Category: Metodică

În data de 12 octombrie 2017 am susţinut la o oră deschisă la clasa a V-a. M-am oferit personal pentru această acţiune din motive evidente: cerinţele metodologice ale noii programe de matematică pentru toate şcolile din România, de aplicat începând din acest an şcolar la clasele a V-a, sunt asemănătoare cu cerinţele de predare din şcolile Waldorf, cerinţe pe care încerc să le înţeleg şi cu care mă străduiesc să mă acomodez de peste 20 de ani. În toţi aceşti ani am conştientizat în acest sens că, de fapt, trebuie să revitalizez în felul meu de predare modul în cere se preda matematica în România înainte de 1980. Astfel, conştient fiind de faptul că am un oarecare avans în faţa celorlalţi profesori, în strădaniile de a mă schimba conform acestor cerinţe, am considerat că este de datoria mea să le ofer o mostră despre cum am înţeles eu că ar trebui predate lecţiile de matematică.

În acest demers, am ales o lecţie cât mai simplă, pentru a exemplifica felul în care matematica poate şi trebuie a fi predată pornind cât mai de jos, astfel încât lecţiile să fie accesibile cât mai multor elevi din clasă. Desigur că ulterior, în cadrul lecţiei şi a lecţiilor ulterioare se poate şi e bine să se urce cât mai mult (cât pot “duce” cei mai buni elevi ai clasei). Datorită predării în module şi a faptului că eu sunt dirigintele acestei clase, deci am avut deja un astfel de modul cu foarte multe ore de matematică pe săptămână (12 ore/ săptămână în septembrie), am avansat rapid cu materia. Astfel am putut oferi colegilor o lecţie pe care dânşi urmează să o facă mult mai târziu. Ca urmare, colegii vor avea timp să se gândească la ce au văzut şi, poate, să aplice anumite aspecte la momentul respectivei lecţii. Desigur că aceste aspecte vor putea fi aplicate şi la alte ore, deoarece acţiunea a avut loc foarte repede, la exact o lună de la începutul cursurilor.

Concret, prin această lecţie m-am străduit să ating mai multe aspecte ce apar ca cerinţe în cadrul noii programe de matematică pentru clasele gimnaziale. Mai ales pentru clasele a V-a şi a VI-a, cerinţa este de a oferii o introducere cât mai intuitivă a materiei, a noţiunilor nou predate. Astfel, provocarea cea mai mare a acestei lecţii venea chiar la început: cum să introducem cuvântul divizor fără a da o definiţie sterilă, ci dimpotrivă, într-un mod care să conecteze natural cu cunoştinţele anterioare ale elevilor. Atenţionez în acest sens că, negestionat cum trebuie, momentul poate duce chiar de la început la neînţelegerea lecţiei de către mulţi elevi. Din păcate acest fenomen se întâmplă de multe ori la toate clasele. În cazul de faţă, eu am încercat să conectez lecţia cu împărţierea exactă, divizorul unui număr însemnând un împărţitor exact al acestui număr. Nu am lungit-o mult, ci am dat imediat oral primul exemplu pe divizorii lui 6, pe care i-au spus chiar elevii (concret, momentul a fost sub forma unei întrebări din partea mea: hadeţi să vedem care ar fi împărţitorii exacţi ai numărului 6, moment în care elevii au începu să răspundă, primul mai timid, puţin ezitant, neştiind dacă a înţeles cum trebuie, apoi următorii cu curaj; nu mai ţin minte exact, dar divizorii nu au venit în mod ordonat de la elevi). Din acest moment “gheaţa s-a spart” şi lecţia a început să curgă natural, într-un dialog (predare prin problematizare), în care profesorul întreabă şi elevii răspund. Astfel, profesorul îi îndrumă pe elevi prin întrebări bine regizate, dar de fapt aproape toată lecţia a fost dictată de către elevi (eu doar am scris totul pe tablă, elevii completându-şi notiţele ordonat, după modelul de pe tablă). Un fapt comic a fost următorul: o vreme au mai ridicat mâna “civilizat” (clasa era plină cu încă 17 profesori străini), dar după cca. 10 minute “gheaţa s-a spart de tot”, elevii uitând să mai ridice mâna şi răspunzând direct şi spontan într-un dialog plin de bucurie în procesul de descoperire a noilor aspecte. Totul căpătase un profund caracter ludic; aveam un joc serios, dar totuşi un joc plin de bucurie.

Revenind la începutul lecţie, după scurta introducere orală, cu prezentarea noţiunii de divizor prin sinonimul împărţitor exact, urmată de exemplul divizorilor lui 6, după acestea am început să scriu pe tablă titlul şi cele două aspecte deja menţionate. Apoi le-am propus clasei să procedăm la o abordare ordonată şi să vedem cum stau lucrurile în general, studiind fiecare caz până la 10. La acestea eu am scris pe tablă, dar elevii dictau. După ce am completat coloana respectivă i-am rugat pe elevi să notăm alături la fiecare număr câţi divizori are. Apoi elevii au trebuit să completeze singuri următoarea decadă de numere, până la 20 (muncă independentă pe care o pot face toţi!). După câteva minute de lucru în linişte i-am rugat să îmi dicteze rezultatele, eu scriind ordonat pe tablă. Iată în continuare poza tablei de la această oră:

Înainte de a prezenta continuarea lecţiei, doresc să atrag atenţia asupra modului de scriere a divizorilor fără a folosi mulţimile. Aceasta reprezintă o nouă cerinţă din partea prezentei programe, o cerinţă care îi bulversează puternic pe profesori. Vreau să precizez că elevii nu au avut nici o problemă în folosirea semnului cu două puncte în sens literar, nu în sensul operaţiei de împărţire. Din păcate, la discuţiile de după oră am uitat să scot din geantă o carte din 1966 despre numere prime scrisă de un academician polonez, redactată în întregime fără folosirea scrierii cu mulţimi (Sierpinski W. – Ce ştim şi ce nu ştim despre NUMERELE PRIME, Ed. Ştiinţifică, 1966, traducere după originalul din 1964). Da, dragi colegi, se poate scrie în matematică şi fără limbajul mulţimilor. Cei care au apucat clasele gimnaziale înainte de 1981 au scris totul fără mulţimi. Sarcastic spus, putem zice că a existat matematică şi înaintea mulţimilor. Lăsând gluma de o parte, prezentarea unei posibilităţi de a enumera nişte elemente fără a folosi mulţimile a fost pentru mine unul din obiectivele acestei lecţii deschise. Nu cred că aceasta reprezintă singura cale de scriere, dar eu aşa am considerat să o fac.

Un alt aspect legat de această lecţie îl reprezintă enumerarea concretă a divizorilor, astfel încât copiii să vadă despre ce este vorba. Trebuie să vadă noua situaţie pe cât mai multe exemple, înainte de a fi capabili să înţeleagă despre ce este vorba doar vorbind despre ele. Elevii de clasa a VI-a ştiu foarte bine despre ce este vorba când vorbim de divizorii unui număr, pentru că în clasa a V-a i-am enumerat de foarte multe ori, şi în cazuri simple şi în cazuri complicate. Am conectat aici la indicaţia din Sugestiile metodologice din finalul noii programe de matematică (vezi la pagina 31, despre clasa a V-a): … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … . În acest sens, la temă elevii au primit să enumere în continuare divizorii numerelor vână la 30, continuînd astfel lista de la clasă din prima parte a orei.

Odată înţeles despre ce este vorba, elevii familiarizându-se cu noţiunea de divizor, am putut trece la aprofundarea temei. Am făcut aceasta prin observaţii făcute asupra numărului de divizori ai numerelor deja studiate pănă la 20 (din nou, sub forma unei întrebări: Ce observăm?, urmată de răspunsuri din partea elevilor; aceste răspunsuri, eventual rearanjate, au ajuns apoi pe tablă). Am putut face aceasta deoarece ne-am pregătit terenul, notând în dreptul fiecăruia câţi divizori avea. Astfel, am observat că avem în primul rând ciudatul număr 1, singurul număr cu doar un divizor. La acest punct vom reveni desigur în clasa a VI-a, când vom observa că acest fapt este valabil doar în “familia” numerelor naturale, în cazul numerelor întregi chiar şi numărul 1 având doi divizori. Pentru a sublinia că numărul 1 este aparte, l-am şi separat de restul printr-o subliniere. Apoi am trecut la restul numerelor, unde am văzut că numărul divizorilor variază de la un caz la altul, ba mai mulţi, ba mai puţini. În mod neaşteptat, la unele numere constatăm că au doar doi divizori. Ce fel de numere sunt acestea? Aici, elevii le-au recunoscut cu mare bucurie pe vechile lor cunoştinţe, numerele prime. Pentru a înţelege ce vreau să spun, rog onoratul cititor să studieze şi postările din ianuarie 2017 despre numerele prime ( vezi postările http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/ şi http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ). Aceasta a reprezentat a treia mare abordare a naturii numerelor prime; după ideea de numere nedecompozabile de la început, şi după ideea de numere care rămân în Ciurul lui Eratostene în urma eliminării tuturor multiplilor în sens de plural, acum vedeam numerele prime ca acele numere care au exact doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi. Aceşti divizori “automaţi” i-am numit divizori improprii, doar după ce am precizat că oamenii pe vremuri i-au privit pe aceştia ca nişte ciudăţenii, că multă vreme doar ceilalţi divizori au contat (aceştia erau divizorii “propriu-zişi”, adică divizorii proprii). Restul numerelor au mai mulţi divizori, adică cel puţin trei. Este vorba aici de numerele care se pot descompune în factori mai mici.

În acest moment am adus o întrebare ce urmărea observarea unui aspect pe care elevii nu au cum să-i vadă la nivelul acesta de dezvoltare a lecţiei, respectiv a gândirii (nici profesorii nu cred că-l prea văd; eu l-am observat singur în urmă cu trei ani şi, de atunci îi atenţionez şi pe elevi asupra repectivului detaliu). Majoritatea numerelor au un număr par de divizori. Ce fel de numere au un număr impar de divizori? De obicei este vreun elev care observă răspunsul corect (la momentul acestei întrebări elevii trebuie să se fi jucat destul cu numerele pătrate, să le recunoască uşor pe renumitele pătrate perfecte); de data aceasta răspunsul a venit mai greu, dar până la urmă a venit cumva, aşa că l-am notat şi pe acesta ca o ultimă observaţie.

După seria de observaţii, urmare a analizei făcute pe munca de nivelul elementar de la începutul orei, am putut trece la un nou nivel de lucru, anume la găsirea divizorilor unor numere mai mari. În cazul acestora apar deja dificultăţi reale la găsirea intuitivă a divizorilor mai mari. De pildă, la numărul 48 se vede încă uşor divizorul 12, dar nu se mai vede natural divizorul 16; la numărul 72 se văd foarte greu  divizorii 18, 24 şi 36. Pentru aceştia le-am arătat elevilor, le-am atras de fapt atenţia asupra unei proprietăţi interesante a divizorilor care, aranjaţi în ordine crescătoare, aşa cum ne-am obişnuit, formează de fapt perechi al căror produs dă întotdeauna numărul iniţial. Am numit această observaţie proba divizorilor. Acest procedeu ne permite, după găsirea intuitivă a primilor divizori, depistarea divizorilor mai mari, a celor neintuitivi, odată ce am reuşit să trecem “de mijloc”, adică de doi divizori consecutivi al căror produs este numărul iniţial (de pildă de 8 şi 9 în cazul lui 72; atenţie, nu numere consecutive, ci doar divizori consecutivi; la 48 aceşti divizori consecutivi sunt 6 ∙ 8 = 48). Aş mai fi zăbovit cu două trei exemple aici, dar timpul nu-mi mai permitea şi ştiam că mai doresc să le povestesc elevilor despre un exemplu special “cu tâlc”. Astfel, am uitat în cadrul orei (şi nimeni nu a observat la discuţiile de analiză de după ora deschisă) să dau măcar un exemplu de găsire a divizorilor în cazul unui pătrat perfect. Era potrivită aici de pildă enumerarea divizorilor lui 64. Ce se întâmplă în acest caz la mijloc? Păi simplu: divizorul 8 face pereche cu sine, iar asta noi o vom însemna printr-o buclă de la 8 chiar la el. Este clar că am recuperat acest aspect ca observaţie la discutarea temei de la începutul orei următoare (şi aşa este în regulă). La temă au apărut două pătrate perfecte iar elevii au venit cu diferite idei şi contra-idei (un elev propunea să-l punem pe divizorul 8 de două ori). Deci, până la urmă am lămurit aspectul respectiv ora următoare.

Spuneam că spre finalul lecţiei m-am grăbit pentru că mai aveam “în buzunar” o scurtă “poveste cu tâlc” (nu apare pe poza tablei). Este vorba de numerele perfecte. Ce sunt acestea? Primul număr perfect este 6; dacă la numărul 6 facem suma tuturor divizorilor săi, în afară de numărul însuşi, obţinem SD₆ = 1 + 2 + 3 = 6, adică exact 6. Ce se întâmplă la alte numere din acest punct de vedere? De pildă la 10 obţinem SD₁₀ = 1 + 2 + 5 = 8, mai puţin decât numărul însuşi; dimpotrivă, la 12 obţinem SD₁₂ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, adică mai mult decât numărul însuşi. Exact ca la oameni avem şi la numere: la multe numere dacă facem suma divizorilor lor obţinem mai puţin decât “se laudă ele că pot”; dimpotrivă, la unele numere, dacă facem suma divizorilor lor vedem că obţinem mai mult decât “arată numărul”; există însă şi numere la care suma este exact “cât ne spune numărul că valorează”. Şi da, la oameni avem exact la fel: cei mai mulţi pot mai puţin decât se laudă că sunt în stare (cunoscuţii lăudăroşi); dimpotrivă, există oameni care, odată puşi în faţa unor situaţii dificile, constaţi că sunt foarte capabili şi pot mai mult decât arătau iniţial (pe aceştia îi numim de obicei modeşti). Da, şi mai există, cei drept foarte rar, cei care îţi arată exact cât pot (pe aceşti oameni de încredere îi putem numi perfecţi). În sensul acestei poveşti, elevii au primit acasă sarcina de a căuta şi următorul număr perfect (care este 28). Ora următoare, la discutarea temei, câţiva elevi au anunţat că l-au găsit, iar eu le-am spus despre Pitagora, anume că de la acest mare învăţat al Greciei antice cunoaştem aceste două numere perfecte şi că de la el vine şi această poveste. Apoi, tot ora următoare, în conectare cu analiza temei, după găsirea lui 28 le-am prezentat elevilor şi următoarele numere perfecte, 496 şi 8128, găsite de Nicomac din Alexandria în sec 1 d.Chr., dar şi următoarele care sunt deja uriaşe (urmează numărul 33.550.336, etc.).

Iată şi tema dată elevilor la sfârşitul orei deschise: 1) Scrieţi toţi divizorii numerelor de la 21 la 30, notaţi la fiecare câţi divizori are şi calculaţi în dreptul fiecăruia şi suma divizorilor săi (fără numărul însuşi), aşa cum am făcut în clasă. Fiţi atenţi dacă mai găsiţi un număr perfect printre acestea. 2) Scrieţi lista completă a divizorilor la fiecare din următoarele numere, folosind de fiecare dată proba divizorilor: 36; 42; 75; 96; 144; 150; 220; 280; 284; 300.

Tot de la Pitagora vine şi o altă poveste “cu tâlc”, prezentată elevilor în ora următoare: se spune că Pitagora a fost întrebat o dată despre cum ar caracteriza el doi prieteni cu adevărat buni. Iar Pitagora a răspuns că două persoane pot fi caracterizate drept prieteni buni dacă se vor comporta la bine şi la greu aidoma numerelor 220 şi 284. Într-adevăr, dacă veţi face suma divizorilor fiecăruie din cele două numere, veţi vedea că la fiecare se obţine celălalt ca rezultat. Acestea două se numesc numere prietene, şi erau folosite în lumea învăţaţilor arabi din jurul anului 1000 la confecţionarea de amulete pereche pentru “cimentarea” unei prietenii dorite (fiecare din cei doi prieteni păstra o amuletă cu unul dintre cele două numere prietene gravat pe aceasta).

Până în acest moment al studiului despre divizorii unui număr am parcurs următoarele nivele de gândire: la început am căutat toţi divizorii unui număr în mod intuitiv; apoi, odată cu creşterea numerelor studiate, găseam primii divizori intuitiv, până treceam de jumătatea listei, iar apoi restul divizorilor printr-un procedeu pe care l-am numit “proba divizorilor”. Această a doua metodă poate fi descrisă ca parţial intuitivă, parţial algoritmică. Dar şi această metodă mai performantă îşi găseşte în curând limitele, odată cu creşterea numerelor la care dorim să găsim divizorii. A fost deja cazul la numerele mai mari date ca temă la sfârşitul orei deschise, inclusiv la numărul 284. Aşa că trebuia să ne gândim la o metodă şi mai puternică, una care să elimine subiectivismul intuitivităţii. În ora următoare (după cea deschisă) le-am arătat cum am putea depista în mod ordonat toţi divizorii, procedând în prealabil la descompunerea numărului în factori primi.

Găsirea unei noi metode poate reprezenta aici o mare provocare pentru elevi dar, totodată reprezintă o provocare şi mai mare pentru profesorul care-şi doreşte să regizeze lecţia prin întrebări cât mai naturale prin care să-i împingă pe elevi spre a descoperi ei înşişi noua metodă. Ideea de a descompune numărul iniţial în factori primi şi a găsi divizorii săi prin compunerea factorilor în toate produsele posibile, această idee este însă una prea precoce pentru elevii de clasa a V-a. Nu cred că ei o pot găsi, dar o pot foarte bine înţelege după câteve exemplificări (dimpotrivă, un elev de clasa a VIII-a ar putea-o depista, dacă se dovedeşte mai treaz la minte). Deoarece ora respectivă (ora următoare după lecţia deschisă) se îndrepta către sfârşit, nu am apucat să fac decât două exemple (divizorii lui 100 şi cei ai lui 220, cu temă directă divizorii lui 2000). Eu am numit reprezentarea divizorilor în acel tabel drept metoda frunză, încercând astfel să le atrag atenţia asupra simetriei numărului de divizori de la nivelele egal depărtate de extremităţile tabelului. Tot la tema acestei a doua ore, le-am propus elevilor să găsească toţi divizorii numărului 496 şi să verifice apoi dacă într-adevăr acesta este număr perfect (temă opţională; scuze pentru tabla foarte urât ştearsă).

Am reluat discuţia peste încă două zile (în a treia oră prezentată aici), când am analizat situaţia divizorilor numărului 12, iar apoi, prin analogie, situaţia numărului 284, care are o structură de aceeaşi formă, dar cu factorul prim 71 în loc de 3. Apoi, la cererea câtorva elevi am făcut la tablă şi descompunerea şi găsirea divizorilor în cazul numerelor de la temă, 496, respectiv 2000, ce fuseseră ca temă, dar care le-a dat multă durere de cap (foarte puţini le-au reuşit).

Las aici onoratul cititor să studieze metoda în formă de frunză pentru găsirea tuturor divizorilor unui număr pe alte exemple. Diferite aspecte cunoscute din problemele de combinatorică se regăsesc aici într-un mod deosebit de natural. De pildă, la numărul 2000 care are în produs 7 factori primi, la găsirea tuturor variantelor de divizori compuşi din 5 factori, putem căuta ce posibilităţi există de a exclude doi factori din numărul 2000, aceasta susţinând observaţia de simetrie sus-jos a tabelului respectiv (în formă de frunză). Precizez că această “metodă” am generat-o la clasă în urmă cu trei ani, am stabilizat-o la clasa care sunt acum în a VII-a şi am introdus-o înclusiv în lucrarea de control (cu succes) anul trecut.

În a patra oră dedicată acestei teme, de care cu greu ne puteam despărţi, au apărut condiţiile ideale pentru ultimul pas, anume pentru stabilirea numărului divizorilor unui număr mare, fără a-i găsi neapărat pe toţi divizorii respectivi. Ce înţeleg prin condiţii ideale? Păi, simplu: la discutarea temei, care fusese găsirea tuturor divizorilor lui 3000, un elev ridică mâna şi spuse: D-le profesor, aţi avut dreptate când aţi spus că la 3000 nu o să avem 30 de divizori aşa cum am prevăzut eu (băieţelul respectiv concluzionase ora trecută că, dacă la 2000 aveam 20 de divizori, atunci la 3000 vom avea 30 de divizori, la care eu m-am arătat doar sceptic); mi-au dat 27 de divizori. În acest moment au sărit alţi copii: unul găsise 28, altul găsise chiar 30 şamd (eu am tăcut în acel moment, când el susţinea un număr impar de divizori la un număr care nu este pătrat perfect). Aşa că am scris chiar pe tablă întrebarea ce ne frământa. După care le-am arătat “marea bombă”, anume cum se află câţi divizori are numărul 18.000 (comentariul celui care a pornit totul: păi dacă-l facem pe ăsta, atunci la 3000 o să fie superuşor).

Astfel, pentru a epuiza subiectul divizorilor unui număr, mai trebuia să facem pasul către formula care ne spune – înainte de a-i găsi concret – câţi divizori are un anumit număr. De pildă, formula respectivă ne spune că numărul 18.000 = 2⁴∙3²∙5³ are un număr de (4 + 1)∙(2 + 1)∙(3 + 1) = 5 ∙ 3 ∙ 4 = 60 divizori (vedeţi pe următoarea poză folosirea culorii pentru a îndrepta atenţia elevilor asupra exponenţilor).

Este foarte uşor să le dai elevilor de la clasele de excelenţă această formulă, iar ei o vor aplica imediat prin analogie. Dar, pentru mintea în formare a elevului talentat la matematică, această formulă cu efect de cutie neagră este situată undeva între nefolositoare şi otravă pentru gândire, în sensul că îl obişnuieşte pe elev să înveţe ceva pe de rost fără să înţeleagă cum funcţionează, aşa că elevilor buni trebuie neapărat să le oferim şi o explicaţie, de ce se întâmplă astfel. Băieţelul respectiv, care a fost în vervă mare la această oră, după ce a văzut calculul afişat de mine pe tablă, a strigat indignat: da’, de ce facem aşa? Am şi scris pe tablă întrebarea sa, după care am pornit explicaţiile. Iată în continuare poza tablei cu exemplele prin care am încercat să-i conduc pe elevii buni spre înţelegerea principiului acestei formule. În acest sens nu cred că trebuie o demonstraţie în caz general, fiind suficientă parcurgerea a două-trei exemple edificatoare. Vedeţi în continuare şi poza tablei din cea de a patra oră pe această temă.

Pentru noi profesorii, dar şi în caz că am discuta aceste aspecte la elevi mai mari, se impune aici o observaţie deosebită. În cazul numerelor scrise ca o simplă putere de un factor prim (aⁿ), formula respectivă este o formulă de lungime pentru că toţi divizorii se aranjează ordonat în linie. Dacă avem un număr ce s-a descompus într-un produs de două puteri de factori primi (aⁿ ∙ b^m), formula respectivă devine o formulă de arie, pentru că toţi divizorii se aranjează în mod ordonat într-un tabel dreptunghic. Continuând raţionamentul, în mod evident că la un număr ce se descompune într-un produs de trei puteri de factori primi (aⁿ ∙ b^m ∙ c^p) avem o formulă de volum (L ∙ l ∙ h), pentru că toţi divizorii s-ar aranja ordonat într-un “tabel tridimensional” în formă de paralelipiped dreptunghic. La un număr cu patru factori primi diferiţi avem “volumul” unoi cuboid patru-dimensional (conţinutul în 4D), etc.

După lămurirea acestei metode am stabilit (muncă individuală, dictată apoi la tablă) câţi divizori avea buclucaşul număr 3000 de la temă, anume că are 32 de divizori. Normal că au primit să studieze din plin noua şmecherie (temă de găsit câţi divizori au fiecare din numerele 6000; 12000; 2400; 980; 10500).

În final doresc să atenţionez asupra unui aspect metodic suplimentar, de fineţe. Analizând cele prezentate mai sus, se observă strădania de a înţelege cât mai complet, din cât mai multe puncte de vedere, comportamentul numerelor participante la fenomenul studiat. Divizorii au apărut la început intuitiv, fiind imediat şi aranjaţi în ordine crescătoare. Apoi am constatat pe această primă formă o legătură interesantă ce am numit-o proba divizorilor. În ora următoare a apărut o structură nouă, bidimensională, sub forma unui tabel cu divizorii aranjaţi pe rânduri, în funcţie de numărul factorilor primi conţinuţi. În final a apărut o a treia formă de ordonare a divizorilor, destul de algebrică. Observăm astfel cum am studiat cu elevii diferitele forme în care se pot cuprinde/ ordona divizorii unui număr, în funcţie de punctul de vedere urmărit. Este bine să încercăm cât mai des să ne uităm la un fenomen studiat din cât mai multe puncte de vedere, aceasta ajutându-i pe elevi să înţeleagă mai bine lucrurile, dar şi să-şi clarifice în general felul în care “gândeşte matematica”. Da, şi încă o mică observaţie de ordin lingvistic: la mai mulţi factori folosim pluralul; la un singur factor folosim singularul; aţi văzut că la zero factori folosim din nou pluralul? Adică, zero obiecte de un fel sunt mai multe?

Mă opresc aici cu această prezentare (textul are 6 pagini A4 scrise cu 12). Urmează desigur lecţia despre divizorii comuni ai două numere, dar despre aceasta cu altă ocazie. Pe lângă bucuria acestei lecţii, rămân în urmă gândurile despre oportunitatea urcării la nivele atât de înalte de raţionament şi de cunoştinţe, cu elevi de clasa a V-a. Cu “olimpicii” merge, dar câţi elevi dintr-o clasă pot duce toate cele prezentate? În urmă cu 20-30 de ani astfel de teme de studiu erau incluse într-un capitol de aritmetică de la începutul clasei a IX-a. În 1997 acel capitol a fost desfiinţat, considerându-se că toate aspectele se lămuresc în clasa a V-a. Şi totuşi, câţi elevi de această vârstă ….

Titus Grigorovici, 14-23 oct. 2017

Odată cu începutul anului şcolar 2017-2018 profesorii de matematică vor trebui să-şi reseteze predarea, cel puţin la clasele a V-a, conform noilor cerinţe din programa aprobată în primăvară. Între toate aceste cerinţe, folosirea intuiţiei în predare la clasele V-VI se remarcă cu o insistenţă ieşită din comun. Astfel, cuvântul intuiţie, în diferitele sale forme, apare în această programă de peste 20 de ori!

În acest sens am hotărât să postez şi aici cele două părţi ale noii programe care se ocupă în format compact despre aspectele metodice: nota de prezentare (2 pagini A4) şi partea de sugestii metodologice (4 pagini A4). Pe lângă pasajele unde apare cuvântul intuiţie, mi-am permis să boldesc în conţinutul acestora diferitele aspecte importante ce vor trebui urmărite de către profesori începând din acest an şcolar, ţinând cont de faptul că în predarea multor profesori respectivele aspecte lipsesc uneori cu desăvârşire. Dau un singur exemplu (la întâmplare): mulţi profesori neglijează constant folosirea instrumentelor geometrice la tablă, susţinând că figura exactă nu contează, important fiind doar raţionamentul. Mai ales compasul suferă în acest sens, pentru că majoritatea nu ştiu nici măcar să-l folosească la tablă. Iată în continuare cele două părţi ale programei. CTG

*

Notă de prezentare

Evolutia umanităţii a fost strâns legata de dezvoltarea matematicii. Obiectele specifice matematicii sunt în concordanţă cu nevoile şi interesele omului pentru rezolvarea unor situaţii teoretice, metodologice şi practice, dar şi estetice. Matematica nu se rezumă doar la studiul numerelor şi al relaţiilor dintre acestea, ci este un domeniu de creaţie, bazat pe gândire logică şi inovatoare.

Matematica este o disciplină de mare profunzime, având un caracter deschis, datorat şi existenţei unei serii de probleme nerezolvate (conjecturi). În timp, rezolvarea acestora a condus la crearea unor domenii noi de cercetare şi a contribuit la rezolvarea unor probleme conexe altor arii de cunoaştere. Totodată, Matematica contribuie la înţelegerea realităţii subiective a propriei persoane şi a realităţii obiective a mediului înconjurător.

Programa şcolară de matematică reprezintă o componentă esenţială a curriculumului naţional, în acord cu Planul-cadru de învăţământ pentru învăţământul gimnazial, aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului şi utilizarea eficientă a resurselor didactice disponibile. Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică şi ştiinte ale naturii din trunchiul comun şi este prevazută în planul-cadru de învăţământ cu un buget de timp de 4 ore/săptămână.

În procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu, programa şcolară pentru ciclul primar la disciplina Matematică, competenţele-cheie pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii din cadrul european de referinţă, rezultatele înregistrate la evaluările naţionale şi internaţionale pentru învăţamântul gimnazial şi principiile de construcţie curriculară.

Procesul de proiectare curriculară a programei şcolare de matematică pentru învăţământul gimnazial s-a realizat ţinând cont de:

• adecvarea curriculumului la realităţile interne ale societăţii şi ale sistemului de învăţământ, având ca obiectiv pregătirea elevului pentru viaţă, în general, şi pentru integrarea socio-profesională, în special;
• echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei şi integrarea acestora într-un sistem coerent la nivel de interdependenţe funcţional structurale şi din punct de vedere temporal;
• flexibilitatea curriculumului prin parcurgerea şi aplicarea acestuia la clasa, în contextul respectării diferenţelor la elevii de aceeaşi vârsta (ritm de învăţare, nivel de achiziţii anterioare, motivaţie internă, specific cultural şi comunitar);
• continuitatea curriculumului prin asigurarea unei tranziţii optime de la un ciclu de învăţământ la altul şi de la un an de studiu la altul, cu introducerea unor secvenţe de iniţiere a procesului de instruire la nivelul achiziţiilor de bază în termeni de conţinuturi-ancoră;
• diversificarea criteriilor de structurare a conţinuturilor programei şcolare la nivelul achiziţiilor de bază, cu deschideri semnificative în planul practicii didactice;
• corelarea activităţilor propuse prin curriculum cu dimensiunea axiologică a idealului educaţiei, referitor la formarea personalităţii autonome creative;
• utilitatea curriculumului în raport cu cerinţele partenerilor educaţionali: profesori, elevi, familie, comunitate, reflectate în componentele specifice programei: competenţe generale, competenţe specifice, exemple de activităţi de învăţare, conţinuturi şi sugestii metodologice, inclusiv precizări privind evaluarea competenţelor formate/dezvoltate.

Prin specificul său, disciplina Matematică este esenţială în formarea şi dezvoltarea competenţelor necesare pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii, şi constituie un fundament solid pentru argumentare, dezvoltare de raţionament logic, spirit şi gândire critică, analizare, interpretare şi rezolvare de probleme.

Atitudinile promovate de programa şcolară de matematică sunt cele prevăzute în documentele europene pentru educaţia matematică: respectul pentru adevăr şi perseverenţa pentru găsirea celor mai eficiente soluţii, dezvoltarea de argumente şi evaluarea validităţii acestora. Abordarea în spirit matematic a situaţiilor cotidiene solicită un tip de gândire deschisă şi creativă, precum şi un spirit de observaţie dezvoltat, matematica fiind modelul perfect pentru exersarea şi implementarea gândirii critice la elevi. Prezenta programă şcolară îşi propune să formeze la elevi iniţiativa şi capacitatea decizională, independenţa în gândire şi în acţiune pentru a avea disponibilitate de a aborda situaţii variate, precum şi capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura modelării unei situaţii date, a rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii. Programa şcolară de matematică promovează exersarea obişnuinţei de a recurge la modele matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.

Demersul de predare-învăţare-evaluare poate fi organizat individual, frontal sau pe grupe, cultivând astfel spiritul de echipă, încrederea în sine şi respectul pentru ceilalţi, toleranţa, curajul de a prezenta o opinie personală şi spiritul de iniţiativă al elevilor. Încrederea în sine şi autonomia personală sunt susţinute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursa de învăţare, prin încurajarea unor abordări din perspective multiple şi prin aplicarea matematicii în viaţa de zi cu zi. Astfel se dezvoltă motivaţia elevilor pentru a reuşi în învăţare şi, implicit, pentru continuarea studiului disciplinei. Programa şcolară de matematică pentru gimnaziu se concentrează pe formarea şi pe dezvoltarea gradată şi continuă a competenţelor matematice, care permit elevilor să răspundă la situaţii diverse făcând atât corelaţii intradisciplinare, cât şi interdisciplinare.

Structura programei şcolare include, pe lânga Nota de prezentare, următoarele elemente:

– Competenţe generale

– Competenţe specifice şi exemple de activităţi de învăţare

– Elemente de conţinut

– Sugestii metodologice

Competenţele generale vizate la nivelul disciplinei, încadrează achiziţiile de cunoaştere şi de  comportament ale elevului, fiind comune întregului ciclu de învăţământ gimnazial şi redând, într-un mod particularizat pentru aceasta disciplină, orientarea generală a procesului educaţional.

Competenţele specifice sunt competenţe derivate din competenţele generale şi reprezintă etape măsurabile în formarea şi dezvoltarea acestora. Pentru formarea şi dezvoltarea competenţelor specifice, în programă sunt propuse exemple de activităţi de învăţare care valorifică experienţa concretă a elevului şi care definesc contexte de învăţare variate. Programa şcolară de matematică pentru gimnaziu propune o oferta flexibilă de activităţi de învăţare. Profesorul poate să modifice, să completeze sau să înlocuiască aceste activităţi cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil să se realizeze un demers didactic personalizat, care să asigure formarea/dezvoltarea competenţelor prevăzute de programă, în contextul specific al fiecărei clase.

Conţinuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru matematică, structurate şi abordate astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt mijloace informaţionale prin care se formează şi se dezvoltă competenţele specifice. Conţinuturile au fost selectate pe baza principiului continuităţii şi al coerenţei şi sunt puternic interconectate, astfel încât, după parcurgerea lor integrală, elevul să fie capabil să realizeze conexiuni între idei, texte cu conţinut matematic, reprezentări grafice şi formule, în scopul rezolvării unor probleme diverse, de natură teoretică sau practic-aplicativă.

Sugestiile metodologice reprezintă o componentă a programei care propune modalităţi şi mijloace pentru realizarea demersului didactic.

Note definitorii ale acestei programe

Programa şcolară de matematică delimitează, pentru fiecare clasă a învăţământului gimnazial, un nivel de pregătire matematică necesar elevilor pentru continuarea studiilor disciplinare şi, pe baza acestuia, trasarea posibilităţilor de avansare în învăţare.

Programa şcolară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fiind la dispoziţia profesorului pentru activităţi remediale, de fixare sau de progres.

O caracteristică a acestei programe şcolare este că, în clasele a V-a si a VI-a, noţiunile sunt prezentate intuitiv, evitându-se abuzul de notaţii sau de abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, aşteptările sunt ca elevul să poata deja dezvolta raţionamente deductive simple, utilizând, dacă este cazul, contraexemple. Elevul devine capabil să folosească diferite mijloace de învăţare, inclusiv softuri matematice. De asemenea, poate folosi în mod adecvat regulile de calcul pentru a investiga idei matematice şi pentru a rezolva diverse situaţii problematice.

Paşii către dezvoltarea unei gândiri structurate, teoretizările sau raţionamentele mai ample, orientate spre formarea unor competenţe de transfer al matematicii în practică şi al cotidianului în modele matematice, precum şi familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoaşterii, se realizează treptat, mai accentuat în ultimii doi ani din gimnaziu.

Extinderea spaţiului numeric la acest nivel de şcolaritate impune înţelegerea şi dezvoltarea unor competenţe de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor noţiuni de geometrie şi de măsurare devine o premisă în înţelegerea unor noţiuni specifice altor discipline prevăzute în planul-cadru.

*

Sugestii metodologice

Formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice reprezintă mai mult decât a învăţa concepte matematice şi presupun procese cognitive şi metacognitive valorificate printr-o buna alegere şi construcţie a experienţelor de învăţare din cadrul procesului de predare-învăţare-evaluare. Acest proces creează oportunităţi pentru ca elevii să fie conduşi spre conexiuni între diferite teme, între abstract şi practic, iar mijloacele TIC reprezintă un avantaj important în explorarea de concepte şi relăţii matematice.

În proiectarea şi desfăşurarea activităţilor de învăţare vor fi valorificate şi dezvoltate experienţa matematică acumulată de către elevi în anii anteriori, precum şi gândirea elevilor aflată la un nivel de maturitate specific acestei etape. Sarcinile de învăţare vor fi eşalonate după gradul lor de dificultate, iar nivelul de aprofundare şi complexitatea conţinuturilor vor fi corelate cu nivelul de dezvoltare cognitivă a elevilor.

Introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de conţinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea înconjurătoare, de la experienţa anterioară a elevilor şi de la conexiunile intradisciplinare şi interdisciplinare, realizând astfel un demers didactic care echilibrează nivelul intuitiv/descriptiv cu rigoarea specifică matematicii.

Abordarea intuitivă reprezintă o formă de cunoaştere imediată a adevărului, fără raţionamente logice complexe preliminare. Este o modalitate de a organiza, ierarhiza, gestiona informaţiile nestructurate, cu scopul de a forma reprezentări matematice, de a propune metode de rezolvare a unor situaţii date sau de a anticipa situaţii, această abordare fiind o etapă necesară în generalizări sau formalizări ulterioare. În matematică, intuiţia este privită ca o primă etapă a înţelegerii anumitor informaţii, metode sau rezultate, fiind o formă de interpretare a realităţii, bazată pe experienţă şi pe raţionamente anterioare, aplicate unor situaţii similare.

Pornind de la premisa că există o strânsă legatură între întelegerea unor noţiuni şi reprezentarea mentală a acestora, se va acorda o importanţă deosebită competenţelor specifice asociate conţinuturilor din algebră şi geometrie, care sunt noi pentru elevii din gimnaziu. Modul în care elevii îşi reprezintă ideile, structurile, informaţiile îi ajută în rezolvarea problemelor şi, în general, în gestionarea informaţiilor. Deoarece reprezentările matematice se bazează unele pe altele, profesorii vor evidenţia conexiunile posibile dintre noţiuni.

În cazul calcului numeric, de exemplu, intuiţia presupune estimarea rezultatului unui calcul, fără a efectua operaţiile. Introducerea geometriei se va realiza tot într-o maniera intuitivă, prin exemple sau accesând experienţele anterioare ale elevilor, utilizând desene sau modele spaţiale, astfel devenind posibilă încadrarea corespunzătoare într-o sfera conceptuală (de exemplu, pătratul poate fi înţeles în conexiune cu alte figuri: pătratul este un romb cu un unghi drept; pătratul este un dreptunghi cu două laturi alăturate egale). Cu ajutorul exemplelor intuitive se pot elimina erorile tipice şi se pot forma şi accesa reprezentări matematice corecte. Într-o etapă ulterioară intuiţia se verifică prin diverse metode: măsurare sau exemplificare şi se validează prin raţionament matematic bazat pe argumente logice. Exersându-şi intuiţia, elevul ajunge să interpreteze matematic realitatea înconjurătoare, ca expresie a competenţelor matematice, cultivându-şi astfel încrederea în sine.

Prin construcţia programei, elevii sunt provocaţi să înţeleagă matematica prin raportare la experienţa cotidiană. Într-o prima etapă, aplicaţiile se vor limita la formarea deprinderilor de bază, fără calcule ample/sofisticate. Şi în cazul geometriei, în partea sa de început, introducerea oricărei noţiuni se face tot prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate întâi prin observare directă şi verificate prin măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive, raţionamentul fiind introdus către finalul clasei a VI-a (începând cu metoda triunghiurilor congruente).

Competenţele generale şi competenţele specifice derivate din acestea respectă etapele de structurare specifice operaţiilor mentale dezvoltate la nivelul acestei discipline, astfel se pot identifica următoarele corespondenţe:

– identificarea unor elemente noi în diferite contexte, care duc la o reorganizare a sferei conceptuale, pe baza observaţiei (C.G.1: Identificarea unor date, mărimi şi relaţii matematice în contextul în care acestea apar);

– prelucrarea datelor, ca nivel elementar al aplicaţiilor, folosind o regulă sau o formulă dată, ori recurgând la reprezentări (C.G.2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaţionale);

– utilizarea algoritmilor, metodelor sau a unor reguli matematice în situaţii diverse (C.G.3: Utilizarea conceptelor şi a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice);

– exprimarea în limbaj matematic pentru descrierea unei situaţii matematice, prezentarea unei probleme, a unui demers de rezolvare sau a rezultatului obţinut (C.G.4: Exprimarea în limbajul specific matematicii a informaţiilor, concluziilor şi demersurilor de rezolvare pentru o situaţie dată);

– interpretarea unor situaţii problematice, ca etapă superioară de aplicare a matematicii, în context intradisciplinar şi interdisciplinar (C.G.5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date);

– modelarea matematică prin utilizarea cunoaşterii dobândite, integrând achiziţii din diverse domenii (C.G.6: Modelarea matematică a unei situatii date, prin integrarea achiziţiilor din diferite domenii).

Modalităţile de organizare a activităţilor de învăţare (frontale, individuale sau pe grupe) se vor adapta particularităţilor clasei de elevi, resurselor disponibile şi finalităţilor vizate. Se recomandă utilizarea metodelor şi mijloacelor didactice care să favorizeze implicarea elevului în propriul proces de învăţare, inclusiv a mijloacelor TIC.

În cadrul procesului de predare-învăţare-evaluare, componenta evaluare are un rol fundamental. Deoarece este necesară asigurarea unui feedback permanent şi corespunzător, atât pentru actorii procesului educaţional, cât şi pentru factorii de decizie, se va urmări accentuarea dimensiunii formative a evaluării. Astfel, se va monitoriza nivelul de formare şi dezvoltare a competentelor specifice asociate fiecărui domeniu de conţinut şi, implicit, se va orienta demersul didactic spre trecerea la domeniul de conţinut următor, spre aprofundarea unor aspecte sau spre revenirea asupra aspectelor deficitare, prin alocarea unui timp suplimentar de studiu, având mereu în vedere zona proximei dezvoltări.

Evaluarea se realizează în principal în vederea învăţării, prin forme, metode şi instrumente cât mai diversificate, orientate pe formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice:

– forme de evaluare: evaluare frontală, evaluare scrisă, evaluare asistată de calculator;

– metode de evaluare: conversaţia, explicaţia, observarea sistematică a activităţii şi comportamentului elevului, rezolvarea de probleme, autoevaluarea, jocul didactic, portofoliul, investigaţia, studiul de caz, proiectul etc.;

– instrumente de evaluare: fişe de lucru sau fişe de lucru individualizate, seturi de întrebări structurate, chestionare, teste de evaluare etc.

Programele şcolare de matematică pentru clasele a V-a si a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notaţii, teorie prezentată în extenso, demonstraţii exhaustive) şi cu accent pe formarea şi dezvoltarea competenţelor matematice prin exersarea cu scop, cu o mai bună legătură cu realitatea şi favorizând abordări intradisciplinare şi interdisciplinare. Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

CLASA a V-a

Programa şcolară de matematică pentru clasa a V-a realizează o continuitate între ciclul primar şi cel gimnazial, urmărind o construcţie curriculară logică şi coerentă, care îmbină nivelul intuitiv cu rigoarea specifică matematicii, construcţie adaptată caracteristicilor elevilor în această etapă de dezvoltare.

Abordarea problemelor prin metode aritmetice (atât la Numere naturale, cât şi la Fracţii ordinare. Fractii zecimale) are în vedere dezvoltarea capacităţii de analizare şi sintetizare a informaţiilor dintr-o situaţie-problemă, a raţionamentului logico-matematic. Se vor evita abordările algebrice (de altfel noţiunea de ecuaţie nu se regăseşte în programa de clasa a V-a, fiind introdusă în clasa a VI-a).

Noţiunile „cel mai mare divizor comun” şi „cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv multiplilor, iar identificarea „celui mai mare divizor comun”, respectiv a „celui mai mic multiplu comun” se realizeaza strict cu scopul utilizării acestor noţiuni în efectuarea operaţiilor cu fracţii. Prin urmare, se recomandă folosirea fracţiilor care au la numitor numere formate din cel mult două cifre, urmărindu-se cu prioritate fixarea regulilor de calcul şi crearea unui „simţ al numerelor” şi nu efectuarea unor calcule voluminoase.

Noţiunea de număr raţional se va prezenta doar la nivel intuitiv, ca exprimare prin forme echivalente de scriere a aceluiaşi obiect matematic; de exemplu: o doime, trei şesimi, 0,5 sau 50% reprezintă forme de reprezentare a aceluiaşi număr raţional, care semnifică o jumătate dintr-un întreg.

Abordarea elementelor de geometrie urmăreşte, cu precădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice şi formarea deprinderilor de identificare, investigare şi construcţie a figurilor şi corpurilor geometrice. De asemenea, se face trecerea de la perceperea intuitivă a noţiunilor geometrice de bază la reprezentarea şi notarea lor. Tema Figuri congruente se va prezenta în mod intuitiv, denumind „figurile congruente”, de exemplu, „figuri care pot fi suprapuse exact”. Pentru poligoane, acest lucru revine la faptul că „doua poligoane congruente au aceeaşi formă şi mărime, iar elementele corespondente (unghiuri, laturi) sunt congruente”.

La tema Probleme de utilizare a datelor, temă abordată şi în programa şcolara de matematică de la ciclul primar, introducerea noţiunilor de frecvenţă şi medie ca elemente care pot fi extrase dintr-o reprezentare statistică de date, urmăreşte familiarizarea elevilor cu unele metode de prelucrare, reprezentare şi interpretare primară a datelor statistice.

În toate activităţile de învăţare, accentul se va pune pe evidenţierea dimensiunii aplicative a cunoştinţelor matematice, în situaţii concrete cât mai variate, avându-se în vedere intradisciplinaritatea şi interdisciplinaritatea, dar şi utilizarea mijloacelor TIC. Astfel, se au în vedere stimularea şi menţinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

CLASA a VI-a

Programa şcolară de matematică pentru clasa a VI-a continuă demersul început în clasa a V-a din punct de vedere al prezentării intuitive/descriptive a noţiunilor, urmărind ca în final să se treacă la definirea riguroasă a unor concepte matematice şi la demonstrarea unor proprietăţi.

Pentru formarea şi dezvoltarea competenţelor specifice, la tema Mulţimi. Mulţimea numerelor naturale prezentarea noţiunilor se va realiza fără exces de limbaj formal sau de notaţii, utilizând multimi date doar prin diagrame sau prin enumerări de elemente, inclusiv în cazul operaţiilor cu mulţimi, cu legături intradisciplinare (elemente de bază ale geometriei de tip mulţimi de puncte, drepte etc.), urmărind şi dezvoltarea gândirii combinatorice.

La tema Rapoarte. Proporţii, conceptele vor fi introduse pe baza cât mai multor exemple din realitate, din cadrul altor discipline, din corelaţii intradisciplinare, nivelul de dificultate al aplicaţiilor raportându-se în principal la intuiţie şi observare directă, fără a se baza pe raţionamente ample. Aplicaţiile în zona proporţiilor derivate au rol de a anticipa utilizarea acestora în capitolul de asemănare, exersarea având scopul formării unor deprinderi de bază. Elevului i se vor crea situaţii de învăţare în care trebuie să colecteze date reale pentru stabilirea unor proporţionalităţi sau alte caracteristici ale unor serii de date, inclusiv prin învăţarea prin colaborare, fiind încurajat să emita ipoteze pe baza datelor colectate sau informaţiilor accesate din diverse surse (media, internet). Se vor utiliza jocuri practice prin care elevul să fie pus să experimenteze şi să identifice evenimente asociate experimentului (aruncarea zarului, alegerea unei bile dintr-o cutie etc.).

La temele Mulţimea numerelor întregi şi Mulţimea numerelor raţionale accentul trebuie pus pe introducerea numerelor din considerente şi necesităţi practice, reprezentarea pe axa numerelor fiind realizată cu scopul formării unor deprinderi de localizare. La utilizarea modulului, nu se va folosi calculul literal, acordându-se o pondere mare exemplelor numerice care utilizează distanţe măsurate pe axa numerelor. Pentru sprijinirea deprinderilor de calcul mintal, se vor utiliza jocuri didactice şi se va limita calcul numeric la zona de exersare relevantă.

Tema Noţiuni geometrice fundamentale continuă introducerea realizată în clasa a V-a (noţiunile de punct, dreaptă, segment, unghi) în aceeaşi manieră, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări cât mai naturale şi intuitive. Accentul va fi pus pe consolidarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor geometrice pentru realizarea desenelor specifice, pe utilizarea de softuri educaţionale în vederea facilitării înţelegerii/identificării mai bune/mai uşoare a unor caracteristici ale configuraţiilor geometrice.

La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. Activitaţile de învăţare de la calculul cu unităţi de măsură vor urmări formarea deprinderilor de bază, reflectând cât mai mult din realitatea înconjurătoare. Rolul introducerii teoremei lui Pitagora, fără demonstraţie, este de a sprijini întelegerea unor fenomene studiate la diverse discipline, iar exersarea trebuie să fie bine dimensionată, pentru a încuraja elevul în studiul geometriei şi sporirea gradului de atractivitate a matematicii.

CLASA a VII-a

În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Programa pentru algebră vizează continuarea studiului mulţimilor de numere prin introducerea mulţimii numerelor reale, pentru a fi folosite în rezolvarea de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii liniare, pentru organizarea datelor şi pentru calcule din cadrul geometriei.

Studiul geometriei se caracterizează prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matematice ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al acestora, bazat pe demonstraţie. Una dintre finalităţile aşteptate ale studiului geometriei prin proprietăţi este modelarea configuraţiilor geometrice pentru a calcula lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre şi arii.

La tema Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii se are în vedere formarea unor deprinderi de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare, utilizând diverse metode de rezolvare. Comparativ cu clasele anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizează prin metode aritmetice, problemele întâlnite în viaţa cotidiană vor fi rezolvate modelând cu ajutorul simbolurilor informaţiile deduse din enunţ, asociind în acest mod problemei o ecuaţie sau un sistem de ecuaţii.

La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii în triunghi şi în trapez, proprietatea centrului de greutate al unui triunghi, utilizând proprietăţi ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelogram, romb, triunghi şi trapez. Astfel, la final se va putea determina aria unui poligon prin descompunerea acestuia în figuri geometrice studiate. În continuarea studiului din clasa a VI-a al congruenţei triunghiurilor, la Asemănarea triunghiurilor se vor introduce teorema paralelelor echidistante şi teorema lui Thales, ambele fără demonstraţie. Cazurile de asemanare a triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor.

La Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic identificat în configuraţii geometrice sau practice date. Utilizând noţiunile prezentate la Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpurile geometrice studiate în clasa a VIII-a.

CLASA a VIII-a

În clasa a VIII-a se consolidează competenţele formate şi dezvoltate anterior pentru calculul numeric. Unele dintre formulele de calcul pot fi deduse, pe baza definiţiei (de exemplu, pentru aria laterală şi aria totală a unei prisme, piramide, cilindru etc.), altele, mai complexe, vor fi puse la dispoziţia elevilor. Înţelegerea şi aplicarea formulelor cu o anumită ritmicitate, în situaţii concrete cât mai diverse, facilitează interiorizarea acestora.

Tema Funcţii dezvoltă şi competenţele de interpretare a reprezentărilor grafice, realizându-se astfel o conexiune cu teme specifice domeniului de conţinut Organizarea datelor şi cu teme specifice de la Rapoarte. Proporţii din clasa a VI-a, pentru anumite situaţii particulare de funcţii.

În cazul geometriei în spaţiu, se va acorda o atenţie specială raţionamentului matematic şi argumentărilor personale. Pentru realizarea unor figuri utile în anumite raţionamente, este indicat să se insiste la început pe realizarea aceleiaşi configuraţii din diverse perspective. Aceasta conduce la o mai bună reprezentare mentală a conceptului respectiv, ca bază necesară interpretării diferitelor situaţii şi modelării corespunzătoare a situaţiilor concrete. Ca şi în clasele anterioare, utilizarea instrumentelor geometrice sau a softurilor este necesară pentru acurateţea reprezentărilor grafice ale configuraţiilor spaţiale, cu respectarea convenţiilor de desen.

“Prostul nu cunoaşte om mai deştept ca el”- Montesquieu

Cine nu caută într-un dicţionar, fie el şi virtual, definiţia unui cuvânt mai important pe care este nevoit să-l folosească din plin este demn de citatul de mai sus (găsit pe prima pagină a ziarului prezentat în continuare); totodată, cine citeşte definiţia cuvântului şi consideră apoi că ştie foarte bine, fără să mai caute, acesta se dovedeşte la fel de ignorant ca şi primul. Acesta este şi cazul intuiţiei, despre care trebuie să ne ocupăm mai amănunţit pentru că, de la toamnă va trebui să o folosim în predare, iar valenţele acestui cuvânt sunt atât de vaste încât, oricât ne-am preocupa cu studiul intuiţiei, putem avea surprize oricând, întâlnind aspecte noi.

Când mi-am propus ca în această vară să mă ocup ceva mai mult de subiectul intuiţie nu bănuiam că voi primi ajutor şi din alte părţi. Iată însă că în Nr. 29 al săptămânalului Magazin, din 20 iulie 2017 pe prima pagină am găsit articolul Creierul şi intuiţia. Să ne aplecăm un pic asupra acestui articol (din păcate nesemnat), în care apar câteva idei mai neobişnuite, de sorginte psihanalitică, despre subiectul nostru.

“Visul, intuiţia şi creativitatea sunt mesaje ale inconştientului”, scria C.G. Jung, cu aproape o sută de ani în urmă. Culmea este că nici astăzi despre creativitate, una dintre cele mai fascinante dintre capacităţile mentale ale creierului uman, nu se ştie mare lucru.

Creativitatea, pe care Jung o numea şi “mica intuiţie”, această capacitate misterioasă şi puternică, specifică dintre toate mamiferele doar omului, este înainte de toate mecanismul extraordinar şi fundamental al autotransformării. Cum se naşte, cum ajungem să folosim această maşinărie inefabilă cu sediul în creierul nostru, cum găsim căile, uşile, cheile potrivite? Cum folosim acest dar, pe care îl primim de la naştere, dar fără un manual de utilizare? (…)

Această fantastică capacitate, intuiţia, pe care o avem toţi, aceea de a anticipa, de a resimţi, de a ghici lucruri, de a vedea evenimente înainte ca ele să se producă, nu o folosim decât o dată din zece cazuri. Ea fiind, atenţie, cel mai bun aliat al nostru în momente dificile! Oare, putem să citim aceste rânduri prin prisma persoanei confruntată cu sarcina rezolvării unei probleme de matematică ne-mai-întâlnite, care nu seamănă cu nimic ce-a învăţat până acum şi pentru care nu are nici o reţetă clară de rezolvare? Dar, să revenim la citat: Cum reuşesc unii oameni să-şi utilizeze la maximum capacităţile intuitive în comparaţie cu alţii? Iată câteva explicaţii prezentate în Healthy Living.

Intuiţia este, ca şi gravitaţia, ceva foarte greu de explicat, în ciuda rolului pe care îl joacă în viaţa de fiecare zi. Steve Jobs numea intuiţia ceva “mai puternic decât intelectul”. Oricum am spune-o în cuvinte, ştim toţi, intuitiv, ce este. Toţi am experimentat acest sentiment, senzaţie, avânt inconştient, care ne împinge să facem ceva fără să ne spună de ce sau cum. “Eu definesc intuiţia ca o cunoaştere subtilă fără a avea idee de ce ai nevoie să cunoşti”, scria Sophy Burnham în cartea sa, Arta intuiţiei, şi adăuga: “E diferită de gândire, diferită de logică şi analiză … este o cunoaştere fără cunoaştere”. (…) “Nu trebuie să respingem logica ştiinţifică pentru a beneficia de instinct”, spunea Francis Cholle, autorul cărţii The Intuitive Compass (Busola Intuitivă), “trebuie să ne folosim de ambele unelte, pentru a găsi echilibrul”.

În continuare autorul articolului se lansează în căutarea unor căi de a putea întării forţa intuiţiei, plecând de la observarea vieţii actuale, care dimpotrivă, împiedică formarea capacităţilor intuitive ale individului: Rătăciţi în labirintul vieţii trepidante, dominate de grijile zilnice, hrană, muncă, distracţie, computer, telefon, televizor, de nebunie generatoare de stres etc., trebuie să ne oferim scurte răgazuri de singurătate, de linişte exterioară pentru a ne putea asculta vocea interioară. Singurătatea ne poate ajuta să dăm frâu liber gândirii creatoare, (…) Liniştea exterioară, fără a fi “bombardaţi” tot timpul cu impresii din afară, acestea pot fi modalităţi excelente de a ne descătuşa intuiţia.

Am putea înţelege de aici doar preocuparea pentru intuiţia adulţilor, crezând că copiii sunt feriţi de stresul vieţii cotidiene. Nimic mai greşit. Recitiţi doar încă o dată lista de mai sus şi veţi vedea cu câte sunt confruntaţi copiii la ora actuală; haideţi să luăm cazul fericit în care totul e bine şi apar doar acestea trei: distracţie, computer, telefon, ce-i drept strâns întrepătrunse, de obicei întrepătrunse “la purtător” prin renumitul smartphone, care este însă prezent 24-7, adică zi şi noapte în viaţa lor. Ei nu mai au ocazia să se plictisească, să-şi caute o preocupare creatoare. Primul lucru pe care trebuie să-l faci este de a observa atent lucrurile, dar pentru asta actualii elevi nu mai au timp, smartphone-ul şi al său WhatsApp fiind tot timpul “la datorie”, rupându-i constant din orice concentrare. Concluzia ce se impune este năucitoare: dacă dorim ca actualii elevi să mai aibă scurte intervale în care să-şi antreneze în linişte concentrarea, pentru a-şi trezi intuiţia, atunci trebuie să le oferim astfel de momente la şcoală, în timpul orelor. Ştiu că este puţin, dar altceva nu putem face. Părinţii oricum i-au abandonat în braţele “telefoanelor” diabolic de inteligente, de cele mai multe ori inconştienţi de ce au făcut (de aici în continuare internetul face totul; şi prietenii care se plictisesc şi îl bâzâie pe copilul conectat tot timpul: cf?, adică traducerea din engleză a lui whats up?).

Cum putem să le oferim momente de concentrare şi de a observa atent lucrurile în cadrul orelor de matematică? Folosind cât mai des predarea prin problematizare şi asta nu doar în cadrul rezolvării problemelor, ci şi în cadrul lecţiei, a “prezentării” noilor cunoştinţe, ce trebuie aduse cât mai des sub forma unor întrebări, urmate de scurte perioade de introspecţie, de căutare a unui posibil răspuns din partea elevilor. Ţin minte două exemple mai speciale în acest sens, ambele de la diferite generaţii de clasa a VI-a.

Primul exemplu se referă la felul cum “scoteam” de la elevi toate construcţiile cu rigla şi compasul din primul semestru (mediatoarea unui segment, bisectoarea unui unghi, coborîrea unei perpendiculare dintr-un punct pe o dreaptă, ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă într-un punct al său, construirea unui unghi congruent cu un unghi dat, construirea unei paralele la o dreaptă printr-un punct dat etc., totul fără echer!). O elevă din acea clasă a reuşit “să prindă şmecheria” şi le găsea foarte repede, aşa că o puneam să mai aştepte, poate reuşesc şi alţii să găsească o cale de construcţie (ea, până ce colegii săi se mai gândeau, uneori reuşea chiar să mai găsească încă o soluţie). Dar nu puteam aloca prea mult timp acestei aşteptări (2-3 minute, cel mult 5 în cazuri foarte importante). O dată, fiind mai grăbit, am vrut să divulgăm soluţia după numai un minut de gândire (eleva talentată avea deja răspunsul şi aştepta). În acel moment o altă elevă a sărit destul de “arţăgoasă”: staţi, staţi, numai puţin, să apucăm şi noi să gândim un pic! (după ce i-am mai lăsat două minute, şi cum nu mai apărea nici o altă reuşită, am prezentat totuşi soluţia la tablă) A fost evidentă însă dorinţa lor de a savura şi această ocazie de a gândi, alături de toate celelalte ce le aveau în orele de matematică. Înţeleseseră problema, nimic nu-i distrăgea şi căutau concentraţi o cale de soluţionare, o idee care să le lumineze calea (trebuie să menţionez că la noi în şcoală elevii predau telefoanele la începutul programului, aşa că în ore acestea nu îi distrag).

Al doilea exemplu se referă la lecţia despre trapez. Mă trezesc eu să filozofez în faţa clasei: dacă tăiem un triunghi oarecare cu o paralelă la o latură, se obţine un trapez oarecare; dacă tăiem un triunghi isoscel paralel cu baza, atunci se obţine un trapez isoscel. La care o elevă ridică mâna şi întreabă la fel de filozofic: dacă dintr-un triunghi isoscel obţinem un trapez isoscel, atunci dintr-un triunghi echilateral se obţine un trapez echilateral? Există aşa ceva?

Am reuşit să mă redresez destul de repede după micul şoc al acestei întrebări: Da, într-un fel. Dacă tăiem triunghiul cum trebuie obţinem la trapez trei laturi congruente şi baza cea mare dublul celei mici, iar în plus avem şi două unghiuri de 60^o (discuţia a fost mai lungă de fapt). Acest exemplu ne arată cum, obişnuiţi fiind să gândească la generarea lecţiilor, elevii devin cu timpul creativi, iar uneori răspunsurile lor scot în evidenţă aspecte la care nici nu te aştepţi. Asta poate fi numită deja cu adevărat creativitate.

Titus Grigorovici, 25.07.2017

Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă, reforma “din 1980”, uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.

Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie pe noul sistem, după câţiva ani de încercări ajungând să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).

Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.

În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, care va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a ce porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din  Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.

În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.

Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.

Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)

La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)

(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.

C. Titus Grigorovici, 10.07.2017

În spiritul unei predări vii, intuitive, este bine să le cerem elevilor să construiască din carton corpurile geometrice studiate. O problemă în acest sens o reprezintă însă chiar procurarea unui carton potrivit. În acest sens m-am gândit că multe ambalaje au exact textura şi grosimea potrivite pentru aşa ceva. Aşa că m-am pus pe treabă pentru a verifica personal dacă funcţionează. Iată ce a ieşit:

În fundalul pozei am pus şi lipiciul cu care am lucrat, adezivul universal de la UHU. Se pot confecţiona astfel mare parte din corpurile studiate, acest proces ajutându-i pe elevi să înţeleagă şi mai bine corpurile şi formulele acestora, mai ales cele de arii. Se pot desigur confecţiona şi alte corpuri în afara celor din materia oficială. Bucuria unui elev când face un astfel de corp este foarte mare (atrăgându-l astfel puternic către matematică). Dau în acest sens doar câteva exemple: un octaedru regulat (opt feţe triunghiuri echilaterale); o antiprismă patrulateră (două baze pătrate rotite unul faţă de celălalt cu 45^o şi opt feţe laterale triunghiuri isoscele, cu vârfurile alternativ în sus sau în jos); un tetraedru neregulat cu lungimile muchiilor date; diverse tetraedre cu feţe dreptunghice, mai mult sau mai puţin regulate etc.

Aici se deschide o nouă discuţie: corpurile ar trebui făcute înaintea sau ulterior lecţiei respective? Elevilor le place mult mai mult înainte (au ocazia să devină ei creativi), dar în acest caz procesul este mare consumator de timp. Dimpotrivă, confecţionarea poate fi dată şi ca temă după lecţie, dar în acest caz există mari şanse ca să le facă părinţii. Eu am încercat şi altă variantă, anume să-i pun pe elevi să confecţioneze primele corpuri la sfârşitul clasei a VI-a, ca aplicaţie la construcţia exactă a figurilor geometrice cu rigla şi compasul. Această încercare poate deschide astfel o nouă linie de discuţie, anume: la ce vârstă ar fi potrivite confecţionările corpurilor geometrice? De aici putem merge apoi mai departe cu gândul la modificările programei: dacă la cunoaşterea figurilor geometrice plane am confecţionat şi corpuri, atunci nu ar trebui să le calculăm aria în clasa a VII-a, ca aplicaţii la calculele învăţate (de pildă în finalul anului, ca recapitulare)? Interesante întrebări! Da, da!

TITUHUS

Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă – reforma “din 1980” uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.

Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie după câţiva ani de încercări, ajungând cu timpul să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).

Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.

În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, ce va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a care porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din  Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.

În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.

Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.

Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)

La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)

(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.

Titus Grigorovici, 10.07.2017

Programa clasei a VII-a cuprinde de foarte mulţi ani (de prin 1998?) studiul complet al rădăcinii pătrate, prin aceasta înţelegând introducerea noţiunii, apoi extragerea rădăcinii, ideea de număr iraţional şi calculul algebric cu numere reale. Sunt prea multe etape cuprinse într-un singur capitol, astfel încât foarte mulţi elevi ajung bulversaţi şi nu înţeleg de fapt mai nimic. Aruncând o privire în străinătate observăm că peste tot în lume acest proces se întinde pe parcursul câtorva ani, fiind eşalonat în două mari faze: una, să-i spunem “aritmetică”, iar a doua – dacă aceasta mai apare – o fază “algebrică” (de obicei în liceu). Pentru înţelegerea noţiunii de rădăcină pătrată elevii au nevoie să petreacă în prima fază mult mai mult decât cele 2-3 ore alocate prin programă.

De foarte mulţi ani predau prima fază, cea aritmetică, într-o serie de lecţii după cum urmează. Aceste lecţii (de descoperit intuitiv cu elevii în clasă) se pot înţelege foarte uşor urmărind temele date din fişa de lucru anexată prezentei postări.

• Tabla pătratelor perfecte şi introducerea rădăcinii pătrate ca operaţie inversă la ridicarea la pătrat. La această metodă scriem pur şi simplu primele trei-patru coloane de pătrate perfecte (prima coloană 1²=1, 2²=4, …, 10²=100; a doua coloană 11²=121, …20²=400; a treia coloană 21²=441,…). Prima coloană este cunoscută, a doua coloană este de învăţat pe de rost. De obicei mă apuc să scriu şi tabla rădăcinii pătrate, adică forma “în oglindă”, dar după câţiva paşi concluzionăm toţi că de fapt nu are rost să ne mai ostenim, pentru că ne descurcăm cu prima variantă. Acest pas nefăcut, dar atins, este foarte important pentru că elevii conştientizează de fapt că ei pot gândi, că o treabă ciudată precum radicalul se bazează pe ceva foarte uşor, că radicalul este operaţia de probă a ridicării la pătrat, adică a înmulţirii unui număr cu sine. Ca temă de casă a acestei lecţii sunt exerciţiile 1, 2 şi 3 de pe fişă. Aceasta este prima metodă de extragere a rădăcinii pătrate, anume cu tabla pătratelor perfecte şi învăţarea rezultatelor pe de rost.
• Metoda găsirii intuitive a rădăcinii pătrate. Lecţia următoare poate începe cu comentariul despre rădăcina pătrată a lui 2500. Astfel, putem redacta o nouă coloană de pătrate perfecte, anume 10²=100, 20²=400, 30²=900, … 90²=8100, 100²=10000. Pe baza acestei noi liste putem deduce o a doua metodă de găsire a rădăcinii pătrate, una foarte intuitivă. Găsiţi pentru aceasta explicaţii în cadrul exerciţiului 4 de pe fişa de teme, dar şi în poza tablei de la lecţia respectivă. Pentru pasul al doilea al metodei trebuie să faceţi însă un studiu al evoluţiei ultimelor cifre a pătratelor pe tablă pătratelor perfecte din lecţia precedentă. Tema de casă a acestei lecţii cuprinde exerciţiile 4 şi 5, cu extindere la 6 şi 7. Această metodă îi ajută pe elevi să pătrundă foarte bine natura rădăcinii pătrate, deoarece îi obligă tot timpul la probă. Pentru că este o metodă în general necunoscută vă ofer şi poza tablei de la această lecţie:

• A treia metodă studiată este determinarea rădăcinii pătrate prin descompunerea în factori primi. Şi aceasta poate fi uşor dedusă împreună cu elevii – predare prin problematizare – pe baza analizei câtorva descompuneri a unor numere şi a pătratelor perfecte ale acestora. La întrebarea unor elevi despre ce se întâmplă dacă la descompunere apare un factor “singur”, răspunsul este simplu: în acest caz nu avem pătrat perfect şi pe acestea le vom studia mai târziu. Tema de casă la această lecţie constă în exerciţiul 8
• A patra metodă de calcul este cunoscutul algoritm de extragere a rădăcinii pătrate, legat de care aici trebuie să fac câteva observaţii metodologice. În această lecţie facem doar exemple care “ies exact”, adică cu radicali din pătrate perfecte (îi ajută pe elevii începători, dându-le siguranţă , respectiv bucuria rezultatului final în cazul calculului corect). Este foarte important ca să ajungem repede la exemple în care pasul al doilea să devină repetitiv, adică să luăm pătrate perfecte cu cel puţin 5-6 cifre. Cu cât numărul de sub radical este mai mare, cu atât metoda se înţelege mai bine. Tema acestei lecţii este exerciţiul 9.
• În a cincea oră luăm exerciţii “cu virgulă”, studiind rădăcina pătrată cu rezultate fracţii zecimale. Acestea sunt de două tipuri. În primul rând apar exemple ca în exerciţiul 10, anume rădăcini din fracţii zecimale “pătrate perfecte”, a căror mecanism se înţelege destul de repede, iar apoi se trece la extragerea rădăcinii din numere care nu sunt pătrate perfecte. Aici apare ideea de aproximaţie; tot aici sunt calculate cu 2-3-4 cifre zecimale rădăcinile lui 2, 3, 5 etc. Desigur că lecţia a 5-a se poate prelungi pe parcursul a 2-3 ore. În cadrul acestei lecţii scriem pe marginea paginii o listă cu rădăcinile pătrate ale numerelor naturale, cu razultatele scrise de la început ale radicalilor din pătrate perfecte; acum se vede foarte clar care este următoarea sarcină, anume calculul aproximativ al rădăcinilor numerelor nepătrate perfecte (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 etc.)

Cât rămânem cu elevii la nivelul aplicativ aritmetic, aceasta este o altă discuţie şi ţine de felul cum înţelegem gândirea copilului. Eu personal încerc să rămân cu clasa a VII-a în această fază măcar câteva săptămâni. Concret, în ultimii ani am trecut la calcule algebrice cu numere reale de-abia în semestrul II. Pe de altă parte, această etapă de introducere a rădăcinii pătrate ar putea fi inclusă lejer deja în clasa a VI-a, aşa cum era înainte de a fi aduse în clasa a VII-a la finalul anilor ’90.

Titus Grigorovici

Rădăcina pătrată exactă – Fișă de lucru.pdf

“Da’ nu-nţeleg! Mi se pare că la şcoală mergem să-nvăţăm …, sau?” (nedumerirea exprimată de un elev “de 10” din clasa a VIII-a după ce a priceput cât era de simplă lecţia groaznic de grea primită la şcoală)

Din păcate, mulţi profesori parcă au doar acest obiectiv în minte, atunci când vin în clasă şi predau lecţia, anume să-i chinuie pe elevi cât mai mult, să-i înjosească şi să-i scârbească de matematică, mai pe faţă spus, să le arate cât sunt de proşti. Cel puţin aceasta este aparenţa. Nu mă interesează ce-o fi în sufletul acestor profesori, dar haideţi să aruncăm o privire asupra unor reguli de bun simţ încălcate în predarea matematicii, exemplificate cu această ocazie pe elemente din materia de algebră a clasei a VIII-a din semestrul I.

• În prima lecţie de prezentare a sistemelor de ecuaţii nu se dă elevilor o formă generală cum sunt cele folosite la determinanţi în clasa a XI-a (de exemplu, a₁x + b₁y = c₁ ). Acelaşi gând este valabil şi la ecuaţia de gradul al II-lea, deşi aici situaţia nu este atât de gravă datorită lipsei indicilor. Atât sistemele de ecuaţii, cât şi ecuaţiile de gradul II trebuie prezentate pe baza unor exemple (care se şi rezolvă cât de curând). De-abia ora următoare elevii nu vor mai fi bulversaţi dacă le prezentăm forma generală.
• Metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii este lungă, grea (greu de înţeles) şi mai ales destul de neexactă. A începe predarea sistemelor de ecuaţii cu această metodă este una din gafele cele mai mari ale reformei impuse de către profesorii universitari în 1980. Învăţată după cele două metode algebrice gimnaziale (substituţiei şi reducerii) aceasta nu-şi mai are sensul. Parcursă însă după reprezentarea grafică a funcţiilor de gradul I, această metodă capătă un oarecare sens, arătând că ecuaţiile cu două necunoscute sunt doar o altă faţetă a fenomenului de funcţie.
• Dacă tot am luat “sub lupă” metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii, haideţi să mai facem o scurtă precizare: în această metodă soluţia se obţine la intersecţia dreptelor soluţiilor celor două ecuaţii, şi nu din întâmplare în tabelele realizate pentru reprezentarea grafică. Soluţia se găseşte desigur cu condiţia ca dreptele să fie reprezentate foarte exact. Pentru a evita găsirea soluţiei din întâmplare, eu am oferit elevilor următorul exemplu: –x + y = 2 şi 2x – y = 3. În speranţa că elevii vor completa în tabele numere din jurul originii (numere cât mai mici), este de aşteptat ca elevii să găsească soluţia (5,7) de-abia după reprezentarea grafică a celor două drepte.

Desigur că arsenalului de metode folosit pentru speriatul elevilor este mult mai vast şi bine adaptat pentru bulversatul acestora la orice vârstă. Am întâlnit de pildă o metodă de derivat funcţiile compuse absolut năucitoare: şi mie, ca profesor cu un sfert de secol vechime, mi-a luat 10 minute să înţeleg ce vrea şi cum funcţionează aceasta. Cum să ne aşteptăm ca elevii să înţeleagă ceva din prima oră, după o astfel de lecţie?

Poate pare neserioasă tema acestei postări, anume îndepărtarea elevilor de matematică prin chiar felul în care predăm, dar şi însuşi marele Pólya s-a exprimat în acest sens în  Descoperirea în matematică, atunci când spunea: nu insistaţi prea de timpuriu sau prea mult asupra aspectului axiomatic al geometriei – dacă nu vreţi să-i dezgustaţi pe elevi de geometrie. Vă sună cunoscut? (aceasta este cealaltă mare gafă impusă prin manualele gimnaziale ale reformei din 1980 în învăţământul românesc).

Un profesor really pissed off!

Foarte multe lecţii sau chiar capitole sunt de obicei aranjate conform criteriilor rigurozităţii matematice ştiinţifice. Nevoile elevilor – aflaţi la primul contact cu materia – sunt însă de obicei altele, deseori opuse, acestea ţinând mai degrabă de criterii psihologice. Astfel, linia cea mai sănătoasă, recomandată de către toţi specialiştii în didactică, este drumul de la concret la abstract, de la cunoscut la nou, de la ceea ce elevul cunoaşte şi stăpâneşte la ceea ce urmează a fi prezentat ca material nou.

Capitolul despre proporţionalitate şi asemănare în geometrie este un exemplu perfect în acest sens. Plec de la premiza că este cunoscută cititorilor ordinea lecţiilor din manuale. De prin 2000 eu predau însă la începutul acestui capitol o lecţie de prezentare în care parcursul este unul profund intuitiv, plecând de la o problemă cunoscută din clasa a VI-a, şi ajungând la teoremele capitolului nou în urma unui proces de abstractizare în paşi clari. Pasul de la o etapă la următoarea se face sub întrebarea “la ce putem renunţa din forma precedentă?”. Astfel, la primul pas (1→2) am renunţat la ciobănaş, la oiţe, dar şi la planul orizontal, care ne dădea unghiul drept, total nerelevant pentru studiul nostru. La al doilea pas (2→3) am renunţat la elementele din natură, rămânând cu totul în domeniul geometriei. Următorul pas (3→4), la fel ca la congruenţa triunghiurilor (unde acestea erau constatate ca “egale prin suprapunere”), face o încercare de suprapunere. Desigur că nu funcţionează, dar încercămsuprapunerea măcar într-un colţ, adică pe un unghi comun. În acest caz “se pierd” şi congruenţele de unghiuri, două dintre aceste relaţii fiind înlocuite cu paralelismul a două laturi corespunzătoare (desigur, cu sprijinul teoriei unghiurilor alterne interne). În pasul final (4→5) se renunţă şi la “ultimul sprijin” care ne-a însoţit în precedentele etape ca o schelă de nădejde, anume culoarea (verde de la brad, respectiv roşu de la stâlp). Cu ce rămânem la sfârşit? Cu o proporţie de patru segmente. În acest fel am sintetizat esenţa acestui capitol, anume manifestarea proporţiei unor segmente în geometrie.

Un aspect metodic merită a fi relevat aici: ne plângem de multe ori că elevii “nu învaţă”. Procedând însă după cum am arătat, vedem cum elevii învaţă aranjarea segmentelor proporţionale prin repetarea succesivă chiar în cadrul lecţiei de la clasă. Desigur că scrierea acestora cu cele două culori ale problemei încetineşte parcursul lecţiei, dar vă garantez că creşte vizibil înţelegerea fenomenului de către elevi. Practic, elevii au scris proporţionalitatea segmentelor în câteva forme (primele trei identice dar pe situaţii trensformate, ultimele două apoi tranformate profund).

Merită să precizez în acest context că în Germania ultima situaţie (numită la noi Teorema lui Thales) este cuprinsă în toate formele sale sub titlul de Teoremele de proporţionalitate. Nu există nici măcar un indiciu istoric cum că Thales ar fi dat o astfel de teoremă, ci doar povestea despre stabilirea înălţimii piramidei; aceasta însă presupune exact situaţia de început din problema clasei a VI-a cu stabilirea înălţimii bradului.

După această lecţie introductivă vin în ordinea cunoscută lecţiile din programă luate una câte una: Teorema lui Thales, Teorema fundamentală a asemănării, respectiv Cazurile de asemănare ale triunghiurilor, fiecare cu paşii cunoscuţi.

Înainte de a vă prezenta pozele tablei cu această lecţie inedită trebuie să accentuez atenţia ce o dau părţii estetice, cum ar fi faptul că cele cinci faze trebuie cuprinse, sub forma unui tablou, pe două pagini alăturate ale caietului studenţesc de matematică (primele două tablouri formând “actul I” apar pe pagina din stânga, respectiv ultimele trei tablouri formând “actul II” pe pagina din dreapta). Astfel, lecţia ne apare ca o adevărată “operă”, lăsând impresii puternice în sufletul elevilor. Desigur că şi pe tablă scrisă de profesor întreaga lecţie apare unitar, fără ştersături, elevii putând în orice moment privi în urmă la procesul de transformare a formelor geometrice şi a scrierii corespunzătoare.

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. Lecturând din Descoperirea în matematică a lui George Pólya, pasajul în care acesta vorbeşte despre cât sunt de necesare sau nu demonstraţile de la un caz la altul, de la o vârstă la alta sau de la un nivel de maturitate matematică la altul, în funcţie de elev (pag 324-326), mi-am dat seama că trebuie să fac aici o anumită precizare.

La actualii elevi de clasa a VII-a lecţia prezentată în această postare ţine în mod intuitiv loc de demonstraţie pentru Teorema fundamentală a asemănării, pentru Teorema lui Thales, în forma directă sau reciprocă a acestora, dar şi pentru cazurile de asemănare a triunghiurilor. Oricum, demonstrarea Teoremei lui Thales în cazul iraţional nu este posibilă la nivelul gimnazial, dar de fapt nici măcar în cazul raţional nu mai trebuie să ne obosim a o explica. Astfel, pot fi abandonate din predare diferite elemente ce îi sperie pe elevi la începutul acesti capitol, cum ar fi teorema paralelelor echidistante.

Din punctul meu de vedere, Teorema fundamentală a asemănării, Teorema lui Thales, în forma directă sau reciprocă, dar şi cazurile de asemănare a triunghiurilor se învaţă prin înţelegere intuitivă şi se aplică simplu, ca atare, în rezolvări de probleme sau în demonstraţii.

Desigur că acest Post Scriptum deschide larg poarta pentru apariţia unei întrebări năucitoare: De fapt, trebuie să demonstrăm teoremele din geometria şcolară sau nu? Poate întrebarea ar trebui pusă, mai exact, astfel: Care teoreme ar trebui demonstrate şi care nu? La această întrebare, eu aş răspunde cu o contraîntrebare: Din punct de vedere al elevului – al posibilităţilor sale de înţelegere, dar şi al nevoilor sale de dezvoltare intelectuală – care demonstraţii ar trebui parcurse şi care omise? (omise simplu sau înlocuite cu diverse justificări intuitive ca în exemplul de mai sus) Consider însă că aceste întrebări pot reprezenta subiectul pentru un nou eseu, despre care mă voi preocupa în curând.