La ce foloseşte matematica?

Chiar aşa, la ce foloseşte, dom’le, matematica asta?! Pe vremuri mă străduiam să şi răspund la această întrebare. Cu timpul mi-am dat seama că n-are rost, că sunt doar “un papagal” încercând să le vorbesc elevilor, nu despre examen, ci despre gândirea şi arta de a judeca ce se formează odată cu practicarea matematică. Există şi alte tipuri de răspuns “miştocăriste”: ţie nu-ţi trebuie, poţi să mergi din nou la grădiniţă; sau: nu-i nevoie de matematică pentru săpatul şanţurilor. Actualmente refuz să mai răspund când un elev îmi pune această întrebare, explicându-i că aceasta este o întrebare retorică, că pe el de fapt nu îl interesează răspunsul meu şi că el are deja un răspuns format, care-i convine de minune: cea mai bună matematică este atunci când aceasta lipseşte cu desăvârşire!

Cu mulţi ani în urmă a venit un tătic la o şednţă cu părinţii; luase înainte câteva păhărele “la bord” ca să-şi facă curaj şi să poată înfrunta balaurul, adică pe profu de mate a lu’ fii’su (desigur având amintirea profesorului său din şcoală faţă de care n-a avut atunci curajul să întrebe): Chiar aşa, la ce folosesc, dom’le, radicalii în viaţă?! Acesta dorea desigur o eliminare din materie a tuturor tematicilor care LUI nu i-au folosit în viaţă, luându-se astfel ca reper de aplicat tuturor celorlalţi. Copiii care vin şi mă întreabă sunt mult mai curajoşi, sau poate sunt eu mult mai blând. Dar ei reprezintă doar portavocea unei întrebări auzite şi dezbătute înainte acasă.

Desigur că există şi excepţii la această atitudine: de curând am primit această întrebare de la un prieten drag, dar pusă decent, sub o formă de felul: de ce nu se predă matematica în şcoli astfel încât să simţi la ce ajută, să-ţi fie un sprijin în viaţă chiar dacă nu vei studia direct matematică? Da, aşa mai merge, iar faţă de acest prieten n-am putut decât să ridic sprâncenele şi umerii, şi să-i explic în 2-3 exemple ce fac eu în acest sens, recunoscând însă că să sunt convins că nici pe departe nu fac destul.

Totuşi, nu i-aş crede pe cuvânt pe cei care atacă frontal matematica sub justificarea că nu-i văd folosul. Dacă începi să le dai problemuţe cu aplicabilitate extramatematică, aceştia vor vrea imediat reţeta, dorind să evite cu orice preţ gânditul. Asta pentru că foarte mulţi prezenţi sau foşti “nematematicieni” au o imagine limitată, reducând matematica la o colecţie de reţete şi la categoriile corespunzătoare de probleme. Toţi aceştia vor dori imediat să le dai categoriile şi reţetele, numai să nu gândească. Pentru toţi aceştia matematica ar trebui să arate cam ca la orele de la chimie unde se fac probleme cu soluţii de sare şi alte diluţii.

Desigur însă că dacă matematica s-ar transforma în aşa ceva, alţii vor urla “sus şi tare” că matematica este doar o colecţie plictisitoare de îndobitocire şi dresură, că nu le dai nimic să gândească, că de fapt la matematică ar trebui să înveţi să gândeşti etc.

Iar dacă apoi îţi trece prin cap să le dai o problemă practică în care sunt obligaţi totuşi să gândească, nesuprapunându-se exact cu cele primite ca model, vor urla “ca din gură de şarpe” că le-ai dat ceva ce n-ai făcut la clasă sau care nu este în materie. Dacă începi să le dai probleme matematice “din viaţă”, atunci te vor ataca ei sau chiar părinţii lor că acestea nu sunt în programă, că din acestea nu se dau la examen etc. De pildă, în urmă cu doi ani am dat la o lucrare de control la clasa a 5-a o problemă cu o piscină (‘dreptunghiulară”, adică paralelipipedică) ce trebuia vopsită iar elevii aveau de calculat aria suprafeţei pentru care trebuia cumpărată vopsea albastră (aveau studiată aria dreptunghiului, dar nu făcusem formula pentru aria totală a paralelipipedului dreptunghic, care vine ca reţetă doar în clasa a 8-a). Vă daţi seama că am primit întrebări cu subânţeles, de tipul: asta nu-i de-a 8-a? Aceste întrebări nu veneau desigur direct de la elevi, ci prin ei de la cei de acasă. În acel moment elevii trebuiau să gândească şi nu aveau de unde să ştie că ceva – în formă de reţetă – de acest fel urma să vină de abia în clasa a 8-a. Puteţi să vă imaginaţi un posibil dialog acasă, între părinte şi copil după lucrarea de control, acesta explicând ce problemă nu a ştiut la lucrare.

De unde vine această atitudine de refuz a gândirii, cu care se confruntă învăţământul matematic pe toată planeta, asta este o altă problemă despre care am mai amintit, anume situaţia persoanelor avariate matematic, întrebarea incluzând şi dilema prevenirii ajungerii oamenilor în această situaţie. În primul rând ar trebui să ne gândim însă cum ajunge învăţământul să genereze astfel de indivizi, astfel de modele de “gândire”.

O parte mare din vină (poate cea mai mare parte) o are sistemul, “profesorimea”, casta profesorilor de matematică, ce-i supune pe elevi unei matematici teoretice, abstracte şi lipsită complet de aplicaţii în viaţa de zi cu zi, o matematică preocupată doar de “sine” şi de rezultatele la diferitele concursuri (românii fiind aici campioni, cu diferite concursuri chiar din ciclul primar). Atâta suntem cu nasu’ pe sus, noi matematicienii, încât minimul de aplicaţii extramatematice ce se studiază în şcoală îi lăsăm pe colegii de fizică şi de chimie să le facă pentru noi (avem atâta materie, că pentru asta nu mai avem timp). Dar şi conducătorii sistemului sunt de vină: subiectele la examene nu conţin aproape deloc probleme aplicabile în afara matematicii (că dacă s-ar cere, atunci şi profesorii le-ar face). Dar nu din acelea cum am văzut în ultimii ani: în figura alăturată avem reprezentat un tort în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, sau o bucată de brânză în formă de piramidă triunghiulară regulată.

Simţiţi că am intrat aici într-un subiect ce pare să nu aibă sfârşit. O abordare frontală la acest subiect a încercat colegul nostru dl. Sorin Borodi (din Dej) în două postări deosebite pe care le recomand cu drag tuturor profesorilor de matematică.
În primul rând este vorba despre un basm terapeutic pentru cei mari, cum l-a numit dl. profesor, povestea lui Guw Zak şi a Marelui Şaman Ţ’tor, despre drumul lor în Colosala Călătorie şi mai ales despre întrebarea la ce foloseşte Ma’ca?
Găsiţi această poveste aici: Basm terapeutic pentru cei mari.

Iată şi câteva comentarii culese din continuarea acestei postări de pe contributors.ro:

– Părerea la care ader este că matematica este limbajul în care se poate exprima spaţiul fizic şi spaţiul ideilor abstracte. Lipsirea, desuadarea, sau malpraxisul învăţării acestui limbaj are efecte, dincolo de indivizi, perverse peste generaţii… inclusiv blazarea şi dezinteresul.

– Minunat, domnule Borodi ! Din textul dumneavoastră, mai ales din întrebări, reiese durerea pentru starea de fapt. Porniti un val al schimbarilor: internetul vă ajută, adulţii, la fel (au dovedit la alegerile recente ce pot) iar, şcolarii vor fi primii care vor fi de partea binelui. Succes !

– Matematica e o disciplină fascinantă chiar dacă unu’ sau altu’ zice că nu-i foloseşte la tăiat puiu’ şi făcut ciorba.

– Cred că esenţa matematicii şi a eseului dumneavoastra este aici: “unul din ei a spus că ştie la ce serveşte Ma’ca şi că el crede că i-ar fi de folos în viaţă. Nu Marele Şaman Ţ’tor i-a desluşit taina, el zicea că singur a ajuns la ea.”. Matematica nu este pentru oricine. Gândirea structurată, pragmatică, algoritmică, stabilirea unui proces, proceduri de rezolvare.

