Cel mai mare divizor comun (cmmdc) – o propunere

În programa de matematică gimnazială din 2017, la Sugestiile metodologice din final, apare următoarea indicaţie: … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … (pag. 31, indicaţii despre clasa a V-a). Aceasta vine în întâmpinarea preocupărilor mele din ultimii ani de a găsi metode alternative de predare adaptate nivelului elevilor, în sensul că am simţit de mult că pentru vechea reţetă (factorii comuni la puterea cea mai mică din descompunerile în produse de puteri de factori primi ale numerelor respective) se găsesc de la un an la altul tot mai puţini elevi care să o cuprindă şi să-i găsească rostul. Accept totuşi şi varianta că de la un an la altul creştea de fapt nivelul meu de empatie faţă de valurile de copii de clasele V-VI care nu înţelegeau şi nu erau în stare să aplice reţeta respectivă. Indiferent care o fi adevărul, m-am hotărât să prezint şi această temă în conexiune cu prezentarea celor patru ore despre divizorii unui număr. Pozele lecţiei respective nu sunt cele mai reuşite, dar din acestea se poate deduce lecţia şi parcursul acesteia. În prima poză se vede forma indicată în noua programă, formă pe care eu o predau de cca. 20 de ani (se vede folosirea culorii în prima fază, dar şi felul cum am abandonat imediat apoi culoarea, pentru a nu forma o dependenţă inutilă; din păcate portocaliul folosit iniţial se vedea bine în clasă, dar nu se vede mai deloc pe poze, aşa că va trebui să vă uitaţi cu atenţie sporită).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să deschidem şi porţi spre nou, spre ceva mai evoluat, aşa că de mulţi ani predau şi o a doua metodă, care ne permite o creştere a numerelor la care să calculăm cmmdc. Această metodă se bazează pe folosirea formei descompuse în factori a unui număr. Folosesc însă descompunerea simplă în factori primi şi nu scrierea unui număr în produs de puteri de factori primi. Această formă mai simplistă are avantajul că lărgeşte cercul celor care înţeleg ce se întâmplă; metoda cunoscută oficial este evident mai performantă, dar şi mai abstractă, cerând din partea elevilor o capacitate mai ascuţită de gândire (capacitate care la această vârstă foarte mulţi elevi încă nu o au, rămânând în urma respectivei lecţii doar cu o nouă şi puternică doză de frustrare împotriva matematicii în ansamblu). Forma prezentată în această lecţie conectează desigur şi cu diferitele strădanii din precedentele ore, aşa că pentru elevi nu este un mare şoc.

Mai întâi am studiat ce se întâmplă pe exemplul deja cunoscut al numerelor 12 şi 18 (unde am evidenţiat cu acel portocaliu palid factorii comuni în descompunerile celor două numere), după care am trecut la exemple cu numere mai mari (24 şi 30, apoi 72 şi 96). Cei doi “săculeţi” folosiţi în prezentarea descompunerii numerelor 12 şi 18 i-am mai prezentat în postările despre numerele prime de la începutul anului 2017. În multe cazuri această reprezentare se dovedeşte mai sugestivă şi simt că îi ajută pe copii să-şi imagineze mai bine comportamentul factorilor unui număr. Fiind o formă necunoscută de reprezentare (eu am imaginat-o în urmă cu câţiva ani), nu abuzez de aceasta, mai ales că oricum forma “cu bară” este net superioară şi rapidă. Astfel, în metoda a doua, numită “prin descompunere” elevii trebuie doar să aleagă factorii comuni din descompunerile în factori primi ai celor două numere (pe tablă sunt coloraţi cu portocaliu). Legat de lecţia prezentată aici precizez că la începutul orei următoare am primit “reclamaţii”: o elevă mi-a spus înaintea orei că nu a înţeles şi nu a ştiut tema, aşa că am pornit cu diverse alte exemple de lămurire şi cu reluarea celor de la temă. De abia apoi am trecut la o nouă lecţie.

Metoda merge desigur şi la trei numere, iar elevilor le-am spus că această lecţie ne va ajuta mai târziu la fracţii. Ce înseamnă “mai târziu” nu pot preciza acum cu certitudine. În principiu însă, parcursul plănuit este următorul: după lecţiile despre divizori şi cmmdc voi prezenta cât de repede posibil şi lecţia “soră”, cea despre multipli, despre multiplii comuni şi despre cmmmc. Acestea le voi prezenta însă pe scurt (într-o oră) şi doar în formatul intuitiv de bază recomandat în programa naţională. Ca urmare, voi folosi doar găsirea intuitivă a numitorului comun pentru adunarea şi scăderea fracţiilor în semestrul al II-lea din clasa a V-a. De abia în clasa a VI-a, odată cu reluarea operaţiilor cu fracţii ordinare, voi urca la exerciţii ce nu vor mai funcţiona atât de intuitiv, iar atunci ne vom reaminti de această lecţie. Tot atunci se prea poate să ajungem şi la dezvoltarea metodei a 2-a în metoda 2’, adică în forma cunoscută, cea amintită şi la începutul prezentului articol. Această metodă arhicunoscută de către adulţi (cei care au fost buni la matematică în şcoală), metoda ştiută pe de rost cu factorii comuni la puterea cea mai mică pentru cmmdc, respectiv factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare pentru cmmmc, această metodă se înţelege mult mai uşor pe cazul simplificării fracţiilor, respectiv a aducerii fracţiilor la numitor comun. Faptul mi-a fost confirmat de diferiţi elevi care, după explicaţii pe astfel de exemple cu fracţii, au avut avut acea stare de revelaţie de tip A-HA!, deci de aia zicea lecţia din clasa a V-a astfel. Astfel, în clasa a VI-a, după ce voi fi dat de lucru întregii clase pagini întregi de exerciţii de rutină din categoria Ordinea operaţiilor, cu ocazia unor exerciţii mai dificile de aducere la numitor comun, voi conduce elevii spre cristalizarea metodei 2’.

Revenind la noua programă, eu cred că în acest spectru ar trebui citită, studiată, înţeleasă şi aplicată această programă. Speranţa este că atât profesorii de la clasă, cât şi cei responsabili de formarea primilor pe noua linie vor avea destulă energie şi răbdare, încât să parcurgă procesul de înţelegere şi de implementare, oricât de mult ar dura acesta. Şi, sunt convins că va dura mult (nu ştiu câţi ani va dura, dar va dura mult). În acest sens ştiu doar că procesul învers, în urma reformei din 1980 a durat cca. 10 ani (vezi articolele despre reforma uitată postate pe această pagină în 2016: Reforma uitată (partea I) respectiv Reforma uitată
(o scurtă descriere)
). Eram elev, apoi student în acei ani, dar cunosc destul de bine situaţia de la părinţii mei, având o imagine destul de corectă asupra fenomenului şi înaintea momentului 1990 când am început eu să predau.

CTG, 29 oct. 2017

4 thoughts on “Cel mai mare divizor comun (cmmdc) – o propunere”

  1. Cand aduceti fractii la acelasi numitor, justificati elevilor de-a V-a de ce c.m.m.m.c. e produsul numitorilor primi intre ei (eventual pe baza descompunerii in factori primi) sau constata ei prin observatie ? Multumesc!

    1. Buna intrebarea, profesorii trebuie sa se gandeasca sa explice si ”de ce”, nu doar ”cum se face. Sper sa raspunda autorul articolului, mai ales ca a si amintit problema aceasta in diferite articole.

    2. La amplificarea fracțiilor pentru aducerea la același numitor nici nu vorbesc de cmmmc, nici măcar nu le spun din prima că sarcina este găsirea numitorului comun. După adunări și scăderi de fracții cu același numitor, urmează întrebarea cât face jumătate de pâine cu un sfert de pâine?, la care majoritatea elevilor văd clar răspunsul (trei sferturi). Apoi analizăm răspunsul și felul în care se ajunge matematic la acesta (tăierea, împărțirea jumătății de pâine în două sferturi însemnând de fapt o amplificare cu 2). În continuare primele exerciții sunt foarte simple, de tipul 2/3 + 1/6, apoi ½ – 1/3 etc. și elevii se prind repede că trebuie să amplifice. La sfârșitul orei sau cel mai bine la reactualizarea de la începutul orei următoare introduc în limbaj expresia numitor comun, adică același numitor. Oricum exercițiile cresc în dificultate, dar nu prea mult în clasa a V-a, așa că s-ar putea să apară ideea de cmmmc sau poate nu. Oricum, găsirea numitorului comun ca un cmmmc în urma unui algoritm, a unei rețete clare aș amâna-o cât de mult lăsând elevii să lucreze in zona intuitivă a gândirii. După vacanța de vară luăm exerciții tot mai grele, inclusiv cele marca Gheba și acolo se lămuresc toți elevii care au de se lămurit. Atunci sigur vorbim de cmmmc și algoritmul de găsire.
      În cazul de față nu este necesar a le explica foarte detaliat de ce facem așa, atâta vreme cât elevii au făcut sănătos pasul de la același numitor la numitori diferiți prin problema cu pâinea. Dacă vrem totuși o explicație mai clară de ce, o variantă edificatoare ar fi ideea, observația că nu putem aduna decât cantități de obiecte de același fel. Cât fac trei oi cu două oi? (cinci oi, desigur) Cât fac trei oi cu două capre? (un elev zice cinci animale, aducâdu-le astfel la același nume) Cât fac trei oi cu două vaci? (Deja mai greu putem răspunde). Cât fac doi elefanți cu cinci șoareci? (un mare tărăboi) etc. Am convingerea că mai departe de atât elevii oricum nu vor întreba. CTG

      1. Multumim mult si felicitari pentru articole! Aceste idei ar trebui mediatizate si promovate mai mult.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
23 − 7 =