Category: Editoriale

Din punct de vedere Feng Shui cifra 8 este una deosebit de benefică. A se înţelege bine: 8 ani şi nu 8ani (adică nu legat, care seamănă a Bani, apropos de “vrăjile” din Feng Shui). Actualmente eu nu pot susţine că al 8-lea an de pentagonia.ro a fost unul clar benefic. Par să existe totuşi semne că da, însă nimic nu este sigur în lumea actuală. Oricum, formatul în care am început să lucrăm în 2015 se dovedeşte unul eficient. Cititorii pot accesa relativ uşor şi informaţii postate mai demult, dar care îşi păstrează prospeţimea şi actualitatea (ultimul exemplu a fost acum în vară în legătură cu un articol din toamna lui 2015).
Uneori sunt postări mai dese, alteori mai rare; uneori sunt postări superficiale, alteori îmi reuşesc articole mai profunde; unele postări sunt scurte, altele foarte lungi (anul acesta am avut din nou o cea mai lungă postare). Unele serii sunt atât de lungi şi de profunde încât ar putea reprezenta lejer baza pentru o lucrare mai vastă. Prin redactarea acestora, primul beneficiar sunt chiar eu, pentru că îmi lămuresc aspectele tratate, dar sunt convins că există şi cititori care reuşesc să intre profund în subiectul respectiv.
Din păcate evenimente legate de sănătate în familia lărgită ne ocupă timpul şi energia, aşa încât măcar pentru o vreme este de aşteptat o lipsă de activitate pe acest blog. Subiectele de tratat sunt multe şi stau ordonat “aşezate la rând”, dar din păcate vor mai trebui să aştepte. Dau un singur exemplu, care este în lucru de la începutul vacanţei de vară: după seria de articole reunite sub titlul “Prea devreme” urmează seria în oglindă sub titlul “Prea târziu”.
Există şi o veste foarte bună; nu-mi pot încă permite să v-o prezint, dar mă încumet să vorbesc de existenţa acesteia. Proiectul pentagonia.ro a apărut din dorinţa de a ajuta la însănătoşirea predării matematicii şcolare la nivel naţional (deja un gând mult prea ambiţios în sine). Sunt conştient însă că acest blog are o forţă limitată de influenţare, ceva de genul unui robinet care curge într-un lac de acumulare, adică 0,00?%. Totuşi, chiar şi aşa, persoana potrivită, de undeva din lumea largă, a găsit în vară un articol de la începuturile acestui blog, din toamna lui 2015, fapt ce pare să ducă spre pornirea unui proiect de o magnitudine mult mai mare. Pornirea acestui proiect îmi ocupă însă şi puţinele momente de timp ce mi-ar rămâne liber, aşa încât, măcar pentru o vreme postările pe blog vor trebui să se lase aşteptate.
Până la viitoare postări însă, puteţi “cotrobăi” prin arhiva acestui blog, după articole încă necitite sau care consideraţi că merită re-studiate şi aprofundate. Pentru că majoritatea rămân de actualitate şi la ani buni de la postare. Chiar şi eu am făcut la fel, în momentul când a apărut discuţia despre articolul de care am vorbit mai sus, pentru că sigur nu mai ştiam ce am scris atunci în 2015 (sunt totuşi 8 ani de atunci).
Mulţumesc cititorilor fideli care mă însoţesc pe acest drum şi nutresc speranţa că măcar din când în când reuşesc să le scot mintea din zona de confort de zi cu zi şi să-i influenţez înspre mai bine. Cu toate gândurile bune, prof. Titus Grigorovici

Savuraţi fraţilor cât puteţi de mult vacanţa, pentru că după ce începe şcoala întrăm iar într-un model de percepţie temporală mai special. Astfel, în figura alăturată găsim faptul că durata percepută a zilelor săptămânii (în timpul serviciului, desigur) poate fi explicată foarte vizual cu ajutorul secţiunii de aur (pătratul roşu = luni etc.):

Următoarea poză este culeasă de pe grupul de facebook Math & Beyond:

Să încercăm o lecturare şi o explicare a mesajului de pe acest tricou. Citit pe engleză mesajul sună cam aşa: Sunt prea plin (sătul) pentru cină pentru că …, iar apoi într-o engleză aproximativă: i  eight sum pi (radicalul din – 1, care este i, apoi opt, sumă, pi), înşiruire fără sens, dar care se pronunţă cam la fel cu: I eat some pie, care în traducere înseamnă: am mâncat nişte plăcintă (prăjitură etc.).

Apropos de mesaje despre matematică pe tricouri, prin 2019 am văzut la un coleg din Germania următorul mesaj pe piept: Matematica: eu ţi-o pot explica, dar nu o pot învăţa în locul tău (mult mai punctat pe meseria noastră).

Elevii sunt confruntaţi deseori cu elemente de matematică nepotrivite pentru momentul predării, de obicei mult prea repede pentru capacităţile naturale de înţelegere şi pentru faza de dezvoltare a gândirii în care se află. Ca să fie clar că există multe astfel de situaţii, am decis să extind “trilogia” din primăvară cu încă două episoade despre elemente care “se înghesuie agresiv în faţă” în viaţa elevilor. Ca o curiozitate, ambele, atât elementele de trigonometrie cât şi subiectul prezentului eseu se desfăşoară într-o zonă comună de preocupare a matematicii numerelor cu matematica formelor (a aritmetico-algebrei cu geometria). Oare, unde au loc acest tip de activităţi pe creierul nostru, deci care parte a creierului este afectată de greşelile respective?

Ne vom uita acum la o categorie mai specială, anume la zona de interferenţă a matematicii cu  fizica, unde lucrurile sunt grăbite doar din ambiţii exterioare procesului de învăţământ matematic. Primul exemplu îl reprezintă teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, pusă acolo doar ca să o prezinte matematica prima, pentru că altfel o făceau de obicei olimpiştii de fizică prin toamna clasei a 7-a. Al doilea ar fi apariţia vectorilor în clasa a 9-a, care dau buzna peste starea aia de savurare a geometriei sintetică ce s-a instalat în clasa a 8-a (odată cu stabilizarea materiei de clasele 6-7 în procesul de pregătire a examenului de EN), vectorii întrerupând-o brutal cu un “alt fel de geometrie”, care nici măcar nu prea arată a geometrie. Aşadar, să pornim cu subiectele eseului de faţă, reunite sub ideea că, urmare a interferenţei cu fizica, matematica a decis să parcurgă anumite conţinuturi mai devreme, ceva cam prea devreme (că sigur nu ne-au obligat fizicienii să le facem mai devreme!).

(1) De mulţi ani copiii care alegeau să se pregătească pentru olimpiadă la fizică în clasa a 7-a învăţau cu profesorii respectivi “pe repede înainte” diferite cunoştinţe de geometrie, fără nici cea mai mică atenţie pentru rigurozitatea matematică (sau o făceau cu toată clasa?). Astfel, te trezeai că elevii respectivi ştiau brusc teorema lui Pitagora şi rapoartele trigonometrice (superficial, doar aplicativ), iar asta devenea deranjant în diferite momente ale procesului educativ matematic (elevii respectivi nu mai erau atenţi la lecţia respectivă de la matematică, că “doar o ştiu”, sau profesorii se bazau că o ştiu, pe când în mintea acestor elevi lucrurile nu erau clare, iar cei care nu participaseră la orele respective la fizică oricum rămâneau “pe de lângă”; ani la rând am putut observa astfel de fenomene). Asta fără să mai amintim şi de partea de orgoliu a profesorilor de matematică: cea mai importantă lecţie a geometriei ne era “subtilizată” fiind divulgată înainte într-un mod destul de neglijent. Iar asta acţiona înjositor la adresa noastră (se simţea ca şi cum cei de fizică ar da “spoil” la filmul matematic – în limba engleză cuvântul este folosit des ca şi cum ai strica o surpriză, divulgând secretul dinainte, de pildă povestind cuiva cum se va termina un film).

Dar, la ce le trebuia fizicienilor teorema lui Pitagora şi trigonometria aşa de repede? Bănuiesc că la situaţiile acelea cu compunerea de forţe, de pildă la studiul deplasării pe plan înclinat, forţe ce se compun sau se descompun pe nişte triunghiuri, de multe ori dreptunghice. Aici este vorba clar o necorelare crasă între programele celor două materii. Pe de-o parte aveam o întârziere agresivă a predării teoremei lui Pitagora datorită programei de matematică, existând ambiţia de a demonstra această teoremă doar prin teorema catetei, care la rândul ei avea acceptată doar demonstraţia prin asemănare (ce-i drept cea mai scurtă, dar şi cea mai ne-vizibilă pentru copilul de rând, dar şi bazată pe unul dintre cele mai grele şi inaccesibile capitole pentru elevul mediu – la asemănare m-am referit). Asta în condiţiile în care există şi o grămadă de demonstraţii pe bază de arii (spre deosebire de proporţionalitate şi asemănare, aria “se vede” ceva mai bine, în afara unor excepţii notabile desigur). Dar aici ne confruntăm din nou cu moştenirea ambiţiei celor care au trasat linia programei de la începutul anilor ’80, de a rupe teorema lui Pitagora de fenomenul ariilor şi nimeni nu a mai îndrăznit de atunci să reanalizeze situaţia. Pe de cealaltă parte avem necesitatea forţată din punct de vedere a materiei pentru olimpiada de fizică, de a putea folosi acele elemente practice de geometrie a triunghiului dreptunghic. Este evident că avem aici o luptă între orgolii la nivelul cel mai înalt (pe seama cui?). Apropos, astfel de fenomene de necorelare există desigur şi între alte materii, cum ar fi între cerinţele de cunoştinţe de gramatică la limbi străine, cunoştinţe care însă nu s-au parcurs încă la limba română.

Aceasta era situaţia în momentul când s-a organizat redactarea unei noi programe gimnaziale. Nu cunosc cum s-a ajuns la decizia respectivă, dar e clar că teorema lui Pitagora a ajuns să fie poziţionată total artificial în finalul clasei a 6-a (în plus exilată de-a dreptul într-un final de an şcolar, atunci când de fapt nu prea se mai face mare lucru! – ştim asta din alte ocazii). Am tratat acest subiect din punct de vedere al posibilităţilor de integrare a lecţiei în acel moment, pe baze de predare intuitivă într-o serie de postări, dând astfel posibilitatea unei prezentări decente în faţa elevilor (http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/).

Realitatea crudă este însă că profesorii nu au fost defel pregătiţi pentru această mutare, nici mental, nici practic, aceasta haotizând parcursul lecţiilor, chiar erodând astfel autoritatea profesorilor în procesul predării. Mai mult, profesorii nu au fost în stare nici măcar să tragă anumite foloase din această mutare intempestivă: nici acum nu găseşti clar o integrare a cunoştinţelor şi tehnicilor de lucru legate de teorema lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a. (Că, dacă tot este cunoscută, să şi fie folosită. Sau, o facem de fapt doar pentru cei de fizică? Dar măcar, atunci să o facem mai bine, nu la fel de superficial. Că, ei măcar o făceau doar colateral, pentru “vârfurile” lor; noi ar trebui să le-o cerem tuturor). Autorii de manuale nu au integrat-o, dar nici profesorii. Deloc&Defel! (ok, cu unele rare excepţii) Am întâlnit chiar situaţii în care profesorii “le-au interzis” elevilor să o folosească: “deşi o ştim, încercăm să facem o rezolvare fără teorema lui Pitagora“. De ce? DE CE?

Această stare de prohibiţie a apărut în mentalul profesorilor deoarece tot parcursul de probleme pentru clasa a 7-a era setat pe vechea programă fără folosirea teoremei lui Pitagora până în primăvară, când aceasta urma să fie predată (pe programa veche). Acum însă fiind disponibilă teorema lui Pitagora, totuşi nimeni nu s-a străduit să rearanjeze parcursul şi felul problemelor, de pildă la capitolul despre arii, acolo unde în sfârşit elevul mediu ar fi putut primi şi el o sarcină de lucru pe măsura sa (calcule de arii şi perimetre cu determinarea elementelor prin teorema lui Pitagora). Dar nu, se pare că strădaniile de integrare au fost minimale, de obicei inexistente, aşa încât singurul lucru reuşit clar a fost instalarea acestei stări generale de nefolosire decât în cazuri absolut excepţionale a teoremei lui Pitagora.

Pe de altă parte, datorită mişcărilor de materie prin noua programă, această teoremă (împreună cu prietenele ei premergătoare, teorema catetei şi teorema înălţimii) au ajuns şi mai târziu, în lecţiile profesorilor, deseori după vacanţa de Paşte. Cunosc o situaţie de la o şcoală cu pretenţii din Cluj, unde în a doua jumătate a lunii Mai încă nu a fost parcursă oficial, şi deci nici integrată în materia folosită la clasă (a apărut însă în forma specifică geometriei analitice la lecţia de prezentare a sistemului de coordonate carteziene prin calculul lungimii unui segment în funcţie de coordonatele punctelor, desigur că fără nici cea mai elementară preocupare că “de unde provine” minunea asta de formulă).

Astfel, această cea mai importantă teoremă a omenirii a ajuns să fie într-un fel de-a dreptul prohibită, pe parcursul marii părţi a clasei a 7-a. A fost ca o conspiraţie totală împotriva folosirii în orice fel a acestei teoreme. Nu zic că această “conspiraţie” a fost clar intenţionată, voită, dar asta s-a întâmplat şi desigur că nici folosirea denumirii nu este acceptată. Elevii slabi nu au siguranţă în aplicarea ei, doar pe baza puţinelor exerciţii din finalul clasei a 6-a (atunci când cine ştie cât de serios a fost făcută şi învăţată), pe când elevii buni nu au fost învăţaţi să o ia în serios. Curat minunat!!! Dacă mă gândesc bine, am impresia că acum elevii o ştiu cumva, însă doar într-o formă neglijent calculaţionistă, pe care probabil au dobândit-o de la fizică sau din foarte rarele ocazii când totuşi această teoremă “s-a întâmplat” şi în orele de matematică. Cu alte cuvinte, lucrurile arată ca şi cum matematica ar fi abandonat, măcar parţial, această teoremă în zona de autoritate a fizicii (e doar o părere personală neverificată, dar aşa pare să arate situaţia).

Acest fenomen se întâmplă şi datorită altuia, care s-a accentuat în ultimii ani. Teorema lui Pitagora este cuprinsă tot mai puţin în zona de interes a olimpiştilor, preocupările acestora evoluând clar în alte direcţii de materie (asta şi pentru că de zeci de ani teorema lui Pitagora apărea oricum după olimpiadele locale, chiar judeţene).

Pe de altă parte, mulţi profesori care “dau tonul” în societatea noastră nu sunt preocupaţi defel de matematica pentru cei slabi (se poate observa cât de puţine exemple elementare se găsesc la începutul lecţiilor în diferite manuale sau culegeri; toată preocuparea autorilor este îndreptată către zonele mai înalte ale aplicaţiilor). Ori, de vreme ce a fost prezentată deja pe scurt în clasa a 6-a, mulţi profesori consideră că au făcut destul pentru partea de aplicaţii elementare ale teoremei lui Pitagora.

Care este însă marele perdant al acestei situaţii? Păi, desigur abilitatea elevului mediu (80% din populaţia şcolară) de a se descurca – fără meditaţii – în calculul ariilor şi al perimetrelor în figurile de bază (romb, triunghi isoscel, trapez etc.). Capitolul de arii din toamna clasei a 7-a nu le-a integrat, fiind în continuare un capitol doar cu aplicaţii ale proprietăţilor ariilor (de pildă proprietatea de arie a medianei sau chiar generalizări ulterioare ale acesteia).

Rog onoraţii cititori să nu aştepte în acest moment o propunere salvatoare din partea mea. Nu că n-aş putea încerca aşa ceva, dar asta ar deschide discuţia mult prea larg pentru spaţiul unui eseu în direcţia coordonării materiei. Pot doar să spun că soluţia ar fi undeva între o poziţionare a teoremei lui Pitagora cât mai la începutul clasei a 7-a (demonstratbilă cu arii), coordonată cu o acţiune concentrată din partea autorităţilor pentru implementarea acesteia până în structura problemelor ce se fac de către profesori şi se propun de către autori, desigur cu integrarea clară şi a elevilor medii în procesul de predare şi de aplicaţii.

Permiţându-mi o glumă mai acidă, aş avea în final o singură dilemă: dacă a fost mutată teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a ca să fim siguri că o facem primii noi, matematicienii, de ce nu a fost adusă în finalul clasei a 6-a şi trigonometria? Pentru că elevii încă nu ştiu radicalii? Păi, se poate rezolva uşor şi asta! Adică – acum serios vorbind – mutându-se teorema lui Pitagora s-a rezolvat doar jumătate de problemă, pentru că cei de fizică oricum fac trigonometria înaintea noastră. Oare, de asta este prezentată trigonometria de către unii profesori aşa de “în scârbă”?

(2) Al doilea exemplu de haotizare a procesului educativ matematic la zona de interferenţă cu fizica, unul mult mai vechi, ar fi introducerea prea devreme a capitolului de geometrie vectorială în clasa a 9-a. Eu personal nu am fost nevoit să predau această temă în integralitatea sa, aşa încât pot vorbi doar “din tribună” (aşa cum şi la televizor vorbesc foarte mulţi “specialişti” despre fotbal). Totuşi, ca profesor din famile de profesori de matematică, dar şi ca preocupat intens de fenomenul predării sănătoase (de peste un sfert de secol), cred că pot prezenta câteva idei valabile. Asta în condiţiile în care discuţii pe acest subiect există oricum şi la nivelele cele mai înalte (mai ţineţi minte exprimarea părerii respective de către dl. Ministru Câmpeanu – început de 2022 – despre ne-importanţa vectorilor în clasa a 9-a; este evident că dânsul o preluase de undeva, de la unii mai specialişti decât el; parcă şi Dl. Prof. Radu Gologan se exprimase cândva în acest sens). Aşadar, să analizăm puţin când, cum şi oare de ce au ajuns vectorii la începutul liceului în locul geometriei sintetice.

Trebuie lămurit încă de la început un aspect foarte important, anume că vectorii reprezintă fără discuţie un subiect de origine fizică. Vectorii sunt în primul rând ai fizicii! Vectorii sunt forma în care oamenii au reuşit cel mai bine să reprezinte grafic (vizual) forţele împreună cu mărimile şi direcţiile acestora de acţiune. Orice includere a vectorilor între lecţiile de matematică trebuie pornită de la acest adevăr şi de la faptul că la început au fost observaţiile fizice. Doar apoi, cu timpul, teoreticienii matematicieni au stabilit o formă teoretică axiomatic definiţionistă de introducere a ideii de vector ca început pentru o teorie ce integrează multe proprietăţi ale vectorilor de natură matematică, sau care se dovedesc că au aplicabilităţi matematice, atât geometrice cât şi algebrice. Mie de exemplu îmi plac foarte mult suprapunerile de proprietăţi ale numerelor complexe cu vectorii, de pildă rotirea unui vector cu 90^o prin înmulţirea numărului complex corespunzător cu i.

Teoria matematică a vectorilor a reprezentat un experiment şi o provocare extraordinară pentru matematicieni, de a aranja pe bazele rigurozităţii matematice un set uriaş de cunoştinţe acumulate pe această temă. La fel ca şi teoria extrem axiomatică a geometriei euclidiene, acest experiment al geometriei vectoriale şi-au avut originea în cercetarea de nivel universitar, dar aducerea lor în zona de liceu trebuie făcută cu mare precauţie. Orice exagerare, atât din punct de vedere al cantităţii, cât mai ales şi din punct de vedere al vârstei poate produce pagube inimaginabile în percepţia şi mentalul marii mase a elevilor. Astfel, în forma (în cantitatea) şi la vârsta (clasa a 9-a) în care a fost introdusă prin reforma din 1997, studiul geometriei vectoriale s-a dovedit total neproductivă, dăunătoare până “în măduva oaselor” la adresa celor mai mulţi elevi.

În geometria vectorială vedem că algebra – într-o formă ciudată, nouă – câştigă teren în detrimentul înţelegerii clare a fenomenului geometric. Reţete automate dar neînţelese, aplicate orbeşte, ajung să domine peisajul, astfel încât marea masă a elevilor învaţă materia doar ca un fel de dresaj intelectual, înspre rezolvarea unor modele de probleme. Formarea gândirii practice este redusă dramatic faţă de varianta de gândire dobândită pe baza studiului geometriei sintetice, iar explicaţia pentru acest fenomen este absolut elementară: geometria sintetică lucrează cu nişte “obiecte iniţiale” mult mai “vizibile” în lumea înconjurătoare, decât geometria vectorială. Segmentele, unghiurile, planele, apoi dreptunghiurile, cercurile, corpurile geometrice, toate acestea sunt mult mai “vizibile” decât vectorii, chiar şi studiaţi sub forma lor fizică de forţe, darămite sub forma abstractă matematică.

Rezultatul este îndepărtarea, de-a dreptul “repulsionarea” fără precedent a elevilor faţă de studiul matematicii, iar asta se întâmplă chiar de la începuturile matematicii de liceu. Asta simte toată lumea. Faptul că are de suferit formarea generală a gândirii, asta se vede mai greu, dar nu înseamnă că nu are loc. Cumva, până la urmă, toţi le învaţă mai mult sau mai puţin, dar urmările negative depăşesc clar eventualele beneficii teoretice sau câştiguri în sensul unor metode de rezolvare mai eficiente (incontestabile, dar puţine şi cu ce sacrificii enorme).

Apropos metode de rezolvare: ţin minte pe la începutul anilor ’90 un fel de Skanderbeg intelectual, o înverşunată competiţie între câţiva pasionaţi de matematică în sensul ambiţiei de a rezolva cât mai multe probleme de geometrie prin vectori. Da, aşa da, pentru pasionaţii de senzaţii tari în matematică, geometria vectorială era un teren competiţional deosebit de valoros. Dar de aici până la generalizarea exclusivă a metodelor specifice de lucru pentru toţi elevii, mult prea devreme, la începutul liceului, când gândirea specifică nu este încă formată şi antrenată ca atare, asta reprezintă o cale mult prea lungă. Astfel, privim la deja un sfert de secol de chinuială gratuită a gândirii elevilor pe baza unui experiment teoretic, ce-i drept foarte valoros din punct de vedere matematic, dar nu şi din punct de vedere pedagogic.

Putem scoate în evidenţă anumite aspecte interesante dacă alegem să privim şi precedentul experiment mult prea teoretic, cel al încercării introducerii geometriei axiomatice euclidiene în licee, prin manualele din 1978. În vremea acestora profesorii mai aveau cale de scăpare, măcar parţială din chingile teoretice, evadând în problemele clasice pentru formarea gândirii (experiment ce a durat cca. 20 de ani, lăsând în urmă o prelungire teoreticistă în geometria gimnazială, prelungire ce s-a atrofiat lent dar ciudat de atunci). Aici, în geometria vectorială, profesorii au slabe şi rare şanse de a mai evada cu elevii în gândirea geometriei sintetice.

Analizând comparativ poziţionarea şi natura geometriei vectoriale faţă de geometria sintetică, putem observa un aspect mai profund. La o analiză serioasă se poate observa cum începând din anii ’90 matematica şcolară a fost supusă tot mai mult unui proces de algebrizare. Rădăcinile acestui proces pot fi urmărite în programele şcolare până în anii ’70, dar prin reforma din 1997 fenomenul s-a accentuat puternic. Geometria vectorială este unul din locurile matematicii în care gândirea spaţială intens şcolită în geometria sintetică face clar un pas mare înapoi în detrimentul gândirii numeric-algebrice. În geometria sintetică din manualele claselor 9-10 din anii 1978-1997 geometria şi algebra ajungeau să se îmbine în diferite probleme aplicative, adevărate “simfonii matematice” (pe care le puteai compune doar dacă înţelegeai profund baza fiecărei componente). În geometria vectorială, dimpotrivă, se simte clar cum gândirea algebrică, pe bază de formule (aplicabile orbeşte), dă clar de-o parte gândirea spaţială geometrică. De obicei, aici fenomenul geometric se consideră deja cunoscut, fiind deci neglijat. Pe scurt, aş descrie astfel situaţia: pe când în geometria sintetică din anii ’80-’90 algebra venea în geometrie cu un rol de potenţare, în geometria vectorială algebra vine către geometrie dând-o afară din viaţa elevilor.

Acelaşi lucru îl face desigur şi geometria analitică ce apare tot mai repede, mai nou deja din clasa a 7-a. Simt aici un impuls similar cu cel al puiului de cuc: cunoaştem toţi cum se înmulţesc aceste păsări, anume că femela depune oul în cuibul altor păsări, acestea îl clocesc, iar după eclozarea puilor, puiul de cuc are impulsul de a-i împinge afară din cuib pe fraţii săi vitregi, beneficiind astfel de toată atenţia de îngrijire a părinţilor adoptivi. Cam aşa aş putea descrie şi fenomenul de algebrizare forţată a matematicii de liceu în şcoala românească a ultimului sfert de secol. Fenomenul este mult mai extins, un alt exemplu în acest sens fiind de pildă abandonarea cercului trigonometric în procesul de trecere de la trigonometria geometrică (pe bază de triunghi) din gimnaziu la trigonometria mult mai algebrică din liceu.

Dar să revenim: oare de unde a apărut impulsul introducerii geometriei vectoriale în clasa a 9-a? La această întrebare ar trebui să răspundă cei implicaţi atunci, în mişcările de materie ale reformei din 1997. Noi acum putem să ne dăm doar cu părerea. Eu personal suspectez un puseu puternic de orgoliu axiomatist-definiţionist din partea matematicienilor (a unor profesori universitari), puseu încărcat de un dispreţ teoreticist faţă de “fizicienii ăia” care nu sunt în stare să facă o ştiinţă pură, teoretică, ei fiind capabil doar să pornească de la concret, de la observaţii. Ceva de felul: “Ei nu sunt interesaţi să aşeze lucrurile pe baze teoretice abstracte, aşa că haideţi să vă arătăm noi cum se face!”

Eu, în anii ’80 făcusem în clasa a 11-a ceva elemente cât de cât ordonate de geometrie vectorială, dar acestea plecau de la modelul compunerii forţelor (regula paralelogramului), nu de la un model abstract de adunare a vectorilor (regula triunghiului; aceasta apărea însă imediat după prima, generalizându-se apoi în regula poligonului). În aceste condiţii, la fel ca în cazul precedent al geometriei axiomatice euclidiene, trebuie că s-au sesizat anumiţi profesori universitari în legătură cu “amatorismul demersului”, implicându-se şi sesizându-se “din oficiu” ca să ne arate nouă, profesorilor din preuniversitar “cum se face treaba” serios.

Închei cu precizarea clară că acest eseu este redactat doar pe baza unor supoziţii, dar unele verificate clar prin lungi observaţii de-a lungul anilor. C.Titus Grigorovici

P.S. Dacă tot am analizat zone de interferenţă a matematicii cu fizica, aş dori însă să ne uităm puţin şi în clasa a 5-a unde programa din 2017 ne oferă o altă surpriză ciudată, aş spune total neplăcută. Concret: unde şi de ce au dispărut din programa de matematică unităţile de măsură pentru capacitate (litraj) şi pentru masă (aşa-zisa “greutate” după cum este numită în limbajul uzual, de zi cu zi)? Şi chiar aşa, o fi rău că au fost scoase? De ce? Pentru că – ar putea zice cineva – s-a mai descongestionat materia, sau? Să analizăm mai profund situaţia.

Cele două, capacitatea şi masa formau, împreună cu lungimea, o “triadă” de mărimi ale căror sisteme de unităţi şi sub/supraunităţi sunt construite pe acelaşi model intelectual, schimbarea unităţii într-alta mai mare sau mai mică făcându-se la toate trei după aceleaşi “pattern”-uri comportamentale ale numerelor (cu mica diferenţă a prelungirii sistemului de la masă până la tone). Astfel, elevii aveau posibilitatea să facă transferul de cunoştinţe şi de competenţe de la una la cealaltă, fixând astfel modelele de calcul mult mai bine. Iar modelele respective de calcul fac parte fără discuţie din matematică. Astfel, prin eliminarea acestora din programă a fost văduvită matematica, şi mai exact chiar partea cea mai practică a matematicii, pentru lipsa căreia materia noastră este constant criticată la nivelul societăţii.

Pe de altă parte, rămânând înţelegerea şi învăţarea modului de funcţionare a modelului doar pe baza unităţilor de măsură a lungimii, adică pe un singur exemplu fenomenologic, este evident că învăţarea elevilor va fi mai slabă, dar totodată va avea loc şi la mai puţini dintre aceştia. Orice învăţare pe un singur exemplu (unidirecţinală) este mai slabă decât o învăţare cu o oarecare diversitate în exemplele de aplicat (într-un evantai controlabil de direcţii); prin forţarea transferului de cunoştinţe se întăreşte şi înţelegerea şi învăţarea. Dimpotrivă, nefiind necesar un transfer de gândire, învăţarea este mai slabă.

Dar, de ce au fost scoase? Aici pot doar – din nou – să-mi dau cu părerea. Bănuiala mea este că unităţile de măsură pentru masă au fost scoase datorită pericolului real ca mulţi profesori de matematică să permită folosirea incorect ştiinţific a cuvântului greutate (din limbajul vulgar) în locul termenului teoretic corect de masă. Păi ce să-i faci dacă în limba română cuvântul masă de care vorbim aici se suprapune identic cu cuvântul masă folosit pentru obiectul acela pe care ne punem farfuriile să mâncăm sau caietele să scriem, sau pentru înruditul cuvânt folosit pentru activitatea de mâncat? (ai luat masa?)

De unde vine această suprapunere stupidă? Nu am studiat foarte mult, pentru că eu personal am o explicaţie simplă: cuvântul corespunzător pentru măsură în germană este Mass, cuvânt ce a fost preluat la noi ca masă. Nemţii însă nu au problema suprapunerii de la noi. În germană cuvântul pentru obiectul acela de mobilier, de obicei cu patru picioare este Tisch (pronunţat tiş). La ei e clar că Mass în general este o măsură a ceva. Ştiinţific a fost fixată pentru mărimea folosită şi în română, dar nemţii o mai folosesc şi pentru alte chestii. De pildă bavarezii o folosesc absolut natural pentru cănile acelea mari de un litru din care beau bere (de pildă la Oktoberfest). Ale noastre sunt puţin mai mici (de jumătate de litru) şi se numesc halbe. Ştiţi de ce? Simplu, cuvântul vine de la jumătate în germană: halb (a înjumătăţi: halbieren). Lăsând tonul glumeţ de-o parte, putem surprinde o nuanţă din plaja largă ce o are cuvântul în limba germană atunci când spunem “o masă de oameni”. Lăsând gluma de-o parte, să ştiţi însă că şi la nemţi există preocuparea de atenţionare legată de folosirea incorect teoretică a cuvântului Gewicht (greutate) în locul cuvântului Mass (masă).

Despre excluderea unităţilor de măsură pentru capacitate (denumită uneori “litraj”), aici nu am multe de comentat. Este evident că litrul ocupă un rol central în sistemul internaţional de unităţi de măsură (pe scurt, un litru de apă cântăreşte un kilogram), care este unul dintre domeniile clare, centrale ale fizicii elementare.

Atenţionez însă că şi aici sistemul de unităţi al capacităţii este conectat în mod evident din punct de vedere matematic cu sistemul de unităţi de măsură pentru volum, aşa încât excluderea primului din programă slăbeşte profund studiul matematic al fenomenului, văduvind elevul de o nouă situaţie unde să-şi exerseze şi să-şi dezvolte abilităţile şi competenţele corespunzătoare. Ce se întâmplă astfel în cazul tradiţionalelor probleme de felul următor? Un acvariu paralelipipedic cu dimensiunile de 40 cm pe 20 cm şi înalt de 30 cm este umplut până la o treime cu apă. Câţi litri de apă sunt necesari? Merită repetat aici faptul că această excludere ajunge să scoată din programa de matematică exact astfel de momente de care ar fi atât de mare nevoie pentru a oferi elevilor şi probleme cu aplicabilitate practică (cu sens), de lipsa cărora se plânge aşa de multă lume. Asta fără să mai discutăm de schizofrenia situaţiei ca întreg: deci la matematică elevul învaţă de pildă dm³, la fizică învaţă despre litru, dar unde învaţă să conecteze cele două?

Este evident că la matematică se pune accent pe anumite aspecte ale fenomenului, pe când la fizică acestea se tratează mai superficial, poate chiar defel uneori, atenţia profesorilor fiind concentrată în alte direcţii ale fenomenului. Astfel, am întâlnit elevi care – de pildă – nu cunoşteau dal, hl sau kl. O fi de vină pandemia sau o fi de vină “profa’ de fizică”? Chiar nu mă interesează. Permiţându-mi o scurtă deviaţie, aş întreba dacă, oare, aşa a început fenomenul şi în Austria, acolo unde elevii nu fac dam sau hm, dar fac km?

Există însă aici şi un alt aspect care influenţează tot mai puternic subiectul nostru în discuţie. Criza profesorilor de fizică este tot mai extinsă, aşa încât pentru orele de fizică se găsesc tot mai greu profesori responsabili şi “de calitate”. Astfel, fenomenul orelor ţinute “de mântuială” este mult mai răspândit la fizică decât la matematică (nu că la noi n-ar fi prezent). Oare, asta să fie cauza fenomenului sesizat în alineatul precedent?

Aşa, cum le făceau profesorii de matematică, uneori “pe fugă”, inclusiv cu gafele teoretice din punct de vedere al fizicii, totuşi includerea respectivelor lecţii şi în orele de matematică îşi aducea aportul clar pozitiv la învăţarea fenomenului în ansamblu. Nu mă pot abţine să observ cât suntem de aproape în discuţia de faţă de momentul când facultatea de matematică-fizică (inclusiv pregătirea profesorilor ca profesori de matematică şi fizică) s-a rupt în două (la Cluj prin anii ’60). Părinţii mei au absolvit ca profesori cu dublă specializare. Fratele tatălui meu a trebuit să aleagă în timpul facultăţii în care parte rămâne, el alegând fizica. În clasele gimnaziale, în finalul anilor ’70, eu am făcut fizica cu acelaşi profesor cu care făceam şi matematica.

Dar de ce au fost excluse cele două lecţii din programa de matematică. O altă explicaţie logică nu văd, decât că asta s-a întâmplat la presiunea fizicienilor. Poate n-a fost o presiune clară de a fi scoase, ci doar o cerinţă fermă de a rezolva situaţia folosirii termenilor de masă sau greutate. Nu ştiu, dar cred că nici nu mă interesează foarte mult detalii; eu văd doar rezultatul. Trebuie precizat aici, pentru cine nu ştie, că breasla profesorilor de fizică este mult mai avansată pe calea refacerii predării pe principii sănătos pedagogice, pe când matematicienii până la programa din 2017 au ţinut cu dinţii de principiile rigurozităţii ştiinţifice ale matematicii (sau de urmările acestora, aşa cum au fost acestea creionate la bazele reformei din 1980), neglijând masiv aspectele pedagogice (vârstă, prima cunoaştere etc.). Putem să ne imaginăm astfel că la momentul respectiv fizicienii au ştiut mult mai bine “ce vreau” şi au fost mult mai fermi “pe poziţie”. Da, şi astfel putem concluziona că în acest moment matematica “a pierdut” pur şi simplu materie valoroasă datorită fizicii.

O mare parte din orele din şcolile româneşti se fentează, o prea mare parte. În actualul an şcolar parcă am resimţit mai tare ca oricând acest fenomen. Ca de obicei, toţi actorii implicaţi poartă câte o parte din vină: părinţii nu-şi aduc copii la şcoală uneori, extinzându-se fenomenul plecării în concedii în timpul şcolii; profesorii au şi ei momente când au alte gânduri decât să vină la ore; cât despre autorităţile ce ne organizează activitatea, uneori te gândeşti că n-au ceva mai bun de făcut decât să anti-organizeze un bun mers al învăţământului. În aceste condiţii desigur că şi elevii încep de la o vreme să chiulească. Am strâns câteva gânduri pe această temă, iritat find de faptul că simt cum îmi este afectată strădania de a-mi face treaba cât de cât eficient (mai ales cu aceşti copii distruşi de folosirea abuzivă a ecranului de la vârste tot mai mici, dar şi de prea mult timp petrecut în online în pandemie – aici fiecare la nivelul său de vârstă cu alte efecte). Mai ales la matematică, acolo unde totul este mai dificil, pe fondul presiunii examenului, atmosfera de fentat ore din jur mă deranjează profund. Iată deci eseul meu despre arta de a nu face ore în şcoli.

*

Marţi 20 dec. 2022 (înainte de vacanţa de Crăciun), într-una din pauze (probabil la ora 11) o colegă a venit în sala profesorală vădit indignată şi ne-a citit următorul mesaj primit de la învăţătoarea fiului ei (înscris la altă şcoală): Stimaţi părinţi, mâine miercuri 21 dec. copiii vor veni la şcoală fără ghiozdane; vom face activităţi informale legate de Crăciun. Joi 22 dec. copiii vor face activităţi legate de Crăciun acasă.

Ca în fiecare an, înainte de fiecare vacanţă, colega respectivă este indignată pentru că la şcoala noastră nu se prea poate lua vacanţă înainte. De obicei unii colegi încearcă să sugereze elevilor zile libere suplimentare şi ca urmare unii părinţi, de obicei de la clase primare, fac scurte reclamaţii la direcţiune, după care Directorul scrie câte un mesaj de “băgat minţile în cap”. Mai ales pe învăţătoare le loveşte chestia asta mai puternic, pentru că desigur există întotdeauna părinţi care muncesc (sau au activităţi pregătitoare pentru sărbători) şi nu au cu cine lăsa copilul acasă, iar aceştia se prevalează de “dreptul lor constituţional” la şcoală al copilului, forţând astfel învăţătoarele la “baby-sitting” până în ultima zi.

Ca şi de alte ori, şi acum colega respectivă a reuşit să stârnească colegii, aceştia aducând şi alte exemple în acest sens, de genul că la liceul cutare “din centru” marţi nu s-au trecut absenţe, iar joi toată lumea ştia că nu se vor face ore. La clasele mai mari lucrurile sunt simple: elevii chiulesc şi gata, dar şi pentru profesori e nasol, pentru că nu ştiu exact dacă au sau nu “clienţi” până în ultima clipă sau la ultima oră (când poate constată că au mai rămas doar doi).

La clasa a 8-a de anul acesta, colegul diriginte (profesor de română) a preîntâmpinat elegant lucrurile: a venit şi m-a întrebat de săptămâna precedentă ce fac cu orele de mate. I-am spus că le fac pe toate, luni predau iar miercuri de la 12-13, cât şi joi de la 11-12 facem aplicaţii la ultimele lecţii predate (exerciţii din testele de antrenament 2020). Joi au lipsit doi sau trei elevi, astfel că am putut face orele în cele mai bune condiţii.

Eu nu pot altfel: pur şi simplu nu aş suporta acea stare ciudată de vinovăţie. În plus, cum aş putea eu să le cer elevilor să-şi facă datoria dacă în paralel le-aş da chiar eu contraexemple de comportament. La fiecare sfârşit de semestru, trimestru, modul, sau cum le-o mai fi zicând, ajung să mă enervez pentru că societatea mă împinge într-o stare ce nu-mi convine. Mai nou, inclusiv înainte de minivacanţe, cum ar fi vacanţa de fasole cu sau fără cârnaţ, adică cea de Sf. Andrei + 1 Dec. + puntea corespunzătoare + weekendu’ aferent, discuţiile erau în toi: de ce ne mai aduce la şcoală luni şi marţi??? (oricât liber s-ar da, oameni vor şi mai mult!)

Da’, cine-i de vină pentru starea asta? Păi, la fel ca la seria de eseuri despre starea matematicii şcolare româneşti, şi aici există multipli vinovaţi: atât unii colegi dascăli cât şi din partea părinţilor există impulsuri spre a nu se mai face ore înaintea vacanţei. Evident că, la fel cum sunt dascăli care vor să-şi facă datoria, dar şi dascăli care doresc să chiulească, tot aşa există şi părinţi care vor să se facă ore, la fel ca şi părinţi care se gândesc că nu mai are rost, sau unii care-şi planifică plecări cu familia înaintea vacanţei oficiale. Şi desigur că şi elevii învaţă uşor în această atmosferă, atât de la adulţii din jurul lor, cât şi unii de la alţii.

Impulsurile spre nefăcut şcoală în zilele dinaintea oricărei vacanţe vin din toate părţile, inclusiv de la onor Ministerul Educaţiei. Cum? Păi – de pildă – ce au însemnat atâţia ani de Săptămâna “Şcoala altfel” lipită înainte de vacanţa de Paşte? Unii i-au spus “Şcoala pe dos” sau “Şcoala defel” sau cine ştie cum altfel. Oare de ce? Desigur că sunt mulţi colegi care se pricep să umple cu sens aceste zile, dar foarte mulţi încă nu ştiu “cu ce se mănâncă aşa ceva” CU SENS. Foarte mulţi au tradus această perioadă doar în sensul unor ieşiri în oraş sau în natură, excursii sau chiar tabere, pentru că atât s-au priceput, iar asta a dus la percepţia, la concluzia că activităţile din Săptămâna altfel sigur nu au voie a fi făcute în clasă. Fără să mai vorbim de haosul creat pentru cei care rămân în şcoală şi nu au profesori la diferite ore, pentru că aceştia sunt plecaţi cu alte clase (percepţia s-a extins pur şi simplu şi la nou apăruta Săptămână verde).

Pentru liceeni şi pentru elevii din clasele gimnaziale mari (adică pentru cei ce au ajuns să dezvolte o stare cât de cât realistă de şmecherie) este evident că asta sună clar a invitaţie spre chiul (nu are rost să mai vorbim aici despre cei din clasele a 12-a, care oricum vin la şcoală doar la materiile de examen).

În urma poveştilor cu care au venit elevii acasă, mai ales cei mici, despre ce s-a făcut sau nu în astfel de perioade, în familii s-a creat oricum percepţia că săptămâna “Şcoala altfel” este o zdravănă perioadă de pierdut vremea (de-a lungul anilor, de când s-a introdus). Ca urmare, mulţi părinţi decid să nu-şi mai trimită copiii la şcoală în acea săptămână; fie îi lasă acasă (dacă sunt mai mari şi pot sta toată ziua în faţa unui ecran, sau are cine să-i supravegheze), fie îi duc la bunici din weekend-ul precedent, fie îşi iau şi ei un binemeritat concediu şi “o taie” pe undeva cu familia, pentru că – nu-i aşa? – preţurile în turism sunt mai mici atunci. Oricum – cel puţin în Cluj, până când săptămâna respectivă se organiza centralizat, adică toţi de-o dată – fenomenul se putea observa la nivelul oraşului printr-o bruscă descongestionare a traficului de dimineaţă.

Ca în majoritatea altor domenii, şi în cazul Săptămânii “Şcoala altfel” se vede înclinaţia patologică a naţiunii noastre spre ceea ce Titu Maiorescu şi contemporanii săi au denumit aşa de frumos Teoria formelor fără fond. Aşa că – ce să faci? asta e! – cel mai bine nu mai mergem la şcoală în acele zile. Da, iar de anul acesta avem şi “Săptămâna verde”. Minunat! O creştere bruscă cu 100% a perioadei de flendurit şi de nefăcut ore în mod organizat, dictate “de sus”. de la organizatorii învăţământului, cu buna colaborare a dăscălimii, care doar atâta se pricepe (nota bene: n-am fost şcoliţi în acest sens defel!), dar şi cu minunatul sprijin al multor părinţi.

Până de curând titlul acestui articol ar fi fost cât de cât corect: Arta de a nu face ore înainte de vacanţă. Din păcate însă, fenomenul s-a extins masiv şi după vacanţă! De pildă, vineri în 6 ianuarie am fost anunţat telefonic de un părinte că “îmi spune deschis”: au o ofertă de nerefuzat la schi şi copilul este atât de pasionat de schi şi bla-bla-bla, aşa că ei îşi asumă şi copilul va absenta prima săptămână (nici nu mai discut despre “oare unde au mers?”, pentru că mai în toată ţara nu era zăpadă; doar în a doua jumătate a lunii ianuarie 2023 a început să fie raportată zăpadă în unele locaţii). Dar, staţi liniştiţi, din altă şcoală am aflat că profa de mate a lipsit prima săptămână pentru că a fost la schi (cu încă o colegă!). Curat minunat!

Dar, de fapt, ce tot vorbim aici despre înainte sau după vacanţă? După cum am spus deja, de ani buni lumea s-a obişnuit să-şi organizeze oricând concedii în timpul şcolii. Plecări în Thailanda sau în Malta, ori city-break-uri la Paris sau săptămâni de schi la Straja (Lupeni, Hunedoara), atunci când preţurile sunt mai mici, întoarceri din vacanţă cu întârziere “din State de la tata” sau plecări înainte de vacanţă în diverse ţări europene pe “motive personale”, de-a lungu’ Mediteranei sau de-a latu’ Europei, de toate am văzut în ultimii ani – nu inventez nimic!!! (cu pauză desigur în lockdown). Din bun simţ rezist tentaţiei de a insera aici şi ultimele destinaţii din aceste zile. Cum am spus, chiar şi din partea unor colegi dascăli am văzut aşa ceva, persoane care nici măcar nu se jenează să posteze “în timp real”, pe facebook cât sunt ei de fericiţi în Egipt, la piramide, în comparaţie cu “fraierii” care merg în continuare zilnic la lucru.

Întâmplarea de anul trecut cu familia respectivă ce au fost prinşi de poliţia germană cu copilul, iar ciudatii ăia de nemţi s-au trezit să verifice dacă în România este sau nu vacanţă, asta o cunosc toţi. Şi, ce s-a mai întâmplat în continuare? Pentru că nu-mi pot închipui că poliţia română să ia măsuri în acest caz, cum desigur nu acţionează defel în astfel de situaţii.

Ce-aş putea eu să fac într-o astfel de situaţie? Păi, veţi spune, pune-l absent pe elevul respectiv şi “te-ai spălat pe mâini”. Îl pun absent, dar ce rezolv, pentru că părintele are dreptul să-i motiveze o ciurdă de zile de absenţe. Şi oricum, la nevoie se merge la un medic sau la diriginte sau chiar “mai sus” şi “se rezolvă lucrurile” (la fel ca şi cu scutirile medicale ce camuflează chiulul unor elevi). Adevărul este că trăim într-un sistem – cel puţin cel de stat – care permite aproape oficial chiulitul. Iar atunci, ce să ne mai mirăm de activitatea la clasă?

Ţine de acest subiect desigur şi întrebarea clasică din mintea unora (puţini): dar cum este în alte părţi? Ceilalţi (cei mulţi) au deja un răspuns clar: du-te mă, că aşa e peste tot! Nu este aşa peste tot, puteţi fi siguri! Eu am apucat să întreb ocazional pe diferite persoane care au trăit în Anglia, în Statele Unite sau în Franţa, iar lista poate continua. Nu-i aşa! Nimeni nu lipseşte nici măcar o oră fără un motiv adevărat întemeiat, iar lipsitul se sancţionează drastic.

Povestind despre intenţia de a scrie acest articol unei familii prietene care a trăit câţiva ani în Statele Unite (o familie de intelectuali de vârf, domnul predând ca Profesor la o universitate de Top 3 mondial) am avut surpriza să-i văd stârniţi în acest sens mult peste aşteptările mele. Şi ei, după întoarcerea în România, s-au simţit agresaţi de-a lungul anilor de această atitudine generală de chiul, dând exemple în cascadă despre cum era starea de lucruri acolo.

Dar, de unde vine acest fenomen cunoscut de către orice român? Cred că există mai multe surse, chiar diferite paliere “istorice” ale acestora. Periada fanariotă, dar mai ales anii de comunism se pot alinia la discuţie în acest sens. Sau – cum am spus deja – Teoria formelor fără fond ar putea fi una dintre explicaţiile importante (şi aceasta venind dinspre atmosfera din secolele fanariote – multe rău ni se trage de atunci). Privind la nivel macro-european putem observa şi o relativă variaţie a conştiinciozităţii de la est la vest, cu interferenţe însă şi din partea sistemelor politice sau tradiţiilor spirituale. De multe ori incapacitatea organizatorică îşi spune cuvântul, dar cel mai important factor îl reprezintă tradiţia, care – din păcate – este transmisă cu mare sfiinţenie: aşa am fost obişnuiţi, aşa ştim şi aşa facem în continuare, iar cei ce vin după noi aşa învaţă şi ei!

Totuş, aş reveni la întrebarea de mai sus, doar că mai aplicat: de unde vine acest fenomen în cazul şcolilor? (pentru că pe mine această întrebare mă roade). Aici cred că putem găsi o explicaţie foarte plauzibilă. Sistemul birocratic le cerea profesorilor încheierea mediilor undeva la începutul ultimei săptămâni de şcoală din trimestru sau semestru, pentru ca situaţiile să poată fi centralizate pe şcoală şi raportate la inspectorat pentru centralizare pe judeţ şi probabil raportate mai sus. Deoarece însă sistemul nostru de învăţământ este construit pe “autoritatea notelor”, după încheierea mediilor în şcoli se instala un vid de autoritate. Desigur că mulţi profesor încheiau mediile chiar din penultima săptămână, aşa încât starea de “face fiecare ce vrea” apărea chiar dinainte. Această stare era accentuată, mai exact confirmată şi de faptul că raportările trebuiau să includă şi absenţele. Cu alte cuvinte, toată ţara ştia că în ultima săptămână nu se mai puneau absenţe sau note. Pe acest fond “naţiunea” s-a obişnuit că înainte de vacanţă se poate lipsi, pentru că “nu mai au ce să-mi facă”. Şi invers a început să evolueze fenomenul: de vreme ce astfel funcţionau lucrurile, nici profesorii nu mai făceau mare lucru la ultimele ore, această stare accentuând şi girând la rândul ei şi mai puternic fenomenul, ducând practic la un cerc vicios din care acum habar nu avem cum să mai ieşim (nu că tare mulţi s-ar dori să ieşim!).

Am criticat “Ministerul” în principiu pentru măsuri mai vechi sau mai noi, dar realitatea este că reforma din acest an, cu o singură perioadă de încheiere de medii, la care se adaugă şi raportarea absenţelor de-abia după vacanţă (de pildă absenţele pe decembrie au trebuit raportate de-abia la jumătatea lui ianuarie), în acest an nu ar mai fi trebuit să se înregistreze fenomenul conform apariţiei vidului de autoritate dinaintea vacanţei de iarnă. Din păcate obiceiul lipsitului de la şcoală, respectiv cel al nefăcutului de ore din această perioadă “s-a încarnat” atât de adânc în mentalul majorităţii, încât nu mai poate fi oprit. Toţi încercă să lipsească cum pot şi nimeni nu pune absenţe. Pe majoritatea oamenilor nu-i mai poate împiedica nimic să lipsească şi ei “măcar puţin”.

Dimpotrivă, anul acesta cei mai “pe fază” au ales oportunitatea unei noi vacanţe pentru toată lumea (cea de toamnă), în jurul căreia să mai lipească mici ieşiri. Elevii la care părinţii “n-au fost pe fază”, n-au avut ieşiri speciale în toamnă ratând oportunitatea, aceştia au venit la şcoală “nemţeşte”, până la ultima oră de vineri 21 octombrie 2022).

Aceleaşi idei se aplică şi în cazul zilelor libere naţionale, cum ar fi cea de 24 ianuarie, de “Mica Unire”, chiar şi dacă autorităţile au încercat să preîntâmpine fenomenul declarând şi ziua de 23 liberă ca “punte”, generând astfel 4 zile libere legate. Ţinând cont că tocmai a nins în sfârşit, măcar în munţi (după mijlocul lui ianuarie), oare câţi părinţi au decis să transforme în “vacanţă” prin prelungire aceste 4 zile, alipind şi altele (înainte de acest “weekend”, sau în continuarea sa)? Gestul autorităţilor de preîntâmpinare a fost intrpretat astfel de de către unii prinr-o invitaţie la o adevărată văcănţucă.

Revenind la săptămâna “Şcoala altfel”, ca un bun exemplu, eu aş pune în discuţie în primul rând abilităţile organizatorice, atât la nivel macro, cât şi la nivel micro. Nici sistemul oficial înalt, cu birocraţiile sale, nu au ştiut să organizeze clar (de pildă printr-un ghid detaliat), dar nici mulţi dascălii nu s-au priceput să pună în forme coerente astfel de activităţi. În plus, şi la interferenţa dintre cele două nivele lucrurile nu au funcţionat. Ideea unei perioade unice pe ţară s-a dovedit aiurea şi inpracticabilă. Nici forma unei săptămâni de acest tip la alegere centralizat pe şcoală nu are mult mai multă coerenţă; se stabileşte de către cei cu “gura mare” iar ceilalţi … (la fel se întâmplă şi în cazul “Săptămânii verzi”); nu intru în detalii în acest sens. Refuz să mai vin cu idei despre o mai bună şi mai coerentă organizare, dar oare nu ar fi mai eficient să fie lăsată o libertate totală asupra activităţilor de tip “altfel” sau “verde” profesorilor sau diriginţilor, aceştia trebuind doar să acopere de-a lungul unui an şcolar cele 5 zile corespunzătoare sau un număr de ore la fiecare clasă după cum se potriveşte mai bine în cazul fiecăruia? Zic şi io!

Reiau un exemplu în acest sens despre care am mai vorbit: în urmă cu mai mulţi ani, director fiind, a trebuit să mă duc la un inspector să cer semnătura de aprobare pe un dosar de tabără a unei colege învăţătoare la clasa a 3-a, care planificase o săptămână de activităţi agricole de toamnă cu toată clasa într-un sat renumit pentru păstrarea tradiţiilor rurale. În dosarul de planificare erau incluse diferite activităţi specifice perioadei la ţară, precum aratul, dar mai ales recoltatul, în primul rând culesul strugurilor şi băutul mustului proaspăt reprezentând desigur una cele mai importante activităţi. Şi, ce a avut inspectorul respectiv de comentat: de ce nu face colega asta tabăra respectivă în săptămâna “Şcoala altfel”?, care atunci era centralizat înainte de vacanţa de Paşte. (q.e.d.)

Dar, oare ce-am putea face noi – cei care vrem să ne facem treaba – pentru a ne apăra măcar parţial de acest flagel al lipsitului de la ore (cuvântul “chiulit” pare puţin depăşit) O idee ciudată ar fi să programăm teste importante în aceste zile vulnerabile la chiulit (de pildă la mate’). Asta ar funcţiona împreună cu ideea că orice test trebuie dat de toţi copiii, iar cei care lipsesc îl vor da cândva în viitor, când nu se aşteaptă, dar mai ales după suficient timp încât să apuce să uite, să se strângă suficientă materie încât mintea “vinovatului” să fie obligată să uite. Această metodă ar lovi însă şi în cei care au lipsit, de pildă pentru că într-adevăr au fost bolnavi (bat-o vina de gripă!, fără să mai vorbim de alte belele, cum ar fi mâine rupte etc.).

Nu ştiu ce putem face, dar văd că tupeul chiulitului este justificat deseori chiar de către familie; iar aici o parte mare din vină o au chiar politicienii. De pildă, de ce au voie părinţii să motiveze la liber “nu-ştiu-câte” zile, uite numai aşa, pentru ca să fie mulţumiţi şi să vină voturile? Sau, de ce să fie atâtea zile libere, care la rândul lor generează oportunităţi de lipsit?

Eu nu ştiu cum ar trebui să se facă, astfel încât să se remedieze acest flagel al chiulitului la nivel naţional, dar sigur văd că problema se extinde de la un an la altul, în loc să fie remediată (sentimentul meu ar aproxima situaţia deja la orientativ 25% din perioada şcolară).

Această stare de “nefăcut ore” se extinde masiv, primind tot mai multe motive oficiale de manifestare, chiar şi de justificare. Vacanţa de toamnă, cât şi Săptămâna “verde” reprezintă ultimele noi ocazii apărute în programul oricum încărcat al zilelor în care se poate lipsi de la şcoală. Iar ideea de a organiza vacanţa pentru “tabără de schi” decalat pe diferite judeţe a fost o încercare palidă de preîntâmpinare a fenomenului din partea Ministerului.

În general, aproape fiecare întrerupere a şcolii cu o perioadă de zile libere declanşează în mentalul oamenilor ideea oportunităţii de a lipsi, de a lipi câteva zile “auto-libere” de cele oficiale şi de a planifica acolo o distracţie, o călătorie, o “ceva”. În urmă cu 10-20 de ani aceasta se manifesta doar înainte de vacanţă, dar acum oamenii s-au deşteptat, şi le lipesc şi în urma vacanţei, tot mai des şi în jurul mini-vacanţelor sau a săptămânilor speciale în care este evident că nu se va sta în bancă şi să se facă şcoală “de-adevăratelea”.

Am aici şi un comentariu acid special la adresa acestui “mega-partid al părinţilor“: dacă faci doar şcoală tradiţională cu copiii, cu stat în bănci şi lecţii serioase, atunci mulţi comentează că nu faci “şcoală mai modernă”; dimpotrivă, dacă se dă liber oficial la încercări de a face “şcoală mai altfel”, atunci din nou vor veni uni şi vor comenta că nu se face “treabă serioasă ca pe vremuri” şi nu-şi vor mai aduce copiii la şcoală.

Am pornit acest articol în vacanţa de iarnă şi am lucrat câteva săptămâni la rând, dar l-am lăsat de-o parte pentru că mi se părea prea agresiv. Acum, când au înflorit pomii şi am avut mini-vacanţa de 1 Mai, acum pot doar să mă uit în jur şi să văd indignarea generală la adresa fenomenului în discuţie. Profesorii sunt disperaţi pentru că în această atmosferă nu se mai poate face şcoală “cum trebuie”. Mai ales în cazul matematicii aceste aspecte se simt deosebit de greu. Nu te-ai apucat bine de lucru, că şi trebuie să te opreşti. A ajuns aproape imposibil să se mai intre cu eficienţă în acea stare de muncă serioasă, pe care cei mai mulţi o cunosc dinainte de pandemie. Nu cred că pandemia are în sine o vină clară, dar sigur starea generală de nefăcut ore din Şcoala românească nu ne ajută să revenim la atmosfera serioasă de lucru dinainte de 2020.

După vacanţa de Paşte, după cele trei zile de ore, în şcoala soţiei mele a urmat Săptămâna “Şcoala altfel”, lipită de minivacanţa de 1 Mai (am auzit persoane de-a dreptul indignate că 1 Mai pică lunea, fără nici măcar o zi de punte!). Situaţii similare au fost în toate şcolile: o săptămână specială + 4 zile înainte de vacanţa de Paşte + vacanţa respectivă + 3 zile după + cealaltă săptămână specială + săptămâna de 4 zile de după 1 Mai = 5 săptămâni în care n-ai prea putut face mare lucru.

Oamenii îşi face deja calculele ce se va întâmpla de 1 Iunie şi de Rusalii (fără să mai discutăm despre şcolile unde există clase cu predare în limbile minorităţilor ce trăiesc pe alte calendare religioase şi care au şi ei “liber”; chiar aşa: şi de Ramaza Bayram de ce nu?, ca să fim politically-correct). Da, şi desigur ne apropiem de vacanţa de vară când mulţi se vor gândi să-şi ia vacanţă măcar cu o săptămână mai repede, desigur datorită ofertelor de preţ mai bune (sau din alte diferite motive personale).

Merită să evoc aici un exemplu ceva mai ieşit din comun, întâmplat în şcoala noastră. În urmă cu patru ani, o mămică şi-a luat fata de clasa a 8-a prin primăvară şi s-au dus pentru câteva zile (o săptămână?) la Ierusalim, în “Ţara Sfântă”, făcând asta exact în timpul simulărilor de la Minister pentru EN8 (cândva prin martie a fost asta atunci, în 2019). Eu am “ridicat o sprânceană” atunci şi m-am arătat indignat; fata era departe de a fi un elev de succes la învăţătură şi cumva am luat-o personal, drept o sfidare la adresa strădaniilor mele. Acum fata respectivă este în clasa a 12-a, tot la noi la şcoală, la uman, şi “ghici ciupercă” unde a fost plecată cu mamă-sa exact în săptămâna cu simulările oficiale pentru BAC. Da, aţi ghicit: o vizită la “locurile sfinte” rezolvă preventiv orice examen! Atâta vreme cât nu copiezi, orice metodă e bună ca să-ţi iei BAC-ul. Un pic de ajutor divin la momentul potrivit sigur nu strică în acest sens. Întâmplarea respectivă ne oferă de fapt o imagine despre cum văd unii părinţi învăţătura şi pe cei ce se ocupă cu aceasta. Titus Chiulus Liberus

P.S. În “liberele de Mica Unire” am avut o scurtă corespondenţă cu d-na despre care am scris mai sus, din familia ce au lucrat în Statele Unite pentru câţiva ani. I-am trimis articolul în forma de atunci iar dânsa mi-a răspuns a doua zi. Între timp eu n-am mai lucrat la articol până acum, când m-am uitat din nou la răspunsul său. Consider că merită prezentat complet:

Abia m-am trezit şi mi-a venit o idee de titlu. “Arta de a chiuli se învată din şcoală“, şi de  încurajare a atitudinii de superficialitate în actul de învăţare şi de lâncezeala faţă de muncă în general. Responsabilii??? Toată lumea: Ministerul învăţământului, profesorii şi părinţii.

Când am povestit în vacanţa de iarnă cu familia respectivă pentru prima dată despre acest articol, dânşi şi-au dat drumul indignării şi s-au lansat într-o pledoarie (din care efectiv nu se mai puteau opri) despre cum era organizat “acolo, în State” totul, despre cum se făceau ore din prima zi, în şcoli fiind aplicat de la prima oră programul complet. Cât despre cum se porneşte anul şcolar “la noi”, asta într-adevăr nu am inclus în eseul de faţă. Pe scurt, am putea prezenta lucrurile după vechea vorbă: Românu’ greu se apucă de lucru, da’ şi când s-a apucat, repede se lasă! Iată ce scria în continuare doamna respectivă:

Anul şcolar are o structura fixă (pe semestre, săptămani, ore) care ar trebui respectată ad litteram. DAR … şi profesorii şi părintii şi elevii ştiu că în primele două săptămâni din noul an şcolar este debandadă: nu toate orele sunt acoperite de cadre didactice, aşa că cei prezenţi suplinesc pe cei absenţi, ore mai multe la o materie, mai puţine sau deloc la o alta, orarul este provizoriu şi se schimbă de la o zi la alta, se dau peste cap planificările profesorilor (cărora însa li se cere “să fie la zi cu programa”), unele manuale sunt insuficiente sau lipsesc cu desăvârşire, în unele şcoli înca se mai repară sau se văruiesc săli de clasa, etc. Şi dacă tot nu se face şcoală ca lumea în acele săptămâni … care-i problema pentru unii părinţi să-şi planifice concediul cu copii în acea perioadă?? Toate acestea sunt ultra cunoscute de către cei din Ministerul  Învăţământului de zeci de ani, dar sunt tratate ca o boală incurabilă.

Apoi urmează o perioadă în care programul intră în normal, dar curând vin mini-vacanţele şi vacanţele… Alt motiv de a trata şcoala superficial şi de a încuraja chiulul. Grav mi se pare faptul că la nivel oficial în unele şcoli chiulul este acceptat chiar, nu se pun absenţe, nu se dau note, nu se fac ore în anumite perioade. Şi atunci, de ce ar lua părinţii structura anului şcolar în serios? De ce nu şi-ar programa concedii în acele perioade??

Şcoala este locul de munca al copilului şi felul în care evolueaza în cadrul acelui loc de munca îi trasează drumul în evoluţia lui ca adult la viitorul loc de muncă. Ca elev este interesat în primul rând de note, ca adult va fi interesat în primul rând de bani. Şi, bineinteles, să profite de orice posibilitate de a-şi oferi concedii sau beneficii suplimentare.

Ca o paranteză legată de manuale, merită să amintesc aici cum aproape 20 de ani capitolul despre patrulatere era cuprins în manualele de clasa a 6-a, dar de fapt se făcea în programa de clasa a 7-a. Iar oficial se spunea că “sunt manuale”. Dar să revenim la doamna respectivă.

UAU! Acestea sunt gândurile unei d-ne profesoare ieşită la pensie, ce a apucat să cunoască şi să aprecieze starea de bună ordine din şcoli peste ocean. Pentru cine se miră de ce este societatea noastră aşa cum este, aici aveţi un răspuns cât de clar posibil: asta educăm în şcoală, asta avem apoi în societate. Sau invers: şcoala ar trebui să reflecte visele noastre despre cum ne dorim să arate societatea. Oricum, le mulţumesc familiei respective pentru gândurile trimise, cât şi pentru susţinerea în redactarea acestui eseu. CTG

P.P.S. Mă bate gândul înspre ideea unui studiu asupra probabilităţii ca diferitele zile ale săptămânii să fie libere, ca să ştie cei interesaţi unde să-şi pună orele în orarul săptămânal. E clar că lunea şi vinerea conduc detaşat într-un astfel de top. Asta şi datorită liberelor de Paşte sau Rusalii, dar şi datorită principiului de punte aplicat altor zile libere ce apar la date fixe marţea sau joia. Oricum, chiar şi în lipsa unui studiu ştiinţific riguros, şmecherii cunosc de mult aceste aspecte. Ca o paranteză, dimpotrivă, dacă eu aş dori să-mi fac cât mai bine treaba fără să fiu afectat de acest sitem de anulare oficială a orelor lunea şi vinerea, atunci ar trebui să cer în toamnă, la făcutul orarului, să mi se pună de fapt orele cât mai mult marţi, miercuri, joi (dacă nu în totalitate). Desigur că într-o astfel de situaţie aş putea fi suspectat de colegi că vreau să-mi prelungesc regulat weekend-ul. Acum nu am timpul şi starea necesare pentru un astfel de studiu “profund matematic”, dar pot oferi în schimb un studiu “aritmetic” al situaţiei pe anul şcolar în curs. Astfel, în prezentul an şcolar avem următoarele date:

1) Per total sunt 27 săptămâni întregi şi 9 săptămâni fragmentate (“săptămâni” de 2, 3 sau 4 zile lucrătoare; una a fost chiar de 2+2 zile lucrătoare, cea din 3-7 octombrie, întreruptă de ceva gen ziua profesorului). Deci, 25% din săptămâni sunt incomplete, având “scris pe ele” cu litere mari invitaţie la chiul. Acest raport 27:9 = 3:1 este important în contextul în care şcolilor nu le este permis să aleagă în săptămâni fragmentate săptămânile speciale “Şcoala altfel” sau “Verde”. Cu alte cuvinte, şcolile sunt obligate să mai sacrifice încă două săptămâni neapărat întregi, de 5 zile, pentru cele două săptămâni speciale. Altfel spus, săptămânile “de frecat menta organizat” depăşesc în şcoala românească un sfert din anul şcolar.

Dacă mai tăiem măcar prima săptămână din anul şcolar (când treaba abia începe să pornească, oricum ziua de luni fiind sacrificată pentru serbarea de începutul şcolii, nefăcându-se astfel ore), cât şi ultima săptămână din anul şcolar (cine mai face atunci ore???), raportul ajunge la 23 săptămâni întregi de muncă, faţă de 13 săptămâni de cam-ne-muncă, reducând perioadele de muncit adevărat la două treimi din timpul anului şcolar. La acestea se mai adaugă desigur săptămânile în care elevii au Eveluările Naţionale la clasele 2, 4 sau 6, dar mai ales şi pachetele de 2 sau 3 zile de simulare la EN8 sau BAC, când clasele respective sigur nu mai stau la ore după simulare (minorităţile naţionale cu încă o zi în plus). În afara unor cazuri patologice, în săptămânile respective elevii măcar stau la şcoală în restul zilelor.

2) După cum am spus, nu am timp pentru un studiu matematic general valabil, dar haideţi să ne uităm totuşi şi la numărul zilelor de şcoală efectivă din prezentul an şcolar. 30 de zile de LUNI; 34 zile de MARŢI; 34 zile de MIERCURI; 34 zile de JOI; 32 zile de VINERI. Precizez că nu am luat în calcul prima luni din anul şcolar şi nici vinerea de 2 iunie ca posibilă punte cu recuperare. Apropos punţile date “liber cu recuperare”: ştie toată lumea cum se recuperează acestea. Concluzia este evidentă şi nu are rost să o mai enunţ. O gândiţi cu toţii în acest moment.

Aici putem conecta cu o ultimă idee “stranie”: în aceste condiţii, care-i logica conform căreia sindicatele cer măriri de salarii? Când de fapt, în actuala lipsă acută de bani, autorităţile “ne plătesc” cu zile libere, dar şi cu oportunităţi de zile de fentat suplimentar. Ciudat este că apoi societatea vrea “rezultate” şi se plânge de nivelul şcolii. Da’ de unde, “dragii moşului”?

Aş putea continua acest articol “la nesfârşit”, dar încerc să-mi impun un final. Sunt sigur însă că toţi cei care l-aţi citit veţi avea şi dvs. exemplele personale cu care să continuaţi discuţia cu cei din jur. Cum se poate face matematica în aceste condiţii? Vai de noi!

De multă vreme societatea românească “de dreapta” este divizată între cei ce susţin un adevăr vizibil “ca lumina zilei” şi cei care îl contestă. În tot acest timp lipsea dovada palpabilă, demonstraţia fără de tăgadă, deşi în urma evenimentelor din ultimele săptămâni situaţia părea tot mai clară. Iată însă că zilele acestea am reuşit să demonstrez matematic, fără dubii, prin metoda triunghiurilor congruente, ceea ce mulţi simţeau de ani buni. Citeşte cu atenţie demonstraţia din problema următoare şi vei înţelege TOTUL despre ce ni se întâmplă! (Erată în poză: Ip. rândul 3: P mijlocul NS în loc de TS)

Domnul Cristian Tudor Popescu nu ratează nici cea mai mică ocazie de a insera în luările dânsului de cuvânt comentarii despre matematică. Probabil că este o metodă prin care îi râcâie pe toţi acei inculţi ajunşi “sus” şi dând cu părerea cu părerea în dreapta şi în stânga în mod cât mai “pretenţios”. Am spus “inculţi”, lăsând descrierea la general, fără a accentua “inculţi matematic” pentru că o persoană cu adevărat cultă în alt domeniu nu are probleme atunci când se vorbeşte de matematică. Inculţii cu adevărat au însă o frustrare profundă legată de matematică: această disciplină i-a chinuit cu adevărat în şcoală şi pentru asta nu o suportă.

Am putut observa şi eu acest fenomen în anii când umblam prin ţară ca reprezentant al sistemului Waldorf, încercând să-i conving pe tot felul de inspectori din alte judeţe că această şcoală nu este o alternativă educaţională pentru copii cu dificultăţi de învăţare. De fiecare dată când aveam ocazia – în discursurile mele – o luam “creanga” prin matematica de liceu ca să le dovedesc că se face treabă şi în această şcoală. Astfel, la primul “logaritm” sau “cosinus” primeam o reacţie de genul “am înţeles, ok, dar puteţi să ne scutiţi de acestea“,

Revenind la comentariile d-lui CTP, pe baza experienţei din alte ocazii, când m-am trezit că după o vreme înregistrările respective dispăreau de la adresele memorate, am decis ca de data asta să preiau textul complet, fără a avea mare lucru de completat. Iată transcris întregul comentariu al D-lui Cristian Tudor Popescu, difuzat joi 30 martie 2023 la postul Europa FM în rubrica Judecata de Joi, din cadrul emisiunii Deşteptarea.

*

N-aş fi crezut că fake-news poate pătrunde şi în matematică. Din când în când mai rezolv probleme, în special de geometrie, ca să am impresia că respir aer curat după duhorile emanate de politică şi presă, pe care le inhalez cotidian.

Pe nu-ştiu-câte site-uri s-a ivit ştirea că două liceene din America au demonstrat trigonometric teorema lui Pitagora şi că au folosit “legea sinusurilor”. Nimeni nu publică demonstraţia respectivă, “s-o văz şi eu”. Nici o autoritate matematică nu a verificat-o şi nu i-a dat certificat de valabilitate. Totuşi, se titrează în neştire: Teorema lui Pitagora demonstrată după 2000 de ani. În realitate sunt vreo 2500, şi de atunci a fost demonstrată în peste 300 de moduri.

O asemenea demonstraţie – trigonometrică – este înainte de matematică imposibilă logic. S-a folosit în demonstraţie “legea sinusurilor”? Păi, de cum ai rostit sau ai scris sinus, asta presupune – dat fiind că sinusul e raportul dintre cateta opusă unghiului şi ipotenuză – un triunghi dreptunghic, în care este valabilă teorema lui Pitagora.

În logică această greşeală se numeşte petitio principii, anticiparea principiului sau argument circular. Pe scurt, este adevărat că sunt bogat, pentru că sunt bogat! Explicaţie care, în cazul politicienilor români devine lege. Ex Dictis CTP

P.S. Eu personal nu vreau să mă exprim în această speţă; pur şi simplu consider că nu am destule date încât să am o părere avizată. Aştept alte informaţii, dar în principiu cred că dacă ar fi existat o cale de a demonstra teorema lui Pitagora prin trigonometrie, s-ar fi găsit de mult. Dar pe de altă parte, cine sunt eu să-mi expun aici părerea? Dacă totuşi … Însă, asta nu ar scuti cu nimic superficialitatea patologică a “ştiriştilor” care ne invadează zilnic cu “informaţiile” lor. CTG

Ia uitaţi-vă aici ce minune de formulă matematică au ajuns să vadă unii dintre pământeni (că pe alte planete nu ştiu dacă se difuzează încă):

Imaginea este decupată dintr-una mai mare ce apare pe net în legătură cu un nou serial, Velma, difuzat de HBO, şi care este gândit ca poziţionare temporală înaintea renumitului serial Scooby Doo, dar cu personaje cunoscute din acesta (se numeşte “prequel” chestia respectivă). Pe lângă Velma mai apar ca personaje şi Daphne, Shaggy şi Fred. Căinele lipseşte deocamdată. Din păcate însă, cum se vede, lipseşte şi matematica, deşi personajul principal se consideră a fi unul foarte inteligent. Iată poza mare din care a fost decupată cea de sus:

Tehnic, Velma este un serial animat american de comedie horror pentru adulţi, bazat pe personajul Velma Dinkley din franciza Scooby-Doo, al cărui prim episod a fost difuzat pe 12 ianuarie 2023 (sursa Wikipedia). Un serial horror? Păi, am văzut deja din poza prezentată. Imaginea respectivă ne oferă o idee clară asupra felului în care unii pământenii obişnuiţi, mai ales unii din SUA, îi văd pe cei buni la învăţătură, dar şi felul în care mulţi dau atenţia cuvenită detaliilor ce nu-i interesează (mai degrabă nu o dau). Prin comparaţie, avem aici şi un alt exemplu, din mai vechiul Peppa Pig britanic (primul episod difuzat în mai 2004):

Deci, merge şi corect. Totuşi, să nu generalizăm în impulsul de denigrare a americanilor, pentru că se poate şi altfel. În serialul de mega-succes The Simphsons apar uneori elemente de matematică surprinzătoare, dar asta se întâmplă pentru că în echipa de realizatori există câţiva buni matematicieni. Dacă înţelegeţi engleza, puteţi aprofunda subiectul din filmuleţul de la adresa https://www.youtube.com/watch?v=ReOQ300AcSU, în care aspectele ne sunt explicate de nimeni altul decât Simon Singh (da, autorul renumitelor Marea Teoremă a lui Fermat, Cartea codurilor sau Big Bang, toate traduse la Humanitas). Discuţia evoluează în jurul unui episod în care Homer Simphson se hotăreşte să devină inventator şi pare că “îl provoacă” pe Andrew Wiles (cel care a demonstrat marea teoremă a lui Fermat). q.e.d. Dooby Scoo

P.S. Merită observat că anumite “scrieri” matematice “vedetă” sunt expuse cu diverse ocazii pentru a sugera o anumită stare. Când se prezintă într-o reclamă o profesoară care tuşeşte de atâta predat, atunci pe tabla din spatele ei apare de obicei teorema lui Pitagora (deşi era într-o vreme şi o reclamă cu un profesor care avea o figură geometrică pe tablă, ce părea că avea acolo şi o bisectoare sau o mediană, adică ceva mai “complicat”). La liceu, dacă vrei să sugerezi că un anumit personaj este mai “tocilar”, adică mai inteligent decât ceilalţi, atunci îi asociezi formula de la ecuaţia de gradul II. Ceva gen “ăştia” numai formule complicate le vâjâie prin cap, din acelea cu radicali, cu fracţii şi cu semne neobişnuite (adică delta). Dacă cineva doreşte să evidenţieze un “mic Einstein”, gen Dexter, atunci desigur că îl va asocia cu renumita formulă E = mc² (pe care oamenii normali sigur n-o înţeleg, şi oricum, are şi “la putere”, deci e grea!). Asta vrea să sugereze că este vorba despre un mic geniu.

La începutul anului a apărut pe blogul nostru un comentariu, la un articol mai vechi, din 21.08.2018. Postarea respectivă merge pe două nivele de idei: prima este faptul că suma unghiurilor exterioare se păstrează constant indiferent de numărul laturilor unui poligon (triunghi, patrulater, pentagon etc.), rezultatul fiind întotdeauna 360^o (în suma respectivă se ia desigur măsura unghiului exterior din fiecare vârf o singură dată, de pildă la triunghi A_e + B_e + C_e). Acest rezultat dă şi titlul postării respective. Un al doilea nivel al articolului îl reprezintă o scurtă exemplificare pe această situaţie a felului diferit cum evoluează gândirea elevilor şi a faptului mult mai important că noi la matematică acţionăm la vârstele gimnaziale pe o zonă de graniţă între două tipuri de gândire diferite; astfel, noi ne putem trezi deseori în situaţia că unii elevi sunt încă în gândirea specifică copilăriei, pe când alţii sunt deja trecuţi în forma de gândire adultă. Pentru a înţelege subiectul prezentei postări, merită să citiţi sau să recitiţi articolul respectiv la adresa http://pentagonia.ro/suma-unghiurilor-exterioare/ . Iată aici şi comentariul cu pricina (ce a apărut la sfârşitul postării pe data de 1 ian. 2023):

Părerea mea este că la triunghi avem 6 unghiuri exterioare (2 câte 2 congruente), la patrulater la fel. Când calculăm suma unghiurilor exterioare, nu le luam pe toate?

Ba da, “stimate” coleg, desigur că le luăm pe toate dacă ne dorim să omorîm frumuseţea unui rezultat. Sau, vom accepta rezultatul frumos, dar numai cu preţul încărcării textului, aşa încât rezultatul respectiv să fie accesibil cât mai puţinor elevi. De ce? D-aia! Pentru că putem!

Din cauză de astfel de “scormoneli” de dragu’ scormonitului a ajuns matematica noastră şcolară atât de inumană. De dragul unei rigurozităţi excesive omorîm un rezultat frumos cu care am putea impresiona elevii. Precizez aici – a nu ştiu câta oară – că matematica şcolară este pentru elevi, şi nu pentru profesori. Când ne întâlnim între noi, ca profesori, putem discuta orice, dar aici este vorba despre predarea unor cunoştinţe elevilor; aici vorbim despre arta predării matematicii! (ce lipseşte din păcate multor colegi, anume o atitudine empatică la adresa ELEVILOR, a cât mai multora dintre ei, nu doar vârfurilor). Iar în strădania de a-i impresiona pe elevi şi a le câştiga interesul, noi avem la ora actuală rivali de temut, cum ar fi jocurile pe calculator, facebook-ul sau Tik-Tok-ul. Nu complicând-o, ci prezentând-o cât mai simplu avem şanse să le câştigăm sufletul.

Astfel, 360^o este un rezultat foarte frumos prin faptul că reprezintă exact suma unghiurilor în jurul unui punct, (rămânând însă în spectrul obişnuit de preocupare al elevilor de clasa a 6-a şi început de a 7-a). Desigur că acesta se impune şi prin faptul surprinzător că rămâne constant, în comparaţie cu suma unghiurilor interioare, care creşte cu numărul de laturi. Dimpotrivă, 720^o nu mai este un rezultat frumos din punct de vedere al elevului mediu (elevul mijlociu, cum cu mare drag şi empatie îi numea Hollinger). Orice trece peste 360^o este perceput de către elevul obişnuit ca ceva dificil. Dar, ce să zic, fiecare profesor are dreptul să le prezinte elevilor matematică predată cât de complicat consideră. Părerea mea!

Iniţial, când am văzut comentariul de mai sus am fost foarte supărat. Impulsul a fost să pun imediat în continuarea comentariului o replică. Cele două-trei aliniate de mai sus reprezintă manifestarea în fizic a acestui impuls de replică. Cu cât mă descărcam mai tare, cu atât îmi dădeam seama însă că acest comentariu reprezintă o oportunitate extraordinară de a lămuri nişte aspecte deosebit de importante în predarea matematicii, iar pentru această ocazie deosebită nu pot de fapt decât să-i mulţumesc colegului care l-a făcut. Cine doreşte să afle aceste multe precizări, poate citi în continuare următoarele subiecte.

*

Subiectul 1) Revenind la legătura fenomenologică dintre suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi sau patrulater (în general un poligon convex) cu măsurarea rotaţiei în jurul unui punct, aceasta se poate scoate în evidenţă printr-o metodă practică deosebit de interesantă. Desenând la tablă un patrulater convex ABCD trebuie să-i prelungim laturile doar într-un capăt (să zicem chiar în sensul rotaţiei parcurs de notarea vârfurilor). Am evidenţiat astfel câte un unghi exterior în fiecare vârf. Luăm apoi un creion şi îl folosim aidoma unui vector astfel: îl postăm de-a lungul laturii [AB] cu capătul în vârful A şi cu vârful îndreptat înspre B; apoi îl glisăm de-a lungul laturii până când capătul creionului ajunge în B, restul creionului fiind situat pe prelungirea laturii [AB]; apoi îl rotim în jurul vârfului B până când creionul se poziţionează pe latura [BC]. În continuare vom reface paşii văzuţi la latura [AB] la fel şi la următoarele trei laturi, pentru ca în final creionul să ajungă în poziţia iniţială, în urma rotaţiei din unghiul exterior lui A (care – săracu’ – a ajuns ultimul, da nu-i bai!). Analizănd succesiunea de mişcări observăm că creionul nostru a efectuat în fiecare unghi o serie de rotaţii (în acelaşi sens), care cumulate compun o rotaţie completă, deci 360^o.

Metoda exemplificată aici este una pur geometrică bazată pe mişcare, deosebit de clară pentru elevi (dar care nu poate fi redactată într-un mod accesibil în scris). Dimpotrivă, metodele statice, bazate pe scriere şi descriere algebrică a fenomenului sunt însoţite de dificultatea “citirii textului într-o limbă” pentru unii elevi încă străină (vorbesc aici de limbajul codificat matematic), care încă nu face parte din “zona lor de confort”; pentru unii nu va face parte nicicând, aşa încât o metoda ca cea de mai sus reprezintă o uimitoare ocazie de a le accesa unor astfel de elevi gândirea fără a folosii tare mult limbajul matematic abstract.

Această metodă poate fi desigur folosită şi la determinarea sumei unghiurilor interioare. La triunghi creionul va fi în final cu vârful în sens opus, arătând o rotaţie de 180^o, pe când la patrulater creionul va fi în poziţia de plecare. Deoarece însă în mişcarea în jurul patrulaterului a avut loc o rotaţie, se poate vedea că de fapt a avut loc o rotaţie completă, suma (unghiurilor interioare) fiind deci de 360^o.

Părerea mea este că această metodă este potrivită doar la triunghiuri sau patrulatere; de la poligoane cu mai multe laturi ar trebui să ne putem baza totuşi în gândirea copiilor pe metodele mai abstracte (atât din punct de vedere al scrierii, cât şi al gândirii: cea apărută la patrulatere cu împărţirea acestuia în n – 2 triunghiuri, sau una nouă de împărţire în n triunghiuri, atâtea câte laturi, cu vârfurile într-un punct interior poligonului).

Pentru cei pasionaţi de experimente în afara programei oficiale, desigur că şmecheria de mai sus funcţionează şi în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia trebuie să fie mai mult de 180^o. Mult mai “excentric”, ar fi să studiem ce se întâmplă cu “suma unghiurilor exterioare” în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia este de aşteptat să se desfăşoare în sens invers decât la celelalte vârfuri??? (cred; n-am făcut-o, dar o propun spre “cercetare” colegilor). Asta ne-ar putea ajuta să înţelegem ce ar fi acela unghiul exterior în cazul unui vârf concav!?!?

Subiectul 2) Legat de acel impuls psihologic-social al unor profesori de a-i corecta pe alţi colegi imediat ce-i găsesc o minimă posibilitate de a le interpreta exprimarea greşit, aş dori totuşi să mai evidenţiez câteva aspecte (am mai vorbit de acest obicei urât). Societatea noastră este masiv impregnată de acest obicei. Şefii îşi permit să-ţi facă observaţii cu orice ocazie, doar cu motivul nespus de a te înjosi şi a-ţi arăta “cine este şeful” (am aflat şi de exemple din SUA; se pare că apare peste tot acolo unde o persoană se simte frustrată, mai prejos de ceilalţi şi încearcă să “se ridice mai sus”, înjosindu-i pe ceilalţi). Dacă ceva nu funcţionează bine din vina lor, mulţi şefi tot ţie îţi vor face observaţii; tot tu eşti de vină. Acelaşi fenomen i s-a întâmplat fiului meu (în trefic, la viteză mică, în oraş): un ofiţer de poliţie i-a “sărit” în faţa maşinii, uitându-se în partea cealaltă. Fiul meu a frânat brusc, poliţaiu’ s-a speriat şi tot el s-a răstit la fiu-meu “să fie mai atent” când conduce. Ăsta a rămas “mască”, cu replica nespusă în gând: “păi, dacă nu eram atent, erau deja sub dubiţă!”.

În general, în relaţionarea din orice grup apare extrem de puternic fenomenul de bullying, de agresare – măcar verbală – a celuilalt, ca o componentă esenţială în lupta sălbatică de zi cu zi de poziţionare cât mai sus pe scara socială a grupului. Este ca într-o haită de lupi, unde cel mai agresiv ajunge lupul alfa. Aceste agresiuni gratuite se iau ca exemplu şi se transmit mai departe în societate. Din diferite surse mi-a fost dat să aud de la persoane care s-au reîntors în ţară după mulţi ani petrecuţi prin alte ţări, că în România au resimţit – atât ei, cât mai ales şi copiii lor –mult mai profund această stare de bullying, această constantă stare de agresiune înjositoare la adresa noilor veniţi în grup.

Obiceiul este desigur prezent şi în zona comentariilor de pe internet, oriunde în lume, dar la noi parcă mai avântat ca în alte părţi. La orice articol, după primul, cel mult după al doilea al treilea comentariu, încep să apară atacuri la adresa celor care şi-au expus un punct de vedere asupra articolului de bază. De obicei, aceste atacuri sunt foarte dure, multe dintre ele legându-se de chichiţe de scrire folosite ca dovadă sau aluzie la “incultura” celui care a scris înainte, cu trimiteri la BAC-ul respectivului etc. În “străinezia” a apărut în acest sens denumirea de grammar Nazis.

Subiectul 3) Dar, de unde vine asta? Părerea mea este că – cel puţin la noi – de mulţi ani elevii se simt gratuit şi fără motiv întemeiat agresaţi de către profesori, atât datoriltă subiectivităţii elevilor (“are ceva cu mine!”), cât şi datorită stilului de predare excesiv de autoritar al multor profesori (“că altfel nu învaţă nimic”). Bănuiesc că acest fenomen se întâmplă din vremuri foarte vechi, iar faptul că la noi încă dăinuieşte este o dovadă importantă a “in-evoluţiei” sociale a sistemului nostru educaţional. Este evident că, odată ajunşi adulţi, foştii elevi vor aplica aceleaşi metode asupra celor din jur, inclusiv asupra copiilor (alteori, dimpotrivă, conştientizând superficial aceste aspecte, ei se vor transforma în nişte excesivi protectori, dar acesta este alt subiect). Astfel, acest fenomen a ajuns să se generalizeze la nivelul marii părţi a populaţiei, mai ales datorită faptului că nu a fost luat în seamă de către autorităţi şi organizatori ai “şcolii româneşti”, astfel încât să se pună ca obiectiv naţional anihilarea sa.

Fenomenul acestor agresiuni mai are o faţetă, anume cea a “datului mare”: dacă-i faci cuiva observaţie, scoţîndu-i în evidenţă o “greşeală”, atunci te dovedeşti mai presus decât el. Impulsul de corectare pe baza rigurozităţii excesive a apărut se pare în şcoala românească odată cu reforma din 1980 (când schimbarea exprimării într-o formă mai profund ştiinţifică, mai riguroasă, a devenit un obiectiv oficial) şi, după cum se vede, unii încă nu s-au gândit să se descotorosească de acest urât obicei. Astfel, încă mai are loc acest concurs de “care se dă mai deştept”, ca un fel de bullying între profesori.

Subiectul 4) Revenind la fenomenul cerinţei excesive de exprimare riguroasă, acesta se manifesta încă în urmă cu 10-20 de ani şi îmi permit să dau aici un exemplu tipic în acest sens. Astfel, orice profesor risca să fie corectat şi automat penalizat în faţa tuturor celor prezenţi dacă nu respecta cutumele de rigurozitate a limbajului impuse cu ocazia reformei din 1980. Iată în continuare exemplul “vedetă” la care mă refer.

Pe vremuri exista prin manuale precizarea despre cuvântul rază, cum că acesta trebuie înţeles în funcţie de context, fie ca un segment (în acest caz cercul are “o infinitate de raze”), fie ca lungimea acestor segmente (în acest caz cercul are “o rază”). Din păcate însă principiul nu era respectat şi la alte segmente care au şi un nume special. Astfel a ajuns să fie obligatoriu a folosi cuvântul lungime la diferite segmente speciale, cum ar fi la lungimea înălţimii unui triunghi sau la lungimea catetelor în teorema lui Pitagora (am mai vorbit despre încărcarea gratuită a textului respectivei teoreme cu acest cuvânt inutil). Ca norocu’ că bunul simţ a prevalat, astfel încât nu am fost nevoiţi să ajungem la lungimea lăţimii unui dreptunghi, sau mai rău la lungimea lungimii unui dreptunghi (asta ar fi fost culmea culmilor!).

În comparaţie cu acest exemplu, observaţia de la început a d-lui profesor este de-a dreptul justificată: într-adevăr, în orice vârf există două unghiuri exterioare. Problema este de atitudine: ambele au aceeaşi măsură (sunt egale sau congruente, cum preferaţi), iar în proprietatea cu pricina eu m-am referit la măsura respectivă ca număr, adică la singular. De fapt la singular vorbeşte şi titlul lecţiei oficiale: Unghiul exterior unui triunghi, şi nu Unghiurile exterioare (aici trebuie să vă imaginaţi zâmbetul meu până “după urechi”!). În acest context, mă miră extrem lejeritatea cu care am scăpat de m-ul de la măsura unghiului, sau de alte astfel de elemente de scriere riguroasă (sigur voi reveni cândva în acest sens).

Există şi în alte părţi ale matematicii astfel de momente, când noi trebuie să înţelegem din context exact ce este nevoie, eventual ajutat de o scurtă explicaţie orală (orice dăm în scris elevilor devine automat material suplimentar de copiat, îngreunând textul, fără să mai discutăm de impulsul ulterior de a învăţa totul pe de rost). Iată un exemplu sugestiv în acest sens. În matematica şcolară românească există clar delimitarea între divizorii proprii şi divizorii improprii ai unui număr. Pe de altă parte, în istoria matematicii există acea situaţie fabuloasă a numerelor perfecte, respectiv a numerelor prietene. O prezint foarte pe scurt: se numeşte număr perfect un număr care este egal cu suma divizorilor săi. Se înţelege automat – aproape intuitiv – că această egalitate nu poate avea loc dacă includem în această sumă a divizorilor şi numărul însuşi. Pe de altă parte, divizorul 1 este inclus (deci nu putem folosi terminologia uzuală). Astfel, avem următoarele prime numere perfecte: 6; 28; 496 etc. De pildă 6 = 1 + 2 + 3. Acelaşi fenomen apare şi la numerele prietene, cum ar fi 220 şi 284, fiecare fiind egal cu suma divizorilor celuilalt, desigur fără numărul însuşi (căutaţi şi edificaţi-vă pe internet; aceste numere provin de la Pitagora). Situaţia evocată reprezintă un exemplu magistral în care cineva ar putea desigur să complice lucrurile numai aşa de dragul de “a se da deştept” (cum? păi, de pildă, numărul 28 este un număr perfect pentru că reprezintă exact jumătate din suma divizorilor săi – a tuturor divizorilor). Părerea mea!

Subiect 5) Un alt aspect deosebit de important al întâmplării îl reprezintă ideea rezultatului frumos evocată de curând. O foarte mare parte din elevi trăiesc într-o atmosferă impregnată puternic de emoţii, iar pentru aceştia orice rezultat frumos are efectul de a-i atrage – chiar şi măcar puţin – înspre această lume seacă şi rece a matematicii. Este evident că – dimpotrivă – orice ratare a unei ocazii implicând un rezultat frumos reprezintă o ocazie ratată în a-i atrage pe astfel de copii înspre matematică (şi vorbesc aici de majoritatea elevilor, cum îi mai spuneam uneori, despre corpul central al Clopotului lui Gauss). Oare, există profesori care să considere drept o normalitate în a face selecţia elevilor buni alungându-i pe cei indecişi dinspre matematică, şi oare, tocmai am asistat la o manifestare a unui astfel de caz?

Cum am spus mai sus, 360^o ar reprezenta în acest caz un rezultat frumos. Această afirmaţie are aici mai multe paliere. În primul rând că elevul mediu este deja obişnuit cu 360^o – intră în zona sa de confort, deci nu va reprezenta pentru el un şoc. Singura surpriză este faptul că această sumă a unghiurilor exterioare reprezintă exact o rotaţie completă. Dimpotrivă, 720^o nu este încă în acest moment un rezultat frumos, i-ar speria. De-abia la suma unghiurilor interioare a unui poligon cu mai multe laturi elevii vor ajunge să înţeleagă pe mintea lor sume de unghiuri peste 360^o. Din păcate, aici am ajuns din nou într-o zonă de “teren interzis” la ora actuală, deoarece noua programă nu mai prevede suma unghiurilor unui poligon în general (acesta este însă un alt subiect, dar totuşi, care a fost logica pentru această excludere?).

Astfel, frumuseţea rezultatului se relevă şi la un nivel mai înalt, atunci când elevul ar constata – odată cu creşterea numărului de laturi – că suma unghiurilor exterioare rămâne constantă, necrescând odată cu înmulţirea laturilor, aşa cum se întâmplă la suma unghiurilor interioare.

În plus, aici, la unghiurile interioare, apare şi o altă nuanţă interesantă: de la triunghi la patrulater suma unghiurilor a crescut, astfel încât oricine se aşteaptă ca la creşterea numărului de laturi să crească şi suma acestora. Singura întrebare ce rămâne în acel moment este dacă creşterea a fost de adăugare a 180^o sau de dublare (recomand să zăboviţi puţin la acest aspect ce ţine de dilema cognitivă, reprezentând poate chiar un adevărat conflict cognitiv). Stabilind care este situaţia la pentagon, la hexagon etc. se lămureşte şi respectiva dilemă. Ce păcat că au fost scoase, elevii nemai având ocazia de a parcurge acest proces de gândire.

Subiectul 6) În altă ordine de idei, merită să evoc aici şi un alt aspect, anume atitudinea în care sunt scrise multe din postările mele. Am mai spus-o şi cu alte ocazii: nu am nici cel mai mic venit din acest demers. Lucrez “pro-bono” şi nu mă plâng, fiindcă că o fac cu mare bucurie (pentru fiecare nou articol a trebuit mai întâi să mă edific eu foarte bine, iar acesta reprezintă pentru mine cel mai mare câştig posibil). Dacă cineva simte că eu “mă dau mare” prin aceste articole, atunci cred că se află la adresa greşită. Tot fenomenul pentagonia a pornit în 1997 după un an de stat în Şcoala Waldorf, din bucuria minunilor găsite şi din constatarea uimitoare că cele mai multe din aceste lucruri au fost cândva şi în şcoala românească, dar au fost pierdute pe drum. Fenomenul pentagonia a reprezentat de fapt bucuria şi strădania de a împărtăşi cu colegii profesori de matematică toate aceste elemente noi pentru mine la vremea respectivă. Apoi, cu timpul, pentagonia s-a transformat într-o strădanie de a ajuta la “repararea” predării matematicii, strigătele de ajutor în acest sens înmulţindu-se cu trecerea anilor din toate părţile.

În acest proces eu lucrez foarte mult. O pagină A4 ia lejer 1-2 ore de lucru (sau chiar mai multe), iar la un articol, pentru a fi într-o formă cât mai civilizată, lucrez câteva săptămâni (în cazul de faţă, aproape o lună). Unele serii de articole se apropie de magnitudinea unei lucrări de gradul I (majoritatea materialului fiind generat de către mine, nu preluat din alte părţi). În general lucrez la mai multe articole în acelaşi timp.

Legat de la felul cum scriu eu aceste articole, şi aici merită petrecut câteva rânduri. Există articole în care încerc să tratez cât mai complet subiectul propus. În altele îmi permit însă doar să evoc anumite aspecte, lăsând apoi “în sarcina” onor cititorilor să mai studieze şi să se edifice cu subiectul respectiv. Acest tip de articole are şi avantajul că lasă cititorului bucuria descoperirii şi nu-i dă totul “mură-n gură, pe tavă”. De multe ori apelez la acest stil şi datorită faptului că doresc să atenţionez asupra cât mai multor alte aspecte implicate intrinsec sau întâmplător în subiectul principal. De pildă, aspectele psihologice evocate prin exemplele de la sfârşitul articolului despre suma unghiurilor exterioare, aceste aspecte nu au nimic direct de-a face cu subiectul din titlu; ele s-au nimerit din întâmplare “în acelaşi loc” prin tema din caietele elevilor.

Există aici şi un alt aspect: de obicei mă străduiesc să prevăd diferitele comentarii ce ar putea apărea în mintea unui cititor, iar când reuşesc, atunci încerc să şi dau o replică unui astfel de gând, aşa încât eseul respectiv să fie cât mai complet şi mai edificator. Alteori, desigur, nu am cum să prevăd ce ar putea gîndi un anume cititor, fie că pur şi simplu nu mi-ar trece prin minte aşa ceva, fie că sunt prea puternic preocupat de alte aspecte şi îmi scapă posibilitatea unui anumit gând. Revenind însă la exemplul comentariului ce a cauzat prezenta postare, de când predau această teoremă a sumei unghiurilor exterioare, nici măcar o dată nu m-am întâlnit cu impulsul de a aduna în respectiva sumă ambele unghiuri exterioare din fiecare vârf. Poate “om fi noi mai superficiali”, atât eu ca profesor, cât şi toţi elevii mei. Părerea mea!

Subiectul 7) La toate aceste articole mă străduiesc să fiu cât mai neagresiv posibil (un articol la care lucrez acum în paralel, mi-a ieşit prea agresiv din prima încercare, aşa că planul este să-l reiau, să-l rup în mai multe părţi şi să caut o linie mai obiectivă şi mai liniştită; acelaşi lucru s-a întâmplat şi cu eseul de faţă, la care am păstrat doar aliniatele de început din starea de supărare iniţială).

Din multele întâlniri cu profesori din străinătate, ce ne-au vizitat de-a lungul anilor şcoala, asistând la orele cadrelor didactice, deoarece eram nevoit să particip ca traducător la cei care nu ştiau nici engleză suficient de bine, de la aceşti musafiri din vestul Europei am învăţat că la orice critică vrei să i-o faci cuiva, trebuie automat să-i spui şi o laudă, ceva bun, şi oricum într-o discuţie de analiză nu ai voie să-i spui mai mult de două puncte negative. Paul Olteanu spune chiar că la orice observaţie negativă, psihicul nostru are nevoie de trei observaţii pozitive pentru a se echilibra; aşadar, zice Paul Olteanu, la scorul de 1:1, îi eşti dator celuilalt cu încă două pozitive, cu două laude, pentru a nu se simţi agresat. UAU! Apropos: la mulţi elevi de gimnaziu de la ora actuală se pare că raportul se îndreaptă către 1:5.

Acestea sunt aspecte ce nu se studiază în pedagogia matematică românească (cel puţin nu cât am apucat eu să văd), iar aici avem o cauză evidentă a faptului că mulţi elevi urăsc matematica, anume datorită felului în care profesorii de matematică, fiind de obicei “mai avântaţi” decât ceilalţi datorită presiunii examenelor sau a olimpiadelor, preferă doar să critice şi să scoată în evidenţă nerealizările unui elev (nu discut aici despre aspecte de genul că la matematică trebuie să corectezi greşelile de calcul, pentru că altfel ajungi “pe arătură” cu fenomenul studiat); cel puţin unii dintre profesori procedează prea critic şi nu e de mirare că mulţi elevi ajung să le fie frică sau chiar să urască matematica (dar şi tot mai mulţi elevi sunt mult prea sensibili la ora actuală, îngreunând astfel procesul de conectare matematică).

Sugerez în acest sens lectura mai atentă a pasajului din romanul Măsurarea lumii despre învăţătorul elevului Gauss, la adresa http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ . În urmă cu 200 de ani severitatea dascălilor se măsura în bătăi; acum am mai evoluat, aşa că severitatea unui profesor se măsoară în critici, cel puţin măcar în corectarea elevului în chiciţe de exprimare riguroasă. Iar unii fac aici transferul acestei atitudini şi la adresa altor colegi, cu orice preţ şi de multe ori gratuit. Părerea mea!

De pildă, legat de atitudinea cu care a fost scris comentariul respectiv, doresc să evoc aici şi o întâmplare extremă în acest sens. Începând din 2020 am organizat în fiecare iarnă un curs de trei zile de predare a matematicii în şcolile Waldorf. Iniţial s-a putut lăsă “liber” şi pentru participarea unor colegi din alte şcoli, aşa încât am avut atunci şi doi colegi neimplicaţi în Waldorf. De fapt unul era chiar pensionar. Atmosfera cursului era aşa că eu mă străduiam să le transmit participanţilor cât mai multe din aspectele specifice acestei pedagogii, diferite de cele din pedagogia tradiţională, dar totuşi păstrând o aparentă stare de convivialitate, de “masă rotundă”. Desigur că pentru unii dintre participanţi aceste informaţii erau surprinzătoare, aşa încât mai puneau întrebări. Alţii cu ani de experienţă luau cuvântul şi confirmau cele spuse din cazurile apărute la ei la clase. Colegul pensionar a făcut un pas mai departe, intrând la un moment în polemică deschisă cu mine. Am încercat să aplanez vizibilul “conflict” iar în pauză m-am dus la dânsul şi i-am spus că trebuie să-şi ţină pentru el diferitele păreri legate de anumite puncte în discuţie, că aici ne-am strâns să studiem aspecte legate de Waldorf şi că în acest sens am un parcurs bine stabilit, că nu îmi pot pierde prea mult timp cu altele ce nu au legătură cu linia stabilită conformă cu această pedagogie. Răspunsul său a fost bulversant: eu am crezut că am venit într-un loc liber la “dezbateri”, fiind evident că înţelegea prin dezbateri chiar şi polemici, fiecare “cu părerea lui” şi luptându-se aprig pentru aceasta. Oare comentariul ce a cauzat această postare este reprezintă tot un exemplu din această linie a unor polemici gratuite, de genul “care pe care”? Se prea poate. Din păcate, de obicei însă, aceste polemici nu prea se pot menţine într-o zonă elegantă şi neagresivă. Mai ales atunci când cineva vine cu afirmaţii prezentate ca “evidente” (dimpotrivă, o întrebare lămuritoare ar fi reprezentat în cazul de faţă un comentariu neagresiv, la care aş fi răspuns simplu şi pe scurt). Părerea mea!

Aici este vorba mai degrabă de o anumită mentalitate nocivă, acea de “a căuta nod în papură” cu orice ocazie. Ţin minte un exemplu în acest sens în urmă cu cca. 20 de ani. Eram foarte bucuros de o problemuţă compusă în care datele din text erau “frumoase”: un trapez în care se dădeau înălţimea de 12 şi trei laturi consecutive de 13, 14 (baza de sus) şi 15, cerându-se perimetrul şi aria. Pentru elevul mijlociu aceasta era o situaţie suficient de grea, pentru că o dădeam în perioada de învăţare şi exersare a teoremei lui Pitagora, iar seria respectivă de numere mai îmblânzea oarecum percepţia. Apoi, am primit o observaţie, că există de fapt mai multe posibilităţi de soluţie, deşi elevii vedeau întotdeauna doar forma tradiţională de trapez (cu baza 14 de sus cea mică şi cu baza mare jos, care trebuia calculată; parcă dă 28). Apoi, când am inclus problema în 2006 în culegerea de geometrie, încercând să includ toate variantele, dar şi cu implicarea fără de voie a redactorului de la editură, din problema respectivă a ieşit un dezastru. Pentru că, de obicei, la asta se ajunge când începe careva să scormonească şi să caute “nod în papură”. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Încă o dată, mulţumiri colegului pentru acel comentariu, ce mi-a oferit ocazia unei astfel de analize exhaustive a fenomenului (sper că n-am scăpat cine ştie ce aspecte importante).