Mulţimile de numere ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

De multe ori elevii sunt bulversaţi de denumirile date de matematicieni diverselor clase de numere: numerele naturale şi cele reale sunt ceva mai clare, pe când cele întregi şi cele raţionale nu coincid nici măcar la prima literă cu denumirea denumirea dată mulţimilor. Apariţia, din câte ştiu doar în România, a unei notaţii pentru mulţimea numerelor iraţionale, care nu respectă modelul de extindere al precedentelor mulţimi, îi bulversează şi mai mult pe elevi (nu avem, de pildă, o denumire pentru numerele raţionale care nu sunt întregi).

Fără pretenţia de a a fi găsit forma ideală de predare, vă prezint totuşi pozele tablei de la lecţia ce o fac de mulţi ani în această formă. Concret, lecţia le-o predau elevilor în patru forme succesive diferite, fiecare cu povestea ei (totul într-o oră, chiar mai puţin).

În prima formă le şi spun elevilor că îi invit la o călătorie cu un balon cu aer cald, în care vom survola de la mare înălţime matematica. Astfel, în timpul zborului vedem operaţia de bază (adunarea) cu operaţia de probă (scăderea). O adunare repetată înseamnă înmulţirea, care are ca operaţie de probă scăderea. O înmulţire repetată reprezintă operaţia de putere, având ca probă rădăcina (aici analogia este cam subţire, deoarece elevii nu cunosc decât rădăcina pătrată, da’ nu ne împiedicăm de astfel de detalii minore). Cele trei operaţii directe aplicate pe numere naturale dau întotdeauna rezultate naturale. Dimpotrivă, fiecare operaţie de probă, lăsată să opereze la întâmplare, generează un nou tip de numere.

Din câte ştiu, denumirile celor patru mulţimi au fost date de către David Hilbert, aşa că, cel puţin în cazul numerelor întregi şi a celor raţionale am căutat în limba germană. Astfel, litera Z a fost aleasă de la cuvântul Zahl (număr în germană, zählen = a număra) iar litera Q de la cuvântul Quozient (cât, adică rezultatul unei împărţiri, tot din germană). Nu sunt sigur, este doar o presupunere, dar această teorie le dă elevilor o explicaţie plauzibilă.

A doua formă oferită scoate în evidenţă exact ce am prezentat în prima parte, anume că fiecare operaţie de probă nouă duce la o extindere a mulţimii de numere. Imaginea este una de pungă în plasă în sacoşă în geamantan (putem spune şi pungă în sertar în dulap în cameră). Pentru stabilitatea înţelegerii am păstrat şi culorile folosite iniţial.

A treia formă este probabil cea mai cunoscută; singura observaţie ar fi că la trecerea de la mulţimea Z la Q le atrag atenţia elevilor că nu mai putem prezenta numerele într-o secvenţă ordonată fără lipsuri.

Ultima formă, cea a axei numerelor, se înţelege cel mai greu din această imagine. Pe tablă, eu am păstrat diferitele culori iniţiale şi am desenat numerele: la început cele naturale ca paşi, la fel apoi şi cele întregi, apoi cel raţionale cu multe liniuţe (cele care dau impresia de iarbă), iar în final am evidenţiat faptul că numerele reale umplu toată axa, trăgând în sfârşit concret axa numerelor. Deci, să fie clar: axa numerelor nu am desenat-o de la început, ci numerele le-am poziţionat iniţial doar aliniate.

Titus Grigorovici

Compararea fracţiilor ordinare – Un studiu al diferitelor metode

Elevii vin din clasa a IV-a cu o parte din această lecţie învăţată. Dacă se începe capitolul de fracţii ordinare din semestrul I în clasa a V-a cu o preocupare intensă pentru reprezentarea fracţiunilor şi a fracţiilor în diferite forme geometrice (părţi din disc-lipii, pătrat, dreptunghi, triunghi etc.) şi se folosesc acestea în diferite probleme de pătrundere a fenomenului, atunci elevii vor enunţa de la sine – adică din înţelegere şi din amintiri din clasa a IV-a – primele criterii de comparare a fracţiilor ordinare. Deci, aceste prime criterii ar trebui să fie enunţate de către elevi pe baza unei minime experienţe, adică predominant intuitiv, profesorul ajutând procesul cu fineţe, dând doar exemple cu semnul întrebării.

  1. Fracţii cu acelaşi numitor: dacă două fracţii au acelaşi numitor, ordinea este aceeaşi cu ordinea numărătorilor. Exemple: .
  2. Fracţii cu acelaşi numărător: dintr-un exemplu bine ales (vezi primele două exemple) elevii vor putea explica faptul că dacă două fracţii au acelaşi numărător, atunci ordinea lor este inversă ordinii numitorilor. Exemple: .
  3. Metoda grafică elementară: la compararea fracţiilor , acestea se pot reprezenta fiecare ca parte dintr-un întreg circular; din compararea celor două desene alăturate se poate stabili care fracţie este mai mare.
  4. O metodă grafică aparte: fracţiile şi se pot compara reprezentându-le grafic prin împărţirea unui dreptunghi cu lăţimea de 5 şi lungimea de 7 pătrăţele. Pentru prima fracţie împărţim cu o culoare întregul pe lăţime în cinci fâşii din care haşurăm cu această culoare trei fâşii, iar pentru a doua fracţie împărţim întregul pe lungime cu o altă culoare în şapte fâşii din care haşurăm cu această a doua culoare doar patru fâşii. În final avem dreptunghiul întreg împărţit de fapt în 35 de pătăţele, prin cele două culori, şi trebuie doar să numărăm câte sunt mai multe, cele din prima sau cele din a doua culoare. Este clar că această metodă deschide uşa pentru aducerea la numitor comun, dar este recomandabil să lăsăm mai spre final metodele foarte generale (cunoscând o metodă generală, elevul va accepta mai greu alte metode; în acest caz nu ne putem atinge unul dintre obiectivele majore ale unui învăţământ sănătos: deschiderea cât mai largă a minţii elevului).
  5. Fracţie subunitară < fracţie supraunitară: dacă au înţeles cele două tipuri de fracţii vor putea rezolva direct şi aceste exemple; apoi se trece în caiet regula.
  6. Compararea fracţiilor subunitare faţă de jumătate: elevii cu simţul dezvoltat pentru fracţii vor observa uşor dacă o fracţie subunitară reprezintă mai mult sau mai puţin decât jumătate. Exemple: .
  7. În general, compararea celor două fracţii faţă de o altă cantitate intermediară: de exemplu putem ordona crescător fracţiile şi , comparându-le (eventual grafic) cu fracţia intermediară , care este destul de cunoscută şi vizual. Deci . Un exemplu în acest sens ar fi şi următorul: fracţiile  şi  pot fi comparate cu .
  8. Comparând diferenţele până la un întreg: în cazul fracţiilor şi , diferenţele până la un întreg sunt . Este evident că .
  9. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi diferite: în acest caz ordinea este dată de întregi. Exemplu: .
  10. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi egale: în acest caz ordinea este dată de părţile fracţionare, după celelalte criterii. Exemplu: .
  11. Aducând fracţiile la acelaşi numitor, prin amplificare sau prin simplificare. Aceasta este lărgirea cadrului de aplicabilitate a primei metode. Pentru deschiderea cât mai clară a gândirii elevilor este evident că trebuie să oferim şi exemple cu simplificare. Exemple:
  12. Aducând fracţiile la acelaşi numărător, prin amplificare cât şi prin simplificare. Aceasta este desigur lărgirea cadrului de aplicabilitate a celei de-a doua metode. Această metodă este importantă, la fel, pentru formarea la elevi a unei gândiri căt mai deschise. Aici este important să alegem exemple la care aducerea la numitor comun să fie mult mai dificilă decât aducerea la numărător comun (din punct de vedere al calculelor). Exemple: .

Ultimul exemplu deschide evident calea spre o generalizare ce ar reprezenta pasul spre o abordare algebrică a situaţiei. Dar, acum în clasa a V-a, încă nu este vremea pentru aşa ceva. Acum, în această lecţie, obiectivul a fost unul mai modest (dar prin aceasta mult mai ambiţios), anume ca elevii să petreacă o oră cât mai profundă în compania fracţiilor ordinare, întru înţelegerea acestora. Atât şi nimic mai mult. Şi totuşi, este de aşteptat ca seminţele plantate cu această ocazie să rodească pe viitor, iar atunci vom simţi din plin roadele acestei lecţii.

Titus Grigorovici

În primăvara lui 2015

Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (2) – analiza metodicii

O analiză a proiectului de programă de matematică pentru gimnaziu (ian. 2017), cu privire asupra aspectelor metodico-didactice sugerate, sau nesugerate dar necesare, îşi mai are rostul (acum, în martie) decât în sensul boem, de amorul artei, pentru că, la nici două săptămâni de la închiderea aplicaţiei pentru strângerea părerilor profesorilor, comisia de la minister a şi publicat forma finală a programei de matematică pentru gimnaziu.

Astfel, în data de 22 feb. echipa ISE ne-a transmis mulţumiri pentru implicare în consultare, invitându-ne să vizităm aplicaţia cu rezultatele procesului de consultare la adresa http://www.ise.ro/proiectele-de-programe-scolare-pentru-gimnaziu-in-consultarea-specialistilor-si-a-practicienilor . La adresa respectivă am aflat că mai puteam trimite propuneri până în 24 (dar oamenii mai şi lucrează: o mică simulare planificată la a VIII-a şi nu mai ai timp de altceva o vreme). Tot aici am aflat printre altele că profesorii nu s-au prea implicat, cu excepţia celor din Bucureşti, Suceava şi Iaşi. Oare de ce? Totodată, la această adresă se găseşte şi programa „revizuită”, dar la care nu am găsit ulterior nici măcar o singură schimbare semnificativă (de găsit la http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Programa_mate_clasa_V_VIII_21_02_2017-fg.pdf ).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să fim pozitivi şi să privim partea plină a paharului, anume cât de multe aspecte pozitive noi a adus această propunere, şi să analizăm totuşi câteva din aspectele metodico-didactice sugerate de către autori, sau dimpotrivă nesugerate dar necesare de a fi luate în seamă de către profesori. Astfel, multe din gândurile exprimate în acest proiect înspre schimbarea metodicii predării matematicii în gimnaziu sunt atât de novatoare în matematica ultimilor peste 30 de ani în România, încât mă simt nevoit să le reiau în citate (prezentate înclinat) şi să le comentez separat, adăugând şi unele explicaţii suplimentare.

1) Analiza sugestiilor metodologice din proiectul de programă: În procesul de predare-învăţare-evaluare se creează oportunităţi pentru ca elevii să fie conduşi spre conexiuni între diferite teme, între abstract şi practic…(pag 30) Sarcinile de învăţare vor fi eşalonate după gradul lor de dificultate, însemnănd că acestea trebuie să fie eşalonate şi după gradul lor de abstractizare. De pildă, la introducerea operaţiei de putere, la studiul numerelor naturale din clasa a V-a, după cum am arătat în prima parte, eşalonarea trebuie să fie clară pe baza nivelului de abstractizare. Astfel, în prima parte se tratează operaţia din punct de vedere aritmetic, respectând ordinea operaţiilor. Apoi – sugeram la analiza conţinuturilor ca aceasta să se întâmple peste cca. o săptămână – în a doua parte să se treacă la proprietăţile operaţiei de putere, acestea fiind de sorginte algebrică, ele deschizând posibilităţi evidente de încălcare a ordinii operaţiilor.

Să analizăm şi alte astfel de exemple. În propunerea comisiei apare eşalonat studiul geometriei, într-o primă fază cunoaşterea elementelor geometrice mai ales prin intermediul construcţiilor cu instrumente geometrice, într-o a doua fază mai accentuat prin intermediul raţionamentului demonstrativ. În acelaşi sens am propus la analiza conţinuturilor, eşalonarea cunoaşterii numerelor reale din clasa a VII-a în două părţi: în semestrul I o abordare din punct de vedere aritmetic prin calcularea mărimilor în formă practică aproximativă (3,14 pentru π sau 1,73 pentru rădăcina lui trei etc.), iar în semestrul al II-lea abordarea algebrică a numerelor iraţionale, cu folosirea rezultatelor exacte (practicată la ora actuală).

Conform sugestiilor metodologice din acest proiect introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de conţinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea înconjurătoare…(pag. 30). Sunt într-u totul de acord cu această sugestie; urmez acest principiu de foarte mulţi ani. De exemplu, pentru necesitatea aducerii fracţiilor la acelaşi numitor în vederea adunării acestora, de 25 de ani foloseam următoarea întrebare ca pornire a procesului de gândire: “cât face o jumătate de pâine cu un sfert de pâine?” Întotdeauna primeam răspunsul “trei sferturi de pâine”, din care apoi deduceam lecţia. În urmă cu 8-9 ani am întâlnit primul copil care nu a ştiut să-mi răspundă la această întrebare (la o cercetare mai amănunţită am constatat că în toată viaţa lui văzuse doar pâine gata feliată în pungă de la supermarchet, pâine feliată în stilul “cozonac”).

Ideea este că observăm cum, încet dar sigur, exemplele din realitatea înconjurătoare se restrâng. Cam tot de prin 2010 nu mai găsesc la clasa a VIII-a elevi care să-mi răspundă spontan la întrebarea “câte feţe are un zar?” Am nevoie de această informaţie în cadrul lecţiei despre cub unde consider că formula de arie totală trebuie să o dea elevii pe bază de gândire simplă (ştiu aria unui pătrat; zarul e un cub şi are 6 feţe, deci aria totală a cubului este 6a2). La această întrebare elevii unei clase se împart la ora actuală în două mari categorii: cei care se vede clar că nici măcar nu se gândesc şi cei care încep să numere feţele unui cub imaginar, gest însoţit chiar de o mişcare fizică a capului. Mai de mult nu era aşa; îi întrebam şi primeam spontan răspunsul 6, apoi imediat şi 6a2. De unde această situaţie? Simplu! Ce copil se mai joacă la ora actuală jocuri de mutat piese la care se aruncă cu zarul?

Iată şi un exemplu mai vechi: la începutul anilor ’90 toţi elevii ştiau să socotească cu 25 şi cu vecinii săi, datorită folosirii zilnice a monedelor de 25 bani şi a bancnonetor de 25 de lei. De pildă, orice elev ştia că din 100 lei poţi cumpăra patru ciocolate de 24 lei. La fel, orice elev la descompunerea lui 75 ştia să împartă la 3. Acum nu mai ştiu. La descompunerea lui 75 văd doar divizibilitatea cu 5.

Nu mi-am propus să citez toată partea de sugestii metodologice din prezenta propunere de programă, dar trebuie să scot în evidenţă faptul că magicul cuvânt intuiţie a fost folosit în diferite variante de 19 de ori în această parte. Acest cuvânt mai apare şi în nota de prezentare, dar şi în prezentarea conţinuturilor. Într-adevăr cuvântul magic intuiţie este una din cheile de bază în descuierea gândirii şi trezirea interesului elevilor pentru matematică. În acest sens să reiau un citat prezentat de Eugen Rusu în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. Didactică şi pedagogică, 1978), la pagina 37: “Cu intuiţia descoperi, cu logica stabileşti”. (J. Hadamard)

Începând de la reforma uitată din 1980, profesorii au fost vânaţi la propriu, cu ocazia inspecţiilor, să nu mai folosească intuiţia în predare, aceasta nefiind compatibilă cu nou-slăvita predare axiomatică. Rămâne de văzut cum vor reuşi profesorii să-şi seteze predarea pe noua linie, respectiv cum vor fi sprijiniţi prin structurile de formare şi formare continuă în acest sens. Pentru că acum ne putem doar întreba: oare, câţi profesori mai ştiu să folosească intuiţia în predare?

Sugestiile metodologice cuprinse în proiectul de faţă reprezintă din acest punct de vedere documentul cel mai important despre predarea matematicii în gimnaziu emis în ultimul sfert de secol. Reactivarea rolului şi folosirea intuiţiei vine să repare distrugerile de neimaginat din mentalul profesorimii cauzate de implementarea dură a predării riguroase pe baze axiomatice introdusă în şcoli odată cu reforma din 1980 (vezi postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ ). Prin reintroducerea folosirii intuiţiei în predare, distanţându-se astfel de canoanele academice, matematica şcolară românească îşi întoarce din nou faţa către copil (cel puţin la nivel declarativ).

Iată, în continuare, câteva completări la ideile exprimate în legătură cu intuiţia. Predarea intuitivă reprezintă foarte mult pentru elevii claselor V-VI, dar aceasta nu dispare în clasele VII-VIII, aşa cum se poate uşor înţelege din textul de la pag.31. De fapt intuiţia rămâne o componentă majoră a înţelegerii matematicii chiar şi în liceu. Astfel, textul ar trebui să arate mai degrabă aşa: Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea treptată de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la unele mai mature din punct de vedere matematic, cum ar fi definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi aplicarea unor algoritmi de calcul; rămâne însă întotdeauna şi partea intuitivă în clasele superioare gimnaziale. Astfel, aşa cum spre finalul clasei a VI-a, aşteptările sunt ca elevul să poată deja dezvolta raţionamente deductive simple, în mod simetric în clasa a VII-a metodele intuitive fac un mic pas înapoi, dar nu dispar cu totul din ora de matematică.

Legat de ultima frază de la sugestiile metodologice pentru clasa a V-a, eu aş încheia-o astfel: … stimularea şi menţinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii  se poate face uneori şi prin matematică distractivă (M. Gardner, B.A.Kordemsky, I. Perelman, B.Iosub etc.).

Închei evidenţierea unor puncte pozitive din această propunere cu câteva alte scurte exemple. De pildă, un mare DA! principiului de trecere lentă în clasa a V-a dinspre primar spre gimnaziu. Acesta trece într-un şi mai mare DA! în principiul evoluţiei treptate a unei noţiuni prin predarea în spirală, principiu „citit printre rânduri” în paginile acestui proiect. La fel, un DA! hotărât principiului învăţării prin vizualizare a unor fenomene, pe lângă învăţarea intelectualizată şi prin memorare pură.

Legat de acest ultim principiu doresc să ofer un exemplu sugestiv dintr-o veche carte. La poziţia relativă a două cercuri, lecţie propusă pentru clasele V-VI, aceasta se poate studia deosebit de intuitiv şi practic desenând cele două cercuri cu ajutorul a două monede diferite (merge bine cu 5 şi cu 50 bani). Eu prefer această lecţie totuşi în clasa a VII-a, când le pot cere elevilor o sarcină mai complexă, anume să traseze totodată şi tangentele comune, studiind cum evoluează numărul de tangente comune de la o poziţie relativă la cealaltă. Elevii găsesc cu mare bucurie ideea că în spatele fenomenelor matematice se ascunde deseori un model aritmetic (găsirea principiului ascuns: find the pattern behind it!).

Indiferent dacă sunt principii mici sau mari, aceste principii de bun simţ sunt valoroase prin faptul că au reapărut în programa de gimnaziu după atâţia ani în care au fost neglijate (lista de mai sus nu are în nici un caz pretenţia de a fi exhaustivă).

2) Alte sugestii metodologice de inclus în programă: Am scris foarte mult în acest sens (folosirea inuiţiei de către toată lumea era una din dorinţele la care visam constant), dar voi încerca o scurtă trecere în revistă a celor mai importante aspecte şi metode de predare ce nu le-am găsit enumerate în acest proiect pentru a fi reintroduse în predarea matematicii gimnaziale.

Elevii trebuie din nou să înveţe să gândească, chiar să gândească liber. Ora de matematică nu mai trebuie să fie doar o dresură de învăţare (de frică) a diferitelor exerciţii şi probleme cu metodele de rezolvare pre-oferite de către profesor (pre-date, pre-gătite; ce frumos sună dacă le citim astfel!).

Cel mai important cuvânt absent din acest proiect de programă este problematizarea. Oficial se numeşte predare prin problematizare, dar eu prefer denumirea predare prin descoperire (o formă extremă a primeia). Reintroducerea acestei metode ar fi de lungă durată, majoritatea profesorilor fiind actualmente setaţi să le turuie pur şi simplu lecţia elevilor. Foarte mulţi dintre elevi, pe de altă parte sunt obişnuiţi, sunt dresaţi deja, într-o stare de pasivitate: „De ce mă întreabă pe mine? De unde să ştiu eu cum se face? Să zică ăia buni; să zică el, că el e profesor”. Dar pot depune mărturie: dacă îţi doreşti şi îţi propui cu adevărat, în câţiva ani reuşeşti, iar satisfacţiile ulterioare sunt uriaşe atunci când începe să-ţi reuşească predarea prin descoperire. Lucrarea mai sus amintită a profesorului  Eugen Rusu reprezintă în acest sens o lucrare de căpătâi ce ar trebui republicată şi studiată în toate facultăţile ce pregătesc viitori profesori de matematică, respectiv ar trebui parcursă la toate cursurile de formare şi reformare obligatorii la ora actuală.

Desigur, când vorbesc de predarea prin problematizare nu mă refer la acei mulţi profesori care pe parcursul discursului de predare oferă de multe ori pseudo-întrebări: ei întreabă şi tot ei răspund, având astfel pretenţia că lecţia respectivă este interactivă, bazându-se pe un dialog. Nu, dragi colegi, un astfel de pseudo-dialog nu poate fi considerat predare prin problematizare, deoarece elevii sunt într-o profundă stare de pasivitate. Cele mai comice sunt situaţiile când profesorul întreabă „ce teoremă folosim aici?”, iar apoi tot el dă un semi-răspuns: „teorema lui Pi…?” iar elevii continuă „tagora!”. Într-un astfel de caz elevii nu sunt atenţi la oră; ei doar încearcă să mimeze atenţia şi activitatea matematică. Chiar şi cazul când profesorul poartă un dialog real, însă constant doar cu 1-2 elevi cei mai buni din clasă, îi reduce pe restul la starea de pasivitate. Este bine dacă activitatea orei se bazează pe un proces real de problematizare, dar este foarte important ca profesorul să se străduiască să atragă cât mai mulţi elevi în acest proces. Personal, la unele clase acest deziderat îmi reuşeşte mai bine, la altele mai puţin, dar strădania este prezentă tot timpul.

Într-o lucrare precedentă a aceluiaşi profesor, Psuhologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969) Eugen Rusu laudă foarte mult matematica proces  în comparaţie cu matematica rezultat. Ce sunt acestea? O scurtă explicaţie ar fi că matematica proces este atunci când elevul este parte activă a procesului de creare a lecţiei ce tocmai se învaţă, el compunând lecţa de studiat sub îndrumarea profesorului, pe când matematica rezultat este atunci când profesorul o prezintă pe tablă, ca într-o prelegere, elevul având doar sarcina să o copieze pe caiet şi, în cel mai bun caz, să răspundă la întrebări izolate puse de către profesor. Astfel, de multe ori explicaţiile sunt date, dar şi înţelese doar de către profesor, elevul fiind într-o situaţie similară cu dictarea de către cineva a unui manual. Conectând ultimele două metode active de predare, am putea spune că matematica proces reuşeşte cel mai bine atunci când în procesul de predare se implică tot mai mult şi predarea prin problematizare.

Eugen Rusu vorbeşte uneori şi de matematica vie. Este minunat când elevii ajută la crearea lecţiei, observă anumite lucruri şi îi dau o formă unică şi de nerepetat. Să vedeţi ce interesant este când elevi activi reuşesc să-ţi deturneze lecţia de la planul iniţial şi te trezeşti în final că a ieşit cu totul altceva (nu în sens rău). Aia da lecţie vie! Şi această carte a lui Eugen Rusu ar trebui inclusă alături de cealaltă în studiul şi lectura obligatorie a oricărui profesor de matematică.

Un alt principiu pe care l-am experimentat intens este parcurgerea alternativă a celor doua materii algebră /geometrie (alternativ un capitol de algebră, apoi unul de geometrie). Elevii se concentrează mai bine pe o temă, au patru ore pe săptămână pentru a o înţelege. Se potriveşte aici argumentul acela vechi: dvs., câte cărţi citiţi deodată? Dacă aţi avea de citit aidoma elevilor câte 8-10 cărţi deodată (vorbesc aici doar de manuale), cred că v-aţi bucura dacă una dintre acestea ar lua pauză uneori.

Includerea ideii de parcurgere a unei părţi de matematică în două etape de studiu, una mai elementară, mai intuitivă, cu aplicaţii mai simple, şi a doua mai riguroasă, mai înaltă teoretic şi cu aplicaţii mai superioare, este o idee de mare importanţă pedagogică, cuprinsă în general sub denumirea de predare în spirală. Acest principiu foarte valoros nu trebuie însă limitat doar la nivelul unei clase sau la nivelul unor clase învecinate dar din acelaşi ciclu şcolar. Ţin aici să amintesc desigur parcurgerea geometriei elementare în două etape la conectarea gimnaziului cu liceul: prima, la un nivel elementar intuitiv, pe parcursul claselor gimnaziale VI-VIII, iar a doua, mai matură, cu aplicaţii mai profunde, pe parcursul primelor clase liceale IX-X. Aceasta s-ar putea face desigur prin reintroducerea geometriei elementare în clasele IX-X de liceu, pentru că reducerea nivelului geometriei gimnaziale la un nivel elementar intuitiv a fost făcută în mai mulţi paşi în anii 2000, prezentul proiect reprezentând în acest sens doar recunoaşterea şi organizarea acestui demers pe principii psihologic sănătoase. Eugen Rusu are şi în legătură cu acest subiect unele referiri în lucrarea despre problematizare (de exemplu, la pag. 23: geometria în etapa a doua de studiu, adică în clasele de liceu, şi atenţie, nu vorbea aici de geometria analitică).

Exemplul de mai sus se referă la geometrie, adică la o foarte mare parte de materie. Se pot da aici însă şi exemple mai mici. De pildă, analizând situaţia de câţiva ani buni, în cazul studiului ecuaţiei de gradul II, am convingerea că ar fi benefică următoarea eşalonare a lecţiei. În clasa a VII-a să apară prima oară ideea de ecuaţie cu două necunoscute pe cazuri simple, de tipul x2 = 9 etc. până la (x – 5)2 = 9. În clasa a VIII-a ar apărea diverse cazuri de rezolvări particulare, de pildă x2 – 10x + 16 = 0 / +9, care duce prin cea de sus la dubla ecuaţie x – 5 = ± 3, de unde x1 = 2 şi x2 = 8. Rezolvarea în cazul general, cea cu Δ, ar veni astfel de-abia în clasa a IX-a.

În general, pentru dezvoltarea paletei de metode naturale de predare a matematicii, profesorii ar trebui sprijiniţi cu reeditarea marilor cărţi din domeniu. Pe lângă lucrările lui Eugen Rusu, trebuie măcar amintite şi cărţile lui George Pólya pe care toţi profesorii ar trebui să le aibă în bibliotecă şi să le reia odată la câţiva ani. Sunt cărţi pe care oricând le reciteşti, mai ai ceva de învăţat.

Încerc să închei aici acest eseu fără pretenţia de a fi epuizat nici pe departe subiectul, exprimându-mi încă o dată starea de bucurie generată de această nouă programă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor

Prezentul eseu este gândit ca o scrisoare deschisă adresată d-lui Radu Gologan, preşedinte SSMR, şeful Comisiei pentru elaborarea noilor programe de matematică pentru clasele gimnaziale, cât şi tuturor membrilor comisiei. Propunerea oferită spre dezbatere publică la sfârşitul lunii ianuarie 2017 reprezintă cea mai plăcută surpriză posibilă, deschizând căi de vindecare şi evoluţie pozitivă a predării matematicii, căi de neimaginat până în urmă cu puţină vreme.

Această primă parte a eseului (de publicat înaintea termenului de 12 feb.) va fi direcţionată asupra conţinuturilor şi ordinii acestora, dar va conţine în argumentări şi elemente de metodică. În cea de a doua parte (ce urmează cât de repede posibil) voi analiza mai în amănunt metodica propusă. Din această a doua parte evidenţiez acum doar un singur aspect: întoarcerea în predarea matematicii a cuvântului intuiţie. În prezentul proiect, doar la nota de prezentare şi în sugestiile metodologice, acesta apare în diverse forme de 20 de ori (!!!), subliniindu-se astfel importanţa folosirii şi dezvoltării intuiţiei elevilor. Aşadar:

Stimate D-le Radu Gologan, stimaţi colegi,

Ca profesor activ în direcţia reformării predării matematicii de peste 20 de ani, vă felicit pentru acest proiect. În încercarea de a fi cât mai obiectiv (un ideal greu de atins) am structurat prezenta analiză pe patru categorii de păreri, numite cât de sugestiv posibil: 1) Da, cu aplauze; 2) Da, cu amendament; 3) Nu, cu alternativă; 4) Nu, cu avertisment. Din punct de vedere personal, proiectul este unul foarte reuşit, dovadă că primele trei categorii sunt încărcate, pe când ultima categorie este foarte “subţire”. Toate părerile şi comentariile expuse se bazează pe experienţa personală; pe majoritatea covârşitoare le cunosc foarte bine din aplicarea în activitatea personală (a mea şi a soţiei) din şcolile unde am predat. La toate aceste comentarii se poate face precizarea că opinia prezentată este în favoarea elevului, că aşa este cel mai sănătos pentru parcursul matematic al elevului. Înţeleg prin sănătos orice argument de ordin psihologic, legat de posibilităţile şi nevoile fiecărei vârste, dar şi a fiecărei categorii de elevi în parte. Acolo unde nu am o părere bazată pe experienţă directă, ci doar pe intuiţia dată de experienţa de ansamblu, acolo voi preciza acest aspect.

  1. DA, cu aplauze! Da, sunt cu totul de acord cu următoarele elemente:
    • Da! conectării cmmdc şi cmmmc de simplificarea fracţiilor ordinare, respectiv de aducerea fracţiilor la numitor comun; aşa înţelege orice elev la ce sunt bune acestea, le găseşte imediat un sens. Da şi introducerii acestora prin enumerare şi intuitiv, nu prin algoritm. Aşa este sănătos!
    • Da! aducerii înmulţirii şi împărţirii fracţiilor ordinare înapoi în clasa a V-a, imediat după adunare şi scădere. Da şi limitării pentru început la exerciţii mai uşoare.
    • Da, poveştii cu tabla de şah (pag.7).
    • Da! mutării noţiunii de mulţime din clasa a V-a la începutul clasei a VI-a. Atunci deja există o zestre de cunoştinţe matematice fixate ce pot fi folosite în exerciţii cu mulţimi. Astfel, în clasa a V-a aducem aspecte matematice noi, dar în sistemul de scriere cunoscut.
    • Da, capitolului despre mulţimi şi structurare a cunoştinţelor despre numere naturale deja dobândite de la începutul clasei a VI-a. Simţeam că în clasa a V-a mulţimile, prin scrierea lor nouă, abstractă, îngreunează mult acomodarea elevilor la matematica de gimnaziu, dar nu aveam un gând clar unde ar trebui puse. Experienţa generală îmi spune că la începutul clasei a VI-a este foarte bine (dar nu le-am predat nici o dată astfel).
    • Da! (cu ropote de aplauze şi urale!) scoaterii m-ului de la măsura unui unghi (pag. 9); undeva prin clasele VI-VII poate fi introdusă treptat, deşi în multe raţionamente acest m cu parantezele sale încarcă doar scrierea, devenind astfel pentru mulţi elevi o piedică, o îngreunare în înţelegerea raţionamentului expus.
    • Da introducerii ecuaţiilor de-abia în clasa a VI-a, după învăţarea semnului unui număr. Atât unii profesori, cât şi părinţii, nu se puteau abţine să nu le zică elevilor încă din clasa a V-a că îl mutăm în membrul celălalt cu semn schimbat.
    • DAAA! (cu cea mai mare bucurie) parcurgerii paralelelor tăiate de o secantă, respectiv a unghiurilor alterne interne, înaintea lecţiei despre triunghiuri. Astfel se poate studia – cu demonstraţie cu tot! – suma unghiurilor în triunghi din prima lecţie. Suma unghiurilor în triunghi este o aplicaţie cu pronunţat caracter aritmetic, accesibilă tuturor elevilor, care ajută în plus şi la stabilizarea înţelegerii noţiunii de unghi. Se încheie astfel o lungă perioadă aflată sub dominaţia predării riguros- axiomatice care impunea o ordine a lecţiilor ce sfida principiile natural-pedagogice (demonstraţia prin reducere la absurd, ce folosea congruenţa triunghiurilor, cu acel triunghi prelungit la infinit, nu se mai face de la Revoluţie; ca urmare nu mai este necesară de mult ordinea triunghiul → congruenţa triunghiurilor → unghiuri alterne interne → suma unghiurilor în triunghi). Eu personal predau în ordinea propusă de prezentul proiect din anul şcolar 1994-1995.
    • Da! (cu lungi ovaţii!) reintroducerii cercului în “clubul noţiunilor fundamentale”, în primul capitol de geometrie din clasa a VI-a. Cred totuşi că poziţiile relative a două cercuri pot fi lăsate pentru clasa a VII-a (neesenţial).
    • Da! (cu mare bucurie!) reintroducerii accentului pe construcţii geometrice cu diferitele instrumente, atât în clasa a V-a, cât mai ales în clasa a VI-a (inclusiv construcţia intuitivă a paralelelor prin translaţie, care este de mare valoare în formarea gândirii, dar care poate sta şi la baza explicării congruenţei unghiurilor corespondente). Cunoaşterea figurilor geometrice prin construirea acestora în diferite cazuri particulare este o cale deosebit de sănătoasă de învăţare. Acesta ar trebui aleasă ca tema definitorie (!) pentru clasa a VI-a. Apoi, în clasa a VII-a, când accentul se mută pe raţionament, pe demonstraţie şi calcule complicate, elevii pot folosi la nevoie doar schiţe, pentru că ei au deja fixată în minte figura corectă construită cu mare atenţie în clasa a VI-a.
    • Da, (în conexiune directă cu precedentul) lecţiei Cazurile de construcţie a triunghiurilor, cu precizarea că eu prefer ordinea LLL, LUL, ULU.
    • Da, la Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora (pag.17), dar şi a triunghiurilor. Tocmai ce am propus un opţional de clasa a VII-a cu construcţii de corpuri geometrice din carton.
    • Da! (cu mii de mulţumiri!) readucerii sistemelor de ecuaţii în clasa a VII-a, mai ales că au fost aduse doar cu metodele specifice ecuaţiilor (substituţiei şi reducerii), rămânând în clasa a VIII-a metoda grafică (cea care a bulversat zeci de ani elevii la această lecţie).
    • Da! (cu mare bucurie) mutării în clasa a VII-a a capitolului despre cerc de la sfârşitul anului (când mulţi nu-l prea mai făceau) în semestrul I. Anul acesta eu am predat Poligoane înscrise în cerc (construcţie, măsuri de unghiuri) şi Lungimea cercului şi aria discului în semestrul I, şi pot depune mărturie că funcţionează foarte bine. De pildă, între cele două teme am calculat aria poligonului regulat cu 12 laturi înscris în cercul de rază r, care este exact 3r2, folosind doar determinări de unghiuri şi cateta opusă unghiului de 30o. La lungimea cercului şi aria discului se pot folosi şi metode aproximative de tip “laboratorul de matematică” (mult sprijinit de dl. acad. Nicolae Teodorescu): determinarea lungimii cercului cu metrul de croitorie, apoi găsirea aproximativă a lui π prin împărţire, respectiv determinarea ariei prin numărarea pătrăţelelor din interiorul cercului pe caietul de matematică sau pe hârtie milimetrică şi apoi împărţirea ariei obţinute la aria pătratului razei. Aceste metode sunt în deplină armonie cu linia prezentului proiect.
    • Da! (un DA mare) aducerii inecuaţiilor de la sfârşitul clasei a VIII-a la început, în primul capitol, imediat după intervale.
    • Da! (cu evidentă bucurie) precizărilor legate de rezolvarea ecuaţiei de gradul II: prin aplicarea formulelor de calcul prescurtat (pag.26). Ce se întâmplă cu formulele clasice de rezolvare (a,b,c,Δ,x1,2)? Sunt interzise? Le facem în semestrul II? Rămân pentru clasa a IX-a? Trebuie să lămuriţi aceste aspecte, eventual în note de subsol, la fel ca la scrierea măsurii unghiurilor. Eu aş fi mulţumit să rămână în liceu, dar din respect pentru ceilalţi colegi cred că poate fi aleasă varianta cu semestrul II. (ar fi binevenite mai multe astfel de note de subsol, unele dintre ele reparatorii, cum ar fi următoarea: reducerea termenilor opuşi într-o sumă poate fi făcută încă din clasa a VI-a, la numere întregi, nu doar în clasa a VII-a, ca în programa veche; dvs. nu aţi precizat unde se va face pe viitor)
  2. DA, cu amendament. Susţin aceste elemente de conţinut cu următoarele amendamente:
    • Da, readucerii în clasa a V-a a metodelor de rezolvare aritmetică de probleme. În general, doamnele învăţătoare nu prea le ştiu. Am însă îndoieli că profesorii le vor parcurge cât de cât serios. Într-o lume dominată de punerea în ecuaţie, este nevoie de explicaţii serioase, pentru a se înţelege la ce folosesc rezolvările aritmetice.
    • Da, readucerii în clasa a V-a a proprietăţilor operaţiei de putere, dar într-o lecţie separată, următoare introducerii puterii. Elevii au nevoie de cel puţin 2 ore (chiar o săptămână) pentru acomodarea cu noua operaţie; ei trebuie protejaţi faţă de profesorii care vin şi “le toarnă” totul din prima zi, fără ca ei, elevii să apuce să se dezmeticească despre ce este vorba. Urmare a acestei “politici de predare” dăunătoare, avem exemplele cu elevii care prin clasa a VII-a spun: puterea este un fel de înmulţire, deci fac înmulţire, adică 23= 6. Un alt argument este că introducerea proprietăţilor puterii din prima lecţie sabotează fixarea acestei noi operaţii în contextul ordinii operaţiilor de ordinele I, II şi III. Ca urmare propun următoarea detaliere (eventual ca observaţie metodologică): Lecţia 1: introducerea operaţiei cu exemple, fără exponentul 0 sau 1, cât şi primele exerciţii simple de ordinea operaţiilor cu toate cele cinci oparaţii. Lecţia 2: lămurirea noţiunii de putere, inclusiv puterea cu exponent 1 sau 0, conexiunea dintre exponent şi numărul zero-urilor la puterile lui 10, cât şi exerciţii de ordinea operaţiilor mai stufoase. Lecţia 3: Proprietăţi ale operaţiei de putere, acestea aducând de obicei o încălcare a ordinii naturale a operaţiilor.
    • Da, mutării criteriilor de divizibilitate cu 3 şi cu 9 înapoi în clasa a V-a, cu amendamentul că ar trebui adus şi criteriul cu 25, care este foarte uşor. Criteriul cu 4 eu personal îl voi face oricum ca pereche al lui 25 (la fel cum criteriile cu 2 şi cu 5 sunt în pereche; vezi predarea prin analogie a asemănării triunghiurilor cu congruenţa triunghiurilor, la sugestii metodologice, clasa a VII-a).
    • Da studiului mărimilor direct proporţionale şi a celor invers proporţionale, cu următoarea precizare importantă: dacă la proporţionalitate directă avem şir de rapoarte egale, la proporţionalitatea inversă avem şir de produse egale. În acest context vă rog insistent să eliminaţi definiţia cea veche (invers proporţionale înseamnă şir de rapoarte egale cu inversele) care nu mai foloseşte la nimic, doar la bulversat elevii.
    • Da construcţiilor geometrice de pătrate şi dreptunghiuri pe baza şirului lui Fibonacci, dar cu amendamentul că va trebui explicat profesorilor ce să facă, altfel colegii vor citi peste acel rând (pag.15). Înţeleg că vorbiţi de desenul de construcţie al spiralei lui Fibonacci; eu îl fac cu elevii, dar câţi îl cunosc?
    • Da titlului Noţiuni de trigonometrie, cu rugămintea de inserare a expresiei: rapoarte trigonometrice înaintea enumerării acestora. Din păcate, mulţi profesori care coboară de la liceu la gimnaziu le denumesc funcţii trigonometrice. Ce înţeleg elevii din această denumire? Tot aceşti profesori le dau apoi elevilor şi valorile pentru 0o şi 90o. Ar trebui undeva în programă interzise aceste derapaje.
  3. NU, cu alternativă. În locul propunerii dvs. vin cu o alternativă care poate oferi atingerea obiectivului propus:
    • Scrierea în baza 2 a numerelor în clasa a V-a este prea grăbită, mai ales că majoritatea profesorilor vor face direct scrierea de tipul 1100101. Eu am făcut-o în ultimii ani în recapitularea de la începutul clasei a VI-a sub forma orice număr natural poate fi scris ca sumă de puteri ale lui 2, prezentată ca joc în care elevii trebuiau să găsească puterile lui doi care compun un număr dat. De-abia apoi am dedus scrierea în baza 2.
    • La clasa a V-a, în lecţia Înmulţirea fracţiilor, puteri; împărţirea fracţiilor propun mutarea puterii după împărţire, păstrând ordinea naturală a nivelului operaţiilor.
    • Este absurd să vorbim la clasa a V-a despre Numere raţionale pozitive, când elevii încă nu au învăţat despre numere negative sau pozitive; sfidează ordinea introducerii noţiunilor fără a avea o motivaţie concretă. Propun să rămânem în clasa a V-a la denumirea de fracţie, cu variantele de fracţie ordinară sau fracţie zecimală, acestea putând fi transformate una în cealaltă, prin semnul de egalitate. Astfel, propun ca noţiunea de număr raţional, cât şi mulţimea ℚ a numerelor raţionale, să fie introduse de-abia la capitolul din finalul clasei a VI-a, parte a procesului foarte bine descris în Note definitorii ale acestei programe (pag. 3).
    • Scrierea unui număr natural de două cifre ca produs de puteri de numere prime, poate fi inclusă liniştit în primul capitol din clasa a V-a, mai ales că se precizează prin observare directă. Chiar şi algoritmul de descompunere a numerelor în factori primi este accesibil majorităţii elevilor în clasa a V-a. Acesta este profund conectat cu operaţia de împărţire (o temă de bază a sem.I din clasa a V-a), cu operaţia de putere şi cu criteriile de divizibilitate cu numerele 2, 5 şi 3, pentru care reprezintă o bună aplicaţie.
    • Elevii pricep foarte greu scrierea divizibilităţii cu bară verticală (ex. 3|51, la pag.15). Pentru divizibilitate ar trebui reintrodus oficial semnul care conectează în mintea elevului cu semnul împărţirii (un punct în plus înseamnă împărţire exactă), dar rămâne pe calapodul de gândire obişnuit (numărul mare este divizibil cu numărul mic, evitând inversarea cerută de scrierea cu bară).
    • Nu este precizat, aşa că ar trebui explicit interzisă definirea tradiţională a interiorului unui unghi, cea prin intersecţia de semiplane. Profesorii trebuie doar să coloreze sau să haşureze interiorul unghiului; exteriorul vine de la sine înţeles, aşa că, folosind intuiţia copilului, nici n-ar mai trebui prezentate; oricum, la ce foloseşte exteriorul unghiului?
    • Folosirea, introducerea ideii de demonstraţie geometrică doar pe cazul unei singure matode, anume a metodei triunghiurilor congruente, în clasa a VI-a este periculoasă pentru formarea gândirii elevului: mulţi elevi reacţionează ulterior la probleme ce necesită alt tip de argumentaţie, forţând pseudo-demonstraţii fără sens care au forma unicei demonstraţii învăţate, cea cu congruenţa de triunghiuri; iar când le spui că au greşit se uită năuciţi şi nu înţeleg ce se întâmplă. Elevii trebuie să cunoască şi alte demonstraţii în paralel. Eu m-am concentrat din start la câteva exemple de demonstraţii cu unghiuri.
    • Demonstraţiile prin metoda triunghiurilor congruente în cazul figurilor axial-simetrice nu au sens în mintea elevului începător, minte care vede intuitiv că cerinţa este îndeplinită prin simetria figurii. Introducând criteriul ne-simetricităţii figurii, rămân foarte puţine probleme pe care elevul să înveţe această metodă. Problemele cu congruenţă în figuri cu cerc mai pot ajuta un pic, dar nu prea mult. De-abia când apar şi patrulaterele, cantitatea de aplicaţii nesimetrice creşte la un nivel mulţumitor.
    • Păstrarea capitolului despre patrulatere în clasa a VII-a are o serie de dezavantaje majore. Pe lângă conexiunea cu precedentul aliniat, este evident că aplicaţiile la primele tipuri de demonstraţii (inclusiv cele cu unghiuri) sunt foarte restrânse doar în triunghiuri (triunghiul este o figură săracă în aplicaţii simple dar nesimetrice). Readucerea capitolului despre patrulatere în clasa a VI-a ar rezolva toate cele expuse. Patrulaterele s-ar putea parcurge foarte uşor prin cunoaşterea intuitivă a proprietăţilor acestora, prin construcţi detaliate în diferite cazuri (o bogăţie de exemple, aliniat cu principiul mai sus menţionat pentru clasa a VI-a), dar şi prin primele exemplificări ale conexiunilor demonstrabile între proprietăţile acestora (multitudinea de teoreme directe şi reciproce). În plus, am scăpa astfel de schizofrenia manifestată actual când le dăm elevilor o figură formată din două triunghiuri, dar ne facem că nu ştim că acela este de fapt un patrulater. Dau aici exemplul trapezului de la EN Cl.a VI-a din urmă cu trei ani, care era prezentat ca o combinaţie de două triunghiuri, şi la care copiii s-au chinuit foarte mult. Dacă ar fi cunoscut trapezul dreptunghic, lucrurile ar fi fost mai clare. Mai dau un exemplu: noţiunile de unghiuri complementare, respectiv suplementare, se înţeleg mult mai bine într-o prezentare unitară, după patrulatere, cu exemple clare din triunghiuri şi patrulatere. Anexez prezentei scrisori deschise scanarea notiţelor personale (din 2011) cu capitolul despre patrulatere pentru finalul clasei a VI-a, redactat conform principiilor predării intuitive specifice acestei clase. Precizez că tema liniilor mijlocii o las totuşi pentru clasa a VII-a când, la începutul semestrului I, pe post de “recapitulare şi completări” atacăm serios diversele demonstraţii geometrice. Pentru elevii buni acestea devin una din temele principale de lucru în clasa a VII-a.
    • Nu, introducerii din primul capitol din clasa a VII-a a numerelor reale. Elevii au nevoie să petreacă o vreme în calculul aproximativ al diferitelor mărimi care nu au rezultat întreg. De pildă, calculul înălţimii şi a ariei unui triunghi echilateral, dar şi lungimea şi aria cercului, au o puternică componentă practic-aplicativă de aproximare. Nimeni nu înţelege cât este lungimea unei borduri de 25π m din jurul unui sens giratoriu, aşa că apelăm la calculul aproximativ 25 ∙ 3,14 ≅78,5m. Din câte ştiu, în vest numerele iraţionale ca atare apar doar în liceu. Eu am împărţit clasa a VII-a astfel: în semestrul I dăm rezultate aproximative aritmetice (atât la cerc, cât şi teorema lui Pitagora – vezi primul comentariu de la categoria 4), iar în semestrul II trecem la calcul algebric, cu numere iraţionale, atât la algebră, cât şi la geometrie. Astfel împăcăm ambele direcţii de gândire matematică, studiind în semestrul I doar rădăcina pătrată, iar în semestrul II noţiunea de număr real.
    • Nu! acelei lecţii stupide de la capitolul despre cerc din clasa a VII-a despre proprietăţi: la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc, diametrul perpendicular pe o coardă, arce cuprinse între coarde paralele, coarde egal depărtate de centru. Acestea reprezintă doar drumul segmentat pentru demonstrarea faptului că tangenta la cerc este perpendiculară pe raza în punctul de contact. Dar această demonstraţie nu se predă în şcoli, deci nici teoremele pregătitoare nu-şi au sensul. Acestea doar îi chinuie pe elevi, care nu pricep ce vrea profesorul. Nici profesorii nu prea au probleme aplicative cu sens la această lecţie. Peste aceste teoreme se poate sări simplu, trecând direct la observarea perpendicularităţii tangentei pe rază. În schimb, există deosebite aplicaţii la “teorema ciocului de cioară” (cele două tangente dintr-un punct la un cerc sunt congruente), bine apreciate de către elevii buni. Propun reintroducerea în materie a acestei teoreme. Dacă tot am ajuns la propuneri, permiteţi-mi încă una: în contextul reintroducerii cercului în clasa a VI-a, se poate demonstra direct la nivelul acestei clase că triunghiul înscris în semicerc este dreptunghic (în conexiune cu “mediana pe ipotenuză”).
    • Nu (un Nu conştient şi experimentat) păstrării ordinii lecţiilor de geometrie din clasa a VIII-a. La această formă s-a făcut doar “o jumătate” de pas în sensul folosirii intuiţiei naturale a elevilor (intuiţia este activă în continuare; folosirea ei nu trebuie interzisă cu avansarea în vârstă; mai ales la elevii slabi intuiţia rămâne în continuare principala cale de acces la cunoştinţe). La ce ajută prezentarea corpurilor de la lecţia a doua, dacă elevii nu fac apoi mai nimic cu aceste corpuri? În tot semestrul I vin doar lecţii grele şi abstracte, nimic pentru elevii slabi care ar vrea şi ei să calculeze o arie, să aplice teorema lui Pitagora şi o formulă. În locul acestei ordini a lecţiilor vă propun următoarea ordine, în care predau cu rezultate foarte bune de aproape 20 de ani. Astfel: Capitolul I – Corpuri (I): Cubul, paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele şi tetraedrul, cu reprezentare, elemente, arii şi volum, totul pe baze intuitive (la apotemă nu este nevoie de T3⊥ pentru că avem triunghiuri isoscele, iar înălţimea se înţelege foarte uşor). Capitolul II – Teoreme în spaţiu: Paralelism, perpendicularitate, T3⊥, unghi diedru . Capitolul III – Corpuri (II): Trunchiuri de piramidă, corpuri rotunde, cu reprezentare, elemente, arii şi volum. Astfel, elevii slabi primesc din start material de lucru, iar elevii buni, cu o scurtă întârziere primesc şi ei “hrană” pe măsura lor. Nu mai intră T3⊥ până la teză, dar până la sfârşitul primului semestru, până la olimpiadă şi simulare sigur se termină tot capitolul II.
  4. NU, cu avertisment! Consider că introducerea acestor elemente prezintă un mare risc, pe care îl voi expune:
    • Mutarea teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a prezintă un multiplu pericol major. Ar mai avea oarecare sens dacă am parcurge o primă parte de rădăcină pătrată la nivel intuitiv aritmetic (cum era prin anii ’90). Aceasta însă lipseşte. Mă îngrozesc de felul cum profesorii vor turna în elevii de clasa a VI-a elemente din arsenalul cunoscut din clasa a VII-a legat de teorema lui Pitagora. Cum vor arăta subiectele de la EN a clasei a VI-a incluzând numerele pitagoreice? În plus, în acest mod teorema lui Pitagora este coborâtă la nivelul banal de observaţie, subminând ideea unei demonstraţii pe viitor. Teorema cu cele mai multe demonstraţii din toate câte sunt, nu va mai avea nevoie de demonstraţie în mintea elevilor. Cea mai importantă teoremă din toate timpurile este redusă la nivelul unei reţete. Totuşi vin cu o propunere de remediere. În ultimii 15 ani am predat teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a VII-a, într-un capitol complex, format din trei părţi: 1) rădăcina pătrată; 2) ariile patrulaterelor şi a triunghiurilor; 3) Teorema lui Pitagora (demonstrată prin arii; există chiar două demonstraţii, din care una foloseşte şi congruenţa triunghiurilor), cu aplicaţii în calculul perimetrelor şi al ariilor. Mutarea respectivă este deosebit de benefică atât elevilor slabi, cât şi elevilor buni. În plus rezolvă şi o problemă de fond a acestei mutări (neprecizată în proiect dvs.), anume că parcurgerea acestei teoreme mai repede este cerută de profesorii de fizică, care altfel o explică ei elevilor înaintea noastră. Revenind la demonstrarea teoremei lui Pitagora, menţionez că eu parcurg cu elevii în clasa a VII-a cel puţin trei demonstraţii diferite, la lecţiile corespunzătoare (pe lângă demonstraţia cu arii amintită şi demonstraţia cu teorema catetei arhicunoscută, mai aleg şi o demonstraţie pe bază de arii şi formule de calcul prescurtat (în conexiune cu următorul punct).
    • Neintroducerea formulelor de calcul prescurtat în clasa a VII-a este o mutare inexplicabilă, un deja vú ce aminteşte de conul de penumbră în care au fost înghesuite sistemele de ecuaţii în ultimii ani. Elevii au nevoie de o perioadă de jumătate de an în care să se obişnuiască cu noua mişcare matematică, cu noul raţionament specific calculului prescurtat, astfel încât să le poată folosi eficient în semestrul I din clasa a VIII-a. Mutarea propusă va bulversa din nou o mare parte din materia de studiat, la fel cum a făcut-o şi mutarea sistemelor din clasa a VII-a în finalul clasei a VIII-a. Formulele de calcul trebuie să apară în clasa a VII-a, chiar şi dacă apar numai într-un singur sens. Astfel, elevilor slabi eu le cer doar direcţia de explicitare, de tipul (3x + 1)2= 9x2 + 6x + 1, nu şi direcţia inversă de transformare în produs. Legat de acest subiect am încă o propunere: personal, accept ideea unei “fobii” oficiale faţă de cuvântul polinom (dezvoltată în gimnaziu la începutul anilor ’90 pe vremea renumitelor probleme de divizibilitate cu teorema lui Bezout), dar nu le putem spune la nesfârşit Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere (etc.). (clasa a VIII-a, pag.28) Aşa cum la expresiile cu fracţii s-a acceptat noţiunea de Fracţii algebrice, tot aşa propun ca la fostele polinoame să folosim noţiunea de Sume algebrice.

Închei cu speranţa sinceră că se vor dovedi de folos cât mai multe din observaţiile făcute. Totodată, precizez că stau la dispoziţia dvs. pentru eventuale lămuriri pe care le-aţi considera necesare.

Titus Grigorovici

Profesor Şcoala Waldorf Cluj-Napoca












Consultarea naţională a proiectului pentru programa şcolară de matematică la clasele de gimaziu

Au apărut proiectele de programe pentru clasele V-VIII. Proiectul pentru programa de matematică poate fi găsit la adresa http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Matematica.pdf

În anunţul MEN şi IŞE se precizează că procesul de consultare se adresează cadrelor didactice, inspectorilor școlari si altor categorii de specialiști care ar putea oferi un feedback relevant cu privire la proiectele de programe școlare pentru clasele V-VIII. Pentru a colecta opiniile, comentariile si propunerile dvs., vă rugam să parcurgeți pașii următori:

  • Pasul 1. Descărcați programa școlară;
  • Pasul 2. După parcurgerea programei in integralitatea acesteia, accesați chestionarul de consultare;
  • Pasul 3. Completați chestionarul alegând variantele de răspuns care se potrivesc cel mai bine opiniei dvs. și oferiți, dacă este cazul, propunerile si observațiile dumneavoastră în spațiile dedicate întrebărilor deschise.

Chestionarul conține întrebări punctuale cu privire la elementele constitutive ale programei: competențe generale, competențe specifice, exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice. De aceea, lectura atentă a proiectului de programă școlară este esențială pentru a oferi un feedback relevant care să conducă în mod direct la îmbunătățirea proiectelor de programă școlară.

Consultarea se va derula in perioada 27 ianuarie-13 februarie 2017. Vă mulțumim pentru interes și pentru participarea dvs. la procesul de consultare!

Chestionarul on- line se găseşte la adresa https://www.surveymonkey.com/r/programe_gimnaziu

Ca urmare, stimaţi colegi, vă propunem „o mică vacanţă”, adică haideţi să studiem în această vacanţă intersemestrială propunerile respective. La o primă privire aruncată peste acestea am văzut lucruri foarte interesante.

Spor la lucru!

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Minus cu minus fac plus

Sper că toată lumea a înţeles că minus cu minus fac plus, mai ales că, începând de azi vară, Carla’s Dreams ne tot explică cum stă treaba în melodia Imperfect. Am crede că lucrurile sunt clare, dar nu-i chiar aşa.

Prin toamnă, aveam pe tablă la clasa a VII-a o ecuaţie în care a apărut –8 –5. Elevii îmi dictau spontan când o nouă elevă a decis +13, grăbită să dea ea prima răspunsul. M-am întors mirat şi am întrebat “+?”. Iar ea, încercând totodată să înfrunte şi colegii care protestau, mi-a răspuns: “Da, păi nu minus cu minus fac plus?”. I-am dat singura replică posibilă: “Ba da! Dar numai la Carla’s Dreams”. Săraca fată, s-a blocat.

Apoi am început să-i lămuresc situaţia, pentru a nu o lăsă în ceaţă. Era evident că venise cu lucrurile neclare, aşa că am început să-i explic cu calm şi cu blândeţe că se spune minus ori minus fac plus. Asta pentru a scoate în evidenţă că la adunare/scădere nu se aplică această regulă, ci doar la înmulţire şi la împărţire. I-am povestit puţin despre 8 lei datorie şi încă 5 lei datorie, şi a fost de acord cu mine că dă o datorie de 13 lei.

Acel cuvânt “cu” îi derutează pe mulţi elevi, sugerându-le o aplicare pe adunare, mai ales că regula în această formă este atât de cunoscută (şi părinţii lor tot aşa o cunosc). Ajută, desigur, la această derută şi modul superalambicat de explicare a adunării numerelor întregi. Asta după ce noile numere au fost introduse cât mai corect ştiinţific, fără pic de intuiţie, elevii percepându-le ca foarte grele. Eu întotdeauna le atrag atenţia elevilor în clasa a VI-a asupra acelui cuvinţel şi asupra pericolului ce ne paşte prin folosirea sa greşită.

Problema este una larg răspândită, expresia minus cu minus fac plus fiind folosită în mai toate limbile, făcând parte din elementele de matematică ce au penetrat fondul de cultură generală: din păcate fără a fi şi înţeleasă întotdeauna. Uitaţi ce scria Paul J. Nahin în lucrarea O poveste imaginară; Istoria numărului radical din –1, Ed. Theta, 2000, la pag. 6, în 1.2 Atitudini negative faţă de numerele negative:

… suspiciunea faţă de numerele negative pare atât de stranie astăzi oamenilor de ştiinţă şi inginerilor numai pentru că aceştia au uitat frământările prin care au trecut în şcoala primară. De fapt, oameni inteligenţi dar fără pregătire tehnică continuă să trăiască aceste frământări chiar şi în anii de maturitate, după cum o atestă următorul cuplet, atribuit de obicei poetului W.H. Auden (Wistan Hugh Auden, 1907-1975):

Că minus ori minus face plus

O vom lua de bună: asta e!

Motivul n-ar fi prea complicat

Deci n-are rost să discutăm de ce.

Aşa că, mare atenţie la Carla’s Dreams şi la reţetele sale despre defect plus defect. Şi, vă rog din suflet, aveţi grijă cum predaţi înmulţirea numerelor întregi.

Anna’s Dreams

Numerele prime (3): Aspecte metodico-didactice ale predării

În partea a doua a acestei serii am prezentat o formă diferită de introducere a numerelor prime în clasa a V-a, faţă de ceea ce se practică la ora actuală.. Forma de predare riguroasă, cu care suntem obişnuiţi majoritatea profesorilor, ne cere să dăm o definiţie unică, pe baza căreia apoi să deducem eventual alte aspecte ale obiectului matematic studiat, într-un sistem de observaţii şi teoreme. Aşa suntem învăţaţi şi obişnuiţi toţi profesorii (noblesse oblige!), şi cu greu acceptăm o altă cale de abordare a lucrurilor. Merită aşadar, să privim cu mai multă atenţie asupra gândurilor ce au stat în spatele unei abordări atăt de profund diferite, ca cea din postarea precedentă, pentru a nu lăsa cititorul într-o profundă stare de nedumerire.

Principiul de bază urmărit prin această abordare, este acela că orice noţiune nouă trebuie adusă la cunoştinţă elevilor prin cât mai multe abordări diferite, nu doar printr-una, surprinzând astfel într-o formă naturală exact ce se întâmplă atunci când vedem un obiect nou, nemaiîntâlnit: îl luăm în mână şi îl întoarcem “pe toate feţele”, analizându-l cu atenţie şi descoperindu-i încet diferite detalii. Acest principiu este total opus principiului doct folosit în prezentarea riguroasă, de sorginte academică, a noţiunilor matematice prin intermediul definiţiei (a unei unice şi a-tot-dominatoare definiţii). Mai ales la clasele mici consider că  principiul predării prin unice şi seci definiţii este total nepotrivit, această cale reprezentând una din sursele eşecului în învăţarea matematicii la mulţi elevi. Apropierea de o noţiune esenţială, cum sunt numerele prime, cu calm, paşnic, azi dintr-o parte, mâine din altă parte, săptămâna viitoare iarăşi dintr-o altă parte, le poate oferi şi elevilor normali şansa de a pricepe până la urmă ce vrea noua noţiune.

La proaspătul elev de clasa a V-a, în semestrul I, această apropiere de numerele prime trebuie făcută cu blăndeţe, aproape ca într-o poveste. Dacă eu nu am reuşit să prezint destul de convingător această nuanţă a predării, permiteţi-mi să îl chem în ajutor pe marele Euler, prezentându-vă felul cum acesta se apropia de subiectul numerelor prime. În finalul lui 2016 am achiziţionat dintr-un anticariat virtual o mică comoară, cartea Vollständige Anleitung zur Algebra von Leonhard Euler  (Introducere completă în/către Algebră de Leonhard Euler). Permiteţi-mi să vă traduc în acest sens câteva pasaje din Capitolul 4 al primei părţi a acestei cărţi (pag. 25-27):

  1. Am observat, că un produs este compus din două sau mai multe numere care se înmulţesc între ele, acestea numindu-se factori. …
  2. Dacă analizăm toate numerele, în ce măsură acestea se pot obţine prin înmulţire a două sau mai multe numere, atunci vom constata destul de repede că unele nici nu se pot obţine prin înmulţire, şi astfel nu au deloc factori; altele însă se pot scrie înmulţit cu două sau mai multe numere, ca urmare având doi sau mai mulţi factori.

Astfel, 4 dă căt 2∙2, mai departe 6 dă cât 2∙3, apoi 8 dă căt 2∙2∙2 …

  1. Dimpotrivă, numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc. nu se lasă descompuse în acelaşi fel în factori, doar dacă nu l-am lua în ajutor şi pe 1, astfel încât de exemplu pe 2 să-l reprezentăm ca 1∙2. Dar, datorită faptului că un număr înmulţit cu 1 nu se modifică, atunci pe 1 nici nu-l putem privi ca factor.

Toate aceste numere care nu se pot descompune în factori, ca 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc., se numesc numere simple sau numere prime; toate numerele rămase însă, cele care se pot reprezenta cu factori, adică 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 etc., se numesc numere compuse. …

  1. Numerele compuse însă, cele care se lasă prezentate prin factori, izvoresc toate din numerele prime de mai sus, astfel încât toţi factorii sunt numere prime. Pentru că dacă un factor nu ar fi număr prim, ci un număr compus, atunci acesta s-ar putea la rândul său descompune în doi sau mai mulţi factori numere prime. Deci, dacă numărul 30 se reprezintă prin 5∙6, iar 6 nu este număr prim, ci 2∙3, aşadar 30 se poate reprezenta prin 5∙2∙3 sau prin 2∙3∙5, toţi factorii fiind numere prime. …(urmează câteva exemple de descompunere, inclusiv descompunerea lui 360, extrăgând din acesta câte un factor de 2, apoi câte un factor de 3 etc., ceva de genul 360 = 2∙180, iar 180 = 2∙90 ş.a.m.d.)

Ca urmare, numărul 360 se descompune în factori simpli ca: 2∙2∙2∙3∙3∙5, care numere, toate înmulţite dau ca rezultat 360.

  1. Vedem din acestea că numerele prime nu se pot împărţi prin alte numere, pe când numerele compuse cel mai des se pot descompune în factorii lor simpli, căutând toate numerele simple prin care acestea se lasă împărţite. …

Da, aşa vorbea marele Euler despre numerele prime, de parcă totul ar făcea parte dintr-o poveste minunată, în care numerele prime sunt unele din multele personaje. Am convingerea, că această poveste este mult mai potrivită elevilor de clasa a V-a, decât formele practicate actualmente, adaptate după diverse variante de cursuri universitare. Acest prim principiu enunţat mai sus ar putea fi prezentat scurt şi sec şi în felul următor: caracterizare, nu definire!

Un alt principiu foarte important, urmărit în predarea prezentată, este cel enunţat de către un prieten, Zan Redzic, profesor din Germania, sub titlul de Spieldrang = impulsul de a te juca; dorinţa de joc. Într-adevăr, elevii au un impuls nestăvilit de a se juca, de a transforma cu bucurie orice activitate în joc. Astfel, după cum aţi putut observa, prima apariţie a numerelor prime am făcut-o adus-o exact printr-un “joc”. Chiar şi numai pronunţarea cuvântului “joc” detensionează foarte mult starea sufletească a unor elevi mai fricoşi în ceea ce priveşte matematica.

Astfel, de la o vreme, chiar “vânarea” numerelor prime devine un joc în sine, cu fiecare oră de matematică lărgindu-se experienţa elevilor în localizarea unor noi numere prime. Desigur că elevii trebuie ajutaţi în această vânătoare; de pildă, într-una din orele următoare Ciurului lui Eratostene le aduc elevilor o coală de hârtie în formatul A5 având pe o parte toate numerele prime până la 2500, iar pe cealaltă un tabel cu cei mai mici divizori ai unor numere până la 1500 (fotocopiată din Ioan Şt. Muşat, C. Ionescu Ţiu, Exerciţii şi probleme de matematică pentru concursul de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, 1971, Biblioteca S.S.M. din R.S.R., pag. 15,16; vezi anexa la prezentul eseu; imprimaţi pe format A4 pe ambele părţi şi tăiaţi în două A5). Cu ajutorul acestora elevii pot vâna mult mai “profesionist” numere prime dincolo de limita învăţării intuitive (până pe la 30-40), dincolo de limita probei împărţirii în cap (cam până la 100) şi dincolo de limita propriului Ciur al lui Eratostene (numerele prime până pe la 250). Iar dacă un număr nu este pe lista cu numere prime, elevul poate înţelege cum se face descompunerea acestuia, în cazul când nu se împarte exact cu 2, 5, sau 3. Descompunerea unor astfel de numere devine aici un joc în sine.

Un nou joc, care nu ţine aparent de numerele prime, este scrierea primilor termeni din şirurile de puteri cunoscute, ale lui 2 (până la 212), lui 3 (până la 310), lui 4 (până la 46), lui 5 (până la 58) sau ale lui 10 (foarte distractiv, merge până la 1010). După ce s-au obişnuit cu acestea, le putem prezenta elevilor două tipuri de numere cu totul speciale, ce au reprezentat momente majore în evoluţia matematicii: Numerele lui Mersenne şi Numerele lui Fermat, care au reprezentat în viziunea autorilor tentative de găsit a unor reguli ce ar genera numere prime. Pentru noi, fiecare din aceste şiruri reprezintă un joc în care elevii pot urmări dacă anumite numere sunt sau nu numere prime.

Numerele lui Mersenne (Călugărul Marin Mersenne, 1588-1648), calculate cu formula Mn = 2n – 1, reprezintă o primă încercare de găsire a unei reţete pentru obţinerea de numere prime. Încercarea nu a fost una de mare succes, dar aceasta reprezintă o poveste interesantă şi baza pentru un mic joc în care elevii să verifice care sunt numere prime şi care nu sunt. Totodată elevii au reuşit să observe şi alte legităţi legate de ultima cifră, legităţi ce sunt conectate cu cele mult mai cunoscute legate de evoluţia ultimei cifre la şirurile puterilor. Despre Mersenne le povestesc elevilor că a reprezentat unul din primele nuclee ştiinţifice ale vremii, întreţinând o corespondenţă activă cu mai-marii vremii: Descartes, Galilei, Pascal etc. grupul din jurul său reprezentând nucleul pe urma căruia s-a înfiinţat Academia franceză. Cu elevii am verificat primele 12 numere ale lui Mersenne, pentru n de la 1 la 12. Astfel se numere prime doar pentru n = 2, 3, 5, 7; Următorul prim se obţine pentru n = 13 şi verificarea acestuia reprezintă deja o sarcină doar pentru elevii pasionaţi de matematică (temă neobligatorie). Numărul 8191, cunoscut ca “primul lui Mersenne”, poate fi sursa unor preocupări interesante pentru elevii buni de clasa a V-a (vezi Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach, Ed. HUMANITAS, 2003, pag. 125). Las cititorului bucuria de a găsi şi alte surse despre aceste numere fascinante.

Numerele lui Fermat (Pierre de Fermat, 1607-1665) au reprezentat o încercare mult mai reuşită de a găsi o reţetă pentru obţinerea unor numere prime. Faptul că 257 este prim se constată din tabel; verificarea lui 65537 (numărul lui Fermat pentru n = 4) este însă un exerciţiu puternic şi pentru elevii buni la matematică. Povestea interesantă însă, de-abia acum începe: următorul număr Fermat, pentru n = 5, este 4.294.967.297, iar despre acesta s-a presupus că este tot număr prim. Marele Fermat trebuie că avusese dreptate. De-abia în 1732, Leonhard Euler a arătat că 4.294.967.297 = 641 ∙ 6.700.417 şi deci că nu este prim, spulberând astfel marele mit al numerelor prime ale lui Fermat. În era computerelor, în 1966, s-a arătat că următoarele 38 de numere Fermat sunt toate compuse. Aceasta rămâne însă o foarte frumoasă poveste de spus la ora de matematică.

Dacă tot vorbirăm de jocuri cu numere prime, în ultimii doi ani am exersat cu elevii o formă interesantă de găsire a tuturor divizorilor unui număr natural, bazată pe descompunerea acestuia în factori primi. Astfel, am aranjat divizorii într-un fel de tabel organizat pe nivele după numărul de factori primi care sunt asamblaţi pentru a obţine divizorii. Cu metoda respectivă se pot găsi cu mare siguranţă toţi divizorii, pe baza faptului că tabelul respectiv în formă de frunză are formă simetrică, nivelele simetrice faţă de extremităţi având un număr egal de divizori. Poza următoare a tablei din ora respectivă arată două cazuri mai simple, D12 şi D72, din care puteţi deduce “regulile acestui joc”. Vă propun în continuare să vă distraţi cu găsirea tuturor divizorilor unui număr ceva mai mare, numărul 3000, care are descompunerea în şapte factori de trei feluri, tabelul pe opt nivele oferind în mod ordonat toţi cei 32 de divizori.

Merită făcută aici o scurtă comparaţie legată de accesibilitatea în ceea ce priveşte posibilitatea de înţelegere de către elevi a acestei abordări vizavi de tot mai frecventata formulă care ne dă direct numărul divizorilor unui număr. De pildă 3000 = 31∙23∙53 are un număr de (1+1)∙(3+1)∙(3+1) = 2∙4∙4 = 32 divizori. Aceasta se aplică foarte repede, dar elevul nu înţelege nimic, efectul fiind acela de cutie neagră. Dimpotrivă, la găsirea tuturor divizorilor prin metoda prezentată mai sus cu tabelul în formă de frunză, se lucrează foarte mult, dar elevii înţeleg fiecare pas şi pricep despre ce-i vorba; doar capacitatea lor limitată de atenţie şi de concentrare le poate sta în cale în înţelegerea fenomenului. Oare, după care din cele două elevii – mai ales cei buni – şi gândirea lor matematică rămân mai câştigaţi?

În prezentarea apariţiei numerelor prime am atins – doar tangenţial – un principiu important, anume acela de a studia un subiect începând cu metode primitive, şi ajungând în final la metoda generală, mai elaborată din punct de vedere teoretic. Concret, am abordat descompunerea numerelor naturale în factori primi într-o formă lejeră, intuitivă, liberă, bazată doar pe amintiri din tabla înmulţirii. De-abia apoi (în cazul de faţă, doar ora următoare) am dedus din aceasta metoda descompunerii în factori primi cu linia verticală, prin împărţiri succesive la numerele prime 2 şi 5, apoi 3, 7 sau 11. Pentru a ajunge la ideea de împărţire, după prima oră a trebuit să supun discuţiei în plenul clasei următoarea dublă întrebare: ce operaţie este când în “săculeţul” cu factori primi ai unui număr mai pun un nou factor, respectiv ce operaţie aritmetică are loc atunci când “scot din săculeţ” un factor? De-abia după conştientizarea faptului că extragerea unui factor înseamnă de fapt împărţirea numărului cu acel factor, de-abia după aceasta am putut transforma în câţiva paşi prima metodă de descompunere în metoda cunoscută de toată lumea. În toate orele următoare am folosit însă alternativ, după cum se potrivea mai bine, prima sau a doua dintre metode.

Acest ultim principiu prezentat este însă foarte înrudit – aproape pănă la confundare – cu un altul, anume acela de a începe învăţarea unei teme de la cazuri particulare, rezolvabile în minte, şi a evolua, ajungând cât mai târziu la cazuri dificile, rezolvabile doar prin metode scrise, mai exact prin algoritmi. De pildă, numărul 81 se poate descompune mintal prin prima metodă foarte simplu, descompunând în faza intermediară 81 în 9∙9, iar apoi fiecare 9 în 3∙3, obţinând deci 81 = 3∙3∙3∙3. Este evident că această descompunere este mult mai uşoară decât cea bazată pe împărţirea 81:3 = 27. De-abia la a doua metodă de descompunere a apărut şi artificiul de calcul de împărţire la 2∙5 în cazul descompunerii numerelor cu zero la ultima cifră.

Ca o paranteză fie spus, la exerciţiile de descompunere a numerelor în factori primi, la exemplele tot mai complicate, se potriveşte de minune a aduce în discuţie ideea de putere a numerelor naturale, la început ca o simplă metodă de scurtare a scrierii. Anul acesta, când mă pregăteam ca ora viitoare să supun discuţiei ideea unei scrieri mai scurte, doi elevi au sărit în sus, că asta trebuie să fie operaţia de putere! (o văzuseră la un verişor sau un frate mai mare).

Există şi un principiu mai rar folosit, care însă ajută foarte mult la studiul unor situaţii numerice. Este vorba de încercarea de a arăta conexiunile numerice prin anumite conexiuni sau ordonări grafice. Probabil, cel mai cunoscut exemplu este acela când calculăm o Sumă Gauss fără formulă, adunănd primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul ş.a.m.d., conectând perechile de termeni adunaţi pe hârtie cu câte o linie curbă. Evidenţierea grafică a unor conexiuni poate contribui la formarea unei viziuni mai clare asupra sistemului de relaţii între elementele studiate (citat relativ din George Polya, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag 178, pr. 6.20). Evidenţierea grafică a unor astfel de conexiuni între elementele studiate poate ajuta foarte mult la înţelegerea şi clarificarea conexiunilor dintre numerele participante în momentul respectiv. Aceste încercări de evidenţiere a conexiunilor apar în două locuri în lecţiile prezentate. În primul rând s-a văzut la descompunerea numerelor în factori, unde am prezentat descompunerea în forma unui graf pe care elevii îl denumesc după libera inspiraţie (brăduleţ, triunghi sau piramidă, reţea de rădăcini etc.) Un al doilea loc de amintit a fost forma în care se pot organiza divizorii unui număr, după numărul factorilor primi ce intră în componenţa fiecărui divizor. Acele tabele în formă de frunză oferă elevilor o structură ce reprezintă de fapt o schelă de susţinere a gândurilor necesare pentru atingerea obiectivului propus.

Să analizăm în final şi un alt aspect, mai special, despre prezentarea la clasă a acestui material. Poate v-aţi întrebat de ce nu am folosit deloc expresii şi scriere specifice teoriei mulţimilor. Puteam desigur să le folosesc, dar nu a fost neapărat nevoie. Mai precis, am vrut să arat că se poate studia liniştit această temă fără limbajul mulţimilor, care la început doar îi încurcă pe elevi. Scrierea în limbajul mulţimilor a fost introdusă în clasele gimnaziale de-abia odată cu reforma din 1980, contribuind din plin la îngreunarea materiei şi la percepţia generală că matematica este o materie grea ce nu prea se poate înţelege, fiind scrisă într-un mod mult prea ştiinţific, inteligibil doar pentru “micii Einsteini”. Trebuie să înţelegem, însă, că limbajul mulţimilor nu a fost folosit nici la nivel înalt decât în ultima parte a secolului XX. De pildă, în lucrarea Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime a profesorului Waclaw Sierpinski (Ed. Ştiinţifică, 1966), acesta se descurcă de minune fără a folosi nici măcar o dată elemente de scriere din limbajul mulţimilor (lucrarea este tradusă după Waclaw Sierpinski, A selection of problems in the theory of numbers, Pergamon Press, Oxford ∙ London ∙ New York ∙ Paris, 1964).

Aici este ascuns un alt principiu didactic deseori neglijat în predarea matematicii, anume faptul că orice lucru nou trebuie oferit elevilor într-o ambianţă familiară cunoscută, pe un fundament deja stabilizat pe o lungă perioadă de timp, adică într-un limbaj bine cunoscut şi stăpânit de toţi elevii. A introduce noţiuni noi folosind totodată un limbaj de tip nou (introdus la repezeală cu câteva ore în urmă) este o gafă de proporţii, ce se repetă în multe alte puncte ale predării matematicii, această metodă fiind impusă în predarea din România de-abia odată cu Reforma uitată din 1980 (reforma, din păcate, de mult uitată de către majoritatea profesorilor).

6 Ian. 2017

Titus Grigorovici

Predarea matematicii ca artă

Chiar dacă folosim deseori expresia Arta predării matematicii, oare ne este clar despre ce vorbim, oare ce înţeleg alţi profesori din aceasta? De curând am găsit în revista NATIONAL GEOGRAPHIC TRAVELER (Vol. 21, Iulie-August 2014, pag. 64-74) un articol deosebit despre artiştii artizani din Italia: Made in Italy, articol în care sunt prezentaţi meşteşugari din Murano, Napoli, Milano şi alte astfel de locuri minunate.

Găsim în acest articol citate remarcabile despre principiile care-i însufleţesc pe aceştia: Made în Italy înseamnă produse făcute cu suflet (pag. 64). De exemplu, la Bologna găsim … atelierul Peron & Peron, care produce manual, cu grijă, pantofi pe comandă – cam o mie de perechi pe an, …”Pasiunea pentru meşteşug e în AND-ul nostru”, spune Simone Peron. “Vizităm clientul acasă, încercăm să-l cunoaştem, să-i observăm stilul vestimentar, mobila. Trebuie să fim atât buni artizani, cât şi buni psihologi.” În mod similar se vorbeşte şi despre pălărierul Gianni Gatto, mai exact sculptor de pălării din Florenţa, în prezentarea  Nu doar o pălărie, ci artă de purtat în cap:… Ajută şi faptul că Gatto ţine cont de persoana pentru care crează fiecare pălărie. “Pălăria singură e incompletă”, spune el. “Omul o întregeşte, purtând-o într-un fel anume, dându-i suflet şi personalitate.”(pag. 73)

În mod similar profesorul de matematică trebuie să fie un artist al predării: să îmbine atenţia pentru client – elevul, fiecare elev – cu atenţia pentru gândirea matematică – gândirea adaptată fiecărei vârste şcolare. Predarea trebuie făcută cu suflet; pasiunea pentru meşteşug, pentru meşteşugul predării matematicii, trebuie să fie în ADN-ul nostru. Trebuie să fim atât buni matematicieni, cât şi buni psihologi. Profesorul de matematică trebuie să fie sculptor de gândire. Nu doar matematică ci gândire vie de purtat şi folosit o viaţă. Ajută faptul că profesorul ţine cont de persoana (elevul) pentru care crează sau alege fiecare problemă. O problemă singură e incompletă. Elevul o întregeşte, primind-o într-un fel anume, dându-i suflet şi personalitate, prin felul cum reacţionează la aceasta, cum o rezolvă, ce gânduri generază când îi caută soluţia.

Leonardo da Matematici

Numerele prime (2): Introducerea acestora

Numerele prime reprezintă atomii, părţile componente din care sunt create multiplicativ toate celelalte numere. A reduce aceste minuni matematice la o simplă şi unică definiţie este tot ce poate fi făcut mai rău minţii tinere şi proaspete a elevului de clasa a V-a. Acesta, doritor de a afla cât mai multe lucruri frumoase de la profesorul de matematică, este “lovit” cu o definiţie unilaterală, ce surprinde doar o singură faţetă a acestor nestemate matematice. În urma unei astfel de predări, cei mai mulţi nu ajung să le înţeleagă, se sperie de ele şi de orice apariţie a acestora, ca de nişte ciudate bestii cu care cel mai bine să nu ai de-a face; le asimilează deseori numerelor impare şi se blochează când le vorbeşti de 2 ca număr prim par sau de 9 sau de 15 ca numere impare neprime. Abordarea cunoaşterii intuitive din cât mai multe situaţii poate ajuta mult în prevenirea “ceţii ce se pune pe creierul” multor elevi în ceea ce priveşte numerele prime.

De mulţi ani încerc să găsesc diferite căi de a mă apropia de noţiunea de număr prim într-un mod cât mai natural, potrivit elevului de gimnaziu aflat în proces, undeva între gândirea aritmetică a ciclului primar şi gândirea matematică avansată ce va să vină cu înaintarea în vârstă. La clasa a V-a de anul acesta am reuşit încă un pas important în acest demers, găsind în sfârşit o explicaţie plauzibilă pentru denumirea acestor numere, lămurind astfel care este legătura între numerele prime şi cuvântul “primul”. Cu elevii de anul acesta am reuşit nu mai puţin de şase-şapte abordări mai mult sau mai puţin diferite a noţiunii de număr prim. Iată-le în continuare pe acestea în ordinea în care au apărut în lecţii, dar şi altele ce vor apărea la discuţii ulterioare.

Pasul 1) Prima apariţie a numerelor prime a fost în cadrul unui “joc”, în care ne-am propus să descompunem multiplicativ diverse numere. Abordarea a fost una profund intuitivă, fără nici o cât de mică tentativă de teoretizare prealabilă: pur şi simplu, le-am arătat elevilor câteva exemple, pe marginea cărora am discutat principalele aspecte ale “jocului”: că numărul 1 nu participă pentru că atunci jocul nu s-ar mai termina, că pot exista diferite căi de a descompune un număr, dar că întotdeauna se ajunge la aceeaşi formă finală, descompunerile putând varia doar comutativ, că există numere la care descompunerea este mai stufoasă, mai bogată, dar şi numere mai sărace, iar aceasta nu depinde de mărimea numărului (ce ciudat!); în sfârşit, am constatat că există numere care nu se pot descompune multiplicativ. În acest moment au apărut aproape deodată primele două descrieri ale ideii de număr prim. Numerele din finalul oricărei descompuneri se numesc numere prime; ele sunt un fel de piese de bază din care sunt compuse multiplicativ toate celelalte numere, ca într-un ciudat joc Lego. Astfel, există piese mai mici, de 2, 3 sau 5 unităţi, sau piese mai mari de 7 sau 11 unităţi sau mai multe. Pe de altă parte, numerele prime apar la startul unor “partide”, acele numere la care avem surpriza să constatăm că nu le putem descompune în cadrul acestui “joc”. Da, există şi numere prime mai mari, cum ar fi 13, 17 sau 19. Aici apare prima oară o întrebare ciudată: “mai există şi alte astfel de numere, mai mari?”. După cât mai multe exemple rezolvate în clasă, ca temă, elevii au avut să descompună intuitiv şi restul numerelor până la 100 (cât mai multe; unii le-au descompus pe toate care se puteau, alţii au urcat doar către 50). La recapitularea de la începutul următoarei ore am concluzionat că există două tipuri de numere: numerele prime şi numerele compuse; numerele compuse sunt acelea care se pot descompune în produs, pe când numerele prime nu se pot descompune.

După acest prim contact cu numerele prime am încercat şi o primă listă de contabilizare a acestora, listă care, în funcţie de elev, arăta cam aşa: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc. Aspectul comutativităţii înmulţirii numerelor naturale a apărut aici din belşug, şi reprezintă unul din gândurile de unde mi-a venit ideea de a aduna piesele componente ale fiecărui număr descompus într-un săculeţ (adică numerele prime), săculeţ în care acestea se amestecă, necontând la produsul final ordinea în care se reînmulţesc. Lecţiile şi-au urmat apoi cursul către introducerea formei oficiale a descompunerii numerelor naturale, binecunoscuta descompunere “cu bară”. Cuprinse doar pe baza celor înţelese intuitiv la prima lecţie despre descompunerea numerelor naturale, numerele prime au apărut în fiecare din lecţiile următoare, prin simpla folosire tot mai frecventă, chiar dacă noţiunea nu era încă lămurită complet din punct de vedere oficial. De pildă, cu timpul s-a ajuns fără nici un stres la folosirea naturală a expresiei “descompunerea în produs de puteri de factori primi”.

Pasul 1’) Un mic pas înainte, care ţine totuşi de aspectul de descompunere în produs a unui număr, l-am făcut atunci când am încercat un alt “joc”. Astfel, ne-am propus să reprezentăm diferite numere naturale cu punctuleţe în formă dreptunghiulară. Aceste reprezentări pot fi făcute cu punctuleţe aliniate pe hârtie sau cu punctuleţe materiale ordonate pe masă (monede de un ban, boabe de cafea sau de fasole). Ideea apare exploatată din belşug în romanul lui Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach (Ed. HUMANITAS, 2003) Astfel, la pagina 120, numerele compuse sunt prezentate în formă dreptunghiulară de rânduri şi coloane. De exemplu, numărul 35 are o singură reprezentare posibilă, de 5 rânduri şi 7 coloane, care poate fi însă comutată în 7 rânduri şi 5 coloane (comutativitatea reprezentată vizual). Numărul 24 are trei reprezentări total diferite: 4 ∙ 6, 3 ∙ 8 şi 2 ∙ 12. La unele numere reprezentarea în formă dreptunghiulară apare în forma unui pătrat. Astfel, la numărul 16 avem reprezentarea dreptunghiulară 2 ∙ 8 şi reprezentarea pătrată 4 ∙ 4. Întorcându-ne la tema noastră, observăm că numerele prime nu pot fi reprezentate sub formă de dreptunghiuri complete. În romanul lui Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros le reprezenta sub forma unor şiruri de punctuleţe de un rând.

Pasul 2) O nouă apropiere de numerele prime am avut odată cu studierea unor şiruri elementare de numere. Elevii din şcolile Waldorf folosesc din ciclul primar expresii de genul şirul lui 3, cu sensul de şirul multiplilor lui 3, înţelegând prin acestea rezultatele tablei înmulţirii. Aşadar, fără mari complicaţii teoretice, doar intuitiv, am putut enumera câteva şiruri de multipli (multipli = un număr de mai multe ori, clar), pornind de la numărul însuşi. Este foarte important să ne înfrânăm aici să “recităm” lecţia teoretică şi riguros completă (impuls dominant la majoritatea profesorilor), pentru că numărul zero, prezentat de obicei ca primul multiplu, doar încurcă aici lucrurile. Oricum, demersul în această formă este profund corect din punct de vedere istoric: numărul zero a apărut mult mai târziu decât numerele prime. Ca urmare, pe tablă am scris ceva de genul:

M2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
M3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
M4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
M5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
M6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
M7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, …
M8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
M9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …

Observăm că numerele 4, 6, 8, 9 etc. apar în diverse şiruri de multipli, pe diferite poziţii. Dimpotrivă, numerele 2, 3, 5, 7 etc. apar în aceste şiruri doar pe prima poziţie; de aia ele se numesc numere prime. Într-adevăr, acestea se numesc numere prime pentru că apar în şirurile de multipli doar pe prima poziţie! Cu această ocazie am aflat deci, de ce se numesc aşa. În alte limbi, cum ar fi germana, nu pot fi făcute astfel de conexiuni; cu atât mai păcat este să ratăm o ocazie ce ne-o oferă “pe tavă” limba noastră.

Această mişcare a fost posibilă pentru că am înlocuit în limbajul folosit noţiunea de multiplu în sens riguros teoretic cu noţiunea de multiplu în sens istoric. Mai putem face un pas în acest proces şi să analizăm cum stau lucrurile dacă apelăm şi la noţiunea de multiplu în sens lingvistic: multiplii unui număr reprezintă numărul luat de mai multe ori (multiplu = de mai multe ori); multiplul unui număr subînţelege că acel număr este la plural, nu la singular, adică nu este luat doar o singură dată. Aceasta este de fapt cea mai naturală formă de a vorbi despre multipli.

De aici apare Ciurul lui Eratostene, o lecţie foarte practică, din păcate de mult abandonată de învăţământul nostru vitezoman, ce nu-şi mai găseşte timp pentru astfel de fleacuri. În Ciurul lui Eratostene exact asta se întâmplă: încercuim primul număr după 1, adică pe 2 (pe 1 de mult l-am exclus din aceste jocuri, deci copiii n-au nici o problemă în a începe de la 2) şi apoi tăiem toţi multiplii lui 2 – toţi multipli în sens lingvistic; acum primul număr rămas netăiat este 3; îl încercuim pe 3 şi tăiem apoi toţi multiplii săi – toţi multiplii în sens lingvistic, şi aşa mai departe cu următoarele numere prime.. Astfel, în Ciurul lui Eratostene apare o altă faţetă a multiplei personalităţi a numerelor prime, anume că numerele prime reprezintă numerele rămase în Ciurul lui Eratostene după ce tăiem toţi multiplii (toţi multiplii în sens lingvistic).

Acest aspect iese foarte bine în evidenţă dacă faceţi Ciurul lui Eratostene până la 250 (ştiu, nu-i uşor). După lunga muncă de rutină de încercuit un număr prim şi tăiat toţi multiplii săi, până la 11 şi multiplii săi, care sunt încă uşor de găsit, la 13 apare întrebarea dacă mai sunt multipli de-ai săi încă netăiaţi. Aici îi confrunt pe elevi cu o întrebare ajutătoare: “care a fost primul număr tăiat la şirul lui 5? Sau la şirul lui 7?”. După o scurtă dezbatere elevii observă că este vorba de pătratul numărului prim la care tocmai lucram. Când l-am încercuit pe 5 ca prim, mulţi din multiplii săi erau deja tăiaţi de la şirul lui 2 sau de la şirul lui 3. Primul care nu era tăiat şi l-am tăiat proaspăt era 25. La fel, primul multiplu tăiat doar la şirul lui 7 a fost 49. O verificare scurtă şi la 11 ne convinge: la şirul multiplilor lui 13 nu mai trebuie să verificăm, primul ce încă n-a fost eliminat este 169. În continuare mai găsim de tăiat doi multipli de-ai lui 13, pe 13 ∙ 17 = 221 şi pe 13 ∙ 19 = 247. Acum trecem la următorul număr prim, la 17. Care este primul multiplu al lui 17 ce încă nu este eliminat din Ciurul lui Eratostene? Clar, este 172 = 289, dar care este deja în afara limitei ce ne-am propus-o. Înseamnă că toate numerele rămase încă netăiate sunt numere prime (observaţie valabilă în lista numerelor până la 250). Acum se înţelege desigur că dacă vrei să faci la clasă Ciurul lui Eratostene cu copiii, fiecare în caietul lui, îţi ocupă din plin o oră.

Câteva precizări metodice merită făcute, legat de această lecţie. Eu m-am străduit să scriu cât mai mic, pentru ca să-mi încapă 25 de rânduri pe înălţimea de 1,10 m a tablei. Elevii trebuiau să înceapă o pagină nouă, pe lângă titlul – care pe tablă era alături – având întreaga pagină la dispoziţie. Oricum, trebuie atenţionaţi să copieze tabelul exact ca pe tablă, pentru a avea o ordine în care să se descurce (unii totuşi tot nu reuşesc). Pentru o ordine cât mai clară, eu îl scriu pe 1 la început, iar apoi îl şterg când începem munca la ciur. Desigur că, după completarea tabelului, luăm o scurtă pauză în care le povestesc ce este acela un ciur pentru sortat pietrişul pe diferite mărimi.

Apoi, aşa cum se vede şi în poza de final a tablei, la primele “site” ale ciurului folosesc la fiecare câte o culoare diferită; de-abia de la 13 nu mai schimb culoarea cretei pentru restul numerelor prime găsite. Ora următoare aruncăm o privire înapoi în care scriem întâi lista numerelor prime cel puţin până la 100 (anul acesta elevii au vrut să mergem mult mai mult), ordonate de data asta pe coloane: prima coloană cele de o cifră, a doua coloană cele între 10 şi 20 (câte patru pe fiecare coloană), apoi cele două dintre 20 şi 30 (două numere prime), pe a patra coloană cele între 30 şi 40, apoi cele între 40 şi 50 (trei numere prime) ş.a.m.d. Apoi facem o analiză cu tot ce-am observat. De pildă că într-o decadă pot fi cel mult patru numere prime (la primele două coloane, dar şi mai târziu, de exemplu între 190 şi 200), dar şi că există decade fără numere prime ( am avut una între 200 şi 210).

Ca o curiozitate le povestesc şi despre numerele prime gemene (numere prime despărţite doar de numărul par dintre ele), despre felul în care acestea sunt scrise, de pildă 26∙3±1 pentru 191 şi 193, dar şi scurt, superficial, despre faptul că numerele prime gemene foarte mari, încă necunoscute pentru restul lumii, sunt folosite la codificarea mesajelor secrete pe internet.

Pasul 3) O nouă sesiune de întâlniri cu numerele prime apare desigur atinci când începem să discutăm despre divizorii unui număr. Aici, în sfârşit, lucrurile ajung “în ape cunoscute” pentru majoritatea părinţilor, care au trebuit să îndure cu stoicism o materie necunoscută lor, materie care nu prea semăna cu definiţia ce o ţineau ei minte din liceu. Aici discutăm despre divizori propri şi divizori impropri şi putem spune în sfârşit că numerele prime sunt acele numere care se divid doar la unu şi la el însuşi, sau, cu alte cuvinte, că numerele prime sunt numerele care au doar divizori impropri. Spre deosebire de acestea, numerele compuse au întotdeauna şi cel puţin încă un divizor propriu în plus. Merită aici să vă prezint o definiţie găsită într-o veche carte germană (G. Ulrich, Arithmetik und Algebra, 1940): numărul prim este un număr care nu este divizibil prin nici un alt număr (în afară de 1). Această descriere elimină foarte abil divizorul numărul însuşi, prin forma exprimării (nu este divizibil prin nici un alt număr).

Artificiul de exprimare îmi aduce aminte de felul cum poţi ridica la pătrat un număr cu un calculator de buzunar. De pildă, pentru 172 trebuie să apăsăm 17 x = şi obţinem instant 289, pentru că gândirea calculatorului înmulţeşte număr iniţal cu numărul de pe ecran, odată ce ai apăsat semnul egal.

Înainte de a încheia acest eseu “filozofic” despre numerele prime, îmi permit două ultime reveniri scurte la subiectul multiplilor unui număr (acestea au fost doar parţial prezentate elevilor). În primul rând, ne aducem aminte că la divizorii unui număr natural avem întotdeauna, sigur cel puţin doi divizori*, anume numărul 1 ca divizor universal, şi numărul însuşi, cele două numere purtând numele de divizori impropri; ceilalţi divizori se numesc divizori propri. În mod analog putem privi lucrurile şi la multiplii unui număr: orice număr îl are pe 0 (zero) ca multiplu universal şi pe numărul însuşi ca multiplu, cei doi multipli putând fi denumiţi în mod similar multipli impropri. Ceilalţi multipli, pe care i-am caracterizat mai devreme ca “plurali”, vor putea fi numiţi în mod similar drept multipli propri. Astfel (după ce am eliminat cei “doi ciudaţi”, 0 şi 1) numerele prime sunt numerele rămase după excluderea tuturor multiplilor propri din lista numerelor naturale. (* în afara cazului numărului 1, care are doar un divizor; aici găsim încă o explicaţie pentru care numărul 1 nu este considerat prim: numerele prime sunt acele numere care au exact doi divizori)

A doua revenire legată de multiplii se referă la expresia folosită de multiplu în sens lingvistic (fără zero şi numărul însuşi, adică multiplu drept un “plural”) spre deosebire de multiplu în sens riguros teoretic (varianta folosită actualmente şi şcoli) sau varianta intermediară de multiplu în sens istoric (doar fără zero, care nu era cunoscut în antichitate). Am discutat cu un expert lingvist, care mi-a sugerat termenul de multiplu în sensul uzanţei generale, folosit de toată lumea, pentru multiplul plural (adică fără 0 şi 1), respectiv multiplu în sens restrâns, folosit doar de către matematicieni (pentru toţi multiplii în sens ştiinţific). Acest punct de vedere se aseamănă cu situaţia greutăţii (termen folosit în sens larg de către toată lumea), respectiv a masei (termenul ştiinţific corect pentru mărimea măsurată în kg, dar folosit în cerc restrâns, doar în lumea ştiinţifică a fizicii şi a domenilor conexe).

28 Dec. 2016

Titus Grigorovici

Numerele prime (1): Gemenii calculatori

Pe cât sunt considerate de cunoscute, pe atât sunt totuşi percepute ca profund enigmatice. Dar, orice-ar fi, când le aud pronunţat numele, în sufletul lor oamenii “iau poziţie de drepţi”, atenţia fiecăruia se acutizează, încearcă eventual să-şi aducă aminte definiţia învăţată în şcoală şi o mică spaimă se face simţită în sufletul unora: “dacă voi fi întrebat ceva despre ele, ceva ce nu ştiu?”. Numerele prime, prin simpla lor prezenţă, sunt nişte entităţi matematice ce impun respect. Cu atât mai mult, nu ne aşteptăm ca numerele prime să apară în preocupările unor persoane autiste.

Pentru noi, profesori la şcolile obişnuite se întâmplă mai rar, dar uneor totuşi se întâmplă, să avem în clasă câte un elev autist. O colegă a avut pe vremuri un elev autist în şcoala unde predam; nu l-am cunoscut direct decât la o supraveghere pentru simularea examenului de Capacitate. Acest elev desena foarte frumos, desene pline de detalii. La acea simulare, în loc de rezolvări la matematică, acesta a desenat o foarte frumoasă vază cu flori, plină de detalii filigranate. Am păstrat acel desen în amintirea elevului respectiv. A fost cea mai specială lucrare primită vreodată de la un elev.

Uneori elevii autişti pot reprezenta pentru profesorul norocos o fereastră deosebită spre “gândirea matematică”. Am scris gândirea matematică cu ghilimele pentru că în aceste cazuri este vorba despre o gândire ieşită din tiparele obişnuite. Iar această situaţie ne poate învăţa să respectăm şi alte modele de gândire, decât cele pe care le întâlnim şi le predăm în activitatea de zi cu zi.

Atunci când au abilităţi matematice neobişnuite, aceste persoane uimesc pe cei din jur cu înclinaţii într-o direcţie îngustă a matematicii, pe care însă o pot pătrunde în profunzimi de neimaginat pentru omul de rând. Un astfel de caz, cu o memorie uriaşă şi o abilitate incredibilă de numărare, este evocat în filmul Rain Man din 1988, în care Dustin Hoffman, joacă rolul unui personaj autist. La un moment dat acesta “vede” aproape dintr-o privire 246 de scobitori vărsate pe jos de o chelnăriţă, care tocmai încercase să deschidă o cutiuţă nouă, sigilată din fabrică . Fratele său, jucat de Tom Cruise, întreabă: “Câte erau în cutie?”, iar chelneriţa, citind de pe ambalaj, îi răspunde “250”. “Destul de aproape!” se miră acesta, dar chelneriţa îi replică “mai sunt patru în cutie”. Puteţi găsi scena pe YouTube dând spre căutare Rain Man 246.

Povestea ce urmează este preluată din lucrarea lui Oliver Sacks – Omul care îşi confunda soţia cu o pălărie, apărută în 2011 la Editura Humanitas. Autorul este medic şi profesor de neurologie şi psihiatrie la Centrul medical al Universităţii Columbia, iar lucrarea prezintă diferite cazuri din experienţa sa îndelungată. Povestea cu numărul 23 din această carte are titlul simplu Gemenii şi este cuprinsă între paginile 229-251. Iată în continuare spicuiri din acest articol.

Când i-am întâlnit pentru prima oară pe gemenii John şi Michael, în anul 1966, într-un spital de stat, ei erau deja bine cunoscuţi. Apăruseră la radio şi la televiziune şi făcuseră obiectul unor relatări amănunţite, ştiinţifice şi populare. … îşi croiseră drum în literatura ştiinţifico-fantastică, uşor “literaturizaţi”…

Gemenii, care aveau vârsta de douăzeci şi şase de ani, trăiseră în instituţii specializate, fiind diagnosticaţi ca autişti,…. Cele mai multe relatări …erau legate de … folosirea unui algoritm calendaristic inconştient prin care puteau să spună imediat în ce zi a săptămânii cădea o dată din trecutul sau din viitorul îndepărtat. …

Nu se poate obţine într-adevăr nici un indiciu despre ce se află în profunzime decât dacă lăsăm deoparte testele asupra gemenilor … e nevoie să ne apropiem de gemeni, să-i observăm cu înţelegere şi calm, fără prejudecăţi, cu deschidere fenomenologică şi tact, urmărindu-i cum trăiesc, gândesc şi interacţionează în linişte, ducându-şi spontan vieţile lor neobişnuite….

Sunt mici de statură, … cu o miopie degenerativă avansată, necesitând ochelari cu lentile atât de groase încât ochii lor par deformaţi, ca ai unor profesori caricatural de mici …. Iar această impresie e întărită imediat ce li se pune vreo întrebare sau li se oferă prilejul să înceapă în mod spontan “numărul” obişnuit, ca nişte marionete. …(la diferite spectacole sau la televiziune)

În aceste condiţii, prestaţiile lor au devenit monotone. Gemenii zic: “Spuneţi o dată, oricare din ultimii sau din următorii patruzeci de mii de ani.” Li se dă o dată şi, aproape imediat, ei spun în ce zi a săptămânii cade. “Încă o dată!” strigă ei, şi jocul se repetă. Pot spune şi ziua în care cade Paştele în acest interval de 80 000 de ani. …

…Dacă sunt întrebaţi cum pot reţine atât de multe în minţile lor – un număr format de trei sute de cifre … – ei răspund simplu: “Le vedem.” … Prima mea observaţie legată de aptitudinile “naturale” şi de metoda “naturală” a gemenilor s-a născut într-un mod …spontan … mai curând comic.

De pe masa lor a căzut o cutie de chibrituri care şi-a vărsat conţinutul pe jos: “111” au strigat amândoi simultan; apoi, în şoaptă, John a zis: “37”. Michael a repetat numărul, John l-a mai spus o dată şi s-a oprit. Am numărat chibriturile – mi-a luat ceva timp – şi erau 111. “Cum aţi putut număra chibriturile aşa repede?” am întrebat. “N-am numărat”, au zis ei. “Am văzut că erau 111.”…

“Dar de ce aţi şoptit 37 şi aţi repetat acest număr de trei ori?” i-am întrebat pe gemeni. Au răspuns într-un glas: “37, 37, 37, 111.”

Acest lucru m-a uimit şi mai tare …Că vedeau 111 – “o-sută-unsprăzecitatea” – instantaneu era ceva ieşit din comun, …Dar ei ajunseseră la “divizorii” numărului 111 fără să aibă vreo metodă, fără măcar să “ştie” (pe cale obişnuită) ce înseamnă divizorii. …acum, în mod spontan, împărţiseră un număr divizibil în trei părţi egale.

Întrerup şirul citatelor din Oliver Sacks cu observaţia că în ultima frază un număr divizibil ar trebui citit cu sens de  un număr decompozabil, un număr care se poate descompune ca produs de alte două numere (diferite de 1, desigur). Dar poate fraza se citeşte şi mai corect astfel: ei împărţiseră aditiv, în trei părţi egale un număr ce era divizibil în trei părţi egale (citiţi divizibil nu cu sens matematic – împărţibil exact, ci în sens latin – despărţibil; probabil că acesta este şi sensul original al cuvântului din matematică).

“Cum aţi calculat?” am întrebat cam repezit. Mi-au explicat, atăt cât puteau ei de bine, în termeni sărăcăcioşi, insuficienţi … că nu “calculaseră”, ci “văzuseră” într-o străfulgerare. John a făcut un gest cu degetul mare şi alte două degete întinse, care părea să sugereze că tăiaseră spontan numărul în trei părţi egale, printr-un fel de “fisiune” numerică spontană. Păreau uimiţi de uimirea mea, de parcă eu aş fi fost într-un anume sens orb; …

M-am gândit la această problemă, dar fără mult succes. Apoi am uitat de ea. Am uitat până când s-a petrecut, cu totul întâmplător, a doua scenă spontană, o scenă magică.

De data asta erau aşesaţi împreună într-un colţ, zâmbind secretos, misterios, un zâmbet pe care nu-l mai văzusem până atunci, trăind o plăcere stranie şi o stare de pace. M-am furişat pe nesimţite, ca să nu-i deranjez. Păreau prinşi într-un dialog neobişnuit, pur numeric. John spunea un număr – un număr de şase cifre. Michael recepţiona numărul, încuvinţa din cap, zâmbea şi părea că-l savurează. Apoi, la rândul lui, spunea un alt număr de şase cifre, iar acum John era cel care-l recepţiona şi se bucura din plin de el. La prima vedere, semănau cu doi degustători de vinuri, împărtăşind bucheturi rare, aprecieri rare. Am rămas nemişcat, nevăzut de ei, hipnotizat, uluit.

Ce anume făceau? Ce naiba se petrecea? Nu pricepeam nimic. Era poate un fel de joc, dar avea o gravitate şi o intensitate, un fel de intensitate senină, meditativă şi aproape sacră, pe care n-o mai văzusem niciodată într-un joc obişnuit, şi pe care n-o mai observasem la aceşti gemeni, de regulă agitaţi şi zăpăciţi. M-am mulţumit să notez numerele pe care le rosteau – numere care de bună seamă le procurau atâta plăcere, şi pe care le “contemplau”, le savurau şi le împărtăşeau.

Aveau oare numerele vreo semnificaţie, mă întrebam în drum spre casă, aveau ele vreo semnificaţie “reală” ori universală, sau doar o semnificaţie excentrică, personală, ca secretele şi “limbajul” stupid pe care-l inventează uneori fraţii şi surorile pentru ei înşişi? … John şi Michael nici măcar nu foloseau cuvinte sau jumătăţi de cuvinte – pur şi simplu îşi pasau numere de la unul la altul. …

Ajuns acasă, am scos tabele cu puteri, divizori, logaritmi şi numere prime – amintiri şi relicve dintr-o perioadă stranie a copilăriei mele, când “vedeam” şi eu numere, eram pasionat de ele. Aveam deja o presimţire, iar acum se confirma. Toate numerele, numerele de şase cifre, pe care le schimbaseră gemenii între ei, erau numere prime – adică numere care nu erau divizibile cu alte numere întregi decât cu ele însele sau cu unu. Văzuseră sau avuseseră ei oare o carte ca a mea, ori erau în stare să “vadă” numere prime, pe o cale de neînchipuit, cam în acelaşi fel în care văzuseră “o-sută-unsprăzecitatea”? …

În ziua următoare m-am întors la spital luând cu mine preţioasa carte cu numere prime. I-am găsit din nou închişi în comunitatea lor numerică, dar de data aceasta m-am alăturat şi eu, în tăcere. La început au fost surprinşi, dar, văzând că nu-i întrerup, şi-au reluat “jocul” cu numere prime din şase cifre. După câteva minute, m-am hotărât să intru în joc şi am lansat un număr de opt cifre. S-au întors amândoi spre mine, au tăcut brusc, uimiţi, părând că se concentrează intens. A urmat o pauză lungă – cea mai lungă pe care o observasem până atunci la ei, trebuie să fi durat o jumătate de minut sau mai mult – apoi, dintr-o dată, simultan, au început amândoi să zâmbească.

Văzuseră brusc, după un proces intern de verificare imposibil de închipuit, că numărul meu de opt cifre era număr prim, iar asta era de bună seamă pentru ei o mare bucurie: în primul rând, pentru că adusesem o nouă jucărie minunată, un număr prim de un ordin pe care nu-l mai întâlniseră până atunci; în al doilea rând, pentru că era limpede că eu înţelesesem ce făceau, îmi plăcea, îi admiram şi puteam intra şi eu în joc.

S-au dat uşor în lături, făcându-mi loc şi mie, un nou tovarăş de joacă, al treilea în lumea lor. Apoi John, care prelua mereu iniţiativa, s-a gândit un timp foarte îndelungat – trebuie să fi fost cel puţin cinci minute, deşi nu îndrăzneam să fac nici o mişcare şi abia respiram – şi a scos la iveală un număr de nouă cifre; iar după un timp comparabil, gemenul său Michael a răspuns cu unul similar. Apoi eu, după ce mă uitasem pe furiş în cartea mea, mi-am adus, trişând, propria contribuţie: un număr prim de zece cifre pe care îl găsisem în carte.

S-a lăsat din nou, pentru şi mai mult timp, o linişte uimită; apoi John, după o contemplare lăuntrică formidabilă, a scos la iveală un număr de douăsprezece cifre. Nu aveam cum să-l verific şi nu puteam să-i răspund: în cartea mea … nu erau numere prime cu mai mult de zece cifre. Dar Michael era la înălţime, deşi îi trebuiseră cinci minute, iar peste o oră gemenii schimbau între ei numere prime de douăzeci de cifre, cel puţin aşa cred, întrucât nu aveam nici un mijloc de verificare. De altfel, în 1966 nici nu era un lucru simplu dacă nu aveai la dispoziţie un calculator sofisticat. Chiar şi aşa ar fi fost greu, fiindcă, fie că foloseşti ciurul lui Eratostene, fie că foloseşti orice alt algoritm, nu există o metodă simplă pentru calculul numerelor prime. Nu există nici o metodă simplă pentru determinarea numerelor prime de acest ordin – şi totuşi gemenii o făceau.

Articolul se încheie cu diverse analize filozofice ale cazului, dintre care spicuiesc doar câteva rânduri: …numerele nu sunt pentru ei doar un obiect de cult, ci şi prieteni – poate singurii prieteni pe care i-au cunoscut în vieţile lor izolate, autiste. E un sentiment destul de răspândit printre cei înzestraţi pentru numere …

Matematicianul Wim Klein a exprimat foarte clar acest lucru: “Numerele sunt oarcum prietenii mei. 3844 nu înseamnă acelaşi lucru pentru tine, nu-i aşa? Pentru tine este doar un trei, un opt, un patru şi un patru. Dar eu spun: Salut , 62 ridicat la pătrat!”

Cred că gemenii, aparent atât de izolaţi, trăiesc într-o lume plină de prieteni, au milioane, miliarde de numere cărora le spun “Salut!” şi care, sunt sigur, le răspund la salut. Dar nici unul dintre numere nu e arbitrar …, nu se ajunge la el prin vreuna din metodele obişnuite, de fapt nu se ajunge prin nici o metodă, după câte îmi dau seama. La fel ca îngerii, par să aibă acces la o cunoaştere directă. Ei văd direct un univers şi un paradis de numere.

Primul dintre gemeni