O a doua postare, mai ancorată în realitatea noastră, pe edupedu.ro, este despre Eva. Cum care Eva? Ştiţi, ea, Eva, cea care vine o dată pe an şi îi terorizează pe absolvenţii de a 8-a: Eva-luarea Naţională! (pentru cine nu s-a prins, aici tocmai am inserat un banc auzit de la fiică-mea,). Găsiţi punctul de vedere al d-lui Borodi, puct de vedere foarte tranşant despre subiectele date în acest an la examenul de EN, aici: Matematica la Evaluarea Națională 2019. Subiect fad, cu cerințe ce nu vizează deloc sau aproape deloc realitatea, inutile în viața de zi cu zi.

Ambele texte se referă la acelaşi subiect, anume la modul inadecvat, chiar dezastruos am putea spune, mod în care se predă matematica în România, unul lipsit de conexiuni cu realitatea şi cu concretul. Întreabă dl. Profesor Borodi şi vă întreb şi eu la rândul meu pe dvs.: credeţi că se poate schimba ceva în acest sens într-un viitor apropiat? CTG

Geometria! Bat-o vina!

Tot geografia, pardon, geometria a fost cea care a dat cele mai mari bătăi de cap elevilor. Ce v-a dat? O prismă, răspundea elevul buimăcit, proaspăt ieşit din examenul de EN ediţia iunie 2019. Dar nu prisma le-a dat cele mai mari probleme, ci geometria plană. Două cerinţe (III 1c şi 2c) pe care elevul conştiincios de rând nu le prea putea aborda cu succes deplin.

Dar şi aritmetico-algebra i-a năucit puţin. Poate, puţin mai mult (la problema cu resturile). Un aspect pozitiv este că în baremul de notare găsim c.m.m.d.c.{72, 120, 216} şi nu abstractul (72, 120, 216).

Una peste alta, concluzia-i clară: cine vrea să treacă sigur şi bine peste nota 9, acela trebuie să muncească muuult la demonstraţia geometrică. Da da!

Profesorul ideal

Luni 11 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea, înainte de ora 8, domnii Vlad Petreanu & Co. + câţiva ascultători intraţi în direct au discutat despre profesorul ideal.

Avem nevoie de educaţie în ţara asta …Avem nevoie de profesori foarte buni … Cum arată profesorul ideal? …Aţi cunoscut vreo dată un astfel de profesor?
– Profesorul meu ideal era d-na profesoară de geografie … care înainte de 1990 ne explica că e o singură Germanie şi chiar dacă ea ni le aranjează pe hartă aşa cum erau atunci, s-ar puta ca peste câteva luni … habar nu am dacă … dar a avut curajul să ne explice nişte lucruri înainte …
– Deci pentru tine profesorul bun este ăla care spune adevărul în ciuda ideii generale …
– Avea şi alte calităţi: nu ne punea să învăţăm mot-a-mot nişte lucruri, spunându-ne că nu acelea sunt importante …
– Mi-am adus aminte de un profesor de chimie din gimnaziu; muream să mergem la orele lui. … l-am iubit foarte mult, nu doar eu, toată clasa. … experimente din alea chimice, spectaculoase. Ei, cu asta ne-a cucerit; aproape la fiecare oră făcea câte un experiment. Dădeam pe spate! Toţi învăţam pe rupte la ora lui. Eram înebuniţi după materia lui spectaculoasă. Era pontos, făcea glume cu noi. Mai am şi acum un extemporal de la el pe care scrie 10 cu felicitări. Domnu respectiv, adică tovarăşu respectiv a emigrat în America, sau în Australia, a plecat din ţară, şi a venit o altă profesoară de chimie care era pe modelul “să dictăm mult”. S-a terminat cu experimentele şi la mine a fost nenorocire cel puţin; impactul a fost devastator. De la 10 cu felicitări am ajuns la corigenţă într-un trimestru. Pentru că nu mai era nici un fel de interes. Deci profesorul ideal este cel care te face să simţi că înveţi ceva şi participi la descoperirea a ceva, care ştie să facă spectacol din ora lui. Şi nu e vorba doar de chimie, am avut şi la istorie o profesoară grozavă care ştia să facă spectacol; la geografie am avut vreo doi ani aşa ceva. Depinde enorm de felul în care ştie să trezească interesul copilului.
– Am avut şi eu o profesoară de istorie, ne trezea interesul imediat: când nu ştiam îşi scotea pantoful şi arunca cu el după noi prin clasă …
– Cel mai mult am învăţat de la profesorii pe care i-am respectat. Asta nu cred că se-nţelege: un respect câstigat. … trebuie să fi foarte corect, din toate punctele de vedere ….
– Copilul trebuie să vadă în profesor şi un model de viaţă …Vrea copilul să fie ca el? Îi este model?
– Un profesor care la început ne-a scris pe tablă întrebările DE CE? şi CUM? şi ne-a spus că el cu acestea predă. …
– La facultate aveam vinerea şi nu lipsea nimeni, cu un profesor un curs de şase ore, care treceau parcă erau 10 minute, pentru stilul în care preda, avea darul de a te ţine concentrat şase ore, ceea ce eu n-am mai văzut la nimeni, prin exemple, deşi preda o materie de coşmar pentru facultatea aceea (rezistenţa materialelor). …
Da, se poate pune, pe bună dreptate, întrebarea: cum ar arăta o astfel de oră de matematică (ca cea de chimie descrisă de Vlad Petreanu). Cum ar trebui să predăm astfel încât, după şcoală foştii elevi să spună despre noi că i-am vrăjit, că orele de mate erau frumoase etc.? La această întrebare mă străduiesc de ani buni să găsesc răspunsuri şi reţete posibile. Uneori îmi reuşeşte, alteori nu. La unele lecţii merge, la altele nu. Dar şi când nu iese o oră prea bună, elevii sunt înţelegători, pentru că văd că mă străduiesc şi de atâte alte ori mi-au ieşit ore frumoase. Apropos, cum văd dacă mi-a ieşit o oră frumoasă. Simplu: se vede pe ochii copiilor.
Îmi permit să vă prezint în acest sens un mesaj primit în prima săptămână după vacanţă de la mama unei eleve: Vă mulţumesc din inimă că faceţi în aşa fel, cu atâta profesionalism şi drag pentru copii, ca matematica să fie ceva frumos şi nu o povară!! O zi faină! Mulţumesc şi eu, stimată doamnă; chiar uneori vine bine câte o încurajare; îţi dă o mică doză de bucurie să mergi mai departe.
Domn’Profesor

Matematica în VAMĂ – Pe de rost 643445523456433

În ultima zi de şcoală am primit un superb cadou din partea lui Tudor Chirilă: un imn al elevilor împotriva sistemului învechit din şcoli. Matematica se aude doar în refrenul din spate, în seria respectivă de cifre (să fie o serie de note?), dar în schimb este singura materie prezentă pe tabla prezentată în videoclip (vezi la adresa https://www.youtube.com/watch?v=8kGpwUb6LF4 ). Da, aşa suntem văzuţi de majoritatea elevilor pentru că, da, aşa se comportă mulţi profesori.

Pe de rost
643445523456433

Am note mari
Dar nu-mi place nimic
Sunt un număr într-un sistem
N-am voie să-ntreb
Învăţ pe de rooost
Numai proştii întreabă
E ruşinos

Şcoală,
Îţi aminteesti?
Ce mic eram
Cum mi-ai promis c-ai să mă creşti…
Şcoală,
Cum naiba vrei să cresc
Dacă
E o ruşine să greşesc

643445523456433

Am 16 ani şi aş vrea să dispar
Undeva unde să pot conta
Tată
dacă te sună azi
spune-le că-s plecat
Azi chiulesc pentru că
m-am săturat să ascult
Vreau să gândesc

Tată
Nu-ţi fie frică
Există viaţă
După notă mică
Şcoală
Cum naiba vrei să cresc
Dacă
E o ruşine să gândesc

643445523456433

Pe de rooost
pe de rooost
pe de rooost ca un prost
Nu mai vreau pe de rooost
pe de rooost ca un prost
Deci şcoală
La revedere
Esti prea departe
De visele mele
Şcoală
La revedere
Mă duc să învăăţ
De la visele meleee.

Selfie cu Gauss şi cu Weber

În primăvara aceasta “m-am rătăcit” prin Göttingen şi, având câteva ore libere, am pornit pe urmele marelui Carl Friedrich Gauss. În primul rând am căutat statuia lui Gauss în care este reprezentat alături de Wilhelm Weber, inventatorul telegrafului electromagnetic (personajul şezând este Gauss). Şi, dacă tot am ajuns pe acolo, am căutat şi mormântul marelui matematician. Din fostul cimitir în care este acesta situat, s-au păstrat câteva morminte ale unor personalităţi, restul fiind transformat în parc simplu cu peluză şi câţiva arbori maiestuoşi. Da, şi dacă tot m-am plimbat prin Göttingen, nu a fost greu să dau şi de un Gauss Pub. Nimic special, dar totuşi o idee deosebită.

Gauss ca Gauss, dar o plimbare prin vechiul Göttingen este oricum recomandare deosebită. Ştiaţi că în timpul războiului a existat o înţelegere între nazişti şi britanici ca să nu-şi bombardeze reciproc cele două mari centre universitare? Oxford şi Cambridge la englezi, respectiv Göttingen şi Heidelberg la nemţi.  TitussG

Suma lui Gauss şi alegerile europarlamentare după CTP

Joi 23 mai 2019, într-o emisiune înainte de alegerile europarlamentare din 26 mai, la postul de televiziune Digi 24, gazetarul Cristian Tudor Popescu a ţinut o scurtă lecţie despre Suma lui Gauss. Merită să urmăriţi pasajul respectiv la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=Gqr9OH8vWVQ (daţi contorul la momentul 6.30 şi urmăriţi până la 10.30, sunt doar 4 minute). TitussG.

Scrisoare deschisă către profesori semnată de Radu Gologan

Domnul Profesor Radu Gologan a postat zilele acestea pe contul său de Facebook  un mesaj către profesorii de matematică, adresat în mod special celor din gimnaziu, dar nu numai. Despre acest mesaj suntem atenţionaţi pe https://www.edupedu.ro/gologan-despre-predarea-matematicii-nu-ar-trebui-sa-se-bazeze-pe-retinerea-unor-retete-ci-pe-contexte-de-viata-si-rationamente-originale/ . Iată întreg acest mesaj (din 30 mai):

*

Câteva gânduri pentru dascălii matematicieni

În întreaga lume, matematica şcolară pare a fi în impas. Probabil că imensul impact al mijoacelor IT şi de comunicare au dus la o modificare majoră a modului de gândire şi de atitudine a copiilor şi tinerilor faţă de şcoală în general şi faţă de matematică în special. Adesea, noi dascălii, simţim că nu avem mijloacele didactice şi înţelegerea necesară pentru a ne adapta acestor schimbări. Se adaugă şi istorica adversitate faţă de matematică a unei bune părţi a elevilor, părinţilor şi chiar a unor personalităţi influente în societate.

Prin modul în care Comisia de Matematică a MEN şi SSMR a încercat să adapteze curriculumul matematic acestei modificări de paradigmă, ne-am dorit să revenim, cel puţin pentru clasele mici din gimnaziu, la prezentarea matematicii cât mai aproape de intuiţie, cu minimum de formalism şi (minim de) rigurozitate exagerată şi să lăsăm profesorului libertatea de a transmite noţiunile şi faptele martematice cât mai natural, fără notaţii încărcate şi accente formale care ii îndepărtează pe copii de esenţa fenomenelor. Nu e important, de exemplu, ca în calasele mici să facem distincţii între unghi şi măsura lui, sau între segmente închise sau deschise, aşa cum nu credem că atunci când se vorbeşte despre figuri geometrice, să insistăm spre deosebirea între egalitate şi congruenţă.

Mulţi dintre cei care am lucrat la acest program avem experienţe la catedră în toate formele de învăţământ de peste 30 chiar 40 de ani. Am trecut şi noi prin perioada în care şcoala Bourbaki influenţa programele de matematică, în anii 70-80. Formalizarea bourbakistă a matematicii este utilă cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, dar considerăm acum, nefastă didactic. Experienţa ne spune că rolul primordial al matematicii şcolare este de a dezvolta gândirea logică prin crearea de secvenţe de judecată ce să poată analiza probleme legate de viaţă, nu neapărat cu conţinut matematic. Competenţa fundamentală a omului viitorului va fi posibiliatetea de a învaţă noţiuni, rezultate şi meserii noi, rapid şi corect, iar pentru aceasta, e nevoie de gândire aplicată.

Va mai trebui să facem un pas în viitor: nu examenele şi testările naţionale care să verifice reţinerea unor reţete matematice vor revigora şcoala şi atrage copiii spre matematică, ci cele cu contexte din viaţă, ce sunt bazate pe raţionamente originale în modelarea matematică cu deschidere spre descoperire.

*

După ce mai citiţi măcar încă o dată gândurile D-lui Profesor (acestea merită citite de câteva ori la rând), vă propun o scurtă discuţie. Probabil că cel mai scurt comentariu la această scrisoare ar fi: V-AM SPUS EU? Dar cred că voi încerca totuşi o variantă mai liniştită. Trec peste primul aliniat despre care tocmai ce am povestit (29 mai) destul de detaliat  – fără să am habar că Dl Gologan avea să scrie aceste rânduri. Oricum, cele 7 pagini A4 (cu Times New Roman de 12) din postarea precedentă acoperă doar o mică parte din întreaga plajă a efectelor mijloacelor mass-media, IT şi de comunicare; cărţi întregi sunt necesare pentru o relativ completă prezentare a subiectului, şi orice nouă “jucărie” în domeniu aduce cu sine peste câţiva ani, în atenţia specialiştilor, odată cu observarea efectelor, noi şi noi avarieri la nivelul dezvoltării psihico-mentale ale copiilor. Şi tot din păcate, pe când sunt observate, studiate şi înţelese, toate aceste avarieri cu greu mai pot fi remediate măcar parţial.

De fapt, cam toate punctele atinse în această “scrisoare deschisă” au reprezentat subiectul unor eseuri publicate în aceşti ani pe pentagonia.ro, dar nu îmi propun acum să direcţionez cititorul unde sunt acestea de găsit. De pildă, am scris în nenumărate rânduri despre faptul că respectiva Comisie de matematică a MEN şi SSMR a cuprins în noua programă ideea de a adapta matematica claselor 5-6 într-un mod mai puţin formal şi bazat mai ales pe o predare intuitivă, mult mai potrivită acestor vârste. Pe Dl. Gologan l-am întâlnit o singură dată (18 mai 2017, ora 17), la ISJ Cluj, unde am povestit împreună 10 min.; cât despre celelalte persoane din comisia respectivă, nu le cunosc, aşa că nu se poate spune că tot ce am scris pe acest subiect mi-a fost transmis prin viu grai, drept nişte “scurgeri” din culisele muncii la programă. Nu, tot ce am scris se poate vedea în rândurile noii programe (totodată şi în alte surse), dar cu o singură condiţie: să fi dispus să le vezi. Cei care nu a văzut aceste idei, aceia nu au fost de fapt capabili să le vadă, şi asta nu din răutate, ci pentru că sunt mult prea fixaţi mental în vechea paradigmă, iar aceste gânduri noi le trec pur şi simplu “pe lângă creier”. (Cunosc acest sentiment din proprie experienţă, luptându-mă în ultimii 20 de ani să înlocuiesc elemente din paradigma în care am fost educat, cu unele noi, ce le găsesc prin intermediul pedagogiei Waldorf, şi pot să spun doar un lucru: merge foarte foarte greu).

De ce se întâmplă această neînţelegere a noii linii promovate prin noua programă? Pentru că profesorii români au fost setaţi, au fost instruiţi, au fost obligaţi, chiar forţaţi în prezenta stare de super-teoreticieni, împinşi în credinţa oarbă că această cale este obligatorie pentru creşterea rezultatelor elevilor. Până la un punct acest fapt este oarcum chiar adevărat, dar ducerea la extrem a paradigmei teoreticiste odată cu reforma din 1980 a creat mult mai multe pagube majorităţii elevilor decât a adus avantaje vârfurilor, celor puţini care lucrează la nivelul de excelenţă.

Dl. Profesor Gologan recunoaşte prin această scrisoare deschisă că: 1) mai există oameni care ştiu de reforma din 1980, pe care eu o consideram de mult uitată, şi 2) cel puţin persoanele ce au luat parte la această comisie sunt conştiente de faptul că imitarea mioritică a curentului Bourbakist din pedagogia franceză a fost o greşeală metodico-didactică, măcar  la nivelul claselor gimnaziale: Considerăm acum că formalizarea bourbakistă a matematicii este nefastă didactic!!! Dacă nu le-aţi citit, studiaţi vă rog diferitele eseuri în care am prezentat o scurtă istorie a predării matematicii în România, aşa cum am înţeles-o eu că s-a petrecut. Există însă şi alţi colegi care văd lucrurile în mod similar. Unul dintre aceştia i-a şi răspuns D-lui Profesor la comentarii: B.R. Mai bine mai târziu decât niciodată, păcat doar de timpul pierdut ca să se ajungă la concluzii evidente, axiomatizarea nu are ce căuta în clasele gimnaziale, a fost un eşec la liceu (Teleman). Mă îndoiesc că toţi studenţiisunt apţi pentru un studiu axiomatic.

Ce se întâmplă însă la nivelul profesorului de rând? La ora actuală şcolile sunt pline de profesori a căror paradigmă este dominată de pildă de credinţa utopică într-o forţă absolută a definiţiilor, la cei mai mulţi existând chiar convingerea unei echivalenţe între a cunoaşte obiectul matematic definit şi învăţarea definiţiei pe de rost. Ca urmare, şcolile sunt pline de elevi care nu gândesc mai defel la matematica, dar în schimb învaţă definiţiile pe de rost (până la test, pentru ca apoi să le uite, făcând loc altora ş.a.m.d.).

Ce ne sugerează Dl. Profesor? Să renunţăm la jargonul de specialitate şi să vorbim într-un limbaj de înţeles pentru elevul începător în ale matematicii, măcar pentru clasele mici gimnaziale. Uitaţi „matematiceza” (prin analogie cu chineza), numibilă şi „matematiceasca” (prin analogie cu păsăreasca) şi vorbiţi-le copiilor în limba română! Importante nu sunt definiţiile şi teoremele, ci ce reuşim să facem cu ele: să venim cu probleme accesibile celor mulţi prin care să-i antrenăm spre secvenţe de judecată, paşi logici pe mintea copiilor, secvenţe de judecată cu care elevii să înceapă încet să gândească. În viaţă nu le vor trebui definiţii şi teoreme, ci simple secvenţe de judecată logică exersate şi însuşite (automat şi creatoare de sinapse în acest sens), adică creatoare de gândire aplicată.

Da, Profesorul Radu Gologan cere să se revină la predarea matematicii „cât mai aproape de intuiţie” şi fără „rigurozitatea exagerată” pe care o întâlnim de cele mai multe ori în şcoala românească. Dar cine să pună aceste gânduri în aplicare? Se vede “de la o poştă” că metodele abordate astăzi la clasă sunt potrivite mai mult cercetării matematice şi învăţământului superior de specializare, nu însă şi predării materiei în şcoli. Din păcate însă, în majoritatea şcolilor cu ambiţie aşa se lucrează. Cine poate gândi un plan eficient de schimbare generală a paradigmei din mintea majorităţii profesorilor? Până la găsirea unui răspuns la această întrebare, în numele zecilor de mii de elevi speriaţi şi frustraţi de această matematică inumană la toate nivelele, permiteţi-mi să-i mulţumesc din suflet D-lui Profesor Radu Gollogan pentru postarea respectivă. Titus Grigorovici

P.S. Cum să predai fără definiţii? Priviţi tabla de la prima lecţie despre patrulatere (vineri 31 mai 2019, clasa a VI-a, cu două ore înainte de a găsi scrisoarea d-lui Gologan, şi vă rog nu întrebaţi cum adică la clasa a VI-a, poate discutăm cu o altă ocazie despre asta). Toată lecţia a fost prin problematizare. Merită amintite doar două aspecte ce nu apar pe tablă.

La observaţia unui elev că diagonala exterioară transformă patrulaterul concav în triunghi, i-am răspuns că nu pentru că patrulaterul este doar cel colorat (interiorul) şi că de asta colorez suprafaţa interioară pentru a nu apărea confuzii. La demonstrarea teoremei acelaşi elev a sugerat să luăm patru patrulatere congruente şi să verificăm dacă puse în jurul unui punct cu cele patru unghiuri diferite se acoperă unghiul plin. I-am spus că ne grăbim şi nu apucăm să o discutăm şi pe aceasta până la pauză, că este puţin mai grea, dar că îi sugerez să o încerce până ora viitoare. Iată cele două poze (făcute fără un gând clar premeditat de a fi publicate).

 

Discuţii pe marginea interviului cu Radu Gologan – (I) Influenţa ecranului asupra învăţării matematicii

Interviul de pe Hot News cu dl. Profesor Radu Gologan de sâmbătă, 30 martie 2019 luat de Andreea Ofiţeru, aduce câteva puncte de vedere neevidenţiate până acum public de către o personalitate de vârf. Câteva pasaje din acest interviu merită analizate în profunzime; pentru prezentul eseu mi-am propus următorul citat:

Andreea Ofiţeru: A devenit matematica atât de grea?

Radu Gologan: E clar că e un declin al învăţării matematice, (…). Nu ştiu ce se întâmplă! Eu cred că felul de a se comporta şi de a judeca al copiilor din ziua de astăzi nu mai acceptă rigurozitate şi foarte multă informaţie despre care să aibă ei impresia că nu este utilă. Peste tot în lume predarea matematicii nu s-a schimbat aşa cum ar fi trebuit să se schimbe, dată fiind tehnologia, date fiind aplicaţiile matematice, dat fiind modul copiilor de a percepe informaţia altfel decât acum 40 de ani. Şi asta îi face să respingă, în mare parte, lucrurile pe care ei le văd formale şi care pentru foarte mulţi nu au niciun fel de frumuseţe în legăturile lor cu realitatea.

Aici, în spusele d-lui Profesor, găsim un mare adevăr, dar şi o periculoasă capcană decizională. Personal nu am vorbit cu dl. Gologan pentru a înţelege în detaliu cum vede dânsul aceste aspecte, aşa că scriu „de la zero”. După părerea mea, pericolul cel mare este ascuns în următoarea posibilă concluzie: tehnologia s-a schimbat foarte mult, putem spune că de fapt s-a accesibilizat total în ultimii 40 de ani, ajungând de facto până şi în ultima cocioabă din vârful muntelui (aţi remarcat reclama cu „ciobănaş cu 300 de minute”?); ca urmare şi predarea ar trebui să se schimbe în acelaşi sens, adică să includă folosirea tehnologiilor noi. Cu alte cuvinte, elevii ar trebui să stea toată ziua pe tabletă şi să „înveţe” pe tot felu’ de programe gata pregătite de alţii. Există chiar şi câteva înregistrări cu regretatul Academician Solomon Marcus exprimând puncte de vedere similare, fără să mai vorbim de periodicele promisiuni ale diferiţilor Miniştrii ai Educaţiei despre dotarea tuturor elevilor cu tablete ce ar uşura semnificativ ghiozdanele. Probabil că doar frica de a fi prinşi într-o nouă „afacere-scandal de tip Microsoft” a făcut să nu avem încă oficial clasele pline de tablete.

Şi ce-ar fi rău într-un astfel de scenariu? Există multe studii care arată influenţa nefastă, chiar distructivă, a folosirii ecranului asupra dezvoltării psihico-intelectuale a copiilor. Desigur că aceste studii sunt de obicei ascunse, neexistând nici o urmă de interes în a fi făcute publice. Evident că marile companii de tehnologie a ecranului (TV, calculatoare, deşteptofoane) au grijă ca lumea să nu cunoască aceste studii. Consider că orice decizie la nivel înalt în acest sens ar trebui luată şi cu consultarea specialiştilor în domeniu (singurul nume din România ce a ajuns până la mine în acest sens este al d-lui Profesor Virgiliu Gheorghe (câteva lucrări mai vechi ar fi: Efectele televiziunii asupra minţii umane şi despre creşterea copiilor în lumea de azi; Revrăjirea lumii sau de ce nu vrem să ne despreindem de televizor; Efectele micului ecran asupra minţii copilului); sunt sigur că dânsul ar putea prezenta argumente solide în sensul acestor studii). Şi totuşi, ce-i atât de rău în folosirea ecranelor? Când sunt întrebat de către un părinte de ce copilul său, deşi normal şi aparent inteligent, nu face totuşi faţă la învăţatul matematicii, eu îi prezint explicaţii de felul următor.

O argumentaţie simplă şi de suprafaţă, „la mintea cocoşului”, ar fi aceasta: învăţarea matematicii presupune eforturi de diferite feluri; de ce ar fi dispus elevul la astfel de eforturi când are la dispoziţie 24-7, adică non-stop, acces la internet şi deci la doate „dulciurile vieţii sociale”, adică atotcuprinzătorul internet incluzând Youtube, aşa-zisele site-uri de socializare (mai degrabă de „antisocializare”) sau mai noul Netflix. De ce ar fi dispus un elev să înveţe, să petreacă timp chinuindu-se la exerciţii plictisitoare sau cu probleme ce presupun un efort intelectual, dacă tot timpul are la dispoziţie lucruri mai interesante şi mai atractive de făcut, iar mintea sa este plină cu acestea? (chiar agresată de către acestea, de pildă renumitele grupuri de Chat)

Rezumându-ne la astfel de explicaţii, un părinte ar putea concluziona astfel: „OK, păi îi iau telefonul până când îşi termină temele şi am rezolvat problema”. Din păcate, lucrurile nu sunt chiar atât de simple (şi plecăm de la premiza că părintele care ia o astfel de măsură se asigură că elevul nu are acces la internet pe altă cale). Oricum, elevii sunt foarte inventivi, aşa că mulţi părinţi iau uneori decizia cea mai dură, trecând copilul pe telefon cu taste până la promovarea examenului (asta la EN mai merge, dar la BAC chiar nu mai poţi). Vă daţi seama în aceste condiţii cum ar arăta „învăţatul” în prezenţa constantă şi oficială a unei tablete pe care elevul îşi poate instala şi alte „dulciuri”, de pildă diferite jocuri? Nici nu vreau să mă gândesc!

Am calificat astfel de explicaţii drept superficiale pentru că de fapt distrugerea copiilor şi perturbarea activităţii de învăţare este mult mai profundă, fiind pornită la actualii elevi „din fragedă pruncie”. Când am ceva mai mult timp la dispoziţie, le prezint părinţilor următoarea teorie, care însă le arată „verde-n faţă” cum şi-au distrus singuri copilul, ca familie, şi că, probabil, cu greu se mai poate repara ceva.

Forma tradiţională de educaţie „cu 40 de ani în urmă” funcţiona în felul următor: copilul mic primea poveşti spuse (povestite liber sau citite) la culcare sau oricând avea cineva timp pentru el. În timp ce asculta povestea copilul îşi imagina cele auzite, îşi forma un „film interior” al poveştii respective, antrenându-şi astfel în mod real imaginaţia sa (ad-literam!). În cazul poveştilor citite, acestea erau de obicei din cărţi ce aveau din când în când câte o imagine, aşa „doar de sămânţă”, adică doar cât să-i stimuleze imaginaţia despre cum ar arăta un personaj (prinţesa din poveste sau Ionică din Amintiri) sau un loc al acţiunii (castelul vrăjit sau căsuţa de ciocolată etc.). Dar „filmul acţiunii” copilul trebuia să şi-l imagineze singur, cât îl ducea mintea şi imaginaţia sa, probabil că la început mai slab, apoi tot mai clar. Astfel, în cazul unor întâmplări „de groază”, cum ar fi lupul care o mânca pe bunica sau pe cei doi ieduţi neascultători, dar şi în cazul Happy-End-urilor ciudate, cum ar fi scoaterea bunicii din burta lupului sau finalul din Capra cu trei iezi, în astfel de cazuri imaginaţia limitată a copilului acţiona ca un fel de autoprotecţie: copilul îşi imagina doar cât putea suporta sufleţelul său.

Aceste ocazii erau destul de rare în viaţa copilului: până în urmă cu 30 de ani momentele cu cititul poveştii apăreau într-o frecvanţă de cel mult 1-2 poveşti pe zi (în cazuri cu totul excepţionale de 3 ori, să zicem o poveste la grădiniţă dimineaţa, o poveste la culcarea dupăamiaza acasă cu bona şi o poveste la culcare seara cu mama).

Imaginaţia se formează la început drept o capacitate de formare a unor imagini interioare conform celor povestite de o altă persoană. Succesiunea imaginilor respective formează „filmul interior” al poveştii. Mai târziu, când elevul învaţă să citească, acesta, pe baza antrenamentului din „cei 7 ani de acasă”, îşi continuă antrenamentul imaginaţiei, formându-şi la fiecare poveste citită „filmul interior”. Apoi, în mod similar, când elevul va citi în clase mai mari o problemă, el îşi va putea imagina totul ca într-un film, ce i se dă şi ce i se cere şi mai ales cum are de conectat cele două. Abia ulterior, la vârste mai avansate, elevul, mai degrabă tânărul, va reuşi să-şi imagineze singur o nouă situaţie care nu i-a fost dată din afară. Acesta este probabil apogeul imaginaţiei.

Care este situaţia la ora actuală din acest punct de vedere? Copilul primeşte de mic direct „filmul acţiunii” pe ecranul televizorului (în urmă cu 10 ani am numărat opt canale de desene animate normale şi unul pentru copii foarte mici). În aceste condiţii creierul lui nu mai este nevoit să facă efortul de a genera imaginile interioare, nici „filmul interior” al poveştii. Tot procesul prin care copilul învaţă şi se antrenează să-şi imagineze ceva primit verbal din afară, adică fără imagine, tot acest proces al imaginării este perturbat. În unele cazuri extreme nici nu mai este pornit, copilul rămânând într-o lume pură a imaginilor, nedezvoltându-şi deloc capacitatea de imaginare şi deci de înţelegere a unui mesaj verbal, fie acesta rostit sau mai târziu scris. Cu cât copilul stă mai de devreme şi mai mult timp în faţa ecranului, cu atât educarea imaginaţiei este mai atrofiată. Dimpotrivă, cu cât copilul stă mai mult împreună cu adulţi care îi vorbesc (ia-ţi mănuşile; adu prosopul din bucătărie etc.), cu atât el va fi totuşi forţat să ataşeze cuvintelor auzite imagini ale unor acţiuni de realizat. Citind aceste raţionamente, înţelegem imediat cât de dezastroasă este situaţia „abandonării” copiilor toată ziua în faţa televizorului sau în afara locuinţei în faţa deşteptofonului, sub motivul că „se plictiseşte”. În mod similar putem înţelege cum acţionează ca dezvoltator de imaginaţie joaca liberă a copiilor îmaginându-şi ceva în jocul lor. Un caz tipic era felul în care copiii îşi aranjau scăunelele la grădiniţă imaginându-şi că „merg cu trenul” (acum nici nu mai ştiu ce-i acela un tren şi cum este să mergi cu trenul).

Care sunt urmările unei astfel de vieţi în faţa ecranului în „cei 7 ani de acasă”, dar şi mai târziu? Să luăm exemplul scris-cititului. Copilul va învăţa literele, acestea fiind doar imagini, dar va întâmpina deja dificultăţi la scrierea lor, pentru că nejucânduse cu mâinile, ci stând toată viaţa sa în faţa ecranului, eventual apăsând pe butoanele telecomenzii, nu şi-a dezvoltat dexteritatea fină a mânuţelor (de aici unele idei moderne de a elimina din şcoli scrisul cu mâna şi a-l înlocui cu scrisul la tastatură; nu ne miră că aceste idei vin de obicei din America). De obicei însă, destul de repede copilul reuşeşte să lege literele citite în cuvinte, dar va rămâne posibil cu deficienţe în scriere. Apoi copilul este pus să citească şi chiar citeşte, dar nu înţelege ce citeşte. Noi asta iniţial nu observăm, dar vine cânva acel moment când observăm totuşi că el nu pricepe ce citeşte. Se poate întâmpla aceasta de pildă în cazul unei probleme de matematică. El citeşte mesajul textului, dar creierul său nu produce şi „filmul interior”; el înţelege fiecare cuvânt în parte, dar mesajul textului nu este perceput, deoarece vine sub formă de text, adică în cuvinte, nu sub formă de imagine, aşa cum a fost obişnuit creierul său. Este evident că am ajuns în zona analfabetismului funcţional, a persoanelor care ştiu scrie şi citi, dar care nu percep mesajul unui text.

În anii când am fost director am însoţit din punct de vedere metodico-didactic colegele învăţătoare, urmărind în acest proces şi diferiţii copii care veneau la şcoala noastră. O legătură deosebită am avut cu învăţătoarea fiicei mele cât şi cu elevii din această clasă. Am putut astfel observa şi analiza împreună cu învăţătoarea diferite cazuri edificatoare în sensul celor spuse mai sus. Am putut astfel face comparaţia între un copil care nu a crescut „lângă” ecranul cu desene animate şi un altul care stătea toată ziua la televizor. La acesta din urmă se vedea clar suferinţa în momentul când trebuia să citească un text, pentru că nu înţelegea „filmul acţiunii”, lipsind imaginea, cu care era obişnuit. Vedeam pe acest copil cum aproape îl durea când era pus să citească. Nici nu mai discutăm de repulsia ce se forma faţă de citit. Ulterior, când a început să folosească internetul pe subiecte preferate, situaţia s-a mai atenuat, în aceste cazuri scurtele texte fiind de obicei însoţite şi de imagini. Însă, la performanţa de a lua „un 5” la EN nu s-a mai putut ridica. Au fost însă şi elevi la care am putut observa doar o avariere parţială. Vorbesc aici de elevi care nu pot înţelege singuri textul primit, dar care îl înţeleg dacă este puţin ajutat. Un elev chiar ştia ce trebuie să facă imediat ce d-na învăţătoare îi citea şi dânsa o dată cerinţa, fără nici o explicaţie suplimentară (discutăm desigur de texte surprinzătoare, nu de texte similare cu cele parcurse anterior). Este posibil să fi fost obişnuit aşa de acasă, de pildă ca bunica ce stătea cu el până veneau părinţii să-l fi obişnuit să-i citească cerinţa dacă vedea că acesta nu se descurcă.

Da, şi acum ajungem în clasele gimnaziale, poate la Simularea EN. Acum înţelegem altfel de ce unii elevi nu fac mai nimic la aceste testări, mai ales în cazul unor probleme în care ar mai trebui şi să gândească. Da, vorbim de fapt de generaţii întregi în care capacitatea de înţelegere a textului primit este neformată sau profund avariată. Cum ar trebui să arate predarea pentru a prevenii astfel de situaţii? Părerea mea este că atât învăţătoarele, cât şi profesorii ar trebui – cu mult tact şi răbdare – să folosească în predare cât mai multe „imagini povestite”, adică descrieri verbale ale diferitelor situaţii, prin care să oblige mintea copilului să-şi imagineze cele spuse.

Astfel, pentru a-i ajuta dar şi a-i forţa să-şi imagineze, pe lângă vorbit eu dau foarte mult din mâini la clasă. Dacă vorbesc de numărător sau de numitor, gesticulez cu mâna arătând deasupra sau dedesuptul unei linii imaginare de fracţie. Dacă vreu să accentuez că triunghiul de desenat trebuie să fie oarecare, atunci atenţionez verbal că trebuie să nu fie construit isoscel în timp ce formez cu antebraţele cele două laturi oblice ale unui triunghi scalen, diferit înclinate, adică cu vârful „într-o parte”. Prin clasa a 8-a chiar le povestesc elevilor despre ceea ce în engleză se numeşte „air quitar”, adică chitară de aer, însemnănd gestul acela făcut de o persoană ce imită un chitarist rock în timpul ascultării unui solo la chitară (Freddie Mercury făcea chestia asta cu suportul acela de microfon). Apoi le explic elevilor că eu folosesc această metodă pentru a-i provoca să-şi imagineze diferitele corpuri sau structuri spaţiale studiate. Astfel, gesticulez cu orice ocazie diferitele corpuri, cuburi, piramide, conuri, aproape „mângându-le”, deşi de fapt nu ţin nici un corp în braţe.

În acest sens, renumitele exerciţii cu „puncte-puncte” reprezintă pentru elevii din clasele gimnaziale o adevărată provocare, pentru că ei trebuie să-şi imagineze de pildă câte fracţii sunt în acea sumă (nu sunt patru câte sunt scrise în exerciţiu, ci sunt poate 20).

Deci, cum ar trebui adaptată predarea după dezvoltarea acestor tehnologii (eu i-aş spune direct tehnologia ecranului) şi cucerirea societăţii de către acestea? Pentru păstrarea omului ca om şi nu ca un utilizator subordonat maşinăriei, totodată handicapat de către aceasta, eu consider că soluţia nu este în dotarea copiilor cu aparate (renumitele tablete), ci în înţelegerea aspectelor umane date de-o parte sau nedezvoltate din ceea ce noi considerăm a forma imaginea completă a unui om şi pe care ne aşteptăm să o regăsim la elev după o anumită perioadă (cum este de pildă o capacitate de  imaginare sănătoasă), aspecte însă distruse de apariţia aparatelor de timpuriu în viaţa tot mai  multor copii (aidoma puiului de cuc ce instinctual îi aruncă pe fraţii săi vitregi din cuib). Această înţelegere ar trebui urmată evident de compensarea prin predare a deficienţelor cu care vin copiii la şcoală, odată cu adaptarea cantităţii, a momentului de introducere şi a dificultăţii materiei conform cu nevoile şi posibilităţile noilor „clienţi ai şcolii”. Această adaptare trebuie pornită de pildă cu poveşti multe în primele trei clase, atâta vreme cât se mai pot forma mecanismele imaginaţiei, dar întregul program ar trebui continuat cu aspecte remediale şi formatoare la toate clasele, măcar la cele primare şi cele gimnaziale.

Definiţiile şi regulile riguroase, de multe ori prezentate abstract şi într-un limbaj mult prea elevat, neadaptat vârstei respective, toate acestea îl resping pe elev în încercările sale de a se apropia de matematică. Între metodişti există chiar şi păreri directe împotriva definiţiilor (de pildă Dan Brânzei în Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, 2000, sub titlul Durerea facerii definiţiilor). În acest sens, eu mă străduiesc să reduc la minim definiţiile, înlocuindu-le cu descrieri (m-am mai exprimat în acest sens şi cu alte ocazii).

Descrierile trebuie adaptate situaţiei. Astfel uneori fac descrieri şi prezentări punctuale, de pildă la începutul capitolului despre triunghiuri: copiii cunosc ce este acela un triunghi, forma fiind introdusă intuitiv deja în clasele mici. Ca urmare, în loc de definiţie, aici apare o descriere recapitulativă (alături de un triunghi scriu că triunghiul are: trei laturi [AB], [BC] şi [AC], şi trei unghiuri, acestea scrise cu o literă dar şi cu trei, oricum neapărat folosind ambele notaţii pentru unghi: de obicei folosesc notaţia ∢A pentru unghiul scris doar cu vârful său şi notaţia veche, cea cu acoperiş, pentru unghiul scris cu trei litere, unde aceasta este foarte sugestivă, având litera din vârf, cea din mijloc, chiar sub vârful acoperişului).

Alteori prezentarea unei noţiuni noi se poate face contextual împreună cu cele înconjurătoare. Este antologică „definiţia” numerelor prime dată de Profesorul Eugen Rusu într-un curs pentru profesori din 1960, unde de fapt apare o prezentare prin exemple a numerelor compuse şi a numerelor prime. (Aritmetica şi teoria numerelor – I – Aritmetica, Ed. Tehnică, pag. 96): „Definiţie. Orice număr natural este divizibil cu el însuşi şi cu 1, …. Se pune întrebarea: are el şi alţi divizori în afară de 1 şi el însuşi? Divizorii diferiţi de 1 şi de numărul însuşi se numesc divizori proprii. Unele numere nu au divizori proprii ( de exemplu 13) – ele se numesc numere prime; unele numere au divizori proprii (de ex. 12); ele se numesc neprime sau compuse.”

Alteori introduc diferite noţiuni înrudite în mod comparativ: împart tabla în două părţi şi scriu ba în stânga, ba în dreapta, studiind în paralel cele două noţiuni, evidenţiind aspectele comune şi aspectele ce le diferenţiază. Situaţii potrivite acestei metode sunt la proporţionalitatea directă respectiv inversă, la media geometrică în comparaţie cu media aritmetică, la fel şi la cele două tipuri de progresii; am folosit însă metoda şi la studiul patrulaterelor înscrise în cerc în comparaţie cu cele circumscrise unui cerc, dar şi la introducerea piramidei triunghiulare regulate în comparaţie cu tetraedrul regulat,pentru ca elevii să priceapă de la început care sunt deosebirile dintre acestea. La ultimul exemplu, am realizat cele două figuri de o parte şi de cealaltă a liniei de departajare, astfel încât să vadă că la tetraedru înălţimea este fixă, pe când la piramida triunghiulară aceasta poate să fie mai înaltă sau mai turtită decât tetraedru (cam aşa sunt acestea percepute în clasa a 8-a, iar alte detalii le prezint cu alte ocazii, de pildă la exprimarea cam răutăcioasă despre o piramidă triunghiulară regulată cu toate muchiile egale).

Faptul că un elev ştie pe de rost o definiţie sau o teoremă nu înseamnă că o şi înţelege, aidoma elevul acela din clasa primară care reuşea să citească dar nu înţelegea ce citeşte. Dl. Gologan chiar dă un exemplu într-un alt moment al interviului: Dar a scrie modul de X egal cu minus X şi plus X în anumite situaţii asta nu înseamnă matematică. (…) Dimpotrivă, există elevi care nu ştiu să-ţi dea o definiţie a unui obiect matematic, dar în aplicaţii îi vezi că le ştiu folosi corect. Eu prefer a doua variantă şi din acest motiv nu dau la teste niciodată elemente de teorie (definiţii sau teoreme), cu o singură excepţie: sesiunea de „teste fulger” din formule ce trebuie cunoscute (arii plane, formule de la corpurile studiate, calcul prescurtat, rapoarte trigonometrice, radicali din pătrate perfecte şi valori aproximative uzuale: la sfârşitul orei un test de 9 întrebări orale cu răspunsul scris pe loc, până la următoarea întrebare şi creionul jos la final, apoi corectate imediat cu un punct din oficiu; o hârtie A4 împăturită în două are patru pagini A5 pentru patru teste fulger, media acestora formând o notă).

În preocupările mele de îmbunătăţire a predării m-am îndreptat şi într-o altă direcţie inspirată chiar „de la duşmani”, adică din mass-media cu care elevii sunt atât de obişnuiţi. Despre ce este vorba? Televiziunile comerciale au învăţat destul de repede că există în principiu două forme de a ţine o persoană captivă în faţa ecranului: pielea goală şi violenţa (vorba aceea: „se adună ca la urs”). Oamenii cu greu se pot opune impulsului de a privi o astfel de scenă. Prima categorie a intrat repede în procesul de selecţie oficială prin lege, pe când a doua categorie a dezvoltat variante şi variaţiuni ce cu greu pot fi urmărite şi catalogate. Un film este greu de urmărit dacă acţiunea prezentată nu are măcar un conflict, de obicei de confruntare a unui personaj negativ. Uneori rolul personajului negativ este luat de o boală sau un fenomen natural dezastuos ce urmează să se întâmple. Oamenii fiind obişnuiţi cu starea de tensiune generată prin aceste conflicte din orice film, o concluzie specială este că emisiuni paşnice cum ar fi diverse documentare sau relatări despre acţiuni sunt considerate de către public plictisitoare. Şi atunci ce se face? Simplu, se induce şi în acestea o stare de aparent conflict.

De pildă, într-un documentar care prezintă construcţia unei căsuţe în copac se induce stressul încadrării într-un termen şi toată emisiunea este prezentată ca şi cum s-ar lucra intens sub presiunea timpului. Foarte puţine emisiuni refuză încadrarea în acest stil de stress artificial indus doar de dragul audienţei (chiar şi în renumitul documentar România neîmblânzită, care este deosebit de paşnic, realizatorii au apelat totuşi şi la această tehnică, de pildă în situaţia palpitant-conflictuală între mistreţul încolţit şi haita respectivă de lupi).

De multe ori starea de situaţie palpitantă este indusă de prezentarea unei situaţii problematice, căreia la început nu i se cunoaşte o posibilitate de rezolvare: eşti ţinut captiv din curiozitate, ştiind că pe parcursul emisiunii, de obicei spre sfârşit, îţi va fi revelată soluţia. Unde folosesc eu aceste aspecte în predarea matematicii?

Este vorba de predarea prin problematizare. Le prezint elevilor pe scurt conjunctura în care ne poziţionăm şi ce urmărim. Dacă le prezint chiar rezultatul, teorema ce o urmărim, atunci găsirea demonstraţiei trebuie că le este accesibilă elevilor, aceasta fiind o predare simplă prin problematizare. Dacă însă nu le prezint elevilor concluzia la care vrem să ajungem, ci îi întreb doar „ce-am putea vedea aici?”, sugerându-le că acolo există o proprietate remarcabilă, atunci în acest caz predarea prin problematizare capătă clar accente de cercetare, prin care elevii se antrenează cu adevărat în căutarea noului. Dacă reuşim să regizăm bine acest scenariu, ca într-un documentar de televiziune, atunci elevii vor participa cu mare bucurie la crearea conţinutului, lecţia devenind brusc chiar mai palpitantă decât o emisiune care este pre-făcută (adică anterior realizată, la care privitorul poate avea doar un rol pasiv): aici, în cadrul unei asemenea lecţii, elevii simt că sunt parte integrantă a acţiunii, văd că ei pot influenţa mersul gândurilor, desigur dacă emit gânduri intuitiv raţionale (adică nu vin cu orice trăsnaie spusă la întâmplare, netrecută măcar minimal prin filtrul propriei judecăţi, asta desigur pentru a se proteja de dezaprobiul profesorului şi eventual de unele râsete ale colegilor).

Permiteţi-mi să vă prezint în final cum mi-a reuşit o astfel de situaţie în lecţia despre unghiuri formate de două drepte cu o secantă. După titlu şi prezentarea figurii (direct dreptele paralele a şi b tăiate de secanta d în punctele A şi B şi formând unghiurile notate cât mai simplu A1, A2, A3 şi A4, respectiv B1, B2, B3 şi B4, notate corespunzător în aceeaşi poziţie), le-am explicat care este dilema lecţiei, adică ce cunoaştem deja, dar şi ce încă nu am studiat. Astfel, ştim că în jurul unui punct, de pildă la A, la intersecţia a două drepte (dreptele a şi d) avem??? (am pus trei semne de întrebare încercând să vă arăt că în acel moment m-am oprit cu mâna arătând spre punctul A de pe tablă, m-am oprit cu un semn mare de întrebare pe faţa mea, iar atunci elevii au înţeles că trebuie ei să continue; elevii mei sunt obişnuiţi cu această tactică): unghiuri opuse la vârf, strigă unul plin de bucurie, după ce a ridicat mâna şi eu i-am spus numele. Care?, întreb eu, stârnind o mare de mânuţe ridicate. După ce apucă să spună perechile de unghiuri opuse la vârf congruente din A, vin cu o nouă întrebare: dar în B? (din nou mare bucurie şi răspunsuri fericite). Cu asta am făcut şi reactualizarea lecţiei precedente.

Acum vine întrebarea cea mare, cu îndreptarea atenţiei spre viitor: Dar, cum stau lucrurile în cazul în care vrem să privim un unghi de la A şi un unghi de la B? Vedeţi că nu le-am spus ce vrem să obţinem, ci le-am pus doar o întrebare oarecum deschisă. După un moment de reculegere a gândurilor încep să se ridice din nou mâinile. Aici le-am cam dat cuvântul pe rând tuturor care aveau ceva de spus, tratând fiecare intervenţie cu multă seriozitate şi răbdare, cu contra-întrebări de tipul: Da, dar oare de ce o fi aşa cum spui? Sau Nu, pentru că ar contrazice cutare sau cutare fapt deja lămurit. Încet, elevii au văzut şi au dezvăluit toate aspectele acestei lecţii. Urmare a întrebărilor mele repetate Dar de ce oare este aşa?, un elev chiar a observat că unghiul B2 poate aluneca de-a lungul dreptei d în poziţia unghiului A2, dând un motiv corect din punct de vedere intuitiv, pentru care acestea două sunt congruente.

Cam după 20 minute de la începutul lecţiei am oprit această discuţie (în care ei se implicaseră cu tot sufletul şi a cărei dezbatere ar fi dorit desigur să o continue), anunţându-i că au cam spus toate elementele acestei lecţii, doar că de-a valma şi că, în plus, le lipsesc desigur denumirile specifice acesteia. Ca urmare, i-am anunţat că voi prelua eu „microfonul” şi că le voi arăta acum lecţia ordonată şi cu denumirile corespunzătoare. Lecţia nu are în sine demonstraţii, dar ordonarea cu unghiurile corespondente la început permite o foarte bună justificare pentru această fază de dezvoltare a gândirii elevilor: alunecarea (translaţia) unghiului B2 în A2, evidenţiată cu culoare pe al doilea desen (cel de la subtitlul unghiuri corespondente; pe lângă desenul iniţial pe care am discutat, am făcut la fiecare nouă categorie un desen nou, pe care am colorat o pereche de astfel de unghiuri pentru o vizualizare cât mai bună). Lecţia continuă în acest fel şi vă daţi seama cât de superatenţi sunt elevii să vadă cum se desfăşoară lecţia în faţa lor, lecţie a căror elemente le-au intuit şi le-au spus ei sau colegii lor. În acest fel unghiurile, punctele şi dreptele, au devenit brusc personaje pline de viaţă într-o poveste la realizarea căreia elevii au simţit cum au contribuit din plin. Sunt ferm convins că toţi elevii care au avut atunci ceva de spus, dar şi mare parte dintre cei care au tăcut dar au fost atenţi, au înţeles cum funcţionează lecţia şi au plecat acasă cu satisfacţia muncii împlinite. Îmi place să cred că aceeaşi stare de mare bucurie ar fi avut-o şi orice adult ce ar fi asistat la acea oră de geometrie.

Închei aici cu convingerea că atragerea elevilor către matematică poate fi realizată foarte bine prin metode de tip problematizare, prin implicarea elevilor în dezbateri asupra subiectelor de studiat, aplicând o predare prin întrebări în paşi mici adaptaţi fiecărei vârste şi fiecărui colectiv, astfel încât elevii să fie atraşi într-un parcurs de tip cercetare şi descoperire sub îndrumarea profesorului, prin soaterea în faţă a situaţiilor uimitoare sau intrigante. O astfel de predare ţine doar de setarea profesorului în acest sens şi nu implică folosirea unor mijloace de tehnologie nouă (tablete, smarphone etc.), acestea atât cu dificultăţile în sensul costurilor, cât şi cu pericolele uriaşe ce le aduc cu sine în educaţie. Foarte ciudat este însă faptul că indicaţii în sensul celor de mai sus se găsesc în mod surprinzător în lucrări vechi din anii ‘60-‘70 (George Pólya sau Eugen Rusu). Da, este exact aşa cum explică dl. Profesor Gologan: elevii au ajuns la ora actuală să nu mai accepte matematica formală. Dar asta nu înseamnă să-i împingem necontrolat în “braţele” noilor tehnologii. Vechiile forme de predare bazate pe o relaţionare realistă profesor-elev, necunoscute la ora actuală pentru majoritatea profesorilor, forme de predare ce pot fi totodată prezentate ca “noi” (şi moda revine), aceste forme sunt mult mai sănătoase şi pe durată oferă o calitate formativă mult mai ridicată. VA URMA, CTG

PS Ataşez o “imagine” proaspătă despre folosirea tehnologiilor moderne în predarea matematicii. Săptămâna aceasta la un liceu de vârf din Cluj elevii trebuiau să facă o anumită temă la matematică pe o platformă. Un elev intră şi face câţiva itemi, după care iese cu gândul de a reveni după ce se mai informează cum se fac celelalte sarcini. La revenire: surpriză, nu mai are voie să intre, fiind condamnat la o notă proastă. Îşi anunţă colegii şi aceştia se repliază “de luptă”. Un alt elev care ştie mai bine matematica cerută intră, face cât poate de mult din test, dar înainte de ieşire salvează imaginea cu toate problemele. Acestea ajung la toţi colegii, care le pregătesc cu grijă înainte de a intra pe platforma respectivă, asigurând marea masă a colegilor cu note bune, dar false. Vă las pe dvs. să stabiliţi ce a greşit profesorul care a organizat toată treaba şi cum a contribuit cu această acţiune la dezvoltarea capacităţii elevilor de a fenta, de a fi necinstiţi, până la urmă de a-şi imuniza sufletul la actele de minciună şi de furt.

Ecouri la Simularea EN din martie 2019 – Interviu cu Radu Gologan

Odată cu anunţarea rezultatelor la dubla Simulare la Evaluarea Naţională de anul acesta s-a pornit din nou cunoscutul „scandal”: presa analizează şi strigă – în numele societăţii şi al părinţilor – iar marile peronalităţi răspund la întrebările puse în fel şi fel. Pe d-na Ministru Andronescu am auzit-o pe la toate buletinele de ştiri. Ce va ieşi din acţiunile preconizate de dânsa „om videa!”, cum spunea un filozof de rând, sau, cum spunea bunică-mea în situaţii de criză, „a fi cum a fi!”.

Interviul de pe Hot News cu dl. Profesor Radu Gologan de sâmbătă, 30 martie 2019, aduce câteva puncte de vedere neevidenţiate până acum în mod oficial şi merită analizat în câteva citate. Respectivul video-interviu luat de Andreea Ofiţeru, este de găsit la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-23059411-video-interviu-iau-elevii-note-mici-matematica-profesorul-gologan-antrenorul-olimpicilor-predarea-trebuia-schimbe-masiv-odata-tehnologia-copiii-percep-informatia-altfel-decat-acum-40-ani.htm?cfathp

*

Matematica nu s-a schimbat şi nici nu e mai grea decât înainte, dar cu toate acestea notele copiilor la evaluările naţionale sunt mai mici. Care este explicaţia? Profesorul Radu Gologan pune declinul învăţării matematice pe seama faptului că predarea nu s-a schimbat masiv cum ar fi trebuit de fapt, date fiind tehnologia şi modul copiilor de a percepe informaţia altfel decât acum 40 de ani: „Asta îi face să respingă, în mare parte, lucrurile pe care ei le văd formale şi care pentru foarte mulţi nu au niciun fel de frumuseţe în legăturile lor cu realitatea”. Punctul nevralgic este, în opinia sa, că există „foarte puţină pregătire didactico-pedagogică şi foarte puţină didactică a predării matematicii” în cazul profesorilor.

Într-adevăr, de obicei pregătirea didactică a studenţilor nu este luată în seamă serios. Sunt foarte puţine licee în care studenţii trimişi de la Matematică să facă practică pedagogică sunt luaţi în serios. Dar nici pregătirea didactică a actualilor profesori prin diversele cursuri de formare continuă nu este luată cu adevărat în serios, nici de către formatori, dar nici de către cursanţi, care o tratează ca o simplă formalitate. Astfel, dl. Gologan spune explicit: Este o problemă de pregătire a profesorilor. (…) ducem lipsă de profesori tineri, care să continue o activitate care era un atu al educaţiei româneşti, profesori de matematică capabili să înţeleagă bine programa şi să o predea mai departe.

În acest interviu dl. Prof. Gologan începe cu următoarea idee: programa s-a mai simplificat un pic. Mai ales în ultima vreme încercăm să dăm nişte indicaţii autorilor de manuale în aşa fel încât manualele să fie mai aerisite şi să nu se insiste pe chestiuni foarte riguroase. Regăsim aici ideea despre care am atenţionat şi cu alte ocazii: stradania din partea autorităţilor este de a simplifica şi descongestiona materia de gimnaziu, cel puţin la clasele 5-6 unde avem deja şi manuale noi.

Iată cum vede Radu Gologan situaţia profesorilor din preuniversitar: Profesorii de matematică, pe care îi ştiu foarte bine acum, sunt o masă destul de speriată de ce vine de sus, de lucrurile formale pe care trebuie să le facă. Pentru că nu ministrul este cel care dă ordine ca birocraţia să crească. Ministrul se gândeşte să reducă birocraţia şi atunci vine cu câte o idee nouă care în loc să le distrugă pe celelalte vechi se adaugă la ele. (…) Astfel, dosarul catedrei a ajuns acum să fie plin de fişe de toate felurile.
Finalul interviului păstrează această linie: Dacă aţi fi ministrul educaţiei care ar fi prima măsură pe care aţi lua-o? Radu Gologan: Asta numai dacă aş visa. În primul rând, aş distruge birocraţia. Sunt convins că ar fi o luptă teribilă pentru un astfel de om care ar încerca să distrugă birocraţia din sistem, pentru că asta e cea mai rezistentă fiară din orice societate. Atunci când s-a instalat nu poţi să-i faci nimic. Poţi să fii ministru, cât de bun ai fi, eşti mâncat la prima posibilitate (cu prima ocazie).

Acestea ar fi câteva gânduri spicuite din respectivul interviu, cu câteva scurte comentarii punctuale. Recomand oricui să citească articolul integral, respectiv să asculte înregistrarea interviului, precizând că eu nu am preluat nici măcar un sfert din ideile expuse. Subiectul nu este nici pe departe epuizat, unele afirmaţii din acest interviu necesitând o aplecare mai detaliată şi mai profundă asupra afirmaţiilor în cauză, aşa că închei cu un clasic VA URMA! CTG

Suma lui Gauss şi alegerile europarlamentare după CTP

Joi 23 mai 2019, într-o emisiune înainte de alegerile europarlamentare din 26 mai, la postul de televiziune Digi 24, gazetarul Cristian Tudor Popescu a ţinut o scurtă lecţie despre Suma lui Gauss. Merită să urmăriţi pasajul respectiv la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=Gqr9OH8vWVQ (daţi contorul la momentul 6.30 şi urmăriţi până la 10.30, sunt doar 4 minute). TitussG.