Conferin┼ú─â Birte Vestergaard (2) ÔÇô Aspecte suplimentare

Fi┼če de descoperire a matematicii: auto-├«nv─â┼úarea ├«n grupuri mici; matematica ÔÇô o c─âl─âtorie de descoperire (Discovery sheets: Self-learning in small groups; Mathematics as a journey to discovery)

├Än finalul conferin┼úei d-nei Vestergaard, d├ónsa ┼či-a l─âsat cca. 5 min. pentrua r─âspunde la ├«ntreb─âri. Deoarece ├«ntreb─ârile erau multe ┼či se dep─â┼čise cu ├«nc─â 10 min. timpul alocat, d├ónsa ┼či-a trecut adresa de e-mail ├«n chat, propun├óndu-ne s─â-i scriem ┼či s─â continu─âm discu┼úiile cu alt─â ocazie. Mi-am salvat ┼či eu adresa, i-am scris, ┼či uite-a┼ča am ajuns ├«ntr-o grup─â cu al┼úi ┼čase colegi din Germania, to┼úi doritori de a afla mai multe despre minunatele ei fi┼če de lucru ┼či despre aceast─â metod─â interesant─â. O prim─â ├«nt├ólnire, de cunoa┼čtere, a avut loc ├«n 14.04.2021. ├Än grupa respectiv─â ne-am mai ├«nt├ólnit p├ón─â la ├«nceputul lui iunie de patru ori (cam la dou─â s─âpt─âm├óni, dar o dat─â am a┼čteptat chiar 4 s─âpt─âm├óni, pentru c─â fusese solicitat─â pentru o ├«nt├ólnire online ┼či de c─âtre dou─â doamne profesoare, parc─â din Thailanda erau …). A┼č dori s─â v─â prezint ├«n cele ce urmeaz─â alte aspecte ap─ârute ├«n aceste ├«nt├ólniri, ├«n plus fa┼ú─â de cele din timpul conferin┼úei de la Kassel, sau ├«n accentuarea unora deja exprimate. ├Än aceast─â grup─â discu┼úiile au mers ├«n limba german─â, a┼ča ├«nc├ót voi avea mult mai pu┼úine citate ├«n englez─â (citatele din explica┼úiile d-nai Vestergaard sunt prezentate ├«nclinat).

21.04.2021

Fi┼čele trebuie redactate ├«n pa┼či mici, pentru ca to┼úi elevii s─â se simt─â ├«n siguran┼ú─â (safe!). P─ârerea mea este c─â aceast─â politic─â a pa┼čilor mici ar trebui aplicat─â ├«n toate formele de predare, mai ales la ├«nceputul oric─ârei teme noi. Un contraexemplu ├«n acest fel ar fi situa┼úiile despre care am mai vorbit, c├ónd unii profesori, ├«n prima lec┼úie adev─ârat─â despre teorema lui Pitagora (├«n prim─âvara clasei a 7-a) ajung din prima problem─â, cel mult din a doua, deja la situa┼úii de calcule ira┼úionale.

Propozi┼úiile scurte sunt mai accesibile elevilor slabi. ├Än acest sens ├«mi aduc aminte de o emisiune cu Bear Grills, ├«n care invitatul s─âu, un actor afro-american ├«l imita pe Obama, spun├ónd c─â fostul pre┼čedinte al SUA are acest stil de a vorbi ├«n propozi┼úii scurte (iar asta ├«i face mesajul accesibil marii mase a popula┼úiei ÔÇô comentariul meu).

├Än mod obi┼čnuit profesorul este pozi┼úionat ├«ntre elevii buni, pe de-o parte, ┼či elevii slabi, pe de cealalt─â parte. ├Än metoda grupelor mici de lucru, apare o zon─â de discu┼úie direct─â ├«ntre elevul bun ┼či cel slab dintr-o grup─â, astfel ├«nc├ót elevii buni ajung s─â-i ajute direct, pe cei slabi, neintermediat, pentru c─â profesorul este poate ocupat ├«n alt─â parte.

Elevii sunt atra┼či mai mult de “├«ntreb─âri”, dec├ót de “ordine”: ce observi dac─â compari asta cu cealalt─â?, ├«n loc de efectua┼úi, calcula┼úi, g─âsi┼úi, demonstra┼úi!!! D-na Vestergaard recomand─â ├«ntreb─âri ├«n loc de cerin┼úe (Fragen stat Operatoren). Se pare c─â ├«ntreb─ârile sunt percepute ca mult mai bl├ónde, pe c├ónd cerin┼úele apar ca dure, agresive, ultimative. Asta mai ales de c─âtre elevii speria┼úi de matematic─â.

Da, ┼či destul de repede d-na profesoar─â a ajuns iar la subiectul ei preferat, anume la nivelul de siguran┼ú─â al orei de matematic─â, din punct de vedere al elevului speriat (the level of safety!). Aici ne-a adus o nou─â schi┼ú─â reprezent├ónd istoricul de experien┼úe al elevului obi┼čnuit:

Astfel, ├«n via┼úa lor ┼čcolar─â, multor elevi le sunt blocate ini┼úiativele, pe baza diferitelor argumente: asta nu e voie, asta nu se face, e interzis!, e gre┼čit, Ha-Ha! (adic─â s-a r├ós de el) etc. ├Än schi┼úa de mai sus elevul este prezentat ├«n centru, s─âge┼úile reprezint─â ini┼úiativele sale (inclusiv r─âspunsurile sale), iar liniu┼úele care blocheaz─â diferitele s─âge┼úi reprezint─â argumente de refuz de tipul celor enumerate aici. ├Än urma multor astfel de experien┼úe, de la o vreme elevul se blocheaz─â, nu mai are ini┼úiative, ap─âr├ónd un fel de pr─âbu┼čire ├«n sine. Pentru un elev care-┼či expune p─ârerea cu entuziasmul plin de incon┼čtien┼ú─â al v├órstei, aceste argumente de blocare ac┼úioneaz─â ├«njositor, mai ales dac─â se ├«nt├ómpl─â ├«n fa┼úa clasei (socialul este de multe ori vital pentru copii, mai ales ├«n pubertate). ├Än filmule┼úele prezentate ├«n timpul conferin┼úei diferi┼úi elevi povestiser─â despre ├«njosirile repetate prin care trecuser─â ├«n trecut (adic─â ├«n perioada cunoscut─â la noi drept “gimnaziu”).

Este foarte important ca elevul s─â nu fie ├«njosit de nimeni, niciodat─â! (Niemals gedehm├╝tigt werden von niemanden) Dac─â s-a r├ós de un elev, de exemplu dac─â acesta a ├«ntrebat pentru c─â n-a ├«n┼úeles, atunci acesta nu va mai ├«ntreba niciodat─â. Mai mult, nici ceilal┼úi din clas─â nu vor mai ├«ndr─âzni s─â ├«ntrebe, din fric─â de a nu fi ┼či ei ├«njosi┼úi (├«n general se sub├ón┼úelegea ├«njosirea din partea unor colegi mai buni, nu din partea profesorului).

Profesorul trebuie s─â trezeasc─â din nou curajul ÔÇô ├«n matematic─â ÔÇô ┼či la elevii mediocri sau chiar submediocri. Idealul cel mai ├«nalt al unui profesor trebuie s─â fie de a explica a┼ča de bine, ├«nc├ót s─â ├«n┼úeleag─â to┼úi elevii.

Cât despre elevi, în cazul în care unul nu a înţeles, acesta are responsabilitatea de a întreba pe cineva pentru a se lămurii (fie pe profesor, fie pe un coleg). Dacă un elev n-a înţeles, acesta trebuie să se mai străduiască până înţelege (este dator să se străduiască).

Dar pentru asta, elevul trebuie s─â se simt─â ├«n siguran┼ú─â (safety): elevul poate s─â vin─â ├«n aceast─â or─â de matematic─â cu tot ce este el (desigur, ├«n limitele bunilui sim┼ú). Spunea d-na profesoar─â: dac─â observ o ├«njosire ├«ntre elevi, atunci ac┼úionez imediat ├«mpotriva vinovatului. Pentru d├ónsa ├«njosirea elevilor slabi de c─âtre cei buni, chiar ┼či cea neinten┼úionat─â, incon┼čtient─â, reprezint─â una din grijile majore, pentru c─â este cauza principal─â a blocajului celor inhiba┼úi. Elevul bun trebuie s─â-┼či dezvolte un sim┼ú social pentru “cel de al─âturi”, de a nu-l ├«njosi nici din gre┼čeal─â, dar─âmite inten┼úionat. Chiar ┼či ├«ntr-o ┼čcoal─â care nu promoveaz─â pe fa┼ú─â excelen┼úa (cum este a noastr─â: “s─â v─âd care ┼čtie primul”), apare natural o concuren┼ú─â ├«ntre elevi, bazat─â pe cursa dup─â admira┼úia dasc─âlului sau pur ┼či simplu bazat─â pe bucuria de a fi g─âsit r─âspunsul corect. Dimpotriv─â, este o art─â felul cum ├«i spui unui elev care a dat un r─âspuns gre┼čit c─â nu e bine. Este normal ca celal┼úi elevi s─â nu st─âp├óneasc─â aceast─â art─â ┼či de aici apare fenomenul respectiv de ├«njosire a celor slabi (la noi nici profesorii nu-┼či prea fac g├ónduri despre ideea de a nu-i ├«njosi pe cei care nu au nimerit r─âspunsul corect; iar “datoria” de a da note, inclusiv slabe, doar exacerbeaz─â de multe ori acest fenomen).

Spune d├ónsa c─â profesorul (mai ales cel de matematic─â) trebuie s─â fie un garant al siguran┼úei celor mai slabi (the spaceholder for safety). Trebuie s─â ne str─âduim s─â facem o atmosfer─â “safe”, o atmosfer─â ├«n care orice elev s─â se simt─â ├«n siguran┼ú─â. Eu, ca profesor, trebuie s─â le pot ar─âta elevilor c─â p─âstrez acest spa┼úiu “safe”, c─â p─âstrez acest “spa┼úiu al orei de matematic─â” ├«ntr-un nivel de siguran┼ú─â bun─â, de a nu fi ├«njosit, pentru orice elev.

Aici iau o pauz─â din traducere, pentru c─â m─â n─âp─âdesc amintirile unei ├«nt├ómpl─âri cu aproape zece ani ├«n urm─â. Era vorba despre o cerere de transfer la ┼čcoala noastr─â (├«nceputul clasei a 8-a) din partea unei mame a c─ârei fiic─â era ├«n mod agresiv ├«njosit─â de profesoara de matematic─â de la liceul de renume de unde vroiau cu disperare s─â plece. C├ónd un elev nu ┼čtia, profesoara ├«l ┼úinea ├«n picioare ┼či ├«i punea pe to┼úi ceilal┼úi s─â r─âd─â de respectivul ghinionist. Pentru c─â nu prea se ridica la preten┼úiile elitiste ale acelei profesoare, eleva cu pricina ajunsese ├«ntr-un blocaj total datorit─â acestor tratamente repetate. Cum se spune, era “pe marginea pr─âpastiei”. Atunci c├ónd mama m-a prezentat elevei respective, “d├ónsul este domnul director, cu d├ónsul vei face matematic─â”, fata a izbicnit instantaneu ├«n pl├óns. Ulterior d├ónsa mi-a spus c─â a f─âcut gestul respectiv inten┼úionat ca s─â v─âd c├ót de grav─â este situa┼úia.

Am primit-o ├«n ┼čcoala noastr─â ┼či i-am spus c─â ├«i las timp p├ón─â la vacan┼úa de iarn─â; nu o voi asculta, nu┬á o voi ├«ntreba, singura interac┼úiune matematic─â va fi doar c├ónd va considera ea s─â zic─â, sper├ónd c─â astfel i se vor vindeca r─ânile de pe sufle┼úel. ├Änainte de Cr─âciun i-am adus aminte de ├«n┼úelegere, mi-a zis c─â e OK, iar din ianuarie a fost elev─â cu drepturi ┼či datorii egale cu ceilal┼úi. A avut noroc de un an cu subiecte la EN mai u┼čoare (foarte mul┼úi au luat 10 ├«n acea var─â, inclusiv o elev─â din clasa respectiv─â), iar ea a reu┼čit undeva peste 6. Dac─â am fi avut m─âcar un semestru ├«n plus, sunt sigur c─â s-ar fi apropiat chiar de 8.

Citind noti┼úele dup─â care v─â scriu aceste r├ónduri, nu pot s─â nu fiu uimit de diferen┼úa de la cer la p─âm├ónt ├«ntre situa┼úia respectiv─â ┼či atitudinea descris─â de colega din Norvegia. Din acest motiv am scris la sf├ór┼čitul primei p─âr┼úi a acestei prezent─âri, c─â b─ânuiesc c─â situa┼úia prezentat─â s-ar putea s─â par─â multora de-a dreptul extraterestr─â. Dar s─â revenim la d-na Vestergaard.

Pentru d├ónsa este vorba despre arta de a reu┼či s─â-i faci pe elevi s─â ias─â din cochilia lor. D├ónsa a folosit expresia s─â reu┼če┼čti s─â ├«ndep─ârtezi aceast─â “capsulare”, fiecare elev ├«nchiz├óndu-se ├«n capsula sa (diese Abkapseln wegkriegen, jeder in seine Kapsel). Spune d├ónsa: a┼č dori s─â le “├«nsu┼če┼čc” ├«n mod drag matematica acestei clase (ich m├Âchte liebevoll die Mathematik dieser Klasse eineignen).

├Än alt─â ordine de idei, d├ónsa spunea c─â procesul de descoperire (a elementelor lec┼úiei, desigur) ac┼úioneaz─â altfel dec├ót explica┼úiile, la care de multe ori elevul nu are nici un chef s─â fie atent. La desoperirea unui lucru ai o mare bucurie, pentru c─â prime┼čti o doz─â de dopamin─â (Dopamin-shott), dar asta nu se ├«nt├ómpl─â dac─â treaba respectiv─â ├«┼úi este explicat─â. Problema este c─â noi profesorii trebuie ├«n a┼ča fel s─â preg─âtim materialul, ├«nc├ót elevii s─â descopere singuri, s─â le vin─â singuri ideea despre ce ┼či cum. Apoi, cu timpul, elevul va avea ├«ncredere c─â noi ├«i preg─âtim materiale la care, dac─â se porne┼čte s─â lucreze, va ajunge s─â descopere anumite lucruri, iar aceasta ├«i va da o mare bucurie (doza de dopamin─â), asta poate chiar de mai multe ori ├«ntr-o lec┼úie (lectia ca un spa┼úiu temporal pentru c─âutare de comori, de “nestemate matematice”, aduc─âtoare de mare bucurie; ce frumos spusese ├«n timpul conferin┼úei “v├ón─âtoare de comori”).

Dar pentru ├«nceput trebuie s─â ne str─âduim ca elevii s─â fie absobi┼úi ├«n acest v├órtej. Dac─â o grup─â nu ├«ncepe s─â lucreze, trebuie s─â-i atragi cumva ├«n acest proces, ├«n v├órtejul curiozit─â┼úii, care duce apoi la descoperire. Aceast─â ultim─â precizare a venit ├«n urma unei ├«ntreb─âri: dar ce facem dac─â elevii dintr-o grup─â nu ├«ncep s─â lucreze? R─âspunsul doamnei profesoare a fost mai amplu, d├ónsa explic├ónd cum ├«ncearc─â s─â-i conving─â prietene┼čte, ├«n nici un caz agresiv (precizarea cu agresivitatea ├«mi apar┼úine).

Mai trebuie s─â fac aici o observa┼úie: d├ónsa folose┼čte cuv├óntul descoperire ├«n sensul folosit ┼či de George P├│lya ├«n cartea sa Descoperirea ├«n Matematic─â, respectiv descoperirea unei rezolv─âri sau a altor elemente matematice, care desigur au fost preg─âtite dinainte ┼či ascunse pe acest traseu al “c─âut─ârii de comori”, care reprezint─â fi┼ča de lucru, sau orice alt─â sarcin─â dat─â de c─âtre profesor. Deci, fiecare elev trebuie s─â descopere lucrurile respective din nou. A┼ča este mai bine, a┼ča ├«i va aduce bucurie (doza de dopamin─â), a┼ča va ajunge s─â iubeasc─â matematica, nu explic├óndui toate cele ┼či cer├óndu-i s─â le recep┼úioneze ├«n mod pasiv. Eu personal am experien┼ú─â mult─â ├«n a-i ├«ndruma pe elevi frontal pe aceast─â cale a descoperirii elementelor unei lec┼úii (predarea prin descoperire, ca form─â extrem─â a pred─ârii prin problematizare). Ar mai trebui s─â reu┼česc pasul c─âtre redactarea unor fi┼če ├«n acest sens.

Revenind la sfaturile d-nei profesoare, d├ónsa preciza c─â ÔÇô cel pu┼úin pentru ├«nceput ┼či mai ales pentru elevii mai slabi ÔÇô profesorul este responsabil at├ót pentru alegerea unor teme c├ót mai entuziasmante ├«n sine (unele teme sunt mai potrivite, altele sunt “mai plate” din acest punct de vedere), c├ót ┼či mai ales pentru entuziasmarea elevilor, elevii mai slabi nefiind ├«n stare la ├«nceput s─â se entuziasmeze pentru o tem─â nou─â din matematic─â. Iar dac─â nu este entuziasm, atunci elevii nu au nici imboldul de a lucra singuri pe aceste fi┼če.

5.05.2021

├Än aceast─â nou─â ├«nt├ólnire d-na Birte Vestergaard a aten┼úionat cum frica de matematic─â este comb─âtut─â prin experien┼úe de succes ├«n matematic─â. Apoi d├ónsa preciza c─â orice metod─â se nume┼čte cu adev─ârat “pedagogic─â”, dureaz─â mult mai mult, mult-mult mai mult dec├ót doar predarea simpl─â a materiei respective (prelegerea este cea mai eficient─â cale din punct de vedere temporal, dar este ┼či cea mai pu┼úin pedagogic─â)

Mai ales la ├«nceputul unei teme noi este foarte important s─â ai r─âbdare, s─â le dai elevilor timp s─â intre ├«n noua tem─â ┼či s─â se acomodeze ├«n aceasta. Dup─â ce s-au stabilizat ├«n subiectul cu pricina, la o adic─â, dac─â spre sf├ór┼čitul orei ├«┼úi dai seama c─â nu-┼úi mai ajunge timpul ├«n ritmul acesta lent, atunci po┼úi s─â-┼úi permi┼úi ┼či o por┼úie de predare, pentru c─â elevii te vor putea urm─ârii (au ├«n┼úeles despre ce este vorba; sunt obi┼čnui┼úi deja s─â g├óndeasc─â ├«n acest subiect). Dar oricum, nu-i foarte s─ân─âtos (s─â predai prin prelegere).

Ideea este deosebit de bun─â: la ├«nceput mergi cu r─âbdare, astfel ├«nc├ót to┼úi elevii s─â prind─â subiectul respectiv, cu nuan┼úele sale, iar apoi, la nevoie, po┼úi ┼či s─â m─âre┼čti viteza spre final. Cu alte cuvinte, preciza Birte (ne cam tutuim): timpul “pierdut” la ├«nceput ca s─â prind─â to┼úi, se c├ó┼čtig─â mai ├«ncolo.

Ca exemplu ÔÇô pentru entuziasmarea elevilor ┼či atragerea lor ├«n acel v├órtej al curiozit─â┼úii ┼či al lucratului ÔÇô ne-a dat introducerea progresiei geometrice pe baza vechii probleme cu boabele pe tabla de ┼čah, cum construie┼čte generaliz─âri, iar ├«n final scoate (ca o bagatel─â) observa┼úia plin─â de uimire: UAU, exist─â ┼či progresii aritmetice!

Revenind la problema cu boabele de orez pe tabla de ┼čah, d├ónsa ne-a recomandat filmule┼úul existent pe Youtube sub numele Ricecornparable German/English, u┼čor de g─âsit direct si la adresa https://www.youtube.com/watch?v=KnQZ3Mg6upg. Poate fi folosit ┼či la clas─â, dar mai ales ├«n online (merge desigur dat ┼či ca tem─â, pur ┼či simplu s─â se uite la filmule┼ú acas─â cu scopul evident de continuare a st─ârii de entuziasmare).

Despre prezentarea de final au fost c├óteva observa┼úii deosebit de valoroase. Astfel, prin aceast─â activitate zilnic─â elevii sunt educa┼úi s─â prezinte un material, s─â nu se lungeasc─â (adic─â s─â respecte timpul celorlal┼úi, “ai 5 minute”), s─â fie clari ├«n prezentare. Elevii care ascult─â trebuie s─â fie aten┼úi, dar s─â fie ┼či empatici: dac─â au o nel─âmurire, trebuie s─â ├«nve┼úe cum s─â o spun─â f─âr─â a-l jigni pe cel de la tabl─â, care este desigur ├«ntr-o pozi┼úie vulnerabil─â. Empatia este exersat─â ┼či de cel care prezint─â: el trebuie s─â o fac─â sim┼úindu-┼či to┼úi colegii, astfel ├«nc├ót ┼či cei mai slabi s─â ├«n┼úeleag─â. ├Än preg─âtirea scurt─â a prezent─ârii, elevii se antreneaz─â ca s─â ajung─â la esen┼úa unui material (s─â nu “bat─â c├ómpii”).

Dac─â au de ales, elevii vor la tabl─â doar dac─â ┼čtiu c─â vor avea succes. ├Än acest format de lec┼úie elevii sunt chema┼úi la tabl─â pe un material pentru care tocmai s-au preocupat (proasp─ât) ┼či pe care tocmai au avut timp s─â ├«l preg─âteasc─â (a fost avertizat din timp). Oricum, aceste prezent─âri ale elevilor sunt un element greu de introdus iar acest pas trebuie f─âcut cu mult─â r─âbdare.

La ├«nceput, ├«n primele ore lucrate pe acest format, grupa aleas─â s─â fac─â prezentarea prime┼čte timp p├ón─â a doua zi: “o face┼úi azi ├«ntr-o pauz─â sau c├ónd ave┼úi pu┼úin timp liber”. Cu c├ót elevii cap─ât─â mai mult─â experien┼ú─â (poate dup─â un an), procesul poate fi gr─âbit. Ei sunt anun┼úa┼úi c─â au fost ale┼či s─â fac─â prezentarea, au pentru asta 2-3 minute la dispozi┼úie, iar apoi vin direct la tabl─â s─â fac─â prezentarea (D-na profesoar─â mima o ├«ncurajare de tipul: “pute┼úi s-o face┼úi, a┼ča-i?, eu sunt sigur─â c─â pute┼úi!“). Probabil c─â o corelare ├«ntre o tem─â mai accesibil─â ┼či o grup─â care a terminat mai repede poate fi numai bun─â pentru a trece la aceast─â faz─â mai matur─â. Cu timpul reu┼česc apoi to┼úi s─â treac─â la prezent─âri f─âr─â o mare preg─âtire.

O astfel de activitate desf─â┼čurat─â cu succes ├«i d─â foarte mult─â ├«ncredere matematic─â unui elev, pentru c─â de obicei ├«n prezentarea sa acesta a fost nevoit s─â includ─â no┼úiuni descoperite de el ├«n acea or─â. ├Än general ├«l antreneaz─â ┼či ├«i d─â ├«ncredere s─â cuprind─â corect orice subiect nou.

2.06.2021

De la ├«nceput s-a pus problema ├«n aceast─â grup─â de preluare a unor fi┼če de descoperire. D-na Vestergaard le-a oferit cu drag, doar c─â aceste erau ├«n norvegian─â. D├ónsa fiind ├«ns─â danez─â, se pare c─â au func┼úionat mai bine programele de traducere din danez─â (nu ┼čtiu care sunt diferen┼úele sau asem─ân─ârile dintre cele dou─â limbi). Oricum, de la o vreme au ap─ârut ├«n grup fi┼če ├«n limba german─â. Eu nu le pot folosi ca ├«ntreg pentru c─â forma noastr─â de matematic─â este mult diferit─â de cea practicat─â acolo. Pot doar s─â m─â inspir ┼či eventual s─â iau pasaje din acestea pentru a le integra ├«n viitoare fi┼če de lucru redactate aici.

La aceast─â ├«nt├ólnire unii dintre colegi acumulaser─â deja experien┼ú─â la clas─â pe aceste fi┼če, a┼ča ├«nc├ót ap─âreau ┼či ├«ntreb─âri ┼úintite. Simt c─â una dintre aceste ├«ntreb─âri ar fi de mare interes pentru profesorul rom├ón: ce se ├«nt├ómpl─â cu elevii buni, care termin─â repede iar apoi se plictisesc (de pild─â dac─â o grup─â termin─â mult ├«nainte)? Nu po┼úi s─â-i tot ┼úi ├«n urm─â, doar s─â le explice celor mai slabi. Mai ales ├«n cazul temelor de lucru mai u┼čoare, pentru astfel de cazuri d-na profesoar─â vorbea de ni┼čte fi┼če suplimentare, trat├ónd ramuri ale temei zilei, aspecte ce nu au fost incluse ├«n fi┼ča dat─â tuturor. Ace┼čti elevi au apoi ca sarcin─â ├«n final s─â le prezinte pe scurt ┼či colegilor.

Revenind la clasa ├«ntreag─â, mi-am notat un citat care merit─â evocat: bine introdu┼či ┼či condu┼či ├«ntr-un spa┼úiu lipsit de fric─â (vorbea de activitatea profesorului de conducere a elevilor prin lec┼úia de matematic─â). Acest tip de lec┼úie face diferen┼úa ├«ntre ├«nv─â┼úarea pasiv─â ┼či ├«nv─â┼úarea activ─â, dar asta func┼úioneaz─â doar ├«ntr-un spa┼úiu sigur (in a safe room). Leg─âtura este foarte important─â: ├«n siguran┼ú─â dac─â ├«ntrebi, ├«n siguran┼ú─â dac─â gre┼če┼čti, ├«n siguran┼ú─â s─â-┼úi aduci ideile tale.

D-na Vestergaard spunea c─â acest format de lec┼úie transform─â “v├óntul din fa┼ú─â” ├«n “v├ónt din spate”. Elevul slab ajunge s─â tr─âiasc─â zilnic bucurii de felul: Uau! EU am ├«n┼úeles asta! Elevul bun are zilnic bucurii de felul: Uau! EU am descoperit asta! Dar pentru asta profesorul trebuie s─â reu┼čeasc─â s─â transforme cultura de predare, s─â-┼či ├«ntoarc─â paradigma de g├óndire dinspre sine, ca surs─â de matematic─â, ├«nspre elev, ca obiectiv principal al lec┼úiei. ┼×i, dup─â cum am v─âzut ├«n aceste ├«nt├ólniri, cultura educa┼úional─â a profesorului trebuie s─â se ├«ndrepte c─âtre elevi ├«n general (nu doar c─âtre cei buni la matematic─â) ┼či totodat─â trebuie s─â se ├«ndrepte c─âtre elevul ├«ntreg, nu doar c─âtre g├óndirea ┼či stocarea matematicii de c─âtre elevi.

O ultim─â observa┼úie personal─â a┼č avea aici. ├Än timp ce lucrez la acest articol, ├«n mass media lumea este n─âucit─â de at├ótea ┼čtiri despre accidentele de pe ┼čoselele din Rom├ónia. Vara aceasta, finalul lunii iulie ┼či ├«nceputul lui august au adus foarte multe accidente pe ┼čosele, soldate din p─âcate cu multe victime. De peste tot se cere “s─â ne respect─âm unii pe al┼úii ├«n trafic!”. Dar de ce avem aceast─â situa┼úia destul de generalizat─â? P─âi simplu, dup─â 40 de ani ├«n care ├«n ┼čcoli s-a promovat doar concuren┼úa ┼či egocentrismul, acesta este rezultatul. Cum s─â ne respect─âm unii pe ceilal┼úi c├ónd numai asta nu am ├«nv─â┼úat ├«n timpul ┼čcolii?

Dac─â ne putem a┼čtepta ca fo┼čtii elevi buni s─â nu ajung─â ni┼čte adul┼úi frustra┼úi (pentru c─â au primit de obicei factorul formator al matematicii) dimpotriv─â, ├«n cazul fo┼čtilor elevi slabi, ├«njosi┼úi ┼či frustra┼úi masiv ├«n anii de ┼čcoal─â, efectul este debordant: odat─â ajun┼či adul┼úi, la volanul unor ma┼čini puternice, “p─âzea! c─â vine el!”. Primul pas pe acest “drum al revan┼č─ârii” sunt desigur c├óinii de lupt─â” din diferitele rase care impun fric─â (toat─â lumea se d─â de-o parte c├ónd ├«i iese ├«n cale un Rottweiler sau un Pitbull). Acest pas apare de obicei mai repede, ├«naintea v├órstei de 18 ani. Apoi apare dorin┼úa fierbinte pentru carnetul de conducere ┼či pentru o ma┼čin─â c├ót mai “tare”.

Tabloul este desigur mult mai complicat de at├ót, dar oricum eu v─âd multe conexiuni cu cele prezentate mai sus. Dau aici c├óteva exemple la ├«nt├ómplare: educarea empatiei fa┼ú─â de ceilal┼úi, capacitatea de planificare (aplicat─â de pild─â pe planificare drumului c─âtre mare), educarea pentru a nu epata, o perioad─â ┼čcolar─â (de formare) care s─â nu produc─â o viitoare personalitate frustrat─â etc. Iar acestea ar fi doar c├óteva aspecte la care noi profesorii, formatorii de viitori adul┼úi, ar trebui s─â ne g├óndim.

Iar acum voi fi deosebit de dur: c├ónd un ┼čofer este at├ót de incon┼čtient ├«n comportamentul s─âu pe ┼čosele, ├«nc├ót ajunge s─â omoare oameni (poate inclusiv pe el ├«nsu┼či sau din familia sa), atunci c├ót─â vin─â ar trebui s─â resimt─â fo┼čtii s─âi profesori care s-au ocupat ani ├«n ┼čir la orele de matematic─â doar ├«nspre doparea celor buni ai clasei (pe baza c─ârora s─â-┼či poat─â apoi etala rezultate la concursuri ┼či examene), neglij├óndu-i pe cei slabi, ├«njosindu-i c├ót de des, astfel ├«nc├ót mul┼úi dintre ace┼čtia s─â ajung─â adul┼úi frustra┼úi, care n-au beneficiat ├«n nici un fel de factorul educativ general al matematicii, av├ónd dimpotriv─â o personalitate distrus─â ┼či agresiv─â??? ┬áCTG (va urma!)

Conferin┼ú─â Birte Vestergaard (1) ÔÇô Fi┼če de descoperire a matematicii ├«n grupuri mici Kassel ÔÇô 28 martie 2021

Fi┼če de descoperire a matematicii: auto-├«nv─â┼úarea ├«n grupuri mici; matematica ÔÇô o c─âl─âtorie spre descoperire (Discovery sheets: Self-learning in small groups; Mathematics as a journey to discovery)

La sf├ór┼čitul lunii martie 2021 a avut loc tradi┼úionalul curs de la Kassel (Germania) pentru profesorii de liceu din ┼čcolile Waldorf. ┬áEu am participat la acest curs ├«n 2016 ┼či ├«n 2019; ├«n 2020 cursul s-a anulat (dar oricum nu eram ├«nscris); anul acesta cursul a avut loc ├«n format online (eu am participat “din camera mic─â”, unde m-am izolat pe parcursul celor 6 zile de curs).

D-na Birte Vestergaard vine din Danemarca, dar pred─â la Norvegia. D├ónsa ne-a prezentat ├«n conferin┼úa din 28 martie o metod─â extrem─â de lucru pe grupe, prin care reu┼če┼čte s─â recupereze “elevii slabi”,┬á cu mult─â r─âbdare ┼či totu┼či hot─âr├ót─â determinare. Practica d├ónsei se refer─â la clasele de liceu, iar prezentarea conferin┼úei a fost ├«ntrerupt─â ├«n c├óteva r├ónduri de scurte filmule┼úe ├«n care diver┼či elevi de clasa a 11-a ├«┼či prezentau sentimentele ┼či experien┼úele personale ├«n cadrul acestei forme de lec┼úie de matematic─â.

Concret, la ├«nceputul orei elevii sunt aranja┼úi pe grupe de lucru de c├óte 3 persoane. D-na Vestergaard a explicat hot─âr├ót c├ót de bine func┼úioneaz─â socialul grupelor la acest num─âr, a┼ča ├«nc├ót permite cel mult o grup─â de 2 sau de 4 persoane (dup─â cum merge restul ├«mp─âr┼úirii la 3).┬á Grupele sunt alese ├«n fiecare or─â la ├«nt├ómplare (groups are random, resets every day), de obicei pe baz─â de num─âr─âtoare (de ex. 32 de elevi ├«mp─âr┼úit la 3 d─â 11; profesorul num─âr─â elevii de trei ori p├ón─â la 11, ├«n fiecare zi pe alt “traseu”). Ca o observa┼úie special─â din partea mea, trebuie s─â precizez c─â nu s-a discutat defel interac┼úiunea foarte apropiat─â a elevilor, total nerecomandat─â ├«n aceste vremuri de pandemie de Covid 19 (dar nici norvegienii nu-s at├ót de apropia┼úi ├«n socialul lor extra┼čcolar ca noi; acolo te po┼úi baza mai bine c─â nu-┼úi aduce un coleg cine ┼čtie ce covi┼úel la ┼čcoal─â).

Materialul de studiu, lec┼úia este cuprins─â ├«ntr-o o fi┼č─â de lucru, pe care fiecare grupule┼ú de elevi trebuie s─â o munceasc─â, descoperind astfel con┼úinuturile lec┼úiei pe parcursul exerci┼úiilor din fi┼č─â. Elevii lucreaz─â, fiecare ├«n grupul s─âu, par┼úial individual, par┼úial ├«mpreun─â, parcurg├ónd fi┼ča ┼či descoperind itemii preg─âti┼úi, ├«n formatul “predare prin problematizare”. Precizez aici c─â ├«n ┼čcolile Waldorf se lucreaz─â foarte mult ├«n ore duble (chiar f─âr─â pauz─â), a┼ča ├«nc├ót este de a┼čteptat ca metoda s─â mearg─â ceva cam str├ómtorat ├«n ore singure, de 45-50 min. Am convingerea c─â se poate, dar fi┼čele trebuie adaptate pentru a fi cu adev─ârat accesibile cantitativ oric─ârui elev).

Pentru finalul orei este ales de fiecare dat─â un alt grup de 3 pentru a prezenta pe scurt elementele de baz─â ale lec┼úiei respective, iar fiecare elev al clasei ├«┼či completeaz─â noti┼úele dup─â “predarea” acestora (elemente pe care de fapt cam to┼úi le descoperiser─â deja ├«n timpul lucrului). Da┼úi-mi voie s─â v─â prezint ├«n continuare scurtele idei din noti┼úele mele scrise ├«n grab─â ├«n timpul prezent─ârii libere a d-nei Vestergaard (vorbele d├ónsei sunt prezentate ├«nclinat, uneori ┼či ├«n original, ├«n englez─â; comentariile mele suplimentare apar scrise drept; schi┼úele ├«nso┼úitoare sunt f─âcute cu m├óna, pe acela┼či caiet pe care am scris ┼či ├«n timpul conferin┼úei, ca s─â v─â ofer mai bine atmosfera respectiv─â).

*

Tradi┼úional ÔÇô predare frontal─â, centrat─â pe profesor. ├Än aceast─â form─â predarea merge unisens, doar de la profesor c─âtre elevi, dup─â cum se vede ├«n schi┼úa al─âturat─â:

├Än acest format de lec┼úie obi┼čnuit, cei care nu ├«n┼úeleg se “ascund” ├«n mul┼úimea clasei; a┼ča apare frica de matematic─â, anxietatea fa┼ú─â de matematic─â (math anxiety), care este oribil─â ┼či umilitoare! Dialogul ├«n plenul clasei este deosebit de dificil pentru mul┼úi elevi, care de obicei se inhib─â, aceast─â stare devenind pentru ei cu timpul starea lor obi┼čnuit─â la ora de matematic─â.

├Änv─â┼úarea pasiv─â este ├«nlocuit─â cu o ├«nv─â┼úare activ─â: ├«n grupul cu ├«nc─â doi colegi, nici elevii slabi nu se mai “ascund”; oricum, lec┼úia nu mai apare scris─â pe tabl─â, a┼ča ├«nc├ót ┼či ace┼čtia trebuie ÔÇô volens, nolens ÔÇô s─â devin─â activi.

Aceast─â form─â de lec┼úie este una centrat─â pe elev, iar asta se simte cu timpul: fiecare elev ajunge s─â se implice, ajunge s─â se simt─â apreciat ┼či ajunge s─â se simt─â demn din punct de vedere matematic.

Prin acest tip de lec┼úie se dore┼čte ca elevii s─â devin─â activi ├«n rezolvarea problemelor (We want to get them active in problem solving, to get them engaged in problem solving!).

Aceasta se ob┼úine prin trezirea ├«ntreb─ârii “De ce?” Odat─â trezit─â aceast─â ├«ntrebare ├«n sufletul elevului, acesta se apuc─â de lucru cu hot─âr├óre, iar dup─â ce ajunge la rezultat apare a┼ča-zisa experien┼ú─â de “Aha!“. ┬áAceasta, la r├óndul ei atrage curiozitatea pentru urm─âtoarea ├«ntrebare “de ce?” ┼či ciclul se poate relua.

Învăţarea activă generează dialogul clasei, care nu mai este doar unisens de la profesor către elevi, ci merge în ambele sensuri.

├Än grupurile de lucru, munca la ├«ntrebarea “de ce?” devine liber─â la dezbatere ┼či ajutor (at├ót ├«ntrebatul c├ót ┼či explica┼úia), ├«ntr-un mod viu ┼či neinhibat.

Astfel, elevii descoper─â legile matematicii prin ├«nv─â┼úarea activ─â pe baza foilor de lucru pentru descoperire (Students discovering laws through active learning on discovery sheets). Prin acest tip de fi┼če de lucru, are loc ├«nv─â┼úarea matematicii ca o “v├ón─âtoare de comori” (Learning math as a “treasure hunt”!).

Profesorul ajunge să susţină un dialog în ambele sensuri, dar nu cu elevi individuali, ci cu grupuleţele de câte trei, care oricum interacţionează între ei, lecţia de descoperire a matematicii devenind mult mai vie.

Grupurile mici oferă o siguranţă mai bună pentru elevii timizi sau slabi (small groups are safer for the shy and weaker students). În intimitatea grupurilor mici ei pot înţelege orice întrebând (they can understand everything by asking).

A-i ├«nv─â┼úa pe ceilal┼úi (teaching others!): elevii mai buni au provocarea de a-i l─âmuri pe colegii lor mai slabi, de a le explica atunci c├ónd ace┼čtia nu ├«n┼úeleg (stronger students get a challenge to explain for weaker students).

├Änv─â┼úarea diferen┼úiat─â are astfel loc ┼či aici: diferen┼úele de “nivel academic” devin o resurs─â a ├«nv─â┼ú─ârii ┼či nu o surs─â de ostracizare (differences of academic level become a resource, not an ostracle). Astfel, se ajunge la o ├«nv─â┼úare simbiotic─â (symbiotic teaching!)

Cum am spus, c─âtre finalul lec┼úiei, un grup este ales de c─âtre profesor s─â fac─â o prezentare a lec┼úiei la tabl─â. Dup─â o scurt─â preg─âtire ace┼čtia ies ├«n fa┼úa clasei ┼či prezint─â lec┼úia ├«n rezumat, form─â pe care toat─â clasa ┼či-o transcrie ├«n caiet. Profesorul are ├«n acest moment doar un rol de simplu supraveghetor. Iat─â cum arat─â schi┼úat─â aceast─â ultim─â faz─â a lec┼úiei:

D-na Birte Vestergaard a vorbit apoi despre atmosfera din clas─â la ora de matematic─â. Astfel, d├ónsa caut─â o atmosfer─â care s─â-i sprijine ┼či pe elevii slabi, care vin deseori cu inhibi┼úii anterior dob├óndite. ├Än multe din ├«nregistr─ârile prezentate, diferi┼úi “fo┼čti elevi slabi” povesteau despre frustr─ârile lor de ├«nceput, dar ┼či despre cum au putut reveni ├«n matematic─â prin acest tip de lec┼úie. Dar ┼či elevii buni povesteau cum au con┼čtientizat suferin┼úele colegilor lor, cum au ├«nv─â┼úat s─â-i ajute ┼či, ├«n ultim─â instan┼ú─â, cum au devenit ei ni┼čte oameni mai buni, mai respectuo┼či fa┼ú─â de cei de al─âturi.

Sala de clas─â trebuie s─â fie o ├«nc─âpere sigur─â pentru orice elev, s─â-i ofere siguran┼ú─â matematic─â ┼či elevului mai slab, pentru ca acesta s─â poat─â face ┼či el matematic─â f─âr─â a se sim┼úi ├«njosit (the classroom must be a “safe room” for the student). Elevul trebuie s─â se simt─â ├«n siguran┼ú─â dac─â ├«ntreab─â, ├«n siguran┼ú─â dac─â gre┼če┼čte ┼či ├«n siguran┼ú─â s─â aduc─â idei care ├«i trec prin cap (Safe to ask; safe to fail; safe to bring in ideas).

O altă colegă ce a urmărit această conferinţă a notat următoarea idee: un mediu bun, pozitiv, bazat pe siguranţa bunătăţii întegului colectiv (a good enviroment based on the safety of kindness!).

Munca dintre profesor ┼či elev este bazat─â pe un contract de responsabilitate mutual─â (Our work together is based on a contract of mutual responsibility!). Astfel:

Profesorul are datoria de a explica suficient de bine, de clar, astfel încât orice elev să poată înţelege, iar apoi să dea exerciţii pe care orice elev să le poată face (to explain well enough that every student understands; to give exercise that they are able to manage).

Elevul are datoria s─â ├«ntrebe atunci c├ónd nu ├«n┼úelege, ┼či desigur s─â fac─â exerci┼úiile primite (to ask when they don’t understand and to exersize).

Coment├ónd ├«n final despre posibilitatea ca un elev/o elev─â s─â nu ├«n┼úeleag─â nici c├ónd i se explic─â a doua oar─â, nici m─âcar c├ónd i se explic─â a treia oar─â, ├«ntreb├ónd astfel la r├óndul s─âu ┼či a treia oar─â, pentru c─â el/ea tot nu ├«n┼úelege, d-na Vestergaard venea cu urm─âtoarea idee: poate cineva s─â explice mai bine dec├ót mine? (can somebody explain it better than me?), lans├ónd astfel provocarea elevilor mai buni din clas─â, mai buni at├ót la matematic─â (fa┼ú─â de colegul respectiv) c├ót ┼či mai potrivit mental, fiind ca elev poate mai apropiat ├«n g├óndire fa┼ú─â de colegul aflat ├«n dificultate (cu toat─â bun─âvoin┼úa sa, profesorul nu poate uneori cobor├« mental at├ót de jos ├«nc├ót s─â conecteze cu starea unui elevul nedumerit).

Ca o observa┼úia de la care nu m─â pot ab┼úine, trebuie s─â comentez ├«n mod acid: mai ales partea de contractul mutual ce-i revine profesorului nu prea este ├«ndeplinit─â ├«n matematica ┼čcolar─â rom├óneasc─â. Mai exact, foarte rar c├ónd este ├«ndeplinit─â aceast─â parte ┼či pe la noi, iar starea respectiv─â de lucruri este sursa principal─â a pandemiei de medita┼úii ce ne ├«nconjoar─â. Sper c─â a┼úi sesizat str─âdania mea de a prezenta aceast─â observa┼úie ├«ntr-un mod c├ót mai rezervat acid! Dac─â ne g├óndim bine putem vedea cum nici profesorii, dar nici editurile care se ocup─â de manuale sau de auxiliare nu-┼či prea ├«ndeplinesc partea lor de “contract mutual” despre care se vorbea mai sus. De fapt am impresia c─â acest “contract mutual” poate fi privit aici, pe la noi, doar ca o simpl─â utopie, ceva care eventual func┼úioneaz─â acolo, ├«n ┼ú─ârile scandinave, dar sigur nu la noi (aici poate fi resim┼úit doar ca ceva absolut extraterestru!). CTG (va urma!)

Cu teorema lui Pitagora în vacanţă la greci

Site-ul de ┼čtiri timesnewroman.ro┬á relata la ├«nceputul vacan┼úei de var─â urm─âtoarele: Aglomera╚Ťie, nervi ╚Öi mii de rom├óni ├«ntor╚Öi din drum ├«n vama Kulata-Promachonas, dup─â ce autorit─â╚Ťile grece╚Öti au decis s─â interzic─â accesul ├«n ╚Ťar─â a turi╚Ötilor care nu cunosc teorema lui Pitagora. Rom├ónii bloca╚Ťi cu orele ├«n vam─â sus╚Ťin c─â fiecare a fost chemat ├«ntr-o gheret─â, sub pretextul efectu─ârii unui test. Se pare c─â ├«n loc s─â fie test rapid Covid, rom├ónii s-au trezit ├«ntreba╚Ťi scurt: ÔÇŁCare este teorema lui Pitagora?ÔÇŁ, iar cei care nu o ╚Ötiau erau trimi╚Öi ├«napoi.

Rom├ónii sunt revolta╚Ťi pentru c─â nu sunt l─âsa╚Ťi cu telefoanele ╚Öi nici nu se precizeaz─â dac─â este vorba de teorema lui Pitagora generalizat─â sau restr├óns─â, doar ├«n triunghiurile dreptunghice. Ca de obicei, autorit─â╚Ťile bulgare au dat dovad─â de aceea╚Öi nesim╚Ťire, n-au informat turi╚Ötii care intrau pe la Ruse ╚Öi nici n-au separat traficul pentru cei care ╚Ötiu ╚Öi cei care nu ╚Ötiu teorema lui Pitagora. Grecii sus╚Ťin c─â m─âsura este una preventiv─â: ÔÇŁAm descoperit c─â turi╚Ötii care cunosc teorema lui Pitagora au o igien─â mai bun─â ╚Öi au ╚Öi mai mul╚Ťi bani.┬á(…)

Articolul complet este de g─âsit la adresa de mai jos. ├Äntre timp, Grecia a intrat din nou ├«n zona ro┼čie a ┼ú─ârilor cu renumitul indice de peste 3 ÔÇ░. S─â fie oare de la modul defectuos de testare a turi┼čtilor care au mers acolo ├«n vacan┼ú─â? Dac─â i-ar fi ├«ntrebat ┼či despre teorema lui Thales, cine ┼čtie, poate lucrurile ar fi stat ceva mai bine …

Cozi la vama Kulata. N-au voie în Grecia cei care nu știu teorema lui Pitagora!