Prea devreme! – (2) Formule generale până la n

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Uneori am impresia că acestea se întâmplă din indeferenţă, alteori din dorinţa de a epata a unor profesori, pe baza unor gânduri de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? (cel puţin în cadrul lecţiei de introducere). De ce? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice... Alteori poate că se întâmplă dintr-un fel de frică; frica de a nu primi observaţii din partea unor colegi, ceva de genul: “Cum, nu şti forma generală, cea de vârf? Doar atâta poţi?” (am vorbit de curând despre această mentalitate).

În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme mult prea elevate pentru o primă abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale (când – nota bene – lecţiile se adresează tuturor elevilor, aceştia nefiind încă selectaţi de EN). În articolul precedent am luat ca exemplu chiar o situaţie în care este folosit un cuvânt ce se introduce oficial de-abia peste doi ani. Am analizat astfel situaţia interzisă în predarea matematicii când elevilor li se introduce o noţiune nouă folosind o altă noţiune necunoscută, încă neintrodusă. Oare nu ar trebui să existe un DNA, o poliţie a matematicii. un fel de radar pentru profesorii care “circulă cu mult prea mare viteză”, trecând “de pe o bandă pe cealaltă” şi “depăşind pe linie continuă” prin lecţiile gimnaziale?

Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii au defalcate şi studiate aici multe categorii), rezultatul evident fiind îndepărtarea de matematică. În funcţie de posibilităţi, părinţii reacţionează angajând un meditator. Cu cât aceste fapte se întâmplă mai devreme şi mai puternic, cu atât meditaţiile tind să pornească şi ele mai devreme (cel puţin în Cluj nu mai este nimic special ca elevii să aibă meditator din clasa a 5-a).

*

Să abordăm acum cel de-al doilea exemplu propus, anume folosirea scrierilor generale, acelea cu “…” (cu puncte-puncte) şi până la n, desigur cu numere generale, adică cu litere şi indici. Ca să nu existe neclarităţi, am scris pe o foaie de hârtie câteva exemple de astfel de scrieri, pasaje ce dau fiori unor clase întregi, blocând din start gândirea marii majorităţi a elevilor la primul contact cu acestea.

Sunt pline cărţile cu astfel de prezentări, dar am preferat să le scriu eu cu mânuţa mea. Nici pe calculator nu am vrut să le scriu, ca să nu ajungem la subiectul “datului mare” (dar e clar că acestea ar fi “numai bune” la un curs de reciclare a celor din vârsta a III-a în scrierea “ecuaţiilor”). Nu le-am pus neapărat în ordinea apariţiei lor conform programei. Este clar că “monstrul monştrilor” este formula ce doreşte să descrie transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, care mie mi-a ocupat un rând întreg, aceasta înţinzându-se pe toată lăţimea paginii A4. Să ne gândim puţin, oare cum arată aceasta în caietul unui puşti de final de a 5-a, care scrie puţin mai mare, poate chiar mai lăbărţat.

Înainte de a intra în discuţia acestor scrieri, merită să fac o observaţie filozofică. În lucrarea sa Marele roman al matematicii, Mickaël Launay, Ed. Trei, 2021, autorul vorbeşte la pag. 276 despre iniţiativa lui David Hilbert, la începutul sec. XX, înspre o teorie generală care să unească toate marile zone matematice, teorie care prezentată axiomatic să ferească această ştiinţă de cutremure de felul celei legate de axioma paralelelor la începutul sec. XIX. Este apoi dat în această carte şi exemplul primilor matematicieni care au reuşit aşa o “mândră minune”, britanicii Alfred North Whitehead şi Bertrand Russell, care între 1910 şi 1913 publică o lucrare în trei volume, denumită Principia Mathematica. Nu mă pot abţine în acest sens, să nu văd scrierile reproduse mai sus ca “sforţări de generalizare” a unor mărunţi matematicieni care doresc şi ei să se împăuneze drept nişte demni urmaşi ai lui David Hilbert, ca nişte mici continuatori ai acestuia. Da’ bine v-aţi trezit s-o faceţi stimabililor, la elevi de-a 5-a şi a 6-a din şcolile de masă? Dar să revenim pe plaiurile mioritice şi să studiem exemplele noastre de scriere generalizată.

Prima întrebare ce îmi trece prin minte este dacă autorii care pun astfel de scrieri în cărţile lor chiar se gândesc că elevii care le vor citi le vor şi înţelege. Vorbesc aici de o adevărată înţelegere la vârstele gimnaziale, nu o simplă învăţare pe de rost şi o posibilă redare fără greşeală, la o verificare. Totodată mă gândesc desigur la o înţelegere directă, nu la una când un adult (părinte sau meditator) îi explică ulterior copilului că “ce şi cum” în scrierea respectivă. Părerea mea este că cei mai mulţi astfel de autori nu au omeneşte cum să gândeasc aşa ceva. Atunci, de ce o fac? Logica ar fi ceva de genul: pentru că aşa se obişnuieşte – un fel de modă – şi oricum “de frică” să nu fie atacaţi că nu pun forma cea mai elevată, sau poate dintr-un fel de mândrie, de orgoliu profesional, pentru a arăta că o stăpânesc. Cât despre elevi în sine: las’ că le explică cineva …

Faptul că nici autorii respectivi nu cred realist în accesibilitatea acestor scrieri se vede de pildă într-una din renumitele culegeri cu teste pentru EN din clasa a 8-a, la partea de recapitulare a materiei de clasele 5-8, acolo unde autorii au pus transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare, atât în forma acestor scrieri generaliste, cât şi imediat alăturat în forma unor exemple numerice concrete (un fel de tabel). Gestul respectiv este foarte bun, însă va avea efect doar dacă elevii mai apucă să se şi uite alături la exemplele concrete, adică nu rămân cumva doar cu spaima şi cu blocajul corespunzător vizualizării formulelor generale. Toate acestea ar reprezenta gânduri legate de accesibilitatea respectivelor scrieri la nivelul elevilor de gimnaziu (a marii mase a elevilor, adică înainte de marea selectare în urma admiterii la liceu).

În mod similar, într-o altă lucrare, redactată ca auxiliar şi destinată direct elevilor de a 5-a, fără nici cea mai mică explicaţie, în finalul pasajului de teorie a transformărilor respective, autorii au mai reluat o dată teoria pe exemple de lungimi particulare, dar scrise totuşi generalist cu diferite litere (a, b, c, d) şi nu cu o literă cu indici. Dacă le-ar fi dat pe acestea primele şi însoţite de nişte explicaţii, că ce vor acele scrieri, atunci poate că unii elevi le-ar fi înţeles; aşa însă, mă îndoiesc că înţelege careva acasă fără “traducere” din partea unui adult sau măcar a unui frate mai mare.

Eu aş pune însă şi următoarea întrebare: oare, unde este predarea intuitivă recomandată prin programa din 2017, cel puţin pentru primele clase gimnaziale, în predarea acestor noţiuni? Dar, mai ales, unde este mentalitatea de predare intuitivă din mintea autorilor, în general a profesorilor? “Ce-i aia?“, veţi întreba. Pentru că – da –nimeni nu s-a ocupat să prezinte aşa ceva profesorilor. Doar s-a cerut prin noua programă, recomandându-se foarte civilizat să se folosească o predare mai intuitivă. Aici îmi permit o observaţie la adresa autorilor sugestiilor metodologice din deschiderea programei de gimnaziu 2017. În lumea profesorilor de matematică din şcolile româneşti din această epocă post-comunistă, oamenii nu reacţionează eficient decât tot doar în urma unor presiuni destul de dure din partea autorităţilor. Profesorii au fost obligaţi în mod deosebit de dur să abandoneze predarea intuitivă începând orientativ din 1980, deci ca politică de stat pe parcursul a zece ani (până în 1989). În anii ’90 predarea riguros teoretică era deja înpământenită în mentalul general, în acei ani continuându-se politica de predare riguroasă, deoarece nimeni nu a pus-o în discuţie. Cât despre noii absolvenţi de facultăţi, toţi profesorii proaspeţi de matematică ieşeau oricum de pe băncile facultăţilor fără nici cea mai mică urmă de metodă intuitivă în predare (cei mai mulţi, ca să nu exagerez: eu am găsit câţiva care stăpânesc destul de bine predarea intuitivă). Acum, din marea majoritate, nimeni nu prea mai este dispus să facă pasul înapoi, mai ales că este vorba despre un pas “în necunoscut”: nimeni nu mai ştie ce-i aia predare intuitivă. Dovada? Formulele de tipul scrierilor de mai sus.

Ce-i de făcut? Sunt absolut sigur că dacă s-ar dori cu adevărat, s-ar putea face trecerea şi înapoi. Trebuie doar declarată un fel de “politică de stat” trecerea înapoi la folosirea intuiţiei adevărate. Din păcate, nici voinţă nu se prea vede în acest sens, nici o lămurire clară a breslei nu este “target-ată” cu adevărat, dar nici măcar pentru cei ce ar dori să o facă pe cont propriu nu există clar o bază bibliografică în direcţia respectivă. Doar “s-a sugerat” în Sugestiile metodologice prin repetarea aproape obsesivă a cuvântului intuitiv (de 20 ori, în diferite forme). Şi, cine nu vrea, sau cine nu înţelege ce-i aia, sau cine a uitat pur şi simplu, luându-se cu altele, sau cine a înţeles-o total greşit ideea asta cu folosirea intuiţiei, adică pentru marea masă a profesorilor, ce se întâmplă dacă nu se conformează acestor sugestii? Nimic nu se întâmplă, pentru că nu mai suntem în comunism, veţi răspunde. Stalin spunea despre sugestiile şi recomandările primelor plane cincinale că sunt obligatorii; pe când a ajuns sistemul respectiv la noi, cel puţin prin anii ’80, ştim noi cât mai era de “obligatoriu” planul cincinal (aveam desigur experienţă de secole cu fentarea diferitelor imperii care încercau să “tragă pielea de pe noi”; povestea cu apariţia cuvântului şmecher din germanul Schmecker este absolut sugestivă în acest sens). Cam aşa au fost preluate de către profesorii de matematică şi sugestiile metodologice din programa de gimnaziu din 2017. Pentru cine încă nu crede ce tot zic eu aici, luaţi ca exemplu scrierile de mai sus.

Dar cum ar trebui predate acestea? Simplu: câteva exemple de diferite lungimi (cu 3, apoi cu 4 sau cu 5 termeni, adică nu cu n termeni) sunt suficiente pentru orice elev care vrea să înveţe. Iar pentru cei care tot nu le înţeleg sau nu vor să le înveţe, pentru aceştia fiţi siguri că formulele generale oricum nu vor schimba situaţia (eventual doar le vor confirma poziţia). Ce este important e ca atât pe tablă, cât şi în caietul elevilor aceste exemple cu rol de model să fie înrămate ca orice formule (eu chiar scriu lângă sau sub ele, sau deasupra lor cuvântul MODEL, cu majuscule). Asta îi atrage atenţia că acolo este ceva foarte important, este uşor de găsit şi ajută la ideea că trebuie învăţat ca principiu, dar nu pe de rost!

Astfel de modele activează instant un tip de înţelegere intuitivă a fenomenului. Elevul nu are nici cea mai mică problemă să-şi imagineze o nouă situaţie similară, dar cu alte cifre şi cu alte lungimi ale fenomenului (câţi termeni în media aritmetică ponderată sau câte cifre în perioada unei fracţii zecimale de transformat în fracţie ordinară). Privind gândirea copilului în acest moment, putem spune că intuiţia este de fapt o gândire logică într-o formă primitivă, nedezvoltată, neevoluată la un nivel “maturizat” al gândului. Gândirea elevului “se forţează” în acele momente, dar este o forţare mult mai accesibilă majorităţii, se forţează să cuprindă noua realitate, să înţeleagă pe mintea lui “cum se face, care este regula aici”. Această forţare, cu doar puţine explicaţii, îi activează intuiţia, generând încet dar sigur gândire.

Folosirea cât mai des a acestui tip de paşi activatori de gânduri logice pentru înţelegerea unui fenomen, duce cu timpul la formarea unei gândiri observaţionale raţionale solide, practic formează gândirea. Dimpotrivă, formulele generale sigur nu formează gândire la vârstele gimnaziale. Redarea unor astfel de formule învăţate pe de rost este doar dovada unei capacităţi deosebite de a învăţa pe de rost orice (respectiv altceva decât un text care rimează, pentru că aia este din nou un alt tip de memorare). În nici un caz însă redarea unor astfel de formule generale nu este o dovadă a înţelegerii fenomenului în gimnaziu, darămite o dovadă de gândire (în liceu, la clasele cu matematică mai serioasă, acolo se prea poate să fie aşa; mai exact, în liceu poate apărea înţelegera formulelor generale, dacă înainte, în gimnaziu, a fost exersată înţelegerea intuitivă pe baza exemplelor particulare). Teoretic, nu le-aş exclude astfel de situaţii şi în gimnaziu, dar cred că sunt extrem de rare cazurile când un elev de la acest nivel poate să redea aceste formule generale şi le şi înţelege cu adevărat.

Ca o paranteză, nu vreau să iau aici în considerare situaţii artificiale când cineva ar petrece suficient timp cu un copil sau cu o grupă, cu o clasă, pentru înţelegerea sistemului redacţional al acestor formule generale, analizând totodată suficiente exemple astfel încât elevul/ elevii respectivi să ajungă a înţelege şi a stăpâni sistemul respectiv, totul pentru a-mi demonstra mie că nu am dreptate în cele afirmate mai sus. Desigur că se poate face aşa ceva, dar cine petrece atâta timp doar pentru ca elevii să priceapă un sistem general de redactare a formulelor, sistem care le este total străin şi nu le trebuie nicunde. Şi, cam cât timp ar lua să-i aduci pe unii de-a 5-a, pe toată clasa, şă ştie toţi cu adevărat astfel de scrieri, fie aceasta şiîntr-o clasă bună, selectată? Probabil că doar olimpicii percutează eficient la aceste scrieri.

Revenind în realitatea plauzibilă a lecţiilor de zicu zi, copilul se uită la modelul respectiv şi face “la fel” şi la exerciţiile primite. Făcând suficiente din acestea apare automatismul, se produce fixarea şi elevul “le ştie”. El nu va putea să-ţi redea o formulă generală dar va şti să rezolve exerciţii de acest fel (iar în gimnaziu asta i se şi cere).

Foarte important când dai astfel de modele este să nu dai situaţii dubioase, practic dublări de cifre (de pildă cifra 3 la întregi, dar şi cifra 3 între virgulă şi perioadă, la o fracţie zecimală mixtă), sau dubări de cantităţi (de pildă transformarea fracţiei 0,273(185), deci cu acelaşi număr de cifre în perioadă cât şi între virgulă şi perioadă).

Unele situaţii pot fi prezentate fără dubii printr-un singur exemplu dat ca model; la altele dimpotrivă înţelegerea are nevoie de două, uneori chiar trei exemple diferite. Se prea poate să ne pară că astfel scriem ceva mai mult decât o singură formulă generală, dar din exemple concrete mult mai mulţi elevi înţeleg situaţia, decât dintr-o formulă generală.

O modalitate interesantă la care putem apela pentru a veni în întâmpinarea înţelegerii unui exemplu–model este folosirea culorilor (eventual a sublinierilor cu diferite forme sau linii). De pildă, la modelul de prezentare a unei fracţii zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, eu subliniez de exemplu fiecare cifră dintre virgulă şi perioadă cu o mică “paranteză” pătrată verde (să zicem) şi la fel sub zero-urile corespunzătoare de la numitor, iar fiecare cifră din perioadă cu o “paranteză” rotundă roşie (dacă am) şi la fel la 9-urile corespunzătoare de la numitor. Desigur că aceste convenţii le păstrez la întregul pacheţel de modele de transformare a fracţiilor zecimale în fracţii periodice, asta pentru a da siguranţă înţelegirii intuitive în procesul de transformare a acesteia în gândire, respectiv în sintetizarea în mintea copilului a unor reguli clare (pe care desigur că nu vreau să i le dau în text, pentru că atunci avem o altă belea: elevii încep să înveţe pe de rost texte, fără a înţelege o iotă din ce spun).

Astfel, de fiecare dată când prezint transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare prin modele, eu încep cu un exemplu de transformare a fracţiilor zecimale finite în fracţie ordinară. Culoarea şi forma folosite aici le voi păstra apoi şi la fracţiile periodice mixte, la partea dintre virgulă şi perioadă. În tabloul final elevii le pot vedea dintr-o privire care cu care se leagă (de pildă două paranteze pătrate verzi sub cele două cifre dintre virgulă şi perioadă, dar şi sub cele două zero-uri de la numitor, apoi trei paranteze rotunde roşii sub cele trei cifre din perioadă, dar şi sub cele trei cifre de 9 de la numitor; la fracţia zecimală finită apăreau astfel în primul exemplu doar paranteze verzi pătrate).

Revenind la alegerea exemplelor din care elevii să “deducă intuitiv” regula şi peste zile sau săptămâni, atunci când se uită în urmă şi găseşte modelul înrămat, există desigur pericolul apariţiei unor exemple care produc o sugerare intuitivă către o regulă greşită. De pildă, la exemplul 1 : 3 = 0,(3) trebuie neapărat să dăm imediat şi un exemplu de felul 5 : 3 = 1,(6), pentru a nu permite confuzii. După primul exemplu elevul ar putea fi tentat să considere că împărţitorul se pune în perioadă (mai nou, la această lecţie). Exemplul al doilea (cu împărţirea alăturată) ne exclude o astfel de posibilitate de “înţelegere”, astfel încât, chiar dacă este mai dificil, elevul va înţelege sursa corectă a modelului. De fapt, primul exemplu de aici este un foarte bun contraexemplu despre cum nu ar trebui să fie alese astfel de modele de rezolvare (am mai discutat pe larg despre alegerea acestor exemple).

În acest context, revenind la predarea intuitivă, noi trebuie să avem în vedere că intuiţia în formele ei iniţiale de manifestare nu este neapărat o gândire logică foarte stabil corectă. Impresiile intuitive ne pot înşela, iar elevii din vremurile noastre sunt deosebit de vulnerabili la acest fenomen. Asta se întâmplă şi pentru că nu mai au atâta de multă răbdare (ca în urmă cu 20-30 de ani), folosirea în masă a ecranelor de toate tipurile ducând la un deficit de atenţie generalizat la marea masă a populaţiei şcolare (iar cei doi ani de predare online numai nu au ajutat la preîntâmpinarea acestui fenomen).

Aşadar, ca să închei într-un mod fără echivoc, rezum acest eseu printr-un NU! foarte hotărât împotriva folosirii formulelor generale cu n termeni în clasele gimnaziale, la introducerea în lecţii; cel mult la recapitularea din a 8-a pentru EN, dar atunci neapărat însoţite de exemple (în acest caz însă cu exemplele date mai întâi, şi doar apoi în forma generală). C. Titus Grigorovici

P.S. Un astfel de exemplu “la jumătatea drumului”, adică într-o formă semigeneralizată, am găsit într-o carte veche de pregătire a admiterii în licee. Este vorba de lucrarea MATEMATICĂ pentru candidaţii la examenele de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, din 1970, autori Maria Dinescu, Ivanca Olivotto, Rosa Gruia. Exemplul respectiv vroia să demonstreze de ce fracţiile periodice simple se transformă în fracţii ordinare cu partea din perioadă la numărător, iar la numitor atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă. Este evident că la vremea respectivă autorii au considerat că în clasa a 8-a elevii pot duce atâta generalizare şi nu mai mult. Iată materialul respectiv de la pag. 38-39:

Pe exemplul de mai sus putem filozofa puţin, observând cui i se adresează această lucrare, deci şi materialul reprodus aici, anume candidaţilor la examenele de admitere în licee, adică sigur nu marii mase a populaţiei şcolare, fie ea şi doar de la oraşe. Pe vremea respectivă examenul din finalul clasei a 8-a era benevol, nu general, deci şî pregătirea “aşişderea”! Trebuie precizat totodată că pe vremea aia elevii mergeau la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani şi împlineau 14 ani în clasa a 8-a. Am putea astfel asimila vârsta respectivă cu cea a elevilor actualli de a 7-a.

Revenind la scrierea de mai sus, vedem că pasajul generalizat apare în sensul demonstrativ (10n – 1), nu în sensul rezultatului (999…9), şi desigur doar după câteva exemple concrete (nu cum se face acum în sens prea elevat teoreticist, anume că se dă mai întâi teoria generalizată, iar apoi câteva exemple de înţelegere). După pasajul reprodus aici, în cartea respectivă urmează ca a doua regulă şi deducerea pe exemple a variantelor cu fracţii zecimale periodice mixte, doar că la acestea autorii nu au mai prezentat şi o scriere generală (!!!). Probabil că au considerat că acestea sunt clar prea grele, chiar şi pentru elevii de final de ciclu gimnazial. Las’ că “noi” le dăm la ora actuală chiar şi în clasa a 5-a! Oare a fost făcut un studiu despre care eu încă n-am aflat, un studiu, conform căruia din 1970 şi până acum să fi evoluat puternic inteligenţa elevilor români??? În sus, desigur!

Adaptând cele de mai sus, la recapitularea din clasa a 8-a (sau poate în a 7-a, atunci când ne întâlnim cu o astfel de situaţie), eu folosesc o scriere parţial generală, respectiv parţial particulară, care am văzut că prinde bine la elevi (în finalul gimnaziului la cei mai mulţi). Astfel, considerăm numărul N = 0,(abc), care este apoi “prelucrat” puţin, fiind înmulţit cu 1000, obţinându-se astfel 1000 N = abc,(abc). Vă rog să puneţi dvs. bara de scriere zecimală deasupra, deşi aţi văzut că în lucrarea din 1970 nu apare. Scăzând cele două egalităţi obţinem că 999 N = abc, de unde deducem că N =  abc/999 (tot cu bară deasupra). Vedeţi cu demonstrţia respectivă are o parte clară de “caz particular”, faptul că sunt exact trei cifre în perioadă, dar şi o parte de situaţie generală, faptul că nu sunt date trei cifre concrete în perioadă, ci sunt date litere. Evit însă să dau o literă repetată cu diferiţi indici.

Apropos de bara deasupra folosită în România pentru scrierea zecimală generalizată, adică atunci când cifrele nu sunt date concret, numeric: este evident că la mulţi elevi aceasta poate produce mare bulversare, mai ales atunci când este folosită în scrieri cu fracţii ordinare. Imaginaţi-vă copiii aceia care încearcă să copieze frumos de pe tablă (de obicei elevi care au şi rămas puţin în urmă, poate pentru că profesoara tocmai scria, şi deci nu se vedea la tablă), iar când se uită nici nu înţeleg de ce în scrierea respectivă apare linie şi deasupra, sau apar uneori chiar două linii de fracţii. Folosită o astfel de scriere în clasa a 5-a, alături de folosirea literelor, cu indicii respectivi, în care mai apare şi pasajul cu “puncte puncte”, aceasta duce la blocarea generală şi sperierea definitivă a elevilor. Fără discuţie!

P.P.S. Dacă aveţi impresia că le-am spus “pe toate” atunci vă înşelaţi. Am găsit într-o culegere (nu spui care!) o astfel de generalizare la geometrie, concret la lecţia despre poligoane regulate din clasa a7-a, unde desigur am putea să discutăm despre poligoane regulate cu 3; 4; …; n laturi. Este o culegere care la începutul fiecărei lecţie prezintă pe scurt partea teoretică, fără demonstraţii, dar mai ales, la multe lecţii fără figura corenspunzătoare. Ei, dar la această lecţie autorii s-au gândit să dea totuşi o figură, însă numai una (ca să nu ocupe prea mult loc). Aşa că au dat o figură generală pentru un poligon regulat “cu n laturi”. Uau! Am trăit să o văd şi pe asta!

Gândiţi-vă ce poate înţelege un elev de clasa a 7-a din această figură, un elev care n-a văzut în viaţa lui un poligon regulat cu mai multe laturi. Apropos scriere corecte, veţi spune, lipsesc renumitele “…” (puncte puncte), care să transmită mesajul “şi tot aşa mai departe, până la”.

Ca să nu închei pe acest ton dur, ci să dau şi o soluţie, din experienţa mea în acest sens, eu consider că elevii vor înţelege uşor, intuitiv, ce-i acela un poligon regulat dacă le vom da următoarele elemente. În primul rând, eu le scriu o listă cu denumirile poligoanelor regulate, începând cu triunghiul echilateral şi cu pătratul, şi mergând măcar până la decagon şi dodecagon (explicându-le desigur originea denumirilor în numerele pe limba greacă). În condiţiile actuale această listă ar putea acţiona ca suficientă şi de una singură, cu precizarea de temă să caute pe net imagini cu acestea.

În al doilea rând, eu petrec cu ei timpul pentru a construi un octogon regulat. Acesta îmbină cel mai bine accesibilitatea cu înţelegerea fenomenului general. Înaintea studiului ariei discului, mai fac de obicei şi construcţia unui dodecagon regulat (12 laturi) prin împărţirea cercului cu raportorul, pentru a-i calcula aria (3r2; se face cu cateta opusă unghiului de 30o; ulterior, la după lecţia de trigonometrie, se poate determina ca exerciţiu şi formula ariei octogonului regulat în funcţie de rază).

De fapt, nu pot spune dacă este mai bine să le dăm întâi lista cu toate acele denumiri ciudate (pentagon, hexagon, heptagon, octogon etc.) şi doar apoi să desenăm un octogon regulat, sau dimpotrivă să desenăm mai întâi unul din acesta ca exemplu pentru înţelegerea titlului şi, doar apoi lista cu denumirile respective. Din punct de vedere metodolocic, fiecare variantă are aventajele ei. Oricum, sigur este că de-abia apoi, cel mai bine în ora următoare, putem să predăm cazurile particulare studiate tradiţional în România (cele cu formulele respective de arie, înălţime, apotemă etc. pentru triunghi echilateral, pătrat şi hexagon regulat). Să filozofăm puţin pe seama acestora trei.

Atât triunghiul echilateral, cât şi pătratul, au “o viaţă” separată de ideea de poligon regulat. Ca să le înţelegi apartenenţa lor la “familia” poligoanelor regulate trebuie să înţelegi mai întâi această familie pe nişte cazuri mai apropiate de ideea generală de “poligon regulat”. Hexagonul regulat se mai apropie puţin de această idee generală, dar acesta are proprietatea absolut specială că este format din şase triunghiuri echilaterale. Pentru a înţelege faptul că aceasta este o proprietate absolut remarcabilă, trebuie să avem viziunea de ansamblu, anume că poligonul regulat este compus din  mai multe triunghiuri în general isoscele dispuse “roată în jurul vârfului” (şi de obicei triunghiul isoscel este perceput ceva mai strâns decât cel echilateral). De-abia după înţelegerea măcar a unui caz cu mai multe laturi şi cu unghiurile la centru mai ascuţite, se poate merge la triunghiul echilateral (care se descompune în trei triunghiuri isoscele obtuzunghice), apoi la pătrat (care se descompune în patru triunghiuri isoscele dreptunghice), respectiv la hexagonul regulat (exagonul, cum îl denumesc unii colegi) care se descompune în şase triunghiuri şi care de data asta sunt chiar echilaterale, fiind isoscele cu unghiul la centru de 60o. Aici poate fi observată o mare bucurie la mulţi elevi obişnuiţi (“elevul mijlociu” al lui Hollinger).

În acest context, nu pot să nu observ la figura de mai sus că aceasta prezintă de fapt o jumătate dintr-un hexagon regulat, în care de fapt singurul triunghi isoscel desenat complet este un triunghi echilateral. Pe lângă faptul că şi din acest motiv abordarea generalistă respectivă nu poate conduce mintea copiilor spre realitatea că “un pologon regulat cu n laturi este compus din n triunghiuri isoscele“, eu mă întreb dacă autorii respectivi ştiu ce-i acela un poligon regulat, altul decât cele trei cazuri obligatorii prin programă. Cred totuşi că ştiu, dar nu-i dau defel atenţie fenomenului. Dar atunci mă întreb, de ce mai denumim lecţia respectivă “Poligoane regulate”? Aşa, ca să ne dăm mari cu încă o noţiune ciudată, pe care elevii n-au cum să o înţeleagă? Doar aşa, ca să priceapă cât sunt ei de proşti şi cât suntem noi de deştepţi?

Plecând de la respectivele triunghiuri isoscele cărora le putem stabili unghiul din vârf, cel de la centrul cercului, se pot desigur determina şi unghiurile poligonului regulat în diferite cazuri particulare (sarcină accesibilă şi totuşi nebanală pentru “elevul mijlociu”), dar din păcate această parte a fost scoasă din materie, deci profesorul este atacabil dacă o parcurge şi o cere ca sarcină de lucru şi de evaluare (că pentru olimpici oricum nu se fac “banalităţi” de felul ăsta). Astfel, pentru cei doritori, pentagonul (ca să apară şi acesta) sau decagonul oferă calcule banale, la fel şi nonagonul; octogonul face o şmecherie în care aparent elevii dau de fracţie zecimală în procesul de calcul, dar în final rezultatul este tot o măsură întreagă. Aici ajunge să se activeze gândirea într-un mod magistral, pe baza unui exemplu de dilemă cognitivă foarte drăguţ. Dar, cine mai face chestiuni din acestea?

Toate acestea însă, nu sunt valabile pentru autorii auxiliarului din care am găsit figura de mai sus (nici excluderea din materie, nici studiul situaţiei pe cazuri concrete, altele decât cele trei obligatorii din programă). Aceştia prezintă alături de figura respectivă şi formula generală în funcţie de n pentru măsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi. De ce? De aia! Că pot!

Prea devreme! – (1) Drepte coplanare la definirea paralelelor

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Procesul a început în urmă cu decenii, la început fiind luat ca reper şi ca justificare nivelul celor mai buni elevi. O altă cauză este faptul că au fost coborâte în clasele gimnaziale lecţiile în forma în care acestea se parcurgeau la o a doua trecere, una mai elevată, doar în liceu. La ora actuală, în multe cărţi şi la mulţi profesori avem o atitudine de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice. Pentru că există desigur întordeauna riscul ca să ne apostrofeze careva de felul “cum, nu şti forma generală, cea de vârf?” (de curând am vorbit despre aceste aspecte urâte ale interacţiunii din lumea profesorilor de matematică).

Desigur că fenomenul se petrece şi în cadrul claselor gimnaziale, adică între acestea, ca anumite elemente să fie predate în clase mai mici, deşi elevii nu au capacitatea sau cunoştinţele necesare a le pricepe decât mai târziu, după ce au învăţat elemente suplimentare. Profesorii, care însă cunosc toată materia, au în astfel de momente dificultăţi reale de a nu “turna toată tema respectivă” peste elevi în lecţia predată într-o clasă mică. În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme prea elevate pentru o primă abordare.

Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii pot descrie multe) şi se îndepărtează de matematică. În funcţie de posibilităţi părinţii reacţionează angajând un meditator. Mulţi dintre aceştia, la rândul lor, fentează parcurgând cu elevii lecţiile în avans, între patru ochi existând şanse mai mari ca elevul să priceapă totuşi ceva, mai ales dacă o faci înainte de a fi intervenit sperietura de la clasă.

O altă urmare este faptul că cei mai mulţi elevi reduc matematica la un set de reguli şi de texte ce trebuie pur şi simplu învăţate pe de rost, gândirea fiind eliminată cu totul din discuţie (din procesul matematic). Dramatic este faptul că elevii nici măcar nu înţeleg că ei nu gândesc. Astfel, ei ajung să confunde înţelegerea adevărată, gândită, cu impresia că pot să redea ceva (total sau într-o oarecare măsură): dacă pot reda o situaţie înseamnă că au înţeles. Asta nu este însă de obicei adevărat: imediat ce schimbi puţin (sau mai mult) modelul, vei vedea o bulversare generală, manifestările mergând de la blocaj total până la situaţii în care vei primi rezolvări total anapoda (de pildă, demonstraţie cu metoda triunghiurilor congruente la probleme unde nici măcar nu apar în figură triunghiuri congruente).

*

Să abordăm deci primul exemplu propus, anume includerea cuvântului “coplanare” în definirea dreptelor paralele din prima parte a clasei a 6-a (unii profesori se “pot trezi” să o dea chiar şi în a 5-a): Două drepte coplanare care nu au puncte comune se numesc paralele (sau orice altă variantă pe care o preferaţi, de pildă cu folosirea cuvântului “neintersectate” etc.).

Să ne punem în locul elevilor. În faţa lor se deschid două căi: fie înţeleg lucrurile şi atunci le pot reda, eventual cu cuvintele lor, dar oricum le pot desigur folosi la nevoie, fie nu le înţeleg, iar atunci apare impulsul de a le învăţa pe de rost (impuls personal sau la sugestia părinţilor). Incluzând în această definiţie un cuvânt pe care elevii nu-l înţeleg, asta duce la obturarea căii de înţelegere a noţiunii, apare sperietura şi blocajul şi rămâne ca soluţie disperată doar învăţarea pe de rost. În acest caz însă, la cei mai mulţi elevi memoria nu poate duce pe durată stăpânirea definiţiei, fără să mai discutăm că nici măcar nu putem spera la apariţia cu timpul a înţelegerii noţiunii, pentru că mentalul a fost blocat de sperietura iniţială.

Aşa se ajunge la starea de toceală împănată cu multe spaime în matematică. Rezultatul este că o noţiune elementară, destul de accesibilă în principiu, devine un “balaur” pe psihicul copilului. Apoi, cuvântul fiind relativ lung şi având deja ataşată sperietura, starea de frică se extinde şi la alte situaţii, de pildă la noţiunea de drepte perpendiculare (tot un cuvânt lung şi începând cu litera p).

Desigur că, din punct de vedere al rigurozităţii exprimării matematice, cuvântul “coplanare” nu poate fi omis, pentru că asta ar lăsa “portiţa deschisă” pentru posibilitatea ca “cineva” să înţeleagă şi posibilitatea acelei poziţionări denumită în clasa a 8-a drept “necoplanare”. Să analizăm puţin aspectele acestui moment.

Păi, în primul rând, putem susţine liniştit că marea majoritate a elevilor nu vor “vedea” situaţia dreptelor necoplanare, mai ales dacă profesorul desenează imediat măcar o reprezentare a două drepte paralele (renumitul efect de “în figura alăturată” care îi direcţionează elevului înţelegerea). Totuşi, există în continuare riscul ca un “mic Einstein” să “scoată porumbelul pe gură”, respectiv să ia profesorul la întrebări, că “şi dacă le pune aşa:…?” arătând sau sugerând cumva situaţia dreptelor necoplanare (de pildă cu două creioane în aer).

Acest lucru se poate intâmpla din două cauze: fie acelui elev chiar “i-a mers mintea” singur, adică a văzut în propria imaginaţie poziţia unor drepte necoplanare (neintersectate dar nici paralele), fie elevul are informaţia respectivă primită deja de undeva. În primul rând, eu consider ca extrem de rară prima situaţie, acea când elevul “vede singur” poziţia respectivă (nu imposibilă, dar foarte puţin probabilă).

Revenim aşadar la faptul că unii copii află lucrurile mai devreme decât din lecţia de la şcoală. Am povestit despre situaţia când un meditator particular parcurge lecţiile în avans (un fenomen foarte urât, ce se întâlneşte pe scară tot mai largă în oraşele româneşti). Desigur că sunt probabili şi părinţi care au ajuns la concluzia că trebuie ei însuşi să facă aşa ceva. Există şi elevi care ajung la concluzia că e bine dacă fac aşa ceva: au mult mai mult succes la ora următoare dacă citesc în avans lecţia din manual, iar cu timpul acest model le devine felul lor de a fi. Desigur că nimeni nu se gândeşte care este efectul unei astfel de acţiuni asupra celorlalţi elevi sau asupra mersului lecţiei în general.

Există şi o altă cale prin care diverse cunoştinţe pot ajunge ca informaţii la copii, anume prin diferite cărţi cumpărate de către părinţi sau diverse rude/ prieteni, date copiilor doar aşa, “să-i trezească curiozitatea”. Copiii le parcurg mai mult sau mai puţin superficial, dar oricum rămân cu cuvinte sau cu imagini şi pe baza cărora intervin în lecţii ulterioare (dacă îşi amintesc). Există diverse astfel de cărţi, inclusiv unele cu o parcurgere destul de superficială, gen “enciclopedie în imagini” traduse din alte limbi. Acestea alimentează şi ele respectivul fenomen de “care pe care”, fenomen de dat mare pe baza a care ştie mai multe şi mai repede. Desigur că nici internetul nu poate fi exclus din această discuţie, deşi nu i-aş acorda o pondere prea ridicată.

Să revenim totuşi la cuvântul nostru buclucaş. Cuvântul coplanar este un termen tehnic ce ţine de clasa a 8-a, respectiv de geometria în spaţiu; acelaşi lucru este valabil şi în legătură cu cuvântul necoplanar. Înţelegerea cuvântului coplanar are loc atunci când este privit din afară (din afara unui plan), adică atunci când persoana care-l foloseşte se poziţionează “mai sus”, adică “la un nivel superior”, în cazul acesta la nivel 3D, din care ne uităm la o parte a “lumii în care suntem” – asta putem să facem uşor – şi îi analizăm “un obiect”, o zonă etc.

Dimpotrivă, în clasa a 6-a copilul este mental “în plan”, adică în geometria 2D, specifică unei poze, aşa încât el nu este în stare să facă acest “flip-flop”, această tumbă imaginară, de a se ridica în 3D (într-o “altă dimensiune”), pentru a analiza situaţia, iar apoi de a coborî din nou în starea mentală de 2D. Acest lucru este valabil mai ales dacă nu se face nici cea mai mică pregătire în acest sens.

Mai există însă şi un alt aspect – deloc neglijabil, anume acela al autoperceperii profesorului de matematică. Noi, ca matematicieni, nu acceptăm să vorbim folosind aspecte false, neadevăruri. Aşa este fiinţa noastră de matematicieni. Aşa suntem noi. Ca urmare, simpla eliminare a acestui cuvânt nu ar rezolva problema. Ne-ar “zgâria pe creier” pe mulţi dintre noi. Poate că unul sau altul dintre profesori l-ar putea elimina din propria exprimare, din predare (doar aşa, pentru că a înţeles ce perturbare produce acest cuvânt la nivelul majorităţii elevilor), dar sigur nu le poţi cere tuturor acest gest. La nivel naţional soluţia respectivă sigur nu este una viabilă.

Aşadar, ce-i de făcut? De obicei, atunci când ridic o problemă încerc să vin şi cu o soluţie. În speţa de faţă mă tot băteau gânduri de genul: “pe vremea mea”, adică înainte de 1980, în manualele lui Hollinger adică, n-am avut aşa ceva. Mă mulţumeam cu atâta: bodogăneam şi gata. Pănă când mi-am făcut prin vacanţa de iarnă timp şi am scos cutia cu manualele vechi din copilărie. Surpriza a fost destul de puternică: şi Hollinger prezenta situaţia corect şi complet, excluzând neînţelegerea, dar o făcea într-un limbaj “pe mintea copilului”. Iată cum sună definiţia din manualele copilăriei mele:

Definiţie: Două drepte din acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele (A. Hollinger, Geometrie, Manual pentru clasa a VI-a, Editura didactică şi pedagogică, 1977). Pentru înţelegera întregului “tablou” redau în continuare în citat şi următorul rând legat de acest subiect:

Pentru prescurtare, se foloseşte semnul ; de exemplu: AB  CD sau CD  AB (fig. IV.1). Întrerup citatul, precizând că aici, în manual, urmează o figură cu două drepte paralele (“orizontale”; eu aş fi pus şi unele “oblice”; în lecţia de la tablă eu pun întotdeauna trei situaţii: o pereche de drepte “orizontale”, o pereche “verticale” şi una cu drepte “oblice” paralele). Reiau citarea din manualul lui Hollinger:

În definiţia dreptelor paralele trebuie spus că dreptele sînt în acelaşi plan. Dreptele d şi d’ din figura IV.2 (două muchii ale unui cub) n-au nici un punct comun, totuşi ele nu sînt paralele, căci nu sînt în acelaşi plan. (…)

Întrerup din nou citarea textului, făcând o paranteză logică, anume cu precizarea că în continuare autorul se ocupă şi de situaţia ciudată când unor elevi li se prezintă două drepte neparalele sub forma a două segmente ce nu se ating iar unii elevi ar putea considera că aceste drepte nu se intersectează. Este foarte important şă punem elevilor această întrebare, pentru că din răspunsurile greşite (că acestea ar fi paralele de vreme ce nu au nici un punct comun) vom putea vedea care elev nu a ajuns să înţeleagă cu adevărat fenomenul de dreaptă, spre deosebire de cel de segment. Desenul nu i-a ieşit foarte bine lui Hollinger, în figură pârând că dreptele se intersectează evident. Cel mai bine se înţelege fenomenul în doi paşi: pentru început desenăm două segmente ce nu se ating, dar ale căror drepte suport nu sunt paralele (pe vremea respectivă nu se prea vorbea de dreptele suport). În acest prim pas punem întrebarea dacă cele două drepte sunt paralele. Apoi, după un moment de gândire, eventual după ce am auzit prin clasă şi răspunsuri de felul că da, ar fi paralele, atunci, într-un al doilea pas prelungim segmentele respective pentru a arăta că dreptele nu sunt însă paralele (ca în figura completă IV.3 din manual). O variantă interesantă ar fi ca punerea întrebării să aibă loc în legătură cu două “drepte” desenate la marginea tablei, punctul lur de intersecţie fiind situat în afara teblei. Hollinger mai dă apoi şi un exemplu din spectrul iluziilor optice. Textul continuă apoi cu Postulatul lui Euclid, cu analiza acestuia şi cu două desene sugestive pentru lămurirea situaţiei. Pentru cei care doresc să vadă în detaliu aceste aspect ataşez cele două pagini despre care am vorbit (pag. 62-63), decupate doar cu ce ne interesează aici):


Dar să revenim la cuvinţelul nostru. Deci, putem vorbi liniştit de două drepte “cuprinse în acelaşi plan” (“situate în acelaşi plan“, sau cum a zis Hollinger: “din acelaşi plan“), în loc să folosim termenul mult mai riguros de “drepte coplanare”.

Oricum, veţi spune, tot se face referire la ideea de “plan”, iar asta ar trebui lămurită înainte. Şi da, aveţi dreptate, iar Hollinger a şi făcut-o, chiar la începutul manualului (care reprezenta totodată şi începutul geometriei, pe vremea respectivă începutul geometriei riguroase nefăcându-se în clasa a 5-a). Astfel, la începutul manualului găsim următoarele precizări, în cadrul primei lecţii (1.1 Planul. Punctul. Linia) găsim:

Planul. 1) O suprafaţă dreaptă şi netedă, ca de exemplu tăblia unei mese, tabla ş.a. reprezintă un plan. Mai precis, fiecare din ele reprezintă numai o parte din plan. Planul este nelimitat (nesfîrşit). Vom asemui planul cu o foaie de hîrtie sau de tablă foarte subţire, nu se ţine seama de grosimea ei, dar rigidă. Ea nu se poate încovoia, rupe sau găuri. (…)

Pe următoarea pagină găsim: 2. Punctul şi linia. Cînd atingem uşor hîrtia cu vîrful creionului, pe hîrtie apare un punct. Cînd mişcăm creionul astfel încît vîrful lui să alunece pe hîrtie, apare o linie. Orice linie este formată din puncte, aşezate unul lîngă altul, fără goluri între ele. (…) Punctul şi linia sînt figuri geometrice. Cu ajutorul lor se pot reprezenta obiectele din realitate, ele sînt modeleale acestor obiecte.

  1. Geometria plană. Unul sau mai multe linii sau puncte formează o figură geometrică. Cînd toată figura se găseşte într-un plan, se spune că figura este plană. De exemplu, triunghiul, dreptunghiul, cercul ş.a., sînt figuri plane. În cadrul acestei cărţi se expun proprietăţile figurilor plane. Această parte a geometriei se numeşte geometrie plană.

4) Figuri geometrice, puncte şi linii se pot desena şi pe un cilindru (un burlan sau o cutie de conserve), sau pe o sferă sau pe o altă suprafaţă, (…). Studiul acestor figuri nu intră în cadrul acestei cărţi. De asemenea, geometria se ocupăcu studiul unor corpuri, cum ar fi paralelipipedul, cilindrul sfera ş.a. Această parte a geometriei se numeşte geometrie în spaţiu. Pentru cei doritori de un studiu complet, ataşez aici şi paginile respective în integralitatea acestei prime lecţii (din pag. 3-5, rearanjate aici electronic în două pagini):


După cele două pagini introductive, de la începutul manualului, profesorul Hollinger putea liniştit să folosească expresia “două drepte din acelaşi plan”, fără a avea grija că încalcă nevoia de rigurozitate naturală a profesorilor de matematică, atâta cât se manifestă aceasta la nivelul matematicii gimnaziale, respectând totodată şi posibilităţile de înţelegere a elevilor din clasa a 6-a. Eu personal, oricum nu ţin minte să fi avut momente de neînţelegere.

Revenind în timpurile noastre, spre finalul acestui prim sfert al secolului XXI, eu cred că oricine poate la începutul geometriei, adică atunci, în clasa a 5-a, să povestească în felul acesta elevilor – 5 minute, cel mult 10 – despre plan, despre puncte sau linii, despre geometria plană şi despre geometria în spaţiu, fără a intra în detalii prea tehnice şi fără a apela, de pildă la renumitele reprezentări grafice ale unui plan în formă de paralelogram etc. Doar o poveste care apelează la exemple banale din lumea cunoscută a copiilor (mie îmi place exemplul cu geamul) este suficientă ca să lămurească ideea, iar apoi se poate folosi termenul liniştit.

Ca o observaţie colaterală, merită menţionat că Hollinger vorbeşte întotdeauna despre “plan”, adică la singular, şi nu despre “plane”. El vorbeşte despre “plan” şi despre “linii sau puncte”. Asta trebuie înţeleasă legat de observaţia de la început, cum se poziţionează mental elevul în 3D pentru a înţelege ce-i acela un plan, fără însă a avea în vizor preocuparea de a lucra apoi cu mai multe plane (specific clasei a 8-a), ci doar de a înţelege şi a descrie cât mai simplu “lumea” în care se va petrece geometria plană.

Dacă aţi studiat textul integral, aţi observat desigur că am omis o mare parte din text, de pildă partea cu alunecarea planului pe el însuşi. Nu o consider relevantă, nici clar folositoare la ceva anume. Am pus în copie prima lecţie integral, dar cred că se poate şi fără această parte, la fel şi fără partea despre feţele planului etc.

În finalul acestui articol, probabil că mulţi dintre dvs. se vor plânge de “un pic cam multă zdroabă pentru un singur cuvinţel! (mai exact exagerat de multă!)”. Totuşi, aici atingem un alt subiect foarte important, extrem de neglijat la ora actuală pe scară largă, anume acela de introducere a unei noţiuni noi. La ora actuală mulţi profesori văd începutul unei lecţii, respectiv partea de introducere a noilor noţiuni, drept o parte de mică importanţă, aproape neglijabilă. Cea mai importantă parte o reprezintă pentru mulţi partea de aplicaţii, cât mai complicate dacă se poate. Pe drumul către aceasta mulţi profesori doresc să parcurgă cât mai repede faza de introducere, de definire a noilor noţiuni sau de predare a teoremelor. Apoi, se aruncă cu mare avânt în aplicaţii cât mai “o-la-la!”. Astfel, cine mai are timp să piardă minute valoroase din oră pe lămurirea ideii de drepte coplanare? Pe bune?! Faptul că cei mai mulţi elevi nu înţeleg mare lucru, acest fapt este din păcate pentru mulţi colegi profesori un aspect total neglijabil.

Nici feed-back-ul primit de către aceşti colegi nu le dă de gândit: dacă la următorul test mulţi copii nu ştiu definiţia dreptelor paralele, atunci urmează o “ceartă zdravănă”, iar la următorul test profesorul ştie că dacă le dă din nou definiţia dreptelor paralele, iar “îi va fi bubuit”. Rezultatul este întotdeauna unul şi acelaşi: toţi ajung să-şi ia meditator particular şi uite aşa ajungem să avem “rezultate bune” cu clasa respectivă.

O componentă aparte a acestei situaţii sesizate aici o reprezintă rolul şi forma definiţiilor, aşa cum acestea au ajuns să fie înţelese în mentalul profesorului de matematică din acest început de secol XXI în şcoala românească. Se apropie tot mai mult momentul când îmi voi face curajul, încercând să abordez şi tematica definiţiilor în matematica şcolară.

Apropos de introducerea noţiunilor, trebuie totuşi să ne mai întoarcem la manualul lui Hollinger din anii ’70. Dânsul a mai aplicat o tehnică interesantă, care din păcate a cam fost abandonată odată cu reforma din 1980, astfel încât la ora actuală profesorii n-o mai cunosc. Este vorba despre introducerea noţiunilor prin predarea în spirală.

Astfel, în manualul respectiv (cel din 1977) Profesorul Hollinger vorbeşte prima dată despre dreptele paralele la paginile 20-21 în cadrul lecţiei 2.2. Relaţia de incidenţă, acolo unde apar pe scurt următoarele idei: Dreapta conţine o infinitate de puncte. (…) Printr-un punct se pot duce o infinitate de drepte. (…) Prin două puncte se poate duce o singură dreaptă. (…) Două puncte determină o dreaptă. (…) În această succesiune se ajunge apoi la: Intersecţia a două drepte conţine cel mult un punct. (…) Teoria respectivă se termină sec cu următoarea concluzie: Două drepte sînt ori concurente, ori paralele. (…)


Am ataşat aici în imagine acest ultim pasaj al lecţiei respective, din care se vede că nu se dă nici cea mai mică atenţie ideii de coplanaritate, dar că Hollinger a pus deja de aici alăturat cele două poziţii posibile în care pot sta de fapt două drepte în geometria plană. După cum spuneam mai la începutul articolului, prezenţa acestor două imagini anulează din start posibilitatea ca vreun elev “să vadă” în acest moment şi varianta dreptelor necoplanare.

Dacă vrem să avem o abordare umană a introducerii noţiunilor, atunci nu ne vom arunca din prima într-o definiţie (elevii nu au de obicei capacitatea de a înţelege o noţiune din prima după o definiţie), ci undeva mai înainte vom intermedia contactul elevului cu acea noţiune într-o formă mai puţin teoreticistă, mai superficială. Hollinger a făcut-o aici în cadrul unui proces de analiză filozofică “în mişcare” intelectuală, folosind intens imaginile alăturate. Putem spune că oarecum elevii ajungeau să întâlnească pentru prima dată dreptele paralele în mod informal, în cadrul unui eveniment cu un cu totul alt subiect (poziţii relative a punctelor şi dreptelor). Cunoaşterea adevărată urma să aibă loc ulterior. Mai mult, în paginile următoare nu apăreau aplicaţii directe la dreptele paralele, doar că după o vreme elevii începeau totuşi să se întâlnească cu acestea în diferite ocazii, însă dar atât. De-abia după lecţia de la paginile 62-63 încep şi aplicaţiile (unghiurile formate de două paralele cu o secantă etc.).

Ca un aspect colateral, desigur că aţi observat aici, “v-a sărit în ochi”, modul de folosire “incorectă” a scrierii din teoria mulţimilor pentru exprimarea intersecţiei a două drepte într-un punct. Ceva de genul: “da’ pân-aici!”. Adică, folosim elemente din scrierea tipică mulţimilor acolo unde acestea ne uşurează scrierea (semnul de intersecţie în locul cuvântului respectiv), dar nu absolutizăm, deci nu îngreunăm scrierea în altă parte. Parcă îl aud spunând pe Hollinger că gândirea fenomenului geometric este oricum foarte grea, nu ne mai trebuie şi o îngreunare suplimentară pe baza aplicării radical-extremiste a scrierilor din teoria mulţimilor. Gen “pân-aici!”: Intersecţia a două drepte este un punct şi nu o mulţime. “Basta!”

Pentru cei ce mi-au urmărit scrierile din ultima vreme, desigur că puteţi sesiza apropierea acestui articol de ideea de “umanizare a matematicii şcolare” exprimată în interviul cu Dl. Profesor Radu Gologan, reluat de curând de la începutul anului 2022. În speranţa unor paşi în acest sens, pe curând!  C. Titus Grigorovici

P.S. Apropos, “pe vremea mea”, acelea nu se numeau drepte “necoplanare”. Eu ţin minte destul de vag denumirea de drepte “strâmbe în vânt” (probabil, tradusă de unii din germană, unde se spune “windschief”; cred că am auzit această denumire în liceu sub forma de “necoplanare sau strâmbe în vânt”). Aruncând o privire şi în manualul de geometrie de a 8-a din 1978, am găsit expresia de “drepte oarecare”, pe care însă nu o consider deosebit de corectă. Nici măcar clasicul desen pentru drepte necoplanare nu apare acolo, ci doar un paralelipiped însoţit de referiri la anumite exemple de muchii, cât şi o imagine reprezentând o cale ferată (cu trenul aferent) ce trece peste o şosea (cu maşinile aferente), desenate în tehnica imaginilor des întâlnite in cărţile de la jumătatea secolului XX.

Oricum, celelalte două poziţii (paralele sau secante) erau şi în manualul respectiv descrise ca “două drepte din acelaşi plan“, în nici un caz drept “coplanare”. Cuvintele tehnic riguroase de “coplanare” respectiv “necoplanare” generaţia mea le-am auzit doar în clasa a 10-a, mai exact la o a doua trecere prin geometria plană. Este foarte important acest aspect: la o primă cunoaştere, termenii noi erau introduşi intuitiv şi într-un limbaj ne-tehnicizat excesiv, urmând ca la o a doua trecere lucrurile să capete clare accente de rigurozitate matură teoretic.

P.P.S. Când să declar articolul finalizat, inclusiv P.S.-ul de mai sus, mi-am dat seama că aş putea arunca o privire şi în manualele anilor 80′ (autori Ion Cuculescu şi Constantin Ottescu). Citez în continuare dintr-un manual din 1988 (îl am şi pe cel iniţial din 1979, dar şi o variantă din 1995, dinainte de marea schimbare din 1997). La pagina 3 manualul începe astfel:

(…) Anul acesta vom începe un studiu sistematic al geometriei. Vom studia o parte din geometria în plan, deci vom studia proprietăţi ale figurilor dintr-un plan dat, fixat. Aici merită deja intervenit: observaţi exprimarea mult prea pretenţioasă pentru copiii de gimnaziu mic (clasa a 6-a), exprimare de origine academică, ce presupune o privire matură, “de sus”, total nepotrivită copilului mic ce ia pentru prima dată contactul cu aceste cuvinte. De-abia apoi autorii îşi aduc aminte să prezinte ce-i acela un plan (tot la pag.3):

Planul este o noţiune abstractă, despre care ne facem o idee apropiată de cea exactă privind, de exemplu, o foaie netedă de hârtie, o pagină de carte, şi închipuindu-ne că această foaie este prelungită la infinit în toate părţile. În plus, această “foaie” nu are grosime. (…) Doar folosind cuvântul “abstract” şi autorii “i-au pierdut” din start pe mulţi copii. Privesc aici doar atitudinea, pentru că oricum copiii nu se apucă neapărat să citească manualul foarte riguros; mult mai des aceştia răsfoiesc manualul şi se uită doar la “poze”. Aşadar mesajul ridicării “lungumii de undă” al limbajului se adresa profesorilor, iar aceştia desigur că le explicau elevilor ce înseamnă aceea o “noţiune abstractă”. Sau nu? Interesant este că autorii erau total preocupaţi de prelungirea planului la infinit în toate părţile, cât şi de faptul că nu are grosime, neglijând total faptul că trebuie să nu fie curb (cum deseori sunt paginile unei cărţi, sau ale unui caiet la început). În manualul din 1995 (care avea pe lângă domnii de mai sus încă doi autori: Stefan Kleitsch şi Laurenţiu N. Gaiu) găsim însă următorul aliniat (pag.3):

Planul este o noţiune “abstractă”, despre care ne facem o idee apropiată de cea exactă privind, de exemplu, suprafaţa unei mese, placa de sticlă de la fereastră, o foaie netedă de hârtie (caiet), o pagină de carte şi închipuindu-ne că toate acestea sunt prelungite la nesfârşit “în toate părţiele”. În plus, vom considera că el nu are grosime. Aha! Deci a revenit “masa” lui Hollinger, respectiv masa pe care lucrează orice copil. Totodată, expresia “prelungită la infinit ” a fost înlocuită cu mai vechea dar şi mai accesibila “ la nesfârşit “.

Dar să avansăm cu această anchetă suplimentară. În manualul din 1988, la pagina 33  apar şi dreptele paralele. Lecţia începe astfel: Să considerăm două drepte diferite a şi b. Ele nu pot avea două puncte diferite comune, deoarece am văzut că prin două puncte trece o dreaptă şi numai una. Uau! Deci pe-atunci nu existau drepte suprapuse! Interesant. Citim mai departe: Se poate întîmpla ca două drepte diferite date a şi b să aibă un punct comun A. (… + figură) E poate întîmpla ca două drepte distincte să n-aibă nici un punct comun.

Definiţie. Două drepte diferite a şi b, care n-au nici un punct comun, se spune că sînt paralele. (… + figură) Interesant este că figura alăturată definiţiei nu prezintă două drepte paralele, ci două drepte clar neparalele, care însă nu se intersectează în zona figurii; aici nu există un desen cu două drepte paralele, ci doar se vorbeşte despre acestea; ciudat! Mult mai interesant e să observăm cum a evoluat situaţia în manualul din 1995 (pag. 92):

(…) dacă două drepte au două puncte comune, atunci ele au toate punctele comune şi se numesc drepte identice sau confundate; (… Aha!) Definiţie. Două drepte distincte (diferite) a şi b conţinute în acelaşi plan, care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.

Deci, pe lângă revenirea la “posibilitatea” ca două drepte să fie suprapuse, vedem că a revenit şi condiţia ca dreptele paralele să fie “ conţinute în acelaşi plan “. Oricum, în 1995 sigur încă nu erau descrise ca două drepte “coplanare” în clasa a 6-a.

Închei aici aceste şapte pagini de zdroabă pentru un singur cuvânt, dar unul folosit în mod extrem de stupid, care terorizează masiv elevii, cu următoarea întrebare: “De ce şi de unde a apărut acest cuvânt în a 6-a?”. O sursă a unui răspuns posibil ar putea consta într-o interpretare prea riguroasă, prea “avântată”, din partea autorilor de manuale sau auxiliare, a unor elemente din Programa oficială din 2017, unde găsim următoarele cuvinte. În clasa a 5-a: Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notaţii). Apoi, în clasa a 6-a: Drepte paralele (…, deci fără aluzie la plan), dar şi Drepte perpendiculare în plan (…). What?

Ecuaţia de gradul doi în desenele animate

Ia uitaţi-vă aici ce minune de formulă matematică au ajuns să vadă unii dintre pământeni (că pe alte planete nu ştiu dacă se difuzează încă):

Imaginea este decupată dintr-una mai mare ce apare pe net în legătură cu un nou serial, Velma, difuzat de HBO, şi care este gândit ca poziţionare temporală înaintea renumitului serial Scooby Doo, dar cu personaje cunoscute din acesta (se numeşte “prequel” chestia respectivă). Pe lângă Velma mai apar ca personaje şi Daphne, Shaggy şi Fred. Căinele lipseşte deocamdată. Din păcate însă, cum se vede, lipseşte şi matematica, deşi personajul principal se consideră a fi unul foarte inteligent. Iată poza mare din care a fost decupată cea de sus:

Tehnic, Velma este un serial animat american de comedie horror pentru adulţi, bazat pe personajul Velma Dinkley din franciza Scooby-Doo, al cărui prim episod a fost difuzat pe 12 ianuarie 2023 (sursa Wikipedia). Un serial horror? Păi, am văzut deja din poza prezentată. Imaginea respectivă ne oferă o idee clară asupra felului în care unii pământenii obişnuiţi, mai ales unii din SUA, îi văd pe cei buni la învăţătură, dar şi felul în care mulţi dau atenţia cuvenită detaliilor ce nu-i interesează (mai degrabă nu o dau). Prin comparaţie, avem aici şi un alt exemplu, din mai vechiul Peppa Pig britanic (primul episod difuzat în mai 2004):

Deci, merge şi corect. Totuşi, să nu generalizăm în impulsul de denigrare a americanilor, pentru că se poate şi altfel. În serialul de mega-succes The Simphsons apar uneori elemente de matematică surprinzătoare, dar asta se întâmplă pentru că în echipa de realizatori există câţiva buni matematicieni. Dacă înţelegeţi engleza, puteţi aprofunda subiectul din filmuleţul de la adresa https://www.youtube.com/watch?v=ReOQ300AcSU, în care aspectele ne sunt explicate de nimeni altul decât Simon Singh (da, autorul renumitelor Marea Teoremă a lui Fermat, Cartea codurilor sau Big Bang, toate traduse la Humanitas). Discuţia evoluează în jurul unui episod în care Homer Simphson se hotăreşte să devină inventator şi pare că “îl provoacă” pe Andrew Wiles (cel care a demonstrat marea teoremă a lui Fermat). q.e.d. Dooby Scoo

P.S. Merită observat că anumite “scrieri” matematice “vedetă” sunt expuse cu diverse ocazii pentru a sugera o anumită stare. Când se prezintă într-o reclamă o profesoară care tuşeşte de atâta predat, atunci pe tabla din spatele ei apare de obicei teorema lui Pitagora (deşi era într-o vreme şi o reclamă cu un profesor care avea o figură geometrică pe tablă, ce părea că avea acolo şi o bisectoare sau o mediană, adică ceva mai “complicat”). La liceu, dacă vrei să sugerezi că un anumit personaj este mai “tocilar”, adică mai inteligent decât ceilalţi, atunci îi asociezi formula de la ecuaţia de gradul II. Ceva gen “ăştia” numai formule complicate le vâjâie prin cap, din acelea cu radicali, cu fracţii şi cu semne neobişnuite (adică delta). Dacă cineva doreşte să evidenţieze un “mic Einstein”, gen Dexter, atunci desigur că îl va asocia cu renumita formulă E = mc2 (pe care oamenii normali sigur n-o înţeleg, şi oricum, are şi “la putere”, deci e grea!). Asta vrea să sugereze că este vorba despre un mic geniu.

Agresivitatea prin rigurozitate excesivă – analiza unui comentariu

La începutul anului a apărut pe blogul nostru un comentariu, la un articol mai vechi, din 21.08.2018. Postarea respectivă merge pe două nivele de idei: prima este faptul că suma unghiurilor exterioare se păstrează constant indiferent de numărul laturilor unui poligon (triunghi, patrulater, pentagon etc.), rezultatul fiind întotdeauna 360o (în suma respectivă se ia desigur măsura unghiului exterior din fiecare vârf o singură dată, de pildă la triunghi Ae + Be + Ce). Acest rezultat dă şi titlul postării respective. Un al doilea nivel al articolului îl reprezintă o scurtă exemplificare pe această situaţie a felului diferit cum evoluează gândirea elevilor şi a faptului mult mai important că noi la matematică acţionăm la vârstele gimnaziale pe o zonă de graniţă între două tipuri de gândire diferite; astfel, noi ne putem trezi deseori în situaţia că unii elevi sunt încă în gândirea specifică copilăriei, pe când alţii sunt deja trecuţi în forma de gândire adultă. Pentru a înţelege subiectul prezentei postări, merită să citiţi sau să recitiţi articolul respectiv la adresa http://pentagonia.ro/suma-unghiurilor-exterioare/ . Iată aici şi comentariul cu pricina (ce a apărut la sfârşitul postării pe data de 1 ian. 2023):

Părerea mea este că la triunghi avem 6 unghiuri exterioare (2 câte 2 congruente), la patrulater la fel. Când calculăm suma unghiurilor exterioare, nu le luam pe toate?

Ba da, “stimate” coleg, desigur că le luăm pe toate dacă ne dorim să omorîm frumuseţea unui rezultat. Sau, vom accepta rezultatul frumos, dar numai cu preţul încărcării textului, aşa încât rezultatul respectiv să fie accesibil cât mai puţinor elevi. De ce? D-aia! Pentru că putem!

Din cauză de astfel de “scormoneli” de dragu’ scormonitului a ajuns matematica noastră şcolară atât de inumană. De dragul unei rigurozităţi excesive omorîm un rezultat frumos cu care am putea impresiona elevii. Precizez aici – a nu ştiu câta oară – că matematica şcolară este pentru elevi, şi nu pentru profesori. Când ne întâlnim între noi, ca profesori, putem discuta orice, dar aici este vorba despre predarea unor cunoştinţe elevilor; aici vorbim despre arta predării matematicii! (ce lipseşte din păcate multor colegi, anume o atitudine empatică la adresa ELEVILOR, a cât mai multora dintre ei, nu doar vârfurilor). Iar în strădania de a-i impresiona pe elevi şi a le câştiga interesul, noi avem la ora actuală rivali de temut, cum ar fi jocurile pe calculator, facebook-ul sau Tik-Tok-ul. Nu complicând-o, ci prezentând-o cât mai simplu avem şanse să le câştigăm sufletul.

Astfel, 360o este un rezultat foarte frumos prin faptul că reprezintă exact suma unghiurilor în jurul unui punct, (rămânând însă în spectrul obişnuit de preocupare al elevilor de clasa a 6-a şi început de a 7-a). Desigur că acesta se impune şi prin faptul surprinzător că rămâne constant, în comparaţie cu suma unghiurilor interioare, care creşte cu numărul de laturi. Dimpotrivă, 720o nu mai este un rezultat frumos din punct de vedere al elevului mediu (elevul mijlociu, cum cu mare drag şi empatie îi numea Hollinger). Orice trece peste 360o este perceput de către elevul obişnuit ca ceva dificil. Dar, ce să zic, fiecare profesor are dreptul să le prezinte elevilor matematică predată cât de complicat consideră. Părerea mea!

Iniţial, când am văzut comentariul de mai sus am fost foarte supărat. Impulsul a fost să pun imediat în continuarea comentariului o replică. Cele două-trei aliniate de mai sus reprezintă manifestarea în fizic a acestui impuls de replică. Cu cât mă descărcam mai tare, cu atât îmi dădeam seama însă că acest comentariu reprezintă o oportunitate extraordinară de a lămuri nişte aspecte deosebit de importante în predarea matematicii, iar pentru această ocazie deosebită nu pot de fapt decât să-i mulţumesc colegului care l-a făcut. Cine doreşte să afle aceste multe precizări, poate citi în continuare următoarele subiecte.

*

Subiectul 1) Revenind la legătura fenomenologică dintre suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi sau patrulater (în general un poligon convex) cu măsurarea rotaţiei în jurul unui punct, aceasta se poate scoate în evidenţă printr-o metodă practică deosebit de interesantă. Desenând la tablă un patrulater convex ABCD trebuie să-i prelungim laturile doar într-un capăt (să zicem chiar în sensul rotaţiei parcurs de notarea vârfurilor). Am evidenţiat astfel câte un unghi exterior în fiecare vârf. Luăm apoi un creion şi îl folosim aidoma unui vector astfel: îl postăm de-a lungul laturii [AB] cu capătul în vârful A şi cu vârful îndreptat înspre B; apoi îl glisăm de-a lungul laturii până când capătul creionului ajunge în B, restul creionului fiind situat pe prelungirea laturii [AB]; apoi îl rotim în jurul vârfului B până când creionul se poziţionează pe latura [BC]. În continuare vom reface paşii văzuţi la latura [AB] la fel şi la următoarele trei laturi, pentru ca în final creionul să ajungă în poziţia iniţială, în urma rotaţiei din unghiul exterior lui A (care – săracu’ – a ajuns ultimul, da nu-i bai!). Analizănd succesiunea de mişcări observăm că creionul nostru a efectuat în fiecare unghi o serie de rotaţii (în acelaşi sens), care cumulate compun o rotaţie completă, deci 360o.

Metoda exemplificată aici este una pur geometrică bazată pe mişcare, deosebit de clară pentru elevi (dar care nu poate fi redactată într-un mod accesibil în scris). Dimpotrivă, metodele statice, bazate pe scriere şi descriere algebrică a fenomenului sunt însoţite de dificultatea “citirii textului într-o limbă” pentru unii elevi încă străină (vorbesc aici de limbajul codificat matematic), care încă nu face parte din “zona lor de confort”; pentru unii nu va face parte nicicând, aşa încât o metoda ca cea de mai sus reprezintă o uimitoare ocazie de a le accesa unor astfel de elevi gândirea fără a folosii tare mult limbajul matematic abstract.

Această metodă poate fi desigur folosită şi la determinarea sumei unghiurilor interioare. La triunghi creionul va fi în final cu vârful în sens opus, arătând o rotaţie de 180o, pe când la patrulater creionul va fi în poziţia de plecare. Deoarece însă în mişcarea în jurul patrulaterului a avut loc o rotaţie, se poate vedea că de fapt a avut loc o rotaţie completă, suma (unghiurilor interioare) fiind deci de 360o.

Părerea mea este că această metodă este potrivită doar la triunghiuri sau patrulatere; de la poligoane cu mai multe laturi ar trebui să ne putem baza totuşi în gândirea copiilor pe metodele mai abstracte (atât din punct de vedere al scrierii, cât şi al gândirii: cea apărută la patrulatere cu împărţirea acestuia în n – 2 triunghiuri, sau una nouă de împărţire în n triunghiuri, atâtea câte laturi, cu vârfurile într-un punct interior poligonului).

Pentru cei pasionaţi de experimente în afara programei oficiale, desigur că şmecheria de mai sus funcţionează şi în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia trebuie să fie mai mult de 180o. Mult mai “excentric”, ar fi să studiem ce se întâmplă cu “suma unghiurilor exterioare” în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia este de aşteptat să se desfăşoare în sens invers decât la celelalte vârfuri??? (cred; n-am făcut-o, dar o propun spre “cercetare” colegilor). Asta ne-ar putea ajuta să înţelegem ce ar fi acela unghiul exterior în cazul unui vârf concav!?!?

Subiectul 2) Legat de acel impuls psihologic-social al unor profesori de a-i corecta pe alţi colegi imediat ce-i găsesc o minimă posibilitate de a le interpreta exprimarea greşit, aş dori totuşi să mai evidenţiez câteva aspecte (am mai vorbit de acest obicei urât). Societatea noastră este masiv impregnată de acest obicei. Şefii îşi permit să-ţi facă observaţii cu orice ocazie, doar cu motivul nespus de a te înjosi şi a-ţi arăta “cine este şeful” (am aflat şi de exemple din SUA; se pare că apare peste tot acolo unde o persoană se simte frustrată, mai prejos de ceilalţi şi încearcă să “se ridice mai sus”, înjosindu-i pe ceilalţi). Dacă ceva nu funcţionează bine din vina lor, mulţi şefi tot ţie îţi vor face observaţii; tot tu eşti de vină. Acelaşi fenomen i s-a întâmplat fiului meu (în trefic, la viteză mică, în oraş): un ofiţer de poliţie i-a “sărit” în faţa maşinii, uitându-se în partea cealaltă. Fiul meu a frânat brusc, poliţaiu’ s-a speriat şi tot el s-a răstit la fiu-meu “să fie mai atent” când conduce. Ăsta a rămas “mască”, cu replica nespusă în gând: “păi, dacă nu eram atent, erau deja sub dubiţă!”.

În general, în relaţionarea din orice grup apare extrem de puternic fenomenul de bullying, de agresare – măcar verbală – a celuilalt, ca o componentă esenţială în lupta sălbatică de zi cu zi de poziţionare cât mai sus pe scara socială a grupului. Este ca într-o haită de lupi, unde cel mai agresiv ajunge lupul alfa. Aceste agresiuni gratuite se iau ca exemplu şi se transmit mai departe în societate. Din diferite surse mi-a fost dat să aud de la persoane care s-au reîntors în ţară după mulţi ani petrecuţi prin alte ţări, că în România au resimţit – atât ei, cât mai ales şi copiii lor –mult mai profund această stare de bullying, această constantă stare de agresiune înjositoare la adresa noilor veniţi în grup.

Obiceiul este desigur prezent şi în zona comentariilor de pe internet, oriunde în lume, dar la noi parcă mai avântat ca în alte părţi. La orice articol, după primul, cel mult după al doilea al treilea comentariu, încep să apară atacuri la adresa celor care şi-au expus un punct de vedere asupra articolului de bază. De obicei, aceste atacuri sunt foarte dure, multe dintre ele legându-se de chichiţe de scrire folosite ca dovadă sau aluzie la “incultura” celui care a scris înainte, cu trimiteri la BAC-ul respectivului etc. În “străinezia” a apărut în acest sens denumirea de grammar Nazis.

Subiectul 3) Dar, de unde vine asta? Părerea mea este că – cel puţin la noi – de mulţi ani elevii se simt gratuit şi fără motiv întemeiat agresaţi de către profesori, atât datoriltă subiectivităţii elevilor (“are ceva cu mine!”), cât şi datorită stilului de predare excesiv de autoritar al multor profesori (“că altfel nu învaţă nimic”). Bănuiesc că acest fenomen se întâmplă din vremuri foarte vechi, iar faptul că la noi încă dăinuieşte este o dovadă importantă a “in-evoluţiei” sociale a sistemului nostru educaţional. Este evident că, odată ajunşi adulţi, foştii elevi vor aplica aceleaşi metode asupra celor din jur, inclusiv asupra copiilor (alteori, dimpotrivă, conştientizând superficial aceste aspecte, ei se vor transforma în nişte excesivi protectori, dar acesta este alt subiect). Astfel, acest fenomen a ajuns să se generalizeze la nivelul marii părţi a populaţiei, mai ales datorită faptului că nu a fost luat în seamă de către autorităţi şi organizatori ai “şcolii româneşti”, astfel încât să se pună ca obiectiv naţional anihilarea sa.

Fenomenul acestor agresiuni mai are o faţetă, anume cea a “datului mare”: dacă-i faci cuiva observaţie, scoţîndu-i în evidenţă o “greşeală”, atunci te dovedeşti mai presus decât el. Impulsul de corectare pe baza rigurozităţii excesive a apărut se pare în şcoala românească odată cu reforma din 1980 (când schimbarea exprimării într-o formă mai profund ştiinţifică, mai riguroasă, a devenit un obiectiv oficial) şi, după cum se vede, unii încă nu s-au gândit să se descotorosească de acest urât obicei. Astfel, încă mai are loc acest concurs de “care se dă mai deştept”, ca un fel de bullying între profesori.

Subiectul 4) Revenind la fenomenul cerinţei excesive de exprimare riguroasă, acesta se manifesta încă în urmă cu 10-20 de ani şi îmi permit să dau aici un exemplu tipic în acest sens. Astfel, orice profesor risca să fie corectat şi automat penalizat în faţa tuturor celor prezenţi dacă nu respecta cutumele de rigurozitate a limbajului impuse cu ocazia reformei din 1980. Iată în continuare exemplul “vedetă” la care mă refer.

Pe vremuri exista prin manuale precizarea despre cuvântul rază, cum că acesta trebuie înţeles în funcţie de context, fie ca un segment (în acest caz cercul are “o infinitate de raze”), fie ca lungimea acestor segmente (în acest caz cercul are “o rază”). Din păcate însă principiul nu era respectat şi la alte segmente care au şi un nume special. Astfel a ajuns să fie obligatoriu a folosi cuvântul lungime la diferite segmente speciale, cum ar fi la lungimea înălţimii unui triunghi sau la lungimea catetelor în teorema lui Pitagora (am mai vorbit despre încărcarea gratuită a textului respectivei teoreme cu acest cuvânt inutil). Ca norocu’ că bunul simţ a prevalat, astfel încât nu am fost nevoiţi să ajungem la lungimea lăţimii unui dreptunghi, sau mai rău la lungimea lungimii unui dreptunghi (asta ar fi fost culmea culmilor!).

În comparaţie cu acest exemplu, observaţia de la început a d-lui profesor este de-a dreptul justificată: într-adevăr, în orice vârf există două unghiuri exterioare. Problema este de atitudine: ambele au aceeaşi măsură (sunt egale sau congruente, cum preferaţi), iar în proprietatea cu pricina eu m-am referit la măsura respectivă ca număr, adică la singular. De fapt la singular vorbeşte şi titlul lecţiei oficiale: Unghiul exterior unui triunghi, şi nu Unghiurile exterioare (aici trebuie să vă imaginaţi zâmbetul meu până “după urechi”!). În acest context, mă miră extrem lejeritatea cu care am scăpat de m-ul de la măsura unghiului, sau de alte astfel de elemente de scriere riguroasă (sigur voi reveni cândva în acest sens).

Există şi în alte părţi ale matematicii astfel de momente, când noi trebuie să înţelegem din context exact ce este nevoie, eventual ajutat de o scurtă explicaţie orală (orice dăm în scris elevilor devine automat material suplimentar de copiat, îngreunând textul, fără să mai discutăm de impulsul ulterior de a învăţa totul pe de rost). Iată un exemplu sugestiv în acest sens. În matematica şcolară românească există clar delimitarea între divizorii proprii şi divizorii improprii ai unui număr. Pe de altă parte, în istoria matematicii există acea situaţie fabuloasă a numerelor perfecte, respectiv a numerelor prietene. O prezint foarte pe scurt: se numeşte număr perfect un număr care este egal cu suma divizorilor săi. Se înţelege automat – aproape intuitiv – că această egalitate nu poate avea loc dacă includem în această sumă a divizorilor şi numărul însuşi. Pe de altă parte, divizorul 1 este inclus (deci nu putem folosi terminologia uzuală). Astfel, avem următoarele prime numere perfecte: 6; 28; 496 etc. De pildă 6 = 1 + 2 + 3. Acelaşi fenomen apare şi la numerele prietene, cum ar fi 220 şi 284, fiecare fiind egal cu suma divizorilor celuilalt, desigur fără numărul însuşi (căutaţi şi edificaţi-vă pe internet; aceste numere provin de la Pitagora). Situaţia evocată reprezintă un exemplu magistral în care cineva ar putea desigur să complice lucrurile numai aşa de dragul de “a se da deştept” (cum? păi, de pildă, numărul 28 este un număr perfect pentru că reprezintă exact jumătate din suma divizorilor săi – a tuturor divizorilor). Părerea mea!

Subiect 5) Un alt aspect deosebit de important al întâmplării îl reprezintă ideea rezultatului frumos evocată de curând. O foarte mare parte din elevi trăiesc într-o atmosferă impregnată puternic de emoţii, iar pentru aceştia orice rezultat frumos are efectul de a-i atrage – chiar şi măcar puţin – înspre această lume seacă şi rece a matematicii. Este evident că – dimpotrivă – orice ratare a unei ocazii implicând un rezultat frumos reprezintă o ocazie ratată în a-i atrage pe astfel de copii înspre matematică (şi vorbesc aici de majoritatea elevilor, cum îi mai spuneam uneori, despre corpul central al Clopotului lui Gauss). Oare, există profesori care să considere drept o normalitate în a face selecţia elevilor buni alungându-i pe cei indecişi dinspre matematică, şi oare, tocmai am asistat la o manifestare a unui astfel de caz?

Cum am spus mai sus, 360o ar reprezenta în acest caz un rezultat frumos. Această afirmaţie are aici mai multe paliere. În primul rând că elevul mediu este deja obişnuit cu 360o – intră în zona sa de confort, deci nu va reprezenta pentru el un şoc. Singura surpriză este faptul că această sumă a unghiurilor exterioare reprezintă exact o rotaţie completă. Dimpotrivă, 720o nu este încă în acest moment un rezultat frumos, i-ar speria. De-abia la suma unghiurilor interioare a unui poligon cu mai multe laturi elevii vor ajunge să înţeleagă pe mintea lor sume de unghiuri peste 360o. Din păcate, aici am ajuns din nou într-o zonă de “teren interzis” la ora actuală, deoarece noua programă nu mai prevede suma unghiurilor unui poligon în general (acesta este însă un alt subiect, dar totuşi, care a fost logica pentru această excludere?).

Astfel, frumuseţea rezultatului se relevă şi la un nivel mai înalt, atunci când elevul ar constata – odată cu creşterea numărului de laturi – că suma unghiurilor exterioare rămâne constantă, necrescând odată cu înmulţirea laturilor, aşa cum se întâmplă la suma unghiurilor interioare.

În plus, aici, la unghiurile interioare, apare şi o altă nuanţă interesantă: de la triunghi la patrulater suma unghiurilor a crescut, astfel încât oricine se aşteaptă ca la creşterea numărului de laturi să crească şi suma acestora. Singura întrebare ce rămâne în acel moment este dacă creşterea a fost de adăugare a 180o sau de dublare (recomand să zăboviţi puţin la acest aspect ce ţine de dilema cognitivă, reprezentând poate chiar un adevărat conflict cognitiv). Stabilind care este situaţia la pentagon, la hexagon etc. se lămureşte şi respectiva dilemă. Ce păcat că au fost scoase, elevii nemai având ocazia de a parcurge acest proces de gândire.

Subiectul 6) În altă ordine de idei, merită să evoc aici şi un alt aspect, anume atitudinea în care sunt scrise multe din postările mele. Am mai spus-o şi cu alte ocazii: nu am nici cel mai mic venit din acest demers. Lucrez “pro-bono” şi nu mă plâng, fiindcă că o fac cu mare bucurie (pentru fiecare nou articol a trebuit mai întâi să mă edific eu foarte bine, iar acesta reprezintă pentru mine cel mai mare câştig posibil). Dacă cineva simte că eu “mă dau mare” prin aceste articole, atunci cred că se află la adresa greşită. Tot fenomenul pentagonia a pornit în 1997 după un an de stat în Şcoala Waldorf, din bucuria minunilor găsite şi din constatarea uimitoare că cele mai multe din aceste lucruri au fost cândva şi în şcoala românească, dar au fost pierdute pe drum. Fenomenul pentagonia a reprezentat de fapt bucuria şi strădania de a împărtăşi cu colegii profesori de matematică toate aceste elemente noi pentru mine la vremea respectivă. Apoi, cu timpul, pentagonia s-a transformat într-o strădanie de a ajuta la “repararea” predării matematicii, strigătele de ajutor în acest sens înmulţindu-se cu trecerea anilor din toate părţile.

În acest proces eu lucrez foarte mult. O pagină A4 ia lejer 1-2 ore de lucru (sau chiar mai multe), iar la un articol, pentru a fi într-o formă cât mai civilizată, lucrez câteva săptămâni (în cazul de faţă, aproape o lună). Unele serii de articole se apropie de magnitudinea unei lucrări de gradul I (majoritatea materialului fiind generat de către mine, nu preluat din alte părţi). În general lucrez la mai multe articole în acelaşi timp.

Legat de la felul cum scriu eu aceste articole, şi aici merită petrecut câteva rânduri. Există articole în care încerc să tratez cât mai complet subiectul propus. În altele îmi permit însă doar să evoc anumite aspecte, lăsând apoi “în sarcina” onor cititorilor să mai studieze şi să se edifice cu subiectul respectiv. Acest tip de articole are şi avantajul că lasă cititorului bucuria descoperirii şi nu-i dă totul “mură-n gură, pe tavă”. De multe ori apelez la acest stil şi datorită faptului că doresc să atenţionez asupra cât mai multor alte aspecte implicate intrinsec sau întâmplător în subiectul principal. De pildă, aspectele psihologice evocate prin exemplele de la sfârşitul articolului despre suma unghiurilor exterioare, aceste aspecte nu au nimic direct de-a face cu subiectul din titlu; ele s-au nimerit din întâmplare “în acelaşi loc” prin tema din caietele elevilor.

Există aici şi un alt aspect: de obicei mă străduiesc să prevăd diferitele comentarii ce ar putea apărea în mintea unui cititor, iar când reuşesc, atunci încerc să şi dau o replică unui astfel de gând, aşa încât eseul respectiv să fie cât mai complet şi mai edificator. Alteori, desigur, nu am cum să prevăd ce ar putea gîndi un anume cititor, fie că pur şi simplu nu mi-ar trece prin minte aşa ceva, fie că sunt prea puternic preocupat de alte aspecte şi îmi scapă posibilitatea unui anumit gând. Revenind însă la exemplul comentariului ce a cauzat prezenta postare, de când predau această teoremă a sumei unghiurilor exterioare, nici măcar o dată nu m-am întâlnit cu impulsul de a aduna în respectiva sumă ambele unghiuri exterioare din fiecare vârf. Poate “om fi noi mai superficiali”, atât eu ca profesor, cât şi toţi elevii mei. Părerea mea!

Subiectul 7) La toate aceste articole mă străduiesc să fiu cât mai neagresiv posibil (un articol la care lucrez acum în paralel, mi-a ieşit prea agresiv din prima încercare, aşa că planul este să-l reiau, să-l rup în mai multe părţi şi să caut o linie mai obiectivă şi mai liniştită; acelaşi lucru s-a întâmplat şi cu eseul de faţă, la care am păstrat doar aliniatele de început din starea de supărare iniţială).

Din multele întâlniri cu profesori din străinătate, ce ne-au vizitat de-a lungul anilor şcoala, asistând la orele cadrelor didactice, deoarece eram nevoit să particip ca traducător la cei care nu ştiau nici engleză suficient de bine, de la aceşti musafiri din vestul Europei am învăţat că la orice critică vrei să i-o faci cuiva, trebuie automat să-i spui şi o laudă, ceva bun, şi oricum într-o discuţie de analiză nu ai voie să-i spui mai mult de două puncte negative. Paul Olteanu spune chiar că la orice observaţie negativă, psihicul nostru are nevoie de trei observaţii pozitive pentru a se echilibra; aşadar, zice Paul Olteanu, la scorul de 1:1, îi eşti dator celuilalt cu încă două pozitive, cu două laude, pentru a nu se simţi agresat. UAU! Apropos: la mulţi elevi de gimnaziu de la ora actuală se pare că raportul se îndreaptă către 1:5.

Acestea sunt aspecte ce nu se studiază în pedagogia matematică românească (cel puţin nu cât am apucat eu să văd), iar aici avem o cauză evidentă a faptului că mulţi elevi urăsc matematica, anume datorită felului în care profesorii de matematică, fiind de obicei “mai avântaţi” decât ceilalţi datorită presiunii examenelor sau a olimpiadelor, preferă doar să critice şi să scoată în evidenţă nerealizările unui elev (nu discut aici despre aspecte de genul că la matematică trebuie să corectezi greşelile de calcul, pentru că altfel ajungi “pe arătură” cu fenomenul studiat); cel puţin unii dintre profesori procedează prea critic şi nu e de mirare că mulţi elevi ajung să le fie frică sau chiar să urască matematica (dar şi tot mai mulţi elevi sunt mult prea sensibili la ora actuală, îngreunând astfel procesul de conectare matematică).

Sugerez în acest sens lectura mai atentă a pasajului din romanul Măsurarea lumii despre învăţătorul elevului Gauss, la adresa http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ . În urmă cu 200 de ani severitatea dascălilor se măsura în bătăi; acum am mai evoluat, aşa că severitatea unui profesor se măsoară în critici, cel puţin măcar în corectarea elevului în chiciţe de exprimare riguroasă. Iar unii fac aici transferul acestei atitudini şi la adresa altor colegi, cu orice preţ şi de multe ori gratuit. Părerea mea!

De pildă, legat de atitudinea cu care a fost scris comentariul respectiv, doresc să evoc aici şi o întâmplare extremă în acest sens. Începând din 2020 am organizat în fiecare iarnă un curs de trei zile de predare a matematicii în şcolile Waldorf. Iniţial s-a putut lăsă “liber” şi pentru participarea unor colegi din alte şcoli, aşa încât am avut atunci şi doi colegi neimplicaţi în Waldorf. De fapt unul era chiar pensionar. Atmosfera cursului era aşa că eu mă străduiam să le transmit participanţilor cât mai multe din aspectele specifice acestei pedagogii, diferite de cele din pedagogia tradiţională, dar totuşi păstrând o aparentă stare de convivialitate, de “masă rotundă”. Desigur că pentru unii dintre participanţi aceste informaţii erau surprinzătoare, aşa încât mai puneau întrebări. Alţii cu ani de experienţă luau cuvântul şi confirmau cele spuse din cazurile apărute la ei la clase. Colegul pensionar a făcut un pas mai departe, intrând la un moment în polemică deschisă cu mine. Am încercat să aplanez vizibilul “conflict” iar în pauză m-am dus la dânsul şi i-am spus că trebuie să-şi ţină pentru el diferitele păreri legate de anumite puncte în discuţie, că aici ne-am strâns să studiem aspecte legate de Waldorf şi că în acest sens am un parcurs bine stabilit, că nu îmi pot pierde prea mult timp cu altele ce nu au legătură cu linia stabilită conformă cu această pedagogie. Răspunsul său a fost bulversant: eu am crezut că am venit într-un loc liber la “dezbateri”, fiind evident că înţelegea prin dezbateri chiar şi polemici, fiecare “cu părerea lui” şi luptându-se aprig pentru aceasta. Oare comentariul ce a cauzat această postare este reprezintă tot un exemplu din această linie a unor polemici gratuite, de genul “care pe care”? Se prea poate. Din păcate, de obicei însă, aceste polemici nu prea se pot menţine într-o zonă elegantă şi neagresivă. Mai ales atunci când cineva vine cu afirmaţii prezentate ca “evidente” (dimpotrivă, o întrebare lămuritoare ar fi reprezentat în cazul de faţă un comentariu neagresiv, la care aş fi răspuns simplu şi pe scurt). Părerea mea!

Aici este vorba mai degrabă de o anumită mentalitate nocivă, acea de “a căuta nod în papură” cu orice ocazie. Ţin minte un exemplu în acest sens în urmă cu cca. 20 de ani. Eram foarte bucuros de o problemuţă compusă în care datele din text erau “frumoase”: un trapez în care se dădeau înălţimea de 12 şi trei laturi consecutive de 13, 14 (baza de sus) şi 15, cerându-se perimetrul şi aria. Pentru elevul mijlociu aceasta era o situaţie suficient de grea, pentru că o dădeam în perioada de învăţare şi exersare a teoremei lui Pitagora, iar seria respectivă de numere mai îmblânzea oarecum percepţia. Apoi, am primit o observaţie, că există de fapt mai multe posibilităţi de soluţie, deşi elevii vedeau întotdeauna doar forma tradiţională de trapez (cu baza 14 de sus cea mică şi cu baza mare jos, care trebuia calculată; parcă dă 28). Apoi, când am inclus problema în 2006 în culegerea de geometrie, încercând să includ toate variantele, dar şi cu implicarea fără de voie a redactorului de la editură, din problema respectivă a ieşit un dezastru. Pentru că, de obicei, la asta se ajunge când începe careva să scormonească şi să caute “nod în papură”. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Încă o dată, mulţumiri colegului pentru acel comentariu, ce mi-a oferit ocazia unei astfel de analize exhaustive a fenomenului (sper că n-am scăpat cine ştie ce aspecte importante).

Reclamă la octaedrul regulat

Matematica şcolară românească este orientată şi preocupată obsesiv doar spre acele teme care oferă clar aplicaţii ulterioare. Lipsesc însă preocupările şi cunoştinţele despre subiectele frumoase, dar care nu oferă aplicaţii variate în zona problemelor de concursuri. În general lipsesc cu desăvârşire diverse subiecte matematice care din diferite motive au fost excluse din programa şcolară de-a lungul timpului. Astfel de subiecte lipsesc de obicei şi din cultura generală a profesorilor de matematică, deşi ele apar în diferite situaţii “din afara matematicii şcolare”; ca urmare deci, acestea lipsesc şi din cultura generală a întregii populaţii culte. Cel mai flagrant exemplu în acest sens a fost momentul apariţiei romanului Codul lui DaVinci în începutul căruia autorul Dan Brown a inclus Şirul lui Fibonacci. Toţi oamenii din jurul meu, care citeau cărţi mă căutau la vremea respectivă să le explic ce-i acela Şirul lui Fibonacci.

Unul din subiectele ce mă preocupă este felul în care eu să ofer elevilor de clasa a 8-a cunoştinţe minime, elementare despre octaedrul regulat. Folosesc prezenta postare pentru a trage un semnal de atenţionare la adresa colegilor profesori, pornind de la o apariţie surprinzătoare a acestui corp într-o reclamă difuzată la televiziune, reclamă în care octaedrul apare ca vedetă într-un rol extrem de dureros, încercând să simuleze vizual durerea cauzată de hemoroizi “ştiţi voi unde”. Pentru a înţelege despre ce vorbesc, vă rog să căutaţi reclama la medicamentul Procto Glyvenol la adresa https://www.youtube.com/watch?v=5LRAVsjKq0I .

Aşa, după ce m-am străduit puţin să vă stârnesc un minim zâmbet în colţul gurii, pe baza vizualizării corpului respectiv, aş dori să vă provoc în continuare la a-l cunoaşte cât de cât, astfel încât să înţelegeţi ce spun cănd mă plâng că astfel de cunoştinţe nu sunt defel incluse în materia predată în şcoli. În acest sens voi încerca o minimă prezentare a unor informaţii legate de octaedru. Nu doresc însă să mă lansez într-o prezentare exhaustivă, ci mai degrabă într-o prezentare minimalistă a aspectelor de bază, cu rol de stârnire a curiozităţii cititorului, pe baza căruia să înceapă un proces de căutare pe internet. Astfel, deşi este vorba de o temă de geometrie, a cerei prezentare ar necesita multe imagini, eu mă voi rezuma la a vă prezenta doar în text paşi acestei minimaliste cunoaşteri, urmând ca cei cărora le voi fi stârnit suficient curiozitatea să parcurgă fiecare pentru sine drumul respectiv.

Există cinci corpuri perfecte, aşa numitele poliedre regulate, denumite după numărul de feţe exprimat original de către învăţaţii greci: tetraedrul (4 feţe triunghiuri echilaterale), hexaedrul (adică cubul, având 6 feţe pătrate), octaedrul (8 feţe triunghiuri echilaterale, “prietenul nostru cauzator de hemoroizi”), dodecaedrul (12 feţe pentagoane regulate) şi icosaedrul (20 feţe triunghiuri echilaterale). Toate ar merita extinderea denumirii de “regulate”, dar din motive practice de utilizare sunt denumite simplu, după numărul feţelor. Primele două sunt prezente în programa şcolară românească; ultimele două sunt destul de complicate, desenarea lor fiind o provocare în sine (despre care nu mi-am propus să vorbesc acum). Octaedrul nu e inclus defel în programă, deşi este destul de accesibil, fiind cu totul la nivelul materiei şcolare de clasa a 8-a din România.

Astfel, octaedrul regulat ne apare ca un corp compus din două piramide cu baza comună. Este vorba aici despre renumitele şi foarte des întâlnitele piramide patrulatere cu feţele laterale triunghiuri echilaterale, ştiţi, cele care au câte două feţe laterale opuse perpendiculare. Ca urmare, pentru orice elev binevoitor, chiar şi determinarea formulelor de arie totală şi volum reprezintă nişte sarcini deosebit de accesibile (calcul în funcţie de lungimea muchiei).

Dar, cum se desenează un astfel de corp? Cea mai practică reprezentare grafică este următoarea: desenaţi un cub şi trasaţi diagonalele fiecărei feţe. Apoi uniţi în mod corespunzător centrele astfel obţinute ale feţelor cubului. Desenul implică foarte foarte multe linii, riscând să devină total de neînţeles, aşa că recomand cu căldură ca diagonalele feţelor cubului să fie trasate cât mai fin cu putinţă, doar cât să se poată vedea punctele de intersecţie de pe fiecare faţă. Apoi uniţi cu linie continuă muchiile “din faţă” ale octaedrului, respectiv cu linie întreruptă muchiile “din spate”. Dacă luaţi un creion colorat (sau un alt instrument cu linie fină) şi trasaţi încă o dată octaedrul (de exemplu un roşu ca să semene cu cel din reclamă), atunci se va înţelege foarte bine cum arată acest corp.

Desigur că puteţi să porniţi şi de la un desen clasic al unei piramide patrulatere, construind încă una simetrică “în jos”, dar această metodă nu vă garantează o figură foarte clară, existând pericolul ca octaedrul dvs. să fie prea ţuguiat (şi de pildă să nu îndeplinească perpendicularitatea de care am vorbit, pentru că cei mai mulţi nu dau atenţie unor astfel de detalii când desenează o piramidă – din păcate).

Revenind la cele cinci corpuri perfecte, inclusiv demonstrarea faptului că există doar acestea cinci este o sarcină de nivel gimnazial: faceţi un tabel având pe capul orizontal unghiurile corespunzătoare poligoanelor regulate până la hexagon – 60o, 90o, 108o, eventual şi 120o – iar apoi analizaţi pe verticală posibilităţile numărului de feţe dintr-un colţ, plecând de la faptul că suma unghiurilor plane din jurul unui vârf de corp nu poate atinge valoarea de 360o.

Găsiţi elemente la care m-am referit în această postare intrând pe site-ul pentagonia.ro la Revista Pentagonia 1998-2002 şi deschizând pdf-ul cu caietul nr.2 pentru prezentarea octaedrului şi a unor desene legate de acesta, respectiv pdf-ul cu caietul nr.3 pentru tabelul de demonstrare a existenţei doar a celor cinci corpuri perfecte. În caietul nr.4 găsiţi şi ultima parte a seriei despre aceste corpuri.

Dar ce puteţi face cu aceste informaţii? Cel mai simplu ar fi includerea acestora în ore din săptămâna “Şcoala altfel”, sau în diverse alte momente când din diferite motive nu prea se lucrează la ore (de pildă în ultima oră înainte de vacanţă). Desigur că problematizarea reprezintă cea mai raţională cale de a-i implica pe elevi în cunoaşterea acestui corp, astfel încât lecţia respectivă să reprezinte de fapt o ocazie eficient folosită înspre activarea gândirii elevilor (gândire care este folositoare şi la examen!). Ca urmare este evident că nu sunt de părere, dar  defel, ca profesorul să-i dea elevului direct formulele respective.

Lecţia respectivă poate fi studiată şi ca temă, de pildă dând elevului un proiect pentru o notă suplimentară. Cel mai bine ar fi ca în acest caz elevul să primească o minimă listă cu ce ar trebui să includă în “lecţia” respectivă, aşa încât acesta să nu “dea direct pe net” şi să caute ca disperatul, sau dimpotrivă să descarce de-a gata un referat făcut de altcineva (deşi nu cred că există, pentru că nu e în programă).

Dacă aţi apucat să vă obişnuiţi cu acest corp, veţi recunoaşte desigur că acesta este unul foarte frumos, probabil unul dintre cele mai frumoase. Evident că puteţi să abordaţi şi construcţia sa din carton, sau din beţe (de pildă din paie de băut, sau din beţişoare de curăţat urechile, de la care s-a îndepărtat vata, legate cu aţă trecută prin ele). Confecţionat dintr-un carton roşu, octaedrul este deosebit de decorativ în bradul de Crăciun. Pentru o persoană cu dexterităţi migăloase, ar fi o idee de a confecţiona unul mic, cu muchia de 1 cm, pe post de mărţişor (poate unul dintr-un carton fin alb, măcar 120g/mp). Pentru început, însă, vă doresc spor la studiu! CTG

Bucuria rezultatului frumos

De curând a avut loc pe facebook un schimb de replici între profesori de matematică, despre rezultatul discriminantului. Ca persoană atentă la trăirile elevilor, am rezonat desigur cu următoarea afirmaţie: În școală, cea mai mare satisfacție o aveam când îmi dădea Δ-pătrat perfect (din câte am reţinut, afirmaţia îi aparţine d-lui Cristinel Mortici).

M-a bucurat această afirmaţie pentru că reprezenta o amintire pură venită din sufletul unui elev, o amintire despre o stare pe care cu toţii am trăit-o: ca elevi ne bucuram atunci când ne dădea pătrat perfect la delta. Cine nu recunoaşrte această stare trăită în timpul liceului, acela de fapt şi-a pierdut definitiv copilul din el. Copilul se bucură din oficiu pentru un rezultat frumos, îl resimte ca pe o confirmare a faptului că a lucrat corect.

Mă încântă deosebit astfel de afirmaţii rămase în sufletul unora ca amintiri de nezdruncinat; adulţi matematicieni (sau nematematicieni) care ne pot aduce trăiri din viaţa lor de elev, trăiri ce aduc astfel de amintiri ca într-o bulă nedistorsionată de anii vieţii (facultate, maturizarea deplină, şuişurile şi coborâşurile inerente).

Un elev care merge înainte când discriminantul nu dă pătrat perfect, fără măcar să verifice încă o dată, acela dă dovadă de o atitudine nesănătoasă. Între comentariile din acel moment chiar a apărut ideea: În liceu am avut doar 10 la mate, cu excepţia unei singure note de 8, pe care am încasat-o la un extemporal  în clasa a IX-a pe trimestrul III, fiindcă nu mi-a dat DELTA pătrat perfect! Greşisem la calcule, evident (afirmaţie a d-lui Marcel Ţena, dacă nu am greşit la salvarea setului de comentarii).

Aceste observaţii, despre bucuria unui rezultat frumos, le cunoştea desigur şi profesorul Grigore Gheba: şi acum elevii se bucură atunci când obţin acele rezultate frumoase din exerciţiile sale, fie la cele cu fracţii etajate, fie la cele cu fracţii algebrice.

Nu vreau să reiau în această postare toate comentariile de atunci, ci prefer să închei cu o afirmaţie gen banc (din câte am reţinut, postat de către dl Costel Balcau): Ne păcălești, cum să fie triunghiul ăla pătrat? Titus Grigorovici, un veşnic copil

P.S. Această postare se doreşte o atenţionare la adresa celor care susţin de obicei că orice rezultat este unul bun, cu alte cuvinte susţinând “egalitatea de drepturi” a rezultatelor frumoase cu a rezultatelor urâte. Tehnic o fi aşa, dar în sufletul elevilor rezultatele frumoase îi atrag spre exersarea matematicii, pe când cele urâte nu. O persoană, profesor la clasă sau autor, care-şi bombardează elevii cu rezultate “indiferente”, de fapt îi îndepărtează de bucuria adusă de rezultatele frumoase. Într-o astfel de atmosferă, unii învăţăcei reuşesc să stea cu sufletul către matematică, alţii nu. În sine, această situaţie nu ar fi o mare problemă (“de fapt nu toată lumea trebuie să ştie matematică!”, s-ar putea spune) dar problema mare iese la iveală atunci când conştientizăm legătura indisolubilă între matematică şi formarea gândirii raţionale, respectiv lipsa acesteia din urmă la mult prea mulţi români.

Bucuria rezultatului frumos apare şi la teorema lui Pitagora, atunci când ai de extras radicalul în final: oricine se bucură dacă găseşte în acel moment un număr pătrat. Dacă este vorba de calcule cu numere mai mare, atunci la acel moment intervine speranţa că acel număr este pătrat. Eu folosesc acest moment dându-le elevilor probleme cu triplete pitagoreice mai mari, altele decât clasicele (3,4,5) sau (5,12,13), sau amplificări lor. Iar când a treia latură este un număr prim mai mare, lucrurile devin de-a dreptul palpitante. Oricum, la calcule lucrurile sunt simple şi clare: elevul se bucură atunci când într-un exerciţiu obţine un rezultat frumos.

Pe de altă parte, se poate pune întrebarea despre ce ar reprezenta ideea de rezultat frumos în cadrul proprietăţilor geometrice. De pildă, teorema lui Pitagora este oare într-adevăr un rezultat frumos, aşa cum gândeau egiptenii antici, care considerau egalitatea respectivă drept o adunare divină? Sau, faptul că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu un unghi alungit (mult mai elegant decât numărul 180o), respectiv suma unghiurilor unui patrulater este egală cu măsura unei rotaţii complete, şi asta indiferent dacă patrulaterul este convex sau concav? Dar, mai ales, cum facem ca în momentul predării unor astfel de proprietăţi, să reuşim să le transmitem elevilor ideea de rezultat frumos?

Algebra şi curajul de a ieşi la tablă (Analiza unui banc – 2)

Spuneam în postarea precedentă că bancul de la început, cel despre geometrie, a umblat de curând pe platforme de socializare. Cam în aceeaşi perioadă am găsit şi bancul de mai sus, unul legat aparent de algebră. De fapt, algebra arată în acest banc destul de pozitiv, într-o comparaţie ipotetică cu geometria. Deci, personajul respectiv a avut măcar acel curaj de a ridica mâna la algebră, că la geometrie nici vorbă (sunt conştient că această observaţie este parţial “trasă de păr”).

Bancul acesta trimite insă foarte clar la atmosfera de la ora de matematică, aşa cum aceasta este percepută de o mare parte dintre elevi. Este vorba despre o stare de frică, uneori de o adevărată teroare, în care trăiesc elevii şi de care este legată relaţia cu această materie. Şi, trebuie clar să precizez, această stare apare peste tot în lume, nu doar la noi. Poate doar că la noi această stare este mult mai dură. Din câte ştiu însă, procentajele sunt orientativ similare. Atât la noi, cât şi înafară, undeva la jumătate din populaţie au o stare de teamă faţă de matematică. Singura diferenţă clară este legată de faptul că această parte a populaţiei, ce nu beneficiază de factorul formativ al gândirii, educat de către matematică la orele din şcoală, această parte a populaţiei îşi formează o gândire după modelul societăţii în care trăieşte: familia, anturajul de prieteni sau de colegi îşi pune amprenta asupra felului în care aceşti oameni judecă. De pildă, la noi, cei care au frica de matematică sunt ceva mai vulnerabili de a fi manipulaţi de către alţii, din anturajul restrâns sau din mass media, de pildă de către politicieni (ca vorbitor de germană, eu urmăresc desigur şi societatea nemţească, şi văd astfel de exemple dar la o scară mai mică; situaţia cu cancelarul austriac şi cu refuzarea accesului nostru în Schengen a fost un contraexemplu ciudat de iraţionalitate în spaţiul ţărilor germane – deşi, cine sunt eu să judec? – te miri ce aspecte noi vor apărea cu timpul, care să justifice atitudinea respectivă).

Revenind la orele de matematică şi la atmosfera din timpul acestora, stau şi mă gândesc că aceasta este una din sursele de bază legate de frica faţă de matematică. Bancul de mai sus exact asta spune: am avut curaj, adică mi-am înfruntat frica faţă de matematică. Pentru a putea produce dorita stare de performanţă în matematică, majoritatea profesorilor ajung să-şi conducă ora cu o atitudine generatoare de frică. Aceasta este însă “doar o faţă a monedei”. Cealaltă sursă a stress-ului este legată de faptul că gândirea matematicii nu este uşoară, mulţi dintre elevi preferând pur şi simplu să o evite. Dimpotrivă, confruntaţi cu o atmosferă blândă la orele de matematică, astfel de elevi nu vor face matematică defel, nu-şi vor face temele, nu-şi vor învăţa lecţiile, iar apoi oricum vor căuta justificarea pentru eşecul lor în explicaţii de felul “toţi profesorii de matematică sunt la fel, chinuie copiii” sau “eu am discalculie” etc., toate sub genericul “cea mai bună matematică este matematica defel!”.

D-na profesoară Birte Vestergaard, despre care am scris în câteva rânduri, are ca unul dintre obiectivele principale exact recuperarea acestor elevi înspăimântaţi de ora de matematică. Ca argument pentru eficienţa metodei sale, dânsa ne-a arătat câteva pasaje din interviuri, în care foşti elevi slabi la matematică îşi prezentau evoluţia sentimentelor, de la frica totală de matematică – cu accent pe frica de a se face de râs în faţa colegilor – şi până la nivelul în care au ajuns să gândească şi să lucreze matematică fără nici cea mai mică problemă. Metoda respectivă este bună deaorece îi ajută şi pe cei buni să empatizeze cu cei slabi şi să conştientizeze zdroaba acestora în cadrul activităţii matematice.

Eu personal mă străduiesc constant să generez o atmosferă în care şi elevii speriaţi de matematică să ajungă la o stare dezinhibată cu matematica. Din păcate unii înţeleg aceasta ca o permisivitate către a face orice altceva în oră. La alţii totuşi funcţionează, adică îmi reuşeşte să-i aduc în starea de atenţie şi participare la oră, desigur în momentele care prezintă matematică accesibilă pentru nivelul lor. Mă gândesc de exemplu la un elev care de fiecare dată când suntem în pasaje mai uşoare, el automat devine activ, ridică mâna nesilit şi răspunde de fiecare dată corect. Acel elev, deşi nu este un mare matematician, îşi cunoaşte foarte bine nivelul, dar de fiecare dată când poate îmi arată de fapt că nu-i este frică de matematică.

Unul dintre exemplele cele mai sugestive despre starea de frică faţă de matematică şi faţă de inaccesibilitatea acesteia, l-am trăit în urmă cu câţiva ani. Aveam prima oră la o nouă clasa de liceu (a 9-a de uman), în care erau elevi de la foarte buni (dar care doreau să rămână în Waldorf) şi până la nivelul cel mai slab posibil. M-am gândit să nu-i speriu din prima cu cine ştie ce complicaţiune, aşa că m-am dus la ei cu o chestie ce nu implică defel cunoştinţe anterioare, desigur în afară de simpla adunare până la zece. Le-am dus un zar pe care îl puneam în faţa lor pe masă şi îi întrebam ce faţă este dedesupt (îl ţinem cu două degete lateral, aşa încât să nu funcţioneze prin excludere). Pentru cine nu ştie poanta, suma feţelor opuse la un zar este întotdeauna 7 (de pildă 2 şi 5 sunt pe feţe opuse). Întrebarea desigur se adresa celor noi în clasă (cei ce veneau din clasa a 8-a o ştiau deja). Imaginaţi-vă cum mergeam de la un elev nou la altul şi îi întrebam, iar aceştia încercau să gândească, pentru că era evident că nu se lega de nimic din ce învăţaseră până atunci. Unii se prindeau pe când alţii nu.

În această stare am ajuns la o elevă foarte speriată, care nu se prindea de poantă şi gata. Eu totuşi îi arătam răbdare, dar ea nu şi nu. Până la urmă unul dintre colegi i-a spus că trebuie să dea împreună 7. Eleva a făcut ochii mari, eu i-am mai pus o dată întrebarea (de fiecare dată întorceam zarul), iar ea s-a concentrat şi a răspuns corect. I-am arătat dosul zarului spre confirmare, iar ea s-a ridicat în picioare şi a început să fugă în cerc strigând “Da! Ştiu matematică!!!”. Am realizat atunci că am de-a face cu un caz deosebit de dificil şi, într-adevăr, tot liceul a cam trebuit să-i dau 5-ul “din burtă”.

Surpriza a venit la sfârşitul clasei a 12-a când elevii “îşi împărţeau profesorii”, care la care să dea clasicul buchet de flori, la festivitatea de încheiere. Această elevă a insistat ca ea să-mi dea mie flori. Doar pentru acel moment de la începutul clasei a 9-a (şi poate pentru faptul că am avut grijă tot liceul să nu se simtă înjosită pentru că nu putea mare lucru la matematică). Să nu credeţi însă că “nu am făcut matematică” cu acea clasă. Dimpotrivă, de multe ori depăşeam nivelul programei, pentru cei care puteau, dar întotdeauna cu respect faţă de cei slabi. Concluzionând, cum bine spunea Dl Profesor Radu Gologan, matematica şcolară trebuie să devină mai umană. Titus Grigorovici

Figurile geometriei (Analiza unui banc – 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platformă de socializare, se doreşte a fi un banc (adică ceva de râs). Doar că aceasta punctează ceva ce este mai degrabă de plâns: dispariţia – lentă dar sigură – a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, atât în cadrul lecţiilor, cât mai nou şi în cadrul problemelor, atât din ideea de necesitate în structura mentalului unor profesori, cât şi – ca urmare – din mentalul unor elevi.

Deja în urmă cu cca. 15 ani am ajuns să întâlnesc elevi care să-mi spună că “figurile nu contează”, citat reluat desigur de la adulţi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clasă. Ţin minte că mă chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguranţă că “oricum, figurile nu contează!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna rău de tot: am început să întâlnesc lecţii sau probleme de geometrie fără figură! Şi mă refer aici nu la situaţii din acelea relativ simple, la care putem considera că figura geometrică poate fi uşor imaginată în cap, pentru rezolvarea problemei. Vă dau câteva exemple întâlnite în această toamnă.

1) Să vorbim pentru început despre o lecţie, una cunoscută, anume lecţia care trebuie să facă prezentarea conexiunilor între unghiurile ce se întâlnesc în cazul a două drepte paralele tăiate de o secantă. De foarte mult timp ştiu că există ideea de a desprinde din această lecţie, ca un soi de fază pregătitoare, o primă etapă în care să fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figură “generalizată”, adică pe o figură cu două drepte neparalele tăiate de o secantă. Nu ştiu unde, când sau la cine a apărut această idee, dar este una deosebit de dăunătoare, chiar nocivă pentru dezvoltarea gândirii, aş putea zice chiar nocivă pentru apariţia gândirii. Chiar şi privit doar superficial putem susţine această afirmaţie deoarece figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde.

Afirmaţia se susţine şi dacă privim mai profund: în această situaţie încercarea de înţelegere a copilului este forţată să se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai puţine elemente logice, eliminate fiind cele mai uşoare, mai intuitive, şi lăsate doar de cele mai grele. Ce vreau să spun aici? Studiate pe o figură cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijiniţi de evidenţa congruenţei, care se vede clar. Mă refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar şi la cele alterne interne. Datorită congruenţei, elevul înţelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri şi logica aranjării acestora în figura respectivă (de exemplu, “alterne” pentru că alternează de-o parte şi de cealaltă a secantei, la fel ca şi casele numerotate alternativ de-o parte şi de alta a străzii, respectiv “interne” pentru că sunt în spaţiul acela interior delimitat de cele două paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate gândirea şi înţelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele două categorii.

Pe figura cu două drepte paralele, acestea – cele două drepte paralele – se evidenţiază minţii în formare a elevului ca o pereche clară, dreapta secantă evidenţiindu-se separat, cu un alt rol logic în această structură. Dimpotrivă, la figura “generalizată”, cea cu perechea celor două drepte neparalele, tăiate de o a treia, pe post de secantă, aici mintea elevului nu va vedea la fel de uşor faptul că primele două acţionează împreună într-un fel, pe când a treia în alt mod. Personal, eu nu mai ţin minte foarte clar, dar cred totuşi că am predat o dată, în primul an la catedră pornind de la această figură (anul şcolar 1990-1991), după care am abandonat ideea (am în amintire o impresie vagă că elevii n-au înţeles nimic; ceva de genul că-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe feţele lor; altfel spus, am simţit empatic că elevii n-au înţeles nimic din acea figură). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit această figură premergătoare, însă doar acum am ajuns să fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (veţi vedea în curând de ce).

Mai zăbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar că figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul că la geometrie elevii trebuie să ţină minte nişte FIGURI TIP, pe care să le aibă imprimate bine în minte pentru a le putea recunoaşta ulterior în diferite structuri mai complicate, adică de obicei în figurile diferitelor probleme. Pentru a mă face înţeles, dau aici câteva exemple de figuri tip: două drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la vârf, un triunghi oarecare secţionat de o paralelă mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situaţii de proporţionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamentală a asemănării), şi exemplele pot continua mult şi bine (există figuri tip chiar şi la zona de algebră, de pildă “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei proporţii, în timp ce spui în minte că “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur că figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă este o figură tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de importantă şi datorită faptului că aceasta nu apare de obicei întreagă în figurile diferitelor probleme, aşa încât elevul trebuie să fie capabil să completeze în minte figura astfel încât să recunoască figura tip şi să poată vedea apariţia a două unghiuri congruente (să zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se înţelege că este extrem de important ca această figură să “se imprime” cât mai repede şi cât mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetată. Eu, de pildă, refac figura tip cu două paralele tăiate de o secantă la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate în această lecţie, adică măcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dată la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru că “stau la fel”, astfel încât congruenţa poate fi justificată, “demonstrată”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei până în celălalt). Apoi refac figura a doua oară pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificată pe baza primeia împreună cu deja cunoscuta situaţie a unghiurilor opuse la vârf). Cu această ocazie elevii încep să priceapă că această figură este una importantă. Uneori o fac şi pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, cât şi a elevilor care întreabă după a doua categorie “dar, există şi unghiuri alterne externe?”, precizându-le insă clar că acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie în cazul unghiurilor interne de aceeaşi parte a secantei, care se dovedesc suplementare (şi aceasta poate fi justificată pentru înţelegerea elevilor, apropos de faptul că unii colegi au ajuns doar să prezinte elementele unei lecţii, fără a mai explica defel de unde vin acestea). Situaţia perechii de unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dacă întreabă un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clară că nici acestea nu se folosesc nicăieri.

Am făcut această prezentare extinsă a importanţei figurilor din lecţia despre unghiurile ce apar la două paralele tăiate de o secantă pentru a scoate în evidenţă cât mai bine stupiditatea următoarei situaţii. Astfel, de curând mi-a fost dat să văd această lecţie predată doar cu prima figură, acea cu două drepte neparalele tăiate de o secantă, în care erau prezentate extins, în text, pe baza numerotării celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teoremă în care erau precizate faptul că dacă dreptele acelea sunt paralele, atunci “următoarele unghiuri sunt …..”. În lecţia respectivă nu apărea defel figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe când cea deosebit de importantă nici nu era prezentă în lecţie (decât doar în text).

Fără figura cu două drepte paralele elevul este “împins” să înţeleagă această lecţie doar în mod “intelectual”, eliminându-se posibilitatea înţelegerii vizuale directe. Pentru a înţelege, elevul este obligat să facă doi paşi logici, anume să urmărească situaţia şi afirmaţiile textului şi să-şi închipuie figura conform noilor condiţii (două drepte paralele), ca apoi să le conecteze în minte pe cele două. Este evident că această cale este mult mai dificilă, chiar inaccesibilă pentru cei mai mulţi dintre elevii actuali.

Cum să înţeleagă acei elevi lecţia respectivă??? Mintea mea nu înţelege aşa ceva decât alegând din una dintre următoarele două situaţii: fie este vorba despre o “prostire” profesională a unor dascăli, fie o răutate cronică faţă de elevi. Oricum este evident faptul că elevii sunt împinşi, fie în braţele sistemului de meditaţii particulare, fie înspre pierderea contactului cu matematica, cu gândirea.

Foarte aproape de această stare se situează şi variantă întâlnită prin anumite lucrări, care prezintă ce-i drept figurile cu două drepte paralele, însă mici şî înghesuite, astfel încât elevii să le perceapă foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie fără figuri este întâlnit mult mai des, anume în lecţiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezintă teoria fără nici măcar o singură figura geometrică (vorbesc de partea teoretică poziţionată înaintea multitudinii de probleme pentru acea lecţie). Am de pildă în minte situaţia unei culegeri de la o editură renumită (de vârf pe piaţă): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate proprietăţile, fără ca autorii să fi considerat ca importantă prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). Vă daţi seama că elevii sunt astfel tentaţi să vadă lucrurile din geometrie de felul că “astea trebuie învăţate pe de rost, în nici un caz şi înţelese”.

3) În urma unor astfel de situaţii cu care se confruntă elevii, nici nu ne mai miră apariţia unor situaţii în care elevii vin cu rezolvări, chiar cu demonstraţii ale unor probleme, fără ca acestea să fie însoţite de o figură geometrică. Elevii ajung să nu-i mai vadă necesitatea prezenţei unei figuri geometrice la o problemă. Fie că o copiază din carte, fie că o preiau de la un coleg, care poate şi el o are făcută de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mentală a legăturii indivizibile între figură şi rezolvarea sau demonstraţia corespunzătoare. Faptul că nici aplicaţiile de pe telefoanele prea deştepte cu care toţi sunt dotaţi, se pare că nu dau rezolvări însoţite de figuri, asta doar accentuează profunzimea şi dramatismul situaţiei despre care vorbesc aici.

Din păcate însă, toate acestea se integrează perfect cu noua politică a examenului de Evaluare Naţională, în forma cea nouă, aplicată din 2021 (odată cu generaţia care a început prima dată cu clasa pregătitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, însă doar cu scop de a fi “citite”, însă pentru eficientizarea testării, acest nou tip de subiecte nu mai are în conţinutul său sarcini la care elevii să fie puşi să facă o figură geometrică.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit până în anul de graţie 2020), deseori unii elevi nu mai refăceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (atât la figura de geometrie plană, de la problema 1, cât şi la figura de geometrie în spaţiu, de la problema 2), ci trasau şi notau pe foaia lor de subiecte câte o linie suplimentară de care aveau nevoie. În aceste condiţii te puteai trezi cu câte o rezolvare în care trebuia să-ţi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, fără a avea însă o certitudine în acest sens. Dar oricum, majoritatea făceau totuşi respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajutătoare, iar toţi elevii desenau desigur şi figura de la începutul Subiectului II. Deci, până în 2020 elevii trebuiau să facă figuri geometrice şi la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie să deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoiţi să traseze cel mult câte o nouă linie pe figurile pre-gătite pe foaia de examinare (am pus intenţionat liniuţa de despărţire pentru a evidenţia asemănarea cu fenomene similare de pildă din zona de alimentaţie, acolo unde la ora actuală se poate cumpăra o varietate tot mai mare de mâncare pre-gătită, funcţia de bucătăreasă fiind deseori redusă la funcţia de încălzitoare a mâncării pre-gătit cumpărate). Cum va arăta viitorul, respectiv cum vor evolua sau – mai bine zis – cum vor involua abilităţile elevilor de a face o figură geometrică corectă, asta este uşor de imaginat. Aşadar – în concluzie, până nu e prea târziu – cum a fost spus de la început, daţi geometriei figurile înapoi! Titus Grigorovici

Un interviu memorabil cu Prof. Radu Gologan, 10 ian.2022

În urmă cu aproape un an (10 ian. 2022, de ziua matematicii) dl. Profesor Radu Gologan dădea un interviu d-nei Iulia Roşca pe HotNews.ro. Afirmaţiile din acest interviu mi-au atras atenţia puternic, aşa că l-am salvat în întregime în ideea de a-l relua într-o analiză riguroasă. Altele au fost însă aspectele ce ne-au preocupat în vremurile ce-au urmat, aşa încât tot timpul am fost nevoit să fug după alte subiecte decât interviul d-lui Gologan. Totuşi, documentul salvat atunci îmi tot revenea în atenţie, prin valoarea gândurilor exprimate, cât şi prin “densitatea” acestora.

Acum, către lăsarea iernii, “la gura sobei”, cred că interviul respectiv poate fi recitit în linişte (sau citit pentru prima dată), spre luare aminte şi spre aprofundare. Peste 80% din gândurile exprimate (orientativ) ating predarea matematicii. În această postare doresc să prezint şi să analizez părţile respective. Ca să nu reiau apoi diferite aspecte pentru a le comenta, îmi permit să-mi inserez gândurile şi comentariile pe parcursul interviului, ca un fel de o a treia persoană în discuţie.

IR: Cum ați evalua modul în care se predă astăzi matematica și se asimilează cunoștințele în școală?

RG: Se fac eforturi mari pentru umanizarea, să zicem, a învățământului matematic și evident direct transformarea lui într-o disciplină care să placă tuturor și să aducă fiecăruia ceea ce trebuie.

CTG: Într-adevăr, predarea matematicii trebuie umanizată, astfel încât să devină accesibilă şi să aducă satisfacţie tuturor elevilor, nu doar celor de vârf; ora de matematică trebuie să aducă tuturor nivelelor de elevi beneficii pozitive (pe care aceştia să le şi simtă, astfel încât să nu mai urască această disciplină şcolară).

RG: Inclusiv Societatea de Științe Matematice din România în ultimii ani a mers pe ideea de a induce în societate faptul că matematica nu se învață în primul rând pentru aplicațiile sale ci pentru modul în care ea modelează gândirea și face ca omul să poată raționa în situații diferite cu argumente asemănătoare. Asta este de fapt matematica.

CTG: Într-adevăr, în România încă nu este luată în seamă importanţa activităţii din cadrul matematicii ca activitate dezvoltatoare de gândire raţională şi logică. Ca urmare. sunt neglijate complet activităţi matematice deosebite, care sunt dezvoltatoare de gândire, dar nu se dau la examen (sau la diferite concursuri şcolare). Iată câteva exemple din clasele mici gimnaziale: 1) Provocarea neplanificată, deci nepregătită de acasă, de a găsi următorul termen dintr-un şir, ce se dovedeşte apoi a fi Şirul lui Fibonacci, sau a următorului rând dintr-un tabel ciudat de numere aranjate în mod triunghiular, ce se dovedeşte a fi Triunghiul lui Pascal (oricând începând din clasa a 5-a); 2) Preocuparea de realizare cât mai exactă a figurilor geometrice, folosind tot arsenalul de instrumente şi tehnici. Astfel de aspecte nu se dau nici la examene, nici la alte concursuri, aşa că nimeni nu se ocupă de acestea. Dacă exemplele numerice date ar avea doar o influenţă colaterală asupra activităţii matematicii, lipsa construcţiilor geometrice influenţează hotărâtor neînţelegerea gândirii geometrice. Revenind la interviu, citim mai departe:

RG: Exercițiile pe care copiii le fac ca temă să zicem la școală sau în clasă analizând un anumit aspect al matematicii nu înseamnă neapărat că ele se aplică în viața de zi cu zi ca atare, ci ele sunt un exercițiu să zicem ca cel de pian când faci digitație ca să îți înveți mișcările.

Există peste tot dorința de a face matematica aplicabilă. Aplicabilitatea nu înseamnă neapărat în școală, nu înseamnă ca trebuie să facem probleme numai cu terenuri agricole, tractoare și procente, cum era pe vremuri, ci ca exercițiu pentru viitor. Această tendință a existat și când a fost realizat noul format al examenului de evaluare naţională, cu exemple din viața de zi cu zi.

Nu cred că se înțelege bine care este demersul, din păcate. Adică ideea a fost oarecum forțată, venită din diverse părți, a unor oameni care nu sunt experți în matematică. Nu se învață matematica pentru aplicabilitate. Dacă la examenele naționale avem probleme despre cum punem faianță pe un perete asta nu înseamnă că am transformat matematica în ceva uman, ceva pe care copilul o înțelege mai repede.

Matematica suferă – și la noi în special a suferit mulți ani – de o abstractizare exagerată, care vine din folosirea unor notații și noțiuni abstracte. Am insistat foarte tare și foarte multă lume, chiar dascăli, s-au supărat când am insistat ca teoria mulțimilor să nu fie predată din clasele mici pentru că acest domeniu al matematicii nu înseamnă decât o notație și o simplificare a vorbirii abstracte. Nu este nevoie de asta. Copilul mic trebuie să înțeleagă raționamentele. Nu trebuie să fie pedepsit dacă nu știe să noteze anumite mulțimi de numere cu anumite litere.

Deci matematica trebuie să fie umanizată. În țările anglo-saxone, de exemplu, aceste notații nu există, totul este notat (exprimat) în cuvinte. Nu știu dacă rezultatele sunt mai bune, pentru că în țările anglo-saxone rezultatele la matematică nu sunt mai bune ca ale noastre, poate că la nivelul de jos, la nivelul minimal, acolo stăm noi mai prost.

CTG: Da, într-adevăr, în jumătatea din stânga a blocului principal al Clopotului lui Gauss stăm foarte prost; în acea zonă se generează mare parte din situaţiile de analfabetism funcţional şi discalculie, în general ceea ce Peter Gallin din Elveţia denumea “persoane avariate matematic” (vezi perezentare din http://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/ ), cei care se evidenţiaţi negativ în studiile PISA.

Revenind la excesele scrierilor abstracte, într-adevăr acestea au îndepărtat matematica de posibilităţile elevilor. Iar cu cât elevii stăteau mai mult în faţa ecranelor (televizor, calculator, smartphone), de-a lungul anilor ’90 şi apoi tot mai mult după 2000, cu atât rigurozitatea abstractă a limbajului matematic era tot mai departe de disponibilităţile şi capacităţile elevilor de a le înţelege şi a le cuprinde.

Fără să mai discutăm şi de faptul că şi în ultimii ani procesul de îngreunare a limbajului este continuat pe alocuri (reamintesc aici doar definiţia din ultimii ani a două drepte paralele din clasa a 6-a, care începe cu “două drepte necoplanare …”, deşi ideea de drepte necoplanare ţine ca înţelegere de clasa a 8-a). Să revenim la interviu:

IR: Și cum facem, pentru că la nivel de performanță mereu avem rezultate, dar în rest…

RG: Aici trebuie să înțelegem că este falsă acea idee că nu se poate să nu facem un anumit domeniu al matematicii în nu știu ce clasă. Trebuie să ne adaptăm ca dascăli la ceea ce pot copiii să învețe și să facă. Dacă nu se poate înțelege funcția de gradul al doilea la clasa a noua, atunci nu o facem. Mai degrabă insistăm pe lucruri care îl fac pe copil să înțeleagă lumea mai bine, să raționeze mai bine, să știe să se adapteze mai bine în situații concrete.

CTG: Aici sunt într-u totul de acord şi totuşi nu sunt de acord. Da, ar fi minunat ca profesorii de matematică să poată decide dacă se poate parcurge o anumită lecţie la momentul stabilit de programă sau nu. Din păcate, realitatea este cu totul alta: profesorii trăiesc tot timpul cu “sabia lui Damocles” deasupra capului; oricând un profesor poate fi luat la control dacă şi-a parcurs materia sau nu, la inspecţii de diferite nivele.

Pe de altă parte nici nu putem afirma că toţi profesorii sunt suficient de conştiincioşi încât să poată acţiona în mod responsabil cu o astfel de libertate “în buzunar”. Am întâlnit situaţii ciudate în acest sens, de pildă când am fost contactat pentru un sfat, persoana respectivă dându-şi seama în clasa a 8-a că uitase să parcurgă teorema lui Pitagora în a 7-a. Sau, şi mai rău, aflu de situaţii când lecţiile nu se predau, dar apoi se cer la teste, aşteptarea fiind că s-au parcurs acasă, cu profesorul particular.

Oricum, afirmaţia d-lui Profesor Gologan implică ideea că trebuie parcurse lecţiile măcar până la examen, acestea neputând fi desigur amânate mult prea mult. Exemplul cu funcţia de gradul II poate fi trecut mai degrabă la categoria despre lecţii ce s-ar putea parcurge cu o predare mai umană; la alte lecţii însă principiul se potriveşte mult mai bine (Oh, iar aici prefer să nu deschid lista, pentru că atunci sigur nu mă mai pot opri uşor). Să revenim însă la afirmaţiile d-lui Gologan, unde vedem că de fapt dânsul se referea – se pare – mai mult la situaţia predării în pandemie (interviul avea loc la scurt timp după acea forţat impusă şi controversată vacanţă de toamnă neaşteptată din oct.-noi. 2021).

RG: Această idee care parvine în general de la conducătorii politici, că vai de mine ce se întâmplă dacă pierdem o săptămâna de școală după părerea mea este falsă, și în matematică este falsă. Dacă facem puțin dar bine este mult mai sănătos decât dacă facem tot însă prost, fără să fie înțeles ca lumea. În educația matematică acest proverb “puțin și bine decât mult și prost” se potrivește foarte bine.

IR: Argumentul de multe ori este acela al examenelor – evaluarea națională și bacalaureatul. Trebuie să se bifeze materia.

RG: Acolo este o altă problemă. Din păcate, tot datorită factorului politic, dorința de a demonstra că examenele naționale sunt un panaceu și toată lumea să treacă, să ne lăudăm în fiecare an cu procentele, a transformat examenele în ceva formal. Se uită de acel capitol al matematicii care este educația gândirii. Veți vedea peste tot cărți, teste de același fel de bacalaureat în care nu există mari deosebiri. Și dacă un elev va da peste un alt fel de raționament, nu va ști să îl explice.

Și părinții nu mai vor ca un profesor să explice fundamentul și dedesubturile și frumusețea matematicii ci vor să se facă cât mai bine, să învețe acele trucuri care se dau la examen. Care sunt într-un număr redus. Aici este marea problemă, care a început să devină universală, nu este doar la noi.

CTG: Cu aceste afirmaţii sunt într-u totul de acord. Referirile la legea lui Campbell sunt evidente în aceste afirmaţii (dacă aţi ratat articolul, sau pentru împrospătare, vă recomand postarea http://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/ ). În altă ordine de idei, va trebui clar să mai reluăm într-o discuţie separată acest obiectiv puţin băgat în seamă, anume de formare a gândirii obiective raţional-logice în orele de matematică, aspect din păcate tot mai neglijat de către tot mai mulţi colegi, fără să mai discutăm de cum sunt acestea privite de către părinţi sau politicieni, în societate în general, deci de la o vreme chiar şi de către elevii de liceu (“asta la ce ne trebuie?”).

IR: Dar pentru a se ajunge la ce spuneți dumneavoastră, matematica să ajungă la mai mulți copii, este nevoie de o modificare substanțială a materiei, a programei?

RG: Nu cred că este nevoie de o modificare, pentru că de peste 150 de ani în mare programa a rămas ca aceeași și s-a dovedit că este utilă pentru că altfel nu se ajungea la rezultatele excepționale pe care le-a realizat mintea umană – calculator, mijloace de transmitere a informațiilor și așa mai departe. Toate au pornit de la o educație matematică serioasă.

Modul de predare și de abordare trebuie să fie schimbat. Trebuie eliminat de exemplu aceste standarde finite de examinare și de evaluare ale copiilor.

IR: Este nevoie ca disciplinele STEM să fie studiate interdisciplinar? Mai mulți elevi cu rezultate în aceste domenii au vorbit despre asta.

RG: Este corect, iar ei v-au răspuns asta pentru că au dat astfel de teste, testele standardizate americane – SAT, GRE. Ele sunt făcute de agenții naționale private, cu tradiție, și au privire de ansamblu. Probabil că lucrurile acestea trebuie făcute, eu nu sunt adeptul acestei idei de a face școala așa încât matematica să fie automat implicată în fizică, chimie și să nu mai faci separat fizică, chimie. Acest lucru merge foarte bine la clasele primare și poate la până la vârsta de 10-11 ani, apoi modul de gândire la fiecare materie este altul. Poate că pilotat un an, doi, zece, în câteva școli. Trebuie văzută și asta, este o experiență care trebuie făcută.

CTG: Aş mai zăbovi puţin la întrebarea despre ce ar trebui modificată, programa sau predarea? Pentru că această întrebare nu poate fi tranşată atât de simplu. Dl. Radu Gologan accentuează aici asupra accesibilizării predării, pentru că aceasta a ajuns să fie total neglijată, fiind de fapt mult mai importantă decât programa în sine. Exact din acest motiv ţin de fapt acest blog pentagonia.ro – Arta predării matematicii.

Acest subiect merită în sine un articol şi o analiză separată, pentru care însă acum nu este loc (dar mă gândesc foarte serios să mă apuc de lucru cât mai repede de aşa ceva). Îmi permit totuşi o scurtă prezentare a unor metehne ce le observ la ora actuală în predarea matematicii şcolare (fără a emite pretenţia că la acestea s-a referit dl. Gologan). Există în principiu cristalizate două direcţii nepotrivite de evoluţie a predării, care au ajuns să monopolizeze mare parte din orele de matematică:

1) Într-o extremă avem o predare intenţionat teoreticistă cu multe elemente prezentate general deosebit de abstract, mult peste nivelul tuturor elevilor; confruntat astfel de lecţii orice elev are nevoie de explicaţii lămuritoare (de la părinţi sau fraţi mai mari, sau desigur de la profesori particulari). Este evident că acest stil de predare se trage din predarea excesiv de riguros, teoreticistă practicată în anii ’80-’90 în şcolile româneşti. Mă feresc a suspecta o acţiune intenţionată în sensul că elevii să nu înţeleagă nimic, astfel încât să vină la meditaţii, aşa încât rămâne doar o explicaţie de tipul unei preocupări egocentriste a respectivilor colegi înspre o exprimare super-teoreticistă, o exprimare ce sfidează orice empatie, scoţând în evidenţă cel mult o stare patologică la acei profesori.

2) În cealaltă extremă avem o predare rezumativă a principalelor idei dintr-o lecţie, fără nici cea mai vagă explicaţie sau implicare a gândirii. Este vorba de profesori ce consideră că elevii trebuie să primească cât mai pe scurt principalele elemente ale lecţiei, pentru a se putea trece apoi rapid la aplicaţii. Nici urmă de explicaţii care să lămurească elevii de ce sau de unde sunt scoase aceste afirmaţii. În acest sens am ajuns să privim cu mulţumire când unii profesori practică o astfel de predare şi aduc totuşi şi anumite explicaţii lămuritoare. Multe culegeri (“auxiliare”) prezintă astfel de rezumate la fiecare lecţie, în format cât mai scurt (fără nicio explicaţie, la geometrie de obicei chiar fără figurile lămuritoare), iar mulţi colegi profesori preferă să-i pună pe elevi să copieze lecţia din aceste culegeri. Gafa pedagogică este însă că aceste rezumate au fost gândite ca rezumate “a-posteriori” predării lecţiei, nu ca forme de introducere a unor noi cunoştinţe.

Problema mare este că nici una, nici cealaltă din aceste două forme de “predare” nu construiesc gândirea în mintea elevilor, amândouă fiind la fel de păguboase, amândouă necesitând de fapt explicaţii şi muncă ulterioară acasă. Faptul că cele două forme de predare devin tot mai generalizate este şi mai dramatic.

Totuşi – ca să fim cinstiţi, nici modificarea programei nu poate fi complet neglijată. Îmi permit aici să dau un singur exemplu. După ce ne-am luptat atâţia ani ca sistemele de ecuaţii să fie readuse în clasa a 7-a, dar într-o formă mai accesibilă, acum trebuie să sesizăm faptul că apariţia formulelor de calcul prescurtat prima dată doar în clasa a 8-a pune elevii în faţa unei “trepte de gândire” mult prea dificile, prea înalte, oarecum dublă ca înălţime faţă de ce pot cei mai mulţi dintre ei cuprinde, supunându-i pe elevi la o presiune foarte mare în toamna clasei a 8-a. O formă mult mai lesne de cuprins pentru elevul mijlociu ar fi fost ca formulele să apară în primăvara clasei a 7-a, însă doar ca metodă de calcul – aşa se şi numesc: “formule de calcul prescurtat”, urmând ca folosirea lor în mod invers, ca metode de descompunere în factori să apară doar în a 8-a. Revenind la interviul analizat, acesta evoluează în continuare într-o cu totul altă direcţie:

IR: Până la urmă, matematica se poate studia online?

RG: Da, matematica are avantajul că se poate adapta la studiul online, spre deosebire de alte discipline. Sigur că și aici lucrurile sunt un pic mai delicate, în sensul în care s-a văzut, copiii buni și dornici progresează mai bine online, din păcate sub medie lucrurile stau mai prost. Deci nu putem face un învățământ de masă numai online, dar cu vârfurile putem lucra online poate mai bine decât altfel. (…)

CTG: Susţin cu totul acest punct de vedere, pe care doresc doar să-l extind: cu elevul mijlociu şi pe durată lungă învăţământul online nu este defel sustenabil. În plus, afirmaţia d-lui Radu Gologan functionează doar de la anumite vârste în sus. Deja am început să vedem urmările năucitoare ale celor doi ani de predare online (pe scară largă, vreau să zic, pentru că toţi avem desigur şi exemple de cazuri în care online-ul a funcţionat); mult vom mai avea de studiat şi de tras în acest sens. Revenind la interviu, după câteva scurte idei despre ziua matematicii, discuţia revine spre predare:

RG: În 2010, Societatea de Științe Matematice a numit anul acela anul matematicii în Școala Românească și a avut tot felul de manifestări legate mai ales despre ce spuneam la început, schimbarea paradigmei despre matematica în școalănu se face în primul rând ca să înveți să folosești ci se face pentru o gândire corectă. Am folosit un citat din Moisil atunci: „Tot ce e gândire corectă este matematică”.

IR: Dar ați simțit că acest demers de care vorbiți, acest mesaj este primi cu ostilitate, reticență? Pentru că lumea întreabă „la ce îmi folosește mie să învăț integralele?”…

RG: Exact. Am avut discuțiile acestea chiar cu oameni care au avut o carieră apropiată de matematică, care sunt ingineri informaticieni de vârsta mea, care spun că au învățat integrale și „unde mi-au folosit?” Da, dar fără să îți dai seama, acele exerciții ți-au folosit ca să ai niște judecăți formate în creier pe care le aplici în altă parte. Exercițiul matematic, cu integrale, cu ce o fi cât de complicat, nu este făcut ca să le folosești, mai ales acum când calculator îți poate da rezultatul. Problema este raționamentul pe care îl faci. Nu poți să fii inginer de calculatoare dacă tu nu înțelegi niște noțiuni abstracte de matematică.

Inclusiv pentru copii, joaca asta cu tabla înmulțirii, pe care trebuie să o învețe pe dinafară, este utilă. Plăcerea de a se juca cu numerele este primul semn de talent spre un domeniu în care folosești matematica.

Interviul se încheie cu câteva gânduri despre organizarea olimpiadelor şcolare, şi poate fi citit în întregime la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-25289414-interviu-ziua-matematicii-profesorul-radu-gologan-matematica-nu-invata-pentru-aplicatiile-sale-pentru-modul-care-modeleaza-gandirea-nu-cred-trebuie-modifice-programa-modul-predare.htm Închei cu scuzele de rigoare pentru îndrăzneala de a mă fi inserat cu păreri personale în acest interviu, dar şi pentru mega-întârzierea de aproape un an a acestei prezentări faţă de momentul interviului. Titus Grigorovici

Ziua Fibonacci – 23 noiembrie

De asta n-am ştiut (evident venită tot de la americani): am găsit pe BING că această zi ar fi sărbătorită ca ziua Fibonacci, desigur datorită sistemului de scriere american al datelor din calendar, întâi luna şi doar apoi ziua, deci 11/23, care prezintă segvenţa primelor patru numere din şirul lui Fibonacci.

Deşi mari învăţaţi din India au amintit în scrierile lor de acest şir cu mult înainte, în societatea noastră noi îl ştim ca Şirul Lui Fibonacci, deoarece acesta apare în renumita problemă cu iepuraşi, ce a fost inclusă în a doua ediţie a cărţii Liber Abaci (prima în 1202, unde apărea deja scrierea arabă a numerelor, a doua în 1204). Apropos: se pare că şi numărul unic de urgenţă în Uniunea European, vine tot de la Fibonacci, ca propunere din partea Italiei (112).