Programa PENTAGONIA (8) – Conţinuturi clasa a VIII-a

În semestrul I din clasa a VIII-a materia este foarte vastă (cca. 2/3 din materia anului) pentru a permite elevilor o perioadă cât mai lungă de lucru pe teste complete pentru EN în primăvară. Cel mai nou aspect în ordinea lecţiilor îl reprezintă studiul complet al piramidelor şi al prismelor (figuri, arii şi volume pe studiate baze intuitiv-raţionale) în prima jumătate a semestrului, urmate abia apoi de studiul poziţiilor relative al dreptelor şi planelor cu aplicaţii direct pe corpurile studiate. Se obţine astfel o accesibilizare a materiei deosebit de eficientă pentru elevii de rând.

În semestrul al II-lea mai rămân funcţiile, trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde, urmate de câteva lecţii de cultură generală, obişnuite mai mult din zona opţională “matematica altfel”. Iată conţinuturile:

  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII (recapitulare şi completări)
  • Ecuaţii cu o necunoscută de tipurile studiate
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; Sisteme de trei ecuaţii cu trei nec.
  • Probleme rezolvabile prin ecuaţii sau prin sisteme de ecuaţii
  1. INTERVALE DE NUMERE REALE ŞI INECUAŢII ÎN
  • Mulţimi definite printr-o proprietate a elementelor ei
  • Noţiunea de interval de numere reale; clasificarea intervalelor cu scriere şi reprezentarea grafică pe axa numerelor; operaţii cu intervale
  • Inecuaţii în ℝ, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Sisteme de două inecuaţii, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Inecuaţii cu modul, de tipul | ax + b | < c respectiv | ax + b | ≤ c
  1. CALCUL ALGEBRIC (recapitulare şi completări)
  • Sume algebrice: operaţii cu acestea, desfacerea parantezelor, aducerea la forma cea mai simplă
  • Formule de calcul prescurtat: pătratul sumelor sau al diferenţelor; produsul sumei cu diferenţa; pătratul trinomului; cubul sumei şi al diferenţei (cu dem. algebrice şi geometrice); suma şi diferenţa de cuburi; aplicaţii
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice: factorul comun; restrângerea pătratelor şi diferenţa de pătrate; grupări + factor comun; metode combinate; metode artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Ecuaţii de gradul II: cazuri particulare pe baza formulelor de calcul prescurtat sau similare cu metodele artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Fracţii algebrice: simplificarea acestora ca aplicaţie la descompunerea în factori a sumelor algebrice; domeniul de definiţie al unei fracţii algebrice cu o nedeterm.
  • Operaţii cu fracţii algebrice; aducerea expresiilor la forma cea mai simplă
  1. FUNCŢII ŞI COMPLETĂRI (vezi indicaţiile metodice*)
  • Elemente de organizare a datelor: tabele, diagrame
  • Noţiunea de funcţie: elemente, exemple, prezentări prin tabele sau diagrame Venn-Euler, reprezentări grafice prin diagrame sau pe bază de blocuri verticale
  • Sistemul cartezian de axe ortogonale: deducerea din reprezentarea grafică pe bază de blocuri verticale; coordonatele unui punct şi reprezentarea grafică; terminologia specifică
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii: diferite funcţii pe domenii finite pentru vizualizarea a diferite forme de grafice (de pildă: x2, |x + 2|, (x – 1)3,, pe domenii cu valori întregi sau zecimale)
  • Graficul funcţiei de gradul I: exemple pe domenii (de pildă f(x) = 2x -3 pe rând pe următoarele domenii: {-1, 0, 1, 2, 3}, apoi ℤ, apoi ℝ şi pe [-1; 3] în final), cu observarea formei graficului şi adaptarea reprezentării în funcţie de compoziţia acestuia, cu deducerea metodei de reprezentare grafică prin două puncte + unul de control
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii de gradul I: dreapta soluţiilor unei ecuaţii; folosirea ecuaţiei ataşate în rezolvarea diferitelor probleme (puncte de coordonate egale de pe un grafic; intersecţia graficelor a două funcţii; determinarea funcţiei de gradul I ce trece prin două puncte date), inclusiv determinarea punctelor de intersecţie a graficului cu axele de coordonate
  • Metoda grafică în rezolvarea unui sistem de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute)
  • Elemente de calcul geometric în planul cartezian: calcule de arii şi lungimi şi găsirea mijlocului unui segment etc. (aplicaţii elementare)
  • Ecuaţia de gradul II: rezolvarea cu formulele generale
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA I
  • Pătratul şi triunghiul echilateral: aria şi liniile importante (recapitulare)
  • Cubul: diferite reprezentări grafice, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Secţiuni în cub: reprezentarea grafică a secţiunilor paralele cu feţele; secţiunea diagonală; secţiunea Δ echilateral (stabilirea intuitivă a formei; calcul perimetrului şi a ariei acestora)
  • Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul): reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei (teorema lui Pitagora în spaţiu, pe baza observării intuitive a unghiului drept: o muchie verticală este perpendiculară pe baza orizontală, deci şi pe o diagonală a acestei baze)
  • Prisma patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Prisma triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Prisma hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; situaţia diagonalelor
  • Piramida patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; apotema bazei, apotema piramidei şi conexiunile de calcul cu muchia bazei şi cu înălţimea piramidei
  • Secţiuni în piramidă: secţiuni transversale, secţiuni diagonale şi secţiuni paralele cu baza în piramida patrulateră regulată (desenarea şi stabilirea intuitivă a formei)
  • Piramida triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Tetraedrul regulat: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, înălţime şi volum
  • Piramida hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  1. PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE ÎN SPAŢIU
  • Reprezentarea grafică şi notarea punctelor, dreptelor şi planelor; diferitele situaţii de poziţii relative ale acestora: puncte coplanare, determinarea planului, drepte necoplanare, paralelism sau intersecţii între drepte, plane
  • Studiul poziţiilor relative între două drepte, o dreaptă şi un plan, respectiv două plane: demonstrarea situaţiilor de paralelism, respectiv de perpendicularitate, şi determinarea înclinaţiei, respectiv a măsurii unghiului determinat de acestea, în cazul poziţionării oblice (demonstrarea paralelismului a două drepte, calculul măsurii unghiului relativ a două drepte necoplanare, demonstrarea perpendicularităţii a două drepte necoplanare; în mod similar în cazul unei drepte şi a unui plan, respectiv în cazul a două plane); deducerea intuitivă în cazul fiecărei demonstraţii;
  • Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la punct la dreaptă
  • Diverse corpuri neregulate: exemple cu reprezentarea grafică, descriere, calculul ariei şi a volumului; calculul distanţei de la un punct la un plan
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA a II-a
  • Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Raportul de asemănare, raportul ariilor figurilor asemenea şi raportul volumelor corpurilor asemenea: aplicaţii în piramidele secţionate paralel cu baza pentru obţinerea trunchiurilor de piramidă
  • Trunchiul de piramidă hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Cilindrul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Conul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de con (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Sfera: reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arie şi volum
  • Elemente de geometria cercului şi a sferei pe globul pământesc: rotaţia Terrei în jurul soarelui, axa de rotaţie, înclinarea acesteia faţă de planul ecliptic (ecliptică) şi deducerea latitudinii tropicelor şi ale cercurilor polare
  • Corpurile platonice (perfecte) cu prezentarea celor cinci: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul; activităţi de cunoaştere a ultimelor trei (desenare, construcţie din hârtie sau beţişoare, determinarea formulelor de arie şi volum dacă sunt accesibile); exemple de corpuri arhimedice (trunchieri ale corpurilor platonice): activităţi de cunoaştere pe exemple, mingea de fotbal

CTG

8-Clasa-a-VIII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (&) – Conţinuturi clasa a VII-a

În semestrul I din clasa a VII-a materia se concentrează aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra regăsindu-se mai mult în slujba calculelor din geometrie (arii şi teorema lui Pitagora). Geometria însă se împarte în două linii preocupaţionale: pentru toţi elevii (materia de nota 5-7) se studiază calculul de arii şi perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porneşte în paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstraţii pe baza cunoştinţelor deja dobândite în clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstraţii cu unghiuri, cu segmente şi cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriză interesantă o reprezintă studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combină cu cel al ariilor, ducând la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actuală de obişnuinţă) o reprezintă însă faptul că trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora în cazul rezultatelor neexacte cu calcule raţionale aproximative. De abia după stabilizarea calculelor întregi sau aproximative (cu aplicaţie clară în viaţa aplicativă extramatematică) se va trece la exprimarea rezultatelor iraţionale (cel mai bine în semestrul al II-lea). Acelaşi traseu al studiului este valabil şi în cazul lungimii şi ariei cercului, introducându-se iniţial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu două zecimale exacte, adică o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai multă geometrie,dar oferă o stabilizare a calculului aritmetic şi o apropiere neagresivă de calculul pur algebric al numerelor iraţionale (scoaterea parţială a factorilor de sub radical şi calculul cu astfel de numere, care în vest se studiază eventual doar la nivelul liceului).

