Trei probleme de geometrie în spaţiu (de “plictiseală” la vreme de pandemie)

În contextul modificării programei de EN şi a de la sine înţelesei căutări de material de lucru în materia rămasă pentru examen, am căutat “în arhivă” (prin amintiri sau prin cutii) diverse probleme care mi-au reţinut atenţia la vremea lor, probleme care se încadrează sau măcar se apropie de materia actuală pentru examen din geometria clasei a 8-a, implicând şi aplicaţii algebrice remarcabile. Astfel, s-au strâns trei probleme cu grad mare de fascinaţie. Înainte de a le prezenta precizez că toate cele trei probleme din acest material pot fi prezentate şi în paralelipiped dreptunghic.

1) Problema cu MN = 1. Eu “duc” această problemă cu mine de aproape 25 de ani (ce mult îmi place expresia “de un sfert de secol”!), adaptată însă la forma geometriei plane, şi asta din motive pe care le veţi înţelege uşor, anume că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de o neaşteptată, fascinantă şi nemaiîntâlnită situaţie legată de materia clasei a 7-a (teorema catetei) şi un factor comun atipic. Iată, pentru început, problema originală de clasa a 8-a:

Fie ABCD un dreptunghi în care AB=3 şi BC=2. Pe planul dreptunghiului se ridică, în punctul D o perpendiculară pe care se ia un punct P. Se consideră de asemenea M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe dreapta PB, despre care se ştie că MN = 1. Să se calculeze lungimea segmentului (PB).

(problema este preluată cu schimbări minore de redactare din Supliment editat de revista Tribuna Învăţământului, Admiterea în liceu şi şcoala profesională, volumul II 1995, pag 22, la Variante de subiecte posibile, Testul I, autorii pentru partea de matematică au fost prof. Ghiciu N. şi Ghiciu G.). Precizez că această problemă nu are unităţi de măsură nici în original.

După cum spuneam mai sus, ţinând cont de faptul că “mişcarea” de bază a acestei probleme ţine de materia clasei a 7-a, eu am adaptat problema la geometria plană. În forma aleasă de mine am integrat şi acea teoremă care cumva s-a pierdut din materia din şcolile româneşti, anume teorema care susţine că un triunghi înscris într-un semicerc este dreptunghic (eu prezint această teoremă la clasă sub titlul de Cercul lui Thales, după autorul ei, aşa cum este aceasta denumită în spaţiul de cultură german, inclusiv în Ungaria vecină; nu mi-am propus aici o nouă analiză a acestei “pierderi pe drum” a unei teoreme, fie ea şi de fapt se pare prima teoremă demonstrată de un om). Iată varianta de care vorbesc, publicată printre altele şi în culegerea scrisă în urmă cu cca. 20 ani (Grigorovici C.Titus, Grigorovici Mariana, De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, Humanitas Educaţional, 2006, pag.53, problema 55)

În cercul de diametru [BD] se înscrie patrulaterul ABCD cu şi AB=3 şi BC=2. Fie M şi N picioarele perpendicularelor din A respectiv C pe diagonala [BD]. Calculaţi diametrul cercului ştiind că MN = 1.

2) Problema cu cele trei unghiuri de bază (30o, 45o, 60o) în spaţiu. La această problemă vă prezint de fapt o reconstituire a unei probleme întâlnită în urmă cu mulţi ani (să tot fie către 20 de ani), pe care am neglijat să o notez şi am pierdut-o efectiv, păstrând în amintire doar ideea că există o astfel de situaţie. Într-o primă încercare de postare am constatat o greşeală greu de corectat. Iată în continuare o variantă refăcută (într-o a doua încercre) a acestei probleme:

Fie ABC un triunghi dreptunghic în unghiul B cu AB = a şi AC = 3a, în care notăm cu M şi N mijloacele catetelor [BC] respectiv [AB]. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AP, de lungime AP=a. Determinaţi măsurile următoarelor unghiuri: a) unghiul dintre dreptele PC şi MN; b) unghiul dintre dreapta PM şi planul (ABC); c) unghiul diedru dintre planele (PBC) şi (ABC).

Precizez că cele trei unghiuri au ca măsuri cele trei valori uzuale în trigonometria gimnazială – 30o, 45o, 60o –  în asta constând “frumuseţea” acestei probleme. Sigur că sunt conştient de faptul că unghiul diedru nu este în programa specială de EN 2020, dar problema ca întreg este frumoasă şi merită dată elevilor, atât acum, cât şi pe viitor. Pentru a nu creea disonanţă cu prima, nu am pus unităţi de măsură nici la această a doua problemă.

Elevilor mai răsăriţi le putem preciza şi faptul că PABC este un tetraedru neregulat cu toate feţele triunghiuri dreptunghice. Acest corp nu este în materia oficială , dar poate fi inclus drept aplicaţie a teoremei celor trei perpendiculare. Pe lângă demonstrarea  faptului că toate feţele sunt dreptunghice, elevilor la putem cere şi calculul ariei totale a acestui corp.

3) “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune pe un tetraedru tridreptunghic. Este vorba de următoarea proprietate remarcabilă, de-a dreptul surprinzătoare:

Fie un tetraedru tridreptunghic, adică un tetraedru cu trei feţe triunghiuri dreptunghice, având toate trei unghiul drept în acelaşi vârf (evident că a patra faţă nu este triunghi dreptunghic). Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei feţe dreptunghice şi cu D aria celei de-a patra feţe (cea nedreptunghică). Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

Se înţelege acum de ce am botezat-o “Teorema lui Pitagora” în a patra dimensiune: aria la pătrat fiind de fapt o mărime având unitate de lungime la puterea a 4-a. Revenind la tetraedrul tridreptunghic, putem înlocui această exprimare cu una mai uzuală în ultima vreme, ceva de genul: fie triunghiul MNP dreptunghic în P; pe planul acestuia ridicăm perpendiculara PR etc.

Eu am aflat despre această proprietate de la colegul Kjell Sammuelson din Suedia, dar am găsit ulterior problema într-una dintre lucrările lui George Pólya (Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag.50-53). Revenind la problemă, dacă notăm cele trei dimensiuni perpendiculare, de pildă cu x, y, z, atunci este evident că ariile A, B şi C se calculează uşor, dar pentru aria D se preconizează o muncă mai hotărâtă. Astfel, avem de ales între un parcurs obişnuit, incluzând şi teorema celor trei perpendiculare, sau un calcul algebric masiv pe baza formulei lui Heron. Sigur, această scurtă indicaţie nu exclude existenţa unor alte rezolvări, poate mai accesibile sau mai frumoase.

Rezolvarea prin formula lui Heron se potriveşte însă “ca o mănuşă” actualei situaţii în care lecţia cu expresii liniare (polinomiale sau cum le-o mai fi zicând, pentru că în programa de examen nu sunt denumite nicicum; în programa oficială sunt numite operaţii cu numere reale reprezentate prin litere), această lecţie a ajuns ciudat “în faţă”, după eliminarea funcţiilor şi a fracţiilor algebrice (pardon, a rapoartelor de numere reale reprezentate prin litere). Desigur că cei care au avut curajul să aleagă această cale trebuie să se mobilizeze intens, dar spre final vor vedea că a meritat efortul (rezolvarea are zone de calcul algebric alambicat, ce s-ar potrivi la liceu, dar cum actualmente nu avem geometrie sintetică în liceu, asta ar fi ultima  ocazie clară).

Tot legat de această rezolvare, este evident că problema poate fi dată elevilor şi într-un format mai “domestic”, respectiv cu dimensiuni clare ale figurii (dificultatea problemei păstrându-se). De pildă, putem alege următoarea variantă (din nou tot fără unităţi de măsură, pentru conformitate cu prima problemă):

Fie triunghiul MNP dreptunghic în P, cu PM= şi PN=. Pe planul acestui triunghi ridicăm perpendiculara PR=. Notăm cu A, B respectiv C ariile celor trei triunghiuri dreptunghice MNP, MPR şi NPR, iar cu D aria triunghiului MNR. Demonstraţi că A2 + B2 + C2 = D2.

4) Nu vă speriaţi, nu am greşit, rămân doar la trei probleme, dar am de data asta şi o întrebare de lansat şi aş vrea să profit de ocazie, dacă tot veni vorba de recuperarea de probleme pierdute. Aşadar, tot din categoria problemelor pierdute în negura anilor am şi o situaţie pe care nu reuşesc să o reconstitui (ca să recunosc, nici nu m-am preocupat tare mult să-i vin de hac). Este vorba de problema “tripletelor” pitagoreice în spaţiu, adică a unor situaţii cu numere întregi atât pentru laturile unui paralelipipedul dreptunghic cât şi pentru diagonala acestuia. Cu alte cuvinte, mă interesează cvadruple de numere naturale pentru care a2 + b2 + c2 = d2. Am avut în anii ’90 un astfel de exemplu, dar nu l-am notat clar undeva şi l-am pierdut. Desigur că mă refer la un exemplu care să nu fie intermediat de cazuri de triplete pitagoreice plane, cum ar fi 32 + 42 = 52, iar apoi 52 + 122 = 132, de unde 32 + 42 + 122 = 132. În exemplul pierdut (cu dimensiuni întregi) toate diagonalele feţelor paralelipipedului erau numere iraţionale, dar diagonala interioară era număr întreg.

Spor la lucru! Cu mulţumiri anticipate pentru ultima întrebare, CTG

P.S. Am precizat că prima problemă, cea cu MN = 1, este dintr-o variantă de subiecte posibile publicată în 1995 pentru examenul din finalul clasei a 8-a din 1996, într-un supliment al revistei Tribuna învăţământului (un fel de ziar ce se găsea de cumpărat la vremea respectivă la chioşcuri; ţin minte că erau tipărite pe o hârtie de aşa de proastă calitate, încât mă duceam la început, după ce le cumpăram, şi îmi comandam o copie xeroxată care ţinea mult mai bine la folosinţa zilnică). Problema respectivă este ultima din această variantă propusă, fiind problema de geometrie în spaţiu, valorând 1,5p din totalul notei. Mă gândeam că poate există doritori care ar fi curioşi să afle şi problema din geometria plană propusă de autori în acel test (problema premergătoare, tot de 1,5p, acestea două fiind singurele elemente de geometrie din acea variantă de test). Iată această problemă:

Pe latura [BC] a triunghiului ABC se consideră punctele D şi E astfel încât (BD) ≡ (DE) ≡ (EC). Dacă M şi N sunt intersecţiile medianelor (BB’) cu (AD), respectiv (CC’) cu (AE), să se demonstreze că MN || BC şi MN = BC/4.

One thought on “Trei probleme de geometrie în spaţiu (de “plictiseală” la vreme de pandemie)”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *