Teleşcoala şi profesorii de matematică

Profesorii de matematică ce s-au oferit (?) sau au fost aleşi (?) de a susţine lecţiile din cadrul emisiunilor teleşcoala sunt într-o situaţie delicată: pe de o parte acţiunea poate reprezenta o platformă de lansare deosebită spre o recunoaştere mai largă în cariera didactică; pe de altă parte postura respectivă “în lumina reflectoarelor” este una deosebit de ingrată. De prima parte nu-mi fac griji, dar permiteţi-mi să explic la ce mă refer cu partea ingrată.

Filozofia impusă în anii ’80 de către autorităţile comuniste susţinea că întotdeauna este loc de mai bine. Era o metodă prin care oricine putea fi criticat, astfel încât nimeni să nu se simtă sigur în situaţia sa. Încet, dar sigur, după Revoluţie ideea a prins la tot mai mulţi concetăţeni, generalizându-se ca metodă democratică de dezbatere şi analiză.

Într-adevăr, dispoziţia de a critica pe cel de alături a prins foarte bine în societatea românească. Mulţi oameni se simt bine când îl critică pe celălalt, având astfel un sentiment de superioritate faţă de cel criticat. Astfel au apărut oameni care practică această “artă a criticatului” cu deosebită satisfacţie. Chiar a devenit un gest de “bon ton” în a-i contesta celuilalt afirmaţiile, de a-i arăta de fapt cum stau lucrurile, că tu te pricepi mai bine, după principiul “îţi spun eu cum stau lucrurile!”.

Ca urmare a acestei atitudini generalizate, orice apariţie într-o oră deschisă a unui profesor este deosebit de minuţios pregătită, pentru a reduce la maxim şansele de a oferi asistenţei posibilitatea de a te critica (iar asistenţa tradiţională matematică de-abia aşteaptă o astfel de ocazie!). Ne dăm seama în aceste condiţii ce este în sufletul unui profesor care apare într-o lecţie în faţa întregii ţări, postată apoi pe youtube astfel încât să-ţi poată oricine diseca vorbele.

Eu ştiu câte ceva despre acest subiect pentru că am avut în familie o astfelde experienţă: mama mea a ţinut o lecţie de Teleşcoala la sfârşitul anilor ’70, şi ţin minte ce zdroabă a fost atunci cu pregătirea fiecărui cuvânt din lecţia respectivă (cartea din care tatăl meu a conspectat la greu pentru a o ajuta pe mama să pregătească lecţia este acum la mine: nici nu o bag în seamă, dar atunci era la mare apreciere).

Revenind la lecţiile din aceste zile, cum spunea şi soţia mea: sigur nu-i poţi mulţumi pe toţi; sigur se vor trezi mulţi deştepţi care să-i critice pe colegii care s-au încumetat la aşa o acţiune “cu tente sinucigaşe”. Şi atunci ce faci ca profesor ce urmează să susţii o lecţie cu audienţă (redusă sau extinsă)? Ce poţi să faci pentru a preîntâmpina pe cât se poate apucăturile de a te critica din partea celorlalţi? Simplu! Îţi pregăteşti o lecţie cât mai completă din punct de vedere teoretic; o încarci cu toate detaliile ca să nu poată să se trezească “nuş-ce deştept” să te completeze sau să te critice. Apoi vin gândurile la adresa profesorilor obsedaţi de probleme “de nivel ridicat, pentru elevii buni şi foarte buni”. De ce? Pentru că aceştia – cei cel mult 10% din populaţia şcolară – au reprezentat preocuparea principală a şcolii matematice româneşti timp de 40 de ani.

Ştiindu-te astfel asigurat din cele două direcţii predilecte de unde poţi fi criticat, te apuci apoi să susţi lecţia stabilită. În acest moment apare ciudatul de la Cluj, care tot scrie pe pentagonia şi pune întrebarea încuietoare: Deci, pentru cine sunt făcute aceste lecţii? Că pentru majoritatea elevilor nu sunt croite, asta-i sigur. Aceştia pur şi simplu nu le vor înţelege. Sunt prea încărcate de elemente teoretice, într-un limbaj excesiv de riguros, iar ¾ din aplicaţii se adresează celor cel mult 10% din populaţia şcolară (George Pólya susţine că aceştia ar reprezenta de fapt doar 1%, dar noi ştim desigur mai bine, românii sunt mult mai deştepţi decât restul planetei, aşa că le spun în continuare 10% pentru a nu deranja lectura restului de articol). Părerea mea este că sunt eventual gândite pe gustul profesorilor, au multe aplicaţii pe nivelul elevilor de vârf, dar sigur nu sunt pentru marea parte a elevilor.

Acum, eu sunt într-o situaţie foarte neplăcută; mă simt ca o babă ce stă pe banca din faţa casei şi îi critică pe cei ce lucrează, mergând în sus sau în jos pe uliţă. În acest sens refuz să încep să dau exemple la ce mă refer când spun aceste lucruri, dar pot să spun măcar următoarele elemente. Tehnic, eu m-am rupt încet dar sigur de stilul de predare uzual în şcolile româneşti, pornind în urmă cu aproape un sfert de secol într-o reformă “de unul singur”, preluând din străinătate, dar şi din matematica românească dinainte de 1980, cât am putut de mult şi evoluând astfel într-o formă de predare plină de empatie şi respect faţă de elevi, atât cei buni cât şi cei slabi.

Singurele contacte pe care le-am mai avut cu forma de predare din şcolile tradiţionale este una “second hand” prin intermediul puţinelor lecţii ale elevilor din alte şcoli care mai vin să-mi ceară ajutorul. Fiind astfel personal atât de departe de elementele considerate a fi de dorit de către mentalitatea generală, este evidentă reacţia mea la vederea acestor ore televizate: cu greu am urmărit cap-coadă o astfel de lecţie; a doua am urmărit-o pe sărite, iar la treia două trei momente şi gata.

Cum zice o vorbă urâtă, “simţeam că dau în icter” din cauza elementelor din aceste ore, pentru că simţeam doar preocuparea pentru completitudinea exprimării de specialist şi neapărata prezenţă dominantă a exerciţiilor pentru elevii de 9-10. Îmi închipuiam ce înţeleg, mai degrabă cât de puţin înţeleg majoritatea elevilor, cei slabi şi cei mulţi din blocul central al clopotului lui Gauss, văzând asemenea etalare teoreticistă, la care atenţia îi lasă baltă după 5-6 cuvinte riguros aranjate, iar apoi văzând toate exemplele ciudate, fără etalarea nici măcar a unui exerciţiu de bază tipic în lecţie sau la temă.

Şi încă o dată întreb: pentru cine sunt aceste lecţii? Pentru că sigur nu sunt pentru elevii obişnuiţi. Poate sunt pentru autorităţi, că să nu putem spune că n-au făcut nimic. Nu ştiu cum să zic, dar simt că pentru majoritatea elevilor sunt inaccesibile.

Eu de mult am un fel de viziune, iar aceasta mi s-a confirmat din plin cu această ocazie. De mult eu aveam impresia că profesorii de matematică predau într-un mod extrem de riguros, ca şi cum în spatele clasei ar fi o cameră de luat vederi (cu microfon desigur) conectată constant la inspectorat, iar inspectorul de matematică n-are nimic mai bun de făcut decât să comute de la o şcoală la alta, de la un profesor la altul, verificându-l dacă se exprimă riguros. Pentru colegii care au ajuns să predea aceste lecţii de teleşcoală, pentru ei aceste sentimente s-au materializat la modul cel mai concret (ieşind din zona unei impresii poate subiective), iar în acest sens singura lor preocupare în aranjarea lecţiei este desigur de a ieşi “basma curată” din toată tărăşenia (cu atâtea perechi de ochi şi de urechi aţintite asupra ta, nici nu ai ce să gândeşti altceva).

Închei totuşi cu două exemple, iar ca să fiu “politically correct”, voi da un exemplu pozitiv şi unul negativ (da, am găsit în sensul celor spuse mai sus şi un exemplu pozitiv; cât despre cel negativ, din multitudinea de exemple de care m-aş putea lega, l-am ales pe cel care m-a indignat cel mai mult, anume pe cel care reprezintă după părerea mea cea mai gratuită răutate la adresa elevului de rând).

În sens pozitiv, mi-a sunat în urechi, pe când nu prea mai aveam răbdare, cum colega dicta calculele din teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Deci nu-i totul pierdut; lupta merită continuată: la postul naţional cineva a renunţat la cuvântul lungime, exprimând teorema lui Pitagora în cel mai simplu mod, corect dar totuşi neîncărcat.

Ca exemplu negativ, am descoperit cu durere, chiar cu indignare, următoarea situaţie: în loc de succesiunea naturală: x2 = 9 => x = ± 3, se alege tot mai des mult mai “preţioasa rezolvare” x2 = 9 => | x | =  => x = ± 3. Cum arată o astfel de rezolvare în lecţia televizată (lecţie despre care autorităţile susţin că este accesibilă tuturor elevilor din ţară, inclusiv celor care nu au acces la internet)? Păi, simplu, uite aşa: (2x + 1)2 – 9 = 0 <=> (2x + 1)2 = 9 => | 2x + 1 | =  => 2x + 1 = ± 3 etc. Clar, nu? Întrebaţi pe un copil din vecini, dar nu pe unul dintre aceia foarte buni, şi vedeţi ce vă spune. Tare aş vrea să aud justificarea unui “pedant” explicând la ce naiba ajută modulul acela în această situaţie

Oameni buni! Când veţi înţelege că un modul cu ceva necunoscută înăuntrul său îi sperie pe cel puţin 60-70% din elevii de gimnaziu? De ce să includem în rezolvare acel modul în compania unui radical, când se poate şi fără? Eu asta numesc o răutate gratuită la adresa elevilor, iar matematica predată în România este plină de astfel de exemple. Este clar că nu are nimeni curajul să interzică astfel de situaţii prin lege. Oare, când se va înţelege că datoria noastră este în primul rând să predăm o matematică cât mai accesibilă unei pături cât mai largi de populaţie şcolară? Abia după ce cei mulţi vor fi înţeles lecţia de bază, abia apoi putem veni cu tot felul de jiumbuşlucuri matematice.

Da! Aplic aici un principiu învăţat de la colegii din Germania care ne mai vizitează să vadă cum merge Waldorfu’ pe la noi: după o vizită la un dascăl la oră, nu-şi permit mai mult de două aspecte negative de evidenţiat şi asta doar dacă au reuşit să evidenţieze şi două aspecte pozitive. Eu mă opresc însă la 1 : 1. Şi totuşi, pentru cine sunt aceste lecţii? CTG

Matematica la vreme de corona virus (2) – Abajur icosaedru (NOU!!!)

(ca să-l mai parafrazăm puţin pe Gabriel Garcia Marquez) Ce mai facem noi, pe lângă materiale de lucru pentru elevii consemnaţi acasă? Noi aveam un proiect mai vechi cu un  abajur pentru balcon, care s-a materializat în aceste zile. Este vorba de un al doilea, pentru că primul fusese asamblat deja prin toamnă. Soţia îşi propusese de mult să facă unul nou în locul celui vechi care împlinise 20 de ani şi era tare obosit. Acest prim abajurul este unul deosebit de cunoscut în sistemul şcolilor Waldorf, unde este folosit ca lămpaş în perioada premergătoare sărbătorilor de iarnă (deci cu lumânare înăuntru).

Abajurul nostru are un diametru de cca. 40 cm şi este făcut dintr-un carton colorat cu o oarecare “transparenţă” la lumina becului. Acesta are forma unui dodecaedru (12 feţe) din care sunt lăsate două feţe  opuse goale (una sus pentru aerisire şi una jos pe care iese lumina spre masă). Cele zece feţe sunt făcute din cartoane pentagonale îndoite pe “liniile mijlocii” ce unesc mijloacele a două laturi consecutive. Două feţe alăturate se lipesc cu o “linie mijlocie” comună, iar partea întunecată a abajurului apare acolo unde se suprapun două pentagoane. Acolo unde rămâne un singur strat de carton se văd acele stele cu cinci colţuri, pentagramele. Atenţionez că aceste pentagrame nu sunt efectiv construite ci ele apar  acolo unde nu sunt două straturi de carton suprapuse. Găsiţi alte descrieri suplimentare la Revista Pentagonia 1998-2002, în copia pdf a caietului Nr. 3 dec. 1998, mai direct la adresa http://pentagonia.ro/wp-content/uploads/2015/10/Pentagonia3.pdf . Puteţi găsi şi pe net multe poze sau articole despre acesta dând la căutare “dodecahedron star lantern” (de obicei acestea sunt făcute din foste “picturi în acuarelă lichidă” la care s-a lucrat pe o hârtie de pictură mai groasă decât cea obişnuită; la acestea se pune înăuntru o lumânare pastilă)).

După acest prim abajur, problema noastră era că doream să facem şi unul în formă de icosaedru (20 feţe triunghiuri echilaterale), care însă să funcţioneze pe un principiu similar, anume la care să apară un “desen” pe feţele sale, un model generat de alternanţa dintre zone mai întunecate şi zone mai luminoase în funcţie de numărul de straturi de carton. Menţionez însă că pentru o astfel de sarcină nu aveam cunoscut de undeva un model de fabricaţie. Soţia mă tot întreba din când în când, oare cum să-l facem. Trebuia să găsesc o modalitate în care “geometria” să colaboreze într-um mod la fel de frumos ca şi la precedentul. Cândva, prin toamnă mi-a venit ideea (desigur, într-un somn scurt de după amiază, când iarăşi bătea soarele pe pat), anume să tăiem bucăţile pentru feţe în formă circulară (pardon, de disc), îndoite de-a lungul laturilor unui triunghi echilateral înscris. Problema este că în acest fel se suprapune complet cu două straturi fiecare faţă, dar apar şi câteva zone sub forma unor petale unde avem o suprapunere de trei straturi.

Ca urmare a trebuit să căutăm un carton mai subţire pentru a obţine o “transparenţă” plăcută chiar şi cu două straturi. Cu alte cuvinte, dacă primul abajur este cu raportul 1:2 de straturi, la al doilea avem raportul 2:3 la straturi, iar asta se vede: contrastul nu mai este atât de clar, ci este ceva mai “şters” (diferenţa de luminozitate este de 50% la primul şi de 33% la al doilea). Da, şi încet, cu timpul, de-a lungul iernii, printre multe altele, acest abajur a văzut “lumina zilei”, dar stătea abandonat din lipsă de timp, în aşteptarea unui sistem de prindere şi a unei lămpi interioare, pentru care pur şi simplu nu găseam liniştea şi timpul necesare (că pe aici nu găseşti prin magazine astfel de produse).

Vremea i-a venit odată cu consemnarea acasă, acest abajur văzând “lumina becului” într-o zi cu “zăpada mieilor”, şi cred că arată destul de frumos. Precizez că această poză este probabil o premieră mondială: eu l-am compus şi nu am habar să existe aşa ceva făcut înainte undeva în lumea asta largă. Să lămurim: fiecare petală este obţinută prin suprapunerea peste faţa respectivă a segmentelor de cerc (pardon, de disc) de la două feţe vecine, fiind astfel de trei straturi, ieşind astfel în evidenţă faţă de zonele înconjurătoare mai luminoase care sunt doar cu două straturi. Ziua, atunci când nu este aprins becul dinăuntru, aceste abajururi arată oarecum banal, ieşind în evidenţă doar prin forma frumoasă geometrică (chiar arată puţin deranjant pentru că pe fiecare faţă există şi porţiuni ale unor feţe laterale care sunt lipite pe exterior).

Mă bucur foarte mult că am reuşit să facem acest al doilea abajur, completând astfel perechea, pentru că cele două corpuri reprezintă o pereche specială în lumea geometriei (cunoscute oarecum peste tot în lume, mai puţin însă la noi). La noi, această situaţie a celor două corpuri pereche absolut speciale a fost evidenţiată totuşi într-un mod ciudat de către Buţu Gh., autorul copertei manualului de matematică de clasa a VIII-a din anul 1971, fără ca cele două corpuri să fie cuprinse însă în materia din interiorul manualului (partea de algebră: Constantin Ionescu-Bujor, Ivanca Olivotto, Ion Giurgiu; partea de geometrie: A. Hollinger, Corina Pârvulescu). Noi mai avem un manual cu acelaşi desen pe copertă, dar pe albastru, din 1974. Mariana şi Titus Grigorovici

P.S. Ca o scurtă observaţie de final, pe spatele acestor manuale este reprezentat şi cel de al treilea corp perfect neglijat de programa de geometrie din România, anume octaedrul regulat (care este perechea cubului, aşa cum cele două de mai sus sunt considerate o pereche); de cu nu este acest corp nici acum în materie, nu-mi pot explica altfel decât prin vechea poveste cu maimuţele; atât aria totală cât şi volumul octaedrului sunt la nivel elementar accesibile elevului mediu din România, lecţia fiind atât de uşoară încât poate fi dată elevilor să o compună singuri.

Matematica la vreme de corona virus (1)

(ca să parafrazăm titlul unui roman renumit) Ce mai fac profesorii de matematică prin lumea largă? L-am felicitat scurt de ziua lui pe prietenul nostru de lângă Stokholm; ştiţi, cel care împlinise în urmă cu câţiva ani 100 de ani în baza opt; acum se îndreaptă încet spre 70 de ani (în baza zece). Este pensionat şi face oricum multă matematică; printre altele ţine cursul anual al profesorilor de matematică din şcolile Waldorf suedeze. În 2015 l-am cunoscut pe colegul care l-a înlocuit la catedră şi ne-am distrat bine împreună povestindu-ne experienţele cu acesta. Iată ce mi-a răspuns acum:

Hello, and thank you! It is a new experience for me; I have not been this old before …. Because of the corona virus I have plenty of time for reading, and experimenting. I am looking for interesting number sequences. Real fun! Take care! Warm regards, Kjell

Aşa că spor la matematică, fraţilor. De mult n-am mai beneficiat de o astfel de ocazie de „vacanţă forţată în casă”, numai bună pentru activităţi de autoperfecţionare. Coronelul Titus

Matematica şcolară şi comportamentul în faţa extinderii Corona virusului

De multe ori m-am plâns de stilul destul de generalizat de “stat poliţienesc” prezent în orele de matematică din şcolile româneşti. Forţarea elevilor spre învăţătură printr-o astfel de atmosferă, pe lângă o asociere a fricii cu matematică, generază şi o atitudine de nerespectare a regulilor. Elevii se obişnuiesc cu timpul să copieze temele, să copieze la lucrări scrise şi să mintă. Nu doar matematica contribuie la această stare, ci şi alte materii, mai ales cele cu profund substrat teoretic. Prin Cluj sunt renumite câteva situaţii de profesoare de chimie care terorizează şcoli întregi, sunt foarte pretenţioase şi lasă în urma lor mulţi corigenţi (asta ca să dau doar un exemplu). Dar matematica a fost de la început conducătorul de pluton în această “cursă nebună”.

În numele unei stupide creşteri a nivelului predării şi a rezultatelor la examene şi concursuri, presiunea asupra elevilor a crescut cu timpul prin câteva direcţii clare. Să le enumerăm pe scurt pe cele mai importante: 1) creşterea cantităţii de materie; 2) creşterea nivelului ştiinţific (complexitate, teoreticitate şi rigurozitate); 3) coborârea materiei spre clase mai mici; 4) creşterea nivelului de dificultate a aplicaţiilor (în numele rezultatelor la olimpiade şi alte concursuri, aşa-numita “matematică sportivă” a cucerit mare parte din orele de matematică).

“Startul” spre această direcţia s-a dat în cadrul reformei din 1980. Eu i-am spus “reforma uitată” pentru că puţini mai sunt aceia care mai cunosc cum era matematica şcolară înainte de perioada de reformă petrecută orientativ din 1978 până prin 1982 (din câte ştiu).Cu alte cuvinte, populaţia României de până în 50 de ani a fost educată clar în spiritul acestei reforme, a cărei componentă clară este şi stilul de “stat poliţienesc”. Generaţii întregi s-au obişnuit să copieze la teste, să-şi copieze tema de la alt coleg, să şoptească, în general să lupte pe toate căile posibile împotriva autorităţii profesorilor, totul sub justificarea naturală că “ne cere prea mult, prea greu, prea stupid”. Generaţii întregi s-au obişnuit “să se descurce” în faţa unei dominaţii de teroare căreia nu-i vedeau sensul.

În vara când s-au introdus camerele de filmat în clasele de examen la BAC (2011?), mai mulţi oameni au simţit nevoia să-mi comenteze situaţia, iar toate aceste comentarii respectau inconştient un anumit model: Pasul 1) Extraordinar, la ce nivel s-a ajuns cu copiatul! Pasul 2) Şi pe vremea noastră se copia, dar nu în aşa hal! Pasul 3) De exemplu, când am dat eu Bacul … şi urma un exemplu memorabil de copiat, de obicei în grup, organizat uneori chiar de supraveghetori, exemplu care de fapt infirma afirmaţia de la pasul 2. Era de obicei în aceste poveşti un ton de mândrie în urma unui act ce era perceput ca un fel de eroism în sfidarea autorităţii. Pentru mine cel mai memorabil a fost exemplul unui poliţist care a ţinut şi el – aflând că sunt profesor – să-mi povestească cum s-a copiat când a dat el Bacul.

Bun! Şi acum să revenim în vremurile noastre. Vă rog să priviţi prin prisma acestor fapte felul în care românii din străinătate sau din ţară au înţeles să respecte, sau mai degrabă să nu respecte cerinţele autorităţilor legate de paza împotriva răspândirii corona virusului. Au rămas antologice exemplele celor veniţi cu autocarul din Europa de vest prin Ucraina sau a celor care au venit din Italia trecând cu feribotul în Grecia şi încercând să intre în ţară pe la Giurgiu, ca să ascundă faptul că veneau din zone ce i-ar fi “condamnat” la izolare sau carantină timp de două săptămâni. Au fost multe exemple auzite în mass-media de români care minţeau cu sânge rece autorităţile, pentru că de fapt – în perioada de formare a mentalităţilor, adică în şcoală – aceştia s-au format cu obişnuinţa de a fenta autoritatea pentru a se descurca şi a-şi atinge scopul.

Aş putea să analizez aproape la nesfârşit exemple prin care să conectez felul în care se vede în aceste zile cum s-au format obiceiurile de fentare a autorităţii în şcoală, dar prefer să vă las pe dvs. să preluaţi ideea şi să gândiţi la această legătură. Apoi, cei care veţi putea, cei care aveţi forţa, să vă analizaţi activitatea şi felul de a fi la clasă, astfel încât să dezvoltaţi un fel de a fi care să nu mai generaze atât de multă justificare spre sfidare a autorităţii. Pentru că un lucru pot să spun sigur: copiii nu sunt aşa când vin la şcoală, nici măcar când vin în clasa a 5-a. Obiceiurile de sfidare se formează în viaţa de elev alături de profesori (cu doamnele învăţătoare dobândesc alte “belele”, dar nu asta). CTG

La Mulţi Ani! de ziua lui π

Chiar dacă totul este dereglat şi am ratat termenul (am ţinut un curs cu profesori despre predarea matematicii la şcolile Waldorf), merită să ne amintim de una din zilele importante pentru „matematica lejeră”. De curând am avut o discuţie cu un elev (bunicel) de clasa a VIII-a:

CTG: Şi aria cercului cât e?

Elevul: ?

CTG: ??

Elevul: Dapoi, nu mi-am recapitulat formulele!

CTG: Mă, dacă nu ştii formula asta, eşti bun de intrat în PSD!

Elevul (absolut spontan): pi-er-pătrat!

Despre “idioţenia” numită ARIA DISCULUI

De curând pe Comunitatea pofesorilor de matematică am găsit următoarele rânduri: Doresc să ştiu când se va reveni asupra idioţeniei numită „aria discului”. În majoritatea ţărilor se spune aria cercului (vezi Canada, SUA etc.) numai la noi cercul nu are arie aşa cum a avut mai bine de 2000 de ani. De ce triunghiul (…) are arie, patrulaterul (…) are arie, poligonul (…) are arie, dar cercul nu mai are arie? De ce trebuie să înghiţim orice idioţenie chiar dacă este ea debitată de un profesor universitar? Postarea, care este din 1 feb ’20, îi aparţine d-lui profesor Roşu Ion (de pe blogul dânsului reiese că predă de prin 1972, fiind deci printre puţinii care înţeleg bine când vorbesc despre matematica dinaintea reformei uitate din 1980, despre manualele lui A. Hollinger sau Eugen Rusu, cât şi despre metodica corespunzătoare).

În comentariile la postarea respectivă am mai găsit câteva rânduri în acest sens: Noi am învăţat despre „aria dreptunghiului”, „aria pătratului”, „aria triunghiului”, „aria cercului” etc. Iată fragmentul din manualul de clasa a VII-a (…), în care se vorbeşte de aria cercului. Îţi dădeai seama că aria se referă la suprafată, nu la linii frânte sau curbe. Nu-mi aduc aminte când s-a venit la noi cu un exces de „rigoare”. Cred că am învăţat după Hollinger, A. Geometrie: manual pentru clasa a VII-a.- Bucureşti : Editura didactică şi pedagogică, 1964. Este pe undeva în format digital? (Da, ar fi o idee interesantă să apară acele manuale scanate, ca să le poată studia doritorii; sau poate se gândeşte Editura didactică şi pedagogică să le republice şi să poată fi cumpărate spre autoperfecţionare) Comentariul îi aparţine d-lui Puşcaşu Constantin, care a anexat şi o imagine din manualul respectiv:

În toată discuţia, pe lângă „aria discului”, îmi permit şi eu să mai adaug două puncte nevralgice. 1) Dar despre „volumul bilei” în loc de „volumul sferei”, despre acestea de ce să nu vorbim? Doar pentru că aici „isteria rigurozităţii” nu este atât de pronunţată? Apoi: 2) De ce vorbim despre „lungimea cercului”, pe când la toate celelalte figuri cerem perimetrul? De ce nu se spune „perimetrul cercului”, ca la celelalte figuri închise (perimetrul pătratului etc.), ci se spune lungimea cercului? Sau invers, de ce nu spunem lungimea hexagonului??? (că, de ce nu spunem lungimea dreptunghiului, asta înţeleg!) Revenind la „perimetrul cercului”, se pare că de acolo a venit propunerea către Leonhard Euler cu notarea acelui număr specific cercului, propunerea de a se nota cu literea grecească pentru P, de la „periferia cercului”, numărul π reprezentând de câte ori intră diametrul cercului (adică lăţimea acestuia) „roată în jur pe periferia cercului (π de la periferie sau perimetru).

Subiectul deschis de Dl. Roşu Ion este deosebit de interesant şi oferă pe tavă oprtunitatea perfectă pentru o discuţie despre rigurozitatea excesivă a limbajului profesorilor vizavi de nevoia unui limbaj accesibil şi inteligibil din partea elevilor. Deci, „să purcedem” la treabă şi să analizăm pentru început „datele problemei”:

Rotundul” este singura figură geometrică ce are două cuvinte separate, unul pentru linia geometrică, iar altul pentru suprafaţa delimitată de această linie (Cercul, respectiv Discul). Discul reprezintă suprafaţa delimitată de cerc, pe când cercul poate fi descris drept conturul unui disc. Cu alte cuvinte, putem vorbi de disc drept interiorul cercului (vedeţi că mă abţin de a intra într-un limbaj teoreticist riguros steril). Celelalte figuri geometrice nu au „această onoare”, astfel că, dacă suntem nevoiţi, trebuie să apelăm la denumiri descriptive de genul „suprafaţa delimitată de pătrat” sau mult mai uzualul „interiorul triunghiului”.

Aceasta este situaţia în cazul figurilor plane (mai modernul 2D). În spaţiu (actualmente denumit 3D) situaţia este aceeaşi: doar corpul rotund beneficiază de două denumiri diferite, una pentru suprafaţa corpului, iar alta pentru interiorul corpului. Eu le explic elevilor că Sfera reprezintă o minge, care este deci goală pe interior (minge de fotbal, de baschet etc.), pe când Bila este plină în interior (bilă de la rulment, bilă de popice sau de biliard etc.; oare cuvântul biliard nu vine de la bilă?). Celelalte corpuri beneficiază în general de o singură denumire şi oricum nu se face prin denumire referire la interior sau la suprafaţa corpului. Singura excepţie relativă ar fi cuvântul Solids folosit în engleză pentru „corpuri”, care face prin cuvântul însuşi referire la ideea de „corp plin”.

Să analizăm puţin din punct de vedere istoric subiectul nostru. „Rotundul” a beneficiat din vremuri străvechi de un statut special şi de o admiraţie corespunzătoare faţă de restul figurilor geometrice. De la Stonehenge la iurtele mongole şi de la „Cavalerii mesei rotunde” la „Masa tăcerii” a lui Brâncuşi (de fapt Iisus cu cei 12 apostoli), peste tot de-a lungul istoriei şi de-a latul lumii apar ca speciale elemente rotunde, fiind de multe ori privite cu o încărcătură de spiritualitate. Doar dreptunghiul a mai beneficiat de a atenţie similară, atât din motive practice, cât şi ca formă potrivită pentru structurile arhitecturale ce trebuiau să exprime autoritate.

De unde provine oare această ciudată diferenţiere, anume faptul că doar „rotundul” beneficiază de două cuvinte separate, atât în plan cât şi în spaţiu? Un gând ar fi că ideea s-a impus odată cu una din primele „globalizări”, anume de pe vremea Imperiului Roman şi a impunerii prin acesta a limbii latine (discobolul grecilor, alături de cerc). Spun aceasta pentru că de pildă în germană nu prea apare o diferenţiere în limbajul teoretic matematic. În ambele situaţii se foloseşte cuvântul „Kugel” (a se citi cugăl), atât pentru arie, cât şi pentru volum. La minge au cuvântul „Ball”, dar acest cuvânt nu se foloseşte în matematică. Persoanele culte cunosc şi latinescul „Sphaere”, dar nici acesta nu este folosit în geometrie. În schimb însă, în plan se mai întâlneşte şi în matematică cuvântul „Discus”, deşi în general tot „Kreis” se foloseşte şi la perimetru şi la arie (şi ca cerc şi ca disc).

Fenomene de genul acesta se întâlnesc în matematică peste tot şi în diferite limbi. De pildă, faptul sesizat mai sus că la toate figurile închise plane folosim cuvântul „perimetru”, pe când la cerc spunem „lungimea cercului”. Dar nu numai atât: noi folosim cuvântul „perimetru” cu sensul de „lungimea conturului unei suprafeţe”, dar în viaţa de zi cu zi acest cuvânt este folosit pentru a desemna „limita, conturul unei suprafeţe”. Apoi, mai există şi expresia „în perimetrul” (ex. „este interzis fumatul în perimetrul unei instituţii”) cu sensul de interiorul acelui „perimetru”, adică pe „suprafaţa delimitată de acel perimetru”. Mai rezistaţi?

Vedem că limba vorbită este foarte permisivă, iar interzicerea acestei permisivităţi intuitive în cadrul unui domeniu de activitate, cum ar fi la orele de matematică, este resimţită ca deosebit de agresivă. Pe de altă parte, chiar matematicienii încalcă în anumite momente această rigurozitate autoimpusă: dacă ar fi să fim „ortodoxi habotnici” până la capăt, atunci ar trebui să spunem „perimetrul cercului” şi nu „lungimea cercului”. Sau, dacă ne hotărâm că „perimetrul” este obiectul, iar măsura sa este „lungimea”, atunci ar trebui să aplicăm această decizie la toate celelalte figuri, astfel că ar trebui să vorbim despre „lungimea triunghiului”, „lungimea pătratului” sau „lungimea rombului” cu referire la perimetrul acestora. Este evidentă problema: ce vom înţelege când vom spune „lungimea dreptunghiului”??? Vedem deci, din aceste exemple că nici noi profesorii nu suntem într-adevăr riguroşi, aşa cum avem pretenţia. Aceasta este situaţia între obiect şi măsura sa în cazul 1D, adică al lungimii.

Un fenomen similar se întâmplă şi în cazul perechii de cuvinte „suprafaţă” şi „arie” (2D). Obiectul este suprafaţa, pe când măsura acestuia este considerată „aria”. Dar nici la noi situaţia nu este atât de riguroasă şi clară (să zicem „unanim acceptată”) pe cât şi-ar dori unii (sau pe cât susţin aceştia). De pildă, de ce încă mai există profesori care notează aria cu S (de exemplu la aria totală a unei piramide cu ST)??? Şi în acest caz, imediat ce ieşi din matematica de la clasă încep să apară confuzii, repectiv folosiri amastecate de noţiuni. Acestea reprezintă însă confuzii doar pentru răutăcioşii habotnici. Oricine (chiar şi un astfel de răutăcios de la catedră) va înţelege întrebarea „ce suprafaţă are curtea ta?”. Arie sau Suprafaţă? Mare scofală! În loc să ne bucurăm când un elev gândeşte, ieşind astfel din zona de analfabetism funcţional, atât matematic cât şi literal, îl agresăm cu orice ocazie când „o scapă pe de lângă”.

Apropos: cuvântul „arie” este foarte scurt şi îi poate speria pe copii chiar prin aceasta. Apoi, acest cuvânt nu este folosit în limbajul cotidian, astfel încât elevii au nevoie de o perioadă de timp pentru a se obişnui cu acesta. După ce s-au împrietenit cu el, totul e în regulă. Odată un elev m-a întrebat spre sfârşitul clasei a 7-a, cu referire la o piramidă: când învăţăm „aria aia dinăuntru”? Am înţeles evident că întreabă despre volum, aşa cum am înţeles clar că el a priceput foarte bine că aria exprimă „mărimea suprafeţei”, adică „măsura interiorului unei figuri”, extrapolând această înţelegere din 2D în 3D.

Dacă tot am ajuns aici, la „măsura interiorului unei figuri”, mai fac o tură prin lumea largă. Pe germană cuvântul pentru „arie” este „Flächeninhalt”, a se citi flehăn-inhalt, însemnând „conţinutul suprafeţei”). Haideţi să aruncăm o privire şi la „prietenii de limbă engleză”, la care cuvântul „Area” reprezintă (pe lângă arie) şi o suprafaţă clar delimitată. Spun toate acestea la adresa pretenţioşilor în ale rigurozităţii extreme, care atacă cu mare satisfacţie pe oricine încalcă cât de puţin „sfânta linie de exprimare academică”, dovedind de fiecare dată un snobism extrem şi agresiv: stimaţi colegi „cu nasul pe sus”, nu cred că puteţi careva să susţineţi că matematica germană sau cea în limba engleză este inferioară celei în limba română, şi totuşi ei se descurcă bine-mersi fără această stupidă teoretizare extremă a limbajului.

Revenind la cuvântul „perimetru”, şi acesta îi sperie la început pe unii elevi, aceştia având nevoie de ceva timp pentru a se împrieteni cu el. De ce, atunci când în sfârşit s-au obişnuit cu el şi calculează uşor perimetrul diferitelor figuri poligonale, la perimetrul cercului ne facem că uităm şi schimbăm în „lungimea cercului”, şi o facem asta cu cea mai mare nesimţire, exact atunci când apare cel mai ciudat număr din viaţa lor matematică. Noi, profesorii de matematică avem astfel de mici răutăţi pe care le facem doar aşa, pentru că aşa s-a făcut dintotdeauna.

Cine s-a ocupat măcar puţin cu psihologia neuronală, acela realizează că elevul învaţă prin analogie, dar că schimbarea unui cuvânt îl încurcă pe elev în a reuşi un transfer uşor pentru analogie. Apoi, se face aici o gafă de proporţii prin faptul că mintea elevului este forţată să facă faţă la doi itemi noi de-o dată: schimbarea denumirii din „perimetru” în „lungime” concomitent cu apariţia unui număr care „ce înseamnă ăla?”, un număr pentru înţelegerea căruia omenirea a avut nevoie de peste 2000 de ani. Da, iar ca tabloul să fie cât mai bulversant, în aceeaşi lecţie schimbăm şi cuvântul „cerc” cu cuvântul „disc” şi cu asta „i-am rezolvat” pe cei mai mulţi din clasă.

În cazul de faţă (mai la începutul eseului) am folosit expresia rigurozitatea limbajului în sensul de folosire a unui vocabular, a unor cuvinte neuzuale (cel puţin în prima fază, până când elevii se obişnuiesc cu noul cuvânt) Este şi asta o abilitate deosebită, cea de a te obişnui cât mai repede cu folosirea unui cuvânt nou introdus. Mulţi profesori au impresia că dacă trântesc pe tablă definiţia unui nou cuvânt, atunci toţi elevii îl ştiu automat şi îl pot folosi. Nimic mai fals: această abilitate se dezvoltă doar cu timpul şi doar la unii.

Mai există şi rigurozitatea limbajului prin încărcarea exprimărilor, astfel încât, cu cât vrem să fim mai exacţi, cu atât scăpăm mai mult de sub control lungimea frazelor, devenind astfel neinteligibili pentru tot mai mulţi elevi. Exemplul cu care m-am confruntat cel mai des a fost includerea în textele geometrice a cuvântului lungime, pentru a face diferenţa riguroasă între un segment şi lungimea acestuia. Pe lângă mult discutatul text al teoremei lui Pitagora, eu m-am confruntat în mod dureros cu „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” în loc de „determinaţi înălţimea triunghiului”. Aceasta în condiţiile în care la „raza cercului” se face clar precizarea că se înţelege din context dacă este vorba despre segment sau despre lungimea acestuia; la fel şi la „diametrul cercului”.

Cine se gândeşte că am încercat aici o tratare exhaustivă a subiectului, acela se înşală, pentru că nici nu mi-aş putea propune aşa ceva, subiectul fiind extrem de vast. Dau doar un exemplu în susţinerea acestui punct de vedere, anume un exemplu pozitiv în sensul accesibilizării limbajului în detrimentul unei exprimări riguros corecte. Aproape nu trece săptămână din semestrul doi al clasei a 8-a să nu mă bucur că avem voie să folosim „unghiul diedru” în loc de mult mai rigurosul „ unghiul plan corespunzător diedrului” (cam de 10 ani n-a mai comentat nimeni în acest sens şi încă n-am auzit să fi murit cineva din cauza asta). Desigur că există şi alte forme de rigurozitate a limbajului, care în general reuşesc doar o deosebit de eficientă agresare a elevilor, dar eu mă opresc aici cu această linie de discuţie.

Un singur aspect mai trebuie să precizez, legat de observaţia cu năduf a d-lui profesor Roşu Ion. Cei care veţi vizita din curiozitate postarea sa pe Comunitatea profesorilor de matematică, veţi putea vedea câteva comentarii de o agresivitate extremă, dovezi de bullying între adulţi colegi de breaslă, exprimări care îmi repugnă chiar şi numai a le aminti. Cu toţii suntem stresaţi de aceste posibile atacuri din partea unor „colegi” şi chiar dl Roşu, în speranţa de a nu fi atacabil, a luat-o „pe arătura” rigurozităţii extreme când a încercat să vorbească despre triunghiuri, patrulatere şi alte poligoane (eu am scos pasajele respective). Eseul de faţă reprezintă în sine o încercare de a vorbi despre acest subiect fără a cădea în „castronul de rigurozitate” în care se bălăcesc cu drag foarte mulţi. De foarte mult timp îmi doream să abordez această temă şi nu pot decât să-i mulţumesc d-lui Roşu.

Aria cercului sau aria discului? Eu le folosesc lejer pe amândouă, astfel încât elevii să înţeleagă subiectul şi nu mă cramponez de nici una ca fiind neapărat cea corectă. Le explic însă despre subiect, despre logica sa şi despre atitudinea mea. În clasa a 8-a la volumul sferei, pardon, la volumul bilei le mai explic încă o dată toată treaba şi gata!. Revenind în 2D, sigur este că încă nu am folosit niciodată expresia „perimetrul discului” (că ar fi şi asta o idee tare năstruşnică)! Asta vă propun şi dvs., stimaţi colegi: haideţi să lăsăm rigurozitatea extremă să se odihnească „în plata Domnului” şi să ne concentrăm asupra copiilor şi, mai ales, să ne bucurăm când copilul gândeşte şi face matematică cât poate el de bine.

Cred că învăţământul matematic şcolar românesc are actualmente cu totul alte probleme, majoritatea mult mai grave. Chiar mai mult, am convingerea că această preocupare pentru o exprimare exagerat riguroasă, cât şi vânătoare aferentă a scăpărilor de exprimare, reprezintă una din cauzele analfabetismului funcţional matematic scos în evidenţă de diversele ediţii ale Studiului PISA. Elevii se sperie când îl aud pe profesor debitând fraze superîncărcate, apoi se sperie când el sau un alt coleg este certat că nu s-a exprimat corect, iar blocajul gândirii este urmarea cea mai des întâlnită. Titus Grigorovici

P.S. V-am spus eu că sunt multe de discutat legat de aria cercului, atunci când toată ţara râdea de Doamna Viorica? Da, da!

Ana are mere, pardon, Ana are pere!

Pentru cine a ratat ştirea, haideţi să amintim situaţia. De curând a devenit virală pe net o poză dintr-un manual de matematică cu următoarea “problemă”:

Ana a cules 15 pere, iar Radu a cules cu 4 mai multe.Câte pere a cules Nelu?

În comentariile „internauţilor” unii râd, alţii se iau în serios, ca să-i cităm pe domnii de la Europa fm din emisiunea Deşteptarea. Unii spun că Nelu are treburi mai importante de făcut, alţii afirmă că Nelu a cules 19 pere. Domnii de la Deşteptarea susţin că există doar două răspunsuri posibile:

Răspunsul 1): Nelu are un total de 34 de pere, Nelu fiind de fapt patronul, iar Ana şi Radu angajaţii săi;

Răspunsul 2): Nelu nu are pere, fiind plecat în Spania la cules de căpşuni.

Merită totuşi să ascultaţi momentul în înregistrarea de pe site-ul Europa fm (sub 4 min.), de găsit la adresa https://www.europafm.ro/problema-diminetii-cate-pere-a-cules-nelu/ .

Simularea EN la clasa a 7-a

În primăvara lui 2019 i-am scris D-nei Ministru Ecaterina Andronescu o epistolă despre o propunere ciudată de structurare a anului şcolar. Dânsa îşi dăduse adresa la o întâlnire cu directorii din Cluj şi de acolo aveam adresa. Era clar că avea pe cineva care să citească toate ciudăţenile venite din ţară într-o astfel de situaţie, aşa că m-am hotărât să-mi lansez gândurile. Cu acea ocazie am pus şi un Post Scriptum legat de organizarea simulării pentru EN la clasa a 7-a, respectiv a simulării pentru BAC la clasa a 11-a. Bănuiesc că gândurile exprimate au rămas prin minister şi după plecarea D-nei Andronescu. Nu am pretenţia că în urma scrierii mele s-a luat decizia despre simulările pentru clasele a 7-a şi a 11-a din 2020; mai degrabă cred că ideea plutea în aer, iar la minister s-au adunat gânduri convergente din mai multe direcţii în acest sens (cunosc fenomenul de mult: în urmă cu peste 10 ani, l-am căutat pe Dl fost ministru Mircea Miclea şi l-am rugat să transmită la minister disperarea în legătură cu fenomenul tezelor unice, iar dânsul mi-a spus că va transmite şi că ştie că la minister se discută intens despre scoatera acestora, pentru că există mesaje în acest sens din toate părţile). Consider că poate fi de interes să vă prezint rândurile trimise în urmă cu un an în legătură cu simularea EN la a 7-a:

*

Între timp (…) s-a decis simularea EN şi la clasa a VII-a. Personal, consider aceasta o decizie foarte bună. Permiteţi-mi să fac totuşi o scurtă observaţie legată de această simulare, valabilă însă şi referitor la simularea din clasa a XI-a. Astfel, vă rog să luaţi în considerare analiza oportunităţii organizării acestei simulări în anii viitori ceva mai târziu decât cele de clasa a VIII-a, din următoarele motive:

-Ar scădea stresul organizatoric la nivelul şcolilor (probleme de spaţiu în cazul claselor cu bănci pentru doi elevi; profesori supraveghetori câte 2 în clasă şi unul pe coridor; multe lucrări de corectat etc.);

-Ar permite organizarea unor subiecte din cea mai mare parte a materiei de clasa a VII-a, de pildă în situaţia organizării simulării la începutul lunii mai. Includerea acestor simulări (a VII-a şi a XI-a) se potriveşte evident (într-o perioadă de evaluări de final);

-Rolul simulărilor drept “semnal de alarmă” la adresa elevilor nu le impune urgenţa pentru luna martie. Nici în marile oraşe, nici la clasele din mediul rural sau semirural, nu se va apuca nimeni foarte repede de învăţat după simulare pentru a recupera. Majoritatea vor lua însă în serios avertismentul pentru începutul clasei a VIII-a; în cazurile cele mai bune se vor apuca de învăţat după începutul vacanţei. CTG

Legea lui Campbell

La întrebarea “Pentru ce învăţăm matematica?”, sau la altele similare cum ar fi “La ce ne ajută matematica?”, venită din partea elevilor sau din partea unor părinţi ( acei care nici ei nu au avut o relaţie tare amicală cu matematica), la astfel de întrebări cei mai mulţi profesori răspund cu clasicul “Îţi trebuie la examen!” (la BAC, la EN etc.). Când discuţia este reluată la nivel mai înalt, să zicem într-o dezbatere la o emisiune televizată, sau între specialişti, la nivelul politicii educaţionale a statului român, atunci argumentele se ridică la nivelul olimpiadelor, subiectul fiind alăturat celor din categoria mândriei naţionale, a orgoliului de a fi parte a unui învăţământ super-performant la nivelul olimpiadelor internaţionale, pe baza argumentelor de tipul “Noi şi olimpicii noştri!”.

Cu diferite ocazii, în scrierile mele, am avertizat că această politică educaţională nu este sănătoasă, aducând totodată şi scurte argumente în susţinerea părerilor exprimate. De fiecare dată însă, părerea mea era susţinută doar de argumente raţionale de bun simţ, dar care puteau fi combătute pe baza clasicelor idei inoculate în mentalul naţional (al profesorimii, dar şi al unei mari părţi a populaţiei culte), inoculate de către aparatul de propagandă oficială în anii ’80 şi continuat “într-o mare bucurie” şi cu multă mândrie naţională în anii ’90, totul sub sloganul deja amintit: “Noi şi olimpicii noştri, noi şi sportivii noştri: Nadia, Hagi & Co. + renumiţii anonimi cu rezultate de vârf la OIM etc.”.

De câteva ori am precizat chiar că nu consider că sistemul olimpiadelor şcolare este dăunător, ci doar absolutizarea sa şi ridicarea acestei absolutizări la nivel de politică de stat în domeniu educaţional. Oricum, în această direcţie efervescenţa s-a mai liniştit, mai ales după rezultatele echipei României la OIM 2018 Cluj, rezultate considerate de ziariştii avizi de scandal drept slabe (să meargă ei acolo şi să vadă cum este să “iei în faţă” o problemă pe care nu o poţi urni din loc). Singurul aspect pentru care ar putea fi considerate slabe este faptul că nu au mai putut alimenta orgoliul naţional. Ei bine, şi ce facem acum? Nimic, ce să facem? Problema sistemului olimpic este una, iar aceasta în nici un caz nu poate fi echivalată cu problema situaţiei matematicii şcolare la nivelul maselor (aşa cum greşit au interpretat diferiţi jurnalişi, cum am spus, avizi de scandal).

Până acum nu am luat în discuţie subiectul în cauză într-un mod mai serios, mai structurat şi pe baza unor “argumente ştiinţifice”. Nu am avut energia sufletească să o fac, nu am avut forţa să mă pun “în gura lumii”, să mă pun într-o opoziţie oficială cu autorităţile. Nu am avut însă nici argumente mai “ştiinţifice”, dar nici vremurile nu erau “coapte” pentru un astfel de demers. Cei mai mulţi se simţeau încă “bine-mersi” în vechea paradigmă implementată de Ceauşescu şi aparatul comunist de propagandă după 1980, şi neluată în discuţie, ci continuată cu mare mândrie după Revoluţie. Numărul contestatarilor, dar şi al argumentelor împotriva sistemului dominat de politici elitiste, numărul acestora nu ajunsese la un prag critc care să ducă la acceptarea unei discuţii oficiale şi la luarea în calcul a unor gânduri de schimbare.

Despre partea cu “vremurile coapte”, în sensul acceptării unei astfel de dezbateri, situaţia începe să se schimbe. Dezbaterile generate de publicarea rezultatelor studiului PISA 2018 au arătat că societatea este deja pregătită pentru luarea în discuţie într-un mod serios a subiectului “Învăţământ orientat dominant elitist vs. învăţământ orientat pentru marea masă a populaţiei şcolare”. Doamna Viorica Dăncilă, cu renumita ei gafă cu aria cercului, a pregătit doar terenul, a încălzit minţile şi a pornit dezbaterile despre starea învăţământului. Publicarea rezultatelor PISA s-a mulat perfect pe această stare generală de indignare.

Mai rămâne partea cu “argumentele ştiinţifice” împotriva politicilor educaţionale orientate în primul rând – uneori exclusiv – după preocupările elitiste, în vederea potenţării olimpismului şcolar pentru vârfuri, sau în general în vederea pregătirii şi a rezultatelor la examene (EN & BAC). Din păcate, nu există “studii ştiinţifice” în România (sau în alte ţări) despre care să am cunoştinţă, care să susţină părerile despre nocivitatea unui sistem oficial dominant elitist (poate or fi, dar eu nu am cunoştinţă de aşa ceva). De curând însă am dat peste o “lege” recunoscută în mod ştiinţific la nivel internaţional şi care susţine aceste puncte de vedere. Interesant este că am aflat de această lege tot prin toamnă, fapt care mă face să susţin ideea unor “vremuri coapte” în sensul luării în discuţie a subiectului. Următorul pasaj (trei aliniate) este preluat şi tradus de pe Wikipedia (vezi https://en.wikipedia.org/wiki/Campbell%27s_law ).

*

Legea lui Campbell este o observaţie (*) dezvoltată de Donald T. Campbell, un psiholog şi cercetător sociolog […], care susţine următoarele: “Cu cât un indicator social cantitativ oarecare este folosit mai mult pentru luarea deciziilor, cu atât mai mult acesta va fi subiectul presiunilor coruptive (*) şi cu atât mai mult deciziile vor fi distorsionate (*) şi denaturate, chiar corupte (*) de către procesele sociale pe care indicatorul respectiv avea intenţia a le monitoriza. Nu prea se înţelege! Haideţi să revenim în zona noastră de comfort, haideţi să revenim măcar în jurul şcolii.

Despre educaţie, Campbell scria în 1976: “Testele de evaluare a  asimilării (*) pot fi foarte bine indicatori valoroşi despre nivelul atins şi despre asimilarea generală şcolară în condiţiile predării normale în direcţia competenţelor generale. Dar când rezultatele la teste devin scopul procesului de învăţământ, testele îşi pierd valoarea de indicatori ai stadiului educaţional şi ajung să deformeze procesul educaţional în moduri de nedorit. (Efecte similare apar desigur la testele de final ale diverselor cursuri sau la examene de admitere.)

Principiul sociologic al lui Campbell este utilizat în a demonstra consecinţele negative ale testelor de evaluare la nivel naţional în şcoli. Aceste consecinţe pot lua, de pildă, forma predării pentru testare (teaching to the test) sau a învăţării pentru înşelare directă a evaluării (*outright cheating în original). […] Legea lui Campbell îi ajută pe oameni să înţeleagă de ce programele “Race to the top (cursă spre vârful ierarhiei)” al administraţiei Obama sau “No Child Left Behind Act (nici un copil lăsat în urmă)” al administraţiei Bush au deseori ca rezultat împietarea (*) şi nu îmbunătăţirea rezultatelor procesului educaţional.

(*) Traducerea acestor rânduri din engleză este destul de dificilă, deoarece textul original de pe Wikipedia foloseşte diferite cuvinte fără o clară corespondenţă în limbajul uzual românesc. Îmi cer scuze în cazul în care traducerea nu mi-a reuşit în modul cel mai fericit.

*

Cu alte cuvinte, legea lui Campbell reprezintă o observaţie de bun simţ despre felul în care acţionează anumite mecanisme sociale în contextul introducerii evaluări rezultatelor unor activităţi. Concret, legea lui Campbell vorbeşte despre adaptarea naturală a individului la faptul că va fi evaluat de către superiorii săi. Cu cât evaluarea este mai clară şi mai punctuală, cu atât activitatea se va îndrepta mai mult înspre aspectele ce vor fi evaluate, ducând la neglijarea aspectelor neincluse în evaluare. În lumea asta încă nu a fost inventată evaluarea perfectă; evaluările sunt eşantionare, iar existenţa unei liste de itemi de evaluat duce automat la adaptarea activităţii generale preponderent spre activităţi legate de acei itemi. Asta duce, la rândul său, la neglijarea automată a celorlalte activităţi, a itemilor şi a competenţelor ce nu sunt evaluate în procesul de evaluare. Ca urmare, educaţia nu mai este generală, completă şi atotcuprinzătoare, ci devine îndreptată doar spre aspectele ce urmează a fi evaluate. Astfel, educaţia devine incompletă, întregul proces generând lipsuri tot mai profunde în obţinerea unui rezultat educativ complet şi eficient.

Haideţi să luăm un exemplu pe care s-ar putea să-l mai ţină minte mulţi colegi. În cei doi ani cât am fost blagosloviţi cu tezele unice, la clasa a 7-a anunţându-se că se dă la teză până la lecţia cutare, cercul cu lungimea şi aria sa nefiind incluse în materia pentru teza unică pe semestrul al II-lea, clase întregi nu au mai învăţat această lecţie, deci nici nu aveau habar despre numărul pi (acei tineri termină sau chiar au terminat între timp facultăţile, ca să avem o relativă orientare în timp). Cei care au mai recuperat-o în clasa a 8-a au salvat tema cu pricina, dar la vremea respectivă oricum se vorbea că nu se dau corpurile rotunde, aşa că …

Da! Asta spune legea lui Campbell. Ar merita acum să luăm şi să citim acastă lege, cât şi consecinţele sale, prin prisma organizării orelor de matematică în vederea rezultatelor la examenele de evaluare la sfârşit de ciclu (EN sau BAC) şi a evaluărilor pe parcurs fără relevanţă asupra traiectoriei şcolare (EN-2 şi EN-6), dar vă las pe dvs., stimaţi cititori să faceţi singuri o astfel de analiză, bazată pe gândurile personale. Ţinând cont de importanţa total exagerată dată timp de peste un sfert de secol rezultatelor la olimpiade, putem desigur include într-o astfel de analiză şi predarea pentru rezultate la olimpiade în cazul unor profesori sau chiar în cazul unor şcoli întregi. Să încerc totuşi şi eu câteva rânduri în acest sens.

Decenii la rând de “picurare” în mentalul profesorimii matematice a ideii de “pregătire pentru examene şi concursuri” a dus la organizarea predării, a orelor şi a programelor în sensul respectiv. Elevii nu mai învaţă matematică pentru a dobândi o gândire raţională şi logică, ci pentru că le trebuie la examen. Aceasta are desigur şi o consecinţă colaterală de o relevanţă uriaşă pentru evoluţia generală a societăţii româneşti: cei care nu au nevoie de matematică la examen, aceia au tot dreptul să nu mai înveţe matematică deloc! Chiar şi cei care vor avea matematică la BAC, pot lua o “pauză” în clasele 9-10, pentru a se apuca apoi prin a 11-a de recuperat. Cum se descurcă în clasele 9-10? Mai copiază, mai fentează, o mai “scaldă”, …; văd ei cum trec, se descurcă cumva, educându-se de fapt în bunul stil românesc de a nu-ţi face treaba.

Dar chiar şi cei conştincioşi, cei care învaţă regulat, chiar şi aceştia învaţă doar ce ştiu că le va trebui la matematică. Astfel, mulţi elevi învaţă ordonat metodele de rezolvare pentru teste, după care le uită pur şi simplu. Foarte puţini sunt cei care mai învaţă matematica “de bucurie”. Nimeni nu mai învaţă subiecte care nu sunt în materia de examen. “Instituţia cursurilor opţionale” nu a prins în şcoli cu adevărat, fiind la cheremul profesorilor de matematică, care sunt de obicei preocupaţi doar de pregătirea examenelor sau a concursurilor, fiind evaluaţi de către şcoli sau de către inspectorate doar în acest sens.

Nimeni nu te evaluează ca profesor cât de raţional gândesc şi se exprimă elevii tăi în viaţa de zi cu zi, cât de bine pot aplica gândirea sau alte elemente din matematică în afara matematicii, ce capacitate au ei de a gândi în avans, cât de ordonat scriu sau cât de clare şi frumoase sunt figurile lor geometrice. Ca urmare, nici profesorii nu se mai preocupă de formarea unei gândiri raţionale şi logice la elevi.

Profesorul este preocupat de parcurgerea materiei şi de includerea în oră sau la temă a cât mai multor probleme posibile de venit la examene sau la concursurile fixate ca obiectiv cu cei mai buni elevi din clasă. Matematica nu mai este un instrument în mâna profesorului pentru formarea gândirii viitorilor adulţi, ci este doar o cantitate de cunoştinţe ce trebuie încărcate în mintea elevilor pentru a fi apoi verificate la examene. Sigur că pregătirea concursurilor duce această formă de încărcare la cote de multe ori inimaginabile de maltratare psihică şi mentală a elevilor. În acest sens eu nu înţleg cum de până acum nu s-a sesizat UNESCO despre situaţia de abuz matematic din România.

În această preocupare generală doar pentru examene şi concursuri au dispărut din materia şcolară multe exemple sau teme întregi foarte eficiente în formarea gândirii, doar pentru că au fost scoase de pe lista celor ce se pot da la examen. Mai rău, după reforma uitată din 1980 au dispărut din predare chiar şi metodele formatoare de gândire la elevi, metode verificate şi perfecţionate de-a lungul timpului (predarea în spirală, predarea intuitivă, predarea prin problematizare etc.). Cam aşa arată trecutul nostru.

Putem însă să ne uităm şi în viitor şi să ne imaginăm cum ar putea evolua predarea la matematică, dacă în curând ar deveni oficială şi deci obligatorie predarea înspre îmbunătăţirea rezultatelor la viitoarele teste PISA. Profesorii angajaţi ai diferitelor edituri ar selecta cum s-ar pricepe diferite “probleme de tip PISA”, le-ar include în “teste de tip PISA”, toţi profesorii ar parcurge astfel de teste, dresându-i pe elevi în acest sens, iar rezultatele la viitoarele studii PISA ar creşte simţitor. Ca urmare, administratorii ministerului învăţământului ar fi lăudaţi şi totul ar părea rezolvat. Sau, poate, dimpotrivă, organizatorii testării PISA s-ar sesiza şi ar schimba problemele într-un mod neaşteptat şi neprevăzut de autorii respectivi, dând sarcini pentru care elevii n-au fost pregătiţi prin acele culegeri. Atunci să vezi circ şi scandal!

Mai ţineţi minte, de pildă, “distracţia” cu problema despre vârsta ciobanului dată de două ori în Elveţia? O redau relativ din amintire: Un cioban are 36 de oi şi 7 capre. Ce vârstă are ciobanul? O mare parte din elevi au dat răspunsul 43, deşi problema nu se putea face (acesta fiind răspunsul corect). Scandal! Învăţători şi profesori revoltaţi! “Nu am făcut cu elevii aşa ceva la clasă.” Ok, au zis organizatorii. La următoarea testare apare o nouă problemă, ceva de tipul: Un cioban de 24 ani are 26 de oi şi 12 capre. Ce vârstă are ciobanul? O mare parte din elevi au dat răspunsul 62, adunând cele trei numere. Din nou scandal şi dascăli revoltaţi, dar din partea organizatorilor o tăcere de tipul: q.e.d. Ce putem vedea noi în acest exemplu? Analfabetism funcţional în domeniul lecturii, dar şi în direcţia matematicii, deşi elevii erau pregătiţi în vederea unor astfel de teste. Sau poate ar trebui să spunem: “datorită” faptului că elevii erau pregătiţi ţintit spre astfel de teste.

Revenind la oile noastre, pardon, la matematica noastră, să lămurim lucrurile cât se poate de clar: nu evaluările la nivel naţional (EN&BAC) şi nici olimpiadele şcolare nu sunt de vină pentru starea actuală a matematicii şcolare româneşti, ci absolutizarea importanţei pregătirii examenelor şi a concursurilor, cât şi presiunea asupra profesorilor pentru rezultate la acestea, aplicate ca politică oficială timp de atâţia ani. Astfel, profesorii nici nu mai ştiu cum să predea fără această motivaţie, iar elevii oricum de mult nu mai vor să înveţe în lipsa unui astfel de obiectiv (dacă învaţă, pentru că de mult a devenit o preocupare cvazi-naţională găsirea formelor prin care elevii să fenteze sistemul, să ia note cât mai bune şi să treacă examenele, fără să înveţe în mod corespunzător). Mai profund gândind, constatăm că nu pregătirea pentru examene sau pentru olimpiade este dăunătoareîn sine, ci orientarea procesului educativ tot mai mult înspre pregătirea acestora. La o analiză mai exactă, constatăm chiar că materia şcolară suferă de aranjări nenaturale unui proces sănătos de învăţământ (aranjat de exemplu pe principiul intuitivităţii), doar pentru a veni în întâmpinarea procesului de excelenţă (de pildă, partea de calcul de arii şi volume care nu intră pentru simularea din martie în clasa a VIII-a, doar pentru a lăsa loc studiului poziţiilor dreptelor şi a planelor în spaţiu, materie mult mai potrivită olimpiadei din februarie).

Indiferent de cum o luăm, situaţia în învăţământ este foarte complicată. După părerea mea însă, o analiză învăţământului românesc care să nu ia în considerare legea lui Campbell este din start sortită eşecului, la fel ca şi toate celelalte reforme în cascadă cu care ne-au cadorisit diriguitorii învăţământului românesc în ultimul sfert de secol. Sau poate ar trebui să spun: de peste 40 de ani? Pentru că Ceauşescu a fost primul care a direcţionat învăţământul românesc înspre încălcarea acestei legi, destul de proaspăt enunţate la vremea respectivă. Dar, ce-l interesa pe Ceauşescu de aşa ceva? El avea cu totul alte priorităţi. Vinovaţi cu adevărat sunt doar diriguitorii învăţământului de după Revoluţie, pentru că au păstrat linia dictatorului şi nu au studiat obiectiv situaţia pentru a lua măsurile ce se impuneau. Constantin Titus Grigorovici (& Co.)

P.S. La adresa https://searchbusinessanalytics.techtarget.com/definition/Campbells-Law , pe lângă două exemple concrete, găsim şi o variantă mai clară: Legea lui Campbell este observaţia că, odată identificată o măsurătoare ca indicator principal al succesului, capacitatea sa de a măsura cu exactitate succesul tinde să fie compromisă.

La adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Goodhart%27s_law găsim o „lege” similară. Astfel, legea lui Goodhart reprezintă o altă observaţie în acest sens, denumtă după economistul Charles Goodhart care, prin 1975 a susţinut că: Atunci când o măsurătoare devine ţinta, aceasta încetează a mai reprezenta o măsurătoare bună (“When a measure becomes a target, it ceases to be a good measure.”)

Un subiect ceva mai îndepărtat, dar totuşi cu o oarecare relevanţă în discuţia de faţă, puteţi găsi sub titlul de efectul cobra, de pildă la adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Cobra_effect.