Folosirea intuiţiei în noua programă de gimnaziu

Odată cu începutul anului şcolar 2017-2018 profesorii de matematică vor trebui să-şi reseteze predarea, cel puţin la clasele a V-a, conform noilor cerinţe din programa aprobată în primăvară. Între toate aceste cerinţe, folosirea intuiţiei în predare la clasele V-VI se remarcă cu o insistenţă ieşită din comun. Astfel, cuvântul intuiţie, în diferitele sale forme, apare în această programă de peste 20 de ori!

În acest sens am hotărât să postez şi aici cele două părţi ale noii programe care se ocupă în format compact despre aspectele metodice: nota de prezentare (2 pagini A4) şi partea de sugestii metodologice (4 pagini A4). Pe lângă pasajele unde apare cuvântul intuiţie, mi-am permis să boldesc în conţinutul acestora diferitele aspecte importante ce vor trebui urmărite de către profesori începând din acest an şcolar, ţinând cont de faptul că în predarea multor profesori respectivele aspecte lipsesc uneori cu desăvârşire. Dau un singur exemplu (la întâmplare): mulţi profesori neglijează constant folosirea instrumentelor geometrice la tablă, susţinând că figura exactă nu contează, important fiind doar raţionamentul. Mai ales compasul suferă în acest sens, pentru că majoritatea nu ştiu nici măcar să-l folosească la tablă. Iată în continuare cele două părţi ale programei. CTG

*

Notă de prezentare

Evolutia umanităţii a fost strâns legata de dezvoltarea matematicii. Obiectele specifice matematicii sunt în concordanţă cu nevoile şi interesele omului pentru rezolvarea unor situaţii teoretice, metodologice şi practice, dar şi estetice. Matematica nu se rezumă doar la studiul numerelor şi al relaţiilor dintre acestea, ci este un domeniu de creaţie, bazat pe gândire logică şi inovatoare.

Matematica este o disciplină de mare profunzime, având un caracter deschis, datorat şi existenţei unei serii de probleme nerezolvate (conjecturi). În timp, rezolvarea acestora a condus la crearea unor domenii noi de cercetare şi a contribuit la rezolvarea unor probleme conexe altor arii de cunoaştere. Totodată, Matematica contribuie la înţelegerea realităţii subiective a propriei persoane şi a realităţii obiective a mediului înconjurător.

Programa şcolară de matematică reprezintă o componentă esenţială a curriculumului naţional, în acord cu Planul-cadru de învăţământ pentru învăţământul gimnazial, aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului şi utilizarea eficientă a resurselor didactice disponibile. Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică şi ştiinte ale naturii din trunchiul comun şi este prevazută în planul-cadru de învăţământ cu un buget de timp de 4 ore/săptămână.

În procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programa şcolară pentru ciclul primar la disciplina Matematică, competenţele-cheie pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii din cadrul european de referinţă, rezultatele înregistrate la evaluările naţionale şi internaţionale pentru învăţamântul gimnazial şi principiile de construcţie curriculară.

Procesul de proiectare curriculară a programei şcolare de matematică pentru învăţământul gimnazial s-a realizat ţinând cont de:

  • adecvarea curriculumului la realităţile interne ale societăţii şi ale sistemului de învăţământ, având ca obiectiv pregătirea elevului pentru viaţă, în general, şi pentru integrarea socio-profesională, în special;
  • echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei şi integrarea acestora într-un sistem coerent la nivel de interdependenţe funcţional structurale şi din punct de vedere temporal;
  • flexibilitatea curriculumului prin parcurgerea şi aplicarea acestuia la clasa, în contextul respectării diferenţelor la elevii de aceeaşi vârsta (ritm de învăţare, nivel de achiziţii anterioare, motivaţie internă, specific cultural şi comunitar);
  • continuitatea curriculumului prin asigurarea unei tranziţii optime de la un ciclu de învăţământ la altul şi de la un an de studiu la altul, cu introducerea unor secvenţe de iniţiere a procesului de instruire la nivelul achiziţiilor de bază în termeni de conţinuturi-ancoră;
  • diversificarea criteriilor de structurare a conţinuturilor programei şcolare la nivelul achiziţiilor de bază, cu deschideri semnificative în planul practicii didactice;
  • corelarea activităţilor propuse prin curriculum cu dimensiunea axiologică a idealului educaţiei, referitor la formarea personalităţii autonome creative;
  • utilitatea curriculumului în raport cu cerinţele partenerilor educaţionali: profesori, elevi, familie, comunitate, reflectate în componentele specifice programei: competenţe generale, competenţe specifice, exemple de activităţi de învăţare, conţinuturi şi sugestii metodologice, inclusiv precizări privind evaluarea competenţelor formate/dezvoltate.

Prin specificul său, disciplina Matematică este esenţială în formarea şi dezvoltarea competenţelor necesare pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii, şi constituie un fundament solid pentru argumentare, dezvoltare de raţionament logic, spirit şi gândire critică, analizare, interpretare şi rezolvare de probleme.

Atitudinile promovate de programa şcolară de matematică sunt cele prevăzute în documentele europene pentru educaţia matematică: respectul pentru adevăr şi perseverenţa pentru găsirea celor mai eficiente soluţii, dezvoltarea de argumente şi evaluarea validităţii acestora. Abordarea în spirit matematic a situaţiilor cotidiene solicită un tip de gândire deschisă şi creativă, precum şi un spirit de observaţie dezvoltat, matematica fiind modelul perfect pentru exersarea şi implementarea gândirii critice la elevi. Prezenta programă şcolară îşi propune să formeze la elevi iniţiativa şi capacitatea decizională, independenţa în gândire şi în acţiune pentru a avea disponibilitate de a aborda situaţii variate, precum şi capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura modelării unei situaţii date, a rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii. Programa şcolară de matematică promovează exersarea obişnuinţei de a recurge la modele matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.

Demersul de predare-învăţare-evaluare poate fi organizat individual, frontal sau pe grupe, cultivând astfel spiritul de echipă, încrederea în sine şi respectul pentru ceilalţi, toleranţa, curajul de a prezenta o opinie personală şi spiritul de iniţiativă al elevilor. Încrederea în sine şi autonomia personală sunt susţinute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursa de învăţare, prin încurajarea unor abordări din perspective multiple şi prin aplicarea matematicii în viaţa de zi cu zi. Astfel se dezvoltă motivaţia elevilor pentru a reuşi în învăţare şi, implicit, pentru continuarea studiului disciplinei. Programa şcolară de matematică pentru gimnaziu se concentrează pe formarea şi pe dezvoltarea gradată şi continuă a competenţelor matematice, care permit elevilor să răspundă la situaţii diverse făcând atât corelaţii intradisciplinare, cât şi interdisciplinare.

Structura programei şcolare include, pe lânga Nota de prezentare, următoarele elemente:

Competenţe generale

Competenţe specifice şi exemple de activităţi de învăţare

Elemente de conţinut

Sugestii metodologice

Competenţele generale vizate la nivelul disciplinei, încadrează achiziţiile de cunoaştere şi de  comportament ale elevului, fiind comune întregului ciclu de învăţământ gimnazial şi redând, într-un mod particularizat pentru aceasta disciplină, orientarea generală a procesului educaţional.

Competenţele specifice sunt competenţe derivate din competenţele generale şi reprezintă etape măsurabile în formarea şi dezvoltarea acestora. Pentru formarea şi dezvoltarea competenţelor specifice, în programă sunt propuse exemple de activităţi de învăţare care valorifică experienţa concretă a elevului şi care definesc contexte de învăţare variate. Programa şcolară de matematică pentru gimnaziu propune o oferta flexibilă de activităţi de învăţare. Profesorul poate să modifice, să completeze sau să înlocuiască aceste activităţi cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil să se realizeze un demers didactic personalizat, care să asigure formarea/dezvoltarea competenţelor prevăzute de programă, în contextul specific al fiecărei clase.

Conţinuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru matematică, structurate şi abordate astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt mijloace informaţionale prin care se formează şi se dezvoltă competenţele specifice. Conţinuturile au fost selectate pe baza principiului continuităţii şi al coerenţei şi sunt puternic interconectate, astfel încât, după parcurgerea lor integrală, elevul să fie capabil să realizeze conexiuni între idei, texte cu conţinut matematic, reprezentări grafice şi formule, în scopul rezolvării unor probleme diverse, de natură teoretică sau practic-aplicativă.

Sugestiile metodologice reprezintă o componentă a programei care propune modalităţi şi mijloace pentru realizarea demersului didactic.

Note definitorii ale acestei programe

Programa şcolară de matematică delimitează, pentru fiecare clasă a învăţământului gimnazial, un nivel de pregătire matematică necesar elevilor pentru continuarea studiilor disciplinare şi, pe baza acestuia, trasarea posibilităţilor de avansare în învăţare.

Programa şcolară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fiind la dispoziţia profesorului pentru activităţi remediale, de fixare sau de progres.

O caracteristică a acestei programe şcolare este că, în clasele a V-a si a VI-a, noţiunile sunt prezentate intuitiv, evitându-se abuzul de notaţii sau de abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, aşteptările sunt ca elevul să poata deja dezvolta raţionamente deductive simple, utilizând, dacă este cazul, contraexemple. Elevul devine capabil să folosească diferite mijloace de învăţare, inclusiv softuri matematice. De asemenea, poate folosi în mod adecvat regulile de calcul pentru a investiga idei matematice şi pentru a rezolva diverse situaţii problematice.

Paşii către dezvoltarea unei gândiri structurate, teoretizările sau raţionamentele mai ample, orientate spre formarea unor competenţe de transfer al matematicii în practică şi al cotidianului în modele matematice, precum şi familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoaşterii, se realizează treptat, mai accentuat în ultimii doi ani din gimnaziu.

Extinderea spaţiului numeric la acest nivel de şcolaritate impune înţelegerea şi dezvoltarea unor competenţe de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor noţiuni de geometrie şi de măsurare devine o premisă în înţelegerea unor noţiuni specifice altor discipline prevăzute în planul-cadru.

*

Sugestii metodologice

Formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice reprezintă mai mult decât a învăţa concepte matematice şi presupun procese cognitive şi metacognitive valorificate printr-o buna alegere şi construcţie a experienţelor de învăţare din cadrul procesului de predare-învăţare-evaluare. Acest proces creează oportunităţi pentru ca elevii să fie conduşi spre conexiuni între diferite teme, între abstract şi practic, iar mijloacele TIC reprezintă un avantaj important în explorarea de concepte şi relăţii matematice.

În proiectarea şi desfăşurarea activităţilor de învăţare vor fi valorificate şi dezvoltate experienţa matematică acumulată de către elevi în anii anteriori, precum şi gândirea elevilor aflată la un nivel de maturitate specific acestei etape. Sarcinile de învăţare vor fi eşalonate după gradul lor de dificultate, iar nivelul de aprofundare şi complexitatea conţinuturilor vor fi corelate cu nivelul de dezvoltare cognitivă a elevilor.

Introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de conţinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea înconjurătoare, de la experienţa anterioară a elevilor şi de la conexiunile intradisciplinare şi interdisciplinare, realizând astfel un demers didactic care echilibrează nivelul intuitiv/descriptiv cu rigoarea specifică matematicii.

Abordarea intuitivă reprezintă o formă de cunoaştere imediată a adevărului, fără raţionamente logice complexe preliminare. Este o modalitate de a organiza, ierarhiza, gestiona informaţiile nestructurate, cu scopul de a forma reprezentări matematice, de a propune metode de rezolvare a unor situaţii date sau de a anticipa situaţii, această abordare fiind o etapă necesară în generalizări sau formalizări ulterioare. În matematică, intuiţia este privită ca o primă etapă a înţelegerii anumitor informaţii, metode sau rezultate, fiind o formă de interpretare a realităţii, bazată pe experienţă şi pe raţionamente anterioare, aplicate unor situaţii similare.

Pornind de la premisa că există o strânsă legatură între întelegerea unor noţiuni şi reprezentarea mentală a acestora, se va acorda o importanţă deosebită competenţelor specifice asociate conţinuturilor din algebră şi geometrie, care sunt noi pentru elevii din gimnaziu. Modul în care elevii îşi reprezintă ideile, structurile, informaţiile îi ajută în rezolvarea problemelor şi, în general, în gestionarea informaţiilor. Deoarece reprezentările matematice se bazează unele pe altele, profesorii vor evidenţia conexiunile posibile dintre noţiuni.

În cazul calcului numeric, de exemplu, intuiţia presupune estimarea rezultatului unui calcul, fără a efectua operaţiile. Introducerea geometriei se va realiza tot într-o maniera intuitivă, prin exemple sau accesând experienţele anterioare ale elevilor, utilizând desene sau modele spaţiale, astfel devenind posibilă încadrarea corespunzătoare într-o sfera conceptuală (de exemplu, pătratul poate fi înţeles în conexiune cu alte figuri: pătratul este un romb cu un unghi drept; pătratul este un dreptunghi cu două laturi alăturate egale). Cu ajutorul exemplelor intuitive se pot elimina erorile tipice şi se pot forma şi accesa reprezentări matematice corecte. Într-o etapă ulterioară intuiţia se verifică prin diverse metode: măsurare sau exemplificare şi se validează prin raţionament matematic bazat pe argumente logice. Exersându-şi intuiţia, elevul ajunge să interpreteze matematic realitatea înconjurătoare, ca expresie a competenţelor matematice, cultivându-şi astfel încrederea în sine.

Prin construcţia programei, elevii sunt provocaţi să înţeleagă matematica prin raportare la experienţa cotidiană. Într-o prima etapă, aplicaţiile se vor limita la formarea deprinderilor de bază, fără calcule ample/sofisticate. Şi în cazul geometriei, în partea sa de început, introducerea oricărei noţiuni se face tot prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate întâi prin observare directă şi verificate prin măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive, raţionamentul fiind introdus către finalul clasei a VI-a (începând cu metoda triunghiurilor congruente).

Competenţele generale şi competenţele specifice derivate din acestea respectă etapele de structurare specifice operaţiilor mentale dezvoltate la nivelul acestei discipline, astfel se pot identifica următoarele corespondenţe:

identificarea unor elemente noi în diferite contexte, care duc la o reorganizare a sferei conceptuale, pe baza observaţiei (C.G.1: Identificarea unor date, mărimi şi relaţii matematice în contextul în care acestea apar);

prelucrarea datelor, ca nivel elementar al aplicaţiilor, folosind o regulă sau o formulă dată, ori recurgând la reprezentări (C.G.2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaţionale);

utilizarea algoritmilor, metodelor sau a unor reguli matematice în situaţii diverse (C.G.3: Utilizarea conceptelor şi a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice);

exprimarea în limbaj matematic pentru descrierea unei situaţii matematice, prezentarea unei probleme, a unui demers de rezolvare sau a rezultatului obţinut (C.G.4: Exprimarea în limbajul specific matematicii a informaţiilor, concluziilor şi demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată);

interpretarea unor situaţii problematice, ca etapă superioară de aplicare a matematicii, în context intradisciplinar şi interdisciplinar (C.G.5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date);

modelarea matematică prin utilizarea cunoaşterii dobândite, integrând achiziţii din diverse domenii (C.G.6: Modelarea matematică a unei situatii date, prin integrarea achiziţiilor din diferite domenii).

Modalităţile de organizare a activităţilor de învăţare (frontale, individuale sau pe grupe) se vor adapta particularităţilor clasei de elevi, resurselor disponibile şi finalităţilor vizate. Se recomandă utilizarea metodelor şi mijloacelor didactice care să favorizeze implicarea elevului în propriul proces de învăţare, inclusiv a mijloacelor TIC.

În cadrul procesului de predare-învăţare-evaluare, componenta evaluare are un rol fundamental. Deoarece este necesară asigurarea unui feedback permanent şi corespunzător, atât pentru actorii procesului educaţional, cât şi pentru factorii de decizie, se va urmări accentuarea dimensiunii formative a evaluării. Astfel, se va monitoriza nivelul de formare şi dezvoltare a competentelor specifice asociate fiecărui domeniu de conţinut şi, implicit, se va orienta demersul didactic spre trecerea la domeniul de conţinut următor, spre aprofundarea unor aspecte sau spre revenirea asupra aspectelor deficitare, prin alocarea unui timp suplimentar de studiu, având mereu în vedere zona proximei dezvoltări.

Evaluarea se realizează în principal în vederea învăţării, prin forme, metode şi instrumente cât mai diversificate, orientate pe formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice:

forme de evaluare: evaluare frontală, evaluare scrisă, evaluare asistată de calculator;

metode de evaluare: conversaţia, explicaţia, observarea sistematică a activităţii şi comportamentului elevului, rezolvarea de probleme, autoevaluarea, jocul didactic, portofoliul, investigaţia, studiul de caz, proiectul etc.;

instrumente de evaluare: fişe de lucru sau fişe de lucru individualizate, seturi de întrebări structurate, chestionare, teste de evaluare etc.

Programele şcolare de matematică pentru clasele a V-a si a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notaţii, teorie prezentată în extenso, demonstraţii exhaustive) şi cu accent pe formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice prin exersarea cu scop, cu o mai bună legătură cu realitatea şi favorizând abordări intradisciplinare şi interdisciplinare. Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

CLASA a V-a

Programa şcolară de matematică pentru clasa a V-a realizează o continuitate între ciclul primar şi cel gimnazial, urmărind o construcţie curriculară logică şi coerentă, care îmbină nivelul intuitiv cu rigoarea specifică matematicii, construcţie adaptată caracteristicilor elevilor în această etapă de dezvoltare.

Abordarea problemelor prin metode aritmetice (atât la Numere naturale, cât şi la Fracţii ordinare. Fractii zecimale) are în vedere dezvoltarea capacităţii de analizare şi sintetizare a informaţiilor dintr-o situaţie-problemă, a raţionamentului logico-matematic. Se vor evita abordările algebrice (de altfel noţiunea de ecuaţie nu se regăseşte în programa de clasa a V-a, fiind introdusă în clasa a VI-a).

Noţiunile „cel mai mare divizor comun” şi „cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv multiplilor, iar identificarea „celui mai mare divizor comun”, respectiv a „celui mai mic multiplu comun” se realizeaza strict cu scopul utilizării acestor noţiuni în efectuarea operaţiilor cu fracţii. Prin urmare, se recomandă folosirea fracţiilor care au la numitor numere formate din cel mult două cifre, urmărindu-se cu prioritate fixarea regulilor de calcul şi crearea unui „simţ al numerelor” şi nu efectuarea unor calcule voluminoase.

Noţiunea de număr raţional se va prezenta doar la nivel intuitiv, ca exprimare prin forme echivalente de scriere a aceluiaşi obiect matematic; de exemplu: o doime, trei şesimi, 0,5 sau 50% reprezintă forme de reprezentare a aceluiaşi număr raţional, care semnifică o jumătate dintr-un întreg.

Abordarea elementelor de geometrie urmăreşte, cu precădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice şi formarea deprinderilor de identificare, investigare şi construcţie a figurilor şi corpurilor geometrice. De asemenea, se face trecerea de la perceperea intuitivă a noţiunilor geometrice de bază la reprezentarea şi notarea lor. Tema Figuri congruente se va prezenta în mod intuitiv, denumind „figurile congruente”, de exemplu, „figuri care pot fi suprapuse exact”. Pentru poligoane, acest lucru revine la faptul că „doua poligoane congruente au aceeaşi formă şi mărime, iar elementele corespondente (unghiuri, laturi) sunt congruente”.

La tema Probleme de utilizare a datelor, temă abordată şi în programa şcolara de matematică de la ciclul primar, introducerea noţiunilor de frecvenţă şi medie ca elemente care pot fi extrase dintr-o reprezentare statistică de date, urmăreşte familiarizarea elevilor cu unele metode de prelucrare, reprezentare şi interpretare primară a datelor statistice.

În toate activităţile de învăţare, accentul se va pune pe evidenţierea dimensiunii aplicative a cunoştinţelor matematice, în situaţii concrete cât mai variate, avându-se în vedere intradisciplinaritatea şi interdisciplinaritatea, dar şi utilizarea mijloacelor TIC. Astfel, se au în vedere stimularea şi menţinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

CLASA a VI-a

Programa şcolară de matematică pentru clasa a VI-a continuă demersul început în clasa a V-a din punct de vedere al prezentării intuitive/descriptive a noţiunilor, urmărind ca în final să se treacă la definirea riguroasă a unor concepte matematice şi la demonstrarea unor proprietăţi.

Pentru formarea şi dezvoltarea competenţelor specifice, la tema Mulţimi. Mulţimea numerelor naturale prezentarea noţiunilor se va realiza fără exces de limbaj formal sau de notaţii, utilizând multimi date doar prin diagrame sau prin enumerări de elemente, inclusiv în cazul operaţiilor cu mulţimi, cu legături intradisciplinare (elemente de bază ale geometriei de tip mulţimi de puncte, drepte etc.), urmărind şi dezvoltarea gândirii combinatorice.

La tema Rapoarte. Proporţii, conceptele vor fi introduse pe baza cât mai multor exemple din realitate, din cadrul altor discipline, din corelaţii intradisciplinare, nivelul de dificultate al aplicaţiilor raportându-se în principal la intuiţie şi observare directă, fără a se baza pe raţionamente ample. Aplicaţiile în zona proporţiilor derivate au rol de a anticipa utilizarea acestora în capitolul de asemănare, exersarea având scopul formării unor deprinderi de bază. Elevului i se vor crea situaţii de învăţare în care trebuie să colecteze date reale pentru stabilirea unor proporţionalităţi sau alte caracteristici ale unor serii de date, inclusiv prin învăţarea prin colaborare, fiind încurajat să emita ipoteze pe baza datelor colectate sau informaţiilor accesate din diverse surse (media, internet). Se vor utiliza jocuri practice prin care elevul să fie pus să experimenteze şi să identifice evenimente asociate experimentului (aruncarea zarului, alegerea unei bile dintr-o cutie etc.).

La temele Mulţimea numerelor întregi şi Mulţimea numerelor raţionale accentul trebuie pus pe introducerea numerelor din considerente şi necesităţi practice, reprezentarea pe axa numerelor fiind realizată cu scopul formării unor deprinderi de localizare. La utilizarea modulului, nu se va folosi calculul literal, acordându-se o pondere mare exemplelor numerice care utilizează distanţe măsurate pe axa numerelor. Pentru sprijinirea deprinderilor de calcul mintal, se vor utiliza jocuri didactice şi se va limita calcul numeric la zona de exersare relevantă.

Tema Noţiuni geometrice fundamentale continuă introducerea realizată în clasa a V-a (noţiunile de punct, dreaptă, segment, unghi) în aceeaşi manieră, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive. Accentul va fi pus pe consolidarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice pentru realizarea desenelor specifice, pe utilizarea de softuri educaţionale în vederea facilitării înţelegerii/identificării mai bune/mai uşoare a unor caracteristici ale configuraţiilor geometrice.

La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. Activitaţile de învăţare de la calculul cu unităţi de măsură vor urmări formarea deprinderilor de bază, reflectând cât mai mult din realitatea înconjurătoare. Rolul introducerii teoremei lui Pitagora, fără demonstraţie, este de a sprijini întelegerea unor fenomene studiate la diverse discipline, iar exersarea trebuie să fie bine dimensionată, pentru a încuraja elevul în studiul geometriei şi sporirea gradului de atractivitate a matematicii.

CLASA a VII-a

În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Programa pentru algebră vizează continuarea studiului mulţimilor de numere prin introducerea mulţimii numerelor reale, pentru a fi folosite în rezolvarea de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii liniare, pentru organizarea datelor şi pentru calcule din cadrul geometriei.

Studiul geometriei se caracterizează prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matematice ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al acestora, bazat pe demonstraţie. Una dintre finalităţile aşteptate ale studiului geometriei prin proprietăţi este modelarea configuraţiilor geometrice pentru a calcula lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre şi arii.

La tema Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii se are în vedere formarea unor deprinderi de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare, utilizând diverse metode de rezolvare. Comparativ cu clasele anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizează prin metode aritmetice, problemele întâlnite în viaţa cotidiană vor fi rezolvate modelând cu ajutorul simbolurilor informaţiile deduse din enunţ, asociind în acest mod problemei o ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.

La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii în triunghi şi în trapez, proprietatea centrului de greutate al unui triunghi, utilizând proprietăţi ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelogram, romb, triunghi şi trapez. Astfel, la final se va putea determina aria unui poligon prin descompunerea acestuia în figuri geometrice studiate. În continuarea studiului din clasa a VI-a al congruenţei triunghiurilor, la Asemănarea triunghiurilor se vor introduce teorema paralelelor echidistante şi teorema lui Thales, ambele fără demonstraţie. Cazurile de asemanare a triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor.

La Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic identificat în configuraţii geometrice sau practice date. Utilizând noţiunile prezentate la Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpurile geometrice studiate în clasa a VIII-a.

CLASA a VIII-a

În clasa a VIII-a se consolidează competenţele formate şi dezvoltate anterior pentru calculul numeric. Unele dintre formulele de calcul pot fi deduse, pe baza definiţiei (de exemplu, pentru aria laterală şi aria totală a unei prisme, piramide, cilindru etc.), altele, mai complexe, vor fi puse la dispoziţia elevilor. Înţelegerea şi aplicarea formulelor cu o anumită ritmicitate, în situaţii concrete cât mai diverse, facilitează interiorizarea acestora.

Tema Funcţii dezvoltă şi competenţele de interpretare a reprezentărilor grafice, realizându-se astfel o conexiune cu teme specifice domeniului de conţinut Organizarea datelor şi cu teme specifice de la Rapoarte. Proporţii din clasa a VI-a, pentru anumite situaţii particulare de funcţii.

În cazul geometriei în spaţiu, se va acorda o atenţie specială raţionamentului matematic şi argumentărilor personale. Pentru realizarea unor figuri utile în anumite raţionamente, este indicat să se insiste la început pe realizarea aceleiaşi configuraţii din diverse perspective. Aceasta conduce la o mai bună reprezentare mentală a conceptului respectiv, ca bază necesară interpretării diferitelor situaţii şi modelării corespunzătoare a situaţiilor concrete. Ca şi în clasele anterioare, utilizarea instrumentelor geometrice sau a softurilor este necesară pentru acurateţea reprezentărilor grafice ale configuraţiilor spaţiale, cu respectarea convenţiilor de desen.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Intuiţia – alte aspecte

“Prostul nu cunoaşte om mai deştept ca el”- Montesquieu

Cine nu caută într-un dicţionar, fie el şi virtual, definiţia unui cuvânt mai important pe care este nevoit să-l folosească din plin este demn de citatul de mai sus (găsit pe prima pagină a ziarului prezentat în continuare); totodată, cine citeşte definiţia cuvântului şi consideră apoi că ştie foarte bine, fără să mai caute, acesta se dovedeşte la fel de ignorant ca şi primul. Acesta este şi cazul intuiţiei, despre care trebuie să ne ocupăm mai amănunţit pentru că, de la toamnă va trebui să o folosim în predare, iar valenţele acestui cuvânt sunt atât de vaste încât, oricât ne-am preocupa cu studiul intuiţiei, putem avea surprize oricând, întâlnind aspecte noi.

Când mi-am propus ca în această vară să mă ocup ceva mai mult de subiectul intuiţie nu bănuiam că voi primi ajutor şi din alte părţi. Iată însă că în Nr. 29 al săptămânalului Magazin, din 20 iulie 2017 pe prima pagină am găsit articolul Creierul şi intuiţia. Să ne aplecăm un pic asupra acestui articol (din păcate nesemnat), în care apar câteva idei mai neobişnuite, de sorginte psihanalitică, despre subiectul nostru.

“Visul, intuiţia şi creativitatea sunt mesaje ale inconştientului”, scria C.G. Jung, cu aproape o sută de ani în urmă. Culmea este că nici astăzi despre creativitate, una dintre cele mai fascinante dintre capacităţile mentale ale creierului uman, nu se ştie mare lucru.

Creativitatea, pe care Jung o numea şi “mica intuiţie”, această capacitate misterioasă şi puternică, specifică dintre toate mamiferele doar omului, este înainte de toate mecanismul extraordinar şi fundamental al autotransformării. Cum se naşte, cum ajungem să folosim această maşinărie inefabilă cu sediul în creierul nostru, cum găsim căile, uşile, cheile potrivite? Cum folosim acest dar, pe care îl primim de la naştere, dar fără un manual de utilizare? (…)

Această fantastică capacitate, intuiţia, pe care o avem toţi, aceea de a anticipa, de a resimţi, de a ghici lucruri, de a vedea evenimente înainte ca ele să se producă, nu o folosim decât o dată din zece cazuri. Ea fiind, atenţie, cel mai bun aliat al nostru în momente dificile! Oare, putem să citim aceste rânduri prin prisma persoanei confruntată cu sarcina rezolvării unei probleme de matematică ne-mai-întâlnite, care nu seamănă cu nimic ce-a învăţat până acum şi pentru care nu are nici o reţetă clară de rezolvare? Dar, să revenim la citat: Cum reuşesc unii oameni să-şi utilizeze la maximum capacităţile intuitive în comparaţie cu alţii? Iată câteva explicaţii prezentate în Healthy Living.

Intuiţia este, ca şi gravitaţia, ceva foarte greu de explicat, în ciuda rolului pe care îl joacă în viaţa de fiecare zi. Steve Jobs numea intuiţia ceva “mai puternic decât intelectul”. Oricum am spune-o în cuvinte, ştim toţi, intuitiv, ce este. Toţi am experimentat acest sentiment, senzaţie, avânt inconştient, care ne împinge să facem ceva fără să ne spună de ce sau cum. “Eu definesc intuiţia ca o cunoaştere subtilă fără a avea idee de ce ai nevoie să cunoşti”, scria Sophy Burnham în cartea sa, Arta intuiţiei, şi adăuga: “E diferită de gândire, diferită de logică şi analiză … este o cunoaştere fără cunoaştere”. (…) “Nu trebuie să respingem logica ştiinţifică pentru a beneficia de instinct”, spunea Francis Cholle, autorul cărţii The Intuitive Compass (Busola Intuitivă), “trebuie să ne folosim de ambele unelte, pentru a găsi echilibrul”.

În continuare autorul articolului se lansează în căutarea unor căi de a putea întării forţa intuiţiei, plecând de la observarea vieţii actuale, care dimpotrivă, împiedică formarea capacităţilor intuitive ale individului: Rătăciţi în labirintul vieţii trepidante, dominate de grijile zilnice, hrană, muncă, distracţie, computer, telefon, televizor, de nebunie generatoare de stres etc., trebuie să ne oferim scurte răgazuri de singurătate, de linişte exterioară pentru a ne putea asculta vocea interioară. Singurătatea ne poate ajuta să dăm frâu liber gândirii creatoare, (…) Liniştea exterioară, fără a fi “bombardaţi” tot timpul cu impresii din afară, acestea pot fi modalităţi excelente de a ne descătuşa intuiţia.

Am putea înţelege de aici doar preocuparea pentru intuiţia adulţilor, crezând că copiii sunt feriţi de stresul vieţii cotidiene. Nimic mai greşit. Recitiţi doar încă o dată lista de mai sus şi veţi vedea cu câte sunt confruntaţi copiii la ora actuală; haideţi să luăm cazul fericit în care totul e bine şi apar doar acestea trei: distracţie, computer, telefon, ce-i drept strâns întrepătrunse, de obicei întrepătrunse “la purtător” prin renumitul smartphone, care este însă prezent 24-7, adică zi şi noapte în viaţa lor. Ei nu mai au ocazia să se plictisească, să-şi caute o preocupare creatoare. Primul lucru pe care trebuie să-l faci este de a observa atent lucrurile, dar pentru asta actualii elevi nu mai au timp, smartphone-ul şi al său WhatsApp fiind tot timpul “la datorie”, rupându-i constant din orice concentrare. Concluzia ce se impune este năucitoare: dacă dorim ca actualii elevi să mai aibă scurte intervale în care să-şi antreneze în linişte concentrarea, pentru a-şi trezi intuiţia, atunci trebuie să le oferim astfel de momente la şcoală, în timpul orelor. Ştiu că este puţin, dar altceva nu putem face. Părinţii oricum i-au abandonat în braţele “telefoanelor” diabolic de inteligente, de cele mai multe ori inconştienţi de ce au făcut (de aici în continuare internetul face totul; şi prietenii care se plictisesc şi îl bâzâie pe copilul conectat tot timpul: cf?, adică traducerea din engleză a lui whats up?).

Cum putem să le oferim momente de concentrare şi de a observa atent lucrurile în cadrul orelor de matematică? Folosind cât mai des predarea prin problematizare şi asta nu doar în cadrul rezolvării problemelor, ci şi în cadrul lecţiei, a “prezentării” noilor cunoştinţe, ce trebuie aduse cât mai des sub forma unor întrebări, urmate de scurte perioade de introspecţie, de căutare a unui posibil răspuns din partea elevilor. Ţin minte două exemple mai speciale în acest sens, ambele de la diferite generaţii de clasa a VI-a.

Primul exemplu se referă la felul cum “scoteam” de la elevi toate construcţiile cu rigla şi compasul din primul semestru (mediatoarea unui segment, bisectoarea unui unghi, coborîrea unei perpendiculare dintr-un punct pe o dreaptă, ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al său, construirea unui unghi congruent cu un unghi dat, construirea unei paralele la o dreaptă printr-un punct dat etc., totul fără echer!). O elevă din acea clasă a reuşit “să prindă şmecheria” şi le găsea foarte repede, aşa că o puneam să mai aştepte, poate reuşesc şi alţii să găsească o cale de construcţie (ea, până ce colegii săi se mai gândeau, uneori reuşea chiar să mai găsească încă o soluţie). Dar nu puteam aloca prea mult timp acestei aşteptări (2-3 minute, cel mult 5 în cazuri foarte importante). O dată, fiind mai grăbit, am vrut să divulgăm soluţia după numai un minut de gândire (eleva talentată avea deja răspunsul şi aştepta). În acel moment o altă elevă a sărit destul de “arţăgoasă”: staţi, staţi, numai puţin, să apucăm şi noi să gândim un pic! (după ce i-am mai lăsat două minute, şi cum nu mai apărea nici o altă reuşită, am prezentat totuşi soluţia la tablă) A fost evidentă însă dorinţa lor de a savura şi această ocazie de a gândi, alături de toate celelalte ce le aveau în orele de matematică. Înţeleseseră problema, nimic nu-i distrăgea şi căutau concentraţi o cale de soluţionare, o idee care să le lumineze calea (trebuie să menţionez că la noi în şcoală elevii predau telefoanele la începutul programului, aşa că în ore acestea nu îi distrag).

Al doilea exemplu se referă la lecţia despre trapez. Mă trezesc eu să filozofez în faţa clasei: dacă tăiem un triunghi oarecare cu o paralelă la o latură, se obţine un trapez oarecare; dacă tăiem un triunghi isoscel paralel cu baza, atunci se obţine un trapez isoscel. La care o elevă ridică mâna şi întreabă la fel de filozofic: dacă dintr-un triunghi isoscel obţinem un trapez isoscel, atunci dintr-un triunghi echilateral se obţine un trapez echilateral? Există aşa ceva?

Am reuşit să mă redresez destul de repede după micul şoc al acestei întrebări: Da, într-un fel. Dacă tăiem triunghiul cum trebuie obţinem la trapez trei laturi congruente şi baza cea mare dublul celei mici, iar în plus avem şi două unghiuri de 60o (discuţia a fost mai lungă de fapt). Acest exemplu ne arată cum, obişnuiţi fiind să gândească la generarea lecţiilor, elevii devin cu timpul creativi, iar uneori răspunsurile lor scot în evidenţă aspecte la care nici nu te aştepţi. Asta poate fi numită deja cu adevărat creativitate.

Titus Grigorovici, 25.07.2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Algoritmizare vs. Empirism – (1) Exemple aritmetice

În rezolvarea problemelor de matematică există două căi opuse ca atitudine: folosirea unei căi cunoscute, sau dimpotrivă, generarea “pe loc” a unei căi noi, necunoscute. Prima cale ţine mai mult de “dresaj”, de disponibilitatea elevului de a se lăsa “îndoctrinat” cu reţete de rezolvare preparate de către altcineva. Dimpotrivă, a doua cale, specifică mai mult unor “suflete rebele”, necesită o gândire mai activă, mai spontană.

Prima este mai uşor de educat; a doua a fost masiv neglijată în ultimii 20-30 de ani, educarea acesteia fiind mare consumatoare de timp şi de energie (nici prima nu este foarte lesne de aplicat în mod responsabil faţă de gândirea elevului, dar oferă o aparentă linişte sufletească profesorilui lipsit de empatie: eu i-am arătat cum se rezolvă, acum ţine doar de el dacă învaţă rezolvarea, adică dacă o memorează; dacă altfel nu merge, să o tocească!).

Un matematician este însă cu adevărat bun doar dacă reuşeşte să stăpânească ambele căi de generare a unei rezolvări, îmbinându-le în mod judicios de la o situaţie la alta. Accentul eseului de faţă este pus pe cea de a doua cale, dar şi pe îmbinarea potrivită de la un caz la altul între cele două căi antagonice.

*

Şoareci şi oameni. Gospodina se năpusti în curtea de serviciu, puse jos cuşca de şoareci (era un model vechi – o cuşcă cu o trapă) şi strigă fie-si să aducă pisica. Şoarecele din cuşcă părea să înţeleagă miezul acestor gesturi, alergînd înnebunit prin cuşcă, se năpustea disperat cînd într-o parte cînd în alta, izbindu-se violent de gratii, şi reuşi, în ultimul moment, să se strecoare din cuşcă, dispărînd imediat în cîmpul învecinat. Probabil că în partea aceea a cursei exista o deschizătură ceva mai largă între gratii. Gospodina păru dezamăgită, ca şi pisica – de altfel, care a sosit prea tîrziu. Simpatia mea fusese însă încă de la început de partea şoarecelui, aşa că mi-a fost greu să adresez vreun cuvînt de consolare, gospodinei sau pisicii; în schimb, îl felicitam, în sinea mea, pe şoarece. El rezolvase o problemă colosală, şi dăduse un excelent exemplu.

Aşa se rezolvă problemele. Trebuie să încerci, şi iarăşi să încerci, pînă ce sesisezi, în cele din urmă, acea mică diferenţă dintre “deschizături”, de care depinde totul; trebuie să încerci în toate chipurile, în aşa fel încăt să poţi explora toate laturile problemei, fiindcă nu poţi şti dinainte pe ce parte se află acea unică deschizătură practicabilă prin care te vei putea strcura.

La şoareci şi la oameni, metoda de bază este aceeaşi: încerci, şi iar încerci, şi variezi încercările – ca nu cumva să ratezi puţinele posibilităţi favorabile. Este adevărat că omul se pricepe, de obicei, mai bine decît şoarecele să rezolve probleme. Un om n-are nevoie să se năpustească fizic asupra obstacolului – o poate face în minte; un om îşi poate varia incomparabil mai mult tentativele, şi poate învăţa mai mult din eşecul tentativelor sale, decît o poate face un şoarece. (Pólya George, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag. 165, punctul 11.11)

Am ales acest citat din Pólya pentru că ne pune în faţa unui exemplu în care strădania este totul. De aici putem trece la elev, la elevul care este pus în faţa rezolvării unei probleme de matematică. Pentru noi, profesorii, se pune întrebarea “cum gândeşte acesta?”, cu alternativa “este elevul obişnuit să gândească?”, adică “să se lupte precum şoarecele pentru a rezolva problema?”. Aceste întrebări (cu multele lor variante şi alternative posibile) nasc o serie nouă de întrebări, îndreptate de data asta asupra noastră, a adulţilor, profesori sau părinţi: “este elevul antrenat să gândească?”, “are elevul motivaţia să gândească?”, “oare, nu a fost elevul obişnuit de acasă să primească totul dea gata, astfel încât nu cunoaşte starea de a te lupta pentru ceva?” (în afară de situaţia de a face circ şi a zbiera în magazin pentru a obţine de la părinţi achiziţionarea unei jucării?). Pe părinţi nu-i putem influenţa/educa şi, oricum, când vin elevii la ora de matematică răul a fost de multe ori deja făcut în educaţia numită generic “cei şapte ani de acasă”. Aşa că, cel mai bine, haideţi să ne analizăm propria noastră activitate educativă.

*

Drumuri asfaltate şi parcursuri off-road. Analizându-ne propria activitate, propriile gânduri din momentul când trebuie să rezolvăm o problemă, observăm următoarele două alternative:

  • Pe de-o parte avem probleme pentru care avem deja lămurită rezolvarea în detaliu, la care avem clar fiecare din paşii care compun întregul parcurs. Acestea sunt cele pe care le rezolvăm uşor şi sigur. Parcurgerea acestor probleme dă senzaţia rulării pe un drum asfaltat, în condiţii sigure. De multe ori elevii buni sunt consideraţi cei care reuşesc să stocheze reţete de rezolvare la cât mai multe tipuri de probleme. Aceştia dau impresia deseori că “rulează” cu lejeritate pe calea matematică, dând impresia că, în calea lor, “orice drum este asfaltat”.
  • Pe de altă parte apar din când în când probleme care îi încurcă şi pe cei mai buni rezolvitori. Nimeni nu poate nega asta, nimeni nu poate susţine că el nu s-a întâlnit cu probleme care să-l pună în dificultate, să-l încuie şi să-l blocheze. În parcursul nostru prin problemele de matematică, acestea ne apar ca nişte căi ce nu au fost dinainte bătătorite, reprezentând în faţa noastră adevărate “trasee off-road”. Mintea rezolvitorului trebuie să se comporte aidoma unui vehicul 4×4, poate un ATV, ce trebuie să se strecoare cu îndârjire prin nişte raţionamente nemaivăzute şi nemaiîntâlnite. În astfel de situaţii este necesară o tărie psihică solidă pentru a nu abandona după primele încercări. Iată cum descrie George Pólya în Descoperirea în matematică acel moment de disperare: Cînd nici una dintre soluţiile încercate nu se potriveşte problemei, ne simţim pierduţi, nimic nu ne mai vine în minte (pag. 253, 6. Domeniul de căutare).

Un lucru este sigur, anume că puterea şi îndârjirea pentru a insista într-un astfel de demers nu se educă prin problemele din prima categorie. A obişnui elevul doar cu reţete de rezolvări pre-fabricate este o mare gafă educaţională din punct de vedere a obiectivului de formare a gândirii matematice. Totodată, a “bubui” constant mintea elevului cu probleme nemaivăzute şi a sancţiona nerezolvarea acestora îi îndepărtează clar pe mulţi elevi de la matematică (în funcţie de psihicul elevului, a sancţiona poate înseamna o notă proastă sau scăderea notei la lucrare – la un elev mai tare; la un elev cu un psihic mai slab, a sancţiona poate să însemne chiar şi numai confruntarea cu problema respectivă şi concluzia acestuia că EL nu ştie). Profesorul cu tact se va strădui să găsească în funcţie de clasa şi elevii săi o cale conciliantă între cele două linii de lucru extreme, eventual un amestec plin de empatie între exemple din tot spectrul posibil (probleme din cele două extreme, dar şi exemple intermediare).

Este momentul aici pentru un pic de filozofie: acum putem înţelege clar care este diferenţa dintre exerciţii şi probleme. În principiu, exerciţiile reprezintă situaţii de rezolvare reţetate, pe care elevul trebuie să le repete cu mici variaţiuni pentru a şi le însuşi spre dobândire automată. Dimpotrivă, problemele reprezintă situaţii de rezolvare neaşteptată, la care dificultatea provine din diverse surse. O “problemă” la care totul este clar nu mai reprezintă o problemă. Este evident şi aspectul subiectiv al discuţiei: o situaţie de rezolvare poate reprezenta pentru un rezolvitor “o problemă”, pe când, pentru alt rezolvitor aceasta “nu prezintă nici o problemă”, fiind doar un simplu exerciţiu.

Strădania profesorilor de-a lungul timpului a fost să “tragă pe calapod” orice tip de problemă ce poate apărea mai des în viaţa elevilor. Confruntată cu această strădanie, cele mai multe tipuri se dovedesc a fi reţetabile. Imediat ce apar două-trei probleme de un fel, acestea sunt automat reţetate. Dar, cum am precizat, reţetarea unui tip de probleme nu dezvoltă neapărat gândirea elevilor, ci de multe ori doar oferă aparenţa unor elevi deştepţi, în sensul că aceştia vor putea face rezolvarea atunci când sunt confruntaţi cu o situaţie, cu o problemă similară. Astfel, deseori elevul “de 10” este acela care are voinţa (şi pasiunea) de a-şi însuşi cât mai multe astfel de reţete, depăşind pe această cale limitele de siguranţă ale problemelor ce pot fi date la examen.

La o analiză obiectivă se poate ajunge relativ uşor la concluzia că activitatea unui elev în cadrul matematicii necesită educarea ambelor tipuri de probleme, atât a celor reţetabile, de algoritmizare, cât şi a celor off-road, cele empirice. Din păcate însă, analizănd modul de predare practicat de peste 30 de ani de către mulţi profesori, se observă cu durere în suflet că majoritatea educă doar prima categorie de probleme. Astfel, la toate concursurile şi examenele oficiale, elevul este confruntat – în mod subiectiv – cu două tipuri de probleme: cele care i-au fost arătate şi cele care nu i-au fost arătate; dacă profesorul i-a arătat de toate, atunci elevul poate vedea lucrurile şi astfel: există probleme la care a ţinut minte rezolvarea şi probleme la care nu şi-a mai adus aminte cum se face.

Din păcate, tot mai puţin intră în preocuparea noastră, a profesorilor, strădania de a-l obişnui pe elev să se lupte cu o problemă nemaivăzută, în care apare gândirea pură. În ultima periodă m-am ocupat destul de mult de acest subiect, cel al problemelor off-road, pentru care nu avem o reţetă de rezolvare. M-am ocupat astfel de probleme, dar şi de felul cum aş putea educa puterea de gândire matematică prin “predare”. Această preocupare o consider foarte importantă mai ales prin prisma felului în care de fapt în mare parte este profund neglijată. Cu durere în suflet aflu despre profesori din licee de vârf care educă – şi la gimnaziu, dar şi la clase de real – doar învăţarea pe de rost a rezolvărilor, fără a pune măcar un pic accent şi pe înţelegerea acestora.

De obicei nu există problemede  off-road complet. Unele probleme au la început o parte simplă, reţetabilă, după care rezolvarea o ia “pe căi nebătute”. Dimpotrivă, alte probleme te aruncă “in the middle of nowhere” (în mijlocul unui pustiu, unui vid de experinţă rezolvatoare), unde nu recunoşti nimic cunoscut, dar dacă faci un pas inspirat s-ar putea să începi să recunoşti “zona” şi apoi să-ţi dai seama “pe unde te afli” şi să poţi aplica elemente din rezolvări deja cunoscute. Totuşi, din când în când autorii sau colecţionarii mai scot câte o problemă ce iese din toate tiparele de rezolvare, câte o problemă “unică” ce nu a fost şi nici nu merită clar a fi reţetată.

Am găsit o astfel de problemă în culegerea de Consolidare pentru EN 2016-2017 de la Ed. Paralela 45 (pag. 201, Testul 52, Sub. II, 2). Problema ne prezintă o diagramă circulară cu trei sectoare haşurate diferit, pe care sunt trecute procentajele, iar alăturat numele a trei elevi care au participat la alegerile pentru şefia clasei, ataşat fiecărui tip de haşură. Astfel, avem următorul text: În clasa a VIII-a B sunt mai puţin de 30 de elevi. La alegerile pentru şeful clasei (unde au votat toţi elevii) s-au obţinut următoarele rezultate: Alexandru – 25%, Andrei – 35%, Adrian – 40%. a) Precizaţi numele elevului care a câştigat alegerile; b) Aflaţi numărul elevilor clasei a VIII-a B. (Este evidentă dorinţa autorului de a-l încurca cu orice preţ pe rezolvitor chiar şi dacă ne uităm doar la numele celor trei candidaţi; o variantă mai în sprijinul scrierii rezolvării ar fi fost Andrei, Barbu şi Călin cu notaţiile A, B şi C). Încercaţi să rezolvaţi problema (punctul b) şi veţi vedea cum aceasta “iese din toate tiparele”. Pe oriunde încerci să o iei parcă nu merge.

În amintirea problemei cu 198 date la Simularea EN din 2016, am adunat un mic set de probleme la care eventuala parte reţetabilă este din domeniul scrierii numerelor în baza zece (de exemplu: \overline{ab}=10\cdot a +b sau \overline{abc}=100\cdot a + 10\cdot b +c etc.), dar la care apare de fiecare dată un procentaj mai mare sau mai mic de off-road. Cele mai grele sunt desigur cele “cu traseu total neasfaltat”. Între acestea am inserat şi exerciţii potrivite, adică situaţii de rezolvare fără parte offroad, dar care se potrivesc întregului set. Anul trecut şcolar am oferit acest set de exerciţii elevilor de clasa a VIII-a, în momentul când au început să se lovească prin teste de exerciţii similare, pretextul reprezentându-l chiar problema de la simularea oficială din 2016. Exerciţii izolate din acesta pot fi date şi înainte, dar ca întreg, înainte de clasa a VII-a acest set merge doar la olimpici. Oricum, eu recomand parcurgerea acestei mici colecţii ca întreg, pe o perioadă mai scurtă sau mai lungă, prin natura lor exerciţiile potenţându-se unul pe celălalt (efectul setului ca întreg depăşeşte suma efectelor individuale).

După parcurgerea acestora vă recomand să faceţi la fiecare o analiză a rezolvări din punct de vedere a căii urmate: rezolvare după reţetă vs. parcurs off-road. La unele rezolvarea porneşte de la început, la altele ideile îţi vin mai degrabă legate de o posibilă transformare a concluziei. Probleme grele alternează cu unele medii sau chiar cu exerciţii foarte uşoare care doar te fac să zâmbeşti. Unele ne apar ca probleme foarte serioase, pe când altele au un profund caracter de matematică distractivă, şi chiar pot fi folosite ca atare, aruncând astfel o umbră de zâmbet şi asupra celorlalte. Vă doresc să petreceţi un timp cât mai plăcut în compania acestora. (Ataşat găsiţi setul de probleme şi în format PDF, pentru folosirea la clasă)

C. Titus Grigorovici

*

Probleme aritmetice înrudite sau prietene (198&Co.)

  1. Dacă \overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=198, demonstraţi că \overline{abc} este multiplu al lui 9. (din EN – Consolidare, 2015-2016, Ed. Paralela 45, pag. 29, ex. 19)
  2. Determinaţi numărul natural format din trei cifre, de forma \overline{abc}, ştiind că \overline{abc}=\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}, a\neq 0. (din Simulare la EN pentru clasa a VIII-a 2016, Sub.II, 2)
  3. Determinaţi x din ecuaţia 2\cdot \overline{0,x}+2\cdot \overline{0,0x}=1,98 (sursă necunoscută).
  4. Găsiţi un număr de două cifre care înmulţit separat cu 2, respectiv cu 9, dă rezultate de trei cifre răsturnate (rezultatul înmulţirii cu 2 a numărului iniţial de două cifre este răsturnatul rezultatului înmulţirii cu 9 a aceluiaşi număr de două cifre, adică un număr cu aceleaşi trei cifre dar în ordine inversă).
  5. Găsiţi toate numerele de două cifre \overline{ab} pentru care \overline{ab}+\overline{ba} este pătrat perfect. (din Bălăucă ş.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recapitulare Sem.I, pag. 85)
  6. Determinaţi pătratele perfecte de două cifre \overline{ab} la care şi numerele a şi b sunt pătrate perfecte. (din Bălăucă ş.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recap. Sem.I, pag. 87)
  7. Există un număr interesant A de cinci cifre. Cu 1 după el, este de trei ori mai mare decât cu 1 înaintea lui. Care este acest număr? (din Boris A. Kordemsky, 359 Probleme de matematică recreativă, Ed. Paralela 45, 2015, pag. 129. Răspuns: 42857)
  8. Înmulţirea cu 9 “răstoarnă” un număr de patru cifre (dă un număr cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă). Care este numărul? (din George Pólya, Descoperirea în matematică, pag. 176). Observaţie metodică: scrierea \overline{abcd}\cdot 9=\overline{dcba} ne ajută să înţelegem problema, dar ne poate încurca rău la găsirea unei rezolvări.
  9. Numerele 144 şi 441 sunt pătrate perfecte de trei cifre răsturnate. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de trei cifre răsturnate? Verificaţi apoi că cele două numere de la problema precedentă sunt pătrate perfecte. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de patru cifre răsturnate?
  10. O împărţire frumoasă: 9801 : 1089 = ?
  11. Un vechi număr de magie matematică: luaţi un număr de trei cifre diferite, cât şi răsturnatul său, şi faceţi diferenţa dintre acestea (numărul mai mare minus cel mai mic). Luaţi apoi rezultatul* şi adunaţi-l cu răsturnatul său (* rezultatul primei scăderi trebuie să aibă trei cifre; dacă a avut doar două cifre, puneţi cifra sutelor zero şi apoi luaţi răsturnatul său, de trei cifre, cu cifra unităţilor zero). În final pot “ghici” că aţi obţinut suma 1089. Demonstraţi că întotdeauna se obţine acest rezultat. (problema apare în diferite lucrări; o sursă destul de veche a acesteia este lucrarea lui Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery din 1956)
  12. Descompuneţi în factori numerele 198, 891, 1089 şi 9801. Ce observaţi?

FisaProblemeAritmetice198&Co.pdf

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Jurnalul unei eleve de altădată

În această primăvară a ajuns în şcoala noastră, împreună cu o donaţie de cărţi, un carneţel misterios. Este îmbrăcat frumos în două rânduri de hârtie (cea exterioară e clasica hârtie de pachete albastru liliachiu ce se mai folosea încă prin anii ’80), iar pe prima pagină are titlul Albumul copilăriei scris cu o grafie foarte îngrijită, numele unei fete şi cl V L.C. (bănuiesc că e vorba de o fată din clasa a V-a de liceu). Ulterior se pare că acest carneţel a fost “preluat” de către un băiat cu acelaşi nume de familie (poate fratele ei). Carneţelul este plin cu “de toate”: cca. 40 de pagini cu Souveniruri (scurte catrene) semnate, apoi Horacolul meu completat de câţiva prieteni, iar intimităţile şi curiozităţile vârstei continuă inclusiv cu zile de naştere şi adrese. Tare s-au mai distrat fetele din şcoala noastră când l-au putut lectura în limbajul aşa de vechi, în album fiind date de completare de la începutul anilor ’40 (primele însemnări din 12-X-1940, iar ultima dată trecută 22.Iunie 1945)

Pe la jumătatea carneţelului apare “un capitol nou” despre Jocuri sociale, în care apar şi problemuţe cu caracter matematic (urmează apoi o parte cu Cântece şi ultima cu Epigrame, epitafe şi hore). Dintre problemuţe am ales câteva ca exemple cu distracţii intelectuale din vremurile de mult apuse. Desigur, unele erau mai serioase, altele mai … neserioase. Le redau cât se poate de fidel, inclusiv cu răspunsurile în finalul fiecăruia.

  1. Câţi soldaţi au fost? Cu ocazia recrutării, la un regiment s-au prezentat mai mulţi soldaţi. Ca să-I ducă la baie plutonierul i-a aşezat în rând câte doi însă a rămas unul stingher în flancul stâng, atunci i-a aşezat în rând câte trei însă a rămas iarăşi unul stingher. I-a pus atunci în rând de câte patru însă iarăşi rămase unul stingher, atunci îi puse câte 5 însă rămase din nou unul stingher, cu 6 la fel rămase unul. În sfârşit când îi pune câte 7 a aflat că nu a mai rămas nici un recrut în flancul stâng. Câţi soldaţi au fost? (Răspuns: 301)

Urmează diverse alte întrebări ce nu merită reluate, fie prea cunoscute (de exemplul cea cu melcul care urcă ziua şi alunecă noaptea), fie nu chiar de matematică (de pildă jocuri cu chibrite aranjate sau cu cărţi de joc). Există şi altele ce le cunosc din cărţi vechi de matematică distractivă sau magie matematică, pe care le voi prezenta cu alte ocazii.

  1. Cât face 1000 grame şi 100 centimetrii? Răspuns: 1 kilometru.
  2. Luaţi 9 bilete cu numerele de la 1 la 9 şi aşezai-le astfel încât totalul punctelor să dea 100. Răspuns: 15 + 36 + 47 + 2 = 100.
  3. Marcaţi numărul 100 prin patru cifre; dar prin 6 cifre. Răspuns: 99 şi 3/3; 99 şi 30/30 (scrieţi răspunsul ca fracţie mixtă cu întregi şi parte “fracţionară”)
  4. Alta cu 1: Se cere ca 111111 = 12, cum? Răspuns: 11 + 11/11 = 12
  5. Cifre: Din numărul 12345678 adunaţi aşa fel ca să obţineţi 9999. Răspuns: 1234 + 8765 = 9999.
  6. Alta cu cifre: Avem la dispoziţie cifrele 123456789. Cu ele trebuie să obţinem 100 fără fracţii. Cum? Răspuns: 9 x 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100.
  7. Alte sute: 1 + (2 x 3) + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100. Formaţi o sută din utilizarea în ordine a cifrelor 1,2,3,4,5,6,7,8,9 prin alte două metode. Răspuns: (1 x 2) + 34 + 56 + 7 – 8 + 9 = 100, sau 1 + (2 x 3) + (4 x 5) – 6 + 7 + (8 x 9) = 100.
  8. Jocul paharelor: Aşezaţi 3 pahare pe masă în linie dreaptă astfel: cele de la margine cu gura în jos, iar cel din mijloc cu gura în sus. E vorba să se ia mereu câte 2 pahare şi să fie răsturnate. După trei astfel de răsturnări, cele trei pahare trebuie să se afle toate cu gura în sus. Răspuns: singurul fel da a reuşi este următorul (plus varianta simetrică).

Prima mişcare: răsturnaţi paharul din mijloc şi cel din stânga;

A doua mişcare: răsturnaţi cele două pahare dela margine;

A treia mişcare: răsturnaţi pe cel din mijloc şi pe cel din stânga.

  1. Picioare: Cineva s-a întâlnit cu o femeie care ducea într-un coş 4 raţe, 3 gâşte şi doi iepuri de casă la târg de vânzare. Câte picioare mergeau în total la târg? Răspuns: numai două, căci restul erau duse de femeie la târg.

Un elev de altădată

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Predarea intuitivă – alte aspecte şi exemple

Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă, reforma “din 1980”, uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.

Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie pe noul sistem, după câţiva ani de încercări ajungând să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).

Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.

În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, care va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a ce porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din  Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.

În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.

Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.

Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)

La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)

(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.

C. Titus Grigorovici, 10.07.2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Câte piese are un puzzle de 100 de piese?

Pentru că, staţi liniştiţi, nu prea poate să aibă exact 100 de piese. De ce? Păi, pentru că numărul 100 nu poate fi scris ca produs de două numere diferite reprezentând lungimea şi lăţimea unui dreptunghi obişnuit, adică cu un raport între ele undeva în jurul lui 1,5.

Cred că între timp vă merg rotiţele creierului la turaţie maximă. Într-un puzzle simplu pentru copii de 6 ani poate sta ascunsă atâta matematică?  100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 = 10 x 10. Dar ultima variantă nu este bună ca dreptunghi, că e pătrat, iar celelalte sunt dreptunghiuri prea lungi. Deci, câte piese are de fapt un astfel de puzzle?

Toată povestea a ieşit la iveală când fică-mea a căutat un puzzle de când era copiliţă, ca să-l ducem cadou în vizită unei fetiţe de 7 ani. A venit cu un puzzle nemţesc foarte frumos, cu prinţesa Ariel, şi s-a gândit să-l verifice dacă este complet. Aşa că i-a numărat piesele şi – surpriză! – i-au ieşit 104 bucăţi. Or fi şi bucăţi de la alt puzzle? Hai să vedem, aşa că s-a apucat să-l facă. Şi iarăşi surpriză, puzzle-ul era complet şi avea exact 104 piese. Păi, cum? Păi, simplu: 104 = 13 x 8 (se vedea şi numărând lungimea şi lăţimea, se poate deduce şi descompunând numărul 104 şi combinând factorii în două produse). Iar 13 cu 8, luate ca lungime şi lăţime, dau un raport de dreptunghi frumos, 13 : 8 = 1,625 foarte aproape de numărul de aur 1,618 (asta nu i-am explicat fiicei noastre). Repede am început să căutăm şi alte aproximări. De pildă, numărul 96 = 12 x 8 are aproximarea 1,5 destul de bună şi aceasta.

De aici se nasc două întrebări. Prima este: ce se întâmplă la celelalte variante de puzzle-uri? Cum stă treaba la puzzle-urile de 500 sau la cele de 1000 de bucăţi? Poate acolo există variant exacte (1000 = 40 x 25?). Sau dacă nu, din nou câte piese are un puzzle de 1000 de piese? Dacă îl avem făcut, răspunsul este uşor, dacă nu, vai de noi!

A doua întrebare: la ce vârstă, în ce clasă ar fi bună această problemă “de cercetare”? Ţinând cont că avem aria dreptunghiului şi descompunerea numerelor în factori, trebuie să fim spre finalul clasei a V-a. Dacă vrem să implicăm şi ideea de raport, atunci trebuie să mai aşteptăm, undeva în semestrul II al clasei a VI-a. Dacă înţelegem că este vorba de fapt de asemănarea dreptunghiurilor, atunci ne gândim la clasa a VII-a. Eu aş înclina pentru această ultimă variantă; rămâne de stabilit când, după sau înaintea lecţiei despre asemănarea triunghiurilor? Ambele variante au avantajele lor. Fiica noastră tocmai ce a terminat clasa a VII-a.

Asemănarea dreptunghiurilor este o asemănare mai simplă, pentru că nu implică şi unghiurile. Mai mult, din punct de vedere a rapoartelor implică o simplă proporţie, nu un şir de trei rapoarte egale. Deci, ideea de asemănare poate fi dedusă din întrebarea de titlu, pe baza figurii celei mai des folosite în viaţa de zi cu zi, anume dreptunghiul, ca un preambul, după care, în ora următoare vine lecţia de asemănare a triunghiurilor.

Se poate urma şi ordinea opusă: parcurgem asemănarea triunghiului cu toate problemele sale, iar apoi cândva, ulterior (poate înainte de vacanţă, când nimeni nu mai are chef de lecţii serioase) le punem elevilor această întrebare. Din discuţii deducem încet că este vorba de asemănarea dreptunghiurilor (uneori şi elevii întreabă dacă există doar asemănarea triunghiurilor, sau asta se întâmplă şi la patrulatere?). În acest caz putem observa că aici vorbim de un raport “autocomparativ”, între două laturi ale aceleiaşi figuri, nu ca la asemănare unde avem raportul “de asemănare” între elementele corespunzătoare din două figuri.

Elevii pot primi ca temă de durată rugămintea de a studia cum stau lucrurile concret la diferite puzzle-uri ce le au acasă sau le găsesc la cunoştinţe. Astfel, brusc matematica iese din caiete şi manuale, relevându-se ca activă unde nici nu te aşteptai. Aşa că, de acum înainte uitaţi-vă mai cu atenţie la puzzle-uri.

Familia Grigorovici în vacanţă

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Scrisoare către părinţi şi profesori prea ambiţioşi

De curând am găsit pe Republica o postare deosebită. Permiteţi-mi să o reiau integral. Scurta povestire se numeşte Primul meu eşec: până într-a VIII-a am fost cel mai bun din şcoală, dar când am dat examenul de Capacitate am căzut şi este semnată de Vasi Rădulescu (postarea este din 28.06.2017, din perioada ulterioară examenului de Evaluare Naţională de la finalul gimnaziului).

Până la sfârşitul clasei a VIII-a am fost cel mai bun din şcoala mea micuţă. Urma Examenul de Capacitate şi toţi se aşteptau să iau printre primii. Ei bine, nu ştiu ce s-a întâmplat cu mine la examenul ăla.

Când s-au afişat rezultatele şi-am văzut nota finală, nu mi-a venit să cred. Nu numai că nu urma să intru la prima clasă de mate-info din liceul cel mai bun din oraş, ci exista riscul să nu prind mate-info. Am plecat acasă zăpăcit şi n-am avut curaj să dau ochii cu ai mei. M-am dus undeva, în spatele casei, mi-am luat capul în mâini şi-am plâns în hohote. Apoi, ud pe faţă, am zis totuşi să arunc adevărul. Mama s-a cutremurat, aşteptările erau altele, am dezamăgit, nu a mai vorbit cu mine, am făcut-o de râs.

Vacanţa aia a fost o porcărie în care am căzut psihic. Am intrat la a treia clasă de mate-info, m-am remontat cu greu, am fost iar primul până la finele liceului.

Când mă gândesc retrospectiv, îmi dau seama că lucrurile s-au petrecut aşa pentru că aşa trebuia să se întâmple. Un eşec e o lecţie. Dacă sunteţi părinţi şi copiii voştri au luat note mai mici decât vă aşteptaţi, nu-i nicio tragedie. Nu treceţi cu ghetele peste sentimentele lor. Staţi aproape şi fiţi convinşi că totul va fi bine oricum, chiar dacă nu au prins cel mai bun liceu sau cea mai bună clasă.

N-aş miza nici pe poziţia de fruntaş în clasă. Pe mine nu m-a ajutat cu nimic şi-am avut de suportat multiple antipatii, orgolii, vorbe. Fiecare om învaţă toată viaţa şi trebuie să profite de şcoală, de timpul liber, de conexiunile umane, toate pentru a deprinde informaţii, aptitudini, experienţă. Chiar dacă nu eşti primul, tot poţi ajunge un inginer strălucit. Sau un scriitor. Sau medic de top. Contează să depui muncă, să perseverezi, să nu renunţi la primele hopuri avute, să ai încredere că lucrurile se vor aşeza, cu energie din partea ta şi din alte părţi. Eşecuri vor mai fi, succese la fel.

Fiţi alături de copiii voştri şi, indiferent de rezultate, nu treceţi cu ghetele alea butucănoase peste sufletele lor. Educaţia e un fir continuu al vieţii, nu e un examen.

Cât timp există educaţie continuă, bun simţ, respect, muncă, poftă de cultură, aplecare spre frumos, dorinţă de a cunoaşte versiuni superioare ale propriilor persoane, părinţi mişto, profesori excelenţi, copiii vor merge în direcţia bună şi vor ajunge bine de tot.

Mama s-a prins repede că a reacţionat greşit atunci. M-a sprijinit cu medicina, am intrat aici fără emoţii, am terminat-o, mi-am făcut şi rezidenţiatul şi-am ajuns medic medic, adică specialist. Tot un „muculeţ”, dacă mă întrebaţi pe mine. Dar era şi visul meu, şi-al ei; îşi dorise să devină doctoriţă, nu a reuşit din motivele vremurilor apuse pline de greutăţi, am reuşit eu, cumva şi pentru ea.

Cum ziceam, lucrurile pe undeva se aşază.

Această scurtă povestire îmi aduce aminte de o scrisoare sub forma unui filmuleţ, ce mi-a parvenit în urmă cu jumătate de an printr-o cunoştinţă. Un director din Singapore a scris următoarea scrisoare către părinţii şcolii:

Examinările copiilor dvs. vor începe în curând. Ştiu că sunteţi foarte agitaţi pentru copilul dvs. ca să reuşească bine. Dar, vă rog să ţineţi minte, între elevii care vor da examenul, există un viitor artist care nu are nevoie să înteleagă matematica; există un viitor antreprenor care nu se interesează despre istorie sau literatură; există un viitor muzician ale cărui note la chimie nu contează; între ei este şi un viitor sportiv al cărui antrenament fizic este mult mai important decât fizica.

Dacă copilul dvs. obţine note mari, e minunat! Dar, dacă nu obţine note bune, vă rog să nu le distrugeţi încrederea în sine şi demnitatea. Spuneti-le că este doar un examen! Pe ei îi asteaptă oricum realizări mai mari în viaţă. Spuneţi-le că nu contează nota, că îi veţi iubi oricum şi nu îi veţi judeca.

Vă rog să faceţi asta, iar când le-o spuneţi priviţi-i de fapt ca fiind în proces, în timp ce cuceresc lumea. Un examen sau o notă slabă nu le va confisca visele şi talentele. Şi vă rog din suflet, nu vă gândiţi că doctorii şi inginerii sunt singurii oameni fericiţi din lume. Cu salutări calde, Directorul dvs. (traducere liberă după Letter to parents, de găsit în original la adresa https://youtu.be/7jRRxhWuTEQ)

Cred că nu mai este nimic de comentat (q.e.d.). Sau? În urma celei de-a doua scrisori mă gândesc doar la faptul că presiunea exercitată prin intermediul examenelor asupra copiilor este uriaşă în multe ţări. Există însă şi ţări care au reuşit să vindece această boală. Există ţări care nici n-au avut această boală, dar la care „virusul” începe să se ia, puţin câte puţin, prin tot felul de testări, cum ar fi de pildă Studiul PISA. Toate aceste testări şi examinări ar trebui să folosească la ceva, dar ajung să devină ele însăşi obiectivul vieţii multor familii. Lumea nu pricepe că nu există nici o garanţie a succesului în viaţă prin promovarea cu succes a examenelor. Există studii care arată repartiţia absolut echilibrată în viaţă a celor patru variante logice: elev tare + adult tare; elev tare + adult slab; elev slab + adult tare; elev slab + adult slab, prin tare sau slab înţelegând de succes, respectiv opusul acestei stări (whatever ce-o fi însemnând acestea variind de la o situaţie la alta). Viaţa este compusă şi determinată din mult mai mult decât nota, respectiv reuşita prezenţei la examene, examene ce verifică o felie atât de mică din tot ce înseamnă activitatea şi viaţa unui om. Sigur, trebuie să ne sprijinim copilul în pregătirea examenului, dar totodată trebuie să rămânem cu picioarele pe pământ şi să nu ne lăsăm duşi de valul ambiţiilor personale proiectate asupra copilului. Mă gândesc, de pildă, la exemplul acela stupid de prin primăvară cu o doamnă (medic?) care a fost decăzută din drepturile părinteşti pentru că şi-a znopid copilul în bătaie fiindcă acesta refuza să meargă la o olimpiadă. De această dramă s-a auzit în presă, dar câte astfel de drame mute se petrec în jurul nostru, asta nu mai aflăm.

Un alt studiu de lungă durată de care am auzit a urmărit în mare secret modul în care s-au realizat în viaţă un număr mare de copii la care s-a constatat un IQ ridicat, „de geniu”. Repartiţia constatată ulterior a realizării în viaţă a acestora a fost absolut nerelevantă: de la şofer de taxi până la general de nivelul cel mai înalt (generalul american Colin Powell) subiecţii acestui studiu erau repartizaţi prin tot spectrul social, ca şi cum n-ar fi fost aleşi „pe sprânceană” să devină viitori mari … . Vedem de aici că nici măcar testările de inteligenţă secrete nu au mare relevanţă. Oricum, în acest sens merită amintită lărgirea spectrului noţiunii de inteligenţă realizată prin anii  ’90, prin aşa-numitele inteligenţe multiple, inteligenţa socială, inteligenţa emoţională etc.

Acestea ar fi câteva aspecte despre exagerările societăţii la momentul examinării, adică a unui final de etapă, desigur prin prisma accederii în următoarea etapă pe baza rezultatelor acestei examinări. La începutul drumului, prin lipsa unei examinări, accederea la o instituţie de învăţământ mai bună capătă uneori valenţe năucitoare. În acest sens a scris despre starea actuală a lucrurilor Raluca Ion pe Republica, în postarea din 15.07.2017 cu titlul „Eşecul” de a ajunge într-o şcoală de cartier. Merită din plin citit acest eseu. Închei cu un scurt citat din acesta, în spiritul celor prezentate mai sus: Să pretinzi rezultate excepţionale de la oricine şi în orice condiţii e o iluzie periculoasă şi distrage atenţia de la adevărata miză pentru care ar trebui să ne batem cu toţii: şcoli mai bune pentru toţi copiii din România. Orice copil obişnuit are în alcătuirea lui însuşiri remarcabile şi poate aduce lumină în jurul lui în orice loc îl poate aduce viaţa într-un moment sau altul. Cu o condiţie: să îi luminăm noi înainte locurile prin care trece cât creşte şi prinde puteri ca om.

CTG

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Corpuri geometrice din carton

În spiritul unei predări vii, intuitive, este bine să le cerem elevilor să construiască din carton corpurile geometrice studiate. O problemă în acest sens o reprezintă însă chiar procurarea unui carton potrivit. În acest sens m-am gândit că multe ambalaje au exact textura şi grosimea potrivite pentru aşa ceva. Aşa că m-am pus pe treabă pentru a verifica personal dacă funcţionează. Iată ce a ieşit:

În fundalul pozei am pus şi lipiciul cu care am lucrat, adezivul universal de la UHU. Se pot confecţiona astfel mare parte din corpurile studiate, acest proces ajutându-i pe elevi să înţeleagă şi mai bine corpurile şi formulele acestora, mai ales cele de arii. Se pot desigur confecţiona şi alte corpuri în afara celor din materia oficială. Bucuria unui elev când face un astfel de corp este foarte mare (atrăgându-l astfel puternic către matematică). Dau în acest sens doar câteva exemple: un octaedru regulat (opt feţe triunghiuri echilaterale); o antiprismă patrulateră (două baze pătrate rotite unul faţă de celălalt cu 45o şi opt feţe laterale triunghiuri isoscele, cu vârfurile alternativ în sus sau în jos); un tetraedru neregulat cu lungimile muchiilor date; diverse tetraedre cu feţe dreptunghice, mai mult sau mai puţin regulate etc.

Aici se deschide o nouă discuţie: corpurile ar trebui făcute înaintea sau ulterior lecţiei respective? Elevilor le place mult mai mult înainte (au ocazia să devină ei creativi), dar în acest caz procesul este mare consumator de timp. Dimpotrivă, confecţionarea poate fi dată şi ca temă după lecţie, dar în acest caz există mari şanse ca să le facă părinţii. Eu am încercat şi altă variantă, anume să-i pun pe elevi să confecţioneze primele corpuri la sfârşitul clasei a VI-a, ca aplicaţie la construcţia exactă a figurilor geometrice cu rigla şi compasul. Această încercare poate deschide astfel o nouă linie de discuţie, anume: la ce vârstă ar fi potrivite confecţionările corpurilor geometrice? De aici putem merge apoi mai departe cu gândul la modificările programei: dacă la cunoaşterea figurilor geometrice plane am confecţionat şi corpuri, atunci nu ar trebui să le calculăm aria în clasa a VII-a, ca aplicaţii la calculele învăţate (de pildă în finalul anului, ca recapitulare)? Interesante întrebări! Da, da!

TITUHUS

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Predarea intuitivă – alte aspecte şi exemple

Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă – reforma “din 1980” uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.

Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie după câţiva ani de încercări, ajungând cu timpul să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).

Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.

În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, ce va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a care porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din  Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.

În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.

Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.

Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)

La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)

(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.

Titus Grigorovici, 10.07.2017

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Suma lui Gauss (2) – Povestea sumei de la 1 la 100

Majoritatea profesorilor de matematică ştiu măcar sâmburele acestei poveşti, faptul că Gauss, elev fiind, a calculat în cap suma numerelor de la 1 la 100, uimindu-şi învăţătorul. De la această poveste am ajuns să denumim respectivele exerciţii “Suma lui Gauss”. Întâmplarea este magistral redată în romanul Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann (am un exemplar original din 2005, Die Vermessung der Welt, editura Büchergebilde Gutenberg). Cartea a fost tradusă în limba română în 2010 la editura Humanitas, colecţia Raftul Denisei. Romanul prezintă în paralel pasaje din viaţa lui Karl Friedrich Gauß şi a lui Alexander von Humbold. Următoarele două citate sunt redate din ediţia de la Humanitas, din capitolul 3, Învăţătorul (faţă de varianta tradusă în română mi-am permis să fac în unele puncte ale textului anumite modificări, urmărind o corespondenţă cât mai exactă cu textul original). Primul pasaj este potrivit elevilor, putând fi lecturat cu mult patos la clasă (merită s-o faceţi, îi impresionează puternic). Pe al doilea pasaj l-am pus mai mult pentru noi, profesorii, dar poate fi lecturat liniştit şi la clasă (poate în ora următoare). Acest al doilea pasaj ne completează imaginea asupra gândirii copilului precoce care a fost Karl Friedrich Gauß (în întregul text citat am folosit scrierea Gauss în loc de Gauß pentru a uşura lectura, cele două variante fiind oficial echivalente).

*

Mama sa era o durdulie melancolică şi, în afară de gătit, spălat, visat şi plâns, nu o vedea făcând altceva niciodată. Nu ştia să scrie sau să citească. (…)

Cele mai multe amintiri de mai târziu se învârteau în jurul lenei (inerţiei, trândăviei). Mult timp a crezut că oamenii joacă teatru sau urmează un ritual care-i obligă să vorbească sau să acţioneze doar după scurte pauze. Uneaori putea să se adapteze, alteori nu se mai putea abţine. Abia mai târziu şi-a dat seama că aveau nevoie de aceste pauze. De ce gândeau atât de tărăgănat, atât de greu şi de chinuit? Ca şi cum gândurile ar fi fost produse de o maşină pe care trebuia să o porneşti cu manivela, ca şi cum ar fi fost lipsite de viaţă şi n-ar fi venit de la sine. Şi-a dat seama că lumea se supăra atunci când el nu făcea pauze. Făcea tot posibilul, dar de multe ori nu reuşea.

Şi semnele negre din cărţi, care se adresau celorlalţi oameni mari, nu însă şi mamei sale sau lui, îl deranjau. Într-o duminică după-amiaza, a primit câteva explicaţii – băiete, ce stai aşa? – de la tatăl său: despre stâlpul cel mare, despre semnul curbat în partea de jos, semicercul şi cercul. Apoi a privit pagina până când necunoscutele au început să se completeze între ele de la sine şi brusc au apărut cuvintele. A dat pagina, de astă dată mergea mai repede, câteva ore mai târziu putea citi, iar în aceeaşi seară terminase cartea, care de altfel era plicticoasă, căci vorbea numai despre lacrimile lui Christos şi despre căinţa păcătosului. I-a adus-o mamei să-i explice şi ei semnele, dar ea a clătinat din cap zâmbind trist. În acel moment a înţeles că nimeni nu voia să-şi folosească mintea. Oamenii voiau linişte. Voiau să mănânce şi să doarmă, voiau să fi drăguţ cu ei. Nu voiau să gândească.

Învăţătorul de la şcoală se numea Büttner şi bătea copiii cu plăcere. O făcea ca şi cum ar fi fost dur şi ascetic, dar uneori se întâmpla ca faţa lui să dea în vileag bucuria trezită de bătaie. Cel mai mult îi plăcea să le dea teme de lucru în clasă la care trebuiau să lucreze îndelung şi care erau greu de rezolvat fără greşeală, astfel încât la sfârşit se găsea motiv să fie scoasă nuiaua. Era cel mai sărac cartier din Braunschweig, nici unul dintre copiii de aici nu avea să ajungă la o şcoală mai bună, nimeni nu avea să ajungă să muncească altfel decât cu braţele. Ştia că Büttner nu îl suporta. Tăcut cum era şi oricât se silea să răspundă rar ca toţi ceilalţi, simţea totuşi suspiciunea lui Büttner şi că învăţătorul aştepta doar un motiv ca să-l bată puţin mai tare decât pe colegii lui.

Şi i-a dat un motiv.

Büttner îi pusese să adune toate numerele de la unu la o sută. Operaţia ar fi durat ore întregi şi toată bunăvoinţa din lume n-ar fi fost de-ajuns pentru ca adunarea să decurgă fără greşeli de calcul, pentru care puteai fi pedepsit(1). La treabă! strigă Büttner. Nu mai căscaţi gura, la treabă! Mai târziu Gauss nu-şi mai amintea dacă în acea zi fusese mai obosit decât de obicei sau doar nechibzuit. În orice caz, şi-a pierdut controlul şi după trei minute se afla în faţa catedrei, cu tăbliţa lui pe care erau scrise doar câteva rânduri.

Aşa deci, a spus Büttner şi a întins mâna spre nuia. Privirea i-a căzut peste rezultat şi mâna i-a îngheţat. A întrebat ce vrea să însemne asta.

Cinci mii cincizeci.

Ce?

Gauss şi-a pierdut vocea, apoi şi-a dres glasul. Transpirase. Îşi dorea să fi rămas la locul lui şi să socotească la fel ca ceilalţi, care stăteau cu capetele aplecate şi se prefăceau că nu trag cu urechea. Era vorba de adunarea numerelor de la unu la o sută. O sută plus unu fac o sută unu. Nouăzeci şi nouă plus doi fac o sută unu. Nouăzeci şi opt plus trei fac o sută unu. De fiecare dată o sută unu. Poţi să faci asta de cincizeci de ori. Deci de cincizeci de ori o sută unu.

Büttner tăcea.

Cinci mii cincizeci, a repetat Gauss, în speranţa că Büttner, în mod excepţional, va înţelege. De cincizeci de ori o sută unu dă cinci mii cincizeci. Şi-a frecat nasul. L-au podidit lacrimile.

Să mă bată Dumnezeu, a spus Büttner. După care a tăcut îndelung. A început să-şi sugă obrajii, bărbia i s-a alungit, apoi şi-a frecat fruntea şi a bătut încet cu degetele peste nas. Apoi l-a trimis pe Gauss la locul lui, Trebuia să se aşeze, să-şi ţină gura şi să rămână după sfârşitul orelor.

Gauss a tras aer în piept.

Să n-audă nici musca, a spus Büttner, altfel are să pună mâna pe băţ.

Aşa că Gauss apăru după ultima oră cu capul plecat în faţa catedrei. Büttner i-a cerut să-şi dea cuvântul în faţa lui Dumnezeu, care le vede pe toate, că a calculat de unul singur. Gauss şi-a dat cuvântul, dar când a încercat să explice că nu era nimic neobişnuit, că o problemă trebuie privită fără prejudecăţi şi idei preconcepute şi astfel soluţia apare de la sine, Büttner l-a întrerupt şi i-a întins o carte stufoasă. Aritmetică superioară: o pasiune de-a lui. Gauss trebuia s-o ia cu el acasă şi s-o studieze. Dar cu grijă. Dacă găsesc o singură pagină îndoită, o pată, o urmă de deget, atunci pun băţul pe tine şi să te ferească Dumnezeu!

A doua zi a înapoiat cartea.

Büttner l-a întrebat ce vrea să însemne asta. Sigur că e greu, dar nu renunţi atât de uşor!

Gauss a făcut semn că nu, voia să explice, dar nu putea. Îi curgea nasul. Trebuia să şi-l sufle.

Ei, ce-i cu asta?

O terminase, bolborosi el. A fost interesantă şi voia să-i mulţumească. Se holba la Büttner şi se ruga ca toate acestea să se termine.

N-are voie să-l mintă, i-a răspuns Büttner. Acesta este cel mai greu manual scris în limba germană. Nimeni nu poate să-l parcurgă într-o zi, darămite un mucos de opt ani.

Gauss nu ştia ce să spună.

Büttner a întins mâinile, nesigur, după carte. Poate să se pregătească, acum o să-l asculte!

O jumătate de oră mai târziu îl privea pe Gauss cu o privire goală. El ştie că nu este un învăţător bun. Nu are nici chemare pentru aşa ceva, nici calităţi deosebite. Dar acum e timpul: dacă Gauss nu ajunge la Gimnaziu(2), înseamnă că el a trăit degeaba. L-a măsurat cu o privire confuză, după care, probabil pentru a-şi învinge emoţia, a apucat nuiaua şi Gauss a primit ultima mamă de bătaie a vieţii lui.

În aceeaşi după-amiază un tânăr bătea la uşa casei părinteşti. Are şaptesprezece ani, se numeşte Martin Bartels, studiază matematica şi lucrează ca asistent al domnului Büttner. Dacă nu e cu supărare, doreşte să schimbe două vorbe cu fiul familiei.

Am doar unul, a spus tatăl, şi are opt ani.

Cu el avea treabă, a răspuns Bartels. Cerea permisiunea de a lucra cu tânărul la matematică de trei ori pe săptămână. Nu e vorba de a-i preda ceva, termenul îi pare nepotrivit – zâmbea nervos – , pentru o activitate la care posibil că el însuşi va avea mai multe de învăţat decât elevul.

Tatăl i-a cerut să stea drept. Toate astea sunt numai prostii! A reflectat câteva momente. Pe de altă parte nu ar fi nici un argument împotrivă.

Au lucrat împreună un an. La început, Gauss s-a bucurat de acele după-amiezi care întrerupeau rutina săptămânală, cu toate că nu prea mai avea ce face cu matematica. I-ar fi plăcut mai mult să facă latină. Apoi a intervenit plictiseala, Bartels nu gândea chiar atât de greoi ca ceilalţi, dar nici cu el nu era prea uşor.

Bartels i-a povestit că a vorbit cu directorul Gimnaziului. Dacă tatăl lui îi dă voie, e un loc liber pentru el acolo. (pag. 42-45)

*

La scurt timp după aceea, în oraş a venit Pilâtre de Rozier. Zburase împreună cu marchizul d’Arland cinci mile şi jumătate pe deasupra Parisului, într-un coş pe care Montgolfier îl fixase de un sac plin cu aer cald. (…) Pilâtre se afla, cu aparatul său de zbor şi doi asistenţi, în drum spre Stockholm. Înnoptase într-unul din cele mai ieftine hanuri şi se pregătea să meargă mai departe, când ducele i-a cerut să facă o demonstraţie. (…) În dimineaţa următoare cineva a bătut la uşa lui. Un (băiat) stătea afară şi, fixându-l cu o privire atentă, l-a întrebat dacă are voie să meargă şi el.

Să meargă şi el, a repetat Pilâtre. Cu balonul zbori. Nu spui „a merge”, ci „ a zbura”. Aşa spun oamenii care folosesc balonul.

Care oameni folosesc balonul?

El este primul, a spus Pilâtre, şi aşa vrea el. Şi nu, sigur că nu poate să meargă şi el. L-a mângâiat uşor pe obraz şi a dat să închidă uşa.

El nu este aşa, a răspuns băiatul ştergându-şi nasul cu dosul palmei. Dar numele lui este Gauss, nu este un necunoscut şi în scurt timp va face descoperiri la fel de mari ca Isaac Newton. Şi n-o spune din vanitate, ci pentru că timpul este scurt şi e necesar ca el să ia parte la zbor. Stelele se văd mai bine de acolo de sus, nu-i aşa? Mai clar şi nu învăluite în ceaţă?

Ar putea paria pe asta, a răspuns Pilâtre.

De aceea trebuie să meargă şi el. Ştie multe despre stele. Ar putea fi supus şi celei mai grele verificări.

Pilâtre a râs şi a întrebat cine îl învaţă pe un bărbat atăt de mic să vorbească aşa de frumos. A stat un timp pe gânduri. Ei bine, a spus el în sfârşit, dacă e vorba despre stele!

După-amiază, în faţa unei mulţimi de oameni, în faţa Ducelui şi a batalionului de gardă, o flacără trimitea căldură prin două tuburi în balonul de pergament. Nimeni nu se aşteptase să dureze atât de mult. O jumătate din spectatori plecaseră deja când balonul a început să prindă rotunjimi şi mai puţin de un sfert din mulţime se mai afla acolo când a dat să se ridice, ezitant, de la pământ. Corzile s-au întins, asistenţii lui Pilâtre au dat drumul la tuburi, micul coş s-a smucit din loc, iar Gauss, care stătea ghemuit bolborosind pe podeaua împletită, (ar fi sărit deja) în picioare, dacă nu l-ar fi împins înapoi Pilâtre.

Încă nu, (şopti) el gâfâind. Ce faci, te rogi?

Nu, şopti Gauss. El numără numere prime, face asta de fiecare dată când este agitat.

(…) Balonul avea să se ridice şi să se îndrepte încotro va fi dus de vânt, după care va coborî înapoi atunci când aerul din el se va fi răcit. Un pescăruş a ţipat foarte aproape de coş. Încă nu, a strigat Pilâtre, încă nu. Acum! Şi apucându-l de la ceafă, jumătate de guler, jumătate de păr, l-a tras pe Gauss în picioare.

Pământul curbat în depărtare. Orizontul adânc, vârfurile dealurilor aproape dispărute în ceaţă. Oamenii care se holbau în sus, feţe minuscule în jurul focului încă arzând şi lângă ele acoperişurile oraşului. Nori de fum agăţaţi de hornuri. Un drum şerpuia pe câmpul verde, pe el un măgar de mărimea unei insecte. Gauss s-a prins de marginea coşului şi abia când a închis gura şi-a dat seama că până atunci ţipase întruna.

Aşa vede Dumnezeu lumea, a spus Pilâtre.

Voia să răspundă, dar nu mai avea voce. Cu ce forţă îi mişca aerul! Şi soarele – de ce e atât de luminos aici sus? Îl dureau ochii, dar nu putea să-i închidă. Şi spaţiul însuşi: o linie dreaptă de la orice punct la altul, de la acest acoperiş la acest nor, spre soare şi înapoi la acoperiş. Din puncte linii, din linii suprafeţe şi din suprafeţe corpuri – şi nu doar atât. Curbura uşoară: de aici de sus aproape o puteai vedea. Simţea mâna lui Pilâtre pe umăr. (…) S-a uitat cu atenţie la soare, la lumina care se  schimba. Lumina obscură a apusului părea că urcă precum o perdea de ceaţă pe cerul încă luminos.. Ultimele raze, roşul de la orizont – apoi soarele a dispărut, după care au apărut stelele. (…) Atât de multe, cu fiecare minut din ce în ce mai multe. Fiecare stea era un soare în agonie. Fiecare se stingea, fiecare îşi urma drumul şi, aşa cum existau formule pentru fiecare planetă care gravita în jurul unui soare şi pentru fiecare lună care gravita în jurul unei planete, tot aşa exista o formulă nespus de complicată, sau poate nu, poate că ascunsă tocmai în propria simplitate, care definea toate aceste mişcări, orice rotire a fiecăreia; poate că trebuia doar să te uiţi îndeajuns de mult. Îl dureau ochii. Era ca şi cum n-ar mai fi clipit de mult.

Acuşi suntem jos, a spus Pilâtre.

Încă nu! S-a ridicat în vârful picioarelor, ca şi cum asta l-ar fi ajutat, s-a holbat în sus şi a înţeles pentru prima oară ce înseamnă mişcare, ce înseamnă un corp, ce înseamnă spaţiul care se întinde între ele, între toţi, între el, Pilâtre şi acest coş. Spaţiul …

S-au lovit de aracii ce susţineau o căpiţă de fân, o coardă s-a rupt, iar coşul s-a răsturnat. Gauss s-a rostogolit într-o baltă cu noroi, Pilâtre a căzut prost, sclântindu-şi braţul şi, când a văzut ruptura pânzei de pergament a balonului, a tras nişte înjurături atât de straşnice, încăt ţăranul, venit alergând de la casa sa, se opri ameninţând cu hârleţul ridicat. Asistenţii au venit într-o suflare şi au dat să strângă balonul făcut ferfeniţă. Pilâtre a ridicat braţul şi i-a tras un ghiont dureros lui Gauss.

Gauss a spus că acum ştie.

Ce anume?

Că toate liniile paralele se ating(3).

Bine, a spus Pilâtre. (…) (pag. 48-52)

*

(1) Pentru o mai bună înţelegere mă simt nevoit să fac în final câteva observaţii. În primul rând, pentru a avea o imagine cât de cât conformă cu vremurile respective, eu le dau elevilor, cu ocazia acestei poveşti, să vadă o poză cu „sala de clasă” a primei şcoli româneşti din Ardeal, cea din Scheii Braşovului. În acele băncuţe intrau înghesuiţi câte 4-5 elevi, cu totul deci peste 20 de elevi. Următoarea poză cu Sala „Anton Pann” este preluată de pe wikipedia.ro, de pe pagina despre Prima Şcoală românească. La fel de impresionantă este pentru elevi şi „imaginea” ce o inserez în timpul poveştii cu faptul că pe vremuri elevii scriau pe o tăbliţă, şi că pe aceasta nu încăpea foarte mult, după care trebuiau să şteargă, ţinând minte rezultatul precedent pentru următorul calcul.

(2) O altă precizare importantă ţine de sistemul şcolar german, în care gimnaziu (Gymnasium) reprezintă o şcoală înaltă, pentru elevi buni, ceva de genul liceelor româneşti dinainte de război, unde mergeau doar elevii „de bani gata”, dar unde erau primiţi printr-un un sistem de burse şi elevii buni din familiile fără stare materială ridicată. Actualmente în Germania se numesc Gymnazium şcolile de nivel ridicat, oarecum echivalentul liceelor noastre teoretice (cumulat real + uman). În Germania şcolile pentru elevi mai slabi la învăţătură se numesc şcoli reale (Realschulen). În funcţie de abilităţile dovedite până în clasa a IV-a elevii sunt îndreptaţi începând din clasa a V-a către Gimnazium (cei buni la învăţătură) sau către Realschule (ceilalţi). În pasajul de mai sus, Gauss a fost trimis de învăţătorul său la o şcoală „din cele bune”.

(3) Finalul celui de-al doilea pasaj este edificator doar în măsura în care ştim că Gauss a fost printre marile minţi matematice care s-au preocupat de „problema axiomei paralelelor”. Pe vremea respectivă nu se folosea atât de mult exprimarea „dreptele paralele sunt drepte care nu se intersectează”, specifică teoriei mulţimilor, ci se folosea mult mai artistica exprimare „dreptele paralele sunt drepte care se intersectează la nesfârşit, la infinit”. În acest context înţelegem ceva mai bine exprimarea copilului Gauss de la finalul citatului. Afirmaţia respectivă este inclusă în roman ţinând cont probabil de dorinţa autorului de a atinge măcar în treacăt preocuparea lui Gauss legată de subiectul paralelelor. Se ştie că Farkas Bolyai, tatăl lui János Bolyai, a fost prieten cu marele Gauss şi a purtat cu acesta o corespondenţă despre „demonstrarea axiomei paralelelor”. Pe acest substrat preocupaţional din jurul său a apărut legendarul „Apendix” al fiului său, unul dintre deschizătorii drumului către geometriile neeuclidiene, alături de rusul Nikolai Lobachevsky. Cu timpul, după recunoaşterea ideilor celor doi tineri (Lobachevsky şi Bolyai János), Gauss ar fi admis că a avut şi el idei asemănătoare, de contestare a axiomei paralelelor, dar că s-a temut să le publice pentru a nu se face de râs în lumea matematicii, unde avea deja un renume de necontestat, fiind supranumit „Princeps mathematicorum”.

Închei cu recomandarea caldă să căutaţi şi să citiţi cartea Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann. Este una din acele cărţi rare la care citeam de fiecare dată tot mai puţin pentru ca lectura să dureze cât mai mult. Iată şi o caracterizare din Ziarul Frankfurter Allgemeine Zeitung despre Daniel Kehlmann:  Autori care să scrie cărţi ce merită atât de mult să fie citite, nu avem prea mulţi (citat tradus de pe coperta a IV-a a exemplarului în limba germană). CTG

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone