Minutul de 1000 de euro şi matematica şcolară

Luni 4 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea de la Europa FM, domnii Vlad, George şi Luca, în rubrica Minutul de 1000 de euro a avut loc următorul dialog între cei trei prezentatori şi ascultătorul intrat în direct:
Ce determină formula pi-er-pătrat? Ce măsoară această formulă?
Raza!
După terminarea minutului, în care aceasta a fost singura greşeală – deci diferenţa de la 90 euro (câte 10 pentru fiecare răspuns corect) şi 1000 euro (premiul mare pentru situaţia cu toate 10 răspunsurile corecte) – dialogul a mai continuat:
R este raza! Ia gândeşte-te ce era.
Aria?
Cred c-o să ţi minte toată viaţa.
Matematica! ….
E singurul răspuns greşit
Sper să nu mă-ntâlnesc cu Domnu’ profesor de matematică. Nu eram sigur, aşa că am zis ceva la nimereală.
Felicitări pentru cei 90 de euro, dar mia, era … ! (unde? în formulele cercului?)
A doua zi, marţi 5 feb., cu alt ascultător “drăcuşorul matematici” a lovit din nou, şi din nou matematica a făcut diferenţa dintre 90 euro şi 1000 euro:
Câte laturi are un hexagon?
Şapte!
După terminarea minutului şi a celor zece întrebări dialogul a continuat (din nou reluat orientativ):
Eu plec acasă acum (Vlad), nu mai suport!
Da’, ce-am făcut? Sau ce n-am făcut?
Vai de capu’ meu: Tetra, Penta, Hexa, Hepta, Octo!
Şapte!
Da’ un heptagon câte laturi are?
Erau şase!!
Am zis şşş-apte!
Ai zis 1000 euro: pa-pa!
Eu în locul tău m-aş duce şi-aş desena hexagoane până deseară, şi m-aş gândi la 1000 de euro: hexagon după hexagon pe o coală albă.
Albinuţe hexagoane.
E incredibil, ieri 90 euro, azi 90 euro, … e un semn! (din partea matematicii?)

Da, aceasta a fost istoria a două întrebări (din geometria de final de clasa a VII-a!!!) în care ascultătorii respectivi au pierdut câte 910 euro. Ca norocu’ că a treia zi drăcuşorul matematicii nu a mai lovit, aşa că ne-am liniştit. Până la urmă, în această vacanţă cei trei colegi din Deşteptarea au reuşit să dea mia de euro, mai cu cântec, mai cu poveste, vineri, după ce au dezbătut răspunsurile date de un ascultător joi.

În urmă au rămas doar gândurile respective, care – cel puţin mie – mi-au trezit amintirea unui om minunat, Marcetti Perneş, care a lucrat ani la rând ca portar în şcoala noastră şi care, atunci când ieşeau elevii de la lucrare de control la mate îi întâmpina şi ştia să le spună toate răspunsurile. Dorea să le dovedească astfel că nu profu’-i de vină, ci ei pentru că erau întrebări logice şi trebuiau să gândească, şi dacă şi el reuşeşte, înseamnă că erau doar pe baza unor cunoştinţe elementare minime.

Revenind la realitatea noastră, situaţia ar trebui să ne dea de gândit (nu numai nouă, hexa apare şi în chimie). Şi, să fim bine înţeleşi: lucrurile pot evolua doar înspre mai rău; cu cât scade vârsta de început “a vieţii în faţa unui ecran” şi cu cât creşte timpul petrecut, de pildă în faţa deşteptofonului, cu atât va fi tot mai rău. Şi tot mai mulţi sunt cei care se întreabă retoric: la ce bun să învăţăm toate prostiile, că doar se găsesc pe internet?! Sigur, nu trebuie învăţate pentru concursuri “de cultură generală”; ele sunt folositoare însă şi în alte locuri. Dar acesta este alt subiect. Titus Hexagonezul

Numerele lui Fibonacci şi creanga de pin

În postarea precedentă am prezentat cum se găsesc numerele Fibonacci consecutive 8 şi 13 la alinierea fructelor de pe un ananas. Tot acolo am amintit în treacăt şi despre o creangă de pin pe care am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8, aşa că m-am gândit să vă prezint şi această găselniţă personală, în caz că cineva s-ar fi putut gândi că situaţia prezentată la ananas ar fi una singulară. Şi, da, aceasta este o găselniţă personală, pe care nu am întâlnit-o niciunde în literatura studiată (unde se găsesc indicii despre conurile coniferelor, dar nu şi despre crengile acestora).

Aşadar, cum am găsit situaţia ce urmează? Simplu: făceam într-o vară un foc pentru grătarul de seară şi spărgeam nişte lemne dintr-un pin tăiat în anul precedent. Am vrut să crestez o creangă “de-a lungul”, aşa că o ţineam culcată lovind-o cu toporul pe lungime. Probabil că n-am lovit destul de tare, aşa încât a crăpat doar primul strat de lemn, cel din ultimul an de creştere, dar a rămas intact stratul interior. Când m-am uitat la acesta, am văzut nişte adâncituri perfect aliniate pe toată suprafaţa sa. În momentul acela am avut o bănuială, aşa că am pus lemnul de-o parte şi mi-am continuat activitatea de pregătit a grătarului cu alte lemne. Apoi am luat lemnul cu pricina la studiat şi iată ce am găsit.

Întrebând o colegă, am aflat că porii respectivi, frumos aliniaţi, sunt canale rezinifere (de răşină), cuprinse în zonele de lărgire a razelor medulare. Apropos, cum vă simţiţi când “dă” cineva în voi cu jargon de specialitate din afara zonei dvs. “de confort”? Cam aşa se simt şi elevii când “dăm” în ei cu jargon prea dur din specialitatea noastră. Din ce am înţeles eu, prin acei pori copacul “transpiră răşină” la nevoie.

Este evident că aici este loc de o vastă cercetare, de care însă eu nu mi-am luat timp până acum, având alte priorităţi. De pildă, pare destul de logic că la o creangă mai groasă vom găsi numere consecutive Fibonacci mai mari. Sau poate nu? Titus Sylvestris




Numerele lui Fibonacci şi ananasul

În postarea precedentă am deschis sacul din care au ieşit iepuraşii lui Fibonacci, aducând cu ei – ca dintr-un joben magic – numerele din renumitul şir. Dacă tot am deschis subiectul, merită să mai zăbovim puţin în jurul acestor numere renumite.

În primul rând trebuie subliniat faptul că problema respectivă este profund falsă din punct de vedere al realităţii speciei şi a felului în care se înmulţesc iepuraşii. La fel ca majoritatea problemelor de matematică, şi aceasta descrie şi se bazează pe o situaţie idealizată, profund diferită de realitatea înconjurătoare. Cu atât mai şocantă este această constatare cu cât există multiple exemple de situaţii profund naturale în care numerele izvorâte din problema iepuraşilor apar totuşi în realitatea înconjurătoare în mod nemijlocit şi fără de tăgadă. Sunt renumite diferitele situaţii din lumea vie în care se găsesc urme ale numerelor lui Fibonacci, spirala logaritmică sau secţiunea de aur fiind prezente “te miri unde”.

Există foarte multe exemple, dar nu mi-am propus aici o prezentare exhaustivă, nici măcar o enumerare a celor mai cunoscute astfel de situaţii unde sunt întâlnite renumitele numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Le puteţi găsi în bogata literatură tipărită sau pe internet (de pildă Mario Livio, Secţiunea de aur, Humanitas). Doar un singur exemplu doresc să vă prezint în această postare, anume unde şi cum am găsit eu numere Fibonacci pe un fruct de ananas.

Analizând un astfel de fruct, observăm că suprafaţa sa este formată din nişte “celule” oarecum patrulatere destul de ordonat aliniate. De fapt acestea sunt seminţe iar alinierea lor poate fi privită ca o înşiruire de dale pentru un posibil “şotron”.

Mai exact spus, fiecare astfel de poziţie este parte a două alinieri, una care urcă spre stânga şi una care urcă spre dreapta. Analizând cu atenţie sporită vedem că alinierea care urcă înspre stânga este mai lină, pe când alinierea care urcă spre dreapta este mai abruptă.

Interesant este că cele două alinieri care pornesc dintr-o poziţie, cea înspre stânga şi cea înspre dreapta, ajung să se reîntâlnească în partea cealaltă a ananasului. De fapt nu se întâlnesc exact în partea opusă, şi asta datorită diferenţei de înclinaţie. Astfel, de la un punct comun, să-i zicem A punctului de jos, până la celălalt punct comun B al celor două alinieri oblice, situat mai sus, drumurile pe cele două trasee diferă ca lungime: drumul care urcă lin spre stânga este mai lung, pe când drumul care urcă abrupt spre dreapta este clar mai scurt.

Surpriza apare atunci când numărăm paşii ce trebuie făcuţi pe cele două drumuri: de la A la B pe drumul abrupt dar mai scurt avem de făcut 8 paşi, pe când pe drumul lin dar mai abrupt sunt de făcut 13 paşi! UAU!!! DA!!! Exact 8, respectiv 13 paşi. La alte specii pot fi găsite alte numere Fibonacci alăturate. De pildă la o creangă de pin am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8 (cu cât avansăm, raportul a două numere alăturate din acest şir aproximează tot mai bine renumitul număr “fi” φ ≈ 1,618).

Păi, ştiu ananaşii sau pinii matematică? Multe persoane au în momentul acesta o trăire de uluială profundă, ceva de genul: plantele sunt creaţia lui Dumnezeu; asta este o urmă clară şi de netăgăduit lăsată de Dumnezeu de când a creat lumea. Problema cu iepuraşii era clar artificială, dar această situaţie este una profund naturală şi realistă. Încă o dată: UAU!!!

De obicei, prima întrebare ce îmi este adresată în acest moment este dacă toţi ananaşii au chestia asta. Cel mai bine ar fi să mergeţi şi să verificaţi în supermarket (este distractivă imaginea a doi elevi distrându-se într-un magazin la cutia cu ananaşi, numărând bunbii respectivi, când un angajat vine şi îi ia la rost, că “ce fac acolo?”, iar aceştia să răspundă “ne facem tema la mate, ne-a dat profu’ să numărăm pătrăţelele de pe ananas!”).

Răspunsul la întrebarea dacă întotdeauna se întămplă aşa, este în principiu afirmativ, doar că aceste fructe nu sunt obligatoriu perfecte, ci au dereglări ale rândurilor în anumite părţi. De pildă, exemplarul din aceste poze dovedeşte o dereglare a rândurilor pe partea surprinsă în prima poză. Concret, pentru a fi sigur că pot face pozele pentru prezentul articol, pe acest fruct l-am verificat cu atenţie înainte de a-l cumpăra din magazinul Lidl (unde mă aştepta cuminte în raft). Dar de obicei funcţionează. În calculator mai am încă un rând de poze cu un ananas cumpărat cu trei săptămâni în urmă din Kaufland, la fel de corect, dar la care vopsirea nu se vede la fel de bine. Pe cele de mai sus le-am ales doar pe baza vopsirii mai clare a alinierilor. Titus “Dole”

Iepuraşii lui Fibonacci

În grupul celor mai spectaculoase şi mai cunoscute probleme de matematică sunt aglomerate de fapt mai multe “vedete”, realizarea unei ierarhii stricte între acestea fiind practic imposibilă. Totuşi, chiar dacă pentru unii s-ar putea să nu reprezinte vârful unei astfel de selecţii, problema lui Fibonacci cu iepuraşii este sigur în “top 10” al celor mai frumoase probleme din toate timpurile, şi nu fac această afirmaţie doar din punct de vedere al multitudinii de aplicaţii a şirului numerelor lui Fibonacci. Problema în sine este frumoasă, deosebit de provicatoare pentru gândirea umană în general, dar şi în particular pentru persoana (elevul) care primeşte spre rezolvare problema fără a-i cunoaşte răspunsul şi algoritmul aritmetic de generare a numerelor. Dar nu numai atât, problema reprezintă o provocare serioasă chiar şi pentru profesorul de matematică, care cunoaşte atât răspunsul (şirul lui Fibonacci) cât şi forma relativă a problemei: cum se deduce însă din problema iepuraşilor proprietatea caracteristică de generare a şirului cu pricina?

Acestor întrebări trebuie neapărat să le mai adăugăm una de ordin pedagogic: în ce clasă ar fi potrivit să propunem această problemă elevilor? Şirul lui Fibonacci apare în liceu la clasele de real în studiul şirurilor. Oare nu ar trebui să apară şi la clasele de uman? Dar problema în sine cu iepuraşi nu apare niciunde. De ce? Ce are această problemă, de profesorii nu se gândesc să o facă? Nici profesorii individual, nici organizatorii de programe, dar nici autorii de manuale (nu am o pasiune deosebită de a colectoa toate manualele ce apar, dar oricum nu am ştiinţă să existe într-un manual oficial; dacă există îmi cer scuze). Revin la intrebare: în ce clasă ar fi potrivit de făcut această problemă?

Eu nu deţin neapărat un răspuns hotărât la această întrebare, dar ştiu sigur că a lăsa elevii să plece din şcoală fără să fi cunoscut această problemă este mare păcat. Un argument în favoarea acestei afirmaţii este faptul că numerele lui Fibonacci sunt unele dintre destul de puţinele situaţii matematice care au penetrat cultura universală, prezenţa acestora în renumitul roman Codul lui da Vinci fiind doar un exemplu în acest sens.

Problema apare în cartea Liber abacci a lui  Leonardo Pissaro, zis şi Fibonacci, în a doua ediţie a acesteia din 1204. Iată o cât de cât curată variantă a problemei: Într-o curte sunt aduşi o pereche de iepuraşi pui (un băieţel şi o fetiţă). Pui de iepuri se maturizează într-o lună. După maturizare încep să facă pui, sarcina durând o lună şi fiecare naştere aduce pe lume o pereche de pui (un băieţel şi o fetiţă). Aceştia se maturizează într-o lună şi după încă o lună de sarcină au şi ei pui (întotdeauna o pereche). Adulţii aduc pe lume după fiecare lună câte o pereche de pui. Câte perechi de iepuri vor fi după un an?

Câţiva ani la rând am prezentat această problemă la clase liceale de uman, folosind farmecul deosebit exercitat chiar şi asupra ne-matematicienilor. Astfel, probelma poate fi prezentată într-o formă liberă de orice constrângere de rigurozitate scriptică a unei lecţii matematice anume. Ţinând cont că elevii de la uman nu au o deosebită capacitate de imaginaţie şi înţelegere a unor situaţii, capacitate necesară pentru găsirea numerelor şi pentru sintetizarea modelului comportamental al acestor numere, am căutat o cale cât mai atractivă de a le aduce în faţă problema.

Concret, am strâns de-a lungul anilor un sac de iepuraşi din pluş, mai mari sau mai mici, cu care fac elevilor o prezentare simulată a situaţiei descrisă în problemă (elevilor trebuie să le atragem atenţia de câteva ori că vom prezenta situaţia cu un iepuraş, gândind însă că este vorba despre o pereche (!). Astfel, încep prin a le pune pe masă un iepuraş mic (1). În pasul al doilea, adică “după o lună” înlocuiesc acest iepuraş cu unul mare (din sacul cu iepuraşi de pluş de pe masă), adică tot (1). După “încă o lună” aceştia capătă pui, deci pe lângă iepuraşul mare mai scot şi unul mic pe masă (2). După “încă o lună” noii pui se maturizează (îl înlocuiesc pe cel mic cu unul mare), iar cei iniţiali mai au o pereche de pui (scot din nou un iepuraşi mic), având pe masă doi iepuri mari şi unul mic (3). Peste “încă o lună” înlocuiesc iepuraşul mic cu unul mare şi în paralel scot din sac doi iepuraşi mici, ca reprezentanţi ai celor două perechi de pui ai celor două perechi deja adulte, având astfel pe masă trei iepuri mari şi doi mici (5). În general reuşesc să merg încă doi-trei paşi, (8) şi (13), cel mult (21), într-o cascadă de iepuraşi care tot “ies din sac”, după care mă opresc în râsetele generale ale audienţei. Iată în acest sens o “poză de grup” de la una din ultimele “reprezentaţii” ale problemei.

