Planimetria şi Stereometria – (4) Teorema lui Pitagora şi planimetria în clasa a 7-a

În postarea precedentă am analizat cum pe întreg parcursul clasei a 6-a elevii vieţuiesc un adevărat embargou în direcţia planimetriei şi a sterometriei (eventual în afara recapitulării de la început şi a testărilor iniţiale). La geometrie, întreaga clasă a 6-a, chiar şi o parte din clasa a 7-a, se ocupă numai de studiul figurilor geometrice, studiu făcut doar prin prisma definiţiilor  şi a demonstraţiei geometrice. Acest studiu are încă – şi actualmente, după atâtea reforme “de accesibilizare” – are încă forma de bază teoreticist-axiomatică, cu definiţii riguroase şi inaccesibile marii majorităţi a elevilor. Intuiţia, care este singura formă de înţelegere la majoritatea elevilor, intuiţia nu este accesată mai deloc (deşi conform programei din 2017 aceasta se cere explicit profesorilor). Problema este că nici profesorii de la clasă, nici autorii de manuale nu prea ştiu cum s-ar face asta, fiind prea puternic ancoraţi în forma teoreticistă ce a reprezentat normalitatea din anii ’80 încoace.

Aici se întâmplă una dintre cele mai abrutizante agresiuni la adresa majorităţii elevilor, 80-90% din populaţia şcolară nefiind încă trecută în stadiul gândirii necesar înţelegerii unei abordări abstracte a geometriei. Piaget preciza clar acest aspect, dar matematica şcolară românească este setată şi la ora actuală doar după olimpici, adică după cei foarte puţini care fac fată unui studiu abstract teoreticist al formelor geometrice, neglijându-i însă pe majoritatea elevilor. Practic, gândirea celor 80-90% dintre elevii ţării este “trasă pe line moartă”, până când se introduc toate figurile geometrice (în mod definiţionist) şi se studiază toate proprietăţile acestora (desigur, în mod demonstrativ).

Îmi permit să fac aici o întrerupere a discursului acestui eseu, pentru a relua în citat un pasaj găsit într-o carte veche din biblioteca părinţilor mei: Laboratorul de matematică (Ed. Didactică şi pedagogic, 1973), autori N. Teodorescu, Gh. N. Rizescu, B. Ionescu, D. Ogrezeanu (am întărit numele dl-ui Academician Teodorescu, pe vremuri preşedintele Societăţii de Ştiinţe Matematice din România) La pagina 5 găsim faptul că: Structura logică a minţii copilului nu este aceeaşi cu a adultului şi nu atinge stadiul adult de dezvoltare înainte de 11-12 ani. În teoria lui Piaget se menţionează mai multe stadia de dezvoltare la copii, (…) Ultimul stadiu începe după această vârstă sub numele de stadiu operaţional formal, care este un nivel adult de gândire.

Legat de această afirmaţie, părerea mea este că la mulţi copii acest stadiu apare chiar şi mai târziu, aceasta şi datorită contactului masiv încă din copilăria fragedă cu ecranul (TV, calculator, Smartphone), contact deosebit de distructiv la nivelul capacităţii de imaginaţie a unor informaţii primite pe bază de cuvinte, nu pe bază de imagini concrete,, astfel încât în ultimii 20 de ani am putut observa o maturizare tot mai lentă a tot mai multor copii.

În concluzie, părerea mea este că în clasa a 6-a actualmente este prea devreme pentru o geometrie prea matură, aşa cum încă în anii ’90 cu multe clase se putea face. Eu ţin minte lecţia de la inspecţia pentru gradul II, ţinută la Şcoala Waldorf în primăvara lui 1998 la clasa a 6-a: am definit, am dat teoremă, am calculat şi am demonstrat, iar inspecţia a fost o reuşită. Actualmente, acea lecţie o pot face doar la începutul iernii din clasa a 7-a, iar asta nu numai din motive de programă, ci şi din motivul că de-abia atunci am destui elevi dezvoltaţi astfel încât să poată parcurge această lecţie. În principiu, atât demonstraţia geometrică (în direcţia celor buni la mnatematică), cât si calculul planimetriei pe baza formulelor de arie şi a teoremei lui Pitagora (pentru toţi elevii, dar cu accent în direcţia celor medii), ambele domenii pot fi practicate în clasa a 7-a cu încredere că mulţi dintre elevii cărora ne adresăm au făcut pasul în noul tip de gândire, aşa încât vor şi fi în stare să lucreze ce le cerem.

Legat de afirmaţia dinainte, de faptul că la tot mai mulţi copii apare incapacitatea imaginării unor situaţii prezentate textual (oral sau scris), legat de aceasta mai am o observaţie colaterală. Dintr-o prezentare numerică a teoremei lui Pitagora, aşa cum cei mai mulţi profesori o fac încă, elevul va înţelege mult mai puţin decât dintr-o prezentare figurativă pe bază de arii, în care expresiile “pătratul ipotenuzei” sau “suma pătratelor catetelor” să fie adresate şi accesibile gândirii în mod dual, atât pe cale numerică (pătratul = puterea a doua), cât şi pe cale figurativă (pătratul unei laturi = aria pătratului construit pe acea latură). Fără să mai discutăm că o prezentare a teoremei lui Pitagora doar din punct de vedere aritmetico-numeric are doar darul de a prezenta această “cea mai importantă teoremă” ca o ciudăţenie matematică de neînţeles, ca un fel de “hocus-pocus”, căruia nimeni nu-i poate înţelege logica; o astfel de abordare în nici un caz nu se poate lăuda că dezvoltă gândirea elevilor.

Ca să iau o pauză din această critică în cascadă, haideţi să prezint cum abordez eu situaţia. Încercând să păstrez linia generală de introducere a figurilor geometrice înainte de a reveni la calculul de perimetre şi arii, eu mă concentrez în clasa a 6-a asupra construcţiilor geometrice, cerându-le elevilor să deseneze cu exactitate toate figurile, prin folosirea practică a diferitelor instrumente geometrice (Piaget vorbea despre stadiul operaţional concret, ca penultimul stadiu de dezvoltare). Eu accesibilizez geometria de clasa a 6-a pentru majoritatea elevilor, atrăgându-le preocuparea spre construcţia practică a figurilor geometrice, după principiul: dacă nu înţelege mai nimeni abordarea euclidiană, dar încă nu avem toate cunoştinţele pentru a face planimetrie de clasa a 7-a, atunci să cunoaştem figurile geometrice şi proprietăţile acestora prin construcţia geometrică exactă! Manualele vechi, înaintea reformei uitate din 1980 aşa aveau structurată cunoaşterea figurilor geometrice. Obsesia demonstrativă a apărut doar prin manualele din 1981.

Această abordare ajută şi în direcţia deficienţei prezentate mai sus, anume a faptului că elevii au actualmente o capacitate mult mai redusă de a-şi imagina anumite situaţii prezentate verbal. Punându-i în clasa a 6-a să se preocupe mult de desenarea concretă a diferitelor figuri, elevii vor fi în stare ulterior (adică în clasa a 7-a) să-şi imagineze diferite situaţii, pentru că au acumulat experienţe personale practice cu aceste figuri.

Dar să revenim la subiectul principal: aşadar, la nivel naţional, clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei ariilor sau a volumelor Am repetat din nou acest aspect în speranţa găsirii unor soluţii, de pildă, poate includerea unor astfel de aplicaţii în zona aritmetică a clasei a 6-a). Concret, după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea lor, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora, adică după mai mult de un an, se revine la planimetrie (embargoul asupra stereometriei este mult mai lung, adică de doi ani şi jumătate).

Dar şi aşa, atunci când în sfârşit apar din nou ariile în viaţa elevilor (în a doua parte a semestrului I al clasei a 7-a), mare lucru nu se poate face cu formulele respective de către elevul de rând. Aplicaţiile la formulele de arie sunt puţine şi, fie sunt tembele, fie implică elemente de demonstraţii care elevului de rând nu-i sunt accesibile (de pildă, calculul ariei unui romb la care se cunosc laturile şi un unghi de 30o – să fim realişti: câţi elevi ştiu “neavertizaţi” să aplice “cateta opusă unghiului de 30o). Măcar dacă profesorii ar petrece mai mult timp la cele banale (tembele, cum le-am denumit aici) şi tot ar primi ceva şi copiii neolimpici, dar profesorii le consideră pe acestea înjositoare şi în general le fac în mare viteză şi nu prea le scot în evidenţă. Atâta vreme cât nu sunt folosibile pentru pregătirea olimpicilor, puţini profesori şi zăbovesc asupra lor.

La reluarea planimetriei după studiul patrulaterelor, în semestrul I al clasei a 7-a, planimetria se rezumă la prezentarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice, dar oricum, mare lucru nu se poate face apoi cu acele formule. Mai rău, cei mai mulţi profesori nici măcar nu petrec timp la căutarea prin gândire a acestor formule; acesta este în sine un proces interesant, dacă ne propunem să îl parcurgem cu elevii prin problematizare, nu printr-o simplă prezentare, dar pentru asta trebuie să fim în stare să ieşim din ordinea stupidă care începe cu aria triunghiului, apoi cândva – în altă oră – se ajunge şi la ariile patrulaterelor.

Mă gândesc să anexez prezentului eseu, ca o paranteză, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, respectiv căutarea formulelor de calcul a ariilor. Dar, oricum, fără posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora, planimetria se rezumă cel mult la căutarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice. Dimpotrivă, odată ce intră în joc teorema lui Pitagora, aducând cu sine posibilitatea de a determina diferite lungimi necesare în formulele de arii, viaţa elevului de rând capătă brusc mult mai mult sens.

Mă refer aici la cei cca. 80% dintre elevi, cei care au stat docil “în bancă” toată clasa a 6-a, dar mare lucru nu au dobândit la geometrie. Aceştia vor avea ocazia să înceapă şi ei a face cu adevărat matematică în momentul când ştiu să extragă un radical simplu, învaţă metoda din teorema lui Pitagora şi primesc a calcula perimetre şi arii ale unor figuri de bază. Dacă profesorul are puţin de tact pedagogic şi le dă la început câteva probleme cu soluţii naturale, ca să-i încurajeze, atunci aceştia vor prinde curaj şi vor începe să lucreze.

Ce se întâmplă însă în realitate? Din păcate, aici profesorii fac masiv gafe pedagogice, încurcându-i cât se poate de mult pe elevi şi împiedicându-i să înţeleagă geometria. Ca să nu pară din nou că arunc aici cu critici gratuite, doresc să dau câteva exemple observate printre colegii profesori, în general toţi “profesori buuuni (!)” la şcoli “buuune (!!!)”. Exemplul 1) Profesori care din prima sau cel târziu din a doua problemă trec la calcul în iraţional, bulversând prin această mişcare toţi elevii care încă nu au înţeles aceste numere. Am întâlnit foarte multe astfel de cazuri; aş putea să spun că majoritatea colegilor din Cluj procedează în acest fel. Exemplul 2) Profesori care nu face probleme de calcul a ariilor la clasă pentru că acestea “sunt prea simple”, dar le cer apoi la teză. Am întâlnit chiar şi profesor care nu a predat teorema lui Pitagora deloc, dar la un moment dat au început să apară aplicaţii din senin (de obicei întâlneam acest obicei la clasa a 8-a, unde diferiţi profesori nu predau ariile şi volumele corpurilor, dar la un moment dat încep să le ceară la teste, după principiul minunat că “le găsiţi peste tot în cărţi”). Exemplul 3) După introducerea ciudată a teoremei lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, te-ai fi aşteptat ca în clasa a 7-a, la lecţia despre arii să pornească şi folosirea teoremei lui Pitagora. Dar, nici vorbă! Mulţi profesori predau lecţia despre arii din semestrul I în continuare ca în anii precedenţi (dinaintea programei din 2017), teorema lui Pitagora apărând în probleme de-abia în semestrul al II-lea, aşa cum o făceau ei “de-o viaţă”. Astfel profesorii ratează ocazia de a ridica embargoul asupra planimetriei, singura formă clară de înţelegere a unor elemente de geometrie de către majoritatea elevilor, prelungindu-le de fapt “agonia teoreticistă” până spre primăvara clasei a 7-a.

Am uneori impresia că majoritatea profesorilor, atât cei de la clasă, cât şi cei decidenţi la nivel naţional, se preocupă doar în folosul vârfurilor, a celor maxim 10% din populaţia şcolară, abandonându-i, chiar împingându-i pe cei mulţi în mocirla necunoaşterii, a înjosirilor şi a frustrărilor, totul în numele unui olimpism exagerat, avându-şi originea în comunismul întunecat al lui Ceauşescu.

Cum parcurg eu acest drum? Am prezentat prin programa pentagonia în postări din vara lui 2019 cum încerc eu să vin în întâmpinarea elevilor de nivel mediu, care reprezintă însă marea masă a populaţiei şcolare (mai nou le spun simplu cei 80%). Iată, pe scurt, forma de predare practicată de peste 20 de ani, formă care le dă şi elevilor obişnuiţi şansa de a face “niţică geometrie”.

1) Prima parte o reprezintă înţelegerea rădăcinii pătrate, cel puţin la nivel aritmetic (adică calculul radicalilor în situaţii exacte, din numere pătrate, cât şi în situaţii aproximative, în cazul numerelor ce nu sunt pătrate); Desigur că aici se poate parcurge şi forma algebrică, adică exprimarea radicalilor din numere nepătrate prin scoaterea parţială a factorilor de sub radical (părerea mea este că această parte ar trebui să vină mai târziu, dar acesta este un alt subiect).

2) A doua parte o reprezintă calculul de arii, deducerea formulelor pentru triunghiuri şi patrulatere, cât şi scurte aplicaţii ale acestora. Aici fac şi partea de arii ce implică compararea acestora: figuri echivalente (de exemplu proprietatea de arie a medianei) sau alte aplicaţii.

3) A treia parte o reprezintă teorema lui Pitagora, justificată prin intermediul ariilor, pe baza căreia putem combina primele două părţi în probleme de calcul, adică de planimetrie. Concret, odată făcută şi teorema lui Pitagora, se pot da cât mai multe probleme de calcul a ariilor şi a perimetrelor, cu aflarea diferitelor lungimi necesare prin această cea mai importantă teoremă a geometriei gimnaziale. Aici fac multe aplicaţii cu rezultate întregi (triplete pitagorice), dar şi calcule de arii aproximative în cazuri de radicali din numere nepătrate (mai ales la diagonala în pătrat şi la triunghiul echilateral).

Acest parcurs al lecţiilor le dă elevilor obişnuiţi şansa să se exerseze pe probleme de calcul cu mai mulţi paşi logici, începând chiar din toamna clasei a 7-a. Această abordare permite umplerea clasei a 7-a cu probleme de planimetrie accesibile majorităţii elevilor. Rezolv astfel una din marile probleme ale geometriei gimnaziale actuale, anume că marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” planimetrie, dar nu înţeleg rostul demonstraţiilor şi logica acestora, astfel încât învăţarea lor se rezumă la învăţarea pe de rost a unor lucruri neînţelese. Aceşti copii vor învăţa prin repetiţie paşi de calcul cu teorema lui Pitagora şi aplicarea lungimilor în formulele de arie, astfel încât vor putea face matematică până la un nivel mulţumitor fără a înţelege demonstraţiile.

Ca o paranteză (în “războiul” meu cu stilul de matematică din America, stil numai bun de tâmpit copiii), trebuie să precizez că eu nu sunt adeptul unor formule pentru perimetre de învăţat pe de rost de către elevi. Perimetrul reprezintă un fenomen accesibil oricărui elev, iar aceştia vor trebui să “îşi deducă” în minte cum se calculează perimetrul unei figuri, mai presus de enumerarea şi însumarea tălâmbă a tuturor laturilor. Ce treabă am eu cu predarea din America? Păi, mă întâlnesc cu formule de perimetre în trusele geometrice făcute în China în principal pentru piaţa americană.

Ulterior, evident către primăvară, în urma lecţiilor despre asemănarea triunghiurilor din semestrul al II-lea, parcurgem şi demonstraţia teoremei lui Pitagora pe baza teoremei catetei (dată de Euclid). La această reluare pun accentul mai mult pe partea de iraţionalitate a calculelor şi a rezultatelor (după parcurgerea formulelor de calcul prescurtat se pot face şi alte demonstraţii ale teoremei lui Pitagora pe baza acestora). Acest pas este adresat elevilor buni la matematică, dar şi celor de nivel mediu care au parcurs şi au înţelesmulte elemente de geometrie prin intermediul problemelor elementare de calcul parcurse în semestrul I. Constantin Titus Grigorovici

P.S. După cum am spus, mi-am propus să anexez prezentului eseu, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, mai exact deducerea formulelor de calcul a ariilor în clasa a 7-a. Punctul de plecare raţional este reconectarea cu lecţia din finalul clasei a 5-a, chiar reluarea pe scurt a ideilor respective. Concret, există două tipuri de formule de calcul a ariilor: 1) formulele bazate pe principiile logice de bază, anume dreptunghiul şi pătratul (pătratul cu dublu rol, mai întâi ca unitate de măsură cea mai practică, apoi după dreptunghi, ca un caz particular al acestuia); 2) formulele ce pot fi deduse din primele pe baza unor raţionamente elementare, aici apărând – după părerea mea – ariile pentu majoritatea figurilor în următoarea ordine: triunghiul dreptunghic, paralelogramul, triunghiul oarecare, rombul şi trapezul. Daţi-mi voie să le prezint pe rând, în ordinea cea mai naturală gândirii şi deducţiei logice (o minunată ocazie de predare prin problematizare, adică prin întrebări). Voi enumera fiecare situaţie şi voi descrie raţionamentul pe care se poate gândi, fără să mai fac şi figurile (dar cu elevii figurile devin partea de bază; cu ei nu scriem decât formula în urma dialogului şi a explicaţiilor orale; cu elevii totul devine cât mai vizual posibil).

Triunghiul dreptunghic: aria sa este jumătate din aria dreptunghiului, lungimea şi lăţimea devenind aici cele două catete (desenul conţine un triunghi dreptunghic cu o catetă orizontală şi una verticală, completat cu linie punctată la un dreptunghi, faţă de care aria triunghiului este jumătate, adică “supra 2”).

Paralelogramul: se reduce la formula dreptunghiului dacă trasăm o înăţime, decupăm triunghiul dreptunghic format şi “îl lipim” în capătul celălalt al paralelogramului.

Triunghiul oarecare: este jumătate dintr-un paralelogram (deci, doar aici apare posibilitatea justificării raţionale a formulei de arie a triunghiului oarecare!!!)

Rombul: pus “ca un diamant”, rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi (desenat cu linie întreruptă) cu laturile paralele cu diagonalele rombului. La numărarea triunghiuleţelor se vede că rombul are aria cât jumătate din aria dreptunghiului

Trapezul: aici există cel puţin 2-3 variante de deducere a formulei (1- completarea trapezului cu încă unul la fel, dar cu capul în jos, alături, astfel încât să formeze împreună un paralelogram cu baza egală cu suma bazelor trapezului; 2- trasarea liniei mijlocii MN şi a înălţimilor prin M şi N, după care două triunghiuri dreptunghice diferite de la baza mare se rabatează în sus, la baza mică, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie etc.)

Pătratul (2): trasând un pătrat care stă cu diagonalele verticală, respectiv orizontală se poate adapta aria de mai sus a rombului.

Rombul (2): Construind un romb culcat, adică în formatul “paralelogramic”, se poate adapta acestuia formula de la paralelogram. Ca “spirit” al rombului este însă evident că aceasta este a doua formulă pentru aria rombului, în nici un caz prima.

Aici mai are sens a fi discutată doar ideea că la triunghiul isoscel, cât şi la triunghiul dreptunghic cu baza pe ipotenuză, se aplică tot aria triunghiului oarecare. Este evident că aria triunghiului echilateral, formula lui Heron cât şi aria cercului nu-şi au locul aici. Ele ar trebui să apară mai târziu dar, din păcate, mulţi profesori le dau aici, deşi acestea nu pot fi justificate în nici un fel în această fază de gândire (acesta este alt subiect, la care îmi doresc să revin cu altă ocazie).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
20 ⁄ 10 =