Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă – reforma “din 1980” uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.
Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie după câţiva ani de încercări, ajungând cu timpul să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.
Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).
Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.
În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, ce va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a care porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.
În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.
Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:
Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.
Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)
La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)
(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.
* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.
* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).
În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.
Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.
Titus Grigorovici, 10.07.2017