Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (II)

În eseul de faţă continuu seria de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, cu privire spre a VII-a, pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Voi continua acest demers pe baza experienţei personale din ultimii 20 de ani de predare în sensul acestei recomandări, apelând însă cât mai des la ajutorul profesorului Eugen Rusu, într-o încercare de colaborare peste ani, pe baza unor citate din lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Astfel, eseul de faţă a devenit totodată şi o ocazie de “prezentare de carte” a acestei lucrări care, conform titlului pare o carte lejeră de istoria matematicii. Totuşi, în realitate – mai mult printre rânduri – cartea este un profund curs de metodică a predării matematicii, dar şi o camuflată critică la adresa viitoarelor schimbări ce se plănuiau deja de la sfârşitul anilor ’60, schimbări ce au fost impuse în matematica şcolară gimnazială odată cu manualele de la începutul anilor ’80. De precizat că Eugen Rusu este autorul manualelor de aritmetică după care a învăţat generaţia mea în clasele V-VI (sfârşitul anilor ’70).

Privită în linii mari, predarea matematicii şcolare este supusă unor trei mari obiective: 1) cerinţele de rigurozitate specifice ştiinţei (R, de la rigurozitate); 2) înclinaţia spre performanţă a rezolvitorilor (să zicem O, de la olimpici); 3) aspectele psihologice, adică posibilităţile şi nevoile fiecărei vârste şcolare (să le notăm cu P, de la psihologie). Matematica şcolară ar trebui să se situeze într-un echilibru natural undeva în zona centrală în interiorul “triunghiului” determinat de cele trei mari obiective.

Cercetând programele, manualele şi nivelul exerciţiilor şi al problemelor practicat în anii ’60-’70, inclusiv a problemelor din Gazeta Matematică, se poate observa acest echilibru plăcut şi natural. Ca urmare, privind în sensul geometriei şcolare, toţi cei de peste 50 de ani, cei care au învăţat matematica gimnazială înaintea reformei din 1980, vorbesc în sens pozitiv despre geometrie: “cu geometria din şcoală totul era bine, ne plăcea, nu era nici o problemă”.

Din păcate, suntem spre finalul celui de-al patrulea deceniu de orientare a matematicii şcolare în majoritatea situaţiilor spre “latura [RO]” a acestui “triunghi”, cu neglijarea totală a aspectelor reprezentate de “vârful P”. Este uşor de înţeles că această orientare stă la baza faptului că la persoanele mai tinere de 50 de ani găseşti uşor indivizi care “n-au prea înţeles geometria”. Probabil că schimbarea respectivă (reforma “uitată”din 1980) se discuta de mult în cercurile influente, aşa încât Eugen Rusu a lăsat în lucrările sale multe avertismente că noua linie nu este bună, nu este sănătoasă, arătând principiile pedagogice pentru care linia de orientare a predării nu trebuia schimbată. În cartea sus-amintită, începând chiar din primul capitol, profesorul Rusu “impune” astfel un criteriu esenţial (tot textul scris în continuare italic, adică înclinat, este compus din citate din această lucrare).

Sînt şi astăzi elevi – în clasele mici – interesaţi şi absorbiţi exclusiv de cum se face, fără o curiozitate activă pentru de ce se face aşa. Cînd învaţă de pildă regula de calcul a rădăcinii pătrate (coborîm grupa următoare, dublăm rezultatul, vedem de cîte ori etc.), sînt foarte satisfăcuţi aplicînd-o şi satisfacţia se vede în special cînd face proba şi exclamă: “mi-a ieşit!” La problema de a justifica raţional acest procedeu, mai puţini elevi – repetăm, dintre cei mici – manifestă curiozitate; de vreme ce ştiu cum se face, nu-i destul? – aceasta pare a fi întrebarea ce o citeşti pe figura lor, puţin mirată, puţin decepţionată. Să nu surprindă această apropiere între un fenomen pedagogic şi unul istoric; şi în matematică există un fel de “ontogenia repetă filogenia”, în înţelesul: evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii. (pag. 4)

Dacă în acest moment lucrurile încă nu sunt clare, în sensul că nu înţelegem “unde bate” Eugen Rusu, mai încolo în carte, dânsul începe să spună lucrurilor “pe nume”, atunci când abordează subiectul despre Suma unghiurilor în triunghi, astfel:

Ghicesc reacţia cititorului în faţa acestui titlu: Iar? Cine nu ştie? 180 de grade. Ce s-ar mai putea discuta despre acest subiect? Subiectul rămîne deschis în două direcţii: din punct de vedere matematic şi psihologic.(…) Aici privim chestiunea din punct de vedere psihologic şi anume nu în etapa de aprofundare a ei, ci în etapa de descoperire.

În primul rînd, să facem efortul de a ne da seama că enunţul însuşi nu este banal. Cînd am predat o dată în clasa a şasea această teoremă, am început cu enunţul: în orice triunghi suma unghiurilor este 180o. Un puşti vioi, care era obişnuit să privească lucrurile critic şi să-şi mărturiseasă sincer îndoielile, s-a arătat pe dată foarte nedumerit. – Iertaţi-mă, nu-mi vine a crede. Într-un triunghi echilateral, parcă da. Dar dacă e aşa? – şi el desenă un triunghi obtuzunghic; dar la ăsta? – şi desenă un alt triunghi, unul scalen, privind figurile lung şi neîncrezător.

Cum a ajuns cineva să se întrebe cît este suma unghiurilor unui triunghi – întrebare care presupune bănuiala că ea este aceeaşi în toate triunghiurile? Să privim în jurul nostru sau mai bine în “jurul” vechilor greci. În natură (copaci, stînci, ţărmul mării etc.) nu întîlnim forme geometrice; întîlnim astfel de forme printre obiectele construite de om. Cea mai răspîndită, cea mai familiară deci, este desigur dreptunghiul. Nimeni nu s-a îndoit înainte de apariţia geometriei că dreptunghiul are 4 unghiuri drepte (noţiunea de unghi drept fiind naturală: o dreaptă care nu e înclinată nici într-o parte nici în cealaltă faţă de o alta).

Triunghiul este o formă mult mai puţin răspîndită. Tales va fi văzut această formă pe feţele piramidelor din Egipt, pe unele pietre de pavaj ale templelor – va fi văzut mai ales triunghiuri echilaterale sau isoscele. Triunghiul dreptunghic va fi apărut ca o jumătate dintr-un dreptunghi (formată prin ducerea unei diagonale). Egalitatea celor două triunghiuri astfel formate îi va fi apărut ca de la sine înţeleasă; de vreme ce suma unghiurilor unui dreptunghi este de 4 unghiuri drepte, la unul din triunghiurile dreptunghice formate va fi de 2 unghiuri drepte. (…)

Din faptul că suma unghiurilor la un triunghi dreptunghic este de 2 unghiuri drepte, se poate deduce propoziţia pentru un triunghi oarecare; îi ducem o înălţime (de pildă triunghiul ABC cu înălţimea interioară AD), prin care se formează două triunghiuri dreptunghice şi din suma unghiurilor lor (4 u. dr.), trebuie să scădem cele două unghiuri din D (2 u. dr.). (pag. 13-15)

Din anii ’90, de când am citit această carte, mă tot gândesc la pasajul de mai sus. Este logic, este chiar foarte logic, dar să foloseşti unghiurile dreptunghiului la demonstrarea sumei unghiurilor într-un triunghi oarecare, asta-i prea de tot. Cred că nici prof. Univ. Eugen Rusu nu se gândea să ne sugereze aşa ceva. Dar atunci ce a vrut cu acest pasaj? Părerea mea este că trebuie să privim împreună ultimele două pasaje citate, cel cu evoluţia matematică a unui individ este, pe scurt, asemănătoare cu evoluţia istorică a matematicii, şi respectiv cel cu Suma unghiurilor în triunghi folosind unghiurile drepte ale dreptunghiului. Aceste două pasaje constituie împreună un imbold de a privi cu respect şi empatie, din punct de vedere psihologic, elevul din clasele mici, învăţăcel începător aflat la primii paşi în descifrarea tainelor geometriei.

Să demonstrăm suma unghiurilor în triunghi folosind dreptunghiul ar însemna să ne batem joc de convingerile noastre de profesori, dar şi să ne propunem să demonstrăm la lecţia despre dreptunghi toate proprietăţile sale evidente, doar pentru că le spune teoreme, şi aceasta este o agresiune la adresa gândirii de începător în ale demonstraţiei geometrice la elevi. Chiar Eugen Rusu revine (pag. 19): În etapa de dezvoltare a geometriei, spiritul şi atenţia cercetătorilor este îndreptată într-o altă direcţie, nu către una critică ci către una constructivă: descoperirea proprietăţilor geometrice. Prin analogie, în prima etapă de cunoaştere a geometriei, atenţia elevilor trebuie îndreptată spre descoperirea proprietăţilor geometrice deosebite, nu spre demonstrarea tuturor proprietăţilor evidente, observabile intuitiv de către orice copil. Peste două pagini Eugen Rusu completează: Spiritul euristic este o trăsătură specifică omului. (pag. 21) Da, iar acest spirit euristic trebuie trezit cu respect şi dezvoltat cu blândeţe în mintea elevului aflat la început de drum. Nu forţarea demonstrării unor cerinţe evidente, cărora elevii nu le văd sensul, dar importante din punct de vedere al ordinii euclidiene a geometriei, trebuie să fie obiectivul profesorului de gimnaziu, ci atragerea elevilor în demonstrarea unor afirmaţii cât mai surprinzătoare, de necrezut pentru mintea superficială, începătoare, novice în ale geometriei. Cu cât proprietatea de demonstrat este mai interesantă, mai surprinzătoare, mai emoţionantă, cu atât surprinderea ei şi demonstraţia sunt mai pasionante. (pag. 39)

Citind din cartea lui Eugen Rusu am fost inspirat spre următoarele gânduri (notate pe marginea paginii, la fel ca pe vremuri Fermat): abordând geometria de început în format riguros euclidian (axiome, demonstrarea teoremelor cu concluzii evidente etc.), profesorii de matematică îi alungă pe elevii de mijloc, cei indecişi între ştiinţele reale şi cele umane, îi împing în braţele umaniştilor. În loc să-i atragă, să se lupte pentru câştigarea lor de partea matematicii, îi alungă cât de departe, “cât văd cu ochii”. Mare păcat!

Pe de altă parte – ca să revenim la gânduri mai pozitive – pe aceeaşi pagină am mai notat un gând: Eugen Rusu vorbeşte în capitolul II al acestei cărţi despre Tales, dar nu despre Tales cel din “teorema lui Tales”, ci despre Tales, primul om care a făcut demonstraţii în matematică (capitolul II se numeşte Matematica – Artă; Geometria preeuclidiană 600-300 î.e.n.). Gândul de a explica un fenomen pe baza unor cauze ce nu implică zeii, gând necesar în demonstraţia matematică, acest gând a apărut prima dată la oameni chiar în cetatea Milet şi din acest motiv este bine să-l denumim Tales din Milet. Două gânduri recurg de aici. În primul rând, faptul că este absolut corectă strategia lui Eugen Rusu de a-l prezenta pe Tales ca prototip de gândire pentru elevul începător, elev ce ajunge să facă primii paşi în demonstraţii. În al doilea rând, este evident că demonstraţia matematică a apărut mai întâi sub forma demonstraţiei în geometrie, fiind doar mai târziu urmată de demonstraţiile din domeniul numeric (vezi Elementele lui Euclid). Rămâne ca ecou al acestei remarci o întrebare: la ce ne poate ajuta această observaţie secundară într-o structurare cât mai sănătoasă a materiei şcolare de gimnaziu?

În altă ordine de idei, printre rândurile de până aici ale acestui eseu se poate citi o observaţie dureroasă la adresa programei gimnaziale de matematică, atât cea veche dar încă valabilă, cât şi cea nouă ce va intra din toamna lui 2018 în clasa a VI-a. Conform tuturor celor scrise în acest eseu (atât partea I, cât şi partea a II-a), locul capitolului cuprinzând primul studiu al patrulaterelor este în clasa a VI-a, în continuarea capitolului despre triunghiuri, adică în zona de studiu predominant intuitiv al geometriei.

Conform aspectelor aduse în faţa noastră în acest eseu, abordând o analiză intuitivă a proprietăţilor cu grad mare de evidenţă din capitolul despre patrulatere, observăm că majoritatea nu au nevoie de demonstraţii în percepţia elevului începător în ale geometriei. În afară de suma unghiurilor în patrulater, nu se prea găsesc proprietăţi neevidente de demonstrat. Mai peste tot avem situaţii de simetrii axiale sau de simetrii centrale sau eventual alte situaţii lămurite anterior prin figuri evident vizualizabile (de pildă situaţia cazului unghiurilor alăturate unei laturi oblice în trapez, ce sunt evident suplementare pe baza repetării pe jumătate de trapez a figurii tip cu două unghiuri interne de aceeaşi parte a secantei între două drepte paralele). În acest stadiu iniţial de cunoaştere a patrulaterelor este arhi-suficientă o contabilizare rapidă a proprietăţilor observate intuitiv, urmată de câteva puneri de probleme cu tâlc. De pildă: un patrulater cu două laturi opuse paralele şi congruente este paralelogram; un patrulater cu două laturi opuse paralele iar celelalte două laturi opuse congruente este şi acesta neapărat paralelogram?

O astfel de aranjare a capitolelor, ca a fost valabilă până prin 1998, ar avea în contextul actual câteva avantaje substanţiale (din câte mai ţin minte, cam atunci au fost mutate patrulaterele din clasa a VI-a în a VII-a, rămânând însă până acum în manualele alternative care nu s-au mai rearanjat). Să analizăm două dintre aceste avantaje. În primul rând ar lăsa loc la începutul clasei a VII-a pentru o serioasă şi generală preocupare asupra demonstraţiei geometrice aplicată în probleme. În această parte elevii – mai evoluaţi cu câteva luni spre gândirea analitic-cauzală – ar avea ocazia să fixeze şi să aprofundeze demonstraţiile cu unghiuri, cele cu segmente şi cele cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor, aplicate după nivele de complexitate, atât în triunghiuri, cât şi în patrulatere. Cei care s-au preocupat ştiu că există foarte multe probleme din patrulatere având rezolvări similare cu unele din triunghiuri. Or, exact aici ar fi avantajul mare: când elevul studiază şi înţelege o problemă cu o anumită succesiune de paşi, ar putea să primească în continuare măcar una, două cu demonstraţii similare, dar în contexte diferite, iar schimbarea contextului de la triunghi la patrulater şi înapoi lărgeşte şi stabilizează foarte mult orizontul de gândire. În al doilea rând, o astfel de mutare ar umple cu o materie “mai cu sens” clasa a VI-a. Actualmente parcurgerea a foarte multe probleme doar cu metoda congruenţei triunghiurilor fixează în mentalul elevilor absolvenţi de a VI-a ideea că această metodă reprezintă unica formă de demonstraţie geometrică.

Cele discutate în ultima parte pot fi sintetizate după cum urmează: dintre cele două capitole de bază despre figuri geometrice, triunghiurile respectiv patrulaterele, cele mai potrivite unei cunoaşteri intuitive sunt patrulaterele. Dimpotrivă, cunoştiinţele cele mai provocatoare la adresa gândirii începătoare a elevului sunt aglomerate în capitolul despre triunghiuri (vezi şi lista orientativă din prima parte a acestui eseu: 7 la 2 în confruntarea dintre cele două capitole). Astfel, păstrarea accentului preocupării clasei a VI-a doar pe triunghiuri, cu “exilarea” în continuare a figurilor cele mai intuitive, a patrulaterelor în clasa a VII-a contravine flagrant cu principiul impus în noua programă, ca la clasele mici (adică V-VI) să se practice o abordare intuitivă, în care caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

CTG 29.01.2018 Straja, Lupeni, HD.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *