Clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei calculelor de arii sau volume. În afara unor apariţii sporadice şi întâmplătoare în probleme de aritmetică, doar lungimea apare uneori, eventual perimetrul unui triunghi. Întreaga clasă a 6-a se ocupă la geometrie doar de studiul proprietăţilor şi de demonstrarea acestora. Se încalcă astfel un principiu psiho-pedagocic de accesibilitate faţă de vârsta copiilor, conform căruia elevii de clasa a 6-a nu sunt încă pregătiţi pentru o abordare euclidiană a geometriei, dar ar putea înţelege elemente de măsurare şi calcul pe figurile geometrice studiate, cât şi activităţi de construire a diverselor situaţii. Abordarea geometriei de clasa a 6-a se situează pe partea greşită a axelor descrise în prima parte a acestui eseu, atât din punct de vedere a axei pedagogie-ştiinţă, cât şi din punct de vedere a axei calcule-demonstraţii.
Avem aici o mare problemă: marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” ale planimetriei, în sensul calculării perimetrului sau a ariei unei figuri (cu implicaţii practice de tipul determinării lungimii plintei şi a suprafeţei unei camere în care trebuie pus parchet). Dimpotrivă, studiul demonstrativ abstract al figurilor geometrice este mult mai puţin accesibil majorităţii elevilor. Chiar începând chiar de la introducerea acestei abordări prin manualele din 1981, cel mult 2-3 elevi din clase înţelegeau ce se întâmplă la geometrie în clasa a 6-a. Pe cale de consecinţă, pentru marea majoritate a elevilor, geometria de clasa a 6-a reprezintă o materie de neînţeles, la care trebuie tocite atât teoria cât şi “problemele”, pentru că elevii nu le văd un sens practic.
Dar nu doar că marea majoritate a elevilor primesc o materie e care de fapt nu o înţeleg şi căreia nu-i văd sensul, dar ei nu parcurg o materie practică cu aplicabilitate în lumea din afara matematicii. Vreau să atenţionez aici o diferenţă majoră între geometria teoretică cu demonstraţii (o materie orientată egocentrist, autosuficient, înspre propriile nevoi de dezvoltare) şi geometria planimetrică, asociată şi cu geometria construcţiilor practice a figurilor, care este o materie aplicativă (o materie orientată altruist, în folosul aplicaţiilor extramatematice). Majoritatea elevilor nu pot să intre cu adevărat în lumea închisă a matematicii, dar – în urma unor incursiuni cu sens la orele de matematică – ar putea dobândi arta aplicării cunoştinţelor matematice în situaţii practice. Parcurgerea unei materii egocentriste în şcoală, fără aplicabilitate direct, reprezintă una dintre cauzele majore a situaţiei dramatice constatată la nivel naţional prin studiile PISA.
Există şi alte surse de atenţionare a faptului că material nu este bine astructurată. O aranjare teoreticistă, care neglijează nevoile practice ale omului de rând, cât şi nivelul maxim de aplicabilitate matematică al celei mai mari părţi a populaţiei, duce la o reală pierdere de vreme în şcoală pentru majoritatea populaţiei şcolare. Părerea mea este că foarte mulţi elevi vin degeaba la orele de matematică în clasa a 6-a (dar şi în alte clase), pentru că material parcursă nu li se adresează defel! Fenomenul se accentuează până al aproape general în cazul şcolilor de la sate, fapt subliniat şi în ultimul raport World Vision pentru România.
Dar lucrurile stau prost nu numai la sate. Şi la oraşe există o mare parte a populaţiei care nu se allege cu nimic din orele de matematică. Să vă dau un exemplu văzut din întâmplare în aceste zile. Mă uitam la o emisiune despre un American pasionat de maşini, care recondiţiona împreună cu angajaţii săi maşini vechi. În exemplul concret găsiseră o maşină “tare” de la sfârşitul anilor ’60, pe care o analizau cu mult entuziasm. Ajungând la ţevile de eşapament, au comentat că acestea ieşirile originale dreptunghiulare (în comentariul englezesc a fost folosit cuvântul “rectangle”). Ei bine, traducătorul subtitrării în română a folosit cuvântul “pătrate”, deşi se vedea clar că ieşirile au formă dreptunghiulară. Dar, ce-l interesează astfel de detalii pe un absolvent de filologie? Pentru acel traducător, chiar şi dreptunghiul reprezintă o figură prea neobişnuită, care-i crează repulsie din vremea când se chinuia să supravieţuiască cumva orelor de matematică.
Practic, revenind la subiectul nostrum, destul de repede după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea acestora, embargou ce durează practic de la începutul clasei a 6-a, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora (adică după un an şi un sfert) se revine la planimetrie, adică prin toamna clasei a 7-a.
Dar şi atunci, abordarea este foarte rară la nivelul accesibil majorităţii, pentru că – nu-i aşa? – noi, profesorii, nu ne pierdem vremea cu “prostii”! În plus, apare şi o interferare brutal dinspre o ordonare la fel de agresivă din partea algebrică a programei, anume a parcurgerii practice simultane a rădăcinii pătrate aritmetice (cu rezultate întregi sau aproximative) cu forma algebrică a radicalilor (cu rezultate exacte, dar iraţionale). Elevii buni fac faţă acestei abordări, dar larga majoritate clachează total sau, eventual se refugiază în învăţarea pe de rost. Parcurgând din start aplicaţii iraţionale (pentru “cei buni” desigur), profesorimea închide “poarta înţelegerii” geometriei pentru foarte mulţi elevi.
Embargoul asupra stereometriei este dublu, adică de doi ani şi jumătate, neglijând cu totul necesitatea formării şi antrenării vederii în spaţiu prin intermediul desenării corpurilor geometrice şi a forţării minţii elevului de a-şi imagina aceste desene plane drept corpuri 3D (din pedagogia Waldorf am aflat că vederea în spaţiu sănătoasă trebuie să se fi format până la vârsta de 13-14 ani, altfel se închide “fereastra temporală” de formare a vederii sănătoase tridimensionale; ne mirăm apoi că elevii de liceu, sau mai târziu adulţii, nu înţeleg diferite situaţii de ordonare spaţială, mai ales că în liceu oricum acestea nu se mai reiau, ca pe vremuri).
Din nou, am impresia că are loc aici o “conspiraţie” generală şi bine pusă la punct împotriva elevilor de rând, cei care reprezintă majoritatea covârşitoare a populaţiei şcolare. Singurii care pot trage foloase din această formă actuală de geometrie sunt cei 2-3 potenţiali olimpici, care au oricum şi acasă profesor particular şi după care se reglează întreaga predare a profesorului de la tablă. În rest, toţi ceilalţi elevi sunt supuşi constant unei înjosiri prin neînţelegere, proces cu urmări de neînchipuit la nivel psihic. Rezultatul este că toţi elevii (ai căror părinţi “pot”) sunt forţaţi “să-şi ia profesor” pentru a face faţă situaţiei. Am întâlnit chiar un caz de şcoală particulară, deci cu taxe serioase, la care în clasa a 6-a toţi elevii erau nevoiţi să aibă în paralel şi profesor în particular, pentru a face faţă predării şi cerinţelor profesorului de matematică, măcar la un nivel de promovare a clasei.
Precizez că mă refer aici la elevul de rând, atât cel care oricum are dificultăţi în a înţelege ce tot vor “ăştia din jurul lui” cu atâtea demonstraţii, dar şi la cel cu note destul de bune la matematică, dar neolimpic. Toţi aceştia nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele. Implicându-mă în căutarea unor soluţii de corectare a situaţiei, respectiv de găsire a unor căi în sprijinul învăţării geometriei de către toţi ceilalţi elevi în afară de vârfurile clasei, eu încerc să mai fac paşi în sprijinul majorităţii elevilor. În primul rând, încerc să accesibilizez geometria din timpul embargoului asupra planimetriei, punând un accent mai puternic pe construcţiile practice ale figurilor geometrice (cu folosirea tuturor instrumentelor geometrice), şi folosind din planimetrie măcar măsurările şi construcţiile concrete de laturi şi de unghiuri (aici merg desigur şi perimetrele). În afară de asta mă străduiesc să le dau elevilor noţiunile cât mai intuitive posibil, pentru a le accesibiliza cât mai bine material. Predarea prin problematizare ajută desigur mult în parcurgerea materiei. Nici eu nu ştiu cum aş putea elimina cu totul această perioadă de introducere a tuturor noţiunilor teoretice ale geometriei, dar încerc să o fac cât mai scurt şi cât mai accesibil elevilor de rând.
Legat de scurtarea acestui embargo asupra planimetriei, eu încerc să mă rezum doar la nivelului clasei a 6-a. Cu alte cuvinte, încerc să şi reduc perioada lipsită de calcule de arii doar la un an, nu la 1,5 ani. Concret, eu încerc la fiecare clasă a 6-a să parcurg în final, în acelaşi mod intuitiv şi capitolul despre studiul patrulaterelor (fără aplicaţii, cum ar fi de pildă linia mijlocie). Nu este nimic aberant în acest gest: până la sfârşitul anilor ’90 patrulaterele erau încă în clasa a 6-a. Eu mi-am dat inspecţia de gradul II, în primăvară la o clasă a 6-a, cu lecţia despre linia mijlocie în trapez. Avem şi o dovadă clară în acest sens, cunoscută tuturor: manualele alternative din 1997 au fost redactate după o programă conţinând patrulaterele în clasa a 6-a, iar altele nu au mai fost aprobate, aşa încât până în urmă cu doi ani, adică până la manualele actuale conform programei din 2017, manualele de clasele 6 şi 7 erau retipărite cu patrulaterele în clasa a 6-a, nu în a 7-a.
La ce mă ajută parcurgerea intuitivă, superficial-observaţionistă a patrulaterelor în finalul clasei a 6-a? Mă ajută atât în direcţia elevilor buni, cât şi în direcţia celor mediocri sau slabi. Eliberând presiunea asupra începutului clasei a 7-a, în primul rând eliberez un spaţiu temporal în care pot parcurge pentru elevii buni un spectru mai larg de demonstraţii geometrice, nu doar prin congruenţa triunghiurilor, ci printr-o diversitate mai largă de demonstraţii.
Cât despre ceilalţi elevi, cei mediocri dar mulţi, acestora le ofer posibilitatea ca destul de repede în clasa a 7-a să pornească cu calculele specifice teoremei lui Pitagora, ajungând în sfârşit să facă şi ei geometria căreia îi văd sensul, anume planimetria. Dar despre acest subiect vom discuta pendelete în următoarea parte a eseului de faţă. Constantin Titus Grigorovici
P.S. Vorbeam mai sus de toţi elevii care nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele (cei care cât de cât se preocupă, dar şi cei ai căror părinţi îi forţează spre rezultate la şcoală, că despre cei mulţi de la sate oricum nu se prea vorbeşte decât separat).
Teoria trebuie să o înveţe pe de rost pentru că li se cere la lucrări de control să redea diferite definiţii. Şi aici găsim – apropos – acea formă de bullying, de răutate teoretică de care am vorbit în în partea a doua a acestui eseu, elevii simţindu-se agresaţi constant de către profesorul de matematică. La exemplul şcolii de mai sus, elevii de clasa a 6-a primiseră să redea în diverse teste, de trei ori la rând, următoarea definiţie “Două drepte coplanare neintersectate se numesc drepte paralele”. Elevii nu înţelegeau despre ce este vorba, pentru că ei făceau geometrie doar în plan şi – pur şi simplu – cuvântul “coplanare” nu le putea intra în minte, producând blocaje în cascadă. Imediat ce scoteam acest cuvânt din definiţie, lucrurile se luminau şi totul era în ordine. Pentru elevul de rând (99,99% din populaţia şcolară) poţi vorbi cu sens despre anumite puncte din plan, doar atunci când ai trecut la geometria în spaţiu. Cuvântul “coplanar” face parte din vocabularul clasei a 8-a şi nu are ce căuta la clase mai mici în ora de matematică! Folosirea acestuia în clasa a 6-a reprezintă o dovadă clară de bullying intelectual din partea profesorilor la adresa elevilor.
Acest bullying a pornit însă official de mult, odată cu manualele de clasa a 6-a de la începutul anilor ’80, când se vorbea despre “punctele din plan” şi a început să se introducă noţiunea de “semiplan” pentru a se putea define riguros ce-i acela interiorul unui unghi (intersecţia dintre semiplanul determinat de dreapta suport a unei laturi a unghiului ce include cealaltă latură, cu semiplanul determinat de dreapta suport a celei de-a doua laturi ce include prima latură – cam aşa ceva era, mă scuzaţi că nu fug acum să caut un astfel de manual ca să dau această definiţie cu citat şi sursă). Noţiunea de interior al unghiului devenea astfel ceva de neînţeles, trăgând în groapa neînţelegerii şi definiţii ulterioare stupide, cum ar fi definiţia bisectoarei (o semidreaptă cu originea în vârful unghiului, ca formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente). Dar ambiţia de a introduce interiorul unghiului pe bază de semiplane, conform teoriei mulţimilor, a dus şi la alte tâmpenii, cea mai mare fiind eliminarea din material şcolară a unghiurilor cu o descidere mai mare de 180o (unghiuri supraobtuze), deci desigur şi a unui studiu minimal al patrulaterelor concave. Lucrurile au mers mai departe în cascadă: dacă elevul a reuşit cumva să înţeleagă ce înseamnă acela un “triunghi oarecare”, la patrulatere nu are voie să folosească noţiunea similar de “patrulater oarecare”, pentru că sunt interzise cele concave. Denumirea de “patrulater convex” este mult prea pretenţios-teoreticistă, făcând noi victim în strădania de înţelegere a demonstraţiei de către elevi.
Dar şi problemele de geometrie din clasa a 6-a sunt învăţate pe de rost, pentru că elevii nu le văd sensul. Ce au făcut în această situaţie diriguitorii matematicii şcolare româneşti? În urmă cu peste 20 de ani au scos patrulaterele din clasa a 6-a, mutându-le la începutul clasei a 7-a şi prelungind astfel embargoul de care am vorbit mai sus la adresa unei matematici mai accesibile elevului de rând. Dar şi în cadrul demonstraţiilor din semestrul al II-lea al clasei a 6-a, profesorii se concentrează mai ales pe “cele mai importante”, adică pe demonstraţiile prin metoda triunghiurilor congruente. Absolutizarea acestei metode, care este una destul de abstract pentru mintea de începător a elevului de a 6-a, această absolutizare duce la toceală, elevii ajungând să simtă nevoia a o învăţa pe de rost.
De pildă, dacă dai unui elev obişnuit la începutul clasei a 7-a o problemă cu unghiuri, el ţi-o va “rezolva” oricum cu metoda triunghiurilor congruente (că merge, că nu merge), arătându-ţi de fapt că el nu a înţeles nimic din demonstraţiile clasei a 6-a. Preferata mea în acest sens este următoarea problemă (ca să vă lămuresc ce vreau să spun): Considerăm triunghiul oarecare ABC în care bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D şi trasăm prin D paralela DE BC, E [AB]. Demonstraţi că [BE] [ED]. Păi, să vedeţi câte demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor am văzut dea lungul anilor la această problemă! Te doare capul!
Din păcate, o astfel de abordare a materiei, o învăţare pe de rost atât a teoriei, cât şi a problemelor, ani de-a rândul, chiar decenii întregi, nu are cum să nu lase urme de nedorit în gândirea logică a poporului, chiar şi a celor ce se pretend culţi. Oamenii ajung să evolueze şi să studieze orice într-un mod total paralel cu matematica (adică neatingându-se cu adevărat cu gândirea din matematică), eludând matematica şi rămânând fără o gândire logică în adevăratul sens al cuvântului. Mulţi români “mimează” gândirea şi argumentaţia logică, pentru că de fapt nu au participat cu sufletul şi cu mintea la orele singurei materii care le putea forma gândirea cauzală, ei mulţumindu-se să înveţe elementele lecţiilor pe de rost (să nu-mi spuneţi despre material numită “logică” din liceu, pentru că aceasta cu greu poate fi înţeleasă că ar putea educa la elevi o gândire logică). Dar nu foştii elevi sunt de vină pentru această evoluţie total paralelă cu matematica, ci mai degrabă abordarea îngâmfată a matematicii (atât din punct de vedere a programei, cât şi a profesorilor), care se prezintă exclusivist şi repulsiv în faţa marii majorităţi a elevilor. Există prea multe exemple în acest sens, dar prefer să nu intru într-o astfel de discuţie, aşa că mă opresc aici.