Las câteva momente de râs general apoi, după liniştirea atmosferei, elevii primesc sarcina să încerce pe caiete o formă de contabilizare pe paşi a numărului de iepuraşi (şi aici trebuie repetat că scriem 1 şi înţelegem o pereche de iepuri). În funcţie de timpul alocat, în final încerc întotdeauna la tablă realizarea unei scheme care să arate în ce fel evoluează numărul iepuraşilor, iar la marginea acestei scheme scriem la fiecare nivel numărul corespunzător acestei etape. Este evident că nu putem merge foarte mulţi paşi pentru că diagrama creşte puternic, aşa că destul de repede elevii trebuie să facă transferul de concentrare de la diagramă la numerele alăturate şi să “observe” modelul comportamental aritmetic după care apar acestea. În final facem un tabel separat cu 13 poziţii (start + 12 luni), în care cuprindem numerele obţinute şi îl completăm până la capăt. Iată şi o variantă de diagramă găsită pe net ca sugestie de lucru (să nu vă tot arăt variantele pusă de mine pe tablă). Spre deosebire de alte imagini ce se găsesc pe net, aceasta scoate în evidenţă atăt ideea de pereche, cât şi prin linie continuă o anumită pereche de iepuri, respectiv prin linie întreruptă naşterea unei noi perechi.

După cum am mai scris, iarna aceasta am cunoscut cartea Drăcuşorul cifrelor în care problema apare într-o formă foarte accesibilă elevilor de gimnaziu. Şi în desenele din carte sunt prezentaţi iepuraşii dublaţi (deci ca pereche) astfel încât este rezolvată şi situaţia disonantă că numerele lui Fibinacci se referă la perechile de iepuri (nu câţi iepuri, ci câte perechi). Ca semn de apreciere faţă de elevul din clasa a VII-a care mi-a împrumutat cartea înainte de vacanţă, am prezentat clasei respective această problemă în prima oră după vacanţa de iarnă (şi a mers foarte bine, deci în această formă jucăuşă funcţionează foarte bine şi la gimnaziu).

Lecţia funcţionează însă foarte bine şi la adulţi ne-matematici. La inceputul lunii decembrie am prezentat-o într-o întâlnire a Consiliului profesoral, la partea pedagogică, iar colegii (învăţătoare şi profesori de toate materiile) au reacţionat la fel de pozitiv ca şi elevii. Mai mult, o colegă mi-a dăruit înainte de vacanţă un tricou pe care desenase o grămadă de iepuraşi şi numerele lui Fibonacci. Cu mulţumirile de rigoare vă prezint şi dvs. desenul de pe acel tricou. Titus şi iepuraşii

Math Around Us – o scurtă prezentare

De curând am aflat despre acest proiect Erasmus la care au colaborat opt şcoli din opt ţări: România, Italia, Polonia, Ungaria, Portugalia, Danemarca, Grecia şi Lituania. Proiectul a fost condus de către Colegiul Tehnic ANA ASLAN din Cluj şi s-a concretizat într-un “manual”, o colecţie de lucrări reunite în jurul întrebării “La ce îţi foloseşte Matematica?”. Manual a fost realizat de elevi cu aplicaţii practice în geografie, mediul înconjurător, informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică. Puteţi găsi prezentarea proiectului şi descărca acest manual la adresa:
La ce îţi foloseşte Matematica. Manual făcut de elevi cu aplicaţii practice în informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică – Edupedu

Interesantă pare justificarea proiectului de către autorii acestuia: elevii tind să nu agreeze matematica (un studiu Rosetta Zan de la Universitatea din Pisa, Italia) mai ales atunci când nu reuşesc să obţină rezultatele academice dorite şi o percep, de obicei, ca un subiect abstract, cu puţine aplicaţii în situaţiile reale … . Uau!!! Zău? Nu m-aş fi gândit la aşa ceva.

Glumeam, desigur. Da, aşa este văzută matematică de către toţi cei din afara ei. Asta pentru că aşa este prezentată matematică de către profesori: o disciplină autosuficientă şi încrezută. Ora de matematică este prezentată ca o succesiune de axiome, definiţii, demonstraţii, teoreme, formule date de către un profesor atotştiutor şi stăpân total al orei, elemente toretice seci care au apoi ca aplicaţii exerciţii şi probleme ce trebuie învăţate pentru că se vor da la lucrare, la teză şi în final la examen.

Teme care nu intră în această categorie nu se fac la clasă, chiar dacă ar avea avantajul că ar fi mai atractive pentru elevi. De pildă, câţi prezentăm la clasă problema originală cu înmulţirea iepuraşilor din lucrarea Liber Abbaci a lui Fibonacci? Sau câţi vorbim despre secţiunea de aur şi aplicaţiiile acesteia, inclusiv în poziţionarea buricului la oameni? Este în programă? Nu! Deci nu o facem. (Am dat o simplă linie de exemple, dar lista poate continua mult şi bine).

Dar şi teme de studiu obişnuite în lecţiile româneşti sunt neglijate în a fi prezentate în alte forme „mai atractive” elevului de rând. De pildă, numerele triunghiulare prezentate în foaia de lucru nr. 7 din Capitolul 7 – Matematica în arheologie, unde ne sunt prezentate ca vizualizări (reprezentări grafice) ale numerelor din mult mai cunoscuta lecţie despre Suma lui Gauss.

Dacă tot nu v-am convins, vă atrag atenţia că şi în prezentarea proiectului este scoasă în faţă întrebarea „La ce foloseşte matematica?”. Astfel, la adresa de mai sus citim în prezentare că tinerii au încercat să facă mai uşor de înţeles utilitatea acestei materii, aşa că au creat ceva nou. Au creat ceva nou în sensul unei abordări noi pentru ideea de manual (la noi sigur; eu nu mă pot exprima despre celelalte ţări). Spun asta pentru că multe din elementele prezentate nu sunt deloc noi. Sunt poate noi doar pentru persoanele obişnuite să lucreze doar şi numai matematica din manualele oficiale şi nimic altceva. Astfel, recomand cu căldură să aruncaţi o privire mai profundă peste acest material. Are multe lucruri frumoase.

Închei cu aşa-zisele rezultate ale proiectului: peste 50% dintre elevii angrenaţi în proiect au avut mai multă motivaţie pentru studiul matematicii; 21% au avut creşteri ale notelor la matematică de cel puţin 20%. Da, astfel de lucruri se pot întâmpla dacă îi atragem pe elevi într-o matematică mai deschisă, chiar dacă nu abordăm subiecte de examen. CTG

Drăcuşorul cifrelor – o prezentare de carte

De curând mi-a fost atrasă atenţia asupra acestei cărţi de către un elev venit nou la şcoala noastră în clasa a VII-a: Noi, când vom învăţa despre Numerele lui Fibonacci? I-am răspuns mirat că noi le-am prezentat pe scurt, ca un joc, în clasa a V-a, întrebându-l totodată de unde ştie el de aceste numere. Dintr-o carte despre matematică, o poveste. Mi-a adus cartea, am citit-o, iar acum încerc să vă stârnesc şi pe dvs. prin această scurtă prezentare.

Cartea se numeşte Drăcuşorul cifrelor şi este scrisă de către Hans Magnus Enzensberger (staţi liniştiţi, nici eu n-am mai auzit de el şi cu greu reuşesc să-i ţin minte numele mai mult de 10 minute), având ca subtitlu caracterizarea: O carte de pus sub perna celor care se tem de matematică. Cartea este apărută în 2015 la editura Pandora, colecţia Panda, parte a Grupului editorial TREI.

Povestea ne prezintă un băieţel pe nume Robert care visează în 12 nopţi un fel de curs de matematică, mai mult aritmetică, ce îi este prezentat de către un drăcuşor matematician. Acesta îi prezintă în vis diverse teme mai mult sau mai puţin superficiale din matematica elementară şi nu numai. Ca exemple, aş putea spicui teme ca scrierea în baza 10, puterea numerelor, rădăcina pătrată din clasele mici, dar şi Conjectura lui Goldbach, triunghiul lui Pascal sau exemple elementare de combinatorică. Toate temele sunt prezentate ludic (cum s-ar putea altfel?, suntem doar în visul unui băieţel cam de clasa a V-a), într-un limbaj deloc pretenţios şi într-o abordare accesibilă şi intuitivă, potrivită oricărui elev de gimnaziu. Ba mai mult, denumirile sunt de multe ori modificate faţă de terminologia oficială pentru a fi cât mai simpatice şi jucăuşe dar, nu vă temeţi, autorul prezintă la sfârşitul cărţii un dicţionar de traducere a denumirilor folosite. De pildă, aşa-numitele numere sărite reprezintă de fapt ridicarea la putere, mai exact şirul puterilor unui număr.

În ansamblul ei, cartea reprezintă o foarte reuşită încercare de a-l atrage pe elev într-o plimbare prin iniţierea în ideile de bază ale matematicii. Aceasta poate fi folosită cu succes ca recomandare de lectură în domeniul matematicii, fiind deosebit de potrivită mai ales primelor clase gimnaziale. Deşi conţine şi elemente de matematică liceeală, la o lectură mai sus de clasa a VII-a trebuie însă să ne bazăm pe dorinţa de colaborare a elevului cititor, deoarece tonul în care este scrisă cartea este totuşi mai potrivit claselor V-VI. Stilul este atât de ludic şi copilăresc încât există pericolul real ca părinţii să le-o cumpere copiilor chiar mai repede de intrarea în gimnaziu. Eu personal am rezerve în legătură cu astfel de încercări de a forţa înainte de vreme dezvoltarea copiilor, dar deja la sfârşitul clasei a V-a cartea poate fi recomandată ca lectură, fiind o mult mai potrivită preocupare de vacanţă decât tradiţionalele şi stupidele culegeri cu matematică “de vacanţă” produse la ora actuală de către diversele edituri. Oricum, mi-aş dori să mai existe şi alte astfel de cărţi de oferit elevilor de gimnaziu ca lectură suplimentară.

În acest context mi-am adus aminte de câteva vorbe spuse de regretatul Profesor Solomon Marcus în 2008 în cadrul unei emisiuni Garantat 100% găzduită de către Cătălin Ştefănescu: Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. (…) Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Învăţarea trebuie însoţită de o stare de plăcere. Aici şcoala eşuează.

În final câteva cuvinte despre autor. Hans Magnus Enzensberger nu este matematician, dar l-am găsit pe internet ca autor al unui eseu despre prăpastia ce se cască tot mai tare între matematică şi majoritatea oamenilor, eseu publicat în 1998 în Frankfurter Allgemeine Zeitung, cu un titlu dificil (Zugbrücke außer Betrieb ~ Pod retractabil scos din funcţiune), dar cu subtitlul destul de clar: Matematica dincolo de cultură – O privire din exterior.  Cam atât pentru acum, dar promit că voi mai reveni la această carte. CTG

Dodecaedrul lui Enrique

Până la urmă am ajuns să văd şi eu videoclipul melodiei Nos Fuimos Lejos interpretată de Descemer Bueno şi Enrique Iglesias, alături de diferiţi alţi artişti, printre care prezenţa lui Andra ne-a stârnit admiraţia. Dar nu despre aceşti artişti vă reţin atenţia, ci despre prezenţa geometriei în filmuleţ: corpul în care dansează băieţii ăştia este un dodecaedru regulat (chiar dacă este optic destul de deformat, fiind “filmat” de foarte aproape). Interesant! Acest corp este prezent peste tot, doar din programa de matematică este absent. Oare de ce? Enrique Dodecaedrias

La mulţi ani! 2019

Numărul 2019 este triplul numărului prim 673 (poate iese o problemă interesantă din chestia asta). Soţia mea s-a distrat la ornarea tortului de revelion, scriind pe lateralul tortului anul 2019, pe o parte în baza 10 şi pe cealaltă parte în baza 2. Pentru cei interesaţi de “refolosirea” unui calendar, vă precizez că 2019 repetă calendarele din 2002 şi din 2013 (pentru cei pasionaţi de articole “vintage”, să ştiţi că funcţionează şi calendarele din anii 1974, 1985 sau 1991).

Apropos calendare şi repetarea acestora, avem o povestioară interesantă de anul trecut. În toamnă am vizitat din nou renumitul târg de la Negreni care, pe lângă mulţii ofertanţi de artă populară şi altele necesare traiului de zi cu zi pentru viaţa adevărată la ţară, este probabil şi cel mai mare târg de vechituri din România (hectare întregi de vânzători, ce cu greu pot fi vizitaţi într-o zi). La ediţia din octombrie 2018 am găsit la un comerciant de vechituri o minge cu 12 petice pentagonale imprimate cu cele 12 luni ale unui an. Mingea dezumflată arată clar construcţia sa pe baza dodecaedrului regulat.

Întorcând-o pe toate feţele am avut însă surpriza să nu găsim însemnat anul pentru care era acest calendar (pentru a stabili când se va mai repeta). Singurul indiciu era data de 29 februarie, acesta direcţionându-ne spre un an bisect. Dar care an bisect să fie? Scurt după această întâmplare am vizitat nişte cunoscuţi, şi ştiind că au un băiat în clasa a VIII-a, am luat noua jucărie cu mine. I-am arătat-o şi i-am spus că urmează să studiez ce an bisect din ultima vreme s-ar potrivi acestui calendar. De pildă – i-am spus – trebuie să văd în ce an bisect data de 1 ianuarie a căzut într-o zi de joi, ca în acest calendar. La acest gând de problematizare profundă, băiatul respectiv mi-a dat cel mai surprinzător răspuns: păi, eu sunt născut pe 1 ianuarie, într-o zi de joi! Am rămas mască, şi aşa am aflat că acest calendar era din 2004 (după cum am mai discutat, calendarele din anii bisecţi se repetă doar o dată la 28 de ani aşa că următoarea variantă, cu încă 28 de ani în urmă, adică 1976 nu intră în discuţie pentru că pe atunci nu exista internetul cu renumitele sale adrese www, cum este cea de pe mingea noastră). Ulterior am verificat şi într-adevăr, aşa a fost. Acesta este anul în care s-a născut şi fiica noastră, iar calendarul se va repeta de abia în 2032! Mai avem ceva de aşteptat. CTG

Număr prim de 912 cifre

Oare chiar numărul ăsta să fie prim? Is it really, really a prime? Kann das wirklich sein? Mon Dieu! Unde s-a ajuns cu tehnica asta modernă!

(găsit cu jutorul prietenilor pe https://www.reddit.com/r/math/comments/a9544e/merry_christmas/, unde puteţi afla şi alte elemente suprinzătoare în acest sens; exemplul este bun de arătat la clasă).

Pisica, masa şi canarul

Când pisica Pusi stă sub masă, iar canarul Cico stă pe masă, diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 60 cm. Dacă pisica Pusi se suie pe masă atunci canarul Cico zboară jos şi se plimbă sub masă pe podea. În acest caz diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 90 cm. Ce înălţime are masa?

*

De curând am primit un e-mail de la site-ul mquest.ro cu adresa unui filmuleţ conţinând o problemă şi diferite rezolvări pentru aceasta. Deşi cunosc foarte multe probleme vechi, caracterizate printr-un farmec special inconfundabil, recunosc că nu cunoşteam această problemă (impregnată cu acelaşi farmec special). Textul de mai sus reprezintă o încercare personală de a vă prezenta problema respectivă într-o formă mai atractivă (de pildă, problema din filmuleţul respectiv vorbea de o pisică şi o broască, care stăteau pe rând sub masă sau pe masă), formă care să provoace şi imaginaţia rezolvitorului. Totodată textul astfel aranjat poate fi dus liniştit la clasă fără a apela la un calculator sau la alte mijloace super tehnologizate.

Deşi preferata mea este o rezolvare prin metoda reducerii, în cadrul filmuleţului este prezentată şi o rezolvare aşa-zisă “de clasa a 3-a” (ce persoană o fi avut aşa o imaginaţie “bolnavă” încât să gândească cele două situaţii cocoţate una peste cealaltă?). Dacă v-am trezit curiozitatea şi doriţi să vedeti filmuleţul, îl găsiţi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=t-9QJMdVe7k.