Educaţie prin matematică

Am văzut o carte în biblioteca şcolii: Wolfgang Wunsch, Educaţie prin muzică, Predarea muzicii (…). Deci autorul pune din start un semn de echivalenţă între predarea muzicii şi ideea de educaţie prin muzică. Cu alte cuvinte, muzica este folosită ca un “instrument” de transmitere a educaţiei, ca un mijloc de educare, ca un mod de educare şi nu ca un scop în sine sau cu rol de performanţă competitivă.

Gândul m-a dus instantaneu, prin analogie, la situaţia noastră: noi trebuie să facem educaţie prin matematică şi nu educaţie pentru matematică. Toate acele întrebări din lumea nematematicienilor, mai ocolitoare sau mai directe, întrebări de care ne simţim foarte agresaţi (de exemplu, “la ce ne trebuie matematica?”), de fapt asta vor să ne transmită: să nu-i mai chinuim cu matematică preocupată doar de sine, ci să venim către ei cu o matematică mai umană. Ei nu vor să devină matematicieni, dar acceptă ideea de a se supune orelor de matematică dacă vor avea de aici un beneficiu. Din păcate însă, ei nu găsesc nici cel mai mic beneficiu în orele de matematică.

George Pólya vorbea de 0,1% matematicieni totali cu extensie până la 1% incluzându-i şi pe cei care vor trăi din matematică. Aceştia au nevoie de educaţie pentru matematică. Restul de 99% au nevoie de educaţie prin matematică. Părerea mea este că în România, în urma preocupării foarte largi şi intense pentru olimpiade şi alte concursuri sportive matematice, mai are loc de fapt încă o extindere, să spunem la cca. 10% din populaţia şcolară a nivelului celor care pot duce intelectual educaţia pentru matematică (procentaj scos din impresiile personale, în mod empatic faţă de elevi, ai mei la clasă, dar şi la nivel naţional; nu vă aşteptaţi la cine ştie ce studiu ştiinţific profund; i-am spus 10%, dar poate să difere în funcţie de diferite criterii aplicate şi niveluri luate în considerare; am avut însă nevoie de un procentaj pentru a putea vorbi despre acest fenomen, doar atât). O întrebare colaterală apare aici: dintre cei care pot duce intelectual educaţia pentru matematică, oare câţi ar fi mai câştigaţi dacă ar primi o educaţie prin matematică, sau eventual un amestec între cele două? Aici răspunsurile trebuie căutate de la caz la caz, de la un elev la altul, dar şi de la un profesor la altul.

Deci, să recapitulăm, din punct de vedere al matematicii discuţia se bazează pe următoarele nivele: 0,1% matematicieni totali, cu extensie la 1% cei care vor trăi din matematică şi cu o nouă extensie la 10% cei care pot practica matematica de nivel ridicat. La extrema cealaltă a spectrului de inteligenţă matematică, conform “clopotului lui Gauss”, îi vom găsi pe cei care sunt lipsiţi cu totul de capacităţi intelectuale minime pentru o practicare decentă a activităţilor de tip matematic, să-i aproximăm şi pe aceştia din motive de simetrie tot la cca. 10%.

În condiţiile acestor supoziţii ne mai rămân un bloc central de 80% elevi care au nevoie de educaţie prin matematică, adică o educaţie care să aibă ca scop dezvoltarea unei gândiri logice deductive, ale unei capacităţii bune, chiar a unei obişnuinţe de a raţiona corect şi just pe situaţii numerice sau figurative din viaţa extramatematică, cu extensie chiar şi până la situaţii rupte cu totul de matematică, dar care implică o analiză coerentă a tuturor aspectelor unei anume situaţii de viaţă şi luare a unei decizii cât mai obiective.

Cu alte cuvinte, vorbim de 80% din populaţia de elevi care are nevoie de educaţie prin matematică pentru a se ridica din “mlaştina subiectivităţii” ce ne înconjoară şi a ajunge la un nivel cât mai bun de gândire obiectivă.

Iar acum să analizăm realitatea şcolii româneşti. De 40 de ani în România se practică o educaţie pentru matematică (pentru matematica în sine, ca ştiinţă, cât şi pentru matematica de excelenţă, ca sport), neglijându-i cu totul pe cei 80%, după principiul “care face faţă – bravo!, care nu face faţă – ghinion!”.

Situaţia poate varia în funcţie de diferiţi factori individuali: nivelul de inteligenţă al copilului; un profesor mai empatic şi mai implicat sau nu, forţa financiară a părinţilor, comunitatea, existenţa unui membru al familiei care să acţioneze prin voinţă asupra elevului; oferta de distracţii aflată la dispoziţia elevului ş.a.m.d. În ultima categorie de aspecte găsim de pildă situaţia elevilor cu părinţii plecaţi în străinătate, care trimit bani pentru achiziţionarea aparatelor de conectare la internet (renumita tripletă smartphone – tabletă – lap-top) pe post de substituent al iubirii de părinte nemanifestabile zi de zi, coroborată cu nişte bunici depăşiţi de situaţie.

Depinzând de la un caz la altul, fiecare elev din cei 80% reuşeşte sau nu, mai mult sau mai puţin, să fie totuşi educat de către matematică “printre rânduri”. De fapt, aceasta este educaţia matematică ce ne-o asumăm ca sistem: noi facem matematică pentru cei puţini, iar despre restul, “fiecare cu norocul sau cu ghinionul său, cât apucă să se lipească şi de el”.

Da, pentru cca. trei sferturi din populaţia şcolară, matematica şcolară românească nu îşi îndeplineşte obiectivele educaţionale majore. Asta vor să ne transmită cei mulţi prin întrebări de tipul “la ce ajută matematica?”, spuse de fiecare mai modest sau mai agresiv, în funcţie de bunul său simţ, dar şi de starea sa de disperare în faţa agresiunilor zilnice din partea matematicii. Şi, da, trei din patru copii la nivel naţional nu sunt educaţi de către matematică, ci sunt agresaţi de către aceasta. Pentru trei din patru elevi români orele de matematică (4 ore pe săptămână) nu au nici un rost, sau au un rost îndoielnic.

Prin faptul că noi trăim şi muncim de 40 de ani în paradigma “educaţie pentru matematică în loc de educaţie prin matematică”, orele noastre acţionează la un nivel mult prea ridicat pentru majoritatea elevilor, aceştia nerămânând cu mare lucru de pe urma celor 4 ore săptămânale. Eu văd următoarea imagine: dinspre profesorul de matematică pleacă “un vânt luminos de matematică” către clasă, dar pentru că acesta este reglat prea sus, zboară în prea multe cazuri peste nivelul elevilor (din care unii stau în plus şi aplecaţi), lovindu-se doar de peretele din spatele clasei. Matematica noastră, gândită să-i ridice pe elevi, este direcţionată de obicei mult prea sus, trecând astfel peste nivelul elevilor, mulţi dintre aceştia neavând nici cel mai mic beneficiu educativ de pe urma orelor de matematică. Cei care se pot ridica la nivelul acestui vânt luminos, bravo lor, cei care nu reuşesc sau nu vor, ghinion!

Ca profesor, desigur că ne-am dori să predăm într-o clasă sau chiar într-o şcoală cu elevi selectaţi, care au ei capacitatea de a se ridica la nivelul înalt al “vântului nostru luminos” de matematică înaltă, dar de fapt noi avem capacităţi mult prea reduse de a ne coborî nivelul predării pentru ca ora noastră să fie mai accesibilă majorităţii. Mulţi dintre noi ne plângem tot timpul că elevii nu învaţă, dar noi înşine nu suntem în stare să facem paşi către ei şi să le venim în întâmpinare.

Ce-i de făcut? Părerea mea este că, aşa cum Ministerul din trecut a impins profesorimea matematică în această paradigmă prin programe, prin autorii de manuale şi prin inspectoratele şcolare, în ani ’80 într-un mod agresiv forţat, iar apoi din inerţie în anii ’90, tot aşa acum Ministerul actual prin noile programe, prin autorii de manuale şi prin inspectoratele şcolare ar trebui să forţeze profesorimea spre corectarea atitudinii, împingând matematica şcolară înapoi într-o paradigmă folositoare întregii societăţi, nu numai elitelor.

Nu susţin că trebuie eliminată matematica pentru vârfuri în favoarea unei matematici “tălâmbe” pentru cei 80%. Nici măcar nu susţin că matematica şcolară ar trebui coborâtă la nivelul reprezentativ al categoriilor analizate, adică ceva de genul 20% matematică grea şi 80% matematică uşoară. Dar consider că măcar 50% din problemele din manuale ar trebui să fie la nivelul elementar, adresabile celor 80% de care am vorbit. O împărţire echilibrată de felul 50% matematică de bază şi 50% matematică pentru excelenţă ar fi mult mai cinstită pentru majoritatea elevilor. Nu matematica pentru excelenţă ar trebui desfiinţată, ci dezechilibrul dureros al acesteia faţă de matematică “pentru toată lumea”. Nu preocuparea pentru elevii buni îi doare pe ceilalţi elevi, ci faptul că această preocupare este cvasi-totală. Faptul că profesorul vorbeşte pe o limbă accesibilă doar elevilor buni, restul având doar alternativa de a se simţi vinovaţi, asta îi înebuneşte pe aceştia.

În acest context aş da două exemple de curând: în primul rând, am avut ocazia să urmăresc noua lecţie despre sisteme de ecuaţii din manualele de clasa a 7-a ale unei renumite edituri, unde am constatat o distribuţie de orientativ un sfert sisteme de bază din total. Dimpotrivă, în caietele de lucru aferente (contra cost) oferite de respectiva editură, raportul era mai aproape de jumătate. Aici sălăsluieşte o aberaţie monstruasă: dimpotrivă, manualul care ajunge la orice copil ar trebui să conţină mai multe exerciţii de bază (măcar 50%), pe când culegerea în care se investesc bani de către cei doritori, ar trebui să ofere mai multe exerciţii de nivelul superior, pentru cei care doresc să acceadă la nivelele superioare. Din păcate, de la introducerea manualelor alternative la reforma din 1997 situaţia este chiar opusă, în defavoarea marii mase de elevi.

Faptul că mulţi dintre elevii slabi la matematică au reuşit să se ridice pe cont propriu trecând de pragul psihologic al notei 5 la EN în acest an s-a datorat mai ales testelor de antrenament publicate de către Minister şi care conţineau o doză bună de exerciţii pentru aceştia. Am avut câteva situaţii de elevi pe care i-am lăsat la nivelul de 3-4 înainte de pandemie şi care, după cât au făcut din aceste teste spre care i-am împins, fiecare la el acasă, au reuşit fără profesor meditator să urce în jurul notei de 6. Din culegerile de teste oferite de diferitele edituri nu ar fi reuşit singuri această creştere. Vă daţi seama ce creştere s-ar fi înregistrat la aceştia cu profesorul la clasă şi cu aceste teste de antrenament?

Cât despre predarea matematicii, profesorii ar trebui împinşi încet dar sigur din paradigma în care s-au format “educaţie pentru matematică” în mult mai sănătoasa paradigmă “educaţie prin matematică”. Profesorul trebuie să părăsească zona de predare a matematicii ca ştiinţă la nivelul învăţământului preuniversitar. Dimpotrivă, profesorul trebuie să devină conştient de rolul formator general al matematicii şi să-şi regleze predarea în consecinţă către o predare a matematicii ca mijloc educativ general.

Pentru asta ar trebui ajutaţi profesorii, şi să ne fie clar: dacă procesul de îndoctrinare spre o predare pentru matematică s-a întâns pe înteaga durată a anilor ’80 (un deceniu întreg!) în condiţii de impunere dictatorială, să nu ne aşteptăm ca procesul invers să fie foarte benevol, uşor şi într-un interval foarte scurt, mai ales în condiţiile în care profesorilor de fapt nu li se explică clar despre ce este vorba. Nu li se explică pentru că inspectorii sunt de fapt puşi într-o situaţie duplicitară absolut jenantă: să explici profesorilor aceste lucruri (prezente de pildă şi în scrisoarea metodică din ianuarie 2019), dar şi să le ceri participare din fiecare clasă la olimpiadă şi desigur rezultate onorabile. Este o situaţie absolut schizofrenică şi, din câte ştiu, încă şcolile sunt cotate cât sunt de bune după rezultatele la olimpiade şi după numărul notelor de 10 la examene. Scrisoarea metodică a “zburat peste capetele” profesorilor de matematică sau a inspectorilor în mod similar cum zboară zilnic matematica multor profesori peste capetele elevilor: mult prea sus şi fără să lase urme vizibile în mintea destinatarilor.

Ne plângem că profesorii nu mai sunt respectaţi ca pe vremuri. De asta nu mai suntem respectaţi, pentru că de prea mult timp societatea simte că nici noi nu îi respectăm. De 40 de ani profesorul român predă o matematică parcă pentru sine, nu pentru elevul general. Trecem prin viaţa elevilor ca nişte ciudaţi, vorbind de unii singuri, doar cu cei 2-3 elevi (vârfurile clasei), preocupaţi în mod egocentrist de “matematicile noastre înalte”. Majoritatea elevilor nu înţeleg orele de matematică, nu înţeleg cu ce rămân după aceste ore şi, ca urmare, privesc orele de matematică drept timp pierdut din viaţa lor.

Iar justificara că învăţăm matematica pentru examen “nu ţine” decât în mică măsură. Datorită acestei atitudini, după ce intră la liceu elevii consideră că au doi ani de pauză, în care pot să nu mai înveţe decât minimal la orele de matematică, pentru că examenul este încă destul de departe. Ceva de genul: “profesorul vorbeşte singur la tablă, dar cine-l şi urmăreşte? Prin a 11-a, a 12-a îmi iau meditator şi mă pregătesc pentru examen. De orele de acum nu am nevoie, încă n-am examen”. Da, la astfel de atitudini duce justificarea că facem matematică pentru examene.

Ce fac în aceste condiţii profesorii? Apelează la armele oficiale din dotare, adică la note şi la ameninţarea cu corigenţa. Cum reacţionează elevii ca urmare a acestor atacuri? Care cum poate şi cum se descurcă, unii învăţând de frică, alţii fraudând sistemul în diferite feluri. Iată cum am ajuns într-un cerc vicios din care nu mai ştim ieşi şi care numai ca educaţie pozitivă nu poate fi caracterizat.

Nici justificarea că facem matematica pentru formarea gândirii “nu ţine” tare mult. Elevul nu ne înţelege ce vrem, el este mulţumit cum gândeşte, cei din jurul său gândesc la acelaşi nivel, după ei şi-a format gândirea. La ce i-ar trebui altceva?

S-au cam terminat vremurile în care elevii puteau fi forţaţi să facă matematică. Acum elevii nu mai acceptă o autoritate de tip comunist, cu accente militariste, dictatoriale. Acum profesorii trebuie să găsească altă căi de a-l aduce pe elev să facă matematică, într-un mod liber.

Actualmente, în majoritatea cazurilor, elevul trebuie fraierit să facă matematică, iar pentru asta profesorul trebuie să vină la oră cu o matematică accesibilă şi atractivă. Să fie accesibilă nivelului său de gândire, deci nu o matematică doctă, şi să vină cu situaţii atractive nivelului său de preocupări. Atunci elevul va putea să fie atent şi îi va place ora de matematică. În acest caz elevul va începe să evolueze pe baza abilităţilor de gândire dezvoltate în momentele când gândirea sa a fost implicată cu adevărat în procesul matematic. Din păcate, matematica şcolară implementată şi evoluată pe parcursul anilor ’80-’90 în România nu este nici accesibilă, păcătuind printr-o preocupare excesivă, chiar bolnăvicioasă, a creşterii dificultăţii aplicaţiilor şi a cantităţii acestora, dar nu este nici atractivă, lecţiile fiind predate într-o manieră teoreticistă sterilă, după modelul cursurilor universitare, total nepotrivit diferitelor vârste şcolare. Deci, avem o matematică nici accesibilă, nici atractivă pentru marea majoritate a populaţiei şcolare. Nu înţeleg de ce ne mai suportă societatea. CTG

Orele astrale ale şcolii româneşti – Pandemia 2020

Motto: Cred ca acum se ajunge la reforma mult asteptată, e clar că sistemul în întregime a devenit nefuncţional. Deci foarte probabil nici nu era bun. (mesaj primit pe 1 mai 2020 de la o mamă din clasa la care sunt diriginte). Permiteţi-mi să explic analogia cu titlul cărţii Orele astrale ale omenirii a lui Stefan Zweig.

Uneori, viaţa ne pune în faţă momente sau scurte perioade potrivite unor anumite fapte,  perioade mai potrivite pentru îndeplinirea anumitor intenţii sau dorinţe, mult mai potrivite decât în alte vremuri, chiar momente prielnice unor schimbări structurale. Iar ulterior, de multe ori, dacă nu am folosit momentul prielnic, aceste acţiuni nu mai sunt posibile şi avem cumva senzaţia clară că “am ratat ocazia”. Astfel, în viaţă există anumite “ferestre temporare de oportunitate”, când diferite lucruri sunt realizabile, cu adevărat realizabile.

Momentele revoluţionare sunt astfel de “ferestre de oportunitate”, care descătuşează în mod uneori violent energiile de frustrare acumulate în mase, aidoma renumitelor energii acumulate în plăcile tectonice şi care se descătuşează în momentul cutremurului.

Dar momentele prielnice unei acţiuni pot apărea şi liniştit, aparent “din senin”, simplu şi paşnic. În aceste cazuri este nevoie de o stare de profundă atenţie pentru a simţi oportunitatea, pentru a simţii că “s-au deschis porţile cerului” pentru posibilitatea unei anumite schimbări, după principiul “Dumnezeu îţi oferă, dar nu-ţi bagă-n traistă”.

