Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc – (1)

De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect pe care de mult îmi doream să-l tratez. Îi mulţumesc pe această cale colegului (semnat Alex D.) pentru că „mi-a ridicat cum nu se putea mai bine le fileu” acest subiect. Iată întrebarea cu pricina:

Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? Întrebarea apare în urma postării  părţii a 6-a a eseului despre folosirea intuiţiei în aranjarea materiei. Iată, pentru reamintire în următoarele două aliniate pasajul la care se referă probabil colegul.

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul (…).

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului. (…)

Primul lucru care îmi vine în minte legat de acest subiect este o întrebare al cărei răspuns îi dă un iz de banc, întrebare cu care-i surprind pe colegi de aproape 20 de ani: ce măsurăm în primul rând cu gradele? Unghiurile sau arcele de cerc? După părerea mea răspunsul este cât se poate de simplu şi totuşi surprinzător: Nici una, nici cealaltă! La origine, gradele măsoară rotaţia!

Permiteţi-mi să argumentez acest răspuns. Fizica se ocupă cu două tipuri de mişcare: mişcarea rectilinie şi rotaţia. Exprimat în modul cel mai simplu, orice mişcare este de obicei compunerea celor două tipuri. Cu unităţile de lungime măsurăm iniţial distanţa parcursă de un punct material ce se deplasează rectiliniu (apoi o adaptăm noi şi la mişcarea pe alte traiectorii decât rectilinii). În mod corespunzător ne trebuie şi o unitate de măsură pentru rotaţie (iniţial cea plană), iar aceasta este în şcoala noastră gradul sexazecimal.

Cât este de mare gradul? Prin convenţie o rotaţie completă a fost împărţită în 360 de părţi, acest număr fiind ales ca aproximarea cea mai bună din punct de vedere al calculelor pentru numărul de zile dintr-un an, aproximare venită din vechime. Deci, o rotaţie completă are 360o. O jumătate de rotaţie are 180o iar un sfert de rotaţie 90o. Bine, veţi spune, şi dintre unghi şi arc, care are întâietate? Părerea mea este că nici unul nu este mai important. Diferă doar ordinea logică în care sunt folosite odată cu introducerea elementelor de materie şi parcurgerea claselor de studiu.

Astfel, paradigma în care actualmente „suntem acasă”, forma cu care suntem obişnuiţi, este următoarea: clasa a VI-a şi a VII-a (până spre final) sunt sub dominaţia totală a unghiului. În finalul clasei a VII-a apar pentru scurt timp arcele şi măsurile de arc, dar dispar apoi ca utilizare până prin liceu. Dar nici în liceu nu mai apar foarte clar, pentru că de 20 de ani a doua parcurgere, mai matură, a geometriei a fost scoasă (mă refer aici la marea învârtoşeală a patrulaterelor inscriptibile, a unghiurilor înscrise în cerc sau formate de o coardă cu o tangentă, a puterii punctului faţă de cerc etc.). Rămân doar vagi aplicaţii în zona trigonometrică, dar şi aici materia a fost algebrizată la maximum (mai nimeni nu mai predă cercul trigonometric şi justificările bazate pe geometrie ale respectivelor cunoştiinţe). Cine are nevoie de acestea la facultăţile tehnice – ghinion – să se descurce singur cum poate,  eventual în particular. Apropos cercul trigonometric: oare câţi ne gândim despre felul cum îi loveşte lipsa acestuia şi a justificărilor relaţiilor trigonometrice pe elevii cu o gândire bazată mai mult pe vizual şi pe raţionament spaţial? Vă zic eu: „ îi rupe”! Şi apoi ne plângem că n-a învăţat nimic copilul ăla. Ba nu! Noi nu i-am predat conform setării creierului său. Noi avem o materie prost concepută şi noi nu luăm măsuri de corectare minimală la clasă.. Noi suntem de vină, atât cei de la minister, cât şi cei de la clasă.

Deci, să ne lămurim, nu ia nimeni întâietatea unghiului (mă refer la întâietatea de preocupare prin ordinea materiei). Dar unghiul este o figură iniţial foarte abstractă. Una este să vorbeşti despre lungimea unui segment şi toţi copiii iau liniarul şi îl măsoară, şi alta este să le definim unghiul, iar apoi să le cerem imediat să-l măsoare. Gafa făcută în ultimii aproape 10 ani cu introducerea unghiului şi a măsurii sale în clasa a V-a prin mutarea simplă a lecţiei din clasa a VI-a este evidentă. Nu mă miră în acest context întrebarea unei colege în urmă cu mai mulţi ani: tu cum predai unghiurile? Că la mine elevii nu le înţeleg. (observase pe careva elevi de la mine din clase cu care se ocupase în particular, că ştiau unghiurile, le înţelegeau, le foloseau natural).

Această constatare ne duce tot mai aproape spre întrebarea: Bine, bine! Şi noi ce definim mai întâi? Arcul sau unghiul? Eu personal nici una nici cealaltă. În asta constă de fapt predarea intuitivă: să pleci de la ceva „intuitiv”, fără să defineşti acel ceva, să-l stabilizezi prin utilizare (ludică ar fi cel mai bine), iar apoi ulterior, cândva, la o viitoare abordare (predarea în spirală) să lămureşti lucrurile teoretic.

Ca să clarificăm această brambureală (nici un apropos, d-na Abramburica, subiectul acesta nu vă priveşte), să ne imaginăm cele două noţiuni în dispută, unghiurile şi arcele, poziţionate alături, fiecare cu pretenţiile sale de definire ca obiect şi ca unitate de măsură, iar undeva deasupra lor, dominându-le prin întâietate absolută: rotaţia. Elevul trebuie să primească în primul rând rotaţia, iar apoi imediat, dacă se poate chiar în paralel, cele două manifestări ale acesteia în fizic, unghiurile şi arcele. Înainte ca cel două noţiuni să se despartă, ele sunt încă împreună „în casa părintească”. Dar care este „casa părintească”? Pentru că rotaţia nu se poate reprezenta bine pe tablă ca o figură statică. Păi figura geometrică fizică în care se manifestă rotaţia este cercul, anume cercul trasat şi privit din centrul său (deci, nu un cerc desenat în jurul unei farfurioare). Rotaţia are un centru de rotaţie, iar manifestarea în planul fizic a rotaţiei o reprezintă cercul, instrumentul pentru vizualizarea acesteia fiind compasul. Iar dacă ne poziţionăm în centrul cercului şi ne rotim un pic, vom vedea că privirea noastră parcurge un unghi plecând de la poziţia iniţială şi până la noua poziţia, vorbesc de unghiul la centru, iar dacă întind mâna în faţă (ca o rază), vârful degetelor parcurg un arc de cerc, arcul subântins de acest unghi la centru. În timp ce mă rotesc, privirea mea parcurge un unghi, în timp ce capătul mâinii întinse parcurge un arc. Sper că aţi înţeles: eu fac aceste mişcări în faţa clasei cu mâna întinsă în faţă, întâi cele cu 360o, 180o şi 90o, apoi ultima cu măsura oarecare, pe care apoi o desenez şi pe cercul de pe tablă.

După ce completez pe tablă ce am arătat prin mişcare fizică, le mai arăt încă o dată cu ajutorul compasului de tablă văzut ca o bună imagine pentru un unghi (am un compas vechi din lemn cu braţele drepte şi care se deschide până peste 270o). Ţin compasul închis orizontal cu acul şi creta către stânga (elevii văd către dreapta) şi încep să-l deschid până la un moment când mă opresc şi îi privesc mândru: “acesta este un unghi, iar creta care se mişcă prin aer, dacă ar fi pe tablă ar descrie cercul respectiv”. Voi reveni la această exemplificare pentru vizualizarea unghiului, deschizând compasul ca pe un unghi, în clasa a VI-a când voi face clasificarea unghiurilor. Acolo eu fac o primă clasificare mai simplă (unghi ascuţit, drept şi obtuz), iar apoi una completă (unghi nul, ascuţit, drept, obtuz, alungit, supraobtuz şi unghi plin), ambele desenate pe tablă, dar şi arătate în aer prin deschiderea compasului privit ca un unghi.

Aşadar, mai întâi iau cercul ca manifestare a mişcării de rotaţie în planul tablei sau al caietului (se pot folosi chiar săgetuţe pe cerc care să arate mişcarea de rotaţie), iar apoi, din acesta, prin analiză a fenomenului, deduc unghiul la centru şi arcul de cerc, folosind ambele aceeaşi unitate de măsură: gradul ca măsură a rotaţiei. Aici se pot chiar introduce acele mici arce de cerc, uneori dublate sau chiar triplate, ce le punem în interiorul unghiului, aproape de vârful său, pentru a evidenţia unul sau altul dintre unghiuri. Sfatul meu este însă ca la primele utilizări să nu punem un simplu arc, ci de fapt un arc cu săgeată care să scoată în evidenţă rotaţia. Nu există un principiu „bătut în cuie”, dar eu pornesc în primele exemple de la poziţia cunoscută ca „originea cercului trigonometric”, adică punctul din partea dreaptă a cercului (îl putem denumi şi Est, prin analogie cu poziţia respectivă pe hărţile geografice), iar apoi rotaţia o pornesc în sens trigonometric, adică deschid unghiul sau arcul în sus. Desigur că elevilor nu le spun nimic din toate această ciudată „sădire a unor seminţe trigonometrice” (voi reveni din nou la poziţia specifică din cercul trigonometric, atunci când le voi explica apariţia raportului sinus dintre catetă şi ipotenuză într-un triunghi dreptunghic, în semestrul II din clasa a VII-a).

Măsurile le voi trece la început în paralel şi în vârful unghiului la centru şi pe arcul parte a cercului, la început deduse prin gândire, prin împărţirea cercului în părţi egale (cuvântul congruent îl introduc de-abia în clasa a VI-a). Concret, în primul rând voi lua un cerc împărţit în patru felii, ca la o pizza mică (noţiunea de sector de cerc poate şi aceasta să vină mai târziu), având trecut 90o în fiecare colţ. Aici putem aduce pentru prima dată atât raportorul poziţionat cu centrul în centrul cercului, şi copiii să vadă că acolo sus scrie 90o, dar şi echerul, copiii văzând cum echerul intră perfect în „unghiul drept”.

Teorema lui Pitagora – Un simbol denaturat

Începe şcoala! Imediat după Sântă Mărie marile lanţuri de magazine au dat startul la ofertele de ghiozdane şi rechizite şcolare. Peste tor am fost întâmpinaţi de afişe cu copii fericiţi că merg la şcoală şi învaţă. Vedeam mutriţe de copii curioşi şi atenţi la ceva ce pare că spune doamna învăţătoare sau domnul profesor, toţi având în mânuţă miraculoase creioane sau alte instrumente de scris cu care îşi iau notiţe pentru a fi cât mai deştepţi (dezvoltarea acestui subiect cu altă ocazie).

Magazinele folosesc imagini realizate – zice-se – de profesionişti, cu copii fotomodele. Cineva s-a gândit să pună nişte copii în faţa unei table pe care a pus apogeul creaţiei umane pentru zona gimnazială: Teorema lui Pitagora (mai găseşti fraieri care pun copil de gimnaziu alături de imagini cu semne de sume sau integrale). Fotograful, cu ale lui, luminozitate, încadrare în imagine, claritate, fardarea copilului ca să iasă bine, să zâmbească frumos, să fie expresiv etc. Altcineva a trebuit să scrie frumos pe tablă, ceva care să pară inteligent, de pildă un desen geometric cunoscut din diferite cărţi, despre care ştim că apare în contextul teoremei lui Pitagora, dar pe care nimeni nu ţine minte să-l fi învăţat cum trebuie (fără a da atenţie detaliilor de corectitudine, că doar nu se uită nimeni la matematica din spate!). Astfel ne-am trezit în pliantul produselor pentru săptămâna 20-26 august 2018 al lanţului de magazine Lidl (pag. 28 şi 30) cu următoarele două imagini:

Pentru cei care nu înţeleg ce “mă deranjează”, le recomand să studieze puţin imaginea de faianţă din postarea Teorema lui Pitagora şi faianţa din baie  în care se văd clar pătratele construite pe laturile triunghiului dreptunghic în exteriorul acestuia. Cei care au studiat clasele gimnaziale din manualele lui Hollinger, înainte de 1980, cunosc prea bine desenul. Dimpotrivă, mult prea mulţi dintre cei care au trecut prin gimnaziu după 1980 nici măcar nu fac legătura dintre acest desen şi teorema lui Pitagora (am văzut în ultimele luni arătând diferiţilor musafiri imaginea cea nouă din baie).

Pătratele respective realizează legătura dintre latura geometrice şi latura numerică a teoremei lui Pitagora. Desigur că se pot alege şi alte figuri geometrice de construit în exteriorul triunghiului dreptunghic, pe laturile acestuia: trei triunghiuri echilaterale, trei hexagoane regulate sau trei dreptunghiuri asemenea – ca în imaginile din pliantul Lidl – dar nimeni nu priveşte teorema lui Pitagora în acest mod; legătura cu forma numerică a teoremei există şi la acestea, dar este mai îndepărtată şi mai greu de cuprins intuitiv.

De mult am vrut să abordez acest subiect şi mă bucur de ocazia oferită. Permiteţi-mi să analizez lucrurile în detaliu. Imediat ce am început să predau, din primul an 1990-1991, am perceput deranjant cuvântul lungime din textul teoremei lui Pitagora (din manuale apărute după ce am absolvit eu clasa a VIII-a): În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (forma A). Eu ţineam minte teorema fără cuvântul lungime: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (forma B). Cu o empatie mai crescută pentru elevi, percepeam că textul – şi aşa destul de greoi – este îngreunat gratuit cu încă două cuvinte. Orice cuvânt care creşte rigurozitatea îngreunează totodată textul, făcând şi mai dificil de învăţat pe de rost textul.

Asta pentru cei care consideră că teorema lui Pitagora este ştiută dacă i se ştie textul pe dinafară. Iată o mică poveste în acest sens: în anii ’90 socrul meu se ocupa de un elev slab: “Măi copile, tu şti teorema lui Pitagora?” şi ăla începea să o turuie, “atunci fă problema” şi ăla nimic, “Măi, şti teorema lui Pitagora” şi ăla turuia iarăşi textul şi tot aşa mai departe, ştiind textul pe de rost, dar habar n-având ce să facă cu el; acel elev nu înţelegea ce se întâmplă, doar el tocise şi ştia teorema lui Pitagora ca text. Revenind la ale noastre, subiectul m-a preocupat da-a lungul timpului, aşa că l-am pătruns tot mult şi iată la ce concluzii am ajuns.

În primul rând trebuie să conştientizăm că teorema lui Pitagora are două faţete: cea numerică şi cea figurativă. Cei mai mulţi vor susţine în acest moment că natura numerică a teoremei este cea de bază, plecând de la argumente solide: tripletele pitagorice erau cunoscute din vechiul Babilon, iar actualmente teorema lui Pitagora se foloseşte de către toţi elevii în forma sa numerică. Chiar pitagora a fost în primul rând un numerist. Dimpotrivă, iubitorii de geometrie ar putea susţine că natura geometrică a teoremei este cea de bază, plecând de la realitatea că este vorba de o relaţie ce se petrece într-un context geometric, anume doar în triungul dreptunghic. Oricum, teorema apare peste tot în manualele sau capitolele de geometrie (doar Egmont Colerius a găsit de cuvinţă să includă teorema lui Pitagora în lucrarea De la tabla înmulţirii la integrală, nu în lucrarea paralelă De la punct la a patra dimensiune). Eu personal am studiat foarte mult această situaţie, chiar şi în afara programei româneşti, şi nu mi-aş permite să fac o ierarhizare între cele două naturi ale teoremei lui Pitagora. Mai degrabă aş căuta o stare de echilibru, exprimând teorema ca o relaţie ce poate fi scrisă cel mai exact în forma sa numerică, aceasta având însă o reprezentare grafică vizuală intuitivă sub forma sumei ariilor pătratelor catetelor.

Astfel am putea considera situaţia similară cu cea de la studiul funcţiilor şi reprezentarea grafică a acestora. Acolo, imediat ce se introduc funcţiile apare şi reprezentarea lor grafică. De ce nu se face şi aici la fel? Sfatul meu aici ar fi foarte simplu: stimaţi colegi, introduceţi teorema în forma sa numerică, dar daţi imediat şi reprezentarea grafică. Mai există aici un aspect deloc de neglijat: dând doar forma scriptic-numerică îi dezavantajaţi pe elevii cu o inteligenţă mai vizuală în defavoarea celor cu o inteligenţă mai numeric-algoritmică (tocilarii cum mai sunt ei cunoscuţi).

De ce nu se cere interpretarea grafică ca obligatorie prin programă? O explicaţie posibilă ar fi de natură evaluatorie: învăţământul românesc se interesează de reprezentarea grafică doar dacă apare diferit în diverse cazuri şi poate fi dată ca exerciţiu la temă sau la testări (de exemplu la funcţii). La teorema lui Pitagora desenul este acelaşi de fiecare dată. Cu alte cuvinte, în şcoala românească interesează doar forma de evaluare a reprezentării grafice (la funcţii), nu şi forma iniţială care l-ar ajuta pe elev să priceapă mai bine fenomenul (la teorema lui Pitagora). “Lasă-l să tocească textul, nu trebuie să-l şi înţeleagă!”.

Totuşi, pe mine nici o astfel de abordare nu m-ar mulţumi. Pitagora a pornit de la triunghiul egiptean (3; 4; 5) văzut la cei care măsurau terenul agricol în valea Nilului, trasând după retragerea apelor noi parcele pentru ţărani, folosind unghiul drept generat de sfoara cu 12 noduri pentru obţinerea unghiurilor drepte ale parcelelor (se pare că în vechea Indie se folosea în trasarea unghiurilor drepte o sfoară cu 30 de noduri, în mod similar cu metoda egiptenilor). Nu există însă dovezi că babilonienii (sau chiar vechii egipteni) să fi ştiut despre legătura dintre triunghiurile dreptunghice şi celelalte triplete de numere cu această proprietate (52 + 122 = 132 etc.). Se pare că pur şi simplu nu-i interesa aşa ceva. Marea realizare a lui Pitagora a fost că a făcut conexiunea dintre toate acestea, dar şi generalizarea la orice triunghi dreptunghic, nu doar la cele cu laturi numere întregi. Or, această generalizare nu se mai putea scrie în vremea respectivă numeric (le lipsea operaţia de putere). Pentru a ajuta citirea şi înţelegerea textulu, imaginea fiind mult mai grăitoare şi sugestivă (principiu folosit şi acum în mass-media), peste tot se alătura imaginea cu cele trei pătrate construite pe laturile triunghiului dreptunghic. Ca să nu vă tot plictisesc cu referiri la manuale vechi româneşti, vă prezint în sprijinul teoriei mele imaginea copertei revistei Les Cahiers SCIENCE & VIE (nr. 179 din iulie 2018).

Analizănd mai exact imaginea reprodusă vedem două aspecte. 1) În imaginea respectivă, care este copiată dintr-un text medieval, nu se dădea o mare atenţie unghiului drept: pătratele din această imagine erau “pătrate” doar cu titlu informativ. Totuşi se cam vede că-i vorba de nişte pătrate, mult mai pătrate decât cele din imaginile folosite ca fundal în pliantul Lidl citat la început. 2) În interiorul pătratelor apare câte o literă; desigur că în text se precizează relaţia dintre cel trei mărimi notate în interiorul pătratelor. Astfel, am putea da actualmente teorema lui Pitagora în următoarea formă: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei (voi denumi aceasta drept forma C). Eu personal o consider pe asta ca formă cea mai corectă, fiind mult mai intuitivă. Oricum, pentru copiii cu o înclinaţie mai vizuală a inteligenţei aduce o prezentare mult mai clară a relaţiei din teorema lui Pitagora.

Aici putem observa că subiectul este înrudit până la suprapunere cu cel al folosirii cuvântului pătrat pentru operaţia de putere a doua şi în acest moment balanţa începe logic să se încline în favoarea naturii geometrice a fenomenului. La folosirea expresiei la pătrat pentru a2, oare care este fenomenul iniţial, puterea a doua sau aria pătratului? Aici nu mă mai poate convinge nimeni că puterea a doua are prioritate. În acest punct al organizării lecţiilor suntem într-unul dintre cele mai împiedicate momente de predare din câte “se există”: să-i explicăm noi elevului că puterea a doua se numeşte la pătrat, fără să existe un demers logic de la figura pătrat, pe care elevul o cunoaşte din clasele mici, la nou-introdusa operaţie de putere, acest moment intră cu siguranţă în “top 5” al tuturor absurdităţilor predării matematicii din ţara noastră.

Revenind la teorema lui Pitagora, din cele trei forme prezentate mai sus este evident că cea neutră (forma B) este cea mai împăciuitoare, lăsând libertatea de înţelegere după nevoie, când spre zona aplicativă numerică, când spre zona vizual intuitivă. Formele A şi respectiv C nu ar trebui dictate ca text, dar ar trebuie cuprinse în egală măsură în prezentarea orală şi scrisă a teoremei, dar şi în alegerea diferitelor demonstraţii. În domeniul aplicativ al problemelor situaţia se înclină din nou înspre zona numerică, fapt pentru care profesorul trebuie să facă eforturi pentru a găsi măcar 1-2 aplicaţii ale aspectelor de arie a teoremei (acestea ar trebui de fapt puse la dispoziţie de către autorii manualelor).

Cum am mai prezentat cu alte ocazii, ca demonstrare a teoremei eu prefer să pornesc totuşi cu o demonstraţie de arie – în cadrul capitolului despre arii din semestrul I al clasei a VII-a – şi apoi, pe măsură ce apar cunoştinţe noi să vin şi cu demonstraţii de factură numerică. În acest context, consider cuprinderea teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a fără demonstraţie, ca o simplă observaţie, adică reducerea acestei teoreme “cea mai dintre toate” la un simplu “hocus-pocus” fără nici o legătură vizibilă cu triunghiul dreptunghic, ca o înjosire de neconceput a spiritului de minimă rigoare matematică ce ar trebui să ne caracterizeze predarea încă din gimnaziu. CTG, august 2018

P.S. Sper că cele de mai sus nu sunt înţelese ca un atac la adresa lanţului de magazine Lidl, şi ca să “îmi mai spăl din păcate” în acest sens permiteţi-mi să precizez cât de mult apreciez din punct de vedere matematic activitatea lor: magazinele Lidl sunt printre singurele (dacă nu chiar singurele) care ne aduc la fiecare început de an şcolar “echere geometrice” la un preţ civilizat (4 lei), înţelegând prin acestea acele instrumente folosite în toată Europa de vest sub această denumire şi care pot construi exact orice în afară de trasarea unui cerc: bisectoarea unui unghi, mijlocul unui segment fără măsurare, trasarea perpendicularei secante la o dreaptă, unghiuri de măsuri date etc. Dacă nu înţelegeţi ce spun, vă rog să studiaţi caietul Pentagonia nr.4 din arhivă despre folosirea acestuia. De ce după peste un sfert de secol de la abolirea oficială a comunismului în România încă nu este folosit pe scară largă acest instrument? (aceasta a fost o întrebare destul de retorică)

Matematica alternativă: 2 + 2 = 5!

După postarea precedentă pe tema 2 + 2, profesorul Kjell Sammuelson din Järna, Suedia, mi-a mai trimis încă o adresă de filmuleţ. Dacă la primul ne-am mai distrat, la acesta ne cam dispare zâmbetul de pe feţe. Filmul a avut o nominalizare pentru premiul Bafta pe 2012 la categoria scurt-metraje. 2+2=5 | Two & Two – [MUST SEE] Nominated as Best Short Film, Bafta Film Awards, 2012
Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi. Un prieten drag a primit în copilărie, prin clasa a VI-a, un 4 pentru că a insistat că şi metoda lui de a găsi centrul unui cerc cu rigla şi compasul era bună (o altă metodă decât cea cunoscută de către profesoară).

Econimie politică de clasa a V-a

Oamenii politici! Eu nu stau chiar toată ziua să văd ce şi cum fac aceştia şi în nici un caz nu mi-am propus să fac analiză politică pe un blog destinat artei predării matematicii. Totuşi, sunt şi eu om, cu slăbiciunile de rigoare, şi dacă apare unul care “se cere cu hotărâre” a fi poftit în faţă, atunci n-am ce-i face; dacă trebuie, trebuie! Astfel, în revista LUMEA nr. 7 din 2018, în cadrul articolului Dictatura secăturilor şi legile bramburelii semnat de către Viorel Patrichi, în cadrul rubricii România lucrului ţapăn făcut (pag. 104) am găsit următorul citat din Lia Olguţa Vasilescu:

“Eu v-aş ruga să mai puneţi mâna pe o carte de matematică de a V-a, că văd că unii dintre noi nu înţeleg limba română. La fel am spus şi anul trecut, dar nu aţi fost atenţi. Am explicat atunci că o dublare nu înseamnă automat o creştere cu 100% a salariului. La unii, dublare poate fi o creştere de 10% sau chiar o scădere de 40%, depinde de care parte a diagramei te situezi. Eu ce să vă fac dacă nu v-a plăcut matematica?”

Dacă era numai despre învăţatul limbii române din manualul de matematică de clasa a V-a (unul din cele apărute prea târziu sau din compendiu?), atunci nu mă implicam în subiect. Nici măcar acolo unde se explică faptul că o dublare nu înseamnă o creştere cu 100% (o să ţin minte şi aşa am să le explic elevilor, când oi mai avea clasa a V-a, că la anu’ n-o să am. Ca norocu’!). Da-mi permit şi eu să ridic două degete şi să întreb cu respect: o scădere de – 40% înseamnă de fapt o creştere de + 40%? Adică, am voie să folosesc faptul că “minus cu minus” face plus, la fel ca şi “plus cu plus”, la fel ca la desfăcutul parantezelor: – (– 40% ) = + (+ 40%)? Întreb adică dacă în clasa a V-a am voie să folosesc limba română din manualul de matematică de clasa a VI-a, aşa cum o face de pildă Mugur Isărescu când prevede spre sfârşitul verii o inflaţie negativă, adică o “creştere negativă a preţurilor”? Q.e.d.!!!

Matematica alternativă: cât fac 2 cu 2

Concurs de secretare la o firmă. Intră prima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 4. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Respectiva iese afară şi le povesteşte celorlalte de întâmplare, precizând că nu părea mulţumit de ultimul răspuns.

Intră următoarea: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 3, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe prima cam risipitoare. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Ajunsă afară, le precizează celor rămase că nici răspunsul de 3 nu pare să-l fi mulţumit pe directorul ciudat.

Intră a treia doritoare: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă şi pe ea cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 5, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe precedenta cam zgârcită. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Afară aceasta îi spune ultimei rămase că nici 5 nu pare să-i fi fost pe plac şefului.

Intră a ultima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul cu întrebarea încuietoare: “cât face 2 + 2?”. La care aceasta răspunde: “Cât vreţi dvs. domnule Director!”

*

Se pare că s-au gândit şi alţii la acest subiect. Uitaţi ce filmuleţ am găsit (sub 10 minute):

Alternative Math | Short Film

Mulţumesc prietenului meu Kjell Sammuelson care mi-e atras atenţia asupra acestui filmuleţ (pensionat de câţiva ani; a predat la o şcoală Waldorf din Järna lângă Stockholm). Oare asta ne aşteaptă şi pe noi? Un şef de nota 4

Suma unghiurilor exterioare

În prima postare despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, publicată la începutul lui 2018, vorbeam despre Suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi sau ale unui patrulater. Această serie de teoreme neinclusă în programa oficială este surprinzătoare prin faptul că rezultatul este întotdeauna 360o (se păstrează şi la orice alt poligon), pe când suma unghiurilor interioare variază, adăugând câte 180o la fiecare latură în plus.

Teoremele pot fi prezentate “pentru pretenţioşi” şi într-una singură, dar eu recomand eşalonarea acestora în trei etape, în paralel cu evoluţia gândirii elevului, mizând în fiecare pas pe surprinderea elevului, dar şi pe faptul că de la un moment la celălalt aceştia evoluează iar subconştientul lor lucrează. Prezentarea unei singure teoreme la lecţia despre poligoane în clasa a VII-a ar dezvălui întregul fenomen de-o dată, eliminând factorul temporal şi evoluţia gândirii copilului din discuţie. Aceasta ar fi o predare curat matematică, pe când eu pledez pentru o predare mai artistică, ca într-un film ce nu-ţi dezvăluie dintr-o mişcare totul, ci îţi eşalonează informaţiile până spre final, personajele evoluând cu timpul (la fel şi în forma propusă de mine, unde informaţiile evoluează).

Concret, eu nu am făcut la clasă suma unghiurilor exterioare, ci am dat-o ca temă, discutând-o apoi la începutul orei următoare. Din temele elevilor am ales o serie de imagini care arată şi diferitele tipuri de gândire, conform nivelului de evoluţie al gândirii elevului. Astfel, Elevul 1 are clar o gândire concretă, o gândire în stadiul operaţional concret (gândire specifică copiilor): el a măsurat cele trei unghiuri exterioare şi a calculat suma. Evident că a înţeles ce sunt acelea unghiuri exterioare şi mânuieşte corect şi exact raportorul.

Elevul 2 s-a gândit că ar trebui să aplice teorema învăţată la clasă, dar gândirea sa este încă concretă la bază. Elevul 3 este trecut de mult într-o etapă nouă de gândire, cea specifică stadiului operaţional formal (nivelul adult de gândire) El nu a mai măsurat nimic, ci doar a aplicat sec teoremele învăţate înainte, dovedind că stăpâneşte inclusiv gândirea algebrică necesară unui astfel de calcul. Se vede că elevul 2 este situat în procesul evoluţiei gândirii într-o poziţie intermediară, de tranziţie, între gândirea concretă şi cea formală (trecerea de la o fază la cealaltă a gândirii se face – teoretic – undeva între 11 şi 12 ani, existând însă şi excepţii în ambele sensuri). După verificarea temei le-am arătat elevilor şi o demonstraţie de tipul celei cunoscute de la suma unghiurilor interioare în triunghi.

Când am trecut la patrulatere, după prima lecţie unde studiasem suma unghiurilor (interioare), le-am dat din nou ca temă găsirea sumei unghiurilor exterioare. Elevii tocmai au văzut că suma unghiurilor interioare s-a dublat (aşa văd elevii în acel moment; că se adaugă de fapt încă 180o odată cu adăugarea unei laturi, asta vor descoperii de-abia la studiul poligoanelor cu mai multe laturi). De vreme ce suma unghiurilor interioare s-a dublat, este de aşteptat să se modifice rezultatul şi la suma unghiurilor exterioare, dar, surpriză (acasă, la făcutul temei, pentru cei care au forţa), suma unghiurilor exterioare se păstrează la fel ca la triunghiuri. Între timp tehnica de calcul a mai evoluat, există şi ştersături, poate a mai ajutat şi o verişoară dintr-o clasă mai mare (?), dar oricum, iată că răspunsul este tot 360o (ultima imagine).

La poligoanele regulate voi da din nou această temă şi ne putem închipui cum vor fi rezolvările şi discuţiile de la clasă (poate vor fi elevi care vor zice direct la datul temei că rezultatul trebuie să fie tot 360o). ctg

Corpuri geometrice Art-Deco

De câţiva ani au început să apară prin revistele străine de aranjamente interioare diferite corpuri geometrice cu rol decorativ. Bunica ar fi folosit cuvântul bibelouri, dar folosirea acestora trece mult de simplu obiect decorativ, acestea fiind integrate în diferite contexte, alături de plante, lumânări sau becuri. Curentul a ajuns să fie preluat şi de marile lanţuri de magazine, aşa că ne este tot mai des dat să găsim şi la noi prin magazine diverse corpuri geometrice decorative. Toate acestea se bazează de fapt pe frumuseţea evidentă a acestor corpuri, frumuseţe geometrică ce este actualmente clar “pe val”. Oare ce facem noi la orele de matematică, de această frumuseţe nu mai ajunge la sufletul elevilor? Oricum, de obicei sunt folosite corpuri din afara programei de matematică, în general corpuri care să-ţi dea de gândit. În postarea de faţă am selectat doar câteva din multitudinea de exemple.

Vara aceasta, pe când ne pregăteam să încheiem şcoala, mai exact chiar în ziua când elevii de clasa a VIII-a se strânseseră dimineaţa la şcoală pentru proba EN la matematică, un elev drag din clasa a V-a a venit la mine cu un corp. Am izbucnit entuziasmat şi m-am adresat cu acest corp direct grupului de elevi de a VIII-a într-o ultimă încercare de a le mai picura ceva matematică în minţile stresate (faptul că acest corp seamănă foarte mult cu cel din problema de la sub. III, 2 am constatat cu uimire pe la prânz). Apoi am înţeles că acest corp era de fapt cadou pentru mine. Aşa că i-am mulţumit cu drag elevului respectiv şi mai târziu printr-un SMS mamei elevului: Vă mulţumesc f. mult pt. tetraedrul regulat cu liniile mijlocii ale feţelor formând un octaedru regulat J. Titus  Spre seară a venit şi răspunsul: Ioii…mi s-au blocat neuronii. J Cu mare drag. Copilu’ a ales cadoul. “Wow… ce i-ar plăcea lui Titus piramida asta. I-o cumpăr din banii mei”. Aşa cevaaa … O seară frumoasă. (Cumpărată din JYSK)

Ulterior (era deja vacanţă) am găsit pe coridoarele din Iulius Mall (Cluj) un stand de prezentare ornat cu ghivece multicolore în formă de dodecaedru regulat.

Tot în Iulius Mall, la florăria Magnolia am fotografiat o plantă care creşte în aer încadrată într-un octaedru regulat. Undeva în vara lui 2017 am fotografiat pe mesele unei terase din centrul Clujului următoarea decoraţiune, o grădinuţă micro-seră în formă de dodecaedru regulat. Ultima dată acest corp apărea în România în anii ’60-’70 (doar) pe coperta unui manual de clasa a VIII-a avându-l ca autor pe profesorul A. Hollinger.

Revenind în prezent, vara aceasta am achiziţionat dintr-un magazin Leroy Merlin o lampă suspendată în formă de icosaedru regulat. Nu ştiu unde o voi agăţa, dar, de cumpărat am cumpărat-o. Acesta este corpul dual, corpul pereche, al dodecaedrului regulat şi da, şi acest corp era reprezentat alături de celălalt pe manualele profesorului Hollinger. Această lampă există actualmente în oferta magazinului, desigur alături de o lampă similară dodecaedrică (cea icosaedrică este albă şi cu un bec, cea dodecaedrică este neagră şi cu trei becuri). Acestea sunt două din cele cinci corpuri perfecte, aşa numitele corpuri platonice. Un dodecaedru similar negru era folosit prin toamnă ca decoraţiune pentru vitrină de către magazinele de încălţăminte ecco.

În urmă cu câţiva ani am achiziţionat din magazinul JYSK un lămpaş pentru lumânare în forma unui corp arhimedic pe care vă las bucuria a-i găsi singuri denumirea (în poză în stânga, alături de altul achiziţionat dintr-un magazin second-hand). Corpurile arhimedice sunt trunchieri ale corpurilor platonice, având diferite feţe poligoane regulate, dar păstrând constant unghiul diedru dintre două feţe alăturate (căutaţi pe net platonic/ arhimedic solids)

Înapoi în 2017 am achiziţionat din Kaufland un suport de lumânare de masă în forma unui corp cu feţe pătrate şi triunghiuri echilaterale. Acesta nu mai este corp arhimedic, dar este foarte decorativ.

Închei cu o selecţie de trei poze din revistele franţuzeşti CAMPAGNE DECORATION (numere din 2017 sau 2018, achiziţionate dintr-un magazin inmedio), ce prezintă interioare din diferite case. Primele două prezintă etalarea banalului cub (ce frumos poate să arate un cub!), pe când ultima poză oferă o adevărată provocare: este vorba de un obiect vechi (vintage, cum spun aceştia, făcut cine ştie când) în forma unui dodecaedru regulat cu anumite diagonale ale feţelor sale pentagonale, diagonale astfel alese încât să formeze un cub, totul amplasat pe un suport, pentru “a pluti” misterios în aer. Închei cu certitudinea că şi onoraţii cititori vor găsi alte exemple în acest sens. CTG (cu scuzele de rigoare pentru calitatea slabă a ultimelor trei poze)

Moo-thematics

Se spune că, după ce a descoperit minunata relaţie din teorema sa, Pitagora ar fi sacrificat pe altarul zeilor 100 de boi drept mulţumire. Se mai spune că, de atunci, toţi „boii” tremură când aud de teorema lui Pitagora. În vremurile noastre vitele folosesc matematicii într-un mod mult mai paşnic. Astfel, o persoană ce cunoştea destul de bine matematică a găsit nişte poze cu diferite rase bovine şi, ce i-a trecut prin cap? Să explice elevilor într-un mod mai atractiv, mai edificator şi mai adaptat nivelului de atenţie al acestor vremuri, cum stă treaba cu reprezentările grafice. Asta da explicaţie „pe înţelesul tuturor”! (oare acest ultim comentariu nu este o aluzie cam jignitoare pentru anumiţi elevi mai „grei de cap”?) Pozele sunt preluate de la adresa https://9gag.com/gag/avO9x3q .

Ciurdaru matematic

 

OIM 2018 la Cluj – Ecouri despre organizare

Din start trebuie să acordăm toate creditele şi să exprimăm sincerele laude la adresa tuturor celor care au făcut posibil acest eveniment la Cluj: Chapeau! (aşa cum zice francezu’), adică Jos pălăria! De la primele gânduri vizionare de a construi o sală polivalentă modernă la Cluj (alături de superstadionul cel nou), prin toate luptele de materializare a proiectului, apoi prin ultimii ani când Clujul ca întreg s-a rodat în organizarea a tot mai mari evenimente (UNTOLD-ul fiind doar vârful de lance “cel mai zgomotos” în acest sens), la cei care au folosit oportunitatea din urmă cu doi ani de a aduce OIM la Cluj şi până la toţi cei care au muncit în organizare şi în realizare. Faţă de toţi: Jos pălăria! Astfel Clujul a ajuns într-adevăr şi cu drepturi depline în 2018 Capitala Mondială a Matematicii. Da, Clujul a devenit tot mai mult “the place to be!”, o destinaţie turistică de vacanţă, pe un spectru foarte larg de domenii, conform preocupărilor cetăţenilor săi, iar matematicienii au ajuns din nou “în linia întâi”.

Ziarul Făclia de Cluj a fost în această vară deosebit de activ în relatarea evenimentelor de la  OIM, d-na Monica Tripon aducând multe date culese de peste tot, dar şi oferind câteva interviuri cu cei implicaţi în organizarea evenimentului. În interviul cu dl. Prof. Cătălin Gheorghe, leaderul echipei României la IMO 2018, publicat în ediţia de vineri 20 iulie, alături de analiza rezultatelor echipei române, apar şi câteva elemente despre organizare.

M.T.: Cum apreciaţi că s-a desfăşurat, din punct de vedere al organizării şi coordonării, ediţia IMO de anul acesta, de la Cluj, comparativ cu celelalte ediţii, din alte oraşe ale lumii, la care aţi participat cu echipa României? S-a ridicat Clujul la înălţimea aşteptărilor? Cătălin Gheorghe: Am să spun câteva vorbe despre coordonare. Trebuie ştiut că am avut coordonatori din “categoria gold”. Foştii noştri olimpici au acceptat să vină să “pună umărul” ca totul să fie foarte bine. Puţine sunt naţiunile care ar putea să aducă coordonatori de un asemenea nivel, care să-şi aibă “originea” chiar în ţara organizatoare.

Legat de organizare, spuneam înainte de a începe olimpiada că până la acel moment totul a funcţionat impecabil, sperând că “efectele” acestei munci se vor vedea între 3 şi 14 iulie. Însă ce s-a întâmplat în timpul olimpiadei a întrecut aşteptările. Pot să divulg câteva comentarii din interior. Leaderul din Coreea de Sud mi-a spus că el crede că aceasta este cea mai bună organizare din ultimii ani. Englezii (ei vor organiza în 2019 olimpiada), ca şi ruşii (organizatori în 2020), erau un pic “nemulţumiţi” pentru că, se pare, “ştacheta” organizării a fost (spuneau ei) ridicată mult prea sus şi se va face mereu comparaţie cu ediţia din Cluj.

Acum câteva săptămâni ziceam că doar un nume îmi este cunoscut dintre organizatori. Acum, pe lângă numele Mariana Pop am să-l adaug şi pe cel al lui Valentin Cuibus. Cei doi, ajutaţi de alte zeci, au format o echipă care cred că ar fi fost, glumind, iarăşi în top, în clasamentul pe medalii, dar şi pe puncte. Eu personal mă înclin în faţa lor.

Tot în ziarul Făclia de Cluj în ediţia de luni, 30 iulie Monica Tripon a adus un nou interviu, de data asta cu dl. Inspector şcolar general Valentin Cuibus, cel care a fost şi managerul ediţiei 2018 a OIM, interviu publicat sub titlul (pompos, dar realist) O vară fierbinte la Inspectoratul Şcolar Judeţean Cluj. Iată, în continuare, legat de organizarea, coordonarea şi gestionarea evenimentelor, câteva citate din acest interviu.

Valentin Cuibus: Mulţumiri tuturor pentru felul cum s-au implicat şi mulţumiri celor 400 de voluntari, fără de care ar fi fost imposibilă toată această “mişcare de forţe”, pentru că a fost o mişcare de forţe. Cred că aprecierea cea mai semnificativă a venit din partea preşedintelui board-ului IMO, Geoff Smith, care a spus, împreună cu leaderul Rusiei (pentru că Londra şi Sankt Petersburg vor fi următorii organizatori ai olimpiadei): “Aţi ridicat organizarea IMO la un nivel mult prea sus, pe care ne va fi foarte greu să îl atingem în anii următori”. Este, până la urmă o recunoaştere a felului cum s-a desfăşurat această olimpiadă internaţională şi a faptului că ea a însemnat ceva pentru Cluj şi pentru România. (…)

Am avut parteneri mai mult din mediul de afaceri decât instituţionali şi mulţumim tuturor, pentru că s-au implicat extraordinar în desfăşurarea evenimentului, şi lucrul acesta s-a văzut. (…) sunt peste 60 de agenţi economici care s-au implicat în organizare şi lucrul acesta s-a văzut, în sensul că au fost resurse pentru ca totul să se desfăşoare în cele mai bune condiţii.

Despre implicarea autorităţilor locale dl. Cuibus are doar cuvinte de laudă: N-am avut nici cea mai mică problemă! Am şi făcut o întâlnire, după IMO, şi le-am mulţumit tuturor, pentru că atât instituţiile din subordinea Prefecturii, cât şi instituţiile din subordinea Primăriei s-au implicat şi, cel mai important, n-au spus niciodată “Nu se poate”, ci au căutat soluţii ca să rezolve problemele care au apărut. Şi, gândiţi-vă că au apărut foarte multe, în momentul în care îţi vin participanţi din 114 ţări, începând cu vizele, transportul, cazările, modificările de sosiri cu avionul, deci foarte multe lucruri pe care nu puteai să le gestionezi fără o echipă care să înţeleagă că trebuie să se adapteze la situaţia concretă a momentului.

Într-un număr precedent de joi, 26 iulie, dl. Prof. univ. Dorin Andrica de la catedra de geometrie a Facultăţii de matematică clujene, în calitate de preşedinte al comisiei de coordonare a celei de-a 59-a ediţii a IMO, a adus elemente inedite despre organizare.

Dorin Andrica: Am asistat la selecţia problemelor propuse în cele două zile de concurs şi am organizat procesul de corectare. (…) corectura lucrărilor se face în paralel, de către delegaţiile ţărilor participante şi de către comisia de coordonare. Confruntarea notelor s-a făcut în zilele de coordonare, după un program stabilit riguros pe probleme şi ţări. Pentru fiecare problemă au fost şase mese de coordonare. La problemele 2-5 au fost câte doi coordonatori la fiecare masă, iar la problema 1, câte trei coordonatori, deci în total am avut 78 de coordonatori (partea aritmetică a acestei descrieri nu e clară, cred că trebuia “la problemele 2-6”; la nivelul OIM şi aritmetica devine mai greu de înţeles; iată o încercare de traducere: 6 mese x 5 probleme x 2 coordonatori + 6 mese x 1 problemă x 3 coordonatori = 60  + 18; vedeţi de unde vine ordinea operaţiilor?). Dintre aceştia, 76 au fost români, iar doi au fost invitaţi străini (UK şi Mexic). Pe lângă coordonatori, am mai avut câte un căpitan de problemă, deci comisia de coordonare a fost formată din 85 de persoane, adică 84, plus preşedintele comisiei, care am fost eu.

Este remarcabil faptul că 51 de coordonatori români sunt foşti olimpici, care în prezent studiază sau ocupă poziţii în universităţi din străinătate. Aceştia au răspuns fără ezitare invitaţiei de a face parte din comisia de coordonare. Am putea spune că IMO 2018 s-a întors acasă, în România, şi cu ea s-au întors şi o bună parte din foştii olimpici români.

Monica Tripon: Cum apreciaţi organizarea IMO la Cluj-Napoca? A fost, această organizare, la nivelul celor din celelalte oraşe ale lumii? Dorin Andrica: Nu cred că se poate reproşa ceva legat de organizare. Programul a fost organizat foarte bine şi a fost respectat punct cu punct. Din discuţiile pe care le-am avut cu reprezentanţi ai unor delegaţii, aceştia au fost încântaţi de locaţie, de program şi de ospitalitatea românească. Ei au fost foarte impresionaţi de numărul mare al voluntarilor care au contribuit din plin la reuşita IMO 2018. (Cei care îl cunosc pe dl. Prof. Andrica şi felul său reţinut de a vorbi vor înţelege mai bine aceste rânduri ca o mare laudă la adresa organizării.)

În postarea precedentă, în care am adunat elemente de analiză a rezultatelor echipei României la această olimpiadă (analiză ce a scăpat un pic de sub control în lungime) am avertizat că tratarea subiectului poate ajunge interminabilă (multă cerneală va mai curge pe Someş şi pe Dâmboviţa pe această temă). Ca un alt P.S. la partea de analiză a rezultatelor, iată un nou episod în acest sens. Interviul cu dl. Andrica publicat în ziarul Făclia de Cluj de joi, 26 iulie, apare sub titlul Rezultatul obţinut de echipa României la IMO ilustrează “şi tendinţa descendentă a nivelului şcolii din ţara noastră”, la început Monica Tripon citând dintr-un interviu precedent cu dl. profesor: (…) din multe puncte de vedere, sistemul românesc actual de învăţământ este “un hibrid între ceea ce a fost în perioada comunistă şi ceea ce dorim să fie de fapt”. Vedeţi din nou exact ce am spus în postarea precedentă de pe pentagonia.ro: adevăruri spuse “cu jumătate de gură” şi lăsate să plutească în aer, să înţeleagă fiecare “ce vrea şi cât îl duce mintea”.

Monica Tripon: În interviul pe care l-aţi acordat ziarului Făclia înainte de începerea olimpiadei spuneaţi că “din multe puncte de vedere, IMO reflectă sistemul de învăţământ al unei ţări la nivel de elite”. (…) Care consideraţi că este “lecţia” acestei ediţii a IMO (şi urmează iarăşi în întrebare expresia cu soarta învăţământului românesc)?

Dorin Andrica: Cred că rezultatul obţinut de echipa noastră la această ediţie a IMO ar trebui să tragă un semnal de alarmă. Poate că a sosit momentul să ne uităm şi noi la programele din unele ţări care în ultimii ani au obţinut rezultate deosebite, să preluăm anumite idei şi să le adaptăm la sistemul nostru.

Cu alte cuvinte, ca să încercăm să încheiem conciliant între cele două extreme matematice şcolare, adică între preocupările câtorva pentru cei mulţi, cei 99,99%, şi preocupările “celor care se ocupă de soarta învăţământului românesc” pentru cei puţini dar “tari”, adică pentru olimpicii de vârf, cei 0,01%: nu doar matematica pentru toţi elevii, matematica de la nivelul de bază, este “la pământ”, dar şi matematica pentru olimpici, matematica la nivelul elitelor, este “în aer”!

În final doresc doar să-mi exprim un ultim gând de vară “de la Cluj”: între timp au ajuns să vuie peste oraş şi peste toate dealurile înconjurătoare ritmurile nespus de ţăcănite ale UNTOLD-ului. Bumţi-Bumţi după prânz, spre seară, în continuare prin noapte şi tot aşa mai departe pââââână la 8 dimineaţa (pe la 8 şi un sfert se cam termină; acesta o fi urmaş al “sfertului academic”?). Depinde doar de cum bate vântul (ad literam): dacă vântul bate de la tine spre Cluj-Arena, atunci ai linişte; dacă vântul bate dinspre stadion către tine, atunci Bumţi-Bumţi!!!! Ce interesant este să lucrezi la un text despre IMO, savurând o cafeluţă la 7 dimineaţa, pe ritm de Bum-Bum-Bumţi-Bumţi, Bum-Bum-Bum! CTG

OIM 2018 la Cluj – O analiză a rezultatelor României

Ziarul Făclia de Cluj a publicat un interviu cu domnul Cătălin Gheorghe, leaderul echipei României la IMO 2018, în ediţia de vineri 20 iulie, pe aproape o pagină întreagă  (pag. 11). Prof. univ. dr. Cătălin Gheorghe este prodecan al Facultăţii de Matematică şi Informatică a Universităţii din Bucureşti şi director general al Societăţii de Ştiinţe Matematice din România. Interviul este pe alocuri surprinzător pentru că atinge anumite aspecte pe care de obicei le considerăm de la sine înţelese. Acestea sunt însă lăsate la libera imaginaţie a fiecăruia, iar dacă discuţia ajunge prea aproape de revelarea crudului adevăr, gândurile respective „le împingem sub preş”. Vorbesc aici de gândurile care contravin paradigmei în care am fost forţaţi să gândim prin politica de partid şi de stat în anii ’80 şi de care încă nu ne-am descotorosit nici după un sfert de secol. Interviul este vast şi atinge aspecte importante – atât pozitive, cât şi negative – astfel încât am considerat că trebuie cunoscut de cât mai mulţi, preluându-l în mare parte, în pasaje selectate şi uneori rearanjate. Datorită diversităţii subiectelor atinse, le voi trata în mai multe postări. În prezenta selecţie voi prelua şi voi comenta doar elementele legate de analiza rezultatelor echipei noastre la această OIM. Semnatara articolului din care citez este din nou Monica Tripon.

Astfel, Cătălin Gheorghe consideră că „ţinând cont de medaliile obţinute de copii noştri”, rezultatul este mai bun decât cel de anul trecut, de la Rio. (deja se simte o notă de discurs defensiv, ce arată că, la momentul interviului existau deja întrebări despre nivelul rezultatelor oarecum „sub nivelul aşteptărilor”; atitudinea defensivă, de justificare se găseşte şi în alte puncte ale articolului citat) În opinia sa, „dacă nu am fi fost «pe teren propriu»”, la ediţia 2018 a IMO „am fi avut două medalii de aur şi nu una”…. medalia de argint a fost la doar un punct de aur… unul din cei doi copii care au obţinut menţiune a fost şi el la doar un punct de bronz. (Iarăşi, o noanţă lăsată la libera imaginaţie a fiecăruia: cu ce ne-a dezavantajat participarea «pe teren propriu»? Să fie oare filtrul ziariştilor care lasă întotdeauna lucrurile într-un «clar-obscur» ameţit, din care nu ştim ce să înţelegem; oare fac asta intenţionat sau din neştiinţă? Spun acest fapt pentru că pe un matematician nu îl putem suspecta că vorbeşte «înceţoşat»). „Să ne bucurăm acum de ce avem «de bucurat»”, şi „merită să-i felicităm (necondiţionat) pe copiii noştri”.

M.T.: Felicitându-i pe aceşti tineri minunaţi, rămâne, totuşi, întrebarea: de ce, totuşi, doar locul 33? … este cu adevărat scorul obţinut anul acesta de România cel mai slab din istoria IMO? Cătălin Gheorghe: Poate ar trebui lămurit un lucru de la început. OIM este o competiţie individuală. Se face, într-adevăr un clasament în urma punctelor adunate de fiecare echipă, dar acesta este neoficial. Dacă ar fi să ne uităm la medaliile obţinute de copiii noştri, rezultatul nu este slab. Eu îl consider mai bun decât anul trecut. …. Locul mai puţin bun obţinut în clasamentul (pe echipe), într-adevăr cel mai slab de când există această competiţie, a fost ocupat din cauza punctajului foarte slab a doi dintre copii. Nu vreau ca „etichetarea” rezultatului din acest an ca „cel mai slab” să umbrească prestaţia celor patru care au fost la înălţime. (o analiză şi o „traducere” mai detaliată a acestor rânduri voi face după epuizarea citatelor)

M.T.: Care consideraţi că este „lecţia” IMO 2018 pentru cei care decid «mersul» învăţământului românesc, pentru profesori, pentru elevi şi pentru părinţi, deopotrivă?  Cătălin Gheorghe: Ar putea fi spuse multe, aici. Nu ştiu câţi cunosc acest fapt, dar în perioada mereu amintită, atunci când România era în „top 10”, exista o pregătire centralizată, organizată de minister. Lotul lărgit (de 40 de copii din toată ţara) se reunea în ultimul trimestru într-o singură clasă de excelenţă. Exista o perioadă de pregătire comună de 2-3 luni. Un alt aspect este cel al Bacalaureatului. … Bac-ul pentru „olimpici” este „plasat” mereu în perioade care încurcă mult pregătirea sau selecţia loturilor … Am un mesaj şi către părinţi. Mirajul universităţilor de top din străinătate îi face să pună multă presiune pe copii. Ca urmare a acestui fapt, participarea la olimpiadă devine de multe ori doar o rampă de lansare către a face „studiile afară”, bucuria de a face matematică trecând pe planul doi. Eu nu spun că este anormal ca cei mai buni să-şi dorească să studieze la Harvard, Princeton sau Oxford, dar acest lucru trebuie să vină natural, fără presiune. Iată, aşadar, trei motive care poate că influenţează negativ rezultatele actuale ale olimpicilor. … În final vă spun „să ne bucurăm de bucuria copiilor noştri” care au adus din nou medalii României.

*

Da, astfel decurg discuţiile post-IMO. O analiză a acestor rânduri este supusă pericolului de a deveni interminabilă. Să începem cu un aspect mai simplu, ce a apărut în ultima întrebare, unde în ziar era folosită de fapt exprimarea „soarta învăţământului românesc”, eu schimbând în „mersul învăţământului românesc”. Ne plac cuvintele mari, cât mai mari, uneori mult prea mari: păi, dacă vorbim de soartă, atunci aceasta este şi nu o decide cineva. Cu alt cuvinte, soarta este decisă la “nivelul divin”, pe când cei care decid mersul învăţământului nu sunt zei (ce-ar fi spus regretatul Neagu Djuvara cu ale sale analize a regimurilor fanariote din ţările române?). Cred că varianta cu mersul învăţământului românesc este mai umană, mai corectă în acest context. În afara analizei folosirii unei exprimări exagerat de pompos „literare”, rămâne întrebarea: de ce ar trebui să folosim un astfel de limbaj? Păi, aşa ne-am obişnuit pe vremea „lui Nea Nicu”, când toate articolele se luptau să proslăvească. Îmi vine în minte doar o comparaţie: la melodia din anii ’90 Pump Up the Jam (Technotronic) nişte nemţi stupizi au făcut o parodie Pump Ab das Bier (Werner Wichtig); eu cred că aici avem doar o manifestare a fenomenului de Pump up the national Ego, fenomen cu care suntem obişnuiţi la mai toate luările de cuvânt publice (fostul prim-ministru Dacian Cioloş reprezintă o mare excepţie în acest sens, dar sunt şi mulţi alţii care nu epatează cu figuri de stil “literare” atunci când vorbesc în public).

Aceste gânduri ne duc mai departe spre un altul şi mai ciudat: a întreba despre soarta, adică mersul învăţământului românesc pe leaderul lotului naţional pentru OIM şi a primi de la dânsul un răspuns legat strict despre cum se pot ridica rezultatele “olimicilor noştri” din nou la nivelul de altădată, această întrebare şi acest răspuns par să reducă situaţia, adică soarta învăţământului, doar la nivelul rezultatelor la OIM. Pardon!? Unde sunt restul de 99,99% dintre elevii români în subiectul acestei întrebări? (am fost tentat să scriu 99,(99)%, ceea ce i-ar fi redus pe cei şase cel mult la un insignifiant epsilon; nu vreau să le neg în nici un fel valoarea, dar cantitativ pe acolo discutăm). Realitatea este însă că în ultimii 30-40 de ani toată atenţia celor care s-au ocupat de „mersul învăţământului românesc” s-a cam îndreptat în principal în direcţia creşterii rezultatelor vârfurilor (de abia în ultimii ani lucrurile au început să se schimbe). Surprinzător este faptul că aceasta este şi poziţia din care privesc oamenii de rând (în fiecare an primesc laude de la părinţi din şcoală, de la clase mai mici, legat de “frumoasele rezultate”, doar pentru că există în fiecare an şi câte un 10 sau alte note în apropierea lui 10; se pare că nimeni nu se uită la notele sub cinci, ci doar la vârfuri). Vă las pe dvs. să gândiţi întrebarea corectă ce trebuia pusă d-lui Cătălin Gheorghe, la care dânsul a răspuns conform poziţiei ocupate (eu nu contest răspunsul, ci doar forma întrebării).

Ajungem acum şi la analiza subiectului principal al acestei părţi de interviu, pe care îl pot traduce sec şi vulgar în felul următor: Nu ne este suficientă o medalie de aur (şi toate celelalte mai slabe)! Vroiam şi noi un loc mai bun pe naţiuni, care să corespundă orgoliului nostru naţional în acest sens. Eu zic că despre asta este vorba. Putem spune şi mai agresiv: “Cum adică, noi care suntem cunoscuţi în lume ca cei mai …” şi noi cu “olimicii noştrii”, NOI SĂ FIM DOAR PE LOCUL 33 PE NAŢIUNI? SCANDAL!!! Data trecută când am organizat NOI olimpiada, în ’96, am fost primi pe naţiuni; acum doar locul 33 (alături de Franţa!?, da cine-s francezii în domeniul ăsta?!) Eu cred că acestea sunt cuvintele nescrise din spatele acestei părţi de interviu. Despre această atitudine de aşteptare neîmplinită este vorba în interviul citat (şi probabil în multe alte reportaje despre rezultatele la această olimpiadă), despre o stare de nemulţumire arţăgoasă, preţios pretenţioasă, şi despre alegerea şi scoaterea în evidenţă aspectelor mai slabe, despre împingerea acestora “în faţă”. Oare cum se simt cei doi care au luat “doar menţiune”. Vă zic eu: nu ne-o vor ierta niciodată! Cunosc două cazuri oarecum similare şi cam ştiu ce-a fost în sufletul lor: niciodată n-au mai vrut să aibă de-a face cu sistemul olimpic.

Din punctul meu de vedere scandalul este eventual felul în care o personalitate precum dl. Prof. univ Cătălin Gheorghe este “pus la zid” şi trebuie să se justifice (explicaţiile situaţiei sunt OK, erau chiar necesare, dar aşteptările agresive din partea societăţii, a mass-mediei, care au dus la tonul de justificare, acestea au creeat o situaţie profund jenantă). Şi de la cine vin aceste aşteptări? Nu acuz aici pe autoarea interviului; Monica Tripon şi-a făcut doar datoria exprimând gânduri ce pluteau în aer şi fuseseră exprimate probabil de alţii înaintea dânsei. Câţi din cei care au avut aşteptări mari ştiu cum este să stai buimac în faţa unei probleme de matematică şi să nu poţi mişca nimic? Încercând o analogie, cu ce drept aş putea eu să-l critic pe pilotul german Sebastian Vettel de la Ferrari care a derapat pe asfaltul umed şi a ieşit în decor în timp ce conducea cursa din vara asta de la Hockenheim pentru Marele Premiu al Germaniei la Formula 1? Cu ce drept? Păi, cam tot aşa arată şi cei care se gândesc să critice locul ocupat de echipa României la IMO 2018.

Încotro ar trebui să meargă o discuţie pe această temă? Păi, în primul rând ar trebui să scoatem la suprafaţă, să lămurim aceste gânduri şi sursa lor (gânduri urâte, murdare); cum am ajuns să avem astfel de aşteptări? Cât de justificate sau nu sunt aceste aşteptări? Haideţi să facem un pic de istorie, dar un alt fel de istorie decât cea din manualele de specialitate. Istoria predării matematicii şi a influenţării acesteia de către politic, dar şi subiectul întrepătrunderii acestora cu sistemul românesc de excelenţă matematică, acestea nu apar la nici un autor, nu există cărţi pe această temă, nici măcar articole (din ce îmi este mie cunoscut). Aceste aspecte nu s-au scris niciodată, iar cei care pot confirma întâmplările respective sunt tot mai puţini (în urmă cu doi ani mi-au fost confirmate anumite afirmaţii, la o şuetă pe holurile UBB Cluj, de către dl. Profesor Mircea Trifu, la data respectivă secretar general al SSM, Societatea de Ştiinţe Matematice din România, care era în jurul lui 1980 inspector şcolar de matematică în Bucureşti).

*

Anii ’60: după ce efervescenţa intelectuală din România a pornit concursul OIM, au urmat ani buni în care acesta a reprezentat doar o afacere internă a blocului ţărilor comuniste (~99%). După o participare sporadică a Finlandei în 1965 (la acea vreme ţară mediană din punct de vedere politic), a urmat în 1967 intrarea “în hora OIM” a Angliei, Franţei, Italiei şi Suediei, apoi a Olandei şi a Belgiei în 1969, a Austriei în 1970 etc. De menţionat că unele din acestea au avut în primii ani doar participări sporadice (chiar şi “Marea Minune Sovietică” nu a participat la a doua ediţie, doar România şi Bulgaria bifând toate ediţiile IMO)

Anii ’70: odată cu intrarea tot mai hotărâtă a ţărilor capitaliste în această horă matematică, OIM a devenit tot mai “internaţională”. După intrarea SUA în 1974 lupta la vârf s-a polarizat mult între URSS şi SUA, România căzând tot mai tare din vârful premianţilor la OIM. În aceste condiţii “Conducerea de Partid şi de Stat” a decis luarea unor măsuri hotărâte pentru remedierea situaţiei.

Măsuri similare au fost luate în toate domeniile unde existau reprezentări româneşti în competiţii internaţionale, mai ales în zona sportivă, după rezultatele fabuloase ale Nadiei Comăneci la Olimpiada de la Montreal din 1976, care a arătat că se poate. Toate aceste preocupări erau integrate în politica acelor vremuri de a demonstra superioritatea “societăţii” pe care se străduia să o genereze cuplul Ceauşescu (şi celelalte ţări comuniste au mers mai mult sau mai puţin pe această cale, mai ales fosta Germanie Democrată care era în strictă comparaţie cu cealaltă Germanie, cea capitalistă). În domeniul învăţământului au apărut cu timpul olimpiade internaţionale şi la alte discipline şcolare (prima OIM fusese de fapt şi de fizică, dar prima OI doar de fizică a fost în 1967, OI de chimie începând din 1970 etc. Prima IOI, adică de informatică, s-a ţinut în 1989, dar actualmente este a doua ca mărime după cea de matematică – datele au fost culese de pe wikipedia.org)

Finalul acelei decade a adus o profundă reformă şcolară (vezi postările despre Reforma uitată de pe pentagonia.ro din primăvara lui 2016) cu un accent special pe creşterea nivelului problemelor la clasă în vederea ridicării nivelului rezultatelor la olimpiade. S-au adăugat multe lecţii grele în clase tot mai mici (de pildă bazele de numeraţie la începutul clasei a V-a). În liceu au apărut diferite lecţii sau abordări tipice până atunci mediului universitar. Abordarea lecţiilor a fost ridicată, uneori cu câţiva ani (de pildă introducerea metodei grafice pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii chiar de la început în clasa a VII-a). Care a fost reacţia societăţii? Oamenii au început să-şi dea copiii tot mai târziu la şcoală. Astfel, dacă în anii ’70 se mergea în clasa I cu şase ani împliniţi, în 1990 se ajunsese ca elevii să fie înscrişi în clasa I de-abia după înplinirea vârstei de 7 ani şi erau deja cazuri de familii care mai aşteptau încă un an, trimiţând copilul la şcoală de-abia după 8 ani. Aceştia făceau faţă mai bine intelectualizării forţate de la toate nivelele. Urmarea o ştim cu toţii: apariţia grupelor pregătitoare la grădiniţe şi apoi, pentru rezolvarea situaţiei, mutarea acestora în 2013 din nou în şcoală drept clase pregătitoare.

Anii ’80: Bazându-se pe investiţi masive în pregătirea concurenţilor şi în generarea unei baze de selecţie naţionale bine răspândite, dar şi prin folosirea abilă, fără tupeu, a contextul internaţional, România condusă de Ceauşescu a început să urce tot mai mult pe scara rezultatelor olimpice sportive. Putem lua spre exemplu rezultatele de succes ale participărilor la cele două olimpiade din 1980 şi 1984. La olimpiada de la Moscova din 1980 (cine-l mai ţine minte pe ursuleţul Mişa, mascota acelei ediţii, cu numele complet Mikhail Potapych Toptygin???) nu au participat SUA şi alte ţări aliate din NATO, ca protest la recenta invazie a Afganistanului de către URSS (care dorea să-şi obţină o ieşire strategică la Oceanul Indian), având ca rezultat o urcare a României în clasamentul pe naţiuni.

La olimpiada de la Los Angeles din 1984 a urmat boicotul în oglindă organizat de sovietici şi de aliaţii acestora din Pactul de la Varşovia, dar – surpriză! – Ceauşescu a decis participarea României şi la această olimpiadă, obţinând cel mai bun rezultat al României în clasamentul pe naţiuni. Fără ruşi, RDG-işti şi ceilalţi ambiţioşi comunişti, ne-au mai stat în cale doar americanii (pe site-ul https://ro.wikipedia.org/wiki/Jocurile_Olimpice_de_var%C4%83_din_1984 România apare pe locul doi cu 20 medalii de aur, după SUA cu 83, dar în faţa RFG cu 17, a Chinei cu 15 şi a Italiei cu 14 etc.). La los Angeles 14 naţiuni au stat de-o parte, dar acestea luaseră la Montreal în 1976 58% din medaliile de aur (informaţie preluată de la adresa https://www.olympic.org/los-angeles-1984). Gimnasta Ecaterina Szabo a luat atunci 4 medalii de aur, clasându-se pe locul 1 la sportivi, în faţa atletului american Carl Lewis cu “doar” 4 de aur. Olimpiada de la Los Angeles a fost transmisă integral la postul naţional de televiziune; toate concursurile unde participau români cu şanse la medalii erau transmise cu comentariu entuziast (urmărit la televizoare alb negru de către oamenii de rând şi la televizoare color de către reprezentanţii nomenclaturii de partid şi de stat).

Cum se reflecta aceasta în viaţa românului de rând? Peste tot auzeai numai de superioritatea “omului nou” şi a “societăţii multilateral dezvoltate” construite sub atenta oblăduire a minunatului, a briliantului conducător şi a genialei sale consoarte. Întreg deceniul respectiv s-a auzit numai aceasta la radio şi tv, desigur şi în toate ziarele, ca o “placă stricată”, până când a ajuns să intre în mentalul tuturor, generând o stare de mândrie naţională ciudată: da, o ducem prost ca naiba, dar măcar olimpicii noştri … . Hrănirea alimentară era înlocuită în mare parte cu o hrănire a orgoliului naţional. Ţin minte în acest sens o întâmplare. Bunicul meu din partea tatălui “rămăsese” în Gremania de vest în 1980; pe bunica a reuşit să o ducă acolo peste patru ani. Pentru ea vizionarea integrală a olimpiadei americane, la televizorul color din sudul Bavariei, a reprezentat adevăratul “şoc al vestului”. Îmi scria bunicul despre cât de extrem de mândră era bunica de fiecare dată când un român lua o medalie, “de parcă ea le-ar fi luat”.

Cum au arătat anii ’80 în viaţa matematicii şcolare? La fel ca şi presiunea asupra antrenorilor sportivi, pe toate căile, dinspre inspectorate, profesorii erau forţaţi să crească nivelul de dificultate al problemelor şi cantitatea acestora într-o cursă tot mai agitată pentru creşterea rezultatelor la olimpiade. Eficienţa îndoctrinării din aceşti ani s-a văzut din plin după Revoluţie, când tendinţa a fost păstrată cu sfinţenie, chiar potenţată în sensul elevilor de vârf.

Anii ’90: Deşi i-am împuşcat pe cei doi dictatori, noi, ca naţiune, am păstrat cu mare efervescenţă mândria implantată de aceştia în sufletul nostru, mândria pentru rezultatele tuturor ce ajungeau să ne reprezinte, sportivii de toate felurile, dar şi olimpicii şcolari. Echipa de fotbal era pe val, gimnastele “noastre” rupeau totul, atleţii fugeau şi săreau pe stadioane întotdeauna printre primii, la fel şi olimpicii şcolari, cu toţii hrănindu-ne orgoliul naţional, nouă, oamenilor de rând. Şi la nivel privat auzeai poveşti de genul: copilul lui cutare, care s-au mutat undeva în vest, este cel mai bun din clasă, a fost înscris într-o clasă cu doi ani mai mare etc. (nimeni nu gândea că înscrierea respectivă era doar pe motive de vârstă a clasei: cei de acolo merseseră la şcoală la 5-6 ani, pe când ai noştri la 7-8 ani în clasa I).

Tendinţa de îngreunare a materiei şi de mutare lentă a lecţiilor în clase tot mai mici s-a păstrat (eu îi spun “sindromul micului Einstein”). De pildă, dacă în manualele din anii ’80 (valabile câţiva ani şi după Revoluţie) metodele aritmetice de rezolvare a problemelor erau la începutul clasei a V-a, până la reforma manualelor alternative din 1997 aceste lecţii au fost mutate în sarcina învăţătoarelor (ne-au trebuit apoi peste 20 ani ca să pricepem că această mişcare n-a fost bună şi să le mutăm înapoi în clasa a V-a, la profesori).

Toată lumea trebuia să aibă olimpici. Inspectorii îi împingeau pe directori, iar aceştia îi presau pe profesori. În acei ani o colegă mai în vârstă, pentru a-i oferii satisfacţie directorului şi a aduce şcolii măcar câteva rezultate mai răsărite la etapa judeţeană, parcurgea în primăvara clasei a V-a şi materia din toamna clasei a VI-a, apoi în primăvara clasei a VI-a parcurgea lecţiile din prima jumătate a clasei a VII-a etc. (desigur că aceste mutări nu le avea cuprinse în planificarea personală). Ce s-a întâmplat  după 1990 cu restul elevilor, atunci când nu a mai existat protecţia Secretarului de Partid pentru cei mulţi şi slabi cu duhul? Las onorat cititorul să-şi amintească sau să-şi imagineze.

Atâta vreme cât sistemul a funcţionat, rezultatele au continuat să curgă şi nimeni nu-şi punea problema “că ar fi vreo problemă”. În 1996 România a mai organizat o dată OIM (ocupând iar locul 1 pe naţiuni). SUCCES TOTAL! Totul era cum nu se putea mai bine! În aceşti ani nivelul problemelor din Gazeta Matematică a crescut foarte mult şi a apărut ideea de grupe de excelenţă. Copiii normali, nedopaţi au început încet dar sigur să nu mai facă faţă nivelului problemelor din GM, această creştere a nivelului ducând inevitabil la scăderea dramatică a vânzărilor GM. Nivelul manualelor şcolare alternative din 1997 au reprezentat urmarea logică a acestei stări de fapt. Nici o echipă de autori nu-şi putea permite să mai pună exerciţii de nivelul elementar, pentru elevii de rând (eventual 2-3 la început, de ochii lumii). Doar manualul Editurii didactice şi pedagogice a ratat trendul, oferind mai multe exerciţii pentru elevii de rând şi, ca urmare, a şi fost privit ca fiind mai “slab”. Puţini l-au şi comandat în acei ani. Toată tradiţia Gazetei Matematice şi a “olimpiştilor” s-a descărcat astfel în manualele diferitelor edituri. Pentru că la o clasă se puteau achiziţiona doar un rând de manuale, profesorii erau încurajaţi de către inspectori să-şi achiziţioneze personal toate variantele de manuale pentru a le putea oferii elevilor TOTUL (“nu vă opreşte nimeni să vă cumpăraţi toate manualele”).

Anii 2000: Cu cât preocuparea celor care decideau mersul învăţământului românesc se îndrepta mai tare în direcţia excelenţei, cu atât mai mult rezultatele marii mase a populaţiei şcolare decădeau. Această scădere a ajuns la rândul ei să atragă după sine o decădere a întregului sistem, deci şi a vârfurilor, nivelul acestora scăzând încet dar sigur. După 2010 acest fenomen a început să fie recunoscut de tot mai mulţi, dar o analiză profundă şi realistă nu a făcut încă nimeni (nu doar creşterea exagerată a nivelului problemelor din anii ’90 este de vină în acest sens, ci, de pildă, şi ocuparea tot mai agresivă a timpului şi a atenţiei elevilor de către mijloacele de distracţie de pe diferitele ecrane, într-o ordine relativă: tv prin cablu, apoi prin satelit, apoi jocurile de pe calculator, apoi internetul tot mai accesibil şi actualmente deşteptofoanele conectabile de oriunde la www; după apariţia ofertelor de televiziune prin satelit şi la sate, fenomenul distructiv la adresa elevilor s-a extins şi la ţară). Ce face între timp societatea? Aşteaptă rezultate ca pe vremuri, care să ne hrănească în continuare orgoliul: am înţeles că treaba cu sportivii nu mai merge (că nu se mai alocă bani, mu de alta, că talente avem cu duiumul!), dar nici de la olimpicii matematicieni nu mai avem rezultate ca pe vremuri? Păi matematica nu costă; măcar aici să vedem şi noi nişte rezultate! Chiar locul 33 pe naţiuni? Ruşine! Unde-am ajuns!

Da, cam aşa stau lucrurile. Facem confuzia între marea masă a elevilor (99,99%) şi cei puţini olimpici (0,01%) şi urlăm din străfundurile orgoliului nostru naţional rănit din cauza rezultatele sub aşteptări a celor din urmă şi, culmea, ne “răstim” tot la cei care lucrează cum pot în aceste condiţii. În timpul ăsta suntem în situaţia că de 20 de ani nu au mai fost editate manuale noi, iar enumerarea problemelor legate de starea celor din prima categorie poate continua la nesfârşit. Prefer să mă opresc însă aici şi să-i dau în final cuvântul distinsului Cornel Udrea, care într-un Pamfletarium din ediţia de sâmbătă 21 iulie a aceluiaşi ziar local Făclia scria: Stăteam deunăzi şi mă uitam, cu profundă mândrie tricoloră, la olimpicii români, la copiii aceia sclipitori, zâmbitori, dar sentimentele duminicale mi-au trecut cu rapiditate şi am ajuns să fiu ca păpuşile de cauciuc neascultătoare: dezumflat! Din cinci tineri (?), patru intenţionează să plece afară, la Universităţi din Anglia, SUA, Franţa, fără prea multe explicaţii şi, în fond, nici n-ar trebui să ni se explice prea mult de ce vor ei să o ia din loc.

Pe curând, CTG

P.S. Totuşi, ar mai fi câteva lucruri de spus (am avertizat că este un subiect cvasi-interminabil). Toate rezultatele – individuale sau pe echipe, din acest an sau din toţi cei precedenţi – pot fi studiate pe site-ul https://www.imo-official.org. A făcut-o şi Monica Tripon, publicând o sinteză foarte detaliată a rezultatelor româneşti la IMO (Făclia, luni, 23 iulie 2018 cu titlul România, de 41 de ori în “top 10”, la OIM), simţind probabil nevoia de a-şi justifica întrebarea din precedentul articol. Spicuiesc câteva idei dintre acestea: România s-a clasat de 5 ori pe locul 1, în anii 1959, 1978, 1985, 1987 şi în 1996; de cinci ori s-a clasat pe locul doi, de opt ori pe locul trei etc.; cele mai slabe clasări în afară de cea de anul acesta au fost în în 2013 şi în 2017, pe locul 22; cele mai multe medalii de aur, anume cinci, au fost obţinute în 1987; în 18 ani România nu a obţinut nici o medalie de aur (1961, 1962, 1964, 1965, 1969, 1970, 1971, 1973, 1975, 1976, 1977, 1981, 1982, 1994, 2008, 2013, 2016 şi 2017); în 1982 România a avut cel mai mic punctaj – 99 pct. – clasându-se însă pe locul 11 (no!, ce chestie!?); de 17 ori în istoria IMO, elevi din lotul României au obţinut punctajul maxim de 42 puncte: în 1967 Dan Voiculescu (Dan Voiculescu???), în 1984 şi în 1985 Daniel Tătaru, în 1987 Nicuşor Dan (!!!), Liviu Suciu, Adrian Vasiu (din Cluj), Mugurel Barcău şi Andrei Moroianu (cel de-al şaselea din echipă obţinând “doar” 40 pct.; ăia au ştiut subiectele? J), în 1988 din nou Nicuşor Dan şi Adrian Vasiu; în 1989 din nou Andrei Moroianu; în 1991 Sergiu Moroianu (fratele primului?); în 1995 Dragoş-Nicolae Oprea, Ovidiu Savin şi Ciprian Manolescu; în 1996 şi în 1997 din nou Ciprian Manolescu. În total, România a obţinut 76 medalii de aur, 142 de argint, 102 de bronz şi 6 menţiuni; prin comparaţie, la acelaşi număr de participări, Bulgaria a obţinut 54 medalii de aur, 114 medalii de argint, 108 medalii de bronz şi 11 menţiuni, cele două ţări fiind singurele cu participare la toate cele 58 de ediţii ale IMO.

Îmi stă pe limbă aici şi un “răspuns” dilemei d-lui Cornel Udrea: şi ce-i dacă pleacă toţi olimpicii? Dacă rămân aici, care este beneficiul nostru şi, mai ales, cum ne pricepem noi, românii, să-i apreciem şi să tragem foloase pentru ţară din inteligenţa lor sclipitoare? Am văzut cu toţii istorioara cu final “dezumflat” a strădaniei lui Nicuşor Dan (de loc din Făgăraş), care a vrut din tot sufletul să ajute şi să aducă un suflu nou în politica dâmboviţeană şi care până la urmă s-a retras scârbit.