Category: Editoriale

Începutul proiectului pentagonia avea loc în toamna anului 1997, când încercam să pun bazele unei reviste de matematică prin care să diseminez multele lucruri interesante găsite în cadrul primului an de activitate şi de şcolire în pedagogia Waldorf. Ideea a apărut în contextul în care de fapt multe lucruri găsite la aceste cursuri erau pentru noi doar regăsite (pentru mine şi soţia mea), adică erau elemente pe care amândoi le cunoşteam din timpul şcolii. Waldorf-ul reprezenta doar scânteia de pornire a acestui proiect; ideile din pedagogia Waldorf urmau să rămână a însoţi proiectul doar “din umbră”, ca o bază profundă de înţelegere, majoritatea intenţiilor bazându-se pe elemente din matematica şcolară românească dinainte de 1980, sau pe elemente găsite în străinătate, menite să completeze, să întregească o formă mai sănătoasă de matematică şcolară. Aceasta era intenţia. Pentru materializare trebuiau depăşite însă multe obstacole de toate felurile.

Simţind un pericol deosebit, specific societăţii “postcomuniste”, am primit un sprijin nesperat din partea D-nei Anca Olariu, fostă profesoară de matematică, colegă cu soţia mea la începutul anilor ’90 la Şcoala Nr. 11, actualul Liceu Eugen Pora din Cluj,  cu care întreţineam o prietenie caldă. Demersul dânsei a reprezentat scutul necesar pentru a avea asigurată liniştea pornirii proiectului nostru, unul total neobişnuit şi surprinzător în comunitatea matematică şcolară a acelor ani. Dânsa mi-a zis atunci: după cum te ştiu, vei ajunge să spui anumite lucruri, iar în acele momente va trebui să fi protejat. Da, şi planul de protecţie gândit de dânsa a funcţionat, Caietele de matematică P3NT4GON1A au existat timp de 5 ani; ulterior a apărut şi Concursul de matematică P3NT4GON1A, ce a avut şase ediţii. Pot liniştit spune că Anca Olariu a fost îngerul păzitor al naşterii acestui proiect.

Cel mai important aspect al ideii de P3NT4GON1A este faptul că în comunitatea matematică şcolară s-a deschis spre gândurile despre o matematică alternativă faţă de unica formă propovăduită prin intermediul manualelor oficiale, colegii putând vedea şi vieţui că există şi altceva dincolo de acestea. În 2015 proiectul P3NT4GON1A a putut reporni, de data asta pe internet, bazându-se pe încrederea construită şi dobândită în anii 1998-2002, pe aura de matematică pentru suflet ce însoţea acest nume.

Revenind în zilele noastre, mult prea repede a venit vestea plecării dintre noi a dragii noastre prietene Anca Olariu. Vestea a căzut ca un fulger şi doar munca intensă mă va putea linişti. Bucuria de viaţă ce ne-o dădea la orice întâlnire era de o valoare nemăsurabilă, plecarea ei dintre noi lăsând un gol imens. Deşi în urma pornirii proiectului nostru, întâlnirile comune au ajuns sporadice, doar gândul la draga de Anca Olariu ne dădea încredere şi siguranţă. Într-adevăr, chiar şi numai gândul scurt la ea mă încărca şi îmi dădea putere pentru a merge mai departe: Anca mi-a zis că pot!

De pildă, în toamna lui 2009 când am fost numit director la Liceul Waldorf, noua clădire fiind pregătită pentru a ajuta la refacerea acestei instituţii alternative de învăţământ ajunsă la un nivel minim de 78 de elevi, am sunat-o (de ce oare?) iar ea mi-a spus astfel: mă bucur foarte mult pentru tine; de-acum uşile ţi se vor deschide mult mai uşor în munca ta (de a aduce înnoire în şcoala românească). Dânsa ştia cât de mult muncisem în toate direcţiile pentru a genera apariţia acelei clădiri şi este uimitor cum, cu o aşa de scurtă afirmaţie a reuşit să-mi dea o atât de mare doză de încredere şi de nouă energie pentru acei ani.

Acum, odată plecată dintre noi, nu-mi rămâne decât să mă gândesc în continuare cu drag la ea, ştiind că de acolo, de sus, ea va veghea şi asupra demersului nostru, aici în această lume nebună. De fiecare dată când voi mai reuşi un pas în acest proiect (de a contribui spre o matematică şcolară mai sănătoasă în ţara noastră), o parte din recunoştinţa mea se va îndrepta şi înspre memoria sa. Odihneşte-te în pace, suflet drag Anca Olariu Vasian. CTG

La începutul acestui an şcolar am pornit un document pentru un articol (documentul arată 22 sept. 2021). Gestul, impulsul de preocupare pentru subiectul gândit au fost depăşite ca importanţă de alte gânduri şi articole, dar a ajuns să se materializeze în două postări interesante pornind de la prefaţa unei culegeri: http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-2-fractiunile/ (martie-aprilie 2022). Apoi a venit peste noi un articol deosebit de important, ce “s-a cerut în faţă”, aşa încât analiza respectivului text – prefaţa lui Hollinger – a rămas neterminată. Pentru decenţa situaţiei, pentru valoarea textului, dar şi din respect faţă de ideea de lucru dus la un bun sfârşit, doresc prin prezenta postare să finalizez analiza respectivă.

În continuarea articolelor despre inspiraţia găsită în prefaţa ultimei lucrări semnată de Profesorul A. Hollinger (Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982), am decis să mă concentrez asupra analizei celor găsite acolo, aspecte ce capătă astfel o sonoritate de adevărat testament metodico-didactic despre felul cum ar trebui noi să predăm matematica în şcolile româneşti de masă. În acest sens mi-am permis să modific puţin titlul acestei a treia părţi (devreme ce oricum am întrerupt şirul datorită demonstraţiilor teoremei lui Pitagora).

Culegerea respectivă a fost una de geometrie, dar aspectele din această prefaţă pot fi studiate evident şi prin prisma aritmeticii sau a algebrei. Rândurile sale sunt redactate în trecut, cu adresare către problemele şi problematica orelor de geometrie, dar de fapt aspectele cuprinse în această prefaţă aduc argumente în favoarea perioadei metodico-didactice a anilor ’60 -’70 în general (deci şi aritmetico-algebrice). La momentul respectiv (~1980-81) Profesorul Hollinger cunoştea desigur încotro urma să se îndrepte politica metodico-didactică a matematicii şcolare începând din anii ’80, linia păstrăndu-se cu mare mândrie şi în anii ’90 (nimeni nu a luat-o spre analiză după eliminarea dictatorului ce o impusese).

Eu predau din 1990 şi destul de repede am început să studiez această culegere. Prefaţa respectivă îmi sună de fiecare dată proaspătă şi logică, mai ales începutul acesteia: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. În precedentele două părţi am studiat primul aliniat al acestei prefaţe (cca. 1 pag.), venind totodată cu ideea de cum pot acele rânduri să ne inspire la generarea de noi lecţii prin care să venim în întâmpinarea nevoilor elevilor. Prefaţa respectivă este însă mai lungă (are peste 3 pag.); merită să aruncăm o privire şi pe restul gândurilor exprimate acolo. Aşadar, să continuăm lectura acestor rânduri, cu următorul aliniat. Iată ce ne spune Profesorul Hollinger:

2. O altă idee a fost de a compune perechi sau chiar grupuri de probleme asemănătoare. La prima vedere ele par a fi repetiţii, poate chiar inutile. Ele sunt puse intenţionat, cu scopul următor: una din ele se rezolvă în clasă şi cealaltă sau celelalte se dau ca temă pentru acasă. Am motive să cred că elevul mijlociu va putea să-şi facă singur aceste teme, fără ajutorul părinţilor sau al meditatorilor. În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii în loc să înveţe soluţii, ei au succese iar succesul încurajează. În general, am căutat – şi sper că am reuşit în mare măsură – să propun probleme mai uşoare decât cele care se găsesc în lucrările similare.

În al doilea aliniat al citatului apare ideea de a confrunta elevul cu situaţii asemănătoare, similare, pentru ca acesta să poată face transferul unui aspect nou învăţat. Profesorul Hollinger susţine această idee prin faptul că una din probleme este prezentată la clasă, iar cealaltă/ celelalte sunt date apoi ca temă, elevul putând asfel să-şi facă mai uşor tema, fiind confruntat acasă cu aspecte deja cunoscute. Pe lângă acest fapt care este “la mintea cocoşului”, eu aş mai evidenţia unul: chiar şi ora următoare merită a elevul să fie confruntat cu aspecte deja cunoscute, cel puţin la începutul acestei a doua ore. Această metodă acţionează încurajator, elevul vede că ştie şi automat matematica îi devine atractivă: el recunoaşte situaţia, iar aceasta i se înfăţişează ca “un vechi prieten”.

Aţi putut vedea cum folosesc eu acest aspect în a doua parte a eseului precedent (postarea despre fracţiuni din 21.04.2022, în această serie), anume cum am făcut părţi similare de reprezentare grafică, atât la începutul lecţiei despre fracţiuni, cât şi apoi în ora următoare la începutul studiului despre fracţii (în varianta cu parcurgerea în două ore consecutive).

