Suma lui Gauss (3) – Lecţia la clasă

De foarte mult timp am vrut să mă ocup de acest subiect (părţile 1 şi 2 au fost postate încă din vara lui 2017, dar acestea au fost doar elemente suplimentare la lecţia în sine). Iată că i-a venit vremea şi acestei teme, aşa că haideţi să analizăm ce ar fi de spus despre acest subiect. În primul rând, daţi-mi voie să vă prezint cum predau eu această lecţie, undeva în prima parte a semestrului I din clasa a V-a, pe post de buton de start al noii matematici adusă de către profesor, profund diferită şi desigur mult mai complexă, mai bogată decât cea practicată cu d-na învăţătoare (rog cititorul a evita o înţelegere a acestor afirmaţii drept o îngâmfare, o atitudine de superioritate a unui profesor faţă de d-le învăţătoare; am vrut doar să accentuez că învăţătoarele trebuie să practice la vârstele respective un anumit fel de gândire matematică, pe când profesorul trebuie încet să facă trecerea spre un cu totul alt fel de gândire).

Următorul material, lecţia în sine, este pentru mai multe ore, fiind un material deosebit de complex. Concret, ce veţi vedea reprezintă lecţiile de matematică din trei zile consecutive, predate în sistem de problematizare, cca. 75 minute în fiecare zi (în sistemul Waldorf există aşa ceva).

Lecţia începe, total nepregătir, cu o cerere surpriză: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10 (toate numerele de la 1 la 10). Elevii se pun pe socotit şi în curând răsar primele mânuţe ridicate. După ce s-au mai anunţat câţiva, le dau cuvântul şi printre răspunsuri apar multe răspunsuri de 55 (alături de altele greşite, cum ar fi şi 45: cred că l-ai uitat pe 10).

Urmează o a doua întrebare: Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 20. Elevii se pun iar pe socutit, dar treaba merge mult mai greu acum. De la o clasă la alta se poate întâmpla să primim câteva răspunsuri corecte de 210 sau nici măcar unul. După ce analizăm răspunsurile, încerc să le explic copiilor cât mai pe înţelesul lor faptul că este necesară o nouă abordare, diferită de simpla adunare (pe care ei o denumesc “în turnuleţ”).

În acest sens, o abordare foarte simplă ar fi cu o reprezentare “grafică” a numerelor, prin înşiruire de punctuleţe (ca nişte ghirlande). Vedeţi în prima imagine cum se pot reprezenta toate numerele de la 1 la 20, cât şi cum pot fi grupate acele “mărgeluţe”, astfel încât să se cristalizeze un model “comportamental” al acestora (pregătiţi-vă pentru o mică-mare văicăreală în urma desenatului atâtor punctuleţe).

La următoarele sume (între timp am început să le notez S10, S20 etc.) nu am mai reprezentat fiecare număr cu punctuleţe, ci am reprezentat doar grupările pătrate de 100 şi cele triunghiulare de 55. Cu această metodă putem urca până pe la S50, după care şi această reprezentare devine deranjantă (sigur, s-ar putea studia cum evoluează numărul de triunghiuri de 55 şi numărul de pătrate de 100, dar nu am avut timp de aşa ceva; pentru elevii foarte doritori s-ar putea da ca “temă de cercetare”, acum sau mai târziu, dar eu urmează să introduc numerele figurate triunghiulare de abia mai târziu).




Cam aceasta a fost prima oră, iar în ultima poză de mai sus găsiţi analiza de a doua zi a temei pe care au avut-o de făcut. De la aceasta se poate merge şi pe o linie de dezvoltare a reprezentărilor tot cu punctuleţe, dar eu am preferat să avansez înspre metoda cunoscută (care oricum, are avantajul că nu-i mai chinuie pe elevi cu desenarea atâtor punctuleţe). Pentru început, le prezint elevilor o variantă mai infantilă a obişnuitei metode de calculat suma S100. Există specialişti care spun că o minte de copil ar fi adunat natural 1 cu 99, apoi 2 cu 98 etc., adică 49 de sute şi încă una de la sfârşit, plus 50-ul de la mijloc. Se prea poate că aşa să fi adunat elevul Gauss. Apoi le arăt forma maturizată a metodei, cea cu adunarea lui 1 cu 100, a lui 2 cu 99 etc., care duce la 50 de perechi cu valoarea de 101.

Ce întrebare urmează? Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 1000, adică S1000. Aici fac o scurtă pauză în vorbire, cât să apuce să digere scurt sarcina,după care vin cu o completare: Cine este destul de vigilent, poate da rezultatul direct, fără calcule. Cel care se prinde “de poantă”, acela trăieşte o fericire mare. La trecerea de anul acesta, un elev a intuit răspunsul şi vă pot spune că, măcar un sfert de oră “a bătut foarte intens soarele” din acea zonă a clasei! Respectivul elev m-a chemat să văd răspunsul bănuit, i-am arătat un like!, dar i-am cerut să şi calculeze prin metoda nou învăţată, pentru a confirma răspunsul.

Cei mai mulţi s-au apucat să lucreze după model, după două-trei minute am scris şi eu pe tablă, apoi am rezolvat şi următorul exerciţiu (S10000), şi doar după aceea am cristalizat într-o scurtă recapitulare “modelul comportamental” al acestor rezultate (the pattern, pe engleză). În această scurtă analiză am mers desigur încă doi paşi în mod intuitiv, dând rezultatele sumelor până la 100.000 şi până la 1.000.000, fapt care este profund impresionant pentru elevi (elevii au dictat aceste răspunsuri, în urma scrierii primelor patru sume; între timp “se prinseseră” cei mai mulţi despre cum evoluează rezultatele acestea).

Pe fondul entuziasmului general am plusat cu o nouă “metodă”, spunându-le că eu am la această metodă impresia unui briceag: ne putem imagina toată suma împărţită “în două” pe la mijloc şi împăturită ca un briceag. Elevii reacţionează cu bucurie la această idee, cei mai mulţi reuşind să “vizualizeze” în minte această mişcare de împăturire. Aşadar am numit-o pe aceasta metoda briceag.

O idee similară am găsit-o demult într-o carte veche nemţească. Se vorbea acolo despre metoda stadion, prin stadion înţelegând forma stadioanelor apărută în Grecia antică, constând din două linii drepte unite de o singură turnantă (ce legătură are unitatea de măsură numită stadiu cu acest tip de stadion?). Şi această metodă le place elevilor, fiind o nouă imagine posibilă pentru vizualizarea fenomenului comportamental al numerelor din această etapă de rezolvare a Sumelor Gauss.

La temă am rezolvat primul exerciţiu în clasă (l-au rezolvat elevii, iar apoi l-am scris şi eu pe tablă, ca model). Din păcate, nu am fost atent şi am ales tocmai S36, care dă chiar “maleficul” 666. Părerea mea este că acest exemplu ar trebui evitat la clasele mici, meritând a fi lăsat ca surpriză pentru finalul clasei a VIII-a, unde îl căutăm din “partea cealaltă”, rezolvând o ecuaţie de gradul II pornind chiar de la “numărul bestiei” (am tratat acest subiect în postarea http://pentagonia.ro/matematica-biblie-suma-lui-gauss-1/). Consider că aceste informaţii sunt mult mai potrivite pentru elevii de peste 14 ani decât puiuţilor de a V-a.

La sfârşitul acestei de-a doua ore le-am atras atenţia elevilor că la începutul primei ore am făcut sublinierea pentru titlu, dar nu am scris efectiv unul. Care ar fi titlul acestei lecţii? E clar: Suma lui Gauss, şi toată lumea a răsfoit înapoi şi a scris titlul în locul rezervat la început.

La începutul celei de-a treia ore, la verificarea temei, le-am atras atenţia că toate sumele de la temă au fost “sume pare”, adică sume de la 1 până la un număr par. Analizând şi încercând “să optimizăm procedura” pe exemplul lui S48, am văzut că am înmulţit succesorul lui 48 cu jumătatea lui 48 (metoda briceag sau metoda stadion ne ajută la vizualizarea clară a ideii de jumătate).

Ce se întâmplă însă dacă vom lua o sumă impară? Spre exemplificare am luat una mai greu accesibilă minţii obişnuite a elevului de clasa a V-a, anume S157. Celor mai mulţi le-a venit foarte greu să depisteze care număr stă singur (adică desperecheat) pe turnantă. Eu nu am considerat că merită să ne afundăm cu toată clasa în lămurirea acestei întrebări. Dimpotrivă, am decis că această metodă este prea grea şi, bazându-ne pe acest verdict ca pretext, am “hotărât” că merită să căutăm ceva mai uşor pentru sumele impare (suma S2020 de la baza imaginii următoare a fost scrisă mai târziu şi nu trebuie citită în acest moment al lecţiei).

În acest moment am scos o nouă metodă din “jobenul de magician matematic”, anume metoda dublării: luăm suma impară de două ori, a doua oară scrisă de la ultimul număr la primul, obţinând astfel 157 (scrise cu roşu) de perechi cu valoarea de 158 (scrise cu verde). Obţinem astfel dublul rezultatului, iar la sfârşit trebuie doar să împărţim la 2 pentru a obţine S157. Este evident că această metodă funcţionează şi la sume pare.

Analizând pe un nou exemplu (S87) ce am făcut de fapt, vedem că am înmulţit ultimul termen al Sumei Gauss (87) cu succesorul său (88) şi am împărţit la 2. Putem astfel cristaliza metoda generală scrisă ca formulă, cunoscuta Sn = n ∙ (n + 1) : 2. Păstrând la generalizare pe aceleaşi poziţii culorile, elevii au un sprijin suplimentar în înţelegerea raţionamentului acestei formule. (în urma acestui moment am scris şi exemplul rezolvării cu această reţetă pentru o sumă pară, luând cazul S2020, având locul liber alături, în poza precedentă)

Aceasta a fost prezentarea pe scurt a lecţiei desfăşurată pe parcursul a trei ore (aşadar în trei zile succesive). A treia zi s-a încheiat în mod spectaculos cu citirea poveştii despre întâmplarea de la care a pornit totul, momentul când elevul Gauss a avut ideea de a calcula în cap S100 la clasă. Pentru asta mi-am rezervat ultimul sfert de oră din a treia oră şi, pe o linişte deplină, le-am citit elevilor cu intonaţie şi variaţii de ton întreaga poveste şi dialogul dintre Gauss şi învăţător. Găsiţi această poveste în postarea http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ (le citesc doar povestea până la plecarea elevului Gauss la Gimnaziu). Pe elevi îi impresionează puternic duritatea învăţătorului, realizând o conectare şi mai puternică din punct de vedere emoţional cu subiectul acestei lecţii şi cu personajul principal, un elev foarte deştept cu care mulţi s-ar identifica.

*

Să analizăm în continuare câteva aspecte metodice ale lecţiei în această formă. În primul rând, vedeţi că lecţia constă dintr-o colecţie de metode de calcul a Sumei Gauss, ordonate de la mic la mare, de la intuitivul figurat la abstractul unei formule. Astfel, mintea şi gândirea elevului sunt îndrumate pe o cale formată din paşi accesibili, urcând încet pe acest drum al abstractizării. Elevii care colaborează la acest proces sunt învăţaţi – încet dar sigur – să gândească, nu doar să-şi însuşească un mod străin de a rezolva o anumită sarcină. Ei sunt îndrumaţi pe parcursul acestor trei zile să privească din varii puncte de vedere asupra unei singure probleme, prezentă în diferite cazuri particulare, având astfel posibilitatea de a se împrieteni într-adevăr cu aceasta, prezenţa unui personaj copil în acest “film” ajutând puternic la “împrietenirea” elevilor cu Suma lui Gauss.

Pornirea la această mega-lecţie o am de la soţia mea, care a intrat la un început de an şcolar în prima oră la o clasă a V-a, după o oră la o clasă a XI-a, stresată şi fugărită în perioada când toată mintea îi era plină de făcutul orarului. Intrând în clasă şi văzându-i pe cei mici cu ochii mari şi speriaţi de “tanti asta aşa de avântată”, s-a frânat în avântul ei de profesoară de liceu (de câţiva ani preda doar la clase de ştiinţe), şi a exclamat: vai ce mici sunteţi!, după care, încercând să coboare la nivelul lor, a “scos” această sarcină: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10., apoi următoare etc. Seara, acasă, mi-a povestit şi aşa am preluat şi eu această foarte bună pornire, dar nu o fac în prima oră, ci după o scurtă cunoaştere de câteva ore (de pildă sub forma unei recapitulări a operaţiilor de bază, urmată de o minimă testare iniţială). Această pornire este foarte potrivită deoarece se conectează cu nivelul minim al elevilor după ciclul primar (S10), dar vine repede şi cu promisiunea unor elemente de gândire superioară (S20 etc.). În prezentarea de la începutul acestui eseu am folosit intenţionat cuvântul socotit pentru că la această vârstă elevii chiar socotesc din tot sufletul.

Căutarea unor metode mai eficiente decât simplul socotit (în ordinea scrierii numerelor) începe imediat, deoarece deja de la S20 mulţi elevi încep să greşească. Reprezentarea grafică, figurativă a numerelor ne duce probabil spre cea mai elementară formă de studiere a modelelor comportamentale ale acestor numere. Metoda îmi aparţine (dar nu cred că-i o mare invenţie), iar gândul ce a stat la bază a fost de a vizualiza fenomenul cât mai intuitiv.

Majoritatea celorlalte metode etalate în continuarea lecţiei sunt găsite în diferite cărţi vechi (româneşti sau din Germania) şi regret mult că nu le-am notat la vremea respectivă astfel încât să pot oferi surse clare (dar sigur nu îmi aparţin, cu excepţia acelei scurte idei de “briceag”, ca formă intuitivă pentru plierea sumei în două). Îmi aparţine însă în totalitate ideea de ordonare a acestei colecţii de rezolvări într-un mod crescător, în ordinea eficienţei rezolvărilor, etalând astfel în faţa elevilor un mic drum iniţiatic în ale gândirii matematice. În Şcoala Waldorf am găsit ideea de îndrumare spre o predare artistică, iar ceea ce am prezentat aici cred că poate fi caracterizat ca atare: această lecţie creează impresii profunde asupra elevului, aşa cum trebuie să genereze orice act artistic. Ca motto al acestei prezentări s-ar potrivi astfel vorbele D-nei Margareta Pîslaru: artistul este un creator (din emisiunea La Radio a  Andreei Esca, de sâmbătă 26 oct. 2019, de la Europa fm)

Creşterea nivelului de gândire într-un mod neaşteptat de puternic are asupra elevilor un efect covârşitor. Faptul că putem urca atât de repede pe această scară a sumelor, în paşi pe care ei îi pot cuprinde cu gândirea, aceasta îi impresionează puternic. Despre aceasta este vorba când se spune “predare artistică” a matematicii: avem “un film” al acţiunii care vine – într-un ritm accesibil, dar oricum mai alert decât în clasele primare, cu noi şi noi idei şi metode în jurul aceluiaşi “personaj matematic”, Suma lui Gauss, personalizată efectiv de imaginea elevului Gauss din clasa I. Faptul că în a doua oră suntem în stare să prezicem cu certitudine suma tuturor numerelor până la un milion – aceasta este o realizare pur şi simplu uimitoare pentru oricine.

Un alt aspect, avut în vedere de la început, este folosirea scrierii cu … (cu “puncte-puncte”), acolo unde ne dăm seama despre ce succesiune de numere avem, însă nu vrem sau nu putem scrie toate aceste numere. Din când în când mă opresc din pledoaria şi dialogul lecţie şi întreb clasa sau pe vreun elev anume câte numere sunt în această sumă?; nu de puţine ori răspunsul îmi arată că el “vede” doar numerele scrise fizic în acea sumă, neconştientizând că acolo mai sunt şi alte numere subînţelese în zona de “puncte-puncte”. Trebuie să punem des aceste întrebări pentru a ne asigura că mintea lor face pasul necesar spre abstractizarea scrierii şi că vom avea cât mai mulţi elevi care nu generează o frică “patologică” de exerciţiile cu “puncte-puncte”. Din păcate, experienţa îmi spune că peste tot rămân “victime” în urma acestui proces, elevi care nu au reuşit să facă acest pas de abstractizare, care nu s-au împrietenit cu ideea că multe numere nu sunt scrise dar trebuie să le gândim, elevi la care se declanşează automat spaima când văd un exerciţiu cu “puncte-puncte”.

Un alt moment dificil îl reprezintă depistarea termenului din mijlocul Sumei lui Gauss la o sumă impară (pe exemplul concret de la ora prezentată, la S157). Elevilor le vine foarte greu să găsească singuri, nepregătiţi, acest număr, iar eu folosesc respectiva stare generală pentru a cauza trecerea la o nouă metodă, una mai eficientă pe drumul către sintetizarea formulei generale.

Am numit-o pe aceasta metoda dublării (nu ţin minte dacă avea sau nu vreun nume acolo unde am văzut-o cu cca. 20 de ani în urmă). Atenţionez încă o dată asupra importanţei folosirii culorilor pentru a îndruma gândirea elevilor şi acasă când s-ar mai uita pe lecţie asupra diferitelor numere şi a jocului dintre acestea. Această metodă confirmă ceea ce am intuit deja la precedentele, iar în urma analizei acesteia putem sintetiza reţeta generală (înmulţim ultimul număr cu succesorul său şi împărţim la doi).

Un ultim pas îl reprezintă scrierea matematică a acestei reţete, folosind numărul general n (formula cunoscută). Din acest moment lecţia poate intra pe făgaşul cunoscut de către toată lumea. Eu personal m-am oprit în acest moment, nu am mai făcut nici măcar un exemplu, ci am trecut la cititul poveştii, lăsându-i pe elevi să “savureze” impresiile de gândire ale drumului parcurs (impresiile “filmului”).

În urma acestui proces de gândire putem trece la lecţia despre proprietăţile adunării: comutativitatea şi asociativitatea, adică la posibilitatea de a efectua adunarea termenilor unei sume după bunul plac. Această posibilitate a fost intens şi natural observată în metodele de calcul la Suma lui Gauss, iar pentru elevi aceste proprietăţi vin în mod natural şi evident.

La clasă voi reveni mai târziu la subiectul Sumei lui Gauss, cândva după ce voi fi studiat noţiunea de multiplu şi factorul comun. Atunci voi adăuga acestui drum două noi etape. Prima va fi o etapă aplicativă: ne vom aminti de formulă şi vom face cât mai multe exemple (cu temă corespunzătoare). Într-o a doua etapă vom putea calcula şi suma primelor n numere pare (nenule*) sau în general suma primilor multipli (nenuli *), desigur şi suma primelor n numere impare. (* remarcile respective sunt pentru cei hiper-pedanţi în ale limbajului matematic: ştiu să vorbesc şi aşa, dar în general nu o fac pentru a nu încărca textul; desigur că condiţia de nenul poate fi abandonată ş.a.m.d.)

Colecţia de “rezolvări” ale Sumelor Gauss nu se încheie aici: după învăţarea operaţiei de putere şi a ridicării la pătrat vom studia numerele figurate, iar atunci, anume la numerele triunghiulare vom constata că acestea sunt doar o reprezentare grafică a numerelor de tip Sumă Gauss. Cu ajutorul acestora vom putea da şi o variantă grafică la metoda dublării, arătând vizual cum se obţine formula respectivă (de pildă, suma S10 reprezentată la început cu punctuleţe în forma acelor triunghiuri cu valoarea 55 poate fi dublată în forma unui dreptunghi din punctuleţe cu laturile de 10 respectiv 11 punctuleţe, deci cu un total de 110 punctuleţe).

Închei amintindu-vă că subiectul Sumei lui Gauss a fost tratat în mod surprinzător şi de către jurnalistul şi scriitorul Cristian Tudor Popescu într-o emisiune la televizor (digi 24, 23 mai 2019), dânsul încercând să explice că înţelegerea unui proces de gândire precum calculul sumei S100 dezvoltă în om o capacitate superioară de gândire, care apoi îi va folosi toată viaţa, inclusiv în situaţii de a lua decizia în legătură cu o participare la vot (din păcate filmarea emisiunii sugerată în postarea din iunie a fost restricţionată şi nu mai este accesibilă publicului larg). Depinde doar de noi dacă dorim să folosim ocazia acestei lecţii pentru antrenarea capacităţilor superioare de gândire, sau dorim doar să bifăm rapid o nouă  lecţie, dând rapid şi concis formula şi exemplele de aplicare.

Da, şi uite-aşa am încălecat pe-o şa şi v-am spus o poveste de cinci pagini, uite-aşa. Cred că acum se înţelege de ce am amânat atât de mult redactarea şi prezentarea acestei teme (text redactat în weekend-ul 25-27 0ct. 2019). Cu respect şi fără pretenţia de a da lecţii altora, CTG.

Observaţii la începutul anului 3 (după noua programă)

Următoarele rânduri ne-au fost trimise drept comentariu la articolul Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor din ………2017. Redau comentariul întreg pentru că merită fiecare cuvânt. Mulţumesc! CTG şi QED

*

Observații la începutul anului 3 (după noua programă) 🙁

Mulțimi, segmente, unghiuri, divizibilitate și ecuații -clasa a VI-a.
Am stat mai bine de o lună la mulțimi, având o clasă medie, care nu a făcut nici o conexiune cu noțiunile predate în clasa a V-a.
La segmente și unghiuri am luat-o de la început ( sunt mulțimi de puncte, cu notații și tot meniul asociat, nu-i așa?), fără posibilitatea de a rezolva civilizat multitudinea de ecuații aferente.
Metodele aritmetice erau foarte bine predate de către învățători, acceptate și însușite de către elevi (fără exagerări, sume Gauss sau metoda ”algebrică”). Acum elevii intră în gimnaziu cu un bagaj matematic … extrem de modest, dar cu EN II și cu EN IV trecute cu succes!
Teorema lui Pitagora a devenit șarpele acestei programe.
Materia clasei a VII-a este extrem de lejeră, avem timp până și pentru jocuri didactice, În clasele V-VI nici vorbă de așa ceva (goana după olimpici).
Greul a rămas … pentru clasa a VIII-a.
Despre evaluare și mai ales despre Evaluarea națională din 2021 nu vorbește nimeni. Curriculum fără evaluare … nu există.

Poate nu am înțeles eu prea bine noua programă, dar am pierdut o groază de timp ! … A, peste trei săptămâni dăm teza. Atât.

Bravo, cu felicitări!

              

*

P.S. Merită evidenţiat un aspect surprins în acest comment, anume faptul că învăţătoarele puseseră la punct o formă de predare a problemelor de aritmetică care funcţiona de  bine, de rău, pe când profesorii au fost luaţi cu totul prin surprindere cu acestea. Profesorii n-au mai predat a metodele aritmetice de rezolvare a problemelor în ultimii peste 30 de ani, aşa că nu le stăpâneau. În plus mai este şi stilul de predare, inclusiv viteza, profund diferite de la învăţătoare la profesori. Cât despre EN trecută cu succes, dar cu un bagaj matematic modest, se repetă fenomenul din anii tezelor unice. Când vor înţelege cei care conduc matematica din România că primul moment când se poate da o EN fără urmări negative este la sfârşitul clasei a VIII-a? Când nu vor mai face experimente pe evaluarea elevilor?

Ce-nţeleg elevii noştri?

Uneori găsesc în caietele elevilor elemente atât de edificatoare despre cât de puţin înţeleg aceştia din ora de matematică (a mea sau a altor colegi) încât mă crucesc. Iată două exemple în acest sens: dintr-o singură lecţie, dar de la doi elevi diferiţi din şcoli diferite. Sunt convins că recunoaşteţi lecţia. Titus Crucitus

P.S. Oare lecţia să fie de vină, pentru că este prea abstractă pentru mulţi elevi?

Impardonabil

De curând am primit următorul comentariu la o postare din 2017:

In articolul dumneavoastra din octombrie 2019 , doua greseli impardonabile pentru un doritor sa invete pe altii :
– tabelele cu impartiri care au inundat “piata” nu sunt (o) tabla a impartirii! Nu exista o tabla a impartirii!!! Exista doar o tabla(patratica) a inmultirii , atribuita lui Pitagora,tabla dupa care se fac /se invata si impartirile!!!
– reprezentarea prin segmente a numerelor cunoscute si necunoscute si arelatiilor dintre ele se numeste corect :metoda figurativa! Metoda grafica – ati pomenit de ea- se invata incepand cu clasa a 7-a! Pentru lamuriri consultati singurul ghid aprobat de M.E. Matematica Ghidul invatatorului, editura Lucian.

Nu voi intra într-o polemică cu autorul acestor rânduri, deşi tare „mă mâncă buricele degetelor” să o fac (de pildă, să caut prin grămăjoara de cărţi de acasă în câte feluri au fost denumite, de-a lungul anilor, diferitele metode de rezolvare aritmetică a problemelor; sunt oricum mult mai variate decât sunt probabil în unicul şi irepetabil ghid mai sus menţionat). Doresc doar să-i mulţumesc colegei/colegului (oricine o fi acesta) pentru confirmarea teoriei mele despre precauţia autorilor de programă care au mutat problemele de aritmetică în clasa a 5-a, neexplicând mutarea pentru a nu jigni pe cineva (care – după cum se vede – ar putea sări în sus ca o bombă americană). Şi, oricum, e foarte bine că metoda grafică nu mai este în programă – ştiţi, aia din clasa a 7-a, ba nu, că din a 8-a – la alunecarea înapoi în a 7-a a sistemelor de ecuaţii.

Nu este prima dată când m-am confruntat la colegi cu această atitudine plină de o pedanterie excesivă a limbajului, o atitudine super îngâmfată cu pretenţia de atotştiutor. De pildă, când mă pregăteam de apariţia culegerii de geometrie, în primăvara lui 2006, o persoană foarte dragă mie, care a citit textul pentru a căuta eventuale greşeli (adică, după corectură), m-a anunţat „verde-n faţă” că culegerea este plină de greşeli! Cât de plină putea să fie, de vreme ce o corectaserăm noi în două rânduri (atât eu, cât şi soţia)? Ne-am aşezat la masă şi să vezi greşeli: era considerată o greşeală impardonabilă „determinaţi înălţimea triunghiului”, exprimarea „corectă” fiind „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” (şi multe altele de acelaşi fel).

Asta se întâmpla în 2006, iar singurul aspect cu adevărat impardonabil este faptul că mai există în ziua de azi indivizi cu o astfel de atitudine, acum, după 30 de ani de la schimbarea din 1989 şi mult dorita despărţire de comunism. Din păcate, vedem că tarele acelor ani trăiesc bine-mersi şi chiar proliferează.

Este păcat că după atâţia ani încă există oameni care au pretenţia că, criticându-l şi deci încercând să-l înjosească, să-l umilească pe cel de alături, el se dovedeşte automat superior acestuia. Atitudinea îmi aduce aminte de bancul cu dracii care beau o berică la barul din colţul iadului, după orele de program. Unul dintre draci era întotdeauna mai abătut şi mai obosit decât ceilalţi. Un altul dintre colegi îl întreabă ce probleme are, iar acesta îi răspunde că el este la cazanul cu evrei şi că, ăştia se ajută şi imediat ce unul vrea să iasă alţii îl împing în sus, iar el, dracul respectiv, până îl împinge inapoi, în altă parte a cazanului iese altul şi tot aşa. Un alt drac, unul mai grăsuţ şi mai îmbujorat, îi răspunde râzând, spunând că el are postul la cazanul cu români şi că, imediat ce un român vrea să se ridice, alţi români sar şi îl trag înapoi. Cu stima cuvenită, Titus G.

Programa PENTAGONIA (8) – Conţinuturi clasa a VIII-a

În semestrul I din clasa a VIII-a materia este foarte vastă (cca. 2/3 din materia anului) pentru a permite elevilor o perioadă cât mai lungă de lucru pe teste complete pentru EN în primăvară. Cel mai nou aspect în ordinea lecţiilor îl reprezintă studiul complet al piramidelor şi al prismelor (figuri, arii şi volume pe studiate baze intuitiv-raţionale) în prima jumătate a semestrului, urmate abia apoi de studiul poziţiilor relative al dreptelor şi planelor cu aplicaţii direct pe corpurile studiate. Se obţine astfel o accesibilizare a materiei deosebit de eficientă pentru elevii de rând.

În semestrul al II-lea mai rămân funcţiile, trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde, urmate de câteva lecţii de cultură generală, obişnuite mai mult din zona opţională “matematica altfel”. Iată conţinuturile:

  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII (recapitulare şi completări)
  • Ecuaţii cu o necunoscută de tipurile studiate
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; Sisteme de trei ecuaţii cu trei nec.
  • Probleme rezolvabile prin ecuaţii sau prin sisteme de ecuaţii
  1. INTERVALE DE NUMERE REALE ŞI INECUAŢII ÎN
  • Mulţimi definite printr-o proprietate a elementelor ei
  • Noţiunea de interval de numere reale; clasificarea intervalelor cu scriere şi reprezentarea grafică pe axa numerelor; operaţii cu intervale
  • Inecuaţii în ℝ, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Sisteme de două inecuaţii, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Inecuaţii cu modul, de tipul | ax + b | < c respectiv | ax + b | ≤ c
  1. CALCUL ALGEBRIC (recapitulare şi completări)
  • Sume algebrice: operaţii cu acestea, desfacerea parantezelor, aducerea la forma cea mai simplă
  • Formule de calcul prescurtat: pătratul sumelor sau al diferenţelor; produsul sumei cu diferenţa; pătratul trinomului; cubul sumei şi al diferenţei (cu dem. algebrice şi geometrice); suma şi diferenţa de cuburi; aplicaţii
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice: factorul comun; restrângerea pătratelor şi diferenţa de pătrate; grupări + factor comun; metode combinate; metode artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Ecuaţii de gradul II: cazuri particulare pe baza formulelor de calcul prescurtat sau similare cu metodele artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Fracţii algebrice: simplificarea acestora ca aplicaţie la descompunerea în factori a sumelor algebrice; domeniul de definiţie al unei fracţii algebrice cu o nedeterm.
  • Operaţii cu fracţii algebrice; aducerea expresiilor la forma cea mai simplă
  1. FUNCŢII ŞI COMPLETĂRI (vezi indicaţiile metodice*)
  • Elemente de organizare a datelor: tabele, diagrame
  • Noţiunea de funcţie: elemente, exemple, prezentări prin tabele sau diagrame Venn-Euler, reprezentări grafice prin diagrame sau pe bază de blocuri verticale
  • Sistemul cartezian de axe ortogonale: deducerea din reprezentarea grafică pe bază de blocuri verticale; coordonatele unui punct şi reprezentarea grafică; terminologia specifică
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii: diferite funcţii pe domenii finite pentru vizualizarea a diferite forme de grafice (de pildă: x2, |x + 2|, (x – 1)3,, pe domenii cu valori întregi sau zecimale)
  • Graficul funcţiei de gradul I: exemple pe domenii (de pildă f(x) = 2x -3 pe rând pe următoarele domenii: {-1, 0, 1, 2, 3}, apoi ℤ, apoi ℝ şi pe [-1; 3] în final), cu observarea formei graficului şi adaptarea reprezentării în funcţie de compoziţia acestuia, cu deducerea metodei de reprezentare grafică prin două puncte + unul de control
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii de gradul I: dreapta soluţiilor unei ecuaţii; folosirea ecuaţiei ataşate în rezolvarea diferitelor probleme (puncte de coordonate egale de pe un grafic; intersecţia graficelor a două funcţii; determinarea funcţiei de gradul I ce trece prin două puncte date), inclusiv determinarea punctelor de intersecţie a graficului cu axele de coordonate
  • Metoda grafică în rezolvarea unui sistem de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute)
  • Elemente de calcul geometric în planul cartezian: calcule de arii şi lungimi şi găsirea mijlocului unui segment etc. (aplicaţii elementare)
  • Ecuaţia de gradul II: rezolvarea cu formulele generale
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA I
  • Pătratul şi triunghiul echilateral: aria şi liniile importante (recapitulare)
  • Cubul: diferite reprezentări grafice, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Secţiuni în cub: reprezentarea grafică a secţiunilor paralele cu feţele; secţiunea diagonală; secţiunea Δ echilateral (stabilirea intuitivă a formei; calcul perimetrului şi a ariei acestora)
  • Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul): reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei (teorema lui Pitagora în spaţiu, pe baza observării intuitive a unghiului drept: o muchie verticală este perpendiculară pe baza orizontală, deci şi pe o diagonală a acestei baze)
  • Prisma patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Prisma triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Prisma hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; situaţia diagonalelor
  • Piramida patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; apotema bazei, apotema piramidei şi conexiunile de calcul cu muchia bazei şi cu înălţimea piramidei
  • Secţiuni în piramidă: secţiuni transversale, secţiuni diagonale şi secţiuni paralele cu baza în piramida patrulateră regulată (desenarea şi stabilirea intuitivă a formei)
  • Piramida triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Tetraedrul regulat: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, înălţime şi volum
  • Piramida hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  1. PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE ÎN SPAŢIU
  • Reprezentarea grafică şi notarea punctelor, dreptelor şi planelor; diferitele situaţii de poziţii relative ale acestora: puncte coplanare, determinarea planului, drepte necoplanare, paralelism sau intersecţii între drepte, plane
  • Studiul poziţiilor relative între două drepte, o dreaptă şi un plan, respectiv două plane: demonstrarea situaţiilor de paralelism, respectiv de perpendicularitate, şi determinarea înclinaţiei, respectiv a măsurii unghiului determinat de acestea, în cazul poziţionării oblice (demonstrarea paralelismului a două drepte, calculul măsurii unghiului relativ a două drepte necoplanare, demonstrarea perpendicularităţii a două drepte necoplanare; în mod similar în cazul unei drepte şi a unui plan, respectiv în cazul a două plane); deducerea intuitivă în cazul fiecărei demonstraţii;
  • Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la punct la dreaptă
  • Diverse corpuri neregulate: exemple cu reprezentarea grafică, descriere, calculul ariei şi a volumului; calculul distanţei de la un punct la un plan
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA a II-a
  • Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Raportul de asemănare, raportul ariilor figurilor asemenea şi raportul volumelor corpurilor asemenea: aplicaţii în piramidele secţionate paralel cu baza pentru obţinerea trunchiurilor de piramidă
  • Trunchiul de piramidă hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Cilindrul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Conul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de con (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Sfera: reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arie şi volum
  • Elemente de geometria cercului şi a sferei pe globul pământesc: rotaţia Terrei în jurul soarelui, axa de rotaţie, înclinarea acesteia faţă de planul ecliptic (ecliptică) şi deducerea latitudinii tropicelor şi ale cercurilor polare
  • Corpurile platonice (perfecte) cu prezentarea celor cinci: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul; activităţi de cunoaştere a ultimelor trei (desenare, construcţie din hârtie sau beţişoare, determinarea formulelor de arie şi volum dacă sunt accesibile); exemple de corpuri arhimedice (trunchieri ale corpurilor platonice): activităţi de cunoaştere pe exemple, mingea de fotbal

CTG

8-Clasa-a-VIII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (7) – Conţinuturi clasa a VII-a

În semestrul I din clasa a VII-a materia se concentrează aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra regăsindu-se mai mult în slujba calculelor din geometrie (arii şi teorema lui Pitagora). Geometria însă se împarte în două linii preocupaţionale: pentru toţi elevii (materia de nota 5-7) se studiază calculul de arii şi perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porneşte în paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstraţii pe baza cunoştinţelor deja dobândite în clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstraţii cu unghiuri, cu segmente şi cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriză interesantă o reprezintă studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combină cu cel al ariilor, ducând la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actuală de obişnuinţă) o reprezintă însă faptul că trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora în cazul rezultatelor neexacte cu calcule raţionale aproximative. De abia după stabilizarea calculelor întregi sau aproximative (cu aplicaţie clară în viaţa aplicativă extramatematică) se va trece la exprimarea rezultatelor iraţionale (cel mai bine în semestrul al II-lea). Acelaşi traseu al studiului este valabil şi în cazul lungimii şi ariei cercului, introducându-se iniţial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu două zecimale exacte, adică o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai multă geometrie,dar oferă o stabilizare a calculului aritmetic şi o apropiere neagresivă de calculul pur algebric al numerelor iraţionale (scoaterea parţială a factorilor de sub radical şi calculul cu astfel de numere, care în vest se studiază eventual doar la nivelul liceului).

În semestrul al II-lea algebra îşi ia revanşa, materia concentrându-se mai mult pe această latură. Ca aspect important, pe lângă revenirea sistemelor de ecuaţii în finalul clasei a VII-a, se păstrează şi studiul formulelor de calcul prescurtat pătratice. Iată conţinuturile:

  1. NUMERE RAŢIONALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii cu numere naturale, întregi sau raţionale
  • Operaţii cu mulţimi; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ
  • Puterea cu exponent întreg
  • Procente şi proporţionalitate; ecuaţii; punerea în ecuaţie a unei probleme
  1. RĂDĂCINA PĂTRATĂ (recapitulare şi completări – II)
  • Rădăcina numerelor pătrate: pe baza tablei pătratelor, a observaţiilor pe ultima cifră şi prin descompunere
  • Produsul şi câtul rădăcinilor pătrate; aplicaţii de tipul sau
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale (în cazuri exacte, respectiv aproximative)
  • Ideea de număr iraţional
  1. NUMERE IRAŢIONALE
  • Noţiunea de număr iraţional; incluziunea ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ cu diferite exemple
  • Forma aproximativă şi forma exactă a numerelor iraţionale: studiu comparativ; numărul π; reprezentarea numerelor iraţionale pe axa numerelor; numerele reale
  • Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exactă a numerelor iraţionale; pătratul numerelor iraţionale; ridicarea la putere naturală a numerelor iraţionale
  • Produsul şi câtul numerelor iraţionale; raţionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere întreagă a numerelor iraţionale
  • Suma numerelor iraţionale; ordinea operaţiilor; numere iraţionale în forma de sume neefectuabile
  • Valoarea absolută a unui număr real
  1. CALCUL ALGEBRIC
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, câtul şi puterea
  • Însumarea numerelor reprezentate prin litere; noţiunile de monom, binom, trinom şi polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opuşi
  • Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a două binoame sau trinoame
  • Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): pătratul sumei şi pătratul diferenţei; produsul sumei cu diferenţa (cu dem. algebrice, dar şi geometrice, pe bază de arii)
  • Descompuneri elementare prin factor comun şi reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restrângerea pătratelor, diferenţa de pătrate); aplicaţii în simplificarea fracţiilor şi calculul din T. Pitagora
  • Aplicaţi: calcule de expresii; raţionalizarea numitorului (II); demonstraţii la teorema lui Pitagora pe bază de arii şi formule binomiale
  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII
  • Ecuaţii de gr. I; ecuaţii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecuaţii în care se reduc termenii de gradul II); mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii de gradul II de forma x2= b,  x2 + a = b şi ax2 = b; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu module de forma | ax + b | = c; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu două necunoscute: scrierea soluţiilor ca perechi ordonate
  • Sisteme iniţiale de ecuaţii (o ecuaţie cu o nec. + o ecuaţie cu două necunoscute); scrierea soluţiilor, inclusiv în cazul cu două soluţii (ec. de gr. II sau cu modul)
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute de forma y = ax + b  şi  y = cx + d): metoda tranzitivităţii
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda substituţiei
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin punere în ecuaţie sau în sistem de ecuaţii
  1. DEMONSTRAŢIA GEOMETRICĂ (recapitulare şi completări – I)
  • Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate înscrise în cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi şi unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
  • Demonstraţii cu unghiuri: folosind proprietăţile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuză; cateta opusă unghiului de 30o
  • Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruenţă LLL, LUL, ULU; congruenţa triunghiurilor dreptunghice
  • Linia mijlocie în triunghi (intuitiv, fără dem. inclusiv la teorema reciprocă); linia mijlocie în trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
  • Teoreme directe şi teoreme reciproce: exemplificări pe figurile studiate
  1. ARII ŞI PERIMETRE (recapitulare şi completări – II)
  • Aria patrulaterelor şi a triunghiurilor: dreptunghi, pătrat, Δ dreptunghic, paralelogram; Δ oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situaţii (rombul II, pătratul II, Δ dreptunghic II, deltoidul, Δ isoscel; Δ obtuzunghic)
  • Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate şi poziţia sa pe mediană
  • Figuri echivalente: transformarea triunghiului şi a paralelogramului cu păstarea ariei (forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor); figura “gnomon”
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţie prin arii folosind transformări echivalente de paralelograme
  • Calcule de arii şi perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) şi calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
  • Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; numărul π în formă zecimală aproximativă; lungimea cercului (perimetrul)
  • Aplicaţii: calcule aproximative de lungimi şi arii în situaţii practice
  1. PROPORŢIONALITATE ŞI ASEMĂNARE
  • Prezentarea prin transformarea intuitivă: Regula de trei simplă → Triunghiuri asemenea → Teorema fundamentală a asemănării → Teorema lui Thales
  • Raportul lungimilor a două segmente
  • Teorema lui Thales şi reciproca: segmente proporţionale şi paralelismul;
  • Teorema fundamentală a asemănării: aplicaţii aritmetice şi demonstraţii geometrice
  • Aplicaţii: teorema bisectoarei; poziţia centrului de greutate al triunghiului
  • Cazurile de asemănare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplicaţii
  • Cazul de asemănare UU la triunghiurile scalene şi la triunghiurile dreptunghice
  • Studiul propoziţiilor directe şi al reciprocelor, parţiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii în triunghi (teorema directă; apoi reciproca parţială 1 = teoremă, dar reciproca parţială 2 = propoziţie falsă; în final reciproca totală = teoremă, fiecare cu demonstraţie sau contraexemplu); aplicaţii pe probleme
  1. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
  • Proiecţia unui punct sau a unui segment pe o dreaptă
  • Teoremele lui Euclid: teorema catetei şi teorema înălţimii, demonstraţii prin asemănare şi aplicaţii
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţia cu teorema catetei; aplicaţii cu rezultate sau date iraţionale; reciproca teoremei lui Pitagora
  • Rapoartele trigonometrice: definiţii, exemple, valori pentru 30o, 45o, 60o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Poligoanele regulate de bază (triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat): liniile importante şi aria (înălţimea, diagonala, raza cercului circumscris sau înscris, apotema)
  1. CERCUL (recapitulare şi completări)
  • Elementele cercului şi proprietăţile studiate; unghiul la centru şi măsura arcelor de cerc; “Cercul lui Thales” (triunghiul dreptunghic înscris în semicerc)
  • Tangenta la cerc (fără dem.); proprietatea “ciocului de cioară” (cu dem.)
  • Unghiul înscris în cerc (sau “unghiul periferic”): proprietatea măsurii (cu dem.)
  • Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise şi patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplicaţii
  • Lungimea cercului şi aria discului; aria părţilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (6) – Conţinuturi clasa a VI-a

În semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetică realizează până la vacanţa de iarnă o reluare cu completări şi aprofundări a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiază componentele de bază (puncte, drepte, segmente, poziţii relative, unghiuri, cât şi liniile importante mediatoarea şi bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplicaţii doar diverse cerinţe de construcţii cu îngrădiri pe instrumente (de exemplu, desenaţi doar cu rigla şi compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de hârtie).

În semestrul al II-lea aritmetica se cam încheie cu studiul rapoartelor şi al proporţiilor. Urmează capitolele de trecere spre algebră, apariţia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecuaţiile şi mulţimile. Valoarea absolută a unui număr se prezintă doar la sfârşitul capitolului, nu în prima lecţie. La geometrie se studiază intuitiv triunghiurile şi patrulaterele prin enumerarea observaţională a proprietăţilor evidente şi demonstrarea proprietăţilor neevidente. Studiul aplicaţional al acestora se concentrează mai ales pe construcţia exactă cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind amânată pe începutul clasei a VII-a (de fapt, o rocadă între demonstraţia geometrică diversificată – nu doar demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor – şi capitolul despre patrulatere). În clasa a VI-a cazurile LLL, LUL şi ULU se numesc mai degrabă cazuri de construcţii decât cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii şi proprietăţile acestora; ordinea operaţiilor; factorul comun şi aplicaţii; teorema împărţirii cu rest; scrierea numerelor în baza zece
  • Operaţii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc şi cmmmc a două sau mai multe numere naturale; numere prime între ele;
  • Criterii de divizibilitate; proprietăţi ale divizibilităţii şi demonstraţii cu acestea
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinarea intuitivă; determinarea prin descompunere în factori; includerea în ordinea operaţiilor
  1. FRACŢII (recapitulare şi completări – II)
  • Fracţii ordinare: prezentare, transformări; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Operaţii cu fracţii ordinare; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Fracţii zecimale finite: transformări; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Fracţii zecimale periodice: transformări; comparare; aproximări
  • Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Aplicaţii: media aritmetică şi media aritmetică ponderată
  • Ecuaţii: în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) cu rezolvări aritmetice prin operaţia de probă
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate: atăt din numere pătrate (rezultate exacte), cât şi din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea în ordinea operaţiilor
  1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
  • Rapoarte şi proporţii: noţiunea de raport; proprietatea fundamentală a proporţiei (proba proporţiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
  • Regula de tei simplă: proporţionalitate directă şi proporţionalitate inversă
  • proporţii derivate; şir de rapoarte egale şi mărimi direct proporţionale; şir de produse egale şi mărimi invers proporţionale
  • Procente: aplicaţii prin metoda “din” , dar şi prin regula de trei simplă
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii;
  • Elemente introductive de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive şi numere negative; semnul şi mărimea
  • Însumarea a două numere relative; sume; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul a două numere relative; împărţirea a două numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea operaţiilor
  • Aplicaţii în cazul operaţiilor cu fracţii
  • Reprezentarea pe axă; valoarea absolută a unui număr
  • Ecuaţii: ecuaţia de gradul I în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) şi în forma de bază combinată (ax + b = c) parcurse prin trei metode: metoda probei operaţiei (recapit.), metoda balanţei şi metoda mutării în membrul celălalt cu operaţia opusă; ecuaţii reductibile la ecuaţii de bază de gradul I
  • Probleme cu o singură necunoscută, ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, notaţii; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
  • Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
  • Mulţimi finite; cardinalul unei mulţimi; mulţimi infinite; mulţimea vidă
  • Categorii de numere; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ; relaţii, aplicaţii; axa nr.
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu coef. întregi sau raţionali, în ℕ, ℤ, ℚ; mulţimea soluţiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Poziţia relativă a două drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Poziţia relativă a trei drepte
  • Cercul: centru, rază, diametru
  • Noţiunile de congruenţă şi egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construcţii; perpendiculara dintr-un/ într-un punct pe o dreaptă: diferite construcţii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; notaţii; clasificarea elementară: unghiuri ascuţite, drepte, respectiv obtuze
  • Măsura unghiului; raportorul; măsurarea şi construcţia
  • Congruenţa unghiurilor; diferite construcţii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construcţii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la vârf: congruenţa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de două paralele tăiate de o secantă: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construcţii
  • Două unghiuri împreună: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri în jurul unui punct
  • Clasificarea completă a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (măsura > 180o) şi unghiul plin (măsura = 360o)
  • Simetria axială; simetria centrală; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construcţie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea Δ-lor I: Δ echilateral, Δ isoscel, proprietăţi legate de congruenţa elementelor, Δ scalen, Δ oarecare
  • Clasificarea Δ-lor II: Δ ascuţit-, Δ drept- şi Δ obtuzunghic, combinaţii categ. I + II
  • Liniile importante în triunghi: bisectoare; mediane; înălţimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, proprietăţi, înscrierea în semicerc (“Cercul lui Thales” cu dem.), mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificată cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplicaţii: construcţii de triunghiuri incluzând şi liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor şi suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construcţia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; proprietăţi şi construcţii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; pătratul; proprietăţi şi construcţii
  • Aplicaţii: construcţii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confecţionare de corpuri din carton cu construcţia desfăşurării: cubul, cuboidul, prisma triunghiulară, piramida patrulateră, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) – Conţinuturi clasa a V-a

În semestrul I din clasa a V-a materia este structurată cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranjării lecţiilor îl reprezintă abordarea din trei direcţii a ideii de număr prim. Apar şi primele elemente de geometrie printr-o cunoaştere elementară iniţială a principalelor figuri închise prin desenarea lor cu mâna liberă.

În semestrul al II-lea se trece la studiul fracţiilor ordinare şi zecimale, cât şi a unităţilor de măsură. La geometrie propun o perioadă de cunoaştere a instrumentelor geometrice şi obişnuirea cu mânuirea acestora, printr-un traseu ocupaţional în jurul împărţirii cercului în părţi egale şi realizarea unor desene frumoase cu rigla şi compasul pe baza acestora.

Problema principală a acestei structurări este faptul că desenul geometric este eficient doar dacă elevii au timp suficient să lucreze la acele desene pentru a reuşi să interiorizeze mişcările respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o oră în plus, de pildă printr-un opţional. Iată în continuare conţinuturile la rând:

  1. RECAPITULARE ŞI PROBLEME DE ARITMETICĂ
  • Recapitulare şi acomodare: exerciţii şi probleme elementare (ordinea operaţiilor, probleme cu raţionamente elementare, matematică distractivă, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea şi citirea numerelor naturale; diferite reprezentări (cu puncte, cu linii, pe axă); scrierea numerelor în diferite culturi (Egipt şi China, Roma şi Maya)
  • Compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări şi estimări
  • Adunarea numerelor naturale, proprietăţi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare şi calcul); scăderea naturale
  • Înmulţirea numerelor naturale (calcule mintale şi prin algoritm), proprietăţi
  • Împărţirea numerelor naturale (algoritm scris, parţial scris şi efectuat mintal); proba împărţirii (teorema împărţirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale – metoda intuitivă (forma de deltă); numere prime (1) şi numere compuse; înmulţirea rapidă cu 5 sau cu 25 prin împărţirea în cap la 2 sau 4 şi invers
  • Descompunerea numerelor naturale – algoritmul (forma cu bară)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci operaţii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Proprietăţile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerciţii cu încălcarea ordinii operaţiilor folosind regulile învăţate (operaţii cu puteri)
  • Şiruri de numere (pare, impare, şirul lui 3, 4, 5 etc. – nivel recapit. de cl. primare)
  • Găsirea generală a numerelor prime (2) – Ciurul lui Eratostene
  • Şirul puterilor; alte şiruri exponenţiale (şirurile lui Mersenne, Fermat şi nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. pătrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui număr etc.
  • Reprezentarea grafică pe cercul cu 10 cifre şi studiul evoluţiei ultimei cifre pentru şirurile învăţate; observaţii cu privire la evoluţia şirului numerelor pătrate pe decade (ultima cifră în tabla pătratelor); pătratele multiplilor de zece sau de sută
  • Rădăcina numerelor pătrate: prezentare intuitivă pe baza tablei numerelor pătrate şi pe baza studiului ultimei cifre, cu probă; includerea în ordinea operaţiilor
  • Explicitarea numerelor în sistemul zecimal şi în sistemul binar (bazele 10 şi 2); scrierea numerelor naturale ca sumă de puteri ale lui 2; (diferite aplicaţii, inclusiv înmulţirea în Egiptul antic)
  • Divizorii unui număr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de găsire a divizorilor; studiul numărului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui număr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare şi prin descompunere); numere prime între ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,  apoi cu 25 şi 4, apoi cu 3 şi 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Fracţii ordinare – prezentare; reprezentări grafice (disc împărţit în sectoare, dreptunghi împărţit în felii etc.); numitor, numărător; fracţii de bază (pe exemplul fracţiilor egiptene)
  • Clasificarea fracţiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezentări grafice; scoaterea întregilor din fracţie, introducerea întregilor în fracţie
  • Transformarea fracţiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplificări sau simplificări intuitive)
  • Compararea fracţiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare, găsirea unei fracţii dintr-o cantitate – cuvântul “din”; aplicaţii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinzând situaţii descrise prin fracţii ordinare
  • Fracţiile zecimale; prezentare; transformări (1); compararea fracţiilor zecimale
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări (2)
  • Fracţii zecimale finite şi fracţii zecimale periodice
  • Procente (ca fracţie); calcule pe baza înmulţirii fracţiilor ordinare; promile
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • Aria şi perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din pătrăţele întregi
  • de măs. pt. arie; formule şi reţete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, pătrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construcţia acestora cu ajutorul echerului
  • de măs. pt. volum şi capacitate; formule pt. volumul cubului şi a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de măs. monetare, pt. timp şi pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate faţă de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate faţă de cerc)
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele în 6 sau 5 colţuri – “Steaua lui David” şi pentagrama – etc.)
  • “Teorema lui Pitagora” (evidenţiere în cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul şi folosirea compasului
  • Împărţierea cercului în 6 părţi (“floarea vieţii”); diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (construcţii diverse); aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 8 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în12 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 16 părţi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • Împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la vârf (unghiul înscris în cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stelări posibile (pentagrama, “steaua lui David”, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (4) – Privire de ansamblu asupra conţinuturilor

 

Înainte de prezentarea separată a conţinuturilor pe fiecare clasă, vă prezint o privire de ansamblu, “din aer”, asupra celor opt semestre ale gimnaziului. Tabelul anexat este gândit a fi imprimat pe o coală A3 pentru ca privirea să poată sări uşor de la un punct la altul al materiei, aşa cum sar gândul (da’ unde-a pus cutare sau cutare conţinut?). Chiar dacă nu vă obosiţi să-l imprimaţi, recomand totuşi măcar descărcarea tabelului în calculator, pentru o lectură mai lesnicioasă. Dimpotrivă, pentru a accesibiliza lecturarea şi pe ecranul telefonului (poate sunteţi la mare, la umbra unei terase, cu o băutură răcoritoare alături), voi cuprinde materialul respectiv şi în format obişnuit:

Clasa a V-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

ARITMETICA NUMERELOR NATURALE

  • Probleme aritmetice, diverse metode
  • Cele patru operaţii de bază şi puterea; ordinea op.; proprietăţile operaţiilor
  • Descompunerea numerelor în factori; numere prime
  • Operaţii cu puteri: ordinea operaţiilor; încălcarea ordinii operaţiilor
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinări intuitive
  • Divizori şi multipli
  • Criterii de divizibilitate

Semestrul I – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ (*)

  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; alte patrulatere
  • Triunghiul echilateral; alte triunghiuri
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasific. (drepte, apoi ascuţite, respectiv obtuze)
  • Alte figuri (“Steaua lui David” etc.)

“Teorema lui Pitagora” pe cazul triunghiului dreptunghic isoscel

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. ORDINARE; FR. ZECIMALE; UNIT. MĂS.
  • Fracţii ordinare – prezentare, tranformări, fr. mixte
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare, comparare
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare
  • Fracţiile zecimale; transformări
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări
  • Fracţii zecimale finite sau periodice
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • de măs. pt. arie; pătrat şi dreptunghi, echerul
  • de măs. pt. volum şi capacitate; cub şi cuboid
  • de măs. monetare; pt. timp; pt. unghiuri

Semestrul II – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE (*)

  • Cercul şi împărţierea sa în 6 părţi (“floarea vieţii”)
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (constr. diverse)
  • Împărţierea cercului în 8 părţi
  • Împărţierea cercului în12 părţi
  • Împărţierea cercului în 16 părţi (riglă şi compas)
  • Unghiul la centru; împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (raportorul)
  • Unghiul înscris în cerc (periferic) şi polig. stelate

(*) Se recomandă cuprinderea într-un curs opţional suplimentar de “Desen geometric”

Clasa a VI-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

FRACŢII; PROPORŢIONALITATE

  • şi completări: Nr. naturale; ordinea op.
  • şi comp.: Fracţii; ordinea op., fracţii etajate
  • Rădăcina pătrată prin descompunere şi algoritm
  • Ecuaţii (rezolvări aritmetice)
  • Noţiunile de raport; proporţie; proba şi termen. nec.
  • Regula de trei simplă; proporţional. directă, inversă
  • Proporţii derivate; şiruri de rapoarte egale etc.
  • Procente (două metode de rezolvare)
  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Elemente de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)

Semestrul I – GEOMETRIE:

GEOMETRIA COMPONENTELOR

  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; lungime
  • Poziţia relativă; paralelism şi perpendic.
  • Cercul, elemente
  • Congruenţă; mijloc; mediatoarea, construcţii div.
  • Unghiul; interiorul; măsura unghiului; clasificare;
  • Congruenţa unghiurilor; bisectoarea
  • Unghiuri opuse la vârf
  • Unghiuri formate de paralele cu o secantă
  • Unghiuri adiacente, complementare, suplementare

Simetria axială; simetria centrală (echerul geom.)

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. NEGATIVE; ECUAŢII; MULŢIMI
  • Numere relative (nr. pozitive şi nr. negative)
  • Însumarea nr. relative; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul numerelor relative; împărţirea
  • Ordinea operaţiilor
  • Valoarea absolută (modulul)
  • Ecuaţii (rezolvări algebrice)
  • Mulţimi; exemple; operaţii
  • Mulţimile de nr. învăţate (ℕ, ℤ, ℚ)

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRIUNGHIURI; PATRULATERE

  • Triunghiul, perimetrul, suma unghiurilor
  • Cazuririle de construcţie (LLL, LUL, ULU)
  • Clasificarea Δ-lor (I): echilateral, isoscel, scalen
  • Clasificarea Δ-lor (II): ascuţit-, drept-, obtuzunghic
  • Liniile importante în triunghi
  • Triunghiul dreptunghic; înscrierea în semicerc, mediana pe ipotenuză, cat. op. ∢30o, T. Pitagora
  • Patrulatere, perimetrul, suma unghiurilor
  • Construcţii de patrulatere cu elemente date
  • Patrulatere speciale: Deltoidul ; Trapezele

Paralelogramul; Dreptunghiul; Rombul; Pătratul

Clasa a VII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

NUMERE RAŢIONALE şi  RĂDĂCINA PĂTRATĂ

  • Puterea cu exponent întreg
  • Metode de extragere a rădăcini dintr-un număr pătrat
  • Extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate
  • Noţiunea de numere iraţionale

Semestrul I – GEOMETRIE:

DEMONSTRAŢII GEOMETRICE; ARII

  • Cercul, elemente interioare (raze, diametru, coardă)
  • Poligoane, poligoane regulate: construcţie, unghiuri
  • Demonstraţii cu unghiuri, mediana pe ipot., etc
  • Demonstraţii prin metoda triunghiurilor congruente
  • Linia mijlocie în triunghi şi trapez
  • Aria figurilor de bază
  • Figuri echivalente
  • Teorema lui Pitagora (dem. prin arii)
  • Calcule de arii şi perimetre ale figurilor studiate (calcule exacte şi calcule aproximative)

Perimetrul şi aria cerc.; numărul π

Semestrul II – ALGEBRĂ:

  1. IRAŢIONALE; CALC. ALGEB.; SIST. EC.
  • Numere iraţionale
  • Extragerea factorilor de sub radical
  • Mulţimea nr. reale ( inclusiv clasif. completă a nr.)
  • Operaţii cu nr. reale
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere
  • Formule de calcul prescurtat gr. II
  • Raţionalizarea numitorului (cazurile I şi II)
  • Ecuaţii de gr. I; Ec. de gr. II de forma x2= n
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, prin metodele tranzitivităţii, substituţiei şi reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin ec. şi sist. de ec.

Semestrul II – GEOMETRIE:

PROPORŢIONALITATE; CERCUL

  • Teorema lui Thales; TFA (aplicaţii aritmetice)
  • Asemănarea Δ-lor şi a Δ-lor dreptunghice
  • Teoremele lui Euclid (T. catetei şi T. înălţimii)
  • Alte demonstraţii la Teorema lui Pitagora; reciproca
  • Rapoartele trigonometrice
  • Cercul: recapitulare, tangenta la cerc
  • Unghiul înscris în cerc
  • Cercul înscris sau circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise, patrulatere circumscrise

Lungimea arcului de cerc, aria sectorului de disc

Clasa a VIII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

EXPRESII ALGEBRICE

  • Sisteme de ecuaţii cu trei necunoscute
  • Intervale de numere reale; operaţii cu acestea
  • Inecuaţii şi sisteme de inecuaţii
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu module
  • Sume algebrice; operaţii cu acestea
  • Formule de calcul prescurtat gr. II şi III
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice
  • Ecuaţii de gr. II – diferite cazuri particulare
  • Fracţii algebrice; operaţii cu acestea

Semestrul I – GEOMETRIE:

PRISME; PIRAMIDE; TEOREME ÎN SPAŢIU

  • Cubul, paralelipipedul dreptunghic (cuboidul); prismele – construcţii, arii şi volume, secţiuni
  • Piramidele şi tetraedrele – construcţii, arii şi volume
  • Puncte, drepte şi plane; poziţii relative
  • Paralelism, perpendicularitate şi unghiuri relative
  • Teorema celor trei perpendiculare

Aplicaţii în corpurile studiate

Semestrul II – ALGEBRĂ:

FUNCŢIA GR.I; COMPLETĂRI

  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Noţiunea de funcţie; elemente; exemple
  • Sistemul cartezian de axe (deducere din funcţii)
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii
  • Graficul funcţiei de gr. I – exemple pe domenii
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii; dreapta soluţiilor
  • Elemente de geometrie aplicată pe sistemul de axe
  • Ecuaţii de gr. II – rezolvarea cu formulele generale

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRUNCHIURI DE PIR.; CORPURI ROTUNDE

  • Trunchiurile de piramidă – constr., arii şi volume
  • Cilindrul; conul; trunchi de con; sfera – (idem)
  • Elemente de geometria sferei pe globul pământesc
  • Alte corpuri (platonice, arhimedice etc.)

TABEL-Privire-ansamblu-ProgramaPentagonia.pdf

Lectură plăcută! CTG

Programa PENTAGONIA (3) – Principii metodico-didactice

În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:

  • Adaptarea materiei şi a predării la posibilităţile şi nevoile vârstelor, dar şi în funcţie de posibilităţile individuale şi de cerinţele naţionale

Materia parcursă trebuie adaptată obligatoriu la posibilităţile şi nevoile vârstelor, atât la nivelul individului, cât şi la nivelul clasei. Gândirea elementară specifică claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresată în mod echilibrat în paralel cu gândirea intelectuală specifică altor elevi, şi extinsă la vârstele mai mari la majoritatea clasei (gândirea aritmetică faţă de gândirea algebrică, construcţia geometrică în opoziţie cu demonstraţia, exerciţiile de bază alături de problemele complicate etc.). Nivelul lecţiei şi profunzimea studiului diferitelor lecţii trebuie alese cu respect faţă de toţi elevii, atât faţă de cei slabi, cu capacităţi reduse, cât şi faţă de cei buni, cu capacităţi şi aşteptări ridicate în gândirea matematică. Totodată, încadrarea parcursului şi nivelului orelor de matematică în procesul şcolar naţional este un deziderat evident şi trebuie urmărit de către orice dascăl ce predă matematica la gimnaziu.

  • Principiul ne-suprapunerii itemilor noi

Se va evita introducerea simultană a mai multor itemi, noţiuni sau abilităţi de calcul. Astfel, de pildă în clasa a V-a, se vor studia în lecţii separate descompunerea intuitivă a numerelor naturale în factori, apoi algoritmul de descompunere “cu bară”, dar scriind răspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia în lecţii separate introducerea operaţiei de putere, integrarea noii operaţii în exerciţii cu toate nivelele de operaţii, respectiv proprietăţile operaţiilor cu puteri şi scurtcircuitarea ordinii operaţiilor prin acestea. Odată cu avansarea în vârstă, acest principiu scade ca importanţă, dar nu-şi va pierde nici o dată cu totul valabilitatea.

  • Predarea în spirală

Predarea în spirală oferă formarea tot mai complexă a noţiunilor şi a ideilor matematice, urmărind evoluţia acestora odată cu dezvoltarea gândirii elevului şi cu lărgirea spectrului său de cunoştinţe aferente. Predarea în spirală poate fi aplicată la diferite magnitudini, în cadrul unui capitol la lecţii învecinate, sau în cadrul unor lecţii îndepărtate în timp, în capitole diferite, sau chiar în ani de studiu diferiţi.

De cele mai multe ori în predarea în spirală o noţiune suportă un proces de evoluţie şi transformări. Astfel, vorbim despre “noţiunea vie”, pe când definirea seacă încătuşează o noţiune în parametrii strict fixaţi, aici vorbind de “noţiuni moarte”. În acest sens, prezenta programă recomandă evitarea definiţiilor. Chiar şi abordarea unei ramuri întregi a matematicii evoluează în predarea în spirală prin reluările succesive la nivele tot mai evoluate de gândire (vezi evoluţia studiului geometriei din clasa a V-a în a VII-a.

  • Predarea intuitivă

Deducerea şi înţelegerea intuitivă a noilor itemi este foarte importantă la orice vârstă, însă trebuie luată cu adevărat în serios mai ales la clasele mici. Astfel, în clasele de intrare în matematica gimnazialo-liceală, profesorul va folosi cât de mult posibil intuiţia elevilor, adaptându-şi predarea pentru acest scop. Ordonarea lecţiilor şi introducerea noilor cunoştinţe se va face conform posibilităţii folosirii intuiţiei şi nu conform necesităţilor predării riguros axiomatice. Şi în acest sens se va evita definirea noţiunilor, acestea fiind mai degrabă aduse intuitiv, prin imagini, ritm şi descriere.

  • Problematizarea

Problematizarea reprezintă forma cea mai naturală de implicare a elevilor în învăţarea matematicii. Aceasta se poate folosi în cadrul rezolvării diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes şi în procesul de cunoaştere a noilor conţinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lecţiilor noi se poate căuta deducerea lecţiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pildă, la lecţia despre înmulţirea numerelor naturale din clasa a V-a, când elevii de fapt cunosc înmulţirea, putem proceda în felul următor: după câteva exerciţii cu înmulţiri cu numere mari în scris, sau cu numere mici în cap (la început înmulţiri cu 10, 100, 1000 şi cu 20, 30 etc., apoi două cifre înmulţit cu o cifră – 30 ∙ 5, apoi 34 ∙ 5 sau 29 ∙ 7 etc.), după acestea le putem cere elevilor să efectueze în cap înmulţiri multiple de tipul 5 ∙ 37 ∙ 2 până la 25 ∙ 73 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2. În acelaşi gând le putem cere elevilor să găsească produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite înmulţiri mintal, apoi cele mari în scris, iar în final se adaugă două zero-uri la coadă. Analizând cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii. Aceasta este o predare prin problematizare “din aproape în aproape”; elevul nu ştie care este ţelul predării în această oră, lăsându-se condus cu încredere de către profesor. În acest caz, titlul lecţiei se scrie cel mai bine către sfârşitul orei, când lucrurile s-au clarificat. Dimpotrivă, se pot da exemple de problematizare clasică, adică atunci când elevul află ţelul lecţiei, iar apoi se caută drumul către acesta.

O formă specială a predării prin problematizare este predarea prin întrebări. Profesorul descompune procesul de gândire în paşi mici, accesibili gândirii elevului, astfel încât, cu fiecare nouă întrebare elevul mai descoperă un pas nou al lecţiei. Forma ideală (extremă) a acestei metode este atunci când profesorul nu dă nici o cunoştinţă nouă elevilor, ci le pune doar întrebări cu care le îndrumă acestora parcursul de descoperire pentru întreaga lecţie.

  • Activităţi ludice şi ritmice

Activităţile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clasă dacă sunt corect adaptate vârstei. Se pot face jocuri matematice la începutul orei (* vezi exemplul din final), dar şi diferite calcule de pornire a gândirii, prezentate în formă de joc. În acest sens putem face oricând un foarte bun exerciţiu “de încălzire” cu câteva zaruri aruncate pe masă în faţa elevului:profesorul vede “dintr-o privire” dacă are mai mulţi de 2 şi 5 sau nu. Dacă da, atunci îi cere elevului să găsească produsul total; dacă nu, atunci îi cere suma totală. Acest exerciţiu este însă unul individual şi poate fi crescut în dificultate prin creşterea numărului de zaruri. Odată cu învăţarea descompunerii, acest exerciţiu devine şi mai uşor (de pildă, în cazul produsului,  un 6 şi un 5 între zaruri se transformă într-un 3 şi un zero la coadă).

Chiar şi unele lecţii pot căpăta formă de joc, descompunerea numerelor naturale în factori primi în clasa a V-a fiind un bun exemplu în acest sens. Şi elementul ritmic, chiar dacă interiorizat din fizic în intelectual, poate sta la baza unor părţi de lecţie (de pildă, studiul şirurilor şi căutarea numerelor prime cu “Ciurul lui Eratostene”, tot în clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai aşezată, manufacturieră, însă cu profund caracter ludic. În sensul căutării jocului în matematică, pe lângă lecţiile din programă se pot include şi teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al “pătratelor magice”, măcar pe pătratele de 3×3, 4×4 şi de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate apărea de la elemente de “magie matematică” (de pildă cu zaruri) până la diferite alte probleme de “matematică distractivă”.

  • Predarea artistică

Elementele artistice şi manualitatea sunt binevenite în cadrul orelor de matematică, de la redactarea şi aranjarea estetică a caietului de epocă sau a fişelor din portofoliu, până la activităţi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase şi colorarea acestor desene în clasa a V-a). În măsura în care se pricepe, dascălul poate aduce la ora de matematică şi elemente de observare a fracţiilor pe corzile instrumentelor, adică la notele muzicale, în diferite cântece.

Dinspre profesor, predarea artistică are, pe lângă încurajarea aspectelor mai sus menţionate, şi alte valenţe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie şi de admiraţie în sufletul copiilor. Organizarea lecţiilor într-un crescendo care duce la o descătuşare de uimire prezintă similitudini cu felul în care un compozitor îşi structurează simfonia, sau felul în care un scriitor trezeşte într-un roman curiozitatea şi oferă deznodământul abia spre sfârşit.

  • Libertatea şi obligaţiile profesorului

Aranjarea materiei din prezenta programă este orientativă, profesorul având oricând libertatea de a găsi alte variante de aranjare a materiei în forma lecţiilor, în forma capitolelor sau chiar în forma aranjării acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul întregului ciclu gimnazial. Singura obligaţie evidentă este aceea de a parcurge toate cunoştinţele din programa de examen până la sfârşitul clasei a VIII-a, într-o ordine raţională şi într-un ritm echilibrat. Chiar şi conţinuturile sunt în linii mari de două feluri: cele obligatorii prin prisma prezenţei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, cât şi cele facultative, dar recomandate prin prisma încărcăturii lor cu spiritualitate matematică (de pildă, numerele perfecte şi numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). În programă există şi conţinuturi care nu sunt incluse în materia de examen, dar care contribuie din plin la înţelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate însă, utilitatea matematicii trebuie văzută în formarea gândirii logice, raţionale, libere, de care elevul va beneficia în întreaga sa viaţă şi în afara matematicii, profesorul având obligaţia de a se preocupa constant  şi în acest sens. CTG

* Cel mai bun joc matematic, ce implică toată clasa, măcar pentru început, este jocul Bum pe 7. Elevii participanţi (adică toată clasa) împreună cu profesorul, se aranjează în cerc (măcar oval să fie; trebuie tehnic ca fiecare să-l poată vedea pe fiecare). Profesorul (şeful de joc) porneşte număratul cu 1 (unu), uitându-se totodată într-o parte (la dreapta sau la stânga) pentru a stabili sensul de numărare. Apoi, fiecare elev la rând numără mai departe: 1, 2, 3, 4 ….. , trebuind să respecte următoarele două reguli: să spună în loc de numărul care vine la rând BUM! în cazul în care este un număr din şirul lui 7, adică un multiplu de 7, dar şi în cazul când numărul de spus este cu 7, adică are în scrierea sa 7, conţine cifra 7. Practic, vom avea secvenţe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 …, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 …, sau iarăşi 68, 69, bum, bum, bum, …(10 bum-uri la rând), 80 …, sau, pentru cei mai avansaţi, 268, 269, bum, bum, bum, …(11 bum-uri la rând), 281, 282 …

Cine greşeşte iese din joc. Câştigă ultimii doi rămaşi în joc (la doi jucători, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac în cap (fiecare cum îl duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia în urma unor calcule de tipul 84 = 70 + 14 (spun Bum) sau 163 = 2∙70 + 23 (spun numărul), trebuind însă să fiu tot timpul atent şi la cifra 7: 157 = 140 + 17, dar conţine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea că el, la elevii buni, joacă cu următorul supliment: când sunt îndeplinite două criterii de bum, atunci se spune totuşi numărul; de exemplu la 175 sau la 177.

La început jocul se termină repede, dar dacă se va exersa din când în când, elevii încep să meargă tot mai mult, ajungându-se în cazuri bune dincolo de 300. Problema este că şi durata jocului creşte corespunzător. Elevii care au ieşit se plictisesc rău de tot (ar trebui să aibă o ocupaţie, de pildă o fişă de lucru). Astfel jocul este bun în ore din acelea pierdute (sfârşitul semestrului, sau când trebuie să suplinim la o clasă care nu are caietele de matematică). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, când elevii sunt foarte bucuroşi de un astfel de divertisment. CTG