Prea devreme! – (2) Formule generale până la n

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Uneori am impresia că acestea se întâmplă din indeferenţă, alteori din dorinţa de a epata a unor profesori, pe baza unor gânduri de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? (cel puţin în cadrul lecţiei de introducere). De ce? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice... Alteori poate că se întâmplă dintr-un fel de frică; frica de a nu primi observaţii din partea unor colegi, ceva de genul: “Cum, nu şti forma generală, cea de vârf? Doar atâta poţi?” (am vorbit de curând despre această mentalitate).

În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme mult prea elevate pentru o primă abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale (când – nota bene – lecţiile se adresează tuturor elevilor, aceştia nefiind încă selectaţi de EN). În articolul precedent am luat ca exemplu chiar o situaţie în care este folosit un cuvânt ce se introduce oficial de-abia peste doi ani. Am analizat astfel situaţia interzisă în predarea matematicii când elevilor li se introduce o noţiune nouă folosind o altă noţiune necunoscută, încă neintrodusă. Oare nu ar trebui să existe un DNA, o poliţie a matematicii. un fel de radar pentru profesorii care “circulă cu mult prea mare viteză”, trecând “de pe o bandă pe cealaltă” şi “depăşind pe linie continuă” prin lecţiile gimnaziale?

Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii au defalcate şi studiate aici multe categorii), rezultatul evident fiind îndepărtarea de matematică. În funcţie de posibilităţi, părinţii reacţionează angajând un meditator. Cu cât aceste fapte se întâmplă mai devreme şi mai puternic, cu atât meditaţiile tind să pornească şi ele mai devreme (cel puţin în Cluj nu mai este nimic special ca elevii să aibă meditator din clasa a 5-a).

*

Să abordăm acum cel de-al doilea exemplu propus, anume folosirea scrierilor generale, acelea cu “…” (cu puncte-puncte) şi până la n, desigur cu numere generale, adică cu litere şi indici. Ca să nu existe neclarităţi, am scris pe o foaie de hârtie câteva exemple de astfel de scrieri, pasaje ce dau fiori unor clase întregi, blocând din start gândirea marii majorităţi a elevilor la primul contact cu acestea.

Sunt pline cărţile cu astfel de prezentări, dar am preferat să le scriu eu cu mânuţa mea. Nici pe calculator nu am vrut să le scriu, ca să nu ajungem la subiectul “datului mare” (dar e clar că acestea ar fi “numai bune” la un curs de reciclare a celor din vârsta a III-a în scrierea “ecuaţiilor”). Nu le-am pus neapărat în ordinea apariţiei lor conform programei. Este clar că “monstrul monştrilor” este formula ce doreşte să descrie transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, care mie mi-a ocupat un rând întreg, aceasta înţinzându-se pe toată lăţimea paginii A4. Să ne gândim puţin, oare cum arată aceasta în caietul unui puşti de final de a 5-a, care scrie puţin mai mare, poate chiar mai lăbărţat.

Înainte de a intra în discuţia acestor scrieri, merită să fac o observaţie filozofică. În lucrarea sa Marele roman al matematicii, Mickaël Launay, Ed. Trei, 2021, autorul vorbeşte la pag. 276 despre iniţiativa lui David Hilbert, la începutul sec. XX, înspre o teorie generală care să unească toate marile zone matematice, teorie care prezentată axiomatic să ferească această ştiinţă de cutremure de felul celei legate de axioma paralelelor la începutul sec. XIX. Este apoi dat în această carte şi exemplul primilor matematicieni care au reuşit aşa o “mândră minune”, britanicii Alfred North Whitehead şi Bertrand Russell, care între 1910 şi 1913 publică o lucrare în trei volume, denumită Principia Mathematica. Nu mă pot abţine în acest sens, să nu văd scrierile reproduse mai sus ca “sforţări de generalizare” a unor mărunţi matematicieni care doresc şi ei să se împăuneze drept nişte demni urmaşi ai lui David Hilbert, ca nişte mici continuatori ai acestuia. Da’ bine v-aţi trezit s-o faceţi stimabililor, la elevi de-a 5-a şi a 6-a din şcolile de masă? Dar să revenim pe plaiurile mioritice şi să studiem exemplele noastre de scriere generalizată.

Prima întrebare ce îmi trece prin minte este dacă autorii care pun astfel de scrieri în cărţile lor chiar se gândesc că elevii care le vor citi le vor şi înţelege. Vorbesc aici de o adevărată înţelegere la vârstele gimnaziale, nu o simplă învăţare pe de rost şi o posibilă redare fără greşeală, la o verificare. Totodată mă gândesc desigur la o înţelegere directă, nu la una când un adult (părinte sau meditator) îi explică ulterior copilului că “ce şi cum” în scrierea respectivă. Părerea mea este că cei mai mulţi astfel de autori nu au omeneşte cum să gândeasc aşa ceva. Atunci, de ce o fac? Logica ar fi ceva de genul: pentru că aşa se obişnuieşte – un fel de modă – şi oricum “de frică” să nu fie atacaţi că nu pun forma cea mai elevată, sau poate dintr-un fel de mândrie, de orgoliu profesional, pentru a arăta că o stăpânesc. Cât despre elevi în sine: las’ că le explică cineva …

Faptul că nici autorii respectivi nu cred realist în accesibilitatea acestor scrieri se vede de pildă într-una din renumitele culegeri cu teste pentru EN din clasa a 8-a, la partea de recapitulare a materiei de clasele 5-8, acolo unde autorii au pus transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare, atât în forma acestor scrieri generaliste, cât şi imediat alăturat în forma unor exemple numerice concrete (un fel de tabel). Gestul respectiv este foarte bun, însă va avea efect doar dacă elevii mai apucă să se şi uite alături la exemplele concrete, adică nu rămân cumva doar cu spaima şi cu blocajul corespunzător vizualizării formulelor generale. Toate acestea ar reprezenta gânduri legate de accesibilitatea respectivelor scrieri la nivelul elevilor de gimnaziu (a marii mase a elevilor, adică înainte de marea selectare în urma admiterii la liceu).

În mod similar, într-o altă lucrare, redactată ca auxiliar şi destinată direct elevilor de a 5-a, fără nici cea mai mică explicaţie, în finalul pasajului de teorie a transformărilor respective, autorii au mai reluat o dată teoria pe exemple de lungimi particulare, dar scrise totuşi generalist cu diferite litere (a, b, c, d) şi nu cu o literă cu indici. Dacă le-ar fi dat pe acestea primele şi însoţite de nişte explicaţii, că ce vor acele scrieri, atunci poate că unii elevi le-ar fi înţeles; aşa însă, mă îndoiesc că înţelege careva acasă fără “traducere” din partea unui adult sau măcar a unui frate mai mare.

Eu aş pune însă şi următoarea întrebare: oare, unde este predarea intuitivă recomandată prin programa din 2017, cel puţin pentru primele clase gimnaziale, în predarea acestor noţiuni? Dar, mai ales, unde este mentalitatea de predare intuitivă din mintea autorilor, în general a profesorilor? “Ce-i aia?“, veţi întreba. Pentru că – da –nimeni nu s-a ocupat să prezinte aşa ceva profesorilor. Doar s-a cerut prin noua programă, recomandându-se foarte civilizat să se folosească o predare mai intuitivă. Aici îmi permit o observaţie la adresa autorilor sugestiilor metodologice din deschiderea programei de gimnaziu 2017. În lumea profesorilor de matematică din şcolile româneşti din această epocă post-comunistă, oamenii nu reacţionează eficient decât tot doar în urma unor presiuni destul de dure din partea autorităţilor. Profesorii au fost obligaţi în mod deosebit de dur să abandoneze predarea intuitivă începând orientativ din 1980, deci ca politică de stat pe parcursul a zece ani (până în 1989). În anii ’90 predarea riguros teoretică era deja înpământenită în mentalul general, în acei ani continuându-se politica de predare riguroasă, deoarece nimeni nu a pus-o în discuţie. Cât despre noii absolvenţi de facultăţi, toţi profesorii proaspeţi de matematică ieşeau oricum de pe băncile facultăţilor fără nici cea mai mică urmă de metodă intuitivă în predare (cei mai mulţi, ca să nu exagerez: eu am găsit câţiva care stăpânesc destul de bine predarea intuitivă). Acum, din marea majoritate, nimeni nu prea mai este dispus să facă pasul înapoi, mai ales că este vorba despre un pas “în necunoscut”: nimeni nu mai ştie ce-i aia predare intuitivă. Dovada? Formulele de tipul scrierilor de mai sus.

Ce-i de făcut? Sunt absolut sigur că dacă s-ar dori cu adevărat, s-ar putea face trecerea şi înapoi. Trebuie doar declarată un fel de “politică de stat” trecerea înapoi la folosirea intuiţiei adevărate. Din păcate, nici voinţă nu se prea vede în acest sens, nici o lămurire clară a breslei nu este “target-ată” cu adevărat, dar nici măcar pentru cei ce ar dori să o facă pe cont propriu nu există clar o bază bibliografică în direcţia respectivă. Doar “s-a sugerat” în Sugestiile metodologice prin repetarea aproape obsesivă a cuvântului intuitiv (de 20 ori, în diferite forme). Şi, cine nu vrea, sau cine nu înţelege ce-i aia, sau cine a uitat pur şi simplu, luându-se cu altele, sau cine a înţeles-o total greşit ideea asta cu folosirea intuiţiei, adică pentru marea masă a profesorilor, ce se întâmplă dacă nu se conformează acestor sugestii? Nimic nu se întâmplă, pentru că nu mai suntem în comunism, veţi răspunde. Stalin spunea despre sugestiile şi recomandările primelor plane cincinale că sunt obligatorii; pe când a ajuns sistemul respectiv la noi, cel puţin prin anii ’80, ştim noi cât mai era de “obligatoriu” planul cincinal (aveam desigur experienţă de secole cu fentarea diferitelor imperii care încercau să “tragă pielea de pe noi”; povestea cu apariţia cuvântului şmecher din germanul Schmecker este absolut sugestivă în acest sens). Cam aşa au fost preluate de către profesorii de matematică şi sugestiile metodologice din programa de gimnaziu din 2017. Pentru cine încă nu crede ce tot zic eu aici, luaţi ca exemplu scrierile de mai sus.

Dar cum ar trebui predate acestea? Simplu: câteva exemple de diferite lungimi (cu 3, apoi cu 4 sau cu 5 termeni, adică nu cu n termeni) sunt suficiente pentru orice elev care vrea să înveţe. Iar pentru cei care tot nu le înţeleg sau nu vor să le înveţe, pentru aceştia fiţi siguri că formulele generale oricum nu vor schimba situaţia (eventual doar le vor confirma poziţia). Ce este important e ca atât pe tablă, cât şi în caietul elevilor aceste exemple cu rol de model să fie înrămate ca orice formule (eu chiar scriu lângă sau sub ele, sau deasupra lor cuvântul MODEL, cu majuscule). Asta îi atrage atenţia că acolo este ceva foarte important, este uşor de găsit şi ajută la ideea că trebuie învăţat ca principiu, dar nu pe de rost!

Astfel de modele activează instant un tip de înţelegere intuitivă a fenomenului. Elevul nu are nici cea mai mică problemă să-şi imagineze o nouă situaţie similară, dar cu alte cifre şi cu alte lungimi ale fenomenului (câţi termeni în media aritmetică ponderată sau câte cifre în perioada unei fracţii zecimale de transformat în fracţie ordinară). Privind gândirea copilului în acest moment, putem spune că intuiţia este de fapt o gândire logică într-o formă primitivă, nedezvoltată, neevoluată la un nivel “maturizat” al gândului. Gândirea elevului “se forţează” în acele momente, dar este o forţare mult mai accesibilă majorităţii, se forţează să cuprindă noua realitate, să înţeleagă pe mintea lui “cum se face, care este regula aici”. Această forţare, cu doar puţine explicaţii, îi activează intuiţia, generând încet dar sigur gândire.

Folosirea cât mai des a acestui tip de paşi activatori de gânduri logice pentru înţelegerea unui fenomen, duce cu timpul la formarea unei gândiri observaţionale raţionale solide, practic formează gândirea. Dimpotrivă, formulele generale sigur nu formează gândire la vârstele gimnaziale. Redarea unor astfel de formule învăţate pe de rost este doar dovada unei capacităţi deosebite de a învăţa pe de rost orice (respectiv altceva decât un text care rimează, pentru că aia este din nou un alt tip de memorare). În nici un caz însă redarea unor astfel de formule generale nu este o dovadă a înţelegerii fenomenului în gimnaziu, darămite o dovadă de gândire (în liceu, la clasele cu matematică mai serioasă, acolo se prea poate să fie aşa; mai exact, în liceu poate apărea înţelegera formulelor generale, dacă înainte, în gimnaziu, a fost exersată înţelegerea intuitivă pe baza exemplelor particulare). Teoretic, nu le-aş exclude astfel de situaţii şi în gimnaziu, dar cred că sunt extrem de rare cazurile când un elev de la acest nivel poate să redea aceste formule generale şi le şi înţelege cu adevărat.

Ca o paranteză, nu vreau să iau aici în considerare situaţii artificiale când cineva ar petrece suficient timp cu un copil sau cu o grupă, cu o clasă, pentru înţelegerea sistemului redacţional al acestor formule generale, analizând totodată suficiente exemple astfel încât elevul/ elevii respectivi să ajungă a înţelege şi a stăpâni sistemul respectiv, totul pentru a-mi demonstra mie că nu am dreptate în cele afirmate mai sus. Desigur că se poate face aşa ceva, dar cine petrece atâta timp doar pentru ca elevii să priceapă un sistem general de redactare a formulelor, sistem care le este total străin şi nu le trebuie nicunde. Şi, cam cât timp ar lua să-i aduci pe unii de-a 5-a, pe toată clasa, şă ştie toţi cu adevărat astfel de scrieri, fie aceasta şiîntr-o clasă bună, selectată? Probabil că doar olimpicii percutează eficient la aceste scrieri.

Revenind în realitatea plauzibilă a lecţiilor de zicu zi, copilul se uită la modelul respectiv şi face “la fel” şi la exerciţiile primite. Făcând suficiente din acestea apare automatismul, se produce fixarea şi elevul “le ştie”. El nu va putea să-ţi redea o formulă generală dar va şti să rezolve exerciţii de acest fel (iar în gimnaziu asta i se şi cere).

Foarte important când dai astfel de modele este să nu dai situaţii dubioase, practic dublări de cifre (de pildă cifra 3 la întregi, dar şi cifra 3 între virgulă şi perioadă, la o fracţie zecimală mixtă), sau dubări de cantităţi (de pildă transformarea fracţiei 0,273(185), deci cu acelaşi număr de cifre în perioadă cât şi între virgulă şi perioadă).

Unele situaţii pot fi prezentate fără dubii printr-un singur exemplu dat ca model; la altele dimpotrivă înţelegerea are nevoie de două, uneori chiar trei exemple diferite. Se prea poate să ne pară că astfel scriem ceva mai mult decât o singură formulă generală, dar din exemple concrete mult mai mulţi elevi înţeleg situaţia, decât dintr-o formulă generală.

O modalitate interesantă la care putem apela pentru a veni în întâmpinarea înţelegerii unui exemplu–model este folosirea culorilor (eventual a sublinierilor cu diferite forme sau linii). De pildă, la modelul de prezentare a unei fracţii zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, eu subliniez de exemplu fiecare cifră dintre virgulă şi perioadă cu o mică “paranteză” pătrată verde (să zicem) şi la fel sub zero-urile corespunzătoare de la numitor, iar fiecare cifră din perioadă cu o “paranteză” rotundă roşie (dacă am) şi la fel la 9-urile corespunzătoare de la numitor. Desigur că aceste convenţii le păstrez la întregul pacheţel de modele de transformare a fracţiilor zecimale în fracţii periodice, asta pentru a da siguranţă înţelegirii intuitive în procesul de transformare a acesteia în gândire, respectiv în sintetizarea în mintea copilului a unor reguli clare (pe care desigur că nu vreau să i le dau în text, pentru că atunci avem o altă belea: elevii încep să înveţe pe de rost texte, fără a înţelege o iotă din ce spun).

Astfel, de fiecare dată când prezint transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare prin modele, eu încep cu un exemplu de transformare a fracţiilor zecimale finite în fracţie ordinară. Culoarea şi forma folosite aici le voi păstra apoi şi la fracţiile periodice mixte, la partea dintre virgulă şi perioadă. În tabloul final elevii le pot vedea dintr-o privire care cu care se leagă (de pildă două paranteze pătrate verzi sub cele două cifre dintre virgulă şi perioadă, dar şi sub cele două zero-uri de la numitor, apoi trei paranteze rotunde roşii sub cele trei cifre din perioadă, dar şi sub cele trei cifre de 9 de la numitor; la fracţia zecimală finită apăreau astfel în primul exemplu doar paranteze verzi pătrate).

Revenind la alegerea exemplelor din care elevii să “deducă intuitiv” regula şi peste zile sau săptămâni, atunci când se uită în urmă şi găseşte modelul înrămat, există desigur pericolul apariţiei unor exemple care produc o sugerare intuitivă către o regulă greşită. De pildă, la exemplul 1 : 3 = 0,(3) trebuie neapărat să dăm imediat şi un exemplu de felul 5 : 3 = 1,(6), pentru a nu permite confuzii. După primul exemplu elevul ar putea fi tentat să considere că împărţitorul se pune în perioadă (mai nou, la această lecţie). Exemplul al doilea (cu împărţirea alăturată) ne exclude o astfel de posibilitate de “înţelegere”, astfel încât, chiar dacă este mai dificil, elevul va înţelege sursa corectă a modelului. De fapt, primul exemplu de aici este un foarte bun contraexemplu despre cum nu ar trebui să fie alese astfel de modele de rezolvare (am mai discutat pe larg despre alegerea acestor exemple).

În acest context, revenind la predarea intuitivă, noi trebuie să avem în vedere că intuiţia în formele ei iniţiale de manifestare nu este neapărat o gândire logică foarte stabil corectă. Impresiile intuitive ne pot înşela, iar elevii din vremurile noastre sunt deosebit de vulnerabili la acest fenomen. Asta se întâmplă şi pentru că nu mai au atâta de multă răbdare (ca în urmă cu 20-30 de ani), folosirea în masă a ecranelor de toate tipurile ducând la un deficit de atenţie generalizat la marea masă a populaţiei şcolare (iar cei doi ani de predare online numai nu au ajutat la preîntâmpinarea acestui fenomen).

Aşadar, ca să închei într-un mod fără echivoc, rezum acest eseu printr-un NU! foarte hotărât împotriva folosirii formulelor generale cu n termeni în clasele gimnaziale, la introducerea în lecţii; cel mult la recapitularea din a 8-a pentru EN, dar atunci neapărat însoţite de exemple (în acest caz însă cu exemplele date mai întâi, şi doar apoi în forma generală). C. Titus Grigorovici

P.S. Un astfel de exemplu “la jumătatea drumului”, adică într-o formă semigeneralizată, am găsit într-o carte veche de pregătire a admiterii în licee. Este vorba de lucrarea MATEMATICĂ pentru candidaţii la examenele de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, din 1970, autori Maria Dinescu, Ivanca Olivotto, Rosa Gruia. Exemplul respectiv vroia să demonstreze de ce fracţiile periodice simple se transformă în fracţii ordinare cu partea din perioadă la numărător, iar la numitor atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă. Este evident că la vremea respectivă autorii au considerat că în clasa a 8-a elevii pot duce atâta generalizare şi nu mai mult. Iată materialul respectiv de la pag. 38-39:

Pe exemplul de mai sus putem filozofa puţin, observând cui i se adresează această lucrare, deci şi materialul reprodus aici, anume candidaţilor la examenele de admitere în licee, adică sigur nu marii mase a populaţiei şcolare, fie ea şi doar de la oraşe. Pe vremea respectivă examenul din finalul clasei a 8-a era benevol, nu general, deci şî pregătirea “aşişderea”! Trebuie precizat totodată că pe vremea aia elevii mergeau la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani şi împlineau 14 ani în clasa a 8-a. Am putea astfel asimila vârsta respectivă cu cea a elevilor actualli de a 7-a.

Revenind la scrierea de mai sus, vedem că pasajul generalizat apare în sensul demonstrativ (10n – 1), nu în sensul rezultatului (999…9), şi desigur doar după câteva exemple concrete (nu cum se face acum în sens prea elevat teoreticist, anume că se dă mai întâi teoria generalizată, iar apoi câteva exemple de înţelegere). După pasajul reprodus aici, în cartea respectivă urmează ca a doua regulă şi deducerea pe exemple a variantelor cu fracţii zecimale periodice mixte, doar că la acestea autorii nu au mai prezentat şi o scriere generală (!!!). Probabil că au considerat că acestea sunt clar prea grele, chiar şi pentru elevii de final de ciclu gimnazial. Las’ că “noi” le dăm la ora actuală chiar şi în clasa a 5-a! Oare a fost făcut un studiu despre care eu încă n-am aflat, un studiu, conform căruia din 1970 şi până acum să fi evoluat puternic inteligenţa elevilor români??? În sus, desigur!

Adaptând cele de mai sus, la recapitularea din clasa a 8-a (sau poate în a 7-a, atunci când ne întâlnim cu o astfel de situaţie), eu folosesc o scriere parţial generală, respectiv parţial particulară, care am văzut că prinde bine la elevi (în finalul gimnaziului la cei mai mulţi). Astfel, considerăm numărul N = 0,(abc), care este apoi “prelucrat” puţin, fiind înmulţit cu 1000, obţinându-se astfel 1000 N = abc,(abc). Vă rog să puneţi dvs. bara de scriere zecimală deasupra, deşi aţi văzut că în lucrarea din 1970 nu apare. Scăzând cele două egalităţi obţinem că 999 N = abc, de unde deducem că N =  abc/999 (tot cu bară deasupra). Vedeţi cu demonstrţia respectivă are o parte clară de “caz particular”, faptul că sunt exact trei cifre în perioadă, dar şi o parte de situaţie generală, faptul că nu sunt date trei cifre concrete în perioadă, ci sunt date litere. Evit însă să dau o literă repetată cu diferiţi indici.

Apropos de bara deasupra folosită în România pentru scrierea zecimală generalizată, adică atunci când cifrele nu sunt date concret, numeric: este evident că la mulţi elevi aceasta poate produce mare bulversare, mai ales atunci când este folosită în scrieri cu fracţii ordinare. Imaginaţi-vă copiii aceia care încearcă să copieze frumos de pe tablă (de obicei elevi care au şi rămas puţin în urmă, poate pentru că profesoara tocmai scria, şi deci nu se vedea la tablă), iar când se uită nici nu înţeleg de ce în scrierea respectivă apare linie şi deasupra, sau apar uneori chiar două linii de fracţii. Folosită o astfel de scriere în clasa a 5-a, alături de folosirea literelor, cu indicii respectivi, în care mai apare şi pasajul cu “puncte puncte”, aceasta duce la blocarea generală şi sperierea definitivă a elevilor. Fără discuţie!

P.P.S. Dacă aveţi impresia că le-am spus “pe toate” atunci vă înşelaţi. Am găsit într-o culegere (nu spui care!) o astfel de generalizare la geometrie, concret la lecţia despre poligoane regulate din clasa a7-a, unde desigur am putea să discutăm despre poligoane regulate cu 3; 4; …; n laturi. Este o culegere care la începutul fiecărei lecţie prezintă pe scurt partea teoretică, fără demonstraţii, dar mai ales, la multe lecţii fără figura corenspunzătoare. Ei, dar la această lecţie autorii s-au gândit să dea totuşi o figură, însă numai una (ca să nu ocupe prea mult loc). Aşa că au dat o figură generală pentru un poligon regulat “cu n laturi”. Uau! Am trăit să o văd şi pe asta!

Gândiţi-vă ce poate înţelege un elev de clasa a 7-a din această figură, un elev care n-a văzut în viaţa lui un poligon regulat cu mai multe laturi. Apropos scriere corecte, veţi spune, lipsesc renumitele “…” (puncte puncte), care să transmită mesajul “şi tot aşa mai departe, până la”.

Ca să nu închei pe acest ton dur, ci să dau şi o soluţie, din experienţa mea în acest sens, eu consider că elevii vor înţelege uşor, intuitiv, ce-i acela un poligon regulat dacă le vom da următoarele elemente. În primul rând, eu le scriu o listă cu denumirile poligoanelor regulate, începând cu triunghiul echilateral şi cu pătratul, şi mergând măcar până la decagon şi dodecagon (explicându-le desigur originea denumirilor în numerele pe limba greacă). În condiţiile actuale această listă ar putea acţiona ca suficientă şi de una singură, cu precizarea de temă să caute pe net imagini cu acestea.

În al doilea rând, eu petrec cu ei timpul pentru a construi un octogon regulat. Acesta îmbină cel mai bine accesibilitatea cu înţelegerea fenomenului general. Înaintea studiului ariei discului, mai fac de obicei şi construcţia unui dodecagon regulat (12 laturi) prin împărţirea cercului cu raportorul, pentru a-i calcula aria (3r2; se face cu cateta opusă unghiului de 30o; ulterior, la după lecţia de trigonometrie, se poate determina ca exerciţiu şi formula ariei octogonului regulat în funcţie de rază).

De fapt, nu pot spune dacă este mai bine să le dăm întâi lista cu toate acele denumiri ciudate (pentagon, hexagon, heptagon, octogon etc.) şi doar apoi să desenăm un octogon regulat, sau dimpotrivă să desenăm mai întâi unul din acesta ca exemplu pentru înţelegerea titlului şi, doar apoi lista cu denumirile respective. Din punct de vedere metodolocic, fiecare variantă are aventajele ei. Oricum, sigur este că de-abia apoi, cel mai bine în ora următoare, putem să predăm cazurile particulare studiate tradiţional în România (cele cu formulele respective de arie, înălţime, apotemă etc. pentru triunghi echilateral, pătrat şi hexagon regulat). Să filozofăm puţin pe seama acestora trei.

Atât triunghiul echilateral, cât şi pătratul, au “o viaţă” separată de ideea de poligon regulat. Ca să le înţelegi apartenenţa lor la “familia” poligoanelor regulate trebuie să înţelegi mai întâi această familie pe nişte cazuri mai apropiate de ideea generală de “poligon regulat”. Hexagonul regulat se mai apropie puţin de această idee generală, dar acesta are proprietatea absolut specială că este format din şase triunghiuri echilaterale. Pentru a înţelege faptul că aceasta este o proprietate absolut remarcabilă, trebuie să avem viziunea de ansamblu, anume că poligonul regulat este compus din  mai multe triunghiuri în general isoscele dispuse “roată în jurul vârfului” (şi de obicei triunghiul isoscel este perceput ceva mai strâns decât cel echilateral). De-abia după înţelegerea măcar a unui caz cu mai multe laturi şi cu unghiurile la centru mai ascuţite, se poate merge la triunghiul echilateral (care se descompune în trei triunghiuri isoscele obtuzunghice), apoi la pătrat (care se descompune în patru triunghiuri isoscele dreptunghice), respectiv la hexagonul regulat (exagonul, cum îl denumesc unii colegi) care se descompune în şase triunghiuri şi care de data asta sunt chiar echilaterale, fiind isoscele cu unghiul la centru de 60o. Aici poate fi observată o mare bucurie la mulţi elevi obişnuiţi (“elevul mijlociu” al lui Hollinger).

În acest context, nu pot să nu observ la figura de mai sus că aceasta prezintă de fapt o jumătate dintr-un hexagon regulat, în care de fapt singurul triunghi isoscel desenat complet este un triunghi echilateral. Pe lângă faptul că şi din acest motiv abordarea generalistă respectivă nu poate conduce mintea copiilor spre realitatea că “un pologon regulat cu n laturi este compus din n triunghiuri isoscele“, eu mă întreb dacă autorii respectivi ştiu ce-i acela un poligon regulat, altul decât cele trei cazuri obligatorii prin programă. Cred totuşi că ştiu, dar nu-i dau defel atenţie fenomenului. Dar atunci mă întreb, de ce mai denumim lecţia respectivă “Poligoane regulate”? Aşa, ca să ne dăm mari cu încă o noţiune ciudată, pe care elevii n-au cum să o înţeleagă? Doar aşa, ca să priceapă cât sunt ei de proşti şi cât suntem noi de deştepţi?

Plecând de la respectivele triunghiuri isoscele cărora le putem stabili unghiul din vârf, cel de la centrul cercului, se pot desigur determina şi unghiurile poligonului regulat în diferite cazuri particulare (sarcină accesibilă şi totuşi nebanală pentru “elevul mijlociu”), dar din păcate această parte a fost scoasă din materie, deci profesorul este atacabil dacă o parcurge şi o cere ca sarcină de lucru şi de evaluare (că pentru olimpici oricum nu se fac “banalităţi” de felul ăsta). Astfel, pentru cei doritori, pentagonul (ca să apară şi acesta) sau decagonul oferă calcule banale, la fel şi nonagonul; octogonul face o şmecherie în care aparent elevii dau de fracţie zecimală în procesul de calcul, dar în final rezultatul este tot o măsură întreagă. Aici ajunge să se activeze gândirea într-un mod magistral, pe baza unui exemplu de dilemă cognitivă foarte drăguţ. Dar, cine mai face chestiuni din acestea?

Toate acestea însă, nu sunt valabile pentru autorii auxiliarului din care am găsit figura de mai sus (nici excluderea din materie, nici studiul situaţiei pe cazuri concrete, altele decât cele trei obligatorii din programă). Aceştia prezintă alături de figura respectivă şi formula generală în funcţie de n pentru măsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi. De ce? De aia! Că pot!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Enter Captcha Here : *

Reload Image

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.