Măriuca şi Florin Talpeş – Bitdefender – despre profesorii de matematică

În emisiunea La radio din 28.09 2019 de la Europa fm, d-na Andreea Esca i-a avut ca invitaţi pe Măriuca şi Florin Talpeş, fondatorii firmei Bitdefender. Am ales din această emisiune câteva citate care ar trebui să ne dea de gândit, atât nouă celor de la bază, cât şi celor care se ocupă în mod organizatoric de învăţământul matematic românesc. Emisiunea merită ascultată cap-coadă de către orice profesor de matematică; eu am găsit-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ .

Din start aceştia precizează: Suntem formaţi de şcoala de matematică din România. Apoi îi auzim vorbind despre profesori cu har şi despre sprijinirea acestora, despre lipsa orelor aplicate (lucru de mână, traforaj etc.). Ceva mai târziu aflăm ce a zis Andrew Wiles la Roma:  problema nu e cu copiii, problema e cu profesorii: adică, nu că de fapt copiii nu iubesc matematica, problema e că sunt prea mulţi profesori de matematică care nu iubesc matematica. Asta o fi “la ei”, dar în nici un caz “la noi”; la noi sunt sigur că toţi profesorii iubesc matematica, problema este care matematică? (nu intru în acest subiect, l-am mai tratat cu alte ocazii; precizez doar pe scurt că – după părerea mea – în prea multe cazuri matematica spre care se preocupă profesorii nu este matematica potrivită elevilor). Dacă v-a scăpat, precizez că Andrew Wiles este cel care a reuşit să demonstreze Teorema lui Fermat în 1995 (vezi Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas)

Dl. Talpeş aprofundează tema, abordând frontal subiectul nivelului matematicii şcolare româneşti, nu a matematicii de excelenţă, ci a matematicii de masă. Astfel, dânsul aminteşte despre o discuţie cu Dl. Hanushek din SUA, economist la Universitatea Stanfort, discuţie avută la Summitul RBL (proiect de educatie): Ce impact ar avea o crestere a educatiei asupra PIB-ului in Romania?, iar răspunsul a fost următorul: daca generatia care se naşte astăzi va fi la 14 ani cu zero analfabeti functionali sau vom reuşi la examenul PISA să fim la nivelul Cehiei, adică să ridicăm cu 20 de puncte nivelul care îl avem azi la aceste examene, vom creşte PIB-ul Romaniei cu 1500.000.000.000 (1500 miliade) lei şi cu 15% an de an salariile din România. Deci, impactul în economie a unei educaţii mai bune este imens.. Şi l-am întrebat ce aţi face, spuneţi-ne trei lucruri ce le-aţi face: păi, simplu, m-aş ocupa de profesori, de profesori şi de profesori

Spre final mi-a atras atenţia următoarea afirmaţie: Studiile arată că cel mai mare progres profesorii îl fac învăţând unii de la alţii, nu cursuri, nu citind cărţi, ci învăţând unii de la alţii. Această afirmaţie este absolut şocantă în contextul în care de atâţia ani suntem obligaţi să participăm la cursuri de formare, cursuri de cele mai multe ori măcar parţial sterile, cursuri la care mai nimeni nu vrea să meargă, dar suntem obligaţi pentru că avem nevoie de “hârtia” respectivă şi de “punctele” aferente. Suntem oficial subjugaţi unui sistem în care unii câştigă de pe urma noastră, noi fiind obligaţi prin lege să le fim clienţi. Şi credeţi-mă, ştiu ce vorbesc: sunt unul dintre norocoşii care am avut ocazia să particip şi la cursuri în străinătate (sau cu profesori din străinătate) şi am avut şansa să văd şi să simt clar diferenţa. Pentru liniştea cititorului precizez că nu toate au fost lăudabile. Am în amintire şi două (*) la care îmi pare rău că m-am înscris, dar raportul acestora faţă de cele generatoare de amintiri profund pozitive este de cca. 1:10. La cursurile urmate cu formatori români raportul este orientativ invers! (* mă refer la câte un curs de 4-5 şedinţe de o oră jumate, parte a unui seminar de 5 zile cu cursuri de dimineaţa până seara)

Cât despre sfatul de a învăţa unii de la alţii în mod direct, trebuie să precizez că eu am asistat – cu titlul de a învăţa, nu cu titlul de a verifica – la ore la alţi profesori un total de cca. o lună (în Germania şi în România). Cât despre învăţatul din cărţi, aici părerea mea este că, după ce te-ai “pus pe linia corectă” preluând de la alţii, vei creşte mai departe doar dacă vei intra într-un proces de autodezvoltare prin proprie strădanie, iar asta nu se poate face decât prin intermediul cărţilor. Problema este desigur, ce cărţi alegi pentru a te forma (despre cărţile alese de mine şi de soţia mea am scris în nenumărate rânduri). Din fericire există foarte multe cărţi potrivite acestui scop, scrise sau traduse în limba română. Din păcate, majoritatea profesorilor habar nu au de aceste. Pentru cei mai mulţi profesori de matematică contează doar culegerile; cei mai mulţi nici nu conştientizează că există şi cărţi despre matematică sau despre predarea matematicii. CTG

P.S. Dacă tot vorbirăm de învăţat unii de la alţii, anunţ şi pe această cale că joi 7 noiembrie 2019 (ora 13)  voi ţine o lecţie deschisă (o oră cu elemente de tip “laborator de matematică”) cu tema Aria cercului şi numărul pi (ştiu că pedanţii spun aria discului, dar dacă dorim să venim în întâmpinarea marii mase a elevilor, trebuie să renunţăm pe cât posibil la aceste pedanterii obsesive: aşa cum vorbim despre aria triunghiului sau aria pătratului, putem liniştit vorbi şi despre aria cercului). Cine doreşte este binevenit la această activitate la Liceul Waldorf din Cluj.

Problemele de aritmetică în clasa a 5-a la doi ani de la reintroducerea în programa gimnazială şi caii din alaiul regelui

Credeam că încet am scăpat de acest subiect şi ca temele arzătoare de gimnaziu să se epuizeze, astfel încât să putem urca încet şi la teme de liceu. Da, de unde! În clasele gimnaziale situaţia este mai arzătoare ca oricând, iar realitatea înconjurătoare mă obligă să revin din nou la clasa a 5-a.

Pe de altă parte trebuie să recunosc că şi eu evoluez în timp real (adică în nici un caz nu am pretenţia că sunt din start posesorul “Sfântului Graal” al cunoaşterii predării matematicii), iar ceea ce scriu reprezintă dovada evoluţiei gândurilor mele: cu cât apar noi aspecte legate de un subiect, cu atât reuşesc să le corelez mai bine în minte şi să le înţeleg mai clar. Chiar redactarea acestor eseuri în sine mă ajută să-mi ordonez gândurile şi teoriile.

Realitatea este că mutările din noua programă de gimnaziu nu au fost deloc explicate profesorilor de matematică (darămite părinţilor). Unele pluteau în aer şi acţionau reparatoriu la alte decizii mai vechi (de pildă revenirea sistemelor de ecuaţii sau abandonarea metodei grafice în rezolvarea acestora). Altele au venit în mod total neaşteptat şi nici acum, după doi ani, încă nu sunt înţelese şi lămurite.

S-ar putea ca dintre acestea unele să îşi arate o eficienţă chiar şi fără înţelegerea lor de către profesori. Mă gândesc aici la teorema lui Pitagora din finalul clasei a 6-a şi la ce fel de  siaj va lăsa aceasta în urma sa în semestrul I din clasa a 7-a. Vom vedea în curând.

Altele sunt încă învăluite într-o ceaţă ciudată a neînţelegerii din toate părţile. Este cazul renumitelor probleme de aritmetică ce au fost introduse din nou în clasa a 5-a după un sfert de secol. Lipsesc însă explicaţiile şi justificările acestei mutări, situaţia rămânând învăluită într-o neînţelegere generalizată: profesorii nu ştiu de ce şi cum; părinţii – mai ales cei care s-ar pricepe să-şi ajute acasă la teme odraslele nedumerite – nu înţeleg de ce nu se poate prin ecuaţii; olimpiştii privesc lipsa ecuaţiilor ca pe o îngrădire. Chiar îmi este greu să evidenţiez o categorie de persoane implicate care să fi înţeles situaţia şi care să se simtă câştigată din această mutare. Haideţi să luăm pe rând principalele aspecte implicate în acest subiect şi să încercăm o lămurire.

1) Metodele aritmetice de rezolvare a unor probleme se află undeva între judecarea proprie a paşilor de făcut (gândirea off-road) şi folosirea relativ automată a unor reţete prefabricate. Formarea judecăţii şi gândirii logice se află aici alăturată şi totuşi în cea mai clară opoziţie cu învăţarea automată a reţetelor pe diferite metode. Metodele de rezolvare pe bază de diferite reţete de raţionament optimizat sunt bine puse la punct (poate chiar exagerat de bine sistematizate şi bine puse la punct). Rezolvarea primelor probleme la fiecare categorie – adică cele mai simple – introduse prin problematizare, ar avea menirea de a dizloca neuronii gândirii pure (acolo unde aceştia pot fi dizlocaţi), astfel încât elevii care au posibilitatea de a gândi să o şi facă. Şi de la cine pot ei “fura” cel mai bine arta gândirii, dacă nu de la profesorul de matematică, cunoscut ca omul care gândeşte cel mai logic? (cel puţin aşa este de aşteptat; că sunt şi contra-exemple la această supoziţie, profesori care le cer şi în liceu, la clase de mate-info, elevilor să înveţe rezolvări pe de rost, aceasta este un alt subiect)

2) Este evident că marea majoritate a învăţătoarelor nu sunt mari maeştrii ai gândirii raţional-logice tipic matematicii (cu excepţiile de rigoare, desigur). Situaţia învăţătoarelor este una care înclină balanţa mai degrabă spre predarea reţetelor, adică a metodelor de rezolvare. De la învăţătoare elevii pot învăţa metode, dar nu pot “fura” arta de a gândi. Avem în acest sens multe exemple. Unul dintre ultimele exemple ale culturii spre nongândire, despre care am aflat eu, îl reprezintă tabla împărţirii. Cine se gândeşte să înveţe pe de rost încă o tablă, pe lângă tabla înmulţirii, acela sigur nu este o persoană cu o gândire deosebit de sprinţară.

3) În aceste condiţii mutarea problemelor aritmetice în clasa a 5-a pare cel mai raţional gest. Există un singur impediment la acest pas: profesorii sunt departe de gestul de blândeţe maternă de a sta lângă cel mic cu răbdare şi a încerca să-i formeze gândirea (nu pretind că toate învăţătoarele ar poseda răbdarea şi gândul pentru aşa ceva). Profesorul este fugărit de multă materie şi vrea eficienţă. Iar eficienţa în acest caz se găseşte în ecuaţii. Mai exact, în punerea unei probleme în ecuaţie. Aşa că autorii programei au luat cea mai logică decizie: au eliminat ecuaţiile din clasa a 5-a.

Minunat raţionament! Cu o singură scăpare: nimeni nu a explicat aceste aspecte profesorilor. Tot ce am încercat să lămuresc în aceste trei puncte sunt doar gândurile mele personale; nu le-am găsit niciunde pentru că niciunde nu există nici cea mai mică justificare a acestei mutări. Dacă explicaţia mea nu este corectă, atunci trebuie că există altă explicaţie; care este această? Se poate totuşi găsi şi o explicaţie a ne-existenţei unor explicaţii oficiale: dorinţa de a evita înjosirea învăţătoarelor. Multe doamne învăţătoare s-ar simţi jignite de un astfel de punct de vedere oficial.

4) Totul bine şi logic până aici, numai că olimpiştii nu au fost deloc de acord la început cu cerinţa de a abandona mult-iubitele ecuaţii. Mişcarea i-a scos puternic din “zona de confort”. Până la urmă însă lumea s-a obişnuit cu ideea respectivă şi în general nu se mai învaţă în clasa a 5-a punerea în ecuaţie.

5) Mai rămân câţiva actori ai acestui tablou, a căror situaţie trebuie analizată: părinţii, mai ales cei buni la matematică, care nu înţeleg de ce să nu se pună o problemă în ecuaţie. Dacă au lipsit explicaţiile la adresa dascălilor, ce să ne mai aşteptăm în legătură cu lămurirea părinţilor? Singurii care ar fi putut face eficient această lămurire – profesorii – nu ştiu nici ei ce se întâmplă.

Cred că o înţelegere a acestor aspecte îl poate lămurii pe profesorul de matematică despre rolul său şi al acestor probleme în formarea gândiri elevilor, dându-i o doză de energie în a se implica mai intens în această lecţie. Cu mine aşa s-a întâmplat. NU se pune problema să abandonăm punerea în ecuaţie, nici reţetele,adică metodele respective (figurativă, a falsei ipoteze, a mersului invers etc.). Problema este însă doar de a fi conştienţii că trebuie să folosim ocazia şi să încercăm să le activăm elevilor şi gândirea creatoare, nu doar capacităţile de a-şi însuşi o metodă pre-gătită şi optimizată de alţii înantea sa. Copiii trebuie învăţaţi să gândească! (mintea copilului trebuie lăsată şi încurajată să-şi “gătească” simgură raţionamente)  T.G.

P.S. În strădaniile mele am strâns probleme şi încerc să le ordonez şi să le adaptez folosirii actoale la clasă (când voi fi cât de cât mulţumit, poate le voi şi publica). Până atunci vă propun o problemă adaptată, refăcută din amintiri după o problemă citită într-o carte nemţească veche, în urmă cu peste 20 de ani în urmă (cartea era atunci deja foarte veche). Consider această problemă drept un bun exemplu la care mai bine stai departe de punerea în ecuaţie şi încerci o combinaţie între metoda mersului invers şi metoda grafică. Aşadar:

Află câţi cai sunt pregătiţi pentru alaiul regelui, ştiind că: la caleaşca regelui sunt înhămaţi jumătate din numărul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca reginei sunt înhămaţi jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca servitorilor jumătate din numărul cailor rămaşi după primele două caleşti şi încă o jumătate de cal. În plus, mai ştim că pe lângă toţi caii înhămaţi la cele trei caleşti, mai rămâne un cal pentru însoţitorul de alai.

După citirea acestei probleme ţin întotdeauna să-i liniştesc pe elevi: nu vă speriaţi, nimeni nu taie sărmanii căluţi în două. Această problemă se rezolvă cu creionul, nu cu toporul.

O scurtă analiză la 4 ani de pentagonia.ro

În urmă cu patru ani porneam site-ul pentagonia.ro sub formă de blog (mai mult sau mai puţin personal) cu câteva gânduri în minte. Trebuia să fac ceva pentru schimbarea matematicii din şcolile româneşti, mai ales de la nivelul gimnazial, unde foarte mulţi copii erau chinuiţi de o matematică mult prea grea, în numele unor principii care pentru mine păreau de mult apuse. Astfel, strădania acestor ani s-a îndreptat în proporţie de 99% spre gimnaziu, 0,99% spre învăţământul primar şi doar 0,01% spre liceu.

Nu-mi permit a pretinde un merit în schimbările din ultimii ani, dar îmi permit măcar să mă bucur de anumite aspecte la care, poate, agitaţia mea pentagoneză a contribuit câte puţin (le enumăr în mod aleator), iar cei care aţi citit postările de pe acest blog le veţi înţelege: Moise Guran vorbea în acest început de an şcolar despre “reforma din 1979”; în numele matematicienilor, Dl. Profesor Radu Gologan recunoştea ca nefastă didactic orientarea prea axiomatist teoreticistă a predării în cadrul reformei respective (Formalizarea bourbakistă a matematicii este utilă cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, dar considerăm acum, nefastă didactic.), deci automat şi importanţa resetării predării spre o abordare mai potrivită vârstelor şcolare; lungimea de undă a actualei programe de matematică gimnazială este una mult mai logică şi mai umană pentru mintea în formare a elevilor, iar exemplele pot continua mult şi bine.

Bucuria ce o trăiesc în aceste momente este una deosebită: aproape că am impresia că sunt într-un film din anii ’80, când Ceauşescu îi obliga pe români să îndeplinească planul cincinal în 4 ani, iar toată lumea se grăbea să raporteze asta. Stimaţi cititori, vă muţumesc din suflet că îmi vizitaţi umilul blog (în zilele slabe cel puţin 50 de accesări, în zilele mai bune mult peste 100 de vizite). Titus G.

Mistica matematică: o metodă de fraierit oamenii

Prezentul articol a fost redactat în martie 2018, dar l-am uitat prin “sertarele” calculatorului până de curând. Nu-i bai, l-am adaptat la timpul trecut şi îl ofer la un an de la OIM-Cluj, la fel de proaspăt ca şi acu’ un an în urmă.

Prima Olimpiada Internaţională de Matematică a fost organizată în România în 1959. A doua ediţie a fost organizată tot în România. De atunci ţara anoastră a mai organizat OIM de câteva ori, iar anul trecut a venit din nou rândul nostru, de data asta în premieră la Cluj. În această jumătate de secol matematica şcolară românească s-a ocupat tot mai mult de cei buni, de vârfuri, şi tot mai puţin de ceilalţi, desigur în detrimentul acestora. Niciodată matematica nu se va putea ocupa de toţi, dar neglijarea marii mase a elevilor prin supunerea la o matematică mult peste nivelul lor de accesibilitate, aceasta duce la o pătură a populaţiei mult prea uşor de manevrat (poate asta s-a şi dorit).

De zeci de ani ne-am obişnuit cu sentimentul de mândrie dat de “olimpicii noştri”, succesul cărora ne face să ne simţim o naţiune de “mari matematicieni”, cel puţin în domeniul rezolvării problemelor. Nu ne place însă când cineva ne atrage atenţia că atunci când vorbim de olimpici, de fapt vorbim doar de “vârful eisberg-ului”. Care este însă situaţia “restului eisberg-ului”, a marii mase a populaţiei României? Şi aici nu-i includ şi pe cei care au ajuns în viaţa şcolară să participe la diferite faze ale olimpiadei, fie doar şi numai la olimpiada pe şcoală: pe aceştia îi include în “vârful eisberg-ului”, adică în cei cca. 10% care înţeleg matematica chiar şi dacă în viaţa de adult nu mai au treabă cu ea. Când vorbesc de “restului eisberg-ului” mă refer la toţi acei oameni care au în sufletul lor o mare spaimă de momentul când cineva i-ar întreba şi cel mai mic calcul sau element de gândire matematică ce trece dincolo de aritmetica simplă a portmoneului.

În perioada în care România organiza de zor OIM-2019 am găsit un articol-reclamă (advertorial?) pe care aş dori să-l reproduc, şi eventual să-l analizăm pe scurt. Dacă situaţia prezentată n-ar ascunde o stare a lucrurilor dramatic de serioasă, atunci am putea include următorul articol la categorie umor extrem cu recomandarea de a vă pune centurile de siguranţă ca să nu cădeţi de pe scaune de râs. Următorul text este preluat integral din revista Click TV Nr. 581 din 09.03.2018, pag.15 (o pagină întreagă ocupată de text şi pozele aferente).

*

ATENŢIE: nu este vorba de un concurs sau de o tragere la sorţi ci de o străfulgerare de clarviziune, avută de marea noastră clarvăzătoare Eva Gabor. Unul dintre cele 3 preţioase obiecte de mai jos v-ar putea aparţine, datorită zilei dumneavoastră de naştere. Acesta este rezultatul unui uimitor calcul numerologic, vechi de 3000 de ani, pe care l-a făcut Eva Gabor acum 26 de zile.

Scrisoare deschisă a Evei Gabor către toţi cei care visează să primească foarte repede o mare sumă de bani sau un cadou de mare valoare. “Da eu, Eva Gabor, sunt sigură. Tabelele lui Pitagora nu se înşeală niciodată, cei mai mulţi oameni de ştiinţă admit că universul este guvernat de calculele acestora. În fiecare an, cu ajutorul acestor tabele pregătesc un anumit număr de calcule numerologice. Acum 26 de zile, rezultatele au fost surprinzătoare. Am făcut incredibila descoperire că fiecare persoană care putea, cu data sa de naştere, să obţină numărul 118 după un calcul simplu, avea incredibila şansă de a primi: fie un cec de 118.000 lei, fie o maşină, fie suma de 118.000 lei în 1180 de bancnote de 100 lei.

Sunteţi printre marii norocoşi ai anului 2018? Răspunsul e uşor de aflat: luaţi ultimele două cifre ale anului în care v-aţi născut (de exemplu, dacă sunteţi născut în 1951, 5 şi 1, adică 51). Luaţi apoi vârsta pe care o împliniţi anul acesta (de exemplu, dacă sunteţi născut în 1964, veţi avea anul acesta 54 ani).. Adunaţi cele 2 numere, adică ultimele două cifre ale anului naşterii şi vârsta pe care o împliniţi anul acesta. Dacă totalul este egal cu 118, felicitări! Nu vă rămâne decât să alegeţi obiectul în valoare de 118.000 lei, pe care l-aţi putea primi în lunile următoare.

Aţi obinut numărul 118, excelent! Iată ce trebuie să faceţi: Dacă aţi obţinut 118 şi numai cu această condiţie, vă voi ajuta gratuit să obţineţi un superb obiect în valoare de 118.000 lei. Este suficient să-mi trimiteţi Bonul de ajutor gratuit şi, imediat ce-l primesc vă voi trimite revelaţiile mele secrete, ce vă vor permite ca acest preţios obiect în valoare de 118.000 lei să vă revină în următoarele 3 luni.

Informaţie capitală 1) Nu povestiţi nimănui despre această şansă ce vi se oferă. 2) Nu-mi trimiteţi acum niciun ban, ar risca să distrugă cercul de noroc, ce vă va înconjura în următoarele 3 luni.“ Eva Gabor

 *

Mi-am permis să nu mai copiez şi textul de pe BONUL GRATUIT pentru a primi un superb obiect în valoare de 118.000 lei, unde se reiau aceleaşi “informaţii” (doar că la persoana I; Da, doamnă Eva, am urmat instrucţiunile dvs., adunând …). Există acolo şi un text scris foarte mărunt, pe care chiar nu l-am mai citit. Pe lângă o poză cu un cec completat pe suma respectivă şi o poză cu câteva bancnote de 100 lei, pagina respectivă mai conţine şi o poză cu luxos autoturism BMW (seria ţ-şpe), pentru aţâţat vise.

Nu o cunosc personal pe Eva Gabor, dar poza oferită în cadrul articolului nu pare potrivită cu numele. Mai degrabă pare o poză descărcată de pe net, înfăţişând o doamnă tipică din Europa de vest (fizionomie, privire, aranjament). Pe de altă parte, nu ştiu la ce tabele ale lui Pitagora se referă distinsa Eva Gabor, dar ştiu că o denumire veche pentru tabla înmulţirii era tabla lui Pitagora, iar despre aceasta pot să confirm că sigur nu se înşeală niciodată în rezultatele date. Şi, da, universul este guvernat de calculele acestora.

Am sugerat la început o eventuală analiză a acestui articol, dar cred că pur şi simplu un astfel de gest ar jigni inteligenţa onoraţilor cititori. Sper, în schimb, că fiecare îşi va face propria analiză a acestui minunat “eseu de fraierit” cititorii fraieribili (sigur născuţi în secolul trecut, că la persoanele născute după 2000 nu mai merge). Eu personal, un singur semn de întrebare am din toată această etalare învârtoşită de numere: ce-i cu numărul 26? O fi o interpretare ocultă de tipul: de două ori 13, care reprezintă ghinionul, inversat astfel încât de două ori ghinion dă noroc, similar cu minus cu minus face plus??? Da, şi ar mai fi totuşi o întrebare: ce-i atât de vechi – 3000 de ani – la acest calcul?

Oricum, este evident că acest anunţ publicitar se adresează celor cu un nivel de cultură matematică atât de redus încât vor considera că s-a pogorât în sfârşit şi asupra lor acel cerc de noroc, prin faptul că le-a dat şi lor în sfârşit o adunare de două cifre. Cum, care cerc de noroc? Păi, mulţi oameni privesc ca un mare noroc să le dea corect rezultatul unei sarcini matematice, iar pentru asta i-au invidiat toată viaţa pe cei cărora “nu le dă cu virgulă”. Pentru aceştia rezultatul respectiv reprezintă dovada de netăgăduit a apariţiei cercului de noroc şi în viaţa lor. Iar, dacă ar spune aceasta cuiva s-ar putea să afle că tocmai au fost fraieriţi, că au luat din nou “ţeapă” de la matematica asta parşivă. Deci nu trebuie să povestească nimănui despre întâmplare. Logic? Logic!

La ce ne poate ajuta pe noi “minunea” asta în activitatea de la clasă? Păi, eventual ca un număr de magie: elevii primesc ca temă de a afla în ce an s-a născut un părinte sau un bunic drag, cât şi ce vârstă are acesta (cel mai bine să vină cu cele două numere notate, pentru a nu apărea surprize). Apoi primesc la şcoală să adune cele două numere. Până când lucrează elevii, profesorul scrie pe tablă 118 (pardon, anul acesta trebuie să scriem 119, aşa-i?) şi se postează în faţa numărului (sau l-a scris înainte pe un bileţel pe care l-a ascuns sub un ghiveci de pe pervaz etc.). Apoi apare uimirea: tuturor le-a dat la fel (sau un elev este rugat să se uite sub ghiveciul respectiv). Aşa ar arătă acest număr de magie la începutul clasei a V-a. Ulterior elevii pot primi sarcina de a demonstra “minunea”. A face acest număr de “magie” cu anul naşterii şi vârsta unui elev (deci născut după 2000) ar da un rezultat prea transparent (unde-i “magia” în acest caz?).

Titus Gregorovici, producător de baghete magice (Gregorovici, ca cel din Harry Potter)

Discuţii pe marginea interviului cu Radu Gologan – (II)

Interviul de pe Hot News cu dl. Profesor Radu Gologan de sâmbătă, 30 martie 2019, aduce câteva puncte de vedere neevidenţiate până acum public de către o personalitate de vârf. Respectivul video-interviu luat de Andreea Ofiţeru, este de găsit la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-23059411-video-interviu-iau-elevii-note-mici-matematica-profesorul-gologan-antrenorul-olimpicilor-predarea-trebuia-schimbe-masiv-odata-tehnologia-copiii-percep-informatia-altfel-decat-acum-40-ani.htm?cfathp. Câteva pasaje din acest interviu merită analizate în profunzime; pentru prezentul mini-eseu mi-am propus următorul citat:

*

Andreea Ofiţeru: Cum ar trebui predată matematica în România astfel încât să nu mai avem rezultate aşa de slabe? Cum ar trebui formaţi profesorii?

Radu Gologan: În principiu, pentru studenţii de la Matematică, dar cred că e acelaşi lucru şi la celelalte ştiinţe care dau profesori la catedră, există foarte puţină pregătire didactico-pedagogică şi foarte puţină didactica predării matematicii. O fac foarte puţini. Şi când o fac, o fac foarte puţini, şi de multe ori nu este luată în seamă serios. Sunt foarte puţine licee în care studenţii trimişi de la Matematică să facă practică pedagogică sunt luaţi în serios, în sensul că sunt puşi de cadrele didactice cu experienţă să facă exerciţiul acesta de a fi profesor, de a corecta, de a asista la ore, de a primi indicaţii. De foarte multe ori îşi iau o adeverinţă că au participat şi gata. Deşi cunosc locuri în care lucrurile se desfăşoară foarte bine şi atunci am descoperit tineri foarte buni pe care îi folosim şi i-am recomandat mai departe.

Andreea Ofiţeru: E mai degrabă o problemă de pregătire a profesorilor.

Radu Gologan: Este o problemă de pregătire a profesorilor. Din cauza asta ducem lipsă de profesori tineri, care să continue o activitate care era un atu al educaţiei româneşti, profesori de matematică capabili să înţeleagă bine programa şi să o predea mai departe.

*

Dl Profesor Gologan vorbeşte în acest interviu şi despre formarea viitorilor profesori. Da! Chiar şi formarea acestora ar trebui integrată noului curent, noii paradigme, şi adaptată nevoilor actuale. Cum se face însă actualmente formarea profesorilor. De aproape 40 de ani obiectivele impuse profesorilor, implicit avute în vedere şi în formarea viitorilor profesori, sunt rigurozitatea matematicii predate (de obicei mult exagerată) şi performanţa în vederea concursurilor şcolare (şi aceasta tot mai exagerată, adică probleme cât mai grele, pe o spirală a dificultăţii care parcă nu se mai poate linişti).

Aceste două obiective se adaugă oricum marii şi grelei metehne a cursurilor pedagogice universitare, anume aceea de a se prezenta cât mai “ştiinţific”, dorind a se dovedi demne de alăturarea cu celelalte cursuri ale facultăţii. Daţi-mi voie să vă exemplific aceste gânduri pe baza primei pagini dintr-un caieţel găsit la mama mea (pensionată de mult), anume cursul de Metodica predării fizicii, notiţele respective din facultatea clujeană (pe vremea respectivă de matematică şi fizică!) începând cu Cursul nr.1 din 7 oct. 1963. Aşadar, cursul începe astfel:

Obiectivul şi sarcinile metodicii predării fizicii: Orice ştiinţă este un sistem de legi şi teorii descoperite pe baza dezvoltării materiei printr-un proces unic, verificate în practică. Cu cât se va definii conţinutul ştiinţei respective (mai bine), cu atât se va contura mai bine sfera fenomenelor de care se ocupă. Precizarea sferei conţinutului ne dă posibilitatea explicării clare a fenomenelor pe care le cercetează, iar pe de altă parte definirea precisă ne duce la aflarea metodelor de cercetare, deoarece metodele sunt dependente de conţinutul ştiinţei respective.

Metodica predării fizicii este o ştiinţă pedagogică, având ca obiectiv de cercetare procesul social-istoric de instruire a tinerei generaţii în domeniul lărgirii cunoştiinţelor despre fenomenul fizicii. Ea urmăreşte dezvăluirea legilor acestui proces, elaborează bazele teoretice în concordanţă cu scopul instructiv-educativ. Pe bază de legi, ea are ca obiectiv să stabilească cerinţele pe care trebuie să le îndeplinească activitatea instructiv educativă în cadrul predării fizicii. În această muncă complexă de instruire şi educare a tinerei generaţii, trebuie să existe o unitate între profesor şi elev, bazată pe conţinutul fizic şi metodele de organizare, metode de predare, importanţa …

Bla-bla-bla, cu câteva aspecte indiscutabil bune, dar cu multe aspecte profund contestabile, cu multă “polologhie” (ce a trebuit să o înveţe pentru examen şi ulterior pentru Definitivat). Se simte din text o mândrie a respectivului profesor, de a fi şi el printre marii acelei facultăţi, etalând pompos cuvinte ca ştiinţă sau cercetare. Mult prea firav îşi mai găsea locul în intenţiile declarate ale profesorului respectiv şi elevul (instruire a tinerei generaţii; o unitate între profesor şi elev), deşi în dezvoltarea ulterioară a cursului există o preocupare reală şi serioasă pentru elev, evident însă cu note proletcultiste. Dar să revenim mai în vremurile noastre.

Aspectele metodico-didactice conform nevoilor şi posibilităţilor reale ale marii majorităţi a elevilor, aceste aspecte au fost profund neglijate în ultimii ani. Aşadar, la ce să ne aşteptăm? În facultăţi, profesorii care predau disciplinele pedagogice nu au ca obiectiv formarea sănătoasă a viitorilor dascăli; de obicei se simte că materia lor le este obiectivul principal, materia cât şi recunoaşterea acesteia la nivelul universitar.

Din partea cealaltă, nici studenţii nu vin cu cine ştie ce vise şi dorinţe speciale de a învăţa şi a deveni foarte buni profesori după terminarea studiilor. Ei de fapt nu ştiu clar în ce se bagă şi care sunt provocările cărora vor avea de a le face faţă. Putem privi pozitiv situaţia şi spune că dacă ar ştii ce-i aşteaptă, atunci ar fi mult mai interesaţi. De fapt acest aspect ar fi tot în sarcina facultăţilor, de a avea un sistem prin care să-i co-intereseze pe studenţi despre viitoarea lor stare de profesori, dar cine să facă aceasta dacă persoana de la catedră nu are nici ea clare imagini practice – nu doar teoretice – despre viaţa de zi cu zi în faţa elevilor, fiind eventual cel mult o persoană care s-a luptat să scape de la liceul unde a predat o vreme.  Întreg ansamblu este într-o stare profund schizofrenică din care nimeni nu ştie cum să iasă, chiar nici nu are interes să iasă.

Spun aceste lucruri pentru că îmi aduc aminte că aşa eram şi noi, generaţia noastră. Profesorul de metodică ne propunea spre rezolvare diferite probleme pe care noi le consideram înjositoare: la vremea respectivă dăduserăm admitere mulţi pe un loc şi nivelul nostru de expectanţă era mult mai ridicat. Cât despre viitoarea stare de profesor, nu înţelegeam la ce ne-ar ajuta lucrurile care ne erau propuse, pur şi simplu pentru că nu cunoşteam starea de profesor decât din partea opusă catedrei.

În acest sens formarea profesorilor trebuie bazată pe o sănătoasă cunoaştere a stării de elev şi a nevoilor generale ale acestora. Ca student trebuie să ai o percepere realistă spre ce te îndrepţi şi pentru ce te pregăteşti. Aş putea să filozofez mult şi bine despre cum ar trebui să fie organizate lucrurile. Prefer însă să vă dau o „imagine” primită în urmă cu vreo 10 ani de la un profesor bătrân din facultate, care-şi depăna amintiri „de pe vremea sa”, când profesorul care se ocupa în facultatea clujeană de partea de metodică avea totodată şi ore la Liceul Racoviţă, iar studenţii făceau practica la dânsul la clasă.

Pe de altă parte, tot ca o „imagine” despre formarea matematică a viitoarelor cadre didactice, dar una actuală, personal (fam. Grigorovici) suntem deseori confruntaţi cu rugămintea de a ajuta viitoare învăţătoare pentru examenul la cursul de metodica predării matematicii, curs la care se fac masiv probleme de excelenţă în gimnaziu şi liceu, dar şi elemente de teorie peste nivelul liceal (de pildă, de ce ar trebui să înveţe viitoarele învăţătoare funcţii notate ca triplete (f; A; B), când nici în liceu nu se foloseşte o astfel de notaţie?). Nici învăţătoarele respective nu s-au străduit prea mult în timpul semestrului, dar putem întreba şi invers: la ce le trebuie lor aceste lucruri? Părerea mea este că nivelul pregătirii practice a viitoarelor învăţătoare la matematică (domeniu în care am o părere destul de avizată, ca fost director) a scăzut foarte mult faţă de nivelul la care ieşeau pe vremuri învăţătoarele absolvente de la liceele pedagogice.

Tot sistemul este bolnav, iar una dintre caracteristicile acestei stări este că oricine poate găsi lesne pe cine să dea vina, desigur pe altcineva, nu pe el însuşi: dacă s-ar schimba sistemul, atunci şi eu ooioioi… Aceasta este o tară, o meteahnă generală la noi: eu sunt perfect şi desigur mă pricep foarte bine; uite, îţi spun eu cum stau lucrurile! (o expresie preferată la români, prin care vor să arate că ei sunt o autoritate în domeniu şi au tot dreptul să-ţi explice ce şi cum), vorbă urmată de altele cât se poate de critice la adresa oricui din jur: ăştia nu fac nimic să schimbe ceva!

De aici şi strădania mea de a nu mai aştepta ca ceilalţi să se schimbe, să îmbunătăţească sistemul, ci de a mă strădui ca eu să evolez înspre mai bine, indiferent de stagnarea sau fluctuaţiile situaţiei înconjurătoare. Desigur că a te schimba pe tine este cel mai greu pentru că trebuie mai întâi să-ţi vezi şi să-ţi recunoşti defectele, după care urmează lungul drum de aflare a unei căi mai bune, apoi experimentarea însoţită de greşelile iminente, corecturile ş.a.m.d. Faptul că pot povesti atât de multe pe această temă se datorează printre altele şi faptului că am pornit pe acest drum (la acest drum) de foarte mult timp (decizia iniţială în 1994), cu mutarea lecţiei despre paralele tăiate de o secantă înaintea capitolului despre triunghiuri, pentru a le putea da din prima lecţie suma unghiurilor în triunghi (nu de alta, dar le-o dădeau părinţii imediat ce ajungeau acasă).

Drumul a fost lung şi anevoios pentru că resursele mele erau mult mai restrânse în comparaţie cu posibilităţile unui sistem oficial. Dar aveam şi atuuri pe care le-am folosit şi cu ajutorul cărora am evoluat. Şi nimic nu se compară cu bucuria rezultatelor personale, chiar dacă privesc în urmă la un sfert de secol de strădanii.

Revenind la starea de student, mă gândesc la câteva aspecte. În primul rând, aduc o amintire de-a mamei mele: în facultate nu am auzit de tact pedagogic sau de empatie (1960-1965). Pe de altă parte, eu am auzit în facultate de predarea prin problematizare sau de predarea în spirală, dar ne erau aduse în acei ani (1985-1989) ca nişte aspecte ce făceau încă parte oficial din metodică, dar erau cam depăşite, le percepeam ca desuete. Altele erau cuvintele la modă atunci (axiomatizare, rigurozitate etc.). Şi într-un caz şi în celălalt (cuvintele din experienţa mamei mele, dar şi cele din amintirea mea) ar fi trebuit ca celor care ne prezentau metodica să le fie conştientă importanţa covârşitoare a aspectelor şi a mecanismelor psihologice ale elevului. Dar cine să se uite dintre matematicieni după aşa ceva în acei anii comunişti? (n-am precizat că lucrurile s-ar fi schimbat radical în anii ’90) Se considera că elevii fac de frică, de frica notelor, şi gata cu poveştile (şi acum mulţi gândesc la fel). Când s-a format actuala generaţie de profesori obiectivele primordiale erau rigurozitatea şi dificultatea problemelor.

Din anii de început, când trebuia să dăm definitivatul, ţin minte câteva exemple. O colegă întreba agitată: care din cele trei cazuri de congruenţă a triunghiurilor este considerat axiomă? Altă colegă se dădea mare, pronunţănd minunatul cuvânt ceviene. La proba scrisă am primit o problemă de geometrie (din manual, din spate) la care în toată sala au fost două rezolvări, pe care le-au copiat apoi toţi ceilalţi. Rezolvarea mea era cu ajutorul funcţiilor şi am fost nevoit să fac 7(şapte) schimbări de variabilă până în final.

Din totdeauna psihologia a fost un examen separat cu un profesor care nu ştia matematică, deci cine să-ţi explice despre ce se întâmplă în mintea copilului la matematică? Despre tactul pedagogic în predarea matematicii sau despre introducearea noţiunilor treptat de-a lungul anilor, folosind predarea în spirală, pentru a-i da timp să cuprindă noile noţiuni., cine?

Să luăm un exemplu? Păi, haideţi să vorbim de rădăcina pătrată. Cândva (am o vagă amintire că în 1998) s-a scos capitolul cu rădăcina pătrată din finele clasei a 6-a şi s-a mutat într-un mare capitol alături de introducerea numerelor iraţionale în semestrul I din clasa a 7-a. Trosc! Totul de o dată. Rezutatul? Elevi care şi în clasa a 9-a spun că radical din 12 este 6. Dacă ar fi să luăm în serios predarea în spirală şi introducerea treptată a noţiunilor, ar trebui – de exemplu – să facem astfel: clasa a 5-a, destul de repede după introducerea operaţiei de ridicare la pătrat, imediat şi rădăcina pătrată, dar numai din pătrate perfecte accesibile pe baza „tablei pătratelor perfecte” (cam până la 322 = 1024), sau pe baza descompunerii în factori primi. După recapitularea operaţiilor cu fracţii zecimale de la începutul clasei a 6-a s-ar putea învăţa şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere mai mari, dar şi extragerea aproximativă din numere nepătrate. La începutul clasei a 7-a urmează, pe post de recapitulare a celor învăţate anterior, aplicarea masivă în probleme cu teorema lui Pitagora, atât pe numere întregi mai mari, cât şi cu rezultate aproximative (cu multe aplicaţii practice, apropos de aplcaţii ale matematicii în viaţa extraşcolară). După această etapă (mai aritmerică) se va putea trece şi la rădăcina pătrată în forma rezultatelor iraţionale şi a calculelor cu acestea.

Am convingerea că o astfel de predare în spirală cu trei treceri prin subiect ar duce la o învăţare mult mai bună a rădăcinii pătrate, în comparaţie cu forma actuală făcută mult prea târziu şi în prea mare viteză. Multe ar mai fi de spus, dar prefer să închei aici cu o imagine ce am surprins-o la un elev care-şi notase tabla pătratelor perfecte pe o hârtiuţă găsită acasă (tocmai ce făceam multele probleme de calcul de arii şi perimetre folosindu-ne de teorema lui Pitagora şi îi dădusem o grămadă de temă). Asocierea dintre notiţele elevului şi mesajul pretipărit pe acel bileţel fac deliciul acestei imagini. CTG

P.S. Desigur că există şi contraexemple la lista situaţiilor negative, din care mai sus am prezentat doar vârful eisbergului. Am o colegă ce a urmat studiile la Timişoara în limba maghiară, iar profesorul lor de metodică considera drept o lectură obligatorie cărţile lui George Pólya, care se ocupă foarte profund şi de aspectele psihologice (fără a face însă în scrierile sale mare ştiinţă a psihologiei).

La ce foloseşte matematica?

Chiar aşa, la ce foloseşte, dom’le, matematica asta?! Pe vremuri mă străduiam să şi răspund la această întrebare. Cu timpul mi-am dat seama că n-are rost, că sunt doar “un papagal” încercând să le vorbesc elevilor, nu despre examen, ci despre gândirea şi arta de a judeca ce se formează odată cu practicarea matematică. Există şi alte tipuri de răspuns “miştocăriste”: ţie nu-ţi trebuie, poţi să mergi din nou la grădiniţă; sau: nu-i nevoie de matematică pentru săpatul şanţurilor. Actualmente refuz să mai răspund când un elev îmi pune această întrebare, explicându-i că aceasta este o întrebare retorică, că pe el de fapt nu îl interesează răspunsul meu şi că el are deja un răspuns format, care-i convine de minune: cea mai bună matematică este atunci când aceasta lipseşte cu desăvârşire!

Cu mulţi ani în urmă a venit un tătic la o şednţă cu părinţii; luase înainte câteva păhărele “la bord” ca să-şi facă curaj şi să poată înfrunta balaurul, adică pe profu de mate a lu’ fii’su (desigur având amintirea profesorului său din şcoală faţă de care n-a avut atunci curajul să întrebe): Chiar aşa, la ce folosesc, dom’le, radicalii în viaţă?! Acesta dorea desigur o eliminare din materie a tuturor tematicilor care LUI nu i-au folosit în viaţă, luându-se astfel ca reper de aplicat tuturor celorlalţi. Copiii care vin şi mă întreabă sunt mult mai curajoşi, sau poate sunt eu mult mai blând. Dar ei reprezintă doar portavocea unei întrebări auzite şi dezbătute înainte acasă.

Desigur că există şi excepţii la această atitudine: de curând am primit această întrebare de la un prieten drag, dar pusă decent, sub o formă de felul: de ce nu se predă matematica în şcoli astfel încât să simţi la ce ajută, să-ţi fie un sprijin în viaţă chiar dacă nu vei studia direct matematică? Da, aşa mai merge, iar faţă de acest prieten n-am putut decât să ridic sprâncenele şi umerii, şi să-i explic în 2-3 exemple ce fac eu în acest sens, recunoscând însă că să sunt convins că nici pe departe nu fac destul.

Totuşi, nu i-aş crede pe cuvânt pe cei care atacă frontal matematica sub justificarea că nu-i văd folosul. Dacă începi să le dai problemuţe cu aplicabilitate extramatematică, aceştia vor vrea imediat reţeta, dorind să evite cu orice preţ gânditul. Asta pentru că foarte mulţi prezenţi sau foşti “nematematicieni” au o imagine limitată, reducând matematica la o colecţie de reţete şi la categoriile corespunzătoare de probleme. Toţi aceştia vor dori imediat să le dai categoriile şi reţetele, numai să nu gândească. Pentru toţi aceştia matematica ar trebui să arate cam ca la orele de la chimie unde se fac probleme cu soluţii de sare şi alte diluţii.

Desigur însă că dacă matematica s-ar transforma în aşa ceva, alţii vor urla “sus şi tare” că matematica este doar o colecţie plictisitoare de îndobitocire şi dresură, că nu le dai nimic să gândească, că de fapt la matematică ar trebui să înveţi să gândeşti etc.

Iar dacă apoi îţi trece prin cap să le dai o problemă practică în care sunt obligaţi totuşi să gândească, nesuprapunându-se exact cu cele primite ca model, vor urla “ca din gură de şarpe” că le-ai dat ceva ce n-ai făcut la clasă sau care nu este în materie. Dacă începi să le dai probleme matematice “din viaţă”, atunci te vor ataca ei sau chiar părinţii lor că acestea nu sunt în programă, că din acestea nu se dau la examen etc. De pildă, în urmă cu doi ani am dat la o lucrare de control la clasa a 5-a o problemă cu o piscină (‘dreptunghiulară”, adică paralelipipedică) ce trebuia vopsită iar elevii aveau de calculat aria suprafeţei pentru care trebuia cumpărată vopsea albastră (aveau studiată aria dreptunghiului, dar nu făcusem formula pentru aria totală a paralelipipedului dreptunghic, care vine ca reţetă doar în clasa a 8-a). Vă daţi seama că am primit întrebări cu subânţeles, de tipul: asta nu-i de-a 8-a? Aceste întrebări nu veneau desigur direct de la elevi, ci prin ei de la cei de acasă. În acel moment elevii trebuiau să gândească şi nu aveau de unde să ştie că ceva – în formă de reţetă – de acest fel urma să vină de abia în clasa a 8-a. Puteţi să vă imaginaţi un posibil dialog acasă, între părinte şi copil după lucrarea de control, acesta explicând ce problemă nu a ştiut la lucrare.

De unde vine această atitudine de refuz a gândirii, cu care se confruntă învăţământul matematic pe toată planeta, asta este o altă problemă despre care am mai amintit, anume situaţia persoanelor avariate matematic, întrebarea incluzând şi dilema prevenirii ajungerii oamenilor în această situaţie. În primul rând ar trebui să ne gândim însă cum ajunge învăţământul să genereze astfel de indivizi, astfel de modele de “gândire”.

O parte mare din vină (poate cea mai mare parte) o are sistemul, “profesorimea”, casta profesorilor de matematică, ce-i supune pe elevi unei matematici teoretice, abstracte şi lipsită complet de aplicaţii în viaţa de zi cu zi, o matematică preocupată doar de “sine” şi de rezultatele la diferitele concursuri (românii fiind aici campioni, cu diferite concursuri chiar din ciclul primar). Atâta suntem cu nasu’ pe sus, noi matematicienii, încât minimul de aplicaţii extramatematice ce se studiază în şcoală îi lăsăm pe colegii de fizică şi de chimie să le facă pentru noi (avem atâta materie, că pentru asta nu mai avem timp). Dar şi conducătorii sistemului sunt de vină: subiectele la examene nu conţin aproape deloc probleme aplicabile în afara matematicii (că dacă s-ar cere, atunci şi profesorii le-ar face). Dar nu din acelea cum am văzut în ultimii ani: în figura alăturată avem reprezentat un tort în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, sau o bucată de brânză în formă de piramidă triunghiulară regulată.

Simţiţi că am intrat aici într-un subiect ce pare să nu aibă sfârşit. O abordare frontală la acest subiect a încercat colegul nostru dl. Sorin Borodi (din Dej) în două postări deosebite pe care le recomand cu drag tuturor profesorilor de matematică.
În primul rând este vorba despre un basm terapeutic pentru cei mari, cum l-a numit dl. profesor, povestea lui Guw Zak şi a Marelui Şaman Ţ’tor, despre drumul lor în Colosala Călătorie şi mai ales despre întrebarea la ce foloseşte Ma’ca?
Găsiţi această poveste aici: Basm terapeutic pentru cei mari.

Iată şi câteva comentarii culese din continuarea acestei postări de pe contributors.ro:

– Părerea la care ader este că matematica este limbajul în care se poate exprima spaţiul fizic şi spaţiul ideilor abstracte. Lipsirea, desuadarea, sau malpraxisul învăţării acestui limbaj are efecte, dincolo de indivizi, perverse peste generaţii… inclusiv blazarea şi dezinteresul.

– Minunat, domnule Borodi ! Din textul dumneavoastră, mai ales din întrebări, reiese durerea pentru starea de fapt. Porniti un val al schimbarilor: internetul vă ajută, adulţii, la fel (au dovedit la alegerile recente ce pot) iar, şcolarii vor fi primii care vor fi de partea binelui. Succes !

– Matematica e o disciplină fascinantă chiar dacă unu’ sau altu’ zice că nu-i foloseşte la tăiat puiu’ şi făcut ciorba.

– Cred că esenţa matematicii şi a eseului dumneavoastra este aici: “unul din ei a spus că ştie la ce serveşte Ma’ca şi că el crede că i-ar fi de folos în viaţă. Nu Marele Şaman Ţ’tor i-a desluşit taina, el zicea că singur a ajuns la ea.”. Matematica nu este pentru oricine. Gândirea structurată, pragmatică, algoritmică, stabilirea unui proces, proceduri de rezolvare.

O a doua postare, mai ancorată în realitatea noastră, pe edupedu.ro, este despre Eva. Cum care Eva? Ştiţi, ea, Eva, cea care vine o dată pe an şi îi terorizează pe absolvenţii de a 8-a: Eva-luarea Naţională! (pentru cine nu s-a prins, aici tocmai am inserat un banc auzit de la fiică-mea,). Găsiţi punctul de vedere al d-lui Borodi, puct de vedere foarte tranşant despre subiectele date în acest an la examenul de EN, aici: Matematica la Evaluarea Națională 2019. Subiect fad, cu cerințe ce nu vizează deloc sau aproape deloc realitatea, inutile în viața de zi cu zi.

Ambele texte se referă la acelaşi subiect, anume la modul inadecvat, chiar dezastruos am putea spune, mod în care se predă matematica în România, unul lipsit de conexiuni cu realitatea şi cu concretul. Întreabă dl. Profesor Borodi şi vă întreb şi eu la rândul meu pe dvs.: credeţi că se poate schimba ceva în acest sens într-un viitor apropiat? CTG

Geometria! Bat-o vina!

Tot geografia, pardon, geometria a fost cea care a dat cele mai mari bătăi de cap elevilor. Ce v-a dat? O prismă, răspundea elevul buimăcit, proaspăt ieşit din examenul de EN ediţia iunie 2019. Dar nu prisma le-a dat cele mai mari probleme, ci geometria plană. Două cerinţe (III 1c şi 2c) pe care elevul conştiincios de rând nu le prea putea aborda cu succes deplin.

Dar şi aritmetico-algebra i-a năucit puţin. Poate, puţin mai mult (la problema cu resturile). Un aspect pozitiv este că în baremul de notare găsim c.m.m.d.c.{72, 120, 216} şi nu abstractul (72, 120, 216).

Una peste alta, concluzia-i clară: cine vrea să treacă sigur şi bine peste nota 9, acela trebuie să muncească muuult la demonstraţia geometrică. Da da!

Selfie cu Gauss şi cu Weber

În primăvara aceasta “m-am rătăcit” prin Göttingen şi, având câteva ore libere, am pornit pe urmele marelui Carl Friedrich Gauss. În primul rând am căutat statuia lui Gauss în care este reprezentat alături de Wilhelm Weber, inventatorul telegrafului electromagnetic (personajul şezând este Gauss). Şi, dacă tot am ajuns pe acolo, am căutat şi mormântul marelui matematician. Din fostul cimitir în care este acesta situat, s-au păstrat câteva morminte ale unor personalităţi, restul fiind transformat în parc simplu cu peluză şi câţiva arbori maiestuoşi. Da, şi dacă tot m-am plimbat prin Göttingen, nu a fost greu să dau şi de un Gauss Pub. Nimic special, dar totuşi o idee deosebită.

Gauss ca Gauss, dar o plimbare prin vechiul Göttingen este oricum recomandare deosebită. Ştiaţi că în timpul războiului a existat o înţelegere între nazişti şi britanici ca să nu-şi bombardeze reciproc cele două mari centre universitare? Oxford şi Cambridge la englezi, respectiv Göttingen şi Heidelberg la nemţi.  TitussG

Suma lui Gauss şi alegerile europarlamentare după CTP

Joi 23 mai 2019, într-o emisiune înainte de alegerile europarlamentare din 26 mai, la postul de televiziune Digi 24, gazetarul Cristian Tudor Popescu a ţinut o scurtă lecţie despre Suma lui Gauss. Merită să urmăriţi pasajul respectiv la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=Gqr9OH8vWVQ (daţi contorul la momentul 6.30 şi urmăriţi până la 10.30, sunt doar 4 minute). TitussG.

Scrisoare deschisă către profesori semnată de Radu Gologan

Domnul Profesor Radu Gologan a postat zilele acestea pe contul său de Facebook  un mesaj către profesorii de matematică, adresat în mod special celor din gimnaziu, dar nu numai. Despre acest mesaj suntem atenţionaţi pe https://www.edupedu.ro/gologan-despre-predarea-matematicii-nu-ar-trebui-sa-se-bazeze-pe-retinerea-unor-retete-ci-pe-contexte-de-viata-si-rationamente-originale/ . Iată întreg acest mesaj (din 30 mai):

*

Câteva gânduri pentru dascălii matematicieni

În întreaga lume, matematica şcolară pare a fi în impas. Probabil că imensul impact al mijoacelor IT şi de comunicare au dus la o modificare majoră a modului de gândire şi de atitudine a copiilor şi tinerilor faţă de şcoală în general şi faţă de matematică în special. Adesea, noi dascălii, simţim că nu avem mijloacele didactice şi înţelegerea necesară pentru a ne adapta acestor schimbări. Se adaugă şi istorica adversitate faţă de matematică a unei bune părţi a elevilor, părinţilor şi chiar a unor personalităţi influente în societate.

Prin modul în care Comisia de Matematică a MEN şi SSMR a încercat să adapteze curriculumul matematic acestei modificări de paradigmă, ne-am dorit să revenim, cel puţin pentru clasele mici din gimnaziu, la prezentarea matematicii cât mai aproape de intuiţie, cu minimum de formalism şi (minim de) rigurozitate exagerată şi să lăsăm profesorului libertatea de a transmite noţiunile şi faptele martematice cât mai natural, fără notaţii încărcate şi accente formale care ii îndepărtează pe copii de esenţa fenomenelor. Nu e important, de exemplu, ca în calasele mici să facem distincţii între unghi şi măsura lui, sau între segmente închise sau deschise, aşa cum nu credem că atunci când se vorbeşte despre figuri geometrice, să insistăm spre deosebirea între egalitate şi congruenţă.

Mulţi dintre cei care am lucrat la acest program avem experienţe la catedră în toate formele de învăţământ de peste 30 chiar 40 de ani. Am trecut şi noi prin perioada în care şcoala Bourbaki influenţa programele de matematică, în anii 70-80. Formalizarea bourbakistă a matematicii este utilă cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, dar considerăm acum, nefastă didactic. Experienţa ne spune că rolul primordial al matematicii şcolare este de a dezvolta gândirea logică prin crearea de secvenţe de judecată ce să poată analiza probleme legate de viaţă, nu neapărat cu conţinut matematic. Competenţa fundamentală a omului viitorului va fi posibiliatetea de a învaţă noţiuni, rezultate şi meserii noi, rapid şi corect, iar pentru aceasta, e nevoie de gândire aplicată.

Va mai trebui să facem un pas în viitor: nu examenele şi testările naţionale care să verifice reţinerea unor reţete matematice vor revigora şcoala şi atrage copiii spre matematică, ci cele cu contexte din viaţă, ce sunt bazate pe raţionamente originale în modelarea matematică cu deschidere spre descoperire.

*

După ce mai citiţi măcar încă o dată gândurile D-lui Profesor (acestea merită citite de câteva ori la rând), vă propun o scurtă discuţie. Probabil că cel mai scurt comentariu la această scrisoare ar fi: V-AM SPUS EU? Dar cred că voi încerca totuşi o variantă mai liniştită. Trec peste primul aliniat despre care tocmai ce am povestit (29 mai) destul de detaliat  – fără să am habar că Dl Gologan avea să scrie aceste rânduri. Oricum, cele 7 pagini A4 (cu Times New Roman de 12) din postarea precedentă acoperă doar o mică parte din întreaga plajă a efectelor mijloacelor mass-media, IT şi de comunicare; cărţi întregi sunt necesare pentru o relativ completă prezentare a subiectului, şi orice nouă “jucărie” în domeniu aduce cu sine peste câţiva ani, în atenţia specialiştilor, odată cu observarea efectelor, noi şi noi avarieri la nivelul dezvoltării psihico-mentale ale copiilor. Şi tot din păcate, pe când sunt observate, studiate şi înţelese, toate aceste avarieri cu greu mai pot fi remediate măcar parţial.

De fapt, cam toate punctele atinse în această “scrisoare deschisă” au reprezentat subiectul unor eseuri publicate în aceşti ani pe pentagonia.ro, dar nu îmi propun acum să direcţionez cititorul unde sunt acestea de găsit. De pildă, am scris în nenumărate rânduri despre faptul că respectiva Comisie de matematică a MEN şi SSMR a cuprins în noua programă ideea de a adapta matematica claselor 5-6 într-un mod mai puţin formal şi bazat mai ales pe o predare intuitivă, mult mai potrivită acestor vârste. Pe Dl. Gologan l-am întâlnit o singură dată (18 mai 2017, ora 17), la ISJ Cluj, unde am povestit împreună 10 min.; cât despre celelalte persoane din comisia respectivă, nu le cunosc, aşa că nu se poate spune că tot ce am scris pe acest subiect mi-a fost transmis prin viu grai, drept nişte “scurgeri” din culisele muncii la programă. Nu, tot ce am scris se poate vedea în rândurile noii programe (totodată şi în alte surse), dar cu o singură condiţie: să fi dispus să le vezi. Cei care nu a văzut aceste idei, aceia nu au fost de fapt capabili să le vadă, şi asta nu din răutate, ci pentru că sunt mult prea fixaţi mental în vechea paradigmă, iar aceste gânduri noi le trec pur şi simplu “pe lângă creier”. (Cunosc acest sentiment din proprie experienţă, luptându-mă în ultimii 20 de ani să înlocuiesc elemente din paradigma în care am fost educat, cu unele noi, ce le găsesc prin intermediul pedagogiei Waldorf, şi pot să spun doar un lucru: merge foarte foarte greu).

De ce se întâmplă această neînţelegere a noii linii promovate prin noua programă? Pentru că profesorii români au fost setaţi, au fost instruiţi, au fost obligaţi, chiar forţaţi în prezenta stare de super-teoreticieni, împinşi în credinţa oarbă că această cale este obligatorie pentru creşterea rezultatelor elevilor. Până la un punct acest fapt este oarcum chiar adevărat, dar ducerea la extrem a paradigmei teoreticiste odată cu reforma din 1980 a creat mult mai multe pagube majorităţii elevilor decât a adus avantaje vârfurilor, celor puţini care lucrează la nivelul de excelenţă.

Dl. Profesor Gologan recunoaşte prin această scrisoare deschisă că: 1) mai există oameni care ştiu de reforma din 1980, pe care eu o consideram de mult uitată, şi 2) cel puţin persoanele ce au luat parte la această comisie sunt conştiente de faptul că imitarea mioritică a curentului Bourbakist din pedagogia franceză a fost o greşeală metodico-didactică, măcar  la nivelul claselor gimnaziale: Considerăm acum că formalizarea bourbakistă a matematicii este nefastă didactic!!! Dacă nu le-aţi citit, studiaţi vă rog diferitele eseuri în care am prezentat o scurtă istorie a predării matematicii în România, aşa cum am înţeles-o eu că s-a petrecut. Există însă şi alţi colegi care văd lucrurile în mod similar. Unul dintre aceştia i-a şi răspuns D-lui Profesor la comentarii: B.R. Mai bine mai târziu decât niciodată, păcat doar de timpul pierdut ca să se ajungă la concluzii evidente, axiomatizarea nu are ce căuta în clasele gimnaziale, a fost un eşec la liceu (Teleman). Mă îndoiesc că toţi studenţiisunt apţi pentru un studiu axiomatic.

Ce se întâmplă însă la nivelul profesorului de rând? La ora actuală şcolile sunt pline de profesori a căror paradigmă este dominată de pildă de credinţa utopică într-o forţă absolută a definiţiilor, la cei mai mulţi existând chiar convingerea unei echivalenţe între a cunoaşte obiectul matematic definit şi învăţarea definiţiei pe de rost. Ca urmare, şcolile sunt pline de elevi care nu gândesc mai defel la matematica, dar în schimb învaţă definiţiile pe de rost (până la test, pentru ca apoi să le uite, făcând loc altora ş.a.m.d.).

Ce ne sugerează Dl. Profesor? Să renunţăm la jargonul de specialitate şi să vorbim într-un limbaj de înţeles pentru elevul începător în ale matematicii, măcar pentru clasele mici gimnaziale. Uitaţi „matematiceza” (prin analogie cu chineza), numibilă şi „matematiceasca” (prin analogie cu păsăreasca) şi vorbiţi-le copiilor în limba română! Importante nu sunt definiţiile şi teoremele, ci ce reuşim să facem cu ele: să venim cu probleme accesibile celor mulţi prin care să-i antrenăm spre secvenţe de judecată, paşi logici pe mintea copiilor, secvenţe de judecată cu care elevii să înceapă încet să gândească. În viaţă nu le vor trebui definiţii şi teoreme, ci simple secvenţe de judecată logică exersate şi însuşite (automat şi creatoare de sinapse în acest sens), adică creatoare de gândire aplicată.

Da, Profesorul Radu Gologan cere să se revină la predarea matematicii „cât mai aproape de intuiţie” şi fără „rigurozitatea exagerată” pe care o întâlnim de cele mai multe ori în şcoala românească. Dar cine să pună aceste gânduri în aplicare? Se vede “de la o poştă” că metodele abordate astăzi la clasă sunt potrivite mai mult cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, nu însă şi predării materiei în şcoli. Din păcate însă, în majoritatea şcolilor cu ambiţie aşa se lucrează. Cine poate gândi un plan eficient de schimbare generală a paradigmei din mintea majorităţii profesorilor? Până la găsirea unui răspuns la această întrebare, în numele zecilor de mii de elevi speriaţi şi frustraţi de această matematică inumană la toate nivelele, permiteţi-mi să-i mulţumesc din suflet D-lui Profesor Radu Gollogan pentru postarea respectivă. Titus Grigorovici

P.S. Cum să predai fără definiţii? Priviţi tabla de la prima lecţie despre patrulatere (vineri 31 mai 2019, clasa a VI-a, cu două ore înainte de a găsi scrisoarea d-lui Gologan, şi vă rog nu întrebaţi cum adică la clasa a VI-a, poate discutăm cu o altă ocazie despre asta). Toată lecţia a fost prin problematizare. Merită amintite doar două aspecte ce nu apar pe tablă.

La observaţia unui elev că diagonala exterioară transformă patrulaterul concav în triunghi, i-am răspuns că nu pentru că patrulaterul este doar cel colorat (interiorul) şi că de asta colorez suprafaţa interioară pentru a nu apărea confuzii. La demonstrarea teoremei acelaşi elev a sugerat să luăm patru patrulatere congruente şi să verificăm dacă puse în jurul unui punct cu cele patru unghiuri diferite se acoperă unghiul plin. I-am spus că ne grăbim şi nu apucăm să o discutăm şi pe aceasta până la pauză, că este puţin mai grea, dar că îi sugerez să o încerce până ora viitoare. Iată cele două poze (făcute fără un gând clar premeditat de a fi publicate).