Opening Mathematics – Deschiderea matematicii

Matematica îi confruntă pe dascăli cu o întrebare centrală: explicăm matematica – sau îi încurajăm pe elevi să gândească singuri şi să creeze pe această cale  reprezentări proprii, din care se generează  matematica?

Prin explicare dascălul încearcă să transmită elevilor concepte şi metode pre-gătite, adică anterior generate şi dezvoltate. Această abordare a predării matematicii este de obicei folosită ca strategie, pentru a asigura asimilarea de cunoştinţe şi abilităţi la elevi, care sunt considerate ca obligatorii pentru participarea la etape de şcolire ulterioare.

A-i încuraja pe elevi să gândească singuri, le întăreşte însă capacitatea productivă a acestora în a se angaja în propriile tentative de explorare a necunoscutului, cu inerentele căi înfundate sau erori întâlnite, acest drum reprezentând “compost” pentru apariţia şi creşterea ideilor fertile, care cu timpul pot străluci clar în spaţiul imaginativ interior, cristalizând în structuri matematice.

Realitatea structurilor matematice poate fi vieţuită doar prin producerea interioară. “A produce este mai simplu decât a percepe (a primi, a prelua, a pricepe o reţetă?), pentru că a prelua şi a pricepe implică întotdeauna două puncte de vedere, pe când în a produce este nevoie doar de un singur punct de vedere – propriul punct de vedere, cel puţin pentru început. Din acest motiv învăţăceii ar trebui să poată începe cu a produce gânduri”.  Producerea este mai eficientă în dezvoltarea unei înţelegeri matematice reale decât receptarea şi, în plus, eliberează spiritul. (Citat din Peter Gallin, 2011, Matematica ca ştiinţă spirituală. Prevenirea dialogică (prin dialog) a avarierii matematice, Online: www.gallin.ch/Gallin_MathAlsGeistesw.pdf).

Matematica este văzută ca o ştiinţă demonstrativă. Dar acesta este doar unul dintre aspectele ei. Matematica terminată, în forma ei finalizată (*), apare ca pur demonstrativă, constând doar din demonstraţii. Dar matematica în devenire, în faza sa de producere, se aseamănă cu orice alt fel de cunoaştere umană, în faza de generare. O teoremă matematică trebuie mai întâi ghicită, înainte de a fi demonstrată; trebuie să intuieşti o demonstraţie înainte să o efectuezi până în detaliu. Trebuie să combini observaţii şi să urmăreşti analogii; trebuie să încerci din nou şi din nou. Rezultatul muncii creative a matematicianului este raţionamentul demonstrativ, este o demonstraţie; dar demonstraţia este descoperită prin raţionament plausibil, prin ghicit. Dacă învăţatul matematicii ar trebui să reflecte într-o oarecare măsură inventarea acesteia, atunci trebuie să fie lăsat loc şi pentru ghicit (**), pentru deducţia plauzibilă.” (George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile, Princeton 1954***).

Este bine cunoscut că Rudolf Steiner a propus ca matematica să fie abordată de la întreg la părţi (de pildă 12 = ?), în loc de a porni de la părţi, care apoi să fie asamblate într-un întreg (de pildă 5 + 7 = ?, ca abordare tradiţională şi încă actualmente foarte utilizată). Luând întregul ca punct de plecare, întrebările sau problemele matematice se transformă în întrebări deschise. În loc de a-şi propune să-l direcţioneze pe elev spre un anume răspuns, această abordare crează o deschidere către multe răspunsuri şi rezolvări posibile. Didactica modernă a predării matematicii susţine că folosirea întrebărilor deschise este mult mai revigorantă decât a da elevilor întrebări închise cu doar un răspuns corect. Întrebările deschise stimulează “jucatul” cu o problemă şi conduc pe drumul speculativ-meditativ al gândirii în procesul ei de cercetare inventivă, spre răspunsuri ce pot fi comparate şi discutate.

Opening Mathematics doreşte să încurajeze pedagogi Waldorf din toată lumea, a acorda mai multă încredere elevilor prin punerea de probleme deschise. Pentru mai multe resurse accesaţi site-ul opening-mathematics.net. Vă încurajăm să participaţi şi să vă împărtăşiţi propriile experienţe cu întrebări deschise din întregul Curriculum de matematică al şcolilor Waldorf (clasele 1 – 12/13).

Împărtăşind îi puteţi ajuta, inspira, chiar încuraja şi pe alţii în autodezvoltarea predării. Prin schimbul de experienţe se poate creea o imagine cuprinzătoare despre practica şi înţelegerea educaţiei matematice în şcolile Steiner/ Waldorf. Experienţele şi reflecţiile primite vor fi colectate şi analizate, apoi postate în vederea studiului posibilităţilor existente şi  aprofundării înţelegerii acestora de către profesori.

Întregul text de mai sus, cât şi imaginea respectivă, sunt preluate din pliantul de prezentare Opening Mathematics din cadrul campaniei WALDORF 100 – LEARN TO CHANGE THE WORLD, o companie de celebrare a unui centenar de la înfiinţarea primei şcoli Waldorf în toamna lui 1919 la Stuttgart în Germania. Mai multe puteţi afla la adresa waldorf100@opening-mathematics.net. Traducerea materialului reprezintă un amestec optimizat între pliantul în limba germană şi pliantul în limba engleză. Mulţumesc pe această cale d-lui Detlef Hardorp (matematician şi fost profesor de matematică în şcoală Waldorf), de la care am primit aceste pliante, cât şi permisiunea explicită de traducere. Alături de dânsul, ceilalţi colegi care conduc echipa de evaluare a propunerilor sunt Aziza Mayo şi Daniel Jaeger. Traducerea de mai sus reprezintă primele două pagini ale pliantului. A treia pagină cuprinde o serie de 7 întrebări ce trebuie urmărite de către persoana ce propune, echipa de lucru, cât şi adresa unde se pot trimite propunerile (de găsit la adresa de mai sus). Este evident că materialul de faţă are în vedere toţi dascălii care predau matematica, atât învăţătorii cât şi profesorii de matematică.

Note explicative la traducere: (*) – în lucrările sale prof. Eugen Rusu vorbea despre “matematica rezultat”, adică matematica organizată în formă de curs gata de predat, în opoziţie cu “matematica proces”; (**) – este vorba despre ghicitul intuitiv, bănuit, sesizat, nu ghicitul la întâmplare (original engleză: guessing; germană: Erraten). (***) Lucrarea lui George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile este publicată şi în română la Editura ştiinţifică, 1962. Pasajul de mai sus este preluat din prefaţa volumului I, volum ce poartă subtitlul Inducţia şi analogia în matematică (volumul II poartă subtitlul Scheme de interferenţe plauzibile). Citatul de mai sus din această carte este tradus de mine. Pentru cei care doresc să-l aprofundeze, ofer acest citat şi în varianta din cartea în româneşte (traducător Radu Theodorescu), împreună cu o parte din aliniatul premergător (pag.8):

Este unanim cunoscut că matematica ne oferă o minunată ocazie de a învăţa modul de raţionament demonstrativ, dar afirm, de asemenea, că în programele analitice obişnuite ale instituţiilor de învăţămînt nu există un obiect care să ne ofere un prilej tot atît de bun pentru a învăţa raţionamentul plauzibil. Mă adresez tuturor celor care studiază matematica, pe cea elementară sau pe cea superioară, şi care sînt intersaţi să şi-o însuşească, şi le spun: Desigur, vom învăţa să demonstrăm, dar vom învăţa, totodată, să intuim, să ghicim. (…)

Matematica este considerată ca o ştiinţă demonstrativă. Aceasta este însă numai una dintre laturile ei. Matematica expusă într-o formă închegată se prezintă ca o ştiinţă pur demonstrativă, constînd numai din demonstraţii. Însă în procesul de formare, matematica seamănă cu toate celelalte cunoştinţe umane aflate şi ele în acest proces. Trebuie să intuiţi o teoremă matematică înainte de a o demonstra; trebuie să intuiţi ideea demonstraţiei, înainte de a o efectua în toate detaliile ei. Trebuie să combinaţi observaţii şi să urmăriţi analogii; trebuie să încercaţi şi iarăşi să încercaţi. Rezultatul muncii de creaţie a matematicianului este un raţionament demonstrativ, o demonstraţie; însă demonstraţia se dezvăluie cu ajutorul unui raţionament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Dacă predarea matematicii reflectă, în vreun grad, modul în care se creează matematica, atunci ea trebuie să facă loc ipotezei, inferenţei plauzibile.

Titus Grigorovici, Liceul Waldorf Cluj

Art Deco cu Pitagora la Baia Mare

Aveam ceva informaţii mai de mult, iar acum am fost să văd “minunea”cu ochii mei: în apropierea Băii Mari cineva a considerat figura cu pătratele din teorema lui Pitagora destul de estetică încât să-şi decoreze casa cu ea (se pare că a trebuit mascat un defect, iar decizia spotană a fost de folosire a acestui desen).

Doamna casei ne-a spus că soţul nu este matematician (mă aşteptam să întâlnesc un profesor excentric, ca mine), dar că a rămas cu această pasiune din timpul şcolii. Eu nu pot decât să apreciez felul în care i-a fost predată matematica în copilărie acestui domn, dacă a lăsat urme atât de pozitive în sufletul său, încât după zeci de ani de la absolvirea şcolii să-şi “tatueze” pe casă teorema lui Pitagora. Chapeau! (adică jos cu pălăria!)

Este evident că avem aici un caz deosebit de rar la ora actuală, o persoană care cunoaşte asocierea dintre acest desen şi renumita teoremă. Asta, în condiţiile în care foarte mulţi profesori din prezent (oare să spun majoritatea?) nici nu mai cunosc acest desen şi faptul că acesta este reprezentarea grafică (deosebit de intuitivă) a teoremei lui Pitagora.

Apropos: cu această ocazie am stat la o poveste aşezată cu un fost coleg de facultate grec şi am avut ocazia să-l auzim pronunţând numele Pitagora: accentul pe o-ul un pic mai lung, nu pa a-ul din mijloc, P-ul mai dur, mai către litera b, iar t-ul undeva între pronunţia noastră şi t-ul din englezescul the.

Discuţii pe marginea interviului cu Radu Gologan – (II)

Interviul de pe Hot News cu dl. Profesor Radu Gologan de sâmbătă, 30 martie 2019, aduce câteva puncte de vedere neevidenţiate până acum public de către o personalitate de vârf. Respectivul video-interviu luat de Andreea Ofiţeru, este de găsit la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-23059411-video-interviu-iau-elevii-note-mici-matematica-profesorul-gologan-antrenorul-olimpicilor-predarea-trebuia-schimbe-masiv-odata-tehnologia-copiii-percep-informatia-altfel-decat-acum-40-ani.htm?cfathp. Câteva pasaje din acest interviu merită analizate în profunzime; pentru prezentul mini-eseu mi-am propus următorul citat:

*

Andreea Ofiţeru: Cum ar trebui predată matematica în România astfel încât să nu mai avem rezultate aşa de slabe? Cum ar trebui formaţi profesorii?

Radu Gologan: În principiu, pentru studenţii de la Matematică, dar cred că e acelaşi lucru şi la celelalte ştiinţe care dau profesori la catedră, există foarte puţină pregătire didactico-pedagogică şi foarte puţină didactica predării matematicii. O fac foarte puţini. Şi când o fac, o fac foarte puţini, şi de multe ori nu este luată în seamă serios. Sunt foarte puţine licee în care studenţii trimişi de la Matematică să facă practică pedagogică sunt luaţi în serios, în sensul că sunt puşi de cadrele didactice cu experienţă să facă exerciţiul acesta de a fi profesor, de a corecta, de a asista la ore, de a primi indicaţii. De foarte multe ori îşi iau o adeverinţă că au participat şi gata. Deşi cunosc locuri în care lucrurile se desfăşoară foarte bine şi atunci am descoperit tineri foarte buni pe care îi folosim şi i-am recomandat mai departe.

Andreea Ofiţeru: E mai degrabă o problemă de pregătire a profesorilor.

Radu Gologan: Este o problemă de pregătire a profesorilor. Din cauza asta ducem lipsă de profesori tineri, care să continue o activitate care era un atu al educaţiei româneşti, profesori de matematică capabili să înţeleagă bine programa şi să o predea mai departe.

*

Dl Profesor Gologan vorbeşte în acest interviu şi despre formarea viitorilor profesori. Da! Chiar şi formarea acestora ar trebui integrată noului curent, noii paradigme, şi adaptată nevoilor actuale. Cum se face însă actualmente formarea profesorilor. De aproape 40 de ani obiectivele impuse profesorilor, implicit avute în vedere şi în formarea viitorilor profesori, sunt rigurozitatea matematicii predate (de obicei mult exagerată) şi performanţa în vederea concursurilor şcolare (şi aceasta tot mai exagerată, adică probleme cât mai grele, pe o spirală a dificultăţii care parcă nu se mai poate linişti).

Aceste două obiective se adaugă oricum marii şi grelei metehne a cursurilor pedagogice universitare, anume aceea de a se prezenta cât mai “ştiinţific”, dorind a se dovedi demne de alăturarea cu celelalte cursuri ale facultăţii. Daţi-mi voie să vă exemplific aceste gânduri pe baza primei pagini dintr-un caieţel găsit la mama mea (pensionată de mult), anume cursul de Metodica predării fizicii, notiţele respective din facultatea clujeană (pe vremea respectivă de matematică şi fizică!) începând cu Cursul nr.1 din 7 oct. 1963. Aşadar, cursul începe astfel:

Obiectivul şi sarcinile metodicii predării fizicii: Orice ştiinţă este un sistem de legi şi teorii descoperite pe baza dezvoltării materiei printr-un proces unic, verificate în practică. Cu cât se va definii conţinutul ştiinţei respective (mai bine), cu atât se va contura mai bine sfera fenomenelor de care se ocupă. Precizarea sferei conţinutului ne dă posibilitatea explicării clare a fenomenelor pe care le cercetează, iar pe de altă parte definirea precisă ne duce la aflarea metodelor de cercetare, deoarece metodele sunt dependente de conţinutul ştiinţei respective.

Metodica predării fizicii este o ştiinţă pedagogică, având ca obiectiv de cercetare procesul social-istoric de instruire a tinerei generaţii în domeniul lărgirii cunoştiinţelor despre fenomenul fizicii. Ea urmăreşte dezvăluirea legilor acestui proces, elaborează bazele teoretice în concordanţă cu scopul instructiv-educativ. Pe bază de legi, ea are ca obiectiv să stabilească cerinţele pe care trebuie să le îndeplinească activitatea instructiv educativă în cadrul predării fizicii. În această muncă complexă de instruire şi educare a tinerei generaţii, trebuie să existe o unitate între profesor şi elev, bazată pe conţinutul fizic şi metodele de organizare, metode de predare, importanţa …

Bla-bla-bla, cu câteva aspecte indiscutabil bune, dar cu multe aspecte profund contestabile, cu multă “polologhie” (ce a trebuit să o înveţe pentru examen şi ulterior pentru Definitivat). Se simte din text o mândrie a respectivului profesor, de a fi şi el printre marii acelei facultăţi, etalând pompos cuvinte ca ştiinţă sau cercetare. Mult prea firav îşi mai găsea locul în intenţiile declarate ale profesorului respectiv şi elevul (instruire a tinerei generaţii; o unitate între profesor şi elev), deşi în dezvoltarea ulterioară a cursului există o preocupare reală şi serioasă pentru elev, evident însă cu note proletcultiste. Dar să revenim mai în vremurile noastre.

Aspectele metodico-didactice conform nevoilor şi posibilităţilor reale ale marii majorităţi a elevilor, aceste aspecte au fost profund neglijate în ultimii ani. Aşadar, la ce să ne aşteptăm? În facultăţi, profesorii care predau disciplinele pedagogice nu au ca obiectiv formarea sănătoasă a viitorilor dascăli; de obicei se simte că materia lor le este obiectivul principal, materia cât şi recunoaşterea acesteia la nivelul universitar.

Din partea cealaltă, nici studenţii nu vin cu cine ştie ce vise şi dorinţe speciale de a învăţa şi a deveni foarte buni profesori după terminarea studiilor. Ei de fapt nu ştiu clar în ce se bagă şi care sunt provocările cărora vor avea de a le face faţă. Putem privi pozitiv situaţia şi spune că dacă ar ştii ce-i aşteaptă, atunci ar fi mult mai interesaţi. De fapt acest aspect ar fi tot în sarcina facultăţilor, de a avea un sistem prin care să-i co-intereseze pe studenţi despre viitoarea lor stare de profesori, dar cine să facă aceasta dacă persoana de la catedră nu are nici ea clare imagini practice – nu doar teoretice – despre viaţa de zi cu zi în faţa elevilor, fiind eventual cel mult o persoană care s-a luptat să scape de la liceul unde a predat o vreme.  Întreg ansamblu este într-o stare profund schizofrenică din care nimeni nu ştie cum să iasă, chiar nici nu are interes să iasă.

Spun aceste lucruri pentru că îmi aduc aminte că aşa eram şi noi, generaţia noastră. Profesorul de metodică ne propunea spre rezolvare diferite probleme pe care noi le consideram înjositoare: la vremea respectivă dăduserăm admitere mulţi pe un loc şi nivelul nostru de expectanţă era mult mai ridicat. Cât despre viitoarea stare de profesor, nu înţelegeam la ce ne-ar ajuta lucrurile care ne erau propuse, pur şi simplu pentru că nu cunoşteam starea de profesor decât din partea opusă catedrei.

În acest sens formarea profesorilor trebuie bazată pe o sănătoasă cunoaştere a stării de elev şi a nevoilor generale ale acestora. Ca student trebuie să ai o percepere realistă spre ce te îndrepţi şi pentru ce te pregăteşti. Aş putea să filozofez mult şi bine despre cum ar trebui să fie organizate lucrurile. Prefer însă să vă dau o „imagine” primită în urmă cu vreo 10 ani de la un profesor bătrân din facultate, care-şi depăna amintiri „de pe vremea sa”, când profesorul care se ocupa în facultatea clujeană de partea de metodică avea totodată şi ore la Liceul Racoviţă, iar studenţii făceau practica la dânsul la clasă.

Pe de altă parte, tot ca o „imagine” despre formarea matematică a viitoarelor cadre didactice, dar una actuală, personal (fam. Grigorovici) suntem deseori confruntaţi cu rugămintea de a ajuta viitoare învăţătoare pentru examenul la cursul de metodica predării matematicii, curs la care se fac masiv probleme de excelenţă în gimnaziu şi liceu, dar şi elemente de teorie peste nivelul liceal (de pildă, de ce ar trebui să înveţe viitoarele învăţătoare funcţii notate ca triplete (f; A; B), când nici în liceu nu se foloseşte o astfel de notaţie?). Nici învăţătoarele respective nu s-au străduit prea mult în timpul semestrului, dar putem întreba şi invers: la ce le trebuie lor aceste lucruri? Părerea mea este că nivelul pregătirii practice a viitoarelor învăţătoare la matematică (domeniu în care am o părere destul de avizată, ca fost director) a scăzut foarte mult faţă de nivelul la care ieşeau pe vremuri învăţătoarele absolvente de la liceele pedagogice.

Tot sistemul este bolnav, iar una dintre caracteristicile acestei stări este că oricine poate găsi lesne pe cine să dea vina, desigur pe altcineva, nu pe el însuşi: dacă s-ar schimba sistemul, atunci şi eu ooioioi… Aceasta este o tară, o meteahnă generală la noi: eu sunt perfect şi desigur mă pricep foarte bine; uite, îţi spun eu cum stau lucrurile! (o expresie preferată la români, prin care vor să arate că ei sunt o autoritate în domeniu şi au tot dreptul să-ţi explice ce şi cum), vorbă urmată de altele cât se poate de critice la adresa oricui din jur: ăştia nu fac nimic să schimbe ceva!

De aici şi strădania mea de a nu mai aştepta ca ceilalţi să se schimbe, să îmbunătăţească sistemul, ci de a mă strădui ca eu să evolez înspre mai bine, indiferent de stagnarea sau fluctuaţiile situaţiei înconjurătoare. Desigur că a te schimba pe tine este cel mai greu pentru că trebuie mai întâi să-ţi vezi şi să-ţi recunoşti defectele, după care urmează lungul drum de aflare a unei căi mai bune, apoi experimentarea însoţită de greşelile iminente, corecturile ş.a.m.d. Faptul că pot povesti atât de multe pe această temă se datorează printre altele şi faptului că am pornit pe acest drum (la acest drum) de foarte mult timp (decizia iniţială în 1994), cu mutarea lecţiei despre paralele tăiate de o secantă înaintea capitolului despre triunghiuri, pentru a le putea da din prima lecţie suma unghiurilor în triunghi (nu de alta, dar le-o dădeau părinţii imediat ce ajungeau acasă).

Drumul a fost lung şi anevoios pentru că resursele mele erau mult mai restrânse în comparaţie cu posibilităţile unui sistem oficial. Dar aveam şi atuuri pe care le-am folosit şi cu ajutorul cărora am evoluat. Şi nimic nu se compară cu bucuria rezultatelor personale, chiar dacă privesc în urmă la un sfert de secol de strădanii.

Revenind la starea de student, mă gândesc la câteva aspecte. În primul rând, aduc o amintire de-a mamei mele: în facultate nu am auzit de tact pedagogic sau de empatie (1960-1965). Pe de altă parte, eu am auzit în facultate de predarea prin problematizare sau de predarea în spirală, dar ne erau aduse în acei ani (1985-1989) ca nişte aspecte ce făceau încă parte oficial din metodică, dar erau cam depăşite, le percepeam ca desuete. Altele erau cuvintele la modă atunci (axiomatizare, rigurozitate etc.). Şi într-un caz şi în celălalt (cuvintele din experienţa mamei mele, dar şi cele din amintirea mea) ar fi trebuit ca celor care ne prezentau metodica să le fie conştientă importanţa covârşitoare a aspectelor şi a mecanismelor psihologice ale elevului. Dar cine să se uite dintre matematicieni după aşa ceva în acei anii comunişti? (n-am precizat că lucrurile s-ar fi schimbat radical în anii ’90) Se considera că elevii fac de frică, de frica notelor, şi gata cu poveştile (şi acum mulţi gândesc la fel). Când s-a format actuala generaţie de profesori obiectivele primordiale erau rigurozitatea şi dificultatea problemelor.

Din anii de început, când trebuia să dăm definitivatul, ţin minte câteva exemple. O colegă întreba agitată: care din cele trei cazuri de congruenţă a triunghiurilor este considerat axiomă? Altă colegă se dădea mare, pronunţănd minunatul cuvânt ceviene. La proba scrisă am primit o problemă de geometrie (din manual, din spate) la care în toată sala au fost două rezolvări, pe care le-au copiat apoi toţi ceilalţi. Rezolvarea mea era cu ajutorul funcţiilor şi am fost nevoit să fac 7(şapte) schimbări de variabilă până în final.

Din totdeauna psihologia a fost un examen separat cu un profesor care nu ştia matematică, deci cine să-ţi explice despre ce se întâmplă în mintea copilului la matematică? Despre tactul pedagogic în predarea matematicii sau despre introducearea noţiunilor treptat de-a lungul anilor, folosind predarea în spirală, pentru a-i da timp să cuprindă noile noţiuni., cine?

Să luăm un exemplu? Păi, haideţi să vorbim de rădăcina pătrată. Cândva (am o vagă amintire că în 1998) s-a scos capitolul cu rădăcina pătrată din finele clasei a 6-a şi s-a mutat într-un mare capitol alături de introducerea numerelor iraţionale în semestrul I din clasa a 7-a. Trosc! Totul de o dată. Rezutatul? Elevi care şi în clasa a 9-a spun că radical din 12 este 6. Dacă ar fi să luăm în serios predarea în spirală şi introducerea treptată a noţiunilor, ar trebui – de exemplu – să facem astfel: clasa a 5-a, destul de repede după introducerea operaţiei de ridicare la pătrat, imediat şi rădăcina pătrată, dar numai din pătrate perfecte accesibile pe baza „tablei pătratelor perfecte” (cam până la 322 = 1024), sau pe baza descompunerii în factori primi. După recapitularea operaţiilor cu fracţii zecimale de la începutul clasei a 6-a s-ar putea învăţa şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere mai mari, dar şi extragerea aproximativă din numere nepătrate. La începutul clasei a 7-a urmează, pe post de recapitulare a celor învăţate anterior, aplicarea masivă în probleme cu teorema lui Pitagora, atât pe numere întregi mai mari, cât şi cu rezultate aproximative (cu multe aplicaţii practice, apropos de aplcaţii ale matematicii în viaţa extraşcolară). După această etapă (mai aritmerică) se va putea trece şi la rădăcina pătrată în forma rezultatelor iraţionale şi a calculelor cu acestea.

Am convingerea că o astfel de predare în spirală cu trei treceri prin subiect ar duce la o învăţare mult mai bună a rădăcinii pătrate, în comparaţie cu forma actuală făcută mult prea târziu şi în prea mare viteză. Multe ar mai fi de spus, dar prefer să închei aici cu o imagine ce am surprins-o la un elev care-şi notase tabla pătratelor perfecte pe o hârtiuţă găsită acasă (tocmai ce făceam multele probleme de calcul de arii şi perimetre folosindu-ne de teorema lui Pitagora şi îi dădusem o grămadă de temă). Asocierea dintre notiţele elevului şi mesajul pretipărit pe acel bileţel fac deliciul acestei imagini. CTG

P.S. Desigur că există şi contraexemple la lista situaţiilor negative, din care mai sus am prezentat doar vârful eisbergului. Am o colegă ce a urmat studiile la Timişoara în limba maghiară, iar profesorul lor de metodică considera drept o lectură obligatorie cărţile lui George Pólya, care se ocupă foarte profund şi de aspectele psihologice (fără a face însă în scrierile sale mare ştiinţă a psihologiei).

Eva loveşte din nou (la nivelul cel mai înalt)

Orice evaluare evaluează subiectele pe care examenul le presupune în evaluarea respectivă” (E. Andronescu 11 iulie 2019)

Aţi înţeles, da? Eu am înţeles doar că Evaluatorul evaluează evaluarea evaluată evaluator evaluând evaluatorii evaluaţi! Asta-i pentru cei cu BAC. Pentru cei fără BAC subiectul este ceva mai lung, dar nu atât de abstract, ci mult mai simplu din punct de vedere logic: Cărămidarul cărămidăreşte cărămida cărămidărită de cărămidăriţă, dar cărămidăriţa nu cărămidăreşte cărămida cărămidărită de cărămidar.

Lăsând gluma de-o parte, odată şi odată tot trebuia să iasă o perlă ca asta, la cât de obsedat a ajuns sistemul nostru de învăţământ să fie de cuvântul numit Evaluare. Dar de ce ne mai plângem de perlele absolvenţilor la BAC? Care este diferenţa între stress-ul absolvenţilor la BAC şi stressul D-nei Ministru în faţa camerelor de luat vederi şi a reporterilor incisivi?

Luatorul lu’ Eva

Antiprisma

Pe elevi îi putem face să gândească dându-le sarcini neobişnuite, puţin pregătite, în care valoarea de gândire necesară de adăugat de către elev să fie consictentă, dar accesibilă dacă elevul este binevoitor. Dacă această valoare a gândirii necesară de adăugat este însă prea mare, elevul nu va îndeplini sarcina, va veni cu tema nefăcută sau făcută de altcineva acasă, respectiva încercare reprezentând astfel doar “un cartuş irosit” care nu şi-a atins ţinta. Acelaşi lucru se va întâmpla şi dacă sarcina este uşor de găsit pe internet.

În ultima vreme, atât eu cât şi soţia mea am lucrat şi propus un opţional la clasa a 7-a despre studiul ludic manufacturier al corpurilor geometrice. Cursul are ca obiectiv principal împrietenirea elevilor cu corpurile geometrice, cu geometria 3D, deschizând astfel interesul şi preocuparea pentru materia din clasa a 8-a. Iar la cursul acesta toţi elevii pot lucra. Concret, elevii trebuie să confecţioneze diversele corpuri studiate, prezentate intuitiv şi superficial schiţate şi descrise pe tablă, luate desigur cât mai mult din cultura vieţii de zi cu zi. Toţi ştiu ce-i acela un cub, o piramidă patrulateră etc. Sarcina la fiecare corp este de a-l proiecta în minte, apoi de a-i construi singur desfăşurarea cu intrumentele geometrice pe un carton potrivit şi în final de a-l asambla ca şi corp. Sunt sigur că mulţi elevi fentează, mai ales la primul pas, dar sunt şi destui care lucrează cinstit.

Un caz special s-a întâmplat anul acesta când am simţit că elevii doreau o provocare mai specială. Atunci “am scos din joben” o antiprismă. Corpul acesta nu dă niciodată greş, trezind instant curiozitatea majorităţii clasei: o antiprismă? Ce-i aia??? Produce aceeaşi fascinaţie a fructului interzis ca şi aplicaţiile în care apare numărul 666.

Deci, ce-i aia? Să analizăm cazul unei prisme patrulatere: are tot două baze pătrate, doar că cele două baze sunt răsucite una faţă de cealaltă cu o jumătate de tură, adică în acest caz cu 45o, astfel că un colţ al bazei de sus este situat deasupra unei laturi a bazei de jos şi invers, o latură a bazei de sus este situată exact deasupra unui colţ al bazei de jos. În paralel cu aceste explicaţii încercam să schiţez ce vorbeam pe tablă.

Cum sunt în acest caz feţele laterale? Aici câţiva elevi deja începeau să vadă, săreau cu mâna sus şi explicau stângaci, în felul lor, ce înţeleg ei că se întâmplă. Apoi descriam eu mai ordonat în timp ce desnam pe tablă: feţele laterale sunt nişte triunghiuri isoscele situate alternativ, unul cu vârful în sus şi baza în jos, următorul cu baza sus şi vârful în jos ş.a.m.d. Desigur că se pot încerca şi antiprisme triunghiulare, hexagonale sau octogonale.

Corpurile obişnuite sunt facile de înţeles şi de gândit, nereprezentând o provocare în sine. Acestea reprezintă de obicei doar “terenul de manifestare” a altor fenomene matematice prezente în teorie sau probleme. Dimpotrivă, simţim că realizarea unui corp special cum este antiprisma reprezintă o provocare în sine. Ce-i drept, este o provocare de un fel aparte (gândire practică spaţială, de proiectare cu accente manufacturiere), ce nu se cere şi la examen, dar care face clar parte din gândirea matematică. Alte tipuri de corpuri din acestea “ciudate” ar fi corpurile perfecte-platonice (celelalte, adică octaedrul, icosaedrul sau dodecaedrul, care sunt uşor de găsit pe net) sau corpurile semiperfecte-arhimedice (trunchiul de cub sau de tetraedru etc.).

Revenind la antiprismă, desfăşurarea unui astfel de corp nu o mai găseşti aşa uşor pe internet (antiprisma apare ca formă de cristalizare în chimie, la minerale?), nimeni de acasă nu te poate ajuta, nici chiar profesorul din particular (unde este cazul), şi aici vedem cu adevărat care elev gândeşte şi cât de eficient gândeşte. Sunt atât de frumoase mesajele primite de acasă în aceste situaţii: Ne-aţi rupt! N-am ştiut să-l ajutăm pe copil, dar am văzut cu uimire că s-a descurcat. Să ştiţi că el l-a făcut singur. Vă prezint în final corpul cel mai reuşit din acest an, rezultatul muncii migăloase a unei eleve dragi. Felicitări din tot sufletul! CTG

La ce foloseşte matematica?

Chiar aşa, la ce foloseşte, dom’le, matematica asta?! Pe vremuri mă străduiam să şi răspund la această întrebare. Cu timpul mi-am dat seama că n-are rost, că sunt doar “un papagal” încercând să le vorbesc elevilor, nu despre examen, ci despre gândirea şi arta de a judeca ce se formează odată cu practicarea matematică. Există şi alte tipuri de răspuns “miştocăriste”: ţie nu-ţi trebuie, poţi să mergi din nou la grădiniţă; sau: nu-i nevoie de matematică pentru săpatul şanţurilor. Actualmente refuz să mai răspund când un elev îmi pune această întrebare, explicându-i că aceasta este o întrebare retorică, că pe el de fapt nu îl interesează răspunsul meu şi că el are deja un răspuns format, care-i convine de minune: cea mai bună matematică este atunci când aceasta lipseşte cu desăvârşire!

Cu mulţi ani în urmă a venit un tătic la o şednţă cu părinţii; luase înainte câteva păhărele “la bord” ca să-şi facă curaj şi să poată înfrunta balaurul, adică pe profu de mate a lu’ fii’su (desigur având amintirea profesorului său din şcoală faţă de care n-a avut atunci curajul să întrebe): Chiar aşa, la ce folosesc, dom’le, radicalii în viaţă?! Acesta dorea desigur o eliminare din materie a tuturor tematicilor care LUI nu i-au folosit în viaţă, luându-se astfel ca reper de aplicat tuturor celorlalţi. Copiii care vin şi mă întreabă sunt mult mai curajoşi, sau poate sunt eu mult mai blând. Dar ei reprezintă doar portavocea unei întrebări auzite şi dezbătute înainte acasă.

Desigur că există şi excepţii la această atitudine: de curând am primit această întrebare de la un prieten drag, dar pusă decent, sub o formă de felul: de ce nu se predă matematica în şcoli astfel încât să simţi la ce ajută, să-ţi fie un sprijin în viaţă chiar dacă nu vei studia direct matematică? Da, aşa mai merge, iar faţă de acest prieten n-am putut decât să ridic sprâncenele şi umerii, şi să-i explic în 2-3 exemple ce fac eu în acest sens, recunoscând însă că să sunt convins că nici pe departe nu fac destul.

Totuşi, nu i-aş crede pe cuvânt pe cei care atacă frontal matematica sub justificarea că nu-i văd folosul. Dacă începi să le dai problemuţe cu aplicabilitate extramatematică, aceştia vor vrea imediat reţeta, dorind să evite cu orice preţ gânditul. Asta pentru că foarte mulţi prezenţi sau foşti “nematematicieni” au o imagine limitată, reducând matematica la o colecţie de reţete şi la categoriile corespunzătoare de probleme. Toţi aceştia vor dori imediat să le dai categoriile şi reţetele, numai să nu gândească. Pentru toţi aceştia matematica ar trebui să arate cam ca la orele de la chimie unde se fac probleme cu soluţii de sare şi alte diluţii.

Desigur însă că dacă matematica s-ar transforma în aşa ceva, alţii vor urla “sus şi tare” că matematica este doar o colecţie plictisitoare de îndobitocire şi dresură, că nu le dai nimic să gândească, că de fapt la matematică ar trebui să înveţi să gândeşti etc.

Iar dacă apoi îţi trece prin cap să le dai o problemă practică în care sunt obligaţi totuşi să gândească, nesuprapunându-se exact cu cele primite ca model, vor urla “ca din gură de şarpe” că le-ai dat ceva ce n-ai făcut la clasă sau care nu este în materie. Dacă începi să le dai probleme matematice “din viaţă”, atunci te vor ataca ei sau chiar părinţii lor că acestea nu sunt în programă, că din acestea nu se dau la examen etc. De pildă, în urmă cu doi ani am dat la o lucrare de control la clasa a 5-a o problemă cu o piscină (‘dreptunghiulară”, adică paralelipipedică) ce trebuia vopsită iar elevii aveau de calculat aria suprafeţei pentru care trebuia cumpărată vopsea albastră (aveau studiată aria dreptunghiului, dar nu făcusem formula pentru aria totală a paralelipipedului dreptunghic, care vine ca reţetă doar în clasa a 8-a). Vă daţi seama că am primit întrebări cu subânţeles, de tipul: asta nu-i de-a 8-a? Aceste întrebări nu veneau desigur direct de la elevi, ci prin ei de la cei de acasă. În acel moment elevii trebuiau să gândească şi nu aveau de unde să ştie că ceva – în formă de reţetă – de acest fel urma să vină de abia în clasa a 8-a. Puteţi să vă imaginaţi un posibil dialog acasă, între părinte şi copil după lucrarea de control, acesta explicând ce problemă nu a ştiut la lucrare.

De unde vine această atitudine de refuz a gândirii, cu care se confruntă învăţământul matematic pe toată planeta, asta este o altă problemă despre care am mai amintit, anume situaţia persoanelor avariate matematic, întrebarea incluzând şi dilema prevenirii ajungerii oamenilor în această situaţie. În primul rând ar trebui să ne gândim însă cum ajunge învăţământul să genereze astfel de indivizi, astfel de modele de “gândire”.

O parte mare din vină (poate cea mai mare parte) o are sistemul, “profesorimea”, casta profesorilor de matematică, ce-i supune pe elevi unei matematici teoretice, abstracte şi lipsită complet de aplicaţii în viaţa de zi cu zi, o matematică preocupată doar de “sine” şi de rezultatele la diferitele concursuri (românii fiind aici campioni, cu diferite concursuri chiar din ciclul primar). Atâta suntem cu nasu’ pe sus, noi matematicienii, încât minimul de aplicaţii extramatematice ce se studiază în şcoală îi lăsăm pe colegii de fizică şi de chimie să le facă pentru noi (avem atâta materie, că pentru asta nu mai avem timp). Dar şi conducătorii sistemului sunt de vină: subiectele la examene nu conţin aproape deloc probleme aplicabile în afara matematicii (că dacă s-ar cere, atunci şi profesorii le-ar face). Dar nu din acelea cum am văzut în ultimii ani: în figura alăturată avem reprezentat un tort în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, sau o bucată de brânză în formă de piramidă triunghiulară regulată.

Simţiţi că am intrat aici într-un subiect ce pare să nu aibă sfârşit. O abordare frontală la acest subiect a încercat colegul nostru dl. Sorin Borodi (din Dej) în două postări deosebite pe care le recomand cu drag tuturor profesorilor de matematică.
În primul rând este vorba despre un basm terapeutic pentru cei mari, cum l-a numit dl. profesor, povestea lui Guw Zak şi a Marelui Şaman Ţ’tor, despre drumul lor în Colosala Călătorie şi mai ales despre întrebarea la ce foloseşte Ma’ca?
Găsiţi această poveste aici: Basm terapeutic pentru cei mari.

Iată şi câteva comentarii culese din continuarea acestei postări de pe contributors.ro:

– Părerea la care ader este că matematica este limbajul în care se poate exprima spaţiul fizic şi spaţiul ideilor abstracte. Lipsirea, desuadarea, sau malpraxisul învăţării acestui limbaj are efecte, dincolo de indivizi, perverse peste generaţii… inclusiv blazarea şi dezinteresul.

– Minunat, domnule Borodi ! Din textul dumneavoastră, mai ales din întrebări, reiese durerea pentru starea de fapt. Porniti un val al schimbarilor: internetul vă ajută, adulţii, la fel (au dovedit la alegerile recente ce pot) iar, şcolarii vor fi primii care vor fi de partea binelui. Succes !

– Matematica e o disciplină fascinantă chiar dacă unu’ sau altu’ zice că nu-i foloseşte la tăiat puiu’ şi făcut ciorba.

– Cred că esenţa matematicii şi a eseului dumneavoastra este aici: “unul din ei a spus că ştie la ce serveşte Ma’ca şi că el crede că i-ar fi de folos în viaţă. Nu Marele Şaman Ţ’tor i-a desluşit taina, el zicea că singur a ajuns la ea.”. Matematica nu este pentru oricine. Gândirea structurată, pragmatică, algoritmică, stabilirea unui proces, proceduri de rezolvare.

O a doua postare, mai ancorată în realitatea noastră, pe edupedu.ro, este despre Eva. Cum care Eva? Ştiţi, ea, Eva, cea care vine o dată pe an şi îi terorizează pe absolvenţii de a 8-a: Eva-luarea Naţională! (pentru cine nu s-a prins, aici tocmai am inserat un banc auzit de la fiică-mea,). Găsiţi punctul de vedere al d-lui Borodi, puct de vedere foarte tranşant despre subiectele date în acest an la examenul de EN, aici: Matematica la Evaluarea Națională 2019. Subiect fad, cu cerințe ce nu vizează deloc sau aproape deloc realitatea, inutile în viața de zi cu zi.

Ambele texte se referă la acelaşi subiect, anume la modul inadecvat, chiar dezastruos am putea spune, mod în care se predă matematica în România, unul lipsit de conexiuni cu realitatea şi cu concretul. Întreabă dl. Profesor Borodi şi vă întreb şi eu la rândul meu pe dvs.: credeţi că se poate schimba ceva în acest sens într-un viitor apropiat? CTG

Geometria! Bat-o vina!

Tot geografia, pardon, geometria a fost cea care a dat cele mai mari bătăi de cap elevilor. Ce v-a dat? O prismă, răspundea elevul buimăcit, proaspăt ieşit din examenul de EN ediţia iunie 2019. Dar nu prisma le-a dat cele mai mari probleme, ci geometria plană. Două cerinţe (III 1c şi 2c) pe care elevul conştiincios de rând nu le prea putea aborda cu succes deplin.

Dar şi aritmetico-algebra i-a năucit puţin. Poate, puţin mai mult (la problema cu resturile). Un aspect pozitiv este că în baremul de notare găsim c.m.m.d.c.{72, 120, 216} şi nu abstractul (72, 120, 216).

Una peste alta, concluzia-i clară: cine vrea să treacă sigur şi bine peste nota 9, acela trebuie să muncească muuult la demonstraţia geometrică. Da da!

Profesorul ideal

Luni 11 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea, înainte de ora 8, domnii Vlad Petreanu & Co. + câţiva ascultători intraţi în direct au discutat despre profesorul ideal.

Avem nevoie de educaţie în ţara asta …Avem nevoie de profesori foarte buni … Cum arată profesorul ideal? …Aţi cunoscut vreo dată un astfel de profesor?
– Profesorul meu ideal era d-na profesoară de geografie … care înainte de 1990 ne explica că e o singură Germanie şi chiar dacă ea ni le aranjează pe hartă aşa cum erau atunci, s-ar puta ca peste câteva luni … habar nu am dacă … dar a avut curajul să ne explice nişte lucruri înainte …
– Deci pentru tine profesorul bun este ăla care spune adevărul în ciuda ideii generale …
– Avea şi alte calităţi: nu ne punea să învăţăm mot-a-mot nişte lucruri, spunându-ne că nu acelea sunt importante …
– Mi-am adus aminte de un profesor de chimie din gimnaziu; muream să mergem la orele lui. … l-am iubit foarte mult, nu doar eu, toată clasa. … experimente din alea chimice, spectaculoase. Ei, cu asta ne-a cucerit; aproape la fiecare oră făcea câte un experiment. Dădeam pe spate! Toţi învăţam pe rupte la ora lui. Eram înebuniţi după materia lui spectaculoasă. Era pontos, făcea glume cu noi. Mai am şi acum un extemporal de la el pe care scrie 10 cu felicitări. Domnu respectiv, adică tovarăşu respectiv a emigrat în America, sau în Australia, a plecat din ţară, şi a venit o altă profesoară de chimie care era pe modelul “să dictăm mult”. S-a terminat cu experimentele şi la mine a fost nenorocire cel puţin; impactul a fost devastator. De la 10 cu felicitări am ajuns la corigenţă într-un trimestru. Pentru că nu mai era nici un fel de interes. Deci profesorul ideal este cel care te face să simţi că înveţi ceva şi participi la descoperirea a ceva, care ştie să facă spectacol din ora lui. Şi nu e vorba doar de chimie, am avut şi la istorie o profesoară grozavă care ştia să facă spectacol; la geografie am avut vreo doi ani aşa ceva. Depinde enorm de felul în care ştie să trezească interesul copilului.
– Am avut şi eu o profesoară de istorie, ne trezea interesul imediat: când nu ştiam îşi scotea pantoful şi arunca cu el după noi prin clasă …
– Cel mai mult am învăţat de la profesorii pe care i-am respectat. Asta nu cred că se-nţelege: un respect câstigat. … trebuie să fi foarte corect, din toate punctele de vedere ….
– Copilul trebuie să vadă în profesor şi un model de viaţă …Vrea copilul să fie ca el? Îi este model?
– Un profesor care la început ne-a scris pe tablă întrebările DE CE? şi CUM? şi ne-a spus că el cu acestea predă. …
– La facultate aveam vinerea şi nu lipsea nimeni, cu un profesor un curs de şase ore, care treceau parcă erau 10 minute, pentru stilul în care preda, avea darul de a te ţine concentrat şase ore, ceea ce eu n-am mai văzut la nimeni, prin exemple, deşi preda o materie de coşmar pentru facultatea aceea (rezistenţa materialelor). …
Da, se poate pune, pe bună dreptate, întrebarea: cum ar arăta o astfel de oră de matematică (ca cea de chimie descrisă de Vlad Petreanu). Cum ar trebui să predăm astfel încât, după şcoală foştii elevi să spună despre noi că i-am vrăjit, că orele de mate erau frumoase etc.? La această întrebare mă străduiesc de ani buni să găsesc răspunsuri şi reţete posibile. Uneori îmi reuşeşte, alteori nu. La unele lecţii merge, la altele nu. Dar şi când nu iese o oră prea bună, elevii sunt înţelegători, pentru că văd că mă străduiesc şi de atâte alte ori mi-au ieşit ore frumoase. Apropos, cum văd dacă mi-a ieşit o oră frumoasă. Simplu: se vede pe ochii copiilor.
Îmi permit să vă prezint în acest sens un mesaj primit în prima săptămână după vacanţă de la mama unei eleve: Vă mulţumesc din inimă că faceţi în aşa fel, cu atâta profesionalism şi drag pentru copii, ca matematica să fie ceva frumos şi nu o povară!! O zi faină! Mulţumesc şi eu, stimată doamnă; chiar uneori vine bine câte o încurajare; îţi dă o mică doză de bucurie să mergi mai departe.
Domn’Profesor

Matematica în VAMĂ – Pe de rost 643445523456433

În ultima zi de şcoală am primit un superb cadou din partea lui Tudor Chirilă: un imn al elevilor împotriva sistemului învechit din şcoli. Matematica se aude doar în refrenul din spate, în seria respectivă de cifre (să fie o serie de note?), dar în schimb este singura materie prezentă pe tabla prezentată în videoclip (vezi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=8kGpwUb6LF4 ). Da, aşa suntem văzuţi de majoritatea elevilor pentru că, da, aşa se comportă mulţi profesori.

Pe de rost
643445523456433

Am note mari
Dar nu-mi place nimic
Sunt un număr într-un sistem
N-am voie să-ntreb
Învăţ pe de rooost
Numai proştii întreabă
E ruşinos

Şcoală,
Îţi aminteesti?
Ce mic eram
Cum mi-ai promis c-ai să mă creşti…
Şcoală,
Cum naiba vrei să cresc
Dacă
E o ruşine să greşesc

643445523456433

Am 16 ani şi aş vrea să dispar
Undeva unde să pot conta
Tată
dacă te sună azi
spune-le că-s plecat
Azi chiulesc pentru că
m-am săturat să ascult
Vreau să gândesc

Tată
Nu-ţi fie frică
Există viaţă
După notă mică
Şcoală
Cum naiba vrei să cresc
Dacă
E o ruşine să gândesc

643445523456433

Pe de rooost
pe de rooost
pe de rooost ca un prost
Nu mai vreau pe de rooost
pe de rooost ca un prost
Deci şcoală
La revedere
Esti prea departe
De visele mele
Şcoală
La revedere
Mă duc să învăăţ
De la visele meleee.

Selfie cu Gauss şi cu Weber

În primăvara aceasta “m-am rătăcit” prin Göttingen şi, având câteva ore libere, am pornit pe urmele marelui Carl Friedrich Gauss. În primul rând am căutat statuia lui Gauss în care este reprezentat alături de Wilhelm Weber, inventatorul telegrafului electromagnetic (personajul şezând este Gauss). Şi, dacă tot am ajuns pe acolo, am căutat şi mormântul marelui matematician. Din fostul cimitir în care este acesta situat, s-au păstrat câteva morminte ale unor personalităţi, restul fiind transformat în parc simplu cu peluză şi câţiva arbori maiestuoşi. Da, şi dacă tot m-am plimbat prin Göttingen, nu a fost greu să dau şi de un Gauss Pub. Nimic special, dar totuşi o idee deosebită.

Gauss ca Gauss, dar o plimbare prin vechiul Göttingen este oricum recomandare deosebită. Ştiaţi că în timpul războiului a existat o înţelegere între nazişti şi britanici ca să nu-şi bombardeze reciproc cele două mari centre universitare? Oxford şi Cambridge la englezi, respectiv Göttingen şi Heidelberg la nemţi.  TitussG