Prezentare de carte: Eugen Rusu ÔÇô Problematizare ╚Öi probleme ├«n matematica ╚Öcolar─â

De la ├«nceputul trebuie precizat c─â aceast─â carte ar trebui ridicat─â la rangul de ÔÇťbiblie a profesorului de matematic─âÔÇŁ. Orice profesor ar trebui s─â aib─â un exemplar din aceasta, iar cartea ar trebui s─â fie la a ÔÇťnu-┼čtiu-c├ótaÔÇŁ edi┼úie. Din p─âcate lucrurile nu stau deloc a┼ča.

S─â o lu─âm ordonat: lucrarea este ap─ârut─â ├«n anul 1978 la Editura didactic─â ┼či pedagogic─â, deci nu poate fi c─âutat─â dec├ót ├«n anticariate sau biblioteci.

Despre profesorul Eugen Rusu nu ┼čtiu prea multe date. Pe Wikipedia exist─â doar o men┼úionare a sa ├«ntr-o list─â a autorilor de manuale de matematic─â din Rom├ónia. ├Äntr-adev─âr, numele s─âu apare ca unic autor al unor manuale gimnaziale de aritmetic─â ┼či algebr─â din anii ÔÇÖ70 (manualele din care a ├«nv─â┼úat genera┼úia mea). ├Än lista bibliografic─â a c─âr┼úii despre problematizare apar o serie de alte ┼čapte lucr─âri de metodic─â publicate ├«n perioada 1957 ÔÇô 1972. ├Än subsolul paginii 62 apare chiar urm─âtoarea observa┼úie: Un astfel de manual am alc─âtuit ├«n 1938, el a fost aprobat de Minister, dar iminen┼úa r─âzboiului a ├«mpiedicat tip─ârirea lui (este vorba despre un manual de geometrie analitic─â). Dup─â ÔÇÖ78 numele s─âu nu mai apare ca autor; putem deci concluziona lini┼čti┼úi c─â lucrarea despre problematizare este ÔÇťtestamentul metodico-didacticÔÇŁ al profesorului Eugen Rusu.

Ajung├ónd la titlul lucr─ârii, acesta este clar prea lung; o form─â de tipul ÔÇťProblematizarea ├«n matematic─âÔÇŁ sau eventual ÔÇťProblematizarea ca metod─â de predare a matematiciiÔÇŁ ar fi un titlu mult mai potrivit.

O prezentare ordonat─â a con┼úinutului c─âr┼úii ar fi greu de f─âcut, iar cuprinsul nu dezv─âluie mai nimic din nestematele ascunse ├«n text sau printre r├ónduri. Cuprinsul este oficial ┼či serios, f─âr─â a oferi vreo impresie despre marea bucurie a ÔÇťartei pred─ârii matematicii prin problematizareÔÇŁ ce se reg─âse┼čte ├«n paginile acestei lucr─âri. Red├ónd doar pasajele ce m-au entuziasmat la o prim─â lectur─â, ┼či ar trebui s─â citez cel pu┼úin o treime din carte.

Ca urmare voi recurge la c├óteva citate cu g├óndul declarat de a v─â trezi interesul pentru achizi┼úionarea ┼či lecturarea acestei c─âr┼úi.

ÔÇŽ ├«nainte de r─âzboiÔÇŽla matematic─â a existat o tendin┼ú─â foarte activ─â de a realiza ÔÇŽlec┼úii ├«n care materia era transformat─â ├«n probleme de cercetareÔÇŽNumai profesorii slab preg─âti┼úi f─âceau lec┼úii expozitive; se sileau s─â ┼úin─â minte ┼či s─â reproduc─â un textÔÇŽ(pag.6).

Distingem trei aspecte principale ale matematicii: 1) matematica euristic─â; 2) matematica ÔÇô sistem logic; 3) matematica aplicat─â (pag.12). ├Än continuare urmeaz─â pe fa┼ú─â o pledoarie a p─âr┼úii euristice ┼či a intui┼úiei; iat─â aici un citat din J. Hadamard: ÔÇťObiectul rigoarei matematice este s─â ├«nt─âreasc─â ┼či s─â legitimeze cuceririle intui┼úieiÔÇŁ(pag.13).

Obiectivele noastre principale r─âm├ón: a face pe elev s─â resimt─â pl─âcerea de a descoperi implica┼úii logice; a-l ajuta s─â-┼či ├«nt─âreasc─â g├óndirea investigatoare ┼či g├óndirea logic─â ÔÇô prin exercitarea ei ├«n condi┼úii favorabile (pag. 60).

ÔÇŽ├Än acest fel se fixeaz─â ├«n memorie formula ├«n sine, f─âr─â justificarea ei ÔÇô chiar ┼či c├ónd aceasta este foarte simpl─âÔÇŽ.Dac─â ├«ns─â s-a procedat prin problematizare, formulele se re┼úin prin memorare ra┼úional─â, singura admisibil─â ├«n matematic─â, adic─â ├«mpreun─â cu procedeul prin care au fost descoperite; ├«n acest caz nu mai este nevoie de prea multe exerci┼úii de fixare, activitatea este con┼čtient─â, nu mecanic─â. Aceasta este o superioritate clar─â a problematiz─ârii (pag. 64-65).

Dac─â am ├«mp─âr┼úi con┼úinutul lec┼úiilor de geometrie ├«n: 1) chestiuni pe care ÔÇťle explic─âÔÇŁ profesorul; 2) chestiuni pe care le descoper─â elevul c─âl─âuzit de ├«ntreb─ârile profesorului ┼či 3) chestiuni pe care le descoper─â elevul nec─âl─âuzit, am vedea c─â ├«n 1) pot r─âm├óne foarte pu┼úine lucruri (pag.66).

L─âs├ónd la o parte stabilirea unui vocabular ÔÇô care este sarcina profesorului sau a manualului ÔÇô restul activit─â┼úii, tot restul intr─â ├«n atribu┼úia g├óndirii elevului ÔÇô de la caz la caz cu sau f─âr─â c─âl─âuzirea profesorului. Din acest punct de vedere, nu trebuie s─â facem distinc┼úie ├«ntre teoreme ┼či probleme. ├Än ├«nv─â┼ú─âm├óntul informativ ÔÇô instituit ├«nc─â de la Euclid care, de┼či plec├ónd de la o inten┼úie pedagogic─â s-a dovedit a fi cel mai chinuitor pedagog, de-a lungul veacurilor ÔÇô distinc┼úia ├«ntre teoreme ┼či probleme exist─â. Teoremele sunt scrise: int─âi enun┼úul, apoi demonstra┼úia ÔÇô f─âr─â nici o preocupare pentru procesul g─âsirii lor ÔÇô ┼či se ├«nva┼ú─â; exerci┼úiile ┼či problemele se fac. ├Än ├«nv─â┼ú─âm├óntul formativ, distinc┼úia se estompeaz─â sau se ┼čterge complet. Ca mod de tratare, nu trebuie s─â existe deosebire (pag.67).

Cred c─â nici tabla ├«nmul┼úiriiÔÇŽ nu trebuie ├«nv─â┼úat─â pur ┼či simplu pe dinafar─â. Acest ÔÇťpe dinafar─âÔÇŁ trebuie ├«nt├ói s─â se coac─â ÔÇťpe din─âuntruÔÇŁ. Dac─â ├«ntreb un copil de clasa I c├ót fac 4 cu 3 ┼či acesta r─âspunde prompt ┼či sigur ┼čapte, am o ├«ndoial─â. Dac─â ├«┼či ascunde degetu┼úele la spate ÔÇô ca s─â nu v─âd eu ce face ÔÇô ┼či caut─â s─â pun─â al─âturi 4 de la o m├ón─â ┼či 3 de la alta, ├«l simt c─â este pe drumul matematic autentic ÔÇŽ pentru c─â el caut─â prin mijloace proprii s─â se conving─â ÔÇŽ Tabla ├«nmul┼úirii trebuie ┼čtiut─â pe dinafar─â nu ├«nv─â┼úat─â pe dinafar─â (pag.79-80).

├Änchei aceast─â spicuire cu un citat din G. Glaeser oferit la ├«nceputul capitolului VI: Scopul meu este de a deschide discu┼úia ┼či a pune probleme, ├«n speran┼úa de a stimula pe cititor s─â reg├óndeasc─â bazele func┼úiei de educator (pag.97).

*

Pentru cei care sunt nedumeri┼úi ├«n urma citatelor de mai sus, ne┼čtiind ce s─â ├«n┼úeleag─â clar din ideea de problematizare, da┼úi-mi voie s─â fac o scurt─â prezentare a acestei teme.

Problematizarea este procesul prin care elevul este ÔÇťobligatÔÇŁ s─â g├óndeasc─â, nu prin frica de note, ci prin trezirea curiozit─â┼úii. Activarea g├óndirii prin problematizare este cea mai s─ân─âtoas─â ┼či aceasta poate fi f─âcut─â at├ót la diferite probleme (inclusiv la demonstrarea unor teoreme privite ca problem─â ├«n sine), c├ót ┼či la generarea anumitor p─âr┼úi de lec┼úie, posibil─â pe baza unor cuno┼čtin┼úe deja ├«nsu┼čite (sau nu!).

Pentru ca g├óndirea elevului s─â fie activat─â cu adev─ârat trebuie doar ca pasul cerut elevilor s─â fie posibil de f─âcut de c─âtre mintea acestuia, adic─â cerin┼úa s─â fie adaptat─â elevilor de fa┼ú─â. Desigur c─â dac─â ├«ntrebarea este m─âsurat─â doar dup─â capacit─â┼úile maxime ale elevului/grupului cel mai bun din clas─â, atunci pentru restul elevilor demersul este degeaba (chiar antiproductiv, conving├óndu-i pe majoritatea c├ót sunt de ÔÇťpro┼čtiÔÇŁ, iar de aici ├«n continuare discu┼úia intr─â ├«n domeniul psihologilor, amintind de Peter Gallin cu teoria sa despre persoane avariate matematic).

├Än acest sens recomand lecturarea ├«n Caietele de matematic─â PENTAGONIA a dou─â exemple din anii ÔÇś90 de predare prin ├«ntreb─âri (vezi PENTAGONIA Nr.2 Apari┼úia numerelor complexe ┼či PENTAGONIA Nr.4 Frac┼úiile zecimale)

Exist─â ┼či o alt─â modalitate de abordare a problematiz─ârii. Am auzit despre aceasta de la tat─âl meu: profesorul s─âu de matematic─â o folosea pe c├ónd era tata elev la Vatra Dornei. Astfel, elevii primeau la ├«nceputul orei o problem─â cu care erau l─âsa┼úi s─â se preocupe cca. 10 min. Apoi veneau ÔÇťr─âspunsurileÔÇŁ la care ├«ns─â nu se z─âbovea mult. Chiar dac─â nu se g─âsea un r─âspuns sau o rezolvare clar─â, profesorul pornea noua lec┼úie ┼či ├«n timpul acesteia elevii se trezeau c─â studiaz─â un subiect cu care s-au ├«nt├ólnit ├«n problema primit─â ini┼úial. Astfel, ├«n lec┼úia respectiv─â ap─ârea metoda, calea pentru g─âsirea r─âspunsului la problema ini┼úial─â. Aici problema oferit─â spre g├óndire avea rolul de a le trezi curiozitatea ┼či a le destupa aten┼úia ├«n domeniul respectiv: ├«n urma problemei ├«n mintea elevului se n─â┼čtea o mare ├«ntrebare, iar pe fondul acestei curiozit─â┼úi lec┼úia venea cu r─âspunsul eliberator.

24 nov.2015

Titus Grigorovici

C├ó┼úi de “i” ?

├Än sf├ór┼čit am aflat cu c├óti de i se scrie cuv├óntul copii/copiii: cu at├ó┼úia de i c├ó┼úi copii sunt!

Dac─â sunt 2, avem copii; dac─â sunt 3, avem copiii; dac─â avem un grup de 5 la locul de joac─â, vom scrie copiiiii! Clar ┼či logic!

P.S. Elevii din clasa a VI-a s-au distrat de minune c├ónd unul a constatat c─â ei sunt 20. Eram dup─â ora de lb. rom├ón─âÔÇŽ. ­čÖé

Problema cu biscuitele

Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele?

*

S─âpt─âm├óna trecut─â a fost ziua de na┼čtere a renumitului actor Dani deVito, pe care lumea ├«l consider─â ÔÇťcel mai mic mare actor ┼či cel mai mare actor micÔÇŁ. Parafraz├ónd oarecum aceast─â caracterizare, putem spune c─â problema de mai sus este cea mai simpl─â problem─â ne-banal─â. Nu ├«mi pot ├«nchipui ceva mai simplu ┼či care s─â aib─â o capcan─â at├ót de bine ascuns─â. Aceasta este o ÔÇťproblem─â ini┼úial─âÔÇŁ ce nu are nevoie de predarea vreunor no┼úiuni ├«nainte de a fi pus─â; oricine a v─âzut un biscuite, oricine ├«n┼úelege c─â este vorba de un biscuite dreptunghiular, iar dac─â ai mai f─âcut ┼či multe probleme cu perimetrul dreptunghiului e┼čti pe calea cea mai bun─â de a gre┼či problema, d├ónd r─âspunsul 40.

Problema am compus-o ├«n vara lui 2000, dup─â ce am v─âzut o reclam─â pe un post german de tv la ni┼čte biscui┼úi ÔÇťoriginali doar cu 52 din┼úiÔÇŁ. Dup─â cca. jum─âtate de or─â de analizat m-am hot─âr├ót asupra variantei de mai sus, dar cu alte numere. La sf├ór┼čitul lunii octombrie ├«n acel an am propus-o ca problem─â de ├«nc─âlzire/introducere la Concursul de matematic─â PENTAGONIA, edi┼úia a II-a, c├ónd ÔÇťi-am prins pe foarte mul┼úi pe picior gre┼čitÔÇŁ (at├ót elevi, c├ót ┼či profesori). Dou─â colege mi-au repro┼čat c─â nu am precizat c─â biscuitele are doar un dinte pe fiecare col┼ú. P─âi dac─â ziceam asta divulgam surpriza problemei.

De atunci biscuitele nostru ÔÇťa mai f─âcut multe victimeÔÇŁ dar, la fel ca Dani deVito, afi┼č├ónd pe fa┼úa tuturor un z├ómbet larg. Este clar c─â mica problem─â are acest caracter specific de matematic─â distractiv─â. A┼ča c─â, uita┼úi-v─â mai bine la biscui┼úi ├«nainte de a-i m├ónca. Sper c─â a┼úi ajuns ├«ntre timp la 36 de din┼úi J.

23 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Urs Dieter

5WM-5 din 7 oct. 2015

Despre respiraţie în matematică (Vom Atem in der Mathematik)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematic─â Waldorf ce a avut loc la Dornach, ├«n Elve┼úia s-a ├«ncheiat cu conferin┼úa de sear─â a d-lui Urs Dieter (elve┼úian ┼či d├ónsul). No┼úiunea de respira┼úie ├«n or─â este o tem─â des discutat─â ├«n pedagogia Waldorf ┼či se refer─â la necesitatea evit─ârii unei lec┼úii monotone (explica┼úie CTG). Lec┼úia respir─â atunci c├ónd alterneaz─â momentele de ├«nv─â┼úare teoretic─â cu momentele de aplica┼úie a celor ├«nv─â┼úate, momentele de g├óndire intens─â cu cele de aplicare a unor re┼úete, momentele de predare euristic─â cu cele de predare riguroas─â etc. Iat─â ├«n continuare ce idei am apucat s─â not─âm la aceast─â conferin┼ú─â:

– demersul platonic, adic─â cunoa┼čterea matematicii prin descoperire;

– noi invent─âm/descoperim ├«mpreun─â (elementul dialogic);

– ┼×coala Waldorf este des atacat─â pentru c─â folose┼čte cu predilec┼úie predarea frontal─â. Exist─â studii ┼čtiin┼úifice care arat─â c─â predarea frontal─â este cea mai potrivit─â pentru matematic─â.

A urmat o pledoarie despre curbele lui Cassini, care au cam fost ÔÇťsert─âriteÔÇŁ (abandonate ├«ntr-un sertar al memoriei matematice) ┼či despre care Steiner spunea c─â ÔÇťau ceva vindec─âtor, c─â trebuie parcurse pentru ca mintea s─â nu se fleo┼čteasc─âÔÇŁ (etwas heilendes, damit Ihre Gedanken nicht verstruwelen ÔÇô citat original din Rudolf Steiner cu un cuv├ónt arhaic). Exemplul s-a ├«ncheiat cu c├óteva comentarii despre cerc ÔÇô figura trivial─â, corespunz─âtoare Eu-lui inferior, ┼či despre cercul de diviziune ÔÇô o figur─â ÔÇťcu o octav─â mai susÔÇŁ, corespunz─âtoare Eu-lui superior. Dac─â ├«n formula curbelor lui Cassini avem a = c ob┼úinem lemniscata. Toate acestea pot fi vizualizate foarte bine cu ajutorul programului gratuit Geogebra.

De-abia acum dl. Urs Dieter a ajuns la tema principală, vorbindu-ne scurt despre respiraţia cognitivă. Astfel, elevii pot vedea, pot confirma că matematica este ceva frumos; există frumuseţea în demonstraţii (citat mot-a-mot din Urs Dieter).

├Än lucr─ârile lui Steiner (GA1) se g─âse┼čte tema ÔÇťGoethe ┼či matematicaÔÇŁ unde se vorbe┼čte despre raportul dintre cantitate ┼či calitate: trebuie c─âutat─â o matematic─â calitativ─â (nu doar cea cantitativ─â), cum ar fi geometria proiectiv─â. ├Än predare Rudolf Steiner cerea respira┼úie sufleteasc─â. Alte exemple despre o or─â s─ân─âtoas─â:

  • s─â aducem umor adev─ârat ├«n ora de matematic─â;
  • aerisim dou─â minute, apoi ├«napoi ├«n g├óndire;
  • reprezent─âri frumoase ┼či clare ├«n orele de matematic─â;

Apoi ni s-a prezentat c─â exist─â r─âpitori de respira┼úie (Atemrauber): tempo-ul nostru personal de multe ori prea rapid pentru elevi; presiunea parcurgerii materiei; a┼čtept─âri prea ridicate la adresa unor elevi; presiunea calitativ─â etc.

Urs Dieter a ├«ncheiat cu dou─â exemple de domenii ale matematicii care nu sunt cuprinse ├«n curriculumul elve┼úian: geometria proiectiv─â (caracterizat─â de d├ónsul drept ÔÇťo materie orhideeÔÇŁ ÔÇô ein ochideen Fach) ┼či combinatorica (nici la noi acea combinatoric─â frumoas─â nu prea este prezent─â, fiind redus─â la o aplicare automat─â ┼či de multe ori f─âr─â sens a unor formule pe care oricum nimeni nu le ├«n┼úelege pentru c─â au fost doar definite, nu ┼či explicate ┼či deduse ÔÇô nota CTG).

Din p─âcate se pare c─â tema conferin┼úei era considerat─â ca arhicunoscut─â ├«n cercul profesorilor din ┼čcoli Waldorf a┼ča ├«nc├ót nu am primit un curs pentru ├«ncep─âtori despre aceast─â tem─â, ci mai degrab─â o serie de spicuiri ┼či ad─âugiri la ceva considerat ┼čtiut de to┼úi. Vom reveni cu alte ocazii la aceast─â tem─â foarte important─â.

Mai avem o precizare nematematică: la acest curs a sunat o dată un telefon, întâmplarea fiind singurul eveniment negativ de acest gen în toată săptămâna congresului.

22 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Constantin Titus Grigorovici

O problemă frumoasă cu suma unghiurilor în triunghi

Uita┼úi ce am g─âsit pe net: o problem─â accesibil─â dar ne-banal─â, ├«n care trebuie g─âsit─â suma unghiurilor ro┼čii din figura de la adresa urm─âtoare:


sursa

Poate in clasa a VI-a este prea repede de dat la clas─â (depinde de nivelul elevilor), dar in clasa a VII-a se poate da lini╚Ötit. Problema ├«mi aminte┼čte de o alta cu acela┼či text, dar o figur─â relativ diferit─â:

Conferinţă Oliver Conradt

5WM-4 din 7 oct. 2015

Matematica ┼či sufletul con┼čtien┼úei (Mathematik und Bewustseinseele)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematic─â Waldorf de la Dornach, Elve┼úia a ├«nceput cu conferin┼úa d-lui Oliver Conradt, conduc─âtorul sec┼úiunii de matematic─â ┼či astronomie de la Goetheanum.

Tema a fost una grea ┼či s-a referit la matematica ce ajunge ├«n ┼čcoli, analiza fiind f─âcut─â dup─â nivelului de con┼čtien┼ú─â a fenomenului, at├ót din punct de vedere al evolu┼úiei istorice, c├ót ┼či din punct de vedere al evolu┼úiei acesteia ├«n diferite domenii matematice.

Ca exemplu de evoluţie istorică dl. Conradt ne-a prezentat noţiunea de punct:

  • la Pitagora punctul reprezenta unitatea (monas) care are o pozi┼úie;
  • la Euclid punctul reprezenta ceva ce nu are p─âr┼úi;
  • la Hilbert punctul era considerat un element (la fel ca altele: dreptele, func┼úiile etc.). Acestea nu trebuie definite, se prezint─â doar ├«n ce raport se afl─â ele unele fa┼ú─â de celelalte; elementul este de privit ca un domeniu fenomenologic (similar cu scaunele, paharele de bere etc.).

Cum se comport─â acestea, ne-a fost prezentat pe un exemplu comparativ puncte vs. drepte: ├«n plan exist─â elemente de ambele feluri, at├ót puncte, c├ót ┼či drepte, care se comport─â similar (dual) unele fa┼ú─â de celelalte: dou─â puncte determin─â o dreapt─â, iar dou─â drepte (neparalele) determin─â un punct.

Cum poate fi privit cercul din acest punct de vedere? Cercul ├«mparte mul┼úimea punctelor din plan ├«n dou─â domenii: punctele din interiorul cercului ┼či punctele din exteriorul acestuia. ├Än mod similar putem vedea c─â cercul ├«mparte mul┼úimea dreptelor din plan ├«n dou─â submul┼úimi: dreptele secante cercului ┼či cele exterioare cercului. ├Än ambele cazuri avem desigur ┼či situa┼úia de grani┼ú─â (punctele de pe cerc, respectiv tangentele la cerc).

Desigur c─â la nivelul geometriilor neeuclidiene fenomenele cap─ât─â unele modific─âri.

Epoca sufletului con┼čtien┼úei a ├«nceput ├«n Floren┼úa secolului XV cu Felippo Brunelleschi prin introducerea perspectivei lineare (realizat─â cu ajutorul unei oglinzi). Aceasta a dus la apari┼úia ├«n secolul XIX a principiului dualit─â┼úii ┼či a geometriei proiective (o geometrie a pozi┼úiei relative, nu a distan┼úelor).

Prelegerea s-a ├«ncheiat cu un exemplu despre involu┼úia hiperbolic─â, prezentat─â comparativ ├«n cazul unei drepte care taie cercul, respectiv a unei drepte exterioare cercului. Expunerea respectivului exemplu dep─â┼če┼čte ├«ns─â nivelul propus pentru prezentarea acestor conferin┼úe. Totu┼či merit─â amintit un aspect ce a ap─ârut ├«n aceast─â prezentare, dar a fost reluat─â ┼či de urm─âtorii vorbitori. Anume, fa┼ú─â de geometria tradi┼úional─â avem cele dou─â extinderi alternative: pe de-o parte geometria proiectiv─â plin─â de libertate ┼či dezvolt├ónd o imagina┼úie extraordinar─â; pe de cealalt─â parte geometria analitic─â cu o rigurozitate ├«ngr─âditoare, transformat─â aproape cu totul ├«n algebr─â, care din p─âcate se aplic─â de cele mai multe ori orbe┼čte conform formulei corespunz─âtoare.

14 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Radiografia unei probleme

Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar ├«n clasa a VIII-a reiau aceast─â ac┼úiune pe o problem─â mai complex─â de corpuri. Nu se poate da o re┼úet─â clar─â c├ónd s─â facem acest demers; profesorul trebuie s─â simt─â c├ónd are clasa nevoie de a┼ča ceva. Oricum, trebuie aleas─â o problem─â cu mai mul┼úi pa┼či.

Un astfel de moment a fost ├«n aceast─â s─âpt─âm├ón─â la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut s─â ├«ntrerupem ┼čirul regulat al lec┼úiilor ┼či s─â mai facem o problem─â ÔÇťcu demonstra┼úiiÔÇŁ (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de fa┼ú─â este ├«n urma unei decizii spontane (dovad─â fiind tabla destul de neglijent ┼čtears─â).

├Än acest sens am ales o problem─â pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiad─â ├«n Cluj ├«n 1998). Pentru aceast─â problem─â am avut nevoie de introducerea no┼úiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant c├ónd am ├«ntrebat clasa ce ar trebui s─â ├«nsemne ortodiagonal, cu ce seam─ân─â cuv├óntul ortodiagonal, iar careva a r─âspuns non┼čalant: cu ortopedie! Desigur c─â, dup─â un r├ós bun, am ├«ncercat s─â l─âmuresc o leg─âtur─â ├«ntre cele dou─â cuvinte). Iat─â ┼či textul problemei:

├Än trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] ┼či [CD], iar AC ÔŐą BD, AC Ôłę BD = O; [MN] este linia mijlocie. ┼×tiind c─â perimetrul trapezului este de 11,45 cm, s─â se g─âseasc─â perimetrul triunghiului OMN.

├Än continuare v─â prezint poza tablei ┼či pe baza acesteia v─â propun s─â analiz─âm apoi c├óteva aspecte ale ac┼úiunii.

Primul aspect este ordonarea ideilor ├«n prezentarea pe tabl─â; o tabl─â dezordonat─â nu va putea genera o g├óndire ordonat─â ├«n mintea elevilor (├«nr─âm─ârile ciudate ┼či ha┼čurile au ap─ârut pe tabl─â dup─â terminarea problemei, la analiza final─â). Voi reveni ├«ntr-o interven┼úie ulterioar─â despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mul┼úime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se f─âcea ├«nainte de ÔÇś80.

Pentru realizarea figurii am ├«ncercat s─â le explic elevilor cum voi face figura (schi┼úa din st├ónga jos). ┼×i figura principal─â este realizat─â tot ca schi┼ú─â cu m├óna liber─â, dar elevii s-au str─âduit s─â o fac─â cu echerul ├«n caiete. ├Än clasa a VI-a fac toate construc┼úiile cu instrumente geometrice, c├ót mai exacte. Dimpotriv─â, ├«n clasa a VII-a ├«ncep s─â fac schi┼úe, adic─â figuri cu m├óna liber─â. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie s─â-l ├«nceap─â. ├Än plus, figura nu este de obicei exact─â, iar elevii trebuie s─â demonstreze cerin┼úa cu g├óndul ├«n minte ÔÇťdac─â figura ar fi exact─â atunci pe desen am aveaÔÇŽÔÇŁ.

Pe tabl─â am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generat─â ├«n urma discu┼úiei frontale (mai ales la o demonstra┼úie ce urmeaz─â a fi ÔÇťradiografiat─âÔÇŁ este bine s─â scrie profesorul c├ót mai ordonat, astfel ├«nc├ót elevii s─â poat─â completa caietele clar).

Stelu┼úele din dreptul r├óndurilor de la ipotez─â au fost trecute pe r├ónd, dup─â ce reu┼čeam s─â trecem informa┼úia respectiv─â ├«n demonstra┼úie. Dup─â ce am epuizat informa┼úiile din lista de date am luat ┼či cerin┼úa la r├ónd.

La analiza final─â (retrospectiv─â) a demonstra┼úiei am ┼čters/ha┼čurat ├«n primul r├ónd lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am ├«nr─âmat cu o culoare fiecare subdemonstra┼úie ├«n parte, aceasta reprezent├ónd concret radiografierea demonstra┼úiei. Astfel se vede cum demonstra┼úia mare este compus─â din multe demonstra┼úii punctuale asamblate ├«ntr-un ├«ntreg (eu denumesc aceste demonstra┼úii punctuale ÔÇťpa┼či logiciÔÇŁ ai demonstra┼úiei mari). ├Än┼úelegerea acestui aspect ├«i ├«ncurajeaz─â pe elevi ├«n abordarea demonstra┼úiilor ulterioare.

├Än clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiz─â de radiografiere, dar elevii vor ┼čti de acum s─â se uite mai atent la orice demonstra┼úie.

12 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Peter Gallin

5WM-3 din 6 oct. 2015

Introducere ├«n ÔÇť├Änv─â┼úarea dialogic─âÔÇŁ (Einf├╝hrung ÔÇťDialogisches Lernen)

A doua zi a Congresului mondial al profesorilor de matematic─â Waldorf de la Dornach, Elve┼úia s-a ├«ncheiat cu o conferin┼ú─â de dup─â amaiaz─â (ora 16.45) a profesorului elve┼úian Peter Gallin. D├ónsul este fondatorul, al─âturi de Urs Ruf, a Institutului pentru ├«nv─â┼úare ┼či dezvoltare dialogic─â a pred─ârii (IDL ÔÇô Institut f├╝r Dialogisches Lernen und Unterrichtsentwicklung, lerndialoge.ch). Pe scurt, preocup─ârile d-lui Gallin sunt ├«n direc┼úia felului ├«n care cei cu spirit nu prea matematic ├«n┼úeleg/mai mult nu ├«n┼úeleg matematica, c├ót ┼či profilaxia acestei adev─ârate boli a societ─â┼úii actuale.

├Än introducere Peter Gallin ne-a povestit c─â totul a ├«nceput atunci c├ónd ┼či-a dat seama c─â multe persoane (elevi sau deja adul┼úi) nu-i ├«n┼úeleg problemele sale de perspicacitate a g├óndirii. A c─âutat persoane pe care s─â experimenteze ┼či cu care s─â discute, iar prima alegere a c─âzut ├«n mod surprinz─âtor asupra colegului Urs Ruf, un profesor de german─â (cum am zice noi ÔÇťde lb. rom├ón─âÔÇŁ), care ├«n┼úelegea cu totul altceva din textele problemelor primite. De la acest coleg Peter Gallin a priceput, ├«n urma unor discu┼úii ÔÇťdisperanteÔÇŁ, c─â cititorul nematematician nu ├«n┼úelege din textul respectiv (neap─ârat) ce g├ónde┼čte matematicianul, ci de multe ori cu totul altceva: unele aspecte nici nu le vede ├«n text, dar eventual chiar introduce alte aspecte ├«n mod subiectiv, aspecte pe care autorul nu le-a prev─âzut. Colaborarea celor doi a dus p├ón─â la urm─â la editarea unei c─âr┼úi cu probleme de perspicacitate a g├óndirii, prezentate ├«n texte pe care s─â le ├«n┼úeleag─â ┼či cei cu o g├óndire nematematic─â (Neu entdeckte R├Ątselgriffe, Peter Gallin, Urs Ruf). Am re┼úinut o expresie: noile probleme sunt mai ÔÇťprietenoase cu cititoriiÔÇŁ (leserfreundlich), pentru c─â descriu ambientul ├«n care se petrece ac┼úiunea problemei. Colaborarea lor a continuat de-a lungul anilor, lista c─âr┼úilor acestor doi pe tema limb─â ┼či matematic─â (Sprache und Mathematik) cuprinz├ónd trei titluri a c├óte dou─â volume.

Cu aceast─â introducere, Peter Gallin a trecut la subiectul urm─âtor, prezent├óndu-ne no┼úiunea de persoane avariate matematic (Mathematiksch├Ądigung; mathematically damaged person), vorbind ┼či de o predare cauzatoare de avarierea matematic─â a elevilor. D├ónsul spunea c─â ├«n Germania ar fi undeva ├«ntre 50-90% din popula┼úie cu simptome de avariere matematic─â.

Cum vedem dac─â avem un elev avariat matematic? Dup─â r─âspunsuri de felul urm─âtor:

  • ce formul─â trebuie s─â folosesc la aceast─â problem─â?
  • noi nu am avut a┼ča probleme p├ón─â acum.
  • se d─â a┼ča ceva la examen?
  • eu oricum nu am nici o ┼čans─â s─â rezolv a┼ča ceva.
  • oricum eu n-am fost niciodat─â bun la mate.
  • spune┼úi-mi cum se face.

Cum se vede avarierea matematic─â la adul┼úi? Pe l├óng─â r─âspunsuri similare cu cele ale elevilor (de c├ónd am fost eu prin scoal─â am uitat totul, etc.), putem vedea cum citesc/redacteaz─â ┼či abordeaz─â rela┼úia cu instruc┼úiunile de folosire a vreunui aparat, sau orice alt fel de algoritmi (Instruc┼úiuni ÔÇťca pentru pro┼čtiÔÇŁ; Anleitungen die idiotensicher sind). Chiar ┼či la profesioni┼čtii mai apropia┼úi de matematic─â po┼úi g─âsi avariere matematic─â sub ini┼úiativa: hai s─â-┼úi ar─ât eu cum se face! A aminti aici de colegii de alte materii care se lupt─â regulat cu procentele la statistica anual─â a dirigintelui d─â un alt ├«n┼úeles felului cum z├ómbim pe sub musta┼ú─â (comentariu CTG).

Dup─â o scurt─â exemplificare ├«n apari┼úia numerelor lui Fibonacci ├«n spiralele de pe conuri de brad sau de pe floarea soarelui, Peter Gallin a trecut la subiectul principal, ├«nv─â┼úarea dialogic─â (concept inventat de d├ónsul). ├Än principiu, ├«nv─â┼úarea dialogic─â se face ├«n c├ó┼úiva pa┼či:

  • elevii primesc ca tem─â o sarcin─â (nu neap─ârat o ├«ntrebare foarte exact─â); iat─â un exemplu scurt: 51 ÔłÖ 49 ÔÇô spune-mi cum socote┼čti tu asta! (cerin┼úa nu este s─â calculeze, ci s─â descrie cum calculeaz─â).
  • elevii aduc r─âspunsul ├«n scris ┼či ├«l las─â fiecare ├«n jurnalul s─âu (un dosar, portofoliu, aflat tot timpul ├«n clas─â).
  • profesorul va lua apoi jurnalele la verificat: munca elevilor este evaluat─â cu bife (una, dou─â sau trei bife, depinz├ónd de c├ót i se pare de interesant─â profesorului expunerea elevului, nu neap─ârat de c├ót este aceasta de corect─â). Elevii ├«┼či vor putea g─âsi ulterior eseurile bifate).
  • ├«n unele eseuri profesorul g─âse┼čte anumite idei deosebite, pe baza c─ârora lanseaz─â apoi urm─âtoarea sarcin─â. De multe ori aceast─â nou─â sarcin─â vine ├«n urma unei ÔÇťgre┼čeli genialeÔÇŁ g─âsit─â ├«n r─âspunsul vreunui elev.

Am ├«n┼úeles c─â ├«nv─â┼úarea dialogic─â ├«l preg─âte┼čte bine pe elev pentru situa┼úii c├ónd acesta ajunge ├«n criz─â de timp.

Spre final am notat o ├«ntrebare: ce fac elevii cu tot ce-au ├«nv─â┼úat? Iar apoi o declara┼úie: Nu-i important ce le prezin┼úi elevilor; important este procesul ├«n care intri ┼či mergi cu ei !!!

La seminarul de a doua zi s-au f─âcut c├óteva referiri la prezentarea d-lui Gallin: cel mai important ├«n ├«nv─â┼úare nu este profesorul, ci profesorul care ├«nva┼ú─â. Atunci apare cea mai eficient─â ├«nv─â┼úare (the most important in learning is not the teacher, but a learning teacher; the most efectiv learning). Intr├ónd cu elevii ├«n proces vin ├«ntreb─âri, apar discu┼úii. ├Än Elve┼úia doar 20% din absolven┼úi promoveaz─â BAC-ul; Peter Gallin nu-i preg─âte┼čte ├«n mod special pentru problemele de examen, dar elevii s─âi au succes la BAC datorit─â ├«nv─â┼ú─ârii dialogice.

8 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Stephan Sigler

5WM-2 din 6 oct. 2015

Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)

A doua conferin┼ú─â de la Congresul mondial al profesorilor de matematic─â Waldorf de la Dornach, l├óng─â Basel, ├«n Elve┼úia a fost sus┼úinut─â de dl. Stephan Sigler de la ┼×coala Waldorf din Frankfurt. Acesta pred─â ┼či la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe l├óng─â un succint istoric al planului de ├«nv─â┼ú─âm├ónt ├«n matematica ┼čcolilor Waldorf, d├ónsul a prezentat c├óteva aspecte de larg interes, pe care vi le red─âm ├«n continuare pe scurt, dup─â noti┼úele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).

  • Orice face profesorul la clas─â ar trebui s─â reias─â din misteriile momentului ├«nt├ólnirii cu elevii.
  • La ├«nceputul secolului XIX ├«n Germania, Elementele lui Euclid era a doua carte dup─â Biblie.
  • Geometria are o puternic─â leg─âtur─â cu sim┼úurile, cu v─âzul, cu echilibrul ┼či cu mi┼čcarea, pe c├ónd algebra nu are nici o leg─âtur─â cu sim┼úurile. Uneori ne apare ca o simpl─â manipulare de ├«nl─ân┼úuiri de simboluri.
  • Propunerile din 1905 ale lui Felix Klein pentru reforma pred─ârii matematicii (Meraner Reformvorschl├Ąge):
    1. Adaptarea la evoluţia spiritual-intelectuală naturală a elevilor;
    2. Conectarea la capacit─â┼úile de imaginare ┼či ├«n┼úelegere a elevilor; studierea fenomenelor ce pot fi cuprinse ┼či ├«n┼úelese de c─âtre elevi.
    3. Formarea unui curriculum în spirală.
    4. Orientarea materiei studiate după aplicabilitate în exteriorul matematicii (matematică financiară, practică topografică, dezvoltarea gândirii logice etc.).
    5. ┼×colirea g├óndirii func┼úionale, de exemplu prin fuziunea geometriei cu algebra (din p─âcate la noi aceast─â fuziune este f─âcut─â mult prea repede, f─âr─â a mai fi a┼čteptat─â ┼či permis─â ÔÇťcoacerea geometrieiÔÇŁ la ├«nceputul liceului – ad─âugare CTG).
  • Prezentarea unor no┼úiuni vii este dificil─â ├«n matematic─â; prin prezentarea no┼úiunilor ├«n defini┼úii acestea nu mai pot evolua, nu mai sunt vii. Cum ar ar─âta o predare vie? Trebuie s─â l─âs─âm empirismul s─â fie prezent ├«n orele noastre (caracterizare vs. defini┼úie).
  • De pild─â, teorema lui Pitagora ar trebui prezentat─â iar ┼či iar, dar din diferite puncte de vedere: o dat─â prin arii ┼či forfec─âri (transla┼úii), alt─â dat─â prin asem─ân─âri, apoi din nou cu arii, dar de data asta cu formule de calcul prescurtat, iar─â┼či mai t├órziu cu teoria numerelor naturale etc. A┼ča apare tendin┼úa de a l─ârgi o tem─â ├«nv─â┼úat─â ├«ntr-un mod viu. Predarea matematicii trebuie s─â aduc─â mai mult dec├ót doar multe cuno┼čtin┼úe.
  • Imagina┼úia poate fi tr─âit─â cel mai u┼čor ├«n matematic─â (dintre toate domeniile cunoa┼čterii). De exemplu la ├«n┼úelegerea numerelor negative.
  • Kronecker: numerele naturale au fost create de c─âtre Dumnezeu; la numerele negative a trebuit s─â intervenim noi.
  • Prezentarea a fost ├«ncheiat─â cu un citat din Rudolf Steiner: Adev─ârurile matematice reprezint─â prima hran─â adev─ârat─â pentru spirit pe care o prime┼čte omul (Die mathematischen Wahrheiten sind die erste wahre geistige Nahrung die der Mensch kriegt).

30 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici