Rezultatul 1.000.000.000 (din ciclul Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică)

În toamna anului 2015 am avut postări pe tema Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică, înţelegând prin acest titlu însoţirea elevului în trecerea sa din stadiul gândirii operaţionale concrete spre stadiul gândirii operaţionale formale, adică de la gândirea specifică copiilor de ciclu primar la stadiul adult de gândire. Conform lui Jean Piaget aceasta se petrece undeva în jurul vârstei de 11 ani.

Desigur că există excepţii în ambele sensuri. De pildă, la unii copii această trecere apare mai rapid, aceştia fiind pur şi simplu mai precoce. Totuşi, trebuie să fim foarte atenţi în goana noastră sau a părinţilor după cât mai mulţi “mici Einsteini”: nu ar trebui confundată orice aparentă precocitate cu situaţii în care anumiţi copii stochează informaţii de adult şi folosesc o terminologie corespunzătoare total nepotrivită vârstei, dobândită eventual chiar printr-o simplă învăţare pe de rost. Iată două exemple în cascadă: copilul care vine din grădiniţă şi ştie să numere pornind de la zero, iar apoi eventual ştie să strige şi la sfârşitul numărării: “infinit”. Urmărind de-a lungul anilor astfel de copii în dezvoltarea lor observăm că, de obicei aceste elemente de cunoaştere sunt destul de superficiale, o “spumă” de poleială aparentă, care însă cu timpul este abandonată, copilul dovedindu-se mai târziu absolut normal.

Pe de altă parte, există desigur şi copii care fac această trecere mai greu sau mai târziu, fie pentru că aşa le este felul, fie pentru că le este defectată dezvoltarea naturală din diferite motive, cum ar fi de pildă datorită folosirii diferitelor ecrane (TV, calculatoare, deşteptofoane, toate generatoare de ADHD).

Oricum, această trecere nu are loc la un copil brusc şi în nici un caz nu are loc la fel sau în acelaşi moment la toţi elevii dintr-o clasă, aşa încât o abordare cu respect faţă de fiinţa copilului ne-ar obliga să lucrăm cu multă răbdare şi tact pedagogic la subiectele care fac trecerea între cele două forme de gândire.

Subiectul principal asupra căruia am atenţionat accentuat în acest sens este introducerea operaţiei de putere din clasa a V-a, anume faptul că această temă are două etape distincte, câte una în fiecare din cele două forme de gândire: etapa de respectare a ordinii operaţiilor, corespunzătoare stadiului de gândire operaţională concretă, iar apoi etapa de încălcare a ordinii operaţiilor pe baza formulelor de operaţii cu puteri, corespunzătoare stadiului de gândire operaţională formală.

De obicei prima parte este neglijată, trecerea la a doua parte făcându-se foarte rapid, din prima oră, lăsându-i pe mare parte dintre elevi într-o totală “ceaţă” legat de această nouă operaţie. În postarea http://pentagonia.ro/gandirea-aritmetica-vs-gandirea-algebrica/ din sept. 2015 ofeream un material de bază din prima categorie de exerciţii, recomandând ca lecţia să rămână un pic în această zonă elementară înainte de a merge mai departe în zona de gândire algebrică. Prin “zonă elementară” înţelegeam atunci introducerea operaţiei de putere, înţelegerea şi fixarea acesteia (elevii să nu aibă tentaţia de a zice că 23 = 6 etc.), cât şi înţelegerea cazurilor particulare  cu 1 şi cu 0 (1n = 1, n1 = n, 0n = 0, dar n0 = 1 şi nu n0 = 0).

Între timp, din 2015 încoace au apărut în diferite culegeri sau manuale noi seturi cu exerciţii conţinând toate cele cinci operaţii, pur şi simplu aşa numitele “exerciţii de ordinea operaţiilor”. Stabilizarea acestui nivel se face cel mai bine pe exerciţii de calcul în care nou învăţata operaţie de putere se alătură celor patru operaţii de bază cunoscute deja din clasele primare. Ordinea operaţiilor este un subiect cunoscut, iar apariţia unui nou nivel de prioritate este foarte uşor primit de către toţi elevii, acesta trebuind doar exersat. În cadrul exerciţiilor cu toate cele cinci operaţii amestecate – cu sau fără paranteze – exersarea extinderii ordinii operaţiilor se face foarte bine alături de mai sus prezentatele cunoştinţe din zona elementară a operaţiei de putere, iar asta funcţionează foarte bine la majoritatea elevilor pentru că aceştia sunt setaţi din clasele mici să calculeze.

Acestor gânduri onorat cititorul le poate contra-argumenta cu următoarea întrebare: bine, bine, dar cu elevii buni ce facem, că se plictisesc “de moarte” la aceste “banalităţi” şi, după cum se ştie, subsolicitarea este la fel de dăunătoare ca şi suprasolicitarea. Ce facem deci cu elevii buni în acea perioadă scurtă, de cel mult o săptămână, în care îi lăsăm să exerseze puterea alături de celelalte operaţii în stadiul operaţional concret? Un răspuns posibil vine de la următoarea “problemă” asupra căreia ne atrage atenţia profesorul Vasile Bobanciu în lucrarea sa Caleidoscop matematic, Editura Niculescu, ed. a III-a, 2005, la pagina 71 (cu răspunsuri la pagina 100).

Astfel, aflăm că în anul 1907 profesorul Ion Ionescu a propus cititorilor Gazetei Matematice să scrie un miliard utilizând toate cele zece cifre o singură dată. În lunile următoare s-au primit mai multe soluţii, ce au fost prezentate în anul 1908 în Gazeta Matematică. Preluând ideea, eu le propun elevilor de clasa a V-a doar să le verifice pe rând pe fiecare dintre aceste scrieri, adică să observe dacă sunt scrise într-adevăr cu fiecare cifră folosită măcar o dată şi doar o singură dată, iar apoi să calculeze dacă acestea dau rezultatul 1.000.000.000:

(2 + 3 + 4 + 7 + 9) ∙ 5 ∙ 8 ∙ 106

(897 + 106 + 4 – 2 – 5)3

23 ∙ 6 –  9 ∙ 58 + 7 + 4 – 10

23 ∙ 4 ∙ 59 + 6 – 7 ∙ 8 ∙ 10

29 ∙ (8 + 7 – 10)63 – 54

26 ∙ 57 ∙ [8 ∙ (1 + 9) + 4 ∙ 30]

5 ∙ 20 ∙ (1 + 3 ∙ 9 – 4 – 6 – 8)7

(897 + 106 + 5 – 2 ∙ 4)3

(64 – 59)8 ∙ 20 ∙ (3 – 1)7

(510 + 4 – 2) ∙ (73 – 68)9

[2 ∙ 10 ∙ (4 ∙ 5 + 6 + 7 + 8 + 9)]3

(40 : 8 – 3)(62 + 1) : 7 ∙ 59

Unele sunt mai uşoare, altele mai grele (pentru elevul mediu în sem. I din clasa a V-a); la unele dintre acestea anumiţi elevi reuşesc să găsească singuri faptul că zero-urile de la sfârşit sunt generate de produse de 2 ∙ 5, situaţii de genul 26 ∙ 57 generând din start şase zero-uri la sfârşitul rezultatului. Pe de altă parte, în acestea apar şi situaţii de tipul 103 ∙ 106 = 109 pentru obţinerea unui miliard. În acest sens, respectivele exerciţii devin o bază bună pentru predarea prin problematizare în vederea “descoperirii” formulelor de operaţii cu puteri (în orele următoare). Anexez o variantă pdf a acestor exerciţii. CTG

Rezult 1000 000 000.pdf

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *