Sticla lui Klein la RENVERSANT în Bordeaux

De banda lui Moebius (August Ferdinand Möbius, 1790-1868) şi de sticla lui Klein (Christian Felix Klein, 1849-1925) am cam auzit cu toţii. Aceste curiozităţi inventate de cei doi matematicieni germani reprezintă oarecum exemple ale unuia şi acelaşi fenomen, prima în 2D, iar a doua în 3D. Pe prima o putem confecţiona uşor şi prezenta la clasă ca o curiozitate, ca o născocire specială a minţii omeneşti (să vedeţi ce fericiţi “se joacă’ elevi cu hârtie, lipici şi foarfecă, realizând astfel de benzi şi apoi tăindu-le în jumătate sau pe o treime, sau lipindu-le dublu răsucit!).

Cea de a doua însă nu poate fi atât de uşor confecţionată. Pe internet se găsesc adrese de unde poate fi achiziţionată (preţul este destul de ridicat). O imagine imprimată cu o astfel de “sticlă” poate fi însă la fel de bine folosită în prezentarea la clasă. Interesant este aspectul deosebit de decorativ al sticlei lui Klein, fapt care începe să-i crească în valoare, ridicând-o la nivelul operelor de artă de expus în propria locuinţă, sau în alte locaţii, cum ar fi un cabinet de matematică. Următoarele poze sunt culese la o scurtă căutare pe internet; le puteţi găsi şi dvs., pe acestea şi multe altele.

Un exemplar mai special va fi expus la Bordeaux în Franţa, în cadrul unei expoziţii numită Renversant găzduită în La Cité du Vin între 15 martie – 30 iunie 2019. Dacă sunteţi pasionaţi de arta modernă, aveţi drum pe acolo şi “ştiţi un pic de matematică”, atunci merită să vizitaţi stabilimentul respectiv (în poze arată uluitor) şi expoziţia cu pricina. Următoarele imagini sunt preluate de pe https://www.laciteduvin.com/en/do/temporary-exhibitions/mind-blowing-when-art-and-design-take-glass  Titus Micu-Klein

Teorema lui Pitagora şi tripletele de numere pitagoreice în clasa a 6-a

În precedentele postări despre figura cu pătratele construite în exteriorul triunghiului dreptunghic ne-am concentrat asupra ideii de arie a acestora, scoţând în evidenţă descompunerea acestor pătrate în pătrăţele, adică în unităţi de bază. La acestea relaţia din teoremă se evidenţiază adunând conţinuturile celor două pătrate ale catetelor pentru a obţine pătratul ipotenuzei. În acest sens reamintesc traducerea ad-literam a cuvântului german pentru arie: Flächeninhalt = conţinutul suprafeţei.

Despre acest subiect am mai vorbit şi cu alte ocazii, de pildă în postarea din toamna lui 2018 http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-un-simbol-denaturat/ . Desigur că în exterior, pe laturile triunghiului dreptunghic se pot desena orice poligoane, cu condiţia să fie toate trei asemenea între ele (trei dreptunghiuri asemenea, trei triunghiuri echilaterale, trei pentagoane regulate etc.). Aceste construcţii ar fi însă potrivite, doar ca nişte curiozităţi, de prezentat mult după învăţarea teoremei lui Pitagora.

Mai am o poză găsită pe net în care însumarea pătratelor catetelor apare nu doar la nivel numeric, ci şi la nivel geometric al suprafeţelor (figura are o mică greşeală: îi lipseşte o linie în pătratul din stânga, dar sper că se înţelege).

Această imagine sugerează o nouă direcţie de gândire în tema noastră de studiu, anume că dacă unui pătrat (celui roz, cu 16 = 42 unităţi) îi putem adăuga o lărgire cu un rând în ambele direcţii, iar această lărgire (care este reprezentată de un număr impar) este totodată pătrat perfect, atunci obţinem un triplet de numere care respectă Teorema lui Pitagora. Se înţelege? Cam îmbârligat, ştiu. Haideţi să o luăm cătinel.

Suma primelor numere impare este studiată în mod algebric în clasa a X-a, fiind cunoscută în forma: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2, demonstrată fiind prin inducţie matematică. Există şi situaţii când suma primelor numere impare este inclusă în exerciţii din zona de excelenţă şi olimpiadă la clasele mici gimnaziale, dar subiectul nu este oficial inclus în materie, fiind considerat inaccesibil pentru majoritatea elevilor. Există însă o formă ceva mai accesibilă de a ajunge în zona acestui subiect. Haideţi să o vedem.

Pentru a înţelege ce urmează trebuie însă să schimbăm puţin forma de a privi numerele pătrate. Până acum le-am reprezentat sub forma unor figuri geometrice, anume nişte pătrate împreună interiorul acestora împărţit în pătrăţele ca unităţi de arie. Totuşi în postarea precedentă am avut două imagini care făceau aluzie la o altă abordare.

În primul rând a fost imaginea cu piesele tip “LEGO”, imagine cu pătrate al căror conţinut erau acei “bumbi” specifici, ca nişte buline, aproximante ale unor puncte. Bulinele respective erau ordonate “în pătrat” de trei ori trei ş.a.m.d. Apoi, în imaginea următoare a avut loc o distanţare şi mai puternică faţă de figura pătratului împărţită în pătrăţele. Astfel, în figura cu roşiile aranjate în “formă de pătrat”, figura geometrică numită pătrat a ajuns doar orientativă. “Pătratele” din această imagine nu mai sunt de mult pătrate în sensul geometric, dar totuşi rolul acestora în Teorema lui Pitagora este clar şi evident. Aici roşiile acelea micuţe joacă rolul de buline sau punctuleţe în reprezentarea numerelor pătrate.

Reprezentarea numerelor prin punctuleţe a apărut în Grecia Antică, învăţaţii din acea vreme folosind pietricele (sau orice altceva, obiecte cât de cât punctiforme, cum ar fi sâmburi) pentru a reprezenta vizual anumite proprietăţi ale numerelor (numerele prime, numerele pătrate sau numerele triunghiulare). Astfel. în diferite lucrări numerele pătrate sau numerele triunghiulare (la fel ca şi altele de inspiraţie geometrică) sunt denumite numere figurate. Faptul că suma primelor n numere impare este egală cu pătratul lui n, de exemplu 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62, poate fi reprezentată prin punctuleţe foarte clar astfel:

Vedeţi în această imagine cum, în afară de 1, orice număr poate fi reprezentat în forma unui “echer de tâmplar” isoscel (nişte L-uri isoscele, numite în antichitate gnomon), însumarea acestora generând o formă de “pătrat”. Astfel, fiecare nou echer, reprezentând un nou număr impar, măreşte pătratul deja existent la următorul număr pătrat. De pildă, dacă la suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72 adunăm următorul număr impar, adică 15, obţinem (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15 = 72 + 15 = 64 = 82.

Cu ce ne ajută asta la Teorema lui Pitagora? Păi, aşa-numitul triunghi egiptean, adică suma divină 42 + 32 = 52 se obţine ca 42 + 9 = 52 din următoarea figură:

Asta se întâmplă datorită faptului că 9 este primul număr impar pătrat diferit de 1. Ne punem, pe bună dreptate, întrebarea dacă şi când ne mai întâlnim cu o astfel de situaţie. Păi, desigur la adăugarea gnomonului (a “echerului”) numărului 25, care este următorul număr impar totodată şi pătrat. În acest caz suma numerelor impare până la 23, adică primele 12 impare dă 122 = 144, la care dacă adăugăm 25, obţinem 132 = 169. Avem în acest caz tripletul pitagoreic 122 + 52 = 132. Astfel putem găsi şi alte triplete care îndeplinesc ciudata însumare din Teorema lui Pitagora, următorul fiind de pildă în dreptul numărului impar pătrat 49 (găsirea acestuia elevii o pot primi ca temă opţională).

Se bănuieşte că Pitagora ştia de aceste lucruri, cunoscute de pe vremea civilizaţiei babiloniene. Desigur că Pitagora cunoştea şi obţinerea unor astfel de triplete prin amplificarea celor deja găsite, cum ar fi (6, 8, 10) sau (9, 12, 15) prin amplificare din cel egiptean.. Pe lângă aceste metode există şi alte căi de a găsi triplete pitagoreice, astfel că se găsesc cu totul 11 triplete cu pătratele de cel mult trei cifre (adică până la 1000). Acestea sunt următoarele: (3, 4, 5) şi amplificările sale (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15; 20; 25); (18, 24, 30); apoi avem (5, 12, 13) şi amplificarea (10, 24, 26); în final încă trei triplete (7, 24, 25); (8, 15, 17); (20, 21, 29) ale căror amplificări depăşesc însă la pătrat limita de 1000.

Aici v-am arătat calea “babiloneană”de a găsi astfel de triplete, prin figurarea numerelor pătrate, dar şi lista completă până la un anumit nivel de mărime, pentru a le putea folosi în exemple de calcul. Totuşi, eu nu cred că ar trebui să le arătăm elevilor această listă completă. Ei vor trebui să înveţe algoritmul de calcul şi aplicarea acestuia, nu să înveţe pe de rost o serie de rezultate. Astfel, eu la clasă mă concentrez cu elevii mai mult asupra proceselor accesibile de deducere a astfel de triplete şi mai puţin asupra găsirii cât mai multora şi a memorării acestora. Titus şi babiloniile sale

P.S. Vrem – nu vrem, oricum ajungem aici şi la subiectul numit “rădăcina pătrată”: în finalul clasei a VI-a va trebui să le predăm elevilor aplicarea teoremei lui Pitagora dar, prin programă nu avem de studiat până la acel moment finalul calculului, care se face prin rădăcina pătrată (eu am tot căutat-o, dar nu e trecută nici în a V-a, nici în a VI-a). Aşadar, cum să predăm Pitagora fără radicali? Zice nevastă-mea s-o facem ca Pitagora, că nici el n-avea radicalii!!! Logic, nu? Dacă m-ambiţionez, o fac şi aşa, dar nu cred că are sens, pentru că oricum imediat după vacanţa de vară trebuie să le explic cum vine treaba cu rădăcina pătrată. Aşadar, undeva, înainte de lecţia despre Pitagora ar trebui introdusă rădăcina pătrată. Dar cum şi unde?

Cum? Cel mai simplu ar fi de a introduce rădăcina pătrată doar din numerele pătrate, drept operaţie “de probă” a ridicării la pătrat a numerelor naturale. Unde? Cel mai bun loc în materie cred că ar fi fost în capitolul despre numere naturale din semestrul I al clasei a V-a, în continuarea lecţiei despre numere pătrate. Cei care au fost prevăzători, poate chiar au făcut-o acolo, sau o vor face la următoarele clase de a V-a. Dacă însă nu a fost studiată încă rădăcina pătrată, atunci cred că cel mai bine ar fi să o introducem chiar înainte de Teorema lui Pitagora, în ora precedentă. Ca rădăcină doar din numerele pătrate ajunge chiar şi jumătate dintr-o oră. Sunt suficiente doar câteva exerciţii de “extragere” pe baza tablei numerelor pătrate. Pentru asta trebuie însă prezentată tabla numerelor pătrate până la 302 (vezi în acest scop primele exerciţii de pe fişa publicată în postarea http://pentagonia.ro/radacina-patrata-faza-aritmetica-prin-predare-intuitiva/).

Ziua lui pi – 14 martie 2019

Primăvara acesta profesorii de matematică în şcolile din toată ţara au primit un minunat cadou de ziua lui Pi: vor avea de corectat şi simulări la clasa a VII-a, sărbătorind astfel prin muncă înverşunată, în profund stil comunist, această minunată sărbătoare. Pi – … … de treabă!

PS Ce-ar fi ca la anu’ să dăm simulările puţin înainte de 15 ianuarie, că să aibă şi colegii de la limba română o astfel de bucurie?

Hypo-tenuza

Dacă tot am vorbit mai mult în ultima vreme despre triunghiul dreptunghic, despre Pitagora şi despre cum sunt văzute aceste lecţii în occident, haideţi să privim un pic şi caricaturizarea umoristică ce se găseşte pe net în legătură cu acest subiect. Totul porneşte probabil de la faptul că în limbile respective cuvântul ciudat pentru ipotenuză aminteşte de hipopotam, dar şi de alte ciudăţenii (pentru asta trebuie să ştiţi un pic de engleză, cele mai multe fiind greu traductibile). Cineva a încercat totuşi să genereze şi o variantă românească (găsită imprimată pe o sacoşă, o plasă neagră de cumpărături, primită cadou de Crăciun).




Situaţia este surprinsă şi într-o caricatură pe care o traduc în continuare: Probabil că ai dreptate Pitagora, dar toţi vor râde dacă o vei denumi “hipotenuză”. Pythytus

Teorema lui Pitagora şi pătratele acesteia în clasa a 6-a

De când am pornit acest blog am scris de câteva ori despre figura geometrică cu trei pătrate construite pe laturile unui triunghi dreptunghic şi despre faptul că aceasta prezintă într-o formă deosebit de intuitivă Teorema lui Pitagora. De pildă, în luna mai 2018, în postarea despre cum mi-am pus faianţa în baie, am arătat cum am încercat să evoc în propria-mi casă amintirea din copilărie despre figura geometrică cu cele trei pătrate, figură ce era zugrăvită pe un perete al holului de intrare în apartamentul unde am locuit până în clasa a VI-a, acasă în Oraşul Victoria. Foarte interesant, cât de pregătit eram eu de pe atunci pentru Teorema lui Pitagora în clasa a VI-a.

Reluarea temei cu ajutorul ciocolăţilor pătrate Ritter Sport nu reprezintă în acest sens o simplă fixaţie, o ciudăţenie personală, ci răspunde unei necesităţi de moment în sensul sprijinirii profesorilor ce vor avea de predat în finalul clasei a VI-a Teorema lui Pitagora începând de anul acesta. Acolo este stabilită prin programă, explicându-ni-se că trebuie să o predăm fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (din nou citatele sunt preluate înclinat din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16). Trebuie (!) să facem acest lucru pentru a ne asigura că le-o predăm elevilor NOI, PROFESORII DE MATEMATICĂ, cea mai importantă teoremă din gimnaziu, probabil chiar cea mai renumită din toate timpurile, astfel încât să nu apuce să le-o arate elevilor colegii profesori de fizică, doar pentru că lor le-o trebuie în toamna clasei a VII-a.

OK, foarte bine aşa, dar care-i diferenţa? Că le-o arată ei superficial sau le-o arătăm noi superficial înaintea lor, tot superficial se numeşte. Am arătat în prima parte cum putem însă aduce această teoremă într-o formă de minimă “demonstrare”, o formă de justificare intuitivă, scoţând-o astfel din starea de HOCUS-POCUS de neînţeles spre care ne direcţionează noua programă.

După cum am mai spus, sunt foarte mulţi cei care nu cunosc figura cu triunghiul dreptunghic şi pătratele construite în exterior pe laturile sale, care nu o asociază cu Teorema lui Pitagora. Se întâmplă asta pentru că respectiva figură a fost exilată din manuale începând cu reforma din 1980, demonstrarea teoremei făcându-se doar pe baza teoremei catetei obţinută prin asemănarea triunghiurilor, respectiv datorită faptului că în textul teoremei s-a pus accentul doar pe aspectul de putere a doua a lungimii unei laturi, eliminându-se din discuţie ideea de arie a unui pătrat. Interesant este aici următorul aspect: dacă, în justificările cu pătratele construite pe laturile triunghiului, legătura dintre unghiul drept şi relaţia între cele trei pătrate este destul de evidentă pentru “ochiul începător” al elevilor, în demonstraţiile care folosesc doar lungimile laturilor, adică numerele la puterea a doua, legătura dintre cele două părţi ale Teoremei lui Pitagora se pierde pentru cei mai mulţi elevi.

S-a mers astfel în ultimii aproape 40 de ani doar pe abordarea aritmetică, eliminându-se cu totul forma geometrică, formă care aducea o foarte vizibilă reprezentare grafică a fenomenului numeric pe care se bazează Teorema lui Pitagora. Oare ce se întâmplă în alte părţi legat de aspectele discutate? În plimbările mele pe internet am găsit diferite poze care aduc în discuţie situaţia cu pătratul ipotenuzei care este cât suma pătratelor catetelor, exemplificată pe cazul triunghiului de laturi (3, 4, 5). Iată două mai interesante dintre acestea, poze care arată cât de cunoscută este de fapt imaginea respectivă:

La ce sunt bune toate acestea – veţi întreba – de vreme ce autorii noii programe nu au acordat nici măcar o minimă atenţie ideii de “demonstraţie” a teoremei. Noi de ce să ne stresăm când ei tocmai au deschis cutia Pandorei, spunând lejer că se poate “fără demonstraţie” la cea mai mare teoremă din toate timpurile?! (conform programei, a doua trecere pe la Teorema lui Pitagora, de data asta cu demonstraţie, se face de abia peste un an, undeva în finalul clasei a VII-a).

Se vede aşadar – pentru orice matematician responsabil – că discuţia despre prezentarea Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a este una importantă, mai ales prin prisma justificării accesibile a acesteia pe baza însumării ariei pătratelor catetelor pentru a obţine echivalarea ariei pătratului ipotenuzei. Până acum am discutat despre prezentarea unor situaţii sub formă concretă (cine mai găseşte şi altele în afară de ciocolată, “LEGO” sau roşii?) sau de imagini aduse ca poze ori prezentate digital, imagini care ar trebui desigur să se concretizeze şi ca figuri geometrice pe tablă (profesorul de mate trebuie să fie conştient de importanţa unui astfel de demers). Cu alte cuvinte, am discutat doar despre ce ar trebui să facă profesorul în faţa clasei pentru a prezenta această teoremă cât mai just.

Cred că ar fi cazul să ne îndreptăm atenţia şi asupra felului despre cum ajung aceste desene în caietele elevilor? (aspecte despre care desigur că programa cea nouă nu ne vorbeşte). Nu trebuie făcute multe desene. Cum am precizat în finalul postării despre folosirea ciocolatei, este vorba de puţine figuri geometrice, dar acestea ar trebui să fie cât de cât coerent şi corect realizate în caiete. Indiferent de câtă experienţă are o clasă în realizarea figurilor geometrice (din câte văd în jurul meu, nu prea se lucrează în acest sens), sunt şanse mari ca mulţi elevi să nu reuşească acest desen, pentru că este vorba de construirea unuia sau a două pătrate poziţionate oblic faţă de aliniamentul şi liniatura caietului de matematică. Şi atunci ce facem?

Eu cred că există două direcţii de acţiune. Prima ar fi ca elevii să decupeze pătratele (anterior colorate) de pe o altă coală de hârtie (tot cu pătrăţele) şi să le lipească corect asamblate în caietul de clasă la locul potrivit în cadrul lecţiei. Aceasta ar fi varianta uşoară, pentru că nu implică construcţii geometrice foarte abile. Dar pentru asta trebuie să fim dispuşi la transformarea unui sfert de oră de matematică într-o parte manufacturieră, pentru care elevii trebuie să aibă la ei lipici şi foarfecă. Desigur, le-o putem da şi ca temă, dar în acest caz eu nu garantez pentru ce se va găsi în unele caiete.

O a doua direcţie de reprezentare ar fi desenarea figurii geometrice cu instrumente pe caiet. În acest moment apare ideea de a alege între cele două posibile variante de poziţionare a triunghiului dreptunghic: cu ipotenuza drept bază (aşa cum am prezentat-o în imaginile cu ciocolata sau cu faianţa) sau cu o catetă drept bază (aşa cum apare în pozele cu piesele “LEGO” sau cu roşiile cherry). În varianta cu ipotenuza ca bază vom avea de construit două pătrate înclinate pe laturile oblice, pe când în varianta cu o catetă ca bază (să alegem cateta cea mare) vom avea de construit doar un pătrat pe o latură oblică (cel de pe ipotenuză). Este evident că a doua variantă este preferabilă din acest punct de vedere.

Un aspect mai trebuie evidenţiat aici, anume că la triunghiul (3, 4, 5) figura cu pătrăţele este destul de mică, dar poate fi uşor dublată prin trecerea la altă unitate de măsură, anume la cm2. Dimpotrivă, la triunghiurile (6, 8, 10) sau (5, 12, 13) figurile în pătrăţele sunt clar preferabile pentru a încăpea pe pagina de caiet. Dacă vrem să le punem pe toate trei triunghiurile alăturat, pentru a exemplifica (bio)diversitatea acestora, atunci vom alege desigur pătrăţelul caietului de matematică drept unitate de măsură.

Dacă încercăm să analizăm şi mai profund aceste două variante de realizare a figurii – poziţionând ipotenuza sau o catetă drept bază – atunci ajungem să descoperim aspecte de-a dreptul surprinzătoare.

Construcţia figurii cu o catetă drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LUL în varianta sa CC (catetă-catetă cu unghiul drept între acestea). Putem să ne imaginăm aici de pildă cateta de 4 ca bază şi cateta de 3 ca înălţime, pătratele acestora fiind desenate cu laturile orizontale sau verticale exact pe liniile de pe caietul de matematică. În acest caz lungimea ipotenuzei de 5 apare ca “probă” a construcţiei.

Dimpotrivă, construcţia figurii cu ipotenuza drept bază ne “îndrumă” spre cazul de construcţie LLL: latura de 5 ca bază şi laturile de 3 şi 4 ca laturi oblice construite cu compasul. În acest caz verificarea corectitudinii situaţiei se face cu un echer care va verifica unghiul drept.

Cu alte cuvinte, mai elevat spus, adică într-un limbaj mai potrivit clasei a VII-a, în cazul construcţiei triunghiului dreptunghic cu laturile de (3, 4, 5), varianta de construcţie cu cateta ca bază corespunde Teoremei directe a lui Pitagora; dimpotrivă, varianta de construcţie cu ipotenuza ca bază şi catetele oblice, dar de lungimi date, corespunde mai degrabă Teoremei reciproce a lui Pitagora.

În final îmi permit să vă aduc şi o mică imagine din pedagogia alternativă Waldorf, care sărbătoreşte anul acesta 100 de ani de la înfiinţarea primei astfel de şcoli la Stuttgart în Germania (septembrie 1919). Rudolf Steiner, întemeietorul acestei şcoli, a cuprins pentru clasa a V-a şi o materie numită Desen geometric cu mâna liberă, în care elevii trebuiau să parcurgă în formă de desen principalele figuri geometrice, ajungând până la Teorema lui Pitagora, cel puţin în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. De-a lungul anilor, dascălii Waldorf au încercat să găsească căi de parcurgere a acestei materii. Pe caietul de matematică putem foarte uşor desena o astfel de figură pentru că laturile oblice sunt în acest caz diagonale ale pătrăţelelor, fiind înclinate la 45o faţă de liniatură. După ce construim figura, împărţim pătratele de pe catete cu câte o diagonală, iar pătratul ipotenuzei cu ambele diagonale, relaţia din Teorema lui Pitagora devenind astfel evidentă.

În acest sens vă prezint şi o imagine cu o dublă caricatură din 1886, din Foaia volantă de München, cu Pitagora înainte şi după descoperirea renumitei teoremei denumită după el, în cazul triunghiului dreptunghic isoscel. Nu cred că Steiner a avut aşa ceva în gând atunci când a spus cele de mai sus, dar această caricatură ne oferă măcar o oarecare imagine a spiritului acelor vremuri în legătură cu subiectul nostru. CTG

P.S. “Ameninţarea” cu cutia Pandorei legată de lipsa unei demonstraţii a fost desigur o exagerare, mai degrabă o “figură de stil” menită să dea un aer de opoziţie. Realitatea este că în matematica gimnazială există multe puncte unde nu prea le explicăm elevilor de unde vin lucrurile învăţate.

Jocul din copilărie “de-a hoţii şi vardiştii” se numeşte în matematica pură “de-a axiomele şi teoremele”. Însă în matematica şcolară mai apar şi alţi factori decisivi, ca doi arbitri pe care i-am putea denumi accesibilitate şi intuitivitate. Aceştia interferează în procesul de stabilire a materiei de predat, eliminând din jocul pur “de-a axiomele şi teoremele” diferite pasaje, ca fiind prea “violente”, adică inaccesibile minţii elevilor. Haideţi să trecem în revistă câteva astfel de momente, în care demonstrarea paşilor parcurşi este “împinsă sub preş”, omisă sau doar mimată.

Dintre cele mimate îmi vin acum în minte două momente. Primul ar fi Teorema lui Thales, care este oarecum pregătită prin Teorema paralelelor echidistante. Aceasta însă poate duce la justificarea primeia doar în cazul unui raport raţional; situaţia iraţionalităţii rămâne “în aer”, fiind preluată însă în mod inconştient de intuiţia elevilor (aşa se întâmplă şi pentru numere iraţionale). Un alt caz, chiar mai enervant, îl reprezintă teorema care afirmă că tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Aceasta nu primeşte o demonstraţie, dar elevii sunt plictisiţi de către toţi profesorii şi de către toate manualele cu câteva teoreme premergătoare pe drumul unei demonstraţii: arce cuprinse între coarde paralele etc. Acestea, la rândul lor, nu au mai deloc aplicaţii (în mod similar cu teorema paralelelor echidistante), dar toată lumea le face.

Dintre cele prezentate fără demonstraţie mă gândesc la următoarele. Primul exemplu ar fi metoda triunghiurilor congruente: dintre cele trei cazuri, unul era considerat axiomă iar celelalte erau demonstrate din acesta. Când am început noi să predăm şi trebuia să ne dăm definitivatul era încă la modă acest subiect: care este axioma şi cum era demonstraţia aia prin reducere la absurd? Un alt exemplu în acest sens, faţă de care nimeni nu face “mare caz” este formula pentru volumul piramidelor: de ce este acolo supra 3? Dacă la aria triunghiului se poate uşor explica de ce este supra 2, la volum lucrurile stau mult mai greu. Cât despre formulele sferei în acest context, am vorbit cu altă ocazie. Mai dau încă un exemplu, din aritmetico-algebră: de unde vine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate? De ce se face în acest mod?

Analizând însă toate aceste exemple, vedem că ele au fost eliminate din predare sau nici măcar nu au fost introduse, deoarece demonstraţia respectivă a fost considerată (din start sau ulterior) mult prea dificilă pentru mintea gimnazială a elevilor. Vedem deci că nu este nimic neobişnuit în a li se da elevilor o teoremă fără justificare. Consider însă că Teorema lui Pitagora poate fi justificată într-un mod intuitiv accesibil prin ariile pătratelor celor trei laturi ale triunghiului dreptunghic, aşa că prezentarea acestei teoreme fără nici măcar o minimă justificare poate fi liniştit considerată drept o gafă de predare.

Îmi permit aici şi o scurtă observaţie nematematică de final: cu scuzele de rigoare vreau să precizez că sunt conştient că folosesc un limbaj care pentru răgăţeni ar putea suna în anumite momente a regionalism, de pildă în cazul pluralului cuvântului ciocolată (ciocolăţi în loc de ciocolate). Prefer varianta ardelenească din două motive: în primul rând consider că dă textului o culoare specifică Clujului, oraş unde îmi desfăşor activitatea; în al doilea rând, folosind exprimările uzuale din această zonă, îmi permit să stau în “zona de confort” din punct de vedere lingvistic, fapt care mă ajută să mă concentrez mai bine asupra subiectelor propuse. Sper că cititorii pot trece peste aceste impedimente, reuşind la rândul lor să se concentreze asupra gândurilor exprimate în aceste eseuri.

Aflarea laturii necunoscute in triunghiul dreptunghic

În finalul clasei a VI-a va trebui să-i învăţăm pe elevi să calculeze o latură necunoscută a triunghiului dreptunghic folosind Teorema lui Pitagora aplicată numeric. Cum va funcţiona, Dumnezeu ştie! Om vedea! Depinde de cum am pregătit lecţia. Sper că nu răspunsuri ca în următoarea imagine (cerinţa este să “găsiţi x”, iar răspunsul este “aici este”):

Teorema lui Pitagora şi Ciocolată Ritter Sport în clasa a 6-a

De curând mi-am dus la îndeplinire o dorinţă mai veche, anume de a realiza din ciocolăţi Ritter Sport figura geometrică ce prezintă Teorema lui Pitagora cu pătratele laturilor sale în exteriorul triunghiului (3, 4, 5). Am încercat diferite variante pentru o poză cât mai sugestivă şi mâncând cu această ocazie destul de multă ciocolată. Pentru a se înţelege cât mai clar şi a ajuta la exprimarea în cazul viitoarelor folosiri a imaginii la clasă am ales până la urmă ciocolăţi de culori diferite (neagră, albă şi cu lapte). Iată ce a ieşit:

Odată vizualizată imaginea pe ecran, am realizat avantajul uriaş al acestei poze în contextul includerii Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a pe noua programă, fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a se putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (pasajele prezentate înclinat sunt preluate din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16).

Pentru cei care încă n-au înţeles, la nivelul conducerii matematicii şcolare s-a ajuns la concluzia că Teorema lui Pitagora trebuie predată înainte de începutul clasei a VII-a, pentru că altfel profesorii de fizică de la grupele de excelenţă (şi nu numai) încep să le-o arate oricum elevilor în toamnă, pentru că au nevoie de ea în sezonul de olimpiade din primăvară, dovedind astfel o acută durere în cot faţă de minimele nevoi de rigurozitate ale matematicii.

Aşadar să le dăm elevilor Teorema lui Pitagora fără nici măcar o minimă justificare! Eu nu sunt de acord cu aşa ceva, şi asta pentru că legătura realizată prin Teorema lui Pitagora (directă sau reciprocă) între proprietatea unui triunghi de a avea un unghi drept şi ciudata egalitate între puterile “a doua” ale lungimilor laturilor sale, această legătură este una lipsită total de evidenţă. Cu alte cuvinte, noua programă ne cere să dăm cea mai mare teoremă din toate timpurile doar ca un fel de reţetă gen hocus-pocus şi gata.

Acest aspect de totală ne-evidenţă de care vorbesc, era evidenţiat în stilul lor specific chiar şi de preoţii de Egiptul Antic. Iată cum prezentau ei asocierea între triunghiul dreptunghic şi ciudata egalitate între puterile a doua ale triunghiului (3, 4, 5). În mistica vremii aceştia considerau numerele pare ca femeieşti iar numerele impare ca bărbăteşti (6 = 3 + 3 iar 7 = 3 + 1 + 3). În egalitatea 32 + 42 = 52, numărul 3 era considerat zeul  Osiris, 4 era zeiţa Isis, iar 5 era copilul lor Horus. Cu alte cuvinte, adunarea între 3 şi 4 care dă 5, prin intermediul ridicării la pătrat era considerată o adunare divină. În limbajul nostru, pentru a nu deveni mistici, putem spune că legătura dintre unghiul drept al unui triunghi şi laturile sale care să respecte o egalitate de felul 32 + 42 = 52 este o legătură uluitoare, total ne-evidentă.

Situaţia de lipsă totală a unei minime evidenţe se păstrează atâta vreme cât păstrăm folosirea cuvântului “pătrat” doar pentru “puterea a doua”. Însă imediat ce acceptăm folosirea cuvântului “pătrat” cu sensul său iniţial, de figură geometrică, respectiv înţelegând că vorbim de aria sa, lucrurile capătă brusc sens, cel puţin în cazul triunghiurilor cu laturi de lungimi întregi. Din păcate însă, acest aspect a fost neglijat total de către autorii programei noi la mutarea Teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a.

Văzând minunata poză de mai sus cu pătratele (având incontestabil unghiuri drepte), se observă automat că laturile celor două pătrate mai mici sunt aliniate perfect, arătând astfel evidenţa unghiului drept al triunghiului cuprins între cele trei pătrate. Moment în care m-am gândit să refac figura şi cu alte numere, adică cu alte pătrate decât cele de (3, 4, 5). Zis şi făcut, şi iată ce a ieşit:



Analizând cele trei poze în comparaţie cu prima se poate vedea clar că la acestea triunghiul cuprins între cele trei pătrate nu mai este dreptunghic, pentru că cele două pătrate mai mici nu au laturi în prelungire. Facem în paralel o verificare de ordin aritmetic: 22 + 32 < 42 (4 + 9 < 16) şi 32 + 42 < 62 (9 + 16 < 36) pentru situaţiile cu triunghi obtuzunghic, respectiv 42 + 52 > 62 (16 + 25 > 36) pentru o situaţie cu triunghi ascuţitunghic. Aceasta ne creează un tablou mai larg şi mai clar: a2 + b2 < c2 indicându-ne un triunghi obtuzunghic, pe când a2 + b2 > c2 (c fiind latura cea mai lungă) corespunzând unui triunghi ascuţitunghic, situaţia de trecere între cele două variante, reprezentată printr-o egalitate, adică atunci când a2 + b2 = c2, ne indică evident un triunghi dreptunghic. Clar? Clar!

Cred că o astfel de succesiune de imagini poate aduce o destul de bună legătură în mintea elevilor de clasa a VI-a, între ideea de triunghi dreptunghic şi egalitatea divină între “pătratele laturilor” sale. Desigur că putem confecţiona şi nişte cartoane împărţite în pătrăţele de aceeaşi mărime, pătrate cu laturi de 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. cu care să putem experimenta ceva mai mult ca în situaţiile sus prezentate. Confecţionând până la pătrate de 10 am putea arăta şi următoarea situaţie de egalitate pentru triunghiul (6, 8, 10) obţinut prin amplificarea primului, cunoscut şi ca triunghiul egiptean. Dacă am avea pătrate până la 13, am putea să le arătăm un triunghi dreptunghic nou, triunghiul (5, 12, 13), care nu derivă din amplificarea celui egiptean.

Pe de altă parte, seria redusă până la 6, dar din ciocolăţi Ritter Sport este mai atractivă (gustoasă), fiind destul de clară şi edificatoare pentru copii (o astfel de variantă, cu ciocolăţi achiziţionate din fondul clasei, se finalizează şi cu un mic festin dulce pentru elevi, legându-le definitiv în amintire Teorema lui Pitagora de o senzaţie pozitivă). Găsind prin magazine doar ciocolăţi cu latura de 4 sau 6, am decis să tai din acestea pentru a obţine pătrate cu latura de 2, 3, respectiv de 5. Ciocolăţile Ritter Sport au ajuns o prezenţă obişnuită şi în România. La nemţi sloganul lor este QUADRATISCH. PRAKTISCH. GUT, care în traducere liberă înseamnă pătratic – practic – bun (traducerea imprimată în engleză pe unele ambalaje este parţial diferită). Pentru cei interesaţi de detalii gustoase (adică pe post de bibliografie), am folosit următoarele sortimente: white + crisp (cea albă), nugat praline (cea cu culoare de ciocolată de lapte) şi dark chocolate – halbbitter (cea mai întunecată).

În urmă cu un an, când am avut ideea aceasta, am căutat imediat şi pe internet. Nu se putea ca să nu fi avut altcineva ideea respectivă până atunci. Şi într-adevăr, am găsit poze cu Pitagora şi Ritter Sport, dar cu nişte ciocolăţele împachetate câte un pătrăţel individual (într-adevăr, dacă vrei să o faci la clasă, este mult mai igienic aşa). Deşi în acest caz pătratul este de obicei deformat în dreptunghi datorită ambalajului, până la urmă am găsit şi o imagine cu “pătrate” cât de cât corecte. Îmi place foarte mult şi comentariul alăturat: alune2 + marţipan2 = lapte2 (uneori e comică limba germană pentru că are un umor tare sec: autorul a dat “factor comun” cuvintele “ciocolată cu” şi apoi a împărţit egalitatea cu acestea). Constantin Titus Grigorovici

P.S.

Reprezentarea grafică a unei funcţii se face pentru a putea înţelege mai bine variaţia sa, adică “comportamentul” acesteia în general sau în anumite puncte. Cei puţini, cu o imaginaţie numerică bună, le înţeleg oricum, dar pentru a le accesibiliza cât mai multor persoane, funcţiile se reprezintă grafic. Iniţial reprezentarea grafică a funcţiilor a făcut parte din strădania de a transmite studenţilor înţelegerea pentru evoluţia fiecărui tip de funcţie în parte. De abia ulterior reprezentarea grafică a devenit un scop în sine (problemă sau exerciţiu, de dat ca temă şi apoi la testare), coborând cu timpul în liceu (nu vreau să comentez aici despre ce înţelege un elev care învaţă doar graficul funcţiei de gradul I).

Prin această postare, dar şi prin multe altele înainte, doresc să atrag în primul rând atenţia asupra faptului că Teorema lui Pitagora prezentată doar numeric este abstractă şi greu de înţeles pentru majoritatea elevilor. Doar cei obişnuiţi deja în a prelua o reţetă fără comentarii (aşa se face) o vor aplica din prima şi o vor considera uşoară. Toţi ceilalţi însă se vor duce acasă buimăciţi şi vor trebui şi ei dresaţi de către părinţi sau de către profesorii particulari înspre aplicarea reţetei. De aplicat, o vor aplica până la urmă, dar de înţeles nu o vor înţelege, matematica întărindu-şi astfel în mintea majorităţii caracterul ei de colecţie de reţete de nepătruns, în cel mai bun caz nuanţate cu un iz de hocus-pocus.

Datorită multelor insistenţe din partea mea în legătură cu figura cu pătrate în exteriorul triunghiului dreptunghic s-ar putea înţelege că am o “fixaţie”, o obsesie legată de această figură. Total greşit! Prin toate aceste reveniri şi atenţionări doresc doar să transmit că în cazul absenţei pătratelor ca figură geometrică în exteriorul triunghiului, Teorema lui Pitagora reprezintă un fenomen abstract, inaccesibil unei înţelegeri reale pentru majoritatea elevilor. Puteţi verifica desigur şi câţi adulţi nematematicieni o înţeleg în jurul dvs. Să vedeţi ce figură fac diverse persoane când le arăt Teorema lui Pitagora în baie pentru că nu înţeleg: ceea ce ţin ei minte din şcoală o reţetă de calcule într-un anumit format, iar aici eu le arăt nişte pătrate.  Vă daţi seama cum se uită când îi întreb câte pătrăţele sunt în pătratul cel mic (9), dar în pătratul mijlociu (16); dar în pătratul cel mare (aici unii trebuie să se forţeze bine până deduc 25). Unii încă nici acum nu pricep ce vreau şi trebuie să-i întreb cât face 9 cu 16: abia acum se luminează la faţă şi reuşesc să facă conexiunea între ce au învăţat în şcoală şi ce văd pe perete. Abia acum înţeleg DE CE funcţiona reţeta aia.

Mai ales în vremurile din urmă, când majoritatea covârşitoare a elevilor au crescut cu prezenţa constantă a ecranului, aceştia nu mai au puterea de imaginaţie dezvoltată astfel încât să înţeleagă ce se întâmplă în Teorema lui Pitagora (nici dacă le-o demonstrăm pe calea asemănarea triunghiurilor + teorema catetei, adică prin rapoarte, nu înţeleg mare lucru).

Aşadar, pătratele respective construite în exteriorul unui triunghi constituie de fapt “reprezentarea grafică” a Teoremei lui Pitagora. Desigur că interioarele pătratelor respective trebuie colorate, haşurate, pentru a sugera că vorbim despre suprafeţele lor. Astfel, putem constata că există două forme extreme pentru textul Teoremei lui Pitagora.

FORMA NUMERICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la operaţia de “puterea a doua”. Această prezentare a teoremei este una curat numerică, abstractă, dar uşor de reţetat pentru aplicaţii în probleme.

FORMA GEOMETRICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la figura geometrică vizibil construită în exteriorul triunghiului pe fiecare latură. Această prezentare a teoremei este una destul de clar de înţeles pentru majoritatea elevilor, dar anevoios de aplicat pe exemple concrete (doar n-o să desenăm în fiecare problemă cele trei pătrate!, fără să mai discutăm de cazurile cu lungimi neîntregi)

Analizând cele două variante, putem spune că forma geometrică, cea cu pătrate în exterior, este una potrivită introducerii şi înţelegerii fenomenului, pe când forma numerică, cea cu “puterile a doua” una mult mai practică pentru scriere şi pentru aplicaţii ulterioare în calcularea celei de a treia laturi. O predare corectă trebuie în mod automat să le includă pe amândouă, cea geometrică pentru înţelegere la început, apoi cea numerică pentru scriere şi aplicaţii în continuare.

Pentru a nu da două variante de text diferite (cea cu “arie” respectiv cea cu “lungime”), cel mai sănătos este să dăm un text care să le cuprindă oarecum pe amândouă, un text care omite ambele cuvinte şi care totodată le subînţelege pe ambele, text care era folosit înaintea reformei din 1980 (reformă evidenţiată între altele printr-o rigurozitate excesivă):

FORMA DE COMPROMIS: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Faţă de avantajele enumerate mai sus, acest text este şi mai scurt, deci mai uşor de cuprins de către minţile elevevilor. În plus, acest text forţează atât imaginaţia, cât şi intuiţia elevilor, ambele caracteristici fiind foarte importante în viaţa ulterioară de adult.

Mai trebuie lămurit un aspect important: oare, cam de câte ori  trebuie făcută figura cu pătrate în exterior la o clasă? Eu o fac o dată pentru triunghiul (3, 4, 5), cu fiecare pătrat împărţit în pătrăţele unitare (la fel ca la exemplul cu ciocolata), şi încă o dată ora următoare cu pătratele doar haşurate (interiorul colorat), pentru generalizare. Mai departe ne concentrăm asupra formei scrise în cât mai multe exemple. După ce au văzut primul desen, la următoarele exemple de calcul elevii vor prelua prin analogie forma scrisă de rezolvare, gândindu-se că este la fel ca atunci cu ciocolata.

Să nu încheiem înainte de a arunca o privire şi pe YouTube (cuvânt de căutare: pitagora), unde găsesc mai multe preocupări faţă de subiectul nostru. În primul rând amintesc “filmuleţul” https://www.youtube.com/watch?v=vMyv5mRzzMU (ThePitiClic) în care autorul ne explică încă o dată cele de mai sus. Apoi găsim una dintre cele mai bune explicaţii, o demonstraţie cu apă: https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o

P.P.S. O cunoştinţă care a citit acest text înainte de publicare ne-a trimis următorul comentariu: Eu la şcoală am învăţat-o cu terenuri de tenis de mărimi diferite şi spectatori care priveau dintr-un triunghi şi mă miram de ce sunt terenurile pătrate şi de ce stau spectatorii într-un triunghi : )

Minutul de 1000 de euro şi matematica şcolară

Luni 4 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea de la Europa FM, domnii Vlad, George şi Luca, în rubrica Minutul de 1000 de euro a avut loc următorul dialog între cei trei prezentatori şi ascultătorul intrat în direct:
Ce determină formula pi-er-pătrat? Ce măsoară această formulă?
Raza!
După terminarea minutului, în care aceasta a fost singura greşeală – deci diferenţa de la 90 euro (câte 10 pentru fiecare răspuns corect) şi 1000 euro (premiul mare pentru situaţia cu toate 10 răspunsurile corecte) – dialogul a mai continuat:
R este raza! Ia gândeşte-te ce era.
Aria?
Cred c-o să ţi minte toată viaţa.
Matematica! ….
E singurul răspuns greşit
Sper să nu mă-ntâlnesc cu Domnu’ profesor de matematică. Nu eram sigur, aşa că am zis ceva la nimereală.
Felicitări pentru cei 90 de euro, dar mia, era … ! (unde? în formulele cercului?)
A doua zi, marţi 5 feb., cu alt ascultător “drăcuşorul matematici” a lovit din nou, şi din nou matematica a făcut diferenţa dintre 90 euro şi 1000 euro:
Câte laturi are un hexagon?
Şapte!
După terminarea minutului şi a celor zece întrebări dialogul a continuat (din nou reluat orientativ):
Eu plec acasă acum (Vlad), nu mai suport!
Da’, ce-am făcut? Sau ce n-am făcut?
Vai de capu’ meu: Tetra, Penta, Hexa, Hepta, Octo!
Şapte!
Da’ un heptagon câte laturi are?
Erau şase!!
Am zis şşş-apte!
Ai zis 1000 euro: pa-pa!
Eu în locul tău m-aş duce şi-aş desena hexagoane până deseară, şi m-aş gândi la 1000 de euro: hexagon după hexagon pe o coală albă.
Albinuţe hexagoane.
E incredibil, ieri 90 euro, azi 90 euro, … e un semn! (din partea matematicii?)

Da, aceasta a fost istoria a două întrebări (din geometria de final de clasa a VII-a!!!) în care ascultătorii respectivi au pierdut câte 910 euro. Ca norocu’ că a treia zi drăcuşorul matematicii nu a mai lovit, aşa că ne-am liniştit. Până la urmă, în această vacanţă cei trei colegi din Deşteptarea au reuşit să dea mia de euro, mai cu cântec, mai cu poveste, vineri, după ce au dezbătut răspunsurile date de un ascultător joi.

În urmă au rămas doar gândurile respective, care – cel puţin mie – mi-au trezit amintirea unui om minunat, Marcetti Perneş, care a lucrat ani la rând ca portar în şcoala noastră şi care, atunci când ieşeau elevii de la lucrare de control la mate îi întâmpina şi ştia să le spună toate răspunsurile. Dorea să le dovedească astfel că nu profu’-i de vină, ci ei pentru că erau întrebări logice şi trebuiau să gândească, şi dacă şi el reuşeşte, înseamnă că erau doar pe baza unor cunoştinţe elementare minime.

Revenind la realitatea noastră, situaţia ar trebui să ne dea de gândit (nu numai nouă, hexa apare şi în chimie). Şi, să fim bine înţeleşi: lucrurile pot evolua doar înspre mai rău; cu cât scade vârsta de început “a vieţii în faţa unui ecran” şi cu cât creşte timpul petrecut, de pildă în faţa deşteptofonului, cu atât va fi tot mai rău. Şi tot mai mulţi sunt cei care se întreabă retoric: la ce bun să învăţăm toate prostiile, că doar se găsesc pe internet?! Sigur, nu trebuie învăţate pentru concursuri “de cultură generală”; ele sunt folositoare însă şi în alte locuri. Dar acesta este alt subiect. Titus Hexagonezul

Numerele lui Fibonacci şi creanga de pin

În postarea precedentă am prezentat cum se găsesc numerele Fibonacci consecutive 8 şi 13 la alinierea fructelor de pe un ananas. Tot acolo am amintit în treacăt şi despre o creangă de pin pe care am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8, aşa că m-am gândit să vă prezint şi această găselniţă personală, în caz că cineva s-ar fi putut gândi că situaţia prezentată la ananas ar fi una singulară. Şi, da, aceasta este o găselniţă personală, pe care nu am întâlnit-o niciunde în literatura studiată (unde se găsesc indicii despre conurile coniferelor, dar nu şi despre crengile acestora).

Aşadar, cum am găsit situaţia ce urmează? Simplu: făceam într-o vară un foc pentru grătarul de seară şi spărgeam nişte lemne dintr-un pin tăiat în anul precedent. Am vrut să crestez o creangă “de-a lungul”, aşa că o ţineam culcată lovind-o cu toporul pe lungime. Probabil că n-am lovit destul de tare, aşa încât a crăpat doar primul strat de lemn, cel din ultimul an de creştere, dar a rămas intact stratul interior. Când m-am uitat la acesta, am văzut nişte adâncituri perfect aliniate pe toată suprafaţa sa. În momentul acela am avut o bănuială, aşa că am pus lemnul de-o parte şi mi-am continuat activitatea de pregătit a grătarului cu alte lemne. Apoi am luat lemnul cu pricina la studiat şi iată ce am găsit.

Întrebând o colegă, am aflat că porii respectivi, frumos aliniaţi, sunt canale rezinifere (de răşină), cuprinse în zonele de lărgire a razelor medulare. Apropos, cum vă simţiţi când “dă” cineva în voi cu jargon de specialitate din afara zonei dvs. “de confort”? Cam aşa se simt şi elevii când “dăm” în ei cu jargon prea dur din specialitatea noastră. Din ce am înţeles eu, prin acei pori copacul “transpiră răşină” la nevoie.

Este evident că aici este loc de o vastă cercetare, de care însă eu nu mi-am luat timp până acum, având alte priorităţi. De pildă, pare destul de logic că la o creangă mai groasă vom găsi numere consecutive Fibonacci mai mari. Sau poate nu? Titus Sylvestris




Numerele lui Fibonacci şi ananasul

În postarea precedentă am deschis sacul din care au ieşit iepuraşii lui Fibonacci, aducând cu ei – ca dintr-un joben magic – numerele din renumitul şir. Dacă tot am deschis subiectul, merită să mai zăbovim puţin în jurul acestor numere renumite.

În primul rând trebuie subliniat faptul că problema respectivă este profund falsă din punct de vedere al realităţii speciei şi a felului în care se înmulţesc iepuraşii. La fel ca majoritatea problemelor de matematică, şi aceasta descrie şi se bazează pe o situaţie idealizată, profund diferită de realitatea înconjurătoare. Cu atât mai şocantă este această constatare cu cât există multiple exemple de situaţii profund naturale în care numerele izvorâte din problema iepuraşilor apar totuşi în realitatea înconjurătoare în mod nemijlocit şi fără de tăgadă. Sunt renumite diferitele situaţii din lumea vie în care se găsesc urme ale numerelor lui Fibonacci, spirala logaritmică sau secţiunea de aur fiind prezente “te miri unde”.

Există foarte multe exemple, dar nu mi-am propus aici o prezentare exhaustivă, nici măcar o enumerare a celor mai cunoscute astfel de situaţii unde sunt întâlnite renumitele numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Le puteţi găsi în bogata literatură tipărită sau pe internet (de pildă Mario Livio, Secţiunea de aur, Humanitas). Doar un singur exemplu doresc să vă prezint în această postare, anume unde şi cum am găsit eu numere Fibonacci pe un fruct de ananas.

Analizând un astfel de fruct, observăm că suprafaţa sa este formată din nişte “celule” oarecum patrulatere destul de ordonat aliniate. De fapt acestea sunt seminţe iar alinierea lor poate fi privită ca o înşiruire de dale pentru un posibil “şotron”.

Mai exact spus, fiecare astfel de poziţie este parte a două alinieri, una care urcă spre stânga şi una care urcă spre dreapta. Analizând cu atenţie sporită vedem că alinierea care urcă înspre stânga este mai lină, pe când alinierea care urcă spre dreapta este mai abruptă.

Interesant este că cele două alinieri care pornesc dintr-o poziţie, cea înspre stânga şi cea înspre dreapta, ajung să se reîntâlnească în partea cealaltă a ananasului. De fapt nu se întâlnesc exact în partea opusă, şi asta datorită diferenţei de înclinaţie. Astfel, de la un punct comun, să-i zicem A punctului de jos, până la celălalt punct comun B al celor două alinieri oblice, situat mai sus, drumurile pe cele două trasee diferă ca lungime: drumul care urcă lin spre stânga este mai lung, pe când drumul care urcă abrupt spre dreapta este clar mai scurt.

Surpriza apare atunci când numărăm paşii ce trebuie făcuţi pe cele două drumuri: de la A la B pe drumul abrupt dar mai scurt avem de făcut 8 paşi, pe când pe drumul lin dar mai abrupt sunt de făcut 13 paşi! UAU!!! DA!!! Exact 8, respectiv 13 paşi. La alte specii pot fi găsite alte numere Fibonacci alăturate. De pildă la o creangă de pin am găsit numerele Fibonacci consecutive 5 şi 8 (cu cât avansăm, raportul a două numere alăturate din acest şir aproximează tot mai bine renumitul număr “fi” φ ≈ 1,618).

Păi, ştiu ananaşii sau pinii matematică? Multe persoane au în momentul acesta o trăire de uluială profundă, ceva de genul: plantele sunt creaţia lui Dumnezeu; asta este o urmă clară şi de netăgăduit lăsată de Dumnezeu de când a creat lumea. Problema cu iepuraşii era clar artificială, dar această situaţie este una profund naturală şi realistă. Încă o dată: UAU!!!

De obicei, prima întrebare ce îmi este adresată în acest moment este dacă toţi ananaşii au chestia asta. Cel mai bine ar fi să mergeţi şi să verificaţi în supermarket (este distractivă imaginea a doi elevi distrându-se într-un magazin la cutia cu ananaşi, numărând bunbii respectivi, când un angajat vine şi îi ia la rost, că “ce fac acolo?”, iar aceştia să răspundă “ne facem tema la mate, ne-a dat profu’ să numărăm pătrăţelele de pe ananas!”).

Răspunsul la întrebarea dacă întotdeauna se întămplă aşa, este în principiu afirmativ, doar că aceste fructe nu sunt obligatoriu perfecte, ci au dereglări ale rândurilor în anumite părţi. De pildă, exemplarul din aceste poze dovedeşte o dereglare a rândurilor pe partea surprinsă în prima poză. Concret, pentru a fi sigur că pot face pozele pentru prezentul articol, pe acest fruct l-am verificat cu atenţie înainte de a-l cumpăra din magazinul Lidl (unde mă aştepta cuminte în raft). Dar de obicei funcţionează. În calculator mai am încă un rând de poze cu un ananas cumpărat cu trei săptămâni în urmă din Kaufland, la fel de corect, dar la care vopsirea nu se vede la fel de bine. Pe cele de mai sus le-am ales doar pe baza vopsirii mai clare a alinierilor. Titus “Dole”