Planimetria şi Stereometria – (5) Situaţia clasei a 8-a

Am parcurs acest drum explicativ deosebit de detaliat, dar şi lung, pentru a înţelege contextul în care se petrece “geometria de calculat” în şcolile gimnaziale din România. În acest sens am explicat de la început că întregul fenomen trebuie înţeles în toată amplitudinea sa, din toate punctele de vedere, prezentând în acest sens trei “axe de discuţie”, pe care le reiau aici pe scurt: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă.

Am văzut astfel în acest mega-eseu cum se alternează parcurgerea şi abordarea materiei, pendulând de-a lungul acestor axe într-un fel destul de discutabil, de multe ori deosebit de agresiv la adresa nevoilor şi a posibilităţilor elevilor la diferite vârste. Multe se mai pot înţelege cumva, dintre cele ce se întâmplă în clasele 5-7, dar agresivitatea sistemului la adresa elevilor de rând îşi atinge apogeul în geometria de clasa a 8-a. Vorbesc aici de ordinea total nepedagogică între partea de demonstraţii cu “teoreme în spaţiu” şi partea de stereometrie, adică de calcul a ariilor şi a volumelor diferitelor corpuri studiate. Să analizăm acest subiect.

Materia este aranjată după principiul rigurozităţii mtematice absolute al ordonării materiei, anume că un elev nu ar putea lucra pe corpuri până nu a studiat pe deplin toate situaţiile ce pot apărea între drepte şi plane în spaţiu. Această abordare neagă însă intuiţia elevilor (câtă o mai fi ea acolo, în mintea lor, după trei ani de predare care le-a îngrădit-o cu totul). Prin eseul de faţă, însă, susţin punctul de vedere opus, anume că se poate studia cea mai mare parte a stereometriei, adică a calculului de arii şi volume pe corpurile regulate de bază, înainte de a studia poziţiile şi “comportamentul” dreptelor şi a planelor în spaţiu.

Unele elemente din stereometria de clasa a 8-a se repetă din clasa a 5-a (când au fost predate intuitiv), iar ariile diferitelor figuri se cunosc bine din clasa a 7-a (plecăm de la premisa că elevii, cumva le-au învăţat totuşi până la intrarea în a 8-a). Calculul de arii şi volume reprezintă o parte de materie accesibilă marii majorităţi a elevilor, abordabilă intuitv şi prin analogie cu unele anterioare, pe când demonstraţiile în spaţiu nu sunt accesibile decât copiilor de vârf. Aranjarea materiei astfel încât pe întregul semestru I se parcurge o materie acesibilă doar elitelor, aceasta este o agresivitate năucitoare la adresa celor 80% dintre elevi care nu pot, sau nu au nevoie, sau nu-i ineresează demonstraţiile în spaţiu. Şi apoi ne mirăm că aceştia clachează masiv la diferite teste! Păi, dacă îi ţinem în şcoală cu o materie pe care nu o înţeleg, care se adresează altora ce să ne aşteptăm? Singurele urmări clare sunt cele de ordin psihologic, cum ar fi frustrarea, agresivitatea, refuzul matematicii de orice fel etc.

Parcurgerea în 3D a axei calcule – demonstraţii dinspre acestea din urmă un semestru întreg, ajungând la calcule de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice (vezi P.S. în final).

Pot întreba aici şi altfel: cât la sută din populaţia şcolară va ajunge să facă ştiinţa matematică? Răspunsul l-a dat George Pólya: 0,1%, cu extindere la 1% pentru toţi cei care vor avea colateral nevoie de matematică ca ştiinţă. Ok, poate lucrurile au mai evoluat de pe vremea lui Pólya, dar oricum nu au cum să treacă de 10% din populaţia şcolară. Pentru aceşti 10%, în numele unei rigurozităţi ştiinţifice matematice stupide, noi îi sacrificăm pe restul populaţiei şcolare, iar apoi, ca să nu se vadă situaţia profund dezastroasă, le dăm să calculeze aria unui dreptunghi la examen (pe care le dăm şi “de-a moaca” 5 puncte, cerinţă la care le dăm şi răspunsul “pe faţă” (Arătaţi că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 240 cm2).

Se poate şi altfel? Oare se poate găsi o formă de geometrie care să nu-i lase “pe de lângă” pe cei mulţi? Se poate găsi o formă de predare şi o ordine a lecţiilor prin care să dăm mai întâi materia practică şi accesibilă celor mulţi, cei care au nevoie de mai mult timp ca să înţeleagă o lecţie (poate luni întregi), iar doar apoi să trecem la lecţiile mai grele, mai teoretice, pentru cei capabili a le înţelege, dintre care se aleg de fapt participanţii la concursurile şcolare de elită (iar aceştia să apuce să le înveţe până la olimpiadele din februarie-martie), se poate aşa ceva? Se poate preda geometria mergând de la uşor la greu, de la accesibil la dificil, respectând astfel unul dintre principalele principii psihopedagogice? Da! Se poate!

Iată cum predau eu de peste 20 de ani geometria clasei a 8-a, îmbinând cerinţele psihopedagogice elementare cu cerinţele minimale de rigurozitate a matematicii. În linii mari parcurg trei părţi pentru geometria în spaţiu de clasa a 8-a. Cap. 1): un prim calup de corpuri studiate pe rând (prismele şi piramidele), parcurse intuitiv îi dau elevului “o schelă de sprijin” pentru activitatea geometrică în spaţiu. Cu acest capitol încep geometria de clasa a 8-a, chiar în septembrie. Cap. 2): un studiu structurat al geometriei dreptelor şi planelor în spaţiu. Acest capitol ocupă partea a doua a semestrului I, terminându-se înainte de vacanţa de iarnă sau cândva în ianuarie. Cap. 3): un al doilea calup de corpuri studiate pe rând (trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde), parcurse pe formatul deja cunoscut, incluzând şi “marile demonstraţii” ale stereometriei (volumul trunchiului de piramidă, aria laterală a conului şi volumul şi aria sferei). M-am obişnuit să parcurg acest capitol pe cât posibil după simularea oficială din martie, dar îl termin obligatoriu până la vacanţa de Paşte, pentru ca elevii să aibă timp suficient a se pregăti pe teste generale. În continuare doresc să descriu pe rând pe fiecare din aceste trei capitole

Cap. 1): La fiecare corp facem desenul, descrierea elementelor (vârfuri, muchii, feţe) şi deducem raţional, prin problematizare, ariile şi volumul, cât şi diverse lungimi speciale. Când avem nevoie de teorema lui Pitagora, susţinem raţional perpendicularitatea pe baza faptului că un segment vertical din figură este perpendicular pe un segment orizontal pe care cade. De exemplu, muchia verticală DD’ a unui cub este evident perpendiculară pe diagonala BD a bazei, care este orizontală. Prin astfel de justificări elevul învaţă să vadă unghiurile drepte în spaţiu, deşi în reprezentările grafice are loc o deformare a acestora.

Iată încă un exemplu de unghi drept uşor de justificat fără nici cea mai mică teoremă în spaţiu: segmentul VM care uneşte vârful unei piramide patrulatere regulate cu mijlocul muchiei BC (adică o mediană) este perpendicular pe BC pentru că triunghiul VBC este isoscel (oricum, nici abordarea oficială nu este mai riguroasă). Teorema celor trei perpendiculare în cazul determinării apotemei îşi găseşte sensul doar în cazul unei piramide neregulate (de ex. o piramidă cu baza romb şi înălţimea ridicată în intersecţia diagonalelor acestuia), dar aceste oricum nu mai sunt în materie de peste un sfert de secol.

Ordinea în această primă parte este stabilită având criteriul accesibilităţii intuiţiei elevilor ca punct central, şi este următoarea: cubul; paralelipipedul dreptunghic; prisma patrulateră regulată şi prisma triunghiulară regulată predate în paralel, apoi piramida patrulateră regulată, iar în final, predate în paralel piramida triunghiulară regulată şi tetraedrul regulat. Alt criteriu ce susţine această ordine îl reprezintă accesibilitatea calculului; pe copii îi atragi de partea matematicii dacă le prezinţi la început elemente accesibile, crescând doar ulterior nivelul.

În această primă parte facem multe exerciţii de calcul cu teorema lui Pitagora, cu rezultate întregi sau iraţionale, dar şi multe desene colorate în care elevii au de trasat şi de colorat diferite secţiuni în corpuri. Mă refer aici în primul rând la secţiunile particulare în cub (secţiunile diagonale, cele paralele cu feţele, dar şi secţiunea triunghi echilatera), sau în piramida patrulateră regulată (secţiunile diagonale). Elevii au astfel ocazia, chiar sarcina, să deseneze multe astfel de corpuri cât mai corect şi să facă pe acestea multe calcule (adică stereometrie). În această fază geometria se desfăşoară doar în corpurile studiate, luate ca structuri întregi. Începând din acest capitol, elevii de rând au de lucru, urmând să acumuleze experienţă şi abilităţi sigure de desen şi calcul pentru lungimile, ariile şi volumele studiate aşa că ne putem ocupa de materia pentru cei buni.

Cap. 2): De-abia după ce elevii s-au obişnuit cu desenele şi cu vederea în spaţiu, de-abia apoi trecem la studiul dreptelor şi a planelor în spaţiu; acum putem trece la un studiu cât de cât pregătit al elementelor demonstrative. Primele 2-3 ore discutăm despre notaţii, convenţii de desen, determinarea planului, faptul că unghiurile par deformate în spaţiu, discutăm despre dreptele necoplanare şi despre multe alte aspecte ce trebuie acum conştientizate.

Din punct de vedere a sarcinilor de lucru ce pot fi întâlnite în probleme, facem o structurare a “teoremelor în spaţiu”, practic a reţetelor de demonstrare a diferitelor situaţii, organizate după două principii. În primul rând avem principiul poziţiei relative, care include trei poziţii relative: paralelismul; unghiul relativ, respectiv determinarea măsurii acestuia, şi situaţia de perpendicularitate relativă. În al doilea rând avem principiul obiectelor poziţionate: astfel, trebuie să studiem poziţia relativă a două drepte, apoi a unei drepte faţă de un plan, iar în final poziţia a două plane. Avem astfel 9 situaţii de studiu, plus teorema celor trei perpendiculare, pe care le enumăr în continuare în ordinea în care le parcurg cu elevii (de la cele mai accesibile la început, spre cele mai complicate în final): două drepte paralele; unghiul dintre două drepte necoplanare; perpendicularitatea a două drepte necoplanare; dreaptă perpendiculară pe plan; două plane perpendiculare; dreaptă paralelă cu plan; două plane paralele; teorema celor trei perpendiculare; unghiul dintre o dreaptă şi un plan; unghiul diedru. În măsura timpului şi a interesului, parcurg şi alte teoreme necuprinse în această listă.

La fiecare astfel de lecţie facem figura teoretică de bază (eventual cu folosirea culorilor pentru a evidenţia diferite aspecte importante) şi deducem prin problematizare reţeta de demonstrare, după care dăm de obicei exemple tot în corpurile studiate. Consider că este mai bine aşa pentru că fiecare lecţie nouă este aplicată într-o zonă de confort, anume în corpurile deja cunoscute. Astfel evit introducerea mai multor informaţii noi, pe lângă cea principală într-o lecţie. De abia la teorema celor trei perpendiculare încep şi cu probleme în structuri artificiale, de tipul: pe planul dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara AM etc. Pe aceste două “plane de lucru” ne concentrăm atenţia pentru o vreme, până spre primăvară. Elevii de rând exersează stereometria, cei capabili au de făcut şi demonstraţiile în spaţiu.

Cap. 3): În primăvara clasei a 8-a parcurgem şi al doilea calup de corpuri, acoperind toată gama acestora ce ar putea veni la examen conform programei. Ori înainte, ori acum integrez aici şi prisma şi piramida hexagonală regulată, dar în principal avem de studiat trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Cu asta se termină ca lecţii geometria de clasa a 8-a.

Simţiţi acum că o astfel de ordonare a materiei oferă elevilor studiul geometriei pe o pantă mai lină a dificultăţii, lăsând la nivelul fiecărui elev până la ce nivel de dificltate să urce fiecare, în funcţie de posibilităţi şi interes. O astfel de parcurgere nu-i înjoseşte pe elevii de nivel mediu, adică pe majoritatea popula tiei şcolare, ci îi lasă să urce fiecare după cât poate până în ultima clipă, înainte de examenul de Evaluare Naţională. Mă refer aici la elevii care vor putea urca mare parte din acest drum, doar că mai încet, pentru că nu sunt chiar olimpici. Aceştia au însă nevoie să pornească cu lucruri simple şi să urce într-un mod accesibil. Toţi aceştia stagnează de fapt primul semestru pe programa oficială, pentru că sunt confruntaţi cu o materie prea teoretică şi cu aplicaţii prea abstracte, ei întrând automat în stare defensivă şi de blocaj. Cei care au norocul de ore în particular întră cu profesorii de acasă într-un program de dresură, dar nu neapărat şi de înţelegere, frica şi repulsia de matematică rămânând la multi prezente.

Cam aşa arată situaţia aşa cum o percep eu în Cluj. Despre cum arată la ţară pot doar să-mi închipui (mă mai ajută diferitele reportaje ce le aud la radio – mulţumesc Europa fm!). Majoritatea elevilor de la sate vor ajunge în cel mai bun caz cel mult la un liceu tehnologic. De ce să-i ţinem blocaţi un semestru întreg în demonstraţii sterile de geometrie în spaţiu?

P.S. Am atins în această parte a eseului un aspect ce trebuie lămurit. Anume, în primul sfert al textului am scris că parcurgerea demonstraţiilor timp de un semestru întreg, înaintea calculelor de arii şi volume, care vin de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice. Aici matematica din România ar trebui să ajungă la pace cu pedagogia, poziţia naturală şi normală trebuind să fie una de compromis, de echilibru pentru ambele părţi. Concret, după părerea mea, între cele trei nivele de învăţământ cu profesorii de matematică, priorităţile ar trebui să fie următoarele: în ciclul gimnazial dominante să fie principiile pedagogice; în liceele de ştiinţe şi mate-info principiile pedagogice să fie în echilibru cu principiile rigurozităţii matematice, iar în facultăţile de matematică principiile matematice să fie dominante.

S-ar putea chiar trage două grafice care să descrie importanţa (poate în procente) a fiecărui domeniu, plecând de la începutul clasei a 5-a până la finalul facultăţii. Astfel, o comisie paritară de specialişti din ambele părţi ar putea decide o politică reparatorie de felul următor: importanţa criteriilor pedagogice să scadă de la 75% la în clasa a 5-a către 25% în facultate, pe când importanţa criteriilor pur matematice să crească de la 25% în clasa a 5-a pană la 75% în facultate. Liceul ar fi desigur în zona de echilibru a acestor criterii. Desigur, aceasta este o simplă propunere, dată fără o mare şi profundă analiză, dar ideea contează.

Pentru cei care s-ar simţii “şocaţi” de o astfel de perspectivă, doresc să precizez că înaintea reformei din 1980 aşa era structurată materia. Se pot găsi multe exemple în acest sens în lucrările de specialitate despre predarea matematicii în diferitele clase şcolare sau liceale, dar am auzit (doar din relatări) şi de prezenţa criteriilor pedagogice în facultăţile de matematică din anii ’50 – ’70.

Important este că acest principiu ar trebui reintrodus în şcolile româneşti, desigur după o solidă analiză, adaptat situaţiei actuale, printr-un program naţional pe câţiva ani. Altfel, tot în starea jalnică din anii aceştia ne vom regăsi şi peste decenii.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
28 × 2 =