Prezentare de carte: Amir Alexander – Infinitezimal

Apărută în 2017 la editura HUMANITAS, lucrarea Infinitezimal a lui Amir Alexander  ne prezintă felul cum a contribuit la făurirea lumii moderne o teorie matematică periculoasă. Iată cum îşi prezintă autorul lucrarea: Este continuumul alcătuit din infinitezimale? – cu greu ne putem închipui ce pasiuni a stârnit această întrebare ciudată. Dar în secolul XVII, în toiul bătăliei, combatanţii din ambele tabere credeau că răspunsul putea modela toate aspectele vieţii în lumea modernă care se năştea. Şi au avut dreptate: când vacarmul bătăliei s-a stins, apărătorii infinitezimalelor învinseseră. Iar de atunci lumea s-a schimbat ireversibil.

În acest sens, pe coperta a IV-a a cărţii găsim următoarea prezentare mai detaliată: La sfârşitul secolului XVI şi începutul secolului XVII, Europa era frământată de conflicte violente nu doar în plan politic şi social, dar şi în aparent mult mai paşnicul domeniu al ştiinţelor matematice. Dacă pe câmpurile de luptă Reforma se confrunta cu Contrareforma, în matematică bătălia se dădea între partizanii infinitezimalelor – readuse acum la viaţă, după ce puseseră grele probleme anticilor – şi matematicienii tradiţionalişti, fideli modelelor geometriei euclidiene. Ni se pare azi greu de închipuit cât de subversivă a fost ideea de infinit mic şi ce miză politică, religioasă şi culturală a avut susţinerea ei.

Preocupat de raporturile dintre matematică, istorie şi cultură, Amir Alexander ne spune în Infinitezimal povestea  impunerii noţiunii de infinit mic la începuturile lumii moderne, subliniind consecinţele ei pe termen lung. Eroii cărţii sunt oameni de ştiinţă (Galilei, Torricelli, Wallis, Newton), filozofi (Hobbes, Locke), clerici şi conducători politici – cu toţii prinşi într-o luptă care, în ultimă instanţă, demonstrează forţa de iradiere a ideeilor din matematică.

La pagina 2 găsim următoarea prezentare: Amir Alexander (născut în 1963) este un istoric american care studiază raporturile dintre matematică, societate şi cultură. Predă la Universitatea din California, Los Angeles. Pe lângă prezenta lucrare, în original cu titlul “Infinitesimal. How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World” (2014), a mai publicat “Geometrical Landscapes: The Voyages of Discovery and the Transformation of Mathematical Practice” (2002) şi “Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics” (2010). Multe mulţumiri şi cu această ocazie d-lui Vlad Zografi, redactor al acestei traduceri, responsabil pentru apariţiile cărţilor de ştiinţă la editura HUMANITAS.

Deşi din lipsă de timp nu am putut să mă arunc în lectura acestei cărţi, am considerat totuşi potrivit a v-o prezenta. Oricum, este evident însă că lucrarea se adresează tuturor celor ce au de-a face cu elevii de liceu sau cu studenţii, pentru care se vor găsi multe poveşti interesante. Este evident că această carte trebuie adăugată pe lista de lectură “obligatorie” pentru orice profesor de matematică ce se respectă (lista orientativă de cărţi de care vorbesc se găseşte la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ ).

CTG

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Charles Darwin despre matematică

În autobiografia lui Charles Darwin apărută la editura HERALD sub titlul Viaţa mea, am găsit următorul citat (pag. 69-71), în care Darwin îşi aminteşte despre contactele sale cu matematica:

S-ar putea spune că, din punct de vedere al studiilor academice, cei trei ani petrecuţi la Cambridge au fost o pierdere de vreme, precum şi anii petrecuţi la Edinburgh şi la şcoală. Am încercat să învăţ matematica, iar în vara anului 1828 am mers la Barmouth, cu un meditator privat (un om foarte plicticos), dar progresam foarte lent. Această materie îmi provoca repulsie, mai cu seamă pentru că nu reuşeam să văd nicio noimă în algebra pentru începători. Nerăbdarea mea a fost foarte nesăbuită, iar mai apoi am regretat amarnic că nu progresasem suficient pentru a înţelege o parte dintre marile principii călăuzitoare ale matematicii, deoarece oamenii înzestraţi cu aceste cunoştinţe par să aibă un simţ în plus.

Dar nu cred că aş fi reuşit vreodată să depăşesc nivelul unei cunoaşteri elementare. (…) În ultimul an, m-am străduit să obţin licenţa reîmprospătându-mi cunoştinţele în materie de clasici, împreună cu un pic de algebră şi de matematică euclidiană, care ulterior mi-a pricinuit multe delicii intelectuale, ca şi în şcoală.

Pentru a obţine diploma universitară, trebuia să cunosc volumele “Dovezi ale creştinismului şi filozofiei morale”, de Paley (…). Logica acestei cărţi şi, aş adăuga, a “Teologiei naturale” scrise de el mi-au pricinuit tot atâta desfătare intelectuală ca şi matematica euclidiană.

(…) Răspunzând corect la întrebările legate de Paley, descurcându-mă bine la matematica euclidiană şi fără să eşuez lamentabil la clasici, mi-am dobândit un loc bun în mulţimea de tineri studenţi care nu se aşteptau să absolve cu onoruri. Oricât de straniu ar părea, nu-mi amintesc locul meu în clasament. (…) [A fost al zecelea pe lista din ianuarie 1831].

Pentru noi, profesorii de azi, nu este foarte clar ce înseamnă matematica euclidiană, dar în afară de această nelămurire citatul respectiv ne permite o scurtă privire în lumea intelectuală nematematică a secolului XIX şi felul în care aceasta se raporta la matematică. Şi mai am încă o observaţie pertinentă: se pare că din totdeauna au existat persoane care, încercând să-i înveţe pe tineri matematică, reuşesc doar să-i plictisească şi să le trezească repulsie faţă de acest domeniu al cunoaşterii umane. CTG

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) – o propunere

În programa de matematică gimnazială din 2017, la Sugestiile metodologice din final, apare următoarea indicaţie: … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … (pag. 31, indicaţii despre clasa a V-a). Aceasta vine în întâmpinarea preocupărilor mele din ultimii ani de a găsi metode alternative de predare adaptate nivelului elevilor, în sensul că am simţit de mult că pentru vechea reţetă (factorii comuni la puterea cea mai mică din descompunerile în produse de puteri de factori primi ale numerelor respective) se găsesc de la un an la altul tot mai puţini elevi care să o cuprindă şi să-i găsească rostul. Accept totuşi şi varianta că de la un an la altul creştea de fapt nivelul meu de empatie faţă de valurile de copii de clasele V-VI care nu înţelegeau şi nu erau în stare să aplice reţeta respectivă. Indiferent care o fi adevărul, m-am hotărât să prezint şi această temă în conexiune cu prezentarea celor patru ore despre divizorii unui număr. Pozele lecţiei respective nu sunt cele mai reuşite, dar din acestea se poate deduce lecţia şi parcursul acesteia. În prima poză se vede forma indicată în noua programă, formă pe care eu o predau de cca. 20 de ani (se vede folosirea culorii în prima fază, dar şi felul cum am abandonat imediat apoi culoarea, pentru a nu forma o dependenţă inutilă; din păcate portocaliul folosit iniţial se vedea bine în clasă, dar nu se vede mai deloc pe poze, aşa că va trebui să vă uitaţi cu atenţie sporită).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să deschidem şi porţi spre nou, spre ceva mai evoluat, aşa că de mulţi ani predau şi o a doua metodă, care ne permite o creştere a numerelor la care să calculăm cmmdc. Această metodă se bazează pe folosirea formei descompuse în factori a unui număr. Folosesc însă descompunerea simplă în factori primi şi nu scrierea unui număr în produs de puteri de factori primi. Această formă mai simplistă are avantajul că lărgeşte cercul celor care înţeleg ce se întâmplă; metoda cunoscută oficial este evident mai performantă, dar şi mai abstractă, cerând din partea elevilor o capacitate mai ascuţită de gândire (capacitate care la această vârstă foarte mulţi elevi încă nu o au, rămânând în urma respectivei lecţii doar cu o nouă şi puternică doză de frustrare împotriva matematicii în ansamblu). Forma prezentată în această lecţie conectează desigur şi cu diferitele strădanii din precedentele ore, aşa că pentru elevi nu este un mare şoc.

Mai întâi am studiat ce se întâmplă pe exemplul deja cunoscut al numerelor 12 şi 18 (unde am evidenţiat cu acel portocaliu palid factorii comuni în descompunerile celor două numere), după care am trecut la exemple cu numere mai mari (24 şi 30, apoi 72 şi 96). Cei doi “săculeţi” folosiţi în prezentarea descompunerii numerelor 12 şi 18 i-am mai prezentat în postările despre numerele prime de la începutul anului 2017. În multe cazuri această reprezentare se dovedeşte mai sugestivă şi simt că îi ajută pe copii să-şi imagineze mai bine comportamentul factorilor unui număr. Fiind o formă necunoscută de reprezentare (eu am imaginat-o în urmă cu câţiva ani), nu abuzez de aceasta, mai ales că oricum forma “cu bară” este net superioară şi rapidă. Astfel, în metoda a doua, numită “prin descompunere” elevii trebuie doar să aleagă factorii comuni din descompunerile în factori primi ai celor două numere (pe tablă sunt coloraţi cu portocaliu). Legat de lecţia prezentată aici precizez că la începutul orei următoare am primit “reclamaţii”: o elevă mi-a spus înaintea orei că nu a înţeles şi nu a ştiut tema, aşa că am pornit cu diverse alte exemple de lămurire şi cu reluarea celor de la temă. De abia apoi am trecut la o nouă lecţie.

Metoda merge desigur şi la trei numere, iar elevilor le-am spus că această lecţie ne va ajuta mai târziu la fracţii. Ce înseamnă “mai târziu” nu pot preciza acum cu certitudine. În principiu însă, parcursul plănuit este următorul: după lecţiile despre divizori şi cmmdc voi prezenta cât de repede posibil şi lecţia “soră”, cea despre multipli, despre multiplii comuni şi despre cmmmc. Acestea le voi prezenta însă pe scurt (într-o oră) şi doar în formatul intuitiv de bază recomandat în programa naţională. Ca urmare, voi folosi doar găsirea intuitivă a numitorului comun pentru adunarea şi scăderea fracţiilor în semestrul al II-lea din clasa a V-a. De abia în clasa a VI-a, odată cu reluarea operaţiilor cu fracţii ordinare, voi urca la exerciţii ce nu vor mai funcţiona atât de intuitiv, iar atunci ne vom reaminti de această lecţie. Tot atunci se prea poate să ajungem şi la dezvoltarea metodei a 2-a în metoda 2’, adică în forma cunoscută, cea amintită şi la începutul prezentului articol. Această metodă arhicunoscută de către adulţi (cei care au fost buni la matematică în şcoală), metoda ştiută pe de rost cu factorii comuni la puterea cea mai mică pentru cmmdc, respectiv factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare pentru cmmmc, această metodă se înţelege mult mai uşor pe cazul simplificării fracţiilor, respectiv a aducerii fracţiilor la numitor comun. Faptul mi-a fost confirmat de diferiţi elevi care, după explicaţii pe astfel de exemple cu fracţii, au avut avut acea stare de revelaţie de tip A-HA!, deci de aia zicea lecţia din clasa a V-a astfel. Astfel, în clasa a VI-a, după ce voi fi dat de lucru întregii clase pagini întregi de exerciţii de rutină din categoria Ordinea operaţiilor, cu ocazia unor exerciţii mai dificile de aducere la numitor comun, voi conduce elevii spre cristalizarea metodei 2’.

Revenind la noua programă, eu cred că în acest spectru ar trebui citită, studiată, înţeleasă şi aplicată această programă. Speranţa este că atât profesorii de la clasă, cât şi cei responsabili de formarea primilor pe noua linie vor avea destulă energie şi răbdare, încât să parcurgă procesul de înţelegere şi de implementare, oricât de mult ar dura acesta. Şi, sunt convins că va dura mult (nu ştiu câţi ani va dura, dar va dura mult). În acest sens ştiu doar că procesul învers, în urma reformei din 1980 a durat cca. 10 ani (vezi articolele despre reforma uitată postate pe această pagină în 2016: Reforma uitată (partea I) respectiv Reforma uitată
(o scurtă descriere)
). Eram elev, apoi student în acei ani, dar cunosc destul de bine situaţia de la părinţii mei, având o imagine destul de corectă asupra fenomenului şi înaintea momentului 1990 când am început eu să predau.

CTG, 29 oct. 2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Divizorii unui număr – prezentarea unei ore deschise

În data de 12 octombrie 2017 am susţinut la o oră deschisă la clasa a V-a. M-am oferit personal pentru această acţiune din motive evidente: cerinţele metodologice ale noii programe de matematică pentru toate şcolile din România, de aplicat începând din acest an şcolar la clasele a V-a, sunt asemănătoare cu cerinţele de predare din şcolile Waldorf, cerinţe pe care încerc să le înţeleg şi cu care mă străduiesc să mă acomodez de peste 20 de ani. În toţi aceşti ani am conştientizat în acest sens că, de fapt, trebuie să revitalizez în felul meu de predare modul în cere se preda matematica în România înainte de 1980. Astfel, conştient fiind de faptul că am un oarecare avans în faţa celorlalţi profesori, în strădaniile de a mă schimba conform acestor cerinţe, am considerat că este de datoria mea să le ofer o mostră despre cum am înţeles eu că ar trebui predate lecţiile de matematică.

În acest demers, am ales o lecţie cât mai simplă, pentru a exemplifica felul în care matematica poate şi trebuie a fi predată pornind cât mai de jos, astfel încât lecţiile să fie accesibile cât mai multor elevi din clasă. Desigur că ulterior, în cadrul lecţiei şi a lecţiilor ulterioare se poate şi e bine să se urce cât mai mult (cât pot “duce” cei mai buni elevi ai clasei). Datorită predării în module şi a faptului că eu sunt dirigintele acestei clase, deci am avut deja un astfel de modul cu foarte multe ore de matematică pe săptămână (12 ore/ săptămână în septembrie), am avansat rapid cu materia. Astfel am putut oferi colegilor o lecţie pe care dânşi urmează să o facă mult mai târziu. Ca urmare, colegii vor avea timp să se gândească la ce au văzut şi, poate, să aplice anumite aspecte la momentul respectivei lecţii. Desigur că aceste aspecte vor putea fi aplicate şi la alte ore, deoarece acţiunea a avut loc foarte repede, la exact o lună de la începutul cursurilor.

Concret, prin această lecţie m-am străduit să ating mai multe aspecte ce apar ca cerinţe în cadrul noii programe de matematică pentru clasele gimnaziale. Mai ales pentru clasele a V-a şi a VI-a, cerinţa este de a oferii o introducere cât mai intuitivă a materiei, a noţiunilor nou predate. Astfel, provocarea cea mai mare a acestei lecţii venea chiar la început: cum să introducem cuvântul divizor fără a da o definiţie sterilă, ci dimpotrivă, într-un mod care să conecteze natural cu cunoştinţele anterioare ale elevilor. Atenţionez în acest sens că, negestionat cum trebuie, momentul poate duce chiar de la început la neînţelegerea lecţiei de către mulţi elevi. Din păcate acest fenomen se întâmplă de multe ori la toate clasele. În cazul de faţă, eu am încercat să conectez lecţia cu împărţierea exactă, divizorul unui număr însemnând un împărţitor exact al acestui număr. Nu am lungit-o mult, ci am dat imediat oral primul exemplu pe divizorii lui 6, pe care i-au spus chiar elevii (concret, momentul a fost sub forma unei întrebări din partea mea: hadeţi să vedem care ar fi împărţitorii exacţi ai numărului 6, moment în care elevii au începu să răspundă, primul mai timid, puţin ezitant, neştiind dacă a înţeles cum trebuie, apoi următorii cu curaj; nu mai ţin minte exact, dar divizorii nu au venit în mod ordonat de la elevi). Din acest moment “gheaţa s-a spart” şi lecţia a început să curgă natural, într-un dialog (predare prin problematizare), în care profesorul întreabă şi elevii răspund. Astfel, profesorul îi îndrumă pe elevi prin întrebări bine regizate, dar de fapt aproape toată lecţia a fost dictată de către elevi (eu doar am scris totul pe tablă, elevii completându-şi notiţele ordonat, după modelul de pe tablă). Un fapt comic a fost următorul: o vreme au mai ridicat mâna “civilizat” (clasa era plină cu încă 17 profesori străini), dar după cca. 10 minute “gheaţa s-a spart de tot”, elevii uitând să mai ridice mâna şi răspunzând direct şi spontan într-un dialog plin de bucurie în procesul de descoperire a noilor aspecte. Totul căpătase un profund caracter ludic; aveam un joc serios, dar totuşi un joc plin de bucurie.

Revenind la începutul lecţie, după scurta introducere orală, cu prezentarea noţiunii de divizor prin sinonimul împărţitor exact, urmată de exemplul divizorilor lui 6, după acestea am început să scriu pe tablă titlul şi cele două aspecte deja menţionate. Apoi le-am propus clasei să procedăm la o abordare ordonată şi să vedem cum stau lucrurile în general, studiind fiecare caz până la 10. La acestea eu am scris pe tablă, dar elevii dictau. După ce am completat coloana respectivă i-am rugat pe elevi să notăm alături la fiecare număr câţi divizori are. Apoi elevii au trebuit să completeze singuri următoarea decadă de numere, până la 20 (muncă independentă pe care o pot face toţi!). După câteva minute de lucru în linişte i-am rugat să îmi dicteze rezultatele, eu scriind ordonat pe tablă. Iată în continuare poza tablei de la această oră:

Înainte de a prezenta continuarea lecţiei, doresc să atrag atenţia asupra modului de scriere a divizorilor fără a folosi mulţimile. Aceasta reprezintă o nouă cerinţă din partea prezentei programe, o cerinţă care îi bulversează puternic pe profesori. Vreau să precizez că elevii nu au avut nici o problemă în folosirea semnului cu două puncte în sens literar, nu în sensul operaţiei de împărţire. Din păcate, la discuţiile de după oră am uitat să scot din geantă o carte din 1966 despre numere prime scrisă de un academician polonez, redactată în întregime fără folosirea scrierii cu mulţimi (Sierpinski W. – Ce ştim şi ce nu ştim despre NUMERELE PRIME, Ed. Ştiinţifică, 1966, traducere după originalul din 1964). Da, dragi colegi, se poate scrie în matematică şi fără limbajul mulţimilor. Cei care au apucat clasele gimnaziale înainte de 1981 au scris totul fără mulţimi. Sarcastic spus, putem zice că a existat matematică şi înaintea mulţimilor. Lăsând gluma de o parte, prezentarea unei posibilităţi de a enumera nişte elemente fără a folosi mulţimile a fost pentru mine unul din obiectivele acestei lecţii deschise. Nu cred că aceasta reprezintă singura cale de scriere, dar eu aşa am considerat să o fac.

Un alt aspect legat de această lecţie îl reprezintă enumerarea concretă a divizorilor, astfel încât copiii să vadă despre ce este vorba. Trebuie să vadă noua situaţie pe cât mai multe exemple, înainte de a fi capabili să înţeleagă despre ce este vorba doar vorbind despre ele. Elevii de clasa a VI-a ştiu foarte bine despre ce este vorba când vorbim de divizorii unui număr, pentru că în clasa a V-a i-am enumerat de foarte multe ori, şi în cazuri simple şi în cazuri complicate. Am conectat aici la indicaţia din Sugestiile metodologice din finalul noii programe de matematică (vezi la pagina 31, despre clasa a V-a): … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … . În acest sens, la temă elevii au primit să enumere în continuare divizorii numerelor vână la 30, continuînd astfel lista de la clasă din prima parte a orei.

Odată înţeles despre ce este vorba, elevii familiarizându-se cu noţiunea de divizor, am putut trece la aprofundarea temei. Am făcut aceasta prin observaţii făcute asupra numărului de divizori ai numerelor deja studiate pănă la 20 (din nou, sub forma unei întrebări: Ce observăm?, urmată de răspunsuri din partea elevilor; aceste răspunsuri, eventual rearanjate, au ajuns apoi pe tablă). Am putut face aceasta deoarece ne-am pregătit terenul, notând în dreptul fiecăruia câţi divizori avea. Astfel, am observat că avem în primul rând ciudatul număr 1, singurul număr cu doar un divizor. La acest punct vom reveni desigur în clasa a VI-a, când vom observa că acest fapt este valabil doar în “familia” numerelor naturale, în cazul numerelor întregi chiar şi numărul 1 având doi divizori. Pentru a sublinia că numărul 1 este aparte, l-am şi separat de restul printr-o subliniere. Apoi am trecut la restul numerelor, unde am văzut că numărul divizorilor variază de la un caz la altul, ba mai mulţi, ba mai puţini. În mod neaşteptat, la unele numere constatăm că au doar doi divizori. Ce fel de numere sunt acestea? Aici, elevii le-au recunoscut cu mare bucurie pe vechile lor cunoştinţe, numerele prime. Pentru a înţelege ce vreau să spun, rog onoratul cititor să studieze şi postările din ianuarie 2017 despre numerele prime ( vezi postările http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/ şi http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ). Aceasta a reprezentat a treia mare abordare a naturii numerelor prime; după ideea de numere nedecompozabile de la început, şi după ideea de numere care rămân în Ciurul lui Eratostene în urma eliminării tuturor multiplilor în sens de plural, acum vedeam numerele prime ca acele numere care au exact doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi. Aceşti divizori “automaţi” i-am numit divizori improprii, doar după ce am precizat că oamenii pe vremuri i-au privit pe aceştia ca nişte ciudăţenii, că multă vreme doar ceilalţi divizori au contat (aceştia erau divizorii “propriu-zişi”, adică divizorii proprii). Restul numerelor au mai mulţi divizori, adică cel puţin trei. Este vorba aici de numerele care se pot descompune în factori mai mici.

În acest moment am adus o întrebare ce urmărea observarea unui aspect pe care elevii nu au cum să-i vadă la nivelul acesta de dezvoltare a lecţiei, respectiv a gândirii (nici profesorii nu cred că-l prea văd; eu l-am observat singur în urmă cu trei ani şi, de atunci îi atenţionez şi pe elevi asupra repectivului detaliu). Majoritatea numerelor au un număr par de divizori. Ce fel de numere au un număr impar de divizori? De obicei este vreun elev care observă răspunsul corect (la momentul acestei întrebări elevii trebuie să se fi jucat destul cu numerele pătrate, să le recunoască uşor pe renumitele pătrate perfecte); de data aceasta răspunsul a venit mai greu, dar până la urmă a venit cumva, aşa că l-am notat şi pe acesta ca o ultimă observaţie.

După seria de observaţii, urmare a analizei făcute pe munca de nivelul elementar de la începutul orei, am putut trece la un nou nivel de lucru, anume la găsirea divizorilor unor numere mai mari. În cazul acestora apar deja dificultăţi reale la găsirea intuitivă a divizorilor mai mari. De pildă, la numărul 48 se vede încă uşor divizorul 12, dar nu se mai vede natural divizorul 16; la numărul 72 se văd foarte greu  divizorii 18, 24 şi 36. Pentru aceştia le-am arătat elevilor, le-am atras de fapt atenţia asupra unei proprietăţi interesante a divizorilor care, aranjaţi în ordine crescătoare, aşa cum ne-am obişnuit, formează de fapt perechi al căror produs dă întotdeauna numărul iniţial. Am numit această observaţie proba divizorilor. Acest procedeu ne permite, după găsirea intuitivă a primilor divizori, depistarea divizorilor mai mari, a celor neintuitivi, odată ce am reuşit să trecem “de mijloc”, adică de doi divizori consecutivi al căror produs este numărul iniţial (de pildă de 8 şi 9 în cazul lui 72; atenţie, nu numere consecutive, ci doar divizori consecutivi; la 48 aceşti divizori consecutivi sunt 6 ∙ 8 = 48). Aş mai fi zăbovit cu două trei exemple aici, dar timpul nu-mi mai permitea şi ştiam că mai doresc să le povestesc elevilor despre un exemplu special “cu tâlc”. Astfel, am uitat în cadrul orei (şi nimeni nu a observat la discuţiile de analiză de după ora deschisă) să dau măcar un exemplu de găsire a divizorilor în cazul unui pătrat perfect. Era potrivită aici de pildă enumerarea divizorilor lui 64. Ce se întâmplă în acest caz la mijloc? Păi simplu: divizorul 8 face pereche cu sine, iar asta noi o vom însemna printr-o buclă de la 8 chiar la el. Este clar că am recuperat acest aspect ca observaţie la discutarea temei de la începutul orei următoare (şi aşa este în regulă). La temă au apărut două pătrate perfecte iar elevii au venit cu diferite idei şi contra-idei (un elev propunea să-l punem pe divizorul 8 de două ori). Deci, până la urmă am lămurit aspectul respectiv ora următoare.

Spuneam că spre finalul lecţiei m-am grăbit pentru că mai aveam “în buzunar” o scurtă “poveste cu tâlc” (nu apare pe poza tablei). Este vorba de numerele perfecte. Ce sunt acestea? Primul număr perfect este 6; dacă la numărul 6 facem suma tuturor divizorilor săi, în afară de numărul însuşi, obţinem SD6 = 1 + 2 + 3 = 6, adică exact 6. Ce se întâmplă la alte numere din acest punct de vedere? De pildă la 10 obţinem SD10 = 1 + 2 + 5 = 8, mai puţin decât numărul însuşi; dimpotrivă, la 12 obţinem SD12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, adică mai mult decât numărul însuşi. Exact ca la oameni avem şi la numere: la multe numere dacă facem suma divizorilor lor obţinem mai puţin decât “se laudă ele că pot”; dimpotrivă, la unele numere, dacă facem suma divizorilor lor vedem că obţinem mai mult decât “arată numărul”; există însă şi numere la care suma este exact “cât ne spune numărul că valorează”. Şi da, la oameni avem exact la fel: cei mai mulţi pot mai puţin decât se laudă că sunt în stare (cunoscuţii lăudăroşi); dimpotrivă, există oameni care, odată puşi în faţa unor situaţii dificile, constaţi că sunt foarte capabili şi pot mai mult decât arătau iniţial (pe aceştia îi numim de obicei modeşti). Da, şi mai există, cei drept foarte rar, cei care îţi arată exact cât pot (pe aceşti oameni de încredere îi putem numi perfecţi). În sensul acestei poveşti, elevii au primit acasă sarcina de a căuta şi următorul număr perfect (care este 28). Ora următoare, la discutarea temei, câţiva elevi au anunţat că l-au găsit, iar eu le-am spus despre Pitagora, anume că de la acest mare învăţat al Greciei antice cunoaştem aceste două numere perfecte şi că de la el vine şi această poveste. Apoi, tot ora următoare, în conectare cu analiza temei, după găsirea lui 28 le-am prezentat elevilor şi următoarele numere perfecte, 496 şi 8128, găsite de Nicomac din Alexandria în sec 1 d.Chr., dar şi următoarele care sunt deja uriaşe (urmează numărul 33.550.336, etc.).

Iată şi tema dată elevilor la sfârşitul orei deschise: 1) Scrieţi toţi divizorii numerelor de la 21 la 30, notaţi la fiecare câţi divizori are şi calculaţi în dreptul fiecăruia şi suma divizorilor săi (fără numărul însuşi), aşa cum am făcut în clasă. Fiţi atenţi dacă mai găsiţi un număr perfect printre acestea. 2) Scrieţi lista completă a divizorilor la fiecare din următoarele numere, folosind de fiecare dată proba divizorilor: 36; 42; 75; 96; 144; 150; 220; 280; 284; 300.

Tot de la Pitagora vine şi o altă poveste “cu tâlc”, prezentată elevilor în ora următoare: se spune că Pitagora a fost întrebat o dată despre cum ar caracteriza el doi prieteni cu adevărat buni. Iar Pitagora a răspuns că două persoane pot fi caracterizate drept prieteni buni dacă se vor comporta la bine şi la greu aidoma numerelor 220 şi 284. Într-adevăr, dacă veţi face suma divizorilor fiecăruie din cele două numere, veţi vedea că la fiecare se obţine celălalt ca rezultat. Acestea două se numesc numere prietene, şi erau folosite în lumea învăţaţilor arabi din jurul anului 1000 la confecţionarea de amulete pereche pentru “cimentarea” unei prietenii dorite (fiecare din cei doi prieteni păstra o amuletă cu unul dintre cele două numere prietene gravat pe aceasta).

Până în acest moment al studiului despre divizorii unui număr am parcurs următoarele nivele de gândire: la început am căutat toţi divizorii unui număr în mod intuitiv; apoi, odată cu creşterea numerelor studiate, găseam primii divizori intuitiv, până treceam de jumătatea listei, iar apoi restul divizorilor printr-un procedeu pe care l-am numit “proba divizorilor”. Această a doua metodă poate fi descrisă ca parţial intuitivă, parţial algoritmică. Dar şi această metodă mai performantă îşi găseşte în curând limitele, odată cu creşterea numerelor la care dorim să găsim divizorii. A fost deja cazul la numerele mai mari date ca temă la sfârşitul orei deschise, inclusiv la numărul 284. Aşa că trebuia să ne gândim la o metodă şi mai puternică, una care să elimine subiectivismul intuitivităţii. În ora următoare (după cea deschisă) le-am arătat cum am putea depista în mod ordonat toţi divizorii, procedând în prealabil la descompunerea numărului în factori primi.

Găsirea unei noi metode poate reprezenta aici o mare provocare pentru elevi dar, totodată reprezintă o provocare şi mai mare pentru profesorul care-şi doreşte să regizeze lecţia prin întrebări cât mai naturale prin care să-i împingă pe elevi spre a descoperi ei înşişi noua metodă. Ideea de a descompune numărul iniţial în factori primi şi a găsi divizorii săi prin compunerea factorilor în toate produsele posibile, această idee este însă una prea precoce pentru elevii de clasa a V-a. Nu cred că ei o pot găsi, dar o pot foarte bine înţelege după câteve exemplificări (dimpotrivă, un elev de clasa a VIII-a ar putea-o depista, dacă se dovedeşte mai treaz la minte). Deoarece ora respectivă (ora următoare după lecţia deschisă) se îndrepta către sfârşit, nu am apucat să fac decât două exemple (divizorii lui 100 şi cei ai lui 220, cu temă directă divizorii lui 2000). Eu am numit reprezentarea divizorilor în acel tabel drept metoda frunză, încercând astfel să le atrag atenţia asupra simetriei numărului de divizori de la nivelele egal depărtate de extremităţile tabelului. Tot la tema acestei a doua ore, le-am propus elevilor să găsească toţi divizorii numărului 496 şi să verifice apoi dacă într-adevăr acesta este număr perfect (temă opţională; scuze pentru tabla foarte urât ştearsă).

Am reluat discuţia peste încă două zile (în a treia oră prezentată aici), când am analizat situaţia divizorilor numărului 12, iar apoi, prin analogie, situaţia numărului 284, care are o structură de aceeaşi formă, dar cu factorul prim 71 în loc de 3. Apoi, la cererea câtorva elevi am făcut la tablă şi descompunerea şi găsirea divizorilor în cazul numerelor de la temă, 496, respectiv 2000, ce fuseseră ca temă, dar care le-a dat multă durere de cap (foarte puţini le-au reuşit).

Las aici onoratul cititor să studieze metoda în formă de frunză pentru găsirea tuturor divizorilor unui număr pe alte exemple. Diferite aspecte cunoscute din problemele de combinatorică se regăsesc aici într-un mod deosebit de natural. De pildă, la numărul 2000 care are în produs 7 factori primi, la găsirea tuturor variantelor de divizori compuşi din 5 factori, putem căuta ce posibilităţi există de a exclude doi factori din numărul 2000, aceasta susţinând observaţia de simetrie sus-jos a tabelului respectiv (în formă de frunză). Precizez că această “metodă” am generat-o la clasă în urmă cu trei ani, am stabilizat-o la clasa care sunt acum în a VII-a şi am introdus-o înclusiv în lucrarea de control (cu succes) anul trecut.

În a patra oră dedicată acestei teme, de care cu greu ne puteam despărţi, au apărut condiţiile ideale pentru ultimul pas, anume pentru stabilirea numărului divizorilor unui număr mare, fără a-i găsi neapărat pe toţi divizorii respectivi. Ce înţeleg prin condiţii ideale? Păi, simplu: la discutarea temei, care fusese găsirea tuturor divizorilor lui 3000, un elev ridică mâna şi spuse: D-le profesor, aţi avut dreptate când aţi spus că la 3000 nu o să avem 30 de divizori aşa cum am prevăzut eu (băieţelul respectiv concluzionase ora trecută că, dacă la 2000 aveam 20 de divizori, atunci la 3000 vom avea 30 de divizori, la care eu m-am arătat doar sceptic); mi-au dat 27 de divizori. În acest moment au sărit alţi copii: unul găsise 28, altul găsise chiar 30 şamd (eu am tăcut în acel moment, când el susţinea un număr impar de divizori la un număr care nu este pătrat perfect). Aşa că am scris chiar pe tablă întrebarea ce ne frământa. După care le-am arătat “marea bombă”, anume cum se află câţi divizori are numărul 18.000 (comentariul celui care a pornit totul: păi dacă-l facem pe ăsta, atunci la 3000 o să fie superuşor).

Astfel, pentru a epuiza subiectul divizorilor unui număr, mai trebuia să facem pasul către formula care ne spune – înainte de a-i găsi concret – câţi divizori are un anumit număr. De pildă, formula respectivă ne spune că numărul 18.000 = 24∙32∙53 are un număr de (4 + 1)∙(2 + 1)∙(3 + 1) = 5 ∙ 3 ∙ 4 = 60 divizori (vedeţi pe următoarea poză folosirea culorii pentru a îndrepta atenţia elevilor asupra exponenţilor).

Este foarte uşor să le dai elevilor de la clasele de excelenţă această formulă, iar ei o vor aplica imediat prin analogie. Dar, pentru mintea în formare a elevului talentat la matematică, această formulă cu efect de cutie neagră este situată undeva între nefolositoare şi otravă pentru gândire, în sensul că îl obişnuieşte pe elev să înveţe ceva pe de rost fără să înţeleagă cum funcţionează, aşa că elevilor buni trebuie neapărat să le oferim şi o explicaţie, de ce se întâmplă astfel. Băieţelul respectiv, care a fost în vervă mare la această oră, după ce a văzut calculul afişat de mine pe tablă, a strigat indignat: da’, de ce facem aşa? Am şi scris pe tablă întrebarea sa, după care am pornit explicaţiile. Iată în continuare poza tablei cu exemplele prin care am încercat să-i conduc pe elevii buni spre înţelegerea principiului acestei formule. În acest sens nu cred că trebuie o demonstraţie în caz general, fiind suficientă parcurgerea a două-trei exemple edificatoare. Vedeţi în continuare şi poza tablei din cea de a patra oră pe această temă.

Pentru noi profesorii, dar şi în caz că am discuta aceste aspecte la elevi mai mari, se impune aici o observaţie deosebită. În cazul numerelor scrise ca o simplă putere de un factor prim (an), formula respectivă este o formulă de lungime pentru că toţi divizorii se aranjează ordonat în linie. Dacă avem un număr ce s-a descompus într-un produs de două puteri de factori primi (an ∙ bm), formula respectivă devine o formulă de arie, pentru că toţi divizorii se aranjează în mod ordonat într-un tabel dreptunghic. Continuând raţionamentul, în mod evident că la un număr ce se descompune într-un produs de trei puteri de factori primi (an ∙ bm ∙ cp) avem o formulă de volum (L ∙ l ∙ h), pentru că toţi divizorii s-ar aranja ordonat într-un “tabel tridimensional” în formă de paralelipiped dreptunghic. La un număr cu patru factori primi diferiţi avem “volumul” unoi cuboid patru-dimensional (conţinutul în 4D), etc.

După lămurirea acestei metode am stabilit (muncă individuală, dictată apoi la tablă) câţi divizori avea buclucaşul număr 3000 de la temă, anume că are 32 de divizori. Normal că au primit să studieze din plin noua şmecherie (temă de găsit câţi divizori au fiecare din numerele 6000; 12000; 2400; 980; 10500).

În final doresc să atenţionez asupra unui aspect metodic suplimentar, de fineţe. Analizând cele prezentate mai sus, se observă strădania de a înţelege cât mai complet, din cât mai multe puncte de vedere, comportamentul numerelor participante la fenomenul studiat. Divizorii au apărut la început intuitiv, fiind imediat şi aranjaţi în ordine crescătoare. Apoi am constatat pe această primă formă o legătură interesantă ce am numit-o proba divizorilor. În ora următoare a apărut o structură nouă, bidimensională, sub forma unui tabel cu divizorii aranjaţi pe rânduri, în funcţie de numărul factorilor primi conţinuţi. În final a apărut o a treia formă de ordonare a divizorilor, destul de algebrică. Observăm astfel cum am studiat cu elevii diferitele forme în care se pot cuprinde/ ordona divizorii unui număr, în funcţie de punctul de vedere urmărit. Este bine să încercăm cât mai des să ne uităm la un fenomen studiat din cât mai multe puncte de vedere, aceasta ajutându-i pe elevi să înţeleagă mai bine lucrurile, dar şi să-şi clarifice în general felul în care “gândeşte matematica”. Da, şi încă o mică observaţie de ordin lingvistic: la mai mulţi factori folosim pluralul; la un singur factor folosim singularul; aţi văzut că la zero factori folosim din nou pluralul? Adică, zero obiecte de un fel sunt mai multe?

Mă opresc aici cu această prezentare (textul are 6 pagini A4 scrise cu 12). Urmează desigur lecţia despre divizorii comuni ai două numere, dar despre aceasta cu altă ocazie. Pe lângă bucuria acestei lecţii, rămân în urmă gândurile despre oportunitatea urcării la nivele atât de înalte de raţionament şi de cunoştinţe, cu elevi de clasa a V-a. Cu “olimpicii” merge, dar câţi elevi dintr-o clasă pot duce toate cele prezentate? În urmă cu 20-30 de ani astfel de teme de studiu erau incluse într-un capitol de aritmetică de la începutul clasei a IX-a. În 1997 acel capitol a fost desfiinţat, considerându-se că toate aspectele se lămuresc în clasa a V-a. Şi totuşi, câţi elevi de această vârstă ….

Titus Grigorovici, 14-23 oct. 2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Un nou început

Generaţia noastră de profesori am fost supuşi în ultimii 20 de ani la diverse reforme, fiecare mai ambiţioasă sau mai liniştită. Mulţi dintre noi nu mai au energie, sunt sătui de atâtea schimbări, aşa că se arată reticienţi faţă de acest “al nu ştiu câtelea” nou început. Mai ales că acest nou început este poate cel mai ciudat dintre toate, mergând vizibil în contrasens faţă de majoritatea demersurilor cu care ne-am obişnuit în toţi aceşti ani.

Pentru cei care nu au înţeles încă, această nouă programă are un profund caracter reparatoriu faţă de agresiunile reformei din 1980 la adresa predării matematicii gimnaziale. Ca să înţelegem acest aspect trebuie să ne uităm un pic în urmă şi să cugetăm la ce s-a întâmplat atunci.

Înainte de acea reformă predarea matematicii în gimnaziu prezenta o abordare profund intuitivă a materiei, în care rigurozitatea teoretică apărea moderat şi cu respect faţă de mintea matematică în formare a elevilor. Odată cu noile manuale introduse din 1981 s-a impus în şcoli o predare mult mai riguros teoretică, de inspiraţie academică. Ordonarea lecţiilor – de pildă la geometria din clasa a VI-a – a fost supusă cerinţelor teoretice de origine universitară; lecţiile au fost coborâte în clase mai mici şi au fost încărcate cu aspecte specifice matematicii de olimpiadă. Iniţial, majoritatea profesorilor s-au opus, unii mai pe faţă, alţii mai pe ascuns, predând în continuare, ani buni, aşa cum ştiau dinainte, cu respect faţă de elevi. Anii ’80 au reprezentat o perioadă neagră pentru arta predării matematicii, ani în care prin inspecţiile la clasă a fost vânată nesupunerea de stil vechi şi încet dar sigur a fost eradicată rezistenţa profesorilor la noile metode de tip prelegere universitară. Astfel, la schimbările din 1990 majoritatea profesorilor fuseseră “traşi pe calapod” conform noilor principii. Treaba mergea strună, toţi erau preocupaţi de rigurozitate şi de rezultate la olimpiade. Ce mai, deşi Ceauşescu fusese lichidat, visul său despre noua formă a învăţământului era implementat şi nu mai avea opoziţie.

Lucrurile chiar au mai crescut pe această linie şi prin reforma din 1997 în care s-au introdus manualele alternative. De abia după 2000 societatea a prins glas şi a început să strige tot mai tare că “ce-i prea mult îi prea mult”. Aceste glasuri de revoltă au crescut tot mai puternice şi datorită faptului că pe copii se vede tot mai mult incapacitatea de a învăţa matematica, datorată distrugerii atenţiei prin folosirea tot mai excesivă şi mai timpurie a ecranului în toate formele sale (în ordinea apariţiei: televizorul, jocurile de calculator, internetul şi smartphone-urile). Tot mai puţini copii reuşesc “să ducă” nivelul înalt al predării şi al problemelor din această predare mult prea agresivă.

Buuun! Şi ce se întâmplă acum, când nu se mai poate sta în această formă veche (de 35 de ani) şi în sfârşit vine cineva şi propune o reformă de adaptare la nevoile şi la realităţile elevilor? Exact ceea ce era de aşteptat: unii profesori se opun, pentru că nu înţeleg despre ce-i vorba, nu doresc să iasă din “zona de confort”, din forma de gândire şi de predare cu care sunt obişnuiţi. Cum să predai din clasa a V-a fără mulţimi, fără ecuaţii, fără m-ul de la măsura unghiului, etc.? Este absolut normal ca dascălii să comenteze pe faţă sau pe la colţuri. La fel ca la începutul anilor ’80, este de aşteptat ca profesorii să refuze schimbarea. Este mai uşor aşa. Decât să te chinui să înţelegi la ce folosesc problemele “acelea stupide” cu diferitele lor metode aritmetice, mai bine le pui pur şi simplu în ecuaţie.

După acest exil ideologic de peste 35 de ani, predarea intuitivă, prin care au învăţat matematica gimnazială toţi cei de peste 50 de ani, nu este primită înapoi cu gânduri bune. Dimpotrivă, fiind neînţeleasă, este respinsă în prima instantă, uneori chiar brutal, zeflemist şi cu sarcasm. Aceasta este realitatea: deşi vrem schimbare, mulţi nu suntem încă dispuşi să părăsim “zona noastră de confort” a felului în care ne-am obişnuit să predăm matematica.

P.S. Pe când “mă perpeleam” cum să scriu mai delicat cele de mai sus, a avut loc emisiunea Avocatul diavolului la Europa FM, cu domnii Vlad Petreanu şi Cristian Tudor Popescu, de vineri, 6 Oct. 2017, în care un ascultător intrat în direct, Cătălin, „a pus punctul pe i” descriind magistral situaţia: Profesorii români sunt extraordinar de mulţumiţi de ei; (…) dar nu poţi să progresezi, nu poţi să-ţi îmbunătăţeşti activitatea dacă ai imresia că tu eşti fantastic!

Într-adevăr, dacă nu eşti în stare să te pui zilnic sub semnul întrebării, pe tine ca profesor, cu toată activitatea ta, cu felul cum predai şi cum se petrec orele tale, atunci sigur nu ai şanse prea mari de a găsi căi mai bune de a preda. Dacă tu te crezi „atât de bun”, atunci, întotdeauna vor fi alţii de vină pentru nemulţumirile ce le resimţi în activitatea zilnică; întotdeauna alţii, dar nici măcar o dată tu însuţi. Autosuficienţa reprezintă prima piedică în progresul unei persoane.

CTG, la începutul anului şcolar 2017-2018

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

De ziua educaţiei

Citez din emisiunea Deşteptarea de la Europa FM de joi 5 oct. 2017, cu domnii Vlad Petreanu şi George Zafiu.

  • Fireşte că de ziua educaţiei nu se face educaţie, dar nu peste tot. În Bucureşti, în Giurgiu şi pe la Brăila nu se merge la şcoală, nu se face educaţie. În altele, în restul judeţelor, elevii merg la şcoală, dar nu fac ore. E ca la bugetari: nu muncesc, dar se duc la muncă. (…)
  • Pentru noi bucureştenii e o zi mare, poţi să circuli în voie, pentru că nu se duc elevii la şcoală (…).
  • În celelalte judeţe se vor face alte activităţi, vizete la muzeu etc. Deci, o să fie aşa, fiecare cum poate; (…) o să fie un haos de ziua educaţiei cam cum e educaţia în România (…)
  • Dacă aveţi, dragi copii, diriginte care predă matematica, domnu’ sau doamna dirigintă o să zică “hai să profităm de ziua de azi şi să facem 3-4 ore la rând de matematică”; (…).

Cu alte cuvinte, de ziua educaţiei mulţi copii au avut ocazia să se educe din plin, acasă pe tablete, sau la şcoală pe smartphone (fără să-i luăm în calcul, desigur, pe cei care au făcut matematică din belşug). Poate, voi avea timp cu altă ocazie să pun în discuţie conexiunea dintre scăderea constantă a atenţiei şi a capacităţii de a face matematică la elevi, pe de o parte, şi rolul tot mai mare şi mai timpuriu al ecranului în viata copiilor, pe de cealaltă parte. Până atunci, cu stima cuvenită (în funcţie de câtă matematică aţi făcut de ziua educaţiei), acelaşi CTG.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Marea schismă dintre ştiinţele exacte şi ştiinţele umaniste şi oglindirea acesteia în organizarea materiilor şcolare

(sau: Matematica  vs. restul materiilor şcolare)

Elevul este confruntat pe parcursul şcolii cu spectacolul continuu al luptei de rivalitate între diferitele materii. Între acestea rivalitatea între matematică şi materiile umaniste este probabil cea mai accentuată. În eseul de faţă, departe de a încerca o analiză exhaustivă, m-am străduit totuşi să cuprind cât mai multe şi variate aspecte ale acestui fenomen cu puternice valenţe sociale, atât în viaţa şcolilor cât şi în societatea adulţilor.

Îmi permit să încep acest eseu cu trei citate mai speciale din punct de vedere al autorului. Este vorba despre acad. Radu Grigorovici (1911-2008), vicepreşedinte al Academiei Române, văr bun cu bunicul meu Constantin Grigorovici. Cele trei citate sunt preluate din lucrarea-colecţie Radu Grigorovici, Argumente, Despre oameni, idei şi politici, 2011, Ed. ALMA, coordonată de fiica sa Rodica Marchidan. Într-o alocuţiune din 1984 dânsul spunea:

(…) scindarea dintre cei care recunoşteau numai cunoaşterea raţională, ce-i drept limitată, dar obiectivă a lumii, drept valabilă şi cei ce susţineau superioritatea cunoaşterii mistice, iraţionale, dar integrale a ei, scindare care se contura încă din antichitatea greacă, începuse să se accentueze sub influenţa pătrunderii religiilor orientale în spaţiul mediteranean. Ea s-a declarat făţiş, dar tolerant în cadrul înfloritoarei culturi maure a secolului al 12-lea. Unii o şi datează în anul 1180 când, la Cordoba, doi mari gânditori arabi se despart fără a se fi putut înţelege: Ibn-Rushd, cunoscut la spanioli sub numele de Averrhoẽs, reprezentant al raţionalismului, ba chiar al materialismului şi al ştiinţelor naturii, şi Ibn-Arabi, mistic islamic, reprezentant al cunoaşterii iraţionale şi integrale. (pag. 180; din conferinţa Două culturi, 1984)

În 1990 Radu Grigorovici, în cadrul unei analize mai largi adresate Academiei Române relua ideea, cu câteva nuanţe modificate, considerând astfel de mare importanţă momentul respectiv:

Când a luat fiinţă (…) Academia Română a încercat să întrunească sub acoperişul ei oamenii cei mai reprezentativi pentru spiritualitatea românească (…). Academia Română, în ciuda presiunilor de a imita anumite modele preferate de regimul politic al vremii, nu a devenit niciodată o Academie de Ştiinţe. În concepţia sa, spiritualitatea unei naţiuni în general şi aceea a poporului român în particular, nu poate fi compartimentată. (…)

Mai stranie este definiţia dată Academiei Române de for cel mai înalt, ştiinţific şi cultural, al ţării. Ea ilustrează frapant ambiguitate inerentă cuvântului, în speţă a conjuncţiei monosilabice şi. Este oare vorba de enumerarea a două noţiuni similare? Sau două noţiuni care se exclud? Sau de o ierarhizare în ordine crescândă sau descrescândă? Iată întrebări care cer un răspuns. Acest şi ridică astfel probleme controversate care separă şi învrăjbesc adeseori taberele căutătorilor de adevăr ce umblă pe căi diferite.

Schizma dintre ştiinţe şi arte se conturase încă din antichitatea clasică. Artele erau predominant reprezentate în Olimp de conclavul muzelor, inspiratoare dar şi censore ale creaţiei artistice omeneşti. Dimpotrivă, oamenii de ştiinţă, filozofii, îşi desfăşurau nestingheriţi activitatea pe pământ, preumblându-se prin grădinile lui Akademos, perorând şi îndrumând tinerii ca într-un work-shop modern, fără să fie “sponsorizaţi” de autorităţi divine.

Unii istorici ai ştiinţei şi culturii dau fenomenului (…) interpretarea clară a unei schisme care s-ar fi petrecut în anul 1180, la Cordoba. Atunci s-au despărţit după lungi discuţii doi înţelepţi arabi de renume. Ibn-Rushd, cunoscut europenilor sub numele hispanizat de Averrhoẽs, preocupat de explicarea raţională pe baze materialiste a fenomenelor naturale, recunoştea caracterului limitat al adevărurilor astfel obţinute, dar le aprecia acceptabilitatea universală. Ibn-Arabi ţintea mult mai sus: el urmărea cunoaşterea holistică a lumii, văzând calea de acces către adevărul a tot cuprinzător în experienţa mistică bazată pe Islam.

În concordanţă cu spiritul tolerant al epocii şi fiind amândoi înţelepţi, Ibn-Rushd şi Ibn-Arabi s-au înţeles să nu se înţeleagă şi n-au apelat la tortură şi la rug, cum a făcut mai târziu biserica creştină apuseană în numele iubirii de oameni şi a blândului Iisus.

Schisma dintre ştiinţele naturii şi cele umaniste a apărut, cum se ştie, la sfârşitul Renaşterii. Cele dintâi şi-au ales drept metodă ideală de găsire a adevărului analiza logică, de preferinţă matematică, a fenomenelor şi confruntarea, de preferinţă cantitativă, a teoriilor imaginate cu experienţa decretată drept arbitru suprem. Antagonismul dintre ştiinţele care s-au putut conforma acestor metode de lucru şi acestor criterii de evaluare a adevărului şi cele care nu pot sau nu vor să şi le însuşească este viu până astăzi. (…) Ştiinţele umaniste şi artele nu pot aplica criterii atât de riguroase pentru recunoaşterea adevărului adevărat. Ele aplică criterii variate şi mereu variabile de validitate. (…) (pag.253-254, din articolul Punţi peste bariere, 1990)

Dar nici ştiinţele între ele n-au rămas mult timp unite. În 1992 Radu Grigorovici plusa cu următoarele gânduri despre excesele limbajului ştiinţific în contextul divizării tot mai accentuate a fenomenului ştiinţific ca întreg:

(…) Orice încercare de a arunca punţi serioase peste graniţele ce separă două sau mai multe domenii ştiinţifice presupune stăpânirea exactă şi profundă a limbajului ştiinţific al ştiinţelor ce urmează să fie legate.

Dar rezultatul cel mai grav al evoluţiei din ultimul timp al limbajului ştiinţific este ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor. Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă. Astfel, medicul nu te găseşte bolnav de plămâni sau de inimă, ci de pulmoni sau de cord, constată că acuzi o durere, şi nu o simţi, sau declară că un scriitor apreciat de oficialităţi a decedat suferind de etilism şi nu de darul beţiei. (…)

Şi de ce spitalul de oncologie să nu se cheme “pentru combaterea cancerului”? De ce să existe un colectiv de ampelografie, şi nu unul de “cercetare a viţei de vie”? De ce să vorbim între nespecialişti de epistemologie sau de deontologie, şi nu de “teoria cunoaşterii ştiinţifice” sau de “morală”? De ce o colegă vorbea într-o comunicare de nigerienii care se găsesc “în stare corporală nudă”? Cu cât era mai ruşinos să spună că “umblau în pielea goală”? Ce m-a făcut pe mine însumi să vorbesc cu o ocazie similară despre caracterul ludic al unei demonstraţii, făcută pe ecranul unui monitor, în loc să vorbesc de “joc”? Simţeam evident că aş distona cu nivelul de înaltă intelectualitate a mediului.

Efectel acestei atitudini sunt departe de a fi cele scontate. (…) Cu bunul său simţ dublat de o ironie acerbă, poporul nostru a preluat din limba rusă cuvântul “nauka” – ştiinţă pentru a caracteriza şi a caricaturiza pe omul ce o practică drept “năuc”, adică aiurit, rupt de realitate.

Iată ce spune pe o notă ceva mai serioasă, în prodigioasa revistă engleză “New Scientist”, un biolog după ce asculase la televiziune un program de matematici al Universităţii libere: “Sunt biolog, un soi de om de ştiinţă în mod notoriu mai puţin versat în ale numerelor, şi prin urmare nu e de mirare că nu înţeleg aluzii subtile la principiul lui Pontryagin sau la spaţiul neeuclidian. Sunt totuşi un om de ştiinţă şi, printr-un act teribil de voinţă, mă pot reţine de la simplificarea lui d cu d când sunt confruntat cu dy/dx. De aceea, un program al Universităţii libere ar trebui să însemne mai mult pentru mine, decât, să zicem, pentru un student în teologie. Problema este că există o lipsă de comunicare între oamenii de ştiinţă şi restul societăţii şi chiar între diferitele ramuri ale ştiinţei. Eu voi spune unui biolog că sunt etologist, dar fac economie de timp prezentându-mă altora ca unul ce studiază comportarea animalelor.”

Mai concis se exprimă în Cartea interferenţelor matematicianul Solomon Marcus răspunzând unei întrebări: “Mă refeream la modul în care matematica iese în lume. Aici suferă matematica un mare eşec – fiindcă îşi absolutizează propriul ei jargon şi astfel se izolează de lume, de societate – de tot – şi devine un fel de sectă care foloseşte un limbaj ezoteric. Acesta este adevărul amar, ce se constată în toată lumea”. La observaţia din public că totuşi matematica are şi un succes, răspunsul se conturează încă şi mai sumbru: “E un succes, dar nu unul social […] Matematica nu mai este înţeleasă în public şi, cum spunea Moisil, omul, când nu înţelege, e contra”. (pag.205-207, din articolul Limbaj şi comunicare în comunitatea ştiinţifică, 1992)

Da, astfel se văd lucrurile din punctul cel mai înalt de vedere, cel al savantului, dar un savant raţional, “fără fumuri”, deşi a fost printre cei foarte mari (concret, Radu Grigorovici a fost între cercetătorii de vârf ai grupului celor care au pus bazele ştiinţifice – studiul semiconductorilor amorfi – pentru ceea ce cu toţii folosim azi, anume celulele fotovoltaice, componente de bază de pildă în jucăriile acelea ce ne luminează calea prin grădina întunecată, după ce au transformat lumina soarelui în curent, dar folosite şi la alimentarea staţiilor spaţiale cu curent, prin acele panouri solare uriaşe ataşate acestora ca nişte aripi în zborul lor silenţios prin spaţiul întunecat).

Să analizăm în cele ce urmează cum se reflectă atitudinile, luptele şi rivalităţile din înalta societate a cunoaşterii la noi în şcoli, la noi cei aflaţi la baza cunoaşterii, care avem ca sarcină nobilă atragerea viitorilor adulţi spre “lumea minunată a cunoaşterii”.

*

Opoziţia dintre ştiinţele exacte şi ştiinţele umaniste – modelul linear în patru poziţii

Cea mai puternică opoziţie dintre două materii şcolare este opoziţia dintre filologi şi matematicieni, ca materii dominante în examinarea şcolară. Pe lângă această pereche mai sunt şi altele, dintre care aş aminti doar opoziţia năucitoare între biologie şi religie: ce poate să înţeleagă din viaţa asta, din lumea oamenilor mari, un copil care ia în serios fiecare materie în parte? Ce sistem de valori îşi poate construi în mintea lui un elev după ce-i audiază la rând pe profesorul de religi şi pe cel de biologie? Şi la fiecare mai trebuie să dea şi lucrare de control! O schizofrenie curată!

Revenind la opoziţia dintre matematicieni şi filologi, alături de obligativitatea de a colabora în sensul evaluării şi examinării de vârf (teze şi examene) şi a rivalităţii ce decurge zilnic din această stare, este evidentă opoziţia temperamentală zilnică între cele două discipline, fiecare luându-l pe celălalt în derâdere (apropos de bancul cu cei doi soţi, ea profesoară de română, el profesor de mate’). Matematicienii râd cu superioritate de colegii de limba română, unul dintre argumente fiind faptul că la examenele de română sunt des întâlnite decalaje mari între punctajele celor doi corectori ai unei lucrări, fiind considerate normale între filologi, dar absurde în matematica cea riguroasă. Dimpotrivă, profesorii de română îi acuză pe cei de matematică de răceală şi de atitudine îngâmfat elitistă. În realitate, în ambele tabere există cazuri extreme, dar şi colegi mai puţin susceptibili de a fi criticaţi de către ceilalţi, mai ponderaţi ca matematicieni sau mai raţionali ca filologi.

Îmi aduc aminte în acest moment istoria cărţilor de probleme “distractive” ale profesorului elveţian Peter Gallin. Într-o zi acesta i-a dat o problemă colegului de limba germană să o rezolve. A doua zi colegul a venit năucit pentru că, susţinea el, problema nu se putea face, nu avea date suficiente, nu se înţelegea. Peter Gallin, încercând să-i explice cum se făcea problema, a constatat o opoziţie acerbă din partea colegului filolog: nici vorbă, din text nu se înţelegea aşa ceva, nu reieşeau informaţiile pe care acum Peter Gallin i le prezenta verbal. Discutând mai aprig sau mai liniştit au ajuns la concluzia că umanistul înţelegea cu totul altceva din anumite pasaje de text decât susţinea matematicianul; astfel cei doi au ajuns la concluzia că dintr-un text redactat de un profesor de matematică, chiar dacă era într-un limbaj dorit accesibil, pentru a atrage spre gândire şi nematematicienii, din acest text cei neobişnuiţi cu rigoarea matematică înţelegeau “te miri ce”. Dorind să spargă bariera de înţelegere între cele două lumi, cei doi s-au coalizat, ajungând să colaboreze la re-redactarea problemelor compuse de Peter Gallin, astfel încât şi nematematicienii să înţeleagă ceea ce trebuia din aceste texte. Împreună au scris astfel, cu mare succes, câteva cărţi de probleme de “matematică distractivă”.

E momentul să analizăm aici o teorie mai puţin cunoscută. În primul rând trebuie atras atenţia că nicăieri în lume nu există de fapt doar două poziţii, ci că de obicei ne aşteptăm să mai existe şi o poziţie mediană, împăciuitoare între cele două extreme opozite. În realitate însă, nu găsim niciunde o poziţie mediană centrală, ci de fapt există întotdeauna două poziţii intermediare. Astfel, în realitate lucrurile nu sunt organizate în trei părţi (să zicem: stânga – centru – dreapta), ci de fapt în patru părţi (să zicem: extremă stângă, moderat stângă, moderat dreaptă şi extremă dreaptă). Şi nu doar în politică se întâmplă aşa. Pentru a înţelege mai clar, să luăm un exemplu din viaţa de zi cu zi (a unora J): dacă pe vremuri vinurile erau împărţite în vinuri seci şi vinuri dulci (două categorii), trecându-se apoi la catalogarea din engleză cu dry, medium şi sweet (deci trei categorii), la ora actuală este absolut uzual să se vorbească despre vin dulce, demidulce, demisec şi sec (deci patru categorii, două extreme şi două medii). O trecere la cinci categorii pentru vinuri, practicată de un anume lanţ de magazine, este resimţită ca prea complicată nefiind preluată de restul lumii.

În cazul unei situaţii beligerante între două tabere, cele două poziţii intermediare sunt reprezentate de către cei dispuşi şi capabili a se implica în negocierile de pace. Dacă înaintea izbucnirii unui conflict puterea în cele două tabere era în mâna celor situaţi la extreme, pentru finalizarea conflictului trebuie să intre în acţiune cei de pe poziţiile moderate. De curând am vizionat o emisiune (Rwanda – Ţara femeilor, 18 iulie 2017 pe TVR2) în care se prezenta situaţia acestei ţărişoare răvăşite după războiul interetnic între cele două triburi ale ţării: tutsi şi hutu. Am vizionat doar finalul emisiunii, dar cred că am prins ideea: Erau prezentate cazurile unor femei care au apucat să ia iniţiativă în diferite domenii de activitate, toate ducând la vindecarea unei societăţi răvăşită de crimele atroce săvârşite de bărbaţii din ambele triburi, nu numai împotriva adversarilor ca luptători, ci şi împotriva femeilor şi copiilor din tribul advers.Emisiunea se încheia cu următoarea afirmaţie: pentru Rwanda se întrevede un viitor strălucit dacă femeile îşi vor păstra rolul dominant ce îl au actualmente în ţară (citat aproximativ). Este un exemplu tipic în care opuşii extremi au trebuit să facă loc opuşilor moderaţi pentru vindecarea situaţiei. În cazul de faţă diferenţa dintre poziţiile extreme şi poziţiile moderate se vede concret până în fizic: bărbaţii din cele două triburi au reprezentat poziţiile extreme beligerante, pe când femeile poziţiile moderate reconciliante.

Revenind la viaţa unei şcoli, prin cerinţele de performanţă impuse începând cu reforma lui Ceauşescu din 1980, profesorii au fost împinşi spre atitudini şi cerinţe extreme, ştiinţele reprezentate prin acele materii intrând tot mai dur în viaţa şcolii. Astfel, pe exemplul opoziţiei analizate putem privi ca extreme poziţiile universitarilor, matematicieni respectiv filologi; dimpotrivă poziţiile mediane ar fi reprezentate în viaţa elevului de către profesorii săi din şcoală. Este evidentă poziţia centrală a elevului pe această axă, poziţia caracterizată de către Rudolf Steiner ca „poziţia christică”. Din păcate, datorită tragerii profesorilor şcolari către extreme, elevul este şi el tot mai puternic „tras între extreme”.

Poziţionarea diferitelor materii în spectrul şcolar – modelul evantai

De fapt în viaţa elevului şcoala nu este prezentă prin doar două materii, ci printr-un adevărat evantai, model ce este foarte potrivit prin prisma celor expuse în citatele de mai sus. În acest model putem liniştiţi să poziţionăm matematica într-una dintre marginile evantaiului, iar în imediata ei vecinătate celelalte ştiinţe reale, fizica şi chimia, eventual informatica acolo unde se face informatică adevărată (am reale semne de întrebare în ce măsură utilizarea calculatorului, “vândută” sub titlul de informatică, mai poate fi poziţionată în proximitatea matematicii). Apoi ar putea fi aşezate biologia şi geografia, dar cu cât ne îndepărtăm de extremitate, cu atât mai mult profesorii materiilor respective vor manifesta frici tot mai puternice faţă de gândirea matematică pură. Nu mi-am propus să fac neapărat o ordonare riguroasă, dar este evident că în extrema cealaltă a evantaiului se află artele şi religia, apoi literatura. Gramatica este ceva mai structurată, putând fi poziţionată oarecum mai către ştiinţele reale. Limbile străine cred că ar putea fi văzute pe undeva pe la mijlocul evantaiului.

Un astfel de “evantai” poate fi observat la nivelul european, analizănd felul de a fi, de a raţiona şi de a se comporta al naţiunilor continentului nostru. Astfel, se simte un fel de “axă” temperamentală: în nord-vest, la popoarele germanice simţim o răceală şi o rigurozitate logică puternică, pe când către sud şi sud-est observăm o spontaneitate şi o subiectivitate ilogică extrmă (noi denumim această stare drept “balcanică”). Fiecare se simte bine în felul lui de a fi, dar merge uneori în vacanţă la ceilalţi pentru a vedea ce şi cum. Fiecare ţară europeană îşi are locul pe acest “evantai”. De pildă, nemţii sunt mai riguroşi, fraţii lor austriecii ceva mai boemi. Şi în cadrul unei ţări se observă aceste diferenţe: este sufiecient să privim comparativ ardelenii cu răgăţenii (q.e.d.).

Revenind la şcoală, o combinare a primelor două modele prezentate aici ne poate duce la evantaiul liceelor teoretice: mate-info; ştiinţele naturii; socio-uman; filologie. Dar nici acum modelul nu este satisfăcător, pentru că, atât liniile tehnologice, cât şi artele nu-şi găsesc de fapt clar un loc ordonat în acest spectru.

Răvăşirea elevului în cercul materiilor – modelul Pizza

Mult mai potrivită m-i se pare în acest sens analogia cu o Pizza cu multe felii, fiecare reprezentând câte o materie. În acest fel am putea căuta învecinări în ambele părţi pentru o materie anume. De pildă, alături de matematică, în partea opusă faţă de fizică am putea poziţiona desenul geometric (noi, cei din generaţia mea am făcut această materie), apoi diferitele tehnologii, ajungând prin partea aceasta în apropierea artelor.Este clar că nici acest model nu este ideal, dar ne permite totuşi observaţii suplimentare deosebit de interesante, cum ar fi observarea multiplelor opoziţii ce apar între diferitele materii (de pildă “războiul” dintre religie şi biologie, ca model al luptei dintre teoria creaţionistă şi cea evoluţionistă). Desigur că mici “ciocneli” pot apărea sporadic şi între materii alăturate. Aş exemplifica aici doar felul în care colegii de fizică care pregătesc elevi pentru olimpiada din clasa a VII-a îşi permit cu neruşinare să le “predea” elevilor teorema lui Pitagora sau rapoartele trigonometrice pe un colţ de tablă în semestrul I (cu ce drept îşi permit aceştia să le povestească elevilor cea mai importantă teoremă din toată geometria înaintea profesorului de matematică?).

Neînţelegerea de între diferitele ştiinţe de care vorbea acad. Radu Grigorovici este prezentă în toate domeniile “cunoaşterii”. Putem aminti în acest sens şi schizmele dintre diferitele culte religioase; chiar şi dacă privim doar diferitele biserici creştine şi este suficient să înţelegem fenomenul în mare, felul în care cu timpul, prin aprofundarea domeniilor de cunoaştere, chiar şi spirituală, tendinţa a fost de fragmentare, de separare.

Combinând modelul Pizza cu modelul celor patru poziţii, observăm că de fapt fiecare felie are zona dinspre centru mai accesibilă vârstelor şcolare, reprezentând mai moderat domeniul, ştiinţa respectivă, pe când cu îndepărtarea de centru aceasta devine tot mai dură, mai elitistă, mai extremistă. Aici aş vedea poziţionate centrele de excelenţă. Este evident că, cu cât mai puternic diferiţii inspectori trag de profesorii materiilor respective să aducă rezultate la concursurile corespunzătoare, cu atât mai mult elevii – aflaţi în centru – sunt traşi în toate direcţiile. Învăţământul actual performant românesc trage de elev – de elevul capabil – în toate părţiile (imaginaţi-vă în tabloul materiilor în formă de Pizza pe fiecare felie ancorat un vector care trage în exterior); dimpotrivă, în învăţământul din multe ţări materia vine mult prea indulgent către elevul “cocoloşit” în centru, cerându-i mult prea puţin (imaginaţi-vă în fiecare felie atenţia profesorilor reprezentată prin toţi vectorii orientaţi înspre centru). Într-un învăţământ sănătos atenţia fiecărei materii şi a fiecărui profesor ar trebui să fie însă îndreptată într-un echilibru sustenabil, în egală măsură către nevoile şi posibilităţile elevului, dar şi către excelenţa domeniului respectiv, între anumite limite profesorul reuşind să vină astfel în întâmpinarea fiecărui elev.

Din păcate este sub demnitatea unor profesori a face paşi spre elevul bulversat în centrul acestei hore năucitoare a materiilor şcolare. Alteori profesorii sunt obligaţi să se prezinte într-o atitudine ştiinţifică rece, cu un limbaj superior, un exemplu în acest sens fiind renumita situaţie masă/greutate impusă în vocabularul fizicii, prin care este pregnant evidenţiată ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor.

De multe ori am folosit modelul Pizza cu vectorii săi pentru a explica părinţilor ce se întâmplă, de ce copilul lor este atât de bulversat de acesastă şcoală românească mult mai dură decât cea pe care au absolvit-o ei pe vremuri. Dar nici acest model nu poate prezenta toate problemele existente (am putea alege un model tridimensional, sferic – poate un pepene? – dar să nu exagerăm), aşa că haideţi să trecem la un model ceva mai liber.

Matematica în orchestra materiilor – modelul orchestrei cu prim solist

Un domn inspector de matematică spunea odată că există două tipuri de materii: matematica şi celelalte. Şi în mare parte avea dreptate: în tot spectacolul şcolar actual ce se derulează de-a lungul anilor în faţa copilului în dezvoltarea sa, matematica a ajuns la ora actuală să joace un rol atât de important şi de diferit faţă de restul materiilor, încât reprezintă clar o categorie aparte, atât de diferită faţă de tot ce o înconjoară încât situaţia este percepută de către foarte mulţi ca o ruptură clară (matematica şi restul materiilor).

Pentru a înţelege mai bine luaţi ca exemplu felul în care se poate obţine de pildă nota 8 (opt) la diferitele materii; sau nota 9 (nouă). Luaţi o notă şi imaginaţi-vă cât de uşor se obţine de către un elev neutru (nici prea bun, nici prea slab, fără talente deosebite într-o direcţie sau alta). Veţi realiza repede discrepanţa între cât de greu se obţine o notă la matematică şi aceeaşi notă la educaţie fizică, de pildă.

Dificultatea matematicii este accentuată şi de limbajul super-sofisticat ştiinţific, de multe ori folosit inconştient pentru a impresiona: Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă.

Cum reacţionează uneori elevii la aceste excese, poate fi exemplificat de pildă prin porecla dirigintei din filmul Liceeni. Mai ţineţi minte cum o chema? ISOSCEL! Treaba vine de la faptul că într-o pronunţie naturală cuvântul iese cu litera ş: isoşcel. Îmi şi închipui câte profesoare o fi urlat de-a lungul timpului către elevi neatenţi la felul cum pronunţau numele acestui triunghi.

Desigur că nici ceilalţi colegi nu dorm. În funcţie de personalitatea unuia sau a altuia apar în diferite situaţii profesori la alte materii care doresc să-şi aroge o importanţă la fel de mare ca profesorul de matematică. Astfel, în această orchestră în care apar mai mulţi solişti, lucrurile o pot lua uneori razna pentru elevi. Ştiu de pildă două situaţii din alte şcoli unde cele mai grele probleme sunt întâmpinate de către elevi la chimie.

O situaţie urâtă apare şi atunci când mai mulţi colegi, care au acumulat evidente frustrări din cauza matematicii în viaţa de elev, se coalizează împotriva colegului de matematică, acesta intrând în colimatorul răutăţilor celor ce au avut de suferit în copilărie din cauza profesorilor lor de matematică. Acuza cea mai frecventă este “că îi chinui pe săracii copii”. Desigur, însă, că odată ce copiii lor personali ajung în clasele premergătoare examenului, sub îndrumarea colegului cel păcătos în ale matematicii, atunci tot ei vor avea pretenţii de matematică cât se poate de serioasă de la cel pe care îl atacau pe vremuri.

Las onoratul cititor să tragă concluzile potrivite după această lungă filozofie, urmănd ca să acţioneze pe viitor ca atare. Cu modestia cuvenită, C. Titus Grigorovici, în vara 2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Despre subiectele date la examenul de EN

Comentariu la articolul din 1.07.2017, de pe Republica: Profesorul care a comparat examenele pe care le dădeau bunicii noştri la matematică cu Evaluarea Naţională: Trebuie schimbat din rădăcini modul de predare, autor Raluca Ion, despre studiul profesorului Sorin Borodi din Dej, legat de nivelul subiectelor date la examene, în particular cele de la EN 2017. Merită să citiţi articolul care se găseşte la adresa https://republica.ro/profesorul-care-a-comparat-examenele-pe-care-le-dadeau-bunicii-nostri-la-matematica-cu-evaluarea-nationala (vedeţi că are două anexe foarte interesante pe parcurs, daţi clic pe textul verde).
Personal, consider subiectele de EN din 2013 la un minim încă neegalat, dar desigur că aceasta poate să fie doar o părere subiectivă. Voi ţine minte însă toată viaţa mea de profesor “şocul” resimţit în acel an legat de respectivele subiecte: şocul resimţit personal, ca profesor, dar şi şocul resimţit de societate, care s-a trezit brusc cu o densitate foarte mare de elevi cu note peste 9.50; chiar reproşul din glasul unor părinţii: mi-aţi spus că fata mea trece de 9 dacă prinde o zi bună, şi a luat 10 curat. Cât de tare mi-aţi subestimat fata! Sistemul creat de Sorin Borodi notează însă EN 2017 cu 4,11. Un minim istoric. Subiectele de EN din anii precedenţi au fost clasificate cu următoarele punctaje: EN 2010 – 5,55; EN 2011 – 5,38; EN 2012 – 5,50; EN 2013 – 4,88; EN 2014 – 5,05; EN 2015 – 4,16; EN 2016 – 4,27. Dacă nu aţi citit articolul, doresc să vă stârnesc curiozitatea prin câteva citate scurte.
O şablonizare periculoasă de la an la an, cu un grad extraordinar de mare de predictibilitatea a subiectelor. E un schematism care în matematică nu e deloc bun. Apar elevi care spun: „Dar de ce să facem asta că nu se dă la examen?”. La fel a fost şi în 2007, când s-au dat pentru examen cele 100 de variante din februarie, variante din care să se aleagă una prin tragere la sorţ în ziua examenului, iar elevii se împotriveau la clasă dacă profesorul venea cu o altă problemă decât una scoasă din cele 100 de variante oficiale.

Interviul luat de Raluca Ion surprinde şi un alt aspect de o profunzime deosebită, în legătură cu abstractizarea matematicii la orice nivel. „Pentru copiii de această vârstă nu există lucruri în afara concretului, în afara realului. Şi ce li se cere să facă? Găsiţi un număr, găsiţi două numere, găsiţi trei numere. Culegerile şi auxiliarele abundă în aceste probleme cu totul şi cu totul neatractive. Iar astfel de cerinţe fără legătură cu realitatea şi cu viaţa au coborât până la clasa a patra. Copilul, oricât ar fi de entuziast, abandonează”, spune Borodi.

„Soluţia este să schimbi din rădăcini felul în care se predă matematica în România”. Să aduci cu alte cuvinte viaţa reală în clasă şi să îi ajuţi pe copii să îşi dezvolte capacitatea de a gândi în afara şablonului. „Profesorii trebuie să îşi schimbe stilul de predare. Trebuie să lege matematica de concret, de lucrurile din jur. Matematica trebuie să dezvolte gândirea, găsirea de soluţii. Acum copiii termină clasa a opta, iau medie mare la un examen la care ştiu reţeta şi nu fac decât să îşi întărească convingerea că matematica nu are legătură cu realitatea, că e un fel de Sudoku”, crede Sorin Borodi.

Mulţumim pentru acest studiu deosebit de interesant. CTG

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Olimpicii !!! (OIM 2012)

Din categoria ştirilor nebăgate in seamă… nu tu accident, nu tu catastrofă, nu tu viol sau măcar o operaţie estetică a vreunei patzachine…

Am luat aur la Olimpiada Internaţională de Mate!!!

Aşa, şi?!

Sunt vreo şase. Cinci băieţi şi-o fată. Doi dintre ei au benoacle. ”Feţe de tocilari”, aşa gîndeşte lumea despre ei! Plus vreo doi-trei profesori, dintr-ăia de au 15şpe milioane de lei vechi si halesc conserve în deplasările peste graniţă, ca să pună deoparte diurna şi s-o utilizeze la “trei stele”, ultra all inclusive, în Grecia, alături de soţia sa, o “mîhnită” de profă de biologie.

La aeroport nu-i bagă nimeni în seamă, dar deasupra capului, unul dintre dascăli ţine o tăblie pe care scrie:”România”. Aeroportul se întrebă: “Ce e, mă, cu amărîţii ăştia?” Au nişte tricouri galbene pe ei, iar la gît le atîrnă medalii. La unii, de aur. “Dacă sînt sportivi, de ce nu e ciorchinele de camere TV pe ei?” continuă întrebările. Aaaa, uite, au şi-un steag. Un tricolor! Cînd îl afişează, o fac cu mîndrie. “Bă, esti nebun?! Ăştia chiar mai cred în chestia asta cu reprezentarea cu cinste a ţării, cu… Cine sînt?”

Da, chiar aşa, cine sînt de nu-i bagă nimeni în seamă, în afară de rude?

  1. Omer Cerrahoglu: Primul cu benoacle. Clasa a XI-a, vine din Maramu’, din Baia Mare. Avea 14 ani cînd cucerea prima medalie de aur, la Bremen, Germania, în 2009. N-a vrut să dezamăgească, aşa că acum a venit tot cu cel mai preţios metal la gît.
  2. Radu Bumbăcea: Fără benoacle. A luat – culmea nesimţirii! – BAC-ul, la “Tudor Vianu”, în Bucureşti. Aur la Amsterdam şi în Kazahstan. Adoră literatura, ştiinţele si-a fost, deja, acceptat la Cambridge . Pentru cei care n-au timp să caute pe Google, băieţii de acolo (de la Cambridge) au pornit la drum Universitatea în 1209, cam pe vremea cînd noi ne apucam de cnezate si voievodate.
  3. Ioana Tamaş: La 18 ani a primit premiu pentru întreaga activitate. E singura fată din lot – fără nici o legătură cu fotbalistul! De cînd era în şcoala generală, la Nr. 79, rupea pe matematică. În primăvară a primit premiul “Laurenţiu Panaitopol” pentru întreaga activitate de olimpic pe parcursul şcolii! “Poftiiiim???!!! N-are nici 20j de ani şi primeşte diplome pentru “întreaga activitate”?! A, şi ea are benoacle. Unii poartă ochelari din cauza jocurilor pe calculator sau Wii. Dimpotrivă, ei, pentru c-au citit prea multe cărţi.
  4. Tavi Drăgoi: E pasionat de chitară, informatică şi electronică. A luat doar “argint”, dar a fost acceptat, deja, la Harvard! Completare: “Harvard” desemnează o universitate din SUA, fondată la 1636, cu 140 înainte ca americanii să se pună pe făurit state. Pur statistic, pe aici au trecut 75 de omuleţi care au luat premiul Nobel la diferite discipline!
  5. Fane (Ştefan) Spătaru, from Alexandria – atenţie, Alexandria de Teleorman, nu de Egipt! (alt benoclist) S-a“încălzit” pe plan local, la Balcaniada din Turcia, de unde a venit cu aur. Acum a coborît o treaptă, a luat doar argint, dar e mezinul trupei, are şanse.
  6. Fane (Ştefan) Ivanovici: Vine din Bacău . Cei mai buni prieteni ai lui? Newton, L’Hospital, Gauss…
  7. Radu Gologan e coordonatorul. Prof în Poli, în Bucuresti. 10 ani ca preşedinte al Comisiei Naţionale a Olimpiadei de Matematică. 40 de articole de cercetare, peste 30 didactice, cărţi, bla-bla-bla. Le-a vorbit unor studenţi din Rusia, Franţa, SUA, Germania. În concluzie, nişte tocilari! Iată Delegaţia României participantă la Olimpiada Internaţională de Matematică. Locul 1 pe Europa şi locul 10 în lume (din 100 de ţări, într-un clasament neofocial). Două medalii de aur luate în Argentina, la Mar del Plata, la cea de-a 53-a ediţie.

Pe cine interesează o astfel de ştire? În ţară avem 120.000 de nebacalaureaţi. “Pacyno” se dă cu gel cînd merge să afle rezultatele la BAC. La Iaşi, de trei ani, la acelaşi liceu, NIMENI n-a luat examenul. Iar noi vorbim despre nişte puşti de 16-18 ani care uimesc lumea! Gata, că şi aşa povestea e cam lungă… Apropo, aţi aflat că nea Gigi s-a suit pe maşină şi-a dirijat circulaţia, la trei dimineaţa, în Mamaia? Wow!…

N-o daţi mai departe că, oricum, nu interesează pe nimeni!

(Prezentare de faţă circula de curând din ‘mail în ‘mail, fiind nesemnată; eu doar am periat-o puţin ordonând redactarea. Nu am verificat din alte surse datele prezentate, nici nu am încercat să le completez, de pildă în pasajul de prezentare al Prof. Radu Gologan. Oricum, autorul acestei „ştiri” merită cuvinte de laudă. Da, şi să nu uităm, în 2018 OIM se întoarce din nou acasă în România, de data asta la Cluj! Este totuşi remarcabil că primul eveniment de nivel mondial găzduit de noua Sală Polivalentă construită în oraşul de naştere al lui János Bolyai să fie chiar OIM. Ăsta da Wow! CTG)

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Îngrozită de matematică

O analiză a articolului Claudiei Chiru din 11.09.2017 de pe Republica, cu titlul Am fost îngrozită de matematică şi ştiu cum se simt azi elevii din faţa mea. De aceea, încerc să o predau puţin altfel.

Oamenii ajung în viaţa de adult cu anumite amintiri – pozitive sau negative – despre matematica din şcoală. Uneori aceste amintiri sunt deosebit de preţioase pentru că ne dezvăluie cu claritate anumite aspecte ale vieţii matematice din şcoală, aspecte ce ţin de predarea matematicii şi din care noi, profesorii, ar trebui să învăţăm. De la actualii matematicieni primim mai greu astfel de „bule cu impresii din trecut” (probabil că noi nu vrem să ne divulgăm amintirile cu slăbiciuni matematice din copilărie). Iată însă că o altă persoană ne-matematician se hotăreşte „să pună cărţile pe faţă” şi să ne arate cum a suferit în copilărie din cauza unei predări nepotrivite a matematicii, mai exact spus, din cauza unei profesoare de matematică. De data asta este vorba chiar de un cadru didactic, o învăţătoare, care se luptă din răsputeri să iasă din paradigma în care a fost crescută, căutând cu înverşunare metode mai bune de a preda. În continuare reiau mare parte din articolul respectiv, lăsându-vă pe dvs, să trageţi concluziile de rigoare.

*

Nu ştiu alţii cum sunt, însă eu, când îmi aduc aminte de chinul prin care am trecut în anii de şcoală ai ciclului gimnazial la matematică…mă înspăimânt şi-mi dau seama că această amintire amară nu-mi va dispărea toată viaţă. 

De fiecare data când intra în clasă doamnă profesoară, sângele îmi îngheţa în vene şi paralizam, mă rugăm în gând să nu mă asculte şi mă concentram asupra respiraţiei, pentru că mi se părea că este prea zgomotoasă şi îi va atrage atenţia asupra mea. Bineînţeles că o dată la o perioadă de timp era rândul meu să fiu ascultată şi scoasă la tablă, iar atunci când acest calvar se dezlănţuia, nu ştiam să fac niciun exerciţiu şi luam de obicei nota 4, 5 sau 6 şi mă simţeam umilită în faţa întregii clase

Cu aceste note m-am chinuit toţi cei patru ani şi, desigur, intensitatea sentimentelor creştea pe măsură ce avansam în materie, odată cu trecerea anilor şi creşterea gradului de dificultate. Mă simţeam proastă şi eram convinsă de asta. Eram inferioară colegilor mei la această materie, toată lumea o ştia şi mă tratau că atare. Din toată matematică celor 4 ani nu cred că am învăţat mare lucru până a sosit momentul admiterii la liceu şi mama a decis să merg la meditaţii la oraş pentru că voiam să intru la Colegiul Pedagogic şi eram sigură că nu voi trece de matematică.

Noua doamnă profesoară era caldă, explica atent exerciţiile, cu calm, eu le înţelegeam, însă nu eram convinsă că matematica este accesibilă pentru mine şi că o voi putea privi vreodată în viaţă fără să-mi fie frică de muşcătura ei.

Reîntoarsă în învăţământ, am observat că elevii cu care interacţionam aveau minţi pentru matematică sau nu, balanţa era oarecum echilibrată între comunicare în limbă română şi ştiinţa numerelor. Am observat copii care priveau în gol, aşa cum obişnuiam şi eu să privesc în anii de şcoală, alţii cărora le transpirau mâinile şi nu mai puteau scrie, alţii care cereau voie la toaletă de nenumărate ori în timpul unei ore; într-o zi, chiar am observat un elev care mişca ritmic din picioare pe sub bancă şi se înroşise foarte tare la faţă și am decis într-un moment de revelaţie absolută că vreau să-i ajut. Am început să-mi ajut elevii schimbându-mă pe mine, lucrând cu propria mentalitate şi încercând să ies din tiparele în care am fost înghesuită pe băncile şcolii, am început să identific copiii senzoriali, copiii hiperactivi şi pe cei timizi, am găsit soluţii pentru fiecare în parte, i-am ţinut de mână şi i-am asigurat că nu mă voi supăra dacă vor răspunde greşit şi nici nu-i voi umili în faţa colegilor, le-am spus că fiecare minte este diferită, funcţionează într-un mod special şi fiecare exerciţiu sau poveste matematică ne permite să sărbătorim bunătatea fiecăruia dintre noi şi ne testează nivelul de anduranţă şi acceptare.  

Am descoperit că matematica are un ritm propriu în mintea fiecărui copil, ritm pe care eu nu îl pot influenţa, însă îl pot identifica şi respecta ca atare, am început să le permit elevilor mei să lucreze în echipă şi să se ajute atunci când se împotmolesc într-un raţionament din dorinţa de a-i aduce în ZPD – Zona Proximei Dezvoltări a lui Vygotky şi am început să văd artificii pe tavanul clasei. Din acel punct, elevii mei au prins şi ei gustul matematicii astfel organizate în sala de clasă şi au început să iubească momentele de lucru. Toată această sărbătoare s-a transferat şi către celelalte materii, iar noi am început să lucrăm mai bine în echipă şi apoi din ce în ce mai bine şi individual. 

Apoi (…) am început să le dau elevilor mei libertatea de a gândi şi de a-şi dezvolta propriile raţionamente înainte de a le transfera eu cunoştinţele mele, i-am lăsat să descopere, să încerce, să greşească şi să se bucure (…).

Totul a început să se clarifice şi în mintea mea. Mă urmăream şi îmi dădeam seamă că mă bucuram şi eu alături de ei, descoperind secretele matematicii. Anul acesta îi voi învăţa tabla înmulţirii şi nu i-am lăsat să o memoreze în vacanţa de vară pentru că vreau să le pregătesc o sărbătoare a adunării repetate şi apoi un bal al înmulţirii, vreau ca elevii mei să iubească tabla înmulţirii aşa cum eu nu am făcut-o.
La început de an şcolar vă împărtăşesc povestea mea matematică pentru că îmi doresc să inspir persoanele care stau în faţa unei clase întregi de elevi spre abordarea unei predări experienţiale, cu joc şi poveste, aşa cum generaţiile anterioare nu au cunoscut-o, care însă, este croită perfect pentru noua generaţie de copii.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone