Impresii din Germania (6) – Zaruri din corpuri platonice la München

În vizita din vară în Germania ne-am oprit pentru 2-3 zile la München. De mult îmi doream să vizitez magazinul de la sediul central Dallmayr, cel cunoscut de pe ambalajele de cafea prodomo, doar aşa să ştiu că am fost şi pe acolo (se pronunţă Dalmaiăr cu un ă mai scurt, nu Dalmair ca în nu-ştiu ce reclamă). N-am cumpărat nimic pentru că totul era foarte scump, acolo “în buricu’ târgului”, dar dacă tot am ajuns în centrul vechi, în Marienplatz, am căscat şi noi gura prin jur. La un colţ de stradă într-un magazin specializat mai mult pe jucării din lemn (pentru oameni mari sau pentru copii), în subsolul magazinului am găsit să cumpăr zaruri din corpuri perfecte, altele decât cubul. Cele trei din poza alăturată, în ordine, de la stânga la dreapta, sunt dodecaedrul (12 feţe), octaedrul (8 feţe) şi icosaedrul (20 feţe). În poză găsiţi inclusiv adresa magazinului (din păcate, nefiind produse de ei, pe site-ul magazinului nu se găsesc de comandat astfel de zaruri, dar dacă ajungeţi prin centrul München-ului …). Titus und die drei platonische Körper aus Bayern

π la Biziday (1)

A doua zi după ce D-na Viorica Dăncilă “a scos porumbelul pe gură” cu renumitul r2 pentru aria cercului, Dl Moise Guran a prezentat în Pastila BiziDay (20 noi. 2019) un comentariu extraordinar la adresa evenimentului, dar şi în general la adresa matematicii şi a politicii educaţionale prin care aceasta este introdusă elevilor. Comentariul din această Pastilă Biziday cu Moise Guran poate fi ascultat la adresa https://www.youtube.com/watch?v=H2s078_RDmY, sub titlul: Ciudatul mod în care Dăncilă le-a fost multora mai utilă decât anii de şcoală … Iată în continuare în text întregul discurs (cu câteva adăugări minore pentru cursivitate şi claritate în lecturare):

*

Acum vreo câţiva ani, pe când era fiu-meu la şcoală, unul dintre puşti a întrebat-o pe profa de mate “la ce ne foloseşte Doamna matematica în viaţă?”. Profesoara s-a cam ofensat şi n-a avut un răspuns foarte concret. Pe vremuri, pe vremuri mai golăneşti aşa, pe când eram eu în liceu iar Revoluţia ne făcuse să credem că democraţia înseamnă să stăm cu profii la fumat şi uneori şi prin baruri, un amic i-a pus aproximativ aceeaşi întrebare profesorului nostru de matematică: “Domnu’, dacă n-ar fi Bacalaureatul iar noi n-am fi la mate-fizică, ne-ar trebui la ceva matematica asta în viaţă?”, iar profesorul nostru de atunci, un gentelman de care îmi amintesc cu plăcere, deşi nu prea mă scotea din 5 şi 6, a zis cam aşa: “Da, tinere domn, ca să ştii şi tu câte pahare poţi să bei înainte să nu te mai poţi ridica de pe scaun”.

Deşi formula ariei cercului are o muzicalitate aparte, aşa – pi-er-pătrat – ceea ce e drept o face uşor de confundat cu perimetrul cercului – doi-pi-er – tot e mult mai uşor de reţinut decât oricare altă formulă matematică, de exemplu baza ori înălţimea supra doi, cum ar fi aria afurisitului de triunghi, de exemplu. Sau poate, nu acestea sunt formulele, şi le-aş putea greşi la rândul meu. Nu le-am mai folosit de mult. Cu adevărat greşit însă, în tot ceea ce v-am spus eu, este expresia “uşor de reţinut”. Sunt lucruri pe care le reţinem mecanic pentru că le folosim tot timpul, aşa cum ar fi, în cazul meu, numărul de telefon al nevestei, sau sunt lucruri pe care mu le-am mai folosit de mult şi firesc le uităm pentru a face loc în memorie altor numere de telefon, pinului de la card, parolei contului de facebook sau doar altor informaţii de zi cu zi.

Se poate învăţa ca pe apă matematica? Este aceasta o ştiinţă ce poate fi tocită, cum se spune? Da, bineînţeles! La nivel de Examen de Capacitate şi de Bacalaureat, da, dar la acest nivel matematica îşi pierde sensul ei adevărat. Devine doar un şir de formule memorate şi utilizate în exersarea unor tipologii de probleme de examen, la fel cam cum au făcut trainer-ii de campanie cu Doamna Dăncilă: x posibile întrebări pentru care pregătim candidatul cu y variante de răspuns, pe care acesta le memorează şi le livrează precum în schiţa cu crastravetele: “ce este elipsa? Păi, nu e clar că tot un fel de crastravete!”

Râdem. Râdem de mai bine de o sută de ani de crastravete, dar de fapt nu ştim nici noi de ce râdem, căci nu copilul care învaţă mecanic poezia e problema, ci profesorul, dascălul, cel care crede că aria cercului trebuie memorată ca o poezie uşoară, când de fapt misterul cercului este chiar afurisitul de pi. Ce este pi? He he, ha ha ha!

Adevărata întrebare este câtora dintre noi ni s-a explicat la şcoală că nu o constantă cu nume grecesc determină cercul, ci din contră, cercul este cel care îl determină pe acest afurisit de pi, infinit în zecimale. Cum se face că toate, dar chiar toate triunghiurile, indiferent că sunt mai mari sau mai mici, indiferent de formă, răspund cu exactitate înmulţirii dintre bază şi înălţime supra doi? Dar de ce nu supra trei sau supra patru? De ce exact supra doi? Vedeţi, acestea sunt întrebări care dau sensul şi scopul matematicii, căci ele, întrebările şi demonstraţia unei formule, iar nu memorarea ei mecanică, ajută un copil să-şi dezvolte logica, inteligenţa, iar mai târziu, când mai creşte şi ajunge adolescent nebunatic, să vadă într-un pahar de bere un cilindru, al cărui volum poate fi calculat pentru că are baza unei forme de cerc.

Eşecul Doamnei Dăncilă de a răspunde corect la întrebarea “care este aria cercului?” nu demonstrează în mod necesar că aceasta nu ştie matematică, căci o formulă – fie ea şi cea mai simplă formulă – poate fi uitată. Dar momentul mărturiseşte mult, dureros de mult, despre eşecul sistemului de educaţie românesc în general, de ieri şi de azi, căci Doamna Dăncilă nu doar că şi-a tocit diplomele pe vremea comunismului, dar a predat tehnologie la şcoală de stat şi matematică în privat unor copii de azi, pe care i-a pus să memoreze mecanic formule, sisteme, modele de întrebare şi modele de răspuns, un sistem educaţional care a ajuns atât de jos, încât cel mai mare bine pentru beneficiarii săi pare a fi făcut tot Doamna Dăncilă. Uite, judecând după căutările de pe internet, dar şi după râsetele colective de acum, azi probabil ştiu de zece ori mai mulţi români cum se calculează aria cercului, decât ştiau ieri. Indiferent că-l văd, sau că nu mai pot să-l vadă pe fundul unui pahar. Momente şi schiţe, aceasta este ţara.

*

Rar mi-a fost dat să aud o descriere atât de profundă a situaţiei predării matematicii din şcolile româneşti, ca în acest eseu. Haideţi să analizăm pentru început pasajul introductiv ce atrage atenţia asupra unei întrebări cu care orice profesor de matematică se confruntă dacă elevii ajung să simtă un oarecare curaj (un ascendent) în faţa sa.

MG: Acum vreo câţiva ani, pe când era fiu-meu la şcoală, unul dintre puşti a întrebat-o pe profa de mate “la ce ne foloseşte Doamna matematica în viaţă?”. Profesoara s-a cam ofensat şi n-a avut un răspuns foarte concret.

CTG: Despre întrebările “La ce foloseşte matematica?” am mai vorbit. Poate merită totuşi accentuat şi aspectul realist ce se ascunde în spatele acestor întrebări. Foarte mulţi (actuali sau foşti elevi) simt într-adevăr că matematica pare să se preocupe mai mult de ea însăşi decât de elevi. Profesorii de matematică sunt de prea multe ori slujbaşi ai matematicii şi nu ai elevilor, aşa cum ar trebui de fapt să fie; sunt slujbaşi ai unei matematici despre care elevii în nici un caz nu simt că le-ar folosi; nu-i văd sensul şi le repugnă.

Desigur că şi elevii greşesc de multe ori atunci când consideră că “cea mai bună matematică este atunci când aceasta lipseşte cu desăvârşire”, dar această părere vine tocmai din faptul că elevul nu înţelege sensul celor ce se întâmplă la ora de matematică. În linii mari sunt trei direcţii în care este impinsă excesiv matematica, direcţii care-i uită pe majoritatea elevilor şi din cauza cărora aceştia se simt neglijaţi (în funcţie de rapiditatea cu care se instalează pubertatea la elevi, aceştia încep să “comenteze”, să pună întrebări de tipul evocat de Moise Guran). Cele trei direcţii care rup matematica de zi cu zi de majoritatea elevilor, respingându-i constant, sunt următoarele: 1) Rigurozitatea în sine a matematicii; 2) Excelenţa (olimpiade şi alte concursuri); 3) “Pregătirea pentru examene”. Să le analizăm pe rând (şi pe scurt, fiecare putând reprezenta în sine subiectul unui eseu extins).

1) Despre rigurozitatea matematicii am tot vorbit: la nivelul şcolar (gimnazial şi liceal) aceasta a fost ridicată la cote greu de suportat pentru elevi în cadrul reformei de la sfârşitul anilor ’70 (vedeţi postările în care am vorbit despre “Reforma uitată”). Rezultatul unor cursuri universitare despre predarea axiomatică au fost turnate mai întâi în liceu, apoi chiar în gimnaziu. Înţelegerea iniţială a matematicii, care trebuie să aibă loc în mod natural pe căi intuitive, a fost eliminată cu totul, elevii fiind puşi în situaţia de a lua contactul cu fenomenele studiate doar la nivel abstract teoretic “axiomatico-definiţionist”. Majoritatea covârşitoare a elevilor nu a înţeles şi nu a făcut faţă noii abordări, dar sistemul – printr-o atitudine de stat poliţienesc – nu a ţinut cont de realitatea din şcoli (timp de un sfert de secol, cam până la începutul anilor 2000). Acum, deşi noua programă de gimnaziu cere o revenire, profesorii la rândul lor nu înţeleg această cerinţă şi nu sunt dispuşi a părăsi “zona de comfort”, mai ales că dinspre “minister” nu vine clar o lămurire despre ce şi cum (nici inspectorii care ar trebui să fie vectorul principal de reformare, nici dânşii nu înţeleg foarte bine ce şi cum).

Abordarea excesiv de riguroasă îi alungă pe majoritatea elevilor, dar elevii se împart în două categorii din acest punct de vedere: a) majoritatea nu o înţeleg, iar pentru aceştia rigurozitatea devine o corvoadă imposibil de dus; b) cei puţini care o înţeleg şi îi fac faţă, o duc cumva, dar îi chinuie şi nu prea pricep la ce le ajută. Chiar şi acestora, de la un anumit nivel în sus rigurozitatea nu le foloseşte la nimic.

2) Preocuparea pentru excelenţă îi alungă pe toţi elevii care nu fac faţă problemelor şi aplicaţiilor mult prea grele pentru pregătirea olimpiadelor. Şcolile sau clasele unde se trage tare pentru excelenţă sunt pline şi de elevi care se chinuie în această atmosferă. În funcţie de posibilităţile familiilor, mulţi rezistă doar cu ajutorul orelor particulare; alţii au nevoie de psihiatru, iar totul se întâmplă în numele celor câţiva elevi beneficiari reali ai sistemului, care o vor lua clar pe o linie reală (studii ulterioare axate pe matematică). Ah, da, şi totul se întâmplă desigur şi în numele profesorului sau a şcolii, care este considerat/ă bun/ă.

Cât despre restul elevilor, al claselor sau chiar al şcolilor, toţi cei care nu intră în această goană după rezultate la olimpiade, sau nu-i fac faţă, sunt din start catalogaţi mai mult sau mai puţin slabi, rataţi, “ei nu sunt de succes” etc. Ce frustrare aduce acestă politică la nivelul întregii ţări? Nimeni nu discută oficial de acest aspect.

3) Singura direcţie ce se justifică cât de cât este învăţarea matematicii pentru examen, dar această motivaţie nu ţine la elevii claselor începătoare de ciclu (5-6, respectiv 9-10). Ca atare, deoarece la acest nivel profesorii nu ştiu altă tactică, matematica este introdusă şi abordată în stil clasic, adică prin metode specifice statului poliţienesc dictatorial autoritarist. De abia prin a 8-a, respectiv prin11-a elevii încep să înveţe cu adevărat pentru examen. Dar ce se întâmplă la clasele care nu au examen de matematică la BAC? Aceştia refuză cu totul matematică. Reacţia alergică este atât de brutală încât o mare parte a populaţiei şcolare nu apucă să beneficieze de factorul formator al matematicii, de acele aspecte prin care matematica le va folosii o viaţă întreagă: gândire logică, luarea unor decizii raţionale, capacitatea de a nu fi influenţabil etc. Fără să mai discutăm de utilitatea acestor cunoştinţe pentru cei care decid să mai rămână în sistem pentru încă un ciclu de învăţământ, de pildă într-o Politehnică. Exact acest al treilea aspect îl evocă Moise Guran în a doua idee a introducerii sale:

MG: Pe vremuri, pe vremuri mai golăneşti aşa, pe când eram eu în liceu iar Revoluţia ne făcuse să credem că democraţia înseamnă să stăm cu profii la fumat şi uneori şi prin baruri, un amic i-a pus aproximativ aceeaşi întrebare profesorului nostru de matematică: “Domnu’, dacă n-ar fi Bacalaureatul iar noi n-am fi la mate-fizică, ne-ar trebui la ceva matematica asta în viaţă?”, iar profesorul nostru de atunci, un gentelman de care îmi amintesc cu plăcere, deşi nu prea mă scotea din 5 şi 6, a zis cam aşa: “Da, tinere domn, ca să ştii şi tu câte pahare poţi să bei înainte să nu te mai poţi ridica de pe scaun”.

Desigur că întrebarea “La ce ne ajută matematica?” este una profund retorică. Până la momentul când elevul respectiv şi-a luat curajul să-şi întrebe profesorul/ profesoara, el s-a simţit din plin agresat de această materie, a auzit deja acasă sau în grupul de prieteni această întrebare, şi pentru el punerea întrebării este doar un act de sfidare a autorităţi în faţa celorlalţi. Ca urmare, orice răspuns just sau explicativ este în van. Doar un răspuns subtil înjositor poate să “salveze pielea”, adică onoarea dascălului în ochii colegilor: dacă răspunsul face faţă provocării, atunci cei din  “audienţă”vor ţine minte răspunsul (cum bine o dovedeşte Moise Guran): “ce l-a făcut pe ăla!”. În rest, puteţi să fiţi siguri: chiar pe nici un elev nu-l interesează la ce foloseşte matematica (şi asta nu din răutate; pur şi simplu, la vârstele şcolare nu este normal să te intereseze aşa ceva). CTG

π – vedeta incontestabilă a acestei toamne

Când stabileam la începutul lui octombrie că voi ţine pe 7 noiembrie o lecţie descisă cu colegii din cercul metodic despre predarea ariei cercului, nu mă gândeam că subiectul va ajunge înainte de sosirea iernii “pe buzele tuturor”. Iar când am scris de curând despre eleva care mi-a dat într-o lucrare fulger pentru numărul π valoarea 14,3 nu am putut bănui că tocmai deschid o nouă serie comică despre aria cercului. Pur şi simplu nu aveam de unde intui că un jurnalist se va trezi să întrebe pe un candidat la funcţia de preşedinte al ţării despre aria cercului. Nu consider formula de arie a cercului drept un etalon general de inteligenţă, dar în anumite cazuri speciale poate fi totuşi folositor ca un indicator în acest sens.

Redeschid aşadar tema despre acest număr magnific. Va fi probabil o succesiune destul de “colorată” de postări, în care voi trata atât evenimentele din această campanie electorală, cât şi aspectele metodice evidenţiate, inclusiv gândurile din spatele şi din timpul orei deschise din 7 noiembrie.

Deşi mi-am propus să ascult dezbaterea din seara zilei de 19 noiembrie pentru turul doi la alegerile prezidenţiale, cumva am ratat momentul de aur când şi-a făcut apariţia spectaculoasă în discuţie numărul π, prin omiterea sa de către D-na Dăncilă în propria-i conferinţă de presă. Am auzit în acea seară despre întâmplare, dar primele înregistrări auzite au fost cele de a doua zi, în drum spre şcoală. Acestea (fiind deja aranjate) sunau ceva de genul R pătrat, Pi R pătrat!, aducându-mi aminte de celebra replică din filmul cu James Bond, în care acesta se prezintă: Bond, James Bond. Dacă ar fi fost gândită intenţionat ca o glumă, atunci mai înţelegeam, dar aşa, replica contrafăcută de a doua zi dimineaţa, prin intenţia sa de a ascunde adevărul, doar îl certifică.

Repede însă ne-am dat seama de magnitudinea scandalului iscat cu o seară înainte. De fapt, nu răspunsul D-nei Dăncilă cu lipsa renumitului număr iraţional transcendent prezintă uriaşul dezastru în care ne aflăm, aşa cum s-a năpustit să considere mare parte a presei şi a societăţii. Nu, nu răspunsul D-nei Candidat la cea mai înaltă funcţie în stat reprezintă marea problemă, ci faptul că s-a ajuns în situaţia atât de josnică încât unui reporter să-i treacă prin minte să pună această întrebare, vădit intenţionat, pentru a scoate în evidenţă nivelul de cultură al acestui candidat. La fel cum în urmă cu cinci ani un reporter îl întreba pe Kandidatul din vremea respectivă dacă ştie imnul României, la fel acum s-a trezit careva s-o întrebe pe D-na Dăncilă despre aria cercului. Diferenţa este că, acu’ cinci ani Werner se pregătise pentru o astfel de situaţie şi fiind şi om umblat pe la corul bisericii, a făcut faţă cu brio provocării.

Dar să revenim la D-na Pi-orica şi la semnificaţia respectivei provocări. Această întrebare împreună cu răspunsul respectiv scot în evidenţă nivelul intelectual incredibil de scăzut la care a ajuns partidul care este responsabil în societatea românească pentru spectrul de stânga, pentru nivelul de preocupare social. Stânga românească a ajuns actualmente la un nivel de cultură inimaginabil de scăzut în trecut, chiar şi în urmă cu 10 ani. Sigur nu ne putem închipui o astfel de întrebare pusă pe vremuri, la candidatura D-lui Mircea Geoană, de pildă. Îmi este milă cu adevărat de toate persoanele culte ce împărtăşesc cinstit viziuni de stânga. Sunt făcuţi de râs în faţa celorlalţi, chiar şi în faţa lor sau a famililor. Sunt înjosiţi, deşi nu meritau asta. Nu asta înseamnă a fi de stânga; nu asta înseamnă social-democraţie. Dar destul cu politica. Haideţi să facem o scurtă trecere (cât de cât mai apropiată de matematică) asupra acestor evenimente din 19-20 noiembrie 2019 (doar aşa, ca să rămână undeva fixate, pentru amintire).
Odată cu întrebarea şi cu respectivul răspuns, “toată ţara” s-a năpustit pe internet să-şi refresh-uiască cunoştinele despre subiectul cu pricina, aria cercului devenind pentru scurt timp cea mai căutată sintagmă pe Google, cu peste 200.000 de căutări (Raluca Ion, Republica, Aria cercului, cea mai căutată sintagmă pe Google). Alţii inventau titluri şi mai “colorate”: Aria cercului – Cea mai căutată formulă pe Google după ce Dăncilă a dat-o de gard, cu un vârf de 100.000 de căutări în seara de 19 noiembrie (Aria cercului – Cea mai căutată formulă pe Google după ce Dăncilă a dat-o de gard)

Mult mai hotărât s-a arătat Dl. Cristian Tudor Popescu: PSD ar trebui să se numească de acum înainte πSD, pentru că π-ul necunoscut dnei Dăncilă va fi ţinut minte de toată lumea. (Pe vremuri, când organizam cu soţia ziua lui π, în pauză serveam elevii cu π-scuiţi (neapărat rotunzi) iar după pauză doritorii îşi puteau confecţiona o π-lărie, aşa că propunerea D-lui CTP îmi place de minune.) Continuă dânsul:

Dna Dăncilă a răspuns clar, de bunăvoie şi nesilită de nimeni, în văzul şi auzul ţării întregi: „Raza la pătrat”. Aici, jurnalista care a pus întrebarea a greşit: nu trebuia să-i dea pe loc răspunsul corect, trebuia doar să-i spună „Eroare, doamnă Dăncilă”. Sau, mai rafinat, putea să-i „dezvăluie”: „Răspunsul corect este 2r²”. Cu siguranţă, candidata s-ar fi repezit, cum s-a agăţat şi de πr² să zică, da, doi er pătrat, aşa am spus şi eu; după aceea putea fi făcută de rahat la pătrat. Deci, Dăncilă nu s-a corectat imediat, cum minte gros acum πSD, ci a fost corectată imediat.

Trecând şi la “dezbaterea paralelă”, Dl Popescu nu-l iartă nici pe Kaiserului Klaus, care, la reluarea întrebării de către un reporter, a zâmbit larg fără să emită vreun sunet. C-adicătelea, e sub demnitatea mea de profesor de fizică să răspund la o aşa simplă întrebare. Bine, domnule preşedinte, i-aş fi spus. Dacă asta e prea de tot elementar, atunci spuneţi-ne, vă rog, formula de calcul a ariei sferei. (πSD, elipsa lui Dăncilă și Kaiserul Klaus)

Da, şi dacă tot am ajuns şi la aria sferei, despre care Arhimede a arătat că este de patru ori cât aria cercului de acelaşi diametru, ajungem vrem-nu-vrem şi la explozia de bancuri din săptămâna ce a urmat. Unul dintre cele mai “culte” bancuri a fost cel care vorbea despre Somaţia lui Arhimede către D-na Dăncilă, cerându-i să ne spună câte laturi are un cerc.

Apoi a venit ziua alegerilor şi am fost chemaţi la vot să alegem între 2D (a şti sau a nu şti aria cercului; trebuia să spun oare 1D?) şi 3D (oare K ştia aria sferei?). Cel mai tare a fost ex-premierul Mihai Tudose, care a spus că: am votat şi pentru redarea prestigiului formulelor matematice. Adică, ce-a vrut să spună? Iar luni dimineaţă se zvonea că D-na Candidat πSD ar fi luat în diaspora 3,14%! (fapt care-i desigur fals, da’ bancu-i bun)

Încercând să închei trebuie să mai punctez doar meritul Andreei Dumitrescu (Realitatea Plus) care în finalul conferinţei de presă a pus întrebarea de pomină cu aria cercului. Cât despre D-na Dăncilă, a strâns peste 3,14 mil. de voturi? A strâns! Şi oricum, chiar dacă a πRdut, trebuie să-i mulţumim din suflet: niciodată matematica şcolară elementară nu a fost pe buzele tuturor ca acum (cu bucurie şi veselie pe buzele tuturor!). Toată lumea ştie mai nou aria cercului, toţi elevii ştiu acum formula cu pricina (chiar şi draga de ea, eleva cu 14,3). Nu se putea imagina o plecare mai spectaculoasă din politica de vârf, decât această ieşire pe acorduri matematice. CTG

Impresii din Germania (5) – Filmul interior şi Ava Max pe autostradă

Pe lungile autostrăzi din Germania ascultam diferite posturi de radio. Când nu mai recepţiona bine postul ascultat, radio-ul sărea automat la alt post. În toată această perioadă, din când în când auzeam o melodie ce mi-a atras atenţia în mod special. Era o melodie cu deosebite inflexiuni, cu o melodicitate absolut specială, cu un sound care părea retro, aducându-mi aminte de anii ’80, dar totuşi clar o melodie nouă, actuală.

De prima dată am avut impresia că o mai auzisem, dar nu ştiam “de unde să o iau”. Apoi, cred că la a patra audiţie, fiica mea a căutat-o cu aplicaţia de pe telefon şi am stabilit că melodia se numea So Am I şi era cântată de Ava Max. Aceasta este cântăreaţa aia cu Sweet but psicho.

Ne bucuram foarte mult când suna melodia din difuzoare; o auzeam cam o dată pe zi. Destul de repede mintea mea – atâta cât putea să fie de activă în paralel cu condusul la viteze medii de 140 km/h (pe tronsoanele fără reparaţii) – mintea mea “vedea” un soi de imagini interioare mişcătoare în acord cu inflexiunile acestei melodii. Mintea mea genera un film interior al acestei melodii, un film potrivit desigur doar minţii mele, percepţiilor mele. Sunt sigur că soţia mea şi fiica mea aveau cu totul alte senzaţii decât mine la această melodie.

Odată intorşi acasă nu am mai auzit melodia; prima dată am auzit-o din nou de abia după două săptămâni. Aşa că am căutat-o pe net să o văd. Şi, surpriză: videoclipul melodiei nu era nici pe departe potrivit percepţiilor şi imaginaţilor mele. În Germania în timpul condusului nu reuşisem să fiu atent şi la text (engleza mea nu curge atât de fluent ca şi germana; de multe ori când aud o melodie în mod repetat, doar la radio, mai întâi percep doar melodia, iar apoi la fiecare reaudiţie noi şi noi pasaje din text; asta şi datorită faptului că de obicei când asculţi muzică la radio, în paralel faci şi altceva). Acum, în faţa videoclipului, eram atent la text şi la mesajul melodiei, la căntăreaţă, la celelalte personaje şi la felul cum dansează, şi descopeream o cu totul nouă melodie, care nu se potrivea deloc cu filmul interior de pe lungile perioade de condus pe autostrăzile nemţeşti. Imaginile oficiale erau cu totul străine de trăirile mele, deşi era vorba de una şi aceaşi melodie. Între timp, în toamnă aceasta a ajuns să fie difuzată şi la noi, fiind destul de cunoscută şi intrind pe parcursul obişnuit de creştere, apoi de banalizare lentă.

Dacă nu cunoaşteţi melodia o puteţi asculta pe youtube (Ava Max – So am I, o melodie numai bună de ascultat în maşină, spune comentatorul de la Europa fm, azi sâmbătă 16 Noi. pe la ora 9.30, exact în momentul când m-am apucat să scriu această completare), dar dacă nu o cunoaşteţi, atunci nu rataţi ocazia şi faceţi experimentul descris mai sus, ascultând mai întâi de câteva ori melodia fără a vă uita la videoclip.

Dar oare, de ce vă povestesc dvs. toate acestea pe un blog despre predarea matematicii? Doar, n-am găsit matematică şi la Ava Max? Nu, staţi liniştiţi. Dar, deja din timpul acelor lungi perioade de condus mi-a încolţit în minte o idee, anume deosebita analogie între filmul interior generat de mintea mea la auzul acelei melodii şi felul în care mintea naturală şi vie a copilului generează şi vede modele comportamentale ale numerelor în procesul de învăţare a lecţiilor.

În acest moment al pledoariei sunt tentat să reiau pasaje dintr-o postare din vară, despre deschiderea matematicii (http://pentagonia.ro/opening-mathematics-deschiderea-matematicii/): Realitatea structurilor matematice poate fi vieţuită doar prin producerea interioarăînvăţăceii ar trebui să poată începe cu a produce gânduri

De ce a început mintea mea să vadă forme şi pete mişcându-se în fundal? Pentru că i s-a permis, pentru că a avut ocazia: mintea mea primea în acele momente doar melodia, nu şi videoclipul, şi acele pete se mişcau atât de frumos! Atunci când văd direct videoclipul unei melodii, mintea mea nu generează nici un film interior; mintea mea preia imediat filmul generat de regizor (merită să recitiţi articolul sus menţionat).

În tinereţe, pe vremea lui Ceauşescu, aveam melodiile doar înregistrate pe bandă audio (de obicei pe casete), deci nu le vedeam şi videoclipul. În acea perioadă aveam deseori senzaţia unui film interior la diferite melodii. De pildă, eu am reuşit să-mi înregistrez o copie după albumul Thriller al lui Michael Jackson înaintea Crăciunului din 1984. În acea vacanţă plină de zăpadă am ascultat masiv acest album. Ningea constant în fiecare noapte cam 50 cm, dar datorită greutăţii stratul total nu se mai ridica mult peste un metru. Pentru mine melodiile de pe acest album sunt fără discuţie melodii de iarnă şi indiferent de oricâte ori am vizionat clipurile respective, tot nu s-a putut şterge din mintea mea acea senzaţie de iarnă. Concret, în mintea mea există câte două “foldere” pentru  aceste melodii: când văd clipul, văd ce a vrut Michael Jackson să văd, dar când aud cântecul la radio simt automat atmosferă de iarnă.

Când s-ar putea ca mintea elevului să vadă modele comportamentale ale fenomenelor studiate? Desigur, atunci când nu v-a primi instant şi modele pre-fabricate de către alţii. Ce se întâmplă cu mintea unui elev care este obişnuită constant să primească modelul sau reţeta de rezolvare gată pregătită de către alţii? Simplu: nu va fi în stare să genereze un model propriu sau o rezolvare proprie de una’ singură.

Un elev a cărui minte a primit de-a lungul timpului doar rezolvări “de-a gata”, nu va putea nici o dată să rezolve o problemă de un tip nou, de care nu a mai văzut, pur şi simplu pentru că nu a fost antrenat să genereze idei noi. O predare a matematicii care constă doar din punerea de reţete în faţa elevilor, o astfel de predare nu va putea forma  minţi care să gândească.

În acelaşi fel, un elev neobişnuit să gândească, măcar în timpul unei rezolvări, acesta nu va putea să regândească o problemă căreia i-a uitat rezolvarea. Din păcate, există chiar şi la liceu profesori care le cer elevilor constant să înveţe rezolvări pe de rost. Ne putem imagina drama unui astfel de elev în clasa aVIII-a sau în a XII-a. El a fost obişnuit la fiecare capitol, cel mult pentru fiecare teză, din câteva capitole, să înveţe pe de rost toate rezolvările specifice, iar dacă s-a antrenat de mic în acest sens, reuşeşte constant lucrări de 10. Apoi vine perioada când este verificat din toată materia de patru ani. Dacă face teste recapitulative acasă, are posibilitatea să tot caute rezolvările uitate, dar atunci când este confruntat cu simulări la clasă (oficiale sau neoficiale), acest elev clachează şi este pur şi simplu îngenuncheat de incapacitatea sa de a gândi pe o situaţie pentru care nu-şi mai aduce aminte rezolvarea sau pe o situaţie pentru care nu s-a pregătit în acel format. Căderea este dură şi buimăcitoare (chiar până la nivelul de 6-7) şi nimic nu-l mai poate ajuta în acele momente. Un profesor care-i obişnuieşte pe elevi în acest fel, acesta cu greu poate fi denumit profesor de matematică.

Dacă aţi prins ideea, atunci vă las de aici să gândiţi dvs. de ce mă agit atât de mult să introduc cât mai des în lecţiile mele pasaje de predare prin problematizare, împingându-i pe elevi să descopere pe rând momentele lecţiei (sau ale rezolvării unei probleme) în urma unui proces “de cercetare” pe care îl putem numi şi predare prin întrebări (sau rezolvare prin întrebări). Desigur că acest tip de predare nu este posibil întotdeauna şi desigur că nu-mi reuşeşte la toţi elevii, dar cei care reuşesc măcar uneori să dea răspunsuri bune, aceştia sunt pe calea cea bună spre formarea unei minţi care chiar gândeşte, nu doar acumulează reţete de rezolvare. Titus auf der Autobahn

Suma lui Gauss (3) – Lecţia la clasă

De foarte mult timp am vrut să mă ocup de acest subiect (părţile 1 şi 2 au fost postate încă din vara lui 2017, dar acestea au fost doar elemente suplimentare la lecţia în sine). Iată că i-a venit vremea şi acestei teme, aşa că haideţi să analizăm ce ar fi de spus despre acest subiect. În primul rând, daţi-mi voie să vă prezint cum predau eu această lecţie, undeva în prima parte a semestrului I din clasa a V-a, pe post de buton de start al noii matematici adusă de către profesor, profund diferită şi desigur mult mai complexă, mai bogată decât cea practicată cu d-na învăţătoare (rog cititorul a evita o înţelegere a acestor afirmaţii drept o îngâmfare, o atitudine de superioritate a unui profesor faţă de d-le învăţătoare; am vrut doar să accentuez că învăţătoarele trebuie să practice la vârstele respective un anumit fel de gândire matematică, pe când profesorul trebuie încet să facă trecerea spre un cu totul alt fel de gândire).

Următorul material, lecţia în sine, este pentru mai multe ore, fiind un material deosebit de complex. Concret, ce veţi vedea reprezintă lecţiile de matematică din trei zile consecutive, predate în sistem de problematizare, cca. 75 minute în fiecare zi (în sistemul Waldorf există aşa ceva).

Lecţia începe, total nepregătir, cu o cerere surpriză: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10 (toate numerele de la 1 la 10). Elevii se pun pe socotit şi în curând răsar primele mânuţe ridicate. După ce s-au mai anunţat câţiva, le dau cuvântul şi printre răspunsuri apar multe răspunsuri de 55 (alături de altele greşite, cum ar fi şi 45: cred că l-ai uitat pe 10).

Urmează o a doua întrebare: Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 20. Elevii se pun iar pe socutit, dar treaba merge mult mai greu acum. De la o clasă la alta se poate întâmpla să primim câteva răspunsuri corecte de 210 sau nici măcar unul. După ce analizăm răspunsurile, încerc să le explic copiilor cât mai pe înţelesul lor faptul că este necesară o nouă abordare, diferită de simpla adunare (pe care ei o denumesc “în turnuleţ”).

În acest sens, o abordare foarte simplă ar fi cu o reprezentare “grafică” a numerelor, prin înşiruire de punctuleţe (ca nişte ghirlande). Vedeţi în prima imagine cum se pot reprezenta toate numerele de la 1 la 20, cât şi cum pot fi grupate acele “mărgeluţe”, astfel încât să se cristalizeze un model “comportamental” al acestora (pregătiţi-vă pentru o mică-mare văicăreală în urma desenatului atâtor punctuleţe).

La următoarele sume (între timp am început să le notez S10, S20 etc.) nu am mai reprezentat fiecare număr cu punctuleţe, ci am reprezentat doar grupările pătrate de 100 şi cele triunghiulare de 55. Cu această metodă putem urca până pe la S50, după care şi această reprezentare devine deranjantă (sigur, s-ar putea studia cum evoluează numărul de triunghiuri de 55 şi numărul de pătrate de 100, dar nu am avut timp de aşa ceva; pentru elevii foarte doritori s-ar putea da ca “temă de cercetare”, acum sau mai târziu, dar eu urmează să introduc numerele figurate triunghiulare de abia mai târziu).




Cam aceasta a fost prima oră, iar în ultima poză de mai sus găsiţi analiza de a doua zi a temei pe care au avut-o de făcut. De la aceasta se poate merge şi pe o linie de dezvoltare a reprezentărilor tot cu punctuleţe, dar eu am preferat să avansez înspre metoda cunoscută (care oricum, are avantajul că nu-i mai chinuie pe elevi cu desenarea atâtor punctuleţe). Pentru început, le prezint elevilor o variantă mai infantilă a obişnuitei metode de calculat suma S100. Există specialişti care spun că o minte de copil ar fi adunat natural 1 cu 99, apoi 2 cu 98 etc., adică 49 de sute şi încă una de la sfârşit, plus 50-ul de la mijloc. Se prea poate că aşa să fi adunat elevul Gauss. Apoi le arăt forma maturizată a metodei, cea cu adunarea lui 1 cu 100, a lui 2 cu 99 etc., care duce la 50 de perechi cu valoarea de 101.

Ce întrebare urmează? Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 1000, adică S1000. Aici fac o scurtă pauză în vorbire, cât să apuce să digere scurt sarcina,după care vin cu o completare: Cine este destul de vigilent, poate da rezultatul direct, fără calcule. Cel care se prinde “de poantă”, acela trăieşte o fericire mare. La trecerea de anul acesta, un elev a intuit răspunsul şi vă pot spune că, măcar un sfert de oră “a bătut foarte intens soarele” din acea zonă a clasei! Respectivul elev m-a chemat să văd răspunsul bănuit, i-am arătat un like!, dar i-am cerut să şi calculeze prin metoda nou învăţată, pentru a confirma răspunsul.

Cei mai mulţi s-au apucat să lucreze după model, după două-trei minute am scris şi eu pe tablă, apoi am rezolvat şi următorul exerciţiu (S10000), şi doar după aceea am cristalizat într-o scurtă recapitulare “modelul comportamental” al acestor rezultate (the pattern, pe engleză). În această scurtă analiză am mers desigur încă doi paşi în mod intuitiv, dând rezultatele sumelor până la 100.000 şi până la 1.000.000, fapt care este profund impresionant pentru elevi (elevii au dictat aceste răspunsuri, în urma scrierii primelor patru sume; între timp “se prinseseră” cei mai mulţi despre cum evoluează rezultatele acestea).

Pe fondul entuziasmului general am plusat cu o nouă “metodă”, spunându-le că eu am la această metodă impresia unui briceag: ne putem imagina toată suma împărţită “în două” pe la mijloc şi împăturită ca un briceag. Elevii reacţionează cu bucurie la această idee, cei mai mulţi reuşind să “vizualizeze” în minte această mişcare de împăturire. Aşadar am numit-o pe aceasta metoda briceag.

O idee similară am găsit-o demult într-o carte veche nemţească. Se vorbea acolo despre metoda stadion, prin stadion înţelegând forma stadioanelor apărută în Grecia antică, constând din două linii drepte unite de o singură turnantă (ce legătură are unitatea de măsură numită stadiu cu acest tip de stadion?). Şi această metodă le place elevilor, fiind o nouă imagine posibilă pentru vizualizarea fenomenului comportamental al numerelor din această etapă de rezolvare a Sumelor Gauss.

La temă am rezolvat primul exerciţiu în clasă (l-au rezolvat elevii, iar apoi l-am scris şi eu pe tablă, ca model). Din păcate, nu am fost atent şi am ales tocmai S36, care dă chiar “maleficul” 666. Părerea mea este că acest exemplu ar trebui evitat la clasele mici, meritând a fi lăsat ca surpriză pentru finalul clasei a VIII-a, unde îl căutăm din “partea cealaltă”, rezolvând o ecuaţie de gradul II pornind chiar de la “numărul bestiei” (am tratat acest subiect în postarea http://pentagonia.ro/matematica-biblie-suma-lui-gauss-1/). Consider că aceste informaţii sunt mult mai potrivite pentru elevii de peste 14 ani decât puiuţilor de a V-a.

La sfârşitul acestei de-a doua ore le-am atras atenţia elevilor că la începutul primei ore am făcut sublinierea pentru titlu, dar nu am scris efectiv unul. Care ar fi titlul acestei lecţii? E clar: Suma lui Gauss, şi toată lumea a răsfoit înapoi şi a scris titlul în locul rezervat la început.

La începutul celei de-a treia ore, la verificarea temei, le-am atras atenţia că toate sumele de la temă au fost “sume pare”, adică sume de la 1 până la un număr par. Analizând şi încercând “să optimizăm procedura” pe exemplul lui S48, am văzut că am înmulţit succesorul lui 48 cu jumătatea lui 48 (metoda briceag sau metoda stadion ne ajută la vizualizarea clară a ideii de jumătate).

Ce se întâmplă însă dacă vom lua o sumă impară? Spre exemplificare am luat una mai greu accesibilă minţii obişnuite a elevului de clasa a V-a, anume S157. Celor mai mulţi le-a venit foarte greu să depisteze care număr stă singur (adică desperecheat) pe turnantă. Eu nu am considerat că merită să ne afundăm cu toată clasa în lămurirea acestei întrebări. Dimpotrivă, am decis că această metodă este prea grea şi, bazându-ne pe acest verdict ca pretext, am “hotărât” că merită să căutăm ceva mai uşor pentru sumele impare (suma S2020 de la baza imaginii următoare a fost scrisă mai târziu şi nu trebuie citită în acest moment al lecţiei).

În acest moment am scos o nouă metodă din “jobenul de magician matematic”, anume metoda dublării: luăm suma impară de două ori, a doua oară scrisă de la ultimul număr la primul, obţinând astfel 157 (scrise cu roşu) de perechi cu valoarea de 158 (scrise cu verde). Obţinem astfel dublul rezultatului, iar la sfârşit trebuie doar să împărţim la 2 pentru a obţine S157. Este evident că această metodă funcţionează şi la sume pare.

Analizând pe un nou exemplu (S87) ce am făcut de fapt, vedem că am înmulţit ultimul termen al Sumei Gauss (87) cu succesorul său (88) şi am împărţit la 2. Putem astfel cristaliza metoda generală scrisă ca formulă, cunoscuta Sn = n ∙ (n + 1) : 2. Păstrând la generalizare pe aceleaşi poziţii culorile, elevii au un sprijin suplimentar în înţelegerea raţionamentului acestei formule. (în urma acestui moment am scris şi exemplul rezolvării cu această reţetă pentru o sumă pară, luând cazul S2020, având locul liber alături, în poza precedentă)

Aceasta a fost prezentarea pe scurt a lecţiei desfăşurată pe parcursul a trei ore (aşadar în trei zile succesive). A treia zi s-a încheiat în mod spectaculos cu citirea poveştii despre întâmplarea de la care a pornit totul, momentul când elevul Gauss a avut ideea de a calcula în cap S100 la clasă. Pentru asta mi-am rezervat ultimul sfert de oră din a treia oră şi, pe o linişte deplină, le-am citit elevilor cu intonaţie şi variaţii de ton întreaga poveste şi dialogul dintre Gauss şi învăţător. Găsiţi această poveste în postarea http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ (le citesc doar povestea până la plecarea elevului Gauss la Gimnaziu). Pe elevi îi impresionează puternic duritatea învăţătorului, realizând o conectare şi mai puternică din punct de vedere emoţional cu subiectul acestei lecţii şi cu personajul principal, un elev foarte deştept cu care mulţi s-ar identifica.

*

Să analizăm în continuare câteva aspecte metodice ale lecţiei în această formă. În primul rând, vedeţi că lecţia constă dintr-o colecţie de metode de calcul a Sumei Gauss, ordonate de la mic la mare, de la intuitivul figurat la abstractul unei formule. Astfel, mintea şi gândirea elevului sunt îndrumate pe o cale formată din paşi accesibili, urcând încet pe acest drum al abstractizării. Elevii care colaborează la acest proces sunt învăţaţi – încet dar sigur – să gândească, nu doar să-şi însuşească un mod străin de a rezolva o anumită sarcină. Ei sunt îndrumaţi pe parcursul acestor trei zile să privească din varii puncte de vedere asupra unei singure probleme, prezentă în diferite cazuri particulare, având astfel posibilitatea de a se împrieteni într-adevăr cu aceasta, prezenţa unui personaj copil în acest “film” ajutând puternic la “împrietenirea” elevilor cu Suma lui Gauss.

Pornirea la această mega-lecţie o am de la soţia mea, care a intrat la un început de an şcolar în prima oră la o clasă a V-a, după o oră la o clasă a XI-a, stresată şi fugărită în perioada când toată mintea îi era plină de făcutul orarului. Intrând în clasă şi văzându-i pe cei mici cu ochii mari şi speriaţi de “tanti asta aşa de avântată”, s-a frânat în avântul ei de profesoară de liceu (de câţiva ani preda doar la clase de ştiinţe), şi a exclamat: vai ce mici sunteţi!, după care, încercând să coboare la nivelul lor, a “scos” această sarcină: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10., apoi următoare etc. Seara, acasă, mi-a povestit şi aşa am preluat şi eu această foarte bună pornire, dar nu o fac în prima oră, ci după o scurtă cunoaştere de câteva ore (de pildă sub forma unei recapitulări a operaţiilor de bază, urmată de o minimă testare iniţială). Această pornire este foarte potrivită deoarece se conectează cu nivelul minim al elevilor după ciclul primar (S10), dar vine repede şi cu promisiunea unor elemente de gândire superioară (S20 etc.). În prezentarea de la începutul acestui eseu am folosit intenţionat cuvântul socotit pentru că la această vârstă elevii chiar socotesc din tot sufletul.

Căutarea unor metode mai eficiente decât simplul socotit (în ordinea scrierii numerelor) începe imediat, deoarece deja de la S20 mulţi elevi încep să greşească. Reprezentarea grafică, figurativă a numerelor ne duce probabil spre cea mai elementară formă de studiere a modelelor comportamentale ale acestor numere. Metoda îmi aparţine (dar nu cred că-i o mare invenţie), iar gândul ce a stat la bază a fost de a vizualiza fenomenul cât mai intuitiv.

Majoritatea celorlalte metode etalate în continuarea lecţiei sunt găsite în diferite cărţi vechi (româneşti sau din Germania) şi regret mult că nu le-am notat la vremea respectivă astfel încât să pot oferi surse clare (dar sigur nu îmi aparţin, cu excepţia acelei scurte idei de “briceag”, ca formă intuitivă pentru plierea sumei în două). Îmi aparţine însă în totalitate ideea de ordonare a acestei colecţii de rezolvări într-un mod crescător, în ordinea eficienţei rezolvărilor, etalând astfel în faţa elevilor un mic drum iniţiatic în ale gândirii matematice. În Şcoala Waldorf am găsit ideea de îndrumare spre o predare artistică, iar ceea ce am prezentat aici cred că poate fi caracterizat ca atare: această lecţie creează impresii profunde asupra elevului, aşa cum trebuie să genereze orice act artistic. Ca motto al acestei prezentări s-ar potrivi astfel vorbele D-nei Margareta Pîslaru: artistul este un creator (din emisiunea La Radio a  Andreei Esca, de sâmbătă 26 oct. 2019, de la Europa fm)

Creşterea nivelului de gândire într-un mod neaşteptat de puternic are asupra elevilor un efect covârşitor. Faptul că putem urca atât de repede pe această scară a sumelor, în paşi pe care ei îi pot cuprinde cu gândirea, aceasta îi impresionează puternic. Despre aceasta este vorba când se spune “predare artistică” a matematicii: avem “un film” al acţiunii care vine – într-un ritm accesibil, dar oricum mai alert decât în clasele primare, cu noi şi noi idei şi metode în jurul aceluiaşi “personaj matematic”, Suma lui Gauss, personalizată efectiv de imaginea elevului Gauss din clasa I. Faptul că în a doua oră suntem în stare să prezicem cu certitudine suma tuturor numerelor până la un milion – aceasta este o realizare pur şi simplu uimitoare pentru oricine.

Un alt aspect, avut în vedere de la început, este folosirea scrierii cu … (cu “puncte-puncte”), acolo unde ne dăm seama despre ce succesiune de numere avem, însă nu vrem sau nu putem scrie toate aceste numere. Din când în când mă opresc din pledoaria şi dialogul lecţie şi întreb clasa sau pe vreun elev anume câte numere sunt în această sumă?; nu de puţine ori răspunsul îmi arată că el “vede” doar numerele scrise fizic în acea sumă, neconştientizând că acolo mai sunt şi alte numere subînţelese în zona de “puncte-puncte”. Trebuie să punem des aceste întrebări pentru a ne asigura că mintea lor face pasul necesar spre abstractizarea scrierii şi că vom avea cât mai mulţi elevi care nu generează o frică “patologică” de exerciţiile cu “puncte-puncte”. Din păcate, experienţa îmi spune că peste tot rămân “victime” în urma acestui proces, elevi care nu au reuşit să facă acest pas de abstractizare, care nu s-au împrietenit cu ideea că multe numere nu sunt scrise dar trebuie să le gândim, elevi la care se declanşează automat spaima când văd un exerciţiu cu “puncte-puncte”.

Un alt moment dificil îl reprezintă depistarea termenului din mijlocul Sumei lui Gauss la o sumă impară (pe exemplul concret de la ora prezentată, la S157). Elevilor le vine foarte greu să găsească singuri, nepregătiţi, acest număr, iar eu folosesc respectiva stare generală pentru a cauza trecerea la o nouă metodă, una mai eficientă pe drumul către sintetizarea formulei generale.

Am numit-o pe aceasta metoda dublării (nu ţin minte dacă avea sau nu vreun nume acolo unde am văzut-o cu cca. 20 de ani în urmă). Atenţionez încă o dată asupra importanţei folosirii culorilor pentru a îndruma gândirea elevilor şi acasă când s-ar mai uita pe lecţie asupra diferitelor numere şi a jocului dintre acestea. Această metodă confirmă ceea ce am intuit deja la precedentele, iar în urma analizei acesteia putem sintetiza reţeta generală (înmulţim ultimul număr cu succesorul său şi împărţim la doi).

Un ultim pas îl reprezintă scrierea matematică a acestei reţete, folosind numărul general n (formula cunoscută). Din acest moment lecţia poate intra pe făgaşul cunoscut de către toată lumea. Eu personal m-am oprit în acest moment, nu am mai făcut nici măcar un exemplu, ci am trecut la cititul poveştii, lăsându-i pe elevi să “savureze” impresiile de gândire ale drumului parcurs (impresiile “filmului”).

În urma acestui proces de gândire putem trece la lecţia despre proprietăţile adunării: comutativitatea şi asociativitatea, adică la posibilitatea de a efectua adunarea termenilor unei sume după bunul plac. Această posibilitate a fost intens şi natural observată în metodele de calcul la Suma lui Gauss, iar pentru elevi aceste proprietăţi vin în mod natural şi evident.

La clasă voi reveni mai târziu la subiectul Sumei lui Gauss, cândva după ce voi fi studiat noţiunea de multiplu şi factorul comun. Atunci voi adăuga acestui drum două noi etape. Prima va fi o etapă aplicativă: ne vom aminti de formulă şi vom face cât mai multe exemple (cu temă corespunzătoare). Într-o a doua etapă vom putea calcula şi suma primelor n numere pare (nenule*) sau în general suma primilor multipli (nenuli *), desigur şi suma primelor n numere impare. (* remarcile respective sunt pentru cei hiper-pedanţi în ale limbajului matematic: ştiu să vorbesc şi aşa, dar în general nu o fac pentru a nu încărca textul; desigur că condiţia de nenul poate fi abandonată ş.a.m.d.)

Colecţia de “rezolvări” ale Sumelor Gauss nu se încheie aici: după învăţarea operaţiei de putere şi a ridicării la pătrat vom studia numerele figurate, iar atunci, anume la numerele triunghiulare vom constata că acestea sunt doar o reprezentare grafică a numerelor de tip Sumă Gauss. Cu ajutorul acestora vom putea da şi o variantă grafică la metoda dublării, arătând vizual cum se obţine formula respectivă (de pildă, suma S10 reprezentată la început cu punctuleţe în forma acelor triunghiuri cu valoarea 55 poate fi dublată în forma unui dreptunghi din punctuleţe cu laturile de 10 respectiv 11 punctuleţe, deci cu un total de 110 punctuleţe).

Închei amintindu-vă că subiectul Sumei lui Gauss a fost tratat în mod surprinzător şi de către jurnalistul şi scriitorul Cristian Tudor Popescu într-o emisiune la televizor (digi 24, 23 mai 2019), dânsul încercând să explice că înţelegerea unui proces de gândire precum calculul sumei S100 dezvoltă în om o capacitate superioară de gândire, care apoi îi va folosi toată viaţa, inclusiv în situaţii de a lua decizia în legătură cu o participare la vot (din păcate filmarea emisiunii sugerată în postarea din iunie a fost restricţionată şi nu mai este accesibilă publicului larg). Depinde doar de noi dacă dorim să folosim ocazia acestei lecţii pentru antrenarea capacităţilor superioare de gândire, sau dorim doar să bifăm rapid o nouă  lecţie, dând rapid şi concis formula şi exemplele de aplicare.

Da, şi uite-aşa am încălecat pe-o şa şi v-am spus o poveste de cinci pagini, uite-aşa. Cred că acum se înţelege de ce am amânat atât de mult redactarea şi prezentarea acestei teme (text redactat în weekend-ul 25-27 0ct. 2019). Cu respect şi fără pretenţia de a da lecţii altora, CTG.

Măriuca şi Florin Talpeş – Bitdefender – despre profesorii de matematică

În emisiunea La radio din 28.09 2019 de la Europa fm, d-na Andreea Esca i-a avut ca invitaţi pe Măriuca şi Florin Talpeş, fondatorii firmei Bitdefender. Am ales din această emisiune câteva citate care ar trebui să ne dea de gândit, atât nouă celor de la bază, cât şi celor care se ocupă în mod organizatoric de învăţământul matematic românesc. Emisiunea merită ascultată cap-coadă de către orice profesor de matematică; eu am găsit-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ .

Din start aceştia precizează: Suntem formaţi de şcoala de matematică din România. Apoi îi auzim vorbind despre profesori cu har şi despre sprijinirea acestora, despre lipsa orelor aplicate (lucru de mână, traforaj etc.). Ceva mai târziu aflăm ce a zis Andrew Wiles la Roma:  problema nu e cu copiii, problema e cu profesorii: adică, nu că de fapt copiii nu iubesc matematica, problema e că sunt prea mulţi profesori de matematică care nu iubesc matematica. Asta o fi “la ei”, dar în nici un caz “la noi”; la noi sunt sigur că toţi profesorii iubesc matematica, problema este care matematică? (nu intru în acest subiect, l-am mai tratat cu alte ocazii; precizez doar pe scurt că – după părerea mea – în prea multe cazuri matematica spre care se preocupă profesorii nu este matematica potrivită elevilor). Dacă v-a scăpat, precizez că Andrew Wiles este cel care a reuşit să demonstreze Teorema lui Fermat în 1995 (vezi Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas)

Dl. Talpeş aprofundează tema, abordând frontal subiectul nivelului matematicii şcolare româneşti, nu a matematicii de excelenţă, ci a matematicii de masă. Astfel, dânsul aminteşte despre o discuţie cu Dl. Hanushek din SUA, economist la Universitatea Stanfort, discuţie avută la Summitul RBL (proiect de educatie): Ce impact ar avea o crestere a educatiei asupra PIB-ului in Romania?, iar răspunsul a fost următorul: daca generatia care se naşte astăzi va fi la 14 ani cu zero analfabeti functionali sau vom reuşi la examenul PISA să fim la nivelul Cehiei, adică să ridicăm cu 20 de puncte nivelul care îl avem azi la aceste examene, vom creşte PIB-ul Romaniei cu 1500.000.000.000 (1500 miliade) lei şi cu 15% an de an salariile din România. Deci, impactul în economie a unei educaţii mai bune este imens.. Şi l-am întrebat ce aţi face, spuneţi-ne trei lucruri ce le-aţi face: păi, simplu, m-aş ocupa de profesori, de profesori şi de profesori

Spre final mi-a atras atenţia următoarea afirmaţie: Studiile arată că cel mai mare progres profesorii îl fac învăţând unii de la alţii, nu cursuri, nu citind cărţi, ci învăţând unii de la alţii. Această afirmaţie este absolut şocantă în contextul în care de atâţia ani suntem obligaţi să participăm la cursuri de formare, cursuri de cele mai multe ori măcar parţial sterile, cursuri la care mai nimeni nu vrea să meargă, dar suntem obligaţi pentru că avem nevoie de “hârtia” respectivă şi de “punctele” aferente. Suntem oficial subjugaţi unui sistem în care unii câştigă de pe urma noastră, noi fiind obligaţi prin lege să le fim clienţi. Şi credeţi-mă, ştiu ce vorbesc: sunt unul dintre norocoşii care am avut ocazia să particip şi la cursuri în străinătate (sau cu profesori din străinătate) şi am avut şansa să văd şi să simt clar diferenţa. Pentru liniştea cititorului precizez că nu toate au fost lăudabile. Am în amintire şi două (*) la care îmi pare rău că m-am înscris, dar raportul acestora faţă de cele generatoare de amintiri profund pozitive este de cca. 1:10. La cursurile urmate cu formatori români raportul este orientativ invers! (* mă refer la câte un curs de 4-5 şedinţe de o oră jumate, parte a unui seminar de 5 zile cu cursuri de dimineaţa până seara)

Cât despre sfatul de a învăţa unii de la alţii în mod direct, trebuie să precizez că eu am asistat – cu titlul de a învăţa, nu cu titlul de a verifica – la ore la alţi profesori un total de cca. o lună (în Germania şi în România). Cât despre învăţatul din cărţi, aici părerea mea este că, după ce te-ai “pus pe linia corectă” preluând de la alţii, vei creşte mai departe doar dacă vei intra într-un proces de autodezvoltare prin proprie strădanie, iar asta nu se poate face decât prin intermediul cărţilor. Problema este desigur, ce cărţi alegi pentru a te forma (despre cărţile alese de mine şi de soţia mea am scris în nenumărate rânduri). Din fericire există foarte multe cărţi potrivite acestui scop, scrise sau traduse în limba română. Din păcate, majoritatea profesorilor habar nu au de aceste. Pentru cei mai mulţi profesori de matematică contează doar culegerile; cei mai mulţi nici nu conştientizează că există şi cărţi despre matematică sau despre predarea matematicii. CTG

P.S. Dacă tot vorbirăm de învăţat unii de la alţii, anunţ şi pe această cale că joi 7 noiembrie 2019 (ora 13)  voi ţine o lecţie deschisă (o oră cu elemente de tip “laborator de matematică”) cu tema Aria cercului şi numărul pi (ştiu că pedanţii spun aria discului, dar dacă dorim să venim în întâmpinarea marii mase a elevilor, trebuie să renunţăm pe cât posibil la aceste pedanterii obsesive: aşa cum vorbim despre aria triunghiului sau aria pătratului, putem liniştit vorbi şi despre aria cercului). Cine doreşte este binevenit la această activitate la Liceul Waldorf din Cluj.

Pi?

În cadrul unui scurt test, la întrebarea: o valoare aproximativă a numărului pi, am primit următorul răspuns: 14,3 (asta în loc de “bancul zilei”)

Şi, dacă tot am deschis “cutia” cu zâmbete, v-am mai spus că peste tot au loc reduceri de 0%. De pildă, în octombrie am fost informaţi că Guvernul Dăncilă a redus TVA-ul de la 5% la 5%.

Observaţii la începutul anului 3 (după noua programă)

Următoarele rânduri ne-au fost trimise drept comentariu la articolul Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor din ………2017. Redau comentariul întreg pentru că merită fiecare cuvânt. Mulţumesc! CTG şi QED

*

Observații la începutul anului 3 (după noua programă) 🙁

Mulțimi, segmente, unghiuri, divizibilitate și ecuații -clasa a VI-a.
Am stat mai bine de o lună la mulțimi, având o clasă medie, care nu a făcut nici o conexiune cu noțiunile predate în clasa a V-a.
La segmente și unghiuri am luat-o de la început ( sunt mulțimi de puncte, cu notații și tot meniul asociat, nu-i așa?), fără posibilitatea de a rezolva civilizat multitudinea de ecuații aferente.
Metodele aritmetice erau foarte bine predate de către învățători, acceptate și însușite de către elevi (fără exagerări, sume Gauss sau metoda ”algebrică”). Acum elevii intră în gimnaziu cu un bagaj matematic … extrem de modest, dar cu EN II și cu EN IV trecute cu succes!
Teorema lui Pitagora a devenit șarpele acestei programe.
Materia clasei a VII-a este extrem de lejeră, avem timp până și pentru jocuri didactice, În clasele V-VI nici vorbă de așa ceva (goana după olimpici).
Greul a rămas … pentru clasa a VIII-a.
Despre evaluare și mai ales despre Evaluarea națională din 2021 nu vorbește nimeni. Curriculum fără evaluare … nu există.

Poate nu am înțeles eu prea bine noua programă, dar am pierdut o groază de timp ! … A, peste trei săptămâni dăm teza. Atât.

Bravo, cu felicitări!

              

*

P.S. Merită evidenţiat un aspect surprins în acest comment, anume faptul că învăţătoarele puseseră la punct o formă de predare a problemelor de aritmetică care funcţiona de  bine, de rău, pe când profesorii au fost luaţi cu totul prin surprindere cu acestea. Profesorii n-au mai predat a metodele aritmetice de rezolvare a problemelor în ultimii peste 30 de ani, aşa că nu le stăpâneau. În plus mai este şi stilul de predare, inclusiv viteza, profund diferite de la învăţătoare la profesori. Cât despre EN trecută cu succes, dar cu un bagaj matematic modest, se repetă fenomenul din anii tezelor unice. Când vor înţelege cei care conduc matematica din România că primul moment când se poate da o EN fără urmări negative este la sfârşitul clasei a VIII-a? Când nu vor mai face experimente pe evaluarea elevilor?

Ce-nţeleg elevii noştri?

Uneori găsesc în caietele elevilor elemente atât de edificatoare despre cât de puţin înţeleg aceştia din ora de matematică (a mea sau a altor colegi) încât mă crucesc. Iată două exemple în acest sens: dintr-o singură lecţie, dar de la doi elevi diferiţi din şcoli diferite. Sunt convins că recunoaşteţi lecţia. Titus Crucitus

P.S. Oare lecţia să fie de vină, pentru că este prea abstractă pentru mulţi elevi?

Impresii din Germania (4) – Dodecaedul căţărător

Dodecaedrul regulat este unul dintre cele mai fascinante corpuri geometrice şi este mare păcat că la noi nu se învaţă deloc. În Germania l-am găsit şi într-un mic părculeţ de pe lângă un vast centru comercial, în trei exemplare amenajate pentru a se putea căţăra copiii pe el. Fără comentarii. Titus Triplus Dodecaedrus