Prezentare de carte: Eugen Rusu – Problematizare și probleme în matematica școlară

De la începutul trebuie precizat că această carte ar trebui ridicată la rangul de “biblie a profesorului de matematică”. Orice profesor ar trebui să aibă un exemplar din aceasta, iar cartea ar trebui să fie la a “nu-ştiu-câta” ediţie. Din păcate lucrurile nu stau deloc aşa.

Să o luăm ordonat: lucrarea este apărută în anul 1978 la Editura didactică şi pedagogică, deci nu poate fi căutată decât în anticariate sau biblioteci.

Despre profesorul Eugen Rusu nu ştiu prea multe date. Pe Wikipedia există doar o menţionare a sa într-o listă a autorilor de manuale de matematică din România. Într-adevăr, numele său apare ca unic autor al unor manuale gimnaziale de aritmetică şi algebră din anii ’70 (manualele din care a învăţat generaţia mea). În lista bibliografică a cărţii despre problematizare apar o serie de alte şapte lucrări de metodică publicate în perioada 1957 – 1972. În subsolul paginii 62 apare chiar următoarea observaţie: Un astfel de manual am alcătuit în 1938, el a fost aprobat de Minister, dar iminenţa războiului a împiedicat tipărirea lui (este vorba despre un manual de geometrie analitică). După ’78 numele său nu mai apare ca autor; putem deci concluziona liniştiţi că lucrarea despre problematizare este “testamentul metodico-didactic” al profesorului Eugen Rusu.

Ajungând la titlul lucrării, acesta este clar prea lung; o formă de tipul “Problematizarea în matematică” sau eventual “Problematizarea ca metodă de predare a matematicii” ar fi un titlu mult mai potrivit.

O prezentare ordonată a conţinutului cărţii ar fi greu de făcut, iar cuprinsul nu dezvăluie mai nimic din nestematele ascunse în text sau printre rânduri. Cuprinsul este oficial şi serios, fără a oferi vreo impresie despre marea bucurie a “artei predării matematicii prin problematizare” ce se regăseşte în paginile acestei lucrări. Redând doar pasajele ce m-au entuziasmat la o primă lectură, şi ar trebui să citez cel puţin o treime din carte.

Ca urmare voi recurge la câteva citate cu gândul declarat de a vă trezi interesul pentru achiziţionarea şi lecturarea acestei cărţi.

… înainte de război…la matematică a existat o tendinţă foarte activă de a realiza …lecţii în care materia era transformată în probleme de cercetare…Numai profesorii slab pregătiţi făceau lecţii expozitive; se sileau să ţină minte şi să reproducă un text…(pag.6).

Distingem trei aspecte principale ale matematicii: 1) matematica euristică; 2) matematica – sistem logic; 3) matematica aplicată (pag.12). În continuare urmează pe faţă o pledoarie a părţii euristice şi a intuiţiei; iată aici un citat din J. Hadamard: “Obiectul rigoarei matematice este să întărească şi să legitimeze cuceririle intuiţiei”(pag.13).

Obiectivele noastre principale rămân: a face pe elev să resimtă plăcerea de a descoperi implicaţii logice; a-l ajuta să-şi întărească gândirea investigatoare şi gândirea logică – prin exercitarea ei în condiţii favorabile (pag. 60).

…În acest fel se fixează în memorie formula în sine, fără justificarea ei – chiar şi când aceasta este foarte simplă….Dacă însă s-a procedat prin problematizare, formulele se reţin prin memorare raţională, singura admisibilă în matematică, adică împreună cu procedeul prin care au fost descoperite; în acest caz nu mai este nevoie de prea multe exerciţii de fixare, activitatea este conştientă, nu mecanică. Aceasta este o superioritate clară a problematizării (pag. 64-65).

Dacă am împărţi conţinutul lecţiilor de geometrie în: 1) chestiuni pe care “le explică” profesorul; 2) chestiuni pe care le descoperă elevul călăuzit de întrebările profesorului şi 3) chestiuni pe care le descoperă elevul necălăuzit, am vedea că în 1) pot rămâne foarte puţine lucruri (pag.66).

Lăsând la o parte stabilirea unui vocabular – care este sarcina profesorului sau a manualului – restul activităţii, tot restul intră în atribuţia gândirii elevului – de la caz la caz cu sau fără călăuzirea profesorului. Din acest punct de vedere, nu trebuie să facem distincţie între teoreme şi probleme. În învăţământul informativ – instituit încă de la Euclid care, deşi plecând de la o intenţie pedagogică s-a dovedit a fi cel mai chinuitor pedagog, de-a lungul veacurilor – distincţia între teoreme şi probleme există. Teoremele sunt scrise: intăi enunţul, apoi demonstraţia – fără nici o preocupare pentru procesul găsirii lor – şi se învaţă; exerciţiile şi problemele se fac. În învăţământul formativ, distincţia se estompează sau se şterge complet. Ca mod de tratare, nu trebuie să existe deosebire (pag.67).

Cred că nici tabla înmulţirii… nu trebuie învăţată pur şi simplu pe dinafară. Acest “pe dinafară” trebuie întâi să se coacă “pe dinăuntru”. Dacă întreb un copil de clasa I cât fac 4 cu 3 şi acesta răspunde prompt şi sigur şapte, am o îndoială. Dacă îşi ascunde degetuţele la spate – ca să nu văd eu ce face – şi caută să pună alături 4 de la o mână şi 3 de la alta, îl simt că este pe drumul matematic autentic … pentru că el caută prin mijloace proprii să se convingă … Tabla înmulţirii trebuie ştiută pe dinafară nu învăţată pe dinafară (pag.79-80).

Închei această spicuire cu un citat din G. Glaeser oferit la începutul capitolului VI: Scopul meu este de a deschide discuţia şi a pune probleme, în speranţa de a stimula pe cititor să regândească bazele funcţiei de educator (pag.97).

*

Pentru cei care sunt nedumeriţi în urma citatelor de mai sus, neştiind ce să înţeleagă clar din ideea de problematizare, daţi-mi voie să fac o scurtă prezentare a acestei teme.

Problematizarea este procesul prin care elevul este “obligat” să gândească, nu prin frica de note, ci prin trezirea curiozităţii. Activarea gândirii prin problematizare este cea mai sănătoasă şi aceasta poate fi făcută atât la diferite probleme (inclusiv la demonstrarea unor teoreme privite ca problemă în sine), cât şi la generarea anumitor părţi de lecţie, posibilă pe baza unor cunoştinţe deja însuşite (sau nu!).

Pentru ca gândirea elevului să fie activată cu adevărat trebuie doar ca pasul cerut elevilor să fie posibil de făcut de către mintea acestuia, adică cerinţa să fie adaptată elevilor de faţă. Desigur că dacă întrebarea este măsurată doar după capacităţile maxime ale elevului/grupului cel mai bun din clasă, atunci pentru restul elevilor demersul este degeaba (chiar antiproductiv, convingându-i pe majoritatea cât sunt de “proşti”, iar de aici în continuare discuţia intră în domeniul psihologilor, amintind de Peter Gallin cu teoria sa despre persoane avariate matematic).

În acest sens recomand lecturarea în Caietele de matematică PENTAGONIA a două exemple din anii ‘90 de predare prin întrebări (vezi PENTAGONIA Nr.2 Apariţia numerelor complexe şi PENTAGONIA Nr.4 Fracţiile zecimale)

Există şi o altă modalitate de abordare a problematizării. Am auzit despre aceasta de la tatăl meu: profesorul său de matematică o folosea pe când era tata elev la Vatra Dornei. Astfel, elevii primeau la începutul orei o problemă cu care erau lăsaţi să se preocupe cca. 10 min. Apoi veneau “răspunsurile” la care însă nu se zăbovea mult. Chiar dacă nu se găsea un răspuns sau o rezolvare clară, profesorul pornea noua lecţie şi în timpul acesteia elevii se trezeau că studiază un subiect cu care s-au întâlnit în problema primită iniţial. Astfel, în lecţia respectivă apărea metoda, calea pentru găsirea răspunsului la problema iniţială. Aici problema oferită spre gândire avea rolul de a le trezi curiozitatea şi a le destupa atenţia în domeniul respectiv: în urma problemei în mintea elevului se năştea o mare întrebare, iar pe fondul acestei curiozităţi lecţia venea cu răspunsul eliberator.

24 nov.2015

Titus Grigorovici

Câţi de “i” ?

În sfârşit am aflat cu câti de i se scrie cuvântul copii/copiii: cu atâţia de i câţi copii sunt!

Dacă sunt 2, avem copii; dacă sunt 3, avem copiii; dacă avem un grup de 5 la locul de joacă, vom scrie copiiiii! Clar şi logic!

P.S. Elevii din clasa a VI-a s-au distrat de minune când unul a constatat că ei sunt 20. Eram după ora de lb. română…. 🙂

Problema cu biscuitele

Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele?

*

Săptămâna trecută a fost ziua de naştere a renumitului actor Dani deVito, pe care lumea îl consideră “cel mai mic mare actor şi cel mai mare actor mic”. Parafrazând oarecum această caracterizare, putem spune că problema de mai sus este cea mai simplă problemă ne-banală. Nu îmi pot închipui ceva mai simplu şi care să aibă o capcană atât de bine ascunsă. Aceasta este o “problemă iniţială” ce nu are nevoie de predarea vreunor noţiuni înainte de a fi pusă; oricine a văzut un biscuite, oricine înţelege că este vorba de un biscuite dreptunghiular, iar dacă ai mai făcut şi multe probleme cu perimetrul dreptunghiului eşti pe calea cea mai bună de a greşi problema, dând răspunsul 40.

Problema am compus-o în vara lui 2000, după ce am văzut o reclamă pe un post german de tv la nişte biscuiţi “originali doar cu 52 dinţi”. După cca. jumătate de oră de analizat m-am hotărât asupra variantei de mai sus, dar cu alte numere. La sfârşitul lunii octombrie în acel an am propus-o ca problemă de încălzire/introducere la Concursul de matematică PENTAGONIA, ediţia a II-a, când “i-am prins pe foarte mulţi pe picior greşit” (atât elevi, cât şi profesori). Două colege mi-au reproşat că nu am precizat că biscuitele are doar un dinte pe fiecare colţ. Păi dacă ziceam asta divulgam surpriza problemei.

De atunci biscuitele nostru “a mai făcut multe victime” dar, la fel ca Dani deVito, afişând pe faţa tuturor un zâmbet larg. Este clar că mica problemă are acest caracter specific de matematică distractivă. Aşa că, uitaţi-vă mai bine la biscuiţi înainte de a-i mânca. Sper că aţi ajuns între timp la 36 de dinţi J.

23 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Urs Dieter

5WM-5 din 7 oct. 2015

Despre respiraţie în matematică (Vom Atem in der Mathematik)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc la Dornach, în Elveţia s-a încheiat cu conferinţa de seară a d-lui Urs Dieter (elveţian şi dânsul). Noţiunea de respiraţie în oră este o temă des discutată în pedagogia Waldorf şi se referă la necesitatea evitării unei lecţii monotone (explicaţie CTG). Lecţia respiră atunci când alternează momentele de învăţare teoretică cu momentele de aplicaţie a celor învăţate, momentele de gândire intensă cu cele de aplicare a unor reţete, momentele de predare euristică cu cele de predare riguroasă etc. Iată în continuare ce idei am apucat să notăm la această conferinţă:

– demersul platonic, adică cunoaşterea matematicii prin descoperire;

– noi inventăm/descoperim împreună (elementul dialogic);

– Şcoala Waldorf este des atacată pentru că foloseşte cu predilecţie predarea frontală. Există studii ştiinţifice care arată că predarea frontală este cea mai potrivită pentru matematică.

A urmat o pledoarie despre curbele lui Cassini, care au cam fost “sertărite” (abandonate într-un sertar al memoriei matematice) şi despre care Steiner spunea că “au ceva vindecător, că trebuie parcurse pentru ca mintea să nu se fleoştească” (etwas heilendes, damit Ihre Gedanken nicht verstruwelen – citat original din Rudolf Steiner cu un cuvânt arhaic). Exemplul s-a încheiat cu câteva comentarii despre cerc – figura trivială, corespunzătoare Eu-lui inferior, şi despre cercul de diviziune – o figură “cu o octavă mai sus”, corespunzătoare Eu-lui superior. Dacă în formula curbelor lui Cassini avem a = c obţinem lemniscata. Toate acestea pot fi vizualizate foarte bine cu ajutorul programului gratuit Geogebra.

De-abia acum dl. Urs Dieter a ajuns la tema principală, vorbindu-ne scurt despre respiraţia cognitivă. Astfel, elevii pot vedea, pot confirma că matematica este ceva frumos; există frumuseţea în demonstraţii (citat mot-a-mot din Urs Dieter).

În lucrările lui Steiner (GA1) se găseşte tema “Goethe şi matematica” unde se vorbeşte despre raportul dintre cantitate şi calitate: trebuie căutată o matematică calitativă (nu doar cea cantitativă), cum ar fi geometria proiectivă. În predare Rudolf Steiner cerea respiraţie sufletească. Alte exemple despre o oră sănătoasă:

  • să aducem umor adevărat în ora de matematică;
  • aerisim două minute, apoi înapoi în gândire;
  • reprezentări frumoase şi clare în orele de matematică;

Apoi ni s-a prezentat că există răpitori de respiraţie (Atemrauber): tempo-ul nostru personal de multe ori prea rapid pentru elevi; presiunea parcurgerii materiei; aşteptări prea ridicate la adresa unor elevi; presiunea calitativă etc.

Urs Dieter a încheiat cu două exemple de domenii ale matematicii care nu sunt cuprinse în curriculumul elveţian: geometria proiectivă (caracterizată de dânsul drept “o materie orhidee” – ein ochideen Fach) şi combinatorica (nici la noi acea combinatorică frumoasă nu prea este prezentă, fiind redusă la o aplicare automată şi de multe ori fără sens a unor formule pe care oricum nimeni nu le înţelege pentru că au fost doar definite, nu şi explicate şi deduse – nota CTG).

Din păcate se pare că tema conferinţei era considerată ca arhicunoscută în cercul profesorilor din şcoli Waldorf aşa încât nu am primit un curs pentru începători despre această temă, ci mai degrabă o serie de spicuiri şi adăugiri la ceva considerat ştiut de toţi. Vom reveni cu alte ocazii la această temă foarte importantă.

Mai avem o precizare nematematică: la acest curs a sunat o dată un telefon, întâmplarea fiind singurul eveniment negativ de acest gen în toată săptămâna congresului.

22 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Constantin Titus Grigorovici

O problemă frumoasă cu suma unghiurilor în triunghi

Uitaţi ce am găsit pe net: o problemă accesibilă dar ne-banală, în care trebuie găsită suma unghiurilor roşii din figura de la adresa următoare:


sursa

Poate in clasa a VI-a este prea repede de dat la clasă (depinde de nivelul elevilor), dar in clasa a VII-a se poate da liniștit. Problema îmi aminteşte de o alta cu acelaşi text, dar o figură relativ diferită:

Conferinţă Oliver Conradt

5WM-4 din 7 oct. 2015

Matematica şi sufletul conştienţei (Mathematik und Bewustseinseele)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia a început cu conferinţa d-lui Oliver Conradt, conducătorul secţiunii de matematică şi astronomie de la Goetheanum.

Tema a fost una grea şi s-a referit la matematica ce ajunge în şcoli, analiza fiind făcută după nivelului de conştienţă a fenomenului, atât din punct de vedere al evoluţiei istorice, cât şi din punct de vedere al evoluţiei acesteia în diferite domenii matematice.

Ca exemplu de evoluţie istorică dl. Conradt ne-a prezentat noţiunea de punct:

  • la Pitagora punctul reprezenta unitatea (monas) care are o poziţie;
  • la Euclid punctul reprezenta ceva ce nu are părţi;
  • la Hilbert punctul era considerat un element (la fel ca altele: dreptele, funcţiile etc.). Acestea nu trebuie definite, se prezintă doar în ce raport se află ele unele faţă de celelalte; elementul este de privit ca un domeniu fenomenologic (similar cu scaunele, paharele de bere etc.).

Cum se comportă acestea, ne-a fost prezentat pe un exemplu comparativ puncte vs. drepte: în plan există elemente de ambele feluri, atât puncte, cât şi drepte, care se comportă similar (dual) unele faţă de celelalte: două puncte determină o dreaptă, iar două drepte (neparalele) determină un punct.

Cum poate fi privit cercul din acest punct de vedere? Cercul împarte mulţimea punctelor din plan în două domenii: punctele din interiorul cercului şi punctele din exteriorul acestuia. În mod similar putem vedea că cercul împarte mulţimea dreptelor din plan în două submulţimi: dreptele secante cercului şi cele exterioare cercului. În ambele cazuri avem desigur şi situaţia de graniţă (punctele de pe cerc, respectiv tangentele la cerc).

Desigur că la nivelul geometriilor neeuclidiene fenomenele capătă unele modificări.

Epoca sufletului conştienţei a început în Florenţa secolului XV cu Felippo Brunelleschi prin introducerea perspectivei lineare (realizată cu ajutorul unei oglinzi). Aceasta a dus la apariţia în secolul XIX a principiului dualităţii şi a geometriei proiective (o geometrie a poziţiei relative, nu a distanţelor).

Prelegerea s-a încheiat cu un exemplu despre involuţia hiperbolică, prezentată comparativ în cazul unei drepte care taie cercul, respectiv a unei drepte exterioare cercului. Expunerea respectivului exemplu depăşeşte însă nivelul propus pentru prezentarea acestor conferinţe. Totuşi merită amintit un aspect ce a apărut în această prezentare, dar a fost reluată şi de următorii vorbitori. Anume, faţă de geometria tradiţională avem cele două extinderi alternative: pe de-o parte geometria proiectivă plină de libertate şi dezvoltând o imaginaţie extraordinară; pe de cealaltă parte geometria analitică cu o rigurozitate îngrăditoare, transformată aproape cu totul în algebră, care din păcate se aplică de cele mai multe ori orbeşte conform formulei corespunzătoare.

14 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Radiografia unei probleme

Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar în clasa a VIII-a reiau această acţiune pe o problemă mai complexă de corpuri. Nu se poate da o reţetă clară când să facem acest demers; profesorul trebuie să simtă când are clasa nevoie de aşa ceva. Oricum, trebuie aleasă o problemă cu mai mulţi paşi.

Un astfel de moment a fost în această săptămână la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut să întrerupem şirul regulat al lecţiilor şi să mai facem o problemă “cu demonstraţii” (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de faţă este în urma unei decizii spontane (dovadă fiind tabla destul de neglijent ştearsă).

În acest sens am ales o problemă pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiadă în Cluj în 1998). Pentru această problemă am avut nevoie de introducerea noţiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant când am întrebat clasa ce ar trebui să însemne ortodiagonal, cu ce seamănă cuvântul ortodiagonal, iar careva a răspuns nonşalant: cu ortopedie! Desigur că, după un râs bun, am încercat să lămuresc o legătură între cele două cuvinte). Iată şi textul problemei:

În trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] şi [CD], iar AC BD, AC BD = O; [MN] este linia mijlocie. Ştiind că perimetrul trapezului este de 11,45 cm, să se găsească perimetrul triunghiului OMN.

În continuare vă prezint poza tablei şi pe baza acesteia vă propun să analizăm apoi câteva aspecte ale acţiunii.

Primul aspect este ordonarea ideilor în prezentarea pe tablă; o tablă dezordonată nu va putea genera o gândire ordonată în mintea elevilor (înrămările ciudate şi haşurile au apărut pe tablă după terminarea problemei, la analiza finală). Voi reveni într-o intervenţie ulterioară despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mulţime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se făcea înainte de ‘80.

Pentru realizarea figurii am încercat să le explic elevilor cum voi face figura (schiţa din stânga jos). Şi figura principală este realizată tot ca schiţă cu mâna liberă, dar elevii s-au străduit să o facă cu echerul în caiete. În clasa a VI-a fac toate construcţiile cu instrumente geometrice, cât mai exacte. Dimpotrivă, în clasa a VII-a încep să fac schiţe, adică figuri cu mâna liberă. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie să-l înceapă. În plus, figura nu este de obicei exactă, iar elevii trebuie să demonstreze cerinţa cu gândul în minte “dacă figura ar fi exactă atunci pe desen am avea…”.

Pe tablă am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generată în urma discuţiei frontale (mai ales la o demonstraţie ce urmează a fi “radiografiată” este bine să scrie profesorul cât mai ordonat, astfel încât elevii să poată completa caietele clar).

Steluţele din dreptul rândurilor de la ipoteză au fost trecute pe rând, după ce reuşeam să trecem informaţia respectivă în demonstraţie. După ce am epuizat informaţiile din lista de date am luat şi cerinţa la rând.

La analiza finală (retrospectivă) a demonstraţiei am şters/haşurat în primul rând lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am înrămat cu o culoare fiecare subdemonstraţie în parte, aceasta reprezentând concret radiografierea demonstraţiei. Astfel se vede cum demonstraţia mare este compusă din multe demonstraţii punctuale asamblate într-un întreg (eu denumesc aceste demonstraţii punctuale “paşi logici” ai demonstraţiei mari). Înţelegerea acestui aspect îi încurajează pe elevi în abordarea demonstraţiilor ulterioare.

În clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiză de radiografiere, dar elevii vor şti de acum să se uite mai atent la orice demonstraţie.

12 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Peter Gallin

5WM-3 din 6 oct. 2015

Introducere în “Învăţarea dialogică” (Einführung “Dialogisches Lernen)

A doua zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia s-a încheiat cu o conferinţă de după amaiază (ora 16.45) a profesorului elveţian Peter Gallin. Dânsul este fondatorul, alături de Urs Ruf, a Institutului pentru învăţare şi dezvoltare dialogică a predării (IDL – Institut für Dialogisches Lernen und Unterrichtsentwicklung, lerndialoge.ch). Pe scurt, preocupările d-lui Gallin sunt în direcţia felului în care cei cu spirit nu prea matematic înţeleg/mai mult nu înţeleg matematica, cât şi profilaxia acestei adevărate boli a societăţii actuale.

În introducere Peter Gallin ne-a povestit că totul a început atunci când şi-a dat seama că multe persoane (elevi sau deja adulţi) nu-i înţeleg problemele sale de perspicacitate a gândirii. A căutat persoane pe care să experimenteze şi cu care să discute, iar prima alegere a căzut în mod surprinzător asupra colegului Urs Ruf, un profesor de germană (cum am zice noi “de lb. română”), care înţelegea cu totul altceva din textele problemelor primite. De la acest coleg Peter Gallin a priceput, în urma unor discuţii “disperante”, că cititorul nematematician nu înţelege din textul respectiv (neapărat) ce gândeşte matematicianul, ci de multe ori cu totul altceva: unele aspecte nici nu le vede în text, dar eventual chiar introduce alte aspecte în mod subiectiv, aspecte pe care autorul nu le-a prevăzut. Colaborarea celor doi a dus până la urmă la editarea unei cărţi cu probleme de perspicacitate a gândirii, prezentate în texte pe care să le înţeleagă şi cei cu o gândire nematematică (Neu entdeckte Rätselgriffe, Peter Gallin, Urs Ruf). Am reţinut o expresie: noile probleme sunt mai “prietenoase cu cititorii” (leserfreundlich), pentru că descriu ambientul în care se petrece acţiunea problemei. Colaborarea lor a continuat de-a lungul anilor, lista cărţilor acestor doi pe tema limbă şi matematică (Sprache und Mathematik) cuprinzând trei titluri a câte două volume.

Cu această introducere, Peter Gallin a trecut la subiectul următor, prezentându-ne noţiunea de persoane avariate matematic (Mathematikschädigung; mathematically damaged person), vorbind şi de o predare cauzatoare de avarierea matematică a elevilor. Dânsul spunea că în Germania ar fi undeva între 50-90% din populaţie cu simptome de avariere matematică.

Cum vedem dacă avem un elev avariat matematic? După răspunsuri de felul următor:

  • ce formulă trebuie să folosesc la această problemă?
  • noi nu am avut aşa probleme până acum.
  • se dă aşa ceva la examen?
  • eu oricum nu am nici o şansă să rezolv aşa ceva.
  • oricum eu n-am fost niciodată bun la mate.
  • spuneţi-mi cum se face.

Cum se vede avarierea matematică la adulţi? Pe lângă răspunsuri similare cu cele ale elevilor (de când am fost eu prin scoală am uitat totul, etc.), putem vedea cum citesc/redactează şi abordează relaţia cu instrucţiunile de folosire a vreunui aparat, sau orice alt fel de algoritmi (Instrucţiuni “ca pentru proşti”; Anleitungen die idiotensicher sind). Chiar şi la profesioniştii mai apropiaţi de matematică poţi găsi avariere matematică sub iniţiativa: hai să-ţi arăt eu cum se face! A aminti aici de colegii de alte materii care se luptă regulat cu procentele la statistica anuală a dirigintelui dă un alt înţeles felului cum zâmbim pe sub mustaţă (comentariu CTG).

După o scurtă exemplificare în apariţia numerelor lui Fibonacci în spiralele de pe conuri de brad sau de pe floarea soarelui, Peter Gallin a trecut la subiectul principal, învăţarea dialogică (concept inventat de dânsul). În principiu, învăţarea dialogică se face în câţiva paşi:

  • elevii primesc ca temă o sarcină (nu neapărat o întrebare foarte exactă); iată un exemplu scurt: 51 ∙ 49 – spune-mi cum socoteşti tu asta! (cerinţa nu este să calculeze, ci să descrie cum calculează).
  • elevii aduc răspunsul în scris şi îl lasă fiecare în jurnalul său (un dosar, portofoliu, aflat tot timpul în clasă).
  • profesorul va lua apoi jurnalele la verificat: munca elevilor este evaluată cu bife (una, două sau trei bife, depinzând de cât i se pare de interesantă profesorului expunerea elevului, nu neapărat de cât este aceasta de corectă). Elevii îşi vor putea găsi ulterior eseurile bifate).
  • în unele eseuri profesorul găseşte anumite idei deosebite, pe baza cărora lansează apoi următoarea sarcină. De multe ori această nouă sarcină vine în urma unei “greşeli geniale” găsită în răspunsul vreunui elev.

Am înţeles că învăţarea dialogică îl pregăteşte bine pe elev pentru situaţii când acesta ajunge în criză de timp.

Spre final am notat o întrebare: ce fac elevii cu tot ce-au învăţat? Iar apoi o declaraţie: Nu-i important ce le prezinţi elevilor; important este procesul în care intri şi mergi cu ei !!!

La seminarul de a doua zi s-au făcut câteva referiri la prezentarea d-lui Gallin: cel mai important în învăţare nu este profesorul, ci profesorul care învaţă. Atunci apare cea mai eficientă învăţare (the most important in learning is not the teacher, but a learning teacher; the most efectiv learning). Intrând cu elevii în proces vin întrebări, apar discuţii. În Elveţia doar 20% din absolvenţi promovează BAC-ul; Peter Gallin nu-i pregăteşte în mod special pentru problemele de examen, dar elevii săi au succes la BAC datorită învăţării dialogice.

8 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Stephan Sigler

5WM-2 din 6 oct. 2015

Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)

A doua conferinţă de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, lângă Basel, în Elveţia a fost susţinută de dl. Stephan Sigler de la Şcoala Waldorf din Frankfurt. Acesta predă şi la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe lângă un succint istoric al planului de învăţământ în matematica şcolilor Waldorf, dânsul a prezentat câteva aspecte de larg interes, pe care vi le redăm în continuare pe scurt, după notiţele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).

  • Orice face profesorul la clasă ar trebui să reiasă din misteriile momentului întâlnirii cu elevii.
  • La începutul secolului XIX în Germania, Elementele lui Euclid era a doua carte după Biblie.
  • Geometria are o puternică legătură cu simţurile, cu văzul, cu echilibrul şi cu mişcarea, pe când algebra nu are nici o legătură cu simţurile. Uneori ne apare ca o simplă manipulare de înlănţuiri de simboluri.
  • Propunerile din 1905 ale lui Felix Klein pentru reforma predării matematicii (Meraner Reformvorschläge):
    1. Adaptarea la evoluţia spiritual-intelectuală naturală a elevilor;
    2. Conectarea la capacităţile de imaginare şi înţelegere a elevilor; studierea fenomenelor ce pot fi cuprinse şi înţelese de către elevi.
    3. Formarea unui curriculum în spirală.
    4. Orientarea materiei studiate după aplicabilitate în exteriorul matematicii (matematică financiară, practică topografică, dezvoltarea gândirii logice etc.).
    5. Şcolirea gândirii funcţionale, de exemplu prin fuziunea geometriei cu algebra (din păcate la noi această fuziune este făcută mult prea repede, fără a mai fi aşteptată şi permisă “coacerea geometriei” la începutul liceului – adăugare CTG).
  • Prezentarea unor noţiuni vii este dificilă în matematică; prin prezentarea noţiunilor în definiţii acestea nu mai pot evolua, nu mai sunt vii. Cum ar arăta o predare vie? Trebuie să lăsăm empirismul să fie prezent în orele noastre (caracterizare vs. definiţie).
  • De pildă, teorema lui Pitagora ar trebui prezentată iar şi iar, dar din diferite puncte de vedere: o dată prin arii şi forfecări (translaţii), altă dată prin asemănări, apoi din nou cu arii, dar de data asta cu formule de calcul prescurtat, iarăşi mai târziu cu teoria numerelor naturale etc. Aşa apare tendinţa de a lărgi o temă învăţată într-un mod viu. Predarea matematicii trebuie să aducă mai mult decât doar multe cunoştinţe.
  • Imaginaţia poate fi trăită cel mai uşor în matematică (dintre toate domeniile cunoaşterii). De exemplu la înţelegerea numerelor negative.
  • Kronecker: numerele naturale au fost create de către Dumnezeu; la numerele negative a trebuit să intervenim noi.
  • Prezentarea a fost încheiată cu un citat din Rudolf Steiner: Adevărurile matematice reprezintă prima hrană adevărată pentru spirit pe care o primeşte omul (Die mathematischen Wahrheiten sind die erste wahre geistige Nahrung die der Mensch kriegt).

30 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici