelor citate din programă, am apelat la o lectură atentă, chiar meticulos de atentă, “printre rânduri” a lucrării profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), cu accent pe primele capitole corespunzătoare geometriei Greciei antice. Iată, în acest sens, un ultim citat legat de perceperea acestei moşteniri de către urmaşii lor. Astfel, în Capitolul V al cărţii, Între matematica antică şi cea din epoca modernă, Eugen Rusu face o analiză a trecerii cunoaşterii prin evul mediu. În al doilea subtitlu Se păstrează Elementele lui Euclid aflăm că se păstrează cartea de geometrie, dar se pierde spiritul geometric. În general, în această perioadă, cultura înseamnă mai mult prosternare în faţa unor texte considerate ca autoritate în materie, cel mult comentarea literei lor, cu efortul de a le înţelege, şi mai puţin sau de loc activitatea axată pe descoperirea adevărului. Atitudinea faţă de Cartea sfîntă – pentru unii Biblia, pentru alţii Coranul sau Talmudul – în esenţă, axată pe crede şi nu cerceta şi pe veneraţia faţă de autori, Carte care dă învăţături, nu invitaţii la gîndire, este imitată, de la sine, şi faţă de cărţi “profane”. Biserica, începînd din secolul al XIII-lea, îl recunoaşte pe Aristot, şi-l apropie. De ce? (…) tocmai adoptînd pe Aristot ca autoritate indiscutabilă, Biserica înăbuşea spiritul cercetării libere.

Într-un astfel de climat, la ce serveşte Euclid? Cel mult să-l înveţi, respectîndu-l. Un fapt semnificativ: încă de la începutul secolului al VI-lea, Boetius dă o carte de geometrie, în care sînt puse numai enunţuri de teoreme din Euclid. Demonstraţii dă numai la primele trei teoreme, în anexă, ca să vadă cititorul că poate avea încredere în autor. Pentru ei enunţul – un fel de “învăţătură” – e important. O carte de geometrie fără demonstraţii! Bazată pe “încredere”, pe prestigiul autorului! (pag 99-100)

Dacă pe vremea respectivă oamenii erau ţinuţi departe de procesul gândirii în acest fel, dimpotrivă, în ultimii peste 30 de ani majoritatea elevilor, toţi cei care nu reprezentau chiar vârfurile claselor, adică “ne-olimpicii”, au fost ţinuţi departe de procesul gândirii printr-un nivel prohibitiv al rigurozităţii şi formalismului matematicii, combinat cu un nivel foarte ridicat de dificultate al aplicaţiilor parcurse la clasă sau oferite ca temă, un nivel la fel de prohibitiv pentru majoritatea elevilor.

Totuşi, chiar dacă sistemul s-a prezentat în faţa elevilor ca având pretenţia să se demonstreze TOTUL, de fapt a ajuns a decide că unele lucruri nu trebuie demonstrate, iar lista acestor teoremelor care nu se demonstrează a crescut de la un an la altul pentru a face loc în ora de matematică cât mai multor aplicaţii.

În această ultimă parte a eseului de faţă doresc să trag anumite concluzii, despre cum ar trebui abordată geometria din punct de vedere a folosirii intuiţiei. Oricum, este de apreciat apariţia cuvântului intuiţie în noua programă de matematică valabilă începând din 2017 (cuvântul respectiv apare în diferite forme de peste 20 de ori în această programă). Din păcate, impresia lăsată este că se cere o predare intuitivă doar în clasele a V-a şi a VI-a, după care “GATA!”, din a VII-a o luăm din nou aşa cum ne pricepem mai bine. Analizând toate cele spuse şi scrise în primele cinci părţi ale acestui eseu, putem trage însă câteva concluzii destul de diferite de impresia respectivă.

Folosirea intuiţiei în înţelegerea şi justificarea afirmaţiilor geometrice porneşte de la un nivel ridicat şi coboară cu timpul la nivele tot mai scăzute, fără însă să dispară total nici în clasele mari. Dimpotrivă, demonstrarea riguroasă porneşte cu paşi timizi în clasa a VI-a şi doar la afirmaţiile cu un nivel al evidenţei scăzut. Acest criteriu rămâne valabil de-a lungul întregului ciclu gimnazial, dar creşte numărul de situaţii care primesc demonstraţie. Un exemplu ar fi Teorema lui Thales care nu prea se demonstrează. În schimb, teorema bisectoarei permite demonstraţii foarte frumoase ce se pot face ca exemple de rezolvări. Este păcat a da această teoremă şi a sări direct la aplicaţii, fără a-i prezenta o demonstraţie (nivelul de evidenţă al acestei teoreme este foarte neclar). O situaţie similară avem la teorema despre poziţia centrului de greutate al unui triunghi, la care merită prezentate chiar două demonstraţii (cu linie mijlocie, respectiv cu teorema fundamentală a asemănării).

Un alt exemplu ciudat se găseşte în finalul clasei a VII-a unde, la capitolul despre cerc se fac câteva teoreme plictisitoare (coarde congruente la arce congruente; arce congruente între coarde paralele etc.), al căror singur obiectiv real ar fi să ducă spre teorema “tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact”, teoremă care însă nu se mai demonstrează. Atunci, pentru ce s-au făcut primele, care sunt destul de evidente şi nu sunt folositoare în probleme?

Revenind la folosirea intuiţiei vizuale în comparaţie cu folosirea demonstraţiilor teoretice pentru justificarea afirmaţiilor din cadrul lecţiilor, consider că cele două fenomene ar putea fi reprezentate grafic oarecum similar cu cele două curbe ale funcţiilor exponenţiale (1/2)x şi 2x, una descrescătoare dar nedispărând oricât de mult am merge la dreapta, cealaltă crescătoare, ele intersectându-se undeva la trecerea din clasa a VI-a în a VII-a.

Faptul că, aplicând aceste principii, în clasa a VI-a nu ar trebui să ne propunem a demonstra afirmaţii evidente, acest fapt ne conduce la următorul gând: în clasa a VI-a, în procesul de cunoaştere al figurilor geometrice studiate, ar trebui să ne concentrăm mai degrabă pe procesul de construire al acestor figuri decât pe demonstrarea unor proprietăţi evidente ale acestora. Aici există o lume nebănuit de bogată din care elevii pot cunoaşte mult mai bine şi mai profund spiritul fiecărei figuri şi toate secretele sale, într-o formă mai potrivită vârstei. Astfel, pe lângă exemplele de bază pentru construirea triunghiurilor, elevii pot primii şi sarcini la care sunt nevoiţi să facă anumite calcule şi explicaţii preliminare. Iată câteva exemple în acest sens (preluate din ultima lucrare de control dată la clasa a VI-a la sfârşitul lui martie):

Ex.1) Construiţi triunghiul GHI dreptunghic în ∢H, cu HI = 6 cm şi m(∢G) = 70o. (stabilind mai întâi măsura unghiului I, complementul lui G, putem construi triunghiul pe baza cazului de construcţie ULU)

Ex. 2) Construiţi triunghiul isoscel ABC cu [AB] ≡ [AC], având baza BC = 4 cm şi m(∢A) = 50o, iar apoi trasaţi şi bisectoarea unghiului ∢B. (trebuie să stabilim mai întâi măsurile unghiurilor B şi C prin raţionament logic, scăzând din 180o şi împărţind la 2)

Ex. 3) Construiţi triunghiul DEF dreptunghic în ∢D cu cateta DE = 3 cm şi mediana DM = 4 cm. (informaţia despre lungimea medianei pe ipotenuză trebuie mai întâi transformată în lungimea ipotenuzei; apoi se construieşte triunghiul cu baza cateta DE şi verticala ridicată în D)

Se vede clar pe aceste probleme cum elevul este împins să gândească în paşi mici accesibili momentului său de dezvoltare, nefiind dresat să înveţe nişte demonstraţii pe de rost. Astfel, mai logic ar fi ca elevul să înveţe în clasa a VI-a “Cazurile de construcţie a triunghiurilor” (renumitele LLL, LUL, ULU) şi doar în clasa a VII-a la o reluare a materiei să privească fenomenul drept “Cazurile de congruenţă a triunghiurilor” folosibile în demonstrarea unor afirmaţii mai puţin evidente.

În altă ordine de idei, fenomenul intuiţiei poate avea o importanţă deosebită chiar şi în ordinea parcurgerii unui set de lecţii. Să luăm spre exemplificare setul de trei lecţii compus din “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi respectiv “Teorema fundamentală a asemănării”. Astfel, în lecţia introductivă la capitolul despre proporţionalitate, eu le prezint un “drum de transformare intuitivă” a cunoştinţelor din clasa a VI-a de la regula de trei simplă spre triunghiuri asemenea, TFA cu final la Teorema lui Thales (pentru detalii sau reamintire vezi postarea http://pentagonia.ro/proportionalitate-si-asemanare-prima-lectie/ ). Ordinea teoretic corectă ar fi însă “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi în final “Teorema fundamentală a asemănării”. Din punct de vedere al elevului şi al parcursului său prin exerciţii şi probleme, ordinea pedagogic corectă ar fi însă: “Teorema lui Thales”, “Teorema fundamentală a asemănării”, ambele având puternice exerciţii cu aplicaţii numerice (ambele pe aceeaşi figură tip), şi doar apoi “Asemănarea triunghiurilor” cu diferitele probleme la cazurile de asemănare.

În finalul acestui mega-eseu permiteţi-mi o încercare de caracterizare a acestui drum de la justificarea intuitivă la demonstraţia riguroasă, organizată pe semestre, începând de la primii paşi prin construcţii geometrice cu instrumente şi mergând până la nivelul de abordare axiomatică cu demonstrarea prin reducere la absurd a punctelor cele mai nevralgice din materie. Astfel:

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul. La împărţirea cercului în patru părţi apare metoda ce va sta ulterior la baza trasării mediatoarei unui segment; acum vrem doar să trasăm o verticală perfectă pe un diametru. În mod similar, la împărţirea cercului în opt părţi vom avea nevoie de mişcarea ce se va dovedi ulterior baza pentru construcţia bisectoarei unui unghi. Acestea vor veni doar în clasa a VI-a, dar acum apar doar ca “şmecherii” interesante, apărute în urma problematizării, fie din imaginaţia intuitivă a unui elev, fie arătate de profesor.

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului.

Aceste construcţii au rolul de a familiariza elevii cu folosirea cât mai exactă a instrumentelor geometrice în forma lor practică, constituind un fundament solid pe care se vor aşeza ulterior noţiunile geometrice şi apoi, la un nivel superior, demonstraţiile. Obiectivul structural al acestei abordări îl reprezintă însuşirea folosirii şi formarea abilităţilor de lucru exact, cu ajutorul instrumentelor geometrice (dintr-un punct exact în celălalt punct, nu la 1-2 mm pe lângă acesta) şi concentrarea elevilor asupra acestora. Astfel, elevii nu sunt puşi în clasa a VI-a a se concentra asupra folosirii unor instrumente necunoscute în acelaşi timp cu însuşirea multor noţiuni noi, fiecare foarte importantă. Se evită astfel introducerea simultană la clasă a mai mulţi itemi noi pe diferite paliere de gândire şi abilităţi.

Clasa a VI-a, semestrul I: După un semestru de introducere ludică a primelor elemente de geometrie prin intermediul construcţiilor geometrice, a venit vremea unei sistematizări a noţiunilor de bază: dreaptă, segment, semidreaptă, lungimea unui segment, paralelism şi perpendicularitate, congruenţă, mijloc, mediatoare, unghi, măsura unghiului, clasificarea unghiurilor, bisectoare, unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de două paralele cu o secantă, simetria axială, unghiuri complementare sau suplementare etc. Toate acestea se vor introduce într-o formă mai riguroasă, dar totuşi pe baza unor observaţii intuitive, nefiind demonstrat nimic. În schimb se va cere elevilor să facă toate construcţiile posibile exacte la fiecare lecţie studiată. De pildă, la mediatoarea unui segment, se vor face atât construcţia cu rigla gradată şi echerul, cât şi construcţia cu rigla negradată şi compasul. La aceasta din urmă elevii îşi vor aduce aminte de “mişcarea” cunoscută în clasa a V-a la împărţirea cercului în patru părţi egale. Tot aici elevii vor primi sarcina construirii perpendicularei pe o dreaptă, atât: a) dintr-un punct exterior dreptei (coborârea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă), cât şi: b) într-un punct al dreptei (ridicarea perpendicularei într-un punct pe o dreaptă).

Clasa a VI-a, semestrul II: După ce am construit un vocabular consistent de noţiuni cu care să putem lucra, a venit vremea să studiem principalele figuri geometrice închise, anume triunghiurile şi patrulaterele (cercul apare în această formă de predare de la început, alături de dreaptă, ca una din cele două figuri de bază ale geometriei).

În cele două capitole, triunghiurile şi respectiv patrulaterele se vor studia într-o formă intuitivă, pe baza observaţiilor evidente pentru elevul de clasa a VI-a. Aici vor apărea însă primele demonstraţii în situaţiile neevidente legate de unghiurile acestora (suma unghiurilor, unghiurile exterioare, triunghiul dreptunghic înscris în semicerc). Majoritatea proprietăţilor, fiind însă de natură evidentă, vor fi doar evidenţiate şi contabilizate pentru a fi pregătite la îndemână în vederea unei viitoare utilizări.

Preocuparea principală rămâne însă construcţia figurilor geometrice cu diferitele instrumente, construcţii realizate în toate formele posibile. De pildă, la capitolul despre triunghiuri elevii vor studia Cazurile de construcţie a triunghiurilor (renumitele LLL, LUL, ULU etc.). Acestea vor deveni baza unei transformări ulterioare în Metoda de demonstrare pe baza cazurilor de congruenţă a triunghiurilor. Şi la patrulatere se vor face cât mai multe construcţii concrete pe diferite situaţii. În cadrul acestei etape apar la diferite probleme de construcţie primele elemente de aplicaţii a teoremelor studiate în vederea găsirii elementelor necesare pentru realizarea construcţiei.

În finalul clasei a VI-a elevii vor parcurge o zonă aplicativă de geometrie în spaţiu, trebuind să construiască singuri cu instrumentele geometrice desfăşurarea unor prime corpuri, să le decupeze, să le plieze corect şi să le asambleze din hârtie mai groasă, lipindu-le pentru a obţine un cub, o prismă (de preferinţă triunghiulară), o piramidă patrulateră (de preferat cu feţele laterale triunghiuri echilaterale), un tetraedru regulat etc. Acestea se prezintă ca o primă vizită în zona geometriei 3D, ca o primă trecere în cadrul predării în spirală pentru geometria în spaţiu.

Obiectivul structural principal, alături de însuşirea tuturor noilor noţiuni de geometrie, îl reprezintă formarea simţului pentru exactitatea în geometrie prin construirea cât mai exactă a figurilor geometrice. Gândirea elevilor este încă într-o fază incipientă, concentrarea fiind pe o figură cât mai corectă.

Clasa a VII-a, semestrul I: Întreaga noastră atenţie se îndreaptă acum asupra gândirii (adică a demonstraţiilor), făcând aceasta în două direcţii. Prima ar fi problemele de demonstrat şi în acest sens cea mai bună pornire ar fi problemele având ca “personaje principale” unghiurile. Apoi se pot studia probleme în care apar mai mult relaţii legate de segmente: linia mijlocie, mediana pe ipotenuză etc. În acest moment elevii au ajuns la o maturitate de gândire suficientă încât să se poată confrunta cu succes cu problemele de congruenţa triunghiurilor, care sunt de multe ori cele mai complexe.

Legat de figurile geometrice, acestea se vor face exact mai ales atunci când cerinţa problemei nu este evidentă; dimpotrivă, în cazul unor cerinţe evidente, putem apela la schiţe făcute cu mâna liberă care nu vor mai fi exacte, fiind astfel contestabile, abordând problema sub argumentul: demonstraţi că, în cazul unei figuri corecte, următoarele segmente sunt congruente.

A doua direcţie de lucru ar fi poligoanele cu mai multe laturi (continuare evidentă a parcurgerii în anul precedent a triunghiurilor şi a patrulaterelor), atât în forma oarecare (suma unghiurilor), cât şi în forma regulată (măsurii unui unghi). Elevilor le place foarte mult această parte, fiind în directă conexiune cu singurele demonstraţii parcurse în clasa a VI-a. Văzând pentagonul sau octogonul regulat etc., elevii vor înţelege acum argumentaţia situaţiei particulare de la Floarea vieţii, anume de ce se întâmplă că acolo hexagonul regulat este compus exact din triunghiuri echilaterale. O astfel de abordare ne va permite în capitolul despre arii o apropiere de situaţia cercului (aria dodecagonului regulat – 12 laturi – este egală cu 3 r2, apoi aria cercului în format aproximativ etc.).

Pe lângă studiul ariilor triunghiurilor (exceptându-l pentru moment pe cel echilateral) şi a patrulaterelor particulare, la capitolul despre arii se poate demonstra şi teorema lui Pitagora (prin arii), având astfel din semestrul I material de lucru mult şi în domeniul calculelor (atât pentru elevii slabi, cât şi pentru olimpicii de fizică care au nevoie repede de această teoremă).

O observaţie este necesară aici în legătură cu organizarea algebrei: cel mai folositor este dacă elevii nu învaţă în semestru I numerele iraţionale, ci aplică în geometrie doar forma aproximativă a rezultatelor, atât în cazul celor din teorema lui Pitagora, cât şi în cazul celor de la aria şi lungimea cercului. Calculele aproximative oferă elevilor rezultate mult mai palpabile, mai pe înţelesul omului de rând. În semestrul II se poate trece apoi la scrierea iraţională a unor segmente date sau a rezultatelor.

Clasa a VII-a, semestrul II: Pe lângă schimbarea de paradigmă în privinţa scrierii lungimilor iraţionale, în semestrul II se vor studia (cu o aparentă întârziere) şi elementele de geometrie a proporţionalităţii: teorema lui Thales, triunghiurile asemenea, teoremele lui Euclid (a catetei şi a înălţimii) şi rapoartele trigonometrice. Tot aici se vor parcurge şi alte demonstraţii pentru teorema lui Pitagora (cel puţin cea cu teorema catetei, dar şi una pe baza formulelor de calcul prescurtat).

Clasa a VII-a se poate termina cu o nouă revenire prin zona cercului, cu teorema despre tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact şi cu un minim studiu al patrulaterelor inscriptibile sau circumscriptibile.

Clasa a VIII-a, semestrul I: Pornirea din zona intuitivă a materiei şi mersul în ritm accesibil către zonele mai dificile, această abordare trebuie respectată şi în cazul geometriei în spaţiu (3D sau stereometrie). Din punct de vedere al folosirii intuiţiei este evident că e mai sănătos să pornim cu studiul unui prim set de corpuri (cubul şi cuboidul – paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele şi tetraedrul regulat) ce vor fi cunoscute din punct de vedere al trasării figurilor, al construcţiei desfăşurărilor şi al calculelor ariilor şi volumelor: nu doar o prezentare scurtă a acestora într-o lecţie iniţială, ci fiecare cu o lecţie completă cu probleme aplicative de calcul. Corpurile respective acţionează astfel ca veritabile “schele intuitive” pentru susţinerea sănătoasă a gândirii elevilor în timpul primilor paşi în geometria 3D.

Elevii ajută chiar şi la formarea lecţiei: fiecare formulă de arie poate fi dată prin judecată proprie de către elevi. După înţelegerea principiilor de bază la volum, elevii vor începe să dea şi formulele de volum.

Abia apoi merită abordate toate situaţiile de paralelism, perpendicularitate sau determinare de unghiuri între drepte şi/sau plane (“drumul” până la teorema celor trei perpendiculare şi unghiul diedru).

Clasa a VIII-a, semestrul II: Acesta va fi un semestru scurt, lăsând loc suficient parcurgerii testelor în vederea pregătirii examenului. Elevii mai au de studiat doar trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Aici se va atinge apogeul nivelului de complicaţie a demonstraţiilor unor teoreme, prin demonstrarea la clasă a formulelor de volum la trunchiul de piramidă (trebuie să fi fost parcursă la algebră măcar informativ formula diferenţei cuburilor), aria laterală a conului şi a trunchiului de con, cât şi formula de volum a sferei, inclusiv transformarea acesteia în formula de arie a sferei.

Nu poate lipsi din această abordare ce foloseşte intuiţia elevilor lecţia recapitulativă despre corpuri de rotaţie, lecţie ce se bazează în mod evident pe impulsul natural al omului pentru mişcare (când vedem pentru prima dată un obiect nou, îl luăm în mână şi îl studiem, adică îl rotim pe toate părţile).

Clasele de liceu: orice persoană cu un bun simţ legat de geometrie a ajuns în ultimii 20 de ani să simtă lipsa geometriei sintetice din clasele liceale. Aceste aspecte şi felul în care s-ar putea lua măsuri reparatorii reprezintă un subiect vast, pentru care acum ar merita trasate doar câteva direcţii de preocupare şi cugetare.

Există cel puţin două situaţii majore unde lipsesc elementele de geometrie: la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info, respectiv la clasele cu profil tehnologic. Să le analizăm pe rând. Actualmente elevii de la primele categorii de clase amintite, adică în principiu elita matematică a ţării, aceştia nu mai apucă la ora actuală să facă pasul spre o cât-de-cât ordonată tratare axiomatică a geometriei, fascinantă prin îngrădirile ce apar la tot pasul în strădania de a demonstra cât de mult posibil (demonstraţiile prin reducere la absurd şi-ar găsi foarte bine locul aici). Pasul spre abandonarea aproape completă a gândirii intuitive şi exersarea profundă a gândirii raţionale pe bază de reguli, acestui pas i-ar veni vremea în clasele de după examenul de Evaluare naţională, în urma căruia elevii au fost selectaţi. Acest pas nu este pentru toţi; de-abia acum îi vine vremea şi este un mare păcat că elevii talentaţi la matematică nu mai au ocazia să îl cunoască.

Totodată, aceştia nu apucă să mai facă toţi paşii formatori de gândire complexă prezenţi în situaţiile dificile, abandonate în ultimii ani din clasele gimnaziale, dar şi pe cele ce combină elemente de geometrie cu elemente din alte capitole noi în liceu (trigonometria superioară, funcţia de gradul II etc.). La reforma din 1997 au fost abandonate toate aceste elemente de gândire pură, vie, în detrimentul elementelor reţetabile specifice gândirii algebrice (includ aici şi geometria vectorilor, care oricum vine mult prea repede în clasa a IX-a). Organizatorii programelor ar trebui să ia în seamă şi aceste aspecte la vremea redactării viitoarelor programe pentru liceu. Reamintesc în acest sens expresiile profasorului Eugen Rusu, care vorbea despre geometria în prima etapă de studiu, adică în gimnaziu, şi geometria în etapa a doua de studiu, adică de reluarea acesteia în liceu.

Pe de altă parte, elevii claselor cu profil tehnologic sunt cei care ar avea cea mai mare nevoie de elementele de calcul a corpurilor (stereometria), şi asta din motive pur practice. Aceştia sunt însă cei care – în general – au luat note mai mici la examenul din finalul clasei a VIII-a, putând presupune că mare parte dintre ei încă nu stăpânesc încă zona respectivă. O continuare a preocupărilor pe baze intuitive în direcţia calculelor, cu extinderi chiar şi în domeniul corpurilor neregulate, ar fi de mare folos pentru viitorul lor profesional practic. Amintesc în această direcţie doar un exemplu: proprietarul unei firme de măsurători cadastrale care se plângea că studenţii, ce urmau să fie absolvenţi în domeniu, habar nu aveau despre formula de arie a lui Heron, în general de nici un fel de elemente matematice necesare în domeniu (chiar dacă la ora actuală teodolitele oricum lucrează prin GPS).

CTG, la finalul lunii aprilie 2018

Problema care a împărţit România în două

În postarea Ordinea operaţiilor în clasele primare din februarie 2016 am discutat despre cum este înţeleasă sau nu ordinea operaţiilor în ciclul primar. Problemele mari sunt legate de ordinea efectuării între operaţia de adunare şi cea de scădere, şi se pare că problemele sunt de fapt la nivelul unor învăţătoare, care apoi îi învaţă greşit pe copii. În acest sens, când simt că „miroase” în clasă a o astfel de greşeală, eu îi întreb pe elevi: între adunare şi scădere, care operaţie se face prima?. Vă daţi seama ce distractiv-bulversantă devine ora dacă primesc un răspuns de tipul: adunarea!, la care dau din cap că-i greşit; apoi, repede careva are impulsul de a da celălalt răspuns posibil, după mintea lor: scăderea!, la care eu iarăşi răspund că NU!. După o clipă de linişte bulversată, careva răspunde sigur pe el: prima care-i scrisă!, iar eu în sfârşit mă arăt mulţumit. Uneori mai pun şi a doua întrebare: între înmulţire şi împărţire, care operaţie se face prima?, iar elevii ştiu de data asta răspunsul corect din prima.

La adresa Ordinea operaţiilor pe internet (august 2016) am tratat exemplul unei situaţii de ordinea operaţiilor propuse “internauţilor” străini, care scotea în evidenţă faptul că unele astfel de exerciţii nu se pot rezolva cu “calculatorul de buzunar”, fie el chiar şi din “deşteptofon” sau de pe laptop. În momentul acela mândria noastră de mari olimpici ne făcea să pufnim de râs profund dispreţuitor.

Iată, însă, cum arată o astfel de situaţie pe plaiurile mioritice ale internetului. Este vorba de banala “problemă” 7 – 5 + 2 = ?, despre care puteţi lectura prezentarea de la adresa Problema ASTA a impartit Romania in doua!. Dacă nu doriţi, iată aici materialul respectiv în variantă prescurtată (corectat şi cu diacritice).

*

Sunt de-a dreptul şocat. O problemă de clasa pregatitoare a reuşit să divizeze poporul român consumator de internet. Studiu de caz pentru ce se întâmplă acum în România. Se dă problema:

Şi mi-am zis că e o glumă proastă. Că nimeni nu va comenta la prostia asta şi că toată lumea ştie rezultatul. Greşit! E momentul în care îmi dau seama că trăiesc într-o mare bulă şi că realitatea doare. 52 de oameni au apreciat părerea lui Andrei. 52 DE OAMENI! Nu numai că Andrei şi Matematica sunt paraleli, dar oamenii au aprecit şi faptul că el îi face idioţi pe toţi ceilalţi. Cum nu se poate mai bine! Apoi vine rândul „idioţilor”:

De aici, cele două tabere, „idioţii care cred că e 0” şi „idioţii care cred că rezultatul e 4”, încep să se certe şi să îşi arunce jigniri despre mamele şi rudele celorlalţi, (…), despre „scoala care au facuto”. Te doare mintea!  86 de oameni au apreciat explicaţia lui Mihai, dar şi faptul ca el i-a numit „cretini”:

Iată concluziile lui Silviu Iliuţă, autorul acestui eseu publicat pe Cronici pe bune:

  1. O problemă simplă  a reuşit să creeze pe net două tabere care se jignesc, se acuză, aruncă cu rahat. incredibil! Vă daţi seama ce se întamplă la problemele adevărate şi cât de uşor e să divizezi românii, aruncându-le o simplă prostie pe net?
  2. Cu riscul de a părea extremist sau orice „-ist”, eu cred că cei din tabăra celor cu răspunsul 0 nu ar trebui să voteze. Trebuie să li se explice frumos care e treaba cu ordinea operaţiilor. Dacă insistă în răspunsul lor, cred că nu ar trebui să meargă la vot (…) Pentru că nu ai cum să votezi, dacă Olguţa îţi promite că îţi creşte salariul cu 0 lei, iar tu te bucuri şi îi dai votul. Nu ai cum să ai drept de vot, dacă Liviuţ îţi spune că ţi se înmulţesc veniturile cu 1, iar tu îi dai votul pentru asta.(…) Pur şi simplu ţi-e mai bine dacă votează alţii pentru tine! Eşti mult mai în siguranţă. (…)
  3. Oricât de prost pregătit e un om, nu trebuie să îl jigneşti! Nu eşti DELOC mai presus decât el dacă îl faci „idiot”! Încearcă să îi explici frumos, chiar dacă el este agresiv. Este foarte important să avem înţelegere. (…)
  4. Daca aţi citit acest articol şi încă vă întrebaţi care e răspunsul corect, vă rog frumos, în genunchi, să nu mergeţi la vot! Din spirit civic. Nu este nicio problemă că nu ştiţi, ar fi de apreciat dacă aveţi deschidere să învăţaţi, dar chiar este o problemă dacă votaţi.

*

Da, să revenim la partea de matematică, oricât de minimalistă ar fi aceasta în subiectul de faţă. Oricum, putem sta liniştiţi: în meciul „celor cu 4” în confruntare cu „cei cu 0”, scorul final pare să fie undeva la 86-52, raportul fiind cam de 3 la 2. Lăsând gluma de-o parte, ar trebui să vedem de unde vine o astfel de minunăţie; de ce totuşi „doi din cinci români” cred în a doua variantă? La începutul prezentului articol am amintit bănuiala că unele învăţătoare traduc simpla enumerare a operaţiilor de ordinul I într-o ordine obligatorie. De pildă, în citatul: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea (Matematică şi explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House), diferite persoane cu o structurare mai filologică a creierului vor înţelege regula astfel: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi doar apoi scăderea.

Nu vreau să discut despre cine este responsabil pentru această greşeală din mintea acestor doamne învăţătoare; mai mult mă interesează despre cine este în măsură să corecteze respectivul aspect. În acest sens cred că noi, profesorii de matematică ar trebui să ne propunem să abordăm cu tact şi cu respect faţă de colegele noastre acest subiect şi să încercăm să eradicăm defectul din gândirea lor în discuţii calme şi civilizate cu dânsele. Nu e simplu, dar cred că se poate.

Putem privi lucrurile şi altfel: se prea poate ca învăţătoarea să fi predat bine, dar această confuzie să apară în mintea micuţului, neatent, neconcentrat, nepasionat de fenomenul matematic, poate şi alţi de ne-…, în mintea sa rămânând peste ani doar vocea stridentă a doamnei învăţătoare care striga la el: CARE-I ORDINEA OPERAŢIILOR? CE OPERAŢIE TREBUIE FĂCUTĂ AICI PRIMA, COPILE?, astfel încât atunci când a văzut ca adult scrierea 7 – 5 + 2 să se fi declanşat doar amintirile spaimelor din copilărie, gândind cu o voce interioară tremurândă: Oare aici pe care trebuia să o fac prima? Probabil că adunarea, că ştiu eu că în copilărie tot urla aia la mine dacă le făceam în ordinea în care erau scrise. Astfel, cred că este foarte posibil că şi aspectele psihologice să influenţeze situaţia acestui 7 – 5 + 2, cel puţin în unele cazuri.

Evident că persoanele care susţin că se face adunarea înaintea scăderii nu şi-au însuşit cum trebuie principiul conform căruia semnele de + şi – dintre numere pot fi privite atât ca semne de operaţie, cât şi ca semne ale unor numere pozitive sau negative. Aici trebuie atrasă atenţia şi asupra unei alte situaţii care este cu totul nouă pentru noi. În scrierea 7 – 5, al cui este semnul minus? Deci, cum se citeşte o scădere? Se citeşte 7 – … 5 sau se citeşte 7 … – 5? (cele trei punctuleţe mimează o pauză) Obişnuinţa la baza învăţământului românesc, încă de la începuturi este că minusul aparţine lui 7. De unde ştiu asta? Păi uitaţi-vă unde pune învăţătoarea semnul de scădere la o scădere cu numerele unul deasupra celuilalt: după numărul descăzut, în dreapta sa. Acolo îl punem şi noi profesorii! Forma corectă ştiinţific este însă că minusul este al lui 5. Aşadar semnul de scădere ar trebui pus lângă scăzător, la stânga sa, adică în faţa sa. De ce să-l punem acolo?, veţi întreba. Pentru că aşa e corect, iar asta ar preîntâmpina multe neînţelegeri. Nu mă credeţi, aşa că scot „artileria grea” a argumentelor: aşa fac şi nemţii, dar şi alţi vestici! Uitaţi în următoarea poză:
Aţi văzut unde este poziţionat semnul de scădere, sau v-aţi uitat doar la mitraliera învăţătoarei? Amândouă se potrivesc în oarecare măsură discuţiei noastre. Revenind la semnul minus din scădere, acesta poate fi pus şi la scăderile din cadrul împărţirii. Nu înţelegeţi cum? Ia aduceţi-vă aminte cum se face chestia asta în algoritmul de împărţire a polinoamelor: este acelaşi lucru, doar că nemţii o fac de la început în forma corectă. De ce? Că-s nemţi şi aşa fac ei lucrurile, corect din prima. De ce nu le facem şi noi aşa? Cred că intuiţi răspunsul.

Revenind la dificila noastră problemă cu ordinea operaţiilor, cred că am fost un pic cam necinstit la începutul acestei postări, în sensul că nu cred că doar învăţătoarele sunt de vină. Mai exact, dacă noi suntem atât de buni pe lângă dânsele, de ce nu remediem noi problema? Din clasa a 5-a toţi elevii ajung pe mâna unui profesor de matematică şi totuşi 2 din 5 internauţi au dat-o în bară cu banala secvenţă 7 – 5 + 2. Oare de ce? Cum se poate întâmpla aşa ceva? Păi, să vă prezint bănuiala mea: cu o programă atât de încărcată şi cu atâta preocupare pentru olimpiade încă din clasa a 5-a, cine mai are timp să se ocupe de ordinea operaţiilor din capul „elevilor slabi”? Pentru că da, profesorul de matematică visează numai la chestiile grele. Să corectezi astfel de gafe din gândirea elevilor trebuie să te ocupi măcar o oră, poate chiar două, cu astfel de banalităţi, iar apoi, ulterior să mai reiei subiectul de câteva ori ca să-l fixezi definitiv. Pentru asta trebuie să faci tu personal multe fişe, pentru că în culegeri nimeni nu pune „exerciţii pentru proşti”; toţi vrem să ajungem cât mai repede în zona „de excelenţă”. E greu, ştiu, să te cobori la nivelul „celor slabi” şi să te preocupi şi cu ei, dar dacă noi n-o facem, n-o va face nimeni. Ştiu, veţi răspunde că nu e vina noastră, a profesorilor de la clasă; s-o remedieze familia, direct sau prin intermediul meditatorul particular! Ce mă interesează pe mine chestia asta? Înspectorul de mate îmi cere şi mă laudă pentru rezultate la olimpiadă, nu pentru „looseri” recuperaţi. Un profesor bun se adresează în lecţii elevilor buni, nu codaşilor clasei.

Exagerez? Poate. Pentru o impresie artistică mai bună am dat un pic drumul unui ton mai agresiv, dar realitatea nu este deloc departe de prezentarea mea. Haideţi să dau câteva exemple culese de curând (adică în luna martie 2018), care ne arată cum materia este îngreunată artificial de către profesori şi dusă uneori departe de orice posibilitate de înţelegere de către elevi, potrivită vârstei şi cunoştinţelor acestora. Materia „zboară peste elevi” atât de sus încât de multe ori rezultatul mult lăudatului învăţământ românesc este cel văzut în exemplul de mai sus cu 7 – 5 + 2.

Trigonometria în clasa a 7-a se face în triunghiul dreptunghic, aplicându-se unghiurilor ascuţite din acesta. În clasa a 7-a nu se învaţă funcţii trigonometrice, pur şi simplu pentru că elevii încă nu au învăţat noţiunea de funcţie. În clasa a 7-a profesorul trebuie să aleagă titlul lecţiei undeva între Trigonometrie, Elemente introductive de trigonometrie sau poate Rapoartele trigonometrice. În clasa a 7-a sinus nu este funcţie ci este raportul dintre cateta opusă unui unghi ascuţit şi ipotenuză. Şi dacă tot am ajuns la unghiurile ascuţite pentru care calculăm rapoartele respective, aceste unghiuri particulare sunt 30o, 45o şi 60o. În nici un caz nu le putem da elevilor un tabel extins cu valorile 0o şi 90o, pentru că elevii nu-şi pot imagina cum este acela un triunghi dreptunghic cu un unghi de 0o sau cu încă un unghi de 90o. La fel de absurd ar fi dacă elevul s-ar poziţiona în unghiul drept încercând apoi să caute cateta opusă.

Acestea sunt gafele de predare cu care mă întâlnesc din când în când. Acum însă mi-a fost sesizat cazul unui coleg care a tratat aproape o oră întreagă funcţile trigonometrice fără să vorbească despre triunghiul dreptunghic, deci nici despre laturile sale. În schimb, pe lângă diferitele „formule fundamentale”, aflăm că dacă unghiul x este obtuz atunci cos x < 0 (!!!). Urmează multe exerciţii în care pornind de la o valoare a unei funcţii trigonometrice se calculează celelalte trei. Apoi, de niciunde apare brusc sin30o = ½ din care sunt deduse în continuare celelalte – da, aţi ghicit – pe baza formulelor fundamentale. Abia acum, spre sfârşitul orei, apare un nou titlu: Triunghiul dreptunghic Funcţii trigonometrice în care vedem în sfârşit un triunghi dreptunghic şi găsim rapoartele cunoscute sin = cateta opusă/ipotenuză etc. Aici elevii sunt informaţi că dacă cunoaştem un unghi (30o, 45o sau 60o) şi o latură, aplicăm funcţiile trigonometrice şi aflăm TOT. În sfârşit ajungem la primul exemplu folositor elevului de clasa a 7-a, dar după prima latură calculată s-a sunat, deci s-a dat tema şi gata ora. (din nou: !!!)

Descompunerea în factori a expresiilor de tipul x2 + bx + c în clasa a 7-a este un titlu destul de general şi se face mai mult pe cazul formulelor de pătrat a binomului. De abia în semestrul I al clasei a 8-a se cere mai serios să descompună toată lumea expresii de tipul x2 + 3x – 10 etc. Ecuaţia de gradul II vine în clasa a 8-a semestrul II, deşi la examen nu s-a dat în ultimii ani deloc. Elevii încep de abia în clasa a 9-a să se întâlnească puternic cu formulele generale ax2 + bx + c = 0, Δ = b2 – 4ac şi x1,2 =  –b ± radical Δ supra 2a (scuze de scriere, ca să nu aveţi probleme la citire) şi respectiv ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). A da elevilor în clasa a 7-a forma generală a rezolvării ecuaţiei de gradul II pentru a avea o formă generală de descompunere, înaintea oricărei variante particulare, este pur şi simplu bătaie de joc la adresa gândirii elevilor. Iată doar un argument în acest sens: elevii tocmai ce au învăţat formulele binomiale în care literele reprezintă numere doar în valoarea lor absolută, nu şi cu semnul lor. Astfel, de exemplu în cazul (x – 3 )2, unde a = x şi b = 3, aplicăm formula pătratul unei diferenţe. Atenţionez că în mintea elevilor din aceast moment b nu este – 3, aşa că nu aplicăm formula pătratul unei sume, după modelul [x + (– 3)]2 (acest pas, includerea semnului în literă, acesta apare doar la formula pătratul unui trinom; la aceasta nu se mai dau toate variantele de formule, în toate combinaţiile de semne + sau –, elevul fiind forţat aici să vadă numărul împreună cu semnul său). Ca urmare, în calculele de la formulele generale pentru ecuaţia de gradul II elevii vor greşi masiv la semne. Sigur, putem striga la ei, îi putem ameninţa cu lucrare de control, dar cu ce preţ, mai ales că oricum ei încă nu au văzut nici măcar o singură ecuaţie particulară de gradul II. Las cititorului „bucuria” de a găsi şi alte contra-argumente. Precizez doar că acest exemplu apare destul de des în ultima vreme, tot mai mulţi profesori preferând să „scurtcircuiteze” drumul greu de formare a gândirii algebrice a elevilor de clasa a VII-a, dându-le o reţetă general valabilă cu care să-i terorizeze. Şi asta în condiţiile în care mare parte din elevii claselor nu stăpânesc formele elementare de descompunere în factori.

Desigur că acestea nu sunt exemple izolate. Ce părere aveţi de un profesor de liceu care-i explică unui elev de clasa a VIII-a rezolvări prin radiani? Iar copilul docil stă să treacă urgia peste el, încercând să înţeleagă cumva chestia asta prin regula de trei simplă. Sunt de acord că-i va folosi pe viitor, dar atunci hai să punem învăţătoarele să facă radicali cu ei, iar în clasa a V-a, imediat după operaţia de putere am putea face şi logaritmii, că „ce-are?”, le va folosi mai târziu.

Să mă opresc? Veţi spune că exagerez, aşa că haideţi să mai dăm două exemple, ca să ne convingem de magnitudinea fenomenului. Ce spuneţi de titlurile următoare la clasa a VII-a (acum, în aprilie) şi, mai ales, ce părere aveţi despre efectul acestor lecţii într-o clasă de nivel mediu fără participanţi la olimpiada judeţeană? Iată: Valoarea minimă şi valoarea maximă a unui polinom de gradul II; sau, lecţia următoare: Ecuaţii de gradul II cu mai multe necunoscute, în condiţiile în care elevii clasei respective încă nu reuşesc clar să facă ecuaţii particulare sau generale de gradul II cu o necunoscută (toate acestea la titlul oficial Ecuaţii de forma x2 = a). Ar trebui să mulţumesc colegului respectiv pentru aceste exemple (vreau să spun: contra-exemple), dar sunt doar scârbit de situaţia respectivă.

Oare cum se simte un profesor care face aşa ceva elevilor, fără nici un dram de empatie faţă de fiinţa şi gândirea elevului, a elevului disperat că nu pricepe nimic sau mai nimic? Sunt sigur că mulţi elevi sunt leneşi şi nu au nici un chef să înveţe. Sunt sigur că mulţi nu au dotarea necesară pentru a înţelege matematica în general. Dar tot aşa de sigur sunt că mulţi dintre adulţii avariaţi matematic reprezintă victime rămase în urma activităţii unor învăţătoare incompetente sau a unor profesori exagerat de ambiţioşi (frustraţi?), care fac lecţii mult prea grele şi mult prea devreme, fiind total lipsiţi de orice urmă de tact pedagogic. Cu astfel de contraexemple de lecţii ale unor colegi, îmi vine greu să mă semnez ca profesor. CTG

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (V)

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Continuăm în acest sens lectura din Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, în care Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE. În ultimele trei titluri ale capitolului, Invenţie-inscripţie-comunicare; Doi titani: Euclid, Arhimede; Lecţia istoriei, Eugen Rusu se apropie tot mai mult de dilema reprezentată de diferenţa dintre un manual perfect din punct de vedere teoretic şi predarea vie prin problematizare ce foloseşte în bună măsură intuiţia învăţăcelului. Şi da, gândurile autorului ascunse până aici “printre rânduri” ies tot mai clar la iveală, confirmând lectura şi explicaţiile date în precedentele patru părţi ale eseului de faţă. Acum a venit momentul ca eu să fac un pas înapoi şi să dau cuvântul profesorului Eugen Rusu pentru finalul capitolului (în text integral).

Invenţie – inscripţie – comunicare (pag.91-92) Trei aspecte ale matematicii, cu structuri diferite, deşi legate între ele:

  1. Invenţie. Am mai spus: descoperirea unei proprietăţi noi se face printr-un proces de gîndire dialectică, adesea complex, în care raţionamentul logic este doar una din componente; alături de el intervine intuiţia, încercări quasi-experimentale, imaginaţia, “inspiraţia”, şi nu rareori … întîmplarea.
  2. Inscripţie. După ce adevărul a fost găsit, trebuie să i se dea o demonstraţie riguroasă, în care logica este aspectul esenţial; demonstraţia este tradusă în cuvinte, într-o formă sistematică, succintă, cristalizată – o formă care seamănă cu o inscripţie solemnă în piatră.
  3. Comunicare. Ce prezentăm şi cum, oamenilor care învaţă matematica făcută de alţii? Aici nu s-a găsit calea care să fie destul de scurtă – economică în timp – şi, totodată, destul de rodnică: să asigure şi cunoaşterea în sine a faptelor matematice (definiţii, enunţuri, demonstraţii), dar şi înţelegerea – înţelegerea în adîncime, priceperea – rostului lor, să asigure şi aspectul educativ: învăţăcelul să fie în situaţia de a aprecia valoarea acestor fapte şi a prinde el însuşi gustul cercetării, aptitudinile cercetării.
  4. a) Unii învăţători prezintă inscripţia; învăţăcelul este pus să o descifreze. Numai unii reuşesc să facă acest lucru; dintre aceştia un procent infim reuşesc să depăşească aspectul pur logic, să priceapă dedesupturile lui umane;
  5. b) alţi învăţători prezintă un pretins proces inventiv, aşa cum şi-l imaginează ei, încărcat de atîtea consideraţii adiacente şi inutile, încît învăţăcelul, încurcat, nu mai ajunge la faza de cristalizare, de gîndire concentrată, esenţială în matematică;
  6. c) alţi învăţători – care au arta de a învăţa din instinct şi nu din cărţi uscate de pedagogie – îşi dau seama că o condiţie esenţială este ca învăţăcelul să gîndească cu capul său, prin optica sa proprie, atît procesul descoperirii cît şi cristalul final.

Matematica nu se învaţă, se redescoperă. Rolul învăţătorului este acela de a declanşa acţiunea de redescoperire, de a o susţine şi a o călăuzi cu măsură. Euclid se află, cum am văzut, în poziţia a); de aceea considerăm opera lui ca nepedagogică. Arhimede (ca şi celălalt matematician universal de care am amintit, Poincaré) se află în poziţia c). Puţine fapte istorice îndreptăţesc această afirmaţie; puţine dar, consistente, semnificative.

Din scrisoarea către Eratostene: “Arhimede îi urează sănătate lui Eratostene. Ţi-am trimis mai înainte cîteva teoreme găsite de mine, comunicîndu-ţi numai concluziile şi propunîndu-ţi să le găseşti singur demonstraţiile …”

Din scrisoarea către Dositeu: “ Arhimede îi doreşte sănătate lui Dositeu. Cea mai mare parte din teoremele pe care le-am trimis lui Conon, ale căror demonstraţii mă rogi în fiecare scrisoare să ţi le comunic, au fost demonstrate în lucrările mele, pe care ţi le-a adus Heraclid. Cîteva demonstraţii sînt cuprinse în cartea pe care ţi-o trimit acum. Să nu te miri că am întîrziat atît de mult cu publicarea acestor demonstraţii. Am vrut mai întîi să comunic aceste teoreme oamenilor care se ocupă cu matematica şi care ar fi vrut să încerce să le demonstreze singuri.”

Să arătăm acum că Arhimede nu se mărgineşte să provoace activitatea proprie a celui căruia i se adresează, doreşte să-i fie şi călăuză, o călăuză luminată care are în vedere şi drumul, adică invenţia, şi capătul drumului, inscripţia.

Din epistola către Eratostene despre metoda mecanică de rezolvare a problemelor geometrice: “… Să expun şi să-ţi explic în această carte o metodă specială, mulţumită căreia ai să capeţi un bun mijloc ajutător pentru cercetarea cîtorva probleme matematice cu ajutorul mecanicii. După convingerea mea adîncă, această metodă este la fel de utilă şi pentru demonstrarea teoremelor: multe fapte mi-au devenit pentru prima dată clare datorită metodei mecanice, după care a trebuit să le demonstrez însă pe cale geometrică, deoarece metoda indicată nu oferă demonstraţii riguroase. Fireşte, e mai uşor să găseşti o demonstraţie riguroasă după ce ai căpătat, cu ajutorul acestei metode, o oarecare orientare în problemă. (…) am convingerea că procedînd astfel, fac un serviciu însemnat matematicii: consider că mulţi dintre contemporanii sau urmaşii mei, după ce vor fi cunoscut această metodă, vor fi în stare să găsească noi teoreme, la care eu nu am ajuns.”

Doi titani: Euclid, Arhimede (pag.94-95) Perspectiva timpului, măsurat în milenii, a şters detaliile, oferind esenţa.

Euclid a avut şi el preocupări euristice sau practice; rezultă aceasta din opere ale căror titluri au fost amintite de istorici vechi, dar care s-au pierdut: lucrări de optică şi de muzică, o lucrare intitulată Pseudaria, cu îndrumări şi exerciţii pentru studiul geometriei. Nu acestea îl caracterizează. Din punctul de privire situat la 2000 de ani distanţă, nu se mai vede decît această operă măreaţă, Elementele, nepieritoare operă, durată parcă în marmură. Oare nu este ea înrudită, în esenţă – deşi de alt gen – cu frumuseţea maiestuoasă a operelor durate propriu-zis în marmură, a templelor, a statuilor care au făcut gloria vechii Elade? Oare acest monument, Elementele, dedicat frumosului abstract, pur, nu-şi află o explicaţie şi în climatul general de cult al frumosului, în care s-a născut? Euclid se identifică astăzi cu opera lui care înfăţişează numai un aspect îngheţat, al matematicii: matematica-monument; matematica-inscripţie.

În ciuda timpului şi a imenselor lui uitări, imaginea intitulată Arhimede este a unui om, a unui om viu, plin de efervescenţă, cu multiple preocupări, cu minunate realizări, a unui om care “concretizează” noţiunea de om, însumînd calităţile, duse la maxim, care caracterizează această specie. Pasiunea pentru tehnică şi manifestarea din plin a ingeniozităţii practice, concepţia materialistă împletită cu o gîndire dialectică corespunzătoare, pasiunea de a descoperi, vădită în exclamaţia cu o semnificaţie atît de adînc umană, evrika, varietatea preocupărilor (de la apărarea cetăţii pînă la jocul de societate, de la frumuseţea pură a relaţiei între cilindru şi sfera înscrisă pînă la folosirea pîrghiilor pentru a afla aria unui segment de parabolă), originalitatea acestor preocupări, contactul de idei, viu, cu alţi oameni (de la aprecieri elogioase pentru Conon pînă la împunsături ironice la adresa lui Apollonius, stimularea gîndirii altora, înţeleapta ei îndrumare) – totul întăreşte această imagine de om la maxim, care ne îndeamnă să-l privim şi astăzi, în ciuda distanţei, cu căldură şi cu simpatie, care ne îndeamnă şi ne ajută să medităm, prin prisma acestui model concret, la ce înseamnă în mod esenţial a fi om.

Lecţia istoriei (pag.95-96) S-a spus că “istoria este făclia trecutului pusă în mîna prezentului, pentru a lumina viitorul.”

Pentru etapa actuală de dezvoltare a matematicii, ca şi a pedagogiei matematicii, momentul istoric cel mai sugestiv este secolul de aur. Nu este vorba numai de o apropiere din punct de vedere cantitativ: cel mai înfloritor secol al antichităţii cu secolul în care matematica a ajuns uimitor de bogată şi diversă. Este vorba de înrudiri de structură, ca şi de problema sensului activităţii matematice. Euclid vine după trei secole de cercetări euristice şi îşi ia ca sarcină sistematizarea geometriei într-un sistem logic-deductiv.

Sîntem astăzi la distanţă de exact 300 de ani de la descoperirea calculului integral şi diferenţial. În aceste trei secole s-au făcut extrem de numeroase cercetări, în special în Analiză, dar şi în alte domenii ale matematicii – cercetări nu totdeauna riguroase, dar mereu interesante şi fructoase în aplicaţii; în plin proces euristic, cu atenţia şi entuziasmul îndreptat spre nou, chestiunea fundamentării riguroase a rămas în umbră. A venit momentul unei sistematizări, al reconsiderării imensului material acumulat, al aşezării lui în construcţii pur logice, riguroase. Fundamentarea logică, riguroasă şi generală, este una din axele principale ale matematicii moderne.

Corespunzător acestui caracter ştiinţific, în pedagogie domină concepţia limitării la matematica-inscripţie. Lecţia lui Euclid, atît în partea ei ştiinţifică pozitivă, cît şi în partea ei pedagogică, negativă este foarte bine învăţată. Mai puţin, marea lecţie a lui Arhimede. Căci există la unii matematicieni de astăzi tendinţa de a absolutiza aspectul matematica-sistem logic, de a limita matematica la acest aspect util dar parţial al ei, de a o izola de preocupări euristice şi aplicative, de procesul viu al cunoaşterii. Ceea ce se repercutează şi asupra învăţămîntului matematic, prin aceeaşi tendinţă de a-l axa, poate chiar a-l limita, pe matematica axiomatică, cu ignorarea, chiar dispreţul a ceea ce ei numesc “matematica naivă”.

De aceea lecţia lui Arhimede este actuală. Sînt sigur că matematicienii viitorului – printre ei şi cititorii însemnărilor de faţă – vor înţelege matematica în sensul ei viu, ca un fenomen de cultură în care fiecare din componente – meşteşug, ştiinţă, artă – îşi are rostul ei, farmecul ei, rostul major şi un farmec nou revenind ansamblului însuşi. (…) Mai mult decît descoperirea mormîntului de către Cicero, descoperirea vieţii şi a adîncilor ei semnificaţii este utilă etapei de faţă a urmaşilor lui Arhimede.

*

Îndrăznind o tentativă de comentariu la textul citat, aş începe spunând că: Da, domnule profesor, cel puţin eu sunt aici şi vă citesc textul, sperând că am ajuns să înţeleg matematica în sensul ei viu, aşa cum aţi făcut-o dvs. Trecând peste această încercare de replică peste ani, să încercăm să cristalizăm câteva concluzii la textul de mai sus.

În linii mari, Eugen Rusu ne imploră să abordăm la clasă predarea prin problematizare, adică a folosirii metodei problematizării (un fel de “brain storming”) nu numai la rezolvarea problemelor, ci şi – chiar mai ales – la descoperirea şi demonstrarea diferitelor teoreme. Mai mult, dânsul ne cere să nu facem aceasta în mod plat şi dezinteresat, ci să o facem plin de entuziasm, dar nu cu un entuziasm egocentrist (de pildă, atunci când profesorul întreabă şi tot el răspunde), ci un entuziasm atractiv, cât se poate de contagios pentru elevi. Pentru a reuşi aceasta, drumul prin materia şcolară nu trebuie să fie neapărat unul de rigurozitate euclidiană, similar Elementelor, potrivită nouă, profesorilor, ci unul care să aibă ca obiectiv central abordarea cu elevii într-un mod cât mai entuziast, pe mintea lor şi pentru mintea lor, a principalelor rezultate ale materiei de studiat.

Lecţiile de geometrie (la fel şi cele de aritmetică-algebră) trebuie să fie o combinare  atractivă între cele două extreme ale predării: la un capăt avem parcurgerea enumerativă a elementelor evidente din punct de vedere intuitiv pentru elevi, pe când la capătul celălalt este situată predarea prin prelegere de către profesor a elementelor pe care elevii nu au pur şi simplu de unde să le ghicească. Între cele două extreme se situează toate elementele de studiat, teoremele şi celelalte observaţii. Toate acestea trebuie însă abordate într-o manieră de problematizare, prin care să-i atragem pe elevi în procesul gândirii. În acest proces de problematizare, profesorul porneşte ideea întrerupând-o “cu un semn de întrebare în aer” ori-de-câte-ori elevii ar trebui să fie în stare să dicteze continuarea, atât la elementele simple şi accesibile, cât şi la demonstraţiile foarte grele, în momentele unde totuşi pasul ce urmează este accesibil gândirii lor.

În Nota de prezentare a noii programe de matematică pentru gimnaziu, la Note definitorii ale acestei programe (pag.3), găsim următorul aliniat: Programa şcolară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) – ne este precizat, pentru cei care sunt mai obosiţi şi nu mai pot socoti – deci, restul orelor fiind la dispoziţia profesorului pentru activităţi remediale, de fixare sau de progres. În legătură cu acest procentaj trebuie să fac aici o ultimă observaţie: predarea prin problematizare este o mai mare consumatoare de timp faţă de simpla prelegere (înţeleg prin prelegere atunci când profesorul “turuie” lecţia elevilor, aceştia pur şi simplu o copiază de pe tablă sau o scriu la dictare, după care se trece imediat la aplicaţii). Predarea prin prelegere nu are de obicei nici un fel de feed-back (mai ales dacă elevul care întreabă, exprimându-şi nedumerirea, este taxat cu o notă mică în catalog). Dimpotrivă, în cazul predării prin problematizare profesorul primeşte constant feed-back de la elevi (de la mult mai mulţi). Dar, tot acest feed-back, care poate fi şi unul de frânare, arătând că elevii nu pot face pasul planificat, gândit de către profesor, feed-back în care trebuie alocat timp elevilor care s-au implicat, acest feed-back consumă timp. Apoi, s-ar putea să fie nevoie ca un anumit pas logic să trebuiască a fi despărţit în doi, poate chiar trei paşi mai mici, pe mintea elevilor, fiecare pas fiind compus din întrebare plus cel puţin un răspuns (poate chiar mai multe), toate acestea ducând la un consum mare de timp. De unde să luăm timpul acesta suplimentar? Păi, în primul rând din acel rest de 25%. Iar apoi din diferite alte economii de timp (despre care nu mi-am propus acum să discut).

CTG, 11.03.2018

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (IV)

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Am citit această carte pentru prima dată cândva în a doua jumătate a anilor ’90, adică spre finalul primului meu deceniu de profesie. Cartea ne-a entuziasmat, pe mine şi pe soţia mea, am preluat câteva citate din ea, dar în mare nu am putut valorifica în profunzime toate cele citite: eram încă la începutul drumului în reformarea predării pe baze mai sănătoase a matematicii (startul conştient pentru mine a fost în 1994). Gândurile lecturate s-au afundat însă încet în uitare, dar nu într-o uitare neglijentă, ci într-o uitare sănătoasă, din care uneori îmi veneau brusc idei – pe care le credeam ale mele – dar care îmi erau sugerate inconştient de cele citite la Eugen Rusu.

La începutul acestui an, lucrând la un alt material, căutam un anumit citat, aşa că am redeschis cartea sus-amintită. N-am găsit citatul căutat, dar am găsit la începutul acestei cărţi o minunată conexiune cu sfatul de folosire a abordării intuitive în predarea primelor noţiuni de geometrie în clasele V-VI din noua programă de matematică pentru gimnaziu. În momentul acela toate gândurile înceţoşate din ultimii peste 20 de ani despre cum ar trebui predată geometria mi-au reapărut în conştienţă, de data aceasta clare ca într-o imagine de cea mai mare rezoluţie pe un monitor HD. Mă simţeam ca într-o casă caldă privind afară pe fereastra înrămată cu perdelele cele mai frumoase, într-o zi însorită de iarnă când toate detaliile firelor de zăpadă din omătul de afară se văd cu o claritate năucitoare. Rezultatul acelui moment s-a concretizat a doua zi în eseul (din 10 ian. 2018) numit Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat. Lecturând mai departe din cartea lui Eugen Rusu am înţeles că eseul se cere continuat, astfel apărând următoarele două părţi spre finalul lunii ianuarie.

Consideram că am epuizat subiectul, dar carte continuă, relevând faptul că subiectul ales iniţial cu titlul de mai sus, se transformă încet într-unul mult mai profund, ce ar putea fi numit Etapele predării geometriei şcolare şi argumentarea psihologică a metodicii predării. Am păstrat totuşi titlul iniţial pentru a arătă continuitatea gândurilor.

Aşadar, să mergem mai departe în lecturarea cărţii lui Eugen Rusu. În Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE (287 – 212). Iată, pentru o mai clară impresie, o parte din subtitlurile acestui capitol (care începe la pag. 70): Matematician universal; Viaţa; Ingeniozităţi practice; Arhimede îşi apără Patria; Opera scrisă; Precursorul fizicii matematice (parte ce conţine o descriere detaliată a problemei coroanei); Concepţia filozofică; Evrika; Precursor al calculului integral; Arhimede îi învaţă pe greci să numere; Joc-matematică; (…) Următoarele pasaje sunt alese din acest capitol prin prisma principiului evocat la începutul cărţii, anume că evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii (pag.4). Eu înţeleg acest principiu în felul următor: evoluţia preocupărilor şi a descoperirilor diferitelor elemente matematice de-a lungul vremurilor este un bun indiciu, de care trebuie ţinut cont pe cât posibil în organizarea materiei şi a nivelului de abordare al acesteia, pe parcursul claselor şcolare, fiind cel mai sănătos ca aceasta să evolueze pe căi şi în trepte similare cu cele din parcursul istoric.

Capitolul începe prin enumerarea a şapte argumente, motive pentru care Arhimede poate fi considerat primul matematician universal (Henri Poincaré, 1854-1912, ar fi ultimul matematician universal). Trei dintre acestea mi-au atras atenţia. Astfel, Arhimede:

– a făcut cercetări de matematică dezinteresată, axate pe plăcerea de a gîndi, nedispreţuind nici sectorul problemelor “distractive”, situate între joc şi matematica-artă; – a împletit cercetarea euristică cu fundamentarea logică riguroasă, arătând şi cum a gândit ca să descopere şi cum, după aceea, caută o demonstraţie matematică riguroasă; – a intrat în contact cu alţi matematicieni nu comunicîndu-le direct rezultatul, ci provocîndu-i să-l caute, dovedind astfel că a intuit cu deosebită fineţe adevărata pedagogie a matematicii; (…; pag.70-71)

Aceste argumente ar trebui citite “printre rânduri” ca un sfat din partea lui Eugen Rusu pentru introducerea lecţiilor prin procedeul de problematizare, mai degrabă decât prin simpla prezentare a conţinuturilor. Astfel, elevii trebuie provocaţi să gândească (şi să descopere plăcerea de a gândi) în strădania de a genera împreună lecţia la oră, în loc să le turuim conţinuturile şi să le cerem să le înveţe pe de rost. Iar în procesul de atragere a elevilor spre plăcerea de a gândi, matematica “distractivă” reprezintă unul dintre “magneţii” cei mai puternici. În subtitlul Joc-matematică (pag.91) E. Rusu reia ideea:

Jocul “stamahion” – practicat ca distracţie la curtea din Siracuza şi căruia Arhimede i-a consacrat o mică lucrare – constă în aşezarea a 14 plăci de fildeş în aşa fel ca să formeze un pătrat. Plăcile erau astfel tăiate încît să existe mai multe soluţii, precum şi unele false soluţii, adică aşezări care erau “aproape pătrate” şi numai prin raţionamente – după cum a arătat Arhimede – se putea dovedi că nu sînt soluţii exacte. Căutarea soluţiilor era un amuzament. Cînd însă căutarea soluţiilor nu se face pur empiric, prin aşezări întîmplătoare, ci prin aşezări ghidate şi de raţionament, acest amuzament devine de ordin superior; avem în acest caz un joc-matematic şi el trebuie incorporat matematicii propriu-zise. Astfel de jocuri apar în cărţi care se intitulează obişnuit matematică distractivă. Mi se pare că este un titlu prea larg: nu numai jocurile, multe probleme “serioase”, aproape întreaga matematică este sau ar trebui să fie dintr-un anumit punct de vedere şi distractivă. Nenumăratele demonstraţii prin arii ale teoremei lui Pitagora, din care am amintit cîteva, nu sînt în esenţă foarte asemănătoare cu jocul stamahion? Graniţa între joc de inteligenţă şi matematică este foarte neprecisă. (…) Astfel concluzionează Eugen Rusu acest subtitlu, iar eu îmi permit să completez în primul rănd că Da!, orele de matematică şcolară ar trebui pigmentate din când în când cu probleme mai mici sau mai mari de matematică distractivă. Apoi, în al doilea rând, trebuie precizat că multe elemente din lecţiile serioase, obligatorii prin programă, pot fi – şi ar fi bine să fie – predate asemănător problemelor de matematică distractivă. Efectul surprinzător la o astfel de politică de predare este că, în felul acesta chiar şi elementele mai seci ale orei de matematică sunt preluate de către elevi cu drag, ei fiind conştienţi că profu’/profa’ se străduieşte ori-de-câte-ori este posibil să le prezinte lecţii cât mai frumoase şi atractive.

După descrierea detaliată a problemei coroanei, în subtitlul Evrika Eugen Rusu analizează momentul înţelegerii unui fenomen. Gîndirea lui Arhimede nu este stînjenită de prejudecăţi “filozofice”, este un om viu, interesat de felurite probleme de viaţă, de ştiinţă. Simţirea lui este de asemenea spontană, naturală, nefalsificată de “concepţii” – şi deci foarte interesantă ca fenomen psihic.

Există la unii oameni părerea că activitatea matematică este pur intelectuală, uscată şi rece, lipsită de pulsaţia şi palpitaţiile fenomenelor vii. Este părerea acelora care nu au o experienţă proprie, autentică asupra ei, care o privesc prin prisma deformantă a matematicii şcolare de un anumit tip, a unei şcoli greşit înţelese, care în loc să deschidă poarta spre matematica vie, au transformat-o într-o obligaţie penibilă. (pag.83) Cât de multă dreptate are aici profesorul Rusu, sugerând măcar în parte că abordarea predării matematicii poate fi privită ca una din sursele apariţiei persoanelor avariate matematic! (fenomen despre care am vorbit în câteva rânduri cu alte ocazii) Şi, din păcate, cât de mulţi profesori de matematică, al căror rol ar trebui să fie de a deschide poarta spre matematica vie şi spre plăcerea de a gîndi, cât de mulţi dintre aceştia transformă matematica într-o obligaţie penibilă, într-o materie repulsivă!

Există însă şi mulţi oameni care, încă de copii, intuiesc esenţa umană a activităţii matematice; căci, pentru aceasta, nu nivelul creaţiei este important, ci actul în sine. O problemă elementară, dacă este trăită, provoacă o gamă de sentimente şi o satisfacţie, asemenea, dar la scară mai mică, cu cele date de un act de creaţie propriu-zis. Priviţi copilul cum se munceşte necăjit cu o problemă; îi vine să o lase dar atunci îi apare sentimentul unei umilinţe, uneori şi al unei ambiţii, al unei competiţii tacite: Petrescu va reuşi s-o facă, eu nu? Priviţi-l cum schimbă încercările cînd cu deznădejde, cînd cu înfrigurări de speranţă. Priviţi, mai ales, momentul cînd faţa i se luminează, începe să lucreze înfrigurat dar sigur, pentru ca la sfîrşit, confruntînd eventual şi cu răspunsul din carte, să exclame cu o satisfacţie specifică: mi-a ieşit! Comparaţi acum cu peripeţiile de ordin sufletesc ale lui Arhimede în căutarea soluţiei la problema lui Hieron (cea cu dilema dacă aurarul a înlocuit o parte din aurul pentru coroană cu argint). Nu, activitatea matematică nu e de loc rece; o gamă de sentimente şi emoţii puternice trebuie să o anime pentru ca ea să fie fructoasă.

Mi-a ieşit, exclamă copilul, satisfăcut. Legenda spune că atunci cînd Arhimede făcînd baie, a intuit brusc legea plutirii corpurilor şi, prin ea, şi soluţia la problema cu coroana, entuziasmat a ieşit din baie, gol cum era, strigînd: Evrika, Evrika! (am găsit, am descoperit!). Evrika! Este rădăcina etimologică a cuvîntului euristic. Este simbolul scurt şi evocator al întregii matematici euristice, ca şi al oricărei invenţii, al triumfului inteligenţei în lupta ei necurmată cu necunoscutul. Din tot ce a făcut şi a trăit Arhimede, inclusiv ceea ce îi atribuie legendele, dacă nu ar rămîne decît acest unic cuvînt evrika, chiar şi golit de conţinutul concret, fără să mai ştim la ce anume invenţie s-a referit, el şi-ar păstra o deosebită valoare de simbol, simbolul celei mai vii şi autentice atitudini umane. Tocmai de aceea, ecoul lui prelungit peste veacuri ne înfioară şi astăzi.

Ca să apară, izbucnind, acest evrika triumfător e necesar un preambul, uneori destul de prelung, de sforţări, de luptă nedecisă, de îndoieli chinuitoare împletite cu înfiripări de speranţă; este necesar, în plus, ca acest efort să fie personal, tensiunea întreagă a propriei fiinţe. Evrika e un fel de împlîntare a steagului victoriei pe o redută îndelung asaltată.

Urmăriţi timbrul emoţional al unei exclamaţii pe linia cunoaşterii: aha! Este exclamaţia care traduce pe “am înţeles”, “m-am dumerit”, cînd unui om i se explică, din afară, ceva. O exclamaţie şi ea umană, numeric mai frecventă decît evrika, dar emoţional mai ştearsă. Traduce o satisfacţie – aceea de a fi aflat un lucru nou – dar ea e oarecum umbrită de regretul de a nu fi reuşit singur, prin mijloace proprii.

Oamenii care rămîn afectiv incolori în faţa procesului de cunoaştere sînt de compătimit, ei nu au ajuns în miezul viu al lucrurilor. Autentici sînt oamenii care exclamă. Prin natura lucrurilor, cum spuneam, cea mai frecventă exclamaţie este “aha”! Dar fiecare om, cu adevărat om, trebuie să aibă şi acţiuni, momente în care exclamă cu plenitudine şi cu ascuţită satisfacţie: evrika!

*

Realitatea psihică închisă în cuvîntul evrika, bucuria de a afla, o găsim şi la Tales şi la Pitagora, tradusă material printr-un alt simbol: jertfa adusă zeilor drept mulţumire pentru descoperirea unei teoreme. Dar pe un fond comun – emoţia, entuziasmul pentru un plus de cunoaştere – două nuanţe distincte: evrika înseamnă am descoperit eu, sînt mulţumit pentru că procesul de gîndire petrecut în mintea mea a fost încununat de succes. Jertfa arată concepţia că descoperirea s-ar datora şi sprijinului unei puteri supranaturale din afară. Nu ştiu dacă e adevărat că Arhimede  a ieşit din baie dezbrăcat la propriu; dar dezbrăcat de concepţii mistice, om pur şi simplu, aşa cum l-a făcut natura, era.

Nu însă un om simplu, ci, dimpotrivă, foarte rafinat. El ştia să preţuiască nu numai actul viu, dinamic, al descoperirii, ci şi frumuseţea interioară a unor adevăruri, armonia de genul aceleia atît de preţuită de către predecesorul său, Pitagora.

Propoziţia care i-a plăcut mai mult din acest punct de vedere a fost faptul – simetric şi simplu – că cilindrul circumscris sferei are aria o dată şi jumătate cît a sferei, iar raportul volumelor este acelaşi.

Sfera şi cilindrul circumscris este tocmai figura care i-a fost săpată, ca omagiu, pe mormînt – tot astfel cum pe mormîntul unui poet se sapă două versuri din opera sa. Figuri, versuri care uneori amintesc mai mult de liniştea majestuoasă a morţii decît de efervescenţa vieţii acelui care odihneşte sub piatra pe care ele au fost săpate … (pag.83-85)

Da, aşa a descris Profesorul Eugen Rusu emoţiile trăite pe parcursul unei rezolvări de către cel ce se străduieşte cu adevărat, comparându-le – chiar dacă la o scară redusă – cu legendarul evrika al lui Arhimede. Dar, oare unde putem cuprinde noi cel mai eficient aceste “sfaturi” date printre rânduri de Eugen Rusu? Cum putem noi aranja materia de studiat, cum putem alege teoremele şi problemele de demonstrat, astfel încât să aducem elevii în punctul de a trăi şi ei, măcar parţial, bucuria “redescoperirii” marilor realizări ale lui Arhimede, ca unele dintre cele mai mari ale antichităţii înfloritoare elene. Pentru că actualmente, în matematica de gimnaziu acesta nici măcar nu este amintit! Într-adevăr, noi, profesori, nici măcar nu-l amintim la orele de geometrie pe Arhimede, îmblînzitorul cercului şi al sferei, primul om care l-a stăpânit cu adevărat pe acel număr magistral, numit de către urmaşii săi π (pi). De pildă, câţi dintre noi prezentăm elevilor că Arhimede este primul om care l-a stabilit pe 3,14 sub forma fracţiei ordinare 22/7?

Permiteţi-mi să vă prezint cum mi-am ales eu elementele legate de lungimea cercului şi aria discului în clasa a VII-a, respectiv aria sferei şi volumul bilei în clasa a VIII-a (exprimarea preţioasă, hipercorectă, respectă faptul că cercul şi sfera sunt singura figură, respectiv singurul corp care au denumiri diferite pentru interior: cercul este linia, pe când discul reprezintă cercul plus interiorul său, măsura cercului reprezentând perimetrul, pe când măsura discului aria; în mod similar, sfera este goală, măsura sa fiind o arie, pe când bila reprezintă sfera împreună cu interiorul său, măsura acesteia fiind un volum; nici o altă figură, respectiv nici un alt corp nu au în mod similar două denumiri; povestea asta le-o spun elevilor la clasă, rareori în a VII-a, dar sigur în a VIII-a).

Pentru ca elevii să poată aprecia magnitudinea acestor descoperiri, dificultatea găsirii şi demonstrării lor, trebuie să aibă cu ce să le compare. Cu alte cuvinte, înaintea găsirii ariei discului, elevii trebuie să fi fost conduşi pe calea descoperirii la clasă a formulelor de arie pentru celelalte figuri de bază (găsirea prin problematizare a formulelor de arie pentru triunghiurile şi patrulaterele studiate; am precizat prin problematizare, accentuând importanţa trezirii şi activării gândirii elevilor, atragerea acestora în procesul de descoperire însoţită de către profesor a noilor cunoştinţe). La fel, pentru a putea aprecia spectaculozitatea găsirii formulelor pentru aria şi volumul sferei, implicit şi genialitatea lui Arhimede, trezind astfel admiraţia pentru gândirea omenească în forma ei cea mai strălucită, elevii trebuie să fii dedus în clasă prin problematizare aria şi volumul tuturor celelalte corpuri (prismele, piramidele, trunchiurile şi corpurile rotunde plan-desfăşurabile). În acest sens iată pe scurt enumerarea lecţiilor.

În clasa a VII-a, după lămurirea ariilor patrulaterelor şi a triunghiurilor studiate, eu studiez în ordine: 1) aria hexagonului regulat şi a octogonului regulat înscrise în cerc (pentru “încălzirea” minţii), urmate de fabuloasa situaţie a dodecagonului regulat (poligonul cu 12 vârfuri) a cărui arie este egală cu 3r2 (demonstraţie de 1-2 rânduri prin calcularea ariei unei “felii”, adică a unui triunghi isoscel, nu prin apotemă, ci calculând una din înălţimile congruente folosind cateta opusă unghiului de 30o); 2) determinarea ariei unui disc cu raza de 5cm pe caietul cu pătrăţele, contabilizând toţi cm2 întregi cât şi toate fracţiunile de cm2, aproximând cât mai bine discul în interiorul sau în exteriorul cercului (este o lucrare practică de tip Laborator de matematică), cu stabilirea în final a faptului că pătratul razei, adică 52 = 25 întră în aria stabilită aproximativ de 3,12 ori (descrierea acestei lecţii o găsiţi în finalul postării Matematica naivă, exemple (2) din 1 august 2016); 3) în finalul acestei lecţii, sau ora următoare, le prezint elevilor numărul π (pi), aici putând efectua şi câteva măsurători pe castroane rotunde şi alte oale, folosind metrul de croitorie pentru a observa apariţia acestui număr şi la lungimea cercului, adică la perimetrul său. Tot aici le povestesc şi despre goana după cât mai multe zecimale de calculat acestui număr, arătându-le elevilor o pagină cu peste 2500 de zecimale ale numărului pi (pag.64 din Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas, ed. A II-a, 2000) şi le spun că de peste zece ani am descărcat de pe net numărul pi cu un milion de zecimale. 4) Uneori, într-o oră ulterioră, ca o curiozitate, le pot arăta elevilor şi metoda egipteană de calcul a ariei discului.

În clasa a VIII-a elevii sunt pregătiţi să deducă majoritatea formulelor de arie ale corpurior studiate. Pentru formulele de volum trebuie abordată a tactică de îndrumare care să folosească gândirea intuitivă a elevilor. În această etapă obişnuiţi fiind să gândească, elevii dictează mare parte din formulele corpurilor. Doar în diferite momente trebuie să mai intervin cu precizări sau explicaţii. Astfel pregătiţi fiind, când în final ajungem la sferă, elevii vor putea trăi din plin şi cu totală admiraţie demonstraţia condusă de către mine la tablă, în timp ce îl evoc pe Arhimede. Demonstraţia pentru volumul sferei este la un cu totul alt nivel decât cele precedente (cilindru, con, trunchi de con), trezind o stare de uimire profundă faţă de gândirea care a generat-o. Povestea cu Cicero care, două secole după moartea lui Arhimede îi găseşte mormântul lângă Siracuza pentru că avea gravate pe el o sferă într-un cilindru, această poveste “pune capac” admiraţiei elevilor. Dacă doriţi şi alte amănunte, găsiţi prezentarea în detaliu şi pozele acestei lecţii în postarea din aprilie 2016 la adresa Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4) .

CTG, 3-4 martie 2018 (cadou de ziua lui Pi)

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (III)

În partea a treia a eseului de faţă continuu seria de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasele a VI-a şi a VII-a, pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive. Voi încerca în această a treia parte să aduc câteva aspecte suplimentare care să ofere profesorului doritor o primă “schelă” de susţinere în procesul de construire a unei noi abordări a predării geometriei la clasele gimnaziale, abordare sugerată în noua programă de matematică gimnazială. Voi face aceasta bazându-mă pe propria experienţă de predare din ultimii 20 de ani (experienţa personală în cadrul Liceului Waldorf şi experienţa reconfirmată de soţia mea în cadrul Liceului Eugen Pora din Cluj-Napoca), dar şi pe baza unor noi citate din lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971).

În finalul primei părţi a acestui eseu am propus o listă cu 9 teoreme ce merită supuse atenţiei elevilor spre demonstrare, acestea fiind destul de surprinzătoare încăt să nu poată fi clasificate ca uşor observabile prin inuiţia naturală a elevului. În partea a doua a eseului am observat că acestea sunt în cea mai mare parte teoreme din capitolul despre triunghiuri. Chiar şi suma unghiurilor în patrulatere reprezintă o aplicaţie a triunghiurilor, astfel că în “meciul” dintre cele două capitole, prima teoremă de la patrulatere este de fapt un “autogol” al triunghiurilor.

La momentul respectiv nu am explicat foarte clar cum am alcătuit această listă: este vorba de strădania mea de a empatiza cu elevii de-a lungul anilor, de a le înţelege bucuriile şi fricile în legătură cu matematica. Totuşi, dacă ne gândim bine putem “inventa” o scară cu trepte de evidenţă a diferitelor proprietăţi ale figurilor geometrice, scară folosibilă ca un fel de instrument atât la selectarea teoremelor (care să fie bazate pe simpla observare intuitivă, respectiv care merită a fi supuse verificării printr-o demonstraţie), cât şi la selectarea problemelor din clasă sau ca temă.

Această scară cu trepte ale evidenţei ar porni de jos de la treapta cu nivelul de evidenţă cel mai slab (nivelul 1) şi ar urca până în vârf la treapta cu cel mai ridicat nivel de evidenţă (nivelul 10). În acest sens, la primul contact cu geometria, adică în clasa a VI-a, se vor alege doar demonstraţiile teoremelor situate pe treptele inferioare de evidenţă. Dimpotrivă, cele din jumătatea de sus a scării evidenţei, cele caracterizate printr-un  grad mare de evidenţă susţinută de intuiţia naturală a elevilor merită doar observate oral (“se vede” că …) şi contabilizate ca atare în caiet. Cele mai multe nici măcar nu trebuie spuse de către profesor, ci pot fi obţinute de la elevi prin întrebări de tipul “ce observaţi aici în legătură cu …?”. Să luăm câteva exemple de teoreme şi să studiem unde se situează acestea pe scara evidenţei.

Nivelul 10 de evidenţă: faptul că dreptunghiul are unghiurile drepte; unghiurile opuse la vârf sunt congruente; triunghiul isoscel are două unghiuri congruente;

Nivelul 9 de evidenţă: faptul că triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente; faptul că dreptunghiul are diagonalele congruente;

Nivelul 8 de evidenţă: faptul că triunghiul echilateral are unghiurile de 60o; faptul că diagonalele pătratului sunt perpendiculare;

Nivelul 7 de evidenţă: faptul că un patrulater cu două laturi opuse paralele şi congruente este paralelogram; un triunghi isoscel cu un unghi de 60o este echilateral;

Nu mi-am propus să fac o clasificare exhaustivă a teoremelor pe treptele acestei scări, dar este evident că toate acele teoreme despre liniile importante în triunghiul isoscel sunt clasificabile undeva între nivelele 8-9, cel mai jos la nivelul 7 de evidenţă, şi asta indiferent de nivelul de dificultate al demonstraţiei. Tot pe la nivelul 8 cred că se situează pentru intuiţia copiilor şi concurenţa liniilor importante în triunghi, cele trei de un anumit fel. Dimpotrivă, suma unghiurilor în triunghi este o proprietate de nivelul 1, cel mult 2 de evidenţă. Dar totul depinde mult şi de context. De pildă, după ce a învăţat şi a aplicat destul suma unghiurilor în triunghi, acomodându-se cu aceasta, suma unghiurilor în patrulater urcă undeva la nivelul 4 de evidenţă, singurul aspect ce creează dificultăţi legat de aceasta fiind forma de redactare. Mai mult chiar, odată pricepută ideea existenţei unei legităţi de tipul “toate triunghiurile au aceeaşi sumă a unghiurilor”, elevilor le este uşor să răspundă la întrebarea profesorului despre suma unghiurilor în patrulater: “Aha, şi aici există deci o astfel de legitate (altfel, de unde această întrebare?), oare cât o fi? Păi, dacă ne uităm la dreptunghi (e evident un patrulater, deşi încă n-am învăţat despre el) sau la pătrat vedem că este de 4 ori 90o, adică 360o”. Un astfel de raţionament ridică această teoremă în partea de sus a scării evidenţei din punct de vedere al elevului, dar totuşi merită să o demonstrăm chiar şi numai din motivul de a exemplifica forţa demonstraţiei ce se debarasează de intuiţie şi ne poate da certitudini, adică 100% că la orice patrulater suma unghiurilor este de 360o. Aceleaşi comentarii se potrivesc şi la suma unghiurilor în pentagon şi hexagon, lucrurile căpătând note de bucurie pentru decagon sau dodecagon.

Nici nu are o relevanţă decisivă unde se situează exact fiecare dintre toeremele geometriei pe această scară. Cum am arătat deja, poziţionarea lor este oricum încărcată de un subiectivism specific psihologiei: depinde de foarte mulţi factori şi trebuie văzută doar ca un îndrumător orientativ la îndemâna profesorului în procesul de selectare a teoremelor de demonstrat.

Mai există însă un aspect de discutat legat de această scară. Este vorba de faptul că o astfel de scară a evidenţei există la orice teorie, indiferent de vârsta la care este adusă această teorie. Cei care au făcut adevărată cercetare (deci nu cercetare în sensul compilării noi a unor fapte deja cunoscute), aceştia ştiu cât de importantă este intuiţia în prima fază şi cum gândirea trece în viteză peste toate aspectele evidente, căutând doar aspectele neevidente cu scopul de a le lămuri cât mai repede. De multe ori ordonarea şi demonstrarea riguroasă a întregii teorii o face chiar altcineva, nu autorul descoperirii iniţiale a elementelor respective. La fel se întâmplă şi în cazul elevilor, după cum a precizat în câteva rânduri şi Eugen Rusu, care vorbea despre geometria în prima etapă de studiu, adică în gimnaziu, şi geometria în etapa a doua de studiu, adică în reluarea acesteia în liceu (aşa cum era cuprinsă în programa de clasele IX-X valabilă până la reforma din 1997). Geometria în prima etapă de studiu era pe vremuri o geometrie destul de intuitivă, pe când geometria din a doua etapă de studiu avea un mult mai profund caracter riguros axiomatic, cu demonstrarea tuturor aspectelor nevralgice ale acestei ştiinţe. A doua fază de parcurgere a geometriei prin reluarea acesteia la un nivel superior (predarea în spirală) a fost abandonată la reforma din 1997 pentru că profesorii coborîseră în gimnaziu marea parte a elementelor specifice unei a doua faze de parcurgere a geometriei. Datorită olimpiadelor a fost coborât în gimnaziu de-a lungul anilor tot ceea ce se făcea în anii ’70 în liceu, aşa că s-a considerat că nu mai avea sens repetarea materiei în clasele de liceu.

Aici este de remarcat şi o altă atitudine dăunătoare observabilă atât la profesori de rând, cât şi la cei din vârf, la autorii de programe şi manuale. Mulţi din itemii parcurşi în matematică pot fi abordaţi pe diverse căi, unele aflate pe scara evidenţei mai sus, altele mai jos. Este dureros când vezi că au fost alese prin programă şi manuale căi cu o evidenţă cât mai scăzută pentru elevi. Cu alte cuvinte, deseori se încearcă prezentarea lecţiilor într-o formă cât mai de neînţeles pentru elevi. Un exemplu în acest sens este prezentarea însumării vectorilor prin regula triunghiului şi omiterea totală a regulii paralelogramului. Ştiu că matematicienii se simt înjosiţi când trebuie să recunoască faptul că teoria lor a fost inspirată de o altă ştiinţă şi că “el, profesorul” nu este un mic Dumnezeu care creează tot capitolul respectiv din nimic, numai pe baza unor definiţii şi reguli date de el. Mai ştiu şi că regula triunghiului generează regula poligoanelor pentru însumarea mai multor vectori. Dar nici un argument nu poate convinge că la început nu e bine să pornim de la forma intuitivă a însumării a două forţe reprezentând cei doi vectori. Pentru orgoliul personal, de obicei al celor care au stabilit ordinea lecţiilor din programă sau a autorilor de manuale care visează să se ridice la nivelul de rigurozitate şi abstractizare al cursurilor universitare, sau chiar sunt universitari şi nu se pot coborî la nivelul celor cărora se adresează manualul respectiv, pentru orgoliul acestora este sacrificată înţelegerea temelor de studiu pentru mii de elevi care sunt puşi în situaţia de a învăţa ceva fără a înţelege despre ce este vorba. Pentru orice persoană capabilă de a empatiza cu elevii săi este evident că teoria stabilirii demonstraţiilor în funcţie de poziţionarea pe scara evidenţei ar trebui respectată de către cei care stabilesc ordinea şi linia lecţiilor şi a conţinutului acestora în programa şcolară.

Pe finalul acestui eseu mi-am propus să analizez din acest punct de vedere situaţia celei mai importante teoreme din matematica şcolară, teorema lui Pitagora. Legat de aceasta şi de prezentarea ei avem următoarele “date ale problemei” (facts pe engleză):

1) Teorema lui Pitagora se demonstrează în România  prin teorema catetei, aceasta la rândul ei fiind demonstrată prin asemănarea triunghiurilor. Aceasta se poate face undeva în semestrul al II-lea din clasa a VII-a, după studiul proporţionalităţii în geometrie. Se merge pe această cale “de când lumea şi pământul” şi cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc alte căi, deşi există sute de demonstraţii mai mult sau mai puţin diferite ale teoremei lui Pitagora.

2) Majoritatea demonstraţiilor teoremei sunt pe bază de arii, unele doar cu arii, altele pe bază de arii în combinaţie cu formulele de calcul prescurtat (şi acestea, cele de gradul II, cu interpretare de arii), iarăşi altele pe bază de arii şi transformări echivalente, multe pe bază de arii cu tapetări. Pe lângă acestea mai există şi altele, mai ciudate, de pildă cu trigonometrie, sau cu puterea punctului faţă de cerc (o interesantă camuflare a asemănării triunghiurilor); există chiar şi una cu vectori.

3) Există o presiune mare din partea colegilor de fizică de a parcurge teorema lui Pitagora mai repede, pentru că ei au nevoie de această teoremă la aplicaţii deja în semestrul I al clasei a VII-a în procesul de pregătire a olimpiadelor.

4) În programa nouă s-a introdus la sfârşitul clasei a VI-a teorema lui Pitagora (fără demonstraţie, verificări de triplete de numere pitagoreice, determinarea de lungimi folosind pătrate perfecte), (vezi pag. 16) chiar din acest motiv.

Să analizăm însă puţin cum stau lucrurile din punct de vedere al echilibrului de care am vorbit în partea a doua a eseului, triunghiul ROP cu cele trei componente ale predării matematicii şcolare. Acolo mă plângeam de dezechilibrarea situaţiei prin neglijarea aspectelor psihologice. Tot în partea a doua a eseului mi-am exprimat părerea că nu ar fi sănătos să încălcăm principiile elementare de ordonare a lecţiilor de geometrie demonstrând suma unghiurilor în triunghi prin folosirea unghiurilor dreptunghiului, figură încă neparcursă în această primă etapă cât de cât riguros ordonată. În acelaşi mod ne putem însă exprima nedumerirea şi indignarea legate de introducerea teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a fără nici un fundament justificativ, la un nivel de matematică babilonian, şi asta doar pentru a face pe plac colegilor de la fizică. Nu există nici o legătură, intuitivă sau nu, între unghiul drept al unui triunghi şi egalitatea adusă de tripletele pitagoreice.

În echilibrul din triunghiul ROP al celor trei componente ale predării matematicii şcolare, neglijarea oricărei părţi este la fel de dăunătoare: învăţământul din vest neglijează masiv performanţa rezolvitorilor şi vedem cum suferă matematica lor în acest sens; în România au fost neglijate aproape 40 de ani aspectele de natură psihologică şi vedem la ce nivel de refuz al matematicii s-a ajuns la copii; acum urmează să mai experimentăm neglijarea aspectelor ce ţin de o cât de cât elementară rigoare a matematicii? Eu sigur nu-mi doresc aşa ceva!

Ce rezolvare există pentru această situaţie în care s-a ajuns? Nu am pretenţia că deţin un răspuns perfect la această întrebare, dar pot prezenta forma în care predau eu teorema lui Pitagora cu convingerea că oferă o soluţie de compromis, ce împacă “şi capra şi varza”. Soluţia de care vorbesc pleacă de la un nou aspect ce se adaugă celor patru “date ale problemei” (facts) prezentate mai sus:

5) Demonstraţiile cu arie la teorema lui Pitagora sunt situate pe scara evidenţei mai sus decât demonstraţia pe bază de teoorema catetei + asemănarea triunghiurilor (a nu se considera demonstraţia doar drumul de la teorema catetei până la teorema lui Pitagora; până în acest moment oricum cea mai mare parte a elevilor au fost “pierduţi pe drum”, victime ale capitolului întortocheat cu proporţionalitate şi asemănare a triunghiurilor, drum care în sine este trasat cât mai anti-intuitiv). Această afirmaţie este urmare a unei observaţii foarte evidente: noţiunea de arie este o noţiune clar mai vizibilă decât noţiunea de raport implicată în studiul proporţionalităţilor. Altfel spus, noţiunea de arie este mult mai uşor de cuprins prin gândirea intuitivă a elevilor decât noţiunile de raport şi proporţie. Chiar dacă proporţionalitatea a fost deja învăţată în clasa a VI-a, în a VII-a la geometrie puţini sunt cei care o pot cuprinde şi pătrunde cu adevărat, ieşind îmbogăţiţi din drumul în sine până la teorema lui Pitagora, aşa încât cei mai mulţi ajung speriaţi la cea mai importantă teoremă din matematica şcolară. Dimpotrivă, figura cu pătratele construite în exterior pe laturile unui triunghi dreptunghic este extrem de intuitivă, având un grad foarte mare de evidenţă: “Aha, dacă triunghiul este dreptunghic, atunci cele două pătrate mici construite pe catete fac exact cât pătratul cel mare construit pe ipotenuză”. Chiar şi această observaţie pe exemplul demonstraţiei teoremei lui Pitagora susţine din plin afirmaţia de mai sus în care am criticat înclinaţia unor profesori decidenţi de a alege căile pentru parcurgerea unor itemi sau a unor demonstraţii cât mai departe de evidenţa naturală.

În acest moment îmi permit să-l chem din nou în ajutor pe Eugen Rusu: Fiind dat un triunghi cu un unghi drept, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor celor două pătrate construite pe catete. Pe scurt, noi spunem azi din A = 90o rezultă a2 = b2 + c2 şi reciproc. Întrucât grecii nu erau familiarizaţi cu calculul algebric, ei vedeau în a2 nu atât un număr-măsură ridicat la pătrat, ci o arie. De altfel, şi demonstraţia dată tot cu ajutorul ariilor, ne trimite la enunţul în prima formă. (pag. 38) Se bănuieşte că demonstraţia dată de şcoala lui Pitagora este cea din (…, pag. 40). Aici Eugen Rusu dă demonstraţia dorită, apoi încă două, amintind însă că sunt peste 500.

Revenind în lumea noastră, noi avem în semestrul I din clasa a VII-a un set de lecţii despre arii. Este evident că teorema lui Pitagora poate fi lesne integrată în cadrul acestui studiu despre arii, alegând una din multele demonstraţii cu arii ce le avem la dispoziţie (una mai uşoară, dacă nu-i cu supărare!!!). Ca urmare, nimic nu ne împiedică să parcurgem teorema lui Pitagora la jumătatea semestrului I.

Se poate face aşa ceva? De ce nu? Noi predăm din 1998 în această formă şi singurele impedimente întâlnite sunt comentariile mirate ale celor din jur şi nepotrivirea cu manualele şi cu culegerile avizate şi realizate conform programei. La o mare inspecţie (“brigadă”) de la începutul anilor 2000, în momentul când inspectorul de matematică a întrebat cum de face aşa ceva şi nu respectă programa, soţia mea i-a răspuns că nu-i normal ca cea mai importantă teoremă din şcoală să i-o facă înainte profesorul de fizică, mai ales că o face de mântuială, că ea nu-i de acord cu aşa ceva, iar asta este soluţia de remediere găsită ca aplicabilă.

CTG 30.01.2018 Straja, Lupeni, Hd

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (II)

În eseul de faţă continuu seria de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, cu privire spre a VII-a, pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Voi continua acest demers pe baza experienţei personale din ultimii 20 de ani de predare în sensul acestei recomandări, apelând însă cât mai des la ajutorul profesorului Eugen Rusu, într-o încercare de colaborare peste ani, pe baza unor citate din lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Astfel, eseul de faţă a devenit totodată şi o ocazie de “prezentare de carte” a acestei lucrări care, conform titlului pare o carte lejeră de istoria matematicii. Totuşi, în realitate – mai mult printre rânduri – cartea este un profund curs de metodică a predării matematicii, dar şi o camuflată critică la adresa viitoarelor schimbări ce se plănuiau deja de la sfârşitul anilor ’60, schimbări ce au fost impuse în matematica şcolară gimnazială odată cu manualele de la începutul anilor ’80. De precizat că Eugen Rusu este autorul manualelor de aritmetică după care a învăţat generaţia mea în clasele V-VI (sfârşitul anilor ’70).

Privită în linii mari, predarea matematicii şcolare este supusă unor trei mari obiective: 1) cerinţele de rigurozitate specifice ştiinţei (R, de la rigurozitate); 2) înclinaţia spre performanţă a rezolvitorilor (să zicem O, de la olimpici); 3) aspectele psihologice, adică posibilităţile şi nevoile fiecărei vârste şcolare (să le notăm cu P, de la psihologie). Matematica şcolară ar trebui să se situeze într-un echilibru natural undeva în zona centrală în interiorul “triunghiului” determinat de cele trei mari obiective.

Cercetând programele, manualele şi nivelul exerciţiilor şi al problemelor practicat în anii ’60-’70, inclusiv a problemelor din Gazeta Matematică, se poate observa acest echilibru plăcut şi natural. Ca urmare, privind în sensul geometriei şcolare, toţi cei de peste 50 de ani, cei care au învăţat matematica gimnazială înaintea reformei din 1980, vorbesc în sens pozitiv despre geometrie: “cu geometria din şcoală totul era bine, ne plăcea, nu era nici o problemă”.

Din păcate, suntem spre finalul celui de-al patrulea deceniu de orientare a matematicii şcolare în majoritatea situaţiilor spre “latura [RO]” a acestui “triunghi”, cu neglijarea totală a aspectelor reprezentate de “vârful P”. Este uşor de înţeles că această orientare stă la baza faptului că la persoanele mai tinere de 50 de ani găseşti uşor indivizi care “n-au prea înţeles geometria”. Probabil că schimbarea respectivă (reforma “uitată”din 1980) se discuta de mult în cercurile influente, aşa încât Eugen Rusu a lăsat în lucrările sale multe avertismente că noua linie nu este bună, nu este sănătoasă, arătând principiile pedagogice pentru care linia de orientare a predării nu trebuia schimbată. În cartea sus-amintită, începând chiar din primul capitol, profesorul Rusu “impune” astfel un criteriu esenţial (tot textul scris în continuare italic, adică înclinat, este compus din citate din această lucrare).

Sînt şi astăzi elevi – în clasele mici – interesaţi şi absorbiţi exclusiv de cum se face, fără o curiozitate activă pentru de ce se face aşa. Cînd învaţă de pildă regula de calcul a rădăcinii pătrate (coborîm grupa următoare, dublăm rezultatul, vedem de cîte ori etc.), sînt foarte satisfăcuţi aplicînd-o şi satisfacţia se vede în special cînd face proba şi exclamă: “mi-a ieşit!” La problema de a justifica raţional acest procedeu, mai puţini elevi – repetăm, dintre cei mici – manifestă curiozitate; de vreme ce ştiu cum se face, nu-i destul? – aceasta pare a fi întrebarea ce o citeşti pe figura lor, puţin mirată, puţin decepţionată. Să nu surprindă această apropiere între un fenomen pedagogic şi unul istoric; şi în matematică există un fel de “ontogenia repetă filogenia”, în înţelesul: evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii. (pag. 4)

Dacă în acest moment lucrurile încă nu sunt clare, în sensul că nu înţelegem “unde bate” Eugen Rusu, mai încolo în carte, dânsul începe să spună lucrurilor “pe nume”, atunci când abordează subiectul despre Suma unghiurilor în triunghi, astfel:

Ghicesc reacţia cititorului în faţa acestui titlu: Iar? Cine nu ştie? 180 de grade. Ce s-ar mai putea discuta despre acest subiect? Subiectul rămîne deschis în două direcţii: din punct de vedere matematic şi psihologic.(…) Aici privim chestiunea din punct de vedere psihologic şi anume nu în etapa de aprofundare a ei, ci în etapa de descoperire.

În primul rînd, să facem efortul de a ne da seama că enunţul însuşi nu este banal. Cînd am predat o dată în clasa a şasea această teoremă, am început cu enunţul: în orice triunghi suma unghiurilor este 180o. Un puşti vioi, care era obişnuit să privească lucrurile critic şi să-şi mărturiseasă sincer îndoielile, s-a arătat pe dată foarte nedumerit. – Iertaţi-mă, nu-mi vine a crede. Într-un triunghi echilateral, parcă da. Dar dacă e aşa? – şi el desenă un triunghi obtuzunghic; dar la ăsta? – şi desenă un alt triunghi, unul scalen, privind figurile lung şi neîncrezător.

Cum a ajuns cineva să se întrebe cît este suma unghiurilor unui triunghi – întrebare care presupune bănuiala că ea este aceeaşi în toate triunghiurile? Să privim în jurul nostru sau mai bine în “jurul” vechilor greci. În natură (copaci, stînci, ţărmul mării etc.) nu întîlnim forme geometrice; întîlnim astfel de forme printre obiectele construite de om. Cea mai răspîndită, cea mai familiară deci, este desigur dreptunghiul. Nimeni nu s-a îndoit înainte de apariţia geometriei că dreptunghiul are 4 unghiuri drepte (noţiunea de unghi drept fiind naturală: o dreaptă care nu e înclinată nici într-o parte nici în cealaltă faţă de o alta).

Triunghiul este o formă mult mai puţin răspîndită. Tales va fi văzut această formă pe feţele piramidelor din Egipt, pe unele pietre de pavaj ale templelor – va fi văzut mai ales triunghiuri echilaterale sau isoscele. Triunghiul dreptunghic va fi apărut ca o jumătate dintr-un dreptunghi (formată prin ducerea unei diagonale). Egalitatea celor două triunghiuri astfel formate îi va fi apărut ca de la sine înţeleasă; de vreme ce suma unghiurilor unui dreptunghi este de 4 unghiuri drepte, la unul din triunghiurile dreptunghice formate va fi de 2 unghiuri drepte. (…)

Din faptul că suma unghiurilor la un triunghi dreptunghic este de 2 unghiuri drepte, se poate deduce propoziţia pentru un triunghi oarecare; îi ducem o înălţime (de pildă triunghiul ABC cu înălţimea interioară AD), prin care se formează două triunghiuri dreptunghice şi din suma unghiurilor lor (4 u. dr.), trebuie să scădem cele două unghiuri din D (2 u. dr.). (pag. 13-15)

Din anii ’90, de când am citit această carte, mă tot gândesc la pasajul de mai sus. Este logic, este chiar foarte logic, dar să foloseşti unghiurile dreptunghiului la demonstrarea sumei unghiurilor într-un triunghi oarecare, asta-i prea de tot. Cred că nici prof. Univ. Eugen Rusu nu se gândea să ne sugereze aşa ceva. Dar atunci ce a vrut cu acest pasaj? Părerea mea este că trebuie să privim împreună ultimele două pasaje citate, cel cu evoluţia matematică a unui individ este, pe scurt, asemănătoare cu evoluţia istorică a matematicii, şi respectiv cel cu Suma unghiurilor în triunghi folosind unghiurile drepte ale dreptunghiului. Aceste două pasaje constituie împreună un imbold de a privi cu respect şi empatie, din punct de vedere psihologic, elevul din clasele mici, învăţăcel începător aflat la primii paşi în descifrarea tainelor geometriei.

Să demonstrăm suma unghiurilor în triunghi folosind dreptunghiul ar însemna să ne batem joc de convingerile noastre de profesori, dar şi să ne propunem să demonstrăm la lecţia despre dreptunghi toate proprietăţile sale evidente, doar pentru că le spune teoreme, şi aceasta este o agresiune la adresa gândirii de începător în ale demonstraţiei geometrice la elevi. Chiar Eugen Rusu revine (pag. 19): În etapa de dezvoltare a geometriei, spiritul şi atenţia cercetătorilor este îndreptată într-o altă direcţie, nu către una critică ci către una constructivă: descoperirea proprietăţilor geometrice. Prin analogie, în prima etapă de cunoaştere a geometriei, atenţia elevilor trebuie îndreptată spre descoperirea proprietăţilor geometrice deosebite, nu spre demonstrarea tuturor proprietăţilor evidente, observabile intuitiv de către orice copil. Peste două pagini Eugen Rusu completează: Spiritul euristic este o trăsătură specifică omului. (pag. 21) Da, iar acest spirit euristic trebuie trezit cu respect şi dezvoltat cu blândeţe în mintea elevului aflat la început de drum. Nu forţarea demonstrării unor cerinţe evidente, cărora elevii nu le văd sensul, dar importante din punct de vedere al ordinii euclidiene a geometriei, trebuie să fie obiectivul profesorului de gimnaziu, ci atragerea elevilor în demonstrarea unor afirmaţii cât mai surprinzătoare, de necrezut pentru mintea superficială, începătoare, novice în ale geometriei. Cu cât proprietatea de demonstrat este mai interesantă, mai surprinzătoare, mai emoţionantă, cu atât surprinderea ei şi demonstraţia sunt mai pasionante. (pag. 39)

Citind din cartea lui Eugen Rusu am fost inspirat spre următoarele gânduri (notate pe marginea paginii, la fel ca pe vremuri Fermat): abordând geometria de început în format riguros euclidian (axiome, demonstrarea teoremelor cu concluzii evidente etc.), profesorii de matematică îi alungă pe elevii de mijloc, cei indecişi între ştiinţele reale şi cele umane, îi împing în braţele umaniştilor. În loc să-i atragă, să se lupte pentru câştigarea lor de partea matematicii, îi alungă cât de departe, “cât văd cu ochii”. Mare păcat!

Pe de altă parte – ca să revenim la gânduri mai pozitive – pe aceeaşi pagină am mai notat un gând: Eugen Rusu vorbeşte în capitolul II al acestei cărţi despre Tales, dar nu despre Tales cel din “teorema lui Tales”, ci despre Tales, primul om care a făcut demonstraţii în matematică (capitolul II se numeşte Matematica – Artă; Geometria preeuclidiană 600-300 î.e.n.). Gândul de a explica un fenomen pe baza unor cauze ce nu implică zeii, gând necesar în demonstraţia matematică, acest gând a apărut prima dată la oameni chiar în cetatea Milet şi din acest motiv este bine să-l denumim Tales din Milet. Două gânduri recurg de aici. În primul rând, faptul că este absolut corectă strategia lui Eugen Rusu de a-l prezenta pe Tales ca prototip de gândire pentru elevul începător, elev ce ajunge să facă primii paşi în demonstraţii. În al doilea rând, este evident că demonstraţia matematică a apărut mai întâi sub forma demonstraţiei în geometrie, fiind doar mai târziu urmată de demonstraţiile din domeniul numeric (vezi Elementele lui Euclid). Rămâne ca ecou al acestei remarci o întrebare: la ce ne poate ajuta această observaţie secundară într-o structurare cât mai sănătoasă a materiei şcolare de gimnaziu?

În altă ordine de idei, printre rândurile de până aici ale acestui eseu se poate citi o observaţie dureroasă la adresa programei gimnaziale de matematică, atât cea veche dar încă valabilă, cât şi cea nouă ce va intra din toamna lui 2018 în clasa a VI-a. Conform tuturor celor scrise în acest eseu (atât partea I, cât şi partea a II-a), locul capitolului cuprinzând primul studiu al patrulaterelor este în clasa a VI-a, în continuarea capitolului despre triunghiuri, adică în zona de studiu predominant intuitiv al geometriei.

Conform aspectelor aduse în faţa noastră în acest eseu, abordând o analiză intuitivă a proprietăţilor cu grad mare de evidenţă din capitolul despre patrulatere, observăm că majoritatea nu au nevoie de demonstraţii în percepţia elevului începător în ale geometriei. În afară de suma unghiurilor în patrulater, nu se prea găsesc proprietăţi neevidente de demonstrat. Mai peste tot avem situaţii de simetrii axiale sau de simetrii centrale sau eventual alte situaţii lămurite anterior prin figuri evident vizualizabile (de pildă situaţia cazului unghiurilor alăturate unei laturi oblice în trapez, ce sunt evident suplementare pe baza repetării pe jumătate de trapez a figurii tip cu două unghiuri interne de aceeaşi parte a secantei între două drepte paralele). În acest stadiu iniţial de cunoaştere a patrulaterelor este arhi-suficientă o contabilizare rapidă a proprietăţilor observate intuitiv, urmată de câteva puneri de probleme cu tâlc. De pildă: un patrulater cu două laturi opuse paralele şi congruente este paralelogram; un patrulater cu două laturi opuse paralele iar celelalte două laturi opuse congruente este şi acesta neapărat paralelogram?

O astfel de aranjare a capitolelor, ca a fost valabilă până prin 1998, ar avea în contextul actual câteva avantaje substanţiale (din câte mai ţin minte, cam atunci au fost mutate patrulaterele din clasa a VI-a în a VII-a, rămânând însă până acum în manualele alternative care nu s-au mai rearanjat). Să analizăm două dintre aceste avantaje. În primul rând ar lăsa loc la începutul clasei a VII-a pentru o serioasă şi generală preocupare asupra demonstraţiei geometrice aplicată în probleme. În această parte elevii – mai evoluaţi cu câteva luni spre gândirea analitic-cauzală – ar avea ocazia să fixeze şi să aprofundeze demonstraţiile cu unghiuri, cele cu segmente şi cele cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor, aplicate după nivele de complexitate, atât în triunghiuri, cât şi în patrulatere. Cei care s-au preocupat ştiu că există foarte multe probleme din patrulatere având rezolvări similare cu unele din triunghiuri. Or, exact aici ar fi avantajul mare: când elevul studiază şi înţelege o problemă cu o anumită succesiune de paşi, ar putea să primească în continuare măcar una, două cu demonstraţii similare, dar în contexte diferite, iar schimbarea contextului de la triunghi la patrulater şi înapoi lărgeşte şi stabilizează foarte mult orizontul de gândire. În al doilea rând, o astfel de mutare ar umple cu o materie “mai cu sens” clasa a VI-a. Actualmente parcurgerea a foarte multe probleme doar cu metoda congruenţei triunghiurilor fixează în mentalul elevilor absolvenţi de a VI-a ideea că această metodă reprezintă unica formă de demonstraţie geometrică.

Cele discutate în ultima parte pot fi sintetizate după cum urmează: dintre cele două capitole de bază despre figuri geometrice, triunghiurile respectiv patrulaterele, cele mai potrivite unei cunoaşteri intuitive sunt patrulaterele. Dimpotrivă, cunoştiinţele cele mai provocatoare la adresa gândirii începătoare a elevului sunt aglomerate în capitolul despre triunghiuri (vezi şi lista orientativă din prima parte a acestui eseu: 7 la 2 în confruntarea dintre cele două capitole). Astfel, păstrarea accentului preocupării clasei a VI-a doar pe triunghiuri, cu “exilarea” în continuare a figurilor cele mai intuitive, a patrulaterelor în clasa a VII-a contravine flagrant cu principiul impus în noua programă, ca la clasele mici (adică V-VI) să se practice o abordare intuitivă, în care caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

CTG 29.01.2018 Straja, Lupeni, HD.

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (I)

În eseul de faţă am adunat o serie de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, prin prisma propriei experienţe, pe baza unor citate ale profesorului Eugen Rusu şi pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Acest “citat” este compilat din noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice (pag. 32) găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Iată, în continuare, care este experienţa mea în acest sens. În vara anului 1996 (adică în urmă cu peste 21 de ani), încercând să înţeleg ce facem greşit în predarea geometriei, am avut o discuţie remarcabilă cu un profesor de la o şcoală de lângă Bremen, Germania. Îl rugasem pentru o “audienţă”, iar dânsul m-a poftit în sală de lectură a bibliotecii. Am luat loc la o masă iar eu am scos hârtie şi creion şi m-am apucat să-i arăt plin de zel un exemlu de demonstraţie geometrică de la noi din România. Ce mi-a trecut prin minte în acel moment? Să-i arăt cum demonstrăm noi că cele două diagonale într-un dreptunghi sunt congruente. Nu ştiu de ce, dar asta m-am gândit atunci. Zis şi făcut: m-am apucat frumos de demonstrat, întrerupându-mă după fiecare pas făcut şi întrebându-l dacă înţelege ce scriu. De fiecare dată el îmi răspundea că da, pricepe ce scriu (tot dialogul era desigur în germană). În final l-am întrebat ce părere are despre ce i-am scris acolo, iar el mi-a răspuns cu o contra-întrebare: de ce trebuie să demonstrezi că diagonalele în dreptunghi sunt congruente?

Am rămas “mască”. Imi simţeam rotiţele învârtindu-se nebuneşte în cap, în timp ce încercam să “traduc” cât de cât coerent răspunsul său. Ce vroia să zică? Veneam dintr-o lume total diferită de a lui. În discuţia respectivă nu am reuşit să obţin lămuriri suplimentare. Eu eram bulversat de răspunsul lui şi total nepregătit cum să cer lămuriri la un astfel de răspuns. De partea cealaltă, el nu pricepea ce vreau eu, desigur necunoscând preocuparea profesorilor români pentru rigurozitate, preocupare aflată la cote de-a dreptul obsesive în acele vremuri.

În anii următori m-am tot gândit la discuţia respectivă şi cu timpul am început să-mi traduc tot mai clar răspunsul acelui profesor. Concluzia la care am ajuns cu timpul este următoarea: trebuie să demonstrăm doar lucrurile neevidente pentru ochiul elevului. Toate afirmaţiile care se văd ca evidente nu trebuie să ajungă subiectul unei cerinţe de demonstrat (teoremă sau problemă, de pildă, situaţiile de simetrie, cum ar fi faptul că medianele duse pe laturile congruente ale unui triunghi sunt congruente).

Activând acest criteriu de selecţie, se elimină însă multe probleme, printre ele şi o mare parte din aplicaţiile metodei triunghiurilor congruente (marile perdante sunt cazurile ULU şi LLL). Un caz interesant de problemă ce rămâne totuşi, deşi deseori uitată, este cerinţa de a demonstra că într-o piramidă patrulateră regulată VABCD cu toate muchiile congruente, două muchii laterale opuse sunt întotdeauna perpendiculare. Demonstraţia la care mă refer se bazează pe congruenţa triunghiurilor VBD şi ABD în virtutea cazului de congruenţă LLL. Cel de-al doilea triunghi fiind dreptunghic în A, rezultă că şi primul este dreptunghic în V. În figura ce se face pentru această problemă cele două triunghiuri nu arată la fel, cerinţa fiind ca atare total neevidentă.

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa  De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

Declanşarea înclinaţiei spre raţionament deductiv nu poate începe cu chestiuni despre care nu ne îndoim, cum ar fi, de exemplu, că laturile unui dreptunghi sînt egale, fapt pe care însuşi Tales îl considera ca dat. Abia după ce mintea a fost stimulată şi antrenată la raţionament deductiv pentru descoperirea adevărurilor “neevidente”, din ce în ce mai multe enunţuri – considerate la început evidente – sînt puse sub semnul dubiului şi trecute sub proba deducţiilor. Astfel se naşte în interiorul activităţii geometrice înclinaţia spre demonstraţii din ce în ce mai riguroase şi, totodată, posibilitatea de a le aborda.

Din punct de vedere logic, este clar că trebuie început prin stabilirea teoremelor de bază şi apoi clădit, treptat, pe ele. Din punct de vedere psihologic însă, trebuie început “de la mijloc”, de acolo de unde lucrurile nu sînt evidente, ci îndoielnice, efectiv dubioase. Abia după ce s-a trăit experienţa vie a deducţiei şi s-au prins unele obişnuinţe, se va putea face o critică rodnică asupra lucrurilor pe care le-am considerat “evidente”; numai prin prisma acestei experienţe, evidenţele necontrolate pot fi zduncinate şi transformate în probleme propriu-zise. (pag. 65-66)

Un exemplu în acest sens îl dă Eugen Rusu la începutul cărtii, când vorbeşte despre spiritul euristic, luând cazul teoremei care susţine că orice punct de pe un semicerc formează cu capetele diametrului un triunghi dreptunghic. Să vedem cum explică autorul demonstrarea acestei teoreme pe o figură cu B şi C capetele diametrului şi A un punct oarecare pe semicercul centrat în O (în citatul următor am înlocuit desemnarea unghiului cu “acoperiş” cu desemnarea unghiului prin semnul actual obişnuit pentru unghi, din motive tehnice; acolo unde nu este semn pentru unghi înseamnă că nu era nici în textul original).

Să examinăm propoziţia respectivă. Astăzi o demonstrăm imediat cu ajutorul măsurii unghiurilor (Eugen Rusu se referă desigur la teorema ce ne dă măsura unghiurilor înscrise în cerc); cum va fi gîndit Tales, care nu cunoştea această teoremă pregătitoare? Deoarece OA = OB = OC, se formează două triunghiuri isoscele. Ele au unghiurile de la bază egale; deci A1 = B; A2 = C. Suma unghiurilor triunghiului ABC este deci 2A1 + 2A2 = 2BAC; rezultă că BAC este drept. Proprietatea în sine este destul de ascunsă; din definiţia cercului, deci din faptul că OA = OB = OC, se deduce că unghiul BAC este drept.

Descoperirea unei proprietăţi ascunse produce o anumită bucurie specific umană. Se spune că Tales a fost atît de entuziasmat de această descoperire – considerată cea mai frumoasă dintre descoperirile sale – încît, drept mulţumită, a sacrificat pe altarul zeilor un bou. Am menţionat printre teoremele lui Tales şi pe aceea care afirmă că unghiurile de la baza triunghiului isoscel sînt egale (în lucrare la pag.12). Aceasta – sînt sigur – nu l-a entuziasmat, pentru că nu era o proprietate ascunsă, era aproape evidentă. A enunţat-o numai pentru că i-a trebuit, a folosit-o în demonstraţia teoremei principale; probabil, pentru ea, nu a sacrificat zeilor nici măcar o gîscă. (pag. 19-20)

Merită să întrerupem aici şirul citatelor şi să analizăm un pic ce vrea să ne spună Eugen Rusu (şi în citatul de la pag. 66, dar şi în ultimul aliniat), anume faptul că la o primă cunoaştere a materiei, la o primă trecere prin geometrie, cum este cazul materiei gimnaziale, există în principiu două tipuri de proprietăţi:

1) teoremele reprezentând proprietăţi ascunse, neevidente, surprinzătoare (cum spun americanii, cu acel efect de UAU!); aceste teoreme trebuie dovedite pentru a fi crezute, ele meritând cu adevărat demonstrate împreună cu elevii.

2) teoremele reprezentând proprietăţi evidente, conţinând afirmaţii despre care nu ne îndoim, (vulgar spus: “la mintea cocoşului”); aceste proprietăţi sunt de enunţat doar pentru că ne trebuie ulterior la demonstrarea celor din prima categorie; demonstrarea lor este dăunătoare, plictisindu-i pe elevii de gimnaziu, abuzarea în acest sens provocându-le elevilor chiar o repulsie faţă de geometrie.

Trecând la Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu continuă, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Prima parte a acestui enunţ este unanim aceptată şi chiar Eugen Rusu se ocupă de această parte pe larg în lucrarea sa. Să vedem însă ce are de spus legat de a doua parte.

Principala critică ce se aduce Elementelor ca manual didactic se referă tocmai la forma de expunere. Deşi fiecare demonstraţie este absolut corectă din punct de vedere logic şi în general este cea mai simplă care se poate da, deşi ordinea în care se aşează propoziţiile este de asemenea cea mai naturală, totuşi, prin faptul că se folosesc demonstraţii sintetice, cititorul nu primeşte nici o indicaţie asupra felului cum s-a descoperit demonstraţia respectivă, el nu e pus în situaţia de a-şi forma o metodă, de a-şi educa gândirea creatoare. Pe de altă parte, un începător în studiul geometriei nu are încă educat simţul rigorii, nu simte încă nevoia unor demonstraţii pentru lucruri care i se par evidente.

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentaiul de mai sus este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi. (pag. 67-69)

Această idee, faptul că Elementele lui Euclid nu ar trebui să reprezinte un model pentru organizarea manualelor şcolare, implicit şi a programei şcolare, mai ales pentru clasele gimnaziale când elevii trebuie să înveţe primii paşi în gândirea logico-deductivă, această idee este reluată de Eugen Rusu şi în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. didactică şi pedagogică, 1978):

Şi aici, Euclid – excelent logician, dar lamentabil pedagog – a greşit spunând: nu există un drum scurt, pentru regi. Nu putem şti toate amănuntele în toate domeniile, trebuie să existe un drum mai scurt dacă ţintim ideile esenţiale. (pag. 25) La ce “amănunte” se poate renunţa însă? Eugen Rusu ne oferă în prima lucrare amintită câteva criterii: este recomandabil să renunţăm la demonstrarea faptelor evidente din punct de vedere a intuiţiei, materia trebuind organizată mai degrabă artistic, ca o poveste, ca o piesă de teatru, centrată pe scoaterea în evidenţă a momentelor de suspans. Cele mai multe din cunoştinţe trebuie enumerate, contabilizate, ele fiind însă tratate mai superficial, doar ca simple unelte, singurul lor scop fiind de a fi pregătite la dispoziţia şi în folosul marilor momente ce urmează, totul fiind organizat şi regizat într-un proces cu veleităţi artistice ce trezeşte sentimente de uimire, în al cărui ductus şi pe ale cărui “valuri” se formează încetul cu încetul gândirea logico-matematică a elevilor. Dar, oare care sunt momentele de uimire ce trebuie susţinute printr-o demonstraţie? Din materia de introducere a principalelor figuri geometrice, pot fi alese ca surprinzătoare următoarele teoreme:

  • suma unghiurilor în triunghi este exact de 180o;
  • unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente;
  • suma unghiurilor exterioare unui triunghi este de 360o;
  • un triunghi isoscel cu un unghi de 60o este automat echilateral;
  • un triunghi cu vârful pe semicercul cu baza ca diametru este triunghi dreptunghic;
  • mediana pe ipotenuză este jumătate din aceasta;
  • cateta opusă unghiului de 30o este jumătate din ipotenuză;
  • suma unghiurilor în orice patrulater (convex sau concav) este de 360o;
  • suma unghiurilor exterioare unui patrulater convex este tot de 360o.

Între acestea se poate face desigur o posibilă ierarhizare, anume care sunt cu adevărat surprinzătoare şi la care deducerea este totuşi destul de “transparentă”. Pe lângă acestea mai există desigur şi alte momente de uimire ce nu pot fi susţinute de o demonstraţie în prima fază. De pildă, concurenţa liniilor importante de un anumit fel în triunghi nu poate fi demonstrată în prima fază, fiind mult prea dificilă pentru elevii aflaţi în stadiul incipient de formare a artei demonstraţiilor. În aceste situaţii elevii vor accepta fără probleme lipsa unei demonstraţii, văzând cu ochiul liber că, dacă desenul este bine făcut, liniile respective sunt concurente (oricum, obiectivul din clasa aVI-a al lecţiei despre liniile importante în triunghi este cunoaşterea acestora şi nu epuizarea tuturor aspectelor legate de ele).

Observăm că cele mai multe teoreme din lista de mai sus sunt legate de unghiuri. Toate restul proprietăţilor studiate (mai exact, contabilizate), toate acestea nu au rost a fi demonstrate într-o primă fază de cunoaştere a geometriei, scopurile lor fiind doar de a folosi în demonstrarea unor afirmaţii neevidente. Desigur că toate aceste aspecte sunt valabile şi în ceea ce priveşte problemele alese. Vor fi evitate probleme a căror cerinţă este evidentă şi se vede “cu ochiul liber” în figură, căutându-se constant probleme cu cerinţă neevidentă, surprinzătoare. La metoda triunghiurilor congruente, de pildă, se vor evita problemele a căror figură are simetrie axială sau simetrie centrală (acestea merită făcute doar de dragul evidenţierii unor elemente congruente de un anumit tip).

Printre comentariile la citatele lui Eugen Rusu din acest eseu, am folosit uneori expresia “la o primă trecere prin materie”, cu variante alternative de tipul “la o primă cunoaştere” etc., referindu-mă la primul contact al elevilor cu geometria, contact care are loc în clasele 6-8 gimnaziale. În lucrarea despre Problematizare, dânsul scrie (la pag. 23) despre Matematica privită ca obiect de cultură generală, anume că este un sistem logic deductiv, dând ca exemplu geometria în etapa a doua de studiu. Este vorba aici de geometria ce se făcea pe vremuri în clasele 9-10 într-o reluare de sistematizare, ce îi ajuta foarte mult pe elevi să-şi stabilizeze noţiunile şi procesele de gândire deductivă matematică. Din păcate, această materie a fost eliminată din programă la finele anilor ’90, dar acesta este un alt subiect de discuţie. C.Titus Grigorovici 10.01.2018

Divizorii unui număr – prezentarea unei ore deschise

În data de 12 octombrie 2017 am susţinut la o oră deschisă la clasa a V-a. M-am oferit personal pentru această acţiune din motive evidente: cerinţele metodologice ale noii programe de matematică pentru toate şcolile din România, de aplicat începând din acest an şcolar la clasele a V-a, sunt asemănătoare cu cerinţele de predare din şcolile Waldorf, cerinţe pe care încerc să le înţeleg şi cu care mă străduiesc să mă acomodez de peste 20 de ani. În toţi aceşti ani am conştientizat în acest sens că, de fapt, trebuie să revitalizez în felul meu de predare modul în cere se preda matematica în România înainte de 1980. Astfel, conştient fiind de faptul că am un oarecare avans în faţa celorlalţi profesori, în strădaniile de a mă schimba conform acestor cerinţe, am considerat că este de datoria mea să le ofer o mostră despre cum am înţeles eu că ar trebui predate lecţiile de matematică.

În acest demers, am ales o lecţie cât mai simplă, pentru a exemplifica felul în care matematica poate şi trebuie a fi predată pornind cât mai de jos, astfel încât lecţiile să fie accesibile cât mai multor elevi din clasă. Desigur că ulterior, în cadrul lecţiei şi a lecţiilor ulterioare se poate şi e bine să se urce cât mai mult (cât pot “duce” cei mai buni elevi ai clasei). Datorită predării în module şi a faptului că eu sunt dirigintele acestei clase, deci am avut deja un astfel de modul cu foarte multe ore de matematică pe săptămână (12 ore/ săptămână în septembrie), am avansat rapid cu materia. Astfel am putut oferi colegilor o lecţie pe care dânşi urmează să o facă mult mai târziu. Ca urmare, colegii vor avea timp să se gândească la ce au văzut şi, poate, să aplice anumite aspecte la momentul respectivei lecţii. Desigur că aceste aspecte vor putea fi aplicate şi la alte ore, deoarece acţiunea a avut loc foarte repede, la exact o lună de la începutul cursurilor.

Concret, prin această lecţie m-am străduit să ating mai multe aspecte ce apar ca cerinţe în cadrul noii programe de matematică pentru clasele gimnaziale. Mai ales pentru clasele a V-a şi a VI-a, cerinţa este de a oferii o introducere cât mai intuitivă a materiei, a noţiunilor nou predate. Astfel, provocarea cea mai mare a acestei lecţii venea chiar la început: cum să introducem cuvântul divizor fără a da o definiţie sterilă, ci dimpotrivă, într-un mod care să conecteze natural cu cunoştinţele anterioare ale elevilor. Atenţionez în acest sens că, negestionat cum trebuie, momentul poate duce chiar de la început la neînţelegerea lecţiei de către mulţi elevi. Din păcate acest fenomen se întâmplă de multe ori la toate clasele. În cazul de faţă, eu am încercat să conectez lecţia cu împărţierea exactă, divizorul unui număr însemnând un împărţitor exact al acestui număr. Nu am lungit-o mult, ci am dat imediat oral primul exemplu pe divizorii lui 6, pe care i-au spus chiar elevii (concret, momentul a fost sub forma unei întrebări din partea mea: hadeţi să vedem care ar fi împărţitorii exacţi ai numărului 6, moment în care elevii au începu să răspundă, primul mai timid, puţin ezitant, neştiind dacă a înţeles cum trebuie, apoi următorii cu curaj; nu mai ţin minte exact, dar divizorii nu au venit în mod ordonat de la elevi). Din acest moment “gheaţa s-a spart” şi lecţia a început să curgă natural, într-un dialog (predare prin problematizare), în care profesorul întreabă şi elevii răspund. Astfel, profesorul îi îndrumă pe elevi prin întrebări bine regizate, dar de fapt aproape toată lecţia a fost dictată de către elevi (eu doar am scris totul pe tablă, elevii completându-şi notiţele ordonat, după modelul de pe tablă). Un fapt comic a fost următorul: o vreme au mai ridicat mâna “civilizat” (clasa era plină cu încă 17 profesori străini), dar după cca. 10 minute “gheaţa s-a spart de tot”, elevii uitând să mai ridice mâna şi răspunzând direct şi spontan într-un dialog plin de bucurie în procesul de descoperire a noilor aspecte. Totul căpătase un profund caracter ludic; aveam un joc serios, dar totuşi un joc plin de bucurie.

Revenind la începutul lecţie, după scurta introducere orală, cu prezentarea noţiunii de divizor prin sinonimul împărţitor exact, urmată de exemplul divizorilor lui 6, după acestea am început să scriu pe tablă titlul şi cele două aspecte deja menţionate. Apoi le-am propus clasei să procedăm la o abordare ordonată şi să vedem cum stau lucrurile în general, studiind fiecare caz până la 10. La acestea eu am scris pe tablă, dar elevii dictau. După ce am completat coloana respectivă i-am rugat pe elevi să notăm alături la fiecare număr câţi divizori are. Apoi elevii au trebuit să completeze singuri următoarea decadă de numere, până la 20 (muncă independentă pe care o pot face toţi!). După câteva minute de lucru în linişte i-am rugat să îmi dicteze rezultatele, eu scriind ordonat pe tablă. Iată în continuare poza tablei de la această oră:

Înainte de a prezenta continuarea lecţiei, doresc să atrag atenţia asupra modului de scriere a divizorilor fără a folosi mulţimile. Aceasta reprezintă o nouă cerinţă din partea prezentei programe, o cerinţă care îi bulversează puternic pe profesori. Vreau să precizez că elevii nu au avut nici o problemă în folosirea semnului cu două puncte în sens literar, nu în sensul operaţiei de împărţire. Din păcate, la discuţiile de după oră am uitat să scot din geantă o carte din 1966 despre numere prime scrisă de un academician polonez, redactată în întregime fără folosirea scrierii cu mulţimi (Sierpinski W. – Ce ştim şi ce nu ştim despre NUMERELE PRIME, Ed. Ştiinţifică, 1966, traducere după originalul din 1964). Da, dragi colegi, se poate scrie în matematică şi fără limbajul mulţimilor. Cei care au apucat clasele gimnaziale înainte de 1981 au scris totul fără mulţimi. Sarcastic spus, putem zice că a existat matematică şi înaintea mulţimilor. Lăsând gluma de o parte, prezentarea unei posibilităţi de a enumera nişte elemente fără a folosi mulţimile a fost pentru mine unul din obiectivele acestei lecţii deschise. Nu cred că aceasta reprezintă singura cale de scriere, dar eu aşa am considerat să o fac.

Un alt aspect legat de această lecţie îl reprezintă enumerarea concretă a divizorilor, astfel încât copiii să vadă despre ce este vorba. Trebuie să vadă noua situaţie pe cât mai multe exemple, înainte de a fi capabili să înţeleagă despre ce este vorba doar vorbind despre ele. Elevii de clasa a VI-a ştiu foarte bine despre ce este vorba când vorbim de divizorii unui număr, pentru că în clasa a V-a i-am enumerat de foarte multe ori, şi în cazuri simple şi în cazuri complicate. Am conectat aici la indicaţia din Sugestiile metodologice din finalul noii programe de matematică (vezi la pagina 31, despre clasa a V-a): … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … . În acest sens, la temă elevii au primit să enumere în continuare divizorii numerelor vână la 30, continuînd astfel lista de la clasă din prima parte a orei.

Odată înţeles despre ce este vorba, elevii familiarizându-se cu noţiunea de divizor, am putut trece la aprofundarea temei. Am făcut aceasta prin observaţii făcute asupra numărului de divizori ai numerelor deja studiate pănă la 20 (din nou, sub forma unei întrebări: Ce observăm?, urmată de răspunsuri din partea elevilor; aceste răspunsuri, eventual rearanjate, au ajuns apoi pe tablă). Am putut face aceasta deoarece ne-am pregătit terenul, notând în dreptul fiecăruia câţi divizori avea. Astfel, am observat că avem în primul rând ciudatul număr 1, singurul număr cu doar un divizor. La acest punct vom reveni desigur în clasa a VI-a, când vom observa că acest fapt este valabil doar în “familia” numerelor naturale, în cazul numerelor întregi chiar şi numărul 1 având doi divizori. Pentru a sublinia că numărul 1 este aparte, l-am şi separat de restul printr-o subliniere. Apoi am trecut la restul numerelor, unde am văzut că numărul divizorilor variază de la un caz la altul, ba mai mulţi, ba mai puţini. În mod neaşteptat, la unele numere constatăm că au doar doi divizori. Ce fel de numere sunt acestea? Aici, elevii le-au recunoscut cu mare bucurie pe vechile lor cunoştinţe, numerele prime. Pentru a înţelege ce vreau să spun, rog onoratul cititor să studieze şi postările din ianuarie 2017 despre numerele prime ( vezi postările http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/ şi http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ). Aceasta a reprezentat a treia mare abordare a naturii numerelor prime; după ideea de numere nedecompozabile de la început, şi după ideea de numere care rămân în Ciurul lui Eratostene în urma eliminării tuturor multiplilor în sens de plural, acum vedeam numerele prime ca acele numere care au exact doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi. Aceşti divizori “automaţi” i-am numit divizori improprii, doar după ce am precizat că oamenii pe vremuri i-au privit pe aceştia ca nişte ciudăţenii, că multă vreme doar ceilalţi divizori au contat (aceştia erau divizorii “propriu-zişi”, adică divizorii proprii). Restul numerelor au mai mulţi divizori, adică cel puţin trei. Este vorba aici de numerele care se pot descompune în factori mai mici.

În acest moment am adus o întrebare ce urmărea observarea unui aspect pe care elevii nu au cum să-i vadă la nivelul acesta de dezvoltare a lecţiei, respectiv a gândirii (nici profesorii nu cred că-l prea văd; eu l-am observat singur în urmă cu trei ani şi, de atunci îi atenţionez şi pe elevi asupra repectivului detaliu). Majoritatea numerelor au un număr par de divizori. Ce fel de numere au un număr impar de divizori? De obicei este vreun elev care observă răspunsul corect (la momentul acestei întrebări elevii trebuie să se fi jucat destul cu numerele pătrate, să le recunoască uşor pe renumitele pătrate perfecte); de data aceasta răspunsul a venit mai greu, dar până la urmă a venit cumva, aşa că l-am notat şi pe acesta ca o ultimă observaţie.

După seria de observaţii, urmare a analizei făcute pe munca de nivelul elementar de la începutul orei, am putut trece la un nou nivel de lucru, anume la găsirea divizorilor unor numere mai mari. În cazul acestora apar deja dificultăţi reale la găsirea intuitivă a divizorilor mai mari. De pildă, la numărul 48 se vede încă uşor divizorul 12, dar nu se mai vede natural divizorul 16; la numărul 72 se văd foarte greu  divizorii 18, 24 şi 36. Pentru aceştia le-am arătat elevilor, le-am atras de fapt atenţia asupra unei proprietăţi interesante a divizorilor care, aranjaţi în ordine crescătoare, aşa cum ne-am obişnuit, formează de fapt perechi al căror produs dă întotdeauna numărul iniţial. Am numit această observaţie proba divizorilor. Acest procedeu ne permite, după găsirea intuitivă a primilor divizori, depistarea divizorilor mai mari, a celor neintuitivi, odată ce am reuşit să trecem “de mijloc”, adică de doi divizori consecutivi al căror produs este numărul iniţial (de pildă de 8 şi 9 în cazul lui 72; atenţie, nu numere consecutive, ci doar divizori consecutivi; la 48 aceşti divizori consecutivi sunt 6 ∙ 8 = 48). Aş mai fi zăbovit cu două trei exemple aici, dar timpul nu-mi mai permitea şi ştiam că mai doresc să le povestesc elevilor despre un exemplu special “cu tâlc”. Astfel, am uitat în cadrul orei (şi nimeni nu a observat la discuţiile de analiză de după ora deschisă) să dau măcar un exemplu de găsire a divizorilor în cazul unui pătrat perfect. Era potrivită aici de pildă enumerarea divizorilor lui 64. Ce se întâmplă în acest caz la mijloc? Păi simplu: divizorul 8 face pereche cu sine, iar asta noi o vom însemna printr-o buclă de la 8 chiar la el. Este clar că am recuperat acest aspect ca observaţie la discutarea temei de la începutul orei următoare (şi aşa este în regulă). La temă au apărut două pătrate perfecte iar elevii au venit cu diferite idei şi contra-idei (un elev propunea să-l punem pe divizorul 8 de două ori). Deci, până la urmă am lămurit aspectul respectiv ora următoare.

Spuneam că spre finalul lecţiei m-am grăbit pentru că mai aveam “în buzunar” o scurtă “poveste cu tâlc” (nu apare pe poza tablei). Este vorba de numerele perfecte. Ce sunt acestea? Primul număr perfect este 6; dacă la numărul 6 facem suma tuturor divizorilor săi, în afară de numărul însuşi, obţinem SD6 = 1 + 2 + 3 = 6, adică exact 6. Ce se întâmplă la alte numere din acest punct de vedere? De pildă la 10 obţinem SD10 = 1 + 2 + 5 = 8, mai puţin decât numărul însuşi; dimpotrivă, la 12 obţinem SD12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, adică mai mult decât numărul însuşi. Exact ca la oameni avem şi la numere: la multe numere dacă facem suma divizorilor lor obţinem mai puţin decât “se laudă ele că pot”; dimpotrivă, la unele numere, dacă facem suma divizorilor lor vedem că obţinem mai mult decât “arată numărul”; există însă şi numere la care suma este exact “cât ne spune numărul că valorează”. Şi da, la oameni avem exact la fel: cei mai mulţi pot mai puţin decât se laudă că sunt în stare (cunoscuţii lăudăroşi); dimpotrivă, există oameni care, odată puşi în faţa unor situaţii dificile, constaţi că sunt foarte capabili şi pot mai mult decât arătau iniţial (pe aceştia îi numim de obicei modeşti). Da, şi mai există, cei drept foarte rar, cei care îţi arată exact cât pot (pe aceşti oameni de încredere îi putem numi perfecţi). În sensul acestei poveşti, elevii au primit acasă sarcina de a căuta şi următorul număr perfect (care este 28). Ora următoare, la discutarea temei, câţiva elevi au anunţat că l-au găsit, iar eu le-am spus despre Pitagora, anume că de la acest mare învăţat al Greciei antice cunoaştem aceste două numere perfecte şi că de la el vine şi această poveste. Apoi, tot ora următoare, în conectare cu analiza temei, după găsirea lui 28 le-am prezentat elevilor şi următoarele numere perfecte, 496 şi 8128, găsite de Nicomac din Alexandria în sec 1 d.Chr., dar şi următoarele care sunt deja uriaşe (urmează numărul 33.550.336, etc.).

Iată şi tema dată elevilor la sfârşitul orei deschise: 1) Scrieţi toţi divizorii numerelor de la 21 la 30, notaţi la fiecare câţi divizori are şi calculaţi în dreptul fiecăruia şi suma divizorilor săi (fără numărul însuşi), aşa cum am făcut în clasă. Fiţi atenţi dacă mai găsiţi un număr perfect printre acestea. 2) Scrieţi lista completă a divizorilor la fiecare din următoarele numere, folosind de fiecare dată proba divizorilor: 36; 42; 75; 96; 144; 150; 220; 280; 284; 300.

Tot de la Pitagora vine şi o altă poveste “cu tâlc”, prezentată elevilor în ora următoare: se spune că Pitagora a fost întrebat o dată despre cum ar caracteriza el doi prieteni cu adevărat buni. Iar Pitagora a răspuns că două persoane pot fi caracterizate drept prieteni buni dacă se vor comporta la bine şi la greu aidoma numerelor 220 şi 284. Într-adevăr, dacă veţi face suma divizorilor fiecăruie din cele două numere, veţi vedea că la fiecare se obţine celălalt ca rezultat. Acestea două se numesc numere prietene, şi erau folosite în lumea învăţaţilor arabi din jurul anului 1000 la confecţionarea de amulete pereche pentru “cimentarea” unei prietenii dorite (fiecare din cei doi prieteni păstra o amuletă cu unul dintre cele două numere prietene gravat pe aceasta).

Până în acest moment al studiului despre divizorii unui număr am parcurs următoarele nivele de gândire: la început am căutat toţi divizorii unui număr în mod intuitiv; apoi, odată cu creşterea numerelor studiate, găseam primii divizori intuitiv, până treceam de jumătatea listei, iar apoi restul divizorilor printr-un procedeu pe care l-am numit “proba divizorilor”. Această a doua metodă poate fi descrisă ca parţial intuitivă, parţial algoritmică. Dar şi această metodă mai performantă îşi găseşte în curând limitele, odată cu creşterea numerelor la care dorim să găsim divizorii. A fost deja cazul la numerele mai mari date ca temă la sfârşitul orei deschise, inclusiv la numărul 284. Aşa că trebuia să ne gândim la o metodă şi mai puternică, una care să elimine subiectivismul intuitivităţii. În ora următoare (după cea deschisă) le-am arătat cum am putea depista în mod ordonat toţi divizorii, procedând în prealabil la descompunerea numărului în factori primi.

Găsirea unei noi metode poate reprezenta aici o mare provocare pentru elevi dar, totodată reprezintă o provocare şi mai mare pentru profesorul care-şi doreşte să regizeze lecţia prin întrebări cât mai naturale prin care să-i împingă pe elevi spre a descoperi ei înşişi noua metodă. Ideea de a descompune numărul iniţial în factori primi şi a găsi divizorii săi prin compunerea factorilor în toate produsele posibile, această idee este însă una prea precoce pentru elevii de clasa a V-a. Nu cred că ei o pot găsi, dar o pot foarte bine înţelege după câteve exemplificări (dimpotrivă, un elev de clasa a VIII-a ar putea-o depista, dacă se dovedeşte mai treaz la minte). Deoarece ora respectivă (ora următoare după lecţia deschisă) se îndrepta către sfârşit, nu am apucat să fac decât două exemple (divizorii lui 100 şi cei ai lui 220, cu temă directă divizorii lui 2000). Eu am numit reprezentarea divizorilor în acel tabel drept metoda frunză, încercând astfel să le atrag atenţia asupra simetriei numărului de divizori de la nivelele egal depărtate de extremităţile tabelului. Tot la tema acestei a doua ore, le-am propus elevilor să găsească toţi divizorii numărului 496 şi să verifice apoi dacă într-adevăr acesta este număr perfect (temă opţională; scuze pentru tabla foarte urât ştearsă).

Am reluat discuţia peste încă două zile (în a treia oră prezentată aici), când am analizat situaţia divizorilor numărului 12, iar apoi, prin analogie, situaţia numărului 284, care are o structură de aceeaşi formă, dar cu factorul prim 71 în loc de 3. Apoi, la cererea câtorva elevi am făcut la tablă şi descompunerea şi găsirea divizorilor în cazul numerelor de la temă, 496, respectiv 2000, ce fuseseră ca temă, dar care le-a dat multă durere de cap (foarte puţini le-au reuşit).

Las aici onoratul cititor să studieze metoda în formă de frunză pentru găsirea tuturor divizorilor unui număr pe alte exemple. Diferite aspecte cunoscute din problemele de combinatorică se regăsesc aici într-un mod deosebit de natural. De pildă, la numărul 2000 care are în produs 7 factori primi, la găsirea tuturor variantelor de divizori compuşi din 5 factori, putem căuta ce posibilităţi există de a exclude doi factori din numărul 2000, aceasta susţinând observaţia de simetrie sus-jos a tabelului respectiv (în formă de frunză). Precizez că această “metodă” am generat-o la clasă în urmă cu trei ani, am stabilizat-o la clasa care sunt acum în a VII-a şi am introdus-o înclusiv în lucrarea de control (cu succes) anul trecut.

În a patra oră dedicată acestei teme, de care cu greu ne puteam despărţi, au apărut condiţiile ideale pentru ultimul pas, anume pentru stabilirea numărului divizorilor unui număr mare, fără a-i găsi neapărat pe toţi divizorii respectivi. Ce înţeleg prin condiţii ideale? Păi, simplu: la discutarea temei, care fusese găsirea tuturor divizorilor lui 3000, un elev ridică mâna şi spuse: D-le profesor, aţi avut dreptate când aţi spus că la 3000 nu o să avem 30 de divizori aşa cum am prevăzut eu (băieţelul respectiv concluzionase ora trecută că, dacă la 2000 aveam 20 de divizori, atunci la 3000 vom avea 30 de divizori, la care eu m-am arătat doar sceptic); mi-au dat 27 de divizori. În acest moment au sărit alţi copii: unul găsise 28, altul găsise chiar 30 şamd (eu am tăcut în acel moment, când el susţinea un număr impar de divizori la un număr care nu este pătrat perfect). Aşa că am scris chiar pe tablă întrebarea ce ne frământa. După care le-am arătat “marea bombă”, anume cum se află câţi divizori are numărul 18.000 (comentariul celui care a pornit totul: păi dacă-l facem pe ăsta, atunci la 3000 o să fie superuşor).

Astfel, pentru a epuiza subiectul divizorilor unui număr, mai trebuia să facem pasul către formula care ne spune – înainte de a-i găsi concret – câţi divizori are un anumit număr. De pildă, formula respectivă ne spune că numărul 18.000 = 24∙32∙53 are un număr de (4 + 1)∙(2 + 1)∙(3 + 1) = 5 ∙ 3 ∙ 4 = 60 divizori (vedeţi pe următoarea poză folosirea culorii pentru a îndrepta atenţia elevilor asupra exponenţilor).

Este foarte uşor să le dai elevilor de la clasele de excelenţă această formulă, iar ei o vor aplica imediat prin analogie. Dar, pentru mintea în formare a elevului talentat la matematică, această formulă cu efect de cutie neagră este situată undeva între nefolositoare şi otravă pentru gândire, în sensul că îl obişnuieşte pe elev să înveţe ceva pe de rost fără să înţeleagă cum funcţionează, aşa că elevilor buni trebuie neapărat să le oferim şi o explicaţie, de ce se întâmplă astfel. Băieţelul respectiv, care a fost în vervă mare la această oră, după ce a văzut calculul afişat de mine pe tablă, a strigat indignat: da’, de ce facem aşa? Am şi scris pe tablă întrebarea sa, după care am pornit explicaţiile. Iată în continuare poza tablei cu exemplele prin care am încercat să-i conduc pe elevii buni spre înţelegerea principiului acestei formule. În acest sens nu cred că trebuie o demonstraţie în caz general, fiind suficientă parcurgerea a două-trei exemple edificatoare. Vedeţi în continuare şi poza tablei din cea de a patra oră pe această temă.

Pentru noi profesorii, dar şi în caz că am discuta aceste aspecte la elevi mai mari, se impune aici o observaţie deosebită. În cazul numerelor scrise ca o simplă putere de un factor prim (an), formula respectivă este o formulă de lungime pentru că toţi divizorii se aranjează ordonat în linie. Dacă avem un număr ce s-a descompus într-un produs de două puteri de factori primi (an ∙ bm), formula respectivă devine o formulă de arie, pentru că toţi divizorii se aranjează în mod ordonat într-un tabel dreptunghic. Continuând raţionamentul, în mod evident că la un număr ce se descompune într-un produs de trei puteri de factori primi (an ∙ bm ∙ cp) avem o formulă de volum (L ∙ l ∙ h), pentru că toţi divizorii s-ar aranja ordonat într-un “tabel tridimensional” în formă de paralelipiped dreptunghic. La un număr cu patru factori primi diferiţi avem “volumul” unoi cuboid patru-dimensional (conţinutul în 4D), etc.

După lămurirea acestei metode am stabilit (muncă individuală, dictată apoi la tablă) câţi divizori avea buclucaşul număr 3000 de la temă, anume că are 32 de divizori. Normal că au primit să studieze din plin noua şmecherie (temă de găsit câţi divizori au fiecare din numerele 6000; 12000; 2400; 980; 10500).

În final doresc să atenţionez asupra unui aspect metodic suplimentar, de fineţe. Analizând cele prezentate mai sus, se observă strădania de a înţelege cât mai complet, din cât mai multe puncte de vedere, comportamentul numerelor participante la fenomenul studiat. Divizorii au apărut la început intuitiv, fiind imediat şi aranjaţi în ordine crescătoare. Apoi am constatat pe această primă formă o legătură interesantă ce am numit-o proba divizorilor. În ora următoare a apărut o structură nouă, bidimensională, sub forma unui tabel cu divizorii aranjaţi pe rânduri, în funcţie de numărul factorilor primi conţinuţi. În final a apărut o a treia formă de ordonare a divizorilor, destul de algebrică. Observăm astfel cum am studiat cu elevii diferitele forme în care se pot cuprinde/ ordona divizorii unui număr, în funcţie de punctul de vedere urmărit. Este bine să încercăm cât mai des să ne uităm la un fenomen studiat din cât mai multe puncte de vedere, aceasta ajutându-i pe elevi să înţeleagă mai bine lucrurile, dar şi să-şi clarifice în general felul în care “gândeşte matematica”. Da, şi încă o mică observaţie de ordin lingvistic: la mai mulţi factori folosim pluralul; la un singur factor folosim singularul; aţi văzut că la zero factori folosim din nou pluralul? Adică, zero obiecte de un fel sunt mai multe?

Mă opresc aici cu această prezentare (textul are 6 pagini A4 scrise cu 12). Urmează desigur lecţia despre divizorii comuni ai două numere, dar despre aceasta cu altă ocazie. Pe lângă bucuria acestei lecţii, rămân în urmă gândurile despre oportunitatea urcării la nivele atât de înalte de raţionament şi de cunoştinţe, cu elevi de clasa a V-a. Cu “olimpicii” merge, dar câţi elevi dintr-o clasă pot duce toate cele prezentate? În urmă cu 20-30 de ani astfel de teme de studiu erau incluse într-un capitol de aritmetică de la începutul clasei a IX-a. În 1997 acel capitol a fost desfiinţat, considerându-se că toate aspectele se lămuresc în clasa a V-a. Şi totuşi, câţi elevi de această vârstă ….

Titus Grigorovici, 14-23 oct. 2017