Un ecou deosebit despre educaţia matematică

A.S. (ante scriptum) La câteva zile după publicarea părţii a doua e eseului despre necesitatea reintroducerii geometriei sintetice în clasele de liceu http://pentagonia.ro/geometria-sintetica-in-clasa-a-9-a-2-cateva-argumente/, am primit un comentariu deosebit, atât de extins şi dens încât trecea cu mult dincolo de nivelul unui simplu şi obişnuit comentariu. Concret, gândurile primite reprezintă de fapt aproape un nou articol, aşa încât m-am pus pe treabă, l-am aranjat puţin, încercând şi o traducere cât de cât orientativă (mare parte acest comentariu sunt citate în limba engleză); în final mi-am permis şi eu câteva gânduri de completare. Rândurile primite reprezintă una dintre cele mai frumoase şi clare etalări a ideii, a descrierii despre ce reprezintă de fapt activitatea matematică; nu activitatea matematicienilor, ci activitatea matematică în general. Este vorba despre cum ar trebui să arate educaţia matematică, cel puţin de undeva din  clasa a 3-a şi până spre final la BAC. Iar dacă urmărim cu atenţie ideile exprimate în aceste rânduri şi le permitem un proces “de digerare, de rumegare” în mintea noastră, atunci s-ar prea putea să înceapă să ne vină idei noi despre cum ar fi potrivit să ne conducem activitatea de predare a matematicii în clasele noastre, pentru a o face într-un mod cât mai atractiv elevilor.

Apropos de aceste ultime gânduri exprimate aici: nu vă puneţi sub presiune ca “repede să vă vină idei fabuloase”; citiţi încă o dată şi încă o dată, şi lăsaţi minţii voastre timp “să digere” aceste aspecte. S-ar putea ca numai după mult timp să observaţi că încep să vă vină impulsuri de schimbare (vorbesc aici de luni sau chiar ani), dar important este să porniţi procesul.

Este foarte curios cum acest comentariu primit se conectează în mod deosebit cu articolul http://pentagonia.ro/puterea-numerelor-negative-marele-roman-al-matematicii-si-arta-predarii/, postat însă doar ulterior pe acest blog. Asta înseamnă un singur lucru, anume că “ideea pluteşte în aer”, sau cu alte cuvinte că, de fapt am reuşit cu adevărat să ne apropiem de acel ceva ce reprezintă esenţa activităţii matematice, iar asta am făcut-o pur şi simplu din mai multe direcţii. Iată deci gândurile primite de la dl. Raul Prisăcariu, fiecare aliniat în engleză fiind urmat de traducerea acestuia (toată scrisoarea-comentariu este prezentată înclinat, pe când gândurile şi traducerea mea apar cu litere drepte):

*

Când e vorba de educatia matematica, eu am fost influenţat de ideiile din carteaA Mathematician’s Lament” de Paul Lockhart (“Plângerea, lamentarea unui matematician”, într-o traducere simplistă; chiar aşa, nu se oferă o editură să traducă această carte? – notă de traducător CTG).  Cartea are câteva pasaje citabile cum ar fi:

By removing the creative process and leaving only the results of that process, you virtually guarantee that no one will have any real engagement with the subject.

Prin eliminarea procesului creativ şi lăsând doar rezultatele acestui proces, garantezi, cu mare certitudine, te asiguri că nimeni nu-şi va crea o legătură reală cu acel subiect (acea lecţie, acele cunoştinţe)

By concentrating on what, and leaving out why, mathematics is reduced to an empty shell. The art is not in the “truth” but in the explanation, the argument. It is the argument itself that gives the truth its context, and determines what is really being said and meant. Mathematics is the art of explanation. If you deny the students the opportunity to engage in this activity – to pose their own problems, to make their own conjectures and discoveries, to be wrong, to be creatively frustrated, to have an inspiration, and to cobble together their own explanations and proofs – you deny them mathematics itself.

Concentrându-ne pe CE, şi lăsând de-o parte DE CE, matematica este redusă la un ambalaj gol. Arta (numită matematică) nu constă în “adevăr” (în a prezenta “adevărul” studiat), ci în explicaţie, în argument. Argumentarea în sine este cea care îi dă adevărului prezentat contextul său şi lămureşte ce anume s-a dorit a fi spus, care a fost intenţia ce s-a dorit a fi transmisă. Matematica reprezintă arta explicaţiei (matematica devine vizibilă pentru elev, pentru novice, prin ARTA “PREDĂRII”, adică prin arta însoţirii elevului pe drumul cunoaşterii matematicii şi a gândirii specifice). Dacă le refuzi, le interzici elevilor ocazia de a se angaja în acest proces, în această activitate, – să ajungă în situaţia de a-şi genera singuri întrebări, de a găsi singuri propriile conjecturi (potriveli, bănuieli, posibile răspunsuri) şi propriile descoperiri, chiar de a greşi (în părerea expusă), de a vieţui frustrarea în procesul creativităţii, de a avea o inspiraţie, şi de a o împărtăşi, a aduce împreună, laolaltă cu ceilalţi, propriile explicaţii şi demonstraţii – atunci le negi matematica însăşi (le negi de fapt accesul la activitatea matematică).

Worse, the perpetuation of this “pseudo-mathematics”, this emphasis on the accurate yet mindless manipulation of symbols, creates its own culture and its own set of values. Those who have become adept at it derive a great deal of self-esteem from their success. The last thing they want to hear is that math is really about raw creativity and aesthetic sensitivity.

Mai rău, perpetuarea acestei “pseudo-matematici” încurajează la rândul său foarte exacta manipulare extremă a simbolurilor, la rândul ei totuşi lipsită de gândire; aceasta îşi crează cu timpul propria subcultură şi propriul set de valori. Cei care o folosesc îşi bazează mare parte din stima de sine pe succesul în această direcţie. Ultimul lucru pe care ei ar dori să-l audă este că matematica este cu adevărat despre creativitate brută şi sensibilitate estetică.”

Math is not about following directions, it’s about making new directions.

Matematica nu este despre urmarea şi păstrarea unor direcţii, ci este despre crearea unor noi direcţii (este mai degrabă despre exersarea capacităţilor de creare, de generare a unor noi direcţii).

Mathematics is the music of reason. To do mathematics is to engage in an act of discovery and conjecture, intuition and inspiration; to be in a state of confusion – not because it makes no sense to you, but because you gave it sense and you still don’t understand what your creation is up to; to have a breakthrough idea; to be frustrated as an artist; to be awed and overwhelmed by an almost painful beauty; to be alive, damn it. Remove this from mathematics and you can have all the conferences you like; it won’t matter. Operate all you want, doctors: your patient is already dead.

Matematica este muzica raţiunii. A face matematică înseamnă a te angaja într-o acţiune a descoperirii şi a presupunerii, a intuiţiei şi a inspiraţiei; a fi într-o stare de confuzie – nu pentru că ceea ce studiezi nu ar avea sens pentru tine – ci pentru că tu i-ai dat sens şi totuşi încă nu înţelegi cu adevărat de ce este în stare creaţia ta (unde va duce creaţia ta, ce urmări poate avea proaspăta ta creaţie); de a avea o idee care să penetreze “zidul”; să fi frustrat ca artist al gândurilor; să fi şi covârşit de frumuseţea aproape dureroasă a unei situaţii; de fapt este vorba despre a fi viu în activitatea matematică. Desfinţează toate acestea din matematică (scoate-le din procesul matematic) şi poţi să urmăreşti toate conferinţele ce-ţi ies în cale, că oricum nu mai contează. Operaţi oricât doriţi, voi doctori ai matematicii, că pacientul vostru a murit de mult.

Totuşi eu consider că Lockhart a fost influenţat un pic prea mult de idealismul matematic prezentat în celebrul eseu “A mathematician’s Apology(O apologie a matematicianului) de G.H. Hardy. Şi el pune mult accent pe matematică ca o arta estetică, şi nu ca o artă care are şi beneficii practice. Pentru mine, unul din aspectele frumoase ale matematicii este faptul că poate avea aplicaţii practice. De aceea matematica este denumită ca fiind regina ştiintelor.

Eu zic că sunt 2 probleme mari în educatia matematică. O problema ţine de faptul că elevii nu sunt încurajaţi să intre în procesul acesta de gândire, de creare de ipoteze (conjectures) şi de experimentare matematică, pentru a vieţui  plăcerea de a te juca cu aceste idei şi forme abstracte.

A doua problemă ţine de aplicaţii. Eu când vorbesc de aplicaţii, mă refer la aplicaţii care sunt interesante şi care pot arăta de ce matematica e folositoare în lumea reală. Este vorba despre aplicaţii care pot crea entuziasm în elevi, nu despre acele aplicaţii unde doar foloseşti nişte formule şi singura importaţă a lor este că apar la examene. Raul Prisăcariu

*

P.S. Gândul că “matematica este muzica raţiunii” m-a dus cu gândul la o altă idee deosebită (exprimată cu mult timp în urmă de către Rudolf Steiner, cel care a pus bazele sistemului şcolar Waldorf): “frumosul reprezintă umbra activităţii spirituale în fizic“, prin activitate spirituală înţelegând aici orice activitate a spiritului omenesc, inclusiv cea de gândire, mai exact inclusiv cea a activităţii “interioare” de gândire ce are loc în cadrul matematicii. Asocierea dintre muzică, drept o posibilă etalare a frumosului (manifestată într-o mişcare temporală a diverselor sunete şi tonalităţi), şi matematică, drept una dintre activităţile extreme alt spiritului omenesc (manifestându-se la rândul ei tot într-o mişcare temporală, prin succesiunea de etalare şi de conectare a ideilor şi a itemilor individuali de raţiune), această asociere dintre muzică şi matematică devine acum mult mai clară.

Dacă este să folosim muzica drept o parabolă a matematicii, atunci trebuie neapărat să precizăm un aspect deosebit de important. În finalul citatelor din Paul Lockhart referirea este la activitatea improvizaţiei de muzică, privită drept antecamera activităţii de compunere de muzică, şi nu activitatea de exersare şi redare a unei piese muzicale. În mod similar, aici se priveşte în mod critic simpla învăţare şi redare a unor elemente de matematică într-un mod cât mai eficient (inclusiv prin eficientizarea la maxim a folosirii simbolisticii corespunzătoare). Doar aceasta nu este cu adevărat matematică. Eşti cu adevărat angajat într-un proces matematic real doar dacă eşti lăsat, chiar eşti împins, a te implica în procesul de găsire a soluţiei, a rezolvării, a demonstraţiei, de unul singur!

Există şi o diferenţă majoră aici: dacă simplul interpret de muzică este denumit totuşi muzician, a practica cu elevii doar o redare a elementelor de matematică studiată este numită aici o “pseudo-matematică”.  Citind acest articol, fiul nostru (29 ani) pe care l-am rugat să arunce o privire asupra traducerilor, a comentat astfel: Da, iar atunci când începe să ni se “servească” doar această “pseudo-matematică”, atunci începe să nu ne mai placă, chiar ne scârbeşte şi o urâm, pentru că nu mai suntem lăsaţi să ne implicăm în ea (adică în procesul de cucerire a matematicii şi de creare a noilor lecţii).

Datorită obiceiului tot mai răspândit din partea profesorilor de a prezenta matematica sub formă de prelegere (a “docentiza”, într-o traducere aproximativă a unui verb auzit la nemţi), datorită acestui aspect creşte aşa de mult numărul celor care detestă matematica; predarea prin problematizare este aici singura soluţie pentru a-i implica pe elevi în “cucerirea” lecţiilor din programă. Problema este că predarea prin problematizare consumă mult mai mult timp decât simpla prelegere. Concluziile se impun de la sine.

Matematica nu este doar o colecţie uriaşă de cunoştinţe (dobândite de-a lungul mileniilor de oameni) şi care are asupra elevilor un efect covârşitor, ci matematica este totodată un anumit tip de activitate care însă trebuie făcută de către învăţăcel în ritmul său. Mă refer aici la citatul pe care eu l-am tradus: Concentrându-ne pe CE, şi lăsând de-o parte DE CE, matematica este redusă la un ambalaj gol. În varianta engleză (mathematics is reduced to an empty shell) este folosit acest cuvânt shell, care în dicţionar (dicţionarul Englez Român al Academiei, Ed. Univers Enciclopedic 2004) dă o multitudine de variante: coajă, scoarţă, înveliş; mie cel mai mult îmi place traducerea “cochilie de scoică goală” pentru că aceasta implică şi lipsa existenţei conţinutului care este presupus viu. Animalul numit scoică este viu; cochilia scoicii este moartă (chiar dacă de multe ori foarte frumoasă, putând fi evident păstrată şi folosită decorativ în multe feluri).

În mod similar, “matematica rezultat” reprezintă doar partea moartă a matematicii (cea găsită de obicei în cărţi), pe când “matematica proces” este partea vie a matematicii. Aceasta din urmă nu poate fi păstrată fizic, ci poate fi doar trăită (aşadar păstrată numai în amintire, în suflet). Acum înţeleg ce vroia să spună un fost elev din prima generaţie de la Şcoala Waldorf din Cluj, care undeva pe la 30 de ani mi-a spus: nu mai ţin minte nimic din matematică; ţin minte doar că era foarte frumos şi ne plăcea ce făceam!!! O astfel de persoană se va putea apuca la nevoie oricând din nou de matematică şi nu o va face cu repulsie q.e.d. CTG

P.P.S. Dacă doriţi să extindeţi subiectul atins în final, vă recomand de pildă următoarea postare http://pentagonia.ro/dialogul-profesor-elev-rezolvarea-unei-probleme/ ; în eseul complet anexat postării am vorbit despre matematica activă vizavi de matematica pasivă.

Puterea numerelor negative –Marele roman al matematicii şi arta predării

De curând am prezentat cartea Marele roman al matematicii (Editura TREI, 2021), de Mickaël Launay. În următoarele rânduri doresc să vă prezint un citat din această carte, cât şi felul în care acesta mi-a influenţat o lecţie de clasa a 6-a, ajutându-mă să-mi îmbunătăţesc cu încă un pas arta predării matematicii (puteţi accesa prezentarea precedentă direct la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). Iată pentru început pasajul respectiv (pag. 177-179), în descrierea autorului Mickaël Launay:

*

Unul dintre exemplele cele mai izbitoare mi s-a revelat într-o zi în care animam atelierul de cercetare împreună cu clasa a doua de la o şcoală (notă explicativă: în Franţa copiii merg la şcoală după împlinirea vârstei de 5 ani). Copiii, în jur de 7 ani, aveau ca sarcină să lucreze cu triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, pentagoane, hexagoane şi multe alte forme, pe care trebuiau să le trieze conform unor criterii liber alese. S-a observat că pentru fiecare dintre aceste figuri putem să numărăm câte laturi şi câte vârfuri există. Triunghiurile au 3 laturi şi 3 vârfuri, pătratele sau dreptunghiurile au 4 laturi şi 4 vârfuri şi aşa mai departe. Realizând această listă, copiii au formulat rapid o teoremă. Un poligon are întotdeauna tot atâtea laturi câte vârfuri.

Săptămâna următoare, pentru a-i provoca, am adus în discuţie figurile neregulate, dintre care una avea forma următoare: (aici este reprezentat în carte un patrulater concav)

Se pune, aşadar, întrebarea: câte laturi şi câte vârfuri există aici? Şi iată că majoritatea clasei răspunde: 4 laturi şi 3 vârfuri. Acest unghi inversat din josul figurii nu are o formă de vârf, adică nu este ascuţit (unghiul supraobtuz, adică cel având măsura mai mare de 180o). Nu se poate rostogoli figura peste el. Este mai degrabă o scobitură decât o umflătură a figurii. Pe scurt, acest unghi care intră în figură nu făcea parte din ideea prealabilă pe care copiii şi-o făcuseră despre ce este acela un vârf. Dacă le-aş fi cerut să numească acest punct “vârf”ar fi însemnat că le cer să dea acelaşi nume unor lucruri diferite. Ce idee stranie! Discuţiile s-au încins. Niciun copil nu este de acord cu statutul acestui nou punct. Ar trebui să-i dăm, oare, un alt nume, ar trebui să-l ignorăm complet? Există argumente pro şi contra, dar, în general, niciunul nu părea să convingă pe majoritatea dintre ei.

Apoi, dintr-odată, un copil şi-a adus aminte de teoremă. Dacă acesta nu este vârf, nu mai putem spune că orice poligon are tot atâtea laturi câte vârfuri. Spre marea mea uimire, acest argument a fost cel care într-o clipă a făcut ca întreaga clasă să-şi schimbe părerea. În câteva secunde toată lumea era de acord: trebuia ca acest punct să capete numele de vârf. Trebuia să fie salvată teorema, chiar cu preţul prejudecăţilor noastre. Ar fi fost păcat ca acest enunţ atât de simplu şi limpede să fi avut excepţii. Iată cea mai precoce manifestare a eleganţei matematicii la care am putut fi martor.

“Excepţiile” nu sunt frumoase. Ele ne rănesc sentimentele. Cu cât un enunţ este mai simplu şi aplicabilitatea sa mai mare, cu atât ne dă impresia că putem să atingem cu degetul ceva cu adevărat profund. Frumuseţea în matematică poate căpăta diverse forme, care se manifestă prin acest raport tulburător al complexităţii obiectelor studiate cu ajutorul formulărilor cât mai simple. O teorie frumoasă este o teorie economă, fără resturi, fără excepţii arbitrare şi deosebiri inutile. Este o teorie care spune multe cu puţine vorbe, care fixează esenţialul în câteva cuvinte, care merge direct la ţintă.

Dacă exemplul poligoanelor rămâne elementar, această impresie de eleganţă nu face nimic altceva decât să crească, pe măsură ce teoriile se dezvoltă, păstrând în acelaşi timp o ordine care se reduce la câteva reguli simple. (…) Este atât de frumoasă situaţia prezentată, atât de calde cuvintele la adresa matematicii, încât aici se simte pur şi simplu nevoia unei pauze scurte pentru savurarea acestui pasaj.

*

Despre această carte susţineam că ne poate influenţa pozitiv predarea, în sensul că ne-ar stimula înspre a le trezi elevilor bucuria de a face matematică. Spuneam că mi-o păstrez ca lectură de vacanţă, dar s-a apucat soţia să o citescă, iar când găsea ceva interesant îmi citea repede şi mie. Având în minte povestirea prezentată mai sus, peste două zile aceste idei m-au influenţat semnificativ în cadru unei lecţii, transformându-i finalul într-unul deosebit de captivant pentru elevi.

Clasa a 6-a s-a întors fizic în şcoală la Cluj spre finalul lunii Mai 2021. Aveam cam toate lecţiile importante parcurse, mai puţin cele despre introducerea noţiunii de numere pozitive respectiv negative. Lecţiile oficiale ne vorbesc despre Numere întregi, dar esenţa lucrurilor este despre apariţia în viaţa elevilor a numerelor negative, cât şi despre felul cum acestea se relaţionează cu cele vechi, care se numesc de acum încolo numere pozitive. M-am străduit să parcurg lecţiile la un nivel cât mai “basic” posibil, conştient fiind de faptul că elevii erau foarte bucuroşi de revenirea fizică în clasă, dar totodată aveau acumulată şi o cantitate uriaşă de frustrare generală împotriva matematicii, în urma celor cca. şase luni de izolare în online, de obicei singuri acasă, în care nu reuşiseră să se concentreze suficient pentru a primi mesajul matematic. Nu vroiam să le stric bucuria revenirii la şcoală cu o lecţie prea grea sau prea abstractă; de obicei mă străduiesc în acest sens, dar acum eram şi mai atent.

După lămurirea operaţiilor de ordinul I (adunarea şi scăderea) şi II (înmulţirea şi împărţirea), acum eram la ultima lecţie, cea despre puterea numerelor întregi (pentru pedanţi, mă refer desigur la puterea numerelor întregi negative cu exponent natural). Vroiam să o parcurg cu răbdare ca să o înţeleagă din prima cât mai mulţi elevi ai clasei, dar totodată doream să o termin repede (în cel mult 30 min.), pentru ca în ultimul sfert de oră să discutăm măcar puţin şi despre ordinea operaţiilor (mai aveam apoi încă o oră de geometrie şi o ultimă oră rezervată algebrei în care vroiam să dăm în sfârşit şi un mic test fizic în clasă; era în săptămâna dinainte de EN8, când urma să fim exilaţi din nou în online şi oricum trebuiau să fie încheiate mediile).

Trebuie desigur să precizez aici şi faptul că nici vorbă să mă gândesc să le turui lecţia; pentru mine nu intră în discuţie decât varianta de predare prin problematizare În pasajul următor vă prezint orientativ dialogul de “cucerire” a acestei lecţii cu elevii, pe care o putem denumi şi predare prin întrebări. Precizez că numerotarea întrebărilor este doar tehnică, folosită pentru claritatea acestui eseu; cu elevii, pe tablă nu le-am notat.

Întrebarea 1): Cât este (–5)3? Dezbatere, discuţii, păreri … . Până la urmă am ajuns la scrierea (–5)·(–5)·(–5). Primii doi de “minus” înmulţiţi dau “plus”, iar apoi, cu al treilea “minus” dă în total “minus”. Buuun! (trec peste “perlele” despre cât ar fi 53)

Întrebarea 2): Cât este (–3)4? Iarăşi puţină dezbatere, dar mult mai repede am ajuns din nou la scrierea (–3)·(–3)·(–3)·(–3). Aici elevii nici nu au imediat impulsul să grupeze primii doi de (–) într-un (+) şi, separat, ceilalţi doi de (–) într-un alt (+), ca apoi să concluzioneze că (+) ori (+) dă (+). NU, ei au impulsul să găsească semnul rezultatului altfel: primii doi de (–) cuplaţi dau un (+), apoi acesta împreună cu următorul (–) dau un (–), iar în final acesta cu ultimul (–) dă un (+); (apropos, şi la înmulţirea 3·3·3·3 gândesc la fel, adică 3·3 = 9, apoi 9·3 = 27, iar în final se blochează la 27·3; de fiecare dată trebuie să le tot repet că 3·3·3·3 = 9·9 care trimite mult mai uşor către 81). Oricum, până la urmă ajungem la acelaşi rezultat: (+). Interesaaant!

Întrebarea 3): Cât este (–2)5? Treaba merge deja mult mai rapid. Eu chiar îi temporizez pe cei care “s-au prins de mişcare” (încercând să am grijă astfel încât să-i duc pe cât mai mulţi elevi împreună cu noi în acest raţionament), aşa încât introduc din nou scrierea (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2), pe care putem însemna cu nişte acolade sub acest rând, îmbrăţişând tot câte două “minusuri” care dau un “plus”, în final rămânându-ne ultimul “minus”, care devine semnul rezultatului (aceleaşi acolade fuseseră folosite şi la primele două întrebări).

Întrebarea 4): Cât este (–2)6? Este evident că aici mulţi aveau răspunsul, dar pentru lămurirea definitivă a tuturor elevilor încă mai scriem (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2). După reluarea acoladelor pentru a stabili semnul rezultatului, vine desigur şi întrebarea despre o regulă.

Întrebarea 5): Aşadar, care ar fi regula semnului la puterile cu baza negativă? Destul de repede elevii cei mai sprinţari spun că “minus la putere pară dă plus” şi “minus la putere impară dă minus” (aşa o spun ei, apoi eu le-o repet într-un limbaj mai tehnic, spunând-o încă o dată folosind cuvântul “exponent”).

Aceste puteri, corespunzând primelor cinci întrebări, le-am scris pe rânduri succesive, pornind “din mijloc”, adică lăsând câteva rânduri goale deasupra (elevii fuseseră  avertizaţi să fie atenţi la dialogul de la tablă şi să nu scrie, pentru că eu voi scrie şi în jos şi în sus). După obţinerea acestei reguli, (pentru început exprimată doar oral) am continuat să scriu deasupra puterii a treia un nou rând cu puterea a doua: aşadar (–7)2 = (–7)·(–7). Acest rând apare doar ca o confirmare a teoriei proaspăt generate, în corelare cu mai vechea (–)·(–) = (+) Apoi am trecut la rândul gol de deasupra, cu următoarea situaţie.

