Regula de trei simpl─â dup─â Beethoven

Ia uitaţi ce problemă frumoasă ne-a trimis o colegă de muzică:

O orchestr─â de 120 de muzicieni are nevoie de 40 de minute pentru a interpreta simfonia a 9-a de Beethoven. ├Än c├ót timp vor interpreta 60 de muzicieni simfonia respectiv─â? (fie m num─ârul muzicienilor ┼či t timpul de interpretare)

Prezentare de carte: Amir Alexander ÔÇô Infinitezimal

Ap─ârut─â ├«n 2017 la editura HUMANITAS, lucrarea Infinitezimal a lui Amir Alexander┬á ne prezint─â felul cum a contribuit la f─âurirea lumii moderne o teorie matematic─â periculoas─â. Iat─â cum ├«┼či prezint─â autorul lucrarea: Este continuumul alc─âtuit din infinitezimale? ÔÇô cu greu ne putem ├«nchipui ce pasiuni a st├órnit aceast─â ├«ntrebare ciudat─â. Dar ├«n secolul XVII, ├«n toiul b─ât─âliei, combatan┼úii din ambele tabere credeau c─â r─âspunsul putea modela toate aspectele vie┼úii ├«n lumea modern─â care se n─â┼čtea. ┼×i au avut dreptate: c├ónd vacarmul b─ât─âliei s-a stins, ap─âr─âtorii infinitezimalelor ├«nvinseser─â. Iar de atunci lumea s-a schimbat ireversibil.

├Än acest sens, pe coperta a IV-a a c─âr┼úii g─âsim urm─âtoarea prezentare mai detaliat─â: La sf├ór┼čitul secolului XVI ┼či ├«nceputul secolului XVII, Europa era fr─âm├óntat─â de conflicte violente nu doar ├«n plan politic ┼či social, dar ┼či ├«n aparent mult mai pa┼čnicul domeniu al ┼čtiin┼úelor matematice. Dac─â pe c├ómpurile de lupt─â Reforma se confrunta cu Contrareforma, ├«n matematic─â b─ât─âlia se d─âdea ├«ntre partizanii infinitezimalelor ÔÇô readuse acum la via┼ú─â, dup─â ce puseser─â grele probleme anticilor ÔÇô ┼či matematicienii tradi┼úionali┼čti, fideli modelelor geometriei euclidiene. Ni se pare azi greu de ├«nchipuit c├ót de subversiv─â a fost ideea de infinit mic ┼či ce miz─â politic─â, religioas─â ┼či cultural─â a avut sus┼úinerea ei.

Preocupat de raporturile dintre matematic─â, istorie ┼či cultur─â, Amir Alexander ne spune ├«n Infinitezimal povestea┬á impunerii no┼úiunii de infinit mic la ├«nceputurile lumii moderne, subliniind consecin┼úele ei pe termen lung. Eroii c─âr┼úii sunt oameni de ┼čtiin┼ú─â (Galilei, Torricelli, Wallis, Newton), filozofi (Hobbes, Locke), clerici ┼či conduc─âtori politici ÔÇô cu to┼úii prin┼či ├«ntr-o lupt─â care, ├«n ultim─â instan┼ú─â, demonstreaz─â for┼úa de iradiere a ideeilor din matematic─â.

La pagina 2 g─âsim urm─âtoarea prezentare: Amir Alexander (n─âscut ├«n 1963) este un istoric american care studiaz─â raporturile dintre matematic─â, societate ┼či cultur─â. Pred─â la Universitatea din California, Los Angeles. Pe l├óng─â prezenta lucrare, ├«n original cu titlul ÔÇťInfinitesimal. How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern WorldÔÇŁ (2014), a mai publicat ÔÇťGeometrical Landscapes: The Voyages of Discovery and the Transformation of Mathematical PracticeÔÇŁ (2002) ┼či ÔÇťDuel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern MathematicsÔÇŁ (2010). Multe mul┼úumiri ┼či cu aceast─â ocazie d-lui Vlad Zografi, redactor al acestei traduceri, responsabil pentru apari┼úiile c─âr┼úilor de ┼čtiin┼ú─â la editura HUMANITAS.

De┼či din lips─â de timp nu am putut s─â m─â arunc ├«n lectura acestei c─âr┼úi, am considerat totu┼či potrivit a v-o prezenta. Oricum, este evident ├«ns─â c─â lucrarea se adreseaz─â tuturor celor ce au de-a face cu elevii de liceu sau cu studen┼úii, pentru care se vor g─âsi multe pove┼čti interesante. Este evident c─â aceast─â carte trebuie ad─âugat─â pe lista de lectur─â ÔÇťobligatorieÔÇŁ pentru orice profesor de matematic─â ce se respect─â (lista orientativ─â de c─âr┼úi de care vorbesc se g─âse┼čte la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ ).

CTG

Charles Darwin despre matematic─â

├Än autobiografia lui Charles Darwin ap─ârut─â la editura HERALD sub titlul Via┼úa mea, am g─âsit urm─âtorul citat (pag. 69-71), ├«n care Darwin ├«┼či aminte┼čte despre contactele sale cu matematica:

S-ar putea spune c─â, din punct de vedere al studiilor academice, cei trei ani petrecu┼úi la Cambridge au fost o pierdere de vreme, precum ┼či anii petrecu┼úi la Edinburgh ┼či la ┼čcoal─â. Am ├«ncercat s─â ├«nv─â┼ú matematica, iar ├«n vara anului 1828 am mers la Barmouth, cu un meditator privat (un om foarte plicticos), dar progresam foarte lent. Aceast─â materie ├«mi provoca repulsie, mai cu seam─â pentru c─â nu reu┼čeam s─â v─âd nicio noim─â ├«n algebra pentru ├«ncep─âtori. Ner─âbdarea mea a fost foarte nes─âbuit─â, iar mai apoi am regretat amarnic c─â nu progresasem suficient pentru a ├«n┼úelege o parte dintre marile principii c─âl─âuzitoare ale matematicii, deoarece oamenii ├«nzestra┼úi cu aceste cuno┼čtin┼úe par s─â aib─â un sim┼ú ├«n plus.

Dar nu cred c─â a┼č fi reu┼čit vreodat─â s─â dep─â┼česc nivelul unei cunoa┼čteri elementare. (ÔÇŽ) ├Än ultimul an, m-am str─âduit s─â ob┼úin licen┼úa re├«mprosp─ât├óndu-mi cuno┼čtin┼úele ├«n materie de clasici, ├«mpreun─â cu un pic de algebr─â ┼či de matematic─â euclidian─â, care ulterior mi-a pricinuit multe delicii intelectuale, ca ┼či ├«n ┼čcoal─â.

Pentru a ob┼úine diploma universitar─â, trebuia s─â cunosc volumele ÔÇťDovezi ale cre┼čtinismului ┼či filozofiei moraleÔÇŁ, de Paley (ÔÇŽ). Logica acestei c─âr┼úi ┼či, a┼č ad─âuga, a ÔÇťTeologiei naturaleÔÇŁ scrise de el mi-au pricinuit tot at├óta desf─âtare intelectual─â ca ┼či matematica euclidian─â.

(ÔÇŽ) R─âspunz├ónd corect la ├«ntreb─ârile legate de Paley, descurc├óndu-m─â bine la matematica euclidian─â ┼či f─âr─â s─â e┼čuez lamentabil la clasici, mi-am dob├óndit un loc bun ├«n mul┼úimea de tineri studen┼úi care nu se a┼čteptau s─â absolve cu onoruri. Oric├ót de straniu ar p─ârea, nu-mi amintesc locul meu ├«n clasament. (ÔÇŽ) [A fost al zecelea pe lista din ianuarie 1831].

Pentru noi, profesorii de azi, nu este foarte clar ce ├«nseamn─â matematica euclidian─â, dar ├«n afar─â de aceast─â nel─âmurire citatul respectiv ne permite o scurt─â privire ├«n lumea intelectual─â nematematic─â a secolului XIX ┼či felul ├«n care aceasta se raporta la matematic─â. ┼×i mai am ├«nc─â o observa┼úie pertinent─â: se pare c─â din totdeauna au existat persoane care, ├«ncerc├ónd s─â-i ├«nve┼úe pe tineri matematic─â, reu┼česc doar s─â-i plictiseasc─â ┼či s─â le trezeasc─â repulsie fa┼ú─â de acest domeniu al cunoa┼čterii umane. CTG

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) ÔÇô o propunere

├Än programa de matematic─â gimnazial─â din 2017, la Sugestiile metodologice din final, apare urm─âtoarea indica┼úie: ÔÇŽ No┼úiunile de ÔÇťcel mai mare divizor comunÔÇŁ ┼či ÔÇťcel mai mic multiplu comunÔÇŁ vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, ÔÇŽ (pag. 31, indica┼úii despre clasa a V-a). Aceasta vine ├«n ├«nt├ómpinarea preocup─ârilor mele din ultimii ani de a g─âsi metode alternative de predare adaptate nivelului elevilor, ├«n sensul c─â am sim┼úit de mult c─â pentru vechea re┼úet─â (factorii comuni la puterea cea mai mic─â din descompunerile ├«n produse de puteri de factori primi ale numerelor respective) se g─âsesc de la un an la altul tot mai pu┼úini elevi care s─â o cuprind─â ┼či s─â-i g─âseasc─â rostul. Accept totu┼či ┼či varianta c─â de la un an la altul cre┼čtea de fapt nivelul meu de empatie fa┼ú─â de valurile de copii de clasele V-VI care nu ├«n┼úelegeau ┼či nu erau ├«n stare s─â aplice re┼úeta respectiv─â. Indiferent care o fi adev─ârul, m-am hot─âr├ót s─â prezint ┼či aceast─â tem─â ├«n conexiune cu prezentarea celor patru ore despre divizorii unui num─âr. Pozele lec┼úiei respective nu sunt cele mai reu┼čite, dar din acestea se poate deduce lec┼úia ┼či parcursul acesteia. ├Än prima poz─â se vede forma indicat─â ├«n noua program─â, form─â pe care eu o predau de cca. 20 de ani (se vede folosirea culorii ├«n prima faz─â, dar ┼či felul cum am abandonat imediat apoi culoarea, pentru a nu forma o dependen┼ú─â inutil─â; din p─âcate portocaliul folosit ini┼úial se vedea bine ├«n clas─â, dar nu se vede mai deloc pe poze, a┼ča c─â va trebui s─â v─â uita┼úi cu aten┼úie sporit─â).

Totu┼či, sunt de p─ârere c─â trebuie s─â deschidem ┼či por┼úi spre nou, spre ceva mai evoluat, a┼ča c─â de mul┼úi ani predau ┼či o a doua metod─â, care ne permite o cre┼čtere a numerelor la care s─â calcul─âm cmmdc. Aceast─â metod─â se bazeaz─â pe folosirea formei descompuse ├«n factori a unui num─âr. Folosesc ├«ns─â descompunerea simpl─â ├«n factori primi ┼či nu scrierea unui num─âr ├«n produs de puteri de factori primi. Aceast─â form─â mai simplist─â are avantajul c─â l─ârge┼čte cercul celor care ├«n┼úeleg ce se ├«nt├ómpl─â; metoda cunoscut─â oficial este evident mai performant─â, dar ┼či mai abstract─â, cer├ónd din partea elevilor o capacitate mai ascu┼úit─â de g├óndire (capacitate care la aceast─â v├órst─â foarte mul┼úi elevi ├«nc─â nu o au, r─âm├ón├ónd ├«n urma respectivei lec┼úii doar cu o nou─â ┼či puternic─â doz─â de frustrare ├«mpotriva matematicii ├«n ansamblu). Forma prezentat─â ├«n aceast─â lec┼úie conecteaz─â desigur ┼či cu diferitele str─âdanii din precedentele ore, a┼ča c─â pentru elevi nu este un mare ┼čoc.

Mai ├«nt├ói am studiat ce se ├«nt├ómpl─â pe exemplul deja cunoscut al numerelor 12 ┼či 18 (unde am eviden┼úiat cu acel portocaliu palid factorii comuni ├«n descompunerile celor dou─â numere), dup─â care am trecut la exemple cu numere mai mari (24 ┼či 30, apoi 72 ┼či 96). Cei doi ÔÇťs─âcule┼úiÔÇŁ folosi┼úi ├«n prezentarea descompunerii numerelor 12 ┼či 18 i-am mai prezentat ├«n post─ârile despre numerele prime de la ├«nceputul anului 2017. ├Än multe cazuri aceast─â reprezentare se dovede┼čte mai sugestiv─â ┼či simt c─â ├«i ajut─â pe copii s─â-┼či imagineze mai bine comportamentul factorilor unui num─âr. Fiind o form─â necunoscut─â de reprezentare (eu am imaginat-o ├«n urm─â cu c├ó┼úiva ani), nu abuzez de aceasta, mai ales c─â oricum forma ÔÇťcu bar─âÔÇŁ este net superioar─â ┼či rapid─â. Astfel, ├«n metoda a doua, numit─â ÔÇťprin descompunereÔÇŁ elevii trebuie doar s─â aleag─â factorii comuni din descompunerile ├«n factori primi ai celor dou─â numere (pe tabl─â sunt colora┼úi cu portocaliu). Legat de lec┼úia prezentat─â aici precizez c─â la ├«nceputul orei urm─âtoare am primit ÔÇťreclama┼úiiÔÇŁ: o elev─â mi-a spus ├«naintea orei c─â nu a ├«n┼úeles ┼či nu a ┼čtiut tema, a┼ča c─â am pornit cu diverse alte exemple de l─âmurire ┼či cu reluarea celor de la tem─â. De abia apoi am trecut la o nou─â lec┼úie.

Metoda merge desigur ┼či la trei numere, iar elevilor le-am spus c─â aceast─â lec┼úie ne va ajuta mai t├órziu la frac┼úii. Ce ├«nseamn─â ÔÇťmai t├órziuÔÇŁ nu pot preciza acum cu certitudine. ├Än principiu ├«ns─â, parcursul pl─ânuit este urm─âtorul: dup─â lec┼úiile despre divizori ┼či cmmdc voi prezenta c├ót de repede posibil ┼či lec┼úia ÔÇťsor─âÔÇŁ, cea despre multipli, despre multiplii comuni ┼či despre cmmmc. Acestea le voi prezenta ├«ns─â pe scurt (├«ntr-o or─â) ┼či doar ├«n formatul intuitiv de baz─â recomandat ├«n programa na┼úional─â. Ca urmare, voi folosi doar g─âsirea intuitiv─â a numitorului comun pentru adunarea ┼či sc─âderea frac┼úiilor ├«n semestrul al II-lea din clasa a V-a. De abia ├«n clasa a VI-a, odat─â cu reluarea opera┼úiilor cu frac┼úii ordinare, voi urca la exerci┼úii ce nu vor mai func┼úiona at├ót de intuitiv, iar atunci ne vom reaminti de aceast─â lec┼úie. Tot atunci se prea poate s─â ajungem ┼či la dezvoltarea metodei a 2-a ├«n metoda 2ÔÇÖ, adic─â ├«n forma cunoscut─â, cea amintit─â ┼či la ├«nceputul prezentului articol. Aceast─â metod─â arhicunoscut─â de c─âtre adul┼úi (cei care au fost buni la matematic─â ├«n ┼čcoal─â), metoda ┼čtiut─â pe de rost cu factorii comuni la puterea cea mai mic─â pentru cmmdc, respectiv factorii comuni ┼či necomuni la puterea cea mai mare pentru cmmmc, aceast─â metod─â se ├«n┼úelege mult mai u┼čor pe cazul simplific─ârii frac┼úiilor, respectiv a aducerii frac┼úiilor la numitor comun. Faptul mi-a fost confirmat de diferi┼úi elevi care, dup─â explica┼úii pe astfel de exemple cu frac┼úii, au avut avut acea stare de revela┼úie de tip A-HA!, deci de aia zicea lec┼úia din clasa a V-a astfel. Astfel, ├«n clasa a VI-a, dup─â ce voi fi dat de lucru ├«ntregii clase pagini ├«ntregi de exerci┼úii de rutin─â din categoria Ordinea opera┼úiilor, cu ocazia unor exerci┼úii mai dificile de aducere la numitor comun, voi conduce elevii spre cristalizarea metodei 2ÔÇÖ.

Revenind la noua program─â, eu cred c─â ├«n acest spectru ar trebui citit─â, studiat─â, ├«n┼úeleas─â ┼či aplicat─â aceast─â program─â. Speran┼úa este c─â at├ót profesorii de la clas─â, c├ót ┼či cei responsabili de formarea primilor pe noua linie vor avea destul─â energie ┼či r─âbdare, ├«nc├ót s─â parcurg─â procesul de ├«n┼úelegere ┼či de implementare, oric├ót de mult ar dura acesta. ┼×i, sunt convins c─â va dura mult (nu ┼čtiu c├ó┼úi ani va dura, dar va dura mult). ├Än acest sens ┼čtiu doar c─â procesul ├«nvers, ├«n urma reformei din 1980 a durat cca. 10 ani (vezi articolele despre reforma uitat─â postate pe aceast─â pagin─â ├«n 2016: Reforma uitat─â (partea I) respectiv Reforma uitat─â
(o scurt─â descriere)
). Eram elev, apoi student ├«n acei ani, dar cunosc destul de bine situa┼úia de la p─ârin┼úii mei, av├ónd o imagine destul de corect─â asupra fenomenului ┼či ├«naintea momentului 1990 c├ónd am ├«nceput eu s─â predau.

CTG, 29 oct. 2017