Impresii din Germania (2) – Perlele elevilor după Der Spiegel

Un prieten foarte bun din Germania, fost coleg din facultate, m-a aşteptat cu o carte minunată, cu un titlu cvasi-intraductibil, dar cu subtitlul: Noi răspunsuri comice ale elevilor (Neue witzige Schüler-Antworten, editată de revista Spiegel). Cartea reprezintă o colecţie ale unor răspunsuri trimise de diferiţi profesori, răspunsuri ordonate şi comentate pe materii: traduceri din engleză; realizări sclipitoare la istorie etc. Există şi un capitol cu cele mai bune scuze sau unul cu perle de la Bac. Unul din capitole tratează ştiinţele reale, chimia, fizica şi matematica. M-am gândit să vă prezint câteva răspunsuri traductibile din această carte.

Întrebare: ai zece bomboane; cineva îţi cere două bomboane. Câte mai ai?
Răspuns: zece! (clasa a 2-a)

Sarcină: Realizează mai întâi o schiţă a problemei.
Răspuns: Bărbaţii adevăraţi nu au nevoie de schiţă. (clasa a 9-a)

Întrebare: Inversul (valoarea întoarsă, pe germană Kehrwert) lui 5/6 este 6/5. Care este valoarea întoarsă a lui 9?
Răspuns: 6.

Într-o lucrare de control: Prin anomalia apei înţelegem că apa la patru grade este mai rece decât la zero grade.

Întrebare: dacă turnăm împreună două pahare de apă, primul de 20 de grade, iar al doilea de 30 de grade, câte grade va avea apa pusă împreună?
Răspuns: 50 de grade, desigur! Comentariul profesorului: Super, înseamnă că s-a găsit soluţia la criza energetică! (clasa a 7-a)

Închei cu două perle de la ora de engleză şi una de la Bac:

Sarcină: Tradu în engleză cuvântul primar (în germană: Bürgermeister).
Răspuns: Burgerking. (clasa a 5-a)

Sarcină: Cum îl întrebi pe un elev englez dacă este vegetarian?
Răspuns: Are you a vegetable?

Sarcină: Prezintă sfârşitul regimurilor comuniste pe exemplul României.
Răspuns: Ciao Cescu!

O scurtă analiză la 4 ani de pentagonia.ro

În urmă cu patru ani porneam site-ul pentagonia.ro sub formă de blog (mai mult sau mai puţin personal) cu câteva gânduri în minte. Trebuia să fac ceva pentru schimbarea matematicii din şcolile româneşti, mai ales de la nivelul gimnazial, unde foarte mulţi copii erau chinuiţi de o matematică mult prea grea, în numele unor principii care pentru mine păreau de mult apuse. Astfel, strădania acestor ani s-a îndreptat în proporţie de 99% spre gimnaziu, 0,99% spre învăţământul primar şi doar 0,01% spre liceu.

Nu-mi permit a pretinde un merit în schimbările din ultimii ani, dar îmi permit măcar să mă bucur de anumite aspecte la care, poate, agitaţia mea pentagoneză a contribuit câte puţin (le enumăr în mod aleator), iar cei care aţi citit postările de pe acest blog le veţi înţelege: Moise Guran vorbea în acest început de an şcolar despre “reforma din 1979”; în numele matematicienilor, Dl. Profesor Radu Gologan recunoştea ca nefastă didactic orientarea prea axiomatist teoreticistă a predării în cadrul reformei respective (Formalizarea bourbakistă a matematicii este utilă cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, dar considerăm acum, nefastă didactic.), deci automat şi importanţa resetării predării spre o abordare mai potrivită vârstelor şcolare; lungimea de undă a actualei programe de matematică gimnazială este una mult mai logică şi mai umană pentru mintea în formare a elevilor, iar exemplele pot continua mult şi bine.

Bucuria ce o trăiesc în aceste momente este una deosebită: aproape că am impresia că sunt într-un film din anii ’80, când Ceauşescu îi obliga pe români să îndeplinească planul cincinal în 4 ani, iar toată lumea se grăbea să raporteze asta. Stimaţi cititori, vă muţumesc din suflet că îmi vizitaţi umilul blog (în zilele slabe cel puţin 50 de accesări, în zilele mai bune mult peste 100 de vizite). Titus G.

Coperţile cărţilor de matematică

Profesorul de matematică este deseori un personaj având aparent tente autiste faţă de preocupările şi percepţiile celor din jur. El este ocupat întotdeauna de lucruri mult mai serioase decât cei din jurul său. Profesorul de matematică nu se interesează atât de mult de lucrurile exteriore, considerându-le superficiale: el face parte din cei care sunt preocupaţi de subiecte de profunzime intelectuală inaccesibile majorităţii.

Autorul unei căriţi de matematică are toate gândurile sale îndreptate asupra conţinuturilor.

Coperta cărţii, design-ul acesteia şi imaginea ce se doreşte cât mai eficientă din punct de vedere comercial, transmiţând un mesaj care să ducă la vânzări cât mai bune de către editură, toate aceste aspecte nu intră în preocuparea autorului. De acestea se ocupă editura, care de obicei are un designer specializat, responsabil de realizarea coperţilor. Ce ştie acesta despre matematică? De obicei nimic! Dacă cineva de specialitate matematică interferează în acest proces, poate se obţine ceva mai coerent, dacă nu … Ce coperţi primesc cărţile dacă nu se uită şi un matematician responsabil? Dumnezeu cu mila!

Pentru prima dată am remarcat acest aspect în urmă cu câţiva ani când o editură vindea nişte cărţi pentru vacanţă, aşa-numitele “caiete de vacanţă”, pentru clasa a VI-a, având pe copertă desenaţi câţiva copilaşi în costume de baie (desenaţi ca proporţii cam de clase primare), care desenau aidoma lui Arhimede geometrie pe nisipul plajei. Iar desenele erau despre cercul trigonometric, adică de liceu. Făcând o medie aritmetică între vârsta plauzibilă a acelor copilaşi şi vârsta materiei desenate, se cam obţinea clasa a 6-a (aceasta a fost o glumă).

Anul ăsta parcă este inflaţie în acest sens: o carte de pregătire a Evaluării Naţionale la clasa a 6-a pe a cărei copertă vedem ecuaţii complexe şi relaţii trigonometrice cu funcţii exprimate în radiani; un manual de clasa a 7-a având pe copertă plin de elemente scrise haotic din matematica de liceu. Pentru a nu intra într-un conflict oficial cu editurile respective prefer să nu postez imaginea acestor coperţi sau să amintesc numele editurilor, dar onoraţii colegi vor putea fi atenţi şi vor găsi astfel de exemple, confirmând spusele mele.

Există şi exemple pozitive în acest sens: o culegere cu teste de pregătire a examenului de EN de la sfârşitul clasei a 8-a, pe a cărei copertă este imaginea cu rezolvarea unui exerciţiu chiar de clasa a 8-a (unii îl fac în clasa a 7-a). Perfect, sau cum ar zice cineva: “exact pe felie” (editura care are acest exemplu se regăseşte şi la categoria contra-exemple).

