Suma lui Gauss (3) – Lecţia la clasă

De foarte mult timp am vrut să mă ocup de acest subiect (părţile 1 şi 2 au fost postate încă din vara lui 2017, dar acestea au fost doar elemente suplimentare la lecţia în sine). Iată că i-a venit vremea şi acestei teme, aşa că haideţi să analizăm ce ar fi de spus despre acest subiect. În primul rând, daţi-mi voie să vă prezint cum predau eu această lecţie, undeva în prima parte a semestrului I din clasa a V-a, pe post de buton de start al noii matematici adusă de către profesor, profund diferită şi desigur mult mai complexă, mai bogată decât cea practicată cu d-na învăţătoare (rog cititorul a evita o înţelegere a acestor afirmaţii drept o îngâmfare, o atitudine de superioritate a unui profesor faţă de d-le învăţătoare; am vrut doar să accentuez că învăţătoarele trebuie să practice la vârstele respective un anumit fel de gândire matematică, pe când profesorul trebuie încet să facă trecerea spre un cu totul alt fel de gândire).

Următorul material, lecţia în sine, este pentru mai multe ore, fiind un material deosebit de complex. Concret, ce veţi vedea reprezintă lecţiile de matematică din trei zile consecutive, predate în sistem de problematizare, cca. 75 minute în fiecare zi (în sistemul Waldorf există aşa ceva).

Lecţia începe, total nepregătir, cu o cerere surpriză: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10 (toate numerele de la 1 la 10). Elevii se pun pe socotit şi în curând răsar primele mânuţe ridicate. După ce s-au mai anunţat câţiva, le dau cuvântul şi printre răspunsuri apar multe răspunsuri de 55 (alături de altele greşite, cum ar fi şi 45: cred că l-ai uitat pe 10).

Urmează o a doua întrebare: Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 20. Elevii se pun iar pe socutit, dar treaba merge mult mai greu acum. De la o clasă la alta se poate întâmpla să primim câteva răspunsuri corecte de 210 sau nici măcar unul. După ce analizăm răspunsurile, încerc să le explic copiilor cât mai pe înţelesul lor faptul că este necesară o nouă abordare, diferită de simpla adunare (pe care ei o denumesc “în turnuleţ”).

În acest sens, o abordare foarte simplă ar fi cu o reprezentare “grafică” a numerelor, prin înşiruire de punctuleţe (ca nişte ghirlande). Vedeţi în prima imagine cum se pot reprezenta toate numerele de la 1 la 20, cât şi cum pot fi grupate acele “mărgeluţe”, astfel încât să se cristalizeze un model “comportamental” al acestora (pregătiţi-vă pentru o mică-mare văicăreală în urma desenatului atâtor punctuleţe).

La următoarele sume (între timp am început să le notez S10, S20 etc.) nu am mai reprezentat fiecare număr cu punctuleţe, ci am reprezentat doar grupările pătrate de 100 şi cele triunghiulare de 55. Cu această metodă putem urca până pe la S50, după care şi această reprezentare devine deranjantă (sigur, s-ar putea studia cum evoluează numărul de triunghiuri de 55 şi numărul de pătrate de 100, dar nu am avut timp de aşa ceva; pentru elevii foarte doritori s-ar putea da ca “temă de cercetare”, acum sau mai târziu, dar eu urmează să introduc numerele figurate triunghiulare de abia mai târziu).




Cam aceasta a fost prima oră, iar în ultima poză de mai sus găsiţi analiza de a doua zi a temei pe care au avut-o de făcut. De la aceasta se poate merge şi pe o linie de dezvoltare a reprezentărilor tot cu punctuleţe, dar eu am preferat să avansez înspre metoda cunoscută (care oricum, are avantajul că nu-i mai chinuie pe elevi cu desenarea atâtor punctuleţe). Pentru început, le prezint elevilor o variantă mai infantilă a obişnuitei metode de calculat suma S100. Există specialişti care spun că o minte de copil ar fi adunat natural 1 cu 99, apoi 2 cu 98 etc., adică 49 de sute şi încă una de la sfârşit, plus 50-ul de la mijloc. Se prea poate că aşa să fi adunat elevul Gauss. Apoi le arăt forma maturizată a metodei, cea cu adunarea lui 1 cu 100, a lui 2 cu 99 etc., care duce la 50 de perechi cu valoarea de 101.

Ce întrebare urmează? Dragi elevi, vă rog acum să adunaţi toate numerele de la 1 până la 1000, adică S1000. Aici fac o scurtă pauză în vorbire, cât să apuce să digere scurt sarcina,după care vin cu o completare: Cine este destul de vigilent, poate da rezultatul direct, fără calcule. Cel care se prinde “de poantă”, acela trăieşte o fericire mare. La trecerea de anul acesta, un elev a intuit răspunsul şi vă pot spune că, măcar un sfert de oră “a bătut foarte intens soarele” din acea zonă a clasei! Respectivul elev m-a chemat să văd răspunsul bănuit, i-am arătat un like!, dar i-am cerut să şi calculeze prin metoda nou învăţată, pentru a confirma răspunsul.

Cei mai mulţi s-au apucat să lucreze după model, după două-trei minute am scris şi eu pe tablă, apoi am rezolvat şi următorul exerciţiu (S10000), şi doar după aceea am cristalizat într-o scurtă recapitulare “modelul comportamental” al acestor rezultate (the pattern, pe engleză). În această scurtă analiză am mers desigur încă doi paşi în mod intuitiv, dând rezultatele sumelor până la 100.000 şi până la 1.000.000, fapt care este profund impresionant pentru elevi (elevii au dictat aceste răspunsuri, în urma scrierii primelor patru sume; între timp “se prinseseră” cei mai mulţi despre cum evoluează rezultatele acestea).

