Impardonabil

De curând am primit următorul comentariu la o postare din 2017:

In articolul dumneavoastra din octombrie 2019 , doua greseli impardonabile pentru un doritor sa invete pe altii :
– tabelele cu impartiri care au inundat “piata” nu sunt (o) tabla a impartirii! Nu exista o tabla a impartirii!!! Exista doar o tabla(patratica) a inmultirii , atribuita lui Pitagora,tabla dupa care se fac /se invata si impartirile!!!
– reprezentarea prin segmente a numerelor cunoscute si necunoscute si arelatiilor dintre ele se numeste corect :metoda figurativa! Metoda grafica – ati pomenit de ea- se invata incepand cu clasa a 7-a! Pentru lamuriri consultati singurul ghid aprobat de M.E. Matematica Ghidul invatatorului, editura Lucian.

Nu voi intra într-o polemică cu autorul acestor rânduri, deşi tare „mă mâncă buricele degetelor” să o fac (de pildă, să caut prin grămăjoara de cărţi de acasă în câte feluri au fost denumite, de-a lungul anilor, diferitele metode de rezolvare aritmetică a problemelor; sunt oricum mult mai variate decât sunt probabil în unicul şi irepetabil ghid mai sus menţionat). Doresc doar să-i mulţumesc colegei/colegului (oricine o fi acesta) pentru confirmarea teoriei mele despre precauţia autorilor de programă care au mutat problemele de aritmetică în clasa a 5-a, neexplicând mutarea pentru a nu jigni pe cineva (care – după cum se vede – ar putea sări în sus ca o bombă americană). Şi, oricum, e foarte bine că metoda grafică nu mai este în programă – ştiţi, aia din clasa a 7-a, ba nu, că din a 8-a – la alunecarea înapoi în a 7-a a sistemelor de ecuaţii.

Nu este prima dată când m-am confruntat la colegi cu această atitudine plină de o pedanterie excesivă a limbajului, o atitudine super îngâmfată cu pretenţia de atotştiutor. De pildă, când mă pregăteam de apariţia culegerii de geometrie, în primăvara lui 2006, o persoană foarte dragă mie, care a citit textul pentru a căuta eventuale greşeli (adică, după corectură), m-a anunţat „verde-n faţă” că culegerea este plină de greşeli! Cât de plină putea să fie, de vreme ce o corectaserăm noi în două rânduri (atât eu, cât şi soţia)? Ne-am aşezat la masă şi să vezi greşeli: era considerată o greşeală impardonabilă „determinaţi înălţimea triunghiului”, exprimarea „corectă” fiind „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” (şi multe altele de acelaşi fel).

Asta se întâmpla în 2006, iar singurul aspect cu adevărat impardonabil este faptul că mai există în ziua de azi indivizi cu o astfel de atitudine, acum, după 30 de ani de la schimbarea din 1989 şi mult dorita despărţire de comunism. Din păcate, vedem că tarele acelor ani trăiesc bine-mersi şi chiar proliferează.

Este păcat că după atâţia ani încă există oameni care au pretenţia că, criticându-l şi deci încercând să-l înjosească, să-l umilească pe cel de alături, el se dovedeşte automat superior acestuia. Atitudinea îmi aduce aminte de bancul cu dracii care beau o berică la barul din colţul iadului, după orele de program. Unul dintre draci era întotdeauna mai abătut şi mai obosit decât ceilalţi. Un altul dintre colegi îl întreabă ce probleme are, iar acesta îi răspunde că el este la cazanul cu evrei şi că, ăştia se ajută şi imediat ce unul vrea să iasă alţii îl împing în sus, iar el, dracul respectiv, până îl împinge inapoi, în altă parte a cazanului iese altul şi tot aşa. Un alt drac, unul mai grăsuţ şi mai îmbujorat, îi răspunde râzând, spunând că el are postul la cazanul cu români şi că, imediat ce un român vrea să se ridice, alţi români sar şi îl trag înapoi. Cu stima cuvenită, Titus G.

Supa lui Fibonacci

Supa de alaltăieri adăugată la supa de ieri face supa de azi. (cred că traducerea se potriveşte mai bine cu ciorbă).

P.S. Problema cu bancurile de matematicieni este că le gustă doar matematicienii; ceilalţi nu le înţeleg. Trebuie să le explici dacă vrei să le priceapă. Iar, dacă le explici, le vor pricepe, dar nu vor râde.

Impresii din Germania (3) – Poză împreună cu numărul tetraedral 56

Parafrazând o melodie veche – Love is All Around (Wet Wet Wet) – putem spune că Math is all around! De pildă, în vacanţa din această vară am vizitat cetatea din oraşul german Burghausen (la graniţa dintre Bavaria şi Austria), situat pe malul râului Salzach (care trece şi prin Salzburg) şi renumit pentru cea mai lungă cetate din Europa. Iar în curtea principală a cetăţii, ce găsim noi? Nici mai mult, nici mai puţin decât numărul tetraedral 56 construit din ghiulele vechi de piatră:

Deoarece – pornind din vârf – sunt şase straturi, înseamnă că grămada respectivă de bile reprezintă suma primelor şase numere triunghiulare, adică 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 (cele 21 de bile din stratul de bază au fost parţial îngropate ca să nu se rostogolească toată grămada). Vă las pe dvs. să studiaţi singuri detaliile generării numerelor tetraedrale, cât şi cum pot fi acestea integrate în predare ca o prelungire a studiului despre Suma lui Gauss (adică despre numerele triunghiulare). Ca să vă asigur pornirea vă prezint şi o poză cu primul număr tetraderal demn de băgat în seamă, anume cu 2-tetraedral care este 4. Titus Tetraedrus

Problemele de aritmetică în clasa a 5-a la doi ani de la reintroducerea în programa gimnazială şi caii din alaiul regelui

Credeam că încet am scăpat de acest subiect şi ca temele arzătoare de gimnaziu să se epuizeze, astfel încât să putem urca încet şi la teme de liceu. Da, de unde! În clasele gimnaziale situaţia este mai arzătoare ca oricând, iar realitatea înconjurătoare mă obligă să revin din nou la clasa a 5-a.

Pe de altă parte trebuie să recunosc că şi eu evoluez în timp real (adică în nici un caz nu am pretenţia că sunt din start posesorul “Sfântului Graal” al cunoaşterii predării matematicii), iar ceea ce scriu reprezintă dovada evoluţiei gândurilor mele: cu cât apar noi aspecte legate de un subiect, cu atât reuşesc să le corelez mai bine în minte şi să le înţeleg mai clar. Chiar redactarea acestor eseuri în sine mă ajută să-mi ordonez gândurile şi teoriile.

Realitatea este că mutările din noua programă de gimnaziu nu au fost deloc explicate profesorilor de matematică (darămite părinţilor). Unele pluteau în aer şi acţionau reparatoriu la alte decizii mai vechi (de pildă revenirea sistemelor de ecuaţii sau abandonarea metodei grafice în rezolvarea acestora). Altele au venit în mod total neaşteptat şi nici acum, după doi ani, încă nu sunt înţelese şi lămurite.

S-ar putea ca dintre acestea unele să îşi arate o eficienţă chiar şi fără înţelegerea lor de către profesori. Mă gândesc aici la teorema lui Pitagora din finalul clasei a 6-a şi la ce fel de  siaj va lăsa aceasta în urma sa în semestrul I din clasa a 7-a. Vom vedea în curând.

Altele sunt încă învăluite într-o ceaţă ciudată a neînţelegerii din toate părţile. Este cazul renumitelor probleme de aritmetică ce au fost introduse din nou în clasa a 5-a după un sfert de secol. Lipsesc însă explicaţiile şi justificările acestei mutări, situaţia rămânând învăluită într-o neînţelegere generalizată: profesorii nu ştiu de ce şi cum; părinţii – mai ales cei care s-ar pricepe să-şi ajute acasă la teme odraslele nedumerite – nu înţeleg de ce nu se poate prin ecuaţii; olimpiştii privesc lipsa ecuaţiilor ca pe o îngrădire. Chiar îmi este greu să evidenţiez o categorie de persoane implicate care să fi înţeles situaţia şi care să se simtă câştigată din această mutare. Haideţi să luăm pe rând principalele aspecte implicate în acest subiect şi să încercăm o lămurire.

1) Metodele aritmetice de rezolvare a unor probleme se află undeva între judecarea proprie a paşilor de făcut (gândirea off-road) şi folosirea relativ automată a unor reţete prefabricate. Formarea judecăţii şi gândirii logice se află aici alăturată şi totuşi în cea mai clară opoziţie cu învăţarea automată a reţetelor pe diferite metode. Metodele de rezolvare pe bază de diferite reţete de raţionament optimizat sunt bine puse la punct (poate chiar exagerat de bine sistematizate şi bine puse la punct). Rezolvarea primelor probleme la fiecare categorie – adică cele mai simple – introduse prin problematizare, ar avea menirea de a dizloca neuronii gândirii pure (acolo unde aceştia pot fi dizlocaţi), astfel încât elevii care au posibilitatea de a gândi să o şi facă. Şi de la cine pot ei “fura” cel mai bine arta gândirii, dacă nu de la profesorul de matematică, cunoscut ca omul care gândeşte cel mai logic? (cel puţin aşa este de aşteptat; că sunt şi contra-exemple la această supoziţie, profesori care le cer şi în liceu, la clase de mate-info, elevilor să înveţe rezolvări pe de rost, aceasta este un alt subiect)

2) Este evident că marea majoritate a învăţătoarelor nu sunt mari maeştrii ai gândirii raţional-logice tipic matematicii (cu excepţiile de rigoare, desigur). Situaţia învăţătoarelor este una care înclină balanţa mai degrabă spre predarea reţetelor, adică a metodelor de rezolvare. De la învăţătoare elevii pot învăţa metode, dar nu pot “fura” arta de a gândi. Avem în acest sens multe exemple. Unul dintre ultimele exemple ale culturii spre nongândire, despre care am aflat eu, îl reprezintă tabla împărţirii. Cine se gândeşte să înveţe pe de rost încă o tablă, pe lângă tabla înmulţirii, acela sigur nu este o persoană cu o gândire deosebit de sprinţară.

3) În aceste condiţii mutarea problemelor aritmetice în clasa a 5-a pare cel mai raţional gest. Există un singur impediment la acest pas: profesorii sunt departe de gestul de blândeţe maternă de a sta lângă cel mic cu răbdare şi a încerca să-i formeze gândirea (nu pretind că toate învăţătoarele ar poseda răbdarea şi gândul pentru aşa ceva). Profesorul este fugărit de multă materie şi vrea eficienţă. Iar eficienţa în acest caz se găseşte în ecuaţii. Mai exact, în punerea unei probleme în ecuaţie. Aşa că autorii programei au luat cea mai logică decizie: au eliminat ecuaţiile din clasa a 5-a.

Minunat raţionament! Cu o singură scăpare: nimeni nu a explicat aceste aspecte profesorilor. Tot ce am încercat să lămuresc în aceste trei puncte sunt doar gândurile mele personale; nu le-am găsit niciunde pentru că niciunde nu există nici cea mai mică justificare a acestei mutări. Dacă explicaţia mea nu este corectă, atunci trebuie că există altă explicaţie; care este această? Se poate totuşi găsi şi o explicaţie a ne-existenţei unor explicaţii oficiale: dorinţa de a evita înjosirea învăţătoarelor. Multe doamne învăţătoare s-ar simţi jignite de un astfel de punct de vedere oficial.

4) Totul bine şi logic până aici, numai că olimpiştii nu au fost deloc de acord la început cu cerinţa de a abandona mult-iubitele ecuaţii. Mişcarea i-a scos puternic din “zona de confort”. Până la urmă însă lumea s-a obişnuit cu ideea respectivă şi în general nu se mai învaţă în clasa a 5-a punerea în ecuaţie.

5) Mai rămân câţiva actori ai acestui tablou, a căror situaţie trebuie analizată: părinţii, mai ales cei buni la matematică, care nu înţeleg de ce să nu se pună o problemă în ecuaţie. Dacă au lipsit explicaţiile la adresa dascălilor, ce să ne mai aşteptăm în legătură cu lămurirea părinţilor? Singurii care ar fi putut face eficient această lămurire – profesorii – nu ştiu nici ei ce se întâmplă.

Cred că o înţelegere a acestor aspecte îl poate lămurii pe profesorul de matematică despre rolul său şi al acestor probleme în formarea gândiri elevilor, dându-i o doză de energie în a se implica mai intens în această lecţie. Cu mine aşa s-a întâmplat. NU se pune problema să abandonăm punerea în ecuaţie, nici reţetele,adică metodele respective (figurativă, a falsei ipoteze, a mersului invers etc.). Problema este însă doar de a fi conştienţii că trebuie să folosim ocazia şi să încercăm să le activăm elevilor şi gândirea creatoare, nu doar capacităţile de a-şi însuşi o metodă pre-gătită şi optimizată de alţii înantea sa. Copiii trebuie învăţaţi să gândească! (mintea copilului trebuie lăsată şi încurajată să-şi “gătească” simgură raţionamente)  T.G.

P.S. În strădaniile mele am strâns probleme şi încerc să le ordonez şi să le adaptez folosirii actoale la clasă (când voi fi cât de cât mulţumit, poate le voi şi publica). Până atunci vă propun o problemă adaptată, refăcută din amintiri după o problemă citită într-o carte nemţească veche, în urmă cu peste 20 de ani în urmă (cartea era atunci deja foarte veche). Consider această problemă drept un bun exemplu la care mai bine stai departe de punerea în ecuaţie şi încerci o combinaţie între metoda mersului invers şi metoda grafică. Aşadar:

Află câţi cai sunt pregătiţi pentru alaiul regelui, ştiind că: la caleaşca regelui sunt înhămaţi jumătate din numărul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca reginei sunt înhămaţi jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal; la caleaşca servitorilor jumătate din numărul cailor rămaşi după primele două caleşti şi încă o jumătate de cal. În plus, mai ştim că pe lângă toţi caii înhămaţi la cele trei caleşti, mai rămâne un cal pentru însoţitorul de alai.

După citirea acestei probleme ţin întotdeauna să-i liniştesc pe elevi: nu vă speriaţi, nimeni nu taie sărmanii căluţi în două. Această problemă se rezolvă cu creionul, nu cu toporul.