Grupă de lucru – Florian Osswald & David Urieli (1)

5WM-S1+2 din 6 oct. 2015

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresul profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, ce a avut loc la Dornach, lângă Basel, s-au organizat grupe de lucru pe diferite teme. În urma înscrierilor şi a numărului de doritori am participat la o grupă cumulată condusă alternativ de către cei doi profesori pe care i-am prezentat când am vorbit despre conferinţele ţinute de aceştia. Grupa de lucru a funcţionat în general în limba engleză şi au fost cu totul şase întâlniri ale acestui seminar/grupă de lucru, câte două în fiecare din cele trei zile pline ale congresului; în paralel au fost organizate opt grupe de lucru. Nu voi prezenta în detaliu cele şase întâlniri, ci voi spicui doar cele mai interesante aspecte. Iată pe scurt principalele idei din seminariile de marţi 6 oct. 2015.

Prima întâlnire a început cu un cuvânt din partea d-lui Florian Osswad (Germania), care a enunţat tema principală: GÂNDIREA (one theme at the top: thinking!). Apoi am primit şi prima problemă:

Două treimi din fete dansează cu trei sferturi din băieţi. Câte perechi dansează?

Este o problemă fabuloasă, pentru că nu se pliază pe nici un model uzual şi te pune să gândeşti. După care au venit şi primele comentarii: 50-60% din elevii care primesc această problemă răspund cu una din următoarele vaiante: 1) Nu ştiu; 2) Există o formulă pentru aceasta? 3) Aştept să explice profesorul/ întreb colegul. Ce facem noi profesorii în faţa unei astfel de situaţii? Cum putem reporni bucuria de a gândi? Cum putem porni de fapt iubirea pentru gândire?

Dl. David Urieli (britanic rezident în Noua Zeelandă) ne-a încurajat să încercăm a-i ajuta pe elevi să trensforme rezolvările problemelor în adevărate poveşti. Fiecare profesor de matematică ar trebui să fie un bun povestitor. Nimeni nu rezistă unei poveşti frumoase.

Apoi am primit alte sfaturi: voi ca profesori să vă gândiţi mult dar, în timpul orei elevii trebuie să facă cele mai grele lucruri. Cu cât va vorbi profesorul mai mult, cu atât mai rău. Nu te ajută dacă stai în în jurul unei persoane înţelepte, dacă aceasta tot vorbeşte. Elevii ne iubesc atunci când nu ştim şi trebuie să începem să gândim.

În întâlnirea de după amiază Florian Osswald a început cu următoarea remarcă: Matematica (ca fenomen) nu se poate explica. Poţi doar construi în jur aşa încât elevii să se prindă până la urmă. Într-un chestionar despre matematică, o elevă a scris: matematicianul matematiceşte.

Elevii strigă din tot sufletul: exerciţiile (în matematică) sunt plictisitoare! Noi o vrem în format nou şi surprinzător!

David Urieli ne-a atenţionat: noi suntem toţi de structură academică, am citit şi am scris mult. Elevii nu sunt aşa; ei au nevoie de activităţi în imagini (vizuale). Formulele sunt ca şi scrisul (abstracte). Aduceţi imagini în formule!

Iar Florian Osswald a încheiat ziua cu următoarea remarcă fabuloasă: Eu nu am avut niciodată idei bune, dar elevii mei aveau idei foarte bune; eu sunt doar deschis la ideile lor.

29 feb. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

 

Einstein despre educație

După incursiunile de săptămâna trecută în subiectul reformei învăţământului, un prieten mi-a pus în mână lucrarea lui Albert Einstein, Cum văd eu lumea, Teoria relativităţii pe înţelesul tuturor, apărută în 1996 la Editura Humanitas, deschizând-o la capitolul DESPRE EDUCAŢIE.

Ce am găsit în aceste rânduri confirmă – dacă mai era nevoie – genialitatea, combinată cu bunul simţ practic deosebit, a lui Einstein. Încerc să spicuiesc de la paginile 260-265, deşi materialul este atât de valoros încât îmi vine greu să tai ceva. Iată ce spunea Einstein:

(…) Acest cald omagiu către predecesorii noştri se cuvine, într-adevăr, să nu fie neglijat, mai cu seamă fiindcă amintirea celor mai buni din trecut îi poate stimula pe cei de bună credinţă din zilele noastre la un efort curajos. (…) Profan pe jumătate cum sînt în domeniul pedagogiei, de unde să-mi iau curajul de a expune opinii ce n-au alt temei decât experienţa şi convingerea personală? Dacă ar fi vorba de o chestiune pur ştiinţifică, astfel de consideraţii m-ar îndemna probabil la tăcere.

Cînd este vorba însă de chestiuni ce interesează fiinţe umane active, lucrurile se prezintă altfel. Aici numai cunoaşterea adevărului nu este de ajuns; dimpotrivă, această cunoaştere trebuie continuu înnoită prin efort neîncetat, dacă vrem să nu se piardă. (…)

Şcoala a fost întotdeauna mijlocul cel mai important pentru transferarea comorilor tradiţiei de la o generaţie la cea următoare. Lucrul acesta este şi mai adevărat astăzi decât în trecut, deoarece prin dezvoltarea modernă a vieţii economice, rolul familiei ca purtător al tradiţiei şi al educaţiei a slăbit. Viaţa şi sănătatea societăţii umane depind astfel de şcoală într-o măsură şi mai mare decât în trecut.

Uneori şcoala este privită doar ca un instrument pentru transmiterea unei anumite cantităţi maxime de cunoştinţe către tânăra generaţie. Lucrurile nu stau însă aşa. Cunoştinţele sînt ceva mort; şcoala, în schimb, serveşte vieţii. Ea trebuie să dezvolte la tineri acele calităţi şi capacităţi care prezintă valoare pentru bunăstarea obştei. Aceasta nu înseamnă însă că individualitatea trebuie anihilată, iar individul trebuie să devină o simplă unealtă a comunităţii, aidoma unei albine sau a unei furnici. Fiindcă o comunitate de indivizi standardizaţi, fără originalitate personală şi scopuri personale ar fi o comunitate nevolnică, fără posibilităţi de dezvoltare. Dimpotrivă, scopul trebuie să fie formarea unor indivizi caracterizaţi prin acţiune şi gândire independentă care văd însă menirea supremă a vieţii lor în slujirea obştei. (…)

Cum trebuie însă să ne străduim să atingem acest ideal? Nu cumva prin predici moralizatoare? Nicidecum! Cuvintele sînt şi rămîn sunete goale, iar drumul spre pierzanie a fost însoţit întotdeauna de exaltarea în vorbe a cîte unui ideal. Personalităţile nu se formează însă prin spuse şi auzite, ci prin muncă şi activitate.

De aceea, cea mai importantă metodă de educaţie a constat întotdeauna în a-l antrena pe tînăr într-o activitate efectivă. Aceasta este valabil atît pentru primele încercări ale şcolarului de a deprinde scrisul, cît şi pentru lucrarea de licenţă la absolvirea universităţii, pentru simpla memorare a unei poezii, pentru scrierea unei compuneri, interpretarea şi traducerea unui text, rezolvarea unei probleme de matematică sau practicarea unui sport.

În spatele oricărei realizări stă însă motivaţia pe care se întemeiază şi pe care, la rîndul ei, reuşita activităţii o întăreşte şi o alimentează. Aici întîlnim cele mai mari diferenţe şi ele sînt de cea mai mare importanţă pentru valoarea educaţională a şcolii. Una şi aceeaşi muncă îşi poate avea drept origine teama şi constrîngerea, dorinţa ambiţioasă de autoritate şi de autoevidenţiere, sau interesul sincer pentru obiect şi dorinţa de adevăr şi înţelegere, aşadar acea curiozitate divină pe care o posedă orice copil sănătos, dar care de atâtea ori seacă de timpuriu. Influenţa educativă exercitată asupra tânărului prin efectuarea uneia şi aceleiaşi activităţi poate fi diferită, după cum la baza ei stau teama de pedeapsă, pasiunea egoistă sau dorinţa de plăcere şi satisfacţie. (…)

Mie mi se pare că pentru o şcoală lucrul cel mai rău este să lucreze în principal cu metodele fricii, forţei şi autorităţii artificiale. Un asemenea tratament distruge sentimentele sănătoase, sinceritatea şi încredera în sine ale tânărului. El produce supusul umil. (…) Este relativ simplu ca şcoala să fie ferită de acest rău mai mare decît toate. Daţi în mîna educatorului cît mai puţine măsuri coercitive cu putinţă, astfel încît singura sursă a respectului tinerilor faţă de el să fie calităţile lui umane şi intelectuale.

Cel de-al doilea motiv menţionat, ambiţia sau, în termeni mai blînzi, năzuinţa spre recunoaştere şi consideraţie, este puternic sădită în natura umană. Fără un stimul mintal de acest fel, cooperarea dintre oameni ar fi cu totul imposibilă; dorinţa individului de a-şi cîştiga aprobarea semenilor constituie cu siguranţă una din cele mai importante forţe coezive ale societăţii. În acest complex de simţăminte stau strîns alăturate forţe constructive şi distructive. Dorinţa de a fi aprobat şi recunoscut drept mai bun, mai puternic sau mai inteligent decît semenul tău sau decît colegul tău de şcoală duce uşor la o conformaţie psihologică excesiv de egoistă, ce poate deveni păgubitoare pentru individ şi pentru comunitate. De aceea, şcoala şi educatorul trebuie să se ferească de a folosi metoda facilă a aţîţării ambiţiei individuale spre a-i face pe copii silitori la învăţătură.

Mulţi au invocat teoria darwinistă a luptei pentru existenţă şi selecţia legată de ea ca îndreptăţire pentru încurajarea spiritului de competiţie. Unii au încercat de asemenea pe această cale să dovedească în mod pseudoştiinţific necesitatea competiţiei economice destructive între indivizi. Această idee este însă greşită, deoarece omul îşi datorează forţa sa în lupta pentru existenţă faptului că este un animal care trăieşte în societate. Lupta între membrii unei comunităţi umane este la fel de puţin esenţială pentru supravieţuire ca şi lupta dintre furnicile individuale ce trăiesc în acelaşi furnicar.

Trebuie să ne ferim deci de a predica tinerilor ca scop al vieţii succesul în sensul curent al termenului. (…)

Imboldul cel mai important pentru munca în şcoală şi în viaţă este plăcerea de a munci, plăcerea produsă de rezultatul muncii şi conştiinţa valorii acestui rezultat pentru comunitate. Sarcina cea mai importantă a şcolii eu o văd în trezirea şi întărirea acestor forţe psihologice ale tinerilor. Numai un asemenea fundament psihologic duce la o năzuinţă fericită spre cele mai înalte bunuri ale omului – cunoaşterea şi creaţia artistică.

Trezirea acestor puteri psihologice productive este, desigur, mai puţin uşoară decît practicarea forţei sau aţîţarea ambiţiei individuale, dar este în schimb mai de preţ. Principalul este dezvoltarea înclinaţiei copilăreşti pentru joacă şi a dorinţei copilăreşti de a dobîndi recunoaşterea precum şi călăuzirea copilului spre domenii importante pentru societate; este acea educaţie care se bazează în principal pe dorinţa de a desfăşuracu succes o activitate şi pe dorinţa de recunoaştere. Dacă şcoala izbuteşte să lucreze cu succes într-o asemenea direcţie, ea îşi va dobîndi o înaltă stimă în ochii tinerei generaţii şi sarcinile date de ea vor fi primite ca un dar. (…)

O asemenea şcoală pretinde din partea educatorului să fie un fel de artist în domeniul său. Ce se poate face pentru ca un astfel de spirit să fie adoptat în şcoli? (…) În primul rînd, educatorii trebuie crescuţi în astfel de şcoli. În al doilea rînd, educatorului trebuie să i se lase o largă libertate în alegerea materialului ce urmează a fi predat şi a metodelor de predare. Căci şi pentru el e adevărat că forţa şi presiunea exterioară ucid plăcerea muncii de calitate.

(…) Am vorbit pe larg de spiritul în care, după opinia mea, trebuie instuit tineretul. Dar n-am spus încă nimic despre alegerea materiilor de predat şi nici despre metoda de predare. Trebuie să predomine studiul limbii sau educaţia ştiinţifică specializată?

La asta răspund că, după părerea mea, toate aceste sînt de o importanţă secundară. (…) Nu a greşit hîtrul care a spus: “Educaţia e ceea ce îţi rămîne după ce ai uitat tot ce ai învăţat la şcoală.” (…)

Pe de altă parte, mă opun ideii că şcoala trebuie să transmită direct tinerilor acele cunoştinţe şi deprinderi speciale pe care mai tîrziu le vor folosi în viaţă. Cerinţele vieţii sînt mult prea variate pentru ca să pară posibilă o instruire atît de specializată în timpul şcolii. (…) Şcoala trebuie să urmărească tot timpul ca tînărul să părăsească băncile ei nu ca specialist, ci ca o personalitate armonioasă. Aceasta este valabil, după opinia mea, într-un anumit sens chiar şi pentru şcolile tehnice, ai căror absolvenţi se vor consacra unei profesiuni bine determinate. Pe primul plan trebuie pusă totdeauna dezvoltarea capacităţii generale de gîndire şi de judecată independentă, şi nu dobîndirea de cunoştinţe de specialitate. Dacă cineva stăpîneşte bazele domeniului studiat şi dacă a învăţat să gîndească şi să lucreze independent, el îşi va găsi cu siguranţă drumul şi, în plus, va fi mai bine pregătit pentru a se adapta progresului şi schimbărilor decît cel al cărui educaţie a constat în principal în dobîndirea de cunoştinţe detaliate. (…)

Multe se pot citi în şi printre aceste rânduri … După lecturarea lor mai am un singur gând, mai degrabă o întrebare: oare cei din comisia de reformare a învăţământului cunosc acest pasaj, şi oare cât sunt ei de pregătiţi pentru marile şi profundele adevăruri exprimate aici de Einstein?

23 feb. 2016

Titus Grigorovici

Ordinea operaţiilor în clasele primare

Prin a 5-a sau a 6-a am surprins-o pe fiică-mea că nu ştia bine ordinea operaţiilor. Făcea mai întâi înmulţirile, apoi adunarile şi apoi scăderile (sau invers, nu mai ţin minte clar) pentru că așa le-a spus doamna învățătoare. La unele exerciţii greşea desigur. Acum, o cunoştinţă a descoperit că fiul ei are şi el probleme cu ordinea operaţiilor. S-a uitat în mai multe manuale şi a găsit că „definiţia” este oarecum incompletă, inexactă, de exemplu:

Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea. (Matematică și explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House)

Din definiția aceasta copilul (sau învăţătoarea) poate întelege ce vrea; de exemplu poate înţelege că trebuie făcute mai întâi adunarile şi doar apoi scăderile.

Un singur manual avea o „definiţie” mai corectă, deşi cam greu de înţeles:

  • Înmulţirea este o operaţie de ordinul al doilea.
  • Adunarea este o operaţie de ordinul întâi, deoarece prin adunarea repetată de termeni egali am rezolvat înmulţirea.
  • Scăderea, ca şi adunarea, este o operţie de ordinul întâi.
  • Dacă un exerciţiu conţine una sau mai multe operaţii de ordinul întâi şi de ordinul al doilea, rezolvăm întâi operaţiile de ordinul al doilea, apoi pe cele de ordinul întâi.

(Matematică și explorarea mediului, clasa a II-a, Arthur la Şcoală)

Oare câţi copii (şi învăţători) au înţeles-o greşit şi se miră de ce câteodată nu le iese rezultatul care trebuie, deşi au făcut toate calculele corect?

P.S. Şi dacă tot am ajuns la ordinea operaţiilor în clasele primare, la exerciţii ce cuprind şi diferite straturi de paranteze (să zicem rotunde şi pătrate), oare de ce copiii sunt învăţaţi că după ce rezolvă paranteza rotundă trebuie să o transforme pe cea pătrată în rotundă?

Gaşca cu observaţia

Compararea puterilor în clasa a V-a

Eseu în legătură cu tema
Gândirea aritmetică vs. gândirea algebrică

Un aspect deosebit al adaptării lecţiilor la posibilităţile intelectuale ale elevilor, mai exact la posibilităţile Elevului, luat ca elev mediu, ca eşantion reprezentativ al clasei – nu ca eşantion de vârfuri, cu care să ne lăudăm cu rezultate la olimpiade, un aspect al acestei adaptări este faptul că dacă nu o facem noi, atunci elevii “ne taxează”, găsind ei scurtături, de obicei greşite, în raţionament, “shortcut-uri” care scurt-circuitează strădaniile noastre de a le forma o gândire matematică corectă. Cu alte cuvinte, dacă nu adaptăm noi lecţia la nivelul lor – noi am face-o corect – atunci o fac ei, şi de cele mai multe ori ei o fac greşit, inventând reguli care sunt în general false.

De curând am găsit un exemplu flagrant în acest sens: un elev de clasa a V-a pe care l-am întrebat cum a făcut exerciţiul de la lucrare cu comparare de puteri (era desigur un exerciţiu cu două puteri care nu aveau nici aceeaşi bază, nici acelaşi exponent, aşa cum cere în programă; dar cele din programă sunt banale; pentru olimpici avem nevoie să sărim peste programă şi să folosim o formulă ce este trecută actualmente la începutul clasei a VI-a; s-ar putea imagina desigur şi o rezolvare fără formula respectivă, dar oricum nu respectă programa).

Răspunsul elevului a fost bulversant: exerciţiul acela a fost uşor: puterea cu baza mai mică şi exponentul mai mare, aia este mai mare! (am citat cuvânt cu cuvănt, pentru că l-am notat imediat pe o hârtiuţă).

Este evident că pe viitor voi avea mare grijă să aleg la aceste exerciţii – în clasa a VI-a – un număr egal de exemple pe ambele variante şi voi avea în plus grijă să-i şi atenţionez să nu inventeze vreo regulă de scurtătură. Pentru asta mi-am pregătit câte trei exemple din fiecare (cu câştigătorul cu baza mai mare, respectiv cu baza mai mică), pe care să le dau la clasă, ca să fiu sigur, independent de ce oferă autorii culegerii după care lucrăm la teme. Iată cele şase exemple:

1) Exemple la care este mai mare puterea cu bază mai mare:

233 < 322 pentru că 23 < 32 (8 < 9)

636 < 1524 pentru că 63 < 152 (216 < 225)

721 < 1914 pentru că 73 < 192 (343 < 361)

2) Exemple la care este mai mică puterea cu bază mai mare:

514 < 321 pentru că 52 < 33 (25 < 27)

515 < 235 pentru că 53 < 27 (125 < 128)

355 < 288 pentru că 35 < 28 (243 < 256)

Căutând un motiv pentru care elevul nostru a apelat la o astfel de “regulă” de scurtătură, îmi imaginez doar că mintea sa a încercat să gândească ce se întâmplă la exerciţiile de la clasă, dar gândirea sa nefiind trecută de la nivelul aritmetic la cel algebric, gândirea sa deci a avut impresia că “observă o regularitate”, iar atunci, în acel moment s-a simţit în posesia adevărului, reţinând ideea respectivă drept regulă.

Titus Grigorovici

La mulți ani! 2016

Ce dată credeţi că este prezentată în scrierea de mai jos?

(2□)Δ..3Δ∙(2□)□∙(3Δ)Δ

Nu vă speriaţi! Nu este nimic greşit în transcrierea textului pe aparatul dvs. M-am jucat doar un pic cu notaţiile, de obicei atât de uzuale în matematică.

Astfel, prin 5Δ am notat numărul triunghiular 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

În mod similar, am notat de data asta cu 5□ numărul pătrat 25 = 5 ∙ 5 = 52.

Vă las ca o scurtă temă de cercetare să aflaţi ce sunt acelea numere triunghiulare şi cum se reprezintă ele grafic, dar şi cum apar ele în materia obişnuită de clasa a V-a. Dacă vă străduiţi puţin veţi găsi că am trecut acolo nimic mai mult decât ultima zi din această vacanţă de iarnă.

Interesant că la toate clasele sa manifestat o mare nedumerire în legătură cu punctuleţele de jos. Ce înseamnă acestea? Era foarte interesant că nu se ocupau de ceea ce ştiu, ci tot întrebau despre aspectele neînţelese.

Oricum, rămân în urma primei zile de şcoală cu amintirea unor zâmbete entuziasmate din parte elevilor care au reuşit să traducă până la capăt, înţelegând astfel şi ce-i cu punctele acelea de jos.

Cei care au terminat mai repede au primit şi un bonus, anume să descifreze şi următoarea “minune”:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 = 2016

Cei extrem de harnici au primit “de descifrat” şi anul precedent, a cărui scriere este la fel de ciudată:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 2015

*

Prima zi de şcoală reprezintă întotdeauna o ciudăţenie. Pe de-o parte o urăşte toată lumea, aici fiind unul din puţinele momente când sunt de acord şi elevii şi profesorii. Pe de cealaltă parte, reîntâlnirea cu colegii şi prietenii reprezintă pentru mulţi un moment de bucurie.

Pentru a intra cât de repede în procesul matematic, dar a nu prezenta prin aceasta un şoc elevilor, eu obişnuiesc să le aduc în prima oră de matematică o problemă distractivă, o întrebare cu tâlc, care nu trebuie să aibă de-a face neapărat cu materia la zi sau cu cea parcursă înainte de vacanţă. Acestea au întotdeauna efectul de a afişa pe faţa elevilor o stare de bucurie amestecată cu uimire, stare pe care apoi o folosesc pentru a intra în matematică cu optimism (desigur, cât de bine merge de la un elev la altul). Anul acesta am adus întrebarea de mai sus, cu descifrarea căreia am petrecut câteva clipe interesante. Întrebarea este foarte bună şi potrivită deoarece:

  • este clar “de sezon”;
  • este din materia de sem.I de clasa a V-a, fiind astfel accesibilă oricărei clase;
  • nu o ştie nimeni, deoarece am generat-o în vacanţa asta, când am luat la analizat ce proprietăţi aritmetice o fi având numărul acestui nou an;
  • problemuţa de mai sus are un aer foarte ciudat, aceasta apărându-ne suspendată undeva între următoarele trei întrebări: 1) este vre-o problemă de afişare, gen o varintă prea nouă de Windows, pe care eu nu o am? 2) este o scriere ciudată dintr-un templu maiaş găsită de către Indiana Jones? 3) sau a apărut, dar n-am observat-o eu, în ultimul episod din Războiul Stelelor?

Oricum, La mulți ani! 2016

Titus Grigorovici

Conferinţă Constanza Kaliks, Florian Osswald şi Oliver Conradt

5WM-8 din 9 oct. 2015

Accente pentru viitor

Încheierea Congresului profesorilor de matematică Waldorf, de la Dornach, Elveţia, a avut loc în cadrul unei “conferinţe” de analiză şi concluzii condusă de către reprezentanţii celor trei secţiuni organizatoare de la Goetheanum: Constanza Kalics (secţiunea pentru tineret), Florian Osswald (unul din cei doi conducători ai secţiunii pedagogice) şi Oliver Conradt (secţiunea pentru matematică şi astronomie), cei trei vorbind alternativ. Vă prezentăm în continuare ideile principale pe care le-am notat la această încheiere.

Noi trebuie prin predarea noastră să le facem elevilor lumea în care trăiesc inteligibilă, adică să le-o prezentăm ca să o poată înţelege, să le-o “oferim” posibil de înţeles, deci înţelegerea lumii să le fie accesibilă (cerinţa chiar a fost repetată în trei feluri).

Pentru a atinge acest obiectiv profesorii de matematică din şcolile Waldorf se întâlnesc regulat şi dezbat problemele specifice.

De pildă, în America de Sud are loc la Buenos Aires câte o întâlnire în iulie şi februarie, la care vin profesori din toate liceele Waldorf (minimul de participanţi a fost de 18 persoane, maximul de cca. 100). Fiecare profesor îşi propune pentru ½ de an o temă de cercetare pe care apoi o prezintă colegilor.

În Germania au loc întâlniri regulate la care participă atât profesori de matematică, cât şi învăţători, fiind dezbătute şi multe teme de interes comun (la fel a fost şi la acest congres mondial, cu mulţi profesori, dar şi cu învăţători doritori de înţelegerea problematicii predării matematicii).

În Statele Unite au loc întâlniri regulate la Spring Valley cu un număr de 20-25 participanţi, profesori şi învăţători (trebuie precizat că în sistemul Waldorf învăţătorul conduce clasa până undeva la vârsta de 13-14 ani, problematica matematicii fiind deci mult mai stringentă pentru învăţători).

Cunosc din altă sursă că în Suedia au loc întâlniri similare de două ori pe an, pentru un weekend, ultima având loc în octombrie la Göteborg (adăugare CTG).

Pe de altă parte, matematica este neglijată în foarte multe ţări, de exemplu în Mexic. Peste tot în lume, atunci când matematicianul trage activitatea spre “munca în cap”, vine câte unul care vrea mai mult artistic (în şcolile Waldorf – comentariu CTG).

În ciclul primar, între învăţători trăieşte o mare frică de matematică (frică pe faţă sau frică ascunsă, mascată de o activă lăudăroşenie – comentariu CTG). De această frică, aproape repulsie, se poate scăpa doar printr-o strânsă colaborare cu profesorul de matematică; prin lucrul împreună şi proiecte comune se poate rezolva destul de bine “problema aritmetică”.

Printre alte diferite luări de cuvânt ale celor prezenţi, în acest moment am prezentat şi eu o situaţie specială. Ca profesor de matematică, am colaborat bine cu învăţătoarea fiicei mele, care a acceptat tot mai deschis sfaturile şi activităţile împreună; au fost în general discuţii sau participări comune la cursuri de predare a matematicii în pedagogia Waldorf, dar am ajuns până la nivelul de sfătuire deschisă, iar colaborarea a culminat cu preluarea unor ore de matematică spre finalul clasei a IV-a (cu asistare reciprocă, dar şi când dânsa trebuia să supravegheze la EN la clasa a II-a, eu am ţinut ore de matematică la clasa a IV-a). Anul următor colega mea chiar s-a plâns că-i lipseşte colaborarea din trecut. Am mai avut şi un alt caz de colaborare bună cu o învăţătoare, dar din păcate cu alte exemple de bună practică deschisă nu mă pot lăuda (comentariu CTG).

Congresul profesorilor de matematică Waldorf s-a încheiat cu invitaţia de participare la următoarea manifestare de acest gen, ce se intenţionează a fi organizată peste trei ani.

În continuare, după vacanţa de Crăciun, vom încerca să prezentăm şi celelalte activităţi de la acest congres.

12 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Claus-Peter Röh şi Florian Osswald

5WM-7 din 9 oct. 2015

Să urneşti matematica – să fii mişcat de matematică (Mathematik bewegen – Bewegt von Mathematik; Moving Maths – Being Moved by Maths)

Vineri, ultima zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf a început cu conferinţa domnilor Claus-Peter Röh şi Florian Osswald, conducătorii secţiunii pedagogice de la centrul Goetheanum din Dornach, Elveţia. Fiecare din cei doi domni au vorbit cam jumătate din conferinţă, dar noi o vom prezenta ca un întreg.

Claus-Peter Röh a început atenţionând că noi trebuie să fim interior preocupaţi să gândim liber; totodată trebuie să ne întrebăm constant cum îi putem forma pe elevi să gândească liber.

Intrând în zona concretului, dânsul a precizat că numerele nu provin din imaginaţie ci din mişcarea ritmică. În altă ordine de idei, respiraţia în matematică este intim legată de frumuseţe şi artă, acest principiu fiind valabil mai ales în gimnaziu (referire la conferinţa d-lui Urs Dieter).

A urmat o întrebare: în ciclul primar matematica are o trăire exterioară; cum se transformă aceasta în trăirea interioară a matematicii la vârsta liceală? Există două căi pentru aceasta: prima ar fi intelectualizarea timpurie, care acţionează ca “un cadou dat prea devreme” (wie ein Frühgeschenk) şi ştim cât de mult dăunează cadourile date prea devreme. Cealaltă cale ar fi prin ritmicizare şi perceperea prin propriul trup a fenomenelor studiate (vom reveni cu altă ocazie cu exemple în acest sens – comentariu CTG).

Până la maturizarea sexuală în copil lucrează cu preponderenţă voinţa. Aceasta acţionează în afară prin mişcare şi în înterior prin imaginaţie (şi aici vom reveni cu lămuriri cu altă ocazie – comentariu CTG).

Am primit şi câteva exemple ale acestui proces de transformare. Datorită ruperii copilului de lumea înconjurătoare (pasul denumit în pedagogia Waldorf “Rubicon”, din clasa a III-a), se poate începe studiul fracţiilor în clasa a IV-a. Desenul geometric cu mâna liberă din clasa a V-a exersează mai întâi imaginarea interioară a figurilor geometrice (parte de materie specifică şcolilor Waldorf). Un al treilea exemplu a fost despre reprezentarea numerelor cu pietricele, boabe de fasole etc.(metodă folosită de grecii antici), pentru evidenţierea numerelor pătrate, chiar şi a diferenţelor de pătrate succesive.

Domnul Florian Osswald ne-a atras atenţia că elevul trebuie să exerseze o formă a gândirii care să-l ajute să înţeleagă mai bine lumea în care trăieşte. Matematica are multe lucruri şi acestea nu pot fi clasificate unele ca bune, iar altele ca rele; trebuie doar ca fiecare să fie făcut în momentul potrivit.

Ca exemplificare, dânsul ne-a oferit o analiză paralelă, filozofică între evoluţia curbelor lui Cassini şi evoluţia procesului de gândire. Curbele lui Cassini au câteva etape clare:

  1. Două “cercuri”/picături, fiecare în jurul unui centru/focar;
  2. O curbă asemănătoare unei lemniscate (semnul infinitului) obţinută prin întâlnirea vârfurilor celor două picături din jurul celor două focare;
  3. O curbă asemănătoare unei elipse în jurul celor două focare;
  4. Un mare”cerc” obţinut prin creşterea “elipsei” din faza precedentă.

În felul cum gândim putem obţine în acelaşi mod, cu ochii aţintiţi asupra curbelor lui Cassini, următoarele tipuri de tratare a subiectelor în discuţie:

  1. Logica lui ori asta, ori cealaltă – sau, sau! (entweder, oder);
  2. Logica lui atât asta, cât şi cealaltă – atât, cât şi (sowohl, als auch);
  3. Logica lui fiecare datorită celeilalte – (wegen einander);
  4. Logica lui fiecare din cealaltă – (aus einander).

Ştiinţa (Wissenschaft) tratează de obicei prin logica lui ori asta, ori cealaltă (1), comportându-se de fapt de parcă ar încerca să-l anuleze pe celălalt (Florian Osswald a făcut o glumă, folosind wischenschaftlich – joc de cuvinte, wischen însemnând a şterge – pe celălalt – comentariu CTG).

Finalul a fost făcut cu un citat din scrierile apocrife: găseşte locul unde faţa şi spatele se întrepătrund, dreapta cu stânga sunt totuna, la fel susul cu josul, şi atunci vei găsi poarta spre ceruri.

6 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Puterea cu exponent zero în clasa a V-a

Continuare la articolul

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe

Introducerea operației de putere la numere naturale

 În articolul din septembrie despre accentuarea gândirii aritmetice în introducerea operaţiei de putere am dat în final câteva sfaturi despre cum s-ar putea introduce operaţia de putere a numerelor naturale pornind de la o situaţie din lumea deja cunoscută elevilor. Aceasta este mult mai sănătoasă decât varinta în care profesorul vine sec în clasă, pune titlul, dă definiţia şi un exemplu-două, iar apoi are pretenţia ca elevii să fi înţeles şi să ştie. Spuneam atunci că o variantă de a prefaţa apariţia puterii ar fi să prezentăm elevilor înainte problema cu regele care a vrut să-l răsplătească pe înţeleptul care l-a învăţat jocul de şah, iar acesta i-a cerut regelui un bob de orez pentru prima pătrăţică de pe tabla de şah, două boabe pentru a doua pătrăţică, patru boabe pentru a treia, opt boabe pentru a patra etc.

Anul acesta am prezentat la clasa a V-a problema în ora dinaintea introducerii operaţiei de putere. Rezultatele calculelor din problemă le-am cuprins într-un tabel cu două coloane: pe prima am scris P1, P2, P3 etc. pentru fiecare pătrăţel, iar pe a doua coloană numărul de boabe corespunzătoare acelui pătrăţel. În finalul orei le-am introdus noua scriere, adică operaţia de putere, într-un simplu exemplu cu numărul 32 = 25. Titlul şi acel exemplu l-am reluat încă o dată ora următoare, când am şi continuat lecţia. Puteţi vedea întreaga lecţie pe cele două poze ale tablei făcute în finalul orei.

Lecţia în sine nu aduce nimic special pentru un profesor, în afară de întrebarea cu care începe coloana a 5-a de pe tablă (lecţia poate fi eventual folositoare unui începător ca model de lecţie paşnică). Deci, totul a decurs frumos şi simplu până la o mică dilemă la a1, pentru că este ceva mai greu să-ţi închipui cum o fi un singur factor de a, care nu mai este înmulţit cu un altul. Apoi a venit marea întrebare a0 = ? . În acest moment elevii au început să dea răspunsurile clasice: c-o fi zero, c-o fi a etc.; numai la 1 nu se gândeau, iar eu, în bunul stil al problematizării, nu le divulgam cât dă, ci priveam misterios înspre clasă, eventual răspunzând de ce nu poate fi unul sau altul din răspunsurile lor. Apoi le-am dat o indicaţie la fel de misterioasă, anume că răspunsul este aproape la vedere undeva pe tablă. După încă vreo două minute de linişte sau ghiceli nereuşite le-am arătat primul rând scris după titlu, cel care oricum fusese scris şi în finalul lecţiei precedente

32 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25

Aici rămăsese un 1 de la primul pătrăţel, cel cu un singur bob de orez. Pe acel 1 imediat l-am abandonat, dar acolo încă se mai vedea. Ca să fie clar (vezi imaginea a doua cu sfârşitul lecţiei), am refăcut lista cu numărul de boabe pe primele pătrăţele, mergând însă mintal înapoi spre primul, de data asta punând accentul şi pe scrierea cu puterea lui 2. Este astfel evident că la început, când încă nu am făcut nici o dublare, pe primul pătrătel aveam 20 = 1.

La nivelul clasei a V-a nu este nevoie de o demonstraţie generală. Faptul că elevii l-au înţeles pe 20 = 1 este suficient; pentru o altă bază intră în joc intuiţia care, folosind analogia, exclamă imediat: CLAR!, am înţeles. Soliditatea metodei pare şubredă pentru că depinde de impulsul de moment al înţeleptului, care a cerut pe primul pătrăţel un bob. Metoda capătă însă soliditate suficientă prin confirmarea repetată a celorlalte puteri ale lui 2. Pentru copiii de a V-a asta este suficient.

A le da însă doar formula, fără nici o explicaţie (iar asta se practică în mod repetat şi la multe alte lecţii), le aplatizează elevilor gândirea şi interesul pentru matematică, fiind un demers profund dăunător pentru gândirea în devenire a elevilor (şi iată cum încet-încet găsim diferite surse ale fenomenului pe care Peter Gallin l-a numit persoane avariate matematic – vezi conferinţa 5WM-3).

Cât despre breasla profesorilor de matematică, care se consideră în general foarte riguroşi, unii fac în momentul acestei formule probabil cea mai mare gafă metodică posibilă: le explică elevilor că vor învăţa în clasa a X-a de ce 20 = 1. Iar când elevii ajung în clasa a X-a profesorul le spune cu seninătate „ştim din clasa a V-a că 20 = 1”…. Fără comentarii!

25 nov. 2015

C.Titus Grigorovici

Conferinţă David Urieli

5WM-6 din 8 oct. 2015

Matematica – o provocare a prezentului (Mathematics as a Challenge in our Time)

A patra zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc în Elveţia a început cu conferinţa d-lui David Urieli, un britanic prin excelenţă rătăcit de vreo zece ani în Noua Zeelandă – ţară al cărei reprezentant a fost la această întâlnire. Vom mai vorbi despre dânsul în postura de coordonator al uneia dintre grupele de lucru de la congresul de la Dornach. Înaintea conferinţei ne-a fost prezentat ca venind de la antipozi şi de aia are capul aşa de mare, pentru că stă tot timpul cu capul în jos (nu degeaba se zice “down under” 🙂 ).

Deşi este un om foarte zâmbăreţ, temele expuse de dl. Urieli au fost extrem de serioase. Pentru a fi cât mai convingător voi reda multe pasaje ale conferinţei şi în exprimarea originală în engleză.

Conferinţa a început cu o constatare: Lumea este cucerită de matematică (the world is conquered by mathematics) şi s-a axat pe antiteza dintre statistică şi geometria proiectivă. Iată în rezumat principalele idei prezentate.

Statistica efectiv cucereşte lumea. De exemplu, la admiterea în universităţile neo-zeelandeze care au ca probă şi matematica, există posibilitatea de a alege din ce domeniu să dai proba de matematică: analiză matematică (calculus) este cea mai grea, pe când proba de statistică cea mai uşoară. Este evident că prin această situaţie, de la început majoritatea candidaţilor sunt atraşi către statistică.

În acest moment David Urieli a adus un citat, la nu cunoştea autorul: Există minciuni, minciuni proaste şi statistică (there are lies, dumb lies and statistics); un coleg din SUA a completat că este vorba despre Mark Twain. Într-un stat prost (dumb state), jumătate din afirmaţiile pe baza datelor statistice sunt de fapt doar interpretări (half of it are interpretaţions). Situaţia a căpătat forme extreme sub guvernarea Margaret Thatcher, consilierii din jurul primului ministru britanic reuşind să dovedească corectitudinea oricărei acţiuni a acesteia pe baza interpretării subiective, în mod favorabil lor, a unor date statistice, fiind astfel porecliţi Spin Doctors.

În acest context, al posibilităţii interpretării atât de extrem subiective a realităţii, dl. Urieli şi-a exprimat îndoială că statistica ar trebui văzută ca domeniu al matematicii (I’m not sure wheather it should be part of mathematics at all!). Statistica se bazează pe principiile probabilităţilor, dar în extragerea rezultatelor este – involuntar (sau nu?) – amestecată şi şansa, care nu mai este matematică (statistics is based on probability, but mixed with chance, which is not mathematics). În felul acesta statistica a ajuns să conducă lumea ca un monstru ciudat (a strange beast).

Plecând de la acest nivel de gândire, universităţile oferă cursuri cu formule simple în care trebuie doar să înlocuieşti, fără să fie nevoie să înţelegi nimic (courses with simple plug-in formulas; without understanding a thing). Ca exemplu, dl. Urieli ne-a dat Coursera, un curs gratuit oferit pe net de Universitatea Stanfort.

În ţările cu o sănătoasă gardă intelectuală SUA nu pot interveni atât de uşor. O apărare intelectuală bună va duce la o presă inteligentă. Global însă, este clar că trăim într-o epocă dominată de minciuni (we live in an age of lies).

Ceea ce este denumit generic ştiinţă – “a fost demonstrat ştiinţific că …” – a ajuns să ne domine ca o religie extrem de dogmatică (science is an extreme dogmatic religion). Această tratare dogmatică a crescut foarte mult în ultimii 20 de ani (the dogma of people called scientists has been increasing within the past 20 years); teoriile şi ideile ştiinţifice nu neapărat, dar odată ajunse a primi statutul de adevăruri ştiinţifice, acestea încep să fie tratate dogmatic. Astfel, în acest proces se pierd anumite aspecte vitale ale domeniilor ce au căpătat statutul de ştiinţă.

În acest sens David Urieli ne-a dat următorul exemplu: geografia nu ar trebui să fie doar despre lumea în care trăim, ci şi despre cum trăim în această lume (în anii ’90 existau la postul de televiziune MTV nişte promo-uri care ne îndemnau să stăm un pic şi să cugetăm – “take a minute and think about it”; acum nu ne mai îndeamnă nimeni să cugetăm asupra situaţiei – comentariu CTG).

Cugetând mai profund asupra matematicii, putem ajunge la următoarele definiţii surprinzătoare: Algebra este în mare parte matematica secretelor; Analiza matematică (calculus) reprezintă matematica schimbării; Geometria proiectivă ne apare ca matematică a transformării etc.

În procesul devenirii ca ştiinţă riguroasă apar anumite transformări ciudate de gânduri. De pildă: indefinit de departe a primit un nume – infinit – şi înseamnă mai încolo de cât de departe poţi merge (dar în zilele noastre copiii când vin din grădiniţă şi învăţătoarea vrea să vadă dacă şi cât ştiu numărăra, mulţi încep de la zero, iar la sfârşit se trezeşte câte-un “geniu precoce” să proclame cu mândrie INFINIT!, deşi habar nu are ce înseamnă asta – comentariu CTG).

Tratare dogmatică în predare este urmată de o reacţie de neimplicare şi o aplatizare a gândiri, stârnind la elevi atitudini de tipul: “algebra zice că …, şi trebuie că are dreptate, că doar este de foarte mult timp pe-aici”.

Desigur că există şi căi de a privi lucrurile mai mobil, de pildă, un alt fel de a spune infinit este să zicem 1, pentru că 1 este “cel mai puternic număr”, deoarece acesta le generează pe toate celelalte; sau: centrul cercului de la infinit sunt eu!

Geometria proiectivă ne oferă o vagă idee despre cum arată lumea spirituală (inside-out se întâmplă şi când murim). Geometria euclidiană ne antrenează să gândim logic, dar conform normelor (Urieli a folosit expresia: thinking “inside the box”). Lumea actuală este însă în căutarea oamenilor care gândesc liber (în engleză expresia folosită este: thinking “outside the box”). Or, pentru aceasta te antrenează geometria proiectivă. Iar apoi David Urieli a repetat: geometria proiectivă ne permite primii paşi mici în lumea spirituală (oare din această cauză nu se studiază aproape deloc în şcolile noastre? – comentariu CTG).

La începutul seminarului următor, peste cca. 30 min., dl. Urieli a făcut o completare, amintindu-şi de o fostă elevă cu care a avut mari dispute pe tărâmul geometriei proiective. În finalul discuţiilor aceasta a concluzionat: “deci d-le Urieli, trebuie să fiţi de acord că nu suntem de acord!” (“Well Mr. Urieli, you must agree that whe disagree!”).

29 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici