Predarea on-line “a la pentagonia” (3)

Am prezentat în primele două părţi ale acestui eseu principalele aspecte tehnice cât şi câteva aspecte de ordin pedagogic observate în această perioadă. Unul din aspectele care ar mai trebui luate în discuţie ar fi acela al implicării – volens nolens – mult mai puternice a părinţilor în procesul educativ, în cazul predării on-line.

Haideţi să facem, pentru început, o scurtă analiză a colaborării părinţi-şcoală din punct de vedere istoric. În Amintirile sale din Copilărie, Ion Creangă nu prezintă clar o implicare a părinţilor în procesul educative şcolar. Pe vremea respectivă copiii erau adunaţi la învăţătură oarecum obligatoriu în clasele primare., iar aceasta doar pentru scris-citit şi socotit. Legat de comportament, toată lumea era de accord că joarda era cel mai bun instrument.Orientativ, această situaţie s-a păstrat în România pentru clasele primare până la începutul anilor ’50. O formă superioară de şcolarizare o reprezenta liceul, care începea cu clase noi (clasa 1-a de liceu reprezenta cumva al 5-lea an de şcoală) Doar cei care se dovedeau buni şi doritori de învăţătură mergeau mai departe, alături desigur de copiii de familie înstărită. Părinţii celor din urmă plăteau, pe când cei din familii sărace erau şcolarizaţi într-un system similar cu cel bursier (orientativ). Un astfel de sistem regăsim şi în seria de romane cu Harry Potter. Familiile cu adevărat înstărite aveau professor particular, ce venea zilnic acasă şi făcea ore cu toţi copiii casei, până la momentul când se decidea că acesta să meargă “la şcoală.

În timpul perioadelor de război, când şcoala se închidea, educaţia cădea cu totul pe umerii familiei: mama stătea şi lucre cu copiii cum se pricepea: îi învăţa să citescă, să scrie şi să socotescă. Nu făcea doesigur nimeni “materii” ca la şcoală, dar se descurcau care cum putea. Cei care nu aveau cine să-i înveţe, aceia rămâneau “neşcoliţi”.

Comunismul a decis să desfiinţeze această segregare, lărgind pentru început şcoala obligatorie până la clasa a 7-a, iar curând până la clasa a 8-a în ceea ce s-a numit de atunci şcoală generală. Astfel, copiii erau duşi la şcoală, educaţia fiind preluată oficial cu totul de pe umerii părinţilor. Realitatea însă a fost cu totul alta: familiile culte şi-au ajutat în continuare singuri puiuţii, pe când cei mai puţin culţi, dar cu dare de mână au apelat tot mai mult la profesori pentru ore particulare la materiile de interes.

După 1990, mai ales în oraşe, a crescut tot mai mult sistemul de meditaţii, de ore în particular, într-o cursă nebună după rezultate la examene. În acest process a scăzut tot mai mult nivelul de la care părinţii încep orele particulare, matematica fiind campioana materiilor şcolare, în mult e cazuri orele începând de undeva din clasele primare (deci, nu discut aici despre ore de pian sau ore cu învăţătoare de limba germană etc. pentru familii “de fiţe” care se luptă ca puiuţul lor să fie într-un mediu mai select). Există şcoli întregi unde orele particulare la matematică începând din clasa a 5-a reprezintă o normalitate pentru cei mai mulţi. Eventualii elevi care încă nu au professor în particular sunt de obicei condamnaţi să clacheze cel târziu prin clasa a 7-a, devenind un fel de paria la ora de matematică, simţindu-se înjosiţi pentru că nu fac faţă. Iar acest joc nebun este condus în tandem de profesorul de matematică (fugărit de sistem spre un nivel cât mai ridicat) împreună cu părinţii care “dau totul” pentru puiuţul lor.

Cam aşa stăm acum în momentul când elevii sunt obligaţi datorită pandemiile să stea din nou acasă, dar noi profesorii să facem totuşi lecţii. Trebuie întâi să recunoaştem că suntem într-un fel de stare de asediu din partea acestui virus, existând multe similitudini cu situaţiile auzite de la bunici şi străbunici despre cum era în timpul războiului. Acum suntem obligaţi să inventăm un sistem de colaborare profesori-părinţi în folosul copiilor, un sistem care să ţină cont atât de posibilităţile oferite de noile tehnologii (adică de viitor), cât şi de psihologia părinţilor şi a profesorilor (deci de trecut). Aşa că, haideţi să ne uităm din nou către predarea on-line, atâta cât suntem în stare la momentul actual.

Spuneam în postarea precedentă că acest system – aşa cum îl simt eu – are o eficienţă de 80-90% faţă de forma de predare obişnuită pentru cei din clasă (orientativ), şi undeva la 60-70% ca eficienţă pentru cei de acasă, pentru că aceştia, şi dacă intră la lecţie, “se cam uită la televizor ce se întâmplă în clasă”, neimplicându-se cu tot sufletul la lecţie, pentru că se simt distanţaţi şi deci protejaţi faţă de privirea atentă a profesorului. Este foarte important ca acest aspect să fie bine conştientizat de către părinţi, mai ales de către cei mai protectori, care ar avea impulsul de a-şi ţine puiuţii acasă (după principiul că acum se poate; scot o adeverinţă şi au rezolvat problema).

Elevii buni fac faţă de obicei destul de bine la învăţarea pe bază de informaţii venite pe alte canale decât cel direct la clasă. Ce se întâmplă însă cu ceilalţi elevi, care sunt majoritari (blocul central din “clopotul lui Gauss”)? Experienţa din primăvară a arătat la toate nivelele o rămânere în urmă puternică faţă de cei buni, poate înafară de cei care aveau examene. Nu cunosc situaţia de la BAC, unde aceştia au însă o voinţă cât de cât dezvoltată, dar la EN8 cei slabi au făcut faţă doar pe baza muncii în particular şi a scăderii extreme a nivelului exerciţiilor “pentru nota 5”. Astfel, una din problemele principale puse ca obiectiv pentru forma de predare on-line aleasă trebuie să fie găsirea unor soluţii cât mai accesibile elevilor slabi la învăţătură.

După cum spuneam, un alt aspect al “predării on-line” îl reprezintă părinţii (atât când sunt prezenţi acasă alături de copil, cât şi când nu sunt acolo, de fiecare data cu avantaje, dar şi cu dezavantaje, uneori majore). În funcţie de vârsta copilului, cât şi de personalitatea şi cultura părinţilor, lucrurile pot funcţiona bine, sau dimpotrivă pot căpăta aspecte mai mult sau mai puţin deranjante. Oricum, în cazul în care interacţiunea profesorului cu elevul scade datorită despărţirii fizice, scade desigur şi influenţa educativă a dascălului, copiii rămânând cu câtă influenţă pozitivă vine dinspre părinţi.

Merită aici să precizăm cât de puţin sunt conştiente unele familii de magnitudinea influenţei mediilor asupra dezvoltării copilului, lăsându-i uneori incontrolabil de mult în faţa ecranului. Începând de la vârstele fragede (2-3 ani sau chiar înainte) copiii sunt lăsaţi la televizor sau mai nou la deşteptofon, obişnuindu-i cu acestea şi permiţându-le să creeze dependenţă de imaginea mişcătoare. Ulterior, după ce elevii s-au obişnuit cu scris-cititul, aceştia sunt lăsaţi să aibă totală putere de decizie asupra materialului accesat, uneori doar cu părinţii de faţă, dar în general,tot mai mult şi când sunt singuri. Cunosc cazuri de toate felurile, dar aş da un singur exemplu de săptămâna asta, care poate oferii o imagine despre cât de vast este teritoriul net-ului în care copiii caută: de ce un copil de clasa a 6-a cunoaşte cuvântul illuminati şi îl foloseşte în contextul unor semne pe care nu le înţelege? Eu am mai auzit termenul, dar nu am fost curios; acum, pentru acest articol, am aruncat o privire pe Wikipedia (ce legătură ar fi între Illuminati şi Audi?)

Revenind la implicarea şi suportul părinţilor în procesul predării on-line, trebuie precizate câteva aspecte. Este clar că suportul unui părinte este vital în cazul copiilor mici, dar ar trebui să devină superfluu la liceu. Care este însă situaţia la clasele gimnaziale. Depinde de la caz la caz, dar în general ne putem aştepta ca la clasele 5-6 să mai fie nevoie în general, pe când la 7-8 să scadă masiv nevoia de sprijin. Părinţii ar trebui desigur “să aibă un ochi cinstit”, pentru cazurile când un elev ştie să navigheze peste tot, dar “nu se descurcă” sau “cade netul” exact când este vremea orei de mate.

Ca o chestiune colaterală, eu nu gust deloc situaţii în care apar prin ecran părinţi îmbrăcaţi sumar, tătici care se plimbă prin zonă în maieu “de tractorist” sau mămici care ajută copilul la conectarea corectă, îmbrăcate “mai de casă”, adică mai neglijent şi aplecându-se la calculator, oferind astfel către şcoală şi către ceilalţi copii conectaţi on-line imaginea unui decolteu generos (vă las dvs. comentariile de rigoare; eu aş pune doar următoarea întrebare: dacă respectivul copil este oricum “scăpat din mână” şi îşi petrece nopţile navigând pe net, de ce trebuie ajutat să se conecteze la classroom?).

Revenind la aspecte mai serioase, desigur că poate acţiona deranjant o implicare mai agresivă din partea unui părinte, dacă acesta este mult prea implicat şi protectiv (căutaţi pe net “helicopter parents”), care în cazul orelor on-line se simte invitat din oficiu la lecţie, permiţându-şi să intervină, să dea sfaturi, să emită pretenţii sau chiar să critice (se pot face observaţii – nimeni nu-i perfect, dar trebuie avut grijă la tonul şi la oportunitatea mesajului). Noi făceam pe vremuri în şcoala noastră ore deschise pentru părinţi, dar asta se întâmpla o dată pe an şi în mod controlat. Ori acum, părinţii, încazul în care sunt acasă, au acces nelimitat la lecţii, putând face comparaţii între profesori (automat unii vor ieşi şifonaţi din întâmplare) sau criticând un profesor care nu corespunde pretenţiilor părintelui. Această situaţie, cumulată cu situaţia în care se află societatea noastră, o stare de agresivitate pronunţată “toţi împotriva tuturor”, în care fiecare caută vinovaţi înafara sa, el considerându-se din oficiu deştept 100%, această ocazie va deschide larg poarta unor agresiuni puternice, atunci când părintele ar fi predispus la aşa ceva.

Părinţii trebuie lămuriţi că a-ţi desfăşura activitatea didactică (matematică sau nematematică) în văzul tuturor expune profesorul într-o poziţie de vulnerabilitate extremă, şi că acest proces de predare on-line nu poate fi dus spre un rezultat bun decât printr-o colaborare plină de respect reciproc necondiţionat. Orice “autoinvitare” a unui părinte la ora on-line poate foarte uşor aluneca spre critică, fiind astfel în sine o formă de agresiune la adresa orei respective. Părintele trebuie să înţeleagă aceste aspecte şi să se străduiască să respecte orele pe bază de totală încredere. Altfel, îi vor putea încolţii în minte tot felul de gânduri de critică la adresa dascălului, scăzând astfel încrederea sa în acel dascăl, în sistem şi implicit încrederea elevului în profesorii săi, atunci când aceste gânduri critice ajung şi la copil.

Poate şi de încălcarea acestui cod nescris al respectului reciproc se tem acei profesori care refuză predarea live, fiecare ştiindu-şi desigur eventualele puncte slabe, dar fiind totodată conştient fiecare şi că trăim de fapt într-o societate în care agresiunea şi critica reciprocă au ajuns să reprezinte un mod normal de socializare. Se practică aceasta ca un sport national, aidoma babelor care stau pe băncuţă în faţa porţii şi îi critică pe cei care merg pe uliţă cu treburi. Cei mai mulţi nu-şi pun această problemă şi se lasă pradă procesului de preluare prin imitaţie, adică imitând starea de critică văzută zilnic la televizor, sau vieţuită zilnicpe net (ca să înţelegem acest fenomen este suficient să vedem cum se comentează le articolele de pe diferitele site-uri, ca să nu mai vorbesc de invitaţia explicită în sensul comentării, existentă pe reţelele de socializare).

Mă gândesc cu groază la acei părinţi care în diferite cazuri au considerat de cuvinţă să-mi găsească mie de vină pentru diferitele insuccese ale puiuţilor lor, agresându-mă mai fin sau mai dur: astfel de situaţii ar putea acum să scape total de sub control. Desigur că nu mă refer la situaţii unde poate am greşit eu (chiar şi dacă am greşit doar în oarecare măsură): acolo îmi recunosc vina, îmi cer scuze, poate explic ce am gândit eu, şi mergem mai departe (desi personal mă străduiesc să greşesc cât mai puţin). Mă refer însă la situaţii în care la un elev apar probleme în matematică ce se datorează fie unei învăţătoare foarte slabe (deci din trecut), fie unor greşeli educative de acasă (poate chiar şi în present). În aceste cazuri există părinţi care nu sunt dispuşi să recunoască (sau poate nu au capacitatea să o facă), astfel încât se activează impulsul natural de autoprotecţie, părintele căutând vina la altcineva, în exteriorul său. Şi cine este mai bun pentru a fi găsit vinovat decât “încasatorul de serviciu”, anume cadrul didactic de la clasă? Cunosc aceste aspecte de la conflicte dintre învăţătoare şi mămici cu copii prea alintaţi şi needucaţi, sau pe propia piele, de la ciocniri cu părinţii nerealist de ambiţioşi pentru copilul lor.

În general, în cazul diferitelor astfel de aspecte ce sunt  lămurite şi ţinute sub control la predarea concretă în clasă, la predarea tradiţională ce am avut-o până la pandemia Covid 19,în cazul predării on-line este de aşteptat ca aceste aspecte să răbufnească puternic la o predare în care elevii sunt mult mai puţin conectaţi cu profesorul, acasă ei fiind masiv doar sub influenţa părinţilor.

Am lăsat pentru final poate cel mai important aspect al implicării părinţilor în procesul educative, atunci când elevii sunt acasă, anume impicarea în învăţare alături de copilul lor. Acest fenomen exista oricum şi înainte de pandemie, dar devine obligatoriu în toate cazurile când din diferite motive elevul nu face faţă situaţiei în cazul predării on-line. Care ar fi aceste cazuri? Păi, să încercăm o minimă analiză.

O cauză ar fi profesorul care lucrează o materie mult prea ridicată pentru majoritatea elevilor, fie din motive de ambiţii în vederea olimpiadelor (de obicei în centrele cu rezultate dominatoare în concursurile olimiadelor şcolare sau a altor concursuri), fie din motive financiare (de obicei în oraşele mici, unde câte un profesor de matematică îşi crează o aură deosebită, predând prea teoreticist, pentru a forţa familiile să vină la meditaţii, unde apoi explică material mult mai clar)

O altă cauză ar reprezenta-o părinţii, fie din motive de ambiţie peste nivelul de posibilităţi ale elevului, fie datorită unei educaţii greşite (aici există foarte multe direcţii înspre care părinţii pot greşi; le mai evoc în diferite momente, dar acum nu mi-am propun să le prezint)

Dacă de prima cauză (predarea mult prea înaltă) îmi este evident la îndemână a mă păzi, pe părinţi îmi este mult mai greu să-i ţin sub control; ambiţiile, dar şi fricile lor îmi depăşesc de multe ori limitele de acţiune. În martie 2020, la începutul lockdown-ului, părinţii m-au rugat să nu predau material nou ci să le dau copiilor doar material de lucru recapitulativ, dar prin mai-iunie au început să se plângă că nu s-au mai parcurs lecţii; dacă am început să parcurg lecţii (sisteme de ecuaţii) şi i-am rugat să aibă un ochi asupra lecţiei recapitulative despre ecuaţii (nivel absolute elementare), mi-au zis că ei nu se pricep la matematică, dar apoi, la sistemele de ecuaţii unde am eşalonat lecţia în nouă paşi mici (9) ca să fiu sigur că toţi înţeleg, am avut  situaţii în care părinţii au preluat ei ritmul de lucru, impunând unul mult mai rapid coordonându-l şi arătându-i copilului cum se face, deşi în prealabil petrecusem trei ore ca să le scriu o scrisoare şi să-i rog explicit să nu interfereze în procesul lecţiei cu ritmul şi materialul trimis zilnic către copii.

Desigur că acestea sunt doar excepţii; în general colaborarea a mers în cazul meu foarte bine, dar chiar pentru astfel de excepţii am suferit mult pentru că îmi doream să le ofer elevilor o situaţie cât mai bună şi mă durea fiecare nereuşită. Totuşi, noi ca profesori trebuie să fim conştienţi că avem datoria să fim înţelegători faţă de toate aceste deraieri. Majoritatea părinţilor sunt speriaţi, mulţi dintre ei sunt la primul, poate chiar la unicul copil, pe când noi, oricum o iei, suntem mai experimentaţi cu copiii şi, în plus, suntem ceva mai detaşaţi faţă de fiecare caz în parte, neavând astfel acea “ceaţă pe creier” pe care o are omul “cufundat până peste cap” în situaţia în care se află. Noi trebuie să avem înţelegere şi, în afara cazurilor evident patologice, deraiate faţă de orice logică uzuală, trebuie să îi ajutăm şi să-i îndrumăm cu tactul corespunzător.

Închei aici această nouă parte a eseului despre predarea on-line, aşa cum o percep eu, în speranţa că am mai putut lămuri câteva aspecte, dar conştient de faptul că şi în acest domeniu, al colaborării cu părinţii sunt departe de a fi epuizat toate subiectele ce pot influenţa procesul învăţării. Titus Grigorovici, professor & părinte

P.S. Îmi cer scuze că în ultimele zile numai la articole nu mi-a stat capul. Bănuiam că se strange laţul pandemic, iar marţi când am aflat că de joi Clujul intră în on-line 100%, m-am preocupat doar de cele două zile speciale: miercuri = ultima zi pentru cine-ştie câtă vreme cu elevii de clasa a 8-a, iar joi = prima zi de on-line total. Pe scurt, în on-line a fost destul de bine, chiar aproape perfect am putea spune. La clasa a 6-a, la ora 8 au fost puternice distorsiuni la imagine şi sonor, dar mai târziu s-au îmbunătăţit condiţiile şi lecţia a pornit mai clar. O mană din clasa a 6-a ne-a şi scris: “Felicitări pt. mate şi română online. A fost mult peste aşteptări!” La clasa a 8-a, unde mi-am pregătit eu personal aparatura, lucrurile au mers şi mai bine: am avut o oră interactivă la acelaşi nivel ca şi cu elevii în clasă. Au răspuns, au întrebat, au ridicat mâna, au văzut totul şî ne-am auzit clar (am făcut o lecţie de recuperare despre unghiul înscris în cerc, şi a fost una dintre cele mai reuşite lecţii de când predau). În această clasă colega de română a avut azi preinspecţie pentru înscriere la gradul I. Era doar ea, colega metodistă şi directoarea în clasă. Şi toţi copiii răspunzând de acasă!!! Super!

Predarea on-line “a la pentagonia” (2)

Am explicat în prima parte a prezentării sistemul pus la punct pentru a-mi putea susţine predarea la distanţă. Cu alte cuvinte, am prezentat sistemul din punct de vedere tehnic.În continuare ar trebui să analizăm diverse detalii şi argumentări(pro, dar şi contra) ale acestui sistem, în direcţia pedagogică.

Spuneam că am reuşit “marea minune” şi am transmis live, prin video, la o calitate mulţumitoare, orele de matematică din anul acesta şcolarşi asta chiar încă de marţi, 15 septembrie, de la prima oră. M-a ajutat foarte mult faptul că am şi avut de la început “acasa” trei din elevii din jumătatea bună a clasei, care din diferite motive au fost nevoţi să nu vină la şcoală. Aceştia au reprezentat o motivaţie deosebită pentru a mă mobiliza, dar mi-au şi oferit un feed-back real, reprezentând parteneri de încredere în punerea la punct a diferitelor detalii şi în rodarea mecanismu

lui de transmitere.

Oricum, bucuria este foarte mare, pentru că astfel am putut salva cel mai important aspect al predării matematicii la clasele mai mari, anume partea interactivă, de dialog, anume că lecţia se creaza într-un dialog, în urma întrebărilor şi răspunsurilor dintre profesor şi elev (adica predare prin problematizare). Eu sunt foarte mulţumit de cum merge, reuşind să fac lecţii în care şi cei de acasă să poată răspunde dacă doresc.

Faţă de starea de disperare din primăvară (lockdown pe engleză, dar mie îmi place mai mult cuvântul din copilărie, când primeam de la Herr Lehrer Hausarrest dacă făceam prostioare la şcoală) şi faţă de stresul din vară despre cum va fi cu revenirea la şcoală, sistemul “construit” are un nivel deosebit de bun de predare şi interacţiune cu elevii, permiţând lecţii cu reacţii în timpi reali cu cei de acasă, oferind o libertate foarte mare în predare, astfel încât impulsul personal este de a-l denumi “Şcoală hibridă liberă”.

Acest sistem s-a dovedit deosebit de folositor, inclusiv în cazul elevilor care sunt trimişi acasă de către asistenta medicală, datorită diferitelor simptome de răceală, gripă sau indigestie (asociabili ca posibili indicatori ai îmbolnăvirii cu corona-virus). În acest context trebuie precizat că toţi ne-am întors la şcoală după 6 luni de izolare şi că, pe lângă paza excesivă contra acestui virus, ne-am ferit implicit şi de toţi ceilalţi viruşi cu care de obicei interacţionam şi cu care organismul nostru era obişnuit în trecut şi dezvoltându-şi astfel o imunitate. Cumulând aceste aspecte, pot spune că atâţia elevi absenţi de la şcoală ca în acest septembrie nu am avut de când predau (din 1990). Şi pentru toţi aceştia a fost binevenit sistemul de transmitere video a lecţiei cu care am funcţionat. Desi oficial am fost încadraţi în scenariul verde – (1), am avut tot timpul absenţi motivaţi si care urmăreau lecţiile de acasă.

Desigur că trebuie să fim realişti: eu simt acest sistem ales ca fiind la o eficienţă de 80-90% faţă de forma de predare obişnuităpentru cei din clasă, şi undeva la 60-70% ca eficienţă pentru cei de acasă, aşa că sigur “nu mă îmbăt cu apă chioară”, ci doar mă bucur ca un copil pentru “partea plină a paharului”, în comparaţie cu “mai numic-ul” din primăvară.

Dacă vom ajunge în predare fifty-fifty sau exclusiv on-line, atunci sigur că eficienţa va mai scădea pentru că voi avea tot mai mulţi “puiuţi” departe şi va funcţiona tot mai greu dialogul cu aceştia. Vorbesc aici despre diferitele disfuncţionalităţi ce pot apărea: de la căderea net-ului până la “nu se vede ce e scris pe tablă”, în realitate se pot întâmpla multe. În plus, nu poţi controla toţi copii care sunt acasă, cât sunt de atenţi şi ce alte preocupări au în timpul orei. Fără să mai discutăm că este de aşteptat ca tu, dascăl, să faci o lecţie cu anumite cunoştinţe de predat, nu doar să o faci pe “poliţaiul” în faţa calculatorului (adică se subânţelege că ai această misiune înainte de toate).

Faţă de toate aspectele tehnice imaginabile însă, părinţii trebuie avertizaţi şi de faptul că statul acasă în faţa ecranului induce acea stare visătoare cunoscută de la privitul la televizor. Şi, oare, cât poţi rezista în faţa unui ecran care difuzează “un film” incomparabil mai plictisitor decât orice film văzut până acum? (cam aşa este de obicei ora de matematică) Total plictisitor! Dar şi din capătul celălalt al prezentarii lecţiei lucrurile se văd destul de rău: dacă pe elev îl poţi urmări cât de cât în clasă, lucrurile pot scăpa clar de sub controlul profesorului, atunci când copilul este acasă.

Un aspect colateral important îl reprezintă desigur şi purtarea măştilor: atât timpul pierdut din ora de matematică cu atenţionarea de purtare corectă, cât şi gestul natural de a-i convinge pe elevi de justeţea gestului, în condiţiile în care disciplina spre protecţie şi autoprotecţie este profund “virusată” dinspre societate, respectiv de catre cei care “nu cred”; toate acestea scurtează ora de matematică.

Dar şi în cazul ideal, când toţi poartă corect masca, dialogul este puternic deranjat de către purtatul măştilor. Se aude mai greu când vorbeşte un elev, iar eu, pentru a fi clar auzit, am impulsul de a vorbi mult mai tare. Vai de gâtul meu: trăiesc masiv cu pastille de gât pentru alinarea corzilor vocale. Din acest punct de vedere, paradoxal măcar, privesc cu speranţă la o situaţie de cod roşu, adică la scenariul 3, când aş fi singur în clasă şi aş putea să predau fără mască (adică eu oricum voi merge la şcoală şi voi preda din clasă, cu camera orientată spre tablă): măcar aşa mă voi putea concentra exclusiv spre camera şi spre ecran, pe când acum cea mai mare parte a atenţiei mele este îndreptată totuşi înspre elevii din clasă, (oarecum în detrimentul celor pe care nu îi pot privi în ochşori în egală măsură cu cei din clasă)Aşadar,să privim realist: lucrurile sunt departe de o stare perfectă. De pildă, ca să mai dau şi alte exemple, predarea prin problematizare funcţionează actualmente tot pe baza elevilor prezenţi fizic în clasă. Cei de acasă au de obicei tendinţa să urmărească “emisiunea” şi doar atât, neimplicându-se în dialog. Este de aşteptat ca la o predare de cod roşu (şcenariul 3), cu toţi elevii acasă, să se implice totuşi măcar unii, să facă pasul spre acest dialog în mod benevol, dar mulţi vor rămâne în starea de urmărire pasivă a unei “emisiuni”. Acest fenomen se întâmplă desigur şi la orele cu prezenţă 100% fizic în clasă, dar este de aşteptat ca de acasă să crească semnificativ procentul celor care stau pasivi şi doar îşi completează notiţele în timpul orei (măcar atâta să facă şi tot nu e tare rău).

Scoteam în evidenţă ceva mai sus bucuria de a fi încropit un sistem în care cei de acasă să poată răspunde dacă doresc. Să analizăm puţin realitatea cu cele două tendinţe extreme. Oricum, la o clasă medie, chiar şi într-o oră obişnuită cu toţi elevii prezenţi fizic, din punct de vedere a ridicatului mâinii, există clar două categorii de elevi. Pe de-o parte sunt elevii care intră în dialogul de generare a lecţiei, anume cei care ridică mâna ca să răspundă la întrebările frontale ale profesorului. Pe de altă parte sunt elevii care ridică mâna pentru chestiuni nesemnificative, colaterale lecţiei (“ce aţi scris acolo?” pentru că obişnuiesc să rămână în urmă, la ora de matematică ei rezumându-se la a copia o lecţie pe care nici măcar nu o înţeleg de obicei; sau “pot să merg la baie?” etc.). Aceste chestiuni întrerup însă şirul logic al predarii lectiei, al gândurilor (ei de obicei oricum nu “participă” la acest şir al gândurilor, aşa că de cele mai multe ori nici nu-şi dau seama ce fac). În mod normal, ca profesor te bucuri de prima categorie şi le resimţi deranjante pe cele din a doua categorie.

Dar şi faţă de unii elevi din prima categorie pot apărea situaţii deranjante, în cazul elevilor care sunt tot timpul în competiţie cu ceilalţi, încercând să răspundă doar ei. Acelaşi aspect apare deopotriva şi la elevii care nu au dezvoltată în sufletul lor o percepere naturala a socialului, ci prezintă aspecte profund egocentriste. Aici, desigur că în cadrul lecţiei se formează şi partea socială: un elev care are tendinţa să răspundă tot timpul doar el, adică să acapareze conversaţia şi în dialog să fie doar el cu profesorul, acesta este relativ uşor de controlat atunci când suntem fizic în clasă: profesorul o poate face în mod corespunzător, dar cât mai fin posibil (fără a-l jigni, îi spui o data, iar apoi îi aminteşti cât mai fin, îl controlezi din priviri sau din gesturi), astfel încât “să aibă loc” în dialogul lecţiei şi alţi colegi, cât mai mulţi dacă se poate. Dar, când este acasă un astfel de elev, el îi percepe mult mai greu pe ceilalţi, văzându-l în principal pe ecran doar pe profesor cu lecţia sa, astfel încât are şi mai puternic tendinţa să răspundă tot timpul doar el, având chiar impulsul să o facă in extenso, adică să se lanseze într-un monolog egocentrist. Dar de la distanţă îl opreşti mult mai greu (ştiţi, decalajul acela datorat vitezei luminii), iar întreruperea acestuia se poate face doar pe canalul auditiv, prin cuvinte, astfel acţionând mult mai agresiv asupra copilului (sunt şanse mari ca acesta să se simtă jignit, mai ales că toţi ceilalţi aud clar dialogul şi faptul că l-ai oprit).

Citind aceste rânduri, o cunoştiinţă observa că în predare apar diferite tipuri de interacţiuni umane (la nivelul psihic), care în zona predării şi a relatiei dascăl–elev au o importanţă aparte. Exista o şansă mare ca predarea on-line să detrerioreze astfel de legături de ordin empatic create cu greu în atâţia ani la clasă, legături empatice care uneori pot “salva” o materie (în faţa clasei sau a unui elev). Merita o observare în zona psihologică a evoluţiei acestor relaţii empatice pe un cuantum viitor de timp, şi cunoştinţa mea atenţiona hotărât că în noua formă de predare on-line, noi profesorii să ne străduim să păstrăm acea magie a dialogului care să evite căderea în derizoriu a relatiilor empatice.

Multe ar fi de spus legat de actuala situaţie de predare în condiţii de pandemie, dar cred că mă opresc încet. Mai amintesc în final doar aspectul evidenţiat de către o colegă de la o altă şcoală: noi nu am fost formaţi în acest sens! Chiar dacă unii s-au preocupat intens, mai profund sau mai superficial, suntem departe de cearfi nevoie, pentru că de fapt aici este vorba de O NOUĂ PEDAGOGIE, iar un lucru este sigur: nimeni nu cunoaşte cu totul această nouă pedagogie pentru că nimeni nu a practicat-o până acum, decât cel mult punctual. Tendinţa din partea unora este de “a se da mari”, folosind diferite expresii la modă, dar care sunt în general forme fără fond (este arhicunoscută şi de mult atenţionată înclinaţia spre acest mod de desfăşurare a activităţilor la români). Pe de altă parte, nu ştie nimeni ce urmări vor apare la nivelul generaţiilor prezente după aceşti ani de predare on-line.

Până una-alta, putem vedea în timp real cât de superficială este îndrumarea dinspre autorităţi: ei ne dau doar sarcini şi fixează target-uri, dar pentru orice nu va merge bine, noi vom fi de vină! Pe de altă parte, şi ei – cei din minister, de unde să ştie cum trebuie făcut? Pentru că nimeni nu a mai trecut prin aşa ceva. Bine însă că toată lumea îi critică (cum am spus, ne simţim bine dacă găsim pe cine să criticăm: deducţia logică este că noi nu suntem de vină, adică suntem liniştiţi că am îndepărtat pericolul de a ne simţi vinovaţi, găsindu-i pe alţii ca“ţapi ispăşitori”).

Eu personal mă simt cât de cât confortabil în acest process “contra cronometru” de găsire a unei noi pedagogii, potrivită predării on-line. Mă simt cât de cât confortabil doar pentru faptul că sunt obişnuit cu acest proces de căutare intensă (de cercetare) spre optimizarea predării: de 25 de ani sunt în căutarea unei noi pedagogii (după ce am decis prin 1994 că pedagogia găsită în şcoli la acea vreme nu este deloc bună!). În toţi aceşti ani am căutat privind spre trecut, având clar amintiri din viaţa de elev, anume că lucrurile se puteau face mai bine. Până acum am căutat “dovezi arheologice”, adică bibliografice, dar şi din lumea liberă de comunism, în direcţia acelei predări despre care aveam amintiri vagi din copilărie. Acum trebuie să caut în viitor, de multe ori în domeniul tehnologic, dar bazându-mă şi pe toate aspectele psihologice dobândite până în acest moment (din psihologia oficială, dar şi din zonele neincluse încă oficial în psihologie). CTG balansând pe linie (adică predând on-line)

Dodecaedrul roman – un mister incomplet elucidat

Ȋn această vară a apărut ȋn Dilema veche un articol ciudat (Dilema veche, nr. 846, 25 iunie – 1 iulie 2020) ȋn care autorul, arheologul și scriitorul Cătălin Pavel prezintă niște obiecte găsite ȋn zona nord-vestică a fostului Imperiu roman, niște dodecaedre despre care nu se știe cu siguranță la ce foloseau, despre utilitatea acestora existând la ora actuală doar presupuneri. Poza atașată este una din multele ce se găsesc pe net despre aceste corpuri:

Citiți articolul respectiv la adresa: https://dilemaveche.ro/sectiune/pe-ce-lume-traim/articol/fetele-nevazute-ale-dodecaedrului-i . Din câte am văzut, nu a apărut şi o continuare a acestui articol, aşa cum sugerează finalul titlului. În căutările mele pe net am găsit inclusiv o hartă cu toate locaţiile din Europa unde s-au găsit astfel de obiecte (chiar şi unele – mult mai rare – în formă de icosaedru).

Presupunerea că ar reprezenta un fel de reper pentru stabilirea diferitelor momente din agricultură, pe baze astronomice ce ţin de înclinaţia soarelul, mi se pare destul de plauzibilă (un fel de “Stonehenge” portabil; puteţi citi detalii în acest sens la adresa https://www.romandodecahedron.com/ , mai exact la https://www.romandodecahedron.com/the-hypothesis). Ideea este sintetizată în următoarea schiţă:

Pe internet găsiți imagini sau articole folosind de pildă următoarele cuvinte de căutare: (ex.1) römischer Pentagondodekaeder; (ex.2) Pentagon-dodecaëder in brons;  (ex.3) Rheinisches Landesmuseum Bonn Dodekaeder & Ikosaeder; (ex.4) Dodecahedron-tongeren. (ex.5) romandodecahedron.  Informaţii se găsesc şi pe wikimedia commons. Printre pozele găsite am dat şi peste unele cu reproduceri ale acestor corpuri, prezentate sub formă de statui. Adevărul este că aceste corpuri prezintă un mix foarte reuşit între supermodernitate şi mistică antică, deosebit de potrivite pentru a fi expuse aidoma unor opere de artă moderne Titus Arheologicus

Predarea on-line “a la pentagonia” (1)

Sunt încă foarte prins de adaptarea la noul sistem pe care lucrez, dar iată pentru doritori, în mod telegrafic, forma în care am început eu acest an şcolar. La clasa a 8-a, unde-i arde probabil cel mai tare pe părinţi, am avut chiar de marţi 15 septembrie, de la prima oră, 26 de elevi în clasă şi 3 elevi acasă, conectaţi video la oră (noi predăm în module, iar eu, fiind diriginte la această clasă, am început cu modulul de matematică la clasa a 8-a, asta însemnând 12 ore de matematică pe săptămână, timp de trei săptămâni).

Şcoala noastră a optat pentru platforma G Suite, iar în vară ne-a fost montat de către Telekom un sistem de internet wireless. Toată situaţia de conectare la Classroom este gestionată printr-un laptop în fiecare sală.

În clasă am o camera mulţumitor de performantă (mai bună decât “dopurile” acelea ce sunt folosite pentru supraveghere), pusă pe un support mobil, încât camera să fie poziţionată exact în dreptul mijlocului tablei. Astfel, aceasta cuprinde foarte bine o tablă întreagă (vizibilă clar, dreptunghiular, nu deformată trapezoidal). Această cameră poate fi mutată din faţa unei table în faţa celeilalte, astfel încât lecţia nu trebuie întreruptă pentru ştersul tablei. Informaţiile de pe tablă se văd clar pe ecranul elevului de acasă, lecţia putând fi urmărită foarte bine chiar şi de pe telefonul mobil.

În plus avem conectat la system şi un difuzor performant cu microfoane ambientale puternice (folosit pentru videoconferinţe mari), astfel încât elevii de acasă aud foarte bine inclusiv răspunsurile sau întrebările celor din clasă, dar pot fi auziţi clar şi dacă răspund sau întreabă ei de acasă. În aceste condiţii, ora de matematică poate fi desfăşurată în formatul obişnuit pentru toţi elevii, atât cei din clasă, cât şi cei de acasă, atât pentru cei buni la mate, cât şi pentru cei “mai începători”.

Eu predau relativ obişnuit, putând întreţine un dialog continuu cu elevii, atât cu cei din clasă, cât şi cu cei de acasă. Am optat pentru această formă deoarece astfel am putut salva cât mai mult din predarea prin problematizare, care este o predare dialogică, pe bază de întrebări şi răspunsuri, atât într-un sens cât şi în celălalt. Accentuez că toată această predare prin întrebări are loc în timp real, fără sincope şi timpi prea lungi de gândire, care să dea posibilitatea de a căuta răspunsul pe net sau în alte surse.

În această formă hibridă de predare live, ca profesor, eu nu sunt dependent de lecţia pregătită de acasă, ci pot oricând adapta din mers parcursul lecţiei conform întrebărilor sau reacţiilor elevilor, scriind oricând pe tablă “formule matematice” sau “figuri geometrice” nepregătite de acasă, ca răspuns în dialogul lecţiei. Spun aceasta “ca replică” la adresa celor care sunt foarte pricepuţi de a o face pe deştepţii şi a da sfaturi despre cine ştie ce aplicaţii de scris sau de desenat mai ştiu ei.

Apropos de sfaturi gratuite din partea unora: şi un format de lecţie cu o tabletă mi-ar fi permis aceasta, dar în cantităţi mult mai mici. Aşa, pe tablă tradiţională eu pot deturna o parte întreagă de lecţie, elevii putând vedea însă toată lecţia prezentată pe tablă până în acel moment. Iar, cum bine comenta un fost elev eminent, care vara aceasta a terminat liceul, această metodă mai apropiată de forma obişnuită, accesibilizează evident lecţia şi elevilor “de la coada clasamentului” (cum cu dragă ironie îi caracteriza acesta: ăia mai “paletă”).

Sistemul este potrivit atât pentru o astfel de situaţie “galbenă”, cât şi pentru o situaţie “roşie”. Faptul că permite trecerea fără şocuri de la o situaţie la cealaltă, reprezintă un avantaj major al acestei forme alese. Astfel, în primele două săptămâni am avut câteva cazuri de elevi trimişi acasă de către asistenta medicală, iar aceştia au putut urmării în continuare lecţiile fără să piardă nimic. Am avut chiar un caz în care o elevă a fost trimisă acasă în pauza mare (după cursul principal de două ore de matematică), iar la ora suplimentară de exerciţii era deja on-line de pe telefonul mobil. Mai bine de atât nu cred că se poate face.

Această organizare are o asemănare puternică cu forma tradiţională a lecţiilor, atât pentru elevi cât şi pentru profesori, dar permite după nevoie şi folosirea tuturor instrumentelor oferite de Classroom (postarea de fişe de lucru, comentarii sau transmiterea de teme, etc.). Despre “cum merge” această formă de predare voi reveni într-o nouă postare. CTG

Cinci ani de pentagonia.ro (ȋncă cinci ani de P3NT4GON1A)

Ȋntre ianuarie 1998 și vara lui 2002 am publicat o serie de caiete de matematică  cuprinzând materiale de lucru pentru elevi și articole de metodică pentru profesori (primul caiet a fost redactat de prin toamna lui 1997). După 5 ani energia de lucru se terminase. Ce-i drept, o și cauzasem această cădere de energie: pe lângă ultimul Caiet P3NT4GON1A mai redactasem ȋn acea vară și lucrările de gradul I (două bucăți), dar ajutaserăm și doi colegi la acest demers (ȋn anul școlar următor am avut de susținut și inspecția de gradul I). Pe scurt, eram epuizați.

Caietele de matematică P3NT4GON1A au avut o viață de 5 ani, iar această coincidență nu putea să-mi scape: blogul pentagonia.ro ȋmplinește cinci ani și iarăși suntem ȋntr-o fază de profundă epuizare, Ca urmare, de o vreme mă tot gândesc cât și cum voi putea duce această a doua etapă P3NT4GON1A, cea de site-blog, pentru a putea trece peste acest prag fatidic de 5 ani. Pentru că sunt din nou epuizat, mai ales pe baza situației pandemiei Covid: toată predarea se cere restructurată, iar acest demers este foarte puternic consumator de energie. Ȋn plus, datorită lipsei de experiență acumulată și feed-back dobândit, toate aceste eforturi nu se prea pot materializa ȋn postări (ȋn primăvară de-abia ne-am dumirit, cât de cât, iar ȋn vară n-am avut ore). Ȋn acest sens un aspect vreau să fie clar: tot ce a fost publicat până acum sub numele de P3NT4GON1A a fost bine verificat ȋnainte la clasă.

Cu alte cuvinte, DA, am mai parcurs ȋncă cinci ani de P3NT4GON1A, cu o cantitate uriașă de material de inspirație pentru profesorii de matematică (ocazional utilizabil și de către părinți și sporadic folosibil ca material de lucru pentru elevi). Ce am realizat ȋn acești ani? Haideți să aruncăm o privire rezumativă ȋn urmă. Astfel, sper că am reușit ȋntr-o cât mai mare măsură:

  • Să readuc la viață ȋn mintea doritorilor vechea formă de predare prin problematizare, care este foarte eficientă ȋn formarea gândirii elevilor;
  • Să readuc ȋn atenția doritorilor importanța punerii accentului asupra așezării cu răbdare a bazelor ȋn cazul oricărei temă de studiu;
  • Să evidențiez importanța covârșitoare a aspectelor psihologice specifice fiecărei vârste și a necesității adaptării predării la posibilitățile aferente;
  • Să atrag atenția asupra importanței vitale pentru gândirea masei mari a elevilor a faptului că lecția de matematică trebuie să se adreseze majorității și nu doar unei elite restrânse;
  • Să atrag atenția asupra reformelor care au dus la actuala mentalitate (paradigmă) de predare a matematicii, mai ales asupra reformei din anii 1978-1981, pe care am denumit-o “Reforma demult uitată”, care ne-a marcat definitiv forma de predare a profesorilor, dar și nivelul de expectantă față de matematică a marii părți a societății actuale din România.
  • Să aduc cât mai multe exemple de matematică necunoscută de marea masă a profesorilor, exemple cu care se pot “ȋnveseli” orele de matematică.
  • Să ofer propuneri viabile și argumentate despre organizarea cât mai bună a materiei ȋn gimnaziu, propunând modificări concrete de remediere a situațiilor anacronice conținute ȋn programe și ȋn manuale.
  • Să atenționez asupra importanței covârșitoare a cumulului tuturor acestor aspecte mai ales ȋn clasele gimnaziale unde, concomitent cu creșterea nivelului materiei parcurse, crește “exponențial” și frustrarea la marea parte a copiilor care nu pot ține ritmul și sunt pierduți pe drum, lăsați pradă unui analfabetism funcțional masiv.

Acestea au fost liniile principale de lucru. Care ar fi scenariul cel mai optimist pentru perioada următoare: probabil menținerea funcționării site-ului (blog-ului) cu o frecvență de publicare redusă (față de ce am realizat ȋn acești ani), iar cu timpul, cât mai repede odată cu acumularea de experiență, apariția unor articole ȋn direcția predării ȋn situația pandemiei. C. Titus Grigorovici, Cluj, 9.09.2020

Poarta împărţirii lui 7 – Studiul grafic pe cercul de 9 cifre

Din start trebuie precizat că prezentul material reprezintă o creaţie personală 100%, găsit “din ȋntâmplare” într-un moment de inspiraţie, deşi am convingerea absolută că aspectele conţinute sigur au fost găsite şi de către alţii înaintea mea.

Dacă vom ȋmpărți la 7 un număr (nedivizibil cu 7) vom obține automat un rezultat ȋn forma unei fracții zecimale periodice. Asta cam știe toată lumea, dar este deja mai puțin evident că perioada acestor numere va fi ȋntotdeauna de exact 6 cifre (există și aici un studiu interesant ce se poate măcar porni cu elevii mai răsăriți: ȋmpărțirea la 3 sau la 9 are ȋntotdeauna perioada de o cifră; ȋmpărțirea la 11 are perioada de doua cifre; ȋmpărțirea la 37 are perioadă de trei cifre, pentru că 999 = 33·37; ȋmpărțirea la 7 are perioadă de șase cifre pentru că cel mai mic număr de forma 999…9 divizibil cu 7 este 999.999).

Până aici lucrurile se pot ȋnțelege relativ ușor de către o persoană doritoare de a aprofunda fenomenul (profesor sau elev). Oricum, pentru convingerea cititorului (acum), dar și a elevilor (la clasă), ȋn acest moment trebuie făcute câteva ȋmpărțiri (măcare vreo trei-patru, pentru a și vedea clar că ȋntotdeauna se obține o perioadă de șase cifre.

Analizând cu atenție perioadele acestor ȋmpărțiri vom vedea ȋnsă ȋncă ceva, mult mai surprinzător, anume că perioadele respective sunt ȋntotdeauna formate din următoarele cifrele: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Numai acestea vor apărea ȋn perioada ȋmpărțirii la 7 și de fiecare dată apar toate șase, fiecare o singură dată.

Mai mult, dacă ne uităm cu și mai mare atenție, vom vedea că acestea apar ȋntotdeauna ȋn aceeași ordine, una ciudată. De pildă vom putea ȋntâlni perioada 428571, sau perioada 571428, sau perioada 714285 etc. Cu alte cuvinte, ȋntr-o succesiune rotativă, după 7 vine ȋntotdeauna 1, iar apoi 4, urmat de 2 ș.a.m.d. Ȋncercând să reprezint grafic această succesiune pe cercul de 10 cifre, am obținut o structură ciudată care se repetă la nesfârșit, structură la care eu i-am spus “poarta ȋmpărțirii lui 7” sau mai pe scurt “poarta lui 7”. Atenționez asupra faptului că poarta va sta drept dacă vom ȋmpărți cercul cu cele zece cifre poziționate cu 9 și 0 sus echilibrate, respectiv 4 și 5 jos echilibrate, iar 2 și 7 la dreapta și la stânga.

Ȋn momentul când am făcut prima dată o astfel de reprezentare grafică mi-am adus aminte că am mai văzut un astfel de desen pe un afiș lipit pe o clădire (cu cca. 20 ani în urmă), afiş ce invita la o prezentare cu context spiritual (la vremea respectivă nu am întreprins nimic în sensul cunoaşterii, respectiv a înţelegerii acestuia, nici din punct de vedere spiritual, nici din punct de vedere a logicii desenului). Mult mai recent, ulterior găsirii porții lui 7, am aflat că de fapt desenul respectiv este denumit eneagramă, că este de fapt o reprezentare pe un cerc cu doar nouă cifre (lipsind 0) și că acolo poarta lui 7 este completată cu un triunghi echilateral care unește multiplii rămași ai lui 3.

Revenind la poarta lui 7, dați-mi voie să vă mai arăt o surpriză a acesteia. Vă rog să luați ȋmpărțirile la 7 efectuate mai sus (sper că le-ați făcut cu mâna, nu pe calculatorul din deșteptofon; dacă nu – ghinion – tot trebuie să le faceți și pe hârtie) și analizați resturile intermediare ale scăderilor din timpul ȋmpărțirii (fiind vorba de ȋmpărțire la 7, resturile trebuie să fie de cel mult 6; pentru că nu are loc divizibilitatea, ȋmpărțirea nu se va termina, așa că nu vom avea restul 0). Astfel, veți vedea că resturile respective vor fi ȋntotdeauna toate cifrele de la 1 la 6, ȋntr-o succesiune ciudată, care se păstrează ȋnsă la toate ȋmpărțirile. Reprezentându-le pe acestea pe un cerc cu șase cifre (de la 1 la 6) vom avea surpriza să ȋntâlnim din nou poarta lui 7 (apare și reprezentată grafic pe cercul cu 10 sau 9 cifre, dar mai turtită și răsucită ȋntr-o parte; ȋn schimb arată destul de frumos și desenată pe un cerc cu șapte cifre, de la 0 la 6, cu 0 centrat sus).

Să analizăm puțin din punct de vedere metodico-didactic această ciudată “micro-lecție”. Este evident că produce uimire, deși nu este o lecție grea. Elevul exersează ȋmpărțirea și vede cum apare clar perioada. Ȋn plus, ȋși exersează atenția la detalii, face o reprezentare grafică (fiecare cât se pricepe de bine la trasarea cercului cu mâna și la ȋmpărțirea acestuia ȋn 10 sau 9, respectiv 6 sau 7 părți “egale”). Motivația pentru tot acest demers o reprezintă verificare prin obținerea acestui desen impresionant. Toți pașii sunt deosebit de accesibili. Ȋn final, orice elev are o satisfacție clară obținând respectivul desen misterios. Ȋn plus poate merge acasă să-i uimească cu acesta și pe părinți, care nu au ȋnvățat așa ceva ȋn școală. Desigur că nu are rost să-i alocăm acestei ciudate lecții tare mult timp; cred că două exemple cu reprezentările grafice corespunzătoare sunt suficiente (unul la tablă și unul ca muncă independentă ȋn clasă, plus ȋncă două la libera alegere ca temă). Și ca să fie clar, nefiind ȋn programă, nici nu cer astfel de exerciții la teste. Dar oricum, sunt sigur că elevii care le-au ȋnțeles se aleg cu câteva sinapse ȋn plus, ȋnvățând să conecteze un fenomen numeric cu o reprezentare grafică.

Părerea mea este că elevilor de clasa a 5-a le este suficientă această formă de lecție, fără o justificare sau cine știe ce demonstrație a ciudatului fenomen. La nivelul clasei a 5-a lucrurile pot rămâne ȋn această stare de uimire, de mirare pură. Dimpotrivă, la nivelul mai adult, de pildă ȋncepând din liceu, se poate cere și găsirea unei justificări raționale. Un astfel de studiu ar depăși ȋnsă cu mult nivelul de accesibilitate al clasei a 5-a. La acest nivel este arhisuficient atât, ȋncât să-i lăsăm pe copii ȋntr-o stare de uimire “magică”, plină de admirație față de “minunile matematicii”.

*

Cu elevii lucrez până aici. Pentru curiozitatea personală am căutat mai departe ca să ȋnțeleg, măcar la nivel superficial, care ar fi cauza pentru care poarta lui 7 este implicată ȋntr-un simbol spiritual, dar nu am găsit nimic, deși pare destul de evident că există o legătură (cred că orice ȋntâmplare este exclusă la un desen de această complexitate). Este ȋnsă la fel de evident că forma sa este deosebit de potrivită pentru a impresiona “adepții” unui curent spiritual, mai ales pe cei care nu ȋnțeleg “lucruri din-astea” și care se vor uita cu cea mai profundă admirație la “ȋnvățătorul” ce le folosește. Nu susțin la nivelul absolut că desenul nu ar putea avea totuși și anumite explicații de altă natură, dar eu nu le-am găsit ȋn timpul căutărilor mele (destul de superficiale, recunosc).

Dacă tot am căutat, perimteți-mi să vă prezint un rezumat al contextului cultural găsit, context pe care îl veţi putea căuta și dvs. pe internet. Conform Wikipedia, desenul respectiv apare ca reprezentare prima dată în 1949  la autorul rus de orientare ezoterică P. D. Ouspensky, în încercările sale de explicare a teoriilor învăţatului mistic armean G. I. Gurdjieff, idei preluate şi extinse de către bolivianul Oscar Ichazo în teoriile sale despre personalitatea umană (enneagrama tipurilor de personalităţi). Eu nu le-am citit, dar dacă sunteți curioși, găsiţi un scurt istoric al subiectului pe site-ul The Enneagram Institute, la Learn – Traditional Enneagram (History), pe care-l puteţi accesa pornind de pildă de la adresa https://www.enneagraminstitute.com/how-the-enneagram-system-works/, dar şi pe Wikipedia, de pildă căutând Fourth Way enneagram). Oricum sursele de pe internet ce conectează acest desen cu lumea spirituală par nesfârşite (pe lângă unele desene minunate, mie cel mai mult mi-a plăcut o întrebare: Este Papa Francisc împortiva enneagramei?). Ȋn domeniul psihologiei există și ȋn limba română o mare bogăție de surse despre eneagrama personalităților. Revenind la matematica noastră, un lucru este sigur, tot ce am scris în acest aliniat nu are nici o minimă legătură cu lecţia prezentată pentru clasa a 5-a, şi în nici un caz nu ar trebui să ajungă la elevi.

Tehnic, deși lipsește din dex-uri, cuvântul eneagramă desemnează o „stea cu nouă colţuri”. Astfel, pe lângă nonagonul regulat, sub denumirea de eneagramă (sau nonagramă) există două stelări cu 9 colţuri şi o stea falsă compusă de fapt din trei triunghiuri echilaterale (stele adevărate cu pas de 2 sau de 4 pentru că 9 nu este divizibil cu 2 sau 4, respectiv o stea falsă corespunzând pasului de 3 pentru că 9 este divizibil cu 3).

Pe lângă aceste eneagrame cu mecanism simplu de generare, am văzut că mai există şi ciudata eneagramă compusă din poarta lui 7 și un triunghi echilateral ce unește multiplii lui 3. Despre aceasta, pe mine mă interesează doar partea matematică, fără nici cea mai mică legătură cu teoriile mistico-ezoterice, unele de găsit la adresele mai sus menționate. Singurul lucru care mă miră este felul cum a putut fi adusă această reprezentare grafică de la nivelul pur rațional (al ȋmpărțirii cu 7) la nivelul de simbol spiritual. Misticul Titus

02.02.2020 – Totuși, sfârşitul lumii?

La ȋnceputul lui februarie 2020 scriam următorul scurt comentariu: Pentru cei care s-au pregătit să anunţe sfârşitul lumii, doar pentru că data prezintă o simetrie foarte uimitoare, vestea este destul de proastă: nici în 02.02.2020 nu a venit sfârşitul lumii.

Din păcate m-am ȋnșelat amarnic: la o lună distanță școlile se ȋnchideau intempestiv, ȋnchidere ce aducea cu ea sfârșitul lumii, cel puțin al lumii așa cum o știam. Iar o revenire realistă și ȋn siguranță la viața noastră dinainte nu se ȋntrevede nici ȋn viitorul apropiat, nici ȋn cel mediu.

Toți aveam despre sfârșitul lumii o imagine apocaliptică (un asteroid, un dezastru ecologic la nivel planetar, ceva ȋntre filmele Mad Max cu Mel Gibson și Waterworld cu Kevin Costner). Dar, de la izbucnirea pandemiei generată de criza corona-virusului mă tot ȋntreb dacă nu cumva așa arată sfârșitul lumii, cel puțin al lumii așa cum eram noi obișnuiți cu aceasta. Și, ȋncet dar sigur, a ȋnceput să-mi sune tot mai des ȋn minte refrenul melodiei It’s The End Of The World As We Know It (And I Feel Fine) din 1991 al formației R.E.M.

Gândurile acestea nu se referă doar la lumea noastră ȋn general, ci și la lumea matematicii școlare ȋn particular, așa cum o știm și cum eram obișnuiți cu ea (cu bune și cu rele). Cum va arăta aceasta ȋn noul “an școlar”, nimeni nu știe sigur. Om trăi și om vedea!, sau, cum spunea bunica: a fi cumva! Bine măcar că s-a pornit dezbaterea și agitația.

Până una alta, eu i-am convocat pe părinții disponibili la o ședință cu părinții clasei a 8-a, la care sunt diriginte, ȋntr-un parc, față-n față, dar distanțați fizic, ca să putem discuta oral, auzindu-ne și văzându-ne fețele, pentru că nimeni nu mai are ȋncrederea de la ȋnceput ȋn mijloacele de comunicare electronică (mail-uri, chat-uri și alte zoom-uri).

Apropos, la o discuție recentă ȋn familie, fiică-mea ne-a spus să n-o mai bâzâim să se scoale devreme că ȋntr-o lună ȋncepe școala, spunându-ne ceva de genul: mi-a dat Dumnezeu șase luni de vacanță, lăsați-mă să să mă trezesc când vreau. Am râs bine și ne-am adus aminte de Jules Verne; cum se numea romanul acela? Doi ani de vacanță! Ce spuneți de așa o previziune până se rezolvă problema cu pandemia, ȋncât să ne putem relua viețile ȋn mod cât de cât normal?  Shiny Happy Pupil

P.S. Și dacă tot am amintit din nou de fiică-mea, ultima ei neliniște este legată de faptul că a aflat că măștile de unică folosință nu sunt nici reciclabile, nici biodegradabile. Vă dați seama ȋnspre ce dezastru ecologic ne ȋndreptăm?

Unitățile de măsură, bată-le vina, Herr Physiklehrer Iohannis

Câți profesori de matematică știu să “scuipe” spontan formula de volum a sferei, asta nu se poate spune cu certitudine (ȋmi și ȋnchipui un răspuns de genul “d-apoi asta nu prea se folosește”), cu atât mai puțin câți profesori de fizică știu asta ȋn mod spontan, așa cum făcea aluzie Cristian Tudor Popescu cu sarcasmul specific vulpoiului bătrân ȋn jurnalism, la adresa candidatului la preșidenție Iohannis, cu ocazia gafei de proporții a celuilalt candidat la preșidenție, tanti Veorica. Dar un fapt este sigur: profesorii de fizică se simt cel mai confortabil ȋn manevrarea a tot felul de mărimi ȋmpreună cu unitățile lor de măsură la numitor și la numărător; cu asta lucrează și din asta trăiește fizica.

Ȋn aceste condiții a fost desigur deosebit de ciudat momentul de la conferința de presă organizată ȋn 5 august de Președintele Iohannis, când dânsul ne explica cum va ȋncepe școala ȋn septembrie 2020, ȋn funcție de cele trei culori ale “semaforului”, verde sub 1, galben ȋntre 1 și 3, roșu peste 3 coviți, uitând să precizeze măcar o dată că aceste cazuri se referă la “mia de locuitori” (ȋn schimb și-a adus aminte să precizeze că teoria se referă “la media ultimelor 14 zile”). A fost nevoie de ȋntrebarea țintită a unui ziarist ca să-și dea seama și Herr Lehrer că lipsește ceva din “formulă”. Aducându-și aminte de ȋntâmplarea cu aria cercului, fiică-mea aprecia admirativ că Iohannis vorbește totuși destul de liber (adică nu vine să citească un discurs pregătit dinainte de alții).

Este clar că ȋn programa școlară de orice nivel preuniversitar nu apare măsurarea de extindere a coviției, dar “noblesse oblige!”, Herr Lehrer. Și totuși, ȋn nici un caz nu-l putem acuza pe profesorul de fizică Klaus Iohannis că nu ar stăpâni sistemul de construcție al unităților de măsură. O singură concluzie se poate trage din această ȋntâmplare, anume că, ȋn pofida aparentei siguranțe ce se străduiește să o afișeze Dl Președinte, stresul situației este uriaș și nu cred că cineva ȋn reală cunoștință de cauză și ȋn deplinătatea capacităților mentale și-ar putea dori să-i ia locul ȋn condițiile de față. CTG

Ultima cifră la şirurile de numere – Studiul grafic pe cercul cu 10 cifre

Exerciţiile despre stabilirea ultimei cifre la diferite numere exprimate cu puteri cu exponent foarte mare sunt arhicunoscute printre profesorii de matematică din România. Câţi elevi le înţeleg cu adevărat, asta este o cu totul altă problemă. Eu abordez această temă dintr-un punct de vedere diferit şi nutresc speranţa că numărul elevilor care înţeleg această abordare este ceva mai ridicat.

Am găsit această metodă la învăţătoarele de la Şcoala Waldorf: ele folosesc o scândură în formă de disc pe care sunt bătute zece cuie în cerc, numerotate cu cele 10 cifre. Pe acestea elevii, pornind de la zero, întind o sfoară mergând din 4 în 4 la şirul lui 4 (şirul multiplilor lui 4) etc. Această metodă este gândită a sprijini învăţarea tablei înmulţirii de către cei mici (fiecare trecere peste zero înseamnă o creştere cu o unitate a cifrei zecilor). O adaptare a acestei metode la nivelul elevilor de clasa a V-a o găsiţi în prima parte a lecţiei, prezentată în următoarea imagine a tablei:

Ca o observaţie de terminologie, trebuie să precizez că în Waldorf învăţătoarele şi elevii folosesc noţiunea “şirul lui 3” desigur pentru “şirul multiplilor lui 3”. O fac aceasta chiar din clasele mici ca substituent pentru clasica “tabla înmulţirii cu 3” (desigur că învaţă şi denumirea “românească” cu timpul). Nu văd nici o problemă în aceasta pentru că ei nu folosesc cuvântul “multiplu”. Ca o observaţie colaterală despre capacitatea de pricepere intuitivă la aceste vârste, precizez că elevii nou veniţi în clasa a V-a nu au deloc probleme de înţelegere a terminologiei de genul “şirul lui 3” (în cazul acestora vedem aici un bun exemplu de predare intuitivă, fără multe explicaţii).

Spuneam că am găsit această metodă de reprezentare grafică la colegele din Waldorf, iar asta se întâmpla în 1996. Mintea mea a făcut imediat pasul înainte, pornind reprezentarea grafică a succesiunii ultimei cifre la şirurile de puteri, când păstrăm baza constantă (viitoarea funcţie exponenţială) sau, dimpotrivă, când păstrăm exponentul constant, adică de pildă la şirul pătratelor sau la şirul cuburilor (am încercat şi la puteri mai mari şi se găsesc şi aici lucruri interesante, dar nu recomand a face aşa ceva cu elevii; aceasta poate fi însă o minunată temă “de cercetare” pentru adulţi sau eventual elevi mari).

Vă las pe dvs. să studiaţi cazurile date ca temă elevilor şi corelaţiile dintre acestea. Oricum, elevii capătă din respectivul studiu o imagine mult mai clară şi mai bogată despre ce se întâmplă în procesul de repetare a ultimei cifre la aceste şiruri, imagine ce are evident şi valenţe estetice.

La vremea respectivă, când am descoperit aceste aspecte (“descoperit” la colegele din Waldorf reprezentarea pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile multiplilor, respectiv “descoperit” de-adevăratelea reprezentările pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile de exponenţiale şi de puteri, aspecte pe care nu le-am găsit niciunde!), atunci în 1996 am studiat toate situaţiile şirurilor în care sunt implicate puterile şi toate corelaţiile dintre acestea. Astfel, ţin minte că am făcut o planşă cu un cerc mare cu cele zece cifre, iar în dreptul fiecărei cifre am făcut un cerc mai mic cu reprezentarea grafică corespunzătoare şirului de acel tip corespunzător numărului respectiv. Astfel, pe acel cerc mare se pot vedea în studiu comparativ corespondenţele dintre formele graficelor diferitelor şiruri (fapt sugerat în lecţie prin alegerea unor exemple cu aceeaşi formă de grafic, doar parcursă în sens invers (4n şi 6n) sau prin păstrarea formei, dar răsturnată (2n şi 3n). După cum am mai spus, ca profesori, vă recomand să faceţi acest studiu, dar la clasă în nici un caz. Cred că lecţia aşa cum am făcut-o este suficientă. Eventual, în cazul unui copil pasionat, se poate sugera parcurgerea tuturor cazurilor acasă, ca “temă de cercetare”.

Apoi, ulterior acestui studiu (o oră, cu indulgenţa corespunzătoare şi pentru elevii “neolimpici”), se pot parcurge binecunoscutele exerciţii cu ultima cifră, existând speranţa ca majoritatea să aibă o viziune mai clară despre ce se întâmplă. (Această lecţie este de găsit şi în primul caiet de matematică pentagonia, dar am reluat-o pentru că mi-au reuşit o lecţie şi nişte poze deosebit de clare de data asta) CTG cu amintiri din 1996

P.S. Merită scrise aici câteva rânduri despre ideea de reprezentare grafică a unui fenomen numeric.Ce înseamnă reprezentarea grafică a unei funcţii? Păi, o formă de vizualizare a variaţiei unei formule matematice (numită funcţie)după valorile date nedeterminatei, introduse în această formulă. Cu alte cuvinte, o formă de vizualizare a unui fenomen numeric. Ceea ce am prezentat mai sus reprezintă tot o reprezentare grafică, adică o formă de vizualizare a unui fenomen numeric, doar că într-o formă mai neobişnuită pentru publicul larg.

80 de miliarde, adică 80 de mii de milioane

Vom folosi această sumă de 80 de miliarde pentru a reface infrastructura în România, pentru a construi spitale, școli, pentru a moderniza marile sisteme publice. Este, de asemenea, foarte important de știut că o parte semnificativă din acești bani vor fi folosiți pentru relansare, pentru revigorare economică. Repet, 79.917.000.000, deci 80 de mii de milioane de euro vom folosi pentru a pune în practică, pe de-o parte, planul pentru bugetul multianual 2021-2027 (…)” a declarat Președintele Klaus Iohannis. ȋn dimineața zilei de 21 iulie 2020. Precizarea este pentru cine nu știe clar ce-i acela un milliard, și să știți că-s mulți care ȋncurcă treburile astea: pentru omu’ de rând și la nivelul de cultură matematică elementară a marii majorități a populației (al votanților), milioanele și miliardele sună cam la fel.

Această observație (n-am vrut să sune răutăcios, dar trebuie să fim realiști) se justifică de pildă prin ȋncurcătura omniprezentă de folosire a sumelor de bani ȋn lei noi sau ȋn lei vechi. Să lămurim și acest aspect ȋntâlnit la foarte mulți români. Anume, de exemplu la pensionari am observant intens manipularea exprimării sumelor de bani ȋntr-un mod extrem de subiectiv: dacă vor să-ți evidențieze cât de scump fost un produs la piață, ȋți vor spune prețul ȋn bani vechi, folosirea unor exprimări ce conțin cuvintele mii sau milioane venindu-le ȋn sprijin, amplificând efectul din punct de vedere artistic; dacă dimpotrivă doresc să evidențieze cât de ieftin a fost un produs, adică “ce cumpărătură bună” au reușit, atunci vor spune prețul automat ȋn bani noi, pentru efectul dorit fiind necesare numere cât mai mici (ȋntrebat de ce-mi tot vorbește ȋn bani vechi, fiu-meu mi-a spus că toți cei cu care are el de-a face lucreză ȋn bani vechi, așa că a trebuit să se adapteze la acest limbaj, pe când la cumpărăturile de rutină, deci pentru sume mici de prețuri ȋntâlnite zilnic ȋn magazine, folosește exprimările ȋn bani noi).

Legat de accentuare subiectivistă a efectului dorit prin exprimarea unor sume cu ajutorul cuvintelor mii sau milioane, ne putem pune pe bună dreptate ȋntrebarea: de ce nu folosesc românii ȋn același scop și cuvântul miliarde? Răspunsul este simplu: acesta le sună mult prea extraterestru, ȋnțelegerea lor nu ajunge de obicei până acolo. Miliardele sunt mult prea mari iar românii nu se ȋncumetă ȋn limbaj până la acestea; structura matematică obiectivă a majorității populației este prea șubredă pentru folosirea uzuală a miliardelor

Totuși, părerea mea este că românii ar putea trece cu totul, deci și ȋn socialul de zi cu zi, la banii noi, dar nu vor! Pe lângă depunerea unui efort intelectual pentru care nu sunt dispuși (inclusiv din motive de ȋnclinare spre sfidarea de tip haiducesc a autorităților), o astfel de trecere ar ȋnsemna și revenirea ȋntr-o lume prea obiectivă pentru gustul lor, o stare care multora le repugnă. Dimpotrivă, păstrarea acestui “sistem dual” le permite românilor rămânerea și viețuirea ȋn continuare ȋn această “supă subiectivistă” ȋn care se scaldă zilnic și ȋn care se simt atât de bine. Matematica este pentru majoritatea populației mult prea obiectivă, așa ȋncât ei folosesc această situație (chiar se agață cu ȋnverșunare de ea) pentru a subiectiviza pe cât posibil matematica pe care sunt obligați să o folosească (aritmetica, prin citirea numerelor).

Ȋn mod similar, deși nu a jonglat ȋntre lei vechi și lei noi (fiind vorba de euro), ȋl putem suspecta pe Herr President de o mică ȋncercare de manipulare subiectivistă: pentru omul de rând sună mult mai pompos, deci mai mare, mii de milioane decât simplul miliarde. Oricum, Danke schön! Herr Lehrer pentru precizările matematice. Titus von der Johannisbeereleyen