Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc – (1)

De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect pe care de mult îmi doream să-l tratez. Îi mulţumesc pe această cale colegului (semnat Alex D.) pentru că „mi-a ridicat cum nu se putea mai bine le fileu” acest subiect. Iată întrebarea cu pricina:

Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? Întrebarea apare în urma postării  părţii a 6-a a eseului despre folosirea intuiţiei în aranjarea materiei. Iată, pentru reamintire în următoarele două aliniate pasajul la care se referă probabil colegul.

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul (…).

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului. (…)

Primul lucru care îmi vine în minte legat de acest subiect este o întrebare al cărei răspuns îi dă un iz de banc, întrebare cu care-i surprind pe colegi de aproape 20 de ani: ce măsurăm în primul rând cu gradele? Unghiurile sau arcele de cerc? După părerea mea răspunsul este cât se poate de simplu şi totuşi surprinzător: Nici una, nici cealaltă! La origine, gradele măsoară rotaţia!

Permiteţi-mi să argumentez acest răspuns. Fizica se ocupă cu două tipuri de mişcare: mişcarea rectilinie şi rotaţia. Exprimat în modul cel mai simplu, orice mişcare este de obicei compunerea celor două tipuri. Cu unităţile de lungime măsurăm iniţial distanţa parcursă de un punct material ce se deplasează rectiliniu (apoi o adaptăm noi şi la mişcarea pe alte traiectorii decât rectilinii). În mod corespunzător ne trebuie şi o unitate de măsură pentru rotaţie (iniţial cea plană), iar aceasta este în şcoala noastră gradul sexazecimal.

Cât este de mare gradul? Prin convenţie o rotaţie completă a fost împărţită în 360 de părţi, acest număr fiind ales ca aproximarea cea mai bună din punct de vedere al calculelor pentru numărul de zile dintr-un an, aproximare venită din vechime. Deci, o rotaţie completă are 360o. O jumătate de rotaţie are 180o iar un sfert de rotaţie 90o. Bine, veţi spune, şi dintre unghi şi arc, care are întâietate? Părerea mea este că nici unul nu este mai important. Diferă doar ordinea logică în care sunt folosite odată cu introducerea elementelor de materie şi parcurgerea claselor de studiu.

Astfel, paradigma în care actualmente „suntem acasă”, forma cu care suntem obişnuiţi, este următoarea: clasa a VI-a şi a VII-a (până spre final) sunt sub dominaţia totală a unghiului. În finalul clasei a VII-a apar pentru scurt timp arcele şi măsurile de arc, dar dispar apoi ca utilizare până prin liceu. Dar nici în liceu nu mai apar foarte clar, pentru că de 20 de ani a doua parcurgere, mai matură, a geometriei a fost scoasă (mă refer aici la marea învârtoşeală a patrulaterelor inscriptibile, a unghiurilor înscrise în cerc sau formate de o coardă cu o tangentă, a puterii punctului faţă de cerc etc.). Rămân doar vagi aplicaţii în zona trigonometrică, dar şi aici materia a fost algebrizată la maximum (mai nimeni nu mai predă cercul trigonometric şi justificările bazate pe geometrie ale respectivelor cunoştiinţe). Cine are nevoie de acestea la facultăţile tehnice – ghinion – să se descurce singur cum poate,  eventual în particular. Apropos cercul trigonometric: oare câţi ne gândim despre felul cum îi loveşte lipsa acestuia şi a justificărilor relaţiilor trigonometrice pe elevii cu o gândire bazată mai mult pe vizual şi pe raţionament spaţial? Vă zic eu: „ îi rupe”! Şi apoi ne plângem că n-a învăţat nimic copilul ăla. Ba nu! Noi nu i-am predat conform setării creierului său. Noi avem o materie prost concepută şi noi nu luăm măsuri de corectare minimală la clasă.. Noi suntem de vină, atât cei de la minister, cât şi cei de la clasă.

Deci, să ne lămurim, nu ia nimeni întâietatea unghiului (mă refer la întâietatea de preocupare prin ordinea materiei). Dar unghiul este o figură iniţial foarte abstractă. Una este să vorbeşti despre lungimea unui segment şi toţi copiii iau liniarul şi îl măsoară, şi alta este să le definim unghiul, iar apoi să le cerem imediat să-l măsoare. Gafa făcută în ultimii aproape 10 ani cu introducerea unghiului şi a măsurii sale în clasa a V-a prin mutarea simplă a lecţiei din clasa a VI-a este evidentă. Nu mă miră în acest context întrebarea unei colege în urmă cu mai mulţi ani: tu cum predai unghiurile? Că la mine elevii nu le înţeleg. (observase pe careva elevi de la mine din clase cu care se ocupase în particular, că ştiau unghiurile, le înţelegeau, le foloseau natural).

Această constatare ne duce tot mai aproape spre întrebarea: Bine, bine! Şi noi ce definim mai întâi? Arcul sau unghiul? Eu personal nici una nici cealaltă. În asta constă de fapt predarea intuitivă: să pleci de la ceva „intuitiv”, fără să defineşti acel ceva, să-l stabilizezi prin utilizare (ludică ar fi cel mai bine), iar apoi ulterior, cândva, la o viitoare abordare (predarea în spirală) să lămureşti lucrurile teoretic.

Ca să clarificăm această brambureală (nici un apropos, d-na Abramburica, subiectul acesta nu vă priveşte), să ne imaginăm cele două noţiuni în dispută, unghiurile şi arcele, poziţionate alături, fiecare cu pretenţiile sale de definire ca obiect şi ca unitate de măsură, iar undeva deasupra lor, dominându-le prin întâietate absolută: rotaţia. Elevul trebuie să primească în primul rând rotaţia, iar apoi imediat, dacă se poate chiar în paralel, cele două manifestări ale acesteia în fizic, unghiurile şi arcele. Înainte ca cel două noţiuni să se despartă, ele sunt încă împreună „în casa părintească”. Dar care este „casa părintească”? Pentru că rotaţia nu se poate reprezenta bine pe tablă ca o figură statică. Păi figura geometrică fizică în care se manifestă rotaţia este cercul, anume cercul trasat şi privit din centrul său (deci, nu un cerc desenat în jurul unei farfurioare). Rotaţia are un centru de rotaţie, iar manifestarea în planul fizic a rotaţiei o reprezintă cercul, instrumentul pentru vizualizarea acesteia fiind compasul. Iar dacă ne poziţionăm în centrul cercului şi ne rotim un pic, vom vedea că privirea noastră parcurge un unghi plecând de la poziţia iniţială şi până la noua poziţia, vorbesc de unghiul la centru, iar dacă întind mâna în faţă (ca o rază), vârful degetelor parcurg un arc de cerc, arcul subântins de acest unghi la centru. În timp ce mă rotesc, privirea mea parcurge un unghi, în timp ce capătul mâinii întinse parcurge un arc. Sper că aţi înţeles: eu fac aceste mişcări în faţa clasei cu mâna întinsă în faţă, întâi cele cu 360o, 180o şi 90o, apoi ultima cu măsura oarecare, pe care apoi o desenez şi pe cercul de pe tablă.

După ce completez pe tablă ce am arătat prin mişcare fizică, le mai arăt încă o dată cu ajutorul compasului de tablă văzut ca o bună imagine pentru un unghi (am un compas vechi din lemn cu braţele drepte şi care se deschide până peste 270o). Ţin compasul închis orizontal cu acul şi creta către stânga (elevii văd către dreapta) şi încep să-l deschid până la un moment când mă opresc şi îi privesc mândru: “acesta este un unghi, iar creta care se mişcă prin aer, dacă ar fi pe tablă ar descrie cercul respectiv”. Voi reveni la această exemplificare pentru vizualizarea unghiului, deschizând compasul ca pe un unghi, în clasa a VI-a când voi face clasificarea unghiurilor. Acolo eu fac o primă clasificare mai simplă (unghi ascuţit, drept şi obtuz), iar apoi una completă (unghi nul, ascuţit, drept, obtuz, alungit, supraobtuz şi unghi plin), ambele desenate pe tablă, dar şi arătate în aer prin deschiderea compasului privit ca un unghi.

Aşadar, mai întâi iau cercul ca manifestare a mişcării de rotaţie în planul tablei sau al caietului (se pot folosi chiar săgetuţe pe cerc care să arate mişcarea de rotaţie), iar apoi, din acesta, prin analiză a fenomenului, deduc unghiul la centru şi arcul de cerc, folosind ambele aceeaşi unitate de măsură: gradul ca măsură a rotaţiei. Aici se pot chiar introduce acele mici arce de cerc, uneori dublate sau chiar triplate, ce le punem în interiorul unghiului, aproape de vârful său, pentru a evidenţia unul sau altul dintre unghiuri. Sfatul meu este însă ca la primele utilizări să nu punem un simplu arc, ci de fapt un arc cu săgeată care să scoată în evidenţă rotaţia. Nu există un principiu „bătut în cuie”, dar eu pornesc în primele exemple de la poziţia cunoscută ca „originea cercului trigonometric”, adică punctul din partea dreaptă a cercului (îl putem denumi şi Est, prin analogie cu poziţia respectivă pe hărţile geografice), iar apoi rotaţia o pornesc în sens trigonometric, adică deschid unghiul sau arcul în sus. Desigur că elevilor nu le spun nimic din toate această ciudată „sădire a unor seminţe trigonometrice” (voi reveni din nou la poziţia specifică din cercul trigonometric, atunci când le voi explica apariţia raportului sinus dintre catetă şi ipotenuză într-un triunghi dreptunghic, în semestrul II din clasa a VII-a).

Măsurile le voi trece la început în paralel şi în vârful unghiului la centru şi pe arcul parte a cercului, la început deduse prin gândire, prin împărţirea cercului în părţi egale (cuvântul congruent îl introduc de-abia în clasa a VI-a). Concret, în primul rând voi lua un cerc împărţit în patru felii, ca la o pizza mică (noţiunea de sector de cerc poate şi aceasta să vină mai târziu), având trecut 90o în fiecare colţ. Aici putem aduce pentru prima dată atât raportorul poziţionat cu centrul în centrul cercului, şi copiii să vadă că acolo sus scrie 90o, dar şi echerul, copiii văzând cum echerul intră perfect în „unghiul drept”.

One thought on “Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc – (1)”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *