Problema care a împărţit România în două

În postarea Ordinea operaţiilor în clasele primare din februarie 2016 am discutat despre cum este înţeleasă sau nu ordinea operaţiilor în ciclul primar. Problemele mari sunt legate de ordinea efectuării între operaţia de adunare şi cea de scădere, şi se pare că problemele sunt de fapt la nivelul unor învăţătoare, care apoi îi învaţă greşit pe copii. În acest sens, când simt că „miroase” în clasă a o astfel de greşeală, eu îi întreb pe elevi: între adunare şi scădere, care operaţie se face prima?. Vă daţi seama ce distractiv-bulversantă devine ora dacă primesc un răspuns de tipul: adunarea!, la care dau din cap că-i greşit; apoi, repede careva are impulsul de a da celălalt răspuns posibil, după mintea lor: scăderea!, la care eu iarăşi răspund că NU!. După o clipă de linişte bulversată, careva răspunde sigur pe el: prima care-i scrisă!, iar eu în sfârşit mă arăt mulţumit. Uneori mai pun şi a doua întrebare: între înmulţire şi împărţire, care operaţie se face prima?, iar elevii ştiu de data asta răspunsul corect din prima.

La adresa Ordinea operaţiilor pe internet (august 2016) am tratat exemplul unei situaţii de ordinea operaţiilor propuse “internauţilor” străini, care scotea în evidenţă faptul că unele astfel de exerciţii nu se pot rezolva cu “calculatorul de buzunar”, fie el chiar şi din “deşteptofon” sau de pe laptop. În momentul acela mândria noastră de mari olimpici ne făcea să pufnim de râs profund dispreţuitor.

Iată, însă, cum arată o astfel de situaţie pe plaiurile mioritice ale internetului. Este vorba de banala “problemă” 7 – 5 + 2 = ?, despre care puteţi lectura prezentarea de la adresa Problema ASTA a impartit Romania in doua!. Dacă nu doriţi, iată aici materialul respectiv în variantă prescurtată (corectat şi cu diacritice).

*

Sunt de-a dreptul şocat. O problemă de clasa pregatitoare a reuşit să divizeze poporul român consumator de internet. Studiu de caz pentru ce se întâmplă acum în România. Se dă problema:

Şi mi-am zis că e o glumă proastă. Că nimeni nu va comenta la prostia asta şi că toată lumea ştie rezultatul. Greşit! E momentul în care îmi dau seama că trăiesc într-o mare bulă şi că realitatea doare. 52 de oameni au apreciat părerea lui Andrei. 52 DE OAMENI! Nu numai că Andrei şi Matematica sunt paraleli, dar oamenii au aprecit şi faptul că el îi face idioţi pe toţi ceilalţi. Cum nu se poate mai bine! Apoi vine rândul „idioţilor”:

De aici, cele două tabere, „idioţii care cred că e 0” şi „idioţii care cred că rezultatul e 4”, încep să se certe şi să îşi arunce jigniri despre mamele şi rudele celorlalţi, (…), despre „scoala care au facuto”. Te doare mintea!  86 de oameni au apreciat explicaţia lui Mihai, dar şi faptul ca el i-a numit „cretini”:

Iată concluziile lui Silviu Iliuţă, autorul acestui eseu publicat pe Cronici pe bune:

  1. O problemă simplă  a reuşit să creeze pe net două tabere care se jignesc, se acuză, aruncă cu rahat. incredibil! Vă daţi seama ce se întamplă la problemele adevărate şi cât de uşor e să divizezi românii, aruncându-le o simplă prostie pe net?
  2. Cu riscul de a părea extremist sau orice „-ist”, eu cred că cei din tabăra celor cu răspunsul 0 nu ar trebui să voteze. Trebuie să li se explice frumos care e treaba cu ordinea operaţiilor. Dacă insistă în răspunsul lor, cred că nu ar trebui să meargă la vot (…) Pentru că nu ai cum să votezi, dacă Olguţa îţi promite că îţi creşte salariul cu 0 lei, iar tu te bucuri şi îi dai votul. Nu ai cum să ai drept de vot, dacă Liviuţ îţi spune că ţi se înmulţesc veniturile cu 1, iar tu îi dai votul pentru asta.(…) Pur şi simplu ţi-e mai bine dacă votează alţii pentru tine! Eşti mult mai în siguranţă. (…)
  3. Oricât de prost pregătit e un om, nu trebuie să îl jigneşti! Nu eşti DELOC mai presus decât el dacă îl faci „idiot”! Încearcă să îi explici frumos, chiar dacă el este agresiv. Este foarte important să avem înţelegere. (…)
  4. Daca aţi citit acest articol şi încă vă întrebaţi care e răspunsul corect, vă rog frumos, în genunchi, să nu mergeţi la vot! Din spirit civic. Nu este nicio problemă că nu ştiţi, ar fi de apreciat dacă aveţi deschidere să învăţaţi, dar chiar este o problemă dacă votaţi.

*

Da, să revenim la partea de matematică, oricât de minimalistă ar fi aceasta în subiectul de faţă. Oricum, putem sta liniştiţi: în meciul „celor cu 4” în confruntare cu „cei cu 0”, scorul final pare să fie undeva la 86-52, raportul fiind cam de 3 la 2. Lăsând gluma de-o parte, ar trebui să vedem de unde vine o astfel de minunăţie; de ce totuşi „doi din cinci români” cred în a doua variantă? La începutul prezentului articol am amintit bănuiala că unele învăţătoare traduc simpla enumerare a operaţiilor de ordinul I într-o ordine obligatorie. De pildă, în citatul: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea (Matematică şi explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House), diferite persoane cu o structurare mai filologică a creierului vor înţelege regula astfel: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi doar apoi scăderea.

Nu vreau să discut despre cine este responsabil pentru această greşeală din mintea acestor doamne învăţătoare; mai mult mă interesează despre cine este în măsură să corecteze respectivul aspect. În acest sens cred că noi, profesorii de matematică ar trebui să ne propunem să abordăm cu tact şi cu respect faţă de colegele noastre acest subiect şi să încercăm să eradicăm defectul din gândirea lor în discuţii calme şi civilizate cu dânsele. Nu e simplu, dar cred că se poate.

Putem privi lucrurile şi altfel: se prea poate ca învăţătoarea să fi predat bine, dar această confuzie să apară în mintea micuţului, neatent, neconcentrat, nepasionat de fenomenul matematic, poate şi alţi de ne-…, în mintea sa rămânând peste ani doar vocea stridentă a doamnei învăţătoare care striga la el: CARE-I ORDINEA OPERAŢIILOR? CE OPERAŢIE TREBUIE FĂCUTĂ AICI PRIMA, COPILE?, astfel încât atunci când a văzut ca adult scrierea 7 – 5 + 2 să se fi declanşat doar amintirile spaimelor din copilărie, gândind cu o voce interioară tremurândă: Oare aici pe care trebuia să o fac prima? Probabil că adunarea, că ştiu eu că în copilărie tot urla aia la mine dacă le făceam în ordinea în care erau scrise. Astfel, cred că este foarte posibil că şi aspectele psihologice să influenţeze situaţia acestui 7 – 5 + 2, cel puţin în unele cazuri.

Evident că persoanele care susţin că se face adunarea înaintea scăderii nu şi-au însuşit cum trebuie principiul conform căruia semnele de + şi – dintre numere pot fi privite atât ca semne de operaţie, cât şi ca semne ale unor numere pozitive sau negative. Aici trebuie atrasă atenţia şi asupra unei alte situaţii care este cu totul nouă pentru noi. În scrierea 7 – 5, al cui este semnul minus? Deci, cum se citeşte o scădere? Se citeşte 7 – … 5 sau se citeşte 7 … – 5? (cele trei punctuleţe mimează o pauză) Obişnuinţa la baza învăţământului românesc, încă de la începuturi este că minusul aparţine lui 7. De unde ştiu asta? Păi uitaţi-vă unde pune învăţătoarea semnul de scădere la o scădere cu numerele unul deasupra celuilalt: după numărul descăzut, în dreapta sa. Acolo îl punem şi noi profesorii! Forma corectă ştiinţific este însă că minusul este al lui 5. Aşadar semnul de scădere ar trebui pus lângă scăzător, la stânga sa, adică în faţa sa. De ce să-l punem acolo?, veţi întreba. Pentru că aşa e corect, iar asta ar preîntâmpina multe neînţelegeri. Nu mă credeţi, aşa că scot „artileria grea” a argumentelor: aşa fac şi nemţii, dar şi alţi vestici! Uitaţi în următoarea poză:
Aţi văzut unde este poziţionat semnul de scădere, sau v-aţi uitat doar la mitraliera învăţătoarei? Amândouă se potrivesc în oarecare măsură discuţiei noastre. Revenind la semnul minus din scădere, acesta poate fi pus şi la scăderile din cadrul împărţirii. Nu înţelegeţi cum? Ia aduceţi-vă aminte cum se face chestia asta în algoritmul de împărţire a polinoamelor: este acelaşi lucru, doar că nemţii o fac de la început în forma corectă. De ce? Că-s nemţi şi aşa fac ei lucrurile, corect din prima. De ce nu le facem şi noi aşa? Cred că intuiţi răspunsul.

Revenind la dificila noastră problemă cu ordinea operaţiilor, cred că am fost un pic cam necinstit la începutul acestei postări, în sensul că nu cred că doar învăţătoarele sunt de vină. Mai exact, dacă noi suntem atât de buni pe lângă dânsele, de ce nu remediem noi problema? Din clasa a 5-a toţi elevii ajung pe mâna unui profesor de matematică şi totuşi 2 din 5 internauţi au dat-o în bară cu banala secvenţă 7 – 5 + 2. Oare de ce? Cum se poate întâmpla aşa ceva? Păi, să vă prezint bănuiala mea: cu o programă atât de încărcată şi cu atâta preocupare pentru olimpiade încă din clasa a 5-a, cine mai are timp să se ocupe de ordinea operaţiilor din capul „elevilor slabi”? Pentru că da, profesorul de matematică visează numai la chestiile grele. Să corectezi astfel de gafe din gândirea elevilor trebuie să te ocupi măcar o oră, poate chiar două, cu astfel de banalităţi, iar apoi, ulterior să mai reiei subiectul de câteva ori ca să-l fixezi definitiv. Pentru asta trebuie să faci tu personal multe fişe, pentru că în culegeri nimeni nu pune „exerciţii pentru proşti”; toţi vrem să ajungem cât mai repede în zona „de excelenţă”. E greu, ştiu, să te cobori la nivelul „celor slabi” şi să te preocupi şi cu ei, dar dacă noi n-o facem, n-o va face nimeni. Ştiu, veţi răspunde că nu e vina noastră, a profesorilor de la clasă; s-o remedieze familia, direct sau prin intermediul meditatorul particular! Ce mă interesează pe mine chestia asta? Înspectorul de mate îmi cere şi mă laudă pentru rezultate la olimpiadă, nu pentru „looseri” recuperaţi. Un profesor bun se adresează în lecţii elevilor buni, nu codaşilor clasei.

Exagerez? Poate. Pentru o impresie artistică mai bună am dat un pic drumul unui ton mai agresiv, dar realitatea nu este deloc departe de prezentarea mea. Haideţi să dau câteva exemple culese de curând (adică în luna martie 2018), care ne arată cum materia este îngreunată artificial de către profesori şi dusă uneori departe de orice posibilitate de înţelegere de către elevi, potrivită vârstei şi cunoştinţelor acestora. Materia „zboară peste elevi” atât de sus încât de multe ori rezultatul mult lăudatului învăţământ românesc este cel văzut în exemplul de mai sus cu 7 – 5 + 2.

Trigonometria în clasa a 7-a se face în triunghiul dreptunghic, aplicându-se unghiurilor ascuţite din acesta. În clasa a 7-a nu se învaţă funcţii trigonometrice, pur şi simplu pentru că elevii încă nu au învăţat noţiunea de funcţie. În clasa a 7-a profesorul trebuie să aleagă titlul lecţiei undeva între Trigonometrie, Elemente introductive de trigonometrie sau poate Rapoartele trigonometrice. În clasa a 7-a sinus nu este funcţie ci este raportul dintre cateta opusă unui unghi ascuţit şi ipotenuză. Şi dacă tot am ajuns la unghiurile ascuţite pentru care calculăm rapoartele respective, aceste unghiuri particulare sunt 30o, 45o şi 60o. În nici un caz nu le putem da elevilor un tabel extins cu valorile 0o şi 90o, pentru că elevii nu-şi pot imagina cum este acela un triunghi dreptunghic cu un unghi de 0o sau cu încă un unghi de 90o. La fel de absurd ar fi dacă elevul s-ar poziţiona în unghiul drept încercând apoi să caute cateta opusă.

Acestea sunt gafele de predare cu care mă întâlnesc din când în când. Acum însă mi-a fost sesizat cazul unui coleg care a tratat aproape o oră întreagă funcţile trigonometrice fără să vorbească despre triunghiul dreptunghic, deci nici despre laturile sale. În schimb, pe lângă diferitele „formule fundamentale”, aflăm că dacă unghiul x este obtuz atunci cos x < 0 (!!!). Urmează multe exerciţii în care pornind de la o valoare a unei funcţii trigonometrice se calculează celelalte trei. Apoi, de niciunde apare brusc sin30o = ½ din care sunt deduse în continuare celelalte – da, aţi ghicit – pe baza formulelor fundamentale. Abia acum, spre sfârşitul orei, apare un nou titlu: Triunghiul dreptunghic Funcţii trigonometrice în care vedem în sfârşit un triunghi dreptunghic şi găsim rapoartele cunoscute sin = cateta opusă/ipotenuză etc. Aici elevii sunt informaţi că dacă cunoaştem un unghi (30o, 45o sau 60o) şi o latură, aplicăm funcţiile trigonometrice şi aflăm TOT. În sfârşit ajungem la primul exemplu folositor elevului de clasa a 7-a, dar după prima latură calculată s-a sunat, deci s-a dat tema şi gata ora. (din nou: !!!)

Descompunerea în factori a expresiilor de tipul x2 + bx + c în clasa a 7-a este un titlu destul de general şi se face mai mult pe cazul formulelor de pătrat a binomului. De abia în semestrul I al clasei a 8-a se cere mai serios să descompună toată lumea expresii de tipul x2 + 3x – 10 etc. Ecuaţia de gradul II vine în clasa a 8-a semestrul II, deşi la examen nu s-a dat în ultimii ani deloc. Elevii încep de abia în clasa a 9-a să se întâlnească puternic cu formulele generale ax2 + bx + c = 0, Δ = b2 – 4ac şi x1,2 =  –b ± radical Δ supra 2a (scuze de scriere, ca să nu aveţi probleme la citire) şi respectiv ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). A da elevilor în clasa a 7-a forma generală a rezolvării ecuaţiei de gradul II pentru a avea o formă generală de descompunere, înaintea oricărei variante particulare, este pur şi simplu bătaie de joc la adresa gândirii elevilor. Iată doar un argument în acest sens: elevii tocmai ce au învăţat formulele binomiale în care literele reprezintă numere doar în valoarea lor absolută, nu şi cu semnul lor. Astfel, de exemplu în cazul (x – 3 )2, unde a = x şi b = 3, aplicăm formula pătratul unei diferenţe. Atenţionez că în mintea elevilor din aceast moment b nu este – 3, aşa că nu aplicăm formula pătratul unei sume, după modelul [x + (– 3)]2 (acest pas, includerea semnului în literă, acesta apare doar la formula pătratul unui trinom; la aceasta nu se mai dau toate variantele de formule, în toate combinaţiile de semne + sau –, elevul fiind forţat aici să vadă numărul împreună cu semnul său). Ca urmare, în calculele de la formulele generale pentru ecuaţia de gradul II elevii vor greşi masiv la semne. Sigur, putem striga la ei, îi putem ameninţa cu lucrare de control, dar cu ce preţ, mai ales că oricum ei încă nu au văzut nici măcar o singură ecuaţie particulară de gradul II. Las cititorului „bucuria” de a găsi şi alte contra-argumente. Precizez doar că acest exemplu apare destul de des în ultima vreme, tot mai mulţi profesori preferând să „scurtcircuiteze” drumul greu de formare a gândirii algebrice a elevilor de clasa a VII-a, dându-le o reţetă general valabilă cu care să-i terorizeze. Şi asta în condiţiile în care mare parte din elevii claselor nu stăpânesc formele elementare de descompunere în factori.

Desigur că acestea nu sunt exemple izolate. Ce părere aveţi de un profesor de liceu care-i explică unui elev de clasa a VIII-a rezolvări prin radiani? Iar copilul docil stă să treacă urgia peste el, încercând să înţeleagă cumva chestia asta prin regula de trei simplă. Sunt de acord că-i va folosi pe viitor, dar atunci hai să punem învăţătoarele să facă radicali cu ei, iar în clasa a V-a, imediat după operaţia de putere am putea face şi logaritmii, că „ce-are?”, le va folosi mai târziu.

Să mă opresc? Veţi spune că exagerez, aşa că haideţi să mai dăm două exemple, ca să ne convingem de magnitudinea fenomenului. Ce spuneţi de titlurile următoare la clasa a VII-a (acum, în aprilie) şi, mai ales, ce părere aveţi despre efectul acestor lecţii într-o clasă de nivel mediu fără participanţi la olimpiada judeţeană? Iată: Valoarea minimă şi valoarea maximă a unui polinom de gradul II; sau, lecţia următoare: Ecuaţii de gradul II cu mai multe necunoscute, în condiţiile în care elevii clasei respective încă nu reuşesc clar să facă ecuaţii particulare sau generale de gradul II cu o necunoscută (toate acestea la titlul oficial Ecuaţii de forma x2 = a). Ar trebui să mulţumesc colegului respectiv pentru aceste exemple (vreau să spun: contra-exemple), dar sunt doar scârbit de situaţia respectivă.

Oare cum se simte un profesor care face aşa ceva elevilor, fără nici un dram de empatie faţă de fiinţa şi gândirea elevului, a elevului disperat că nu pricepe nimic sau mai nimic? Sunt sigur că mulţi elevi sunt leneşi şi nu au nici un chef să înveţe. Sunt sigur că mulţi nu au dotarea necesară pentru a înţelege matematica în general. Dar tot aşa de sigur sunt că mulţi dintre adulţii avariaţi matematic reprezintă victime rămase în urma activităţii unor învăţătoare incompetente sau a unor profesori exagerat de ambiţioşi (frustraţi?), care fac lecţii mult prea grele şi mult prea devreme, fiind total lipsiţi de orice urmă de tact pedagogic. Cu astfel de contraexemple de lecţii ale unor colegi, îmi vine greu să mă semnez ca profesor. CTG

Ziua lui Pi

Primii care au reuşit să aproximeze mulţumitor aria cercului şi implicit prin aceasta şi numărul Pi au fost vechii egipteni. În Papirusul Rhind se găseşte o aproximare a discului înscris în pătratul de latură 9 în două faze. Mai întâi aria discului este aproximată cu aria octogonului ABCDEFGH obţinut pe treimile laturilor pătratului circumscris. Optic această aproximare pare destul de bună ducând chiar la un raport aria disculu/aria pătratului razei de cca. 3,11. Apoi egiptenii măreau aria obţinută 63 cu o unitate, la 64 care este aria pătratului de latură 8, generând o aproximare şi mai bună, de 3,16 pentru Pi. Cu alte cuvinte, aria discului de diametru 9 era aproximată cu aria pătratului de latură 8. (scuze pentru tabla execrabil ştearsă la ora de la care am făcut poza următoare).

Despre temele de casă date copiilor

În data de 8 noiembrie 2017 Moise Guran a găzduit la postul Europa fm, în cadrul emisiunii România în direct o foarte interesantă dezbatere cu ascultătorii, subiectul fiind chiar temele date la şcoală. Părerile exprimate în cadrul acestei ore de emisie au fost de o complexitate şi o profunzime greu de egalat. Eu personal, de mult vroiam să abordez acest subiect, dar acum nici nu mai trebuie să lucrez tare mult; cu greu se pot găsi aspecte de completat la cele spuse de doamnele care au prins să intre în emisiune (majoritatea). Ca urmare, am reluat în text aproape toată emisiunea. Totuşi, pentru cei care doriţi să o ascultaţi integral, o găsiţi la adresa https://www.europafm.ro/romania-in-direct-ministerul-educatiei-vrea-sa-stie-ce-parere-ai-despre-temele-copilului-tau-chiar-asa-ce-parere-ai-video/. Desigur că mare parte din emisiunea respectivă se referă la temele de la matematică, aşa că subiectul ne interesează în mod direct. Iată, în continuare, ce am selectat din această emisiune, deşi în unele momente aspectele sunt foarte fine şi nu pot fi cuprinse cu adevărat clar în textul citat în scris. Reiterez în acest sens învitaţia să ascultaţi emisiunea integral, pentru că merită cu adevărat; este “o emisiune de colecţie”.

*

Moise Guran:  …  Ministerul Educaţiei vrea să ştie ce părere avem despre teme. Mulţi dintre d-vs au o problemă cu temele date la şcoală; unii cred că acestea sunt repetitive şi plictisitoare; pe de altă parte, mulţi dintre noi ar vrea ca copilul să stea preocupat cu temele toată ziua astfel încât să nu mai facă alte prostii; în acest sens emisiunea pornea de la următoarea ÎNTREBARE: Consideraţi că într-o zi normală copilul ar trebui să petreacă mai mult sau mai puţin de o oră cu temele primite de la şcoală?

IUNIA: depinde de ce temă primeşte…; orice temă practică poate deveni un joc dacă-i captează atenţia; mai târziu jocul poate deveni mai serios. … o provocare …exerciţiile şi problemele la matematică sau la gramatică trebuie să rămână la şcoală!

DOINA:  … una din revoltele legate de teme este că se întâmplă de multe ori să vină acasă cu lecţia neînţeleasăsunt în situaţia de a preda eu noţiunea respectivă, chiar dacă uneori nu mi-o mai amintesc … trebuie să iau manualul, care la rândul lui este o problemă, pentru că este ceva stufos şi neprietenos la maxim în multe cazuri… Ar trebui să se găsească un echilibru. … parcă li se răpeşte copilăria …. Eu îi încurajez să înveţe la toate materiile, aşa ar trebui până în clasa a VIII-a; acum li se construieşte cultura generală. Nu pentru note, ci pentru ştiinţa lor este important să abordeze cu seriozitate toate materiile, numai că vin cu aşa o cantitate mare de teme încât nu le mai rămâne timp pentru joacă … MG: le-aţi spus vreo dată ”mamă, te duci pe responsabilitatea mea la şcoală  cu tema nefăcută”, le-aţi spus vreo dată? D: este atât de delicată treaba asta, pentru că dacă se duc se răsfrânge asupra lor, dacă mă duc să vorbesc cu profesorul în sensul acesta, profesorul o va lua personal, şi chiar dacă nu se manifestă, se va răzbuna ulterior tot pe copil … MG: sau vă calcă alţi părinţi cu maşina; am avut o astfel de experienţă, am ridicat problema într-o şedinţă cu părinţii, daţi-le mai puţine teme şi au sărit ceilalţi părinţi, era să fiu sfâşiat acolo…;  astăzi … un părinte mână forte tratează cu maximă seriozitate toate temele (MG arătând cu degetul ridicat a ameninţare), dar sfârşeşte prin a fi păcălit, că nu ştiţi ce fac ei acolo … deocamdată s-ar putea să ştiţi, dar imedit ce n-o să-i mai spuneţi (să lucreze), n-o să le mai facă, tocmai pentru că s-au obişnuit să aibă un stimul exterior: voinţa dvs.

SORINA: … o joacă până în clasa a IV-a, cu seriozitate după aceea…. Nu sunt de acord cu teme mai mult de o oră; copiii aceştia merg la şcoală şase ore, şapte, în clasa a VII-a, … MG: după şapte ore vin rupţi… S: Fiecar profesor, în afară de faptul că materia e foarte stufoasă, fiecare cere şi are pretenţia că la materia lui să vină pregătiţi … în afară de cele şase ore de la şcoală, el ar trebui încă şase ore să mai lucreze acasă; …ce facem cu copiii ăştia?  … Ştii de ce nu mai ştii ce-ai învăţat în şcoală la cutare materie? Pentru că profesorul, în loc să aibă cu elevii o discuţie interesantă în clasă, – nu generalizez, dar sunt profesori care dictează lecţia din carte în caiet, iar ei acasă trebuie să o înveţe. (Mă strecor şi eu, Titus G, retroactiv în discuţie: şi dacă o dictează din minte e mai bine???, pentru că mulţi dintre noi aşa procedăm de fapt, turuim o lecţie învăţată pe de rost de-a lungul anilor)

CĂTĂLIN: … întrebarea emisiunii e doar o parte din problemă; mie mi s-ar părea că ar fi foarte necesar ca orele de curs să fie făcute atractive astfel încât copilul să asimileze informaţia acolo … în cazul în care statul are de gând să taie temele de acasă şi să lase sistemeul de învăţământ aşa cum este acum nu mi se pare OK …. Copiii vin la şcoală obligaţi, nu-i atrage nimica; MG: ba da, acolo socializează. C: orele la care am învăţat cel mai bine şi de la care ţin minte ceva au fost orele interactive, orele la care profesorul a ştiut cumva să le facă atractive, să facă să mă intereseze. În momentul când primeam foarte multe teme acasă, mi se părea cumva o derogare a responsabilităţii profesorului şi mă pune pe mine să învăţ singur nişte lucruri pe care, dacă acasă nu le înţeleg, nu am pe cine să întreb, dezvolt nişte frustrări, nu am curajul să întreb … MG: am trecut toţi prin asta, cu timpul înveţi să fi autodidact …

TINELA: am o fetiţă în clasa a VII-a, primeşte teme multe şi proaste, la algebră, la geometrie, acelaşi tip de exerciţiu, de făcut de zece ori, pentru că aşa se procedează, consider că sunt inutile; copilul mă întreabă de ce trebuie să-l fac de atâtea ori?… aş vrea mai puţine teme. Copilul meu petrece mai mult timp la şcoală şi la teme decât mine la lucru. … copiii trăiesc o stare de stress continuă … la şcoală l-i se predă şi nu sunt decât ascultaţi şi l-i se dau testări; de fapt noi facem un fel de home-scooling, lucrăm acasă şi de la şcoală primim teme … Jumătate din copiii care ajung la neurolog cu dureri de cap sunt din cauza stresului şi a oboselii. MG: de ce dvs. nu puteţi să recalibraţi efortul? T: Am încercat la şedinţa cu părinţii să spun că primesc teme multe şi toată lumea s-a uitat la mine ciudat pentru că majoritatea părinţilor spun să le dea, ce să facă, să bată mingea? Da, au nevoie să bată şi mingea pentru că sunt copii … MG: spuneţii copilului “dacă vi acasă cu un cinci nu-i nici o tragedie”… T: i-am spus şi asta, i-am spus să facă din fiecare câte un exerciţiu, dacă are mai multe la fel, dar copilul îmi spune că nu vrea să facă lucrul ăsta, să fie diferită de ceilalţi, ca profesoară să o scoată la tablă şi să-i spună “a da, tu n-ai făcut tot, ia să vedem de ce n-ai făcut, ştii sau nu?”. MG: e o lipsă de respect să sfidezi profesorul, să-i spui că mama a zis să nu fac exerciţiile astea … T: eu trebuie să-mi apăr sănătatea copilului. Ori, dacă copilul petrece patru ore seara la teme, merge la şcoala după-amiaza, de la 12 la şase, după cină, dacă te apuci la 7 ½, 8, până la cât credeţi dvs. că pot face teme? Două ore minim, dar are mai mult. Dimineaţa, te trezeşti la 7 ½, iei micul dejun, nu mai spunem că nu au timp de alte activităţi, mai faci 2-3 ore dimineaţa; atunci vă întreb, cinci cu şase sunt 11 ore pe care copilul le petrece studiind şi învăţând la şcoală (la şi pentru), mai mult timp ca noi la serviciu. MG, zâmbind: da, dar vor fi antrenaţi pentru viaţă. T: aşa zic şi eu, dacă mai apucă să aibă pentru ce să se antreneze. MG: ceea ce descrieţi dvs. ştim mulţi dintre noi, am trecut prin asta, problema este ce faceţi dvs. ca părinte. Ce faci ca părinte, îl scoţi din rând sau nu? T: Da, ar trebui să facem ceva ca părinţi, … nu ne vedem decât propriul interes, copilul meu să se vadă odată scăpat de acest sistem de învăţământ, ne uităm degeaba în stânga şi-n dreapta la finlandezi şi la alte state care fac ceva cu sistemul de învăţământ, noi mergem cu el aşa; ce notă merită sistemul nostru de învăţământ? Ar primi nota zece pentru că rezistă!!! Adică, aşa prost cum este, acesta a rezistat, în prostia lui, a rămas aşa, fără să fie nici o modificare (semnificativă) de-a lungul timpului. Acei profesori şi învăţători care mai există (cei de calitate), aceia ar trebui să facă ceva, să se facă auziţi. Pentru că ei au putere să schimbe ceva din interiorul sistemului. La o oră deschisă profesoara a scos copiii şi a făcut un fel de joc şi a fost foarte lăudată la sfârşit: “vai, bravo, ce frumos că faceţi sub formă de joc” etc. După ce a plecat inspectoarea respectivă totul s-a derulat în sistemul vechi, adică treci la tablă, te ascult, stai jos, mâine iar la fel şamd, fără să fie nici un pic antrenant … .

FLORENTINA: Copilul, elevul trebuie să-şi facă temele acasă în funcţie de determinarea lui, de dorinţa lui de a afla lucruri, să fie responsabil, să fie ajutat să înţeleagă că asta-i meseria lui … Sistemul de învăţământ o să se schimbe când se vor schimba şi părinţii copiilor. Dacă nu-l responsabilizezi, dacă nu-i stârneşti curiozitatea pentru discipline, sunt frumoase disciplinele şcolare … un copil poate să-şi facă temele într-o oră pentru că e mai ambiţios, pentru că-i merge mintea, pentru că e ordonat … MG: pentru că a înţeles din clasă, pentru că i s-a predat foarte clar în clasă ceva şi, da, atunci n-ai nevoie acasă mai mult de 2-3 exerciţii la mate, de exemplu F: pentru că a fost atent în clasă, pentru că a pus întrebări, pentru că îşi asumă lucrul ăsta. MG: dvs. sunteţi dascăl. F: Nu sunt dascăl, sunt părinte. … MG: sunt profesori la a căror materie copiii nu au teme …. Profesorul îi poate stimula să caute lucruri, acum au internetul la dispoziţie, … procesul de gândire este cel care contează.

ALINA:  … sunt necesare temele acasă; acum, depinde de fiecare copil în cât timp îşi  face temele. Copilul cel mare (clasa a VI-a) prinde din clasă, … face temele în maxim 45 min. Cel mic (clasa a II-a) merge mai greu, nu este atent, nu este aşa de interesat ca cel mare … MG: vă vând un pont: ce învaţă (pe de rost) seara, are să ştie mult mai bine dimineaţa. F: pentru mine nu este o problemă, fiecare face cum poate. Temele sunt necesare, pentru că în clasă profesorul – oricât este de bun – … nu poate să-i facă pe toţi să înţeleagă …. Profesorului îi este greu să-i disciplineze pe toţi 34 din clasă, sunt şi copii mai rebeli. MG: Şi noi eram 40 în clasă, dar rebeliunile erau destul de rare; profesorii erau mai autoritari, dar erau şi profesori care ne atrăgeau pur şi simplu atenţia cu ceea ce ne spuneau. În primul rând despre asta e vorba. Poţi să faci chimia să fie atractivă, eu zic că poţi; poţi şi fizica şi matematica, eu nu cred că vre-un profesor are scuză că nu erau copiii atenţi. F: … consider că şi acasă trebuie să te mai uiţi un pic peste ce s-a făcut la ore. … Avem timp pentru toate dacă se organizează.

CAMELIA: lucrurile trebuie luate de la bază, cu ce ieşim noi din liceu, din facultate? Pentru că s-a  dovedit ştiinţific că doar 6% din noţiunile învăţate rămân. … m-am îmbolnăvit, mi-a căzut jumătate din păr când am avut examene … şcoala, aşa cum este făcută la noi este aproape inutilă, … Copiii sunt copii, toţi sunt o hârtie albă atunci când vin la şcoală … de ce în alte părţi se poate şi la noi nu se poate? MG: răspunsul e foarte simplu: o să vă luptaţi cu o întregă clasă politică şi cu 200.000 de dascăli, eu sper că măcar jumătate dintre ei au totuşi o altă opinie, în ţările alea de care auziţi dvs. că performează învăţământul, acolo acesta este croit în jurul copilului … temele de acasă sunt cele care-i fac pe copii prizonieri. Sunt ele eficiente? Asta urmează să aflăm (la examene)

CRISTINA: consider că învăţământul nostru are foarte multe probleme. Temele pentru acasă sunt şi o corvoadă şi un ajutor. Tu ca părinte, în măsura în care îţi permite şi timpul, verificând şi lucrând cu copilul acele teme, îţi dai seama ce anume nu a înţeles din clasă, unde manualul este cu o exprimare nepotrivită pentru vârsta acelui copil, şi să îl ajuţi prezentându-i tu materia acolo unde profesorul în clasă nu reuşeşte … Nouă temele ne mănâncă destul de mult timp, sâmbăta din weekend şi 2-3 ore când ajung acasă (de la serviciu) … MG: este evident că trebuie corelat timpul pe care-l petrece copilul acasă învăţând sau făcându-şi exerciţiile şi problemele de la matematică, sau scriind orice, cu timpul pe care-l petrec la şcoală. În momentul de faţă nu există (această corelare) şi noi toţi ştim că le-am transformat copilăria într-o corvoadă. Până la un moment dat, când tu, ca părinte, zici STOP: muncesc pe bani, o să-i pun pregătire şi – din păcate – nimeni n-a făcut un astfel de studiu, … sunt rare cazurile când copiii care au performanţe … atunci când  au mers numai pe educaţia de la şcoală.

*

Da, cam acestea au fost în mare gândurile exprimate (apreciez că textul de mai sus reprezintă cca. 70% din totalul emisiunii). Am subliniat câteva dintre ele ca deosebit de importante, deşi tot ce am reluat din emisiune are o valoare deosebită. Consider că este imposibil a găsi o descriere clară şi unică a subiectului, chiar şi numai a nucleului acestuia, aşa că cea mai bună este o descriere cât mai completă a aspectelor implicate şi a diferitelor puncte de vedere. Iar acest lucru l-a reuşit emisiunea lui Moise Guran din miercurea respectivă: o agoră în care, prin voia sorţii, au intrat în direct păreri foarte bune şi realiste. Urmăresc când am timp emisiunea România în direct şi am auzit multe “vrute şi nevrute” spuse de ascultători intraţi în direct; Moise nu apucă să-i scoată de pe linie întotdeauna, aşa că emisiunea are de obicei şi păreri calificabile drept “rebuturi”. De data aceasta însă cantitatea de valori a fost covârşitoare, generând clar o “emisiune de colecţie”. Comentarii la aceste gânduri, dar şi adăugări, voi încerca într-o postare separată. Acum mă mulţumesc să vă fi prezentat doar emisiunea respectivă. CTG

Profu’ de mate’ din Vancouver

Din şirul analizelor critice la adresa şcolii din România, vă recomand postarea din 19.09.2017 De la directoarea îmbrăcată în vuittoane, la proful  de mate în pantaloni scurţi sau cum mi-am dus fiul de 16 ani la reanimare într-un sistem de învăţământ normal, de pe Republica, semnată de Ada Bucur.

Iată, pentru trezirea curiozităţii, ultima parte a articolului, partea în care Andrei descoperă că există şi profi’ de mate’ super, cât şi o scurtă analiză a acestuia după primele zile în noua sa şcoală din Vancouver, Canada.

*

Cel mai tare m-am amuzat când a venit şi m-a întrebat: „- Ştii care e proful meu preferat?”  „- ?”  „- Ăla de mate! Ne explică atât de bine totul! Şi face glume aşa de bune! Şi vine la şcoală în pantaloni scurţi!” (M-a amuzat pentru că lui Andrei nu i-a plăcut niciodată matematica şi mă gândeam cam cum ar fi ca proful ăsta în pantaloni scurţi să-l facă pe fiul meu să-i placă o materie care până acum l-am forţat să o înghită de voie, de nevoie).

Chiar dacă e abia la început, l-am rugat pe Andrei să puncteze pe scurt, aşa cum vede el lucrurile, diferenţele dintre liceul din Vancouver şi cel din Bucureşti. Iată ce mi-a spus:

  • mult lucru practic care mă ajută să înţeleg ce mi se predă vs multă teorie greoaie pe care nu o înţelegeam;
  • se lucrează mult în echipă, ceea ce mă ajută să-mi fac mulţi prieteni vs totul e individual, ceea ce conduce la o continuă competiţie cu ceilalţi copii;
  • toţi profii sunt dispuşi să te ajute vs nimeni nu are timp să vorbească cu tine;
  • pe profesori îi interesează opinia noastră şi o pun în aplicare ca să ne explice cum e bine vs opiniile noastre nu contează ;
  • toti profii sunt glumeţi şi ne fac să râdem vs mai toată lumea e încruntată mai tot timpul;
  • materii mai puţine, utile, legate de ce ne interesează vs materii multe pe care nu avem timp să le înţelegem;
  • după o zi de şcoală mă simt obosit pentru că am lucrat şi am învăţat ceva interesant vs mă simţeam obosit după ore întregi de plictiseală.

Au trecut două luni de când am plecat şi, deşi mi-e dor de acasă, trebuie să mă împac cu lumea asta nouă pentru că fiul meu e la reanimare – o încercare de resuscitare a eu-lui său într-un sistem de învăţământ normal.

*

Desigur că aici ar merita să facem o analiză a diferenţelor punctate de Andrei. Multe din punctele evidenţiate ca negative ţin de o minimă decenţă înspre respectarea elevului ca fiinţă în devenire, ca viitor partener în societate, fără a-l privi de sus cu o vădit agresivă şi jignitoare atitudine de superioritate. Aceste atitudini pot fi totuşi mai bine explicate de către un psiholog. Eu m-aş opri acum doar la primele două reproşuri, care ţin direct de schimbările implementate în şcoala românească în reforma din 1980, reformă în care, mai ales la matematică, şi-au dat mâna peste capul dascălilor universitarii şi olimpiştii, împărţindu-şi frăţeşte ora de matematică, totul sub oblăduirea şi la dorinţa lui Ceauşescu, cel care dorea să demonstreze astfel superioritatea sistemului socialist prin rezultate la olimpiadele internaţionale. Zece ani profesorii au fost forţaţi să se modeleze pe o predare pe care o simţeau nenaturală, dar pe care cu timpul şi-au însuşit-o, astfel încât, după Revolutie o susţineau deja necondiţionat. Iată cele două direcţii aşa cum le-a văzut Andrei:

1) Multă teorie greoaie pe care nu o înţelegeam. Într-adevăr, nivelul de teoretizare din manualele apărute începând cu 1978 la liceu şi 1981 la gimnaziu a fost unul excesiv, mult peste tot ce înţelegeau atât elevii, cât şi profesorii. Atunci s-a introdus congruenţa, măsura unghiurilor, echivalenţa fracţiilor, divizibilitatea cu bară în locul celei cu trei puncte, la gimnaziu, sau introducerea numerelor complexe ca perechi ordonate, la liceu, iar lista poate continua la nesfârşit. În anii ’80 profesorii de matematică s-au transformat într-o subspecie ciudată de oameni care vorbesc singuri la tablă şi au pretenţia absurdă ca elevii să-i înţeleagă în limbajul lor abstract.

2) Totul e individual, ceea ce conduce la o continuă competiţie cu ceilalţi copii. Da, competiţia acerbă din clasă este doar primul pas în drumul de a strânge candidaţi pentru olimpiadele locale, judeţene şi naţionale, cu vârful în micul grup ce constituie lotul naţional. Nimeni însă nu se gândea pe vremuri, şi nici acum nu se prea gândeşte, la toate victimele colaterale rămase pe parcurs, la toţi acei copii care rămân frustraţi, speriaţi, fără prieteni, cu socialul din sufletul lor “varză”.

Problema uriaşă a celor două aspecte este că ambele direcţii reproşate de Andrei duc la un vid de educare a marii mase a elevilor. Profesorii predau lecţiile la un nivel “peste capetele elevilor”, adică de obicei atât de teoretic şi abstract, încât cei mai mulţi elevi nu le înţeleg. Cât despre partea de aplicaţii, aceasta se adresează doar elitei, fiind prin nivelul de excelenţă de obicei total inaccesibile majorităţii elevilor. Ce se întâmplă în şcoală cu această mare masă a elevilor ce nu beneficiază de factorul educativ al matematicii, acesta este un alt subiect. Ideea este că oricum aceştia rămân needucaţi matematic, cu frică şi cu ură pentru această materie. Dacă ar rămâne needucaţi doar în privinţa noţiunilor matematice, încă dezastrul nu ar fi aşa de mare. Din păcate însă, această mare masă de needucaţi matematic are la sfârşitul şcolii şi o incapacitate crasă de a gândi logic, de a argumenta şi de a înţelege când cineva îl minte. Da, aceştia sunt viitorii votanţi gata pregătiţi de a constitui o uriaşă masă de manevră pentru politicieni care promit “marea cu sarea” în alegeri şi apoi îşi bat joc de întreaga ţară. Iar profesorii de matematică ce au mers pe această linie a predării se fac direct responsabili de dezastrul în care se află ţara ca urmare a felului în care majoritatea votanţilor – foşti elevi! – se lasă fraieriţi de către politicieni şi promisiunile lor, pentru că nu au fost învăţaţi să gândească pe baza matematicii, ci au fost doar obligaţi să tocească materia.

Astfel, epistola Adei Bucur ne pune în faţa unei decizii pe care nu o putem lua decât individual: rămân în continuare un profesor croit după modelul reformei lui Ceauşescu, setat doar spre o predare mult prea teoretică şi orientat doar după probleme inaccesibile majorităţii elevilor, sau o iau pe calea schimbării şi încep să lucrez la transformarea mea într-un profesor pentru aceşti elevi ai secolului XXI, un profesor al acestei planete, conectat cu tot ce este mai bun pedagogic pe plan mondial? Am spus că această decizie de schimbare o putem lua doar individual; ministerul prin comisia de redactare a noii programe ne-a pus în faţă posibilitatea de a ne schimba, dar decizia de a ne schimba trebuie să o luăm noi, fiecare individual (acum nu vom fi forţaţi ca în comunism să ne schimbăm). Eu personal am luat această hotărâre cam prin 1994, şi de atunci încerc să lucrez constant în această direcţie. Am evoluat foarte greu, sacadat, pentru că eram de obicei singur, doar cu soţia mea ca partener în acest proces anevoios. Dimpotrivă, dvs. stimaţi colegi, aveţi acum o situaţie mult mai “roză”. Rămâne să luaţi doar decizia. Noua programă de la minister a deschis oficial calea. Cât despre site-ul pentagonia.ro, acesta reprezintă simplul şi umilul meu aport în direcţia schimbării. CTG

Prezentare de carte: Amir Alexander – Infinitezimal

Apărută în 2017 la editura HUMANITAS, lucrarea Infinitezimal a lui Amir Alexander  ne prezintă felul cum a contribuit la făurirea lumii moderne o teorie matematică periculoasă. Iată cum îşi prezintă autorul lucrarea: Este continuumul alcătuit din infinitezimale? – cu greu ne putem închipui ce pasiuni a stârnit această întrebare ciudată. Dar în secolul XVII, în toiul bătăliei, combatanţii din ambele tabere credeau că răspunsul putea modela toate aspectele vieţii în lumea modernă care se năştea. Şi au avut dreptate: când vacarmul bătăliei s-a stins, apărătorii infinitezimalelor învinseseră. Iar de atunci lumea s-a schimbat ireversibil.

În acest sens, pe coperta a IV-a a cărţii găsim următoarea prezentare mai detaliată: La sfârşitul secolului XVI şi începutul secolului XVII, Europa era frământată de conflicte violente nu doar în plan politic şi social, dar şi în aparent mult mai paşnicul domeniu al ştiinţelor matematice. Dacă pe câmpurile de luptă Reforma se confrunta cu Contrareforma, în matematică bătălia se dădea între partizanii infinitezimalelor – readuse acum la viaţă, după ce puseseră grele probleme anticilor – şi matematicienii tradiţionalişti, fideli modelelor geometriei euclidiene. Ni se pare azi greu de închipuit cât de subversivă a fost ideea de infinit mic şi ce miză politică, religioasă şi culturală a avut susţinerea ei.

Preocupat de raporturile dintre matematică, istorie şi cultură, Amir Alexander ne spune în Infinitezimal povestea  impunerii noţiunii de infinit mic la începuturile lumii moderne, subliniind consecinţele ei pe termen lung. Eroii cărţii sunt oameni de ştiinţă (Galilei, Torricelli, Wallis, Newton), filozofi (Hobbes, Locke), clerici şi conducători politici – cu toţii prinşi într-o luptă care, în ultimă instanţă, demonstrează forţa de iradiere a ideeilor din matematică.

La pagina 2 găsim următoarea prezentare: Amir Alexander (născut în 1963) este un istoric american care studiază raporturile dintre matematică, societate şi cultură. Predă la Universitatea din California, Los Angeles. Pe lângă prezenta lucrare, în original cu titlul “Infinitesimal. How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World” (2014), a mai publicat “Geometrical Landscapes: The Voyages of Discovery and the Transformation of Mathematical Practice” (2002) şi “Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics” (2010). Multe mulţumiri şi cu această ocazie d-lui Vlad Zografi, redactor al acestei traduceri, responsabil pentru apariţiile cărţilor de ştiinţă la editura HUMANITAS.

Deşi din lipsă de timp nu am putut să mă arunc în lectura acestei cărţi, am considerat totuşi potrivit a v-o prezenta. Oricum, este evident însă că lucrarea se adresează tuturor celor ce au de-a face cu elevii de liceu sau cu studenţii, pentru care se vor găsi multe poveşti interesante. Este evident că această carte trebuie adăugată pe lista de lectură “obligatorie” pentru orice profesor de matematică ce se respectă (lista orientativă de cărţi de care vorbesc se găseşte la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ ).

CTG

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) – o propunere

În programa de matematică gimnazială din 2017, la Sugestiile metodologice din final, apare următoarea indicaţie: … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … (pag. 31, indicaţii despre clasa a V-a). Aceasta vine în întâmpinarea preocupărilor mele din ultimii ani de a găsi metode alternative de predare adaptate nivelului elevilor, în sensul că am simţit de mult că pentru vechea reţetă (factorii comuni la puterea cea mai mică din descompunerile în produse de puteri de factori primi ale numerelor respective) se găsesc de la un an la altul tot mai puţini elevi care să o cuprindă şi să-i găsească rostul. Accept totuşi şi varianta că de la un an la altul creştea de fapt nivelul meu de empatie faţă de valurile de copii de clasele V-VI care nu înţelegeau şi nu erau în stare să aplice reţeta respectivă. Indiferent care o fi adevărul, m-am hotărât să prezint şi această temă în conexiune cu prezentarea celor patru ore despre divizorii unui număr. Pozele lecţiei respective nu sunt cele mai reuşite, dar din acestea se poate deduce lecţia şi parcursul acesteia. În prima poză se vede forma indicată în noua programă, formă pe care eu o predau de cca. 20 de ani (se vede folosirea culorii în prima fază, dar şi felul cum am abandonat imediat apoi culoarea, pentru a nu forma o dependenţă inutilă; din păcate portocaliul folosit iniţial se vedea bine în clasă, dar nu se vede mai deloc pe poze, aşa că va trebui să vă uitaţi cu atenţie sporită).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să deschidem şi porţi spre nou, spre ceva mai evoluat, aşa că de mulţi ani predau şi o a doua metodă, care ne permite o creştere a numerelor la care să calculăm cmmdc. Această metodă se bazează pe folosirea formei descompuse în factori a unui număr. Folosesc însă descompunerea simplă în factori primi şi nu scrierea unui număr în produs de puteri de factori primi. Această formă mai simplistă are avantajul că lărgeşte cercul celor care înţeleg ce se întâmplă; metoda cunoscută oficial este evident mai performantă, dar şi mai abstractă, cerând din partea elevilor o capacitate mai ascuţită de gândire (capacitate care la această vârstă foarte mulţi elevi încă nu o au, rămânând în urma respectivei lecţii doar cu o nouă şi puternică doză de frustrare împotriva matematicii în ansamblu). Forma prezentată în această lecţie conectează desigur şi cu diferitele strădanii din precedentele ore, aşa că pentru elevi nu este un mare şoc.

Mai întâi am studiat ce se întâmplă pe exemplul deja cunoscut al numerelor 12 şi 18 (unde am evidenţiat cu acel portocaliu palid factorii comuni în descompunerile celor două numere), după care am trecut la exemple cu numere mai mari (24 şi 30, apoi 72 şi 96). Cei doi “săculeţi” folosiţi în prezentarea descompunerii numerelor 12 şi 18 i-am mai prezentat în postările despre numerele prime de la începutul anului 2017. În multe cazuri această reprezentare se dovedeşte mai sugestivă şi simt că îi ajută pe copii să-şi imagineze mai bine comportamentul factorilor unui număr. Fiind o formă necunoscută de reprezentare (eu am imaginat-o în urmă cu câţiva ani), nu abuzez de aceasta, mai ales că oricum forma “cu bară” este net superioară şi rapidă. Astfel, în metoda a doua, numită “prin descompunere” elevii trebuie doar să aleagă factorii comuni din descompunerile în factori primi ai celor două numere (pe tablă sunt coloraţi cu portocaliu). Legat de lecţia prezentată aici precizez că la începutul orei următoare am primit “reclamaţii”: o elevă mi-a spus înaintea orei că nu a înţeles şi nu a ştiut tema, aşa că am pornit cu diverse alte exemple de lămurire şi cu reluarea celor de la temă. De abia apoi am trecut la o nouă lecţie.

Metoda merge desigur şi la trei numere, iar elevilor le-am spus că această lecţie ne va ajuta mai târziu la fracţii. Ce înseamnă “mai târziu” nu pot preciza acum cu certitudine. În principiu însă, parcursul plănuit este următorul: după lecţiile despre divizori şi cmmdc voi prezenta cât de repede posibil şi lecţia “soră”, cea despre multipli, despre multiplii comuni şi despre cmmmc. Acestea le voi prezenta însă pe scurt (într-o oră) şi doar în formatul intuitiv de bază recomandat în programa naţională. Ca urmare, voi folosi doar găsirea intuitivă a numitorului comun pentru adunarea şi scăderea fracţiilor în semestrul al II-lea din clasa a V-a. De abia în clasa a VI-a, odată cu reluarea operaţiilor cu fracţii ordinare, voi urca la exerciţii ce nu vor mai funcţiona atât de intuitiv, iar atunci ne vom reaminti de această lecţie. Tot atunci se prea poate să ajungem şi la dezvoltarea metodei a 2-a în metoda 2’, adică în forma cunoscută, cea amintită şi la începutul prezentului articol. Această metodă arhicunoscută de către adulţi (cei care au fost buni la matematică în şcoală), metoda ştiută pe de rost cu factorii comuni la puterea cea mai mică pentru cmmdc, respectiv factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare pentru cmmmc, această metodă se înţelege mult mai uşor pe cazul simplificării fracţiilor, respectiv a aducerii fracţiilor la numitor comun. Faptul mi-a fost confirmat de diferiţi elevi care, după explicaţii pe astfel de exemple cu fracţii, au avut avut acea stare de revelaţie de tip A-HA!, deci de aia zicea lecţia din clasa a V-a astfel. Astfel, în clasa a VI-a, după ce voi fi dat de lucru întregii clase pagini întregi de exerciţii de rutină din categoria Ordinea operaţiilor, cu ocazia unor exerciţii mai dificile de aducere la numitor comun, voi conduce elevii spre cristalizarea metodei 2’.

Revenind la noua programă, eu cred că în acest spectru ar trebui citită, studiată, înţeleasă şi aplicată această programă. Speranţa este că atât profesorii de la clasă, cât şi cei responsabili de formarea primilor pe noua linie vor avea destulă energie şi răbdare, încât să parcurgă procesul de înţelegere şi de implementare, oricât de mult ar dura acesta. Şi, sunt convins că va dura mult (nu ştiu câţi ani va dura, dar va dura mult). În acest sens ştiu doar că procesul învers, în urma reformei din 1980 a durat cca. 10 ani (vezi articolele despre reforma uitată postate pe această pagină în 2016: Reforma uitată (partea I) respectiv Reforma uitată
(o scurtă descriere)
). Eram elev, apoi student în acei ani, dar cunosc destul de bine situaţia de la părinţii mei, având o imagine destul de corectă asupra fenomenului şi înaintea momentului 1990 când am început eu să predau.

CTG, 29 oct. 2017

Un nou început

Generaţia noastră de profesori am fost supuşi în ultimii 20 de ani la diverse reforme, fiecare mai ambiţioasă sau mai liniştită. Mulţi dintre noi nu mai au energie, sunt sătui de atâtea schimbări, aşa că se arată reticienţi faţă de acest “al nu ştiu câtelea” nou început. Mai ales că acest nou început este poate cel mai ciudat dintre toate, mergând vizibil în contrasens faţă de majoritatea demersurilor cu care ne-am obişnuit în toţi aceşti ani.

Pentru cei care nu au înţeles încă, această nouă programă are un profund caracter reparatoriu faţă de agresiunile reformei din 1980 la adresa predării matematicii gimnaziale. Ca să înţelegem acest aspect trebuie să ne uităm un pic în urmă şi să cugetăm la ce s-a întâmplat atunci.

Înainte de acea reformă predarea matematicii în gimnaziu prezenta o abordare profund intuitivă a materiei, în care rigurozitatea teoretică apărea moderat şi cu respect faţă de mintea matematică în formare a elevilor. Odată cu noile manuale introduse din 1981 s-a impus în şcoli o predare mult mai riguros teoretică, de inspiraţie academică. Ordonarea lecţiilor – de pildă la geometria din clasa a VI-a – a fost supusă cerinţelor teoretice de origine universitară; lecţiile au fost coborâte în clase mai mici şi au fost încărcate cu aspecte specifice matematicii de olimpiadă. Iniţial, majoritatea profesorilor s-au opus, unii mai pe faţă, alţii mai pe ascuns, predând în continuare, ani buni, aşa cum ştiau dinainte, cu respect faţă de elevi. Anii ’80 au reprezentat o perioadă neagră pentru arta predării matematicii, ani în care prin inspecţiile la clasă a fost vânată nesupunerea de stil vechi şi încet dar sigur a fost eradicată rezistenţa profesorilor la noile metode de tip prelegere universitară. Astfel, la schimbările din 1990 majoritatea profesorilor fuseseră “traşi pe calapod” conform noilor principii. Treaba mergea strună, toţi erau preocupaţi de rigurozitate şi de rezultate la olimpiade. Ce mai, deşi Ceauşescu fusese lichidat, visul său despre noua formă a învăţământului era implementat şi nu mai avea opoziţie.

Lucrurile chiar au mai crescut pe această linie şi prin reforma din 1997 în care s-au introdus manualele alternative. De abia după 2000 societatea a prins glas şi a început să strige tot mai tare că “ce-i prea mult îi prea mult”. Aceste glasuri de revoltă au crescut tot mai puternice şi datorită faptului că pe copii se vede tot mai mult incapacitatea de a învăţa matematica, datorată distrugerii atenţiei prin folosirea tot mai excesivă şi mai timpurie a ecranului în toate formele sale (în ordinea apariţiei: televizorul, jocurile de calculator, internetul şi smartphone-urile). Tot mai puţini copii reuşesc “să ducă” nivelul înalt al predării şi al problemelor din această predare mult prea agresivă.

Buuun! Şi ce se întâmplă acum, când nu se mai poate sta în această formă veche (de 35 de ani) şi în sfârşit vine cineva şi propune o reformă de adaptare la nevoile şi la realităţile elevilor? Exact ceea ce era de aşteptat: unii profesori se opun, pentru că nu înţeleg despre ce-i vorba, nu doresc să iasă din “zona de confort”, din forma de gândire şi de predare cu care sunt obişnuiţi. Cum să predai din clasa a V-a fără mulţimi, fără ecuaţii, fără m-ul de la măsura unghiului, etc.? Este absolut normal ca dascălii să comenteze pe faţă sau pe la colţuri. La fel ca la începutul anilor ’80, este de aşteptat ca profesorii să refuze schimbarea. Este mai uşor aşa. Decât să te chinui să înţelegi la ce folosesc problemele “acelea stupide” cu diferitele lor metode aritmetice, mai bine le pui pur şi simplu în ecuaţie.

După acest exil ideologic de peste 35 de ani, predarea intuitivă, prin care au învăţat matematica gimnazială toţi cei de peste 50 de ani, nu este primită înapoi cu gânduri bune. Dimpotrivă, fiind neînţeleasă, este respinsă în prima instantă, uneori chiar brutal, zeflemist şi cu sarcasm. Aceasta este realitatea: deşi vrem schimbare, mulţi nu suntem încă dispuşi să părăsim “zona noastră de confort” a felului în care ne-am obişnuit să predăm matematica.

P.S. Pe când “mă perpeleam” cum să scriu mai delicat cele de mai sus, a avut loc emisiunea Avocatul diavolului la Europa FM, cu domnii Vlad Petreanu şi Cristian Tudor Popescu, de vineri, 6 Oct. 2017, în care un ascultător intrat în direct, Cătălin, „a pus punctul pe i” descriind magistral situaţia: Profesorii români sunt extraordinar de mulţumiţi de ei; (…) dar nu poţi să progresezi, nu poţi să-ţi îmbunătăţeşti activitatea dacă ai imresia că tu eşti fantastic!

Într-adevăr, dacă nu eşti în stare să te pui zilnic sub semnul întrebării, pe tine ca profesor, cu toată activitatea ta, cu felul cum predai şi cum se petrec orele tale, atunci sigur nu ai şanse prea mari de a găsi căi mai bune de a preda. Dacă tu te crezi „atât de bun”, atunci, întotdeauna vor fi alţii de vină pentru nemulţumirile ce le resimţi în activitatea zilnică; întotdeauna alţii, dar nici măcar o dată tu însuţi. Autosuficienţa reprezintă prima piedică în progresul unei persoane.

CTG, la începutul anului şcolar 2017-2018

De ziua educaţiei

Citez din emisiunea Deşteptarea de la Europa FM de joi 5 oct. 2017, cu domnii Vlad Petreanu şi George Zafiu.

  • Fireşte că de ziua educaţiei nu se face educaţie, dar nu peste tot. În Bucureşti, în Giurgiu şi pe la Brăila nu se merge la şcoală, nu se face educaţie. În altele, în restul judeţelor, elevii merg la şcoală, dar nu fac ore. E ca la bugetari: nu muncesc, dar se duc la muncă. (…)
  • Pentru noi bucureştenii e o zi mare, poţi să circuli în voie, pentru că nu se duc elevii la şcoală (…).
  • În celelalte judeţe se vor face alte activităţi, vizete la muzeu etc. Deci, o să fie aşa, fiecare cum poate; (…) o să fie un haos de ziua educaţiei cam cum e educaţia în România (…)
  • Dacă aveţi, dragi copii, diriginte care predă matematica, domnu’ sau doamna dirigintă o să zică “hai să profităm de ziua de azi şi să facem 3-4 ore la rând de matematică”; (…).

Cu alte cuvinte, de ziua educaţiei mulţi copii au avut ocazia să se educe din plin, acasă pe tablete, sau la şcoală pe smartphone (fără să-i luăm în calcul, desigur, pe cei care au făcut matematică din belşug). Poate, voi avea timp cu altă ocazie să pun în discuţie conexiunea dintre scăderea constantă a atenţiei şi a capacităţii de a face matematică la elevi, pe de o parte, şi rolul tot mai mare şi mai timpuriu al ecranului în viata copiilor, pe de cealaltă parte. Până atunci, cu stima cuvenită (în funcţie de câtă matematică aţi făcut de ziua educaţiei), acelaşi CTG.

Marea schismă dintre ştiinţele exacte şi ştiinţele umaniste şi oglindirea acesteia în organizarea materiilor şcolare

(sau: Matematica  vs. restul materiilor şcolare)

Elevul este confruntat pe parcursul şcolii cu spectacolul continuu al luptei de rivalitate între diferitele materii. Între acestea rivalitatea între matematică şi materiile umaniste este probabil cea mai accentuată. În eseul de faţă, departe de a încerca o analiză exhaustivă, m-am străduit totuşi să cuprind cât mai multe şi variate aspecte ale acestui fenomen cu puternice valenţe sociale, atât în viaţa şcolilor cât şi în societatea adulţilor.

Îmi permit să încep acest eseu cu trei citate mai speciale din punct de vedere al autorului. Este vorba despre acad. Radu Grigorovici (1911-2008), vicepreşedinte al Academiei Române, văr bun cu bunicul meu Constantin Grigorovici. Cele trei citate sunt preluate din lucrarea-colecţie Radu Grigorovici, Argumente, Despre oameni, idei şi politici, 2011, Ed. ALMA, coordonată de fiica sa Rodica Marchidan. Într-o alocuţiune din 1984 dânsul spunea:

(…) scindarea dintre cei care recunoşteau numai cunoaşterea raţională, ce-i drept limitată, dar obiectivă a lumii, drept valabilă şi cei ce susţineau superioritatea cunoaşterii mistice, iraţionale, dar integrale a ei, scindare care se contura încă din antichitatea greacă, începuse să se accentueze sub influenţa pătrunderii religiilor orientale în spaţiul mediteranean. Ea s-a declarat făţiş, dar tolerant în cadrul înfloritoarei culturi maure a secolului al 12-lea. Unii o şi datează în anul 1180 când, la Cordoba, doi mari gânditori arabi se despart fără a se fi putut înţelege: Ibn-Rushd, cunoscut la spanioli sub numele de Averrhoẽs, reprezentant al raţionalismului, ba chiar al materialismului şi al ştiinţelor naturii, şi Ibn-Arabi, mistic islamic, reprezentant al cunoaşterii iraţionale şi integrale. (pag. 180; din conferinţa Două culturi, 1984)

În 1990 Radu Grigorovici, în cadrul unei analize mai largi adresate Academiei Române relua ideea, cu câteva nuanţe modificate, considerând astfel de mare importanţă momentul respectiv:

Când a luat fiinţă (…) Academia Română a încercat să întrunească sub acoperişul ei oamenii cei mai reprezentativi pentru spiritualitatea românească (…). Academia Română, în ciuda presiunilor de a imita anumite modele preferate de regimul politic al vremii, nu a devenit niciodată o Academie de Ştiinţe. În concepţia sa, spiritualitatea unei naţiuni în general şi aceea a poporului român în particular, nu poate fi compartimentată. (…)

Mai stranie este definiţia dată Academiei Române de for cel mai înalt, ştiinţific şi cultural, al ţării. Ea ilustrează frapant ambiguitate inerentă cuvântului, în speţă a conjuncţiei monosilabice şi. Este oare vorba de enumerarea a două noţiuni similare? Sau două noţiuni care se exclud? Sau de o ierarhizare în ordine crescândă sau descrescândă? Iată întrebări care cer un răspuns. Acest şi ridică astfel probleme controversate care separă şi învrăjbesc adeseori taberele căutătorilor de adevăr ce umblă pe căi diferite.

Schizma dintre ştiinţe şi arte se conturase încă din antichitatea clasică. Artele erau predominant reprezentate în Olimp de conclavul muzelor, inspiratoare dar şi censore ale creaţiei artistice omeneşti. Dimpotrivă, oamenii de ştiinţă, filozofii, îşi desfăşurau nestingheriţi activitatea pe pământ, preumblându-se prin grădinile lui Akademos, perorând şi îndrumând tinerii ca într-un work-shop modern, fără să fie “sponsorizaţi” de autorităţi divine.

Unii istorici ai ştiinţei şi culturii dau fenomenului (…) interpretarea clară a unei schisme care s-ar fi petrecut în anul 1180, la Cordoba. Atunci s-au despărţit după lungi discuţii doi înţelepţi arabi de renume. Ibn-Rushd, cunoscut europenilor sub numele hispanizat de Averrhoẽs, preocupat de explicarea raţională pe baze materialiste a fenomenelor naturale, recunoştea caracterului limitat al adevărurilor astfel obţinute, dar le aprecia acceptabilitatea universală. Ibn-Arabi ţintea mult mai sus: el urmărea cunoaşterea holistică a lumii, văzând calea de acces către adevărul a tot cuprinzător în experienţa mistică bazată pe Islam.

În concordanţă cu spiritul tolerant al epocii şi fiind amândoi înţelepţi, Ibn-Rushd şi Ibn-Arabi s-au înţeles să nu se înţeleagă şi n-au apelat la tortură şi la rug, cum a făcut mai târziu biserica creştină apuseană în numele iubirii de oameni şi a blândului Iisus.

Schisma dintre ştiinţele naturii şi cele umaniste a apărut, cum se ştie, la sfârşitul Renaşterii. Cele dintâi şi-au ales drept metodă ideală de găsire a adevărului analiza logică, de preferinţă matematică, a fenomenelor şi confruntarea, de preferinţă cantitativă, a teoriilor imaginate cu experienţa decretată drept arbitru suprem. Antagonismul dintre ştiinţele care s-au putut conforma acestor metode de lucru şi acestor criterii de evaluare a adevărului şi cele care nu pot sau nu vor să şi le însuşească este viu până astăzi. (…) Ştiinţele umaniste şi artele nu pot aplica criterii atât de riguroase pentru recunoaşterea adevărului adevărat. Ele aplică criterii variate şi mereu variabile de validitate. (…) (pag.253-254, din articolul Punţi peste bariere, 1990)

Dar nici ştiinţele între ele n-au rămas mult timp unite. În 1992 Radu Grigorovici plusa cu următoarele gânduri despre excesele limbajului ştiinţific în contextul divizării tot mai accentuate a fenomenului ştiinţific ca întreg:

(…) Orice încercare de a arunca punţi serioase peste graniţele ce separă două sau mai multe domenii ştiinţifice presupune stăpânirea exactă şi profundă a limbajului ştiinţific al ştiinţelor ce urmează să fie legate.

Dar rezultatul cel mai grav al evoluţiei din ultimul timp al limbajului ştiinţific este ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor. Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă. Astfel, medicul nu te găseşte bolnav de plămâni sau de inimă, ci de pulmoni sau de cord, constată că acuzi o durere, şi nu o simţi, sau declară că un scriitor apreciat de oficialităţi a decedat suferind de etilism şi nu de darul beţiei. (…)

Şi de ce spitalul de oncologie să nu se cheme “pentru combaterea cancerului”? De ce să existe un colectiv de ampelografie, şi nu unul de “cercetare a viţei de vie”? De ce să vorbim între nespecialişti de epistemologie sau de deontologie, şi nu de “teoria cunoaşterii ştiinţifice” sau de “morală”? De ce o colegă vorbea într-o comunicare de nigerienii care se găsesc “în stare corporală nudă”? Cu cât era mai ruşinos să spună că “umblau în pielea goală”? Ce m-a făcut pe mine însumi să vorbesc cu o ocazie similară despre caracterul ludic al unei demonstraţii, făcută pe ecranul unui monitor, în loc să vorbesc de “joc”? Simţeam evident că aş distona cu nivelul de înaltă intelectualitate a mediului.

Efectel acestei atitudini sunt departe de a fi cele scontate. (…) Cu bunul său simţ dublat de o ironie acerbă, poporul nostru a preluat din limba rusă cuvântul “nauka” – ştiinţă pentru a caracteriza şi a caricaturiza pe omul ce o practică drept “năuc”, adică aiurit, rupt de realitate.

Iată ce spune pe o notă ceva mai serioasă, în prodigioasa revistă engleză “New Scientist”, un biolog după ce asculase la televiziune un program de matematici al Universităţii libere: “Sunt biolog, un soi de om de ştiinţă în mod notoriu mai puţin versat în ale numerelor, şi prin urmare nu e de mirare că nu înţeleg aluzii subtile la principiul lui Pontryagin sau la spaţiul neeuclidian. Sunt totuşi un om de ştiinţă şi, printr-un act teribil de voinţă, mă pot reţine de la simplificarea lui d cu d când sunt confruntat cu dy/dx. De aceea, un program al Universităţii libere ar trebui să însemne mai mult pentru mine, decât, să zicem, pentru un student în teologie. Problema este că există o lipsă de comunicare între oamenii de ştiinţă şi restul societăţii şi chiar între diferitele ramuri ale ştiinţei. Eu voi spune unui biolog că sunt etologist, dar fac economie de timp prezentându-mă altora ca unul ce studiază comportarea animalelor.”

Mai concis se exprimă în Cartea interferenţelor matematicianul Solomon Marcus răspunzând unei întrebări: “Mă refeream la modul în care matematica iese în lume. Aici suferă matematica un mare eşec – fiindcă îşi absolutizează propriul ei jargon şi astfel se izolează de lume, de societate – de tot – şi devine un fel de sectă care foloseşte un limbaj ezoteric. Acesta este adevărul amar, ce se constată în toată lumea”. La observaţia din public că totuşi matematica are şi un succes, răspunsul se conturează încă şi mai sumbru: “E un succes, dar nu unul social […] Matematica nu mai este înţeleasă în public şi, cum spunea Moisil, omul, când nu înţelege, e contra”. (pag.205-207, din articolul Limbaj şi comunicare în comunitatea ştiinţifică, 1992)

Da, astfel se văd lucrurile din punctul cel mai înalt de vedere, cel al savantului, dar un savant raţional, “fără fumuri”, deşi a fost printre cei foarte mari (concret, Radu Grigorovici a fost între cercetătorii de vârf ai grupului celor care au pus bazele ştiinţifice – studiul semiconductorilor amorfi – pentru ceea ce cu toţii folosim azi, anume celulele fotovoltaice, componente de bază de pildă în jucăriile acelea ce ne luminează calea prin grădina întunecată, după ce au transformat lumina soarelui în curent, dar folosite şi la alimentarea staţiilor spaţiale cu curent, prin acele panouri solare uriaşe ataşate acestora ca nişte aripi în zborul lor silenţios prin spaţiul întunecat).

Să analizăm în cele ce urmează cum se reflectă atitudinile, luptele şi rivalităţile din înalta societate a cunoaşterii la noi în şcoli, la noi cei aflaţi la baza cunoaşterii, care avem ca sarcină nobilă atragerea viitorilor adulţi spre “lumea minunată a cunoaşterii”.

*

Opoziţia dintre ştiinţele exacte şi ştiinţele umaniste – modelul linear în patru poziţii

Cea mai puternică opoziţie dintre două materii şcolare este opoziţia dintre filologi şi matematicieni, ca materii dominante în examinarea şcolară. Pe lângă această pereche mai sunt şi altele, dintre care aş aminti doar opoziţia năucitoare între biologie şi religie: ce poate să înţeleagă din viaţa asta, din lumea oamenilor mari, un copil care ia în serios fiecare materie în parte? Ce sistem de valori îşi poate construi în mintea lui un elev după ce-i audiază la rând pe profesorul de religi şi pe cel de biologie? Şi la fiecare mai trebuie să dea şi lucrare de control! O schizofrenie curată!

Revenind la opoziţia dintre matematicieni şi filologi, alături de obligativitatea de a colabora în sensul evaluării şi examinării de vârf (teze şi examene) şi a rivalităţii ce decurge zilnic din această stare, este evidentă opoziţia temperamentală zilnică între cele două discipline, fiecare luându-l pe celălalt în derâdere (apropos de bancul cu cei doi soţi, ea profesoară de română, el profesor de mate’). Matematicienii râd cu superioritate de colegii de limba română, unul dintre argumente fiind faptul că la examenele de română sunt des întâlnite decalaje mari între punctajele celor doi corectori ai unei lucrări, fiind considerate normale între filologi, dar absurde în matematica cea riguroasă. Dimpotrivă, profesorii de română îi acuză pe cei de matematică de răceală şi de atitudine îngâmfat elitistă. În realitate, în ambele tabere există cazuri extreme, dar şi colegi mai puţin susceptibili de a fi criticaţi de către ceilalţi, mai ponderaţi ca matematicieni sau mai raţionali ca filologi.

Îmi aduc aminte în acest moment istoria cărţilor de probleme “distractive” ale profesorului elveţian Peter Gallin. Într-o zi acesta i-a dat o problemă colegului de limba germană să o rezolve. A doua zi colegul a venit năucit pentru că, susţinea el, problema nu se putea face, nu avea date suficiente, nu se înţelegea. Peter Gallin, încercând să-i explice cum se făcea problema, a constatat o opoziţie acerbă din partea colegului filolog: nici vorbă, din text nu se înţelegea aşa ceva, nu reieşeau informaţiile pe care acum Peter Gallin i le prezenta verbal. Discutând mai aprig sau mai liniştit au ajuns la concluzia că umanistul înţelegea cu totul altceva din anumite pasaje de text decât susţinea matematicianul; astfel cei doi au ajuns la concluzia că dintr-un text redactat de un profesor de matematică, chiar dacă era într-un limbaj dorit accesibil, pentru a atrage spre gândire şi nematematicienii, din acest text cei neobişnuiţi cu rigoarea matematică înţelegeau “te miri ce”. Dorind să spargă bariera de înţelegere între cele două lumi, cei doi s-au coalizat, ajungând să colaboreze la re-redactarea problemelor compuse de Peter Gallin, astfel încât şi nematematicienii să înţeleagă ceea ce trebuia din aceste texte. Împreună au scris astfel, cu mare succes, câteva cărţi de probleme de “matematică distractivă”.

E momentul să analizăm aici o teorie mai puţin cunoscută. În primul rând trebuie atras atenţia că nicăieri în lume nu există de fapt doar două poziţii, ci că de obicei ne aşteptăm să mai existe şi o poziţie mediană, împăciuitoare între cele două extreme opozite. În realitate însă, nu găsim niciunde o poziţie mediană centrală, ci de fapt există întotdeauna două poziţii intermediare. Astfel, în realitate lucrurile nu sunt organizate în trei părţi (să zicem: stânga – centru – dreapta), ci de fapt în patru părţi (să zicem: extremă stângă, moderat stângă, moderat dreaptă şi extremă dreaptă). Şi nu doar în politică se întâmplă aşa. Pentru a înţelege mai clar, să luăm un exemplu din viaţa de zi cu zi (a unora J): dacă pe vremuri vinurile erau împărţite în vinuri seci şi vinuri dulci (două categorii), trecându-se apoi la catalogarea din engleză cu dry, medium şi sweet (deci trei categorii), la ora actuală este absolut uzual să se vorbească despre vin dulce, demidulce, demisec şi sec (deci patru categorii, două extreme şi două medii). O trecere la cinci categorii pentru vinuri, practicată de un anume lanţ de magazine, este resimţită ca prea complicată nefiind preluată de restul lumii.

În cazul unei situaţii beligerante între două tabere, cele două poziţii intermediare sunt reprezentate de către cei dispuşi şi capabili a se implica în negocierile de pace. Dacă înaintea izbucnirii unui conflict puterea în cele două tabere era în mâna celor situaţi la extreme, pentru finalizarea conflictului trebuie să intre în acţiune cei de pe poziţiile moderate. De curând am vizionat o emisiune (Rwanda – Ţara femeilor, 18 iulie 2017 pe TVR2) în care se prezenta situaţia acestei ţărişoare răvăşite după războiul interetnic între cele două triburi ale ţării: tutsi şi hutu. Am vizionat doar finalul emisiunii, dar cred că am prins ideea: Erau prezentate cazurile unor femei care au apucat să ia iniţiativă în diferite domenii de activitate, toate ducând la vindecarea unei societăţi răvăşită de crimele atroce săvârşite de bărbaţii din ambele triburi, nu numai împotriva adversarilor ca luptători, ci şi împotriva femeilor şi copiilor din tribul advers.Emisiunea se încheia cu următoarea afirmaţie: pentru Rwanda se întrevede un viitor strălucit dacă femeile îşi vor păstra rolul dominant ce îl au actualmente în ţară (citat aproximativ). Este un exemplu tipic în care opuşii extremi au trebuit să facă loc opuşilor moderaţi pentru vindecarea situaţiei. În cazul de faţă diferenţa dintre poziţiile extreme şi poziţiile moderate se vede concret până în fizic: bărbaţii din cele două triburi au reprezentat poziţiile extreme beligerante, pe când femeile poziţiile moderate reconciliante.

Revenind la viaţa unei şcoli, prin cerinţele de performanţă impuse începând cu reforma lui Ceauşescu din 1980, profesorii au fost împinşi spre atitudini şi cerinţe extreme, ştiinţele reprezentate prin acele materii intrând tot mai dur în viaţa şcolii. Astfel, pe exemplul opoziţiei analizate putem privi ca extreme poziţiile universitarilor, matematicieni respectiv filologi; dimpotrivă poziţiile mediane ar fi reprezentate în viaţa elevului de către profesorii săi din şcoală. Este evidentă poziţia centrală a elevului pe această axă, poziţia caracterizată de către Rudolf Steiner ca „poziţia christică”. Din păcate, datorită tragerii profesorilor şcolari către extreme, elevul este şi el tot mai puternic „tras între extreme”.

Poziţionarea diferitelor materii în spectrul şcolar – modelul evantai

De fapt în viaţa elevului şcoala nu este prezentă prin doar două materii, ci printr-un adevărat evantai, model ce este foarte potrivit prin prisma celor expuse în citatele de mai sus. În acest model putem liniştiţi să poziţionăm matematica într-una dintre marginile evantaiului, iar în imediata ei vecinătate celelalte ştiinţe reale, fizica şi chimia, eventual informatica acolo unde se face informatică adevărată (am reale semne de întrebare în ce măsură utilizarea calculatorului, “vândută” sub titlul de informatică, mai poate fi poziţionată în proximitatea matematicii). Apoi ar putea fi aşezate biologia şi geografia, dar cu cât ne îndepărtăm de extremitate, cu atât mai mult profesorii materiilor respective vor manifesta frici tot mai puternice faţă de gândirea matematică pură. Nu mi-am propus să fac neapărat o ordonare riguroasă, dar este evident că în extrema cealaltă a evantaiului se află artele şi religia, apoi literatura. Gramatica este ceva mai structurată, putând fi poziţionată oarecum mai către ştiinţele reale. Limbile străine cred că ar putea fi văzute pe undeva pe la mijlocul evantaiului.

Un astfel de “evantai” poate fi observat la nivelul european, analizănd felul de a fi, de a raţiona şi de a se comporta al naţiunilor continentului nostru. Astfel, se simte un fel de “axă” temperamentală: în nord-vest, la popoarele germanice simţim o răceală şi o rigurozitate logică puternică, pe când către sud şi sud-est observăm o spontaneitate şi o subiectivitate ilogică extrmă (noi denumim această stare drept “balcanică”). Fiecare se simte bine în felul lui de a fi, dar merge uneori în vacanţă la ceilalţi pentru a vedea ce şi cum. Fiecare ţară europeană îşi are locul pe acest “evantai”. De pildă, nemţii sunt mai riguroşi, fraţii lor austriecii ceva mai boemi. Şi în cadrul unei ţări se observă aceste diferenţe: este sufiecient să privim comparativ ardelenii cu răgăţenii (q.e.d.).

Revenind la şcoală, o combinare a primelor două modele prezentate aici ne poate duce la evantaiul liceelor teoretice: mate-info; ştiinţele naturii; socio-uman; filologie. Dar nici acum modelul nu este satisfăcător, pentru că, atât liniile tehnologice, cât şi artele nu-şi găsesc de fapt clar un loc ordonat în acest spectru.

Răvăşirea elevului în cercul materiilor – modelul Pizza

Mult mai potrivită m-i se pare în acest sens analogia cu o Pizza cu multe felii, fiecare reprezentând câte o materie. În acest fel am putea căuta învecinări în ambele părţi pentru o materie anume. De pildă, alături de matematică, în partea opusă faţă de fizică am putea poziţiona desenul geometric (noi, cei din generaţia mea am făcut această materie), apoi diferitele tehnologii, ajungând prin partea aceasta în apropierea artelor.Este clar că nici acest model nu este ideal, dar ne permite totuşi observaţii suplimentare deosebit de interesante, cum ar fi observarea multiplelor opoziţii ce apar între diferitele materii (de pildă “războiul” dintre religie şi biologie, ca model al luptei dintre teoria creaţionistă şi cea evoluţionistă). Desigur că mici “ciocneli” pot apărea sporadic şi între materii alăturate. Aş exemplifica aici doar felul în care colegii de fizică care pregătesc elevi pentru olimpiada din clasa a VII-a îşi permit cu neruşinare să le “predea” elevilor teorema lui Pitagora sau rapoartele trigonometrice pe un colţ de tablă în semestrul I (cu ce drept îşi permit aceştia să le povestească elevilor cea mai importantă teoremă din toată geometria înaintea profesorului de matematică?).

Neînţelegerea de între diferitele ştiinţe de care vorbea acad. Radu Grigorovici este prezentă în toate domeniile “cunoaşterii”. Putem aminti în acest sens şi schizmele dintre diferitele culte religioase; chiar şi dacă privim doar diferitele biserici creştine şi este suficient să înţelegem fenomenul în mare, felul în care cu timpul, prin aprofundarea domeniilor de cunoaştere, chiar şi spirituală, tendinţa a fost de fragmentare, de separare.

Combinând modelul Pizza cu modelul celor patru poziţii, observăm că de fapt fiecare felie are zona dinspre centru mai accesibilă vârstelor şcolare, reprezentând mai moderat domeniul, ştiinţa respectivă, pe când cu îndepărtarea de centru aceasta devine tot mai dură, mai elitistă, mai extremistă. Aici aş vedea poziţionate centrele de excelenţă. Este evident că, cu cât mai puternic diferiţii inspectori trag de profesorii materiilor respective să aducă rezultate la concursurile corespunzătoare, cu atât mai mult elevii – aflaţi în centru – sunt traşi în toate direcţiile. Învăţământul actual performant românesc trage de elev – de elevul capabil – în toate părţiile (imaginaţi-vă în tabloul materiilor în formă de Pizza pe fiecare felie ancorat un vector care trage în exterior); dimpotrivă, în învăţământul din multe ţări materia vine mult prea indulgent către elevul “cocoloşit” în centru, cerându-i mult prea puţin (imaginaţi-vă în fiecare felie atenţia profesorilor reprezentată prin toţi vectorii orientaţi înspre centru). Într-un învăţământ sănătos atenţia fiecărei materii şi a fiecărui profesor ar trebui să fie însă îndreptată într-un echilibru sustenabil, în egală măsură către nevoile şi posibilităţile elevului, dar şi către excelenţa domeniului respectiv, între anumite limite profesorul reuşind să vină astfel în întâmpinarea fiecărui elev.

Din păcate este sub demnitatea unor profesori a face paşi spre elevul bulversat în centrul acestei hore năucitoare a materiilor şcolare. Alteori profesorii sunt obligaţi să se prezinte într-o atitudine ştiinţifică rece, cu un limbaj superior, un exemplu în acest sens fiind renumita situaţie masă/greutate impusă în vocabularul fizicii, prin care este pregnant evidenţiată ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor.

De multe ori am folosit modelul Pizza cu vectorii săi pentru a explica părinţilor ce se întâmplă, de ce copilul lor este atât de bulversat de acesastă şcoală românească mult mai dură decât cea pe care au absolvit-o ei pe vremuri. Dar nici acest model nu poate prezenta toate problemele existente (am putea alege un model tridimensional, sferic – poate un pepene? – dar să nu exagerăm), aşa că haideţi să trecem la un model ceva mai liber.

Matematica în orchestra materiilor – modelul orchestrei cu prim solist

Un domn inspector de matematică spunea odată că există două tipuri de materii: matematica şi celelalte. Şi în mare parte avea dreptate: în tot spectacolul şcolar actual ce se derulează de-a lungul anilor în faţa copilului în dezvoltarea sa, matematica a ajuns la ora actuală să joace un rol atât de important şi de diferit faţă de restul materiilor, încât reprezintă clar o categorie aparte, atât de diferită faţă de tot ce o înconjoară încât situaţia este percepută de către foarte mulţi ca o ruptură clară (matematica şi restul materiilor).

Pentru a înţelege mai bine luaţi ca exemplu felul în care se poate obţine de pildă nota 8 (opt) la diferitele materii; sau nota 9 (nouă). Luaţi o notă şi imaginaţi-vă cât de uşor se obţine de către un elev neutru (nici prea bun, nici prea slab, fără talente deosebite într-o direcţie sau alta). Veţi realiza repede discrepanţa între cât de greu se obţine o notă la matematică şi aceeaşi notă la educaţie fizică, de pildă.

Dificultatea matematicii este accentuată şi de limbajul super-sofisticat ştiinţific, de multe ori folosit inconştient pentru a impresiona: Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă.

Cum reacţionează uneori elevii la aceste excese, poate fi exemplificat de pildă prin porecla dirigintei din filmul Liceeni. Mai ţineţi minte cum o chema? ISOSCEL! Treaba vine de la faptul că într-o pronunţie naturală cuvântul iese cu litera ş: isoşcel. Îmi şi închipui câte profesoare o fi urlat de-a lungul timpului către elevi neatenţi la felul cum pronunţau numele acestui triunghi.

Desigur că nici ceilalţi colegi nu dorm. În funcţie de personalitatea unuia sau a altuia apar în diferite situaţii profesori la alte materii care doresc să-şi aroge o importanţă la fel de mare ca profesorul de matematică. Astfel, în această orchestră în care apar mai mulţi solişti, lucrurile o pot lua uneori razna pentru elevi. Ştiu de pildă două situaţii din alte şcoli unde cele mai grele probleme sunt întâmpinate de către elevi la chimie.

O situaţie urâtă apare şi atunci când mai mulţi colegi, care au acumulat evidente frustrări din cauza matematicii în viaţa de elev, se coalizează împotriva colegului de matematică, acesta intrând în colimatorul răutăţilor celor ce au avut de suferit în copilărie din cauza profesorilor lor de matematică. Acuza cea mai frecventă este “că îi chinui pe săracii copii”. Desigur, însă, că odată ce copiii lor personali ajung în clasele premergătoare examenului, sub îndrumarea colegului cel păcătos în ale matematicii, atunci tot ei vor avea pretenţii de matematică cât se poate de serioasă de la cel pe care îl atacau pe vremuri.

Las onoratul cititor să tragă concluzile potrivite după această lungă filozofie, urmănd ca să acţioneze pe viitor ca atare. Cu modestia cuvenită, C. Titus Grigorovici, în vara 2017

Despre subiectele date la examenul de EN

Comentariu la articolul din 1.07.2017, de pe Republica: Profesorul care a comparat examenele pe care le dădeau bunicii noştri la matematică cu Evaluarea Naţională: Trebuie schimbat din rădăcini modul de predare, autor Raluca Ion, despre studiul profesorului Sorin Borodi din Dej, legat de nivelul subiectelor date la examene, în particular cele de la EN 2017. Merită să citiţi articolul care se găseşte la adresa https://republica.ro/profesorul-care-a-comparat-examenele-pe-care-le-dadeau-bunicii-nostri-la-matematica-cu-evaluarea-nationala (vedeţi că are două anexe foarte interesante pe parcurs, daţi clic pe textul verde).
Personal, consider subiectele de EN din 2013 la un minim încă neegalat, dar desigur că aceasta poate să fie doar o părere subiectivă. Voi ţine minte însă toată viaţa mea de profesor “şocul” resimţit în acel an legat de respectivele subiecte: şocul resimţit personal, ca profesor, dar şi şocul resimţit de societate, care s-a trezit brusc cu o densitate foarte mare de elevi cu note peste 9.50; chiar reproşul din glasul unor părinţii: mi-aţi spus că fata mea trece de 9 dacă prinde o zi bună, şi a luat 10 curat. Cât de tare mi-aţi subestimat fata! Sistemul creat de Sorin Borodi notează însă EN 2017 cu 4,11. Un minim istoric. Subiectele de EN din anii precedenţi au fost clasificate cu următoarele punctaje: EN 2010 – 5,55; EN 2011 – 5,38; EN 2012 – 5,50; EN 2013 – 4,88; EN 2014 – 5,05; EN 2015 – 4,16; EN 2016 – 4,27. Dacă nu aţi citit articolul, doresc să vă stârnesc curiozitatea prin câteva citate scurte.
O şablonizare periculoasă de la an la an, cu un grad extraordinar de mare de predictibilitatea a subiectelor. E un schematism care în matematică nu e deloc bun. Apar elevi care spun: „Dar de ce să facem asta că nu se dă la examen?”. La fel a fost şi în 2007, când s-au dat pentru examen cele 100 de variante din februarie, variante din care să se aleagă una prin tragere la sorţ în ziua examenului, iar elevii se împotriveau la clasă dacă profesorul venea cu o altă problemă decât una scoasă din cele 100 de variante oficiale.

Interviul luat de Raluca Ion surprinde şi un alt aspect de o profunzime deosebită, în legătură cu abstractizarea matematicii la orice nivel. „Pentru copiii de această vârstă nu există lucruri în afara concretului, în afara realului. Şi ce li se cere să facă? Găsiţi un număr, găsiţi două numere, găsiţi trei numere. Culegerile şi auxiliarele abundă în aceste probleme cu totul şi cu totul neatractive. Iar astfel de cerinţe fără legătură cu realitatea şi cu viaţa au coborât până la clasa a patra. Copilul, oricât ar fi de entuziast, abandonează”, spune Borodi.

„Soluţia este să schimbi din rădăcini felul în care se predă matematica în România”. Să aduci cu alte cuvinte viaţa reală în clasă şi să îi ajuţi pe copii să îşi dezvolte capacitatea de a gândi în afara şablonului. „Profesorii trebuie să îşi schimbe stilul de predare. Trebuie să lege matematica de concret, de lucrurile din jur. Matematica trebuie să dezvolte gândirea, găsirea de soluţii. Acum copiii termină clasa a opta, iau medie mare la un examen la care ştiu reţeta şi nu fac decât să îşi întărească convingerea că matematica nu are legătură cu realitatea, că e un fel de Sudoku”, crede Sorin Borodi.

Mulţumim pentru acest studiu deosebit de interesant. CTG