Închei cu un exemplu din domeniul caietelor: de curând am găsit într-un magazin un caiet al unei firme străine producătoare renumite (caietul este al filialei din România) pe a cărui copertă este imprimată o imagine cu elemente de matematică parcă scrise pe o tablă haotic, pentru a da impresia de geniu în focul creaţiei (algebră şi geometrie, dar şi de chimie), având însă precizat chiar pe copertă cuvântul geometrie. Clar, nu? Îl deschid ca să văd dacă este cu pătrăţele sau cu foaie velină, şi ce-mi văd ochii? Foi cu linii pentru text! Vă daţi seama că am cumpărat caietul respectiv cu 2 lei: oricui îl arăt râde ca la cel mai bun banc (primul a fost un domn în faţa noastră la casă, care se uita puţin nedumerit de ce râdem: i-am arătat caietul, mai întâi coperta 2-3 secunde, apoi interiorul). Nu poţi să te abţi; te pufneşte râsul instant. Made in Romania

P.S. În urmă cu 14 ani tratam cu editura Humanitas-Educaţional pentru publicarea unei culegeri de probleme de geometrie plană. Visam să punem pe copertă imaginea unei picturi abstracte ale pictorului Wassily Kandinsky. Există câteva foarte potrivite pentru aşa ceva, cu triunghiuri, cercuri şi diferite drepte. De ce să te chinui, când poţi lua de la cel mai bun? Dar de la editură mi-au explicat că ar fi foarte scump şi că ei au un designer angajat, care – să stau liniştit – ne va “designa” o copertă foarte bună. Şi într-adevăr, aşa a fost: nu am ce să-i reproşez. Aşa pretenţios cum sunt, trebuie să recunosc că a fost o copertă ok. De, vorbim totuşi de personal angajat al unei edituri cu atenţie şi asupra aspectelor de sentiment, de simţire. A trebuit însă să mai aştept jumătate de an ca să răsuflu uşurat: cartea a apărut în mai 2006, de ziua mea, şi de-abia atunci am văzut coperta. Titus G.

Impresii din Germania (1) – Salutări de la Gauss

Aşa a vrut viaţa ca anul acesta să ajung şi în vacanţă în Germania, şi aşa a vrut să ajungem prin apropiere de Göttingen, aşa că ne-am dus cu familia “să-l salutăm pe Gauss” (alături de Weber). Şi l-am găsit bine-mersi. Aţi remarcat? Nu la buchetul de flori mă refeream. Să ne uităm mai cu atenţie:



Cu încălzirea globală, căldură mare şi prin Germania! S-o fi gândit cineva şi la săracu’ Gauss. Aşa că, fie Sommerfest, Septemberfest sau Oktoberfest, luaţi o bere şi spor la matematică în noul an şcolar! Prost, Ihr Lieben! (Noroc, dragilor!)

Programa PENTAGONIA (8) – Conţinuturi clasa a VIII-a

În semestrul I din clasa a VIII-a materia este foarte vastă (cca. 2/3 din materia anului) pentru a permite elevilor o perioadă cât mai lungă de lucru pe teste complete pentru EN în primăvară. Cel mai nou aspect în ordinea lecţiilor îl reprezintă studiul complet al piramidelor şi al prismelor (figuri, arii şi volume pe studiate baze intuitiv-raţionale) în prima jumătate a semestrului, urmate abia apoi de studiul poziţiilor relative al dreptelor şi planelor cu aplicaţii direct pe corpurile studiate. Se obţine astfel o accesibilizare a materiei deosebit de eficientă pentru elevii de rând.

În semestrul al II-lea mai rămân funcţiile, trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde, urmate de câteva lecţii de cultură generală, obişnuite mai mult din zona opţională “matematica altfel”. Iată conţinuturile:

  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII (recapitulare şi completări)
  • Ecuaţii cu o necunoscută de tipurile studiate
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; Sisteme de trei ecuaţii cu trei nec.
  • Probleme rezolvabile prin ecuaţii sau prin sisteme de ecuaţii
  1. INTERVALE DE NUMERE REALE ŞI INECUAŢII ÎN
  • Mulţimi definite printr-o proprietate a elementelor ei
  • Noţiunea de interval de numere reale; clasificarea intervalelor cu scriere şi reprezentarea grafică pe axa numerelor; operaţii cu intervale
  • Inecuaţii în ℝ, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Sisteme de două inecuaţii, cu scrierea mulţimii soluţiilor
  • Inecuaţii cu modul, de tipul | ax + b | < c respectiv | ax + b | ≤ c
  1. CALCUL ALGEBRIC (recapitulare şi completări)
  • Sume algebrice: operaţii cu acestea, desfacerea parantezelor, aducerea la forma cea mai simplă
  • Formule de calcul prescurtat: pătratul sumelor sau al diferenţelor; produsul sumei cu diferenţa; pătratul trinomului; cubul sumei şi al diferenţei (cu dem. algebrice şi geometrice); suma şi diferenţa de cuburi; aplicaţii
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice: factorul comun; restrângerea pătratelor şi diferenţa de pătrate; grupări + factor comun; metode combinate; metode artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Ecuaţii de gradul II: cazuri particulare pe baza formulelor de calcul prescurtat sau similare cu metodele artizanale de descompunere a trinomului de gradul II
  • Fracţii algebrice: simplificarea acestora ca aplicaţie la descompunerea în factori a sumelor algebrice; domeniul de definiţie al unei fracţii algebrice cu o nedeterm.
  • Operaţii cu fracţii algebrice; aducerea expresiilor la forma cea mai simplă
  1. FUNCŢII ŞI COMPLETĂRI (vezi indicaţiile metodice*)
  • Elemente de organizare a datelor: tabele, diagrame
  • Noţiunea de funcţie: elemente, exemple, prezentări prin tabele sau diagrame Venn-Euler, reprezentări grafice prin diagrame sau pe bază de blocuri verticale
  • Sistemul cartezian de axe ortogonale: deducerea din reprezentarea grafică pe bază de blocuri verticale; coordonatele unui punct şi reprezentarea grafică; terminologia specifică
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii: diferite funcţii pe domenii finite pentru vizualizarea a diferite forme de grafice (de pildă: x2, |x + 2|, (x – 1)3,, pe domenii cu valori întregi sau zecimale)
  • Graficul funcţiei de gradul I: exemple pe domenii (de pildă f(x) = 2x -3 pe rând pe următoarele domenii: {-1, 0, 1, 2, 3}, apoi ℤ, apoi ℝ şi pe [-1; 3] în final), cu observarea formei graficului şi adaptarea reprezentării în funcţie de compoziţia acestuia, cu deducerea metodei de reprezentare grafică prin două puncte + unul de control
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii de gradul I: dreapta soluţiilor unei ecuaţii; folosirea ecuaţiei ataşate în rezolvarea diferitelor probleme (puncte de coordonate egale de pe un grafic; intersecţia graficelor a două funcţii; determinarea funcţiei de gradul I ce trece prin două puncte date), inclusiv determinarea punctelor de intersecţie a graficului cu axele de coordonate
  • Metoda grafică în rezolvarea unui sistem de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute)
  • Elemente de calcul geometric în planul cartezian: calcule de arii şi lungimi şi găsirea mijlocului unui segment etc. (aplicaţii elementare)
  • Ecuaţia de gradul II: rezolvarea cu formulele generale
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA I
  • Pătratul şi triunghiul echilateral: aria şi liniile importante (recapitulare)
  • Cubul: diferite reprezentări grafice, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Secţiuni în cub: reprezentarea grafică a secţiunilor paralele cu feţele; secţiunea diagonală; secţiunea Δ echilateral (stabilirea intuitivă a formei; calcul perimetrului şi a ariei acestora)
  • Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul): reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei (teorema lui Pitagora în spaţiu, pe baza observării intuitive a unghiului drept: o muchie verticală este perpendiculară pe baza orizontală, deci şi pe o diagonală a acestei baze)
  • Prisma patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, volum şi lungimea diagonalei
  • Prisma triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Prisma hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; situaţia diagonalelor
  • Piramida patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum; apotema bazei, apotema piramidei şi conexiunile de calcul cu muchia bazei şi cu înălţimea piramidei
  • Secţiuni în piramidă: secţiuni transversale, secţiuni diagonale şi secţiuni paralele cu baza în piramida patrulateră regulată (desenarea şi stabilirea intuitivă a formei)
  • Piramida triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Tetraedrul regulat: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii, înălţime şi volum
  • Piramida hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  1. PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE ÎN SPAŢIU
  • Reprezentarea grafică şi notarea punctelor, dreptelor şi planelor; diferitele situaţii de poziţii relative ale acestora: puncte coplanare, determinarea planului, drepte necoplanare, paralelism sau intersecţii între drepte, plane
  • Studiul poziţiilor relative între două drepte, o dreaptă şi un plan, respectiv două plane: demonstrarea situaţiilor de paralelism, respectiv de perpendicularitate, şi determinarea înclinaţiei, respectiv a măsurii unghiului determinat de acestea, în cazul poziţionării oblice (demonstrarea paralelismului a două drepte, calculul măsurii unghiului relativ a două drepte necoplanare, demonstrarea perpendicularităţii a două drepte necoplanare; în mod similar în cazul unei drepte şi a unui plan, respectiv în cazul a două plane); deducerea intuitivă în cazul fiecărei demonstraţii;
  • Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la punct la dreaptă
  • Diverse corpuri neregulate: exemple cu reprezentarea grafică, descriere, calculul ariei şi a volumului; calculul distanţei de la un punct la un plan
  1. CORPURI GEOMETRICE – PARTEA a II-a
  • Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Raportul de asemănare, raportul ariilor figurilor asemenea şi raportul volumelor corpurilor asemenea: aplicaţii în piramidele secţionate paralel cu baza pentru obţinerea trunchiurilor de piramidă
  • Trunchiul de piramidă hexagonală regulată: reprezentarea grafică, desfăşurarea, elemente (colţuri, muchii, feţe cu descriere), deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Cilindrul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Conul (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Trunchiul de con (circular drept): reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arii şi volum
  • Sfera: reprezentarea grafică, descrierea; desfăşurarea, deducerea formulelor pentru arie şi volum
  • Elemente de geometria cercului şi a sferei pe globul pământesc: rotaţia Terrei în jurul soarelui, axa de rotaţie, înclinarea acesteia faţă de planul ecliptic (ecliptică) şi deducerea latitudinii tropicelor şi ale cercurilor polare
  • Corpurile platonice (perfecte) cu prezentarea celor cinci: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul; activităţi de cunoaştere a ultimelor trei (desenare, construcţie din hârtie sau beţişoare, determinarea formulelor de arie şi volum dacă sunt accesibile); exemple de corpuri arhimedice (trunchieri ale corpurilor platonice): activităţi de cunoaştere pe exemple, mingea de fotbal

CTG

8-Clasa-a-VIII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (7) – Conţinuturi clasa a VII-a

În semestrul I din clasa a VII-a materia se concentrează aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra regăsindu-se mai mult în slujba calculelor din geometrie (arii şi teorema lui Pitagora). Geometria însă se împarte în două linii preocupaţionale: pentru toţi elevii (materia de nota 5-7) se studiază calculul de arii şi perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porneşte în paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstraţii pe baza cunoştinţelor deja dobândite în clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstraţii cu unghiuri, cu segmente şi cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriză interesantă o reprezintă studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combină cu cel al ariilor, ducând la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actuală de obişnuinţă) o reprezintă însă faptul că trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora în cazul rezultatelor neexacte cu calcule raţionale aproximative. De abia după stabilizarea calculelor întregi sau aproximative (cu aplicaţie clară în viaţa aplicativă extramatematică) se va trece la exprimarea rezultatelor iraţionale (cel mai bine în semestrul al II-lea). Acelaşi traseu al studiului este valabil şi în cazul lungimii şi ariei cercului, introducându-se iniţial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu două zecimale exacte, adică o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai multă geometrie,dar oferă o stabilizare a calculului aritmetic şi o apropiere neagresivă de calculul pur algebric al numerelor iraţionale (scoaterea parţială a factorilor de sub radical şi calculul cu astfel de numere, care în vest se studiază eventual doar la nivelul liceului).

În semestrul al II-lea algebra îşi ia revanşa, materia concentrându-se mai mult pe această latură. Ca aspect important, pe lângă revenirea sistemelor de ecuaţii în finalul clasei a VII-a, se păstrează şi studiul formulelor de calcul prescurtat pătratice. Iată conţinuturile:

  1. NUMERE RAŢIONALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii cu numere naturale, întregi sau raţionale
  • Operaţii cu mulţimi; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ
  • Puterea cu exponent întreg
  • Procente şi proporţionalitate; ecuaţii; punerea în ecuaţie a unei probleme
  1. RĂDĂCINA PĂTRATĂ (recapitulare şi completări – II)
  • Rădăcina numerelor pătrate: pe baza tablei pătratelor, a observaţiilor pe ultima cifră şi prin descompunere
  • Produsul şi câtul rădăcinilor pătrate; aplicaţii de tipul sau
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale (în cazuri exacte, respectiv aproximative)
  • Ideea de număr iraţional
  1. NUMERE IRAŢIONALE
  • Noţiunea de număr iraţional; incluziunea ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ cu diferite exemple
  • Forma aproximativă şi forma exactă a numerelor iraţionale: studiu comparativ; numărul π; reprezentarea numerelor iraţionale pe axa numerelor; numerele reale
  • Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exactă a numerelor iraţionale; pătratul numerelor iraţionale; ridicarea la putere naturală a numerelor iraţionale
  • Produsul şi câtul numerelor iraţionale; raţionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere întreagă a numerelor iraţionale
  • Suma numerelor iraţionale; ordinea operaţiilor; numere iraţionale în forma de sume neefectuabile
  • Valoarea absolută a unui număr real
  1. CALCUL ALGEBRIC
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, câtul şi puterea
  • Însumarea numerelor reprezentate prin litere; noţiunile de monom, binom, trinom şi polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opuşi
  • Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a două binoame sau trinoame
  • Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): pătratul sumei şi pătratul diferenţei; produsul sumei cu diferenţa (cu dem. algebrice, dar şi geometrice, pe bază de arii)
  • Descompuneri elementare prin factor comun şi reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restrângerea pătratelor, diferenţa de pătrate); aplicaţii în simplificarea fracţiilor şi calculul din T. Pitagora
  • Aplicaţi: calcule de expresii; raţionalizarea numitorului (II); demonstraţii la teorema lui Pitagora pe bază de arii şi formule binomiale
  1. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII
  • Ecuaţii de gr. I; ecuaţii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecuaţii în care se reduc termenii de gradul II); mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii de gradul II de forma x2= b,  x2 + a = b şi ax2 = b; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu module de forma | ax + b | = c; mulţimea soluţiilor
  • Ecuaţii cu două necunoscute: scrierea soluţiilor ca perechi ordonate
  • Sisteme iniţiale de ecuaţii (o ecuaţie cu o nec. + o ecuaţie cu două necunoscute); scrierea soluţiilor, inclusiv în cazul cu două soluţii (ec. de gr. II sau cu modul)
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute de forma y = ax + b  şi  y = cx + d): metoda tranzitivităţii
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda substituţiei
  • Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin punere în ecuaţie sau în sistem de ecuaţii
  1. DEMONSTRAŢIA GEOMETRICĂ (recapitulare şi completări – I)
  • Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate înscrise în cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi şi unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
  • Demonstraţii cu unghiuri: folosind proprietăţile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuză; cateta opusă unghiului de 30o
  • Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruenţă LLL, LUL, ULU; congruenţa triunghiurilor dreptunghice
  • Linia mijlocie în triunghi (intuitiv, fără dem. inclusiv la teorema reciprocă); linia mijlocie în trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
  • Teoreme directe şi teoreme reciproce: exemplificări pe figurile studiate
  1. ARII ŞI PERIMETRE (recapitulare şi completări – II)
  • Aria patrulaterelor şi a triunghiurilor: dreptunghi, pătrat, Δ dreptunghic, paralelogram; Δ oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situaţii (rombul II, pătratul II, Δ dreptunghic II, deltoidul, Δ isoscel; Δ obtuzunghic)
  • Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate şi poziţia sa pe mediană
  • Figuri echivalente: transformarea triunghiului şi a paralelogramului cu păstarea ariei (forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor); figura “gnomon”
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţie prin arii folosind transformări echivalente de paralelograme
  • Calcule de arii şi perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) şi calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
  • Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; numărul π în formă zecimală aproximativă; lungimea cercului (perimetrul)
  • Aplicaţii: calcule aproximative de lungimi şi arii în situaţii practice
  1. PROPORŢIONALITATE ŞI ASEMĂNARE
  • Prezentarea prin transformarea intuitivă: Regula de trei simplă → Triunghiuri asemenea → Teorema fundamentală a asemănării → Teorema lui Thales
  • Raportul lungimilor a două segmente
  • Teorema lui Thales şi reciproca: segmente proporţionale şi paralelismul;
  • Teorema fundamentală a asemănării: aplicaţii aritmetice şi demonstraţii geometrice
  • Aplicaţii: teorema bisectoarei; poziţia centrului de greutate al triunghiului
  • Cazurile de asemănare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplicaţii
  • Cazul de asemănare UU la triunghiurile scalene şi la triunghiurile dreptunghice
  • Studiul propoziţiilor directe şi al reciprocelor, parţiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii în triunghi (teorema directă; apoi reciproca parţială 1 = teoremă, dar reciproca parţială 2 = propoziţie falsă; în final reciproca totală = teoremă, fiecare cu demonstraţie sau contraexemplu); aplicaţii pe probleme
  1. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
  • Proiecţia unui punct sau a unui segment pe o dreaptă
  • Teoremele lui Euclid: teorema catetei şi teorema înălţimii, demonstraţii prin asemănare şi aplicaţii
  • Teorema lui Pitagora: demonstraţia cu teorema catetei; aplicaţii cu rezultate sau date iraţionale; reciproca teoremei lui Pitagora
  • Rapoartele trigonometrice: definiţii, exemple, valori pentru 30o, 45o, 60o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Poligoanele regulate de bază (triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat): liniile importante şi aria (înălţimea, diagonala, raza cercului circumscris sau înscris, apotema)
  1. CERCUL (recapitulare şi completări)
  • Elementele cercului şi proprietăţile studiate; unghiul la centru şi măsura arcelor de cerc; “Cercul lui Thales” (triunghiul dreptunghic înscris în semicerc)
  • Tangenta la cerc (fără dem.); proprietatea “ciocului de cioară” (cu dem.)
  • Unghiul înscris în cerc (sau “unghiul periferic”): proprietatea măsurii (cu dem.)
  • Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise şi patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplicaţii
  • Lungimea cercului şi aria discului; aria părţilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (6) – Conţinuturi clasa a VI-a

În semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetică realizează până la vacanţa de iarnă o reluare cu completări şi aprofundări a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiază componentele de bază (puncte, drepte, segmente, poziţii relative, unghiuri, cât şi liniile importante mediatoarea şi bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplicaţii doar diverse cerinţe de construcţii cu îngrădiri pe instrumente (de exemplu, desenaţi doar cu rigla şi compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de hârtie).

În semestrul al II-lea aritmetica se cam încheie cu studiul rapoartelor şi al proporţiilor. Urmează capitolele de trecere spre algebră, apariţia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecuaţiile şi mulţimile. Valoarea absolută a unui număr se prezintă doar la sfârşitul capitolului, nu în prima lecţie. La geometrie se studiază intuitiv triunghiurile şi patrulaterele prin enumerarea observaţională a proprietăţilor evidente şi demonstrarea proprietăţilor neevidente. Studiul aplicaţional al acestora se concentrează mai ales pe construcţia exactă cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind amânată pe începutul clasei a VII-a (de fapt, o rocadă între demonstraţia geometrică diversificată – nu doar demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor – şi capitolul despre patrulatere). În clasa a VI-a cazurile LLL, LUL şi ULU se numesc mai degrabă cazuri de construcţii decât cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii şi proprietăţile acestora; ordinea operaţiilor; factorul comun şi aplicaţii; teorema împărţirii cu rest; scrierea numerelor în baza zece
  • Operaţii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc şi cmmmc a două sau mai multe numere naturale; numere prime între ele;
  • Criterii de divizibilitate; proprietăţi ale divizibilităţii şi demonstraţii cu acestea
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinarea intuitivă; determinarea prin descompunere în factori; includerea în ordinea operaţiilor
  1. FRACŢII (recapitulare şi completări – II)
  • Fracţii ordinare: prezentare, transformări; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Operaţii cu fracţii ordinare; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Fracţii zecimale finite: transformări; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Fracţii zecimale periodice: transformări; comparare; aproximări
  • Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Aplicaţii: media aritmetică şi media aritmetică ponderată
  • Ecuaţii: în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) cu rezolvări aritmetice prin operaţia de probă
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate: atăt din numere pătrate (rezultate exacte), cât şi din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea în ordinea operaţiilor
  1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
  • Rapoarte şi proporţii: noţiunea de raport; proprietatea fundamentală a proporţiei (proba proporţiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
  • Regula de tei simplă: proporţionalitate directă şi proporţionalitate inversă
  • proporţii derivate; şir de rapoarte egale şi mărimi direct proporţionale; şir de produse egale şi mărimi invers proporţionale
  • Procente: aplicaţii prin metoda “din” , dar şi prin regula de trei simplă
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii;
  • Elemente introductive de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive şi numere negative; semnul şi mărimea
  • Însumarea a două numere relative; sume; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul a două numere relative; împărţirea a două numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea operaţiilor
  • Aplicaţii în cazul operaţiilor cu fracţii
  • Reprezentarea pe axă; valoarea absolută a unui număr
  • Ecuaţii: ecuaţia de gradul I în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) şi în forma de bază combinată (ax + b = c) parcurse prin trei metode: metoda probei operaţiei (recapit.), metoda balanţei şi metoda mutării în membrul celălalt cu operaţia opusă; ecuaţii reductibile la ecuaţii de bază de gradul I
  • Probleme cu o singură necunoscută, ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, notaţii; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
  • Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
  • Mulţimi finite; cardinalul unei mulţimi; mulţimi infinite; mulţimea vidă
  • Categorii de numere; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ; relaţii, aplicaţii; axa nr.
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu coef. întregi sau raţionali, în ℕ, ℤ, ℚ; mulţimea soluţiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Poziţia relativă a două drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Poziţia relativă a trei drepte
  • Cercul: centru, rază, diametru
  • Noţiunile de congruenţă şi egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construcţii; perpendiculara dintr-un/ într-un punct pe o dreaptă: diferite construcţii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; notaţii; clasificarea elementară: unghiuri ascuţite, drepte, respectiv obtuze
  • Măsura unghiului; raportorul; măsurarea şi construcţia
  • Congruenţa unghiurilor; diferite construcţii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construcţii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la vârf: congruenţa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de două paralele tăiate de o secantă: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construcţii
  • Două unghiuri împreună: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri în jurul unui punct
  • Clasificarea completă a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (măsura > 180o) şi unghiul plin (măsura = 360o)
  • Simetria axială; simetria centrală; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construcţie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea Δ-lor I: Δ echilateral, Δ isoscel, proprietăţi legate de congruenţa elementelor, Δ scalen, Δ oarecare
  • Clasificarea Δ-lor II: Δ ascuţit-, Δ drept- şi Δ obtuzunghic, combinaţii categ. I + II
  • Liniile importante în triunghi: bisectoare; mediane; înălţimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, proprietăţi, înscrierea în semicerc (“Cercul lui Thales” cu dem.), mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificată cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplicaţii: construcţii de triunghiuri incluzând şi liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor şi suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construcţia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; proprietăţi şi construcţii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; pătratul; proprietăţi şi construcţii
  • Aplicaţii: construcţii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confecţionare de corpuri din carton cu construcţia desfăşurării: cubul, cuboidul, prisma triunghiulară, piramida patrulateră, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) – Conţinuturi clasa a V-a

În semestrul I din clasa a V-a materia este structurată cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranjării lecţiilor îl reprezintă abordarea din trei direcţii a ideii de număr prim. Apar şi primele elemente de geometrie printr-o cunoaştere elementară iniţială a principalelor figuri închise prin desenarea lor cu mâna liberă.

În semestrul al II-lea se trece la studiul fracţiilor ordinare şi zecimale, cât şi a unităţilor de măsură. La geometrie propun o perioadă de cunoaştere a instrumentelor geometrice şi obişnuirea cu mânuirea acestora, printr-un traseu ocupaţional în jurul împărţirii cercului în părţi egale şi realizarea unor desene frumoase cu rigla şi compasul pe baza acestora.

Problema principală a acestei structurări este faptul că desenul geometric este eficient doar dacă elevii au timp suficient să lucreze la acele desene pentru a reuşi să interiorizeze mişcările respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o oră în plus, de pildă printr-un opţional. Iată în continuare conţinuturile la rând:

  1. RECAPITULARE ŞI PROBLEME DE ARITMETICĂ
  • Recapitulare şi acomodare: exerciţii şi probleme elementare (ordinea operaţiilor, probleme cu raţionamente elementare, matematică distractivă, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea şi citirea numerelor naturale; diferite reprezentări (cu puncte, cu linii, pe axă); scrierea numerelor în diferite culturi (Egipt şi China, Roma şi Maya)
  • Compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări şi estimări
  • Adunarea numerelor naturale, proprietăţi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare şi calcul); scăderea naturale
  • Înmulţirea numerelor naturale (calcule mintale şi prin algoritm), proprietăţi
  • Împărţirea numerelor naturale (algoritm scris, parţial scris şi efectuat mintal); proba împărţirii (teorema împărţirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale – metoda intuitivă (forma de deltă); numere prime (1) şi numere compuse; înmulţirea rapidă cu 5 sau cu 25 prin împărţirea în cap la 2 sau 4 şi invers
  • Descompunerea numerelor naturale – algoritmul (forma cu bară)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci operaţii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Proprietăţile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerciţii cu încălcarea ordinii operaţiilor folosind regulile învăţate (operaţii cu puteri)
  • Şiruri de numere (pare, impare, şirul lui 3, 4, 5 etc. – nivel recapit. de cl. primare)
  • Găsirea generală a numerelor prime (2) – Ciurul lui Eratostene
  • Şirul puterilor; alte şiruri exponenţiale (şirurile lui Mersenne, Fermat şi nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. pătrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui număr etc.
  • Reprezentarea grafică pe cercul cu 10 cifre şi studiul evoluţiei ultimei cifre pentru şirurile învăţate; observaţii cu privire la evoluţia şirului numerelor pătrate pe decade (ultima cifră în tabla pătratelor); pătratele multiplilor de zece sau de sută
  • Rădăcina numerelor pătrate: prezentare intuitivă pe baza tablei numerelor pătrate şi pe baza studiului ultimei cifre, cu probă; includerea în ordinea operaţiilor
  • Explicitarea numerelor în sistemul zecimal şi în sistemul binar (bazele 10 şi 2); scrierea numerelor naturale ca sumă de puteri ale lui 2; (diferite aplicaţii, inclusiv înmulţirea în Egiptul antic)
  • Divizorii unui număr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de găsire a divizorilor; studiul numărului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui număr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare şi prin descompunere); numere prime între ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,  apoi cu 25 şi 4, apoi cu 3 şi 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Fracţii ordinare – prezentare; reprezentări grafice (disc împărţit în sectoare, dreptunghi împărţit în felii etc.); numitor, numărător; fracţii de bază (pe exemplul fracţiilor egiptene)
  • Clasificarea fracţiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezentări grafice; scoaterea întregilor din fracţie, introducerea întregilor în fracţie
  • Transformarea fracţiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplificări sau simplificări intuitive)
  • Compararea fracţiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare, găsirea unei fracţii dintr-o cantitate – cuvântul “din”; aplicaţii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinzând situaţii descrise prin fracţii ordinare
  • Fracţiile zecimale; prezentare; transformări (1); compararea fracţiilor zecimale
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări (2)
  • Fracţii zecimale finite şi fracţii zecimale periodice
  • Procente (ca fracţie); calcule pe baza înmulţirii fracţiilor ordinare; promile
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • Aria şi perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din pătrăţele întregi
  • de măs. pt. arie; formule şi reţete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, pătrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construcţia acestora cu ajutorul echerului
  • de măs. pt. volum şi capacitate; formule pt. volumul cubului şi a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de măs. monetare, pt. timp şi pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate faţă de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate faţă de cerc)
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele în 6 sau 5 colţuri – “Steaua lui David” şi pentagrama – etc.)
  • “Teorema lui Pitagora” (evidenţiere în cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul şi folosirea compasului
  • Împărţierea cercului în 6 părţi (“floarea vieţii”); diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (construcţii diverse); aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 8 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în12 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 16 părţi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • Împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la vârf (unghiul înscris în cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stelări posibile (pentagrama, “steaua lui David”, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (4) – Privire de ansamblu asupra conţinuturilor

 

Înainte de prezentarea separată a conţinuturilor pe fiecare clasă, vă prezint o privire de ansamblu, “din aer”, asupra celor opt semestre ale gimnaziului. Tabelul anexat este gândit a fi imprimat pe o coală A3 pentru ca privirea să poată sări uşor de la un punct la altul al materiei, aşa cum sar gândul (da’ unde-a pus cutare sau cutare conţinut?). Chiar dacă nu vă obosiţi să-l imprimaţi, recomand totuşi măcar descărcarea tabelului în calculator, pentru o lectură mai lesnicioasă. Dimpotrivă, pentru a accesibiliza lecturarea şi pe ecranul telefonului (poate sunteţi la mare, la umbra unei terase, cu o băutură răcoritoare alături), voi cuprinde materialul respectiv şi în format obişnuit:

Clasa a V-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

ARITMETICA NUMERELOR NATURALE

  • Probleme aritmetice, diverse metode
  • Cele patru operaţii de bază şi puterea; ordinea op.; proprietăţile operaţiilor
  • Descompunerea numerelor în factori; numere prime
  • Operaţii cu puteri: ordinea operaţiilor; încălcarea ordinii operaţiilor
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinări intuitive
  • Divizori şi multipli
  • Criterii de divizibilitate

Semestrul I – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ (*)

  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; alte patrulatere
  • Triunghiul echilateral; alte triunghiuri
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasific. (drepte, apoi ascuţite, respectiv obtuze)
  • Alte figuri (“Steaua lui David” etc.)

“Teorema lui Pitagora” pe cazul triunghiului dreptunghic isoscel

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. ORDINARE; FR. ZECIMALE; UNIT. MĂS.
  • Fracţii ordinare – prezentare, tranformări, fr. mixte
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare, comparare
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare
  • Fracţiile zecimale; transformări
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări
  • Fracţii zecimale finite sau periodice
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • de măs. pt. arie; pătrat şi dreptunghi, echerul
  • de măs. pt. volum şi capacitate; cub şi cuboid
  • de măs. monetare; pt. timp; pt. unghiuri

Semestrul II – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE (*)

  • Cercul şi împărţierea sa în 6 părţi (“floarea vieţii”)
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (constr. diverse)
  • Împărţierea cercului în 8 părţi
  • Împărţierea cercului în12 părţi
  • Împărţierea cercului în 16 părţi (riglă şi compas)
  • Unghiul la centru; împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (raportorul)
  • Unghiul înscris în cerc (periferic) şi polig. stelate

(*) Se recomandă cuprinderea într-un curs opţional suplimentar de “Desen geometric”

Clasa a VI-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

FRACŢII; PROPORŢIONALITATE

  • şi completări: Nr. naturale; ordinea op.
  • şi comp.: Fracţii; ordinea op., fracţii etajate
  • Rădăcina pătrată prin descompunere şi algoritm
  • Ecuaţii (rezolvări aritmetice)
  • Noţiunile de raport; proporţie; proba şi termen. nec.
  • Regula de trei simplă; proporţional. directă, inversă
  • Proporţii derivate; şiruri de rapoarte egale etc.
  • Procente (două metode de rezolvare)
  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Elemente de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)

Semestrul I – GEOMETRIE:

GEOMETRIA COMPONENTELOR

  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; lungime
  • Poziţia relativă; paralelism şi perpendic.
  • Cercul, elemente
  • Congruenţă; mijloc; mediatoarea, construcţii div.
  • Unghiul; interiorul; măsura unghiului; clasificare;
  • Congruenţa unghiurilor; bisectoarea
  • Unghiuri opuse la vârf
  • Unghiuri formate de paralele cu o secantă
  • Unghiuri adiacente, complementare, suplementare

Simetria axială; simetria centrală (echerul geom.)

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. NEGATIVE; ECUAŢII; MULŢIMI
  • Numere relative (nr. pozitive şi nr. negative)
  • Însumarea nr. relative; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul numerelor relative; împărţirea
  • Ordinea operaţiilor
  • Valoarea absolută (modulul)
  • Ecuaţii (rezolvări algebrice)
  • Mulţimi; exemple; operaţii
  • Mulţimile de nr. învăţate (ℕ, ℤ, ℚ)

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRIUNGHIURI; PATRULATERE

  • Triunghiul, perimetrul, suma unghiurilor
  • Cazuririle de construcţie (LLL, LUL, ULU)
  • Clasificarea Δ-lor (I): echilateral, isoscel, scalen
  • Clasificarea Δ-lor (II): ascuţit-, drept-, obtuzunghic
  • Liniile importante în triunghi
  • Triunghiul dreptunghic; înscrierea în semicerc, mediana pe ipotenuză, cat. op. ∢30o, T. Pitagora
  • Patrulatere, perimetrul, suma unghiurilor
  • Construcţii de patrulatere cu elemente date
  • Patrulatere speciale: Deltoidul ; Trapezele

Paralelogramul; Dreptunghiul; Rombul; Pătratul

Clasa a VII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

NUMERE RAŢIONALE şi  RĂDĂCINA PĂTRATĂ

  • Puterea cu exponent întreg
  • Metode de extragere a rădăcini dintr-un număr pătrat
  • Extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate
  • Noţiunea de numere iraţionale

Semestrul I – GEOMETRIE:

DEMONSTRAŢII GEOMETRICE; ARII

  • Cercul, elemente interioare (raze, diametru, coardă)
  • Poligoane, poligoane regulate: construcţie, unghiuri
  • Demonstraţii cu unghiuri, mediana pe ipot., etc
  • Demonstraţii prin metoda triunghiurilor congruente
  • Linia mijlocie în triunghi şi trapez
  • Aria figurilor de bază
  • Figuri echivalente
  • Teorema lui Pitagora (dem. prin arii)
  • Calcule de arii şi perimetre ale figurilor studiate (calcule exacte şi calcule aproximative)

Perimetrul şi aria cerc.; numărul π

Semestrul II – ALGEBRĂ:

  1. IRAŢIONALE; CALC. ALGEB.; SIST. EC.
  • Numere iraţionale
  • Extragerea factorilor de sub radical
  • Mulţimea nr. reale ( inclusiv clasif. completă a nr.)
  • Operaţii cu nr. reale
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere
  • Formule de calcul prescurtat gr. II
  • Raţionalizarea numitorului (cazurile I şi II)
  • Ecuaţii de gr. I; Ec. de gr. II de forma x2= n
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, prin metodele tranzitivităţii, substituţiei şi reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin ec. şi sist. de ec.

Semestrul II – GEOMETRIE:

PROPORŢIONALITATE; CERCUL

  • Teorema lui Thales; TFA (aplicaţii aritmetice)
  • Asemănarea Δ-lor şi a Δ-lor dreptunghice
  • Teoremele lui Euclid (T. catetei şi T. înălţimii)
  • Alte demonstraţii la Teorema lui Pitagora; reciproca
  • Rapoartele trigonometrice
  • Cercul: recapitulare, tangenta la cerc
  • Unghiul înscris în cerc
  • Cercul înscris sau circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise, patrulatere circumscrise

Lungimea arcului de cerc, aria sectorului de disc

Clasa a VIII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

EXPRESII ALGEBRICE

  • Sisteme de ecuaţii cu trei necunoscute
  • Intervale de numere reale; operaţii cu acestea
  • Inecuaţii şi sisteme de inecuaţii
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu module
  • Sume algebrice; operaţii cu acestea
  • Formule de calcul prescurtat gr. II şi III
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice
  • Ecuaţii de gr. II – diferite cazuri particulare
  • Fracţii algebrice; operaţii cu acestea

Semestrul I – GEOMETRIE:

PRISME; PIRAMIDE; TEOREME ÎN SPAŢIU

  • Cubul, paralelipipedul dreptunghic (cuboidul); prismele – construcţii, arii şi volume, secţiuni
  • Piramidele şi tetraedrele – construcţii, arii şi volume
  • Puncte, drepte şi plane; poziţii relative
  • Paralelism, perpendicularitate şi unghiuri relative
  • Teorema celor trei perpendiculare

Aplicaţii în corpurile studiate

Semestrul II – ALGEBRĂ:

FUNCŢIA GR.I; COMPLETĂRI

  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Noţiunea de funcţie; elemente; exemple
  • Sistemul cartezian de axe (deducere din funcţii)
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii
  • Graficul funcţiei de gr. I – exemple pe domenii
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii; dreapta soluţiilor
  • Elemente de geometrie aplicată pe sistemul de axe
  • Ecuaţii de gr. II – rezolvarea cu formulele generale

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRUNCHIURI DE PIR.; CORPURI ROTUNDE

  • Trunchiurile de piramidă – constr., arii şi volume
  • Cilindrul; conul; trunchi de con; sfera – (idem)
  • Elemente de geometria sferei pe globul pământesc
  • Alte corpuri (platonice, arhimedice etc.)

TABEL-Privire-ansamblu-ProgramaPentagonia.pdf

Lectură plăcută! CTG

Programa PENTAGONIA (3) – Principii metodico-didactice

În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:

  • Adaptarea materiei şi a predării la posibilităţile şi nevoile vârstelor, dar şi în funcţie de posibilităţile individuale şi de cerinţele naţionale

Materia parcursă trebuie adaptată obligatoriu la posibilităţile şi nevoile vârstelor, atât la nivelul individului, cât şi la nivelul clasei. Gândirea elementară specifică claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresată în mod echilibrat în paralel cu gândirea intelectuală specifică altor elevi, şi extinsă la vârstele mai mari la majoritatea clasei (gândirea aritmetică faţă de gândirea algebrică, construcţia geometrică în opoziţie cu demonstraţia, exerciţiile de bază alături de problemele complicate etc.). Nivelul lecţiei şi profunzimea studiului diferitelor lecţii trebuie alese cu respect faţă de toţi elevii, atât faţă de cei slabi, cu capacităţi reduse, cât şi faţă de cei buni, cu capacităţi şi aşteptări ridicate în gândirea matematică. Totodată, încadrarea parcursului şi nivelului orelor de matematică în procesul şcolar naţional este un deziderat evident şi trebuie urmărit de către orice dascăl ce predă matematica la gimnaziu.

  • Principiul ne-suprapunerii itemilor noi

Se va evita introducerea simultană a mai multor itemi, noţiuni sau abilităţi de calcul. Astfel, de pildă în clasa a V-a, se vor studia în lecţii separate descompunerea intuitivă a numerelor naturale în factori, apoi algoritmul de descompunere “cu bară”, dar scriind răspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia în lecţii separate introducerea operaţiei de putere, integrarea noii operaţii în exerciţii cu toate nivelele de operaţii, respectiv proprietăţile operaţiilor cu puteri şi scurtcircuitarea ordinii operaţiilor prin acestea. Odată cu avansarea în vârstă, acest principiu scade ca importanţă, dar nu-şi va pierde nici o dată cu totul valabilitatea.

  • Predarea în spirală

Predarea în spirală oferă formarea tot mai complexă a noţiunilor şi a ideilor matematice, urmărind evoluţia acestora odată cu dezvoltarea gândirii elevului şi cu lărgirea spectrului său de cunoştinţe aferente. Predarea în spirală poate fi aplicată la diferite magnitudini, în cadrul unui capitol la lecţii învecinate, sau în cadrul unor lecţii îndepărtate în timp, în capitole diferite, sau chiar în ani de studiu diferiţi.

De cele mai multe ori în predarea în spirală o noţiune suportă un proces de evoluţie şi transformări. Astfel, vorbim despre “noţiunea vie”, pe când definirea seacă încătuşează o noţiune în parametrii strict fixaţi, aici vorbind de “noţiuni moarte”. În acest sens, prezenta programă recomandă evitarea definiţiilor. Chiar şi abordarea unei ramuri întregi a matematicii evoluează în predarea în spirală prin reluările succesive la nivele tot mai evoluate de gândire (vezi evoluţia studiului geometriei din clasa a V-a în a VII-a.

  • Predarea intuitivă

Deducerea şi înţelegerea intuitivă a noilor itemi este foarte importantă la orice vârstă, însă trebuie luată cu adevărat în serios mai ales la clasele mici. Astfel, în clasele de intrare în matematica gimnazialo-liceală, profesorul va folosi cât de mult posibil intuiţia elevilor, adaptându-şi predarea pentru acest scop. Ordonarea lecţiilor şi introducerea noilor cunoştinţe se va face conform posibilităţii folosirii intuiţiei şi nu conform necesităţilor predării riguros axiomatice. Şi în acest sens se va evita definirea noţiunilor, acestea fiind mai degrabă aduse intuitiv, prin imagini, ritm şi descriere.

  • Problematizarea

Problematizarea reprezintă forma cea mai naturală de implicare a elevilor în învăţarea matematicii. Aceasta se poate folosi în cadrul rezolvării diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes şi în procesul de cunoaştere a noilor conţinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lecţiilor noi se poate căuta deducerea lecţiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pildă, la lecţia despre înmulţirea numerelor naturale din clasa a V-a, când elevii de fapt cunosc înmulţirea, putem proceda în felul următor: după câteva exerciţii cu înmulţiri cu numere mari în scris, sau cu numere mici în cap (la început înmulţiri cu 10, 100, 1000 şi cu 20, 30 etc., apoi două cifre înmulţit cu o cifră – 30 ∙ 5, apoi 34 ∙ 5 sau 29 ∙ 7 etc.), după acestea le putem cere elevilor să efectueze în cap înmulţiri multiple de tipul 5 ∙ 37 ∙ 2 până la 25 ∙ 73 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2. În acelaşi gând le putem cere elevilor să găsească produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite înmulţiri mintal, apoi cele mari în scris, iar în final se adaugă două zero-uri la coadă. Analizând cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii. Aceasta este o predare prin problematizare “din aproape în aproape”; elevul nu ştie care este ţelul predării în această oră, lăsându-se condus cu încredere de către profesor. În acest caz, titlul lecţiei se scrie cel mai bine către sfârşitul orei, când lucrurile s-au clarificat. Dimpotrivă, se pot da exemple de problematizare clasică, adică atunci când elevul află ţelul lecţiei, iar apoi se caută drumul către acesta.

