Math Around Us – o scurtă prezentare

De curând am aflat despre acest proiect Erasmus la care au colaborat opt şcoli din opt ţări: România, Italia, Polonia, Ungaria, Portugalia, Danemarca, Grecia şi Lituania. Proiectul a fost condus de către Colegiul Tehnic ANA ASLAN din Cluj şi s-a concretizat într-un “manual”, o colecţie de lucrări reunite în jurul întrebării “La ce îţi foloseşte Matematica?”. Manual a fost realizat de elevi cu aplicaţii practice în geografie, mediul înconjurător, informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică. Puteţi găsi prezentarea proiectului şi descărca acest manual la adresa:
La ce îţi foloseşte Matematica. Manual făcut de elevi cu aplicaţii practice în informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică – Edupedu

Interesantă pare justificarea proiectului de către autorii acestuia: elevii tind să nu agreeze matematica (un studiu Rosetta Zan de la Universitatea din Pisa, Italia) mai ales atunci când nu reuşesc să obţină rezultatele academice dorite şi o percep, de obicei, ca un subiect abstract, cu puţine aplicaţii în situaţiile reale … . Uau!!! Zău? Nu m-aş fi gândit la aşa ceva.

Glumeam, desigur. Da, aşa este văzută matematică de către toţi cei din afara ei. Asta pentru că aşa este prezentată matematică de către profesori: o disciplină autosuficientă şi încrezută. Ora de matematică este prezentată ca o succesiune de axiome, definiţii, demonstraţii, teoreme, formule date de către un profesor atotştiutor şi stăpân total al orei, elemente toretice seci care au apoi ca aplicaţii exerciţii şi probleme ce trebuie învăţate pentru că se vor da la lucrare, la teză şi în final la examen.

Teme care nu intră în această categorie nu se fac la clasă, chiar dacă ar avea avantajul că ar fi mai atractive pentru elevi. De pildă, câţi prezentăm la clasă problema originală cu înmulţirea iepuraşilor din lucrarea Liber Abbaci a lui Fibonacci? Sau câţi vorbim despre secţiunea de aur şi aplicaţiiile acesteia, inclusiv în poziţionarea buricului la oameni? Este în programă? Nu! Deci nu o facem. (Am dat o simplă linie de exemple, dar lista poate continua mult şi bine).

Dar şi teme de studiu obişnuite în lecţiile româneşti sunt neglijate în a fi prezentate în alte forme „mai atractive” elevului de rând. De pildă, numerele triunghiulare prezentate în foaia de lucru nr. 7 din Capitolul 7 – Matematica în arheologie, unde ne sunt prezentate ca vizualizări (reprezentări grafice) ale numerelor din mult mai cunoscuta lecţie despre Suma lui Gauss.

Dacă tot nu v-am convins, vă atrag atenţia că şi în prezentarea proiectului este scoasă în faţă întrebarea „La ce foloseşte matematica?”. Astfel, la adresa de mai sus citim în prezentare că tinerii au încercat să facă mai uşor de înţeles utilitatea acestei materii, aşa că au creat ceva nou. Au creat ceva nou în sensul unei abordări noi pentru ideea de manual (la noi sigur; eu nu mă pot exprima despre celelalte ţări). Spun asta pentru că multe din elementele prezentate nu sunt deloc noi. Sunt poate noi doar pentru persoanele obişnuite să lucreze doar şi numai matematica din manualele oficiale şi nimic altceva. Astfel, recomand cu căldură să aruncaţi o privire mai profundă peste acest material. Are multe lucruri frumoase.

Închei cu aşa-zisele rezultate ale proiectului: peste 50% dintre elevii angrenaţi în proiect au avut mai multă motivaţie pentru studiul matematicii; 21% au avut creşteri ale notelor la matematică de cel puţin 20%. Da, astfel de lucruri se pot întâmpla dacă îi atragem pe elevi într-o matematică mai deschisă, chiar dacă nu abordăm subiecte de examen. CTG

Drăcuşorul cifrelor – o prezentare de carte

De curând mi-a fost atrasă atenţia asupra acestei cărţi de către un elev venit nou la şcoala noastră în clasa a VII-a: Noi, când vom învăţa despre Numerele lui Fibonacci? I-am răspuns mirat că noi le-am prezentat pe scurt, ca un joc, în clasa a V-a, întrebându-l totodată de unde ştie el de aceste numere. Dintr-o carte despre matematică, o poveste. Mi-a adus cartea, am citit-o, iar acum încerc să vă stârnesc şi pe dvs. prin această scurtă prezentare.

Cartea se numeşte Drăcuşorul cifrelor şi este scrisă de către Hans Magnus Enzensberger (staţi liniştiţi, nici eu n-am mai auzit de el şi cu greu reuşesc să-i ţin minte numele mai mult de 10 minute), având ca subtitlu caracterizarea: O carte de pus sub perna celor care se tem de matematică. Cartea este apărută în 2015 la editura Pandora, colecţia Panda, parte a Grupului editorial TREI.

Povestea ne prezintă un băieţel pe nume Robert care visează în 12 nopţi un fel de curs de matematică, mai mult aritmetică, ce îi este prezentat de către un drăcuşor matematician. Acesta îi prezintă în vis diverse teme mai mult sau mai puţin superficiale din matematica elementară şi nu numai. Ca exemple, aş putea spicui teme ca scrierea în baza 10, puterea numerelor, rădăcina pătrată din clasele mici, dar şi Conjectura lui Goldbach, triunghiul lui Pascal sau exemple elementare de combinatorică. Toate temele sunt prezentate ludic (cum s-ar putea altfel?, suntem doar în visul unui băieţel cam de clasa a V-a), într-un limbaj deloc pretenţios şi într-o abordare accesibilă şi intuitivă, potrivită oricărui elev de gimnaziu. Ba mai mult, denumirile sunt de multe ori modificate faţă de terminologia oficială pentru a fi cât mai simpatice şi jucăuşe dar, nu vă temeţi, autorul prezintă la sfârşitul cărţii un dicţionar de traducere a denumirilor folosite. De pildă, aşa-numitele numere sărite reprezintă de fapt ridicarea la putere, mai exact şirul puterilor unui număr.

În ansamblul ei, cartea reprezintă o foarte reuşită încercare de a-l atrage pe elev într-o plimbare prin iniţierea în ideile de bază ale matematicii. Aceasta poate fi folosită cu succes ca recomandare de lectură în domeniul matematicii, fiind deosebit de potrivită mai ales primelor clase gimnaziale. Deşi conţine şi elemente de matematică liceeală, la o lectură mai sus de clasa a VII-a trebuie însă să ne bazăm pe dorinţa de colaborare a elevului cititor, deoarece tonul în care este scrisă cartea este totuşi mai potrivit claselor V-VI. Stilul este atât de ludic şi copilăresc încât există pericolul real ca părinţii să le-o cumpere copiilor chiar mai repede de intrarea în gimnaziu. Eu personal am rezerve în legătură cu astfel de încercări de a forţa înainte de vreme dezvoltarea copiilor, dar deja la sfârşitul clasei a V-a cartea poate fi recomandată ca lectură, fiind o mult mai potrivită preocupare de vacanţă decât tradiţionalele şi stupidele culegeri cu matematică “de vacanţă” produse la ora actuală de către diversele edituri. Oricum, mi-aş dori să mai existe şi alte astfel de cărţi de oferit elevilor de gimnaziu ca lectură suplimentară.

În acest context mi-am adus aminte de câteva vorbe spuse de regretatul Profesor Solomon Marcus în 2008 în cadrul unei emisiuni Garantat 100% găzduită de către Cătălin Ştefănescu: Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. (…) Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Învăţarea trebuie însoţită de o stare de plăcere. Aici şcoala eşuează.

În final câteva cuvinte despre autor. Hans Magnus Enzensberger nu este matematician, dar l-am găsit pe internet ca autor al unui eseu despre prăpastia ce se cască tot mai tare între matematică şi majoritatea oamenilor, eseu publicat în 1998 în Frankfurter Allgemeine Zeitung, cu un titlu dificil (Zugbrücke außer Betrieb ~ Pod retractabil scos din funcţiune), dar cu subtitlul destul de clar: Matematica dincolo de cultură – O privire din exterior.  Cam atât pentru acum, dar promit că voi mai reveni la această carte. CTG

Dodecaedrul lui Enrique

Până la urmă am ajuns să văd şi eu videoclipul melodiei Nos Fuimos Lejos interpretată de Descemer Bueno şi Enrique Iglesias, alături de diferiţi alţi artişti, printre care prezenţa lui Andra ne-a stârnit admiraţia. Dar nu despre aceşti artişti vă reţin atenţia, ci despre prezenţa geometriei în filmuleţ: corpul în care dansează băieţii ăştia este un dodecaedru regulat (chiar dacă este optic destul de deformat, fiind “filmat” de foarte aproape). Interesant! Acest corp este prezent peste tot, doar din programa de matematică este absent. Oare de ce? Enrique Dodecaedrias

La mulţi ani! 2019

Numărul 2019 este triplul numărului prim 673 (poate iese o problemă interesantă din chestia asta). Soţia mea s-a distrat la ornarea tortului de revelion, scriind pe lateralul tortului anul 2019, pe o parte în baza 10 şi pe cealaltă parte în baza 2. Pentru cei interesaţi de “refolosirea” unui calendar, vă precizez că 2019 repetă calendarele din 2002 şi din 2013 (pentru cei pasionaţi de articole “vintage”, să ştiţi că funcţionează şi calendarele din anii 1974, 1985 sau 1991).

Apropos calendare şi repetarea acestora, avem o povestioară interesantă de anul trecut. În toamnă am vizitat din nou renumitul târg de la Negreni care, pe lângă mulţii ofertanţi de artă populară şi altele necesare traiului de zi cu zi pentru viaţa adevărată la ţară, este probabil şi cel mai mare târg de vechituri din România (hectare întregi de vânzători, ce cu greu pot fi vizitaţi într-o zi). La ediţia din octombrie 2018 am găsit la un comerciant de vechituri o minge cu 12 petice pentagonale imprimate cu cele 12 luni ale unui an. Mingea dezumflată arată clar construcţia sa pe baza dodecaedrului regulat.

Întorcând-o pe toate feţele am avut însă surpriza să nu găsim însemnat anul pentru care era acest calendar (pentru a stabili când se va mai repeta). Singurul indiciu era data de 29 februarie, acesta direcţionându-ne spre un an bisect. Dar care an bisect să fie? Scurt după această întâmplare am vizitat nişte cunoscuţi, şi ştiind că au un băiat în clasa a VIII-a, am luat noua jucărie cu mine. I-am arătat-o şi i-am spus că urmează să studiez ce an bisect din ultima vreme s-ar potrivi acestui calendar. De pildă – i-am spus – trebuie să văd în ce an bisect data de 1 ianuarie a căzut într-o zi de joi, ca în acest calendar. La acest gând de problematizare profundă, băiatul respectiv mi-a dat cel mai surprinzător răspuns: păi, eu sunt născut pe 1 ianuarie, într-o zi de joi! Am rămas mască, şi aşa am aflat că acest calendar era din 2004 (după cum am mai discutat, calendarele din anii bisecţi se repetă doar o dată la 28 de ani aşa că următoarea variantă, cu încă 28 de ani în urmă, adică 1976 nu intră în discuţie pentru că pe atunci nu exista internetul cu renumitele sale adrese www, cum este cea de pe mingea noastră). Ulterior am verificat şi într-adevăr, aşa a fost. Acesta este anul în care s-a născut şi fiica noastră, iar calendarul se va repeta de abia în 2032! Mai avem ceva de aşteptat. CTG

Număr prim de 912 cifre

Oare chiar numărul ăsta să fie prim? Is it really, really a prime? Kann das wirklich sein? Mon Dieu! Unde s-a ajuns cu tehnica asta modernă!

(găsit cu jutorul prietenilor pe https://www.reddit.com/r/math/comments/a9544e/merry_christmas/, unde puteţi afla şi alte elemente suprinzătoare în acest sens; exemplul este bun de arătat la clasă).

Pisica, masa şi canarul

Când pisica Pusi stă sub masă, iar canarul Cico stă pe masă, diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 60 cm. Dacă pisica Pusi se suie pe masă atunci canarul Cico zboară jos şi se plimbă sub masă pe podea. În acest caz diferenţa de înălţime de la creştetul lui Pusi la creştetul lui Cico este de 90 cm. Ce înălţime are masa?

*

De curând am primit un e-mail de la site-ul mquest.ro cu adresa unui filmuleţ conţinând o problemă şi diferite rezolvări pentru aceasta. Deşi cunosc foarte multe probleme vechi, caracterizate printr-un farmec special inconfundabil, recunosc că nu cunoşteam această problemă (impregnată cu acelaşi farmec special). Textul de mai sus reprezintă o încercare personală de a vă prezenta problema respectivă într-o formă mai atractivă (de pildă, problema din filmuleţul respectiv vorbea de o pisică şi o broască, care stăteau pe rând sub masă sau pe masă), formă care să provoace şi imaginaţia rezolvitorului. Totodată textul astfel aranjat poate fi dus liniştit la clasă fără a apela la un calculator sau la alte mijloace super tehnologizate.

Deşi preferata mea este o rezolvare prin metoda reducerii, în cadrul filmuleţului este prezentată şi o rezolvare aşa-zisă “de clasa a 3-a” (ce persoană o fi avut aşa o imaginaţie “bolnavă” încât să gândească cele două situaţii cocoţate una peste cealaltă?). Dacă v-am trezit curiozitatea şi doriţi să vedeti filmuleţul, îl găsiţi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=t-9QJMdVe7k.

Calendar Dodecaedru 2019

Ultimele ore înainte de vacanţă, în care nimeni nu mai are chef în România să lucreze ceva serios (nimeni cu ghilimelele de rigoare), sunt foarte potrivite pentru activităţi de tip „şcoala altfel”, în care elevii să înveţe ceva, chiar dacă în forme mai „necanonice”. Pentru cei care sunt dispuşi la astfel de „experimente”, înaintea vacanţei de iarnă se poate construi un calendar în formă de dodecaedru regulat. Acestea se găsesc la liber pe internet şi trebuie doar să vă descărcaţi o variantă, să o multiplicaţi pentru toţi elevii şi să-i anunţaţi să vină pregătiţi cu „foficuţă şi lipici”.

La căutarea de anul acesta mi-a intrat imediat următoarea adresă: https://folk.uib.no/nmioa/kalender/ la care se găsesc variante de calendare pe diferite limbi şi în diferite formate. Preluate de aici anexăm o variantă pdf în limba română. Cu ocazia căutărilor pentru acesta am găsit „de vânzare” pe net un calendar vintage din anul naşterii mele (nu că m-ar interesa să-l cumpăr, dar am salvat imaginea). CTG

Download

Probabilităţi în gimnaziu

Ideea predării probabilităţilor chiar din clasele mici gimnaziale este în sine o idee năstruşnică prin prisma următorului gând: probabilităţile sunt un fenomen matematic ce ţine exclusiv de viitor, de anticiparea viitorului, pe când gândirea copiilor este profund ancorată în prezent. Urmare a acestui aspect ar rezulta că subiectul calculării probabilităţilor nu este unul de a V-a, ci mai degrabă unul de final de a VI-a, chiar poate de a VII-a. Pe vremuri probabilităţile se studiau doar în liceu. Oricum, această lecţie este una destul de liberă, nelegată în mod special de altele, decât prin faptul că trebuie să fi fost studiate deja rapoartele şi procentele. Vreau să spun prin aceasta că lecţia nu are alte îngrădiri de ordin structural matematic, putând fi astfel poziţionată oricând (ea se face într-un anumit punct al programei doar pentru că aşa s-a convenit, nu pentru că ar fi matematic obligatoriu acolo).

Oricum, tema ar trebui abordate prin prisma gândurilor pedagogic naturale că trebuie să o luăm de jos, cât mai de jos, cu răbdare şi multe exemple, pentru a nu pierde elevi pe drum chiar de la început. Nu susţin că aşa nu pierzi elevi pe drum (cel care nu vrea să fie atent tot nu va pricepe nimic din noua temă), cum nu vreau să susţin nici că toţi elevii vor înţelege totul (lecţia va fi dusă tot de către elevii buni, cei care duc de obicei toate lecţiile). Dar măcar o astfel de abordare asigură faptul că las portiţa deschisă şi toţi elevii au ocazia să participe, pentru că aceste cunoştinţe nu presupun multe altele anterior bine dobândite. Piviţi mai întâi pozele lecţiei pe tablă:

După cum simţiţi, lecţia are un profund caracter ludic, deşi eu nu am aruncat nici măcar o dată cu un zar sau cu o monedă pe parcursul acestei ore. Toţi elevii au văzut cum este să arunci cu zarul sau cum se aruncă la începutul unui meci cu moneda pentru a se stabili terenurile fiecărei echipe. Desigur că dvs. trebuie să vă imaginaţi dialogul constant cu clasa, a cărui umbră apar cele scrise pe tablă şi în caiete. Întreaga lecţie a fost prezentată sub formă de întrebări, descoperirea acesteia, generarea lecţiei prin problematizare făcând-o foarte atractivă pentru elevi; până acolo de atractivă încât nu a mai fost nevoie de nici o definiţie, de nici o formulă de calcul a probabilităţii. La o oră ulterioară, eventual sub forma unei analize retrospective mai teoretice se poate da şi o definiţie (cazuri favorabile supra …).

Am spus că nu am aruncat cu zaruri,dar am scos din pungă acele zaruri ciudate cu 12 sau cu 20 de feţe, prezentându-le elevilor ca să ştie despre ce este vorba (dvs. le cunoaşteţi din postări mai vechi pe acest blog). Calendarul dodecaedric nu l-am avut în clasă, dar l-am descris şi elevii n-au avut nici o problemă în a răspunde cerinţelor. La aruncarea cu un calendar dodecaedric trebuie să explic întrebările, care au fost doar orale: probabilitatea să ne iasă o lună care începe cu litera i; probabilitatea să ne iasă o lună cu 31 zile; probabilitatea să ne iasă o lună care are numele de la un număr (octombrie vine de la 8); probabilitatea să ne iasă o lună care are numele de la un împărat roman (iulie de la Iulius Ceasar; august de la Augustus Ceasar).

Atrag atenţia asupra modului repetitiv “again and again” în care curg exemplele lecţiei, oferind astfel majorităţii elevilor suficient timp pentru a se acomoda cu noile cunoştiinţe, cu noua tipologie a scrierii. Doar elevii brilianţi în ale matematicii au capacitatea de a pricepe “din prima” o lecţie nouă. Ceilalţi au nevoie de multe exemple şi exerciţii până prind noua mişcare, cu toate aspectele ei, iar noi, profesorii, trebuie să pricepem acest fapt, altfel vom rămâne în continuare “o castă” de ciudaţi care chinuie copiii şi împotriva căreia se vor răscula tot mai des şi tot mai puternic părţi tot mai mari din societate.

Lecţia mai bifează un aspect important: ieşirea matematicii din zona sa internă de confort, prin apelarea atât la zarurile neobişnuite cu 12 sau 20 de feţe (am arătat că există şi cu 8 sau cu 10 feţe), cât şi prin folosirea minunatului exemplu al calendarului dodecaedric, cu scurte incursiuni în afara matematicii (nu aş merge până la folosirea termenilor de interdisciplinaritate sau transdisciplinaritate – Doamne cât ne mai plac termenii teoretici care-i dau pe spate pe cei din jur! – dar se simte totuşi un iz din acestea).

Legat de exemplul aruncării cu două zaruri, elevii trebuie ajutaţi să înţeleagă folosind două aspect. Mai întâi faptul că “să ne imaginăm că” aruncăm cu două zaruri de culori diferite (de ex. unul roşu şi unul albastru). Astfel vor înţelege că există doar un eveniment (5, 5), dar că există două evenimente cu 3 şi 4, adică (3, 4) şi (4, 3). Acest fapt este apoi “cristalizat” într-un tabel pătrat din care deducem că există 36 de cazuri teoretic posibile.

Mai rămâne de lămurit un singur aspect, cel evocat la început: de ce nu am aruncat cu zaruri? Pe lângă faptul că o oră de aruncat cu zarurile, o oră de tip “laborator de matematică”, s-ar fi lungit dincolo de limitele orei de clasă, există un aspect foarte important: prin faptul că i-am forţat pe elevi să-şi imagineze, deşi de fapt nu le-am arătat nimic, i-am forţat pe elevi să-şi folosească imaginaţia. Acest aspect este foarte important într-o lume plină de ecrane în care copiii de la vârstele cele mai fragede nu-şi mai folosesc imaginaţia pentru că primesc direct povestea prin intermediul imaginilor. Nu mai este ca pe vremuri când copilului i se spunea o poveste, iar mintiuca lui trebuia să-şi imagineze cele povestite oral, antrenându-se să-şi creeze astfel propriul său film interior. Astfel, mai ales o temă aranjată atât de atractiv, care are la bază experienţe ale elevilor din afara şcolii, trebuie neapărat folosită ca ocazie pentru antrenarea imaginaţiei.

P.S. Cu ocazia Centenarului Marii Uniri am gândit şi am scris un articol de analiză a situaţiei învăţământului matematic din România, sub gândul Unde suntem şi cum întâmpinăm Centenarul. Din păcat, ce a ieşit este destul de supărat, departe de orice atitudine festivă potrivită momentului. Riscam să obţin doar o imagine tip Cristian Tudor Popescu. Ca urmare, acest eseu a ajuns în arhivă, în aşteptarea unei forme mai pozitive de exprimare a gândurilor respective. În lipsă de altceva aţi avut ocazia să citiţi prezentarea lecţiei despre probabilităţi. C.T.G.

Unghiuri între degete

De-a lungul timpului oamenii au inventat diferite metode prin care să-i sprijine pe elevi în a reţine anumite informaţii considerate importante la o lecţie. În acest context se încadrează şi următoarea imagine pentru reţinerea valorilor importante ale lui sinus şi cosinus. Este evident că măsurile afişate sunt doar orientative.

Într-un context aparent asemănător, eu cunosc o altă imagine cu unghiurile dintre degetele unei mâini. Dacă deschidem cât mai larg evantaiul degetelor, până când cel mare şi cel mic devin oarecum colinear opuse, atunci vedem că obţinem trei unghiuri relativ egale şi unul dublu, cărora – prin împărţirea lui 180o la 5 – le putem asocia măsurile 36o de trei ori şi 72o o dată, care sunt unghiurile ce apar în pentagramă (steaua în 5 colţuri), asociată cu tăietura de aur, implicaţiile acesteia în trupul umenesc etc. cos/sin

O problemă de groază cu două fantome şi mult whiskey

Într-un castel vechi din munţii Scoţiei o singură fereastră este luminată. Aici Sir Jerome MacHumbough, stăpînul castelului scrie arborele genealogic al familiei sale. Adică ar vrea să-l scrie, dacă n-ar tremura de frica fantomelor care bântuie castelul. Nici zidurile groase nu-l apără contra acestora. Peste tot în castel se aude cînd plânsul, când râsul fantomelor, uneori chiar amândouă împreună.

La început a crezut că râsul este rezultatul conţinutului operei sale (în care a exagerat faptele eroice ale strămoşilor săi), iar plânsul este al fantomei din castelul vecin (faptele stăpânilor acestuia fiind diminuate de el). Dar cu timpul şi-a dat seama că nu este aşa, întrucât cele două fantome respectă nişte reguli surprinzătoare:

Pe de o parte, acestea nu aşteaptă nici măcar miezul nopţii, ca orice fantomă obişnuită, ci activează de la apusul soarelui pănă în zori fără întrerupere. Este însă adevărat că dacă vre-una nu a început să activeze la apusul soarelul, Sir Jerome poate să fie sigur că în acea noapte va avea linişte din partea acesteia. Pe de altă parte, Sir Jerome a constatat cu surprindere că poate să influenţeze activitatea fantomelor:

  1. Dacă uşa camerei de lucru spre balcon a fost deschisă ziua respectivă, atunci “fantoma plângăreaţă” face la fel ca în noaptea precedentă (adică plânge dacă în noaptea precedentă a plâns, dar tace dacă în noaptea precedentă a tăcut). “Fantoma care râde” însă, face tocmai invers decît în noaptea precedentă, atunci cînd uşa balconului a fost deschisă în ziua respectivă (adică râde dacă noaptea precedentă a tăcut şi tace dacă noaptea precedentă a râs).
  2. Dacă însă uşa amintită a fost închisă toată ziua, atunci cel care râde se comportă ca plângăreţul în noaptea precedentă (adică râde dace acesta a plâns şi tace dacă acesta a tăcut). Plângăreţul însă, în cele mai multe cazuri se adaptează fantomei care râde, dar nu oricum. În acest caz, cum plângăreţul se adaptează sau nu celeia care râde depinde de ce fel de whiskey a băut Sir Jerome în ziua respectivă. Adică:
  • Dacă a băut numai Johnnie Walker, atunci plângăreţul face la fel ca cealaltă fantomă în noaptea precedentă: plânge dacă aceasta a râs şi tace dacă aceasta a tăcut.
  • Dacă a băut numai Black and White, atunci plângăreţul face tocmai invers decît cel care râde: plânge dacă acesta a tăcut şi tace dacă acesta a râs.
  • În cazul în care Sir Jerome a băut din ambele whiskey-uri “fantoma plângăreaţă” devine independentă faţă de “fantoma care râde” şi face invers de cum a făcut ea însuşi în noaptea precedentă: plânge dacă a tăcut şi tace dacă a plâns.

Puterea plânsului sau a râsului, după experienţa lui Sir Jerome, este direct proporţională cu cantitatea de whiskey consumată. Trebuie menţionat totodată faptul că lui Sir Jerome nu-i plac alte whiskey-uri în afară de cele două menţionate, însă nici nu-şi poate imagina să treacă o zi fără a bea whiskey.

Ce trebuie să facă Sir Jerome, ca ambele fantome să-i dea definitiv pace?

*

Am găsit această problemă pe o coală de hârtie veche, îngălbenită de timp, între foile rămase de la socrul meu, inginerul Dodul Eugen, un mare pasionat de matematică, dar şi de pasenţe şi în general de orice probleme de logică. Problema este scrisă la o maşină de scris veche, dar cu diacritice româneşti, având banda de tuş “destul de obosită”. Pe coala respectivă de hârtie nu este menţionată nici o sursă oficială a acestei probleme. Spor la gândit! Pentru inspiraţie puteţi încerca cu un pahar de whiskey (la libera alegere). Sir Teacher’s