Conferinţă Claus-Peter Röh şi Florian Osswald

5WM-7 din 9 oct. 2015

Să urneşti matematica – să fii mişcat de matematică (Mathematik bewegen – Bewegt von Mathematik; Moving Maths – Being Moved by Maths)

Vineri, ultima zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf a început cu conferinţa domnilor Claus-Peter Röh şi Florian Osswald, conducătorii secţiunii pedagogice de la centrul Goetheanum din Dornach, Elveţia. Fiecare din cei doi domni au vorbit cam jumătate din conferinţă, dar noi o vom prezenta ca un întreg.

Claus-Peter Röh a început atenţionând că noi trebuie să fim interior preocupaţi să gândim liber; totodată trebuie să ne întrebăm constant cum îi putem forma pe elevi să gândească liber.

Intrând în zona concretului, dânsul a precizat că numerele nu provin din imaginaţie ci din mişcarea ritmică. În altă ordine de idei, respiraţia în matematică este intim legată de frumuseţe şi artă, acest principiu fiind valabil mai ales în gimnaziu (referire la conferinţa d-lui Urs Dieter).

A urmat o întrebare: în ciclul primar matematica are o trăire exterioară; cum se transformă aceasta în trăirea interioară a matematicii la vârsta liceală? Există două căi pentru aceasta: prima ar fi intelectualizarea timpurie, care acţionează ca “un cadou dat prea devreme” (wie ein Frühgeschenk) şi ştim cât de mult dăunează cadourile date prea devreme. Cealaltă cale ar fi prin ritmicizare şi perceperea prin propriul trup a fenomenelor studiate (vom reveni cu altă ocazie cu exemple în acest sens – comentariu CTG).

Până la maturizarea sexuală în copil lucrează cu preponderenţă voinţa. Aceasta acţionează în afară prin mişcare şi în înterior prin imaginaţie (şi aici vom reveni cu lămuriri cu altă ocazie – comentariu CTG).

Am primit şi câteva exemple ale acestui proces de transformare. Datorită ruperii copilului de lumea înconjurătoare (pasul denumit în pedagogia Waldorf “Rubicon”, din clasa a III-a), se poate începe studiul fracţiilor în clasa a IV-a. Desenul geometric cu mâna liberă din clasa a V-a exersează mai întâi imaginarea interioară a figurilor geometrice (parte de materie specifică şcolilor Waldorf). Un al treilea exemplu a fost despre reprezentarea numerelor cu pietricele, boabe de fasole etc.(metodă folosită de grecii antici), pentru evidenţierea numerelor pătrate, chiar şi a diferenţelor de pătrate succesive.

Domnul Florian Osswald ne-a atras atenţia că elevul trebuie să exerseze o formă a gândirii care să-l ajute să înţeleagă mai bine lumea în care trăieşte. Matematica are multe lucruri şi acestea nu pot fi clasificate unele ca bune, iar altele ca rele; trebuie doar ca fiecare să fie făcut în momentul potrivit.

Ca exemplificare, dânsul ne-a oferit o analiză paralelă, filozofică între evoluţia curbelor lui Cassini şi evoluţia procesului de gândire. Curbele lui Cassini au câteva etape clare:

  1. Două “cercuri”/picături, fiecare în jurul unui centru/focar;
  2. O curbă asemănătoare unei lemniscate (semnul infinitului) obţinută prin întâlnirea vârfurilor celor două picături din jurul celor două focare;
  3. O curbă asemănătoare unei elipse în jurul celor două focare;
  4. Un mare”cerc” obţinut prin creşterea “elipsei” din faza precedentă.

În felul cum gândim putem obţine în acelaşi mod, cu ochii aţintiţi asupra curbelor lui Cassini, următoarele tipuri de tratare a subiectelor în discuţie:

  1. Logica lui ori asta, ori cealaltă – sau, sau! (entweder, oder);
  2. Logica lui atât asta, cât şi cealaltă – atât, cât şi (sowohl, als auch);
  3. Logica lui fiecare datorită celeilalte – (wegen einander);
  4. Logica lui fiecare din cealaltă – (aus einander).

Ştiinţa (Wissenschaft) tratează de obicei prin logica lui ori asta, ori cealaltă (1), comportându-se de fapt de parcă ar încerca să-l anuleze pe celălalt (Florian Osswald a făcut o glumă, folosind wischenschaftlich – joc de cuvinte, wischen însemnând a şterge – pe celălalt – comentariu CTG).

Finalul a fost făcut cu un citat din scrierile apocrife: găseşte locul unde faţa şi spatele se întrepătrund, dreapta cu stânga sunt totuna, la fel susul cu josul, şi atunci vei găsi poarta spre ceruri.

6 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Puterea cu exponent zero în clasa a V-a

Continuare la articolul

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe

Introducerea operației de putere la numere naturale

 În articolul din septembrie despre accentuarea gândirii aritmetice în introducerea operaţiei de putere am dat în final câteva sfaturi despre cum s-ar putea introduce operaţia de putere a numerelor naturale pornind de la o situaţie din lumea deja cunoscută elevilor. Aceasta este mult mai sănătoasă decât varinta în care profesorul vine sec în clasă, pune titlul, dă definiţia şi un exemplu-două, iar apoi are pretenţia ca elevii să fi înţeles şi să ştie. Spuneam atunci că o variantă de a prefaţa apariţia puterii ar fi să prezentăm elevilor înainte problema cu regele care a vrut să-l răsplătească pe înţeleptul care l-a învăţat jocul de şah, iar acesta i-a cerut regelui un bob de orez pentru prima pătrăţică de pe tabla de şah, două boabe pentru a doua pătrăţică, patru boabe pentru a treia, opt boabe pentru a patra etc.

Anul acesta am prezentat la clasa a V-a problema în ora dinaintea introducerii operaţiei de putere. Rezultatele calculelor din problemă le-am cuprins într-un tabel cu două coloane: pe prima am scris P1, P2, P3 etc. pentru fiecare pătrăţel, iar pe a doua coloană numărul de boabe corespunzătoare acelui pătrăţel. În finalul orei le-am introdus noua scriere, adică operaţia de putere, într-un simplu exemplu cu numărul 32 = 25. Titlul şi acel exemplu l-am reluat încă o dată ora următoare, când am şi continuat lecţia. Puteţi vedea întreaga lecţie pe cele două poze ale tablei făcute în finalul orei.

Lecţia în sine nu aduce nimic special pentru un profesor, în afară de întrebarea cu care începe coloana a 5-a de pe tablă (lecţia poate fi eventual folositoare unui începător ca model de lecţie paşnică). Deci, totul a decurs frumos şi simplu până la o mică dilemă la a1, pentru că este ceva mai greu să-ţi închipui cum o fi un singur factor de a, care nu mai este înmulţit cu un altul. Apoi a venit marea întrebare a0 = ? . În acest moment elevii au început să dea răspunsurile clasice: c-o fi zero, c-o fi a etc.; numai la 1 nu se gândeau, iar eu, în bunul stil al problematizării, nu le divulgam cât dă, ci priveam misterios înspre clasă, eventual răspunzând de ce nu poate fi unul sau altul din răspunsurile lor. Apoi le-am dat o indicaţie la fel de misterioasă, anume că răspunsul este aproape la vedere undeva pe tablă. După încă vreo două minute de linişte sau ghiceli nereuşite le-am arătat primul rând scris după titlu, cel care oricum fusese scris şi în finalul lecţiei precedente

32 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25

Aici rămăsese un 1 de la primul pătrăţel, cel cu un singur bob de orez. Pe acel 1 imediat l-am abandonat, dar acolo încă se mai vedea. Ca să fie clar (vezi imaginea a doua cu sfârşitul lecţiei), am refăcut lista cu numărul de boabe pe primele pătrăţele, mergând însă mintal înapoi spre primul, de data asta punând accentul şi pe scrierea cu puterea lui 2. Este astfel evident că la început, când încă nu am făcut nici o dublare, pe primul pătrătel aveam 20 = 1.

La nivelul clasei a V-a nu este nevoie de o demonstraţie generală. Faptul că elevii l-au înţeles pe 20 = 1 este suficient; pentru o altă bază intră în joc intuiţia care, folosind analogia, exclamă imediat: CLAR!, am înţeles. Soliditatea metodei pare şubredă pentru că depinde de impulsul de moment al înţeleptului, care a cerut pe primul pătrăţel un bob. Metoda capătă însă soliditate suficientă prin confirmarea repetată a celorlalte puteri ale lui 2. Pentru copiii de a V-a asta este suficient.

A le da însă doar formula, fără nici o explicaţie (iar asta se practică în mod repetat şi la multe alte lecţii), le aplatizează elevilor gândirea şi interesul pentru matematică, fiind un demers profund dăunător pentru gândirea în devenire a elevilor (şi iată cum încet-încet găsim diferite surse ale fenomenului pe care Peter Gallin l-a numit persoane avariate matematic – vezi conferinţa 5WM-3).

Cât despre breasla profesorilor de matematică, care se consideră în general foarte riguroşi, unii fac în momentul acestei formule probabil cea mai mare gafă metodică posibilă: le explică elevilor că vor învăţa în clasa a X-a de ce 20 = 1. Iar când elevii ajung în clasa a X-a profesorul le spune cu seninătate „ştim din clasa a V-a că 20 = 1”…. Fără comentarii!

25 nov. 2015

C.Titus Grigorovici

Conferinţă David Urieli

5WM-6 din 8 oct. 2015

Matematica – o provocare a prezentului (Mathematics as a Challenge in our Time)

A patra zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc în Elveţia a început cu conferinţa d-lui David Urieli, un britanic prin excelenţă rătăcit de vreo zece ani în Noua Zeelandă – ţară al cărei reprezentant a fost la această întâlnire. Vom mai vorbi despre dânsul în postura de coordonator al uneia dintre grupele de lucru de la congresul de la Dornach. Înaintea conferinţei ne-a fost prezentat ca venind de la antipozi şi de aia are capul aşa de mare, pentru că stă tot timpul cu capul în jos (nu degeaba se zice “down under” 🙂 ).

Deşi este un om foarte zâmbăreţ, temele expuse de dl. Urieli au fost extrem de serioase. Pentru a fi cât mai convingător voi reda multe pasaje ale conferinţei şi în exprimarea originală în engleză.

Conferinţa a început cu o constatare: Lumea este cucerită de matematică (the world is conquered by mathematics) şi s-a axat pe antiteza dintre statistică şi geometria proiectivă. Iată în rezumat principalele idei prezentate.

Statistica efectiv cucereşte lumea. De exemplu, la admiterea în universităţile neo-zeelandeze care au ca probă şi matematica, există posibilitatea de a alege din ce domeniu să dai proba de matematică: analiză matematică (calculus) este cea mai grea, pe când proba de statistică cea mai uşoară. Este evident că prin această situaţie, de la început majoritatea candidaţilor sunt atraşi către statistică.

În acest moment David Urieli a adus un citat, la nu cunoştea autorul: Există minciuni, minciuni proaste şi statistică (there are lies, dumb lies and statistics); un coleg din SUA a completat că este vorba despre Mark Twain. Într-un stat prost (dumb state), jumătate din afirmaţiile pe baza datelor statistice sunt de fapt doar interpretări (half of it are interpretaţions). Situaţia a căpătat forme extreme sub guvernarea Margaret Thatcher, consilierii din jurul primului ministru britanic reuşind să dovedească corectitudinea oricărei acţiuni a acesteia pe baza interpretării subiective, în mod favorabil lor, a unor date statistice, fiind astfel porecliţi Spin Doctors.

În acest context, al posibilităţii interpretării atât de extrem subiective a realităţii, dl. Urieli şi-a exprimat îndoială că statistica ar trebui văzută ca domeniu al matematicii (I’m not sure wheather it should be part of mathematics at all!). Statistica se bazează pe principiile probabilităţilor, dar în extragerea rezultatelor este – involuntar (sau nu?) – amestecată şi şansa, care nu mai este matematică (statistics is based on probability, but mixed with chance, which is not mathematics). În felul acesta statistica a ajuns să conducă lumea ca un monstru ciudat (a strange beast).

Plecând de la acest nivel de gândire, universităţile oferă cursuri cu formule simple în care trebuie doar să înlocuieşti, fără să fie nevoie să înţelegi nimic (courses with simple plug-in formulas; without understanding a thing). Ca exemplu, dl. Urieli ne-a dat Coursera, un curs gratuit oferit pe net de Universitatea Stanfort.

În ţările cu o sănătoasă gardă intelectuală SUA nu pot interveni atât de uşor. O apărare intelectuală bună va duce la o presă inteligentă. Global însă, este clar că trăim într-o epocă dominată de minciuni (we live in an age of lies).

Ceea ce este denumit generic ştiinţă – “a fost demonstrat ştiinţific că …” – a ajuns să ne domine ca o religie extrem de dogmatică (science is an extreme dogmatic religion). Această tratare dogmatică a crescut foarte mult în ultimii 20 de ani (the dogma of people called scientists has been increasing within the past 20 years); teoriile şi ideile ştiinţifice nu neapărat, dar odată ajunse a primi statutul de adevăruri ştiinţifice, acestea încep să fie tratate dogmatic. Astfel, în acest proces se pierd anumite aspecte vitale ale domeniilor ce au căpătat statutul de ştiinţă.

În acest sens David Urieli ne-a dat următorul exemplu: geografia nu ar trebui să fie doar despre lumea în care trăim, ci şi despre cum trăim în această lume (în anii ’90 existau la postul de televiziune MTV nişte promo-uri care ne îndemnau să stăm un pic şi să cugetăm – “take a minute and think about it”; acum nu ne mai îndeamnă nimeni să cugetăm asupra situaţiei – comentariu CTG).

Cugetând mai profund asupra matematicii, putem ajunge la următoarele definiţii surprinzătoare: Algebra este în mare parte matematica secretelor; Analiza matematică (calculus) reprezintă matematica schimbării; Geometria proiectivă ne apare ca matematică a transformării etc.

În procesul devenirii ca ştiinţă riguroasă apar anumite transformări ciudate de gânduri. De pildă: indefinit de departe a primit un nume – infinit – şi înseamnă mai încolo de cât de departe poţi merge (dar în zilele noastre copiii când vin din grădiniţă şi învăţătoarea vrea să vadă dacă şi cât ştiu numărăra, mulţi încep de la zero, iar la sfârşit se trezeşte câte-un “geniu precoce” să proclame cu mândrie INFINIT!, deşi habar nu are ce înseamnă asta – comentariu CTG).

Tratare dogmatică în predare este urmată de o reacţie de neimplicare şi o aplatizare a gândiri, stârnind la elevi atitudini de tipul: “algebra zice că …, şi trebuie că are dreptate, că doar este de foarte mult timp pe-aici”.

Desigur că există şi căi de a privi lucrurile mai mobil, de pildă, un alt fel de a spune infinit este să zicem 1, pentru că 1 este “cel mai puternic număr”, deoarece acesta le generează pe toate celelalte; sau: centrul cercului de la infinit sunt eu!

Geometria proiectivă ne oferă o vagă idee despre cum arată lumea spirituală (inside-out se întâmplă şi când murim). Geometria euclidiană ne antrenează să gândim logic, dar conform normelor (Urieli a folosit expresia: thinking “inside the box”). Lumea actuală este însă în căutarea oamenilor care gândesc liber (în engleză expresia folosită este: thinking “outside the box”). Or, pentru aceasta te antrenează geometria proiectivă. Iar apoi David Urieli a repetat: geometria proiectivă ne permite primii paşi mici în lumea spirituală (oare din această cauză nu se studiază aproape deloc în şcolile noastre? – comentariu CTG).

La începutul seminarului următor, peste cca. 30 min., dl. Urieli a făcut o completare, amintindu-şi de o fostă elevă cu care a avut mari dispute pe tărâmul geometriei proiective. În finalul discuţiilor aceasta a concluzionat: “deci d-le Urieli, trebuie să fiţi de acord că nu suntem de acord!” (“Well Mr. Urieli, you must agree that whe disagree!”).

29 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Urs Dieter

5WM-5 din 7 oct. 2015

Despre respiraţie în matematică (Vom Atem in der Mathematik)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc la Dornach, în Elveţia s-a încheiat cu conferinţa de seară a d-lui Urs Dieter (elveţian şi dânsul). Noţiunea de respiraţie în oră este o temă des discutată în pedagogia Waldorf şi se referă la necesitatea evitării unei lecţii monotone (explicaţie CTG). Lecţia respiră atunci când alternează momentele de învăţare teoretică cu momentele de aplicaţie a celor învăţate, momentele de gândire intensă cu cele de aplicare a unor reţete, momentele de predare euristică cu cele de predare riguroasă etc. Iată în continuare ce idei am apucat să notăm la această conferinţă:

– demersul platonic, adică cunoaşterea matematicii prin descoperire;

– noi inventăm/descoperim împreună (elementul dialogic);

– Şcoala Waldorf este des atacată pentru că foloseşte cu predilecţie predarea frontală. Există studii ştiinţifice care arată că predarea frontală este cea mai potrivită pentru matematică.

A urmat o pledoarie despre curbele lui Cassini, care au cam fost “sertărite” (abandonate într-un sertar al memoriei matematice) şi despre care Steiner spunea că “au ceva vindecător, că trebuie parcurse pentru ca mintea să nu se fleoştească” (etwas heilendes, damit Ihre Gedanken nicht verstruwelen – citat original din Rudolf Steiner cu un cuvânt arhaic). Exemplul s-a încheiat cu câteva comentarii despre cerc – figura trivială, corespunzătoare Eu-lui inferior, şi despre cercul de diviziune – o figură “cu o octavă mai sus”, corespunzătoare Eu-lui superior. Dacă în formula curbelor lui Cassini avem a = c obţinem lemniscata. Toate acestea pot fi vizualizate foarte bine cu ajutorul programului gratuit Geogebra.

De-abia acum dl. Urs Dieter a ajuns la tema principală, vorbindu-ne scurt despre respiraţia cognitivă. Astfel, elevii pot vedea, pot confirma că matematica este ceva frumos; există frumuseţea în demonstraţii (citat mot-a-mot din Urs Dieter).

În lucrările lui Steiner (GA1) se găseşte tema “Goethe şi matematica” unde se vorbeşte despre raportul dintre cantitate şi calitate: trebuie căutată o matematică calitativă (nu doar cea cantitativă), cum ar fi geometria proiectivă. În predare Rudolf Steiner cerea respiraţie sufletească. Alte exemple despre o oră sănătoasă:

  • să aducem umor adevărat în ora de matematică;
  • aerisim două minute, apoi înapoi în gândire;
  • reprezentări frumoase şi clare în orele de matematică;

Apoi ni s-a prezentat că există răpitori de respiraţie (Atemrauber): tempo-ul nostru personal de multe ori prea rapid pentru elevi; presiunea parcurgerii materiei; aşteptări prea ridicate la adresa unor elevi; presiunea calitativă etc.

Urs Dieter a încheiat cu două exemple de domenii ale matematicii care nu sunt cuprinse în curriculumul elveţian: geometria proiectivă (caracterizată de dânsul drept “o materie orhidee” – ein ochideen Fach) şi combinatorica (nici la noi acea combinatorică frumoasă nu prea este prezentă, fiind redusă la o aplicare automată şi de multe ori fără sens a unor formule pe care oricum nimeni nu le înţelege pentru că au fost doar definite, nu şi explicate şi deduse – nota CTG).

Din păcate se pare că tema conferinţei era considerată ca arhicunoscută în cercul profesorilor din şcoli Waldorf aşa încât nu am primit un curs pentru începători despre această temă, ci mai degrabă o serie de spicuiri şi adăugiri la ceva considerat ştiut de toţi. Vom reveni cu alte ocazii la această temă foarte importantă.

Mai avem o precizare nematematică: la acest curs a sunat o dată un telefon, întâmplarea fiind singurul eveniment negativ de acest gen în toată săptămâna congresului.

22 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Constantin Titus Grigorovici

Conferinţă Oliver Conradt

5WM-4 din 7 oct. 2015

Matematica şi sufletul conştienţei (Mathematik und Bewustseinseele)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia a început cu conferinţa d-lui Oliver Conradt, conducătorul secţiunii de matematică şi astronomie de la Goetheanum.

Tema a fost una grea şi s-a referit la matematica ce ajunge în şcoli, analiza fiind făcută după nivelului de conştienţă a fenomenului, atât din punct de vedere al evoluţiei istorice, cât şi din punct de vedere al evoluţiei acesteia în diferite domenii matematice.

Ca exemplu de evoluţie istorică dl. Conradt ne-a prezentat noţiunea de punct:

  • la Pitagora punctul reprezenta unitatea (monas) care are o poziţie;
  • la Euclid punctul reprezenta ceva ce nu are părţi;
  • la Hilbert punctul era considerat un element (la fel ca altele: dreptele, funcţiile etc.). Acestea nu trebuie definite, se prezintă doar în ce raport se află ele unele faţă de celelalte; elementul este de privit ca un domeniu fenomenologic (similar cu scaunele, paharele de bere etc.).

Cum se comportă acestea, ne-a fost prezentat pe un exemplu comparativ puncte vs. drepte: în plan există elemente de ambele feluri, atât puncte, cât şi drepte, care se comportă similar (dual) unele faţă de celelalte: două puncte determină o dreaptă, iar două drepte (neparalele) determină un punct.

Cum poate fi privit cercul din acest punct de vedere? Cercul împarte mulţimea punctelor din plan în două domenii: punctele din interiorul cercului şi punctele din exteriorul acestuia. În mod similar putem vedea că cercul împarte mulţimea dreptelor din plan în două submulţimi: dreptele secante cercului şi cele exterioare cercului. În ambele cazuri avem desigur şi situaţia de graniţă (punctele de pe cerc, respectiv tangentele la cerc).

Desigur că la nivelul geometriilor neeuclidiene fenomenele capătă unele modificări.

Epoca sufletului conştienţei a început în Florenţa secolului XV cu Felippo Brunelleschi prin introducerea perspectivei lineare (realizată cu ajutorul unei oglinzi). Aceasta a dus la apariţia în secolul XIX a principiului dualităţii şi a geometriei proiective (o geometrie a poziţiei relative, nu a distanţelor).

Prelegerea s-a încheiat cu un exemplu despre involuţia hiperbolică, prezentată comparativ în cazul unei drepte care taie cercul, respectiv a unei drepte exterioare cercului. Expunerea respectivului exemplu depăşeşte însă nivelul propus pentru prezentarea acestor conferinţe. Totuşi merită amintit un aspect ce a apărut în această prezentare, dar a fost reluată şi de următorii vorbitori. Anume, faţă de geometria tradiţională avem cele două extinderi alternative: pe de-o parte geometria proiectivă plină de libertate şi dezvoltând o imaginaţie extraordinară; pe de cealaltă parte geometria analitică cu o rigurozitate îngrăditoare, transformată aproape cu totul în algebră, care din păcate se aplică de cele mai multe ori orbeşte conform formulei corespunzătoare.

14 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Radiografia unei probleme

Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar în clasa a VIII-a reiau această acţiune pe o problemă mai complexă de corpuri. Nu se poate da o reţetă clară când să facem acest demers; profesorul trebuie să simtă când are clasa nevoie de aşa ceva. Oricum, trebuie aleasă o problemă cu mai mulţi paşi.

Un astfel de moment a fost în această săptămână la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut să întrerupem şirul regulat al lecţiilor şi să mai facem o problemă “cu demonstraţii” (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de faţă este în urma unei decizii spontane (dovadă fiind tabla destul de neglijent ştearsă).

În acest sens am ales o problemă pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiadă în Cluj în 1998). Pentru această problemă am avut nevoie de introducerea noţiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant când am întrebat clasa ce ar trebui să însemne ortodiagonal, cu ce seamănă cuvântul ortodiagonal, iar careva a răspuns nonşalant: cu ortopedie! Desigur că, după un râs bun, am încercat să lămuresc o legătură între cele două cuvinte). Iată şi textul problemei:

În trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] şi [CD], iar AC BD, AC BD = O; [MN] este linia mijlocie. Ştiind că perimetrul trapezului este de 11,45 cm, să se găsească perimetrul triunghiului OMN.

În continuare vă prezint poza tablei şi pe baza acesteia vă propun să analizăm apoi câteva aspecte ale acţiunii.

Primul aspect este ordonarea ideilor în prezentarea pe tablă; o tablă dezordonată nu va putea genera o gândire ordonată în mintea elevilor (înrămările ciudate şi haşurile au apărut pe tablă după terminarea problemei, la analiza finală). Voi reveni într-o intervenţie ulterioară despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mulţime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se făcea înainte de ‘80.

Pentru realizarea figurii am încercat să le explic elevilor cum voi face figura (schiţa din stânga jos). Şi figura principală este realizată tot ca schiţă cu mâna liberă, dar elevii s-au străduit să o facă cu echerul în caiete. În clasa a VI-a fac toate construcţiile cu instrumente geometrice, cât mai exacte. Dimpotrivă, în clasa a VII-a încep să fac schiţe, adică figuri cu mâna liberă. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie să-l înceapă. În plus, figura nu este de obicei exactă, iar elevii trebuie să demonstreze cerinţa cu gândul în minte “dacă figura ar fi exactă atunci pe desen am avea…”.

Pe tablă am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generată în urma discuţiei frontale (mai ales la o demonstraţie ce urmează a fi “radiografiată” este bine să scrie profesorul cât mai ordonat, astfel încât elevii să poată completa caietele clar).

Steluţele din dreptul rândurilor de la ipoteză au fost trecute pe rând, după ce reuşeam să trecem informaţia respectivă în demonstraţie. După ce am epuizat informaţiile din lista de date am luat şi cerinţa la rând.

La analiza finală (retrospectivă) a demonstraţiei am şters/haşurat în primul rând lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am înrămat cu o culoare fiecare subdemonstraţie în parte, aceasta reprezentând concret radiografierea demonstraţiei. Astfel se vede cum demonstraţia mare este compusă din multe demonstraţii punctuale asamblate într-un întreg (eu denumesc aceste demonstraţii punctuale “paşi logici” ai demonstraţiei mari). Înţelegerea acestui aspect îi încurajează pe elevi în abordarea demonstraţiilor ulterioare.

În clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiză de radiografiere, dar elevii vor şti de acum să se uite mai atent la orice demonstraţie.

12 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Peter Gallin

5WM-3 din 6 oct. 2015

Introducere în “Învăţarea dialogică” (Einführung “Dialogisches Lernen)

A doua zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia s-a încheiat cu o conferinţă de după amaiază (ora 16.45) a profesorului elveţian Peter Gallin. Dânsul este fondatorul, alături de Urs Ruf, a Institutului pentru învăţare şi dezvoltare dialogică a predării (IDL – Institut für Dialogisches Lernen und Unterrichtsentwicklung, lerndialoge.ch). Pe scurt, preocupările d-lui Gallin sunt în direcţia felului în care cei cu spirit nu prea matematic înţeleg/mai mult nu înţeleg matematica, cât şi profilaxia acestei adevărate boli a societăţii actuale.

În introducere Peter Gallin ne-a povestit că totul a început atunci când şi-a dat seama că multe persoane (elevi sau deja adulţi) nu-i înţeleg problemele sale de perspicacitate a gândirii. A căutat persoane pe care să experimenteze şi cu care să discute, iar prima alegere a căzut în mod surprinzător asupra colegului Urs Ruf, un profesor de germană (cum am zice noi “de lb. română”), care înţelegea cu totul altceva din textele problemelor primite. De la acest coleg Peter Gallin a priceput, în urma unor discuţii “disperante”, că cititorul nematematician nu înţelege din textul respectiv (neapărat) ce gândeşte matematicianul, ci de multe ori cu totul altceva: unele aspecte nici nu le vede în text, dar eventual chiar introduce alte aspecte în mod subiectiv, aspecte pe care autorul nu le-a prevăzut. Colaborarea celor doi a dus până la urmă la editarea unei cărţi cu probleme de perspicacitate a gândirii, prezentate în texte pe care să le înţeleagă şi cei cu o gândire nematematică (Neu entdeckte Rätselgriffe, Peter Gallin, Urs Ruf). Am reţinut o expresie: noile probleme sunt mai “prietenoase cu cititorii” (leserfreundlich), pentru că descriu ambientul în care se petrece acţiunea problemei. Colaborarea lor a continuat de-a lungul anilor, lista cărţilor acestor doi pe tema limbă şi matematică (Sprache und Mathematik) cuprinzând trei titluri a câte două volume.

Cu această introducere, Peter Gallin a trecut la subiectul următor, prezentându-ne noţiunea de persoane avariate matematic (Mathematikschädigung; mathematically damaged person), vorbind şi de o predare cauzatoare de avarierea matematică a elevilor. Dânsul spunea că în Germania ar fi undeva între 50-90% din populaţie cu simptome de avariere matematică.

Cum vedem dacă avem un elev avariat matematic? După răspunsuri de felul următor:

  • ce formulă trebuie să folosesc la această problemă?
  • noi nu am avut aşa probleme până acum.
  • se dă aşa ceva la examen?
  • eu oricum nu am nici o şansă să rezolv aşa ceva.
  • oricum eu n-am fost niciodată bun la mate.
  • spuneţi-mi cum se face.

Cum se vede avarierea matematică la adulţi? Pe lângă răspunsuri similare cu cele ale elevilor (de când am fost eu prin scoală am uitat totul, etc.), putem vedea cum citesc/redactează şi abordează relaţia cu instrucţiunile de folosire a vreunui aparat, sau orice alt fel de algoritmi (Instrucţiuni “ca pentru proşti”; Anleitungen die idiotensicher sind). Chiar şi la profesioniştii mai apropiaţi de matematică poţi găsi avariere matematică sub iniţiativa: hai să-ţi arăt eu cum se face! A aminti aici de colegii de alte materii care se luptă regulat cu procentele la statistica anuală a dirigintelui dă un alt înţeles felului cum zâmbim pe sub mustaţă (comentariu CTG).

După o scurtă exemplificare în apariţia numerelor lui Fibonacci în spiralele de pe conuri de brad sau de pe floarea soarelui, Peter Gallin a trecut la subiectul principal, învăţarea dialogică (concept inventat de dânsul). În principiu, învăţarea dialogică se face în câţiva paşi:

  • elevii primesc ca temă o sarcină (nu neapărat o întrebare foarte exactă); iată un exemplu scurt: 51 ∙ 49 – spune-mi cum socoteşti tu asta! (cerinţa nu este să calculeze, ci să descrie cum calculează).
  • elevii aduc răspunsul în scris şi îl lasă fiecare în jurnalul său (un dosar, portofoliu, aflat tot timpul în clasă).
  • profesorul va lua apoi jurnalele la verificat: munca elevilor este evaluată cu bife (una, două sau trei bife, depinzând de cât i se pare de interesantă profesorului expunerea elevului, nu neapărat de cât este aceasta de corectă). Elevii îşi vor putea găsi ulterior eseurile bifate).
  • în unele eseuri profesorul găseşte anumite idei deosebite, pe baza cărora lansează apoi următoarea sarcină. De multe ori această nouă sarcină vine în urma unei “greşeli geniale” găsită în răspunsul vreunui elev.

Am înţeles că învăţarea dialogică îl pregăteşte bine pe elev pentru situaţii când acesta ajunge în criză de timp.

Spre final am notat o întrebare: ce fac elevii cu tot ce-au învăţat? Iar apoi o declaraţie: Nu-i important ce le prezinţi elevilor; important este procesul în care intri şi mergi cu ei !!!

La seminarul de a doua zi s-au făcut câteva referiri la prezentarea d-lui Gallin: cel mai important în învăţare nu este profesorul, ci profesorul care învaţă. Atunci apare cea mai eficientă învăţare (the most important in learning is not the teacher, but a learning teacher; the most efectiv learning). Intrând cu elevii în proces vin întrebări, apar discuţii. În Elveţia doar 20% din absolvenţi promovează BAC-ul; Peter Gallin nu-i pregăteşte în mod special pentru problemele de examen, dar elevii săi au succes la BAC datorită învăţării dialogice.

8 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Stephan Sigler

5WM-2 din 6 oct. 2015

Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)

A doua conferinţă de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, lângă Basel, în Elveţia a fost susţinută de dl. Stephan Sigler de la Şcoala Waldorf din Frankfurt. Acesta predă şi la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe lângă un succint istoric al planului de învăţământ în matematica şcolilor Waldorf, dânsul a prezentat câteva aspecte de larg interes, pe care vi le redăm în continuare pe scurt, după notiţele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).

  • Orice face profesorul la clasă ar trebui să reiasă din misteriile momentului întâlnirii cu elevii.
  • La începutul secolului XIX în Germania, Elementele lui Euclid era a doua carte după Biblie.
  • Geometria are o puternică legătură cu simţurile, cu văzul, cu echilibrul şi cu mişcarea, pe când algebra nu are nici o legătură cu simţurile. Uneori ne apare ca o simplă manipulare de înlănţuiri de simboluri.
  • Propunerile din 1905 ale lui Felix Klein pentru reforma predării matematicii (Meraner Reformvorschläge):
    1. Adaptarea la evoluţia spiritual-intelectuală naturală a elevilor;
    2. Conectarea la capacităţile de imaginare şi înţelegere a elevilor; studierea fenomenelor ce pot fi cuprinse şi înţelese de către elevi.
    3. Formarea unui curriculum în spirală.
    4. Orientarea materiei studiate după aplicabilitate în exteriorul matematicii (matematică financiară, practică topografică, dezvoltarea gândirii logice etc.).
    5. Şcolirea gândirii funcţionale, de exemplu prin fuziunea geometriei cu algebra (din păcate la noi această fuziune este făcută mult prea repede, fără a mai fi aşteptată şi permisă “coacerea geometriei” la începutul liceului – adăugare CTG).
  • Prezentarea unor noţiuni vii este dificilă în matematică; prin prezentarea noţiunilor în definiţii acestea nu mai pot evolua, nu mai sunt vii. Cum ar arăta o predare vie? Trebuie să lăsăm empirismul să fie prezent în orele noastre (caracterizare vs. definiţie).
  • De pildă, teorema lui Pitagora ar trebui prezentată iar şi iar, dar din diferite puncte de vedere: o dată prin arii şi forfecări (translaţii), altă dată prin asemănări, apoi din nou cu arii, dar de data asta cu formule de calcul prescurtat, iarăşi mai târziu cu teoria numerelor naturale etc. Aşa apare tendinţa de a lărgi o temă învăţată într-un mod viu. Predarea matematicii trebuie să aducă mai mult decât doar multe cunoştinţe.
  • Imaginaţia poate fi trăită cel mai uşor în matematică (dintre toate domeniile cunoaşterii). De exemplu la înţelegerea numerelor negative.
  • Kronecker: numerele naturale au fost create de către Dumnezeu; la numerele negative a trebuit să intervenim noi.
  • Prezentarea a fost încheiată cu un citat din Rudolf Steiner: Adevărurile matematice reprezintă prima hrană adevărată pentru spirit pe care o primeşte omul (Die mathematischen Wahrheiten sind die erste wahre geistige Nahrung die der Mensch kriegt).

30 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Constanza Kaliks

5WM-1 din 5 oct. 2015

A învăţa să gândeşti (La aptitud de pensar, Learning to think)

Cu această conferinţă pornim prezentările activităţilor de la primul Congres mondial al profesorilor de matematică Waldorf, codificat 5WM la Goetheanum, centrul de cultură de la Dornach, lângă Basel, Elveţia (5-9 oct. 2015).

La congres au participat 98 de dascăli din 32 de ţări. Iată unele date: câte unul din Australia şi Noua Zeelandă, două doamne din Asia (Filipine, respectiv Japonia), trei colegi din Africa, câte un grup hotărât din America latină, respectiv America de nord; restul de 64% din Europa (incluzând cultural aici şi participanţii din Israel); doar cca. 31% erau vorbitori de germană.

D-na Constanza Kaliks predă la Seminarul didactic din São Paulo, Brazilia şi este conducătorul Secţiunii pentru tineret de la Goetheanum. Conferinţa a fost ţinută în spaniolă, noi audiind-o în traducere simultană (germană, respectiv engleză). Vă prezentăm în continuare în scurte idei, după notiţele noastre, prelegerea d-nei Kaliks ţinută la deschiderea congresului (adăugările personale le-am notat cu CTG). Rămâne de datoria cititorului să-şi completeze în imaginaţie multele pasaje de legătură între ideile prezentate. Trebuie doar să v-o închipuiţi pe d-na Kaliks cu un discurs latin, deosebit de temperamental (pilotul german de Formula 1 Sebastian Vettel, întrebat cum este la echipa italiană Ferrari, a răspuns: se vorbeşte foarte mult cu mâinile!).

  • Caracteristica centrală a matematicii: curiozitatea, creativitatea, “prin mine, prin gândirea mea”.
  • Cele două coloane centrale ale predării matematicii rezidă în următoarele afirmaţii:

I – lucrurile acestea sunt de când lumea aici;

II – hai să descoperim ce putem găsi aici (I can discover a world which is in my mind).

  • Ca urmare, există două căi extreme de predare:

I – să predai ca şi cum lucrurile sunt cunoscute de mult;

II – să predai astfel încât copilul să descopere formulele, cunoştinţele din lecţie.

  • Predarea matematicii are în faţa ei trei mari provocări:

1) Trecutul şi viitorul trebuie să se întâlnească în noi, participanţii la ora de matematică; elevul trebuie să înveţe lucruri vechi drept noutăţi.

2) Arta predării matematicii;

3) Cantitatea absurdă de informaţie (în supradoză, dar superficială) la care s-a ajuns în ultimii 50 de ani.

  • 30 milioane de copii nu merg la şcoală (date UNICEF de la sfârşitul lui sept. 2015).
  • Care este valoarea cunoaşterii? Informaţia nu se poate transforma în inteligenţă; cunoaşterea (ştiinţa) se poate însă transforma în inteligenţă. Din păcate, suntem deseori tentaţi să vedem stocarea de informaţii drept inteligenţă (este una din liniile de distrugere a copiilor de mici: avem impresia că dacă ştiu multe, sunt şi inteligenţi; sindromul micului Einstein, cu prototipul Dexter, cunoscutul personaj de desene animate din anii ’90 – adăugare CTG). Este o iluzie a crede că prin aglomerarea matematicii în copil acesta va avea o mai bună legătură cu lumea.
  • Prin matematică înveţi să te descurci în “ceva (nesenzorial)”.
  • Cum a evoluat istoric perceperea cunoaşterii:

a) În trecut omul gândea: “eu sunt parte a întregului” (“întreg pe care nu-l înţeleg”, în antichitate, respectiv “întreg pe care-l înţeleg”, începând din secolul XVI);

b) În prezent omul gândeşte: “întregul este al meu” (de ex. “întreaga lume este a mea prin intermediul internetului” – adăugare CTG). Cum influenţează aceasta predarea?

  • Şcoala trebuie să îmbine echilibrat următoarele două tipuri de activităti:

i) – activităţi creatoare; ii) – activităţi receptoare. Eu trebuie să fiu creator şi receptor în acelaşi timp; să fiu dispus oricând să încep a mă juca din nou (Ich muss Schöpfer und Empfänger gleichzeitig sein; immer neu anfangen zu spielen).

25 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Fracțiile la vechii egipteni

În vara lui 2010 l-am cunoscut la Nürnberg pe dl. Filip, un învăţător de la Şcoala Waldorf din acest oraş, pensionat de mult şi care avea multe poveşti interesante (printre altele a avut-o în clasa a II-a ca elevă pe fetiţa Sandra Bulock!!!).
De la dânsul am primit o grămăjoară de cărţi vechi de matematică, care fusese o pasiune puternică a vieţii sale. Într-una din aceste lucrări, Ernst Bindel, Das Rechnen (Socotitul) din 1966, am găsit un capitol despre fracţiile la egiptenii antici. Autorul făcea referire la un articol mai vast Altägyptische Bruchrechnung (Calculul de fracţii la vechii egipteni), publicat în revista Erziehungskunst Nr.11-1961 (Arta educaţiei). Cu timpul am fost atras de subiect şi am început să lucrez la înţelegerea acestei teme. Am găsit şi articolul cu pricina, dar am început să găsesc referiri la acest subiect şi în alte locuri, mai ales în reportajul BBC FOUR The Story of Maths realizat de profesorul Marcus Du Sautoy în 2008.
Preocupările s-au accentuat în anul şcolar 2014/2015 când, în mai multe etape, am generat următorul eseu pe tema fracţiilor în Egiptul antic. Cu această lucrare am participat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice Didactica Matematicii 2015 de la Turda.

C.Titus Grigorovici

Fracțiile la egipteni.pdf