Ocaziile prielnice unor schimbări mari sunt rare, mai ales dacă este vorba de schimbări care implică inclusiv modificarea de paradigmă. În cazul discuţiei de faţă, la o analiză legată de o reformă reală şi profundă a învăţământului românesc trebuie luată în considerare găsirea momentului oportun pentru schimbarea unei paradigme care a reuşit în mare parte să supravieţuiască sistemului comunist în general şi sistemului impus de Ceauşescu în particular.

Tocmai ce-am susţinut o aparentă mare stupizenie, vorbind de momentul oportun pentru schimbarea de paradigmă într-un sistem profund osificat şi care per ansamblu nu are nici cea mai mică intenţie de a se lăsa modificat (vorbesc aici de sistemul de învăţământ, dar analize similare pot fi făcute şi altor sisteme naţionale, cel de sănătate, cel juridic, cel administrativ etc.). Oamenii sunt obişnuiţi în această formă şi eventual ştiu doar să se plângă “de ce nu se schimbă ceilalţi?”, în timp ce se opun cu înverşunare la a fi scoşi din zona lor de confort. Toate aşa-zisele “reforme” de până acum o confirmă din plin: reformă vrem, la câţiva ani câte una dacă se poate, dar să nu se schimbe mare lucru, după ilustrul model “să se revizuiască primesc (pe ici pe colo), dar să nu se schimbe nimic, (în punctele … esenţiale)” (scuze pentru că mi-am permis să-l adaptez puţin pe Caragiale).

Aceste “ferestre de oportunitate” se oferă în mod evident cel mai clar atunci când sistemul este zdruncinat oricum din temelii (de obicei din cauze externe), iar adaptarea la noua situaţie este necesară şi inevitabilă. În această situaţie trebuie ales între adaptarea vechii paradigme la noua situaţie sau folosirea stării de bulversare a sistemului şi al indivizilor ce-l compun pentru impunerea unei noi paradigme. Această a doua cale este desigur mult mai dureroasă pentru indivizi în parte, fiecare decident, la orice nivel, fiind înclinat spre a găsi argumente cât mai solide împotriva schimbărilor majore.

Ultima astfel de situaţie a fost în 1990, în urma îndepărtării regimului ceauşist şi a dorinţei de schimbare a ordinii sociale. Din păcate învăţământul românesc şi mai ales matematica şcolară mioritică au ratat cu brio ocazia pentru o reformă cu adevărat profundă. Profesorimea era deja prea adânc îndoctrinată (în deceniul ce trecuse de la reforma uitată din 1978-1981) cu o mândrie excedentă ce punea semnul de echivalenţă între performanţele olimpice ale vârfurilor şi nivelul general al şcolii. Părerea mea este că acea “fereastră de oportunitate” a durat cam până prin vara lui 1991, când sistemul se aranjase deja bine în “noua structură”, cu respectul cuvenit faţă de vechea formă, noua aranjare fiind de fapt vechea formă cosmetizată pe ici, pe colo. Ca urmare, sistemul nu mai era în stare să facă o adevărată şi obiectivă autoanaliză şi să ia decizii de schimbare realista în conformitate cu această analiză. Şi, să ne fie foarte clar: în acele momente nimeni din ulterior mult hulitele autorităţi nu ar fi avut nici cel mai mic interes să ne reţină de la o adevărată reformă în învăţământ (interesele şi preocupările conducătorilor din acele vremuri fiind în cu totul alte direcţii).

Cu excepţia unor schimbări evident necesare legate de istorie, cât şi introducerea religiei sau a informaticii în următorii ani, mare lucru nu s-a mai schimbat în şcoala românească. Oricum, majoritatea schimbărilor introduse în învăţământ de-a lungul anilor ce au urmat au fost în general ineficiente şi în mare parte nerealiste, atitudinea şi abordarea generală a sistemului fiind total depăşite de evoluţia elevilor şi a societăţii.

Societatea românească s-a dovedit până acum profund imatură şi subiectivă, nefiind în stare să realizeze la scară mare o autoanaliză realistă şi să genereze o schimbare eficientă, politicul românesc, în care a triumfat modelul de inspiraţie fanariotă, împiedicând tot timpul acţiunea concretă a specialiştilor capabili de o schimbare eficientă.

Aici intervin “orele astrale” cu posibilitatea adusă de “ferestrele de oportunitate”ce se ivesc cu diferite ocazii. Acum, prin criza fără precedent generată de pandemia de corona-virus, se oferă o nouă posibilitate de schimbare, însoţită chiar şi de o clară şi obiectivă necesitate. Acum este nevoie ca ministerul să strângă marii specialişti care au acumulat experienţă şi cunoştinţe în ultimii ani şi să le dea pe mână cârma învăţământului românesc. Acum este vremea ca politicienii să se pună cu adevărat în slujba acestor specialişti (aşa cum au fost nevoiţi să o facă în cazul sistemului de sănătate în situaţia atacului fără precedent din partea Corona-virusului), dar şi să îi sprijine şi să îi apere pe specialişti de toţi şacalii care de fapt nu vor dori schimbarea, ci doar o nouă cosmetizare a învăţământului. În plus, acum este un moment prielnic să se dea responsabilitatea pe mâna celor care lucrează, descentralizându-se sistemul. Acum ar fi ocazia pentru diferite schimbări, care cu alte ocazii ar fi de neconceput.

Vechii greci aveau doi zei pentru timp: Chronos reprezenta timpul obiectiv, scurgerea neîntreruptă a timpului; dimpotrivă, Kairos reprezenta timpul subiectiv, momentul just potrivit unei transformări sau unei anume întâmplări, ratarea acestui moment însemnând condamnarea la eşec. La nivel naţional, în 1989-1990 am simţit prezenţa lui Kairos. Apoi, acesta s-a retras şi pentru mult timp a domnit din nou Chronos. Kairos este mai subtil şi ne apare mai rar. Dintre cei doi, de obicei simţim doar însoţirea monotonă a lui Chronos. Acum însă simţim iarăşi clar influenţa lui Kairos.

Suntem la cca. 28 de ani de la precedenta mare “fereastră de oportunitate”. Scrisoarea metodică de la începutul lui 2019, studiul PISA 2018 publicat în finalul lui 2019, apariţia ciudată a matematicii prin numărul pi în alegerile prezidenţiale, dar şi implicarea multor specialişti în observarea şi strădania de reformare a procesului educaţional, toate acestea, cât şi multe alte aspecte ne arată că vremea este coaptă pentru o adevărată schimbare. Iar destabilizarea sistemului prin oprirea forţată a şcolilor, căreia nu i se prevede un final clar, poate da impulsul decisiv pentru pornirea schimbării. Cu alte cuvinte, oare cine va fi mai tare în folosirea oportunităţii prezenţei lui Kairos? Sistemul oficial de învăţămnt, osificat şi speriat, sau reformatorii adevăraţi? Titus Kairos

EN 2020 în forma de avarie şi excluderea geometriei aritmetice

Noua programă pentru Evaluarea Naţională 2020 a apărut în Monitorul Oficial în Vinerea Mare; eu am citit-o în ajunul Paştelui şi m-am şi apucat să scriu, într-o refulare de profundă indignare, despre trunchierea mult prea radicală a materiei, prin eliminarea întregii părţi de “geometrie aritmetică” de clasa a 8-a, adică a părţii accesibile majorităţii elevilor, lecţii  pe care foarte mulţi elevi le parcurseseră în mare parte şi le stăpâneau. Nu că nu mă aşteptam la această mişcare, dar undeva în sufletul meu speram la o decizie mai raţională din partea autorităţilor. Apoi, în sfânta, dar profund interiorizata zi de Paşte m-am hotărât să mă liniştesc şi să aştept să văd ce se mai întâmplă. Cred că am aşteptat destul.

Deşi trunchierea programei pentru EN prin tăierea întregii materii de semestrul al II-lea este cunoscută de către toată lumea, se pare că nimeni “nu a avut ochi” pentru uriaşa nedreptate făcută marii mase a elevilor prin eliminarea din materia de examen a formulelor de calcul a ariilor şi volumelor corpurilor geometrice de bază (prisme şi piramide). Covit-ul şi toate deciziile autorităţilor ne-au ocupat aparent tot timpul. În astfel de situaţii cine mai are vreme să se uite la ce lovitură au primit nişte copii?  Şi nu mulţi, vorbind aici de marea masă a elevilor de nivel mediu.

Haideţi să analizăm această situaţie, cât şi cauzele ei. Pentru că, aşa cum orice accident îşi are cauzele sale, uneori vechi şi acumulate, tot aşa situaţia actuală îşi are cauzele ei ignorate ani la rândul de autorităţile dominante în matematica şcolară românească.

Să ne lămurim clar: în urma “vacanţei” forţate de starea de urgenţă generate de pandemia de Covit 19, din materia generală pentru EN s-au scos două categorii de lecţii. În primul rând s-au scos lecţiile ce urmau a se parcurge în perioada martie-mai şi care nu fuseseră efectiv predate la clasă în cele mai multe cazuri (trunchiuri de piramide, corpuri rotunde, inecuaţii etc.).

Dar s-au mai scos şi multe lecţii care fuseseră de fapt parcurse. Aici intră pe de-o parte lecţiile care erau oricum incluse şi pentru simularea oficială a EN ce era programată prin 20 martie. De vreme ce acestea erau parcurse de majoritatea profesorilor şi învăţate deja de cei mai mulţi elevi, de ce au fost scoase? Este cazul concret al funcţiilor (de gr.I), care aduceau un exerciţiu uşor (reprezentarea grafică), accesibil tuturor elevilor, dar şi un exerciţiu mai greu, renumitul “punctul b)” care-i aducea în stare de tremurat pe mulţi elevi (asta după parcurgerea în cele mai bune condiţii a două luni de şcoală din semestrul II!). Aceleaşi lucruri pot fi susţinute despre operaţiile cu fracţii algebrice (rapoarte de numere reale reprezentate prin litere), care fuseseră parcurse conform programei chiar înaintea funcţiilor, în general pentru teza din semestrul I. De ce s-au scos acestea din programa de examen?

Dar tot aici intră şi partea de geometrie aritmetică, anume calculele de arii şi volume la prisme şi piramide. Această parte nu era tradiţional inclusă pentru simularea EN, dar din câte am văzut eu majoritatea profesorilor o parcurseseră, pur şi simplu pentru că nu-şi permiteau să lase atâta materie neparcursă până după simulare. Iar dintre acestea însă, două formule fuseseră oricum parcurse în clasa a 5-a: volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic. Acestea de ce au fost scoase din materia de examen şi înlocuite cu înjositoarele “determinaţi aria patrulaterului ABCD” (un pătrat cu latura dată) sau “determinaţi perimetrul triunghiului ABC” (echilateral cu latura dată) etc., cu evidente accente de pomană electorală.

Trunchierea materiei nu i-a afectat tare mult pe elevii buni; aceştia s-au adaptat uşor la noile titpuri de probleme introduse după vacanţa de Paşte prin testele de antrenament (teste pentru care ministerul merită într-adevăr toate laudele şi mulţumirile aferente). Trunchierea materiei însă i-a afectat foarte mult pe marea masă a elevilor de mijloc (blocul central din “Clopotul lui Gauss”), cei care aveau un punct de sprijin puternic în “geometria aritmetică”, adică în partea de calcul a ariilor sau volumelor unor corpuri. Mare parte din pregătirea lor de clasa a 8-a a fost aruncată la gunoi cu o indiferenţă greu de înţeles. Pentru mulţi, pentru prea mulţi elevi de clasa a 8-a, acest pas a reprezentat un adevărat dezastru pentru că li s-a scos din programă partea cea mai accesibilă din geometrie.

Ajunseseră şi ei, după îndelungi eforturi, să stăpânească fiecare la nivelul lui calculele din teorema lui Pitagora şi cele câteva formule, şi brusc s-au trezit “cu ochi-n soare”. Ajunseseră şi ei să facă cu demnitate şi un pic de “geometrie”, când brusc această “geometrie” le-a fost eliminată, înjosiţi fiind cu un substituent banal, care sigur nu are darul de a le întări încrederea în sine, ci mai degrabă acţionează ca o confirmare oficială de tipul “tu eşte de fapt prost, haide să nu ne mai prefacem, uite, îţi dăm să calculezi aria unui dreptunghi cu laturile date şi gata, stai cuminte în banca ta şi taci”.

Dar, de ce s-a ajuns în această situaţie, ca în cazul de criză pe care-l cunoaştem cu toţii, ministerul, aplicând un principiu normal în această situaţie, să ajungă să lovească în atâţia elevi? Din câte am înţeles, situaţia la examenul paralel de Lb. Română nu a presupus astfel de dezavantaje şi inechităţi, şi nici la nivelul BAC-ului nu au fost probleme de astfel de magnitudine. Vom înţelege cauzele acestui dezastru dacă ne vom uita puţin mai atent la structura materiei de geometrie din clasa a 8-a. Pentru o cât mai clară înţelegere, permiteţi-mi să apelez la o descriere simplistă a materiei de geometrie de a 8-a, catalogând lecţiile minimal cu “uşor” sau “greu”, eventual un mix dintre acestea.

  • Puncte, drepte, plane: convenţii de notare, reprezentări etc.: uşor-greu;
  • Corpuri geometrice, reprezentare în desen; elemente caracteristice, desfăşurări: uşor;
  • Paralelism (unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu plan etc.): greu;
  • Perpendicularitate (dreaptă perpendiculară pe plan etc.): greu;
  • Proiecţii pe un plan (unghiul dintre o dreaptă şi un plan etc.): greu;
  • Teorema celor trei perpendiculare: greu;
  • Distanţe şi măsuri de unghiuri în corpuri: uşor-greu;
  • Arii şi volume ale unor corpuri geometrice: uşor.

Să nu ne lăsăm păcăliţi de aparenţe: lecţia de prezentare a corpurilor geometrice se parcurge de obicei în 2 ore, dar elevii mai slabi nu au ce să facă cu ea tare mult în următoarele trei luni (doar să le tot deseneze). Întreg semestrul I şi încă un pic din semestrul II sunt ocupate de acel bloc central de lecţii despre drepte şi plane cu demonstraţii (uneori şi calcule), deseori foarte abstracte, inaccesibile marii mase a populaţiei şcolare. Această parte de materie reprezintă însă zona principală pentru olimpiadele şcolare şi din cauza asta este “în faţă”, după principiul de-a dreptul răutăcios “de cei buni ne ocupăm la început; cei mulţi şi proşti să aştepte până în semestrul II”.

Partea despre arii şi volume apare doar la coadă (nici nu este inclusă pentru simularea din martie), când în sfârşit atenţia pare să se îndrepte şi asupra ne-olimpicilor. Indiferenţa faţă de marea masă a elevilor merge în unele cazuri şi mai departe, în şcolile “de centru” existând profesori care nici nu mai predau partea de arii şi volume, după principiul “şi-aşa au toţi profesori în particular”. În cazul vacanţei forţate de Corona-virus şi a programei de avarie din aprilie, oare care parte a rămas “pe de lângă”? Cum se zice: ghici-ciupercă ce-i? E clar că cei mulţi dar slabi la demonstraţii geometrice au rămas văduviţi de singurele situaţii unde puteau dovedi cu demnitate că ştiu şi ei să facă “olecuţă de geometrie”.

Pentru o minte de matematician deschisă şi cu respect şi faţă de ceilalţi, faţă de cei ne-matematicieni, lucrurile au o soluţie foarte clară, dar pe care gestionarii matematicii româneşti pur şi simplu refuză să o vadă (sau poate sunt doar incapabili să o vadă, probabil datorită fantomelor din trecut ce le bântuie încă gândirea). Soluţia de care vorbesc ar consta în mutarea ariilor şi volumelor la începutul semestrului I, în aceeaşi lecţie cu prezentarea corpurilor, desigur într-o formă mai extinsă. Mutarea respectivă, a cel puţin unei părţi a corpurilor, ar oferi din start material de procupare şi celor 80-90% din elevi care cu greu fac faţă părţii la demonstraţii despre drepte şi plane. În acest fel, se pot parcurge lejer la început prismele şi piramidele, lăsând pentru finalul semestrului II trunchiurile şi corpurile rotunde. O astfel de aranjare ar aduce o situaţe de respect echilibrat între cele două categorii de elevi: cei puţini dar buni şi cu care facem performanţă, dar şi cei mulţi şi mediocri la matematică, dar care sunt şi ei cetăţeni ai acestei ţări şi pe care avem totuşi datoria să-i educăm la un nivel acceptabil.

Dar cum s-ar putea parcurge corpurile fără o serioasă pregătire prealabilă din punct de vedere a dreptelor şi planelor? (aţi putea întreba, stimaţi cititori) Păi simplu: în mod intuitiv!!! Cuvântul respectiv este oricum readus la viaţă şi ridicat la mare preţ în noua programă. Dar n-au nevoie de teorema celor trei perpendiculare, de pildă, la găsirea apotemei pentru aria laterală? (ar putea întreba cineva) Nu! Pentru că acum avem doar corpuri regulate, iar apotema piramidei este de fapt înălţimea într-un triunghi isoscel, deci nimereşte evident în mijlocul muchiei bazei. Dar cu înălţimea care-i perpendiculară pe planul bazei, cum facem? Să caute răspunsurile cei abilitaţi şi plătiţi pentru asta, că eu le-am căutat şi le-am găsit în urmă cu 20 de ani şi de atunci predau aşa cum am descris, iar materia curge extrem de lin, vă pot asigura. La sfârşitul lui octombrie avem parcurse prismele şi piramidele, cu toate ariile şi volumele, diagonale şi tot felul de secţiuni, după care majoritatea elevilor au de lucru. Doar apoi încep studiul complet al dreptelor şi al planelor, studiu pe care îl termin până la vacanţa de iarnă (în clasele unde mergem mai greu, rămânând câte o lecţie două pentru ianuarie).

Pe finalul redactării acestui text am văzut şi eu subiectele date la EN şi da, văd că am uitat să amintesc la banalităţile actuale şi perimetrul unui paralelogram cu laturile date. Analizând subiectele date la examen vedem că, din geometria în spaţiu au rămas doar cubul şi paralelipipedul dreptunghic din lecţia uşoară cu reprezentarea corpurilor, care fuseseră oricum predate din clasa a 5-a, (a cam dispărut şi piramida), dar au rămas în schimb unghiul dintre două drepte (în forma sa stupidă de perpendicularitate) şi planele paralele, inclusiv distanţa dintre acestea (dreaptă perpendiculară pe plan) într-o semi-piramidă. Pentru ce am mai învăţat toate acele corpuri cu elevii???

Este clar că această situaţie ne-a prins total pe nepregătite ca sistem, din punct de vedere a geometriei în spaţiu, relativ la cei 80% din elevii de clasa a 8-a care nu pot face demonstraţii din această parte şi desigur că nici nu s-au uitat la cerinţele respective.

În căutarea unei soluţii de rezolvare a acestei situaţii, tardiv faţă de cei care au terminat clasa a 8-a, dar măcar preventiv faţă de cei ce vin de la anul în a 8-a (şi pentru care autorităţile nu ne prea prevăd un an şcolar în condiţii obişnuite), poate că onorabili decidenţi ar trebui să se uite şi prin manualele din străinătate, nu de alta dar acolo nu se face partea de studiu a poziţiilor relative drepte-plane, şi poate găsesc la aceia o idee pentru cale de a ieşi din impas.

Cât despre România, ordinea din programa actuală este foarte veche, dar partea de drepte şi plane era pe vremuri studiată mult mai intuitiv şi mai scurt. Am “dat o căutare” prin raftul cu manuale vechi şi am constatat că de la cel mai vechi manual postbelic găsit în casă (un “Hollinger” din 1957) organizarea este cam aceeaşi, cu precizarea că până în 1980 manualele lui Hollinger aveau partea de studiu a dreptelor şi planelor extrem de accesibilă şi restrânsă, predată deosebit de intuitiv.

Titlul iniţial al acestui articol a fost Dezastre în matematica şcolară, dar l-am considerat în final prea dur şi exagerat. Nu cred să fi murit vreun elev din cauza acestei situaţii, dar sunt convins că i-a afectat pe mulţi în sens negativ (diferiţi elevi sau părinţi mi-au confirmat acest punct de vedere). Sunt convins totodată şi că, alături de multe altele, această excludere îşi aduce aportul corespunzător la îndepărtarea de matematică a elevilor de inteligenţă medie.

Între timp am ajuns şi la “afişarea notelor” (anul acesta cu ghilimelele de rigoare), iar rezultatele susţin oarecum cele spuse aici, în sensul că foarte mulţi elevi slabi şi medii au reuşit totuşi note destul de bune, peste aşteptările mele ca profesor care le cunosc nivelul activităţii. Statisticile susţin aceste spuse, confirmând că s-a dat mult prea uşor, chiar şi pentru cei slabi, trecându-se mult dincolo de pragul necesar situaţiei concrete, urmare a faptului că nu s-a prea lucrat cu clasele după 10 martie

De unde au apărut aceste note “cam prea bune”? Păi, de la acei itemi din EN mult prea banali (pe post de mită electorală), puşi acolo ca să închidă gura posibilelor frustrări naturale ale elvilor şi a familiilor acestora prin scoaterea elementelor de geometrie aritmetică, elemente accesibile acestora, dar pentru rezolvarea cărora elevii de nivel mediu ar fi trebuit să se concentreze bine. Aşa, toţi aceştia nu a mai fost nevoie să se mobilizeze prea tare, iar toată lumea e mulţumită (aparent). Dar cu ce preţ pentru viitor? De acest aspect nu am auzit să discute cineva.

Cum ar arăta rezultatele unui studiu PISA pe această generaţie de elevi? (oare, chiar pe ei se va aplica studiul la anu’ în 2021?) Dar, nu!, staţi!, vor spune unii, acum există circumstanţe atenuante, fiind o situaţie total atipică. Spuneţi-le asta părinţilor acestor absolvenţi. De ce doar copiilor de nivel matematic mediu le-a fost eliminată geometria accesibilă dar mobilizatoare, pe când elevilor buni le-a rămas pentru examen aproape întreagă materia de geometrie de a 8-a?

Cum îi vom mai mobiliza noi la anu’ pe elevi să înveţe ariile şi volumele corpurilor, când există clar posibilitatea repetării şcenariului? Oare, la anu’ vom avea încă o generaţie care nu va fi nevoie să înveţe arii şi volume? Că s-a întâmplat acum mai este cumva de înţeles: aşa a fost momentul şi trebuia luată o decizie. Că se va întâmpla din nou în cazul viitoarei generaţii, asta nu va mai fi de iertat!

De fapt, de unde există această indiferenţă a decidenţilor matematici faţă de geometria pentru elevii de rând? De unde această lipsă de respect faţă de datoria de formare a gândirii practice matematice şi la oamenii de rând? De ce decidenţii matematicii şcolare româneşti se ocupă în primul rând doar de ce buni, şi numai apoi de cei mulţi şi slabi iar aceasta în mod absolut colateral şi superficial?

Cititorului care are impulsul să minimalizeze cele susţinute în prezentul articol îi transmit doar că se face prin acest gând co-făptaş moral la situaţia constatată prin iarnă de raportul la studiul PISA 2018, legat de marele procentaj de analfabeţi funcţional scos în evidenţă în şcolile româneşti la elevii de 15-16 ani. CTG

P.S. Pentru cei care se gândesc să susţină că acest caz este unul izolat, vreau să amintesc un altul despre care puţini îşi mai aduc aminte. Poziţionarea până anul trecut a lungimii şi ariei cercului în finalul clasei a 7-a, de obicei după teză, le condamna şi pe acestea deseori la neînvăţare. În cazul tezelor unice din urmă cu 12-13 ani acestea au rămas doi ani pe din afara materiei pentru teză şi nimeni nu le mai parcurgea ulterior (aceeaşi soartă au avut-o atunci şi corpurile rotunde în finalul clasei a 8-a). Poate că pe vremea aceea se ocupa cu meditaţiile la matematică şi Tanti Viorica, de l-a uitat în starea de stress pe dragul de π (cine ştie?).

Eu sunt însă convins că la toamnă nici un profesor de liceu nu va avea grija “recuperării” lecţiilor neparcurse din geometria de a 8-a (aşa cum susţinea sus şi tare D-na Ministru). Mă gândesc de pildă la corpurile rotunde, care din nou rămân “de căruţă”. Iar apoi, peste ani şi ani, poate se trezeşte careva din această generaţie de absolvenţi că vrea să ajungă preşedinte, iar o jurnalistă ciudată îl va întreba cât este aria sferei … (Salutări de la Unchiu’ Marinică, cel cu “unde este π?”; recitiţi povestea adevărată pe http://pentagonia.ro/%cf%80-da-unde-este-%cf%80/ ) Apropos, π de ce a fost eliminat subtil din acest examen? Că elevii aceştia chiar îl cunoşteau bine, după spectacolul mediatic din toamnă cu ocazia alegerilor prezidenţiale. Te pomeni că s-a decis să fie ţinut o vreme “pe tuşă” pentru că prea a ajuns implicat politic???

Prezentare de carte: Pietro Greco – Povestea numărului π

Când am decis în toamnă devreme să ţin o lecţie deschisă despre numărul π, apoi când o elevă mi-a scris într-o lucrare fulger că valoarea lui π este 14,3 pe la începutul lui octombrie 2019, nici nu-mi trecea prin cap câte se vor mai întâmpla anul acesta şcolar în legătură cu π. Din punctul meu de vedere, pe lângă faptul că va rămâne în amintirea tuturor drept “anul şcolar cu pandemia”, acesta este clar şi “anul lui π” (chiar dacă nimeni nu l-a declarat oficial ca atare), legendarul număr ajungând să fie implicat chiar şi în alegerile prezidenţiale din noiembrie (nu cred să se mai fi întâmplat pe undeva aşa “minune de grozăvie”).

Faptul că în acest an şcolar avem ocazia să lecturăm inclusiv o carte nouă despre π confirmă doar că – pentru România – stelele s-au aliniat clar anul acesta “în zodia lui π”. Lucrarea cu pricina a apărut la Humanitas în 2019 şi se găseşte actualmente în librării, inclusiv în magezinele InMedio (fiind evident în lucru cu mult înaintea alegerilor prezidenţiale: printre pozele de pe net am găsit inclusiv un afiş despre o dezbatere de ştiinţă pornind de la această carte, ce a avut loc în 18 februarie 2020). Transmit pe această cale mulţumiri pentru plăcuta surpriză d-lui Vlad Zografi, coordonatorul seriei cărţilor de ştiinţă de la editura Humanitas, care se străduieşte de ani buni să ne aducă regulat astfel de cărţi în rafturile librăriilor.

După legendara carte omonimă a lui Florica T. Câmpan, o nouă lucrare pe această temă  aduce bucurie profesorului de matematică. Dar surpriză: Pietro Greco nu este un matematician, ci are studii de chimie, dar s-a specializat în cărţi de popularizare a ştiinţei, din această postură scriind şi cartea despre π. Ideea cărţii a pornit de la numele său, care în italiană se prescurtează Pi Greco, având o pronunţie identică cu “P grec” (aşa cum spunem noi “I grec” literei Y).

Autorul fiind deci un nematematician, cartea este scrisă lejer, lipsită de limbajul pretenţios şi scorţos al specialistului, acel limbaj care contribuie din plin la inaccesibilizarea matematicii, mai ales în clasele gimnaziale (acolo unde se duce de fapt bătălia pentru mintea copilului, acolo unde “se despart apele” definitiv între iubitorii şi speriaţii de matematică). În acest context, întregul text este un bun exemplu de lejeritate a limbajului cu care ar trebui să intrăm la clase, iar lucrarea nu are voie să lipsească din biblioteca nici unui profesor de matematică (universitară sau preuniversitară).

Pentru cei familiarizaţi cu matematica, cartea reprezintă o lectură lejeră ce plimbă cititorul prin istoria matematicii, autorul alegând un traseu prin acele elemente care au măcar o minimă legătură cu evoluţia cunoaşterii numărului π. Aici găsim şi singurul “păcat” al cărţii, care are de multe ori aerul unui curs plictisitor de istoria matematicii, cu pasaje de enumerare parcă nesfârşită de nume şi date. Dacă reuşiţi să treceţi însă de aceste pasaje cu bucuria cititului neştirbită, veţi găsi din plin motive pentru care cartea merită citită. În prezentarea de faţă nu mi-am propus să dau prea multe citate matematice, ci doar câteva, pentru a vă stârni curiozitatea. Îmi permit să încep cu un pasaj foarte drag mie, prin faptul că “pune degetul” pe un aspect despre care nimeni nu mi-a atras atenţia până acum, iar pe mine nu m-a dus mintea să-l observ.

“Uciderea lui Arhimede de către un soldat roman va fi fost accidentală, dar a fost cu adevărat premonitorie. Pe parcursul îndelungatei sale istorii, Roma antică a dat puţine contribuţii la ştiinţă şi filozofie, încă şi mai puţine la matematică.” Pentru a ne convinge că Roma a ignorat matematica – ba chiar ştiinţa –, cum spune Carl Boyer, e de-ajuns să spunem că Elementele lui Euclid nu au fost traduse în latină decât şase secole şi jumătate după căderea Imperiului Roman de Apus, în 1120, direct din arabă şi prin munca unui englez, Abelard din Bath. Odată cu luarea Siracuzei (212 î.C.) şi, mai ales, după distrugerea Corintului şi a Cartaginei (146 î.C.), adică începând cu secolul II î.C., Roma cucereşte lumea greacă. Dar e cucerită de cultura grecilor. Toţi oamenii cultivaţi din emergenta putere latină învaţă limba greacă şi sunt influenţaţi de arta şi de filozofia greceşti. Cu toate acestea, în o mie de ani de istorie romană nu apare nici măcar un om de ştiinţă latin. (…) Abia la o mie cinci sute de ani după Arhimede se va naşte şi va lucra în Europa un matematician creativ, pisanul Leonardo Fibonacci. (pag. 69-70)

Pietro Greco are lejeritatea plăcută lecturii, dovedind uneori chiar doze bune de umor. De pildă, la pag. 72 abordează prezenţa numărului π în Biblie: (…) în Cartea regilor din Vechiul Testament, compusă pe la 550 î.C., i se atribuie în grabă valoarea 3. Cu siguranţă, evreii nu sunt o populaţie izolată, iar civilizaţia lor nu e imună la contaminări profunde, inclusiv la cea greacă. În alţi termeni, în secolele care au urmat scrierii Cărţii regilor ei se vor familiariza cu cultura elenistică şi cu valoarea lui π calculată de Arhimede (3,14) şi de Apoloniu (3,14167). Avem dovada. În secolul II, în timp ce la Alexandria lucrează Claudiu Ptolemeu, în Palestina, rabinul şi matematicianul Neemia se întreabă, din punct de vedere teologic, care valoare trebuie acceptată: 3, cum scrie în Cartea regilor, sau 3,1412, cum calculează Arhimede. Şi îşi cam prinde urechile, încercând să demonstreze că valoarea “adevărată” e cea a lui Arhimede, dar că, în acelaşi timp, Biblia nu greşeşte.

Multe pasaje de text ar merita citate, dar mă rezum la doar câteva, cu relevanţă pentru profesorul de matematică de la clasă.  … O mare influenţă culturală are Michael Stifel, prieten şi susţinător al lui Martin Luther, care scrie şi publică la Nürnberg, în 1544, (…) Arithmetica integra, operă în care nu găsim noutăţi importante faţă de ceea ce se ştia în Italia, dar în care, pentru prima oară, sunt folosite sistematic semnele + şi – pentru numerele relative. (…; pag. 102) Ce sunt acelea numere relative? Denumirea aceasta surprinde cel mai bine momentul când în evoluţia gândirii matematicii (deci inclusiv la copii în gimnaziu) apar numerele de valoare opusă: în loc de vechiul 3 apar acum valorile relative +3 şi –3 (sper să ajung în curând să abordez într-un articol separat şi respectiva temă în legătură cu arta predării matematicii).

O figură centrală în această reflecţie e avocatul francez François Viète (1540-1603), un amator. Dar unul atât de bun încât ajunge să fie considerat cel mai mare matematician din secolul XVI. (…) Interesat de teoria numerelor, Viète pune practic capăt folosirii sistemului sexazecimal al anticilor şi îl impune definitiv pe cel zecimal. (…) Viète e primul care trece dincolo de Arhimede. Interesul pentru π apare încă din tinereţe: în 1559 (deci la 19 ani!), folosind metoda clasică a lui Arhimede, stabileşte corect primele nouă zecimale, calculând aria unui poligon cu 393 216 laturi, obţinut dublând de 16 ori numărul de laturi ale hexagonului iniţial. (…, pag. 110-111)

Vrând-nevrând, Pietro Greco ajunge încet şi la “vânătorii de zecimale”, despre care scrie: Doar fascinaţia numărului îndeamnă la asemenea eforturi colosale cu iz sportiv. (pag.115) În ciuda noutăţii seriei introduse de Viète, metoda lui Arhimede a rămas cea mai performantă până în secolul XVIII şi până la descoperirea calculului diferenţial şi a dezvoltării în serie, care i-a permis lui Leonhard Euler să calculeze în 1748, în mai puţin de o oră, valoarea lui π până la a douăzecea zecimală. Metoda lui Euler nu era doar precisă, ci şi foarte rapidă (…, pag 116, reluată apoi la pag.132). Închei aici prezentarea şi vă doresc lectură plăcută! CTG

Rianda şi povestea ei (2)

Rianda este o elevă cu o poveste absolut uluitoare: un “pacheţel” de voinţă care se luptă să-şi găsească drumul deşi toată societatea îi predică altceva. Prin iarnă îi trimisesem mamei sale articolul cu partea I a poveştii, cu propunerea de a-l publica. Iată răspunsul:

O idee foarte bună, mai ales concluzia din post scriptum. Mă bucur că doriţi să-l şi publicaţi. Pentru continuare o să vă ţinem la curent. (…).

A fost cu familia gazdă înainte de Crăciun într-un hike în Arches National Park. A fost în excursie cu şcoala în Salt Lake City, pentru a participa la ateliere de dramă, cu invitaţi de pe Brodway, actori care i-au instruit cum trebuie să dea o probă pentru un rol, etc. (…). A mai fost la un concurs cu echipa de atletism, în Pocatello, Idaho, la care au participat elevi de liceu şi din Australia şi Canada.

În săptămâna 24-28 februarie, merge în California împreună cu alţi elevi de schimb din zonă, care se află in SUA cu acelaşi program (majoritatea sunt nemţi). O să viziteze studiourile de la Hollywood, Disneyland etc. O să mai revin cu informaţii pentru “continuare”. 

Pe la începutul lui martie 2020 mă pregăteam să public prima parte când s-a pornit urgia pandemică. Gândurile mi-au fost acaparate cu totul de noul subiect, dar de undeva, dintr-un trecut care părea din altă viaţă, îmi tot reveneau gânduri: oare ce-o fi cu Rianda? Până la urmă mi-am luat inima-n dinţi şi am sunat-o pe Doamna “Mama-lui-Rianda”: e acasă! A venit cu ultimul avion înainte ca zona respectivă să fie declarată în nu-ştiu-ce culoare şi să se suspende zborurile (Ce aventură, draga de ea! A vrut aventură iar viaţa i-a dat aventură din belşug). A stat în autoizolare două săptămâni doar cu tatăl acasă (mama lucrând în continuare, s-a mutat la bunici). Apoi şi-a finalizat cursurile anului şcolar pe net, iar acum se străduieşte să se acomodeze cu ideea că este iarăşi aici. Din discuţia respectivă am reţinut în mod special că-i lipseşte mult sportul de acolo; aici, de unul singur, nu mai are acelaşi farmec alergatul pe străzi pustii. Dar visul nu pare să-i dea pace, persistând gândul de a merge şi anul şcolar viitor acolo. Om trăi şi om vedea. CTG

Rianda şi povestea ei (1)

Rianda este o elevă cu o poveste foarte interesantă (pentru noi – profesorii de matematică – o poveste cu adevărat remarcabilă). La începutul clasei a 7-a era deja destul de rebelă şi foarte setată împotriva matematicii. Când încercau părinţii să o ajute la matematică, de multe ori “se lăsa cu sânge pe pereţi” (vorba mamei). Ambii părinţi au cunoştinţe temenice de matematică medie, vorbesc cu respect de Gheba şi de Gazeta Matematică, şi se pricepeau să o ajute. Până la urmă – cu multă multă răbdare – Rianda a reuşit totuşi să ia la EN o notă în jurul lui 8,50 la matematică, urmată însă de hotărârea fermă de a sta pe viitor cât mai departe de matematică. Aşa că s-a dus la o clasă de filologie cu multă engleză.

La sfârşitul clasei a 10-a nivelul de rebeliune faţă de viaţa asta stupidă de elev crescuse puternic, ajungând la cote pe care numai cine a avut de-a face cu un rebel puternic la pubertate le poate înţelege; la fel a crescut şi repulsia ei faţă de matematică, fiind ameninţată cu corigenţa. Cumva, cumva, Rianda a scăpat şi nu voia nimic altceva decât să plece în America cu “nuş-ce” program de studiu “în State”. La începutul vacanţei mari, în paralel cu această stare a ei, a apărut melodia Pe de rost de la Vama (iunie 2019). Ştiindu-le povestea, le-am trimis imediat textul. Pentru familia ei această melodie a reprezentat probabil balsam pe sufletul răvăşit de starea generală a unicului lor copil.

Dăm iarăşi cursorul înainte, undeva în finalul lui noiembrie 2019, când am primit un e-mail de la mama sa. Daţi-mi voie să vă prezint această scrisoare (povestea este 100% adevărată, am schimbat doar numele personajului principal).

*

Bună ziua, vorba cântecului:

Am 16 ani şi aş vrea să dispar,
Undeva unde să pot conta…

Din 28 octombrie 2019 Rianda a început “term2” din clasa a 11-a. […] Şcoala a început acolo pe 19 august 2019. Materiile (10 bucăţi) şi le a ales Rianda;  prin programul de “exchage” a fost obligatoriu să-şi aleagă engleza şi istoria (American Civilisation).

Singura “problemă” pe care a avut-o, a fost matematica, care în SUA e materie obligatorie, iar Rianda, după cum bine ştiţi are o “mare pasiune” pentru ea J! De aceea a luat o clasă de matematică de nivelul cel mai de bază, adică face matematică de clasa a 5-6 la noi J!

Asa că dupa o scurta perioada de ”adaptare” a ajuns de la ”D” la ”B” la sfarsitul ”term1”, iar în prezent puteţi să vedeti şi din filmarea pe care ne-a trimis-o pe 20 noiembrie a ajuns la ”A”!

În luna octombrie a dat un fel de ”pre SAT” din câte am înteles un fel de simulare pentru SAT (un fel de BAC american??) care la ei se dă în clasa a 11-a, la primavară. Rezultatele pentru această simulare le primeşte in cursul lunii decembrie. Aşteptăm să vedem cum s-a descurcat la partea de matematica.

În rest, face teme (fără să o ”împingă” nimeni de la spate), proiecte, joacă în musicalul pe care liceul l-a pus în scenă şi care a avut premiera pe 23 noiembrie.

Are 2 materii la care a ales „clase de colegiu”: istoria şi EMR  şi merge cu PLĂCERE la scoală! Îi place şcoala şi se înţelege bine cu toţi profesorii.

Ca sport a făcut baschet, acum face dansuri, din ianuarie v-a merge la fotbal (soccer). În fiecare zi are oră de sport, alternativ o zi are pregătire fizică, o zi antrenament de baschet (dans, fotbal).

În zilele de 17 şi 18 octombrie au avut 2 zile de vacanţă (cu sâmbata şi duminica au fost 4 zile libere). În această vacanţă Rianda a fost în Mexic la Ensenada, unde a făcut voluntariat cu Kaiizen Foundation la două orfelinate. A fost împreună cu cele 2 “surori” (cele 2 fete din cei 4 copii pe care îi are familia gazdă) şi împreună cu alţi studenţi şi elevi de liceu.

Împreună cu familia gazdă a vizitat Las Vegas, prilej cu care au făcut şi un “hike” în Zion National Park. S-a înscris într-o excursie cu şcoala, în luna ianuarie 2020; împreună cu profesorul de dramă şi alţi colegi vor participa la câteva ateliere teatru care se vor desfăşura la Universitatea din Salt Lake City.

E fericită, încântată de ceea ce face şi trăieşte la maxim experienţa pe care ea şi a dorit-o.

Bineînţeles că vrea să mai meargă şi anul viitor! Cel puţin acum aşa spune… mai vedem ce se întâmplă…. în continuare.

Deci şcoală (romănească)
La revedere
Eşti prea departe
De visele mele
Şcoală
Mă duc să învăţ de la visele meleee
.”

Vă mulţumim pentru tot ce aţi făcut pentru Rianda,

Multă sănătate şi spor vă dorim! Cu stimă, ………..

*

P.S. Da, ştie Tudor Chirilă bine cum stau lucrurile. Haideţi să-l punem Ministrul Învăţământului pentru cinci ani, şi n-o să mai vrea nici un elev să plece din ţară. CTG

Trei probleme de geometrie în spaţiu (de “plictiseală” la vreme de pandemie)

În contextul modificării programei de EN şi a de la sine înţelesei căutări de material de lucru în materia rămasă pentru examen, am căutat “în arhivă” (prin amintiri sau prin cutii) diverse probleme care mi-au reţinut atenţia la vremea lor, probleme care se încadrează sau măcar se apropie de materia actuală pentru examen din geometria clasei a 8-a, implicând şi aplicaţii algebrice remarcabile. Astfel, s-au strâns trei probleme cu grad mare de fascinaţie. Înainte de a le prezenta precizez că toate cele trei probleme din acest material pot fi prezentate şi în paralelipiped dreptunghic.

1) Problema cu MN = 1. Eu “duc” această problemă cu mine de aproape 25 de ani (ce mult îmi place expresia “de un sfert de secol”!), adaptată însă la forma geometriei plane, şi asta din motive pe care le veţi înţelege uşor, anume că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de o neaşteptată, fascinantă şi nemaiîntâlnită situaţie legată de materia clasei a 7-a (teorema catetei) şi un factor comun atipic. Iată, pentru început, problema originală de clasa a 8-a:

Fie ABCD un dreptunghi în care AB=3 şi BC=2. Pe planul dreptunghiului se ridică, în punctul D o perpendiculară pe care se ia un punct P. Se consideră de asemenea M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe dreapta PB, despre care se ştie că MN = 1. Să se calculeze lungimea segmentului (PB).

(problema este preluată cu schimbări minore de redactare din Supliment editat de revista Tribuna Învăţământului, Admiterea în liceu şi şcoala profesională, volumul II 1995, pag 22, la Variante de subiecte posibile, Testul I, autorii pentru partea de matematică au fost prof. Ghiciu N. şi Ghiciu G.). Precizez că această problemă nu are unităţi de măsură nici în original.

După cum spuneam mai sus, ţinând cont de faptul că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de materia clasei a 7-a, eu am adaptat problema la geometria plană. În forma aleasă de mine am integrat şi acea teoremă care cumva s-a pierdut din materia din şcolile româneşti, anume teorema care susţine că un triunghi înscris într-un semicerc este dreptunghic (eu prezint această teoremă la clasă sub titlul de Cercul lui Thales, după autorul ei, aşa cum este aceasta denumită în spaţiul de cultură german, inclusiv în Ungaria vecină; nu mi-am propus aici o nouă analiză a acestei “pierderi pe drum” a unei teoreme, fie ea şi de fapt se pare prima teoremă demonstrată de un om). Iată varianta de care vorbesc, publicată printre altele şi în culegerea scrisă în urmă cu cca. 20 ani (Grigorovici C.Titus, Grigorovici Mariana, De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, Humanitas Educaţional, 2006, pag.53, problema 55)

În cercul de diametru [BD] se înscrie patrulaterul ABCD cu şi AB=3 şi BC=2. Fie M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe diagonala [BD]. Calculaţi diametrul cercului ştiind că MN = 1.

2) Problema cu cele trei unghiuri de bază (30o, 45o, 60o) în spaţiu. La această problemă vă prezint de fapt o reconstituire a unei probleme întâlnită în urmă cu mulţi ani (să tot fie către 20 de ani), pe care am neglijat să o notez şi am pierdut-o efectiv, păstrând în amintire doar ideea că există o astfel de situaţie. Într-o primă încercare de postare am constatat o greşeală greu de corectat. Iată în continuare o variantă refăcută (într-o a doua încercre) a acestei probleme:

Fie ABC un triunghi dreptunghic în unghiul B cu AB = a şi AC = 3a, în care notăm cu M şi N mijloacele catetelor [BC] respectiv [AB]. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AP, de lungime AP=a. Determinaţi măsurile următoarelor unghiuri: a) unghiul dintre dreptele PC şi MN; b) unghiul dintre dreapta PM şi planul (ABC); c) unghiul diedru dintre planele (PBC) şi (ABC).

Precizez că cele trei unghiuri au ca măsuri cele trei valori uzuale în trigonometria gimnazială – 30o, 45o, 60o –  în asta constând “frumuseţea” acestei probleme. Sigur că sunt conştient de faptul că unghiul diedru nu este în programa specială de EN 2020, dar problema ca întreg este frumoasă şi merită dată elevilor, atât acum, cât şi pe viitor. Pentru a nu creea disonanţă cu prima, nu am pus unităţi de măsură nici la această a doua problemă.

Elevilor mai răsăriţi le putem preciza şi faptul că PABC este un tetraedru neregulat cu toate feţele triunghiuri dreptunghice. Acest corp nu este în materia oficială , dar poate fi inclus drept aplicaţie a teoremei celor trei perpendiculare. Pe lângă demonstrarea  faptului că toate feţele sunt dreptunghice, elevilor la putem cere şi calculul ariei totale a acestui corp.

3) “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune pe un tetraedru tridreptunghic. Este vorba de următoarea proprietate remarcabilă, de-a dreptul surprinzătoare:

Fie un tetraedru tridreptunghic, adică un tetraedru cu trei feţe triunghiuri dreptunghice, având toate trei unghiul drept în acelaşi vârf (evident că a patra faţă nu este triunghi dreptunghic). Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei feţe dreptunghice şi cu D aria celei de-a patra feţe (cea nedreptunghică). Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

Se înţelege acum de ce am botezat-o “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune: aria la pătrat fiind de fapt o mărime având unitate de lungime la puterea a 4-a. Revenind la tetraedrul tridreptunghic, putem înlocui această exprimare cu una mai uzuală în ultima vreme, ceva de genul: fie triunghiul MNP dreptunghic în P; pe planul acestuia ridicăm perpendiculara PR etc.

Eu am aflat despre această proprietate de la colegul Kjell Sammuelson din Suedia, dar am găsit ulterior problema într-una dintre lucrările lui George Pólya (Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag.50-53). Revenind la problemă, dacă notăm cele trei dimensiuni perpendiculare, de pildă cu x, y, z, atunci este evident că ariile A, B şi C se calculează uşor, dar pentru aria D se preconizează o muncă mai hotărâtă. Astfel, avem de ales între un parcurs obişnuit, incluzând şi teorema celor trei perpendiculare, sau un calcul algebric masiv pe baza formulei lui Heron. Sigur, această scurtă indicaţie nu exclude existenţa unor alte rezolvări, poate mai accesibile sau mai frumoase.

Rezolvarea prin formula lui Heron se potriveşte însă “ca o mănuşă” actualei situaţii în care lecţia cu expresii liniare (polinomiale sau cum le-o mai fi zicând, pentru că în programa de examen nu sunt denumite nicicum; în programa oficială sunt numite operaţii cu numere reale reprezentate prin litere), această lecţie a ajuns ciudat “în faţă”, după eliminarea funcţiilor şi a fracţiilor algebrice (pardon, a rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere). Desigur că cei care au avut curajul să aleagă această cale trebuie să se mobilizeze intens, dar spre final vor vedea că a meritat efortul (rezolvarea are zone de calcul algebric alambicat, ce s-ar potrivi la liceu, dar cum actualmente nu avem geometrie sintetică în liceu, asta ar fi ultima  ocazie clară).

Tot legat de această rezolvare, este evident că problema poate fi dată elevilor şi într-un format mai “domestic”, respectiv cu dimensiuni clare ale figurii (dificultatea problemei păstrându-se). De pildă, putem alege următoarea variantă (din nou tot fără unităţi de măsură, pentru conformitate cu prima problemă):

Fie triunghiul MNP dreptunghic în P, cu PM= şi PN=. Pe planul acestui triunghi ridicăm perpendiculara PR=. Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei triunghiuri dreptunghice MNP, MPR şi NPR, iar cu D aria triunghiului MNR. Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

4) Nu vă speriaţi, nu am greşit, rămân doar la trei probleme, dar am de data asta şi o întrebare de lansat şi aş vrea să profit de ocazie, dacă tot veni vorba de recuperarea de probleme pierdute. Aşadar, tot din categoria problemelor pierdute în negura anilor am şi o situaţie pe care nu reuşesc să o reconstitui (ca să recunosc, nici nu m-am preocupat tare mult să-i vin de hac). Este vorba de problema “tripletelor” pitagoreice în spaţiu, adică a unor situaţii cu numere întregi atât pentru laturile unui paralelipipedul dreptunghic cât şi pentru diagonala acestuia. Cu alte cuvinte, mă interesează cvadruple de numere naturale pentru care a2 + b2 + c2 = d2. Am avut în anii ’90 un astfel de exemplu, dar nu l-am notat clar undeva şi l-am pierdut. Desigur că mă refer la un exemplu care să nu fie intermediat de cazuri de triplete pitagoreice plane, cum ar fi 32 + 42 = 52, iar apoi 52 + 122 = 132, de unde 32 + 42 + 122 = 132. În exemplul pierdut (cu dimensiuni întregi) toate diagonalele feţelor paralelipipedului erau numere iraţionale, dar diagonala interioară era număr întreg.

Spor la lucru! Cu mulţumiri anticipate pentru ultima întrebare, CTG

P.S. Am precizat că prima problemă, cea cu MN = 1, este dintr-o variantă de subiecte posibile publicată în 1995 pentru examenul din finalul clasei a 8-a din 1996, într-un supliment al revistei Tribuna învăţământului (un fel de ziar ce se găsea de cumpărat la vremea respectivă la chioşcuri; ţin minte că erau tipărite pe o hârtie de aşa de proastă calitate, încât mă duceam la început, după ce le cumpăram, şi îmi comandam o copie xeroxată care ţinea mult mai bine la folosinţa zilnică). Problema respectivă este ultima din această variantă propusă, fiind problema de geometrie în spaţiu, valorând 1,5p din totalul notei. Mă gândeam că poate există doritori care ar fi curioşi să afle şi problema din geometria plană propusă de autori în acel test (problema premergătoare, tot de 1,5p, acestea două fiind singurele elemente de geometrie din acea variantă de test). Iată această problemă:

Pe latura [BC] a triunghiului ABC se consideră punctele D şi E astfel încât (BD) ≡ (DE) ≡ (EC). Dacă M şi N sunt intersecţiile medianelor (BB’) cu (AD), respectiv (CC’) cu (AE), să se demonstreze că MN || BC şi MN = BC/4.

Numărul cercului (3) – Bonus: câte zecimale pentru π?

Ne-am preocupat în această scurtă serie despre cum putem proceda la clasă astfel încât numărul π să intre eficient în conştienţa elevilor. Am văzut în toamnă, cu ocazia alegerilor prezidenţiale că acest număr este cumva considerat ca un reper al delimitării persoanelor culte de restul populaţiei. Nu trebuie să fie un mare matematician, dar totuşi, uitarea lui π a reprezentat în aceste alegeri un element definitoriu al personajului respectiv, care ajunsese print-u joc ciudat al sorţii în poziţia de a se visa preşedintele României. Noi trebuie să predăm perimetrul şi aria cercului astfel încât π să nu rămână o enigmă pentru majoritatea elevilor, aşa cum din păcate se întâmplă deseori. Dacă ne structurăm predarea în mod sănătos, atunci peste ani, chiar şi după ce a intervenit uitarea, o persoană va ţine minte că există π şi că acesta este “cam 3,14”.

Una din marile provocări legate de acest număr o reprezintă faptul că acesta este un număr iraţional transcendent. Elevilor de gimnaziu nu le putem preciza clar aceste lucruri, dar le putem da un surogat interesant al ideii de număr iraţional (cu o infinitate de zecimale, dar neperiodic; atâta măcar trebuie să poată înţelege elevul de a 7-a), anume o imagine a preocupărilor despre caclularea lui π cu cât mai multe zecimale.

Astfel, undeva pe parcursul acestor lecţii ar fi frumos să le dăm elevilor ocazia să guste şi din acel subiect destul de ciudat prin care calculatoriştii se întrec în a-l determina pe π cu un număr cât mai mare de zecimale exacte. În acest context eu le duc elevilor la clasă copia unei pagini din cartea lui Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, (Humanitas, 1998, pag. 60), unde este dat acest număr cu peste 1500 de zecimale. Tot în această lucrare se găsesc şi date despre numărul zecimalelor ale lui π cunoscut la acea vreme (anii ’90), dar acestea sunt oricum istorie, cartea respectivă având oricum o vârstă respectabilă de un sfert de secol. Pasionaţii de senzaţional pot căuta liniştiţi pe net situaţii mai apropiate de anii noştri.

Apoi le spun şi că în calculator îl am descărcat de peste 10 ani pe numărul π cu un milion de zecimale exacte (are 176 de pagini!), şi pot continua cu multe alte poveşti “vânătoreşti” despre cursa calculări acestui număr cu cât mai multe zecimale. Legat de acestea, desigur că le putem preciza elevilor că aceste rezultate sunt obţinute pe alte căi decât cele direct geometrice accesibile elevului de gimnaziu, şi că despre aceste căi vor putea căpăta o primă impresie de-abia în liceu, cei care vor merge mai spre matematică (desigur, o primă impresie şi aceasta extrem de superficială). Revenind la elevii din gimnaziu, adică la nivelul de cultură generală predat aici, chiar şi următoarea valoare aproximativă cu 50 de zecimale exacte este suficient de covârşitoare:

π ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…..

(Da, sunt conştient că nu ar trebui să folosesc într-o scriere atât semnul de aproximaţie cât şi notaţia de neterminat de la sfârşit, dar cele două arată atât de bine împreună!) În acest context este absolut impresionantă pentru elevi, chiar şi pentru cei orientaţi mai umanist (Salut! Vlăduţ) să afle că oamenii au găsit o metodă ciudată, dar eficientă, de a memora acest număr cu ceva mai mare exactitate decât doar două zecimale, anume prin asocierea cu o propoziţie artificială, dar mai uşor de memorat (dar mai uşor de memorat decât un număr de cifre venite de-a valma), a cărei cuvinte au lungimea cifrelor din exprimarea lui π. Această tehnică mnemonică a primit şi un nume: piphilologie (noi le-am spus pi-isme)

Astfel, în limba română avem următorul exemplu de propoziţie pentru zece cifre (primită încă din liceu de la mama mea): Aşa e uşor a scrie renumitul şi utilul număr mare, cu lungimea cuvintelor corespunzând aproximării 3,141592654 (cu 9 zecimale exacte, la care se adaugă ultimul 4 ca aproximarea mai bună prin adaos a lui 3).

Apropos, de dragul unei cât mai apropiate exactităţi, pentru cazurile când nu ne ajunge clasicul 3,14 şi vrem o aproximare cât mai exactă cu patru zecimale, în loc de 3,1415 nu ar fi mai bine să le atragem atenţia elevilor asupra valorii 3,1416, aceasta fiind o aproximare mult mai bună datorită acelui 9 de pe poziţia a cincea zecimală? (zic şi eu, doar aşa “ca să mă bag în seamă”…). Precizez aceste aspecte şi din punct de vedere psihologic: o discuţie despre când ar trebui folosită aproximarea în lipsă şi când aproximarea prin adaos poate fi sterilă dacă se face pe example aleatorii. Dimpotrivă, în situaţia de faţă numărul π a căpătat deja în mintea elevilor o oarecare identitate, reprezentând în preocuparea ultimelor ore un adevărat “personaj” în lumea asta ciudată a matematicii. Ca atare π poate trezi interesul şi atenţia elevilor în mult mai mare măsură, clasa putând fi mai uşor atrasă într-o preocupare de detaliu cum este dacă să luăm aproximarea prin lipsă sau prin adaos. Desigur că există şi alte criterii pe baza cărora să facem această alegere, dar aici, pe baza acestei situaţii din cadrul numărului π, putem prezenta eficient criteriul celei mai bune aproximări.

Revenind la propoziţiile care-l dau pe π, în limba engleză avem “paşnica”: How I wish I could recollect pi easily today! sau  simpatica: May I have a large container of coffee beans?, cu lungimea cuvintelor pentru aproximarea 3,14159265 (tot opt zecimale exacte), eventual varianta cu două cifre în plus: May I have a large container of coffee, cream and sugar? (10 zecimale). Mult mai “rebelă” este în engleză următoarea propoziţie, potrivită mai degrabă studenţilor: How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics (14 zecimale, merge până la secvenţa 79).

În franceză gluma se îngroaşă: Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires! (30 de zecimale, pe care însă nu le-am verificat). Oricum, francezii “au luat-o rău pe arătură”, pentru că la această reprezentare în versuri există şi o variantă pentru obsedaţi (ca să nu spun maniaci):

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire?
Former un triangle auquel il équivaudra?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra:
Dédoublera chaque élément antérieur;
Toujours de l’orbe calculée approchera;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Există astfel de propoziţii şi în alte limbi. Iată una în spaniolă: Fue y cayó. Y queda solamente la inútil cifra con pocos destinos poderosos, tristes devenires sin el más sencillo bien. Idiota, re idiota, sabe que sus encantos son ya latosos decimales. Pobre…, dar şi una în portugheză: Cai a neve e novas ferrovias de marfim serão por casas trocadas, sau una deosebit de sugestivă în portugheza braziliană: Sim, é útil é fácil memorizar pi, grande valor real. În italiană traba ar suna cam aşa: Non è dato a tutti ricordare il numero aureo del sommo filosofo Archimede. Certuni sostengon che si può ricordar tale numero, ma questi soli poi non recitano che un centone insensato (30 de zecimale).

Majoritatea acestora se găsesc pe Wikipedia, unde apar ca “tehnici mnemonice” sub denumirea de Piphilology. La adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology găsim exemple din mai multe limbi. Aici apare şi varianta primită de la mama mea, dar şi o altă variantă în română, “în versuri”:

Dar o ştim, e număr important ce trebuie iubit,
Din toate numerele însemnate diamant neasemuit,
Cei ce vor temeinic asta preţui
Ei veşnic bine vor trăi
.

P.S. Fără nici o legătură directă cu numărul π, amintesc că există astfel de asocieri mnemotehnice cu o propoziţie şi pentru numărul e. Iată două variante primite tot de la mama mea: Un scoţian a inventat, un elveţian a  calculat şi exprimat acel număr admirabil (e vorba despre John Napier şi Leonhard Euler). Tot pentru o aproximare cu 12 zecimale exacte a numărului ≈ 2,718281828459 avem şi: Pe numărul e savantul îl stimează, e academic şi formează bază pentru logaritmi.

Ca un fapt divers din lumea matematicienilor (cu evidentă tentă comică), vreau să vă spun că clădirea departamentului Facultăţii de matematică de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj – Mathematica – îşi are sediul într-o clădire ce cuprinde, printre altele, biblioteca facultăţii, încăperi pentru toate catedrele, cât şi două săli de curs, numite desigur sala π şi sala e (cum altfel?).

Noi am găsit şi la Paris, în Palais de découverte (un fel de muzeu al ştiinţelor, pe care l-am amintit mai sus) o sală π rotundă, la capătul coridorului despre matematică, care chiar este folosită ocazional la diferite prezentări. Numărul π  este scris la baza tavanului, cu sute de zecimale, dând roată sălii de câteva ori, iar sub acesta un rând cu mari matematicieni din toate timpurile (îi găsim evocaţi acolo atât pe Ahmes, scribul Papirusului Rhind, dar şi pe Bolyai; puteţi face o tură virtuală a acestei săli la adresa https://www.youtube.com/watch?v=NRuKh7dI_bs ). Ataşez o poză cu familia mea din 2007 în această sală. CTG

P.P.S. Haideţi să mai evocăm încă o ciudăţenie despre numărul cercului, doar aşa ca să vedem că am putea continua în ritmul acesta mult şi bine. Pentru asta trebuie să luăm în discuţie şi celelalte două numere iraţionale foarte des folosite, numărul pătratului şi numărul triunghiului echilateral, adică şi cu aproximările lor uzuale cu două zecimale exacte. Verificând pe aceste aproximări suma lor 1,41 + 1,73 = 3,14, putem vedea ciudăţenia cea mai mare: .

Numărul cercului (2) – Deducerea practică a lui π din arie

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, cu abordare atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. În prima parte a acestui eseu am prezentat o formă de “găsire” a acestui număr, căutat dinspre perimetrul cercului, pe baza determinării prin măsurare a raportului între perimetru şi diametru (transversala sau lăţimea cercului). Tot în prima parte am prezentat şi o formă de demonstrare a formulei pentru aria cercului, dedusă însă indirect, adică din formula de perimetru. A fost o formă vizuală cu abordare predominant geometrică, deşi aceasta poate fi adaptată şi într-o abordare tehnicist algebrică (consider însă că cei care doresc o astfel de abordare ar putea-o prezenta în continuarea primeia, ca o formă de traducere în noul limbaj de lucru algebric ce se prefigurează în clasa a 7-a). În această a doua parte a eseului voi încerca prezentarea unor abordări directe pentru obţinerea formulei de arie a cercului şi deci pentru obţinerea unei aproximări a numărului π, căutând de fapt de câte ori intră suprafaţa pătratului razei în suprafaţa cercului

În prima parte a eseului am văzut însă o despărţire clară a două linii de preocupare: prezentarea din start a formulelor pentru perimetrul şi aria cercului, cât şi a numărului π, ce deschid posibilitatea de lucru pe exerciţii şi probleme, în vederea pregătirii testelor (utilitatea acestor formule), cât şi în paralel pornirea unui “proces de cercetare” pentru cunoaşterea diferitelor căi de obţinere a acestor formule şi a valorii aproximative de 3,14 pentru acest număr fascinant. Prima linie de preocupare este evidentă: toată lumea le dă elevilor formulele şi valoarea aproximativă a lui π şi se ocupă de aplicaţii ale acestora în exerciţii şi probleme. Cât despre cea de-a doua linie de preocupare, recomand parcurgerea câtorva căi de obţinere a numărului π, atât din motiv de formare a obişnuinţei de a înţelege “de ce este ceva aşa cum este”, cât şi ca exemple de gândire matematică diversă (motiv pentru care recomand în general la toate marile teoreme, dar şi le unele exemple de probleme individuale, parcurgerea mai multor demonstraţii diferite; de pildă parcurgerea a cel puţin 3-4 demonstraţii diferite la teorema lui Pitagora).

Ca o paranteză de accentuare la ultimul aliniat, vreau să atrag atenţia: cu cât parcurgem mai multe rezolvări diferite la o problemă, cu atât mai mult dezvoltăm gândirea în matematică şi prevenim obişnuinţa elevilor de a învăţa pur şi simplu rezolvări automat pe de rost. Desigur însă că nu ne putem permite mai multe rezolvări la toate problemele, dar măcar la cunoaşterea marilor probleme ale omenirii ne putem lua timp pentru a parcurge câteva metode diferite, astfel încât elevul să primească prin acestea mari exemple de gândire.

Am spus că găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. Prima aproximare a numărului π este numărul 3 şi am văzut în prima parte a acestei prezentări cum putem obţine această aproximare din reducerea perimetrului cercului la perimetrul hexagonului regulat. O formă similară de aproximare brută a numărului π ≈ 3 se poate obţine şi din direcţia aproximării ariei, anume prin calculul ariei dodecagonului regulat, dar este evident deja că se naşte aici o mică problemă de ordonare a materiei.

Organizarea oficială a materiei pentru clasa a 7-a cuprinde de-abia la finalul clasei lecţii despre poligoanele regulate, iar acolo se discută doar despre triunghiul, patrulaterul şi hexagonul regulat, iar la acestea accentul studiului este asupra diferitelor lungimi şi a relaţiilor dintre acestea (în conexiune raţională sau iraţională). Despre celelalte poligoane regulate sau nu se discută, decât foarte puţin despre unghiuri. La aceasă lecţie se stă foarte puţin pentru că toţi se grăbesc să ajungă la lecţia despre lungimi (apotemă, raza cercului înscris sau circumscris etc.). Ca urmare elevii rămân cu o ceaţă totală despre celelalte popigoane regulate (pentagonul, octogonul, decagonul etc) sau despre ideea de cerc înscris sau cerc circumscris (cei mai mulţi profesori nici măcar nu se obosesc să le reprezinte figura cu cu cele două cercuri şi un poligon regulat. La ora actuală nimeni nu-şi mai propune să facă aceste construcţii cu elevii.

Pentru a găsi aproximarea lungimii cercului la 3 diametre am avut nevoie să cunoaştem hexagonul regulat şi faptul că acesta se descompune în şase triunghiuri echilaterale (isoscele şi cu un unghi de 60o). Acestea sunt noţiuni elementare de clasa a 6-a şi nu necesită cunoştinţe despre numere iraţionale. Pentru a ne apropia de aproximarea lui π la 3 trebuie să aproximăm aria cercului la o figură cu aria egală cu triplul pătratului razei; în acest sens avem nevoie de cunoaşterea dodecagonului (a poligonului regulat cu 12 vârfuri). Este absolut ciudat şi total neaşteptat, dar şi acesta poate fi cercetat din punct de vedere a unghiurilor la nivel de clasa a 6-a. În plus, acesta ne oferă o surpriză de proporţii din punct de vedere “filozofic”: dacă la hexagonul regulat putem calcula perimetru fără a fi nevoie de numere iraţionale (deşi aria implică iraţionalitatea), la dodecagonul regulat se poate calcula aria fără a avea nevoie de numere iraţionale (de bună seamă că perimetrul va implica iraţionalitatea, aşa că ideea nu mă interesează în contextul prezentului material).

Dacă nu cunoaşteţi încă de acest subiect, atunci nici nu vreau să vă răpesc bucuria de a calcula singuri aria dodecagonului. Trebuie să calculaţi aria unui triunghi din cele 12 în care se descompune orice poligon regulat, triunghiuri având cele două laturi egale cu raza cercului circumscris. Pornind de la unghiul la centru al unui astfel de triunghi, de 30o, şi determinând lungimea unei înălţimi pe o latură congruentă (nu apotema poligonului), de pildă, în triunghiul AOB să luăm înălţimea din A pe raza [OB], se poate calcula apoi aria dodecagonului, obţinând ca rezultat 3r2 (rezolvare de cel mult două rânduri).

Consider că acest rezultat cu figura şi calculul aferent se potrivesc deosebit de bine în prezentul context, vizualizând – cel puţin pe cale algebrică – într-un mod fascinant aria de trei pătrate de rază, dar mai ales diferenţa minoră până la aria cercului, adică de fapt “cum arată” 0,14 (cele 12 bucăţele care arată ca bucăţile de unghii tăiate). Singura întrebare serioasă legată de aria dodecagonului regulat este legată de cum a putut profesorimea să piardă din conştienţa generală această informaţie. Eu am aflat-o dintr-o carte nemţească din timpul războiului, iar aceasta este singura sursă unde am găsit respectiva informaţie. (în cartea respectivă problema este abordată geometric; apropos: în mod similar, am aflat de la un prieten, profesor în Klagenfurt, cum în Austria s-au scos cândva după război multiplii de unităţi deca şi hecto, dar a rămas kilo, iar actualmente profesorii nu ştiu de ce există multiplicitate de 10 pe secvenţa mili-centi-deci-unitate, dar multiplicitate de 1000 pe secvenţa unitate-kilo; dânsul a “descoperit” multiplii deca şi hecto într-o carte veche din timpul războiului şi vroia să ne povestească despre acestea la un curs, drept o mare găselniţă).

Dar sigur, pentru a prezenta această mică comoară cu aria dodecagonului, trebuie găsită o formă de a cunoaşte cu elevii din punct de vedere geometric poligoanele regulate până pe la 20 de laturi (la nivel de clasa a 6-a, nu la nivel de lungimi iraţionale). În acest sens se pot studia metode cu rigla şi compasul, dar şi metoda cu raportorul (care ne permit construcţia pe divizori ai lui 360, de exemplu a poligonului regulat cu 36 de laturi). Apropos de iraţionalitate: dacă tot este atât de îndrăgită, de ce nu se calculează în finalul clasei a 7-a şi aria octogonului regulat, că dă aşa de frumos şi uşor cu sin45o? Ar înţelege şi copiii ce-s acelea poligoane regulate, că din cele trei din programă nu se pricepe de fapt ce-s acestea în general (tringhiul şi pătratul sunt total atipice, iar hexagonul este ciudat prin regularitatea supraperfectă).

Aceasta ar fi deci prima formă de aproximare directă a ariei unui cerc, confirmându-ne că suntem din nou în apropierea acestui număr fascinant, care în cazul ariei ne spune de câte ori intră pătratul razei în suprafaţa cuprinsă de cerc.

Următoarea metodă de aproximare a ariei cercului şi a numărului π am dezvoltat-o intuitiv într-o oră în urmă cu câţiva ani. Este din nou o metodă practică de cercetare, de tip “laborator de matematică”, în care elevii trebuie să lucreze ceva mai practic. Este o abordare frontală a problemei, prin faptul că ne apucăm efectiv să numărăm pătrăţelele din interiorul cercului. Aceasta vine ca o abordare naturală dacă profesorul s-a îngrijit ca înainte să mai întreprindă astfel de momente de numărat sau determinat aritmetic numărul de pătrăţele din interiorul unei figuri geometrice (atât la finalul clasei a 5-a, cât şi recapitulativ la începutul studiului despre arii în clasa a 7-a). Deci, elevii trebuie să numere pătrăţelele din interiorul cercului, încercând să aproximeze cât mai bine aria cercului. O aproximare destul de bună se obţine dacă nu privim absolutist cerinţa de numărare a pătrăţelelor “din interiorul cercului”, privind situaţiile mai permisiv, anume prin numărarea unor “pătrăţele” şi dacă acestea ies puţin în exteriorul cercului, echilibrând astfel suprafeţele abandonate din interior (veţi vedea imediat la ce mă refer).

Pentru asta vom trasa un cerc cu raza de 5 cm pe caietul de matematică cu pătrăţele. Am ales raza de 5 cm intenţionat, deoarece acest cerc mai are încă opt puncte “de coordonate întregi” prin care trece, câte două pe fiecare sfert de cerc (datorită teoremei lui Pitagora şi a “triunghiului egiptean” cu catetele de 3 şi 4 cm care dau ca ipotenuză tot 5 cm pe raze oblice). Pentru determinarea ariei vom număra pentru început totalitatea centimetrilor pătraţi întregi, cât şi a pătrăţelelor de pe caiet reprezentând sferturi de centimetri pătraţi situaţi complet în interiorul cercului (zona roşie, respectiv pătrăţelele colorate în desen cu verde). Apoi vom lua la numărat restul pătrăţelelor, cele care sunt parţial în interior, parţial în exterior, aproximându-l pe fiecare, sau pe câte două împreună, cât se poate de bine la noi sferturi (aproximăm arcul de cerc cu o linie poligonală care merge când cum, adică în unele cazuri mai în interior, în altele mai în exterior). Se obţine astfel o suprafaţă poligonală cu aria determinabilă şi care aproximează optic foarte bine cercul ales. Din împărţirea ariei obţinute la r2 = 25 se vede că şi aproximarea prin calcul este una mulţumitoare (78 : 25 = 3,12).

Desigur că putem analiza rezultatul muncii noastre, punându-ne întrebarea “de ce avem totuşi o eroare în minus de 2 sutimi?”. În cazul unei figuri meticulos realizată, la o analiză mai atentă se vede că suprafeţele pierdute prin aproximarea în interior sunt mai mari decât suprafeţele câştigate prin aproximarea în exterior.

Pentru eficientizarea muncii, consider că şi aici ar trebui lucrat tot pe o fişă preimprimată, altfel se pierde foarte mult timp cu făcutul figurii (ştiu din experienţă: deşi lucrez foarte mult cu clasele la realizarea figurilor, tot sunt mulţi elevi care se uită “ca mâţa-n calendar”, rămân în urmă şi “nu înţeleg”, iar apoi se duc acasă şi “se plâng” cât de grea-i matematica). Astfel, în vederea preîntâmpinării neînţelegerilor,  elevii vor trebui să-şi facă doar însemnarea unităţilor de arie cu creioane colorate, să se concentreze asupra calculului centimetrilor pătraţi sau a pătrăţelelor, iar în final să facă însumarea suprafeţei şi împărţirea finală. Această lucrare practică ar putea fi dată ca sarcină într-o oră ulterioară (în nici un caz în prima oră despre lungimea şi aria cercului), la finalul orei sau combinată pe o fişă împreună cu alte sarcini mai obişnuite, cu exerciţii şi probleme (vedeţi în prima parte a eseului sfaturile de reluare preţ de câteva ore a exerciţiilor de bază, cât şi creşterea moderată a dificultăţii aplicaţiilor pentru o accesibilizare cât mai largă). Este evident scopul de a-l pune pe elev oarecum într-o stare de “cercetare” a acestui subiect, urmată de concluzia îmbucurătoare: “Uau, pot şi eu să mă apropiu de acest număr magic!”

În acest context este fascinant de cunoscut cu elevii cum au abordat problema ariei cercului vechii egipteni. Şi această metodă de determinare a ariei cercului s-ar potrivi de a fi inclusă în finalul unei fişe de lucru. Ca o paranteză fie spus, sunt conştient că prezentarea figurilor pe o fişă de lucru nu este tocmai cea mai strălucită idee în vederea obişnuirii elevilor cu construcţiile geometrice, dar îi ajută enorm să înţeleagă despre ce este vorba (foarte mulţi elevi nu au capacitatea de a extrage corect figura dintr-un text şi ca urmare abandonează, fapt recunoscut şi de organizatorii concursurilor naţionale care includ figurile geometrice în cadrul fişei de lucru cu subiectele). Se mai poate repara acest impediment dacă elevii primesc ca temă să refacă acasă figura şi calculul, copiate din fişă în caietul de matematică, construite exact cu instrumente.

Aşadar, cum făceau vechii egipteni? Informaţia vine tot din Papirusul Rhind şi sună ca o reţetă magică, ceva de felul următor (citat absolut orientativ din memorie, după diverse traduceri, care oricum sunt şi acestea doar orientative). Aşadar: Ia a noua parte (din lăţimea cercului), ia rezultatul de opt ori şi înmulţeşte apoi cu ce-ai obţinut. Asta este! (aria cercului). Elementele din paranteze nu existau de fapt în text, ci trebuiau subînţelese, iar “textul” era oricum hieroglific, departe de gândirea noastră actuală. Să recapitulăm în text clar, mai pe limba noastră: Ia a noua parte din diametrul cercului, înmulţeşte-o cu opt şi ridică la pătrat. Astfel ai obţinut aria cercului. Cu alte cuvinte, mai pe scurt spus, aria cercului ar fi egală cu pătratul a opt noimi din diametru. Scris pe limba noastră de matematicieni, am obţine formula:

.

Rezultatul (aproximativ, desigur) este unul foarte bun pentru acele vremuri (având la împărţire a treia zecimală chiar zero). Asta la cca. 1500 de ani înaintea lui Arhimede, şi se pune clar întrebarea: oare, cum s-a obţinut această metodă? De la zei sau o aveau moştenită de la atlanţi? Lăsând gluma de-o parte, şi-au bătut matematicienii capul (în ultimul un secol şi jumătate) şi au ajuns la următoarea explicaţie plauzibilă.

Suprafaţa cercului este aproximată în doi paşi: în pasul I aria cercului este aproximată cu aria octogonului “treimilor” decupat din pătratul circumscris cercului iniţial; în pasul II aria acestui octogon este aproximată la aria unui pătrat cu latura de 8 (noimi ale diametrului cercului).

Pentru o înţelegere mai bună trebuie să luăm la început o “unitate dă măsură” a problemei, anume noimea diametrului. Apoi luăm pătratul circumscris cercului a cărui arie vrem să o determinăm, şi îl împărţim în 81 de pătrăţele, plecând de la unitatea stabilită. Tehnic, pentru primul pas, este suficient dacă luăm doar punctele de treimi ale laturilor (împărţind astfel pătratul în 9 subpătrate; acest aspect întâlnit în multe surse derutează însă spre finalul raţionamentului; eu am făcut desenul cu împărţirea în 9, dar pe o tablă cu pătrăţele, fiind astfel vizibile şi cele 81 de pătrăţele mici).

Pasul I este deja foarte evident, anume că aria cercului se aproximează foarte bine cu aria octogonului IJKLMNPQ: în unele zone iese octogonul în exterior, în altele iese cercul mai în afară, părând astfel că se echilibrează ca suprafeţe. De-abia la un calcul exact vedem o eroare infimă de trei sutimi în defavoarea octogonului (faţă de rezultatul cunoscut actualmente). Dar şi acest rezultat nu este unul de neglijat, având însă în plus avantajul unei clarităţi vizuale deosebit de simple a aproximării. În multe surse însă se rămâne doar la acest nivel, după care se dă rezultatul vechilor egipteni, A ≈ 256/81∙r2, cititorul rămânând astfel într-o ciudată ceaţă mistică a neînţelegerii (inclusiv în manualul german de care am vorbit în prima parte a eseului; şi într-o imagine prezentată în muzeul Palais de découverte din Paris m-am împiedicat de respectivul neajuns). “De unde?” se va întreba cititorul, pentru că rezultatul figurii cu octogonul este de forma A ≈ 28/9∙r2.

Pasul II ne ajută în acest sens, şi doar făcând această nouă aproximare a ariei octogonului într-un pătrat cu latura de opt unităţi (printr-o ciudată adăugare de o unitate de arie, pe baza apropierii lui 63 de pătratul 64), doar aşa vom putea face pasul spre rezultatul din Papirusul Rhind. De ce a simţit nevoia învăţatul antic să facă şi acest al doilea pas, asta nu cunosc, dar putem da cu presupusul. Oricum, rezultatul îmbunătăţeşte puţin eroarea, de la o lipsă de trei sutimi la un adaos de două sutimi. Aşadar, combinând cei doi paşi, deducem că aria cercului de diametru 9 este aproximată la aria pătratului de latură 8, aceasta fiind în esenţă metoda egipteană.

Includerea acestei metode în finalul unei fişe de lucru ar avea scopul ca pe baza figurilor pre-existente în fişă elevii să refacă calcului şi să obţină în final aproximarea lui π, însoţită automat de acea cunoscută stare de uimire, scurtă dar intensă. Cu alte cuvinte, elevii ar fi puşi din nou să guste puţin din starea de “cercetător”, după principiul “căutaţi aici şi veţi găsi ceva frumos!”.

Trebuie făcută aici o scurtă precizare. Aproximarea cercului prin octogonul treimilor din pătratul circumscris este în sine o deosebită realizare şi poate fi făcută separat (adică pentru început doar pasul I şi doar pe treimi). Ideea de a aproxima cercul cu o figură poligonală, idee din care a derivat apoi “cvadratura cercului”, această idee este una deosebită şi orice elev ar trebui să o întâlnească în şcoală într-o formă simplă şi accesibilă. Iar aproximarea cu acest octogon este, fără discuţie, deosebit de accesibilă. Ideea este foarte frumoasă chiar şi dacă octogonul respectiv nu este un octogon regulat, având doar unghiurile congruente, nu şi toate laturile congruente (acest aspect ar trebui inclus undeva înainte în studiul despre poligoanele regulate).

Dacă tot am adus vorba despre Arhimede (puţin mai sus), eu aş încheia aceste preocupări cu un scurt rezumat despre rezultatele sale în domeniu. Arhimede este considerat oarecum primul geniu universal al omenirii, personalitatea sa fiind disputată intens între fizicieni şi matematicieni. Aparent câştigă fizicienii pentru că matematicienii nu-i folosesc numele, dar, la vremea sa, din creaţia lui Arhimede rezultatul cel mai înalt a fost apreciat ca fiind măsurarea sferei, adică volumul şi aria sferei (se ştie că pe piatra sa funerară erau sculptate, întrepătrunse între ele, o sferă, un con şi un cilindru). Ca o paranteză, trebuie precizat că cele două rezultate, volumul şi aria, au venit în această ordine, cu alte cuvinte, rezultatul final şi cel mai uimitor este totodată şi cel mai simplu, anume că aria sferei este de patru ori aria cercului (de acelaşi diametru).

Legat de numărul π (desigur, nedenumit ca atare în acele vremuri), Arhimede a dat cel mai bun rezultat pentru următoarele peste 1500 de ani, rezultat care se apropie extrem de bine de aproximarea acceptată ca uzuală în vremurile moderne. Anume, Arhimede a aproximat π ≈ 22/7 (anticii nu cunoşteau fracţiile zecimale) şi putem printr-o simplă împărţire verifica faptul că această fracţie ordinară aproximează numărul π corect la primele două zecimale (de abia la miimi apare eroare). Consider că acest rezultat trebuie neapărat dat elevilor, punându-i totodată să-l verifice.

Cum a reuşit Arhimede acest rezultat? Calculul este unul laborios şi depăşeşte cu mult nivelul gimnazial, dar le putem spune elevilor că acest calcul se bazează pe aproximarea ariei cercului cu aria unui poligon regulat cu 96 de laturi. De ce 96? Păi, plecând de la dodecagonul regulat, Arhimede a construit prin înjumătăţirea arcelor (adică prin bisectoare) în mod succesiv poligoane regulate cu un număr dublu de laturi, deci cu 24, 48 şi în final 96 de laturi. Nu am făcut calculul respectiv, aşa că nu pot spune dacă Arhimede s-a oprit aici considerând rezultatul unul suficient de bun (poligonul cu 96 de laturi aproximând extrem de bine cercul), sau s-a oprit aici pentru că a găsit un rezultat foarte frumos în fracţia 22/7, evident frumos prin simplitatea sa (următoarele aproximări mai exacte ale lui π prin fracţii ordinare sunt de ordinul sutelor, acestea fiind evident mai greu de memorat; dacă nu greşesc: 331/106 şi 355/113).

Există aici o precizare (eventual cu trimitere în urmă), având un clar iz practic: elevii se pot apropia de înţelegerea aproximării cercului printr-un poligon regulat cu multe laturi, dacă au realizat în prealabil un astfel de poligon. De pildă, am fi putut să le propunem elevilor spre finalul studiului despre poligoane regulate, despre care am vorbit mai la începutul acestui eseu, sau dimpotrivă, le putem propune chiar acum, în asociere cu prezentarea despre aproximarea dată de Arhimede, să construiască un poligon regulat cu 36 de laturi folosind un raportor (cel mai bine un raportor complet de 360o, care evită eroarea asamblării din două semicercuri). Astfel, împărţind cercul în 36 de arce de câte 10o şi construind poligonul corespunzător, elevii vor pricepe imediat cât de bine aproximează acesta de fapt cercul respectiv. Ca observaţie practică, este evident aici că trebuie lucrat cu creion de 0,5 sau oricum cu un creion foarte bine ascuţit. După acest desen elevii vor privi cu mult mai mare admiraţie şi respect realizarea lui Arhimede bazată pe împărţirea cercului în 96 de părţi egale şi aproximarea cercului cu poligonului regulat obţinut.

*

În final doresc să revin la analiza lecţiei deschise ţinute în toamnă. Este evidentă greşeala de strategie, prin care am încercat să înghesui atâtea şi atâtea informaţii într-o singură oră, covârşindu-i pe elevi cu o cantitate năucitoare. Dorind să fac cât mai mult, am impus o viteză peste posibilităţile majorităţii elevilor, aceştia reuşind doar să copieze ce venea de pe tablă către ei, fără însă a putea şi trece conţinuturile prin filtrul propriei înţelegeri. Este o greşeală general întâlnită, şi un aspect apărut deseori ca reproş la adresa noastră, a profesorilor de matematică. Această atitudine îşi are originea în anii ’80 când s-a marşat mult pe creşterea cantităţii şi a nivelului de lucru la clasă, în vederea obţinerii rezultatelor la olimiade şi concursuri (desigur, în contextul politic general al unor astfel de cerinţe la adresa întregii societăţi; cei care au trăit atunci îşi mai aduc aminte de veşnicele raportări de depăşiri de plan sau de îndepliniri a planului de producţie înainte de termen).

Dar, să privim şi “partea plină a paharului”: dacă nu ar fi fost întâmplarea cu această lecţie nereuşită, cine ştie cât aş mai fi amânat să “pun pe hârtie” toată această colecţie minunată despre numărul π (doar la nivel gimnazial). Şi aşa mi-a fost foarte greu, mi-a luat cam jumătate de an să găsesc forma în care să scriu toate aceste lucruri şi mai ales timpul şi energia pentru a o face.

Legat de parcurgerea tuturor acestor exemple şi informaţii, mult peste ce fac la clasă majoritatea dascălilor, am certitudinea că elevii mei, care au parcurs aceste elemente, au dezvoltat o mult mai bună înţelegere a fenomenului şi în general o gândire superioară celor care au primit doar formulele şi le-au aplicat direct ca pe nişte reţete. De pildă, elevii care s-au ocupat într-adevăr să numere cm2 şi pătrăţelele din interiorul unui cerc au dezvoltat evident o mult mai bună înţelegere a noţiunii de arie în general, cât şi a deosebiri majore între figurile cu laturi drepte şi cerc în ceea ce priveşte exactitatea determinării ariei (cei care doar au copiat de pe tablă, şi nu s-au străduit măcar acasă să înteleagă ce s-a întâmplat, desigur că nu au beneficiat de această ocazie pentru dezvoltarea gândirii).

Accentuez că ne-am preocupat aici de cunoaşterea şi înţelegerea unor fenomene ce ţin de cultura generală (de pildă noţiunea de arie), pe când lecţiile oficiale (despre poligoane regulate şi cerc) se îndepărtează cât pot mult de cultura generală, trăgând preocupările cu toată înverşunarea înspre zona abstractă de specialitate (de pildă făcând o apologie a iraţionalităţii). Ca o paranteză fie spus, este evident ajutorul oferit de întâmplarea cu “idioţenia numită aria discului”, observaţia respectivă oferindu-mi ocazia de a lămurii înainte de toate chestiunea lejerităţii limbajului (vezi postarea din martie 2020 la adresa http://pentagonia.ro/despre-idiotenia-numita-aria-discului/).

Cum ar trebui să procedăm la predarea acestei mega-lecţii? Păi, fie reuşim să alocăm acestui subiect câteva ore şi parcurgem materia aşa cum am prezentat-o în acest eseu, fie facem lecţia pe scurt şi includem restul materialului în fişe de lucru suplimentar, pentru acasă, prin care elevii să facă totuşi cunoştinţă cu toate aspectele prezentate. Poate totuşi ar fi mai bine să facem fişele de lucru combinate pentru clasă şi acasă, aşa cum am prezentat în acest eseu, stratificate desigur, fiecare fişă pe nivele de accesibilitate şi de aplicabilitate (fiecare fişă la început cu exerciţii simple, apoi cu exerciţii de complexitate mai ridicată, iar în final cu o parte de “cercetare” pe exemplele date; astfel, fiecare elev lucrează cât poate, dar are în final satisfacţia că a făcut măcar ceva; în plus, puse în această ordine şi elevii din pluton au satisfacţia că ajung şi ei până la sfârşitul fişei, chiar dacă au “goluri” pe parcurs). Astfel aranjate, aceste fişe ar putea fi folosite şi în contextul predării de la distanţă, aşa cum se cam vede că va trebui să facem în viitor (am evitat folosirea verbului “se prevede”, acesta fiind de obicei asociat unor “ordine de sus”). CTG

P.S. M-am gândit că ar fi de interes, ca o curiozitate, să aruncăm o privire în cărticica menţionată în care am găsit informaţia despre aria dodecagonului regulat. Autorul este Graf Ulrich, iar lucrarea se numeşte Kabarett der Mathematik, (Ed. Ehlermann, Dresda, 1943). Ulrich Graf abordează problema din punct de vedere pur geometric (nu cum v-am îndrumat eu, adică amestecat geometrico-algebric); o abordează printr-un şir de imagini, la modul cel mai brut, anume prin descompunerea suprafeţei discului în bucăţi care sunt apoi reasamblate în formă de trei pătrate şi un rest. Am încercat la început şi eu această cale, dar respectul faţă de demonstrarea riguroasă a diverselor aspecte implicate m-a forţat la mulţi paşi demonstrativi (lejer o pagină mare de demonstraţie, cu care am pierdut însă la vremea respectivă interesul aproape întregii clase). Iată, deci, cum pune autorul problema respectivă:

Legendarul număr π, aşa cum învăţăm la şcoală, ne spune de câte ori poate intra pătratul razei în cerc. Să încercăm această doar geometric, fără nici un calcul, ci doar cu rigla şi compasul. O dată merge fără nici un effort; şi de două ori putem construi pătratul din cerc, păstrând încă un rest respectabil. Iar dacă ne străduim o vreme, vom putea obţine chiar şi trei pătrate (cu raza cercului ca latură) din suprafaţa cercului, pentru că dodecagonul regulat (12-unghiul sau 12-gonul, cum se spune în germană) se poate descompune în exact trei astfel de pătrate. Un rest mic ne rămâne şi vedem fără niciun calcul: π trebuie să fie 3 şi încă un mic rest, fiecare amintindu-şi aici din timpul şcolii: π = 3,14159… = 3 + 0,14159… = 3 + un rest. Aşa am ajuns în  jocul nostru să o reîntâlnim pe bătrâna Doamnă Matematica, jonglând între geometrie şi  aritmetică, iar fiecare îşi poate alege ce i se potriveşte mai mult ….

Alăturat găsiţi imaginile de care vorbesc şi modul ciudat de concret de a vizualiza întrebarea “câte pătrate ale razei intră într-un cerc?” (inclusiv o încercare de-a mea de lămurire a ultimului pas, cel cu trei pătrate).

Numărul cercului (1) – Deducerea practică a lui π din perimetru

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor pe toate nivelurile de complexitate, iar arta predării înseamnă a găsi acele căi de parcurs la clasă care să le fie accesibile elevilor şi să-i stârnească în procesul gândirii, căi din care să înţeleagă fenomenul şi pe baza cărora să poată apoi lucra independent sarcinile primite ca temă.

Pare simplu şi totuşi de multe ori o dăm în bară. Eu, de pildă, am dat-o “pe de lângă” destul de urâţel în noiembrie 2019 chiar cu ocazia unei lecţii deschise la care – culmea – eu m-am înscris să o ţin. Pe scurt, am dorit să introduc acest număr, dar am făcut greşeala de a încărca lecţia mult prea tare cu diferite elemente, astfel încât lecţia pregătită şi clasa respectivă au avut foarte puţine momente în comun. Pentru ce am greşit eu mi-am luat timp şi am încercat să analizez cât mai obiectiv, după principiul “greşelile sunt bune dacă înveţi din ele”. Seria începută acum reprezintă de fapt gestul de corectură pentru respectiva oră deschisă.

Oricum, cu clasa a 7-a am petrecut şi următoarele două ore din program cu lămurirea subiectului respectiv. Elevii, în general cei buni desigur, aveau foarte multe întrebări, multe nelămurite de către cei de acasă. Pe lângă aceştia mai era şi o parte foarte consistentă a clasei care avea aerul “de parcă trecuse trenul peste ei”. Apropos, aici am atins un aspect de care noi profesorii de matematică nu prea suntem conştienţi: cei mai mulţi elevi nu înţeleg o lecţie “din prima”, aşa încât ar fi nevoie de un sistem de lecţii în care să reluăm cunoştinţele predate câteva ore, desigur tot în altă formă (până “le intră în cap”). Noi, profesorii, greşim aici pentru că avem impresia că “dacă le-am predat o chestie, ei şi trebuie să o ştie”. Nu-i deloc aşa; o vor şti eventual vârfurile clasei, cât şi cei care au acasă pe cineva care să e explice imediat ce s-a întâmplat. Mai există şi cei puţini care au forţa de a se duce acasă şi a se lupta cu noua situaţie până o înţeleg. Cei mai mulţi însă se prind despre ce-i vorba doar în următoarele ore (în cazul în care aceste ore reiau subiectul). În cazul de faţă, apariţia acestui număr ciudat, notat cu o literă necunoscută (de unde-i?, grecească? de ce? ce vrea să însemne ăsta?), această apariţie oricum îi bulversează puternic pe majoritatea (acelaşi fenomen l-am observat la apariţia ciudatei acolade de la sistemele de ecuaţii). În general, orice nouă apariţie care nu seamănă cu cele deja cunoscute, se pare că îi sperie pe foarte mulţi. În primul rând, aceste situaţii ar trebui contabilizate şi conştientizate de către profesorime, iar în cazul acestora ar trebui acţionat cu mare precauţie la introducerea respectivei noţiuni, pentru a ne asigura că ducem cu noi “în plutonul celor care au înţeles” cât mai mulţi elevi ai clasei (mă refer aici măcar la cei din corpul central al clasicului “clopot al lui Gauss”).

Stimaţi colegi, noi nu am fost formaţi să avem grijă la astfel de aspecte de ordin psihologic, dar se pare că elevii actuali sunt foarte sensibili în acest sens. Ca o scurtă paranteză, trebuie să precizez că respectiva clasă o luase oricum cam puternic pe o pantă descendentă în ceea ce priveşte învăţatul, fenomenul accentuându-se în săptămânile următoare. Astfel, am fost nevoit să iau măsuri mai hotărâte (blânde desigur, dar hotărâte) astfel încât situaţia să se redreseze pe o pantă pozitivă.

Revenind la introducerea cunoştinţelor despre măsurarea cercului şi la studiul numărului π, părerea mea actuală este că această lecţie ar trebui să se desfăşoare pe parcursul mai multor ore, într-un proces având punctul de pornire la un nivel cât mai simplu (nivel la care să se conecteze tot colectivul) şi care să urce treptat pănă la nivelul maxim al elevilor cei mai buni din clasă (deci nu doar la acest nivel, aşa cum procedează mulţi colegi cu pretenţii de excelenţă), parcursul desfăşurându-se pe două căi importante în paralel: exemple din procesul istoric de găsire a numărului π, pe de-o parte, cât şi exemple aplicative de calcul a lungimii şi a ariei cercului. Lecţia ar trebui să se desfăşoare într-o formă care să respecte cât mai mult atât aspectele psihologice (tot mai mulţi elevi trăiesc într-o “supă psihologică” greu de imaginat pentru noi matematicienii), cât şi aspectele istorice de descoperire a elementelor de măsurare a cercului (aspecte deseori profund diferite de formele de predare de sorginte academică, dragi sufletului de profesor format în ultimii 30-40 de ani).

Prin actuala serie de postări mi-am propus să prezint orientativ forma la care am ajuns pe parcursul ultimilor ani, desigur şi pe baza experienţei (ceva cam greu de digerat) din toamnă, de la actuala clasă a 7-a. Materialul ce urmează reprezintă rodul un proces de acumulare de lungă durată şi din multe surse (multe pe care din păcate nu le-am notat la vremea respectivă ca posibilă sursă bibliografică), dar şi cu mult adaos personal, fie pe bază de gândire anticipativă, fie pe bază de experinţă cumulativă.

Un ultim argument în favoarea acestei forme îl reprezintă un manual pentru clasa a 10-a (!) din Germania (bănuiesc că acest manual prezintă oricum matereia în a nuştiu-câta reluare). Este un manual pentru Gimnazii, adică pentru şcolile teoretice de la ei, echivalentul liceelor noastre într-o medie a nivelelor matematice (ei nu au despărţirea pe evantaiul filierelor uman până la real). Editura Ernst Klett Verlag are baze în toată Germania, dar acest manual (repet, pentru Gimnazium, adică pentru şcolile cele mai bune, pentru elevii din care se vor selecta cei ce vor merge şi la facultăţi) este pentru Land-ul Baden-Württenberg (Coordonatorul echipei de autori este August Schmid, iar manualul avizat din 1996). Capitolul despre măsurarea cercului este între paginile 74-91 (fiecare lecţie de 2 sau 3 pagini) şi are următoarele titluri: 1. Numărul cercului π; 2. Calculul ariei cercului (conţinutul cercului – Kreisinhalt); 3. Calculul lungimii cercului (perimetrului cercului – Kreisumfang); 4. Părţi de cerc (cu referire la sectorul cercului cu unghiul la centru, dar şi la desfăşurarea conului şi la elemente de astronomie şi geografia globului terestru); 5. Căi de apropiere de π (atât metoda egipteană, cât şi calcul modern adaptat calculatoarelor (aici am găsit anumite greşeli – uau! Şi calculatoarele pot greşi, iar o dată cu “ele” oamenii care lasă garda jos, având încredere că “a făcut calculatorul”); 6. Probleme combinate, aspecte istorice legate de calculul prin serii, cât şi elemente de cvadratura cercului. Cel puţin ¾ din material se încadrează liniştit sub nivelul practicat de matematica gimnazială din România (asta elitistă, cu care ne mândrim atâta). Explicaţia din lecţii este de obicei clară, la un nivel accesibil majorităţii, într-o combinaţie accesibilă de intuitiv şi teoretic. Noi avem acest manual în casă de la începutul anilor 2000. Dau aici poza unei părţi de pagină din acest manual pentru a vă face o imagine despre ce vorbesc (în traducere orientativă: cu cât împărţim un disc în mai multe părţi, cu atât mai tare reasamblarea acestor părţi se apropie de forma unui dreptunghi cu lungimea ½ P şi lăţimea r; deoarece aria rămâne tot timpul π r2, înseamnă că ½ P ∙ r = π r2 şi deci = 2 π r, fapt care se consemnează apoi ca teoremă (U pentru Umfang, adică perimetru, iar Satz reprezintă teoremă).

Mai am două ultime observaţii generale legate de materialul în care încerc să mă lansez cu atâta precauţie. În primul rând, este evident că întregul conţinut reprezintă de fapt un amestec între nevoile reale ale unui elev de clasa a 7-a şi posibilităţile medii ale elevului de clasa a 9-a (care reprezintă totodată vârsta elevilor de a 10-a din Germania; ei nu au clasa pregătitoare). Cu alte cuvinte, materialul ce urmează reprezintă o încercare cam “înghesuită” în nivelul clasei a 7-a, atâta vreme cât în România de peste 20 de ani nu se mai face geometrie clasică în licee. Materialul ar funcţiona mult mai bine în două parcurgeri clare, una în clasa a 7-a (fără aere elitste, cât mai accesibilă majorităţii) iar a doua, recapitulativă şi cu completări, în clasa a 9-a. În condiţiile actuale profesorii trebuie să decidă cât anume şi mai ales în ce formă să prezinte materialul la clasă, în funcţie de nivelul elevilor din colectivul respectiv.

În al doilea rând, este la fel de evident că profesorul cititor trebuie să-şi ia timpul necesar pentru “digerarea” acestui material, care este în general profund diferit faţă de forma actuală de predare. În cazul meu, această formă de predare reprezintă rezultatul unui proces lung de peste 20 de ani. Prin această serie eu îmi pun la dispoziţie toată experienţa acumulată în tema respectivă.

Varianta ce o voi prezenta reprezintă o formă de lecţie, cu cunoştinţele date “de-a gata”, care nu respectă principiile predării prin problematizare, dar experienţa arată că foarte puţini elevi pot descoperi prin problematizare cunoştinţele despre măsurarea cercului, iar aceştia de fapt au aflat de mult de numărul π, aşa că demersul şi stradania în acest sens nu-şi găsesc rostul. Ca atare este mult mai bine să parcurgem cu elevii cunoştinţele într-un format oarcum clasic, organizat orientativ în următoarele trei etape: 1) Lecţia introductivă cu prezentarea cunoştinţelor pe scurt; 2) Exerciţii şi probleme; 3) Diverse căi de obţinere a formulelor (pe post de demonstraţie).

Astfel, în prima oră ar trebui să parcurgem etapa 1), primele exerciţii din etapa 2) şi eventual o primă deducere aproximativă a numărului π, ca element din etapa 3). În orele următoare vom lucra la fixarea cunoştinţelor, la extinderea nivelului de exerciţii, probleme şi aplicaţii, cât şi la alte câteva variante de deducere a numărului π accesibile nivelului clasei. Am convingerea că această formă de ordonare a cunoştinţelor este folositoare tuturor elevilor, dar mai ales elevului mediu, care primeşte “din prima” cunoştinţele de învăţat cât şi felul cum se aplică acestea. Pe acest elev nu-l interesează de unde vin aceste cunoştinţe, cum au fost ele găsite şi de ce este totul aşa cum este. Poate îl va interesa mai încolo, după ce ajunge să se împrietenească cu aceste noi cunoştinţe. Poate, după o oră-două, vom reuşi să-i trezim interesul pentru felul cum au ajuns matematicienii să-l găsească pe acest ciudat 3,14.

Există şi un alt aspect: elevul asimilează numai ceea ce înţelege, nu tot ce i se prezintă. În acest sens există oarecum două tipuri de înţelegere: cea care acoperă plaja de la intuitiv la raţional, adică mai mult sau mai puţin intelectuală, specifică elevilor buni, cât şi un substituent al acesteia, anume înţelegerea prin exersarea celor de asimilat, care este singura valabilă şi în cazul elevilor care nu înţeleg matematica. Această a doua formă de înţelegere apare însă la un elev doar dacă exersarea este făcută la un nivel accesibil capacităţii intelectuale a acestuia. Cu alte cuvinte, etapa a 2-a, cea de exerciţii şi probleme, trebuie să cuprindă din start, imediat după etapa de prezentare a cunoştinţelor, un calup consistent de exerciţii şi aplicaţii accesibile tuturor elevilor. Acestea trebuie să reprezinte “un cap de pod” în noua lecţie de cucerit, accesibil tuturor elevilor din clasă. Pe baza acestuia şi includerii sale în “zona de confort” matematic a fiecărui elev, toţi elevii vor putea în continuare să spere la înţelegerea elementelor de dificultate sporită ce vor veni. Chiar, am putea spune că exerciţiile din acest prim calup de aplicaţii ar trebui să fie de fapt la nivelul celor mai slabi elevi din clasă. Aplicaţiile de dificultate sporită, pentru elevii buni, pot veni doar ulterior acestora (după ce elevii slabi s-au liniştit, înţelegând ce se întâmplă), sau poate, chiar mai bine, doar ora următoare.

Aici avem şi o problemă de percepţie a profesorilor legată de “hrana spirituală” pentru elevii buni şi foarte buni (categoria cunoscută sub titlul de “excelenţă”). Pentru aceşti elevi trebuie să dăm aplicaţii cât mai dificile şi complicate, dar tot ei vor fi şi principalii beneficiari ai confruntării cu diferitele căi de obţinere a aproximărilor numărului π, adică a demonstrării formulelor de lungime şi arie a cercului. Ar fi absurd să considerăm că aceştia pot fi beneficiarii unei matematici provocatoare doar prin supunerea constantă la un tir de probleme dificile. Partea practică a matematicii şi de problematizarea în cazul cercetării demonstrative le poate fi la fel de folositoare, lărgindu-le puternic tabloul despre această disciplină.

Aşadar, să “purcedem la drum”.

*

1) – Lungimea şi aria cercului (lecţia introductivă) Această lecţie are rolul de a le prezenta elevilor pe scurt materialul ce urmează a fi studiat, făcându-le direct cunoştinţă cu elementele de bază ale lecţiei. De fapt aceasta reprezintă orientativ lecţia pe care o cam fac toţi profesorii. “Lecţia” ar trebui să fie scurtă, dar recomand să nu ne grăbim, poate să fie lejer undeva către 10-15 minute, la care mai adăugăm apoi şi partea de exemple.

În primul rând trebuie să le dăm aici o figură cu un cerc în care să evidenţiem cât mai clar centrul,  raza şi diametrul cercului (cu notaţia acestora), iar alăturat cele două formule şi valoarea aproximativă general cunoscută a lui π, după principiul: “matematicienii au stabilit că: …”. Vom da formulele mai întâi în format aritmetic aproximativ, de felul Pcerc ≈ d ∙ 3,14 = 2 r ∙ 3,14  şi Acerc  r2∙3,14. Apoi, vom explica notaţia lui π (litera grecească pentru P, de la periferie, perimetru) şi vom scrie π ≈ 3,14, explicând totodată scurt, fără multe detalii, că acest număr este un număr iraţional pentru care oamenii folosesc uzual această aproximare. Tot în acest pacheţel de formule vom da în final şi formulele exacte: Pcerc = π r  şi Acerc = π r2. Eu obişnuiesc să înrămez individual aceste cinci formule pentru a accentua importanţa lor. Mesajul este clar: acestea trebuie ştiute pe de rost!

Întrerup aici parcursul acestei lecţii iniţiale cu precizarea următoare: în perioada interbelică, atunci când erau oarecum obligatorii patru clase (bunica din partea mamei avea 4 clase, bunicul însă nu), la sfârşitul clasei a 4-a elevii primeau informaţii despre măsurarea cercului (lungimea şi aria) în format aritmetic aproximativ, doar cu valoarea 3,14 (fără notaţia cu π). Această lecţie avea atunci câteva aplicaţii scurte legate de butoaie şi roţi de căruţă. Acest pas nu se mai face la ora actuală şi înţelegerea sa practică le lipseşte multor elevi (cei din categoria mai “ne-matematicieni”), aşa că recomand includerea sa aici. Desigur că această parte aritmetică aproximativă s-ar putea introduce şi în finalul clasei a 5-a, undeva printre unităţile de măsură şi elementele de măsurare a pătratului şi a cercului.

2) – Exemple de calcul În finalul acestei lecţii iniţiale introductive vom face câteva exemple de calcul pentru lungimea şi aria unor cercuri, în vederea lămuririi tuturor elevilor despre scopul acestor formule. Revin cu atenţionarea că mulţi elevi le vor primi foarte speriaţi, iar noi trebuie să avem grijă să nu le perceapă ca “picate din cer”, aproape ce ceva extraterestru (aşa cum se întâmplă de obicei, iar copiii “fug acasă” la primul adult să ceară lămuriri, să ceară ajutor, despre ce s-a întâmplat). Cu alte cuvinte: ne asumăm că lecţia tot îi sperie – oricât de scurtă şi oricât de clară (de aia o şi facem cât mai scurtă, ca să nu lungim agonia sperieturii), iar imediat în continuare facem câteva exerciţii uşoare prin care să-i destresăm, prin care elevii să vadă că nu-i aşa de greu, să vadă că este de fapt un model de rezolvare în paşi puţini şi accesibili, care se repetă la fiecare exerciţiu, deci că-i uşor! Asta ar trebui să facem noi în clasă, nu să-i lăsăm să meargă acasă speriaţi şi să-i lămurească acolo cineva (dacă au cine să-i lămurească acasă; cei care n-au pe nimeni să-i lămurească sunt condamnaţi la neînţelegerea matematicii, la frica de matematică şi la analfabetism matematic).

În contextul unei predări liniştite şi ca să mă asigur că au înţeles toţi elevii, eu aş da aici sigur trei exemple cu raza şi două exemple cu diametrul dat, toate cele cinci cazuri cu dimensiunea iniţială număr întreg (de pildă: r = 5 cm; r = 8 cm; d = 12 cm; r = 11 m; d = 20 m). La toate voi cere calculul lungimii şi a ariei, în paralel prin cele două tipuri de formule, atât cu rezultate exacte teoretic (de tipul L = 16 π cm şi A = 64 π cm2), cât şi cu rezultate aproximative, dar mult mai clare pentru înţelegerea dimensiunii respective (L ≈ 50,24 cm şi A ≈ 200,96 cm 201 cm2). Insist aici asupra acestui fapt, amintind principiul psihologic: atunci când introduci ceva nou, cu şanse mari de sperietură prin dificultatea sa inerentă de item nou, nemaiîntâlnit şi care nici nu seamănă cu nimic din ce cunoaşte elevul, atunci vom evita să introducem din prima în datele problemei şi alte elemente suplimentare de dificultate, neesenţiale pentru înţelegerea noului subiect (nu facem “sport matematic” din prima lecţie; avem timp pentru aşa ceva mai târziu).

Fişa de lucru ar putea apoi conţine şi câteva exemple cu date fracţionare, dar aş recomanda evitarea strictă pentru prima oră a unor exemple de date iraţionale; acestea pot fi introduse în orele următoare dacă neapărat dorim. Acelaşi lucru este valabil şi pentru exemple de tipul: se dă aria şi se cere lungimea, sau invers (ştiu că pe mulţi colegi “îi arde tare” să dea din prima şi tot felul de giumbuşlucuri, dar trebuie înţeles aspectul psihologic răvăşitor la adresa unor elevi; şi să nu-mi spună cineva că el are doar elevi brilianţi în clasă, ştiu sigur că sunt peste tot din cei care se blochează, chiar şi în clasele din colegiile cele mai de vârf). În schimb, fişa de lucru ar trebui să conţină şi cel puţin încă pe atâtea exerciţii de acelaşi fel pentru temă. În partea a doua a acestei ore vom putea să ne ocupăm de deducerea formulei pentru lungimea cercului, respectiv de deducerea unei prime valori aproximative pentru numărul π (matematicienii s-au ocupat cu acest subiect sute de ani; noi putem să-i acordăm măcar un sfert de oră, din când în când).

3) – O primă deducere a numărului π se poate face prin perimetrul cercului. Pentru o înţelegere raţională a lumii (formarea unei înţelegeri nemistice, cât şi obişnuinţa de a înţelege cele ce ne înconjoară), elevii trebuie în continuare să priceapă (cât mai bine posibil, la nivelul fiecăruia) de unde vine această valoare aproximativă de 3,14 în măsurarea cercului (reamintesc părerea că nu predăm matematica doar pentru examene şi concursuri, ci şi pentru formarea unei gândiri raţionale logice la elevi; lipsa acestei gândiri s-a văzut masiv în reacţia oamenilor legată de toate situaţiile cu care s-au confruntat cu ocazia pandemiei Covit19).

Alegerea de a porni în căutarea numărului π de la perimetrul cercului nu este una uşoară, eu am încercat de-a lungul anilor şi varianta de pornire de la aria cercului (în manualul nemţesc mai sus amintit se găseşte mai întâi aria şi din aceasta se deduce perimetrul, după cum se vede în argumentaţia din poza respectivă). Cred totuşi că pornirea de la lungime este mai accesibilă majorităţii elevilor şi din punct de vedere logic, lungimea (1D), adică măsurarea de pildă în cm şi mm fiind directă, pe când aria (2D) se stabileşte indirect. Pe de altă parte, pornirea de la arie este în schimb mult mai “vizibilă” pentru elevii care şi-au format în mod sănătos şi solid simţul pentru arie, adică pentru “conţinutul suprafeţei”, aşa cum zice neamţul (Flächeninhalt). Aria cercului se vede mai bine decât lungimea acestuia, elevii fiind obişnuiţi să vadă lungimi drepte şi nu lungimi “roată”, adică circulare. Ce-i drept că ei cunosc perimetrul, iar din acest motiv ar fi mult mai sănătos dacă am vorbi despre perimetrul cercului, nu despre lungimea cercului. Pentru asta noi ar trebui însă să facem “pace cu trecutul” şi să acceptăm folosirea cuvântului cerc şi împreună cu interiorul său, adică în loc de disc (sau bulină), la fel ca la toate figurile geometrice poligonale. Astfel, în acest material eu voi vorbi în general despre perimetrul şi aria cercului, dar pentru o înţelegere generală liberă, îm rezerv dreptul de a folosi din când în când (în mod aleatoriu) şi expresiile lungimea cercului respectiv aria discului (aşa fac şi la clasă pentru că elevii mei trebuie să înţeleagă şi limbajul folosit de ceilalţi profesori). Din nou atenţionez, luaţi-vă timp să digeraţi această scurtă “filozofie” de genul “teoria chibritului” (tot ce scriu aici este rezultatul încercărilor şi al gândurilor de mulţi ani).

Începutul acestei lecţii ar trebui să fie făcut be baza unei simple observaţii la una dintre cele mai cunoscute figuri geometrice: hexagonul regulat înscris în cerc (dedus din împărţirea cercului cu compasul în şase părţi egale, desen echivalent ca proprieţăţi cu foarte cunoscuta figură mistică “floarea vieţii”), hexagon compus din şase triunghiuri echilaterale. Pe baza cunoaşterii anterioare a acestei figuri se poate observa că perimetrul hexagonului regulat este egal cu 6r, fiind deci triplul diametrului: Phexagon = 3∙d.  Putem aici să folosim pe desen trei culori diferite cu care să trasăm tot câte două laturi consecutive ale hexagonului cu aceeaşi culoare, evidenţiind astfel trei diametre pe perimetrul hexagonului. Analizând figura cu hexagonul regulat înscris în cerc, putem deduce că Pcerc > Phexagon  şi deci că Pcerc > 3d. Scopul acestei lecţii scurte este de a afla orientativ cu cât depăşeşte perimetrul cercului triplul diametrului.

De multe ori oamenii de rând reproşează matematicienilor că nu fac nimic practic, şi în general chiar au dreptate. În acest sens, eu propun aici o scurtă lecţie practică (o lecţie de tip “laborator de matematică”) de măsurare a perimetrului cercului şi comparare a acestuia cu diametrul. Pentru asta ne trebuie câteva recipiente rotunde şi un metru de croitorie. Elevii trebuie să măsoare diametrul recipientului şi circumferinţa acestuia, iar în final să facă o împărţire. În funcţie de acurateţea măsurărilor, rezultatul se apropie mai mult sau mai puţin de 3,14. Pentru rezultate cât mai bune trebuie însă să avem grijă la câteva aspecte.

În primul rând, recomand metrul de croitorie şi nu o ruletă, pentru că ruleta flambează şi ca urmare denaturează măsurarea, deci şi rezultatul final. Metrul de croitorie este singurul instrument menit să măsoare şi “roată împrejur”; ruleta nu se potriveşte bine la aşa ceva, exact datorită faptului că tehnic a fost gândită să se susţină singură dreaptă pe anumite lungimi.

În al doilea rând, trebuie avut mare grijă ce recipiente rotunde alegem. Din start trebuie avertizat că oalele nu sunt bune pentru că au o teşitură rotunjută pe circumferinţa bazei, aşa că nu permit o măsurare exactă a diametrului. Altele nu au această teşitură, dar nici nu sunt cilindrice ci mai mult tronconice în apropierea bazei, încurcând astfel măsurarea circumferinţei. Nouă ne-ar trebui obiecte cilindrice cu muchia bazei cât mai clară. Diverse ţevi de PVC s-ar potrivi foarte bine pentru aşa ceva (trebuie unele cu tăietură, pentru că din fabrică vin cu teşitură, iar aceasta denaturează măsurătoarea; capacul de PVC din poză are teşitură, dar are trecut şi diametrul pe etichetă, fiind făcut standard de 12,5 cm, deci teoretic nu mai trebuie măsurat diametrul, pentru că este dat. Pentru măsurarea ambelor dimensiuni, eu am folosit în ultima vreme câteva recipiente din plastic pentru diferite produse lactate (muchie destul de clară şi suprafaţă laterală aproape cilindrică, în plus legate direct de realitatea înconjurătoare a elevilor, spre deosebire de ţevile PVC care dau o tentă tehnică întregului proces, bună şi aceasta de fapt). Şi rolele de bandă adezivă sunt foarte potrivite scopului propus aici.

Conservele de tablă dimpotrivă, nu sunt prea bune pentru că au acea buză de asamblare, care introduce automat eroare. Eventual o doză mare din tablă, cum ar fi cele ce apar ocazional cu panetone, ar da o eroare mai mică din cauza faptului că influenţa buzei scade cu cât avem un diametru mai mare. În general trebuie deci să alegem obiecte care să permită o măsurare cât mai exactă a diametrului şi a circumferinţei pe acel diametru. În lipsa unui metru de croitorie, sigur că putem căuta şi alte metode de a măsura circumferinţa, de pildă prin rostogolirea unei conserve pe o coală de hârtie (astfel am putea măsura diametrul şi circumferinţa buzei conservei; vă las pe dvs. să lămuriţi metoda), sau prin înfăşurarea unei aţe ne-elastice şi măsurarea acesteia cu liniarul.

Cel mai potrivit ar fi să organizăm această scurtă lecţie pe grupe de lucru, fiecare grupă primind un obiect rotund de măsurat (desigur, de diametre diferite) şi un metru de croitorie (eventual un metru la două grupe). Se explică sarcina şi fiecare îşi face treaba. Între timp profesorul construieşte pe tablă un tabel cu patru coloane (grupa, diametrul, circumferinţa şi rezultatul împărţirii) şi linii pentru toate grupele. Reprezentanţii fiecărei grupe vin apoi şi îşi trec rezultatele în tabel. În final se analizează rezultatele şi toată lumea îşi trece tot tabelul în caiet. Eu mă gândesc că ar fi suficiente 4-6 grupe de lucru cu diametre clar diferite, dacă vrem ca tabelul să nu crească prea tare şi să fie nevoie de prea mult timp pentru copierea sa (plus că pot apărea erori de copiere în caiet la tabele cu prea multe linii). Este evident că ne vom bucura de orice rezultat între 3,1 şi 3,2,

Aceasta ar fi o metodă practică de obţinere a unei aproximări onorabile pentru numărul cercului, adică pentru 3,14 drept “raportul dintre circumferinţa şi diametrul cercului” (observaţi că am folosit denumirea de raport pentru π, la fel cum folosesc acest cuvânt şi la “rapoartele trigonometrice” în gimnaziu, în loc de “funcţii trigonometrice” specifice trigonometriei din liceu) Ca o scurtă observaţie, în contextul ideii de raport, consider că sunt absurde exerciţiile în care elevii primesc o lungime egală cu π cm. Desigur că această lungime există, de pildă la cercul cu diametrul sau cu raza unitate, dar în clasele gimnaziale nu ar trebui să practicăm astfel de giumbuşlucuri de “matematică sportivă” potrivite mai degrabă maturităţii matematice din liceu, eventual materiei din jurul şi de după studiul cercului trigonometric.

Închei această primă parte a lecţiilor cu o scurtă întâmplare anecdotică. În urmă cu mulţi ani, am predat la cerc doar lecţia de bază, cu explicaţiile de rigoare că 3,14 este o valoare aproximativă şi că numărul π are o infinitate de zecimale, care apar neperiodic, etc. În ora următoare un elev a ridicat mâna şi mi-a zis că verişorul lui, care este în liceu, i-a spus că numărul π  este exact 3,14! Da, da! Nu are rost să mă pun eu cu verişorii ăştia mari, că ştiu ei mai bine. CTG

P.S. Având ceva mai mult timp cu ocazia acestei “vacanţe forţate” de PDV (pandemia de Corona virus), m-am uitat în câteva cutii cu cărţi la care n-am umblat de mult şi surpriză! Să vezi şi să nu crezi ce-am găsit: un manual de clasa a 7-a din Austria din 1977 (Rinderer Leo, Laub, Josef, şa, Mathematik 3.Kl. Ed. Hölder-Pichler-Tempsky, Viena, cam pentru vârsta elevilor din clasele noastre de a 6-a). Răsfoiesc eu prin manual în căutarea unor lecţii interesante şi aşa ajung şi la lecţiile despre măsurarea cercului. Aici prima lecţie este despre lungimea cercului şi, în principiu spune cam ce am zis şi eu mai sus, anume îi pune pe elevi să măsoare circumferinţa şi diametrul unui obiect cilindric. Interesant este felul în care sunt îndrumaţi elevii să măsoare circumferinţa cercului, anume să înfăşoare o aţă ne-elastică (precizat clar) de 10 ori în jurul cilindrului, să măsoare exact acea aţă şi să ia pentru circumferinţă a zecea parte din rezultat (?). Oare astfel se evită mai bine greşeli de măsurare? Se prea poate (pag. 209).

Câteva pagini mai încolo, la lecţia despre aria cercului, apare din nou descompunerea discului recompusă în formă de dreptunghi, prezentată la începutul acestui eseu, într-o variantă puţin diferită, folosită de data asta pentru trecerea de la perimetrul cercului către aria sa. Interesante sunt aici apariţia a două noi formule pentru arie în funcţie de diametru: formula exactă A = d2 π / 4 şi formula aproximativă A = 0,785 ∙ d2.

Conţinutul acestei imagini poate fi folosit uşor ca bază pentru o primă încercare în  deducerea ariei cercului. Fie la finalul primei ore descrisă mai sus, fie ca temă inclusă în finalul fişei de lucru din prima oră, fie în următoarea oră se poate face următoarea lucrare practică: elevii vor trebui să construiască pe hârtie colorată şi să le decupeze cele două figuri echivalente în paralel, discul împărţit în 8 părţi egale şi alăturat reasamblarea pieselor în formă “dreptunghiulară” (cei curajoşi primesc desigur recomandarea să facă împărţirea în 16 părţi egale). Vedeţi că această ultimă imagine are un mic pas în plus faţă de reasamblarea din prima imagine, anume că aici o optime a fost tăiată în jumătăţi, fiecare din acestea fiind lipită la câte un capăt al şirului celorlalte şapte optimi, astfel încât figura compusă seamănă şi mai bine cu un dreptunghi decât cu un paralelogram (având lăţimea perpendiculară pe “lungime”).

Vedeţi în imagine că oricum această lucrare practică este recomandată prin forfecuţa reprezentată la început lângă nr. 1155 (în colţul din stânga sus). Autorii recomandă în text o rază de 6 cm, dar mult mai interesant, ne recomandă să decupăm discurile şi să obţinem împărţirea în opt părţi egale prin împăturiri succesive a acestora: prima împăturire în jumătăţi, a doua în sferturi, iar a treia în optimi. Unul dintre aceste sectoare de cerc trebuie împărţit încă în două de-a lungul axei sale de simetrie; aceste două bucăţi sunt cele care se vor pune la capete.

Dacă alegem această cale şi dorim să mergem până la şaisprăzecimi, atunci va trebui să ne pregătim cu hârtie cât mai subţire, pentru că hârtia normală de copiator nu se lasă împăturită cu exactitate de prea multe ori. Puteţi lucra totuşi şi pe hârtie de copiator, dar după fiecare pliere faceţi direct tăierea sau ruperea celor două jumătăţi. Aici desigur că le vom povesti că această transformare este doar o imagine intuitivă, practică, orientativă pentru fenomenul studiat; este evident că forma obţinută nu este un dreptunghi pentru că are lungimile ondulate, dar acestea vor deveni tot mai drepte cu cât vom descompune discul în tot mai multe sectoare de disc.