Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4)

Sfera şi bila

Lecţia despre sferă/bilă cu aria şi volumul acestora conţine demonstraţii legendare, ce pot oferi o mare satisfacţie elevilor buni de clasa a VIII-a. Nu mi-am propus pentru această postare să prezint în detaliu toată lecţia, dar mă gândesc să va descriu puţin cele două poveşti cu care pregătesc calcului volumului, respectiv al ariei, înainte de a vă lăsa să vedeţi lecţia de pe tablă.

Pentru volum – ciudat, dar se începe cu demonstrarea formulei volumului – se construieşte un corp interesant, un cilindru cu secţiunea axială pătrată, de aceeaşi rază cu sfera, din care se scot două conuride la cele două baze, conurile având vârful comun în “centrul” cilindrului. Eu le descriu elevilor acest corp, comparându-l cu o conservă de pateu căreia i-am scos ambele capace şi din care am extras cele două conuri de pateu cu un cuţit cu vârf. Ideea este de a arăta că volumul pateului rămas este egal cu volumul bilei, arătând aceasta prin faptul că la orice înălţime secţionăm cele două corpuri, ariile secţiunilor vor fi egale. Partea de calcul a demonstraţiei este simplă şi percutantă: nici nu-ţi dai seama bine cum ai pornit şi este deja gata.

Pentru demonstrarea formulei de arie le povestesc elevilor despre un vânzător de pepeni care are un pepene perfect sferic şi un cuţit cu care taie bucăţi de degustat. Cuţitul are lama de lungime exact cât raza pepenelui iar bucata oferită spre degustare, cu vârful exact în centru, are forma unei piramide cu baza de coajă (puţin bombată). Apoi ne imaginăm că acest vânzător de pepeni îşi propune să tot taie bicăţi pentru degustare cât mai înguste (pentru a evita baze bombate), deci cât mai multe, şi le aranjează pe masă, toate cu vârful în sus şi aşa mai departe. De aici încolo fiecare se poate descurca cu povestea şi cu trecerea acesteia în demonstraţie şi în calculul pentru obţinerea formulei.

După ce avem formulele fac câteva exerciţii mai mult orale de calcul a ariei şi a volumului unei semibile şi a unui sfert de bilă (merge uşor şi optimea de bilă). Spor la lecţie de pe tablă.

Titus Grigorovici