În altă ordine de idei, desigur că au fost doi-trei elevi care mi-au atras atenţia de la început că ei le cunosc deja aceste reprezentări din clasa a 4-a; le-am răspuns că sunt conştient de asta, dar totodată şi de faptul că probabil sunt colegi care încă nu le-au pătruns cum trebuie şi că face întotdeauna bine şi o mică recapitulare. Ce nu le-am spus elevilor nici măcar ulterior, a fost că astfel în diferite momente chiar şi cel mai slab elev din clasă înţelegea tot ce facem, iar asta se întâmpla pentru că la început am “luat-o încet”, adică reluând anumite informaţii.

Un alt aspect interesant, ce se poate citi printre rânduri în prefaţa lui Hollinger, este faptul că tema la matematică trebuie să conţină exerciţii de tipul celor predate la clasă. Din păcate, întâlnesc din când în când şi situaţii în care profesorii de matematică nu respectă deloc acest principiu elementar. În legătură cu acesta mai apare încă un alt aspect: cel puţin o parte din temă trebuie să fie la un nivel accesibil “elevului mijlociu”. Hollinger face referire la faptul că problemele sale sunt mai uşoare decât cele ce se găsesc în lucrări similare. Chiar şi acum, când mă gândesc la problemele de geometrie din culegerile lui Grigore Gheba, mă ia durerea de cap la cum le receptam atunci, în copilărie: la vremea respectivă îmi dădeau senzaţa că sunt prost; în memoria mea s-au păstrat cu o imagine de probleme monstruase (poate n-or fi fost toate aşa, dar aşa mi-au rămas mie în amintire). Pentru elevul de rând, culegerile lui Gheba erau bune prin partea de aritmetică şi algebră; dimpotrivă, geometria lui Gheba acţiona înfricoşător (în culegerile Gheba din familia noastră se vede foarte clar cum acestea sunt “muncite”, rufoase doar în prima parte, cea cu exerciţii de aritmetică şi algebră, dar puţin muncite în restul culegerii, cea mai mare parte, cea care conţinea acele probleme de geometrie; din colegerea mea a lucrat ulterior şi fratele meu; din culegerea soţiei au fost cu totul trei fraţi care au lucrat).

În al doilea aliniat din prefaţa amintită, Hollinger atinge şi una dintre problemele cele mai grave ale învăţământului matematic românesc, anume că la noi elevii au nevoie de ajutor pentru a-şi face temele de casă, în ultimă instanţă pentru a învăţa şi a înţelege matematica. Dacă cei din generaţia părinţilor noştri în anii ’60 intrau la facultatea de matematică fără ore suplimentare, la sfârşitul anilor ’70 “se cereau” deja meditaţiile pentru admitere la facultate, dar nimeni încă nu se gândea să dea meditaţii pentru admiterea la liceu (deşi se pare că prin luna Mai 1981, în final de a 8-a fiind, eu i-am dat câteva ore de matematică de recuperare unei colege care vroia să intre la clasele de liceu pedagogic în germană la Sibiu; am uitat complet, dar ea mi-a amintit de curând că pe baza orelor mele a intrat unde şi-a dorit), la ora actuală la clasele sau şcolile cu pretenţie meditaţiile la matematică încep de obicei din clasa a 5-a, în multe cazuri chiar din ciclul primar.

Revenind la aspecte de o fineţe mai profundă din acel al doilea aliniat (uimitor cât de multe lucruri a reuşit Hollinger să ne transmită în doar câteva rânduri!), reiau următoarele idei: În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii (adică să gândească o situaţie) în loc să înveţe soluţii (adică pe de rost), ei au succese iar succesul încurajează. Dintr-o frază avem aici două idei magnifice. În primul rând faptul că există două feluri de a învăţa matematica, gândită şi înţeleasă pe de-o parte, respectiv învăţată mot-a-mot, adică pe de rost ca soluţie întreagă. Din păcate, mulţi consideră că această a doua variantă înseamnă matematica: să înveţi soluţiile pe din afară. Mulţi părinţi care aşa au învăţat matematica îşi îndrumă copiii pe aceeaşi cale; mai groaznic este că există şi colegi profesori care fac asta, chiar şi la clasele cu matematică mai serioasă din liceele de top. N-aş dori să mă lansez aici într-o discuţie “in extenso” despre această temă, dar este evident că şi Hollinger consideră prima variantă ca fiind cea dominant bună.

În al doilea rând, dânsul atinge aici un aspect psihologic de o importanţă deosebită, faptul că dacă le permitem elevilor să aibă reuşite în procesul de învăţare a matematicii, atunci aceasta se va reflecta desigur benefic asupra dorinţei lor de a învăţa în continuare, de a merge pe acest drum al gândirii matematice, în loc să se mulţumească în a învăţa soluţii pe de rost (cum, din păcate, este cazul la ora actuală la mulţi copii). Ne putem uita aici la modul aproape penibil cum americanii îşi laudă învăţăceii la primii paşi, în orice domeniu, dar profesorul Hollinger ne-a spus-o de atunci că ar fi bine ca măcar într-un mod decent să-i lăsăm să aibă succese facile, pentru că asta îi încurajează să meargă mai departe pe drumul deloc uşor al matematicii. Ce-am făcut noi însă ca breaslă în acest sens?

Vă las pe dvs., stimaţi cititori, să vă gândiţi la felul cum introducem o temă nouă şi câtă răbdare avem în primii paşi şi în primele aplicaţii, atât la clasă cât şi la teme, astfel încât elevul mijlociu să ajungă să aibă şi să acumuleze succese în învăţarea matematicii, ţinând cont că acesta înţelege şi “prinde” lucrurile, noile cunoştinţe, mai greu, mai încet decât elevii de vârf. Gândiţi-vă dvs. la exemple care ne scot în evidenţă impulsul de-a dreptul malefic (am pute spune) al unor colegi, de a le îngreuna cât mai mult elevilor accesul în lecţiile de matematică. Faptul că profesorimea a trăit şi a lucrat, nu ani, ci decenii la rând în paradigma “tot ce contează mai mult sunt rezultatele în domeniul excelenţei”, acest fapt a dus pe durată la consecinţa că elevul mediu “e prost” (de vreme ce el nu pricepe dintr-o predare mai rapidă), chiar că el nu contează în economia orei de matematică, că la acesta nu funcţionează decât frica, duritatea şi oricum, neapărat orele suplimentare particulare (că el prinde mai greu şi are nevoie de explicaţii individuale). Ce spuneţi de nivelul abrutizant de greu al felului cum unii colegi găsesc de cuvinţă să bombardeze elevii cu subiecte deosebit de grele în numele unei “strădanii spre excelenţă” prost înţeleasă (de multe ori subiectele la lucrările scrise conţinând DOAR probleme deosebit de grele)? Emană din astfel de exemple o răutate viscerală, ce mă duce cu gândul la răutatea manifestată în “acţiunea specială” reprezentată de trezirea din hibernare a Marelui Urs de la răsărit asupra vecinilor noştri.

Alteori acest sistem este practicat din motive mult mai pământene: mai ales în localităţile mici, câte un profesor practică această linie şi se trezeşte să “ţină ştacheta sus” doar pentru a avea clienţi la meditaţii private, urcându-se pe “un piedestal” local, construindu-şi astfel o. Faptul că autorităţile locale nu vânează astfel de situaţii – în care unii colegi îşi construiesc o aură de “profesor bun” – asta ne arată de fapt cât este de îmbibată societatea românească cu impulsuri fanariote.

Acestea au fost comentariile la aspectele ce pot fi găsite în al doilea aliniat al prefaţei culegerii respective. După câte idei am putut extrage din acest scurt text (7 rânduri pe setarea de A4 scris cu 12, respectiv 10 rânduri pe setarea mai îngustă din culegere), acest aliniat este fără îndoială unul dintre cele mai dense şi valoroase texte de analiză a şcolii româneşti posibil de făcut. Primele două aliniate, luate împreună, ar putea reprezenta liniştit materialul pentru un curs de studiu a felului cum ar trebui predată matematica în mod just în şcoli (despre felul cum a ajuns să fie predată matematica actualmente în şcoli, în realitatea de zi cu zi, singurul adjectiv cinstit ar fi că modul actual de predare este injust!).

Celelalte aliniate ale acestei prefaţe sunt mult mai sărace în nestemate metodico-didactice, dar merită să aruncăm şi peste acestea o privire, chiar şi doar din simplul impuls de a epuiza acest valoros text, pe care – cum am mai spus – eu îl văd ca pe un adevărat testament metodico-didactic al marelui metodist, Profesorul Abraham Hollinger. Aşadar, să continuăm cu unele din următoarele aliniate, din care voi cita doar parţial pasajele ce mă interesează pentru a le analiza. Iată ce ne spune în mai departe Dl. Profesor:

3. Bineînţeles, nu m-am limitat la aceste probleme relativ uşoare. În lucrare se găsesc foarte multe probleme cunoscute, tradiţionale. La multe din ele m-am abătut de la forma uzuală: în loc de “să se demonstreze că …” am pus o întrebare sau am cerut să se compare două unghiuri sau două segmente. (…) prin aceasta, problemele devin ceva mai grele – elevul şiret va găsi uşor răspunsul – dar se stimulează mai mult gândirea elevilor. (…) În unele cazuri în care este vorba, în fond, de faptul că o anumită mărime este constantă, am cerut când este maximă sau minimă. (…)

Am întâlnit o idee similară şi la d-na Birte Vestergaard care spunea astfel: elevul “nematematician” se simte agresat de cerinţe de tipul “demonstrează că …”; mult mai paşnice sunt cerinţe de tipul “ce observi în situaţia …; poţi să explici de ce se întâmplă asta?”. Studiind problema în ultimul an, am observat că nu merge de fiecare dată, dar mă străduiesc în sensul de a găsi exprimări mai puţin agresive pentru cerinţele problemelor date. Hollinger nu da clar această nuanţă, ci exprimă gândurile mai mult în sensul unei cerinţe orientative, undeva “în zona” rezultatului gândit, dar lăsând elevului spaţiu pentru a descoperii el finalul parcursului demonstrativ. Practic, profesorul Hollinger ne sugerează ca măcar uneori să fim “mai vagi” în cerinţe, să-i lăsăm şi elevului paşi de descoperire. Aici gândurile se ating cu cele din titlul lucrării Descoperirea în matematică a lui George Pólya, întreaga respectivă carte fiind de fapt despre descoperirea rezolvării unei probleme.

De exemplu, în sensul celor spuse de Hollinger, eu de mulţi ani am modificat cerinţa unei probleme cunoscute: În triunghiul ABC oarecare (scalen, clar înclinat într-o parte) trasăm mediana AM. Care din vârfurile B şi C este mai apropiat de dreapta AM? Un alt exemplu deosebit de intrigant a apărut de curând în testul 5 de antrenament din 2022 (subiectul III, problema 5), unde se poate cere compararea segmentelor EF şi FD (chiar şi pe un desen construit superexact EF pare mai scurt, dar la calculul lungimii cele două se dovedesc congruente). Te poţi aştepta ca elevul să măsoare cu liniarul, dar şi aşa rezultatul dat de măsurătoare va părea că nu-i corect faţă de ce se vede cu ochiul liber.

Desigur că aţi putut observa cum am sărit elegant peste faptul că Hollinger precizează clar şi importanţa problemelor grele, pe care dânsul le numeşte probleme cunoscute, tradiţionale. Aici nu este nevoie să insist; profesorii din România sunt setaţi “de la natură” să dea elevilor cât mai multe probleme grele. Totuşi, eu văd şi aici o nuanţă ce ar trebui precizată.

Prin anii ’90 socrul meu a venit cu următoarea idee: ar trebui găsită o colecţie bine selectată de – să zicem – 100 de probleme de geometrie, pe care dacă elevul le-ar face serios, acesta să poată face apoi orice altă problemă. Eu personal am fugit multă vreme după acest deziderat, având uneori, după un sfert de secol de strădanii, impresia unei “Fata Morgana”. Alteori simt clar că reuşesc totuşi paşi clari în acest sens. La ora actuală m-am stabilizat pe poziţia că subiectul nu este deloc stabil; întrevăd însă posibilitatea unei ultime încercări în acest sens, undeva în viitor.

Trecând însă de această preocupare, este totuşi de remarcat faptul că sunt multe probleme edificatoare la orice nivel, iar faptul că mulţi profesori nu au preocupare în acest sens, nu le parcurg defel, dar au pretenţia ca elevii să le ştie, acest aspect este dureros. Eu personal o astfel de categorie de probleme aş aştepta să fie incluse în manualele de geometrie. Desigur că situaţia poate fi extrapolată şi la algebră. Dar, să continuăm cu analiza textului nostru:

4. Spre deosebire de alte lucrări similare, am introdus multe probleme de maxim şi minim. Experienţa arată că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. (…) Ca grad de dificultate problemele de maxim şi minim sunt foarte diferite: dacă unele din ele sînt uşoare (exemple: (…), altele sînt deosebit de grele (exemple: (…). Deosebit de interesantă îmi pare problema (…).

Legat de acest aliniat doresc să exprim doar două scurte idei. Prima ar fi că ar trebui să ne concentrăm mai mult asupra reacţiei elevilor la matematica noastră: Hollinger ne vorbeşte despre faptul că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. Mai exact: experienţa arată că …, adică cineva a fost atent de-a lungul timpului la reacţiile elevilor şi a observat că …. .

Un al doilea gând este că putem găsi şi în zona temelor “exclusiviste” atât probleme grele, cât şi probleme uşoare. Putem traduce afirmând că şi temele acestea pot oferi probleme cu un grad bun de accesibilitate elevilor de nivel mediu. Hollinger vorbeşte de probleme de minim sau maxim, dar pe mine ideea respectivă mă duce gândul acum la problemele de colinearitate şi concurenţă. Să analizăm puţin istoricul prezenţei acestora în matematica de după 1990, ca o scurtă paranteză.

La începutul anilor ’90 concurenţa şi colinearitatea era la mare preţ şi nivel înalt de olimpiadă (prietenii Menelaos & Co. dădeau fiori tuturor în afară de cei “aleşi de soartă”). Apoi, brusc au fost scoase din materie şi au ajuns în uitare, chiar proscrise am putea spune. De pildă, în 2005 când am scris culegerea de geometrie de-abia am îndrăznit să pun două exemple de colinearitate supersimple. Desigur că nici la examene, nici măcar în materialele de pregătire, n-ai mai văzut aşa ceva timp de un sfert de secol. Lucrurile au rămas astfel până când la testele de antrenament din 2020 (în timpul primului lockdown) au început să apară cerinţe de colinearitate în subiecte, însă doar în forme elementare (o aliniere de 180^o). Concurenţa din testul 5 de antrenament EN 2022 de zilele astea (subiectul III, problema 4) ridică însă din nou ştacheta. Părerea mea este că e OK aşa, atâta vreme cât fenomenul rămâne în parametrii controlabili. Copiii de nivel mediu merită să aibă contact şi cu teme exclusiviste, cu condiţia ca aplicaţiile acestora să fie păstrate la un nivel elementar. Să revenim însă la prefaţa lui Hollinger:

8. Socot că un mod util de a folosi aceste exerciţii la Cercul de matematică este următorul. Profesorul indică unui elev un grup de probleme apropiate pe care să le studieze singur din carte şi apoi să le expună în faţa colegilor. Exemple: a) Probleme de concurenţă sau colinearitate bazate pe simetria paralelogramului: (…) b) Cîteva probleme de minim rezolvate pe baza simetriei: (…); sau cîteva probleme de maxim: (…). c) Cîteva demonstraţii ale teoremei lui Pitagora: (…).

Aici doresc doar să observ similaritatea sfaturilor cu cele întâlnite şi la profesori din stăinătate, de pildă exemplul d-nei Marisha Plotnik din America despre care am vorbit în analiza despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora, dar şi la Birte Vestergaard din Norvegia. Trebuie însă să fim conştienţi că acest tip de activitate este mare consumator de timp. Hollinger vorbea despre Cercul de matematică; aşa da, pentru cine face aşa ceva, dar la orele regulate, la cât suntem noi de fugăriţi prin materie nu prea pot vedea cum să facem aşa ceva în mod regulat. Doar dacă este vorba de clasă cu copii buni şi de încredere. La o clasă cu copii de toate nivelele n-aş îndrăzni să generalizez o astfel de metodă. Dar, încă o dată, Hollinger vorbea despre cercul de matematică.

Cu aceste gânduri chiar am încheiat studiul meu. Există desigur posibilitatea ca la o analiză mai atentă să se găsească şi alte idei valoroase de scos în evidenţă din această prefaţă; eu nu vin aici cu pretenţia unei analize exhaustive. Sper însă să fi reuşit – prin analiza mea totuşi extinsă – să vă fi trezit curiozitatea pentru această culegere, dar şi pentru ideile exprimate acolo, chiar să vă fi dat de gândit asupra felului în care funcţionează (sau nu) matematica şcolară actualmente. Gândul că măcar unul dintre onoraţii cititori va prelua idei exprimate în această serie de postări, acest gând îmi dă speranţe. CTG

La începutul anului 2022 reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant; au făcut-o alţii probabil mult mai bine decât aş face-o eu. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă (pentru cine s-ar face că nu ştie), precizez deci că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a, luată ca atare, este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau la clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere (adică la televiziune), numărul variantei ce se va da; deci numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Haideţi să vedem însă care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca. 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum.

Unii s-au apucat de învăţat cinstit şi cum trebuie. Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru cele 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu partea de răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare sau demonstraţie. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100 de copiuţe, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru a-ţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Ca o paranteză fiind spus, faptul că prin această mişcare nu s-a rezolvat problema furtului la examene, ci doar s-a mutat la un alt nivel şi la o cu totul altă scară, acest fapt avea să fie recunoscut în următorii ani, astfel încât peste 5 ani aveau să se introducă camerele şi înregistrările pentru supravegherea examenelor. Nici acest mod de oprire a copiatului nu a funcţionat din prima, următorii ani aducând un proces de adaptare şi creştere a performanţei de supraveghere. La ora actuală, din punct de vedere a furtului la examene, lucrurile sunt cât de cât sub control. Dar să revenim la momentul celor 100 de variante.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvara lui 2007. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. În acest timp un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev, cât şi situaţia în faţa căreia eram puşi noi, profesorii de acest fel de raţionament.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a putut, pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze (numai Tudor Chirilă a copiat şi la mate şi la sport!).

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine (pentru şcoală). Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată astfel încât materia pentru teza unică era masiv redusă faţă de ce ar fi fost normal. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Pentru că, desigur, urmarea ar fi putut fi prevăzută de către orice minte raţională, chiar din toamnă, de la “negocierea” materiei pentru prima teză a anului.  Doi ani la rând capitolul despre cerc de la sfârşitul clasei a 7-a, dar şi corpurile rotunde din finalul clasei a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Şi ce se întâmpla în aceste condiţii? Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?), desigur nici lecţiile despre corpuri rotunde.

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era elevă, însă poate că perioada să coincidă cu vestitele ei meditaţii la matematică despre care s-a lăudat că le dădea. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii deosebit de importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi “s-a uitat în altă parte”.

În altă ordine de idei (ca o paranteză fie spus), înţelegeţi aici de ce am spus de curând că eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie), în contextul schimbărilor pentru anul şcolar 2022-2023.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel; tocmai fusesem numit director, iar situaţia respectivă mă speria extrem). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec de peste Prut, nedifuzabil la radio).

În noile condiţii, care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea pandemică a programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba (aplicându-se acelaşi principiu ca la Lb. Română, materia D-nei Ministru din acel moment). În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice (de ce a fost exclusă această temă de parcurs în noiembrie?).

D-na Ministru a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, subiect cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe această temă. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (2021-2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că şi fracţiile algebrice sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru aceste în felul cum am făcut-o pentru ariile şi volumele corpurilor. Însă cu elevii mei le-am parcurs scurt, prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, în acest sens ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă. Unii profesori doar se vor mira “tâmp” de aceste generaţii care “sunt mult mai slabe ca înainte de pandemie”, negândind că de fapt este vina sistemului (autorităţile care au pierdut subiectul pe drum + profesorii care n-au avut conştienţa că trebuie să acţioneze ca o plasă de siguranţă pentru sistemul de cunoştinţe şi de gândire a elevilor).

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, pentru a fi incluse în materia de examen măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru respectivul demers, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022.

În concluzie, despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului în şcoli. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. De pildă, nimeni nu pune în discuţie chinuirea elevilor prin forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bézout), ca actualmente polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC. Pentru mine aceste gânduri poartă o durere adâncă. Rămâne de văzut dacă se poate gândi un sistem de programă care să prevină pe viitor posibilitatea apariţiilor de astfel de situaţii (acest subiect însă cu altă ocazie). CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Şi în contextul copiatului la examene avem experienţe interesante. La BAC de pildă, întrebat fiind fiiul nostru de ce s-a înscris la proba de psihologie, pentru că “noi suntem fiinţe raţionale”, nu suntem buni la tocit, răsunsul său a fost elocvent: lasă Mamă, că am calculat şi oricum voi fi în faţa sau în spatele Mariei, şi ea le ştie bine (adică ea are capacitatea de tocit; am schimbat desigur numele colegei). Da, şi aşa a fost. Apoi, anul următor s-au introdus camerele de supraveghere.

Domnii din Deşteptarea la Europa FM – Vlad Petreanu, George Zafiu şi Luca Pastia – au luat spre analiză – cândva, prin februarie – spusele D-lui Ministru despre materia mult prea încărcată, pe exemplul geometriei vectoriale, dar şi despre “reintroducerea trimestrelor”. Merită să-i ascultaţi pe podcast la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ . Căutaţi emisiunea din 16 februarie 2022, porniţi înregisrarea la minutul 8:30 şi ascultaţi câteva minute despre vectori, dar urmăriţi apoi emisiunea până la min. 23:00, ascultând şi pasajul despre trimestre vs. semestre.

Prima parte este despre vectori şi în general despre materii care nu le-au plăcut ascultătorilor când erau elevi. A doua parte (cam după minutul 16), conţine o “analiză” a situaţiei de după introducerea semestrelor şi “revenirea la trimestre”, care “e mai multe” (3 > 2). Emisiunea este din februarie, dinaintea deşteptării din hibernare a marelui urs (de când pregătisem şi postarea, în forma de atunci). Între timp am aflat că nu vom reveni de la 2 la 3, ci vom trece chiar la 5. Aha! Deci aşa vom creşte calitatea şcolii româneşti! Acum am înţeles! Da, da! Pentru că 5 > 3 > 2. Evident! g.e.d.

Ştiţi ce problemă m-a “chinuit” pe mine chiar din timpul şcolii, dar şi mai târziu: oare, de ce le spunea trimestre? Pentru că erau 3? Adică pentru că anul şcolar era împărţit în trei părţi (fapt susţinut de ideea de semestru, de la semi, adică jumătate)? Sau pentru că erau de cca. 3 luni (cel puţin primul)? Pentru că în economie anul calendaristic era împărţit în patru trimestre, fiecare de câte trei luni. Oare cum trebuie deci înţeles cuvântul trimestru?

Oricum – vorbesc serios acum, renunţând la tonul de pamflet – eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie). Acesta este însă un alt subiect, pe care-l voi trata cu o altă ocazie. Acelaşi lucru mă gândesc să-l fac şi cu subiectul celor 5 “pentamestre” în care va fi împărţit anul şcolar de la toamnă (în linii mari sunt de acord şi cu această mişcare, dar să vedem concret cum se va întâmpla; îmi este frică de un gol de directive, ca apoi să vezi ce le va mai trece unora prin cap!). Titus Pentatonicus

Dragi cititori si iubitori de pentagonia.ro, azi este o zi mare: au început şi alţii să atragă atenţia asupra unuia dintre marile baiuri din predarea matematicii în şcolile româneşti. Dacă încă nu l-aţi citit, făceţi-vă măcar acum timp pentru următorul articol: https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/

Eu m-am preocupat în câteva rânduri de acest subiect, de pildă în seria din primăvara lui 2019 (iată direct adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , apoi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ şi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/  în final). După multele strădanii în acest sens, în urma cărora aveam uneori impresia că vorbesc de unul singur, acum pot doar să le mulţumesc colegilor de la edupedu.ro. Apropos, elevii care mi-au arătat prima dată filmuleţul acela de pe youtube când erau în clasa a 7-a, acum sunt în anul doi de facultate. Da, copiii sunt uneori mai treji decât noi, profesorii. Titus pitagoreanul

P.S. Nu vă amăgiţi, acesta nu este nici pe departe singurul bai mare în predarea românească. De pildă în continuare mulţi profesori nu folosesc teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a 7-a, deşi ea este acum cunoscută de către elevi, pentru că “pe creierele” acestor colegi respectiva teoremă apare doar în semestrul al II-lea. Dar dacă tot s-a ivit ocazia vă mai spun unul: azi (!) am vizitat expoziţia despre geniul lui Leonardo da Vinci de la Casa de cultură a studenţilor din Cluj. Într-una din fişele expuse cu imagini din notiţele acestuia ce văd eu? Două-trei desene cu Cercul lui Thales, acea primă teoremă de geometrie dată de un om, aia care spune că un triunghi înscris într-un semicerc este automat dreptunghic, şi care din programa şi din manualele noastre lipseşte de zeci de ani, dar care începe să primească tot mai des aplicaţii în culegerile pregătitoare pentru examenul de EN8 (bănuiesc că privită ca reciprocă a medianei pe ipotenuză, sau ca un caz particular la unghiul înscris în cerc).

Cu o lună în urmă eram entuziasmat de bancul cu pitonul. Mă pregăteam pentru al treilea curs pentru profesorii de matematică din şcolile Waldorf, ce urma a se desfăşura în zilele de 24-25-26 februarie 2022. Eram bucuros de acea postare şi mă gândeam că următoarea va fi peste două săptămâni, imediat după curs, printr-un scurt raport la cele discutate.

Miercuri seara ne-am întâlnit cu colegii la o scurtă conectare pe Meet, pentru ca a doua zi să nu avem surprize la orele de asistenţă de la 8:00. Da, şi cum ştiţi, a doua zi toţi am aflat de brusca trezire din hibernare a marelui urs. Nimeni nu credea cu adevărat că se va întâmpla aşa ceva, dar – după decenii întregi – marele urs s-a trezit brusc, şocând o planetă întreagă. Cu greu v-aş putea explica cum m-am putut concentra ca să-mi ţin cursul. Însă, după curs, nici vorbă să mă pot apuca de scris. Pur şi simplu n-am mai putut scrie. Simţeam că problemele prezentate pe pentagonia.ro nu mai au nici cea mai mică relevanţă şi rost pe lângă suferinţa ce se declanşase în jurul nostru.

Peste două săptămâni, miercuri pe 9 martie, panica a lovit din nou, de data asta sub forma isteriei scumpirii benzinei. Nu puteam crede că se va întâmpla scumpirea de care se vorbea (de la 7 la 12 lei). Raţiunea şi datele acumulate până în acel moment nu mă lăsau să cred aşa ceva. Aşa că am venit acasă liniştit. Ce-i drept aveam şi un avantaj: îmi lipsea din rezervor mai puţin de un sfert. Iar când ministrul energiei a început să iasă pe ecrane şi la microfoane pentru calmarea isteriei, am sunat-o pe mama mea şi i-am mulţumit că m-au învăţat să gândesc.

Da, cam aşa am ajuns la cea mai lungă pauză între două postări de când am pornit acest blog. Dacă reuşim mâine să postăm, vom avea exact o lună de la ultima postare, cea cu pitonul. Încerc să-mi revin şi să încep din nou să scriu, convins fiind că numai aşa pot contribui la creşterea gândirii raţional-empatice în această lume nebună. CTG

De curând reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere, numărul variantei ce se va da; numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Dar haideţi să vedem care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum. Unii au învăţat cum trebuie.

Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru aţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvară. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. Un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze.

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine. Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată că materia pentru teza unică era masiv redusă. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Doi ani la rând capitolul despre cerc din clasa a 7-a, dar şi corpurile rotunde din clasa a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?).

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era în elevă, dar poate că perioada coincide cu vestitele ei meditaţii despre care s-a lăudat că le dădea la matematică. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi s-a uitat în altă parte.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec nedifuzabil la radio).

Care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba. În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice.

D-na Ministru din acea vreme a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe acest subiect. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (EN 2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru fracţiile algebrice. Însă cu elevii mei le-am făcut scurt prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă.

Despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. Nimeni nu pune în discuţie forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bezout), ca acum polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC.

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru asta, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022. CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

În spaţiu anglofon există o adevărată preocupare la limita dintre termenii folosiţi în matematică şi alte cuvinte. Iată două exemple legate de prietenul nostru π, care tehnic nu pot fi traduse în limba română. Eu le prezint în engleză, după care îmi încerc talentele într-un soi de “traducere” (la primul, pentru că la al doilea chiar nu se poate traduce).

1. An opinion without 3.14159 is just an onion. (o opinie fără 3,14159 este doar o “onie”, adică, de fapt o ceapă). O traducere mai liberă ar suna astfel: o opinie neargumentată cu date clare valorează cât o ceapă degerată. Pe comentariile din locul respectiv apărea şi un “strigăt” disperat: Guys, this is’nt even funny. Please stop. (Asta nu-i deloc comic. Vă rog opriţi-vă.).
2. A pig without 14 is 9.8 (Un “porc” fără 3,14 este 9,8). Vă rog, nu mă puneţi să explic acest banc. CTG

În articolul despre importanţa atenţiei în procesul de învăţare ne-am lovit de faptul că folosirea ecranului de la vârste tot mai timpurii şi pe durate tot mai mari duce la o degradare puternică a capacităţii de atenţie şi de imaginaţie a elevilor, dar mai ales la o scurtare a duratei în care aceştia sunt capabili să acorde atenţie unei prezentări discursive. Mi-am propus cu această ocazie să abordez în mod separat subiectul, pentru a clarifica aspectele ce la momentul respectiv le-am prezentat neexplicate, doar “pe încredere”.

În articolul respectiv am vorbit despre capacitatea elevului, a elevilor de a acorda atenţie unui subiect extern, un subiect care nu face parte dintre subiectelelor preferate, dar şi despre durata medie a elevilor de a acorda atenţie într-o lecţie. Spuneam că despre acest aspect am auzit în urmă cu peste zece ani, atunci când o prietenă bună s-a întors din Statele Unite după câţiva ani de predat acolo. Ea ne-a povestit atunci despre attention span şi despre faptul că acolo, în “state”, acest interval de atenţie era considerat a fi cam de cca. 6 minute. Cu alte cuvinte, ca profesor n-ai voie să le turui elemente noi de lecţie mai mult de 5-6 minute “dintr-o bucată”, după care trebuie să te opreşti. Pur şi simplu trebuie să te opreşti. În schimb, recomandarea era să le dai imediat exerciţii aplicative (până nu uită ce i-ai învăţat şi ca să le fixeze). Aşadar, elevii sunt în stare să acorde profesorului atenţie pentru un anumit interval de timp, după care “s-a dus cu atenţia” faţă de acel subiect.

Astfel de aspecte nu ne-au fost prezentate la cursurile din facultate, dar nu se discută sistematic, ordonat şi ţintit nici la ora actuală (cel puţin mie nu mi-a fost dat să aud astfel de idei spuse oficial în învăţământul românesc). Este însă posibil ca uneori, mai nou, să apară astfel de idei ca aspecte colaterale, în cadrul diferitelor cursuri (din facultăţi sau de formare continuă).

Dar, de unde s-a ajuns ca în “lumea civilizată” – din care cu multă mândrie începem să facem şi noi parte tot mai mult – cum s-a ajuns ca elevii să aibă o capacitate atât de scurtă de atenţie? Cum spuneam, asta este o întrebare foarte importantă pentru că şi noi ne îndreptăm încet, dar sigur spre acea stare de lucruri. Din câte cunosc, capacitatea de atenţie a copiilor suferă puternic cu cât aceştia petrec mai mult timp în faţa ecranului (în acest domeniu sunt un mic specialist; am parcurs 7 module de câte o săptămână cu dl. Heinz Buddemeier, Profesor la Universitatea din Bremen, Germania, specializat în efectele ecranului asupra oamenilor). Să analizăm acest fenomen. Pentru uşurarea lecturii am fragmentat textul cu o serie de titluri orientative.

ISTORIC AL FOLOSIRII ECRANELOR ÎN ROMÂNIA  La începutul anilor ’90 elevii români aveau în medie un nivel foarte bun de atenţie, deoarece în copilăria lor (înainte de 1990) aceştia nu petrecuseră decât foarte puţin timp în faţa ecranelor. Către finele anilor ’90 şi în primii ani după 2000, atenţia începea să scadă slab, dar vizibil pentru un ochi avizat, deoarece în copilăria elevilor din acei ani îşi făcuseră deja apariţia multiplele canale de televiziune străine difuzate non-stop prin cablu (pe baza cărora mulţi învăţau diferitele limbi străine), dar şi televiziunile comerciale româneşti.

“Vârful de lance” în procesul de împiedicare a dezvoltării sănătoase a copiilor au reprezentat-o desigur canalele de desene animate. La începuturi “intrau” în casele românilor 1-2 canale de desene animate, iar acestea erau de obicei în limbile de unde erau preluate canalele respectivă, aşa încât statul la televizor era însoţit de faptul că micuţul se dovedea că prindea foarte bine limba respectivă. Cu alte cuvinte, se părea că statul la televizor este ceva chiar folositor şi nimeni nu simţea ce se întâmplă pe ascuns în spatele acestui proces.

Părinţii îi lăsau tot mai liniştiţi pe puiuţii lor în faţa televizoarelor, pentru că – e evident – desenele animate nu sunt violente precum filmele pentru adulţi. Astfel, nivelul de atenţie şi capacitatea de a înţelege noile lecţii au scăzut în continuare de-a lungul anilor, odată cu multiplicarea numărului de canale de desene animate (la care, cum am mai spus, părinţii nu vedeau nici cea mai mică problemă, pentru că – nu-i aşa? – sunt făcute pentru copii).

Desigur că şi celelalte canale de televiziune, de muzică, de filme sau de sport, toate având un puternic rol distractiv, cu acel efect atractiv de care nu te prea poţi apăra, toate au contribuit la scăderea capacităţilor generale de învăţare a elevilor. Ca profesor, eu am verbalizat la începutul lui 2005 că percepeam o rupere a capacităţii de atenţie şi de învăţare a elevilor, o surpare a învăţării, ce – simţeam eu că – s-ar fi petrecut cândva între 2000 şi 2004. Simţeam că aceasta s-a petrecut la toate generaţiile deopotrivă, prinzându-i pe fiecare într-o anumită fază de dezvoltare (vezi întâmplarea evocată în P.S.1.). Mă ţin minte că am început să o spun astfel: s-a întâmplat ceva în ultimii 4-5 ani pentru că văd că a scăzut brutal capacitatea şi disponibilitatea de învăţare, la toate vârstele (eu vedeam asta la gimnaziu şi la liceu).

Personal, după ce ne-am dat seama despre fenomen, la al doilea copil al nostru născut în ianuarie 2004, prin vara acelui an (deci pe la vârsta de cca. 6 luni a fetiţei) am luat telecomanda şi am scos în mod manual din memoria televizorului toate canalele de desene animate (din ambele televizoare din casă, atât cel al nostru, cât şi cel din camera soacră-mi). La fiecare rearanjare a posturilor de către compania de distribuţie prin cablu reluam procedura de eliminare a canalelor “pentru copii” din televizoare, conştient că acestea au menirea ascunsă de a creea dependenţa de ecran la copii (distrugerea atenţiei şi a capacităţii de imaginare sunt efecte colaterale).

Cu anii, fiica noastră vedea, când mergeam în vizită, că la alţi oameni în televizor există desene animate, se uita, dar nu era suficient pentru a creea dependenţă. La o anumită vârstă a şi întrebat, iar eu i-am explicat cinstit, dar pe mintea ei (cândva între grădiniţă şi şcoală) că noi nu vrem desene animate la care ea să stea să se “hoalbe” toată ziua (a se holba: eu mă holb, tu te holbi, el/ ea se hoalbă, noi ne holbăm etc.). I-am spus că este mult mai bine ca ea să se joace cât mai mult timp cu ce găseşte, iar noi să-i ctitim cât mai multe poveşti (în la vremea respectivă primea cam trei poveşti pe zi (spuse sau citite): una dimineaţa la grădiniţă sau la şcoală,, una după prânz înainte de somnul de după amiază şi una seara la culcare.

Ea a înţeles foarte bine, iar când a început, prin clasele 3-4 să se uite totuşi uneori la televizor pe canale de gen “teleenciclopedie” (Discovery, Animal Planet sau National Geografic), dacă avea loc o mutare de canale şi apărea pe o poziţie nouă un canal de desene animate, ea mă anunţa: vezi tată că au mutat iar posturile şi au apărut desene animate; trebuie să le scoţi.

Ţin minte, legat de desenele animate din diferitele vizite, unele întâmplări. În primul rând îmi aduc aminte când în televizorul unei prietene am numărat 8 canale pentru copii mari, la care puteam observa clar primele elemente de atragere şi ţinere a copilului “lipit de ecran”. În plus, acolo am conştientizat şi existenţa unuia pentru “începători”, cu destinaţia “canal pentru bebeluşi”. Cu o altă ocazie, într-o vizită la naşii noştri de cununie, Naşa a luat-o la începutul vizitei pe fiică-mea şi a dus-o în dormitor, i-a pornit televizorul pe desene animate şi i-a dat “un suculeţ” (probabil cea mai renumită băutură carbogazoasă, plină de cofeină, ştiţi voi care), precizând nonşalant: “ca să stea cuminte şi s-avem linişte”.

Revenind la procesul de extindere a folosirii ecranelor, printr-o tehnologizare tot mai accentuată şi mai extinsă a acestora în viaţa noastră de zi cu zi, trecem la următorul pas. De la o vreme, procesul s-a accentuat prin apariţia şi extinderea în casele românilor a jocurilor pe calculator, care au prelungit masiv timpul petrecut în faţa ecranelor de către copii de vârste tot mai fragede. Fenomenul jocurilor pe calculator s-a îndreptat mai ales către băieţi. Fetele au mai avut un răgaz de cca. 10 ani până la apariţia şi extinderea folosirii platformelor de socializare, care le-au cucerit masiv, astfel încât şi capacitatea lor de atenţie a ajuns la cote scăzute, la fel ca a băieţilor. Nu mi-am propus tratarea acestor două subiecte în eseul de faţă; ambele ar ocupa mult prea mult spaţiu şi nu au o legătură directă cu învăţarea matematicii.

Apariţia smartphone-urilor în marea majoritate a familiilor, iar de la o vreme – tot mai devreme ca vârstă – chiar şi ca aparate personale ale elevilor (trebuie să-l pot verifica ce face!), folosirea tot mai largă a “deşteptofoanelor” a extins timpul petrecut de către copii mult peste nivelul pe care-l  permiteau aparatele precedente, a căror funcţionare era dependentă de conectarea la priză (TV, calculatoare). Din acest moment copiii se puteau uita la un filmuleţ chiar şi în parc (în general oriunde şi oricât). Nici nu mai vreau să discut aici despre situaţiile în care părinţii achiziţionează maşini cu ecrane în tetiere, pe care pot prezenta copiilor din spate filmuleţe non-stop, în timpul călătoriei.

La generaţia la care am fost diriginte timp de patru ani în gimnaziu (au terminat clasa a 8-a în vara 2021) am conştientizat că ei, cu o aproximaţie destul de bună, sunt cam primii care au avut de când se ştiu ei la dispoziţie măcar un smartphone în familie. Astfel, ei s-au putut uita “dintotdeauna” la filmuleţe, cel puţin când erau împreună cu părinţii. Când le-am spus acest gând, nici măcar unul nu s-au gândit să mă contrazică şi să-mi spună că părinţii nu-i dădeau să se uite sau să se joace pe telefon. În clasa a 5-a mai erau câţiva cu telefoane cu butoane; la intrarea în pandemie toţi aveau deja smartphone-ul personal.

Ecranul a ajuns să fie folosit la ora actuală de către adulţi pentru a-i linişti pe copii, fiind folosit de multe ori ca un amestec între bonă şi sedativ; oricine poate observa destul de repede că, pus în faţa unui program atractiv, copilul nu mai este agitat, nu te mai deranjează, nu-i mai trebuie nimic; ecranul este folosit pe post de liniştitor, un calmant, un anestezic al personalităţii poate prea agitate a copilului. Din păcate însă, prin extinderea folosirii ecranului, copiii nu mai au ocazia să-şi dezvolte şi să-şi antreneze capacităţile de autocontrol şi de acordare a atenţiei (to pay attention!), fără ca atenţia să-i fie “absorbită”, aşa cum o face ecranul cu un filmuleţ atractiv. Cu alte cuvinte, cu cât stă mai mult în faţa ecranului, cu atât copilul devine tot mai dificil.

Folosirea ecranelor de la vârste tot mai fragede şi tot mai multe ore pe zi duce la scăderea capacităţii copiilor de a fi atenţi la un discurs oral, la explicaţii verbale, la lecturarea unui manual, în cazul nostru la o lecţie de matematică. Păi, cum poate concura lecţia unui profesor de matematică cu un filmuleţ gândit doar să producă distracţie instantanee (şi mă abţin aici să dau exemple de filmuleţe sau surse ale acestora).

Lovitura de graţie a fost dată desigur de trecerea forţată la învăţământul online, în care elevii au căpătat dreptul, chiar obligaţia de a petrece masiv timp în faţa ecranelor. Situaţiile în care elevii sunt atenţi şi colaborează la lecţie sunt cât de cât OK, dar toată lumea s-a confruntat cu situaţii de evaziune a atenţiei: câţi elevi fac în timpul lecţiilor cu totul altceva decât să fie cu adevărat în lecţia respectivă? Să nu-mi răspundă cineva că el/ea se descurcă ţinând elevii într-un ritm foarte alert şi sub un stress terorizant, ca nu cumva aceştia să-şi poată permite să facă altceva în timpul orei, pentru că această linie de comportament de fapt crează şi mai tare o impresie de teroare şi repulsie asociată matematicii. Apoi, pot să întreb: ce se întâmplă pe diferite grupuri sociale în pauzele dintre ore? Pentru că sigur nu toţi se duc în pauză la toaletă, iar apoi în bucătărie să bea un pahar de apă.

Pe când am intrat în lockdown în martie 2020, toţi elevii aveau deci în dotare smartphone-uri, calculatoare sau tablete, toate conectate la internet. Vă daţi seama cât timp petrec elevii la ora actuală în faţa ecranelor, cu alte activităţi decât cele legate de şcoală. Băieţii cu diversele jocuri, fetele cu postările pe diferitele reţele de socializare, toţi îşi distrug ordonat şi sistematic minimalele evoluţii de abilităţi necesare învăţării.

Legat de scăderea acestor capacităţi de-a lungul anilor, cred că mulţi profesori au deja experienţele lor. În P.S.2. evoc şi eu o astfel de experienţă. Cât despre petrecerea timpului în faţa ecranelor, de obicei în scop recreativ, mai vreau doar să precizez că atunci când scopul nu mai este unul recreativ, de distracţie, atunci timpul respectiv petrecut în faţa ecranului devine repede o corvoadă; acesta este de multe ori cazul în situaţia predării online.

IMPORTANŢA POVEŞTILOR SPUSE  Să analizăm oarcum comparativ cele două situaţii, pe de-o parte cea tradiţională, dinaintea folosirii masive a ecranului, şi pe de cealaltă parte cea actuală, caracterizată prin omniprezenţa ecranului în viaţa copiilor.

Atunci când un bunic sau un părinte îi spune copilului mic o poveste, sau i-o citeşte, copilul trebuie să fie atent, pentru că altfel cel care citeşte se opreşte automat. De pildă, dacă în timpul audierii poveştii un băieţel începe să se joace cu maşinuţa pe care iniţial doar o ţinea în mână în timp ce asculta povestea, ne putem imagina un dialog de felul următor: văd că nu mai vrei să-ţi citesc, preferi să te joci cu maşinuţa! Ne oprim şi continuăm mâine. Ba nu! răspunde copilul şi pune maşinuţa de-o parte, după care bunica continuă cu povestea. Prin astfel de întâmplări copilul învaţă de mic să dea atenţie pe un anumit interval de timp (cât durează povestea sau pasjul citit, poate 10-15 minute, sau chiar mai mult), să dea atenţie de fapt unui “discurs”. Într-adevăr, poveştile ascultate sunt primele discursuri audiate de copii, acestea fiind deosebit de importante în antrenarea copiilor pentru viitor, pentru periada şcolară.

Să facem însă o paranteză: cineva ar putea concluziona din cele spuse până acum – eu am tot atacat folosirea ecranului, prezentând-o ca dăunătoare – cineva ar putea concluziona însă că putem liniştiţi să-i punem copilului în cameră un CD-player şi să-i dăm CD-uri cu poveşti. Desigur: copilul învaţă repede să-şi pună un disc iar tu ca adult crezi că e OK; important e că el ascultă poveşti iar tu ai timp pentru tine. Total greşit însă.

Pe baza exemplului de dialog de mai sus putem să ne imaginăm un copil care ascultă în camera lui un CD cu poveşti şi în paralel se joacă liniştit cu maşinuţele, merge când vrea la baie, desigur fără să oprească povestea (să o pună pe pauză). O astfel de situaţie este cea mai bună modalitate de a obişnui viitorul elev să nu fie atent în timp ce aude în jurul lui pe cineva vorbind (vorbindu-i). Este clară efectul pe viitor, atunci când cineva (învăţătoarea, profesorul) îi prezintă un set de cunoştinţe, îi predă o lecţie.

Un copil având un astfel de aparat în cameră împreună cu o multitudine de CD-uri, pe care le şi foloseşte nesupravegheat, acesta are asigurat că pe viitor nu va fi capabil să urmărească o prezentare orală, vorbită. Capacitatea lui de a acorda atenţie unei expuneri exterioare va fi foarte redusă. Desigur că, dacă audierea unei poveşti se face sub stricta supraveghere a unui adult responsabil, atunci copilul va dezvolta capacitatea de atenţie şi de concentrare necesară (oprim povestea pentru că văd că vrei să te joci etc., dar acest gest trebuie să se întâmple atunci când copilul este încă, măcar parţial, atent la poveste; dacă el de mult nu mai este atent la poveste, atunci efectul opririi aparatului este insignifiant).

Practic, prin cititul poveştilor, familia întruchipează prima etapă de formare a abilităţilor de atenţie a unui copil. Odată cu mersul la grădiniţă, educatoarele ar trebui să se alăture acestui proces de formare, de antrenare şi extindere a capacităţilor de atenţie prin povestire. De fapt, procesul ar trebui continuat şi la nivelul învăţământului primar.

Trebuie să mai lămurim aici încă un aspect legat de atenţie. În Moldova există o vorbă: se zice că “se strânge lumea ca la urs” (cu referire la obiceul de a merge “cu ursul” în preajma Anului Nou şi a faptului că pe unde apare grupul care merge “cu ursul” se strâng mulţi curioşi; în alte părţi se zice că se uită lumea “ca la circ”, scoţând în evidenţă puterea de atracţie a unor astfel de situaţii). Realitatea este că există anumite lucruri sau întâmplări care au o forţă puternică de a atrage atenţia, mult mai mare decât altele. Dimpotrivă, alte situaţii se dovedesc absolut plictisitoare (parcă sunt gândite din adins ca să respingă atenţia cuiva). Prezentările discursive ale unor profesori au în mod deosebit acest defect.

Filmuleţele au o mare putere de a atrage atenţia; de fapt de asta şi sunt făcute, ca să-ţi prezinte de obicei ceva distractiv, ceva deosebit, astfel încât să stai cu privirea lipită de ecran (principalul ţel al televiziunilor comerciale); pe engleză se foloseşte cuvântul “entertaining”. Lăsând însă copilul de la o generaţie la alta tot mai mult în faţa ecranului, unde filmuleţele vizionate au această forţă mare de atracţie a atenţiei, de fapt copiii nu se mai obişnuiesc să dea ei atenţie, ci sunt atenţi doar dacă atenţia le este atrasă din afară, desigur prin ceva distractiv, oricum prin ceva deosebit.

Poveştile spuse au o putere de atracţie mult mai mică decât poveştile prezentate sub formă de film pe ecran. Un copil care nu a fost obişnuit să “dea atenţie” chiar şi unui nivel scăzut de putere de atracţie (cum este o poveste spusă, adică povestită), fiind obişnuit doar să-i fie “smulsă, suptă” atenţia, un astfel de copil nu va fi în stare să urmărească şi să înţeleagă o prezentare orală dintr-o lecţie. Legat de acest efect îmi vine în minte un cuvânt din germană pentru televizor – “Flimmerkiste” – care ar însemna ceva de genul “cutia pâlpâietoare”, dar se înţelege o pâlpâiere atractivă, sclipitoare, similară cu magia artificiilor, ceva care-ţi atrage automat privirea.

IMAGINAŢIA ŞI FILMUL INTERIOR ASOCIAT UNEI POVEŞTI  Pe lângă distrugerea capacităţii de atenţie de către folosirea pe scară largă a ecranului, am promis din start să ne ocupăm şi de o altă consecinţă negativă a privitului la ecran, anume scăderea capacităţii de a-ţi imagina ceva. Ar trebui aici să folosesc termenul “imaginaţie“, dar trebuie să precizez clar că acestui cuvânt îi este pervertitit sensul în mod uzual. De obicei, când cineva spune că “acest copil are o imaginaţie debordantă” se referă la câte idei îi mai trec prin cap, câte chestii mai “scoate pe gură”, câte năzbâtii mai face etc. În general este vorba însă de lucruri sau gesturi care au intrat în copil înainte, iar în momentul respectiv acesta doar face uz de ele (a văzut diferite filmuleţe pe net sau între colegi, a auzit diferite lucruri de la cei din jur etc.; de la o vreme însă începe şi copilul să devină creativ, plusând faţă de elementele respective). De multe ori este vorba de acţiuni sau idei deranjante (dar şi noi, câte prostii am făcut în copilărie!), dar desigur că pot fi şi elemente clasificabile ca pozitive. Eu însă nu despre această “imaginaţie” vorbesc aici, ci despre capacitatea unui om, respectiv a unui copil, de a-şi imagina ceva, fără ca acest ceva să-i fie prezentat vizual. În principal, mă gândesc la capacitatea copiilor de a-şi imagina în mintea lor ce le este prezentat doar auditiv, adică povestit.

Mai târziu, prezentarea prin viu grai începe să fie înlocuită cu prezentări în scris (într-un proces lung ce se întinde din clasele primare până cândva în clasele gimnaziale, diferind de la un elev la altul). În clasele gimnaziale ne aşteptăm astfel ca elevul, atunci când citeşte un text (o problemă sau un element de teorie), să-şi imagineze în minte situaţia descrisă acolo. Anumite elemente, cum ar fi redactarea ipotezei şi a concluziei, ajută în acest proces de imaginare; alte elemente doar îi îngreunează copilului sarcina de a-şi imagina situaţia prezentată prin textul respectiv (de pildă, încărcarea textului prin diferitele cuvinte introduse suplimentar din motive teoretice, dar care îngreunează înţelegerea, împiedicând imaginarea situaţiei de către copil; de-a lungul timpului am dat diverse astfel de contra-exemple, cum ar fi folosirea cuvântului “coplanare” în definirea dreptelor paralele în clasa a 6-a, sau introducerea cuvântului “lungimea/lungimile” în textul teoremei lui Pitagora).

Deci, despre această imaginaţie vorbesc eu, despre capacitatea de a-şi creea imagini interioare atunci când copilul primeşte o descriere orală a unei situaţii, a unui loc, a unei acţiuni sau a unui obiect. Noi oamenii, comunicăm oral, iar atunci când îi spui ceva celuilalt te şi aştepţi ca acesta să înţeleagă. Iar din înţelegere, pe lângă cuvintele în sinte, din înţelegere face parte şi faptul că celălalt trebuie în anumite momente “să vadă” ce i-am spus.

Când copilului i se spune o poveste, sau când mai târziu el citeşte o poveste, în mintea lui se produce un film; eu îl numesc filmul interior. De fapt, copilul îşi imaginează acest film interior. Dimpotrivă, atunci când elevul vede pe un ecran un film, el nu mai este nevoit să-şi imagineze filmul interior, deoarece îl primeşte gata făcut. Privitul de mic copil la ecran, în paralel cu ne-ascultarea unor poveşti, are ca consecinţă faptul că elevul nu-şi dezvoltă capacitatea de a-şi imagina cele auzite verbal. Ca urmare, elevul nu-şi poate imagina ce aude sau ce citeşte, pentru că mintea sa nu şi-a deszvoltat capacitatea de a produce imagini interioare, respectiv filmul interior în cazul unei situaţii ce prezintă o acţiune, o succesiune de imagini. El ştie doar să primească imagini gata făcute, prezentate de obicei prin intermediul ecranului.

Aşadar, pe lângă simpla atenţie, când îi spunem sau îi citim o poveste, mai dezvoltăm în copil încă o capacitate importantă: puterea de imaginaţie. Practic, când copilul ascultă o poveste el îşi imaginează întâmplările şi acţiunile din poveste. De fapt imaginaţia copilului vede un film interior corespunzător celor auzite. Cu cât ascultă mai multe poveşti, câ atât imaginaţia copilului devine mai abilă în formarea filmului interior. În mod obişnuit spunem că poveştile spuse dezvoltă capacitatea de imaginare a copilului. Dimpotrivă, poveştile prezentate sub formă de film nu au această capacitate pentru că mintea copilului nu mai trebuie să-şi imagineze ceva în plus; filmul vine în imagini, aşa încât mintea copilului nu mai este nevoită să-şi imagineze.

Apoi ulterior,când copilul învaţă să citească, filmul interior ataşat poveştii devine un motiv puternic ca să citească, deoarece copilul a învăţat să savureze filmul interior. El “vede” povestea şi îi place, şi de asta mai vrea să citească. Este evident că această capacitate de a-ţi imagina cele ascultate – capacitatea de a genera filmul interior – aceasta este ulterior deosebit de importantă mai târziu, pentru imaginarea unei situaţii descrisă într-o problemă de matematică. Dimpotrivă, un copil care a stat de mic tot timpul la ecran, un copil căruia nu i s-a citit de mic, un astfel de copil va întâmpina dificultăţi reale şi profunde în a înţelege mai târziu un text (chiar şi un text scurt, cum ar fi un text matematic).

Practic, dacă privim astfel lucrurile, atunci căpătăm o cu totul nouă înţelegere asupra situaţiilor denumite generic de “analfabetism funcţional”, acele situaţii când vedem că elevul ştie să citească un text scris, dar de fapt nu înţelege mesajul acelui text.

RAPORTUL DINTRE TEXT ŞI IMAGINE Revenind la poveşti, merită să mai precizez aici un aspect interesant legat de poveştile însoţite de imagini. Din punct de vedere al raportului dintre text şi imagine putem vedea “o plajă largă de variante” de cărţi, plecând de la textul neînsoţit de imagine (la care copilul trebuie să-şi imagineze totul), trecând pe la poveştile care au câteva imagini rare, gândite doar pentru impulsionarea imaginaţiei (de pildă cunoscutele romane ale lui Jules Verne), apoi pe la cărticelele cu imagini pe fiecare pagină alături de un text mai mult sau mai puţin generos şi ajungând la benzile desenate în care domină clar imaginile, textul fiind extrem de redus, de obicei doar la elementele de dialog.

Dacă privim această plajă de situaţii din punct de vedere a formării filmului interior ataşat poveştii, atunci înţelegem imediat că, cu cât avem mai multe imagini însoţitoare unei poveşti, cu atât această carte forţează mai puţin mintea copilului să-şi imagineze despre ce este vorba. Invers, cu cât sunt mai puţine imagini, cu atât mai bine din punct de vedere al dezvoltării capacităţilor de imaginare. Practic, benzile desenate nu ajută cu nimic antrenarea imaginaţiei; cărţile cu imagini mari şi puţin text sunt bune doar pentru începutul procesului de învăţare a cititului. Apoi, cât se poate de repede elevii ar trebui să pornească cu cititul cărţilor în care rar apar imagini, acestea doar pentru stimularea imaginaţiei, urmând ca ulterior să poată face cât mai repede trecerea la cărţile fără imagini. Evident că acestea – cărţile fără imagini – antrenează cel mai intens capacitatea de generare a filmului interior.

Aş putea merge mult şi bine pe această linie descriptivă, dar prefer totuşi să mă opresc aici. Oricum avem cel mai lung eseu prezentat dintr-o bucată pe pentagonia.ro (peste 8 pagini A4 pe Times New Roman de 12). Nutresc însă speranţa că am putut oferi o imagine destul de edificatoare despre cum influenţează folosirea ecranului capacităţile necesare copiilor in procesul de învăţare, analizând mai ales efectele asupra capacităţii de atenţie şi de imaginare, de înţelegere – ambele atât în cazul unui discurs cât şi în cazul unui text scris.

RECOMANDĂRI PENTRU STUDIU ULTERIOR Nu vreau să închei însă, înainte de a face câteva recomandări bibliografice. Eu personal nu am urmărit neapărat subiectul acesta în literatura publicată în limba română, dar doresc să prezint totuşi câteva lucrări întâlnite în această direcţie. Tehnic, doresc să evoc trei lucrări scrise de dl. Virgiliu Gheorghe la începutul anilor 2000: Efectele televiziunii asupra minţii umane şi despre creşterea copiilor în lumea de azi (Ed. Evanghelismos, 2005, cu un total de 464 pag.), Revrăjirea lumii sau de ce nu mai vrem să ne desprindem de televizor (Ed. Prodomos,2006, cu un total de 288 pag.), prezentate ambele sub titlul general Faţa nevăzută a tele-viziunii, vol. I şi II, cât şi o lucrare mai accesibilă, de rezumare a celor două, Efectele micului ecran asupra minţii copilului (Ed. Prodomos, 2007, cu doar 127 pag.). Aceasta din urmă a fost tipărită şi distribuită gratuit în şcoli prin grija Asociaţiei pentru apărarea familiei şi a copilului.

Iată doar un citat din prefaţa primei lucrări aici prezentate, scrisă de Prof. Ilie Bădescu: Deficienţele de atenţie şi concentrare, slăbirea capacităţilor mentale, a puterii de judecată şi a motivaţiei sunt probleme care se află de câteva zeci de ani în atenţia cercetătorilor din lumea occidentală. În ultima vreme aceste afecţiuni au început să fie observate şi la mulţi dintre copiii şi tinerii din ţara noastră, sindromul anunţându-se a avea o largă răspândire în următorii 10 ani.

Da! Avea dreptate. Şi închei atrăgând atenţia că aceste rânduri au fost scrise cândva în 2004-2005, aşadar oricum înaintea apariţiei în familiile din România a smartphone-urilor şi a generalizării folosirii acestora de către copiii tot mai mici şi pentru intervale tot mai mari de timp, inclusiv în parcuri, în timpul cumpărăturilor etc., adică chiar şi acolo unde şi atunci când nu este disponibil un televizor (sau un calculator). Titus Grigorovici

P.S.1. A fost în acea primăvară – 2005 – o întâmplare extrem de ciudată, pe care doresc să o evoc aici. Noi ocupam la acea vreme o clădire foarte mică, fiind extrem de strâmtoraţi cu spaţiul (atât puţine săli, cât şi cele mai multe mici. Aveam o singură sală ceva mai mare. ISJ-ul (sau ministerul?) s-au trezit să facă o duplă simulare – simultană – la BAC (pentru noi era proba de istorie) şi la Capacitate (la matematică). Deoarece aveam săli de clasă foarte mici şî se cerea desigur că elevii să stea la această simulare câte unul în bancă, practic noi ar fi trebuit să anulăm marea majoritate a orelor din şcoală în acea zi, chiar dacă atunci aveam două clase de a 8-a şi a 12-a foarte mici numeric. Eu am venit atunci cu o propunere ciudată, care până la urmă a fost aleasă de colegi: să folosim doar sala de clasă mai mare Unde numărul băncilor duble era suficient pentru a pune câte un elev dintr-o clasă într-o bancă, dar să punem de fapt în fiecare bancă câte un elev de a 12-a şi unul de a 8-a.

În acea vreme elevii de a 12-a deveniseră foarte vocali împotriva profesorilor care le cereau să înveţe serios. Nu mai ştiu cât a ajutat acea simulare în pregătirea lor, dar ţin minte discuţia de la prima ora avută apoi cu clasa a 12-a. Atunci am aflat că cei de a 8-a îi tot bâzâiseră să le rezolve un sistem de ecuaţii, iar unul din elevii de a 12-a (foarte slab la învăţătură, dar deosebit de vocal) era de-a dreptul indignat “cât de proşti pot să fie cei de a 8-a” pentru că nu ştiu nici măcar un sistem de ecuaţii. În acel moment mi-am dat seama de fenomen şi le-am şi spus celor de a 12-a: voi aţi învăţat într-un fel cu 4 ani în urmă, dar acum nu mai sunteţi dispuşi să învăţaţi şi faceţi tărăboi; pe de altă parte, vedeţi cum cei mai mici nu au învăţat sistemele şi vi se pare mult prea puţin cât învăţaseră ei. De fapt, noi vedeam atunci elemente dinainte şî de după a acelui val de schimbare, mai exact de scădere a atenţiei şi a capacităţii de învăţare, cauzat de deceniul de folosire puternică a ecranului de către toţi copiii, de după intrarea televiziunilor prin cablu în apartamentele clujenilor.

În generaţia de peste 4 ani, în clasa noastră de liceu am avut o elevă venită dintr-un sat din Apuseni, o elevă care venea din condiţii modeste. Era harnică şi deosebit de bună la învăţătură (a şi ajuns avocată, fără nici cea mai mică urmă de meditaţii în particular). Ea nu avusese acasă televiziune prin cablu, aşa încât nu fusese distrusă de ecran în copilăria sa. Peste ani, prin generalizarea televiziunilor prin satelit, apoi în anii din urmă prin generalizarea folosirii smartphone-urilor, s-a generalizat şi la ţară “distrugerea” copiilor de către folosirea extinsă a ecranelor.

P.S.2. În aprilie 1998 am avut inspecţia de gradul II. Ţin foarte bine minte orele respective, pentru că le-am pregătit în mod deosebit. Mi-a rămas întipărită în minte mai ales ora de geometrie de la clasa a 6-a (o oră dublă), în care problemele se conectau şi se succedeau într-un mod deosebit de bun. Prima lecţie era despre linia mijlocie în trapez, iar a doua despre mediana pe ipotenuză. Lecţia a funcţionat foarte bine, arătând clar că era perfectă pentru acea clasă în acel moment (cel puţin pentru elevii care puteau “duce” demonstraţii geometrice).

La toate generaţiile următoare m-am străduit să le ofer acea lecţie deosebită, dar cu timpul am simţit că nu mai merge în clasa a 6-a. Lecţia mergea de la un an la altul tot mai greu. Undeva după 2010 am decis său parcurg în continuare patrulaterele în finalul clasei a 6-a, dar într-o formă observaţională, şi să acord o perioadă generoasă la începutul clasei a 7-a conexiunilor din cadrul demonstraţiilor geometrice. În anii ce au urmat lecţia respectivă (ajunsă acum în prima lună de a 7-a) a funcţionat cum trebuie. Actualmente simt din nou o scădere a capacităţii pentru această lecţie, deşi faţă de 1998 o fac cu jumătate de an mai târziu.

Oi fi eu “mare vrăjitor” în rearanjarea lecţiilor, dar mai mult nu mai pot amâna această lecţie (faţă de structura de vârstă unei generaţii). Oare voi fi nevoit peste câţiva ani să renunţ la ea, pentru că pur şi simplu nu voi mai avea “clienţi” cu care să o fac? Mă îngrozeşte un astfel de gând. Oricum concluzia este clară: ce am reuşit cu brio să fac în 1998 în primăvara clasei a 6-a, acum de-abia mai reuşesc în toamna clasei a 7-a. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al capacităţilor de gândire, de atenţie, de imaginare, elevii de acum sunt – ca dezvoltare – cu peste 6 luni mai întârziaţi, mai slabi decât cei din urmă cu cca. un sfert de secol. Groaznic!