Întrebarea 6): Cât este (–2)1? Din nou avem puţină dezbatere, dar repede ajungem la concluzia că (–2)1 = (–2) = –2. Aha, deci “minus doi” la puterea 1 dă semnul “minus” pentru că este o singură dată. Dar putem să zicem şi că avem “minus la o putere impară” care dă desigur “minus”. Această ultimă observaţie a fost făcută şi la puterea a doua, cele două împreună reconfirmând faptul că regula mai sus exprimată este corectă şi la puteri cu exponent mai mic (nu doar la puteri cu exponente tot mai mari). Acum vine ultima şi cea mai ciudată întrebare (scrisă din nou pe rândul liber de deasupra).

Întrebarea 7): Cât este (–2)0? Vă puteţi imagina desigur răspunsurile de tipul “minus zero!” sau “minus unu” (bazat pe amintirea că “ceva la puterea zero dă unu”). Aşadar cât dă? Desigur, cunoaştem din clasa a 5-a că “un număr la puterea zero dă unu”, dar asta era valabil la numerele naturale, adică pozitive, la “numerele fără minus”. Oare la numerele negative se păstrează regula că va da 1, sau aici va da –1? Că de zero ne-am lămurit repede că nu-i cazu’.

Aici s-a întâmplat ciudăţenia cu care nu ţin minte să mă mai fi confruntat în anii precedenţi: câţiva elevi nu erau în stare “să renunţe în sufletul lor” la acel “minus” de la bază. Baza acestei puteri are “minus”. Ei au înţeles că mai mulţi de “minus” dau “plus” (dacă se pot grupa câte două şi alte două etc.). Dar aici nu poate deveni “plus” pentru că nu avem “mai multe de minus”. Eu nu voiam să-mi argumentez răspunsul pe baza formulei din clasa a 5-a (şi eventual pe baza autorităţii mele), respectând faptul că într-adevăr, aici aveam nişte “numere noi” (este de bun simţ matematic că nu avem certitudinea păstrării regulii vechi la o situaţie nouă). Doi băieţi erau mai înverşunaţi în acest sens şi nu le venea a crede că acel “minus” dispare şi datorită faptului că în explicitarea lui (–2)0 de fapt nu mai avem nici un zero. Mulţi alţii erau derutaţi pentru că nu puteau citi pe faţa mea un verdict clar înspre varianta cu +1 (eu folosesc deseori în lecţie un fel de “poker-face” pentru a le forţa gândirea).

În acest moment eu am început să simt similitudinea deosebită cu povestea egalităţii numărului de laturi şi de colţuri din cartea lui Mickaël Launay, respectiv cu forţa “teoremei” găsite de către elevi. Aşa că le-am pus următoarea întrebare ajutătoare: păi. exponentul lui (–2)0 cum este, par sau impar? Brusc s-a făcut linişte în clasă, ochişorii de deasupra măştilor s-au mărit a uimire şi au apărut explicaţii de genul: zero este par, deci e clar că rezultatul este + 1, adică tot 1.

Bucuria s-a simţit prin toată clasa, mai ales la elevi pentru că, după suspansul creat, se găsise răspunsul fără echivoc. Dar bucuria era şi în sufletul meu, pentru că vedeam pe concret cum funcţionează mecanismul logic prezentat de Mickaël Launay, mecanism de trezire a bucuriei matematice în sufletul copiilor. Aşadar şi “teorema” din clasa a 5-a se păstrează, fiind salvată: orice număr la puterea zero ne dă tot unu, indiferent dacă numărul de la bază este pozitiv sau negativ. Imediat toţi au fost de acord cu acest răspuns şi nimeni nu mai vedea la (–2)0 un semn de minus la rezultat.

Legat de paritatea lui 0 (zero), trebuie precizat că acest aspect nu este evident pentru elevi. Doar întrebat direct, elevul, ajungând să se gândească, va decide că zero este par, iar asta mai mult pe baza faptului că stă vecin cu 1 (care este mai uşor de priceput că este impar) sau că este la două unităţi depărtare de numărul 2. Gândindu-se la această întrebare, de fapt nici cei mai mulţi adulţii nu realizează din start că zero este par (vorbesc aici de nematematicieni).

Iată, pentru claritatea eseului, poza de final a tablei, dar precizez încă o dată că eu le-am scris de la rândul din mijloc în jos, apoi de la rândul al treilea în sus, puterea cu exponentul 0 fiind ultima scrisă. În final am adăugat alături şi regula (“teorema”).

Evident că, după lămurirea lucrurilor şi ţinând cont că elevii au trebuit să fie atenţi şi să nu copieze de pe tablă (din cauză că eu scriam ba în jos ba în sus), elevii au primit câteva minute să-şi completeze în caiet întreaga schemă cu cele 7 rânduri de puteri (scrisă desigur de la puterea zero la puterea a 6-a), plus regulile aferente. Eu nu văd aceste minute ca o pierdere de timp, ci mai degrabă ca o scurtă şi rapidă recapitulare pentru fixarea noii situaţii, aşa încât momentul este profund benefic. Ca o ultimă idee, precizez că eu nu fac în clasă şi exemple cu puterea unui număr pozitiv. Consider că în urma unei înţelegeri bune a acestei lecţii, elevii trebuie să-şi dea singuri seama despre cum funcţionează puterea în cazul unei baze pozitive (apare la temă şi la test).

*

Putem în acest moment să ne aventurăm într-o scurtă analiză a fenomenului, astfel încât să înţelegem ce s-a întâmplat, să interiorizăm mecanismul psihologic ce are loc, ca apoi să fim în stare să folosim şi cu alte ocazii apariţia acestui fenomen în cadrul altor lecţii.

Eu puteam să le “turui” lecţia şi probabil o terminam mult mai repede. Puteam chiar să le dau eu noile reguli, eventual chiar sub forma clasicelor formule: (–1)2k = +1, respectiv (–1)2k+1 = –1, caz în care i-aş fi speriat pe cei mai mulţi dintre elevi (caz în care totodată şi pasam clar sarcina înţelegerii fenomenului acasă, la părinţi, eventual profesoriulor din particular). Mergând însă pe calea problematizării şi folosind o scriere cât mai accesibilă (şi un limbaj la fel de accesibil), în procesul de înţelegere a fenomenului şi de descoperire a “teoremei”, elevii s-au legat emoţional de aceasta, astfel încât în momentul când şi-au dat seama că “teorema lor” acţionează şi în noua, dar ciudata situaţie cu exponentul zero, în acest moment toată clasa a fost de acord că rezultatul este tot 1 (unu), această conştientizare fiind totodată însoţită şi de o mare satisfacţie.

O astfel de lecţie le aduce elevilor o stare de bucurie “liniştită”, o senzaţie că ei înţeleg lumea din jurul lor şi că “totul este în bună ordine”. Nu în ultimul rând, mintea lor a făcut un pas hotărâtor spre a-şi spori încrederea în gândirea matematică, controlând abstractizarea ei, pentru că acest pas a fost făcut pe baza înţelegerii şi a gândirii personale.

Eu nu le-am pus în faţă nişte rezultate neînţelese, ci i-am îndrumat pe o cale prin care ei să le descopere şi să înţeleagă fenomenul studiat. Faptul că ei au generat rezultatul le-a întărit şi mai mult încrederea şi convingerea în acest rezultat, în această “teoremă” descoperită chiar de către ei (la clasă nu i-am spus “teoremă”, dar folosesc aici acest cuvânt prin analogie cu “teorema” lui Mickaël Launay.

În cadrul lecţiei respective, ca o schelă de susţinere a gândirii, “teorema” lor le-a dat încrederea şi siguranţa în a face următorul pas, un pas ciudat, într-o zonă oarecum obscură şi greu de înţeles pentru mulţi elevi. Faptul că ei au descoperit-o le-a dat mult mai multă încredere în acest rezultat decât dacă le-aş fi dat eu “teorema”. Dacă le dădeam eu “teorema”, aceasta le-ar fi fost străină, dar aşa, descoperind-o ei, gândirea lor “o avea în suflet”, înţelegând deci imediat şi acceptând de la sine noul pas. Chiar dacă descoperirea a fost făcută sub îndrumarea întrebărilor mele (folosind predare prin întrebări), aceasta acţionează asupra elevilor care s-au implicat în mod emoţional: ei au găsit-o, au înţeles-o şi le este dragă, o respectă şi nu ar accepta un rezultat care să o contrazică.

Probabil că acest fenomen este unul dintre principalele cauze pentru care elevii din clasele mele povestesc acasă că le place la matematică, şi în general îi refuză pe părinţi atunci când aceştia se implică şi vor să le predea un anumit subiect înainte acasă. E clar că vorbesc aici de elevii care sunt dispuşi şi reuşesc să se implice regulat în procesul de generare a lecţiilor, atunci când fac predare prin problematizare. Aceştia nu mai au ulterior nevoie de a învăţa acasă lecţia cu pricina, pentru că au prins noile idei în mod sănătos din clasă.

Metoda funcţionează chiar şi la elevii mai timizi, cei care nu au curajul să se exprime oral, dar care în sinea lor urmăresc fiecare pas al lecţiei, au de obicei răspunsul “pe limbă” dar, timizi fiind, aşteaptă să-l dea altcineva. Eu îi văd clar şi pe aceştia, le văd “lumina din ochi” şi am astfel certitudinea că “sunt cu noi”, cu cei care purtăm dialogul de generare a lecţiei (ei cumva “stau în spatele” celor care participă cu curaj la datul benevol al răspunsurilor).

Chiar mai mult, şi ei la rândul lor se simt clar percepuţi, văzând cum îi urmăresc în scurtele momente de contact vizual. În timiditatea lor introvertită, acestora le este suficient şi le dă o siguranţă blândă. Asta se întâmplă atunci când suntem fizic în clasă. Din păcate în online mi-a fost mult mai greu să-i percep. În online, contactul vizual nu mai există. Mulţi dintre aceşti elevi simţindu-se în sufletul lor neglijaţi, de la o vreme au început să decadă.

Revenind la predarea fizic în clasă, desigur că cei care se mulţumesc doar la a copia de pe tablă, a căror implicare în ora de matematică se rezumă doar la copierea lecţiei, rămânând de multe ori şi în urmă, aceştia nu ajung să se lege emoţional de noile cunoştinţe. Pentru ei predarea prin problematizare nu are efectele scontate. Uneori îmi este ciudă pe aceştia şi pe indolenţa lor. Atunci îmi închipui cum părintele îi spune unui astfel de copil la plecarea de acasă să fie cuminte şi să scrie totul de pe tablă. Îmi închipui cum nu-i cere să fie atent sau să fie activ la ora de mate. Probabil că îi spune doar să scrie totul de pe tablă, aşa încât el/ea se rezumă la a scrie totul de pe tablă. Pentru aceşti elevi şi eleve este nevoie de alte abordări, dar despre ei voi discuta cu o altă ocazie (promit că în curând).

Încercând să finalizez, eu consider că în acest spectru ar trebui citit Marele roman al matematicii al lui Mickaël Launay, dar şi multe altele dintre cărţile despre bucuria palpitantă a matematicii. Găsiţi o listă orientativă a acestora în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ . Titus Grigorovici

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (3) Utilitatea practică a geometriei

Săptămânile trecute am început să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale. Sunt conştient că tema este oarecum fără de sfârşit şi în nici un caz nu-mi propun o tratare exhaustivă a acestui subiect. Doresc totuşi să abordez pe scurt şi o urmare practică a necontinuării studiului geometriei sintetice în licee.

Mai exact, vreau să vă prezint două întâmplări care vorbesc despre utilitatea geometriei, respectiv despre urmările neglijării geometriei în liceu.. Prima mi-a fost evocată chiar azi (21.06, când am început să scriu prezentele rânduri) de către noua administratoare a şcolii noastre. Anul trecut, la fostul loc de muncă, la o firmă care se ocupa de instalaţii de apă, doi colegi aveau o discuţie pe care dânsa a auzit-o: un inginer tânăr, ce lucra de câţiva ani în firmă, îi explica altui inginer şi mai tânăr, pare-se proaspăt absolvent, că ţevile alea două sunt paralele. Cel mai tânăr a întrebat că “ce-i aia?”, la care doamna (actuala mea colegă) s-a întors şi a izbucnit, luându-l la rost cum de nu ştie ce-s alea drepte paralele.

În acest sens am atanţionat în primele părţi asupra faptului că geometria se uită puternic dacă nu este parcursă o a două oară. Bănuiesc că orice materie este supusă unui astfel de fenomen, dar mai ales cunoştinţele învăţate pe de rost, pentru a fi ştiute până la test, acestea se uită lejer în următorii ani. Între altele, se pare că foarte mulţi, atât elevi, cât şi profesorii sau părinţii, sunt tentaţi să folosească simpla învăţare pe de rost la învăţarea geometriei în gimnaziu. Aceasta este o urmare directă a cantităţii mari şi a nivelului ridicat al materiei, dar şi a bombardării copiilor în privat cu mult mai mulţi stimuli extraşcolari (filme, jocuri pe calculator, site-uri şi platforme de socializare, accesibilizate masiv de către posesia smartphone-urilor). Învăţarea pe de rost este aparent mult mai eficientă la însuşirea unui material, cel puţin pe scurtă durată, până la test, dar nu conferă o durabilitate a cunoştinţelor.

Dimpotrivă, învăţarea intuitivă, bazată pe scurte explicaţii, care apoi sunt direct aplicate în construcţii practice, urmată de folosirea practică repetată în diferite situaţii la un nivel accesibil (sigur nu de performanţă, cel puţin nu la început, când trebuie evitate derapajele spre nivelul de excelenţă), acestea oferă o soliditate mult mai bună a cunoştinţelor.

Învăţarea intuitiv-practică, cu multă repetare, este însă puternic limitată în ceea ce priveşte cantitatea cunoştinţelor şi viteza de însuşire a acestora. Repetarea în diferite situaţii mai are un avantaj: pentru cei care nu au înţeles din prima, aceştia o vor face de obicei la viitoarele repetări şi folosiri, ajungând până la urmă să-şi fixeze ideea. Probabil că viitorii adulţi nu vor putea reda peste ani definiţia dreptelor paralele, dar vor putea explică ce sunt acestea (aşa, arătând cu mâinile, sau “ca şinele de cale ferată”).

Rezumând aceste gânduri, este clar că cunoştinţele geometrice predate în sistemul actual în România sunt deosebit de vulnerabile la fenomenul uitării totale. La o a doua trecere prin geometrie însă, elevii vor învăţa geometria într-o formă mult mai profund pătrunsă (adică mai puţin pe de rost, ci mai gândită), astfel încât noţiunile de bază – cum este şi cea de paralelism – se vor stabiliza definitiv, fixându-se astfel în zona de limbaj uzual, ce nu se vor mai uita (spre deosebire de învăţarea pe de rost, care este una superficială).

Un al doilea exemplu vine din primul an de facultate al fiului meu (Design industrial la TCM în Universitatea Tehnică din Cluj; cu 10 ani în urmă). Prin toamnă ne-a spus că la un anumit curs nu se oboseşte să meargă şi chiar eram tare nemulţumiţi de acest fapt, dar el insista că nu este important (era încă în perioada de rebeliune a pubertăţii târzii). Înainte de vacanţa de iarnă a apărut acasă cu nişte xero-copii după notiţele unui coleg care frecventase cursul respectiv şi atunci am înţeles de ce nu-l considera demn de atenţie. Era un curs în care studenţii erau iniţiaţi în arta construcţiilor geometrice cu rigla şi compasul. Pe bune: acolo erau elemente pe care eu le-am învăţat în gimnaziu; actualmente le parcurg cu elevii în clasele 5-7. Fiul meu le cunoştea pentru că le făcuse şi el în gimnaziu petrecut la Liceul de arte plastice “Romulus Ladea” din Cluj.

Din păcate însă, majoritatea absovenţilor de liceu habar nu aveau despre acestea, aşa încât profesorii de la facultatea respectivă erau nevoiţi să pună în primul semestru un astfel de curs, pentru că multe din elementele de proiectare din alte cursuri se bazau pe noţiuni de construcţii geometrice. Deci pe scurt, În primul semestru din anul I la Politehnică se prezentau noţiuni de gimnaziu, pentru că la ora actuală în România, elevii învăţau doar teoretic toată geometria, şi o parcurgeau oricum doar în gimnaziu. Chiar aşa, cum ar fi aia să înveţi geometria practic, fără multă teorie şi fără interminabila listă de probleme de demonstrat? Dar, hai să lăsăm gluma de-o parte şi să analizăm câteva vorbe ale D-lui Prof. Radu Gologan, exprimate prin februarie, într-o emisiune la radio Europa fm.

Este vorba de emisiunea din seria Deşteptarea României cu Cătălin Striblea din 26 feb. 2021 (eu am reascultate-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ ; am mai citat din acea emisiune când am vorbit despre birocraţie), în care invitat a fost Dl. Gologan. În aer plutea întrebarea “ce aţi schimba de urgenţă în şcoala românească?”. Iată un pasaj interesant al discuţiei de atunci:

O ascultătoare: La matematică există o programă încărcată; profesorul îşi face “norma” pentru că trebuie să o facă: astăzi predă vectori, mâine n-avem timp de aplicaţii pentru că trebuie să predăm altceva … . Copilul vine acasă, şi tot aşa: azi un capitol, mâine un capitol, n-avem timp să facem aplicaţii pe exerciţii, pe ce s-a predat. Şi atunci noi (părinţii) suntem obligaţi să punem meditatori. Azi aşa, mâine aşa, … . Lucrurile trebuiesc schimbate; noi vorbim de mulţi ani. Cine-i “sistemul” ăsta, care nu ne lasă? De cel puţin şase ani de când vorbim de această programă.

Radu Gologan: Lucrurile ăstea le spun: există o mentalitate în sistemul de învăţământ, că aceste mari programe, curriculum se numesc ele la fiecare materie, trebuie să păstreze o anumită formă, datorită unei tradiţii şi datorită acestei idei prost înţelese, că un copil trebuie neapărat pentru viitorul lui să înveţe ASTA, ASTA şi ASTA; “Cum o să iasă din şcoală fără să ştie vectori?”, de exemplu. Eu vă spun, ca matematician: NU SE ÎNTÂMPLĂ NIMIC, cu un viitor intelectual, dacă în clasa a 9-a nu învaţă vectori, ci învaţă o geometrie sintetică, simplificată, care să-i placă, să înveţe să deseneze figurile bine pe calculator, să înveţe să sistematizeze, să înveţe să gândească singur cam ce teoreme ar fi nevoie. Acesta ar fi învăţământul matematic de care este nevoie în şcoală.

Sunt cu totul de acord cu acest punct de vedere şi, încurajat de aceste gânduri mi-am luat curajul să redactez prezentul eseu. O singură întrebare am aici: cum vor reuşi elevii de clasa a 9-a să deseneze figurile pe calculator, când ei nu au formată arta desenării figurilor pe hârtie, ei nu au în mintea lor principiile construcţiilor geometrice? (exactitate, trasarea liniilor drepte, măsurarea lungimii sau a unghiurilor, mişcarea compasului etc.) Întreb asta pentru că eu ştiu cât de puţin lucrează profesorii din gimnaziu în direcţia construcţiilor exacte a figurilor geometrice. Mă refer aici la practicarea acestui “meşteşug” zilnic la clasă, inclusiv profesorii cu instrumentele pe tablă, ca model în faţa elevilor, pentru a se creea anumite mişcări ale gândurilor în momentul efectuării construcţiei. Fără să mai discutăm că elevii nu au deloc experienţă în marile probleme ale construcţiilor geometrice (de pildă, găsirea centrului unui cerc anterior trasat, de exemplu cu un pahar).

Pentru cei care ar avea impulsul să mă contrazică despre afirmaţia că profesorii nu prea se obosesc să folosească instrumentele geometrice la tablă, astfel încât elevii să aibă un model despre cum se fac construcţiile, pentru aceşti cititori am un exemplu proaspăt. Întrebând recent un elev în final de clasa a 6-a de la un liceu de centru din Cluj despre cum a decurs predarea online la geometrie în acest an şcolar (cu aproape şase luni de online pentru ei), acesta mi-a spus că profesoara scria pe o tabletă. Nici vorbă de folosirea instrumentelor pentru figuri exacte. Bine, l-am întrebat, dar în cele cinci săptămâni din toamnă sau acum la revenirea fizică în clasă, de la jumătatea lunii Mai, a folosit instrumente geometrice la tablă? Răspunsul a fost fără echivoc: niciodată nu a văzut-o făcând o figură geometrică altfel decât cu mâna liberă. Eu intuiam răspunsul, pentru că întrebându-l despre cum ar desena un triunghi isoscel cu baza de 4 cm şi laturile congruente de 6 cm, acesta mi-a răspuns “cu liniarul”. Habar nu avea de folosirea compasului la acest desen.

M-am gândit în acel moment despre cât m-am agitat eu ca să le pot prezenta elevilor transmisiunea directă cu tabla (inclusiv cu mine fără mască), astfel încât elevii să vadă fiecare pas al construcţiilor cu instrumentele geometrice. Eu oricum nu eram mulţumit nici aşa, pentru că nu-i puteam verifica în timp real ce şi cum fac ei, fiecare pe caietul personal, şi nici nu-i puteam ajuta individual, pe caietul personal, dacă vedeam că nu înţeleg. Dar, oricum, eu le-am arătat mult-mult mai mult decât acest mare NIMIC despre care mi-a povestit respectivul elev.

Doresc să revin totuşi foarte scurt la vectori. Dacă nu vor fi făcuţi de către profesorii de matematică, atunci vectorii vor rămâne pe seama profesorilor de fizică, iar acest fapt va fi unul deosebit de benefic. Vectorii reprezintă un fenomen cu origini clare în fizică (în primul rând forţele), iar introducerea lor axiomatic abstractă, pe baza unei definiţii date de către profesorul de matematică este una dintre cele mai mari gafe ale matematicii şcolare. Aşa cum m-am exprimat în câteva rânduri că Teorema lui Pitagora este în primul rând un fenomen matematic, iar profesorilor de fizică ar trebui să li se interzică ferm folosirea acesteia înainte ca cei de matematică să o introducă, tot aşa profesorii de matematică nu ar trebui puşi în situaţia de a introduce definiţionist abstract vectorii (ca segmente orientate).

Mult mai cu sens ar fi ca profesorii să ia într-o clasă mai mare (a 10-a sau a 11-a) vectorii într-o abordare matematică. Atunci se va putea chiar porni de la o definiţie de segment orientat (deşi merge şi fără aceasta), spunând în paralel cu definiţia ceva de genul: ştim că vectorii sunt nişte reprezentări ale unor forţe, iar tot ce vom învăţa acum este de fapt de inspiraţie din fizică, dar haideţi să încercăm o abordare matematică şi să vedeţi voi câte lucruri interesante putem noi rezolva prin aceşti vectori. Dar haideţi să lăsăm vectorii în pace, pentru că altul este subiectul eseului de faţă.

Mă cândesc să mă opresc aici cu aceste rânduri, nu de alta dar, cum am mai spus, este un subiect pe care se poate continua la nesfârşit şi nu asta mi-am propus. Închei doar reluând încă o dată o idee dintre cele de mai sus exprimate de Dl. Profesor Gologan: să înveţe să gândească singur în clasa a 9-a. DAAA, iar asta s-ar putea face mult mai bine pe baza geometriei sintetice. C. Titus Grigorovici

P.S. Trebuie totuşi să evoc o întâmplare ce leagă ultimele rânduri scrise de un pasaj din partea a doua a acestui eseu, anume despre întâmplarea cu eleva care era tentată să înveţe reţetele de rezolvare pe de rost şi pe care eu mă străduiam să o fac să şi gândească. Este elevul tipic ce scotea înainte de teste un caiet impecabil cu toate formulele şi teoremele bine sistematizate şi le mai repeta încă o dată. Pe de altă parte, la simulările date în clasă se stresa intens; la fel a făcut şi la simularea oficială din martie, doar mult mai tare. Iată ce mi-a povestit la ieşirea de la examenul de EN, extraordinar de entuziasmată, de suna curtea de vocea ei: Domnule Diriginte, am uitat formula de volum a cubului! M-am stresat şi nu mi-o mai aduceam aminte! Şi ştiţi ce-am făcut? Am început să o iau pe numere – cum ne-aţi învăţat – şi să văd câte cubuleţe sunt de fiecare dată, şi mi-am refăcut formula gândind.

Am simţit că, în mintea ei, eu câştigasem “meciul”. Fata asta a înţeles că gândind va putea face mult mai mult decât doar învăţând pe de rost formule şi tocind rezolvări. Cum va fi însă de la toamnă? Pe ce linie va fi condusă această elevă? Profesorii din licee nu se vor putea schimba de azi pe mâine. Dar, poate, programa cea nouă va fi astfel concepută încât să-i împingă pe profesori spre o matematică mai “gândibilă”.

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (2) Câteva argumente

Săptămânile trecute îmi luam curajul să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale.

Am făcut-o pentru că – dacă încă n-au fost luate deciziile finale despre forma viitoarei programe de liceu – cât de curând aceste decizii vor fi luate şi este probabil ultima ocazie de a salva geometria tradiţională în România, parte a matematicii care ajunsese în anii ’60-’90 la nivelul unei mare arte (poate chiar din perioada interbelică). Pe mine nu mă interesează direct această artă, chiar dacă în mod cât de umil posibil, mă consider totuşi printre cei care o stăpânesc într-o măsură relativ bună. Pe mine mă interesează aceasta mai mult prin prisma felului în care practicarea artei geometriei contribuie la formarea gândirii raţionale a viitorilor adulţi, prin prisma felului în care rezolvarea problemelor de geometrie îi obişnuieşte pe elevi să-şi ordoneze datele unei situaţii, să-şi structureze gândurile şi să-şi analizeze opţiunile  pentru atingerea obiectivelor de atins.

În plus, eu consider importantă practicarea geometriei tradiţionale, pe baza figurilor şi corpurilor, deoarece aceasta conectează gândirea cu vederea în plan şi în spaţiu. Rezolvitorul unei probleme trebuie să-şi imagineze structura respectivă (la început structura este plană, apoi devine spaţială), această activitate formându-i cu timpul capacitatea de a vedea lucrurile fizice din jurul său şi de a-şi imagina viitoare structuri (de pildă cum ar arăta o anumită piesă de mobilă într-o cameră). Această capacitate odată formată, utilitatea ei poate fi transferată şi la structuri de alt tip, cum ar fi structurile organizatorice, temporale etc., structuri care nu au nimic cu locaţia în plan sau în spaţiu, dar la planificarea căreia este nevoie de imaginaţie şi de viziune. Da, până la urmă ajungem la concluzia că geometria sintetică dezvoltă imaginaţia în general şi capacitatea de a genera viziuni raţionale despre viitorul situaţiilor înconjurătoare (de exemplu capacitatea de a organiza o echipă pentru o anumită sarcină).

Desigur că cineva ar putea pune problema şi în felul următor: foarte bine că geometria dezvoltă toate acestea, s-o facă liniştită pănă în clasa a 8-a. Apoi, vin alte feluri de geometrii, care la rândul lor sigur dezvoltă şi ele ceva. De ce să mai lucrăm la geometria sintetică şi în liceu, de vreme ce am cam parcurs-o în gimnaziu? Îmi trec aici prin minte câteva direcţii de răspuns posibile.

Geometriile acelea, practicate în ultimul sfert de secol în licee, sunt de fapt diverse forme ale unei gândiri dominant algebrice (mă refer aici în principal la geometria analitică şi la geometria vectorială, dar şi trigonometria poate fi inclusă în această discuţie). Fiind izvorâte din geometrie, generarea acestora poate fi prezentată prin corelarea dintre geometrie şi algebră, dar mulţi profesori nu parcut generarea respectivelor geometrii (pentru a folosi ultimele ocazii de geometrie sintetică şi a beneficia de efectele sale formatoare asupra gândirii). Mă gândesc, de pildă, la demonstrarea renumitei condiţii pentru perpendicularitatea a două drepte prezentate prin ecuaţii, condiţie între pantele celor două drepte m1 · m2 = – 1 (nici nu ştiu dacă mai este în programă). Atitudinea este de a da direct formula şi nu  parcurg demonstraţia în astfel de cazuri, din dorinţa de a avea mai mult timp pentru aplicaţii; alteori poate se parcurg demonstraţii în forme algebrice sau trigonometrice, mult mai potrivite liceului (trigonometria din liceu este şi aceasta o parte de matematică cu caracteristici mai mult “algebrice” decât geometrice). Oricum o luăm, mulţi nu parcurg astfel de demonstraţii în forme geometrice, aşadar geometria în nici un caz nu se poate etala ca factor formator pe baza acestora în liceu (şi oricum, chiar dacă ar face-o, acestea ar reprezenta doar situaţii sporadice). Apropos, după părerea mea, geometriile algebrice sunt mult mai potrivite jumătăţii a doua a liceului, unde elevii ar putea să beneficieze de aspectul lor interdisciplinar, dar în clasa a 9-a acestea vin prea repede; doar trigonometria se potriveşte primei jumătăţi a liceului. Se pot găsi desigur şi alte exemple în sensul exemplificărilor de mai sus: mai parcurge cineva renumita demonstraţie a formulei cos (α – β)? (întrebare retorică). Oricum, cine mai face conştiincios şi responsabil cercul trigonometric?

Un alt argument ar ţine de evoluţia predării geometriei sintetice. În anii ’60-’70 aceasta atingea un nivel mediu la o primă trecere în gimnaziu, după care la o a doua trecere aceasta se ridica la un nivel mult mai evoluat. În anii ’80-’90 tot mai multe elemente grele de geometrie au fost coborâte în gimnaziu, fie oficial, prin programa şi manualele noi (vorbesc aici de reforma uitată din 1980), fie încet dar sigur prin preocuparea profesorilor pentru olimpiade. Astfel, la mijlocul anilor ’90 se părea că mare parte din geometria din clasele de liceu cam coborâse în gimnaziu, aşa încât la noua programă din 1997 s-a considerat că nu mai are rost o a doua parcurgere în liceu. Organizatorii noii programe nu au perceput însă curentul opus care apărea încă timid la vremea respectivă, anume că tot mai mulţi elevi nu făceau de fapt faţă geometriei prea încărcate din gimnaziu. Cu timpul, tot mai puternic am început să auzim voci despre faptul că matematica este prea grea şi ar trebui să fie accesibilizată.  Deja în 1998 (dacă bine ţin minte) s-a produs şi prima mişcare în acest sens, anume mutarea patrulaterelor din clasa a 6-a în a 7-a. Încet dar sigur au urmat şi alţi paşi gândiţi înspre simplificarea şi accesibilizarea geometriei gimnaziale, dar elementele scoase nu au putut fi retrimise de unde fuseseră aduse, pentru că acum geometria sintetică nu se mai studia în liceu.

Astfel, la ora actuală avem în gimnaziu o geometrie destul de adaptată vârstelor gimnaziale, să-i zicem “o geometrie suficient de infantilă”, dar nu mai avem şi o geometrie adaptată vârstelor de liceu, să-i spunem “o geometrie mai adultă”. Elementele exemplificate la începutul acestui eseu, pe care geometria ar trebui să le formeze la viitorul adult, acestea sunt specifice fazei de dezvoltare a liceanului. Cele mai multe dintre acestea nu pot fi dezvoltate realist in gimnaziu, nici din punct de vedere al elevului (nu este încă în faza de a le primi), nici din punct de vedere al materiei (încercând să se adapteze realităţii, anume cerinţelor marii părţi a societăţii, geometria din gimnaziu s-a infantilizat, ajungând la nivele similare cu cea din anii ’60-’70).

Ca urmare, partea matură a geometriei, de interacţiune şi gândire în contextul concertului tuturor domeniilor matematicii, această parte a geometriei sintetice nu prea mai este reprezentată în şcoala românească. Aşadar, nici efectul ei formator asupra viitorilor adulţi nu prea mai poate avea loc.

Eu mai văd aici şi un aspect relativ neevident, de natură psihologică. Dezvoltarea diferitelor capacităţi intelectuale (cum sunt cele despre care am vorbit la început) poate avea loc doar printr-un domeniu deja cunoscut. Elevul are nevoie de “puţină linişte” din partea noutăţilor teoretice, pentru a putea aprofunda un domeniu şi a beneficia de aspectele sale formatoare. Elevul are nevoie să-şi creeze o “zonă de confort” din punct de vedere teoretic, să se obişnuiască cu un anumit set de noţiuni teoretice şi de teoreme, cât şi de felul în care se aplică acestea, pentru a se putea apoi obişnui şi versa în aplicarea lor. Valuri de noi şi noi probleme de geometrie vor acţiona atunci asupra gândirii elevului aidoma antrenamentelor asupra unui sportiv. Şi, la fel ca şi în sport, “muşchii şi abilităţile de mişcare” specifice geometriei, toate acestea se pot dezvolta doar în urma multor antrenamente, întinse desigur pe o lungă perioadă de timp (şi desigur, aşa cum am mai spus, la o vârstă prielnică dezvoltării acestor abilităţi). Aşadar, trecând elevul tot timpul prin alte şi noi domenii, acesta va fi preocupat doar în a le înţelege şi a le cuprinde (fugărit fiind de momentele când va fi verificat; şi trebuie să recunoaştem că materia din România este una foarte fugărită) .

Dimpotrivă, lucrând într-un domeniu în care se simte deja în siguranţă, acolo elevul poate dezvolta alte şi alte capacităţi superioare, cum sunt cele amintite la început, care îi vor da – încet dar sigur – siguranţa necesară în gândirea sa. Aici putem aluneca foarte uşor într-o zonă profund psihoanalitică: o persoană care se simte sigură pe gândirea sa, aceasta nu va avea impulsul intern de a se lăuda tot timpul; dimpotrivă, o persoană conştientă de lipsurile sale interne va avea impulsul de a se lăuda tot timpul, încercând inconştient să-şi ascundă lipsurile. Perioada de gimnaziu este una în principal de acumulare de cunoştinţe în geometrie. Un elev lăsat să practice aceste cunoştinţe şi după examenul de EN (ce reprezintă un prag până la care aceste cunoştiinţe trebuie însuşite), un astfel de elev va ajunge şi să capete încredere în sine şi în gândirea sa. Dinpotrivă, un elev fugărit tot timpul prin noi şi noi elemente de materie, nelăsat să-şi stabilizeze o zonă de confort, pentru acesta frustrarea şi neîncrederea în sine, în propria gândire, vor deveni “a doua sa natură”. În cel mai bun caz aceştia se vor specializa în procesul stupid de învăţare pe de rost şi uitare imediat după testare, proces care nu are mare lucru de a face cu gândirea matematică.

Îmi permit să mai atrag atenţia şi asupra unui alt aspect, care se leagă cu acest moment al analizei noastre. În gimnaziu o mare parte din elevi vieţuiesc geometria doar prin prisma unor reţete. De pildă, la sfârşitul clasei a 6-a majoritatea elevilor, înţeleg prin “demonstraţie” a scrie o structură aparent argumentativă care are forma demonstraţiilor prin metoda triunghiurilor congruente, de obicei singurele care au fost repetate de mai multe ori la clasă pentru că sunt considerate “de bază”. În afara “marilor matematicieni”, restul elevilor se vor strădui să scrie ceva conform reţetei pentru care au fost “dresaţi”.

Eu văd acest fenomen când cunosc elevi la începutul clasei a 7-a. Atunci le dau ca primă situaţie de demonstrat următoatrea problemă (ca să-i văd cum le merg “rotiţele”): Un triunghi ABC oarecare; bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D; paralela prin D la baza [BC] taie latura [AB] în E; trebuie demonstrat că segmentele [BE] şi [DE] sunt congruente. Este probabil una din cele mai clare şi mai simple probleme de demponstraţie şi care totuşi, fără a fi banală, îi pune elevului mintea la contribuţie. Elevul cunoaşte toate elementele necesare, iar gândirea se vede prin faptul că rezolvitorul poate să-şi aleagă din multitudinea de lucruri învăţate exact acelea care combinate duc la argumentarea corectă. Din păcate, la foarte mulţi elevi (ca să nu spun dur “la majoritatea covârşitoare”) primesc la această problemă o rezolvare care mimează metoda triunghiurilor congruente (elevii găsesc ei care triunghiuri să fie congruente acolo, de obicei AED cu BED).

Este evident că toţi aceşti elevi nu au deprins încă arta gândirii, ci au fost doar dresaţi spre cea mai des întâlnită modalitate de rezolvare în clasa a 6-a. Astfel “educată” demonstraţia geometrică la un elev, acesta nu va fi în stare să genereze o argumentaţie corectă în cazul unei probleme care nu corespunde modelelor pentru care a fost “dresat”. Peste un an, doi, deja sunt mult mai mulţi care reuşesc să argumenteze corect la o problemă care nu corespunde neapărat reţetelor deja învăţate. Totuşi, chiar şi la finalul clasei a 8-a, o mare parte dintre elevii destul de buni la matematică lucrează încă dominant doar prin reţete. Orice situaţie care necesită o altă abordare decât cele deja însuşite îi blochează.

Iată un exemplu în acest sens: în ultima săptămână pentru clasa a 8-a din acest an şcolar i-am cerut unei eleve bune (are şanse solide la o notă mare) să-mi demonstreze renumita formulă de arie a triunghiului cu sinusul unui unghi (mă tot bâzâia cu formula respectivă). Habar nu avea de unde vine aceasta, pentru că ea a lucrat numai la însuşirea şi la antrenarea rezolvărilor prin reţete. Calea respectivă este una ce se poate dovedi de succes la examen, dar acest elev va rămâne doar cu atât din geometria sintetică, va rămâne cumva “sclavul” învăţării pe de rost, fără a şi pricepe conexiunile din spatele formulei. Chiar mai mult, din toată această perioadă ea va înţelege că a învăţa reţete de rezolvare este suficient, că nu este nevoie să gândeşti (ce-i aia gândire?), că de fapt asta reprezintă matematica.

Dimpotrivă, dacă ar continua încă doi an de demonstraţii geometrice, această elevă ar ajunge cu adevărat să gândească problemele de geometrie, să gândească cu adevărat pe structuri spaţiale (plane sau tridimensionale). Chiar dacă nu a reuşit să-şi formeze încă, până la EN, o gândire solidă, concentrându-se mai tot timpul să-şi însuşească noi şi noi cunoştinţe, dar şi să-şi însuşească reţete eficiente de rezolvare, dacă ar mai face doi ani de geometrie sintetică (chiar combinată cu tot felul de alte elemente), în liceu la acest elev s-ar forma până la urmă gândirea raţională matură prin antrenarea deciziilor în vederea combinării reţetelor potrivite.

Putem lua şi un exemplu de elev, unul mai slab la matematică. În ultima săptămână (în care absolvenţii de a 8-a apar la şcoală doar pentru consultaţii la mate şi română) am observat foarte clar la o elevă starea de bine şi confort în cadrul muncii pe subiectele de antrenament (cele oficiale sau din culegerile achiziţionate). Vorbesc aici despre o elevă despre care îmi amintesc cât era de slabă şi stresată la matematică în clasele 5-7, adică înainte de pandemie: era elevul tipic de nota 4,5 care promovează la limită, dar care de fapt nu ştie matematică, nici în zona de algebră, dar oricum nimic în zona de geometrie. La fel era şi în cele 6 săptămâni de şcoală fizică din toamna lui 2020. Nici nu mai vorbesc de liniştea totală din perioada de online. De-abia cândva prin primăvara clasei a 8-a am simţit că s-a apucat de lucru, iar acum o vedeam cum străluceşte de bucurie, reuşind în sfârşit şi ea să facă probleme de matematică, atât la algebră cât şi la geometrie. Nu cred că va lua probabil o notă foarte mare, dar va fi oricum într-o zonă sigură, undeva între 6 şi 8.

Impresiile despre care scriu sunt proaspete, din perioada în care prezentul text era deja redactat (acum doar completez), eu fiind impregnat de gândurile aşternute aici. Eleva respectivă era foarte bucuroasă că ştie şi ea în sfârşit la mate. Am lăudat-o ca să-i dau o ultimă doză de încredere înainte de examen, dar totodată am completat că ce bine ar fi să mai apuce în clasa a 9-a să stea puţin în materia asta, pe care în sfârşit a înţeles-o cum funcţionează, pentru a putea savura această stare de bine; din păcate însă vor veni repede alte şi alte lecţii, care o vor bulversa din nou, iar ea mi-a răspuns cu o stare de regret în mimica feţei că ştie că aşa va fi, dar că se bucură acum de starea actuală.

Oare de ce suntem atât de “răi” cu marea majoritate a elevilor, nelăsându-i să trăiască şi ei o vreme bucuria de a face matematică, aşa cum pot, chiar dacă nu vor ajunge mari matematicieni? Aceste gânduri se pot extrapola desigur şi asupra altor domenii decât geometria sintetică; de pildă, de ce nu se mai face la începutul clasei a 9-a partea aia de aritmetică superioară, pentru că de-abia atunci această parte minunată de matematică este cu adevărat accesibilă majorităţii elevilor (în clasele gimnaziale mici, înainte de 14 ani, aritmetica de divizibilitate şi împărţire cu rest este accesibilă doar olimpicilor).

Revenind la subiectul nostru şi rezumând, parcursă a doua oară după EN, geometria sintetică şi diversitatea sa de raţionamente vor ajunge să facă parte din “zona de confort” a majorităţii elevilor (desigur adaptată nivelelor de profile, mai tare la real, mai jos la uman, mai practic la profesională), fiind un refugiu intelectual în faţa valurilor de materie nouă (de care nu-i putem scuti, desigur). Elevii vor ajunge să se bucure când vor întâlni o situaţie ce implică geometria tradiţională şi gândirea aferentă. Astfel, elevii vor ajunge să resimtă bucurie în momentele când vor vedea că pot să gândească.

Cu alte cuvinte, în situaţia continuării elementelor de geometrie sintetică pentru încă doi ani, la sfârşitul clasei a 10-a (mai ales după ce elevii au fost selectaţii la niveluri aproximativ apropiate) este de aşteptat ca aceştia să dezvolte aptitudini de gândire mult mai bune decât la sfârşitul clasei a 8-a. Dacă geometria sintetică s-ar introduce şi în materia de la BAC, efectul ar fi şi mai puternic (evoluţia fiind “obligată” a avea loc în mod solid, în perioada de învăţare şi recapitulare din clasele 11-12). În mod corespunzător s-ar dezvolta şi toate abilităţile generale ale viitorului adult ce sunt dezvoltate de către gândirea raţională exersată şi antrenată prin demonstraţia geometrică.

De aici încolo, pe linia acestui subiect ar trebui să intervină, adică să fie activate, persoane care sunt atât specializate în psihologie, dar care au şi abilităţi şi experienţă bună în matematică. Altfel spus, eu recomand atragerea şi implicarea unor psihologi de calibru, care pot dovedi însă că în viaţa de licean au învăţat bine geometria (deci le ştiu pe amândouă, dar mai ales nu au frică de geometrie). Cei mai buni, desigur, ar fi persoane care au atât facultate de matematică, cât şi facultate de psihologie. În sensul muncii mele, eu mă simt ales de soartă să fi avut o astfel de colegă pentru câţiva ani buni. Discuţiile cu ea m-au luminat şi m-au ajutat să-mi clarific linia pe care muncesc. Astfel de specialişti ar putea lămuri mult mai bine decât mine felul cum geometriea sintetică ajută în direcţia formării abilităţilor extramatematice generale.  C. Titus Grigorovici

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (1) Un semnal de alarmă

– Eu am terminat liceul de informatică, aşa că l-am putut ajuta pe fiul meu la matematică, dar la geometrie nu mă pricep să-l ajut.

Mă uitam buimac la doamna din faţa mea (mama unui elev de clasa a 8-a) şi nu-mi venea a crede ce auzeam: cum adică ai făcut liceul de info (Liceul de informatică Tiberiu Popoviciu din Cluj), deci te pricepi bine la matematică (cunosc foarte bine atmosfera din acest liceu unde a absolvit soţia mea, cât şi fraţii ei), dar nu te pricepi la geometrie? M-am repliat repede şi am întrebat-o când a absolvit liceul:

– În 2003, a venit răspunsul zâmbind.

Aha! Imediat mi-a fost clar: a început liceul în ’99, la doi ani după reforma din 1997 când geometria sintetică a fost scoasă din clasele 9-10. Discuţia de care vorbesc a avut loc în toamna lui 2019, iar eu tocmai aveam în faţă primul caz de acest fel, anume un părinte care a urmat cursurile unui liceu de vârf în matematică, care ştia foarte bine tot ce mişcă în algebră, dar habar nu avea să-şi ajute copilul la nivelul de bază al geometriei gimnaziale. Aceasta se întâmpla pentru că nu a mai reluat geometria sintetică din nou în liceu (într-o a doua parcurgere, aşa cum scria Prof. Eugen Rusu în anii ’70). Devreme ce a intrat la liceul de informatică în urma examenului de după clasa a 8-a, ne putem aştepta că ştia foarte bine geometria gimnazială la acel moment. Şi totuşi a uitat TOTUL. Mai mult, doamna respectivă folosea delimitarea tipică celor care nu stăpânesc cu adevărat matematica, spunând că ea ştie matematică, dar nu ştie geometrie; la dânsa geometria nu face parte din matematica.

Am prezentat această întâmplare pentru a scoate în evidenţă faptul că geometria gimnazială se uită dacă nu se mai reia încă o dată la vârstele de liceu, atunci când gradul de maturitate al elevilor este desigur mai dezvoltat. În niciun caz nu aş vrea să se înţeleagă aici că aş fi de părere că unul din obiectivele învăţării matematicii ar fi acela de a ne putea ajuta peste ani proprii copii la această materie, aşa cum sugera Karinthy Frigues în mod deosebit de artistic (citiţi nuvela sa la adresa http://pentagonia.ro/imi-meditez-copilul-karinthy-frigyes/)

*

Zilele aceste se constituie grupul de lucru care va redacta noua programă pentru clasele de liceu. În aceste condiţii de pandemie este o minune că totuşi se întâmplă; după cum arătau lucrurile prin iarnă, cel mai raţional gând era că se va amâna cu un an acest pas (aşa cum s-a amânat cu un an şi olimpiada de la Tokyo).

Eu personal nu am predat niciodată la clase de real (mate-info sau ştiinţele naturii), aşa că am privit doar “de pe margine” fenomenul matematicii înalte din liceu. Scurtele experienţe legate de matematica de la clasele cu un nivel mai slab nici nu merită amintite aici. În familie, doar soţia mea aduce regulat în casă impresiile de la clasele care dau examen de BAC din matematică.

Totuşi, privind chiar şi aşa, doar “din tribune”, nu am putut să nu văd în toţi aceşti ani, începând de la reforma din 1997, drama geometriei sintetice (tradiţionale) şi legat de aceasta drama gândirii în liceele româneşti. Este evident că în acest eseu nu consider geometria vectorială sau geometria analitică drept geometrie în adevăratul sens al cuvântului. Provenind una din algebră, cealaltă din fizică, acestea formează în mintea elevilor alte abilităţi decât clasica geometrie; aşadar nici nu le consider în acest eseu cu adevărat ca fiind geometrie. Pentru început ar trebui să facem o scurtă “intrare în subiect”, subiect care este deosebit de amplu.

Sugeram mai sus că elevii uită geometria dacă învăţarea acesteia se rezumă doar la o singură parcurgere, anume cea din gimnaziu, şi că este foarte important să mai fie parcursă o dată, să fie inclusă în materia de liceu, astfel încât aceasta să se fixeze. Ideea nu este una specifică neapărat doar geometriei, ci ar trebui aplicată tuturor materiilor ştiinţifice, fiind de fapt conţinută în principiul predării în spirală, anume de a reveni printr-o anumită zonă de cunoştinţe din nou (adică cel puţin încă o dată; uneori este nevoie să se organizeze chiar mai multe treceri). Desigur că această nouă trecere se face de obicei la un nivel mai avansat, mai ridicat din punct de vedere intelectual: mai întâi ca o simplă recapitulare şî actualizare, urmată de extinderea aplicaţiilor în zone mai dificile şi apoi eventual de aplicarea la nivele superioare.

Din punct de vedere pedagogic este evident că predarea în spirală implică şi o evoluţie a stilului de abordare: la început (mai ales dacă se face la vârste gimnaziale) abordarea trebuie să fie una de cunoaştere intuitivă; dimpotrivă, cu cât avansăm într-o nouă trecere (prin clasele de liceu) abordarea trebuie să capete tot mai mult un caracter ştiinţific, cu o creştere a rigurozităţii şi o scădere lentă, dar evidentă a folosirii intuiţiei (fără ca aceasta să dispară cu adevărat). De abia în facultate abordarea ar trebui să devină pur ştiinţifică, eminamente pe baze riguroase, specifice respectivei ştiinţe (aici intuiţia rămâne “prin zonă” doar din punct de vedere al necesităţii şi al aplicabilităţii în procesul descoperirilor; desigur că intuiţia poate rămâne “prin zonă” doar dacă a avut ocazia să fie antrenată şi să se dezvolte în etapele gimnaziale ale cunoaşterii respectivei ştiinţe).

Analizând ultimul aliniat, începem să întelegem cât de dăunătoare este politica educaţională la adresa geometriei aplicată în România în ultimul sfert de secol. Toate elementele de raţionament, dezvoltarea gândirii în general, ce sunt formate prin geometria sintetică, toate acestea sunt oprite înainte de a fi finalizate şi stabilizate, dezvoltarea acestora fiind blocată, gândirea rezultată fiind una subdezvoltată prin întreruperea procesului educativ al geometriei la sfârşitul clasei a 8-a.

Acest raţionament poate fi însă înţeles doar dacă putem depăşi gândirea uzuală, evidenţiată zilnic, anume că matematica, deci şi geometria, trebuie învăţată pentru că ne trebuie la examen, pentru că este conţinută în programa de examen. O gândire de genul: de vreme ce nu este în programa de BAC, atunci “care-i baiu’?” că n-o învăţăm. Dacă nu reuşim să ne ridicăm la un nivel superior acestei abordări, atunci nu vom putea înţelege nici la ce este nevoie de geometria sintetică în liceu, respectiv cât de mult strică absenţa geometriei într-o a doua abordare, mai matură, în liceu.

Există o sumedenie de aspecte ale acestui subiect şi nu cred că aş putea să le cuprind pe toate într-un singur eseu. Probabil că mă îndrept încet, dar sigur, înspre un nou mega-eseu, o abordare în mai multe părţi a acestui subiect, aşa încât această primă parte ar trebui să constituie doar un prim şi scurt semnal de alarmă, o primă şi cât mai rapidă rugăminte către comisia pentru noua programă de liceu, ce stă să se înfiinţeze (sau care deja s-a înfiinţat), pentru a lua în considerare reintroducerea geometriei sintetice în clasele 9-10.

Nu aş încheia însă fără să atrag atenţia asupra câtorva aspecte ale subiectului care pot ieşi mai greu în evidenţă. Unul ar ţine de istoria matematicii româneşti. Ce părerea ar avea Gheorghe Ţiţeica de situaţia matematicii actuale pe plaiurile mioritice prin prisma marginalizării geometriei în liceu? Pentru că, este evident, geometria din renumita culegere a lui Ţiţeica nu este aplicabilă la nivelul gimnazial, decât sporadic şi la un procentaj infim al populaţiei şcolare. Aceasta este de fapt o întrebare retorică, al cărei răspuns nici măcar nu are rost să-l căutăm. Singura reacţie la această întrebare este să lăsăm cu toţii privirea în jos!

Un alt aspect al situaţiei actuale este următorul: poate că olimpicii gimnaziali, în general elevii “de 10” au preluat gândirea logică, raţionamentele şi conţinuturile specifice geometriei prezentate în gimnaziu cu folos şi suficient de bine încât să nu le mai uite, dar există o parte mare a populaţiei şcolare care încă nu le-a preluat cum trebuie, care le-a preluat eventual doar învăţând reţetele pe de rost, astfel încât să treacă hopul examenului, dar care la o a doua abordare le-ar stabiliza şi le-ar sedimenta cum trebuie. Netrecând a doua oară prin geometrie, aceştia o vor uita, respectiv sinapsele specifice gândirii raţional-logice, argumentative, la aceşti elevi, sinapse ce nu sunt încă suficient dezvoltate şi stabilizate, se vor atrofia şi vor regresa. Toţi aceşti elevi care au potenţial capacitatea de a beneficia de caracterul formator al geometriei sintetice, dar la care acest caracter formator nu a avut încă efecte solide şi stabile, toţi aceştia vor regresa în perioada de liceu în tot ce ţine de argumentaţia raţională, dar şi în ceea ce ţine de vederea imaginativă, atât cea bidimensională, cât şi cea în spaţiu. Toţi aceştia vor fi împinşi departe de gândirea liberă specifică geometriei, fiind atraşi iremediabil înspre o simplă aplicare a reţetelor de calcul specifice domeniilor algebrice.

Se poate înţelege aici că vorbesc doar despre elevii care urmează filiere ce se încheie cu un examen de BAC din matematică, dar nu: situaţia este valabilă şi în cazul elevilor “slabi la matematică”. Chiar şi între aceştia există mulţi la care printr-o a doua trecere, geometria şi-ar putea lăsa amprenta formatoare a unei gândiri mai raţionale, argumentative şi logice, lipsite de emotivitatea şi subiectivitatea specifică ştiinţelor umaniste. Acelaşî lucru s-ar putea susţine şi despre direcţia filierelor practice, la ambele trebuind însă îndeplinită condiţia de a nu ridica nivelul practicat la cote inaccesibile. Geometria are de oferit câte ceva tuturor, iar excluderea ei din materia de după examenul de final al clasei a 8-a îi afectează pe toţi în egală măsură (deşi diferit).

Aspecte de genul cum geometria contribuie la eficientizarea conexiunilor între esmisferele cerebrale, sau cum argumentaţia din demonstraţiile specifice duce gândirea elevilor spre o capacitate mai bună de a purta o discuţie pe bază de argumente, sau cum problemele de geometrie te învaţă şi te antrenează mai bine ca pe viitor să poţi ţine cont de toate aspectele unei situaţii pentru a putea găsi o soluţie cât mai optimă, tot felul de astfel de aspecte ar trebui să fie luate în considerare de comisia ce va stabili şi va redacta noua programă de liceu.

Sunt 1001 de argumente pentru reintroducerea geometriei sintetice în liceu, nu neapărat în forma în care aceasta era în programa dinainte de 1997, dar despre acestea ne putem preocupa doar pe rând şi sigur pe o perioadă mai lungă. Cum am spus mai sus, trebuie făcută inclusiv o prezentare a evoluţiei istorice, a procesului care a dus la excluderea geometriei din liceu, dar până atunci, pot sugera cititorilor lecturarea gândurilor mele despre istoria predării matematicii şcolare din anii ’50 încoace, la adresa http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ (există şi o variantă mai pe larg în dublul eseu http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-i/ şi http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-a-ii-a/ ).

Voi încheia însă cu evocarea unei alte întâlniri personale. Pe la sfârşitul anilor ’90 am reuşit să creez o plăcută prietenie cu D-na profesoară Mariana Răduţiu, care se îndrepta atunci spre pensie. Dânsa a fost conducătorul echipei care a redacxtat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, manuale ce au rămas în funcţiune până în anul şcolar 1996-97. Prin 2005 am vizitat-o şi mi-a spus cât de decepţionat era nepotul dânsei (după examenul de la sfârşitul clasei a 8-a) când a aflat că din clasa a 9-a nu va mai face geometrie. De curând am vizitat-o scurt (având în gând prezentul demers) şi mi-a spus că mă susţine şi îmi dă mână liberă în sensul a tot ce am discutat în trecut despre geometria de liceu.

Din scurta discuţie avută am simţit însă că nu mai are energie să se implice în chestiunea reintroducerii geometriei în licee. În acest sens vreau să vă mai spun un singur lucru: stimaţi colegi, încet dar sigur se duc toţi cei care ar putea pune umărul la reconstruirea predării geometriei sintetice în România la adevărata ei valoare, adică în liceu. Haideţi să nu ratăm şi această ocazie; haideţi să echilibrăm din nou matematica de liceu. Matematica a fost întotdeauna o colaborare între numere şi forme; algebra este de obicei mai bine reprezentată de numere, pe când geometria vieţuieşte mai bine în zona formelor. O matematică doar în zona numerelor este profund dezechilibrată. Haideţi să o reparăm. C. Titus Grigorovici

P.S. Chiar şi algebra are nevoie de geometrie; acolo unde geometria lipseşte cu desăvârşire, algebra devine seacă, mai ales pentru elevii care au o gândire mai vizuală. În acest caz putem vorbi despre o matematică prea seacă, iar la noi cam aşa este. În acest sens se pot da foarte multe exemple, dar eu doresc să mă rezum la unul simplu: există elevi care înţeleg mult mai bine formula pătratului unui binom (pătratul sumei) imediat ce văd reprezentarea geometrică a acesteia (renumitul desen cu un pătrat mare descompus în două pătrate diferite şi două dreptunghiuri congruente). Aţi înţeles despre ce vorbesc? Pentru că intenţionat am renunţat şi la formulă şi la desenul cu pricina, ca să vă puteţi verifica forţa de imaginaţie specifică geometriei. Cine nu a înţeles, deja poate lua acest fapt ca un avertisment.

Prezentare de carte: MARELE ROMAN AL MATEMATICII – MICKAËL LAUNAY

De curând am găsit în librărie o carte despre care cred că merită să vorbim. Eu încă nu am citit-o pentru că trec printr-o perioadă deosebit de aglomerată. Simt însă că este vorba de o lucrare care îmi va plăcea foarte mult, aşa că mi-o păstrez cu mare drag ca lectură pentru vacanţa de vară. Acelaşi lucru vi-l doresc şi dvs., aşa încât consider că merită să vă atenţionez asupra acesteia, ca să aveţi timp să v-o procuraţi. Autorul se numeşte MICKAËL LAUNAY, iar cartea, cu titlu complet MARELE ROMAN AL MATEMATICII din preistorie în zilele noastre, fiind apărută în 2021 la Editura TREI.

Recomandarea caldă vine din ideea că intuiesc o nouă lucrare care îl poate ajuta pe profesorul de matematică din România să se mai detaşeze de starea înverşunată, cu “nasul pe sus”, orientată şi tinzând – care cât de mult poate – înspre o matematică tot mai grea, total inaccesibilă majorităţii elevilor, stare în care este împins constant de atitudinea generală ce se manifestă în breasla noastră şi care îi lasă pei cei mai mulţi elevi “în offside” faţă de gândirea matematică, faţă de gândirea logică, generând astfel o frustrare, o frică şi uneori aproape o ură în masă la adresa acestei materii.

Recomandarea poate veni şi din faptul că, după cum am observat răsfoind-o la repezeală,  lucrarea ne poate lărgi orizontul matematic cu noi şi frumoase elemente (vorbesc aici de elemente atractive de matematică, ce din păcate nu se regăsesc în programele româneşti).

După cum văd la o primă privire, aceasta este o carte care te poate ajuta să devi un profesor de matematică mai bun pentru majoritatea elevilor, nu doar pentru cei de vârf, putând fi o sursă de inspiraţie valoroasă pentru orice doritor de autoperfecţionare în sensul găsirii unor căi spre sufletul elevului de rând (abilităţi despre care din păcate nu ţi se vorbeşte nici în facultate, dar nici în toate viitoarele cursuri posibile ce se fac în România). Presimt că lucrarea în discuţie se va alinia în acest sens alături de marile precedente cărţi ale lui Simon Singh, Ian Stewart sau alţii mai puţini cunoscuţi, despre ale căror lucrări am scris de pildă în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/. Chiar şi autorul prezintă în final o listă de surse de unde doritorul îşi poate continua munca de autoperfecţionare. După cum am spus, de-abia aştept să o citesc la vară, dar până atunci încerc să încropesc o scurtă prezentare. În acest sens, aproape tot textul ce urmează este compus din pasaje citate de pe coperţi sau din “prefaţa” cărţii (pasajele scrise înclinat).

*

Dacă n-ai înţeles niciodată nimic din matematică, dacă ţi s-a întâmplat chiar să o deteşti, ce-ai zice să-i dai o a doua şansă? Vei avea parte de o mare surpriză (de pe coperta 4). Iată ce scria LE MONDE despre aceasta: “O carte atât de fascinantă, încât, după ce o vei fi citit, îţi va fi greu să mai spui că nu-ţi place matematica. Mickaël Launay este profesorul de matematică pe care ţi l-ai dorit dintotdeauna.” Exemplele de laude pot continua, sau aş putea să vă prezint de pildă cuprinsul, dar prefer “să-i dau cuvântul” autorului, care ne prezintă următorul text (într-un fel de prefaţă fără titlu, la pag. 7-8):

– Din păcate, mereu am fost slabă la matematică!

Sunt puţin cam descurajat. Cred că este a zecea oară când aud această frază pe ziua de azi. Şi totuşi, iată că a trecut mai mult de un sfert de oră de când această doamnă s-a oprit la standul meu, printre alţi trecători, şi ascultă atent cum prezint diverse curiozităţi geometrice. Şi în acest moment a venit lovitura de graţie:

– De fapt, cu ce vă ocupaţi dumneavoastră? m-a întrebat ea.

– Sunt matematician.

– Din păcate, mereu am fost slabă la matematică!

– Chiar aşa? Cu toate astea, ceea ce povesteam părea că vă interesează.

– Da … dar aici nu e vorba chiar de matematică … înţeleg ceea ce spuneţi.

Hopa, pe asta nu am mai auzit-o până acum. Matematica ar fi, prin definiţie, o disciplină pe care nu o putem înţelege?

Suntem la începutul lui august, pe strada Félix Faure, la Flotteen-Ré. În acest mic târg estival, am la dreapta mea un stand de tatuaje cu hena şi şuviţe africane, la stânga – un vânzător de accesorii pentru telefoane mobile, iar în faţa mea, o tarabă cu bijuterii şi gablonţuri de toate felurile. Între toate acestea, mi-am instalat şi eu standul de matematică. În răcoarea serii, turiştii se perindă liniştiţi. Îmi place în mod deosebit să fac matematică în locuri neobişnuite, mai ales acolo unde oamenii se aşteaptă cel mai puţin să o întâlnească. Într-un mediu unde nu sunt inhibaţi …

– Când le-oi spune părinţilor că am făcut matematică în timpul vacanţei …, îmi zice în treacăt un licean, venind de la plajă.

E adevărat, nu iau oamenii prea în serios, dar îi iau aşa cum sunt. Unul dintre momentele mele preferate este să observ expresiile celor care se considerau iremediabil certaţi cu matematica, atunci când le arăt că tocmai au făcut matematică timp de un sfert de oră. Iar standul meu nu se goleşte! Le prezint origami, magie, jocuri, enigme … Am de toate, pentru toate gusturile şi pentru toate gusturile.

Mă distrez, dar în adâncul meu sunt dezamăgit. Cum s-a ajuns, oare, ca oamenii să nu-şi dea seama că a face matematică poate fi o plăcere? De ce cuvântul “matematică” generază atâta frică? Cu siguranţă că, dacă aş fi pus deasupra mesei o pancartă pe care aş fi scris “Matematică” – aşa cum sunt la standurile din jurul meu “Bijuterii şi coliere”, “Telefoane” sau “Tatuaje” – nu aş fi avut nici măcar un sfert din succesul pe care îl am. Lumea nu s-ar fi oprit. Poate că m-ar fi ocolit, întorcând privirea. Totuşi curiozitate există. Constat acest lucru în fiecare zi. E adevărat că matematica provoacă frică, dar fascinează cu mult mai mult. Nu ne place, dar jinduim să ne placă! (… Citiţi mai departe în carte.)

*

Sunt de acord că profesorul de matematică trebuie să-şi parcurgă materia, trebuie să-i pregătească pe elevi pentru examen, trebuie să lucreze cu elevii buni la nivelul lor şi să-i ridice constant spre niveluri mai înalte, dar … (pentru că există şi un mare “DAR…”!). Dar profesorul de matematică trebuie să se ocupe în primul rând de toţi elevii, chiar şi de cei care se descurcă mai greu cu matematica, astfel încât această disciplină să-şi poată pune amprenta formatoare şi asupra lor, anume să-şi pună amprenta prin formarea şi exersarea gândirii logice! A face matematică doar cu cei buni din clasă, cu elevii care au nevoie de matematică la examene sau cu cei care îţi aduc rezultate cu care să te poţi făli, o astfel de atitudine îi condamnă pe restul la o “neagră” neştiinţă şi profundă stare de “negândire”, de a deveni un omoameni cu o logică redusă, cu o argumentaţie nedezvoltată şi cu o capacitate extrem de primitivă de a înţelege la rândul lor orice fel de mesaj raţional (de pildă despre covid, despre alegeri etc.), îi condamnă la a fi manevrabili. Acelaşi rezultat îl are şi abordarea unei matematici riguroase şi înalte pentru toată clasa, fără a o adapta predarea la nivelul celor mai slabi la această disciplină.

Profesorul este dator să-l aducă pe fiecare elev în situaţia de a face matematică prin bucurie, fără a-i crea repulsie. Dar asta nu se poate face prin forma înverşunată de predare ce se practică în majoritatea şcolilor româneşti. Mickaël Launay vine dintr-o altă lume, unde atitudinea este mult mai puţin înverşunată şi totuşi, şi la ei în vest cei pro şi cei contra matematicii sunt în raport de cca. 50/50%. La noi raportul este mult mai slab în defavoarea “matematicienilor”. Este de aşteptat ca în Marele roman al lui Mickaël Launay să găsim inspiraţie cum să ne putem seta într-un mod ceva mai pozitiv, mai cald, faţă de majoritatea elevilor, adică şi faţă de “ceilalţi”, faţă de cei care stau de obicei speriaţi în bancă, în “poziţia ghiocel”, sperând cu disperare că vor scăpa şi azi fără “să fie ascultaţi”.

Viaţa noastră de profesori este invadată de cărţi “de matematică”. Mult mai rare sunt însă cărţile “despre matematică”. După cum îşi descrie Mickaël Launay cartea, Marele romanal matematicii este chiar mai mult, este o carte “despre bucuria de a face matematică”. Oficial îşi propune să transmită această bucurie celor care nu au avut ocazia ca elevi să trăiască respectivul sentiment. Părerea mea este că va putea la fel de bine să transmită şi profesorilor arta de a aduce bucuria matematicii în viaţa elevilor. Astfel, după câte am văzut, am impresia că lectura acestei cărţi îmi va realimenta cu o doză bună de energie arta predării matematicii, a unei matematici pline de bucurie pentru cât mai mulţi dintre elevi. În acest sens le mulţumesc anticipat celor de la Editura TREI pentru această carte. Cu respect, prof. Titus Grigorovici

P.S. Şi totuşi îmi persistă în minte o întrebare din textul de mai sus: Cum s-a ajuns, oare, ca oamenii să nu-şi dea seama că a face matematică poate fi o plăcere? Păi, simplu: asta se întâmplă – atunci când şi acolo unde – dascălii, fie ei învăţători sau profesori, nu vor sau nu pot sau nu ştiu cum să-i dea elevului timp să-şi creeze o relaţie plăcută şi apropiată cu matematica. Fie că ei înşişi nu au o relaţie caldă cu matematica – aşa cum se întâmplă în cazul multor învăţătoare (din fericire sunt şi multe care fac minuni în acest sens), fie că au o relaţie prea înaltă cu matematica, inaccesibilă multor elevi – aşa cum se întâmplă în cazul multor profesori exagerat de ambiţioşi (cei care sunt preocupaţi de obicei în principal pentru rezultate la concursuri), fie că au o relaţie fadă cu matematica – aşa cum se întâmplă din păcate la mulţi profesori care se complac într-o stare de mediocritate (şi din aceştia sunt foarte mulţi – o predare teoreticistă, de neînţeles, astfel încât elevii să vină cât mai mulţi la meditaţii). Şi din păcate trebuie să recunoaştem că nici programele (mult prea încărcate, dar şi cu multe defecte), nici autorii de manuale (cu o abordare în continuare mult prea teoreticistă, fără legătură cu psihologia diferitelor vârste) sau autorii de auxiliare (autori şi edituri; e greu de descris situaţia acestora în 2-3 cuvinte), nici atitudinea generală a breslei, nici oficialităţile nu au gânduri clare (sau o voinţă hotărâtă) să schimbe această situaţie, dar nici idee cum anume să o facă.

Radu Gologan despre pentagonia.ro

Săptămâna trecută, în 21 mai, Dl. Profesor Radu Gologan, Preşedintele SSMR (Societatea de ştiinţe matematice din România), a postat pe facebook următoarea recomandare:

Mă simt deosebit de onorat de această recomandare, care împreună cu gândurile transmise personal, îmi dau un puternic imbold să lucrez mai departe pe linia aleasă. Chiar dacă acum traversez o perioadă destul de grea şi încărcată, aprecierile D-lui Profesor Gologan reprezintă o adevărată “doză de energie” pentru a scrie şi a mă lupta în continuare înspre lămurirea situaţiei matematicii şcolare. Constantin Titus Grigorovici, Cluj-Napoca, 29 mai 2021

Situaţii numerice în cadrul teoremei lui Pitagora – o lecţie recapitulativă interesant structurată

În condiţiile din toamnă, după situaţia lockdown-ului din primăvara-vara lui 2020, în timpul unei probleme de calcul la geometrie mi-am dat seama de faptul că în mintea unor elevi de clasa a 8-a lucrurile erau anapoda fixate în legătură cu natura numerelor ce participă ca laturi la un triunghi dreptunghic. Eu nu consider că astfel de lucruri trebuie lăsate pe “profesorul de acasă”, ci că sunt oarecum de datoria mea, mai ales dacă observ că numărul celor ce n-au înţeles este “la plural”. Ca urmare, în mod spontan am organizat o lecţie recapitulativă pe această temă. Am scris foarte repede (cca. 10 min.), explicând de zor, dar completând numai trei dintre cele 6 spaţii şi lăsând celelalte trei ca temă pentru elevi.

Este evident că alegerea numerelor ar putea fi (poate) mai bună pe alocuri, dar pentru o lecţie spontană nici nu-i rău (mă cam râcâie acel radical din 21, care sare oarecum din modelul celorlalte numere iraţionale; pentru elevii slabi, acesta este derutant pentru că are altă formă decât celelalte numere iraţionale). În general, legat de numerele alese, dar şi de forma lecţiei (inventată spontan aşadar), am putea să facem următoarele observaţii de final: 1) Desigur că aceleaşi situaţii se pot întâlni şi în cazurile cu scădere în calculul din teorema lui Pitagora (asta am precizat-o oral); 2) Există şi situaţii cu fracţii, dar în structura de mai sus nu le-am inclus şi pe acestea pentru a menţine lecţia la un nivel de accesibilitate cât mai general (şi asta le-am spus-o, dar nu apare scris); 3) La radicalul final se poate întâmpla să nu iasă nimic de sub radical (dacă obţinem sub radical un număr prim sau un număr compus, dar cu toţi factorii diferiţi, cum este cazul acelui 21). Această ultimă observaţie poate fi însă inaccesibilă pentru mulţi elevi.

Eu am făcut-o cu elevii clasa a 8-a fizic în clasă (cândva în toamnă, prin sept.-oct.), dar este clar că lecţia este potrivită începând din clasa a 7-a (desigur pentru cine are empatia corespunzătoare faţă de copiii care n-au înţeles). Lecţia poate fi desigur organizată şi ca fişă de lucru independent şi dată spre studiu ca temă sau în contul unei ore online asincron. Ca o ultimă idee, mă bucur că am fotografiat-o, pentru că între timp am uitat-o şi am găsit-o din întâmplare prin foldere.  C. Titus Grigorovici

Lămpi pe bază de secţiuni conice

La adresa următoare găsiţi oferta unui designer/producător care a avut strălucita idee că ar ieşi nişte lămpi foarte moderne pe baza secţiunilor conice (la propriu!). Trecem peste faptul că explicaţiile din planşa “teoretică” sunt parţial incorecte şi ne bucurăm de idee în sine. Titus Conicus

https://www.livinspaces.net/design-and-style/product-design/conic-section-pendant-light-castor-design/