Avertisment

În ţara noastră nu se prea pune întrebarea “la ce foloseşte învăţatul matematicii?”. Asta pentru că din start credem că avem răspunsul stabilit: “pentru promovarea examenelor” sau “pentru olimpiade şi alte concursuri şcolare”. Această atitudine duce însă la o concluzie elementară: există anumite persoane care nu au nevoie nici la examene, nici de concursuri de matematică, iar aceştia nu au practic nevoie să ştie matematică, aşa că o eludează. La ce duce o astfel de politică peste ani? Am ales două exemple din multitudinea celor care ne înconjoară, exemple care ar trebui să dea de gândit conducătorilor matematicii româneşti. Politica de predare a matematicii din ultimii 40 de ani a permis unui eşalon masiv de populaţie să crească şi să se educe mai mult sau mai puţin pe lângă matematică, nebeneficiind de efectele formative ale judecăţii matematice de bază, evitând astfel educarea gândirii logice, cu urmările pe care le vedem peste tot în jurul nostru în societate. Nu vorbesc aici de teoria matematică drept un obiectiv în sine, ci despre efectele practicării unei matematici blânde cu toţi elevii, despre efectele acesteia asupra felului cum un individ raţionează apoi în viaţa de zi cu zi. Iată exemplele de care vorbeam, unul de natură aritmetică, iar celălalt de natură geometrică. CTG

Simularea la EN-2018 din martie discutată la Avocatul Diavolului

Am reuşit în sfârşit şi cu mare întârziere să spicuiesc câteva elemente din emisiunea Avocatul Diavolului de la Europa FM de vineri 23.03.2018, moderată de domnii Cristian Tudor Popescu şi Vlad Petreanu (de găsit integral – cca. 45 min – la adresa https://www.europafm.ro/avocatul-diavolului-ce-merge-si-ce-nu-merge-in-scoala-romaneasca/ )

VP: Pornim de la rezultatele simulării examenului de evaluare naţională, de la începutul lunii martie 2018, care sunt descrise, unanim, drept “catastrofale”. Mai puţin de 50% din elevii clasei a VIII-a care au susţinut probele respective au obţinut o medie peste 5 şi doar o treime au reuşit să ia note peste 5 la matematică. Sigur, aceste note nu contează la media şcolară generală, nu se trec în catalog, dar rezultatele spun ceva, fie despre lipsa totală de interes a elevilor faţă de evaluarea performanţelor lor şcolare, fie, din păcate, despre nivelul adevărat​ al pregătirii elevilor de gimnaziu înainte de trecerea lor la liceu.

Oricum ar fi, şcoala românească îşi ratează o bună parte din misiunea ei – şi anume, să pregătească noile generaţii pentru o viaţă activă şi valoroasă în societate. La testele PISA, de pildă, care evaluează capacitatea elevilor de a folosi în lumea reală cunoştinţele însuşite la şcoală, România se plasează constant pe locuri codaşe. 42% dintre elevii români de 15 ani sunt analfabeţi funcţional, relevă aceste teste – adică pot citi un text, dar au mari dificultăţi să înţeleagă sau nu înţeleg deloc ce au citit, de fapt. Care e problema aici? Sunt manualele prea stufoase, prost făcute? Sunt prea multe ore în program? Sunt profesorii prea slabi? Sunt elevii totalmente demotivaţi? (…)

Încărcate cu toate manualele, culegerile, caietele şi uneltele cerute la clasă, ghiozdanele cântăresc, uneori, un sfert sau o treime din greutatea copilului. Temele sunt atât de multe, încât copiii nu mai au, practic, timp liber. În plus, pentru a suplini calitatea scăzută a învăţământului de stat – sau pentru a câştiga bunăvoinţa profesorului – mulţi părinţi plătesc meditaţii pentru cei mici, ceea ce îi încarcă şi mai tare.

Să nu vorbim, însă, doar despre ce nu merge – pentru că, întotdeauna, la şcoală vor fi elevi mai buni şi elevi mai slabi, profesori mai buni sau mai slabi. Chiar confruntaţi cu un sistem în general neperformant şi osificat, unii copii fac performanţă, termină liceul cu note mari şi devin specialişti căutaţi de firme importante, angajaţi şi plătiţi apoi foarte bine (în ţară sau afară) – şi, desigur, există şi profesori foarte buni, foarte iubiţi. Care e secretul? Salarii mai mari ar garanta calitatea corpului profesoral? Ce chinuie şcolarii, ce supără părinţii, ce ţine în loc educaţia din România şi care o fi secretul celor care reuşesc, totuşi, să facă performanţă în şcoala românească şi după ea, în profesia pe care şi-o aleg?

CTP: Aştept ziua în care copiii să nu se mai bucure când se întrerupe soala. După părerea mea, cheia este în aplicarea în realitatea înconjurătoare a cunoştiinţelor dobândite la şcoală. Acolo este problema, în legătura şcolii cu realitatea. Există în clipa de faţă o tendinţă de a pregăti elevul şi de a se pregăti el ca şi cum toată viaţa lui se va desfăşura în şcoală şi nu în viaţă; sunt elevi care trăiesc cu o nostalgie după ce pleacă din liceu (…), trăiesc cu nostalgia acelei bule de protecţie pe care o reprezenta şcoala. Ei acolo s-au simţit foarte bine, au învăţat bine, au avut note mari şi când se ciocnesc după aceea cu realitatea, cu viaţa, constatăm că mulţi dintre premianţi clachează.

Asta e o tendinţă, iar a doua: când pleci din şcoală să uiţi a doua zi tot ce-ai învăţat, ca şi cum ar fi fost o corvoadă aberantă ca să iei o diplomă, şi dupa aceea te duci şi tu să trăieşti fără să-ţi mai aduci vreo dată aminte cum se calculează aria unui romb, de pildă aşa cum v-am rugat stimaţi “europeni fm” să calculaţi aria unui romb căruia îi cunoaşteţi perimetrul de 24 cm şi un unghi de 30 de grade. (…)

Cristina (elevă clasa a 12-a, Suceava): Consider că sistemul de învăţământ este foarte învechit …vreau să merg la facultatea de matematică, doresc să devin programator … profesorii sunt foarte slab pregătiţi … de exemplu vine profesorul şi ne citeşte lecţia din carte … CTP: cât e aria rombului? Cristina: nu-mi amintesc, este ceva cu diagonalele, cu teorema sinusului … Noi nu am mai făcut geometrie în liceu …

Anca (mamă de trei copii din care doi trecuţi de vârsta învăţării acestei probleme): … Copiii mi-au spus că rezultatul e 18…. Au făcut cu a2 şi cu sinus de 30o. … Din 10 profesori cam doi încearcă să … prezinte lecţiile într-un mod atractiv. CTP: într-o discuţie cu academicianul Solomon Marcus am susţinut că soluţia este investirea în profesori (…).

Anca (educatoare): … fetiţa mea a venit şi a spus “am scris la desen”. Şi daţi şi lucrare? “Da. ora viitoare”. VP:  un sistem osificat, birocratizat, cu profesori plictisiţi şi rutinaţi, asta avem până acum. Eu cred că sunt şi alte probleme … CTP: o problemă din punctul meu de vedere: nu atăt că e multă teorie, nu atât că profesorul respectiv nu e entuziast în legătură cu ce predă, ci modul în care îi faci cunoştiinţă elevului … cu problema, asta este esenţial, e ca-n dragoste; dacă e greşit atunci elevul acela se va îndepărta poate pentru totdeauna de domeniu, de subiect … (urmează un exemplu magistral din fizică, despre acceleraţia Coriolis) trebuie să facem poveşti, dar pentru asta trebuie să te ocupi şi să te preocupi despre elev.

Casian (elev, clasa a 12-a, Alba Iulia): … în clasa a 12-a m-am mutat de la profil real la uman … profesorul meu cel vechi, efectiv nu era prieten cu elevii … CTP: e a nu ştiu câta oară când aud o astfel de poveste tristă …

Laura (profesoară de matematică, mai ales la gimnaziu): … o parte din profesori dau un algoritm în loc să-i înveţe să gândească, elevii învaţă reţete … (la problema cu rombul) în nici un caz nu i-aş da formula … l-aş provoca să găsească înălţimea … eu le spun: “copii, nu învăţaţi pentru un examen, formaţi-vă un raţionament”.

CTP: este o iluzie că tehnologia te face mai deştept … soluţia este omul; soluţia este profesorul; soluţia este părintele …

 

*

Este foarte greu să trăieşti într-un sistem menţinut într-un blocaj de către majoritatea decidenţilor, sub pretextul că acest sistem nu se poate schimba. Chiar şi doar urmărind cu atenţie această emisiune, substratul unor afirmaţii din parcursul celor cca. 45 minute, chiar şi doar atât şi găsim câteva aspecte care, dacă ar fi luate în serios cu adevărat, ar putea duce la îmbunătăţirea substanţială a situaţiilor la care se referă (cu condiţia ca cei vinovaţi să aibă forţa de a ieşi din starea în care se complac, din starea ce a devenit pentru ei tipica zonă de confort şi din care cei mai mulţi nici nu se gândesc să iasă). Să evidenţiem câteva dintre aceste aspecte:

Avem multe lecţii, mult prea multe lecţii, iar pe undeva elevii trebuie să mai facă şi loc pentru cele ce vin, astfel încât cele care nu se folosesc o vreme se uită. Totuşi, acest aspect nu explică cum de o elevă de clasa XII-a a uitat cum se stabileşte aria respectivă, pe când CTP încă nu a uitat. Ce şcoală a făcut CTP de încă nu a uitat? Dar să nu luăm doar acest caz; ce şcoală a făcut un verişor de-al nostru care nici măcar nu a ajuns pe la facultate, dar ştia să rezolve toate problemele de mate ale ficei sale când aceasta era în clasa a VIII-a? Viaţa sa a fost rebelă: după şcoala de la Oneşti, printre primele halte a fost şi la mina din Cavnic (MM). La 50 de ani ştia să găsească centrul unui cerc doar cu rigla şi compasul (în mai multe feluri), dar n-a mai ştiut să găsească înălţimea unui trapez dreptunghic ortodiagonal la care se cunoşteau bazele. De ce ştia el mai multă matematică decât fiica sa? Ce fel de şcoală au făcut aceşti oameni, de mai ţin minte astfel de lucruri, pe când actualii elevi de liceu deja le-au uitat?

Un subiect clar al acestei emisiuni îl reprezintă alegerea dintre învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări, mai degrabă a unor formule, pe de-o parte, şi gândirea de la bază a unei probleme, pe de altă parte. Cum este mai bine? Prima îţi asigură o anumită eficienţă, dar îţi trebuie “memorie de elefant”. Cealaltă cale este mai lentă, dar pe durată reuşeşti să te descurci şi după ce intervine uitarea. După 1980 materia s-a încărcat atât de mult încât nu prea mai pare o cale de succes a două variantă. La problema cu trapezul dreptunghic ortodiagonal o elevă mi-a scris o formulă conform căreia înălţimea acestuia este medie geometrică a bazelor. De unde ai scos formula asta? Am întrebat-o. Din caietul meu de formule. Arată-mi-o! i-am cerut, şi mi-a ară tat-o. De unde ai scris-o aici? Nu mai ştia. Cineva făcuse o astfel de formulă pentru o singură situaţie, iar această elevă, a cărei mamă este medic, a memorat-o având nativ capacitate de stocare uriaşă. Dacă îi dai însă o problemă de gândire de care n-a mai văzut se blochează. Oare, încolo vrem să ducem matematica?

În această emisiune CTP se leagă de problema cu rombul dată la simularea EN din 12 martie, iar “bătălia” este între cei care susţin formula directă a2sinA şi cei care susţin gândirea, susţin că elevul ar trebui să ştie că rombul este un trapez, iar pentru formula acestuia trasăm înălţimea pe care o calculăm în triunghiul dreptunghic astfel format folosind sinusul unghiului rombului. De fapt această “bătălie” s-a dat după reforma din 1980 în multe locuri. Iată un alt exemplu: calcularea ariei unui triunghi în care se cunosc lungimile celor trei laturi. În timpul şcolii eu trasam o înălţime iar apoi generam un sistem de ecuaţii aplicând teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice formate. Pe când am ajuns profesor (în 1990) toată lumea folosea formula lui Heron (cunoscută la noi sub acest nume). Actualmente elevii se împart în două categorii: cei care nu ştiu rezolva această problemă şi cei care ştiu formula lui Heron. De gândit, nu mai gândeşte nimeni. Munceşti ceva la rezolvarea cu Pitagora şi sistemul de ecuaţii, dar măcar înţelegi ce faci şi te antrenezi în gândire. Dimpotrivă, formula lui Heron are un comportament şi un efect clar de cutie neagră: socoteşti ceva acolo, nu pricepi nimic ce se întâmplă, iar în final îţi dă un rezultat şi gata. Sigur că o astfel de rezolvare o uiţi după câţiva ani.

Dar, pe departe cel mai fierbinte punct al acestei emisiuni a fost momentul când dl. Cristian Tudor Popescu ne-a explicat că cel mai important aspect este felul în care îi faci cunoştiinţă elevului cu subiectul de predat. Probabil aici este punctul central în ceea ce eu numesc ARTA PREDĂRII. Ne explică dânsul că trebuie să facem poveşti, dar pentru asta trebuie – ca profesor – să te ocupi şi să te preocupi despre elev. Aceasta era paradigma în care se preda încă în anii ’70, dar aceasta a fost înlocuită brutal la reforma din 1980 cu o nouă predare mai doctă, de sorginte ştiinţifică preluată din cursurile universitare despre organizarea axiomatică a geometriei euclidiene sau a altor teorii la modă în anii ‘60, cum ar fi teoria mulţimilor, algebra booleană etc. La ora actuală profesorii ştiu să predea doar aşa; nimeni nu mai ştie să facă o poveste prin care să genereze o lecţie. Predarea actuală pleacă de la premisa că elevul este o găleată goală în care profesorul trebuie să toarne marea sa inteligenţă.

La ora deschisă ţinută în toamna lui 2017 despre divizorii unui număr, eu nu am explicat elevilor nimic, ci doar am pus întrebări, care erau astfel alese încât elevii au generat toate cunoştiinţele lecţiei. Singurul lucru ce l-am explicat în aceea lecţie a fost titlul, ce este acela un divizor, ce înseamnă a divide, anume că este vorba de împărţirea exactă. Dacă aş fi predat în germană nu ar fi trebuit să explic nici acest fapt, pentru că în germană se foloseşte echivalentul cuvintelor împărţitor şi împărţibil. La ora respectivă nu am adus o poveste deosebită, dar nici nu trebuie ca orice oră să aibă o poveste de “dat pe spate”. La momentul respectiv am generat mai mult un joc pe care l-am continuat apoi în orele următoare.

Revenind la CTP, dânsul ne sugerează mai mult să venim cu o întrebare adresată elevilor, desigur o întrebare bine aleasă, cu tâlc, iar apoi, pe deschiderea plină de curiozitate generată astfel în sufletul elevilor, pe această deschidere profesorul vine cu răspunsul izbăvitor, vine cu noile cunoştiinţe, care vor crea impresii profunde şi de durată. Aceasta a fost emisiunea cu gândurile ei. Ce s-a întâmplat însă la clase după simulare? Din câte am văzut, mulţi profesori s-au năpustit la clasele a VII-a sau a VIII-a să facă rapid toate acele formule cu sinus (la triunghi, la paralelogram şi desigur la romb). QED sau: aceştia sunt soldaţii şi cu aceştia defilăm.

Post Scriptum

Azi am aflat ceva foarte interesant. După cum poate ştiţi, eu am făcut şcoala până în clasa a VIII-a în limba germană. În această limbă toţi se numesc Herr Lehrer (d-le învăţător), şi învăţător se numesc şi în Germania toţi până la bacalaureat. De-abia la facultate se numesc Herr Professor. La noi, mai nou şi învăţătoarele şi educatoarele se numesc profesor (de învăţământ primar sau preprimar). Astăzi am aflat că în Republica Moldova până la nivelul bacalaureatului toţi se numesc învăţători, iar profesori se numesc doar cei de la facultate (adică la fel ca la nemţi). Poate că această informaţie să ne ajute a înţelege paradigma greşită în care trăim, astfel încât să reuşim a ne schimba puţin câte puţin (cum cânta un mare basarabean), astfel încât în urma noastră să nu mai rămână poveşti cum am auzit în emisiunea respectivă. Constantin Titus Grigorovici

 

Calcul prescurtat in piscină

Chiar nu cred că este momentul acum să facem o mare filozofie de ce se numesc acele formule “de calcul prescurtat”, dar oricum este clar că mulţi elevi întâmpină dificultăţi în a le memora şi a ajunge în stadiul de a nu mai uita termenul “din mijloc”, cel cu 2ab. Din acest punct de vedere este binevenit ajutorul primit prin Instagram, anume o poză ce bântuia în ultima vreme de la un elev la altul, poză ce descrie magistral situaţia lui 2ab.

Teorema lui Pitagora şi faianţa din baie

Dacă v-aţi întrebat unde am dispărut în ultimele săptămâni, vă informez că am fost ocupat cu pusul faianţei în noua noastră baie. Muncitorii m-au refuzat la modelul imaginat de mine, aşa că a trebuit să învăţ să o lipesc singur pe perete. Îmi explicau că nu se pot pune amestecate plăci de faianţă de mărimi diferite. Eu le explicam că se poate dacă folosesc plăci de mărimi multipli de 5 cm. Desigur că vorbeam unul pe lângă celălalt: ei nu mă prea înţelegeau pe mine cu matematica mea iar eu nu-i înţelegeam decât aproximativ pe ei când vorbeau de erori ce se acumulează sau de grosimi diferite ale diferitelor plăci. În plus, aveam şi plăci reliefate şi mai doream să integrez în minunata mea operă şi anumite plăci puţine la număr sau chiar unice, reprezentând diferite mici amintiri. Iată ce a ieşit:

Pe lângă modelul ieşit din comun, mi-am propus să introduc şi mai multă matematică, într-o formă ceva mai “agresivă”. Normal ar fi fost să aleg reprezentarea geometrică a formulei pătratului unei sume (ştiţi desigur reprezentarea cu două pătrate diferite şi două dreptunghiuri identice, formând un mare pătrat). Dar ar fi fost prea banal; s-ar fi pierdut în haosul de plăci diferite. Aşa că am decis să fac într-un colţ figura teoremei lui Pitagora pentru triunghiul egiptean. Pe aceasta se vede clar cum 32 + 42 = 52. Cei care aţi citit amintirile mele din copilărie, vedeţi cum acţionează acestea asupra omului? (palmierul pictat pe peretele de pe vremuri va reveni sub forma unor plante atârnând de deasupra)

Cred cu sinceritate că a ieşit o baie deosebită. Desigur că finalizarea ultimelor elemente şi rostuirea le-au făcut muncitorii (după două săptămâni, după ce s-au obişnuit cu ideea şi le-a trecut uimirea). Datorită grosimilor diferite ale rosturilor, această faianţare a înghiţit cam de 3-4 ori mai mult material decât un model normal. Dar, la ce a ieşit, asta cu rosturile chiar nu mai contează. CTG

Didactica matematicii 2018

Profesorii Facultății de matematică de la Universitatea Babeș-Bolyai din Cluj organizează din anii ’80 o sesiune de comunicări știintifice sub titlul Didactica matematicii. Manifestarea are loc de obicei în perioda de primăvară târzie și este găzduită în fiecare an în altă locație din Cluj sau din Ardeal. Anul acesta Didactica matematicii are loc la Cavnic în data de 19 mai: http://www.math.ubbcluj.ro/~didactica/.

Personal, am participat pentru prima dată la această sesiune de comunicări stiințifice în anul 1992, iar de atunci de mai multe ori, pierzând numărătoarea participărilor. Lucrarea mea pentru această ediție a Didacticii matematicii are titlul Criteriul psihologic al intuiției în selectarea teoremelor de demonstrat în gimnaziu, fiind un subiect la care am lucrat începând din ianuarie. Pentru cei care n-au citit părtile acestui eseu la momentul apariției vă ofer un scurt rezumat al principalelor aspecte analizate:

Constantin Titus Grigorovici, profesor Liceul Waldorf Cluj-Napoca

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (PS)

S-ar putea crede că un eseu atât de lung ar fi trebuit să epuizeze definitiv subiectul propus (PS-ul de faţă a fost redactat după partea a III-a a eseului, fiind un scurt apendice al acesteia; scuze pentru întârzierea publicării). Aplecându-ne cu răbdare şi meticulozitate asupra subiectului, stârnit de gândurile cu tâlc expuse de profesorului Eugen Rusu în lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), am găsit o sumedenie de idei legate de nivelul evidenţei drept un criteriu psihologic legat de folosirea intuiţiei în selectarea itemilor de parcurs la geometria gimnazială. Totuşi, odată ce am părăsit redactarea textului şi subiectul în sine, luând distanţă şi admirând întregul de la depărtare, se pot vedea şi alte aspecte ce nu au fost atinse.

De pildă, se poate pune în discuţie diferenţa dintre nivelele evidenţei la fenomenele geometrice faţă de fenomenele numerice. Am atins scurt acest subiect atunci când am afirmat că demonstraţiile pe bază de arii ale teoremei lui Pitagora au un nivel de evidenţă net superior demonstraţiei pe bază de rapoarte, demonstraţie ce are un profund caracter algebric. Asfel, demonstraţia tradiţională din manuale, pe baza teoremei catetei, are un ciudat caracter de “Hocus-Pocus!”: majoritatea elevilor nici nu prind clar ce s-a întâmplat, şi nici nu înţeleg clar rezultatul la care s-a ajuns. Ei pricep că s-a ajuns la faimoasa teoremă a lui Pitagora, dar rămân doar cu o stare dilematică generală: “totuşi, despre ce-i vorba aici?”. Iar această stare este foarte îngrijorătoare pentru că prin ea elevul se învaţă să nu gândească, situaţia fiind generalizată atât la mulţi elevi inteligenţi în ceea ce priveşte majoritatea lecţiilor, cât şi generalizată în sensul unei majorităţi a elevilor, având deja un caracter de pandemie.

Revenind la compararea nivelelor de evidenţă a diferitelor demonstraţii, a diferitelor căi de a explica un anumit rezultat matematic, trebuie conştientizat clar că există căi mai vizuale şi căi bazate mai mult pe tehnicile de calcul. Un bun exemplu în acest sens îl reprezintă formula numită pătratul sumei, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, la care avem cele două căi cunoscute de obţinere, de justificare: calea tradiţională prin calcul algebric, care oarcum justifică supratitlul de formule de calcul prescurtat, şi calea geometrică la fel de cunoscută, dar deseori neglijată, în care formula respectivă este privită drept aria unui pătrat mare descompusă într-o sumă de două arii de pătrate diferite şi două arii de dreptunghiuri congruente. De obicei profesorii fac la clasă prima rezolvare în urma căreia elevii văd că iarăşi profesorul se agită şi înrămează ceva ca fiind foarte important, dar la care ei rămân cu un mare semn de întrebare, asemănător cu o stare de “ceaţă pe creier”. Dacă imediat după aceasta profesorul aduce şi a doua justificare, cea geometrică cu arii, atunci aceasta are de obicei efectul unui vânticel proaspăt de primăvară care alungă ceaţa de pe gândirea elevilor: “Aha, este evident. Da, aşa-i! Se vede.”

Aici nu putem spune însă că una dintre rezolvări ar fi mai importantă decât cealaltă, dându-i căştig de cauză şi întâietate, eliminând-o pe cea mai puţin importantă, şi asta dintr-un motiv foarte simplu: există copii de diferite feluri, unii având o gândire cu afinităţi mai apropiate de lumea numerelor, alţii cu o gândire mai abilă în lumea imaginilor, potrivită mai degrabă căilor geometrice. Cum am mai spus: poziţionarea unor itemi pe treptele scării evidenţei are un profund caracter subiectiv din punct de vedere psihologic. Alăturarea celor două căi de obţinere a formulei oferă siguranţa unui rezultat mai bun al înţelegerii, atât la nivelul clasei, cât şi la nivelul fiecărui individ. Altfel, o predare unilaterală are mari şanse de a-i neglija pe unii dintre elevii, care sunt capabili şi inteligenţi, dar dotaţi cu gândirea unilaterală mai potrivită celeilalte dintre cele două direcţii.

Aceste idei sunt susţinute şi de către gândurile din lucrarea profesorului Eugen Rusu, combinând cele două pasaje deja cunoscute: Întrucît grecii nu erau familiarizaţi cu calculul algebric, ei vedeau în a2 o arie, nu un număr-măsură ridicat la pătrat (privit ca operaţie de ordinul III; pag.38) şi: evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii (pag.4). Cu alte cuvinte: la fel ca la primii învăţaţi greci, gândirea algebrică în curs de formare s-ar putea să nu-i ofere elevului încă o siguranţă deplină, pe când raţionamentele legate de arii (măsura suprafeţei) să-i asigure o claritate şi o certitudine mai evidentă, cu acestea elevul ocupându-se deja aritmetic şi geometric încă din clasa a V-a

CTG 01.02.2018

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (VI)

Eseul de faţă a pornit ca o analiză a modului de predare a geometriei, plecând de la noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice de la pagina 30 citim: Programele de matematică pentru clasele a V-a şi a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notaţii, teorie prezentată in extenso, demonstraţii exhaustive)… Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea de la modelele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi …La pagina 32 găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Legat de formalismului specific matematicii, la pagina 9 a programei, la finalul clasei a V-a, autorii chiar au avut curajul să cuprindă următoarea observaţie: 2Notaţia ∢AOB reprezintă atât unghiul AOB, cât şi măsura unghiului AOB, în funcţie de context. Şi când mă gândesc că eu am auzit de măsura unghiului, adică de scrierea m(∢AOB) deabia în clasa a IX-a!

În paralel cu analiza diferitelor citate din programă, am apelat la o lectură atentă, chiar meticulos de atentă, “printre rânduri” a lucrării profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), cu accent pe primele capitole corespunzătoare geometriei Greciei antice. Iată, în acest sens, un ultim citat legat de perceperea acestei moşteniri de către urmaşii lor. Astfel, în Capitolul V al cărţii, Între matematica antică şi cea din epoca modernă, Eugen Rusu face o analiză a trecerii cunoaşterii prin evul mediu. În al doilea subtitlu Se păstrează Elementele lui Euclid aflăm că se păstrează cartea de geometrie, dar se pierde spiritul geometric. În general, în această perioadă, cultura înseamnă mai mult prosternare în faţa unor texte considerate ca autoritate în materie, cel mult comentarea literei lor, cu efortul de a le înţelege, şi mai puţin sau de loc activitatea axată pe descoperirea adevărului. Atitudinea faţă de Cartea sfîntă – pentru unii Biblia, pentru alţii Coranul sau Talmudul – în esenţă, axată pe crede şi nu cerceta şi pe veneraţia faţă de autori, Carte care dă învăţături, nu invitaţii la gîndire, este imitată, de la sine, şi faţă de cărţi “profane”. Biserica, începînd din secolul al XIII-lea, îl recunoaşte pe Aristot, şi-l apropie. De ce? (…) tocmai adoptînd pe Aristot ca autoritate indiscutabilă, Biserica înăbuşea spiritul cercetării libere.

Într-un astfel de climat, la ce serveşte Euclid? Cel mult să-l înveţi, respectîndu-l. Un fapt semnificativ: încă de la începutul secolului al VI-lea, Boetius dă o carte de geometrie, în care sînt puse numai enunţuri de teoreme din Euclid. Demonstraţii dă numai la primele trei teoreme, în anexă, ca să vadă cititorul că poate avea încredere în autor. Pentru ei enunţul – un fel de “învăţătură” – e important. O carte de geometrie fără demonstraţii! Bazată pe “încredere”, pe prestigiul autorului! (pag 99-100)

Dacă pe vremea respectivă oamenii erau ţinuţi departe de procesul gândirii în acest fel, dimpotrivă, în ultimii peste 30 de ani majoritatea elevilor, toţi cei care nu reprezentau chiar vârfurile claselor, adică “ne-olimpicii”, au fost ţinuţi departe de procesul gândirii printr-un nivel prohibitiv al rigurozităţii şi formalismului matematicii, combinat cu un nivel foarte ridicat de dificultate al aplicaţiilor parcurse la clasă sau oferite ca temă, un nivel la fel de prohibitiv pentru majoritatea elevilor.

Totuşi, chiar dacă sistemul s-a prezentat în faţa elevilor ca având pretenţia să se demonstreze TOTUL, de fapt a ajuns a decide că unele lucruri nu trebuie demonstrate, iar lista acestor teoremelor care nu se demonstrează a crescut de la un an la altul pentru a face loc în ora de matematică cât mai multor aplicaţii.

În această ultimă parte a eseului de faţă doresc să trag anumite concluzii, despre cum ar trebui abordată geometria din punct de vedere a folosirii intuiţiei. Oricum, este de apreciat apariţia cuvântului intuiţie în noua programă de matematică valabilă începând din 2017 (cuvântul respectiv apare în diferite forme de peste 20 de ori în această programă). Din păcate, impresia lăsată este că se cere o predare intuitivă doar în clasele a V-a şi a VI-a, după care “GATA!”, din a VII-a o luăm din nou aşa cum ne pricepem mai bine. Analizând toate cele spuse şi scrise în primele cinci părţi ale acestui eseu, putem trage însă câteva concluzii destul de diferite de impresia respectivă.

Folosirea intuiţiei în înţelegerea şi justificarea afirmaţiilor geometrice porneşte de la un nivel ridicat şi coboară cu timpul la nivele tot mai scăzute, fără însă să dispară total nici în clasele mari. Dimpotrivă, demonstrarea riguroasă porneşte cu paşi timizi în clasa a VI-a şi doar la afirmaţiile cu un nivel al evidenţei scăzut. Acest criteriu rămâne valabil de-a lungul întregului ciclu gimnazial, dar creşte numărul de situaţii care primesc demonstraţie. Un exemplu ar fi Teorema lui Thales care nu prea se demonstrează. În schimb, teorema bisectoarei permite demonstraţii foarte frumoase ce se pot face ca exemple de rezolvări. Este păcat a da această teoremă şi a sări direct la aplicaţii, fără a-i prezenta o demonstraţie (nivelul de evidenţă al acestei teoreme este foarte neclar). O situaţie similară avem la teorema despre poziţia centrului de greutate al unui triunghi, la care merită prezentate chiar două demonstraţii (cu linie mijlocie, respectiv cu teorema fundamentală a asemănării).

Un alt exemplu ciudat se găseşte în finalul clasei a VII-a unde, la capitolul despre cerc se fac câteva teoreme plictisitoare (coarde congruente la arce congruente; arce congruente între coarde paralele etc.), al căror singur obiectiv real ar fi să ducă spre teorema “tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact”, teoremă care însă nu se mai demonstrează. Atunci, pentru ce s-au făcut primele, care sunt destul de evidente şi nu sunt folositoare în probleme?

Revenind la folosirea intuiţiei vizuale în comparaţie cu folosirea demonstraţiilor teoretice pentru justificarea afirmaţiilor din cadrul lecţiilor, consider că cele două fenomene ar putea fi reprezentate grafic oarecum similar cu cele două curbe ale funcţiilor exponenţiale (1/2)x şi 2x, una descrescătoare dar nedispărând oricât de mult am merge la dreapta, cealaltă crescătoare, ele intersectându-se undeva la trecerea din clasa a VI-a în a VII-a.

Faptul că, aplicând aceste principii, în clasa a VI-a nu ar trebui să ne propunem a demonstra afirmaţii evidente, acest fapt ne conduce la următorul gând: în clasa a VI-a, în procesul de cunoaştere al figurilor geometrice studiate, ar trebui să ne concentrăm mai degrabă pe procesul de construire al acestor figuri decât pe demonstrarea unor proprietăţi evidente ale acestora. Aici există o lume nebănuit de bogată din care elevii pot cunoaşte mult mai bine şi mai profund spiritul fiecărei figuri şi toate secretele sale, într-o formă mai potrivită vârstei. Astfel, pe lângă exemplele de bază pentru construirea triunghiurilor, elevii pot primii şi sarcini la care sunt nevoiţi să facă anumite calcule şi explicaţii preliminare. Iată câteva exemple în acest sens (preluate din ultima lucrare de control dată la clasa a VI-a la sfârşitul lui martie):

Ex.1) Construiţi triunghiul GHI dreptunghic în ∢H, cu HI = 6 cm şi m(∢G) = 70o. (stabilind mai întâi măsura unghiului I, complementul lui G, putem construi triunghiul pe baza cazului de construcţie ULU)

Ex. 2) Construiţi triunghiul isoscel ABC cu [AB] ≡ [AC], având baza BC = 4 cm şi m(∢A) = 50o, iar apoi trasaţi şi bisectoarea unghiului ∢B. (trebuie să stabilim mai întâi măsurile unghiurilor B şi C prin raţionament logic, scăzând din 180o şi împărţind la 2)

Ex. 3) Construiţi triunghiul DEF dreptunghic în ∢D cu cateta DE = 3 cm şi mediana DM = 4 cm. (informaţia despre lungimea medianei pe ipotenuză trebuie mai întâi transformată în lungimea ipotenuzei; apoi se construieşte triunghiul cu baza cateta DE şi verticala ridicată în D)

Se vede clar pe aceste probleme cum elevul este împins să gândească în paşi mici accesibili momentului său de dezvoltare, nefiind dresat să înveţe nişte demonstraţii pe de rost. Astfel, mai logic ar fi ca elevul să înveţe în clasa a VI-a “Cazurile de construcţie a triunghiurilor” (renumitele LLL, LUL, ULU) şi doar în clasa a VII-a la o reluare a materiei să privească fenomenul drept “Cazurile de congruenţă a triunghiurilor” folosibile în demonstrarea unor afirmaţii mai puţin evidente.

În altă ordine de idei, fenomenul intuiţiei poate avea o importanţă deosebită chiar şi în ordinea parcurgerii unui set de lecţii. Să luăm spre exemplificare setul de trei lecţii compus din “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi respectiv “Teorema fundamentală a asemănării”. Astfel, în lecţia introductivă la capitolul despre proporţionalitate, eu le prezint un “drum de transformare intuitivă” a cunoştinţelor din clasa a VI-a de la regula de trei simplă spre triunghiuri asemenea, TFA cu final la Teorema lui Thales (pentru detalii sau reamintire vezi postarea http://pentagonia.ro/proportionalitate-si-asemanare-prima-lectie/ ). Ordinea teoretic corectă ar fi însă “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi în final “Teorema fundamentală a asemănării”. Din punct de vedere al elevului şi al parcursului său prin exerciţii şi probleme, ordinea pedagogic corectă ar fi însă: “Teorema lui Thales”, “Teorema fundamentală a asemănării”, ambele având puternice exerciţii cu aplicaţii numerice (ambele pe aceeaşi figură tip), şi doar apoi “Asemănarea triunghiurilor” cu diferitele probleme la cazurile de asemănare.

În finalul acestui mega-eseu permiteţi-mi o încercare de caracterizare a acestui drum de la justificarea intuitivă la demonstraţia riguroasă, organizată pe semestre, începând de la primii paşi prin construcţii geometrice cu instrumente şi mergând până la nivelul de abordare axiomatică cu demonstrarea prin reducere la absurd a punctelor cele mai nevralgice din materie. Astfel:

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul. La împărţirea cercului în patru părţi apare metoda ce va sta ulterior la baza trasării mediatoarei unui segment; acum vrem doar să trasăm o verticală perfectă pe un diametru. În mod similar, la împărţirea cercului în opt părţi vom avea nevoie de mişcarea ce se va dovedi ulterior baza pentru construcţia bisectoarei unui unghi. Acestea vor veni doar în clasa a VI-a, dar acum apar doar ca “şmecherii” interesante, apărute în urma problematizării, fie din imaginaţia intuitivă a unui elev, fie arătate de profesor.

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului.

Aceste construcţii au rolul de a familiariza elevii cu folosirea cât mai exactă a instrumentelor geometrice în forma lor practică, constituind un fundament solid pe care se vor aşeza ulterior noţiunile geometrice şi apoi, la un nivel superior, demonstraţiile. Obiectivul structural al acestei abordări îl reprezintă însuşirea folosirii şi formarea abilităţilor de lucru exact, cu ajutorul instrumentelor geometrice (dintr-un punct exact în celălalt punct, nu la 1-2 mm pe lângă acesta) şi concentrarea elevilor asupra acestora. Astfel, elevii nu sunt puşi în clasa a VI-a a se concentra asupra folosirii unor instrumente necunoscute în acelaşi timp cu însuşirea multor noţiuni noi, fiecare foarte importantă. Se evită astfel introducerea simultană la clasă a mai mulţi itemi noi pe diferite paliere de gândire şi abilităţi.

Clasa a VI-a, semestrul I: După un semestru de introducere ludică a primelor elemente de geometrie prin intermediul construcţiilor geometrice, a venit vremea unei sistematizări a noţiunilor de bază: dreaptă, segment, semidreaptă, lungimea unui segment, paralelism şi perpendicularitate, congruenţă, mijloc, mediatoare, unghi, măsura unghiului, clasificarea unghiurilor, bisectoare, unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de două paralele cu o secantă, simetria axială, unghiuri complementare sau suplementare etc. Toate acestea se vor introduce într-o formă mai riguroasă, dar totuşi pe baza unor observaţii intuitive, nefiind demonstrat nimic. În schimb se va cere elevilor să facă toate construcţiile posibile exacte la fiecare lecţie studiată. De pildă, la mediatoarea unui segment, se vor face atât construcţia cu rigla gradată şi echerul, cât şi construcţia cu rigla negradată şi compasul. La aceasta din urmă elevii îşi vor aduce aminte de “mişcarea” cunoscută în clasa a V-a la împărţirea cercului în patru părţi egale. Tot aici elevii vor primi sarcina construirii perpendicularei pe o dreaptă, atât: a) dintr-un punct exterior dreptei (coborârea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă), cât şi: b) într-un punct al dreptei (ridicarea perpendicularei într-un punct pe o dreaptă).

Clasa a VI-a, semestrul II: După ce am construit un vocabular consistent de noţiuni cu care să putem lucra, a venit vremea să studiem principalele figuri geometrice închise, anume triunghiurile şi patrulaterele (cercul apare în această formă de predare de la început, alături de dreaptă, ca una din cele două figuri de bază ale geometriei).

În cele două capitole, triunghiurile şi respectiv patrulaterele se vor studia într-o formă intuitivă, pe baza observaţiilor evidente pentru elevul de clasa a VI-a. Aici vor apărea însă primele demonstraţii în situaţiile neevidente legate de unghiurile acestora (suma unghiurilor, unghiurile exterioare, triunghiul dreptunghic înscris în semicerc). Majoritatea proprietăţilor, fiind însă de natură evidentă, vor fi doar evidenţiate şi contabilizate pentru a fi pregătite la îndemână în vederea unei viitoare utilizări.

Preocuparea principală rămâne însă construcţia figurilor geometrice cu diferitele instrumente, construcţii realizate în toate formele posibile. De pildă, la capitolul despre triunghiuri elevii vor studia Cazurile de construcţie a triunghiurilor (renumitele LLL, LUL, ULU etc.). Acestea vor deveni baza unei transformări ulterioare în Metoda de demonstrare pe baza cazurilor de congruenţă a triunghiurilor. Şi la patrulatere se vor face cât mai multe construcţii concrete pe diferite situaţii. În cadrul acestei etape apar la diferite probleme de construcţie primele elemente de aplicaţii a teoremelor studiate în vederea găsirii elementelor necesare pentru realizarea construcţiei.

În finalul clasei a VI-a elevii vor parcurge o zonă aplicativă de geometrie în spaţiu, trebuind să construiască singuri cu instrumentele geometrice desfăşurarea unor prime corpuri, să le decupeze, să le plieze corect şi să le asambleze din hârtie mai groasă, lipindu-le pentru a obţine un cub, o prismă (de preferinţă triunghiulară), o piramidă patrulateră (de preferat cu feţele laterale triunghiuri echilaterale), un tetraedru regulat etc. Acestea se prezintă ca o primă vizită în zona geometriei 3D, ca o primă trecere în cadrul predării în spirală pentru geometria în spaţiu.

Obiectivul structural principal, alături de însuşirea tuturor noilor noţiuni de geometrie, îl reprezintă formarea simţului pentru exactitatea în geometrie prin construirea cât mai exactă a figurilor geometrice. Gândirea elevilor este încă într-o fază incipientă, concentrarea fiind pe o figură cât mai corectă.

Clasa a VII-a, semestrul I: Întreaga noastră atenţie se îndreaptă acum asupra gândirii (adică a demonstraţiilor), făcând aceasta în două direcţii. Prima ar fi problemele de demonstrat şi în acest sens cea mai bună pornire ar fi problemele având ca “personaje principale” unghiurile. Apoi se pot studia probleme în care apar mai mult relaţii legate de segmente: linia mijlocie, mediana pe ipotenuză etc. În acest moment elevii au ajuns la o maturitate de gândire suficientă încât să se poată confrunta cu succes cu problemele de congruenţa triunghiurilor, care sunt de multe ori cele mai complexe.

Legat de figurile geometrice, acestea se vor face exact mai ales atunci când cerinţa problemei nu este evidentă; dimpotrivă, în cazul unor cerinţe evidente, putem apela la schiţe făcute cu mâna liberă care nu vor mai fi exacte, fiind astfel contestabile, abordând problema sub argumentul: demonstraţi că, în cazul unei figuri corecte, următoarele segmente sunt congruente.

A doua direcţie de lucru ar fi poligoanele cu mai multe laturi (continuare evidentă a parcurgerii în anul precedent a triunghiurilor şi a patrulaterelor), atât în forma oarecare (suma unghiurilor), cât şi în forma regulată (măsurii unui unghi). Elevilor le place foarte mult această parte, fiind în directă conexiune cu singurele demonstraţii parcurse în clasa a VI-a. Văzând pentagonul sau octogonul regulat etc., elevii vor înţelege acum argumentaţia situaţiei particulare de la Floarea vieţii, anume de ce se întâmplă că acolo hexagonul regulat este compus exact din triunghiuri echilaterale. O astfel de abordare ne va permite în capitolul despre arii o apropiere de situaţia cercului (aria dodecagonului regulat – 12 laturi – este egală cu 3 r2, apoi aria cercului în format aproximativ etc.).

Pe lângă studiul ariilor triunghiurilor (exceptându-l pentru moment pe cel echilateral) şi a patrulaterelor particulare, la capitolul despre arii se poate demonstra şi teorema lui Pitagora (prin arii), având astfel din semestrul I material de lucru mult şi în domeniul calculelor (atât pentru elevii slabi, cât şi pentru olimpicii de fizică care au nevoie repede de această teoremă).

O observaţie este necesară aici în legătură cu organizarea algebrei: cel mai folositor este dacă elevii nu învaţă în semestru I numerele iraţionale, ci aplică în geometrie doar forma aproximativă a rezultatelor, atât în cazul celor din teorema lui Pitagora, cât şi în cazul celor de la aria şi lungimea cercului. Calculele aproximative oferă elevilor rezultate mult mai palpabile, mai pe înţelesul omului de rând. În semestrul II se poate trece apoi la scrierea iraţională a unor segmente date sau a rezultatelor.

Clasa a VII-a, semestrul II: Pe lângă schimbarea de paradigmă în privinţa scrierii lungimilor iraţionale, în semestrul II se vor studia (cu o aparentă întârziere) şi elementele de geometrie a proporţionalităţii: teorema lui Thales, triunghiurile asemenea, teoremele lui Euclid (a catetei şi a înălţimii) şi rapoartele trigonometrice. Tot aici se vor parcurge şi alte demonstraţii pentru teorema lui Pitagora (cel puţin cea cu teorema catetei, dar şi una pe baza formulelor de calcul prescurtat).

Clasa a VII-a se poate termina cu o nouă revenire prin zona cercului, cu teorema despre tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact şi cu un minim studiu al patrulaterelor inscriptibile sau circumscriptibile.

Clasa a VIII-a, semestrul I: Pornirea din zona intuitivă a materiei şi mersul în ritm accesibil către zonele mai dificile, această abordare trebuie respectată şi în cazul geometriei în spaţiu (3D sau stereometrie). Din punct de vedere al folosirii intuiţiei este evident că e mai sănătos să pornim cu studiul unui prim set de corpuri (cubul şi cuboidul – paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele şi tetraedrul regulat) ce vor fi cunoscute din punct de vedere al trasării figurilor, al construcţiei desfăşurărilor şi al calculelor ariilor şi volumelor: nu doar o prezentare scurtă a acestora într-o lecţie iniţială, ci fiecare cu o lecţie completă cu probleme aplicative de calcul. Corpurile respective acţionează astfel ca veritabile “schele intuitive” pentru susţinerea sănătoasă a gândirii elevilor în timpul primilor paşi în geometria 3D.

Elevii ajută chiar şi la formarea lecţiei: fiecare formulă de arie poate fi dată prin judecată proprie de către elevi. După înţelegerea principiilor de bază la volum, elevii vor începe să dea şi formulele de volum.

Abia apoi merită abordate toate situaţiile de paralelism, perpendicularitate sau determinare de unghiuri între drepte şi/sau plane (“drumul” până la teorema celor trei perpendiculare şi unghiul diedru).

Clasa a VIII-a, semestrul II: Acesta va fi un semestru scurt, lăsând loc suficient parcurgerii testelor în vederea pregătirii examenului. Elevii mai au de studiat doar trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Aici se va atinge apogeul nivelului de complicaţie a demonstraţiilor unor teoreme, prin demonstrarea la clasă a formulelor de volum la trunchiul de piramidă (trebuie să fi fost parcursă la algebră măcar informativ formula diferenţei cuburilor), aria laterală a conului şi a trunchiului de con, cât şi formula de volum a sferei, inclusiv transformarea acesteia în formula de arie a sferei.

Nu poate lipsi din această abordare ce foloseşte intuiţia elevilor lecţia recapitulativă despre corpuri de rotaţie, lecţie ce se bazează în mod evident pe impulsul natural al omului pentru mişcare (când vedem pentru prima dată un obiect nou, îl luăm în mână şi îl studiem, adică îl rotim pe toate părţile).

Clasele de liceu: orice persoană cu un bun simţ legat de geometrie a ajuns în ultimii 20 de ani să simtă lipsa geometriei sintetice din clasele liceale. Aceste aspecte şi felul în care s-ar putea lua măsuri reparatorii reprezintă un subiect vast, pentru care acum ar merita trasate doar câteva direcţii de preocupare şi cugetare.

Există cel puţin două situaţii majore unde lipsesc elementele de geometrie: la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info, respectiv la clasele cu profil tehnologic. Să le analizăm pe rând. Actualmente elevii de la primele categorii de clase amintite, adică în principiu elita matematică a ţării, aceştia nu mai apucă la ora actuală să facă pasul spre o cât-de-cât ordonată tratare axiomatică a geometriei, fascinantă prin îngrădirile ce apar la tot pasul în strădania de a demonstra cât de mult posibil (demonstraţiile prin reducere la absurd şi-ar găsi foarte bine locul aici). Pasul spre abandonarea aproape completă a gândirii intuitive şi exersarea profundă a gândirii raţionale pe bază de reguli, acestui pas i-ar veni vremea în clasele de după examenul de Evaluare naţională, în urma căruia elevii au fost selectaţi. Acest pas nu este pentru toţi; de-abia acum îi vine vremea şi este un mare păcat că elevii talentaţi la matematică nu mai au ocazia să îl cunoască.

Totodată, aceştia nu apucă să mai facă toţi paşii formatori de gândire complexă prezenţi în situaţiile dificile, abandonate în ultimii ani din clasele gimnaziale, dar şi pe cele ce combină elemente de geometrie cu elemente din alte capitole noi în liceu (trigonometria superioară, funcţia de gradul II etc.). La reforma din 1997 au fost abandonate toate aceste elemente de gândire pură, vie, în detrimentul elementelor reţetabile specifice gândirii algebrice (includ aici şi geometria vectorilor, care oricum vine mult prea repede în clasa a IX-a). Organizatorii programelor ar trebui să ia în seamă şi aceste aspecte la vremea redactării viitoarelor programe pentru liceu. Reamintesc în acest sens expresiile profasorului Eugen Rusu, care vorbea despre geometria în prima etapă de studiu, adică în gimnaziu, şi geometria în etapa a doua de studiu, adică de reluarea acesteia în liceu.

Pe de altă parte, elevii claselor cu profil tehnologic sunt cei care ar avea cea mai mare nevoie de elementele de calcul a corpurilor (stereometria), şi asta din motive pur practice. Aceştia sunt însă cei care – în general – au luat note mai mici la examenul din finalul clasei a VIII-a, putând presupune că mare parte dintre ei încă nu stăpânesc încă zona respectivă. O continuare a preocupărilor pe baze intuitive în direcţia calculelor, cu extinderi chiar şi în domeniul corpurilor neregulate, ar fi de mare folos pentru viitorul lor profesional practic. Amintesc în această direcţie doar un exemplu: proprietarul unei firme de măsurători cadastrale care se plângea că studenţii, ce urmau să fie absolvenţi în domeniu, habar nu aveau despre formula de arie a lui Heron, în general de nici un fel de elemente matematice necesare în domeniu (chiar dacă la ora actuală teodolitele oricum lucrează prin GPS).

CTG, la finalul lunii aprilie 2018

Problema care a împărţit România în două

În postarea Ordinea operaţiilor în clasele primare din februarie 2016 am discutat despre cum este înţeleasă sau nu ordinea operaţiilor în ciclul primar. Problemele mari sunt legate de ordinea efectuării între operaţia de adunare şi cea de scădere, şi se pare că problemele sunt de fapt la nivelul unor învăţătoare, care apoi îi învaţă greşit pe copii. În acest sens, când simt că „miroase” în clasă a o astfel de greşeală, eu îi întreb pe elevi: între adunare şi scădere, care operaţie se face prima?. Vă daţi seama ce distractiv-bulversantă devine ora dacă primesc un răspuns de tipul: adunarea!, la care dau din cap că-i greşit; apoi, repede careva are impulsul de a da celălalt răspuns posibil, după mintea lor: scăderea!, la care eu iarăşi răspund că NU!. După o clipă de linişte bulversată, careva răspunde sigur pe el: prima care-i scrisă!, iar eu în sfârşit mă arăt mulţumit. Uneori mai pun şi a doua întrebare: între înmulţire şi împărţire, care operaţie se face prima?, iar elevii ştiu de data asta răspunsul corect din prima.

La adresa Ordinea operaţiilor pe internet (august 2016) am tratat exemplul unei situaţii de ordinea operaţiilor propuse “internauţilor” străini, care scotea în evidenţă faptul că unele astfel de exerciţii nu se pot rezolva cu “calculatorul de buzunar”, fie el chiar şi din “deşteptofon” sau de pe laptop. În momentul acela mândria noastră de mari olimpici ne făcea să pufnim de râs profund dispreţuitor.

Iată, însă, cum arată o astfel de situaţie pe plaiurile mioritice ale internetului. Este vorba de banala “problemă” 7 – 5 + 2 = ?, despre care puteţi lectura prezentarea de la adresa Problema ASTA a impartit Romania in doua!. Dacă nu doriţi, iată aici materialul respectiv în variantă prescurtată (corectat şi cu diacritice).

*

Sunt de-a dreptul şocat. O problemă de clasa pregatitoare a reuşit să divizeze poporul român consumator de internet. Studiu de caz pentru ce se întâmplă acum în România. Se dă problema:

Şi mi-am zis că e o glumă proastă. Că nimeni nu va comenta la prostia asta şi că toată lumea ştie rezultatul. Greşit! E momentul în care îmi dau seama că trăiesc într-o mare bulă şi că realitatea doare. 52 de oameni au apreciat părerea lui Andrei. 52 DE OAMENI! Nu numai că Andrei şi Matematica sunt paraleli, dar oamenii au aprecit şi faptul că el îi face idioţi pe toţi ceilalţi. Cum nu se poate mai bine! Apoi vine rândul „idioţilor”:

De aici, cele două tabere, „idioţii care cred că e 0” şi „idioţii care cred că rezultatul e 4”, încep să se certe şi să îşi arunce jigniri despre mamele şi rudele celorlalţi, (…), despre „scoala care au facuto”. Te doare mintea!  86 de oameni au apreciat explicaţia lui Mihai, dar şi faptul ca el i-a numit „cretini”:

Iată concluziile lui Silviu Iliuţă, autorul acestui eseu publicat pe Cronici pe bune:

  1. O problemă simplă  a reuşit să creeze pe net două tabere care se jignesc, se acuză, aruncă cu rahat. incredibil! Vă daţi seama ce se întamplă la problemele adevărate şi cât de uşor e să divizezi românii, aruncându-le o simplă prostie pe net?
  2. Cu riscul de a părea extremist sau orice „-ist”, eu cred că cei din tabăra celor cu răspunsul 0 nu ar trebui să voteze. Trebuie să li se explice frumos care e treaba cu ordinea operaţiilor. Dacă insistă în răspunsul lor, cred că nu ar trebui să meargă la vot (…) Pentru că nu ai cum să votezi, dacă Olguţa îţi promite că îţi creşte salariul cu 0 lei, iar tu te bucuri şi îi dai votul. Nu ai cum să ai drept de vot, dacă Liviuţ îţi spune că ţi se înmulţesc veniturile cu 1, iar tu îi dai votul pentru asta.(…) Pur şi simplu ţi-e mai bine dacă votează alţii pentru tine! Eşti mult mai în siguranţă. (…)
  3. Oricât de prost pregătit e un om, nu trebuie să îl jigneşti! Nu eşti DELOC mai presus decât el dacă îl faci „idiot”! Încearcă să îi explici frumos, chiar dacă el este agresiv. Este foarte important să avem înţelegere. (…)
  4. Daca aţi citit acest articol şi încă vă întrebaţi care e răspunsul corect, vă rog frumos, în genunchi, să nu mergeţi la vot! Din spirit civic. Nu este nicio problemă că nu ştiţi, ar fi de apreciat dacă aveţi deschidere să învăţaţi, dar chiar este o problemă dacă votaţi.

*

Da, să revenim la partea de matematică, oricât de minimalistă ar fi aceasta în subiectul de faţă. Oricum, putem sta liniştiţi: în meciul „celor cu 4” în confruntare cu „cei cu 0”, scorul final pare să fie undeva la 86-52, raportul fiind cam de 3 la 2. Lăsând gluma de-o parte, ar trebui să vedem de unde vine o astfel de minunăţie; de ce totuşi „doi din cinci români” cred în a doua variantă? La începutul prezentului articol am amintit bănuiala că unele învăţătoare traduc simpla enumerare a operaţiilor de ordinul I într-o ordine obligatorie. De pildă, în citatul: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea (Matematică şi explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House), diferite persoane cu o structurare mai filologică a creierului vor înţelege regula astfel: Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi doar apoi scăderea.

Nu vreau să discut despre cine este responsabil pentru această greşeală din mintea acestor doamne învăţătoare; mai mult mă interesează despre cine este în măsură să corecteze respectivul aspect. În acest sens cred că noi, profesorii de matematică ar trebui să ne propunem să abordăm cu tact şi cu respect faţă de colegele noastre acest subiect şi să încercăm să eradicăm defectul din gândirea lor în discuţii calme şi civilizate cu dânsele. Nu e simplu, dar cred că se poate.

Putem privi lucrurile şi altfel: se prea poate ca învăţătoarea să fi predat bine, dar această confuzie să apară în mintea micuţului, neatent, neconcentrat, nepasionat de fenomenul matematic, poate şi alţi de ne-…, în mintea sa rămânând peste ani doar vocea stridentă a doamnei învăţătoare care striga la el: CARE-I ORDINEA OPERAŢIILOR? CE OPERAŢIE TREBUIE FĂCUTĂ AICI PRIMA, COPILE?, astfel încât atunci când a văzut ca adult scrierea 7 – 5 + 2 să se fi declanşat doar amintirile spaimelor din copilărie, gândind cu o voce interioară tremurândă: Oare aici pe care trebuia să o fac prima? Probabil că adunarea, că ştiu eu că în copilărie tot urla aia la mine dacă le făceam în ordinea în care erau scrise. Astfel, cred că este foarte posibil că şi aspectele psihologice să influenţeze situaţia acestui 7 – 5 + 2, cel puţin în unele cazuri.

Evident că persoanele care susţin că se face adunarea înaintea scăderii nu şi-au însuşit cum trebuie principiul conform căruia semnele de + şi – dintre numere pot fi privite atât ca semne de operaţie, cât şi ca semne ale unor numere pozitive sau negative. Aici trebuie atrasă atenţia şi asupra unei alte situaţii care este cu totul nouă pentru noi. În scrierea 7 – 5, al cui este semnul minus? Deci, cum se citeşte o scădere? Se citeşte 7 – … 5 sau se citeşte 7 … – 5? (cele trei punctuleţe mimează o pauză) Obişnuinţa la baza învăţământului românesc, încă de la începuturi este că minusul aparţine lui 7. De unde ştiu asta? Păi uitaţi-vă unde pune învăţătoarea semnul de scădere la o scădere cu numerele unul deasupra celuilalt: după numărul descăzut, în dreapta sa. Acolo îl punem şi noi profesorii! Forma corectă ştiinţific este însă că minusul este al lui 5. Aşadar semnul de scădere ar trebui pus lângă scăzător, la stânga sa, adică în faţa sa. De ce să-l punem acolo?, veţi întreba. Pentru că aşa e corect, iar asta ar preîntâmpina multe neînţelegeri. Nu mă credeţi, aşa că scot „artileria grea” a argumentelor: aşa fac şi nemţii, dar şi alţi vestici! Uitaţi în următoarea poză:
Aţi văzut unde este poziţionat semnul de scădere, sau v-aţi uitat doar la mitraliera învăţătoarei? Amândouă se potrivesc în oarecare măsură discuţiei noastre. Revenind la semnul minus din scădere, acesta poate fi pus şi la scăderile din cadrul împărţirii. Nu înţelegeţi cum? Ia aduceţi-vă aminte cum se face chestia asta în algoritmul de împărţire a polinoamelor: este acelaşi lucru, doar că nemţii o fac de la început în forma corectă. De ce? Că-s nemţi şi aşa fac ei lucrurile, corect din prima. De ce nu le facem şi noi aşa? Cred că intuiţi răspunsul.

Revenind la dificila noastră problemă cu ordinea operaţiilor, cred că am fost un pic cam necinstit la începutul acestei postări, în sensul că nu cred că doar învăţătoarele sunt de vină. Mai exact, dacă noi suntem atât de buni pe lângă dânsele, de ce nu remediem noi problema? Din clasa a 5-a toţi elevii ajung pe mâna unui profesor de matematică şi totuşi 2 din 5 internauţi au dat-o în bară cu banala secvenţă 7 – 5 + 2. Oare de ce? Cum se poate întâmpla aşa ceva? Păi, să vă prezint bănuiala mea: cu o programă atât de încărcată şi cu atâta preocupare pentru olimpiade încă din clasa a 5-a, cine mai are timp să se ocupe de ordinea operaţiilor din capul „elevilor slabi”? Pentru că da, profesorul de matematică visează numai la chestiile grele. Să corectezi astfel de gafe din gândirea elevilor trebuie să te ocupi măcar o oră, poate chiar două, cu astfel de banalităţi, iar apoi, ulterior să mai reiei subiectul de câteva ori ca să-l fixezi definitiv. Pentru asta trebuie să faci tu personal multe fişe, pentru că în culegeri nimeni nu pune „exerciţii pentru proşti”; toţi vrem să ajungem cât mai repede în zona „de excelenţă”. E greu, ştiu, să te cobori la nivelul „celor slabi” şi să te preocupi şi cu ei, dar dacă noi n-o facem, n-o va face nimeni. Ştiu, veţi răspunde că nu e vina noastră, a profesorilor de la clasă; s-o remedieze familia, direct sau prin intermediul meditatorul particular! Ce mă interesează pe mine chestia asta? Înspectorul de mate îmi cere şi mă laudă pentru rezultate la olimpiadă, nu pentru „looseri” recuperaţi. Un profesor bun se adresează în lecţii elevilor buni, nu codaşilor clasei.

Exagerez? Poate. Pentru o impresie artistică mai bună am dat un pic drumul unui ton mai agresiv, dar realitatea nu este deloc departe de prezentarea mea. Haideţi să dau câteva exemple culese de curând (adică în luna martie 2018), care ne arată cum materia este îngreunată artificial de către profesori şi dusă uneori departe de orice posibilitate de înţelegere de către elevi, potrivită vârstei şi cunoştinţelor acestora. Materia „zboară peste elevi” atât de sus încât de multe ori rezultatul mult lăudatului învăţământ românesc este cel văzut în exemplul de mai sus cu 7 – 5 + 2.

Trigonometria în clasa a 7-a se face în triunghiul dreptunghic, aplicându-se unghiurilor ascuţite din acesta. În clasa a 7-a nu se învaţă funcţii trigonometrice, pur şi simplu pentru că elevii încă nu au învăţat noţiunea de funcţie. În clasa a 7-a profesorul trebuie să aleagă titlul lecţiei undeva între Trigonometrie, Elemente introductive de trigonometrie sau poate Rapoartele trigonometrice. În clasa a 7-a sinus nu este funcţie ci este raportul dintre cateta opusă unui unghi ascuţit şi ipotenuză. Şi dacă tot am ajuns la unghiurile ascuţite pentru care calculăm rapoartele respective, aceste unghiuri particulare sunt 30o, 45o şi 60o. În nici un caz nu le putem da elevilor un tabel extins cu valorile 0o şi 90o, pentru că elevii nu-şi pot imagina cum este acela un triunghi dreptunghic cu un unghi de 0o sau cu încă un unghi de 90o. La fel de absurd ar fi dacă elevul s-ar poziţiona în unghiul drept încercând apoi să caute cateta opusă.

Acestea sunt gafele de predare cu care mă întâlnesc din când în când. Acum însă mi-a fost sesizat cazul unui coleg care a tratat aproape o oră întreagă funcţile trigonometrice fără să vorbească despre triunghiul dreptunghic, deci nici despre laturile sale. În schimb, pe lângă diferitele „formule fundamentale”, aflăm că dacă unghiul x este obtuz atunci cos x < 0 (!!!). Urmează multe exerciţii în care pornind de la o valoare a unei funcţii trigonometrice se calculează celelalte trei. Apoi, de niciunde apare brusc sin30o = ½ din care sunt deduse în continuare celelalte – da, aţi ghicit – pe baza formulelor fundamentale. Abia acum, spre sfârşitul orei, apare un nou titlu: Triunghiul dreptunghic Funcţii trigonometrice în care vedem în sfârşit un triunghi dreptunghic şi găsim rapoartele cunoscute sin = cateta opusă/ipotenuză etc. Aici elevii sunt informaţi că dacă cunoaştem un unghi (30o, 45o sau 60o) şi o latură, aplicăm funcţiile trigonometrice şi aflăm TOT. În sfârşit ajungem la primul exemplu folositor elevului de clasa a 7-a, dar după prima latură calculată s-a sunat, deci s-a dat tema şi gata ora. (din nou: !!!)

Descompunerea în factori a expresiilor de tipul x2 + bx + c în clasa a 7-a este un titlu destul de general şi se face mai mult pe cazul formulelor de pătrat a binomului. De abia în semestrul I al clasei a 8-a se cere mai serios să descompună toată lumea expresii de tipul x2 + 3x – 10 etc. Ecuaţia de gradul II vine în clasa a 8-a semestrul II, deşi la examen nu s-a dat în ultimii ani deloc. Elevii încep de abia în clasa a 9-a să se întâlnească puternic cu formulele generale ax2 + bx + c = 0, Δ = b2 – 4ac şi x1,2 =  –b ± radical Δ supra 2a (scuze de scriere, ca să nu aveţi probleme la citire) şi respectiv ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). A da elevilor în clasa a 7-a forma generală a rezolvării ecuaţiei de gradul II pentru a avea o formă generală de descompunere, înaintea oricărei variante particulare, este pur şi simplu bătaie de joc la adresa gândirii elevilor. Iată doar un argument în acest sens: elevii tocmai ce au învăţat formulele binomiale în care literele reprezintă numere doar în valoarea lor absolută, nu şi cu semnul lor. Astfel, de exemplu în cazul (x – 3 )2, unde a = x şi b = 3, aplicăm formula pătratul unei diferenţe. Atenţionez că în mintea elevilor din aceast moment b nu este – 3, aşa că nu aplicăm formula pătratul unei sume, după modelul [x + (– 3)]2 (acest pas, includerea semnului în literă, acesta apare doar la formula pătratul unui trinom; la aceasta nu se mai dau toate variantele de formule, în toate combinaţiile de semne + sau –, elevul fiind forţat aici să vadă numărul împreună cu semnul său). Ca urmare, în calculele de la formulele generale pentru ecuaţia de gradul II elevii vor greşi masiv la semne. Sigur, putem striga la ei, îi putem ameninţa cu lucrare de control, dar cu ce preţ, mai ales că oricum ei încă nu au văzut nici măcar o singură ecuaţie particulară de gradul II. Las cititorului „bucuria” de a găsi şi alte contra-argumente. Precizez doar că acest exemplu apare destul de des în ultima vreme, tot mai mulţi profesori preferând să „scurtcircuiteze” drumul greu de formare a gândirii algebrice a elevilor de clasa a VII-a, dându-le o reţetă general valabilă cu care să-i terorizeze. Şi asta în condiţiile în care mare parte din elevii claselor nu stăpânesc formele elementare de descompunere în factori.

Desigur că acestea nu sunt exemple izolate. Ce părere aveţi de un profesor de liceu care-i explică unui elev de clasa a VIII-a rezolvări prin radiani? Iar copilul docil stă să treacă urgia peste el, încercând să înţeleagă cumva chestia asta prin regula de trei simplă. Sunt de acord că-i va folosi pe viitor, dar atunci hai să punem învăţătoarele să facă radicali cu ei, iar în clasa a V-a, imediat după operaţia de putere am putea face şi logaritmii, că „ce-are?”, le va folosi mai târziu.

Să mă opresc? Veţi spune că exagerez, aşa că haideţi să mai dăm două exemple, ca să ne convingem de magnitudinea fenomenului. Ce spuneţi de titlurile următoare la clasa a VII-a (acum, în aprilie) şi, mai ales, ce părere aveţi despre efectul acestor lecţii într-o clasă de nivel mediu fără participanţi la olimpiada judeţeană? Iată: Valoarea minimă şi valoarea maximă a unui polinom de gradul II; sau, lecţia următoare: Ecuaţii de gradul II cu mai multe necunoscute, în condiţiile în care elevii clasei respective încă nu reuşesc clar să facă ecuaţii particulare sau generale de gradul II cu o necunoscută (toate acestea la titlul oficial Ecuaţii de forma x2 = a). Ar trebui să mulţumesc colegului respectiv pentru aceste exemple (vreau să spun: contra-exemple), dar sunt doar scârbit de situaţia respectivă.

Oare cum se simte un profesor care face aşa ceva elevilor, fără nici un dram de empatie faţă de fiinţa şi gândirea elevului, a elevului disperat că nu pricepe nimic sau mai nimic? Sunt sigur că mulţi elevi sunt leneşi şi nu au nici un chef să înveţe. Sunt sigur că mulţi nu au dotarea necesară pentru a înţelege matematica în general. Dar tot aşa de sigur sunt că mulţi dintre adulţii avariaţi matematic reprezintă victime rămase în urma activităţii unor învăţătoare incompetente sau a unor profesori exagerat de ambiţioşi (frustraţi?), care fac lecţii mult prea grele şi mult prea devreme, fiind total lipsiţi de orice urmă de tact pedagogic. Cu astfel de contraexemple de lecţii ale unor colegi, îmi vine greu să mă semnez ca profesor. CTG

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (V)

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Continuăm în acest sens lectura din Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, în care Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE. În ultimele trei titluri ale capitolului, Invenţie-inscripţie-comunicare; Doi titani: Euclid, Arhimede; Lecţia istoriei, Eugen Rusu se apropie tot mai mult de dilema reprezentată de diferenţa dintre un manual perfect din punct de vedere teoretic şi predarea vie prin problematizare ce foloseşte în bună măsură intuiţia învăţăcelului. Şi da, gândurile autorului ascunse până aici “printre rânduri” ies tot mai clar la iveală, confirmând lectura şi explicaţiile date în precedentele patru părţi ale eseului de faţă. Acum a venit momentul ca eu să fac un pas înapoi şi să dau cuvântul profesorului Eugen Rusu pentru finalul capitolului (în text integral).

Invenţie – inscripţie – comunicare (pag.91-92) Trei aspecte ale matematicii, cu structuri diferite, deşi legate între ele:

  1. Invenţie. Am mai spus: descoperirea unei proprietăţi noi se face printr-un proces de gîndire dialectică, adesea complex, în care raţionamentul logic este doar una din componente; alături de el intervine intuiţia, încercări quasi-experimentale, imaginaţia, “inspiraţia”, şi nu rareori … întîmplarea.
  2. Inscripţie. După ce adevărul a fost găsit, trebuie să i se dea o demonstraţie riguroasă, în care logica este aspectul esenţial; demonstraţia este tradusă în cuvinte, într-o formă sistematică, succintă, cristalizată – o formă care seamănă cu o inscripţie solemnă în piatră.
  3. Comunicare. Ce prezentăm şi cum, oamenilor care învaţă matematica făcută de alţii? Aici nu s-a găsit calea care să fie destul de scurtă – economică în timp – şi, totodată, destul de rodnică: să asigure şi cunoaşterea în sine a faptelor matematice (definiţii, enunţuri, demonstraţii), dar şi înţelegerea – înţelegerea în adîncime, priceperea – rostului lor, să asigure şi aspectul educativ: învăţăcelul să fie în situaţia de a aprecia valoarea acestor fapte şi a prinde el însuşi gustul cercetării, aptitudinile cercetării.
  4. a) Unii învăţători prezintă inscripţia; învăţăcelul este pus să o descifreze. Numai unii reuşesc să facă acest lucru; dintre aceştia un procent infim reuşesc să depăşească aspectul pur logic, să priceapă dedesupturile lui umane;
  5. b) alţi învăţători prezintă un pretins proces inventiv, aşa cum şi-l imaginează ei, încărcat de atîtea consideraţii adiacente şi inutile, încît învăţăcelul, încurcat, nu mai ajunge la faza de cristalizare, de gîndire concentrată, esenţială în matematică;
  6. c) alţi învăţători – care au arta de a învăţa din instinct şi nu din cărţi uscate de pedagogie – îşi dau seama că o condiţie esenţială este ca învăţăcelul să gîndească cu capul său, prin optica sa proprie, atît procesul descoperirii cît şi cristalul final.

Matematica nu se învaţă, se redescoperă. Rolul învăţătorului este acela de a declanşa acţiunea de redescoperire, de a o susţine şi a o călăuzi cu măsură. Euclid se află, cum am văzut, în poziţia a); de aceea considerăm opera lui ca nepedagogică. Arhimede (ca şi celălalt matematician universal de care am amintit, Poincaré) se află în poziţia c). Puţine fapte istorice îndreptăţesc această afirmaţie; puţine dar, consistente, semnificative.

Din scrisoarea către Eratostene: “Arhimede îi urează sănătate lui Eratostene. Ţi-am trimis mai înainte cîteva teoreme găsite de mine, comunicîndu-ţi numai concluziile şi propunîndu-ţi să le găseşti singur demonstraţiile …”

Din scrisoarea către Dositeu: “ Arhimede îi doreşte sănătate lui Dositeu. Cea mai mare parte din teoremele pe care le-am trimis lui Conon, ale căror demonstraţii mă rogi în fiecare scrisoare să ţi le comunic, au fost demonstrate în lucrările mele, pe care ţi le-a adus Heraclid. Cîteva demonstraţii sînt cuprinse în cartea pe care ţi-o trimit acum. Să nu te miri că am întîrziat atît de mult cu publicarea acestor demonstraţii. Am vrut mai întîi să comunic aceste teoreme oamenilor care se ocupă cu matematica şi care ar fi vrut să încerce să le demonstreze singuri.”

Să arătăm acum că Arhimede nu se mărgineşte să provoace activitatea proprie a celui căruia i se adresează, doreşte să-i fie şi călăuză, o călăuză luminată care are în vedere şi drumul, adică invenţia, şi capătul drumului, inscripţia.

Din epistola către Eratostene despre metoda mecanică de rezolvare a problemelor geometrice: “… Să expun şi să-ţi explic în această carte o metodă specială, mulţumită căreia ai să capeţi un bun mijloc ajutător pentru cercetarea cîtorva probleme matematice cu ajutorul mecanicii. După convingerea mea adîncă, această metodă este la fel de utilă şi pentru demonstrarea teoremelor: multe fapte mi-au devenit pentru prima dată clare datorită metodei mecanice, după care a trebuit să le demonstrez însă pe cale geometrică, deoarece metoda indicată nu oferă demonstraţii riguroase. Fireşte, e mai uşor să găseşti o demonstraţie riguroasă după ce ai căpătat, cu ajutorul acestei metode, o oarecare orientare în problemă. (…) am convingerea că procedînd astfel, fac un serviciu însemnat matematicii: consider că mulţi dintre contemporanii sau urmaşii mei, după ce vor fi cunoscut această metodă, vor fi în stare să găsească noi teoreme, la care eu nu am ajuns.”

Doi titani: Euclid, Arhimede (pag.94-95) Perspectiva timpului, măsurat în milenii, a şters detaliile, oferind esenţa.

Euclid a avut şi el preocupări euristice sau practice; rezultă aceasta din opere ale căror titluri au fost amintite de istorici vechi, dar care s-au pierdut: lucrări de optică şi de muzică, o lucrare intitulată Pseudaria, cu îndrumări şi exerciţii pentru studiul geometriei. Nu acestea îl caracterizează. Din punctul de privire situat la 2000 de ani distanţă, nu se mai vede decît această operă măreaţă, Elementele, nepieritoare operă, durată parcă în marmură. Oare nu este ea înrudită, în esenţă – deşi de alt gen – cu frumuseţea maiestuoasă a operelor durate propriu-zis în marmură, a templelor, a statuilor care au făcut gloria vechii Elade? Oare acest monument, Elementele, dedicat frumosului abstract, pur, nu-şi află o explicaţie şi în climatul general de cult al frumosului, în care s-a născut? Euclid se identifică astăzi cu opera lui care înfăţişează numai un aspect îngheţat, al matematicii: matematica-monument; matematica-inscripţie.

În ciuda timpului şi a imenselor lui uitări, imaginea intitulată Arhimede este a unui om, a unui om viu, plin de efervescenţă, cu multiple preocupări, cu minunate realizări, a unui om care “concretizează” noţiunea de om, însumînd calităţile, duse la maxim, care caracterizează această specie. Pasiunea pentru tehnică şi manifestarea din plin a ingeniozităţii practice, concepţia materialistă împletită cu o gîndire dialectică corespunzătoare, pasiunea de a descoperi, vădită în exclamaţia cu o semnificaţie atît de adînc umană, evrika, varietatea preocupărilor (de la apărarea cetăţii pînă la jocul de societate, de la frumuseţea pură a relaţiei între cilindru şi sfera înscrisă pînă la folosirea pîrghiilor pentru a afla aria unui segment de parabolă), originalitatea acestor preocupări, contactul de idei, viu, cu alţi oameni (de la aprecieri elogioase pentru Conon pînă la împunsături ironice la adresa lui Apollonius, stimularea gîndirii altora, înţeleapta ei îndrumare) – totul întăreşte această imagine de om la maxim, care ne îndeamnă să-l privim şi astăzi, în ciuda distanţei, cu căldură şi cu simpatie, care ne îndeamnă şi ne ajută să medităm, prin prisma acestui model concret, la ce înseamnă în mod esenţial a fi om.

Lecţia istoriei (pag.95-96) S-a spus că “istoria este făclia trecutului pusă în mîna prezentului, pentru a lumina viitorul.”

Pentru etapa actuală de dezvoltare a matematicii, ca şi a pedagogiei matematicii, momentul istoric cel mai sugestiv este secolul de aur. Nu este vorba numai de o apropiere din punct de vedere cantitativ: cel mai înfloritor secol al antichităţii cu secolul în care matematica a ajuns uimitor de bogată şi diversă. Este vorba de înrudiri de structură, ca şi de problema sensului activităţii matematice. Euclid vine după trei secole de cercetări euristice şi îşi ia ca sarcină sistematizarea geometriei într-un sistem logic-deductiv.

Sîntem astăzi la distanţă de exact 300 de ani de la descoperirea calculului integral şi diferenţial. În aceste trei secole s-au făcut extrem de numeroase cercetări, în special în Analiză, dar şi în alte domenii ale matematicii – cercetări nu totdeauna riguroase, dar mereu interesante şi fructoase în aplicaţii; în plin proces euristic, cu atenţia şi entuziasmul îndreptat spre nou, chestiunea fundamentării riguroase a rămas în umbră. A venit momentul unei sistematizări, al reconsiderării imensului material acumulat, al aşezării lui în construcţii pur logice, riguroase. Fundamentarea logică, riguroasă şi generală, este una din axele principale ale matematicii moderne.

Corespunzător acestui caracter ştiinţific, în pedagogie domină concepţia limitării la matematica-inscripţie. Lecţia lui Euclid, atît în partea ei ştiinţifică pozitivă, cît şi în partea ei pedagogică, negativă este foarte bine învăţată. Mai puţin, marea lecţie a lui Arhimede. Căci există la unii matematicieni de astăzi tendinţa de a absolutiza aspectul matematica-sistem logic, de a limita matematica la acest aspect util dar parţial al ei, de a o izola de preocupări euristice şi aplicative, de procesul viu al cunoaşterii. Ceea ce se repercutează şi asupra învăţămîntului matematic, prin aceeaşi tendinţă de a-l axa, poate chiar a-l limita, pe matematica axiomatică, cu ignorarea, chiar dispreţul a ceea ce ei numesc “matematica naivă”.

De aceea lecţia lui Arhimede este actuală. Sînt sigur că matematicienii viitorului – printre ei şi cititorii însemnărilor de faţă – vor înţelege matematica în sensul ei viu, ca un fenomen de cultură în care fiecare din componente – meşteşug, ştiinţă, artă – îşi are rostul ei, farmecul ei, rostul major şi un farmec nou revenind ansamblului însuşi. (…) Mai mult decît descoperirea mormîntului de către Cicero, descoperirea vieţii şi a adîncilor ei semnificaţii este utilă etapei de faţă a urmaşilor lui Arhimede.

*

Îndrăznind o tentativă de comentariu la textul citat, aş începe spunând că: Da, domnule profesor, cel puţin eu sunt aici şi vă citesc textul, sperând că am ajuns să înţeleg matematica în sensul ei viu, aşa cum aţi făcut-o dvs. Trecând peste această încercare de replică peste ani, să încercăm să cristalizăm câteva concluzii la textul de mai sus.

În linii mari, Eugen Rusu ne imploră să abordăm la clasă predarea prin problematizare, adică a folosirii metodei problematizării (un fel de “brain storming”) nu numai la rezolvarea problemelor, ci şi – chiar mai ales – la descoperirea şi demonstrarea diferitelor teoreme. Mai mult, dânsul ne cere să nu facem aceasta în mod plat şi dezinteresat, ci să o facem plin de entuziasm, dar nu cu un entuziasm egocentrist (de pildă, atunci când profesorul întreabă şi tot el răspunde), ci un entuziasm atractiv, cât se poate de contagios pentru elevi. Pentru a reuşi aceasta, drumul prin materia şcolară nu trebuie să fie neapărat unul de rigurozitate euclidiană, similar Elementelor, potrivită nouă, profesorilor, ci unul care să aibă ca obiectiv central abordarea cu elevii într-un mod cât mai entuziast, pe mintea lor şi pentru mintea lor, a principalelor rezultate ale materiei de studiat.

Lecţiile de geometrie (la fel şi cele de aritmetică-algebră) trebuie să fie o combinare  atractivă între cele două extreme ale predării: la un capăt avem parcurgerea enumerativă a elementelor evidente din punct de vedere intuitiv pentru elevi, pe când la capătul celălalt este situată predarea prin prelegere de către profesor a elementelor pe care elevii nu au pur şi simplu de unde să le ghicească. Între cele două extreme se situează toate elementele de studiat, teoremele şi celelalte observaţii. Toate acestea trebuie însă abordate într-o manieră de problematizare, prin care să-i atragem pe elevi în procesul gândirii. În acest proces de problematizare, profesorul porneşte ideea întrerupând-o “cu un semn de întrebare în aer” ori-de-câte-ori elevii ar trebui să fie în stare să dicteze continuarea, atât la elementele simple şi accesibile, cât şi la demonstraţiile foarte grele, în momentele unde totuşi pasul ce urmează este accesibil gândirii lor.

În Nota de prezentare a noii programe de matematică pentru gimnaziu, la Note definitorii ale acestei programe (pag.3), găsim următorul aliniat: Programa şcolară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) – ne este precizat, pentru cei care sunt mai obosiţi şi nu mai pot socoti – deci, restul orelor fiind la dispoziţia profesorului pentru activităţi remediale, de fixare sau de progres. În legătură cu acest procentaj trebuie să fac aici o ultimă observaţie: predarea prin problematizare este o mai mare consumatoare de timp faţă de simpla prelegere (înţeleg prin prelegere atunci când profesorul “turuie” lecţia elevilor, aceştia pur şi simplu o copiază de pe tablă sau o scriu la dictare, după care se trece imediat la aplicaţii). Predarea prin prelegere nu are de obicei nici un fel de feed-back (mai ales dacă elevul care întreabă, exprimându-şi nedumerirea, este taxat cu o notă mică în catalog). Dimpotrivă, în cazul predării prin problematizare profesorul primeşte constant feed-back de la elevi (de la mult mai mulţi). Dar, tot acest feed-back, care poate fi şi unul de frânare, arătând că elevii nu pot face pasul planificat, gândit de către profesor, feed-back în care trebuie alocat timp elevilor care s-au implicat, acest feed-back consumă timp. Apoi, s-ar putea să fie nevoie ca un anumit pas logic să trebuiască a fi despărţit în doi, poate chiar trei paşi mai mici, pe mintea elevilor, fiecare pas fiind compus din întrebare plus cel puţin un răspuns (poate chiar mai multe), toate acestea ducând la un consum mare de timp. De unde să luăm timpul acesta suplimentar? Păi, în primul rând din acel rest de 25%. Iar apoi din diferite alte economii de timp (despre care nu mi-am propus acum să discut).

CTG, 11.03.2018

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (IV)

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Am citit această carte pentru prima dată cândva în a doua jumătate a anilor ’90, adică spre finalul primului meu deceniu de profesie. Cartea ne-a entuziasmat, pe mine şi pe soţia mea, am preluat câteva citate din ea, dar în mare nu am putut valorifica în profunzime toate cele citite: eram încă la începutul drumului în reformarea predării pe baze mai sănătoase a matematicii (startul conştient pentru mine a fost în 1994). Gândurile lecturate s-au afundat însă încet în uitare, dar nu într-o uitare neglijentă, ci într-o uitare sănătoasă, din care uneori îmi veneau brusc idei – pe care le credeam ale mele – dar care îmi erau sugerate inconştient de cele citite la Eugen Rusu.

La începutul acestui an, lucrând la un alt material, căutam un anumit citat, aşa că am redeschis cartea sus-amintită. N-am găsit citatul căutat, dar am găsit la începutul acestei cărţi o minunată conexiune cu sfatul de folosire a abordării intuitive în predarea primelor noţiuni de geometrie în clasele V-VI din noua programă de matematică pentru gimnaziu. În momentul acela toate gândurile înceţoşate din ultimii peste 20 de ani despre cum ar trebui predată geometria mi-au reapărut în conştienţă, de data aceasta clare ca într-o imagine de cea mai mare rezoluţie pe un monitor HD. Mă simţeam ca într-o casă caldă privind afară pe fereastra înrămată cu perdelele cele mai frumoase, într-o zi însorită de iarnă când toate detaliile firelor de zăpadă din omătul de afară se văd cu o claritate năucitoare. Rezultatul acelui moment s-a concretizat a doua zi în eseul (din 10 ian. 2018) numit Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat. Lecturând mai departe din cartea lui Eugen Rusu am înţeles că eseul se cere continuat, astfel apărând următoarele două părţi spre finalul lunii ianuarie.

Consideram că am epuizat subiectul, dar carte continuă, relevând faptul că subiectul ales iniţial cu titlul de mai sus, se transformă încet într-unul mult mai profund, ce ar putea fi numit Etapele predării geometriei şcolare şi argumentarea psihologică a metodicii predării. Am păstrat totuşi titlul iniţial pentru a arătă continuitatea gândurilor.

Aşadar, să mergem mai departe în lecturarea cărţii lui Eugen Rusu. În Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE (287 – 212). Iată, pentru o mai clară impresie, o parte din subtitlurile acestui capitol (care începe la pag. 70): Matematician universal; Viaţa; Ingeniozităţi practice; Arhimede îşi apără Patria; Opera scrisă; Precursorul fizicii matematice (parte ce conţine o descriere detaliată a problemei coroanei); Concepţia filozofică; Evrika; Precursor al calculului integral; Arhimede îi învaţă pe greci să numere; Joc-matematică; (…) Următoarele pasaje sunt alese din acest capitol prin prisma principiului evocat la începutul cărţii, anume că evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii (pag.4). Eu înţeleg acest principiu în felul următor: evoluţia preocupărilor şi a descoperirilor diferitelor elemente matematice de-a lungul vremurilor este un bun indiciu, de care trebuie ţinut cont pe cât posibil în organizarea materiei şi a nivelului de abordare al acesteia, pe parcursul claselor şcolare, fiind cel mai sănătos ca aceasta să evolueze pe căi şi în trepte similare cu cele din parcursul istoric.

Capitolul începe prin enumerarea a şapte argumente, motive pentru care Arhimede poate fi considerat primul matematician universal (Henri Poincaré, 1854-1912, ar fi ultimul matematician universal). Trei dintre acestea mi-au atras atenţia. Astfel, Arhimede:

– a făcut cercetări de matematică dezinteresată, axate pe plăcerea de a gîndi, nedispreţuind nici sectorul problemelor “distractive”, situate între joc şi matematica-artă; – a împletit cercetarea euristică cu fundamentarea logică riguroasă, arătând şi cum a gândit ca să descopere şi cum, după aceea, caută o demonstraţie matematică riguroasă; – a intrat în contact cu alţi matematicieni nu comunicîndu-le direct rezultatul, ci provocîndu-i să-l caute, dovedind astfel că a intuit cu deosebită fineţe adevărata pedagogie a matematicii; (…; pag.70-71)

Aceste argumente ar trebui citite “printre rânduri” ca un sfat din partea lui Eugen Rusu pentru introducerea lecţiilor prin procedeul de problematizare, mai degrabă decât prin simpla prezentare a conţinuturilor. Astfel, elevii trebuie provocaţi să gândească (şi să descopere plăcerea de a gândi) în strădania de a genera împreună lecţia la oră, în loc să le turuim conţinuturile şi să le cerem să le înveţe pe de rost. Iar în procesul de atragere a elevilor spre plăcerea de a gândi, matematica “distractivă” reprezintă unul dintre “magneţii” cei mai puternici. În subtitlul Joc-matematică (pag.91) E. Rusu reia ideea:

Jocul “stamahion” – practicat ca distracţie la curtea din Siracuza şi căruia Arhimede i-a consacrat o mică lucrare – constă în aşezarea a 14 plăci de fildeş în aşa fel ca să formeze un pătrat. Plăcile erau astfel tăiate încît să existe mai multe soluţii, precum şi unele false soluţii, adică aşezări care erau “aproape pătrate” şi numai prin raţionamente – după cum a arătat Arhimede – se putea dovedi că nu sînt soluţii exacte. Căutarea soluţiilor era un amuzament. Cînd însă căutarea soluţiilor nu se face pur empiric, prin aşezări întîmplătoare, ci prin aşezări ghidate şi de raţionament, acest amuzament devine de ordin superior; avem în acest caz un joc-matematic şi el trebuie incorporat matematicii propriu-zise. Astfel de jocuri apar în cărţi care se intitulează obişnuit matematică distractivă. Mi se pare că este un titlu prea larg: nu numai jocurile, multe probleme “serioase”, aproape întreaga matematică este sau ar trebui să fie dintr-un anumit punct de vedere şi distractivă. Nenumăratele demonstraţii prin arii ale teoremei lui Pitagora, din care am amintit cîteva, nu sînt în esenţă foarte asemănătoare cu jocul stamahion? Graniţa între joc de inteligenţă şi matematică este foarte neprecisă. (…) Astfel concluzionează Eugen Rusu acest subtitlu, iar eu îmi permit să completez în primul rănd că Da!, orele de matematică şcolară ar trebui pigmentate din când în când cu probleme mai mici sau mai mari de matematică distractivă. Apoi, în al doilea rând, trebuie precizat că multe elemente din lecţiile serioase, obligatorii prin programă, pot fi – şi ar fi bine să fie – predate asemănător problemelor de matematică distractivă. Efectul surprinzător la o astfel de politică de predare este că, în felul acesta chiar şi elementele mai seci ale orei de matematică sunt preluate de către elevi cu drag, ei fiind conştienţi că profu’/profa’ se străduieşte ori-de-câte-ori este posibil să le prezinte lecţii cât mai frumoase şi atractive.

După descrierea detaliată a problemei coroanei, în subtitlul Evrika Eugen Rusu analizează momentul înţelegerii unui fenomen. Gîndirea lui Arhimede nu este stînjenită de prejudecăţi “filozofice”, este un om viu, interesat de felurite probleme de viaţă, de ştiinţă. Simţirea lui este de asemenea spontană, naturală, nefalsificată de “concepţii” – şi deci foarte interesantă ca fenomen psihic.

Există la unii oameni părerea că activitatea matematică este pur intelectuală, uscată şi rece, lipsită de pulsaţia şi palpitaţiile fenomenelor vii. Este părerea acelora care nu au o experienţă proprie, autentică asupra ei, care o privesc prin prisma deformantă a matematicii şcolare de un anumit tip, a unei şcoli greşit înţelese, care în loc să deschidă poarta spre matematica vie, au transformat-o într-o obligaţie penibilă. (pag.83) Cât de multă dreptate are aici profesorul Rusu, sugerând măcar în parte că abordarea predării matematicii poate fi privită ca una din sursele apariţiei persoanelor avariate matematic! (fenomen despre care am vorbit în câteva rânduri cu alte ocazii) Şi, din păcate, cât de mulţi profesori de matematică, al căror rol ar trebui să fie de a deschide poarta spre matematica vie şi spre plăcerea de a gîndi, cât de mulţi dintre aceştia transformă matematica într-o obligaţie penibilă, într-o materie repulsivă!

Există însă şi mulţi oameni care, încă de copii, intuiesc esenţa umană a activităţii matematice; căci, pentru aceasta, nu nivelul creaţiei este important, ci actul în sine. O problemă elementară, dacă este trăită, provoacă o gamă de sentimente şi o satisfacţie, asemenea, dar la scară mai mică, cu cele date de un act de creaţie propriu-zis. Priviţi copilul cum se munceşte necăjit cu o problemă; îi vine să o lase dar atunci îi apare sentimentul unei umilinţe, uneori şi al unei ambiţii, al unei competiţii tacite: Petrescu va reuşi s-o facă, eu nu? Priviţi-l cum schimbă încercările cînd cu deznădejde, cînd cu înfrigurări de speranţă. Priviţi, mai ales, momentul cînd faţa i se luminează, începe să lucreze înfrigurat dar sigur, pentru ca la sfîrşit, confruntînd eventual şi cu răspunsul din carte, să exclame cu o satisfacţie specifică: mi-a ieşit! Comparaţi acum cu peripeţiile de ordin sufletesc ale lui Arhimede în căutarea soluţiei la problema lui Hieron (cea cu dilema dacă aurarul a înlocuit o parte din aurul pentru coroană cu argint). Nu, activitatea matematică nu e de loc rece; o gamă de sentimente şi emoţii puternice trebuie să o anime pentru ca ea să fie fructoasă.

Mi-a ieşit, exclamă copilul, satisfăcut. Legenda spune că atunci cînd Arhimede făcînd baie, a intuit brusc legea plutirii corpurilor şi, prin ea, şi soluţia la problema cu coroana, entuziasmat a ieşit din baie, gol cum era, strigînd: Evrika, Evrika! (am găsit, am descoperit!). Evrika! Este rădăcina etimologică a cuvîntului euristic. Este simbolul scurt şi evocator al întregii matematici euristice, ca şi al oricărei invenţii, al triumfului inteligenţei în lupta ei necurmată cu necunoscutul. Din tot ce a făcut şi a trăit Arhimede, inclusiv ceea ce îi atribuie legendele, dacă nu ar rămîne decît acest unic cuvînt evrika, chiar şi golit de conţinutul concret, fără să mai ştim la ce anume invenţie s-a referit, el şi-ar păstra o deosebită valoare de simbol, simbolul celei mai vii şi autentice atitudini umane. Tocmai de aceea, ecoul lui prelungit peste veacuri ne înfioară şi astăzi.

Ca să apară, izbucnind, acest evrika triumfător e necesar un preambul, uneori destul de prelung, de sforţări, de luptă nedecisă, de îndoieli chinuitoare împletite cu înfiripări de speranţă; este necesar, în plus, ca acest efort să fie personal, tensiunea întreagă a propriei fiinţe. Evrika e un fel de împlîntare a steagului victoriei pe o redută îndelung asaltată.

Urmăriţi timbrul emoţional al unei exclamaţii pe linia cunoaşterii: aha! Este exclamaţia care traduce pe “am înţeles”, “m-am dumerit”, cînd unui om i se explică, din afară, ceva. O exclamaţie şi ea umană, numeric mai frecventă decît evrika, dar emoţional mai ştearsă. Traduce o satisfacţie – aceea de a fi aflat un lucru nou – dar ea e oarecum umbrită de regretul de a nu fi reuşit singur, prin mijloace proprii.

Oamenii care rămîn afectiv incolori în faţa procesului de cunoaştere sînt de compătimit, ei nu au ajuns în miezul viu al lucrurilor. Autentici sînt oamenii care exclamă. Prin natura lucrurilor, cum spuneam, cea mai frecventă exclamaţie este “aha”! Dar fiecare om, cu adevărat om, trebuie să aibă şi acţiuni, momente în care exclamă cu plenitudine şi cu ascuţită satisfacţie: evrika!

*

Realitatea psihică închisă în cuvîntul evrika, bucuria de a afla, o găsim şi la Tales şi la Pitagora, tradusă material printr-un alt simbol: jertfa adusă zeilor drept mulţumire pentru descoperirea unei teoreme. Dar pe un fond comun – emoţia, entuziasmul pentru un plus de cunoaştere – două nuanţe distincte: evrika înseamnă am descoperit eu, sînt mulţumit pentru că procesul de gîndire petrecut în mintea mea a fost încununat de succes. Jertfa arată concepţia că descoperirea s-ar datora şi sprijinului unei puteri supranaturale din afară. Nu ştiu dacă e adevărat că Arhimede  a ieşit din baie dezbrăcat la propriu; dar dezbrăcat de concepţii mistice, om pur şi simplu, aşa cum l-a făcut natura, era.

Nu însă un om simplu, ci, dimpotrivă, foarte rafinat. El ştia să preţuiască nu numai actul viu, dinamic, al descoperirii, ci şi frumuseţea interioară a unor adevăruri, armonia de genul aceleia atît de preţuită de către predecesorul său, Pitagora.

Propoziţia care i-a plăcut mai mult din acest punct de vedere a fost faptul – simetric şi simplu – că cilindrul circumscris sferei are aria o dată şi jumătate cît a sferei, iar raportul volumelor este acelaşi.

Sfera şi cilindrul circumscris este tocmai figura care i-a fost săpată, ca omagiu, pe mormînt – tot astfel cum pe mormîntul unui poet se sapă două versuri din opera sa. Figuri, versuri care uneori amintesc mai mult de liniştea majestuoasă a morţii decît de efervescenţa vieţii acelui care odihneşte sub piatra pe care ele au fost săpate … (pag.83-85)

Da, aşa a descris Profesorul Eugen Rusu emoţiile trăite pe parcursul unei rezolvări de către cel ce se străduieşte cu adevărat, comparându-le – chiar dacă la o scară redusă – cu legendarul evrika al lui Arhimede. Dar, oare unde putem cuprinde noi cel mai eficient aceste “sfaturi” date printre rânduri de Eugen Rusu? Cum putem noi aranja materia de studiat, cum putem alege teoremele şi problemele de demonstrat, astfel încât să aducem elevii în punctul de a trăi şi ei, măcar parţial, bucuria “redescoperirii” marilor realizări ale lui Arhimede, ca unele dintre cele mai mari ale antichităţii înfloritoare elene. Pentru că actualmente, în matematica de gimnaziu acesta nici măcar nu este amintit! Într-adevăr, noi, profesori, nici măcar nu-l amintim la orele de geometrie pe Arhimede, îmblînzitorul cercului şi al sferei, primul om care l-a stăpânit cu adevărat pe acel număr magistral, numit de către urmaşii săi π (pi). De pildă, câţi dintre noi prezentăm elevilor că Arhimede este primul om care l-a stabilit pe 3,14 sub forma fracţiei ordinare 22/7?

Permiteţi-mi să vă prezint cum mi-am ales eu elementele legate de lungimea cercului şi aria discului în clasa a VII-a, respectiv aria sferei şi volumul bilei în clasa a VIII-a (exprimarea preţioasă, hipercorectă, respectă faptul că cercul şi sfera sunt singura figură, respectiv singurul corp care au denumiri diferite pentru interior: cercul este linia, pe când discul reprezintă cercul plus interiorul său, măsura cercului reprezentând perimetrul, pe când măsura discului aria; în mod similar, sfera este goală, măsura sa fiind o arie, pe când bila reprezintă sfera împreună cu interiorul său, măsura acesteia fiind un volum; nici o altă figură, respectiv nici un alt corp nu au în mod similar două denumiri; povestea asta le-o spun elevilor la clasă, rareori în a VII-a, dar sigur în a VIII-a).

Pentru ca elevii să poată aprecia magnitudinea acestor descoperiri, dificultatea găsirii şi demonstrării lor, trebuie să aibă cu ce să le compare. Cu alte cuvinte, înaintea găsirii ariei discului, elevii trebuie să fi fost conduşi pe calea descoperirii la clasă a formulelor de arie pentru celelalte figuri de bază (găsirea prin problematizare a formulelor de arie pentru triunghiurile şi patrulaterele studiate; am precizat prin problematizare, accentuând importanţa trezirii şi activării gândirii elevilor, atragerea acestora în procesul de descoperire însoţită de către profesor a noilor cunoştinţe). La fel, pentru a putea aprecia spectaculozitatea găsirii formulelor pentru aria şi volumul sferei, implicit şi genialitatea lui Arhimede, trezind astfel admiraţia pentru gândirea omenească în forma ei cea mai strălucită, elevii trebuie să fii dedus în clasă prin problematizare aria şi volumul tuturor celelalte corpuri (prismele, piramidele, trunchiurile şi corpurile rotunde plan-desfăşurabile). În acest sens iată pe scurt enumerarea lecţiilor.

În clasa a VII-a, după lămurirea ariilor patrulaterelor şi a triunghiurilor studiate, eu studiez în ordine: 1) aria hexagonului regulat şi a octogonului regulat înscrise în cerc (pentru “încălzirea” minţii), urmate de fabuloasa situaţie a dodecagonului regulat (poligonul cu 12 vârfuri) a cărui arie este egală cu 3r2 (demonstraţie de 1-2 rânduri prin calcularea ariei unei “felii”, adică a unui triunghi isoscel, nu prin apotemă, ci calculând una din înălţimile congruente folosind cateta opusă unghiului de 30o); 2) determinarea ariei unui disc cu raza de 5cm pe caietul cu pătrăţele, contabilizând toţi cm2 întregi cât şi toate fracţiunile de cm2, aproximând cât mai bine discul în interiorul sau în exteriorul cercului (este o lucrare practică de tip Laborator de matematică), cu stabilirea în final a faptului că pătratul razei, adică 52 = 25 întră în aria stabilită aproximativ de 3,12 ori (descrierea acestei lecţii o găsiţi în finalul postării Matematica naivă, exemple (2) din 1 august 2016); 3) în finalul acestei lecţii, sau ora următoare, le prezint elevilor numărul π (pi), aici putând efectua şi câteva măsurători pe castroane rotunde şi alte oale, folosind metrul de croitorie pentru a observa apariţia acestui număr şi la lungimea cercului, adică la perimetrul său. Tot aici le povestesc şi despre goana după cât mai multe zecimale de calculat acestui număr, arătându-le elevilor o pagină cu peste 2500 de zecimale ale numărului pi (pag.64 din Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas, ed. A II-a, 2000) şi le spun că de peste zece ani am descărcat de pe net numărul pi cu un milion de zecimale. 4) Uneori, într-o oră ulterioră, ca o curiozitate, le pot arăta elevilor şi metoda egipteană de calcul a ariei discului.

În clasa a VIII-a elevii sunt pregătiţi să deducă majoritatea formulelor de arie ale corpurior studiate. Pentru formulele de volum trebuie abordată a tactică de îndrumare care să folosească gândirea intuitivă a elevilor. În această etapă obişnuiţi fiind să gândească, elevii dictează mare parte din formulele corpurilor. Doar în diferite momente trebuie să mai intervin cu precizări sau explicaţii. Astfel pregătiţi fiind, când în final ajungem la sferă, elevii vor putea trăi din plin şi cu totală admiraţie demonstraţia condusă de către mine la tablă, în timp ce îl evoc pe Arhimede. Demonstraţia pentru volumul sferei este la un cu totul alt nivel decât cele precedente (cilindru, con, trunchi de con), trezind o stare de uimire profundă faţă de gândirea care a generat-o. Povestea cu Cicero care, două secole după moartea lui Arhimede îi găseşte mormântul lângă Siracuza pentru că avea gravate pe el o sferă într-un cilindru, această poveste “pune capac” admiraţiei elevilor. Dacă doriţi şi alte amănunte, găsiţi prezentarea în detaliu şi pozele acestei lecţii în postarea din aprilie 2016 la adresa Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4) .

CTG, 3-4 martie 2018 (cadou de ziua lui Pi)