De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect, întrebare la care m-am străduit din răsputeri să răspund cât mai dataliat cu putinţă. Reiau întrebarea: Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? (comentariu din 22.aug. 2018 la postarea din 1.mai 2018)
Pe când făceam corectura finală şi ultimele retuşuri la eseul cu pricina, am reuşit să găsesc şi manualul de geometrie de a VI-a despre care vorbea colegul Alex D. Mai exact, am găsit două manuale ale profesorului A. Hollinger, unul din 1966 (bănuiesc că acesta este de forma celui despre care era vorba în întrebare) şi încă unul din 1977. Avem foarte multe manuale vechi acasă şi nu apuc să le studiez în detaliu; nici pe acestea nu le ştiu pe de rost, aşa că le-am luat la “puricat” în contextul de faţă. Permiteţi-mi să vă prezint ce am găsit în cele două manuale legat de subiectul discutat în prima parte a eseului ca răspuns la întrebarea de mai sus. (observaţie de pronunţie: numele se citeşte “Holingăr”)
1) Haideţi să vedem în primul rând cum erau prezentate lucrurile în manualul lui Hollinger din 1966 (mulţumesc pentru acest manual fostei mele colege Cristian Marina, profesoară de engleză, dar mare iubitoare de matematică, care şi-a păstrat manualele din gimnaziu de pe vremuri). Iată începutul cuprinsului: Cap.I: Noţiuni introductive; Cap. II: Linia dreaptă; Cap. III: Cercul; Cap. IV: Unghiuri etc.
Să spicuim câteva aspecte din capitolul de introducere a cercului. Acesta este împărţit în nişte subteme pe care le enumăr în continuare: 29. Ce este cercul. 30. Proprietăţi ale cercului. 31. Rază, diametru, coardă, arc. 32. Mijloace practice de a obţine un cerc. 33. Aplicaţii ale cercului (aplicaţii practice ale proprietăţilor cercului în lumea înconjurătoare). 34. Mişcarea de rotaţie. 35. Cercuri egale. 36. Compararea arcelor. 37. Operaţii cu arce. 38. Măsurarea arcelor. 39. Observare. (o observaţie scrisă cu litere mai mici şi în care se spune că măsura în grade a unui arc nu indică lungimea acelui arc etc.) 40. Arce şi coarde. 41. Construcţia unui arc egal cu un arc dat. Reiau câteva pasaje din acest capitol:
34: Mişcarea de rotaţie. Când o figură plană se mişcă în planul ei astfel ca unul dintre punctele ei să rămână pe loc, se spune că are o mişcare de rotaţie. În figura 71 se arată cum putem da unei foi de hîrtie o mişcare de rotaţie. (Foaia de hîrtie este fixată pe masă cu ajutorul unui ac.) Când o figură plană are o mişcare de rotaţie, toate punctele ei descriu cercuri sau arce de cerc, care au acelaşi centru (punctul unde este înfipt acul). Acest punct se numeşte centru de rotaţie. Cînd o roată se învîrteşte (nu cînd se rostogoleşte), ea are o mişcare de rotaţie, centrul de rotaţie fiind chiar centrul roţii.
38: Măsurarea arcelor. Ca unitate de măsură pentru arce se ia a 360-a parte din cerc, numită grad (o). Gradul se subîmparte în 60 de părţi egale (…) Arcele se măsoară cu ajutorul unui instrument numit raportor (…)
Să ne uităm în mod similar şi la capitolul de introducere a unghiurilor. Acesta este împărţit în următoarele teme: 42. Ce este un unghi. 43. Unghi cu laturile în prelungire. 44. Compararea unghiurilor. 45. Operaţii cu unghiuri. 46 Observare. 47. Unghi la centru. 48. Unghiuri şi arce. Aici apare un titlu mai mare, Măsurarea unghiurilor, care are următoarele teme: 53. Măsura unui unghi. 54. Raportorul. 55. Observări. 56. Măsurarea unghiurilor pe teren. (…) Capitolul se încheie cu tema 72. Unghiuri mai mari ca 180o. Reiau şi aici câteva pasaje:
42: Ce este un unghi. (…) Un unghi este format din două semidrepte care pornesc din acelaşi punct. El poate lua naştere prin rotaţia unei semidrepte în jurul capătului ei. (…) Când este vorba de mărimea unui unghi, avem în vedere porţiunea din plan cuprinsă între laturile sale (haşurată în figura 85 – un unghi ascuţit şi unul obtuz cu interiorul haşurat) sau cât de mult trebuie să rotim una din laturi ca să o suprapunem cu cealaltă (…). Laturile unui unghi sînt semidrepte (nu segmente), ele indică două direcţii. Faptul că ele sînt mai lungi sau mai scurte (desenate evident) nu influenţează mărimea unghiului. Se are în vedere deschiderea lor. Uneori este mai bine să reprezentăm un unghi printr-o bucată de carton ca în figurile 87-90. (…)
46: Observare. Compararea unghiurilor, precum şi operaţiile cu unghiuri se pot înţelege şi dacă privim unghiul ca fiind născut prin rotaţia unei semidrepte. Astfel, în figura 87, a, unghiul al doilea este mai mic decît primul; aceasta înseamnă că, pentru a aduce o semidreaptă din poziţia OA în poziţia ON, trebuie s-o rotim mai puţin decît pentru a o aduce în poziţia OB; în figura 87, b, trebuie s-o rotim tot atît, iar în figura 87, c, – mai mult. În figura 88, unghiul AON este suma unghiurilor 1 şi 2; aceasta înseamnă că, pentru a aduce semidreapta OA în poziţia ON, trebuie să o supunem unei rotaţii date de unghiul 1 şi încă unei rotaţii, în continuare, dată de unghiul 2. A roti în continuare corespunde operaţiei de adunare a unghiurilor, aşa cum după ce am dus un segment de dreaptă AB, dacă mişcăm creionul în continuare pînă în C, adăugăm segmentul BC (fig. 92). (…) Mă bazez în redarea citatelor că onorat cititorul reuşeşte să-şi imagineze figurile la care Hollinger face referire (am preferat să nu mai încarc postarea cu diferite imagini; cine ţine neapărat să vadă acele imagini şi atmosfera emanate de acestea merită să facă efortul de a vâna aceste manuale în anticariate virtuale şi a le achiziţiona; ce frumos şi sugestiv este acest cuvânt: anticariat).
47: Unghi la centru. Nu reiau din această parte decât ultimul aliniat, urmare a unei figuri ce reprezintă un ceas tradiţional, la care oarecum acele sale sunt prelungite în două semidrepte, ca laturile unui unghi: Acele unui ceas formează un unghi la centru (fig. 94).
53: Măsura unui unghi. Dată fiind legătura dintre un unghi la centru şi arcul cuprins între laturile sale, putem măsura unghiurile măsurînd arcele lor. (…)
55: Observări. Cînd măsurăm un unghi cu raportorul, noi măsurăm de fapt un arc. Cînd aşezăm raportorul peste unghi ca în figura 100, unghiul devine unghi la centru, iar arcul corespunzător este partea din marginea raportorului cuprinsă între laturile unghiului. (…)
Nu are legătură cu subiectul nostru, dar nu mă pot abţine să nu vă redau şi aliniatul 3 de la aceste observări: Un unghi şi un arc sînt lucruri cu totul diferite. Un unghi nu poate fi egal cu un arc, nici mai mare ca el, nici mai mic, aşa cum un metru nu este egal cu un kilogram, nici mai mic, nici mai mare. Ne putem imagina situaţia acestui profesor emerit, de câte ori s-o fi lovit dânsul de întrebări în ceaţă de genul: Vreţi să spuneţi că unghiul şi arcul de cerc sînt acelaşi lucru? De vreme ce se măsoară ambele în grade?
72: Unghiuri mai mari ca 180o. Cînd o semidreaptă se roteşte în jurul unui punct, ea poate descrie unghiuri oricît de mari. Să luăm, de exemplu, acul mare (minutarul) al unui ceasornic (fig. 121). Într-o junătate de oră, el descrie un unghi de 180o, în ¾ de oră un unghi de 270o, într-o oră de 360o, în două ore de 720o ş.a.m.d. În acest manual vom folosi însă numai unghiuri mai mici decît 180o.
Mă opresc aici cu citatele din manualul de clasa a VI-a din 1966, sperând că aţi prins linia în care preda profesorul A. Hollinger aceste aspecte. Este evidentă forma în care eu m-am format şi din care peste ani a ieşit forma de predare ce v-am prezentat-o în prima parte. Pasajele citate de mai sus le-am citit însă conştient, ca dascăl, doar acum, odată cu redactarea acestui eseu, mai exact după ce tot restul eseului a fost redactat.
*
2) În cei 11 ani trecuţi până la următorul manual, cel din 1977, s-au produs unele modificări, dar multe lucruri au rămas la fel (am vaga imagine în minte că prin 1972 a fost o scurtă reformă). Vedem ca urmare două variante aparent diferite, dar care au clar elemente comune.
Iată începutul cuprinsului manualului din care am învăţat generaţia noastră: Cap.I. Recapitulare şi completări. Cap.II. Linia dreaptă. Cap. III. Unghiuri. Rotaţia. Simetria faţă de un centru. Restul cuprinsului nu este de interes pentru subiectul de faţă. Oricum, se vede că a dispărut capitolul despre cerc. Să analizăm cum funcţionau aspectele în discuţie în acel capitol III despre unghiuri.
3.1. Noţiunea de unghi. 1. În clasele anterioare s-a arătat ce este un unghi; în cele ce urmează vom preciza această noţiune. (puţin neinspirată – pentru noi – această exprimare “vom preciza această noţiune”, dar trebuie să avem înţelegere: Hollinger avea deja o vârstă avansată, era numit profesor emerit, venea din alte vremuri; Apropos manuale vechi, noi avem un manual semnat de dânsul din perioada interbelică). Două semidrepte OA şi OB (fig. III.1) care au aceeaşi origine împart punctele din plan nesituate pe nici una din ele în două părţi. În figură una din aceste părţi este haşurată şi cealaltă este acoperită cu puncte. Cele două semidrepte împreună cu una din aceste părţi ele planului formează un unghi.
Aşadar, Hollinger dă din startul capitolului drepturi egale unghiurilor proprii (cum le numim noi acum) şi unghiurilor supraobtuze. În figura respectivă este haşurată zona care actualmente se numeşte exteriorul şi este punctată zona care se numeşte actualmente interiorul unghiului propriu. Urmează o Definiţie. Un unghi este format din două semidrepte care au aceeaşi origine împreună cu una din părţile planului determinate de ele. (UAU!!!) Apoi vin componentele unghiului: Cele două semidrepte se numesc laturile sau braţele unghiului, originea lor comună se numeşte vîrful unghiului, şi partea din plan se numeşte interiorul unghiului. (Care parte din plan? Păi, aia care am ales-o, şi am haşurat-o în această fază incipientă.)
În general, una dintre părţile planului determinate de cele două semidrepte este mai mică (cea acoperită cu puncte în fig. III.1). Un astfel de unghi se numeşte unghi convex (în subsolul paginii apare şi un comentariu: Căci, dacă M şi N sînt două puncte oarecare din interiorul lui, tot segmentul MN se află în interiorul lui – ceea ce nu mai este adevărat în cazul unui unghi neconvex). Pentru a reprezenta un unghi, se desenează numai cele două semidrepte (fără haşuri). Ca să se ştie despre care din cel două unghiuri este vorba, se face în interiorul lui un arc de cerc cu centrul în vîrful unghiului sau un alt semn. În figura III.1, unghiul convex este indicat prin două arce, şi celălalt printr-un singur arc. Când nu există nici un arc, se înţelege că este vorba de unghiul convex. (…)
2. Un unghi poate lua naştere prin rotirea unei semidrepte. De exemplu, unghiul din figura III.4 poate lua naştere prin rotirea unei semidrepte din poziţia OM pînă în poziţia ON în sensul indicat de săgeata 1 sau din poziţia ON pînă în poziţia OM în sensul indicat de săgeata 2. În ambele cazuri, semidreapta descrie (mătură) tot interiorul unghiului – ca limba unui ceas (privită ca semidreaptă). (…)
3.2. Măsura unui unghi. 1. Unghi la centru. Când o semidreaptă se roteşteîn jurul originii sale descriind un unghi AOB (fig. III.7), în fiecare dintre punctele ei descrie un arc de cerc. Punctul M descrie arcul 1, punctul N descrie arcul 2 ş.a.m.d. (M şi N sunt situate în figură pe latura OA a unghiului AOB, şi mai este încă un arc, cele trei arce trecând dincolo de latura OB) Toate aceste arce au acelaşi centru O. Prin trasarea unuia dintre aceste arce, unghiul devine unghi la centru. Un unghi la centru este un unghi al cărui vîrf se află în centrul unui cerc. Limbile unui ceas (privite ca semidrepte) formează un unghi la centru (fig. III.8). Între un unghi la centru şi arcul său există o legătură strînsă.
Urmează, sub titlul 2. Unghiuri şi arce o scurtă prezentare a acestei legături, după care vine partea 3. Măsura unui arc pe care o cunoaştem din manualul din 1966. La fel, cunoaştem şi partea 5. Măsura unui unghi etc. Aşadar, Hollinger introduce măsura în grade mai întîi tot pe arce de cerc, iar apoi la unghiuri, chiar dacă aparent a introdus mai întâi unghiurile.
Acestea erau părerile şi punctele de vedere ale profesorului A. Hollinger în anii ’60-‘70. Părerile mele, atât cele pro, cât şi cel contra, le-am prezentat detaliat în prima parte a eseului. Înainte de a încheia îmi permit totuşi să ordonez într-un scurt rezumat ideile despre cum ar trebui să arate introducerea noţiunii de grad în primele clase gimnaziale. Cu această ocazie voi mai face şi câteva ultime observaţii metodice legate de acest subiect, în contextul ultimei programe pentru gimnaziu. Mulţumesc încă o dată pentru oportunitatea oferită de a trata această temă de detaliu atât de fină şi totuşi atât de controversată.
*
Cerinţa introducerii pe principii intuitive a noţiunilor la clasele gimnaziale mici era considerată de la sine înţeleasă înainte de reforma uitată din 1980, dar este precizată şi în noua programă. În vederea introducerii pe baze intuitive a noţiunii de grad la copii trebuie să pornim de la realitatea lumii înconjurătoare. Or, lumea înconjurătoare, din punct de vedere al copilului, este o lume în mişcare. Copilul sănătos se mişcă mult; el cu greu stă locului (poate doar dacă este ţintuit în faţa micului ecran, vrăjit de imaginile fâlfâitoare). Prezentându-i lucrurile în mişcare le înţelege cel mai bine. Acesta este unul din principiile ce mi-au fost prezentate de mult despre predarea matematicii în general şi a geometriei în particular, de către cei mai vechi decât mine în pedagogia Waldorf. Dar predarea în mişcare nu este un principiu ce ţine neapărat de această pedagogie, ci este pur şi simplu un principiu al predării sănătoase, oblogatoriu mai ales la vârstele mici. Şi se vede din plin cum Hollinger foloseşte acest principiu al predării prin mişcare la introducerea noţiunilor la clasa a VI-a (semidreapta care în rotirea sa în jurul punctului de origine “mătură” interiorul unghiului, sau punctul care rotindu-se în jurul centrului descrie un arc de cerc etc.).
Am două observaţii speciale aici, legate de poziţionarea acestui tip de predare mai ales în conexiune cu vârsta elevilor: pe vremea acestor manuale elevii mergeau la şcoală, în clasa I, după împlinirea vârstei de 6 ani. Actualmente, elevii (vorbesc de cei ajunşi anul acesta în clasa a VI-a) au mers la şcoală, în clasa pregătitoare, tot cam după împlinirea vârstei de 6 ani. Astfel, vârsta de atunci de clasa a VI-a cam echivalează cu vârsta medie a copiilor de clasa a V-a, poate cu o mică întârziere datorată celor care au fost înscrişi în clasa pregătitoare înaintea împlinirii vârstei de 6 ani. Cu alte cuvinte, semestrul II din clasa a V-a este numai potrivit pentru a introduce noţiunea de grad în mişcare, într-o formă cum am văzut-o la Hollinger (pentru cei care pot să înţeleagă şi să creadă într-aşa o predare în mişcare, detaşându-se de predarea statică din ultimii 35 de ani). Totuşi, introducerea unei noţiuni noi în mişcare nu estestrict legată de vârstele mici, ci este doar strict necesară majorităţii elevilor din clasele mici. Să presupunem că am dori să-i explicăm această lecţie unui adult care nu a învăţat-o, nu o ştie, habar nu are ce-i acela un unghi. Şi la acesta tot prin mişcare şi prin analogie cu lumea înconjurătoare o vom face cel mai eficient. Metoda statică constructivistă, pe baza unor definiţii, este potrivită doar în cazul predării prin sistematizare a cunoştiinţelor la nouă reluare (predare în spirală la cunoştiinţe anterior dobândite)
Să reluăm firul discuţiei. Aşadar, există două mişcări de bază, mişcarea rectilinie şi mişcarea de rotaţie. Pentru a măsura mişcarea rectilinie avem unităţile de lungime. Trebuie introdusă o unitate de măsură pentru rotaţie, care este o mişcare de cu totul alt tip, cauză pentru care suntem puşi în faţa unor probleme de cu totul alt tip. Unităţile de lungime măsoară mărimea unui segment, segmentul obţinându-se punând vârful unui creion pe hârtie şi mişcându-l de-a lungul unei drepte, de-a lungul unui liniar. Trebuie însă să rezistăm tentaţiei de a face exact acelaşi lucru în cazul rotaţiei. Rotind un punct, manifestat prin vârful creionului de la compas, în jurul unui centru de rotaţie – vârful acului – vom obţine un arc de cerc la care putem fi uşor tentaţi să-i măsurăm ca mărime tot lungimea. Dar acest fapt trebuie evitat cu abilitate.
Aceasta este marea provocare la introducerea unităţii de măsură pentru rotaţie, de a distrage atenţia elevului, natural manifestată către un soi de lungime, doar că rotundă, şi a îndrepta atenţia spre centrul de rotaţie. Vom face aceasta ataşându-i centrului de rotaţie o direcţie, văzând apoi cum se roteşte direcţia în jurul centrului; un fel de punct care se uită într-o direcţie şi care învârtindu-se mătură cu privirea o porţiune din planul înconjurător. Hollinger făcea asta rotind o semidreaptă cu originea chiar în centrul de rotaţie, în jurul acestui centru. Pentru a coborî din zona abstractă în lumea înconjurătoare a elevilor, obţinând astfel o accesibilizare a spuselor sale, Hollinger apela apoi la exemplul ceasurilor (desigur cu ace, cele cu afişaj digital apăreau primele spre finele anilor ’70).
Eu prefer o altă variantă: stau drept în faţa clasei, cu faţa îndreptată către uşă şi o mână ridicată orizontal în faţă. Apoi, în timp ce explic, încep să mă rotesc, arătându-le elevilor o rotaţie completă, adică până sunt iarăşi poziţionat cu faţa şi cu mâna către uşă. În acest moment le explic că o rotaţie completă se împarte în 360 de părţi numite grade. Repet oarecum mişcarea sub formă de întrebare: cât m-am rotit dacă am făcut doar o jumătate de tură şi m-am întors doar pănă la a arăta spre geam? 180o, strigă toată clasa, apoi mă rotesc doar un sfert de tură etc. Îmediat apoi trec la tablă şi îi întreb pe elevi: dacă aş fi făcut treaba asta cu o cretă în mână pe o suprafaţă, ce aş fi obţinut? Un cerc, strigă toţi copiii. Aşa că desenăm un cerc ca manifestare a rotaţiei, şi în acesta trasez apoi diferite raze ca reprezentare a mâinii mele întinse în faţă, şi reprezint grafic astfel ceea ce am arătat mai înainte când mă roteam şi prezentam oral apariţia gradelor de rotaţie. Pe desen voi scrie 90o, 180o, 270o şi 360o atât pe cerc, cât şi pe nişte arce mici orientate cu săgeată până la direcţia respectivă. Apoi, cu o cretă colorată voi desena poziţia iniţială a semidreptei şi una finală oarecare, haşurând porţiunea măturată de semidreapta în rotire, explicând că acesta este un unghi. Aici luăm raportorul, îl poziţionăm cu atenţie exact în centrul cercului şi cu linia de 0o pe raza iniţială şi toată lumea citeşte câte grade s-a rotit raza respectivă. Apoi scriem măsura obţinută atât pe cerc, cât şi pe o săgeată rotundă în interiorul unghiului. Astfel, măsurarea rotaţiei este transferată simultan şi la unghiuri şi la arce (cei doi “copii” ai rotaţiei).
Pe caiet însă, nu vom scrie nici o definiţie, nici pentru arc de cerc, nici pentru unghi, şi desigur nici pentru grad. Dimpotrivă, trecem repede la raportorului ca instrument de măsurare a gradelor, pentru a face repede un nou desen, anume împărţirea cercului în cinci părţi egale (aplicaţie cu caracter ludico practic) şi a stelei în cinci colţuri (pentagrama): câte grade are o parte?, iar elevii care stăpânesc bine împărţirea strigă 72o! Ca temă se poate da desenarea unei octograme, o stea în opt colţuri, pe baza împărţirii cercului în opt părţi egale de făcut cu raportorul. Ora următoare se poate face o reactualizare prin împărţirea cercului în 9 părţi egale şi ca temă în 10 părţi egale (merge şi ca temă din prima, dar eu prefer să o fac ora următoare pentru a “aduna” şi ultimele “oiţe rătăcite”). Anexez în acest sens poza unui desen făcut zilele acestea pe post de recapitulare la începutul clasei a VI-a (avem 4 elevi noi în clasă pe care trebuie să-i iniţiem repede în aceste tehnici), ca să înţelegeţi la ce mă refer când vorbesc de desene frumoase şi abordare iniţial ludică a cunoaşterii elementelor geometrice (un desen asemănător cu roza vânturilor, dar cu 5 + 5 vârfuri, plecând de la împărţirea cercului în 10 părţi egale cu ajutorul raportorului: 360o : 10 = 36o etc.). Noi folosim nişte caiete fără poze pe copertă, cu foaie velină, şi câţiva elevi vor desena acest desen ca imagine pe caietul de geometrie.
În final doresc să accentuez câteva aspecte atinse pe parcurs, inclusiv prin citatele din Hollinger, dar nediscutate clar ca atare. În primul rând, consider dăunător să facem un transfer simplu de conţinut din forma de predare ce o aveam când unghiurile se introduceau doar în clasa a VI-a, un transfer ad literam în semestrul II din clasa a V-a, doar pentru că au apărut aici aceste titluri. Mult mai sănătos este ca în clasa a V-a să introduc noţiunile în mod ludic, pe baze intuitive, şi apoi, doar în clasa a VI-a, la o reluare şi stabilizare a noţiunilor, să le dăm eventual definiţii mai ordonate ale noţiunilor. Acolo nu mai este nevoie să vorbim despre rotaţie şi putem da direct gradele ca unităţi de măsură a unghiurilor (în vremurile noastre acestea au întâietate în faţa arcelor). Recitiţi vă rog, în acest sens, prima frază de la Noţiunea de unghi din manualul din 1977.
În altă ordine de idei, doresc să accentuez, şi rog cititorul a se întoarce cu atenţie la citatele de mai sus din manualele lui Hollinger: dânsul lăsa o perioadă bună de la introducerea unghiului până când apărea măsura unghiului (la fel şi la arce). Pe parcursul acelor lecţii dânsul vorbea doar de mărimea unghiurilor, le compara, le aduna etc., nu măsurile (adică nişte numere), ci unghiurile ca obiecte în sine. Recitiţi vă rog temele 36-38 de la componenţa capotolului despre cerc şi temele 44-54 din cadrul capitolului despre unghi în manualul din 1966.
Închei revenind în prezent, anume cu câteva citate din noua programă de matematică, pasaje care subliniază cât de mult se revine prin aceasta la stilul de predare de pe vremea profesorului Abraham Hollinger: Note definitorii (…) O caracteristică a acestei programe este că, în clasele a V-a şi a VI-a, noţiunile sunt prezentate intuitiv, evitându-se abuzul de noţiuni sau de abstractizare. (pag. 3) Programele şcolare de matematică pentru clasele a V-a şi a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (…) Clasa a V-a: (…) Abordarea elementelor de geometrie urmăreşte, cu precădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice (pag. 31) Clasa a VI-a: Programa şcolară de matematică (…) continuă demersul început în clasa a V-a din punct de vedere al prezentării intuitive/ descriptive a noţiunilor (…) Tema Noţiuni geometrice fundamentale continuă introducerea realizată în clasa a V-a (…) în aceeaşi manieră, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. (pag. 32)
P.S. (scurtă lecţie de germană) După finalizarea eseului am mai găsit un argument de ordin lingvistic în favoarea gradelor de unghi. Cuvântul pentru “raportor” în limba germană este Winkelmesser, cuvânt compus din Winkel însemnând “unghi” şi Messer însemnând “măsurător”, adică “măsurător de unghiuri”. Vedem că nu le spune Bogenmesser însemnând măsurător de arce. Deci, cu tot respectul faţă de memoria profesorului Hollinger, în disputa noastră cred că totuşi câştigă unghiul în faţa arcului. (denumirea românească pentru acest instrument este oricum irelevantă din punct de vedere al înţelegerii copilului).
CTG, 18 sept. 2018