Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (VI)

Eseul de faţă a pornit ca o analiză a modului de predare a geometriei, plecând de la noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice de la pagina 30 citim: Programele de matematică pentru clasele a V-a şi a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notaţii, teorie prezentată in extenso, demonstraţii exhaustive)… Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea de la modelele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi …La pagina 32 găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Legat de formalismului specific matematicii, la pagina 9 a programei, la finalul clasei a V-a, autorii chiar au avut curajul să cuprindă următoarea observaţie: 2Notaţia ∢AOB reprezintă atât unghiul AOB, cât şi măsura unghiului AOB, în funcţie de context. Şi când mă gândesc că eu am auzit de măsura unghiului, adică de scrierea m(∢AOB) deabia în clasa a IX-a!

În paralel cu analiza diferitelor citate din programă, am apelat la o lectură atentă, chiar meticulos de atentă, “printre rânduri” a lucrării profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), cu accent pe primele capitole corespunzătoare geometriei Greciei antice. Iată, în acest sens, un ultim citat legat de perceperea acestei moşteniri de către urmaşii lor. Astfel, în Capitolul V al cărţii, Între matematica antică şi cea din epoca modernă, Eugen Rusu face o analiză a trecerii cunoaşterii prin evul mediu. În al doilea subtitlu Se păstrează Elementele lui Euclid aflăm că se păstrează cartea de geometrie, dar se pierde spiritul geometric. În general, în această perioadă, cultura înseamnă mai mult prosternare în faţa unor texte considerate ca autoritate în materie, cel mult comentarea literei lor, cu efortul de a le înţelege, şi mai puţin sau de loc activitatea axată pe descoperirea adevărului. Atitudinea faţă de Cartea sfîntă – pentru unii Biblia, pentru alţii Coranul sau Talmudul – în esenţă, axată pe crede şi nu cerceta şi pe veneraţia faţă de autori, Carte care dă învăţături, nu invitaţii la gîndire, este imitată, de la sine, şi faţă de cărţi “profane”. Biserica, începînd din secolul al XIII-lea, îl recunoaşte pe Aristot, şi-l apropie. De ce? (…) tocmai adoptînd pe Aristot ca autoritate indiscutabilă, Biserica înăbuşea spiritul cercetării libere.

Într-un astfel de climat, la ce serveşte Euclid? Cel mult să-l înveţi, respectîndu-l. Un fapt semnificativ: încă de la începutul secolului al VI-lea, Boetius dă o carte de geometrie, în care sînt puse numai enunţuri de teoreme din Euclid. Demonstraţii dă numai la primele trei teoreme, în anexă, ca să vadă cititorul că poate avea încredere în autor. Pentru ei enunţul – un fel de “învăţătură” – e important. O carte de geometrie fără demonstraţii! Bazată pe “încredere”, pe prestigiul autorului! (pag 99-100)

Dacă pe vremea respectivă oamenii erau ţinuţi departe de procesul gândirii în acest fel, dimpotrivă, în ultimii peste 30 de ani majoritatea elevilor, toţi cei care nu reprezentau chiar vârfurile claselor, adică “ne-olimpicii”, au fost ţinuţi departe de procesul gândirii printr-un nivel prohibitiv al rigurozităţii şi formalismului matematicii, combinat cu un nivel foarte ridicat de dificultate al aplicaţiilor parcurse la clasă sau oferite ca temă, un nivel la fel de prohibitiv pentru majoritatea elevilor.

Totuşi, chiar dacă sistemul s-a prezentat în faţa elevilor ca având pretenţia să se demonstreze TOTUL, de fapt a ajuns a decide că unele lucruri nu trebuie demonstrate, iar lista acestor teoremelor care nu se demonstrează a crescut de la un an la altul pentru a face loc în ora de matematică cât mai multor aplicaţii.

În această ultimă parte a eseului de faţă doresc să trag anumite concluzii, despre cum ar trebui abordată geometria din punct de vedere a folosirii intuiţiei. Oricum, este de apreciat apariţia cuvântului intuiţie în noua programă de matematică valabilă începând din 2017 (cuvântul respectiv apare în diferite forme de peste 20 de ori în această programă). Din păcate, impresia lăsată este că se cere o predare intuitivă doar în clasele a V-a şi a VI-a, după care “GATA!”, din a VII-a o luăm din nou aşa cum ne pricepem mai bine. Analizând toate cele spuse şi scrise în primele cinci părţi ale acestui eseu, putem trage însă câteva concluzii destul de diferite de impresia respectivă.

Folosirea intuiţiei în înţelegerea şi justificarea afirmaţiilor geometrice porneşte de la un nivel ridicat şi coboară cu timpul la nivele tot mai scăzute, fără însă să dispară total nici în clasele mari. Dimpotrivă, demonstrarea riguroasă porneşte cu paşi timizi în clasa a VI-a şi doar la afirmaţiile cu un nivel al evidenţei scăzut. Acest criteriu rămâne valabil de-a lungul întregului ciclu gimnazial, dar creşte numărul de situaţii care primesc demonstraţie. Un exemplu ar fi Teorema lui Thales care nu prea se demonstrează. În schimb, teorema bisectoarei permite demonstraţii foarte frumoase ce se pot face ca exemple de rezolvări. Este păcat a da această teoremă şi a sări direct la aplicaţii, fără a-i prezenta o demonstraţie (nivelul de evidenţă al acestei teoreme este foarte neclar). O situaţie similară avem la teorema despre poziţia centrului de greutate al unui triunghi, la care merită prezentate chiar două demonstraţii (cu linie mijlocie, respectiv cu teorema fundamentală a asemănării).

Un alt exemplu ciudat se găseşte în finalul clasei a VII-a unde, la capitolul despre cerc se fac câteva teoreme plictisitoare (coarde congruente la arce congruente; arce congruente între coarde paralele etc.), al căror singur obiectiv real ar fi să ducă spre teorema “tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact”, teoremă care însă nu se mai demonstrează. Atunci, pentru ce s-au făcut primele, care sunt destul de evidente şi nu sunt folositoare în probleme?

Revenind la folosirea intuiţiei vizuale în comparaţie cu folosirea demonstraţiilor teoretice pentru justificarea afirmaţiilor din cadrul lecţiilor, consider că cele două fenomene ar putea fi reprezentate grafic oarecum similar cu cele două curbe ale funcţiilor exponenţiale (1/2)x şi 2x, una descrescătoare dar nedispărând oricât de mult am merge la dreapta, cealaltă crescătoare, ele intersectându-se undeva la trecerea din clasa a VI-a în a VII-a.

Faptul că, aplicând aceste principii, în clasa a VI-a nu ar trebui să ne propunem a demonstra afirmaţii evidente, acest fapt ne conduce la următorul gând: în clasa a VI-a, în procesul de cunoaştere al figurilor geometrice studiate, ar trebui să ne concentrăm mai degrabă pe procesul de construire al acestor figuri decât pe demonstrarea unor proprietăţi evidente ale acestora. Aici există o lume nebănuit de bogată din care elevii pot cunoaşte mult mai bine şi mai profund spiritul fiecărei figuri şi toate secretele sale, într-o formă mai potrivită vârstei. Astfel, pe lângă exemplele de bază pentru construirea triunghiurilor, elevii pot primii şi sarcini la care sunt nevoiţi să facă anumite calcule şi explicaţii preliminare. Iată câteva exemple în acest sens (preluate din ultima lucrare de control dată la clasa a VI-a la sfârşitul lui martie):

Ex.1) Construiţi triunghiul GHI dreptunghic în ∢H, cu HI = 6 cm şi m(∢G) = 70o. (stabilind mai întâi măsura unghiului I, complementul lui G, putem construi triunghiul pe baza cazului de construcţie ULU)

Ex. 2) Construiţi triunghiul isoscel ABC cu [AB] ≡ [AC], având baza BC = 4 cm şi m(∢A) = 50o, iar apoi trasaţi şi bisectoarea unghiului ∢B. (trebuie să stabilim mai întâi măsurile unghiurilor B şi C prin raţionament logic, scăzând din 180o şi împărţind la 2)

Ex. 3) Construiţi triunghiul DEF dreptunghic în ∢D cu cateta DE = 3 cm şi mediana DM = 4 cm. (informaţia despre lungimea medianei pe ipotenuză trebuie mai întâi transformată în lungimea ipotenuzei; apoi se construieşte triunghiul cu baza cateta DE şi verticala ridicată în D)

Se vede clar pe aceste probleme cum elevul este împins să gândească în paşi mici accesibili momentului său de dezvoltare, nefiind dresat să înveţe nişte demonstraţii pe de rost. Astfel, mai logic ar fi ca elevul să înveţe în clasa a VI-a “Cazurile de construcţie a triunghiurilor” (renumitele LLL, LUL, ULU) şi doar în clasa a VII-a la o reluare a materiei să privească fenomenul drept “Cazurile de congruenţă a triunghiurilor” folosibile în demonstrarea unor afirmaţii mai puţin evidente.

În altă ordine de idei, fenomenul intuiţiei poate avea o importanţă deosebită chiar şi în ordinea parcurgerii unui set de lecţii. Să luăm spre exemplificare setul de trei lecţii compus din “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi respectiv “Teorema fundamentală a asemănării”. Astfel, în lecţia introductivă la capitolul despre proporţionalitate, eu le prezint un “drum de transformare intuitivă” a cunoştinţelor din clasa a VI-a de la regula de trei simplă spre triunghiuri asemenea, TFA cu final la Teorema lui Thales (pentru detalii sau reamintire vezi postarea http://pentagonia.ro/proportionalitate-si-asemanare-prima-lectie/ ). Ordinea teoretic corectă ar fi însă “Teorema lui Thales”, “Asemănarea triunghiurilor” şi în final “Teorema fundamentală a asemănării”. Din punct de vedere al elevului şi al parcursului său prin exerciţii şi probleme, ordinea pedagogic corectă ar fi însă: “Teorema lui Thales”, “Teorema fundamentală a asemănării”, ambele având puternice exerciţii cu aplicaţii numerice (ambele pe aceeaşi figură tip), şi doar apoi “Asemănarea triunghiurilor” cu diferitele probleme la cazurile de asemănare.

În finalul acestui mega-eseu permiteţi-mi o încercare de caracterizare a acestui drum de la justificarea intuitivă la demonstraţia riguroasă, organizată pe semestre, începând de la primii paşi prin construcţii geometrice cu instrumente şi mergând până la nivelul de abordare axiomatică cu demonstrarea prin reducere la absurd a punctelor cele mai nevralgice din materie. Astfel:

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul. La împărţirea cercului în patru părţi apare metoda ce va sta ulterior la baza trasării mediatoarei unui segment; acum vrem doar să trasăm o verticală perfectă pe un diametru. În mod similar, la împărţirea cercului în opt părţi vom avea nevoie de mişcarea ce se va dovedi ulterior baza pentru construcţia bisectoarei unui unghi. Acestea vor veni doar în clasa a VI-a, dar acum apar doar ca “şmecherii” interesante, apărute în urma problematizării, fie din imaginaţia intuitivă a unui elev, fie arătate de profesor.

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului.

Aceste construcţii au rolul de a familiariza elevii cu folosirea cât mai exactă a instrumentelor geometrice în forma lor practică, constituind un fundament solid pe care se vor aşeza ulterior noţiunile geometrice şi apoi, la un nivel superior, demonstraţiile. Obiectivul structural al acestei abordări îl reprezintă însuşirea folosirii şi formarea abilităţilor de lucru exact, cu ajutorul instrumentelor geometrice (dintr-un punct exact în celălalt punct, nu la 1-2 mm pe lângă acesta) şi concentrarea elevilor asupra acestora. Astfel, elevii nu sunt puşi în clasa a VI-a a se concentra asupra folosirii unor instrumente necunoscute în acelaşi timp cu însuşirea multor noţiuni noi, fiecare foarte importantă. Se evită astfel introducerea simultană la clasă a mai mulţi itemi noi pe diferite paliere de gândire şi abilităţi.

Clasa a VI-a, semestrul I: După un semestru de introducere ludică a primelor elemente de geometrie prin intermediul construcţiilor geometrice, a venit vremea unei sistematizări a noţiunilor de bază: dreaptă, segment, semidreaptă, lungimea unui segment, paralelism şi perpendicularitate, congruenţă, mijloc, mediatoare, unghi, măsura unghiului, clasificarea unghiurilor, bisectoare, unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de două paralele cu o secantă, simetria axială, unghiuri complementare sau suplementare etc. Toate acestea se vor introduce într-o formă mai riguroasă, dar totuşi pe baza unor observaţii intuitive, nefiind demonstrat nimic. În schimb se va cere elevilor să facă toate construcţiile posibile exacte la fiecare lecţie studiată. De pildă, la mediatoarea unui segment, se vor face atât construcţia cu rigla gradată şi echerul, cât şi construcţia cu rigla negradată şi compasul. La aceasta din urmă elevii îşi vor aduce aminte de “mişcarea” cunoscută în clasa a V-a la împărţirea cercului în patru părţi egale. Tot aici elevii vor primi sarcina construirii perpendicularei pe o dreaptă, atât: a) dintr-un punct exterior dreptei (coborârea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă), cât şi: b) într-un punct al dreptei (ridicarea perpendicularei într-un punct pe o dreaptă).

Clasa a VI-a, semestrul II: După ce am construit un vocabular consistent de noţiuni cu care să putem lucra, a venit vremea să studiem principalele figuri geometrice închise, anume triunghiurile şi patrulaterele (cercul apare în această formă de predare de la început, alături de dreaptă, ca una din cele două figuri de bază ale geometriei).

În cele două capitole, triunghiurile şi respectiv patrulaterele se vor studia într-o formă intuitivă, pe baza observaţiilor evidente pentru elevul de clasa a VI-a. Aici vor apărea însă primele demonstraţii în situaţiile neevidente legate de unghiurile acestora (suma unghiurilor, unghiurile exterioare, triunghiul dreptunghic înscris în semicerc). Majoritatea proprietăţilor, fiind însă de natură evidentă, vor fi doar evidenţiate şi contabilizate pentru a fi pregătite la îndemână în vederea unei viitoare utilizări.

Preocuparea principală rămâne însă construcţia figurilor geometrice cu diferitele instrumente, construcţii realizate în toate formele posibile. De pildă, la capitolul despre triunghiuri elevii vor studia Cazurile de construcţie a triunghiurilor (renumitele LLL, LUL, ULU etc.). Acestea vor deveni baza unei transformări ulterioare în Metoda de demonstrare pe baza cazurilor de congruenţă a triunghiurilor. Şi la patrulatere se vor face cât mai multe construcţii concrete pe diferite situaţii. În cadrul acestei etape apar la diferite probleme de construcţie primele elemente de aplicaţii a teoremelor studiate în vederea găsirii elementelor necesare pentru realizarea construcţiei.

În finalul clasei a VI-a elevii vor parcurge o zonă aplicativă de geometrie în spaţiu, trebuind să construiască singuri cu instrumentele geometrice desfăşurarea unor prime corpuri, să le decupeze, să le plieze corect şi să le asambleze din hârtie mai groasă, lipindu-le pentru a obţine un cub, o prismă (de preferinţă triunghiulară), o piramidă patrulateră (de preferat cu feţele laterale triunghiuri echilaterale), un tetraedru regulat etc. Acestea se prezintă ca o primă vizită în zona geometriei 3D, ca o primă trecere în cadrul predării în spirală pentru geometria în spaţiu.

Obiectivul structural principal, alături de însuşirea tuturor noilor noţiuni de geometrie, îl reprezintă formarea simţului pentru exactitatea în geometrie prin construirea cât mai exactă a figurilor geometrice. Gândirea elevilor este încă într-o fază incipientă, concentrarea fiind pe o figură cât mai corectă.

Clasa a VII-a, semestrul I: Întreaga noastră atenţie se îndreaptă acum asupra gândirii (adică a demonstraţiilor), făcând aceasta în două direcţii. Prima ar fi problemele de demonstrat şi în acest sens cea mai bună pornire ar fi problemele având ca “personaje principale” unghiurile. Apoi se pot studia probleme în care apar mai mult relaţii legate de segmente: linia mijlocie, mediana pe ipotenuză etc. În acest moment elevii au ajuns la o maturitate de gândire suficientă încât să se poată confrunta cu succes cu problemele de congruenţa triunghiurilor, care sunt de multe ori cele mai complexe.

Legat de figurile geometrice, acestea se vor face exact mai ales atunci când cerinţa problemei nu este evidentă; dimpotrivă, în cazul unor cerinţe evidente, putem apela la schiţe făcute cu mâna liberă care nu vor mai fi exacte, fiind astfel contestabile, abordând problema sub argumentul: demonstraţi că, în cazul unei figuri corecte, următoarele segmente sunt congruente.

A doua direcţie de lucru ar fi poligoanele cu mai multe laturi (continuare evidentă a parcurgerii în anul precedent a triunghiurilor şi a patrulaterelor), atât în forma oarecare (suma unghiurilor), cât şi în forma regulată (măsurii unui unghi). Elevilor le place foarte mult această parte, fiind în directă conexiune cu singurele demonstraţii parcurse în clasa a VI-a. Văzând pentagonul sau octogonul regulat etc., elevii vor înţelege acum argumentaţia situaţiei particulare de la Floarea vieţii, anume de ce se întâmplă că acolo hexagonul regulat este compus exact din triunghiuri echilaterale. O astfel de abordare ne va permite în capitolul despre arii o apropiere de situaţia cercului (aria dodecagonului regulat – 12 laturi – este egală cu 3 r2, apoi aria cercului în format aproximativ etc.).

Pe lângă studiul ariilor triunghiurilor (exceptându-l pentru moment pe cel echilateral) şi a patrulaterelor particulare, la capitolul despre arii se poate demonstra şi teorema lui Pitagora (prin arii), având astfel din semestrul I material de lucru mult şi în domeniul calculelor (atât pentru elevii slabi, cât şi pentru olimpicii de fizică care au nevoie repede de această teoremă).

O observaţie este necesară aici în legătură cu organizarea algebrei: cel mai folositor este dacă elevii nu învaţă în semestru I numerele iraţionale, ci aplică în geometrie doar forma aproximativă a rezultatelor, atât în cazul celor din teorema lui Pitagora, cât şi în cazul celor de la aria şi lungimea cercului. Calculele aproximative oferă elevilor rezultate mult mai palpabile, mai pe înţelesul omului de rând. În semestrul II se poate trece apoi la scrierea iraţională a unor segmente date sau a rezultatelor.

Clasa a VII-a, semestrul II: Pe lângă schimbarea de paradigmă în privinţa scrierii lungimilor iraţionale, în semestrul II se vor studia (cu o aparentă întârziere) şi elementele de geometrie a proporţionalităţii: teorema lui Thales, triunghiurile asemenea, teoremele lui Euclid (a catetei şi a înălţimii) şi rapoartele trigonometrice. Tot aici se vor parcurge şi alte demonstraţii pentru teorema lui Pitagora (cel puţin cea cu teorema catetei, dar şi una pe baza formulelor de calcul prescurtat).

Clasa a VII-a se poate termina cu o nouă revenire prin zona cercului, cu teorema despre tangenta perpendiculară pe raza în punctul de contact şi cu un minim studiu al patrulaterelor inscriptibile sau circumscriptibile.

Clasa a VIII-a, semestrul I: Pornirea din zona intuitivă a materiei şi mersul în ritm accesibil către zonele mai dificile, această abordare trebuie respectată şi în cazul geometriei în spaţiu (3D sau stereometrie). Din punct de vedere al folosirii intuiţiei este evident că e mai sănătos să pornim cu studiul unui prim set de corpuri (cubul şi cuboidul – paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele şi tetraedrul regulat) ce vor fi cunoscute din punct de vedere al trasării figurilor, al construcţiei desfăşurărilor şi al calculelor ariilor şi volumelor: nu doar o prezentare scurtă a acestora într-o lecţie iniţială, ci fiecare cu o lecţie completă cu probleme aplicative de calcul. Corpurile respective acţionează astfel ca veritabile “schele intuitive” pentru susţinerea sănătoasă a gândirii elevilor în timpul primilor paşi în geometria 3D.

Elevii ajută chiar şi la formarea lecţiei: fiecare formulă de arie poate fi dată prin judecată proprie de către elevi. După înţelegerea principiilor de bază la volum, elevii vor începe să dea şi formulele de volum.

Abia apoi merită abordate toate situaţiile de paralelism, perpendicularitate sau determinare de unghiuri între drepte şi/sau plane (“drumul” până la teorema celor trei perpendiculare şi unghiul diedru).

Clasa a VIII-a, semestrul II: Acesta va fi un semestru scurt, lăsând loc suficient parcurgerii testelor în vederea pregătirii examenului. Elevii mai au de studiat doar trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Aici se va atinge apogeul nivelului de complicaţie a demonstraţiilor unor teoreme, prin demonstrarea la clasă a formulelor de volum la trunchiul de piramidă (trebuie să fi fost parcursă la algebră măcar informativ formula diferenţei cuburilor), aria laterală a conului şi a trunchiului de con, cât şi formula de volum a sferei, inclusiv transformarea acesteia în formula de arie a sferei.

Nu poate lipsi din această abordare ce foloseşte intuiţia elevilor lecţia recapitulativă despre corpuri de rotaţie, lecţie ce se bazează în mod evident pe impulsul natural al omului pentru mişcare (când vedem pentru prima dată un obiect nou, îl luăm în mână şi îl studiem, adică îl rotim pe toate părţile).

Clasele de liceu: orice persoană cu un bun simţ legat de geometrie a ajuns în ultimii 20 de ani să simtă lipsa geometriei sintetice din clasele liceale. Aceste aspecte şi felul în care s-ar putea lua măsuri reparatorii reprezintă un subiect vast, pentru care acum ar merita trasate doar câteva direcţii de preocupare şi cugetare.

Există cel puţin două situaţii majore unde lipsesc elementele de geometrie: la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info, respectiv la clasele cu profil tehnologic. Să le analizăm pe rând. Actualmente elevii de la primele categorii de clase amintite, adică în principiu elita matematică a ţării, aceştia nu mai apucă la ora actuală să facă pasul spre o cât-de-cât ordonată tratare axiomatică a geometriei, fascinantă prin îngrădirile ce apar la tot pasul în strădania de a demonstra cât de mult posibil (demonstraţiile prin reducere la absurd şi-ar găsi foarte bine locul aici). Pasul spre abandonarea aproape completă a gândirii intuitive şi exersarea profundă a gândirii raţionale pe bază de reguli, acestui pas i-ar veni vremea în clasele de după examenul de Evaluare naţională, în urma căruia elevii au fost selectaţi. Acest pas nu este pentru toţi; de-abia acum îi vine vremea şi este un mare păcat că elevii talentaţi la matematică nu mai au ocazia să îl cunoască.

Totodată, aceştia nu apucă să mai facă toţi paşii formatori de gândire complexă prezenţi în situaţiile dificile, abandonate în ultimii ani din clasele gimnaziale, dar şi pe cele ce combină elemente de geometrie cu elemente din alte capitole noi în liceu (trigonometria superioară, funcţia de gradul II etc.). La reforma din 1997 au fost abandonate toate aceste elemente de gândire pură, vie, în detrimentul elementelor reţetabile specifice gândirii algebrice (includ aici şi geometria vectorilor, care oricum vine mult prea repede în clasa a IX-a). Organizatorii programelor ar trebui să ia în seamă şi aceste aspecte la vremea redactării viitoarelor programe pentru liceu. Reamintesc în acest sens expresiile profasorului Eugen Rusu, care vorbea despre geometria în prima etapă de studiu, adică în gimnaziu, şi geometria în etapa a doua de studiu, adică de reluarea acesteia în liceu.

Pe de altă parte, elevii claselor cu profil tehnologic sunt cei care ar avea cea mai mare nevoie de elementele de calcul a corpurilor (stereometria), şi asta din motive pur practice. Aceştia sunt însă cei care – în general – au luat note mai mici la examenul din finalul clasei a VIII-a, putând presupune că mare parte dintre ei încă nu stăpânesc încă zona respectivă. O continuare a preocupărilor pe baze intuitive în direcţia calculelor, cu extinderi chiar şi în domeniul corpurilor neregulate, ar fi de mare folos pentru viitorul lor profesional practic. Amintesc în această direcţie doar un exemplu: proprietarul unei firme de măsurători cadastrale care se plângea că studenţii, ce urmau să fie absolvenţi în domeniu, habar nu aveau despre formula de arie a lui Heron, în general de nici un fel de elemente matematice necesare în domeniu (chiar dacă la ora actuală teodolitele oricum lucrează prin GPS).

CTG, la finalul lunii aprilie 2018

2 thoughts on “Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (VI)”

  1. Daca introducem noţiunea de unghi mai intai în forma unghiului la centru, ar fi de preferat sa definim notiunea de grad intai pentru arce de cerc si sa definim masura unui unghi ca masura arcului cuprins intre laturi prin deschiderea unghiului, justificand astfel si folosirea raportorului (studiind oarecum in paralel cercul si unghiurile, cum am vazut in Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu si Hollinger) ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *