Figurile geometriei (Analiza unui banc – 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platformă de socializare, se doreşte a fi un banc (adică ceva de râs). Doar că aceasta punctează ceva ce este mai degrabă de plâns: dispariţia – lentă dar sigură – a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, atât în cadrul lecţiilor, cât mai nou şi în cadrul problemelor, atât din ideea de necesitate în structura mentalului unor profesori, cât şi – ca urmare – din mentalul unor elevi.

Deja în urmă cu cca. 15 ani am ajuns să întâlnesc elevi care să-mi spună că “figurile nu contează”, citat reluat desigur de la adulţi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clasă. Ţin minte că mă chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguranţă că “oricum, figurile nu contează!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna rău de tot: am început să întâlnesc lecţii sau probleme de geometrie fără figură! Şi mă refer aici nu la situaţii din acelea relativ simple, la care putem considera că figura geometrică poate fi uşor imaginată în cap, pentru rezolvarea problemei. Vă dau câteva exemple întâlnite în această toamnă.

1) Să vorbim pentru început despre o lecţie, una cunoscută, anume lecţia care trebuie să facă prezentarea conexiunilor între unghiurile ce se întâlnesc în cazul a două drepte paralele tăiate de o secantă. De foarte mult timp ştiu că există ideea de a desprinde din această lecţie, ca un soi de fază pregătitoare, o primă etapă în care să fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figură “generalizată”, adică pe o figură cu două drepte neparalele tăiate de o secantă. Nu ştiu unde, când sau la cine a apărut această idee, dar este una deosebit de dăunătoare, chiar nocivă pentru dezvoltarea gândirii, aş putea zice chiar nocivă pentru apariţia gândirii. Chiar şi privit doar superficial putem susţine această afirmaţie deoarece figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde.

Afirmaţia se susţine şi dacă privim mai profund: în această situaţie încercarea de înţelegere a copilului este forţată să se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai puţine elemente logice, eliminate fiind cele mai uşoare, mai intuitive, şi lăsate doar de cele mai grele. Ce vreau să spun aici? Studiate pe o figură cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijiniţi de evidenţa congruenţei, care se vede clar. Mă refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar şi la cele alterne interne. Datorită congruenţei, elevul înţelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri şi logica aranjării acestora în figura respectivă (de exemplu, “alterne” pentru că alternează de-o parte şi de cealaltă a secantei, la fel ca şi casele numerotate alternativ de-o parte şi de alta a străzii, respectiv “interne” pentru că sunt în spaţiul acela interior delimitat de cele două paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate gândirea şi înţelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele două categorii.

Pe figura cu două drepte paralele, acestea – cele două drepte paralele – se evidenţiază minţii în formare a elevului ca o pereche clară, dreapta secantă evidenţiindu-se separat, cu un alt rol logic în această structură. Dimpotrivă, la figura “generalizată”, cea cu perechea celor două drepte neparalele, tăiate de o a treia, pe post de secantă, aici mintea elevului nu va vedea la fel de uşor faptul că primele două acţionează împreună într-un fel, pe când a treia în alt mod. Personal, eu nu mai ţin minte foarte clar, dar cred totuşi că am predat o dată, în primul an la catedră pornind de la această figură (anul şcolar 1990-1991), după care am abandonat ideea (am în amintire o impresie vagă că elevii n-au înţeles nimic; ceva de genul că-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe feţele lor; altfel spus, am simţit empatic că elevii n-au înţeles nimic din acea figură). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit această figură premergătoare, însă doar acum am ajuns să fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (veţi vedea în curând de ce).

Mai zăbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar că figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul că la geometrie elevii trebuie să ţină minte nişte FIGURI TIP, pe care să le aibă imprimate bine în minte pentru a le putea recunoaşta ulterior în diferite structuri mai complicate, adică de obicei în figurile diferitelor probleme. Pentru a mă face înţeles, dau aici câteva exemple de figuri tip: două drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la vârf, un triunghi oarecare secţionat de o paralelă mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situaţii de proporţionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamentală a asemănării), şi exemplele pot continua mult şi bine (există figuri tip chiar şi la zona de algebră, de pildă “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei proporţii, în timp ce spui în minte că “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur că figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă este o figură tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de importantă şi datorită faptului că aceasta nu apare de obicei întreagă în figurile diferitelor probleme, aşa încât elevul trebuie să fie capabil să completeze în minte figura astfel încât să recunoască figura tip şi să poată vedea apariţia a două unghiuri congruente (să zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se înţelege că este extrem de important ca această figură să “se imprime” cât mai repede şi cât mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetată. Eu, de pildă, refac figura tip cu două paralele tăiate de o secantă la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate în această lecţie, adică măcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dată la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru că “stau la fel”, astfel încât congruenţa poate fi justificată, “demonstrată”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei până în celălalt). Apoi refac figura a doua oară pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificată pe baza primeia împreună cu deja cunoscuta situaţie a unghiurilor opuse la vârf). Cu această ocazie elevii încep să priceapă că această figură este una importantă. Uneori o fac şi pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, cât şi a elevilor care întreabă după a doua categorie “dar, există şi unghiuri alterne externe?”, precizându-le insă clar că acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie în cazul unghiurilor interne de aceeaşi parte a secantei, care se dovedesc suplementare (şi aceasta poate fi justificată pentru înţelegerea elevilor, apropos de faptul că unii colegi au ajuns doar să prezinte elementele unei lecţii, fără a mai explica defel de unde vin acestea). Situaţia perechii de unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dacă întreabă un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clară că nici acestea nu se folosesc nicăieri.

Am făcut această prezentare extinsă a importanţei figurilor din lecţia despre unghiurile ce apar la două paralele tăiate de o secantă pentru a scoate în evidenţă cât mai bine stupiditatea următoarei situaţii. Astfel, de curând mi-a fost dat să văd această lecţie predată doar cu prima figură, acea cu două drepte neparalele tăiate de o secantă, în care erau prezentate extins, în text, pe baza numerotării celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teoremă în care erau precizate faptul că dacă dreptele acelea sunt paralele, atunci “următoarele unghiuri sunt …..”. În lecţia respectivă nu apărea defel figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe când cea deosebit de importantă nici nu era prezentă în lecţie (decât doar în text).

Fără figura cu două drepte paralele elevul este “împins” să înţeleagă această lecţie doar în mod “intelectual”, eliminându-se posibilitatea înţelegerii vizuale directe. Pentru a înţelege, elevul este obligat să facă doi paşi logici, anume să urmărească situaţia şi afirmaţiile textului şi să-şi închipuie figura conform noilor condiţii (două drepte paralele), ca apoi să le conecteze în minte pe cele două. Este evident că această cale este mult mai dificilă, chiar inaccesibilă pentru cei mai mulţi dintre elevii actuali.

Cum să înţeleagă acei elevi lecţia respectivă??? Mintea mea nu înţelege aşa ceva decât alegând din una dintre următoarele două situaţii: fie este vorba despre o “prostire” profesională a unor dascăli, fie o răutate cronică faţă de elevi. Oricum este evident faptul că elevii sunt împinşi, fie în braţele sistemului de meditaţii particulare, fie înspre pierderea contactului cu matematica, cu gândirea.

Foarte aproape de această stare se situează şi variantă întâlnită prin anumite lucrări, care prezintă ce-i drept figurile cu două drepte paralele, însă mici şî înghesuite, astfel încât elevii să le perceapă foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie fără figuri este întâlnit mult mai des, anume în lecţiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezintă teoria fără nici măcar o singură figura geometrică (vorbesc de partea teoretică poziţionată înaintea multitudinii de probleme pentru acea lecţie). Am de pildă în minte situaţia unei culegeri de la o editură renumită (de vârf pe piaţă): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate proprietăţile, fără ca autorii să fi considerat ca importantă prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). Vă daţi seama că elevii sunt astfel tentaţi să vadă lucrurile din geometrie de felul că “astea trebuie învăţate pe de rost, în nici un caz şi înţelese”.

3) În urma unor astfel de situaţii cu care se confruntă elevii, nici nu ne mai miră apariţia unor situaţii în care elevii vin cu rezolvări, chiar cu demonstraţii ale unor probleme, fără ca acestea să fie însoţite de o figură geometrică. Elevii ajung să nu-i mai vadă necesitatea prezenţei unei figuri geometrice la o problemă. Fie că o copiază din carte, fie că o preiau de la un coleg, care poate şi el o are făcută de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mentală a legăturii indivizibile între figură şi rezolvarea sau demonstraţia corespunzătoare. Faptul că nici aplicaţiile de pe telefoanele prea deştepte cu care toţi sunt dotaţi, se pare că nu dau rezolvări însoţite de figuri, asta doar accentuează profunzimea şi dramatismul situaţiei despre care vorbesc aici.

Din păcate însă, toate acestea se integrează perfect cu noua politică a examenului de Evaluare Naţională, în forma cea nouă, aplicată din 2021 (odată cu generaţia care a început prima dată cu clasa pregătitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, însă doar cu scop de a fi “citite”, însă pentru eficientizarea testării, acest nou tip de subiecte nu mai are în conţinutul său sarcini la care elevii să fie puşi să facă o figură geometrică.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit până în anul de graţie 2020), deseori unii elevi nu mai refăceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (atât la figura de geometrie plană, de la problema 1, cât şi la figura de geometrie în spaţiu, de la problema 2), ci trasau şi notau pe foaia lor de subiecte câte o linie suplimentară de care aveau nevoie. În aceste condiţii te puteai trezi cu câte o rezolvare în care trebuia să-ţi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, fără a avea însă o certitudine în acest sens. Dar oricum, majoritatea făceau totuşi respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajutătoare, iar toţi elevii desenau desigur şi figura de la începutul Subiectului II. Deci, până în 2020 elevii trebuiau să facă figuri geometrice şi la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie să deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoiţi să traseze cel mult câte o nouă linie pe figurile pre-gătite pe foaia de examinare (am pus intenţionat liniuţa de despărţire pentru a evidenţia asemănarea cu fenomene similare de pildă din zona de alimentaţie, acolo unde la ora actuală se poate cumpăra o varietate tot mai mare de mâncare pre-gătită, funcţia de bucătăreasă fiind deseori redusă la funcţia de încălzitoare a mâncării pre-gătit cumpărate). Cum va arăta viitorul, respectiv cum vor evolua sau – mai bine zis – cum vor involua abilităţile elevilor de a face o figură geometrică corectă, asta este uşor de imaginat. Aşadar – în concluzie, până nu e prea târziu – cum a fost spus de la început, daţi geometriei figurile înapoi! Titus Grigorovici