O problemă de groază cu două fantome şi mult whiskey

Într-un castel vechi din munţii Scoţiei o singură fereastră este luminată. Aici Sir Jerome MacHumbough, stăpînul castelului scrie arborele genealogic al familiei sale. Adică ar vrea să-l scrie, dacă n-ar tremura de frica fantomelor care bântuie castelul. Nici zidurile groase nu-l apără contra acestora. Peste tot în castel se aude cînd plânsul, când râsul fantomelor, uneori chiar amândouă împreună.

La început a crezut că râsul este rezultatul conţinutului operei sale (în care a exagerat faptele eroice ale strămoşilor săi), iar plânsul este al fantomei din castelul vecin (faptele stăpânilor acestuia fiind diminuate de el). Dar cu timpul şi-a dat seama că nu este aşa, întrucât cele două fantome respectă nişte reguli surprinzătoare:

Pe de o parte, acestea nu aşteaptă nici măcar miezul nopţii, ca orice fantomă obişnuită, ci activează de la apusul soarelui pănă în zori fără întrerupere. Este însă adevărat că dacă vre-una nu a început să activeze la apusul soarelul, Sir Jerome poate să fie sigur că în acea noapte va avea linişte din partea acesteia. Pe de altă parte, Sir Jerome a constatat cu surprindere că poate să influenţeze activitatea fantomelor:

  1. Dacă uşa camerei de lucru spre balcon a fost deschisă ziua respectivă, atunci “fantoma plângăreaţă” face la fel ca în noaptea precedentă (adică plânge dacă în noaptea precedentă a plâns, dar tace dacă în noaptea precedentă a tăcut). “Fantoma care râde” însă, face tocmai invers decît în noaptea precedentă, atunci cînd uşa balconului a fost deschisă în ziua respectivă (adică râde dacă noaptea precedentă a tăcut şi tace dacă noaptea precedentă a râs).
  2. Dacă însă uşa amintită a fost închisă toată ziua, atunci cel care râde se comportă ca plângăreţul în noaptea precedentă (adică râde dace acesta a plâns şi tace dacă acesta a tăcut). Plângăreţul însă, în cele mai multe cazuri se adaptează fantomei care râde, dar nu oricum. În acest caz, cum plângăreţul se adaptează sau nu celeia care râde depinde de ce fel de whiskey a băut Sir Jerome în ziua respectivă. Adică:
  • Dacă a băut numai Johnnie Walker, atunci plângăreţul face la fel ca cealaltă fantomă în noaptea precedentă: plânge dacă aceasta a râs şi tace dacă aceasta a tăcut.
  • Dacă a băut numai Black and White, atunci plângăreţul face tocmai invers decît cel care râde: plânge dacă acesta a tăcut şi tace dacă acesta a râs.
  • În cazul în care Sir Jerome a băut din ambele whiskey-uri “fantoma plângăreaţă” devine independentă faţă de “fantoma care râde” şi face invers de cum a făcut ea însuşi în noaptea precedentă: plânge dacă a tăcut şi tace dacă a plâns.

Puterea plânsului sau a râsului, după experienţa lui Sir Jerome, este direct proporţională cu cantitatea de whiskey consumată. Trebuie menţionat totodată faptul că lui Sir Jerome nu-i plac alte whiskey-uri în afară de cele două menţionate, însă nici nu-şi poate imagina să treacă o zi fără a bea whiskey.

Ce trebuie să facă Sir Jerome, ca ambele fantome să-i dea definitiv pace?

*

Am găsit această problemă pe o coală de hârtie veche, îngălbenită de timp, între foile rămase de la socrul meu, inginerul Dodul Eugen, un mare pasionat de matematică, dar şi de pasenţe şi în general de orice probleme de logică. Problema este scrisă la o maşină de scris veche, dar cu diacritice româneşti, având banda de tuş “destul de obosită”. Pe coala respectivă de hârtie nu este menţionată nici o sursă oficială a acestei probleme. Spor la gândit! Pentru inspiraţie puteţi încerca cu un pahar de whiskey (la libera alegere). Sir Teacher’s

Rezultatul 1.000.000.000 (din ciclul Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică)

În toamna anului 2015 am avut postări pe tema Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică, înţelegând prin acest titlu însoţirea elevului în trecerea sa din stadiul gândirii operaţionale concrete spre stadiul gândirii operaţionale formale, adică de la gândirea specifică copiilor de ciclu primar la stadiul adult de gândire. Conform lui Jean Piaget aceasta se petrece undeva în jurul vârstei de 11 ani.

Desigur că există excepţii în ambele sensuri. De pildă, la unii copii această trecere apare mai rapid, aceştia fiind pur şi simplu mai precoce. Totuşi, trebuie să fim foarte atenţi în goana noastră sau a părinţilor după cât mai mulţi “mici Einsteini”: nu ar trebui confundată orice aparentă precocitate cu situaţii în care anumiţi copii stochează informaţii de adult şi folosesc o terminologie corespunzătoare total nepotrivită vârstei, dobândită eventual chiar printr-o simplă învăţare pe de rost. Iată două exemple în cascadă: copilul care vine din grădiniţă şi ştie să numere pornind de la zero, iar apoi eventual ştie să strige şi la sfârşitul numărării: “infinit”. Urmărind de-a lungul anilor astfel de copii în dezvoltarea lor observăm că, de obicei aceste elemente de cunoaştere sunt destul de superficiale, o “spumă” de poleială aparentă, care însă cu timpul este abandonată, copilul dovedindu-se mai târziu absolut normal.

Pe de altă parte, există desigur şi copii care fac această trecere mai greu sau mai târziu, fie pentru că aşa le este felul, fie pentru că le este defectată dezvoltarea naturală din diferite motive, cum ar fi de pildă datorită folosirii diferitelor ecrane (TV, calculatoare, deşteptofoane, toate generatoare de ADHD).

Oricum, această trecere nu are loc la un copil brusc şi în nici un caz nu are loc la fel sau în acelaşi moment la toţi elevii dintr-o clasă, aşa încât o abordare cu respect faţă de fiinţa copilului ne-ar obliga să lucrăm cu multă răbdare şi tact pedagogic la subiectele care fac trecerea între cele două forme de gândire.

Subiectul principal asupra căruia am atenţionat accentuat în acest sens este introducerea operaţiei de putere din clasa a V-a, anume faptul că această temă are două etape distincte, câte una în fiecare din cele două forme de gândire: etapa de respectare a ordinii operaţiilor, corespunzătoare stadiului de gândire operaţională concretă, iar apoi etapa de încălcare a ordinii operaţiilor pe baza formulelor de operaţii cu puteri, corespunzătoare stadiului de gândire operaţională formală.

De obicei prima parte este neglijată, trecerea la a doua parte făcându-se foarte rapid, din prima oră, lăsându-i pe mare parte dintre elevi într-o totală “ceaţă” legat de această nouă operaţie. În postarea http://pentagonia.ro/gandirea-aritmetica-vs-gandirea-algebrica/ din sept. 2015 ofeream un material de bază din prima categorie de exerciţii, recomandând ca lecţia să rămână un pic în această zonă elementară înainte de a merge mai departe în zona de gândire algebrică. Prin “zonă elementară” înţelegeam atunci introducerea operaţiei de putere, înţelegerea şi fixarea acesteia (elevii să nu aibă tentaţia de a zice că 23 = 6 etc.), cât şi înţelegerea cazurilor particulare  cu 1 şi cu 0 (1n = 1, n1 = n, 0n = 0, dar n0 = 1 şi nu n0 = 0).

Între timp, din 2015 încoace au apărut în diferite culegeri sau manuale noi seturi cu exerciţii conţinând toate cele cinci operaţii, pur şi simplu aşa numitele “exerciţii de ordinea operaţiilor”. Stabilizarea acestui nivel se face cel mai bine pe exerciţii de calcul în care nou învăţata operaţie de putere se alătură celor patru operaţii de bază cunoscute deja din clasele primare. Ordinea operaţiilor este un subiect cunoscut, iar apariţia unui nou nivel de prioritate este foarte uşor primit de către toţi elevii, acesta trebuind doar exersat. În cadrul exerciţiilor cu toate cele cinci operaţii amestecate – cu sau fără paranteze – exersarea extinderii ordinii operaţiilor se face foarte bine alături de mai sus prezentatele cunoştinţe din zona elementară a operaţiei de putere, iar asta funcţionează foarte bine la majoritatea elevilor pentru că aceştia sunt setaţi din clasele mici să calculeze.

Acestor gânduri onorat cititorul le poate contra-argumenta cu următoarea întrebare: bine, bine, dar cu elevii buni ce facem, că se plictisesc “de moarte” la aceste “banalităţi” şi, după cum se ştie, subsolicitarea este la fel de dăunătoare ca şi suprasolicitarea. Ce facem deci cu elevii buni în acea perioadă scurtă, de cel mult o săptămână, în care îi lăsăm să exerseze puterea alături de celelalte operaţii în stadiul operaţional concret? Un răspuns posibil vine de la următoarea “problemă” asupra căreia ne atrage atenţia profesorul Vasile Bobanciu în lucrarea sa Caleidoscop matematic, Editura Niculescu, ed. a III-a, 2005, la pagina 71 (cu răspunsuri la pagina 100).

Astfel, aflăm că în anul 1907 profesorul Ion Ionescu a propus cititorilor Gazetei Matematice să scrie un miliard utilizând toate cele zece cifre o singură dată. În lunile următoare s-au primit mai multe soluţii, ce au fost prezentate în anul 1908 în Gazeta Matematică. Preluând ideea, eu le propun elevilor de clasa a V-a doar să le verifice pe rând pe fiecare dintre aceste scrieri, adică să observe dacă sunt scrise într-adevăr cu fiecare cifră folosită măcar o dată şi doar o singură dată, iar apoi să calculeze dacă acestea dau rezultatul 1.000.000.000:

(2 + 3 + 4 + 7 + 9) ∙ 5 ∙ 8 ∙ 106

(897 + 106 + 4 – 2 – 5)3

23 ∙ 6 –  9 ∙ 58 + 7 + 4 – 10

23 ∙ 4 ∙ 59 + 6 – 7 ∙ 8 ∙ 10

29 ∙ (8 + 7 – 10)63 – 54

26 ∙ 57 ∙ [8 ∙ (1 + 9) + 4 ∙ 30]

5 ∙ 20 ∙ (1 + 3 ∙ 9 – 4 – 6 – 8)7

(897 + 106 + 5 – 2 ∙ 4)3

(64 – 59)8 ∙ 20 ∙ (3 – 1)7

(510 + 4 – 2) ∙ (73 – 68)9

[2 ∙ 10 ∙ (4 ∙ 5 + 6 + 7 + 8 + 9)]3

(40 : 8 – 3)(62 + 1) : 7 ∙ 59

Unele sunt mai uşoare, altele mai grele (pentru elevul mediu în sem. I din clasa a V-a); la unele dintre acestea anumiţi elevi reuşesc să găsească singuri faptul că zero-urile de la sfârşit sunt generate de produse de 2 ∙ 5, situaţii de genul 26 ∙ 57 generând din start şase zero-uri la sfârşitul rezultatului. Pe de altă parte, în acestea apar şi situaţii de tipul 103 ∙ 106 = 109 pentru obţinerea unui miliard. În acest sens, respectivele exerciţii devin o bază bună pentru predarea prin problematizare în vederea “descoperirii” formulelor de operaţii cu puteri (în orele următoare). Anexez o variantă pdf a acestor exerciţii. CTG

Rezult 1000 000 000.pdf

Echerul geometric

La peste un sfert de secol după schimbările din 1990 în şcolile din România se folosesc încă instrumentele de tip vechi. Nu vreau să susţin că acestea sunt depăşite; şi eu le cer elevilor în clasa a VI-a cunoscutele truse chinezeşti în cutiuţă de metal care îi ajută să înţeleagă toate mişcările specifice. Din clasa a VII-a le cer însă achiziţionarea unui alt instrument. Despre ce este vorba?

În vestul Europei se foloseşte de mult timp un instrument din plastic transparent care poate face orice construcţie în afara de trasarea cercurilor. Acesta este cunoscut sub denumirea de echer geometric: Geo-dreieck în germană pe scurt (complet ar fi Geometrie-Dreieck), Equerre géometrique pe franceză, Geometrical square pe engleză, Escuadra geometrica pe spaniolă, Triangolo Geometrico pe italiană etc. Iată o imagine cu acesta:

Haideţi să-l analizăm pas cu pas în elementele sale. În primul rând ne uităm la sistemul de linii paralele (paralele cu ipotenuza echerului), din 5 în 5 mm depărtate de ipotenuză. Cu acestea poţi trasa paralele la o dreaptă. Dacă punctul prin care doreşti să trasezi paralela nu este la distanţă de 5, 10, 15 etc. cm, atunci te poţi ajuta de cele două gradaţii suplimentare în mm cu care poţi poziţiona ipotenuza paralel faţă de dreapta iniţială.

Al doilea element important este linia mediană a acestui echer (îmi place să numesc astfel înălţimea din unghiul drept pe ipotenuza echerului, totodată şi mediană, bisectoare, mediatoare şi axă de simetrie a instrumentului). Cu ajutorul acesteia în primul rând se pot trasa perpendiculare pe o dreaptă dată, perpendiculare care să traverseze dreapta. O astfel de perpendiculară este mult mai bună pentru că poate trece dintr-o parte în cealaltă a dreptei iniţiale “dintr-o mişcare”, fără mutarea echerului şi fără acea “rotunjire” deranjantă la piciorul perpendicularei, ce apare “vrei-nu vrei” la echerele de modă veche (dacă vrei perpendiculară doar pe o parte, te opreşti la dreaptă). Este atât de comodă trasarea perpendicularelor cu această linie mediană, încât cine s-a obişnuit să o folosească nu va mai accepta să lucreze cu alte echere.

Probabil că aşteptaţi să vorbesc şi de raportor, elementul cel mai vizibil, dar nu, al treilea element valoros la echerul geometric îl reprezintă gradaţia liniarului de pe ipotenuză, avându-l pe zero la mijloc, numerele crescând în ambele părţi. Cu ajutorul acesteia se poate în primul rând găsi mijlocul unui segment, fără a-l măsura şi a împărţi lungimea la doi. Pur şi simplu trebuie să poziţionezi liniarul gradat de pe ipotenuză pe segment cu capetele acestuia egal depărtate de mijlocul zero, punct pe care îl însemnăm ca mijloc.

Combinând linia mediană cu gradaţia liniarului putem foarte uşor să construim bisectoarea unui unghi. Pentru asta trebuie să poziţionăm echerul geometric cu linia mediană trecând prin vârful unghiului şi laturile unghiului tăind gradaţia liniarului de pe ipotenuză în două puncte simetrice faţă de zero, în mod similar cum am procedat la mijlocul unui segment. Practic, astfel aranjate laturile unghiului şi cu liniarul gradat în cm cuprind între ele un triunghi isoscel, linia mediană a echerului ca înălţime devenind automat şi bisectoare.

Vine în sfârşit şi raportorul la rând de a fi analizat. Acesta nu aduce numic nou faţă de ce ştie toată lumea, dar trebuie folosit cu atenţie pentru că baza sa este chiar ipotenuza echerului şi nu o linie trasată pe suprafaţa interioară a plasticul echerului (vedeţi că pe echer nu sunt scrise valorile de 0o respectiv 180o, linia unghiului alungit 0o-0-180o fiind chiar liniarul gradat în cm al echerului, punctul 0 fiind vârful acestui unghi alungit). În mod similar cu construcţia unghiurilor drepte, aceste echere geometrice au şi nişte linii ajutătoare pentru construcţia unui unghi de 45o. În plus, având suprapunerea dintre centrul raportorului şi originea gradaţiei de pe liniar se pot trasa foarte uşor segmente de o anumită lungime la o anumită înclinaţie faţă de un segment dat (tocmai am descris construcţia triunghiurilor în cazul LUL).

Folosind linia mediană şi gradaţia ciudată a liniarului, putem construi foarte uşor şi simetricul unui punct sau al unei întregi figuri faţă de o dreaptă (privită ca axă de simetrie). Ştiu că astfel de sarcini nu sunt în repertoriul orelor de geometrie din România, dar am ţinut să prezint şi acest aspect deosebit de folositor în practică.

Vedeţi deci cât este de folositor acest instrument, permiţând construcţii foarte exacte atât pe foaia de matematică cu pătrăţele, dar în poziţii înclinate, cât şi pe coală velină (folosită la examenul de la finalul clasei a VIII-a sau la BAC). Să vedeţi ce uşor desenezi cu echerul geometric clasica figură din teorema lui Pitagora (cea cu pătratele construite pe fiecare latură a triunghiului dreptunghic)! Dar să luăm şi un exemplu mai simplu: construiţi cu echerul geometric un triunghi dreptunghic cu ipotenuza orizontală şi unghiul drept în vârf. La fel de folositor este echerul geometric şi la trasarea sistemului de axe ortogonale cu unităţi pe cele două axe ale sale, pentru trasarea punctelor şi a graficelor funcţiilor (desigur, pe foaie velină, când nu ai reperele pre-trasate ale pătrăţelelor de pe foaia caietului tradiţional de matematică). Da, echerul geometric construieşte aproape orice; doar cercuri nu ştie trasa.

Unde se găsesc astfel de instrumente valoroase? Am mai spus, sincere mulţumiri magazinelor Lidl care au tăria de a aduce măcar în fiecare septembrie astfel de echere în truse deosebit de ieftine (un echer geometric mic, unul mare şi un liniar ordinar) la 4 lei. Şi alte magazine aduc, dar neconstant şi de obicei la preţuri mult mai piperate, şi asta doar pentru că nu există o cerere constantă şi în cantităţi mari. De ce nu există această cerere? Pentru că şi după un sfert de secol de la “eliberarea oficială de comunism” organizatorii programelor şi a manualelor de matematică româneşti nu au preluat acest echer, ne-existând o recomandare oficială pentru folosirea sa.

În acest sens am o scurtă, dar edificatoare povestioară: prin 1992 m-am adresat conducerii întreprinderii Napochim din Cluj, care pe lângă lighiane şi alte castroane, producea şi instrumente geometrice din plastic transparent, cerându-le să introducă în producţie şi astfel de echere. Mi-au răspuns sec că, fie rezolv ca înainte să fie introduse prin materia din manuale, fie să plătesc eu realizarea matriţei. Am întrebat cât costă matriţa şi răspunsul “m-a dat pe spate”: era vorba de salariul meu de începător pe mai mult de un an. Q.E.D. La castroane şi lighiane aveau garanţia că se vând, la aceste instrumente deştepte aveau mari dubii. Şi uite-aşa au dispărut încet toate capacităţile de producţie româneşti, refuzând progresul.

Desigur că există echere geometrice şi mari, pentru uzul profesorilor la tablă (tot din import, e clar). Nu sunt ieftine, dar merită şi profesorul un instrument bun (iar şcolile la ora actuală chiar îşi pot permite astfel de achiziţii).

Închei această prezentare cu o precizare: imaginile de mai sus sunt toate culese de pe internet. Dacă daţi cuvinte de căutare denumirea echerului geometric în diferite limbi străine vă vor apărea şi filmuleţe postate în care puteţi vedea cum se foloseşte acesta. Dau un singur exemplu, anume un filmuleţ cu paşii de urmat pentru trasarea mediatoarei (în germană Mittelsenkrechte).

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Este interesant că autorul trasează mediatoarea cu echerul geometric, dar la bisectoare (în germană Winkelhalbierende) foloseşte metoda antică cu compasul, dovedind astfel o ciudată inconsecvenţă. Eu personal îi învăţ pe elevi în clasa a VI-a metodele tradiţionale cu rigla negradată şi compasul, iar din clasa a VII-a metodele mai moderne şi mai rapide cu echerul geometric.

Căutaţi şi cumpăraţi un astfel de echer, folosiţi-l şi veţi vedea că merită. Noi îl folosim de prin ’93-’94 şi elevii noştri a avut de atunci întotdeauna cele mai frumoase desene la examene.  Titus G.

Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc-(2)

De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect, întrebare la care m-am străduit din răsputeri să răspund cât mai dataliat cu putinţă. Reiau întrebarea: Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? (comentariu din 22.aug. 2018 la postarea din 1.mai 2018)

Pe când făceam corectura finală şi ultimele retuşuri la eseul cu pricina, am reuşit să găsesc şi manualul de geometrie de a VI-a despre care vorbea colegul Alex D. Mai exact, am găsit două manuale ale profesorului A. Hollinger, unul din 1966 (bănuiesc că acesta este de forma celui despre care era vorba în întrebare) şi încă unul din 1977. Avem foarte multe manuale vechi acasă şi nu apuc să le studiez în detaliu; nici pe acestea nu le ştiu pe de rost, aşa că le-am luat la “puricat” în contextul de faţă. Permiteţi-mi să vă prezint ce am găsit în cele două manuale legat de subiectul discutat în prima parte a eseului ca răspuns la întrebarea de mai sus. (observaţie de pronunţie: numele se citeşte “Holingăr”)

1) Haideţi să vedem în primul rând cum erau prezentate lucrurile în manualul lui  Hollinger din 1966 (mulţumesc pentru acest manual fostei mele colege Cristian Marina, profesoară de engleză, dar mare iubitoare de matematică, care şi-a păstrat manualele din gimnaziu de pe vremuri). Iată începutul cuprinsului: Cap.I: Noţiuni introductive; Cap. II: Linia dreaptă; Cap. III: Cercul; Cap. IV: Unghiuri etc.

Să spicuim câteva aspecte din capitolul de introducere a cercului. Acesta este împărţit în nişte subteme pe care le enumăr în continuare: 29. Ce este cercul. 30. Proprietăţi ale cercului. 31. Rază, diametru, coardă, arc. 32. Mijloace practice de a obţine un cerc. 33. Aplicaţii ale cercului (aplicaţii practice ale proprietăţilor cercului în lumea înconjurătoare). 34. Mişcarea de rotaţie. 35. Cercuri egale. 36. Compararea arcelor. 37. Operaţii cu arce. 38. Măsurarea arcelor. 39. Observare. (o observaţie scrisă cu litere mai mici şi în care se spune că măsura în grade a unui arc nu indică lungimea acelui arc etc.) 40. Arce şi coarde. 41. Construcţia unui arc egal cu un arc dat. Reiau câteva pasaje din acest capitol:

34: Mişcarea de rotaţie. Când o figură plană se mişcă în planul ei astfel ca unul dintre punctele ei să rămână pe loc, se spune că are o mişcare de rotaţie. În figura 71 se arată cum putem da unei foi de hîrtie  o mişcare de rotaţie. (Foaia de hîrtie este fixată pe masă cu ajutorul unui ac.) Când o figură plană are o mişcare de rotaţie, toate punctele ei descriu cercuri sau arce de cerc, care au acelaşi centru (punctul unde este înfipt acul). Acest punct se numeşte centru de rotaţie. Cînd o roată se învîrteşte (nu cînd se rostogoleşte), ea are o mişcare de rotaţie, centrul de rotaţie fiind chiar centrul roţii.

38: Măsurarea arcelor. Ca unitate de măsură pentru arce se ia a 360-a parte din cerc, numită grad (o). Gradul se subîmparte în 60 de părţi egale (…) Arcele se măsoară cu ajutorul unui instrument numit raportor (…)

Să ne uităm în mod similar şi la capitolul de introducere a unghiurilor. Acesta este împărţit în următoarele teme: 42. Ce este un unghi. 43. Unghi cu laturile în prelungire. 44. Compararea unghiurilor. 45. Operaţii cu unghiuri. 46 Observare. 47. Unghi la centru. 48. Unghiuri şi arce. Aici apare un titlu mai mare, Măsurarea unghiurilor, care are următoarele teme: 53. Măsura unui unghi. 54. Raportorul. 55. Observări. 56. Măsurarea unghiurilor pe teren. (…) Capitolul se încheie cu tema 72. Unghiuri mai mari ca 180o. Reiau şi aici câteva pasaje:

42: Ce este un unghi. (…) Un unghi este format din două semidrepte care pornesc din acelaşi punct. El poate lua naştere prin rotaţia unei semidrepte în jurul capătului ei. (…) Când este vorba de mărimea unui unghi, avem în vedere porţiunea din plan cuprinsă între laturile sale (haşurată în figura 85 – un unghi ascuţit şi unul obtuz cu interiorul haşurat) sau cât de mult trebuie să rotim una din laturi ca să o suprapunem cu cealaltă (…). Laturile unui unghi sînt semidrepte (nu segmente), ele indică două direcţii. Faptul că ele sînt mai lungi sau mai scurte (desenate evident) nu influenţează mărimea unghiului. Se are în vedere deschiderea lor. Uneori este mai bine să reprezentăm un unghi printr-o bucată de carton ca în figurile 87-90. (…)

46: Observare. Compararea unghiurilor, precum şi operaţiile cu unghiuri se pot înţelege şi dacă privim unghiul ca fiind născut prin rotaţia unei semidrepte. Astfel, în figura 87, a, unghiul al doilea este mai mic decît primul; aceasta înseamnă că, pentru a aduce o semidreaptă din poziţia OA în poziţia ON, trebuie s-o rotim mai puţin decît pentru a o aduce în poziţia OB; în figura 87, b, trebuie s-o rotim tot atît, iar în figura 87, c, – mai mult. În figura 88, unghiul AON este suma unghiurilor 1 şi 2; aceasta înseamnă că, pentru a aduce semidreapta OA în poziţia ON, trebuie să o supunem unei rotaţii date de unghiul 1 şi încă unei rotaţii, în continuare, dată de unghiul 2. A roti în continuare corespunde operaţiei de adunare a unghiurilor, aşa cum după ce am dus un segment de dreaptă AB, dacă mişcăm creionul în continuare pînă în C, adăugăm segmentul BC (fig. 92). (…) Mă bazez în redarea citatelor că onorat cititorul reuşeşte să-şi imagineze figurile la care Hollinger face referire (am preferat să nu mai încarc postarea cu diferite imagini; cine ţine neapărat să vadă acele imagini şi atmosfera emanate de acestea merită să facă efortul de a vâna aceste manuale în anticariate virtuale şi a le achiziţiona; ce frumos şi sugestiv este acest cuvânt: anticariat).

47: Unghi la centru. Nu reiau din această parte decât ultimul aliniat, urmare a unei figuri ce reprezintă un ceas tradiţional, la care oarecum acele sale sunt prelungite în două semidrepte, ca laturile unui unghi: Acele unui ceas formează un unghi la centru (fig. 94).

53: Măsura unui unghi. Dată fiind legătura dintre un unghi la centru şi arcul cuprins între laturile sale, putem măsura unghiurile măsurînd arcele lor. (…)

55: Observări. Cînd măsurăm un unghi cu raportorul, noi măsurăm de fapt un arc. Cînd aşezăm raportorul peste unghi ca în figura 100, unghiul devine unghi la centru, iar arcul corespunzător este partea din marginea raportorului cuprinsă între laturile unghiului. (…)

Nu are legătură cu subiectul nostru, dar nu mă pot abţine să nu vă redau şi aliniatul 3 de la aceste observări: Un unghi şi un arc sînt lucruri cu totul diferite. Un unghi nu poate fi egal cu un arc, nici mai mare ca el, nici mai mic, aşa cum un metru nu este egal cu un kilogram, nici mai mic, nici mai mare. Ne putem imagina situaţia acestui profesor emerit, de câte ori s-o fi lovit dânsul de întrebări în ceaţă de genul: Vreţi să spuneţi că unghiul şi arcul de cerc sînt acelaşi lucru? De vreme ce se măsoară ambele în grade?

72: Unghiuri mai mari ca 180o. Cînd o semidreaptă se roteşte în jurul unui punct, ea poate descrie unghiuri oricît de mari. Să luăm, de exemplu, acul mare (minutarul) al unui ceasornic (fig. 121). Într-o junătate de oră, el descrie un unghi de 180o, în ¾ de oră un unghi de 270o, într-o oră de 360o, în două ore de 720o ş.a.m.d. În acest manual vom folosi însă numai unghiuri mai mici decît 180o.

Mă opresc aici cu citatele din manualul de clasa a VI-a din 1966, sperând că aţi prins linia în care preda profesorul A. Hollinger aceste aspecte. Este evidentă forma în care eu m-am format şi din care peste ani a ieşit forma de predare ce v-am prezentat-o în prima parte. Pasajele citate de mai sus le-am citit însă conştient, ca dascăl, doar acum, odată cu redactarea acestui eseu, mai exact după ce tot restul eseului a fost redactat.

*

2) În cei 11 ani trecuţi până la următorul manual, cel din 1977, s-au produs unele modificări, dar multe lucruri au rămas la fel (am vaga imagine în minte că prin 1972 a fost o scurtă reformă). Vedem ca urmare două variante aparent diferite, dar care au clar elemente comune.

Iată începutul cuprinsului manualului din care am învăţat generaţia noastră: Cap.I. Recapitulare şi completări. Cap.II. Linia dreaptă. Cap. III. Unghiuri. Rotaţia. Simetria faţă de un centru. Restul cuprinsului nu este de interes pentru subiectul de faţă. Oricum, se vede că a dispărut capitolul despre cerc. Să analizăm cum funcţionau aspectele în discuţie în acel capitol III despre unghiuri.

3.1. Noţiunea de unghi. 1. În clasele anterioare s-a arătat ce este un unghi; în cele ce urmează vom preciza această noţiune. (puţin neinspirată – pentru noi – această exprimare “vom preciza această noţiune”, dar trebuie să avem înţelegere: Hollinger avea deja o vârstă avansată, era numit profesor emerit, venea din alte vremuri; Apropos manuale vechi, noi avem un manual semnat de dânsul din perioada interbelică). Două semidrepte OA şi OB (fig. III.1) care au aceeaşi origine împart punctele din plan nesituate pe nici una din ele în două părţi. În figură una din aceste părţi este haşurată şi cealaltă este acoperită cu puncte. Cele două semidrepte împreună cu una din aceste părţi ele planului formează un unghi.

Aşadar, Hollinger dă din startul capitolului drepturi egale unghiurilor proprii (cum le numim noi acum) şi unghiurilor supraobtuze. În figura respectivă este haşurată zona care actualmente se numeşte exteriorul şi este punctată zona care se numeşte actualmente interiorul unghiului propriu. Urmează o Definiţie. Un unghi este format din două semidrepte care au aceeaşi origine împreună cu una din părţile planului determinate de ele. (UAU!!!) Apoi vin componentele unghiului: Cele două semidrepte se numesc laturile sau braţele unghiului, originea lor comună se numeşte vîrful unghiului, şi partea din plan se numeşte interiorul unghiului. (Care parte din plan? Păi, aia care am ales-o, şi am haşurat-o în această fază incipientă.)

În general, una dintre părţile planului determinate de cele două semidrepte este mai mică (cea acoperită cu puncte în fig. III.1). Un astfel de unghi se numeşte unghi convex (în subsolul paginii apare şi un comentariu: Căci, dacă M şi N sînt două puncte oarecare din interiorul lui, tot segmentul MN se află în interiorul lui – ceea ce nu mai este adevărat în cazul unui unghi neconvex). Pentru a reprezenta un unghi, se desenează numai cele două semidrepte (fără haşuri). Ca să se ştie despre care din cel două unghiuri este vorba, se face în interiorul lui un arc de cerc cu centrul în vîrful unghiului sau un alt semn. În figura III.1, unghiul convex este indicat prin două arce, şi celălalt printr-un singur arc. Când nu există nici un arc, se înţelege că este vorba de unghiul convex. (…)

2. Un unghi poate lua naştere prin rotirea unei semidrepte. De exemplu, unghiul din figura III.4 poate lua naştere prin rotirea unei semidrepte din poziţia OM pînă în poziţia ON în sensul indicat de săgeata 1 sau din poziţia ON pînă în poziţia OM în sensul indicat de săgeata 2. În ambele cazuri, semidreapta descrie (mătură) tot interiorul unghiului – ca limba unui ceas (privită ca semidreaptă). (…)

3.2. Măsura unui unghi. 1. Unghi la centru. Când o semidreaptă se roteşteîn jurul originii sale descriind un unghi AOB (fig. III.7), în fiecare dintre punctele ei descrie un arc de cerc. Punctul M  descrie arcul 1, punctul N descrie arcul 2 ş.a.m.d. (M şi N sunt situate în figură pe latura OA a unghiului AOB, şi mai este încă un arc, cele trei arce trecând dincolo de latura OB) Toate aceste arce au acelaşi centru O. Prin trasarea unuia dintre aceste arce, unghiul devine unghi la centru. Un unghi la centru este un unghi al cărui vîrf se află în centrul unui cerc. Limbile unui ceas (privite ca semidrepte) formează un unghi la centru (fig. III.8). Între un unghi la centru şi arcul său există o legătură strînsă.

Urmează, sub titlul 2. Unghiuri şi arce o scurtă prezentare a acestei legături, după care vine partea 3. Măsura unui arc pe care o cunoaştem din manualul din 1966. La fel, cunoaştem şi partea 5. Măsura unui unghi etc. Aşadar, Hollinger introduce măsura în grade mai întîi tot pe arce de cerc, iar apoi la unghiuri, chiar dacă aparent a introdus mai întâi unghiurile.

Acestea erau părerile şi punctele de vedere ale profesorului A. Hollinger în anii ’60-‘70. Părerile mele, atât cele pro, cât şi cel contra, le-am prezentat detaliat în prima parte a eseului. Înainte de a încheia îmi permit totuşi să ordonez într-un scurt rezumat ideile despre cum ar trebui să arate introducerea noţiunii de grad în primele clase gimnaziale. Cu această ocazie voi mai face şi câteva ultime observaţii metodice legate de acest subiect, în contextul ultimei programe pentru gimnaziu. Mulţumesc încă o dată pentru oportunitatea oferită de a trata această temă de detaliu atât de fină şi totuşi atât de controversată.

*

Cerinţa introducerii pe principii intuitive a noţiunilor la clasele gimnaziale mici era considerată de la sine înţeleasă înainte de reforma uitată din 1980, dar este precizată şi în noua programă. În vederea introducerii pe baze intuitive a noţiunii de grad la copii trebuie să pornim de la realitatea lumii înconjurătoare. Or, lumea înconjurătoare, din punct de vedere al copilului, este o lume în mişcare. Copilul sănătos se mişcă mult; el cu greu stă locului (poate doar dacă este ţintuit în faţa micului ecran, vrăjit de imaginile fâlfâitoare). Prezentându-i lucrurile în mişcare le înţelege cel mai bine. Acesta este unul din principiile ce mi-au fost prezentate de mult despre predarea matematicii în general şi a geometriei în particular, de către cei mai vechi decât mine în pedagogia Waldorf. Dar predarea în mişcare nu este un principiu ce ţine neapărat de această pedagogie, ci este pur şi simplu un principiu al predării sănătoase, oblogatoriu mai ales la vârstele mici. Şi se vede din plin cum Hollinger foloseşte acest principiu al predării prin mişcare la introducerea noţiunilor la clasa a VI-a (semidreapta care în rotirea sa în jurul punctului de origine “mătură” interiorul unghiului, sau punctul care rotindu-se în jurul centrului descrie un arc de cerc etc.).

Am două observaţii speciale aici, legate de poziţionarea acestui tip de predare mai ales în conexiune cu vârsta elevilor: pe vremea acestor manuale elevii mergeau la şcoală, în clasa I, după împlinirea vârstei de 6 ani. Actualmente, elevii (vorbesc de cei ajunşi anul acesta în clasa a VI-a) au mers la şcoală, în clasa pregătitoare, tot cam după împlinirea vârstei de 6 ani. Astfel, vârsta de atunci de clasa a VI-a cam echivalează cu vârsta medie a copiilor de clasa a V-a, poate cu o mică întârziere datorată celor care au fost înscrişi în clasa pregătitoare înaintea împlinirii vârstei de 6 ani. Cu alte cuvinte, semestrul II din clasa a V-a este numai potrivit pentru a introduce noţiunea de grad în mişcare, într-o formă cum am văzut-o la Hollinger (pentru cei care pot să înţeleagă şi să creadă într-aşa o predare în mişcare, detaşându-se de predarea statică din ultimii 35 de ani). Totuşi, introducerea unei noţiuni noi în mişcare nu estestrict legată de vârstele mici, ci este doar strict necesară majorităţii elevilor din clasele mici. Să presupunem că am dori să-i explicăm această lecţie unui adult care nu a învăţat-o, nu o ştie, habar nu are ce-i acela un unghi. Şi la acesta tot prin mişcare şi prin analogie cu lumea înconjurătoare o vom face cel mai eficient. Metoda statică constructivistă, pe baza unor definiţii, este potrivită doar în cazul predării prin sistematizare a cunoştiinţelor la nouă reluare (predare în spirală la cunoştiinţe anterior dobândite)

Să reluăm firul discuţiei. Aşadar, există două mişcări de bază, mişcarea rectilinie şi mişcarea de rotaţie. Pentru a măsura mişcarea rectilinie avem unităţile de lungime. Trebuie introdusă o unitate de măsură pentru rotaţie, care este o mişcare de cu totul alt tip, cauză pentru care suntem puşi în faţa unor probleme de cu totul alt tip. Unităţile de lungime măsoară mărimea unui segment, segmentul obţinându-se punând vârful unui creion pe hârtie şi mişcându-l de-a lungul unei drepte, de-a lungul unui liniar. Trebuie însă să rezistăm tentaţiei de a face exact acelaşi lucru în cazul rotaţiei. Rotind un punct, manifestat prin vârful creionului de la compas, în jurul unui centru de rotaţie – vârful acului – vom obţine un arc de cerc la care putem fi uşor tentaţi să-i măsurăm ca mărime tot lungimea. Dar acest fapt trebuie evitat cu abilitate.

Aceasta este marea provocare la introducerea unităţii de măsură pentru rotaţie, de a distrage atenţia elevului, natural manifestată către un soi de lungime, doar că rotundă, şi a îndrepta atenţia spre centrul de rotaţie. Vom face aceasta ataşându-i centrului de rotaţie o direcţie, văzând apoi cum se roteşte direcţia în jurul centrului; un fel de punct care se uită într-o direcţie şi care învârtindu-se mătură cu privirea o porţiune din planul înconjurător. Hollinger făcea asta rotind o semidreaptă cu originea chiar în centrul de rotaţie, în jurul acestui centru. Pentru a coborî din zona abstractă în lumea înconjurătoare a elevilor, obţinând astfel o accesibilizare a spuselor sale, Hollinger apela apoi la exemplul ceasurilor (desigur cu ace, cele cu afişaj digital apăreau primele spre finele anilor ’70).

Eu prefer o altă variantă: stau drept în faţa clasei, cu faţa îndreptată către uşă şi o mână ridicată orizontal în faţă. Apoi, în timp ce explic, încep să mă rotesc, arătându-le elevilor o rotaţie completă, adică până sunt iarăşi poziţionat cu faţa şi cu mâna către uşă. În acest moment le explic că o rotaţie completă se împarte în 360 de părţi numite grade. Repet oarecum mişcarea sub formă de întrebare: cât m-am rotit dacă am făcut doar o jumătate de tură şi m-am întors doar pănă la a arăta spre geam? 180o, strigă toată clasa, apoi mă rotesc doar un sfert de tură etc. Îmediat apoi trec la tablă şi îi întreb pe elevi: dacă aş fi făcut treaba asta cu o cretă în mână pe o suprafaţă, ce aş fi obţinut? Un cerc, strigă toţi copiii. Aşa că desenăm un cerc ca manifestare a rotaţiei, şi în acesta trasez apoi diferite raze ca reprezentare a mâinii mele întinse în faţă, şi reprezint grafic astfel ceea ce am arătat mai înainte când mă roteam şi prezentam oral apariţia gradelor de rotaţie. Pe desen voi scrie 90o, 180o, 270o şi 360o atât pe cerc, cât şi pe nişte arce mici orientate cu săgeată până la direcţia respectivă. Apoi, cu o cretă colorată voi desena poziţia iniţială a semidreptei şi una finală oarecare, haşurând porţiunea măturată de semidreapta în rotire, explicând că acesta este un unghi. Aici luăm raportorul, îl poziţionăm cu atenţie exact în centrul cercului şi cu linia de 0o pe raza iniţială şi toată lumea citeşte câte grade s-a rotit raza respectivă. Apoi scriem măsura obţinută atât pe cerc, cât şi pe o săgeată rotundă în interiorul unghiului. Astfel, măsurarea rotaţiei este transferată simultan şi la unghiuri şi la arce (cei doi “copii” ai rotaţiei).

Pe caiet însă, nu vom scrie nici o definiţie, nici pentru arc de cerc, nici pentru unghi, şi desigur nici pentru grad. Dimpotrivă, trecem repede la raportorului ca instrument de măsurare a gradelor, pentru a face repede un nou desen, anume împărţirea cercului în cinci părţi egale (aplicaţie cu caracter ludico practic) şi a stelei în cinci colţuri (pentagrama): câte grade are o parte?, iar elevii care stăpânesc bine împărţirea strigă 72o! Ca temă se poate da desenarea unei octograme, o stea în opt colţuri, pe baza împărţirii cercului în opt părţi egale de făcut cu raportorul. Ora următoare se poate face o reactualizare prin împărţirea cercului în 9 părţi egale şi ca temă în 10 părţi egale (merge şi ca temă din prima, dar eu prefer să o fac ora următoare pentru a “aduna” şi ultimele “oiţe rătăcite”). Anexez în acest sens poza unui desen făcut zilele acestea pe post de recapitulare la începutul clasei a VI-a (avem 4 elevi noi în clasă pe care trebuie să-i iniţiem repede în aceste tehnici), ca să înţelegeţi la ce mă refer când vorbesc de desene frumoase şi abordare iniţial ludică a cunoaşterii elementelor geometrice (un desen asemănător cu roza vânturilor, dar cu 5 + 5 vârfuri, plecând de la împărţirea cercului în 10 părţi egale cu ajutorul raportorului: 360o : 10 = 36o etc.). Noi folosim nişte caiete fără poze pe copertă, cu foaie velină, şi câţiva elevi vor desena acest desen ca imagine pe caietul de geometrie.

În final doresc să accentuez câteva aspecte atinse pe parcurs, inclusiv prin citatele din Hollinger, dar nediscutate clar ca atare. În primul rând, consider dăunător să facem un transfer simplu de conţinut din forma de predare ce o aveam când unghiurile se introduceau doar în clasa a VI-a, un transfer ad literam în semestrul II din clasa a V-a, doar pentru că au apărut aici aceste titluri. Mult mai sănătos este ca în clasa a V-a să introduc noţiunile în mod ludic, pe baze intuitive, şi apoi, doar în clasa a VI-a, la o reluare şi stabilizare a noţiunilor, să le dăm eventual definiţii mai ordonate ale noţiunilor. Acolo nu mai este nevoie să vorbim despre rotaţie şi putem da direct gradele ca unităţi de măsură a unghiurilor (în vremurile noastre acestea au întâietate în faţa arcelor). Recitiţi vă rog, în acest sens, prima frază de la Noţiunea de unghi din manualul din 1977.

În altă ordine de idei, doresc să accentuez, şi rog cititorul a se întoarce cu atenţie la citatele de mai sus din manualele lui Hollinger: dânsul lăsa o perioadă bună de la introducerea unghiului până când apărea măsura unghiului (la fel şi la arce). Pe parcursul acelor lecţii dânsul vorbea doar de mărimea unghiurilor, le compara, le aduna etc., nu măsurile (adică nişte numere), ci unghiurile ca obiecte în sine. Recitiţi vă rog temele 36-38 de la componenţa capotolului despre cerc şi temele 44-54 din cadrul capitolului despre unghi în manualul din 1966.

Închei revenind în prezent, anume cu câteva citate din noua programă de matematică, pasaje care subliniază cât de mult se revine prin aceasta la stilul de predare de pe vremea profesorului Abraham Hollinger: Note definitorii (…) O caracteristică a acestei programe este că, în clasele a V-a şi a VI-a, noţiunile sunt prezentate intuitiv, evitându-se abuzul de noţiuni sau de abstractizare. (pag. 3) Programele şcolare de matematică pentru clasele a V-a şi a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (…) Clasa a V-a: (…) Abordarea elementelor de geometrie urmăreşte, cu precădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice (pag. 31) Clasa a VI-a: Programa şcolară de matematică (…) continuă demersul început în clasa a V-a din punct de vedere al prezentării intuitive/ descriptive a noţiunilor (…) Tema Noţiuni geometrice fundamentale continuă introducerea realizată în clasa a V-a (…) în aceeaşi manieră, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. (pag. 32)

P.S. (scurtă lecţie de germană) După finalizarea eseului am mai găsit un argument de ordin lingvistic în favoarea gradelor de unghi. Cuvântul pentru “raportor” în limba germană este Winkelmesser, cuvânt compus din Winkel însemnând “unghi” şi Messer însemnând “măsurător”, adică “măsurător de unghiuri”. Vedem că nu le spune Bogenmesser însemnând măsurător de arce. Deci, cu tot respectul faţă de memoria profesorului Hollinger, în disputa noastră cred că totuşi câştigă unghiul în faţa arcului. (denumirea românească pentru acest instrument este oricum irelevantă din punct de vedere al înţelegerii copilului).

CTG, 18 sept. 2018

Matematica alternativă: 12 > 16

Q.E.D. (în loc de conţinut), adică V-am zis io?

P.S. În momentul când comentam despre 2 + 2 = 5 (Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi), nici nu mă gândeam că voi primi atât de repede o confirmare. (Cred că scandalul cu 12 > 16 a izbucnit exact în ziua când postam adresa filmuleţului cu 2 + 2 = 5). Însă nu greşeala din manualul de clasa I ne-a nedumerit cel mai mult; astfel de lucruri se întâmplă la stilul superficial de corectură din vremurile noastre. Numai cine n-a scris o carte de matematică nu ştie cât este de uşor se scapi greşeli pe care nimeni nu le observă, decât după aducerea cărţilor de la tipografie. Nu greşeala din manualul de clasa I ne-a nedumerit cu adevărat, ci comentariile fostului ministru al educaţiei la această greşeală. În ce bază de numeraţie ştie dânsul că 12 > 16? Şi apoi, cum vine aia 16 în baza 5 (când poţi folosi doar cifre până la 4)? Greu cu matematica asta! Greu de tot! ctgπ

Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc – (1)

De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect pe care de mult îmi doream să-l tratez. Îi mulţumesc pe această cale colegului (semnat Alex D.) pentru că „mi-a ridicat cum nu se putea mai bine le fileu” acest subiect. Iată întrebarea cu pricina:

Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? Întrebarea apare în urma postării  părţii a 6-a a eseului despre folosirea intuiţiei în aranjarea materiei. Iată, pentru reamintire în următoarele două aliniate pasajul la care se referă probabil colegul.

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul (…).

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului. (…)

Primul lucru care îmi vine în minte legat de acest subiect este o întrebare al cărei răspuns îi dă un iz de banc, întrebare cu care-i surprind pe colegi de aproape 20 de ani: ce măsurăm în primul rând cu gradele? Unghiurile sau arcele de cerc? După părerea mea răspunsul este cât se poate de simplu şi totuşi surprinzător: Nici una, nici cealaltă! La origine, gradele măsoară rotaţia!

Permiteţi-mi să argumentez acest răspuns. Fizica se ocupă cu două tipuri de mişcare: mişcarea rectilinie şi rotaţia. Exprimat în modul cel mai simplu, orice mişcare este de obicei compunerea celor două tipuri. Cu unităţile de lungime măsurăm iniţial distanţa parcursă de un punct material ce se deplasează rectiliniu (apoi o adaptăm noi şi la mişcarea pe alte traiectorii decât rectilinii). În mod corespunzător ne trebuie şi o unitate de măsură pentru rotaţie (iniţial cea plană), iar aceasta este în şcoala noastră gradul sexazecimal.

Cât este de mare gradul? Prin convenţie o rotaţie completă a fost împărţită în 360 de părţi, acest număr fiind ales ca aproximarea cea mai bună din punct de vedere al calculelor pentru numărul de zile dintr-un an, aproximare venită din vechime. Deci, o rotaţie completă are 360o. O jumătate de rotaţie are 180o iar un sfert de rotaţie 90o. Bine, veţi spune, şi dintre unghi şi arc, care are întâietate? Părerea mea este că nici unul nu este mai important. Diferă doar ordinea logică în care sunt folosite odată cu introducerea elementelor de materie şi parcurgerea claselor de studiu.

Astfel, paradigma în care actualmente „suntem acasă”, forma cu care suntem obişnuiţi, este următoarea: clasa a VI-a şi a VII-a (până spre final) sunt sub dominaţia totală a unghiului. În finalul clasei a VII-a apar pentru scurt timp arcele şi măsurile de arc, dar dispar apoi ca utilizare până prin liceu. Dar nici în liceu nu mai apar foarte clar, pentru că de 20 de ani a doua parcurgere, mai matură, a geometriei a fost scoasă (mă refer aici la marea învârtoşeală a patrulaterelor inscriptibile, a unghiurilor înscrise în cerc sau formate de o coardă cu o tangentă, a puterii punctului faţă de cerc etc.). Rămân doar vagi aplicaţii în zona trigonometrică, dar şi aici materia a fost algebrizată la maximum (mai nimeni nu mai predă cercul trigonometric şi justificările bazate pe geometrie ale respectivelor cunoştiinţe). Cine are nevoie de acestea la facultăţile tehnice – ghinion – să se descurce singur cum poate,  eventual în particular. Apropos cercul trigonometric: oare câţi ne gândim despre felul cum îi loveşte lipsa acestuia şi a justificărilor relaţiilor trigonometrice pe elevii cu o gândire bazată mai mult pe vizual şi pe raţionament spaţial? Vă zic eu: „ îi rupe”! Şi apoi ne plângem că n-a învăţat nimic copilul ăla. Ba nu! Noi nu i-am predat conform setării creierului său. Noi avem o materie prost concepută şi noi nu luăm măsuri de corectare minimală la clasă.. Noi suntem de vină, atât cei de la minister, cât şi cei de la clasă.

Deci, să ne lămurim, nu ia nimeni întâietatea unghiului (mă refer la întâietatea de preocupare prin ordinea materiei). Dar unghiul este o figură iniţial foarte abstractă. Una este să vorbeşti despre lungimea unui segment şi toţi copiii iau liniarul şi îl măsoară, şi alta este să le definim unghiul, iar apoi să le cerem imediat să-l măsoare. Gafa făcută în ultimii aproape 10 ani cu introducerea unghiului şi a măsurii sale în clasa a V-a prin mutarea simplă a lecţiei din clasa a VI-a este evidentă. Nu mă miră în acest context întrebarea unei colege în urmă cu mai mulţi ani: tu cum predai unghiurile? Că la mine elevii nu le înţeleg. (observase pe careva elevi de la mine din clase cu care se ocupase în particular, că ştiau unghiurile, le înţelegeau, le foloseau natural).

Această constatare ne duce tot mai aproape spre întrebarea: Bine, bine! Şi noi ce definim mai întâi? Arcul sau unghiul? Eu personal nici una nici cealaltă. În asta constă de fapt predarea intuitivă: să pleci de la ceva „intuitiv”, fără să defineşti acel ceva, să-l stabilizezi prin utilizare (ludică ar fi cel mai bine), iar apoi ulterior, cândva, la o viitoare abordare (predarea în spirală) să lămureşti lucrurile teoretic.

Ca să clarificăm această brambureală (nici un apropos, d-na Abramburica, subiectul acesta nu vă priveşte), să ne imaginăm cele două noţiuni în dispută, unghiurile şi arcele, poziţionate alături, fiecare cu pretenţiile sale de definire ca obiect şi ca unitate de măsură, iar undeva deasupra lor, dominându-le prin întâietate absolută: rotaţia. Elevul trebuie să primească în primul rând rotaţia, iar apoi imediat, dacă se poate chiar în paralel, cele două manifestări ale acesteia în fizic, unghiurile şi arcele. Înainte ca cel două noţiuni să se despartă, ele sunt încă împreună „în casa părintească”. Dar care este „casa părintească”? Pentru că rotaţia nu se poate reprezenta bine pe tablă ca o figură statică. Păi figura geometrică fizică în care se manifestă rotaţia este cercul, anume cercul trasat şi privit din centrul său (deci, nu un cerc desenat în jurul unei farfurioare). Rotaţia are un centru de rotaţie, iar manifestarea în planul fizic a rotaţiei o reprezintă cercul, instrumentul pentru vizualizarea acesteia fiind compasul. Iar dacă ne poziţionăm în centrul cercului şi ne rotim un pic, vom vedea că privirea noastră parcurge un unghi plecând de la poziţia iniţială şi până la noua poziţia, vorbesc de unghiul la centru, iar dacă întind mâna în faţă (ca o rază), vârful degetelor parcurg un arc de cerc, arcul subântins de acest unghi la centru. În timp ce mă rotesc, privirea mea parcurge un unghi, în timp ce capătul mâinii întinse parcurge un arc. Sper că aţi înţeles: eu fac aceste mişcări în faţa clasei cu mâna întinsă în faţă, întâi cele cu 360o, 180o şi 90o, apoi ultima cu măsura oarecare, pe care apoi o desenez şi pe cercul de pe tablă.

După ce completez pe tablă ce am arătat prin mişcare fizică, le mai arăt încă o dată cu ajutorul compasului de tablă văzut ca o bună imagine pentru un unghi (am un compas vechi din lemn cu braţele drepte şi care se deschide până peste 270o). Ţin compasul închis orizontal cu acul şi creta către stânga (elevii văd către dreapta) şi încep să-l deschid până la un moment când mă opresc şi îi privesc mândru: “acesta este un unghi, iar creta care se mişcă prin aer, dacă ar fi pe tablă ar descrie cercul respectiv”. Voi reveni la această exemplificare pentru vizualizarea unghiului, deschizând compasul ca pe un unghi, în clasa a VI-a când voi face clasificarea unghiurilor. Acolo eu fac o primă clasificare mai simplă (unghi ascuţit, drept şi obtuz), iar apoi una completă (unghi nul, ascuţit, drept, obtuz, alungit, supraobtuz şi unghi plin), ambele desenate pe tablă, dar şi arătate în aer prin deschiderea compasului privit ca un unghi.

Aşadar, mai întâi iau cercul ca manifestare a mişcării de rotaţie în planul tablei sau al caietului (se pot folosi chiar săgetuţe pe cerc care să arate mişcarea de rotaţie), iar apoi, din acesta, prin analiză a fenomenului, deduc unghiul la centru şi arcul de cerc, folosind ambele aceeaşi unitate de măsură: gradul ca măsură a rotaţiei. Aici se pot chiar introduce acele mici arce de cerc, uneori dublate sau chiar triplate, ce le punem în interiorul unghiului, aproape de vârful său, pentru a evidenţia unul sau altul dintre unghiuri. Sfatul meu este însă ca la primele utilizări să nu punem un simplu arc, ci de fapt un arc cu săgeată care să scoată în evidenţă rotaţia. Nu există un principiu „bătut în cuie”, dar eu pornesc în primele exemple de la poziţia cunoscută ca „originea cercului trigonometric”, adică punctul din partea dreaptă a cercului (îl putem denumi şi Est, prin analogie cu poziţia respectivă pe hărţile geografice), iar apoi rotaţia o pornesc în sens trigonometric, adică deschid unghiul sau arcul în sus. Desigur că elevilor nu le spun nimic din toate această ciudată „sădire a unor seminţe trigonometrice” (voi reveni din nou la poziţia specifică din cercul trigonometric, atunci când le voi explica apariţia raportului sinus dintre catetă şi ipotenuză într-un triunghi dreptunghic, în semestrul II din clasa a VII-a).

Măsurile le voi trece la început în paralel şi în vârful unghiului la centru şi pe arcul parte a cercului, la început deduse prin gândire, prin împărţirea cercului în părţi egale (cuvântul congruent îl introduc de-abia în clasa a VI-a). Concret, în primul rând voi lua un cerc împărţit în patru felii, ca la o pizza mică (noţiunea de sector de cerc poate şi aceasta să vină mai târziu), având trecut 90o în fiecare colţ. Aici putem aduce pentru prima dată atât raportorul poziţionat cu centrul în centrul cercului, şi copiii să vadă că acolo sus scrie 90o, dar şi echerul, copiii văzând cum echerul intră perfect în „unghiul drept”.

Teorema lui Pitagora – Un simbol denaturat

Începe şcoala! Imediat după Sântă Mărie marile lanţuri de magazine au dat startul la ofertele de ghiozdane şi rechizite şcolare. Peste tor am fost întâmpinaţi de afişe cu copii fericiţi că merg la şcoală şi învaţă. Vedeam mutriţe de copii curioşi şi atenţi la ceva ce pare că spune doamna învăţătoare sau domnul profesor, toţi având în mânuţă miraculoase creioane sau alte instrumente de scris cu care îşi iau notiţe pentru a fi cât mai deştepţi (dezvoltarea acestui subiect cu altă ocazie).

Magazinele folosesc imagini realizate – zice-se – de profesionişti, cu copii fotomodele. Cineva s-a gândit să pună nişte copii în faţa unei table pe care a pus apogeul creaţiei umane pentru zona gimnazială: Teorema lui Pitagora (mai găseşti fraieri care pun copil de gimnaziu alături de imagini cu semne de sume sau integrale). Fotograful, cu ale lui, luminozitate, încadrare în imagine, claritate, fardarea copilului ca să iasă bine, să zâmbească frumos, să fie expresiv etc. Altcineva a trebuit să scrie frumos pe tablă, ceva care să pară inteligent, de pildă un desen geometric cunoscut din diferite cărţi, despre care ştim că apare în contextul teoremei lui Pitagora, dar pe care nimeni nu ţine minte să-l fi învăţat cum trebuie (fără a da atenţie detaliilor de corectitudine, că doar nu se uită nimeni la matematica din spate!). Astfel ne-am trezit în pliantul produselor pentru săptămâna 20-26 august 2018 al lanţului de magazine Lidl (pag. 28 şi 30) cu următoarele două imagini:

Pentru cei care nu înţeleg ce “mă deranjează”, le recomand să studieze puţin imaginea de faianţă din postarea Teorema lui Pitagora şi faianţa din baie  în care se văd clar pătratele construite pe laturile triunghiului dreptunghic în exteriorul acestuia. Cei care au studiat clasele gimnaziale din manualele lui Hollinger, înainte de 1980, cunosc prea bine desenul. Dimpotrivă, mult prea mulţi dintre cei care au trecut prin gimnaziu după 1980 nici măcar nu fac legătura dintre acest desen şi teorema lui Pitagora (am văzut în ultimele luni arătând diferiţilor musafiri imaginea cea nouă din baie).

Pătratele respective realizează legătura dintre latura geometrice şi latura numerică a teoremei lui Pitagora. Desigur că se pot alege şi alte figuri geometrice de construit în exteriorul triunghiului dreptunghic, pe laturile acestuia: trei triunghiuri echilaterale, trei hexagoane regulate sau trei dreptunghiuri asemenea – ca în imaginile din pliantul Lidl – dar nimeni nu priveşte teorema lui Pitagora în acest mod; legătura cu forma numerică a teoremei există şi la acestea, dar este mai îndepărtată şi mai greu de cuprins intuitiv.

De mult am vrut să abordez acest subiect şi mă bucur de ocazia oferită. Permiteţi-mi să analizez lucrurile în detaliu. Imediat ce am început să predau, din primul an 1990-1991, am perceput deranjant cuvântul lungime din textul teoremei lui Pitagora (din manuale apărute după ce am absolvit eu clasa a VIII-a): În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (forma A). Eu ţineam minte teorema fără cuvântul lungime: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (forma B). Cu o empatie mai crescută pentru elevi, percepeam că textul – şi aşa destul de greoi – este îngreunat gratuit cu încă două cuvinte. Orice cuvânt care creşte rigurozitatea îngreunează totodată textul, făcând şi mai dificil de învăţat pe de rost textul.

Asta pentru cei care consideră că teorema lui Pitagora este ştiută dacă i se ştie textul pe dinafară. Iată o mică poveste în acest sens: în anii ’90 socrul meu se ocupa de un elev slab: “Măi copile, tu şti teorema lui Pitagora?” şi ăla începea să o turuie, “atunci fă problema” şi ăla nimic, “Măi, şti teorema lui Pitagora” şi ăla turuia iarăşi textul şi tot aşa mai departe, ştiind textul pe de rost, dar habar n-având ce să facă cu el; acel elev nu înţelegea ce se întâmplă, doar el tocise şi ştia teorema lui Pitagora ca text. Revenind la ale noastre, subiectul m-a preocupat da-a lungul timpului, aşa că l-am pătruns tot mult şi iată la ce concluzii am ajuns.

În primul rând trebuie să conştientizăm că teorema lui Pitagora are două faţete: cea numerică şi cea figurativă. Cei mai mulţi vor susţine în acest moment că natura numerică a teoremei este cea de bază, plecând de la argumente solide: tripletele pitagorice erau cunoscute din vechiul Babilon, iar actualmente teorema lui Pitagora se foloseşte de către toţi elevii în forma sa numerică. Chiar pitagora a fost în primul rând un numerist. Dimpotrivă, iubitorii de geometrie ar putea susţine că natura geometrică a teoremei este cea de bază, plecând de la realitatea că este vorba de o relaţie ce se petrece într-un context geometric, anume doar în triungul dreptunghic. Oricum, teorema apare peste tot în manualele sau capitolele de geometrie (doar Egmont Colerius a găsit de cuvinţă să includă teorema lui Pitagora în lucrarea De la tabla înmulţirii la integrală, nu în lucrarea paralelă De la punct la a patra dimensiune). Eu personal am studiat foarte mult această situaţie, chiar şi în afara programei româneşti, şi nu mi-aş permite să fac o ierarhizare între cele două naturi ale teoremei lui Pitagora. Mai degrabă aş căuta o stare de echilibru, exprimând teorema ca o relaţie ce poate fi scrisă cel mai exact în forma sa numerică, aceasta având însă o reprezentare grafică vizuală intuitivă sub forma sumei ariilor pătratelor catetelor.

Astfel am putea considera situaţia similară cu cea de la studiul funcţiilor şi reprezentarea grafică a acestora. Acolo, imediat ce se introduc funcţiile apare şi reprezentarea lor grafică. De ce nu se face şi aici la fel? Sfatul meu aici ar fi foarte simplu: stimaţi colegi, introduceţi teorema în forma sa numerică, dar daţi imediat şi reprezentarea grafică. Mai există aici un aspect deloc de neglijat: dând doar forma scriptic-numerică îi dezavantajaţi pe elevii cu o inteligenţă mai vizuală în defavoarea celor cu o inteligenţă mai numeric-algoritmică (tocilarii cum mai sunt ei cunoscuţi).

De ce nu se cere interpretarea grafică ca obligatorie prin programă? O explicaţie posibilă ar fi de natură evaluatorie: învăţământul românesc se interesează de reprezentarea grafică doar dacă apare diferit în diverse cazuri şi poate fi dată ca exerciţiu la temă sau la testări (de exemplu la funcţii). La teorema lui Pitagora desenul este acelaşi de fiecare dată. Cu alte cuvinte, în şcoala românească interesează doar forma de evaluare a reprezentării grafice (la funcţii), nu şi forma iniţială care l-ar ajuta pe elev să priceapă mai bine fenomenul (la teorema lui Pitagora). “Lasă-l să tocească textul, nu trebuie să-l şi înţeleagă!”.

Totuşi, pe mine nici o astfel de abordare nu m-ar mulţumi. Pitagora a pornit de la triunghiul egiptean (3; 4; 5) văzut la cei care măsurau terenul agricol în valea Nilului, trasând după retragerea apelor noi parcele pentru ţărani, folosind unghiul drept generat de sfoara cu 12 noduri pentru obţinerea unghiurilor drepte ale parcelelor (se pare că în vechea Indie se folosea în trasarea unghiurilor drepte o sfoară cu 30 de noduri, în mod similar cu metoda egiptenilor). Nu există însă dovezi că babilonienii (sau chiar vechii egipteni) să fi ştiut despre legătura dintre triunghiurile dreptunghice şi celelalte triplete de numere cu această proprietate (52 + 122 = 132 etc.). Se pare că pur şi simplu nu-i interesa aşa ceva. Marea realizare a lui Pitagora a fost că a făcut conexiunea dintre toate acestea, dar şi generalizarea la orice triunghi dreptunghic, nu doar la cele cu laturi numere întregi. Or, această generalizare nu se mai putea scrie în vremea respectivă numeric (le lipsea operaţia de putere). Pentru a ajuta citirea şi înţelegerea textulu, imaginea fiind mult mai grăitoare şi sugestivă (principiu folosit şi acum în mass-media), peste tot se alătura imaginea cu cele trei pătrate construite pe laturile triunghiului dreptunghic. Ca să nu vă tot plictisesc cu referiri la manuale vechi româneşti, vă prezint în sprijinul teoriei mele imaginea copertei revistei Les Cahiers SCIENCE & VIE (nr. 179 din iulie 2018).

Analizănd mai exact imaginea reprodusă vedem două aspecte. 1) În imaginea respectivă, care este copiată dintr-un text medieval, nu se dădea o mare atenţie unghiului drept: pătratele din această imagine erau “pătrate” doar cu titlu informativ. Totuşi se cam vede că-i vorba de nişte pătrate, mult mai pătrate decât cele din imaginile folosite ca fundal în pliantul Lidl citat la început. 2) În interiorul pătratelor apare câte o literă; desigur că în text se precizează relaţia dintre cel trei mărimi notate în interiorul pătratelor. Astfel, am putea da actualmente teorema lui Pitagora în următoarea formă: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei (voi denumi aceasta drept forma C). Eu personal o consider pe asta ca formă cea mai corectă, fiind mult mai intuitivă. Oricum, pentru copiii cu o înclinaţie mai vizuală a inteligenţei aduce o prezentare mult mai clară a relaţiei din teorema lui Pitagora.

Aici putem observa că subiectul este înrudit până la suprapunere cu cel al folosirii cuvântului pătrat pentru operaţia de putere a doua şi în acest moment balanţa începe logic să se încline în favoarea naturii geometrice a fenomenului. La folosirea expresiei la pătrat pentru a2, oare care este fenomenul iniţial, puterea a doua sau aria pătratului? Aici nu mă mai poate convinge nimeni că puterea a doua are prioritate. În acest punct al organizării lecţiilor suntem într-unul dintre cele mai împiedicate momente de predare din câte “se există”: să-i explicăm noi elevului că puterea a doua se numeşte la pătrat, fără să existe un demers logic de la figura pătrat, pe care elevul o cunoaşte din clasele mici, la nou-introdusa operaţie de putere, acest moment intră cu siguranţă în “top 5” al tuturor absurdităţilor predării matematicii din ţara noastră.

Revenind la teorema lui Pitagora, din cele trei forme prezentate mai sus este evident că cea neutră (forma B) este cea mai împăciuitoare, lăsând libertatea de înţelegere după nevoie, când spre zona aplicativă numerică, când spre zona vizual intuitivă. Formele A şi respectiv C nu ar trebui dictate ca text, dar ar trebuie cuprinse în egală măsură în prezentarea orală şi scrisă a teoremei, dar şi în alegerea diferitelor demonstraţii. În domeniul aplicativ al problemelor situaţia se înclină din nou înspre zona numerică, fapt pentru care profesorul trebuie să facă eforturi pentru a găsi măcar 1-2 aplicaţii ale aspectelor de arie a teoremei (acestea ar trebui de fapt puse la dispoziţie de către autorii manualelor).

Cum am mai prezentat cu alte ocazii, ca demonstrare a teoremei eu prefer să pornesc totuşi cu o demonstraţie de arie – în cadrul capitolului despre arii din semestrul I al clasei a VII-a – şi apoi, pe măsură ce apar cunoştinţe noi să vin şi cu demonstraţii de factură numerică. În acest context, consider cuprinderea teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a fără demonstraţie, ca o simplă observaţie, adică reducerea acestei teoreme “cea mai dintre toate” la un simplu “hocus-pocus” fără nici o legătură vizibilă cu triunghiul dreptunghic, ca o înjosire de neconceput a spiritului de minimă rigoare matematică ce ar trebui să ne caracterizeze predarea încă din gimnaziu. CTG, august 2018

P.S. Sper că cele de mai sus nu sunt înţelese ca un atac la adresa lanţului de magazine Lidl, şi ca să “îmi mai spăl din păcate” în acest sens permiteţi-mi să precizez cât de mult apreciez din punct de vedere matematic activitatea lor: magazinele Lidl sunt printre singurele (dacă nu chiar singurele) care ne aduc la fiecare început de an şcolar “echere geometrice” la un preţ civilizat (4 lei), înţelegând prin acestea acele instrumente folosite în toată Europa de vest sub această denumire şi care pot construi exact orice în afară de trasarea unui cerc: bisectoarea unui unghi, mijlocul unui segment fără măsurare, trasarea perpendicularei secante la o dreaptă, unghiuri de măsuri date etc. Dacă nu înţelegeţi ce spun, vă rog să studiaţi caietul Pentagonia nr.4 din arhivă despre folosirea acestuia. De ce după peste un sfert de secol de la abolirea oficială a comunismului în România încă nu este folosit pe scară largă acest instrument? (aceasta a fost o întrebare destul de retorică)

Matematica alternativă: 2 + 2 = 5!

După postarea precedentă pe tema 2 + 2, profesorul Kjell Sammuelson din Järna, Suedia, mi-a mai trimis încă o adresă de filmuleţ. Dacă la primul ne-am mai distrat, la acesta ne cam dispare zâmbetul de pe feţe. Filmul a avut o nominalizare pentru premiul Bafta pe 2012 la categoria scurt-metraje. 2+2=5 | Two & Two – [MUST SEE] Nominated as Best Short Film, Bafta Film Awards, 2012
Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi. Un prieten drag a primit în copilărie, prin clasa a VI-a, un 4 pentru că a insistat că şi metoda lui de a găsi centrul unui cerc cu rigla şi compasul era bună (o altă metodă decât cea cunoscută de către profesoară).

Econimie politică de clasa a V-a

Oamenii politici! Eu nu stau chiar toată ziua să văd ce şi cum fac aceştia şi în nici un caz nu mi-am propus să fac analiză politică pe un blog destinat artei predării matematicii. Totuşi, sunt şi eu om, cu slăbiciunile de rigoare, şi dacă apare unul care “se cere cu hotărâre” a fi poftit în faţă, atunci n-am ce-i face; dacă trebuie, trebuie! Astfel, în revista LUMEA nr. 7 din 2018, în cadrul articolului Dictatura secăturilor şi legile bramburelii semnat de către Viorel Patrichi, în cadrul rubricii România lucrului ţapăn făcut (pag. 104) am găsit următorul citat din Lia Olguţa Vasilescu:

“Eu v-aş ruga să mai puneţi mâna pe o carte de matematică de a V-a, că văd că unii dintre noi nu înţeleg limba română. La fel am spus şi anul trecut, dar nu aţi fost atenţi. Am explicat atunci că o dublare nu înseamnă automat o creştere cu 100% a salariului. La unii, dublare poate fi o creştere de 10% sau chiar o scădere de 40%, depinde de care parte a diagramei te situezi. Eu ce să vă fac dacă nu v-a plăcut matematica?”

Dacă era numai despre învăţatul limbii române din manualul de matematică de clasa a V-a (unul din cele apărute prea târziu sau din compendiu?), atunci nu mă implicam în subiect. Nici măcar acolo unde se explică faptul că o dublare nu înseamnă o creştere cu 100% (o să ţin minte şi aşa am să le explic elevilor, când oi mai avea clasa a V-a, că la anu’ n-o să am. Ca norocu’!). Da-mi permit şi eu să ridic două degete şi să întreb cu respect: o scădere de – 40% înseamnă de fapt o creştere de + 40%? Adică, am voie să folosesc faptul că “minus cu minus” face plus, la fel ca şi “plus cu plus”, la fel ca la desfăcutul parantezelor: – (– 40% ) = + (+ 40%)? Întreb adică dacă în clasa a V-a am voie să folosesc limba română din manualul de matematică de clasa a VI-a, aşa cum o face de pildă Mugur Isărescu când prevede spre sfârşitul verii o inflaţie negativă, adică o “creştere negativă a preţurilor”? Q.e.d.!!!