Din ’89 până în 2025

După cum am văzut, numărulul acestui an ne oferă multe surprize aritmetico-algebrice. Cei pasionaţi de ciudate “potriveli” istorico-numerice desigur că “vor ridica o sprânceană” la următoarea potriveală:  1 + 3 + 5 + … + 89 = 2025.

Adică, pornind de la momentul ruperii oficiale de dictatura lui Ceauşescu, din finalul lui 1989, ce trimitere ciudată face această sumă având rezultatul 2025? Ce vrea să prezică?

Oricum – revenind cu picioarele pe pământ – această potriveală reprezintă o ocazie minunată să-i mai uluim un pic pe cei din jurul nostru, pe cei mai puţin dotaţi matematic desigur. Cât despre elevi, acest exemplu reprezintă o bună ocazie de a le mai oferi la oră o uimire cu ceva gen “magie matematică” (mă refer aici la elevii cam de la orice clasă începând din a 5-a, efectul de uimire fiind similar la orice vârstă, depinzând de fapt doar de nivelul de profunzime al gândirii matematice dezvoltate).

Despre tineri manipulabili (1)

Spuneam în preambul că de mult timp doream să scriu un eseu prin care să analizez efectul elementelor şi al evenimentelor din viaţa copiilor asupra felului în care aceştia vor devenii adulţi mai stabili, sau dimpotrivă mai vulnerabili la acţiunile dominatoare ale altora, de exemplu ale politicienilor. Dacă ar fi să caut o expresie pentru această stare, ar trebui să vorbesc de nivelul de manipulabilitate al viitorului adult, mai exact cât de manipulabil va fi un anumit copil/ tânăr în viaţa de adult. Totul ar fi reprezentat însă o discuţie cu un grad ridicat de utopie, vulnerabilă la replici de genul “Du-te mă, că prea exagerezi!”, pentru că eu mă gândeam la vremea respectivă la faptul că autorităţile aflate la putere nu se implică în implementarea unei educaţii de formare a gândirii juste, chiar întreţin de fapt o predare spre docilitate, exact din acest motiv: că ei îşi doresc generaţii pe care să le poată manipula electoral. Între timp s-a ajuns să se vorbească despre aceste aspecte chiar cu apelativul “o problemă de securitate naţională”.

Din punctul meu de vedere discuţia ar fi trebuit să fie centrată pe felul defectuos al predării, mai ales al predării matematicii, dar evenimentele din jurul campaniei de alegeri prezidenţiale din noiembrie-decembrie 2024 au scos la iveală argumente mult mai solide în acest sens, aparent din cu totul altă direcţie. Astfel, în această parte a eseului doresc să abordez mai cu seamă aspecte exterioare învăţământului în general (a celui matematic în particular), multe dintre acestea scoase în evidenţă în acele zile, discutate şi răsdiscutate, altele trecute cu vederea în mod ciudat. Pentru început, atenţia mass-media a evoluat înspre discuţia despre vulnerabilitatea la manipularea prin inteligenţa artificială.

Astfel, toată lumea era uluită cum se putuse ca un candidat creditat înainte cu un procentaj extrem de mic să sară în ziua alegerilor pe locul unu după primul tur (“zburând” oarecum la înălţime mică, pe sub “radarul” sondajelor de opinie premergătoare şi adunând voturi “ad-literam” în mod exponenţial în ultimele zile, chiar în ultimele ore de scrutin). Încet, dar sigur, în zilele următoare a ieşit la iveală cum acest rezultat neaşteptat apăruse ca urmare a unei campanii agrasive concentrată pe una dintre cele mai răspândite platforme de socializare; practic, cum starea de nemulţumire generalizată faţă de clasa politică fusese folosită preponderent pe TikTok pentru manipularea unui procentaj mare din populaţia votantă.

O primă explicaţie în acest sens a fost prezentată de către Dl. Cristian Tudor Popescu în ediţia specială Cap la cap din cadrul emisiunii România în direct din 27 noiembrie 2024 (miercurea după turul I al alegerilor) la postul Europa FM, găzduită de Dl. Cătălin Striblea. Iată scriptul prezentării despre care vorbesc (preluat începând de la min.7.00 al înregistrării emisiunii, de la adresa https://www.europafm.ro/program/romania-in-direct/#podcast):

CTP: Ce s-a întâmplat? E o consecinţă a faptului că “inteligenţa artificială” – şi prin asta înţelegem telefon, computer, chiar şi televizor (…), deci această inteligenţă artificială a educat deja vreo două generaţii. Sunt educate de “ea”, începând de prin anul 2000 …  CSAdică nu se educă în şcoală şi în relaţia socială de calitate de acasă …. CTP: Exact! Ci sunt educaţi, au crescut şi au fost educaţi de această inteligenţă artificială, ei sunt copiii “A.I.” (de la “artificial intelligence” – inteligenţa artificială). (…)

CTP: Ce face “inteligenţa artificială”? Dacă ştii să gândeşti, – iar asta trebuie să înveţi! Pe lângă date, adică matematică, geografie, teologie, ce vrei, trebuie să şi înveţi să gândeşti! Şi este exact ce a făcut din ce în ce mai puţin şcoala românească în ultimele decenii: să înveţe oamenii, tinerii, copiii să gândească. Nu să-i înveţe neapărat matematică, chimie, română sau biologie, ci să-i înveţe să gândească, adică să opereze cu datele corect, cu datele pe care le au la dispoziţie. Şi de aceea inteligenţa artificială este foarte bună (…), dacă ştii să gândeşti raţional. Dacă şti să gândeşti raţional, ea te ajută pentru că îţi iei date repede, repede (…).

CTP: Dar, în acelaşi timp, dacă nu ştii să gândeşti raţional, atunci inteligenţa artificială “gândeşte” ea în locul tău! Asta se întâmplă. Şi mai mult, îţi dă senzaţia, îţi dă impresia că eşti deştept! Dacă m-aţi întreba la ce concluzie am ajuns, asta este una foarte importantă: (…) mai presus de orice este să te consideri mai deştept decât ceilalţi. Şi această impresie poate să ţi-o dea inteligenţa artificială; că faci parte dintr-un grup privilegiat, care a înţeles despre ce e vorba; “ăilalţi sunt proşti”, nu şi-au dat seama, “noi ştim despre ce este vorba!”

Pe la min. 30 al înregistrării, comentând oarecum despre ultima categorie CTP completează: (…) vulnerabili, vulnerabili la manipulare! Nu au anticorpi la aşa ceva, n-au fost pregătiţi (…).  Rezumând partea necitată aici, CTP explică de fapt că tinerii nu au fost pregătiţi pentru a face faţă unei tentative de manipulare. (…) Şi completează CTP: Studiile superioare nu-ţi garantează  faptul că ştii să observi şi să te aperi de manipulare.

Din start trebuie să precizez că nu mă situez într-u totul în concordanţă cu expoze-ul de mai sus, care are multe aspecte “cel puţin discutabile”. Totuşi, trebuie să fim de acord că într-o destul de mare măsură dânsul atrage atenţia cu această ocazie asupra unor aspecte reale, însă total neglijate, atât legate de predarea din şcolile româneşti, cât şi legate de convieţuirea noastră cu aceste minunate aparate – cu precădere smartphone-urile – ce au apărut relativ de curând în viaţa noastră, şi despre al căror efect pe lungă durată habar nu avem care va fi (pe lângă avantajele incontestabile, nu prea se discută care vor fi urmările distructive, atât la nivelul formării personale, mai ales al copiilor, cât şi la nivelul societăţii). De pildă, multe aspecte legate de situaţii din ultima vreme – la nivel internaţional – sugerează că teoria mai sus enunţată cuprinde “un procent mare” de adevăr.

Dl. Cristian Tudor Popescu era destul de agitat în ziua respectivă (efectiv “fugărit de situaţie”, pentru că erau multe de comentat), aşa încât îmi permit un rezumat mai ordonat şi comentat al celor de mai sus. Astfel, din discursul d-lui Popescu se desprind următoarele idei:

1) Prin “Inteligenţă artificială” dânsul se referă aici doar la tot setul de aparate, aplicaţii şi algoritmi informatici din care ne putem informa (deci nu, de pildă, şi la partea de “AI” care este folosită la generarea de nou conţinut, în text, imagine sau muzical etc.). În acest sens, ne putem referi în principal la cele trei mari categorii: televizor, computer şi smartphone (aici intră desigur şi renumitele tablete, ce reprezintă o mixtură între computere şi smartphone-uri).

Analizându-le mai detaliat, observăm că acestea sunt de fapt nişte medii, în spatele lor fiind oameni care introduc informaţiile şi ne prezintă “lucruri”. Toate trei categoriile de aparate comunică cu noi prin intermediul ecranului şi al difuzoarelor. Diferenţa dintre acestea o reprezintă nivelul prin care noi putem să ne alegem informaţiile: la televizorul cu mai multe programe utilizatorul are ca posibilitate de alegere doar telecomanda prin care îşi poate seta canalul ce i se potriveşte (din emisiuni ce se transmit în acel moment). La calculatorul sau la telefonul conectate la internet, posibilităţile de alegere cresc exploziv (aducând inclusiv posibilitatea alegerii temporale a momentului când să vizionezi o anumită emisiune).

Şi accesibilitatea spaţială este diferită: televizorul se găseşte şi poate fi vizionat în puncte fixe; computerul poate fi transportat în oarecare măsură, pe când smartphone-ul îţi oferă accesibilitate cvasi-nemărginită. De multe ori acestea corespund şi unor segmente de vârstă diferite; astfel, vârstele înaintate sunt fixate (şi captive) la televizor, pe când tinerii sunt total activi în lumea smartphone-urilor. Cu alte cuvinte, prin independenţa relativ nemărginită a utilizatorului de a-şi alege ce şi când să vizioneze, la ora actuală tinerii sunt “educaţi” mai mult prin intermediul internetului (la începutul anilor 2000 via computere, după 2010 tot mai mult via smartphone-uri).

Un aspect doar sugerat despre această educare merită lămurit aici. Ecranul are un efect puternic de atragere a atenţiei umane, chiar de absorbire a acesteia (studiaţi asta pe voi, de pildă când treceţi pe lângă un ecran pornit). Ca urmare, în ultimii 35 de ani ecranul – în cele trei faze ale sale – a cucerit masiv viaţa copiilor din România. Putem sări peste etapele iniţale ale discuţiei (TVR, apoi antenele de satelit din anii ’90, apoi televiziunile comerciale, începând cu ProTv, şi culminând cu conectarea tot mai extinsă la reţele de televiziune prin cablu, apoi prin satelit, televiziunea ajungând astfel şi în ultima cocioabă conectată la curent) şi să trecem aici la analiza felul în care cele trei tipuri de ecran au preluat controlul asupra timpului privat al copilului: orientativ, după 2000 copiii au început să aibă tot mai mulţi computer la ei în cameră, iar timpul petrecut în faţa ecranului a crescut expliziv odată cu apariţia smartphone-urilor (deci şi în afara casei), într-o primă etapă cu cel al părinţilor dat copilului doar ocazional. apoi direct al copilului, ambele de la vârste tot mai fragede.

Ce nu înţelege lumea aici este faptul că copiii învaţă de fapt prin imitaţie; până la 7 ani învăţarea este doar prin imitaţie, dar aceasta rămâne dominantă şi pe viitor. Şi la adulţi se poate observa “învăţarea” prin imitaţie; de exemplu, felul cum este preluată de-a lungul timpului tot mai mult în toată ţara “starea de a fi” radiată de unele canale de televiziune. De pildă, cum este preluaţă prin imitaţie starea certăreaţă, constant acuzatoare, a felului de dialog specific unor posturi TV “de actualităţi”, stare ce se regăseşte apoi în comentariile la diferite articole publicate pe net. Acelaşi lucru poate fi observat şi legat de canalele de alte orientări, fie de cele religioase la o anumită parte a populaţiei, fie de cele moderniste (canale de muzică sau de fashion etc.). Vă daţi seama cum creşte imitarea la “ce şi cât toarnă în ei” unii, mai ales copiii, de pe Facebook, Instagram, TikTok etc., fără să-şi dea seama de ce fac. Desigur că această învăţare prin imitaţie a celor văzute pe ecrane creşte cu cât timpul petrecut în faţa respectivelor ecranelor creşte. Consecinţa neaşteptată este că în acelaşi timp scade influenţa familiei: copilul imită tot mai puţin viaţa familiei cu cât petrece mai mult timp în faţa ecranului (preluând prin imitaţie tot ce vede acolo; nici nu discutăm aici despre familii unde copilul chiar nu ar avea nimic sănătos de imitat). Cu alte cuvinte, copiii sunt tot mai puţini educaţi de către familie.

Da – veţi spune – dar noroc că mai avem şcoala, acolo unde copilul este forţat să stea fără smartphone în timpul orelor şi unde este educat (că de aia se duce la şcoală). Da “pe naiba”! – voi răspunde: materiile şcolare sunt tot mai mult preocupate fiecare de “ea” în sine (de exemplu ştiinţele), sau de trecerea timpului (la diferiţi profesori). Şcoala este în general plictisitoare: fie că nu se întâmplă mare lucru la unele materii, fie că la altele lucrurile sunt mult prea grele sau elevate, fiind astfel în realitate inaccesibile elevului de rând. Oricum, o foarte mare parte a populaţiei şcolare de fapt nu găseşte o conexiune cu ce se petrece regulat la ore. Dacă mai adăugăm şi multitudinea crescândă de profesori neimplicaţi la ore (de pildă cadre didactice care le dau elevilor de lucru, pentru a putea petrece ele însele timp pe smartphone), atunci obţinem clar imaginea unei şcoli în care educaţia are loc tot mai puţin. În realitate copiii preiau tot mai puţină educaţie din şcoală, chiar dacă petrec mult timp acolo.

Când şi cât sunt la şcoală copiii intră într-un fel de “mod-avion”, în care nu mai accesează net-ul pe timpul orelor (de obicei, pentru că le sunt luate telefoanele), dar nici nu preiau mare lucru din ore, stând doar într-un fel de “stand-by”, în aşteptare adică, până când trece ora, iar în pauză şi după ore să-şi vadă din nou “de ale lor”. De multe ori programul de şcoală este doar un program de socializare pe temele preferate, împreună cu colegii, întrerupt de acele perioade ciudate numite ore, în care vin unii (îşi zic profesori) şi pe care trebuie să-i suporţi trei sferturi de oră. De învăţat nu prea se învaţă în multe cazuri, eventual doar se scrie, pentru a avea de unde să toceşti pentru teste, dar copiii sunt în general cu mintea în cu totul altă parte.

Cantitatea de lucruri învăţate este tot mai mică şi pentru că copiii găsesc în mediul online accesibil pe telefoane (pe smartphone-uri) elemente mult, mult mai atractive, aşa că au tot mai puţin interes de a sta şi “a buchisi” materia de învăţat (cu relative excepţii la materiile de examen). Copiii “se educă” actualmente – adică după 2000 – tot mai mult “din ecrane”, acolo unde au posibilitatea de a îşi alege ei singuri conţinutul de imitat. La aceste aspecte s-au referit cei doi domni în discursul redat mai sus (pe care îl reiau aici). CTP: (…) această inteligenţă artificială a educat deja vreo două generaţii. Sunt educate de “ea”, începând de prin anul 2000 …  CSAdică nu se educă în şcoală sau în relaţia socială de calitate de acasă …. CTP: Exact! Ci sunt educaţi, au crescut şi au fost educaţi de această inteligenţă artificială, ei sunt copiii “A.I.” (de la “artificial intelligence” – inteligenţa artificială).

În felul acesta înţelegem mult mai bine discuţii de felul următor (redat de un părinte despre dialogul cu copilul său), legat de faptul că matematica nu trebuie tocită, ci chiar înţeleasă şi gândită: – Cum adică, tu în şcoală învăţai de drag matematica? – Păi, eu în şcoală tratam matematica ca pe un rebus pe care vroiam să îl înţeleg, să îl dezleg, şi nu mă lăsam până nu lămuream lucrurile. Ce gândeşte de fapt copilul în această situaţie?  – Păi, chestiile de pe net, ce le am la discreţie pe smartphone-ul meu sunt mult mult mai interesante decât matematica asta stupidă! (desigur, pe smartphone-ul cumpărat de voi, dragi părinţi sau bunici!). Mulţumesc mamei unui elev, care mi-a povestit de curând chestia asta.

Legat de aceste aspecte, mult mai dură a fost discuţia din emisiunea În faţa ta, de la Digi 24 (~ 22dec. 2024, găsită pe YouTube), avându-l ca invitat pe Dl. Gabriel Liiceanu. Iată pasajul respectiv din finalul emisiunii:

Florin Negruţiu: Ce va deveni un copil şcolarizat pe TikTok?

Gabriel Liiceanu: Aceasta va fi tragedia viitoare a speciei umane. Se schimbă discuţia, nu mai e vorba de România. Planeta, omenirea va fi adânc lezată de faptul că structurile neuronale formate pe TikTok vor naşte personaje care n-au nimic comun cu felul în care ştim noi că evoluează o fiinţă umană între copilărie şi maturitate. Nu vor fi maturi niciodată. Niciodată! Reiau accentuat cele spuse de dl. Liiceanu: “educaţia” pe TikTok produce viitori adulţi imaturi!

Aş mai adăuga un aspect legat de acest subiect. Cândva, nu tare de mult, am cumpărat o carte, pe care însă n-am citit-o, pentru că n-am nevoie. De ce? Pentru că pe copertă este scris esenţialul. Pentru mine restul este evident. Probabil o voi şi citi cândva, atunci când voi avea timpul necesar. Până atunci mă mai uit la ea din când în când şi zic: DA! Aşa-i!

Autorii se numesc Gordon Neufeld şi Gabor Mate, iar lucrarea ŢINEŢI COPIII APROAPE (Ed. Curtea Veche, 2023). Pe copertă este scris următoarea argumentaţie: De ce părinţii trebuie să conteze mai mult decât anturajul, iar pe spatele cărţi (coperta 4) găsim că în această lucrare autorii evidenţiază empatic şi foarte documentat importanţa legăturii – teoretic indestructibilă, însă în realitate foarte fragilă – dintre părinţi şi copii, singura sursă de maturizare sănătoasă a celor mici.

Tot pe coperta 4, în final, găsim că din această carte vei afla de ce este nevoie de un sat întreg ca să creşti un copil, cum să-l recâştigi pe cel mic, cum să restabileşti bazele ataşamentului, atât de important în relaţia cu el, şi cum să contrabalansezi tendinţele decadente ale societăţii, care îi ţintesc direct pe tineri.

Pe coperta 2 găsim următorul pasaj: O carte vizionară, care evidenţiază o criză de proporţii necunoscute. Autorii ne arată de ce pierdem contactul cu copiii noştri şi cum acest lucru ameninţă însăşi structura societăţii. Şi, cel mai important, le acordă un ajutor practic părinţilor în îndeplinirea rolurilor instinctuale, prin exemple concrete şi sugestii clare. Întorcându-ne la coperta 1, sub titlul cărţii vedem o imagine cu o ursoaică mergând urmată îndeaproape de cei doi pui ai ei. Super-edificator! Asta am văzut eu în librărie şi mi-a fost de ajuns ca să dau “o grămadă de bani” (75 lei pentru o carte cu 440 pagini doar de text).

Da, dar ce legătură are această carte cu subiectul nostru? Păi simplu. Prin intermediul computerelor, dar mai ales a smartphone-urilor, familiile “nu-şi mai ţin copiii aproape”, îi lasă “să zboare” în lumea largă la vârste la care aceştia încă nu sunt defel pregătiţi pentru aşa ceva, nu sunt pregătiţi pentru a se feri de posibili “manipulatori”. Chiar mai mult, în timpul petrecut pe şi prin intermediul acestora, copilul este antrenat spre a fi manipulabil. Prin achiziţionarea acestor aparate cu legătură directă la internet, în viaţa copilului apare de obicei un anturaj care contează mai mult decât familia! (Fie un anturaj concret, fie chiar şi numai “un anturaj” de idei şi subiecte sau preocupări). Deseori putem spune chiar “mult mai mult” decât familia, anturajul ajungând omniprezent în viaţa şi în mentalul copilului, ducând în unele cazuri “importanţa” familiei până în derizoriu. Un copil care a ajuns în acest fel rupt de familie şi de valorile importante acesteia, va fi apoi – ca adult – o persoană uşor manipulabilă, vulnerabilă la a fi manipulat, de pildă prin tot felul de “teorii ale conspiraţiei”.

Ca o scurtă observaţie de final, vreau doar să atenţionez asupra efectului de “paie pe foc” ce l-au avut anii de “învăţământ online” din pandemie asupra ruperii copiilor de familiile lor şi asupra subjugării mentalului acestora de către “inteligenţa artificială”. După părerea mea, degringolada din alegerile prezidenţiale 2024 reprezintă o consecinţă absolut logică a “online-ului” din ultimii ani.

2) Revenind la citatul de mai sus din emisiunea de la Europa FM, un al doilea aspect evidenţiat de dl. Popescu în discursul său îl reprezintă felul interacţiunii oamenilor cu această inteligenţă artificială, anume că există două feluri de interacţiune a oamenilor cu aceasta. Pe scurt, ideea ar fi următoarea:

CTP: Ce face “inteligenţa artificială”? Dacă şti să gândeşti raţional, ea te ajută pentru că îţi iei date repede pentru ce ai nevoie. Dar, în acelaşi timp, dacă nu ştii să gândeşti raţional, atunci inteligenţa artificială “gândeşte” ea în locul tău! Asta se întâmplă.

Cu alte cuvinte, inteligenţa artificială acţionează “animalic” cu oamenii: dacă aceştia îi sunt superiori din punct de vedere al raţiunii, atunci “ea” îi slujeşte cu respect; dimpotrivă, în cazul oamenilor care îi sunt inferiori, “ea” începe să-i domine fără scrupule. Sau, mai simplu spus, după alegerile prezidenţiale ratate din dec. 2024 umbla o vorbă pe internet: : Nu te poate prosti TikTok-ul dacă nu eşti prost deja!

Mai mult, cugetând despre a doua categorie dl. Popescu adaugă:

CTP: Dacă nu ştii să gândeşti raţional, atunci inteligenţa artificială îţi dă senzaţia, îţi dă impresia că eşti deştept! Mai presus de orice este că ajungi să te consideri mai deştept decât ceilalţi. Această impresie poate să ţi-o dea inteligenţa artificială; anume că faci parte dintr-un grup privilegiat, care a înţeles “despre ce e vorba”;  că “ăilalţi sunt proşti”; că ei nu şi-au dat seama, dar “noi ştim despre ce este vorba!”.

Vorbind despre oamenii în general, dar în particular despre tinerii educaţi de inteligenţa artificială, CTP precizează că ei sunt vulnerabili, vulnerabili la manipulare! Nu au anticorpi la aşa ceva, n-au fost pregătiţi pentru a face faţă unei tentative de manipulare; iar studiile superioare nu-ţi garantează  faptul că ştii să observi o astfel de încercare şi să te aperi de manipulare.

De ce se întâmplă însă toate astea? Păi, simplu! Pentru că în spatele la tot ce se întâmplă pe ecrane sunt de fapt tot oameni. La ce s-a referit dl. Popescu drept “inteligenţă artificială” sunt de fapt diferite variante de teransmitere a mesajelor unor oameni prin intermediul aparatelor mai sus menţionate, de la simplul discurs redat oral (audio sau video), la manipulare directă şi fără scrupule şi până la programe sau algoritmi de selectare a auditoriului în funcţie de opţiunile şi preferinţele fiecăruia în parte. Dacă acei oameni “din spate” au gânduri bune, atunci cine accesează acele informaţii este ajutat. Dimpotrivă, dacă cei aflaţi “în spate” au gânduri ascunse, de manipulare, atunci intenţiile acestora găsesc o “piaţă de desfacere” uriaşă, mai ales pe platformele de socializare. Aici s-ar putea face, de pildă, şi o analiză în funcţie de toate combinările posibile: autorul “din spate” cu gânduri bune sau dimpotrivă, combinat cu clientul consumator, care gândeşte raţional sau nu prea (nu o mai fac, ci las onor cititorul să-şi bată capul cu aceasta).

Personal, eu nu consider valabilă 100% teoria prezentată de dl. Popescu, legat de oameni care gândesc raţional sau nu, dar “un dram de adevăr” este clar în aceasta, putând fi folosită la pornirea unei discuţii despre ce s-a întâmplat. De pildă, dânsul nu s-a referit defel la “inteligenţa artificială” aia “de-adevăratelea”, cea care mai nou face compuneri elevilor sau generează diverse “opere de artă” – muzicală sau plastică – şi care este programată să compună toate acestea “la cerere”, prin simpla preluare imitativă şi compilare, a operelor unor artişti oameni. Nici nu a luat în considerare dl. Popescu situaţiile celor care gândesc foarte bine, dar gândesc exact “pe lungimea de undă” potrivită cu manipulatorii din spatele “AI” (doar tangenţial, atunci când a spus că studiile superioare nu-ţi garantează …). Vom vedea în următoarea parte ce mai putem extrage logic din această teorie.

P.S. Dl. Popescu a vorbit la radio (la un post de radio totuşi comercial), acolo unde este esenţial să transmiţi ideile cât mai rapid, iar forma de mai sus reprezintă felul în care dânsul a considerat să o pună în cuvinte. În timp ce lucram la acest articol au început să-mi revină în memorie idei oarecum similare notate vară trecută în timpul unui curs de pedagogie Waldorf la care am participat la Kosice (al doilea oraş ca mărime din Slovacia). Prezint aici câteva gânduri din cursul d-lui Christof Wiechert, unul din numele de legendă ale pedagogiei Waldorf (dascăl olandez, fost Conducător al Secţiunii Pedagogice de la Centrul cultural Goetheanum de lângă Basel, Elveţia). Următoarele gânduri sunt reluate în citat aproximativ din conferinţele sale ţinute în zilele de 1-2 iulie 2024:

Există două feluri de gândire: (1) cea produsă, dar captivă în creier (cuprinde doar gânduri care pot veni susţinute de creier; de ex. ştiinţele; construcţia de clădiri sau maşini etc., dominantă în secolele 20-21); (2) cea independentă de baza din creier, numită şi “bunul simţ sănătos” (der gesunde Menschenverstand, în germană, sau în engleză common sense). Este acel fel de a gândi pe care îl avea de pildă bunica mea de la ţară, care avea doar patru clase, dar care întotdeauna era consultată când trebuiau luate decizii importante în sat; toţi se bazau pe judecata ei sănătoasă. La acest tip de gândire acţionează şi inima alături de creier (uneori se mai numeşte şi empatie).

Merită observat aici că acest tip de gândire a cam fost expulzat de la toate materiile odată cu introducerea predării prin prelegere, tot “mai pretenţioasă” fiecare în direcţia sa (riguroasă la matematică, ştiinţifică la diferitele ştiinţe, dimpotrivă doctinară la religie etc.), astfel încât actualmente nu mai este prezent în şcolile noastre decât sporadic. Se pare că această calitate de a gândi (care este una mai eterică) nu a fost încă atinsă de către Chat gpt.

În general, există diferite tipuri de gândire (la diferitele tipuri de materii). Dar, la toate este valabil un aspect comun: dând elevilor teorii nedemonstrate, îi antrenezi, îi obişnuieşti să fie vulnerabili la “teoriile conspiraţiei” (azi vară am notat această idee, dar în timpul alegerilor prezidenţiale am văzut-o manifestându-se pe viu). În acest moment al discursului său dl. Wiechert ne-a recomandat şi o lectură suplimentară: Sue Palmer, Toxic Childhood (How the modern world is damaging our children and what we can do about it, adică despre cum lumea modernă ne distruge copiii şi ce putem face în această situaţie). Ar merita să căutăm această carte, deşi mă gândesc că (cel puţin în cazul meu, la cât timp am alocabil pentru aşa ceva) ar avea cam aceeaşi soartă ca şi cartea mai sus prezentată. CTG, . Va urma!

Tabla înmulţirii în 2025

Chiar aşa, ştiaţi că pe vremuri îi spunea Tabla lui Pitagora? Asta, cumva rămasă din Grecia antică, unde numerele se scriau cu litere şi era foarte greu să se ţină minte, aşa că probabil Pitagora venise cu ideea de a le include într-un tabel. Probabil că de acolo la ora actuală în regulamentele de EN pentru copiii cu CES se precizează că au voie cu “tabele pitagoreice” (cam aşa ceva), înţelegând prin acestea orice tabele ajutătoare la matematică.

Dar să revenim la tabla înmulţirii: în contextul acestui an absolut fascinant a apărut provocarea de a aduna toate numerele din tabla înmulţirii până la 9×9 = 81 (deci suma tuturor rezultatelor de la 1×1, însă doar până la 9×9, adică nu şi rezultatele înmulţirilor cu 10 – precizare pentru umanişti). Chiar şi la clasa a 5-a este un exerciţiu foarte bun de aplicare a proaspăt învăţatului factor comun.

Despre tineri manipulabili (preambul)

Demult doream să abordez această temă – despre tehnici educative greşite care generează tineri manipulabili, care devin ulterior mase de adulţi manipulabili – dar nu găseam momentul potrivit. Subiectul este unul extrem de vulnerabil, aspectele care ar fi de pus în discuţie fiind deosebit de controversabile, cititorul putând foarte uşor să nege cele afirmate, chiar şi numai sub afirmaţia “du-te mă, că prea exagerezi!”. Acum însă, lucrurile precipitându-se exponenţial în perioada de o lună centrată pe 1 dec. 2024 (orientativ 1 dec. +/– cca. 2 săptămâni, scris într-un limbajul mai matematic), subiectul respectiv a ajuns brusc de o actualitate şi de o evidenţă nemaipomenite.

Ca în orice subiect cu implicaţii educative, găsimi şi aici diverse surse de vinovăţie, direcţii multiple de erori care conduc la eşecul educativ al tinerilor. Am mai abordat această idee, a cauzalităţii multiple ce duce la rezultatele dezastroase ale educaţiei din România; concret, atunci când am vorbit despre influenţa negativă a părinţilor, apoi a profesorilor, dar şi a autorităţilor din educaţie (le găsiţi la arhiva pentagonia, în iulie-august 2022, sau direct la adresele ataşate în final). La vremea respectivă subiectul a fost pentru mine absolut epuizant, aşa încât nu am mai avut energia necesară să abordez şi următoarele trei părţi plănuite, anume despre influenţa negativă a sistemului de formare a profesorilor (în principiu facultăţile, dar şi cursurile de formare continuă), a editurilor (care redactează manualele sau auxiliarele), respectiv a societăţii în general (în aspectele ce influenţează viaţa matematicii şcolare).

Pe scurt, caracteristica generală a acestei situaţii este că la orice aspect care este scos în evidenţă şi pus în discuţie, se poate întotdeauna veni cu replica despre vinovăţia celeilalte părţi. Părinţii văd desigur întotdeauna vina şi deficienţele profesorilor sau ale sistemului şcolar, profesorii scot în evidenţă vinovăţiile părinţilor sau se ascund sub obligaţiile programei; autorităţile dau vina pe părinţi sau pe dascăli; despre celelalte trei părţi rar se vorbeşte (facultăţile, editurile şi societate în general). Umblă o vorbă de genul “este nevoie de un sat întreg ca să educe un om”, iar interconectivitatea aspectelor amintite mai sus reprezintă doar o altă formă de a exprima această vorbă. Din păcate, respectivul “sat” s-a cam mărit incontrolabil, trecând de mult de nivelul naţional.

Revenind la noua serie, în subiectul de faţă aş dori să mă concentrez pe aspecte din două direcţii – care şi acestea sunt oricum interconectate, neputând fi de fapt abordate total separat: (1) pe de-o parte cum se schimbă lumea în care cresc tinerii faţă de lumea cunoscută de noi, faţă de lumea în care ne-am format noi (şi pentru care, în mod stupid, îi educăm; adică noi îi educăm pentru trecut); (2) pe de cealaltă parte cum agravează această stare de fapt felul în care a evoluat predarea matematicii în România, “ajutând” fenomenul de educare a unor generaţii tot mai uşor manipulabile, de genul cum am văzut cu toţii în perioada acestor alegeri nemaipomenit de învolburate.

La fel ca şi în cadrul aspectelor evidenţiate mai sus, şi în abordarea de acum poate apărea acelaşi fenomen, anume că oricine poate găsi vina “în cealaltă parte”, după principiul că întotdeauna “ceilalţi sunt de vină“. Realitatea este însă cu totul alta: cum se vede şi în emisiunile de tipul “dezastre în aer” despre cauzele diferitelor accidente aviatice, de cele mai multe ori situaţia dezastroasă apare la confluenţa mai multor aspecte. Deci, similar şi aici: vulnerabilitatea la manipulare a tinerilor alegători (şi nu numai) are cauze multiple. Oricare din aceste cauze dacă n-ar fi fost, probabil că efectele ar fi fost mult mai slabe. Putem privi şi evolutiv: toate aceste aspecte, care nu sunt neapărat total noi, au avut o evoluţie în creştere, iar acum însumarea lor a atins un nivel care a dus la această evoluţie năucitoare.

Desigur că nu-mi propun în eseul de faţă o abordare exhaustivă a subiectului. În acest caz ar trebui să abordez multe aspecte, unele de-a dreptul ciudate, cum ar fi înclinaţia mioritică spre misticitate (observată în mod ciudat la alegerea multora pentru un anumit candidat, care avea discursurile setate exact pe o lungime de undă mistică). Această receptivitate crescută la misticism a fost vizibilă deseori – chiar şi în epoca modernă – de pildă în mod magistral în cazul aşa-numitei “minunea de la Maglavit” (chiar şi a felului cum personajul respectiv a fost folosit în acele vremuri de război pentru influenţarea moralului de pe frontul de răsărit, fiind luat într-un avion şi zburat deasupra frontului). În mod ciudat similar, lipsa de gândire raţională – chiar matematică – a multor concetăţeni s-a putut studia magistral pe fenomenul “Caritas” din anii ’90, când înclinaţia spre viziuni misticiste a interferat în domeniul financiar cu disperarea inflaţionistă din acea perioadă. Fenomenul “Caritas” arată clar asupra nivelului de raţiune realistă matematică deosebit de scăzut al marii părţi a populaţiei, contrar contextului ridicării în slăvi a învăţământului matematic din “Epoca de Aur” a lui Ceauşescu, adică din anii ’70-’80 (de tipul “noi şi olimpiciii noştri”).

Pentru prezentul eseu, pe mine mă interesează mai mult aspecte concrete din şi din jurul educaţiei şcolare, dar şi a educaţiei din familie cu care educaţia şcolară interferează zilnic, aspecte ce au influenţat în mod indubitabil formarea alegătorilor actuali, a felului în care aceştia iau decizii (de pildă cum şi cu cine să voteze). Mă interesează deci aspectele ce ţin de educaţia din familie sau de cea şcolară, aşa cum aceasta are loc sau cum dimpotrivă nu are loc în multe cazuri. În ultima parte voi dori desigur să aruncăm o privire din acest punct de vedere şi asupra orelor de matematică şcolară.

Dar despre ce vroiam să vorbesc şi nu am avut curajul în trecut? Gândul meu era că o predare neîmplicativă produce viitori adulţi manipulabili (din punct de vedere al influenţării maselor de votanţi). O predare neimplicând elevii în gândirea lecţiilor produce nişte adulţi docili, cărora să le poţi spune tu ca mare politician pe cine să voteze. Orice partid dominator îşi doreşte astfel de alegători şi desigur că partidele derivate din fostul partid unic din vremea dictaturii comuniste au fost deosebit de preocupate în manipularea maselor de votanţi. Văzând cum partidele urmaşe ale PCR-ului au început să aplice “pe faţă” astfel de procedee, nu este greu să te gândeşti că destul de repede după schimbările de acu’ 35 de ani, acestea au început să vadă avantajele unui învăţământ care produce adulţi votanţi docili, înspre menţinerea lor la putere.

Predarea tip prelegere, care cere din partea învăţăceilor ascultare deplină poate avea în rândul elevilor trei tipuri de reacţie (filozofez eu acum): o mare parte a elevilor vor deveni docili, ascultători, cu o atitudine umilă şi supusă în faţa profesorilor. Aceştia vor forma baza, blocul central al viitorilor votanţi disciplinaţi; când li se va spune ce şi cum să voteze, ei exact aşa vor vota. În extrema cealaltă a clasei vor apărea rebelii, cei câţiva care nu se vor lăsa dominaţi şi care vor creea întotdeauna probleme (“pe viitor” se găsea întotdeauna şi pentru aceştia “ac de cojocul lor”). În funcţie de severitatea dascălilor, mai era o categorie intermediară, de copii cuminţi, dar care gândeau.

O predare gen prelegere neargumentativă, adică o predare în care se emit afirmaţii ce nu sunt argumentate, aceasta produce nişte viitori adulţi vulnerabili la “teoriile conspiraţiei”, oameni care iau de “de-a gata” orice li se spune. Mă refer aici desigur la situaţiile arhicunoscute în care vorbitorul este preocupat doar de etalarea discursului său, nu şi de felul în care auditoriul percepe şi pricepe raţionamentul devenirii şi logica subiectului prezentat. Chiar mai mult, elevii cărora li se predă de pe o poziţie de netă şi incontestabilă superioritate, şi care îşi formează o astfel de stare permanentă de docilitate (obedientă chiar), vor ajunge ca adulţi doritori de a se alinia lângă un “altul mai deştept”, lângă unul “care ştie”, lângă unul “mai priceput” care să le spună “ce şi cum” trebuie făcut. Aceştia vor fi chiar fericiţi atunci când vor întâlni în viaţa lor “un dominator” căruia să-i poată fi “umil servitor”.

Toate materiile de ştiinţe au ajuns să aibă ca formă ideală (să tindă spre) o predare de tip prelegere, imitând (năzuind înspre) prelegerea universitar academică, pentru că au fost împinse puţin câte puţin în această stare de-a lungul anilor ’80, prin Reforma uitată a lui Ceauşescu din jurul anului 1980 (aşa am denumit eu în diversele mele articole mai vechi reforma învăţământului pornită la început doar pe licee în finalul anilor ’70 şi culminată cu manualele noi din 1981 pe gimnaziu, schimbarea predării în sensul acestei reforme continuând prin impunere agresivă până în 1989; am denumit-o astfel dorind să subliniez faptul că lumea nici nu mai ştie despre această reformă, darămite să ştie şi cum era înainte). Scăpată de mult de sub control în învăţământul preuniversitar, acest tip de predare “academicistă” a devenit pentru mulţi profesori forma lor obişnuită în care se etalează în faţa claselor, unii mai autoritar, alţii mai blând, ultimii fiind desigur preferaţi de către elevi (cu trimitere directă spre candidatul despre care am auzit multe dialoguri de felul: – Tu înţelegi ce vrea să zică ăsta? Nu, dar aşa-mi place cum ne vorbeşte, blând, calm, cu căldură).

Desigur că în timpul unei prelegeri, “Profesorul” aminteşte şi de anumite argumente, urmează chiar un anumit raţionament, dar o face atât de repede încât majoritatea ascultătorilor nu îl pot urmări şi nu pot creea conexiunile logice de inţelegere (chiar şi dacă ar vrea, pentru că pe mulţi oricum “îi doare în cot”). Ca să salveze aparenţele unui “dialog”, de obicei profesorul pune o întrebare, iar apoi tot el şi răspunde imediat, elevii rămânând în continuare pasivi. Cei mai distructivi în acest sens sunt profesorii care turuie intr-un ritm foarte alert, astfel încât nimeni nu-i poate urmări de fapt (în condiţiile în care presupunem că elevii sunt la prima audiţie a acelei teme). Un caz particular în această formă de predare o reprezintă situaţia des întâlnită când profesorul pune o întrebare, la care apoi imediat şi începe parţial răspunsul, iar elevii doar finalizează răspunsul pe baza sugestiei date de profesor, mimând o conectare cu subiectul, o înţelegere a acestuia, fără de fapt să aibă cunoştinţe sau implicare în domeniul respectiv. (iată un exemplu, văzut la o oră de istorie, pe când eram director: Cine a unit pentru prima dată provinciile româneşti? Mihai …?, iar elevii răspund în cor: Viteazu!)

Aplicat pe lungă durată (adică pe mulţi ani de şcoală), acest stil de predare prin prelegere produce la elevi o ascultare pasivă, neimplicativă, generând adulţi care nu vor şti să pună în discuţie cele spuse de o autoritate supremă, indiferent de ce “tâmpenii” va spune aceasta.

O predare gen prelegere neimplicativă a auditoriului nu poate forma la aceştia conexiuni de gândire. Cei care ascultă un astfel de discurs pot doar eventual avea impresia că înţeleg. De obicei urmează o lucrare de control sau un examen, sau există măcar frica de a fi scos la tablă şi “ascultat”; prin urmare cei mai mulţi au impulsul de a învăţa pe de rost elementele din “lecţia predată”, în general însă fără nici cea mai mică înţelegere raţională, tehnic doar cu antrenarea memoriei, deci fără antrenarea gândirii. Mă gândesc aici, de pildă, la o situaţie întâlnită pe când eram director, iar nişte eleve (din Republica Moldova) mi-au reclamat o situaţie la testul de geografie, unde profesoara era de etnie maghiară (dar făcuse facultatea în limba română), spunând că aceasta nu înţelege “că-i unguroaică”, că ele au scris corect la cerinţa despre descrierea fusurilor orare, că ele “au învăţat” până la 3 noaptea şi au băut nu-ştiu-câte cafele, iar profesoara asta le persecută. Am fost astfel nevoit să verific “cu autoritatea mea de director” situaţia respectivă. Am luat textele respective (cca. două rânduri) şi nu am înţeles nimic din frazele respective, doar că toate conţineau cele trei numere implicate: 360o, 24 ore şi respectiv 15o; frazele ce conectau cele trei numere nu aveau sens din punct de vedere logic. Regret foarte mult că nu am păstrat acele exemple pentru situaţii de analiză precum aceasta.

Cel mai bun exemplu despre felul cum s-a modificat predarea în Reforma uitată din 1980 este probabil din predarea fizicii. În anii ’70 ora ideală de fizică decurgea în următorii paşi: 1) prezentarea unui experiment, în timpul căruia elevii observau un anumit fenomen; 2) discuţii de analiză a celor observate; 3) rezumarea teoretică a fenomenului şi enunţarea legităţii; 4) alte situaţii unde se aplică legitatea respectivă. Dimpotrivă, în anii ’80 ora de fizică a fost transformată după cum urmează: 1) Prezentarea teoretică a lecţiei; 2) enumerare orală de situaţii unde se aplică legea proaspăt învăţată (în liceu, la începutul anilor ’80, nu înţelegeam de ce mergeam la acele ore în cabinetul de fizică, proaspăt construit prin anii ’70, pentru că oricum nu făceam experimente). Prin respectiva schimbare este evidentă atât creşterea “vitezei” de parcurgere a unei lecţii (cu eliberarea de timp pentru “probleme”), cât şi ridicarea nivelului de predare de la predominant practic la aproape total teoretic.

Dar, mai presus de toate, este evidentă reducerea elevilor la nişte simpli auditori, cu implicare mult mai redusă în lecţie, practic cu o educare masivă a unei atitudini pasive, active doar la nivelul receptiv. În principiu, lecţiile prin prelegere educă la elevi doar abilităţile de reţinere teoretică, aceştia fiind reduşi la nişte simpli “recorderi” (casetofon care înregistrează, recorder MP3, înregistrator cu telefonul etc.), nişte “aparate” umanoide care au ca unic scop redarea lecţiei cu ocazia evaluării. În acest sens există însă nenumărate studii care arată că reţinerea este mult limitată la o prelegere, faţă de o prezentare implicativă (cum ar fi ora de fizică din anii ’70, unde curiozitatea elevului îl implica mult mai mult în observarea fenomenului).

În urma desemnării noului Ministru al Educaţiei, Domnul Profesor Daniel David de la Facultatea de Psihologie a UBB, pot doar să spun că îmi vin în minte noi aspecte: forma de predare neimplicativă, prin prelegere, generând pe durată adulţi docili şi manipulabili, este una profund dăunătoare din punct de vedere psihologic, având influenţe distrugătoare la nivelul unor mase mari de populaţie, până acolo încât a ajuns să influenţeze negativ psihologia noastră naţională, afectând chiar siguranţa naţională (după cum s-a putut vedea). Mă plângeam în urmă cu un an unui părinte (la rândul său cadru universitar) de faptul că tot mai mult sunt nevoit să îmbin în predarea mea matematica cu psihologia. Da – mi-a răspuns acesta – pedagogia matematicii chiar asta ar trebui să însemne, îmbinarea matematicii cu psihologia! Dacă aşa privim lucrurile, atunci putem spune că Reforma uitată din ’80 a dat afară psihologia din predarea în şcoli (psihologia sănătoasă, dar absolut “nativă”, deci destul de puţin teoretizată la vremea respectivă).

Dacă îmi pot permite un sfat, atunci acela ar fi că visez ca Dl. Profesor Daniel David să aibă forţa să readucă psihologia sănătoasă ca atitudine în predarea din şcolile româneşti. Desigur nu ca materie în sine, ci în sensul de completare a predării diferitelor materii (la toate, dar mai ales a matematicii, care îi năuceşte pe cei mai mulţi). Pentru că psihologia intuitivă, ca atitudine nativă, a fost scoasă din predare forţat în anii ’80, actualmente psihologia trebuie reintrodusă în predare tot forţat, doar că de data asta în mod raţional, prin multiple exemple explicate concret. Cu alte cuvinte, predarea diverselor materii trebuie să devină din nou una intuitiv-empatică, corect psihologică, dar intuiţia în acest sens a dascălilor trebuie reactivată în mod raţional. Iar procesul, în mod sigur nu ar fi unul de scurtă durată: privind în urmă, eu estimez că dezvăţarea a avut loc orientativ pe parcursul a 10 ani, până la schimbările din 1990, aşa încât şi reînvăţarea unei predări mai umane ar lua lejer câţiva ani (cam tot 10 ani?).

Da, cam aşa ceva aveam de mult intenţa să povestesc, doar că mi-a lipsit curajul în trecut. Acum, în urma evenimentelor din timpul acestor alegeri prezidenţiale eşuate, pot spune doar că “nu e pentru cine se pregăteşte, ci pentru cine se nimereşte!” CTG

P.S. Puteţi reciti (sau citi pentru prima dată) eseul despre starea matematicii şcolare cu accent pe părinţi, profesori, respectiv autorităţi, la adresele

P.P.S. Pe când aveam gata această primă parte a eseului de faţă, am găsit o emisiune în care se atinge uluitor de bine subiectul amintit de mine mai sus, anume al felului în care clasa politică îşi doreşte educarea unor viitori alegători docili şi manipulabili, în niciun caz nişte alegători care să gândească raţional. În acest sens, se spune că “politicienii sunt imaginea poporului”, sau în altă formă, că “avem aleşii pe care-i merităm”. Dimpotrivă, alţii susţin că “peştele de la cap se-mpute!”. Într-o formă mai elevată, dezbaterea a avut loc şi în emisiunea În faţa ta, de la Digi 24 (~ 22dec. 2024, găsită pe YouTube), când Dl. Gabriel Liiceanu a susţinut că “Electoratul este o consecinţă a clasei politice“. Iată pasajul respectiv (de pe la min 12:30).

Florin Negruţiu: Întrebarea este dacă această clasă politică este doar o consecinţă a unor lucruri pe care nu le-am văzut până acum şi care se întâmplă în societatea românească?

Gabriel Liiceanu: E exact invers: electoratul este o consecinţă a clasei politice. (…) Asta nu pot să spun căt au făcut-o de conştient, dacă au cultivat stilul ignoranţei programate, deci dacă ţinerea în ignoranţă a electoratului era programată, sau au făcut-o printr-un bun instinct de oameni care vor puterea în mod absolut şi n-au nevoie să aibă în faţă oameni luminaţi, care să le vorbească despre “aveţi obligaţia să daţi socoteală pentru puterea pe care v-am dat-o; aveţi obligaţia să …”. M-am gândit şi eu, întrebarea dvs. este foarte în regulă: cine are vina mai mare, electoratul sau clasa politică? Merită ascultat interviul în integralitatea acestuia la adresa:

https://www.youtube.com/watch?v=_9P3GZbK3wA

P.P.P.S. Îmi cer scuze cu această ocazie în legătură cu gradul redus de cizelare şi de coerenţă al acestui eseu în trei părţi – faţă de nivelul cu care am obişnuit cititorii de-a lungul anilor. Viaţa familiei noastre este în continuare într-un mare haos, căruia trebuie să-i facem faţă (printre multe altele, de curând am avut din nou parte de o înmormântare dureroasă). Mizez pe indulgenţa cititorilor faţă de redactare, dar şi pe înţelegerea şi dorinţa ridicată de a cuprinde şi conexiunile şi aspectele poate insuficient lămurite în aceste texte. Mai mult nu are rost să lucrez la aceste articole pe care le pornesc acum; două luni au fost de ajuns (dec.2024 – ian. 2025) pentru cele 18 pagini pline împărţite în trei părţi. Va urma!

Diagonala unui “aproape cub” în 2025

N-am înţeles nici în ruptul capului ce era chestia aia cu “pătrat perfect” (de ce nu le spunea de la început “numere pătrate”?). Adică, există şi numere “aproape pătrate” (sau “pătrate imperfecte”)? Păi, atunci există şi numere “aproape cuburi”, nu? De pildă un paralelipiped dreptunghic “aproape cub” ar putea avea laturile de 1155, 1158 respectiv 1194 (alegeţi singuri unitatea). Acesta este desigur un “aproape cub” pentru că, văzut de la orice distanţă, nimeni nu va putea observa că nu este “cub perfect” (geometric vorbind, că dacă-l iei ca număr, poate vezi ceva ne-la-locul-lui). Dar să trecem la subiectul acestei scurte postări: vă rog să calculaţi diagonala acestui “aproape cub” (merge şi cu smartphone-ul).

Sinusul unui unghi obtuz în gimnaziu?

Să luăm, ca exemplu, o problemă găsită pe net-ul din lumea largă (postată pe un grup de facebook de profesori). Este vorba despre un triunghi ABC, pe laturile căruia sunt situate punctele D, E respectiv F, acestea împărţind laturile în segmente cu lungimile date în figura următoare (AD = 3, DB = 6, BE = 8, EC = 9, CF = 4, FA = 6). Se cere aria triunghiului DEF.

Dacă doriţi să rezolvaţi singuri problema, atunci opriţi aici lecturarea prezentei postări şi “spor la lucru!”. Eu voi sugera rezolvarea găsită undeva în aliniatele următoare, care vorbesc în principiu despre preocuparea – uneori obsesivă – a unor olimpişti de a îngreuna cu orice preţ materia şi aplicaţiile date elevilor.

Astfel, de pildă, formula de calcul a ariei unui triunghi ce are în componenţa sa sinusul unui unghi este considerată de mulţi profesori ca absolut obligatorie imediat ce au fost predate rapoartele trigonometrice în clasa a 7-a (de multe ori aceştia sunt profesori care predau şi la clase de liceu, şi nici măcar nu-şi dau seama că în clasa a 7-a nu poţi vorbi despre “funcţii trigonometrice”).

Chiar mai mult: trecute sunt vremurile când această formulă era folosită doar în mod direct, pentru calculul ariei unui triunghi. La ora actuală aceasta este deja tot mai utilizată “în sens invers”, ca metodă de determinare a sinusului unui unghi, metoda respectivă fiind tot mai creditată de către practicanţii matematicii de excelenţă în gimnaziu. Acest tip de rezolvare are însă o mare capcană, care însă nu pare să-i deranjeze defel pe cei care practică îngreunarea constantă a materiei prin coborârea în gimnaziu a elementelor de liceu.

Concret, dacă cunoaştem aria unui triunghi şi laturile sale, atunci prin această formulă putem calcula elementar sinusul unui unghi, chiar dacă acesta este obtuz şi, în mod tehnic, nu poate fi înţeles de către un elev de gimnaziu. Pentru profesorii care au dificultăţi majore în a coborî “cu picioarele pe pământ” legat de matematica de gimnaziu, încerc să explic pe scurt. Rapoartele trigonometrice sunt definite în clasa a 7-a pentru un unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic, ceva de genul: sinusul este raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză etc. Repet: în clasele a 7-a şi a 8-a elevii pot înţelege raportul sinus doar pentru un unghi ascuţit.

Deja a vorbi despre sinusul unui unghi într-un triunghi nedreptunghic reprezintă o provocare pentru mulţi dintre actualii elevi de clasele 7-8. Pentru a înţelege ideea ei trebuie să-şi imagineze că mai întâi trasăm acolo o înălţime care să ne formeze triunghiuleţul dreptunghic obligatoriu necesar conform definiţiei pentru a putea vorbi despre un sinus, pentru că ei leagă încă trigonometria de triunghiul dreptunghic (aşa ar trebui abordaţi aceşti paşi dacă ne gândim că elevii ar trebui să şi înţeleagă ceva din matematica noastră, nu doar să-i înveţe rezolvările pe de rost). După câteva probleme aplicate în acest fel, cu înălţimea ajutătoare trasată şi calculată, elevii mai buni pot face apoi desigur şi pasul spre folosirea lui sinus direct în triunghiul oarecare. Dar oare acesta este printre paşii ce trbuie făcuţi în gimnaziu?

Desigur că nu la toate formulele şi metodele învăţate în şcoală şi aplicate ca atare ne putem permite să le explicăm “de unde vine” aceasta. La unele chiar nu avem posibilitatea să le explicăm de unde vine funcţionarea respectivei, demonstraţia fiind mult prea grea. La multe dintre acestea nici profesorii nu le cunosc demonstraţia. Putem lua în acest sens două exemple: primul ar fi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate; apoi, sigur trebuie să amintim despre renumita “formula lui Heron” (din câte ţin minte, într-unul din manualele de geometrie din anii ’80-’90, coordonator D-na Mariana Răduţiu, exista o pagină înghesuit scrisă, cu caractere mici, în care era demonstraţia la această formulă).

Revenind la formula de arie a triunghiului “cu sinus”, se pare că aceasta are o mare deficienţă în gimnaziu, anume că – aplicată în sens invers – ea ne poate calcula sinusul unui unghi fără să ne avertizeze că am călcat în afara materiei de gimnaziu. Adică, ea ne poate calcula fără avertisment sinusul unui unghi, chiar şi dacă acesta este obtuz. Este voie să dăm aşa ceva? Cum vine asta? Mai mult, se poate cere sinusul unui unghi obtuz la test de clasă, la o simulare sau chiar la examenul de EN? (asta fără să mai amintim că, odată pornit tăvălugul, unii elevi, în căutările lor pe net, găsesc informaţii de genul sin120o)

Revenind la încercarea de a le explica felul în care formula de arie cu sinus funcţionează, prin trasarea unei înălţimi dintr-un vârf alăturat pe latura opusă acestuia (necesare înţelegerii), în cazul unui triunghi obtuzunghic, această înălţime cade în exteriorul triunghiului, triunghiuleţul dreptunghic aşteptat formându-se în afara triunghiului iniţial, desigur deci şi în exteriorul unghiului obtuz al cărui sinus vrem să-l calculăm (invers spus, unghiul respectiv devine exterior triunghiuleţului dreptunghic format de înălţime – deci, cum vine asta?).

Ok, şi rezolvarea problemei de mai sus? Păi simplu, putem face o minunată salată din aceste două formule de aria triunghiului, cea cu sinus aplicată şi direct şi invers. Rezolvarea la care mă gândesc are 8 paşi, dar aceştia aranjaţi într-o schemă logică de genul 1-3-3-1 (3 însemnând că la un moment dat un pas se repetă analog, de trei ori în paralel). Iar răspunsul dă chiar raţional. Şi da, nu vă mai obosiţi să demonstraţi, unghiul A este obtuz. CTG