În semestrul al II-lea algebra îşi ia revanşa, materia concentrându-se mai mult pe această latură. Ca aspect important, pe lângă revenirea sistemelor de ecuaţii în finalul clasei a VII-a, se păstrează şi studiul formulelor de calcul prescurtat pătratice. Iată conţinuturile:

  1. NUMERE RAŢIONALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii cu numere naturale, întregi sau raţionale
  • Operaţii cu mulţimi; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ
  • Puterea cu exponent întreg
  • Procente şi proporţionalitate; ecuaţii; punerea în ecuaţie a unei probleme
  1. RĂDĂCINA PĂTRATĂ (recapitulare şi completări – II)
  • Rădăcina numerelor pătrate: pe baza tablei pătratelor, a observaţiilor pe ultima cifră şi prin descompunere
  • Produsul şi câtul rădăcinilor pătrate; aplicaţii de tipul sau
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale (în cazuri exacte, respectiv aproximative)
  • Ideea de număr iraţional
  1. NUMERE IRAŢIONALE
  • Noţiunea de număr iraţional; incluziunea ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ cu diferite exemple
  • Forma aproximativă şi forma exactă a numerelor iraţionale: studiu comparativ; numărul π; reprezentarea numerelor iraţionale pe axa numerelor; numerele reale
  • Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exactă a numerelor iraţionale; pătratul numerelor iraţionale; ridicarea la putere naturală a numerelor iraţionale
  • Produsul şi câtul numerelor iraţionale; raţionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere întreagă a numerelor iraţionale
  • Suma numerelor iraţionale; ordinea operaţiilor; numere iraţionale în forma de sume neefectuabile
  • Valoarea absolută a unui număr real
  1. CALCUL ALGEBRIC
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, câtul şi puterea
  • Însumarea numerelor reprezentate prin litere; noţiunile de monom, binom, trinom şi polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opuşi
  • Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a două binoame sau trinoame
  • Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): pătratul sumei şi pătratul diferenţei; produsul sumei cu diferenţa (cu dem. algebrice, dar şi geometrice, pe bază de arii)
  • Descompuneri elementare prin factor comun şi reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restrângerea pătratelor, diferenţa de pătrate); aplicaţii în simplificarea fracţiilor şi calculul din T. Pitagora
  • Aplicaţi: calcule de expresii; raţionalizarea numitorului (II); demonstraţii la teorema lui Pitagora pe bază de arii şi formule binomiale
  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII
  • Ecuaţii de gr. I; ecuaţii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecuaţii în care se reduc termenii de gradul II); mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii de gradul II de forma x2= b,  x2 + a = b şi ax2 = b; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu module de forma | ax + b | = c; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu două necunoscute: scrierea soluţiilor ca perechi ordonate
  • Sisteme iniţiale de ecuaţii (o ecuaţie cu o nec. + o ecuaţie cu două necunoscute); scrierea soluţiilor, inclusiv în cazul cu două soluţii (ec. de gr. II sau cu modul)
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute de forma y = ax + b  şi  y = cx + d): metoda tranzitivităţii
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda substituţiei
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin punere în ecuaţie sau în sistem de ecuaţii
  1. DEMONSTRAŢIA GEOMETRICĂ (recapitulare şi completări – I)
  • Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate înscrise în cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi şi unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
  • Demonstraţii cu unghiuri: folosind proprietăţile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuză; cateta opusă unghiului de 30o
  • Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruenţă LLL, LUL, ULU; congruenţa triunghiurilor dreptunghice
  • Linia mijlocie în triunghi (intuitiv, fără dem. inclusiv la teorema reciprocă); linia mijlocie în trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
  • Teoreme directe şi teoreme reciproce: exemplificări pe figurile studiate
  1. ARII ŞI PERIMETRE (recapitulare şi completări – II)
  • Aria patrulaterelor şi a triunghiurilor: dreptunghi, pătrat, Δ dreptunghic, paralelogram; Δ oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situaţii (rombul II, pătratul II, Δ dreptunghic II, deltoidul, Δ isoscel; Δ obtuzunghic)
  • Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate şi poziţia sa pe mediană
  • Figuri echivalente: transformarea triunghiului şi a paralelogramului cu păstarea ariei (forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor); figura “gnomon”
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţie prin arii folosind transformări echivalente de paralelograme
  • Calcule de arii şi perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) şi calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
  • Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; numărul π în formă zecimală aproximativă; lungimea cercului (perimetrul)
  • Aplicaţii: calcule aproximative de lungimi şi arii în situaţii practice
  1. PROPORŢIONALITATE ŞI ASEMĂNARE
  • Prezentarea prin transformarea intuitivă: Regula de trei simplă → Triunghiuri asemenea → Teorema fundamentală a asemănării → Teorema lui Thales
  • Raportul lungimilor a două segmente
  • Teorema lui Thales şi reciproca: segmente proporţionale şi paralelismul;
  • Teorema fundamentală a asemănării: aplicaţii aritmetice şi demonstraţii geometrice
  • Aplicaţii: teorema bisectoarei; poziţia centrului de greutate al triunghiului
  • Cazurile de asemănare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplicaţii
  • Cazul de asemănare UU la triunghiurile scalene şi la triunghiurile dreptunghice
  • Studiul propoziţiilor directe şi al reciprocelor, parţiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii în triunghi (teorema directă; apoi reciproca parţială 1 = teoremă, dar reciproca parţială 2 = propoziţie falsă; în final reciproca totală = teoremă, fiecare cu demonstraţie sau contraexemplu); aplicaţii pe probleme
  1. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
  • Proiecţia unui punct sau a unui segment pe o dreaptă
  • Teoremele lui Euclid: teorema catetei şi teorema înălţimii, demonstraţii prin asemănare şi aplicaţii
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţia cu teorema catetei; aplicaţii cu rezultate sau date iraţionale; reciproca teoremei lui Pitagora
  • Rapoartele trigonometrice: definiţii, exemple, valori pentru 30o, 45o, 60o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Poligoanele regulate de bază (triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat): liniile importante şi aria (înălţimea, diagonala, raza cercului circumscris sau înscris, apotema)
  1. CERCUL (recapitulare şi completări)
  • Elementele cercului şi proprietăţile studiate; unghiul la centru şi măsura arcelor de cerc; “Cercul lui Thales” (triunghiul dreptunghic înscris în semicerc)
  • Tangenta la cerc (fără dem.); proprietatea “ciocului de cioară” (cu dem.)
  • Unghiul înscris în cerc (sau “unghiul periferic”): proprietatea măsurii (cu dem.)
  • Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise şi patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplicaţii
  • Lungimea cercului şi aria discului; aria părţilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (6) – Conţinuturi clasa a VI-a

În semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetică realizează până la vacanţa de iarnă o reluare cu completări şi aprofundări a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiază componentele de bază (puncte, drepte, segmente, poziţii relative, unghiuri, cât şi liniile importante mediatoarea şi bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplicaţii doar diverse cerinţe de construcţii cu îngrădiri pe instrumente (de exemplu, desenaţi doar cu rigla şi compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de hârtie).

În semestrul al II-lea aritmetica se cam încheie cu studiul rapoartelor şi al proporţiilor. Urmează capitolele de trecere spre algebră, apariţia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecuaţiile şi mulţimile. Valoarea absolută a unui număr se prezintă doar la sfârşitul capitolului, nu în prima lecţie. La geometrie se studiază intuitiv triunghiurile şi patrulaterele prin enumerarea observaţională a proprietăţilor evidente şi demonstrarea proprietăţilor neevidente. Studiul aplicaţional al acestora se concentrează mai ales pe construcţia exactă cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind amânată pe începutul clasei a VII-a (de fapt, o rocadă între demonstraţia geometrică diversificată – nu doar demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor – şi capitolul despre patrulatere). În clasa a VI-a cazurile LLL, LUL şi ULU se numesc mai degrabă cazuri de construcţii decât cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii şi proprietăţile acestora; ordinea operaţiilor; factorul comun şi aplicaţii; teorema împărţirii cu rest; scrierea numerelor în baza zece
  • Operaţii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc şi cmmmc a două sau mai multe numere naturale; numere prime între ele;
  • Criterii de divizibilitate; proprietăţi ale divizibilităţii şi demonstraţii cu acestea
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinarea intuitivă; determinarea prin descompunere în factori; includerea în ordinea operaţiilor
  1. FRACŢII (recapitulare şi completări – II)
  • Fracţii ordinare: prezentare, transformări; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Operaţii cu fracţii ordinare; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Fracţii zecimale finite: transformări; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Fracţii zecimale periodice: transformări; comparare; aproximări
  • Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Aplicaţii: media aritmetică şi media aritmetică ponderată
  • Ecuaţii: în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) cu rezolvări aritmetice prin operaţia de probă
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate: atăt din numere pătrate (rezultate exacte), cât şi din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea în ordinea operaţiilor
  1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
  • Rapoarte şi proporţii: noţiunea de raport; proprietatea fundamentală a proporţiei (proba proporţiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
  • Regula de tei simplă: proporţionalitate directă şi proporţionalitate inversă
  • proporţii derivate; şir de rapoarte egale şi mărimi direct proporţionale; şir de produse egale şi mărimi invers proporţionale
  • Procente: aplicaţii prin metoda “din” , dar şi prin regula de trei simplă
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii;
  • Elemente introductive de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive şi numere negative; semnul şi mărimea
  • Însumarea a două numere relative; sume; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul a două numere relative; împărţirea a două numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea operaţiilor
  • Aplicaţii în cazul operaţiilor cu fracţii
  • Reprezentarea pe axă; valoarea absolută a unui număr
  • Ecuaţii: ecuaţia de gradul I în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) şi în forma de bază combinată (ax + b = c) parcurse prin trei metode: metoda probei operaţiei (recapit.), metoda balanţei şi metoda mutării în membrul celălalt cu operaţia opusă; ecuaţii reductibile la ecuaţii de bază de gradul I
  • Probleme cu o singură necunoscută, ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, notaţii; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
  • Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
  • Mulţimi finite; cardinalul unei mulţimi; mulţimi infinite; mulţimea vidă
  • Categorii de numere; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ; relaţii, aplicaţii; axa nr.
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu coef. întregi sau raţionali, în ℕ, ℤ, ℚ; mulţimea soluţiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Poziţia relativă a două drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Poziţia relativă a trei drepte
  • Cercul: centru, rază, diametru
  • Noţiunile de congruenţă şi egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construcţii; perpendiculara dintr-un/ într-un punct pe o dreaptă: diferite construcţii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; notaţii; clasificarea elementară: unghiuri ascuţite, drepte, respectiv obtuze
  • Măsura unghiului; raportorul; măsurarea şi construcţia
  • Congruenţa unghiurilor; diferite construcţii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construcţii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la vârf: congruenţa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de două paralele tăiate de o secantă: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construcţii
  • Două unghiuri împreună: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri în jurul unui punct
  • Clasificarea completă a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (măsura > 180o) şi unghiul plin (măsura = 360o)
  • Simetria axială; simetria centrală; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construcţie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea Δ-lor I: Δ echilateral, Δ isoscel, proprietăţi legate de congruenţa elementelor, Δ scalen, Δ oarecare
  • Clasificarea Δ-lor II: Δ ascuţit-, Δ drept- şi Δ obtuzunghic, combinaţii categ. I + II
  • Liniile importante în triunghi: bisectoare; mediane; înălţimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, proprietăţi, înscrierea în semicerc (“Cercul lui Thales” cu dem.), mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificată cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplicaţii: construcţii de triunghiuri incluzând şi liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor şi suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construcţia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; proprietăţi şi construcţii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; pătratul; proprietăţi şi construcţii
  • Aplicaţii: construcţii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confecţionare de corpuri din carton cu construcţia desfăşurării: cubul, cuboidul, prisma triunghiulară, piramida patrulateră, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) – Conţinuturi clasa a V-a

În semestrul I din clasa a V-a materia este structurată cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranjării lecţiilor îl reprezintă abordarea din trei direcţii a ideii de număr prim. Apar şi primele elemente de geometrie printr-o cunoaştere elementară iniţială a principalelor figuri închise prin desenarea lor cu mâna liberă.

În semestrul al II-lea se trece la studiul fracţiilor ordinare şi zecimale, cât şi a unităţilor de măsură. La geometrie propun o perioadă de cunoaştere a instrumentelor geometrice şi obişnuirea cu mânuirea acestora, printr-un traseu ocupaţional în jurul împărţirii cercului în părţi egale şi realizarea unor desene frumoase cu rigla şi compasul pe baza acestora.

Problema principală a acestei structurări este faptul că desenul geometric este eficient doar dacă elevii au timp suficient să lucreze la acele desene pentru a reuşi să interiorizeze mişcările respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o oră în plus, de pildă printr-un opţional. Iată în continuare conţinuturile la rând:

  1. RECAPITULARE ŞI PROBLEME DE ARITMETICĂ
  • Recapitulare şi acomodare: exerciţii şi probleme elementare (ordinea operaţiilor, probleme cu raţionamente elementare, matematică distractivă, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea şi citirea numerelor naturale; diferite reprezentări (cu puncte, cu linii, pe axă); scrierea numerelor în diferite culturi (Egipt şi China, Roma şi Maya)
  • Compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări şi estimări
  • Adunarea numerelor naturale, proprietăţi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare şi calcul); scăderea naturale
  • Înmulţirea numerelor naturale (calcule mintale şi prin algoritm), proprietăţi
  • Împărţirea numerelor naturale (algoritm scris, parţial scris şi efectuat mintal); proba împărţirii (teorema împărţirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale – metoda intuitivă (forma de deltă); numere prime (1) şi numere compuse; înmulţirea rapidă cu 5 sau cu 25 prin împărţirea în cap la 2 sau 4 şi invers
  • Descompunerea numerelor naturale – algoritmul (forma cu bară)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci operaţii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Proprietăţile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerciţii cu încălcarea ordinii operaţiilor folosind regulile învăţate (operaţii cu puteri)
  • Şiruri de numere (pare, impare, şirul lui 3, 4, 5 etc. – nivel recapit. de cl. primare)
  • Găsirea generală a numerelor prime (2) – Ciurul lui Eratostene
  • Şirul puterilor; alte şiruri exponenţiale (şirurile lui Mersenne, Fermat şi nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. pătrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui număr etc.
  • Reprezentarea grafică pe cercul cu 10 cifre şi studiul evoluţiei ultimei cifre pentru şirurile învăţate; observaţii cu privire la evoluţia şirului numerelor pătrate pe decade (ultima cifră în tabla pătratelor); pătratele multiplilor de zece sau de sută
  • Rădăcina numerelor pătrate: prezentare intuitivă pe baza tablei numerelor pătrate şi pe baza studiului ultimei cifre, cu probă; includerea în ordinea operaţiilor
  • Explicitarea numerelor în sistemul zecimal şi în sistemul binar (bazele 10 şi 2); scrierea numerelor naturale ca sumă de puteri ale lui 2; (diferite aplicaţii, inclusiv înmulţirea în Egiptul antic)
  • Divizorii unui număr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de găsire a divizorilor; studiul numărului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui număr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare şi prin descompunere); numere prime între ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,  apoi cu 25 şi 4, apoi cu 3 şi 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Fracţii ordinare – prezentare; reprezentări grafice (disc împărţit în sectoare, dreptunghi împărţit în felii etc.); numitor, numărător; fracţii de bază (pe exemplul fracţiilor egiptene)
  • Clasificarea fracţiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezentări grafice; scoaterea întregilor din fracţie, introducerea întregilor în fracţie
  • Transformarea fracţiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplificări sau simplificări intuitive)
  • Compararea fracţiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare, găsirea unei fracţii dintr-o cantitate – cuvântul “din”; aplicaţii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinzând situaţii descrise prin fracţii ordinare
  • Fracţiile zecimale; prezentare; transformări (1); compararea fracţiilor zecimale
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări (2)
  • Fracţii zecimale finite şi fracţii zecimale periodice
  • Procente (ca fracţie); calcule pe baza înmulţirii fracţiilor ordinare; promile
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • Aria şi perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din pătrăţele întregi
  • de măs. pt. arie; formule şi reţete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, pătrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construcţia acestora cu ajutorul echerului
  • de măs. pt. volum şi capacitate; formule pt. volumul cubului şi a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de măs. monetare, pt. timp şi pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate faţă de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate faţă de cerc)
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele în 6 sau 5 colţuri – “Steaua lui David” şi pentagrama – etc.)
  • “Teorema lui Pitagora” (evidenţiere în cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul şi folosirea compasului
  • Împărţierea cercului în 6 părţi (“floarea vieţii”); diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (construcţii diverse); aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 8 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în12 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 16 părţi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • Împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la vârf (unghiul înscris în cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stelări posibile (pentagrama, “steaua lui David”, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (4) – Privire de ansamblu asupra conţinuturilor

 

Înainte de prezentarea separată a conţinuturilor pe fiecare clasă, vă prezint o privire de ansamblu, “din aer”, asupra celor opt semestre ale gimnaziului. Tabelul anexat este gândit a fi imprimat pe o coală A3 pentru ca privirea să poată sări uşor de la un punct la altul al materiei, aşa cum sar gândul (da’ unde-a pus cutare sau cutare conţinut?). Chiar dacă nu vă obosiţi să-l imprimaţi, recomand totuşi măcar descărcarea tabelului în calculator, pentru o lectură mai lesnicioasă. Dimpotrivă, pentru a accesibiliza lecturarea şi pe ecranul telefonului (poate sunteţi la mare, la umbra unei terase, cu o băutură răcoritoare alături), voi cuprinde materialul respectiv şi în format obişnuit:

Clasa a V-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

ARITMETICA NUMERELOR NATURALE

  • Probleme aritmetice, diverse metode
  • Cele patru operaţii de bază şi puterea; ordinea op.; proprietăţile operaţiilor
  • Descompunerea numerelor în factori; numere prime
  • Operaţii cu puteri: ordinea operaţiilor; încălcarea ordinii operaţiilor
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinări intuitive
  • Divizori şi multipli
  • Criterii de divizibilitate

Semestrul I – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ (*)

  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; alte patrulatere
  • Triunghiul echilateral; alte triunghiuri
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasific. (drepte, apoi ascuţite, respectiv obtuze)
  • Alte figuri (“Steaua lui David” etc.)

“Teorema lui Pitagora” pe cazul triunghiului dreptunghic isoscel

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. ORDINARE; FR. ZECIMALE; UNIT. MĂS.
  • Fracţii ordinare – prezentare, tranformări, fr. mixte
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare, comparare
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare
  • Fracţiile zecimale; transformări
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări
  • Fracţii zecimale finite sau periodice
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • de măs. pt. arie; pătrat şi dreptunghi, echerul
  • de măs. pt. volum şi capacitate; cub şi cuboid
  • de măs. monetare; pt. timp; pt. unghiuri

Semestrul II – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE (*)

  • Cercul şi împărţierea sa în 6 părţi (“floarea vieţii”)
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (constr. diverse)
  • Împărţierea cercului în 8 părţi
  • Împărţierea cercului în12 părţi
  • Împărţierea cercului în 16 părţi (riglă şi compas)
  • Unghiul la centru; împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (raportorul)
  • Unghiul înscris în cerc (periferic) şi polig. stelate

(*) Se recomandă cuprinderea într-un curs opţional suplimentar de “Desen geometric”

Clasa a VI-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

FRACŢII; PROPORŢIONALITATE

  • şi completări: Nr. naturale; ordinea op.
  • şi comp.: Fracţii; ordinea op., fracţii etajate
  • Rădăcina pătrată prin descompunere şi algoritm
  • Ecuaţii (rezolvări aritmetice)
  • Noţiunile de raport; proporţie; proba şi termen. nec.
  • Regula de trei simplă; proporţional. directă, inversă
  • Proporţii derivate; şiruri de rapoarte egale etc.
  • Procente (două metode de rezolvare)
  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Elemente de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)

Semestrul I – GEOMETRIE:

GEOMETRIA COMPONENTELOR

  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; lungime
  • Poziţia relativă; paralelism şi perpendic.
  • Cercul, elemente
  • Congruenţă; mijloc; mediatoarea, construcţii div.
  • Unghiul; interiorul; măsura unghiului; clasificare;
  • Congruenţa unghiurilor; bisectoarea
  • Unghiuri opuse la vârf
  • Unghiuri formate de paralele cu o secantă
  • Unghiuri adiacente, complementare, suplementare

Simetria axială; simetria centrală (echerul geom.)

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. NEGATIVE; ECUAŢII; MULŢIMI
  • Numere relative (nr. pozitive şi nr. negative)
  • Însumarea nr. relative; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul numerelor relative; împărţirea
  • Ordinea operaţiilor
  • Valoarea absolută (modulul)
  • Ecuaţii (rezolvări algebrice)
  • Mulţimi; exemple; operaţii
  • Mulţimile de nr. învăţate (ℕ, ℤ, ℚ)

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRIUNGHIURI; PATRULATERE

  • Triunghiul, perimetrul, suma unghiurilor
  • Cazuririle de construcţie (LLL, LUL, ULU)
  • Clasificarea Δ-lor (I): echilateral, isoscel, scalen
  • Clasificarea Δ-lor (II): ascuţit-, drept-, obtuzunghic
  • Liniile importante în triunghi
  • Triunghiul dreptunghic; înscrierea în semicerc, mediana pe ipotenuză, cat. op. ∢30o, T. Pitagora
  • Patrulatere, perimetrul, suma unghiurilor
  • Construcţii de patrulatere cu elemente date
  • Patrulatere speciale: Deltoidul ; Trapezele

Paralelogramul; Dreptunghiul; Rombul; Pătratul

Clasa a VII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

NUMERE RAŢIONALE şi  RĂDĂCINA PĂTRATĂ

  • Puterea cu exponent întreg
  • Metode de extragere a rădăcini dintr-un număr pătrat
  • Extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate
  • Noţiunea de numere iraţionale

Semestrul I – GEOMETRIE:

DEMONSTRAŢII GEOMETRICE; ARII

  • Cercul, elemente interioare (raze, diametru, coardă)
  • Poligoane, poligoane regulate: construcţie, unghiuri
  • Demonstraţii cu unghiuri, mediana pe ipot., etc
  • Demonstraţii prin metoda triunghiurilor congruente
  • Linia mijlocie în triunghi şi trapez
  • Aria figurilor de bază
  • Figuri echivalente
  • Teorema lui Pitagora (dem. prin arii)
  • Calcule de arii şi perimetre ale figurilor studiate (calcule exacte şi calcule aproximative)

Perimetrul şi aria cerc.; numărul π

Semestrul II – ALGEBRĂ:

  1. IRAŢIONALE; CALC. ALGEB.; SIST. EC.
  • Numere iraţionale
  • Extragerea factorilor de sub radical
  • Mulţimea nr. reale ( inclusiv clasif. completă a nr.)
  • Operaţii cu nr. reale
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere
  • Formule de calcul prescurtat gr. II
  • Raţionalizarea numitorului (cazurile I şi II)
  • Ecuaţii de gr. I; Ec. de gr. II de forma x2= n
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, prin metodele tranzitivităţii, substituţiei şi reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin ec. şi sist. de ec.

Semestrul II – GEOMETRIE:

PROPORŢIONALITATE; CERCUL

  • Teorema lui Thales; TFA (aplicaţii aritmetice)
  • Asemănarea Δ-lor şi a Δ-lor dreptunghice
  • Teoremele lui Euclid (T. catetei şi T. înălţimii)
  • Alte demonstraţii la Teorema lui Pitagora; reciproca
  • Rapoartele trigonometrice
  • Cercul: recapitulare, tangenta la cerc
  • Unghiul înscris în cerc
  • Cercul înscris sau circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise, patrulatere circumscrise

Lungimea arcului de cerc, aria sectorului de disc

Clasa a VIII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

EXPRESII ALGEBRICE

  • Sisteme de ecuaţii cu trei necunoscute
  • Intervale de numere reale; operaţii cu acestea
  • Inecuaţii şi sisteme de inecuaţii
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu module
  • Sume algebrice; operaţii cu acestea
  • Formule de calcul prescurtat gr. II şi III
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice
  • Ecuaţii de gr. II – diferite cazuri particulare
  • Fracţii algebrice; operaţii cu acestea

Semestrul I – GEOMETRIE:

PRISME; PIRAMIDE; TEOREME ÎN SPAŢIU

  • Cubul, paralelipipedul dreptunghic (cuboidul); prismele – construcţii, arii şi volume, secţiuni
  • Piramidele şi tetraedrele – construcţii, arii şi volume
  • Puncte, drepte şi plane; poziţii relative
  • Paralelism, perpendicularitate şi unghiuri relative
  • Teorema celor trei perpendiculare

Aplicaţii în corpurile studiate

Semestrul II – ALGEBRĂ:

FUNCŢIA GR.I; COMPLETĂRI

  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Noţiunea de funcţie; elemente; exemple
  • Sistemul cartezian de axe (deducere din funcţii)
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii
  • Graficul funcţiei de gr. I – exemple pe domenii
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii; dreapta soluţiilor
  • Elemente de geometrie aplicată pe sistemul de axe
  • Ecuaţii de gr. II – rezolvarea cu formulele generale

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRUNCHIURI DE PIR.; CORPURI ROTUNDE

  • Trunchiurile de piramidă – constr., arii şi volume
  • Cilindrul; conul; trunchi de con; sfera – (idem)
  • Elemente de geometria sferei pe globul pământesc
  • Alte corpuri (platonice, arhimedice etc.)

TABEL-Privire-ansamblu-ProgramaPentagonia.pdf

Lectură plăcută! CTG

Programa PENTAGONIA (3) – Principii metodico-didactice

În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:

  • Adaptarea materiei şi a predării la posibilităţile şi nevoile vârstelor, dar şi în funcţie de posibilităţile individuale şi de cerinţele naţionale

Materia parcursă trebuie adaptată obligatoriu la posibilităţile şi nevoile vârstelor, atât la nivelul individului, cât şi la nivelul clasei. Gândirea elementară specifică claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresată în mod echilibrat în paralel cu gândirea intelectuală specifică altor elevi, şi extinsă la vârstele mai mari la majoritatea clasei (gândirea aritmetică faţă de gândirea algebrică, construcţia geometrică în opoziţie cu demonstraţia, exerciţiile de bază alături de problemele complicate etc.). Nivelul lecţiei şi profunzimea studiului diferitelor lecţii trebuie alese cu respect faţă de toţi elevii, atât faţă de cei slabi, cu capacităţi reduse, cât şi faţă de cei buni, cu capacităţi şi aşteptări ridicate în gândirea matematică. Totodată, încadrarea parcursului şi nivelului orelor de matematică în procesul şcolar naţional este un deziderat evident şi trebuie urmărit de către orice dascăl ce predă matematica la gimnaziu.

  • Principiul ne-suprapunerii itemilor noi

Se va evita introducerea simultană a mai multor itemi, noţiuni sau abilităţi de calcul. Astfel, de pildă în clasa a V-a, se vor studia în lecţii separate descompunerea intuitivă a numerelor naturale în factori, apoi algoritmul de descompunere “cu bară”, dar scriind răspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia în lecţii separate introducerea operaţiei de putere, integrarea noii operaţii în exerciţii cu toate nivelele de operaţii, respectiv proprietăţile operaţiilor cu puteri şi scurtcircuitarea ordinii operaţiilor prin acestea. Odată cu avansarea în vârstă, acest principiu scade ca importanţă, dar nu-şi va pierde nici o dată cu totul valabilitatea.

  • Predarea în spirală

Predarea în spirală oferă formarea tot mai complexă a noţiunilor şi a ideilor matematice, urmărind evoluţia acestora odată cu dezvoltarea gândirii elevului şi cu lărgirea spectrului său de cunoştinţe aferente. Predarea în spirală poate fi aplicată la diferite magnitudini, în cadrul unui capitol la lecţii învecinate, sau în cadrul unor lecţii îndepărtate în timp, în capitole diferite, sau chiar în ani de studiu diferiţi.

De cele mai multe ori în predarea în spirală o noţiune suportă un proces de evoluţie şi transformări. Astfel, vorbim despre “noţiunea vie”, pe când definirea seacă încătuşează o noţiune în parametrii strict fixaţi, aici vorbind de “noţiuni moarte”. În acest sens, prezenta programă recomandă evitarea definiţiilor. Chiar şi abordarea unei ramuri întregi a matematicii evoluează în predarea în spirală prin reluările succesive la nivele tot mai evoluate de gândire (vezi evoluţia studiului geometriei din clasa a V-a în a VII-a.

  • Predarea intuitivă

Deducerea şi înţelegerea intuitivă a noilor itemi este foarte importantă la orice vârstă, însă trebuie luată cu adevărat în serios mai ales la clasele mici. Astfel, în clasele de intrare în matematica gimnazialo-liceală, profesorul va folosi cât de mult posibil intuiţia elevilor, adaptându-şi predarea pentru acest scop. Ordonarea lecţiilor şi introducerea noilor cunoştinţe se va face conform posibilităţii folosirii intuiţiei şi nu conform necesităţilor predării riguros axiomatice. Şi în acest sens se va evita definirea noţiunilor, acestea fiind mai degrabă aduse intuitiv, prin imagini, ritm şi descriere.

  • Problematizarea

Problematizarea reprezintă forma cea mai naturală de implicare a elevilor în învăţarea matematicii. Aceasta se poate folosi în cadrul rezolvării diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes şi în procesul de cunoaştere a noilor conţinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lecţiilor noi se poate căuta deducerea lecţiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pildă, la lecţia despre înmulţirea numerelor naturale din clasa a V-a, când elevii de fapt cunosc înmulţirea, putem proceda în felul următor: după câteva exerciţii cu înmulţiri cu numere mari în scris, sau cu numere mici în cap (la început înmulţiri cu 10, 100, 1000 şi cu 20, 30 etc., apoi două cifre înmulţit cu o cifră – 30 ∙ 5, apoi 34 ∙ 5 sau 29 ∙ 7 etc.), după acestea le putem cere elevilor să efectueze în cap înmulţiri multiple de tipul 5 ∙ 37 ∙ 2 până la 25 ∙ 73 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2. În acelaşi gând le putem cere elevilor să găsească produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite înmulţiri mintal, apoi cele mari în scris, iar în final se adaugă două zero-uri la coadă. Analizând cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii. Aceasta este o predare prin problematizare “din aproape în aproape”; elevul nu ştie care este ţelul predării în această oră, lăsându-se condus cu încredere de către profesor. În acest caz, titlul lecţiei se scrie cel mai bine către sfârşitul orei, când lucrurile s-au clarificat. Dimpotrivă, se pot da exemple de problematizare clasică, adică atunci când elevul află ţelul lecţiei, iar apoi se caută drumul către acesta.

O formă specială a predării prin problematizare este predarea prin întrebări. Profesorul descompune procesul de gândire în paşi mici, accesibili gândirii elevului, astfel încât, cu fiecare nouă întrebare elevul mai descoperă un pas nou al lecţiei. Forma ideală (extremă) a acestei metode este atunci când profesorul nu dă nici o cunoştinţă nouă elevilor, ci le pune doar întrebări cu care le îndrumă acestora parcursul de descoperire pentru întreaga lecţie.

  • Activităţi ludice şi ritmice

Activităţile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clasă dacă sunt corect adaptate vârstei. Se pot face jocuri matematice la începutul orei (* vezi exemplul din final), dar şi diferite calcule de pornire a gândirii, prezentate în formă de joc. În acest sens putem face oricând un foarte bun exerciţiu “de încălzire” cu câteva zaruri aruncate pe masă în faţa elevului:profesorul vede “dintr-o privire” dacă are mai mulţi de 2 şi 5 sau nu. Dacă da, atunci îi cere elevului să găsească produsul total; dacă nu, atunci îi cere suma totală. Acest exerciţiu este însă unul individual şi poate fi crescut în dificultate prin creşterea numărului de zaruri. Odată cu învăţarea descompunerii, acest exerciţiu devine şi mai uşor (de pildă, în cazul produsului,  un 6 şi un 5 între zaruri se transformă într-un 3 şi un zero la coadă).

Chiar şi unele lecţii pot căpăta formă de joc, descompunerea numerelor naturale în factori primi în clasa a V-a fiind un bun exemplu în acest sens. Şi elementul ritmic, chiar dacă interiorizat din fizic în intelectual, poate sta la baza unor părţi de lecţie (de pildă, studiul şirurilor şi căutarea numerelor prime cu “Ciurul lui Eratostene”, tot în clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai aşezată, manufacturieră, însă cu profund caracter ludic. În sensul căutării jocului în matematică, pe lângă lecţiile din programă se pot include şi teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al “pătratelor magice”, măcar pe pătratele de 3×3, 4×4 şi de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate apărea de la elemente de “magie matematică” (de pildă cu zaruri) până la diferite alte probleme de “matematică distractivă”.

  • Predarea artistică

Elementele artistice şi manualitatea sunt binevenite în cadrul orelor de matematică, de la redactarea şi aranjarea estetică a caietului de epocă sau a fişelor din portofoliu, până la activităţi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase şi colorarea acestor desene în clasa a V-a). În măsura în care se pricepe, dascălul poate aduce la ora de matematică şi elemente de observare a fracţiilor pe corzile instrumentelor, adică la notele muzicale, în diferite cântece.

Dinspre profesor, predarea artistică are, pe lângă încurajarea aspectelor mai sus menţionate, şi alte valenţe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie şi de admiraţie în sufletul copiilor. Organizarea lecţiilor într-un crescendo care duce la o descătuşare de uimire prezintă similitudini cu felul în care un compozitor îşi structurează simfonia, sau felul în care un scriitor trezeşte într-un roman curiozitatea şi oferă deznodământul abia spre sfârşit.

  • Libertatea şi obligaţiile profesorului

Aranjarea materiei din prezenta programă este orientativă, profesorul având oricând libertatea de a găsi alte variante de aranjare a materiei în forma lecţiilor, în forma capitolelor sau chiar în forma aranjării acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul întregului ciclu gimnazial. Singura obligaţie evidentă este aceea de a parcurge toate cunoştinţele din programa de examen până la sfârşitul clasei a VIII-a, într-o ordine raţională şi într-un ritm echilibrat. Chiar şi conţinuturile sunt în linii mari de două feluri: cele obligatorii prin prisma prezenţei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, cât şi cele facultative, dar recomandate prin prisma încărcăturii lor cu spiritualitate matematică (de pildă, numerele perfecte şi numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). În programă există şi conţinuturi care nu sunt incluse în materia de examen, dar care contribuie din plin la înţelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate însă, utilitatea matematicii trebuie văzută în formarea gândirii logice, raţionale, libere, de care elevul va beneficia în întreaga sa viaţă şi în afara matematicii, profesorul având obligaţia de a se preocupa constant  şi în acest sens. CTG

* Cel mai bun joc matematic, ce implică toată clasa, măcar pentru început, este jocul Bum pe 7. Elevii participanţi (adică toată clasa) împreună cu profesorul, se aranjează în cerc (măcar oval să fie; trebuie tehnic ca fiecare să-l poată vedea pe fiecare). Profesorul (şeful de joc) porneşte număratul cu 1 (unu), uitându-se totodată într-o parte (la dreapta sau la stânga) pentru a stabili sensul de numărare. Apoi, fiecare elev la rând numără mai departe: 1, 2, 3, 4 ….. , trebuind să respecte următoarele două reguli: să spună în loc de numărul care vine la rând BUM! în cazul în care este un număr din şirul lui 7, adică un multiplu de 7, dar şi în cazul când numărul de spus este cu 7, adică are în scrierea sa 7, conţine cifra 7. Practic, vom avea secvenţe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 …, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 …, sau iarăşi 68, 69, bum, bum, bum, …(10 bum-uri la rând), 80 …, sau, pentru cei mai avansaţi, 268, 269, bum, bum, bum, …(11 bum-uri la rând), 281, 282 …

Cine greşeşte iese din joc. Câştigă ultimii doi rămaşi în joc (la doi jucători, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac în cap (fiecare cum îl duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia în urma unor calcule de tipul 84 = 70 + 14 (spun Bum) sau 163 = 2∙70 + 23 (spun numărul), trebuind însă să fiu tot timpul atent şi la cifra 7: 157 = 140 + 17, dar conţine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea că el, la elevii buni, joacă cu următorul supliment: când sunt îndeplinite două criterii de bum, atunci se spune totuşi numărul; de exemplu la 175 sau la 177.

La început jocul se termină repede, dar dacă se va exersa din când în când, elevii încep să meargă tot mai mult, ajungându-se în cazuri bune dincolo de 300. Problema este că şi durata jocului creşte corespunzător. Elevii care au ieşit se plictisesc rău de tot (ar trebui să aibă o ocupaţie, de pildă o fişă de lucru). Astfel jocul este bun în ore din acelea pierdute (sfârşitul semestrului, sau când trebuie să suplinim la o clasă care nu are caietele de matematică). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, când elevii sunt foarte bucuroşi de un astfel de divertisment. CTG

Programa PENTAGONIA (2) – Competenţele

Subiectul competenţelor este unul controversat: toată lumea este de acord că sunt importante, dar puţini cei care chiar le şi folosesc concret. Consider că, la fel ca şi domeniile de conţinut, teoria competenţelor ţine mai mult de metodica şi didactica predării matematicii decât de cuprinderea lor în planificarea profesorului. Este bine să le ai scrise (deci în programă), dar să le tot cuprinzi în planificare, nu ştiu ce efect practic au în modelarea predării.

Există şase competenţe generale: 1. Identificarea unor date, mărimi şi relaţii matematice în contextul în care acestea apar; 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaţionale; 3. Utilizarea conceptelor şi a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice; 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informaţiilor, concluziilor şi demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată; 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date; 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achiziţiilor din diferite domenii.

Problema principală a acestor competenţe este că, pentru a fi cât mai cuprinzătoare, ele sunt exprimate extrem de sofisticat şi alambicat, fiind redactate într-un limbaj mult prea pretenţios, total rupt de limbajul uzual şi de înţelegerea obişnuită. S-ar putea să nu se poată exprima într-un limbaj mai accesibil, dar nu prea cred într-o astfel de variantă (totuşi, nu e chiar teoria relativităţii). Cu alte cuvinte, sunt abstracte şi inaccesibile gândirii obişnuite a profesorului. Ai impresia că la redactarea acestora, s-a amestecat puternic în ceaunul gândirii prea elevate, amestecat cu lingura mare de lemn, ca întrupare fizică pentru renumita “limbă de lemn”. Nişte superspecialişti într-un domeniu abstract şi înalt “ne omoară” cu noţiunile lor teoretice şi cu jargonul lor de specialitate, cu limbajul lor teoreticist şi exprimările lor generalist definiţioniste. Noroc că, din când în când, mai apare şi cuvântul “matematică”, trezindu-ne şi atenţionându-ne că este vorba despre noi. Cu părere de rău scriu aceste rânduri, dar trebuie înţeles că aceasta este impresia creată asupra profesorului de rând.

Care este efectul asupra profesorimii? La fel ca şi alte elemente sofisticate ce ne-au bântuit la redactarea planificărilor de ani buni, şi acestea contribuie din plin la tăbăcirea sufletului nativ doritor de îmbunătăţire a dascălilor, duce la atrofierea disponibilităţii acestora de a-şi însuşi elementele noi, reformatoare, noile directive ce vin de sus prin noile politici educaţionale. Cu alte cuvinte, de atâtea ori profesorii s-au simţit agresaţi în activitatea lor de astfel de cerinţe cărora nu le-au văzut sensul, încât atunci când în sfârşit vin nişte cerinţe cu sens, profesorul de rând le percepe şi le clasifică automat în aceeaşi categorie a inutilităţii, refuzându-le din start. Permiteţi-mi să nu mă mai opresc aici la exemple în acest sens; am scris de multe ori despre cum colegii nu introduc în predarea lor noile cerinţe pozitive ale acestor ani.

Cât despre competenţele specifice, nimic nou. Dau un singur exemplu pentru a-mi susţine părerea asupra inutilităţii cuprinderii acestora în documentele redactate de către profesori, mai exact asupra faptului că nu sunt luate în seamă de către majoritate profesorilor. În clasa a V-a apare: 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configuraţii geometrice. Câţi profesori de matematică aţi văzut în aceşti doi ani intrând la clasa a V-a cu instrumente geometrice şi lucrând cu acestea pe tablă, pentru a le arăta elevilor cum trebuie să facă? Îmi permit să nu mai caut şi alte exemple pentru a-mi sublinia punctul de vedere.

Doresc însă să atrag în final atenţia asupra unui aspect cantitativ: din aproape 5 pagin cât cuprinde partea de clasa a V-a a programei, competenţele specifice ocupă 3 pagini şi o treime (cam 75%). Pe total, cca. 30 de pagini, jumătate reprezintă pasaje legate de competenţe. Nu ştiu cât de serios au fost acestea lecturate, dar se prea poate ca repulsia faţă de ele să se fi transferat şi asupra restului materialului. Lumea este interesată doar de conţinuturi, dar după cum văd că se mişcă treaba după doi ani de la intrarea în vigoare a programei, am impresia că nici măcar Nota de prezentare de la început sau Sugestiile metodologice din final nu au fost lecturate serios sau prea clar luate în seamă. CTG

Programa PENTAGONIA (1) – Domeniile de conţinut

După apariţia Programei noi pentru clasele gimnaziale, în primăvara lui 2017, am încercat o analiză, cu bune şi cu rele, a acesteia. Pe multe aspecte nu le-am ştiut cu certitudine, dar le-am intuit; altele din câte s-au întâmplat ulterior, m-au surprins şi pe mine, unele în sens pozitiv, altele dimpotrivă. Pe cât s-a putut, m-am străduit însă să scot în evidenţă aspectele pozitive şi să sprijin înţelegerea acestora. Unde era de criticat, am preferat să zic mai bine cum fac eu în acel punct. O variantă de critică constructivă mai elaborată ar fi prezentarea unei forme închegate de ordonare a unei “programe”.

Zis şi făcut, sau, mai exact gândit şi scris: nu mi-a fost tare greu să ordonez un astfel de material, pentru că acesta conţine în mare forma în care predau eu, sau în care îmi doresc să predau, argumente în acest sens regăsindu-se în multe din articolele mele. Am lucrat doi ani până acum şi materialul începe să aibă o coerenţă inteligibilă, aşa că m-am gândit să îl prezint pentru prima dată ca eseu, sub acest titlu. Probabil că acest material va reprezenta baza de lucru şi pentru noua programă a şcolilor alternative Waldorf, dar acesta este un alt subiect şi până acolo cine ştie cât mai este.

Aşadar, încep cu această postare prezentarea părţilor deja realizate din Programa PENTAGONIA, ca un eseu în nume personal. Pentru a păstra o formă de postare măcar în parte lecturabilă pe telefoane mobile, materialul din această serie va fi parţial “la vedere”, parţial pe documente PDF anexate, pentru a putea fi lecturate pe ecranul calculatorului. Pentru această postare am ales să vă prezint situaţia domeniilor de conţinut, aşa cum le-am înţeles eu. Domeniile de conţinut din programa oficială 2017 sunt următoarele:

Clasa a 5-a: Numere; Organizarea datelor; – Geometrie

Clasa a 6-a: Mulţimi; Numere;  Organizarea datelor; Probabilităţi; – Geometrie

Clasa a 7-a: Mulţimi; Numere; Algebră; Organizarea datelor; – Geometrie

Clasa a 8-a: Mulţimi;  Numere; Algebră; Funcţii;  Organizarea datelor;  Probabilităţi; – Geometrie

În primul rând, eu nu le înţeleg rostul acestor domenii de conţinut în general. Dar, să trecem peste acest aspect şi să zicem că, pentru a integra totul într-un tabel, era nevoie de coloane suplimentare, aşa că le-au inventat. În acest sens prezenţa coloanei cu domenii de conţinut se integrează “istoric” în lungul şir al diferitelor forme de tabel pentru planificare, forme cu care am fost blagoslovit de-a lungul anilor începând din 1990. Fiecare nouă autoritate ce ajungea la Minister considera că trebuie să schimbe forma planificării. Este ceva similar cu schimbarea bordurilor de către aproape orice primar nou. După părerea mea aceste clasificări în tipuri de domenii ţine mai mult de pregătirea profesorilor şi nu ar trebui să ocupe procente serioase din hârtia folosită pentru planificare. Cărui domeniu de conţinut îi aparţine o lecţie sau un capitol ţine de metodica şi didactica predării. Dar să trecem peste aceste mici nemulţumiri.

Cea mai mare problemă, însă, este faptul că geometria nu are parte de o detaliere similară cu cea a zonei aritmeticii şi a algebrei (adică a matematicii numerelor). Există mulţimi; numere; organizarea datelor; probabilităţi; algebră; funcţii şi apoi mai există geometrie. Părerea mea este că persoana sau grupul care a redactat chestia asta era unul algebrist convins, o persoană sau un grup care nu înţelege clar rostul geometriei. Iar dacă ceea ce scriu eu aici aste adevărat, atunci situaţia este extrem de gravă. Cum să ajungă aşa o “gândire” într-un astfel de post? Gândire şi “raţionamente” de felul acesta au dus şi la eliminarea geometriei sintetice din liceu, înlocuind-o cu geometriile algebrice (vectorială şi analitică).

Sigur că nici includerea algebrei drept un domeniu de conţinut în această listă nu este chiar în regulă, pentru că aici algebra apare cu sensul de calcul algebric nu ca algebră în general. Totuşi, peste această problemă filozofică am trecut (prin ignorare elegantă), sensul cuvântului algebră nereprezentând o situaţie foarte clară în general. Încercând însă să rezolv problema explicitării geometriei pe domenii de conţinut, în această propunere de programă am folosit următoarea împărţire:

Clasa a 5-a: Numere; Numere şi mărimi; – Figuri geometrice; –  Desen geometric

Clasa a 6-a: Numere; Organizarea datelor; Probabilităţi; Mulţimi; – Figuri geometrice; – Construcţii geometrice; –  Demonstraţii

Clasa a 7-a: Numere; Mulţimi; Algebră; Organizarea datelor; – Figuri geometrice; – Construcţii geometrice; –  Demonstraţii; –  Planimetrie

Clasa a 8-a: Mulţimi; Numere; Algebră; Funcţii; Organizarea datelor; – Corpuri geometrice; –  Construcţii geometrice; – Demonstraţii; – Stereometrie

Apar aici câteva cuvinte noi pe care trebuie să le explicitez şi îmi permit să încep de la sfârşit. Planimetria reprezintă măsurarea figurilor plane, anume calculul de arii şi perimetre (2D); în mod similar, stereometria reprezintă măsurarea corpurilor geometrice, anume calculul ariilor şi al volumelor (3D). Desenul geometric din clasa a 5-a reprezintă un preambul deosebit de logic la studiul geometriei. Este un “capitol” găsit în programa şcolilor Waldorf şi pe care îl susţin pe deplin, prezenţa acestuia fiind extrem de raţională şi logică. În principiu, este vorba despre o cunoaştera exterioară, observaţională, venită în principal din partea de manualitate, sprijinită de o strădanie estetică. Nu apar definiţii sau demonstraţii, ci numai titluri şi desene. Desenul geometric se poate face, în principiu, în două feluri: cu mâna liberă, respectiv cu instrumente geometrice. Poate voi mai avea ocazia să vorbesc despre această minunată idee a lui Rudolf Steiner, întemeietorul Şcolii Waldorf, deşi nu este obiectivul meu să vă prezint pe această cale pedagogia alternativă în care lucrez. CTG

Opening Mathematics – Deschiderea matematicii

Matematica îi confruntă pe dascăli cu o întrebare centrală: explicăm matematica – sau îi încurajăm pe elevi să gândească singuri şi să creeze pe această cale  reprezentări proprii, din care se generează  matematica?

Prin explicare dascălul încearcă să transmită elevilor concepte şi metode pre-gătite, adică anterior generate şi dezvoltate. Această abordare a predării matematicii este de obicei folosită ca strategie, pentru a asigura asimilarea de cunoştinţe şi abilităţi la elevi, care sunt considerate ca obligatorii pentru participarea la etape de şcolire ulterioare.

A-i încuraja pe elevi să gândească singuri, le întăreşte însă capacitatea productivă a acestora în a se angaja în propriile tentative de explorare a necunoscutului, cu inerentele căi înfundate sau erori întâlnite, acest drum reprezentând “compost” pentru apariţia şi creşterea ideilor fertile, care cu timpul pot străluci clar în spaţiul imaginativ interior, cristalizând în structuri matematice.

Realitatea structurilor matematice poate fi vieţuită doar prin producerea interioară. “A produce este mai simplu decât a percepe (a primi, a prelua, a pricepe o reţetă?), pentru că a prelua şi a pricepe implică întotdeauna două puncte de vedere, pe când în a produce este nevoie doar de un singur punct de vedere – propriul punct de vedere, cel puţin pentru început. Din acest motiv învăţăceii ar trebui să poată începe cu a produce gânduri”.  Producerea este mai eficientă în dezvoltarea unei înţelegeri matematice reale decât receptarea şi, în plus, eliberează spiritul. (Citat din Peter Gallin, 2011, Matematica ca ştiinţă spirituală. Prevenirea dialogică (prin dialog) a avarierii matematice, Online: www.gallin.ch/Gallin_MathAlsGeistesw.pdf).

Matematica este văzută ca o ştiinţă demonstrativă. Dar acesta este doar unul dintre aspectele ei. Matematica terminată, în forma ei finalizată (*), apare ca pur demonstrativă, constând doar din demonstraţii. Dar matematica în devenire, în faza sa de producere, se aseamănă cu orice alt fel de cunoaştere umană, în faza de generare. O teoremă matematică trebuie mai întâi ghicită, înainte de a fi demonstrată; trebuie să intuieşti o demonstraţie înainte să o efectuezi până în detaliu. Trebuie să combini observaţii şi să urmăreşti analogii; trebuie să încerci din nou şi din nou. Rezultatul muncii creative a matematicianului este raţionamentul demonstrativ, este o demonstraţie; dar demonstraţia este descoperită prin raţionament plausibil, prin ghicit. Dacă învăţatul matematicii ar trebui să reflecte într-o oarecare măsură inventarea acesteia, atunci trebuie să fie lăsat loc şi pentru ghicit (**), pentru deducţia plauzibilă.” (George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile, Princeton 1954***).

Este bine cunoscut că Rudolf Steiner a propus ca matematica să fie abordată de la întreg la părţi (de pildă 12 = ?), în loc de a porni de la părţi, care apoi să fie asamblate într-un întreg (de pildă 5 + 7 = ?, ca abordare tradiţională şi încă actualmente foarte utilizată). Luând întregul ca punct de plecare, întrebările sau problemele matematice se transformă în întrebări deschise. În loc de a-şi propune să-l direcţioneze pe elev spre un anume răspuns, această abordare crează o deschidere către multe răspunsuri şi rezolvări posibile. Didactica modernă a predării matematicii susţine că folosirea întrebărilor deschise este mult mai revigorantă decât a da elevilor întrebări închise cu doar un răspuns corect. Întrebările deschise stimulează “jucatul” cu o problemă şi conduc pe drumul speculativ-meditativ al gândirii în procesul ei de cercetare inventivă, spre răspunsuri ce pot fi comparate şi discutate.

Opening Mathematics doreşte să încurajeze pedagogi Waldorf din toată lumea, a acorda mai multă încredere elevilor prin punerea de probleme deschise. Pentru mai multe resurse accesaţi site-ul opening-mathematics.net. Vă încurajăm să participaţi şi să vă împărtăşiţi propriile experienţe cu întrebări deschise din întregul Curriculum de matematică al şcolilor Waldorf (clasele 1 – 12/13).

Împărtăşind îi puteţi ajuta, inspira, chiar încuraja şi pe alţii în autodezvoltarea predării. Prin schimbul de experienţe se poate creea o imagine cuprinzătoare despre practica şi înţelegerea educaţiei matematice în şcolile Steiner/ Waldorf. Experienţele şi reflecţiile primite vor fi colectate şi analizate, apoi postate în vederea studiului posibilităţilor existente şi  aprofundării înţelegerii acestora de către profesori.

Întregul text de mai sus, cât şi imaginea respectivă, sunt preluate din pliantul de prezentare Opening Mathematics din cadrul campaniei WALDORF 100 – LEARN TO CHANGE THE WORLD, o companie de celebrare a unui centenar de la înfiinţarea primei şcoli Waldorf în toamna lui 1919 la Stuttgart în Germania. Mai multe puteţi afla la adresa waldorf100@opening-mathematics.net. Traducerea materialului reprezintă un amestec optimizat între pliantul în limba germană şi pliantul în limba engleză. Mulţumesc pe această cale d-lui Detlef Hardorp (matematician şi fost profesor de matematică în şcoală Waldorf), de la care am primit aceste pliante, cât şi permisiunea explicită de traducere. Alături de dânsul, ceilalţi colegi care conduc echipa de evaluare a propunerilor sunt Aziza Mayo şi Daniel Jaeger. Traducerea de mai sus reprezintă primele două pagini ale pliantului. A treia pagină cuprinde o serie de 7 întrebări ce trebuie urmărite de către persoana ce propune, echipa de lucru, cât şi adresa unde se pot trimite propunerile (de găsit la adresa de mai sus). Este evident că materialul de faţă are în vedere toţi dascălii care predau matematica, atât învăţătorii cât şi profesorii de matematică.

Note explicative la traducere: (*) – în lucrările sale prof. Eugen Rusu vorbea despre “matematica rezultat”, adică matematica organizată în formă de curs gata de predat, în opoziţie cu “matematica proces”; (**) – este vorba despre ghicitul intuitiv, bănuit, sesizat, nu ghicitul la întâmplare (original engleză: guessing; germană: Erraten). (***) Lucrarea lui George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile este publicată şi în română la Editura ştiinţifică, 1962. Pasajul de mai sus este preluat din prefaţa volumului I, volum ce poartă subtitlul Inducţia şi analogia în matematică (volumul II poartă subtitlul Scheme de interferenţe plauzibile). Citatul de mai sus din această carte este tradus de mine. Pentru cei care doresc să-l aprofundeze, ofer acest citat şi în varianta din cartea în româneşte (traducător Radu Theodorescu), împreună cu o parte din aliniatul premergător (pag.8):

Este unanim cunoscut că matematica ne oferă o minunată ocazie de a învăţa modul de raţionament demonstrativ, dar afirm, de asemenea, că în programele analitice obişnuite ale instituţiilor de învăţămînt nu există un obiect care să ne ofere un prilej tot atît de bun pentru a învăţa raţionamentul plauzibil. Mă adresez tuturor celor care studiază matematica, pe cea elementară sau pe cea superioară, şi care sînt intersaţi să şi-o însuşească, şi le spun: Desigur, vom învăţa să demonstrăm, dar vom învăţa, totodată, să intuim, să ghicim. (…)

Matematica este considerată ca o ştiinţă demonstrativă. Aceasta este însă numai una dintre laturile ei. Matematica expusă într-o formă închegată se prezintă ca o ştiinţă pur demonstrativă, constînd numai din demonstraţii. Însă în procesul de formare, matematica seamănă cu toate celelalte cunoştinţe umane aflate şi ele în acest proces. Trebuie să intuiţi o teoremă matematică înainte de a o demonstra; trebuie să intuiţi ideea demonstraţiei, înainte de a o efectua în toate detaliile ei. Trebuie să combinaţi observaţii şi să urmăriţi analogii; trebuie să încercaţi şi iarăşi să încercaţi. Rezultatul muncii de creaţie a matematicianului este un raţionament demonstrativ, o demonstraţie; însă demonstraţia se dezvăluie cu ajutorul unui raţionament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Dacă predarea matematicii reflectă, în vreun grad, modul în care se creează matematica, atunci ea trebuie să facă loc ipotezei, inferenţei plauzibile.

Titus Grigorovici, Liceul Waldorf Cluj

Antiprisma

Pe elevi îi putem face să gândească dându-le sarcini neobişnuite, puţin pregătite, în care valoarea de gândire necesară de adăugat de către elev să fie consictentă, dar accesibilă dacă elevul este binevoitor. Dacă această valoare a gândirii necesară de adăugat este însă prea mare, elevul nu va îndeplini sarcina, va veni cu tema nefăcută sau făcută de altcineva acasă, respectiva încercare reprezentând astfel doar “un cartuş irosit” care nu şi-a atins ţinta. Acelaşi lucru se va întâmpla şi dacă sarcina este uşor de găsit pe internet.

În ultima vreme, atât eu cât şi soţia mea am lucrat şi propus un opţional la clasa a 7-a despre studiul ludic manufacturier al corpurilor geometrice. Cursul are ca obiectiv principal împrietenirea elevilor cu corpurile geometrice, cu geometria 3D, deschizând astfel interesul şi preocuparea pentru materia din clasa a 8-a. Iar la cursul acesta toţi elevii pot lucra. Concret, elevii trebuie să confecţioneze diversele corpuri studiate, prezentate intuitiv şi superficial schiţate şi descrise pe tablă, luate desigur cât mai mult din cultura vieţii de zi cu zi. Toţi ştiu ce-i acela un cub, o piramidă patrulateră etc. Sarcina la fiecare corp este de a-l proiecta în minte, apoi de a-i construi singur desfăşurarea cu intrumentele geometrice pe un carton potrivit şi în final de a-l asambla ca şi corp. Sunt sigur că mulţi elevi fentează, mai ales la primul pas, dar sunt şi destui care lucrează cinstit.

Un caz special s-a întâmplat anul acesta când am simţit că elevii doreau o provocare mai specială. Atunci “am scos din joben” o antiprismă. Corpul acesta nu dă niciodată greş, trezind instant curiozitatea majorităţii clasei: o antiprismă? Ce-i aia??? Produce aceeaşi fascinaţie a fructului interzis ca şi aplicaţiile în care apare numărul 666.

Deci, ce-i aia? Să analizăm cazul unei prisme patrulatere: are tot două baze pătrate, doar că cele două baze sunt răsucite una faţă de cealaltă cu o jumătate de tură, adică în acest caz cu 45o, astfel că un colţ al bazei de sus este situat deasupra unei laturi a bazei de jos şi invers, o latură a bazei de sus este situată exact deasupra unui colţ al bazei de jos. În paralel cu aceste explicaţii încercam să schiţez ce vorbeam pe tablă.

Cum sunt în acest caz feţele laterale? Aici câţiva elevi deja începeau să vadă, săreau cu mâna sus şi explicau stângaci, în felul lor, ce înţeleg ei că se întâmplă. Apoi descriam eu mai ordonat în timp ce desnam pe tablă: feţele laterale sunt nişte triunghiuri isoscele situate alternativ, unul cu vârful în sus şi baza în jos, următorul cu baza sus şi vârful în jos ş.a.m.d. Desigur că se pot încerca şi antiprisme triunghiulare, hexagonale sau octogonale.

Corpurile obişnuite sunt facile de înţeles şi de gândit, nereprezentând o provocare în sine. Acestea reprezintă de obicei doar “terenul de manifestare” a altor fenomene matematice prezente în teorie sau probleme. Dimpotrivă, simţim că realizarea unui corp special cum este antiprisma reprezintă o provocare în sine. Ce-i drept, este o provocare de un fel aparte (gândire practică spaţială, de proiectare cu accente manufacturiere), ce nu se cere şi la examen, dar care face clar parte din gândirea matematică. Alte tipuri de corpuri din acestea “ciudate” ar fi corpurile perfecte-platonice (celelalte, adică octaedrul, icosaedrul sau dodecaedrul, care sunt uşor de găsit pe net) sau corpurile semiperfecte-arhimedice (trunchiul de cub sau de tetraedru etc.).

Revenind la antiprismă, desfăşurarea unui astfel de corp nu o mai găseşti aşa uşor pe internet (antiprisma apare ca formă de cristalizare în chimie, la minerale?), nimeni de acasă nu te poate ajuta, nici chiar profesorul din particular (unde este cazul), şi aici vedem cu adevărat care elev gândeşte şi cât de eficient gândeşte. Sunt atât de frumoase mesajele primite de acasă în aceste situaţii: Ne-aţi rupt! N-am ştiut să-l ajutăm pe copil, dar am văzut cu uimire că s-a descurcat. Să ştiţi că el l-a făcut singur. Vă prezint în final corpul cel mai reuşit din acest an, rezultatul muncii migăloase a unei eleve dragi. Felicitări din tot sufletul! CTG