Pe fondul entuziasmului general am plusat cu o nouă “metodă”, spunându-le că eu am la această metodă impresia unui briceag: ne putem imagina toată suma împărţită “în două” pe la mijloc şi împăturită ca un briceag. Elevii reacţionează cu bucurie la această idee, cei mai mulţi reuşind să “vizualizeze” în minte această mişcare de împăturire. Aşadar am numit-o pe aceasta metoda briceag.

O idee similară am găsit-o demult într-o carte veche nemţească. Se vorbea acolo despre metoda stadion, prin stadion înţelegând forma stadioanelor apărută în Grecia antică, constând din două linii drepte unite de o singură turnantă (ce legătură are unitatea de măsură numită stadiu cu acest tip de stadion?). Şi această metodă le place elevilor, fiind o nouă imagine posibilă pentru vizualizarea fenomenului comportamental al numerelor din această etapă de rezolvare a Sumelor Gauss.

La temă am rezolvat primul exerciţiu în clasă (l-au rezolvat elevii, iar apoi l-am scris şi eu pe tablă, ca model). Din păcate, nu am fost atent şi am ales tocmai S36, care dă chiar “maleficul” 666. Părerea mea este că acest exemplu ar trebui evitat la clasele mici, meritând a fi lăsat ca surpriză pentru finalul clasei a VIII-a, unde îl căutăm din “partea cealaltă”, rezolvând o ecuaţie de gradul II pornind chiar de la “numărul bestiei” (am tratat acest subiect în postarea http://pentagonia.ro/matematica-biblie-suma-lui-gauss-1/). Consider că aceste informaţii sunt mult mai potrivite pentru elevii de peste 14 ani decât puiuţilor de a V-a.

La sfârşitul acestei de-a doua ore le-am atras atenţia elevilor că la începutul primei ore am făcut sublinierea pentru titlu, dar nu am scris efectiv unul. Care ar fi titlul acestei lecţii? E clar: Suma lui Gauss, şi toată lumea a răsfoit înapoi şi a scris titlul în locul rezervat la început.

La începutul celei de-a treia ore, la verificarea temei, le-am atras atenţia că toate sumele de la temă au fost “sume pare”, adică sume de la 1 până la un număr par. Analizând şi încercând “să optimizăm procedura” pe exemplul lui S48, am văzut că am înmulţit succesorul lui 48 cu jumătatea lui 48 (metoda briceag sau metoda stadion ne ajută la vizualizarea clară a ideii de jumătate).

Ce se întâmplă însă dacă vom lua o sumă impară? Spre exemplificare am luat una mai greu accesibilă minţii obişnuite a elevului de clasa a V-a, anume S157. Celor mai mulţi le-a venit foarte greu să depisteze care număr stă singur (adică desperecheat) pe turnantă. Eu nu am considerat că merită să ne afundăm cu toată clasa în lămurirea acestei întrebări. Dimpotrivă, am decis că această metodă este prea grea şi, bazându-ne pe acest verdict ca pretext, am “hotărât” că merită să căutăm ceva mai uşor pentru sumele impare (suma S2020 de la baza imaginii următoare a fost scrisă mai târziu şi nu trebuie citită în acest moment al lecţiei).

În acest moment am scos o nouă metodă din “jobenul de magician matematic”, anume metoda dublării: luăm suma impară de două ori, a doua oară scrisă de la ultimul număr la primul, obţinând astfel 157 (scrise cu roşu) de perechi cu valoarea de 158 (scrise cu verde). Obţinem astfel dublul rezultatului, iar la sfârşit trebuie doar să împărţim la 2 pentru a obţine S157. Este evident că această metodă funcţionează şi la sume pare.

Analizând pe un nou exemplu (S87) ce am făcut de fapt, vedem că am înmulţit ultimul termen al Sumei Gauss (87) cu succesorul său (88) şi am împărţit la 2. Putem astfel cristaliza metoda generală scrisă ca formulă, cunoscuta Sn = n ∙ (n + 1) : 2. Păstrând la generalizare pe aceleaşi poziţii culorile, elevii au un sprijin suplimentar în înţelegerea raţionamentului acestei formule. (în urma acestui moment am scris şi exemplul rezolvării cu această reţetă pentru o sumă pară, luând cazul S2020, având locul liber alături, în poza precedentă)

Aceasta a fost prezentarea pe scurt a lecţiei desfăşurată pe parcursul a trei ore (aşadar în trei zile succesive). A treia zi s-a încheiat în mod spectaculos cu citirea poveştii despre întâmplarea de la care a pornit totul, momentul când elevul Gauss a avut ideea de a calcula în cap S100 la clasă. Pentru asta mi-am rezervat ultimul sfert de oră din a treia oră şi, pe o linişte deplină, le-am citit elevilor cu intonaţie şi variaţii de ton întreaga poveste şi dialogul dintre Gauss şi învăţător. Găsiţi această poveste în postarea http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ (le citesc doar povestea până la plecarea elevului Gauss la Gimnaziu). Pe elevi îi impresionează puternic duritatea învăţătorului, realizând o conectare şi mai puternică din punct de vedere emoţional cu subiectul acestei lecţii şi cu personajul principal, un elev foarte deştept cu care mulţi s-ar identifica.

*

Să analizăm în continuare câteva aspecte metodice ale lecţiei în această formă. În primul rând, vedeţi că lecţia constă dintr-o colecţie de metode de calcul a Sumei Gauss, ordonate de la mic la mare, de la intuitivul figurat la abstractul unei formule. Astfel, mintea şi gândirea elevului sunt îndrumate pe o cale formată din paşi accesibili, urcând încet pe acest drum al abstractizării. Elevii care colaborează la acest proces sunt învăţaţi – încet dar sigur – să gândească, nu doar să-şi însuşească un mod străin de a rezolva o anumită sarcină. Ei sunt îndrumaţi pe parcursul acestor trei zile să privească din varii puncte de vedere asupra unei singure probleme, prezentă în diferite cazuri particulare, având astfel posibilitatea de a se împrieteni într-adevăr cu aceasta, prezenţa unui personaj copil în acest “film” ajutând puternic la “împrietenirea” elevilor cu Suma lui Gauss.

Pornirea la această mega-lecţie o am de la soţia mea, care a intrat la un început de an şcolar în prima oră la o clasă a V-a, după o oră la o clasă a XI-a, stresată şi fugărită în perioada când toată mintea îi era plină de făcutul orarului. Intrând în clasă şi văzându-i pe cei mici cu ochii mari şi speriaţi de “tanti asta aşa de avântată”, s-a frânat în avântul ei de profesoară de liceu (de câţiva ani preda doar la clase de ştiinţe), şi a exclamat: vai ce mici sunteţi!, după care, încercând să coboare la nivelul lor, a “scos” această sarcină: Dragi elevi, vă rog să adunaţi toate numerele până la 10., apoi următoare etc. Seara, acasă, mi-a povestit şi aşa am preluat şi eu această foarte bună pornire, dar nu o fac în prima oră, ci după o scurtă cunoaştere de câteva ore (de pildă sub forma unei recapitulări a operaţiilor de bază, urmată de o minimă testare iniţială). Această pornire este foarte potrivită deoarece se conectează cu nivelul minim al elevilor după ciclul primar (S10), dar vine repede şi cu promisiunea unor elemente de gândire superioară (S20 etc.). În prezentarea de la începutul acestui eseu am folosit intenţionat cuvântul socotit pentru că la această vârstă elevii chiar socotesc din tot sufletul.

Căutarea unor metode mai eficiente decât simplul socotit (în ordinea scrierii numerelor) începe imediat, deoarece deja de la S20 mulţi elevi încep să greşească. Reprezentarea grafică, figurativă a numerelor ne duce probabil spre cea mai elementară formă de studiere a modelelor comportamentale ale acestor numere. Metoda îmi aparţine (dar nu cred că-i o mare invenţie), iar gândul ce a stat la bază a fost de a vizualiza fenomenul cât mai intuitiv.

Majoritatea celorlalte metode etalate în continuarea lecţiei sunt găsite în diferite cărţi vechi (româneşti sau din Germania) şi regret mult că nu le-am notat la vremea respectivă astfel încât să pot oferi surse clare (dar sigur nu îmi aparţin, cu excepţia acelei scurte idei de “briceag”, ca formă intuitivă pentru plierea sumei în două). Îmi aparţine însă în totalitate ideea de ordonare a acestei colecţii de rezolvări într-un mod crescător, în ordinea eficienţei rezolvărilor, etalând astfel în faţa elevilor un mic drum iniţiatic în ale gândirii matematice. În Şcoala Waldorf am găsit ideea de îndrumare spre o predare artistică, iar ceea ce am prezentat aici cred că poate fi caracterizat ca atare: această lecţie creează impresii profunde asupra elevului, aşa cum trebuie să genereze orice act artistic. Ca motto al acestei prezentări s-ar potrivi astfel vorbele D-nei Margareta Pîslaru: artistul este un creator (din emisiunea La Radio a  Andreei Esca, de sâmbătă 26 oct. 2019, de la Europa fm)

Creşterea nivelului de gândire într-un mod neaşteptat de puternic are asupra elevilor un efect covârşitor. Faptul că putem urca atât de repede pe această scară a sumelor, în paşi pe care ei îi pot cuprinde cu gândirea, aceasta îi impresionează puternic. Despre aceasta este vorba când se spune “predare artistică” a matematicii: avem “un film” al acţiunii care vine – într-un ritm accesibil, dar oricum mai alert decât în clasele primare, cu noi şi noi idei şi metode în jurul aceluiaşi “personaj matematic”, Suma lui Gauss, personalizată efectiv de imaginea elevului Gauss din clasa I. Faptul că în a doua oră suntem în stare să prezicem cu certitudine suma tuturor numerelor până la un milion – aceasta este o realizare pur şi simplu uimitoare pentru oricine.

Un alt aspect, avut în vedere de la început, este folosirea scrierii cu … (cu “puncte-puncte”), acolo unde ne dăm seama despre ce succesiune de numere avem, însă nu vrem sau nu putem scrie toate aceste numere. Din când în când mă opresc din pledoaria şi dialogul lecţie şi întreb clasa sau pe vreun elev anume câte numere sunt în această sumă?; nu de puţine ori răspunsul îmi arată că el “vede” doar numerele scrise fizic în acea sumă, neconştientizând că acolo mai sunt şi alte numere subînţelese în zona de “puncte-puncte”. Trebuie să punem des aceste întrebări pentru a ne asigura că mintea lor face pasul necesar spre abstractizarea scrierii şi că vom avea cât mai mulţi elevi care nu generează o frică “patologică” de exerciţiile cu “puncte-puncte”. Din păcate, experienţa îmi spune că peste tot rămân “victime” în urma acestui proces, elevi care nu au reuşit să facă acest pas de abstractizare, care nu s-au împrietenit cu ideea că multe numere nu sunt scrise dar trebuie să le gândim, elevi la care se declanşează automat spaima când văd un exerciţiu cu “puncte-puncte”.

Un alt moment dificil îl reprezintă depistarea termenului din mijlocul Sumei lui Gauss la o sumă impară (pe exemplul concret de la ora prezentată, la S157). Elevilor le vine foarte greu să găsească singuri, nepregătiţi, acest număr, iar eu folosesc respectiva stare generală pentru a cauza trecerea la o nouă metodă, una mai eficientă pe drumul către sintetizarea formulei generale.

Am numit-o pe aceasta metoda dublării (nu ţin minte dacă avea sau nu vreun nume acolo unde am văzut-o cu cca. 20 de ani în urmă). Atenţionez încă o dată asupra importanţei folosirii culorilor pentru a îndruma gândirea elevilor şi acasă când s-ar mai uita pe lecţie asupra diferitelor numere şi a jocului dintre acestea. Această metodă confirmă ceea ce am intuit deja la precedentele, iar în urma analizei acesteia putem sintetiza reţeta generală (înmulţim ultimul număr cu succesorul său şi împărţim la doi).

Un ultim pas îl reprezintă scrierea matematică a acestei reţete, folosind numărul general n (formula cunoscută). Din acest moment lecţia poate intra pe făgaşul cunoscut de către toată lumea. Eu personal m-am oprit în acest moment, nu am mai făcut nici măcar un exemplu, ci am trecut la cititul poveştii, lăsându-i pe elevi să “savureze” impresiile de gândire ale drumului parcurs (impresiile “filmului”).

În urma acestui proces de gândire putem trece la lecţia despre proprietăţile adunării: comutativitatea şi asociativitatea, adică la posibilitatea de a efectua adunarea termenilor unei sume după bunul plac. Această posibilitate a fost intens şi natural observată în metodele de calcul la Suma lui Gauss, iar pentru elevi aceste proprietăţi vin în mod natural şi evident.

La clasă voi reveni mai târziu la subiectul Sumei lui Gauss, cândva după ce voi fi studiat noţiunea de multiplu şi factorul comun. Atunci voi adăuga acestui drum două noi etape. Prima va fi o etapă aplicativă: ne vom aminti de formulă şi vom face cât mai multe exemple (cu temă corespunzătoare). Într-o a doua etapă vom putea calcula şi suma primelor n numere pare (nenule*) sau în general suma primilor multipli (nenuli *), desigur şi suma primelor n numere impare. (* remarcile respective sunt pentru cei hiper-pedanţi în ale limbajului matematic: ştiu să vorbesc şi aşa, dar în general nu o fac pentru a nu încărca textul; desigur că condiţia de nenul poate fi abandonată ş.a.m.d.)

Colecţia de “rezolvări” ale Sumelor Gauss nu se încheie aici: după învăţarea operaţiei de putere şi a ridicării la pătrat vom studia numerele figurate, iar atunci, anume la numerele triunghiulare vom constata că acestea sunt doar o reprezentare grafică a numerelor de tip Sumă Gauss. Cu ajutorul acestora vom putea da şi o variantă grafică la metoda dublării, arătând vizual cum se obţine formula respectivă (de pildă, suma S10 reprezentată la început cu punctuleţe în forma acelor triunghiuri cu valoarea 55 poate fi dublată în forma unui dreptunghi din punctuleţe cu laturile de 10 respectiv 11 punctuleţe, deci cu un total de 110 punctuleţe).

Închei amintindu-vă că subiectul Sumei lui Gauss a fost tratat în mod surprinzător şi de către jurnalistul şi scriitorul Cristian Tudor Popescu într-o emisiune la televizor (digi 24, 23 mai 2019), dânsul încercând să explice că înţelegerea unui proces de gândire precum calculul sumei S100 dezvoltă în om o capacitate superioară de gândire, care apoi îi va folosi toată viaţa, inclusiv în situaţii de a lua decizia în legătură cu o participare la vot (din păcate filmarea emisiunii sugerată în postarea din iunie a fost restricţionată şi nu mai este accesibilă publicului larg). Depinde doar de noi dacă dorim să folosim ocazia acestei lecţii pentru antrenarea capacităţilor superioare de gândire, sau dorim doar să bifăm rapid o nouă  lecţie, dând rapid şi concis formula şi exemplele de aplicare.

Da, şi uite-aşa am încălecat pe-o şa şi v-am spus o poveste de cinci pagini, uite-aşa. Cred că acum se înţelege de ce am amânat atât de mult redactarea şi prezentarea acestei teme (text redactat în weekend-ul 25-27 0ct. 2019). Cu respect şi fără pretenţia de a da lecţii altora, CTG.

Măriuca şi Florin Talpeş – Bitdefender – despre profesorii de matematică

În emisiunea La radio din 28.09 2019 de la Europa fm, d-na Andreea Esca i-a avut ca invitaţi pe Măriuca şi Florin Talpeş, fondatorii firmei Bitdefender. Am ales din această emisiune câteva citate care ar trebui să ne dea de gândit, atât nouă celor de la bază, cât şi celor care se ocupă în mod organizatoric de învăţământul matematic românesc. Emisiunea merită ascultată cap-coadă de către orice profesor de matematică; eu am găsit-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ .

Din start aceştia precizează: Suntem formaţi de şcoala de matematică din România. Apoi îi auzim vorbind despre profesori cu har şi despre sprijinirea acestora, despre lipsa orelor aplicate (lucru de mână, traforaj etc.). Ceva mai târziu aflăm ce a zis Andrew Wiles la Roma:  problema nu e cu copiii, problema e cu profesorii: adică, nu că de fapt copiii nu iubesc matematica, problema e că sunt prea mulţi profesori de matematică care nu iubesc matematica. Asta o fi “la ei”, dar în nici un caz “la noi”; la noi sunt sigur că toţi profesorii iubesc matematica, problema este care matematică? (nu intru în acest subiect, l-am mai tratat cu alte ocazii; precizez doar pe scurt că – după părerea mea – în prea multe cazuri matematica spre care se preocupă profesorii nu este matematica potrivită elevilor). Dacă v-a scăpat, precizez că Andrew Wiles este cel care a reuşit să demonstreze Teorema lui Fermat în 1995 (vezi Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas)

Dl. Talpeş aprofundează tema, abordând frontal subiectul nivelului matematicii şcolare româneşti, nu a matematicii de excelenţă, ci a matematicii de masă. Astfel, dânsul aminteşte despre o discuţie cu Dl. Hanushek din SUA, economist la Universitatea Stanfort, discuţie avută la Summitul RBL (proiect de educatie): Ce impact ar avea o crestere a educatiei asupra PIB-ului in Romania?, iar răspunsul a fost următorul: daca generatia care se naşte astăzi va fi la 14 ani cu zero analfabeti functionali sau vom reuşi la examenul PISA să fim la nivelul Cehiei, adică să ridicăm cu 20 de puncte nivelul care îl avem azi la aceste examene, vom creşte PIB-ul Romaniei cu 1500.000.000.000 (1500 miliade) lei şi cu 15% an de an salariile din România. Deci, impactul în economie a unei educaţii mai bune este imens.. Şi l-am întrebat ce aţi face, spuneţi-ne trei lucruri ce le-aţi face: păi, simplu, m-aş ocupa de profesori, de profesori şi de profesori

Spre final mi-a atras atenţia următoarea afirmaţie: Studiile arată că cel mai mare progres profesorii îl fac învăţând unii de la alţii, nu cursuri, nu citind cărţi, ci învăţând unii de la alţii. Această afirmaţie este absolut şocantă în contextul în care de atâţia ani suntem obligaţi să participăm la cursuri de formare, cursuri de cele mai multe ori măcar parţial sterile, cursuri la care mai nimeni nu vrea să meargă, dar suntem obligaţi pentru că avem nevoie de “hârtia” respectivă şi de “punctele” aferente. Suntem oficial subjugaţi unui sistem în care unii câştigă de pe urma noastră, noi fiind obligaţi prin lege să le fim clienţi. Şi credeţi-mă, ştiu ce vorbesc: sunt unul dintre norocoşii care am avut ocazia să particip şi la cursuri în străinătate (sau cu profesori din străinătate) şi am avut şansa să văd şi să simt clar diferenţa. Pentru liniştea cititorului precizez că nu toate au fost lăudabile. Am în amintire şi două (*) la care îmi pare rău că m-am înscris, dar raportul acestora faţă de cele generatoare de amintiri profund pozitive este de cca. 1:10. La cursurile urmate cu formatori români raportul este orientativ invers! (* mă refer la câte un curs de 4-5 şedinţe de o oră jumate, parte a unui seminar de 5 zile cu cursuri de dimineaţa până seara)

Cât despre sfatul de a învăţa unii de la alţii în mod direct, trebuie să precizez că eu am asistat – cu titlul de a învăţa, nu cu titlul de a verifica – la ore la alţi profesori un total de cca. o lună (în Germania şi în România). Cât despre învăţatul din cărţi, aici părerea mea este că, după ce te-ai “pus pe linia corectă” preluând de la alţii, vei creşte mai departe doar dacă vei intra într-un proces de autodezvoltare prin proprie strădanie, iar asta nu se poate face decât prin intermediul cărţilor. Problema este desigur, ce cărţi alegi pentru a te forma (despre cărţile alese de mine şi de soţia mea am scris în nenumărate rânduri). Din fericire există foarte multe cărţi potrivite acestui scop, scrise sau traduse în limba română. Din păcate, majoritatea profesorilor habar nu au de aceste. Pentru cei mai mulţi profesori de matematică contează doar culegerile; cei mai mulţi nici nu conştientizează că există şi cărţi despre matematică sau despre predarea matematicii. CTG

P.S. Dacă tot vorbirăm de învăţat unii de la alţii, anunţ şi pe această cale că joi 7 noiembrie 2019 (ora 13)  voi ţine o lecţie deschisă (o oră cu elemente de tip “laborator de matematică”) cu tema Aria cercului şi numărul pi (ştiu că pedanţii spun aria discului, dar dacă dorim să venim în întâmpinarea marii mase a elevilor, trebuie să renunţăm pe cât posibil la aceste pedanterii obsesive: aşa cum vorbim despre aria triunghiului sau aria pătratului, putem liniştit vorbi şi despre aria cercului). Cine doreşte este binevenit la această activitate la Liceul Waldorf din Cluj.

Pi?

În cadrul unui scurt test, la întrebarea: o valoare aproximativă a numărului pi, am primit următorul răspuns: 14,3 (asta în loc de “bancul zilei”)

Şi, dacă tot am deschis “cutia” cu zâmbete, v-am mai spus că peste tot au loc reduceri de 0%. De pildă, în octombrie am fost informaţi că Guvernul Dăncilă a redus TVA-ul de la 5% la 5%.

Observaţii la începutul anului 3 (după noua programă)

Următoarele rânduri ne-au fost trimise drept comentariu la articolul Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor din ………2017. Redau comentariul întreg pentru că merită fiecare cuvânt. Mulţumesc! CTG şi QED

*

Observații la începutul anului 3 (după noua programă) 🙁

Mulțimi, segmente, unghiuri, divizibilitate și ecuații -clasa a VI-a.
Am stat mai bine de o lună la mulțimi, având o clasă medie, care nu a făcut nici o conexiune cu noțiunile predate în clasa a V-a.
La segmente și unghiuri am luat-o de la început ( sunt mulțimi de puncte, cu notații și tot meniul asociat, nu-i așa?), fără posibilitatea de a rezolva civilizat multitudinea de ecuații aferente.
Metodele aritmetice erau foarte bine predate de către învățători, acceptate și însușite de către elevi (fără exagerări, sume Gauss sau metoda ”algebrică”). Acum elevii intră în gimnaziu cu un bagaj matematic … extrem de modest, dar cu EN II și cu EN IV trecute cu succes!
Teorema lui Pitagora a devenit șarpele acestei programe.
Materia clasei a VII-a este extrem de lejeră, avem timp până și pentru jocuri didactice, În clasele V-VI nici vorbă de așa ceva (goana după olimpici).
Greul a rămas … pentru clasa a VIII-a.
Despre evaluare și mai ales despre Evaluarea națională din 2021 nu vorbește nimeni. Curriculum fără evaluare … nu există.

Poate nu am înțeles eu prea bine noua programă, dar am pierdut o groază de timp ! … A, peste trei săptămâni dăm teza. Atât.

Bravo, cu felicitări!

              

*

P.S. Merită evidenţiat un aspect surprins în acest comment, anume faptul că învăţătoarele puseseră la punct o formă de predare a problemelor de aritmetică care funcţiona de  bine, de rău, pe când profesorii au fost luaţi cu totul prin surprindere cu acestea. Profesorii n-au mai predat a metodele aritmetice de rezolvare a problemelor în ultimii peste 30 de ani, aşa că nu le stăpâneau. În plus mai este şi stilul de predare, inclusiv viteza, profund diferite de la învăţătoare la profesori. Cât despre EN trecută cu succes, dar cu un bagaj matematic modest, se repetă fenomenul din anii tezelor unice. Când vor înţelege cei care conduc matematica din România că primul moment când se poate da o EN fără urmări negative este la sfârşitul clasei a VIII-a? Când nu vor mai face experimente pe evaluarea elevilor?

Ce-nţeleg elevii noştri?

Uneori găsesc în caietele elevilor elemente atât de edificatoare despre cât de puţin înţeleg aceştia din ora de matematică (a mea sau a altor colegi) încât mă crucesc. Iată două exemple în acest sens: dintr-o singură lecţie, dar de la doi elevi diferiţi din şcoli diferite. Sunt convins că recunoaşteţi lecţia. Titus Crucitus

P.S. Oare lecţia să fie de vină, pentru că este prea abstractă pentru mulţi elevi?

Impresii din Germania (4) – Dodecaedul căţărător

Dodecaedrul regulat este unul dintre cele mai fascinante corpuri geometrice şi este mare păcat că la noi nu se învaţă deloc. În Germania l-am găsit şi într-un mic părculeţ de pe lângă un vast centru comercial, în trei exemplare amenajate pentru a se putea căţăra copiii pe el. Fără comentarii. Titus Triplus Dodecaedrus

Impardonabil

De curând am primit următorul comentariu la o postare din 2017:

In articolul dumneavoastra din octombrie 2019 , doua greseli impardonabile pentru un doritor sa invete pe altii :
– tabelele cu impartiri care au inundat “piata” nu sunt (o) tabla a impartirii! Nu exista o tabla a impartirii!!! Exista doar o tabla(patratica) a inmultirii , atribuita lui Pitagora,tabla dupa care se fac /se invata si impartirile!!!
– reprezentarea prin segmente a numerelor cunoscute si necunoscute si arelatiilor dintre ele se numeste corect :metoda figurativa! Metoda grafica – ati pomenit de ea- se invata incepand cu clasa a 7-a! Pentru lamuriri consultati singurul ghid aprobat de M.E. Matematica Ghidul invatatorului, editura Lucian.

Nu voi intra într-o polemică cu autorul acestor rânduri, deşi tare „mă mâncă buricele degetelor” să o fac (de pildă, să caut prin grămăjoara de cărţi de acasă în câte feluri au fost denumite, de-a lungul anilor, diferitele metode de rezolvare aritmetică a problemelor; sunt oricum mult mai variate decât sunt probabil în unicul şi irepetabil ghid mai sus menţionat). Doresc doar să-i mulţumesc colegei/colegului (oricine o fi acesta) pentru confirmarea teoriei mele despre precauţia autorilor de programă care au mutat problemele de aritmetică în clasa a 5-a, neexplicând mutarea pentru a nu jigni pe cineva (care – după cum se vede – ar putea sări în sus ca o bombă americană). Şi, oricum, e foarte bine că metoda grafică nu mai este în programă – ştiţi, aia din clasa a 7-a, ba nu, că din a 8-a – la alunecarea înapoi în a 7-a a sistemelor de ecuaţii.

Nu este prima dată când m-am confruntat la colegi cu această atitudine plină de o pedanterie excesivă a limbajului, o atitudine super îngâmfată cu pretenţia de atotştiutor. De pildă, când mă pregăteam de apariţia culegerii de geometrie, în primăvara lui 2006, o persoană foarte dragă mie, care a citit textul pentru a căuta eventuale greşeli (adică, după corectură), m-a anunţat „verde-n faţă” că culegerea este plină de greşeli! Cât de plină putea să fie, de vreme ce o corectaserăm noi în două rânduri (atât eu, cât şi soţia)? Ne-am aşezat la masă şi să vezi greşeli: era considerată o greşeală impardonabilă „determinaţi înălţimea triunghiului”, exprimarea „corectă” fiind „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” (şi multe altele de acelaşi fel).

Asta se întâmpla în 2006, iar singurul aspect cu adevărat impardonabil este faptul că mai există în ziua de azi indivizi cu o astfel de atitudine, acum, după 30 de ani de la schimbarea din 1989 şi mult dorita despărţire de comunism. Din păcate, vedem că tarele acelor ani trăiesc bine-mersi şi chiar proliferează.

Este păcat că după atâţia ani încă există oameni care au pretenţia că, criticându-l şi deci încercând să-l înjosească, să-l umilească pe cel de alături, el se dovedeşte automat superior acestuia. Atitudinea îmi aduce aminte de bancul cu dracii care beau o berică la barul din colţul iadului, după orele de program. Unul dintre draci era întotdeauna mai abătut şi mai obosit decât ceilalţi. Un altul dintre colegi îl întreabă ce probleme are, iar acesta îi răspunde că el este la cazanul cu evrei şi că, ăştia se ajută şi imediat ce unul vrea să iasă alţii îl împing în sus, iar el, dracul respectiv, până îl împinge inapoi, în altă parte a cazanului iese altul şi tot aşa. Un alt drac, unul mai grăsuţ şi mai îmbujorat, îi răspunde râzând, spunând că el are postul la cazanul cu români şi că, imediat ce un român vrea să se ridice, alţi români sar şi îl trag înapoi. Cu stima cuvenită, Titus G.

Impresii din Germania (3) – Poză împreună cu numărul tetraedral 56

Parafrazând o melodie veche – Love is All Around (Wet Wet Wet) – putem spune că Math is all around! De pildă, în vacanţa din această vară am vizitat cetatea din oraşul german Burghausen (la graniţa dintre Bavaria şi Austria), situat pe malul râului Salzach (care trece şi prin Salzburg) şi renumit pentru cea mai lungă cetate din Europa. Iar în curtea principală a cetăţii, ce găsim noi? Nici mai mult, nici mai puţin decât numărul tetraedral 56 construit din ghiulele vechi de piatră:

Deoarece – pornind din vârf – sunt şase straturi, înseamnă că grămada respectivă de bile reprezintă suma primelor şase numere triunghiulare, adică 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 (cele 21 de bile din stratul de bază au fost parţial îngropate ca să nu se rostogolească toată grămada). Vă las pe dvs. să studiaţi singuri detaliile generării numerelor tetraedrale, cât şi cum pot fi acestea integrate în predare ca o prelungire a studiului despre Suma lui Gauss (adică despre numerele triunghiulare). Ca să vă asigur pornirea vă prezint şi o poză cu primul număr tetraderal demn de băgat în seamă, anume cu 2-tetraedral care este 4. Titus Tetraedrus

Problemele de aritmetică în clasa a 5-a la doi ani de la reintroducerea în programa gimnazială şi caii din alaiul regelui

Credeam că încet am scăpat de acest subiect şi ca temele arzătoare de gimnaziu să se epuizeze, astfel încât să putem urca încet şi la teme de liceu. Da, de unde! În clasele gimnaziale situaţia este mai arzătoare ca oricând, iar realitatea înconjurătoare mă obligă să revin din nou la clasa a 5-a.

Pe de altă parte trebuie să recunosc că şi eu evoluez în timp real (adică în nici un caz nu am pretenţia că sunt din start posesorul “Sfântului Graal” al cunoaşterii predării matematicii), iar ceea ce scriu reprezintă dovada evoluţiei gândurilor mele: cu cât apar noi aspecte legate de un subiect, cu atât reuşesc să le corelez mai bine în minte şi să le înţeleg mai clar. Chiar redactarea acestor eseuri în sine mă ajută să-mi ordonez gândurile şi teoriile.

Realitatea este că mutările din noua programă de gimnaziu nu au fost deloc explicate profesorilor de matematică (darămite părinţilor). Unele pluteau în aer şi acţionau reparatoriu la alte decizii mai vechi (de pildă revenirea sistemelor de ecuaţii sau abandonarea metodei grafice în rezolvarea acestora). Altele au venit în mod total neaşteptat şi nici acum, după doi ani, încă nu sunt înţelese şi lămurite.

S-ar putea ca dintre acestea unele să îşi arate o eficienţă chiar şi fără înţelegerea lor de către profesori. Mă gândesc aici la teorema lui Pitagora din finalul clasei a 6-a şi la ce fel de  siaj va lăsa aceasta în urma sa în semestrul I din clasa a 7-a. Vom vedea în curând.

Altele sunt încă învăluite într-o ceaţă ciudată a neînţelegerii din toate părţile. Este cazul renumitelor probleme de aritmetică ce au fost introduse din nou în clasa a 5-a după un sfert de secol. Lipsesc însă explicaţiile şi justificările acestei mutări, situaţia rămânând învăluită într-o neînţelegere generalizată: profesorii nu ştiu de ce şi cum; părinţii – mai ales cei care s-ar pricepe să-şi ajute acasă la teme odraslele nedumerite – nu înţeleg de ce nu se poate prin ecuaţii; olimpiştii privesc lipsa ecuaţiilor ca pe o îngrădire. Chiar îmi este greu să evidenţiez o categorie de persoane implicate care să fi înţeles situaţia şi care să se simtă câştigată din această mutare. Haideţi să luăm pe rând principalele aspecte implicate în acest subiect şi să încercăm o lămurire.

1) Metodele aritmetice de rezolvare a unor probleme se află undeva între judecarea proprie a paşilor de făcut (gândirea off-road) şi folosirea relativ automată a unor reţete prefabricate. Formarea judecăţii şi gândirii logice se află aici alăturată şi totuşi în cea mai clară opoziţie cu învăţarea automată a reţetelor pe diferite metode. Metodele de rezolvare pe bază de diferite reţete de raţionament optimizat sunt bine puse la punct (poate chiar exagerat de bine sistematizate şi bine puse la punct). Rezolvarea primelor probleme la fiecare categorie – adică cele mai simple – introduse prin problematizare, ar avea menirea de a dizloca neuronii gândirii pure (acolo unde aceştia pot fi dizlocaţi), astfel încât elevii care au posibilitatea de a gândi să o şi facă. Şi de la cine pot ei “fura” cel mai bine arta gândirii, dacă nu de la profesorul de matematică, cunoscut ca omul care gândeşte cel mai logic? (cel puţin aşa este de aşteptat; că sunt şi contra-exemple la această supoziţie, profesori care le cer şi în liceu, la clase de mate-info, elevilor să înveţe rezolvări pe de rost, aceasta este un alt subiect)

2) Este evident că marea majoritate a învăţătoarelor nu sunt mari maeştrii ai gândirii raţional-logice tipic matematicii (cu excepţiile de rigoare, desigur). Situaţia învăţătoarelor este una care înclină balanţa mai degrabă spre predarea reţetelor, adică a metodelor de rezolvare. De la învăţătoare elevii pot învăţa metode, dar nu pot “fura” arta de a gândi. Avem în acest sens multe exemple. Unul dintre ultimele exemple ale culturii spre nongândire, despre care am aflat eu, îl reprezintă tabla împărţirii. Cine se gândeşte să înveţe pe de rost încă o tablă, pe lângă tabla înmulţirii, acela sigur nu este o persoană cu o gândire deosebit de sprinţară.

3) În aceste condiţii mutarea problemelor aritmetice în clasa a 5-a pare cel mai raţional gest. Există un singur impediment la acest pas: profesorii sunt departe de gestul de blândeţe maternă de a sta lângă cel mic cu răbdare şi a încerca să-i formeze gândirea (nu pretind că toate învăţătoarele ar poseda răbdarea şi gândul pentru aşa ceva). Profesorul este fugărit de multă materie şi vrea eficienţă. Iar eficienţa în acest caz se găseşte în ecuaţii. Mai exact, în punerea unei probleme în ecuaţie. Aşa că autorii programei au luat cea mai logică decizie: au eliminat ecuaţiile din clasa a 5-a.

Minunat raţionament! Cu o singură scăpare: nimeni nu a explicat aceste aspecte profesorilor. Tot ce am încercat să lămuresc în aceste trei puncte sunt doar gândurile mele personale; nu le-am găsit niciunde pentru că niciunde nu există nici cea mai mică justificare a acestei mutări. Dacă explicaţia mea nu este corectă, atunci trebuie că există altă explicaţie; care este această? Se poate totuşi găsi şi o explicaţie a ne-existenţei unor explicaţii oficiale: dorinţa de a evita înjosirea învăţătoarelor. Multe doamne învăţătoare s-ar simţi jignite de un astfel de punct de vedere oficial.

4) Totul bine şi logic până aici, numai că olimpiştii nu au fost deloc de acord la început cu cerinţa de a abandona mult-iubitele ecuaţii. Mişcarea i-a scos puternic din “zona de confort”. Până la urmă însă lumea s-a obişnuit cu ideea respectivă şi în general nu se mai învaţă în clasa a 5-a punerea în ecuaţie.

5) Mai rămân câţiva actori ai acestui tablou, a căror situaţie trebuie analizată: părinţii, mai ales cei buni la matematică, care nu înţeleg de ce să nu se pună o problemă în ecuaţie. Dacă au lipsit explicaţiile la adresa dascălilor, ce să ne mai aşteptăm în legătură cu lămurirea părinţilor? Singurii care ar fi putut face eficient această lămurire – profesorii – nu ştiu nici ei ce se întâmplă.

Cred că o înţelegere a acestor aspecte îl poate lămurii pe profesorul de matematică despre rolul său şi al acestor probleme în formarea gândiri elevilor, dându-i o doză de energie în a se implica mai intens în această lecţie. Cu mine aşa s-a întâmplat. NU se pune problema să abandonăm punerea în ecuaţie, nici reţetele,adică metodele respective (figurativă, a falsei ipoteze, a mersului invers etc.). Problema este însă doar de a fi conştienţii că trebuie să folosim ocazia şi să încercăm să le activăm elevilor şi gândirea creatoare, nu doar capacităţile de a-şi însuşi o metodă pre-gătită şi optimizată de alţii înantea sa. Copiii trebuie învăţaţi să gândească! (mintea copilului trebuie lăsată şi încurajată să-şi “gătească” simgură raţionamente)  T.G.

P.S. În strădaniile mele am strâns probleme şi încerc să le ordonez şi să le adaptez folosirii actoale la clasă (când voi fi cât de cât mulţumit, poate le voi şi publica). Până atunci vă propun o problemă adaptată, refăcută din amintiri după o problemă citită într-o carte nemţească veche, în urmă cu peste 20 de ani în urmă (cartea era atunci deja foarte veche). Consider această problemă drept un bun exemplu la care mai bine stai departe de punerea în ecuaţie şi încerci o combinaţie între metoda mersului invers şi metoda grafică. Aşadar:

Află câţi cai sunt pregătiţi pentru alaiul regelui, ştiind că: la caleaşca regelui sunt înhămaţi jumătate din numărul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca reginei sunt înhămaţi jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca servitorilor jumătate din numărul cailor rămaşi după primele două caleşti şi încă o jumătate de cal. În plus, mai ştim că pe lângă toţi caii înhămaţi la cele trei caleşti, mai rămâne un cal pentru însoţitorul de alai.

După citirea acestei probleme ţin întotdeauna să-i liniştesc pe elevi: nu vă speriaţi, nimeni nu taie sărmanii căluţi în două. Această problemă se rezolvă cu creionul, nu cu toporul.