Să luăm, ca exemplu, o problemă găsită pe net-ul din lumea largă (postată pe un grup de facebook de profesori). Este vorba despre un triunghi ABC, pe laturile căruia sunt situate punctele D, E respectiv F, acestea împărţind laturile în segmente cu lungimile date în figura următoare (AD = 3, DB = 6, BE = 8, EC = 9, CF = 4, FA = 6). Se cere aria triunghiului DEF.
Dacă doriţi să rezolvaţi singuri problema, atunci opriţi aici lecturarea prezentei postări şi “spor la lucru!”. Eu voi sugera rezolvarea găsită undeva în aliniatele următoare, care vorbesc în principiu despre preocuparea – uneori obsesivă – a unor olimpişti de a îngreuna cu orice preţ materia şi aplicaţiile date elevilor.
Astfel, de pildă, formula de calcul a ariei unui triunghi ce are în componenţa sa sinusul unui unghi este considerată de mulţi profesori ca absolut obligatorie imediat ce au fost predate rapoartele trigonometrice în clasa a 7-a (de multe ori aceştia sunt profesori care predau şi la clase de liceu, şi nici măcar nu-şi dau seama că în clasa a 7-a nu poţi vorbi despre “funcţii trigonometrice”).
Chiar mai mult: trecute sunt vremurile când această formulă era folosită doar în mod direct, pentru calculul ariei unui triunghi. La ora actuală aceasta este deja tot mai utilizată “în sens invers”, ca metodă de determinare a sinusului unui unghi, metoda respectivă fiind tot mai creditată de către practicanţii matematicii de excelenţă în gimnaziu. Acest tip de rezolvare are însă o mare capcană, care însă nu pare să-i deranjeze defel pe cei care practică îngreunarea constantă a materiei prin coborârea în gimnaziu a elementelor de liceu.
Concret, dacă cunoaştem aria unui triunghi şi laturile sale, atunci prin această formulă putem calcula elementar sinusul unui unghi, chiar dacă acesta este obtuz şi, în mod tehnic, nu poate fi înţeles de către un elev de gimnaziu. Pentru profesorii care au dificultăţi majore în a coborî “cu picioarele pe pământ” legat de matematica de gimnaziu, încerc să explic pe scurt. Rapoartele trigonometrice sunt definite în clasa a 7-a pentru un unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic, ceva de genul: sinusul este raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză etc. Repet: în clasele a 7-a şi a 8-a elevii pot înţelege raportul sinus doar pentru un unghi ascuţit.
Deja a vorbi despre sinusul unui unghi într-un triunghi nedreptunghic reprezintă o provocare pentru mulţi dintre actualii elevi de clasele 7-8. Pentru a înţelege ideea ei trebuie să-şi imagineze că mai întâi trasăm acolo o înălţime care să ne formeze triunghiuleţul dreptunghic obligatoriu necesar conform definiţiei pentru a putea vorbi despre un sinus, pentru că ei leagă încă trigonometria de triunghiul dreptunghic (aşa ar trebui abordaţi aceşti paşi dacă ne gândim că elevii ar trebui să şi înţeleagă ceva din matematica noastră, nu doar să-i înveţe rezolvările pe de rost). După câteva probleme aplicate în acest fel, cu înălţimea ajutătoare trasată şi calculată, elevii mai buni pot face apoi desigur şi pasul spre folosirea lui sinus direct în triunghiul oarecare. Dar oare acesta este printre paşii ce trbuie făcuţi în gimnaziu?
Desigur că nu la toate formulele şi metodele învăţate în şcoală şi aplicate ca atare ne putem permite să le explicăm “de unde vine” aceasta. La unele chiar nu avem posibilitatea să le explicăm de unde vine funcţionarea respectivei, demonstraţia fiind mult prea grea. La multe dintre acestea nici profesorii nu le cunosc demonstraţia. Putem lua în acest sens două exemple: primul ar fi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate; apoi, sigur trebuie să amintim despre renumita “formula lui Heron” (din câte ţin minte, într-unul din manualele de geometrie din anii ’80-’90, coordonator D-na Mariana Răduţiu, exista o pagină înghesuit scrisă, cu caractere mici, în care era demonstraţia la această formulă).
Revenind la formula de arie a triunghiului “cu sinus”, se pare că aceasta are o mare deficienţă în gimnaziu, anume că – aplicată în sens invers – ea ne poate calcula sinusul unui unghi fără să ne avertizeze că am călcat în afara materiei de gimnaziu. Adică, ea ne poate calcula fără avertisment sinusul unui unghi, chiar şi dacă acesta este obtuz. Este voie să dăm aşa ceva? Cum vine asta? Mai mult, se poate cere sinusul unui unghi obtuz la test de clasă, la o simulare sau chiar la examenul de EN? (asta fără să mai amintim că, odată pornit tăvălugul, unii elevi, în căutările lor pe net, găsesc informaţii de genul sin120o)
Revenind la încercarea de a le explica felul în care formula de arie cu sinus funcţionează, prin trasarea unei înălţimi dintr-un vârf alăturat pe latura opusă acestuia (necesare înţelegerii), în cazul unui triunghi obtuzunghic, această înălţime cade în exteriorul triunghiului, triunghiuleţul dreptunghic aşteptat formându-se în afara triunghiului iniţial, desigur deci şi în exteriorul unghiului obtuz al cărui sinus vrem să-l calculăm (invers spus, unghiul respectiv devine exterior triunghiuleţului dreptunghic format de înălţime – deci, cum vine asta?).
Ok, şi rezolvarea problemei de mai sus? Păi simplu, putem face o minunată salată din aceste două formule de aria triunghiului, cea cu sinus aplicată şi direct şi invers. Rezolvarea la care mă gândesc are 8 paşi, dar aceştia aranjaţi într-o schemă logică de genul 1-3-3-1 (3 însemnând că la un moment dat un pas se repetă analog, de trei ori în paralel). Iar răspunsul dă chiar raţional. Şi da, nu vă mai obosiţi să demonstraţi, unghiul A este obtuz. CTG