Sisteme de ecuaţii – introducerea noţiunii în clasa a 7-a

De foarte mult timp, cam de 10 ani, îmi doresc să redactez o fişă de lucru pentru lecţia de introducere a sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (2 ecuaţii cu 2 necunoscute). Această fişă trebuia să aibă clar două părţi: I) Sisteme rezolvabile mai uşor prin metoda substituţiei, şi II) Sisteme rezolvabile mai bine prin metoda reducerii. În plus, sistemele trebuiau să îndeplinească condiţia de accesibilitate pentru cât mai mulţi elevi, pentru a nu-i respinge din start. Revenirea lecţiei în finalul clasei a 7-a, odată cu abandonarea stupidei metode grafice (în ultimii 10 ani camuflată prin poziţionarea sistemelor după funcţii), reprezintă pentru mine o mare bucurie (prietenii ştiu de ce!), ocazie ce merită sărbătorită cu un articol explicativ extins şi cu o fişă de lucru completă în acest scop.

Vedeta incontestabilă a acestui articol este fişa de lucru şi mă voi concentra pentru început pe prezentarea acesteia. De-abia apoi voi dezbate detaliat metodica predării şi toate gândurile şi argumentele legate de aceasta. Fişa de lucru este plină de sisteme simple la fiecare pas parcurs. Ideea de cuplare a două ecuaţii este oricum o sperietoare la adresa majorităţii elevilor, aşa că am păstrat nivelul cât mai scăzut. După această fişă, elevii capabili de mai mult vor putea urca pe scara dificultăţii cât vor dori (ei sau profesorul lor). Nivelul de bază însă, este foarte subţire reprezentat în marea parte a culegerilor sau a manualelor (o boală apărută odată cu apariţia primelor manuale alternative în 1997).

Pe lângă cele două părţi I) metoda substituţiei şi II) metoda reducerii, am mai mers încă un pas cu III) completări. Cele trei părţi sunt doar orientative, ele nefiind evidenţiate concret pe fişă. Am lăsat astfel libertatea fiecărui profesor de a parcurge fişa în ritmul în care doreşte (la clasele mele parcurg fişa în trei lecţii, dar pot să-mi imaginez clase unde să fie nevoie de mai multe ore, sau clase unde profesorul să parcurgă ideile de bază pe câteva exemple în jumătate de oră, după care să urce la exemple mai grele, iar fişa să rămână doar ca temă). Eu parcurg această temă în trei ore astfel:

Prima oră: aceasta începe cu scrierea titlului de capitol şi prezentarea noţiunii de sistem de ecuaţii pe cazul Ex.1) care este profund intuitiv (“ce vedeţi?”, “ce-am putea face?” etc.). Apoi vine Ex.2), care conţine deja amândouă necunoscutele în ambele ecuaţii. Dacă nu-şi du seama ce-i de făcut, atunci trebuie să le arătăm pentru început “mişcarea”. În a doua parte a acestei prime ore apare metoda substituţiei, care este prezentată în doi paşi. La Ex.3) le vom arăta elevilor cum se face substituţia (dacă nu are careva ideea, desigur). Apoi luăm şi Ex.4) cu întrebarea “cum am putea şi aici să facem substituţia?”. După părerea mea valabilitatea practică metodei substituţiei, pentru elevii de rând, se limitează la cazurile când este posibilă exprimarea unei necunoscute fără fracţie din cealaltă; dacă apare o exprimare fracţională, atunci mai bine aplici metoda reducerii.

A doua oră: aceasta aduce metoda reducerii parcursă în paşi mici, odată cu evoluţia amplificărilor pe ecuaţii. Această metodă preia încet, la un alt nivel, gândirea dezvoltată deja la adunarea şi scăderea fracţiilor prin aducerea la numitor comun, în fiecare caz printr-o amplificare cât mai redusă, cu un efort cât mai mic. În a doua oră parcurgem Ex.5)-8). Desigur că şi aici va trebui să le arătăm la început măcar pe unu-două exerciţii cum funcţionează metoda. Apoi trebuie să avem răbdare ca elevii să descopere restul lecţiei odată cu complicarea exerciţiilor

A treia oră: aceasta este doar o oră de exersare şi combinare a celor două metode principale, cât şi de extindere în câteva direcţii a nivelului de complexitate. Cea mai bună cale de combinare a celor două metode ar reprezenta-o situaţia sistemelor de trei ecuaţii cu trei necunoscute, dar aceasta sigur nu este o sarcină de făcut în a treia oră din clasa a 7-a. Oricum, această a treia oră duce elevii până la nivelul de nota 7-8 la examenul de Evaluare Naţională.

Fiecare pas de învăţare prezintă 5 exerciţii. Acestea sunt gândite astfel încât să fie parcurse două exerciţii de cunoaşterere şi înţelegere a pasului respectiv la clasă, iar restul ca temă de casă. Astfel, la exerciţiile 1-8, cât şi la 10 şi 11 am ales pentru a fi parcurse la clasă exemplele a) şi b), pe când celelalte trei să rămână ca temă. Punctele centrale ale fişei, exerciţiile 4 şi 5, conţinând aplicaţiile de bază din cele două metode principale sunt reprezentate de pachete cu câte 10 exerciţii. Aici vom putea insista mai mult, de pildă făcând primele patru la clasă şi lăsând restul ca temă, păstrând astfel raportul clasă la temă egal cu 2 la 3..

În structurarea fişei am făcut o detaliere meticuloasă a drumului de parcurs (poate pentru unii excesivă) din motive foarte clare, anume pentru că mulţi elevi au nevoie de câteva exerciţii de fixare la fiecare pas logic. În afara claselor selectate, în cele mai multe clase numărul celor care au nevoie de o astfel de viteză de avansare prin materie (uşor clasificabilă ca “lentă” sau chiar “extrm de lentă”), numărul acestora ajunge sau chiar trece de 50% (viitorii analfabeţi funcţionali matamatic, dacă nu încercăm cumva să preîntâmpinăm fenomenul şi să vorbim la ore şi pe mintea lor).

Majoritatea sistemelor de ecuaţii întâlnite sunt cu necunoscutele x şi y dar, pentru a nu genera o dependenţă de nesurmontat faţă de acestea, am inserat în fişă unele sisteme de ecuaţii cu alte perechi de necunoscute. Aspectul este important şi prin prisma folosirii ulterioare la rezolvarea unor probleme ce pot fi puse în sistem (a fiind suma de bani a lui Andrei iar b suma de bani ai lui Bogdan, de pildă). Undeva, pe la sfârşit, chiar am scăpat şi un sistem cu una dintre soluţii 0(zero).

Forma aceasta de organizare a fişei mi-a apărut clar în minte în toamna lui 2019 la o oră de consultaţie cu clasa a 8-a (după două săptămâni de lucru la clasă şi o lucrare slabă la foarte mulţi elevi), când mi-am dat seama că trebuie să o iau de la capăt cu lecţia, ordonat cam în acest fel, dar mult mai detaliat pentru marea parte a elevilor, care erau doar bulversaţi la maxim de noua “arătare” de la ora de matematică. Mergând aşa, în paşi mici din punct de vedere logic, i-am văzut luminându-se la faţă şi începând să lucreze pe cont propriu, fără să mai copieze de pe tablă (uitându-se doar la sfârşit şi bucurându-se şi ei că le-a dat rezultatul de pe tablă).

Bine, bine, veţi spune, dar cu elevii buni ce facem? Ştim toţi ce facem cu elevi buni, cu vârfurile claselor, că de obicei numai de ei ne preocupăm şi numai de ei vorbim, pentru că ei sunt cei care ne oferă situaţia de a ne lăuda. Aşa am fost setaţi ca să vedem doar satisfacţia muncii legată de cei mai buni. Manualele şi culegerile sunt pline de material de lucru pentru aceştia. De data asta, la această fişă, cei buni primesc o altfel de provocare: să facă ei lecţia, adică să găsească ei cum să jongleze cu ecuaţiile alea, astfel încât să izoleze cumva câte o necunoscută pentru a o găsi. Predarea prin problematizare le vine cu totul în întâmpinare, dar nu într-un mod de dopare cu noi şi noi chestii grele, ci punându-i în situaţia de a se descurca pe baza gândirii lor pe situaţii nemaivăzute şi fără a le fi explicaţi – pe cât posibil – cum se fac respectivii paşi. Cei buni pot face la viteză, în timpul orei, încă un al treilea exerciţiu, rămânând cu mai puţină temă. Dar de data asta, fişa este în egală măsură şi pentru elevii medii şi mai ales şi pentru cei de la “coada plutonului”, cei care de obicei nu rămân cu nimic după ora de matematică. Şi ei merită un pic de atenţie; şi ei sunt elevii noştri. (Cu cât lucrăm mai mult la nivelul înalt al lecţiilor, neglijând masiv nivelul de bază al lecţiei, cu atât mai mult obţinem o creştere masivă a grupului care nu a înţeles nimic la lecţie şi rămâne “de căruţă”. Iar apoi ne mirăm de unde avem aşa de mulţi elevi cu rezultate slabe, de pildă la Studiul PISA. Elevii mai înceţi la matematică au şi ei nevoie de ore pe mintea lor.)

După cum am mai spus, paşii mici prin care evoluează exerciţiile de pe această fişă sunt deosebit de potriviţi pentru predarea lecţiei prin problematizare la care să se implice toţi elevii doritori. Predând în acest fel sunt sigur că elevii buni ai clasei vor vedea singuri ce pas trebuie făcut la fiecare nou exerciţiu, astfel încât profesorul să se limiteze doar la propunerea exerciţiilor şi la unele eventuale întrebări ajutătoare (eu aşa predau de aproape 10 ani şi merge de minune!). Singurele locuri unde probabil ar trebui intervenit de către profesor printr-o “hai să vă arăt cum se face:” vor fi la primele exerciţii din cele două metode de bază (pasul de substituire, respectiv reducerea prin reducere simplă). Deja la situaţii unde să fie nevoie de o amplificare pe una dintre ecuaţii s-ar putea ca un elev din clasă să sesizeze ce trebuie făcut (dacă nu, atunci le arătăm tot noi). Apoi elevii preiau din nou lecţia, profesorul trebuind doar să se rezume la formalităţi (acum trecem la nivelul următor etc.)

Fişa nu conţine exerciţii din lecţia premergătoare, anume despre ecuaţii cu două necunoscute. Eu fac scurt această lecţie, anume studiind 2-3 exemple de astfel de ecuaţii la care elevii să găsească câteva perechi de soluţii posibile, până se lămuresc că există un număr nesfârşit de astfel de perechi, însă nimic mai mult. Observ în mod ciudat cum unii colegi dau acestei lecţii la fel de mult timp cât dau apoi şi lecţiei despre sisteme; este o atitudine aberantă, atât din punct de vedere metodic, cât şi din punct de vedere al importanţei lecţiei. Este evidentă aici strădania inoculată în mentalul profesorilor şi ajunsă la nivel inconştient, de a te preocupa foarte mult de teme şi subiecte ce pot duce către aplicaţii specifice nivelului de olimpiade. Dimpotrivă, sisteme de ecuaţii nu se dau la concursuri, fiind o lecţie elementară, aşa că nu pierdem timpul cu aceasta (“avem lucruri mai importante de făcut”). Cum să faci o oră despre ecuaţii cu două necunoscute, cu tot felul de scrieri elaborate ca perechi ordonate de numere, iar apoi să faci sistemele de ecuaţii, ambele metode într-o oră? Fişa despre sisteme poate însă funcţiona foarte bine şi fără lecţia despre ecuaţii cu două necunoscute (eu nu ţin minte să fi făcut o astfel de lecţie în gimnaziu). Cât despre continuarea lucrului şi după finalizarea fişei, cu sisteme tot mai dificile (de pildă cu coeficienţi raţionali sau iraţionali), desigur că colegii profesori vor putea decide fiecare în funcţie situaţia concretă a elevilor strategia de creştere a dificultăţii sistemelor studiate, manualele şi alte auxiliare stându-ne desigur la dispoziţie.

Un gând deosebit am acordat alegerii soluţiilor acestor sisteme, anume strădaniei de a introduce această lecţie doar cu soluţii numere întregi. Această strategie se bazează pe următorul gând: atunci când introduci un item nou este bine să păstrezi “ambientul” la un nivel corespunzător “zonei de confort” a clientului tău educaţional. Pentru mulţi elevi noutatea lecţiei reprezintă un şoc în sine. Apariţia a două necunoscute simultan şi a unei a doua ecuaţii (plus acolada aia ciudată pe care mulţi o tot uită), toate acestea îl stresează pe elevul mediu, dar mai ales pe cel slab, punându-i un fel de “ceaţă pe creier”. Aici apare gândul de a nu-l stresa suplimentar prin diverse soluţii fracţionare, ci de a-i oferi un “ambient”, o situaţie numerică în care să se simtă mai în largul său. După ce ajunge să cunoască şi să stăpânească procedurile din cadrul lecţiei despre sisteme de ecuaţii, după aceasta poate fi confruntat şi cu soluţii fracţionare, mai ales dacă îl şi avertizăm (“ai grijă că acum am pus şi câteva cu fracţii”). Astfel, pentru a veni în întâmpinarea elevilor medii sau slabi la matematică, am decis de mult timp să rămân măcar în primele ore în zona numerelor întregi. Cei care pot face pasul la fracţii nu vor întimpina dificultăţi ulterior acestei fişe, pentru că au înţeles paşii de bază ai sistemelor. (Acelaşi principiu îl folosesc şi la teorema lui Pitagora: stau cel puţin 2-3 ore în zona de numere întregi (tripletele pitagorice, cu rădăcina dintr-un număr pătrat) şi îi las să cunoască utilitatea teoremei pe amalgamul de figuri şi calcule de arii şi perimetre. Doar apoi încep să- conduc pe elevi şi spre rezultate iraţionale sau spre utilizarea în teorema lui Pitagora a unor lungimi iraţionale.)

Această strategie de introducere a unei lecţii noi, la început doar pe cazuri de numere întregi, trebuie făcută însă cu grijă, pentru a nu cădea în penibil. Pe la jumătatea anilor ’90 exista o culegere care avea două pagini pline de sisteme. Toate în, afară de un singur caz, aveau soluţia x = 1 şi y = 1. Este evident că şi elevii râdeau de profesorul care dădea o astfel de temă. Pentru actuala fişă m-am străduit să nu repet greşeala respectivă.

O ultimă observaţie mai am la adresa materialului din fişă, anume despre Ex.2) şi sistemele rezolvabile prin metoda tranzitivităţii. Am întâlnit pagini întregi din astfel de exerciţii într-o culegere veche nemţească şi de atunci le arătăm elevilor noştri şi astfel de sisteme, explicându-le metoda de lucru. Iar, pentru că totul la noi are de obicei şi o denumire, am denumit-o conform proprietăţii folosite. Eu folosesc această metodă ulterior la funcţii, la problemele cu determinarea intersecţiei graficelor a două funcţii (înlocuind f(x) şi g(x) cu y, obţinând ecuaţiile ataşate funcţiilor respective, obţinem un sistem ce se rezolvă banal cu această metodă; în aceste situaţii arată stupid când un elev începe să-şi ordoneze mai întâi sistemul pentru metoda reducerii). Dincolo de orice aplicabilitate însă, această metodă ne oferă în clasă o primă ocazie de a acţiona cu două ecuaţii cu câte două necunoscute simultan, fără însă a avea ceva foarte greu de înţeles Accentuez iarăşi: când introduc ceva nou, o fac într-un context cât mai paşnic, cât mai comod şi accesibil pentru majoritatea elevilor, astfel încât aceştia să nu se sperie de două lucruri noi simultan: atât apariţia ambelor necunoscute în amândouă ecuaţiile – chestie ce reprezintă un şoc în sine pentru cine nu s-a mai confruntat cu aşa ceva – cât şi cine ştie ce metodă prea complicată, din prea mulţi paşi, metodă care-i sperie “mintiuca lui stresată de matematică” (o elevă tare simpatică avea o vorbă pe vremuri: “staţi numai un pic, că neuronul meu nu mai poate”). În plus, trebie să înţelegem şi contextul momentului, adică să ne punem în locul elevului slab: el tocmai a primit o fişă plină de “nişte chestii” foarte dubioase şi se gândeşte doar “eu pe astea va trebui să le fac, pe toate?”. Revenind la metoda tranzitivităţii, sper că se vede că i-am dat acestei metode atenţia cuvenită, adică i-am dat atenţie, dar doar puţin, atâta cât merită şi nimic mai mult.

*

Părăsind fişa de lucru propusă, rămânem să mai analizăm alte câteva aspecte legate de metodica şi didactica predării sistemelor de ecuaţii în gimnaziu. Este nevoie de această parte pentru că tema respectivă a fost văduvită masiv de o stare de normalitate în şcolile româneşti timp de aproape 40 de ani! Pentru a înţelege despre ce este vorba, haideţi să analizăm puţin filozofia nivelelor de gândire legate de sistemele de ecuaţii.

Propun mai întâi o scurtă analiză faptică a evoluţiei acestei lecţii în ultima jumătate de secol (niţică istorie, că multă lume nici nu ştie despre ce-i vorba şi ce tot “mă cânt” aici).

Primul nivel al sistemelor de ecuaţi este cel corespunzător nivelului de rezolvare a ecuaţiilor de gradul I, cu gândirea specifică claselor 6-7 gimnaziale. Din acest punct de vedere metoda substituţiei este cea mai pură. Metoda reducerii are la bază o proprietate mai rar folosită în clasele gimnaziale (din a = b şi c = d rezultă a + c = b + d), fiind însă mult mai rapidă (uneori prea rapidă şi netransparentă pentru elevii mai “începători” în ale gânditului). Din acest punct de vedere este evident că ordinea naturală, potrivită elevilor, este cu metoda substituţiei prima, urmată de metoda reducerii. Din punct de vedere al raţiunii, metoda substituţiei este o metodă “mai băbească”, mai primitivă, şi din acest motiv se potriveşte a fi parcursă prima. Dimpotrivă, metoda reducerii este una mai evoluată din punct de vedere al gândirii, este o metodă “mai turbo” şi se prezintă ca o rezolvare mult mai eficientă decât cealaltă. Dar această comparaţie poate fi făcută doar dacă o cunoşti deja pe cealaltă (altfel, în mintea elevului, rezolvarea prin metoda reducerii rămâne doar una dintre multele chestii care se învaţă la orele de matematică).

Astfel, în cazul metodei reducerii predată prima, mulţi elevi nici nu-şi dau seama clar “ce s-a întâmplat”, metoda reducerii având pentru început un efect de “cutie neagră” asupra majorităţii elevilor (toţi înafară de cei foarte buni şi familiarizaţi în general cu raţionamentele matematice). În această ordine, cei mai mulţi elevi ratează clar valoarea de surpriză plăcută a metodei reducerii faţă de metoda substituţiei.

În plus, parcurgând mai întâi metoda reducerii, vom obţine evident o stare de opoziţie din partea elevilor la adresa metodei substituţiei: “de ce trebuie să mai învăţăm această metodă bleagă, de vreme ce ştim să rezolvăm sistemul mai uşor?”. În acest fel metoda substituţiei este evident condamnată la neînvăţare din partea majorităţii elevilor. De ce ar face cineva aşa ceva? Eu nu pot înţelege această mişcare, pentru că inversarea ordinii acestora duce în mod automat la posibile instabilităţi în formarea gândirii legate de sistemele de ecuaţii. Din păcate, acesta este şi cazul abordării în unele manuale (deşi în programă este dată ordinea naturală: metoda substituţiei, şi doar apoi metoda reducerii).

Care ar fi avantajul parcurgerii mai întâi a metodei reducerii? Unul foarte pragmatic, de tipul “haide să-ţi arăt cum se face” şi să mergem mai departe. Pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi, ideea de a-i da elevului imediat o metodă rapidă şi eficient utilizabilă este desigur un gând deosebit de atractiv. Repet: pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi. Dimpotrivă, este evident că pentru cineva care are o coardă sensibilă pentru ideea de formare a gândirii la elevi, pentru un astfel de profesor este absolut normal să apară o stare de nedumerire.

Pe de altă parte, la aceste două metode elevii trebuie să lucreze ceva mai mult, pentru a fi siguri că tot ce urmează se poate aşeza pe un fundament solid. Din păcate însă, marea majoritate a autorilor de culegeri sau manuale nu îşi iau timp şi spaţiu pentru a cuprinde în zona respectivă de exerciţii suficiente exemple de bază, pentru a fi siguri că marea majoritate a elevilor au înţeles şi şi-au însuşit cele două metode. Astfel, de pildă, într-un manual actual am găsit o reprezentativitate extrem de slabă a exerciţiilor de bază, din punct de vedere al aspectelor exprimate aici: cumulat la ambele metode, în acest manual sunt cu totul 9-10 sisteme în forma elementară de bază, iar asta se referă la nivelul exerciţiilor la care ne aşteptăm ca toţi elevii să le stăpânească (aşa-numitele exerciţii“de nota 5-6”). În auxiliarul însoţitor al manualului la care m-am referit mai sus, exemplele simple sunt mai bine reprezentate: undeva până în 15 exemple la fiecare dintre cele două metode (dar acestea sunt evident accesibile doar în cazul achiziţionării).

La “capătul celălalt al şcolii”, adică în liceu, se află teoria superioară a sistemelor şi rezolvarea acestora în principal prin determinanţi în clasa a 11-a la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info. Între aceste două nivele evoluează gândirea rezolvării sistemelor de ecuaţii. Primul nivel prezintă câteva extensii posibile (cuprinse sau nu în programa oficială), extensii care însă stabilizează simţul pentru sisteme de ecuaţii.

Mai întâi există, chiar în clasa a 7-a, rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor învăţate (în funcţie de alambicitatea textului, punerea în ecuaţii a unuei probleme putând fi uneori deosebit de dificilă). Între acestea apar surprinzător câteva probleme de geometrie care generează în mod neaşteptat ecuaţii destul de uşoare.

O altă extensie posibilă o reprezintă sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute, care nu sunt deloc atât de “extraterestre” cum consideră unii. Pe când eram elev iubeam sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ca profesor într-o şcoală cu o atitudine mai liberă, am făcut deseori astfel de sisteme în clasa a 8-a (o oră poţi găsi uşor ca profesor dacă înţelegi motivaţia). Avantajul lor uriaş este că folosesc de multe ori ambele metode de bază, ajutându-i astfel pe elevi să le înţeleagă cu adevărat şi în profunzime, în ce situaţie anume se potriveşte mai bine metoda substituţiei şi în ce situaţie mai bine metoda reducerii. Această argumentaţie ar fi suficientă pentru o astfel de oră. Dar, în plus, se poate întâmpla să apară sisteme de 3×3 chiar în probleme din procesul de pregătire a EN. Haideţi să vă dau un exemplu dintr-o culegere actuală (Ed. Paralela 45, EN VIII Consolidare, Gh. Iurea ş.a. 2019, pag. 101,Testul 15). Generatoarea conului este cu 4 cm mai mică decât triplul razei cercului de bază, iar înălţimea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei. Apoi se cer dimensiunile conului.

O a treia extensie posibilă a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute o reprezintă conexiunea acestora cu funcţiile de gradul I studiate în clasa a 8-a. După cum am spus, multe probleme de la funcţii pot fi transformate în sisteme de ecuaţii prin transformarea f(x) = y şi scrierea ecuaţiei ataşate funcţiei. Desigur că aici stă pitită după tufiş rezolvarea sistemelor de ecuaţie prin metoda reprezentării grafice a dreptei soluţiilor. Stă pitită după tufiş, ruşinată pentru cât rău a făcut în minţile elevilor şî în matematica şcolară timp de 40 de ani (!).

Revenind la sistemele de 3×3, o altă argumentaţie în favoarea parcurgerii unei lecţii despre acestea chiar în gimnaziu este următoarea: dacă nu le facem prin aceste metode de gândire “bazic” din gimnaziu, elevii care ajung să le studieze prin determinanţi în liceu trag în mod natural concluzia că sistemele 3×3 se pot rezolva doar prin metodele învăţate în liceu. Din combinarea metodelor de bază “gimnaziale” rezultă apoi în clasa a 11-a metoda lui Gauss, ce reprezintă la rândul ei un preambul de nivel intuitiv pentru rezolvările prin determinanţi. Majoritatea profesorilor nu dau atenţie acestor conexiuni de transformare şi evoluţie a gândirii, păstrând parcă intenţionat fiecare metodă într-o zonă a cunoaşterii automate, fără nici măcar un pic de înţelegere (parcă ar preda după principiul “elevii trebuie să ştie să rezolve exerciţiile, nu să le şi înţeleagă”).

Dar unde să facem sisteme de 3×3 în gimnaziu, atâta vreme cât programa oficială nu le include? O variantă (de care m-am folosit în ultimii ani) este să le cuprindem într-o oră din începutul clasei a 8-a, la “recapitulare şi completări”. Le-am putea face şi ca un fapt divers în săptămâna “şcoala altfel”, în clasa a 7-a, dacă am parcurs sistemele 2×2 până atunci, sau în clasa a 8-a, aducând atunci şi exemple ca cel de mai sus (ştiu că nu seamănă a excursie, aşa cum bine mersi am transformat noi, românii, o idee interesantă de lucru într-o opurtunitate de a face mai puţină şcoală). Oricum, dacă vrem, atunci se găsesc soluţii de integrare. Şi, nu trebuie insistat tare mult: cam 5-6 exemple dintr-o culegere veche de-a lui Gheba, apoi încă 3-4 date ca temă şi gata. C.T.G.

P.S. În aceste vremuri de izolare la domiciliu, nutresc speranţa ca acest material să fie la fel de folositor şi în cazul în care nu ne vom întâlni pre repede din nou cu elevii noştri. Încerc să gândesc un format prin care să-i putem ghida pe parcursul acestei lecţii de la distanţă. Desigur, putem să le sugerăm să se uite în manuale, dar atunci s-a dus pe apa Sâmbetei toată predarea prin problematizare.

SistemeEcuatii-FisaLucru.pdf

Teleşcoala şi profesorii de matematică

Profesorii de matematică ce s-au oferit (?) sau au fost aleşi (?) de a susţine lecţiile din cadrul emisiunilor teleşcoala sunt într-o situaţie delicată: pe de o parte acţiunea poate reprezenta o platformă de lansare deosebită spre o recunoaştere mai largă în cariera didactică; pe de altă parte postura respectivă “în lumina reflectoarelor” este una deosebit de ingrată. De prima parte nu-mi fac griji, dar permiteţi-mi să explic la ce mă refer cu partea ingrată.

Filozofia impusă în anii ’80 de către autorităţile comuniste susţinea că întotdeauna este loc de mai bine. Era o metodă prin care oricine putea fi criticat, astfel încât nimeni să nu se simtă sigur în situaţia sa. Încet, dar sigur, după Revoluţie ideea a prins la tot mai mulţi concetăţeni, generalizându-se ca metodă democratică de dezbatere şi analiză.

Într-adevăr, dispoziţia de a critica pe cel de alături a prins foarte bine în societatea românească. Mulţi oameni se simt bine când îl critică pe celălalt, având astfel un sentiment de superioritate faţă de cel criticat. Astfel au apărut oameni care practică această “artă a criticatului” cu deosebită satisfacţie. Chiar a devenit un gest de “bon ton” în a-i contesta celuilalt afirmaţiile, de a-i arăta de fapt cum stau lucrurile, că tu te pricepi mai bine, după principiul “îţi spun eu cum stau lucrurile!”.

Ca urmare a acestei atitudini generalizate, orice apariţie într-o oră deschisă a unui profesor este deosebit de minuţios pregătită, pentru a reduce la maxim şansele de a oferi asistenţei posibilitatea de a te critica (iar asistenţa tradiţională matematică de-abia aşteaptă o astfel de ocazie!). Ne dăm seama în aceste condiţii ce este în sufletul unui profesor care apare într-o lecţie în faţa întregii ţări, postată apoi pe youtube astfel încât să-ţi poată oricine diseca vorbele.

Eu ştiu câte ceva despre acest subiect pentru că am avut în familie o astfelde experienţă: mama mea a ţinut o lecţie de Teleşcoala la sfârşitul anilor ’70, şi ţin minte ce zdroabă a fost atunci cu pregătirea fiecărui cuvânt din lecţia respectivă (cartea din care tatăl meu a conspectat la greu pentru a o ajuta pe mama să pregătească lecţia este acum la mine: nici nu o bag în seamă, dar atunci era la mare apreciere).

Revenind la lecţiile din aceste zile, cum spunea şi soţia mea: sigur nu-i poţi mulţumi pe toţi; sigur se vor trezi mulţi deştepţi care să-i critice pe colegii care s-au încumetat la aşa o acţiune “cu tente sinucigaşe”. Şi atunci ce faci ca profesor ce urmează să susţii o lecţie cu audienţă (redusă sau extinsă)? Ce poţi să faci pentru a preîntâmpina pe cât se poate apucăturile de a te critica din partea celorlalţi? Simplu! Îţi pregăteşti o lecţie cât mai completă din punct de vedere teoretic; o încarci cu toate detaliile ca să nu poată să se trezească “nuş-ce deştept” să te completeze sau să te critice. Apoi vin gândurile la adresa profesorilor obsedaţi de probleme “de nivel ridicat, pentru elevii buni şi foarte buni”. De ce? Pentru că aceştia – cei cel mult 10% din populaţia şcolară – au reprezentat preocuparea principală a şcolii matematice româneşti timp de 40 de ani.

Ştiindu-te astfel asigurat din cele două direcţii predilecte de unde poţi fi criticat, te apuci apoi să susţi lecţia stabilită. În acest moment apare ciudatul de la Cluj, care tot scrie pe pentagonia şi pune întrebarea încuietoare: Deci, pentru cine sunt făcute aceste lecţii? Că pentru majoritatea elevilor nu sunt croite, asta-i sigur. Aceştia pur şi simplu nu le vor înţelege. Sunt prea încărcate de elemente teoretice, într-un limbaj excesiv de riguros, iar ¾ din aplicaţii se adresează celor cel mult 10% din populaţia şcolară (George Pólya susţine că aceştia ar reprezenta de fapt doar 1%, dar noi ştim desigur mai bine, românii sunt mult mai deştepţi decât restul planetei, aşa că le spun în continuare 10% pentru a nu deranja lectura restului de articol). Părerea mea este că sunt eventual gândite pe gustul profesorilor, au multe aplicaţii pe nivelul elevilor de vârf, dar sigur nu sunt pentru marea parte a elevilor.

Acum, eu sunt într-o situaţie foarte neplăcută; mă simt ca o babă ce stă pe banca din faţa casei şi îi critică pe cei ce lucrează, mergând în sus sau în jos pe uliţă. În acest sens refuz să încep să dau exemple la ce mă refer când spun aceste lucruri, dar pot să spun măcar următoarele elemente. Tehnic, eu m-am rupt încet dar sigur de stilul de predare uzual în şcolile româneşti, pornind în urmă cu aproape un sfert de secol într-o reformă “de unul singur”, preluând din străinătate, dar şi din matematica românească dinainte de 1980, cât am putut de mult şi evoluând astfel într-o formă de predare plină de empatie şi respect faţă de elevi, atât cei buni cât şi cei slabi.

Singurele contacte pe care le-am mai avut cu forma de predare din şcolile tradiţionale este una “second hand” prin intermediul puţinelor lecţii ale elevilor din alte şcoli care mai vin să-mi ceară ajutorul. Fiind astfel personal atât de departe de elementele considerate a fi de dorit de către mentalitatea generală, este evidentă reacţia mea la vederea acestor ore televizate: cu greu am urmărit cap-coadă o astfel de lecţie; a doua am urmărit-o pe sărite, iar la treia două trei momente şi gata.

Cum zice o vorbă urâtă, “simţeam că dau în icter” din cauza elementelor din aceste ore, pentru că simţeam doar preocuparea pentru completitudinea exprimării de specialist şi neapărata prezenţă dominantă a exerciţiilor pentru elevii de 9-10. Îmi închipuiam ce înţeleg, mai degrabă cât de puţin înţeleg majoritatea elevilor, cei slabi şi cei mulţi din blocul central al clopotului lui Gauss, văzând asemenea etalare teoreticistă, la care atenţia îi lasă baltă după 5-6 cuvinte riguros aranjate, iar apoi văzând toate exemplele ciudate, fără etalarea nici măcar a unui exerciţiu de bază tipic în lecţie sau la temă.

Şi încă o dată întreb: pentru cine sunt aceste lecţii? Pentru că sigur nu sunt pentru elevii obişnuiţi. Poate sunt pentru autorităţi, că să nu putem spune că n-au făcut nimic. Nu ştiu cum să zic, dar simt că pentru majoritatea elevilor sunt inaccesibile.

Eu de mult am un fel de viziune, iar aceasta mi s-a confirmat din plin cu această ocazie. De mult eu aveam impresia că profesorii de matematică predau într-un mod extrem de riguros, ca şi cum în spatele clasei ar fi o cameră de luat vederi (cu microfon desigur) conectată constant la inspectorat, iar inspectorul de matematică n-are nimic mai bun de făcut decât să comute de la o şcoală la alta, de la un profesor la altul, verificându-l dacă se exprimă riguros. Pentru colegii care au ajuns să predea aceste lecţii de teleşcoală, pentru ei aceste sentimente s-au materializat la modul cel mai concret (ieşind din zona unei impresii poate subiective), iar în acest sens singura lor preocupare în aranjarea lecţiei este desigur de a ieşi “basma curată” din toată tărăşenia (cu atâtea perechi de ochi şi de urechi aţintite asupra ta, nici nu ai ce să gândeşti altceva).

Închei totuşi cu două exemple, iar ca să fiu “politically correct”, voi da un exemplu pozitiv şi unul negativ (da, am găsit în sensul celor spuse mai sus şi un exemplu pozitiv; cât despre cel negativ, din multitudinea de exemple de care m-aş putea lega, l-am ales pe cel care m-a indignat cel mai mult, anume pe cel care reprezintă după părerea mea cea mai gratuită răutate la adresa elevului de rând).

În sens pozitiv, mi-a sunat în urechi, pe când nu prea mai aveam răbdare, cum colega dicta calculele din teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Deci nu-i totul pierdut; lupta merită continuată: la postul naţional cineva a renunţat la cuvântul lungime, exprimând teorema lui Pitagora în cel mai simplu mod, corect dar totuşi neîncărcat.

Ca exemplu negativ, am descoperit cu durere, chiar cu indignare, următoarea situaţie: în loc de succesiunea naturală: x2 = 9 => x = ± 3, se alege tot mai des mult mai “preţioasa rezolvare” x2 = 9 => | x | =  => x = ± 3. Cum arată o astfel de rezolvare în lecţia televizată (lecţie despre care autorităţile susţin că este accesibilă tuturor elevilor din ţară, inclusiv celor care nu au acces la internet)? Păi, simplu, uite aşa: (2x + 1)2 – 9 = 0 <=> (2x + 1)2 = 9 => | 2x + 1 | =  => 2x + 1 = ± 3 etc. Clar, nu? Întrebaţi pe un copil din vecini, dar nu pe unul dintre aceia foarte buni, şi vedeţi ce vă spune. Tare aş vrea să aud justificarea unui “pedant” explicând la ce naiba ajută modulul acela în această situaţie

Oameni buni! Când veţi înţelege că un modul cu ceva necunoscută înăuntrul său îi sperie pe cel puţin 60-70% din elevii de gimnaziu? De ce să includem în rezolvare acel modul în compania unui radical, când se poate şi fără? Eu asta numesc o răutate gratuită la adresa elevilor, iar matematica predată în România este plină de astfel de exemple. Este clar că nu are nimeni curajul să interzică astfel de situaţii prin lege. Oare, când se va înţelege că datoria noastră este în primul rând să predăm o matematică cât mai accesibilă unei pături cât mai largi de populaţie şcolară? Abia după ce cei mulţi vor fi înţeles lecţia de bază, abia apoi putem veni cu tot felul de jiumbuşlucuri matematice.

Da! Aplic aici un principiu învăţat de la colegii din Germania care ne mai vizitează să vadă cum merge Waldorfu’ pe la noi: după o vizită la un dascăl la oră, nu-şi permit mai mult de două aspecte negative de evidenţiat şi asta doar dacă au reuşit să evidenţieze şi două aspecte pozitive. Eu mă opresc însă la 1 : 1. Şi totuşi, pentru cine sunt aceste lecţii? CTG

Matematica la vreme de corona virus (2) – Abajur icosaedru (NOU!!!)

(ca să-l mai parafrazăm puţin pe Gabriel Garcia Marquez) Ce mai facem noi, pe lângă materiale de lucru pentru elevii consemnaţi acasă? Noi aveam un proiect mai vechi cu un  abajur pentru balcon, care s-a materializat în aceste zile. Este vorba de un al doilea, pentru că primul fusese asamblat deja prin toamnă. Soţia îşi propusese de mult să facă unul nou în locul celui vechi care împlinise 20 de ani şi era tare obosit. Acest prim abajurul este unul deosebit de cunoscut în sistemul şcolilor Waldorf, unde este folosit ca lămpaş în perioada premergătoare sărbătorilor de iarnă (deci cu lumânare înăuntru).

Abajurul nostru are un diametru de cca. 40 cm şi este făcut dintr-un carton colorat cu o oarecare “transparenţă” la lumina becului. Acesta are forma unui dodecaedru (12 feţe) din care sunt lăsate două feţe  opuse goale (una sus pentru aerisire şi una jos pe care iese lumina spre masă). Cele zece feţe sunt făcute din cartoane pentagonale îndoite pe “liniile mijlocii” ce unesc mijloacele a două laturi consecutive. Două feţe alăturate se lipesc cu o “linie mijlocie” comună, iar partea întunecată a abajurului apare acolo unde se suprapun două pentagoane. Acolo unde rămâne un singur strat de carton se văd acele stele cu cinci colţuri, pentagramele. Atenţionez că aceste pentagrame nu sunt efectiv construite ci ele apar  acolo unde nu sunt două straturi de carton suprapuse. Găsiţi alte descrieri suplimentare la Revista Pentagonia 1998-2002, în copia pdf a caietului Nr. 3 dec. 1998, mai direct la adresa http://pentagonia.ro/wp-content/uploads/2015/10/Pentagonia3.pdf . Puteţi găsi şi pe net multe poze sau articole despre acesta dând la căutare “dodecahedron star lantern” (de obicei acestea sunt făcute din foste “picturi în acuarelă lichidă” la care s-a lucrat pe o hârtie de pictură mai groasă decât cea obişnuită; la acestea se pune înăuntru o lumânare pastilă)).

După acest prim abajur, problema noastră era că doream să facem şi unul în formă de icosaedru (20 feţe triunghiuri echilaterale), care însă să funcţioneze pe un principiu similar, anume la care să apară un “desen” pe feţele sale, un model generat de alternanţa dintre zone mai întunecate şi zone mai luminoase în funcţie de numărul de straturi de carton. Menţionez însă că pentru o astfel de sarcină nu aveam cunoscut de undeva un model de fabricaţie. Soţia mă tot întreba din când în când, oare cum să-l facem. Trebuia să găsesc o modalitate în care “geometria” să colaboreze într-um mod la fel de frumos ca şi la precedentul. Cândva, prin toamnă mi-a venit ideea (desigur, într-un somn scurt de după amiază, când iarăşi bătea soarele pe pat), anume să tăiem bucăţile pentru feţe în formă circulară (pardon, de disc), îndoite de-a lungul laturilor unui triunghi echilateral înscris. Problema este că în acest fel se suprapune complet cu două straturi fiecare faţă, dar apar şi câteva zone sub forma unor petale unde avem o suprapunere de trei straturi.

Ca urmare a trebuit să căutăm un carton mai subţire pentru a obţine o “transparenţă” plăcută chiar şi cu două straturi. Cu alte cuvinte, dacă primul abajur este cu raportul 1:2 de straturi, la al doilea avem raportul 2:3 la straturi, iar asta se vede: contrastul nu mai este atât de clar, ci este ceva mai “şters” (diferenţa de luminozitate este de 50% la primul şi de 33% la al doilea). Da, şi încet, cu timpul, de-a lungul iernii, printre multe altele, acest abajur a văzut “lumina zilei”, dar stătea abandonat din lipsă de timp, în aşteptarea unui sistem de prindere şi a unei lămpi interioare, pentru care pur şi simplu nu găseam liniştea şi timpul necesare (că pe aici nu găseşti prin magazine astfel de produse).

Vremea i-a venit odată cu consemnarea acasă, acest abajur văzând “lumina becului” într-o zi cu “zăpada mieilor”, şi cred că arată destul de frumos. Precizez că această poză este probabil o premieră mondială: eu l-am compus şi nu am habar să existe aşa ceva făcut înainte undeva în lumea asta largă. Să lămurim: fiecare petală este obţinută prin suprapunerea peste faţa respectivă a segmentelor de cerc (pardon, de disc) de la două feţe vecine, fiind astfel de trei straturi, ieşind astfel în evidenţă faţă de zonele înconjurătoare mai luminoase care sunt doar cu două straturi. Ziua, atunci când nu este aprins becul dinăuntru, aceste abajururi arată oarecum banal, ieşind în evidenţă doar prin forma frumoasă geometrică (chiar arată puţin deranjant pentru că pe fiecare faţă există şi porţiuni ale unor feţe laterale care sunt lipite pe exterior).

Mă bucur foarte mult că am reuşit să facem acest al doilea abajur, completând astfel perechea, pentru că cele două corpuri reprezintă o pereche specială în lumea geometriei (cunoscute oarecum peste tot în lume, mai puţin însă la noi). La noi, această situaţie a celor două corpuri pereche absolut speciale a fost evidenţiată totuşi într-un mod ciudat de către Buţu Gh., autorul copertei manualului de matematică de clasa a VIII-a din anul 1971, fără ca cele două corpuri să fie cuprinse însă în materia din interiorul manualului (partea de algebră: Constantin Ionescu-Bujor, Ivanca Olivotto, Ion Giurgiu; partea de geometrie: A. Hollinger, Corina Pârvulescu). Noi mai avem un manual cu acelaşi desen pe copertă, dar pe albastru, din 1974. Mariana şi Titus Grigorovici

P.S. Ca o scurtă observaţie de final, pe spatele acestor manuale este reprezentat şi cel de al treilea corp perfect neglijat de programa de geometrie din România, anume octaedrul regulat (care este perechea cubului, aşa cum cele două de mai sus sunt considerate o pereche); de cu nu este acest corp nici acum în materie, nu-mi pot explica altfel decât prin vechea poveste cu maimuţele; atât aria totală cât şi volumul octaedrului sunt la nivel elementar accesibile elevului mediu din România, lecţia fiind atât de uşoară încât poate fi dată elevilor să o compună singuri.

Matematica la vreme de corona virus (1)

(ca să parafrazăm titlul unui roman renumit) Ce mai fac profesorii de matematică prin lumea largă? L-am felicitat scurt de ziua lui pe prietenul nostru de lângă Stokholm; ştiţi, cel care împlinise în urmă cu câţiva ani 100 de ani în baza opt; acum se îndreaptă încet spre 70 de ani (în baza zece). Este pensionat şi face oricum multă matematică; printre altele ţine cursul anual al profesorilor de matematică din şcolile Waldorf suedeze. În 2015 l-am cunoscut pe colegul care l-a înlocuit la catedră şi ne-am distrat bine împreună povestindu-ne experienţele cu acesta. Iată ce mi-a răspuns acum:

Hello, and thank you! It is a new experience for me; I have not been this old before …. Because of the corona virus I have plenty of time for reading, and experimenting. I am looking for interesting number sequences. Real fun! Take care! Warm regards, Kjell

Aşa că spor la matematică, fraţilor. De mult n-am mai beneficiat de o astfel de ocazie de „vacanţă forţată în casă”, numai bună pentru activităţi de autoperfecţionare. Coronelul Titus

Matematica şcolară şi comportamentul în faţa extinderii Corona virusului

De multe ori m-am plâns de stilul destul de generalizat de “stat poliţienesc” prezent în orele de matematică din şcolile româneşti. Forţarea elevilor spre învăţătură printr-o astfel de atmosferă, pe lângă o asociere a fricii cu matematică, generază şi o atitudine de nerespectare a regulilor. Elevii se obişnuiesc cu timpul să copieze temele, să copieze la lucrări scrise şi să mintă. Nu doar matematica contribuie la această stare, ci şi alte materii, mai ales cele cu profund substrat teoretic. Prin Cluj sunt renumite câteva situaţii de profesoare de chimie care terorizează şcoli întregi, sunt foarte pretenţioase şi lasă în urma lor mulţi corigenţi (asta ca să dau doar un exemplu). Dar matematica a fost de la început conducătorul de pluton în această “cursă nebună”.

În numele unei stupide creşteri a nivelului predării şi a rezultatelor la examene şi concursuri, presiunea asupra elevilor a crescut cu timpul prin câteva direcţii clare. Să le enumerăm pe scurt pe cele mai importante: 1) creşterea cantităţii de materie; 2) creşterea nivelului ştiinţific (complexitate, teoreticitate şi rigurozitate); 3) coborârea materiei spre clase mai mici; 4) creşterea nivelului de dificultate a aplicaţiilor (în numele rezultatelor la olimpiade şi alte concursuri, aşa-numita “matematică sportivă” a cucerit mare parte din orele de matematică).

“Startul” spre această direcţia s-a dat în cadrul reformei din 1980. Eu i-am spus “reforma uitată” pentru că puţini mai sunt aceia care mai cunosc cum era matematica şcolară înainte de perioada de reformă petrecută orientativ din 1978 până prin 1982 (din câte ştiu).Cu alte cuvinte, populaţia României de până în 50 de ani a fost educată clar în spiritul acestei reforme, a cărei componentă clară este şi stilul de “stat poliţienesc”. Generaţii întregi s-au obişnuit să copieze la teste, să-şi copieze tema de la alt coleg, să şoptească, în general să lupte pe toate căile posibile împotriva autorităţii profesorilor, totul sub justificarea naturală că “ne cere prea mult, prea greu, prea stupid”. Generaţii întregi s-au obişnuit “să se descurce” în faţa unei dominaţii de teroare căreia nu-i vedeau sensul.

În vara când s-au introdus camerele de filmat în clasele de examen la BAC (2011?), mai mulţi oameni au simţit nevoia să-mi comenteze situaţia, iar toate aceste comentarii respectau inconştient un anumit model: Pasul 1) Extraordinar, la ce nivel s-a ajuns cu copiatul! Pasul 2) Şi pe vremea noastră se copia, dar nu în aşa hal! Pasul 3) De exemplu, când am dat eu Bacul … şi urma un exemplu memorabil de copiat, de obicei în grup, organizat uneori chiar de supraveghetori, exemplu care de fapt infirma afirmaţia de la pasul 2. Era de obicei în aceste poveşti un ton de mândrie în urma unui act ce era perceput ca un fel de eroism în sfidarea autorităţii. Pentru mine cel mai memorabil a fost exemplul unui poliţist care a ţinut şi el – aflând că sunt profesor – să-mi povestească cum s-a copiat când a dat el Bacul.

Bun! Şi acum să revenim în vremurile noastre. Vă rog să priviţi prin prisma acestor fapte felul în care românii din străinătate sau din ţară au înţeles să respecte, sau mai degrabă să nu respecte cerinţele autorităţilor legate de paza împotriva răspândirii corona virusului. Au rămas antologice exemplele celor veniţi cu autocarul din Europa de vest prin Ucraina sau a celor care au venit din Italia trecând cu feribotul în Grecia şi încercând să intre în ţară pe la Giurgiu, ca să ascundă faptul că veneau din zone ce i-ar fi “condamnat” la izolare sau carantină timp de două săptămâni. Au fost multe exemple auzite în mass-media de români care minţeau cu sânge rece autorităţile, pentru că de fapt – în perioada de formare a mentalităţilor, adică în şcoală – aceştia s-au format cu obişnuinţa de a fenta autoritatea pentru a se descurca şi a-şi atinge scopul.

Aş putea să analizez aproape la nesfârşit exemple prin care să conectez felul în care se vede în aceste zile cum s-au format obiceiurile de fentare a autorităţii în şcoală, dar prefer să vă las pe dvs. să preluaţi ideea şi să gândiţi la această legătură. Apoi, cei care veţi putea, cei care aveţi forţa, să vă analizaţi activitatea şi felul de a fi la clasă, astfel încât să dezvoltaţi un fel de a fi care să nu mai generaze atât de multă justificare spre sfidare a autorităţii. Pentru că un lucru pot să spun sigur: copiii nu sunt aşa când vin la şcoală, nici măcar când vin în clasa a 5-a. Obiceiurile de sfidare se formează în viaţa de elev alături de profesori (cu doamnele învăţătoare dobândesc alte “belele”, dar nu asta). CTG

La Mulţi Ani! de ziua lui π

Chiar dacă totul este dereglat şi am ratat termenul (am ţinut un curs cu profesori despre predarea matematicii la şcolile Waldorf), merită să ne amintim de una din zilele importante pentru „matematica lejeră”. De curând am avut o discuţie cu un elev (bunicel) de clasa a VIII-a:

CTG: Şi aria cercului cât e?

Elevul: ?

CTG: ??

Elevul: Dapoi, nu mi-am recapitulat formulele!

CTG: Mă, dacă nu ştii formula asta, eşti bun de intrat în PSD!

Elevul (absolut spontan): pi-er-pătrat!

Despre “idioţenia” numită ARIA DISCULUI

De curând pe Comunitatea pofesorilor de matematică am găsit următoarele rânduri: Doresc să ştiu când se va reveni asupra idioţeniei numită „aria discului”. În majoritatea ţărilor se spune aria cercului (vezi Canada, SUA etc.) numai la noi cercul nu are arie aşa cum a avut mai bine de 2000 de ani. De ce triunghiul (…) are arie, patrulaterul (…) are arie, poligonul (…) are arie, dar cercul nu mai are arie? De ce trebuie să înghiţim orice idioţenie chiar dacă este ea debitată de un profesor universitar? Postarea, care este din 1 feb ’20, îi aparţine d-lui profesor Roşu Ion (de pe blogul dânsului reiese că predă de prin 1972, fiind deci printre puţinii care înţeleg bine când vorbesc despre matematica dinaintea reformei uitate din 1980, despre manualele lui A. Hollinger sau Eugen Rusu, cât şi despre metodica corespunzătoare).

În comentariile la postarea respectivă am mai găsit câteva rânduri în acest sens: Noi am învăţat despre „aria dreptunghiului”, „aria pătratului”, „aria triunghiului”, „aria cercului” etc. Iată fragmentul din manualul de clasa a VII-a (…), în care se vorbeşte de aria cercului. Îţi dădeai seama că aria se referă la suprafată, nu la linii frânte sau curbe. Nu-mi aduc aminte când s-a venit la noi cu un exces de „rigoare”. Cred că am învăţat după Hollinger, A. Geometrie: manual pentru clasa a VII-a.- Bucureşti : Editura didactică şi pedagogică, 1964. Este pe undeva în format digital? (Da, ar fi o idee interesantă să apară acele manuale scanate, ca să le poată studia doritorii; sau poate se gândeşte Editura didactică şi pedagogică să le republice şi să poată fi cumpărate spre autoperfecţionare) Comentariul îi aparţine d-lui Puşcaşu Constantin, care a anexat şi o imagine din manualul respectiv:

În toată discuţia, pe lângă „aria discului”, îmi permit şi eu să mai adaug două puncte nevralgice. 1) Dar despre „volumul bilei” în loc de „volumul sferei”, despre acestea de ce să nu vorbim? Doar pentru că aici „isteria rigurozităţii” nu este atât de pronunţată? Apoi: 2) De ce vorbim despre „lungimea cercului”, pe când la toate celelalte figuri cerem perimetrul? De ce nu se spune „perimetrul cercului”, ca la celelalte figuri închise (perimetrul pătratului etc.), ci se spune lungimea cercului? Sau invers, de ce nu spunem lungimea hexagonului??? (că, de ce nu spunem lungimea dreptunghiului, asta înţeleg!) Revenind la „perimetrul cercului”, se pare că de acolo a venit propunerea către Leonhard Euler cu notarea acelui număr specific cercului, propunerea de a se nota cu literea grecească pentru P, de la „periferia cercului”, numărul π reprezentând de câte ori intră diametrul cercului (adică lăţimea acestuia) „roată în jur pe periferia cercului (π de la periferie sau perimetru).

Subiectul deschis de Dl. Roşu Ion este deosebit de interesant şi oferă pe tavă oprtunitatea perfectă pentru o discuţie despre rigurozitatea excesivă a limbajului profesorilor vizavi de nevoia unui limbaj accesibil şi inteligibil din partea elevilor. Deci, „să purcedem” la treabă şi să analizăm pentru început „datele problemei”:

Rotundul” este singura figură geometrică ce are două cuvinte separate, unul pentru linia geometrică, iar altul pentru suprafaţa delimitată de această linie (Cercul, respectiv Discul). Discul reprezintă suprafaţa delimitată de cerc, pe când cercul poate fi descris drept conturul unui disc. Cu alte cuvinte, putem vorbi de disc drept interiorul cercului (vedeţi că mă abţin de a intra într-un limbaj teoreticist riguros steril). Celelalte figuri geometrice nu au „această onoare”, astfel că, dacă suntem nevoiţi, trebuie să apelăm la denumiri descriptive de genul „suprafaţa delimitată de pătrat” sau mult mai uzualul „interiorul triunghiului”.

Aceasta este situaţia în cazul figurilor plane (mai modernul 2D). În spaţiu (actualmente denumit 3D) situaţia este aceeaşi: doar corpul rotund beneficiază de două denumiri diferite, una pentru suprafaţa corpului, iar alta pentru interiorul corpului. Eu le explic elevilor că Sfera reprezintă o minge, care este deci goală pe interior (minge de fotbal, de baschet etc.), pe când Bila este plină în interior (bilă de la rulment, bilă de popice sau de biliard etc.; oare cuvântul biliard nu vine de la bilă?). Celelalte corpuri beneficiază în general de o singură denumire şi oricum nu se face prin denumire referire la interior sau la suprafaţa corpului. Singura excepţie relativă ar fi cuvântul Solids folosit în engleză pentru „corpuri”, care face prin cuvântul însuşi referire la ideea de „corp plin”.

Să analizăm puţin din punct de vedere istoric subiectul nostru. „Rotundul” a beneficiat din vremuri străvechi de un statut special şi de o admiraţie corespunzătoare faţă de restul figurilor geometrice. De la Stonehenge la iurtele mongole şi de la „Cavalerii mesei rotunde” la „Masa tăcerii” a lui Brâncuşi (de fapt Iisus cu cei 12 apostoli), peste tot de-a lungul istoriei şi de-a latul lumii apar ca speciale elemente rotunde, fiind de multe ori privite cu o încărcătură de spiritualitate. Doar dreptunghiul a mai beneficiat de a atenţie similară, atât din motive practice, cât şi ca formă potrivită pentru structurile arhitecturale ce trebuiau să exprime autoritate.

De unde provine oare această ciudată diferenţiere, anume faptul că doar „rotundul” beneficiază de două cuvinte separate, atât în plan cât şi în spaţiu? Un gând ar fi că ideea s-a impus odată cu una din primele „globalizări”, anume de pe vremea Imperiului Roman şi a impunerii prin acesta a limbii latine (discobolul grecilor, alături de cerc). Spun aceasta pentru că de pildă în germană nu prea apare o diferenţiere în limbajul teoretic matematic. În ambele situaţii se foloseşte cuvântul „Kugel” (a se citi cugăl), atât pentru arie, cât şi pentru volum. La minge au cuvântul „Ball”, dar acest cuvânt nu se foloseşte în matematică. Persoanele culte cunosc şi latinescul „Sphaere”, dar nici acesta nu este folosit în geometrie. În schimb însă, în plan se mai întâlneşte şi în matematică cuvântul „Discus”, deşi în general tot „Kreis” se foloseşte şi la perimetru şi la arie (şi ca cerc şi ca disc).

Fenomene de genul acesta se întâlnesc în matematică peste tot şi în diferite limbi. De pildă, faptul sesizat mai sus că la toate figurile închise plane folosim cuvântul „perimetru”, pe când la cerc spunem „lungimea cercului”. Dar nu numai atât: noi folosim cuvântul „perimetru” cu sensul de „lungimea conturului unei suprafeţe”, dar în viaţa de zi cu zi acest cuvânt este folosit pentru a desemna „limita, conturul unei suprafeţe”. Apoi, mai există şi expresia „în perimetrul” (ex. „este interzis fumatul în perimetrul unei instituţii”) cu sensul de interiorul acelui „perimetru”, adică pe „suprafaţa delimitată de acel perimetru”. Mai rezistaţi?

Vedem că limba vorbită este foarte permisivă, iar interzicerea acestei permisivităţi intuitive în cadrul unui domeniu de activitate, cum ar fi la orele de matematică, este resimţită ca deosebit de agresivă. Pe de altă parte, chiar matematicienii încalcă în anumite momente această rigurozitate autoimpusă: dacă ar fi să fim „ortodoxi habotnici” până la capăt, atunci ar trebui să spunem „perimetrul cercului” şi nu „lungimea cercului”. Sau, dacă ne hotărâm că „perimetrul” este obiectul, iar măsura sa este „lungimea”, atunci ar trebui să aplicăm această decizie la toate celelalte figuri, astfel că ar trebui să vorbim despre „lungimea triunghiului”, „lungimea pătratului” sau „lungimea rombului” cu referire la perimetrul acestora. Este evidentă problema: ce vom înţelege când vom spune „lungimea dreptunghiului”??? Vedem deci, din aceste exemple că nici noi profesorii nu suntem într-adevăr riguroşi, aşa cum avem pretenţia. Aceasta este situaţia între obiect şi măsura sa în cazul 1D, adică al lungimii.

Un fenomen similar se întâmplă şi în cazul perechii de cuvinte „suprafaţă” şi „arie” (2D). Obiectul este suprafaţa, pe când măsura acestuia este considerată „aria”. Dar nici la noi situaţia nu este atât de riguroasă şi clară (să zicem „unanim acceptată”) pe cât şi-ar dori unii (sau pe cât susţin aceştia). De pildă, de ce încă mai există profesori care notează aria cu S (de exemplu la aria totală a unei piramide cu ST)??? Şi în acest caz, imediat ce ieşi din matematica de la clasă încep să apară confuzii, repectiv folosiri amastecate de noţiuni. Acestea reprezintă însă confuzii doar pentru răutăcioşii habotnici. Oricine (chiar şi un astfel de răutăcios de la catedră) va înţelege întrebarea „ce suprafaţă are curtea ta?”. Arie sau Suprafaţă? Mare scofală! În loc să ne bucurăm când un elev gândeşte, ieşind astfel din zona de analfabetism funcţional, atât matematic cât şi literal, îl agresăm cu orice ocazie când „o scapă pe de lângă”.

Apropos: cuvântul „arie” este foarte scurt şi îi poate speria pe copii chiar prin aceasta. Apoi, acest cuvânt nu este folosit în limbajul cotidian, astfel încât elevii au nevoie de o perioadă de timp pentru a se obişnui cu acesta. După ce s-au împrietenit cu el, totul e în regulă. Odată un elev m-a întrebat spre sfârşitul clasei a 7-a, cu referire la o piramidă: când învăţăm „aria aia dinăuntru”? Am înţeles evident că întreabă despre volum, aşa cum am înţeles clar că el a priceput foarte bine că aria exprimă „mărimea suprafeţei”, adică „măsura interiorului unei figuri”, extrapolând această înţelegere din 2D în 3D.

Dacă tot am ajuns aici, la „măsura interiorului unei figuri”, mai fac o tură prin lumea largă. Pe germană cuvântul pentru „arie” este „Flächeninhalt”, a se citi flehăn-inhalt, însemnând „conţinutul suprafeţei”). Haideţi să aruncăm o privire şi la „prietenii de limbă engleză”, la care cuvântul „Area” reprezintă (pe lângă arie) şi o suprafaţă clar delimitată. Spun toate acestea la adresa pretenţioşilor în ale rigurozităţii extreme, care atacă cu mare satisfacţie pe oricine încalcă cât de puţin „sfânta linie de exprimare academică”, dovedind de fiecare dată un snobism extrem şi agresiv: stimaţi colegi „cu nasul pe sus”, nu cred că puteţi careva să susţineţi că matematica germană sau cea în limba engleză este inferioară celei în limba română, şi totuşi ei se descurcă bine-mersi fără această stupidă teoretizare extremă a limbajului.

Revenind la cuvântul „perimetru”, şi acesta îi sperie la început pe unii elevi, aceştia având nevoie de ceva timp pentru a se împrieteni cu el. De ce, atunci când în sfârşit s-au obişnuit cu el şi calculează uşor perimetrul diferitelor figuri poligonale, la perimetrul cercului ne facem că uităm şi schimbăm în „lungimea cercului”, şi o facem asta cu cea mai mare nesimţire, exact atunci când apare cel mai ciudat număr din viaţa lor matematică. Noi, profesorii de matematică avem astfel de mici răutăţi pe care le facem doar aşa, pentru că aşa s-a făcut dintotdeauna.

Cine s-a ocupat măcar puţin cu psihologia neuronală, acela realizează că elevul învaţă prin analogie, dar că schimbarea unui cuvânt îl încurcă pe elev în a reuşi un transfer uşor pentru analogie. Apoi, se face aici o gafă de proporţii prin faptul că mintea elevului este forţată să facă faţă la doi itemi noi de-o dată: schimbarea denumirii din „perimetru” în „lungime” concomitent cu apariţia unui număr care „ce înseamnă ăla?”, un număr pentru înţelegerea căruia omenirea a avut nevoie de peste 2000 de ani. Da, iar ca tabloul să fie cât mai bulversant, în aceeaşi lecţie schimbăm şi cuvântul „cerc” cu cuvântul „disc” şi cu asta „i-am rezolvat” pe cei mai mulţi din clasă.

În cazul de faţă (mai la începutul eseului) am folosit expresia rigurozitatea limbajului în sensul de folosire a unui vocabular, a unor cuvinte neuzuale (cel puţin în prima fază, până când elevii se obişnuiesc cu noul cuvânt) Este şi asta o abilitate deosebită, cea de a te obişnui cât mai repede cu folosirea unui cuvânt nou introdus. Mulţi profesori au impresia că dacă trântesc pe tablă definiţia unui nou cuvânt, atunci toţi elevii îl ştiu automat şi îl pot folosi. Nimic mai fals: această abilitate se dezvoltă doar cu timpul şi doar la unii.

Mai există şi rigurozitatea limbajului prin încărcarea exprimărilor, astfel încât, cu cât vrem să fim mai exacţi, cu atât scăpăm mai mult de sub control lungimea frazelor, devenind astfel neinteligibili pentru tot mai mulţi elevi. Exemplul cu care m-am confruntat cel mai des a fost includerea în textele geometrice a cuvântului lungime, pentru a face diferenţa riguroasă între un segment şi lungimea acestuia. Pe lângă mult discutatul text al teoremei lui Pitagora, eu m-am confruntat în mod dureros cu „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” în loc de „determinaţi înălţimea triunghiului”. Aceasta în condiţiile în care la „raza cercului” se face clar precizarea că se înţelege din context dacă este vorba despre segment sau despre lungimea acestuia; la fel şi la „diametrul cercului”.

Cine se gândeşte că am încercat aici o tratare exhaustivă a subiectului, acela se înşală, pentru că nici nu mi-aş putea propune aşa ceva, subiectul fiind extrem de vast. Dau doar un exemplu în susţinerea acestui punct de vedere, anume un exemplu pozitiv în sensul accesibilizării limbajului în detrimentul unei exprimări riguros corecte. Aproape nu trece săptămână din semestrul doi al clasei a 8-a să nu mă bucur că avem voie să folosim „unghiul diedru” în loc de mult mai rigurosul „ unghiul plan corespunzător diedrului” (cam de 10 ani n-a mai comentat nimeni în acest sens şi încă n-am auzit să fi murit cineva din cauza asta). Desigur că există şi alte forme de rigurozitate a limbajului, care în general reuşesc doar o deosebit de eficientă agresare a elevilor, dar eu mă opresc aici cu această linie de discuţie.

Un singur aspect mai trebuie să precizez, legat de observaţia cu năduf a d-lui profesor Roşu Ion. Cei care veţi vizita din curiozitate postarea sa pe Comunitatea profesorilor de matematică, veţi putea vedea câteva comentarii de o agresivitate extremă, dovezi de bullying între adulţi colegi de breaslă, exprimări care îmi repugnă chiar şi numai a le aminti. Cu toţii suntem stresaţi de aceste posibile atacuri din partea unor „colegi” şi chiar dl Roşu, în speranţa de a nu fi atacabil, a luat-o „pe arătura” rigurozităţii extreme când a încercat să vorbească despre triunghiuri, patrulatere şi alte poligoane (eu am scos pasajele respective). Eseul de faţă reprezintă în sine o încercare de a vorbi despre acest subiect fără a cădea în „castronul de rigurozitate” în care se bălăcesc cu drag foarte mulţi. De foarte mult timp îmi doream să abordez această temă şi nu pot decât să-i mulţumesc d-lui Roşu.

Aria cercului sau aria discului? Eu le folosesc lejer pe amândouă, astfel încât elevii să înţeleagă subiectul şi nu mă cramponez de nici una ca fiind neapărat cea corectă. Le explic însă despre subiect, despre logica sa şi despre atitudinea mea. În clasa a 8-a la volumul sferei, pardon, la volumul bilei le mai explic încă o dată toată treaba şi gata!. Revenind în 2D, sigur este că încă nu am folosit niciodată expresia „perimetrul discului” (că ar fi şi asta o idee tare năstruşnică)! Asta vă propun şi dvs., stimaţi colegi: haideţi să lăsăm rigurozitatea extremă să se odihnească „în plata Domnului” şi să ne concentrăm asupra copiilor şi, mai ales, să ne bucurăm când copilul gândeşte şi face matematică cât poate el de bine.

Cred că învăţământul matematic şcolar românesc are actualmente cu totul alte probleme, majoritatea mult mai grave. Chiar mai mult, am convingerea că această preocupare pentru o exprimare exagerat riguroasă, cât şi vânătoare aferentă a scăpărilor de exprimare, reprezintă una din cauzele analfabetismului funcţional matematic scos în evidenţă de diversele ediţii ale Studiului PISA. Elevii se sperie când îl aud pe profesor debitând fraze superîncărcate, apoi se sperie când el sau un alt coleg este certat că nu s-a exprimat corect, iar blocajul gândirii este urmarea cea mai des întâlnită. Titus Grigorovici

P.S. V-am spus eu că sunt multe de discutat legat de aria cercului, atunci când toată ţara râdea de Doamna Viorica? Da, da!

Ana are mere, pardon, Ana are pere!

Pentru cine a ratat ştirea, haideţi să amintim situaţia. De curând a devenit virală pe net o poză dintr-un manual de matematică cu următoarea “problemă”:

Ana a cules 15 pere, iar Radu a cules cu 4 mai multe.Câte pere a cules Nelu?

În comentariile „internauţilor” unii râd, alţii se iau în serios, ca să-i cităm pe domnii de la Europa fm din emisiunea Deşteptarea. Unii spun că Nelu are treburi mai importante de făcut, alţii afirmă că Nelu a cules 19 pere. Domnii de la Deşteptarea susţin că există doar două răspunsuri posibile:

Răspunsul 1): Nelu are un total de 34 de pere, Nelu fiind de fapt patronul, iar Ana şi Radu angajaţii săi;

Răspunsul 2): Nelu nu are pere, fiind plecat în Spania la cules de căpşuni.

Merită totuşi să ascultaţi momentul în înregistrarea de pe site-ul Europa fm (sub 4 min.), de găsit la adresa https://www.europafm.ro/problema-diminetii-cate-pere-a-cules-nelu/ .

Simularea EN la clasa a 7-a

În primăvara lui 2019 i-am scris D-nei Ministru Ecaterina Andronescu o epistolă despre o propunere ciudată de structurare a anului şcolar. Dânsa îşi dăduse adresa la o întâlnire cu directorii din Cluj şi de acolo aveam adresa. Era clar că avea pe cineva care să citească toate ciudăţenile venite din ţară într-o astfel de situaţie, aşa că m-am hotărât să-mi lansez gândurile. Cu acea ocazie am pus şi un Post Scriptum legat de organizarea simulării pentru EN la clasa a 7-a, respectiv a simulării pentru BAC la clasa a 11-a. Bănuiesc că gândurile exprimate au rămas prin minister şi după plecarea D-nei Andronescu. Nu am pretenţia că în urma scrierii mele s-a luat decizia despre simulările pentru clasele a 7-a şi a 11-a din 2020; mai degrabă cred că ideea plutea în aer, iar la minister s-au adunat gânduri convergente din mai multe direcţii în acest sens (cunosc fenomenul de mult: în urmă cu peste 10 ani, l-am căutat pe Dl fost ministru Mircea Miclea şi l-am rugat să transmită la minister disperarea în legătură cu fenomenul tezelor unice, iar dânsul mi-a spus că va transmite şi că ştie că la minister se discută intens despre scoatera acestora, pentru că există mesaje în acest sens din toate părţile). Consider că poate fi de interes să vă prezint rândurile trimise în urmă cu un an în legătură cu simularea EN la a 7-a:

*

Între timp (…) s-a decis simularea EN şi la clasa a VII-a. Personal, consider aceasta o decizie foarte bună. Permiteţi-mi să fac totuşi o scurtă observaţie legată de această simulare, valabilă însă şi referitor la simularea din clasa a XI-a. Astfel, vă rog să luaţi în considerare analiza oportunităţii organizării acestei simulări în anii viitori ceva mai târziu decât cele de clasa a VIII-a, din următoarele motive:

-Ar scădea stresul organizatoric la nivelul şcolilor (probleme de spaţiu în cazul claselor cu bănci pentru doi elevi; profesori supraveghetori câte 2 în clasă şi unul pe coridor; multe lucrări de corectat etc.);

-Ar permite organizarea unor subiecte din cea mai mare parte a materiei de clasa a VII-a, de pildă în situaţia organizării simulării la începutul lunii mai. Includerea acestor simulări (a VII-a şi a XI-a) se potriveşte evident (într-o perioadă de evaluări de final);

-Rolul simulărilor drept “semnal de alarmă” la adresa elevilor nu le impune urgenţa pentru luna martie. Nici în marile oraşe, nici la clasele din mediul rural sau semirural, nu se va apuca nimeni foarte repede de învăţat după simulare pentru a recupera. Majoritatea vor lua însă în serios avertismentul pentru începutul clasei a VIII-a; în cazurile cele mai bune se vor apuca de învăţat după începutul vacanţei. CTG