Geometria sintetica în clasa a 9-a – (3) Utilitatea practică a geometriei

Săptămânile trecute am început să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale. Sunt conştient că tema este oarecum fără de sfârşit şi în nici un caz nu-mi propun o tratare exhaustivă a acestui subiect. Doresc totuşi să abordez pe scurt şi o urmare practică a necontinuării studiului geometriei sintetice în licee.

Mai exact, vreau să vă prezint două întâmplări care vorbesc despre utilitatea geometriei, respectiv despre urmările neglijării geometriei în liceu.. Prima mi-a fost evocată chiar azi (21.06, când am început să scriu prezentele rânduri) de către noua administratoare a şcolii noastre. Anul trecut, la fostul loc de muncă, la o firmă care se ocupa de instalaţii de apă, doi colegi aveau o discuţie pe care dânsa a auzit-o: un inginer tânăr, ce lucra de câţiva ani în firmă, îi explica altui inginer şi mai tânăr, pare-se proaspăt absolvent, că ţevile alea două sunt paralele. Cel mai tânăr a întrebat că “ce-i aia?”, la care doamna (actuala mea colegă) s-a întors şi a izbucnit, luându-l la rost cum de nu ştie ce-s alea drepte paralele.

În acest sens am atanţionat în primele părţi asupra faptului că geometria se uită puternic dacă nu este parcursă o a două oară. Bănuiesc că orice materie este supusă unui astfel de fenomen, dar mai ales cunoştinţele învăţate pe de rost, pentru a fi ştiute până la test, acestea se uită lejer în următorii ani. Între altele, se pare că foarte mulţi, atât elevi, cât şi profesorii sau părinţii, sunt tentaţi să folosească simpla învăţare pe de rost la învăţarea geometriei în gimnaziu. Aceasta este o urmare directă a cantităţii mari şi a nivelului ridicat al materiei, dar şi a bombardării copiilor în privat cu mult mai mulţi stimuli extraşcolari (filme, jocuri pe calculator, site-uri şi platforme de socializare, accesibilizate masiv de către posesia smartphone-urilor). Învăţarea pe de rost este aparent mult mai eficientă la însuşirea unui material, cel puţin pe scurtă durată, până la test, dar nu conferă o durabilitate a cunoştinţelor.

Dimpotrivă, învăţarea intuitivă, bazată pe scurte explicaţii, care apoi sunt direct aplicate în construcţii practice, urmată de folosirea practică repetată în diferite situaţii la un nivel accesibil (sigur nu de performanţă, cel puţin nu la început, când trebuie evitate derapajele spre nivelul de excelenţă), acestea oferă o soliditate mult mai bună a cunoştinţelor.

Învăţarea intuitiv-practică, cu multă repetare, este însă puternic limitată în ceea ce priveşte cantitatea cunoştinţelor şi viteza de însuşire a acestora. Repetarea în diferite situaţii mai are un avantaj: pentru cei care nu au înţeles din prima, aceştia o vor face de obicei la viitoarele repetări şi folosiri, ajungând până la urmă să-şi fixeze ideea. Probabil că viitorii adulţi nu vor putea reda peste ani definiţia dreptelor paralele, dar vor putea explică ce sunt acestea (aşa, arătând cu mâinile, sau “ca şinele de cale ferată”).

Rezumând aceste gânduri, este clar că cunoştinţele geometrice predate în sistemul actual în România sunt deosebit de vulnerabile la fenomenul uitării totale. La o a doua trecere prin geometrie însă, elevii vor învăţa geometria într-o formă mult mai profund pătrunsă (adică mai puţin pe de rost, ci mai gândită), astfel încât noţiunile de bază – cum este şi cea de paralelism – se vor stabiliza definitiv, fixându-se astfel în zona de limbaj uzual, ce nu se vor mai uita (spre deosebire de învăţarea pe de rost, care este una superficială).

Un al doilea exemplu vine din primul an de facultate al fiului meu (Design industrial la TCM în Universitatea Tehnică din Cluj; cu 10 ani în urmă). Prin toamnă ne-a spus că la un anumit curs nu se oboseşte să meargă şi chiar eram tare nemulţumiţi de acest fapt, dar el insista că nu este important (era încă în perioada de rebeliune a pubertăţii târzii). Înainte de vacanţa de iarnă a apărut acasă cu nişte xero-copii după notiţele unui coleg care frecventase cursul respectiv şi atunci am înţeles de ce nu-l considera demn de atenţie. Era un curs în care studenţii erau iniţiaţi în arta construcţiilor geometrice cu rigla şi compasul. Pe bune: acolo erau elemente pe care eu le-am învăţat în gimnaziu; actualmente le parcurg cu elevii în clasele 5-7. Fiul meu le cunoştea pentru că le făcuse şi el în gimnaziu petrecut la Liceul de arte plastice “Romulus Ladea” din Cluj.

Din păcate însă, majoritatea absovenţilor de liceu habar nu aveau despre acestea, aşa încât profesorii de la facultatea respectivă erau nevoiţi să pună în primul semestru un astfel de curs, pentru că multe din elementele de proiectare din alte cursuri se bazau pe noţiuni de construcţii geometrice. Deci pe scurt, În primul semestru din anul I la Politehnică se prezentau noţiuni de gimnaziu, pentru că la ora actuală în România, elevii învăţau doar teoretic toată geometria, şi o parcurgeau oricum doar în gimnaziu. Chiar aşa, cum ar fi aia să înveţi geometria practic, fără multă teorie şi fără interminabila listă de probleme de demonstrat? Dar, hai să lăsăm gluma de-o parte şi să analizăm câteva vorbe ale D-lui Prof. Radu Gologan, exprimate prin februarie, într-o emisiune la radio Europa fm.

Este vorba de emisiunea din seria Deşteptarea României cu Cătălin Striblea din 26 feb. 2021 (eu am reascultate-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ ; am mai citat din acea emisiune când am vorbit despre birocraţie), în care invitat a fost Dl. Gologan. În aer plutea întrebarea “ce aţi schimba de urgenţă în şcoala românească?”. Iată un pasaj interesant al discuţiei de atunci:

O ascultătoare: La matematică există o programă încărcată; profesorul îşi face “norma” pentru că trebuie să o facă: astăzi predă vectori, mâine n-avem timp de aplicaţii pentru că trebuie să predăm altceva … . Copilul vine acasă, şi tot aşa: azi un capitol, mâine un capitol, n-avem timp să facem aplicaţii pe exerciţii, pe ce s-a predat. Şi atunci noi (părinţii) suntem obligaţi să punem meditatori. Azi aşa, mâine aşa, … . Lucrurile trebuiesc schimbate; noi vorbim de mulţi ani. Cine-i “sistemul” ăsta, care nu ne lasă? De cel puţin şase ani de când vorbim de această programă.

Radu Gologan: Lucrurile ăstea le spun: există o mentalitate în sistemul de învăţământ, că aceste mari programe, curriculum se numesc ele la fiecare materie, trebuie să păstreze o anumită formă, datorită unei tradiţii şi datorită acestei idei prost înţelese, că un copil trebuie neapărat pentru viitorul lui să înveţe ASTA, ASTA şi ASTA; “Cum o să iasă din şcoală fără să ştie vectori?”, de exemplu. Eu vă spun, ca matematician: NU SE ÎNTÂMPLĂ NIMIC, cu un viitor intelectual, dacă în clasa a 9-a nu învaţă vectori, ci învaţă o geometrie sintetică, simplificată, care să-i placă, să înveţe să deseneze figurile bine pe calculator, să înveţe să sistematizeze, să înveţe să gândească singur cam ce teoreme ar fi nevoie. Acesta ar fi învăţământul matematic de care este nevoie în şcoală.

Sunt cu totul de acord cu acest punct de vedere şi, încurajat de aceste gânduri mi-am luat curajul să redactez prezentul eseu. O singură întrebare am aici: cum vor reuşi elevii de clasa a 9-a să deseneze figurile pe calculator, când ei nu au formată arta desenării figurilor pe hârtie, ei nu au în mintea lor principiile construcţiilor geometrice? (exactitate, trasarea liniilor drepte, măsurarea lungimii sau a unghiurilor, mişcarea compasului etc.) Întreb asta pentru că eu ştiu cât de puţin lucrează profesorii din gimnaziu în direcţia construcţiilor exacte a figurilor geometrice. Mă refer aici la practicarea acestui “meşteşug” zilnic la clasă, inclusiv profesorii cu instrumentele pe tablă, ca model în faţa elevilor, pentru a se creea anumite mişcări ale gândurilor în momentul efectuării construcţiei. Fără să mai discutăm că elevii nu au deloc experienţă în marile probleme ale construcţiilor geometrice (de pildă, găsirea centrului unui cerc anterior trasat, de exemplu cu un pahar).

Pentru cei care ar avea impulsul să mă contrazică despre afirmaţia că profesorii nu prea se obosesc să folosească instrumentele geometrice la tablă, astfel încât elevii să aibă un model despre cum se fac construcţiile, pentru aceşti cititori am un exemplu proaspăt. Întrebând recent un elev în final de clasa a 6-a de la un liceu de centru din Cluj despre cum a decurs predarea online la geometrie în acest an şcolar (cu aproape şase luni de online pentru ei), acesta mi-a spus că profesoara scria pe o tabletă. Nici vorbă de folosirea instrumentelor pentru figuri exacte. Bine, l-am întrebat, dar în cele cinci săptămâni din toamnă sau acum la revenirea fizică în clasă, de la jumătatea lunii Mai, a folosit instrumente geometrice la tablă? Răspunsul a fost fără echivoc: niciodată nu a văzut-o făcând o figură geometrică altfel decât cu mâna liberă. Eu intuiam răspunsul, pentru că întrebându-l despre cum ar desena un triunghi isoscel cu baza de 4 cm şi laturile congruente de 6 cm, acesta mi-a răspuns “cu liniarul”. Habar nu avea de folosirea compasului la acest desen.

M-am gândit în acel moment despre cât m-am agitat eu ca să le pot prezenta elevilor transmisiunea directă cu tabla (inclusiv cu mine fără mască), astfel încât elevii să vadă fiecare pas al construcţiilor cu instrumentele geometrice. Eu oricum nu eram mulţumit nici aşa, pentru că nu-i puteam verifica în timp real ce şi cum fac ei, fiecare pe caietul personal, şi nici nu-i puteam ajuta individual, pe caietul personal, dacă vedeam că nu înţeleg. Dar, oricum, eu le-am arătat mult-mult mai mult decât acest mare NIMIC despre care mi-a povestit respectivul elev.

Doresc să revin totuşi foarte scurt la vectori. Dacă nu vor fi făcuţi de către profesorii de matematică, atunci vectorii vor rămâne pe seama profesorilor de fizică, iar acest fapt va fi unul deosebit de benefic. Vectorii reprezintă un fenomen cu origini clare în fizică (în primul rând forţele), iar introducerea lor axiomatic abstractă, pe baza unei definiţii date de către profesorul de matematică este una dintre cele mai mari gafe ale matematicii şcolare. Aşa cum m-am exprimat în câteva rânduri că Teorema lui Pitagora este în primul rând un fenomen matematic, iar profesorilor de fizică ar trebui să li se interzică ferm folosirea acesteia înainte ca cei de matematică să o introducă, tot aşa profesorii de matematică nu ar trebui puşi în situaţia de a introduce definiţionist abstract vectorii (ca segmente orientate).

Mult mai cu sens ar fi ca profesorii să ia într-o clasă mai mare (a 10-a sau a 11-a) vectorii într-o abordare matematică. Atunci se va putea chiar porni de la o definiţie de segment orientat (deşi merge şi fără aceasta), spunând în paralel cu definiţia ceva de genul: ştim că vectorii sunt nişte reprezentări ale unor forţe, iar tot ce vom învăţa acum este de fapt de inspiraţie din fizică, dar haideţi să încercăm o abordare matematică şi să vedeţi voi câte lucruri interesante putem noi rezolva prin aceşti vectori. Dar haideţi să lăsăm vectorii în pace, pentru că altul este subiectul eseului de faţă.

Mă cândesc să mă opresc aici cu aceste rânduri, nu de alta dar, cum am mai spus, este un subiect pe care se poate continua la nesfârşit şi nu asta mi-am propus. Închei doar reluând încă o dată o idee dintre cele de mai sus exprimate de Dl. Profesor Gologan: să înveţe să gândească singur în clasa a 9-a. DAAA, iar asta s-ar putea face mult mai bine pe baza geometriei sintetice. C. Titus Grigorovici

P.S. Trebuie totuşi să evoc o întâmplare ce leagă ultimele rânduri scrise de un pasaj din partea a doua a acestui eseu, anume despre întâmplarea cu eleva care era tentată să înveţe reţetele de rezolvare pe de rost şi pe care eu mă străduiam să o fac să şi gândească. Este elevul tipic ce scotea înainte de teste un caiet impecabil cu toate formulele şi teoremele bine sistematizate şi le mai repeta încă o dată. Pe de altă parte, la simulările date în clasă se stresa intens; la fel a făcut şi la simularea oficială din martie, doar mult mai tare. Iată ce mi-a povestit la ieşirea de la examenul de EN, extraordinar de entuziasmată, de suna curtea de vocea ei: Domnule Diriginte, am uitat formula de volum a cubului! M-am stresat şi nu mi-o mai aduceam aminte! Şi ştiţi ce-am făcut? Am început să o iau pe numere – cum ne-aţi învăţat – şi să văd câte cubuleţe sunt de fiecare dată, şi mi-am refăcut formula gândind.

Am simţit că, în mintea ei, eu câştigasem “meciul”. Fata asta a înţeles că gândind va putea face mult mai mult decât doar învăţând pe de rost formule şi tocind rezolvări. Cum va fi însă de la toamnă? Pe ce linie va fi condusă această elevă? Profesorii din licee nu se vor putea schimba de azi pe mâine. Dar, poate, programa cea nouă va fi astfel concepută încât să-i împingă pe profesori spre o matematică mai “gândibilă”.

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (2) Câteva argumente

Săptămânile trecute îmi luam curajul să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale.

Am făcut-o pentru că – dacă încă n-au fost luate deciziile finale despre forma viitoarei programe de liceu – cât de curând aceste decizii vor fi luate şi este probabil ultima ocazie de a salva geometria tradiţională în România, parte a matematicii care ajunsese în anii ’60-’90 la nivelul unei mare arte (poate chiar din perioada interbelică). Pe mine nu mă interesează direct această artă, chiar dacă în mod cât de umil posibil, mă consider totuşi printre cei care o stăpânesc într-o măsură relativ bună. Pe mine mă interesează aceasta mai mult prin prisma felului în care practicarea artei geometriei contribuie la formarea gândirii raţionale a viitorilor adulţi, prin prisma felului în care rezolvarea problemelor de geometrie îi obişnuieşte pe elevi să-şi ordoneze datele unei situaţii, să-şi structureze gândurile şi să-şi analizeze opţiunile  pentru atingerea obiectivelor de atins.

În plus, eu consider importantă practicarea geometriei tradiţionale, pe baza figurilor şi corpurilor, deoarece aceasta conectează gândirea cu vederea în plan şi în spaţiu. Rezolvitorul unei probleme trebuie să-şi imagineze structura respectivă (la început structura este plană, apoi devine spaţială), această activitate formându-i cu timpul capacitatea de a vedea lucrurile fizice din jurul său şi de a-şi imagina viitoare structuri (de pildă cum ar arăta o anumită piesă de mobilă într-o cameră). Această capacitate odată formată, utilitatea ei poate fi transferată şi la structuri de alt tip, cum ar fi structurile organizatorice, temporale etc., structuri care nu au nimic cu locaţia în plan sau în spaţiu, dar la planificarea căreia este nevoie de imaginaţie şi de viziune. Da, până la urmă ajungem la concluzia că geometria sintetică dezvoltă imaginaţia în general şi capacitatea de a genera viziuni raţionale despre viitorul situaţiilor înconjurătoare (de exemplu capacitatea de a organiza o echipă pentru o anumită sarcină).

Desigur că cineva ar putea pune problema şi în felul următor: foarte bine că geometria dezvoltă toate acestea, s-o facă liniştită pănă în clasa a 8-a. Apoi, vin alte feluri de geometrii, care la rândul lor sigur dezvoltă şi ele ceva. De ce să mai lucrăm la geometria sintetică şi în liceu, de vreme ce am cam parcurs-o în gimnaziu? Îmi trec aici prin minte câteva direcţii de răspuns posibile.

Geometriile acelea, practicate în ultimul sfert de secol în licee, sunt de fapt diverse forme ale unei gândiri dominant algebrice (mă refer aici în principal la geometria analitică şi la geometria vectorială, dar şi trigonometria poate fi inclusă în această discuţie). Fiind izvorâte din geometrie, generarea acestora poate fi prezentată prin corelarea dintre geometrie şi algebră, dar mulţi profesori nu parcut generarea respectivelor geometrii (pentru a folosi ultimele ocazii de geometrie sintetică şi a beneficia de efectele sale formatoare asupra gândirii). Mă gândesc, de pildă, la demonstrarea renumitei condiţii pentru perpendicularitatea a două drepte prezentate prin ecuaţii, condiţie între pantele celor două drepte m1 · m2 = – 1 (nici nu ştiu dacă mai este în programă). Atitudinea este de a da direct formula şi nu  parcurg demonstraţia în astfel de cazuri, din dorinţa de a avea mai mult timp pentru aplicaţii; alteori poate se parcurg demonstraţii în forme algebrice sau trigonometrice, mult mai potrivite liceului (trigonometria din liceu este şi aceasta o parte de matematică cu caracteristici mai mult “algebrice” decât geometrice). Oricum o luăm, mulţi nu parcurg astfel de demonstraţii în forme geometrice, aşadar geometria în nici un caz nu se poate etala ca factor formator pe baza acestora în liceu (şi oricum, chiar dacă ar face-o, acestea ar reprezenta doar situaţii sporadice). Apropos, după părerea mea, geometriile algebrice sunt mult mai potrivite jumătăţii a doua a liceului, unde elevii ar putea să beneficieze de aspectul lor interdisciplinar, dar în clasa a 9-a acestea vin prea repede; doar trigonometria se potriveşte primei jumătăţi a liceului. Se pot găsi desigur şi alte exemple în sensul exemplificărilor de mai sus: mai parcurge cineva renumita demonstraţie a formulei cos (α – β)? (întrebare retorică). Oricum, cine mai face conştiincios şi responsabil cercul trigonometric?

Un alt argument ar ţine de evoluţia predării geometriei sintetice. În anii ’60-’70 aceasta atingea un nivel mediu la o primă trecere în gimnaziu, după care la o a doua trecere aceasta se ridica la un nivel mult mai evoluat. În anii ’80-’90 tot mai multe elemente grele de geometrie au fost coborâte în gimnaziu, fie oficial, prin programa şi manualele noi (vorbesc aici de reforma uitată din 1980), fie încet dar sigur prin preocuparea profesorilor pentru olimpiade. Astfel, la mijlocul anilor ’90 se părea că mare parte din geometria din clasele de liceu cam coborâse în gimnaziu, aşa încât la noua programă din 1997 s-a considerat că nu mai are rost o a doua parcurgere în liceu. Organizatorii noii programe nu au perceput însă curentul opus care apărea încă timid la vremea respectivă, anume că tot mai mulţi elevi nu făceau de fapt faţă geometriei prea încărcate din gimnaziu. Cu timpul, tot mai puternic am început să auzim voci despre faptul că matematica este prea grea şi ar trebui să fie accesibilizată.  Deja în 1998 (dacă bine ţin minte) s-a produs şi prima mişcare în acest sens, anume mutarea patrulaterelor din clasa a 6-a în a 7-a. Încet dar sigur au urmat şi alţi paşi gândiţi înspre simplificarea şi accesibilizarea geometriei gimnaziale, dar elementele scoase nu au putut fi retrimise de unde fuseseră aduse, pentru că acum geometria sintetică nu se mai studia în liceu.

Astfel, la ora actuală avem în gimnaziu o geometrie destul de adaptată vârstelor gimnaziale, să-i zicem “o geometrie suficient de infantilă”, dar nu mai avem şi o geometrie adaptată vârstelor de liceu, să-i spunem “o geometrie mai adultă”. Elementele exemplificate la începutul acestui eseu, pe care geometria ar trebui să le formeze la viitorul adult, acestea sunt specifice fazei de dezvoltare a liceanului. Cele mai multe dintre acestea nu pot fi dezvoltate realist in gimnaziu, nici din punct de vedere al elevului (nu este încă în faza de a le primi), nici din punct de vedere al materiei (încercând să se adapteze realităţii, anume cerinţelor marii părţi a societăţii, geometria din gimnaziu s-a infantilizat, ajungând la nivele similare cu cea din anii ’60-’70).

Ca urmare, partea matură a geometriei, de interacţiune şi gândire în contextul concertului tuturor domeniilor matematicii, această parte a geometriei sintetice nu prea mai este reprezentată în şcoala românească. Aşadar, nici efectul ei formator asupra viitorilor adulţi nu prea mai poate avea loc.

Eu mai văd aici şi un aspect relativ neevident, de natură psihologică. Dezvoltarea diferitelor capacităţi intelectuale (cum sunt cele despre care am vorbit la început) poate avea loc doar printr-un domeniu deja cunoscut. Elevul are nevoie de “puţină linişte” din partea noutăţilor teoretice, pentru a putea aprofunda un domeniu şi a beneficia de aspectele sale formatoare. Elevul are nevoie să-şi creeze o “zonă de confort” din punct de vedere teoretic, să se obişnuiască cu un anumit set de noţiuni teoretice şi de teoreme, cât şi de felul în care se aplică acestea, pentru a se putea apoi obişnui şi versa în aplicarea lor. Valuri de noi şi noi probleme de geometrie vor acţiona atunci asupra gândirii elevului aidoma antrenamentelor asupra unui sportiv. Şi, la fel ca şi în sport, “muşchii şi abilităţile de mişcare” specifice geometriei, toate acestea se pot dezvolta doar în urma multor antrenamente, întinse desigur pe o lungă perioadă de timp (şi desigur, aşa cum am mai spus, la o vârstă prielnică dezvoltării acestor abilităţi). Aşadar, trecând elevul tot timpul prin alte şi noi domenii, acesta va fi preocupat doar în a le înţelege şi a le cuprinde (fugărit fiind de momentele când va fi verificat; şi trebuie să recunoaştem că materia din România este una foarte fugărită) .

Dimpotrivă, lucrând într-un domeniu în care se simte deja în siguranţă, acolo elevul poate dezvolta alte şi alte capacităţi superioare, cum sunt cele amintite la început, care îi vor da – încet dar sigur – siguranţa necesară în gândirea sa. Aici putem aluneca foarte uşor într-o zonă profund psihoanalitică: o persoană care se simte sigură pe gândirea sa, aceasta nu va avea impulsul intern de a se lăuda tot timpul; dimpotrivă, o persoană conştientă de lipsurile sale interne va avea impulsul de a se lăuda tot timpul, încercând inconştient să-şi ascundă lipsurile. Perioada de gimnaziu este una în principal de acumulare de cunoştinţe în geometrie. Un elev lăsat să practice aceste cunoştinţe şi după examenul de EN (ce reprezintă un prag până la care aceste cunoştiinţe trebuie însuşite), un astfel de elev va ajunge şi să capete încredere în sine şi în gândirea sa. Dinpotrivă, un elev fugărit tot timpul prin noi şi noi elemente de materie, nelăsat să-şi stabilizeze o zonă de confort, pentru acesta frustrarea şi neîncrederea în sine, în propria gândire, vor deveni “a doua sa natură”. În cel mai bun caz aceştia se vor specializa în procesul stupid de învăţare pe de rost şi uitare imediat după testare, proces care nu are mare lucru de a face cu gândirea matematică.

Îmi permit să mai atrag atenţia şi asupra unui alt aspect, care se leagă cu acest moment al analizei noastre. În gimnaziu o mare parte din elevi vieţuiesc geometria doar prin prisma unor reţete. De pildă, la sfârşitul clasei a 6-a majoritatea elevilor, înţeleg prin “demonstraţie” a scrie o structură aparent argumentativă care are forma demonstraţiilor prin metoda triunghiurilor congruente, de obicei singurele care au fost repetate de mai multe ori la clasă pentru că sunt considerate “de bază”. În afara “marilor matematicieni”, restul elevilor se vor strădui să scrie ceva conform reţetei pentru care au fost “dresaţi”.

Eu văd acest fenomen când cunosc elevi la începutul clasei a 7-a. Atunci le dau ca primă situaţie de demonstrat următoatrea problemă (ca să-i văd cum le merg “rotiţele”): Un triunghi ABC oarecare; bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D; paralela prin D la baza [BC] taie latura [AB] în E; trebuie demonstrat că segmentele [BE] şi [DE] sunt congruente. Este probabil una din cele mai clare şi mai simple probleme de demponstraţie şi care totuşi, fără a fi banală, îi pune elevului mintea la contribuţie. Elevul cunoaşte toate elementele necesare, iar gândirea se vede prin faptul că rezolvitorul poate să-şi aleagă din multitudinea de lucruri învăţate exact acelea care combinate duc la argumentarea corectă. Din păcate, la foarte mulţi elevi (ca să nu spun dur “la majoritatea covârşitoare”) primesc la această problemă o rezolvare care mimează metoda triunghiurilor congruente (elevii găsesc ei care triunghiuri să fie congruente acolo, de obicei AED cu BED).

Este evident că toţi aceşti elevi nu au deprins încă arta gândirii, ci au fost doar dresaţi spre cea mai des întâlnită modalitate de rezolvare în clasa a 6-a. Astfel “educată” demonstraţia geometrică la un elev, acesta nu va fi în stare să genereze o argumentaţie corectă în cazul unei probleme care nu corespunde modelelor pentru care a fost “dresat”. Peste un an, doi, deja sunt mult mai mulţi care reuşesc să argumenteze corect la o problemă care nu corespunde neapărat reţetelor deja învăţate. Totuşi, chiar şi la finalul clasei a 8-a, o mare parte dintre elevii destul de buni la matematică lucrează încă dominant doar prin reţete. Orice situaţie care necesită o altă abordare decât cele deja însuşite îi blochează.

Iată un exemplu în acest sens: în ultima săptămână pentru clasa a 8-a din acest an şcolar i-am cerut unei eleve bune (are şanse solide la o notă mare) să-mi demonstreze renumita formulă de arie a triunghiului cu sinusul unui unghi (mă tot bâzâia cu formula respectivă). Habar nu avea de unde vine aceasta, pentru că ea a lucrat numai la însuşirea şi la antrenarea rezolvărilor prin reţete. Calea respectivă este una ce se poate dovedi de succes la examen, dar acest elev va rămâne doar cu atât din geometria sintetică, va rămâne cumva “sclavul” învăţării pe de rost, fără a şi pricepe conexiunile din spatele formulei. Chiar mai mult, din toată această perioadă ea va înţelege că a învăţa reţete de rezolvare este suficient, că nu este nevoie să gândeşti (ce-i aia gândire?), că de fapt asta reprezintă matematica.

Dimpotrivă, dacă ar continua încă doi an de demonstraţii geometrice, această elevă ar ajunge cu adevărat să gândească problemele de geometrie, să gândească cu adevărat pe structuri spaţiale (plane sau tridimensionale). Chiar dacă nu a reuşit să-şi formeze încă, până la EN, o gândire solidă, concentrându-se mai tot timpul să-şi însuşească noi şi noi cunoştinţe, dar şi să-şi însuşească reţete eficiente de rezolvare, dacă ar mai face doi ani de geometrie sintetică (chiar combinată cu tot felul de alte elemente), în liceu la acest elev s-ar forma până la urmă gândirea raţională matură prin antrenarea deciziilor în vederea combinării reţetelor potrivite.

Putem lua şi un exemplu de elev, unul mai slab la matematică. În ultima săptămână (în care absolvenţii de a 8-a apar la şcoală doar pentru consultaţii la mate şi română) am observat foarte clar la o elevă starea de bine şi confort în cadrul muncii pe subiectele de antrenament (cele oficiale sau din culegerile achiziţionate). Vorbesc aici despre o elevă despre care îmi amintesc cât era de slabă şi stresată la matematică în clasele 5-7, adică înainte de pandemie: era elevul tipic de nota 4,5 care promovează la limită, dar care de fapt nu ştie matematică, nici în zona de algebră, dar oricum nimic în zona de geometrie. La fel era şi în cele 6 săptămâni de şcoală fizică din toamna lui 2020. Nici nu mai vorbesc de liniştea totală din perioada de online. De-abia cândva prin primăvara clasei a 8-a am simţit că s-a apucat de lucru, iar acum o vedeam cum străluceşte de bucurie, reuşind în sfârşit şi ea să facă probleme de matematică, atât la algebră cât şi la geometrie. Nu cred că va lua probabil o notă foarte mare, dar va fi oricum într-o zonă sigură, undeva între 6 şi 8.

Impresiile despre care scriu sunt proaspete, din perioada în care prezentul text era deja redactat (acum doar completez), eu fiind impregnat de gândurile aşternute aici. Eleva respectivă era foarte bucuroasă că ştie şi ea în sfârşit la mate. Am lăudat-o ca să-i dau o ultimă doză de încredere înainte de examen, dar totodată am completat că ce bine ar fi să mai apuce în clasa a 9-a să stea puţin în materia asta, pe care în sfârşit a înţeles-o cum funcţionează, pentru a putea savura această stare de bine; din păcate însă vor veni repede alte şi alte lecţii, care o vor bulversa din nou, iar ea mi-a răspuns cu o stare de regret în mimica feţei că ştie că aşa va fi, dar că se bucură acum de starea actuală.

Oare de ce suntem atât de “răi” cu marea majoritate a elevilor, nelăsându-i să trăiască şi ei o vreme bucuria de a face matematică, aşa cum pot, chiar dacă nu vor ajunge mari matematicieni? Aceste gânduri se pot extrapola desigur şi asupra altor domenii decât geometria sintetică; de pildă, de ce nu se mai face la începutul clasei a 9-a partea aia de aritmetică superioară, pentru că de-abia atunci această parte minunată de matematică este cu adevărat accesibilă majorităţii elevilor (în clasele gimnaziale mici, înainte de 14 ani, aritmetica de divizibilitate şi împărţire cu rest este accesibilă doar olimpicilor).

Revenind la subiectul nostru şi rezumând, parcursă a doua oară după EN, geometria sintetică şi diversitatea sa de raţionamente vor ajunge să facă parte din “zona de confort” a majorităţii elevilor (desigur adaptată nivelelor de profile, mai tare la real, mai jos la uman, mai practic la profesională), fiind un refugiu intelectual în faţa valurilor de materie nouă (de care nu-i putem scuti, desigur). Elevii vor ajunge să se bucure când vor întâlni o situaţie ce implică geometria tradiţională şi gândirea aferentă. Astfel, elevii vor ajunge să resimtă bucurie în momentele când vor vedea că pot să gândească.

Cu alte cuvinte, în situaţia continuării elementelor de geometrie sintetică pentru încă doi ani, la sfârşitul clasei a 10-a (mai ales după ce elevii au fost selectaţii la niveluri aproximativ apropiate) este de aşteptat ca aceştia să dezvolte aptitudini de gândire mult mai bune decât la sfârşitul clasei a 8-a. Dacă geometria sintetică s-ar introduce şi în materia de la BAC, efectul ar fi şi mai puternic (evoluţia fiind “obligată” a avea loc în mod solid, în perioada de învăţare şi recapitulare din clasele 11-12). În mod corespunzător s-ar dezvolta şi toate abilităţile generale ale viitorului adult ce sunt dezvoltate de către gândirea raţională exersată şi antrenată prin demonstraţia geometrică.

De aici încolo, pe linia acestui subiect ar trebui să intervină, adică să fie activate, persoane care sunt atât specializate în psihologie, dar care au şi abilităţi şi experienţă bună în matematică. Altfel spus, eu recomand atragerea şi implicarea unor psihologi de calibru, care pot dovedi însă că în viaţa de licean au învăţat bine geometria (deci le ştiu pe amândouă, dar mai ales nu au frică de geometrie). Cei mai buni, desigur, ar fi persoane care au atât facultate de matematică, cât şi facultate de psihologie. În sensul muncii mele, eu mă simt ales de soartă să fi avut o astfel de colegă pentru câţiva ani buni. Discuţiile cu ea m-au luminat şi m-au ajutat să-mi clarific linia pe care muncesc. Astfel de specialişti ar putea lămuri mult mai bine decât mine felul cum geometriea sintetică ajută în direcţia formării abilităţilor extramatematice generale.  C. Titus Grigorovici

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (1) Un semnal de alarmă

– Eu am terminat liceul de informatică, aşa că l-am putut ajuta pe fiul meu la matematică, dar la geometrie nu mă pricep să-l ajut.

Mă uitam buimac la doamna din faţa mea (mama unui elev de clasa a 8-a) şi nu-mi venea a crede ce auzeam: cum adică ai făcut liceul de info (Liceul de informatică Tiberiu Popoviciu din Cluj), deci te pricepi bine la matematică (cunosc foarte bine atmosfera din acest liceu unde a absolvit soţia mea, cât şi fraţii ei), dar nu te pricepi la geometrie? M-am repliat repede şi am întrebat-o când a absolvit liceul:

– În 2003, a venit răspunsul zâmbind.

Aha! Imediat mi-a fost clar: a început liceul în ’99, la doi ani după reforma din 1997 când geometria sintetică a fost scoasă din clasele 9-10. Discuţia de care vorbesc a avut loc în toamna lui 2019, iar eu tocmai aveam în faţă primul caz de acest fel, anume un părinte care a urmat cursurile unui liceu de vârf în matematică, care ştia foarte bine tot ce mişcă în algebră, dar habar nu avea să-şi ajute copilul la nivelul de bază al geometriei gimnaziale. Aceasta se întâmpla pentru că nu a mai reluat geometria sintetică din nou în liceu (într-o a doua parcurgere, aşa cum scria Prof. Eugen Rusu în anii ’70). Devreme ce a intrat la liceul de informatică în urma examenului de după clasa a 8-a, ne putem aştepta că ştia foarte bine geometria gimnazială la acel moment. Şi totuşi a uitat TOTUL. Mai mult, doamna respectivă folosea delimitarea tipică celor care nu stăpânesc cu adevărat matematica, spunând că ea ştie matematică, dar nu ştie geometrie; la dânsa geometria nu face parte din matematica.

Am prezentat această întâmplare pentru a scoate în evidenţă faptul că geometria gimnazială se uită dacă nu se mai reia încă o dată la vârstele de liceu, atunci când gradul de maturitate al elevilor este desigur mai dezvoltat. În niciun caz nu aş vrea să se înţeleagă aici că aş fi de părere că unul din obiectivele învăţării matematicii ar fi acela de a ne putea ajuta peste ani proprii copii la această materie, aşa cum sugera Karinthy Frigues în mod deosebit de artistic (citiţi nuvela sa la adresa http://pentagonia.ro/imi-meditez-copilul-karinthy-frigyes/)

*

Zilele aceste se constituie grupul de lucru care va redacta noua programă pentru clasele de liceu. În aceste condiţii de pandemie este o minune că totuşi se întâmplă; după cum arătau lucrurile prin iarnă, cel mai raţional gând era că se va amâna cu un an acest pas (aşa cum s-a amânat cu un an şi olimpiada de la Tokyo).

Eu personal nu am predat niciodată la clase de real (mate-info sau ştiinţele naturii), aşa că am privit doar “de pe margine” fenomenul matematicii înalte din liceu. Scurtele experienţe legate de matematica de la clasele cu un nivel mai slab nici nu merită amintite aici. În familie, doar soţia mea aduce regulat în casă impresiile de la clasele care dau examen de BAC din matematică.

Totuşi, privind chiar şi aşa, doar “din tribune”, nu am putut să nu văd în toţi aceşti ani, începând de la reforma din 1997, drama geometriei sintetice (tradiţionale) şi legat de aceasta drama gândirii în liceele româneşti. Este evident că în acest eseu nu consider geometria vectorială sau geometria analitică drept geometrie în adevăratul sens al cuvântului. Provenind una din algebră, cealaltă din fizică, acestea formează în mintea elevilor alte abilităţi decât clasica geometrie; aşadar nici nu le consider în acest eseu cu adevărat ca fiind geometrie. Pentru început ar trebui să facem o scurtă “intrare în subiect”, subiect care este deosebit de amplu.

Sugeram mai sus că elevii uită geometria dacă învăţarea acesteia se rezumă doar la o singură parcurgere, anume cea din gimnaziu, şi că este foarte important să mai fie parcursă o dată, să fie inclusă în materia de liceu, astfel încât aceasta să se fixeze. Ideea nu este una specifică neapărat doar geometriei, ci ar trebui aplicată tuturor materiilor ştiinţifice, fiind de fapt conţinută în principiul predării în spirală, anume de a reveni printr-o anumită zonă de cunoştinţe din nou (adică cel puţin încă o dată; uneori este nevoie să se organizeze chiar mai multe treceri). Desigur că această nouă trecere se face de obicei la un nivel mai avansat, mai ridicat din punct de vedere intelectual: mai întâi ca o simplă recapitulare şî actualizare, urmată de extinderea aplicaţiilor în zone mai dificile şi apoi eventual de aplicarea la nivele superioare.

Din punct de vedere pedagogic este evident că predarea în spirală implică şi o evoluţie a stilului de abordare: la început (mai ales dacă se face la vârste gimnaziale) abordarea trebuie să fie una de cunoaştere intuitivă; dimpotrivă, cu cât avansăm într-o nouă trecere (prin clasele de liceu) abordarea trebuie să capete tot mai mult un caracter ştiinţific, cu o creştere a rigurozităţii şi o scădere lentă, dar evidentă a folosirii intuiţiei (fără ca aceasta să dispară cu adevărat). De abia în facultate abordarea ar trebui să devină pur ştiinţifică, eminamente pe baze riguroase, specifice respectivei ştiinţe (aici intuiţia rămâne “prin zonă” doar din punct de vedere al necesităţii şi al aplicabilităţii în procesul descoperirilor; desigur că intuiţia poate rămâne “prin zonă” doar dacă a avut ocazia să fie antrenată şi să se dezvolte în etapele gimnaziale ale cunoaşterii respectivei ştiinţe).

Analizând ultimul aliniat, începem să întelegem cât de dăunătoare este politica educaţională la adresa geometriei aplicată în România în ultimul sfert de secol. Toate elementele de raţionament, dezvoltarea gândirii în general, ce sunt formate prin geometria sintetică, toate acestea sunt oprite înainte de a fi finalizate şi stabilizate, dezvoltarea acestora fiind blocată, gândirea rezultată fiind una subdezvoltată prin întreruperea procesului educativ al geometriei la sfârşitul clasei a 8-a.

Acest raţionament poate fi însă înţeles doar dacă putem depăşi gândirea uzuală, evidenţiată zilnic, anume că matematica, deci şi geometria, trebuie învăţată pentru că ne trebuie la examen, pentru că este conţinută în programa de examen. O gândire de genul: de vreme ce nu este în programa de BAC, atunci “care-i baiu’?” că n-o învăţăm. Dacă nu reuşim să ne ridicăm la un nivel superior acestei abordări, atunci nu vom putea înţelege nici la ce este nevoie de geometria sintetică în liceu, respectiv cât de mult strică absenţa geometriei într-o a doua abordare, mai matură, în liceu.

Există o sumedenie de aspecte ale acestui subiect şi nu cred că aş putea să le cuprind pe toate într-un singur eseu. Probabil că mă îndrept încet, dar sigur, înspre un nou mega-eseu, o abordare în mai multe părţi a acestui subiect, aşa încât această primă parte ar trebui să constituie doar un prim şi scurt semnal de alarmă, o primă şi cât mai rapidă rugăminte către comisia pentru noua programă de liceu, ce stă să se înfiinţeze (sau care deja s-a înfiinţat), pentru a lua în considerare reintroducerea geometriei sintetice în clasele 9-10.

Nu aş încheia însă fără să atrag atenţia asupra câtorva aspecte ale subiectului care pot ieşi mai greu în evidenţă. Unul ar ţine de istoria matematicii româneşti. Ce părerea ar avea Gheorghe Ţiţeica de situaţia matematicii actuale pe plaiurile mioritice prin prisma marginalizării geometriei în liceu? Pentru că, este evident, geometria din renumita culegere a lui Ţiţeica nu este aplicabilă la nivelul gimnazial, decât sporadic şi la un procentaj infim al populaţiei şcolare. Aceasta este de fapt o întrebare retorică, al cărei răspuns nici măcar nu are rost să-l căutăm. Singura reacţie la această întrebare este să lăsăm cu toţii privirea în jos!

Un alt aspect al situaţiei actuale este următorul: poate că olimpicii gimnaziali, în general elevii “de 10” au preluat gândirea logică, raţionamentele şi conţinuturile specifice geometriei prezentate în gimnaziu cu folos şi suficient de bine încât să nu le mai uite, dar există o parte mare a populaţiei şcolare care încă nu le-a preluat cum trebuie, care le-a preluat eventual doar învăţând reţetele pe de rost, astfel încât să treacă hopul examenului, dar care la o a doua abordare le-ar stabiliza şi le-ar sedimenta cum trebuie. Netrecând a doua oară prin geometrie, aceştia o vor uita, respectiv sinapsele specifice gândirii raţional-logice, argumentative, la aceşti elevi, sinapse ce nu sunt încă suficient dezvoltate şi stabilizate, se vor atrofia şi vor regresa. Toţi aceşti elevi care au potenţial capacitatea de a beneficia de caracterul formator al geometriei sintetice, dar la care acest caracter formator nu a avut încă efecte solide şi stabile, toţi aceştia vor regresa în perioada de liceu în tot ce ţine de argumentaţia raţională, dar şi în ceea ce ţine de vederea imaginativă, atât cea bidimensională, cât şi cea în spaţiu. Toţi aceştia vor fi împinşi departe de gândirea liberă specifică geometriei, fiind atraşi iremediabil înspre o simplă aplicare a reţetelor de calcul specifice domeniilor algebrice.

Se poate înţelege aici că vorbesc doar despre elevii care urmează filiere ce se încheie cu un examen de BAC din matematică, dar nu: situaţia este valabilă şi în cazul elevilor “slabi la matematică”. Chiar şi între aceştia există mulţi la care printr-o a doua trecere, geometria şi-ar putea lăsa amprenta formatoare a unei gândiri mai raţionale, argumentative şi logice, lipsite de emotivitatea şi subiectivitatea specifică ştiinţelor umaniste. Acelaşî lucru s-ar putea susţine şi despre direcţia filierelor practice, la ambele trebuind însă îndeplinită condiţia de a nu ridica nivelul practicat la cote inaccesibile. Geometria are de oferit câte ceva tuturor, iar excluderea ei din materia de după examenul de final al clasei a 8-a îi afectează pe toţi în egală măsură (deşi diferit).

Aspecte de genul cum geometria contribuie la eficientizarea conexiunilor între esmisferele cerebrale, sau cum argumentaţia din demonstraţiile specifice duce gândirea elevilor spre o capacitate mai bună de a purta o discuţie pe bază de argumente, sau cum problemele de geometrie te învaţă şi te antrenează mai bine ca pe viitor să poţi ţine cont de toate aspectele unei situaţii pentru a putea găsi o soluţie cât mai optimă, tot felul de astfel de aspecte ar trebui să fie luate în considerare de comisia ce va stabili şi va redacta noua programă de liceu.

Sunt 1001 de argumente pentru reintroducerea geometriei sintetice în liceu, nu neapărat în forma în care aceasta era în programa dinainte de 1997, dar despre acestea ne putem preocupa doar pe rând şi sigur pe o perioadă mai lungă. Cum am spus mai sus, trebuie făcută inclusiv o prezentare a evoluţiei istorice, a procesului care a dus la excluderea geometriei din liceu, dar până atunci, pot sugera cititorilor lecturarea gândurilor mele despre istoria predării matematicii şcolare din anii ’50 încoace, la adresa http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ (există şi o variantă mai pe larg în dublul eseu http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-i/ şi http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-a-ii-a/ ).

Voi încheia însă cu evocarea unei alte întâlniri personale. Pe la sfârşitul anilor ’90 am reuşit să creez o plăcută prietenie cu D-na profesoară Mariana Răduţiu, care se îndrepta atunci spre pensie. Dânsa a fost conducătorul echipei care a redacxtat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, manuale ce au rămas în funcţiune până în anul şcolar 1996-97. Prin 2005 am vizitat-o şi mi-a spus cât de decepţionat era nepotul dânsei (după examenul de la sfârşitul clasei a 8-a) când a aflat că din clasa a 9-a nu va mai face geometrie. De curând am vizitat-o scurt (având în gând prezentul demers) şi mi-a spus că mă susţine şi îmi dă mână liberă în sensul a tot ce am discutat în trecut despre geometria de liceu.

Din scurta discuţie avută am simţit însă că nu mai are energie să se implice în chestiunea reintroducerii geometriei în licee. În acest sens vreau să vă mai spun un singur lucru: stimaţi colegi, încet dar sigur se duc toţi cei care ar putea pune umărul la reconstruirea predării geometriei sintetice în România la adevărata ei valoare, adică în liceu. Haideţi să nu ratăm şi această ocazie; haideţi să echilibrăm din nou matematica de liceu. Matematica a fost întotdeauna o colaborare între numere şi forme; algebra este de obicei mai bine reprezentată de numere, pe când geometria vieţuieşte mai bine în zona formelor. O matematică doar în zona numerelor este profund dezechilibrată. Haideţi să o reparăm. C. Titus Grigorovici

P.S. Chiar şi algebra are nevoie de geometrie; acolo unde geometria lipseşte cu desăvârşire, algebra devine seacă, mai ales pentru elevii care au o gândire mai vizuală. În acest caz putem vorbi despre o matematică prea seacă, iar la noi cam aşa este. În acest sens se pot da foarte multe exemple, dar eu doresc să mă rezum la unul simplu: există elevi care înţeleg mult mai bine formula pătratului unui binom (pătratul sumei) imediat ce văd reprezentarea geometrică a acesteia (renumitul desen cu un pătrat mare descompus în două pătrate diferite şi două dreptunghiuri congruente). Aţi înţeles despre ce vorbesc? Pentru că intenţionat am renunţat şi la formulă şi la desenul cu pricina, ca să vă puteţi verifica forţa de imaginaţie specifică geometriei. Cine nu a înţeles, deja poate lua acest fapt ca un avertisment.