Programa PENTAGONIA (6) – Conţinuturi clasa a VI-a

În semestrul I din clasa a VI-a materia de aritmetică realizează până la vacanţa de iarnă o reluare cu completări şi aprofundări a materiei din clasa a V-a. La geometrie se studiază componentele de bază (puncte, drepte, segmente, poziţii relative, unghiuri, cât şi liniile importante mediatoarea şi bisectoarea). Geometria din acest semestru are ca aplicaţii doar diverse cerinţe de construcţii cu îngrădiri pe instrumente (de exemplu, desenaţi doar cu rigla şi compasul mediatoarea unui segment situat la marginea colii de hârtie).

În semestrul al II-lea aritmetica se cam încheie cu studiul rapoartelor şi al proporţiilor. Urmează capitolele de trecere spre algebră, apariţia numerelor relative (negative, respectiv pozitive), ecuaţiile şi mulţimile. Valoarea absolută a unui număr se prezintă doar la sfârşitul capitolului, nu în prima lecţie. La geometrie se studiază intuitiv triunghiurile şi patrulaterele prin enumerarea observaţională a proprietăţilor evidente şi demonstrarea proprietăţilor neevidente. Studiul aplicaţional al acestora se concentrează mai ales pe construcţia exactă cu instrumentele geometrice, partea de probleme de demonstrat fiind amânată pe începutul clasei a VII-a (de fapt, o rocadă între demonstraţia geometrică diversificată – nu doar demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor – şi capitolul despre patrulatere). În clasa a VI-a cazurile LLL, LUL şi ULU se numesc mai degrabă cazuri de construcţii decât cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Iată conţinuturile:

  1. NUMERE NATURALE (recapitulare şi completări – I)
  • Operaţii şi proprietăţile acestora; ordinea operaţiilor; factorul comun şi aplicaţii; teorema împărţirii cu rest; scrierea numerelor în baza zece
  • Operaţii cu puteri de numere naturale; descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de factori primi
  • Cmmdc şi cmmmc a două sau mai multe numere naturale; numere prime între ele;
  • Criterii de divizibilitate; proprietăţi ale divizibilităţii şi demonstraţii cu acestea
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinarea intuitivă; determinarea prin descompunere în factori; includerea în ordinea operaţiilor
  1. FRACŢII (recapitulare şi completări – II)
  • Fracţii ordinare: prezentare, transformări; comparare; reprezentare pe axa nr.
  • Operaţii cu fracţii ordinare; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Fracţii zecimale finite: transformări; comparare; reprez. pe axa nrumerelor
  • Fracţii zecimale periodice: transformări; comparare; aproximări
  • Operaţii cu fracţii ordinare şi fracţii zecimale; ordinea operaţiilor; fracţii suprapuse
  • Aplicaţii: media aritmetică şi media aritmetică ponderată
  • Ecuaţii: în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) cu rezolvări aritmetice prin operaţia de probă
  • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate: atăt din numere pătrate (rezultate exacte), cât şi din numere oarecare (rezultate aproximative); includerea în ordinea operaţiilor
  1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
  • Rapoarte şi proporţii: noţiunea de raport; proprietatea fundamentală a proporţiei (proba proporţiei); determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
  • Regula de tei simplă: proporţionalitate directă şi proporţionalitate inversă
  • proporţii derivate; şir de rapoarte egale şi mărimi direct proporţionale; şir de produse egale şi mărimi invers proporţionale
  • Procente: aplicaţii prin metoda “din” , dar şi prin regula de trei simplă
  • Elemente de organizare a datelor: reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii;
  • Elemente introductive de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)
  1. NUMERE NEGATIVE
  • Numere relative: numere pozitive şi numere negative; semnul şi mărimea
  • Însumarea a două numere relative; sume; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul a două numere relative; împărţirea a două numere relative
  • Puterea numerelor negative; ordinea operaţiilor
  • Aplicaţii în cazul operaţiilor cu fracţii
  • Reprezentarea pe axă; valoarea absolută a unui număr
  • Ecuaţii: ecuaţia de gradul I în formele de bază simple (x + a = b şi ax = b) şi în forma de bază combinată (ax + b = c) parcurse prin trei metode: metoda probei operaţiei (recapit.), metoda balanţei şi metoda mutării în membrul celălalt cu operaţia opusă; ecuaţii reductibile la ecuaţii de bază de gradul I
  • Probleme cu o singură necunoscută, ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor studiate
  1. MULŢIMI
  • Descriere, notaţii; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
  • Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
  • Mulţimi finite; cardinalul unei mulţimi; mulţimi infinite; mulţimea vidă
  • Categorii de numere; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ; relaţii, aplicaţii; axa nr.
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu coef. întregi sau raţionali, în ℕ, ℤ, ℚ; mulţimea soluţiilor
  1. GEOMETRIA COMPONENTELOR
  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, lungime, puncte colineare, puncte necolineare
  • Poziţia relativă a două drepte: paralele, perpendiculare, oblice
  • Poziţia relativă a trei drepte
  • Cercul: centru, rază, diametru
  • Noţiunile de congruenţă şi egalitate
  • Mijlocul unui segment; mediatoarea: diferite construcţii; perpendiculara dintr-un/ într-un punct pe o dreaptă: diferite construcţii
  • Unghiul; interiorul; deschiderea; notaţii; clasificarea elementară: unghiuri ascuţite, drepte, respectiv obtuze
  • Măsura unghiului; raportorul; măsurarea şi construcţia
  • Congruenţa unghiurilor; diferite construcţii; dublarea unghiului
  • Bisectoarea unui unghi: diferite construcţii; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri opuse la vârf: congruenţa; exemple pe diferite figuri
  • Unghiuri congruente formate de două paralele tăiate de o secantă: corespondente; alterne interne; trasarea unei paralele: diferite construcţii
  • Două unghiuri împreună: adiacente; complementare; suplementare; unghiuri în jurul unui punct
  • Clasificarea completă a unghiurilor, inclusiv unghiul nul, unghiul alungit, unghiul supraobtuz (măsura > 180o) şi unghiul plin (măsura = 360o)
  • Simetria axială; simetria centrală; echerul geometric
  1. TRIUNGHIURI
  • Elemente; perimetrul; suma unghiurilor (cu dem.)
  • Unghiul exterior unui triunghi; suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Cazurile de construcţie a triunghiurilor: LLL,LUL, ULU
  • Clasificarea Δ-lor I: Δ echilateral, Δ isoscel, proprietăţi legate de congruenţa elementelor, Δ scalen, Δ oarecare
  • Clasificarea Δ-lor II: Δ ascuţit-, Δ drept- şi Δ obtuzunghic, combinaţii categ. I + II
  • Liniile importante în triunghi: bisectoare; mediane; înălţimi; mediatoare
  • Triunghiul dreptunghic: elemente, clasificare, proprietăţi, înscrierea în semicerc (“Cercul lui Thales” cu dem.), mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, teorema lui Pitagora (justificată cu arii pe triplete pitagorice)
  • Aplicaţii: construcţii de triunghiuri incluzând şi liniile importante; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  1. PATRULATERE
  • Elemente; convex; concav; perimetrul; suma unghiurilor şi suma unghiurilor exterioare (cu dem.)
  • Construcţia patrulaterelor cu elemente date
  • Patrulatere speciale: deltoidul; trapezele; proprietăţi şi construcţii
  • Paralelogramul; dreptunghiul; rombul; pătratul; proprietăţi şi construcţii
  • Aplicaţii: construcţii de patrulatere particulare; calcule de unghiuri pe figurile studiate
  • Confecţionare de corpuri din carton cu construcţia desfăşurării: cubul, cuboidul, prisma triunghiulară, piramida patrulateră, tetraedrul regulat

CTG

6-Clasa-a-VI-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (5) – Conţinuturi clasa a V-a

În semestrul I din clasa a V-a materia este structurată cu accent pe aritmetica numerelor naturale. Punctul forte al aranjării lecţiilor îl reprezintă abordarea din trei direcţii a ideii de număr prim. Apar şi primele elemente de geometrie printr-o cunoaştere elementară iniţială a principalelor figuri închise prin desenarea lor cu mâna liberă.

În semestrul al II-lea se trece la studiul fracţiilor ordinare şi zecimale, cât şi a unităţilor de măsură. La geometrie propun o perioadă de cunoaştere a instrumentelor geometrice şi obişnuirea cu mânuirea acestora, printr-un traseu ocupaţional în jurul împărţirii cercului în părţi egale şi realizarea unor desene frumoase cu rigla şi compasul pe baza acestora.

Problema principală a acestei structurări este faptul că desenul geometric este eficient doar dacă elevii au timp suficient să lucreze la acele desene pentru a reuşi să interiorizeze mişcările respective. Or, pentru aceasta cam este nevoie de o oră în plus, de pildă printr-un opţional. Iată în continuare conţinuturile la rând:

  1. RECAPITULARE ŞI PROBLEME DE ARITMETICĂ
  • Recapitulare şi acomodare: exerciţii şi probleme elementare (ordinea operaţiilor, probleme cu raţionamente elementare, matematică distractivă, etc.)
  • Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda fig.; metoda mersului invers; metoda falsei ipoteze etc.
  1. NUMERE NATURALE
  • Scrierea şi citirea numerelor naturale; diferite reprezentări (cu puncte, cu linii, pe axă); scrierea numerelor în diferite culturi (Egipt şi China, Roma şi Maya)
  • Compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări şi estimări
  • Adunarea numerelor naturale, proprietăţi, Suma lui Gauss (metode intuitive de ordonare şi calcul); scăderea naturale
  • Înmulţirea numerelor naturale (calcule mintale şi prin algoritm), proprietăţi
  • Împărţirea numerelor naturale (algoritm scris, parţial scris şi efectuat mintal); proba împărţirii (teorema împărţirii cu rest)
  • Descompunerea numerelor naturale – metoda intuitivă (forma de deltă); numere prime (1) şi numere compuse; înmulţirea rapidă cu 5 sau cu 25 prin împărţirea în cap la 2 sau 4 şi invers
  • Descompunerea numerelor naturale – algoritmul (forma cu bară)
  • Puterea numerelor naturale; folosirea la descompunere; ordinea celor cinci operaţii (inclusiv cu diferite paranteze)
  • Proprietăţile puterii; reguli de calcul cu puteri; exerciţii cu încălcarea ordinii operaţiilor folosind regulile învăţate (operaţii cu puteri)
  • Şiruri de numere (pare, impare, şirul lui 3, 4, 5 etc. – nivel recapit. de cl. primare)
  • Găsirea generală a numerelor prime (2) – Ciurul lui Eratostene
  • Şirul puterilor; alte şiruri exponenţiale (şirurile lui Mersenne, Fermat şi nr. prime)
  • Numerele figurate: nr. pătrate, nr. triunghiulare (deducerea formulei generale pentru Suma lui Gauss), cubul unui număr etc.
  • Reprezentarea grafică pe cercul cu 10 cifre şi studiul evoluţiei ultimei cifre pentru şirurile învăţate; observaţii cu privire la evoluţia şirului numerelor pătrate pe decade (ultima cifră în tabla pătratelor); pătratele multiplilor de zece sau de sută
  • Rădăcina numerelor pătrate: prezentare intuitivă pe baza tablei numerelor pătrate şi pe baza studiului ultimei cifre, cu probă; includerea în ordinea operaţiilor
  • Explicitarea numerelor în sistemul zecimal şi în sistemul binar (bazele 10 şi 2); scrierea numerelor naturale ca sumă de puteri ale lui 2; (diferite aplicaţii, inclusiv înmulţirea în Egiptul antic)
  • Divizorii unui număr (proprii, improprii); nr. prime (3); proba divizorilor; diverse metode de găsire a divizorilor; studiul numărului divizorilor
  • Numere perfecte; numere prietene (amiabile)
  • Multiplii unui număr (proprii, improprii)
  • Divizori comuni; c.m.m.d.c.; multipli comuni; c.m.m.m.c. (prin enumerare şi prin descompunere); numere prime între ele

Criterii de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 100; 1000,  apoi cu 25 şi 4, apoi cu 3 şi 9

  1. FRACŢII ORDINARE; FRACŢII ZECIMALE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
  • Fracţii ordinare – prezentare; reprezentări grafice (disc împărţit în sectoare, dreptunghi împărţit în felii etc.); numitor, numărător; fracţii de bază (pe exemplul fracţiilor egiptene)
  • Clasificarea fracţiilor (subunitare, echi-, supra-), inclusiv cu reprezentări grafice; scoaterea întregilor din fracţie, introducerea întregilor în fracţie
  • Transformarea fracţiilor ordinare prin amplificare sau simplificare
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare (cu aducerea la numitor comun doar prin amplificări sau simplificări intuitive)
  • Compararea fracţiilor ordinare (diverse metode intuitive)
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare, găsirea unei fracţii dintr-o cantitate – cuvântul “din”; aplicaţii pe probleme rezolvabile prin metodele aritmetice cuprinzând situaţii descrise prin fracţii ordinare
  • Fracţiile zecimale; prezentare; transformări (1); compararea fracţiilor zecimale
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări (2)
  • Fracţii zecimale finite şi fracţii zecimale periodice
  • Procente (ca fracţie); calcule pe baza înmulţirii fracţiilor ordinare; promile
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • Aria şi perimetrul unei figuri: exemple pe figuri compuse din pătrăţele întregi
  • de măs. pt. arie; formule şi reţete pt. aria figurilor dreptunghice (dreptunghi, pătrat, triunghi dreptunghic, figuri compuse din acestea); construcţia acestora cu ajutorul echerului
  • de măs. pt. volum şi capacitate; formule pt. volumul cubului şi a cuboidului (paralelipipedul dreptunghic); aria acestor corpuri
  • de măs. monetare, pt. timp şi pt. unghiuri
  1. DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ
  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; dreptunghiul; rombul; alte patrulatere (toate faţă de cerc)
  • Triunghiul echilateral; triunghiul isoscel; alte triunghiuri (toate faţă de cerc)
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasificarea unghiurilor
  • Alte figuri (Stelele în 6 sau 5 colţuri – “Steaua lui David” şi pentagrama – etc.)
  • “Teorema lui Pitagora” (evidenţiere în cazul triunghiului dreptunghic isoscel)
  1. DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE
  • Cercul şi folosirea compasului
  • Împărţierea cercului în 6 părţi (“floarea vieţii”); diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (construcţii diverse); aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 8 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în12 părţi; diverse aplicaţii
  • Împărţierea cercului în 16 părţi
  • Unghiul la centru; raportorul
  • Împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (cu folosirea raportorului)
  • Unghiul la vârf (unghiul înscris în cerc – unghiul periferic) prin studiul diferitelor stelări posibile (pentagrama, “steaua lui David”, etc.)

CTG

5-Clasa-a-V-a-ProgramaPentagonia.pdf

Programa PENTAGONIA (4) – Privire de ansamblu asupra conţinuturilor

 

Înainte de prezentarea separată a conţinuturilor pe fiecare clasă, vă prezint o privire de ansamblu, “din aer”, asupra celor opt semestre ale gimnaziului. Tabelul anexat este gândit a fi imprimat pe o coală A3 pentru ca privirea să poată sări uşor de la un punct la altul al materiei, aşa cum sar gândul (da’ unde-a pus cutare sau cutare conţinut?). Chiar dacă nu vă obosiţi să-l imprimaţi, recomand totuşi măcar descărcarea tabelului în calculator, pentru o lectură mai lesnicioasă. Dimpotrivă, pentru a accesibiliza lecturarea şi pe ecranul telefonului (poate sunteţi la mare, la umbra unei terase, cu o băutură răcoritoare alături), voi cuprinde materialul respectiv şi în format obişnuit:

Clasa a V-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

ARITMETICA NUMERELOR NATURALE

  • Probleme aritmetice, diverse metode
  • Cele patru operaţii de bază şi puterea; ordinea op.; proprietăţile operaţiilor
  • Descompunerea numerelor în factori; numere prime
  • Operaţii cu puteri: ordinea operaţiilor; încălcarea ordinii operaţiilor
  • Rădăcina numerelor pătrate: determinări intuitive
  • Divizori şi multipli
  • Criterii de divizibilitate

Semestrul I – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU MÂNA LIBERĂ (*)

  • Cercul şi dreapta
  • Pătratul; alte patrulatere
  • Triunghiul echilateral; alte triunghiuri
  • Unghiul; unghi înscris în cerc, în semicerc, clasific. (drepte, apoi ascuţite, respectiv obtuze)
  • Alte figuri (“Steaua lui David” etc.)

“Teorema lui Pitagora” pe cazul triunghiului dreptunghic isoscel

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. ORDINARE; FR. ZECIMALE; UNIT. MĂS.
  • Fracţii ordinare – prezentare, tranformări, fr. mixte
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare, comparare
  • Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare
  • Fracţiile zecimale; transformări
  • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
  • Înmulţirea fracţiilor zecimale
  • Împărţirea fracţiilor zecimale; transformări
  • Fracţii zecimale finite sau periodice
  • Unităţi de măsură pentru lungime şi masă
  • de măs. pt. arie; pătrat şi dreptunghi, echerul
  • de măs. pt. volum şi capacitate; cub şi cuboid
  • de măs. monetare; pt. timp; pt. unghiuri

Semestrul II – GEOMETRIE:

DESEN GEOMETRIC CU INSTRUMENTE (*)

  • Cercul şi împărţierea sa în 6 părţi (“floarea vieţii”)
  • Împărţierea cercului în 4 părţi (constr. diverse)
  • Împărţierea cercului în 8 părţi
  • Împărţierea cercului în12 părţi
  • Împărţierea cercului în 16 părţi (riglă şi compas)
  • Unghiul la centru; împărţirea cercului în 5; 9; 10 părţi (raportorul)
  • Unghiul înscris în cerc (periferic) şi polig. stelate

(*) Se recomandă cuprinderea într-un curs opţional suplimentar de “Desen geometric”

Clasa a VI-a

Semestrul I – ARITMETICĂ:

FRACŢII; PROPORŢIONALITATE

  • şi completări: Nr. naturale; ordinea op.
  • şi comp.: Fracţii; ordinea op., fracţii etajate
  • Rădăcina pătrată prin descompunere şi algoritm
  • Ecuaţii (rezolvări aritmetice)
  • Noţiunile de raport; proporţie; proba şi termen. nec.
  • Regula de trei simplă; proporţional. directă, inversă
  • Proporţii derivate; şiruri de rapoarte egale etc.
  • Procente (două metode de rezolvare)
  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Elemente de probabilităţi (moneda, zarul, urna etc.)

Semestrul I – GEOMETRIE:

GEOMETRIA COMPONENTELOR

  • Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; lungime
  • Poziţia relativă; paralelism şi perpendic.
  • Cercul, elemente
  • Congruenţă; mijloc; mediatoarea, construcţii div.
  • Unghiul; interiorul; măsura unghiului; clasificare;
  • Congruenţa unghiurilor; bisectoarea
  • Unghiuri opuse la vârf
  • Unghiuri formate de paralele cu o secantă
  • Unghiuri adiacente, complementare, suplementare

Simetria axială; simetria centrală (echerul geom.)

Semestrul II – ARITMETICĂ:

  1. NEGATIVE; ECUAŢII; MULŢIMI
  • Numere relative (nr. pozitive şi nr. negative)
  • Însumarea nr. relative; reducerea termenilor opuşi
  • Produsul numerelor relative; împărţirea
  • Ordinea operaţiilor
  • Valoarea absolută (modulul)
  • Ecuaţii (rezolvări algebrice)
  • Mulţimi; exemple; operaţii
  • Mulţimile de nr. învăţate (ℕ, ℤ, ℚ)

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRIUNGHIURI; PATRULATERE

  • Triunghiul, perimetrul, suma unghiurilor
  • Cazuririle de construcţie (LLL, LUL, ULU)
  • Clasificarea Δ-lor (I): echilateral, isoscel, scalen
  • Clasificarea Δ-lor (II): ascuţit-, drept-, obtuzunghic
  • Liniile importante în triunghi
  • Triunghiul dreptunghic; înscrierea în semicerc, mediana pe ipotenuză, cat. op. ∢30o, T. Pitagora
  • Patrulatere, perimetrul, suma unghiurilor
  • Construcţii de patrulatere cu elemente date
  • Patrulatere speciale: Deltoidul ; Trapezele

Paralelogramul; Dreptunghiul; Rombul; Pătratul

Clasa a VII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

NUMERE RAŢIONALE şi  RĂDĂCINA PĂTRATĂ

  • Puterea cu exponent întreg
  • Metode de extragere a rădăcini dintr-un număr pătrat
  • Extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate
  • Noţiunea de numere iraţionale

Semestrul I – GEOMETRIE:

DEMONSTRAŢII GEOMETRICE; ARII

  • Cercul, elemente interioare (raze, diametru, coardă)
  • Poligoane, poligoane regulate: construcţie, unghiuri
  • Demonstraţii cu unghiuri, mediana pe ipot., etc
  • Demonstraţii prin metoda triunghiurilor congruente
  • Linia mijlocie în triunghi şi trapez
  • Aria figurilor de bază
  • Figuri echivalente
  • Teorema lui Pitagora (dem. prin arii)
  • Calcule de arii şi perimetre ale figurilor studiate (calcule exacte şi calcule aproximative)

Perimetrul şi aria cerc.; numărul π

Semestrul II – ALGEBRĂ:

  1. IRAŢIONALE; CALC. ALGEB.; SIST. EC.
  • Numere iraţionale
  • Extragerea factorilor de sub radical
  • Mulţimea nr. reale ( inclusiv clasif. completă a nr.)
  • Operaţii cu nr. reale
  • Operaţii cu numere reprezentate prin litere
  • Formule de calcul prescurtat gr. II
  • Raţionalizarea numitorului (cazurile I şi II)
  • Ecuaţii de gr. I; Ec. de gr. II de forma x2= n
  • Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, prin metodele tranzitivităţii, substituţiei şi reducerii
  • Rezolvarea problemelor prin ec. şi sist. de ec.

Semestrul II – GEOMETRIE:

PROPORŢIONALITATE; CERCUL

  • Teorema lui Thales; TFA (aplicaţii aritmetice)
  • Asemănarea Δ-lor şi a Δ-lor dreptunghice
  • Teoremele lui Euclid (T. catetei şi T. înălţimii)
  • Alte demonstraţii la Teorema lui Pitagora; reciproca
  • Rapoartele trigonometrice
  • Cercul: recapitulare, tangenta la cerc
  • Unghiul înscris în cerc
  • Cercul înscris sau circumscris unui triunghi
  • Patrulatere înscrise, patrulatere circumscrise

Lungimea arcului de cerc, aria sectorului de disc

Clasa a VIII-a

Semestrul I – ALGEBRĂ:

EXPRESII ALGEBRICE

  • Sisteme de ecuaţii cu trei necunoscute
  • Intervale de numere reale; operaţii cu acestea
  • Inecuaţii şi sisteme de inecuaţii
  • Ecuaţii şi inecuaţii cu module
  • Sume algebrice; operaţii cu acestea
  • Formule de calcul prescurtat gr. II şi III
  • Descompunerea în factori a sumelor algebrice
  • Ecuaţii de gr. II – diferite cazuri particulare
  • Fracţii algebrice; operaţii cu acestea

Semestrul I – GEOMETRIE:

PRISME; PIRAMIDE; TEOREME ÎN SPAŢIU

  • Cubul, paralelipipedul dreptunghic (cuboidul); prismele – construcţii, arii şi volume, secţiuni
  • Piramidele şi tetraedrele – construcţii, arii şi volume
  • Puncte, drepte şi plane; poziţii relative
  • Paralelism, perpendicularitate şi unghiuri relative
  • Teorema celor trei perpendiculare

Aplicaţii în corpurile studiate

Semestrul II – ALGEBRĂ:

FUNCŢIA GR.I; COMPLETĂRI

  • Elemente de organizare a datelor (tabele, diagrame)
  • Noţiunea de funcţie; elemente; exemple
  • Sistemul cartezian de axe (deducere din funcţii)
  • Reprezentarea grafică a unei funcţii
  • Graficul funcţiei de gr. I – exemple pe domenii
  • Ecuaţia ataşată unei funcţii; dreapta soluţiilor
  • Elemente de geometrie aplicată pe sistemul de axe
  • Ecuaţii de gr. II – rezolvarea cu formulele generale

Semestrul II – GEOMETRIE:

TRUNCHIURI DE PIR.; CORPURI ROTUNDE

  • Trunchiurile de piramidă – constr., arii şi volume
  • Cilindrul; conul; trunchi de con; sfera – (idem)
  • Elemente de geometria sferei pe globul pământesc
  • Alte corpuri (platonice, arhimedice etc.)

TABEL-Privire-ansamblu-ProgramaPentagonia.pdf

Lectură plăcută! CTG

Programa PENTAGONIA (3) – Principii metodico-didactice

În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:

  • Adaptarea materiei şi a predării la posibilităţile şi nevoile vârstelor, dar şi în funcţie de posibilităţile individuale şi de cerinţele naţionale

Materia parcursă trebuie adaptată obligatoriu la posibilităţile şi nevoile vârstelor, atât la nivelul individului, cât şi la nivelul clasei. Gândirea elementară specifică claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresată în mod echilibrat în paralel cu gândirea intelectuală specifică altor elevi, şi extinsă la vârstele mai mari la majoritatea clasei (gândirea aritmetică faţă de gândirea algebrică, construcţia geometrică în opoziţie cu demonstraţia, exerciţiile de bază alături de problemele complicate etc.). Nivelul lecţiei şi profunzimea studiului diferitelor lecţii trebuie alese cu respect faţă de toţi elevii, atât faţă de cei slabi, cu capacităţi reduse, cât şi faţă de cei buni, cu capacităţi şi aşteptări ridicate în gândirea matematică. Totodată, încadrarea parcursului şi nivelului orelor de matematică în procesul şcolar naţional este un deziderat evident şi trebuie urmărit de către orice dascăl ce predă matematica la gimnaziu.

  • Principiul ne-suprapunerii itemilor noi

Se va evita introducerea simultană a mai multor itemi, noţiuni sau abilităţi de calcul. Astfel, de pildă în clasa a V-a, se vor studia în lecţii separate descompunerea intuitivă a numerelor naturale în factori, apoi algoritmul de descompunere “cu bară”, dar scriind răspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia în lecţii separate introducerea operaţiei de putere, integrarea noii operaţii în exerciţii cu toate nivelele de operaţii, respectiv proprietăţile operaţiilor cu puteri şi scurtcircuitarea ordinii operaţiilor prin acestea. Odată cu avansarea în vârstă, acest principiu scade ca importanţă, dar nu-şi va pierde nici o dată cu totul valabilitatea.

  • Predarea în spirală

Predarea în spirală oferă formarea tot mai complexă a noţiunilor şi a ideilor matematice, urmărind evoluţia acestora odată cu dezvoltarea gândirii elevului şi cu lărgirea spectrului său de cunoştinţe aferente. Predarea în spirală poate fi aplicată la diferite magnitudini, în cadrul unui capitol la lecţii învecinate, sau în cadrul unor lecţii îndepărtate în timp, în capitole diferite, sau chiar în ani de studiu diferiţi.

De cele mai multe ori în predarea în spirală o noţiune suportă un proces de evoluţie şi transformări. Astfel, vorbim despre “noţiunea vie”, pe când definirea seacă încătuşează o noţiune în parametrii strict fixaţi, aici vorbind de “noţiuni moarte”. În acest sens, prezenta programă recomandă evitarea definiţiilor. Chiar şi abordarea unei ramuri întregi a matematicii evoluează în predarea în spirală prin reluările succesive la nivele tot mai evoluate de gândire (vezi evoluţia studiului geometriei din clasa a V-a în a VII-a.

  • Predarea intuitivă

Deducerea şi înţelegerea intuitivă a noilor itemi este foarte importantă la orice vârstă, însă trebuie luată cu adevărat în serios mai ales la clasele mici. Astfel, în clasele de intrare în matematica gimnazialo-liceală, profesorul va folosi cât de mult posibil intuiţia elevilor, adaptându-şi predarea pentru acest scop. Ordonarea lecţiilor şi introducerea noilor cunoştinţe se va face conform posibilităţii folosirii intuiţiei şi nu conform necesităţilor predării riguros axiomatice. Şi în acest sens se va evita definirea noţiunilor, acestea fiind mai degrabă aduse intuitiv, prin imagini, ritm şi descriere.

  • Problematizarea

Problematizarea reprezintă forma cea mai naturală de implicare a elevilor în învăţarea matematicii. Aceasta se poate folosi în cadrul rezolvării diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes şi în procesul de cunoaştere a noilor conţinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lecţiilor noi se poate căuta deducerea lecţiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pildă, la lecţia despre înmulţirea numerelor naturale din clasa a V-a, când elevii de fapt cunosc înmulţirea, putem proceda în felul următor: după câteva exerciţii cu înmulţiri cu numere mari în scris, sau cu numere mici în cap (la început înmulţiri cu 10, 100, 1000 şi cu 20, 30 etc., apoi două cifre înmulţit cu o cifră – 30 ∙ 5, apoi 34 ∙ 5 sau 29 ∙ 7 etc.), după acestea le putem cere elevilor să efectueze în cap înmulţiri multiple de tipul 5 ∙ 37 ∙ 2 până la 25 ∙ 73 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2. În acelaşi gând le putem cere elevilor să găsească produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite înmulţiri mintal, apoi cele mari în scris, iar în final se adaugă două zero-uri la coadă. Analizând cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii. Aceasta este o predare prin problematizare “din aproape în aproape”; elevul nu ştie care este ţelul predării în această oră, lăsându-se condus cu încredere de către profesor. În acest caz, titlul lecţiei se scrie cel mai bine către sfârşitul orei, când lucrurile s-au clarificat. Dimpotrivă, se pot da exemple de problematizare clasică, adică atunci când elevul află ţelul lecţiei, iar apoi se caută drumul către acesta.

O formă specială a predării prin problematizare este predarea prin întrebări. Profesorul descompune procesul de gândire în paşi mici, accesibili gândirii elevului, astfel încât, cu fiecare nouă întrebare elevul mai descoperă un pas nou al lecţiei. Forma ideală (extremă) a acestei metode este atunci când profesorul nu dă nici o cunoştinţă nouă elevilor, ci le pune doar întrebări cu care le îndrumă acestora parcursul de descoperire pentru întreaga lecţie.

  • Activităţi ludice şi ritmice

Activităţile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clasă dacă sunt corect adaptate vârstei. Se pot face jocuri matematice la începutul orei (* vezi exemplul din final), dar şi diferite calcule de pornire a gândirii, prezentate în formă de joc. În acest sens putem face oricând un foarte bun exerciţiu “de încălzire” cu câteva zaruri aruncate pe masă în faţa elevului:profesorul vede “dintr-o privire” dacă are mai mulţi de 2 şi 5 sau nu. Dacă da, atunci îi cere elevului să găsească produsul total; dacă nu, atunci îi cere suma totală. Acest exerciţiu este însă unul individual şi poate fi crescut în dificultate prin creşterea numărului de zaruri. Odată cu învăţarea descompunerii, acest exerciţiu devine şi mai uşor (de pildă, în cazul produsului,  un 6 şi un 5 între zaruri se transformă într-un 3 şi un zero la coadă).

Chiar şi unele lecţii pot căpăta formă de joc, descompunerea numerelor naturale în factori primi în clasa a V-a fiind un bun exemplu în acest sens. Şi elementul ritmic, chiar dacă interiorizat din fizic în intelectual, poate sta la baza unor părţi de lecţie (de pildă, studiul şirurilor şi căutarea numerelor prime cu “Ciurul lui Eratostene”, tot în clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai aşezată, manufacturieră, însă cu profund caracter ludic. În sensul căutării jocului în matematică, pe lângă lecţiile din programă se pot include şi teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al “pătratelor magice”, măcar pe pătratele de 3×3, 4×4 şi de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate apărea de la elemente de “magie matematică” (de pildă cu zaruri) până la diferite alte probleme de “matematică distractivă”.

  • Predarea artistică

Elementele artistice şi manualitatea sunt binevenite în cadrul orelor de matematică, de la redactarea şi aranjarea estetică a caietului de epocă sau a fişelor din portofoliu, până la activităţi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase şi colorarea acestor desene în clasa a V-a). În măsura în care se pricepe, dascălul poate aduce la ora de matematică şi elemente de observare a fracţiilor pe corzile instrumentelor, adică la notele muzicale, în diferite cântece.

Dinspre profesor, predarea artistică are, pe lângă încurajarea aspectelor mai sus menţionate, şi alte valenţe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie şi de admiraţie în sufletul copiilor. Organizarea lecţiilor într-un crescendo care duce la o descătuşare de uimire prezintă similitudini cu felul în care un compozitor îşi structurează simfonia, sau felul în care un scriitor trezeşte într-un roman curiozitatea şi oferă deznodământul abia spre sfârşit.

  • Libertatea şi obligaţiile profesorului

Aranjarea materiei din prezenta programă este orientativă, profesorul având oricând libertatea de a găsi alte variante de aranjare a materiei în forma lecţiilor, în forma capitolelor sau chiar în forma aranjării acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul întregului ciclu gimnazial. Singura obligaţie evidentă este aceea de a parcurge toate cunoştinţele din programa de examen până la sfârşitul clasei a VIII-a, într-o ordine raţională şi într-un ritm echilibrat. Chiar şi conţinuturile sunt în linii mari de două feluri: cele obligatorii prin prisma prezenţei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, cât şi cele facultative, dar recomandate prin prisma încărcăturii lor cu spiritualitate matematică (de pildă, numerele perfecte şi numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). În programă există şi conţinuturi care nu sunt incluse în materia de examen, dar care contribuie din plin la înţelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate însă, utilitatea matematicii trebuie văzută în formarea gândirii logice, raţionale, libere, de care elevul va beneficia în întreaga sa viaţă şi în afara matematicii, profesorul având obligaţia de a se preocupa constant  şi în acest sens. CTG

* Cel mai bun joc matematic, ce implică toată clasa, măcar pentru început, este jocul Bum pe 7. Elevii participanţi (adică toată clasa) împreună cu profesorul, se aranjează în cerc (măcar oval să fie; trebuie tehnic ca fiecare să-l poată vedea pe fiecare). Profesorul (şeful de joc) porneşte număratul cu 1 (unu), uitându-se totodată într-o parte (la dreapta sau la stânga) pentru a stabili sensul de numărare. Apoi, fiecare elev la rând numără mai departe: 1, 2, 3, 4 ….. , trebuind să respecte următoarele două reguli: să spună în loc de numărul care vine la rând BUM! în cazul în care este un număr din şirul lui 7, adică un multiplu de 7, dar şi în cazul când numărul de spus este cu 7, adică are în scrierea sa 7, conţine cifra 7. Practic, vom avea secvenţe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 …, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 …, sau iarăşi 68, 69, bum, bum, bum, …(10 bum-uri la rând), 80 …, sau, pentru cei mai avansaţi, 268, 269, bum, bum, bum, …(11 bum-uri la rând), 281, 282 …

Cine greşeşte iese din joc. Câştigă ultimii doi rămaşi în joc (la doi jucători, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac în cap (fiecare cum îl duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia în urma unor calcule de tipul 84 = 70 + 14 (spun Bum) sau 163 = 2∙70 + 23 (spun numărul), trebuind însă să fiu tot timpul atent şi la cifra 7: 157 = 140 + 17, dar conţine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea că el, la elevii buni, joacă cu următorul supliment: când sunt îndeplinite două criterii de bum, atunci se spune totuşi numărul; de exemplu la 175 sau la 177.

La început jocul se termină repede, dar dacă se va exersa din când în când, elevii încep să meargă tot mai mult, ajungându-se în cazuri bune dincolo de 300. Problema este că şi durata jocului creşte corespunzător. Elevii care au ieşit se plictisesc rău de tot (ar trebui să aibă o ocupaţie, de pildă o fişă de lucru). Astfel jocul este bun în ore din acelea pierdute (sfârşitul semestrului, sau când trebuie să suplinim la o clasă care nu are caietele de matematică). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, când elevii sunt foarte bucuroşi de un astfel de divertisment. CTG

Programa PENTAGONIA (2) – Competenţele

Subiectul competenţelor este unul controversat: toată lumea este de acord că sunt importante, dar puţini cei care chiar le şi folosesc concret. Consider că, la fel ca şi domeniile de conţinut, teoria competenţelor ţine mai mult de metodica şi didactica predării matematicii decât de cuprinderea lor în planificarea profesorului. Este bine să le ai scrise (deci în programă), dar să le tot cuprinzi în planificare, nu ştiu ce efect practic au în modelarea predării.

Există şase competenţe generale: 1. Identificarea unor date, mărimi şi relaţii matematice în contextul în care acestea apar; 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaţionale; 3. Utilizarea conceptelor şi a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice; 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informaţiilor, concluziilor şi demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată; 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date; 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achiziţiilor din diferite domenii.

Problema principală a acestor competenţe este că, pentru a fi cât mai cuprinzătoare, ele sunt exprimate extrem de sofisticat şi alambicat, fiind redactate într-un limbaj mult prea pretenţios, total rupt de limbajul uzual şi de înţelegerea obişnuită. S-ar putea să nu se poată exprima într-un limbaj mai accesibil, dar nu prea cred într-o astfel de variantă (totuşi, nu e chiar teoria relativităţii). Cu alte cuvinte, sunt abstracte şi inaccesibile gândirii obişnuite a profesorului. Ai impresia că la redactarea acestora, s-a amestecat puternic în ceaunul gândirii prea elevate, amestecat cu lingura mare de lemn, ca întrupare fizică pentru renumita “limbă de lemn”. Nişte superspecialişti într-un domeniu abstract şi înalt “ne omoară” cu noţiunile lor teoretice şi cu jargonul lor de specialitate, cu limbajul lor teoreticist şi exprimările lor generalist definiţioniste. Noroc că, din când în când, mai apare şi cuvântul “matematică”, trezindu-ne şi atenţionându-ne că este vorba despre noi. Cu părere de rău scriu aceste rânduri, dar trebuie înţeles că aceasta este impresia creată asupra profesorului de rând.

Care este efectul asupra profesorimii? La fel ca şi alte elemente sofisticate ce ne-au bântuit la redactarea planificărilor de ani buni, şi acestea contribuie din plin la tăbăcirea sufletului nativ doritor de îmbunătăţire a dascălilor, duce la atrofierea disponibilităţii acestora de a-şi însuşi elementele noi, reformatoare, noile directive ce vin de sus prin noile politici educaţionale. Cu alte cuvinte, de atâtea ori profesorii s-au simţit agresaţi în activitatea lor de astfel de cerinţe cărora nu le-au văzut sensul, încât atunci când în sfârşit vin nişte cerinţe cu sens, profesorul de rând le percepe şi le clasifică automat în aceeaşi categorie a inutilităţii, refuzându-le din start. Permiteţi-mi să nu mă mai opresc aici la exemple în acest sens; am scris de multe ori despre cum colegii nu introduc în predarea lor noile cerinţe pozitive ale acestor ani.

Cât despre competenţele specifice, nimic nou. Dau un singur exemplu pentru a-mi susţine părerea asupra inutilităţii cuprinderii acestora în documentele redactate de către profesori, mai exact asupra faptului că nu sunt luate în seamă de către majoritate profesorilor. În clasa a V-a apare: 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configuraţii geometrice. Câţi profesori de matematică aţi văzut în aceşti doi ani intrând la clasa a V-a cu instrumente geometrice şi lucrând cu acestea pe tablă, pentru a le arăta elevilor cum trebuie să facă? Îmi permit să nu mai caut şi alte exemple pentru a-mi sublinia punctul de vedere.

Doresc însă să atrag în final atenţia asupra unui aspect cantitativ: din aproape 5 pagin cât cuprinde partea de clasa a V-a a programei, competenţele specifice ocupă 3 pagini şi o treime (cam 75%). Pe total, cca. 30 de pagini, jumătate reprezintă pasaje legate de competenţe. Nu ştiu cât de serios au fost acestea lecturate, dar se prea poate ca repulsia faţă de ele să se fi transferat şi asupra restului materialului. Lumea este interesată doar de conţinuturi, dar după cum văd că se mişcă treaba după doi ani de la intrarea în vigoare a programei, am impresia că nici măcar Nota de prezentare de la început sau Sugestiile metodologice din final nu au fost lecturate serios sau prea clar luate în seamă. CTG

Programa PENTAGONIA (1) – Domeniile de conţinut

După apariţia Programei noi pentru clasele gimnaziale, în primăvara lui 2017, am încercat o analiză, cu bune şi cu rele, a acesteia. Pe multe aspecte nu le-am ştiut cu certitudine, dar le-am intuit; altele din câte s-au întâmplat ulterior, m-au surprins şi pe mine, unele în sens pozitiv, altele dimpotrivă. Pe cât s-a putut, m-am străduit însă să scot în evidenţă aspectele pozitive şi să sprijin înţelegerea acestora. Unde era de criticat, am preferat să zic mai bine cum fac eu în acel punct. O variantă de critică constructivă mai elaborată ar fi prezentarea unei forme închegate de ordonare a unei “programe”.

Zis şi făcut, sau, mai exact gândit şi scris: nu mi-a fost tare greu să ordonez un astfel de material, pentru că acesta conţine în mare forma în care predau eu, sau în care îmi doresc să predau, argumente în acest sens regăsindu-se în multe din articolele mele. Am lucrat doi ani până acum şi materialul începe să aibă o coerenţă inteligibilă, aşa că m-am gândit să îl prezint pentru prima dată ca eseu, sub acest titlu. Probabil că acest material va reprezenta baza de lucru şi pentru noua programă a şcolilor alternative Waldorf, dar acesta este un alt subiect şi până acolo cine ştie cât mai este.

Aşadar, încep cu această postare prezentarea părţilor deja realizate din Programa PENTAGONIA, ca un eseu în nume personal. Pentru a păstra o formă de postare măcar în parte lecturabilă pe telefoane mobile, materialul din această serie va fi parţial “la vedere”, parţial pe documente PDF anexate, pentru a putea fi lecturate pe ecranul calculatorului. Pentru această postare am ales să vă prezint situaţia domeniilor de conţinut, aşa cum le-am înţeles eu. Domeniile de conţinut din programa oficială 2017 sunt următoarele:

Clasa a 5-a: Numere; Organizarea datelor; – Geometrie

Clasa a 6-a: Mulţimi; Numere;  Organizarea datelor; Probabilităţi; – Geometrie

Clasa a 7-a: Mulţimi; Numere; Algebră; Organizarea datelor; – Geometrie

Clasa a 8-a: Mulţimi;  Numere; Algebră; Funcţii;  Organizarea datelor;  Probabilităţi; – Geometrie

În primul rând, eu nu le înţeleg rostul acestor domenii de conţinut în general. Dar, să trecem peste acest aspect şi să zicem că, pentru a integra totul într-un tabel, era nevoie de coloane suplimentare, aşa că le-au inventat. În acest sens prezenţa coloanei cu domenii de conţinut se integrează “istoric” în lungul şir al diferitelor forme de tabel pentru planificare, forme cu care am fost blagoslovit de-a lungul anilor începând din 1990. Fiecare nouă autoritate ce ajungea la Minister considera că trebuie să schimbe forma planificării. Este ceva similar cu schimbarea bordurilor de către aproape orice primar nou. După părerea mea aceste clasificări în tipuri de domenii ţine mai mult de pregătirea profesorilor şi nu ar trebui să ocupe procente serioase din hârtia folosită pentru planificare. Cărui domeniu de conţinut îi aparţine o lecţie sau un capitol ţine de metodica şi didactica predării. Dar să trecem peste aceste mici nemulţumiri.

Cea mai mare problemă, însă, este faptul că geometria nu are parte de o detaliere similară cu cea a zonei aritmeticii şi a algebrei (adică a matematicii numerelor). Există mulţimi; numere; organizarea datelor; probabilităţi; algebră; funcţii şi apoi mai există geometrie. Părerea mea este că persoana sau grupul care a redactat chestia asta era unul algebrist convins, o persoană sau un grup care nu înţelege clar rostul geometriei. Iar dacă ceea ce scriu eu aici aste adevărat, atunci situaţia este extrem de gravă. Cum să ajungă aşa o “gândire” într-un astfel de post? Gândire şi “raţionamente” de felul acesta au dus şi la eliminarea geometriei sintetice din liceu, înlocuind-o cu geometriile algebrice (vectorială şi analitică).

Sigur că nici includerea algebrei drept un domeniu de conţinut în această listă nu este chiar în regulă, pentru că aici algebra apare cu sensul de calcul algebric nu ca algebră în general. Totuşi, peste această problemă filozofică am trecut (prin ignorare elegantă), sensul cuvântului algebră nereprezentând o situaţie foarte clară în general. Încercând însă să rezolv problema explicitării geometriei pe domenii de conţinut, în această propunere de programă am folosit următoarea împărţire:

Clasa a 5-a: Numere; Numere şi mărimi; – Figuri geometrice; –  Desen geometric

Clasa a 6-a: Numere; Organizarea datelor; Probabilităţi; Mulţimi; – Figuri geometrice; – Construcţii geometrice; –  Demonstraţii

Clasa a 7-a: Numere; Mulţimi; Algebră; Organizarea datelor; – Figuri geometrice; – Construcţii geometrice; –  Demonstraţii; –  Planimetrie

Clasa a 8-a: Mulţimi; Numere; Algebră; Funcţii; Organizarea datelor; – Corpuri geometrice; –  Construcţii geometrice; – Demonstraţii; – Stereometrie

Apar aici câteva cuvinte noi pe care trebuie să le explicitez şi îmi permit să încep de la sfârşit. Planimetria reprezintă măsurarea figurilor plane, anume calculul de arii şi perimetre (2D); în mod similar, stereometria reprezintă măsurarea corpurilor geometrice, anume calculul ariilor şi al volumelor (3D). Desenul geometric din clasa a 5-a reprezintă un preambul deosebit de logic la studiul geometriei. Este un “capitol” găsit în programa şcolilor Waldorf şi pe care îl susţin pe deplin, prezenţa acestuia fiind extrem de raţională şi logică. În principiu, este vorba despre o cunoaştera exterioară, observaţională, venită în principal din partea de manualitate, sprijinită de o strădanie estetică. Nu apar definiţii sau demonstraţii, ci numai titluri şi desene. Desenul geometric se poate face, în principiu, în două feluri: cu mâna liberă, respectiv cu instrumente geometrice. Poate voi mai avea ocazia să vorbesc despre această minunată idee a lui Rudolf Steiner, întemeietorul Şcolii Waldorf, deşi nu este obiectivul meu să vă prezint pe această cale pedagogia alternativă în care lucrez. CTG

Mistica matematică: o metodă de fraierit oamenii

Prezentul articol a fost redactat în martie 2018, dar l-am uitat prin “sertarele” calculatorului până de curând. Nu-i bai, l-am adaptat la timpul trecut şi îl ofer la un an de la OIM-Cluj, la fel de proaspăt ca şi acu’ un an în urmă.

Prima Olimpiada Internaţională de Matematică a fost organizată în România în 1959. A doua ediţie a fost organizată tot în România. De atunci ţara anoastră a mai organizat OIM de câteva ori, iar anul trecut a venit din nou rândul nostru, de data asta în premieră la Cluj. În această jumătate de secol matematica şcolară românească s-a ocupat tot mai mult de cei buni, de vârfuri, şi tot mai puţin de ceilalţi, desigur în detrimentul acestora. Niciodată matematica nu se va putea ocupa de toţi, dar neglijarea marii mase a elevilor prin supunerea la o matematică mult peste nivelul lor de accesibilitate, aceasta duce la o pătură a populaţiei mult prea uşor de manevrat (poate asta s-a şi dorit).

De zeci de ani ne-am obişnuit cu sentimentul de mândrie dat de “olimpicii noştri”, succesul cărora ne face să ne simţim o naţiune de “mari matematicieni”, cel puţin în domeniul rezolvării problemelor. Nu ne place însă când cineva ne atrage atenţia că atunci când vorbim de olimpici, de fapt vorbim doar de “vârful eisberg-ului”. Care este însă situaţia “restului eisberg-ului”, a marii mase a populaţiei României? Şi aici nu-i includ şi pe cei care au ajuns în viaţa şcolară să participe la diferite faze ale olimpiadei, fie doar şi numai la olimpiada pe şcoală: pe aceştia îi include în “vârful eisberg-ului”, adică în cei cca. 10% care înţeleg matematica chiar şi dacă în viaţa de adult nu mai au treabă cu ea. Când vorbesc de “restului eisberg-ului” mă refer la toţi acei oameni care au în sufletul lor o mare spaimă de momentul când cineva i-ar întreba şi cel mai mic calcul sau element de gândire matematică ce trece dincolo de aritmetica simplă a portmoneului.

În perioada în care România organiza de zor OIM-2019 am găsit un articol-reclamă (advertorial?) pe care aş dori să-l reproduc, şi eventual să-l analizăm pe scurt. Dacă situaţia prezentată n-ar ascunde o stare a lucrurilor dramatic de serioasă, atunci am putea include următorul articol la categorie umor extrem cu recomandarea de a vă pune centurile de siguranţă ca să nu cădeţi de pe scaune de râs. Următorul text este preluat integral din revista Click TV Nr. 581 din 09.03.2018, pag.15 (o pagină întreagă ocupată de text şi pozele aferente).

*

ATENŢIE: nu este vorba de un concurs sau de o tragere la sorţi ci de o străfulgerare de clarviziune, avută de marea noastră clarvăzătoare Eva Gabor. Unul dintre cele 3 preţioase obiecte de mai jos v-ar putea aparţine, datorită zilei dumneavoastră de naştere. Acesta este rezultatul unui uimitor calcul numerologic, vechi de 3000 de ani, pe care l-a făcut Eva Gabor acum 26 de zile.

Scrisoare deschisă a Evei Gabor către toţi cei care visează să primească foarte repede o mare sumă de bani sau un cadou de mare valoare. “Da eu, Eva Gabor, sunt sigură. Tabelele lui Pitagora nu se înşeală niciodată, cei mai mulţi oameni de ştiinţă admit că universul este guvernat de calculele acestora. În fiecare an, cu ajutorul acestor tabele pregătesc un anumit număr de calcule numerologice. Acum 26 de zile, rezultatele au fost surprinzătoare. Am făcut incredibila descoperire că fiecare persoană care putea, cu data sa de naştere, să obţină numărul 118 după un calcul simplu, avea incredibila şansă de a primi: fie un cec de 118.000 lei, fie o maşină, fie suma de 118.000 lei în 1180 de bancnote de 100 lei.

Sunteţi printre marii norocoşi ai anului 2018? Răspunsul e uşor de aflat: luaţi ultimele două cifre ale anului în care v-aţi născut (de exemplu, dacă sunteţi născut în 1951, 5 şi 1, adică 51). Luaţi apoi vârsta pe care o împliniţi anul acesta (de exemplu, dacă sunteţi născut în 1964, veţi avea anul acesta 54 ani).. Adunaţi cele 2 numere, adică ultimele două cifre ale anului naşterii şi vârsta pe care o împliniţi anul acesta. Dacă totalul este egal cu 118, felicitări! Nu vă rămâne decât să alegeţi obiectul în valoare de 118.000 lei, pe care l-aţi putea primi în lunile următoare.

Aţi obinut numărul 118, excelent! Iată ce trebuie să faceţi: Dacă aţi obţinut 118 şi numai cu această condiţie, vă voi ajuta gratuit să obţineţi un superb obiect în valoare de 118.000 lei. Este suficient să-mi trimiteţi Bonul de ajutor gratuit şi, imediat ce-l primesc vă voi trimite revelaţiile mele secrete, ce vă vor permite ca acest preţios obiect în valoare de 118.000 lei să vă revină în următoarele 3 luni.

Informaţie capitală 1) Nu povestiţi nimănui despre această şansă ce vi se oferă. 2) Nu-mi trimiteţi acum niciun ban, ar risca să distrugă cercul de noroc, ce vă va înconjura în următoarele 3 luni.“ Eva Gabor

 *

Mi-am permis să nu mai copiez şi textul de pe BONUL GRATUIT pentru a primi un superb obiect în valoare de 118.000 lei, unde se reiau aceleaşi “informaţii” (doar că la persoana I; Da, doamnă Eva, am urmat instrucţiunile dvs., adunând …). Există acolo şi un text scris foarte mărunt, pe care chiar nu l-am mai citit. Pe lângă o poză cu un cec completat pe suma respectivă şi o poză cu câteva bancnote de 100 lei, pagina respectivă mai conţine şi o poză cu luxos autoturism BMW (seria ţ-şpe), pentru aţâţat vise.

Nu o cunosc personal pe Eva Gabor, dar poza oferită în cadrul articolului nu pare potrivită cu numele. Mai degrabă pare o poză descărcată de pe net, înfăţişând o doamnă tipică din Europa de vest (fizionomie, privire, aranjament). Pe de altă parte, nu ştiu la ce tabele ale lui Pitagora se referă distinsa Eva Gabor, dar ştiu că o denumire veche pentru tabla înmulţirii era tabla lui Pitagora, iar despre aceasta pot să confirm că sigur nu se înşeală niciodată în rezultatele date. Şi, da, universul este guvernat de calculele acestora.

Am sugerat la început o eventuală analiză a acestui articol, dar cred că pur şi simplu un astfel de gest ar jigni inteligenţa onoraţilor cititori. Sper, în schimb, că fiecare îşi va face propria analiză a acestui minunat “eseu de fraierit” cititorii fraieribili (sigur născuţi în secolul trecut, că la persoanele născute după 2000 nu mai merge). Eu personal, un singur semn de întrebare am din toată această etalare învârtoşită de numere: ce-i cu numărul 26? O fi o interpretare ocultă de tipul: de două ori 13, care reprezintă ghinionul, inversat astfel încât de două ori ghinion dă noroc, similar cu minus cu minus face plus??? Da, şi ar mai fi totuşi o întrebare: ce-i atât de vechi – 3000 de ani – la acest calcul?

Oricum, este evident că acest anunţ publicitar se adresează celor cu un nivel de cultură matematică atât de redus încât vor considera că s-a pogorât în sfârşit şi asupra lor acel cerc de noroc, prin faptul că le-a dat şi lor în sfârşit o adunare de două cifre. Cum, care cerc de noroc? Păi, mulţi oameni privesc ca un mare noroc să le dea corect rezultatul unei sarcini matematice, iar pentru asta i-au invidiat toată viaţa pe cei cărora “nu le dă cu virgulă”. Pentru aceştia rezultatul respectiv reprezintă dovada de netăgăduit a apariţiei cercului de noroc şi în viaţa lor. Iar, dacă ar spune aceasta cuiva s-ar putea să afle că tocmai au fost fraieriţi, că au luat din nou “ţeapă” de la matematica asta parşivă. Deci nu trebuie să povestească nimănui despre întâmplare. Logic? Logic!

La ce ne poate ajuta pe noi “minunea” asta în activitatea de la clasă? Păi, eventual ca un număr de magie: elevii primesc ca temă de a afla în ce an s-a născut un părinte sau un bunic drag, cât şi ce vârstă are acesta (cel mai bine să vină cu cele două numere notate, pentru a nu apărea surprize). Apoi primesc la şcoală să adune cele două numere. Până când lucrează elevii, profesorul scrie pe tablă 118 (pardon, anul acesta trebuie să scriem 119, aşa-i?) şi se postează în faţa numărului (sau l-a scris înainte pe un bileţel pe care l-a ascuns sub un ghiveci de pe pervaz etc.). Apoi apare uimirea: tuturor le-a dat la fel (sau un elev este rugat să se uite sub ghiveciul respectiv). Aşa ar arătă acest număr de magie la începutul clasei a V-a. Ulterior elevii pot primi sarcina de a demonstra “minunea”. A face acest număr de “magie” cu anul naşterii şi vârsta unui elev (deci născut după 2000) ar da un rezultat prea transparent (unde-i “magia” în acest caz?).

Titus Gregorovici, producător de baghete magice (Gregorovici, ca cel din Harry Potter)

Opening Mathematics – Deschiderea matematicii

Matematica îi confruntă pe dascăli cu o întrebare centrală: explicăm matematica – sau îi încurajăm pe elevi să gândească singuri şi să creeze pe această cale  reprezentări proprii, din care se generează  matematica?

Prin explicare dascălul încearcă să transmită elevilor concepte şi metode pre-gătite, adică anterior generate şi dezvoltate. Această abordare a predării matematicii este de obicei folosită ca strategie, pentru a asigura asimilarea de cunoştinţe şi abilităţi la elevi, care sunt considerate ca obligatorii pentru participarea la etape de şcolire ulterioare.

A-i încuraja pe elevi să gândească singuri, le întăreşte însă capacitatea productivă a acestora în a se angaja în propriile tentative de explorare a necunoscutului, cu inerentele căi înfundate sau erori întâlnite, acest drum reprezentând “compost” pentru apariţia şi creşterea ideilor fertile, care cu timpul pot străluci clar în spaţiul imaginativ interior, cristalizând în structuri matematice.

Realitatea structurilor matematice poate fi vieţuită doar prin producerea interioară. “A produce este mai simplu decât a percepe (a primi, a prelua, a pricepe o reţetă?), pentru că a prelua şi a pricepe implică întotdeauna două puncte de vedere, pe când în a produce este nevoie doar de un singur punct de vedere – propriul punct de vedere, cel puţin pentru început. Din acest motiv învăţăceii ar trebui să poată începe cu a produce gânduri”.  Producerea este mai eficientă în dezvoltarea unei înţelegeri matematice reale decât receptarea şi, în plus, eliberează spiritul. (Citat din Peter Gallin, 2011, Matematica ca ştiinţă spirituală. Prevenirea dialogică (prin dialog) a avarierii matematice, Online: www.gallin.ch/Gallin_MathAlsGeistesw.pdf).

Matematica este văzută ca o ştiinţă demonstrativă. Dar acesta este doar unul dintre aspectele ei. Matematica terminată, în forma ei finalizată (*), apare ca pur demonstrativă, constând doar din demonstraţii. Dar matematica în devenire, în faza sa de producere, se aseamănă cu orice alt fel de cunoaştere umană, în faza de generare. O teoremă matematică trebuie mai întâi ghicită, înainte de a fi demonstrată; trebuie să intuieşti o demonstraţie înainte să o efectuezi până în detaliu. Trebuie să combini observaţii şi să urmăreşti analogii; trebuie să încerci din nou şi din nou. Rezultatul muncii creative a matematicianului este raţionamentul demonstrativ, este o demonstraţie; dar demonstraţia este descoperită prin raţionament plausibil, prin ghicit. Dacă învăţatul matematicii ar trebui să reflecte într-o oarecare măsură inventarea acesteia, atunci trebuie să fie lăsat loc şi pentru ghicit (**), pentru deducţia plauzibilă.” (George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile, Princeton 1954***).

Este bine cunoscut că Rudolf Steiner a propus ca matematica să fie abordată de la întreg la părţi (de pildă 12 = ?), în loc de a porni de la părţi, care apoi să fie asamblate într-un întreg (de pildă 5 + 7 = ?, ca abordare tradiţională şi încă actualmente foarte utilizată). Luând întregul ca punct de plecare, întrebările sau problemele matematice se transformă în întrebări deschise. În loc de a-şi propune să-l direcţioneze pe elev spre un anume răspuns, această abordare crează o deschidere către multe răspunsuri şi rezolvări posibile. Didactica modernă a predării matematicii susţine că folosirea întrebărilor deschise este mult mai revigorantă decât a da elevilor întrebări închise cu doar un răspuns corect. Întrebările deschise stimulează “jucatul” cu o problemă şi conduc pe drumul speculativ-meditativ al gândirii în procesul ei de cercetare inventivă, spre răspunsuri ce pot fi comparate şi discutate.

Opening Mathematics doreşte să încurajeze pedagogi Waldorf din toată lumea, a acorda mai multă încredere elevilor prin punerea de probleme deschise. Pentru mai multe resurse accesaţi site-ul opening-mathematics.net. Vă încurajăm să participaţi şi să vă împărtăşiţi propriile experienţe cu întrebări deschise din întregul Curriculum de matematică al şcolilor Waldorf (clasele 1 – 12/13).

Împărtăşind îi puteţi ajuta, inspira, chiar încuraja şi pe alţii în autodezvoltarea predării. Prin schimbul de experienţe se poate creea o imagine cuprinzătoare despre practica şi înţelegerea educaţiei matematice în şcolile Steiner/ Waldorf. Experienţele şi reflecţiile primite vor fi colectate şi analizate, apoi postate în vederea studiului posibilităţilor existente şi  aprofundării înţelegerii acestora de către profesori.

Întregul text de mai sus, cât şi imaginea respectivă, sunt preluate din pliantul de prezentare Opening Mathematics din cadrul campaniei WALDORF 100 – LEARN TO CHANGE THE WORLD, o companie de celebrare a unui centenar de la înfiinţarea primei şcoli Waldorf în toamna lui 1919 la Stuttgart în Germania. Mai multe puteţi afla la adresa waldorf100@opening-mathematics.net. Traducerea materialului reprezintă un amestec optimizat între pliantul în limba germană şi pliantul în limba engleză. Mulţumesc pe această cale d-lui Detlef Hardorp (matematician şi fost profesor de matematică în şcoală Waldorf), de la care am primit aceste pliante, cât şi permisiunea explicită de traducere. Alături de dânsul, ceilalţi colegi care conduc echipa de evaluare a propunerilor sunt Aziza Mayo şi Daniel Jaeger. Traducerea de mai sus reprezintă primele două pagini ale pliantului. A treia pagină cuprinde o serie de 7 întrebări ce trebuie urmărite de către persoana ce propune, echipa de lucru, cât şi adresa unde se pot trimite propunerile (de găsit la adresa de mai sus). Este evident că materialul de faţă are în vedere toţi dascălii care predau matematica, atât învăţătorii cât şi profesorii de matematică.

Note explicative la traducere: (*) – în lucrările sale prof. Eugen Rusu vorbea despre “matematica rezultat”, adică matematica organizată în formă de curs gata de predat, în opoziţie cu “matematica proces”; (**) – este vorba despre ghicitul intuitiv, bănuit, sesizat, nu ghicitul la întâmplare (original engleză: guessing; germană: Erraten). (***) Lucrarea lui George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile este publicată şi în română la Editura ştiinţifică, 1962. Pasajul de mai sus este preluat din prefaţa volumului I, volum ce poartă subtitlul Inducţia şi analogia în matematică (volumul II poartă subtitlul Scheme de interferenţe plauzibile). Citatul de mai sus din această carte este tradus de mine. Pentru cei care doresc să-l aprofundeze, ofer acest citat şi în varianta din cartea în româneşte (traducător Radu Theodorescu), împreună cu o parte din aliniatul premergător (pag.8):

Este unanim cunoscut că matematica ne oferă o minunată ocazie de a învăţa modul de raţionament demonstrativ, dar afirm, de asemenea, că în programele analitice obişnuite ale instituţiilor de învăţămînt nu există un obiect care să ne ofere un prilej tot atît de bun pentru a învăţa raţionamentul plauzibil. Mă adresez tuturor celor care studiază matematica, pe cea elementară sau pe cea superioară, şi care sînt intersaţi să şi-o însuşească, şi le spun: Desigur, vom învăţa să demonstrăm, dar vom învăţa, totodată, să intuim, să ghicim. (…)

Matematica este considerată ca o ştiinţă demonstrativă. Aceasta este însă numai una dintre laturile ei. Matematica expusă într-o formă închegată se prezintă ca o ştiinţă pur demonstrativă, constînd numai din demonstraţii. Însă în procesul de formare, matematica seamănă cu toate celelalte cunoştinţe umane aflate şi ele în acest proces. Trebuie să intuiţi o teoremă matematică înainte de a o demonstra; trebuie să intuiţi ideea demonstraţiei, înainte de a o efectua în toate detaliile ei. Trebuie să combinaţi observaţii şi să urmăriţi analogii; trebuie să încercaţi şi iarăşi să încercaţi. Rezultatul muncii de creaţie a matematicianului este un raţionament demonstrativ, o demonstraţie; însă demonstraţia se dezvăluie cu ajutorul unui raţionament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Dacă predarea matematicii reflectă, în vreun grad, modul în care se creează matematica, atunci ea trebuie să facă loc ipotezei, inferenţei plauzibile.

Titus Grigorovici, Liceul Waldorf Cluj

Art Deco cu Pitagora la Baia Mare

Aveam ceva informaţii mai de mult, iar acum am fost să văd “minunea”cu ochii mei: în apropierea Băii Mari cineva a considerat figura cu pătratele din teorema lui Pitagora destul de estetică încât să-şi decoreze casa cu ea (se pare că a trebuit mascat un defect, iar decizia spotană a fost de folosire a acestui desen).

Doamna casei ne-a spus că soţul nu este matematician (mă aşteptam să întâlnesc un profesor excentric, ca mine), dar că a rămas cu această pasiune din timpul şcolii. Eu nu pot decât să apreciez felul în care i-a fost predată matematica în copilărie acestui domn, dacă a lăsat urme atât de pozitive în sufletul său, încât după zeci de ani de la absolvirea şcolii să-şi “tatueze” pe casă teorema lui Pitagora. Chapeau! (adică jos cu pălăria!)

Este evident că avem aici un caz deosebit de rar la ora actuală, o persoană care cunoaşte asocierea dintre acest desen şi renumita teoremă. Asta, în condiţiile în care foarte mulţi profesori din prezent (oare să spun majoritatea?) nici nu mai cunosc acest desen şi faptul că acesta este reprezentarea grafică (deosebit de intuitivă) a teoremei lui Pitagora.

Apropos: cu această ocazie am stat la o poveste aşezată cu un fost coleg de facultate grec şi am avut ocazia să-l auzim pronunţând numele Pitagora: accentul pe o-ul un pic mai lung, nu pa a-ul din mijloc, P-ul mai dur, mai către litera b, iar t-ul undeva între pronunţia noastră şi t-ul din englezescul the.

Discuţii pe marginea interviului cu Radu Gologan – (II)

Interviul de pe Hot News cu dl. Profesor Radu Gologan de sâmbătă, 30 martie 2019, aduce câteva puncte de vedere neevidenţiate până acum public de către o personalitate de vârf. Respectivul video-interviu luat de Andreea Ofiţeru, este de găsit la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-23059411-video-interviu-iau-elevii-note-mici-matematica-profesorul-gologan-antrenorul-olimpicilor-predarea-trebuia-schimbe-masiv-odata-tehnologia-copiii-percep-informatia-altfel-decat-acum-40-ani.htm?cfathp. Câteva pasaje din acest interviu merită analizate în profunzime; pentru prezentul mini-eseu mi-am propus următorul citat:

*

Andreea Ofiţeru: Cum ar trebui predată matematica în România astfel încât să nu mai avem rezultate aşa de slabe? Cum ar trebui formaţi profesorii?

Radu Gologan: În principiu, pentru studenţii de la Matematică, dar cred că e acelaşi lucru şi la celelalte ştiinţe care dau profesori la catedră, există foarte puţină pregătire didactico-pedagogică şi foarte puţină didactica predării matematicii. O fac foarte puţini. Şi când o fac, o fac foarte puţini, şi de multe ori nu este luată în seamă serios. Sunt foarte puţine licee în care studenţii trimişi de la Matematică să facă practică pedagogică sunt luaţi în serios, în sensul că sunt puşi de cadrele didactice cu experienţă să facă exerciţiul acesta de a fi profesor, de a corecta, de a asista la ore, de a primi indicaţii. De foarte multe ori îşi iau o adeverinţă că au participat şi gata. Deşi cunosc locuri în care lucrurile se desfăşoară foarte bine şi atunci am descoperit tineri foarte buni pe care îi folosim şi i-am recomandat mai departe.

Andreea Ofiţeru: E mai degrabă o problemă de pregătire a profesorilor.

Radu Gologan: Este o problemă de pregătire a profesorilor. Din cauza asta ducem lipsă de profesori tineri, care să continue o activitate care era un atu al educaţiei româneşti, profesori de matematică capabili să înţeleagă bine programa şi să o predea mai departe.

*

Dl Profesor Gologan vorbeşte în acest interviu şi despre formarea viitorilor profesori. Da! Chiar şi formarea acestora ar trebui integrată noului curent, noii paradigme, şi adaptată nevoilor actuale. Cum se face însă actualmente formarea profesorilor. De aproape 40 de ani obiectivele impuse profesorilor, implicit avute în vedere şi în formarea viitorilor profesori, sunt rigurozitatea matematicii predate (de obicei mult exagerată) şi performanţa în vederea concursurilor şcolare (şi aceasta tot mai exagerată, adică probleme cât mai grele, pe o spirală a dificultăţii care parcă nu se mai poate linişti).

Aceste două obiective se adaugă oricum marii şi grelei metehne a cursurilor pedagogice universitare, anume aceea de a se prezenta cât mai “ştiinţific”, dorind a se dovedi demne de alăturarea cu celelalte cursuri ale facultăţii. Daţi-mi voie să vă exemplific aceste gânduri pe baza primei pagini dintr-un caieţel găsit la mama mea (pensionată de mult), anume cursul de Metodica predării fizicii, notiţele respective din facultatea clujeană (pe vremea respectivă de matematică şi fizică!) începând cu Cursul nr.1 din 7 oct. 1963. Aşadar, cursul începe astfel:

Obiectivul şi sarcinile metodicii predării fizicii: Orice ştiinţă este un sistem de legi şi teorii descoperite pe baza dezvoltării materiei printr-un proces unic, verificate în practică. Cu cât se va definii conţinutul ştiinţei respective (mai bine), cu atât se va contura mai bine sfera fenomenelor de care se ocupă. Precizarea sferei conţinutului ne dă posibilitatea explicării clare a fenomenelor pe care le cercetează, iar pe de altă parte definirea precisă ne duce la aflarea metodelor de cercetare, deoarece metodele sunt dependente de conţinutul ştiinţei respective.

Metodica predării fizicii este o ştiinţă pedagogică, având ca obiectiv de cercetare procesul social-istoric de instruire a tinerei generaţii în domeniul lărgirii cunoştiinţelor despre fenomenul fizicii. Ea urmăreşte dezvăluirea legilor acestui proces, elaborează bazele teoretice în concordanţă cu scopul instructiv-educativ. Pe bază de legi, ea are ca obiectiv să stabilească cerinţele pe care trebuie să le îndeplinească activitatea instructiv educativă în cadrul predării fizicii. În această muncă complexă de instruire şi educare a tinerei generaţii, trebuie să existe o unitate între profesor şi elev, bazată pe conţinutul fizic şi metodele de organizare, metode de predare, importanţa …

Bla-bla-bla, cu câteva aspecte indiscutabil bune, dar cu multe aspecte profund contestabile, cu multă “polologhie” (ce a trebuit să o înveţe pentru examen şi ulterior pentru Definitivat). Se simte din text o mândrie a respectivului profesor, de a fi şi el printre marii acelei facultăţi, etalând pompos cuvinte ca ştiinţă sau cercetare. Mult prea firav îşi mai găsea locul în intenţiile declarate ale profesorului respectiv şi elevul (instruire a tinerei generaţii; o unitate între profesor şi elev), deşi în dezvoltarea ulterioară a cursului există o preocupare reală şi serioasă pentru elev, evident însă cu note proletcultiste. Dar să revenim mai în vremurile noastre.

Aspectele metodico-didactice conform nevoilor şi posibilităţilor reale ale marii majorităţi a elevilor, aceste aspecte au fost profund neglijate în ultimii ani. Aşadar, la ce să ne aşteptăm? În facultăţi, profesorii care predau disciplinele pedagogice nu au ca obiectiv formarea sănătoasă a viitorilor dascăli; de obicei se simte că materia lor le este obiectivul principal, materia cât şi recunoaşterea acesteia la nivelul universitar.

Din partea cealaltă, nici studenţii nu vin cu cine ştie ce vise şi dorinţe speciale de a învăţa şi a deveni foarte buni profesori după terminarea studiilor. Ei de fapt nu ştiu clar în ce se bagă şi care sunt provocările cărora vor avea de a le face faţă. Putem privi pozitiv situaţia şi spune că dacă ar ştii ce-i aşteaptă, atunci ar fi mult mai interesaţi. De fapt acest aspect ar fi tot în sarcina facultăţilor, de a avea un sistem prin care să-i co-intereseze pe studenţi despre viitoarea lor stare de profesori, dar cine să facă aceasta dacă persoana de la catedră nu are nici ea clare imagini practice – nu doar teoretice – despre viaţa de zi cu zi în faţa elevilor, fiind eventual cel mult o persoană care s-a luptat să scape de la liceul unde a predat o vreme.  Întreg ansamblu este într-o stare profund schizofrenică din care nimeni nu ştie cum să iasă, chiar nici nu are interes să iasă.

Spun aceste lucruri pentru că îmi aduc aminte că aşa eram şi noi, generaţia noastră. Profesorul de metodică ne propunea spre rezolvare diferite probleme pe care noi le consideram înjositoare: la vremea respectivă dăduserăm admitere mulţi pe un loc şi nivelul nostru de expectanţă era mult mai ridicat. Cât despre viitoarea stare de profesor, nu înţelegeam la ce ne-ar ajuta lucrurile care ne erau propuse, pur şi simplu pentru că nu cunoşteam starea de profesor decât din partea opusă catedrei.

În acest sens formarea profesorilor trebuie bazată pe o sănătoasă cunoaştere a stării de elev şi a nevoilor generale ale acestora. Ca student trebuie să ai o percepere realistă spre ce te îndrepţi şi pentru ce te pregăteşti. Aş putea să filozofez mult şi bine despre cum ar trebui să fie organizate lucrurile. Prefer însă să vă dau o „imagine” primită în urmă cu vreo 10 ani de la un profesor bătrân din facultate, care-şi depăna amintiri „de pe vremea sa”, când profesorul care se ocupa în facultatea clujeană de partea de metodică avea totodată şi ore la Liceul Racoviţă, iar studenţii făceau practica la dânsul la clasă.

Pe de altă parte, tot ca o „imagine” despre formarea matematică a viitoarelor cadre didactice, dar una actuală, personal (fam. Grigorovici) suntem deseori confruntaţi cu rugămintea de a ajuta viitoare învăţătoare pentru examenul la cursul de metodica predării matematicii, curs la care se fac masiv probleme de excelenţă în gimnaziu şi liceu, dar şi elemente de teorie peste nivelul liceal (de pildă, de ce ar trebui să înveţe viitoarele învăţătoare funcţii notate ca triplete (f; A; B), când nici în liceu nu se foloseşte o astfel de notaţie?). Nici învăţătoarele respective nu s-au străduit prea mult în timpul semestrului, dar putem întreba şi invers: la ce le trebuie lor aceste lucruri? Părerea mea este că nivelul pregătirii practice a viitoarelor învăţătoare la matematică (domeniu în care am o părere destul de avizată, ca fost director) a scăzut foarte mult faţă de nivelul la care ieşeau pe vremuri învăţătoarele absolvente de la liceele pedagogice.

Tot sistemul este bolnav, iar una dintre caracteristicile acestei stări este că oricine poate găsi lesne pe cine să dea vina, desigur pe altcineva, nu pe el însuşi: dacă s-ar schimba sistemul, atunci şi eu ooioioi… Aceasta este o tară, o meteahnă generală la noi: eu sunt perfect şi desigur mă pricep foarte bine; uite, îţi spun eu cum stau lucrurile! (o expresie preferată la români, prin care vor să arate că ei sunt o autoritate în domeniu şi au tot dreptul să-ţi explice ce şi cum), vorbă urmată de altele cât se poate de critice la adresa oricui din jur: ăştia nu fac nimic să schimbe ceva!

De aici şi strădania mea de a nu mai aştepta ca ceilalţi să se schimbe, să îmbunătăţească sistemul, ci de a mă strădui ca eu să evolez înspre mai bine, indiferent de stagnarea sau fluctuaţiile situaţiei înconjurătoare. Desigur că a te schimba pe tine este cel mai greu pentru că trebuie mai întâi să-ţi vezi şi să-ţi recunoşti defectele, după care urmează lungul drum de aflare a unei căi mai bune, apoi experimentarea însoţită de greşelile iminente, corecturile ş.a.m.d. Faptul că pot povesti atât de multe pe această temă se datorează printre altele şi faptului că am pornit pe acest drum (la acest drum) de foarte mult timp (decizia iniţială în 1994), cu mutarea lecţiei despre paralele tăiate de o secantă înaintea capitolului despre triunghiuri, pentru a le putea da din prima lecţie suma unghiurilor în triunghi (nu de alta, dar le-o dădeau părinţii imediat ce ajungeau acasă).

Drumul a fost lung şi anevoios pentru că resursele mele erau mult mai restrânse în comparaţie cu posibilităţile unui sistem oficial. Dar aveam şi atuuri pe care le-am folosit şi cu ajutorul cărora am evoluat. Şi nimic nu se compară cu bucuria rezultatelor personale, chiar dacă privesc în urmă la un sfert de secol de strădanii.

Revenind la starea de student, mă gândesc la câteva aspecte. În primul rând, aduc o amintire de-a mamei mele: în facultate nu am auzit de tact pedagogic sau de empatie (1960-1965). Pe de altă parte, eu am auzit în facultate de predarea prin problematizare sau de predarea în spirală, dar ne erau aduse în acei ani (1985-1989) ca nişte aspecte ce făceau încă parte oficial din metodică, dar erau cam depăşite, le percepeam ca desuete. Altele erau cuvintele la modă atunci (axiomatizare, rigurozitate etc.). Şi într-un caz şi în celălalt (cuvintele din experienţa mamei mele, dar şi cele din amintirea mea) ar fi trebuit ca celor care ne prezentau metodica să le fie conştientă importanţa covârşitoare a aspectelor şi a mecanismelor psihologice ale elevului. Dar cine să se uite dintre matematicieni după aşa ceva în acei anii comunişti? (n-am precizat că lucrurile s-ar fi schimbat radical în anii ’90) Se considera că elevii fac de frică, de frica notelor, şi gata cu poveştile (şi acum mulţi gândesc la fel). Când s-a format actuala generaţie de profesori obiectivele primordiale erau rigurozitatea şi dificultatea problemelor.

Din anii de început, când trebuia să dăm definitivatul, ţin minte câteva exemple. O colegă întreba agitată: care din cele trei cazuri de congruenţă a triunghiurilor este considerat axiomă? Altă colegă se dădea mare, pronunţănd minunatul cuvânt ceviene. La proba scrisă am primit o problemă de geometrie (din manual, din spate) la care în toată sala au fost două rezolvări, pe care le-au copiat apoi toţi ceilalţi. Rezolvarea mea era cu ajutorul funcţiilor şi am fost nevoit să fac 7(şapte) schimbări de variabilă până în final.

Din totdeauna psihologia a fost un examen separat cu un profesor care nu ştia matematică, deci cine să-ţi explice despre ce se întâmplă în mintea copilului la matematică? Despre tactul pedagogic în predarea matematicii sau despre introducearea noţiunilor treptat de-a lungul anilor, folosind predarea în spirală, pentru a-i da timp să cuprindă noile noţiuni., cine?

Să luăm un exemplu? Păi, haideţi să vorbim de rădăcina pătrată. Cândva (am o vagă amintire că în 1998) s-a scos capitolul cu rădăcina pătrată din finele clasei a 6-a şi s-a mutat într-un mare capitol alături de introducerea numerelor iraţionale în semestrul I din clasa a 7-a. Trosc! Totul de o dată. Rezutatul? Elevi care şi în clasa a 9-a spun că radical din 12 este 6. Dacă ar fi să luăm în serios predarea în spirală şi introducerea treptată a noţiunilor, ar trebui – de exemplu – să facem astfel: clasa a 5-a, destul de repede după introducerea operaţiei de ridicare la pătrat, imediat şi rădăcina pătrată, dar numai din pătrate perfecte accesibile pe baza „tablei pătratelor perfecte” (cam până la 322 = 1024), sau pe baza descompunerii în factori primi. După recapitularea operaţiilor cu fracţii zecimale de la începutul clasei a 6-a s-ar putea învăţa şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere mai mari, dar şi extragerea aproximativă din numere nepătrate. La începutul clasei a 7-a urmează, pe post de recapitulare a celor învăţate anterior, aplicarea masivă în probleme cu teorema lui Pitagora, atât pe numere întregi mai mari, cât şi cu rezultate aproximative (cu multe aplicaţii practice, apropos de aplcaţii ale matematicii în viaţa extraşcolară). După această etapă (mai aritmerică) se va putea trece şi la rădăcina pătrată în forma rezultatelor iraţionale şi a calculelor cu acestea.

Am convingerea că o astfel de predare în spirală cu trei treceri prin subiect ar duce la o învăţare mult mai bună a rădăcinii pătrate, în comparaţie cu forma actuală făcută mult prea târziu şi în prea mare viteză. Multe ar mai fi de spus, dar prefer să închei aici cu o imagine ce am surprins-o la un elev care-şi notase tabla pătratelor perfecte pe o hârtiuţă găsită acasă (tocmai ce făceam multele probleme de calcul de arii şi perimetre folosindu-ne de teorema lui Pitagora şi îi dădusem o grămadă de temă). Asocierea dintre notiţele elevului şi mesajul pretipărit pe acel bileţel fac deliciul acestei imagini. CTG

P.S. Desigur că există şi contraexemple la lista situaţiilor negative, din care mai sus am prezentat doar vârful eisbergului. Am o colegă ce a urmat studiile la Timişoara în limba maghiară, iar profesorul lor de metodică considera drept o lectură obligatorie cărţile lui George Pólya, care se ocupă foarte profund şi de aspectele psihologice (fără a face însă în scrierile sale mare ştiinţă a psihologiei).