Poarta împărţirii lui 7 – Studiul grafic pe cercul de 9 cifre

Din start trebuie precizat că prezentul material reprezintă o creaţie personală 100%, găsit “din ȋntâmplare” într-un moment de inspiraţie, deşi am convingerea absolută că aspectele conţinute sigur au fost găsite şi de către alţii înaintea mea.

Dacă vom ȋmpărți la 7 un număr (nedivizibil cu 7) vom obține automat un rezultat ȋn forma unei fracții zecimale periodice. Asta cam știe toată lumea, dar este deja mai puțin evident că perioada acestor numere va fi ȋntotdeauna de exact 6 cifre (există și aici un studiu interesant ce se poate măcar porni cu elevii mai răsăriți: ȋmpărțirea la 3 sau la 9 are ȋntotdeauna perioada de o cifră; ȋmpărțirea la 11 are perioada de doua cifre; ȋmpărțirea la 37 are perioadă de trei cifre, pentru că 999 = 33·37; ȋmpărțirea la 7 are perioadă de șase cifre pentru că cel mai mic număr de forma 999…9 divizibil cu 7 este 999.999).

Până aici lucrurile se pot ȋnțelege relativ ușor de către o persoană doritoare de a aprofunda fenomenul (profesor sau elev). Oricum, pentru convingerea cititorului (acum), dar și a elevilor (la clasă), ȋn acest moment trebuie făcute câteva ȋmpărțiri (măcare vreo trei-patru, pentru a și vedea clar că ȋntotdeauna se obține o perioadă de șase cifre.

Analizând cu atenție perioadele acestor ȋmpărțiri vom vedea ȋnsă ȋncă ceva, mult mai surprinzător, anume că perioadele respective sunt ȋntotdeauna formate din următoarele cifrele: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Numai acestea vor apărea ȋn perioada ȋmpărțirii la 7 și de fiecare dată apar toate șase, fiecare o singură dată.

Mai mult, dacă ne uităm cu și mai mare atenție, vom vedea că acestea apar ȋntotdeauna ȋn aceeași ordine, una ciudată. De pildă vom putea ȋntâlni perioada 428571, sau perioada 571428, sau perioada 714285 etc. Cu alte cuvinte, ȋntr-o succesiune rotativă, după 7 vine ȋntotdeauna 1, iar apoi 4, urmat de 2 ș.a.m.d. Ȋncercând să reprezint grafic această succesiune pe cercul de 10 cifre, am obținut o structură ciudată care se repetă la nesfârșit, structură la care eu i-am spus “poarta ȋmpărțirii lui 7” sau mai pe scurt “poarta lui 7”. Atenționez asupra faptului că poarta va sta drept dacă vom ȋmpărți cercul cu cele zece cifre poziționate cu 9 și 0 sus echilibrate, respectiv 4 și 5 jos echilibrate, iar 2 și 7 la dreapta și la stânga.

Ȋn momentul când am făcut prima dată o astfel de reprezentare grafică mi-am adus aminte că am mai văzut un astfel de desen pe un afiș lipit pe o clădire (cu cca. 20 ani în urmă), afiş ce invita la o prezentare cu context spiritual (la vremea respectivă nu am întreprins nimic în sensul cunoaşterii, respectiv a înţelegerii acestuia, nici din punct de vedere spiritual, nici din punct de vedere a logicii desenului). Mult mai recent, ulterior găsirii porții lui 7, am aflat că de fapt desenul respectiv este denumit eneagramă, că este de fapt o reprezentare pe un cerc cu doar nouă cifre (lipsind 0) și că acolo poarta lui 7 este completată cu un triunghi echilateral care unește multiplii rămași ai lui 3.

Revenind la poarta lui 7, dați-mi voie să vă mai arăt o surpriză a acesteia. Vă rog să luați ȋmpărțirile la 7 efectuate mai sus (sper că le-ați făcut cu mâna, nu pe calculatorul din deșteptofon; dacă nu – ghinion – tot trebuie să le faceți și pe hârtie) și analizați resturile intermediare ale scăderilor din timpul ȋmpărțirii (fiind vorba de ȋmpărțire la 7, resturile trebuie să fie de cel mult 6; pentru că nu are loc divizibilitatea, ȋmpărțirea nu se va termina, așa că nu vom avea restul 0). Astfel, veți vedea că resturile respective vor fi ȋntotdeauna toate cifrele de la 1 la 6, ȋntr-o succesiune ciudată, care se păstrează ȋnsă la toate ȋmpărțirile. Reprezentându-le pe acestea pe un cerc cu șase cifre (de la 1 la 6) vom avea surpriza să ȋntâlnim din nou poarta lui 7 (apare și reprezentată grafic pe cercul cu 10 sau 9 cifre, dar mai turtită și răsucită ȋntr-o parte; ȋn schimb arată destul de frumos și desenată pe un cerc cu șapte cifre, de la 0 la 6, cu 0 centrat sus).

Să analizăm puțin din punct de vedere metodico-didactic această ciudată “micro-lecție”. Este evident că produce uimire, deși nu este o lecție grea. Elevul exersează ȋmpărțirea și vede cum apare clar perioada. Ȋn plus, ȋși exersează atenția la detalii, face o reprezentare grafică (fiecare cât se pricepe de bine la trasarea cercului cu mâna și la ȋmpărțirea acestuia ȋn 10 sau 9, respectiv 6 sau 7 părți “egale”). Motivația pentru tot acest demers o reprezintă verificare prin obținerea acestui desen impresionant. Toți pașii sunt deosebit de accesibili. Ȋn final, orice elev are o satisfacție clară obținând respectivul desen misterios. Ȋn plus poate merge acasă să-i uimească cu acesta și pe părinți, care nu au ȋnvățat așa ceva ȋn școală. Desigur că nu are rost să-i alocăm acestei ciudate lecții tare mult timp; cred că două exemple cu reprezentările grafice corespunzătoare sunt suficiente (unul la tablă și unul ca muncă independentă ȋn clasă, plus ȋncă două la libera alegere ca temă). Și ca să fie clar, nefiind ȋn programă, nici nu cer astfel de exerciții la teste. Dar oricum, sunt sigur că elevii care le-au ȋnțeles se aleg cu câteva sinapse ȋn plus, ȋnvățând să conecteze un fenomen numeric cu o reprezentare grafică.

Părerea mea este că elevilor de clasa a 5-a le este suficientă această formă de lecție, fără o justificare sau cine știe ce demonstrație a ciudatului fenomen. La nivelul clasei a 5-a lucrurile pot rămâne ȋn această stare de uimire, de mirare pură. Dimpotrivă, la nivelul mai adult, de pildă ȋncepând din liceu, se poate cere și găsirea unei justificări raționale. Un astfel de studiu ar depăși ȋnsă cu mult nivelul de accesibilitate al clasei a 5-a. La acest nivel este arhisuficient atât, ȋncât să-i lăsăm pe copii ȋntr-o stare de uimire “magică”, plină de admirație față de “minunile matematicii”.

*

Cu elevii lucrez până aici. Pentru curiozitatea personală am căutat mai departe ca să ȋnțeleg, măcar la nivel superficial, care ar fi cauza pentru care poarta lui 7 este implicată ȋntr-un simbol spiritual, dar nu am găsit nimic, deși pare destul de evident că există o legătură (cred că orice ȋntâmplare este exclusă la un desen de această complexitate). Este ȋnsă la fel de evident că forma sa este deosebit de potrivită pentru a impresiona “adepții” unui curent spiritual, mai ales pe cei care nu ȋnțeleg “lucruri din-astea” și care se vor uita cu cea mai profundă admirație la “ȋnvățătorul” ce le folosește. Nu susțin la nivelul absolut că desenul nu ar putea avea totuși și anumite explicații de altă natură, dar eu nu le-am găsit ȋn timpul căutărilor mele (destul de superficiale, recunosc).

Dacă tot am căutat, perimteți-mi să vă prezint un rezumat al contextului cultural găsit, context pe care îl veţi putea căuta și dvs. pe internet. Conform Wikipedia, desenul respectiv apare ca reprezentare prima dată în 1949  la autorul rus de orientare ezoterică P. D. Ouspensky, în încercările sale de explicare a teoriilor învăţatului mistic armean G. I. Gurdjieff, idei preluate şi extinse de către bolivianul Oscar Ichazo în teoriile sale despre personalitatea umană (enneagrama tipurilor de personalităţi). Eu nu le-am citit, dar dacă sunteți curioși, găsiţi un scurt istoric al subiectului pe site-ul The Enneagram Institute, la Learn – Traditional Enneagram (History), pe care-l puteţi accesa pornind de pildă de la adresa https://www.enneagraminstitute.com/how-the-enneagram-system-works/, dar şi pe Wikipedia, de pildă căutând Fourth Way enneagram). Oricum sursele de pe internet ce conectează acest desen cu lumea spirituală par nesfârşite (pe lângă unele desene minunate, mie cel mai mult mi-a plăcut o întrebare: Este Papa Francisc împortiva enneagramei?). Ȋn domeniul psihologiei există și ȋn limba română o mare bogăție de surse despre eneagrama personalităților. Revenind la matematica noastră, un lucru este sigur, tot ce am scris în acest aliniat nu are nici o minimă legătură cu lecţia prezentată pentru clasa a 5-a, şi în nici un caz nu ar trebui să ajungă la elevi.

Tehnic, deși lipsește din dex-uri, cuvântul eneagramă desemnează o „stea cu nouă colţuri”. Astfel, pe lângă nonagonul regulat, sub denumirea de eneagramă (sau nonagramă) există două stelări cu 9 colţuri şi o stea falsă compusă de fapt din trei triunghiuri echilaterale (stele adevărate cu pas de 2 sau de 4 pentru că 9 nu este divizibil cu 2 sau 4, respectiv o stea falsă corespunzând pasului de 3 pentru că 9 este divizibil cu 3).

Pe lângă aceste eneagrame cu mecanism simplu de generare, am văzut că mai există şi ciudata eneagramă compusă din poarta lui 7 și un triunghi echilateral ce unește multiplii lui 3. Despre aceasta, pe mine mă interesează doar partea matematică, fără nici cea mai mică legătură cu teoriile mistico-ezoterice, unele de găsit la adresele mai sus menționate. Singurul lucru care mă miră este felul cum a putut fi adusă această reprezentare grafică de la nivelul pur rațional (al ȋmpărțirii cu 7) la nivelul de simbol spiritual. Misticul Titus

02.02.2020 – Totuși, sfârşitul lumii?

La ȋnceputul lui februarie 2020 scriam următorul scurt comentariu: Pentru cei care s-au pregătit să anunţe sfârşitul lumii, doar pentru că data prezintă o simetrie foarte uimitoare, vestea este destul de proastă: nici în 02.02.2020 nu a venit sfârşitul lumii.

Din păcate m-am ȋnșelat amarnic: la o lună distanță școlile se ȋnchideau intempestiv, ȋnchidere ce aducea cu ea sfârșitul lumii, cel puțin al lumii așa cum o știam. Iar o revenire realistă și ȋn siguranță la viața noastră dinainte nu se ȋntrevede nici ȋn viitorul apropiat, nici ȋn cel mediu.

Toți aveam despre sfârșitul lumii o imagine apocaliptică (un asteroid, un dezastru ecologic la nivel planetar, ceva ȋntre filmele Mad Max cu Mel Gibson și Waterworld cu Kevin Costner). Dar, de la izbucnirea pandemiei generată de criza corona-virusului mă tot ȋntreb dacă nu cumva așa arată sfârșitul lumii, cel puțin al lumii așa cum eram noi obișnuiți cu aceasta. Și, ȋncet dar sigur, a ȋnceput să-mi sune tot mai des ȋn minte refrenul melodiei It’s The End Of The World As We Know It (And I Feel Fine) din 1991 al formației R.E.M.

Gândurile acestea nu se referă doar la lumea noastră ȋn general, ci și la lumea matematicii școlare ȋn particular, așa cum o știm și cum eram obișnuiți cu ea (cu bune și cu rele). Cum va arăta aceasta ȋn noul “an școlar”, nimeni nu știe sigur. Om trăi și om vedea!, sau, cum spunea bunica: a fi cumva! Bine măcar că s-a pornit dezbaterea și agitația.

Până una alta, eu i-am convocat pe părinții disponibili la o ședință cu părinții clasei a 8-a, la care sunt diriginte, ȋntr-un parc, față-n față, dar distanțați fizic, ca să putem discuta oral, auzindu-ne și văzându-ne fețele, pentru că nimeni nu mai are ȋncrederea de la ȋnceput ȋn mijloacele de comunicare electronică (mail-uri, chat-uri și alte zoom-uri).

Apropos, la o discuție recentă ȋn familie, fiică-mea ne-a spus să n-o mai bâzâim să se scoale devreme că ȋntr-o lună ȋncepe școala, spunându-ne ceva de genul: mi-a dat Dumnezeu șase luni de vacanță, lăsați-mă să să mă trezesc când vreau. Am râs bine și ne-am adus aminte de Jules Verne; cum se numea romanul acela? Doi ani de vacanță! Ce spuneți de așa o previziune până se rezolvă problema cu pandemia, ȋncât să ne putem relua viețile ȋn mod cât de cât normal?  Shiny Happy Pupil

P.S. Și dacă tot am amintit din nou de fiică-mea, ultima ei neliniște este legată de faptul că a aflat că măștile de unică folosință nu sunt nici reciclabile, nici biodegradabile. Vă dați seama ȋnspre ce dezastru ecologic ne ȋndreptăm?

Unitățile de măsură, bată-le vina, Herr Physiklehrer Iohannis

Câți profesori de matematică știu să “scuipe” spontan formula de volum a sferei, asta nu se poate spune cu certitudine (ȋmi și ȋnchipui un răspuns de genul “d-apoi asta nu prea se folosește”), cu atât mai puțin câți profesori de fizică știu asta ȋn mod spontan, așa cum făcea aluzie Cristian Tudor Popescu cu sarcasmul specific vulpoiului bătrân ȋn jurnalism, la adresa candidatului la preșidenție Iohannis, cu ocazia gafei de proporții a celuilalt candidat la preșidenție, tanti Veorica. Dar un fapt este sigur: profesorii de fizică se simt cel mai confortabil ȋn manevrarea a tot felul de mărimi ȋmpreună cu unitățile lor de măsură la numitor și la numărător; cu asta lucrează și din asta trăiește fizica.

Ȋn aceste condiții a fost desigur deosebit de ciudat momentul de la conferința de presă organizată ȋn 5 august de Președintele Iohannis, când dânsul ne explica cum va ȋncepe școala ȋn septembrie 2020, ȋn funcție de cele trei culori ale “semaforului”, verde sub 1, galben ȋntre 1 și 3, roșu peste 3 coviți, uitând să precizeze măcar o dată că aceste cazuri se referă la “mia de locuitori” (ȋn schimb și-a adus aminte să precizeze că teoria se referă “la media ultimelor 14 zile”). A fost nevoie de ȋntrebarea țintită a unui ziarist ca să-și dea seama și Herr Lehrer că lipsește ceva din “formulă”. Aducându-și aminte de ȋntâmplarea cu aria cercului, fiică-mea aprecia admirativ că Iohannis vorbește totuși destul de liber (adică nu vine să citească un discurs pregătit dinainte de alții).

Este clar că ȋn programa școlară de orice nivel preuniversitar nu apare măsurarea de extindere a coviției, dar “noblesse oblige!”, Herr Lehrer. Și totuși, ȋn nici un caz nu-l putem acuza pe profesorul de fizică Klaus Iohannis că nu ar stăpâni sistemul de construcție al unităților de măsură. O singură concluzie se poate trage din această ȋntâmplare, anume că, ȋn pofida aparentei siguranțe ce se străduiește să o afișeze Dl Președinte, stresul situației este uriaș și nu cred că cineva ȋn reală cunoștință de cauză și ȋn deplinătatea capacităților mentale și-ar putea dori să-i ia locul ȋn condițiile de față. CTG

Ultima cifră la şirurile de numere – Studiul grafic pe cercul cu 10 cifre

Exerciţiile despre stabilirea ultimei cifre la diferite numere exprimate cu puteri cu exponent foarte mare sunt arhicunoscute printre profesorii de matematică din România. Câţi elevi le înţeleg cu adevărat, asta este o cu totul altă problemă. Eu abordez această temă dintr-un punct de vedere diferit şi nutresc speranţa că numărul elevilor care înţeleg această abordare este ceva mai ridicat.

Am găsit această metodă la învăţătoarele de la Şcoala Waldorf: ele folosesc o scândură în formă de disc pe care sunt bătute zece cuie în cerc, numerotate cu cele 10 cifre. Pe acestea elevii, pornind de la zero, întind o sfoară mergând din 4 în 4 la şirul lui 4 (şirul multiplilor lui 4) etc. Această metodă este gândită a sprijini învăţarea tablei înmulţirii de către cei mici (fiecare trecere peste zero înseamnă o creştere cu o unitate a cifrei zecilor). O adaptare a acestei metode la nivelul elevilor de clasa a V-a o găsiţi în prima parte a lecţiei, prezentată în următoarea imagine a tablei:

Ca o observaţie de terminologie, trebuie să precizez că în Waldorf învăţătoarele şi elevii folosesc noţiunea “şirul lui 3” desigur pentru “şirul multiplilor lui 3”. O fac aceasta chiar din clasele mici ca substituent pentru clasica “tabla înmulţirii cu 3” (desigur că învaţă şi denumirea “românească” cu timpul). Nu văd nici o problemă în aceasta pentru că ei nu folosesc cuvântul “multiplu”. Ca o observaţie colaterală despre capacitatea de pricepere intuitivă la aceste vârste, precizez că elevii nou veniţi în clasa a V-a nu au deloc probleme de înţelegere a terminologiei de genul “şirul lui 3” (în cazul acestora vedem aici un bun exemplu de predare intuitivă, fără multe explicaţii).

Spuneam că am găsit această metodă de reprezentare grafică la colegele din Waldorf, iar asta se întâmpla în 1996. Mintea mea a făcut imediat pasul înainte, pornind reprezentarea grafică a succesiunii ultimei cifre la şirurile de puteri, când păstrăm baza constantă (viitoarea funcţie exponenţială) sau, dimpotrivă, când păstrăm exponentul constant, adică de pildă la şirul pătratelor sau la şirul cuburilor (am încercat şi la puteri mai mari şi se găsesc şi aici lucruri interesante, dar nu recomand a face aşa ceva cu elevii; aceasta poate fi însă o minunată temă “de cercetare” pentru adulţi sau eventual elevi mari).

Vă las pe dvs. să studiaţi cazurile date ca temă elevilor şi corelaţiile dintre acestea. Oricum, elevii capătă din respectivul studiu o imagine mult mai clară şi mai bogată despre ce se întâmplă în procesul de repetare a ultimei cifre la aceste şiruri, imagine ce are evident şi valenţe estetice.

La vremea respectivă, când am descoperit aceste aspecte (“descoperit” la colegele din Waldorf reprezentarea pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile multiplilor, respectiv “descoperit” de-adevăratelea reprezentările pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile de exponenţiale şi de puteri, aspecte pe care nu le-am găsit niciunde!), atunci în 1996 am studiat toate situaţiile şirurilor în care sunt implicate puterile şi toate corelaţiile dintre acestea. Astfel, ţin minte că am făcut o planşă cu un cerc mare cu cele zece cifre, iar în dreptul fiecărei cifre am făcut un cerc mai mic cu reprezentarea grafică corespunzătoare şirului de acel tip corespunzător numărului respectiv. Astfel, pe acel cerc mare se pot vedea în studiu comparativ corespondenţele dintre formele graficelor diferitelor şiruri (fapt sugerat în lecţie prin alegerea unor exemple cu aceeaşi formă de grafic, doar parcursă în sens invers (4n şi 6n) sau prin păstrarea formei, dar răsturnată (2n şi 3n). După cum am mai spus, ca profesori, vă recomand să faceţi acest studiu, dar la clasă în nici un caz. Cred că lecţia aşa cum am făcut-o este suficientă. Eventual, în cazul unui copil pasionat, se poate sugera parcurgerea tuturor cazurilor acasă, ca “temă de cercetare”.

Apoi, ulterior acestui studiu (o oră, cu indulgenţa corespunzătoare şi pentru elevii “neolimpici”), se pot parcurge binecunoscutele exerciţii cu ultima cifră, existând speranţa ca majoritatea să aibă o viziune mai clară despre ce se întâmplă. (Această lecţie este de găsit şi în primul caiet de matematică pentagonia, dar am reluat-o pentru că mi-au reuşit o lecţie şi nişte poze deosebit de clare de data asta) CTG cu amintiri din 1996

P.S. Merită scrise aici câteva rânduri despre ideea de reprezentare grafică a unui fenomen numeric.Ce înseamnă reprezentarea grafică a unei funcţii? Păi, o formă de vizualizare a variaţiei unei formule matematice (numită funcţie)după valorile date nedeterminatei, introduse în această formulă. Cu alte cuvinte, o formă de vizualizare a unui fenomen numeric. Ceea ce am prezentat mai sus reprezintă tot o reprezentare grafică, adică o formă de vizualizare a unui fenomen numeric, doar că într-o formă mai neobişnuită pentru publicul larg.

80 de miliarde, adică 80 de mii de milioane

Vom folosi această sumă de 80 de miliarde pentru a reface infrastructura în România, pentru a construi spitale, școli, pentru a moderniza marile sisteme publice. Este, de asemenea, foarte important de știut că o parte semnificativă din acești bani vor fi folosiți pentru relansare, pentru revigorare economică. Repet, 79.917.000.000, deci 80 de mii de milioane de euro vom folosi pentru a pune în practică, pe de-o parte, planul pentru bugetul multianual 2021-2027 (…)” a declarat Președintele Klaus Iohannis. ȋn dimineața zilei de 21 iulie 2020. Precizarea este pentru cine nu știe clar ce-i acela un milliard, și să știți că-s mulți care ȋncurcă treburile astea: pentru omu’ de rând și la nivelul de cultură matematică elementară a marii majorități a populației (al votanților), milioanele și miliardele sună cam la fel.

Această observație (n-am vrut să sune răutăcios, dar trebuie să fim realiști) se justifică de pildă prin ȋncurcătura omniprezentă de folosire a sumelor de bani ȋn lei noi sau ȋn lei vechi. Să lămurim și acest aspect ȋntâlnit la foarte mulți români. Anume, de exemplu la pensionari am observant intens manipularea exprimării sumelor de bani ȋntr-un mod extrem de subiectiv: dacă vor să-ți evidențieze cât de scump fost un produs la piață, ȋți vor spune prețul ȋn bani vechi, folosirea unor exprimări ce conțin cuvintele mii sau milioane venindu-le ȋn sprijin, amplificând efectul din punct de vedere artistic; dacă dimpotrivă doresc să evidențieze cât de ieftin a fost un produs, adică “ce cumpărătură bună” au reușit, atunci vor spune prețul automat ȋn bani noi, pentru efectul dorit fiind necesare numere cât mai mici (ȋntrebat de ce-mi tot vorbește ȋn bani vechi, fiu-meu mi-a spus că toți cei cu care are el de-a face lucreză ȋn bani vechi, așa că a trebuit să se adapteze la acest limbaj, pe când la cumpărăturile de rutină, deci pentru sume mici de prețuri ȋntâlnite zilnic ȋn magazine, folosește exprimările ȋn bani noi).

Legat de accentuare subiectivistă a efectului dorit prin exprimarea unor sume cu ajutorul cuvintelor mii sau milioane, ne putem pune pe bună dreptate ȋntrebarea: de ce nu folosesc românii ȋn același scop și cuvântul miliarde? Răspunsul este simplu: acesta le sună mult prea extraterestru, ȋnțelegerea lor nu ajunge de obicei până acolo. Miliardele sunt mult prea mari iar românii nu se ȋncumetă ȋn limbaj până la acestea; structura matematică obiectivă a majorității populației este prea șubredă pentru folosirea uzuală a miliardelor

Totuși, părerea mea este că românii ar putea trece cu totul, deci și ȋn socialul de zi cu zi, la banii noi, dar nu vor! Pe lângă depunerea unui efort intelectual pentru care nu sunt dispuși (inclusiv din motive de ȋnclinare spre sfidarea de tip haiducesc a autorităților), o astfel de trecere ar ȋnsemna și revenirea ȋntr-o lume prea obiectivă pentru gustul lor, o stare care multora le repugnă. Dimpotrivă, păstrarea acestui “sistem dual” le permite românilor rămânerea și viețuirea ȋn continuare ȋn această “supă subiectivistă” ȋn care se scaldă zilnic și ȋn care se simt atât de bine. Matematica este pentru majoritatea populației mult prea obiectivă, așa ȋncât ei folosesc această situație (chiar se agață cu ȋnverșunare de ea) pentru a subiectiviza pe cât posibil matematica pe care sunt obligați să o folosească (aritmetica, prin citirea numerelor).

Ȋn mod similar, deși nu a jonglat ȋntre lei vechi și lei noi (fiind vorba de euro), ȋl putem suspecta pe Herr President de o mică ȋncercare de manipulare subiectivistă: pentru omul de rând sună mult mai pompos, deci mai mare, mii de milioane decât simplul miliarde. Oricum, Danke schön! Herr Lehrer pentru precizările matematice. Titus von der Johannisbeereleyen

Între 555 şi 777 – Pandemia la români

Săptămânile acestea am avut într-o zi un record de 555 noi infectări confirnate cu Covit 19 (8 iulie?), iar peste cca. o săptămână un nou record de 777 noi infectări confirnate (pe 16 iulie). Ciudată coincidenţă cu cele două numere! (sau, ar fi trebuit să scriu: ciudată coincidenţă cu cele două “cifre” , cum în mod regulat se exprimă specialiştii, dorind în mod preţios să pară mai docţi, aşa că au impulsul de a evita vulgarul “număr”; ei folosesc de fapt cuvântul “cifră” cu sensul de rezultat al unui proces, matematic sau nu).

Ca persoană ce m-am preocupat puţintel cu matematica din Biblie, nu pot să nu ridic măcar un pic sprâncenele la vederea acestor numere care îl încadează perfect pe renumitul 666. Oare, eu sunt singurul care am văzut aceste aspecte? Dar, haideţi să lăsăm mistica în sarcina celor care se ocupă cu aşa ceva. Am folosit această introducere doar pentru că este spectaculoasă, atrage privirile: nimeni nu vorbește despre aceste numere, dar toți se uită “ca la urs” când apare vorba de “numărul apocalipsei”. Pentru mine 666 reprezintă doar Suma lui Gauss până la 36 sau, cu alte cuvinte, numărul triunghiular 36Δ = 1 + 2 + 3 + … + 36. Eventual merg mai departe la 111 cu descompunerea sa ciudată (111 = 3·37).

Dar nici despre lecții de matematică nu vreau să scriu azi. Mai degrabă doresc să ne uităm puțin asupra unor posibilelor cauze logice şi realiste ale situaţiei dezastruase în care suntem la ora actual ca țară ȋn contextual pandemiei de Coronavirus. De fapt, mă interesează să atrag atenția asupra unor posibile cauze şi mecanisme psihologice care au generat actuala stare de sfidare a recomandărilor autorităţilor ȋn sensul prevenţiei infectării cu acest virus diabolic, stare ce se constată la o aşa de mare parte a populaţiei. Pentru că am convingerea că tot ce trăim noi acum este rezultatul politicilor educaționale din trecut, de pe vremea când s-au format actualii adulți, iar aceasta cu bune și cu rele. De obicei, ȋn multe luări de cuvânt se atrage atenția asupra celor bune. Acum suntem ȋnsă forțați să ne uităm asupra celor rele.

Când am vorbit mai sus de politici educaționale, aceasta a fost doar o exprimare generală, prin care putem ȋnțelege orice sursă de educație a viitoarelor generații: familia, societatea din jurul copilului, biserica, mass-media și școala ȋntr-un final al acestei enumerări, colac peste toate. O analiză completă ar trebui să le ia la rând pe fiecare, cu creșterile sau decăderile specific, cu interacțiunile dintre ele șamd. Acum mi-am propus să evidențiez doar câteva aspect legate de politicile oficiale ale școlii românești și cum pot fi acestea considerate ca principale responsabile de situația actuală de indisciplină socială.

Am găsit un articol pe Republica.ro, scris de către d-na Irina Costache, ce poate fi lecturat la adresa https://republica.ro/suedia-castiga-intotdeauna-in-repriza-a-doua. Ȋn acest articol scurt există ȋnsă un link la un articol mai vechi: De ce modelul suedez nu este aplicabil ȋn România? Care success? Din această analiză am preluat următorul citat:

Am fost in Suedia: Oamenii ASCULTĂ. Spune guvernul: purtați mască? Păi poartă TOȚI mască. Nici nu ȋntreabă când, unde, dacă trebuie. Probabil dacă li se spune poartă și singuri ȋn casă. Respectul și obișnuița de a avea ȋncredere ȋn autorități sunt literă de lege. Majoritatea sunt atât de educați ȋncat nu se pune problema unor restricții majore. Care restricții sunt, dar sub forma de RECOMANDĂRI. Pe care ȋnsa le respectă toată lumea. Ȋncrederea ȋn guvernanți este de peste 72% ȋn aprilie 2020, conform tuturor sondajelor de opinie (la noi ȋncredererea ȋn autorități este ȋn general sub 40% ȋn orice moment te-ai afla). Citiți toată analiza la adresa: https://pediatricblog.info/2020/05/de-ce-modelul-suedez-nu-este-un-model-de-succes-aplicabil-in-romania-care-succes.html.

Ȋn acest moment al discursului meu am impulsul să caut ce clasări a avut Suedia de-a lungul timpului la OIM. Le caut, iar când văd rezultatele, din orgoliul meu de român mândru “de olimpicii noștri” ȋmi vine să exclam: “Slab, slab!” Vă recomand și dvs. să aruncați o privire asupra tabelului cu rezultatele neoficiale de pe site-ul IMO, la adresa https://www.imo-official.org/results.aspx (ȋntre linia României și a Suediei sunt doar 10 alte linii, așa că pot fi văzute concomitent). Și iarăși ȋmi vine să pun clasica mea ȋntrebare: dacă noi suntem atât de buni la olimpiadele de matematică, de ce produc ceilalți cele mai bune mașini și au cele mai bune drumuri???. Ȋntrebarea poate avea diferite variațiuni, cum ar fi, de pildă: de ce toți cunoscuții mi-au recomandat să nu-mi iau Dacie, ci mai bine una de mâna a doua din vest???. Oare, când și cum vom putea scăpa de această falsitate ȋn gândire, care duce la o politică educațională ruptă de orice realitate? Care ar trebui să fie obiectivul școlii românești: să se ocupe obsesiv de olimpici sau să se seteze spre educarea majorității școlare pentru viitor?

De 40 de ani preocuparea principală a școlii românești este ȋnspre “rezultate la olimpiade și concursuri”, fără a conștientiza că această preocupare tratată excesiv, cu obsesie pentru “excelență”, duce la neglijarea marii majorități a restului populației școlare. Mă refer aici la o neglijare generală: neglijare din partea profesorilor, neglijare din partea autorilor de manuale sau de auxiliare și, nu ȋn ultimul rând, neglijare din partea autorităților școlare, de la inspectorate până la minister. Doar ȋn ultimii ani s-a făcut simțită o preocupare a autorităților de echilibrare ȋntre preocuparea pentru excelență și preocuparea pentru marea masă a populației. Mă tem ȋnsă că este prea târziu și prea puțin.

Politica educațională pentru olimpiade și alte concursuri (programe, manuale, mod de predare și nivel de cerințe) a fost implementată ȋn anii ’80 de autoritățile comuniste cu forța, ȋn pofida reticiențelor profesorilor din acea vreme. După Revoluție această atitudine s-a păstrat ȋn școli, ȋn ȋntregul sistem educațional, susținută de starea de mândrie ce a fost inoculată ȋn paralel ȋn anii ’80 de către statul ceaușist. Linia educațională a fost păstrată și ȋn continuare pe baza unei abordări de tip “stat polițienesc”, fapt ce a dus la o reacție ȋn lanț din partea majorității populației școlare, reacție de ȋncălcare a cerințelor, reacții de furt (șoptire, copiere, ajutor pentru acestea) și reacții de sfidare a autorității profesorului și a școlii, ȋntr-o luptă nebunească ȋntre profesori și elevi.

Majoritatea populației României poate povesti cum au fost nevoiți să copieze la ȋnceput temele prea grele și prea multe, apoi să copieze la lucrări scrise și ȋn final la examene, obișnuindu-se astfel cu furtul și cu ȋncălcarea legii. Copiatul continuă ȋn facultăți, la diferitele examene, dar și ȋn final la redactarea lucrărilor de licență, mergând până la mult mediatizatele plagieri ale lucrărilor de doctorat.

Prin extinderea forțată a preocupărilor pentru excelență dincolo de numărul celor cu adevărat pasionați pentru o disciplină sau alta, s-a mărit masiv numărul celor care s-au obișnuit să fenteze și să copieze, chiar să sfideze profesorii și sistemul. Astfel, ne-am obișnuit să punem sub semnul ȋntrebării autoritățile și legile. Ca urmare, foarte mulți români adulți obișnuiesc să ȋncalce regulile și legile, atâta vreme cât nu există autoritățile prin zonă (desigur că și 45 ani de comunism și-au adus aportul ȋn această direcție). Vedeți ȋn acest sens felul ȋn care nu se respectă limitele de viteză sau interdicțiile de depășire pe șosele. Sau, urmăriți cum trec strada pensionarii ȋn diferite puncte nevralgice din marile orașe (ca o precizare: și ȋn alte țări există astfel de obiceiuri proaste, dar parcă la noi situația este cu adevărat scăpată de sub control).

Prin școala care s-a ocupat doar de vârfuri, au fost cumva neglijați toți ceilalți elevi care, ȋn cazul foarte multora, au dezvoltat sau au preluat de la alții diverse obiceiuri de fentare și ocolire a autorității profesorilor. Ca să dau doar un exemplu la ȋntâmplare, a pune de pildă un elev responsabil pe un rând cu verificarea realizării temelor, ajută de fapt elevii la ascunderea situațiilor de teme copiate.

Pe vremuri, temele se copiau ȋn toalete, pentru că profesorii ȋi pedepseau dacă ȋi prindeau. Apoi, indiferența școlii a crescut, așa ȋncât temele au ajuns să fie copiate ȋn pause ȋn clase, deși ȋn unele școli erau active și ȋn pause camerele de luat vederi, pentru supravegherea elevilor ȋn vederea preȋntâmpinării violențelor (deci, un professor stătea ȋn pauză și supraveghea monitorul cu imagini din clase, și desigur că vedea că diferiți elevi scriau de zor ȋn pause, dar nimeni nu se sesiza). De când toți elevii sunt dotați cu smartphone, temele pot fi transmise de cu seara; este suficient ca un elev să reușească să convingă un adult din anturaj (un părinte,  profesorul particular etc.) să-l “ajute” la temă și până la culcare toți prietenii lui au tema transmisă pe WhatsApp.

Astfel, s-a educat la o mare parte a populației o atitudine haiducească, ȋn multe cazuri chiar un fel de vedetism ȋnspre sfidarea autorităților. Unii, cei mai șmecheri, sunt convinși ȋn această stare de sfidare. Există ȋnsă și persoane care ar sta pe gânduri dacă fac bine sau nu, dar care până la urmă ȋși găsesc liniștea ȋn atitudinea de sfidare simțindu-se protejați de multitudinea celor care trăiesc ȋn acest fel, simțindu-se ocrotiți ȋn această “stare de turmă” națională vedetist sfidătoare. Iar, după toate acestea, acum ne mirăm de starea de sfidare a autorităților ȋn cazul recomandărilor de purtare a măștii, de păstrare a distanțării fizice, ȋn general de respectare a regulilor impuse de specialiști?

Decenii ȋntregi de programe, manuale și predare doar pentru cei buni au lăsat pe din afara sistemului educațional, a activității educative de zi cu zi, o mare parte din populația școlară, populație care peste ani, ajunsă adultă, nu se lasă condusă nici cu explicații logice ale specialiștilor, nici cu amenințarea cu pedepse, pentru că ȋn timpul școlii a ȋnvățat doar cum să fenteze, cum să nu respecte autoritățile și ȋn general cum să nu aibă ȋncredere ȋn acestea. Și de ce ar face altfel?

Ȋntr-una din ultimele emisiuni Deșteptarea din această vară la Europa fm (15.07.2020), dl. Vlad Petreanu l-a avut ca invitat ȋn emisiune pe medical epidemiolog Prof. Emilian Popovici, care a făcut o foarte clară analiză a situației (explicând ceva cu un factor de transmitere și evoluția corespunzătoare a graficului noilor ȋmbolnăviri). La auzul acestora  Vlad Petreanu a avut reacții de uimire: E fascinant că epidemiile pot fi cercetate cu modele matematice! Sau, ceva mai ȋncolo a exclamat: Factorii care influențează transmiterea reprezintă chestiuni foarte logice! Totuși dl. Prof. Popovici a concluzionat pesimist: Omul crede ce vrea să creadă”; oamenii preiau știrile care le convin!

Cu alte cuvinte, traduc eu, cine nu s-a preocupat măcar puțin cu reprezentarea grafică a unor funcții, să ȋnțeleagă forța de creștere a unei funcții cu derivata ȋntâia crescătoare, acela nu va avea tragerea de inimă corespunzătoare să-l asculte și să depună efortul de a-l ȋnțelege pe un “nu-ș-ce” profesor care explică “nu-ș-ce” teorie, că “nimeni nu-l ȋnțelege”. Chiar dacă la sfârșit acesta rezumă totul ȋn câteva reguli simple: 1) purtarea măștii; 2) spălatul serios pe mâini; 3) distanțarea fizică, oamenii nu sunt obișnuiți să aibă ȋncredere ȋntr-unul mai deștept, adică mai școlit decât ei. Cine-i mai ascultă pe “ciudații ăștia”?

Una din replicile pentru nerespectarea celor trei reguli este “eu nu cred ȋn virusul ăsta”, iar oamenii au chiar argument ȋn care ȋți pot explica despre conspirații și 5G transmis prin sârma de la măști și vaccinări și Bill Gates și multe altele. Vedeți ȋnsă cum cercul se ȋnchide, pentru că cei mai mulți spun “eu nu cred ȋn coronavirus”. De parcă ar fi vorba despre credință aici! De parcă am fi la biserică! Ciudat este că nici ȋn 666 nu cred acești contestatari. Ȋn aceste condiții ne putem pune, pe bună dreptate, ȋntrebarea: cine mai respectă de fapt ȋn România restricțiile și regulile impuse de pandemie? Păi, cred că există câteva categorii relative clare de populație.

Prima categorie ar fi oamenii care au avut la viața lor un contact real, profund și cinstit cu știința, măcar cu o știință (matematică, fizică, chimie, biologie, geografie sau istorie). Chiar dacă nu au cunoștințe de medicină, mai exact de virusologie, toți aceștia vor putea ȋnțelege ce aud despre această boală prin analogie cu fenomene științifice pe care le-au ȋnțeles cândva. Desigur că, mulți dintre aceștia se cred atât de deștepți, ȋncât ajung chiar ei să conteste sfaturile specialiștilor dacă le convine astfel (personaje din categoria celor care consideră că pâmântul este plat, iar americanii ăia stupizi sigur n-au ajuns pe lună; la care se adaugă desigur și sârma de la nas a măștilor ordinare care ȋi permite lui Bill Gates să ne conecteze fără voia noastră la sistemul 5G).

O a doua categorie ar fi formată din oamenii care sunt educați și obișnuiți să respecte regulile (cu extindere la respectarea autorităților). Din păcate, cum explicam mai sus, aceștia sunt tot mai puțini. Aici, pe vremuri intrau și toți oamenii “bisericoși”, care se educau disciplinați din oficiu prin biserica la care mergeau. Acum, aceștia sunt tot mai puțini, mai ales ȋn urma atitudinii unei părți a autorităților bisericii, mai exact a BOR, care ȋn mod ciudat ȋn unele cazuri ȋmbrățișează deschis chiar acea stare haiducească de care am vorbit mai sus. Nu mă pot abține să observ aici o atitudine similară cu cea a majorității de stânga din Parlamentul țării, atitudine menită a strânge adepți prin venirea ȋn ȋntâmpinarea așteptărilor unei părți a populației.

O a treia categorie ar fi cei care sunt speriați, fie speriați concret de această boală, fie cu o stare de sănătate precară, fie cu bătrâni la care țin ȋn anturaj, fie persoane paranoice din oficiu. La aceste trei categorii naturale am putea adăuga eventual și o a patra artificială, dar la fel de adevărată, anume a celor cu responsabilități oficiale și care se tem de repercusiuni ȋn cazul nerespectării normelor legale ȋn vigoare. Aceasta ar fi o analiză seacă, dar ȋn realitate situațiile se pot dilua, amesteca și transforma ȋn funcție de diferiți alți factori ce influențează starea de gândire a fiecăruia.

Multe s-ar putea scrie despre această stare de lucruri, despre atitudinea de sfidare a multora, chiar despre felul ȋn care diverși compatrioți se cred mai deștepți decât toată planeta asta, și oricum iei lucrurile la o analiză cât de cât matură nu reiese decât o singură concluzie: “așa au fost educați” (citat din vecinul meu, care ȋnsă nu a putut explica cum sau de ce au fost educați așa).

Cum arată ȋn aceste condiții viitorul? Numai bine nu! Titlurile din mass-media sună apocaliptic: după trei săptămâni de vid legislativ avem o rată de creștere exponențială (apocaliptic pentru cine ȋnțelege acest limbaj), cât de curând nu mai este loc ȋn spitale, iar doctorul Cristian Oancea, managerul Spitalului Victor Babeș din Timișoara, avertizează despre un tsunami al acestui al doilea val al epidemiei, vorbind de iminența intrării ȋntr-o nouă stare de urgență, ȋn timp ce personalul medical este oboist, lucrând la epuizare, dar văzând cum românii se distrează peste tot ȋncălcând cu nonșalanță minimele reguli de bun simț cerute de autorități. Se vorbește deja de un million de infectări la toamnă ȋn România.

Acum, eu nu sunt un om tare bisericos, nu am citit Apocalipsa lui Ioan decât de două ori (a doua oară doar cu scopul căutării de elemente simbolistice matematice și, după cum se vede, ȋl cam iau ȋn derâdere pe 666 ca număr al apocalipsei), dar situația actuală și previziunile respective mie ȋmi seamănă dubios de ciudat cu unele pasaje din scrierile Sfântului Ioan Teologul (oare, ce semnifică cei patru cavaleri ai apocalipsei?). Om trăi și om vedea. Și da, era să uit, mai avem și câteva tururi de alegeri sau scrutine ȋn fața noastră. Chiar asta ne mai lipsea ȋn tot tabloul! CTG

P.S. Următoarea cugetare (găsită pe Facebook) sună destul de urât și nu am avut tupeul să o pun la ȋnceput pe post de Motto, dar v-o dau acum, ȋn final: “Un român adevărat nu crede ȋn Covid dar crede ȋn noroc când calcă ȋntr-un rahat!

P.P.S. Statul Spaniol ține mai departe ȋnchise ȋn Mallorca renumitele discoteci, așa că cei mai mulți turiști care pentru așa ceva mergeau acolo sunt profund decepționați. Croația ȋnsă le-a dat drumul, iar toți cheflii disperați ai Europei s-au reorientat ȋntr-acolo. “Nu ȋți este frică?” l-a ȋntrebat reporterița (RTL) pe un tânăr german. “Nu mă interesează” a răspuns acesta. Tot ce-l interesa era să se zbâțâie ȋn sfârșit din nou ȋntr-o discotecă. Observați ȋnsă că nu a spus “nu cred ȋn Covid”, ci a spus “nu mă interesează”. Hmmm!

Numerele prime (2-Bis): Ciurul lui Eratostene

Prezentul eseu reia multe din ideile prezentate în urmă cu trei ani în articolul http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/, aducând unele scurte argumente suplimentare, o nouă fişă de lucru cât şi noi idei de fluentizare a lecţiei despre Ciurul lui Eratostene. Cu această ocazie am descris încă o dată pas cu pas procedura din această metodă antică de selectare a numerelor prime din şirul numerelor naturale.

Eu predau de obicei la gimnaziu, uneori am desigur şi clasă de a V-a, iar în acest context mă confrunt cu starea de şoc în cazul multor elevi la sosirea în lumea profesorilor. Simt că, oricât aş veni în întâmpinarea lor accesibilizând materia predată, de la un an la altul, tot găsesc o mare parte (să-i spunem “jumătate de clasă”) care sunt terifiaţi de fiecare dată când se întâlnesc mai serios cu matematica şi cu gândirea ce o însoţeşte. Din acest motiv revin “din nou şi din nou” la clasele mici în postările mele, pentru că simt că aici este localizată una din sursele de bază ale fenomenului de analfabetism funcţional matematic. Poate voi avea răbdare cândva să iau subiectul spre abordare amănunţită, dar momentan mă rezum la o nouă analiză punctuală asupra unei lecţii de clasa a V-a şi asupra contextului acesteia.

Elevul care nu va înţelege suficient de bine numerele prime (care va crede de pildă că sunt “un fel ciudat de numere impare”), acel elev va aduna cu timpul o frustrare mută ce contribuie la creşterea unei frici profunde de matematică, stare ce va deveni o a doua sa natură prin cumularea cu alte şi alte frustrări de neînţelegere şi frici, care cu timpul se vor transforma în ură faţă de cei care sunt capabili de gândira raţională obiectivă.

Din acest motiv este foarte important să acţionăm preventiv şi să nu mergem la aceste vârste “ca trenu prin gară” prin lecţii, dând scurte definiţii şi având pretenţia ciudată, chiar schizofrenică, ca elevii să înţeleagă şi să şi ştie imediat noţiunea predată. Dimpotrivă, trebuie să avem răbdare şi mai ales la clasele mici să zăbovim la introducerea noţiunilor. Trebuie să avem răbdare, eventual să prezentăm noţiunea într-o formă ludică şi – ce-i foarte important – să realizăm abordări spre noţiunea studiată din mai multe direcţii (la clasele mici neapărat în zile diferite, cel mai sănătos chiar în perioade diferite). Este ca şi cum am lua “obiectul matematic” respectiv în mână şi l-am analiza şi l-am întoarce pe toate părţile. Chiar este recomandabil să-l luăm şi să-i dăm elevului timp să-l înţeleagă prin faptul că-l folosim în diferite contexte. Trebuie să pricepem că înţelegerea sănătoasă nu poate să apară printr-o simplă definire, ci este obţinută printr-o analiză multiplă cu mai multe reluări relativ diferite una de alta, dar mai ales şi prin utilizări succesive în contexte diferite.

Preocupările mele didactice provin din strădania de a îndruma elevii pe căi prin care să le înlesnesc înţelegerea cât mai bună a fenomenelor studiate, totodată cu formarea gândirii în general. În acest sens empatia faţă de învăţăcel te poate lumina ca profesor despre faptul că este o deosebire structurală majoră între introducerea unei noţiuni în modul ideal din punct de vedere al ştiinţei matematice pe baza tripletei axiomă – definiţie – teoremă, pe de o parte, şi pe de cealaltă parte, introducerea noţiunii la clasă respectând cerinţele mecanismelor psihologice obligatorii pentru înţelegerea fenomenului de către elevul încă nematematician, în caz particular al respectivului fenomen, dar şi pentru formarea gândirii matematice, privit în general la întreaga activitate din cadrul orelor de matematică.

Simpla definire a numerelor prime din punct de vedere al divizorilor este insuficientă (Definiţie: se numesc numere prime numerele care se divid doar la 1 şi la el însuşi, cu diferite forme şi variante echivalente, dintre care cea cu divizorii improprii este cu încă un etaj mai abstractă, pentru că necesită încă o noţiune în plus, fiind astfel şi mai inaccesibilă pentru marea majoritate a elevilor), dovadă stând însuşirea slabă a noţiunii de către majoritatea elevilor, exceptând vârfurile. După părerea mea, în cazul numerelor prime este mult mai eficientă o abordare multiplă, adică abordarea numerelor prime pe rând din mai multe direcţii. În acest sens am identificat trei direcţii de bază, cea cu divizorii fiind cea mai scurtă, dar şi cea mai intelectuală şi, ca urmare, cea care ar trebui parcursă ultima. Personal, eu predau pe baza acestor trei direcţii de abordare de cca. 10 ani.

Am regăsit ideea celor trei abordări şi în lucrarea MATEMATICA în 30 de secunde, Editor Richard Brown, apărută în traducere la Editura LITERA în 2019. La pag. 22-23 sunt prezentate numerele prime astfel: Majoritatea numerelor întregi (adică naturale) se descompun în numere mai mici. De exemplu, 100 = 4 ∙ 25 dar şi 100 = 20 ∙ 5. Dacă luăm fiecare din aceste numere şi le descompunem factorii în factori mai mici, vom ajunge la factorizarea primară a lui 100 care este 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5. Nu putem descompune factorii mai mult de atât – aceştia sunt numere prime, divizibile doar cu 1 şi cu ele însele. (vedem cum matematicianul care a redactat acest text nu s-a putut abţine, punând imediat şi definiţia clasică, din precauţie ca să nu sară cineva în sus şi, ca să fie siguri, la pag. 134 au mai pus-o încă o dată) Revenind la citatul de mai sus, la pagina 23 găsim un tabel cu primele 100 de numere în care sunt tăiate cele ce se pot descompune, rămânând evidenţiate cu verde (?) numerele prime (fără a fie însă amintit numele lui Eratostene). Aşadar, cum ar trebui să parcurgem cu clasele a V-a cele trei abordări spre noţiunea de număr prim?

Prima abordare ar reprezenta factorizarea, adică descompunerea intuitivă în factori, care se descompun apoi în factori tot mai mici, până când ajungem la factori care nu se mai pot descompune (desigur, fără folosirea lui 1), adică factorizarea primară. Pe baza descompunerii intuitive  a numerelor până la 100 (la clasă şi ca temă) ajungem să întocmim o primă listă cu numerele prime până la 50-60 (poate chiar până la 100). Această primă abordare lămureşte definitiv şi de ce numărul 1 nu este considerat număr prim: numărul 1 nu participă la factorizare pentru că factorizarea nu s-ar mai termina.

A treia abordare, cea cu definiţia numerelor prime (numerele care se divid doar la 1 şi la ele însele) nu o mai descriu, pentru că o cunoaşte toată lumea (deşi am şi aici o scurtă colecţie de variante, dintre care cea mai interesantă o aveam dintr-o carte nemţească, aceasta folosind totuşi intuiţia printre cuvinte: un număr se numeşte prim dacă nu se divide la un alt număr în afară de 1 (cu excepţia lui 1) divizorul însuşi fiind astfel cumva “ascuns” prin subînţelegerea exprimării (pe germană era mai clar acest aspect şi se înţelegea foarte bine).

A doua abordare – cea cu Ciurul lui Eratostene, care reprezintă tema principală a acestui eseu – era prezentă în manualul de clasa a V-a din anii ’80, ce a fost valabil până în 1996. Manualele alternative introduse la reforma din 1997 s-au rezumat la abordarea prin definiţie, considerată aici ca cea de-a treia abordare. Eliminarea Ciurului lui Eratostene reprezintă o mare pierdere din punctul de vedere al formării gândirii matematicii. Nu ştiu ca cineva să o fi făcut clar în anii ‘90, dar măcar elevii vedeau tabelul, se întrebau la ce foloseşte şi primeau ca răspuns o cât de sumară explicaţie. La manualele alternative de după 1997 acest proces – chiar şi în forma sa minimală – a dispărut cu totul.

După cum am mai spus, eu am început să fac această lecţie en-detail în urmă cu 10 ani, deşi am mai făcut-o uneori în forme reduse încă din anii ‘90. Chiar dacă parcurgerea lecţiei este mare consumatoare de timp (cel puţin o oră se duce clar), aceasta este un bun proces de formare a gândirii şi de stabilizare a noţiunii de număr prim. Pentru asta trebuie însă să ne luăm timp suficient şi să lăsăm elevii să lucreze şi individual la clasă, lecţia fiind un deosebit exemplu de lucrare practică de tip “laborator de matematică”.

Parcurgerea Ciurului lui Eratostene doar până la 100 nu este deosebit de complicată, dar nici prea lămuritoare. Pentru a înţelege lucrurile ar trebui să mergem măcar până la 200; Parcurgerea până dincolo de 250 are avantajul că ne arată două situaţii speciale: o decadă fără numere prime, cât şi o nouă decadă cu patru numere prime, alta decât primele două de la început (patru numere prime până la 10 şi încă patru numere prime între 10 şi 20). Pentru elevii buni se pot pune şi întrebări de tipul: cum putem evita simpla re-tăiere a numerelor dintr-un şir de multiplii? Altfel spus, care este primul număr care nu este deja tăiat când ajungem la şirul lui 13? Dar la şirul lui 17? Răspunsurile la aceste întrebări ne lămuresc destul de clar până când numerele netăiate din tabel sunt toate prime.

Pentru a eficientiza această lecţie am pregătit o fişă conţinând numerele naturale de la 1 la 300 ordonate câte zece pe o linie. Această fişă trebuie multiplicată pentru toţi elevii pe coli A4, dar poate fi imprimată la firme de proiectare şi pe format mare, de pildă A0 sau A1, pentru a fi lipită pe tablă, astfel încât să se parcurgă tot procesul şi în faţa clasei.

Tot pentru eficientizare am decis ca, începând de la viitoarea clasă a V-a la care voi preda, să introduc în lecţia precedentă (despre şirurile numerelor) o temă ce îi va familiariza pe elevi cu lucrul pe şirurile numerelor, în vederea eliminării numerelor în Ciurul lui Eratostene. În acest sens, le voi da elevilor câte o coală A4 pe care va fi imprimat tabelul cu cele 300 de numere pe ambele părţi. Pe prima parte, în partea de sus a paginii lăsată intenţionat liber le voi dicta prima sarcină din temă, anume să taie cu creion galben toate numerele din şirul lui 2, iar cu portocaliu toate numerele din şirul lui 5. Tot pe această pagină vor trebui să taie toate numerele din şirul lui 11 cu albastru. Pe a doua pagină, în partea de sus vor scrie a doua sarcină din temă, anume să taie cu verde toate numerele din şirul lui 3, respectiv cu roşu toate numerele din şirul lui 7 (evident, o temă pe care ar trebui să o poată face în clasa a V-a orice elev). Aceasta va reprezenta tema la lecţia premergătoare pentru Ciurul lui Eratostene, o lecţie pregătitoare despre şiruri, în care prezint cele mai simple şiruri de numere naturale: şirul lui 2, adică al numerelor pare, dar şi şirul numerelor impare, apoi şirul lui 3, şirul lui 4 etc.

Am evidenţiat în aliniatul de mai sus legătura “obligatorie” dintre fiecare număr şi o anumită culoare din motive vizuale absolut practice şi recomand aceasta ca cea mai bună variantă. Vreau să spun că varianta aceasta de culori păstrează “haosul” din Ciurul lui Eratostene la nivelul cel mai mic posibil; orice altă variantă creşte nivelul de neînţelegere la unii elevi. Astfel, am pus numerele cele mai ordonate pe verticală, 2 şi 5 (2 cu cei mai mulţi multipli), cu culorile cele mai slabe, dar clar vizibile pentru că se pun la început sau curând. Apoi culorile vin într-un creşcendo tot mai întunecat; cumva, fiecare când apare în Ciurul lui Eratostene, aceasta se vede cel mai bine la acel moment.

Astfel pregătită lecţia principală, în ora următoare ne vom putea apuca de găsirea numerelor prime prin această metodă. Daţi-mi voie să vă prezint în detaliu cum fac eu această lecţie, atât ca exemplificare pentru cei care o cunosc, cât şi ca lămurire pentru profesorii mai tineri care nu cunoc această lecţie (dar şi pentru părinţii ce se rătăcesc pe acest blog şi vor să-şi ajute copiii în a înţelege subiectul cu pricina). Pentru această lecţie le voi aduce elevilor o nouă coală A4 imprimată doar pe o parte cu acelaşi tabel (al treilea tabel cu numerele de le 1 la 300). Le explic foarte scurt elevilor că vrem să căutăm numerele prime din acest tabel, apoi trecem direct la treabă.

Pe numărul 1 îl tăiem de la început pentru că ştim că 1 nu participă la căutarea numerelor prime. În plus, după ce vom înţelege cum funcţionează acest sistem, vom putea reveni şi găsi un nou argument pentru care 1 nu participă la Ciurul lui Eratostene (dacă ne-am propune să tăiem toate numerele din “şirul lui 1”, de fapt am elimina toate numerele şi nu am mai avea obiectul muncii acestei ore). Este important să facem acest pas pentru a fixa bine pe mentalul fiecărui elev că numărul 1 nu este număr prim (deşi marele Euler încă îl considera prim; ca să vezi!).

Primul număr netăiat este 2 şi pe acesta îl încercuim cu galben. Apoi tăiem cu galben toate celelalte numere din şirul lui 2 (în afară de 2, procedăm la fel ca la tema de ora trecută). Atenţie că durează mult până elevii taie toate numerele din şirul lui 2; acestea sunt aliniate frumos dar sunt multe de tăiat.

Apoi o luăm de la capăt cu raţionamentul: primul număr netăiat este 3 şi pe acesta îl încercuim cu verde. Apoi tăiem tot cu verde toate celelalte numere din şirul lui 3 (unele erau deja tăiate cu galben, dar le mai tăiem încă o dată; altele le tăiem pentru prima dată cu verde). Şi la şirul lui trei durează destul de mult până ajung să fie tăiate toate numerele, chiar dacă sunt ceva mai puţine, pentru că sunt ciudat ordonate (nu sunt pe o verticală, adică pe o coloană, ci stau într-o ordine oblică).

În acest moment primul număr netăiat este 5 şi pe acesta îl încercuim cu portocaliu (păstrăm culorile din tema de ora trecută). Apoi tăiem cu portocaliu toate numerele ulterioare din şirul lu 5 (indiferent dacă mai sunt tăiate deja sau nu cu altă culoare). La acestea avem de tăiat doar numerele de pe două coloane şi merge ceva mai repede.

Până în acest moment am tăiat foarte multe numere şi am încercuit  doar trei numere, pe 2, pe 3 şi pe 5, care sunt toate trei numere prime. Acum primul număr netăiat este 7. Îl încercuim şi pe acesta ca număr prim cu roşu şi tăiem tot cu roşu celelalte numere din şirul lui 7. Aici treaba merge din nou greu, chiar dacă sunt mai puţine de tăiat, pentru că sunt aparent destul de dezordonate. Cu greu reuşesc unii elevi să-şi dea seama de structura şi modelul în care acestea apar în tabelul numerelor naturale cu zece coloane. Desigur că aici va ajuta mult tema din ora precedentă.

Următorul număr netăiat, deci număr prim va fi 11, iar pe acesta îl vom încercui cu albastru, după care vom tăia tot cu albastru restul numerelor din şirul lui 11 în tabelul nostru (situate pe diagonale ciudate: 11, 22, 33, … 99, apoi din nou din stânga de la 110, pe acelaşi model 121, 132 etc.). Până aici vom fi fost ajutaţi de tema din ora precedentă. În continuare va trebui să ne descurcăm fără acest ajutor.

Următorul număr netăiat, deci prim, va fi 13 şi îl vom încercui cu creion grafic (negru). Începând din acest moment se despart drumurile între cei care gândesc cu adevărat şi cei care nu gândesc la matematică. Am putea să procedăm la fel ca şi până acum, anume să ne propunem să tăien cu creion grafic restul numerelor din şirul lui 13, dar acesta este oricum un şir greu (câţi elevi este de aşteptat să ştie “tabla înmulţirii cu 13”?). O idee mai bună s-ar putea să ne vină dacă observăm că oricum o vreme toate vor fi fost deja tăiate la una din trecerile precedente, cu o altă culoare. Care este primul număr din şirul lui 13 care nu este încă tăiat? (îl putem găsi că este 169, dar nu ne interesează doar acest număr, în mod egoist, ci vrem să dibuim “modelul comportamental” pentru a ne descurca în continuare şi la numere mai mari).

Pentru a răspunde la această întrebare ne putem întoarce la şirul lui 7, întrebându-ne care a fost primul număr din şirul lui 7 care nu era deja tăiat cu altă culoare şi pe care l-am tăiat pentru prima oară cu roşu? După un pic de căutare elevii îl găsesc pe 49, după care îşi dau seama şi că 49 este pătratul lui 7. Verificăm teoria şi cu un pas mai înainte, anume la 5 şi observăm că primul număr care a fost tăiat doar cu portocaliu a fost 25, adică pătratul lui 5 (mai putem face şi o verificare la 11). Deducem aşadar prin analogie că primul număr din şirul lui 13 care încă nu este tăiat este pătratul lui 13, adică 169.

Din acest moment lucrurile se complică, dar totodată devin fascinante pentru elevii cu gândire bună, care au ocazia să-şi exerseze intuiţia matematică. Ideile se succed în continuare cu repeziciune într-o ordine relativă (un elev observă un aspect, un al doilea observă altceva etc.). În linii mari ideile ar trebui să fie după cum urmează: următoarele numere din şirul lui 13 sunt deja tăiate: 13 ∙ 14; 13 ∙ 15; 13 ∙ 16 (de la şirul lui 2 sau 3 sau 5), dar 13 ∙ 17 = 221 nu este încă tăiat. La fel nu este tăiat 13 ∙ 19 = 247 şi nici 13 ∙ 23 = 299 (şi apoi aici ieşim din tabel cu şirul lui 13). Merită zăbovit cu o ridicare de sprânceană la aceste numere: care este forma lor?

Următorul număr netăiat, despre care oricum ştim dintr-o lecţie precedentă că este prim, este 17 (îl încercuim tot cu creion grafic). Care este primul număr netăiat din şirul lui 17? Desigur că pătratul lui 17 care este 289. Apoi observăm că 17 ∙ 18 trece oricum de 300, aşa că am terminat foarte uşor cu acest şir în tabelul nostru.

Următorul număr netăiat, aşadar prim este 19 (de încercut tot cu creion grafic), iar primul număr din şirul său care n-ar fi deja oricum tăiat este 19 ∙ 19 = 361, care este în afara tabelului nostru. Ce deducem de aici? (aici trebuie ca profesorul să aibă răbdare, până se prinde măcar un elev) Da, exact, restul numerelor netăiate din tabelul nostru sunt toate prime şi pot fi încercuite liniştit cu creion grafic.

În final fiecare elev scrie în spaţiul liber de deasupra tabelului cu cele 300 de numere titlul lecţiei: Ciurul lui Eratostene pentru găsirea numerelor prime până la 300. Ca temă, elevii vor trebui să aleagă numerele prime găsite (adică cele încercuite) şi să treacă în caietul de matematică. Ambele coli vor fi lipite pe o margine în caiteul de matematică în locul unde am ajuns cu lecţiile.

În ora următoare voi relua lista, iar elevii o vor scrie din nou pe verso-ul colii cu Ciurul lui Eratostene (foaia culcată, adică landscape), pe lăţimea unui liniar (3-4cm), toate numerele prime găsite, aranjate pe coloane de cel mult patru numere, corespunzând fiecărei decade. Astfel, prima coloană are patru numere, a doua coloana tot patru numere (între 10 şi 20), a treia coloană are doar două numere prime (23 şi 29) etc. Mai încolo vom avea coloane cu un singur număr prim corespunzând unei decade, dar şi coloane fără numere.

Apoi vom face o analiză a celor observate, scriindu-le tot pe această pagină, alături de lista cu numerele prime. Observaţiile ar trebui să fie în linii mari următoarele: într-o decadă (corespunzând unui rând, adică unei linii pe tabelul cu 300) sunt maxim patru numere prime; există decade fără numere prime, de pildă decada 201 – 210; numerele prime apar tot mai rar; numărul 2 este singurul număr prim par; după 10 numerele prime au ca ultimă cifră doar 1; 3; 7 sau 9. O observaţie mai interesantă este faptul că unele numere apar în perechi, despărţite doar de un singur număr par. Elevii pot primi ca temă să caute astfel de perechi de numere prime alăturate.

Totodată putem da aici şi justificarea denumirii acestor numere, justificare ce ţine de fapt de lecţia precedentă, cea cu şirurile numerelor: numerele care apar pe şirurile numerelor doar pe prima poziţie se numesc numere prime. De pildă, numărul 4 apare pe prima poziţie în şirul lui 4, dar el apare şi pe a doua poziţie în şirul lui 2, deci nu este prim. Dimpotrivă, numărul 5 apare doar în şirul lui 5 şi acolo pe prima poziţie, deci este număr prim, putând fi doar primul.

Înţelegem aici că această justificare a numerelor prime – numerele care apar pe diversele şiruri de multipli doar pe prima poziţie se numesc numere prime (pentru că pot fi doar primele pe un şir de multipli) – această justificare nu mai funcţionează când studiem de fapt multipli unui număr pornind de la definiţia că multipli unui număr se obţin din produsul acelui număr cu un alt număr natural, printre acestea putând fi ales şi zero. Multiplul zero ne încurcă aici rău de tot, aşa că această lecţie trebuie parcursă înaintea unui studiu riguros definiţionist al multiplilor. Pe de altă parte, ştim şi simţim aici clar că noţiunea de număr prim, împreună cu denumirea respectivă, sunt mult mai vechi din punct de vedere istoric decât apariţia în matematică a numărului 0 (zero).

Trebuie să lămuresc aici un aspect ce probabil i-a nedumerit pe mulţi cititori ai acestei prezentări, anume faptul că am folosit expresia “şirul lui 5” în loc de expresia completă “şirul multiplilor lui 5” (desigur clar mai corectă). Am evitat folosirea cuvântului “multiplu” în acest context pentru simplul fact că la acest moment încă nu am predat noţiunea de multiplu, şi am făcut aceasta cât se poate de intenţionat şi premeditat. Veţi spune că aşa ceva nu se poate, că asta nu mai este predare riguros matematică. Iar eu vă voi răspunde că se poate preda aşa, iar elevii nu înţeleg cu nimic mai puţin ca în forma riguroasă, datorită faptului că ne bazăm în acest proces pe intuiţia elevilor.

Sunt convins că pentru mulţi dintre cititorii profesori toate aceste rearanjări şi mici redenumiri crează probabil impresia unui mic haos, aşa că îmi permit să mai reiau câteva aspecte din ultima parte, aspecte legate de justificarea metodică şi de aranjarea optimă a lecţiilor, pentru ca acestea să nu-şi pună una alteia “piedică”.

În primul rând, precizez că lecţia despre numerele prime prin Ciurul lui Eratostene reprezintă o întrerupere în seria lecţiilor despre şiruri de numere naturale la clasa a V-a, aşa cum le-am predat în ultimii ani. Pe scurt, aceste lecţii sunt următoarele: 1) lecţia despre Şirurile de multipli (nu le voi numi aşa), ce include deci şi Ciurul lui Eratostene, va fi urmată de lecţia 2) despre Şirurile puterilor unui număr (şirul puterilor lui 2 până la puterea a 10-a, apoi şirul puterilor lui 3 până la puterea a 5-a, la fel şi la puterile lui 4 şi ale lui 5, şi în final şirul puterilor lui 10); iar apoi de lecţia 3) Şirul puterilor cu exponent constant (cu exemplificare pe şirul puterilor a doua, cât şi pe şirul puterilor a treia; ulterior voi reveni la acestea sub denumirea de şiruri de numere figurative, lecţie la care voi aborda şi numerele triunghiulare).

Despre predarea intuitivă am început să auzim din nou în textele metodice însoţitoare la noua programă de gimnaziu din 2017, cei drept fără a ne fi explicat despre ce-i vorba şi cum se foloseşte (ca şi cum toată lumea ar şti ce-i asta şi ar fi făcut în facultate în detaliu folosirea intuiţiei în predare). Predarea intuitivă deschide căi nebănuite în introducerea noţiunilor matematice. De pildă, în acest caz eu am folosit faptul că învăţătoarele din Waldorf folosesc denumirea de “şirul lui 5” ca variantă alternativă la “tabla înmulţirii cu 5”. În plus, am introdus lecţia pregătitoare de “şiruri”, desigur adaptată vârstei şi predată intuitiv. Avantajul faţă de o eventuală poziţinare a lecţiei după studiul noţiunii de multiplu este însă legat de absenţa din acţiune a numărului 0 (zero). Anume, lipsa numărului zero din şirul multiplilor lui 5 ne permite poziţionarea numărului 5 (numărului titular al acestui şir) pe prima poziţie. Istoric aşa s-a şi întâmplat, iar de acolo a şi venit denumirea de număr prim (numărul zero fiind integrat mult mai târziu în tabloul numerelor naturale). Ulterior, la studiul noţiunii de multiplu îl adaug şi pe zero la “şirul lui 5”, analizând structura acestor numere ca 5 ∙ n cu n număr natural, şi obţinând astfel “şirul multiplilor lui 5”.

În altă ordine de idei, îmi povesteşte soţia mea că la ultima clasă de gimnaziu la care a predat le dăduse să facă planşe (câte doi-trei elevi la o planşă) pe diferite teme numerice, planşe ce au stat apoi multă vreme afişate prin clasă. Una din planşe era cu Ciurul lui Eratostene. Alte planşe erau despre descompunerile unor numere cu factori primi alţii decât cei pentru care avem criterii de divizibilitate, despre pătrate perfecte, despre puterile diferitelor numere, în general informaţii care oricum fuseseră parcurse la clasă (în a V-a nu are sens să le ceri mai mult). CTG

P.S. Ulterior, când ajungem la multipli, la multipli comuni şi mai ales la cmmmc putem beneficia din plin de paşii parcurşi în această lecţie. Dându-le din nou elevilor astfel de fişe vom putea da spre studiu pe această fişă multiplii şi respectiv multiplii comuni ai numerelor 2 şi 3 (ambele prime), obţinând şirul lui 6 şi cmmmc(2,3). Aici vom vedea cum 6 nu este prim pentru că, deşi apare pe prima poziţie în şirul lui 6, apare pe a doua sau pe a treia poziţie în şirul lui 3, respectv 2. Apoi vom putea lua situaţii mai complicate, cum ar fi: 4 şi 9 (neprime, dar cmmmc egal cu produsul lor, pentru că nu au factori comuni), respectv 6 şi 8 (neprime, dar cmmmc diferit de produsul lor, pentru că au factor comun 2).

P.P.S. Această prezentare a fost redactată în mare măsură în vacanţa de iarnă, în urma impresiilor de la trecerea din toamnă prin această lecţie. În ce măsură s-ar putea folosi aceste elemente în condiţiile predării la distanţă, care se prevede foarte clar pentru anul şcolar 2020-2021, asta eu nu pot preciza acum.

În general predarea interactivă pare a fi marea perdantă a situaţiei actuale. Încă nu-mi pot imagina cum aş putea obţine efectele dorite la o predare pe Zoom cu o clasă de 30 de elevi, iar a pune toate aceste aspecte cu toţi paşii pe un filmuleţ you-tube omoară cu totul acele momente din lecţie în care elevii sunt puşi să facă singuri (adică să şi gândească) şi nu doar să copieze pur şi simplu (acţiune pe care mulţi o fac pasiv). Accentuez aici diferenţa majoră între gândirea activă de găsire a unei soluţii pentru situaţia problematică în care a fost pus elevul, faţă de eventuala preluare a gândurilor expuse de către altcineva şi strădania de a înţelege aceste gânduri. Fără să mai discutăm de un aspect foarte profund: pus în faţa situaţiei problematice, copilul s-ar putea să găsească o soluţie, o explicaţie diferită de cea oficială, dar potrivită propriei gândiri (şi, la o adică, chiar corectă pentru o minte deschisă la nou). Dimpotrivă, s-ar putea să-i fie mult mai greu să înţeleagă un raţionament străin (care de multe ori este generat de un adult, care are deci o gândire profund diferită de gândirea copiilor).

Doresc să dau aici un exemplu nematematic despre diferenţa majoră între modelul primit din exterior şi modelul produs de propria gândire pentru înţelegerea unei anumite situaţii. Când eram copil s-au introdus în traficul din România sensurile giratorii şi prioritatea de stânga la intrarea în acestea. Îl auzeam pe tatăl meu cum discuta despre aceasta cu mama şi cum aici trebuia să respecte o regulă opusă faţă de prioritatea de dreapta. De curând am avut ocazia să circul împreună cu mama mea (fostă profesoară de matematică, actualmente mândră pensionară de 80 de ani), să circulăm împreună într-un sens giratoriu şi mi-a spus că ea nu a înţeles cum este cu prioritatea din sensul giratoriu, dar că şi-a făcut propriul model: prioritatea de “prima tangentă”. Vă las pe dvs. să înţelegeţi acest model de gândire şi să vedeţi cum mama şi-a găsit un model de înţelegere pe baza cunoştinţelor în care se simţea cel mai sigură (zona de confort a gândirii).

Revenind la cunoaşterea unor fenomene matematice, vedem cum avem astfel o cunoaştere activă, bazată pe implicarea profundă a gândirii personale, faţă în faţă cu o cunoaştere fără implicarea gândirii, cel mult prin activarea strădaniei de înţelegere. Varianta a doua este uşor de pus pe you-tube (în general, mult mai uşor de predat), pe când prima mult mai greu de realizat şi practic inexistentă pe net (cel puţin, eu nu am văzut-o niciunde), fiind practic mult mai mare consumatoare de timp şi de energie. Care ar fi însă marile avantaje ale forţării gândirii elevilor, despre asta am vorbit de multe ori, aşa că mă opresc aici.

Tabel-Prime-Eratostene.pdf

Educaţie prin matematică

Am văzut o carte în biblioteca şcolii: Wolfgang Wunsch, Educaţie prin muzică, Predarea muzicii (…). Deci autorul pune din start un semn de echivalenţă între predarea muzicii şi ideea de educaţie prin muzică. Cu alte cuvinte, muzica este folosită ca un “instrument” de transmitere a educaţiei, ca un mijloc de educare, ca un mod de educare şi nu ca un scop în sine sau cu rol de performanţă competitivă.

Gândul m-a dus instantaneu, prin analogie, la situaţia noastră: noi trebuie să facem educaţie prin matematică şi nu educaţie pentru matematică. Toate acele întrebări din lumea nematematicienilor, mai ocolitoare sau mai directe, întrebări de care ne simţim foarte agresaţi (de exemplu, “la ce ne trebuie matematica?”), de fapt asta vor să ne transmită: să nu-i mai chinuim cu matematică preocupată doar de sine, ci să venim către ei cu o matematică mai umană. Ei nu vor să devină matematicieni, dar acceptă ideea de a se supune orelor de matematică dacă vor avea de aici un beneficiu. Din păcate însă, ei nu găsesc nici cel mai mic beneficiu în orele de matematică.

George Pólya vorbea de 0,1% matematicieni totali cu extensie până la 1% incluzându-i şi pe cei care vor trăi din matematică. Aceştia au nevoie de educaţie pentru matematică. Restul de 99% au nevoie de educaţie prin matematică. Părerea mea este că în România, în urma preocupării foarte largi şi intense pentru olimpiade şi alte concursuri sportive matematice, mai are loc de fapt încă o extindere, să spunem la cca. 10% din populaţia şcolară a nivelului celor care pot duce intelectual educaţia pentru matematică (procentaj scos din impresiile personale, în mod empatic faţă de elevi, ai mei la clasă, dar şi la nivel naţional; nu vă aşteptaţi la cine ştie ce studiu ştiinţific profund; i-am spus 10%, dar poate să difere în funcţie de diferite criterii aplicate şi niveluri luate în considerare; am avut însă nevoie de un procentaj pentru a putea vorbi despre acest fenomen, doar atât). O întrebare colaterală apare aici: dintre cei care pot duce intelectual educaţia pentru matematică, oare câţi ar fi mai câştigaţi dacă ar primi o educaţie prin matematică, sau eventual un amestec între cele două? Aici răspunsurile trebuie căutate de la caz la caz, de la un elev la altul, dar şi de la un profesor la altul.

Deci, să recapitulăm, din punct de vedere al matematicii discuţia se bazează pe următoarele nivele: 0,1% matematicieni totali, cu extensie la 1% cei care vor trăi din matematică şi cu o nouă extensie la 10% cei care pot practica matematica de nivel ridicat. La extrema cealaltă a spectrului de inteligenţă matematică, conform “clopotului lui Gauss”, îi vom găsi pe cei care sunt lipsiţi cu totul de capacităţi intelectuale minime pentru o practicare decentă a activităţilor de tip matematic, să-i aproximăm şi pe aceştia din motive de simetrie tot la cca. 10%.

În condiţiile acestor supoziţii ne mai rămân un bloc central de 80% elevi care au nevoie de educaţie prin matematică, adică o educaţie care să aibă ca scop dezvoltarea unei gândiri logice deductive, ale unei capacităţii bune, chiar a unei obişnuinţe de a raţiona corect şi just pe situaţii numerice sau figurative din viaţa extramatematică, cu extensie chiar şi până la situaţii rupte cu totul de matematică, dar care implică o analiză coerentă a tuturor aspectelor unei anume situaţii de viaţă şi luare a unei decizii cât mai obiective.

Cu alte cuvinte, vorbim de 80% din populaţia de elevi care are nevoie de educaţie prin matematică pentru a se ridica din “mlaştina subiectivităţii” ce ne înconjoară şi a ajunge la un nivel cât mai bun de gândire obiectivă.

Iar acum să analizăm realitatea şcolii româneşti. De 40 de ani în România se practică o educaţie pentru matematică (pentru matematica în sine, ca ştiinţă, cât şi pentru matematica de excelenţă, ca sport), neglijându-i cu totul pe cei 80%, după principiul “care face faţă – bravo!, care nu face faţă – ghinion!”.

Situaţia poate varia în funcţie de diferiţi factori individuali: nivelul de inteligenţă al copilului; un profesor mai empatic şi mai implicat sau nu, forţa financiară a părinţilor, comunitatea, existenţa unui membru al familiei care să acţioneze prin voinţă asupra elevului; oferta de distracţii aflată la dispoziţia elevului ş.a.m.d. În ultima categorie de aspecte găsim de pildă situaţia elevilor cu părinţii plecaţi în străinătate, care trimit bani pentru achiziţionarea aparatelor de conectare la internet (renumita tripletă smartphone – tabletă – lap-top) pe post de substituent al iubirii de părinte nemanifestabile zi de zi, coroborată cu nişte bunici depăşiţi de situaţie.

Depinzând de la un caz la altul, fiecare elev din cei 80% reuşeşte sau nu, mai mult sau mai puţin, să fie totuşi educat de către matematică “printre rânduri”. De fapt, aceasta este educaţia matematică ce ne-o asumăm ca sistem: noi facem matematică pentru cei puţini, iar despre restul, “fiecare cu norocul sau cu ghinionul său, cât apucă să se lipească şi de el”.

Da, pentru cca. trei sferturi din populaţia şcolară, matematica şcolară românească nu îşi îndeplineşte obiectivele educaţionale majore. Asta vor să ne transmită cei mulţi prin întrebări de tipul “la ce ajută matematica?”, spuse de fiecare mai modest sau mai agresiv, în funcţie de bunul său simţ, dar şi de starea sa de disperare în faţa agresiunilor zilnice din partea matematicii. Şi, da, trei din patru copii la nivel naţional nu sunt educaţi de către matematică, ci sunt agresaţi de către aceasta. Pentru trei din patru elevi români orele de matematică (4 ore pe săptămână) nu au nici un rost, sau au un rost îndoielnic.

Prin faptul că noi trăim şi muncim de 40 de ani în paradigma “educaţie pentru matematică în loc de educaţie prin matematică”, orele noastre acţionează la un nivel mult prea ridicat pentru majoritatea elevilor, aceştia nerămânând cu mare lucru de pe urma celor 4 ore săptămânale. Eu văd următoarea imagine: dinspre profesorul de matematică pleacă “un vânt luminos de matematică” către clasă, dar pentru că acesta este reglat prea sus, zboară în prea multe cazuri peste nivelul elevilor (din care unii stau în plus şi aplecaţi), lovindu-se doar de peretele din spatele clasei. Matematica noastră, gândită să-i ridice pe elevi, este direcţionată de obicei mult prea sus, trecând astfel peste nivelul elevilor, mulţi dintre aceştia neavând nici cel mai mic beneficiu educativ de pe urma orelor de matematică. Cei care se pot ridica la nivelul acestui vânt luminos, bravo lor, cei care nu reuşesc sau nu vor, ghinion!

Ca profesor, desigur că ne-am dori să predăm într-o clasă sau chiar într-o şcoală cu elevi selectaţi, care au ei capacitatea de a se ridica la nivelul înalt al “vântului nostru luminos” de matematică înaltă, dar de fapt noi avem capacităţi mult prea reduse de a ne coborî nivelul predării pentru ca ora noastră să fie mai accesibilă majorităţii. Mulţi dintre noi ne plângem tot timpul că elevii nu învaţă, dar noi înşine nu suntem în stare să facem paşi către ei şi să le venim în întâmpinare.

Ce-i de făcut? Părerea mea este că, aşa cum Ministerul din trecut a impins profesorimea matematică în această paradigmă prin programe, prin autorii de manuale şi prin inspectoratele şcolare, în ani ’80 într-un mod agresiv forţat, iar apoi din inerţie în anii ’90, tot aşa acum Ministerul actual prin noile programe, prin autorii de manuale şi prin inspectoratele şcolare ar trebui să forţeze profesorimea spre corectarea atitudinii, împingând matematica şcolară înapoi într-o paradigmă folositoare întregii societăţi, nu numai elitelor.

Nu susţin că trebuie eliminată matematica pentru vârfuri în favoarea unei matematici “tălâmbe” pentru cei 80%. Nici măcar nu susţin că matematica şcolară ar trebui coborâtă la nivelul reprezentativ al categoriilor analizate, adică ceva de genul 20% matematică grea şi 80% matematică uşoară. Dar consider că măcar 50% din problemele din manuale ar trebui să fie la nivelul elementar, adresabile celor 80% de care am vorbit. O împărţire echilibrată de felul 50% matematică de bază şi 50% matematică pentru excelenţă ar fi mult mai cinstită pentru majoritatea elevilor. Nu matematica pentru excelenţă ar trebui desfiinţată, ci dezechilibrul dureros al acesteia faţă de matematică “pentru toată lumea”. Nu preocuparea pentru elevii buni îi doare pe ceilalţi elevi, ci faptul că această preocupare este cvasi-totală. Faptul că profesorul vorbeşte pe o limbă accesibilă doar elevilor buni, restul având doar alternativa de a se simţi vinovaţi, asta îi înebuneşte pe aceştia.

În acest context aş da două exemple de curând: în primul rând, am avut ocazia să urmăresc noua lecţie despre sisteme de ecuaţii din manualele de clasa a 7-a ale unei renumite edituri, unde am constatat o distribuţie de orientativ un sfert sisteme de bază din total. Dimpotrivă, în caietele de lucru aferente (contra cost) oferite de respectiva editură, raportul era mai aproape de jumătate. Aici sălăsluieşte o aberaţie monstruasă: dimpotrivă, manualul care ajunge la orice copil ar trebui să conţină mai multe exerciţii de bază (măcar 50%), pe când culegerea în care se investesc bani de către cei doritori, ar trebui să ofere mai multe exerciţii de nivelul superior, pentru cei care doresc să acceadă la nivelele superioare. Din păcate, de la introducerea manualelor alternative la reforma din 1997 situaţia este chiar opusă, în defavoarea marii mase de elevi.

Faptul că mulţi dintre elevii slabi la matematică au reuşit să se ridice pe cont propriu trecând de pragul psihologic al notei 5 la EN în acest an s-a datorat mai ales testelor de antrenament publicate de către Minister şi care conţineau o doză bună de exerciţii pentru aceştia. Am avut câteva situaţii de elevi pe care i-am lăsat la nivelul de 3-4 înainte de pandemie şi care, după cât au făcut din aceste teste spre care i-am împins, fiecare la el acasă, au reuşit fără profesor meditator să urce în jurul notei de 6. Din culegerile de teste oferite de diferitele edituri nu ar fi reuşit singuri această creştere. Vă daţi seama ce creştere s-ar fi înregistrat la aceştia cu profesorul la clasă şi cu aceste teste de antrenament?

Cât despre predarea matematicii, profesorii ar trebui împinşi încet dar sigur din paradigma în care s-au format “educaţie pentru matematică” în mult mai sănătoasa paradigmă “educaţie prin matematică”. Profesorul trebuie să părăsească zona de predare a matematicii ca ştiinţă la nivelul învăţământului preuniversitar. Dimpotrivă, profesorul trebuie să devină conştient de rolul formator general al matematicii şi să-şi regleze predarea în consecinţă către o predare a matematicii ca mijloc educativ general.

Pentru asta ar trebui ajutaţi profesorii, şi să ne fie clar: dacă procesul de îndoctrinare spre o predare pentru matematică s-a întâns pe înteaga durată a anilor ’80 (un deceniu întreg!) în condiţii de impunere dictatorială, să nu ne aşteptăm ca procesul invers să fie foarte benevol, uşor şi într-un interval foarte scurt, mai ales în condiţiile în care profesorilor de fapt nu li se explică clar despre ce este vorba. Nu li se explică pentru că inspectorii sunt de fapt puşi într-o situaţie duplicitară absolut jenantă: să explici profesorilor aceste lucruri (prezente de pildă şi în scrisoarea metodică din ianuarie 2019), dar şi să le ceri participare din fiecare clasă la olimpiadă şi desigur rezultate onorabile. Este o situaţie absolut schizofrenică şi, din câte ştiu, încă şcolile sunt cotate cât sunt de bune după rezultatele la olimpiade şi după numărul notelor de 10 la examene. Scrisoarea metodică a “zburat peste capetele” profesorilor de matematică sau a inspectorilor în mod similar cum zboară zilnic matematica multor profesori peste capetele elevilor: mult prea sus şi fără să lase urme vizibile în mintea destinatarilor.

Ne plângem că profesorii nu mai sunt respectaţi ca pe vremuri. De asta nu mai suntem respectaţi, pentru că de prea mult timp societatea simte că nici noi nu îi respectăm. De 40 de ani profesorul român predă o matematică parcă pentru sine, nu pentru elevul general. Trecem prin viaţa elevilor ca nişte ciudaţi, vorbind de unii singuri, doar cu cei 2-3 elevi (vârfurile clasei), preocupaţi în mod egocentrist de “matematicile noastre înalte”. Majoritatea elevilor nu înţeleg orele de matematică, nu înţeleg cu ce rămân după aceste ore şi, ca urmare, privesc orele de matematică drept timp pierdut din viaţa lor.

Iar justificara că învăţăm matematica pentru examen “nu ţine” decât în mică măsură. Datorită acestei atitudini, după ce intră la liceu elevii consideră că au doi ani de pauză, în care pot să nu mai înveţe decât minimal la orele de matematică, pentru că examenul este încă destul de departe. Ceva de genul: “profesorul vorbeşte singur la tablă, dar cine-l şi urmăreşte? Prin a 11-a, a 12-a îmi iau meditator şi mă pregătesc pentru examen. De orele de acum nu am nevoie, încă n-am examen”. Da, la astfel de atitudini duce justificarea că facem matematică pentru examene.

Ce fac în aceste condiţii profesorii? Apelează la armele oficiale din dotare, adică la note şi la ameninţarea cu corigenţa. Cum reacţionează elevii ca urmare a acestor atacuri? Care cum poate şi cum se descurcă, unii învăţând de frică, alţii fraudând sistemul în diferite feluri. Iată cum am ajuns într-un cerc vicios din care nu mai ştim ieşi şi care numai ca educaţie pozitivă nu poate fi caracterizat.

Nici justificarea că facem matematica pentru formarea gândirii “nu ţine” tare mult. Elevul nu ne înţelege ce vrem, el este mulţumit cum gândeşte, cei din jurul său gândesc la acelaşi nivel, după ei şi-a format gândirea. La ce i-ar trebui altceva?

S-au cam terminat vremurile în care elevii puteau fi forţaţi să facă matematică. Acum elevii nu mai acceptă o autoritate de tip comunist, cu accente militariste, dictatoriale. Acum profesorii trebuie să găsească altă căi de a-l aduce pe elev să facă matematică, într-un mod liber.

Actualmente, în majoritatea cazurilor, elevul trebuie fraierit să facă matematică, iar pentru asta profesorul trebuie să vină la oră cu o matematică accesibilă şi atractivă. Să fie accesibilă nivelului său de gândire, deci nu o matematică doctă, şi să vină cu situaţii atractive nivelului său de preocupări. Atunci elevul va putea să fie atent şi îi va place ora de matematică. În acest caz elevul va începe să evolueze pe baza abilităţilor de gândire dezvoltate în momentele când gândirea sa a fost implicată cu adevărat în procesul matematic. Din păcate, matematica şcolară implementată şi evoluată pe parcursul anilor ’80-’90 în România nu este nici accesibilă, păcătuind printr-o preocupare excesivă, chiar bolnăvicioasă, a creşterii dificultăţii aplicaţiilor şi a cantităţii acestora, dar nu este nici atractivă, lecţiile fiind predate într-o manieră teoreticistă sterilă, după modelul cursurilor universitare, total nepotrivit diferitelor vârste şcolare. Deci, avem o matematică nici accesibilă, nici atractivă pentru marea majoritate a populaţiei şcolare. Nu înţeleg de ce ne mai suportă societatea. CTG

Orele astrale ale şcolii româneşti – Pandemia 2020

Motto: Cred ca acum se ajunge la reforma mult asteptată, e clar că sistemul în întregime a devenit nefuncţional. Deci foarte probabil nici nu era bun. (mesaj primit pe 1 mai 2020 de la o mamă din clasa la care sunt diriginte). Permiteţi-mi să explic analogia cu titlul cărţii Orele astrale ale omenirii a lui Stefan Zweig.

Uneori, viaţa ne pune în faţă momente sau scurte perioade potrivite unor anumite fapte,  perioade mai potrivite pentru îndeplinirea anumitor intenţii sau dorinţe, mult mai potrivite decât în alte vremuri, chiar momente prielnice unor schimbări structurale. Iar ulterior, de multe ori, dacă nu am folosit momentul prielnic, aceste acţiuni nu mai sunt posibile şi avem cumva senzaţia clară că “am ratat ocazia”. Astfel, în viaţă există anumite “ferestre temporare de oportunitate”, când diferite lucruri sunt realizabile, cu adevărat realizabile.

Momentele revoluţionare sunt astfel de “ferestre de oportunitate”, care descătuşează în mod uneori violent energiile de frustrare acumulate în mase, aidoma renumitelor energii acumulate în plăcile tectonice şi care se descătuşează în momentul cutremurului.

Dar momentele prielnice unei acţiuni pot apărea şi liniştit, aparent “din senin”, simplu şi paşnic. În aceste cazuri este nevoie de o stare de profundă atenţie pentru a simţi oportunitatea, pentru a simţii că “s-au deschis porţile cerului” pentru posibilitatea unei anumite schimbări, după principiul “Dumnezeu îţi oferă, dar nu-ţi bagă-n traistă”.

Ocaziile prielnice unor schimbări mari sunt rare, mai ales dacă este vorba de schimbări care implică inclusiv modificarea de paradigmă. În cazul discuţiei de faţă, la o analiză legată de o reformă reală şi profundă a învăţământului românesc trebuie luată în considerare găsirea momentului oportun pentru schimbarea unei paradigme care a reuşit în mare parte să supravieţuiască sistemului comunist în general şi sistemului impus de Ceauşescu în particular.

Tocmai ce-am susţinut o aparentă mare stupizenie, vorbind de momentul oportun pentru schimbarea de paradigmă într-un sistem profund osificat şi care per ansamblu nu are nici cea mai mică intenţie de a se lăsa modificat (vorbesc aici de sistemul de învăţământ, dar analize similare pot fi făcute şi altor sisteme naţionale, cel de sănătate, cel juridic, cel administrativ etc.). Oamenii sunt obişnuiţi în această formă şi eventual ştiu doar să se plângă “de ce nu se schimbă ceilalţi?”, în timp ce se opun cu înverşunare la a fi scoşi din zona lor de confort. Toate aşa-zisele “reforme” de până acum o confirmă din plin: reformă vrem, la câţiva ani câte una dacă se poate, dar să nu se schimbe mare lucru, după ilustrul model “să se revizuiască primesc (pe ici pe colo), dar să nu se schimbe nimic, (în punctele … esenţiale)” (scuze pentru că mi-am permis să-l adaptez puţin pe Caragiale).

Aceste “ferestre de oportunitate” se oferă în mod evident cel mai clar atunci când sistemul este zdruncinat oricum din temelii (de obicei din cauze externe), iar adaptarea la noua situaţie este necesară şi inevitabilă. În această situaţie trebuie ales între adaptarea vechii paradigme la noua situaţie sau folosirea stării de bulversare a sistemului şi al indivizilor ce-l compun pentru impunerea unei noi paradigme. Această a doua cale este desigur mult mai dureroasă pentru indivizi în parte, fiecare decident, la orice nivel, fiind înclinat spre a găsi argumente cât mai solide împotriva schimbărilor majore.

Ultima astfel de situaţie a fost în 1990, în urma îndepărtării regimului ceauşist şi a dorinţei de schimbare a ordinii sociale. Din păcate învăţământul românesc şi mai ales matematica şcolară mioritică au ratat cu brio ocazia pentru o reformă cu adevărat profundă. Profesorimea era deja prea adânc îndoctrinată (în deceniul ce trecuse de la reforma uitată din 1978-1981) cu o mândrie excedentă ce punea semnul de echivalenţă între performanţele olimpice ale vârfurilor şi nivelul general al şcolii. Părerea mea este că acea “fereastră de oportunitate” a durat cam până prin vara lui 1991, când sistemul se aranjase deja bine în “noua structură”, cu respectul cuvenit faţă de vechea formă, noua aranjare fiind de fapt vechea formă cosmetizată pe ici, pe colo. Ca urmare, sistemul nu mai era în stare să facă o adevărată şi obiectivă autoanaliză şi să ia decizii de schimbare realista în conformitate cu această analiză. Şi, să ne fie foarte clar: în acele momente nimeni din ulterior mult hulitele autorităţi nu ar fi avut nici cel mai mic interes să ne reţină de la o adevărată reformă în învăţământ (interesele şi preocupările conducătorilor din acele vremuri fiind în cu totul alte direcţii).

Cu excepţia unor schimbări evident necesare legate de istorie, cât şi introducerea religiei sau a informaticii în următorii ani, mare lucru nu s-a mai schimbat în şcoala românească. Oricum, majoritatea schimbărilor introduse în învăţământ de-a lungul anilor ce au urmat au fost în general ineficiente şi în mare parte nerealiste, atitudinea şi abordarea generală a sistemului fiind total depăşite de evoluţia elevilor şi a societăţii.

Societatea românească s-a dovedit până acum profund imatură şi subiectivă, nefiind în stare să realizeze la scară mare o autoanaliză realistă şi să genereze o schimbare eficientă, politicul românesc, în care a triumfat modelul de inspiraţie fanariotă, împiedicând tot timpul acţiunea concretă a specialiştilor capabili de o schimbare eficientă.

Aici intervin “orele astrale” cu posibilitatea adusă de “ferestrele de oportunitate”ce se ivesc cu diferite ocazii. Acum, prin criza fără precedent generată de pandemia de corona-virus, se oferă o nouă posibilitate de schimbare, însoţită chiar şi de o clară şi obiectivă necesitate. Acum este nevoie ca ministerul să strângă marii specialişti care au acumulat experienţă şi cunoştinţe în ultimii ani şi să le dea pe mână cârma învăţământului românesc. Acum este vremea ca politicienii să se pună cu adevărat în slujba acestor specialişti (aşa cum au fost nevoiţi să o facă în cazul sistemului de sănătate în situaţia atacului fără precedent din partea Corona-virusului), dar şi să îi sprijine şi să îi apere pe specialişti de toţi şacalii care de fapt nu vor dori schimbarea, ci doar o nouă cosmetizare a învăţământului. În plus, acum este un moment prielnic să se dea responsabilitatea pe mâna celor care lucrează, descentralizându-se sistemul. Acum ar fi ocazia pentru diferite schimbări, care cu alte ocazii ar fi de neconceput.

Vechii greci aveau doi zei pentru timp: Chronos reprezenta timpul obiectiv, scurgerea neîntreruptă a timpului; dimpotrivă, Kairos reprezenta timpul subiectiv, momentul just potrivit unei transformări sau unei anume întâmplări, ratarea acestui moment însemnând condamnarea la eşec. La nivel naţional, în 1989-1990 am simţit prezenţa lui Kairos. Apoi, acesta s-a retras şi pentru mult timp a domnit din nou Chronos. Kairos este mai subtil şi ne apare mai rar. Dintre cei doi, de obicei simţim doar însoţirea monotonă a lui Chronos. Acum însă simţim iarăşi clar influenţa lui Kairos.

Suntem la cca. 28 de ani de la precedenta mare “fereastră de oportunitate”. Scrisoarea metodică de la începutul lui 2019, studiul PISA 2018 publicat în finalul lui 2019, apariţia ciudată a matematicii prin numărul pi în alegerile prezidenţiale, dar şi implicarea multor specialişti în observarea şi strădania de reformare a procesului educaţional, toate acestea, cât şi multe alte aspecte ne arată că vremea este coaptă pentru o adevărată schimbare. Iar destabilizarea sistemului prin oprirea forţată a şcolilor, căreia nu i se prevede un final clar, poate da impulsul decisiv pentru pornirea schimbării. Cu alte cuvinte, oare cine va fi mai tare în folosirea oportunităţii prezenţei lui Kairos? Sistemul oficial de învăţămnt, osificat şi speriat, sau reformatorii adevăraţi? Titus Kairos

EN 2020 în forma de avarie şi excluderea geometriei aritmetice

Noua programă pentru Evaluarea Naţională 2020 a apărut în Monitorul Oficial în Vinerea Mare; eu am citit-o în ajunul Paştelui şi m-am şi apucat să scriu, într-o refulare de profundă indignare, despre trunchierea mult prea radicală a materiei, prin eliminarea întregii părţi de “geometrie aritmetică” de clasa a 8-a, adică a părţii accesibile majorităţii elevilor, lecţii  pe care foarte mulţi elevi le parcurseseră în mare parte şi le stăpâneau. Nu că nu mă aşteptam la această mişcare, dar undeva în sufletul meu speram la o decizie mai raţională din partea autorităţilor. Apoi, în sfânta, dar profund interiorizata zi de Paşte m-am hotărât să mă liniştesc şi să aştept să văd ce se mai întâmplă. Cred că am aşteptat destul.

Deşi trunchierea programei pentru EN prin tăierea întregii materii de semestrul al II-lea este cunoscută de către toată lumea, se pare că nimeni “nu a avut ochi” pentru uriaşa nedreptate făcută marii mase a elevilor prin eliminarea din materia de examen a formulelor de calcul a ariilor şi volumelor corpurilor geometrice de bază (prisme şi piramide). Covit-ul şi toate deciziile autorităţilor ne-au ocupat aparent tot timpul. În astfel de situaţii cine mai are vreme să se uite la ce lovitură au primit nişte copii?  Şi nu mulţi, vorbind aici de marea masă a elevilor de nivel mediu.

Haideţi să analizăm această situaţie, cât şi cauzele ei. Pentru că, aşa cum orice accident îşi are cauzele sale, uneori vechi şi acumulate, tot aşa situaţia actuală îşi are cauzele ei ignorate ani la rândul de autorităţile dominante în matematica şcolară românească.

Să ne lămurim clar: în urma “vacanţei” forţate de starea de urgenţă generate de pandemia de Covit 19, din materia generală pentru EN s-au scos două categorii de lecţii. În primul rând s-au scos lecţiile ce urmau a se parcurge în perioada martie-mai şi care nu fuseseră efectiv predate la clasă în cele mai multe cazuri (trunchiuri de piramide, corpuri rotunde, inecuaţii etc.).

Dar s-au mai scos şi multe lecţii care fuseseră de fapt parcurse. Aici intră pe de-o parte lecţiile care erau oricum incluse şi pentru simularea oficială a EN ce era programată prin 20 martie. De vreme ce acestea erau parcurse de majoritatea profesorilor şi învăţate deja de cei mai mulţi elevi, de ce au fost scoase? Este cazul concret al funcţiilor (de gr.I), care aduceau un exerciţiu uşor (reprezentarea grafică), accesibil tuturor elevilor, dar şi un exerciţiu mai greu, renumitul “punctul b)” care-i aducea în stare de tremurat pe mulţi elevi (asta după parcurgerea în cele mai bune condiţii a două luni de şcoală din semestrul II!). Aceleaşi lucruri pot fi susţinute despre operaţiile cu fracţii algebrice (rapoarte de numere reale reprezentate prin litere), care fuseseră parcurse conform programei chiar înaintea funcţiilor, în general pentru teza din semestrul I. De ce s-au scos acestea din programa de examen?

Dar tot aici intră şi partea de geometrie aritmetică, anume calculele de arii şi volume la prisme şi piramide. Această parte nu era tradiţional inclusă pentru simularea EN, dar din câte am văzut eu majoritatea profesorilor o parcurseseră, pur şi simplu pentru că nu-şi permiteau să lase atâta materie neparcursă până după simulare. Iar dintre acestea însă, două formule fuseseră oricum parcurse în clasa a 5-a: volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic. Acestea de ce au fost scoase din materia de examen şi înlocuite cu înjositoarele “determinaţi aria patrulaterului ABCD” (un pătrat cu latura dată) sau “determinaţi perimetrul triunghiului ABC” (echilateral cu latura dată) etc., cu evidente accente de pomană electorală.

Trunchierea materiei nu i-a afectat tare mult pe elevii buni; aceştia s-au adaptat uşor la noile titpuri de probleme introduse după vacanţa de Paşte prin testele de antrenament (teste pentru care ministerul merită într-adevăr toate laudele şi mulţumirile aferente). Trunchierea materiei însă i-a afectat foarte mult pe marea masă a elevilor de mijloc (blocul central din “Clopotul lui Gauss”), cei care aveau un punct de sprijin puternic în “geometria aritmetică”, adică în partea de calcul a ariilor sau volumelor unor corpuri. Mare parte din pregătirea lor de clasa a 8-a a fost aruncată la gunoi cu o indiferenţă greu de înţeles. Pentru mulţi, pentru prea mulţi elevi de clasa a 8-a, acest pas a reprezentat un adevărat dezastru pentru că li s-a scos din programă partea cea mai accesibilă din geometrie.

Ajunseseră şi ei, după îndelungi eforturi, să stăpânească fiecare la nivelul lui calculele din teorema lui Pitagora şi cele câteva formule, şi brusc s-au trezit “cu ochi-n soare”. Ajunseseră şi ei să facă cu demnitate şi un pic de “geometrie”, când brusc această “geometrie” le-a fost eliminată, înjosiţi fiind cu un substituent banal, care sigur nu are darul de a le întări încrederea în sine, ci mai degrabă acţionează ca o confirmare oficială de tipul “tu eşte de fapt prost, haide să nu ne mai prefacem, uite, îţi dăm să calculezi aria unui dreptunghi cu laturile date şi gata, stai cuminte în banca ta şi taci”.

Dar, de ce s-a ajuns în această situaţie, ca în cazul de criză pe care-l cunoaştem cu toţii, ministerul, aplicând un principiu normal în această situaţie, să ajungă să lovească în atâţia elevi? Din câte am înţeles, situaţia la examenul paralel de Lb. Română nu a presupus astfel de dezavantaje şi inechităţi, şi nici la nivelul BAC-ului nu au fost probleme de astfel de magnitudine. Vom înţelege cauzele acestui dezastru dacă ne vom uita puţin mai atent la structura materiei de geometrie din clasa a 8-a. Pentru o cât mai clară înţelegere, permiteţi-mi să apelez la o descriere simplistă a materiei de geometrie de a 8-a, catalogând lecţiile minimal cu “uşor” sau “greu”, eventual un mix dintre acestea.

  • Puncte, drepte, plane: convenţii de notare, reprezentări etc.: uşor-greu;
  • Corpuri geometrice, reprezentare în desen; elemente caracteristice, desfăşurări: uşor;
  • Paralelism (unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu plan etc.): greu;
  • Perpendicularitate (dreaptă perpendiculară pe plan etc.): greu;
  • Proiecţii pe un plan (unghiul dintre o dreaptă şi un plan etc.): greu;
  • Teorema celor trei perpendiculare: greu;
  • Distanţe şi măsuri de unghiuri în corpuri: uşor-greu;
  • Arii şi volume ale unor corpuri geometrice: uşor.

Să nu ne lăsăm păcăliţi de aparenţe: lecţia de prezentare a corpurilor geometrice se parcurge de obicei în 2 ore, dar elevii mai slabi nu au ce să facă cu ea tare mult în următoarele trei luni (doar să le tot deseneze). Întreg semestrul I şi încă un pic din semestrul II sunt ocupate de acel bloc central de lecţii despre drepte şi plane cu demonstraţii (uneori şi calcule), deseori foarte abstracte, inaccesibile marii mase a populaţiei şcolare. Această parte de materie reprezintă însă zona principală pentru olimpiadele şcolare şi din cauza asta este “în faţă”, după principiul de-a dreptul răutăcios “de cei buni ne ocupăm la început; cei mulţi şi proşti să aştepte până în semestrul II”.

Partea despre arii şi volume apare doar la coadă (nici nu este inclusă pentru simularea din martie), când în sfârşit atenţia pare să se îndrepte şi asupra ne-olimpicilor. Indiferenţa faţă de marea masă a elevilor merge în unele cazuri şi mai departe, în şcolile “de centru” existând profesori care nici nu mai predau partea de arii şi volume, după principiul “şi-aşa au toţi profesori în particular”. În cazul vacanţei forţate de Corona-virus şi a programei de avarie din aprilie, oare care parte a rămas “pe de lângă”? Cum se zice: ghici-ciupercă ce-i? E clar că cei mulţi dar slabi la demonstraţii geometrice au rămas văduviţi de singurele situaţii unde puteau dovedi cu demnitate că ştiu şi ei să facă “olecuţă de geometrie”.

Pentru o minte de matematician deschisă şi cu respect şi faţă de ceilalţi, faţă de cei ne-matematicieni, lucrurile au o soluţie foarte clară, dar pe care gestionarii matematicii româneşti pur şi simplu refuză să o vadă (sau poate sunt doar incapabili să o vadă, probabil datorită fantomelor din trecut ce le bântuie încă gândirea). Soluţia de care vorbesc ar consta în mutarea ariilor şi volumelor la începutul semestrului I, în aceeaşi lecţie cu prezentarea corpurilor, desigur într-o formă mai extinsă. Mutarea respectivă, a cel puţin unei părţi a corpurilor, ar oferi din start material de procupare şi celor 80-90% din elevi care cu greu fac faţă părţii la demonstraţii despre drepte şi plane. În acest fel, se pot parcurge lejer la început prismele şi piramidele, lăsând pentru finalul semestrului II trunchiurile şi corpurile rotunde. O astfel de aranjare ar aduce o situaţe de respect echilibrat între cele două categorii de elevi: cei puţini dar buni şi cu care facem performanţă, dar şi cei mulţi şi mediocri la matematică, dar care sunt şi ei cetăţeni ai acestei ţări şi pe care avem totuşi datoria să-i educăm la un nivel acceptabil.

Dar cum s-ar putea parcurge corpurile fără o serioasă pregătire prealabilă din punct de vedere a dreptelor şi planelor? (aţi putea întreba, stimaţi cititori) Păi simplu: în mod intuitiv!!! Cuvântul respectiv este oricum readus la viaţă şi ridicat la mare preţ în noua programă. Dar n-au nevoie de teorema celor trei perpendiculare, de pildă, la găsirea apotemei pentru aria laterală? (ar putea întreba cineva) Nu! Pentru că acum avem doar corpuri regulate, iar apotema piramidei este de fapt înălţimea într-un triunghi isoscel, deci nimereşte evident în mijlocul muchiei bazei. Dar cu înălţimea care-i perpendiculară pe planul bazei, cum facem? Să caute răspunsurile cei abilitaţi şi plătiţi pentru asta, că eu le-am căutat şi le-am găsit în urmă cu 20 de ani şi de atunci predau aşa cum am descris, iar materia curge extrem de lin, vă pot asigura. La sfârşitul lui octombrie avem parcurse prismele şi piramidele, cu toate ariile şi volumele, diagonale şi tot felul de secţiuni, după care majoritatea elevilor au de lucru. Doar apoi încep studiul complet al dreptelor şi al planelor, studiu pe care îl termin până la vacanţa de iarnă (în clasele unde mergem mai greu, rămânând câte o lecţie două pentru ianuarie).

Pe finalul redactării acestui text am văzut şi eu subiectele date la EN şi da, văd că am uitat să amintesc la banalităţile actuale şi perimetrul unui paralelogram cu laturile date. Analizând subiectele date la examen vedem că, din geometria în spaţiu au rămas doar cubul şi paralelipipedul dreptunghic din lecţia uşoară cu reprezentarea corpurilor, care fuseseră oricum predate din clasa a 5-a, (a cam dispărut şi piramida), dar au rămas în schimb unghiul dintre două drepte (în forma sa stupidă de perpendicularitate) şi planele paralele, inclusiv distanţa dintre acestea (dreaptă perpendiculară pe plan) într-o semi-piramidă. Pentru ce am mai învăţat toate acele corpuri cu elevii???

Este clar că această situaţie ne-a prins total pe nepregătite ca sistem, din punct de vedere a geometriei în spaţiu, relativ la cei 80% din elevii de clasa a 8-a care nu pot face demonstraţii din această parte şi desigur că nici nu s-au uitat la cerinţele respective.

În căutarea unei soluţii de rezolvare a acestei situaţii, tardiv faţă de cei care au terminat clasa a 8-a, dar măcar preventiv faţă de cei ce vin de la anul în a 8-a (şi pentru care autorităţile nu ne prea prevăd un an şcolar în condiţii obişnuite), poate că onorabili decidenţi ar trebui să se uite şi prin manualele din străinătate, nu de alta dar acolo nu se face partea de studiu a poziţiilor relative drepte-plane, şi poate găsesc la aceia o idee pentru cale de a ieşi din impas.

Cât despre România, ordinea din programa actuală este foarte veche, dar partea de drepte şi plane era pe vremuri studiată mult mai intuitiv şi mai scurt. Am “dat o căutare” prin raftul cu manuale vechi şi am constatat că de la cel mai vechi manual postbelic găsit în casă (un “Hollinger” din 1957) organizarea este cam aceeaşi, cu precizarea că până în 1980 manualele lui Hollinger aveau partea de studiu a dreptelor şi planelor extrem de accesibilă şi restrânsă, predată deosebit de intuitiv.

Titlul iniţial al acestui articol a fost Dezastre în matematica şcolară, dar l-am considerat în final prea dur şi exagerat. Nu cred să fi murit vreun elev din cauza acestei situaţii, dar sunt convins că i-a afectat pe mulţi în sens negativ (diferiţi elevi sau părinţi mi-au confirmat acest punct de vedere). Sunt convins totodată şi că, alături de multe altele, această excludere îşi aduce aportul corespunzător la îndepărtarea de matematică a elevilor de inteligenţă medie.

Între timp am ajuns şi la “afişarea notelor” (anul acesta cu ghilimelele de rigoare), iar rezultatele susţin oarecum cele spuse aici, în sensul că foarte mulţi elevi slabi şi medii au reuşit totuşi note destul de bune, peste aşteptările mele ca profesor care le cunosc nivelul activităţii. Statisticile susţin aceste spuse, confirmând că s-a dat mult prea uşor, chiar şi pentru cei slabi, trecându-se mult dincolo de pragul necesar situaţiei concrete, urmare a faptului că nu s-a prea lucrat cu clasele după 10 martie

De unde au apărut aceste note “cam prea bune”? Păi, de la acei itemi din EN mult prea banali (pe post de mită electorală), puşi acolo ca să închidă gura posibilelor frustrări naturale ale elvilor şi a familiilor acestora prin scoaterea elementelor de geometrie aritmetică, elemente accesibile acestora, dar pentru rezolvarea cărora elevii de nivel mediu ar fi trebuit să se concentreze bine. Aşa, toţi aceştia nu a mai fost nevoie să se mobilizeze prea tare, iar toată lumea e mulţumită (aparent). Dar cu ce preţ pentru viitor? De acest aspect nu am auzit să discute cineva.

Cum ar arăta rezultatele unui studiu PISA pe această generaţie de elevi? (oare, chiar pe ei se va aplica studiul la anu’ în 2021?) Dar, nu!, staţi!, vor spune unii, acum există circumstanţe atenuante, fiind o situaţie total atipică. Spuneţi-le asta părinţilor acestor absolvenţi. De ce doar copiilor de nivel matematic mediu le-a fost eliminată geometria accesibilă dar mobilizatoare, pe când elevilor buni le-a rămas pentru examen aproape întreagă materia de geometrie de a 8-a?

Cum îi vom mai mobiliza noi la anu’ pe elevi să înveţe ariile şi volumele corpurilor, când există clar posibilitatea repetării şcenariului? Oare, la anu’ vom avea încă o generaţie care nu va fi nevoie să înveţe arii şi volume? Că s-a întâmplat acum mai este cumva de înţeles: aşa a fost momentul şi trebuia luată o decizie. Că se va întâmpla din nou în cazul viitoarei generaţii, asta nu va mai fi de iertat!

De fapt, de unde există această indiferenţă a decidenţilor matematici faţă de geometria pentru elevii de rând? De unde această lipsă de respect faţă de datoria de formare a gândirii practice matematice şi la oamenii de rând? De ce decidenţii matematicii şcolare româneşti se ocupă în primul rând doar de ce buni, şi numai apoi de cei mulţi şi slabi iar aceasta în mod absolut colateral şi superficial?

Cititorului care are impulsul să minimalizeze cele susţinute în prezentul articol îi transmit doar că se face prin acest gând co-făptaş moral la situaţia constatată prin iarnă de raportul la studiul PISA 2018, legat de marele procentaj de analfabeţi funcţional scos în evidenţă în şcolile româneşti la elevii de 15-16 ani. CTG

P.S. Pentru cei care se gândesc să susţină că acest caz este unul izolat, vreau să amintesc un altul despre care puţini îşi mai aduc aminte. Poziţionarea până anul trecut a lungimii şi ariei cercului în finalul clasei a 7-a, de obicei după teză, le condamna şi pe acestea deseori la neînvăţare. În cazul tezelor unice din urmă cu 12-13 ani acestea au rămas doi ani pe din afara materiei pentru teză şi nimeni nu le mai parcurgea ulterior (aceeaşi soartă au avut-o atunci şi corpurile rotunde în finalul clasei a 8-a). Poate că pe vremea aceea se ocupa cu meditaţiile la matematică şi Tanti Viorica, de l-a uitat în starea de stress pe dragul de π (cine ştie?).

Eu sunt însă convins că la toamnă nici un profesor de liceu nu va avea grija “recuperării” lecţiilor neparcurse din geometria de a 8-a (aşa cum susţinea sus şi tare D-na Ministru). Mă gândesc de pildă la corpurile rotunde, care din nou rămân “de căruţă”. Iar apoi, peste ani şi ani, poate se trezeşte careva din această generaţie de absolvenţi că vrea să ajungă preşedinte, iar o jurnalistă ciudată îl va întreba cât este aria sferei … (Salutări de la Unchiu’ Marinică, cel cu “unde este π?”; recitiţi povestea adevărată pe http://pentagonia.ro/%cf%80-da-unde-este-%cf%80/ ) Apropos, π de ce a fost eliminat subtil din acest examen? Că elevii aceştia chiar îl cunoşteau bine, după spectacolul mediatic din toamnă cu ocazia alegerilor prezidenţiale. Te pomeni că s-a decis să fie ţinut o vreme “pe tuşă” pentru că prea a ajuns implicat politic???