O formă specială a predării prin problematizare este predarea prin întrebări. Profesorul descompune procesul de gândire în paşi mici, accesibili gândirii elevului, astfel încât, cu fiecare nouă întrebare elevul mai descoperă un pas nou al lecţiei. Forma ideală (extremă) a acestei metode este atunci când profesorul nu dă nici o cunoştinţă nouă elevilor, ci le pune doar întrebări cu care le îndrumă acestora parcursul de descoperire pentru întreaga lecţie.

  • Activităţi ludice şi ritmice

Activităţile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clasă dacă sunt corect adaptate vârstei. Se pot face jocuri matematice la începutul orei (* vezi exemplul din final), dar şi diferite calcule de pornire a gândirii, prezentate în formă de joc. În acest sens putem face oricând un foarte bun exerciţiu “de încălzire” cu câteva zaruri aruncate pe masă în faţa elevului:profesorul vede “dintr-o privire” dacă are mai mulţi de 2 şi 5 sau nu. Dacă da, atunci îi cere elevului să găsească produsul total; dacă nu, atunci îi cere suma totală. Acest exerciţiu este însă unul individual şi poate fi crescut în dificultate prin creşterea numărului de zaruri. Odată cu învăţarea descompunerii, acest exerciţiu devine şi mai uşor (de pildă, în cazul produsului,  un 6 şi un 5 între zaruri se transformă într-un 3 şi un zero la coadă).

Chiar şi unele lecţii pot căpăta formă de joc, descompunerea numerelor naturale în factori primi în clasa a V-a fiind un bun exemplu în acest sens. Şi elementul ritmic, chiar dacă interiorizat din fizic în intelectual, poate sta la baza unor părţi de lecţie (de pildă, studiul şirurilor şi căutarea numerelor prime cu “Ciurul lui Eratostene”, tot în clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai aşezată, manufacturieră, însă cu profund caracter ludic. În sensul căutării jocului în matematică, pe lângă lecţiile din programă se pot include şi teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al “pătratelor magice”, măcar pe pătratele de 3×3, 4×4 şi de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate apărea de la elemente de “magie matematică” (de pildă cu zaruri) până la diferite alte probleme de “matematică distractivă”.

  • Predarea artistică

Elementele artistice şi manualitatea sunt binevenite în cadrul orelor de matematică, de la redactarea şi aranjarea estetică a caietului de epocă sau a fişelor din portofoliu, până la activităţi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase şi colorarea acestor desene în clasa a V-a). În măsura în care se pricepe, dascălul poate aduce la ora de matematică şi elemente de observare a fracţiilor pe corzile instrumentelor, adică la notele muzicale, în diferite cântece.

Dinspre profesor, predarea artistică are, pe lângă încurajarea aspectelor mai sus menţionate, şi alte valenţe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie şi de admiraţie în sufletul copiilor. Organizarea lecţiilor într-un crescendo care duce la o descătuşare de uimire prezintă similitudini cu felul în care un compozitor îşi structurează simfonia, sau felul în care un scriitor trezeşte într-un roman curiozitatea şi oferă deznodământul abia spre sfârşit.

  • Libertatea şi obligaţiile profesorului

Aranjarea materiei din prezenta programă este orientativă, profesorul având oricând libertatea de a găsi alte variante de aranjare a materiei în forma lecţiilor, în forma capitolelor sau chiar în forma aranjării acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul întregului ciclu gimnazial. Singura obligaţie evidentă este aceea de a parcurge toate cunoştinţele din programa de examen până la sfârşitul clasei a VIII-a, într-o ordine raţională şi într-un ritm echilibrat. Chiar şi conţinuturile sunt în linii mari de două feluri: cele obligatorii prin prisma prezenţei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, cât şi cele facultative, dar recomandate prin prisma încărcăturii lor cu spiritualitate matematică (de pildă, numerele perfecte şi numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). În programă există şi conţinuturi care nu sunt incluse în materia de examen, dar care contribuie din plin la înţelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate însă, utilitatea matematicii trebuie văzută în formarea gândirii logice, raţionale, libere, de care elevul va beneficia în întreaga sa viaţă şi în afara matematicii, profesorul având obligaţia de a se preocupa constant  şi în acest sens. CTG

* Cel mai bun joc matematic, ce implică toată clasa, măcar pentru început, este jocul Bum pe 7. Elevii participanţi (adică toată clasa) împreună cu profesorul, se aranjează în cerc (măcar oval să fie; trebuie tehnic ca fiecare să-l poată vedea pe fiecare). Profesorul (şeful de joc) porneşte număratul cu 1 (unu), uitându-se totodată într-o parte (la dreapta sau la stânga) pentru a stabili sensul de numărare. Apoi, fiecare elev la rând numără mai departe: 1, 2, 3, 4 ….. , trebuind să respecte următoarele două reguli: să spună în loc de numărul care vine la rând BUM! în cazul în care este un număr din şirul lui 7, adică un multiplu de 7, dar şi în cazul când numărul de spus este cu 7, adică are în scrierea sa 7, conţine cifra 7. Practic, vom avea secvenţe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 …, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 …, sau iarăşi 68, 69, bum, bum, bum, …(10 bum-uri la rând), 80 …, sau, pentru cei mai avansaţi, 268, 269, bum, bum, bum, …(11 bum-uri la rând), 281, 282 …

Cine greşeşte iese din joc. Câştigă ultimii doi rămaşi în joc (la doi jucători, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac în cap (fiecare cum îl duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia în urma unor calcule de tipul 84 = 70 + 14 (spun Bum) sau 163 = 2∙70 + 23 (spun numărul), trebuind însă să fiu tot timpul atent şi la cifra 7: 157 = 140 + 17, dar conţine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea că el, la elevii buni, joacă cu următorul supliment: când sunt îndeplinite două criterii de bum, atunci se spune totuşi numărul; de exemplu la 175 sau la 177.

La început jocul se termină repede, dar dacă se va exersa din când în când, elevii încep să meargă tot mai mult, ajungându-se în cazuri bune dincolo de 300. Problema este că şi durata jocului creşte corespunzător. Elevii care au ieşit se plictisesc rău de tot (ar trebui să aibă o ocupaţie, de pildă o fişă de lucru). Astfel jocul este bun în ore din acelea pierdute (sfârşitul semestrului, sau când trebuie să suplinim la o clasă care nu are caietele de matematică). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, când elevii sunt foarte bucuroşi de un astfel de divertisment. CTG